ガロア理論の復習(5)

※2021年11月14日(日)開始→11月22日(月)

※(余談) やっと代数方程式の本題に入れる段階に

なりました。

19世紀のアーベリやガロアによる「５次以上の

代数方程式のベキ根による一般解法の不可能性」

については.物理学のアインシュタインらによる

「相対性理論」同様,高校時代に,そうしたトピック

があるのを知ってから,淡い興味を抱いてました。

40歳くらいまでの真面目な？サラリーマンの頃は

生活に追われ,毎日アルコール依存症のように飲酒を

続け,将棋や,少し余分な収入があるとオーディオや

PCなど受動的な趣味で,ストレス解消してました。

酒のセイか？39歳で糖尿病になり,42歳後半に厄年

でバブルが終わる頃,フリーター？(プータロー)となり

金無しヒマ有り,の状況になった機会に,お金が不要な

趣味の1つとして,学生時代研究者になる道もめざして

いた理論物理学や数学の専門書,啓蒙書の読書三昧を

再開したのでした。そうして,約25年以上前の昔その

課題を思い出して独学し,そのエッセンスを15年前

に本ﾇログ開始の2006年に「ガロア理論」のシリ－ズ

記事として書きました。

老化もあり,どの記憶も時と共に薄れていくものです

が,他のトピックと異なり理解したツモリになってても

本当には体得してはいない曖昧な理解だったセイか？

2006年から15年の今,記憶をたどっても,結局,最初の

用語の定義からコツコツとたどるしか理解の道はない

ようです。幸い,何とか判読可能な大きさの文字の自作

ノートがあったのでね。(※ルーペでやっとわかる程度)

まあ,余談以外の内容は,死ぬ前の独居老人の自己満足

の勉強履歴.自己確認に過ぎませんが,食う寝る以外の

生きろモチベーションの１つにはなります。(余談終わり)

※さて,本題の続きです。

※第５章 体の拡大

[定義5-1](部分体,拡大体,中間体)

体Ｅが体Ｆを含むとき,つまり,集合としてＦ⊂Ｅ

であり,ＦがＥで定義された２項演算(加法,乗法)で

体をなすとき,Ｆは「Ｅの部分体」であるといい,

逆に,Ｅは「Ｆの拡大体」であるという。

このとき,Ｆ⊂Ｂ⊂Ｅの関係にある体Ｂがあれば.

Ｂを「Ｅ/Ｆの中間体」という。

　Ｆ⊂Ｅのとき,Ｅ,および,Ｅ/Ｆの中間体は全てＦ上

のベクトル空間となる。Ｅがｎ次元空間のとき,Ｅは

Ｆ上有限次拡大,特にｎ次拡大という。

このｎをＥのＦ上の次数といい,これを記号(Ｅ/Ｆ)

で表記する。つまり,(Ｅ/Ｆ)＝ｎと書く。

[例5-1]:ｍが,1より大きい整数で平方数の倍数

ではないとする。Ｑを有理数体(有理数集合の体)

とし,Ｅ＝{ａ＋ｂ√ｍ:ａ,ｂ∈Ｑ}とすると,Ｅ

はＱ上２次の拡大体である。

(証明)√ｍ∈Ｑと仮定すると,√ｍ＝p/ｑ(既約分数)

と書けるので.ｑ²＝ｍｐ²です。

そこで,ｍが,ｍ＝ｐ₁^j1ｐ₂^j2・・ｐ_r^jr；ただし,1≦ｊ≦ｒ

のｊについてｐ_ｊは素数,と素因数分解できたとすると

ｑ²＝ｍｐ²により,ｑ²もｐ_jを素因数に含みますが,これは

ｑ自身がｐ_jを素因数とすることを意味するので,結果,ｐ²

もｐ_j²を因数に含むため,あるｐ_j≧2はｐ,ｑの公約数となり

p/ｑが既約分数であるという仮定に矛盾します。

故に,√ｍはＱの元(有理数)では有り得ないです。

それ故,1と√ｍはＱ上で１次独立です。つまり,

ａ＋ｂ√ｍ＝0ならａ＝ｂ＝0です。

ただし,ｂ＝0なら(ａ＋ｂ√ｍ)∈Ｑですから,

Ｑ⊂Ｅですが,ａ＋ｂ√ｍは.1と√ｍを基底として

Ｑの上で２次元のベクトル空間をなすため,ＥはＱ

の２次の拡大体です。Ｅは,1と√ｍで生成される体

である,といわれ,(Ｅ/Ｑ)＝2です。(終わり)

[定義5-2](整域)

零因子0を持ち,自明なもの:{0}以外の可換環を

整域という。これは,整数環Ｚの拡張である。

[定義5-3](単項式,多項式と整式,多項式環)

不定元(文字):ｘ,ｙ,.のべき乗の積と係数の積で

得られる単一の文字式を「単項式」といい,単項式の

２つ以上の代数和で与えられる式を「多項式」という。

そして,単項式と多項式を総称して「整式」という。

不定元がｘのみの多項式ｆ(ｘ)は,その有限個の係数:

ａ₀,ａ₁,..ａ_nが,全て体Ｋの元である場合,具体的には,

ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,という形になる。

ｆ(ｘ)が恒等的にはゼロではなく,最高次ｘⁿの係数が

ａ₀≠0なら,ｆ(ｘ)はｎ次多項式であるといい,ｆ(ｘ)の

次元はｎである,あるいは,degｆ＝ｎであるという。

これらｆ(ｘ)全体の集合は通常の加法,乗法で可換環

をなす。これを体Ｋ上の1変数の「多項式環」と呼び,

Ｋ[ｘ]と表記する。ｆ(ｘ)∈Ｋ[ｘ]である。

特に,最高次の係数が1の1変数の多項式,つまり,

f(ｘ)＝ｘ ⁿ＋ｃ₁ｘ^n-1＋..＋ｃ_n,をモニック(monic),

または,モニック多項式という。

多項式ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_nは,ａ₀≠0

なら,ｃ_j＝ａ_j/ａ₀(1≦ｊ≦ｎ)としてｆ(ｘ)＝ａ₀ｆ₀(ｘ)

ｆ₀(ｘ)＝ｘⁿ＋ｃ₁ｘ^n-1＋..＋ｃ_nのように,モニックｆ₀(ｘ)

のａ₀倍で表わすことができる。

[定義5-5](単項イデアル整域)

Ｒを環,ＡをＲの部分集合とするとき,Ａを含む最小の

イデアルＩを,Ａで生成されるイデアルという。

生成元の集合Ａの位数が有限で,Ａ＝{ａ₁,..ａ_m}と書ける

とき,Ｉは有限生成のイデアルであるという。

そこで,ＩがＡによる有限生成の左イデアルなら,

Ｉ＝{ｘ₁ａ₁＋..＋ｘ_mａ_m:ｘ_j∈Ｒ}と表わすことができる。

特にイデアルＩの生成元が単一のａ∈Ｒの場合,Ｉが

左イデアルなら,Ｉ＝{ｘａ:ｘ∈Ｒ},Ｉが右イデアルなら.

Ｉ＝{ａｘ:ｘ∈Ｒ}である。

生成元がａのみのイデアルＩが両側イデアルの場合には.

これを単項イデアル(主イデアル)といい,Ｉ＝(ａ)と表わす。

Ｒが可換環なら,Ｒのイデルは,常に両側イデアルである。

可換環:Ｒが零因子を持ちＲ≠{0}のとき,Ｒは整域と

いわれるが,Ｒのイデアルが全て単項イデアルなら,Ｒは,

「単項イデアル整域」である,という。あるいは,

Principal Ideal Domain,である。略してPIDである,

という。

[例5-2]:Ｚを整数環とするとき,ａ,ｂ∈Ｚに対して

Ｉ＝{ａｘ＋ｂｙ:ｘ,ｙ∈Ｚ}は.ａ,ｂで生成される

Ｚのイデアルですが,以前の章で示したようにａ,ｂ

の最大公約数をｄ∈Ｚ,つまり,ｄ＝(ａ,ｂ)とすると

Ｉの元は全てｄの倍数ですから,Ｉは単項イデアルで

あり,Ｉ＝(ｄ)です。特にａ,ｂが互いに素でｄ＝1

ならば,Ｉ＝Ｚです。

これを拡張して,Ｉ＝{ｘ₁ａ₁＋..＋ｘ_mａ_m:ｘ_j∈Ｚ}を

考えると,これはｄ＝(ａ₁,..ａ_m)(最大公約数)とすると,

単項イデアルであり,I＝(ｄ)です。(終わり)

[定理5-2]:体Ｋ上の多項式環Ｋ[ｘ]はPIDである。

(証明)ＩをＫ[ｘ]の{0}でない任意のイデアルとする。

すると恒等的にはゼロでないＩの元ｆ(ｘ)が存在します。

このうち,degｆが最小のｆ(ｘ)∈Ｉをｐ(ｘ)とします。

このとき,∀ｆ(ｘ)∈Ｉは多項式式の除法の公式により,

ｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ)(degｒ＜degｒ)と表わす

ことができます。

以下,簡単のため,変数ｘを省略します。

するとｆ＝ｐｑ＋ｒとなりますが,ｆ,ｐ∈Ｉでｑ∈Ｋ

であり,ＩはＫのイデアルなのでｒ＝(ｆ－ｐｑ)∈Ｉです。

故に,ｒ≠0ならｒ∈Ｉがdegｒ＜degｐのゼロでない

Ｉの多項式となり矛盾を生じるため,ｒ≡0です。

それ故,ｆ＝ｐｑです。

したがって,ＩはＩ＝(ｐ)の単項イデアルです。

変数ｘを復活させると,I＝(ｐ(ｘ))であり,Iは単項

イデアルですが,IはＫ[ｘ]の{0}でない任意のイデアル

であったので,ｘの多項式環:Ｋ[ｘ]はPIDです。

つまり,単項イデア整域です。(証明終わり)

[定義5-6](体の代数的拡大)

体Ｆのゼロでない1変数ｘの多項式ｆ(ｘ)を

ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,とする。

これは,係数:ａ₀,ａ₁,..ａ_nが全て体Ｆの元の恒等的

にはゼロでない多項式である。

このｆ(ｘ)に対して,Ｆの拡大体Ｅ⊃Ｆの1つの元α

が,ｆ(α)＝0を満たすとき,　すなわち,α∈Ｅが,

ｆ(α)＝ａ₀αⁿ＋ａ₁α^n-1＋..＋ａ_n＝0を満たすとき,

αはｆ(ｘ)＝0の根(root)であるという。

そして,こもときαは「Ｆ上代数的」である。という。

Ｅの全ての元がＦ上代数的であるとき;ＥはＦ上,

「代数的(拡大体)」であるという。

[定理5-3];ＥがＦ上,有限次なら.ＥはＦ上代数的である。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝ｎとすると,ＥはＦ上ｎ次のベクトル

空間なので,∀α∈Ｅのベキで構成される.Ｅの(ｎ＋1)

個の元:αⁿ,α_n-1,..,α,１は１次従属です。

故に,少なくとも１つはゼロでないＦの(ｎ＋1)個の

元:a₀.ａ₁,..ａ_nを用いて,ａ₀αⁿ＋ａ₁α^n-1＋..＋ａ_n＝0

なる自明でない１次関係式が成立します。

それ故,ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,とおけば,

ｆ(ｘ)は恒等的にゼロではないＦの整式で,ｆ(α)＝0

なので,αは(ｘ)＝0の根となるため,αはＦ上代数的です。

ａ₀≠0の場合はｆ(ｘ)はｎ次の多項式です。(証明終わり)

[定理5-4]:ＢがＥ/Ｆの中間体でＦ上有限次,ＥはＢ上

有限次のとき,ＥはＦ上有限次である。

特(に(Ｅ/Ｆ)＝(Ｂ/Ｆ)(Ｅ/Ｂ)である。

(証明)(Ｂ/Ｆ)＝ｍ,(Ｅ/Ｂ)＝ｎとします。

ＢはＦ上でｍ個の基底:α₁,.,α_mを持ち,ＥはＢ上で

ｎ個の基底:β₁,.,β_nを持ちます。

このとき,ｉ＝１，ｍ,および,ｊ＝1,.ｎに対する

異なる(ｍｎ)個の元;α_iβ_jについて考察します。

ｃ_ij∈Ｆ(ｉ＝１，,ｍ,ｊ＝1,.,ｎ)とし,関係式

Σ_i,j(ｃ_ijα_iβ_j)＝0を考えます。

これは変形すると,Σ_j=1ⁿ{(Σ_i=1^mｃ_ijα_i)β_j}＝0

となりますが,(Σ_i=1^mｃ_ijα_i)∈Ｂであり,β₁,.,β_n

はＢ上１次独立ですからΣ_i=1^mｃ_ijα_i＝0(ｊ＝1,.ｎ)

です。すると,ｃ_ij∈Ｆでα₁,.α_mはＦ上1次独立

なので,全てのｉ,ｊについてｃ_iｊ＝0を得ます。

それ故,α_iβ_j(ｉ＝1,..ｍ,ｊ＝1,..ｎ)はＦ上で,

１次独立です。

そして∀ω∈Ｅについて,ω＝Σ_j=1ⁿｘ_jβ_j(ｘ_ｊ∈Ｂ),

,と表わすことができて,ｘ_j＝Σ_i=1^mｃ_ijα_i(ｃ_ij∈Ｆ)

と表わせるので,結局,ω＝Σ_i,j(ｃ_ijα_iβ_j)と書けます。

よって,ｍｎ個の独立な(α_iβ_j)がＥのＦ上の基底

となるため,(Ｅ/Ｆ)＝ｍｎ＝(Ｅ/Ｂ)(Ｂ/Ｆ)です。

(証明終わり)

[定理5-5]:ＥがＦの有限次拡大体で,Ｂが中間体の

とき,ＥはＢ上,ＢはＦ上,有限次である。

(証明)ＥのＦ上の基底をγ₁,..γ_nとすると,γ₁,.,γ_ｎ

はＢの生成元です。何故なら,∀ω∈Ｅをω＝Σ_jｃ_jγ_j

と展開したとき,係数ｃ_j∈Ｆ,および,基底γ_j∈Ｆは,

Ｂ⊃Ｆより,全てＢの元でもありますから,{γ_j}_j=1ⁿの

中で,Ｂにおいて1次独立な最大の部分集合は,Ｅの

Ｂにおける有限個の基底をなすからです。

それ以外のＦの基底によるｃ_ijγ_jの各項はＢに

おいては,1次従属ですから,今採用したＢ上の基底

の１次結合で表わせます。・

それ故,ＥはＢ上でも有限次ベクトル空間です。

また,Ｂ上の基底は,Ｆ上の基底の部分集合ですから,

ベクトル空間として,ＢはＥの部分空間です。

(証明終わり)

[定義5-4](既約多項式,モニック)

体Ｋの上の多項式ｆ(ｘ₁,.ｘ_m)が;定数ではない変数

の１次以上のＫの多項式ｇ(ｘ₁,.ｘ_m)とｈ(ｘ₁,.ｘ_m)の

積でｆ＝ｇｈと因数分解できるときｆは可約であると

いい,そうでないうきは既約であるという。

そして,ｆが既約なら.これを「既約多項式」という。

[定理5-6]:体Ｆの拡大体Ｅの元αが,Ｆ上代数的で

あるとき,Ｊ＝{f(ｘ)∈Ｆ[ｘ]；ｆ(α)＝0}は可換環

(多項式環):Ｆ[ｘ]の{0}でないイデアルである。

Ｊ＝(ｐ(ｘ))とすると,多項式ｐ(ｘ)はＦ上既約である。

(証明)まず,ｆ(ｘ)∈Ｊ,ｇ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]とすると,

ｇ(α)ｆ(α)＝0より,ｇ(ｘ)ｆ(ｘ)∈Ｊですから,Ｊは

Ｆ[ｘ]のイデアルです。そして,αはF上代数的なので,

恒等的には0でないｆ(ｘ)∈Ｊが存在するためＪ≠{0}

です。

次に,ｐ(ｘ)=ｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ),ｐ₁(ｘ),ｐ₂(ｘ)∈Ｆ[ｘ],

と因数分解できるなら,degｐ＝degｐ₁＋degｐ₂ですから,

ｐ₁,ｐ₂が共に定数でないとき,0＜degｐ₁＜degｐであり,

かつ,0＜degｐ₂＜degｐです。

ところが,ｐ(α)=ｐ₁(α)ｐ₂α)＝0よりｐ₁(α)＝0

または,ｐ₂(α)＝0です。そこでｐ₁(ｘ)∈Ｊ,または,

ｐ₂(ｘ)∈Ｊです。しかし,Ｊ＝(ｐ(ｘ))ですから,

これはdegｐ₁≧degｐ,または,degｐ₂≧degｐを意味し,

矛盾です。したがって,このような因数分解は不可能

でａありｐ(ｘ)は既約です。

かくして,Ｅ⊃Ｆの元αが,体Ｆ上の多項式環Ｆ[ｘ]

の根となるイデアル:Ｊ＝{ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]:ｆ(α)＝0}

は,Ｆ上で既約な多項式ｐ(ｘ)で生成され,Ｊ＝(ｐ(ｘ))

と書けるとわかりましたが,ｐ(ｘ)の最高次の係数がａ

でａ≠0なら,(ｐ(ｘ))＝(ａ^-1ｐ(ｘ）)であり,ａ^-1ｐ(ｘ)

は既約なモニックです。そこで,このモニックを改めて

ｐ(ｘ)と定義すれば,Ｊはモニックで生成されるイデアル

ということになります。。

以下,一般性を失うことなくＪはに常にモニックで生成

されるイデアルであると見なせます。(証明終わり)

[系]:[定理5-5]のαに対するＪ＝(ｐ(ｘ))の生成モニック

ｐ(ｘ)は,αに対して一意的に定まる。

(証明)ｆ(ｘ)∈Ｊ＝(ｐ(ｘ))ならｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)と

なるので,degｐ≦degｆでありｐ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]は,ｐ(α)＝0

を満たす既約な最低次数のモニックでですから,これが一意的

であるのは自明です。これを最小多項式ともいいます。

(証明終わり)

[定義5-7]; Ｅ⊃Ｆの元αが,体Ｆ上の多項式環Ｆ[ｘ]

の根となるイデアル:Ｊ＝{ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]:ｆ(α)＝0}

は,αに対し一意に定まるＦ上で既約なモニックｐ(ｘ)

で生成され,Ｊ＝(ｐ(ｘ))となるが,このｐ(ｘ)の次数

がｎなら,αはF上ｎ次である,または,ｎはαのＦ上の

次数である,という。

[定理5-6]:体Ｆの拡大体Ｅの元αがＦ上ｎ次のとき,

ｎ個の元;1,α,..α^n-1がＦ上で張る,ベクトル空間:

Ｆ(α)＝{ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_n-1α^n-1:ｃ_j∈Ｆ}は,Ｆの

ｎ次の代数的拡大体である。

(証明)まず,ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_n-1α^n-1＝0でＦ上の係数:

ｃ₀,ｃ₁..ｃ_n-1の少なくとも1つがゼロでない場合には,,

ｆ(ｘ)＝ｃ₀＋ｃ₁ｘ＋..＋ｃ_n-1ｘ^n-1:とおけば.これは次数

が(ｎ－1)以下のゼロでない多項式でｆ(α)＝0となり,

ｐ(α)＝0を満たす最低次の多項式がｐ(ｘ)でdegｐ＝ｎ

であることに矛盾します。

それ故,1,α,..α^n-1は,Ｆ上で１次独立です。

次に,∀ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]はｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ),

ただし,degｒ(ｘ)＜degｐ(ｘ)＝ｎ.と表わせます。

すると,ｐ(α)＝0なのでｆ(α)＝ｒ(α)となります。

ところがdegr(ｘ)≦(ｎ－1)なので,ｒ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]は,

ｒ(ｘ)＝ｃ₀＋ｃ₁ｘ＋..＋ｃ_n-1ｘ^n-1,のように(ｎ－1)次以下

の多項式で表わされます。ただし,ｊ＝1,.,(ｎ－1)について

係数;ｃ_ｊ∈Ｆの少なくとも1つはゼロでないです。

それ故,結局,ｆ(α)＝ｒ(α)＝ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_n-1α^n-1

と書けるため,任意のｆ(ｘ)に対して,ｆ(α)∈Ｆ(α)が

成立します。そこで,Ｆ[ｘ]からＦ(α)への写像Φを,

Φ{ｆ(ｘ)}＝ｆ(α)で定義すると,これはＦ[ｘ]からＦ(α)

の上への準同型写像です。

そして,ｆ(α)＝0ならｒ(α)＝0 ⇒ｃ₀＝ｃ₁＝..＝c_n-1＝0

なので,多項式としてｒ(ｘ)≡0より,これはｆ(ｘ)がｐ(ｘ)

で割り切れて,ｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)(ｑ(ｘ)∈Ｆ[ｘ])となる

ことを意味します。

そこでΦ{ｆ(ｘ)}＝ｆ(α)＝0は,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))と同値

です。故に,Φの核：kerΦ＝{ｆ()∈Ｆ[ｘ]:φ{ｆ(ｘ)}＝0}

が,イデアルＩ＝(ｐ(ｘ))に等しくなります。

したがって,準同型定理により,Φから誘導される

{Ｆ[ｘ]/(ｐ(ｘ))}からＦ(α)の上への同型写像;Φ~が存在

します。つまり,Φ~{Ｃ(ｆ)}＝Φ{ｆ(ｘ)}＝ｆ(α)∈Ｆ(α)

で定義されるΦ~はＦ(α)の上への同型です。

多項式環Ｆ[ｘ]のイデアルＩ＝(ｐ(ｘ))による剰余類を

Ｃ(ｆ)と書けば,Ｃ(0)＝Ｃ(ｐ)＝(ｐ()ｘ))が剰余類零元で

あり,Ｃ(ｆ)≠Ｃ(0)なら,ｐ(ｘ)が既約故,ｆ(ｘ)とｐ(ｘ)は

互いに素です。

よって,ｆ(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｐ(ｘ)ｒ(ｘ)＝1を満たす

ｑ(ｘ),ｒ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が存在してＣ(ｆｑ)＝1であり

Ｃ(ｆ)Ｃ(ｑ)＝1より,Ｃ(ｑ)が,Ｃ(ｆ)の乗法の逆元

{Ｃ(ｆ)}^-1です。F[ｘ]/(ｐ(ｘ))－{Ｃ(0)}が単位元と

逆元を持ち,乗法群をなすため,Ｆ[ｘ]/(ｐ(ｘ))は,

体をなすとわかります。

よって,これに同型なＦ(α)も体をなし.これはｎ個の

独立な元で張られるベクトル空間ですから,結局,Ｆ(α)

はＦのｎ次の代数的拡大体です。(証明終わり)

[定理5-7]:Ｆ上のｎ次の多項式はＦの拡大体Ｅにおいて,

高々ｎ個の根を持つ。

(証明)ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が(ｎ＋1)個の根α₁,α₂,..α_n,α_n+1

を持つとすると,ｆ(ｘ)は,(ｘ－α_j)(1≦ｊ≦(ｎ＋1))

なる因数を持つｘのｎ次式なので.1≦ｊ≦ｎの因数を

採用してｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_n)

とすると,これは,さらにｆ(α_n1)＝0を満足します。

すなわち,ａ(α_n+1－α₁)(α_n+1－α₂)・・(α_n+1－α_n)＝0

です。そこで.もしもαn+1≠αｊ(1≦ｊ≦ｎ)ならａ＝0

が必要条件で,ｆ()≡0となりｆ(ｘ)がｎ次でｓるという

仮定に矛盾します。

それ故,(ｎ＋1)個のα₁,α₂,.α_n,α_n+1の全てが異なる

わけではないので,異なる根の数はｎ以下です。

(※体Ｆが複素数体Ｃなら代数学の基本定理から少なくとも

1つの根α∈Ｃが存在して(ｘ－α)という因数を持つこと

から,帰納的に,ｎ次多項式がＣにｎ個以下の根を持つのは

自明なのですが,抽象的な体Ｆの上では.事情が違います。)

(証明終わり)

[例5-3]:Ｑを有理数体とするとき,(Ｑ(³√2)/Ｑ)＝3である、

(証明)(³√2)はＱ上で既約な３次多項式(ｘ⁶－2)の根です

から,(Ｑ(³√2))/Ｑ）＝3であり,Ｑ(³√2)の,Ｑ上の基底は,

1,³√2,,³√2²の３つです。(終わり)

[定義5-7](添加された拡大体)

Ｆ(α)を体Ｆにαを添加した体という。

Ｆ上代数的な有限個の元:α₁,α₂，..α_mがあるとき.

Ｆに.順に,これらの元を添加した体の拡大列として,

Ｆ(α₁)⊂Ｆ(α₁,α₂)⊂…⊂Ｆ(α₁,α₂，..α_m)を

得ることができる。

[定理5-8]:Ｆ(α₁,α₂，..α_m)は,Ｆ上代数的拡大体

である。すなわち,この体の元はＦ上のある代数方程式

の根である。

(証明)まず,Ｆ(α)はｎ個の基底:1,α,α²,.,α^n-1で

張られるｎ次元ベクトル空間で,しかもＦの拡大体です。

そこで,[定理5-3]でＥが(Ｅ/Ｆ)＝ｎのＦの拡大体

なら,α∈Ｅのとき(ｎ＋1)個の元:1,α,α²,.,α^n-1,αⁿ

は1次従属なので,ｆ(ｘ)＝ｃ₀＋ｃ₁ｘ＋..＋ｃ_nｘⁿは,

ｆ(α)＝ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_nαⁿ＝0という自明でない

関係式を満たすため,αは恒等的にはゼロでないn次

以下の多項式ｆ(ｘ)の根となるという証明をしたもと

同様に,Ｆ(α)はＦ上のｎ次元ベクトル空間であり,

γ∈⊂Ｆ(α)なら,F(α)も体なので,1,γ,..γ^ｎ-1,γⁿ

も全てＦ(α)の元であり.1次従属なのでｇ(γ)＝0を

満たすｎ次以下のｇ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が存在してγはＦ上

代数的であり,故に,Ｆ(α)はFの代数的拡大体です。

そこでまず,Ｆ(α₁)はＦ上有限次で代数的です。

同様にＦ(α₁,α₂)はＦ(α₁)上有限次代数拡大です。

{Ｆ(α₁,α₂)/Ｆ}＝{Ｆ(α₁,α₂)/Ｆ(α₁)}{Ｆ(α₁)/Ｆ}

より,結局,Ｆ(α₁,α₂)はＦ上でも有限次拡大です。

後は,これを繰り返せば,帰納的にＦ(α₁α,α₂,..α_ｍ)

はＦ上の有限次代数的拡大体であることがわかります。

(証明終わり)

[例5-4]:ωを１の立方根とすれば,Ｑ(³√2,ω)を考える。

[例5-3]で見たように{Ｑ(³√2)/Ｑ}＝3です。

また,ωはＱ上ｘ²＋ｘ＋1＝0も根ですからＱ上２次で

Ｑ(³√2)上でも高々２次です。

実際にはｘ²－ｘ＋1は,Ｑ(³√2)上でも2次ですから

{Ｑ(³√2,ω)/Ｑ(³√2)}＝2なので,{Ｑ(³√2,ω)/Ｑ}＝6

と結論されます。(終わり)

[定理5-8]:体Ｆの多項式;ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]に対して,

ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α1)(ｘ－α2)・・(ｘ－αn)(αj∈Ｅ)

のように,ｆ(ｘ)のｘの１次式の積への分解が可能になる

Ｆの拡大体Ｅが存在する。

(証明)ｆ(ｘ)の既約因子ｐ(ｘ)をとる。

変数ｔの多項式環Ｆ[ｔ]のｐ(ｔによる剰余体Ｋを

Ｋ＝Ｆ[ｔ]/(ｐ(ｔ))で定義しｇます。

Ｋにおいて,Ｆ[ｔ]の元ｇ(ｔ)の剰余類を{ｇ(ｔ) mod ｐ(ｔ)}

と表わすことにします。

ａ∈Ｆのとき,ａに{ａ mod ｐ(ｔ)}∈Ｋを対応させると

体Ｆから体Ｋの中への写像で同型対応が得られます。

ａ∈Ｆを{ａ mod ｐ(ｔ)}∈Ｋと同一視するとＦ⊂Ｋです。

そして,Ｆ上の多項式はＫの部分体と考えたＦの多項式と

考えられます。特に,Ｋの元{ｔ mod ｐ(ｔ)}をα₁と表記

すればＫの元としてｐ(α₁)＝0となります。

つまり,ｐ(α₁)＝{ｐ(ｔ) mod ｐ(ｔ)}＝0です。

それ故,Ｋ内の既約多項式として,ｐ(ｘ)＝(ｘ－α₁)

×ｐ₁(ｘ)と書けます。

ｐ(ｘ)はｆ(ｘ)の既約因子であったので,ｆ(ｘ)は,

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α₁)ｆ₁(ｘ)(ｆ₁(ｘ)∈Ｋ[ｘ])となり

ｆ₁(ｘ)の既約因子は,また,Ｋの適当な拡大体をとると

ｆ₁(ｘ)＝(ｘ－α₂)ｆ₂(ｘ)となり.帰納的に,Ｆの拡大体

Ｅが存在して,ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)..(ｘ－α_n),

ａ∈Ｆａ≠0;α_j∈Ｅ(1≦ｊ≦ｎ)とできます。(証明終わり)

[定義5-8](分解体)

上記[定理5-8]の,ｆ(ｘ)の全ての根を含む拡大体:

Ｅ＝Ｆ(α₁,α₂,．．,α_n)をｆ(ｘ)の分解体」という。

※途中ですがキリもいいし今回は,ここで終わります。

(つづく)