ガロア理論の復習(7)

※2021年12月３日(金)開始→12月13日(月)

※(余談)1941年(昭和16年)12脱8日は,日本軍

のハワイ真珠湾の奇襲攻撃で,アメリカとの戦争

が始まった日でした。もう80年も前ですか?風化

はしないんだろうなぁ。昔,DVDで「トラトラトラ」

という日米合作映画を見たら,アメリカの情報部は

全て知っていて放置したらしいです。

2001年９月11日のニューヨーク貿易センター

ビルへのテロ事件も「華氏911」という映画では,

政府上層部は,事前にわかっていて防ぐことを

しなかったたらしいし,戦争したい米上層部とか

死の商人たちは,その正当防衛とか報復とかの

口実ためには,多数の国民の命の犠牲など,何

とも思ってないらしい。と感じました。

映画はフォクションかもしれないですけどね。

まあ,火のないところに煙は立たず,とも言います。

さて,9月末頃には日本での「コロナ自然消滅仮設」

の記事をブログに書きました。ネットにはフ,ェイク

やデマが氾濫していて,取捨選択せずに鵜呑みにする

と危険なことは承知なのですが,楽観的見方として,

「オミクロン＝Ｘマスプレゼント説」というものが

ありました。コロナ変種のオミクロン株は,あまり

にも大きい突然変異,言い換えると,大きなコピー

ミスの結果であり,不安定で感染力はデルタより

はるかに強いけれど,今のところデータでは症状

は無症状か軽症で,高々風邪の発熱やセキと同じ

程度で酸素吸入も不要で重症化率もごく低いと

いうので,この「善玉ウイルス」が「悪玉デルタ株」

を駆逐し去って,コロナも終焉を迎えるのでは？

と,無責任なアウトアサイダーの私は,淡い期待を

抱いています。(※オミクロン無害説)

何でもかんでも感染したら入院だと,ただの風邪

でも医療はパンクするのでしょうがね。

さて,命の残り時間が少ない私は,何事にもアセリを

感じています。所詮,無駄な抵抗ですが。。。

今日(12/12)は,何故か頭痛,と消化不良か？嘔吐,下痢

の連続で本稿アップも日を超えてしまいました。もう

長くはないなぁ。。(余談終わり※)

※さて,ガロア理論の本題の続きです。

第７章 複素数体Ｃの部分体

※本章ではすべての体は,複素数体Ｃの部分体と

します。何故,複素数体の部分体に限定するか？

というと,今の古典的なガロアの代数方程式の

可解性の理論では重要とは思われない？体の

「標数」という概念があるからです。標数は後述

の有限体に対して定義される素数であり,複素数体

のような無限体では,標数はゼロと規定されています

が,標数がゼロでない場合,以下の,体に対する定理が

成立しないこともあります。

※既約多項式の分離性

[定義7-1](導関数の定義)

体Ｆ上のｎ次多項式:

ｆ(ｘ)＝ａ_nｘⁿ＋ａ_n-1ｘ^n-1＋...＋ａ₀

(0≦ｊ≦ｎのｊについてａ_j∈Ｆ,かつ,ａ_n≠0)

の導関数:ｆ’(ｘ)を次のように定義する。

ｆ’(ｘ)＝ｎａ_nｘ^n-1＋(ｎ－１)ａ_n-1ｘ^n-2＋..＋ａ₁

[定理7-1]:ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)をＦ上の多項式とすると,

その和:(ｆＬｇ)(ｘ),積:(ｆｇ)(ｘ)＝ｆ(ｘ)ｇ（ｘ）

の導関数は次の性質を有する。

すなわち,

(1){ｆ（ｘ）＋ｇ(ｘ)}’＝ｆ’(ｘ)＋ｇ’(ｘ),

(2){ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)}’＝ｆ’(ｘ)ｇ(ｘ)＋ｆ(ｘ)ｇ’(ｘ)

である。

(証明)この命題の成立は,明らかで証明は簡単なので,

省略します。(終わり)

[定理7-2]:ｆ(ｘ)が体Ｆ上の1次以上の多項式である

場合,代数数方程式:ｆ(ｘ)＝0が重根を持つための必要

十分条件はｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)の最大公約数(最大公約式)

が1次以上の多項式になることである。

(証明)体Ｆに対して,ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]とする。

ｆ(ｘ)＝0が根(解)を持つとき,体Ｋ＝Ｆ(α)の上では,

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α)^kｇ(ｘ)(ｋ≧1,ｇ(α)≠0)と書けます。

これを,Ｋ[ｘ]の多項式(係数にαを含む多項式)と

して,その導関数をとると,

ｆ’(ｘ)＝ｋ(ｘ－α)^k-1ｇ(ｘ)＋(ｘ－α)^kｇ’(ｘ)

となります。

故に,αがｆ(ｘ)＝0の重根で,ｋ≧2であるためには,

ｆ’(ｘ)が(ｘ－α)の1次以上の因数を持つことが必要

十分条件です。つまり,ｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)がＫ＝Ｆ(α)

において.1次以上の公約数として(ｘ－α)を持つこと

が,ｆ(ｘ)＝0が重根αを持つために必要,かつ,十分な

条件です。(証明終わり)

[系]:ｆ(ｘ)∈Ｆ(ｘ)がＦで既約な多項式であるときは,

ｆ(ｘ)＝0は重根を持たない。

(証明)ｆ(ｘ)が体Ｆの上で既約多項式であるのに重根:

αを持つと仮定します。[定理7-1]によれば,ｆ(ｘ)＝0

が重根αを持てばｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)がある共通根αを持ち,

ｆ(ｘ)は既約なので,体Ｆでは因数を持やないが,体Ｆ(α)

では1次因子(ｘ－α)を持ち,これは.ｆ’(ｘ)と共通の

因子となります。

ここでdegｆ(ｘ)＝ｎとするとdegｆ’(ｘ)＝(ｎ－1)＜ｎ

ですから,Ｆ内でｆ(ｘ)をｆ‘(ｘ)で割って商をｑ(ｘ),余り

をｒ(ｘ)とすると,ｆ(ｘ)＝ｆ’(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ)；

ただし,degｒ(ｘ)≦(ｎ-2),と表わすことができます。

このとき,もしもｒ(ｘ)≡0ならｆ(ｘ)＝ｆ’(ｘ)ｑ(ｘ)

となって,「(ｘ)はＦ上で可約となり,Ｆで既約という仮定

に反します。故に,剰余;ｒ(ｘ)は(ｎ-2)次以下の恒等的には

ゼロでない多項式ですがｆ(α)＝ｆ’(α)＝0なのでｒ(α)＝0

であり,ｒ(ｘ)も,Ｆ(α)において１次因子(ｘ－α)を持ちます。

さらに,ｆ’(ｘ)をｒ(ｘ)で除してｆ’(ｘ)＝ｒ(ｘ)ｑ₁(ｘ)

＋ｒ₁(ｘ)(degｒ₁(ｘ)≦(ｎ－3)）と,剰余:ｒ₁(ｘ)を求め,次に,

ｒ(ｘ)＝ｒ₁(ｘ)ｑ₂(ｘ)＋ｒ₂(ｘ)..と除法の操作を繰り返す

「ユークリッドの互除法」でｒ(ｘ),ｒ₁(ｘ),ｒ₂(ｘ)…と剰余

の次数を1ずつ下げていく列をつくると,結局最後はに剰余が

がゼロとなる場合もありこのときはｆ(ｘ)のＦでの既約性に

反します。一方,もしも剰余がゼロにならない場合,最後には

剰余はｘの1次式となり,それがｆ(ｘ),ｆ’(ｘ)の最大公約数

であり,(ｘ－α)の定数倍に一致するはずですが,剰余の列：

ｒ(ｘ),ｒ₁(ｘ),ｒ₂(ｘ),..は,全てＦ[ｘ]の元なので,最後

の(ｘ－α)の定数倍もＦの多項式となり,やはり,ｆ(ｘ)が

Ｆ上で既約多項式であるという仮定に矛盾します。

したがって,ｆ(ｘ)がＦ上で既約多項式ならｆ(ｘ)＝0

は重根を持たない,ことが示されました。(証明終わり)

※ガロア拡大体の条件

[定理7-2]:体Ｅを体Ｆのガロア拡大体とする。α∈Ｅ

のＦ上の既約多項式は,Ｅにおいて１次因数の積に分解

される。

(証明)αにガロア群Ｇの元(自己同型)を施して得られる

像のうち,異なるものの全体を,α₁,α₂,..,α_r,(α₁＝α)

とし,ｐ(ｘ)＝(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_r)とします。

このとき,∀σ∈Ｇに対し,σ(α₁),σ(α₂),//σ(α_r)は

全て相異なります。ｒ=|Ｇ|です。

何故なら,σ(α_i)＝σ(α_j)であれば,両辺にσ^-1を施すと,

α_i＝α_jを得るからです。

しかも,これらはＧの元によるαの像ですから,最大ｒ個

から成るα₁,…α_rの１つの順列(置換)を与えます。

一方,ｐ(ｘ)はｐ(α)＝0を満たすＦの多項式なので,その

係数は,Ｇの不変体Ｆの元であり,σを施しても不変です。

そして,ｐ(α）＝0ですからｐ(ｘ)＝0はαを根に持ちます。

ここで,ｆ(ｘ)をｆ(α)＝0を満たす任意のＦ内の多項式と

すると,∀σ∈Ｇに対し,σ{ｆ(α)}＝ｆ{σ(α)}＝0です。

つまり。σ(α)もｆ（ｘ）＝0の根となります。

各々のσ∈Ｇに対してσ(α)は,相異なるｐ(ｘ)＝0のｒ個

の根:α₁,α₂,..,α_r,のどれかに一致するため,ｆ(ｘ)はｐ(ｘ)

の根を全て含むことになります。

それ故,ｆ(ｘ)はｐ(ｘ)を因数として持ち,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))

です。つまり,Ｊ＝{ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ];ｆ(α)＝0}｝とするとき,

Ｊは,ｐ(ｘ)を最大公約数とするイデアルで,J＝(＠(ｘ))です。

何故ならｆ(ｘ)が可約でｆ(ｚ)＝ｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ)とＦの多項式

の積に因数分解できるとき,αがｆ,（ｘ）＝0のの根でｆ(α)＝0

となるのは,ｐ₁(α)＝0でｐ₁(ｘ)∈(ｐ(ｘ))であるか,ｐ₂(α)＝0

でｐ₂(ｘ)∈(ｐ(ｘ))のいずれか,または両方であることを

意味し,ｐ(ｘ)は既約なので最大公約因子です。

つまり,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))です。

ｐ(ｘ)はＦ上既約多項式なので重根を持たず,単根として

α₁,α₂,..α_rを持ち,しかも,これら以外には根を持ちません。

したがって,ｐ(ｘ)＝ａ_n(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_r),

(ａ_n∈Ｆ,ａ_n≠0)と書けます。(証明終わり)

[定義7-2](分解体):体Ｆ上の多項式ｆ(ｘ)が,拡大体Ｋ上

の１次因子の積に分解されるとする。

すなわち,ｆ(ｘ)＝ａ_n(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_N)

とする。このとき,Ｆの拡大体:Ｆ(α₁,α₂,..,α_n)をｆ(ｘ)

の「分解体」という。,

[定理7-3];ＥがＦのガロア拡大体ならば,ＥはＦ内のある

多項式の分解体となる。逆に,体Ｆ上の多項式のＦ上の

分解体はＦのガロア拡大体である。

(証明)ＥをＦのガロア拡大体とし,Ｇをガロア群とします。

,そして,(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ|＝ｎとし,Ｆのベクトル空間として

のＥの生成元(基底)をω₁,ω₂,..,ω_nとします。

前定理により,ω_ｊのＦ上の既約多項式をそれぞれ,ｐ_j(ｘ)

とすると,ｐ_j(ｘ)はＥにおいて1次因子の積に分解されます。

それ故,任意の多項式ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]の因数分解を

ｆ(ｘ)＝ａｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ)・・ｐ_n(ｘ)(ａ≠0,ｐ_j(ｘ)は

規約モニック)とおくと,ｆ(ｘ)はＥ上で1次因子の積に

分解されます。

(※このとき,ｆ(ｘ)は「分離的」である,といいます。),

※ここで,少しくどいとも思える説明を加えます。

例えば,σ_i(ω₁)＝σ_j(ω₂)なら,ω₂＝σ_j^-1σ_i(ω₁);

(σ_i,σ_j∈Ｇ)ですから,σ_ｋ＝σ_j^-1σ_i∈Ｇのような,

あるＧの元σ_ｋが存在してω₂＝σ_k(ω₁)となります。

ｐ₁(ｘ)＝0の根ω₁と,ｐ₂(x)＝0の根ω₂がＧの自己同型

写像:σ_kで互いに写像される関係なので,既約多項式モニック

として,ｐ₁(ｘ)とｐ₂(ｘ)は同じものです。

そこで,こうしたダブルカウントのｐ₂(ｘ)を因数から除く

必要があります。

実際には,集合Ｓ={σ_i(ω_j):ｉ,ｊ＝1,2,..,ｎ},;

ただし,σ_i∈Ｇ(1≦ｉ≦ｎ)の元のうち,相異なるもの

の全体を{α₁,α₂,..,α_n}とすると,∀σ_ｋ∈Ｇに対して,

σ_k(α₁),σ_k(α₂),..σ_k(α_n)もまた,Ｓの元であり,

しかも,全て相異なるので,Ｅの元の集合として

{α₁,α₂,..,α_n}＝{σ_k(α₁),σ_ｋ(α₂),..,σ_k(α_n)}です；

任意のｆ(ｘ)でｆ(ｘ)＝ａ(x－α₁)(ｘ－α₂)・(ｘ－α_n)

＝ａ{x－σ_l(α₁)}{ｘ－σ_k(α₂)}・・｛ｘ－σ_k(α_n)｝なる

等式が∀σ_k∈Ｇに対して成立することになります。

そして,α_i∈Ｓ(1≦i≦ｎ)はある(ｋ,ｊ)で,α_i＝σ_ｋ(ω_j)

であることを意味しますから,ω₁,ω₂,..,ω_nは全てｆ(ｘ)＝0

の根に含まれます。つまり,{ω₁,ω₂,..,ω_n}⊂{α₁,α₂,.,α_n}

となります。(蛇足的な説明終わり)※

ｆ(ｘ)の(最小)分解体はＦ(α₁,α₂,..,α_n)ですが,結局,

Ｅ＝Ｆ(ω₁,ω₂,..,ω_n)⊂Ｆ(α₁,α₂,..,α_n)⊂Ｅです。

したがって,Ｆのガロア拡大体Ｅは,あるｆ(ｘ)の分解体

つまり,Ｆにｆ(ｘ)＝0の根を全て添加した体となります。

逆に,Ｅがｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]の分解体であるとします。

そして,Ｆの元を不変にするＥの自己同型写像のつくる群

をＧとします。

ここで,Ｆから分解体Ｅ＝Ｆ(α₁,α₂,..α_n)までの間の

中間体の列を想定します。Ｆ＝Ｅ₀⊂Ｅ₁⊂..⊂Ｅ_n＝Ｅ,

Ｅ_i＝Ｆ(α₁,α₂,..α_i)＝Ｅ_i-1(α_i)(1≦i≦ｎ)でます。

ところが,ｆ(α_i)＝0でありｆ(ｘ)は,体Ｅ_i-1の多項式

ですから,α_iはＥ_i-1で代数的です。故に,(Ｅ_i/Ｅ_i-1)は有限

です。そこで,|Ｇ|=(Ｅ/Ｆ)=Π_i=1ⁿ(Ｅ_i/Ｅ_i-1)より,群Ｇは

有限群です。

次に,Ｇの不変体がFであることを示します

多項式ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]のｆ(ｘ)＝0の根が全てＦに属する

なら,Ｅ＝Ｆであり,Ｇの任意の元はＦの任意の元を不変に

します。そのようなαの全体はＦから出ることはないので

Ｅ＝Ｆが,Ｇの不変体であることは明らかです。

このときは,(Ｅ/Ｆ）＝1であり,Ｇの元は単位元(恒等写像)

のみです。次に,ｆ(ｘ)＝0の根のうち,ｎ個(ｎ≧1)が,体Ｆ

に含まれていないとします。,

さらに帰納法の仮定としてＦに含まれない根の個数がｎより

小さいときには,定理が成立する,つまり,ＦがＧの不変体である

とします。

ここで,αをＦに含まれないｆ(ｘ)＝0の根としｔてｆ(ｘ)

を体Ｆ(α)の多項式と見たときも,Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。

このとき,ｆ(ｘ)＝0のの根のうち,Ｆ(α)に含まれないもの

の個数はｎより小さいので,帰納法の仮定により,Ｅの自己同型群

はＦ(α)を不変にします。このＦ(α)を不変にするＥの自己同型

写像の群をＵとすると,ＵはＦ(α)を不変体とし,それ故,もちろん

Ｆを不変にしますから,Ｕ⊂Ｇです。

θを群Ｇの不変体の元とします。

θは,Ｕの全ての元で不変ですから,θ∈Ｆ(α)です。

αのF上の既約多項式ｐ(ｘ)の次数をｓとすると,θ

は.θ＝ｃ₀＋ｃ₁α＋ｃ₂α²＋..＋ｃ_a-1α^s-1,(ただし,

ｃ_j∈Ｆ,0≦ｊ≦(ｓ－1))と表わされます。

ｐ(ｘ)＝0は重根を持たないのでｐ(ｘ)の根をα₁,.α_s

とすると,αをα_jに写すＦ(α)からＦ(α)への同型写像:

σが存在します。同型写像の延長を繰り返して,σをＥから

Ｅの上への同型写像,つまりＧの元:τへと延長できます。

このτ∈Ｇをθに作用させると,τ(θ)＝ｃ₀＋ｃ₁α_i

＋ｃ₂α_i²＋..＋ｃ_s-1α_i^s-1.(ｉ＝1,2,.ｓ)となります。

故に方程式ｃ_s-1ｘ^s-1＋ｃ_s-2ｘ^s-2＋..＋ｃ₁ｘ＋(ｃ₀－θ)

＝0は,ｓ個の相異なる根:α₁,α₂,..,α_ｓを持ちますが,

これは,根の個数ｓが方程式の次数(ｓ－1)より多いので

方程式ではなく恒等式であることを意味するため,全て

の係数はゼロです。

特に,ｃ₀＝θですから,τ(θ)＝θ∈Ｆです。θはＧ

の不変体の任意の元でしたから,ＦがＧの不変体です。

以上から,ＧはＦを不変体とするガロア群で,Ｅは

ガロア拡大体,であることが示されました。(証明終わり)

[定理7-4]:体Ｆの２次の拡大体Ｅはガロア拡大体

である。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝2とすると,Ｆに含まれないω∈Ｅが存在

します。このとき,1,ω,ω²は１次従属です。

故にａ₀＋ａ₁ω＋ａ₂ω²＝0という自明でない関係式

が成立し,ωはｆ(ｘ)＝ａ₂ｘ²＋ａ₁ｘ＋ａ₀∈Ｆ[ｘ]の根

です。もしも,ａ₂＝0ならａ₀＋ａ₁ω＝0となり

ａ₀＝ａ₁＝0で自明な式となるため,ａ₂≠0です。

ｆ(ｘ)＝0の他の根は,{－(ａ₁/ａ₂^-)－ω}∈Ｅですから

Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。そしておmrががFの元

でないので,{－(ａ₁/ａ₂^-)－ω}もFの元ではないため

ｆ（ｘ）はＦ上既約な多項式ですからＥは分離的

分解体です。よってＥ/Ｆはガロア拡大です。。

(証明終わり)

[定義7-3](単純(単)拡大の定義)

体Ｆの拡大体ＫがＦにαを添加した体で,Ｋ＝Ｆ(α)

と表わされるようなαが存在するとき,この拡大を単純

(単)拡大といい,体Ｋを単純(単)拡大体という。

※複素数体Ｃ内では「ガウスによる代数学の基本定理」

を仮定すると,体Ｆ上の∀ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]は複素数体Ｃ

の中で１次因数の積に分解します。その根を全てＦに

添加した体Ｅをつくると,Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。

つまり,複素数体の部分体Ｆ上の多項式は複素数体の

中に必ず,分解体を持ちます。

[定理7-5](原始元定理)

体Ｆの有限次拡大体Ｋには,Ｋ＝Ｆ(γ)のようなγが

存在する。つまり有限次拡大体ＫはＦの単純拡大体である。)

(証明)ＫがＦ上有限次なら,ＫのＦ上の基底をα₁,α₂,.,.α_n

とすると,Ｋ＝Ｆ(α₁,α₂,.,.α_n)です。

帰納法を用いて証明できますが,結局,ｎ＝2も場合

に定理の成立を示せば十分であるとわかります。

何故なら,Ｆ＝Ｅ₀⊂Ｅ₁⊂Ｅ₂⊂...⊂Ｅ_n＝Ｋなる拡大

する体の列を.Ｅ_i＝Ｅ_i-1(α_i),,.,Ｅ_n＝Ｆ(α₁,α₂,.,.α_n-1)(α_n)

によって,つくると.もしもＥ₂＝Ｆ(α₁,α₂)＝Ｆ(γ)とできる

ことが示せたなら,Ｅ₃＝Ｆ(α₁,α₂,α₃)＝F(γ,α₃)＝Ｆ(γ₂)

も成立することがわかる,からです。

そこで,ｎ＝2の場合として,Ｋ＝Ｆ(α,β)とします。

α,βを根とするＦ上の既約多項式をそれぞれ,ｇ(ｘ),

ｈ(ｘ)とします。ｇ(ｘ)≠ｈ(ｘ)の場合,ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)ｈ(ｘ)

の分解体をＥとするとｇ(ｘ),ｈ(ｘ)がＦで既約なのでｆ(ｘ)

は分離的です。(※ｆ(ｘ)はＥ上単根の1次因子の積に分解

されます。)

ところで,前の[定理7-2]により,分解体ＥはＦのガロア拡大体

です。そしてＫはＥ/Ｆの中間体です。ガロア拡大体の中間体

はＥのガロア群Ｇの部分群と１対１に対応るので中間体の個数

は有限です。つまり,(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ|が有限なので,中間体の個数も

有限です。

そこで,∀ｃ∈Ｆに対してγ_ｃ＝α＋ｃβとおいて,体K_ｃを

Ｋ_ｃ＝Ｆ(γ_c)で定義すると.これらはＥ/Ｆの中間体ですが,Ｃ

の部分体であるＦは無限体なので,ｃ∈Ｆの取り方は無数に

あります。しかし,中間体Ｋ_cの個数は有限ですからＫ_d＝Ｋ_ｃ

を満たすＦの元ｄで,ｄ≠ｃであるものが存在します。

するとＫ_ｄ＝Ｆ(γ_ｄ)＝Ｋ_ｃ＝Ｆ(γ_c)でγ_ｄ＝α＋ｄβです

から,γ_c,γ_d∈Ｋ_cであり,故に(ｃ－ｄ)β=(γc－γ_ｄ)∈Ｋ_ｃで

(ｇ－ｄ)≠0ですから,β∈Ｋcです。

そこで,α＝(γ_c―ｃβ)∈Ｋ_cも成立します。

それ故,Ｋ＝Ｆ(α,β)⊂Ｋ_cですが,γ_ｃ＝(α＋ｃβ)がＦ(α,β)

＝Ｋの元であることは,明らですからＫ_c＝Ｆ(γ_c)⊂Ｋであり

結局,Ｋ_c＝Ｋです。

したがって,γ＝γ_ｃとおけばＫ＝Ｆ(γ)と表わせることになり

,ＫがＦのの単純拡大体であることが示されました。

(証明終わり)

[系]:複素数体の中ではＦの有限次拡大体は単純拡大体

である。(これは自明です。)

[定理7-5]:ＥがＦのガロアｱ拡大体であることは,Ｆの複素数体

内へのＦ上の同型写像が,全てＥの自己同型写像であることに

同値である。

(証明まず,Ｆ上の同型写像とは,Ｆの元を不変に保つ同型写像

のことです。そして,ＥにおけるＦ上の同型写像の数をｍと

すると,,ｍ≦(Ｅ/Ｆ)＝ｎ＝|G|です。(※ＥはＦの有限次(ｎ次)

拡大体とします。)

故に,全ての同型写像はＥの自己同型写像でＧに含まれます

何故なら,GはＦを不変体とするＥの自己同型写像の全体

であり,そのｎ個の元はｍ個の中に含まれているので,,自己同型

写像でないＦ上の同型写像があるとｍ＞ｎとなって矛盾する

からです。

逆に,Ｆ上の同型写像が全てＥの自己同型写像とします。

ＥはＦの有限次拡大体ですからＥ＝Ｆ(γ)と書けます。

γのＦ上の既約多項式をｐ(ｘ)とします。このとき.ｐは２次

以上でｐ(ｘ)＝0の２根をγ,δとすると,γをδに対応させる

Ｆ(γ)からＦ(δ)への同型写像が存在します。

これが,Ｅの自己同型写像ですから,δ∈Ｅ＝Ｆ(γ)です。

つまり,Ｆ上の既約多項式ｐ(ｘ)の根が全てＥに含まれる

のでＥはｐ(ｘ)の分解体であり,よってＥ/Ｆはガロア拡大

です。(証明終わり

[例7-1]:次のα,βに対してＱ(α,β)＝Ｑ(γ)となるγを

求めます。Qは有理数体で,α＝√5ｉ,β＝√2,です。

(解)γ＝√5ｉ－√2とすると,(γ－√2)²＝―5,

γ²－2√2γ＋7＝0,故に,β＝√2＝{(γ²＋7)/(2γ)}∈Ｑ(γ)

よって,α＝√5ｉ＝(γ－β)∈Ｑ(γ),です。()終わり

[例7-2]:(ｘ⁴－2)は,有理数体Ｑ上の既約多項式です。

その分躯体は,Ｅ＝Ｑ(2^1/4,2,－2^1/4,2^1/4ｉ,－2^1/4ｉ)

ですが,これは明らかにＱ(2^1/4,ｉ)に等しいです。

そして{Ｑ(2^1/4)/Ｑ}＝4,{Ｑ(2^1/4,i)/Ｑ(2^1/4)}＝2

より,(ＥＱ)＝{Ｑ(2^1/4,ｉ)/Ｑ}＝8です。

ＥはＱ上8次のガロア拡大体です。

Ｅ内のＱを不変体とする自己同型写像は

2^1/4を±2^1/4,±2^1/4ｉに,写す４通り,,ｉを

±ｉに写す２通りの,σ:σ(21^/4)＝ｉ2^1/4,σ(ｉ)＝ｉ

と,τ:τ(2^1/4)＝－2^1/4,τ(ｉ)＝－ｉの２種から

Ｇ＝{1,σ,σ²,σ³,τ,στ,σ²τ,σ³τ}です。

※途中ですが,今回はここで終わります。(つづく)