ガロア理論の復習(7)

※2021年12月３日(金)開始→12月13日(月)

※(余談)1941年(昭和16年)12脱8日は,日本軍

のハワイ真珠湾の奇襲攻撃で,アメリカとの戦争

が始まった日でした。もう80年も前ですか?風化

はしないんだろうなぁ。昔,DVDで「トラトラトラ」

という日米合作映画を見たら,アメリカの情報部は

全て知っていて放置したらしいです。

2001年９月11日のニューヨーク貿易センター

ビルへのテロ事件も「華氏911」という映画では,

政府上層部は,事前にわかっていて防ぐことを

しなかったたらしいし,戦争したい米上層部とか

死の商人たちは,その正当防衛とか報復とかの

口実ためには,多数の国民の命の犠牲など,何

とも思ってないらしい。と感じました。

映画はフォクションかもしれないですけどね。

まあ,火のないところに煙は立たず,とも言います。

さて,9月末頃には日本での「コロナ自然消滅仮設」

の記事をブログに書きました。ネットにはフ,ェイク

やデマが氾濫していて,取捨選択せずに鵜呑みにする

と危険なことは承知なのですが,楽観的見方として,

「オミクロン＝Ｘマスプレゼント説」というものが

ありました。コロナ変種のオミクロン株は,あまり

にも大きい突然変異,言い換えると,大きなコピー

ミスの結果であり,不安定で感染力はデルタより

はるかに強いけれど,今のところデータでは症状

は無症状か軽症で,高々風邪の発熱やセキと同じ

程度で酸素吸入も不要で重症化率もごく低いと

いうので,この「善玉ウイルス」が「悪玉デルタ株」

を駆逐し去って,コロナも終焉を迎えるのでは？

と,無責任なアウトアサイダーの私は,淡い期待を

抱いています。(※オミクロン無害説)

何でもかんでも感染したら入院だと,ただの風邪

でも医療はパンクするのでしょうがね。

さて,命の残り時間が少ない私は,何事にもアセリを

感じています。所詮,無駄な抵抗ですが。。。

今日(12/12)は,何故か頭痛,と消化不良か？嘔吐,下痢

の連続で本稿アップも日を超えてしまいました。もう

長くはないなぁ。。(余談終わり※)

※さて,ガロア理論の本題の続きです。

第７章 複素数体Ｃの部分体

※本章ではすべての体は,複素数体Ｃの部分体と

します。何故,複素数体の部分体に限定するか？

というと,今の古典的なガロアの代数方程式の

可解性の理論では重要とは思われない？体の

「標数」という概念があるからです。標数は後述

の有限体に対して定義される素数であり,複素数体

のような無限体では,標数はゼロと規定されています

が,標数がゼロでない場合,以下の,体に対する定理が

成立しないこともあります。

※既約多項式の分離性

[定義7-1](導関数の定義)

体Ｆ上のｎ次多項式:

ｆ(ｘ)＝ａ_nｘⁿ＋ａ_n-1ｘ^n-1＋...＋ａ₀

(0≦ｊ≦ｎのｊについてａ_j∈Ｆ,かつ,ａ_n≠0)

の導関数:ｆ’(ｘ)を次のように定義する。

ｆ’(ｘ)＝ｎａ_nｘ^n-1＋(ｎ－１)ａ_n-1ｘ^n-2＋..＋ａ₁

[定理7-1]:ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)をＦ上の多項式とすると,

その和:(ｆＬｇ)(ｘ),積:(ｆｇ)(ｘ)＝ｆ(ｘ)ｇ（ｘ）

の導関数は次の性質を有する。

すなわち,

(1){ｆ（ｘ）＋ｇ(ｘ)}’＝ｆ’(ｘ)＋ｇ’(ｘ),

(2){ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)}’＝ｆ’(ｘ)ｇ(ｘ)＋ｆ(ｘ)ｇ’(ｘ)

である。

(証明)この命題の成立は,明らかで証明は簡単なので,

省略します。(終わり)

[定理7-2]:ｆ(ｘ)が体Ｆ上の1次以上の多項式である

場合,代数数方程式:ｆ(ｘ)＝0が重根を持つための必要

十分条件はｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)の最大公約数(最大公約式)

が1次以上の多項式になることである。

(証明)体Ｆに対して,ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]とする。

ｆ(ｘ)＝0が根(解)を持つとき,体Ｋ＝Ｆ(α)の上では,

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α)^kｇ(ｘ)(ｋ≧1,ｇ(α)≠0)と書けます。

これを,Ｋ[ｘ]の多項式(係数にαを含む多項式)と

して,その導関数をとると,

ｆ’(ｘ)＝ｋ(ｘ－α)^k-1ｇ(ｘ)＋(ｘ－α)^kｇ’(ｘ)

となります。

故に,αがｆ(ｘ)＝0の重根で,ｋ≧2であるためには,

ｆ’(ｘ)が(ｘ－α)の1次以上の因数を持つことが必要

十分条件です。つまり,ｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)がＫ＝Ｆ(α)

において.1次以上の公約数として(ｘ－α)を持つこと

が,ｆ(ｘ)＝0が重根αを持つために必要,かつ,十分な

条件です。(証明終わり)

[系]:ｆ(ｘ)∈Ｆ(ｘ)がＦで既約な多項式であるときは,

ｆ(ｘ)＝0は重根を持たない。

(証明)ｆ(ｘ)が体Ｆの上で既約多項式であるのに重根:

αを持つと仮定します。[定理7-1]によれば,ｆ(ｘ)＝0

が重根αを持てばｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)がある共通根αを持ち,

ｆ(ｘ)は既約なので,体Ｆでは因数を持やないが,体Ｆ(α)

では1次因子(ｘ－α)を持ち,これは.ｆ’(ｘ)と共通の

因子となります。

ここでdegｆ(ｘ)＝ｎとするとdegｆ’(ｘ)＝(ｎ－1)＜ｎ

ですから,Ｆ内でｆ(ｘ)をｆ‘(ｘ)で割って商をｑ(ｘ),余り

をｒ(ｘ)とすると,ｆ(ｘ)＝ｆ’(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ)；

ただし,degｒ(ｘ)≦(ｎ-2),と表わすことができます。

このとき,もしもｒ(ｘ)≡0ならｆ(ｘ)＝ｆ’(ｘ)ｑ(ｘ)

となって,「(ｘ)はＦ上で可約となり,Ｆで既約という仮定

に反します。故に,剰余;ｒ(ｘ)は(ｎ-2)次以下の恒等的には

ゼロでない多項式ですがｆ(α)＝ｆ’(α)＝0なのでｒ(α)＝0

であり,ｒ(ｘ)も,Ｆ(α)において１次因子(ｘ－α)を持ちます。

さらに,ｆ’(ｘ)をｒ(ｘ)で除してｆ’(ｘ)＝ｒ(ｘ)ｑ₁(ｘ)

＋ｒ₁(ｘ)(degｒ₁(ｘ)≦(ｎ－3)）と,剰余:ｒ₁(ｘ)を求め,次に,

ｒ(ｘ)＝ｒ₁(ｘ)ｑ₂(ｘ)＋ｒ₂(ｘ)..と除法の操作を繰り返す

「ユークリッドの互除法」でｒ(ｘ),ｒ₁(ｘ),ｒ₂(ｘ)…と剰余

の次数を1ずつ下げていく列をつくると,結局最後はに剰余が

がゼロとなる場合もありこのときはｆ(ｘ)のＦでの既約性に

反します。一方,もしも剰余がゼロにならない場合,最後には

剰余はｘの1次式となり,それがｆ(ｘ),ｆ’(ｘ)の最大公約数

であり,(ｘ－α)の定数倍に一致するはずですが,剰余の列：

ｒ(ｘ),ｒ₁(ｘ),ｒ₂(ｘ),..は,全てＦ[ｘ]の元なので,最後

の(ｘ－α)の定数倍もＦの多項式となり,やはり,ｆ(ｘ)が

Ｆ上で既約多項式であるという仮定に矛盾します。

したがって,ｆ(ｘ)がＦ上で既約多項式ならｆ(ｘ)＝0

は重根を持たない,ことが示されました。(証明終わり)

※ガロア拡大体の条件

[定理7-2]:体Ｅを体Ｆのガロア拡大体とする。α∈Ｅ

のＦ上の既約多項式は,Ｅにおいて１次因数の積に分解

される。

(証明)αにガロア群Ｇの元(自己同型)を施して得られる

像のうち,異なるものの全体を,α₁,α₂,..,α_r,(α₁＝α)

とし,ｐ(ｘ)＝(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_r)とします。

このとき,∀σ∈Ｇに対し,σ(α₁),σ(α₂),//σ(α_r)は

全て相異なります。ｒ=|Ｇ|です。

何故なら,σ(α_i)＝σ(α_j)であれば,両辺にσ^-1を施すと,

α_i＝α_jを得るからです。

しかも,これらはＧの元によるαの像ですから,最大ｒ個

から成るα₁,…α_rの１つの順列(置換)を与えます。

一方,ｐ(ｘ)はｐ(α)＝0を満たすＦの多項式なので,その

係数は,Ｇの不変体Ｆの元であり,σを施しても不変です。

そして,ｐ(α）＝0ですからｐ(ｘ)＝0はαを根に持ちます。

ここで,ｆ(ｘ)をｆ(α)＝0を満たす任意のＦ内の多項式と

すると,∀σ∈Ｇに対し,σ{ｆ(α)}＝ｆ{σ(α)}＝0です。

つまり。σ(α)もｆ（ｘ）＝0の根となります。

各々のσ∈Ｇに対してσ(α)は,相異なるｐ(ｘ)＝0のｒ個

の根:α₁,α₂,..,α_r,のどれかに一致するため,ｆ(ｘ)はｐ(ｘ)

の根を全て含むことになります。

それ故,ｆ(ｘ)はｐ(ｘ)を因数として持ち,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))

です。つまり,Ｊ＝{ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ];ｆ(α)＝0}｝とするとき,

Ｊは,ｐ(ｘ)を最大公約数とするイデアルで,J＝(＠(ｘ))です。

何故ならｆ(ｘ)が可約でｆ(ｚ)＝ｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ)とＦの多項式

の積に因数分解できるとき,αがｆ,（ｘ）＝0のの根でｆ(α)＝0

となるのは,ｐ₁(α)＝0でｐ₁(ｘ)∈(ｐ(ｘ))であるか,ｐ₂(α)＝0

でｐ₂(ｘ)∈(ｐ(ｘ))のいずれか,または両方であることを

意味し,ｐ(ｘ)は既約なので最大公約因子です。

つまり,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))です。

ｐ(ｘ)はＦ上既約多項式なので重根を持たず,単根として

α₁,α₂,..α_rを持ち,しかも,これら以外には根を持ちません。

したがって,ｐ(ｘ)＝ａ_n(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_r),

(ａ_n∈Ｆ,ａ_n≠0)と書けます。(証明終わり)

[定義7-2](分解体):体Ｆ上の多項式ｆ(ｘ)が,拡大体Ｋ上

の１次因子の積に分解されるとする。

すなわち,ｆ(ｘ)＝ａ_n(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_N)

とする。このとき,Ｆの拡大体:Ｆ(α₁,α₂,..,α_n)をｆ(ｘ)

の「分解体」という。,

[定理7-3];ＥがＦのガロア拡大体ならば,ＥはＦ内のある

多項式の分解体となる。逆に,体Ｆ上の多項式のＦ上の

分解体はＦのガロア拡大体である。

(証明)ＥをＦのガロア拡大体とし,Ｇをガロア群とします。

,そして,(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ|＝ｎとし,Ｆのベクトル空間として

のＥの生成元(基底)をω₁,ω₂,..,ω_nとします。

前定理により,ω_ｊのＦ上の既約多項式をそれぞれ,ｐ_j(ｘ)

とすると,ｐ_j(ｘ)はＥにおいて1次因子の積に分解されます。

それ故,任意の多項式ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]の因数分解を

ｆ(ｘ)＝ａｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ)・・ｐ_n(ｘ)(ａ≠0,ｐ_j(ｘ)は

規約モニック)とおくと,ｆ(ｘ)はＥ上で1次因子の積に

分解されます。

(※このとき,ｆ(ｘ)は「分離的」である,といいます。),

※ここで,少しくどいとも思える説明を加えます。

例えば,σ_i(ω₁)＝σ_j(ω₂)なら,ω₂＝σ_j^-1σ_i(ω₁);

(σ_i,σ_j∈Ｇ)ですから,σ_ｋ＝σ_j^-1σ_i∈Ｇのような,

あるＧの元σ_ｋが存在してω₂＝σ_k(ω₁)となります。

ｐ₁(ｘ)＝0の根ω₁と,ｐ₂(x)＝0の根ω₂がＧの自己同型

写像:σ_kで互いに写像される関係なので,既約多項式モニック

として,ｐ₁(ｘ)とｐ₂(ｘ)は同じものです。

そこで,こうしたダブルカウントのｐ₂(ｘ)を因数から除く

必要があります。

実際には,集合Ｓ={σ_i(ω_j):ｉ,ｊ＝1,2,..,ｎ},;

ただし,σ_i∈Ｇ(1≦ｉ≦ｎ)の元のうち,相異なるもの

の全体を{α₁,α₂,..,α_n}とすると,∀σ_ｋ∈Ｇに対して,

σ_k(α₁),σ_k(α₂),..σ_k(α_n)もまた,Ｓの元であり,

しかも,全て相異なるので,Ｅの元の集合として

{α₁,α₂,..,α_n}＝{σ_k(α₁),σ_ｋ(α₂),..,σ_k(α_n)}です；

任意のｆ(ｘ)でｆ(ｘ)＝ａ(x－α₁)(ｘ－α₂)・(ｘ－α_n)

＝ａ{x－σ_l(α₁)}{ｘ－σ_k(α₂)}・・｛ｘ－σ_k(α_n)｝なる

等式が∀σ_k∈Ｇに対して成立することになります。

そして,α_i∈Ｓ(1≦i≦ｎ)はある(ｋ,ｊ)で,α_i＝σ_ｋ(ω_j)

であることを意味しますから,ω₁,ω₂,..,ω_nは全てｆ(ｘ)＝0

の根に含まれます。つまり,{ω₁,ω₂,..,ω_n}⊂{α₁,α₂,.,α_n}

となります。(蛇足的な説明終わり)※

ｆ(ｘ)の(最小)分解体はＦ(α₁,α₂,..,α_n)ですが,結局,

Ｅ＝Ｆ(ω₁,ω₂,..,ω_n)⊂Ｆ(α₁,α₂,..,α_n)⊂Ｅです。

したがって,Ｆのガロア拡大体Ｅは,あるｆ(ｘ)の分解体

つまり,Ｆにｆ(ｘ)＝0の根を全て添加した体となります。

逆に,Ｅがｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]の分解体であるとします。

そして,Ｆの元を不変にするＥの自己同型写像のつくる群

をＧとします。

ここで,Ｆから分解体Ｅ＝Ｆ(α₁,α₂,..α_n)までの間の

中間体の列を想定します。Ｆ＝Ｅ₀⊂Ｅ₁⊂..⊂Ｅ_n＝Ｅ,

Ｅ_i＝Ｆ(α₁,α₂,..α_i)＝Ｅ_i-1(α_i)(1≦i≦ｎ)でます。

ところが,ｆ(α_i)＝0でありｆ(ｘ)は,体Ｅ_i-1の多項式

ですから,α_iはＥ_i-1で代数的です。故に,(Ｅ_i/Ｅ_i-1)は有限

です。そこで,|Ｇ|=(Ｅ/Ｆ)=Π_i=1ⁿ(Ｅ_i/Ｅ_i-1)より,群Ｇは

有限群です。

次に,Ｇの不変体がFであることを示します

多項式ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]のｆ(ｘ)＝0の根が全てＦに属する

なら,Ｅ＝Ｆであり,Ｇの任意の元はＦの任意の元を不変に

します。そのようなαの全体はＦから出ることはないので

Ｅ＝Ｆが,Ｇの不変体であることは明らかです。

このときは,(Ｅ/Ｆ）＝1であり,Ｇの元は単位元(恒等写像)

のみです。次に,ｆ(ｘ)＝0の根のうち,ｎ個(ｎ≧1)が,体Ｆ

に含まれていないとします。,

さらに帰納法の仮定としてＦに含まれない根の個数がｎより

小さいときには,定理が成立する,つまり,ＦがＧの不変体である

とします。

ここで,αをＦに含まれないｆ(ｘ)＝0の根としｔてｆ(ｘ)

を体Ｆ(α)の多項式と見たときも,Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。

このとき,ｆ(ｘ)＝0のの根のうち,Ｆ(α)に含まれないもの

の個数はｎより小さいので,帰納法の仮定により,Ｅの自己同型群

はＦ(α)を不変にします。このＦ(α)を不変にするＥの自己同型

写像の群をＵとすると,ＵはＦ(α)を不変体とし,それ故,もちろん

Ｆを不変にしますから,Ｕ⊂Ｇです。

θを群Ｇの不変体の元とします。

θは,Ｕの全ての元で不変ですから,θ∈Ｆ(α)です。

αのF上の既約多項式ｐ(ｘ)の次数をｓとすると,θ

は.θ＝ｃ₀＋ｃ₁α＋ｃ₂α²＋..＋ｃ_a-1α^s-1,(ただし,

ｃ_j∈Ｆ,0≦ｊ≦(ｓ－1))と表わされます。

ｐ(ｘ)＝0は重根を持たないのでｐ(ｘ)の根をα₁,.α_s

とすると,αをα_jに写すＦ(α)からＦ(α)への同型写像:

σが存在します。同型写像の延長を繰り返して,σをＥから

Ｅの上への同型写像,つまりＧの元:τへと延長できます。

このτ∈Ｇをθに作用させると,τ(θ)＝ｃ₀＋ｃ₁α_i

＋ｃ₂α_i²＋..＋ｃ_s-1α_i^s-1.(ｉ＝1,2,.ｓ)となります。

故に方程式ｃ_s-1ｘ^s-1＋ｃ_s-2ｘ^s-2＋..＋ｃ₁ｘ＋(ｃ₀－θ)

＝0は,ｓ個の相異なる根:α₁,α₂,..,α_ｓを持ちますが,

これは,根の個数ｓが方程式の次数(ｓ－1)より多いので

方程式ではなく恒等式であることを意味するため,全て

の係数はゼロです。

特に,ｃ₀＝θですから,τ(θ)＝θ∈Ｆです。θはＧ

の不変体の任意の元でしたから,ＦがＧの不変体です。

以上から,ＧはＦを不変体とするガロア群で,Ｅは

ガロア拡大体,であることが示されました。(証明終わり)

[定理7-4]:体Ｆの２次の拡大体Ｅはガロア拡大体

である。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝2とすると,Ｆに含まれないω∈Ｅが存在

します。このとき,1,ω,ω²は１次従属です。

故にａ₀＋ａ₁ω＋ａ₂ω²＝0という自明でない関係式

が成立し,ωはｆ(ｘ)＝ａ₂ｘ²＋ａ₁ｘ＋ａ₀∈Ｆ[ｘ]の根

です。もしも,ａ₂＝0ならａ₀＋ａ₁ω＝0となり

ａ₀＝ａ₁＝0で自明な式となるため,ａ₂≠0です。

ｆ(ｘ)＝0の他の根は,{－(ａ₁/ａ₂^-)－ω}∈Ｅですから

Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。そしておmrががFの元

でないので,{－(ａ₁/ａ₂^-)－ω}もFの元ではないため

ｆ（ｘ）はＦ上既約な多項式ですからＥは分離的

分解体です。よってＥ/Ｆはガロア拡大です。。

(証明終わり)

[定義7-3](単純(単)拡大の定義)

体Ｆの拡大体ＫがＦにαを添加した体で,Ｋ＝Ｆ(α)

と表わされるようなαが存在するとき,この拡大を単純

(単)拡大といい,体Ｋを単純(単)拡大体という。

※複素数体Ｃ内では「ガウスによる代数学の基本定理」

を仮定すると,体Ｆ上の∀ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]は複素数体Ｃ

の中で１次因数の積に分解します。その根を全てＦに

添加した体Ｅをつくると,Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。

つまり,複素数体の部分体Ｆ上の多項式は複素数体の

中に必ず,分解体を持ちます。

[定理7-5](原始元定理)

体Ｆの有限次拡大体Ｋには,Ｋ＝Ｆ(γ)のようなγが

存在する。つまり有限次拡大体ＫはＦの単純拡大体である。)

(証明)ＫがＦ上有限次なら,ＫのＦ上の基底をα₁,α₂,.,.α_n

とすると,Ｋ＝Ｆ(α₁,α₂,.,.α_n)です。

帰納法を用いて証明できますが,結局,ｎ＝2も場合

に定理の成立を示せば十分であるとわかります。

何故なら,Ｆ＝Ｅ₀⊂Ｅ₁⊂Ｅ₂⊂...⊂Ｅ_n＝Ｋなる拡大

する体の列を.Ｅ_i＝Ｅ_i-1(α_i),,.,Ｅ_n＝Ｆ(α₁,α₂,.,.α_n-1)(α_n)

によって,つくると.もしもＥ₂＝Ｆ(α₁,α₂)＝Ｆ(γ)とできる

ことが示せたなら,Ｅ₃＝Ｆ(α₁,α₂,α₃)＝F(γ,α₃)＝Ｆ(γ₂)

も成立することがわかる,からです。

そこで,ｎ＝2の場合として,Ｋ＝Ｆ(α,β)とします。

α,βを根とするＦ上の既約多項式をそれぞれ,ｇ(ｘ),

ｈ(ｘ)とします。ｇ(ｘ)≠ｈ(ｘ)の場合,ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)ｈ(ｘ)

の分解体をＥとするとｇ(ｘ),ｈ(ｘ)がＦで既約なのでｆ(ｘ)

は分離的です。(※ｆ(ｘ)はＥ上単根の1次因子の積に分解

されます。)

ところで,前の[定理7-2]により,分解体ＥはＦのガロア拡大体

です。そしてＫはＥ/Ｆの中間体です。ガロア拡大体の中間体

はＥのガロア群Ｇの部分群と１対１に対応るので中間体の個数

は有限です。つまり,(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ|が有限なので,中間体の個数も

有限です。

そこで,∀ｃ∈Ｆに対してγ_ｃ＝α＋ｃβとおいて,体K_ｃを

Ｋ_ｃ＝Ｆ(γ_c)で定義すると.これらはＥ/Ｆの中間体ですが,Ｃ

の部分体であるＦは無限体なので,ｃ∈Ｆの取り方は無数に

あります。しかし,中間体Ｋ_cの個数は有限ですからＫ_d＝Ｋ_ｃ

を満たすＦの元ｄで,ｄ≠ｃであるものが存在します。

するとＫ_ｄ＝Ｆ(γ_ｄ)＝Ｋ_ｃ＝Ｆ(γ_c)でγ_ｄ＝α＋ｄβです

から,γ_c,γ_d∈Ｋ_cであり,故に(ｃ－ｄ)β=(γc－γ_ｄ)∈Ｋ_ｃで

(ｇ－ｄ)≠0ですから,β∈Ｋcです。

そこで,α＝(γ_c―ｃβ)∈Ｋ_cも成立します。

それ故,Ｋ＝Ｆ(α,β)⊂Ｋ_cですが,γ_ｃ＝(α＋ｃβ)がＦ(α,β)

＝Ｋの元であることは,明らですからＫ_c＝Ｆ(γ_c)⊂Ｋであり

結局,Ｋ_c＝Ｋです。

したがって,γ＝γ_ｃとおけばＫ＝Ｆ(γ)と表わせることになり

,ＫがＦのの単純拡大体であることが示されました。

(証明終わり)

[系]:複素数体の中ではＦの有限次拡大体は単純拡大体

である。(これは自明です。)

[定理7-5]:ＥがＦのガロアｱ拡大体であることは,Ｆの複素数体

内へのＦ上の同型写像が,全てＥの自己同型写像であることに

同値である。

(証明まず,Ｆ上の同型写像とは,Ｆの元を不変に保つ同型写像

のことです。そして,ＥにおけるＦ上の同型写像の数をｍと

すると,,ｍ≦(Ｅ/Ｆ)＝ｎ＝|G|です。(※ＥはＦの有限次(ｎ次)

拡大体とします。)

故に,全ての同型写像はＥの自己同型写像でＧに含まれます

何故なら,GはＦを不変体とするＥの自己同型写像の全体

であり,そのｎ個の元はｍ個の中に含まれているので,,自己同型

写像でないＦ上の同型写像があるとｍ＞ｎとなって矛盾する

からです。

逆に,Ｆ上の同型写像が全てＥの自己同型写像とします。

ＥはＦの有限次拡大体ですからＥ＝Ｆ(γ)と書けます。

γのＦ上の既約多項式をｐ(ｘ)とします。このとき.ｐは２次

以上でｐ(ｘ)＝0の２根をγ,δとすると,γをδに対応させる

Ｆ(γ)からＦ(δ)への同型写像が存在します。

これが,Ｅの自己同型写像ですから,δ∈Ｅ＝Ｆ(γ)です。

つまり,Ｆ上の既約多項式ｐ(ｘ)の根が全てＥに含まれる

のでＥはｐ(ｘ)の分解体であり,よってＥ/Ｆはガロア拡大

です。(証明終わり

[例7-1]:次のα,βに対してＱ(α,β)＝Ｑ(γ)となるγを

求めます。Qは有理数体で,α＝√5ｉ,β＝√2,です。

(解)γ＝√5ｉ－√2とすると,(γ－√2)²＝―5,

γ²－2√2γ＋7＝0,故に,β＝√2＝{(γ²＋7)/(2γ)}∈Ｑ(γ)

よって,α＝√5ｉ＝(γ－β)∈Ｑ(γ),です。()終わり

[例7-2]:(ｘ⁴－2)は,有理数体Ｑ上の既約多項式です。

その分躯体は,Ｅ＝Ｑ(2^1/4,2,－2^1/4,2^1/4ｉ,－2^1/4ｉ)

ですが,これは明らかにＱ(2^1/4,ｉ)に等しいです。

そして{Ｑ(2^1/4)/Ｑ}＝4,{Ｑ(2^1/4,i)/Ｑ(2^1/4)}＝2

より,(ＥＱ)＝{Ｑ(2^1/4,ｉ)/Ｑ}＝8です。

ＥはＱ上8次のガロア拡大体です。

Ｅ内のＱを不変体とする自己同型写像は

2^1/4を±2^1/4,±2^1/4ｉに,写す４通り,,ｉを

±ｉに写す２通りの,σ:σ(21^/4)＝ｉ2^1/4,σ(ｉ)＝ｉ

と,τ:τ(2^1/4)＝－2^1/4,τ(ｉ)＝－ｉの２種から

Ｇ＝{1,σ,σ²,σ³,τ,στ,σ²τ,σ³τ}です。

※途中ですが,今回はここで終わります。(つづく)

ガロア理論の復習(6) )

※2021年11月23日(火)開始→12月２日(木)

※(余談)11月29日は,1869年だったかな？

シャイアン族大虐殺の悲劇があった日です。1970年

当時20歳の学生だった私,ベ平連など戦争反対のデモ

に参加していた頃,に,珍しく封切りで「ソルジャー・

ブルー」という米映画を見ました。

酋長が白旗を掲げていたのにも関わらず,ネイティブ

が女子供を中心に数百人も青い服の騎兵隊に蹂躙され,

惨殺されるのを見て,実話に基づいた映画とはいえ義憤

を感じ,若い心が慄えた記憶があります。

キャンディス・バーゲンが出てｌましたね。野性的な

女優でした。当時,可愛さだけなら,Ｄ・ホフマン主演の

「卒業」に出ていたキャサリン・ロスの方が私的には好み

でしたが,まあそんなこと考える映画じゃなかったですね。

私は最近,よくセキや低血糖の発作が起きて,転倒など

がキッカケで容態急変,ということも有り得る事態です。

全くの無神論者なので,あと何日で石に還らずにこの世に

いられるるんだろうか？私の残り時間は？と自問する毎日

です。今朝(12/２)も,急に気分が悪くなり朝飯は全部嘔吐

してしまいました。今は小康です。(余談終わり※)

※さて,本題の続きです。

※「第５章 体の拡大」の続きからです。

[定理5-9](基本定理)

体Ｆの体Ｆ~の上への写像σが環準同型である

とき,すなわち,ｘ,ｙ∈Ｆに対して,σ(ｘ＋ｙ)

＝σ(ｘ)＋σ(ｙ),,かつ,σ(ｘｙ)＝σ(ｘ)σ(ｙ)

のとき,σはＦからＦ~の上への同型写像である。

,この同型写像を,σ:Ｆ→Ｆ~と表わす。

このとき,σは,(1)σ(0)＝0.,σ(1)＝1,および,

(2)σ(－ｘ)＝－σ(ｘ),かつ,σ(ｘ^-1)＝{σ(ｘ)}^-1

という性質を持つ。

(証明)まず,kerσ＝{ｘ∈Ｆ,σ(ｘ)＝0}＝{0}なので,

Ｆ,Ｆ~を環と見たとき,[環の準同型定理]によって,

{Ｆ~/kerσ)}～Ｆ(同型)であり,しかも(Ｆ~/{0})＝Ｆ~

ですから,Ｆ~～Ｆ(同型)です。。つまり,σは,Ｆから

Ｆ~の上への同型写像となっています。

(※何故なら,和(加法)も積(乗法)も保存され,後述

するように,σ(1)＝1なので,もしもｘ＝ｎ∈Ｚなら

σ(ｘ)＝σ(ｎ)＝ｎσ(1)＝ｎ＝ｘです。また,ｘが

有理数で.ｘ＝(ｐ/q)∈Ｑ(ｑ≠0)の場合なら,1＝σ(1)

＝ｑ{σ(1/ｑ)},かつ,σ(ｘ)＝ｐ{σ(1/ｑ)}ですから,

σ(ｘ)＝(ｐ/ｑ)＝ｘです。

ｘを有理数体Ｑから,実数体Ｒの元へと拡張しても同じ

で.σ(ｘ)＝ｘと考えられます。

よって,σ(ｘ)＝0なら,ｘ＝0が成立するはずです。

(※↑性質(1)の逆命題)

そして,このことは,kerσ＝|0}を意味し,写像σが1対１

の写像(単射)であることを意味します。※)

次に,σの性質(1),(2)を証明します。

まず,(1)は,σ(ｘ)＝σ(ｘ＋0)＝σ(ｘ)＋σ(0)

⇒σ(０)＝0,,および,σ(ｘ)＝σ(ｘ)σ(1)(ｘ≠0)より

σ(1)＝1,です。次に,(2)は,0＝σ(0)＝σ{ｘ＋(－ｘ)}

＝σ(ｘ)+σ(－ｘ) ⇒σ(－ｘ)＝－σ(ｘ)であり,

また,1＝σ(1)＝σ(ｘ^-1ｘ)＝σ(ｘ^-1)σ(ｘ)

⇒σ(ｘ^-1)＝{σ(ｘ)}^-1です。(証明終わり)

[定義5－9]Ｆ上の整式(多項式):ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が,

ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n  ;ただし,0≦ｊ≦ｎ

のｊについてａ_j∈Ｆ,かつ,ａ₀≠0なる形で与えられる

とき,これの係数に左からσを施し,Ｆ~上の整式として,:

σ(ａ₀)ｘⁿ＋σ(ａ₁)ｘ^n-1＋..＋σ(ａ_n)をつくる。

この整式を(σｆ)(ｘ),または,単に(σｆ)と表わす。

[定理5-10]:∀ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]に対して,

次の性質:(1) σ(ｆ＋ｇ)＝σｆ＋σｇ,および,

(2) σ(ｆｇ)＝(σｆ)(σｇ)　が成立する。

(証明)これは,σが体Ｆの上で同型写像なので明らかです。

すなわち,ｆ(ｘ)＝Σ_j=0ⁿａ_jｘ^n-j,ｇ(ｘ)＝Σ_k=0^mｂ_kｘ^m-k

なる具体的形であれば,和の写像の場合,{σ(ｆ＋ｇ)}(ｘ)

＝Σ_k{σ(ａ_ｋ＋ｂ_ｋ)ｘ^n-k}＝(σｆ＋σｇ)(ｘ)　です。

積の場合も,詳細は略しますが,２重有限数列の積の

公式から,σ(ｆｇ)＝Σ_jΣ_k{σ(ａ_jｂ_ｋ)}ｘ^n+m-j-kと

なって,右辺＝｛σｆ(ｘ){σｇ(ｘ)}です。

(証明終わり)

[定理5-11]:ｐ(ｘ)がＦ上で既約のとき(σｐ)(ｘ)も,

Ｆ~上で既約である。

(証明）もしも(σｐ)がF~上可約なら,σｐ＝(σｑ)(σｒ)

の因数分解が可能です。σは全単射なので,対応するＦ[ｘ]

の元ｑ,ｒが存在するため,右辺＝σ(ｑｒ)であり,これは

ｐ＝ｑｒと書けることを意味しｐも可約になって,ｐが既約

という仮定に反します。(証明終わり)

[定義5-10](同型写像の延長)

σ:Ｆ→Ｆ~とし,体Ｅを体Ｆの拡大体とする。

τがＥからＦ~の拡大体Ｅ~の上への同型写像であり,

Ｅの部分体Ｆの上では,τ＝σであるとき,τはσのＥ

への「延長」である,という。

[定理5-12](同型写像の延長定理1)

σ:Ｆ→Ｆ~とし,体Ｅを体Ｆの拡大体とする。

τ:Ｅ→Ｅ~が,σのＥへの延長であるとき,(Ｅ~/Ｆ~)

＝(Ｅ/Ｆ)である

(証明)ω₁,..,ω_nＦが,Ｆ上独立なＥの基底をなすとき，

(τω₁)_,,.,(τω_n)は,Ｆ~上独立なＥ~の基底をなします。

何故なら,τがＥからＥ~への同型写像なので,Ｅ~の元:

β＝ａ₁(τω₁)＋..＋ａ_n(τω_n)には,β＝ταとなるＥ

の元αが,α＝τ^-1β＝ａ₁ω₁＋..＋ａ_nω_n で与えられる

ことに同値であるからです。(※β＝0ならα＝0で,

1次独立性の条件を与える自明な関係式も同値です。)

故に,ｎ＝(Ｅ/Ｆ)＝(Ｅ~/Ｆ~)です。(証明終わり)

[定理5-13](同型写像の延長定理2)

同型:σをσ:Ｆ→Ｆ~とし,ｐ(ｘ)をＦの既約多項式

とする。αはｐ(ｘ)＝0の根であり,βは(σｐ)(ｘ)＝0

の根である,とする。そして,Ｅ＝Ｆ(α),Ｅ~＝Ｆ~(β)

とすると,写像τ: Σ_i(ａ_iαⁱ)→Σ_i{σ(ａ_i)βⁱ}は,Ｅから

Ｅ~への同型写像であり,τはσのＥへの延長である。

逆に,σのＥへの延長は,上記のτのようなものに限る。

(証明)degｐ(ｘ)＝ｎとする。

Ｆの拡大体Ｅ＝Ｆ(α)は,1,α,..α^n-1で張られる線型

空間であるため,その元は次数(ｎ－1)のＦ[ｘ]の多項式

ｆ(ｘ)によって,ｆ(α)という形に表わされます。

そして,τの定義によれば,τ{ｆ(α)}＝(σｆ)(β)で

あり,σはＦ~の上への写像なので,∀γ∈Ｆ~(β)対して,

γ＝Σ_i(ａ~_iβⁱ)＝τ[Σ_i(ａ_iαⁱ)]＝τ{ｆ(α)}；ただし,

ａ_i＝σ^-1(ａ~₁) or ａ~_i＝σ(ａ_i)と書けます。

よって,τはＥ~＝Ｆ~(β)の上への写像です。

τがＥ＝Ｆ(α)からＥ~＝Ｆ~(β)への環準同型写像

であることも,容易に示せます。

結局,τはＥからＥ~の上への同型写像です。

　しかも,γ＝Σ_i=0^n-1(ａ_iβⁱ)のａ~₁＝..＝ａ~_ｎ-1＝0

で,γ＝ａ₀(定数)であり,γ∈Ｆ~の場合は.γ＝τ(ａ₀)

＝σ(ａ₀) (ａ₀∈Ｆ)であり,Ｆ上では,τ＝σとなって

いるので.τはσのＥへの延長です。

この　逆が成立するというτの一意性も,Ｅの基底

の写像がＥ~の基底に,一意に写されるので自明です。

(証明終わり）

[系]:ｐ(ｘ)がＦの既約多項式で,α,βがｐ(ｘ)＝0

の根のとき,αをβに写像し,Ｆの元は不変に保つ写像,:

つまり,∀ａ∈Ｆに対してはτ(ａ)＝ａであるような

Ｆ(α)から,Ｆ(β)への同型写像:τが存在する。

(証明)σとして恒等写像を選べば.ａ∈Ｆに対して,

σ(ａ)＝ａであり,τとして,[Σ_iａ_iαⁱ]を[Σ_iａ_iβⁱ]

に写す延長を選べば.これが求める同型写像です。

(証明終わり)

[定義5-12](不変体,or固定体)

体ＥからＥのある拡大体Ωの中への相異なるｎ個

の同型写像:σ₁,σ₂..,σ_nが与えられたとき,

Ｆ＝{ａ∈Ｅ:σ₁(ａ)＝σ₂(ａ)＝...＝σ_n(ａ)}は,

Ｅの１つの部分体である。

これを,σσ₁,σ₂..,σ_nの「不変体(固定体)」という。

(※このとき, 0∈Ｆ,1∈Ｆ,および,ａ∈Ｆなら,

(－ａ)∈Ｆ,ａ^-1∈Ｆが成立することは自明です。※)

[補助定理]:不変体Ｆの元:ａ₁,ａ₂..,ａ_nがあり,∀ｘ∈Ｅ

に対して,ａ₁σ₁(ｘ)＋ａ₂σ₂(ｘ)＋..＋ａ_nσ_n(ｘ)＝0..(1）

が成立するのは,ａ₁,＝ａ₂.=.,＝ａ_n＝0のときである

。つまり,ｎ個のσ₁,σ₂..,σ_nは,F上１次独立である。

(証明)(ⅰ)ｎ＝1のとき(1)は,ａ₁σ₁(ｘ)＝0ですが,

ｘ≠0のとき,σ(ｘ)≠0なのでａ₁＝0を得ます。

(ⅱ)ｎ＞1のときｋ≦(ｎ－1)に対しては

ａ₁σ₁(ｘ)＋ａ₂σ₂(ｘ)＋..＋ａ_ｋσ_ｋ(ｘ)＝0.なら,

ａ₁＝ａ₂＝..＝ａ_k＝0と,補助定理が成立すると仮定

します。　そして,ｋ＝ｎに対して;

ａ₁σ₁(ｘ)＋ａ₂σ₂(ｘ)＋..＋ａ_nσ_n(ｘ)＝0と,

• 式が成立するとします。

仮定から,0≦i≦(ｎ-1)の全てのiについてσ_i≠σ_n

であり,σ_i(α)≠σ_n(α)となるα∈Ｅが存在します、

このαについて(1)式のｘに(αｘ)を代入すれば.

(1)は,次のようになります。すなわち,

ａ₁σ₁(α)σ₁(ｘ)＋...＋ａ_nσ_n(ｘ)σ_n(ｘ)＝0.(2)

です。他方,(1)の両辺に左からσ_n(α)を掛けると,

ａ₁σ_n(α)σ₁(ｘ)＋..＋ａ_nσ_n(α)σ_n(ｘ)＝0..(3)

です。(2)式から(3)式を辺々引き算すれば,

ａ₁σ{σ₁(α)－σ_n(α)}σ₁(ｘ)＋..

＋ａ_n-1{σ_n-1(α)－σ_n(α)}σ_n-1(ｘ)＝0.を得ます。

これは,ｋ＝(ｎ－1)＜ｎの自明な1次関係式なので,

帰納法の仮定から,ａ_i{σi(α)－σ_n(α)}＝0ですが

σ_i(α)≠σ_n(α)なので.ｉ＝1,...(ｎ－1)について.

ａ_i＝0です。それ故,ａ_nσ_n(ｘ)＝0となるので,ａ_ｎ＝0

も得られます。

したがって,帰納法により[補助定理]の成立が証明

されました。(証明終わり)

[定理5-14]:(Ｅ/Ｆ）≧ｎである。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝ｍで,ｍ＜ｎと仮定します。

体Ｆ上のベクトル空間としてのＥのＦ上の生成系

を,ω₁,ω₂,..,ω_mとします。次の,連立方程式

　σ₁(ω₁)ｘ₁＋σ₂(ω₁)ｘ₂＋..＋σ_n(ω₁)ｘ_n＝0,

・・・・・・・・・

　σ₁(ω_1m)ｘ₁＋σ₂(ω_m)ｘ₂＋..＋σ_n(ω_m)ｘ_n＝0,

を考えると,これは,ｎ個の未知数ｘ_jをｎよりも少ない

ｍ個の方程式系で求める連立1次方程式なので,自明で

ない解(少なくとも１つはゼロでない解)として,ｎ個

の解の組:(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)を持ちます。

一方,∀α∈Ｅは,α＝ａ₁ω₁＋ａ₂ω₂＋..＋ａ_nω_n,

(ａ₁,ａ₂,..ａ_n∈Ｆ)で表わされます。

上の連立方程式の第１式に.σ₁(ａ₁)を掛け,第２式に

σ₂(ａ₂)を掛け,以下,第ｍ式まで同様な操作を続けると,

Ｆは不変体ですから,σ₁(ａ_j)＝…＝σ_n(ａ_j)なので,

σ₁(ａ₁ω₁)ｘ₁＋σ₂(ａ₁ω₁)ｘ₂＋..＋σ_n(ａ₁ω₁)ｘ_n＝0

・・・・・・・・,・・・

σ₁(ａ_mω_m)ｘ₁＋σ₂(ａ_mω_m)ｘ₂＋..＋σ_n(ａ_mω_ｍ)ｘ_n＝0

を得ます：これら全ての式を加えれば,∀α∈Ｅに対し,

非自明な組:(ｘ₁,ｘ₂,::ｘ_n)に対する等式として,

σ₁(α)ｘ₁＋σ₂(α)ｘ₂＋..＋σ_n(α)ｘ_n＝0を得ます。

一方,[補助定理]によれば,これは全てがゼロの自明な

ｎ個の組:ｘ₁＝ｘ₂＝..＝ｘ_n＝0でのみ成立する等式です。

したがって,矛盾が生じます。よって,ｍ≧ｎです。

(証明終わり)

第６章ガロア拡大体,ガロア群

[定義6-1](自己同型写像)

体ＥからＥ自身への同型写像を自己同型写像

という。Ｅの自己同型写像全体は明らかに群を

つくる。Ｅの自己同型(写像)の集合Ｇが有限群

をつくるとき,当然,Ｇは恒等写像を含む。

そして,Ｆ＝{ａ∈Ｅ;σ(ａ)＝ａ for∀σ∈Ｇ}

を.群Ｇの不変体(固定体)という。

また,Ｅの元αに対して,Ｇ＝[σ₁,σ₂,..σ_n}なら,

Ｓ(α)＝Σ_Gσ(ａ)(Σ_GはＧ全体をわたる総和)

＝σ₁(α)＋σ₂(α)＋..＋σ_n(α)で与えられる

Ｅの元を,αのスプ－ル(spur;対角和)という。

[定理6-1]:Ｓ(α)は不変体Ｆの元である。

そして,ＥにはＳ(α)≠0であるような元αが存在

する。

(証明)β＝Ｓ(α)とし,τをＧの任意の元とすると

τ(β)＝τ{Σσ(α)}＝Σσ(α)＝βより,β∈Ｆです。

何故なら,∀τ∈Ｇに対し,σ_j≠σ_ｋならτσ_ｊ≠τσ_k

より,Ｇ＝{σ₁,σ₂,..σ_n}＝{τσ₁,τσ₂,..τσ_n}

であることが明らかだからです。

そして,∀α∈Ｅに対して,Ｓ(α)＝0なら,αの恒等式

として,1次関係式σ₁(α)＋σ₂(α)＋..＋σ_n(α)＝0を

得ますが,これはαをｘに代えると,先の[補助定理]に

矛盾します。故に,Ｓ(α)≠0なるα∈Ｅが存在します。

(証明終わり)

[定義6-2](ガロア(Galois)拡大体とガロア群)

　体Ｅの自己同型写像のつくる群をＧとし,Ｇの不変体

をＦとするとき,ＥはＦの「ガロア拡大体」であるという。

ぞして,ＧをＥのＦ上の「ガロア群」という。

[定理6-2];体ＥがＦのガロア拡大体のとき,その拡大次数

はガロア群Ｇの位数に等しい。

つまり,(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ|＝(Ｇ：1)である。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝ｍ,|Ｇ|＝ｎとすれば.[定理5-14]

により,ｍ≧ｎですから,ｍ≦ｎを示せば十分です。

それにはＥの(ｎ＋1)個の元α_1,α₂,..α_n,α_n+1が

１次従属であることを示せばいいです。

そこで.次の連立方程式を考えます。

ｘ₁σ₁^-1(α₁)＋ｘ₂σ₁-₁(α₂)＋..＋ｘ_n+1σ₁^-1(α_n+1)＝0

ｘ₁σ₂^-1(α₁)＋ｘ₂σ₂-₁(α₂)＋..＋ｘ_n+1σ₁₂¹(α_n+1)＝0

・・・・・・・・・・

ｘ₁σ_n^-1(α₁)＋ｘ₂σ_n-₁(α₂)＋..＋ｘ_n+1σ_1n^-1(α_n+1)＝0

簡略式では,Σ_k=0ⁿ⁺¹ｘ_kσ_j^-1(α_ｋ)＝0(1≦ｊ≦ｎ)で

表わされます。そして,これらは,(ｎ＋1)個の未知数が,

それより少ないｎ個の方程式で与えられる系なのでＥの

中に,非自明な解:(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n+1)を持ちます。

ｘ_jの少なくとも１つは非ゼロなので,一般性を失うこ

となくｘ₁≠0と仮定しいぇおきます。

このとき,∀α∈Ｅに対して(αｘ₁,αｘ₂,..αｘ_n+1)

もまた,この同次連立方程式の解です。

そこで,αｘ₁がＳ(αｘ₁)≠0を満たすように,αを選び

その後に,(αｘ₁αｘ₂,..αｘ_n+1)を,改めて(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n+1)

と定義し直します。するとまず,Ｓ(ｘ₁)≠0です。

そして,方程式系:Σ_k=0ⁿ⁺¹[ｘ_kσ_j^-1(α_ｋ:)]＝0(1≦ｊ≦ｎ)

に,左からそれぞれσ_jを施せば,Σ_k=0ⁿ⁺¹[σ_j(ｘ_k)α_ｋ]＝0

(1≦ｊ≦ｎ)を得ます。さらに,これらｎ個を全て加えると,

Σ_k=0ⁿ⁺[Ｓ(ｘ_k)α_ｋ]＝0となります。

ところが,Ｓ(ｘ_k)∈Ｆであり,Ｓ(ｘ₁)≠0なので,結局,

これは,α_1,α₂,..α_n,α_n+1が1次従属であることを意味

します。それ故,ｍ≦ｎであるべきすから(Ｅ/Ｆ)＝ｎ

＝|Ｇ|です。(証明終わり)

[定義6-3]:σが体Ｆを元ごとに不変にするとき,σはＦを

不変にする,とか,σはＥ/Ｆの同型写像である,という。

[定理6-2の系]:ＥがＦのガロア拡大体で.ＧがＦを不変体

とするガロア群のとき,Ｇは体Ｆを不変にするＥの同型写像

の全体集合である。

(証明)Ｆを不変にするＥの自己同型写像σがＧに属さない

ならば,Ｆは,(ｎ＋1)個の自己同型写像の不変体となって,

[定理6-2]に矛盾します。故に,このσも.Ｇに属します。

(証明終わり)

[定理6-3]:Ｇ₁,Ｇ₂が体Ｅの自己同型写像の群で Ｇ₁≠Ｇ₂

のとき,これらの不変体は異なる。

(証明) Ｇ₁,Ｇ₂が同じ不変体Ｆを持つと仮定すると.

ｎ＝(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ₁|＝|Ｇ₂|ですから,Ｇ₁≠Ｇ₂の場合は,

(Ｇ₁∪Ｇ₂)がｎよりも多い元を持つことになります。

しかし,(Ｇ₁∪Ｇ₂)の不変体も明らかにＦですから,

(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ₁∪Ｇ₂|＞ｎとなって,矛盾します。(終わり)

[定理6-4](基本定理)

　ＥをＦのガロア拡大体とし,その自己同型群をＧ,

つまり,自己同型写像全体のつくる群をＧとする。

Ｅ/Ｆの中間体:Ｂに対してＢを不変にするＧの元

の全体のつくる部分群をＵとすると,Ｕの不変体は

Ｂである。そしてＢにＵを対応させる対応は,Ｅ/Ｆ

の中間体と,Ｇの部分群との間の1対１対応である。

(証明)中間体Ｂを不変にするＧの部分群をＵとし、

その位数を,|Ｕ|＝ｒとします。

そして,Ｕの不変体をＢ~とします。

するとＢはＵで不変なので,Ｂ⊂Ｂ~であり(Ｅ/Ｂ~)＝ｒ

ですから.(Ｅ/Ｂ)≧ｒです。

それ故.Ｂ＝Ｂ~を示すには,(Ｅ/Ｂ)＝ｒを示せば

よいことがわかります。

,さて,σ∈ＧをＢに施すと,ＢはＥの中に同型に写像

されます。すなわち,Ｂ～σ(Ｂ)(同型)です。

さて,σ₁,σ₂∈Ｇ,,σ₁≠σ₂なら,∀β∈Ｂに対して

σ₁(β)＝σ₂(β)であるための条件は,σ₁^-1σ₂(β)＝β,

つまり,(σ₁^-1σ₂)∈Ｕ,あるいは,σ₂∈(σ₁Ｕ)です。

同一の剰余類(σＵ)に属する自己同型写像が,体Ｂに

同じ同型写像を誘導するわけです。

つまり,σ₂∈(σ₁Ｕ)が,∀β∈Ｂでσ₁(β)＝σ₂(β)

すなわち,Ｂ上で同じ同型写像である,ための条件です。

{Ｇ{＝ｎのとき,ｎ＝ｒｓなら,異なる剰余類(σＵ)

の個数はｓです。つまりｓ＝(Ｇ；Ｕ)=||Ｇ|/|Ｕ|です。

異なるｓ個の剰余類(σＵ)の代表元をτ₁,τ₂..τ_sと

すると,これらは,体Ｂの上の自己同型写像と見なすこと

ができて,その不変体はＦです。

何故なら,(τ_j)_j=1^sの不変体をF~とすると,τ_j∈Ｇ

より.∀ａ∈Ｆに対しτ_j(ａ)＝ａなので,まず.Ｆ⊂Ｆ~

です。他方.ａ∈Ｆ~で,τ_j（ａ）＝ａならτ_jは,ａを

不変に保つＧの元でもあるので,ａはＧの不変体に属し

ａ∈Ｆです。それ故,Ｆ~⊂Ｆ~も成立するため,Ｆ~＝Ｆ

です。したがって,(Ｂ/Ｆ)≧ｓです。

この不等式を先に得た(Ｅ/Ｂ)≧ｒと合わせると

(Ｅ/Ｆ)＝(Ｅ/Ｂ)(Ｂ/Ｆ)≧(ｒｓ)を得ます。

しかし,実際には(Ｅ/Ｆ)＝ｎ＝(ｒｓ)なので,結局.

(Ｅ/Ｂ)＝ｒ,かつ,(Ｂ/Ｆ)＝ｓであると結論されます。

以上から,Ｅ/Ｆの中間体Ｂに対して.Ｂを不変にする

Ｇの元全体のつくる部分群Ｕが一意に対応します。

また,Ｇの部分群Ｕに対して,Ｂを不変体とする中間体

Ｂが存在して対応する,という逆命題も成立します・

ＵはＢを不変にするＧの元の全体であり,Ｕに対して

Ｂは一意的に定まります。 (証明終わり)

[基本定理の系]::中間体ＢからＥへのＦ上の同型写像

は,群Ｇの部分群Ｕによる剰余類から誘導されるものだけ

である。また,ＢはＦのガロア拡大体である。

(証明)Ｇの元から誘導される(Ｂ/Ｆ)個以外に,ＢからＥ

への同型写像が1つでもあれば{(Ｂ/Ｆ)＋１}個の同型写像

の不変体がＢであることになるため.ＢのＦ上の次元と同型

写像の総数が一致するという定理に矛盾します。故に,

そうした同型写像は存在しません。そして,ＢはＵの不変体

ですから,ＥはＢのガロア拡大体です。(証明終わり)

(※[基本定理]における対応は,Ｇの部分群に,その不変体

を対応させるものです。Ｇには,体Ｆ,Ｕには,体Ｂ，単位群

{ｅ}には,体Ｅが対応します。)

※ＥはＢのガロア拡大体ですが,ＢはＦのガロア拡大体とは

限りません。以下では,ＵがＧの正規部分群で(σＵσ^-1)＝Ｕ

であることが,ＵがＦを不変体とするＢのガロア群であるため

の必要十分条件であることを示します。

[定理6-5]:体Ｅは体Ｆのガロア拡大体あり,Ｇはガロア群

であるとする。そして,中間体Ｂに対応するＧの部分群を

Ｕとする。∀σ∈Ｇに対して(σＢ)もＥ/Ｆの中間体であり,

対応するＧの分群は(σＵσ^-1)である。

さらに,体Ｂが体Ｆのガロア拡大体であるための必要十分

条件は,ＵがＧの正規部分となることである。

このとき,そのガロア群は.(Ｇ/Ｕ)に同型である。

(証明)σ∈ＧならσはＥの自己同型写像ですから,(σＢ)

もＢと同じく,Ｅ/Ｆの中間体です。

何故なら,ＢはＥの部分体なので(σＢ)⊂Ｅであり,

(σＢ)も体であることは明らかです。一方,ＦはＧの

不変体なので,(σＦ)＝ＦであるからσＢが中間体の

場合も同じ不変体です。

そして,(σＢ)の元はσ(β)((β∈Ｂ)と表わされます。

故に,τ∈Ｇが,全てのσ(β)を不変にするのは,∀β∈Ｂ

に対して,τ{σ(β)}＝σ(β),つまり(σ^-1τσ)(β)＝β

となることが必要十分です。これは.(σ^-1τσ)がＢを不変

にすることを意味します。

それ故,τが(σＢ)を不変にする条件は,(σ^-1τσ)∈Ｕ

が成立することであり,これはτ∈(σＵσ^-1)と値です。

したがって,(σＵσ^-1)が中間体(σＢ)に対応するＧの

部分群です。

ところが,ＵがＧの正規部分群なら,∀σ∈Ｇに対して,,

(σＵσ^-1)＝Ｕです。中間体と部分群は1対1に対応する

ので,∀σ∈Ｇに対して,対応するＧの部分群が同じなら.

中間体も一致するため,(σＢ)＝Ｂとなり,σはＥの上の

自己同型写像であると同時に,Ｂの上の自己同型写像でも

あることになります。ただし,(σＢ)の元を不変にする

自己同型写像:τは,(σＵ)の元ですが,Ｕが正規部分群

なら,τ∈Ｕでもあります。ＵがＧの正規部分群である

ときは,ＵがＢ内でＦを不変体とするガロアａ群となり

Ｂがガロア拡大体となるための必要十分条件です。

そして,Ｂを不変にするガロア群の元:τは(Ｇ/Ｕ)

の剰余類(σＵ)の代表元として,１対1に対応する

ため,ガロア群と商群(Ｇ/Ｕ)は同型です。

逆に,ＢがＦのガロア拡大体であるとき,ＵがＧの

正規部分群でないなら,(σＵσ^-1)≠Ｕであるような

σ∈Ｇが存在し,σＢ≠Ｂです。よって(Ｂ/Ｆ)個の

ガロア群Ｕの元以外に(σＦ)＝Ｆを満たす写像が

存在するわけです。このσはＥの自己同型写像です

が,Ｂの自己同型写像ではありません。

これはガロア拡大体の条件に矛盾します。

したがって,ＵがＧの正規部分群であることがＢが

Ｆのガロア拡大体であるための必要十分条件です。

(証明終わり)

[定理6-6]:Ｅ/Ｆの中間体:Ｂ₁,Ｂ₂,にそれぞれ

自己同型部分群Ｕ₁,Ｕ₂が対応するとき,Ｂ₁⊃Ｂ₂

とＵ₁⊂Ｕ₂が同値である。

(証明) Ｂ₁⊃Ｂ₂のとき,σ∈Ｕ₁なら,∀β∈Ｂ₂に

対して,β∈Ｂ₁より,σ(β)＝βですからσ∈Ｕ₂

です。それ故,Ｕ₁⊂Ｕ₂です。逆に,Ｂ₂⊃Ｂ₁なら

Ｕ₁⊃Ｕ₂が成立します。

[定理6-7]:体Ｆのガロア拡大体Ｅのガロア群を

Ｇとする。２つの中間体:Ｂ₁,Ｂ₂に対し,Ｂ₁,Ｂ₂を

含む最小の体を(Ｂ₁Ｂ₂)とし,共通部分を(Ｂ₁∩Ｂ₂)

とする。Ｂ₁,Ｂ₂,にれ対応するガロア群をＵ₁,Ｕ₂と

するとき,(1)(Ｂ₁Ｂ₂)には,(Ｕ₁∩Ｕ₂)が対応する。

(2)(Ｂ₁∩Ｂ₂)には,Ｕ₁,Ｕ₂を含む最小の部分群:Ｗ

が対応する。

(証明)(1)σ∈Ｇとします。

σが(Ｂ1Ｂ2)を不変にすることは,Ｂ1とＢ2を

共に不変にすることを意味し.これは,σ∈Ｕ1,かつ,

σ∈Ｕ2,つまり,σ∈(Ｕ1∩Ｕ2)に対応します。

• 次に,中間体:(Ｂ₁∩Ｂ₂)に対応するＧの部分群

をＶとします。

すると,(Ｂ₁∩Ｂ₂)⊂Ｂ₁,かつ,(Ｂ₁∩Ｂ₂)⊂Ｂ₂です。

故に,[定理6-2]から,Ｖ⊃Ｕ₁,かつ,Ｖ⊃Ｕ₂です。

ところが,仮定により,ＷはＵ₁,Ｕ₂を含む最小の

Ｇの部分群ですからＷ⊂Ｖです。

そこで,Ｗに対応する中間体をＢとすると,Ｗ⊂⊃Ｕ₁,

かつ,Ｗ⊃Ｕ₂より,Ｂ⊂Ｂ₁,かつ,Ｂ⊂Ｂ₂ですから.

Ｂ⊂(Ｂ₁∩Ｂ₂)です。故にＷ⊃Ｖであり,結局,

Ｗ＝Ｖです。(証明終わり)

※途中ですが,今回はここで終わります。(つづく)