ガロア理論の復習(;2)

※2021年10月8日(金)開始→10月24日(日)

※(余談):私は,１浪して19歳で大学の理学部の

物理学科に入学しました。15歳(中３)のとき父

が病死,兄２人,姉１人の末っ子で,急に母子家庭

の貧乏になり中高一貫の私立校だったので,高校

は父の退職金や特別奨学金で普通に卒業したの

ですが,遠くの国立大学に入ったので下宿して,

ほぼ,奨学金とアルバイトで生計を賄ってました。

それでも３年生で,必須の「統計力学Ⅰ」と

「物理実験学」の２科目合計４単位？を落とし

留年して「.その１年は奨学金もストップで,もう

1年３年生をやりました。

蛇足ですが３年になる前の２年生の春にも教養

の「憲法」を落とし再試験のときは成田(三里塚

芝山町)で空港建設反対で1カ月程常駐して援農

やすわり込み,デモなどをしていたので落第の

ままで大学では教員免許取れませんでした。

しかし,私,昔から転んでもタダでは起きない

性格で,２度目の３年生では物理講義は,たった

２科目で暇だったので,1年後輩の数学科の３年

の教室にもぐりこみ数学の講義を受けました。

大学での物理学の講義は,高校物理とはあまり

にも違う内容で,未知の事柄の話をいきなりされ

ノートを取るのがやっとでチンプンカンプンで,

理解するには自分で本で独習するしかなかったの

に比べ,数学科の数学の講義は定義,定理,証明と,

何も知らない状態から丁寧で,高校時代と同じく

出席して講義を聞いてるだけで独習しなくても

自然に頭に入ってきて,ある意味で「これが大学

の講義なんだ。」と衝撃を受けました。

翌5年目は,奨学金復活し普通に物理学科４年

の講義を受けたため,数学科の4年の講義は受ける

暇はなかったのですが,集合・位相や群・環・体の

代数学,数論,解析学,関数論などの必要で基礎的な

知見は３年生の専門科目で十分で,主にこの頃に

入手したモノが.現在の頭に残っています。

さて,最近,Amazonで「博士ルーペ」という商品

らしいがＴＶショップより安いモノがあったので

注文して届き,掛けてみました。

あくまで１個人の感想ですが,昔,まだ,初期の有名

でなかった頃にハズキルーペを買って,すぐフレーム

が壊れ,結局,使えなかったのと比べて,私のような

弱視でも書に近づくと見えます。

まあ,ルーペですからね。(余談終わり※)

※さて本論の続きです。

[定理8](準同型定理):群ＧとＧ~があってφ:Ｇ→Ｇ~

がＧ~の上への準同型写像であるとき,集合Ｎ＝kerφ

＝{ｘ∈Ｇ}φ(ｘ)＝ｅ~}(ただしｅ~はＧ~の単位元)

をφの核(kernel)と定義すると)(Ｇ/Ｎ)からＧ~への

写像:φ~:ｇＮ→φ(ｇ)は商群(剰余群):(Ｇ/Ｎ)から

ら群Ｇ~の上への同型写像である。

このφ~を「φから誘導される写像」という。

(証明)(φ~の一意性):φ~(ｇ₁Ｎ)＝φ~(ｇ₂Ｎ),

つまり,φ(ｇ₁)＝φ(ｇ₂)なら,φの準同型性から

φ(ｇ₁)・[φ(ｇ₂)]^-1＝ｅ~であって同じく準同型

なのでφ(ｇ₁ｇ₂^-1)＝ｅ~です。

これは,ｇ₁ｇ₂^-1∈kerφ＝Ｎを意味します。

故に,g₁∈g₂Ｎですからg₁Ｎ＝g₂Ｎと結論されます。

(φ~の準同型性):次に,φ~(ｇ₁ｇ₂Ｎ)＝φ(ｇ₁ｇ₂)

＝φ(ｇ₁)φ(ｇ₂)＝φ~(ｇ₁Ｎ)φ~(ｇ₂Ｎ)より,

φ~が準同型であることは自明です。

(φ~の全射性):最後に,φはＧ~の上への写像です

から,∀ｇ~∈Ｇ~に対しφ(ｇ)＝ｇ~となるｇ∈Ｇ

が存在します。

それ故,ｇＮ∈(Ｇ/Ｎ)でありφ~(gＮ)＝ｇ~となる

ため,φ~もＧ~の上への写像であることになります。

(証明終わり)

[定義]:ＮをＧの正規部分群とするとき.∀ｇ∈Ｇに

対し,κ(ｇ)＝ｇＮとする写像:κ:ｇ→ｇＮをＧから

(Ｇ/Ｎ)への「自然な準同型写像」という。

これが上への写像であることは明らかです。

[定理9]:φをＧからＧ~の上への準同型写像,Ｎ~

をＧ~の正規部分群とする。

Ｎをφの原像:Ｎ＝φ^-1(Ｎ~)＝{ｇ∈Ｇ:φ(ｇ)∈Ｎ~}

とすると,φ~(ｇＮ)＝φ(ｇ)Ｎ~によって商群(Ｇ/Ｎ)

から商群(Ｇ~/Ｎ~)の上への同型写像が得られる。

(証明)写像:ψ:Ｇ~→(Ｇ~/Ｎ~)を∀ｇ~∈Ｇ~に対し

ψ(ｇ~)＝ｇ~Ｎ~なる写像として与えます。

すると,合成写像:(ψ・φ)(ｇ)＝ψ{φ(ｇ)}

＝φ(ｇ)Ｎ~は,Ｇから(Ｇ~/Ｎ~)の上への準同型

写像です。何故なら,φがＧからＧ~の上への準同型

であり,ψもＧ~から(Ｇ~/Ｎ~)の上への準同型である

からです。

さて,Ｎ＝φ^-1(Ｎ~)なので∀ｇ₁,ｇ₂∈Ｎに対して,

φ(ｇ₁)∈Ｎ~,かつ,φ(ｇ₂)∈Ｎ~です。故に,φの

準同型性から,φ(ｇ₁ｇ₂^-1)＝φ(ｇ₁){φ(ｇ₂)}^-1∈Ｎ~

であり,それ故,ｇ₁ｇ₂^-1∈Ｎ＝φ^-1(Ｎ~)となります。

そこで,まずＮはＧの部分群であることがわかります。

次に,φが準同型なので,∀ｈ∈Ｎと∀ｇ∈Ｇ

に対して,φ(ｇ^-1ｈｇ)＝{φ(ｇ)}^-1φ(ｈ)φ(ｇ)

ですが,φ(ｇ)∈Ｇ~,φ(ｈ)∈Ｎ~で,Ｎ~がＧ^の

正規部分群なので,結局,φ(ｇ^-1ｈｇ)∈Ｎ~です。

よって,ｇ^-1ｈｇ∈Ｎであり,故にＮはＧの

正規部分群であることが示されました。

そして,κ＝(ψ・φ)とおくとき,κ(ｇ)

＝ψ{φ(ｇ)}＝φ(ｇ)Ｎ~＝Ｎ~＝ｅ~Ｎ~は,

φ(ｇ)∈Ｎ~と同値であり,これは,ｇ∈Ｎ

＝φ^-1(Ｎ~)と同値です。

それ故,Ｎ＝ker(κ)が成立するので[定理8]

により.κから誘導される写像:κ~は(Ｇ/Ｎ)から

(Ｇ~/Ｎ~)の上への同型写像です。(証明終わり)

[定理10]:群ＧにおいてＨ⊂ＧをＧの部分群とし,

Ｎ⊂ＧをＧの正規部分群とするとき,

• ＨＮ＝{ｈｎ:ｈ∈Ｈ,ｎ∈Ｎ}はＧの部分群

であり,ＮはＨＮの正規部分群である、

• (Ｈ∩Ｎ)はＨの正規部分群である。
• 商群:Ｈ/(Ｈ∩Ｎ)の元:ｈ(Ｈ∩Ｎ)を商群:

(Ｈ/Ｎ)の元ｈＮに対応させる写像:

φ~:Ｈ/(Ｈ∩Ｎ)→Ｈ/Ｎは上への同型写像である。

(証明)(1)∀ｈ₁ｎ₁,ｈ₂ｎ₂∈ＨＮに対して

ｈ₁ｎ₁(ｈ₂ｎ₂)^-1＝ｈ₁ｎ₁ｎ₂^-1ｈ₂^-1

＝ｈ₁ｈ₂^-1(ｈ₂ｎ₁ｎ₂^-1ｈ₂^-1)ですが,ＨはＧの部分群

なのでｈ₁ｈ₂^-1∈Ｈであり,ＮはＧの正規部分群

ですから.ｈ₂(ｎ₁ｎ₂^-1)ｈ₂^-1∈Ｎです。

それ故,ｈ₁ｎ₁(ｈ₂ｎ₂)^-1∈ＨＮとなるため.

ＨＮ⊂ＧはＧの部分群です。

次に,∀ｈ₁ｎ₁∈ＨＮと∀ｎ∈Ｎに対して,

ＮがＧの正規部分群なのでｎ₁ｎｎ₁^-1∈Ｎです。

故に,(ｈ₁ｎ₁)n(ｈ₁ｎ₁)^-1

＝ｈ₁(ｎ₁ｎｎ₁^-1)ｈ₁^-1∈Ｎですから.ＮはＨＮ

の正規部分群です。

(2)∀ａ,ｂ∈Ｈ∩Ｎについてａｂ^-1∈Ｈ,

かつ,ａｂ^-1∈Ｎです。

よって,ａｂ^-1∈Ｈ∩ＮよりＨ∩ＮはＧの部分群

です。さらに∀ｈ∈Ｈ,∀ａ∈Ｈ∩Ｎに対して,

ｈａｈ^-1∈Ｈ,かつ,ｈａｈ^-1∈Ｎです。

故に,ｈａｈ^-1∈Ｈ∩ＮですからＨ∩ＮはＨ

の正規部分群です。

• Ｈ⊂ＨＮよりｈ∈Ｈならｈ∈ＨＮですから写像

φ:Ｈ→(ＨＮ/Ｎ)を∀ｈ∈Ｈに対しφ(ｈ)＝ｈＮ

によって,定義すると,これは明らかに準同型です。

しかも,ｇ∈ＨＮなら,ｈ∈Ｈ,ｎ∈Ｎが存在して

ｇ＝ｈｎを満たしますが,ｇ∈ｈＮですからｇＮ

＝ｈＮ＝φ(ｈ)なのでφは(ＨＮ/Ｎ)の上への写像

です。そしてkerφ＝{ｈ∈Ｈ:φ(ｈ)＝Ｎ}ですが,

φ(ｈ)＝ｈＮ＝Ｎは,ｈ∈Ｎを意味するので,

ｈ∈kerφは,ｈ∈Ｈ∩Ｎと同値ですから,結局,

kerφ＝Ｈ∩Ｎが成立します。　

故に[定理8](群の準同型定理)によって,φから

誘導される写像:φ~[ｈ(Ｈ∩Ｎ)]＝φ(ｈ)Ｎは,

[Ｈ/(Ｈ∩Ｎ)]から[ＨＮ/Ｎ]の上への同型写像です。

(証明終わり)

[定義];群Ｇの元:ｘ,ｙによるｘｙｘ^-1ｙ^-1∈Ｇ

を交換子と呼ぶ。Ｃ(Ｇ)＝{ｘｙｘ^-1ｙ^-1:ｘ,ｙ∈Ｇ}

で定義されるＧの部分集合(交換子全体)は,一般に

Ｇの積演算で閉じていないので,Ｇの部分群ではない。

しかし,交換子によって生成される部分群,

つまり,交換子とその積から得られる元を含む最小

の群をＧ~と書いて,これを交換子群と呼ぶ。

(※例えば2つの交換子：ｃ,ｄ∈Ｇ~による交換子

ｃｄｃ^-1ｄ^-1∈Ｇも群Ｇ~の元です。)

[定理11]:(1)Ｇの交換子群:Ｇ~はＧの正規部分群

である。(2)Ｇの正規部分群Ｎに対し商群Ｇ/Ｎは

可換群であるなら,Ｎ⊃Ｇ^である。

(証明)(1)∀ｃ＝ｘｙｘ^-1ｙ^-1∈Ｇ~,(ｘ,ｙ∈Ｇ)

をとると,Ｇは群ですからｃ∈Ｇであり,Ｇ~⊂Ｇです。

そこで∀ｇ∈Ｇに対してｇｘｇ^-1,ｇｙｇ^-1∈Ｇで,

ｇｘ^-1ｇ^-1＝(ｇｘｇ)^-1,ｇｙ^-1ｇ^-1＝(ｇｙｇ^-1)^-1であり,

これらは全てＧの元です。それ故,ｇｃｇ^-1

＝(ｇｘｇ^-1)(ｇｙｇ^-1)(ｇｘ^-1ｇ^-1)(ｇｙ^-1ｇ^-1)ですが,

これはＧの1つの交換子なのでＧ~の元です。

したがってＧ~はＧの正規部分群です。

(2)∀ａ,ｂ∈Ｇに対して,ａＮｂＮ＝ａｂＮ

ｂＮａＮ＝ｂａＮです。これが可換ならａｂＮ

＝ｂａＮですが,これはａｂ∈ｂａＮ,つまり,

ａｂａ^-１ｂ^-1∈Ｎなることを意味します。

よってＧ~∈Ｎです。(証明終わり)

※Ｎ＝Ｇ~⊂Ｇは,Ｇの商群:(Ｇ/Ｎ)が可換群となる

最小の正規部分群です。

[系]:Ｇが可換群である。⇔ Ｇ~＝{ｅ}である。

(証明）∀ｘ,ｙ∈Ｇについて,ｘｙ＝ｙｘであるのは,

ｘｙ(ｙｘ)^-1＝ｘｙｘ^-1ｙ^-1＝ｅと同値です。

故にＧが可換群であるのは,Ｇ~＝{ｅ}と同値です。

(証明終わり)

(※これ,別に[定理11]の系ではないような？)

第２章 可解群

※可解群というのは代数方程式がベキ根で可解と

なる条件と関連して,名称がつけられました。

体の拡大列に自己同型群の縮小する正規列が

対応し,それが方程式の係数を置換する対称群に

関わるという,随分と先のトピックであり,環や体

の説明の後に記述するのが理論構成の本来の順序

であると今では思いますが,,一応,群についての全て

の話だけを,予めまとめて書いたらしい私の過去ノート

に従うことにします。

※[可解群の定義]:群Ｇが与えられたとき,まずＧ₀

をＧ₀＝Ｇとおいて,ｋ＝0,1,2,,に対し,Ｇ_ｋ＋1をＧ_k

の正規部分群とする縮小する列として

Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃..⊃Ｇ_ｋ⊃Ｇ_ｋ＋1⊃．..をつくるとき,

商群:(Ｇ_k/Ｇ_ｋ＋1）が全て可換群(アーベル群)となる

正規列が,有限のｍ個でＧ_m＝{ｅ}となって終わるなら,

群Ｇを「可解群」という。

※交換子群を用いてＧ_ｋ＋1＝Ｇ~_ｋと選択することも

できますから,どんな群Ｇでも,正規列を作ることは

可能ですが,それが有限個で{ｅ},または{1}に収束

するかどうか？はわかりません。{ｅ}に収束しない

群Ｇは「非可解群」と呼ばれます。

※縮小正規列の途中でＧ_ｋが可換群(アーベル群)と

なるなら,Ｇ~_k＝{ｅ}なので,Ｇ_ｋ+1＝{ｅ}と置けば

その時点で可解群であることが判明します。

※[部分群の指数]:群Ｇの部分群Ｈの指数とは,Ｈ

による(左右)剰余類の個数のことです。

これを|Ｇ：Ｈ|と表記します。

※[定理2-1](ラグランジュの定理)：

Ｇが有限群で,Ｈがその部分群であれば,指数:|Ｇ:Ｈ|

＝|Ｇ|/|Ｈ|である。

(証明)前に記述したように,Ｈによる左剰余類の場合

なら,Ｇ＝ΣａＨのように,Ｇは互いに素な剰余類の

直和で表わせます。

そして,剰余類(ａＨ)の元の個数は全てＨの位数

|Ｈ|に等しいため,|Ｇ|＝|Ｇ：Ｈ|・|Ｈ|です。

故に|Ｇ：Ｈ｜＝|Ｇ|/|Ｈ|を得ます。(証明終わり)

※[対称群(置換群)の定義]:

ｎ個の整数の列{1,2..ｎ}の順序を交換する写像,

σ:{1,2,..ｎ}→{p₁,ｐ₂,..ｐ_n}(順列)を,n次の置換

と呼び,Ｓ_nを全てのｎ次の置換を元とする集合とすれば

置換の積について群をなし,これを対称群(置換群)という。

※ただし,置換の積とは,合成写像を意味します。

つまり,σ:{1,2..ｎ}→{p₁,ｐ₂,..ｐ_n}と,τ:{1,2,..ｎ}

→{ｑ₁,ｑ₂,..ｑ_n}なる元(写像):σ,τ∈Ｓ_nの積は,写像

σ:ｉ→ｐ_i＝σ(i)と,写像τ:i→ｑ_i­＝τ(i)を,この順に

適用して合成すると,合成写像:(τσ)(ｉ)＝τ(σ(i))

＝τ(ｐ_i)となりますが,線形代数学では,これを

置換σと置換τの積:στと定義するのが慣例です。

置換操作は可換ではないので,定義での操作順序

の規約は,参考書によっては演算の順序が逆のモノ

もあり,誤解すると混乱の種になるので注意が必要

です。

そして,実際,この積演算はＳ_nの中で閉じており

整数列の順序を全く変化させない写像:ｅ(ｉ)＝ｉ,

つまり,ｅ:{1,2..ｎ}→{1,2,..ｎ}を恒等置換と呼べば

これが積演算の単位元となります。

そして,σの逆元σ^-1は,これを逆写像:σ^-1:ｐ_ｉ→ｉ,

つまり,σ^-1:{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}→{12..ｎ}で与えれば,

σσ^-1＝σ^-1σ＝ｅとなるので,その存在は明らかです。

また,群であるために必要な積演算の結合則は,積演算

が合成写像ですから,結合則の成立も自明で,Ｓ_nは確かに

有限群をなすことがわかります。

※[互換の定義]:特にｎ個の列{1,2..ｎ}のうち.成分

ｉだけを,ｊ≠iなるｊと交換して,それ以外の成分

は不変のままの置換を,(ｉ,ｊ)と書いて互換と呼び

ます。このとき互換も１つの置換ですから,もちろん

∀(ｉ,ｊ)∈Ｓ_nです。

※線形代数学によれば,任意の置換σ∈Ｓ_nは有限個

の互換の積で表わすことができます。

そうして,その因子分解は,個々のσに対し一意には

決まらないのですが.1つの置換の因子分解の因子の

総数が奇数であるか,偶数であるか？は一意的です。

そこで,奇数個の互換の積で表わせる置換を奇置換と呼び

偶数個の互換の積で表わせる置換を偶置換と呼びます。

Ｓ_nの置換の総数,つまり,位数|Ｓ_n|は,順列の総数に

等しいので|Ｓ_n|＝_nＰ_n＝ｎ!ですが,奇置換に左からでも

右からでも,互換を１つ掛けると偶置換になり,逆に,

偶置換に互換を１つ掛けると奇置換になるので１対1

の対応があり,結局,奇置換と偶置換の個数は同じです。

故に,それぞれ(ｎ!/2)個ずつ,あるはずです。

しかし,積演算の単位元である恒等置換ｅは,偶置換

ですから,それを含む偶置換の集合だけがＳ_nの部分群

をなし,ます。これをｎ次の交代群と呼び,Ａ_nと表記

します。

[定理]2-2]:交代群Ａ_nはＳ_nの交換子群:Ｓ~_nであり,

それ故,Ｓ_nの正規部分群である。

(証明)σ,τ⊂∈Ｓ_ｎのとき.交換子:στσ^-1τ^-1を

つくると,σが奇置換ならσ^-1も奇置換,σが偶置換

ならσ^-1も偶置換で,τとτ^-1についても同様です。

それ故,交換子:στσ^-1τ^-1は常に偶置換です。

故に交換子で生成される交換子群:Ｓ~_nは交代群

Ａ_nに一致しており,既述の定理によって正規部分群

です。(証明終わり)

[定理2-3]:対称群Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄は可解群でありｎ≧5

の対称群Ｓ_nは可解群ではない。(非可解である。)

(証明)Ｓ₂は恒等置換:ｅと互換:(1,2)のみが元で,

積は常に可換なので可換群ですから,その交換子群

は,Ｓ~₂＝{ｅ}でこれは正規部分群なのでＳ₂⊃{ｅ}

が正規列となり.明らかに可解群です。

次に,交代群Ａ_nは,Ｓ_nの指数が２の正規部分群

ですが,ｎ＝3のＡ₃は,それ自身可換群です。

何故なら,Ｓ₃の位数は６,Ａ₃の位数は３で,その

元は恒等置換:ｅ＝{1,2,3}とσ＝{2,3,1},および,

σ^-1=={3,1,2}だけですから明らかに可換群であり,

正規列:Ｓ₃⊃Ａ₃⊃{ｅ}を得るので可解です。

ｎ＝4のＳ₄についてはσ＝{ｉ,ｊ,ｋｌ}∈Ｓ₄

は,物理で用いるLevi-Civitaテンソルの非ゼロ

成分のε_ijklが＋1のとき偶置換で,σ∈Ａ₄です、,

他方,ε_ijklが(－1)のとき.σは奇置換です。

しかも,σ∈Ａ₄のとき.(1,2)σは奇置換であり

σ,τ∈Ａ₄でσ≠τなら,(1,2)σ≠(1,2)τとなり

1対1に対応します。

それ故,Ｓ₄/Ａ₄＝{Ａ₄,(1，2)Ａ₄}です。この商群

は単位元Ａ₄の他には元が１個なので可換群です。

そもそも指数が２なら.商群の位数は２で,常に可換群

です。そしてＶをＶ＝{ｅ,(ｉ,ｊ)(ｋ,ｌ)}(ただし,

ｉ,ｊ,ｋ,ｌは１～4の異なる数)とおくと,|Ｖ|

＝1＋₄Ｃ₂/2＝4です。Ｖの元である互換の積の積

は,異なる４つの互換の積:(ｉ₁.ｊ₁)(ｋ₁,ｌ₁)

×(ｉ₂,ｊ₂)(ｋ₂,ｌ₂)ですが,これは互換の順序に

依らないので可換です。

そして,|Ａ₄|＝12より,|Ａ₄/Ｖ|＝3で(Ａ₄/Ｖ)

＝{Ｖ,(1,2,3)Ｖ.(2,3,4)Ｖ}と書けますが,そもそも

位数が３の部分群は,単位元と,それ以外の１つの元

とその逆元だけが全ての元なので,明らかに可換群です。

以上から,Ｓ₄⊃Ａ₄⊃Ｖ⊃{ｅ}という正規列が得られ,,

Ｓ₄が可解群であることが示されました。

次に,ｎ≧5のＳ_nを考えます。Ｓ_nの部分群で長さ

が３の巡回置換を全て含むものをＧとします。

このときＮがＧの正規部分群ならＮもまた,

長さ３の巡回置換を全て含むことを示します。

ｎ≧5なので,ｉ,ｊ,ｋ,ｒ,ｓを1からｎまでの

うちの相異なる５文字とします。

そして,σ=(ｉ,ｊ,ｓ),τ＝(ｋ,ｒ,ｓ)とすると

仮定により,σ,τ∈Ｇです。このとき,その交換子

は,στσ^-1τ^-1＝(ｉ,ｊ,ｓ)(ｋ,ｒ,ｓ)(ｓ,ｊ,ｉ)

×(ｓ,ｒ,ｋ)＝(ｒ,ｊ,ｓ)となります。

何故なら,(ｉ,ｊ,ｓ)(ｓ,ｋ,ｒ)＝(ｉ,ｊ,ｋ,ｒ,ｓ)

で,(ｊ.ｉ,ｓ)(ｒ,ｋ,ｓ)＝(ｊ,ｉ,ｒ,ｋ.ｓ)です

から,積はｉ→ｉ,ｊ→ｓ,ｋ→ｋ,ｒ→ｊ,ｓ→ｒ

となるため,(ｒ,ｊ,ｓ)と書けて,これは長さ３の

巡回置換です。交換子群は.最小の正規部分群です

から,ＮがＧの正規部分群なら(ｒ,ｊ,ｓ)∈Ｎですが

ｒ,ｉ,ｓは任意なのでＮも全ての長さ３の巡回置換

を含むことがわかりました。

それ故.もしもＳ_nが可解群であるなら,

Ｓ_n⊃Ｓ_ｎ⁽¹⁾⊃..⊃Ｓ_ｎ^(ｒ)＝{ｅ}となる正規列がある

はずですが,そうすると最後の正規部分群:|ｅ}も

長さ３の巡回置換を全て含むべきなので,これは

矛盾です。したがって,ｎ≧5のＳ_nは非可解群です。

(証明終わり)

※関係ｇ₁～ｇ₂を,ｇ₂＝ｘ^-1ｇ₁ｘとなるｘ∈Ｇが存在

することで定義すると,これは同値関係で,これに

よる同値類をＭ(ａ)＝{ｘ^-1ａｘ|ｘ∈Ｇ}と書けば,

Ｇの同値類別はＧ＝Ｍ(ａ)∪Ｍ(ｂ)∪..となります。

また,Ｈ(ａ)＝{ｘ∈Ｇ|ａｘ＝ｘａ}とおくと,

これはＧの部分群です。何故ならｘ,ｙ∈Ｈ(ａ)なら

ａｙ＝ｙａより,ａｙ^-1＝ｙ^-1ａですから.ａ(ｘｙ^-1)

＝ｘａｙ^-1＝(ｘｙ^-1)ａとなるのでｘｙ^-1∈Ｈ(ａ)が

成立するからです。

,このとき,ｍ＝ｘ^-1ａｘ,ｎ＝ｙ^-1ａｙなら,

ｍ.ｎ∈Ｍ(ａ)ですが,＝ｎは,(ｙｘ^-1)＝ａ(ｙｘ^-1)

を意味るため,(ｙｘ^-1)∈Ｈ(ａ),つまり,ｙ∈Ｈ(ａ)ｘ

と同値です。よって,Ｈ(ａ)による右剰余類とＭ(ａ)の

元は１対１に対応するので{Ｍ(ａ)＝|Ｇ：Ｈ(ａ)|です。

そこで特に|Ｍ(ａ)|＝1はＧ＝Ｈ(ａ)と同値です。

※[群Ｇの中心]:Ｃ＝{ａ∈Ｇ|ａｘ＝ｘａ for ∀ｘ∈Ｇ}

をＧの中心という。

この中心ＣはＧの正規部分群です。何故なら,ａ,ｂ∈Ｃ

のとき,∀ｘ∈Ｇに対し(ａｂ^-1)ｘ＝ａｘｂ^-1＝ｘ(ａｂ^-1)

よりａｂ^-1∈Ｃであり,ｘ^-1ａｘ＝ａなので正規部分群です。

また,ａ∈Ｃなら|Ｍ(ａ)|＝1でＧ＝Ｈ(ａ)です。

何故なら,ｂ∈Ｍ(ａ)ならｂ＝ｘ^-1ａｘですが,ａ∈Ｃなら

ｘ^-1ａｘ＝ａより,ｂ＝ａ,故に|Ｍ(ａ)|＝1です。；

※[巡回群の定義]:群Ｇがあるとする。∀ｇ∈Ｇに対して

ｇ＝ａ^ｎとなるａ∈Ｇとｎ∈Ｚが存在するとき,Ｇをａで,

生成される巡回群といい,Ｇ＝＜ａ＞と書く。ａ⁰＝ｅで

＜ａ＞＝{ｅ,ａ,ａ².,,}です。

※Ｇが有限群で,|Ｇ|＝ｎのとき,∀ａ∈Ｇに対してａ^ｋ＝ｅ

となるｋ∈Ｚが存在します。さもないと＜ａ＞が無限巡回群

となり有限群に矛盾します。このとき.ａ^q＝ｅとなる最小

の非負整数:ｑを元ａの位数(orｄer)と呼びます。

＜ａ＞＝{ｅ,ａ,::ａ^q-1}で.これは明らかにＧの部分群

であり巡回部分群といわれます。

|＜ａ＞|＝ｑで,この群の位数はａの位数に一致します。

しかもＧの部分群ですからｑ＝|＜ａ＞|は.ｎ＝|Ｇ|の

約数です。故にｑ≦ｎですが,もしもｑ＝ｎならＧ＝＜ａ＞

です。特にｎ＝|Ｇ|が素数ｐであるなら.Ｇの部分群は.

ｅ以外の元ａ∈ＧについてＧ＝＜ａ＞＝{ｅ,ａ,..ａ^q-1}

と{ｅ}の自明な部分群のみです。何故なら,Ｇの任意の元

は,ｎ­＝ｐの約数1かｐを位数ｑとする巡回部分群を生成

するかしかないからです。そして|＜ａ＞|＝ｐ=|Ｇ|なら

＜ａ＞＝Ｇであるからです。

※[ｐ群の定義].群Ｇの任意の元の位数が素数ｐのベキ乗

であるとき,Ｇをｐ群という。

Ｇが有限ｐ群ならＧの位数もｐのベキ乗です。

※[定理2-4]:ｐ群は可解群である。

(証明)まず,|Ｇ|＝ｐ⁰＝1ならＧは単位群{ｅ}なので

可解群です。

数学的帰納法を用います。|Ｇ|＝ｐ^ｍ(ｍ＜ｎ)の群Ｇ

は可解群である.と仮定します。

そして,次に|Ｇ|＝ｐⁿとします。Ｇの中心Ｃの位数は

ＣがＧの部分群なのでｐⁿの約数ですからｐのベキ乗

です。ただし,Ｇが可換群なら,Ｃ＝ＧなのでＧ＝Ｃ⊃{ｅ}

が正規列であり,明らかに」可解ですから,ＣはＧの真部分群

であるとすると,|Ｃ|＝ｐ^r＜ｐ^ｎと書けます。,

中心Ｃはそれ自身可換群ですが,それによる商群の

(Ｇ/Ｃ)＝{ｇＣ:ｇ∈Ｇ}も明らかに可換群です。

そして|Ｇ/Ｃ|＝ｐ^ｎ-r(ｒ≧1)で,これもｐ群です。

そこで帰納法の仮定により,

(Ｇ/Ｃ)＝Ｇ^０₀⊃Ｇ^₁⊃…⊃Ｇ^_m＝{ｅ}となる正規列

が存在します。

ここでＧから(Ｇ/Ｃ)の上への自然な準同型;κ(ｇ)

＝ｇＣの,Ｇ^_kの原像κ^-1(Ｇ^_ｋ)をＧ_kと定義すれば

Ｇ_ｋ+１はＧ_ｋの正規部分群で(Ｇ_k/Ｇ_k+1)が可換群

の正規列:Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃…⊃Ｇ_m＝{ｅ}を得るので,

Ｇも可解群であることがわかります。

(※細かい証明説明は略)　(証明終わり)

長くなったので,途中ですが終わります。(つづく)

ノーべル物理学賞

本年度のノーべル物理学賞受賞の真鍋先生おめでとう　

ございます。といっても私は存じ上げていませんでした、

今でこそ,科学分野での日本人のノーベル賞受賞者多勢

おられますが,私の学生の頃は素粒子論の湯川先生と

朝永先生くらいでした。

結局,このお２人に影響されて浅学非才な私も理論物理学

に魅力を感じたのが,71歳の今でも興味を持ち続けている

キッカケであったと思います。

　気象力学や地震物理学なども地球物理学に属しますが

高校では「地学」という範疇で,私も物理学には違いない

と思っているのにノーベル物理学賞にはこれまで無縁でした。

　私はコンピューターで環境アセスメントを仕事とする会社

に入社して13年在職していたので，気象も地震も仕事に必要

な知識だったのでしたが,学生時代は基礎物理に属するもの

しかやらなかったので,流体力学から始めて後に水理学とか

気象力学や地震学なども「門前の小僧」で知識が増えて

いきました。

　そして当時のNECや富士通の大型コンピューターを使って

Fortrranのプログラムで差分法や有限要素法で数値モデル

を立てて計算することもやりっましたが,当時のスパコン

でさえ,今のPCよりはるかに遅くて,使用データも1600

フィート？(6000だったかな)のテープ5本などを回して

何日もかけて連続計算していました。

(おかげで計算が終わるのを待ってるだけで,ときどき,

テープ交換するだけの徹夜か泊まりというような,

ある意味で楽な(無駄な)残業もよくありました。)

　今の気象庁の気象予測計算などは,もし数日かかると

したら無意味なので,あの頃から大した進歩だと思います

　眞鍋先生は90歳ということで,私より19歳も年上なので

当時コンピュータでの数値計算は大変だったろうと想像

します。　日本はコンピュータI産業の保護で国産機械

しか使えませんでしたがア,メリカだともっと進んでいた

のでしょうね。。

　私,1989年糖尿病で教育入院したのをキッカケに1990年

(平成2年)の3月に40歳で13年勤務した会社をやめたのですが,

そのころ会社で「地球温暖化」の計算プロジェクトをやると

いう計画がありました。眞鍋さんのではない研究者の英語の

論文など読みましたが,球体の地球全体は地図を作成するのでも

「メルカトール法」とか「モルワイデ法」とか,困難がある

ように,地球全体を差分メッシュに分解する座標系の取り方か

らかなり難しく,当時,ゴア副大統領著の「不都合な真実」が

出て注目された課題でも研究所でもない民間の１営利企業が

取り組む問題じゃないというわけか？消滅したようです。

　当時,フロン(塩素,フッ素)やPAN(ポリアセチルナイトレート)

の増加によって,光吸収による酸素からのオゾン生成と光放出に

よるオゾンの分解の平衡が損なわれてオゾン層が破れ光化学

スモッグ(光化学オキヂダント)の発生,太陽からの紫外線やX線

による皮膚ガン被害などの原因の化学反応も問題となりこれら

は,単純に物理だけの問題じゃないのですがく温暖化やそれに

伴う気象変動があることは事実でしょうが,二酸化炭素が

その主な犯人であるかどうか？は疑問視されていました。

　そういう計算結果があっても,数値計算法の信憑性も

疑われた時代でしたしね。

　私自身も地球の最大の温室効果ガスは水(水蒸気や雲)で

人間や動物の活動が異常気象の原因だとは思っていても

高々2パーセント程度のCO2よりも,森林伐採による密林

の砂漠化,雨が降らないなどの方が異常気象の主犯だと

思ってました。いまも世間の常識とは違う見方も多い

です。例えば,ニュートリノ振動やニュートリノの

有質量も,まだ本当かな？と疑問視しています。

　さて1990年に退職金でPCを買い,ベンチャー会社の

嘱託をしながら大学受験塾を始めましたがバブルが終焉

を迎えた1993年ころ,結局,プータローになりました。

オイルショックもある不景気な世の中,40歳を過ぎた

冴えないオヤジが約7年間,起業するでもなく職を選

ばない就職試験も落ち続けましたが,食べていくため

最初は交通ガードマンから始めて,予備校講師,専門

学校講師のバイトで食いつなぎ.2000年の50歳の直前

199年12月で採用されたのは正社員でなく派遣会社.

それも大会社の孫請けで隔日夜勤11.5時間(20時から

翌7時半)の拘束で10時間労働.時給1500円でした。

それから7年,心臓病で倒れるまではっここの派遣社員

でした。その間,平成13年12月,11年ぶりで最初正社員

だった会社に隔日アルバイト,時給2500～2200円で

朝9時から17時半までが通常勤務の会社に勤務しました。

科学計算する仕事は同じですが大型コンピュータじゃ

なくPCでの仕事でした。

つまり,夜勤10時間は,月水金と火木土の週交代でしたが

たとえば月が夜勤日なら,朝から神保町の会社で18時半

まで1時間残業で.夕食後は永代橋そばの会社で20時から

7時半の夜勤です。ときには(水ｔ曜日)夜勤明けの朝から

池袋で朝食後,専門学校講師で昼過ぎに帰宅という生活

が結局4年も続きました。

平成17年(2005年)には,津軽湾の地球温暖化による海流

の時間変化を計算する,というのが最後の仕事で,計算困難

で解決できないまま,11月に55歳でクビとなりました。

そのころは3つの仕事掛け持ちででも最初の正社員時代

より収入はガタ落ちでした。

　心臓病になったのは夜勤だけになり仕事時間も収入も

半分以下になった2006年の12月のことです。2007年

4月の心臓手術で夜勤もクビになりました。

　意外と,温暖化やその数値モデルと個人的に縁が

あったな,ということを連想したという,ノーベル賞に

無理にコジつけたツマラナイ個人のお話です。

ガロア理論の復習(1)

※2021年9月23日(木)開始→10月7日(木)

※久しぶりです。TOSHIです。

未だ終活などトンデモナイと,この世に未練タップリ

という感がありますが,何か難しい考え事でもしてないと

生きてくハリというか？モチベーションがなくなり無為

に時が過ぎるばかりで,むなしいです。

食って出して寝る,日々生きていく糧があり暑さ寒さ雨露

をしのぐ衣服と部屋があるのはとてもシアワセなことです

が「家畜と同じ生なら別に生きていてもしょうがない。」

と思うゼイタクでエゴイストのバチアタリジジイですから。。

今年の7月ころには「遺構」と称して2018年にブログ

にアップした２つの科学記事「素粒子ソリトン説(1),(2)」

という,主要項に比べて10^－40のオーダー程度の極く小さい

非線型付加項があって特殊相対論をも破る自由粒子という

仮説モデルについて論じたものを書きましが,これは遅々と

して進まず,そこで最近は素粒子理論ばかりではなく気分

転換に自分の残っている蔵書の中から19世紀の数学の

ルフィニとアーベルによる「5次以上の代数方程式の

ベキ根による解法の不可能の証明」の歴史についての本

を読んだりしていましたが,目が悪くてなかなか進みません。

老眼鏡でも文字が薄くて判読ができず,紙面を懐中電灯で

照らすと少し読めるようなので老眼というより弱視かも

しれず,眼科では2011,2012年に手術した両眼の硝子体

が濁っているらしいのですが,糖尿病だと硝子体交換手術

は難しいそうです。でも本当は手術を受けたいです。

今は読書も困難なので,かつてバブルも終わり求職活動

をしながらもフリーターで暮らすしかなくなり,暇な時間

に物理や数学の勉強を再開いていた40歳代前半の頃に

勉強した.アーベルよりも先に進んだガロアによる

「代数方程式のベキ根による解が存在するための必要

十分条件」(これは過去のブログ記事でも紹介済み)に

ついての覚え書きノートをもう1度復習し要約する

ところからやってみたいと思います。(自分の書いた

ノートなら,かろうじて読めますから。。)

※さて,以下は本題です

第0章:準備(必要な予備知識)

§1.群,環,体

(Ⅰ)[群の定義]:集合Ｇの上にある２項演算(・)が定義

され,,任意のａ,ｂ,ｃ∈Ｇに対して次の３つの条件を

満たすとき,(Ｇ.・)の組を群(group)という。

この３条件は,

(1)∀ａ,ｂ∈Ｇに対しte,結合則:ａ・(ｂ・ｃ)

＝(ａ・ｂ)・ｃが成立する。

(2)∀ａ∈Ｇに対してe・a＝ａ・ｅ=ａを満たす

単位元ｅが存在する。

(3)∀ａ∈Ｇについてａ^-1ａ＝ａａ^-1＝ｅを満たす逆元

ａ^-1が存在する。　の３つです。

　さらに∀ａ,ｂ∈Ｇが交換則:ａ・ｂ＝ｂ・ａを満たす

場合は.(Ｇ,・)は可換群(アーベル群)であるといいます。

そして,特にＧが可換群の場合,可換演算・を＋と書いて

＋を加法,(Ｇ,＋)を加法群と呼ぶことがあり加法群の場合,

単位元を0(ゼロ)と書いて零元と呼びます：

※[半群の定義]:集合Ｓの上に,ある２項演算・が定義され,

結合則を満たすとき,(Ｓ,・)の組を「半群」という。

群とは異なり,単位元の存在,逆元の存在は必ずしも

仮定されない集合です。

(Ⅱ)[環の定義] 集合Ｒの上で乗法(・)と加法(＋)という

２種の２項演算が定義されており,以下の条件を満たすとき

(Ｒ,・,＋)の組を「環(ring)」という。

（1）加法について,(Ｒ,＋)は可換群をなす。このとき,

その単位元を0(ゼロ)と書き零元と呼ぶ。

(2)(Ｒ,・)の乗法については結合則が成立する。

すなわちａ・(ｂ・ｃ)＝(ａ・ｂ)・ｃである。

(3)乗法の単位元ｅが存在する。すなわち,ｅ・ａ

＝ａ・ｅ＝ａが成立する。ただしｅはゼロとは異なる

元である

(4)加法と乗法について分配則が成り立つ。すなわち.

ａ・(ｂ＋ｃ)＝ａ・ｂ＋ａ・ｃである。

特に,Ｒが乗法についても交換則を満たすときは,これ

を「可換環」という。

(Ⅲ)[体の定義]:集合Ｋの上で乗法(・)と加法(＋)という

２種の２項演算が定義されており,加法では(Ｋ,＋)が

可換群をなし,その単位元を0(ゼロ)と書き,零元と呼ぶ。

また,この0を除く集合:Ｋ－{0}は乗法について群を

なし,この乗法群の単位元ｅは1と書くことがある。

このとき,任意のKの元:ａ,ｂ,ｃ∈Ｋについて分配則

ａ・(ｂ＋ｃ)＝a・ｂ＋ａ・ｃが成立するなら,(Ｋ,・,＋)

の組を「体(field)」という。特に乗法についても可換なら

Ｋを「可換体」という。

※以下，乗法については演算記号・を省略します。

※群Ｇの部分集合Ｈが同じ演算で群をなすなら,これを

Ｇの「部分群」という。Ｈ⊂ＧがＧの部分群となるため

の必要十分条件は,∀ａ,ｂ∈Ｈがａ^-1ｂ∈Ｇ,あるいは

ａｂ^-1∈Ｇを満たすことです。

環Ｒの「部分環」,体Ｋの「部分体」についての定義も

部分群と同様です。

※(例):有理数集合Ｑ,実数集合Ｒや複素数集合Ｃは通常

の演算で体をなします。整数集合Ｚや多項式の集合は

環をなします。

※[体Ｋの性質1]任意のａ∈Ｋについてａ0＝0ａ＝0

が成り立つ

(証明)ａの他にｂ∈Ｋを任意に取ると,ａｂ＝ａ(0＋ｂ)

＝ａ0＋ａｂです。ａｂはＫの任意の元なので,これは

ａ0＝0であることを意味します。他方,0ａ＝0も同様

に示すことができます。(証明終わり)。

※[有限体の定義]:

群,環,体の元の個数を「位数」という。体の場合.位数が

有限の体を「有限体」と呼ぶ。また,位数が有限ではない体

を「無限体」という。有限群,有限環についても同様です。

※[有限体の性質]:有限体Ｋがあって,その位数がｑである

とき,ｘがＫの任意の元ならｘ^ｑ＝ｘが成立する。

(証明)ｘ＝0なら自明なのでｘ≠0とします。

Ｋ－{0}は,位数が(ｑ－1)の乗法群をなします。

その任意の元ｘによる巡回集合:＜ｘ＞＝{1,ｘ,ｘ²,…}

は有限群の部分集合なのでｘ^ｋ＝1となる最小の自然数ｋ

が存在するはずです。これを元ｘの位数と呼べば,＜ｘ＞

はｋを位数とする巡回群をなします。これは特に乗法群:

Ｋ-{0}の部分群となるのは明らかです。,それ故,部分群:

＜ｘ＞の位数ｋは.元の乗法群の位数(ｑー1)の約数と

なります。なぜなら,部分群の元の個数はｋですが,それ

と同じ個数ｋの元を持つ剰余類の総和が乗法群:Ｋ－{0}

に一致するため,(剰余類の個数)とｋの積か(ｑ－1)に

等しいことになるからです。したがってｘ^(ｑ－1)＝1であり

ｘ^ｑ＝ｘが成立します。(証明終わり)

※[代数系のその他の必要知識]

群Ｇの部分群をＨとするとき,任意のａ∈Ｇに対して

集合:ａＨ＝{ａｈ∈Ｇ:ｈ∈Ｈ}をＨによる左剰余類.

と呼び,集合:Ｈａ＝{hａ∈Ｇ:ｈ∈Ｈ}を右剰余類

と呼ぶ。Ｈ＝ｅＨを含む全ての剰余類の集合系の総和

は集合Ｇに一致します。左剰余類ａＨとｂＨの積演算

を,(ａＨ)(ｂＨ)＝{ｘｙ∈Ｇ:ｘ∈ａＨ,ｙ∈ｂＨ}で定義

すると,明らかに(ａＨ)(ｂＨ)＝ａｂＨであり,故に,

これもＨについての左剰余類に属します。

そこで,ａ∈ＧをａＨに対応させる自然な写像:

ａ→aＨは１つの「準同型写像」です、

そして剰余類の系:{ａＨ⊂Ｇ:ａ∈Ｇ}は,この元の

積演算で単位元をＨ＝ｅＨとする群をなすことに

なります。この群を「剰余類群」とも呼びます。

右剰余類:Ｈａについても全く同様な議論ができます。

特にａＨ＝ＨａなるときＨを「正規部分群」と呼び,

記号Ｎで表わすことが多いです。Ｎが正規部分群なら

Ｎ＝ａ^-1Ｎａなので「∀ｈ∈Ｎが∀ａ∊Ｇに対して

ａ^-1ｈａ∈Ｎを満たすことと,Nが正規部分群なること

は同値」です。

　そして,部分群Ｈによる左剰余類群,右剰余類群を

総称して単に「剰余類群」または「商群」,「因子群」

とも呼び,これらの集合系の群ををＧ/Ｈで記述します

※[同値関係と同値類]：

集合Ａの２つの元に,関係:～が定義され,Ａの任意

の元ａ,ｂ,ｃ∈Ａに対して次の３つ条件(同値律)を

満たすとき,関係:～を同値関係という。すなわち,

1．反射律:ａ～ａ

２.対称律:ａ～ｂならｂ～ａ

３.推移律:ａ～ｂ,かつ.ｂ～ｃならａ～ｃ

の３条件が同値律です。

さらに.任意のａ∈Ａについて,集合Ｃ(ａ)を

Ｃ(ａ)＝{ｘ∈Ａ:ｘ～ａ}によって定義し,これを同値

関係:～に基づいてａを代表元とする「同値類」という。

すると,Ａはその同値類の総和に一致します。すなわち

Ａ＝∪_ａ∈ＡＣ(a)です。

　そして,ａ～ｂなることと,集合としてＣ(ａ)＝Ｃ(ｂ)

なることは同値であることがわかります。

よってａ～ｂでないなら,Ｃ(ａ)∩Ｃ(ｂ)＝φ(空集合)

であり,Ａ＝∪_ａ∈ＡＣ(ａ)の右辺は直和となります。

つまり,Ａ＝Σ_ａ∈ＡＣ(ａ)と書くことができます。

このように,集合Ａを同値類の総和に分解することを

「同値類別」といいます。

※[剰余類としての同値類]:整数ａ.ｂ∈Ｚの整数ｍを法

とする合同関係ａ≡ｂ(mod ｍ)は,1つの同値関係ａ～ｂ

です。これによる同値類(合同類)は,ｍで割ったときの

剰余:0，1,2...(ｍ－1)が,それぞれ同一であることを

意味するので,これも「剰余類」と呼びます。ｍを法と

する場合.異なるものはｍ個あります。特にａがｍと

互いに素:(ａ,ｍ)＝1の剰余類:Ｃ(ａ)を「既約剰余類」と

いいます。

この剰余類:Ｃ(ａ)は先に群Ｇの部分群Ｈによる剰余類

をａＨやＨａと記して説明したものと同様,Ｃ(ａ)と

Ｃ(ｂ)の積を定義すると(ａＨ)(ｂＨ)＝ａｂＨと同じく,

Ｃ(ａ)Ｃ(ｂ)＝Ｃ(ａｂ)であり,その全体集合は剰余類群

をなします。

※さて,私の1993年９月に始まる参照ノートは,いきなり

この次に書く項目から始まっていたのでて,それ以前の

記述のあるノートがあるかも,と思って探してみました

がありませんでした。

そのころの40歳代頃の私の頭では.今,準備で書いた

ようなことは常識で説明不要の用語だったので,中途

半端なところから開始したのかもしれませんが,今

読み返すと老化や却のせいか,1つ1つ意味不明の事柄

が多く,そこで定義を中心に整理したのが以上です。

※というわけで改めて本論開始です。

第１章:導入(introduction)

※[定理1]:Ｚを整数の集合とする。∀ａ,ｍ∈Ｚに

ついてａとｍが互いに素,つまり.ａ,ｂの最大公約数

がｄ＝(ａ,ｍ)­＝1であるとき,ｘ∈Ｚについて

ａx≡0(mod ｍ)ならｘ≡0(mod ｍ)である。

(証明)(ａ,ｍ)＝1により,あるｐ,ｑ∈Ｚが存在して.

ａｐ＋ｍｑ＝1とできます。そこで∀ｘ∈Ｚに対し,

ａｘｐ＋ｍｘｑ＝ｘが成立します。

それ故,ａx≡0(mod ｍ),つまり,ｍ/(ａｘ)なら,

ｍ/ｘ.つまり,ｘ≡0（mod ｍ）です。(証明終わり)

※[系]Ｃ(ａ)がｍを法とする既約剰余類:のとき，

Ｃ(ａ)Ｃ(ｘ)＝Ｃ(1),となるＣ(ｘ)は,Ｃ(ａ)に対して

一意的(ｕnique)である。

(証明)Ｃ(ａ)Ｃ(ｘ)=Ｃ(1),かつ,Ｃ(ａ)Ｃ(ｙ)＝Ｃ(1)

とすると.ａx≡1(mod ｍ),かつａｙ≡1 (mod ｍ)です。

故に,ａ(ｘ－ｙ)≡0,です。したがって定理1によって

(ｘ－ｙ)≡0,つまり,ｘ≡ｙ(mod ｍ)ですが,これは

Ｃ(ｘ)＝Ｃ(ｙ)を意味します。(証明終わり)

※[定理2]:可換環Ｒの部分環Ｓは可換環である。

(証明)ａ,ｂ,ｃ∊Ｓとする。部分環であるための

条件はａ－ｂ∈Ｓです。ａ,ｂ.ｃが加法,乗法に

ついて結合則,分配則を満たすのは定義から自明。

そして,ａ＋(－ａ)＝0∈Ｓより0∈Ｓであり,それ故,

(－ａ)＝0－ａから,(－ａ)∈Ｓです。

Ｒと同じ乗法で交換則も成立しその単位元ｅも

ＲとＳで共通です。(証明終わり)

※[定理3]:0でない整数ａ,ｂ∈Ｚの最大公約数を

ｄ=(ａ,ｂ)とすると,ａｘ＋ｂｙ＝ｄなるｘ,ｙ∈Ｚ

が存在する。

(証明)整数Ｚの部分集合:Ｉ＝{ａｘ＋ｂｙ:ｘ,ｙ∈Ｚ}

は上下に有界なので最小の正の数が存在します。

それをｃ∈Ｚとしａｘ₁＋ｂｙ₁＝ｃであるとします。

ところが仮定によりｄはａ,ｂの最大公約数ですから,

ｄ/(ａｘ₁＋ｂｙ₁)です。つまり,ｄ/ｃです。

故に,ｄはｃの約数なのでｄ≦ｃです。

他方ａｘ＝ｂｙ＝ｐｃ＋ｑ;ただし0≦ｑ≦(ｃ－1)

と書けば.ａ(ｘ－ｐｘ₁)＋ｂ(ｙ－ｐｙ₁)＝ｑですが

ｃが集合Ｉの最小の正整数でしたから,上式右辺では

ｑはｑ＝0でしかあり得ません。

よって任意のａｘ＋ｂｙがｃで割り切れるので.ｃ/ａ.

かつ,ｃ/ｂであり,ｃはａ,ｂの１つの公約数です。

故にｃ≦ｄもいえます。以上からｃ＝ｄと結論

されます。(証明終わり)

※[系]ａ,ｂが互いに素:(ａ,ｂ)＝1ならａｘ＋ｂｙ＝1

となるｘ,ｙ∈Ｚが存在する。

これの証明は1が最大条約数ｄなので自明です。

前後しますが,これは既に[定理1]の証明に用いました。

※[定理4]：半群Ｓにおいて,∀ａ∊Ｓに対してａｅ＝ａ

を満たす右単位元ｅ∈Ｓが存在し,ａｘ＝ｅを満たす

右逆元ｘ＝ａ^-1∈Ｓが存在するとき,ｅはｅａ＝ａを

満たす左単位元で,ａ^-1はａ^-1ａ＝ｅを満たす左逆元

でもある。

(証明)まず,ａ^-1ａ＝(ａ^-1ａ)ｅ＝ａ^-1ａ{(ａ^-1)(ａ^-1)^-1}

＝ａ^-1(ａａ^-1)(ａ^-1)^-1＝ａ^-1ｅ(ａ^-1)^-1

＝ａ^-1(ａ^-1)^-1＝ｅよりａ^-1ａ＝ｅが得られます。

故に,ｅａ＝（(ａａ^-1)ａ＝ａ(ａａ^-1)＝ａe＝ａ

も成立します。(証明終わり)

※[定理5]:半群Ｇにおいて∀ａ,ｂ∈Ｇに対して

常に,ｘ,ｙ∈Ｇが存在して,ａｘ＝ｂかつ,ｙｂ＝ａ

なるとき,Ｇは群である。

(証明)ｂｘ＝ｂを満たすｘ∈Ｇをとります。また

ｙｂ＝ａとなるｙ∈Ｇをとります。このときａｘ

＝(ｙｂ)ｘ＝ｙｂ＝ａです。したがって,このｘは

∀ａ∈Ｇに対してａｘ＝ａを満たします。

同様にｂｙ₁＝ａ,ｘ₁ｂ＝ｂなら.ｘ₁ａ＝ｘ₁(ｂｙ₁)

＝ｂｙ₁＝ａです。よって,∀ａ∈Ｇに対しｘ₁ａ＝ａ

が成立します。

それ故,ｘ₁ｘ＝ｘ₁＝ｘとなり，これはＧの単位元

とみなせるのでｅと表わすことにします。

次に,∀ａ∈Ｇに対しａｘ＝ｅ,ｙａ＝ｅとなるｘ,ｙ∈Ｇ

が存在します。すると,ｙａｘ­＝ｅｘ＝ｘ,ｙａｘ＝ｙｅ

＝ｙです。故にｘ＝ｙですから,これはａの逆元a^-1に

他なりません。(証明終わり)

※[定理6]：有限半群Ｇが,

(簡約律):ａｘ＝ａｙ⇒ｘ＝ｙ:ｘａ＝ｙａ⇒ｘ＝ｙ

Ｇを満たすならＧは群である。

(証明)Ｇ={ｇ₁,ｇ₂,..ｇ_n}とします。∀ｇ∈Ｇに

対し,簡約律からｇｇ_i＝ｇｇ_jならｇ_i＝ｇ_jです。

それ故,ｇ_i≠ｇ_jならｇｇ_i≠ｇｇ_jですからＧ

はＧ={ｇｇ₁,ｇｇ₂,..ｇｇ_n}とも書けます。

したがって,∀ｂ∈Ｇに対してｂ＝ｇｇ_ｋとなる

ｇ_ｋが存在します。

以上から結局,∀ｇ,ｈ∈Ｇについてｇｘ­＝ｈ

となるｘ∈Ｇが存在します。同様にして,ｙｇ＝ｈを

満たすｙ∈Ｇの存在もいえます。よって[定理4]から

Ｇは群(有限群)です。(証明終わり)

※[定理7]:群Ｇと,その部分群Ｈがある。ｇ₁,ｇ₂∈Ｇ

について左剰余類:ｇ₁Ｈ,ｇ₂Ｈをつくると,

ｇ₁Ｈ∩ｇ₂Ｈ＝φ，またはｇ₁Ｈ＝ｇ₂Ｈのいずれか

である。

(証明)これについては既に準備で説明済みです。

※(左)剰余類は同値律をみたすので同値類の１種です。

※目が見えぬのも含め,ブログを書く情熱も15年前に

56歳で始めたころより明らかに鈍化して惰性に近く

わずかの草稿書きも２週間もかかりました。

　認知症にもならず記憶は鮮明故,50年くらい前の

無用なトラウマ(PTSD?)だけが,過呼吸に似た原因

不明の発作で,ときどき自分んにワルサをするの

煩わしい限りです。

　本論の種本は1つじゃなく既に古書店から食料に

消えたらしく見つかりません。主な参考文献は

おそらく,「代数系入門か代数系の基礎」という

題名の薄い本でしたね。(つづく)