物理的仕事と生理的仕事

　歳のせいか,最近左の肩が凝り左腕が痛いという症状に悩まされています。50肩の再発の予兆かもしれません。左手に物をぶら下げて持つだけで痛みが走ります。

　人間の身体というのは神が機能的に創られたのでしょうが,こうした物理的仕事をしなくても生理的仕事をすることにより身体のエネルギーを消費して疲れや空腹を感じるようにできているのは困ったものです。

　物理学,特に力学においては仕事というのは,"力×移動距離"で定義され,この移動距離というのは力の働く向きの成分だけを指します。そしてこの力学的仕事をする能力のことが"エネルギー"として定義されるわけです。

　したがって物を手にぶら下げているだけで全く動かないならば,腕は"重力に抗する力＝重さを支える力を働かせていても移動距離がゼロですから,腕が行なう"力学的仕事＝物理的仕事"というのはゼロであって力学的にはエネルギーを全く必要としないのですから,物理学,特に力学だけを考えるなら身体が疲れたり痛みを感じたりすることもないはずなのです。

　ではなぜ我々は重い物を持って立ち止まっているだけで身体はエネルギーを消費し疲れたり汗をかいたりするのでしょうか？

　金属疲労などという言葉はありますが,それは例えば機械の接合部などで繰り返し運動などによる物理的仕事を何回も受ける結果でありそのためにわずかでも振動などをするので移動距離があるからです。

　例えば金属で出来ているとは限りませんが,机の上に重い物を置いても机はもちろん剛体ではありませんから,その物体の重力を受けて最初はわずかに凹んだ後,弾性力によって反動を受け振動しても,その振動はすぐに減衰して静止した後には全く動かず,エネルギーを消費することはありません。

　こうした机や椅子とか建物の柱などの非生物が物を支えているだけで地震もないのに,すぐに疲労を感じて倒れたり壊れたりしたらたまったものではありません。 

　それに対して人間は鉄棒にぶら下がっただけでもやがて落ちてしまうというふうに弾性体の一つであるとも言えない弱いものです。

　まだしも腕などの外部筋が内蔵の腸などのように平滑筋でできていれば,その刺激に対する反応は比較的遅いので張力などに対して長持ちするはずなのですが,如何せん腕などというのは単に物を持つためだけにあるわけではないので,それは刺激に対して比較的反応が速い横紋筋でできています。

　それゆえ,引っ張られたりする刺激に対して急速に収縮と弛緩を繰り返すようにできているわけです。 

　物を下げていても外部的には動かないわけですから,何も物理的仕事をしていないのですが,実は"腕の筋肉＝横紋筋"の組織は収縮と弛緩という振動運動のようなものを継続的に行なうことになるわけです。

　したがって,それは体の内部の筋肉自身にとっては物理的仕事をしていることに他ならないのです。

　そこで身体から発生する熱エネルギー(heat)などを用いてその物理的仕事をこなす必要があり,結果として疲れるわけですね。 

　これに対して鉄骨などで支えられている建物などが疲労を感じてバタバタ倒れたりしたのではたまったものではありませんが,それらが疲労したり倒れたりするのは現実に風や波や地震などの物理的作用によってわずかでも運動をするからです。

　つまり,"力×動き"の物理的仕事を受けたときだけ疲労するわけであって,静止しているだけでは人間のように疲労はしません。 

　まあ,人間も死体になってしまえば何か物をひもでぶら下げられたりしても疲労することはありませんがね。。。。

　張力でも圧力でも受けた刺激に対し化学反応などが起こって筋肉の収縮や弛緩の反応が起こるのも実は生きているという証拠なのかもしれません。 

　参考文献：ファインマン物理学Ⅰ(坪井忠二訳)「力学」（岩波書店）

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基礎物理学講義②（波と音と光）

　「波,特に音と光」

　(1)波(wave)とは？　

　流れのない池に小石を投げ込むと,小石が落ちた点を中心として波紋が周囲にひろがってゆく。

　しかし,このとき水面に浮かんでいた木の葉があったとしてもそれはその場所で上下に振動するだけで波紋とともに移動することはない。

　つまり,この波紋は水そのものがひろがっているのではなく単に水の振動が伝わってひろがっていることがわかる。

　このように振動などが周囲に伝わっていく現象を波または波動という。

　波の数学的定義は次のとおりである。

　ある時刻 ｔ＝0 に ｙ＝ ｆ (ｘ)という形の曲線で表わされるパルスがあったとして,このパルスが時刻 ｔ には元の位置よりも右にｖｔだけ平行移動されたとすると,その関数形は ｙ＝ｆ (ｘ－ｖｔ)となる。

　このように,速度ｖで形が伝わってゆく現象を波というのである。

　特に,(ｘ－ｖｔ) を位相と呼び,ｖ を位相速度という。

　また,この曲線形を波形と呼ぶ。

　波には力学的な波(たとえば音)と力学的でない波(たとえば光＝電磁波)がある。

　その大きな違いは,力学的な波というのは必ず媒質が必要であるが,"電磁波＝光波"は真空中でも存在し,媒質は必要ないことである。

　かつては「電磁波＝光波」も力学で説明しようとしたため,媒質としてエーテルという架空の物質を想定していた。

　力学的な波は"媒質の圧力によって伝わる波＝縦波"と媒質のずれ応力＝まさつで伝わる波＝横波"とこれらの組み合わせによる波があり,圧力やまさつ応力などの弾性により媒質が振動することによって伝わってゆくので弾性波とも呼ばれる。

　したがって,「力学的な波＝弾性波」の一定の位相速度 ｖ とは媒質に対する相対速度であり,観測者に対して媒質の風が吹いていれば,観測者にとっての位相速度は風速と媒質に対する位相速度を加えたものになる。

　これに対し媒質のない光の位相速度は媒質と無関係な各観測者に対する速度である。

（２）正弦波と波長,振動数、波数

　特に波の形が,正弦関数 ｙ＝ｆ (ｘ)＝Ａsinｋｘの形をしている場合：ｙ＝ｆ (ｘ－ｖｔ)＝Ａsin{ｋ(ｘ－ｖｔ)} を正弦波という。

　このとき波の隣り合う山と山の距離を波長(wave length)といいλで表わす。これはｋλ＝2πであることを示しているのでｋ＝2π/λである。ｋあるいは１/λを波数(wave number)という。

　また,ある座標がｘの固定位置で,１秒間に(山＋谷)が現われる回数を振動数(frequency)といい ｆ で表わす。

　たとえば,ｘ＝0 では ｙ＝－Ａsinｋｖｔ となり,周期をＴとすると ｋｖＴ＝2πで, ｆ ＝１/Ｔなので, ｆ ＝ｋｖ/(2π)＝ｖ/λと書ける。

　そこでy ＝ sin {2π( x /λ－ｆ ｔ)} と書ける。

（３）波の干渉とうなり,重ね合わせの原理

　通常のバラバラに移動している波でも,それらがある点をある時刻に通過するとき,全体として合成された波は結局それらを単にベクトル的に加えたものとなる。これを「重ね合わせの原理」という。

　一般に,バラバラに移動している波を合成してもそれらは振動する向きも進行方向もバラバラであるから目立った現象は見られない。

　これに対して,進行方向も振動する方向も同じであるが位相だけが違うような波達を合成すると,例えば振幅が同一である２つの波が半波長だけ位相がずれていれば完全に波は打ち消しあってしまう。

　つまり,光なら真っ暗になり音なら無音になる。

　逆に位相がまったくずれていないなら,振幅が２倍に強調される。光なら明るくなり,音なら2倍の音量になる。

　こうした現象を波の干渉という。

　干渉する波同士を"コヒーレント＝可干渉"な波といい,そうでない波をインコヒーレントな波という。

　通常の飛んでいる光達はほとんどインコヒーレントで,だからこそ,影がない限り明るさはどこでも同じであって,まばらにはならないのである。

　もしも,部屋の中の光達の位相が,完全に統計的に逆相関,すなわち,相関係数が－1 なら,元々バラバラの光達なので部屋は真っ暗になるが,そうはならないのは統計的に無相関(相関係数がゼロ)がほぼ成り立っているためである。

　一方,１つの光源から出た２つ以上の光線などは,コヒーレントであって干渉しやすい。

　干渉を数式で表わすと次のようになる。

　ｙ₁＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ＋α)で表わされる波と,ｙ₂＝Ａsin（kx－ωt＋β)で表わされる波とを重ね合わせると,y₁ ＋ y₂＝2Ａcos{(α－β)/2}sin{ｋｘ－ωｔ＋(α＋β)/2｝となるので,たとえばα＝βなら振幅は2Ａになり,α－β＝±πなら振幅はゼロになる。

　一方,振動数 ｆ₁ と ｆ₂ がわずかに異なる２つの波,つまり角振動数ω₁とω₂がわずかに異なる場合には,ｙ₁＝Ａsin(ｋｘ－ω₁ｔ＋α)で表わされる波とｙ₂＝Ａsin(ｋｘ－ω₂ｔ＋β)で表わされる波とを重ね合わせることになり,これは干渉ではなく,うなりという現象になる。

　y₁ ＋ y₂＝2Ａcos{(ω₁－ω₂) ｔ/2＋(α－β)/2}sin{ｋｘ－(ω₁＋ω₂)ｔ/2＋(α＋β)/2｝となって,Δｆ≡ｆ₁－ｆ₂ とおけば振幅項が 2Ａcos{πΔｆ t ＋(α－β)/2}となるので,振幅の絶対値が周期 (１/Δｆ ) で振動することになる。

　これをうなりという。

　つまり,うなりの振動数は元の２つの波の振動数の差に等しい。

　電波で信号を送るときには信号が低周波のうなりに相当し,高周波の方は搬送波と呼ばれる。

　合成波の中から"うなり成分＝信号"を取り出して,不要な搬送波を取り除くことを検波という。

（４）ホイヘンスの原理

　波の山同士など、位相が同じ点をすべてつないでできる面を波面という。波面が平面である波を平面波といい球面である波を球面波という。

　点から発生した波は,その位相速度があらゆる方向について同一であるから球面波となるはずである。これに対して大きさのある物体から出た波は,いろいろな波面を持つことになる。

　理想的に無限大の面から出た波が平面波になる考えられる。

　ホイヘンス(Huygence)は空間を伝わる波を次のように説明した。

　波が波面を形成したのち次の波面を形成するには,"今の波面の各点から無数の微小球面波が出てそれを素元波と呼び,それらの重なったものつまり包絡面が新しい波面となってゆく"というシステムになっている,としたのである。これを「ホイヘンスの原理」という。

（５）波の反射と屈折

　「ホイヘンスの原理」から,波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに入射するとき,その境界面で発生した素元波がⅠの側に進むものを反射波,Ⅱの側に進むものを屈折波といいこれらの現象を反射,屈折という。

　一般に,媒質Ⅰと媒質Ⅱでは波の位相速度は異なると考えられるが,ⅠとⅡで異なるのは空間の性質であって時間が異なるわけではない。

　そこで速度の異なる原因は振動数ではなく波長である。異なるのは波長であって振動数は屈折によっては変化しない。

　反射では速度,波長も変化しないので「入射角＝反射角」である。これを反射の法則という。　

　一方,屈折では入射角をｉ,屈折角をｒとしⅠ,Ⅱでの位相速度を,それぞれｖ₁,ｖ₂とすると,sinｉ/sinｒ＝ｖ₁/ｖ₂＝λ₁/λ₂＝ｎ₁₂と書ける。

　このｎ₁₂を媒質Ⅰに対する媒質Ⅱの相対屈折率という。そして,これを「スネル(Snell)の屈折の法則」という。

（６）音のドプラー効果(Doppler effect)

　静止している観測者に近づいてくる電車の警笛は電車自身の警笛よりも高い音(振動数の大きい音)に聞こえ通過して遠ざかる電車の警笛は逆に低い音(振動数の小さい音)に聞こえる。

　これを音のドプラー効果という。これは次のように説明できる。

　音の周期を Ｔ＝１/ｆ, 音速をｃとする。さらにある時刻に音源と静止観測者の距離をＬとし,近づく音源の速さをｖとすると,その時刻に発せられた音の山はＬ/ｃの後に観測者に届き,次の山は Ｔ＋(Ｌ－ｖＴ)/ｃの後に観測者に届く。

　よって観測者の感じる周期はＴ'＝Ｔ－(ｖＴ/ｃ)＝[(ｃ－ｖ)/ｃ]Ｔとなり,その振動数は, ｆ'＝(1/Ｔ')＝ｆ[ｃ/(ｃ－ｖ)] となる。さらに観測者も速度ｕで音源に近づくならば,分子の音速の方が(ｃ＋ｕ)となるので,振動数は ｆ"＝ｆ[(ｃ＋ｕ)/(ｃ－ｖ)] となるのである。

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基礎物理学講義①（温度と熱）

　私の池袋での専門学校での講義録です。

　「温度と熱」

（１）はじめに。。。　

　本講のテーマとしては、熱とは何か,そして温度とは何かということを中心に考えていく。

（２）熱平衡と経験温度

　物体Ａと物体Ｂを長時間接触しておくと,これらはやがて熱的に同じ一定の状態に落ち着く。この状態に落ち着くことを熱平衡という。

　ＡとＢが熱平衡にあり,ＢとＣが熱平衡にあるならば,ＡとＣも熱平衡にある。

  これを熱力学第0法則という。

　熱平衡にあるかどうかを決める指標が温度,すなわち経験温度である。

　温度計は温度と物体の膨張が比例するという性質と熱力学第0法則を利用している。

　つまり,Ｂという温度計をＡとＣにそれぞれ長時間接触することにより,ＡとＣを直接接触することなく,ＡとＣが熱平衡にあることを知るのである。

　経験温度を決めるには,まず,１気圧中での"水の融点(氷点,または凝固点ともいう)＝氷と水の境目の温度"を0 ℃とする。

　次に,１気圧中での水の沸点,つまり,水が気化して水と水蒸気が共存するとき"飽和水蒸気圧がちょうど周囲の１気圧と一致するようになる境目＝沸騰する状態"を水の沸点と呼び,このときの温度を100℃とする。

　そして,アルコールなどの温度計の内部物体の,水の氷点と沸点の間の膨張長さを100等分して目盛で表わしたものを摂氏(Celsius)温度という。

（３）熱膨張と絶対温度

　①固体と液体の熱膨張

　これは熱のせいで,固体や液体を構成している"分子の運動＝特に振動などの往復運動"が激しくなり,構成分子間の平均距離が増大する結果として体積が増加する現象のことをいう。

　一般に近似的に体積Ｖの固体,液体の体積増加分ΔＶはその温度上昇分Δｔに比例する。その比例定数βを体膨脹率という。

　つまりΔＶ＝βＶΔｔであってＶ＋ΔＶ＝Ｖ(１＋βΔｔ)である。

　固体や線状の容器に入った液体の体積膨脹による長さの変化を特に線膨脹という。

　長さＬの物体の膨脹した長さをΔＬ,線膨脹率をαとするとΔＬ＝αＬΔｔでありＬ＋ΔＬ＝Ｌ(1＋αΔｔ)である。

　このときβ＝3αが成り立つ。その証明は次のとおりである。

(証明) 縦,横,高さが全てＬである物体の体積はＶ＝Ｌ³で,Ｖ＋ΔＶ＝(Ｌ＋ΔＬ)³であるから,１＋βΔｔ＝(1＋αΔｔ)³＝1＋3αΔｔ＋3α²(Δｔ)²＋α³Δ(Δｔ)³である。

　ところがαは非常に小さいので,Δｔが小さいとき3α²(Δｔ)²やα³(Δｔ)³は3αΔｔに比べてはるかに小さくて無視できる。そこで近似的に１＋βΔｔ＝1＋3αΔｔ,,またはβ＝3αであるとしてよい。

　(証明終わり)

②気体の熱膨張　

　これは気体を構成する気体分子が熱によって激しく運動し,その平均分子行路長が長くなることで体積が増加する現象を意味する。

　一般に,一定の体積の容器に入れておくと温度上昇と共に体積変化はしません。代わりに圧力が増加するので圧力を熱膨張前と同じにするには体積を増加させた容器に入れ換えなければならない。

　しかし,一定の気圧のもとで自由に容器の大きさが変動するようにしておけば体積は自由に膨脹することができる。

　一般に希薄気体の熱膨張率は 0 ℃では気圧によらず,また気体の種類にもよらず,常にβ＝1/273.15であることがわかっている。

　つまり,Ｖ＋ΔＶ＝Ｖ(１＋βΔｔ)＝Ｖ(1＋Δｔ/273.15)＝Ｖ(273.15＋Δt)/273.15である。0 ℃での気体の体積ＶをＶ₀としｔ℃での体積Ｖ＋ΔＶを単にＶと書くとＶ₀/273.15＝Ｖ/(273.15＋ｔ)となる。

　そこで,摂氏温度が ｔ℃のとき,Ｔ≡273.15＋ｔ を絶対温度と呼べば, 0 ℃では絶対温度をＴ₀≡273.15として,V₀/Ｔ₀＝Ｖ/Ｔが成り立つ。

　気体の体積は一定気圧のもとでは絶対温度に比例するといえる。

　このことは,Ｔ＝0 絶対零度ではＶ＝0 となって気体の体積は理論上ゼロになることになる。

　もちろん実在気体ではそのような温度ではもはや気体ではなく固体や液体になっているので,そうした体積と温度の比例関係はもはや成り立たない。

　しかし,そうした相の転移を無視した理想的な気体を想定すると,温度は"絶対零度＝－273.15℃"が最低温度で,通常の現象では理論的にそれより下の温度は存在しないことになる。

　一方,温度は上の方には限界はない。なお,絶対温度の単位はＫ(ケルヴィン;Kelvin)とする。

（４）熱,熱量,比熱　

①熱の本質,熱量と熱の仕事当量　

　熱とは何か？

　大昔は火を起こすには木を木でこする摩擦に頼っていた。

　火がつくには,現在ではその木がある発火温度に達すればよいことがわかっている。そして温度が上がるということは,その物体が熱を持つということで達せられる。

　しかし,19世紀には熱がある物体からある物体に移るのは熱素という物質が移動するとか,物が燃えるのは"フロギストン(phlogiston)＝燃素"によるという思想があり,また熱が伝わるのは,その熱素が流れるからだと考えられた時期もあった。

　しかし,そうした熱素なるものが存在するとしても,それは保存しないで摩擦などによって発生したり,自然に冷えて消滅したりすることになる。

　そうしたことから,むしろ熱というのは何らかの力学的仕事によって生起する実体ではないか？と考えられるようになり,そうした得体の知れない熱素などというものの存在を仮定する必要はないと考えられるようになった。

　そうした時期にジュール(Joule)は水の入った容器と攪拌する装置を使って,水をかき混ぜる仕事量に等しいだけ水が熱をもらって温度が上がるのだと仮定して熱の仕事当量というものを測定した。これをジュールの実験という。

　すなわち,１気圧の下で水１ｇが14.5℃から15.5℃まで１度上がるときに受けた熱,これを熱量という言葉で表わし,その熱量を１cal（カロリー)というが,これが仕事でいえば4.19Ｊ(ジュール)に相当することを測定したのである。

　この4.19Ｊ/calのことを熱の仕事当量という。

　以後,この仮定に基づいて,力学的仕事,つまり摩擦などによって失われる力学的エネルギー損失が全て熱に変わるとすれば,依然として,(総エネルギー)＝(熱エネルギー＋力学的エネルギー)が保存するという法則,総エネルギーは保存するという法則の成立が確認された。

　そのため,熱の本質はエネルギーそのものであると考えられるようになり,それから後に,何の矛盾も見つかっていない。

　しかし,仕事は全部100％が熱に変わることが可能なことはジュールの実験以来の事実であるが,熱の方は100％が仕事に変わるわけではなくその一部は捨てられなければならない。

　(これは,もちろん１サイクル(cycle)での話であり,サイクルでないなら100％仕事に変わることはある。)　

　このことから考えて,熱には熱としての特有の意味があり,単純に画一化してエネルギーというだけではわり切れないところがある。

②熱量の保存,比熱,熱容量

　ある物理的過程で力学的仕事が関係することなく,「全体として熱エネルギーが逃げることがない＝断熱されている」なら,熱量はその過程で保存される。

　そして,たとえば高温の物体Ａと低温の物体Ｂを断熱された環境の中で接触させておくと,やがてＡとＢは熱平衡に達してある一定の温度に落ち着く。

　このとき,全体の「熱量＝熱エネルギー」は保存されるので,「Ａの失った熱量＝Ｂのもらった熱量」という法則が成り立つ。

　これを熱量の保存の法則という。また熱エネルギーの保存の法則ともいう。

　具体的には熱量１calは「水の１ｇの温度１度の上昇」で定義されているので,水以外の物質については１ｇを１度上げるのに必要な熱量が水に比較してどのくらいかを調べる必要がある。

　その意味で物質１ｇについて温度を１度上げるのに必要な熱量のことを比熱というが,比とはいうものの単なる数値ではなくcal/(g℃)という単位を持っている。そして,比熱は普通ｃという文字で記述される。

　一般に金属の比熱は水に比べてかなり小さく,金属は小さい熱を与えてもすぐに温度が上がるのが特徴である。

　また「質量ｍ(ｇ)の物体を１度上げるのに必要な熱量＝ｗ(cal/℃)をその物体の持つ熱容量という。ｗ＝ｍｃであることは明らかである。

　このｗは,その物体が熱的には水のｗ(ｇ)に相当することを表わしている。

　たとえば,炭素なら12ｇ,水素なら２gの物質量は共にアボガドロ数(Avogadro-number)と呼ばれる 6.02×10²³個の分子(炭素ならＣ,水素ならＨ₂)から成り立っている。

　このアボガドロ数個の分子からできている物体量を１グラム分子,または１モル(mol)と呼ぶ。そして特に１モルの物質の熱容量をモル比熱と呼ぶ。

　通常の金属固体のモル比熱は金属の種類によらず,３Ｒ＝約25(Ｊ/mol・Ｋ)＝約6(cal/mol・Ｋ)である。

　これは実験でも確かめられているが理論的に求めることもできる。(Dulog-Petitの法則)(Ｒ～8.31(Ｊ/mol・Ｋ)は気体定数である。)

(５）理想気体のボイル・シャルルの法則と気体の分子運動論

①ボイルの法則(Boyle)

　希薄気体では一定温度で気体の体積は圧力の大きさに反比例する。つまり,温度一定のもとでは圧力Ｐが2倍になると体積Ｖは半分＝1/2になる:ＰＶ＝一定である。これをボイルの法則という。

②シャルル(ゲイリュサック)の法則(Charles(Gay-Lussac))

　希薄気体では,一定圧力の場合気体の体積は絶対温度に比例する。つまり圧力一定のもとでは温度(絶対温度)Ｔが２倍になると体積Ｖも２倍になる。

　すなわち,Ｖ/Ｔ＝一定である。

　これをシャルル(ゲイリュサック)の法則という。

③ボイル・シャルル(ボイル・ゲイリュサック)の法則と理想気体　

　ボイルの法則とシャルルの法則を合わせてボイル・シャルルの法則という。

　これは,ＰＶ/Ｔ＝一定という形に書くことができる。

　現実の気体は,この法則とは微妙にずれているが,特にこの法則に従う気体を理想気体という。

　このときのＰＶ/Ｔの一定値は気体定数と呼ばれ,Ｒであらわされる。この気体定数の値はＲ＝8.3145（Ｊ/mol・Ｋ)である。

　つまり１モルの気体に対してはＰＶ/Ｔ＝ＲあるいはＰＶ＝ＲＴと書ける。

　しかし,一般に容器に入っている気体は1モルとは限らないので,その気体がｎモルであるとすると,その体積Ｖのｎモルの気体の１モル当たりの体積はＶ/ｎとなる。

　よってＰＶ/ｎ＝ＲＴであるから,ＰＶ＝ｎＲＴと書くことができる。

　このように圧力と体積とを温度と結びつける式のことを状態方程式といい,特に,ＰＶ＝ｎＲＴを理想気体の状態方程式という。

④気体分子運動論による理想気体の状態方程式の解釈　

　理想気体はたくさんの分子が摩擦熱を失うことなく反発係数１で分子同士や容器の壁と完全弾性衝突をしながら,ばらばらに運動している状態と考えることができる。

　そこで,壁に及ぼす圧力は気体分子が壁に衝突することによる壁に与える力積の総和であると考えることができる。　

　模型として１辺の長さＬの立方体容器:体積Ｖ＝Ｌ³の中にＮ個の気体分子がある場合を考える。

　気体分子１個の質量をｍとし,その速度をｖ＝(ｖ_ｘ,ｖ_y,ｖ_z)とすると,ｘ方向に垂直な片方の壁に分子１個が１回の完全弾性衝突で与える力積は2ｍｖ_xである。

　１個の分子は１秒間に, ｖ_ｘ /(2Ｌ)回衝突するから,"全Ｎ分子の１秒当たりの壁に与える力積＝壁に与える力"は,Ｎｍｖ_x²/Ｌとなる。

　圧力Ｐは,単位面積当たりの"壁に与える力"であるから,壁の面積Ｓ＝Ｌ²で割ってＰ＝Ｎｍｖ_x²/Ｌ³＝Ｎｍｖ_x²/Ｖと表わせる。つまりＰＶ＝Ｎｍｖ_x²である。

　ところで分子１個の速さは, ｖ²＝ｖ_x²＋ｖ_y²＋ｖ_z²と三平方の定理で表わされ,３つの方向は対等であるから、速さの２乗の全分子の平均を＜ｖ²＞で表わすと,ｘ方向の平均は＜ｖ_x²＞＝(1/3)＜ｖ²＞と考えてよい。

　したがって,ＰＶ＝Ｎｍｖ_x²とは,実はＰＶ＝Ｎｍ＜ｖ_x²＞＝(1/3)Ｎｍ＜ｖ²＞＝(2/3)Ｎ＜(1/2)ｍｖ²＞と書き直すことができる。

　ここで,＜(1/2)ｍｖ²＞は分子１個のエネルギー,つまり,この場合は位置エネルギーはゼロなので運動エネルギーである。

　ＰＶ＝(2/3)Ｎ＜(1/2)ｍｖ²＞＝ｎＲＴであるから,＜(1/2)ｍｖ²＞＝(3/2)ｎＲＴ/Ｎである。

　特に,アボガドロ数をＮ₀とするとＮ＝ｎＮ₀より,＜(1/2)ｍｖ²＞＝(3/2)(Ｒ/Ｎ₀)Tとなる。

　そこで,分子１個当たりの気体定数をＲ/Ｎ₀＝ｋ_Bと書くことにして,これをボルツマン定数(Boltzmann constant)と呼べば,＜(1/2)ｍｖ²＞＝(3/2)ｋ_BＴと表わすことができる。

　こうして,気体分子運動論によれば,理想気体は気体の種類によらず分子１個の運動エネルギーが(3/2)ｋ_BＴであると解釈される。

　(しかし,正しくは後述するように圧力Pに寄与するのは,分子の全運動エネルギーではなくて,内部の回転や振動のエネルギーを除く並進運動(重心運動)のエネルギーだけである。)

　(なお,理想気体は力を受けず自由に運動するという近似なので粒子間の位置エネルギーはゼロである。

　後述する内部エネルギーは分子の(運動エネルギー＋位置エネルギー)であるが,この位置エネルギーは分子間の外力のそれではなく,分子内原子などの内部構成粒子の内力の位置エネルギーなので原子間の振動のように,理想気体でも存在する。)

（６）熱力学第１法則＝エネルギー保存の法則

①内部エネルギー　

　物体を構成する全分子の持つ"力学的エネルギー＝(運動エネルギー＋位置エネルギー)"の総和をその物体の持つ内部エネルギーという。

　内部エネルギーの大きさは,一般に物体の絶対温度Ｔに比例する。

　単原子分子理想気体では並進運動の自由度３しかないため,ｎモルの持つ内部エネルギーＵは気体定数をＲとしてＵ＝(3/2)ｎＲＴである。

　また,２原子分子理想気体では,軸を持つ回転運動の自由度２が加わるため,Ｕ＝(5/2)ｎＲＴである。

　理想気体というのは,ボイル・シャルルの法則と同時に等温で体積変化による内部エネルギーの変化がないという法則,すなわち,内部エネルギーがＴだけの関数であるという法則を満足する。　

　また,固体では位置エネルギーもあるため,Ｕ＝3ｎＲＴである。

　位置エネルギーがある場合には,内部エネルギーはＴだけでなく体積Ｖにもよる場合がある。

②熱力学第１法則

　特別なことがない限り,物体を加熱したり,圧縮したりすれば,その内部エネルギーは増加する。

　熱力学第１法則とは,物体の内部エネルギーＵの増加分ΔＵが,外部から与えられた熱量Ｑと外部から加えられた仕事Ｗの和に等しいという法則である。すなわち,ΔＵ＝Ｑ＋Ｗである。

　気体の場合,体積がΔＶだけ増加するような仕事は,気体自身の圧力Ｐが外部に対してなす仕事なので,気体の方が外部によってなされる仕事は,Ｗ＝－ＰΔＶとなる。つまり,ΔＵ＝Ｑ－ＰΔＶである。

③気体の熱力学変化と比熱

ａ）等温変化　

　温度が変化しない理想気体の熱力学過程を等温変化という。

　等温変化では,ＰＶ＝一定の変化であり,Ｔが変化しないのでΔＵ＝0 である。

　つまり,Ｑ＋Ｗ＝0 であるから,Ｑ＝－Ｗである。等温,つまりΔＴ＝0 なので比熱Ｑ/ΔＴは無限大である。

ｂ）定積変化　

　体積が変化しない,ΔＶ＝0 の理想気体の過程を定積変化という。Ｗ＝－ＰΔＶ＝0  なので,ΔＵ＝Ｑである。

　単原子分子理想気体では,ΔＴの変化に対してQ＝ΔＵ＝(3/2)ｎＲΔＴなので,定積比熱は(3/2)ｎＲであり定積モル比熱はＣ_v＝(3/2)Ｒである。

　２原子分子理想気体では,定積モル比熱はＣ_v＝(5/2)Ｒである。

ｃ）定圧変化　

　圧力一定のもとでの理想気体の過程を定圧変化という。

　ΔＵ＝Ｑ＋Ｗ＝Ｑ－ＰΔＶであり,ＰＶ＝ｎＲＴであってＰが一定だから,ＰΔＶ＝ｎＲΔＴである。

　故に定圧変化では,TのΔＴの上昇に対して,Ｑ＝ΔＵ＋ＰΔＶ＝ΔＵ＋ｎＲΔＴである。

　ΔＵ＝ｎＣ_vΔＴなので,Ｑ＝ｎ(Ｃ_v＋Ｒ)ΔＴとなる。

　定圧モル比熱をＣ_pとすればＱ＝ｎＣ_pΔＴであるからＣ_p＝Ｃ_v＋Ｒ (マイヤー(Mayer)の法則)が成立する。γ≡Ｃ_p/Ｃ_vを比熱比という。

ｄ) 断熱変化

　外界と熱の出入りがまったくない過程を断熱変化という。Ｑ＝ 0 なのでΔＵ＝Ｗ＝－ＰΔＶである。

　もちろん,この場合もＰＶ＝ｎＲＴの法則は成立しているが,これ以外にＰＶ^γ＝一定,あるいはＴＶ^γ-1＝一定というポアソン(Poisson)の法則も成り立つ。

(証明) ΔＵ＝－ＰΔＶは,ｎＣ_vΔＴ＝－ＰΔＶを意味する。

　ＰＶ＝ｎＲＴなのでＰ＝ｎＲＴ/Ｖより,Ｃ_vΔＴ/Ｔ＋ＲΔＶ/Ｖ＝ 0 となる。

　これを積分すると,Ｃ_vlogＴ＋ＲlogＶ＝一定: ＴＶ^Ｒ/Ｃv＝一定となる。

　そして,Ｒ/Ｃ_v＝(Ｃ_p－Ｃ_v)/Ｃ_v＝γ－1により,これはＴＶ^γ-1＝一定である。さらに,Ｔ＝ＰＶ/(ｎＲ)であるから,ＰＶ^γ＝一定とも書ける。(証明終わり)

①サイクル(cycle)　

　サイクルとは最初と最後で自分自身に何の物理的変化も残さない過程,またはその過程を行なわせる機関をいう。

②トムソン(Thomson）の原理

　一様温度の１つの熱源から熱を奪って,それに等しい仕事をするサイクルは存在しない。

③クラウジウス(Clausius)の原理

　低温の物体から,高温の物体に熱を移動するだけのサイクルは存在しない。

④トムソンの原理とクラウジウスの原理は全く等価である。　

　すなわち,もし②が誤りなら高熱源１からQ₁なる熱量を奪って,それに等しいＷの仕事をするサイクルＣ₁がある。

　一方,その仕事Ｗ＝Ｑ₁によって低熱源２からＱ₂の熱を奪って高熱源１にＱ₂＋Ｗ＝Ｑ₂＋Ｑ₁の熱を与えるサイクルＣ₂が存在するから,サイクルＣ₁＋Ｃ₂は結局低熱源２から高熱源１にＱ₂なる熱を与える以外,何の変化もない１つのサイクルである。

　これは③が誤りであるという結論に導く。

　同様に③が誤りなら②が誤りということも示すことができる。

⑤ 熱力学第２法則

　②と③の原理を熱力学第２法則,または第２種永久機関を作ることが不可能である法則という。　

⑥カルノーサイクル(Carnot-cycle)とエントロピー　

　ｎモルの理想気体を温度Ｔ₁の高熱源に接触させながら体積V₁からV₂に等温膨脹させ,次にＶ₂からＶ₃に断熱膨張させる。

　低温Ｔ₂になったところで,熱源に接触させてＶ₃からＶ₄まで等温圧縮し,最後にＶ₄からＶ₁まで断熱圧縮させる。

　このサイクルをカルノーサイクルという。

　このとき外界は最初,熱Ｑ₁＝－Ｗ₁＝nＲＴ₁log (Ｖ₂/Ｖ₁)を獲得し,次にはＱ₂＝0 で,かつ －Ｗ₂＝ｎＲ(Ｔ₁－Ｔ₂)の仕事をされる。

　次に,－Ｑ₃＝Ｗ₃＝ｎＲＴ₂log (Ｖ₄/Ｖ₃)の熱を獲得し,最後にＱ₄＝0 でＷ₄＝ｎＲ(Ｔ₁－Ｔ₂)の仕事を受ける。　

　Ｔ₁Ｖ₂^γ-1＝Ｔ₂Ｖ₃^γ-1,かつＴ₁Ｖ₁^γ-1＝Ｔ₂Ｖ₄^γ-1に注意すれば,このサイクルで系が外界にした仕事の合計は,Ｗ＝－Ｗ₁－Ｗ₃＝ｎＲ(Ｔ₁－Ｔ₂)log (Ｖ₂/Ｖ₁)である。

　他方,"はじめに外界が系からもらった熱量＝高温熱源が失った熱量"はＱ₁＝ｎＲＴ₁log (Ｖ₂/Ｖ₁)である。

　そこで,効率はη＝Ｗ/Ｑ₁＝(Ｔ₁－Ｔ₂)/Ｔ₁であることになる。

　このように,熱Ｑ₁をもらっても,そのうちＱ₃の分は捨てられなければならない。これが第２法則の本質である。

　η＝(Ｑ₁－Ｑ₃)/Ｑ₁＝(Ｔ₁－Ｔ₂)/Ｔ₁であるから,結局,カルノーサイクルではＱ₁/Ｔ₁＝Ｑ₃/Ｔ₂であることがわかる。

　もし,カルノーでないサイクルで高温からＱ₁を取って低温にＱ₃を移し仕事Ｗをしても,Ｗ＝Ｑ₁－Ｑ₃である。

　しかし,このときカルノー逆サイクルで低温からＱ₃を取ってこれを高温に移すとしたときに必要な仕事をＷ'とすれば,高温はＱ'＝Ｑ₃＋Ｗ'の熱をもらう。

　すると,結局,高温が失った熱はＱ₁－Ｑ'＝Ｗ－Ｗ'である。

　このＷ－Ｗ'はサイクルで熱が全て仕事に変わった場合だから,トムソンの原理によればこれは決して正ではない。つまりＷ－Ｗ'≦0 である。

　故に,Ｑ₁≦Ｑ'( Ｗ≦Ｗ' )であり,効率η'＝Ｗ'/Ｑ'についてはη＝Ｗ/Ｑ₁より,必ずη≦η'であることになる。

　これは,η＝1－Ｑ₃/Ｑ₁でη'＝1－Ｑ₃/Ｑ'で,Ｑ₁≦Ｑ'であるからである。つまり,カルノーサイクルのような可逆サイクルでは効率が最大になる。

　こうして,カルノーサイクルにより,温度の定義が,ひつには最大効率の熱量比という形で明らかとなったわけである。

　そして,一般に可逆サイクルではＱ₁/Ｔ₁－Ｑ₃/Ｔ₃＝0 であるから,常にもらう熱量Ｑを正とし,失う熱量を負とすればサイクル全体ではΣＱ/Ｔ＝0 となることがわかる。

　これを,細分化すれば,可逆過程ではΔＳ＝ΔＱ／Ｔなる式で定義される量Ｓはサイクルで保存する量で,これはエントロピーと名付けて定義できる。

　もしも,不可逆サイクルなら,サイクル合計ではΣΔＱ/Ｔ＜0 となるから,サイクルでない微小過程で考えると,ΔＱ/Ｔ＜ΔＳとなる。

　また,もし考えている系が孤立系：つまり断熱で外界と熱も仕事もやりとりしないならばΔＱ＝0 であるから,0＝ΔＱ/Ｔ≦ΔＳより一般にΔＳ≧0 となる。

　すなわち「孤立系ではエントロピーは減少することはない。」という法則が成り立つ。これをエントロピー増大の法則という。

物理学史覚え書き

　これは私が池袋の電子専門学校で物理学の講師をしていたときの講義録の一つです。

表題「物理学とその歴史」

学問には科学的なものと非科学的なものがある。

　非科学的なものの例 → 文学,音楽,美術など

　科学とは？ ＝ いくつかの仮説,あるいは公理にしたがって論理的な方法論で実証的体系的に論じた知識。自然科学と社会科学がある。

１．科学の歴史

ギリシャ時代 ＝ 自由な発想の時代 → 中世暗黒時代(キリスト教会専制)

＝ アリストテレスの世界観が支配(形而上学＝不可知論)

　形而上学とは？­ ＝ 現象を超越しその背後にあるものの真の本質,存在の根本原理,存在そのものを純粋思惟あるいは直感によって研究しようとする学問。神,世界,霊魂などがその主要問題。(広辞苑による) → 必然的に不可知論におちいる。

　不可知論とは？­ ＝ 意識に与えられる感覚的経験の背後にある実在は論理的には認識できないという説。→ これらは信仰には向いている。

中世暗黒時代の終わり( ← ペストの大流行) → 宗教改革,ルネッサンス → 懐疑論の流行 → 科学のギリシャ時代以来の復権 → 産業革命(1760年代)

２．物理学の歴史

　物理学と数学はなぜ密接な関係にあるのだろうか？

　ギリシャの自然哲学 ＝ ゼノンの背理,デモクリトスの原子論,ピタゴラス,アルキメデス

　ソクラテスとプラトン → アリストテレスの世界観 ＝ 物体は押したり引いたり力を加えていなければとまってしまう。→ これを否定したのが,ガリレイ,ニュートンの力学的世界観 ＝ 因果律の悪魔 ­＝ ラプラスの悪魔 ――→ 量子力学によって完全に否定される。　

　力学的世界観 → 熱も電気も力学で説明しようとしたが失敗した。力学的世界観によると波動­ ＝ 振動は媒質がないと伝わらない。→ 媒質のない波 ＝ 電(磁)波 ＝ (光)の存在 → マッハ原理 → アインシュタインの相対性原理,ここまでが古典物理学

　現代物理学の夜明け­ ＝ 量子論の始まりと古典論からそれへの移行

３．問題

（１）1/3＝0.333333…….である。では 1＝0.9999999….は正しいか？

（２）死刑囚Ａ,Ｂ,Ｃがいて３人のうち２人は明日処刑され残りの１人は死刑を免除されることが決まっているがそれが誰かは看守しか知らない。この時点でＡは自分が処刑される確率は2/3 であると思った。

　そこでＡは看守に自分のことは教えてもらえないだろうが他の２人のことならかまわないだろうと言って看守にＢ,Ｃのどちらが処刑されるのかとたずねたところＢだと答えられた。

　この時点で明日処刑される残りはＡ,Ｃのどちらかであり,確率は 1/2 に減ったとＡは思って喜んだ。さてこのＡの喜びは正しいのだろうか？

（３）ジェット機で世界一周しても無重力でないのになぜ地球周回のシャトルでは中は無重力なのだろうか？

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                                  TOSHI