ガロア理論の復習(1)

※2021年9月23日(木)開始→10月7日(木)

※久しぶりです。TOSHIです。

未だ終活などトンデモナイと,この世に未練タップリ

という感がありますが,何か難しい考え事でもしてないと

生きてくハリというか？モチベーションがなくなり無為

に時が過ぎるばかりで,むなしいです。

食って出して寝る,日々生きていく糧があり暑さ寒さ雨露

をしのぐ衣服と部屋があるのはとてもシアワセなことです

が「家畜と同じ生なら別に生きていてもしょうがない。」

と思うゼイタクでエゴイストのバチアタリジジイですから。。

今年の7月ころには「遺構」と称して2018年にブログ

にアップした２つの科学記事「素粒子ソリトン説(1),(2)」

という,主要項に比べて10^－40のオーダー程度の極く小さい

非線型付加項があって特殊相対論をも破る自由粒子という

仮説モデルについて論じたものを書きましが,これは遅々と

して進まず,そこで最近は素粒子理論ばかりではなく気分

転換に自分の残っている蔵書の中から19世紀の数学の

ルフィニとアーベルによる「5次以上の代数方程式の

ベキ根による解法の不可能の証明」の歴史についての本

を読んだりしていましたが,目が悪くてなかなか進みません。

老眼鏡でも文字が薄くて判読ができず,紙面を懐中電灯で

照らすと少し読めるようなので老眼というより弱視かも

しれず,眼科では2011,2012年に手術した両眼の硝子体

が濁っているらしいのですが,糖尿病だと硝子体交換手術

は難しいそうです。でも本当は手術を受けたいです。

今は読書も困難なので,かつてバブルも終わり求職活動

をしながらもフリーターで暮らすしかなくなり,暇な時間

に物理や数学の勉強を再開いていた40歳代前半の頃に

勉強した.アーベルよりも先に進んだガロアによる

「代数方程式のベキ根による解が存在するための必要

十分条件」(これは過去のブログ記事でも紹介済み)に

ついての覚え書きノートをもう1度復習し要約する

ところからやってみたいと思います。(自分の書いた

ノートなら,かろうじて読めますから。。)

※さて,以下は本題です

第0章:準備(必要な予備知識)

§1.群,環,体

(Ⅰ)[群の定義]:集合Ｇの上にある２項演算(・)が定義

され,,任意のａ,ｂ,ｃ∈Ｇに対して次の３つの条件を

満たすとき,(Ｇ.・)の組を群(group)という。

この３条件は,

(1)∀ａ,ｂ∈Ｇに対しte,結合則:ａ・(ｂ・ｃ)

＝(ａ・ｂ)・ｃが成立する。

(2)∀ａ∈Ｇに対してe・a＝ａ・ｅ=ａを満たす

単位元ｅが存在する。

(3)∀ａ∈Ｇについてａ^-1ａ＝ａａ^-1＝ｅを満たす逆元

ａ^-1が存在する。　の３つです。

　さらに∀ａ,ｂ∈Ｇが交換則:ａ・ｂ＝ｂ・ａを満たす

場合は.(Ｇ,・)は可換群(アーベル群)であるといいます。

そして,特にＧが可換群の場合,可換演算・を＋と書いて

＋を加法,(Ｇ,＋)を加法群と呼ぶことがあり加法群の場合,

単位元を0(ゼロ)と書いて零元と呼びます：

※[半群の定義]:集合Ｓの上に,ある２項演算・が定義され,

結合則を満たすとき,(Ｓ,・)の組を「半群」という。

群とは異なり,単位元の存在,逆元の存在は必ずしも

仮定されない集合です。

(Ⅱ)[環の定義] 集合Ｒの上で乗法(・)と加法(＋)という

２種の２項演算が定義されており,以下の条件を満たすとき

(Ｒ,・,＋)の組を「環(ring)」という。

（1）加法について,(Ｒ,＋)は可換群をなす。このとき,

その単位元を0(ゼロ)と書き零元と呼ぶ。

(2)(Ｒ,・)の乗法については結合則が成立する。

すなわちａ・(ｂ・ｃ)＝(ａ・ｂ)・ｃである。

(3)乗法の単位元ｅが存在する。すなわち,ｅ・ａ

＝ａ・ｅ＝ａが成立する。ただしｅはゼロとは異なる

元である

(4)加法と乗法について分配則が成り立つ。すなわち.

ａ・(ｂ＋ｃ)＝ａ・ｂ＋ａ・ｃである。

特に,Ｒが乗法についても交換則を満たすときは,これ

を「可換環」という。

(Ⅲ)[体の定義]:集合Ｋの上で乗法(・)と加法(＋)という

２種の２項演算が定義されており,加法では(Ｋ,＋)が

可換群をなし,その単位元を0(ゼロ)と書き,零元と呼ぶ。

また,この0を除く集合:Ｋ－{0}は乗法について群を

なし,この乗法群の単位元ｅは1と書くことがある。

このとき,任意のKの元:ａ,ｂ,ｃ∈Ｋについて分配則

ａ・(ｂ＋ｃ)＝a・ｂ＋ａ・ｃが成立するなら,(Ｋ,・,＋)

の組を「体(field)」という。特に乗法についても可換なら

Ｋを「可換体」という。

※以下，乗法については演算記号・を省略します。

※群Ｇの部分集合Ｈが同じ演算で群をなすなら,これを

Ｇの「部分群」という。Ｈ⊂ＧがＧの部分群となるため

の必要十分条件は,∀ａ,ｂ∈Ｈがａ^-1ｂ∈Ｇ,あるいは

ａｂ^-1∈Ｇを満たすことです。

環Ｒの「部分環」,体Ｋの「部分体」についての定義も

部分群と同様です。

※(例):有理数集合Ｑ,実数集合Ｒや複素数集合Ｃは通常

の演算で体をなします。整数集合Ｚや多項式の集合は

環をなします。

※[体Ｋの性質1]任意のａ∈Ｋについてａ0＝0ａ＝0

が成り立つ

(証明)ａの他にｂ∈Ｋを任意に取ると,ａｂ＝ａ(0＋ｂ)

＝ａ0＋ａｂです。ａｂはＫの任意の元なので,これは

ａ0＝0であることを意味します。他方,0ａ＝0も同様

に示すことができます。(証明終わり)。

※[有限体の定義]:

群,環,体の元の個数を「位数」という。体の場合.位数が

有限の体を「有限体」と呼ぶ。また,位数が有限ではない体

を「無限体」という。有限群,有限環についても同様です。

※[有限体の性質]:有限体Ｋがあって,その位数がｑである

とき,ｘがＫの任意の元ならｘ^ｑ＝ｘが成立する。

(証明)ｘ＝0なら自明なのでｘ≠0とします。

Ｋ－{0}は,位数が(ｑ－1)の乗法群をなします。

その任意の元ｘによる巡回集合:＜ｘ＞＝{1,ｘ,ｘ²,…}

は有限群の部分集合なのでｘ^ｋ＝1となる最小の自然数ｋ

が存在するはずです。これを元ｘの位数と呼べば,＜ｘ＞

はｋを位数とする巡回群をなします。これは特に乗法群:

Ｋ-{0}の部分群となるのは明らかです。,それ故,部分群:

＜ｘ＞の位数ｋは.元の乗法群の位数(ｑー1)の約数と

なります。なぜなら,部分群の元の個数はｋですが,それ

と同じ個数ｋの元を持つ剰余類の総和が乗法群:Ｋ－{0}

に一致するため,(剰余類の個数)とｋの積か(ｑ－1)に

等しいことになるからです。したがってｘ^(ｑ－1)＝1であり

ｘ^ｑ＝ｘが成立します。(証明終わり)

※[代数系のその他の必要知識]

群Ｇの部分群をＨとするとき,任意のａ∈Ｇに対して

集合:ａＨ＝{ａｈ∈Ｇ:ｈ∈Ｈ}をＨによる左剰余類.

と呼び,集合:Ｈａ＝{hａ∈Ｇ:ｈ∈Ｈ}を右剰余類

と呼ぶ。Ｈ＝ｅＨを含む全ての剰余類の集合系の総和

は集合Ｇに一致します。左剰余類ａＨとｂＨの積演算

を,(ａＨ)(ｂＨ)＝{ｘｙ∈Ｇ:ｘ∈ａＨ,ｙ∈ｂＨ}で定義

すると,明らかに(ａＨ)(ｂＨ)＝ａｂＨであり,故に,

これもＨについての左剰余類に属します。

そこで,ａ∈ＧをａＨに対応させる自然な写像:

ａ→aＨは１つの「準同型写像」です、

そして剰余類の系:{ａＨ⊂Ｇ:ａ∈Ｇ}は,この元の

積演算で単位元をＨ＝ｅＨとする群をなすことに

なります。この群を「剰余類群」とも呼びます。

右剰余類:Ｈａについても全く同様な議論ができます。

特にａＨ＝ＨａなるときＨを「正規部分群」と呼び,

記号Ｎで表わすことが多いです。Ｎが正規部分群なら

Ｎ＝ａ^-1Ｎａなので「∀ｈ∈Ｎが∀ａ∊Ｇに対して

ａ^-1ｈａ∈Ｎを満たすことと,Nが正規部分群なること

は同値」です。

　そして,部分群Ｈによる左剰余類群,右剰余類群を

総称して単に「剰余類群」または「商群」,「因子群」

とも呼び,これらの集合系の群ををＧ/Ｈで記述します

※[同値関係と同値類]：

集合Ａの２つの元に,関係:～が定義され,Ａの任意

の元ａ,ｂ,ｃ∈Ａに対して次の３つ条件(同値律)を

満たすとき,関係:～を同値関係という。すなわち,

1．反射律:ａ～ａ

２.対称律:ａ～ｂならｂ～ａ

３.推移律:ａ～ｂ,かつ.ｂ～ｃならａ～ｃ

の３条件が同値律です。

さらに.任意のａ∈Ａについて,集合Ｃ(ａ)を

Ｃ(ａ)＝{ｘ∈Ａ:ｘ～ａ}によって定義し,これを同値

関係:～に基づいてａを代表元とする「同値類」という。

すると,Ａはその同値類の総和に一致します。すなわち

Ａ＝∪_ａ∈ＡＣ(a)です。

　そして,ａ～ｂなることと,集合としてＣ(ａ)＝Ｃ(ｂ)

なることは同値であることがわかります。

よってａ～ｂでないなら,Ｃ(ａ)∩Ｃ(ｂ)＝φ(空集合)

であり,Ａ＝∪_ａ∈ＡＣ(ａ)の右辺は直和となります。

つまり,Ａ＝Σ_ａ∈ＡＣ(ａ)と書くことができます。

このように,集合Ａを同値類の総和に分解することを

「同値類別」といいます。

※[剰余類としての同値類]:整数ａ.ｂ∈Ｚの整数ｍを法

とする合同関係ａ≡ｂ(mod ｍ)は,1つの同値関係ａ～ｂ

です。これによる同値類(合同類)は,ｍで割ったときの

剰余:0，1,2...(ｍ－1)が,それぞれ同一であることを

意味するので,これも「剰余類」と呼びます。ｍを法と

する場合.異なるものはｍ個あります。特にａがｍと

互いに素:(ａ,ｍ)＝1の剰余類:Ｃ(ａ)を「既約剰余類」と

いいます。

この剰余類:Ｃ(ａ)は先に群Ｇの部分群Ｈによる剰余類

をａＨやＨａと記して説明したものと同様,Ｃ(ａ)と

Ｃ(ｂ)の積を定義すると(ａＨ)(ｂＨ)＝ａｂＨと同じく,

Ｃ(ａ)Ｃ(ｂ)＝Ｃ(ａｂ)であり,その全体集合は剰余類群

をなします。

※さて,私の1993年９月に始まる参照ノートは,いきなり

この次に書く項目から始まっていたのでて,それ以前の

記述のあるノートがあるかも,と思って探してみました

がありませんでした。

そのころの40歳代頃の私の頭では.今,準備で書いた

ようなことは常識で説明不要の用語だったので,中途

半端なところから開始したのかもしれませんが,今

読み返すと老化や却のせいか,1つ1つ意味不明の事柄

が多く,そこで定義を中心に整理したのが以上です。

※というわけで改めて本論開始です。

第１章:導入(introduction)

※[定理1]:Ｚを整数の集合とする。∀ａ,ｍ∈Ｚに

ついてａとｍが互いに素,つまり.ａ,ｂの最大公約数

がｄ＝(ａ,ｍ)­＝1であるとき,ｘ∈Ｚについて

ａx≡0(mod ｍ)ならｘ≡0(mod ｍ)である。

(証明)(ａ,ｍ)＝1により,あるｐ,ｑ∈Ｚが存在して.

ａｐ＋ｍｑ＝1とできます。そこで∀ｘ∈Ｚに対し,

ａｘｐ＋ｍｘｑ＝ｘが成立します。

それ故,ａx≡0(mod ｍ),つまり,ｍ/(ａｘ)なら,

ｍ/ｘ.つまり,ｘ≡0（mod ｍ）です。(証明終わり)

※[系]Ｃ(ａ)がｍを法とする既約剰余類:のとき，

Ｃ(ａ)Ｃ(ｘ)＝Ｃ(1),となるＣ(ｘ)は,Ｃ(ａ)に対して

一意的(ｕnique)である。

(証明)Ｃ(ａ)Ｃ(ｘ)=Ｃ(1),かつ,Ｃ(ａ)Ｃ(ｙ)＝Ｃ(1)

とすると.ａx≡1(mod ｍ),かつａｙ≡1 (mod ｍ)です。

故に,ａ(ｘ－ｙ)≡0,です。したがって定理1によって

(ｘ－ｙ)≡0,つまり,ｘ≡ｙ(mod ｍ)ですが,これは

Ｃ(ｘ)＝Ｃ(ｙ)を意味します。(証明終わり)

※[定理2]:可換環Ｒの部分環Ｓは可換環である。

(証明)ａ,ｂ,ｃ∊Ｓとする。部分環であるための

条件はａ－ｂ∈Ｓです。ａ,ｂ.ｃが加法,乗法に

ついて結合則,分配則を満たすのは定義から自明。

そして,ａ＋(－ａ)＝0∈Ｓより0∈Ｓであり,それ故,

(－ａ)＝0－ａから,(－ａ)∈Ｓです。

Ｒと同じ乗法で交換則も成立しその単位元ｅも

ＲとＳで共通です。(証明終わり)

※[定理3]:0でない整数ａ,ｂ∈Ｚの最大公約数を

ｄ=(ａ,ｂ)とすると,ａｘ＋ｂｙ＝ｄなるｘ,ｙ∈Ｚ

が存在する。

(証明)整数Ｚの部分集合:Ｉ＝{ａｘ＋ｂｙ:ｘ,ｙ∈Ｚ}

は上下に有界なので最小の正の数が存在します。

それをｃ∈Ｚとしａｘ₁＋ｂｙ₁＝ｃであるとします。

ところが仮定によりｄはａ,ｂの最大公約数ですから,

ｄ/(ａｘ₁＋ｂｙ₁)です。つまり,ｄ/ｃです。

故に,ｄはｃの約数なのでｄ≦ｃです。

他方ａｘ＝ｂｙ＝ｐｃ＋ｑ;ただし0≦ｑ≦(ｃ－1)

と書けば.ａ(ｘ－ｐｘ₁)＋ｂ(ｙ－ｐｙ₁)＝ｑですが

ｃが集合Ｉの最小の正整数でしたから,上式右辺では

ｑはｑ＝0でしかあり得ません。

よって任意のａｘ＋ｂｙがｃで割り切れるので.ｃ/ａ.

かつ,ｃ/ｂであり,ｃはａ,ｂの１つの公約数です。

故にｃ≦ｄもいえます。以上からｃ＝ｄと結論

されます。(証明終わり)

※[系]ａ,ｂが互いに素:(ａ,ｂ)＝1ならａｘ＋ｂｙ＝1

となるｘ,ｙ∈Ｚが存在する。

これの証明は1が最大条約数ｄなので自明です。

前後しますが,これは既に[定理1]の証明に用いました。

※[定理4]：半群Ｓにおいて,∀ａ∊Ｓに対してａｅ＝ａ

を満たす右単位元ｅ∈Ｓが存在し,ａｘ＝ｅを満たす

右逆元ｘ＝ａ^-1∈Ｓが存在するとき,ｅはｅａ＝ａを

満たす左単位元で,ａ^-1はａ^-1ａ＝ｅを満たす左逆元

でもある。

(証明)まず,ａ^-1ａ＝(ａ^-1ａ)ｅ＝ａ^-1ａ{(ａ^-1)(ａ^-1)^-1}

＝ａ^-1(ａａ^-1)(ａ^-1)^-1＝ａ^-1ｅ(ａ^-1)^-1

＝ａ^-1(ａ^-1)^-1＝ｅよりａ^-1ａ＝ｅが得られます。

故に,ｅａ＝（(ａａ^-1)ａ＝ａ(ａａ^-1)＝ａe＝ａ

も成立します。(証明終わり)

※[定理5]:半群Ｇにおいて∀ａ,ｂ∈Ｇに対して

常に,ｘ,ｙ∈Ｇが存在して,ａｘ＝ｂかつ,ｙｂ＝ａ

なるとき,Ｇは群である。

(証明)ｂｘ＝ｂを満たすｘ∈Ｇをとります。また

ｙｂ＝ａとなるｙ∈Ｇをとります。このときａｘ

＝(ｙｂ)ｘ＝ｙｂ＝ａです。したがって,このｘは

∀ａ∈Ｇに対してａｘ＝ａを満たします。

同様にｂｙ₁＝ａ,ｘ₁ｂ＝ｂなら.ｘ₁ａ＝ｘ₁(ｂｙ₁)

＝ｂｙ₁＝ａです。よって,∀ａ∈Ｇに対しｘ₁ａ＝ａ

が成立します。

それ故,ｘ₁ｘ＝ｘ₁＝ｘとなり，これはＧの単位元

とみなせるのでｅと表わすことにします。

次に,∀ａ∈Ｇに対しａｘ＝ｅ,ｙａ＝ｅとなるｘ,ｙ∈Ｇ

が存在します。すると,ｙａｘ­＝ｅｘ＝ｘ,ｙａｘ＝ｙｅ

＝ｙです。故にｘ＝ｙですから,これはａの逆元a^-1に

他なりません。(証明終わり)

※[定理6]：有限半群Ｇが,

(簡約律):ａｘ＝ａｙ⇒ｘ＝ｙ:ｘａ＝ｙａ⇒ｘ＝ｙ

Ｇを満たすならＧは群である。

(証明)Ｇ={ｇ₁,ｇ₂,..ｇ_n}とします。∀ｇ∈Ｇに

対し,簡約律からｇｇ_i＝ｇｇ_jならｇ_i＝ｇ_jです。

それ故,ｇ_i≠ｇ_jならｇｇ_i≠ｇｇ_jですからＧ

はＧ={ｇｇ₁,ｇｇ₂,..ｇｇ_n}とも書けます。

したがって,∀ｂ∈Ｇに対してｂ＝ｇｇ_ｋとなる

ｇ_ｋが存在します。

以上から結局,∀ｇ,ｈ∈Ｇについてｇｘ­＝ｈ

となるｘ∈Ｇが存在します。同様にして,ｙｇ＝ｈを

満たすｙ∈Ｇの存在もいえます。よって[定理4]から

Ｇは群(有限群)です。(証明終わり)

※[定理7]:群Ｇと,その部分群Ｈがある。ｇ₁,ｇ₂∈Ｇ

について左剰余類:ｇ₁Ｈ,ｇ₂Ｈをつくると,

ｇ₁Ｈ∩ｇ₂Ｈ＝φ，またはｇ₁Ｈ＝ｇ₂Ｈのいずれか

である。

(証明)これについては既に準備で説明済みです。

※(左)剰余類は同値律をみたすので同値類の１種です。

※目が見えぬのも含め,ブログを書く情熱も15年前に

56歳で始めたころより明らかに鈍化して惰性に近く

わずかの草稿書きも２週間もかかりました。

　認知症にもならず記憶は鮮明故,50年くらい前の

無用なトラウマ(PTSD?)だけが,過呼吸に似た原因

不明の発作で,ときどき自分んにワルサをするの

煩わしい限りです。

　本論の種本は1つじゃなく既に古書店から食料に

消えたらしく見つかりません。主な参考文献は

おそらく,「代数系入門か代数系の基礎」という

題名の薄い本でしたね。(つづく)