ガロア理論の復習(3)
※2021年10月25日(月)開始→11月3日(水)
※(余談):何かコロナウイルス自滅仮設が現実に
なったかのようです。私は数万人に1人くらいの
特異体質を自認していて医師の余命宣告も不発です
から.如何なるワクチンも拒否していますがそれでも
何とか生きています。
今は大谷翔平君,大坂なおみちゃん,渋野日向子
ちゃんのニュースのみ期待してます。選挙結果
もほぼ予想通りでした。投票に行く人が保守的な
日本人的な人達です。アウトサイダーには競馬
予想のような興味だけです。(余談終わり※)
※さて本論の続きです。
※Gが可換群なら乗法でなく加法で置き換えても
議論は「同じです。その場合,単位元は0で巡回群
は,<a>={0,a,2a,.}であり,位数がqの有限
巡回群ではa≠0なら,qをqa=0を満たす最小
の自然数として<a>={0,a,..(q-1)a}です。
(※例えばmod qの整数,つまりqで割った剰余の集合
をGとすると,G={0,1,.,(q-1)}であり,これは
加法群としては,巡回群<1>であり,q・1=q=0です。)
また,Gが部分群:H1,..,Hmの直積で表わせる場合も
Gが可換群なら乗法の積を加法の和に置き換えが可能で
直積;G=H1×H2×,,×Hmは,直和G=H1+..+Hm
=Σi=1mHiと,解釈できます。
[定理2-5];(基本定理):任意の有限生成の可換群Gは
巡回部分群:H1,..Hmの直積で書ける。ただし,mは
ある極小な生成系の元の個数である。
(証明)まず,1個の生成元のm=1ならG=H1=<h1>
であり,定理の成立は自明です。
そこで,(m-1)個の生成系では定理が成立すると
仮定します。
極小な生成系の全ての自明でない1次関係で
係数に最小の正数が現われるものを,
x1h1+..+xmhm=0..I1)とします。
ただし,hi∈G.xi∈Z(i=1,2,..m)です。
一般性を失うことなく,xj(1≦j≦m)のうちで,
x1が最小の正の数であるとすることができます。
他方,任意の関係式y1h1+..+ymhm=0,(2)
yi∈Z(1≦i≦m)をとると,x1/y1,つまり,x1は
y1の約数です。
何故なら,y1=qx1+r(0≦r<x1)なら,(2)から
(1)×qを,辺々引くと,rh1+..+(ym-qxm)hm=0
となり,もしもr>0ならrが最小の正整数x1よりも
も小さい正整数となり矛盾が生じるので,r=0でしか
あり得ないからです。
また,(1)において,x1/xj(2≦j≦m)でもあります
何故なら,例えばx2=qx1+r(0≦r<x1)ならm個
の生成系を(h1+qh2),h2,..hmに変えれば,(1)式は,
x1(h1+qh2)+rh2+..+xmhm=0と書き直せます。
それ故,左辺のh2の係数rが正ならx1の最小性に矛盾
するため,やはり.r=0です。
したがって,x2=q2x1,..xm=qmx1と書けるので
(1)はx1(h1+q2h2+...+qmhm)=0を意味します。
そこで,h~1=h1+q2h2+..+qmhmとおけば,h~1
も極小生成系の1つであり,x1h~1=0なのでx1が最小
の正整数であることから,これは位数がx1の巡回部分群
<h~1>を構成することに同義です。
ここで,z1h~1+z2h2+..+zmhm=0(zj∈Z)
(j=2,..m)を.生成系:h~1,h2,..hmの間の任意の関係
とすると,前のx1/y1を導いたのと同様にして,x1/z1を
得ます。それ故,x1h~1=0からz1h~1=0となります
から,先の任意の関係式がz2h2+..+zmhm=0に帰着
します。
そこで,(m-1)個のh2.,..hmによって生成される
Gの部分群をG2とし,一方.巡回部分群<h~1>をG1
と書けば,群Gは,G=G1+G2(G1∩G2={0})と直和
で表わせます。
ところが,帰納法の仮定によりG2は(m-1)個の
巡回部分群の直積(直和)ですから,これとG1を
合わせたG=G1+G2は.m個の巡回部分群の直積
(直和)です。(証明終わり)
[定理2-6]:単位元以外の元の位数が2の群は可換群
である。
(証明)定理に仮定された群をGとします。
∀σ,τ∈G(σ≠e,τ≠e)に対して.σ2=τ2=e,
かつ,(στ)2=στστ=eです。
最後の式στστ=eの両辺に左からσ,右からτ
を掛けると,τσ=στを得るのでGは可換群です。
(証明終わり)
[定理2-7]:巡回群Gでは,部分群H,および,商群
(G/H)も巡回群である。
.(証明)H={e}=<e>ならHは位数1の巡回群で,
G/H=G/{e}={a{e}:a∈G}={a∈G}=G
なので,商群(G/H)にも定理の成立は明らかです。
また,H=GならH=Gは巡回群であり,商群は
G/H=G/G={aG:a∈G}={G}で,これは単位元
G=Hのみが元の,位数1の巡回群です。
次にHがG=<a>(a≠e)の自明でない部分群
なら,Hの元は全てam(m∈Z)の形です.a≠eより,
ad∈Hとなる最小の正整数dをとりm=qd+r
(0≦r<d)とすると,ar=a(m-qd)=(am)(ad)-1∈H
となるため,r>0であるとdの最小性に反するので
r=0です。それ故,m=qdですから,常にam=(ad)q
となり,Hは巡回群<ad>であることがわかります。
そして,(G/H)の元はanH(n∈Z)で,これは(aH)n
に等しいので,(商ふんもG/H)=<aH>の巡回群です。
(証明終わり)
[定理2-8]:p.qを相異なる素数とする。
G={pmqn;m,n∈Z}なる可換群は巡回群ではない。
(証明)p=p1q0,q=p0q1よりp.q∈Gです。
[定理2-7]より可換群Gは巡回部分群の直積で
書けますが,Gの生成元はp,qであり明らかに
G=<p><q>です。
<p>も<q>もGの部分群ですが,前定理
から,Gが巡回群<a>なら部分群はH=<ad>
となりますが,a=pmqnに対し,ad=(pmqn)d
=p(d>0)となるのはmd=1,n=0のみであり,
ad=(pmqn)d=qとなるのはnd=1,m=0のみ
です。これは,素数p,qでは不可能ですからGは
巡回群ではあり得ません。(証明終わり)
(系)有理数体Qの乗法群:Q×=Q-{0}は巡回群
ではない。
(証明)有理数体の集合Qは,整数Zとの直和
で,Q=Z+{pq-1:p,qは素数}と表わせて.
Q×=Q-{0}は,乗法について可換群をなします。
そこで,G={pmqn;m,n∈Z}は,Q×の1つの
部分群です。もしもQ×が巡回群ならその部分群
Gも巡回群ですが.定理によってGは巡回群では
ないのでQ×も巡回群ではないです。(証明終わり)
[定理2-9]:Hを群Gの部分群とし,x∈Gとする
とき,(x-1Hx)もGの部分群である。
※(x-1Hx)をHに供役な部分群といいます。
(証明)∀x-1h1x,x-1h2x∈(x-1Hx)に対して
(x-1h1x)(x-1h2x)-1=x-1(h1h2-1)xですが
h1,h2∈HでHがGの部分群なのでh1h2-1∈∈H
ですから,(x-1h1x)(x-1h2x)-1∈(x-1Hx)です。
したがって.x-1HxもGの部分群です。
(証明終わり)
[定理2-10]:可換群Gにおいて,有限位数の元全体は
Gの部分群をつくる。
(証明)Gの有限位数の元全体の集合Hは,.
H={a∈G|ad=e.for some d∈(N+{0})}と
表わされます。(Nは自然数の集合です。)
そして,a1,a2∈Hなら,a1d1=e,a2d2=eを満たす
非負の整数d1,d2が存在します。
このとき,(a1a2-1)d1d2=eを得るので(a1a2-1)∈H
です。それ故,HはGの部分群です。(証明終わり)
[例2-1];位数が12の巡回群<a>の生成元とは?
(解)G=<a>(a12=e)の元bがGを生成するため
の必要十分条件は|G|=12と互いに素なkが存在して
ak=b,となることです。
何故なら,kが12の1でない約数なら,kd=12と
なる正整数:d<12が存在してbd=(ak)d=a12=eと
なるため,G=<a>=<b>で,|G|=d<12という
矛盾が生じるからです。故に,k=1,5,7,11であり生成元
はa,a5,a7,a11のいずれかです。(q.e.d).
[例2-2]:無限巡回群<a>の生成元とは?
)解)G=<a>=<b>すると,b=ak,かつ,
a=blを満たす正整数k.lが存在するはずです。
するとa=aklなので.a(kl-1)=eです。
しかし,G=<a>の位数は∞なので(kl-1)
がゼロでない場合は有り得ません。
故にkl=1ですから,k=l=±1(複号同順)でa
とa-1のみがGの生成元となり得ます。(q.e.d)
[定理2-11]:位数が素数:pである群は巡回群である。
(証明){G{=p(素数)とします。a∈Gでa≠e
とすると,<a>はGの巡回部分群で,位数はpの約数
ですが,<a>≠<e>により,これは1ではないので,
,|<a>|=p=|G|です。
それ故,G=<a>となるので,Gは巡回群です。
(証明終わり)
[定理2-12]:Nが群Gの部分群で指数が|G:N|=2
なら,NはGの正規部分群である。
(証明)仮定から,a,b∈(G-N)について
G=N+aNであり,また,G=N+Nbです。
それ故,Na=bNです。
しかし,指数が2なので,右剰余類で考えると,
aN=bNです。
故にaN=Na=(G-N)となりますから,
N=aNa-1です。これはNがGの正規部分群で
あることを意味します。(証明終わり)
[定理2-13]:g∈Gに対して,φa(g)=a-1ga∈G
を対応させる写像φa:G→Gは自己同型写像である。
つまり,GからG自身への準同型全単射(bijebtion)
である。
そしてAut(G)={σ:G→G:σは自己同型}とすると,
これは群で,Inn(G)={φa:G→G}は,その正規部分群
である。
(証明)∀g1,g2∈Gについて,φa(g1g2)=a-1(g1g2)a
=(a-1g1a)(a-1g2a)=φa(g1)φa(g2)が成立するので,
∀a∈Gに対してφaは準同型写像です。
そしてg∈Gならg~=aga-1とおくと,φa(g~)=g
となるので,φaは全射(Gの上への写像;surjection)であり,
φa(g1)=φa(g2)ならa-1g1a=a-1g2aより,g1=g2,
(言い換えるとg1≠g2ならφa(g1)≠φa(g2))ですから,
φaは単射(1対1写像;injection)でもあります。
以上から,φaは群Gの自己準同型写像です。
次に,Aut(G)が閉じていて群をなすのは自明です。
そして,Φa,φb∈Inn(G)なら,φaφb-1(g)
=φa(φb-1(g))=a-1(bgb-1)a=(b-1a)-1g(b-1a)
=φb-1a(g)なので,φaφb-1=φb-1a∈Inn(G)より,
Inn(G)はAut(G)の部分群です。
さらに,∀Φa∈Inn(G)は,∀σ∈Aut(G)に対して,
(σφaσ-1)(g)=σ[a-1{σ-1(g)}a]
=a-1[σ{σ-1(g)}]a=a-1ga=φa(g)を満たす。
つまり,σφaσ-1=φa∈Inn(G)ですからInn(G)は
Aut(G)の正規部分群です。(証明終わり)
[例2-3]:位数が6の群Gの構造
σ∈Gならσの位数は6の約数です。
σ≠eなら位数は2,3,6です。
(1)σの位数が6ならGは巡回群でG=<σ>
(2)e以外の元の位数が全て2なら,Gは可換群です。
そこでσ≠eとすると,σ2=eで<σ>は巡回部分群
であり,(G/<σ>)の位数は3の素数ですから巡回群
です。しかし,τ∈<σ>とすると,τ2=eで{τ<σ>}2
=<σ>,つまり,τ<σ>の位数は2で3ではないので
矛盾です。ですから,この場合は有り得ません。
(3)位数が3の元σが存在する。このとき,σ≠e,σ3=e
で,(G/<σ>)の位数は2,指数|G:<σ>|=2を意味
するので<σ>はGの正規部分群です。
それ故,τ∈<σ>とすると,τ-1στ∈<σ>ですが,
τ-1στ=σなら,στ=τσ,σ3=e,で{τ<σ>}2=<σ>,
τ2=eで,τ-1στ=σ2なら,στ=σ2τ,τ2=eです。
[定理2-14]:Gを群,Aを加法群とする。
Hom(G,A)={f:G→A:準同型写像}とすると,x∈G,
f,g∈Hom(G,A)に対し,(f+g)(x)=f(x)+g(x)
なる演算(加法)で群をなす。
特に,G,Aが共にn次の巡回群ならHom(G,A)もn次の
巡回群である。
(証明)f,g∈Hom(G,A)とすると,f,gはGの上で準同型
なので,∀x1,x2∈Gに対して,加法の定義により,
(f+g)(x1x2)=f(x1x2)+g(x1x2)={f(x1)+f(x2)}
+{g(x1)+g(x2)}=(f+g)(x1)+(f+g)(x2)ですから,
和:(f+g)もGの上で準同型,(f+g)∈Hom(G,A)です。
そして,加法は可換演算なのでf+g=g+fです。
次に,f,g,h∈Hom(G,A)ならf+(g+h)
=(f+g)+hの結合則の成立は,自明です。
∀x∈Gに対して0(x)=0なる写像:0は明らかに
Hom(G,A)の単位元となります。
そこで,f∈Hom(G,A)に対して(-f)(x)=-f(x)
で定義される写像(-f):G→Aは,写像fの逆元となって,
f+(-f)=0,(-f)+f=0を満たします。
以上から,Hom(G,A)は1つの可換群です。
特に,G,Aが共に巡回群でG=<x0>,A=<a>の場合
f∈Hom(G,A)でf(x0)=aとなるfとx0∈Gが存在します。
fは準同型ですからf(x0k)=ka(k∈Z)となります。
この写像f;G→Aについてx=x0k,y=x0l∈G(k,l∈Z)
なら,f(xy)=f(x0kx0l)=ka+la=f(x)+f(y)であり,
確かにfは準同型です。
そこで,aの位数がn,つまり,n=|<a>|のn次巡回群の
場合:na=0なので,Gの任意の元:x=x0k(k∈Z)に対し,
nf(x)=f(x0k)=nka=0 です。
xはGの任意の元なので準同型写像として恒等的にnf≡0
であることを意味すます。
nはna=0となる最小の正整数で,ma=0ならn/m
です。故に,mf≡0ならmf(x0)=ma=0より,n/mです。
つまり,n≦mですからfの位数もnです。
他方,g∈Hom(G,A)ならg(x0)=ra∈Aとなるr∈Z
が存在しますから,g(x0)=rf(x0)です。
そこで,∀x=x0k;∈Gについてもg(x)=rf(x)となり
写像としてg≡rf,つまりg∈<f>(加法巡回群)です。
以上から,Hom(G,A)=<f>で,Hom(G,A)も位数がn
のn次巡回群です。(証明終わり)
[定理2-15];Gを可換群とし,Nをその部分群とする。
Gが無限巡回群ならG~N×(G/N)(両辺は同型)である。
(証明)Gは可換群でNをその部分群とします。
まず,無限巡回群は加群Z(整数)と同型です。
何故なら,<a>が無限巡回群ならan~nは明らかに同型対応
ですから<a>~Z(同型)と書けます。
さて,[定理2-7]からGが巡回群なら,Nも商群(G/N)も巡回群
です。Gが無限巡回群ならNも(G/N)もそうです。
商群は(G/N)={C(a):a∈G}です。ただし,C(a)
=aN=Naです。
商群も無限巡回群なので(G/N)=<C(a)>と書けます。
一方,K=<a>とし,a≠eならa∈GよりKも無限巡回群
です。ar∈K(r∈Z)でC(ar)=arNなのでC(ar)∈KN
ですが,C(ar)=srN=(aN)r=C(a)r∈(G/N)でも
あります。それ故,KN=(G/N)でG=N×KNでます。
無限巡回群は全て加群Zと同型ですから,結局のところ,
G~N×(G/N)~N×(KN)~Zです。(証明終わり)
※<a>が無限巡回群であるとは,ar=eがr=0を意味する
巡回群のことです。
[定理2-16]:位数が素数pの2乗;p2である群は可換群である。
(↑※後記:この定理は間違いで成立しない。?)
証明)まず,Gを位数がp2の群とすると,|G|=p2なので,
その任意の元の位数はp2の約数であり1,p,p2のいずれか
です。しかし,Gの位数は1より大なのでa≠eのa∈Gが
必ず存在して,その位数は,pまたは,p2です。
そこで.a≠eでa∈Gならap=eまたは(ap)p=e
です。|<a>|=|<ap>|=pで<a>も<ap>もG
の巡回部分群です。
それ故,もしもap=eなら巡回部分群<a>をKとおけば.
|K|=pで.商群(G/K)の位数はpです
(G/K)={eK,x1K,..xp-1K}と書けば,j=,1..,p-1
についてxj∈(G-K)ですが.この商群も位数が素数pです
から.巡回群です。したがって,(G:/K)=<bK>,
b∈(G-K)と書けます。その元は(bK)r=brK(r∈Z)
です。巡回群なので元は可換ですから,∀x,y∈Gに対して
(xK)(yK)=(yK)(xK)です。
よってxy=yx(可換)です、
(↑※後記:ここは疑問です?mod Kでxy~yxに過ぎない
と思います。そこで,位数がpの巡回群(可換群)の直積で。
G=<b>×<a>と書けても,一般に直和てはないので.
<a>×<b>に一致するとは限りません。)
故に,Gは可換群です。(??)
他方(ap)p=eで,|<a>|=p2なら|G|=|<a>|
なので,G=<a>でGは巡回群なので可換群です。
(証明終わり)(つぐく)
※PS:今年も2006年1月に知り合った巣鴨一番街の
3年くらい前に立ち退きでなくなった小さなスナック
バーの,長崎出身のマスターで15年来の親友が10/28
に亡くなったという訃報が10/31に他の知り合いから
の連絡でわかりました。
コウちゃん,トシちゃんと呼ぶ間柄でした。彼は
1953年7月生まれのはずですから,まだ68歳です。
半年くらい前にガンが転移して再発したかもという
連絡がありましたが,私も介護,看護を受けてる身で何も
できません。最近は,ガンでもいずれは良くなるだろう
と放置していましたから,寝耳に水です。、
毎年のように71歳の私と同年代の長い付き合いの友達
が亡くなったという連絡がありますが.ほぼ全員死因はガン
のようです。
私のような慢性の糖尿病から心臓病,腎臓病の方長生きして
います。もはや,ほぼ動けない身体の私はどうしようもなく
自宅で勝手に焼酎でも飲んで一人通夜をするだけです。
慢性病持ちの私の方が先に逝くはずでしたがシブトイ
憎まれっ子のようです。夜にハバカリかい!!
合掌!
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