物理学の哲学(15)(終)(アノマリー)

「物理学の哲学(14)」からの続きです。

(※余談):今日は11/３(火)祝日です。時差があります

から,まだでしょうがアメリカでは重要な大統領選挙

の投票日ですね

実は先月の10/28(水)に,このシリーズ記事の(14)を

アップした直後,続いて分割した残りの記事を(15)

としてアップしようとしたところ,コピペの操作を間違え

,つい全部消えてしまいました。落ち込んでいるときに,

丁度,訪問医が来て,何事か？と心配されましたが,落ち

込みの理由を聞いて大したことない,と慰められました。

こうしたことは前にもあって,アップの前にバックアップ

を取る習慣になってましたが,これでこの記事シリーズ

が終わりになるので,ちょっとあせったようです。

まあ,仕方がないので消えた部分は,記憶に頼って書き直す

しかなく,再掲記事部分以外は少し変わったはずですが

今日11月３日までかかりました。今度は忘れずに先に

バックアップを取ります。

消えたモノも業者に頼れば復活するはずですが,貧乏人

の私にそんな余分なお金はないのでね。(余談終わり※)

※さて,以下は本題です。

アノマリーは,運動方程式からのアプロ－チに

よっても得られることがわかりました。これは軸性

ベクトルカレントに現われる特異な演算子積を注意

深く扱えばいえることです。

※(注):ｊ^5μ(ｘ,ε)は,外場との相互作用があるので

真空期待値はゼロではなく,＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε_λ|0＞

＝＜0|ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)ε_λ|0＞

×exp{－∫_ｘ－ε/2^ｘ＋ε/2ｄξＡ(ξ)}ですが,これの

εの2次以上のオーダーを無視します。

＜0|ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)|0＞

＝(γ^μγ⁵)_αβ

＜0|ψ~_α(ｘ＋ε/2)ψ_β(ｘ－ε/2)|0＞

＝－(γ^μγ⁵)_αβ

＜0|Ｔ[ψ_β(ｘ－ε/2)ψ~_α(ｘ＋ε/2)|0＞

＝－Ｔr{γ^μγ⁵iＳ_F~(－ε)}です。

Fermionの伝播関数:Ｓ_Ｆ~(ｘ－ｙ)を外場:Ａ^μ(ｘ)

で展開すると,自由Fermion伝播関数:Ｓ_F(ｘ－ｙ)

がベキで出現します。

まず,φ(ｘ)を,Klein-Gordon方程式

(□＋ｍ₀²)φ(ｘ)＝0を満たす自由複素スカラー場

とすると,その自由Feynman伝播関数:Δ_F(ｘ)は,

iΔ_F(ｘ)＝＜0|θ(ｘ⁰)φ(ｘ)φ^＊(0)

＋θ(－ｘ⁰)φ^＊(0)φ(ｘ)|0＞

＝θ(ｘ⁰)∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1exp(－iｋｘ)

＋θ(－ｘ⁰)∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1exp(iｋｘ)

ただしω_k＝(ｋ²＋ｍ₀²)^1/2で,与えられます。

そして,Ｓ_F(ｘ)は,このΔ_F(ｘ)を用いて,

Ｓ_F(ｘ)＝(iγ^μ∂_μ＋ｍ₀)Δ_F(ｘ)と表わすこと

もできます。(※自由Green関数として満足する

方程式は,(□＋ｍ₀²)Δ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)ですから,

これから,(iγ^μ∂_μ－ｍ₀)Ｓ_F(ｘ)＝δ⁴(ｘ)です。)

ここで,iΔ^(＋)(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1

exp(－iｋｘ)と置くと,iΔ^(＋)(ｘ)＝(2π)^-2∫₀^∞ｄｋ

[{ｋ²(2ω_k)^-1exp(－iω_kｘ⁰)}

×∫_-1¹ｄ(cosθ)exp(iｋｒcosθ）

＝(2πi)^-1(4πｒ)^-1∫₀^∞ｄｋ[ｋexp(－iω_kｘ⁰)

×{exp(iｋｒ)－exp(－iｋｒ)}/ω_k]

＝(2πi)^-1(4πｒ)^-1∫_-∞^∞ｄｋ

[ｋexp{－i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k]

＝－(4πｒ)^-1(∂/∂ｒ)(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ

[exp{－i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k]と書けます。

同様に,iΔ^(－)(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1

exp(iｋｘ)]と置くと

iΔ^(－)(ｘ)＝－(4πｒ)^-1(∂/∂ｒ)

[(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ[exp{i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k]

です。

ところで,ｆ(ｘ)＝f(ｘ⁰,ｒ)

＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ[exp{i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k]　

とすると,右辺＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ

[exp{i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/(ｋ²＋ｍ₀²)^1/2]であり,

ｋ＝ｍ₀sinｈφと置けば,ｄｋ＝ｍ₀cosｈφｄφ

で,(ｋ²＋ｍ₀²)^1/2＝ｍ₀cosｈφです。

ｋ:－∞ → ∞は,φ:－∞ → ∞に対応するため,

ｆ(ｘ)＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄφ

[exp{iｍ₀(ｘ⁰cosｈφ＋ｒsinｈφ)}となります。

ここで,さらに,λ＝ｘ²＝(ｘ⁰)²－ｒ²と置きます。

すると,

(ⅰ)ｘ⁰＞0 かつ,ｘ⁰＞ｒのとき,

λ＞0 なので,ｘ⁰＝λ^1/2coshφ₀,ｒ＝λ^1/2sinhφ₀

と置くことができて,ｆ(ｘ)＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄφ

[exp{iｍ₀λ^1/2cosｈ(φ＋φ₀)}]

＝π^-1∫₀^∞ｄφ exp(iｍ₀λ^1/2cosｈφ)です。

故に. ｆ(ｘ)＝(i/2)Ｈ₀[ｍ₀λ^1/2]

＝(i/2){Ｊ₀[ｍ₀λ^1/2]＋iＮ₀[ｍ₀λ^1/2]}

(※ Ｊ₀は0次Bessel関数,Ｎ₀は0次の

Neumann関数,Ｈ₀は0次Hankel関数です。)

(ⅱ) ｘ⁰＞0 かつ,ｘ⁰＜ｒのとき,

λ＜0 なので,ｘ⁰＝(－λ)^1/2sinhφ₀,

ｒ＝(－λ)^1/2coshφ₀と置くことができて,

ｆ(ｘ)＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄφ

[exp{iｍ₀(－λ)^1/2sinｈ(φ＋φ₀)}です。

故に.ｆ(ｘ)＝(1/π)Ｋ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2]

＝(i/2)Ｈ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2]

＝(i/2){Ｊ₀([ｍ₀(－λ)^1/2]＋iＮ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2]}

(※ Ｋ₀は0次の第2種変形Bessel関数です。)

(ⅲ) ｘ⁰＜0 かつ,|ｘ⁰|＞ｒのとき,

ｆ(ｘ)＝(－i/2)Ｈ₀[ｍ₀λ^1/2]

＝(－i/2){Ｊ₀[ｍ₀λ^1/2]＋iＮ₀[ｍ₀λ^1/2]}

(ⅳ) ｘ⁰＜0 かつ,|ｘ⁰|＜ｒのとき,

ｆ(ｘ)＝(1/π)Ｋ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2] 　です。

つまり, λ＝(ｘ⁰)²－ｒ²＞0なら

ｆ(ｘ)＝(－1/2)Ｎ₀[ｍ₀λ^1/2]

＋(i/2)ε(ｘ₀)Ｊ₀[ｍ₀λ^1/2]で,λ＜0なら,

ｆ(ｘ)＝(1/π)Ｋ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2]です。

iΔ^(＋)(ｘ)＝－(4πｒ)^-1(∂ｆ/∂ｒ)

＝(2π)^-1(∂ｆ/∂λ)

＝{i/(4π)}ε(ｘ₀)δ(λ)

＋θ(λ){ｍ₀/(8πλ^1/2)}{Ｎ₁[ｍ₀λ^1/2]

＋iε(ｘ₀)Ｊ₁[ｍ₀λ^1/2]}

＋θ(－λ){ｍ₀/(4π²(－λ)^1/2)}{Ｋ₁[ｍ₀λ^1/2]}

同様に,iΔ^(－)(ｘ)＝{－i/(4π)}ε(＋iε(ｘ₀)

Ｊ₁[ｍ₀λｘ₀)δ(λ)

＋θ(λ){ｍ₀/(8πλ^1/2)}{Ｎ₁[ｍ₀λ^1/2]^1/2]}

＋θ(－λ){ｍ₀/(4π²(－λ)^1/2)}{Ｋ₁[ｍ₀λ^1/2]}

です。

故に,iΔ_F(ｘ)＝＜0|Ｔ{φ(ｘ)φ^＊(0)|0＞

＝θ(ｘ⁰)iΔ^(＋)(ｘ)＋θ(－ｘ⁰)iΔ^(－)(ｘ)

なので,iΔ_F(ｘ)

＝{i/(4π)}δ(λ)＋θ(λ){ｍ₀/(8πλ^1/2)}

{Ｎ₁[ｍ₀λ^1/2]＋iε(ｘ₀)Ｊ₁[ｍ₀λ^1/2]}

＋θ(－λ){ｍ₀/(4π²(－λ)^1/2)}{Ｋ₁[ｍ₀λ^1/2]}

を得ます。

数学公式によれば,Ｊ₁[ｚ]＝ｚ/2－1/2)(ｚ/2)³

＋Ｏ(ｚ⁵),Ｎ₁[ｚ]＝－1/(4πｚ)

＋{ｚ/π－(1/π)(ｚ/2)³}ln(ｚ/2)

＋(Ｃ/π){ｚ－(ｚ/2)³}＋Ｏ(ｚ⁵ lnｚ)＋Ｏ(ｚ⁵)

Ｋ₁[ｚ]＝{ｚ＋(1/2)(ｚ/2)³}ln(ｚ/2)

＋(Ｃ/2){ｚ－(ｚ/2)³}＋1/(4ｚ)＋Ｏ(ｚ⁵)

iΔ_F(ｘ)＝＝{i/(4π)}δ(λ)－1/(4π²λ)

－{iｍ₀²/(16π)}θ(λ)＋{ｍ₀²Ｃ/(8π²)

＋{ｍ₀²/(8π²)}ln(ｍ₀|λ|^1/2/2)

＋Ｏ(|λ|^1/2ln|λ|)

Ｓ_F(ｘ)＝(iγ_μ∂^μ＋ｍ₀)Δ_F(ｘ)

＝2iγ_μｘ^μ[{1/(4π)}δ’(λ)

＋1/(4π²iλ²)

－{ｍ02/(16π)}δ(λ)－{iｍ₀²/(16π²λ)}

＋Ｏ(|λ|^-1/2ln|λ|)]

＋ｍ

{1/(4π)}δ(λ)－1/(4π²iλ)

－{ｍ₀²/(16π)}θ(λ)＋{ｍ₀²Ｃ/(8π²)

－{iｍ₀²/(8π²)}ln(ｍ₀|λ|^1/2/2)

＋Ｏ(|λ|^1/2ln|λ|)です。

以上から, Ｓ_F(ｘ)は,ｘ^μ→ 0 のとき,

ｘ^μ(1/λ²)～ 1／ｘ³のように挙動することが

わかりました。

普通に,光子の外場Ａ^μ(ｘ)とだけ相互作用する

iＳ_F~(ｘ)を,Ａ^μ(ｘ)とiＳ_F(ｘ)で摂動展開すると,

iＳ_F~(ｘ―ε/2,ｘ＋ε/2)＝iＳ_F’(―ε)

＝iＳ_F(―ε)

＋(－iｅ₀)∫ｄ⁴ｙ[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)γ^α

iＳ_F(ｙ－ｘ―ε/2)Ａ^α(ｙ)]

＋(－iｅ₀)²∫ｄ⁴ｙｄ⁴ｚ[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)γ_α

iＳ_F(ｙ－ｚ)γ_βＳ_F(ｚ―ε/2)Ａ^α(ｙ)Ａ^β(ｚ)]

＋Ｏ(lnε)です。

上述のように,Ｓ_F(ｘ―ε/2,ｘ＋ε/2)

＝Ｓ。(―ε)がε^μ／{(－ε)²}²のように挙動する

ことから,ｋを積分の個数,Fermion伝播関数の個数

とする発散次数:Ｄの次数勘定定理はＤ＝４ｋ－3ｆ

となり,Ｄ＞0ならε^μ→ 0 のとき収束し,Ｄ＝0なら

lnε発散をし,Ｄ＝-1,-2,－3..なら,ε^-1,ε^-2,ε^-3..

と挙動するのが明らかです。

ただし, ＜0|ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)|0＞

＝－Ｔr{γ^μγ⁵iＳ_F~(－ε)}ですが,

左辺＝＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)|0＞

＝(1/2)＜0|[ψ~(ｘ＋ε/2),γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)]|0＞

で,右辺の真空:|0＞で挟んだ場の交換子は,最低次

では,正規積(normal-producy)となっていて寄与は

ゼロになり,それ故,摂動展開の第1項のＳ_F(－ε),

すなわち,ε→0でのtadpoleは,＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)|0＞

に寄与しません。あるいは,実際に計算しても,

Ｓ_F(―ε)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4 exp(iｐε)/(ｐ－ｍ₀)

ですが,Ｔr{γ^μγ⁵/(ｐ－ｍ₀)}＝0より,

－Ｔr{γ^μγ⁵iＳ_F(－ε)}＝0で,明らかに

－Ｔr{γ^μγ⁵iＳ_F~(－ε)}に寄与しません。

また, Ｏ(lnε)も＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞

では,ε→0でε^λＯ(lnε)→ 0で消えます。

また,第３項＝(－iｅ₀)²∫ｄ⁴ｙｄ⁴ｚ

[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)γ_αiＳ_F(ｙ－ｚ)

γ_βＳ_F(ｚ―ε/2)Ａ^α(ｙ)Ａ^β(ｚ)]ですが,

＜0|ｊ^5μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)全体の

荷電共役不変性から,この項は寄与しません。

具体的にはｊ^5μ(x,ε)は荷電共役偶で外場:

Ａ^μ(ｘ)は荷電共役奇etc.ですが,詳細は省略

します。残るのは,第２項＝(－iｅ₀)∫ｄ⁴ｙ

[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)Ａ(ｙ)iＳ_F(ｙ－ｘ―ε/2)Ａ(ｙ)]

＝iｅ₀ ∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^-8 [exp(iｐε)exp(iｑｘ)

×{(ｐ＋ｑ/2－ｍ₀)^-1Ａ(ｑ)(ｐ－ｑ/2－ｍ₀) ^-1}]

です。

それ故,＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞

＝－Ｔr{ε^λγ^μγ⁵iＳ_F~(－ε)}

＝(－iｅ₀)Ｔr[ε^λγ^μγ⁵∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^-8 exp(iｐε)

exp(iｑｘ)(ｐ＋ｑ/2－ｍ₀)^-1Ａ(ｑ)(ｐ－ｑ/2－ｍ₀) ^-1]

＋Ｏ(εlnε)

＝ｅ₀Ｔr[γ^μγ⁵∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^-8 exp(iｐε)exp(iｑｘ)

(∂/∂ｐ^λ){(ｐ＋ｑ/2－ｍ₀)^-1Ａ(ｑ)

(ｐ－ｑ/2－ｍ₀) ^-1}]＋Ｏ(εlnε)です。

したがって,lim_{ε→ 0}＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞

＝ｅ₀∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^{- 3}exp(iｐε)exp(iｑｘ)

(∂/∂ｐ^λ)Ｔr[γ^μγ⁵(ｐ＋ｑ/2＋ｍ₀)Ａ(ｑ)

(ｐ－ｑ/2＋ｍ₀){(ｐ＋ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1

{(ｐ－ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1]

＝4iｅ₀ε_αβγδｇ^α_μ∫ｄ⁴ｑ(2π)^{- 4}exp(iｑｘ)

ｑ^δＡ^γ(ｑ)∫ｄ⁴ｐ(2π)^{- 4}(∂/∂ｐ^λ)

[ｐ^β(ｐ＋ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1{(ｐ－ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1]

が得られます。

ところで,∫ｄ⁴ｐ{∂ｆ(ｐ)/∂ｐ^λ}は,

もしも,ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)を;ｐ⁰＝iｐ⁴として,

ｐ^μ＝(ｐ¹,ｐ²,ｐ³,ｐ⁴)と書いてEuclid化し,４次元

のGauss積分定理を適用すると,積分領域

を半径Ｒの４次元球の内部として,

∫ｄ⁴ｐ{∂ｆ(ｐ)/∂ｐ^λ}

＝（i2π²Ｒ²){ｐ_λ＜ｆ(ｐ)＞}_|ｐ|＝Ｒを得ます。

ただし,|ｐ|＝Ｒは,Minkowski空間ではｐ²＝－Ｒ²,

を意味し,＜ｆ(ｐ)＞は半径Ｒの球面上のｆ(ｐ)の

平均値を意味します。

故に,∫ｄ⁴ｐ(2π)^{- 4}

(∂/∂ｐ^λ)[ｐ^β{(ｐ＋ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1

{(ｐ－ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1]

＝lim_R→∞[(i2π²Ｒ²)Ｒ_λＲ^β(－Ｒ²－ｍ₀²)^-2](2π)^{- 4}

＝iｇ_λ^β/(32π²)を得ます。

(※ ここで,対称性からlim_R→∞(Ｒ^μＲ^ν/Ｒ²)

＝(1/4)ｇ^μνとなることを用いました。 )

一方,∫ｄ⁴ｑ(2π)^{- 4}exp(iｑｘ)ｑ^δＡ^γ(ｑ)

＝i∂^δＡ^γ(ｘ)です。

したがって,lim_ε→0＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞

＝－iｅ₀ε_μλγδ{∂^δＡ^γ(ｘ)}/(8π²)

＝－iｅ₀ ε_μλξηＦ^ξη/(16π²)と書けます。

以上から, lim_ε→0＜0|∂_μｊ^5μ(ｘ,ε)|0＞

＝2iｍ₀ lim_ε→0＜0|ｊ⁵(ｘ,ε)|0＞

＋{ｅ₀²/(16π²)}ε_μλξηＦ^μλＦ^ξη

＝2iｍ₀ lim_ε→0＜0|ｊ⁵(ｘ,ε)|0＞

＋{α₀/(4π)}ε_μλξηＦ^μλＦ^ξη

となり,先の∂_μ＜0|ｊ^5μ(x,ε)|0＞

＝iｅ₀＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)

＋2iｍ₀＜0|ｊ⁵(x,ε)|0＞＋Ｏ(ε²).および,

iｅ₀＜0|ｊ^5μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)

＝{α₀/(4π)}ε_μλξηＦ^μλ(ｘ) Ｆ^ξτ(ｘ)＋Ｏ(ε)

が確かに証明されました。　(注終わり※)

40年前の1975～1976年当時のノートはここで

終わっています。本当はこれからが本題で当時も

ノートは,これで終わってはいても,結論まで理解して

いたはずです。が,長くなったし切りがいいので,

今日はここで終わります。次からは,第３章で

1995年のノートに移ります。(※再掲記事終了)

と書いて終わっています。

結局のところ,「物理学の哲学」シリーズの初期の

副題「止まると死ぬ。」というのは(5)でも述べた

ように,Heisenbergの不確定性原理:ΔｐΔｘ～ｈの

ため,期待値として,位置を原点に固定:＜Δｘ>＝0で,

かつ,速度も＜Δｐ＞＝0と,古典的には静止状態でも,

ゆらぎ(分散)は＜(Δｘ)²＞＝0なら,＜(Δｐ)²＞＝∞

となり,運動量(速度)は絶対的不確定という点粒子の

静止できないという宿命があるのが根源です。

そもそも,素粒子を大きさのない(構造を持たない)

点である,とすることに無理があるので,こうし無限大

を生じる原因がある,と考えられるのです。

軸性ベクトルカレントは,４次元発散にアノマリー

があるのが真であり,これが例えばπ⁰中間子の崩壊率

に正しい寄与を与えるのを見ても,ｊ^5μ(ｘ)のように,

1時空点ｘでの場の局所的双1次形式で与えられる

物理量は,実はｊ^5μ(ｘ,ε)(ε＞0)の非局所カレントの

形の方が現実の姿であって,ε＝0の局所カレントでは

有り得ないのではないか？と考えるわけです。

ガリレイ,ニュートンに始まる自然科学では,物体を

大きさのない質点と近似し理想化したおかげで力学が

発展しました。また,水や空気を流体という連続体と

考えて定式化しましたが,実は後に原子論が出現して

わかったように,これらは莫大な分子という粒子の集まり

を近似したものでした。古典電磁気学も原子内の電子の

運動による効果などを連続的な場と概念を用いて定式化

しました。厳密には,連続体は近似であったのです。

この我々の宇宙:４次元時空も普通に連続的な多様体で

ある,と考えられてはいますが,格子点のように単純では

ないにしても,実は,ある臨界のε＞0よりも小さい距離

には分割できない離散的時空の近似ではないか？

というのが結論です。

学生時代に,初めて接した紫外発散を除去するくりこみ

手法の本質には,このアノマリーのメカニズムが関与するの

では？と思って興味を持ったのは,こうした動機からでした。

素粒子は宇宙全体でも離散個数しかないはずなのに粒子

の場が連続的なものとして定式化されているのも問題です

が,こうした疑問に,未だにこだわってるのは三つ子の魂百

までですね。

さて70歳になった私のブログでの遺言(遺構)は第1弾

の「どこかの馬の骨の伝記」に続いて,この「物理学の哲学」

シリーズで,第２弾が終わりました。

あとは,第３弾のオリジナル理論で終わる予定です。

命の方が持つかな？