物理学の哲学(14)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

前回記事までで,スピノル場の軸性ベクトル

カレントの４次元発散の部分的保存(PCAC)関係

に２光子頂点と軸性頂点の三角グラフの寄与の

評価から出現する量子アノマリーの存在が確認

され,その値を「低エネルギー定理」で評価した後

場の理論のσ模型へと一般化することから,π⁰→2γ

崩壊の崩壊率(1/τ)が,そのσ模型の三角アノマリー

の寄与として予測計算が可能であるということを

見出しました。

この天下り的に与えられたように見えるσ模型が

実は,最初は対称性を持っていて,やがてそれが自発的

に破れる「南部Jonalashino模型」の(アイソスピン)

カイラル対称性の破れによって,得られる系であり,

さらに,π⁰中間子は,その対称性の破れに伴って出現

したゼロ質量の擬スカラー・ＮＧボソンと同定される

π中間子の1つ,中性のそれであって,局所ゲージ対称性

の破れに伴う「Higgs機構」で現実の質量を獲得した

粒子である,というストーリーが,一応,完結しました。

ただ,心残りは,参考に用いた弱い相互作用の扱いが,

古いFermiの現象論であることで,弱ゲージ粒子の媒介

する電弱理論ではないことですが,これについては,深入

りせず,またの機会に譲ることにしました。

しかし,最初,私が25～26歳(1975～1976年)の学生時代

に興味を持ち,それから15年間の普通のサラリーマン生活

を経て,42歳でクビとなり,フリーターになったのを機会に

40歳代での暇な時間に,主に物理学や数学の勉強を再開して

ここまで到達した結果の1つが,これまでのシリーズ記事

の内容ですが,学生時代に特に着目していたのは.このブロ

グ記事シリーズの最初の副題(止まると死ぬ)というテ－マ

の端緒となった問題でした。

これについては,詳しい記述を追加したいと考えますが

実は,この課題も既に,本ブログの2017年にアップした過去

記事：「摂動論のアノマリー(9)」で詳述しています。

そこで,これを再掲記事としてアップし,現在,気になる部分

を修正し追加することで,お茶を濁して今回の記事とします。

この注目の問題とは,「アノマリーの座標空間での計算」

に関わる記述です。

※ 以下,再掲記事です。

さて,これまでは,運動量空間での扱いが主でしたが,

ここまでの考察から.ア,ノマリーを含む,座標空間での

PCAC式:∂_μｊ^5μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρが成立して,

最後のアノマリー項も単純な形で表わされることが,

わかりました。

この事実は,座標空間でのアノマリーの導出と,

その解釈が可能であることを示唆しています。

座標空間での論議を進めるに当たり,光子について

は量子化されてないｃ数の電磁場の半古典論に話を

限り,軸性ベクトルカレント:ｊ^8μが場:ψ~とψが

離れた２時空点にある場の積という非局所カレント

((bilocal current)の形の局所極限である。と見なす

ことにします。つまり,軸性カレントは.ｊ^8μ(ｘ)

＝lim_ε→0ｊ^5μ(x,ε)で与えられるとするわけです。

ただし,ｊ^5μ(ｘ,ε)

＝ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}　です。

ここで,右辺の最後の指数関数因子内の

積分:∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)は,線積分:

∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξ_λＡ^λ(ξ)を意味します。

そして因子:exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}は

局所ゲージ変換:ψ(ｘ)→ exp{－iｅ₀Λ(ｘ)}ψ(ｘ),

かつ.Ａ^μ(ｘ)→Ａ^μ(ｘ)＋∂^μΛ(ｘ)の下でのｊ^5μの

不変性を保証するために,必要な因子です。

この指数関数因子を,微小な正の数εの1次の

オーダーまで展開し,さらに,運動方程式を用いて

ｊ^5μの４次元発散を計算します。

まず,ｊ^5μ(ｘ,ε)のεによる展開は,

ｊ^５μ(x,ε)＝ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×{1－iｅ₀ε_λＡ^λ(ｘ)}＋(εの２次以上の微小項)

となります、

そこで,∂^μｊ^5μ(ｘ,ε)

＝ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×[－iｅ₀ε_λ∂^μＡ^λ(ｘ)

－iｅ₀{Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μ(ｘ－ε/2)}]

＋2iｍ₀ｊ⁵(ｘ,ε)＋(εの2次以上の微小項)

となります。

結局,∂_μｊ^5μ(x,ε)

＝ｊ^5μ(ｘ,ε)ｅ₀ε_λＦ^μλ(ｘ)＋2iｍ₀ｊ⁵(ｘ,ε)

＋(εの2次以上の微小項)という式が得られます。

※(注1):この結果は,電磁場:Ａ^μ(ｘ)が線積分に

おいて,経路依存であるために得られるもので,

しかも積分路が直線分であることが,本質的な意味

を持っています。

以下に,これの厳密で詳細な計算を書き下します。

すなわち,∂_μｊ^5μ(x,ε)

＝{∂_μψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

＋ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵∂_μψ(ｘ－ε/2)}

×exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}

＋ψ~(ｘ＋ε/2)γ⁵γ^μψ(ｘ－ε/2)

∂_μexp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}

です。

ここでDiracの運動方程式:

(iγ^μ∂_μ－ｅ₀γ^μＡ_μ－ｍ₀)ψ(ｘ)＝0

を用いると,γ^μ∂_μψ(ｘ)＝－iｍ₀ψ(ｘ)

－iｅ₀γ^μＡ_μ(ｘ)ψ(ｘ),かつ,

∂_μψ~(ｘ)γ^μ＝iｍ₀ψ~(ｘ)

＋iｅ₀ψ~(ｘ)γ^μＡ_μ(ｘ)　です。

故に,∂_μψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

＝iｍ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ⁵ψ(ｘ－ε/2)

＋iｅ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×Ａ^μ(ｘ＋ε/2),かつ,

ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵∂_μψ(ｘ－ε/2)

＝iｍ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ⁵ψ(ｘ－ε/2)

－iｅ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×Ａ_μ(ｘ－ε/2)　です。

そこで,[ψ~(ｘ＋ε/2)γ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}｝

をｊ⁵(ｘ,ε)と定義すれば,

∂_μｊ^5μ(x,ε)＝2iｍ₀ｊ⁵(x,ε)

＋iｅ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×{Ａ_μ(ｘ＋ε/2)－Ａ_μ(ｘ－ε/2)

－∂_μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}　となります。

それ故,もしも,∫^{ｘ-ε/2ｘ＋+/2}ｄξＡ(ξ)が積分

経路に独立な関数なら,最後の{　}の因子はゼロ

となることを示します。

すなわち,まず,∂_μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)

＝lim_ｈ→0

{∫_{ｘ＋ｇλμｈ－ελ/2-ε/2}^{ｘ＋ｇλμｈ＋ελ/2}－∫_ｘ－ε/2^ｘ＋+/2}

ｄξＡ(ξ)]/ｈ

＝Ａ_μ(ｘ＋ε/2)－Ａ_μ(ｘ－ε/2)が成立します。,

最右辺は.電磁場:Ａ_μが連続関数なのでε→0の

極限では,ゼロとなります。

そこで,もしも,∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ_μ(ξ)が積分経路

に独立なら,∂_μｊ^5μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)が成立づるわけ

です、これは,ベクトル解析のStokesの定理によれば,

Ａ^μの4次元回転::rot^ν(Ａ^μ)＝∂^νＡ^μ－∂^μＡ^ν

が,全てゼロの渦なしのポテンシャル場(保存力場)で

あるなら,スカラー場:φが存在してＡ_μ＝－∂_μφと

表現できる場合に相当します。

しかし,電磁場が静電場でないなら,ゼロでない

rot^ν(Ａ^μ)＝Ｆ_νμが存在して,それらが電磁場の強さ

である電場:Ｅと,磁場:Ｂを表わすことは,電磁気学で

よく知られた事実です。

そこで積分は経路に依存するので,線積分の積分路

を特に直線分:ｌ^α＝{ｌ^α(τ):ｌ^α(τ)

＝ｌ^α(0)＋ε^ατ,ｌ^α(0)＝ｘ^α－ε^α/2,(0≦τ≦1)}と

選択すると,∫_ｘ－ε/2 ^ｘ＋ε/2ｄξＡ(ξ)

＝ε_ν∫₀¹ｄτＡ^ν(ｌ(τ)) となります。

また,積分路を直線分:Ｌ^α＝{Ｌ^α(τ):Ｌ^α(τ)

＝Ｌ^α(0)＋ε^ατ,Ｌ^α(0)＝ｘ^α－δ^αμΔｘ－ε^α/2,

(0≦τ≦1)} と選択すると.

∫_{ｘ＋Δｘ－ε/2}^{ｘ＋Δｘ＋ε/2}ｄξＡ(ξ)

＝ε_ν∫₀¹ｄτＡ_ν(Ｌ(τ))

∂_μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)

＝lim_Δｘ→0(ε^ν/Δｘ)[∫₀¹ｄτＡ_ν(Ｌ(τ))

－∫₀¹ｄτＡ_ν(ｌ(τ))]

＝lim_Δｘ→0(ε^ν[∫₀¹ｄτ[{Ａ_ν(Ｌ(τ))－Ａ_ν(ｌ(τ))

/{Ｌ(τ)－ｌ(τ)}]＝ε_ν∂^μＡ^ν＋ε_νＯ(ε),です。

一方,Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μ(ｘ－ε/2)

＝ε_ν∂^νＡ^μ＋Ｏ(ε),

Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μ(ｘ－ε/2)

－∂^μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)

＝ε_ν{∂^νＡ^μ(ｘ)－∂^μＡ^ν(ｘ)}＋ε_νＯ(ε)

を得ます。

以上から,式:∂_μｊ^5μ(ｘ,ε)

＝ｊ^5μ(ｘ,ε)iｅ₀ε_λＦ^μλ(ｘ)＋2iｍ₀ｊ⁵(ｘ,ε)

＋Ｏ(ε²)が確かに得られました。(注1終わり※)

この式の真空期待値を取ると,単一の閉ループ

を通して,軸性ベクトルカレントがｃ数の任意個

の光子外場とcoupleする相互作用を記述する

生成汎関数の発散方程式を得ます。

すなわち,∂_μ＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)|0＞

＝iｅ₀＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)

＋2iｍ₀＜0|ｊ⁵(ｘ,ε)|0＞＋Ｏ(ε²)　です。

この右辺の第1項は,形式的にはεのオーダー

であり,「摂動論のアノマリー(4)」において,

∂_μｊ^5μ(ｘ)

＝ψ~(ｘ){iｍ₀＋iｅ₀γ^μＡ_μ(ｘ)}γ⁵ψ(ｘ)

＋ψ~(ｘ)γ₅{iｍ₀＋iｅ₀γ^μＡ_μ(ｘ)}ψ(ｘ)

＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ),ｊ⁵(ｘ)≡ψ~(ｘ)γ₅ψ(ｘ)

として.素朴にＷＴ恒等式を導出したときには

無視されるべきものでした。

しかし,摂動グラフとしての注意深い計算に

よれば,＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)|0＞は,ε→＋0 のとき

ε^-1のオーダーで発散し,それ故,実際には右辺の

第１項の＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)ε_λ|0＞の因子は,有限な

寄与をします。

詳細計算を実行すると,

iｅ₀＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)

＝{α₀/(4π)}ε_μλξηＦ^μλ(ｘ)Ｆ^ξτ(ｘ)＋Ｏ(ε)

となって,先の(アノマリーを含むPCAC式の真空

期待値に一致します。

長くなったので,以下は次の記事にします。

(つづく)