ガロア理論の復習(4)

※2021年11月4日(木)開始→11月13日(土)

※(余談)最近,日コロナ感染者数が日本だけ,急減

しました。何ら,行政の特別な施策もなく自然消滅

も疑問ですが,専門家の一部たるマスコミ医者,御用

医者も,明確な原因解明ができず,またもや日本人

特有のファクターＸとか,危機は最悪を想定して

煽る方が安全とはいえ.根拠不明なのにインフル

が大流行するとか,飲み屋の議論や井戸端会議の

レベルの話を,占い師,予言者のように,偉そうに

ＴＶなどでコメントしてると感じてます。

選挙も終わり,札束で頬をたたくとか.動物

の調教のように,エサで釣ってマイナンバー

カード申請を促すというような人をバカにした

政策も進んでいるようです。どうせ財源は国債

か税金ですから,ツケはどこに行くのかな？

そもそも,カードなどなくてもマイナンバー

という国民背番号は,既に全員に賦与されてます

から,重要な個人情報をデータベースでホスト

のコンピュータ(＋バックアップ)にでも蓄積して

おき,それが必要な時と場所で,顔や指紋などで

認証すれば,間違うことなく彼,彼女の番号と

データをオンラインで自動照合できるはずです。

人口14億の中国のように,上海.北京のような

大都市を中心にキャッシュレスで企業の購買情報

も本人認証データも国家政府に把握され.監視カメラ

も4億以上設置されて屋外の個人行動は丸裸にされ,

危険人物,団体と見られると口座をロックされたり

投獄されたりする監視社会がすでに実現している

らしいです。

情報を握っている権力が独裁的強権的なら警察

監視社会の危険性が常にあります。

DNAを登録して認証できれば本人認証の誤認は

ないでしょうが.顔.指紋,DNを全員把握されれば

例えば犯罪を捜査する警察が自由に無断で活用

できるなら.大喜びでしょう。

というわけで,セキュリティ意識が甘くデータ

漏洩が頻繁で,平気で汚職したり証拠隠蔽する

「白アリ」とも称される日本の公務員にどこまで

の個人情報を委ねられるか？使用も監査できるか

疑問です。

問題がクリアされず,信用を得られてないの

に一時のエサにかかる人どれだけいるのかな？

エサでももらえれば,それなりですが。。

(余談終わり)

※本題の続きです。

※第３章 環とイデアル

[加群の定義]:体Ｋの上での(左)加群Ｇとは,Ｇが加法

と見なせる演算で可換群をなし,さらに∀ｇ∈Ｇに対し

Ｋの元:ｃによる(左)スカラー倍:(ｃｇ)が定義されて

(ｃｇ)∈Ｇを満たす(右加群なら(ｇｃ)∈Ｇを満たす)

場合に,Ｇを「(左)加群」という。また,Ｇの部分群で,

スカラー倍でも閉じているものを部分加群という。

(↑※Ｋ上の加群とはＫ上のベクトル空間(線形空間)

のようなものである。)

[イデアルの定義]:環Ｒの部分環Ｉ⊂Ｒで.その元の

加法については,IはＲの部分加群をなし,∀ｘ∈Ｉに

対して∀ａ∈Ｒの左からの積がＩに属する:ａｘ∈Ｉ

を満たすものをＲの「左イデアル(left ideal)」他方,

右からの積がＩに属する:ｘａ∈Ｉを満たすものをＲ

の「右イデアル(right ideal)」という。

Ｒが可換環であれば.Ｒの左右の両イデアルは一致

するので,単に「イデアル」という。

このとき,ａ,ｂ∈Ｒがa～ｂなる関係にあること,この

関係:～を(ａ－ｂ)∈Ｉとなることと定義すると,これは

１つ同値関係です。この関係による同値類の集合は.

剰余環(商環)と呼ばれる環を形成し,これを(Ｒ/Ｉ)と

表記する。

[定理3-1]:Ｌ(ｎ.Ｆ)＝{ｎ次行列:Ａ=(ａ_ij)|ａ_ij∈Ｆ}

(Ｆはある体)は,環をなすが,これには真の両側イデアル

は存在しない。(※Ｒの真のイデアルとはＩ＝ＲとＩ＝{0}

という自明なイデアル以外のイデアルＩを指す。)

(証明)Ｌ(ｎ,Ｆ)が数体Ｆの上で環であることは行列の

和と積(加法と乗法)の定義から自明です。

Ｌ(ｎ,Ｆ)の両側イデアルが存在するとして.その任意

のイデアルをＩとし,Ｉ≠{0}であると仮定します、

このとき,Ｉのゼロでない元をＡ＝(ａ_ij)とします。

ただし,このＡでは,特定の行ｉと列ｊの要素;(ｉ,ｊ)

＝(ｌ,ｍ)成分の要素については,a_ij＝ａ_lm＝0である,

と仮定します。

次に,行列Ｅ_lmを,(ｌ,ｍ)要素成分だけが1で残りの

全ての要素がゼロのｎ次行列とします。

つまり,(Ｅ_lm)_ij＝δ_ilδj_m(ｉ,ｊ＝1,..ｎ)とします。

このとき,(Ｅ_llＡＥ_mm)_ij＝Σ_λσδ_ilδ_λlａ_λσδ_σmδ_jm

＝ａ_lmδ_ilδ_jmです。

故に,ａ_lm≠0とすると,ａ_lm^-1(Ｅ_llＡＥ_mm)＝Ｅ_lmです。

ところが,仮定により,Ｉは両側イデアルなのでＡの

左右からのｎ次行列の積のスカラー(ａ_lm^{^-1})倍もＩの元

です。したがって,ａ_lm≠0なる∀ｌ,ｍに対してＥ_lm∈Ｉ

となります。すなわち,∀ｉ,ｊについてＥ_ij∈Ｉです。

∀Ａ∈Ｌ(ｎ,Ｆ)に対してＡ＝Σ_ijａ_ijＥ_ijと書ける

のでＡ∈Ｉです。

何故ならイデアルＩは,Ｆ上の加群でもあるため,

右辺のＥ_ij∈ＩのＦの元による線形和もまたＩの元

です。

結局,Ａ∈IよりL(ｎ,Ｆ)⊂ＩですからI＝L(ｎＦ)

であり,Ｉは環全体に一致し,また,Ｉ≠{0}なのでＩは

真イデアルではないことがわかります。(証明終わり)

※[定理3-2]:φが環Ｒから環Ｒ~の中への準同型写像

であるとき,Ｒの部分環Ｓの像:φ(Ｓ)={φ(ｘ):ｘ∈Ｓ}

はＲ~の部分環である。

また,φがＲ~の上への準同型写像のとき,Ｒのイデアル

Ｉの像:φ(Ｉ)＝{φ(ｘ):ｘ∈Ｉ}は.Ｒ~のイデアルである。

(証明)φは加群としても準同型ですから.φ(Ｓ)も加群

としてＲ~の部分群であるのは自明です。

そして.∀ｘ,ｙ∈Ｓに対してφ(ｘ)φ(ｙ)＝φ(ｘｙ)

∈φ(Ｓ)(準同型)なので,φ(Ｓ)は乗法についても閉じて

います。

次に,ＩがＲの(左)イデアルで,ｓ∈Ｉでφ(ｓ)∈φ(Ｉ)

とします。このとき.φがＲ~の上への写像なら,∀ｒ~∈Ｒ~

に対してｒ∈Ｒが存在してｒ^＝φ(ｒ)となるため,写像φ

の準同型性から,ｒ~φ(ｓ)＝φ(ｒ)φ(ｓ)＝φ(ｒｓ)です

が.Iは(左)イデアルなので,(ｒｓ)∈Ｉにより,

φ(ｒｓ)∈φ(Ｉ)です。それ故.∀ｓ∈Ｉに対し,∀ｒ~∈Ｒ~

でr~φ(ｓ)∈φ(Ｉ)が成立するため,φ(Ｉ)はＲ~の

(左)イデアルです。(証明終わり)

[定理3-3](環の準同型定理)

　φが環Ｒから環Ｒ^の上への準同型写像のとき,

Ｉ＝{ｚ∈Ｒ:φ(ｚ)＝0~}(~0はＲ~の単位元)はＲ

の両側イデアルである。そして.剰余環(商環)(Ｒ/Ｉ)

の元Ｃ(ｘ)に対して,φ~(Ｃ(ｘ))＝φ(ｘ)とする写像

をφ~とすると,φ~は(Ｒ/Ｉ)からＲ~の上への同型写像

である。ただし,Ｉはφの核と呼ばれるイデアルであり,.

Ｉ＝kerφと表わされる。

(証明)まず,Ｉ＝kerφは,Ｒの部分加群です。

何故なら,∀ｘ,ｙ∈Ｉに対して,φ(ｘ－ｙ)

＝φ(ｘ)－φ(ｙ)＝0~により,(ｘ－ｙ)∈Iであり,

また,ｘ∈Ｉ,ｒ∈Ｒに対し,φ(ｒｘ)＝ｒφ(ｘ)＝0~

より,(ｒｘ)∈Ｉであるからです。

さらに,ｘ,ｙ∈Ｉに対してφ(ｘｙ)=φ(ｘ)φ(ｖ)

＝0~なので,(ｘｙ)∈Ｉですから,Ｉは乗法についても

閉じています。それ故,ＩはＲの部分環でもあります。

そしてｚ∈Ｉ,ｘ∈Ｒならφ(ｘｚ)=φ(ｘ)φ(ｚ)＝0~

により,(ｘｚ)∈Ｉであり,同様に(ｚｘ)∈Ｉなので.Ｉ

はＲの両側イデアルです。

IはＲの部分加群ですから,群の準同型定理によれば,

φ~は商群(Ｒ/Ｉ)によって,φから誘導される写像です。

故に,これは(Ｒ/Ｉ)から加群Ｒ~の上への同型写像です。

何故なら,Ｒを加法群とみたとき,群は可換群なので

部分群は常に.その正規部分群であるからです。

乗法では.φ~{Ｃ(ｘ)Ｃ(ｙ)}＝φ~{Ｃ(ｘｙ)}＝φ(ｘｖ)

＝φ(ｘ)φ(ｖ)＝φ~{Ｃ(ｘ)}φ~{Ｃ(ｙ)}で,積の準同型性

が保持されます。さらにＲが乗法の単位元1を持つ場合は,

φ~{Ｃ(1)}＝φ(1)＝1~(Ｒ~の乗法の単位元)です。

以上から,φ~は加法,乗法で共に(Ｒ/Ｉ)からＲ~の上

への同型写像です。(Ｒ/Ｉ)～Ｒ~(同型)と表わされます。

(証明終わり)

[Ｒ加群の定義]:Ｒを乗法に関する単位元:1を持つ可換環

とする。このとき,加群ＭがＲ上の加群であることを,Ｍは

Ｒ加群である。という。

いい換えると,ＭがＲ加群であるとは∀ｘ∈Ｒと

∀ａ∈Ｍに対し,ｘａ∈Ｍであり,次の３条件を満たす

ことである。すなわち,∀ｘ,ｙ∈Ｒ,∀ａ,ｂ∈Ｍに対し,

(1)x(ｙａ)＝(ｘｙ)ａ(結合則)

(2)(ｘ＋ｖ)ａ＝ｘａ＋ｖａ(分配則1)

(3)ｘ(ａ＋ｂ)＝ｘａ＋ｘｂ(分配則2)の３条件です。

[定理3-4]:加群Ｍに対して,ＭからＭの中への準同型写像

の全体をＥnd(Ｍ)とするとき,ｆ,ｇ∈Ｅnd(Ｍ)に対して

(ｆ＋ｇ),ｆｇを,次のように定義する。

すなわち,∀ａ∈Ｍに対し(ｆ＋ｇ)(ａ)＝ｆ(ａ)＋ｇ(ａ),

(ｆｇ)(ａ)＝ｆ[ｇ(ａ)](合成写像)と定める。

このとき,Ｒ＝Ｅnd(Ｍ)は,単位元を持つ可換環であり,

Ｍは,Ｒ加群である。

(証明)ｆ,ｇ∈Ｒ,ａ,ｂ∈Ｍに対して,(ｆ＋ｇ)(ａ＋ｂ)

＝ｆ(ａ＋ｂ)＋ｇ(ａ＋ｂ)＝{ｆ(ａ)＋ｇ(ａ)}

＋{ｆ(ｂ)＋ｇ(ｂ)}＝(ｆ＋ｇ)(ａ)＋(ｆ＋ｇ)(ｂ)で,,

(ｆｇ)(ａ＋ｂ)＝ｆ[ｇ(ａ＋ｂ)}＝f[ｇ(ａ)＋ｇ(ｂ)]

＝ｆ[ｇ(ａ)]＋ｆ[ｇ(ｂ)]＝(ｆｇ)(ａ)+(ｆｇ)(ｂ)

ですから(ｆ＋ｇ),ｆｇも準同型であり(ｆ＋ｇ)∈Ｒ,

かつ,ｆｇ∈Ｒです。また,(ｆ－ｇ)∈Ｒも同様です。

ｅを恒等写像:ｅ(ａ)=aとすれば,ｅがＲの乗法の

単位元となることは自明です。

さらに加法,乗法の結合則,分配則も成立し,加群と

しての単位元である零元:0∈Ｒ.および,ｆの逆元:

(－ｆ)∈Ｒも存在するため,Ｒ＝EndＭ)は乗法の単位元

を持つ環です。そこで∀ａ∈Ｍに対してｆ∈Ｒとの積

をａｆ＝ｆ(ａ)∈Ｍと定義すれば,ＭはＲ加群の条件を

満たしています。(証明終わり)

[定理3-5]:ＭをＲ加群とするとき,ｘ∈Ｒに対してＭの元

(ｘａ)を対応させると,ＭからＭの中への準同型写像として

ｆ_xを得る。これは,ａ∈Ｍに対しｆ_ｘ(ａ)＝ｘａ∈Ｍとする

写像である。そこで,Φをｘ∈Ｒをｆ_xに対応させる写像と

すると,これはＲからＥnd(Ｍ)の中への準同型写像である。

このとき.Φの核をＩ＝kerΦ＝{Φ(ｘ)＝0 }とする。

ただし,φ(ｘ)＝0の0は,ｘａ＝0 (for ∀ａ∈Ｍ)なる写像

であり,Ｅnd(Ｍ)の元ｆ_x＝ｘａ＝0なる零写像を意味する。

すると(Ｒ/Ｉ)は,Ｅnd(Ｍ)の部分環:Φ(Ｍ)に同型である

ことがわかる。すなわち,Φから誘導される(Ｒ/I)からΦ(Ｍ)

への写像Φ~は,Φ~(ｘＩ)＝Φ(ｘ)＝ｆ_ｘで与えられ,これは

(Ｒ/Ｉ)からＥnd(Ｍ)の部分環;Φ(Ｍ)の上への同型である。

そこで,これをΦ(Ｍ)～(Ｒ/Ｉ)(同型)と書く。

ａ∈Ｍなら,ｘ∈Ｒに対し(ｘＩ)を同値類記号Ｃ(ｘ)で

表わせば,写像としてΦ~{Ｃ(ｘ)ａ}＝ｆ_ｘ(ａ)である。

つまり,Ｃ(ｘ)ａ＝ｘａと定めることにより.Ｒ加群Ｍ

が,(Ｒ/Ｉ)加群であるとも考えられる。

(証明)これは群Ｇと部分群Ｎによる商群,環ＲとイデアルＩ

による商環についての準同型定理と同様な命題であり,証明

はそれらと同じなので.ここでは割愛します。(終わり)

※Ｒ加群;Ｍは実質的には上記定理のような加群です。

[Ｒ部分加群の定義]:Ｒ加群Ｍの部分群Ｓが,またＲ加群

であるとき,ＳをＲ加群の「Ｒ部分加群」である,という。

ａ₁,ａ₂,..ａ_n∈Ｍのとき,係数ｘ₁,ｘ₂,.ｘ_n∈Ｒを持つ

線型関係:(ｘ₁ａ₁＋ｘ₂ａ₂＋..＋ｘ_nａ_n)の元の全体集合は

Ｒ部分加群である。

※これをａ₁,ａ₂,..ａ_nの生成するＲ部分加群という。

[定理3-6]；ＭをＲ加群,ＳをそのＲ部分加群とする。

このとき,剰余加群(Ｍ/Ｓ)もＲ加群と見なせる。

(証明)ｒ∈Ｒであり,ｍ∈ＭでＣ(ｍ)∈(Ｍ/Ｓ)のとき,

ｒＣ(ｍ)＝Ｃ(ｒｍ)と定義すると,Ｓは加群なので

Ｃ(ｍ~)＝Ｃ(ｍ)は(ｍ~-ｍ)∈Ｓを意味するため

ｒ(ｍ~－ｍ)＝(ｒｍ~－ｒｍ)∈Ｓです。

つまり,Ｃ(ｒｍ~)＝Ｃ(ｒｍ)となり,Ｃ(ｍ)∈(Ｍ/Ｓ)

なら,ｒＣ(ｍ)∈(Ｍ/Ｓ)なので,(Ｍ/Ｓ)もＲ加群です。

(証明終わり)

[定理3-7](Ｒ加群の準同型定理)

φをＲ加群ＭからＲ加群Ｍ~の上へのＲ準同型写像φと

する。つまり,通常の準同型@φ(ｘ＋ｙ)＝φ(ｘ)＋φ(ｙ),

および,φ(ｘｙ)＝φ(ｘ)φ(ｙ)(ｘ,ｙ∈Ｍ)なるち性質に

加えて,ｒ∈Ｒに対してφ(ｒｘ)＝ｒφ(ｘ)を満たす写像

とする。φをＭからＭ~への加群としての準同型と見たとき

の核を,Ｉ＝kerφ＝{ｚ∈Ｍ:φ(ｚ)＝0~}とすると,核Ｉは.

Ｒ部分加群であり,φはＲ加群(Ｍ/Ｉ)からＲ加群Ｍ~の

上へのＲ準同型写像;φ~を誘導する。

(証明)∀ｚ₁,ｚ₂∈Ｉ,に対して,φの準同型性によって,.

φ(ｚ₁―ｚ₂)＝φ(ｚ₁)－φ(ｚ₂)＝0~より(ｚ₁－ｚ₂)∈Ｉ

なので,IはＭの部分加群です。

次に,ｚ∈I,ａ∈Ｒとするとφ(ａｚ)＝ａφ(ｚ)＝0~

より,(ａｚ)∈Ｉなので,ＩはＭのＲ部分加群です。

剰余群(Ｍ/Ｉ)の元Ｃ(ａ)＝ａＩ(ａ∈Ｍ)に対して

φ~{Ｃ(ａ)}＝φ(ａ)とすると.φ~は加群(Ｍ/Ｉ)から

加群Ｍ~の上への同型写像です。(群の準同型定理)

さらにｘ∈Ｒとするとφ~{ｘＣ(ａ)}＝φ~{Ｃ(ｘａ)}

＝φ(ｘａ)＝ｘφ(ａ)＝ｘφ{Ｃ(ａ)}­が成立するので,

φ~はＲ同型写像です。（証明終わり）

[Hom(ＭＭ)の定義]:Ｈom(Ｍ,Ｍ~)をＲ加群ＭからＲ加群Ｍ~

へのＲ準同型写像の全体集合とする。

φ₁,φ₂∈Hom(Ｍ,Ｍ~)に対してａ∈Ｍのとき,加法と乗法

を(φ₁＋φ₂)(ａ)＝φ₁(ａ)＋φ₂(ａ),および,(φ₁φ₂)(ａ)

＝φ₁(ａ)φ₂(ａ)で.それぞれ,(φ1＋φ₂),および,(φ₁φ₂)を

定義する。

※Hom(Ｍ,Ｍ~)がＲ加群となることは,証明するまでもなく

明らかなことです。

[Ｇ加群の定義]:Ｍが群Ｇ上の加群であるとき,ＭをＧ加群

という。すなわち,∀ｇ∈Ｇ,∀ａ∈Ｍに対して(ｇａ)∈Ｍ

であり,ａ∈Ｍ,ｇ,ｈ∈Ｇに対しｇ(ｈａ)＝(ｇｈ)ａが成立,

し,ｅをＧの単位元とするとｅａ＝ａとなるとき,ＭはＧ加群

である。

第４章 体とベクトル空間(線形空間)

[体の定義]:これについては,本シリーズ記事(1)の第0章で

記述したものを再掲します。

集合Ｋの上で乗法(・)と加法(＋)という２種の２項演算

が定義されており,加法では(Ｋ,＋)が可換群をなし,その

単位元を0(ゼロ)と書き零元と呼ぶ。また,この0を除く集合

Ｋ^×＝Ｋ－{0}は,乗法について群をなし,この乗法群の単位元

ｅは1と書くこともある。このとき,任意のＫの元:ａ,ｂ,ｃ

について,分配則:ａ・(ｂ＋ｃ)＝a・ｂ＋ａ・ｃが成立する

なら,(Ｋ,・,＋)の組を「体(field)」という。特に乗法

についても可換なら,Ｋを「可換体」という。

[Ｋ加群の定義]:Ｍが体Ｋ上の加群なら,ＭをＫ加群という。

Ｍが加法について可換群をなし,Ｋの元によるスカラー倍

が定義されて閉じたＫ上の線形空間となるものをＫ(左)加群

というのである。Ｋ加群はＫ上のベクトル空間と同義です。

[ベクトル空間の定義]:これは省略して既知とします

(↑※詳細は線型代数学のテキストを参照されたい。)。

[定理4-1]:体Ｋ上のｍ個(ｍ≦ｎ)の同次連立方程式:

Ｌ_i＝Σ_j=1ⁿａ_ijｘ_ｊ)＝0(ｉ＝1,..ｍ)(1)の解;(ｘ_j)

の全体は,Ｋ加群:Ｋ_nの中で,部分空間Ｓをつくる。

※Ｋ_nは,体Ｋ上のｎ次元ベクトル空間全体を意味し,

Ｓは.そのｍ次元の線形部分空間であるという意味

です。さらに,非同次方程式Ｌ_i＝Σ_j=1ⁿａ_ijｙ_ｊ＝ｂ_i.(2)

(ｉ＝4,..,ｍ)が解を持てば,解(ｙ_j)の全体はＫのＳに

よる１つの剰余類をつくる。

(証明)Ｓは(1)の解集合ですからｘ_ｊ,ｘ~_ｊ∈Ｓとすると,

Σ_j=1ⁿａ_ij(ｘ_ｊ－ｘ~_j)＝0 (ｉ＝1,..ｍ)が成立するので,

(ｘ_j－ｘ~_j)∈Ｓです。さらにλ∈ＫならΣ_j=1ⁿａ_ij(λｘ_ｊ)

＝0(ｉ＝1,..ｍ)により,(λｘ_j)∈Ｓです。ＳはＬＫ群:

Ｋ_nの部分集合ですから,これらにより,ＳはＫ_nの線形

部分空間です。

次に,(2)の解全体の集合をＭとして,ｙ_ｊ,ｙ~_ｊ∈Ｍ

とすれば,Σ_j=1ⁿａ_ij(ｙ_ｊ－ｙ~_j)＝0(ｉ＝1,..ｍ)が

成立します。そこで(ｙ_j－ｙ~_j)が(1)の解となるため,

(ｙ_j－ｙ~_j)∈Ｓです。

これは,Ｍが(Ｍ/Ｓ)の剰余加群の1つの同値類である

ことを意味します。(証明終わり)

[定理4-2]:体Ｆ上のベクトル空間:Ｖの部分空間をＷと

する。剰余加群(Ｖ/Ｗ)の元Ｃ(ｖ)とｘ∈Ｆに対して,

Ｃ(ｘｖ)＝ｘＣ(ｖ)と定めると,(Ｖ/Ｗ)は,体Ｆ上の

ベクトル空間となり,dim(Ｖ/Ｗ)＝dimＶ－dimＷを

満たす。※このとき,(Ｖ/Ｗ)をＶの剰余空間という。

(証明)Ｃ(ｖ~)＝Ｃ(ｖ)のとき.(ｖ~－ｖ∈Ｗですから,

ｘ∈Ｆなら{ｘ(ｖ~－ｖ)}∈Ｗです。

故にＣ{ｘ(ｖ~－ｖ)}＝0なのでＣ(ｘｖ~)＝Ｃ(ｘｖ)

です。

それ故,Ｃ(ｘｖ)＝ｘＣ(ｖ)という定義は一意的です。

ここで,dimＷ＝ｍ,dim(Ｖ/Ｗ)＝ｒとして,Ｗのｍ個,

および,(Ｖ/Ｗ)のｒ個の基底をそれぞれ,ｗ₁,..,ｗ_m,

および,Ｃ(ｖ₁),..Ｃ(ｖ_r)とします。

Ｖの元がｖ＝ｘ₁ｗ₁＋..＋ｘ_mｗ_m＋ｙ₁ｖ₁＋..＋ｙ_rｖ_r

と表わせるとすると,ｗ∈Ｗを含む加群(Ｖ/Ｗ)の元,,

つまり,同値類はＣ(0)＝0＋Ｗで,加群(ＶＷ)の零元です。

つまり:Ｃ(ｗ)＝Ｃ(0)＝0ですから,ｊ＝1,..ｍの全て

において,Ｃ(ｗ_j)＝0です。よって,上記のｖの同値類は

Ｃ(ｖ)＝ｙ₁Ｃ(ｖ₁)＋..＋ｙ_rＣ(ｖ_r)と,ｒ個の(Ｖ/Ｗ)の

基底の線型結合で表わされます。

それ故,ｖ＝0なら.Ｃ(ｖ)＝0なのでy₁＝..=y_r＝0であり

,故にｘ₁＝..＝ｘ_m＝0が従います；

以上から,ｗ₁,..ｗ_m,ｖ₁,..ｖ_rは全て独立であり,Ｖの

基底となり得ます。何故なら,∀ｖ∈Ｖについて同値類は,

Ｃ(ｖ)＝ｙ₁ｖ₁＋..＋ｙ_rＣ(ｖ_r)と書けるので,ｗを

ｗ＝ｖ－(ｙ₁(ｖ₁＋..＋ｙ_rｖ_r)と定義すれば,Ｃ(ｗ)＝0

により,ｗ∈Ｗです。

ｗ＝ｘ₁ｗ₁＋..＋ｘ_mｗ_mと表わせるため,∀ｖ∀Ｖが,

常に,ｖ＝(ｘ₁ｗ₁＋..＋ｘ_mｗ_m)＋(ｙ₁ｖ₁＋..＋ｙ_rｖ_r)の形

に表わせるからです：

したがって,dimＶ＝(ｍ＋ｒ),つまり,ｒ＝dim(Ｖ/Ｗ)

＝dimＶ－dimＷを得ます。(証明終わり)

[定理4-3]:Ｖ,Ｗを体Ｆ上のベクトル空間とする。

そしてφをＶからＷへの準同型写像する。

このとき,Ｖ₀＝{ｖ∈Ｖ:φ(ｖ)＝0}とすると,(Ｖ/Ｖ₀)

はＶの部分空間であり,Ｖ₀による剰余空間(Ｖ/Ｖ₀)からＷ

の上への同型写像φ~が誘導される。

そして,dimＶ＝dimＷ＋dim(Ｖ/Ｖ₀)である。

(証明)ｖ₁,ｖ₂∈Ｖ₀のとき,φ(ｖ₁＋ｖ₂)＝φ(ｖ₁)＋φ(ｖ₂)

＝0より,(ｖ₁＋ｖ₂)∈Ｖ₀,また,ｖ∈Ｖ₀,ｘ∈Ｆなら,φ(ｘｖ)

=ｘφ(ｖ)＝0なので,(ｘｖ)∈Ｖ₀,よってＶ₀はＶの部分空間

です。Ｖ₀はφの核kerφですから,すぐ前に示したＦ加群の

準同型定理により,(Ｖ/Ｖ₀)からＷの上への同型写像φ~を,

φ~{Ｃ(ｖ)}＝φ(ｖ)で,φから誘導される写像として与える

ことができます。そして,,dimＶ＝dimＷ＋dim(Ｖ/Ｖ₀)です。

(証明終わり)

[定理4-4]:Ｌを非可換環Ｒの左イデアルとする。

このときＩ＝{ｘ∈Ｒ:ｘＬ＝0}はＲの両側イデアルである。

(証明)ｚ∈Ｌ,ａ,ｂ∈Ｉなら(ａ±ｂ)ｚ＝ａｚ±ｂｚ＝0

,それ故,(ａ±ｂ)∈Ｉです。また,(ａｂ)ｚ＝0から

(ａｂ)∈,Iです。,故にＩは環Ｒの部分環です。

次に,∀ｚ∈Ｌに対してＬはＲの左イデアルですから

ｘ∈Ｒに対して(ｘz)∈Ｌです。

一方,ａ∈Ｉなら.任意のＬの元ｚについて(ａｚ)＝0

です。故にａ(ｘｚ)＝0です。

以上から(ｘａ)ｚ＝0,かつ.(ａｘ)ｚ＝0なので

(ｘａ)∈Ｉ,かつ.(ａｘ)∈Ｉとなり,Ｉは両側イデアル

です。(証明終わり)

[定理4-5]:体Ｋから環Ｒへの準同型写像は零写像か,

または,同型写像でぁる。

(証明)φを,体Ｋから環Ｒへの(環)準同型写像とします。

φの核:Ｉ＝kerφ＝{ａ∈Ｋ:φ(ａ)＝0}はＫのイデアル

です。何故なら,ａ∈Ｉ,ｘ∈Ｋなら(φ(ｘａ)＝ｘφ(a)

＝0により(ｘａ)∈Ｉであるからです。

ところが,体Ｋのイデアルは,Ｋ自身か,{0}です。

何故なら,ａ∈Ｉならaａ≠0の場合は逆元.ａ^-1

が存在して 1＝(ａ^-1ａ)∈Ｉですから.∀ｘ∈Ｋ

に対して,ｘ＝(ｘ・1)∈Ｉですが,0∈Ｉですから

Ｋ⊂Ｉです。他方,ａ≠0のａ∈Ｉが存在しない

ならI＝{0}です。

そこで,Ｋ⊂Ｉの場合は.Ｉ＝kerφ＝Ｋで,φ(Ｋ)

＝{0}なので,φは零写像であり.他方,Ｉ＝kerφ＝{0}

の場合は.Ｋ＝(Ｋ/Ｉ)～Ｒで,φは,Ｒの上への同型写像

です。(証明終わり)

[定理4-6]:非可換環Ｒの有限個の両側イデアを.

Ｉ₁,Ｉ₂,..Ｉ_mとする。Ｒ＝Ｉ₁＋Ｉ₂＋..＋Ｉ_m

のとき.ｉ≠ｊなら(Ｉ_iＩ_j)＝0である。

(証明)あるｉ,ｊ(ｉ≠ｊ)についてα≠0,かつ，

α∈(Ｉi∩Ｉj)とすると,0∈Ｒは,0＝0＋0＋.＋0,

または,0＝0＋..＋α＋0＋..＋(－α)＋.＋＋0と

なり,,直和分割が一意的でないという矛盾です。

それ故,ｉ≠ｊなら(Ｉ_i∩Ｉ_j)＝{0}です。

そして,I_i,I_jは両側イデアルなので(Ｉ_iI_i)⊂Ｉ_j,

かつ,(Ｉ_iＩ_j)⊂I_iですから,(Ｉ_iＩ_l)＝0です。

(証明終わり)

[定理4-7];φを環Ｒから環Ｒ~の中への準同型写像

とする。Ｉ~をＲ~の両側側イデアルとするとφ^-1(Ｉ~)

はＲの両側イデアルである。

(証明)まず,Ｉ＝φ^-1(Ｉ~)とおきます。.

そこで,ａ∈Ｉ,ｘ∈Ｒなら,φ(ａ)∈Ｉ~であり,,

φ(ｘａ)＝φ(ｘ)φ(ａ)ですが.φ(ｘ)∈Ｒ~であり

Ｉ~はＲ~の両側イデアルですからφ(ｘａ)∈Ｉ~と

なるため.(ｘａ)∈Ｉです。

同様に,φ(ａｘ)＝φ(ｘ)φ(ａ)∈Ｉ~より,

(ａｘ)∈Ｉです。したがって,ＩもＲの両側イデアル

です。（証明終わり）,（

※途中ですが,今日はここで終わります。(つづく）