物理学の哲学(9)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

　今回も余談抜きです。

さて,これまでの記事内容と重複するかも

知れませんが,粒子の散乱などの量子遷移現象

において,初期状態,or 始状態を,|ｉ＞,終状態を

|ｆ＞で記述すると.|ｉ＞から|ｆ＞への散乱行列

(Ｓ行列)要素:Ｓ_fiは,ユニタリ変換だけ異なる

２つの完全系:incomibg漸近場の状態と

outgoing漸近場の状態によって,

Ｓ_fi＝＜ｆ;out|ｉ;in＞＝＜ｆ;in|Ｓ^|ｉ:in＞

で定義されます。そして,Ｓ^演算子は,＜ｆ;in|

＝＜ｆ;out|Ｓ^で定義されます。

今のπ⁰→2γの崩壊過程では,|ｉ＞＝|π⁰ ＞

であり,|ｆ＞＝|γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)＞です。

そして,これに,LSZの還元公式を用いると,

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ)

(□_x＋μ²)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ(ｘ)|0＞

と書けます。ただしπ^0ｒ(ｘ)は,くりこまれた中性の

π⁰中間子の場(擬スカラー場)であり,μはπ⁰の質量

です。そして,Klein-Gordon演算子:(□＋μ²)を挿入

しているのは,始状態で,入射するπ⁰のincoming漸近場:

π⁰_in(ｘ)が,その自由場と同じ方程式に従うため,

(□＋μ²)π⁰_in＝0のKlein-Gordon方程式を満たす

からです。

ここで,本ブログの過去記事「LSZの公式(4)」から,

LSZ(Lehmann-Synmanzik-Zimmerman)の公式の

紹介記事を,今のπ⁰中間子の崩壊過程に適用するため,

少し修正して再掲載します。

　参考にしたのは,J.D.Bjorken とS。D。Drellの共著

「Relativistic Quanrum Field」(McGrawHill)　です。

これは私が学生の頃の場の量子論の標準的テキスト

でした。(※もっとも,当時は1ドル360円の時代で,洋書

は高価で貧乏学生だった私は,研究室図書館の蔵書を青焼き

コピーしてファイルににして使ってました。これを買えた

のは,サラリーマンに就職後です。※)

※さて,以下は修正した再掲記事です。

粒子群:αに４元運動量がｐのπ中間子１個

が加わった入射粒子群のincomingの漸近状態を

意味する:|αｐ;in＞から,終状態の粒子群:βの

outgoing漸近状態のKet:＜β;out|への遷移振幅

を示すＳ行列要素(散乱業辣要素)を与えるＳ行列

要素:Ｓ_β(αp)＝＜β;out|αｐ;in＞を考察します。

以下,漸近条件を用いて,始状態:|αｐ;in＞と

終状態|β;out＞の両方から1粒子ｐを差し引く

代わりに,適当な場の演算子を挿入した式が

得られることを示します

質量がμのπ中間子の漸近場の消滅演算子;

ａ_in^(ｐ),および,ａout^(ｐ)は,それぞれ,

ａ_in^(ｐ)＝i∫ｄ³ｘｆ_ｐ^＊(ｘ)∂₀^⇔π_in(ｘ),

および,ａ_out^(ｐ)＝i∫ｄ³ｘｆ_ｐ^＊(ｘ)∂₀^⇔π_out(ｘ)

という表式で書けることを用います。

他方,これら漸近場の生成演算子:ａ_in^^＋(ｐ)と

ａ_out^^＋(ｐ)の方は,上式の両辺のHermite共役を

取れば得られます。

ただし,ｆ_ｐ(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ω_ｐ)^-1/2

exp(－iｐｘ)です。(ω_ｐ＝ｐ⁰＝(ｐ²＋μ²)^1/2)

一方、ｆ_ｐ^＊(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ω_ｐ)^-1/2exp(iｐｘ)

で,これらは,(□＋μ²)ｆ_ｐ＝0,(□＋μ²)ｆ_ｐ*＝0

を満たす平面スカラー波の解です。

　また,任煮,の２つのｔの関数：ａ(ｔ),ｂ(ｔ)に

対して,ａ(ｔ)∂^⇔₀ｂ(ｔ)で与えられる関数を,

ａ(ｔ)∂^⇔₀ｂ(ｔ)＝ａ(ｔ){∂ｂ(ｔ)/∂ｔ}

－[∂ａ(ｔ)/∂ｔ}ｂ(ｔ)　で定義しています。

そこで,＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β;out|ａ_in^^＋(ｐ)|α;in＞

＝＜β;out|ａ_out^^＋ｐ)|α;in＞

＋＜β;out|ａ_in^^＋(ｐ)－ａ_out^^＋(ｐ)|α;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

－i＜β;out|∫ｄ³ｘ[ｆ_p(ｘ)∂₀^⇔

[π_in(ｘ)－π_out(ｘ)]]|α;in＞と書けます。

　|β－ｐ;out＞は,もしも集合:βの中にｐ

が存在する場合は,βからｐを除いた終状態を

表わしますが,βの中にｐが存在しない場合は,

この項はゼロで消えてなくなります。

また,|αｐ;in＞が,初期に２粒子がある場合の

散乱を表現しているなら,＜β－ｐ;out|α;in＞

は入射粒子と標的粒子が運動量を含め,それら

の量子数を保存する前方弾性散乱のみに寄与

します。つまり,＜β－ｐ;out|α;in＞

＝δ_(β－ｐ)αです。

(※ 何故なら|α;in＞が１粒子の場合は,

＜β－ｐ;out|Ｐ^²|α;in＞

＝α²＜β－ｐ;out|α;in＞

＝(β－ｐ)²＜β－ｐ;out|α;in＞なので,

＜β－ｐ;out|α;in＞≠0である場合は,

(β－ｐ)²＝α²＝μ²ですから,|β－ｐ;out＞

も同じ１粒子の終状態です。

そして,また,＜β－ｐ;out|Ｐ^^μ|α;in＞

＝α^μ＜β－ｐ;out|α;in＞

＝(β－ｐ)^μ＜β－ｐ;out|α;in＞

ですから,＜β－ｐ;out|α;in＞≠0のときは,

(β－ｐ)^μ＝α^μ,つまり,β^μ＝(α＋ｐ)^μと,

４元運動量が不変な弾性散乱で,しかも方向を

変えず素通りする前方散乱のみの振幅を意味

するからです。※)

さて,＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

－i＜β;out|∫ｄ³ｘ[ｆ_ｐ(ｘ)∂₀^⇔

{π_in(ｘ)－π_out(ｘ)}]|α;in＞ の右辺の

項:－i∫ｄ³ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)∂₀^⇔

{π_in(ｘ)－π_out(ｘ)}|α;in＞

は「Greenの定理」によって時間ｔに依存しません。

そして,始状態,終状態の散乱状態の粒子たちが

波束のように,あるf(ｘ)≠0の形の有限な台に

局所化されていることを保証する漸近条件:

lim_ｔ→-∞＜α|π^ｆ(ｔ)|β＞＝Ｚ^1/2＜α|π_in^ｆ(ｔ)|β＞,

lim_ｔ→+∞＜α|π^f(ｔ)|β＞＝Ｚ^1/2＜α|π_out^f(ｔ)|β＞

の要請,を満たすことから,ｔ＝ｘ⁰→ －∞ の極限では,

π_in(ｘ,ｔ)を,Ｚ^-1/2π(ｘ,ｔ)で,また,t=ｘ⁰→ ＋∞

の極限でも,π_out(ｘ,ｔ)を,やはり,Ｚ^-1/2π(ｘ,ｔ)

で置き換えることが許されます。

(※Zは,π(ｘ)のくりこみ定数を意味しています。)

　それ故,結局,＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

＋(iＺ^-1/2(lim_{ｘ0→　+∞}－lim_ｘ0→-∞)

＜β;out|∫ｄ³ｘｆ_ｐ(ｘ)∂₀^⇔π(ｘ)|α;in＞

と書くことができます。

これが,Reduction手続きの最初の段階です。

これから,より便利な形を得るために,公式:

(lim _{x0→ +∞}－lim _{x0→ -∞})∫ｄ³ｘｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[∂₀{ｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)}]

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[ｇ₁(ｘ)∂₀²ｇ₂(ｘ)

－{∂₀²ｇ₁(ｘ)}ｇ₂(ｘ)]が成立すること

を用います。

そこで,ｇ₁（ｘ）＝ｆ_ｐ(ｘ),ｇ₂(ｘ)

＝π(ｘ)として,これに代入すると,

ｇ₁(ｘ)＝ｆ_P(ｘ)は,(□＋μ²)ｆ_ｐ(ｘ)＝0

を満たすので,∂₀²ｆ_ｐ(ｘ)＝(∇²－μ²)ｆ_ｐ(ｘ)

Gが成立します。

　よって,Ｚ^-1/2(lim _ｘ0→+∞－lim_ｘ0→-∞)∫ｄ³ｘ

＜β;out|ｆ_ｐ(ｘ)∂₀^⇔π(ｘ)|α;in＞

＝iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ＜β;out|

ｆ_ｐ(ｘ)∂₀²π(ｘ)－{∂₀²ｆ_p(ｘ)}π(ｘ)|α;in＞

＝iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ＜β;out|ｆ_ｐ(ｘ)

(∂₀²＋μ²)π(ｘ)－(∇²ｆ_ｐ(ｘ))π(ｘ)]|α;in＞

となります。

　結局,Ｚ^-1/2(lim _ｘ0→+∞－lim_ｘ0→-∞)∫ｄ³ｘ

＝iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_p(ｘ)(□＋μ²)

＜β;out|π(ｘ)|α;in＞　なる表式を得ます。

ここで,最後の式変形では部分積分に対する

「Greenの公式」を用いました。

したがって,元のＳ行列要素の始状態,終状態

の両方から1粒子を減ずる還元公式の最終式

として,Ｓ_β(αｐ)＝＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

＋iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_ｐ(ｘ)(□＋μ²)

＜β:out,|π(ｘ)|α;in＞

が得られました。　(再掲記事終了※)

今のπ⁰中間子の崩壊のＳ行列要素:

Ｓ_fi ＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|π⁰in＞

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|Ｓ^|π⁰in＞

に対するLSZの公式を考えると,上記で,

＜β;out|＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|

とし,|αｐ；in＞＝|π⁰in＞として,それ故,

|α:in＞は,真空:|0＞を意味するので,上記

の最終形の式で,π中間子の場π(ｘ)を,π⁰中間子

の場:π⁰(ｘ)に置き換え,そのくりこまれた場

を,π^0ｒ(ｘ)と書いて,π^0ｒ(ｘ)＝Ｚ^1/2π⁰(ｘ)

と乗法的に定義されているなら,入射π⁰粒子の

4元運動量がｐ^μでなく,ｑ^μの場合の崩壊の

Ｓ行列要素として,

Ｓ_ｆi＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ_2,ε₂);out|π⁰;in＞

＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)(□＋μ²)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|π^0ｒ|0＞

なる表式が得られます。

ここで,始状態,および.終状態を共に

incomingの漸近状態のｘ座標表示で表わすと,

それぞれ,＜ｘ|π⁰ ;in＞＝ｆ_ｑ(ｘ)

＝(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ),および,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|ｘ＞^σρ

＝(2π)^-3(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊

exp(iｋ₁ｘ)exp(iｋ₂ｘ) です。

そこで,Ｓ行列要素:Ｓ_ｆi＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

を,このｘ表示で書けば,未知の因子を

Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)として,Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-9/2

(2ｑ⁰)^-1/2exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}

(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)

なる形に書けるはずです。

そこで,(2π)^-1/2(2ｑ⁰)^-1/24ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2

ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)が,ｆ_ｑ(ｘ)

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

のFourier変換(運動量表示)になっています。

それ故,(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊(2π)×

Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)がが,Ｓ行列要素の,運動量表示

ｆ_ｑ(ｘ)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|

(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞から,|π₀;;in＞から,波動関数

ｆ_ｑ(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ)

を除いた因子である

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)_qπ^0ｒ|0＞

のFourier変換(運動量表示になっている

と考えられます。

そこで,Ｓ_ｆi＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)(□＋μ²)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ|0＞

の被積分関数を[(2π)^-9/2(2ｑ⁰)^-1/2

exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}

(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)と書いて,

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-9/2(2ｑ⁰)^-1/2

exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2

ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)の被積分関数

と等置すれば,(2π)Ｓ_σΡ(ｋ₁,ｋ₂,:ｑ)

＝ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)　となります。

今回は,ここで終わります。(つづく)