ガロア理論の復習(5)

※2021年11月14日(日)開始→11月22日(月)

※(余談) やっと代数方程式の本題に入れる段階に

なりました。

19世紀のアーベリやガロアによる「５次以上の

代数方程式のベキ根による一般解法の不可能性」

については.物理学のアインシュタインらによる

「相対性理論」同様,高校時代に,そうしたトピック

があるのを知ってから,淡い興味を抱いてました。

40歳くらいまでの真面目な？サラリーマンの頃は

生活に追われ,毎日アルコール依存症のように飲酒を

続け,将棋や,少し余分な収入があるとオーディオや

PCなど受動的な趣味で,ストレス解消してました。

酒のセイか？39歳で糖尿病になり,42歳後半に厄年

でバブルが終わる頃,フリーター？(プータロー)となり

金無しヒマ有り,の状況になった機会に,お金が不要な

趣味の1つとして,学生時代研究者になる道もめざして

いた理論物理学や数学の専門書,啓蒙書の読書三昧を

再開したのでした。そうして,約25年以上前の昔その

課題を思い出して独学し,そのエッセンスを15年前

に本ﾇログ開始の2006年に「ガロア理論」のシリ－ズ

記事として書きました。

老化もあり,どの記憶も時と共に薄れていくものです

が,他のトピックと異なり理解したツモリになってても

本当には体得してはいない曖昧な理解だったセイか？

2006年から15年の今,記憶をたどっても,結局,最初の

用語の定義からコツコツとたどるしか理解の道はない

ようです。幸い,何とか判読可能な大きさの文字の自作

ノートがあったのでね。(※ルーペでやっとわかる程度)

まあ,余談以外の内容は,死ぬ前の独居老人の自己満足

の勉強履歴.自己確認に過ぎませんが,食う寝る以外の

生きろモチベーションの１つにはなります。(余談終わり)

※さて,本題の続きです。

※第５章 体の拡大

[定義5-1](部分体,拡大体,中間体)

体Ｅが体Ｆを含むとき,つまり,集合としてＦ⊂Ｅ

であり,ＦがＥで定義された２項演算(加法,乗法)で

体をなすとき,Ｆは「Ｅの部分体」であるといい,

逆に,Ｅは「Ｆの拡大体」であるという。

このとき,Ｆ⊂Ｂ⊂Ｅの関係にある体Ｂがあれば.

Ｂを「Ｅ/Ｆの中間体」という。

　Ｆ⊂Ｅのとき,Ｅ,および,Ｅ/Ｆの中間体は全てＦ上

のベクトル空間となる。Ｅがｎ次元空間のとき,Ｅは

Ｆ上有限次拡大,特にｎ次拡大という。

このｎをＥのＦ上の次数といい,これを記号(Ｅ/Ｆ)

で表記する。つまり,(Ｅ/Ｆ)＝ｎと書く。

[例5-1]:ｍが,1より大きい整数で平方数の倍数

ではないとする。Ｑを有理数体(有理数集合の体)

とし,Ｅ＝{ａ＋ｂ√ｍ:ａ,ｂ∈Ｑ}とすると,Ｅ

はＱ上２次の拡大体である。

(証明)√ｍ∈Ｑと仮定すると,√ｍ＝p/ｑ(既約分数)

と書けるので.ｑ²＝ｍｐ²です。

そこで,ｍが,ｍ＝ｐ₁^j1ｐ₂^j2・・ｐ_r^jr；ただし,1≦ｊ≦ｒ

のｊについてｐ_ｊは素数,と素因数分解できたとすると

ｑ²＝ｍｐ²により,ｑ²もｐ_jを素因数に含みますが,これは

ｑ自身がｐ_jを素因数とすることを意味するので,結果,ｐ²

もｐ_j²を因数に含むため,あるｐ_j≧2はｐ,ｑの公約数となり

p/ｑが既約分数であるという仮定に矛盾します。

故に,√ｍはＱの元(有理数)では有り得ないです。

それ故,1と√ｍはＱ上で１次独立です。つまり,

ａ＋ｂ√ｍ＝0ならａ＝ｂ＝0です。

ただし,ｂ＝0なら(ａ＋ｂ√ｍ)∈Ｑですから,

Ｑ⊂Ｅですが,ａ＋ｂ√ｍは.1と√ｍを基底として

Ｑの上で２次元のベクトル空間をなすため,ＥはＱ

の２次の拡大体です。Ｅは,1と√ｍで生成される体

である,といわれ,(Ｅ/Ｑ)＝2です。(終わり)

[定義5-2](整域)

零因子0を持ち,自明なもの:{0}以外の可換環を

整域という。これは,整数環Ｚの拡張である。

[定義5-3](単項式,多項式と整式,多項式環)

不定元(文字):ｘ,ｙ,.のべき乗の積と係数の積で

得られる単一の文字式を「単項式」といい,単項式の

２つ以上の代数和で与えられる式を「多項式」という。

そして,単項式と多項式を総称して「整式」という。

不定元がｘのみの多項式ｆ(ｘ)は,その有限個の係数:

ａ₀,ａ₁,..ａ_nが,全て体Ｋの元である場合,具体的には,

ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,という形になる。

ｆ(ｘ)が恒等的にはゼロではなく,最高次ｘⁿの係数が

ａ₀≠0なら,ｆ(ｘ)はｎ次多項式であるといい,ｆ(ｘ)の

次元はｎである,あるいは,degｆ＝ｎであるという。

これらｆ(ｘ)全体の集合は通常の加法,乗法で可換環

をなす。これを体Ｋ上の1変数の「多項式環」と呼び,

Ｋ[ｘ]と表記する。ｆ(ｘ)∈Ｋ[ｘ]である。

特に,最高次の係数が1の1変数の多項式,つまり,

f(ｘ)＝ｘ ⁿ＋ｃ₁ｘ^n-1＋..＋ｃ_n,をモニック(monic),

または,モニック多項式という。

多項式ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_nは,ａ₀≠0

なら,ｃ_j＝ａ_j/ａ₀(1≦ｊ≦ｎ)としてｆ(ｘ)＝ａ₀ｆ₀(ｘ)

ｆ₀(ｘ)＝ｘⁿ＋ｃ₁ｘ^n-1＋..＋ｃ_nのように,モニックｆ₀(ｘ)

のａ₀倍で表わすことができる。

[定義5-5](単項イデアル整域)

Ｒを環,ＡをＲの部分集合とするとき,Ａを含む最小の

イデアルＩを,Ａで生成されるイデアルという。

生成元の集合Ａの位数が有限で,Ａ＝{ａ₁,..ａ_m}と書ける

とき,Ｉは有限生成のイデアルであるという。

そこで,ＩがＡによる有限生成の左イデアルなら,

Ｉ＝{ｘ₁ａ₁＋..＋ｘ_mａ_m:ｘ_j∈Ｒ}と表わすことができる。

特にイデアルＩの生成元が単一のａ∈Ｒの場合,Ｉが

左イデアルなら,Ｉ＝{ｘａ:ｘ∈Ｒ},Ｉが右イデアルなら.

Ｉ＝{ａｘ:ｘ∈Ｒ}である。

生成元がａのみのイデアルＩが両側イデアルの場合には.

これを単項イデアル(主イデアル)といい,Ｉ＝(ａ)と表わす。

Ｒが可換環なら,Ｒのイデルは,常に両側イデアルである。

可換環:Ｒが零因子を持ちＲ≠{0}のとき,Ｒは整域と

いわれるが,Ｒのイデアルが全て単項イデアルなら,Ｒは,

「単項イデアル整域」である,という。あるいは,

Principal Ideal Domain,である。略してPIDである,

という。

[例5-2]:Ｚを整数環とするとき,ａ,ｂ∈Ｚに対して

Ｉ＝{ａｘ＋ｂｙ:ｘ,ｙ∈Ｚ}は.ａ,ｂで生成される

Ｚのイデアルですが,以前の章で示したようにａ,ｂ

の最大公約数をｄ∈Ｚ,つまり,ｄ＝(ａ,ｂ)とすると

Ｉの元は全てｄの倍数ですから,Ｉは単項イデアルで

あり,Ｉ＝(ｄ)です。特にａ,ｂが互いに素でｄ＝1

ならば,Ｉ＝Ｚです。

これを拡張して,Ｉ＝{ｘ₁ａ₁＋..＋ｘ_mａ_m:ｘ_j∈Ｚ}を

考えると,これはｄ＝(ａ₁,..ａ_m)(最大公約数)とすると,

単項イデアルであり,I＝(ｄ)です。(終わり)

[定理5-2]:体Ｋ上の多項式環Ｋ[ｘ]はPIDである。

(証明)ＩをＫ[ｘ]の{0}でない任意のイデアルとする。

すると恒等的にはゼロでないＩの元ｆ(ｘ)が存在します。

このうち,degｆが最小のｆ(ｘ)∈Ｉをｐ(ｘ)とします。

このとき,∀ｆ(ｘ)∈Ｉは多項式式の除法の公式により,

ｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ)(degｒ＜degｒ)と表わす

ことができます。

以下,簡単のため,変数ｘを省略します。

するとｆ＝ｐｑ＋ｒとなりますが,ｆ,ｐ∈Ｉでｑ∈Ｋ

であり,ＩはＫのイデアルなのでｒ＝(ｆ－ｐｑ)∈Ｉです。

故に,ｒ≠0ならｒ∈Ｉがdegｒ＜degｐのゼロでない

Ｉの多項式となり矛盾を生じるため,ｒ≡0です。

それ故,ｆ＝ｐｑです。

したがって,ＩはＩ＝(ｐ)の単項イデアルです。

変数ｘを復活させると,I＝(ｐ(ｘ))であり,Iは単項

イデアルですが,IはＫ[ｘ]の{0}でない任意のイデアル

であったので,ｘの多項式環:Ｋ[ｘ]はPIDです。

つまり,単項イデア整域です。(証明終わり)

[定義5-6](体の代数的拡大)

体Ｆのゼロでない1変数ｘの多項式ｆ(ｘ)を

ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,とする。

これは,係数:ａ₀,ａ₁,..ａ_nが全て体Ｆの元の恒等的

にはゼロでない多項式である。

このｆ(ｘ)に対して,Ｆの拡大体Ｅ⊃Ｆの1つの元α

が,ｆ(α)＝0を満たすとき,　すなわち,α∈Ｅが,

ｆ(α)＝ａ₀αⁿ＋ａ₁α^n-1＋..＋ａ_n＝0を満たすとき,

αはｆ(ｘ)＝0の根(root)であるという。

そして,こもときαは「Ｆ上代数的」である。という。

Ｅの全ての元がＦ上代数的であるとき;ＥはＦ上,

「代数的(拡大体)」であるという。

[定理5-3];ＥがＦ上,有限次なら.ＥはＦ上代数的である。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝ｎとすると,ＥはＦ上ｎ次のベクトル

空間なので,∀α∈Ｅのベキで構成される.Ｅの(ｎ＋1)

個の元:αⁿ,α_n-1,..,α,１は１次従属です。

故に,少なくとも１つはゼロでないＦの(ｎ＋1)個の

元:a₀.ａ₁,..ａ_nを用いて,ａ₀αⁿ＋ａ₁α^n-1＋..＋ａ_n＝0

なる自明でない１次関係式が成立します。

それ故,ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,とおけば,

ｆ(ｘ)は恒等的にゼロではないＦの整式で,ｆ(α)＝0

なので,αは(ｘ)＝0の根となるため,αはＦ上代数的です。

ａ₀≠0の場合はｆ(ｘ)はｎ次の多項式です。(証明終わり)

[定理5-4]:ＢがＥ/Ｆの中間体でＦ上有限次,ＥはＢ上

有限次のとき,ＥはＦ上有限次である。

特(に(Ｅ/Ｆ)＝(Ｂ/Ｆ)(Ｅ/Ｂ)である。

(証明)(Ｂ/Ｆ)＝ｍ,(Ｅ/Ｂ)＝ｎとします。

ＢはＦ上でｍ個の基底:α₁,.,α_mを持ち,ＥはＢ上で

ｎ個の基底:β₁,.,β_nを持ちます。

このとき,ｉ＝１，ｍ,および,ｊ＝1,.ｎに対する

異なる(ｍｎ)個の元;α_iβ_jについて考察します。

ｃ_ij∈Ｆ(ｉ＝１，,ｍ,ｊ＝1,.,ｎ)とし,関係式

Σ_i,j(ｃ_ijα_iβ_j)＝0を考えます。

これは変形すると,Σ_j=1ⁿ{(Σ_i=1^mｃ_ijα_i)β_j}＝0

となりますが,(Σ_i=1^mｃ_ijα_i)∈Ｂであり,β₁,.,β_n

はＢ上１次独立ですからΣ_i=1^mｃ_ijα_i＝0(ｊ＝1,.ｎ)

です。すると,ｃ_ij∈Ｆでα₁,.α_mはＦ上1次独立

なので,全てのｉ,ｊについてｃ_iｊ＝0を得ます。

それ故,α_iβ_j(ｉ＝1,..ｍ,ｊ＝1,..ｎ)はＦ上で,

１次独立です。

そして∀ω∈Ｅについて,ω＝Σ_j=1ⁿｘ_jβ_j(ｘ_ｊ∈Ｂ),

,と表わすことができて,ｘ_j＝Σ_i=1^mｃ_ijα_i(ｃ_ij∈Ｆ)

と表わせるので,結局,ω＝Σ_i,j(ｃ_ijα_iβ_j)と書けます。

よって,ｍｎ個の独立な(α_iβ_j)がＥのＦ上の基底

となるため,(Ｅ/Ｆ)＝ｍｎ＝(Ｅ/Ｂ)(Ｂ/Ｆ)です。

(証明終わり)

[定理5-5]:ＥがＦの有限次拡大体で,Ｂが中間体の

とき,ＥはＢ上,ＢはＦ上,有限次である。

(証明)ＥのＦ上の基底をγ₁,..γ_nとすると,γ₁,.,γ_ｎ

はＢの生成元です。何故なら,∀ω∈Ｅをω＝Σ_jｃ_jγ_j

と展開したとき,係数ｃ_j∈Ｆ,および,基底γ_j∈Ｆは,

Ｂ⊃Ｆより,全てＢの元でもありますから,{γ_j}_j=1ⁿの

中で,Ｂにおいて1次独立な最大の部分集合は,Ｅの

Ｂにおける有限個の基底をなすからです。

それ以外のＦの基底によるｃ_ijγ_jの各項はＢに

おいては,1次従属ですから,今採用したＢ上の基底

の１次結合で表わせます。・

それ故,ＥはＢ上でも有限次ベクトル空間です。

また,Ｂ上の基底は,Ｆ上の基底の部分集合ですから,

ベクトル空間として,ＢはＥの部分空間です。

(証明終わり)

[定義5-4](既約多項式,モニック)

体Ｋの上の多項式ｆ(ｘ₁,.ｘ_m)が;定数ではない変数

の１次以上のＫの多項式ｇ(ｘ₁,.ｘ_m)とｈ(ｘ₁,.ｘ_m)の

積でｆ＝ｇｈと因数分解できるときｆは可約であると

いい,そうでないうきは既約であるという。

そして,ｆが既約なら.これを「既約多項式」という。

[定理5-6]:体Ｆの拡大体Ｅの元αが,Ｆ上代数的で

あるとき,Ｊ＝{f(ｘ)∈Ｆ[ｘ]；ｆ(α)＝0}は可換環

(多項式環):Ｆ[ｘ]の{0}でないイデアルである。

Ｊ＝(ｐ(ｘ))とすると,多項式ｐ(ｘ)はＦ上既約である。

(証明)まず,ｆ(ｘ)∈Ｊ,ｇ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]とすると,

ｇ(α)ｆ(α)＝0より,ｇ(ｘ)ｆ(ｘ)∈Ｊですから,Ｊは

Ｆ[ｘ]のイデアルです。そして,αはF上代数的なので,

恒等的には0でないｆ(ｘ)∈Ｊが存在するためＪ≠{0}

です。

次に,ｐ(ｘ)=ｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ),ｐ₁(ｘ),ｐ₂(ｘ)∈Ｆ[ｘ],

と因数分解できるなら,degｐ＝degｐ₁＋degｐ₂ですから,

ｐ₁,ｐ₂が共に定数でないとき,0＜degｐ₁＜degｐであり,

かつ,0＜degｐ₂＜degｐです。

ところが,ｐ(α)=ｐ₁(α)ｐ₂α)＝0よりｐ₁(α)＝0

または,ｐ₂(α)＝0です。そこでｐ₁(ｘ)∈Ｊ,または,

ｐ₂(ｘ)∈Ｊです。しかし,Ｊ＝(ｐ(ｘ))ですから,

これはdegｐ₁≧degｐ,または,degｐ₂≧degｐを意味し,

矛盾です。したがって,このような因数分解は不可能

でａありｐ(ｘ)は既約です。

かくして,Ｅ⊃Ｆの元αが,体Ｆ上の多項式環Ｆ[ｘ]

の根となるイデアル:Ｊ＝{ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]:ｆ(α)＝0}

は,Ｆ上で既約な多項式ｐ(ｘ)で生成され,Ｊ＝(ｐ(ｘ))

と書けるとわかりましたが,ｐ(ｘ)の最高次の係数がａ

でａ≠0なら,(ｐ(ｘ))＝(ａ^-1ｐ(ｘ）)であり,ａ^-1ｐ(ｘ)

は既約なモニックです。そこで,このモニックを改めて

ｐ(ｘ)と定義すれば,Ｊはモニックで生成されるイデアル

ということになります。。

以下,一般性を失うことなくＪはに常にモニックで生成

されるイデアルであると見なせます。(証明終わり)

[系]:[定理5-5]のαに対するＪ＝(ｐ(ｘ))の生成モニック

ｐ(ｘ)は,αに対して一意的に定まる。

(証明)ｆ(ｘ)∈Ｊ＝(ｐ(ｘ))ならｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)と

なるので,degｐ≦degｆでありｐ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]は,ｐ(α)＝0

を満たす既約な最低次数のモニックでですから,これが一意的

であるのは自明です。これを最小多項式ともいいます。

(証明終わり)

[定義5-7]; Ｅ⊃Ｆの元αが,体Ｆ上の多項式環Ｆ[ｘ]

の根となるイデアル:Ｊ＝{ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]:ｆ(α)＝0}

は,αに対し一意に定まるＦ上で既約なモニックｐ(ｘ)

で生成され,Ｊ＝(ｐ(ｘ))となるが,このｐ(ｘ)の次数

がｎなら,αはF上ｎ次である,または,ｎはαのＦ上の

次数である,という。

[定理5-6]:体Ｆの拡大体Ｅの元αがＦ上ｎ次のとき,

ｎ個の元;1,α,..α^n-1がＦ上で張る,ベクトル空間:

Ｆ(α)＝{ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_n-1α^n-1:ｃ_j∈Ｆ}は,Ｆの

ｎ次の代数的拡大体である。

(証明)まず,ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_n-1α^n-1＝0でＦ上の係数:

ｃ₀,ｃ₁..ｃ_n-1の少なくとも1つがゼロでない場合には,,

ｆ(ｘ)＝ｃ₀＋ｃ₁ｘ＋..＋ｃ_n-1ｘ^n-1:とおけば.これは次数

が(ｎ－1)以下のゼロでない多項式でｆ(α)＝0となり,

ｐ(α)＝0を満たす最低次の多項式がｐ(ｘ)でdegｐ＝ｎ

であることに矛盾します。

それ故,1,α,..α^n-1は,Ｆ上で１次独立です。

次に,∀ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]はｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ),

ただし,degｒ(ｘ)＜degｐ(ｘ)＝ｎ.と表わせます。

すると,ｐ(α)＝0なのでｆ(α)＝ｒ(α)となります。

ところがdegr(ｘ)≦(ｎ－1)なので,ｒ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]は,

ｒ(ｘ)＝ｃ₀＋ｃ₁ｘ＋..＋ｃ_n-1ｘ^n-1,のように(ｎ－1)次以下

の多項式で表わされます。ただし,ｊ＝1,.,(ｎ－1)について

係数;ｃ_ｊ∈Ｆの少なくとも1つはゼロでないです。

それ故,結局,ｆ(α)＝ｒ(α)＝ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_n-1α^n-1

と書けるため,任意のｆ(ｘ)に対して,ｆ(α)∈Ｆ(α)が

成立します。そこで,Ｆ[ｘ]からＦ(α)への写像Φを,

Φ{ｆ(ｘ)}＝ｆ(α)で定義すると,これはＦ[ｘ]からＦ(α)

の上への準同型写像です。

そして,ｆ(α)＝0ならｒ(α)＝0 ⇒ｃ₀＝ｃ₁＝..＝c_n-1＝0

なので,多項式としてｒ(ｘ)≡0より,これはｆ(ｘ)がｐ(ｘ)

で割り切れて,ｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)(ｑ(ｘ)∈Ｆ[ｘ])となる

ことを意味します。

そこでΦ{ｆ(ｘ)}＝ｆ(α)＝0は,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))と同値

です。故に,Φの核：kerΦ＝{ｆ()∈Ｆ[ｘ]:φ{ｆ(ｘ)}＝0}

が,イデアルＩ＝(ｐ(ｘ))に等しくなります。

したがって,準同型定理により,Φから誘導される

{Ｆ[ｘ]/(ｐ(ｘ))}からＦ(α)の上への同型写像;Φ~が存在

します。つまり,Φ~{Ｃ(ｆ)}＝Φ{ｆ(ｘ)}＝ｆ(α)∈Ｆ(α)

で定義されるΦ~はＦ(α)の上への同型です。

多項式環Ｆ[ｘ]のイデアルＩ＝(ｐ(ｘ))による剰余類を

Ｃ(ｆ)と書けば,Ｃ(0)＝Ｃ(ｐ)＝(ｐ()ｘ))が剰余類零元で

あり,Ｃ(ｆ)≠Ｃ(0)なら,ｐ(ｘ)が既約故,ｆ(ｘ)とｐ(ｘ)は

互いに素です。

よって,ｆ(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｐ(ｘ)ｒ(ｘ)＝1を満たす

ｑ(ｘ),ｒ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が存在してＣ(ｆｑ)＝1であり

Ｃ(ｆ)Ｃ(ｑ)＝1より,Ｃ(ｑ)が,Ｃ(ｆ)の乗法の逆元

{Ｃ(ｆ)}^-1です。F[ｘ]/(ｐ(ｘ))－{Ｃ(0)}が単位元と

逆元を持ち,乗法群をなすため,Ｆ[ｘ]/(ｐ(ｘ))は,

体をなすとわかります。

よって,これに同型なＦ(α)も体をなし.これはｎ個の

独立な元で張られるベクトル空間ですから,結局,Ｆ(α)

はＦのｎ次の代数的拡大体です。(証明終わり)

[定理5-7]:Ｆ上のｎ次の多項式はＦの拡大体Ｅにおいて,

高々ｎ個の根を持つ。

(証明)ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が(ｎ＋1)個の根α₁,α₂,..α_n,α_n+1

を持つとすると,ｆ(ｘ)は,(ｘ－α_j)(1≦ｊ≦(ｎ＋1))

なる因数を持つｘのｎ次式なので.1≦ｊ≦ｎの因数を

採用してｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_n)

とすると,これは,さらにｆ(α_n1)＝0を満足します。

すなわち,ａ(α_n+1－α₁)(α_n+1－α₂)・・(α_n+1－α_n)＝0

です。そこで.もしもαn+1≠αｊ(1≦ｊ≦ｎ)ならａ＝0

が必要条件で,ｆ()≡0となりｆ(ｘ)がｎ次でｓるという

仮定に矛盾します。

それ故,(ｎ＋1)個のα₁,α₂,.α_n,α_n+1の全てが異なる

わけではないので,異なる根の数はｎ以下です。

(※体Ｆが複素数体Ｃなら代数学の基本定理から少なくとも

1つの根α∈Ｃが存在して(ｘ－α)という因数を持つこと

から,帰納的に,ｎ次多項式がＣにｎ個以下の根を持つのは

自明なのですが,抽象的な体Ｆの上では.事情が違います。)

(証明終わり)

[例5-3]:Ｑを有理数体とするとき,(Ｑ(³√2)/Ｑ)＝3である、

(証明)(³√2)はＱ上で既約な３次多項式(ｘ⁶－2)の根です

から,(Ｑ(³√2))/Ｑ）＝3であり,Ｑ(³√2)の,Ｑ上の基底は,

1,³√2,,³√2²の３つです。(終わり)

[定義5-7](添加された拡大体)

Ｆ(α)を体Ｆにαを添加した体という。

Ｆ上代数的な有限個の元:α₁,α₂，..α_mがあるとき.

Ｆに.順に,これらの元を添加した体の拡大列として,

Ｆ(α₁)⊂Ｆ(α₁,α₂)⊂…⊂Ｆ(α₁,α₂，..α_m)を

得ることができる。

[定理5-8]:Ｆ(α₁,α₂，..α_m)は,Ｆ上代数的拡大体

である。すなわち,この体の元はＦ上のある代数方程式

の根である。

(証明)まず,Ｆ(α)はｎ個の基底:1,α,α²,.,α^n-1で

張られるｎ次元ベクトル空間で,しかもＦの拡大体です。

そこで,[定理5-3]でＥが(Ｅ/Ｆ)＝ｎのＦの拡大体

なら,α∈Ｅのとき(ｎ＋1)個の元:1,α,α²,.,α^n-1,αⁿ

は1次従属なので,ｆ(ｘ)＝ｃ₀＋ｃ₁ｘ＋..＋ｃ_nｘⁿは,

ｆ(α)＝ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_nαⁿ＝0という自明でない

関係式を満たすため,αは恒等的にはゼロでないn次

以下の多項式ｆ(ｘ)の根となるという証明をしたもと

同様に,Ｆ(α)はＦ上のｎ次元ベクトル空間であり,

γ∈⊂Ｆ(α)なら,F(α)も体なので,1,γ,..γ^ｎ-1,γⁿ

も全てＦ(α)の元であり.1次従属なのでｇ(γ)＝0を

満たすｎ次以下のｇ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が存在してγはＦ上

代数的であり,故に,Ｆ(α)はFの代数的拡大体です。

そこでまず,Ｆ(α₁)はＦ上有限次で代数的です。

同様にＦ(α₁,α₂)はＦ(α₁)上有限次代数拡大です。

{Ｆ(α₁,α₂)/Ｆ}＝{Ｆ(α₁,α₂)/Ｆ(α₁)}{Ｆ(α₁)/Ｆ}

より,結局,Ｆ(α₁,α₂)はＦ上でも有限次拡大です。

後は,これを繰り返せば,帰納的にＦ(α₁α,α₂,..α_ｍ)

はＦ上の有限次代数的拡大体であることがわかります。

(証明終わり)

[例5-4]:ωを１の立方根とすれば,Ｑ(³√2,ω)を考える。

[例5-3]で見たように{Ｑ(³√2)/Ｑ}＝3です。

また,ωはＱ上ｘ²＋ｘ＋1＝0も根ですからＱ上２次で

Ｑ(³√2)上でも高々２次です。

実際にはｘ²－ｘ＋1は,Ｑ(³√2)上でも2次ですから

{Ｑ(³√2,ω)/Ｑ(³√2)}＝2なので,{Ｑ(³√2,ω)/Ｑ}＝6

と結論されます。(終わり)

[定理5-8]:体Ｆの多項式;ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]に対して,

ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α1)(ｘ－α2)・・(ｘ－αn)(αj∈Ｅ)

のように,ｆ(ｘ)のｘの１次式の積への分解が可能になる

Ｆの拡大体Ｅが存在する。

(証明)ｆ(ｘ)の既約因子ｐ(ｘ)をとる。

変数ｔの多項式環Ｆ[ｔ]のｐ(ｔによる剰余体Ｋを

Ｋ＝Ｆ[ｔ]/(ｐ(ｔ))で定義しｇます。

Ｋにおいて,Ｆ[ｔ]の元ｇ(ｔ)の剰余類を{ｇ(ｔ) mod ｐ(ｔ)}

と表わすことにします。

ａ∈Ｆのとき,ａに{ａ mod ｐ(ｔ)}∈Ｋを対応させると

体Ｆから体Ｋの中への写像で同型対応が得られます。

ａ∈Ｆを{ａ mod ｐ(ｔ)}∈Ｋと同一視するとＦ⊂Ｋです。

そして,Ｆ上の多項式はＫの部分体と考えたＦの多項式と

考えられます。特に,Ｋの元{ｔ mod ｐ(ｔ)}をα₁と表記

すればＫの元としてｐ(α₁)＝0となります。

つまり,ｐ(α₁)＝{ｐ(ｔ) mod ｐ(ｔ)}＝0です。

それ故,Ｋ内の既約多項式として,ｐ(ｘ)＝(ｘ－α₁)

×ｐ₁(ｘ)と書けます。

ｐ(ｘ)はｆ(ｘ)の既約因子であったので,ｆ(ｘ)は,

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α₁)ｆ₁(ｘ)(ｆ₁(ｘ)∈Ｋ[ｘ])となり

ｆ₁(ｘ)の既約因子は,また,Ｋの適当な拡大体をとると

ｆ₁(ｘ)＝(ｘ－α₂)ｆ₂(ｘ)となり.帰納的に,Ｆの拡大体

Ｅが存在して,ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)..(ｘ－α_n),

ａ∈Ｆａ≠0;α_j∈Ｅ(1≦ｊ≦ｎ)とできます。(証明終わり)

[定義5-8](分解体)

上記[定理5-8]の,ｆ(ｘ)の全ての根を含む拡大体:

Ｅ＝Ｆ(α₁,α₂,．．,α_n)をｆ(ｘ)の分解体」という。

※途中ですがキリもいいし今回は,ここで終わります。

(つづく)

ガロア理論の復習(4)

※2021年11月4日(木)開始→11月13日(土)

※(余談)最近,日コロナ感染者数が日本だけ,急減

しました。何ら,行政の特別な施策もなく自然消滅

も疑問ですが,専門家の一部たるマスコミ医者,御用

医者も,明確な原因解明ができず,またもや日本人

特有のファクターＸとか,危機は最悪を想定して

煽る方が安全とはいえ.根拠不明なのにインフル

が大流行するとか,飲み屋の議論や井戸端会議の

レベルの話を,占い師,予言者のように,偉そうに

ＴＶなどでコメントしてると感じてます。

選挙も終わり,札束で頬をたたくとか.動物

の調教のように,エサで釣ってマイナンバー

カード申請を促すというような人をバカにした

政策も進んでいるようです。どうせ財源は国債

か税金ですから,ツケはどこに行くのかな？

そもそも,カードなどなくてもマイナンバー

という国民背番号は,既に全員に賦与されてます

から,重要な個人情報をデータベースでホスト

のコンピュータ(＋バックアップ)にでも蓄積して

おき,それが必要な時と場所で,顔や指紋などで

認証すれば,間違うことなく彼,彼女の番号と

データをオンラインで自動照合できるはずです。

人口14億の中国のように,上海.北京のような

大都市を中心にキャッシュレスで企業の購買情報

も本人認証データも国家政府に把握され.監視カメラ

も4億以上設置されて屋外の個人行動は丸裸にされ,

危険人物,団体と見られると口座をロックされたり

投獄されたりする監視社会がすでに実現している

らしいです。

情報を握っている権力が独裁的強権的なら警察

監視社会の危険性が常にあります。

DNAを登録して認証できれば本人認証の誤認は

ないでしょうが.顔.指紋,DNを全員把握されれば

例えば犯罪を捜査する警察が自由に無断で活用

できるなら.大喜びでしょう。

というわけで,セキュリティ意識が甘くデータ

漏洩が頻繁で,平気で汚職したり証拠隠蔽する

「白アリ」とも称される日本の公務員にどこまで

の個人情報を委ねられるか？使用も監査できるか

疑問です。

問題がクリアされず,信用を得られてないの

に一時のエサにかかる人どれだけいるのかな？

エサでももらえれば,それなりですが。。

(余談終わり)

※本題の続きです。

※第３章 環とイデアル

[加群の定義]:体Ｋの上での(左)加群Ｇとは,Ｇが加法

と見なせる演算で可換群をなし,さらに∀ｇ∈Ｇに対し

Ｋの元:ｃによる(左)スカラー倍:(ｃｇ)が定義されて

(ｃｇ)∈Ｇを満たす(右加群なら(ｇｃ)∈Ｇを満たす)

場合に,Ｇを「(左)加群」という。また,Ｇの部分群で,

スカラー倍でも閉じているものを部分加群という。

(↑※Ｋ上の加群とはＫ上のベクトル空間(線形空間)

のようなものである。)

[イデアルの定義]:環Ｒの部分環Ｉ⊂Ｒで.その元の

加法については,IはＲの部分加群をなし,∀ｘ∈Ｉに

対して∀ａ∈Ｒの左からの積がＩに属する:ａｘ∈Ｉ

を満たすものをＲの「左イデアル(left ideal)」他方,

右からの積がＩに属する:ｘａ∈Ｉを満たすものをＲ

の「右イデアル(right ideal)」という。

Ｒが可換環であれば.Ｒの左右の両イデアルは一致

するので,単に「イデアル」という。

このとき,ａ,ｂ∈Ｒがa～ｂなる関係にあること,この

関係:～を(ａ－ｂ)∈Ｉとなることと定義すると,これは

１つ同値関係です。この関係による同値類の集合は.

剰余環(商環)と呼ばれる環を形成し,これを(Ｒ/Ｉ)と

表記する。

[定理3-1]:Ｌ(ｎ.Ｆ)＝{ｎ次行列:Ａ=(ａ_ij)|ａ_ij∈Ｆ}

(Ｆはある体)は,環をなすが,これには真の両側イデアル

は存在しない。(※Ｒの真のイデアルとはＩ＝ＲとＩ＝{0}

という自明なイデアル以外のイデアルＩを指す。)

(証明)Ｌ(ｎ,Ｆ)が数体Ｆの上で環であることは行列の

和と積(加法と乗法)の定義から自明です。

Ｌ(ｎ,Ｆ)の両側イデアルが存在するとして.その任意

のイデアルをＩとし,Ｉ≠{0}であると仮定します、

このとき,Ｉのゼロでない元をＡ＝(ａ_ij)とします。

ただし,このＡでは,特定の行ｉと列ｊの要素;(ｉ,ｊ)

＝(ｌ,ｍ)成分の要素については,a_ij＝ａ_lm＝0である,

と仮定します。

次に,行列Ｅ_lmを,(ｌ,ｍ)要素成分だけが1で残りの

全ての要素がゼロのｎ次行列とします。

つまり,(Ｅ_lm)_ij＝δ_ilδj_m(ｉ,ｊ＝1,..ｎ)とします。

このとき,(Ｅ_llＡＥ_mm)_ij＝Σ_λσδ_ilδ_λlａ_λσδ_σmδ_jm

＝ａ_lmδ_ilδ_jmです。

故に,ａ_lm≠0とすると,ａ_lm^-1(Ｅ_llＡＥ_mm)＝Ｅ_lmです。

ところが,仮定により,Ｉは両側イデアルなのでＡの

左右からのｎ次行列の積のスカラー(ａ_lm^{^-1})倍もＩの元

です。したがって,ａ_lm≠0なる∀ｌ,ｍに対してＥ_lm∈Ｉ

となります。すなわち,∀ｉ,ｊについてＥ_ij∈Ｉです。

∀Ａ∈Ｌ(ｎ,Ｆ)に対してＡ＝Σ_ijａ_ijＥ_ijと書ける

のでＡ∈Ｉです。

何故ならイデアルＩは,Ｆ上の加群でもあるため,

右辺のＥ_ij∈ＩのＦの元による線形和もまたＩの元

です。

結局,Ａ∈IよりL(ｎ,Ｆ)⊂ＩですからI＝L(ｎＦ)

であり,Ｉは環全体に一致し,また,Ｉ≠{0}なのでＩは

真イデアルではないことがわかります。(証明終わり)

※[定理3-2]:φが環Ｒから環Ｒ~の中への準同型写像

であるとき,Ｒの部分環Ｓの像:φ(Ｓ)={φ(ｘ):ｘ∈Ｓ}

はＲ~の部分環である。

また,φがＲ~の上への準同型写像のとき,Ｒのイデアル

Ｉの像:φ(Ｉ)＝{φ(ｘ):ｘ∈Ｉ}は.Ｒ~のイデアルである。

(証明)φは加群としても準同型ですから.φ(Ｓ)も加群

としてＲ~の部分群であるのは自明です。

そして.∀ｘ,ｙ∈Ｓに対してφ(ｘ)φ(ｙ)＝φ(ｘｙ)

∈φ(Ｓ)(準同型)なので,φ(Ｓ)は乗法についても閉じて

います。

次に,ＩがＲの(左)イデアルで,ｓ∈Ｉでφ(ｓ)∈φ(Ｉ)

とします。このとき.φがＲ~の上への写像なら,∀ｒ~∈Ｒ~

に対してｒ∈Ｒが存在してｒ^＝φ(ｒ)となるため,写像φ

の準同型性から,ｒ~φ(ｓ)＝φ(ｒ)φ(ｓ)＝φ(ｒｓ)です

が.Iは(左)イデアルなので,(ｒｓ)∈Ｉにより,

φ(ｒｓ)∈φ(Ｉ)です。それ故.∀ｓ∈Ｉに対し,∀ｒ~∈Ｒ~

でr~φ(ｓ)∈φ(Ｉ)が成立するため,φ(Ｉ)はＲ~の

(左)イデアルです。(証明終わり)

[定理3-3](環の準同型定理)

　φが環Ｒから環Ｒ^の上への準同型写像のとき,

Ｉ＝{ｚ∈Ｒ:φ(ｚ)＝0~}(~0はＲ~の単位元)はＲ

の両側イデアルである。そして.剰余環(商環)(Ｒ/Ｉ)

の元Ｃ(ｘ)に対して,φ~(Ｃ(ｘ))＝φ(ｘ)とする写像

をφ~とすると,φ~は(Ｒ/Ｉ)からＲ~の上への同型写像

である。ただし,Ｉはφの核と呼ばれるイデアルであり,.

Ｉ＝kerφと表わされる。

(証明)まず,Ｉ＝kerφは,Ｒの部分加群です。

何故なら,∀ｘ,ｙ∈Ｉに対して,φ(ｘ－ｙ)

＝φ(ｘ)－φ(ｙ)＝0~により,(ｘ－ｙ)∈Iであり,

また,ｘ∈Ｉ,ｒ∈Ｒに対し,φ(ｒｘ)＝ｒφ(ｘ)＝0~

より,(ｒｘ)∈Ｉであるからです。

さらに,ｘ,ｙ∈Ｉに対してφ(ｘｙ)=φ(ｘ)φ(ｖ)

＝0~なので,(ｘｙ)∈Ｉですから,Ｉは乗法についても

閉じています。それ故,ＩはＲの部分環でもあります。

そしてｚ∈Ｉ,ｘ∈Ｒならφ(ｘｚ)=φ(ｘ)φ(ｚ)＝0~

により,(ｘｚ)∈Ｉであり,同様に(ｚｘ)∈Ｉなので.Ｉ

はＲの両側イデアルです。

IはＲの部分加群ですから,群の準同型定理によれば,

φ~は商群(Ｒ/Ｉ)によって,φから誘導される写像です。

故に,これは(Ｒ/Ｉ)から加群Ｒ~の上への同型写像です。

何故なら,Ｒを加法群とみたとき,群は可換群なので

部分群は常に.その正規部分群であるからです。

乗法では.φ~{Ｃ(ｘ)Ｃ(ｙ)}＝φ~{Ｃ(ｘｙ)}＝φ(ｘｖ)

＝φ(ｘ)φ(ｖ)＝φ~{Ｃ(ｘ)}φ~{Ｃ(ｙ)}で,積の準同型性

が保持されます。さらにＲが乗法の単位元1を持つ場合は,

φ~{Ｃ(1)}＝φ(1)＝1~(Ｒ~の乗法の単位元)です。

以上から,φ~は加法,乗法で共に(Ｒ/Ｉ)からＲ~の上

への同型写像です。(Ｒ/Ｉ)～Ｒ~(同型)と表わされます。

(証明終わり)

[Ｒ加群の定義]:Ｒを乗法に関する単位元:1を持つ可換環

とする。このとき,加群ＭがＲ上の加群であることを,Ｍは

Ｒ加群である。という。

いい換えると,ＭがＲ加群であるとは∀ｘ∈Ｒと

∀ａ∈Ｍに対し,ｘａ∈Ｍであり,次の３条件を満たす

ことである。すなわち,∀ｘ,ｙ∈Ｒ,∀ａ,ｂ∈Ｍに対し,

(1)x(ｙａ)＝(ｘｙ)ａ(結合則)

(2)(ｘ＋ｖ)ａ＝ｘａ＋ｖａ(分配則1)

(3)ｘ(ａ＋ｂ)＝ｘａ＋ｘｂ(分配則2)の３条件です。

[定理3-4]:加群Ｍに対して,ＭからＭの中への準同型写像

の全体をＥnd(Ｍ)とするとき,ｆ,ｇ∈Ｅnd(Ｍ)に対して

(ｆ＋ｇ),ｆｇを,次のように定義する。

すなわち,∀ａ∈Ｍに対し(ｆ＋ｇ)(ａ)＝ｆ(ａ)＋ｇ(ａ),

(ｆｇ)(ａ)＝ｆ[ｇ(ａ)](合成写像)と定める。

このとき,Ｒ＝Ｅnd(Ｍ)は,単位元を持つ可換環であり,

Ｍは,Ｒ加群である。

(証明)ｆ,ｇ∈Ｒ,ａ,ｂ∈Ｍに対して,(ｆ＋ｇ)(ａ＋ｂ)

＝ｆ(ａ＋ｂ)＋ｇ(ａ＋ｂ)＝{ｆ(ａ)＋ｇ(ａ)}

＋{ｆ(ｂ)＋ｇ(ｂ)}＝(ｆ＋ｇ)(ａ)＋(ｆ＋ｇ)(ｂ)で,,

(ｆｇ)(ａ＋ｂ)＝ｆ[ｇ(ａ＋ｂ)}＝f[ｇ(ａ)＋ｇ(ｂ)]

＝ｆ[ｇ(ａ)]＋ｆ[ｇ(ｂ)]＝(ｆｇ)(ａ)+(ｆｇ)(ｂ)

ですから(ｆ＋ｇ),ｆｇも準同型であり(ｆ＋ｇ)∈Ｒ,

かつ,ｆｇ∈Ｒです。また,(ｆ－ｇ)∈Ｒも同様です。

ｅを恒等写像:ｅ(ａ)=aとすれば,ｅがＲの乗法の

単位元となることは自明です。

さらに加法,乗法の結合則,分配則も成立し,加群と

しての単位元である零元:0∈Ｒ.および,ｆの逆元:

(－ｆ)∈Ｒも存在するため,Ｒ＝EndＭ)は乗法の単位元

を持つ環です。そこで∀ａ∈Ｍに対してｆ∈Ｒとの積

をａｆ＝ｆ(ａ)∈Ｍと定義すれば,ＭはＲ加群の条件を

満たしています。(証明終わり)

[定理3-5]:ＭをＲ加群とするとき,ｘ∈Ｒに対してＭの元

(ｘａ)を対応させると,ＭからＭの中への準同型写像として

ｆ_xを得る。これは,ａ∈Ｍに対しｆ_ｘ(ａ)＝ｘａ∈Ｍとする

写像である。そこで,Φをｘ∈Ｒをｆ_xに対応させる写像と

すると,これはＲからＥnd(Ｍ)の中への準同型写像である。

このとき.Φの核をＩ＝kerΦ＝{Φ(ｘ)＝0 }とする。

ただし,φ(ｘ)＝0の0は,ｘａ＝0 (for ∀ａ∈Ｍ)なる写像

であり,Ｅnd(Ｍ)の元ｆ_x＝ｘａ＝0なる零写像を意味する。

すると(Ｒ/Ｉ)は,Ｅnd(Ｍ)の部分環:Φ(Ｍ)に同型である

ことがわかる。すなわち,Φから誘導される(Ｒ/I)からΦ(Ｍ)

への写像Φ~は,Φ~(ｘＩ)＝Φ(ｘ)＝ｆ_ｘで与えられ,これは

(Ｒ/Ｉ)からＥnd(Ｍ)の部分環;Φ(Ｍ)の上への同型である。

そこで,これをΦ(Ｍ)～(Ｒ/Ｉ)(同型)と書く。

ａ∈Ｍなら,ｘ∈Ｒに対し(ｘＩ)を同値類記号Ｃ(ｘ)で

表わせば,写像としてΦ~{Ｃ(ｘ)ａ}＝ｆ_ｘ(ａ)である。

つまり,Ｃ(ｘ)ａ＝ｘａと定めることにより.Ｒ加群Ｍ

が,(Ｒ/Ｉ)加群であるとも考えられる。

(証明)これは群Ｇと部分群Ｎによる商群,環ＲとイデアルＩ

による商環についての準同型定理と同様な命題であり,証明

はそれらと同じなので.ここでは割愛します。(終わり)

※Ｒ加群;Ｍは実質的には上記定理のような加群です。

[Ｒ部分加群の定義]:Ｒ加群Ｍの部分群Ｓが,またＲ加群

であるとき,ＳをＲ加群の「Ｒ部分加群」である,という。

ａ₁,ａ₂,..ａ_n∈Ｍのとき,係数ｘ₁,ｘ₂,.ｘ_n∈Ｒを持つ

線型関係:(ｘ₁ａ₁＋ｘ₂ａ₂＋..＋ｘ_nａ_n)の元の全体集合は

Ｒ部分加群である。

※これをａ₁,ａ₂,..ａ_nの生成するＲ部分加群という。

[定理3-6]；ＭをＲ加群,ＳをそのＲ部分加群とする。

このとき,剰余加群(Ｍ/Ｓ)もＲ加群と見なせる。

(証明)ｒ∈Ｒであり,ｍ∈ＭでＣ(ｍ)∈(Ｍ/Ｓ)のとき,

ｒＣ(ｍ)＝Ｃ(ｒｍ)と定義すると,Ｓは加群なので

Ｃ(ｍ~)＝Ｃ(ｍ)は(ｍ~-ｍ)∈Ｓを意味するため

ｒ(ｍ~－ｍ)＝(ｒｍ~－ｒｍ)∈Ｓです。

つまり,Ｃ(ｒｍ~)＝Ｃ(ｒｍ)となり,Ｃ(ｍ)∈(Ｍ/Ｓ)

なら,ｒＣ(ｍ)∈(Ｍ/Ｓ)なので,(Ｍ/Ｓ)もＲ加群です。

(証明終わり)

[定理3-7](Ｒ加群の準同型定理)

φをＲ加群ＭからＲ加群Ｍ~の上へのＲ準同型写像φと

する。つまり,通常の準同型@φ(ｘ＋ｙ)＝φ(ｘ)＋φ(ｙ),

および,φ(ｘｙ)＝φ(ｘ)φ(ｙ)(ｘ,ｙ∈Ｍ)なるち性質に

加えて,ｒ∈Ｒに対してφ(ｒｘ)＝ｒφ(ｘ)を満たす写像

とする。φをＭからＭ~への加群としての準同型と見たとき

の核を,Ｉ＝kerφ＝{ｚ∈Ｍ:φ(ｚ)＝0~}とすると,核Ｉは.

Ｒ部分加群であり,φはＲ加群(Ｍ/Ｉ)からＲ加群Ｍ~の

上へのＲ準同型写像;φ~を誘導する。

(証明)∀ｚ₁,ｚ₂∈Ｉ,に対して,φの準同型性によって,.

φ(ｚ₁―ｚ₂)＝φ(ｚ₁)－φ(ｚ₂)＝0~より(ｚ₁－ｚ₂)∈Ｉ

なので,IはＭの部分加群です。

次に,ｚ∈I,ａ∈Ｒとするとφ(ａｚ)＝ａφ(ｚ)＝0~

より,(ａｚ)∈Ｉなので,ＩはＭのＲ部分加群です。

剰余群(Ｍ/Ｉ)の元Ｃ(ａ)＝ａＩ(ａ∈Ｍ)に対して

φ~{Ｃ(ａ)}＝φ(ａ)とすると.φ~は加群(Ｍ/Ｉ)から

加群Ｍ~の上への同型写像です。(群の準同型定理)

さらにｘ∈Ｒとするとφ~{ｘＣ(ａ)}＝φ~{Ｃ(ｘａ)}

＝φ(ｘａ)＝ｘφ(ａ)＝ｘφ{Ｃ(ａ)}­が成立するので,

φ~はＲ同型写像です。（証明終わり）

[Hom(ＭＭ)の定義]:Ｈom(Ｍ,Ｍ~)をＲ加群ＭからＲ加群Ｍ~

へのＲ準同型写像の全体集合とする。

φ₁,φ₂∈Hom(Ｍ,Ｍ~)に対してａ∈Ｍのとき,加法と乗法

を(φ₁＋φ₂)(ａ)＝φ₁(ａ)＋φ₂(ａ),および,(φ₁φ₂)(ａ)

＝φ₁(ａ)φ₂(ａ)で.それぞれ,(φ1＋φ₂),および,(φ₁φ₂)を

定義する。

※Hom(Ｍ,Ｍ~)がＲ加群となることは,証明するまでもなく

明らかなことです。

[Ｇ加群の定義]:Ｍが群Ｇ上の加群であるとき,ＭをＧ加群

という。すなわち,∀ｇ∈Ｇ,∀ａ∈Ｍに対して(ｇａ)∈Ｍ

であり,ａ∈Ｍ,ｇ,ｈ∈Ｇに対しｇ(ｈａ)＝(ｇｈ)ａが成立,

し,ｅをＧの単位元とするとｅａ＝ａとなるとき,ＭはＧ加群

である。

第４章 体とベクトル空間(線形空間)

[体の定義]:これについては,本シリーズ記事(1)の第0章で

記述したものを再掲します。

集合Ｋの上で乗法(・)と加法(＋)という２種の２項演算

が定義されており,加法では(Ｋ,＋)が可換群をなし,その

単位元を0(ゼロ)と書き零元と呼ぶ。また,この0を除く集合

Ｋ^×＝Ｋ－{0}は,乗法について群をなし,この乗法群の単位元

ｅは1と書くこともある。このとき,任意のＫの元:ａ,ｂ,ｃ

について,分配則:ａ・(ｂ＋ｃ)＝a・ｂ＋ａ・ｃが成立する

なら,(Ｋ,・,＋)の組を「体(field)」という。特に乗法

についても可換なら,Ｋを「可換体」という。

[Ｋ加群の定義]:Ｍが体Ｋ上の加群なら,ＭをＫ加群という。

Ｍが加法について可換群をなし,Ｋの元によるスカラー倍

が定義されて閉じたＫ上の線形空間となるものをＫ(左)加群

というのである。Ｋ加群はＫ上のベクトル空間と同義です。

[ベクトル空間の定義]:これは省略して既知とします

(↑※詳細は線型代数学のテキストを参照されたい。)。

[定理4-1]:体Ｋ上のｍ個(ｍ≦ｎ)の同次連立方程式:

Ｌ_i＝Σ_j=1ⁿａ_ijｘ_ｊ)＝0(ｉ＝1,..ｍ)(1)の解;(ｘ_j)

の全体は,Ｋ加群:Ｋ_nの中で,部分空間Ｓをつくる。

※Ｋ_nは,体Ｋ上のｎ次元ベクトル空間全体を意味し,

Ｓは.そのｍ次元の線形部分空間であるという意味

です。さらに,非同次方程式Ｌ_i＝Σ_j=1ⁿａ_ijｙ_ｊ＝ｂ_i.(2)

(ｉ＝4,..,ｍ)が解を持てば,解(ｙ_j)の全体はＫのＳに

よる１つの剰余類をつくる。

(証明)Ｓは(1)の解集合ですからｘ_ｊ,ｘ~_ｊ∈Ｓとすると,

Σ_j=1ⁿａ_ij(ｘ_ｊ－ｘ~_j)＝0 (ｉ＝1,..ｍ)が成立するので,

(ｘ_j－ｘ~_j)∈Ｓです。さらにλ∈ＫならΣ_j=1ⁿａ_ij(λｘ_ｊ)

＝0(ｉ＝1,..ｍ)により,(λｘ_j)∈Ｓです。ＳはＬＫ群:

Ｋ_nの部分集合ですから,これらにより,ＳはＫ_nの線形

部分空間です。

次に,(2)の解全体の集合をＭとして,ｙ_ｊ,ｙ~_ｊ∈Ｍ

とすれば,Σ_j=1ⁿａ_ij(ｙ_ｊ－ｙ~_j)＝0(ｉ＝1,..ｍ)が

成立します。そこで(ｙ_j－ｙ~_j)が(1)の解となるため,

(ｙ_j－ｙ~_j)∈Ｓです。

これは,Ｍが(Ｍ/Ｓ)の剰余加群の1つの同値類である

ことを意味します。(証明終わり)

[定理4-2]:体Ｆ上のベクトル空間:Ｖの部分空間をＷと

する。剰余加群(Ｖ/Ｗ)の元Ｃ(ｖ)とｘ∈Ｆに対して,

Ｃ(ｘｖ)＝ｘＣ(ｖ)と定めると,(Ｖ/Ｗ)は,体Ｆ上の

ベクトル空間となり,dim(Ｖ/Ｗ)＝dimＶ－dimＷを

満たす。※このとき,(Ｖ/Ｗ)をＶの剰余空間という。

(証明)Ｃ(ｖ~)＝Ｃ(ｖ)のとき.(ｖ~－ｖ∈Ｗですから,

ｘ∈Ｆなら{ｘ(ｖ~－ｖ)}∈Ｗです。

故にＣ{ｘ(ｖ~－ｖ)}＝0なのでＣ(ｘｖ~)＝Ｃ(ｘｖ)

です。

それ故,Ｃ(ｘｖ)＝ｘＣ(ｖ)という定義は一意的です。

ここで,dimＷ＝ｍ,dim(Ｖ/Ｗ)＝ｒとして,Ｗのｍ個,

および,(Ｖ/Ｗ)のｒ個の基底をそれぞれ,ｗ₁,..,ｗ_m,

および,Ｃ(ｖ₁),..Ｃ(ｖ_r)とします。

Ｖの元がｖ＝ｘ₁ｗ₁＋..＋ｘ_mｗ_m＋ｙ₁ｖ₁＋..＋ｙ_rｖ_r

と表わせるとすると,ｗ∈Ｗを含む加群(Ｖ/Ｗ)の元,,

つまり,同値類はＣ(0)＝0＋Ｗで,加群(ＶＷ)の零元です。

つまり:Ｃ(ｗ)＝Ｃ(0)＝0ですから,ｊ＝1,..ｍの全て

において,Ｃ(ｗ_j)＝0です。よって,上記のｖの同値類は

Ｃ(ｖ)＝ｙ₁Ｃ(ｖ₁)＋..＋ｙ_rＣ(ｖ_r)と,ｒ個の(Ｖ/Ｗ)の

基底の線型結合で表わされます。

それ故,ｖ＝0なら.Ｃ(ｖ)＝0なのでy₁＝..=y_r＝0であり

,故にｘ₁＝..＝ｘ_m＝0が従います；

以上から,ｗ₁,..ｗ_m,ｖ₁,..ｖ_rは全て独立であり,Ｖの

基底となり得ます。何故なら,∀ｖ∈Ｖについて同値類は,

Ｃ(ｖ)＝ｙ₁ｖ₁＋..＋ｙ_rＣ(ｖ_r)と書けるので,ｗを

ｗ＝ｖ－(ｙ₁(ｖ₁＋..＋ｙ_rｖ_r)と定義すれば,Ｃ(ｗ)＝0

により,ｗ∈Ｗです。

ｗ＝ｘ₁ｗ₁＋..＋ｘ_mｗ_mと表わせるため,∀ｖ∀Ｖが,

常に,ｖ＝(ｘ₁ｗ₁＋..＋ｘ_mｗ_m)＋(ｙ₁ｖ₁＋..＋ｙ_rｖ_r)の形

に表わせるからです：

したがって,dimＶ＝(ｍ＋ｒ),つまり,ｒ＝dim(Ｖ/Ｗ)

＝dimＶ－dimＷを得ます。(証明終わり)

[定理4-3]:Ｖ,Ｗを体Ｆ上のベクトル空間とする。

そしてφをＶからＷへの準同型写像する。

このとき,Ｖ₀＝{ｖ∈Ｖ:φ(ｖ)＝0}とすると,(Ｖ/Ｖ₀)

はＶの部分空間であり,Ｖ₀による剰余空間(Ｖ/Ｖ₀)からＷ

の上への同型写像φ~が誘導される。

そして,dimＶ＝dimＷ＋dim(Ｖ/Ｖ₀)である。

(証明)ｖ₁,ｖ₂∈Ｖ₀のとき,φ(ｖ₁＋ｖ₂)＝φ(ｖ₁)＋φ(ｖ₂)

＝0より,(ｖ₁＋ｖ₂)∈Ｖ₀,また,ｖ∈Ｖ₀,ｘ∈Ｆなら,φ(ｘｖ)

=ｘφ(ｖ)＝0なので,(ｘｖ)∈Ｖ₀,よってＶ₀はＶの部分空間

です。Ｖ₀はφの核kerφですから,すぐ前に示したＦ加群の

準同型定理により,(Ｖ/Ｖ₀)からＷの上への同型写像φ~を,

φ~{Ｃ(ｖ)}＝φ(ｖ)で,φから誘導される写像として与える

ことができます。そして,,dimＶ＝dimＷ＋dim(Ｖ/Ｖ₀)です。

(証明終わり)

[定理4-4]:Ｌを非可換環Ｒの左イデアルとする。

このときＩ＝{ｘ∈Ｒ:ｘＬ＝0}はＲの両側イデアルである。

(証明)ｚ∈Ｌ,ａ,ｂ∈Ｉなら(ａ±ｂ)ｚ＝ａｚ±ｂｚ＝0

,それ故,(ａ±ｂ)∈Ｉです。また,(ａｂ)ｚ＝0から

(ａｂ)∈,Iです。,故にＩは環Ｒの部分環です。

次に,∀ｚ∈Ｌに対してＬはＲの左イデアルですから

ｘ∈Ｒに対して(ｘz)∈Ｌです。

一方,ａ∈Ｉなら.任意のＬの元ｚについて(ａｚ)＝0

です。故にａ(ｘｚ)＝0です。

以上から(ｘａ)ｚ＝0,かつ.(ａｘ)ｚ＝0なので

(ｘａ)∈Ｉ,かつ.(ａｘ)∈Ｉとなり,Ｉは両側イデアル

です。(証明終わり)

[定理4-5]:体Ｋから環Ｒへの準同型写像は零写像か,

または,同型写像でぁる。

(証明)φを,体Ｋから環Ｒへの(環)準同型写像とします。

φの核:Ｉ＝kerφ＝{ａ∈Ｋ:φ(ａ)＝0}はＫのイデアル

です。何故なら,ａ∈Ｉ,ｘ∈Ｋなら(φ(ｘａ)＝ｘφ(a)

＝0により(ｘａ)∈Ｉであるからです。

ところが,体Ｋのイデアルは,Ｋ自身か,{0}です。

何故なら,ａ∈Ｉならaａ≠0の場合は逆元.ａ^-1

が存在して 1＝(ａ^-1ａ)∈Ｉですから.∀ｘ∈Ｋ

に対して,ｘ＝(ｘ・1)∈Ｉですが,0∈Ｉですから

Ｋ⊂Ｉです。他方,ａ≠0のａ∈Ｉが存在しない

ならI＝{0}です。

そこで,Ｋ⊂Ｉの場合は.Ｉ＝kerφ＝Ｋで,φ(Ｋ)

＝{0}なので,φは零写像であり.他方,Ｉ＝kerφ＝{0}

の場合は.Ｋ＝(Ｋ/Ｉ)～Ｒで,φは,Ｒの上への同型写像

です。(証明終わり)

[定理4-6]:非可換環Ｒの有限個の両側イデアを.

Ｉ₁,Ｉ₂,..Ｉ_mとする。Ｒ＝Ｉ₁＋Ｉ₂＋..＋Ｉ_m

のとき.ｉ≠ｊなら(Ｉ_iＩ_j)＝0である。

(証明)あるｉ,ｊ(ｉ≠ｊ)についてα≠0,かつ，

α∈(Ｉi∩Ｉj)とすると,0∈Ｒは,0＝0＋0＋.＋0,

または,0＝0＋..＋α＋0＋..＋(－α)＋.＋＋0と

なり,,直和分割が一意的でないという矛盾です。

それ故,ｉ≠ｊなら(Ｉ_i∩Ｉ_j)＝{0}です。

そして,I_i,I_jは両側イデアルなので(Ｉ_iI_i)⊂Ｉ_j,

かつ,(Ｉ_iＩ_j)⊂I_iですから,(Ｉ_iＩ_l)＝0です。

(証明終わり)

[定理4-7];φを環Ｒから環Ｒ~の中への準同型写像

とする。Ｉ~をＲ~の両側側イデアルとするとφ^-1(Ｉ~)

はＲの両側イデアルである。

(証明)まず,Ｉ＝φ^-1(Ｉ~)とおきます。.

そこで,ａ∈Ｉ,ｘ∈Ｒなら,φ(ａ)∈Ｉ~であり,,

φ(ｘａ)＝φ(ｘ)φ(ａ)ですが.φ(ｘ)∈Ｒ~であり

Ｉ~はＲ~の両側イデアルですからφ(ｘａ)∈Ｉ~と

なるため.(ｘａ)∈Ｉです。

同様に,φ(ａｘ)＝φ(ｘ)φ(ａ)∈Ｉ~より,

(ａｘ)∈Ｉです。したがって,ＩもＲの両側イデアル

です。（証明終わり）,（

※途中ですが,今日はここで終わります。(つづく）

ガロア理論の復習(3)

※2021年10月25日(月)開始→11月３日(水)

※(余談):何かコロナウイルス自滅仮設が現実に

なったかのようです。私は数万人に1人くらいの

特異体質を自認していて医師の余命宣告も不発です

から.如何なるワクチンも拒否していますがそれでも

何とか生きています。

今は大谷翔平君,大坂なおみちゃん,渋野日向子

ちゃんのニュースのみ期待してます。選挙結果

もほぼ予想通りでした。投票に行く人が保守的な

日本人的な人達です。アウトサイダーには競馬

予想のような興味だけです。(余談終わり※)

※さて本論の続きです。

※Ｇが可換群なら乗法でなく加法で置き換えても

議論は「同じです。その場合,単位元は0で巡回群

は,＜ａ＞＝{0,ａ,2ａ,.}であり,位数がｑの有限

巡回群ではａ≠0なら,ｑをｑａ＝0を満たす最小

の自然数として＜ａ＞＝{0,ａ,..(q－1)ａ}です。

(※例えばmod ｑの整数,つまりｑで割った剰余の集合

をＧとすると,Ｇ＝{0,1,.,(ｑ－1)}であり,これは

加法群としては,巡回群＜1＞であり,ｑ・1＝ｑ＝0です。)

また,Ｇが部分群:Ｈ₁,..,Ｈ_mの直積で表わせる場合も

Ｇが可換群なら乗法の積を加法の和に置き換えが可能で

直積;Ｇ＝Ｈ₁×Ｈ₂×,,×Ｈ_mは,直和Ｇ＝Ｈ₁＋..＋Ｈ_m

＝Σ_i=1^mＨ_iと,解釈できます。

[定理2-5];(基本定理):任意の有限生成の可換群Ｇは

巡回部分群:Ｈ₁,..Ｈ_mの直積で書ける。ただし,ｍは

ある極小な生成系の元の個数である。

(証明)まず,1個の生成元のｍ＝1ならＧ＝Ｈ₁＝＜ｈ₁＞

であり,定理の成立は自明です。

そこで,(ｍ－1)個の生成系では定理が成立すると

仮定します。

極小な生成系の全ての自明でない１次関係で

係数に最小の正数が現われるものを,

ｘ₁ｈ₁＋．．＋ｘ_mｈ_m＝0..I1)とします。

ただし,ｈ_i∈Ｇ.ｘ_i∈Ｚ(ｉ＝1,2,..ｍ)です。

一般性を失うことなく,x_j(1≦ｊ≦ｍ)のうちで,

ｘ₁が最小の正の数であるとすることができます。

他方,任意の関係式ｙ₁ｈ₁＋．．＋ｙ_mｈ_m＝0,(2)

ｙ_i∈Ｚ(1≦ｉ≦ｍ)をとると,ｘ₁/y₁,つまり,ｘ₁は

ｙ₁の約数です。

何故なら,ｙ₁＝ｑｘ₁＋ｒ(0≦ｒ＜ｘ₁)なら,(2)から

(1)×ｑを,辺々引くと,ｒｈ₁＋..＋(ｙ_m－ｑｘ_m)ｈ_m＝0

となり,もしもｒ＞0ならｒが最小の正整数ｘ₁よりも

も小さい正整数となり矛盾が生じるので,ｒ＝0でしか

あり得ないからです。

また,(1)において,ｘ₁/ｘ_j(2≦ｊ≦ｍ)でもあります

何故なら,例えばｘ₂＝ｑｘ₁＋ｒ(0≦ｒ＜ｘ1)ならｍ個

の生成系を(ｈ₁＋ｑｈ₂),ｈ₂,..ｈ_ｍに変えれば,(1)式は,

ｘ₁(ｈ₁＋ｑｈ₂)＋ｒｈ₂＋..＋ｘ_mｈ_m＝0と書き直せます。

それ故,左辺のｈ₂の係数ｒが正ならｘ₁の最小性に矛盾

するため,やはり.ｒ＝0です。

したがって,ｘ₂＝ｑ₂ｘ₁,..ｘ_m＝ｑ_mｘ₁と書けるので

(1)はｘ₁(ｈ₁＋ｑ₂ｈ₂＋..．＋ｑ_mｈ_m)＝0を意味します。

　そこで,h~₁＝ｈ₁＋ｑ₂ｈ₂＋..＋ｑ_mｈ_mとおけば,ｈ~₁

も極小生成系の１つであり,ｘ₁ｈ~₁＝0なのでｘ₁が最小

の正整数であることから,これは位数がｘ₁の巡回部分群

＜ｈ~₁＞を構成することに同義です。

ここで,ｚ₁ｈ~₁＋ｚ₂ｈ₂＋．．＋ｚ_mｈ_m＝0(ｚ_ｊ∈Ｚ)

(ｊ＝2,..ｍ)を.生成系:ｈ~₁,ｈ₂,..ｈ_mの間の任意の関係

とすると,前のｘ₁/ｙ₁を導いたのと同様にして,ｘ₁/ｚ₁を

得ます。それ故,ｘ₁ｈ~₁＝0からｚ₁ｈ~₁＝0となります

から,先の任意の関係式がｚ₂ｈ₂＋..＋ｚ_mｈ_m＝0に帰着

します。

そこで,(ｍ－1)個のｈ_2.,..ｈ_mによって生成される

Ｇの部分群をＧ₂とし,一方.巡回部分群＜ｈ~₁＞をＧ₁

と書けば,群Ｇは,Ｇ＝Ｇ₁＋Ｇ₂(Ｇ₁∩Ｇ₂＝{0})と直和

で表わせます。

ところが,帰納法の仮定によりＧ₂は(ｍ－1)個の

巡回部分群の直積(直和)ですから,これとＧ₁を

合わせたＧ＝Ｇ₁＋Ｇ₂は.ｍ個の巡回部分群の直積

(直和)です。(証明終わり)

[定理2-6]:単位元以外の元の位数が２の群は可換群

である。

(証明)定理に仮定された群をＧとします。

∀σ,τ∈Ｇ(σ≠ｅ,τ≠ｅ)に対して.σ²＝τ²＝ｅ,

かつ,(στ)²＝στστ＝ｅです。

最後の式στστ＝ｅの両辺に左からσ,右からτ

を掛けると,τσ＝στを得るのでＧは可換群です。

(証明終わり)

[定理2-7]:巡回群Ｇでは,部分群Ｈ,および,商群

(Ｇ/Ｈ)も巡回群である。

.(証明)Ｈ＝{ｅ｝＝＜ｅ＞ならＨは位数1の巡回群で,

Ｇ/Ｈ＝Ｇ/{ｅ}＝{ａ{ｅ}:ａ∈Ｇ}＝{ａ∈Ｇ}＝Ｇ

なので,商群(Ｇ/Ｈ)にも定理の成立は明らかです。

また,Ｈ＝ＧならＨ＝Ｇは巡回群であり,商群は

Ｇ/Ｈ＝Ｇ/Ｇ＝{ａＧ:ａ∈Ｇ}＝{Ｇ}で,これは単位元

Ｇ＝Ｈのみが元の,位数1の巡回群です。

次にＨがＧ＝＜ａ＞(ａ≠ｅ)の自明でない部分群

なら,Ｈの元は全てａ^m(ｍ∈Ｚ)の形です.ａ≠ｅより,

ａ^d∈Ｈとなる最小の正整数ｄをとりｍ＝ｑｄ＋ｒ

(0≦ｒ＜ｄ)とすると,ａ^r＝ａ^(m-qd)＝(ａ^m)(ａ^d)^-1∈Ｈ

となるため,ｒ＞0であるとｄの最小性に反するので

ｒ＝0です。それ故,ｍ=qｄですから,常にａ^m＝(ａ^d)^ｑ

となり,Ｈは巡回群＜ａ^d＞であることがわかります。

そして,(Ｇ/Ｈ)の元はａⁿＨ(ｎ∈Ｚ)で,これは(ａＨ)ⁿ

に等しいので,(商ふんもＧ/Ｈ)＝＜ａＨ＞の巡回群です。

(証明終わり)

[定理2-8]:ｐ.ｑを相異なる素数とする。

Ｇ＝{ｐ^mｑⁿ;ｍ,ｎ∈Ｚ}なる可換群は巡回群ではない。

(証明)ｐ＝ｐ¹ｑ⁰,ｑ＝ｐ⁰ｑ¹よりｐ.ｑ∈Ｇです。

[定理2-7]より可換群Ｇは巡回部分群の直積で

書けますが,Ｇの生成元はｐ,ｑであり明らかに

Ｇ＝＜ｐ＞＜ｑ＞です。

＜ｐ＞も＜ｑ＞もＧの部分群ですが,前定理

から,Ｇが巡回群＜ａ＞なら部分群はＨ＝＜ａ^d＞

となりますが,ａ＝ｐ^ｍｑⁿに対し,ａ^d＝(ｐ^mｑⁿ)^d

＝ｐ(ｄ＞0)となるのはｍｄ＝1,ｎ＝0のみであり,

ａ^d＝(ｐ^mｑⁿ)^d＝ｑとなるのはｎｄ＝1,ｍ＝0のみ

です。これは,素数ｐ,ｑでは不可能ですからＧは

巡回群ではあり得ません。(証明終わり)

(系)有理数体Ｑの乗法群:Ｑ^×＝Ｑ－{0}は巡回群

ではない。

(証明)有理数体の集合Ｑは,整数Ｚとの直和

で,Ｑ＝Ｚ＋{ｐｑ^－1:ｐ,ｑは素数}と表わせて.

Ｑ^×＝Ｑ－{0}は,乗法について可換群をなします。

そこで,Ｇ＝{ｐ^mｑⁿ;ｍ,ｎ∈Ｚ}は,Ｑ^×の1つの

部分群です。もしもＱ^×が巡回群ならその部分群

Ｇも巡回群ですが.定理によってＧは巡回群では

ないのでＱ^×も巡回群ではないです。(証明終わり)

[定理2-9]:Ｈを群Ｇの部分群とし,ｘ∈Ｇとする

とき,(ｘ^-1Ｈｘ)もＧの部分群である。

※(ｘ^-1Ｈｘ)をＨに供役な部分群といいます。

(証明)∀ｘ^-1ｈ₁ｘ,ｘ^-1ｈ₂ｘ∈(ｘ^-1Ｈｘ)に対して

(ｘ^-1ｈ₁ｘ)(ｘ^-1ｈ₂ｘ)-1＝ｘ^-1(ｈ₁ｈ₂^-1)ｘですが

ｈ₁,ｈ₂∈ＨでＨがＧの部分群なのでｈ₁ｈ₂^-1∈∈Ｈ

ですから,(ｘ^-1ｈ₁ｘ)(ｘ^-1ｈ₂ｘ)^-1∈(ｘ^-1Ｈｘ)です。

したがって.ｘ^-1ＨｘもＧの部分群です。

(証明終わり)

[定理2-10]:可換群Ｇにおいて,有限位数の元全体は

Ｇの部分群をつくる。

(証明)Ｇの有限位数の元全体の集合Ｈは,.

Ｈ＝{ａ∈Ｇ|ａ^d＝ｅ.for some ｄ∈(Ｎ＋{0})}と

表わされます。(Ｎは自然数の集合です。)

そして,ａ₁,ａ₂∈Ｈなら,ａ₁^d1＝ｅ,ａ₂^d2＝ｅを満たす

非負の整数ｄ₁,ｄ₂が存在します。

このとき,(ａ₁ａ₂^-1)^d1d2＝ｅを得るので(ａ₁ａ₂^-1)∈Ｈ

です。それ故,ＨはＧの部分群です。(証明終わり)

[例2-1];位数が12の巡回群＜ａ＞の生成元とは？

(解)Ｇ＝＜ａ＞(ａ¹²＝ｅ)の元ｂがＧを生成するため

の必要十分条件は|Ｇ|＝12と互いに素なｋが存在して

ａ^ｋ＝ｂ,となることです。

　何故なら,ｋが12の1でない約数なら,ｋｄ＝12と

なる正整数:ｄ＜12が存在してｂ^d＝(ａk)^d＝ａ¹²＝ｅと

なるため,Ｇ＝＜ａ＞＝＜ｂ＞で,|Ｇ|＝ｄ＜12という

矛盾が生じるからです。故に,ｋ＝1,5,7,11であり生成元

はａ,ａ⁵,ａ⁷,ａ¹1のいずれかです。(q.e.d).

[例2-2]:無限巡回群＜ａ＞の生成元とは？

)解)Ｇ＝＜ａ＞＝＜ｂ＞すると,ｂ＝ａ^ｋ,かつ,

ａ＝ｂ^lを満たす正整数ｋ.ｌが存在するはずです。

するとａ＝ａ^klなので.ａ^(kl-1)＝ｅです。

しかし,Ｇ＝＜ａ＞の位数は∞なので(ｋｌ－1)

がゼロでない場合は有り得ません。

故にｋｌ＝1ですから,ｋ＝ｌ＝±1(複号同順)でａ

とａ^-1のみがＧの生成元となり得ます。（q.e.d）

[定理2-11]:位数が素数:ｐである群は巡回群である。

(証明){Ｇ{＝ｐ(素数)とします。ａ∈Ｇでａ≠ｅ

とすると,＜ａ＞はＧの巡回部分群で,位数はｐの約数

ですが,＜ａ＞≠＜ｅ＞により,これは1ではないので,

,|＜ａ＞|＝ｐ＝|Ｇ|です。

それ故,Ｇ＝＜ａ＞となるので,Ｇは巡回群です。

(証明終わり)

[定理2-12]:Ｎが群Ｇの部分群で指数が|Ｇ：Ｎ|＝２

なら,ＮはＧの正規部分群である。

(証明)仮定から,ａ,ｂ∈(Ｇ－Ｎ)について

Ｇ＝Ｎ＋ａＮであり,また,Ｇ＝Ｎ＋Ｎｂです。

それ故,Ｎａ＝ｂＮです。

しかし,指数が２なので,右剰余類で考えると,

ａＮ＝ｂＮです。

故にａＮ＝Ｎａ＝(Ｇ－Ｎ)となりますから,

Ｎ＝ａＮａ^-1です。これはＮがＧの正規部分群で

あることを意味します。(証明終わり)

[定理2-13]:ｇ∈Ｇに対して,φ_a(ｇ)＝ａ^-1ｇａ∈Ｇ

を対応させる写像φ_a:Ｇ→Ｇは自己同型写像である。

つまり,ＧからＧ自身への準同型全単射(bijebtion)

である。

そしてＡut(Ｇ)＝{σ:Ｇ→Ｇ:σは自己同型}とすると,

これは群で,Ｉnn(Ｇ)＝{φ_a:Ｇ→Ｇ}は,その正規部分群

である。
(証明)∀ｇ₁,ｇ₂∈Ｇについて,φ_a(ｇ₁ｇ₂)=ａ^-1(ｇ₁ｇ₂)ａ

＝(ａ^-1ｇ₁ａ)(ａ^-1ｇ₂ａ)＝φ_a(ｇ₁)φ_a(ｇ₂)が成立するので,

∀ａ∈Ｇに対してφ_aは準同型写像です。

そしてｇ∈Ｇならｇ~＝ａｇa^-1とおくと,φ_a(ｇ~)＝ｇ

となるので,φ_aは全射(Ｇの上への写像;surjection)であり,

φ_a(ｇ₁)＝φ_a(ｇ₂)ならａ^-1ｇ₁ａ＝ａ^-1ｇ₂aより,ｇ₁＝ｇ_2,

(言い換えるとｇ₁≠ｇ₂ならφ_a(ｇ₁)≠φ_a(ｇ₂))ですから,

φ_aは単射(1対1写像;injection)でもあります。

以上から,φ_aは群Ｇの自己準同型写像です。

次に,Ａut(Ｇ)が閉じていて群をなすのは自明です。

そして,Φ_a,φ_b∈Ｉnn(Ｇ)なら,φ_aφ_b^-1(ｇ)

＝φ_a(φ_b^-1(ｇ))＝ａ^-1(ｂｇｂ^-1)ａ＝(ｂ^-1ａ)^-1ｇ(ｂ^-1ａ)

＝φ_b-1a(ｇ)なので,φ_aφ_b^-1＝φ_b-1a∈Ｉnn(Ｇ)より,

Ｉnn(Ｇ)はＡut(Ｇ)の部分群です。

さらに,∀Φ_a∈Inn(Ｇ)は,∀σ∈Ａut(Ｇ)に対して,

(σφ_ａσ^-1)(ｇ)＝σ[ａ^-1{σ^-1(ｇ)}ａ]

＝ａ^-1[σ{σ^-1(ｇ)}]ａ＝ａ^-1ｇａ＝φ_a(ｇ)を満たす。

つまり,σφ_ａσ^-1＝φ_ａ∈Ｉnn(Ｇ)ですからＩnn(Ｇ)は

Ａut(Ｇ)の正規部分群です。(証明終わり)

[例2-3]:位数が６の群Ｇの構造

σ∈Ｇならσの位数は６の約数です。

σ≠ｅなら位数は２,３,６です。

(1)σの位数が６ならＧは巡回群でＧ＝＜σ＞

(2)ｅ以外の元の位数が全て２なら,Ｇは可換群です。

そこでσ≠ｅとすると,σ²＝ｅで＜σ＞は巡回部分群

であり,(Ｇ/＜σ＞)の位数は３の素数ですから巡回群

です。しかし,τ∈＜σ＞とすると,τ²＝ｅで{τ＜σ＞}²

＝＜σ＞,つまり,τ＜σ＞の位数は２で３ではないので

矛盾です。ですから,この場合は有り得ません。

(3)位数が３の元σが存在する。このとき,σ≠ｅ,σ³＝ｅ

で,(Ｇ/＜σ＞)の位数は２,指数|Ｇ：＜σ＞|＝２を意味

するので＜σ＞はＧの正規部分群です。

それ故,τ∈＜σ＞とすると,τ^-1στ∈＜σ＞ですが,

τ^-1στ＝σなら,στ＝τσ,σ³＝ｅ,で{τ<σ＞}²＝＜σ＞,

τ²＝ｅで,τ^-1στ­＝σ²なら,στ＝σ²τ,τ²＝ｅです。

[定理2-14]:Ｇを群,Ａを加法群とする。

Ｈom(Ｇ,Ａ)＝{ｆ:Ｇ→Ａ:準同型写像}とすると,ｘ∈Ｇ,

ｆ,ｇ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)に対し,(ｆ＋ｇ)(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ)

なる演算(加法)で群をなす。

特に,Ｇ,Ａが共にｎ次の巡回群ならHom(Ｇ,Ａ)もｎ次の

巡回群である。

(証明)ｆ,ｇ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)とすると,ｆ,ｇはＧの上で準同型

なので,∀ｘ₁,ｘ₂∈Ｇに対して,加法の定義により,

(ｆ＋ｇ)(ｘ₁ｘ₂)＝ｆ(ｘ₁ｘ₂)+ｇ(ｘ₁ｘ₂)＝{f(ｘ₁)＋ｆ(ｘ₂)}

＋{ｇ(ｘ₁)+g(ｘ₂)}=(ｆ＋ｇ)(ｘ₁)＋(ｆ＋ｇ)(ｘ₂)ですから,

和:(ｆ＋ｇ)もＧの上で準同型,(ｆ＋ｇ)∈Ｈom(Ｇ,Ａ)です。

そして,加法は可換演算なのでｆ＋ｇ＝ｇ＋ｆです。

次に,ｆ,ｇ,ｈ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)ならｆ＋（ｇ＋ｈ）

＝(ｆ＋ｇ)＋ｈの結合則の成立は,自明です。

∀ｘ∈Ｇに対して0(ｘ)＝0なる写像:0は明らかに

Hom(Ｇ,Ａ)の単位元となります。

そこで,ｆ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)に対して(－ｆ)(ｘ)＝－ｆ(ｘ)

で定義される写像(－ｆ):Ｇ→Ａは,写像ｆの逆元となって,

ｆ+(－ｆ)＝0,(－ｆ)＋ｆ＝0を満たします。

以上から,Ｈom(Ｇ,Ａ)は１つの可換群です。

特に,Ｇ,Ａが共に巡回群でＧ＝＜ｘ₀＞,Ａ＝＜ａ＞の場合

ｆ∈Hom(Ｇ,Ａ)でｆ(ｘ₀)＝ａとなるｆとｘ₀∈Ｇが存在します。

ｆは準同型ですからｆ(ｘ₀^k)＝ｋａ(ｋ∈Ｚ)となります。

この写像ｆ;Ｇ→Ａについてｘ＝ｘ₀^k,ｙ＝ｘ₀^l∈Ｇ(ｋ,ｌ∈Ｚ)

なら,f(ｘｙ)＝ｆ(ｘ₀^kｘ₀^l)＝ｋａ＋ｌａ＝ｆ(ｘ)+f(ｙ)であり,

確かにｆは準同型です。

そこで,ａの位数がｎ,つまり,ｎ＝|＜ａ＞|のｎ次巡回群の

場合:ｎａ＝0なので,Ｇの任意の元:ｘ＝ｘ₀^ｋ(ｋ∈Ｚ)に対し,

ｎｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ₀^k)＝ｎｋａ＝0 です。

ｘはＧの任意の元なので準同型写像として恒等的にｎｆ≡0

であることを意味すます。

ｎはｎａ＝0となる最小の正整数で,ｍａ＝0ならｎ/ｍ

です。故に,ｍｆ≡0ならｍｆ(ｘ₀)＝ｍａ＝0より,ｎ/ｍです。

つまり,ｎ≦ｍですからｆの位数もｎです。

他方,ｇ∈Hom(Ｇ,Ａ)ならｇ(ｘ₀)＝ｒａ∈Ａとなるｒ∈Ｚ

が存在しますから,ｇ(ｘ₀)＝ｒｆ(ｘ₀)です。

そこで,∀ｘ＝ｘ₀^k;∈Ｇについてもｇ(ｘ)＝ｒｆ(ｘ)となり

写像としてｇ≡ｒｆ,つまりｇ∈＜ｆ＞(加法巡回群)です。

以上から,Hom(Ｇ,Ａ)＝＜ｆ＞で,Hom(Ｇ,Ａ)も位数がｎ

のｎ次巡回群です。(証明終わり)

[定理2-15];Ｇを可換群とし,Ｎをその部分群とする。

Ｇが無限巡回群ならＧ～Ｎ×(Ｇ/Ｎ)(両辺は同型)である。

(証明)Ｇは可換群でＮをその部分群とします。

まず,無限巡回群は加群Ｚ(整数)と同型です。

何故なら,＜ａ＞が無限巡回群ならａⁿ～ｎは明らかに同型対応

ですから＜ａ＞～Ｚ(同型)と書けます。

さて,[定理2-7]からＧが巡回群なら,Ｎも商群(Ｇ/Ｎ)も巡回群

です。Ｇが無限巡回群ならＮも(Ｇ/Ｎ)もそうです。

商群は(Ｇ/Ｎ)＝{Ｃ(ａ):ａ∈Ｇ}です。ただし,Ｃ(ａ)

＝ａＮ＝Ｎａです。

商群も無限巡回群なので(Ｇ/Ｎ)＝＜Ｃ(ａ)＞と書けます。

一方,Ｋ＝＜ａ＞とし,ａ≠ｅならａ∈ＧよりＫも無限巡回群

です。ａ^r∈Ｋ(ｒ∈Ｚ)でＣ(ａ^r)＝ａ^rＮなのでＣ(ａ^r)∈ＫＮ

ですが,Ｃ(ａ^r)＝ｓ^rＮ＝(ａＮ)^r＝Ｃ(ａ)^ｒ∈(Ｇ/Ｎ)でも

あります。それ故,ＫＮ＝(Ｇ/Ｎ)でＧ＝Ｎ×ＫＮでます。

無限巡回群は全て加群Ｚと同型ですから,結局のところ,

Ｇ～Ｎ×(Ｇ/Ｎ)～Ｎ×(ＫＮ)～Ｚです。(証明終わり)

※＜ａ＞が無限巡回群であるとは,ａ^r＝eがｒ＝0を意味する

巡回群のことです。

[定理2-16]:位数が素数ｐの２乗;ｐ²である群は可換群である。

(↑※後記:この定理は間違いで成立しない。？)

証明)まず,Ｇを位数がｐ²の群とすると,|Ｇ|＝ｐ²なので,

その任意の元の位数はｐ²の約数であり1,ｐ,ｐ²のいずれか

です。しかし,Ｇの位数は1より大なのでａ≠ｅのａ∈Ｇが

必ず存在して,その位数は,ｐまたは,ｐ²です。

そこで.ａ≠ｅでａ∈Ｇならａ^p＝ｅまたは(ａ^p)^p＝ｅ

です。|＜ａ＞|＝|＜ａ^p＞|＝ｐで＜ａ＞も＜ａ^p＞もＧ

の巡回部分群です。

それ故,もしもａ^p＝ｅなら巡回部分群＜ａ＞をＫとおけば.

|Ｋ|＝ｐで.商群(Ｇ/Ｋ)の位数はｐです

(Ｇ/Ｋ)={ｅＫ,ｘ₁Ｋ,..ｘ_p-1Ｋ}と書けば,ｊ＝,1..,ｐ－1

についてｘ_j∈(Ｇ－Ｋ)ですが.この商群も位数が素数ｐです

から.巡回群です。したがって,(Ｇ:/Ｋ)＝＜ｂＫ＞,

ｂ∈(Ｇ－Ｋ)と書けます。その元は(ｂＫ)^r＝ｂ^r­Ｋ(ｒ∈Ｚ)

です。巡回群なので元は可換ですから,∀ｘ,ｙ∈Ｇに対して

(ｘＫ)(ｙＫ)＝(ｙＫ)(ｘＫ)です。

よってｘｙ＝ｙｘ(可換)です、

(↑※後記:ここは疑問です？mod Kでｘｙ～ｙｘに過ぎない

と思います。そこで,位数がｐの巡回群(可換群)の直積で。

Ｇ＝＜ｂ＞×＜a＞と書けても,一般に直和てはないので.

＜ａ＞×＜ｂ＞に一致するとは限りません。)

故に,Ｇは可換群です。(？？)

他方(ａ^p)^p＝ｅで,|＜ａ＞|＝ｐ²なら|Ｇ|＝|＜ａ＞|

なので,Ｇ=＜ａ＞でＧは巡回群なので可換群です。

(証明終わり)(つぐく)

※ＰＳ:今年も2006年１月に知り合った巣鴨一番街の

３年くらい前に立ち退きでなくなった小さなスナック

バーの,長崎出身のマスターで15年来の親友が10/28

に亡くなったという訃報が10/31に他の知り合いから

の連絡でわかりました。

コウちゃん,トシちゃんと呼ぶ間柄でした。彼は

1953年7月生まれのはずですから,まだ68歳です。

半年くらい前にガンが転移して再発したかもという

連絡がありましたが,私も介護,看護を受けてる身で何も

できません。最近は,ガンでもいずれは良くなるだろう

と放置していましたから,寝耳に水です。、

毎年のように71歳の私と同年代の長い付き合いの友達

が亡くなったという連絡がありますが.ほぼ全員死因はガン

のようです。

私のような慢性の糖尿病から心臓病,腎臓病の方長生きして

います。もはや,ほぼ動けない身体の私はどうしようもなく

自宅で勝手に焼酎でも飲んで一人通夜をするだけです。

慢性病持ちの私の方が先に逝くはずでしたがシブトイ

憎まれっ子のようです。夜にハバカリかい！！

　　合掌！