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2022年8月10日 (水)

エレクtロニクス覚書き(2の1)(電池,電気伝導1)

2022年7月21日(木)→8月10日

※(余談):TOSHIです。江戸では暑い日が続いています。

MLBの大谷君やダルビッシュ,プロゴルフの松山選手や渋野

ら若手女子ゴルファーの活躍,テニスの大阪なおみちゃんや

世界陸上などスポーツイベントのTV観戦をするくらいの

楽しみしかなく,最大の趣味であった読書が弱視?でできなく

なりました。

 私は世の中では,反社ではなく非社会的アウトサイダーで

熱中症にもならず,コロナにも罹患しませんが気候の不安定の

せいか?心臓と肺.気管支,さらに食道から消化器の調子もよく

ないです。そろそろお迎えかな?(余談終わり※)

※さて,以下,本題の続きです。

※まず化学電池の原理について復習

中学校の理科や高校の化学で習った,化学エネルギーを電気

にする液体電池の典型例は,希塩酸中に亜鉛(Zn),および,銅

(Cu)という2枚の金属板を入れて,Znを負極にCuを正極に

して導線でつなぐとき,電子の流れで起電力が生じるのでした。

(ダニエル電池?)

 塩酸(HCl)は,HCl⇔H++Clと電離平衡にあり希塩酸は,

その薄い水溶液です。溶液中でのZn,Cuの外殻の価電子の電離

平衡は,それぞれZn⇔Zn+2+2e-,Cu⇔Cu+2++2e-です。

金属のイオン化(電離)に必要なエネルギーは.定圧辺変化なので

エンタルピー変化:ΔHで表現されます。これが小さい方ほど,

金属原子の結合が不安定で.イオン化しやすいです。

これがいわゆるイオン化傾向とypばれているモノで,これに

より,平衡反応の矢印の向きが決まってZnからe-を得て,それ

がCu2+流れて金属Cuか析出することで起電力が得られる

のが液体電池です。

私は弱視で本が読めないので.ネットのホームページで文字

拡大で参照すると,電圧降下:ΔVでの表現として実験値はZn

が1.56V.Cuは0.45Vであり,相対的にZn板の電位よりもCu

の電位が1.11Vだけ高いので,Znに残された電子eが回路

通ってCu板に流れてCu板に金属Cuが析出する。

というわけです。

電池は放電あるいは回路電流によって電子が全て消費されると

寿命を迎えますが,逆向きの起電力をつないで放電すると元に

戻るなら.これが充電です。充電可能な電池としてはニッケル・

水素電池あり,電解質にはKOHを用いているらしいでます。

ノーベル賞受賞の吉野博士によるリチウムイオン電池は負極に

Liを用いることに成功して汎用化されtいる優秀な液体電池

ですが,現在,理想的な電池としては電解質に液体でなく固体を

用いる全固体電池が開発中で今後のEV車などへの使用が期待

されています。

私は,充電スタンドなど別に発電された電気を利用するのではなく,

太陽光をそのまま使うソーラー光電池を搭載して,夜間は電電池

で賄うソーラーカーであれば,電気を不断に供給されながら稿走行

できるのでとてもよい方法と思いますが,現状は,通常EV車の10倍

以上のコストが必要で効率を上げる技術も未熟,かつ経済的にもで

実用に不向きであるらしいです。常温の超伝導物質があればなあ。

と思います。

ソーラー発電なら我が国には,輸入するしかない石炭。石油,LNG

は不要で,CO2発生も少なく,気象や地震などの天災にも強いと

思いますし,遊ばせている広大な農閑地にソーラーパネルを配置

すれば電力会社が独占している送電線も大して必要ないし環境

破壊,光害の問題さえクリアできれば現,実には将来的に発電所

よりもコストは安く,売電のためでなく自己に必要だけな電気供給

を考えるなら一時的に国家予算で補助しても,結局,年に何度かの

メンテナンス程度の費用で償却され電気代不要なクリーンなで

電力源となるのですがね。

既得の電力利権などに拘泥せず,こうした開発に国家が投資

すれば優秀な技術立国で,これまでも新技術を開発している

我が国だと可能な気がするのは私だけの浅知恵なのでしょうか?

※さて,次に,固体結晶のバンド構造を復讐するため2006年

当時の過去記事から,いくつかを再掲します。

(※再掲記事1)電気伝導(オームの法則(2006年6/15)

@niftyの物理フォーラム,と化学の広場の専用会議室:

「中高生の理科質問箱」で電気伝導について泥試合的

な論争が続いているのを傍観していますが,そもそも

初学的知識の子供に解説するだけなら,以下の程度の

説明で十分かな。。と思います。

まず,電流の定義ですが,電流とは電荷を運ぶキャリア

(Career)という実体(電子とか,正孔とかイオンとか)の

如何によらず,単位時間に断面積を通過する電荷量のこと

です。そして,通常,その単位はA(アンペア)=C/sec

(クーロン/秒)で与えられます。

普通の家庭で流れている電流は数アンペア程度で,この

とき,電荷の平均の移動速さは数mm/s程度に過ぎません。

それなのに,遠くでスイッチを入れても,すぐ近くで電灯

が点くのは,要するにトコロテン式で.遠くの端で電荷が

押されると次から次へと”押しくら饅頭”のように押

されて,近くでもすぐに遠くの端と同じ速さで電荷が

移動するようになるからですね。

電池などの起電力を持ったポンプを閉じた回路につなぐ

と金属でできた導線の中にも電場が生じます。電場

あるとき,大きさeの電荷があると力:=eを受けること

になります。それ故,質量mの電荷が速度vで運動するとき,

その運動は,それが電場Eの他に何の力も受けていなければ,

Newtonの運動方程式:d(m)/dt=eを満足することに

なるはずです。(相対論効果は無視しています。)

ところが,普通,金属の内部を移動する電荷というのは,金属

原子からの束縛をはずれたと見なしてよい自由電子です。

電子の電荷eは負の数で,,金属の中では自由電子という

名は付いていますが,実はそれほど自由というわけではなく.

金属原子の格子振動(量子論的にはフォノン(音子)と呼ばれる

量子=波動性と粒子性共有のモノ)や,不純物によって散乱を

受けます。

素朴な古典論でのドゥルーデ(Drude)のモデルでは。この

散乱はイオン芯(原子から自由電子を差し引いた残り)との衝突

を意味します。もちろん,電子同士の衝突などは無視できます。,

これら散乱を受ける電子の平均の衝突までの時間=緩和時間

をτ(sec)とおくと,これは1個の電子が単位時間(1秒間)に衝突

する確率が,(1/τ)であることを意味します。

 1個の電子が散乱を受けると,それはどの方向に散乱を受ける

確率もほぼ同じなので,ある向きに進んでいた1個の電子に着目

すると,その向きに走る電子に関しては急に消えたのと同じに

なります。

故に,現在の時刻をtとして時(刻(t+Δt)に消えずに残って

いる確率は,(1-Δt/τ)です。そこで電子の速度を(t)と

すると,先のNewtonの運動法則は次のように変更しなければ

なりません。つまり,m(t+Δt)=(1-Δt/τ){m(t)

+eΔt+O(Δt2)}です。

そして,この両辺をΔtで割ってΔt→0の極限を取ると.

上式右辺のΔtの2次以上の項は消えて,d(m)/dt

=e-m/τと書いてよい,ことになります。

そして,十分長い時間の後には(といっても実はすぐですが)

平衡に達して左辺の加速度項はゼロとしてよく,速度は一定に

なるはずです。

このときの多くの電子の平均の速度もやはり,vと書くこと

にします。そうすると,0=e-m/τ⇒e=m

により,=eEτ/mと書けます。

単位体積当りの自由電子の個数をnとすると,電流密度

(=単位時間当りに単位断面積を通過する電荷量):は,

=neで与えられますから,結局,=(ne2τ/m)

なり,電流密度は電場に比例し,その向きも電場と同じ,

ということになります。

 この関係式:=σ;ただし,σ=ne2τ/mは,電気伝導度

という形でのオームの法則(Ohm‘s law)ですが,より身近な形

に直しておきましょう。

電荷が流れている場所の金属線(抵抗)の断面積をS,長さを

Lとします。そして正電荷qが一様電場Eに抵抗して距離L

だけ,反対向きに移動するのに要する仕事=位置エネルギーは

qELとなりますが,これをe=qLと書いて,

のことを電圧,または電位差と呼びます。この電圧の単位は,

V(ボルト)=J/C(ジュール/クーロン)です。

電流は電流密度×断面積;Sですから,先の=σ

という形の式は.=σS=(σS/L),あるいは,逆に

{L/(σS)}という形になります。

そこで,抵抗Rを,R=L/(σS)と定義すれば,よく知られた

形のオームの法則:Rとなります。

(参考文献):アシュクロフト・マーミン著「固体物理学の基礎」

(吉岡書店)

(※再掲記事2)電気伝導(つづき1)(ジュール熱)(2006年6/17)

 オーム@の法則について述べたついでに,電気が熱に変わる

のは何故か?というジュール熱の問題も微視的に考察してみます。

 1つの電荷eに対する運動方程式を与えるため,位置xに

おける電位をV()とすると,これは単位電荷当りの

ポテンシャルを意味しています。

一様電場の向きをx軸に取って,問題を1次元化,つまり,

x座標だけで考えると,EとVの関係はE=-dV/dxと

なります。

したがって,電場Eがあって何の抵抗もないときには,

運動方程式は電荷の質量をm,速度をvとすると,

d(mv)/dt=―e(dV/dx)となります。つまり,抵抗が

ないと電流を与える電荷の速度は一定ではなく加速されるの

ですね。そして,この運動方程式の両辺にv=dx/dtを

掛けて得られるv(dv/dt)=d(v2/2)/dt,および,

恒等式;v(dV/dx)=(dx/dt)(dV/dx)=dV/dt

を用いると,d(mv2/2)/dt=-edV/dtとなります。

つまり,(d/dt){(1/2)mv2/2)+eV}=0となって,

保存力場に対する,通常の力学的エネルギー保存則を得ます。

左辺の(d/dt){(1/2)mv2/2)+eV}は,もちろん,

力学的エネルギーの単位時間当りの増加分ですが,これがゼロ

ということは,抵抗がないときには,熱などの形でのエネルギー

の散逸(ロス)が全く無いことを意味していると考えられます。

しかし,実際には,前記事で書いたように金属線にはゼロでない

抵抗があり,自由電子の衝突の緩和時間をτ(sec)として,運動

方程式は,d(mv)/dt=eE-mv/τとなることを

見ました。すなわち,より正しい運動方程式は,

d(mv)/dt=―e(dV/dx)-mv/τです。

働く力を表わす右辺は,位置xで決まるだけでなく速度vに比例

するマイナスの項,いわゆる抵抗力の項を含んでいます。

力学的エネルギーの変化率の方は,やはり両辺にv=(dx/dt)

を掛けて求めるわけですが,今度は,(d/dt){(1/2)mv2+eV}

=-mv2/τとなりますから,平衡状態,つまり.加速度がゼロで

dv/dt=0の電荷速度vが一定,または電流が一定の状態に

なると,d(eV)/dt=-mv2/τとなるはずです。

結局,回路に電流スイッチが入ってから十分な時間が経過した

後にvが一定で,v{d(mv)/dt=d(mv2/2)/dt=0 より,

運動エネルギーが一定に保たれる平衡状態になっても,位置

エネルギーは,右辺の(-mv2/τ)のような形で散逸して(逃げて)

いきます。これがいわゆる熱というわけです。

つまり,緩和時間τで特徴付けられる材質の抵抗があれば,それ

を流れる電流を構成する電子が受ける外力は保存力どころか位置

だけの関数でさえなくて,何らかの原因で自由電子はデタラメな

方向へ散乱され,散乱された電子の運動エネルギーの総和という形

で,力学的エネルギーが損失を蒙ることになります。

 このエネルギー損失は,速度に比例する抵抗という形で表現され,

これが巨視的には「ジュール熱」と呼ばれるモノとして現われると

いうわけです。

そこで,力学的エネルギーの他に,「熱エネルギー」という形

のエネルギーの存在も考慮するならば,先の方程式:すなわち,

抵抗がないときには,(d/dt){(mv2/2)+eV}=0に

よって,エネルギーの保存を示し,一方,抵抗があるときには,

(d/dt){(mv2/2)+eV}=-mv2/τの形の発展方程式

となり,結局,「単位時間当りの力学的エネルギーの減少分

(増加分(減少分)が熱エネルギーの増加分(減少分)に等しい.]

という「全エネルギーの保存法則(熱力学第一法則)」を表現

しています。

具体的には,Eが一定のときの電位はV(x)=-Ex+(定数)

と書くことができて,d(eV)/dt=-eEvと書けます。

したがって,大きさがeの1つの電荷の単位時間当りの

エネルギー損失の式:d(eV)/dt=-mv2/τは,-eEv

=-mv2/τとなります。

一方,抵抗物体の単位体積当りの電荷eの個数をnとすると,

電流密度はJ=nevです。

それ故,単位時間,単位体積当りの損失は,nmv2

=neEv=JEとなり,断面積がS,長さがLの抵抗ならその

体積:SLを掛けて,JSLE=nSLmv2/τですが,電流の

定義:I=JSと電圧の定義:V=ELを用いると,これは,IV

=Nmv2/τという表式を得ます。ただし,NはN=nSLで抵抗

中の電荷eの総数です。

そこで,抵抗内の全電荷:Q=Neを用いると,全体積中のN個

の電荷による単位時間あたりの全エネルギー損失:=ジュール熱:

IV=Nmv2/τとして与えられる「ジュール熱,または消費電力

はIV=Qmv2/(eτ)なる式で表現されます。両辺の単位は

ワット(W)=J/secです。

(参考文献):アシュクロフト・マーミン著「固体物理学の基礎」

(吉岡書店)

長くなったので次は,次回にまわします。

 

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