物理学の哲学(7)(アノマリー)
「物理学の哲学」の続きです。
副題の(止まると死ぬ)は,だんだん記事の意図
から外れてきたので,副題を(アノマリー)に変更
しました。
(※余談):9/7(月)夜です。九州には大型台風
がきてるらしいけど,私は,餅じゃなく,カリン糖
が喉に詰まる誤嚥で呼吸困難になってしばらく
一人で七転八倒したりして,相変わらず死と隣り合
わせの状態が日常的に起こるので,先は長くない
ですね。体はボロボロで頭ばかり冴えてます。
(余談終わり※)
さて,少し飛躍して量子アノマリーを研究
する目的の1つであった,π0 →2γ崩壊の
S行列要素 →崩壊率の評価を考えます。
まず,過去記事「摂動論のアノマリー」
の(13)を参照します。
(※以下,再掲載記事)
粒子の散乱などの量子遷移現象において,
初期状態,or始状態(initial stare)を|i>,
終状態(final stateを|f>で記述すると,
今のπ0→2γの崩壊過程では,|i>=|π0 >
であり,|f>=|γ(k1,ε1)γ(k2,ε2)>です。
ただし,k1,k2は,終状態の2個の光子(2γ)
の運動量,または波数であり,ε1,ε2は偏極
(偏光)を示しています。
一般の散乱行列(S行列)要素Sfi,および,S^
演算子は,ユニタリ変換だけ異なる2つの完全系:
incomibgの漸近場の状態とoutgoingの漸近場
の状態(散乱状態)によって,
Sfi=<f;out|i;in>=<f;in|S^|i:in>
で定義されます。
そこで,S^演算子は,<f:in|=<f;out|S^
で定義されます。
今のπ0崩壊の場合は,
Sfi =<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2);out|π0in>
=<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2);in|S^|π0in>
であり,|i>から|f>への遷移確率を示す
Sfiは,散乱行列要素というより,π0 → 2γ
の崩壊行列要素を意味します。
このS行列要素と,ここまで論じてきた電磁場
が存在する場合の裸の質量m0の軸性ベクトル
カレント:j5μ(x)=ψ~(x)γμγ5ψ(x)の
部分的保存(PCAC)を意味する4次元発散の式:
∂μj5μ(x)=2im0j5x)
+{α0/(4π)}FξσFτρεξστρ.
ただし,j5(x)=ψ~(x)γ5ψ(x)とが,
どのように関連付けられるかを見るため,過去
記事「摂動論のアノマリー」(16)」において,
これを次式に置き換えることによって,三角
グラフの輻射補正に由来するアノマリーの
可能性を考慮に入れると,
∂μj5μ(x)=2im0j5
+{α0/(4π)}(1+C)Fξσ(x)Fτρ(x)εξστρ
と書けます。(※Cは輻射補正の寄与率)
以下,上記の式を「低エネルギー定理」
の基礎式として用います。
そして,4元運動量:k1,k2と偏極(偏光):
ε1,ε2を持つ2光子の状態のKetベクトル:
<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2)|と,真空:|0>による
これら各項の行列要素を取ってみます。
4元運動量:k1,k2と偏光:ε1,ε2から構成
することができる唯一の擬スカラー量は定係数
因子を除けば,k1ξk2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ
のみです。
それ故,軸性ベクトルの4次元発散の両辺の
項の行列要素は,因子として,この表現を含む
はずです。そこで,
<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2)|∂μj5μ|0>
=(4k10k20)-1/2k1ξk2τε1σ*ε2ρ*
×εξτσρF(k1,k2) ....(1)
<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2)|2im0j5|0>
=(4k10k20)-1/2k1ξk2τε1σ*ε2ρ*
×εξτσρG(k1,k2) .....(2)
<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2)|
{α0/(4π)}FξσFτρεξστρ|0>
=(4k10k20)-1/2k1ξk2τε1σ*ε2ρ*
×εξτσρH(k1,k2) ....(3)と書きます。
F(k1,k2),G(k1,k2),H(k1,k2)は,
スカラー量:(k1)2,(k2)2,(k1+k2)2の
関数ですが,2光子状態の光子は,共に質量が
ゼロの実光子であるとしているので,
(k1)2=0,かつ,(k2)2=0であり,結局,
F,G,Hは(k1k2)のみの関数であると
見ることができます。
そこで,軸性ベクトルカレントの4次元発散式
の行列要素での表現は,F,G,Hによって,
F(k1k2)=G(k1k2)+(1+C)H(k1k2)
と書き直せます。
これから「低エネルギー定理」というものを
導出するために,行列要素:Mμ=(4k10k20)-1/2
<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2)|j5μ|0>の注目すべき
運動学的性質を用います。それは,Lorentz不変性,
ゲージ不変性,Bose統計の要請ですが,これらから
次の一般形式をとることが要求されます。
以下,これらの性質から軸性カレントの
4次元発散の行列要素,
<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2)|∂μj5μ|0>
=(4k10k20)-1/2k1ξk2τε1σ*ε2ρ*
×εξτσρF(k1k2)が,(k1+k2)μMμに比例し,
(k1+k2)μ<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2)|j5μ|0>
の定数倍であることがわかります。
これからF(k1k2)∝(k1k2)と結論されます。
故に,F(0)=0が成立します。
このことが,素朴な発散の(真空 →2光子の
行列要素:<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2)|2im0j5|0>
=(4k10k20)-1/2k1ξk2τε1σ*ε2ρ*
εξτσρG(k1k2)のG(k1k2)を,演算子:
{α0/(4π)}FξσFτρεξστρの行列要素,
<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2)|{α0/(4π)}
FξσFτρεξστρ|0>
=(4k10k20)-1/2k1ξk2τε1σ*ε2ρ*
εξτσρH(k1k2)のH(k1k2)に関係付ける
「低エネルギー定理」を与えます。
すなわち,F(k1k2)=G(k1k2)
+(1+C)H(k1k2)が成立することから,
0=F(0)=G(0)+(1+C)H(0) を得ます。
したがって,G(0)=-(1+C)H(0)です。
ただし,摂動論の最低次(treeレベル)では輻射補正
Cは無視します。
ところが,H(0)については,j5μ,j5,および,
アノマリー項:{α0/(4π)}FξσFτρεξστρのグラフ
に対するFeynman規則を用いて,評価することができて
H(0)=2α0/πであること,がわかります。
そしてG(0)=-(1+C)H(0)ですが,k1→0.k2→ 0
の低エネルギー極限では,C=0となることから,
G(0)=-H(0)=-2α0/πなる評価を得ます。
この,G(0)に対する結果は,大した面倒もなく,
直接,具体的な最低次のグラフのGの表現式:,
Rσρ=k1ξk2τεξτσρB1,B1=8π2m0I00(k1,k2)
からも導出できるものです。
すなわち,具体的計算でも,確かに
G(0)=[iε1σ*ε2ρ*(-ie02)(2π)-4
(2m0Rσρ)/k1ξk2τε1σ*ε2ρ*ε
×εξτσρ]k1,k2→ 0=e02(2π)-4(2m0B1) k1,k2→ 0
=-e02/(2π2)=-2α0/π を得ます。
そこで,実際には発散する係数Gに切断Λを入れて
有限化した,GΛの Λを無原大とした極限の
くり込まれた量をG~,つまり,
G~(k1k2)=limkΛ→∞GΛ(k1k2)と書くと,
k1~0.k2 ~0の低エネルギー極限では,裸の
微細構造定数:α0を,観測量αに置き換えた関係:
G~(0)=-2α/πになる,という定理:を得ます。
これが,求めたかった「低エネルギ定理」です。
※ここで,これまでのQEDでのVVA三角アノマリーと
今の「低エネルギー定理」の結果を一般化した場の
理論の,いわゆる σ模型を導入してこれを考察します。
σ模型もQEDのそれと同じく,正確な演算子恒等式と
して,部分的保存条件(PCAC)を満足します。
上に導出した「低エネルギー定理」の,この種の模型
への拡張は,π0 → 2γの崩壊率の予測に導き,結果,
その予測計算値と実験値との比較を可能にします。
σ模型は,PCACが演算子関係式として成立する場理論
の模型の特殊なケースです。
基本的に興味あるのは,三角グラフを通して2光子と
相互作用ができる電気的に中性の軸性ベクトルカレント
です。そこで,過去記事では,まず,電気的に中性の軸性
ベクトルカレントのみを含むσ模型の「不完全版」を
考察しました。この模型では,系のLagrangian密度L
は次式で与えられます。すなわち,
L=ψ~{iγμ∂μ-G0(g0-1+σ+iπγ5)}ψ
+λ0{4σ2+4g0σ(σ2+π2)+g02(σ2+π2)2}
+(μ02/2)(2g0-1σ+σ2+π2)
+(1/2){(∂π)2+(∂σ)2}
-(μ12/2)(π2+σ2) です。
これは,陽子pのスピノル場:ψ(x),中性π中間子π0
の場:π(x),および,スカラー中間子の場σ(x)のみ
を含みます。
過去記事では,この「不完全版」からスタートして
議論を展開しましたが,ここでは,最初から,中性の
軸性ベクトルカレントだけでなく,荷電軸性ベクトル
カレントも含み,π中間子も荷電π中間子も含む
「完全版」のσ模型を想定します。
すなわち,強い相互作用の荷電独立性
(アイソスピン対称性)が,このσ模型でも成立する
と仮定して.「不完全版」の陽子pのスピノル場:
Ψ(x)を,核子:(p,n)のアイソスピノル場:
Ψ=(ψp,ψn)Tで置き換え,単一のπ0中間子の場
であったπ(x)を,アイソベクトル場:π=(π1,π2,π3)T
で置き換えます。σ(x)については電気的に中性のみの
アイソスカラーでアイソスピンはゼロの場とします。
よって,「完全版」のσ模型でのLagrangian密度は,
L=Ψ~「[iγμ∂μ-G0({g0-1+σ+i(τπ)γ5}]Ψ
+λ0{4σ2+4g0σ(σ2+π2)+g02(σ2+π2)2}
+(μ02/2)(2g0-1σ+σ2+π2)
+(1/2){(∂π)2+(∂σ)2}-(μ12/2)(π2+σ2)
となります。
このとき,実際に観測されているπ中間子の
(π+,π-,π0)の粒子状態は,アイソベクトル場;
π=(π1,π2,π3)Tの状態;|πk>(k=1,2,3)
により,|π+>=(|π1>+i|π2>)/√2,
|π->=(|π1>-i|π2>)/√2,および,|π0>
=|π3>なる線形結合で与えられます。
ここで,係数(1/√2)は状態を規格化する
ための因子です。
ただし,πの1粒子状態は,|πk>=(πk)+|0>
(k=1.2、3)のように,真空:|0>に場の生成演算子
(πk)+を作用させて得られるので,上記の粒子状態
の表現は,粒子の消滅演算子を意味す粒子場:πkでは
π+=(π1―iπ2)/√2,,π-=(π1+iπ2)/√2,
π0=π3 です。
この模型のLの場合,カイラルゲージ変換は無限小の
局所ゲージパラメータ:v(x)をアイソ空間のベクトル
として,アイソスピノル Ψ=(ψp,ψn)Tに対しては,
Ψ → {1+{(i/2)γ5(τv)}Ψなる変換となり,対応
して,アイソベクトル場:π=(π1,π2,π3)Tは
,π → π+v(g0-1+σ) なる変換です。
そこで,特に中性のπ0中間子の場:π0=π3は,
π3 → π3+v3(g0-1+σ)と変換します。ここで,
Pauliのスピン行列を導入しこれをτ=(τ1,τ2,τ3)
と表記して用いました。また,σについての変換
は,σ → σ+(vπ)です。
そして「Noether(ネーター)の定理」の応用でこの変換
に対応するカレントは軸性なのでこれを,
j5μ=-δL/δ(∂μv)で定義すると,今の場合,この
軸性ベクトルカレントもアイソベクトルで,
j5μ=(1/2)Ψ~γμγ5τΨ+σ(∂μπ)
-π(∂μσ)+g0-1(∂μπ).で与えられます。
この変換で,Lが不変なら,これは∂μj5μ=0を満たす
保存カレントであるはずですが,残念ながらLは不変
ではなく,余分な項:(-μ12/g0)πがあるため,これまで
論じてきたQEDでの質量m0≠0の場合の軸性ベクトル
カレントの4次元発散のケースと同じく,部分的保存
(PCAC)のみが成立します。
つまり,この場合は∂μj5μ=-δL/δv=(μ12/g0)π≠0
となります。
こうして,σ模型は演算子恒等式としてPCACの条件を満足
する,との先の言明通り軸性ベクトルカレントj5μの
4次元発散:∂μj5μが,πの場に比例する,という重要な
式を得ました。
σ模型について,その他色々と詳細な話ありますが,
重要なのは,このPCACの関係が成立することです。
また,摂動論のあらゆる次数までで,<0|σ|0>=0.
となるように,σ模型が全体に平行移動された形式
を選択しました。もしも,最初に選択した場:σでは.
<0|σ|0>=σ0≠0の場合,σ → σ~=σ-σ0 と平行
移動して,このσ~を改めてσに採用することで,常に
<0|σ|0>=0 としておきます
パラメータ:μ12はσの裸の伝播関数(q2-μ12+iε)-1
に現われる裸のσ中間子質量の平方です。
σについての Euler-Lagrange方程式:
∂λ{∂L/δ(∂λσ)}-(∂L/∂σ)=0 を書き下すと,
□σ+(μ12-μ02)σ=-G0ψ~ψ+g0-1μ02
+λ0{8σ+4g0(3σ2+π2)+4g02σ(σ2+π2)2}です。
そこで,<0|δL/δ(∂λσ)|0>=0は,□<0|σ|0>=0
を意味し.大域的にこれが成立することは,0|σ|0>が
時空点に依存しない定数であることを意味します。
それ故,恒等的に<0|σ(x)|0>=0 と表わすことが
できます。σの生成,消滅の両Fourier成分を持つ
σのincoming漸近場:σinによって,|σ>=σin|0>
と書けば,<0|Hint(x)|σ>=<0|Hint(x)σin(x)|0>
=0であることを意味します。これから,
<0|T[Hin(t1Hin(t2)..Hin(tn)σin(x)|0>=0,
つまり,<|S^σin|0>=0となり,摂動の全ての次数で
<0|σ|0>=0が保証されるわけです。
さらなる作業のため,σ模型のPCAC方程式:
∂μj5μ=-δL/δv=(μ12/g0)πを,次のように
書き換えます。
すなわち∂μj5μ=(μ12/g0)(Z3π)1/2πr
とします。つまり,π=(Z3π)1/2πrで,くりこみ係数:
Z3πと,くりこまれたπの場:πrを定義するわけです。
次に,π中間子の崩壊振幅fπを次式で定義します。
すなわち,<π(q)|j5μ|0>=(2q0)-1/2(-iqμ/μ2)
×(fπ/√2.)です。ここで,μはπ中間子の質量です。
アイソベクトル場:πを含む完全版σ模型では,πも
j5μも中性成分だけでなく荷電成分を持つため,fπ
は丁度,荷電π中間子の弱い崩壊振幅に等しいもの
であることがわかります。
特に,中性のπ0に対する,先の「不完全版」の中性
軸性べクトルカレント:j5μ(x)は,アイソ軸性ベクトル
カレント:j5μ(x)の,アイソ第3成分ですから,それを
j5μ(3)(x)と表わし.中性カレントの<π(q)|j5μ|0>
=(2q0)-1/2(-iqμ/μ2)fπ/√2 なる表現を,
<π0(q)|j5μ(3)|0>=(2q0)-1/2(-iqμ/μ2)
×fπ/√2. と書き直します。
荷電π中間子の場の演算子は,π+=(π1-iπ2)/√2,
および,π-=(π1+iπ2)/√2,ですが,
その粒子の状態ベクトルは,|π+>=|π1+iπ2>/√2,
および,π->=|π1-iπ2>/√2でしたから,π-の
崩壊における行列要素:<α|π->の向きを逆転させた
<π-|α>は,その複素共役で与えられます。
つまり,Bra:|π->=|π1-iπ2>/√2に対して,
Ket:<π-|=<π1+iπ2|/√2が対応すると
考えられます。
そして,軸性ベクトルカレントのアイソ第3成分は
j5μ(3) =(1/2)Ψ~γμγ5τ3Ψ+σ(∂μπ3)-π3(∂μσ)
+g0-1(∂μπ3)で与えられますが,これをアイソ回転する
ことで得られる+成分は,そのτ3をτ+ではなく,τ-とする
ことにより,j5μ(+)=(1/2)Ψ~γμγ5τ-Ψ+σ(∂μπ+)
-π+(∂μσ)+g0-1(∂μπ+) になるはずです。
ただし,τ-=(τ1-iτ2)/√2,かつ
π+=(π1―iπ2)/√2です。
そこで,<π-(q)|j5μ(+)|0>
=<(π1+iπ2)(q)|(j5μ(1)-ij5μ(2))|0>/2
=(2q0)-1/2(-iqμ/μ2)(fπ/√2)となります。
ここで,k=1,2,3の各々のπkはkが同じカレント
j5μ(k)のみとcoupleすることができてkに関わらず,
<πk|j5μ(k)|0>=(2q0)-1/2(-iqμ/μ2)(fπ/√2)
になる,という対称性を仮定しました。
因子:(-iqμ)は,πの崩壊相互作用部分の行列要素
が,<πi(q)|g0-1∂μπ|0>=(2q0)-1(-iqμ)F(q2)
なる形で与えられるという現象論的推論から出てきます。
σを含む項の寄与は先に述べた通り項が,演算子πと
交換するのでゼロです。
<π(q)|j5μ|0>=(2q0)-1/2(-iqμ/μ2)fπ/√2
の4次元発散を取り,∂μj5μ=(μ12/g0)(Z3π)1/2πr
を代入して,<π-(q)|πr|0>=(2q0)-1/2を用いると
次式を得ます。
すなわち,(μ12/g0)(Z3π)1/2=fπ/√2です。
そこで,∂μj5μ=(μ12/g0)(Z3π)1/2πrのくり込み定数
は,除去されて,このPCAC方程式を完全に物理量だけで書き
表わせます。結局,∂μj5μ=(fπ/√2)πrとなる,という
重要な結果が得られました。
まだまだ先が長いので今回はここまでにします。
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