ガロア理論の復習(3)

※2021年10月25日(月)開始→11月３日(水)

※(余談):何かコロナウイルス自滅仮設が現実に

なったかのようです。私は数万人に1人くらいの

特異体質を自認していて医師の余命宣告も不発です

から.如何なるワクチンも拒否していますがそれでも

何とか生きています。

今は大谷翔平君,大坂なおみちゃん,渋野日向子

ちゃんのニュースのみ期待してます。選挙結果

もほぼ予想通りでした。投票に行く人が保守的な

日本人的な人達です。アウトサイダーには競馬

予想のような興味だけです。(余談終わり※)

※さて本論の続きです。

※Ｇが可換群なら乗法でなく加法で置き換えても

議論は「同じです。その場合,単位元は0で巡回群

は,＜ａ＞＝{0,ａ,2ａ,.}であり,位数がｑの有限

巡回群ではａ≠0なら,ｑをｑａ＝0を満たす最小

の自然数として＜ａ＞＝{0,ａ,..(q－1)ａ}です。

(※例えばmod ｑの整数,つまりｑで割った剰余の集合

をＧとすると,Ｇ＝{0,1,.,(ｑ－1)}であり,これは

加法群としては,巡回群＜1＞であり,ｑ・1＝ｑ＝0です。)

また,Ｇが部分群:Ｈ₁,..,Ｈ_mの直積で表わせる場合も

Ｇが可換群なら乗法の積を加法の和に置き換えが可能で

直積;Ｇ＝Ｈ₁×Ｈ₂×,,×Ｈ_mは,直和Ｇ＝Ｈ₁＋..＋Ｈ_m

＝Σ_i=1^mＨ_iと,解釈できます。

[定理2-5];(基本定理):任意の有限生成の可換群Ｇは

巡回部分群:Ｈ₁,..Ｈ_mの直積で書ける。ただし,ｍは

ある極小な生成系の元の個数である。

(証明)まず,1個の生成元のｍ＝1ならＧ＝Ｈ₁＝＜ｈ₁＞

であり,定理の成立は自明です。

そこで,(ｍ－1)個の生成系では定理が成立すると

仮定します。

極小な生成系の全ての自明でない１次関係で

係数に最小の正数が現われるものを,

ｘ₁ｈ₁＋．．＋ｘ_mｈ_m＝0..I1)とします。

ただし,ｈ_i∈Ｇ.ｘ_i∈Ｚ(ｉ＝1,2,..ｍ)です。

一般性を失うことなく,x_j(1≦ｊ≦ｍ)のうちで,

ｘ₁が最小の正の数であるとすることができます。

他方,任意の関係式ｙ₁ｈ₁＋．．＋ｙ_mｈ_m＝0,(2)

ｙ_i∈Ｚ(1≦ｉ≦ｍ)をとると,ｘ₁/y₁,つまり,ｘ₁は

ｙ₁の約数です。

何故なら,ｙ₁＝ｑｘ₁＋ｒ(0≦ｒ＜ｘ₁)なら,(2)から

(1)×ｑを,辺々引くと,ｒｈ₁＋..＋(ｙ_m－ｑｘ_m)ｈ_m＝0

となり,もしもｒ＞0ならｒが最小の正整数ｘ₁よりも

も小さい正整数となり矛盾が生じるので,ｒ＝0でしか

あり得ないからです。

また,(1)において,ｘ₁/ｘ_j(2≦ｊ≦ｍ)でもあります

何故なら,例えばｘ₂＝ｑｘ₁＋ｒ(0≦ｒ＜ｘ1)ならｍ個

の生成系を(ｈ₁＋ｑｈ₂),ｈ₂,..ｈ_ｍに変えれば,(1)式は,

ｘ₁(ｈ₁＋ｑｈ₂)＋ｒｈ₂＋..＋ｘ_mｈ_m＝0と書き直せます。

それ故,左辺のｈ₂の係数ｒが正ならｘ₁の最小性に矛盾

するため,やはり.ｒ＝0です。

したがって,ｘ₂＝ｑ₂ｘ₁,..ｘ_m＝ｑ_mｘ₁と書けるので

(1)はｘ₁(ｈ₁＋ｑ₂ｈ₂＋..．＋ｑ_mｈ_m)＝0を意味します。

　そこで,h~₁＝ｈ₁＋ｑ₂ｈ₂＋..＋ｑ_mｈ_mとおけば,ｈ~₁

も極小生成系の１つであり,ｘ₁ｈ~₁＝0なのでｘ₁が最小

の正整数であることから,これは位数がｘ₁の巡回部分群

＜ｈ~₁＞を構成することに同義です。

ここで,ｚ₁ｈ~₁＋ｚ₂ｈ₂＋．．＋ｚ_mｈ_m＝0(ｚ_ｊ∈Ｚ)

(ｊ＝2,..ｍ)を.生成系:ｈ~₁,ｈ₂,..ｈ_mの間の任意の関係

とすると,前のｘ₁/ｙ₁を導いたのと同様にして,ｘ₁/ｚ₁を

得ます。それ故,ｘ₁ｈ~₁＝0からｚ₁ｈ~₁＝0となります

から,先の任意の関係式がｚ₂ｈ₂＋..＋ｚ_mｈ_m＝0に帰着

します。

そこで,(ｍ－1)個のｈ_2.,..ｈ_mによって生成される

Ｇの部分群をＧ₂とし,一方.巡回部分群＜ｈ~₁＞をＧ₁

と書けば,群Ｇは,Ｇ＝Ｇ₁＋Ｇ₂(Ｇ₁∩Ｇ₂＝{0})と直和

で表わせます。

ところが,帰納法の仮定によりＧ₂は(ｍ－1)個の

巡回部分群の直積(直和)ですから,これとＧ₁を

合わせたＧ＝Ｇ₁＋Ｇ₂は.ｍ個の巡回部分群の直積

(直和)です。(証明終わり)

[定理2-6]:単位元以外の元の位数が２の群は可換群

である。

(証明)定理に仮定された群をＧとします。

∀σ,τ∈Ｇ(σ≠ｅ,τ≠ｅ)に対して.σ²＝τ²＝ｅ,

かつ,(στ)²＝στστ＝ｅです。

最後の式στστ＝ｅの両辺に左からσ,右からτ

を掛けると,τσ＝στを得るのでＧは可換群です。

(証明終わり)

[定理2-7]:巡回群Ｇでは,部分群Ｈ,および,商群

(Ｇ/Ｈ)も巡回群である。

.(証明)Ｈ＝{ｅ｝＝＜ｅ＞ならＨは位数1の巡回群で,

Ｇ/Ｈ＝Ｇ/{ｅ}＝{ａ{ｅ}:ａ∈Ｇ}＝{ａ∈Ｇ}＝Ｇ

なので,商群(Ｇ/Ｈ)にも定理の成立は明らかです。

また,Ｈ＝ＧならＨ＝Ｇは巡回群であり,商群は

Ｇ/Ｈ＝Ｇ/Ｇ＝{ａＧ:ａ∈Ｇ}＝{Ｇ}で,これは単位元

Ｇ＝Ｈのみが元の,位数1の巡回群です。

次にＨがＧ＝＜ａ＞(ａ≠ｅ)の自明でない部分群

なら,Ｈの元は全てａ^m(ｍ∈Ｚ)の形です.ａ≠ｅより,

ａ^d∈Ｈとなる最小の正整数ｄをとりｍ＝ｑｄ＋ｒ

(0≦ｒ＜ｄ)とすると,ａ^r＝ａ^(m-qd)＝(ａ^m)(ａ^d)^-1∈Ｈ

となるため,ｒ＞0であるとｄの最小性に反するので

ｒ＝0です。それ故,ｍ=qｄですから,常にａ^m＝(ａ^d)^ｑ

となり,Ｈは巡回群＜ａ^d＞であることがわかります。

そして,(Ｇ/Ｈ)の元はａⁿＨ(ｎ∈Ｚ)で,これは(ａＨ)ⁿ

に等しいので,(商ふんもＧ/Ｈ)＝＜ａＨ＞の巡回群です。

(証明終わり)

[定理2-8]:ｐ.ｑを相異なる素数とする。

Ｇ＝{ｐ^mｑⁿ;ｍ,ｎ∈Ｚ}なる可換群は巡回群ではない。

(証明)ｐ＝ｐ¹ｑ⁰,ｑ＝ｐ⁰ｑ¹よりｐ.ｑ∈Ｇです。

[定理2-7]より可換群Ｇは巡回部分群の直積で

書けますが,Ｇの生成元はｐ,ｑであり明らかに

Ｇ＝＜ｐ＞＜ｑ＞です。

＜ｐ＞も＜ｑ＞もＧの部分群ですが,前定理

から,Ｇが巡回群＜ａ＞なら部分群はＨ＝＜ａ^d＞

となりますが,ａ＝ｐ^ｍｑⁿに対し,ａ^d＝(ｐ^mｑⁿ)^d

＝ｐ(ｄ＞0)となるのはｍｄ＝1,ｎ＝0のみであり,

ａ^d＝(ｐ^mｑⁿ)^d＝ｑとなるのはｎｄ＝1,ｍ＝0のみ

です。これは,素数ｐ,ｑでは不可能ですからＧは

巡回群ではあり得ません。(証明終わり)

(系)有理数体Ｑの乗法群:Ｑ^×＝Ｑ－{0}は巡回群

ではない。

(証明)有理数体の集合Ｑは,整数Ｚとの直和

で,Ｑ＝Ｚ＋{ｐｑ^－1:ｐ,ｑは素数}と表わせて.

Ｑ^×＝Ｑ－{0}は,乗法について可換群をなします。

そこで,Ｇ＝{ｐ^mｑⁿ;ｍ,ｎ∈Ｚ}は,Ｑ^×の1つの

部分群です。もしもＱ^×が巡回群ならその部分群

Ｇも巡回群ですが.定理によってＧは巡回群では

ないのでＱ^×も巡回群ではないです。(証明終わり)

[定理2-9]:Ｈを群Ｇの部分群とし,ｘ∈Ｇとする

とき,(ｘ^-1Ｈｘ)もＧの部分群である。

※(ｘ^-1Ｈｘ)をＨに供役な部分群といいます。

(証明)∀ｘ^-1ｈ₁ｘ,ｘ^-1ｈ₂ｘ∈(ｘ^-1Ｈｘ)に対して

(ｘ^-1ｈ₁ｘ)(ｘ^-1ｈ₂ｘ)-1＝ｘ^-1(ｈ₁ｈ₂^-1)ｘですが

ｈ₁,ｈ₂∈ＨでＨがＧの部分群なのでｈ₁ｈ₂^-1∈∈Ｈ

ですから,(ｘ^-1ｈ₁ｘ)(ｘ^-1ｈ₂ｘ)^-1∈(ｘ^-1Ｈｘ)です。

したがって.ｘ^-1ＨｘもＧの部分群です。

(証明終わり)

[定理2-10]:可換群Ｇにおいて,有限位数の元全体は

Ｇの部分群をつくる。

(証明)Ｇの有限位数の元全体の集合Ｈは,.

Ｈ＝{ａ∈Ｇ|ａ^d＝ｅ.for some ｄ∈(Ｎ＋{0})}と

表わされます。(Ｎは自然数の集合です。)

そして,ａ₁,ａ₂∈Ｈなら,ａ₁^d1＝ｅ,ａ₂^d2＝ｅを満たす

非負の整数ｄ₁,ｄ₂が存在します。

このとき,(ａ₁ａ₂^-1)^d1d2＝ｅを得るので(ａ₁ａ₂^-1)∈Ｈ

です。それ故,ＨはＧの部分群です。(証明終わり)

[例2-1];位数が12の巡回群＜ａ＞の生成元とは？

(解)Ｇ＝＜ａ＞(ａ¹²＝ｅ)の元ｂがＧを生成するため

の必要十分条件は|Ｇ|＝12と互いに素なｋが存在して

ａ^ｋ＝ｂ,となることです。

　何故なら,ｋが12の1でない約数なら,ｋｄ＝12と

なる正整数:ｄ＜12が存在してｂ^d＝(ａk)^d＝ａ¹²＝ｅと

なるため,Ｇ＝＜ａ＞＝＜ｂ＞で,|Ｇ|＝ｄ＜12という

矛盾が生じるからです。故に,ｋ＝1,5,7,11であり生成元

はａ,ａ⁵,ａ⁷,ａ¹1のいずれかです。(q.e.d).

[例2-2]:無限巡回群＜ａ＞の生成元とは？

)解)Ｇ＝＜ａ＞＝＜ｂ＞すると,ｂ＝ａ^ｋ,かつ,

ａ＝ｂ^lを満たす正整数ｋ.ｌが存在するはずです。

するとａ＝ａ^klなので.ａ^(kl-1)＝ｅです。

しかし,Ｇ＝＜ａ＞の位数は∞なので(ｋｌ－1)

がゼロでない場合は有り得ません。

故にｋｌ＝1ですから,ｋ＝ｌ＝±1(複号同順)でａ

とａ^-1のみがＧの生成元となり得ます。（q.e.d）

[定理2-11]:位数が素数:ｐである群は巡回群である。

(証明){Ｇ{＝ｐ(素数)とします。ａ∈Ｇでａ≠ｅ

とすると,＜ａ＞はＧの巡回部分群で,位数はｐの約数

ですが,＜ａ＞≠＜ｅ＞により,これは1ではないので,

,|＜ａ＞|＝ｐ＝|Ｇ|です。

それ故,Ｇ＝＜ａ＞となるので,Ｇは巡回群です。

(証明終わり)

[定理2-12]:Ｎが群Ｇの部分群で指数が|Ｇ：Ｎ|＝２

なら,ＮはＧの正規部分群である。

(証明)仮定から,ａ,ｂ∈(Ｇ－Ｎ)について

Ｇ＝Ｎ＋ａＮであり,また,Ｇ＝Ｎ＋Ｎｂです。

それ故,Ｎａ＝ｂＮです。

しかし,指数が２なので,右剰余類で考えると,

ａＮ＝ｂＮです。

故にａＮ＝Ｎａ＝(Ｇ－Ｎ)となりますから,

Ｎ＝ａＮａ^-1です。これはＮがＧの正規部分群で

あることを意味します。(証明終わり)

[定理2-13]:ｇ∈Ｇに対して,φ_a(ｇ)＝ａ^-1ｇａ∈Ｇ

を対応させる写像φ_a:Ｇ→Ｇは自己同型写像である。

つまり,ＧからＧ自身への準同型全単射(bijebtion)

である。

そしてＡut(Ｇ)＝{σ:Ｇ→Ｇ:σは自己同型}とすると,

これは群で,Ｉnn(Ｇ)＝{φ_a:Ｇ→Ｇ}は,その正規部分群

である。
(証明)∀ｇ₁,ｇ₂∈Ｇについて,φ_a(ｇ₁ｇ₂)=ａ^-1(ｇ₁ｇ₂)ａ

＝(ａ^-1ｇ₁ａ)(ａ^-1ｇ₂ａ)＝φ_a(ｇ₁)φ_a(ｇ₂)が成立するので,

∀ａ∈Ｇに対してφ_aは準同型写像です。

そしてｇ∈Ｇならｇ~＝ａｇa^-1とおくと,φ_a(ｇ~)＝ｇ

となるので,φ_aは全射(Ｇの上への写像;surjection)であり,

φ_a(ｇ₁)＝φ_a(ｇ₂)ならａ^-1ｇ₁ａ＝ａ^-1ｇ₂aより,ｇ₁＝ｇ_2,

(言い換えるとｇ₁≠ｇ₂ならφ_a(ｇ₁)≠φ_a(ｇ₂))ですから,

φ_aは単射(1対1写像;injection)でもあります。

以上から,φ_aは群Ｇの自己準同型写像です。

次に,Ａut(Ｇ)が閉じていて群をなすのは自明です。

そして,Φ_a,φ_b∈Ｉnn(Ｇ)なら,φ_aφ_b^-1(ｇ)

＝φ_a(φ_b^-1(ｇ))＝ａ^-1(ｂｇｂ^-1)ａ＝(ｂ^-1ａ)^-1ｇ(ｂ^-1ａ)

＝φ_b-1a(ｇ)なので,φ_aφ_b^-1＝φ_b-1a∈Ｉnn(Ｇ)より,

Ｉnn(Ｇ)はＡut(Ｇ)の部分群です。

さらに,∀Φ_a∈Inn(Ｇ)は,∀σ∈Ａut(Ｇ)に対して,

(σφ_ａσ^-1)(ｇ)＝σ[ａ^-1{σ^-1(ｇ)}ａ]

＝ａ^-1[σ{σ^-1(ｇ)}]ａ＝ａ^-1ｇａ＝φ_a(ｇ)を満たす。

つまり,σφ_ａσ^-1＝φ_ａ∈Ｉnn(Ｇ)ですからＩnn(Ｇ)は

Ａut(Ｇ)の正規部分群です。(証明終わり)

[例2-3]:位数が６の群Ｇの構造

σ∈Ｇならσの位数は６の約数です。

σ≠ｅなら位数は２,３,６です。

(1)σの位数が６ならＧは巡回群でＧ＝＜σ＞

(2)ｅ以外の元の位数が全て２なら,Ｇは可換群です。

そこでσ≠ｅとすると,σ²＝ｅで＜σ＞は巡回部分群

であり,(Ｇ/＜σ＞)の位数は３の素数ですから巡回群

です。しかし,τ∈＜σ＞とすると,τ²＝ｅで{τ＜σ＞}²

＝＜σ＞,つまり,τ＜σ＞の位数は２で３ではないので

矛盾です。ですから,この場合は有り得ません。

(3)位数が３の元σが存在する。このとき,σ≠ｅ,σ³＝ｅ

で,(Ｇ/＜σ＞)の位数は２,指数|Ｇ：＜σ＞|＝２を意味

するので＜σ＞はＧの正規部分群です。

それ故,τ∈＜σ＞とすると,τ^-1στ∈＜σ＞ですが,

τ^-1στ＝σなら,στ＝τσ,σ³＝ｅ,で{τ<σ＞}²＝＜σ＞,

τ²＝ｅで,τ^-1στ­＝σ²なら,στ＝σ²τ,τ²＝ｅです。

[定理2-14]:Ｇを群,Ａを加法群とする。

Ｈom(Ｇ,Ａ)＝{ｆ:Ｇ→Ａ:準同型写像}とすると,ｘ∈Ｇ,

ｆ,ｇ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)に対し,(ｆ＋ｇ)(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ)

なる演算(加法)で群をなす。

特に,Ｇ,Ａが共にｎ次の巡回群ならHom(Ｇ,Ａ)もｎ次の

巡回群である。

(証明)ｆ,ｇ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)とすると,ｆ,ｇはＧの上で準同型

なので,∀ｘ₁,ｘ₂∈Ｇに対して,加法の定義により,

(ｆ＋ｇ)(ｘ₁ｘ₂)＝ｆ(ｘ₁ｘ₂)+ｇ(ｘ₁ｘ₂)＝{f(ｘ₁)＋ｆ(ｘ₂)}

＋{ｇ(ｘ₁)+g(ｘ₂)}=(ｆ＋ｇ)(ｘ₁)＋(ｆ＋ｇ)(ｘ₂)ですから,

和:(ｆ＋ｇ)もＧの上で準同型,(ｆ＋ｇ)∈Ｈom(Ｇ,Ａ)です。

そして,加法は可換演算なのでｆ＋ｇ＝ｇ＋ｆです。

次に,ｆ,ｇ,ｈ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)ならｆ＋（ｇ＋ｈ）

＝(ｆ＋ｇ)＋ｈの結合則の成立は,自明です。

∀ｘ∈Ｇに対して0(ｘ)＝0なる写像:0は明らかに

Hom(Ｇ,Ａ)の単位元となります。

そこで,ｆ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)に対して(－ｆ)(ｘ)＝－ｆ(ｘ)

で定義される写像(－ｆ):Ｇ→Ａは,写像ｆの逆元となって,

ｆ+(－ｆ)＝0,(－ｆ)＋ｆ＝0を満たします。

以上から,Ｈom(Ｇ,Ａ)は１つの可換群です。

特に,Ｇ,Ａが共に巡回群でＧ＝＜ｘ₀＞,Ａ＝＜ａ＞の場合

ｆ∈Hom(Ｇ,Ａ)でｆ(ｘ₀)＝ａとなるｆとｘ₀∈Ｇが存在します。

ｆは準同型ですからｆ(ｘ₀^k)＝ｋａ(ｋ∈Ｚ)となります。

この写像ｆ;Ｇ→Ａについてｘ＝ｘ₀^k,ｙ＝ｘ₀^l∈Ｇ(ｋ,ｌ∈Ｚ)

なら,f(ｘｙ)＝ｆ(ｘ₀^kｘ₀^l)＝ｋａ＋ｌａ＝ｆ(ｘ)+f(ｙ)であり,

確かにｆは準同型です。

そこで,ａの位数がｎ,つまり,ｎ＝|＜ａ＞|のｎ次巡回群の

場合:ｎａ＝0なので,Ｇの任意の元:ｘ＝ｘ₀^ｋ(ｋ∈Ｚ)に対し,

ｎｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ₀^k)＝ｎｋａ＝0 です。

ｘはＧの任意の元なので準同型写像として恒等的にｎｆ≡0

であることを意味すます。

ｎはｎａ＝0となる最小の正整数で,ｍａ＝0ならｎ/ｍ

です。故に,ｍｆ≡0ならｍｆ(ｘ₀)＝ｍａ＝0より,ｎ/ｍです。

つまり,ｎ≦ｍですからｆの位数もｎです。

他方,ｇ∈Hom(Ｇ,Ａ)ならｇ(ｘ₀)＝ｒａ∈Ａとなるｒ∈Ｚ

が存在しますから,ｇ(ｘ₀)＝ｒｆ(ｘ₀)です。

そこで,∀ｘ＝ｘ₀^k;∈Ｇについてもｇ(ｘ)＝ｒｆ(ｘ)となり

写像としてｇ≡ｒｆ,つまりｇ∈＜ｆ＞(加法巡回群)です。

以上から,Hom(Ｇ,Ａ)＝＜ｆ＞で,Hom(Ｇ,Ａ)も位数がｎ

のｎ次巡回群です。(証明終わり)

[定理2-15];Ｇを可換群とし,Ｎをその部分群とする。

Ｇが無限巡回群ならＧ～Ｎ×(Ｇ/Ｎ)(両辺は同型)である。

(証明)Ｇは可換群でＮをその部分群とします。

まず,無限巡回群は加群Ｚ(整数)と同型です。

何故なら,＜ａ＞が無限巡回群ならａⁿ～ｎは明らかに同型対応

ですから＜ａ＞～Ｚ(同型)と書けます。

さて,[定理2-7]からＧが巡回群なら,Ｎも商群(Ｇ/Ｎ)も巡回群

です。Ｇが無限巡回群ならＮも(Ｇ/Ｎ)もそうです。

商群は(Ｇ/Ｎ)＝{Ｃ(ａ):ａ∈Ｇ}です。ただし,Ｃ(ａ)

＝ａＮ＝Ｎａです。

商群も無限巡回群なので(Ｇ/Ｎ)＝＜Ｃ(ａ)＞と書けます。

一方,Ｋ＝＜ａ＞とし,ａ≠ｅならａ∈ＧよりＫも無限巡回群

です。ａ^r∈Ｋ(ｒ∈Ｚ)でＣ(ａ^r)＝ａ^rＮなのでＣ(ａ^r)∈ＫＮ

ですが,Ｃ(ａ^r)＝ｓ^rＮ＝(ａＮ)^r＝Ｃ(ａ)^ｒ∈(Ｇ/Ｎ)でも

あります。それ故,ＫＮ＝(Ｇ/Ｎ)でＧ＝Ｎ×ＫＮでます。

無限巡回群は全て加群Ｚと同型ですから,結局のところ,

Ｇ～Ｎ×(Ｇ/Ｎ)～Ｎ×(ＫＮ)～Ｚです。(証明終わり)

※＜ａ＞が無限巡回群であるとは,ａ^r＝eがｒ＝0を意味する

巡回群のことです。

[定理2-16]:位数が素数ｐの２乗;ｐ²である群は可換群である。

(↑※後記:この定理は間違いで成立しない。？)

証明)まず,Ｇを位数がｐ²の群とすると,|Ｇ|＝ｐ²なので,

その任意の元の位数はｐ²の約数であり1,ｐ,ｐ²のいずれか

です。しかし,Ｇの位数は1より大なのでａ≠ｅのａ∈Ｇが

必ず存在して,その位数は,ｐまたは,ｐ²です。

そこで.ａ≠ｅでａ∈Ｇならａ^p＝ｅまたは(ａ^p)^p＝ｅ

です。|＜ａ＞|＝|＜ａ^p＞|＝ｐで＜ａ＞も＜ａ^p＞もＧ

の巡回部分群です。

それ故,もしもａ^p＝ｅなら巡回部分群＜ａ＞をＫとおけば.

|Ｋ|＝ｐで.商群(Ｇ/Ｋ)の位数はｐです

(Ｇ/Ｋ)={ｅＫ,ｘ₁Ｋ,..ｘ_p-1Ｋ}と書けば,ｊ＝,1..,ｐ－1

についてｘ_j∈(Ｇ－Ｋ)ですが.この商群も位数が素数ｐです

から.巡回群です。したがって,(Ｇ:/Ｋ)＝＜ｂＫ＞,

ｂ∈(Ｇ－Ｋ)と書けます。その元は(ｂＫ)^r＝ｂ^r­Ｋ(ｒ∈Ｚ)

です。巡回群なので元は可換ですから,∀ｘ,ｙ∈Ｇに対して

(ｘＫ)(ｙＫ)＝(ｙＫ)(ｘＫ)です。

よってｘｙ＝ｙｘ(可換)です、

(↑※後記:ここは疑問です？mod Kでｘｙ～ｙｘに過ぎない

と思います。そこで,位数がｐの巡回群(可換群)の直積で。

Ｇ＝＜ｂ＞×＜a＞と書けても,一般に直和てはないので.

＜ａ＞×＜ｂ＞に一致するとは限りません。)

故に,Ｇは可換群です。(？？)

他方(ａ^p)^p＝ｅで,|＜ａ＞|＝ｐ²なら|Ｇ|＝|＜ａ＞|

なので,Ｇ=＜ａ＞でＧは巡回群なので可換群です。

(証明終わり)(つぐく)

※ＰＳ:今年も2006年１月に知り合った巣鴨一番街の

３年くらい前に立ち退きでなくなった小さなスナック

バーの,長崎出身のマスターで15年来の親友が10/28

に亡くなったという訃報が10/31に他の知り合いから

の連絡でわかりました。

コウちゃん,トシちゃんと呼ぶ間柄でした。彼は

1953年7月生まれのはずですから,まだ68歳です。

半年くらい前にガンが転移して再発したかもという

連絡がありましたが,私も介護,看護を受けてる身で何も

できません。最近は,ガンでもいずれは良くなるだろう

と放置していましたから,寝耳に水です。、

毎年のように71歳の私と同年代の長い付き合いの友達

が亡くなったという連絡がありますが.ほぼ全員死因はガン

のようです。

私のような慢性の糖尿病から心臓病,腎臓病の方長生きして

います。もはや,ほぼ動けない身体の私はどうしようもなく

自宅で勝手に焼酎でも飲んで一人通夜をするだけです。

慢性病持ちの私の方が先に逝くはずでしたがシブトイ

憎まれっ子のようです。夜にハバカリかい！！

　　合掌！