ガロア理論の復習(8)

※2021年12月13日(月)開始→2022年１月16日(日)

遅ればせながら,明けおめ,ことよろ。。

来月の２月１日には,生きていれば72歳になる予定です・

※(余談) 12月13日月曜夕方から,何故か血中酸素濃度

が90以下まで下がり,酸素吸入のお世話になっています。

飲食物,薬はお金さえあれば何とかなるけれど酸素不足

は自分の力じゃどうしようもないです。酸素業者のお世話

になっています。4.0リットル/分の吸入で何とかなってます。

最近.流行のオミクロンでは酸素吸入(中等症)も肺炎も少ない

ようなので,私のはコロナじゃないだろうし.弱毒化した

ウィルスの感染に,政府,自治体,マスコミ,御用学者は過剰

防衛と思えるピントハズレな対策が続いていると見えます

ね。有害でない大腸菌のようなもものの感染ならいくら

体内に増加しても大丈夫ですね

さて酸素吸入器が取れないまま,年が明けてしまいました。

新年の挨拶も余裕なく,よく呼吸困難になりますが発熱も

肺炎もなくブログもたまに書くと疲れます。少しずつ

起きて書いても,すぐ疲れてキリがなく,この話題は何とか

終わりそうなのですが長いので分割します。(余談終わり※)

※ガロア理論の本題の続きです。

第８章 有限体について

※1のｎ乗根について

[補助定理1]:可換群Ｇにおいて,ａ,ｂ∈Ｇの位数がｍ,ｎ

のとき,ｍ,ｎの最小公倍数をｋとすると,Ｇの中には位数

がｋの元:ｃ∈Ｇが存在する。

(証明)(ｍ,ｎ)＝1なら,ｋ＝ｍｎであり,ｃ＝ａｂと

すれば,このｃが求める位数がｋのＧの元です。

何故なら,ｃ^k＝ａ^ｋｂ^k＝1は明らかでありｌがｃの位数

であるとすると,ｌはｃ^l＝1となる最小の正整数です。

もしも,ｌ＜ｋならｋ＝ｌｑ＋ｒ(0≦ｒ＜ｌ)で,ｃ^ｋ＝1.

ｃ^lq＝1ですから,ｃ^r＝1によりｒ＝0が必要です。よって

ｋ＝ｌｑであり,ｌはｋ＝ｍｎの約数です。

ａ^lｂ^l＝1よりａ^l＝ｂ^-lですが,(ｂ^－l)ⁿ­＝(1/ｂⁿ)^l＝1

なので,ａ^ln＝1です。ｍがａ^ｍ＝1となる最小の正整数

であったので,ｍ/(ｌｎ)であり.ｍ/l,またはｍ/ｎです

が,これらは(ｍ,ｎ)＝1に矛盾します。故に,ｃ＝ａｂの

位数は,ｌ＝ｋ＝ｍｎです。

一般の場合,ｍ,ｎを素因数分解してｍ＝ｐ₁^e1ｐ₂^e2・・・

ｐ_s^es,かつ,ｎ＝ｐ₁^f1ｐ₂^eｆ2・・・ｐ_s^fsとします。

このとき,位数が,ｐ_i^ei,ｐ_i^fi(ｉ＝1,2,..ｓ)の元が存在します。

何故なら,ｍ＝ｐｑと因数分解できるとき,ａ^ｍ＝1ですから

(ａ^ｑ)^p＝1となり,(ａ^ｑ)は位数がｐの元となるからです。

ａ＝ｐｑと同様,ｂ＝ｐｑの場合も同様です。

そこで,ｇ_i＝(ｅ_i,ｆ_i)としてｄ_i＝ｐ_i^gi(ｉ＝1,2,..s)と

おけば,ｋ＝ｄ₁ｄ₂..ｄ_sは,ｍ,ｎの最小公倍数です。

そして,位数がｄ_i＝ｐ_i^gi(ｉ＝1,2,..s)の元が存在します。

ａ_iを位数がｄ_iの元として,ｃ＝ａ₁ａ₂・・ａ_sとすれば,

ｃがｋを位数とするＧの元です。(証明終わり)

[補助定理2]:有限可換群Ｇにおいて,元の位数の最大値を

ｋとすると,任意の元の位数はｋの約数である。

(証明)群Ｇの元の位数の最大値をｋとします。

ａ∈Ｇの位数ｍがｋの約数でないなら,ｋとｍの最小公倍数は

ｋより大きく,[補助定理1]より,これを位数とする元が存在

しますが,これはｋがＧの元の位数の最大値であるという仮定

に反します。故にｍはｋの約数です。(証明終わり)

[定理8-1](可換)体Ｆの乗法群Ｆ^×の有限部分群Ｓは巡回群

である。

(証明)|Ｓ|＝ｎとし,Ｓの任意元の位数の最大値をｒとすると,

∀ｘ∈Ｓは,ｘ^r－1＝0を満たします。

しかし,この方程式はＦの中でｒ個より多くの解を持つこと

ができないので,ｎ≦ｒです。

一方,ｒはｎの約数なのでｒ≦ｎですから,結局ｒ＝ｎです。

つまり,Ｓは位数がｎの巡回群です。(証明終わり)

[定義8-1]:(１のｎ乗根)

ｎを正の整数とする。体Ｆの元αがαⁿ＝1を満たすとき,

αを「１のｎ乗根」という。

体Ｆの有限乗法部分群Ｓの位数がｎのとき,Ｓの元は全て１

のｎ乗根である。巡回群Ｓの生成要素の数は,Eulerの関数

Φ(ｎ)で与えられるが,これら生成元を「１の原始ｎ乗根」

という。

※位数が,丁度ｎである,Ｓ＝＜ε＞＝{1,ε,ε²,..,ε^n-1}の元

が存在して,ε^kが１の原始ｎ乗根であるためには,(ｋ,ｎ)＝1

なることが必要十分です。

何故なら,εⁿ＝1より,(ε^k)ⁿ＝1ですが,もしも(ε^k)^q＝1なら,

ｎ|(ｋｑ)であり,(ｋ,ｎ)＝1の場合,ｎ|ｑより,ｑ≧ｎです。

そこで,ｎがｑの最小正整数なので,これがε^kの位数です。

逆に,(ｋ,ｎ)＝ｄ＞1なら,ｋ＝ｋ₁ｄ,ｎ＝ｎ₁ｄと書けて,

ε^k＝(ε^k1)^d＝1より,(ε^k)ⁿ¹＝1でｎ₁＜ｎですから,位数は

ｎより,小さいことになるから矛盾です。

ｎが素数ｐのとき,φ(ｐ)＝ｐ－1です。

何故なら,ｎ＝ｐ(素数)なら,「Fermatの小定理」によって,

ε^p-1＝1であり,ｋが(ｐ－1)と互いに素であるＳの元ε^kは,

ｋ＝0,1,2,ｐ－2に対応する(ｐ－1)個であるからです。

[定義8-2]:(有限体の定義)

体Ｆの元が有限個数のとき,Ｆを有限体という。

[定理8-2]:Ｆの乗法群としての単位元を1とする。このとき

Ｆを加法群として見たときの1の位数をｐとするとｐは素数

である。

(証明)ｐ＝ｑｒと因数分解できてｑ＞1,ｒ＞1とすると,ｑ＜ｐ,

ｒ＜ｐです。ところが,ｐ・1＝(ｑｒ)・1＝(ｑ・1)(ｒ・1)＝0

なので(ｑ・1)＝0,または,(ｒ・1)＝0です。

これは,1の位数がｐであるという仮定に矛盾します。

故にｐは素数です。(証明終わり)

[定義8-3]:(標数の定義)

有限体Ｆの乗法の単位元1の位数である素数ｐを「体Ｆの標数」

という。

[定理8-4]ｎ∈Ｚに,(ｎ・1)∈Ｆを対応させるとＺからＦの中

への環準同型写像が得られ,標数がｐなので,核はイデアル(ｐ)

である。よって準同型定理から,Ｆは体Ｚ/(ｐ)に同型な部分体Ｆ_p

を持つ。このＦ_pをＦの「素体」という。

Ｆの元１＋１を２,１＋１＋..＋１(ｎ個)をｎと表わすことに

すると,ｐ＝0であり.Ｆ_p＝{0,1,2,..ｐ－1}である。(証明略)

[系1]:標数がｐの有限体Ｆでは∀ａ∈Ｆに対してｐａ＝0である。

(証明)ｐａ＝ａ＋ａ＋..＋ａ＝１・ａ＋1・ａ＋..＋1・ａ

＝(１＋1＋..＋1)・ａ＝(ｐ１)・ａ＝0　(終わり)

[系2];Ｆを標数がｐの有限体とする。∀ａ,ｂ∈Ｆに対して

(1)(ａ＋ｂ)^p＝ａ^p＋ｂ^p.(2)ａ^p＝ｂ^p⇔ａ＝ｂ(証明略)

[定理8-5]有限体Ｆの標数をｐ,Ｆ_p上の次数をｆとすると,

Ｆの大きさはｑ＝ｐ^fである。さらに,Ｆの乗法群Ｆ^×は,

位数:(q－1)=(ｐ^f－1)の巡回群である。

(証明)ＦはＦ_p上ｆ次元なので,Ｆの元ω₁.ω₂...ω_fが

存在して,∀α∈Ｆは,α＝ｘ₁ω₁＋ｘ₂ω₂＋..＋ｘ_fω_f

(ｘ_i∈Ｆ_p)と一意的に表わされます。

そしてｘ_iの取り方はｐ通りあるので,αの取り方,つまり,

Ｆの大きさはｑ＝ｐfです。

Ｆ^×はＦの中で有限可換群ですから[補助定理1]により巡回群

であり,位数は(ｑ－1)＝(ｐ^f－1)です。(証明終わり)

※有限体Ｆの元は0,1,ζ,ζ²,..ζ^q-2です。（ζ^q-1＝1）

[例8-1]ｐ＝2のときＦはＦ₂の２次拡大体で,Ｆ^×は位数が３

の巡回群です。Ｆ^×＝の元はｘ＝ζ,ζ²,1であって,ｘ³＝1を

満足します。ｘ³－1＝(ｘ－1)(ｘ²＋ｘ＋1)より,ζ,ζ²は，

ｘ²＋ｘ＋1＝0の根で,Ｆ＝{0,1,ζ,ζ²}です。（終わり）

※有限体の拡大体

[定理8-6]:有限体Ｅが部分体Ｆのｎ次の拡大のとき,Ｆの

大きさをｑとすると,Ｅの大きさはｑⁿである。Ｅの乗法群

Ｅ^×は位数が(ｑⁿ－1)の巡回群である。

(証明)ＥのＦ上の基底をω₁,ω₂,..ω_nとします。

すると,∀α∈Ｅは,α＝ｘ₁ω₁＋ｘ₂ω₂＋..＋ｘ_nω_n

(ｘ_i∈Ｆ)と表わされます。|Ｆ|＝ｑよりｘ_iの取り方

はｑ通りあるため,Ｅの大きさ|Ｅ|はｑⁿです。

Ｅ^×は体Ｅの中の有限群なので,巡回群であり,位数は

(ｑⁿ―1)です。()証明終わり)

[系]:有限体Ｅは,その部分体Ｆ上,Ｅ＝Ｆ(ζ)のように,

Ｆにただ１つの元ζを添加して得られる。よって有限体の

場合も,有限次拡大体は単純拡大体である。

(証明)巡回群Ｅ^×の生成元をζとすれば,ｑ＝|Ｅ|のとき

ｒ＝0,1,2,..ｑ-2に対して,ζ^r∈Ｆ(ζ)なのでＥ×⊂Ｆ(ζ)

であり,0∈Ｆ(ζ)よりＥ⊂Ｆ(ζ)です。

一方,0.1.ζ,ζ²,..,ζ^q-1のつくる体はＦ(ζ)を含むので

Ｅ＝Ｆ(ζ)です。(証明終わり)

[定理8-7]:有限体ＥがＦのｎ次の拡大のとき，ＥはＦの

ガロア拡大体(正規拡大体)である。

Ｆの大きさをｑとするとき,σ:α→α^q(α∈Ｅ)は,Ｅの

Ｆ上の自己同型写像であり,ＥのＦ上のガロア群Ｇは,

Ｇ＝{ε,σ,σ²,．.,σ^n-1}(εは恒等写像)であり,σを生成元

とする巡回群である。

(証明)Ｅ(したがってＦ)の標数をｐとすると,ｑ＝ｐⁿです

から,∀α,β∈Ｅに対して,(α±β)^ｑ＝α^q±β^qです。

何故なら,(α±β)^p2＝{(α±β)^p}^p etc.です。

同様に,(αβ)^q＝α^qβ^qです。

したがって,σ(α±β)＝σα±σβ,σ(αβ)

＝(σα)(σβ)であり,σは自己同型写像です。

また,ａ∈Ｅに対して.σａ＝ａ,つまり.ａ^q＝ａとなる

のは,ａがｘ^q＝ｘ,つまりx(ｘ^q-1－1)＝0を満たすことを

意味します。こうしたＥの元:ｘ＝ａの個数は高々ｑ個です。

ところが,Ｆの元はｑ個あって,Ｆ^×は位数(q－1)の巡回群

ですから,∀ｘ∈Ｆ^×はｘ^q-1＝1を満たし,ｘ＝0もｘ^q＝ｘを

満たすため,ａ^q＝ａを満たす元ａ∈Ｅは.Ｆのｑ個の元に一致

します。したがって,巡回群:＜σ＞の不変体がＦです。

さらに,σの位数をｍとするとき,σ^m＝εですから.Ｅ^×の

生成元をζとすると,σ^mζ＝εζ＝ζ，つまり,ζ^qm＝ζ,or

ζ^qm-1＝１ですが,ＥはＦのｎ次拡大体なので,Ｅの大きさは

ｑⁿでＥ^×は位数が(ｑⁿ－1)の巡回群ですから,ζの位数は

(ｑⁿ－1)です。よって(ｑⁿ－1)≦(ｑ^m－1)より,ｎ≦ｍです。

一方,＜σ＞＝{ε,σ,σ²,..σ^m-1}の不変体がＦなので,

ｍ=|＜σ＞|＝(Ｅ/Ｆ)ですから,結局,ｍ＝ｎです。

以上から,Ｅは位数がｎの巡回群Ｇ＝＜σ＞を,Ｆ上の

ガロア群とする,Ｆのガロア拡大体となります。(証明終わり)

[定理8-8]:与有限体Ｆと,与自然数ｎに対して,Ｆ上ｎ次の

拡大体が存在する。

(証明)Ｆの大きさをｑとするとき,Ｆ上の多項式(ｘ^qn―ｘ)の

分解体をＥとして(Ｅ/Ｆ)＝ｎを示します。(Ｅ/Ｆ)≠ｎならＥ

の大きさがｑⁿではないので,Ｅの大きさがｑⁿなら(Ｅ/Ｆ)＝ｎ

です。ところが,αがｘ^qn―ｘ＝0の根ならα^qn＝αなので,

ｘ^qn―ｘ＝(ｘ^qn－α^qn)―(ｘ－α)

＝(ｘ－α)|(ｘ^qn-1＋ｘ^qn-2α＋..＋ｘα^qn-2＋α^qn-1)-1}ですが

ｘ＝αを最右辺の第２因数に代入,すると,ｑⁿα^qn-1－1となり

ｑは標数ｐのベキですから,これは(－1)となりゼロでないです。

よって,(ｘ^qn－ｘ)は重根を持たず,根の数はｑⁿです。この根

の全体集合をＥ~とします。

α,β∈Ｅ~とするとα^qn＝α,β^qn＝βより(α±β)^qn

＝α^qn±β^qn＝α±β,かつ,(αβ)^qn＝αβなので(α±β)⊂Ｅ~,

つ,αβ∈Ｅ~であり,さらに,α≠0のとき,(α^-1)^qn＝(α^qn)^-1＝α^-1

より,α^-1∈Ｅ~です。したがって,Ｅ~は体(Ｅの部分体)をなします。

ところで.Ｆの元ａはａ^q＝ａを満たすので,(ａ^q)^q＝ａを満たし,

ａ^qn＝ａです。故に,Ｆ⊂Ｅ~⊂Ｅです。すなわち,Ｅ~はＥ/Ｆの

中間体です。一方,Ｅは,Ｅ~とＦを含む最小の体ですから

Ｅ⊂Ｅ~です。以上からＥ~＝ＥでＥの大きさはｑⁿです。

故に,(Ｅ/Ｆ)＝ｎです。(証明終わり)

[系]:ｐを素数とする。任意の自然数ｆに対して大きさが

ｐ^fの有限体が存在する。

(証明)体:Ｚ/(ｐ)のｆ次の拡大体をつくればいいです。

(※Ｚ/(ｐ)は標数ｐの有限体です・)(証明終わり)

途中ですが,長いのでもう少しですが,ここで中断して

残念ながら先送りします。(つづく)