エレクｔロニクス覚書き(2の1)(電池,電気伝導1)

※2022年７月21日(木)→８月10日

※(余談):TOSHIです。江戸では暑い日が続いています。

MLBの大谷君やダルビッシュ,プロゴルフの松山選手や渋野

ら若手女子ゴルファーの活躍,テニスの大阪なおみちゃんや

世界陸上などスポーツイベントのＴＶ観戦をするくらいの

楽しみしかなく,最大の趣味であった読書が弱視？でできなく

なりました。

　私は世の中では,反社ではなく非社会的アウトサイダーで

熱中症にもならず,コロナにも罹患しませんが気候の不安定の

せいか？心臓と肺.気管支,さらに食道から消化器の調子もよく

ないです。そろそろお迎えかな？(余談終わり※)

※さて,以下,本題の続きです。

※まず化学電池の原理について復習

中学校の理科や高校の化学で習った,化学エネルギーを電気

にする液体電池の典型例は,希塩酸中に亜鉛(Ｚn),および,銅

(Ｃu)という２枚の金属板を入れて,Ｚnを負極にＣuを正極に

して導線でつなぐとき,電子の流れで起電力が生じるのでした。

(ダニエル電池？)

　塩酸(ＨＣl)は,ＨＣl⇔Ｈ+＋Ｃlと電離平衡にあり希塩酸は,

その薄い水溶液です。溶液中でのＺn,Ｃuの外殻の価電子の電離

平衡は,それぞれＺn⇔Ｚｎ⁺²＋2e^-,Ｃu⇔Ｃu⁺²⁺＋2ｅ^-です。

金属のイオン化(電離)に必要なエネルギーは.定圧辺変化なので

エンタルピー変化:ΔＨで表現されます。これが小さい方ほど,

金属原子の結合が不安定で.イオン化しやすいです。

これがいわゆるイオン化傾向とｙｐばれているモノで,これに

より,平衡反応の矢印の向きが決まってＺnからｅ^-を得て,それ

がＣu²⁺に流れて金属Ｃuか析出することで起電力が得られる

のが液体電池です。

私は弱視で本が読めないので.ネットのホームページで文字

拡大で参照すると,電圧降下:ΔＶでの表現として実験値はＺn

が1.56Ｖ.Ｃuは0.45Ｖであり,相対的にＺn板の電位よりもＣu

板の電位が1.11Ｖだけ高いので,Ｚnに残された電子ｅが回路

を通ってＣu板に流れてＣu板に金属Ｃuが析出する。

というわけです。

電池は放電あるいは回路電流によって電子が全て消費されると

寿命を迎えますが,逆向きの起電力をつないで放電すると元に

戻るなら.これが充電です。充電可能な電池としてはニッケル・

水素電池があり,電解質にはＫＯＨを用いているらしいでます。

ノーベル賞受賞の吉野博士によるリチウムイオン電池は負極に

Ｌiを用いることに成功して汎用化されｔいる優秀な液体電池

ですが,現在,理想的な電池としては電解質に液体でなく固体を

用いる全固体電池が開発中で今後のＥＶ車などへの使用が期待

されています。

私は,充電スタンドなど別に発電された電気を利用するのではなく,

太陽光をそのまま使うソーラー光電池を搭載して,夜間は電電池

で賄うソーラーカーであれば,電気を不断に供給されながら稿走行

できるのでとてもよい方法と思いますが,現状は,通常ＥＶ車の10倍

以上のコストが必要で効率を上げる技術も未熟,かつ経済的にもで

実用に不向きであるらしいです。常温の超伝導物質があればなあ。

と思います。

ソーラー発電なら我が国には,輸入するしかない石炭。石油,LNG

は不要で,ＣＯ₂発生も少なく,気象や地震などの天災にも強いと

思いますし,遊ばせている広大な農閑地にソーラーパネルを配置

すれば電力会社が独占している送電線も大して必要ないし環境

破壊,光害の問題さえクリアできれば現,実には将来的に発電所

よりもコストは安く,売電のためでなく自己に必要だけな電気供給

を考えるなら一時的に国家予算で補助しても,結局,年に何度かの

メンテナンス程度の費用で償却され電気代不要なクリーンなで

電力源となるのですがね。

既得の電力利権などに拘泥せず,こうした開発に国家が投資

すれば優秀な技術立国で,これまでも新技術を開発している

我が国だと可能な気がするのは私だけの浅知恵なのでしょうか？

※さて,次に,固体結晶のバンド構造を復讐するため2006年

当時の過去記事から，いくつかを再掲します。

(※再掲記事1)電気伝導(オームの法則(2006年６/15)

@niftyの物理フォーラム,と化学の広場の専用会議室:

「中高生の理科質問箱」で電気伝導について泥試合的

な論争が続いているのを傍観していますが,そもそも

初学的知識の子供に解説するだけなら,以下の程度の

説明で十分かな。。と思います。

まず,電流の定義ですが,電流とは電荷を運ぶキャリア

(Career)という実体(電子とか,正孔とかイオンとか)の

如何によらず,単位時間に断面積を通過する電荷量のこと

です。そして,通常,その単位はＡ(アンペア)＝Ｃ/sec

(クーロン/秒)で与えられます。

普通の家庭で流れている電流は数アンペア程度で,この

とき,電荷の平均の移動速さは数mm/ｓ程度に過ぎません。

それなのに,遠くでスイッチを入れても,すぐ近くで電灯

が点くのは,要するにトコロテン式で.遠くの端で電荷が

押されると次から次へと”押しくら饅頭”のように押

されて,近くでもすぐに遠くの端と同じ速さで電荷が

移動するようになるからですね。

電池などの起電力を持ったポンプを閉じた回路につなぐ

と金属でできた導線の中にも電場Ｅが生じます。電場Ｅが

あるとき,大きさｅの電荷があると力:Ｆ＝ｅＥを受けること

になります。それ故,質量ｍの電荷が速度ｖで運動するとき,

その運動は,それが電場Ｅの他に何の力も受けていなければ,

Newtonの運動方程式:ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｅＥを満足することに

なるはずです。(相対論効果は無視しています。)

ところが,普通,金属の内部を移動する電荷というのは,金属

原子からの束縛をはずれたと見なしてよい自由電子です。

電子の電荷ｅは負の数で,,金属の中では自由電子という

名は付いていますが,実はそれほど自由というわけではなく.

金属原子の格子振動(量子論的にはフォノン(音子)と呼ばれる

量子=波動性と粒子性共有のモノ)や,不純物によって散乱を

受けます。

素朴な古典論でのドゥルーデ(Drude)のモデルでは。この

散乱はイオン芯(原子から自由電子を差し引いた残り)との衝突

を意味します。もちろん,電子同士の衝突などは無視できます。,

これら散乱を受ける電子の平均の衝突までの時間＝緩和時間

をτ(sec)とおくと,これは１個の電子が単位時間(1秒間)に衝突

する確率が,(1/τ)であることを意味します。

　１個の電子が散乱を受けると,それはどの方向に散乱を受ける

確率もほぼ同じなので,ある向きに進んでいた１個の電子に着目

すると,その向きに走る電子に関しては急に消えたのと同じに

なります。

故に,現在の時刻をｔとして時(刻(ｔ+Δｔ)に消えずに残って

いる確率は,(1－Δｔ/τ)です。そこで電子の速度をｖ(ｔ)と

すると,先のNewtonの運動法則は次のように変更しなければ

なりません。つまり,ｍｖ(ｔ＋Δｔ)＝(1－Δｔ/τ){ｍｖ(t)

＋ｅＥΔｔ＋Ｏ(Δｔ²)}です。

そして,この両辺をΔｔで割ってΔｔ→0の極限を取ると.

上式右辺のΔｔの２次以上の項は消えて,ｄ(ｍｖ)/ｄｔ

＝ｅＥ－ｍｖ/τと書いてよい,ことになります。

そして,十分長い時間の後には(といっても実はすぐですが)

平衡に達して左辺の加速度項はゼロとしてよく,速度は一定に

なるはずです。

このときの多くの電子の平均の速度もやはり,ｖと書くこと

にします。そうすると,0＝ｅＥ－ｍｖ/τ⇒ｅＥ＝ｍｖ/τ

により,ｖ＝ｅＥτ/ｍと書けます。

単位体積当りの自由電子の個数をｎとすると,電流密度

(＝単位時間当りに単位断面積を通過する電荷量):Ｊは,

Ｊ＝ｎｅｖで与えられますから,結局,Ｊ＝(ｎｅ²τ/ｍ)Ｅと

なり,電流密度は電場Ｅに比例し,その向きも電場Ｅと同じ,

ということになります。

　この関係式:Ｊ＝σＥ;ただし,σ＝ｎｅ²τ/ｍは,電気伝導度

という形でのオームの法則(Ohm‘s law)ですが,より身近な形

に直しておきましょう。

電荷が流れている場所の金属線(抵抗)の断面積をＳ,長さを

Ｌとします。そして正電荷ｑが一様電場Ｅに抵抗して距離Ｌ

だけ,反対向きに移動するのに要する仕事＝位置エネルギーは

ｑＥＬとなりますが,これをｅＶ＝ｑＥＬと書いて,Ｖ＝ＥＬ

のことを電圧,または電位差と呼びます。この電圧の単位は,

Ｖ(ボルト)＝Ｊ/Ｃ(ジュール/クーロン)です。

電流Ｉは電流密度×断面積;Ｉ＝ＪＳですから,先のＪ＝σＥ

という形の式は.Ｉ＝σＥＳ＝(σＳ/Ｌ)Ｖ,あるいは,逆に

Ｖ＝Ｉ{Ｌ/(σＳ)}という形になります。

そこで,抵抗Ｒを,Ｒ＝Ｌ/(σＳ)と定義すれば,よく知られた

形のオームの法則:Ｖ＝ＩＲとなります。

(参考文献):アシュクロフト・マーミン著「固体物理学の基礎」

(吉岡書店)

(※再掲記事２)電気伝導(つづき１)(ジュール熱)(2006年６/17)

　オーム@の法則について述べたついでに,電気が熱に変わる

のは何故か？というジュール熱の問題も微視的に考察してみます。

　１つの電荷ｅに対する運動方程式を与えるため,位置ｘに

おける電位をＶ(ｘ)とすると,これは単位電荷当りの

ポテンシャルを意味しています。

一様電場Ｅの向きをｘ軸に取って,問題を１次元化,つまり,

ｘ座標だけで考えると,ＥとＶの関係はＥ＝－ｄＶ/ｄｘと

なります。

したがって,電場Ｅがあって何の抵抗もないときには,

運動方程式は電荷の質量をｍ,速度をｖとすると,

ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝―ｅ(ｄＶ/ｄｘ)となります。つまり,抵抗が

ないと電流を与える電荷の速度は一定ではなく加速されるの

ですね。そして,この運動方程式の両辺にｖ＝ｄｘ/ｄｔを

掛けて得られるｖ(ｄｖ/ｄｔ)＝ｄ(ｖ²/2)/ｄｔ，および,

恒等式;ｖ(ｄＶ/ｄｘ)＝(ｄｘ/ｄｔ)(ｄＶ/ｄｘ)＝ｄＶ/ｄｔ

を用いると,ｄ(ｍｖ²/2)/ｄｔ＝－ｅｄＶ/ｄｔとなります。

つまり,(ｄ/ｄｔ){(1/2)ｍｖ²/2)＋ｅＶ}＝0となって,

保存力場に対する,通常の力学的エネルギー保存則を得ます。

左辺の(ｄ/ｄｔ){(1/2)ｍｖ²/2)＋ｅＶ}は,もちろん,

力学的エネルギーの単位時間当りの増加分ですが,これがゼロ

ということは,抵抗がないときには,熱などの形でのエネルギー

の散逸(ロス)が全く無いことを意味していると考えられます。

しかし,実際には,前記事で書いたように金属線にはゼロでない

抵抗があり,自由電子の衝突の緩和時間をτ(sec)として,運動

方程式は,ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｅＥ－ｍｖ/τとなることを

見ました。すなわち,より正しい運動方程式は,

ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝―ｅ(ｄＶ/ｄｘ)－ｍｖ/τです。

働く力を表わす右辺は,位置ｘで決まるだけでなく速度ｖに比例

するマイナスの項,いわゆる抵抗力の項を含んでいます。

力学的エネルギーの変化率の方は,やはり両辺にｖ＝(ｄｘ/ｄｔ)

を掛けて求めるわけですが,今度は,(ｄ/ｄｔ){(1/2)ｍｖ²＋ｅＶ}

＝－ｍｖ²/τとなりますから,平衡状態,つまり.加速度がゼロで

ｄｖ/ｄｔ＝0の電荷速度ｖが一定,または電流が一定の状態に

なると,ｄ(ｅＶ)/ｄｔ＝－ｍｖ²/τとなるはずです。

結局,回路に電流スイッチが入ってから十分な時間が経過した

後にｖが一定で,ｖ{ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｄ(ｍｖ²/2)/ｄｔ＝0 より,

運動エネルギーが一定に保たれる平衡状態になっても,位置

エネルギーは,右辺の(－ｍｖ²/τ)のような形で散逸して(逃げて)

いきます。これがいわゆる熱というわけです。

つまり,緩和時間τで特徴付けられる材質の抵抗があれば,それ

を流れる電流を構成する電子が受ける外力は保存力どころか位置

だけの関数でさえなくて,何らかの原因で自由電子はデタラメな

方向へ散乱され,散乱された電子の運動エネルギーの総和という形

で,力学的エネルギーが損失を蒙ることになります。

　このエネルギー損失は,速度に比例する抵抗という形で表現され,

これが巨視的には「ジュール熱」と呼ばれるモノとして現われると

いうわけです。

そこで,力学的エネルギーの他に,「熱エネルギー」という形

のエネルギーの存在も考慮するならば,先の方程式:すなわち,

抵抗がないときには,(ｄ/ｄｔ){(ｍｖ²/2)＋ｅＶ}＝0に

よって,エネルギーの保存を示し,一方,抵抗があるときには,

(ｄ/ｄｔ){(ｍｖ²/2)＋ｅＶ}＝－ｍｖ²/τの形の発展方程式

となり,結局,「単位時間当りの力学的エネルギーの減少分

(増加分(減少分)が熱エネルギーの増加分(減少分)に等しい．］

という「全エネルギーの保存法則(熱力学第一法則)」を表現

しています。

具体的には,Ｅが一定のときの電位はＶ(ｘ)＝－Ｅｘ＋(定数)

と書くことができて,ｄ(ｅＶ)/ｄｔ＝－ｅＥｖと書けます。

したがって,大きさがｅの１つの電荷の単位時間当りの

エネルギー損失の式:ｄ(ｅＶ)/ｄｔ＝－ｍｖ²/τは,－ｅＥｖ

＝－ｍｖ²/τとなります。

一方,抵抗物体の単位体積当りの電荷ｅの個数をｎとすると,

電流密度はＪ＝ｎｅｖです。

それ故,単位時間,単位体積当りの損失は,ｎｍｖ²/τ

＝ｎｅＥｖ＝ＪＥとなり,断面積がＳ,長さがＬの抵抗ならその

体積:ＳＬを掛けて,ＪＳＬＥ＝ｎＳＬｍｖ²/τですが,電流の

定義:Ｉ＝ＪＳと電圧の定義:Ｖ＝ＥＬを用いると,これは,ＩＶ

＝Ｎｍｖ²/τという表式を得ます。ただし,ＮはＮ＝ｎＳＬで抵抗

中の電荷ｅの総数です。

そこで,抵抗内の全電荷:Ｑ＝Ｎｅを用いると,全体積中のＮ個

の電荷による単位時間あたりの全エネルギー損失:＝ジュール熱:

ＩＶ＝Ｎｍｖ²/τとして与えられる「ジュール熱,または消費電力

はＩＶ＝Ｑｍｖ²/(ｅτ)なる式で表現されます。両辺の単位は

ワット(Ｗ)＝J/secです。

(参考文献):アシュクロフト・マーミン著「固体物理学の基礎」

(吉岡書店)

長くなったので次は,次回にまわします。