ガロア理論の復習(9)終わり)

※2022年1月16日(日)開始→2022年１月20日(木)

※(余談) 東京大学付近で刺傷事件があったそうです。

不幸な事件ですね。本当のことは本人しか,わからない

ことでしょうから憶測,邪推ですが,人生は受験勉強だけ

じゃない。とよく言われます。

かく云う私も,第２志望とスベリ止めばかりの人生です。

医者になりたい？東大に入りたい？親がすすめる？本当に

自分の意志,希望ですか？　人に限らず生き物は,それぞれ

親からの遺伝子のせいで,能力に個体差があるのは仕方ない

ことです。さらに育った環境にも左右されます

大抵は努力すれば,時間かかってもよいなら集中すれば,

ある程度希望はかなうかもしれません。でも若いときは２度

と戻りませんから,今しかないと悲観するのもアリでしょう。

でも健康に生きてれば,捨てたもんじゃないです。寝たきり

の71歳で,酸素吸入中のいつお迎えが来てもオカしくない

老齢の私には,健康で若いだけでもうやましい。

人生をアキラめずに,,ゆっくりと落ち着いて考えて,もう少し

ガンバってみよう。どこかのにいちゃん。

さて,,もはや弱毒だが感染力だけは強いオミクロン株.必要以上

に怖がって鼻水くらいでも隔離や入院で,施設も人員もパンク

しそうです。そもそも重い病気で苦しみ死ぬのはまずいと誰しも

思うだろうけど.とにかく感染が増えるのはマズイから阻止しよう

という前提を疑えば,今が大変かどうか？は押してしるべしです。

何をやっても,結局,ウイルスの方が人知より上手だから,感染を

阻止しる努力は,無理,で無駄.だろうが,政治的にアリバイ工作だけ

は必要だというわけせすね。感染すると自分だけじゃなく家族を

含む他人に病気を移すからダメなんだと常識的なふとが述べて

います。1億人以上の日本人全員,イヤ75億の地球人全員が2～3

日ずつ風邪になったとしたら,そんなに人類の危機なんですか？

私のように風邪でも死亡率3割といわれていう病人には。どんな

病気でも,ワクチンの副作用でも命が危険ですがネ。

外国を見れば,もうスグ,ピークから集団免疫で自然に終息しそう

です。ずっと,飲酒を悪物扱いして,また飲食店イジメの連続です。

,流行が下火になってから,テキトーな対策をする。そして,選挙,。

うまくできてるもんだネ。

評論家の三浦瑠璃氏,私嫌いな人なんですが、ｓmanewsの

コロナの券件だけは賛同しています。(余談終わり※)

※さて,ガロア理論本題の続きです。

第９章 不可能の証明(代数方程式の根の公式)

[定義9-1]:(アーベル拡大体の定義)

ガロア群が可換群であるようなガロア拡大体を

「アーベル拡大体」という。

[定理9-1];Ｆを体(複素数体Ｃの部分体)とする。

ζを１の原始ｎ乗根とし,Ｋ＝Ｆ(ζ)とすると,Ｋは

Ｆのアーベル拡大体である。

(証明)Ｋは原始ｎ乗根ζを含むので,ｘⁿ－1の根を全て

含みます。何故なら,ζの位数はｎでζⁿ­＝1であり,定義

により,Ｋ＝Ｆ(ζ)は1,ζ,ζ²..ζ^n-1が張るＦ上のｎ次元

ベクトル空間です。ζⁿ＝1より,ζを根とする,ＫのＦ上の

既約多項式:ｐ(ｘ)は,ｐ(ｘ)＝ｘ^n-1＋ｘ^n-2＋..＋1です。

故に,ｘⁿ－1＝(ｘ－1)ｐ(ｘ)の根は.全てＫに含まれます。

(ｘⁿ－1)のｎ個の根は全て相異なりＫは(ｘⁿ－１)の分解体

であるため,ＫはＦ上のガロア拡大体です。

σを,ＫのＦ上のガロア群:Ｇの元の自己同型写像とすると,

(σζ)ⁿ＝σ(ζⁿ)＝σ(1)＝1ですから(σζ)もまた１の

ｎ乗根です。ζは原始ｎ乗根なのでσζ＝ζ^k(σ)となるｋ(σ)

が存在します。ここで,τをσとは別のＧの自己同型とすると.

τζ＝ζ^k(τ)であり,(στ)(ζ)＝σ(ζ^k(τ))＝(σζ)^k(τ)

＝ζ^k(σ)k(τ)＝ζ^k(τ)k(σ)＝(τσ)(ζ)です。(στ).(τσ)は,

共にＧの自己同型写像であり.Ｋ＝Ｆ(ζ)なので,∀α∈Ｋに

対して,(στ)(α)＝(τσ)(α)が成立します。

つまり,Ｋの上で,恒等的にστ＝τσ(可換)です。

したがって,ＫのＦ上のガロア群Ｇが可換群となるため,

Ｋはアーベル拡大体です。(証明終わり)

[注意1]:特に,素数ｐについては,１の原始ｐ乗根をζと

すると,1≦ｋ≦(ｏ－1)のときに.ｋはｐと互いに素なので

ζ^kは全て１の原始ｐ乗根です。

ｘ^p－1＝(ｘ－1)(ｘ^p-1＋ｘ^p-2＋..＋1)であり.この第２の

因数のｘ^p-1＋ｘ^p-2＋..＋1は体Ｑ上の既約多項式です。

これがζの既約多項式なので,Ｑ(ζ)は,Ｑの(ｐ－1)次

拡大体です。素数ｐでなく,一般の自然数ｎでは,1の原始

ｎ乗根ζの既約多項式は,Euler関数をΦ(ｎ)として,φ(ｎ)

次多項式であり,{Ｑ(ζ)/Ｑ}＝φ(ｎ)です。

この一般の既約多項式:ｘ^n-1＋ｘ^n-2＋..＋1を,

「円周等分多項式」といい,Ｑ(ζ)を「円分体」といいます。

[注意2]:円分体の部分体を「円体」といいます。

円体は有理数体:Ｑのアーベル拡大体です。

(クロネッカー・フェーバーの定理)

[定理9-2]:ｎを自然数とする。体Ｆは１のｎ乗根を全て含む

とする。ａ∈Ｆとし,ｘⁿ＝ａの１根αをＦに添加した体をＫ

とする。α＝ⁿ√ａと表わすと,Ｋ＝Ｆ(α)＝Ｆ(ⁿ√ａ)である。

このとき,ＫはＦのアーベル拡大体である。

(証明)(ｘⁿ－ａ)の分解体をＥとします。(ｘⁿ－ａ)は明らかに

分離的です。すなわち，(ｘⁿ－ａ)の２根をα,α~とすると

α≠α~です。このとき,αⁿ＝ａ,かつα~ⁿ＝ａより,(α~/α)ⁿ

＝1であり,ω＝(α^/α)は１のｎ乗根の１つです。

仮定により,ω∈Ｆで,α~＝ωαよりα~∈Ｆ(α)です。

よって.Ｋ＝Ｆ(α)が(ｘⁿ－ａ)の分解体Ｅであり,ＫはＦ

のガロア拡大体です。

ＫのＦ上のガロア群をＧとするとき.σ∈Ｇなら(ｘⁿ－ａ)

の根αに対して,(σα)ⁿ＝σ(αⁿ)＝σａ＝ａですから,

(σα)も,αと同様(ｘⁿ－ａ)の根です。。

そこで,ζを１の原始ｎ乗根とすると,ζ∈Ｆであり,

(σα)＝ζ^m(σ)α(0≦ｍ(σ)≦(ｎ－1))と書けます。

τ∈Ｇについては(τα)＝ζ^m(τ)αです。

これから,前定理の証明と同様に,στ＝τσ(可換)を

得ます。故にＧは可換群で,Ｋ＝Ｆ(α)はアーベル拡大体

です。(証明終わり)

[系]:ζ∈Ｆ,ａ∈Ｆのとき,Ｆ(ⁿ√ａ)/Ｆのガロア群は

巡回群である。

証明)α＝ⁿ√ａとおくとαⁿ＝ａです。

Ｆのガロア群をＧとし,σ∈Ｇとすると(σα)ⁿ＝ａなので,

σα＝ζ^m(σ)αなる整数でｍ(α)はｎを法として一意的に

定まるので,σ→ｍ(σ)という写像を考えると,これはＧ

から,{Ｚ/(ｎ)}の上への１対１写像で,Ｇは{Ｚ/(ｎ)}に

同型です。したがって,Ｇは位数がｎの巡回群です。

(証明終わり)

[定義9-1](巡回拡大体)

ガロア群が巡回群であるガロア拡大体を「巡回拡大体」

という。

※ベキ根による可解性について

[定義9-2]:(ベキ根による拡大体)

体Ｆの拡大体:ＫがＦのガロア拡大体であり.体の列:

Ｆ＝Ｆ₀⊂Ｆ₁⊂Ｆ₂⊂..⊂Ｆ_r＝Ｋが存在して次の条件が

成立するとき,Ｋを「ベキ根による拡大体」という。

• Ｆ₁＝Ｆ₀(ζ)である。ただし,ζは１の原始ｎ乗根で

ある。(2)∀ｉ(1≦ｉ≦(ｒ－1))に対して,Ｆ_i+1＝Ｆ_i(α_i)

と書ける。ただし,α_iはｘ^ｎi－ａ_i＝0のような方程式の根

である。ここで,ａ_i∈Ｆ,ｎ_i|ｎである。

そして上の体の列を,「ベキ根による拡大列」という。

※Ｆには,１の原始ｎ乗根が含まれているので,Ｆ_iには１

の原始ｎ_i乗根が含まれています。よって,Ｆ_i+1はＦ_iの

アーベル拡大体です。

そこで,Ｋ/Ｆのガロア群をＧとし,Ｆ_iに対応する部分群

をＧ_iとすると,Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇ_r＝1のような

部分群の列が得られます。

Ｆ_i+1がＦ_iのガロア拡大体であるための条件は,Ｇ_i+1が

Ｇ_iの正規部分群であって(Ｇ_i/Ｇ_i+1)はＦ_i+1/Ｆ_iのガロア群

に同型です。Ｆ_i+1はＦ_iのアーベル拡大体ですからガロア群

(Ｇ_i/Ｇ_i+1)は)可換群です。よってＧは可解群です。

[定義9-3]:ｆ(ｘ)をＦの１次以上の多項式とする。

ｆ(ｘ)が「ベキ根で解ける」とは,ｆ(ｘ)の分解体ＥがＦの

ベキ根による拡大体に含まれることをいう。

[定理9-2]:Ｆ上の１次以上の多項式ｆ(ｘ)がベキ根で解ける

ならば,ｆ(ｘ)の分解体:ＥのＦ上のガロア群は可解群である。

(証明)ＥがＦ上の多項式:ｆ(ｘ)の分解体であるとします。

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α₁)・・・ｘ－α_n)(分離的);α_i∈Ｅであって,

Ｅ＝Ｆ(α₁,..,α_n)であるとします。

[定義9-3]から 体Ｆの拡大体:ＥがＦのガロア拡大体であり,

体の列:Ｆ＝Ｆ₀⊂Ｆ₁⊂Ｆ₂⊂..⊂Ｆ_r＝Ｋが存在して,次の条件

が成立するとき,Ｅを「ベキ根による拡大体」といいます。

そして,[定義8-7]から,ｆ(ｘ)をＦの１次以上の多項式とする

とき,ｆ(ｘ)が「ベキ根で解ける」とは,ｆ(ｘ)の分解体ＥがＦ

のベキ根による拡大体に含まれること,をいいます。

そして,Ｅ/Ｆのガロア群をＧとして,ＧG=Ｇ₀とおき,体Ｆの

Ｅ＝Ｆ_rまでの拡大中間体体列の,Ｆ_iに対応する部分群をＧ_iと

すると,Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇ_r＝1のような部分群の縮小

する列が得られますが,Ｆ_i+1がＦ_iのガロア拡大体であるための

条件は,Ｇ_i+1がＧ_iの正規部分群であって,(Ｇ_i/Ｇ_i+1)がＦ_i+1/Ｆ_i

のガロア群に同型である可換群であるときで,このＧを「可解群」

と呼ぶことは既に定義として述べました。

したがって,ｆ(ｘ)がべき根で解けるなら分解体Ｅに対する

ガロア群Ｇは可解群です。(証明終わり)

[定理9-3]:Ｆの多項式ｆ(ｘ)の分解体Ｅは,Ｆのガロア拡大体

であり,Ｇをそのガロア群とするとき,Ｅ/Ｆの中間体Ｋに対応

するＧの部分群をＮとすると,ＫはＦのガロア拡大体なので,

ＮはＧの正規部分群であり,Ｋ/Ｆのガロア群は.(Ｇ/Ｎ)に同型

です。そうして,(Ｇ/Ｎ)も,可解群です。

(証明)このシリーズ「ガロア理論の復習(6)」の[定理6-5]に,

よれば,「体Ｅが体Ｆのガロア拡大体でＧはガロア群であると

し,Ｅ/Ｆの中間体Ｂに対応するＧの部分群をＵとするとき.

∀σ∈Ｇに対して(σＢ)もＥ/Ｆの中間体であり,対応するＧ

の部分群は(σＵσ^-1)である。さらに,体Ｂが体Ｆのガロア

拡大体であるための必要十分条件はＵがＧの正規部分となる

ことである。このとき,Ｂ/Ｆのガロア群は(Ｇ/Ｕ)に同型で

ある。」とあります。このことは,既に証明済みです。

Ｇ→(Ｇ/Ｎ)の自然な準同型:ｇ→ｇＮを考えると,

(Ｇ/Ｎ)も可解群です。つまり,Ｆの拡大列に対応するＧの

縮小列:Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇ_r＝1に対応して,(Ｇ/Ｎ)

＝(Ｇ₀/Ｎ)⊃(Ｇ₁/Ｎ)⊃(Ｇ₂/Ｎ)⊃..⊃(Ｇ_//Ｎ)＝Ｎが

対応します。,これをＧ~_i＝(Ｇ_i/Ｎ),(Ｇ/Ｎ)

＝Ｇ~₀⊃Ｇ~₁⊃Ｇ~₂⊃..⊃Ｇ~_r＝Ｎと書くと,Ｇ~_i+1はＧ~

_iの正規部分群で(Ｇ~_i/Ｇ~_i+1)は可換群です。

何故ならｇ_i∈Ｇ_i,ｇ_i+1∈Ｇ_iとするとｇ_i^-1ｇ_i+1ｇ_i∈Ｇ_i+1

なので,(ｇiＮ)^-1(ｇ_i+1Ｎ)(ｇ_iＮ)＝{(ｇ_i^-1ｇ_i+1ｇ_i)Ｎ}

∈Ｇ_i+1Ｎであり,(Ｇ_i+1/Ｎ)は(Ｇ_i/Ｎ)の正規部分群です。

そして,Ｇ_i,Ｇ~_i＝(Ｇ_i/Ｎ)は可換群ですから,

∀σ,τ∈Ｇ_iに対して,(σＮ)(τＮ)＝(στ)Ｎ=(τσ)Ｎ

＝(τＮ)(σＮ)です。故に,(σＮ)Ｇ~_i+1＝(σＮ){(Ｇ_i+1/Ｎ)}

ですが,結局,στ＝τσであって可換なら,それらの同値類も

全て可換です。それ故,(Ｇ~_i/Ｇ~_l+1)も可換群です。

以上から,Ｇ~＝(Ｇ/Ｎ)も可解群です。(証明終わり)

[注意3]:ｎ個の変数ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_nの,有理数体Ｑ上

の有理関数体:Ｑ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)をＫとする。

Ｋにおいて,ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nの基本対称式は,次のように

書けます。(※対称式とは変数の如何なる置換によって

も不変な整式であり,それらは基本的な基本対称式と

いう対称式の関数で表わすことができます。)

ｓ₁＝ｘ₁＋ｘ₂.＋..＋ｘ_n,

ｓ₂＝ｘ₁ｘ₂＋ｘ₁ｘ₃＋..＋ｘ_n-1ｘ_n,

・・・・・・・・・・・・・,

ｓ_n＝ｘ₁ｘ₂・・・ｘ_n-1ｘ_nです。

Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓ₂..,ｓ_n)とすると.Ｆ内の多項式

ｆ(ｘ)＝(ｘ－ｘ₁)(ｘ－ｘ₂)・・・・(ｘ―ｘ_n)

＝ｘⁿ－ｓ₁ｘ^n-1＋ｓ₂ｘ^n-2＋..＋(－1)ⁿｓ_nの分解体

が,Ｋ=Ｑ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)です。

(※(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nは全て相異なりｆ(ｘ)は分離的

であるとしています。)

このとき,Ｋ/Ｆは,明らかにガロア拡大体です。

[定理9-4]:ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nを相異なる根とするＱ上

の多項式:ｆ(ｘ)の分解体Ｋ＝Ｑ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)の,

体:Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓｘ₂..,ｓ_n)上のガロア群は,ｎ次の

対称群Ｓ_nに同型である。

(証明)順列:{1,2,..,ｎ}の任意の置換をσとします。

これは{1,2,.,ｎ}→{σ(i),σ()..σ(ｎ)}なる写像

であり,ｉ≠ｊなら,σ(ｉ)≠σ(ｊ)の全単射です。

Ｋ＝Ｑ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)の元はｘ₁,ｘ₂,..ｘ_nの有理関数

ですが,これに対して写像Π_σを次のように定義します。

すなわち,α∈Ｋがｘ₁,ｘ₂,..ｘ_nの有理関数であって,

α(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)なる関数で与えられるとき,これに

対して,Π_σ(α)＝α(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))と定義します。

明らかに,Π_σ(α)＝α(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))も,

(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)のＱの元を係数とする有理関数であり,

Π_σ(α)∈Ｋ＝Ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)です。

次に,Π_σがＫの自己同型写像であることを示します。

まず,∀α,β∈Ｋひ対して,(α±β)(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)

＝α(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)±β(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ですから,

Π_σ(α±β)＝(α±β)(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))

＝α(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))±β(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),.,ｘ_σ(n))

＝Π_σ(α)±Π_σ(β)です。

また,(αβ)(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)＝α(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)

β(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)より,Π_σ(αβ)＝Π_σ(α)Π_σ(β)の成立

も自明です。故に,Π_σは,環準同型(加法,乗法で準同型)です。

しかも,σ,τ∈Ｓ_nに対して,σ≠τならΠ_σ≠Π_τ,であり

Ｇ＝{Π_σ:σ∈Ｓ_n}では,∀Π_σ∈Ｇに対して必ず,対応する

σ∈Ｓ_nが存在するのでＳ_nからＧへの写像:σ→Π_σは全単射

ですから,ＧとＳ_nは同型:Ｇ～Ｓ_nです。そして,このときＫの

自己同型群Ｇの不変体は,Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓ₂,..,ｓ_n)であることが

わかります。

何故なら,まず対称式ｓ₁,ｓ₂,..,ｓ_nは明らかに任意のＧの元

Π_σで不変です。そこで.体ＦはＧで不変ですから,Ｇの不変体

をF~とすると,Ｆ~⊃Ｆです。

それ故,(Ｋ/Ｆ)≧(Ｋ/Ｆ~)＝|Ｇ|＝|Ｓ_n|＝ｎ!です。

ところが,ＫはＦのｎ次多項式の分解体ですから,

(Ｋ/Ｆ)＝ｎ!です。

何故なら,ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nがｆ(ｘ)のｎ個の根であるとき

Ｆ_n＝Ｆ,Ｆ_i=Ｆ(ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n)＝Ｆ_i+1(ｘ_i+1)とおけば,

Ｆ＝Ｆ_n⊂Ｆ_n-1⊂...⊂Ｆ₁⊂Ｆ₀＝Ｋです。

そこで,(Ｆ_i-1/Ｆ_i)≦ｉならば,(Ｋ/Ｆ)＝(Ｆ₀/Ｆ₁)(Ｆ₁/Ｆ₂)

・・・(Ｆ_n-1/Ｆ_n)≦ｎ!です。

そのためには,Ｆ_i-1はＦ_iにｘiを添加して得られる拡大体

なので,体Ｆiに係数を持ち.次数が高々ｉのｘiを根とする

(既約)多項式を見出せばよいことになります。

そこで,ｆi(ｘ)＝(ｘ－ｘ₁)(ｘ－ｘ₂)..(ｘ－ｘ_i),..,

ｆ_n(ｘ)＝ｆ(ｘ)とおけば,ｆ_i(ｘ)はｘのi次の多項式で最高次

の係数は１であり,他の係数は,Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,s₂..,ｓ_n )の元である

:ｓ₁,ｓ₂..,ｓ_nと,Ｆ_i＝Ｆ(ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n)の元:ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n

のみの関数で与えられます。例えば,ｆ_i(ｘ)のｘの係数は,

－(ｘ₁＋ｘ₂＋..＋ｘ_i)＝－ｓ₁＋(ｘ_i+1＋ｘ_i+2＋..＋ｘ_n)です。

ｘ²の係数は,(ｘ₁ｘ₂＋..ｘ_i-1ｘ_i)ですが,これもＦの元ｓ₂と

Ｆ_i＝Ｆ(ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n)の元:ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_nで表わされる

はずです。しかも,明らかにｆ_i(ｘ_i)＝0です。

故に,確かに(Ｆ_i-1/Ｆ_i)≦ｉが成立します。

したがって,(Ｋ/Ｆ)＝(Ｋ/Ｆ~)＝ｎ!となるため,Ｆ~＝Ｆ

です。つまり,ＦがＧの不変体で,Ｋ/Ｆのガロア群は対称群

Ｓ_nに同型です。(証明終わり)

[基本定理]:n≧5のｎ次多項式は,べき根で解けない。

(証明)Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓ₂..,ｓ_n)上の多項式ｆ(ｘ)がベキ根で解ける

ならｆ(ｘ)の分解体Ｅ＝Ｆ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)のガロア群Ｇに同型な

対称群Ｓ_nが可解群であることが必要です。

ところがＳ_nはｎ≧5のときは可解群でないので５次以上の

代数方程式はベキ根では解けません。

※これの詳細証明については「ガロア理論の復習(2)」で群論

のトピックとして,特に代数方程式の可解性を意識することなく,

既に,可解群や対称群について詳細に論じることでて証明されて

います。そこで必要部分を再掲載して以下の証明に代えます。

(※再掲記事:抜粋開始):第２章 可解群

体の拡大列に自己同型群の縮小する正規列が対応し,それが

代数方程式の係数を置換する対称群に関わるというのは,,随分

と先のトピックであり,環や体の説明の後に記述するのが理論

構成の本来の順序であると思いますが,,一応,群についての全て

の話だけを,予めまとめて書いたらしい私の過去ノートに従う

ことにします。

[定義2-1]:(可解群の定義):群Ｇが与えられたとき,まずＧ₀を

Ｇ₀＝Ｇとおいて,ｋ＝0,1,2,,に対し,Ｇ_ｋ＋1をＧ_kの正規部分群

とする縮小する列として,Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃..⊃Ｇ_ｋ⊃Ｇ_ｋ＋1⊃．..

をつくるとき,商群(Ｇ_k/Ｇ_ｋ＋1）が全て可換群(アーベル群)となる

正規列が,有限のｍ個でＧ_m＝{ｅ}となって終わるなら,自己同型群

Ｇを「可解群」という。

※交換子群を用いてＧ_ｋ＋1＝Ｇ~_ｋとすることもできます。

(ただし,交換子群:Ｇ~はＤ(Ｇ)とも書かれ,∀ｘ,ｙ∈Ｇに対し.

その交換子:(ｘｙｘ^-1ｙ^-1)を含む最小の正規部分群のことです。)

それ故,どんな群Ｇでも正規列を作ることは可能ですが,それ

が有限個で{ｅ},または{1}に収束するかどうか？は定かでは

ないです。{ｅ}に収束しない群Ｇを「非可解群」という。

(※縮小正規列の途中でＧ_ｋが可換群(アーベル群)となるなら,

Ｇ~_k＝{ｅ}なので,Ｇ_ｋ+1＝{ｅ}と置けば,その時点で可解群

であることが判明します。)

[定義2-2]:(部分群の指数の定義)

群Ｇの部分群Ｈの指数とは,Ｈによる(左右)剰余類の個数の

ことです。これを|Ｇ：Ｈ|と表記します。

[定理2-1](ラグランジュ(Lagrange)の定理)：

Ｇが有限群で,Ｈがその部分群であれば,指数:|Ｇ:Ｈ|

＝|Ｇ|/|Ｈ|である。

(証明)前に記述したように,Ｈによる左剰余類の場合

なら,Ｇ＝ΣａＨのように,Ｇは互いに素な剰余類の

直和で表わせます。

そして,剰余類(ａＨ)の元の個数は全てＨの位数

|Ｈ|に等しいため,|Ｇ|＝|Ｇ：Ｈ|・|Ｈ|です。

故に|Ｇ：Ｈ｜＝|Ｇ|/|Ｈ|を得ます。(証明終わり)

[定義2－3]:(対称群(置換群)の定義):

ｎ個の整数の列{1,2..ｎ}の順序を交換する写像,

σ:{1,2,..ｎ}→{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}(順列)を,ｎ次の置換

と呼び,Ｓ_nを全てのｎ次の置換を元とする集合とすれば

これは置換の積について群をなし,これを対称群(置換群)

という。※ただし,置換の積とは,合成写像を意味します。

つまり,σ:{1,2..ｎ}→{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}と,τ:{1,,2，.ｎ}

→{ｑ₁,ｑ₂,..ｑ_n}なる元(写像):σ,τ∈Ｓ_nの積は,写像

σ:ｉ→ｐ_i＝σ(i)と,写像τ:i→ｑ_i­＝τ(i)を,この順に

適用して合成すると,合成写像:(τσ)(ｉ)＝τ(σ(i))

＝τ(ｐ_i)となりますが,線形代数学では,これを

置換σと置換τの積:(στ)と定義するのが慣例です。

置換操作は可換ではないので,定義での操作順序

の規約は,参考書によっては演算の順序が逆のモノ

もあり,誤解すると混乱の種になるので注意が必要

です。

そして,実際,この積演算はＳ_nの中で閉じており

整数列の順序を全く変化させない写像:ｅ(ｉ)＝ｉ,

つまり,ｅ:{1,2..ｎ}→{1,2,ｎ}を恒等置換と呼べば

これが積演算の単位元となります。

そして,σの逆元σ^-1は,これを逆写像:σ^-1:ｐ_ｉ→ｉ,

つまり,σ^-1:{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}→{1,2..ｎ}で与えれば,

(σσ^-1)＝(σ^-1σ)＝ｅとなるので,その存在は明らかです。

また,群であるために必要な積演算の結合則は,積演算

が合成写像ですから,結合則の成立も自明でＳ_nは確かに

有限群をなすことがわかります。

[定義2-4]:(互換の定義):特にｎ個の列{1,2..ｎ}のうち.

成分ｉだけを,ｊ≠iなるｊと交換して,それ以外の成分

は不変のままの置換を,(ｉ,ｊ)と書いて「互換」と呼び

ます。このとき,互換も１つの置換ですから,もちろん

∀(ｉ,ｊ)∈Ｓ_nです。

※線形代数学によれば,任意の置換σ∈Ｓ_nは有限個の

互換の積で表わすことができます。

そうして,その因子分解は,個々のσに対し一意には

決まらないのですが.1つの置換の因子分解の因子の総数

が奇数であるか,偶数であるか？は,一意的に決まります。

そこで,奇数個の互換の積で表わせる置換を奇置換と

いい,偶数個の互換の積で表わせる置換を偶置換といいます。

Ｓ_nの置換の総数,つまり,位数|Ｓ_n|は,順列の総数に

等しいので|Ｓ_n|＝_nＰ_n＝ｎ!ですが,奇置換に左からでも

右からでも互換を１つ掛けると偶置換になり,逆に,

偶置換に互換を１つ掛けると奇置換になるので１対1

の対応があり,結局,奇置換と偶置換の個数は同じです。

故に,それぞれ,(ｎ!/2)個ずつ,あるはずです。

しかし,積演算の単位元である恒等置換ｅは,偶置換

ですから,それを含む偶置換の集合だけがＳ_nの部分群

をなし,ます。これをｎ次の交代群と呼び,Ａ_nと表記

します。

[定理2-2]:交代群Ａ_nはＳ_nの交換子群:Ｓ~_nであり,

それ故,Ｓ_nの正規部分群である。

(証明)σ,τ⊂∈Ｓ_ｎのとき.交換子:στσ^-1τ^-1を

つくると,σが奇置換ならσ^-1も奇置換,σが偶置換

ならσ^-1も偶置換で,τとτ^-1についても同様です。

それ故,交換子:στσ^-1τ^-1は常に偶置換です。

故に交換子で生成される交換子群:Ｓ~_nは交代群

Ａ_nに一致しており,既述の定理によって正規部分群

です。(証明終わり)

[定理2-3]:対称群Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄は可解群でありｎ≧5

の対称群Ｓ_nは可解群ではない。(非可解群である。)

(証明)Ｓ₂は恒等置換:ｅと互換:(1,2)のみが元で,

積は常に可換なので可換群ですから,その交換子群

は,Ｓ~₂＝{ｅ}でこれは正規部分群なのでＳ₂⊃{ｅ}

が正規列となり.明らかに可解群です。

次に,交代群Ａ_nは,Ｓ_nの指数が２の正規部分群

ですが,ｎ＝3のＡ₃は,それ自身可換群です。

何故なら,Ｓ₃の位数は６,Ａ₃の位数は３で,その

元は恒等置換:ｅ＝{1,2,3}とσ＝{2,3,1},および,

σ^-1=={3,1,2}だけですから明らかに可換群であり,

正規列:Ｓ₃⊃Ａ₃⊃{ｅ}を得るので可解です。

ｎ＝4のＳ₄についてはσ＝{ｉ,ｊ,ｋｌ}∈Ｓ₄

は,物理で用いるLevi-Civitaテンソルの非ゼロ

成分のε_ijklが＋1のとき偶置換で,σ∈Ａ₄です、,

他方,ε_ijklが(－1)のとき.σは奇置換です。

しかも,σ∈Ａ₄のとき.(1,2)σは奇置換であり

σ,τ∈Ａ₄でσ≠τなら,(1,2)σ≠(1,2)τとなり

1対1に対応します。

それ故,Ｓ₄/Ａ₄＝{Ａ₄,(1，2)Ａ₄}です。この商群

は単位元Ａ₄の他には元が１個なので可換群です。

そもそも指数が２なら.商群の位数は２で,常に可換群

です。そしてＶをＶ＝{ｅ,(ｉ,ｊ)(ｋ,ｌ)}(ただし,

ｉ,ｊ,ｋ,ｌは１～4の異なる数)とおくと,|Ｖ|

＝1＋₄Ｃ₂/2＝4です。Ｖの元である互換の積の積

は,異なる４つの互換の積:(ｉ₁.ｊ₁)(ｋ₁,ｌ₁)

×(ｉ₂,ｊ₂)(ｋ₂,ｌ₂)ですが,これは互換の順序に

依らないので可換です。

そして,|Ａ₄|＝12より,|Ａ₄/Ｖ|＝3で(Ａ₄/Ｖ)

＝{Ｖ,(1,2,3)Ｖ.(2,3,4)Ｖ}と書けますが,そもそも

位数が３の部分群は,単位元と,それ以外の１つの元

とその逆元だけが全ての元なので,明らかに可換群です。

以上から,Ｓ₄⊃Ａ₄⊃Ｖ⊃{ｅ}という正規列が得られ,,

Ｓ₄が可解群であることが示されました。

次に,ｎ≧5のＳ_nを考えます。Ｓ_nの部分群で長さ

が３の巡回置換を全て含むものをＧとします。

このときＮがＧの正規部分群ならＮもまた,

長さ３の巡回置換を全て含むことを示します。

ｎ≧5なので,ｉ,ｊ,ｋ,ｒ,ｓを1からｎまでの

うちの相異なる５文字とします。

そして,σ=(ｉ,ｊ,ｓ),τ＝(ｋ,ｒ,ｓ)とすると

仮定により,σ,τ∈Ｇです。このとき,その交換子

は,στσ^-1τ^-1＝(ｉ,ｊ,ｓ)(ｋ,ｒ,ｓ)(ｓ,ｊ,ｉ)

×(ｓ,ｒ,ｋ)＝(ｒ,ｊ,ｓ)となります。

何故なら,(ｉ,ｊ,ｓ)(ｓ,ｋ,ｒ)＝(ｉ,ｊ,ｋ,ｒ,ｓ)

で,(ｊ.ｉ,ｓ)(ｒ,ｋ,ｓ)＝(ｊ,ｉ,ｒ,ｋ.ｓ)です

から,積はｉ→ｉ,ｊ→ｓ,ｋ→ｋ,ｒ→ｊ,ｓ→ｒ

となるため,(ｒ,ｊ,ｓ)と書けて,これは長さ３の

巡回置換です。交換子群は.最小の正規部分群です

から,ＮがＧの正規部分群なら(ｒ,ｊ,ｓ)∈Ｎですが

ｒ,ｉ,ｓは任意なのでＮも全ての長さ３の巡回置換

を含むことがわかりました。

それ故.もしもＳ_nが可解群であるなら,

Ｓ_n⊃Ｓ_ｎ⁽¹⁾⊃..⊃Ｓ_ｎ^(ｒ)＝{ｅ}となる正規列がある

はずですが,そうすると最後の正規部分群:|ｅ}も

長さ３の巡回置換を全て含むべきなので,これは矛盾

です。したがって,ｎ≧5のＳ_nは非可解群です。

(証明終わり)(※再掲載記事終了)

以上でｎ≦4のｎ次代数方程式はベキ根で解けて,

ｎ≧5のｎ次代数方程式はベキ根では解けないことが

証明されました。

※一応,1994年の私のノートから初期の目的は終わりました。

このシリーズは終わりです。しかし,書き残したことで続く

かもしれません。