くりこみ理論(第２部)(2)

「くりこみ理論(第２部)」の続きで

第８章の§8-1「くりこみ群と演算子積

展開」の続きです。

※(余談):いろいろとバタバタしている

うちに,ブログの原稿書きもさぼっていて,投稿は久しぶりです。とうとう明日は

2020年の大晦日で,急に寒くなりました

が,何とか生きたまま,年を越せそうです。

(余談終わり)

※以下,本文です。

さて,運動方程式とＷＴ恒等式の項目

に入ります。

当面の目的はあくまで演算子積(複合

演算子)に対する「Wilsonの演算子積展開」の成立を証明することにあり,少し寄り道

とはなりますが,この証明にとっても重要なので,BPHZの枠内で運動方程式の使い方と,ＷＴ恒等式についてのコメントです。

粒子場:φ(ｘ)から成る系のBPHZの

意味での有効Lagrangian:Ｌが

与えられたとき,系の従う運動方程式

(Euler-Lagrange eq.)は,

∂Ｌ/∂φ－∂^μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}

＝δＳ/δφ＝0　 (21)　です。

何故なら,Ｌは,作用原理を満たすべき

作用ＳをＳ＝∫ｄ⁴ｘＬによって

定めるLagranfian密度を意味する

からです。

しかしながら,これは,必ずしも

演算子等式の成立を意味しない。と

考えられるので,Green関数中に因子

(δＳ/δφ)」が現われたからと

いって,Green関数を直ちにゼロとする

ことはできないことがわかります。

(※これは,Green関数中のＴ積

(時間順序積)は,実はＴ^*積を意味する

ので,階段関数θ(ｔ)の微分などが

消えずに単純な等式の成立を邪魔る

からです。)

そこで,BPHZの手続きで有限に

されGreen関数を,真空期待値:

＜0|Ｔ[…]|0＞＞＞のような形に

記すことにすれば,

上記のEuler-lagrangeの運動方程式

よりも,むしろ,次式の成立を主張する

方が,系の運動を記述する方程式として

ふさわしい。ということを示したい

と考えます。

すなわち,Green関数に対する

方程式:＜0|Ｔ([φ(ｚ){δＳ/δφ(ｚ)]_dφ(ｘ₁),,φ(ｘn)|0＞

＝iΣ_ｒ=1ⁿ[δ⁴(ｚ－ｘ_r)

＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..^φ(ｘ_r).φ(ｘ_n)|0＞ (22）が成立するとするわけです。

ただし,^φ(ｘ_r)は,全体の積から,

φ(ｘ_r)のみを除くことを意味する記号

です。

この(22)式は,次元ｄが,複合演算子:

[φ(ｚ){δＳ/δφ(ｚ)}]の正しい次元:

４以上の場合なら,常に,そして最初の

因子φ(ｚ)を両辺で,その微分：∂_μ1.

∂_μｋφ(ｚ)に置き換えても(ｄをその

正しい次元以上にする限り)成立します。

この式は,演算子型式で正準交換関係

を用いて得られる式と,ほぼ同じですが,

Ｔ積が実はＴ^＊積であることや,因子:

[φδＳ/δφ]_ｄが,機能的に導入された

正規積であることなど,あくまでBPHZ

の枠内での等式となることに着目します。

※(注2-1):以下,(22)をFeynmanグラフ

的に証明します。

ただし,今は,たび重なるココログフリーのリニューアルや,ＯＳ()Windows)の

バージュンの変化でブログ記事の上で

用いていた,図を書くスキルなどを失っているため,文章のみの,頭の中に仮想的に

描いた図での説明しか,できませんが。。

さて,まず,φ(δＳ/δφ)

＝φ[－(□＋μ²)φ－(λ/3!)φ³]の

うち,Ｖ＝{－φ(□＋μ²)φ}として,Ｖ

のみを挿入した裸のGreen関数:Ｇ_V⁽ⁿ⁾

に効くFeynmanグラフを運動量表示で

考察します。

グラフのＶ頂点(Ｖを含む頂点)

のKlein-Gordon演算子の掛かった場:

[－φ(□＋μ²)φ]が出る線は,一般に

直接,外線ｐ₁,ｐ₂,.ｐ_ｎのどれかに

つながるか？または,λφ⁴相互作用の

頂点につながるか？のどちらかです。

－(□＋μ²)φから出る線は全く相互

作用が無いグラフと,(この場合λφ⁴が

無い)相互作用をしているグラフに

つながるか？のいずれかしかありません。)

ところが,－(□＋μ²)φの演算子:

－(□＋μ²)は,運動量表示ではｐ²－μ²)

であり,丁度：伝播関数:－(□＋μ²)^-1

(これは運動量表示では,i/(ｐ²－μ²))

を相殺して単なる数因子;ｉに変える

働きを持つことに注意すれば,結局

のところ,(22)式の＜0|Ｔ([φ(ｚ)

δＳ/δφ(ｚ)]_dφ(ｘ₁),,φ(ｘ_n)|0＞

＝iΣ_ｒ=1ⁿ[δ⁴(ｚ－ｘ_r)

＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..^φ(ｘ_r).. φ(ｘ_n)|0＞,で,φ(δＳ/δφ)＝φ[－(□＋μ²)φ

－(λ/3!)φ³])とした等式が成立する

ことがわかります。

すなわち,グラフ表現の等式の両辺で,

Ｖ頂点に次元ｄを付与したBPHZの

Ｒ演算を施します。

これは,グラフのＶ頂点に

[－φ(□＋μ²)φ]_ｄを挿入したGreen

関数に対する等式を与えます。

第１項:つまりＶ頂点が相互作用無し

で直接ｎ個の外線の１つにつながって

いて,残りとは無関係の場合には,Ｖ頂点

を囲むくりこみ部分は存在しないので,

通常のＲ演算を受けて,(22)の右辺の

総和式を得るわけです。

(※この第１項のＶ頂点因子は,単に,

(ｐ²－μ²)×{ｉ/(ｐ²－μ²)}＝ｉ

と,(－iλ/3!)の積の数因子です。)

他方,残る第２項は,Ｖ頂点が

φ・ｉ(―iλφ)/3!)＝φ・λφ³/の

複合場となっていて,Ｖを含む部分は,

元の{－φ(□＋μ²)φ]と同様,Ｖを

次元ｄであると見なしたTaylor引き算

を受けます。

それ故,Ｒ演算後の第２項は,次元ｄ

の正規積:[φ・λφ³/3!]_ｄを挿入した

Green関数:<0|Ｔ[{φ・λφ^3/3!}_dφ(ｘ₁)..φ(ｘ_n)]|0＞を与え,これを左辺に移項

して[―φ(□＋μ²]φ－λφ³/3!]_ｄの

挿入項にまとめられて,(22)の左辺を

与えるわけです。(証明終わり　

(注2-1終わり※)

BPHZの枠内では(22)の等式は大変有用なモノであり,例えばカレント保存則から従うＷＴ恒等式もこの範疇に含まれて

います。  

最も簡単な例として,複素スカラー場φ

から成る系で有効Lagrangianが

Ｌ＝∂_μφ^＊∂^μφ－μ²φ^＊φ

－(λ/2)(φ＊φ)²で与えられる場合を

考えます。

このときＵ(1)カレント;ｊμ(ｘ)

＝i{φ^＊(ｘ)∂_μφ(ｘ)－{∂_μφ^＊(ｘ)}

φ(ｘ)}＝ｉφ^＊(ｘ)∂^⇔_μφ(ｘ)（23）

は,素朴な(1)の運動方程式を用いて,

保存することがわかります、

すなわち

∂^μｊ_μ＝i{φ^*□φ－(□φ^*)φ}

＝－i{φ^*(δＳ/δφ^＊)－(δＳ/δφ)φ}.(24)ですから素朴な運動方程式:

δＳ/δφ＝δＳ/δφ^＊＝0から,右辺は

ゼロとなります。素朴にはそうです、

等式:＜0|Ｔ([φ(ｚ)δＳ/δφ(ｚ)]_d

φ(ｘ₁),,φ(ｘ_n)|0＞

＝iΣ_ｒ=1ⁿ[δ⁴(ｚ－ｘ_r)

＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..^φ(ｘ_r)...φ(ｘ_n)|0＞は,＜0|Ｔ([φ_i(ｚ)|δＳ/δφ_k(ｚ)]]_d

φ_i1(ｘ₁)φ_i2(ｘ₂).φ_im(ｘ_m)|0＞

＝iΣ_r=1ⁿ[δ⁴(ｚ－ｘ_r)δ_ｋir

＜0|Ｔ(φ_ｊ(ｚ)φ_i1(ｘ₁)..^φ_ir(ｘ_r)

..φ_im(ｘ_ｍ)|0＞ (25）となることが

容易にわかります。

さらに、一般に正規積[Ｏ]_ｄに対して

∂_μ[Ｏ]_ｄ＝[∂_μＯ]_ｄ+1.(26)の等式が

成立します。

何故なら,グラフγのω次のTaylor

項演算子をｔ^γ_ω.,γの外線運動量因子

の１つをｑ_μとするとき

ｔ^ɤ_(ω＋1)ｑ_μ＝ｑ_μｔ^γωとなるからです。

そこで,(23)を正しい次元３を付与

した正規積[ｊ_μ]₃として,それを挿入

したGreen関数の発散∂_μを計算

すれば,(26),(25),(24)の等式を用いて

次式を得ます。すなわち,

∂_zμ＜0|Ｔ{[ｊ^μ(ｚ)]₃φ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)

φ^＋(ｙ₁),.φ^＋(ｙ_n)}|0＞

＝∂_zμ＜0|Ｔ{[φ{δＳ/δφ}

－{δＳ/δφ^＋}φ^＋(ｚ)]₄

φ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)

φ^＋(ｙ₁)...φ^＋(ｙ_n)}|0＞

＝－Σ_r＝1ⁿδ⁴(ｚ－ｘ_r)

＜0|Ｔ{φ(ｚ)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)

φ^＋(ｙ₁)...φ^＋(ｙ_n)}|0＞

＋Σ_r＝1ⁿδ⁴(ｚ－ｙ_r)

＜0|Ｔ{φ(ｚ)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)

φ^＋(ｙ₁)..φ^＋(ｙ_n)}|0＞..(27)

です。

この式が,BPHZ定式化における

ＷＴ恒等式であり,形式上,演算子形式

で素朴に(紫外発散の問題を考慮しない)

正準交換関係を用いて求めたＷＴ恒等式

を再現したものとなっています。

Ｕ(1)カレントの正規積[ｊμ]₃の

代わりに,次元4のエネルギー・運動量

テンソルのそれ[Ｔ_μν]₄の場合も同様です

。また,,次元3以下のソフトな破れがある

カレントの場合も同様な等式で分析

できます、

• さて,続いて演算子積展開に戻ります。

準備が整ったので先のWilsonの

ＯＰＥの公式(1):

Ａ(ｘ)Ｂ(ｘ)

＝lim_ｘ→ｙ[Σ_iＣ_i(ｘ―ｙ)

Ｏ_i((ｘ＋ｙ)/2)],(Ｃ_iはc-数関数)を

,BPHZ定式化を用いて証明することを

始めます。

一般的な場合も本質的には同じなので,

ここでは最も簡単な場合:λφ⁴理論で,

ＡもＢも場φ自身である場合のみを

考えます。

すなわち,Ｔφ(ｘ＋ξ)φ(ｘ－ξ)

＝Σ_iＣ_i(ξ)[Ｏ_i(ｘ)]_ｄi(28)

(ｄ_iはＣ_iの正しい次元)の形の展開式

の成立を証明します。問題としている２

つの演算子の積:φ(ｘ＋ξ)φ(ｘ－ξ)

を挿入した(くりこまれた)Green関数：

Ｇ^(ｎ)_{φ(ｘ＋ξ)φ(ｘ－ξ)}は,今の場合,

単に,(ｎ＋2)点Green関数:Ｇ^(ｎ＋2)

です。

つまり,＜0|Ｔ{[φ(ｘ＋ξ)φ(ｘ－ξ)

φ(ｙ₁)..φ(ｙ_ｎ)}|0＞＝∫ｄ⁴ｑｄ⁴ｋ

(2π)^-8×Π_j=1ⁿｄ⁴ｐ_ik(2π^)-4

exp(－iｑｘ－iｋ・2ξ)

×exp－iΣ_j＝1ⁿｐ_jｙ_j)(2π)⁴

δ⁴(ｑ＋Σ_j=1ⁿｐ_j)

Ｇ⁽ⁿ⁺²⁾(ｑ/2＋ｋ,ｑ/2－ｋ,ｐ)..(29)

です。ここで,φ(ｘ＋ξ)および,

φ(ｘ－ξ)の運動量をそれぞれ,

(ｑ/2)＋ｋ,および,(ｑ/2)－ｋ(つまり,

重心運動量がｑ,相対運動量がｋとなる

ように)置き,その他の運動量を

ｐ­＝(ｐ₁..ｐ_ｎ)としました。

(29)で,ξ→0での挙動を今から

調べたいのですが,(29)は,ξ＝0では

∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4がloop積分の形になり

新たな紫外発散が生じる。という構造

になっています。そこで,演算子積:

φ(ｘ＋ξ)φ(ｘ－ξ)に対し,これは

離れた２点の場の積なのますが,先の

局所積の場合と同様,正規積:

[φ(ｘ＋ξ)φ(ｘ＾ξ)]_ｄというもの

を,次のように導入します。

まず,ΓをＧ^(n＋2)に効く任意のグラフ

とするとき,端点:ｘ₁＝ｘ＋ξと,

ｘ_2­＝ｘ－ξを一致させて得られる

グラフΔをΔ＝Γ~.(30)と記述します。

新たに生じた点ｘ＝ｘ₁＝ｘ₂のφ²頂点

をＶと呼びます、しかし,この操作は

(29)のＧ^(ｎ＋2) →Ｇ~^(n＋2)のFeynman

グラフに効く被積分関数:]_ΓはI_Γ→,I_Δ.(31)

としてほとんど何の変更もしてないことに

注意すべきです。

(29)の被積分関数をIΓと思うかIΔと思うかは

後から行なう∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp(－2iｋξ)が単

なるFourier積分か,ξ＝0とおいたloop積分に

なるか,の違いだけです。

そこで,次数がｄの正規積:

[φ(ｚ₁)φ(ｘ₂)]_ｄを次のように定義

します。

すなわち,あるグラフΓの寄与として,

＜0|Ｔ{{φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)}_ｄφ~(ｐ₁).

.φ~(ｐ_n)}}0＞^Γ _{(ｘ1＝ｘ＋ξ,ｘ2＝ｘ－ξ)}

＝∫ｄ⁴ｑｄ⁴ｋ(2π)^-8

exp(－iｑｘ－2iｋξ)(2π)⁴

δ⁴(ｑ＋Σ_iｐ_i)]∫Π_ｊ＝1²ｄ⁴ｌ_j

Ｒ_Δ^(ｄ)(ｑ/2＋ｋ,ｑ/2－ｋ,ｐ,ｄ)]..

(32)とします。

途中ですがここで今年は終わりです。

※(参考文献):九後汰一郎著

「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)