くりこみ理論第２部(1)

今日は11月11日です。

長い記事を一気にアップします。

「くりこみ理論(次元正則化)」シリーズは,2020年

８月に記事:(1)～(16)をアップして終了しました。

それらは,参考テキスト「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(九後汰一論著)の「第7章くりこみ」を.私が49歳

の1999年３/20から1999年5/7に,詳読したときの

行間埋め覚え書きの履歴のノートの内容でした。

20年以上前のノートの反芻は,老化した70歳の自分

の頭脳には,温故知新で新鮮な刺激となっています。

続いて「第８章くりこみ群と演算子積展開」から,

くりこみ理論の補遺として記事をアップします。

参照ノートの開始日は,前章の終了日と同じ1999年

の５/７でした。

(※余談):この1999年の頃は「1999-７の月に

ハルマゲドンで人類は滅びる。」という五島勉氏著の

ベストセラー「ノストラダムスの大予言」がはやって

いて,7月にはこの世の終わりがくるのか?とかを,半分

本気で心配していましたね。

幽霊やＵＦＯ,超能力など現時点では,まだ,ちゃんと

した存在証明も不存在証明もできていない,と思っている

超常現象など,自分では見たりしたとかの経験もない物事

については,頭から否定するわけでもなく.とにかく昔も

今も半信半疑状態です。

自分は現代の自然科学のレベルはまだ低いと思って

いて,これに全面的信頼を持つほど単純ではないですから,

何の文明的なモノも避難場所もない荒野のようなところ

に,一人で闇夜に放り出されたとしたら,文明世界しか

知らない自分は,魑魅魍魎が出てくるかも？と本能的な

恐怖におののくことでしょうね。

増え続ける人類は,「あらゆる生物種は自らの増加が

食料不足をもたらして減少する。」という食物連鎖

の輪廻の「神の摂理」から離れて,人類には共食い

という戦争もなくなり医学の進歩により疫病を予防

しても,結局,新しいウィルスという天敵が現われ自殺

やＬGBTなどの少子化文化でも追い付かず,環境破壊

などによる災害,そして科学文明が反逆するという滅び

の道が現在のハルマゲドンとして避けられないのでは

ないか？と思います。(余談終わり※)

※以下は,本文です。

第8章の「繰り込み群と演算子積展開」という新しい

項目に入るに当たり,テーマの説明と機付けとして

この間「物理学の哲学」というシリーズ記事を

書きました。ここからは,新しく第2部とします。

• 8-1:(複合演算子のくりこみと演算子積展開)

場の理論の種々の現象論的応用において,しばしば,

場の局所的演算子(一般には複合演算子)Ａ(ｘ),Ｂ(ｙ)

の積:Ａ(ｘ)Ｂ(ｙ)が２点ｘとｙを同一点(ｘ＝ｙ)

(または光円錐:(ｘ－ｙ)²＝0)の近傍に近づけたとき,

どのように挙動するか？を知る必要が生じます。

Wilsonは,この問題に対して,直観的に,ある種の

局所演算子の完全系:{Ｏ_i(ｘ)}が存在して;

一般に,Ａ(ｘ)Ｂ(ｘ)

＝lim_ｘ→ｙ[Σ_iＣ_i(ｘ―ｙ)Ｏ_i((ｘ＋ｙ)/2)],(1)

(Ｃ_iはc-数関数)と展開できることを主張し,

その意味と応用について議論しました。

Wilson自身は上記の展開式(1)を,必ずしも摂動論

の枠内に限らず成立する,演算子間の等式として提唱

したもので,今日,(1)はWilsonの「演算子積展開」

(operator-product expansion),略してＯＰＥと

呼ばれています。

演算子Ａ,Ｂ,Ｏiの次元をｄ_Ａ,ｄ_Ｂ,ｄ_iとすると

ｚ＝ｘ－ｙの関数としての展開係数Ｃ_iは,Ｃ_i(ｚ)

～(1/ｚ)^{(ｄＡ＋ｄＢ－ｄi)}のように挙動すると考えられる

ので,短距離のｚ＝(ｘ－ｙ)～ 0の同一点の極限では

展開(1)の無限個の項のうち,次元ｄ_iが低い初めの方

の数項だけを分析すれば十分なはずです。

そして,摂動論の枠内で初めて(1)の展開を厳密に

証明したのはZimmermannでした。

本節では,彼に従って,摂動論において(1)の展開式

を導きます。以下では,簡単のため,もっぱらλφ⁴

理論で話をしますが,他の場合でも本質的には同様

です。

まず,複合演算子の厳密な定義からです。

展開式(1)の右辺にある演算子Ｏ_iは,一般に

φ^ｎ(ｘ),φ^ｎ(ｘ)∂_μφ(ｘ)などのような場の

同一時空点の積であって,局所演算子積,

(lobal operation product),または,単に複合

演算子(composite operator)と呼ばれるものです。

しかし,こうした局所積は場の理論では特異性を

持っているので,そのままではWell-defimed(無矛盾)

ではなく,(1)の展開,つまりＯＰＥを証明するには,

まず,そうした局所積を正確に定義するところから

始める必要があります。

複合演算子:Ｏを直接,演算子として定義する代わり

に,Zimmermannに従って,正規積(normal product)と

呼ばれる演算子:[Ｏ]_d(またはＮ_ｄ(Ｏ))を機能的に定義

します。

すなわち,[Ｏ]_ｄを含む全てのGreen関数を定義

することによって,逆に,演算子:[Ｏ]_ｄを定義します。

Ｏはφ^ｎ,∂_μφ∂^μφ,φ(∂_μφ∂_νφ)などの

ように,一般の場φと,その微分から構成される

単項式であり,Ｏ＝Ｏ(φ)を含むGreen関数は,

Ｇ_Ｏ^(ｎ)(ｘ₁,ｘ₂..ｘ_n)

＝＜ＴＯ(φ)φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)..φ(ｘ_n)＞

＝∫Ｄφ{Ｏ(φ)φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)..φ(ｘ_n)

×expi{∫ｄ⁴ｘＬ}.(2)で定義されます。

ただし,Lagrangian密度Ｌは相殺項なしの有限な

Ｌ＝(1/2)(∂_μφ∂^μφ－μ²φ²)－(λ/4)φ⁴.(3)

であり,これはＢＰＨＺの枠内で有効Lagrangian

と呼ばれるものです。

このとき,先の乗法的くりこみの場合の相殺項に

相当するものはＬに陽に加えないで,ＢＰＨＺの

Taylor演算:(－ｔ^γ)で機能的に行なうものです。

(※Tayllor演算:(－ｔ^γ)で自動的に満足される,

「ｐ＝0での(中間的)くりこみ条件」以外の

くりこみ条件を設定したいときには,(3)式のＬに,

さらに有限係数の(ｈ_cのベキ級数を係数とする)

相殺項を加えたものを,改めて有効lagrangian

とする,わけです。)

もう1つ,第４章「経路積分と摂動論」で述べた

ように,定義(2)で用いているＴ積(時間順序積)は

Ｔ^*積の意味です。本節で用いるＴ積は全てＴ＊積

を意味することに注意しておきます。(※つまり,

Ｔ積への左からの演算は,Ｔを飛び越えて内部への

直接演算を意味するわけです。)。

以下,Green関数:Ｇ_Ｏ^(ｎ)を議論する代わりに,その

1粒子既約な(1PI)グラフのみの寄与で,かつ,ｎ点

ｘ₁..ｘ_ｎの各脚から出る伝播関数iΔ_Ｆを取り去って

得られるｎ点頂点関数:Γ_Ｏ^(ｎ)を議論します。

すなわち,＜ＴＯ(φ)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n)＞^1PI

＝[Π_i=1ⁿ{∫ｄ⁴ｙ_iiΔ_Ｆ(ｘ_i－ｙ_i)}]Γ_Ｏ^(ｎ)(ｙ₁..ｙ_n).(4)

と書けるとします。

Γ_Ｏ^(ｎ)を論じるには,まず,再び,第５章§5-6で

したように,φ,Ｏの外場J,Ｋを導入して,頂点関数

の生成汎関数をexpiＷ[Ｊ,Ｋ]

＝∫Ｄφ[expi{∫ｄ⁴ｘＬ＋Ｊ・φ＋Ｋ・Ｏ(φ)}] (5)

で定義し:Ｗ[Ｊ,Ｋ]を,外場Ｊについてのみ,Legendre

変換して,Γ[φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ・φを,定義

します。するとｎ頂点関数は,Γ_Ｏ(ｘ)^(ｎ)(ｘ₁,.ｘ_n)

＝δ^(ｎ＋1)Γ[φ,Ｋ]

/{δＫ(ｘ)δφ(ｘ₁)..δφ(ｘ_ｎ)}|_φ＝Ｋ＝0.(6)

としても,得られる量です。

※(注1-1):つまり,生成汎関数の定義から,

expiＷ[Ｊ,Ｋ]­＝Σ_ｎ{(1/ｎ!)Γ_Ｏ⁽ⁿ⁾(ｘ₁..ｘ_n)

φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n)}です。

そして,δ(expiＷ[Ｊ,Ｋ])/δＫ

＝(δＷ[Ｊ,Ｋ]/δＫ)expiＷ[Ｊ,Ｋ]ですから

δＷ/δＫ＝ＮΣ_ｎ{(1/ｎ!)Γ_Ｏ⁽ⁿ⁾(ｘ₁..ｘ_n)

×φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n)}(Ｎは規格化定数)と

なりますが,(δΓ[φ,Ｋ]/δＫ)_φ

＝(δＷ[Ｊ.Ｋ]/δＫ)_φ,かつ,

(δΓ[φ,Ｋ]/δφ)_Ｋ＝－Ｊですから,

δΓ[φ,Ｋ]/δＫ＝ＮΣ_ｎ{(1/ｎ!)

Γ_Ｏ⁽ⁿ⁾(ｘ₁..ｘ_n)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n)}です。

それ故,Ｎ～1として(6)式の,

Γ_Ｏ(ｘ)^(ｎ)(ｘ₁,.ｘ_n)＝δ^(ｎ＋1)Γ[φ,Ｋ]

/{δＫ(ｘ)δφ(ｘ₁)..δφ(ｘ_ｎ)}|_φ＝Ｋ＝0.

と,(δΓ/δＫ)の展開係数:Γ_Ｏ^(ｎ)(ｘ₁.ｘ_n)

は同じものであるとわかります。

(注1-1終わり※)

Γ_Ｏ^(ｎ)を,Ｏが挿入された頂点関数

(Ｏ-inserted vertex function)と呼びます。

Ｏの正規積:[Ｏ]_ｄの頂点関数Γ_[Ｏ]d^(ｎ)は,

Γ_Ｏ^(ｎ)に効くグラフＧの各々に対して,その

Feynmanの被積分関数Ｉ_Ｇ(Γ_Ｏ^(ｎ))を,それに

Ｒ演算を施した,Ｒ_Ｇ(Γ_[Ｏ]d^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_Ｏ^(ｎ))(7)

で置き換えて得られる量として定義します。

ただし,このグラフＧのくりこみ部分γとしては,

Ｏの頂点を囲むものも含みます。その場合,演算子

[Ｏ]_dは,実際の次元(※例えば,Ｏ＝(∂_μφ∂^μφ)

なら次元は4)には関係なく,次元ｄを持つ演算子

と見なします。すなわち,[Ｏ]_d頂点には,指標:

(ｄ－4)を付与するか,または,見かけの発散次数

の公式§7-3の(7)に従って,[Ｏ]_d頂点を含む部分

グラフγは見かけの発散次数:ω(γ)

＝4－ｎ_γ＋(ｄ－4)＝ｄ－ｎ_γ≧0.(8)(ｎ_γはγの

外線数)(8)のとき,くりこみ部分と見なし,ｔ^γは

ω(γ)のTaylor演算子とします。

このようにして得られるΓ_[Ｏ]d^(ｎ)は,ｄがＯの

本当の次元ｄ_Ｏ以上であれば,有限な無矛盾なもの

となります。

何故なら,Ｇ_Ｏの生成汎関数を(5)のexpiＷ[Ｊ,Ｋ]

＝∫Ｄφ[expi{∫ｄ⁴ｘＬ＋Ｊ・φ＋Ｋ・Ｏ(φ)}]

のように書けば,{Ｌ＋ＫＯ(φ)}全体を系の有効

Lagranguanと見なすことができて,その場合,

Ｏ頂点を含むグラフも普通のグラフであって,普通

のＢＰＨＺくりこみで有限になるからです。

(※収束定理を参照)

もちろん,このときにはＯ頂点を囲む部分グラフ

の見かけの発散では,Ｏの本当の次元ｄ_Ｏを勘定し,

ｔ^γもそれに見合ったものですから,上のように

して得られる量は,ｄ＝ｄ_Ｏとした正規積:[Ｏ]_dO

の場合の頂点関数Γ_[Ｏ]dO^(ｎ)です。

ｄ＞ｄ_Ｏの[Ｏ]_dの場合は,必要以上の引き算を

しますが,ともかく有限ではあります。

そして,ｄ＞ｄ_Ｏの場合の[Ｏ]_ｄを引き過ぎ

演算子(oversubtracted operator)」と呼び,

ｄ＝ｄ_Ｏの正しい次元を付与した正規積を,

通常の正規積と呼びます。

引き過ぎ演算子:[Ｏ]_d(ｄ＞ｄ_Ｏ)は,実は次元

がｄ以下の.通常の正規積演算子:[Ｏ^]_dＯの線形

和で表わすことができます。

これを.[φ²]_dを例に取って説明します。

この場合,示すべきは,α,β,γを定数として,

[φ²]₄＝[φ₂]²＋α[φ⁴]₄＋β[∂_μφ∂^μφ]₄

＋γ[φ□φ]₄.(9)の式です。

一般に,[Ｏ]_dと同じ形の[Ｏ]_dOは,係数1で

現われ,それに混じる他の演算子は,全てＯと

同じLorentz変換性.および,内部対称性を

持ちます。

頂点関数:Γ_[Ｏ]d^(ｎ)は,Γ_Ｏ^(ｎ)に効くグラフ

のFeynman積分の被積分間数をＲ演算を

用いて,Ｒ_Ｇ(Γ_[Ｏ]d^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_Ｏ^(ｎ))(7)

に置き換えて得られる量であると,先に定義

しました。

そこで,Γ_[φ2]4^(ｎ)については,φ²頂点を,

次元4と見なしたTaylor演算子をｔ₍₄₎^γと

記すと,その寄与はＲ_Ｇ(Γ_[φ2]4^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_φ2^(ｎ))

(10)の積分で与えられます。

φ²頂点を含むγに対して,ｔ₍₄₎^γはφ²に

正しい次元2を付与する通常のｔ^γ＝ｔ₍₂₎^γ

より,２次だけ余計に取り出すので,ｔ₍₄₎^γ

＝ｔ₍₂₎^γ＋ｔ^^γ.(11)と書けます。

ところで,一般に順序付けられた積:

Π_i=1^ｎ(ｘ_i＋ｙ_i)＝(ｘ_n＋ｙ_n)(ｘ_n-1＋ｙ_n-1)

..(ｘ₁＋ｙ₁)に対して,その展開の各単項式

の中に含まれるｙ_lのうち,最小添字を持つ

ものに着目して,項をまとめると,

Π_i=1^ｎ(ｘ_i＋ｙ_i)＝Π_i=1ⁿｘ_i＋ｙ_n(Π_i=1^n-1ｘ_i)

＋(ｘ_n＋ｙ_n)ｙ_n-1(Π_i=1^n-2ｘ_i)

＋(ｘ_n＋ｙ_n)(ｘ_n-1＋ｙ_n-1)ｙ_n-2(Π_i=1^n-3)＋..

＋{Π_i=2ⁿ(ｘ_i＋ｙ_i)}ｙ_1.(12)の形の等式

を得ます。

それ故,(10)の表式:Ｒ_Ｇ(Γ_[φ2]4^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_φ2^(ｎ)

の中のグラフＧの森:Ｕのそれぞれの中で,

φ²を含むくりこみ部分γ₁,..γ_ｎは小さい

ものから.大きいものへと,右から順に並んで

いるとし,対応するΠ_i=1ⁿ(－ｔ₍₄)^γi)

＝Π_i=1ⁿ(－ｔ₍₂₎)^γi－ｔ^^γi)に,(12)の形の等式

を適用すれば(10)におけるTaylor演算子の積

のあらゆる可能な森Ｕにわたる和が次のように

書き直せます。

すなわち,Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₂₎^γ)

＋Σ_τ∈Ｔ[Σ_{Ｕ1∈Ｆ(Ｇ/τ)}Π_γ∈Ｕ1(－ｔ₍₄₎^γ)(－ｔ^^γ)

{Σ_{Ｕ2∈Ｆ(τ)}Π_γ∈Ｕ2(－ｔ₍₂₎^γ)}].(13)です。

ただし,Ｔは,フラフＧのφ²頂点を含む,

くり込み部分:τの全ての集合,Ｆ(Ｇ/τ)は

τを1点に縮約したグラフ:(Ｇ/τ)のあらゆる

森:Ｕ₁の集合,Ｆ(τ)は,あらゆるτ森:Ｕ₂の

集合です。

公式(12)から,元々,Ｕ₂がτの正規な森(τ

自身を含まない森)に限られる式も得られるの

ですが,満杯の森の場合には,必ず含まれるｔ₍₂₎^τ

はτの外線運動量のω(τ)＝(2－ｎ_τ)次元以下

の多項式を与えるため,(4－ｎ_τ)次項を取り出す

(－ｔ^^τ)演算子の後ろでは,効きません,

つまり,ｔ^^τｔ₍₂₎^τ＝0なので,このゼロ寄与も

加えたあらゆるτ森にわたる和としてもいい

のです。

さて,再掲(13):Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₂₎^γ)

＋Σ_τ∈Ｔ[Σ_{Ｕ1∈Ｆ(Ｇ/τ)}Π_γ∈Ｕ1(－ｔ₍₄₎^γ)(－ｔ^^γ)

{Σ_{Ｕ2∈Ｆ(τ)}Π_γ∈Ｕ2(－ｔ₍₂₎^γ)}].の右辺の演算を

φ²を含むグラフＧのFeynman被積分関数:

Ｉ_Ｇ(Γ_φ2^(ｎ))に,左から演算します。

このとき,(13)の右辺第2項を演算する場合

には,Ｉ_Ｇ＝Ｉ_Ｇ/τ・Ｉ_τの積の形に書けること

を用います。

さらに,[φ²]₄頂点を含むくりこみ部分τは,

公式(8)より:ω(τ)＝4－ｎ_τ≧0.

(ｎ_τはτの外線数)に従ってω(τ)で,4－ｎ_τ≧0

のときが,くりこみ部分ですが,これは,τの外線数:

ｎ_τが2,または4の場合のみです。

その場合,ｔ^^τ＝ｔ₍₄₎^τ－ｔ₍₂)^τは,ｎ_τ＝2のときは,

τの外線運動量に関してｔ₍₄₎^τは(４－ｎ_τ)＝2次

まで,ｔ₍₂₎^τは(2－ｎ_τ)＝0次までのTaylor演算子

ですから2次の部分のみを,ｎ_τ­＝4のときは,

ｔ₍₂₎^γ＝0なので0次の部分のみを,それぞれ,引き算

する演算であること注意します。

(※ 何故なら,1次の部分はLorentz不変性ゆえ,

出てきません。つまり,外線ｎ_τ＝2なら2つのφ

に対し1次で効くのは∂_μφとφから成る運動量

表示でｐ^μに比例する部分ですから,それにかかる,

Taylor演算のｐ²＝0での定数係数Ａ_μを考えると,

これは4元ベクトルで,かつ,定数ということなので

不可能です。※)

こうして(13)の両辺をＩ_Ｇに演算して次の(14)

が得られます。

すなわち,(10)の表式:Ｒ_Ｇ(Γ_[φ2]4^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_φ2^(ｎ))

において,(13)のΣ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₂₎^γ)

＋Σ_τ∈Ｔ[Σ_{Ｕ1∈Ｆ(Ｇ/τ)}Π_γ∈Ｕ1(－ｔ₍₄₎^γ)(－ｔ^^γ)

{Σ_{Ｕ2∈Ｆ(τ)}Π_γ∈Ｕ2(－ｔ₍₂₎^γ)}].を代入すれば,:

Ｒ_Ｇ(Γ_[φ2]4^(ｎ))＝Ｒ_Ｇ(Γ_[φ2]2^(ｎ))

－Σ_τ∈Ｔ4Ｒ_Ｇ/τ(Γ_[φ4]4^(ｎ))Ｒ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾)|_ｐ=0

－Σ_τ∈Ｔ2[Ｒ_Ｇ/τ(Γ_{[∂μφ∂νφ]4}^(ｎ))

{(i²/2)(∂²/∂ｐ₁^μ∂ｐ₂^ν)Ｒ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾)|_ｐ=0}

＋Ｒ_Ｇ/τ(Γ_{[∂μ∂νφ・Φ]4}^(ｎ))

×{(i²/2)(∂²/∂ｐ₁^μ∂ｐ₁^ν)Ｒ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾))|_ｐ=0]

＋Ｒ_Ｇ/τ(Γ_{[φ(∂μ∂νφ)]4}^(ｎ))

×{(i²/2)(∂²/∂ｐ₂^μ∂ｐ₂^ν)Ｒ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾))|_ｐ=0]]

(14)を得ます。

ただし,Ｔ₂,Ｔ₄は,それぞれ外線数ｎ_τが2,4の

φ²項を含むくりこみ部分でｐ₁,ｐ₂はτ∈Ｔ₂の2本

の外線運動量であり(..)|_ｐ­=0はτの外線運動量が

全てゼロであることを意味します。

(※∂^μφ∂^νφの相互作用頂点からは,(Ｇ/τ)の

グラフとして,(－iｐ₁^μ)(－iｐ₂^ν)の因子を含むと

考えられます。)

ここでＲ_τ(..)|_p=0etc.は,外線運動量ｐに依らない

定数係数です。それ故,(14)をloop積分し,あらゆる

Ｇ,および,τについて和を取れば,

Γ_[φ2]4^(ｎ)＝Γ_[φ2]2^(ｎ)＋αΓ_[φ4]4^(ｎ)

＋βΓ_{[∂μφ∂μφ]4}^(ｎ)＋γΓ_[φ□φ]4^(ｎ)。(15)

となります。

ただし,Lorentz不変性により

(∂²/∂ｐ₁^μ∂ｐ₂^ν)Ｒ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾)|_ｐ=0}∝ｇ_μν

となること,および,[φ□φ]₄＝[(□φ)φ]₄

であることを用いました。

そして,定係数α,β,γは

α＝Σ_∀ＧＲ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾)|_ｐ=0}.(6).,etc.

で与えられます。

こうして,(15)が任意のｎ点頂点関数について

成立するので,結局,求める,引き過ぎ演算子[φ₂]₄

が通常の正規積の線形和で書ける,という式(9):

[φ²]₄＝[φ₂]²＋α[φ⁴]₄＋β[∂_μφ∂^μφ]₄

＋γ[φ□φ]₄.(α,β,γは定数)が証明された

わけです。

※(注1-2):そもそも,局所演算子積や複合演算子

を考える必要が何故あるのか？の動機付けを述べて

おきます。

私が現役の院生の頃,素粒子論では,カレント代数

という分野がありました。いまもあるのかは

知りません。

Fermionカレントはスピノルの双1次形式,

つまりスピノル場の演算子の局所積で与えられ

ますが,これを一般の物理屋は同一点の積の

特異性を深く考えずに考察していました。

例えばカイラル軸性カレントは

ｊ^5μ(ｘ)＝ψ~(ⅹ)γ⁵γ^μψ(ｘ)

であり複合演算子(局所演算[子積]です。

特異性を意識してεだけ離した

Bilocal　currentでは,

ｊ^5μ(ｘ,ε)

＝ψ~(ⅹ－ε/2)γ⁵γ^μψ(ｘ＋ε/2)

×{∫_ｘ－ε/2^ｘ＋ε/2Ａ_μ(ｙ)ｄｙ^μ}です。

そこで,当時,私が専門に研究していた

のはQEDにおける三角アノマリー

(Adler-Jackew anomaly)というテーマ

でした,この不思議な現象を解析すれば,

紫外発散を除去するくりこみという操作

の理論的メカニズムが明快に理解できる

のでは？と期待したからです。

しかし,このテーマは当時,素粒子論の

端緒を齧った程度の身で,一人でやるには

壮大過ぎて,結局,卒業(終了)には間に合わず,

仕方なく1974年(24歳)のとき発見された

(Ｊ/ψ)新粒子(後にcharmクォークを含む

重中間子と同定)に関連してカラー一重項

の粒子-反粒子対(中間子)と３体クォーク

(重粒子)のみが観測されて,例えばカラー

多重項や４体以上のexotic 粒子が観測され

ない理由について考察した「三重三元

クォーク模型の束縛ポテンシャル」という

卒業論文しか書けませんでした。

一方,量子アノマリーは,私のその後の普通

の社会人に就職した後もアマチュアとして

細々と考察していたのを嘲笑うかのように

世界的には解明され,例えば、本参考書の

第９章「アノマリー」であるようにゲージ

不変な次元正則化を行なうときγ₅を含む

軸性カレントの存在がネックとなって出現

する余分な項である,とか,経路積分で変数

置換する際,γ₅の存在のためにヤコービ行列

に現われる異常項である,という意味で解決

されました。まあ,自分が解決できなくても

理解できればいいというスタンスですから

それで満足ですが,実験観測データを説明

できる偉大な対症療法である「くりこみ理論」

を原因両方に変えたい,という構想と

アノマリーに大した関係がないという意味

で,40第の頃,がっかりしたのでした。

VVA三角アノマーに興味持ったのは,電荷を

持たない中性中間子であるπ⁰の電磁崩壊

π⁰→γ＋γの崩壊に興味を持ったからでした。

電荷を持たないので摂動の1次では光子

(電磁場)と相互作用はできないので

π⁰→ｅ^－＋ｅ^＋→2γのように弱い相互作用

のV-Aカレントを経る2次の過程のはずです。

電子ｅのようなレプトンカレントの必要はなく

ｐ－ｐ~(陽子反陽子対) π⁰→ｐ＋ｐ~→2γ

でもいいのです。当時は自分にクォークを想定

する習慣ないので実荷電粒子の陽子を挟みました

がｎクオークでも1/3の電荷があるので,可能です。

そして,ｅ~(1－γ₅)γ^μｅのようなV-Aカレント

の頂点:(1－γ₅)γ^μがｅとｅに分かれて

それから,それぞれγ^ν.γ^σの電磁頂点

から光子が出ていくというfeynmanグラフ

の三角グラフを考えます。そもそも純粋は

QFDだけではこういうのはありません。

しかもFurryの定理によりVVVグラフの寄与

はゼロなのでVVAだけ残ります。

ここまで書きましたが,ここからの話は,結局，

途中で追加したシリーズ記事「物理学の哲学」

の重複になるもで割愛します。(注1-2終わり※)

※次に(複合演算子の乗法的くりこみ解釈)

という項に入ります。

演算子挿入がない通常の場合のBPHZくりこみ

が裸のLagrangianを組み変えて相殺項を用意する

乗法的くりこみと解釈できることは,既に記述した

通りですが,今の演算子挿入で定義される複合演算子

の場合も乗法的くりこみで理解できます。

BPHZ流にくり込こんだΓ_[Ｏ]d^(ｎ)のFeynman積分の

被積分関数の定義式(7):Ｒ_Ｇ(Γ_[Ｏ]d^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_Ｏ^(ｎ))において，

Taylor演算子:(－ｔ^γ)は,γが[Ｏ]_d頂点を囲まない

場合は,通常のLagrangianからの相殺項の寄与を引く

のと同等でしたが,γが[Ｏ]_d頂点を囲む場合は,新しい

相殺項を引くことに相当します。

この相殺項の演算子Ｏ^はTaylor演算子ｔ^γの次数

がω(γ)＝(ｄ－ｎ_γ)ですから,高々ω(γ)階微分

を持った場:φについてｎ_γ次の局所演算子:

Ｏ^＝(∂)^ｋ(φ(ｘ))^ｎγ （17）

,(ｋ＝0,1,2,..ω(γ)＝(ｄ－ｎ_γ)の形を持って

います。このＯ＾は,次元がｋ＋ｎ_γ≦ｄです。

特に正しい次元:ｄ＝ｄ_Ｏを付与された正規積:

[Ｏ]_dOのみを考えることにして,それをくりこんだ

複合演算子:Ｏ^renと呼ぶことにします。

そうすれば,BPHZくりこみは,結局,ある次元;ｄ_iの

演算子Ｏ_i^renを,その次元以下の裸の演算子の完全系:

{Ｏ⁰_j}を用いて,次のように,Ｏ_i^ren＝Σ_dj≦diＺ_ijＯ⁰_j,

Ｚ_ij＝δ_ij＋ｈ_cＺ_ij⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ_ij⁽²⁾＋..(18)として,

乗法的くりこみを行なったのと等価であることが

わかります。

つまり,左辺の展開のｈ_c^ｎＺ_ij^(ｎ)Ｏ⁰_j(ｎ≧1)の

寄与がBPJZのTaylor演算(－ｔ^γ)に,対応した乗法

くりこみの相殺項として働きます。

ただ,この場合,乗法的くりこみ因子:Ｚ_ijは,単に

定数ではなく,行列(要素)となっていることが,従前の

乗法的くりこみと少し異なります。

BPJZ処方でくりこまれたＯ_i^ren＝[Ｏ_i]_diの場合は,

外線運動量がゼロの点での「(中間的)くりこみ条件」

を満たしています。

例えば,Ｏ＝φ⁴の場合,Ｏ点に入る運動量をｑとして,

Γ_[φ4]4⁽⁴⁾(ｑ＝0,Ｐ＝0)＝4!,Γ_[φ4]4⁽²⁾(ｑ＝0,Ｐ＝0)

＝0.∂_ｐi^μ∂Γ_[φ4]4⁽²⁾(ｑ＝0,Ｐ＝0)＝0.

∂_ｐj^μ∂ｐ_j^νΓ_[φ4]4⁽²⁾(ｑ＝0,Ｐ＝0)＝0

(18)なる条件です。

ただし,Ｐ＝(ｐ₁,ｐ₂,ｐ₃,ｐ₄)です。

もちろん,このタイプ以外のくりこみ条件で

くりこまれた複合演算子{Ｏ^_j^ren}も定義できて

{Ｏj^ren}とは,(18)と同じ下三角行列による有限

くりこみの関係でつながります。

すなわち,Ｏ^_i^ren＝Σ_ｄj≦ｄi ｚ_ijＯ_j^ren.(20)です。

途中ですが,今日はこれで長い記事を終わります、

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)