物理学の哲学(13)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

余談は抜きで即本文です。

　前回の記事の最後では,

※この後,残っている問題は,カイラル対称性の自発的

破れによって,出現する擬スカラ－の零質量ＮＧボソン

と同定される粒子場:πが現実の135～140 MeＶ程度の

ゼロでない観測質量を持つπ中間子であるため,には,

質量を獲得する必要があり,この質量を得るに至る

メカニズムを解明することだけです。

という内容のことを書きました。

この最後の課題自体が,大きなテーマの一つなので

質量獲得に関連する「Higgs現象」について

詳述した本ブログの過去記事「対称性の自発的破れと南部

-Goldstone粒子(12)」の全文を,不要部分を削除し修正

して再掲載します。

※以下は再掲の過去記事です。

素粒子論は,少なくともPoincare’不変性,(つまり,

並進,および,Lorentz不変性)を満たす理論ですから,

対称性の自発的破れが起これば,「南部-Goldstone

の定理」が常に適用できるはずです。

しかし,現実において厳密にゼロ質量の粒子として

観測されている素粒子は,光子とニュートリノ？くらい

しか存在しません。(※今までは発見されていません。)

光子や(未発見の)重力子(graviton)などは力を媒介

するゲージ粒子場として記述される。とされています。

確かに,光子,重力子は,それぞれ,ベクトル粒子,テンソル

粒子であり,対称性の自発的破れに伴なうＮＧボソンと

して理解されています。

しかし,ニュートリノについては。スピノル対称性

(超対称性)に対応するＮＧフェルミオンと考えると.

低エネルギー定理の予言と矛盾する,ことが確かめられ,

ＮＧフェルミオンなどというモノではなさそうです。

(※事実,厳密にはゼロ質量ではないことの証拠とされる

「ニュートリノ振動」という現象が確認されています。)

また,「近似的に」ゼロ質量の粒子としてはπ中間子が

存在します。実際,南部-JonaLasinoが素粒子論において

初めて対称性の自発的破れの概念を提唱し,ＮＧボソンで

あると指摘したのは,π中間子でした。

実際,π中間子が近似的カイラル対称性の自発的破れに

対応するＮＧボソンであることは,その後の1960年代の10

年間に、カレント代数,低エネルギー定理などの多くの成功

により確かめられ,強い相互作用の解明に多くの寄与を

しました。

では,この零質量ＮＧボソンの希少性は,対称性の自発的

破れが,現実には比較的稀な現象であることを意味している

のでしょうか？

答は否です。実は,「ゲージ理論の場合には対称性の自発的

破れと,観測される零質量ＮＧボソンの間に1対1対応が成立

しない。」というのが,真なのです。

ゲージ理論において,共変ゲージの場合には,もちろん,

対称性が自発的に破れれば,零質量ＮＧ粒子が出現します

が,「南部-Goldstoneの定理」は,その出現するＮＧ粒子

が,「正定値計量を持った物理的粒子」であることを主張

していません。

そして,もしも,それが「不定計量」を持ち,ＢＲＳ不変

でないモードであれば,物理的状態空間;Ｖ_physでは.観測に

かからないことになります。

他方,Coulombゲージ;∇Ａ＝0 や,時間的軸性ゲージ

Ａ⁰＝0などの「非共変ゲージ」の場合は,正定値計量です

から粒子は観測にかかる粒子のはずですが,今度は

「南部-Goldstoneの定理」に要求される明白なLorentz

共変性の仮定が,元から破れているため,,必ずしも対称性

の自発的破れに伴なってＮＧ粒子が出現するとは限らない

からです。こうした可能性は,Higgs-Kibbleらにより初めて

指摘されました。

このことを,具体的に示す最も簡単な模型は,

「Goldstone模型」のＵ(1)対称性をゲージ化して,電磁場

を導入する「Higgs模型」です。

これより前に,対称性の自発的破れを起こす最も単純な例

として「南部-Goldstone模型」を紹介しましたが,これは

系のLagrangian密度:Ｌが次式:,

Ｌ＝∂_μφ^＊∂^μφ＋μ²φ^＊φ－(λ/2)(φ^＊φ)²

で与えられる模型でした。

この系での荷電スカラー粒子の複素場,φ,φ^＊の組を,

２成分のφ＝[φ₁,φ₂]とφ^＋で記述し,さらに電磁場Ａ^μ

も共存する,ここでの出発点となる系のLagrangian密度

を,Ｌ＝(－1/4)Ｆ_μνＦ^μν＋(Ｄ_μφ)^＋Ｄ^μφ＋μ²φ^＋φ

－(λ/2)(φ^＋φ)² としたモノを考察します。

ただし,Ｆ_μν＝(∂^μＡ_ν－∂_νＡ_μ)とします。またＤ_μ

は共変微分で,Ｄ_μφ＝(∂_μ－iｅＡ_μ)φと定義されます。

このとき,単純な「南部-Goldstone模型」の場合と同様

ここでも,treeグラフのレベルで,場:φについて,

＜0|φ(ｘ)|0＞＝ｖ/√2＝(μ²/λ)^1/2となって,ゼロでない

真空期待値を生じます。

ここで,便宜上,複素場:φ(ｘ)のシフトをφ(ｘ)

＝{ｖ＋ψ(ｘ)＋iχ(ｘ)}/√2,(ただしψ(ｘ),χ(ｘ)

は真空期待値がゼロの実スカラー場)としたものから,

変更して,極分解と呼ばれる次の形に取ります。

すなわち,φ(ｘ)

＝{ｖ＋ρ(ｘ)}exp{iπ(ｘ)/ｖ}/√2,です。

ここで,ρ(ｘ)は真空期待値がゼロの実スカラー場,

であり,位相部分:exp{iπ(ｘ)/ｖ}は,Ｇ/Ｈの

非線型表現のＮＧボソン場パラメータ化として,

ξ(π)＝exp{iπ(ｘ)/ｆ}；π(ｘ)

＝Σ_{a∈(Ｇ－Ｈ)}π^a(ｘ)Ｘ^aとした,ξ(π)の

今のＧ/Ｈ＝Ｕ(1)/{1}に対応するものです。

このとき,φの運動項は,

Ｄ_μφ＝(∂_μ－iｅＡ_μ)[(ｖ＋ρ)exp(iπ/ｖ)/√2

＝exp(iπ/ｖ)[∂_μ－iｅ{Ａ_μ－∂_μπ/(ｅｖ)(ｖ＋ρ)

/√2なので,(Ｄ_μφ)^＋＝exp(－iπ/ｖ)

{∂_μ＋iｅ{Ａ_μ－∂_μπ/(ｅｖ)}(ｖ＋ρ)]/√2

です。それ故,(Ｄ_μφ)^＋Ｄ^μφ＝(1/2)∂_μρ∂^μρ

＋(1/2)ｅ²(ρ＋ｖ)²{Ａ_μ－∂_μπ/(ｅｖ)}

{Ａ^μ－∂^μπ/(ｅｖ)}　です。

そこで,φ^＋φ＝(1/2)(ρ＋ｖ)²より,

μ²φ^＋φ－(λ/2)(φ^＋φ)²

＝(μ²/2)(ρ＋ｖ)²－(λ/8)(ρ＋ｖ)⁴

＝(μ²/2)ρ²＋(μ²/2)ｖ²＋μ²ｖρ

－(λ/8)(ρ⁴＋4ｖρ³＋6ｖ²ρ²＋4ｖ³ρ＋ｖ⁴)

＝(μ²/2－3λｖ²/４)ρ²－(λ/8)ρ⁴

－(λｖ/2)ρ³＋(μ²ｖ－λｖ³/2)ρ－Ｖ₀[ｖ/√2]

です。ただし,－Ｖ₀[ｖ/√2]

＝(1/2)μ²ｖ²－(λ/8)ｖ⁴です。

ｖ＝(2μ²/λ)^1/2＝|μ|(2/λ)^1/2なら

μ²ｖ－λｖ³/2＝0で,μ²/2－3λｖ²/４＝－μ²より,

ｍ²＝2μ²＝λｖ²とし,Ｍ＝ｅｖ＝|μ|(2ｅ²/λ)^1/2

とおけば,Ｌ＝(－1/4)Ｆ_μν²

＋(1/2)Ｍ²{(1＋ｅρ/Ｍ)²{Ａ_μ－Ｍ^-1(∂_μπ)}²

＋(1/2)|(∂_μρ)²－ｍ²ρ²}

－ｍ√λρ³－(λ/8)ρ⁴－Ｖ₀[ｖ/√2]です。

さらに,Ｕ_μ＝Ａ_μ－Ｍ^-1(∂_μπ)と定義します。

すると,Ｆ_μν＝∂_μＵ_ν－∂_νＵ_μなので,

Ｌ＝(－1/4)(∂_μＵ_ν－∂_νＵ_μ)²

＋(1/2)Ｍ²Ｕ_μ²(1＋ｅρ/Ｍ)²＋(ρ場の項)

となり,π(ｘ)は完全に姿を消します。

しかも,ベクトル場:Ｕ_μは質量:Ｍを獲得

しています。

これを,Higgs現象(Higgs-Mechanism)と呼びます。

が,この現象を,もう少し詳しく見てみます。

まず,φ＝(ｖ＋ρ)exp(iπ/ｖ)/√2

→(ｖ＋ρ)/√2,および,Ａ_μ → Ａ_μ－Ｍ^-1∂_μπ＝Ｕ_μ

の変数変換は,ゲージパラメータ:θ(ｘ)を,ｑ数の場;

Ｍ^-1π(ｘ)と置いた.「ｑ数ゲージ変換」になっている

ことに注意します。

すなわち,零質量のベクトル場:Ａ_μが,ＮＧボソン場:

πを吸収して質量Ｍを持つベクトル場(Proca場):Ｕ_μ

になったのです。

(※Ｌ＝(－1/4)(∂_μＵ_ν－∂_νＵ_μ)²＋(1/2)Ｍ²Ｕ_μ²

で記述される有質量ベクトル場をProca場と呼びます。)

ここで,電磁相互作用を切ったとき,つまり,ｅ＝0と

したとき:ｅ≠0の物理的粒子の自由度の収支を勘定

すれば,次のようになっています。

Ｍ＝ｅｖですが,ｅ＝0では,零質量のＡ_μ(２自由度),

零質量のπ(１自由度),零質量のρ(1自由度)であった

のが,ｅ≠0では,質量ＭのＵ_μ(３自由度),質量ｍのρ

(１自由度)となっています。

スピンが1の物理的モードは零質量のときはHelicity

が±1の２自由度しかないですが,質量を得ると静止系も

存在して,モードが1,0,－1の３自由度になることで,

不足している1自由度は,ＮＧボソン場:πにより供給

されます。

ｅ≠0では,Ｌは既にゲージ不変ではなくρ(ｘ)や

Ｕ_μ(ｘ)は,いわゆるゲージが固定された場です。

それ故,ρやＵ_μのみで表わされたLagrangian密度は,

ある種のゲージ固定化がなされたものであり,通常,それ

をユニタリゲージと呼びます。

ユニタリゲージは理論の物理的内容が明白でよいの

ですが,Proca場の伝播関数

(ｇ_νν－ｋ_μｋ_ν/Ｍ²)/(ｋ²－Ｍ²)の紫外部:

ｋ→∞での挙動が悪いため,理論が,くりこみ不可能です。

そこで,くりこみ可能な共変げ－ジの同じ理論に考え

直します、

「くり込み可能共変ゲージ」の項に入ります。

複素場;φのパラメータ化として,上の極分解の代わりに,

先に「Goldstone模型」で取った分解を用います。

すなわち,φ(ｘ)＝{ｖ＋ψ(ｘ)＋iχ(ｘ)}/√2とします。

このとき,Ｄ_μφ＝(∂_μ－iｅＡ_μ)(ｖ＋ψ＋iχ)/√2

＝[∂_μψ－i{ｅＡ_μ(ｖ＋ψ)＋∂_μχ}＋ｅＡ_μχ]/√2

(Ｄ_μφ)^＋＝[∂_μψ＋i{ｅＡ_μ(ｖ＋ψ)＋∂_μχ}

＋ｅＡ_μχ]/√2より,

(Ｄ_μφ)^＋Ｄ^μφ²＝(1/2)[(∂_μψ＋ｅＡ_μχ)(∂^μψ＋ｅＡ^μχ)

＋{ｅＡ_μ(ｖ＋ψ)＋∂_μχ}{ｅＡ^μ(ｖ＋ψ)＋∂^μχ}]

＝(1/2)(∂_μψ²)²＋eＡ_μ(χ∂^μψ－ψ∂^μχ)

＋(1/2)ｅ²Ａ_μ²χ²＋(1/2)ｅ²Ａ_μ²ψ²＋(1/2)Ｍ²(Ａ_μ

＋Ｍ^-1∂_μχ)²＋ｅＭＡ_μψ(Ａ^μ－Ｍ^-1∂^μχ) です。

一方,φ^＋φ=(1/2)(ｖ＋ψ)²＋(1/2)χ²

＝(1/2)(ψ²＋χ²)＋ｖψ＋(1/2)ｖ²より,

(φ^＋φ)²＝(1/4)(ψ²＋χ²)²＋ｖ²ψ²＋(1/4)ｖ⁴

＋(1/2)ｖ²(ψ²＋χ²)＋ｖψ(ψ²＋χ²)＋ｖ³ψ

です。

μ²＝λｖ²/2,ｍ²＝2μ²ですから,ｖ＝ｍ/√λ

で,λｖ＝ｍ√λであり,μ²－(λ/2)ｖ³＝0,

－(λ/2)ｖ²ψ²＝－(1/2)ｍ²ψ²です。

それ故,μ²φ^＋φ－(λ/2)(φ^＋φ)²

＝－(1/2)ｍ²ψ²－(1/2)ｍ√λψ(ψ²＋χ²)

―(λ/8)(ψ²＋χ²)²―Ｖ₀[ｖ/√2] を得ます。

ただし－Ｖ₀[ｖ/√2]＝(1/2)μ²ｖ²－(λ/8)ｖ⁴)

です。

そこで,Lagrangian密度は,

Ｌ＝(－1/4)Ｆ_μν²＋(1/2)Ｍ²{Ａ_μ－Ｍ^-1(∂_μχ)}²

＋(1/2)|(∂_μψ)²－ｍ²ψ²}＋eＡ_μ(χ∂^μψ－ψ∂^μχ)

＋ｅＭＡ_μ²ψ＋(1/2)ｅ²Ａ_μ²(ψ²＋χ²)

－(1/2)ｍ√λψ(ψ²＋χ²)―(λ/8)(ψ²＋χ²)²

－Ｖ₀[ｖ/√2]　と書けます。

この時点では,ゲージ固定がなされていないので,

ゲージ固定処方に従って,このＬ＝Ｌ₀に,

Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ[ｃ~(∂^μＡ_μ＋(1/2)αＢ)]

＝Ｂ∂^μＡ_μ＋(α/2)Ｂ²＋iｃ~∂_μ∂^μｃ

を付加したものを改めてＬとします。

これは普通の共変ゲージ条件です。

この可換群:Ｕ(１)に基づくHiggs模型では,この

共変ゲージの場合,ＦＰゴースト:ｃ,ｃ~は全くの

自由場となりますから,必ずしも導入の必要はあり

ません。

上の,Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ[ｃ~(∂^μＡ_μ＋(1/2)αＢ)]

＝Ｂ∂^μＡ_μ＋(α/2)αＢ²＋iｃ~∂_μ∂^μｃ

とは別の,Ｒ_ξゲージと呼ばれる便利な共変ゲージ

があります。

まず,Lagrangian密度:Ｌ₀の第２項にゲージ場

Ａ_μとＮＧボソン場;χの遷移項:ＭＡ^μ∂_μχがある

ことに注意します。

遷移項があると場の混合が起こり面倒ですから,

ゲージ固定項をうまくとって,これを相殺すること

を考えます。

複素場:φ(ｘ)のゲージ変換:

δφ＝－ｅθ(ｘ)φ(ｘ)は,φ(ｘ)

＝{ｖ＋ψ(ｘ)＋iχ(ｘ)}/√2 により,

２成分の場(ψ(ｘ),χ(ｘ))に対して,

δψ＝－ｅθ(ｘ)χ(ｘ),

δχ＝－ｅθ(ｘ){ｖ＋ψ(ｘ)}

と分解されます。

ところが,ＢＲＳ変換:δ_Ｂはこの式で

θ(ｘ)→ ｃ(ｘ)(ＦＰゴースト場)とするものです。

ゲ－ジ固定項を次のようにとります。

Ｌ^Ｒξ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ[ｃ~(∂^μＡ_μ＋αＭχ

＋(1/2)αＢ)]＝Ｂ(∂^μＡ_μ＋αＭχ)

＋(α/2)Ｂ²＋iｃ~(□＋αＭ²＋ｅαＭψ)ｃ

とします。

最後の変形では,ｅｖ＝Ｍを用いました。

ＮＬ場:ＢをGauss経路積分,または運動方程式

を用いて消去します。Ｌ＝Ｌ ₀ ＋Ｌ^Ｒξ_{ＧＦ＋ＦＰ}に,

対する運動方程式:∂Ｌ/∂Ｂ＝∂^μＡ_μ＋αＭχ＋αＢ

＝0 から,Ｂ＝－(1/α)(∂^μＡ_μ＋αＭχ)より,

Ｌ^Ｒξ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－{1/(2α)}(∂^μＡ_μ＋αＭχ)²

＋iｃ~(□＋αＭ²)ｃ＋iｅαＭｃ~ｃψ　と

なります。

そこで,Ａ_μとχの交差項:Ｍχ(∂^μＡ_μ)が現われる

ため,これとＬ ₀の遷移項:ＭＡ^μ∂_μχと合わせて,

全微分項＝4次元発散項: Ｍ∂^μ(χＡ_μ)

＝ＭＡ^μ∂_μχ＋Ｍ∂^μ(χＡ_μ)となって作用積分では,

これらは落ちることになります。

このＲ_ξゲージでは,たとえ,可換群Ｕ(1)の場合でも

ＦＰゴーストがｃ~ｃψの相互作用項を持つので,

もはや落とすことはできない,というデメリットは

あります。  (再掲記事終了※)

以上,過去記事のコピーで,お茶を濁してサボりました。

これには,続きの記事(13)ｇって,まだ共変ゲージで

ＢＲＳ不変な系の対称性の的破れとＮＧボソンの考察

なこもありますが,今のゼロ質量粒子の希少性と質量獲得

の機構を理解するには,ここまでで十分です。

単純な「Doldsyone模型」で,＜0|φ(ｘ)|0＞＝ｖ/√2

≠0の真空期待値が現われて,結果,Ｕ(1)対称性の自発的

破れが生じて,Φ＝ｖ/√2＋(ψ＋iχ)}/√2 により,

＜0|ψ|0＞＝0,＜0|χ|0＞＝0を満たす無矛盾な実スカラー

場のψとχへのシフトが必要が生じ,ψの方に－/1/2）ｍ²ψ²

の,質量ｍの質量項が現われます。

そして電磁場と共存したＵ(1）局所ゲージ不変性が,

自発的に破れると,ゼロ質量ゲージ粒子の光子Ａ^μも,

質量を獲得してProva場:Ｕ^μのベクトル中間子に

なることが,上述のHiggs機構の説明で解明された

と言えます。

今回はここまでです。このシリーズも終わりに

近づきした。(つづく)