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2021年11月 3日 (水)

ガロア理論の復習(3)

※2021年10月25日(月)開始→11月3日(水)

※(余談):何かコロナウイルス自滅仮設が現実に

なったかのようです。私は数万人に1人くらいの

特異体質を自認していて医師の余命宣告も不発です

から.如何なるワクチンも拒否していますがそれでも

何とか生きています。

今は大谷翔平君,大坂なおみちゃん,渋野日向子

ちゃんのニュースのみ期待してます。選挙結果

もほぼ予想通りでした。投票に行く人が保守的な

日本人的な人達です。アウトサイダーには競馬

予想のような興味だけです。(余談終わり※)

※さて本論の続きです。

※Gが可換群なら乗法でなく加法で置き換えても

議論は「同じです。その場合,単位元は0で巡回群

は,<a>={0,a,2a,.}であり,位数がqの有限

巡回群ではa≠0なら,qをqa=0を満たす最小

の自然数として<a>={0,a,..(q-1)a}です。

(※例えばmod qの整数,つまりqで割った剰余の集合

をGとすると,G={0,1,.,(q-1)}であり,これは

加法群としては,巡回群<1>であり,q・1=q=0です。)

また,Gが部分群:H1,..,Hmの直積で表わせる場合も

Gが可換群なら乗法の積を加法の和に置き換えが可能で

直積;G=H1×H2×,,×Hmは,直和G=H1+..+Hm

=Σi=1miと,解釈できます。

[定理2-5];(基本定理):任意の有限生成の可換群Gは

巡回部分群:H1,..Hmの直積で書ける。ただし,mは

ある極小な生成系の元の個数である。

(証明)まず,1個の生成元のm=1ならG=H1=<h1

であり,定理の成立は自明です。

そこで,(m-1)個の生成系では定理が成立すると

仮定します。

極小な生成系の全ての自明でない1次関係で

係数に最小の正数が現われるものを,

11+..+xmm=0..I1)とします。

ただし,hi∈G.xi∈Z(i=1,2,..m)です。

一般性を失うことなく,xj(1≦j≦m)のうちで,

1が最小の正の数であるとすることができます。

他方,任意の関係式y11+..+ymm=0,(2)

i∈Z(1≦i≦m)をとると,x1/y1,つまり,x1

1の約数です。

何故なら,y1=qx1+r(0≦r<x1)なら,(2)から

(1)×qを,辺々引くと,rh1+..+(ym-qxm)hm=0

となり,もしもr>0ならrが最小の正整数x1よりも

も小さい正整数となり矛盾が生じるので,r=0でしか

あり得ないからです。

また,(1)において,x1/xj(2≦j≦m)でもあります

何故なら,例えばx2=qx1+r(0≦r<x1)ならm個

の生成系を(h1+qh2),h2,..hに変えれば,(1)式は,

1(h1+qh2)+rh2+..+xmm=0と書き直せます。

それ故,左辺のh2の係数rが正ならx1の最小性に矛盾

するため,やはり.r=0です。

したがって,x2=q21,..xm=qm1と書けるので

(1)はx1(h1+q22+...+qmm)=0を意味します。

 そこで,h~1=h1+q22+..+qmmとおけば,h~1

も極小生成系の1つであり,x1h~1=0なのでx1が最小

の正整数であることから,これは位数がx1の巡回部分群

<h~1>を構成することに同義です。

ここで,z1h~1+z22+..+zmm=0(z∈Z)

(j=2,..m)を.生成系:h~1,h2,..hmの間の任意の関係

とすると,前のx1/y1を導いたのと同様にして,x1/z1

得ます。それ故,x1h~1=0からz1h~1=0となります

から,先の任意の関係式がz22+..+zmm=0に帰着

します。

そこで,(m-1)個のh2.,..hmによって生成される

Gの部分群をG2とし,一方.巡回部分群<h~1>をG1

と書けば,群Gは,G=G1+G2(G1∩G2={0})と直和

で表わせます。

ところが,帰納法の仮定によりG2は(m-1)個の

巡回部分群の直積(直和)ですから,これとG1

合わせたG=G1+G2は.m個の巡回部分群の直積

(直和)です。(証明終わり)

[定理2-6]:単位元以外の元の位数が2の群は可換群

である。

(証明)定理に仮定された群をGとします。

∀σ,τ∈G(σ≠e,τ≠e)に対して.σ2=τ2=e,

かつ,(στ)2=στστ=eです。

最後の式στστ=eの両辺に左からσ,右からτ

を掛けると,τσ=στを得るのでGは可換群です。

(証明終わり)

[定理2-7]:巡回群Gでは,部分群H,および,商群

(G/H)も巡回群である。

.(証明)H={e}=<e>ならHは位数1の巡回群で,

G/H=G/{e}={a{e}:a∈G}={a∈G}=G

なので,商群(G/H)にも定理の成立は明らかです。

また,H=GならH=Gは巡回群であり,商群は

G/H=G/G={aG:a∈G}={G}で,これは単位元

G=Hのみが元の,位数1の巡回群です。

次にHがG=<a>(a≠e)の自明でない部分群

なら,Hの元は全てam(m∈Z)の形です.a≠eより,

d∈Hとなる最小の正整数dをとりm=qd+r

(0≦r<d)とすると,ar=a(m-qd)=(am)(ad)-1∈H

となるため,r>0であるとdの最小性に反するので

r=0です。それ故,m=qdですから,常にam=(ad)

となり,Hは巡回群<ad>であることがわかります。

そして,(G/H)の元はanH(n∈Z)で,これは(aH)n

に等しいので,(商ふんもG/H)=<aH>の巡回群です。

(証明終わり)

[定理2-8]:p.qを相異なる素数とする。

G={pmn;m,n∈Z}なる可換群は巡回群ではない。

(証明)p=p10,q=p01よりp.q∈Gです。

[定理2-7]より可換群Gは巡回部分群の直積で

書けますが,Gの生成元はp,qであり明らかに

G=<p><q>です。

<p>も<q>もGの部分群ですが,前定理

から,Gが巡回群<a>なら部分群はH=<ad

となりますが,a=pnに対し,ad=(pmn)d

=p(d>0)となるのはmd=1,n=0のみであり,

d=(pmn)d=qとなるのはnd=1,m=0のみ

です。これは,素数p,qでは不可能ですからGは

巡回群ではあり得ません。(証明終わり)

(系)有理数体Qの乗法群:Q×=Q-{0}は巡回群

ではない。

(証明)有理数体の集合Qは,整数Zとの直和

で,Q=Z+{pq1:p,qは素数}と表わせて.

×=Q-{0}は,乗法について可換群をなします。

そこで,G={pmn;m,n∈Z}は,Q×の1つの

部分群です。もしもQ×が巡回群ならその部分群

Gも巡回群ですが.定理によってGは巡回群では

ないのでQ×も巡回群ではないです。(証明終わり)

[定理2-9]:Hを群Gの部分群とし,x∈Gとする

とき,(x-1Hx)もGの部分群である。

※(x-1Hx)をHに供役な部分群といいます。

(証明)∀x-11x,x-12x∈(x-1Hx)に対して

(x-11x)(x-12x)-1=x-1(h12-1)xですが

1,h2∈HでHがGの部分群なのでh12-1∈∈H

ですから,(x-11x)(x-12x)-1∈(x-1Hx)です。

したがって.x-1HxもGの部分群です。

(証明終わり)

[定理2-10]:可換群Gにおいて,有限位数の元全体は

Gの部分群をつくる。

(証明)Gの有限位数の元全体の集合Hは,.

H={a∈G|ad=e.for some d∈(N+{0})}と

表わされます。(Nは自然数の集合です。)

そして,a1,a2∈Hなら,a1d1=e,a2d2=eを満たす

非負の整数d1,d2が存在します。

このとき,(a12-1)d1d2=eを得るので(a12-1)∈H

です。それ故,HはGの部分群です。(証明終わり)

[例2-1];位数が12の巡回群<a>の生成元とは?

(解)G=<a>(a12=e)の元bがGを生成するため

の必要十分条件は|G|=12と互いに素なkが存在して

=b,となることです。

 何故なら,kが12の1でない約数なら,kd=12と

なる正整数:d<12が存在してbd=(ak)d=a12=eと

なるため,G=<a>=<b>で,|G|=d<12という

矛盾が生じるからです。故に,k=1,5,7,11であり生成元

はa,a5,a7,a11のいずれかです。(q.e.d).

[例2-2]:無限巡回群<a>の生成元とは?

)解)G=<a>=<b>すると,b=a,かつ,

a=blを満たす正整数k.lが存在するはずです。

するとa=aklなので.a(kl-1)=eです。

しかし,G=<a>の位数は∞なので(kl-1)

がゼロでない場合は有り得ません。

故にkl=1ですから,k=l=±1(複号同順)でa

とa-1のみがGの生成元となり得ます。(q.e.d)

[定理2-11]:位数が素数:pである群は巡回群である。

(証明){G{=p(素数)とします。a∈Gでa≠e

とすると,<a>はGの巡回部分群で,位数はpの約数

ですが,<a>≠<e>により,これは1ではないので,

,|<a>|=p=|G|です。

それ故,G=<a>となるので,Gは巡回群です。

(証明終わり)

[定理2-12]:Nが群Gの部分群で指数が|G:N|=2

なら,NはGの正規部分群である。

(証明)仮定から,a,b∈(G-N)について

G=N+aNであり,また,G=N+Nbです。

それ故,Na=bNです。

しかし,指数が2なので,右剰余類で考えると,

aN=bNです。

故にaN=Na=(G-N)となりますから,

N=aNa-1です。これはNがGの正規部分群で

あることを意味します。(証明終わり)

[定理2-13]:g∈Gに対して,φa(g)=a-1ga∈G

を対応させる写像φa:G→Gは自己同型写像である。

つまり,GからG自身への準同型全単射(bijebtion)

である。

そしてAut(G)={σ:G→G:σは自己同型}とすると,

これは群で,Inn(G)={φa:G→G}は,その正規部分群

である。
(証明)∀g1,g2∈Gについて,φa(g12)=a-1(g12)a

=(a-11a)(a-12a)=φa(g1a(g2)が成立するので,

∀a∈Gに対してφaは準同型写像です。

そしてg∈Gならg~=aga-1とおくと,φa(g~)=g

となるので,φaは全射(Gの上への写像;surjection)であり,

φa(g1)=φa(g2)ならa-11a=a-12aより,g1=g2,

(言い換えるとg1≠g2ならφa(g1)≠φa(g2))ですから,

φaは単射(1対1写像;injection)でもあります。

以上から,φaは群Gの自己準同型写像です。

次に,Aut(G)が閉じていて群をなすのは自明です。

そして,Φab∈Inn(G)なら,φaφb-1(g)

=φab-1(g))=a-1(bgb-1)a=(b-1a)-1g(b-1a)

=φb-1a(g)なので,φaφb-1=φb-1a∈Inn(G)より,

Inn(G)はAut(G)の部分群です。

さらに,∀Φa∈Inn(G)は,∀σ∈Aut(G)に対して,

(σφσ-1)(g)=σ[a-1-1(g)}a]

=a-1[σ{σ-1(g)}]a=a-1ga=φa(g)を満たす。

つまり,σφσ-1=φ∈Inn(G)ですからInn(G)は

Aut(G)の正規部分群です。(証明終わり)

[例2-3]:位数が6の群Gの構造

σ∈Gならσの位数は6の約数です。

σ≠eなら位数は2,3,6です。

(1)σの位数が6ならGは巡回群でG=<σ>

(2)e以外の元の位数が全て2なら,Gは可換群です。

そこでσ≠eとすると,σ2=eで<σ>は巡回部分群

であり,(G/<σ>)の位数は3の素数ですから巡回群

です。しかし,τ∈<σ>とすると,τ2=eで{τ<σ>}2

=<σ>,つまり,τ<σ>の位数は2で3ではないので

矛盾です。ですから,この場合は有り得ません。

(3)位数が3の元σが存在する。このとき,σ≠e,σ3=e

で,(G/<σ>)の位数は2,指数|G:<σ>|=2を意味

するので<σ>はGの正規部分群です。

それ故,τ∈<σ>とすると,τ-1στ∈<σ>ですが,

τ-1στ=σなら,στ=τσ,σ3=e,で{τ<σ>}2=<σ>,

τ2=eで,τ-1στ­=σ2なら,στ=σ2τ,τ2=eです。

[定理2-14]:Gを群,Aを加法群とする。

Hom(G,A)={f:G→A:準同型写像}とすると,x∈G,

f,g∈Hom(G,A)に対し,(f+g)(x)=f(x)+g(x)

なる演算(加法)で群をなす。

特に,G,Aが共にn次の巡回群ならHom(G,A)もn次の

巡回群である。

(証明)f,g∈Hom(G,A)とすると,f,gはGの上で準同型

なので,∀x1,x2∈Gに対して,加法の定義により,

(f+g)(x12)=f(x12)+g(x12)={f(x1)+f(x2)}

+{g(x1)+g(x2)}=(f+g)(x1)+(f+g)(x2)ですから,

和:(f+g)もGの上で準同型,(f+g)∈Hom(G,A)です。

そして,加法は可換演算なのでf+g=g+fです。

次に,f,g,h∈Hom(G,A)ならf+(g+h)

=(f+g)+hの結合則の成立は,自明です。

∀x∈Gに対して0(x)=0なる写像:0は明らかに

Hom(G,A)の単位元となります。

そこで,f∈Hom(G,A)に対して(-f)(x)=-f(x)

で定義される写像(-f):G→Aは,写像fの逆元となって,

f+(-f)=0,(-f)+f=0を満たします。

以上から,Hom(G,A)は1つの可換群です。

特に,G,Aが共に巡回群でG=<x0>,A=<a>の場合

f∈Hom(G,A)でf(x0)=aとなるfとx0∈Gが存在します。

fは準同型ですからf(x0k)=ka(k∈Z)となります。

この写像f;G→Aについてx=x0k,y=x0l∈G(k,l∈Z)

なら,f(xy)=f(x0k0l)=ka+la=f(x)+f(y)であり,

確かにfは準同型です。

そこで,aの位数がn,つまり,n=|<a>|のn次巡回群の

場合:na=0なので,Gの任意の元:x=x0(k∈Z)に対し,

nf(x)=f(x0k)=nka=0 です。

xはGの任意の元なので準同型写像として恒等的にnf≡0

であることを意味すます。

nはna=0となる最小の正整数で,ma=0ならn/m

です。故に,mf≡0ならmf(x0)=ma=0より,n/mです。

つまり,n≦mですからfの位数もnです。

他方,g∈Hom(G,A)ならg(x0)=ra∈Aとなるr∈Z

が存在しますから,g(x0)=rf(x0)です。

そこで,∀x=x0k;∈Gについてもg(x)=rf(x)となり

写像としてg≡rf,つまりg∈<f>(加法巡回群)です。

以上から,Hom(G,A)=<f>で,Hom(G,A)も位数がn

のn次巡回群です。(証明終わり)

[定理2-15];Gを可換群とし,Nをその部分群とする。

Gが無限巡回群ならG~N×(G/N)(両辺は同型)である。

(証明)Gは可換群でNをその部分群とします。

まず,無限巡回群は加群Z(整数)と同型です。

何故なら,<a>が無限巡回群ならan~nは明らかに同型対応

ですから<a>~Z(同型)と書けます。

さて,[定理2-7]からGが巡回群なら,Nも商群(G/N)も巡回群

です。Gが無限巡回群ならNも(G/N)もそうです。

商群は(G/N)={C(a):a∈G}です。ただし,C(a)

=aN=Naです。

商群も無限巡回群なので(G/N)=<C(a)>と書けます。

一方,K=<a>とし,a≠eならa∈GよりKも無限巡回群

です。ar∈K(r∈Z)でC(ar)=arNなのでC(ar)∈KN

ですが,C(ar)=srN=(aN)r=C(a)∈(G/N)でも

あります。それ故,KN=(G/N)でG=N×KNでます。

無限巡回群は全て加群Zと同型ですから,結局のところ,

G~N×(G/N)~N×(KN)~Zです。(証明終わり)

※<a>が無限巡回群であるとは,ar=eがr=0を意味する

巡回群のことです。

[定理2-16]:位数が素数pの2乗;p2である群は可換群である。

(↑※後記:この定理は間違いで成立しない。?)

証明)まず,Gを位数がp2の群とすると,|G|=p2なので,

その任意の元の位数はp2の約数であり1,p,p2のいずれか

です。しかし,Gの位数は1より大なのでa≠eのa∈Gが

必ず存在して,その位数は,pまたは,p2です。

そこで.a≠eでa∈Gならap=eまたは(ap)p=e

です。|<a>|=|<ap>|=pで<a>も<ap>もG

の巡回部分群です。

それ故,もしもap=eなら巡回部分群<a>をKとおけば.

|K|=pで.商群(G/K)の位数はpです

(G/K)={eK,x1K,..xp-1K}と書けば,j=,1..,p-1

についてxj∈(G-K)ですが.この商群も位数が素数pです

から.巡回群です。したがって,(G:/K)=<bK>,

b∈(G-K)と書けます。その元は(bK)r=br­K(r∈Z)

です。巡回群なので元は可換ですから,∀x,y∈Gに対して

(xK)(yK)=(yK)(xK)です。

よってxy=yx(可換)です、

(↑※後記:ここは疑問です?mod Kでxy~yxに過ぎない

と思います。そこで,位数がpの巡回群(可換群)の直積で。

G=<b>×<a>と書けても,一般に直和てはないので.

<a>×<b>に一致するとは限りません。)

故に,Gは可換群です。(??)

他方(ap)p=eで,|<a>|=p2なら|G|=|<a>|

なので,G=<a>でGは巡回群なので可換群です。

(証明終わり)(つぐく)

※PS:今年も2006年1月に知り合った巣鴨一番街の

3年くらい前に立ち退きでなくなった小さなスナック

バーの,長崎出身のマスターで15年来の親友が10/28

に亡くなったという訃報が10/31に他の知り合いから

の連絡でわかりました。

コウちゃん,トシちゃんと呼ぶ間柄でした。彼は

1953年7月生まれのはずですから,まだ68歳です。

半年くらい前にガンが転移して再発したかもという

連絡がありましたが,私も介護,看護を受けてる身で何も

できません。最近は,ガンでもいずれは良くなるだろう

と放置していましたから,寝耳に水です。、

毎年のように71歳の私と同年代の長い付き合いの友達

が亡くなったという連絡がありますが.ほぼ全員死因はガン

のようです。

私のような慢性の糖尿病から心臓病,腎臓病の方長生きして

います。もはや,ほぼ動けない身体の私はどうしようもなく

自宅で勝手に焼酎でも飲んで一人通夜をするだけです。

慢性病持ちの私の方が先に逝くはずでしたがシブトイ

憎まれっ子のようです。夜にハバカリかい!!

  合掌!

 

 

 

 

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