物理学の哲学(12)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

チョッと間があきましたが,前回の記事までで,

場の理論のσ模型を用いて軸性ベクトルカレント

の一般的な４次元発散に対するPCAC(部分的保存

の)式:∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒ＋(アノマリー項)

を見出し,これを利用して中性のπ⁰中間子

の崩壊:π⁰→2γの崩壊率:1/τの予測計算

をすることが,可能となりました。

しかし,唐突にσ模型という場理論の模型

を提示されて,この系のカイラル対称性を仮定

した軸性ベクトルカレントが,現実のπ中間子

の場に関連すると書かれていた,ここまで参照

してきた1975年の学生時代から読んでいた論文

「Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory；(1970 Brandeis

University Summer Institute in Theoretical

 Physics)Volume!.」」に基づいて,ほぼそれに

忠実に過去記事も現在の記事も議論をたどって

記述してきましたが,実のところ,私には以前

から,急にこのσ模型なるモノが出てくる根拠

がよく理解できていませんでした。

そこで,ここからは,恐らくσ模型の原型である

だろうと思われた「南部-Jonalashino模型」に

ついて,考察してみます。

そのため,まず,本ブログの2017年８月末頃

にアップした過去記事「対称性の自発的破れと

南部-Goldostone粒子」のシリーズから必要部分

を再掲引用しながら,記述します。

さて,対称性の自発的破れを起こす例としては

まず,「南部-Goldstone模型」があります

これは系のLagrangian密度が,

Ｌ＝∂_μφ^＊∂^μφ＋μ²φ^＊φ－(λ/2)(φ^＊φ)²

で与えられる模型で,単一の複素スカラー場:φ

のφ⁴-相互作用系であり,ただし,質量項:(μ²φ^＊Φ)

の符号が通常粒子のそれと逆であるのが,通常の系

との本質的な違いになっています。

それ故,通常の＜0|φ(ｘ)|0＞＝0を満たす真空:

|0＞の上では,φの場の励起モードは,負の２乗質量:

－μ²(＜0(虚数質量:±iμ)を持つ,いわゆるタキオン

(Takiyon)となります。

ここでは,これよりは自明でない例として,

「南部-Jonalashino模型」(略してＮＪ模型)を

考察します。

「南部-Jonalashino模型」のLagrangian密度

Ｌは,Ｌ＝Ψ~iγ^μ∂_μΨ＋(Ｇ/Ｎ)[(Ψ~Ψ)²

＋(Ψ~iγ⁵Ψ)²]で与えられます。

ここでは,以下の近似の意味を明確にするため,

Fermion場:ΨはＮ個のDirac場:ψ_i(ｉ＝1…Ｎ)

のＳＵ(Ｎ)変換群の基本表現を示す列ベクトルで

あるとします。すなわち,Ψ＝[ψ₁,..ψ_Ｎ]^Ｔとします。

そして,Ψ~ΓΨ＝Σ_j=1^Ｎψ_j~Γψ_jと規約します。

元々のＮＪ模型は.Ｎ＝1の単純な模型でした。

※「南部-Goldsyone粒子」関係のブログ過去記事の

シリーズをアップしたたのは,2017年頃(67歳の頃)

ですが,この「対称性の自発的破れ」について勉強

していたのは参考ノートによると1990年代(40歳代)

の頃で,確かそのときに1975年前後の学生時代に量子

アノマリーについて記述していた論文中で,出会った

σ模型というのは,これが元になっているのでは？

と思ったのでした。

この関連の過去記事では,Ｎ-Fermion系なのに,

Ｎ＝1の1-パラメータθの位相変換群:Ｕ(1)の変換::

Ψ→ exp(－iθ)Ψ,および,カイラルＵ(1)変換:

Ψ→ exp(－iγ⁵θ)Ψの下での不変性を論じていた

のですが,ここでは,θをＮ-パラメータのベクトル

θ＝(θ₁,.,.θ_Ｎ)に,一般化したＳＵ(Ｎ)のゲージ

変換:Ψ→ exp(－iθ)Ψ,および,カイラルＳＵ(Ｎ)

ゲージ変換:Ψ→ exp(－iγ⁵θ)Ψを考えることに

します。こうすれば,Ｎ＝２のアイソスピンＳＵ(2)

不変性や,(ｐ,ｎ,λ)の３クォークを仮定したＮ＝３

のフレイバーＳＵ(3)不変な,Ｎ-Fermion系のσ模型

に対応することになる。と思います。

そして,ＳＵ(Ｎ)×ＳＵ(Ｎ)対称性群のうち,

カイラル対称性のＳＵ(Ｎ)不変性が成立するには

Ｌに,(－ｍΨ~Ψ)(ｍはゼロでない固有値を持つ

質量行列)のようなFermionの質量項が存在しない,

という必要があります。

そこで,系の動力学により.Fermopnの質量項が

出現して,その結果,カイラルＳＵ(Ｎ)対称性のみ

が,自発的に破れる可能性を調べます。

これは,系における４次のFermion相互作用項

(Ｇ/Ｎ)(Ψ~Ψ)²の形を考慮すると,複合場(Ψ~Ψ)

がゼロでない真空期待値:すなわち,＜0|Ψ~Ψ|0＞

＝－{Ｎ/(2Ｇ)}ｍ ≠0 を実現するなら,(－ｍΨ~Ψ)

の質量項を獲得した,という解釈で,可能になると期待

されます。つまり,Ψ~Ψ＝Ψ^~Ψ^－{Ｎ/(2Ｇ)}ｍと

置くことができれば,この,新たなΨ^については,真空

期待値が,＜0|Ψ^~Ψ^|0＞＝0 と無矛盾となり,この

Ψ~Ψ＝Ψ^~Ψ^－{Ｎ/(2Ｇ)}ｍを満たすΨ^を,改めて

Ψと定義し直せば,質量項(－ｍ(Ψ~Ψ)が出現した。と

解釈できるわけです。

このとき,Ψ→ exp(－iγ⁵θ)Ψ に対する(Ψ~Ψ),

および,(Ψ~iiγ⁵Ψ)の変換則は,それぞれ,(Ψ~Ψ)

→(Ψ~Ψ)cos(2θ)－(Ψ~iγ⁵Ψ)sin(2θ),および,

(Ψ~iγ⁵Ψ)→ (Ψ~Ψ)sin(2θ)＋(Ψ~iγ⁵Ψ)cos(2θ)

です。そして,カイラルカレント:ｊ^5μ＝Ψ~γ^μγ⁵Ψ

によるカイラルチャージ:Ｑ⁵＝∫ｄ³ｘｊ⁵⁰(ｘ) により,

[iＱ⁵,Ψ~(ｘ)iγ⁵Ψ(ｘ)]

＝∫ｄ³ｙ[ｊ⁵⁰(ｙ),Ψ~(ｘ)iγ⁵Ψ(ｘ)]

＝2Ψ~(ｘ)Ψ(ｘ)なる交換関係が得られます。

何故なら,θ＝ε＞0が無限小カイラル変換:Ｕ(ε)

＝exp(－iγ₅ε)＝1－iγ⁵εの場合を想定すると,,

Ψ→Ψ＋δΨ＝Ｕ(ε)Ψ, δΨ＝－iγ⁵εΨなので,

(Ψ~Ψ)→ (Ψ~Ψ)－2ε(Ψ~iγ⁵Ψ),かつ,

(Ψ~iγ⁵Ψ)→(Ψ~iγ⁵Ψ)＋ 2ε(Ψ~Ψ)であり,

[iεＱ⁵,Ψ~(ｘ)iγ⁵Ψ(ｘ)]＝2εΨ~(ｘ)Ψ(ｘ)

となるからです。　

それ故,＜0|Ψ~Ψ|0＞がゼロでないのは,カイラル

チャージ:Ｑ⁵が矛盾なく定義できる対称性が,自発的

に破れていることを意味します。

そして,これは「南部-Goldstoneの定理」から,

カイラルＳＵ(Ｎ)の破れに対応する擬スカラーの

複合場:(Ψ~iγ⁵Ψ)のチャネルに,(Ｎ²－1)個の

擬スカラーの南部-Goldstoneボソン,略して

ＮＧボソンが現われることを意味します。

この,元のLagrangian密度の中には「素Heisenberg場」

のみでＮＧボソンは粒子場としてて用意されていないので

動力学的にＬに結合状態として供給される必要があります。

そこで,この問題を扱うには,補助場の方法と呼ばれる

技法を用います。

まず,Grassman数の外場:η,η~を導入して系の

FermionのGreen関数の生成汎関数を,経路積分の

形で,Ｚ[η,η~]

＝∫ＤΨＤΨ~[expi∫ｄ⁴ｘ{Ｌ＋η~Ψ＋ηΨ~}]

によって与えます。

これの意味は,Ｚは係数がGreen関数:Ｇ^(ｍ,ｎ)の

η,η~のベキ級数の和である。ということです。

つまり,仮にＺが１外場変数:ηのみの関数なら,

それをηでｎ回微分してη＝0と置いたものが

ｎ点Greenn関数:Ｇ⁽ⁿ⁾を与えるえるあるような

汎関数であり,Ｚ[η,η~]は,さらに２変数に拡張

したものです。これにGauss積分の1を表わす因子:

1＝∫Ｄσ~Ｄπ~[expi∫ｄ⁴ｘ

[－{Ｎ/(2λ){σ~²＋π~²}]を挿入して、さらに

積分変数:σ~(ｘ),π~(ｘ)を次のようにσ(ｘ),

π(ｘ)に変数置換します。

すなわち,σ~＝σ＋(λ/Ｎ)(Ψ~Ψ),および,

π~＝π＋(λ/Ｎ)(Ψ~iγ₅Ψ)とします。

すると,この変換で積分測度は不変:つまり

Ｄσ~Ｄπ~＝ＤσＤπです。

故に,Ｚ[η,η~]＝∫ＤΨＤΨ~ＤσＤπ

[expi∫ｄ⁴ｘ{Ｌ_Ｙ(Ψ,Ψ~,σ,π)＋η~Ψ＋ηΨ~}

なる表現相木が得られます。

ただし,Ｌ_Ｙ(Ψ,Ψ~,σ,π)

＝Ψ~iγ^μ∂_μΨ＋(Ｇ/Ｎ)(Ψ~Ψ)²

＋(Ｇ/Ｎ)(Ψ~iγ⁵Ψ)²－{Ｎ/(2λ)}(σ²＋π²)

－{λ/(2Ｎ)}(Ψ~Ψを)²－{λ/(2Ｎ)}(Ψ~iγ⁵Ψ)

です。このＬ_Ｙを湯川Lagrangianと呼べば,これに

対するσ,πについてのEuler-Lagrange方程式は,

σ＝－(λ/Ｎ)(Ψ~Ψ),および

π＝－(λ/Ｎ)(Ψ~iγ⁵Ψ)という式ｍになり,

これらをＬ_Ｙに代入し返すと,元のＬに帰着するため

LとＬ_Ｙが等価なことが確かめられます。

Ｌ_Ｙにおいて,特に,Ｎ＝1としてΨをψと記すと,

このとき,Ｌ_Ｙ＝ψ~iγ^μ∂_μψ＋Ｇ(ψ~ψ)

＋Ｇ(ψ~iγ⁵ψ)²－{1/(2λ)}(σ²＋π²)

－{λ/(2)}(ψ~ψ)²－{λ/(2)}(ψ~iγ⁵ψ)²

－Ｇψ~(σ＋iγ⁵π)ψとなります、

さらに,補助場:σ＝－(ψ~ψ,).π＝－λ(ψ~iγ⁵ψ)

を導入して,代入すると,

Ｌ_Ｙ＝ψ~iγ^μ∂_μψ－Ｇψ~(σ＋iγ⁵π)ψ

＋(Ｇ/λ²)(σ²＋π²)－{1/(2λ³)}(σ²＋π²)

－({1//(2λ)}(σ²＋π²)　と書けます。

ところが一方,素朴なＮ＝1のσ模型は,次のLagrangian

密度Ｌを持ちます。これは,陽子ｐのスピノル場:ψ(ｘ)

中性π⁰中間子の場:π(ｘ),および,スカラー中間子の場

σ(ｘ)のみを含む単純な系のそれです。すなわち,

Ｌ＝ψ~{iγ^μ∂_μψ－Ｇ₀ψ~(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ⁵)}ψ

＋λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²}

＋(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²)

＋(1/2){(∂π)²＋(∂σ)²}－(μ₁²/2)(π²＋σ²)

です。

このσ模型のＬの表式と,先のＮ＝1の

「南部-jonalashino模型」でのＬ_Ｙを比較して

類似点,相違点を見てみます。

まず,「南部-Jonalashino模型」は自発的破れが

生じる前には正確にカイラル対称性を持っている系

なので,元々,Fermion場:ψの質量項がない系である

としていますが,σ模型の実際の核子(ｐ,ｎ)のような

Fermionには裸の質量:ｍ₀≠0があり,ｍ₀＝Ｇ₀/ｇ₀と

置けば,質量項:－ｍ₀ψ~ψ＝－Ｇ₀ｇ₀^-1ψ~ψが存在する

はずです。

「南部-Jonalashino模型」のＬ_Ｙの第1行は,

[ψ~iγ^μ∂_μψ－Ｇψ~(σ＋iγ⁵π)ψ]ですが,

これに,この質量項を加えると,

[ψ~iγ^μ∂_μψ－ψ~Ｇ(ｇ₀^-1＋σ＋iγ⁵π)ψ]

となって,σ模型のＬの第1行と一致します。

第２行以下の,σ,πの相互作用項は,σ模型の

項の方が複雑で,明らかに両者一致はしませんが

重要な共通点があります。

先のGreen関数の生成汎関数を再掲すると,

Ｚ[η,η~]＝∫ＤΨＤΨ~ＤσＤπ

[expi∫ｄ⁴ｘ{Ｌ_Ｙ(Ψ,Ψ~,σ,π)＋η~Ψ＋ηΨ~}

ですが,これで先にＤηＤη~積分を実行したものを

単にＺと書き,これをσ,πの1粒子既約グラフの総和

として,Legendre変換で変数を外場からσ,πに変換

したもの,または,摂動展開した項の(ｈ_ｃ）^ｎのオーダー

のｎ次の展開係数の運動量表示がｎ点頂点関数:Γ^(ｎ)

となる有効作用:Γ[σ,π]から,時間ｔへの依存性を

はずした有効ポテンシャル:Ｖ[σ,π]を比較します。

これは,もはや演算子の関数ではなく期待値の関数

を意味します。

有効ポテンシャルについて上に,複雑な定義を

書きましたが,要するに力学の系のLagrangian

が,Ｌ＝Ｔ－Ｖと表現されるときの運動項を除く

相互作用ポテンシャル:Ｖを,量子論的に述べただけ

です。そこで,σ模型のＬと,南部-Jonalashino模型

のＬ_Ｙでは,Ｖ[σ,π]は(σ,π)平面上の回転体で

あり,ワイン瓶底状の形で,結合係数λが大きくなる

と,(σ,π)＝(0,0)以外に,Ｖ[σ,π]が停留置を取る

(σ,π)値が存在します。特に,Ｌ_Ｙでは,π＝0のとき.

σ＝σ₀≠0に最小値があります。

そして,Ｖ[σ₀,0]＜Ｖ[0,0]が成立するため,対称で

あったσ＝0の真空(基底準位)が新たな真空に相転移

する,「対称性の自発的破れ」が生じるわけです。

これが,σ模型と南部-Jonalaxhino模型の両者の

有効ポテンシャルＶが持つ,共通の性質です。

ただし,実際は「南部pJpnalashino模型」は,

場の演算子σが当然,満たすべき,＜0｜σ|0＞＝0

という真空の対称性条件が破れ,＜0|σ|0＞＝σ₀＜0

となることから＜0|ψ~ψ|0＞＝－σ₀/λ＞0の質量項

が出現してカイラル不変性が破れるのでしたが.σ模型

では,元々,∂_μｊ^5μ＝－μ₁²ｇ₀-¹πのPCAC式しか成立

せず,カイラル対称性を持たない系です。

σ模型は,あらゆる次数までで,＜0|σ|0＞＝0となる

ように,模型が全体に平行移動された形式を選択している

からです。つまり,σ模型は「南部-Jonalashino模型」

の系のカイラル対称性が破れた結果として得られる系

であると解釈されます。

※これで,後,残る問題は対称性が破れた時点では,

πがゼロ質量のＮＧ・擬スカラーボソンに対応して

おたはずなのに,実際は135～140MeＶのゼロでない

観測質量μを持つ粒子となるに至った,メカニズム

を解明するだけです。しかし,キリもいいし,この

問題は,次回に譲って,今回はここまでにします。(つ