くりこみ理論(第２部)(2)

「くりこみ理論(第２部)」の続きで

第８章の§8-1「くりこみ群と演算子積

展開」の続きです。

※(余談):いろいろとバタバタしている

うちに,ブログの原稿書きもさぼっていて,投稿は久しぶりです。とうとう明日は

2020年の大晦日で,急に寒くなりました

が,何とか生きたまま,年を越せそうです。

(余談終わり)

※以下,本文です。

さて,運動方程式とＷＴ恒等式の項目

に入ります。

当面の目的はあくまで演算子積(複合

演算子)に対する「Wilsonの演算子積展開」の成立を証明することにあり,少し寄り道

とはなりますが,この証明にとっても重要なので,BPHZの枠内で運動方程式の使い方と,ＷＴ恒等式についてのコメントです。

粒子場:φ(ｘ)から成る系のBPHZの

意味での有効Lagrangian:Ｌが

与えられたとき,系の従う運動方程式

(Euler-Lagrange eq.)は,

∂Ｌ/∂φ－∂^μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}

＝δＳ/δφ＝0　 (21)　です。

何故なら,Ｌは,作用原理を満たすべき

作用ＳをＳ＝∫ｄ⁴ｘＬによって

定めるLagranfian密度を意味する

からです。

しかしながら,これは,必ずしも

演算子等式の成立を意味しない。と

考えられるので,Green関数中に因子

(δＳ/δφ)」が現われたからと

いって,Green関数を直ちにゼロとする

ことはできないことがわかります。

(※これは,Green関数中のＴ積

(時間順序積)は,実はＴ^*積を意味する

ので,階段関数θ(ｔ)の微分などが

消えずに単純な等式の成立を邪魔る

からです。)

そこで,BPHZの手続きで有限に

されGreen関数を,真空期待値:

＜0|Ｔ[…]|0＞＞＞のような形に

記すことにすれば,

上記のEuler-lagrangeの運動方程式

よりも,むしろ,次式の成立を主張する

方が,系の運動を記述する方程式として

ふさわしい。ということを示したい

と考えます。

すなわち,Green関数に対する

方程式:＜0|Ｔ([φ(ｚ){δＳ/δφ(ｚ)]_dφ(ｘ₁),,φ(ｘn)|0＞

＝iΣ_ｒ=1ⁿ[δ⁴(ｚ－ｘ_r)

＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..^φ(ｘ_r).φ(ｘ_n)|0＞ (22）が成立するとするわけです。

ただし,^φ(ｘ_r)は,全体の積から,

φ(ｘ_r)のみを除くことを意味する記号

です。

この(22)式は,次元ｄが,複合演算子:

[φ(ｚ){δＳ/δφ(ｚ)}]の正しい次元:

４以上の場合なら,常に,そして最初の

因子φ(ｚ)を両辺で,その微分：∂_μ1.

∂_μｋφ(ｚ)に置き換えても(ｄをその

正しい次元以上にする限り)成立します。

この式は,演算子型式で正準交換関係

を用いて得られる式と,ほぼ同じですが,

Ｔ積が実はＴ^＊積であることや,因子:

[φδＳ/δφ]_ｄが,機能的に導入された

正規積であることなど,あくまでBPHZ

の枠内での等式となることに着目します。

※(注2-1):以下,(22)をFeynmanグラフ

的に証明します。

ただし,今は,たび重なるココログフリーのリニューアルや,ＯＳ()Windows)の

バージュンの変化でブログ記事の上で

用いていた,図を書くスキルなどを失っているため,文章のみの,頭の中に仮想的に

描いた図での説明しか,できませんが。。

さて,まず,φ(δＳ/δφ)

＝φ[－(□＋μ²)φ－(λ/3!)φ³]の

うち,Ｖ＝{－φ(□＋μ²)φ}として,Ｖ

のみを挿入した裸のGreen関数:Ｇ_V⁽ⁿ⁾

に効くFeynmanグラフを運動量表示で

考察します。

グラフのＶ頂点(Ｖを含む頂点)

のKlein-Gordon演算子の掛かった場:

[－φ(□＋μ²)φ]が出る線は,一般に

直接,外線ｐ₁,ｐ₂,.ｐ_ｎのどれかに

つながるか？または,λφ⁴相互作用の

頂点につながるか？のどちらかです。

－(□＋μ²)φから出る線は全く相互

作用が無いグラフと,(この場合λφ⁴が

無い)相互作用をしているグラフに

つながるか？のいずれかしかありません。)

ところが,－(□＋μ²)φの演算子:

－(□＋μ²)は,運動量表示ではｐ²－μ²)

であり,丁度：伝播関数:－(□＋μ²)^-1

(これは運動量表示では,i/(ｐ²－μ²))

を相殺して単なる数因子;ｉに変える

働きを持つことに注意すれば,結局

のところ,(22)式の＜0|Ｔ([φ(ｚ)

δＳ/δφ(ｚ)]_dφ(ｘ₁),,φ(ｘ_n)|0＞

＝iΣ_ｒ=1ⁿ[δ⁴(ｚ－ｘ_r)

＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..^φ(ｘ_r).. φ(ｘ_n)|0＞,で,φ(δＳ/δφ)＝φ[－(□＋μ²)φ

－(λ/3!)φ³])とした等式が成立する

ことがわかります。

すなわち,グラフ表現の等式の両辺で,

Ｖ頂点に次元ｄを付与したBPHZの

Ｒ演算を施します。

これは,グラフのＶ頂点に

[－φ(□＋μ²)φ]_ｄを挿入したGreen

関数に対する等式を与えます。

第１項:つまりＶ頂点が相互作用無し

で直接ｎ個の外線の１つにつながって

いて,残りとは無関係の場合には,Ｖ頂点

を囲むくりこみ部分は存在しないので,

通常のＲ演算を受けて,(22)の右辺の

総和式を得るわけです。

(※この第１項のＶ頂点因子は,単に,

(ｐ²－μ²)×{ｉ/(ｐ²－μ²)}＝ｉ

と,(－iλ/3!)の積の数因子です。)

他方,残る第２項は,Ｖ頂点が

φ・ｉ(―iλφ)/3!)＝φ・λφ³/の

複合場となっていて,Ｖを含む部分は,

元の{－φ(□＋μ²)φ]と同様,Ｖを

次元ｄであると見なしたTaylor引き算

を受けます。

それ故,Ｒ演算後の第２項は,次元ｄ

の正規積:[φ・λφ³/3!]_ｄを挿入した

Green関数:<0|Ｔ[{φ・λφ^3/3!}_dφ(ｘ₁)..φ(ｘ_n)]|0＞を与え,これを左辺に移項

して[―φ(□＋μ²]φ－λφ³/3!]_ｄの

挿入項にまとめられて,(22)の左辺を

与えるわけです。(証明終わり　

(注2-1終わり※)

BPHZの枠内では(22)の等式は大変有用なモノであり,例えばカレント保存則から従うＷＴ恒等式もこの範疇に含まれて

います。  

最も簡単な例として,複素スカラー場φ

から成る系で有効Lagrangianが

Ｌ＝∂_μφ^＊∂^μφ－μ²φ^＊φ

－(λ/2)(φ＊φ)²で与えられる場合を

考えます。

このときＵ(1)カレント;ｊμ(ｘ)

＝i{φ^＊(ｘ)∂_μφ(ｘ)－{∂_μφ^＊(ｘ)}

φ(ｘ)}＝ｉφ^＊(ｘ)∂^⇔_μφ(ｘ)（23）

は,素朴な(1)の運動方程式を用いて,

保存することがわかります、

すなわち

∂^μｊ_μ＝i{φ^*□φ－(□φ^*)φ}

＝－i{φ^*(δＳ/δφ^＊)－(δＳ/δφ)φ}.(24)ですから素朴な運動方程式:

δＳ/δφ＝δＳ/δφ^＊＝0から,右辺は

ゼロとなります。素朴にはそうです、

等式:＜0|Ｔ([φ(ｚ)δＳ/δφ(ｚ)]_d

φ(ｘ₁),,φ(ｘ_n)|0＞

＝iΣ_ｒ=1ⁿ[δ⁴(ｚ－ｘ_r)

＜0|Ｔ(φ(ｘ₁)..^φ(ｘ_r)...φ(ｘ_n)|0＞は,＜0|Ｔ([φ_i(ｚ)|δＳ/δφ_k(ｚ)]]_d

φ_i1(ｘ₁)φ_i2(ｘ₂).φ_im(ｘ_m)|0＞

＝iΣ_r=1ⁿ[δ⁴(ｚ－ｘ_r)δ_ｋir

＜0|Ｔ(φ_ｊ(ｚ)φ_i1(ｘ₁)..^φ_ir(ｘ_r)

..φ_im(ｘ_ｍ)|0＞ (25）となることが

容易にわかります。

さらに、一般に正規積[Ｏ]_ｄに対して

∂_μ[Ｏ]_ｄ＝[∂_μＯ]_ｄ+1.(26)の等式が

成立します。

何故なら,グラフγのω次のTaylor

項演算子をｔ^γ_ω.,γの外線運動量因子

の１つをｑ_μとするとき

ｔ^ɤ_(ω＋1)ｑ_μ＝ｑ_μｔ^γωとなるからです。

そこで,(23)を正しい次元３を付与

した正規積[ｊ_μ]₃として,それを挿入

したGreen関数の発散∂_μを計算

すれば,(26),(25),(24)の等式を用いて

次式を得ます。すなわち,

∂_zμ＜0|Ｔ{[ｊ^μ(ｚ)]₃φ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)

φ^＋(ｙ₁),.φ^＋(ｙ_n)}|0＞

＝∂_zμ＜0|Ｔ{[φ{δＳ/δφ}

－{δＳ/δφ^＋}φ^＋(ｚ)]₄

φ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)

φ^＋(ｙ₁)...φ^＋(ｙ_n)}|0＞

＝－Σ_r＝1ⁿδ⁴(ｚ－ｘ_r)

＜0|Ｔ{φ(ｚ)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)

φ^＋(ｙ₁)...φ^＋(ｙ_n)}|0＞

＋Σ_r＝1ⁿδ⁴(ｚ－ｙ_r)

＜0|Ｔ{φ(ｚ)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_ｎ)

φ^＋(ｙ₁)..φ^＋(ｙ_n)}|0＞..(27)

です。

この式が,BPHZ定式化における

ＷＴ恒等式であり,形式上,演算子形式

で素朴に(紫外発散の問題を考慮しない)

正準交換関係を用いて求めたＷＴ恒等式

を再現したものとなっています。

Ｕ(1)カレントの正規積[ｊμ]₃の

代わりに,次元4のエネルギー・運動量

テンソルのそれ[Ｔ_μν]₄の場合も同様です

。また,,次元3以下のソフトな破れがある

カレントの場合も同様な等式で分析

できます、

• さて,続いて演算子積展開に戻ります。

準備が整ったので先のWilsonの

ＯＰＥの公式(1):

Ａ(ｘ)Ｂ(ｘ)

＝lim_ｘ→ｙ[Σ_iＣ_i(ｘ―ｙ)

Ｏ_i((ｘ＋ｙ)/2)],(Ｃ_iはc-数関数)を

,BPHZ定式化を用いて証明することを

始めます。

一般的な場合も本質的には同じなので,

ここでは最も簡単な場合:λφ⁴理論で,

ＡもＢも場φ自身である場合のみを

考えます。

すなわち,Ｔφ(ｘ＋ξ)φ(ｘ－ξ)

＝Σ_iＣ_i(ξ)[Ｏ_i(ｘ)]_ｄi(28)

(ｄ_iはＣ_iの正しい次元)の形の展開式

の成立を証明します。問題としている２

つの演算子の積:φ(ｘ＋ξ)φ(ｘ－ξ)

を挿入した(くりこまれた)Green関数：

Ｇ^(ｎ)_{φ(ｘ＋ξ)φ(ｘ－ξ)}は,今の場合,

単に,(ｎ＋2)点Green関数:Ｇ^(ｎ＋2)

です。

つまり,＜0|Ｔ{[φ(ｘ＋ξ)φ(ｘ－ξ)

φ(ｙ₁)..φ(ｙ_ｎ)}|0＞＝∫ｄ⁴ｑｄ⁴ｋ

(2π)^-8×Π_j=1ⁿｄ⁴ｐ_ik(2π^)-4

exp(－iｑｘ－iｋ・2ξ)

×exp－iΣ_j＝1ⁿｐ_jｙ_j)(2π)⁴

δ⁴(ｑ＋Σ_j=1ⁿｐ_j)

Ｇ⁽ⁿ⁺²⁾(ｑ/2＋ｋ,ｑ/2－ｋ,ｐ)..(29)

です。ここで,φ(ｘ＋ξ)および,

φ(ｘ－ξ)の運動量をそれぞれ,

(ｑ/2)＋ｋ,および,(ｑ/2)－ｋ(つまり,

重心運動量がｑ,相対運動量がｋとなる

ように)置き,その他の運動量を

ｐ­＝(ｐ₁..ｐ_ｎ)としました。

(29)で,ξ→0での挙動を今から

調べたいのですが,(29)は,ξ＝0では

∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4がloop積分の形になり

新たな紫外発散が生じる。という構造

になっています。そこで,演算子積:

φ(ｘ＋ξ)φ(ｘ－ξ)に対し,これは

離れた２点の場の積なのますが,先の

局所積の場合と同様,正規積:

[φ(ｘ＋ξ)φ(ｘ＾ξ)]_ｄというもの

を,次のように導入します。

まず,ΓをＧ^(n＋2)に効く任意のグラフ

とするとき,端点:ｘ₁＝ｘ＋ξと,

ｘ_2­＝ｘ－ξを一致させて得られる

グラフΔをΔ＝Γ~.(30)と記述します。

新たに生じた点ｘ＝ｘ₁＝ｘ₂のφ²頂点

をＶと呼びます、しかし,この操作は

(29)のＧ^(ｎ＋2) →Ｇ~^(n＋2)のFeynman

グラフに効く被積分関数:]_ΓはI_Γ→,I_Δ.(31)

としてほとんど何の変更もしてないことに

注意すべきです。

(29)の被積分関数をIΓと思うかIΔと思うかは

後から行なう∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp(－2iｋξ)が単

なるFourier積分か,ξ＝0とおいたloop積分に

なるか,の違いだけです。

そこで,次数がｄの正規積:

[φ(ｚ₁)φ(ｘ₂)]_ｄを次のように定義

します。

すなわち,あるグラフΓの寄与として,

＜0|Ｔ{{φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)}_ｄφ~(ｐ₁).

.φ~(ｐ_n)}}0＞^Γ _{(ｘ1＝ｘ＋ξ,ｘ2＝ｘ－ξ)}

＝∫ｄ⁴ｑｄ⁴ｋ(2π)^-8

exp(－iｑｘ－2iｋξ)(2π)⁴

δ⁴(ｑ＋Σ_iｐ_i)]∫Π_ｊ＝1²ｄ⁴ｌ_j

Ｒ_Δ^(ｄ)(ｑ/2＋ｋ,ｑ/2－ｋ,ｐ,ｄ)]..

(32)とします。

途中ですがここで今年は終わりです。

※(参考文献):九後汰一郎著

「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)

物理学の哲学(15)(終)(アノマリー)

「物理学の哲学(14)」からの続きです。

(※余談):今日は11/３(火)祝日です。時差があります

から,まだでしょうがアメリカでは重要な大統領選挙

の投票日ですね

実は先月の10/28(水)に,このシリーズ記事の(14)を

アップした直後,続いて分割した残りの記事を(15)

としてアップしようとしたところ,コピペの操作を間違え

,つい全部消えてしまいました。落ち込んでいるときに,

丁度,訪問医が来て,何事か？と心配されましたが,落ち

込みの理由を聞いて大したことない,と慰められました。

こうしたことは前にもあって,アップの前にバックアップ

を取る習慣になってましたが,これでこの記事シリーズ

が終わりになるので,ちょっとあせったようです。

まあ,仕方がないので消えた部分は,記憶に頼って書き直す

しかなく,再掲記事部分以外は少し変わったはずですが

今日11月３日までかかりました。今度は忘れずに先に

バックアップを取ります。

消えたモノも業者に頼れば復活するはずですが,貧乏人

の私にそんな余分なお金はないのでね。(余談終わり※)

※さて,以下は本題です。

アノマリーは,運動方程式からのアプロ－チに

よっても得られることがわかりました。これは軸性

ベクトルカレントに現われる特異な演算子積を注意

深く扱えばいえることです。

※(注):ｊ^5μ(ｘ,ε)は,外場との相互作用があるので

真空期待値はゼロではなく,＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε_λ|0＞

＝＜0|ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)ε_λ|0＞

×exp{－∫_ｘ－ε/2^ｘ＋ε/2ｄξＡ(ξ)}ですが,これの

εの2次以上のオーダーを無視します。

＜0|ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)|0＞

＝(γ^μγ⁵)_αβ

＜0|ψ~_α(ｘ＋ε/2)ψ_β(ｘ－ε/2)|0＞

＝－(γ^μγ⁵)_αβ

＜0|Ｔ[ψ_β(ｘ－ε/2)ψ~_α(ｘ＋ε/2)|0＞

＝－Ｔr{γ^μγ⁵iＳ_F~(－ε)}です。

Fermionの伝播関数:Ｓ_Ｆ~(ｘ－ｙ)を外場:Ａ^μ(ｘ)

で展開すると,自由Fermion伝播関数:Ｓ_F(ｘ－ｙ)

がベキで出現します。

まず,φ(ｘ)を,Klein-Gordon方程式

(□＋ｍ₀²)φ(ｘ)＝0を満たす自由複素スカラー場

とすると,その自由Feynman伝播関数:Δ_F(ｘ)は,

iΔ_F(ｘ)＝＜0|θ(ｘ⁰)φ(ｘ)φ^＊(0)

＋θ(－ｘ⁰)φ^＊(0)φ(ｘ)|0＞

＝θ(ｘ⁰)∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1exp(－iｋｘ)

＋θ(－ｘ⁰)∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1exp(iｋｘ)

ただしω_k＝(ｋ²＋ｍ₀²)^1/2で,与えられます。

そして,Ｓ_F(ｘ)は,このΔ_F(ｘ)を用いて,

Ｓ_F(ｘ)＝(iγ^μ∂_μ＋ｍ₀)Δ_F(ｘ)と表わすこと

もできます。(※自由Green関数として満足する

方程式は,(□＋ｍ₀²)Δ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)ですから,

これから,(iγ^μ∂_μ－ｍ₀)Ｓ_F(ｘ)＝δ⁴(ｘ)です。)

ここで,iΔ^(＋)(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1

exp(－iｋｘ)と置くと,iΔ^(＋)(ｘ)＝(2π)^-2∫₀^∞ｄｋ

[{ｋ²(2ω_k)^-1exp(－iω_kｘ⁰)}

×∫_-1¹ｄ(cosθ)exp(iｋｒcosθ）

＝(2πi)^-1(4πｒ)^-1∫₀^∞ｄｋ[ｋexp(－iω_kｘ⁰)

×{exp(iｋｒ)－exp(－iｋｒ)}/ω_k]

＝(2πi)^-1(4πｒ)^-1∫_-∞^∞ｄｋ

[ｋexp{－i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k]

＝－(4πｒ)^-1(∂/∂ｒ)(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ

[exp{－i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k]と書けます。

同様に,iΔ^(－)(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1

exp(iｋｘ)]と置くと

iΔ^(－)(ｘ)＝－(4πｒ)^-1(∂/∂ｒ)

[(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ[exp{i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k]

です。

ところで,ｆ(ｘ)＝f(ｘ⁰,ｒ)

＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ[exp{i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k]　

とすると,右辺＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ

[exp{i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/(ｋ²＋ｍ₀²)^1/2]であり,

ｋ＝ｍ₀sinｈφと置けば,ｄｋ＝ｍ₀cosｈφｄφ

で,(ｋ²＋ｍ₀²)^1/2＝ｍ₀cosｈφです。

ｋ:－∞ → ∞は,φ:－∞ → ∞に対応するため,

ｆ(ｘ)＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄφ

[exp{iｍ₀(ｘ⁰cosｈφ＋ｒsinｈφ)}となります。

ここで,さらに,λ＝ｘ²＝(ｘ⁰)²－ｒ²と置きます。

すると,

(ⅰ)ｘ⁰＞0 かつ,ｘ⁰＞ｒのとき,

λ＞0 なので,ｘ⁰＝λ^1/2coshφ₀,ｒ＝λ^1/2sinhφ₀

と置くことができて,ｆ(ｘ)＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄφ

[exp{iｍ₀λ^1/2cosｈ(φ＋φ₀)}]

＝π^-1∫₀^∞ｄφ exp(iｍ₀λ^1/2cosｈφ)です。

故に. ｆ(ｘ)＝(i/2)Ｈ₀[ｍ₀λ^1/2]

＝(i/2){Ｊ₀[ｍ₀λ^1/2]＋iＮ₀[ｍ₀λ^1/2]}

(※ Ｊ₀は0次Bessel関数,Ｎ₀は0次の

Neumann関数,Ｈ₀は0次Hankel関数です。)

(ⅱ) ｘ⁰＞0 かつ,ｘ⁰＜ｒのとき,

λ＜0 なので,ｘ⁰＝(－λ)^1/2sinhφ₀,

ｒ＝(－λ)^1/2coshφ₀と置くことができて,

ｆ(ｘ)＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄφ

[exp{iｍ₀(－λ)^1/2sinｈ(φ＋φ₀)}です。

故に.ｆ(ｘ)＝(1/π)Ｋ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2]

＝(i/2)Ｈ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2]

＝(i/2){Ｊ₀([ｍ₀(－λ)^1/2]＋iＮ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2]}

(※ Ｋ₀は0次の第2種変形Bessel関数です。)

(ⅲ) ｘ⁰＜0 かつ,|ｘ⁰|＞ｒのとき,

ｆ(ｘ)＝(－i/2)Ｈ₀[ｍ₀λ^1/2]

＝(－i/2){Ｊ₀[ｍ₀λ^1/2]＋iＮ₀[ｍ₀λ^1/2]}

(ⅳ) ｘ⁰＜0 かつ,|ｘ⁰|＜ｒのとき,

ｆ(ｘ)＝(1/π)Ｋ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2] 　です。

つまり, λ＝(ｘ⁰)²－ｒ²＞0なら

ｆ(ｘ)＝(－1/2)Ｎ₀[ｍ₀λ^1/2]

＋(i/2)ε(ｘ₀)Ｊ₀[ｍ₀λ^1/2]で,λ＜0なら,

ｆ(ｘ)＝(1/π)Ｋ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2]です。

iΔ^(＋)(ｘ)＝－(4πｒ)^-1(∂ｆ/∂ｒ)

＝(2π)^-1(∂ｆ/∂λ)

＝{i/(4π)}ε(ｘ₀)δ(λ)

＋θ(λ){ｍ₀/(8πλ^1/2)}{Ｎ₁[ｍ₀λ^1/2]

＋iε(ｘ₀)Ｊ₁[ｍ₀λ^1/2]}

＋θ(－λ){ｍ₀/(4π²(－λ)^1/2)}{Ｋ₁[ｍ₀λ^1/2]}

同様に,iΔ^(－)(ｘ)＝{－i/(4π)}ε(＋iε(ｘ₀)

Ｊ₁[ｍ₀λｘ₀)δ(λ)

＋θ(λ){ｍ₀/(8πλ^1/2)}{Ｎ₁[ｍ₀λ^1/2]^1/2]}

＋θ(－λ){ｍ₀/(4π²(－λ)^1/2)}{Ｋ₁[ｍ₀λ^1/2]}

です。

故に,iΔ_F(ｘ)＝＜0|Ｔ{φ(ｘ)φ^＊(0)|0＞

＝θ(ｘ⁰)iΔ^(＋)(ｘ)＋θ(－ｘ⁰)iΔ^(－)(ｘ)

なので,iΔ_F(ｘ)

＝{i/(4π)}δ(λ)＋θ(λ){ｍ₀/(8πλ^1/2)}

{Ｎ₁[ｍ₀λ^1/2]＋iε(ｘ₀)Ｊ₁[ｍ₀λ^1/2]}

＋θ(－λ){ｍ₀/(4π²(－λ)^1/2)}{Ｋ₁[ｍ₀λ^1/2]}

を得ます。

数学公式によれば,Ｊ₁[ｚ]＝ｚ/2－1/2)(ｚ/2)³

＋Ｏ(ｚ⁵),Ｎ₁[ｚ]＝－1/(4πｚ)

＋{ｚ/π－(1/π)(ｚ/2)³}ln(ｚ/2)

＋(Ｃ/π){ｚ－(ｚ/2)³}＋Ｏ(ｚ⁵ lnｚ)＋Ｏ(ｚ⁵)

Ｋ₁[ｚ]＝{ｚ＋(1/2)(ｚ/2)³}ln(ｚ/2)

＋(Ｃ/2){ｚ－(ｚ/2)³}＋1/(4ｚ)＋Ｏ(ｚ⁵)

iΔ_F(ｘ)＝＝{i/(4π)}δ(λ)－1/(4π²λ)

－{iｍ₀²/(16π)}θ(λ)＋{ｍ₀²Ｃ/(8π²)

＋{ｍ₀²/(8π²)}ln(ｍ₀|λ|^1/2/2)

＋Ｏ(|λ|^1/2ln|λ|)

Ｓ_F(ｘ)＝(iγ_μ∂^μ＋ｍ₀)Δ_F(ｘ)

＝2iγ_μｘ^μ[{1/(4π)}δ’(λ)

＋1/(4π²iλ²)

－{ｍ02/(16π)}δ(λ)－{iｍ₀²/(16π²λ)}

＋Ｏ(|λ|^-1/2ln|λ|)]

＋ｍ

{1/(4π)}δ(λ)－1/(4π²iλ)

－{ｍ₀²/(16π)}θ(λ)＋{ｍ₀²Ｃ/(8π²)

－{iｍ₀²/(8π²)}ln(ｍ₀|λ|^1/2/2)

＋Ｏ(|λ|^1/2ln|λ|)です。

以上から, Ｓ_F(ｘ)は,ｘ^μ→ 0 のとき,

ｘ^μ(1/λ²)～ 1／ｘ³のように挙動することが

わかりました。

普通に,光子の外場Ａ^μ(ｘ)とだけ相互作用する

iＳ_F~(ｘ)を,Ａ^μ(ｘ)とiＳ_F(ｘ)で摂動展開すると,

iＳ_F~(ｘ―ε/2,ｘ＋ε/2)＝iＳ_F’(―ε)

＝iＳ_F(―ε)

＋(－iｅ₀)∫ｄ⁴ｙ[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)γ^α

iＳ_F(ｙ－ｘ―ε/2)Ａ^α(ｙ)]

＋(－iｅ₀)²∫ｄ⁴ｙｄ⁴ｚ[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)γ_α

iＳ_F(ｙ－ｚ)γ_βＳ_F(ｚ―ε/2)Ａ^α(ｙ)Ａ^β(ｚ)]

＋Ｏ(lnε)です。

上述のように,Ｓ_F(ｘ―ε/2,ｘ＋ε/2)

＝Ｓ。(―ε)がε^μ／{(－ε)²}²のように挙動する

ことから,ｋを積分の個数,Fermion伝播関数の個数

とする発散次数:Ｄの次数勘定定理はＤ＝４ｋ－3ｆ

となり,Ｄ＞0ならε^μ→ 0 のとき収束し,Ｄ＝0なら

lnε発散をし,Ｄ＝-1,-2,－3..なら,ε^-1,ε^-2,ε^-3..

と挙動するのが明らかです。

ただし, ＜0|ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)|0＞

＝－Ｔr{γ^μγ⁵iＳ_F~(－ε)}ですが,

左辺＝＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)|0＞

＝(1/2)＜0|[ψ~(ｘ＋ε/2),γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)]|0＞

で,右辺の真空:|0＞で挟んだ場の交換子は,最低次

では,正規積(normal-producy)となっていて寄与は

ゼロになり,それ故,摂動展開の第1項のＳ_F(－ε),

すなわち,ε→0でのtadpoleは,＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)|0＞

に寄与しません。あるいは,実際に計算しても,

Ｓ_F(―ε)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4 exp(iｐε)/(ｐ－ｍ₀)

ですが,Ｔr{γ^μγ⁵/(ｐ－ｍ₀)}＝0より,

－Ｔr{γ^μγ⁵iＳ_F(－ε)}＝0で,明らかに

－Ｔr{γ^μγ⁵iＳ_F~(－ε)}に寄与しません。

また, Ｏ(lnε)も＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞

では,ε→0でε^λＯ(lnε)→ 0で消えます。

また,第３項＝(－iｅ₀)²∫ｄ⁴ｙｄ⁴ｚ

[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)γ_αiＳ_F(ｙ－ｚ)

γ_βＳ_F(ｚ―ε/2)Ａ^α(ｙ)Ａ^β(ｚ)]ですが,

＜0|ｊ^5μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)全体の

荷電共役不変性から,この項は寄与しません。

具体的にはｊ^5μ(x,ε)は荷電共役偶で外場:

Ａ^μ(ｘ)は荷電共役奇etc.ですが,詳細は省略

します。残るのは,第２項＝(－iｅ₀)∫ｄ⁴ｙ

[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)Ａ(ｙ)iＳ_F(ｙ－ｘ―ε/2)Ａ(ｙ)]

＝iｅ₀ ∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^-8 [exp(iｐε)exp(iｑｘ)

×{(ｐ＋ｑ/2－ｍ₀)^-1Ａ(ｑ)(ｐ－ｑ/2－ｍ₀) ^-1}]

です。

それ故,＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞

＝－Ｔr{ε^λγ^μγ⁵iＳ_F~(－ε)}

＝(－iｅ₀)Ｔr[ε^λγ^μγ⁵∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^-8 exp(iｐε)

exp(iｑｘ)(ｐ＋ｑ/2－ｍ₀)^-1Ａ(ｑ)(ｐ－ｑ/2－ｍ₀) ^-1]

＋Ｏ(εlnε)

＝ｅ₀Ｔr[γ^μγ⁵∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^-8 exp(iｐε)exp(iｑｘ)

(∂/∂ｐ^λ){(ｐ＋ｑ/2－ｍ₀)^-1Ａ(ｑ)

(ｐ－ｑ/2－ｍ₀) ^-1}]＋Ｏ(εlnε)です。

したがって,lim_{ε→ 0}＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞

＝ｅ₀∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^{- 3}exp(iｐε)exp(iｑｘ)

(∂/∂ｐ^λ)Ｔr[γ^μγ⁵(ｐ＋ｑ/2＋ｍ₀)Ａ(ｑ)

(ｐ－ｑ/2＋ｍ₀){(ｐ＋ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1

{(ｐ－ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1]

＝4iｅ₀ε_αβγδｇ^α_μ∫ｄ⁴ｑ(2π)^{- 4}exp(iｑｘ)

ｑ^δＡ^γ(ｑ)∫ｄ⁴ｐ(2π)^{- 4}(∂/∂ｐ^λ)

[ｐ^β(ｐ＋ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1{(ｐ－ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1]

が得られます。

ところで,∫ｄ⁴ｐ{∂ｆ(ｐ)/∂ｐ^λ}は,

もしも,ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)を;ｐ⁰＝iｐ⁴として,

ｐ^μ＝(ｐ¹,ｐ²,ｐ³,ｐ⁴)と書いてEuclid化し,４次元

のGauss積分定理を適用すると,積分領域

を半径Ｒの４次元球の内部として,

∫ｄ⁴ｐ{∂ｆ(ｐ)/∂ｐ^λ}

＝（i2π²Ｒ²){ｐ_λ＜ｆ(ｐ)＞}_|ｐ|＝Ｒを得ます。

ただし,|ｐ|＝Ｒは,Minkowski空間ではｐ²＝－Ｒ²,

を意味し,＜ｆ(ｐ)＞は半径Ｒの球面上のｆ(ｐ)の

平均値を意味します。

故に,∫ｄ⁴ｐ(2π)^{- 4}

(∂/∂ｐ^λ)[ｐ^β{(ｐ＋ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1

{(ｐ－ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1]

＝lim_R→∞[(i2π²Ｒ²)Ｒ_λＲ^β(－Ｒ²－ｍ₀²)^-2](2π)^{- 4}

＝iｇ_λ^β/(32π²)を得ます。

(※ ここで,対称性からlim_R→∞(Ｒ^μＲ^ν/Ｒ²)

＝(1/4)ｇ^μνとなることを用いました。 )

一方,∫ｄ⁴ｑ(2π)^{- 4}exp(iｑｘ)ｑ^δＡ^γ(ｑ)

＝i∂^δＡ^γ(ｘ)です。

したがって,lim_ε→0＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞

＝－iｅ₀ε_μλγδ{∂^δＡ^γ(ｘ)}/(8π²)

＝－iｅ₀ ε_μλξηＦ^ξη/(16π²)と書けます。

以上から, lim_ε→0＜0|∂_μｊ^5μ(ｘ,ε)|0＞

＝2iｍ₀ lim_ε→0＜0|ｊ⁵(ｘ,ε)|0＞

＋{ｅ₀²/(16π²)}ε_μλξηＦ^μλＦ^ξη

＝2iｍ₀ lim_ε→0＜0|ｊ⁵(ｘ,ε)|0＞

＋{α₀/(4π)}ε_μλξηＦ^μλＦ^ξη

となり,先の∂_μ＜0|ｊ^5μ(x,ε)|0＞

＝iｅ₀＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)

＋2iｍ₀＜0|ｊ⁵(x,ε)|0＞＋Ｏ(ε²).および,

iｅ₀＜0|ｊ^5μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)

＝{α₀/(4π)}ε_μλξηＦ^μλ(ｘ) Ｆ^ξτ(ｘ)＋Ｏ(ε)

が確かに証明されました。　(注終わり※)

40年前の1975～1976年当時のノートはここで

終わっています。本当はこれからが本題で当時も

ノートは,これで終わってはいても,結論まで理解して

いたはずです。が,長くなったし切りがいいので,

今日はここで終わります。次からは,第３章で

1995年のノートに移ります。(※再掲記事終了)

と書いて終わっています。

結局のところ,「物理学の哲学」シリーズの初期の

副題「止まると死ぬ。」というのは(5)でも述べた

ように,Heisenbergの不確定性原理:ΔｐΔｘ～ｈの

ため,期待値として,位置を原点に固定:＜Δｘ>＝0で,

かつ,速度も＜Δｐ＞＝0と,古典的には静止状態でも,

ゆらぎ(分散)は＜(Δｘ)²＞＝0なら,＜(Δｐ)²＞＝∞

となり,運動量(速度)は絶対的不確定という点粒子の

静止できないという宿命があるのが根源です。

そもそも,素粒子を大きさのない(構造を持たない)

点である,とすることに無理があるので,こうし無限大

を生じる原因がある,と考えられるのです。

軸性ベクトルカレントは,４次元発散にアノマリー

があるのが真であり,これが例えばπ⁰中間子の崩壊率

に正しい寄与を与えるのを見ても,ｊ^5μ(ｘ)のように,

1時空点ｘでの場の局所的双1次形式で与えられる

物理量は,実はｊ^5μ(ｘ,ε)(ε＞0)の非局所カレントの

形の方が現実の姿であって,ε＝0の局所カレントでは

有り得ないのではないか？と考えるわけです。

ガリレイ,ニュートンに始まる自然科学では,物体を

大きさのない質点と近似し理想化したおかげで力学が

発展しました。また,水や空気を流体という連続体と

考えて定式化しましたが,実は後に原子論が出現して

わかったように,これらは莫大な分子という粒子の集まり

を近似したものでした。古典電磁気学も原子内の電子の

運動による効果などを連続的な場と概念を用いて定式化

しました。厳密には,連続体は近似であったのです。

この我々の宇宙:４次元時空も普通に連続的な多様体で

ある,と考えられてはいますが,格子点のように単純では

ないにしても,実は,ある臨界のε＞0よりも小さい距離

には分割できない離散的時空の近似ではないか？

というのが結論です。

学生時代に,初めて接した紫外発散を除去するくりこみ

手法の本質には,このアノマリーのメカニズムが関与するの

では？と思って興味を持ったのは,こうした動機からでした。

素粒子は宇宙全体でも離散個数しかないはずなのに粒子

の場が連続的なものとして定式化されているのも問題です

が,こうした疑問に,未だにこだわってるのは三つ子の魂百

までですね。

さて70歳になった私のブログでの遺言(遺構)は第1弾

の「どこかの馬の骨の伝記」に続いて,この「物理学の哲学」

シリーズで,第２弾が終わりました。

あとは,第３弾のオリジナル理論で終わる予定です。

命の方が持つかな？

物理学の哲学(14)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

前回記事までで,スピノル場の軸性ベクトル

カレントの４次元発散の部分的保存(PCAC)関係

に２光子頂点と軸性頂点の三角グラフの寄与の

評価から出現する量子アノマリーの存在が確認

され,その値を「低エネルギー定理」で評価した後

場の理論のσ模型へと一般化することから,π⁰→2γ

崩壊の崩壊率(1/τ)が,そのσ模型の三角アノマリー

の寄与として予測計算が可能であるということを

見出しました。

この天下り的に与えられたように見えるσ模型が

実は,最初は対称性を持っていて,やがてそれが自発的

に破れる「南部Jonalashino模型」の(アイソスピン)

カイラル対称性の破れによって,得られる系であり,

さらに,π⁰中間子は,その対称性の破れに伴って出現

したゼロ質量の擬スカラー・ＮＧボソンと同定される

π中間子の1つ,中性のそれであって,局所ゲージ対称性

の破れに伴う「Higgs機構」で現実の質量を獲得した

粒子である,というストーリーが,一応,完結しました。

ただ,心残りは,参考に用いた弱い相互作用の扱いが,

古いFermiの現象論であることで,弱ゲージ粒子の媒介

する電弱理論ではないことですが,これについては,深入

りせず,またの機会に譲ることにしました。

しかし,最初,私が25～26歳(1975～1976年)の学生時代

に興味を持ち,それから15年間の普通のサラリーマン生活

を経て,42歳でクビとなり,フリーターになったのを機会に

40歳代での暇な時間に,主に物理学や数学の勉強を再開して

ここまで到達した結果の1つが,これまでのシリーズ記事

の内容ですが,学生時代に特に着目していたのは.このブロ

グ記事シリーズの最初の副題(止まると死ぬ)というテ－マ

の端緒となった問題でした。

これについては,詳しい記述を追加したいと考えますが

実は,この課題も既に,本ブログの2017年にアップした過去

記事：「摂動論のアノマリー(9)」で詳述しています。

そこで,これを再掲記事としてアップし,現在,気になる部分

を修正し追加することで,お茶を濁して今回の記事とします。

この注目の問題とは,「アノマリーの座標空間での計算」

に関わる記述です。

※ 以下,再掲記事です。

さて,これまでは,運動量空間での扱いが主でしたが,

ここまでの考察から.ア,ノマリーを含む,座標空間での

PCAC式:∂_μｊ^5μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρが成立して,

最後のアノマリー項も単純な形で表わされることが,

わかりました。

この事実は,座標空間でのアノマリーの導出と,

その解釈が可能であることを示唆しています。

座標空間での論議を進めるに当たり,光子について

は量子化されてないｃ数の電磁場の半古典論に話を

限り,軸性ベクトルカレント:ｊ^8μが場:ψ~とψが

離れた２時空点にある場の積という非局所カレント

((bilocal current)の形の局所極限である。と見なす

ことにします。つまり,軸性カレントは.ｊ^8μ(ｘ)

＝lim_ε→0ｊ^5μ(x,ε)で与えられるとするわけです。

ただし,ｊ^5μ(ｘ,ε)

＝ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}　です。

ここで,右辺の最後の指数関数因子内の

積分:∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)は,線積分:

∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξ_λＡ^λ(ξ)を意味します。

そして因子:exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}は

局所ゲージ変換:ψ(ｘ)→ exp{－iｅ₀Λ(ｘ)}ψ(ｘ),

かつ.Ａ^μ(ｘ)→Ａ^μ(ｘ)＋∂^μΛ(ｘ)の下でのｊ^5μの

不変性を保証するために,必要な因子です。

この指数関数因子を,微小な正の数εの1次の

オーダーまで展開し,さらに,運動方程式を用いて

ｊ^5μの４次元発散を計算します。

まず,ｊ^5μ(ｘ,ε)のεによる展開は,

ｊ^５μ(x,ε)＝ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×{1－iｅ₀ε_λＡ^λ(ｘ)}＋(εの２次以上の微小項)

となります、

そこで,∂^μｊ^5μ(ｘ,ε)

＝ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×[－iｅ₀ε_λ∂^μＡ^λ(ｘ)

－iｅ₀{Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μ(ｘ－ε/2)}]

＋2iｍ₀ｊ⁵(ｘ,ε)＋(εの2次以上の微小項)

となります。

結局,∂_μｊ^5μ(x,ε)

＝ｊ^5μ(ｘ,ε)ｅ₀ε_λＦ^μλ(ｘ)＋2iｍ₀ｊ⁵(ｘ,ε)

＋(εの2次以上の微小項)という式が得られます。

※(注1):この結果は,電磁場:Ａ^μ(ｘ)が線積分に

おいて,経路依存であるために得られるもので,

しかも積分路が直線分であることが,本質的な意味

を持っています。

以下に,これの厳密で詳細な計算を書き下します。

すなわち,∂_μｊ^5μ(x,ε)

＝{∂_μψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

＋ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵∂_μψ(ｘ－ε/2)}

×exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}

＋ψ~(ｘ＋ε/2)γ⁵γ^μψ(ｘ－ε/2)

∂_μexp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}

です。

ここでDiracの運動方程式:

(iγ^μ∂_μ－ｅ₀γ^μＡ_μ－ｍ₀)ψ(ｘ)＝0

を用いると,γ^μ∂_μψ(ｘ)＝－iｍ₀ψ(ｘ)

－iｅ₀γ^μＡ_μ(ｘ)ψ(ｘ),かつ,

∂_μψ~(ｘ)γ^μ＝iｍ₀ψ~(ｘ)

＋iｅ₀ψ~(ｘ)γ^μＡ_μ(ｘ)　です。

故に,∂_μψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

＝iｍ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ⁵ψ(ｘ－ε/2)

＋iｅ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×Ａ^μ(ｘ＋ε/2),かつ,

ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵∂_μψ(ｘ－ε/2)

＝iｍ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ⁵ψ(ｘ－ε/2)

－iｅ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×Ａ_μ(ｘ－ε/2)　です。

そこで,[ψ~(ｘ＋ε/2)γ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}｝

をｊ⁵(ｘ,ε)と定義すれば,

∂_μｊ^5μ(x,ε)＝2iｍ₀ｊ⁵(x,ε)

＋iｅ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ^μγ⁵ψ(ｘ－ε/2)

×{Ａ_μ(ｘ＋ε/2)－Ａ_μ(ｘ－ε/2)

－∂_μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}　となります。

それ故,もしも,∫^{ｘ-ε/2ｘ＋+/2}ｄξＡ(ξ)が積分

経路に独立な関数なら,最後の{　}の因子はゼロ

となることを示します。

すなわち,まず,∂_μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)

＝lim_ｈ→0

{∫_{ｘ＋ｇλμｈ－ελ/2-ε/2}^{ｘ＋ｇλμｈ＋ελ/2}－∫_ｘ－ε/2^ｘ＋+/2}

ｄξＡ(ξ)]/ｈ

＝Ａ_μ(ｘ＋ε/2)－Ａ_μ(ｘ－ε/2)が成立します。,

最右辺は.電磁場:Ａ_μが連続関数なのでε→0の

極限では,ゼロとなります。

そこで,もしも,∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ_μ(ξ)が積分経路

に独立なら,∂_μｊ^5μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)が成立づるわけ

です、これは,ベクトル解析のStokesの定理によれば,

Ａ^μの4次元回転::rot^ν(Ａ^μ)＝∂^νＡ^μ－∂^μＡ^ν

が,全てゼロの渦なしのポテンシャル場(保存力場)で

あるなら,スカラー場:φが存在してＡ_μ＝－∂_μφと

表現できる場合に相当します。

しかし,電磁場が静電場でないなら,ゼロでない

rot^ν(Ａ^μ)＝Ｆ_νμが存在して,それらが電磁場の強さ

である電場:Ｅと,磁場:Ｂを表わすことは,電磁気学で

よく知られた事実です。

そこで積分は経路に依存するので,線積分の積分路

を特に直線分:ｌ^α＝{ｌ^α(τ):ｌ^α(τ)

＝ｌ^α(0)＋ε^ατ,ｌ^α(0)＝ｘ^α－ε^α/2,(0≦τ≦1)}と

選択すると,∫_ｘ－ε/2 ^ｘ＋ε/2ｄξＡ(ξ)

＝ε_ν∫₀¹ｄτＡ^ν(ｌ(τ)) となります。

また,積分路を直線分:Ｌ^α＝{Ｌ^α(τ):Ｌ^α(τ)

＝Ｌ^α(0)＋ε^ατ,Ｌ^α(0)＝ｘ^α－δ^αμΔｘ－ε^α/2,

(0≦τ≦1)} と選択すると.

∫_{ｘ＋Δｘ－ε/2}^{ｘ＋Δｘ＋ε/2}ｄξＡ(ξ)

＝ε_ν∫₀¹ｄτＡ_ν(Ｌ(τ))

∂_μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)

＝lim_Δｘ→0(ε^ν/Δｘ)[∫₀¹ｄτＡ_ν(Ｌ(τ))

－∫₀¹ｄτＡ_ν(ｌ(τ))]

＝lim_Δｘ→0(ε^ν[∫₀¹ｄτ[{Ａ_ν(Ｌ(τ))－Ａ_ν(ｌ(τ))

/{Ｌ(τ)－ｌ(τ)}]＝ε_ν∂^μＡ^ν＋ε_νＯ(ε),です。

一方,Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μ(ｘ－ε/2)

＝ε_ν∂^νＡ^μ＋Ｏ(ε),

Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μ(ｘ－ε/2)

－∂^μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)

＝ε_ν{∂^νＡ^μ(ｘ)－∂^μＡ^ν(ｘ)}＋ε_νＯ(ε)

を得ます。

以上から,式:∂_μｊ^5μ(ｘ,ε)

＝ｊ^5μ(ｘ,ε)iｅ₀ε_λＦ^μλ(ｘ)＋2iｍ₀ｊ⁵(ｘ,ε)

＋Ｏ(ε²)が確かに得られました。(注1終わり※)

この式の真空期待値を取ると,単一の閉ループ

を通して,軸性ベクトルカレントがｃ数の任意個

の光子外場とcoupleする相互作用を記述する

生成汎関数の発散方程式を得ます。

すなわち,∂_μ＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)|0＞

＝iｅ₀＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)

＋2iｍ₀＜0|ｊ⁵(ｘ,ε)|0＞＋Ｏ(ε²)　です。

この右辺の第1項は,形式的にはεのオーダー

であり,「摂動論のアノマリー(4)」において,

∂_μｊ^5μ(ｘ)

＝ψ~(ｘ){iｍ₀＋iｅ₀γ^μＡ_μ(ｘ)}γ⁵ψ(ｘ)

＋ψ~(ｘ)γ₅{iｍ₀＋iｅ₀γ^μＡ_μ(ｘ)}ψ(ｘ)

＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ),ｊ⁵(ｘ)≡ψ~(ｘ)γ₅ψ(ｘ)

として.素朴にＷＴ恒等式を導出したときには

無視されるべきものでした。

しかし,摂動グラフとしての注意深い計算に

よれば,＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)|0＞は,ε→＋0 のとき

ε^-1のオーダーで発散し,それ故,実際には右辺の

第１項の＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)ε_λ|0＞の因子は,有限な

寄与をします。

詳細計算を実行すると,

iｅ₀＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)

＝{α₀/(4π)}ε_μλξηＦ^μλ(ｘ)Ｆ^ξτ(ｘ)＋Ｏ(ε)

となって,先の(アノマリーを含むPCAC式の真空

期待値に一致します。

長くなったので,以下は次の記事にします。

(つづく)

物理学の哲学(13)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

余談は抜きで即本文です。

　前回の記事の最後では,

※この後,残っている問題は,カイラル対称性の自発的

破れによって,出現する擬スカラ－の零質量ＮＧボソン

と同定される粒子場:πが現実の135～140 MeＶ程度の

ゼロでない観測質量を持つπ中間子であるため,には,

質量を獲得する必要があり,この質量を得るに至る

メカニズムを解明することだけです。

という内容のことを書きました。

この最後の課題自体が,大きなテーマの一つなので

質量獲得に関連する「Higgs現象」について

詳述した本ブログの過去記事「対称性の自発的破れと南部

-Goldstone粒子(12)」の全文を,不要部分を削除し修正

して再掲載します。

※以下は再掲の過去記事です。

素粒子論は,少なくともPoincare’不変性,(つまり,

並進,および,Lorentz不変性)を満たす理論ですから,

対称性の自発的破れが起これば,「南部-Goldstone

の定理」が常に適用できるはずです。

しかし,現実において厳密にゼロ質量の粒子として

観測されている素粒子は,光子とニュートリノ？くらい

しか存在しません。(※今までは発見されていません。)

光子や(未発見の)重力子(graviton)などは力を媒介

するゲージ粒子場として記述される。とされています。

確かに,光子,重力子は,それぞれ,ベクトル粒子,テンソル

粒子であり,対称性の自発的破れに伴なうＮＧボソンと

して理解されています。

しかし,ニュートリノについては。スピノル対称性

(超対称性)に対応するＮＧフェルミオンと考えると.

低エネルギー定理の予言と矛盾する,ことが確かめられ,

ＮＧフェルミオンなどというモノではなさそうです。

(※事実,厳密にはゼロ質量ではないことの証拠とされる

「ニュートリノ振動」という現象が確認されています。)

また,「近似的に」ゼロ質量の粒子としてはπ中間子が

存在します。実際,南部-JonaLasinoが素粒子論において

初めて対称性の自発的破れの概念を提唱し,ＮＧボソンで

あると指摘したのは,π中間子でした。

実際,π中間子が近似的カイラル対称性の自発的破れに

対応するＮＧボソンであることは,その後の1960年代の10

年間に、カレント代数,低エネルギー定理などの多くの成功

により確かめられ,強い相互作用の解明に多くの寄与を

しました。

では,この零質量ＮＧボソンの希少性は,対称性の自発的

破れが,現実には比較的稀な現象であることを意味している

のでしょうか？

答は否です。実は,「ゲージ理論の場合には対称性の自発的

破れと,観測される零質量ＮＧボソンの間に1対1対応が成立

しない。」というのが,真なのです。

ゲージ理論において,共変ゲージの場合には,もちろん,

対称性が自発的に破れれば,零質量ＮＧ粒子が出現します

が,「南部-Goldstoneの定理」は,その出現するＮＧ粒子

が,「正定値計量を持った物理的粒子」であることを主張

していません。

そして,もしも,それが「不定計量」を持ち,ＢＲＳ不変

でないモードであれば,物理的状態空間;Ｖ_physでは.観測に

かからないことになります。

他方,Coulombゲージ;∇Ａ＝0 や,時間的軸性ゲージ

Ａ⁰＝0などの「非共変ゲージ」の場合は,正定値計量です

から粒子は観測にかかる粒子のはずですが,今度は

「南部-Goldstoneの定理」に要求される明白なLorentz

共変性の仮定が,元から破れているため,,必ずしも対称性

の自発的破れに伴なってＮＧ粒子が出現するとは限らない

からです。こうした可能性は,Higgs-Kibbleらにより初めて

指摘されました。

このことを,具体的に示す最も簡単な模型は,

「Goldstone模型」のＵ(1)対称性をゲージ化して,電磁場

を導入する「Higgs模型」です。

これより前に,対称性の自発的破れを起こす最も単純な例

として「南部-Goldstone模型」を紹介しましたが,これは

系のLagrangian密度:Ｌが次式:,

Ｌ＝∂_μφ^＊∂^μφ＋μ²φ^＊φ－(λ/2)(φ^＊φ)²

で与えられる模型でした。

この系での荷電スカラー粒子の複素場,φ,φ^＊の組を,

２成分のφ＝[φ₁,φ₂]とφ^＋で記述し,さらに電磁場Ａ^μ

も共存する,ここでの出発点となる系のLagrangian密度

を,Ｌ＝(－1/4)Ｆ_μνＦ^μν＋(Ｄ_μφ)^＋Ｄ^μφ＋μ²φ^＋φ

－(λ/2)(φ^＋φ)² としたモノを考察します。

ただし,Ｆ_μν＝(∂^μＡ_ν－∂_νＡ_μ)とします。またＤ_μ

は共変微分で,Ｄ_μφ＝(∂_μ－iｅＡ_μ)φと定義されます。

このとき,単純な「南部-Goldstone模型」の場合と同様

ここでも,treeグラフのレベルで,場:φについて,

＜0|φ(ｘ)|0＞＝ｖ/√2＝(μ²/λ)^1/2となって,ゼロでない

真空期待値を生じます。

ここで,便宜上,複素場:φ(ｘ)のシフトをφ(ｘ)

＝{ｖ＋ψ(ｘ)＋iχ(ｘ)}/√2,(ただしψ(ｘ),χ(ｘ)

は真空期待値がゼロの実スカラー場)としたものから,

変更して,極分解と呼ばれる次の形に取ります。

すなわち,φ(ｘ)

＝{ｖ＋ρ(ｘ)}exp{iπ(ｘ)/ｖ}/√2,です。

ここで,ρ(ｘ)は真空期待値がゼロの実スカラー場,

であり,位相部分:exp{iπ(ｘ)/ｖ}は,Ｇ/Ｈの

非線型表現のＮＧボソン場パラメータ化として,

ξ(π)＝exp{iπ(ｘ)/ｆ}；π(ｘ)

＝Σ_{a∈(Ｇ－Ｈ)}π^a(ｘ)Ｘ^aとした,ξ(π)の

今のＧ/Ｈ＝Ｕ(1)/{1}に対応するものです。

このとき,φの運動項は,

Ｄ_μφ＝(∂_μ－iｅＡ_μ)[(ｖ＋ρ)exp(iπ/ｖ)/√2

＝exp(iπ/ｖ)[∂_μ－iｅ{Ａ_μ－∂_μπ/(ｅｖ)(ｖ＋ρ)

/√2なので,(Ｄ_μφ)^＋＝exp(－iπ/ｖ)

{∂_μ＋iｅ{Ａ_μ－∂_μπ/(ｅｖ)}(ｖ＋ρ)]/√2

です。それ故,(Ｄ_μφ)^＋Ｄ^μφ＝(1/2)∂_μρ∂^μρ

＋(1/2)ｅ²(ρ＋ｖ)²{Ａ_μ－∂_μπ/(ｅｖ)}

{Ａ^μ－∂^μπ/(ｅｖ)}　です。

そこで,φ^＋φ＝(1/2)(ρ＋ｖ)²より,

μ²φ^＋φ－(λ/2)(φ^＋φ)²

＝(μ²/2)(ρ＋ｖ)²－(λ/8)(ρ＋ｖ)⁴

＝(μ²/2)ρ²＋(μ²/2)ｖ²＋μ²ｖρ

－(λ/8)(ρ⁴＋4ｖρ³＋6ｖ²ρ²＋4ｖ³ρ＋ｖ⁴)

＝(μ²/2－3λｖ²/４)ρ²－(λ/8)ρ⁴

－(λｖ/2)ρ³＋(μ²ｖ－λｖ³/2)ρ－Ｖ₀[ｖ/√2]

です。ただし,－Ｖ₀[ｖ/√2]

＝(1/2)μ²ｖ²－(λ/8)ｖ⁴です。

ｖ＝(2μ²/λ)^1/2＝|μ|(2/λ)^1/2なら

μ²ｖ－λｖ³/2＝0で,μ²/2－3λｖ²/４＝－μ²より,

ｍ²＝2μ²＝λｖ²とし,Ｍ＝ｅｖ＝|μ|(2ｅ²/λ)^1/2

とおけば,Ｌ＝(－1/4)Ｆ_μν²

＋(1/2)Ｍ²{(1＋ｅρ/Ｍ)²{Ａ_μ－Ｍ^-1(∂_μπ)}²

＋(1/2)|(∂_μρ)²－ｍ²ρ²}

－ｍ√λρ³－(λ/8)ρ⁴－Ｖ₀[ｖ/√2]です。

さらに,Ｕ_μ＝Ａ_μ－Ｍ^-1(∂_μπ)と定義します。

すると,Ｆ_μν＝∂_μＵ_ν－∂_νＵ_μなので,

Ｌ＝(－1/4)(∂_μＵ_ν－∂_νＵ_μ)²

＋(1/2)Ｍ²Ｕ_μ²(1＋ｅρ/Ｍ)²＋(ρ場の項)

となり,π(ｘ)は完全に姿を消します。

しかも,ベクトル場:Ｕ_μは質量:Ｍを獲得

しています。

これを,Higgs現象(Higgs-Mechanism)と呼びます。

が,この現象を,もう少し詳しく見てみます。

まず,φ＝(ｖ＋ρ)exp(iπ/ｖ)/√2

→(ｖ＋ρ)/√2,および,Ａ_μ → Ａ_μ－Ｍ^-1∂_μπ＝Ｕ_μ

の変数変換は,ゲージパラメータ:θ(ｘ)を,ｑ数の場;

Ｍ^-1π(ｘ)と置いた.「ｑ数ゲージ変換」になっている

ことに注意します。

すなわち,零質量のベクトル場:Ａ_μが,ＮＧボソン場:

πを吸収して質量Ｍを持つベクトル場(Proca場):Ｕ_μ

になったのです。

(※Ｌ＝(－1/4)(∂_μＵ_ν－∂_νＵ_μ)²＋(1/2)Ｍ²Ｕ_μ²

で記述される有質量ベクトル場をProca場と呼びます。)

ここで,電磁相互作用を切ったとき,つまり,ｅ＝0と

したとき:ｅ≠0の物理的粒子の自由度の収支を勘定

すれば,次のようになっています。

Ｍ＝ｅｖですが,ｅ＝0では,零質量のＡ_μ(２自由度),

零質量のπ(１自由度),零質量のρ(1自由度)であった

のが,ｅ≠0では,質量ＭのＵ_μ(３自由度),質量ｍのρ

(１自由度)となっています。

スピンが1の物理的モードは零質量のときはHelicity

が±1の２自由度しかないですが,質量を得ると静止系も

存在して,モードが1,0,－1の３自由度になることで,

不足している1自由度は,ＮＧボソン場:πにより供給

されます。

ｅ≠0では,Ｌは既にゲージ不変ではなくρ(ｘ)や

Ｕ_μ(ｘ)は,いわゆるゲージが固定された場です。

それ故,ρやＵ_μのみで表わされたLagrangian密度は,

ある種のゲージ固定化がなされたものであり,通常,それ

をユニタリゲージと呼びます。

ユニタリゲージは理論の物理的内容が明白でよいの

ですが,Proca場の伝播関数

(ｇ_νν－ｋ_μｋ_ν/Ｍ²)/(ｋ²－Ｍ²)の紫外部:

ｋ→∞での挙動が悪いため,理論が,くりこみ不可能です。

そこで,くりこみ可能な共変げ－ジの同じ理論に考え

直します、

「くり込み可能共変ゲージ」の項に入ります。

複素場;φのパラメータ化として,上の極分解の代わりに,

先に「Goldstone模型」で取った分解を用います。

すなわち,φ(ｘ)＝{ｖ＋ψ(ｘ)＋iχ(ｘ)}/√2とします。

このとき,Ｄ_μφ＝(∂_μ－iｅＡ_μ)(ｖ＋ψ＋iχ)/√2

＝[∂_μψ－i{ｅＡ_μ(ｖ＋ψ)＋∂_μχ}＋ｅＡ_μχ]/√2

(Ｄ_μφ)^＋＝[∂_μψ＋i{ｅＡ_μ(ｖ＋ψ)＋∂_μχ}

＋ｅＡ_μχ]/√2より,

(Ｄ_μφ)^＋Ｄ^μφ²＝(1/2)[(∂_μψ＋ｅＡ_μχ)(∂^μψ＋ｅＡ^μχ)

＋{ｅＡ_μ(ｖ＋ψ)＋∂_μχ}{ｅＡ^μ(ｖ＋ψ)＋∂^μχ}]

＝(1/2)(∂_μψ²)²＋eＡ_μ(χ∂^μψ－ψ∂^μχ)

＋(1/2)ｅ²Ａ_μ²χ²＋(1/2)ｅ²Ａ_μ²ψ²＋(1/2)Ｍ²(Ａ_μ

＋Ｍ^-1∂_μχ)²＋ｅＭＡ_μψ(Ａ^μ－Ｍ^-1∂^μχ) です。

一方,φ^＋φ=(1/2)(ｖ＋ψ)²＋(1/2)χ²

＝(1/2)(ψ²＋χ²)＋ｖψ＋(1/2)ｖ²より,

(φ^＋φ)²＝(1/4)(ψ²＋χ²)²＋ｖ²ψ²＋(1/4)ｖ⁴

＋(1/2)ｖ²(ψ²＋χ²)＋ｖψ(ψ²＋χ²)＋ｖ³ψ

です。

μ²＝λｖ²/2,ｍ²＝2μ²ですから,ｖ＝ｍ/√λ

で,λｖ＝ｍ√λであり,μ²－(λ/2)ｖ³＝0,

－(λ/2)ｖ²ψ²＝－(1/2)ｍ²ψ²です。

それ故,μ²φ^＋φ－(λ/2)(φ^＋φ)²

＝－(1/2)ｍ²ψ²－(1/2)ｍ√λψ(ψ²＋χ²)

―(λ/8)(ψ²＋χ²)²―Ｖ₀[ｖ/√2] を得ます。

ただし－Ｖ₀[ｖ/√2]＝(1/2)μ²ｖ²－(λ/8)ｖ⁴)

です。

そこで,Lagrangian密度は,

Ｌ＝(－1/4)Ｆ_μν²＋(1/2)Ｍ²{Ａ_μ－Ｍ^-1(∂_μχ)}²

＋(1/2)|(∂_μψ)²－ｍ²ψ²}＋eＡ_μ(χ∂^μψ－ψ∂^μχ)

＋ｅＭＡ_μ²ψ＋(1/2)ｅ²Ａ_μ²(ψ²＋χ²)

－(1/2)ｍ√λψ(ψ²＋χ²)―(λ/8)(ψ²＋χ²)²

－Ｖ₀[ｖ/√2]　と書けます。

この時点では,ゲージ固定がなされていないので,

ゲージ固定処方に従って,このＬ＝Ｌ₀に,

Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ[ｃ~(∂^μＡ_μ＋(1/2)αＢ)]

＝Ｂ∂^μＡ_μ＋(α/2)Ｂ²＋iｃ~∂_μ∂^μｃ

を付加したものを改めてＬとします。

これは普通の共変ゲージ条件です。

この可換群:Ｕ(１)に基づくHiggs模型では,この

共変ゲージの場合,ＦＰゴースト:ｃ,ｃ~は全くの

自由場となりますから,必ずしも導入の必要はあり

ません。

上の,Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ[ｃ~(∂^μＡ_μ＋(1/2)αＢ)]

＝Ｂ∂^μＡ_μ＋(α/2)αＢ²＋iｃ~∂_μ∂^μｃ

とは別の,Ｒ_ξゲージと呼ばれる便利な共変ゲージ

があります。

まず,Lagrangian密度:Ｌ₀の第２項にゲージ場

Ａ_μとＮＧボソン場;χの遷移項:ＭＡ^μ∂_μχがある

ことに注意します。

遷移項があると場の混合が起こり面倒ですから,

ゲージ固定項をうまくとって,これを相殺すること

を考えます。

複素場:φ(ｘ)のゲージ変換:

δφ＝－ｅθ(ｘ)φ(ｘ)は,φ(ｘ)

＝{ｖ＋ψ(ｘ)＋iχ(ｘ)}/√2 により,

２成分の場(ψ(ｘ),χ(ｘ))に対して,

δψ＝－ｅθ(ｘ)χ(ｘ),

δχ＝－ｅθ(ｘ){ｖ＋ψ(ｘ)}

と分解されます。

ところが,ＢＲＳ変換:δ_Ｂはこの式で

θ(ｘ)→ ｃ(ｘ)(ＦＰゴースト場)とするものです。

ゲ－ジ固定項を次のようにとります。

Ｌ^Ｒξ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ[ｃ~(∂^μＡ_μ＋αＭχ

＋(1/2)αＢ)]＝Ｂ(∂^μＡ_μ＋αＭχ)

＋(α/2)Ｂ²＋iｃ~(□＋αＭ²＋ｅαＭψ)ｃ

とします。

最後の変形では,ｅｖ＝Ｍを用いました。

ＮＬ場:ＢをGauss経路積分,または運動方程式

を用いて消去します。Ｌ＝Ｌ ₀ ＋Ｌ^Ｒξ_{ＧＦ＋ＦＰ}に,

対する運動方程式:∂Ｌ/∂Ｂ＝∂^μＡ_μ＋αＭχ＋αＢ

＝0 から,Ｂ＝－(1/α)(∂^μＡ_μ＋αＭχ)より,

Ｌ^Ｒξ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－{1/(2α)}(∂^μＡ_μ＋αＭχ)²

＋iｃ~(□＋αＭ²)ｃ＋iｅαＭｃ~ｃψ　と

なります。

そこで,Ａ_μとχの交差項:Ｍχ(∂^μＡ_μ)が現われる

ため,これとＬ ₀の遷移項:ＭＡ^μ∂_μχと合わせて,

全微分項＝4次元発散項: Ｍ∂^μ(χＡ_μ)

＝ＭＡ^μ∂_μχ＋Ｍ∂^μ(χＡ_μ)となって作用積分では,

これらは落ちることになります。

このＲ_ξゲージでは,たとえ,可換群Ｕ(1)の場合でも

ＦＰゴーストがｃ~ｃψの相互作用項を持つので,

もはや落とすことはできない,というデメリットは

あります。  (再掲記事終了※)

以上,過去記事のコピーで,お茶を濁してサボりました。

これには,続きの記事(13)ｇって,まだ共変ゲージで

ＢＲＳ不変な系の対称性の的破れとＮＧボソンの考察

なこもありますが,今のゼロ質量粒子の希少性と質量獲得

の機構を理解するには,ここまでで十分です。

単純な「Doldsyone模型」で,＜0|φ(ｘ)|0＞＝ｖ/√2

≠0の真空期待値が現われて,結果,Ｕ(1)対称性の自発的

破れが生じて,Φ＝ｖ/√2＋(ψ＋iχ)}/√2 により,

＜0|ψ|0＞＝0,＜0|χ|0＞＝0を満たす無矛盾な実スカラー

場のψとχへのシフトが必要が生じ,ψの方に－/1/2）ｍ²ψ²

の,質量ｍの質量項が現われます。

そして電磁場と共存したＵ(1）局所ゲージ不変性が,

自発的に破れると,ゼロ質量ゲージ粒子の光子Ａ^μも,

質量を獲得してProva場:Ｕ^μのベクトル中間子に

なることが,上述のHiggs機構の説明で解明された

と言えます。

今回はここまでです。このシリーズも終わりに

近づきした。(つづく)

物理学の哲学(12)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

チョッと間があきましたが,前回の記事までで,

場の理論のσ模型を用いて軸性ベクトルカレント

の一般的な４次元発散に対するPCAC(部分的保存

の)式:∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒ＋(アノマリー項)

を見出し,これを利用して中性のπ⁰中間子

の崩壊:π⁰→2γの崩壊率:1/τの予測計算

をすることが,可能となりました。

しかし,唐突にσ模型という場理論の模型

を提示されて,この系のカイラル対称性を仮定

した軸性ベクトルカレントが,現実のπ中間子

の場に関連すると書かれていた,ここまで参照

してきた1975年の学生時代から読んでいた論文

「Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory；(1970 Brandeis

University Summer Institute in Theoretical

 Physics)Volume!.」」に基づいて,ほぼそれに

忠実に過去記事も現在の記事も議論をたどって

記述してきましたが,実のところ,私には以前

から,急にこのσ模型なるモノが出てくる根拠

がよく理解できていませんでした。

そこで,ここからは,恐らくσ模型の原型である

だろうと思われた「南部-Jonalashino模型」に

ついて,考察してみます。

そのため,まず,本ブログの2017年８月末頃

にアップした過去記事「対称性の自発的破れと

南部-Goldostone粒子」のシリーズから必要部分

を再掲引用しながら,記述します。

さて,対称性の自発的破れを起こす例としては

まず,「南部-Goldstone模型」があります

これは系のLagrangian密度が,

Ｌ＝∂_μφ^＊∂^μφ＋μ²φ^＊φ－(λ/2)(φ^＊φ)²

で与えられる模型で,単一の複素スカラー場:φ

のφ⁴-相互作用系であり,ただし,質量項:(μ²φ^＊Φ)

の符号が通常粒子のそれと逆であるのが,通常の系

との本質的な違いになっています。

それ故,通常の＜0|φ(ｘ)|0＞＝0を満たす真空:

|0＞の上では,φの場の励起モードは,負の２乗質量:

－μ²(＜0(虚数質量:±iμ)を持つ,いわゆるタキオン

(Takiyon)となります。

ここでは,これよりは自明でない例として,

「南部-Jonalashino模型」(略してＮＪ模型)を

考察します。

「南部-Jonalashino模型」のLagrangian密度

Ｌは,Ｌ＝Ψ~iγ^μ∂_μΨ＋(Ｇ/Ｎ)[(Ψ~Ψ)²

＋(Ψ~iγ⁵Ψ)²]で与えられます。

ここでは,以下の近似の意味を明確にするため,

Fermion場:ΨはＮ個のDirac場:ψ_i(ｉ＝1…Ｎ)

のＳＵ(Ｎ)変換群の基本表現を示す列ベクトルで

あるとします。すなわち,Ψ＝[ψ₁,..ψ_Ｎ]^Ｔとします。

そして,Ψ~ΓΨ＝Σ_j=1^Ｎψ_j~Γψ_jと規約します。

元々のＮＪ模型は.Ｎ＝1の単純な模型でした。

※「南部-Goldsyone粒子」関係のブログ過去記事の

シリーズをアップしたたのは,2017年頃(67歳の頃)

ですが,この「対称性の自発的破れ」について勉強

していたのは参考ノートによると1990年代(40歳代)

の頃で,確かそのときに1975年前後の学生時代に量子

アノマリーについて記述していた論文中で,出会った

σ模型というのは,これが元になっているのでは？

と思ったのでした。

この関連の過去記事では,Ｎ-Fermion系なのに,

Ｎ＝1の1-パラメータθの位相変換群:Ｕ(1)の変換::

Ψ→ exp(－iθ)Ψ,および,カイラルＵ(1)変換:

Ψ→ exp(－iγ⁵θ)Ψの下での不変性を論じていた

のですが,ここでは,θをＮ-パラメータのベクトル

θ＝(θ₁,.,.θ_Ｎ)に,一般化したＳＵ(Ｎ)のゲージ

変換:Ψ→ exp(－iθ)Ψ,および,カイラルＳＵ(Ｎ)

ゲージ変換:Ψ→ exp(－iγ⁵θ)Ψを考えることに

します。こうすれば,Ｎ＝２のアイソスピンＳＵ(2)

不変性や,(ｐ,ｎ,λ)の３クォークを仮定したＮ＝３

のフレイバーＳＵ(3)不変な,Ｎ-Fermion系のσ模型

に対応することになる。と思います。

そして,ＳＵ(Ｎ)×ＳＵ(Ｎ)対称性群のうち,

カイラル対称性のＳＵ(Ｎ)不変性が成立するには

Ｌに,(－ｍΨ~Ψ)(ｍはゼロでない固有値を持つ

質量行列)のようなFermionの質量項が存在しない,

という必要があります。

そこで,系の動力学により.Fermopnの質量項が

出現して,その結果,カイラルＳＵ(Ｎ)対称性のみ

が,自発的に破れる可能性を調べます。

これは,系における４次のFermion相互作用項

(Ｇ/Ｎ)(Ψ~Ψ)²の形を考慮すると,複合場(Ψ~Ψ)

がゼロでない真空期待値:すなわち,＜0|Ψ~Ψ|0＞

＝－{Ｎ/(2Ｇ)}ｍ ≠0 を実現するなら,(－ｍΨ~Ψ)

の質量項を獲得した,という解釈で,可能になると期待

されます。つまり,Ψ~Ψ＝Ψ^~Ψ^－{Ｎ/(2Ｇ)}ｍと

置くことができれば,この,新たなΨ^については,真空

期待値が,＜0|Ψ^~Ψ^|0＞＝0 と無矛盾となり,この

Ψ~Ψ＝Ψ^~Ψ^－{Ｎ/(2Ｇ)}ｍを満たすΨ^を,改めて

Ψと定義し直せば,質量項(－ｍ(Ψ~Ψ)が出現した。と

解釈できるわけです。

このとき,Ψ→ exp(－iγ⁵θ)Ψ に対する(Ψ~Ψ),

および,(Ψ~iiγ⁵Ψ)の変換則は,それぞれ,(Ψ~Ψ)

→(Ψ~Ψ)cos(2θ)－(Ψ~iγ⁵Ψ)sin(2θ),および,

(Ψ~iγ⁵Ψ)→ (Ψ~Ψ)sin(2θ)＋(Ψ~iγ⁵Ψ)cos(2θ)

です。そして,カイラルカレント:ｊ^5μ＝Ψ~γ^μγ⁵Ψ

によるカイラルチャージ:Ｑ⁵＝∫ｄ³ｘｊ⁵⁰(ｘ) により,

[iＱ⁵,Ψ~(ｘ)iγ⁵Ψ(ｘ)]

＝∫ｄ³ｙ[ｊ⁵⁰(ｙ),Ψ~(ｘ)iγ⁵Ψ(ｘ)]

＝2Ψ~(ｘ)Ψ(ｘ)なる交換関係が得られます。

何故なら,θ＝ε＞0が無限小カイラル変換:Ｕ(ε)

＝exp(－iγ₅ε)＝1－iγ⁵εの場合を想定すると,,

Ψ→Ψ＋δΨ＝Ｕ(ε)Ψ, δΨ＝－iγ⁵εΨなので,

(Ψ~Ψ)→ (Ψ~Ψ)－2ε(Ψ~iγ⁵Ψ),かつ,

(Ψ~iγ⁵Ψ)→(Ψ~iγ⁵Ψ)＋ 2ε(Ψ~Ψ)であり,

[iεＱ⁵,Ψ~(ｘ)iγ⁵Ψ(ｘ)]＝2εΨ~(ｘ)Ψ(ｘ)

となるからです。　

それ故,＜0|Ψ~Ψ|0＞がゼロでないのは,カイラル

チャージ:Ｑ⁵が矛盾なく定義できる対称性が,自発的

に破れていることを意味します。

そして,これは「南部-Goldstoneの定理」から,

カイラルＳＵ(Ｎ)の破れに対応する擬スカラーの

複合場:(Ψ~iγ⁵Ψ)のチャネルに,(Ｎ²－1)個の

擬スカラーの南部-Goldstoneボソン,略して

ＮＧボソンが現われることを意味します。

この,元のLagrangian密度の中には「素Heisenberg場」

のみでＮＧボソンは粒子場としてて用意されていないので

動力学的にＬに結合状態として供給される必要があります。

そこで,この問題を扱うには,補助場の方法と呼ばれる

技法を用います。

まず,Grassman数の外場:η,η~を導入して系の

FermionのGreen関数の生成汎関数を,経路積分の

形で,Ｚ[η,η~]

＝∫ＤΨＤΨ~[expi∫ｄ⁴ｘ{Ｌ＋η~Ψ＋ηΨ~}]

によって与えます。

これの意味は,Ｚは係数がGreen関数:Ｇ^(ｍ,ｎ)の

η,η~のベキ級数の和である。ということです。

つまり,仮にＺが１外場変数:ηのみの関数なら,

それをηでｎ回微分してη＝0と置いたものが

ｎ点Greenn関数:Ｇ⁽ⁿ⁾を与えるえるあるような

汎関数であり,Ｚ[η,η~]は,さらに２変数に拡張

したものです。これにGauss積分の1を表わす因子:

1＝∫Ｄσ~Ｄπ~[expi∫ｄ⁴ｘ

[－{Ｎ/(2λ){σ~²＋π~²}]を挿入して、さらに

積分変数:σ~(ｘ),π~(ｘ)を次のようにσ(ｘ),

π(ｘ)に変数置換します。

すなわち,σ~＝σ＋(λ/Ｎ)(Ψ~Ψ),および,

π~＝π＋(λ/Ｎ)(Ψ~iγ₅Ψ)とします。

すると,この変換で積分測度は不変:つまり

Ｄσ~Ｄπ~＝ＤσＤπです。

故に,Ｚ[η,η~]＝∫ＤΨＤΨ~ＤσＤπ

[expi∫ｄ⁴ｘ{Ｌ_Ｙ(Ψ,Ψ~,σ,π)＋η~Ψ＋ηΨ~}

なる表現相木が得られます。

ただし,Ｌ_Ｙ(Ψ,Ψ~,σ,π)

＝Ψ~iγ^μ∂_μΨ＋(Ｇ/Ｎ)(Ψ~Ψ)²

＋(Ｇ/Ｎ)(Ψ~iγ⁵Ψ)²－{Ｎ/(2λ)}(σ²＋π²)

－{λ/(2Ｎ)}(Ψ~Ψを)²－{λ/(2Ｎ)}(Ψ~iγ⁵Ψ)

です。このＬ_Ｙを湯川Lagrangianと呼べば,これに

対するσ,πについてのEuler-Lagrange方程式は,

σ＝－(λ/Ｎ)(Ψ~Ψ),および

π＝－(λ/Ｎ)(Ψ~iγ⁵Ψ)という式ｍになり,

これらをＬ_Ｙに代入し返すと,元のＬに帰着するため

LとＬ_Ｙが等価なことが確かめられます。

Ｌ_Ｙにおいて,特に,Ｎ＝1としてΨをψと記すと,

このとき,Ｌ_Ｙ＝ψ~iγ^μ∂_μψ＋Ｇ(ψ~ψ)

＋Ｇ(ψ~iγ⁵ψ)²－{1/(2λ)}(σ²＋π²)

－{λ/(2)}(ψ~ψ)²－{λ/(2)}(ψ~iγ⁵ψ)²

－Ｇψ~(σ＋iγ⁵π)ψとなります、

さらに,補助場:σ＝－(ψ~ψ,).π＝－λ(ψ~iγ⁵ψ)

を導入して,代入すると,

Ｌ_Ｙ＝ψ~iγ^μ∂_μψ－Ｇψ~(σ＋iγ⁵π)ψ

＋(Ｇ/λ²)(σ²＋π²)－{1/(2λ³)}(σ²＋π²)

－({1//(2λ)}(σ²＋π²)　と書けます。

ところが一方,素朴なＮ＝1のσ模型は,次のLagrangian

密度Ｌを持ちます。これは,陽子ｐのスピノル場:ψ(ｘ)

中性π⁰中間子の場:π(ｘ),および,スカラー中間子の場

σ(ｘ)のみを含む単純な系のそれです。すなわち,

Ｌ＝ψ~{iγ^μ∂_μψ－Ｇ₀ψ~(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ⁵)}ψ

＋λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²}

＋(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²)

＋(1/2){(∂π)²＋(∂σ)²}－(μ₁²/2)(π²＋σ²)

です。

このσ模型のＬの表式と,先のＮ＝1の

「南部-jonalashino模型」でのＬ_Ｙを比較して

類似点,相違点を見てみます。

まず,「南部-Jonalashino模型」は自発的破れが

生じる前には正確にカイラル対称性を持っている系

なので,元々,Fermion場:ψの質量項がない系である

としていますが,σ模型の実際の核子(ｐ,ｎ)のような

Fermionには裸の質量:ｍ₀≠0があり,ｍ₀＝Ｇ₀/ｇ₀と

置けば,質量項:－ｍ₀ψ~ψ＝－Ｇ₀ｇ₀^-1ψ~ψが存在する

はずです。

「南部-Jonalashino模型」のＬ_Ｙの第1行は,

[ψ~iγ^μ∂_μψ－Ｇψ~(σ＋iγ⁵π)ψ]ですが,

これに,この質量項を加えると,

[ψ~iγ^μ∂_μψ－ψ~Ｇ(ｇ₀^-1＋σ＋iγ⁵π)ψ]

となって,σ模型のＬの第1行と一致します。

第２行以下の,σ,πの相互作用項は,σ模型の

項の方が複雑で,明らかに両者一致はしませんが

重要な共通点があります。

先のGreen関数の生成汎関数を再掲すると,

Ｚ[η,η~]＝∫ＤΨＤΨ~ＤσＤπ

[expi∫ｄ⁴ｘ{Ｌ_Ｙ(Ψ,Ψ~,σ,π)＋η~Ψ＋ηΨ~}

ですが,これで先にＤηＤη~積分を実行したものを

単にＺと書き,これをσ,πの1粒子既約グラフの総和

として,Legendre変換で変数を外場からσ,πに変換

したもの,または,摂動展開した項の(ｈ_ｃ）^ｎのオーダー

のｎ次の展開係数の運動量表示がｎ点頂点関数:Γ^(ｎ)

となる有効作用:Γ[σ,π]から,時間ｔへの依存性を

はずした有効ポテンシャル:Ｖ[σ,π]を比較します。

これは,もはや演算子の関数ではなく期待値の関数

を意味します。

有効ポテンシャルについて上に,複雑な定義を

書きましたが,要するに力学の系のLagrangian

が,Ｌ＝Ｔ－Ｖと表現されるときの運動項を除く

相互作用ポテンシャル:Ｖを,量子論的に述べただけ

です。そこで,σ模型のＬと,南部-Jonalashino模型

のＬ_Ｙでは,Ｖ[σ,π]は(σ,π)平面上の回転体で

あり,ワイン瓶底状の形で,結合係数λが大きくなる

と,(σ,π)＝(0,0)以外に,Ｖ[σ,π]が停留置を取る

(σ,π)値が存在します。特に,Ｌ_Ｙでは,π＝0のとき.

σ＝σ₀≠0に最小値があります。

そして,Ｖ[σ₀,0]＜Ｖ[0,0]が成立するため,対称で

あったσ＝0の真空(基底準位)が新たな真空に相転移

する,「対称性の自発的破れ」が生じるわけです。

これが,σ模型と南部-Jonalaxhino模型の両者の

有効ポテンシャルＶが持つ,共通の性質です。

ただし,実際は「南部pJpnalashino模型」は,

場の演算子σが当然,満たすべき,＜0｜σ|0＞＝0

という真空の対称性条件が破れ,＜0|σ|0＞＝σ₀＜0

となることから＜0|ψ~ψ|0＞＝－σ₀/λ＞0の質量項

が出現してカイラル不変性が破れるのでしたが.σ模型

では,元々,∂_μｊ^5μ＝－μ₁²ｇ₀-¹πのPCAC式しか成立

せず,カイラル対称性を持たない系です。

σ模型は,あらゆる次数までで,＜0|σ|0＞＝0となる

ように,模型が全体に平行移動された形式を選択している

からです。つまり,σ模型は「南部-Jonalashino模型」

の系のカイラル対称性が破れた結果として得られる系

であると解釈されます。

※これで,後,残る問題は対称性が破れた時点では,

πがゼロ質量のＮＧ・擬スカラーボソンに対応して

おたはずなのに,実際は135～140MeＶのゼロでない

観測質量μを持つ粒子となるに至った,メカニズム

を解明するだけです。しかし,キリもいいし,この

問題は,次回に譲って,今回はここまでにします。(つ

物留学の哲学（11)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

(※余談):今日は9月25日(金)です。

けさはゴミ出しに行くともう肌寒かったです。

温暖化で日本も亜熱帯気候に近くなり,日本

にはいないはずの動植物やデング熱,マラリア

などの細菌やウィルスもいて驚きます。

今年も秋は短かく,すぐに冬がくるのでしょうね。

今度は,時代劇で笠置シズ子が出てるのを見て

泣けました。時代劇チャンネルは,昭和の今は亡き

出演者が多くて,まだ,若くて元気なのかと勘違い

しますね。懐かしいですが。(余談終わり※)

※さて本題です。前回の記事では,このシリーズ

で書いてきた内容を,自分の中で改めて整理する

ために長い要約を書き記しました。

今回は,その続きとして,まず,要約記事の直前の

前々回の記事を思い出し,その最後の部分を再掲載

して,そこから話の続きを進めたいと思います。

• 以下は,まず再掲載記事の部分です。

前々回の記事「物理学の哲学(9)」の最後では,

中性のπ⁰中間子の崩壊:π⁰→2γにおいて,入射

する,または静止状態のπ⁰中間子の運動量がｑ^μ

の場合の,崩壊のＳ行列要素Ｓ_fiを書き下した式

を考察しました。これはLSZの公式により,

Ｓ_fi＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ_2,ε₂);out|π⁰;in＞

＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)(□_ｘ＋μ²)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ|0＞という

式で与えられますが,これはｘ表示ではincoming

漸近状態のπ⁰中間子の平面波の基本波動関数:

ｆ_ｑ(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ｑ₀)^-1/2exp(－iｑｘ),および

崩壊して出てゆく２光子のincomingの状態関数:

(2π)^-3(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ｅxp{i(ｋ₁＋ｋ₂)ｘ}によって,

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ[(2π)^-9/2exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)}

(2ｑ₀)^-1/2(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂,ｑ)]

と書けるはずです。

ただし,Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)は,３粒子の運動量ｋ₁,ｋ₂

ｑに依存する部分の指数関数以外の因子です。

そこで,(2π)^-1/2(2ｑ₀)-^1/2(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊

Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂,ｑ)は,上記Ｓ_fiの積分表示の被積分関数:

iｆ_ｑ(ｘ)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

のFourier変換の形になっています。

それ故,(2π)(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂,ｑ)

は,ｆ_ｑ(ｘ)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

から,,π⁰の波動関数ｆ_ｑ(ｘ)をはずした２光子の状態

の振幅:＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

のFourier変換(運動量表示であると考えられます。

他方,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)

によって関数Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)を定義します。

すると,２種類のＳ_ｆiの積分表示の比較から,

(2π)Ｓ_σΡ(ｋ₁,ｋ₂,:ｑ)＝ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)

なる等式の成立がわかります。

と書いたところて記事は終わりました。 

(※以上,再掲記事終わり※)

ここからが,今回の続きの記事です。

さて,これまでは電磁場の存在しない場合の

σ模型を論じてきましたが,これに電磁場:Ａ^μ(ｘ)

を含めるには,元のσ模型のLagrangian密度:Ｌ

に,－(1/4)Ｆ_μνＦ^μνと,－ｅ₀ψ~_ｐγ_μψ_ｐＡ^μの

２項を加えるだけです。

すると,三角グラフの存在のために,PCACの素朴

な方程式:∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒは,次のように

アノマリーを持ち形に修正されます。

すなわち,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒ

＋(1/2){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρです。

ただし,右辺最後のアノマリー項の因子:(1/2)

は,単にσ模型の軸性カレントの具体的な表式:

ｊ^5μ＝(1/2)ψ~γ^μγ⁵ψ＋σ(∂^μπ)－π(∂^μσ)

＋ｇ₀^-1(∂^μπ)の最初の核子項に現われる因子

の(1/2)を反映したものです。

そこで,適切に正規化された(くり込まれた)Feynman

規則を導入し,QEDでの論旨を同様に実行することに

より,これが電磁相互作用と強い相互作用の両方の

摂動論の全ての次数まで正しいことを示せます。

つまり,三角グラフへの如何なる仮想光子,仮想中間子

の輻射補正もアノマリー項とそのの係数を変えること

はないわけです。

上述の考察の全ては,先のσ模型では,アイソスピン

対称性変換群のSU(2)群の基本表現の核子(ｐ,ｎ)系を

想定していましたが,これを,ハドロンのクォークの

フレイバーSU(3)群の基本表現(ｐ,ｎ,λ)系への一般化

に持ち込むことができます。

(※ 現在では(ｕ,ｄ,ｓ,ｃ,ｔ,ｂ)の６種の存在が

認められているクォークは,過去の記事で参照した論文

出版時の1970年当時には,)ｕ,ｄ,ｓの,３種だけと

考えられていて,(ｐ,ｎ,λ)と記すのが慣習でした。)

(ｐ,ｎ,λ)を基底とするSU(3)のケースなら,Ψは

３成分でψ＝(ψ₁,ψ₂,ψ₃)^Ｔに置き換えられ,スカラー

中間子σと:擬スカラー中間子πは９重項の中間子

(1重項＋８重項)に置き換えられるため,軸性ベクトル

カレントは,８成分のカレントＪ^5μとなり,π⁰に対応

するのは,その第３成分:Ｊ^5μ(3)になります。

それ故,π⁰に対してのアノマリーを持つPCAC方程式

は,∂_μＪ^5μ(3)＝(f_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρ

×ε_ξστρと書けます。

ただし,係数Ｓは,Ｓ＝Σ_iｇ_iＱ_i²で定義されています。

ここにＱ_iはＪ^5μ(3)の中に素粒子場として現われる

ｉ番目のFermion(クォ―ク) の電荷であり,ｇ_iは,

その結合定数です。つまり,Ｊ^5μ(3)＝Σ_iｇ_iψ~_iγ^μγ⁵ψ_j

＋(中間子項)という表式でのｇ_iを意味します。

これも摂動論の全ての有限次まで正しい式です。

Ｓに対する表現:Ｓ＝Σ_iｇ_iＱ_i²の解釈はアノマリー

へのトータルの寄与は,個々の素Fermi粒子を全て

巻き込む,各々の三角グラフの寄与の総和による

と考えるからです。

PCAＣB関係式:∂_μＪ ^5μ(3)＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ

＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ は,素朴な４次元

発散が,乗法的くり込み可能な任意のくり込まれた

場の理論において,正しいと予測されます。

したがって,正しいPCAC式は,∂_μＪ ^5μ(3)

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.

よなりますが,これはσ模型のような特殊な場理論

の模型でなく,一般的なクラスの模型でも成立する.

正確な方程式である,と考えられます。

そして,次は「摂動論のアノマリー(20)」の

「π⁰ 崩壊の低エネルギー定理」という項目

から引用した議論です。

アノマリーを持つ４次元発散の真空から2光子への

行列要素としての正確な「低エネルギー定理」を考える

ため,まず,∂_μＪ^5μ(3)＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ

＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.における素朴な

４次元発散の値:(ｆ_π/√2)π^0ｒがπ⁰中間子の場

であることに着目します。

この場合「低エネルギー定理」は,π⁰中間子の質量

がゼロでのoff-shellに外挿されたπ⁰ → 2γの振幅に

ついての命題が得られます。

π⁰ → 2γの振幅:Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)の標準定義は,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)であったことを思い起こします。

そして,くり返しになりますが,別の過去記事では,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|∂_μｊ^5μ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂),

＜γ(ｋ₁,ε)γ(ｋ₂,ε₂);in|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ(ｋ₁ｋ₂),

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|{α₀^/(4π)}

(Ｆ^ξσ＋Ｆ^Ｒξσ)(Ｆ^τρ＋Ｆ^Ｒτρ)ε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＨ(ｋ₁ｋ₂)

として,(ｋ₁ｋ₂)の関数:Ｆ,Ｇ,Ｈを定義し,これら

は実は対数発散するので,切断Λを入れて正規化した

Ｆ_Λ,Ｇ_Λ,Ｈ_Λのくり込まれた量であるＦ~,Ｇ~,Ｈ~,

つまり,Ｆ~(ｋ₁ｋ₂)＝lim_Λ→∞Ｆ_Λ(ｋ₁ｋ₂) etc.

に対して,Ｆ~(0)＝0,Ｇ~(0)＝－Ｈ~(0)＝－2α/π

が成立する。という「低エネルギー定理」

を得ています。今の場合はアノマリー項の因子Ｓを

含めるように,係数Ｈを定義し直すとＨ~(0)＝2αＳ/π

となるので,Ｇ~(0)＝－Ｈ^(0)＝－2αＳ/πです。

そしてＦ(ｋ₁ｋ₂),Ｇ(ｋ₁ｋ₂),Ｈ(ｋ₁ｋ₂)の

定義式を,Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)の定義式:

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

ε_ξτσρ×Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)と比較して,(ｋ₁ｋ₂)＝0の場合を

考えると,上記の「低エネルギー定理」

は,Ｇ~(0)＝－2αＳ/π＝(μ^-2ｆ_π/√2)Ｆ^π(0)

となります。

すなわち,π₀崩壊のＳｇ等列要素の真空から２光子

への因子:Ｆ^πに対しては,正確な「低エネルギー定理」

は,Ｆ^π(0)＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)を意味する

ことがわかります。

何故なら,π⁰の運動量:ｑ^μ＝ｋ₁^μ＋ｋ₂において.

ｑ²＝(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0,つまり,(ｋ₁ｋ₂)＝0の

低エネルギーは.質量がゼロのoff-Shel(質量殻外に

ある仮想π中間子状態意味しますが,このときには,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝{－(ｋ₁＋ｋ₂)²＋μ²)}

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

＝μ²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ

×Ｆ^π(0)となります。

ところが,π⁰を含むPCAC関係式:∂_μJ ^5μ(3)

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρ

×ε_ξστρ.によれば,

μ²π^0ｒ＝(√2μ²/ｆ_π)∂_μJ ^5μ(3)

－(√2μ²Ｓ/ｆ_π){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.

です。

それ故.μ²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ|0＞

＝(√2μ²/ｆ_π)

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);ih|∂_μＪ^5μ(3)|0＞

－(√2μ²Ｓ/ｆ_π){α₀/(4π)}

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

と書けます。

そして,この式の両辺の各項から,共通因子

の(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρを除けば,Ｆ^π(0)＝(√2μ²/ｆ_π)Ｆ(0)

－(√2μ²/ｆ_π)Ｈ(0)を得ますが,これはくりこんだ

量では,Ｆ^π(0)＝(√2μ²/ｆ_π)Ｆ~(0)－(√2μ²/ｆ_π)

×Ｈ~(0)となります。そして,この右辺第１項の

Ｆ ~(0)は,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|∂_μＪ^5μ(3)|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂)の係数Ｆをくりこんだ量

ですが,これは,低エネルギーのｑ²＝(ｋ₁＋ｋ₂)²

＝0ではＦ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｆ（0）＝0,であり,

Ｆ~(0)＝0です。

したがって,結局,Ｆ_π(0)＝－(√2μ²ｆ_π)Ｈ~(0)

を得ます、

　ここで先の「低エネルギー定理」によれば,

0＝Ｆ~(0)＝Ｇ~(0)＋Ｈ~(0)であって

Ｈ~(0)＝2αＳ/πより,Ｇ~(0)＝－Ｈ~(0)

＝－2αＳ/πなので,Ｆ^π(0)＝(√2μ²/ｆ_π)Ｇ~(0)

＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)が得られます。

ところで,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝{－(ｋ₁＋ｋ₂)²＋μ²}

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

ですから,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ²の(on-shell；

量殻上)にあるときは,(ｋ₁ｋ₂)＝μ²/2

なのですが, このと両辺がゼロで,左辺は

Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)＝Ｆ^π(μ²/2)に比例する量なので,

Ｆ^π(μ²/2)＝0となりそうですが,実際には,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞が,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ²

に極を持つ,と考えられるので、この質量殻上での

Ｆ^π,(μ²/2)は。一般にゼロにはなりません。

しかし,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞は,

質量殻外の(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0 には、極を持たない

ので.(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0  のとき,

(ｋ₁＋ｋ₂)²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ~(ｋ₁ｋ₂)(ｋ₁＋ｋ₂)²は,ゼロです。

またまた,くり返しになりますが,π⁰ → 2γ

の崩壊行列要素は,Ｓ_fi

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)π^0ｒ(ｘ)|0＞

＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-4 exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}

(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞　

で与えられますが,他方,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ったので,

ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ

×Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)であＦ^π(0)

＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)は,低エネルギー

でのπ⁰ → 2γの振幅が,直接:∂_μJ ^5μ(3)

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρ

×ε_ξστρ.のアノマリー項に比例することを

示しています。

この項はSに依存します。そして,Ｓは

素Fermi粒子の電荷Ｑと,その軸性カレント

での結合定数ｇからＳ＝Σ_jｇ_ｊＱ_j² によって

決まります。

さて,求めるべき,π⁰の崩壊率:1/τ(τは崩壊寿命)

については,次の公式があります。

すなわち,1/τ＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²..です。

これは,崩壊の反応体積をＶ,時間をＴとすると,

単位体積当たりの遷移速度は,|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)

＝(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)(2π)^-9(8ｋ₁₀ｋ₂₀Ｅ_q)

|Ｆ^π(μ²/2)|²

[Σ_ε1,ε2|ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ|²]

で与えられます。ただし,Ｅ₀＝ｑ₀で,これは

π⁰中間子のエネルギーです。

※(注):何故なら,まず,Ｓ_fiは４元運動量保存の因子:

(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)を含み,ＶＴ＝(2π)⁴δ⁴(0)

と同定されるので.|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)は,因子:

(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)を1個含みます。

π⁰ →2γ反応では,Ｓ_fiが規格化因子：

(2π)^-3/2(2ｋ₁₀)^-1/2(2π)^-3/2(2ｋ₂₀)^-1/2

(2π)^-3/2(2Ｅ₀)^-1/2を持つため,これは

|Ｓ_fi|²(ＶＴ)には(2π)^-9(８ｋ₁₀ｋ₂₀Ｅ_q)^-1

の寄与をします。

そして,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ² のときｋ₁²＝ｋ₂²＝0

より,(ｋ₁ｋ₂)＝μ²/2なので,係数:Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)

の寄与はＦ^π(μ²/2)です。

そして,π⁰の静止系を想定するとｑ^μ＝(Ｅ_q,ｑ)

=(μ,0)です。そこで,ｋ₁＝－ｋ₂＝ｋとおくと,

ｋ＝|ｋ|＝μ/2ですから,ｋ₁₀＝ｋ₂₀＝ｋ＝μ/2です。

よってｋの向きを3軸(ｚ軸)に取ってｋ＝ｋｅ₃と

すると,ｋ₁^ξｋ₂^τで.ゼロでないのは,ξ＝0,τ＝3か,

ξ＝3,τ＝0のみです。

さらに,ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ＝2ｋ²ε_{0 3σρ}

においてε₁,ε₂は横波を示すので,ε₁ｋ₁＝ε₂ｋ₂＝0,

より,ゼロでないのは,(σ,ρ）＝(1,2),(2,1)のみで,

このとき,ε₁^σ＊ε₂^ρ＊＝1です。

結局,Σ_ε1,ε2|ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ|²

＝|2ｋ²ε_{0 312}|²＋|2ｋ²ε_{0 321}|²＝8ｋ⁴を

得ます。全空間Ｖに1個のπ⁰が存在する,という

規格化を考慮してπ⁰の１個当たりの崩壊確率を

求めると,1/τ＝(1/2!)∫ｄ³ｋ₁ｄ³ｋ₂{Ｖ|Ｓ_fi|²

/(ＶＴ)}＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²が得られます。

因子:(1/2!)は,２光子の区別不可能性による因子

です。こうして得られた評価式1/τ_-1

＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²において,Ｆ^π(μ²/2)

をＦ^π(0)＝－(2√2μ²αＳ)/(πｆ_π)で近似すると,

結局,π⁰崩壊の崩壊率の近似計算値が,

1/τ＝(μ³/64π)|8μ⁴α²Ｓ²/(π²ｆ_π²)

＝Ｓ²μ⁷α²/(8π³ｆ_π²)で与えられることが

わかりました。

これに,具体的な物理定数の近似値:α～1/137,

μ～135 MeＶ,および,f_π～√2ａ_πμ²/ｒ_Ａ,に

ａ_π＝0.87μ～0.97μを代入,過去記事「弱い相互

作用の旧理論(7)」からの引用でｒ_Ａ～1.21の代入

から得られるｆ_π＝1.02μ³ ～1.13μ³をも,1/τを

与える式に代入すれば,崩壊率の近似計算値として

,1/τ＝22.74Ｓ²eＶ～30.21Ｓ²eＶを得ます。

一方,Rosenfeldによって引用されたπ⁰崩壊の

崩壊率の実験値は,

1/τ_exp＝(1.12±0.22)×10¹⁶sec^-1

＝(7.37±1.5)eＶです。(※つまり,π⁰の

崩壊寿命は,τ～10^－16sec程度です。また,現在

でのより正確な実験値は,1/τ_exp＝(7.48±0.32)eＶ

です。)

そこで,仮にＳ²＝1/4であれば,計算値が,

1/τ＝5.68 eＶ～7.55ｅＶと予測されます。

この結果からは,Ｓ²＝1/4のときに実験値との

著しい一致を見ることになります。

ところが,π⁰が関わる軸性ベクトルカレント

では,クォークの基本３粒子の場:Ψ＝(ψ₁,ψ₂,ψ₃)^Ｔ

＝(ｐ,ｎ,λ)^Ｔの結合定数について,ストレンジ粒子

λは無関係で(ｇ₁,ｇ₂,ｇ₃)＝(1/2,－1/2,0) です。

そして電磁カレントの[Ｕスピン不変性]から,

基本粒子の(ｐ,ｎ,λ)の電荷は,(Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃)

＝(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)というパターンを持ち,

Ｑ＝2/3とすると(Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃)＝(2/3,－1/3.－1/3)

なのでＳ＝Σ_jｇ_ｊＱ_j²＝1/6となります。

しかし,現在の見地では,クォークにはフレイバー

自由度とは独立に,カラー自由度が存在して,カラー

ＳＵ(3)対称性を持つことが知られており,この自由度

３により,Ｓ＝(1／6)×３＝1/2となるため,確かに

Ｓ²＝1/4を満たします。。　

現在,ハドロンを構成する基本粒子のクォーク

はフレイバー自由度も３個ではなく６個の

(ｕ,ｄ,ｓ,ｃ,ｔ,ｂ)＝(up,down,strange,charm,

top,bottom)が存在すると,されていますが,

1970年当時は,そのうちの３個(ｐ,ｎ,λ)

＝(ｕ,ｄ,ｓ)の３種だけで基本クォークが

構成されると予想されていました。しかし

π中間子と関わるカレントのクォーク成分は

(ｕ,ｄ)＝(ｐ,ｎ)だけなので,全体のフレイバー

自由度が３から６に増加しても,カラーを考量

したＳ＝1/2という値には変わりなく実験値との

矛盾はないことになります。

荷電π中間子π^±の平均寿命が,τ～2.6×10^-8sec

と観測されているのに対し,中性のπ⁰中間子の

平均寿命は,τ～10^－16 sec程度と,はるかに短かく

π0→2γの崩壊は,π→μ＋ν~の崩壊とは異なる作用

で,アノマリー項の寄与によるものと考えられると

いうのが,最終結論です。

そもそも,π中間子は,カイラルゲージ対称性を持つ

系の対称性の自発的破れで「南部-oldstonの定理」に

従って出現したゼロ質量の粒子(ＮＧ粒子)が,ゲージ

対称性の破れという特殊性で,Higgsメカニズムに

よって質量を獲得した粒子と解釈されています。

　それ故,元々質量は大きくなく,もしも本当にゼロ質量

なら中性π⁰の場合,理論上崩壊は禁止されるので,実際に

崩壊が生じるのはアノマリー存在のためと考えられます。

アノマリーは,ゴーストや仮想粒子のように,存在しても

実在として観測されないモノではなく,現実に観測され,

崩壊寿命の計算などに必要なモノです。

ここで,キリもいいので今回はここまでです。(つづく)

物理学の哲学(10)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

(※余談):今日は９月18日(金)です。

先日,私と同学年の岸部シローさんが亡くなられた

ようです。元ＧＳのタイガースのメンバーで岸部一徳

さんの弟,時代劇では関西弁のキャラで面白かったの

ですが。。今年に入って,コロナで,志村けんさんも

亡くなられました。昨年は,ショ－ケン(萩原健一さん

,ちょっと前には,関西のやしきたかじんさんと,

1949/４～1950/３生まれの私と同学年の芸能人が

次々と病死されています。

有名人じゃなくても,ここ数年,同年代の身近な飲み

友達など,数人がガンなどの病気で他界しました。

皆,70歳以上で,諸行無常とはいえ,さみしいことです。

ところで,時代劇といえば,つい先日,専門チャンネル

を視ていると,昭和30年代,テレビを見始めた頃に映画

やＴVで活躍されていた嵐寛寿郎さん(アラカン)と,

上原謙さんが「必殺」に出ていて,私,つい涙が出そうに

なりました。近衛十四郎さんもいたら完璧でしたがね。

結局,無名の馬の骨,有象無象の私だけが70歳にして

まだ,何とか,生きています。

「憎まれっ子,夜(ヨル)にハバカリ」とかね。。。

その昔,池袋の専門学校の講義で,このオヤジギャグ

をカマしても「ハバカリって何？」ということで全く

ウケませんでした。

ハバカリとは,便所,ご不浄,お手洗い,化粧室,雪隠

(セッチン),川屋(カワヤ),トイレ、W.C.(water-closet,

orウンコとシッコ)でんがな。。。(以上,余談終わり※)

※さて,本題です。

崩壊:π⁰→2γの崩壊率を求める問題は,今,初めて

考察してブログ記事を作っているのじゃなく,本ブログ

の過去に書いた記事を,ストーリーに従って並べ直して

いるだけです。

昔の記事をコピペしては,修正しながらアップして

いるうち,自分でも混乱してきたので,ここで,これまで

の記事の経過を,詳細を省いて主な結論だけを要約して

頭の中にあるストーリーを,整理してみました。

※ブログサイトの改編や,ｾキュリティ強化で図や写真

も入れたいけど,昔ほど簡単には挿入できず,文章ばかり

の内容なのも,混迷と退屈の原因カモね。）

さて,まず,裸の質量がｍ₀,で,スピンが1/2の電子ｅや

陽子ｐなどのスピノル場:ψ(ｘ)で記述されるFermionの

荷電粒子の場と電磁場(光子の場)Ａ^μが共存する系で,

ψによる軸性ベクトルカレントの演算子:

」^5μ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ^μγ⁵ψ(ｘ)を考えると,もしもｍ₀＝0

(質量がゼロ)なら,カイラルゲージ変換に対する系の

不変性が成立して,∂_μ」」^5μ＝0と,その軸性ルカレント

の４次元発散がゼロとなって,カレントの保存が成立

するのですが,一般には,ｍ₀≠0なので,∂_μ」^5μ

＝2iｍ₀ｊ⁵≠0であり,このカレントは,時間的に保存

される物理量ではありません。ただし,」⁵(ｘ)

＝ψ~(ｘ)γ⁵ψ(ｘ)です。この式はPCAC(部分的保存)

の関係式と呼ばれます。

ところが,電磁場の存在の下で頂点関数に対して成立

するはずのWard-高橋の恒等式(ＷＴ恒等式)を考察する

ために,カイラルの軸性頂点γ^μγを含むVVA三角ブラフ

(vector-vwctor-Axialvsctor diagram)の寄与を調べると

純粋にQEDの計算だけから得られた関係に,余分な項

アノマリー項(量子異常項)が存在することがわかり

ます。そして,これは簡単には除去できない本質的意味

がある項であることがわかります。

このＷＴ恒等式のアノマリーは,実は.軸性カレント

のPCAC式に,アノマリー項が存在することに由来して

います。すなわち,∂_μ」^5μ＝2iｍ₀ｊ⁵

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρなる関係式に起因

しています。

これら両辺の各項は,摂動論のFeynmanグラフの計算

では,対数発散し,有意な量とみるには正規化して補正

する必要がありますが,それはアノマリー項だけに効く

ので,補正率をＣとすると,∂_μ」^5μ＝2iｍ₀ｊ⁵

＋(1＋Ｃ){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρと修正されます。

これがπ⁰→ 2γ崩壊率に如何に関係するか?を見るため

そのＳ行列要素:Ｓ_fi＝＜ｆ；out|ｉ;in＞

＝<γ(ｋ₁,ε₁),γ(ｋ₂,ε₂)；out|π0;in＞を考えると,

LSZの公式からＳ_fi＝i∫ｄ⁴ｘｆｑ(ｘ)(□_ｘ＋μ²)

<γ(ｋ₁,ε₁),γ(ｋ₂,ε₂):iｎ|π^0ｒ(ｘ)|0＞なる表式を

得ます。ただし,π^0ｒ(ｘ)は,π^0ｒ(ｘ)＝(Ｚ₃^π)^1/2π⁰(ｘ)

で定義される,π⁰中間子の(裸の)場:π⁰(ｘ)のくりこまれた

場であり,μは,π⁰の質量を意味します。

一方,後の便宜のため,∂_μ」^5μ＝2iｍ₀ｊ⁵

＋(1＋Ｃ){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρの両辺の各項

を,＜γ(ｋ₁,ε₁),γ(ｋ₂,ε₂);in＞|と,真空:|0＞で

挟んだ行列要素を考えます。

これらは全てｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρに比例する

と考えられるので,それぞれ,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|:in|∂_μｊ^5μ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ(ｋ₁ｋ₂)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂):in|

{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＨ(ｋ₁ｋ₂)　と置きます。

すると,先の軸性ベクトルカレントのPCAC関係式

は,Ｆ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｇ(ｋ₁ｋ₂)＋(1＋Ｃ)Ｈ(ｋ₁ｋ₂)

に帰着します。

そして,Ｆ(ｋ₁ｋ₂)∝(ｋ₁ｋ₂)なる性質があるので,

２光子の４元運動量ｋ₁,ｋ₂が,ｋ₁～0,ｋ₂～0.である

ような低エネルギー極限では,Ｆ(0)＝0であり,その

領域では補正Ｃは無視できるので

0＝Ｆ(0)＝Ｇ(0)＋Ｈ(0),または,Ｇ(0)＝－Ｈ(0)を

得ます。アノマリー項の低エネルギーでの寄与:

Ｈ(0)は,VVA三角グラフで,具体的に計算できて,

Ｈ(0)＝2α₀/πであり,故にＧ()=－2α₀/πです。

しかし,実際にはＦ,Ｇ,Ｈは対数発散するので

切断Λを入れて正則化した量をＦ_Λ,Ｇ_Λ,Ｈ_Λとして

これらのくり込まれた量をＦ~,Ｇ~,Ｈ~とします。

つまり,Ｆ~(ｋ₁ｋ₂)＝lim_ｋΛ→∞Ｆ_Λ(ｋ₁ｋ₂).etc.です。

すると,ｋ₁～0.ｋ₂ ～0の低エネルギー極限では,

Ｆ~(0)＝0,Ｈ~(0)＝2α/πであり,Ｇ~(0)＝－2α/π

になる,という定理を得ます。

これがQEDの軸性ベクトルカレントのPCACとVVA

アノマリーに関する「低エネルギー定理」です。

これらQEDのVVA三角アノマリーと「低エネルギー定理」

の結果を,π⁰中間子の崩壊と関連付けるため,一般化して,

場の理論のアイソスピン対称性を持つσ模型を導入します。

その系のLagrangian密度:Ｌのカイラル変換に対応する

Noetherカレント:ｊ^μ(ｘ)＝－δＬ/δｖ)は軸性カレント

なので,これをｊ^5μ(ｘ)と書くと,QEDの軸性カレントの

PCAC式と同じ形のカレントの４次元発散に対する関係式:

∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)πを得ます。(※ここではｊ^5μもπも

アイソスピンが1の,アイソベクトルです。)

さらに,π中間子の(裸の)場:πのくりこまれた場:π^rと,

くりこみ定数Ｚ₃^πを,,π^r(ｘ)＝(Ｚ₃^π)^1/2π(ｘ)で定義すると,

∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^rとなります。

次に,π中間子の崩壊振幅:ｆ_πを次式で定義します。

すなわち,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)

×(ｆ_π/√2.)とします。そして,これの４次元発散を

取り ＜π-（q）|πr|0＞=（2ｑ₀）^-1/2因子をはずして

演算子式として,先の∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^r

と右辺を比較すると,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2＝ｆ_π/√2

なる等式を得ます。

そこで,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^rのくり込み

定数が除去されて,物理量だけで書き表わしたPCAC

の関係式が得られて,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒと

書けます。

ところが,中性子のβ崩壊:ｎ→ｐ＋ｅ＋ν~に代表

される,弱い相互作用の現象論的Fermi理論では,荷電

π中間子の崩壊:π→μ＋ν~の崩壊率を求めるには,

現象論的相互作用Hamiltonian:Ｈ_π→μνの１次の効果で

ある,＜Ｈ_π→μν＞＝(Ｇ/√2)∫ｄ⁴ｘ

＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞{μ~(ｘ)γ^μ(１－γ⁵)ν(ｘ)}

という計算式を用いて行います。

(※ν~はニュートリノ:νの反粒子を意味します。)

しかし,π→μ^ー＋ν~に寄与するのは,V-Aカレントの

うち,Aの部分のみで,レプトン因子のA＝軸性カレント

を,Ｌ^^μ(ｘ)＝μ~(ｘ)γ^μγ⁵ν(ｘ)と表わせば,

崩壊振幅への実際の寄与は,(Ｇ/√2)∫ｄ⁴ｘ

＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞Ｌ＾^μ(ｘ)となります。

そして,π^－の４元運動量がｑ^μの粒子状態

への寄与を＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞

＝(2π)^-3/2(2ｑ₀)^-1(iｑ_μ)(ａ_π)として,π中間子の雲

の振幅:ａ_πを定義すると,崩壊:π→μ＋ν~の振幅は,

＜μν~|Ｌ^^μ{0＞

＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂_μπ^ー)|π^－＞＜π^－|π^－(ｑ)＞

と表現されます。そして,これによって崩壊率:1/τを

計算すると,1/τ＝{Ｇ²ａ_π²/(8πμ)}(ｍ_μ/μ)² となり

ますが,これが実験値 1/τ ～3.84×10⁷sec^-1と合致する

には,,|ａ_π｜＝0.87μ～.97μである,ことが必要である,

と評価されています。

一方,擬スカラー場:πから作られる軸性ベクトル

∂_μπの弱軸性カレントｊ_5μに相当する寄与率:ｒ_Ａ

＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖを考慮して,これから上述の崩壊振幅を

得るには,ｒ_Ａ＜0|ｊ_5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞

＝ａ_π＜0|∂_μπ^－|π^－(ｑ)＞となることが必要十分

です。この式の左辺で４次元発散を取れば,

r_Ａ＜0|∂_μｊ^5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞＝ａ_π＜0|□π^ー|π^－(ｑ)＞

＝－ａ_πμ²＜0|π^ー|π^－(ｑ)＞となりますから,ｆ_π/√2

＝－ａ_πμ²/ｒ_Ａ とすれば,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π√2)π^－を得ます。

この式の右辺のπ中間子の場:π^－(ｘ)を,くりこまれた場

π^－r(ｘ)である,と解釈するなら,これは,∂_μｊ^5μ

＝(ｆ_π√2)π^－rとなります。

他方.σ模型のPCAC関係式はアイソベクトルπについて,

∂_μj^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2π^rでしたから,両者の関係式

が一致することを要請すれば,再び,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^-1/2

＝ｆ_π/√2が成立するはずです。

このPCAC式が,荷電π中間子π^－だけでなく,中性の

π⁰中間子でも成立するなら,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^0ｒです。

そこで,中性のπ⁰中間子においても,係数ｆ_πは荷電π

中間子の崩壊率に比例する量であるとが証明されました。

結局,QEDではないσ模型でも,三角グラフを通して

２光子と相互作用する電気的に中性な軸性ベクトルカレント

ｊ^5μがPCACの条件を満足するとき,その４次元発散:

∂_μｊ^5μが,πの場に比例するという結果を得ました。

(※ここまでが,これまでの記事の要約です。)

今回は,これ以上進むと長くなるので,(9)までの

要約のみでした。(つづく)

物理学の哲学(9)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

　今回も余談抜きです。

さて,これまでの記事内容と重複するかも

知れませんが,粒子の散乱などの量子遷移現象

において,初期状態,or 始状態を,|ｉ＞,終状態を

|ｆ＞で記述すると.|ｉ＞から|ｆ＞への散乱行列

(Ｓ行列)要素:Ｓ_fiは,ユニタリ変換だけ異なる

２つの完全系:incomibg漸近場の状態と

outgoing漸近場の状態によって,

Ｓ_fi＝＜ｆ;out|ｉ;in＞＝＜ｆ;in|Ｓ^|ｉ:in＞

で定義されます。そして,Ｓ^演算子は,＜ｆ;in|

＝＜ｆ;out|Ｓ^で定義されます。

今のπ⁰→2γの崩壊過程では,|ｉ＞＝|π⁰ ＞

であり,|ｆ＞＝|γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)＞です。

そして,これに,LSZの還元公式を用いると,

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ)

(□_x＋μ²)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ(ｘ)|0＞

と書けます。ただしπ^0ｒ(ｘ)は,くりこまれた中性の

π⁰中間子の場(擬スカラー場)であり,μはπ⁰の質量

です。そして,Klein-Gordon演算子:(□＋μ²)を挿入

しているのは,始状態で,入射するπ⁰のincoming漸近場:

π⁰_in(ｘ)が,その自由場と同じ方程式に従うため,

(□＋μ²)π⁰_in＝0のKlein-Gordon方程式を満たす

からです。

ここで,本ブログの過去記事「LSZの公式(4)」から,

LSZ(Lehmann-Synmanzik-Zimmerman)の公式の

紹介記事を,今のπ⁰中間子の崩壊過程に適用するため,

少し修正して再掲載します。

　参考にしたのは,J.D.Bjorken とS。D。Drellの共著

「Relativistic Quanrum Field」(McGrawHill)　です。

これは私が学生の頃の場の量子論の標準的テキスト

でした。(※もっとも,当時は1ドル360円の時代で,洋書

は高価で貧乏学生だった私は,研究室図書館の蔵書を青焼き

コピーしてファイルににして使ってました。これを買えた

のは,サラリーマンに就職後です。※)

※さて,以下は修正した再掲記事です。

粒子群:αに４元運動量がｐのπ中間子１個

が加わった入射粒子群のincomingの漸近状態を

意味する:|αｐ;in＞から,終状態の粒子群:βの

outgoing漸近状態のKet:＜β;out|への遷移振幅

を示すＳ行列要素(散乱業辣要素)を与えるＳ行列

要素:Ｓ_β(αp)＝＜β;out|αｐ;in＞を考察します。

以下,漸近条件を用いて,始状態:|αｐ;in＞と

終状態|β;out＞の両方から1粒子ｐを差し引く

代わりに,適当な場の演算子を挿入した式が

得られることを示します

質量がμのπ中間子の漸近場の消滅演算子;

ａ_in^(ｐ),および,ａout^(ｐ)は,それぞれ,

ａ_in^(ｐ)＝i∫ｄ³ｘｆ_ｐ^＊(ｘ)∂₀^⇔π_in(ｘ),

および,ａ_out^(ｐ)＝i∫ｄ³ｘｆ_ｐ^＊(ｘ)∂₀^⇔π_out(ｘ)

という表式で書けることを用います。

他方,これら漸近場の生成演算子:ａ_in^^＋(ｐ)と

ａ_out^^＋(ｐ)の方は,上式の両辺のHermite共役を

取れば得られます。

ただし,ｆ_ｐ(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ω_ｐ)^-1/2

exp(－iｐｘ)です。(ω_ｐ＝ｐ⁰＝(ｐ²＋μ²)^1/2)

一方、ｆ_ｐ^＊(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ω_ｐ)^-1/2exp(iｐｘ)

で,これらは,(□＋μ²)ｆ_ｐ＝0,(□＋μ²)ｆ_ｐ*＝0

を満たす平面スカラー波の解です。

　また,任煮,の２つのｔの関数：ａ(ｔ),ｂ(ｔ)に

対して,ａ(ｔ)∂^⇔₀ｂ(ｔ)で与えられる関数を,

ａ(ｔ)∂^⇔₀ｂ(ｔ)＝ａ(ｔ){∂ｂ(ｔ)/∂ｔ}

－[∂ａ(ｔ)/∂ｔ}ｂ(ｔ)　で定義しています。

そこで,＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β;out|ａ_in^^＋(ｐ)|α;in＞

＝＜β;out|ａ_out^^＋ｐ)|α;in＞

＋＜β;out|ａ_in^^＋(ｐ)－ａ_out^^＋(ｐ)|α;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

－i＜β;out|∫ｄ³ｘ[ｆ_p(ｘ)∂₀^⇔

[π_in(ｘ)－π_out(ｘ)]]|α;in＞と書けます。

　|β－ｐ;out＞は,もしも集合:βの中にｐ

が存在する場合は,βからｐを除いた終状態を

表わしますが,βの中にｐが存在しない場合は,

この項はゼロで消えてなくなります。

また,|αｐ;in＞が,初期に２粒子がある場合の

散乱を表現しているなら,＜β－ｐ;out|α;in＞

は入射粒子と標的粒子が運動量を含め,それら

の量子数を保存する前方弾性散乱のみに寄与

します。つまり,＜β－ｐ;out|α;in＞

＝δ_(β－ｐ)αです。

(※ 何故なら|α;in＞が１粒子の場合は,

＜β－ｐ;out|Ｐ^²|α;in＞

＝α²＜β－ｐ;out|α;in＞

＝(β－ｐ)²＜β－ｐ;out|α;in＞なので,

＜β－ｐ;out|α;in＞≠0である場合は,

(β－ｐ)²＝α²＝μ²ですから,|β－ｐ;out＞

も同じ１粒子の終状態です。

そして,また,＜β－ｐ;out|Ｐ^^μ|α;in＞

＝α^μ＜β－ｐ;out|α;in＞

＝(β－ｐ)^μ＜β－ｐ;out|α;in＞

ですから,＜β－ｐ;out|α;in＞≠0のときは,

(β－ｐ)^μ＝α^μ,つまり,β^μ＝(α＋ｐ)^μと,

４元運動量が不変な弾性散乱で,しかも方向を

変えず素通りする前方散乱のみの振幅を意味

するからです。※)

さて,＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

－i＜β;out|∫ｄ³ｘ[ｆ_ｐ(ｘ)∂₀^⇔

{π_in(ｘ)－π_out(ｘ)}]|α;in＞ の右辺の

項:－i∫ｄ³ｘ＜β;out|ｆ_p(ｘ)∂₀^⇔

{π_in(ｘ)－π_out(ｘ)}|α;in＞

は「Greenの定理」によって時間ｔに依存しません。

そして,始状態,終状態の散乱状態の粒子たちが

波束のように,あるf(ｘ)≠0の形の有限な台に

局所化されていることを保証する漸近条件:

lim_ｔ→-∞＜α|π^ｆ(ｔ)|β＞＝Ｚ^1/2＜α|π_in^ｆ(ｔ)|β＞,

lim_ｔ→+∞＜α|π^f(ｔ)|β＞＝Ｚ^1/2＜α|π_out^f(ｔ)|β＞

の要請,を満たすことから,ｔ＝ｘ⁰→ －∞ の極限では,

π_in(ｘ,ｔ)を,Ｚ^-1/2π(ｘ,ｔ)で,また,t=ｘ⁰→ ＋∞

の極限でも,π_out(ｘ,ｔ)を,やはり,Ｚ^-1/2π(ｘ,ｔ)

で置き換えることが許されます。

(※Zは,π(ｘ)のくりこみ定数を意味しています。)

　それ故,結局,＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

＋(iＺ^-1/2(lim_{ｘ0→　+∞}－lim_ｘ0→-∞)

＜β;out|∫ｄ³ｘｆ_ｐ(ｘ)∂₀^⇔π(ｘ)|α;in＞

と書くことができます。

これが,Reduction手続きの最初の段階です。

これから,より便利な形を得るために,公式:

(lim _{x0→ +∞}－lim _{x0→ -∞})∫ｄ³ｘｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[∂₀{ｇ₁(ｘ)∂₀^⇔ｇ₂(ｘ)}]

＝∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ[ｇ₁(ｘ)∂₀²ｇ₂(ｘ)

－{∂₀²ｇ₁(ｘ)}ｇ₂(ｘ)]が成立すること

を用います。

そこで,ｇ₁（ｘ）＝ｆ_ｐ(ｘ),ｇ₂(ｘ)

＝π(ｘ)として,これに代入すると,

ｇ₁(ｘ)＝ｆ_P(ｘ)は,(□＋μ²)ｆ_ｐ(ｘ)＝0

を満たすので,∂₀²ｆ_ｐ(ｘ)＝(∇²－μ²)ｆ_ｐ(ｘ)

Gが成立します。

　よって,Ｚ^-1/2(lim _ｘ0→+∞－lim_ｘ0→-∞)∫ｄ³ｘ

＜β;out|ｆ_ｐ(ｘ)∂₀^⇔π(ｘ)|α;in＞

＝iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ＜β;out|

ｆ_ｐ(ｘ)∂₀²π(ｘ)－{∂₀²ｆ_p(ｘ)}π(ｘ)|α;in＞

＝iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘ＜β;out|ｆ_ｐ(ｘ)

(∂₀²＋μ²)π(ｘ)－(∇²ｆ_ｐ(ｘ))π(ｘ)]|α;in＞

となります。

　結局,Ｚ^-1/2(lim _ｘ0→+∞－lim_ｘ0→-∞)∫ｄ³ｘ

＝iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_p(ｘ)(□＋μ²)

＜β;out|π(ｘ)|α;in＞　なる表式を得ます。

ここで,最後の式変形では部分積分に対する

「Greenの公式」を用いました。

したがって,元のＳ行列要素の始状態,終状態

の両方から1粒子を減ずる還元公式の最終式

として,Ｓ_β(αｐ)＝＜β;out|αｐ;in＞

＝＜β－ｐ;out|α;in＞

＋iＺ^-1/2∫_-∞^∞ｄ⁴ｘｆ_ｐ(ｘ)(□＋μ²)

＜β:out,|π(ｘ)|α;in＞

が得られました。　(再掲記事終了※)

今のπ⁰中間子の崩壊のＳ行列要素:

Ｓ_fi ＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|π⁰in＞

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|Ｓ^|π⁰in＞

に対するLSZの公式を考えると,上記で,

＜β;out|＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|

とし,|αｐ；in＞＝|π⁰in＞として,それ故,

|α:in＞は,真空:|0＞を意味するので,上記

の最終形の式で,π中間子の場π(ｘ)を,π⁰中間子

の場:π⁰(ｘ)に置き換え,そのくりこまれた場

を,π^0ｒ(ｘ)と書いて,π^0ｒ(ｘ)＝Ｚ^1/2π⁰(ｘ)

と乗法的に定義されているなら,入射π⁰粒子の

4元運動量がｐ^μでなく,ｑ^μの場合の崩壊の

Ｓ行列要素として,

Ｓ_ｆi＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ_2,ε₂);out|π⁰;in＞

＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)(□＋μ²)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|π^0ｒ|0＞

なる表式が得られます。

ここで,始状態,および.終状態を共に

incomingの漸近状態のｘ座標表示で表わすと,

それぞれ,＜ｘ|π⁰ ;in＞＝ｆ_ｑ(ｘ)

＝(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ),および,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|ｘ＞^σρ

＝(2π)^-3(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊

exp(iｋ₁ｘ)exp(iｋ₂ｘ) です。

そこで,Ｓ行列要素:Ｓ_ｆi＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

を,このｘ表示で書けば,未知の因子を

Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)として,Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-9/2

(2ｑ⁰)^-1/2exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}

(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)

なる形に書けるはずです。

そこで,(2π)^-1/2(2ｑ⁰)^-1/24ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2

ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)が,ｆ_ｑ(ｘ)

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞

のFourier変換(運動量表示)になっています。

それ故,(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊(2π)×

Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)がが,Ｓ行列要素の,運動量表示

ｆ_ｑ(ｘ)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|

(□＋μ²⁾π^0ｒ|0＞から,|π₀;;in＞から,波動関数

ｆ_ｑ(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ)

を除いた因子である

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|(□＋μ²)_qπ^0ｒ|0＞

のFourier変換(運動量表示になっている

と考えられます。

そこで,Ｓ_ｆi＝i∫ｄ⁴ｘｆ_ｑ(ｘ)(□＋μ²)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ|0＞

の被積分関数を[(2π)^-9/2(2ｑ⁰)^-1/2

exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}

(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)と書いて,

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-9/2(2ｑ⁰)^-1/2

exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ}(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2

ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)の被積分関数

と等置すれば,(2π)Ｓ_σΡ(ｋ₁,ｋ₂,:ｑ)

＝ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)　となります。

今回は,ここで終わります。(つづく)

物理学の哲学(8)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

余談は省略で,さっそく本題の続きに入ります。

 前回は,QED以外に,部分的保存(PCAC)を満たす

場理論のσ模型を導入して,π中間子の崩壊振幅

ｆ_πを,次式で定義しました。

すなわち,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞

＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2.)です。

ここで,μはπ中間子の質量です。

アイソベクトル場:πを含むσ模型では,πもｊ^5μ

も中性成分だけでなく荷電成分を持つため,ｆ_πは

丁度,荷電π中間子の弱い崩壊振幅に等しいもので

あることがわかります。

特に,中性のπ⁰に対する先の「不完全版」の

σ模型の中性軸性べクトルカレントｊ^5μ(ｘ)は,アイソ

軸性ベクトルカレントｊ^5μ(ｘ)の,アイソ第３成分です

から,それをｊ^5μ(3)(ｘ)と記し.中性カレントでの表現:

＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2.

を,＜π⁰(ｑ)|ｊ^5μ(3)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2.

と書き直します。

荷電π中間子の場の演算子は,π^＋＝(π₁－iπ₂)√2,

および,π^－＝(π₁＋iπ₂)/√2,ですが,,一方,粒子の

状態ベクトルとしては,|π^＋＞＝|π₁＋iπ₂＞/√2,

および,{π^－＞＝|π₁－iπ₂＞/√2でしたから,

π^－の崩壊:π^－→ μ^－＋ν_μ~,　π^－→ ｅ^－＋νe~

における行列要素:＜α|π^－＞の向きを逆転させた

要素:＜π^－{α＞は,<π^－{α＞＝＜α|π^－＞^＊と

なるはずです。これは,つまり,Bra:,|π^－＞

＝|π₁－iπ₂＞/√2に対し,Ket＜π^－|＝＜π₁＋iπ₂|/√2

が対応することを示している,と考えられます。

そこで,軸性ベクトルカレントの第3成分は,

ｊ^5μ(3)＝Ψ~γ^μγ⁵τ³Ψ＋σ(∂^μπ₃)－π₃(∂^μσ)

＋ｇ₀^-1(∂^μπ₃)なる演算子で与えられますが,これを

アイソ回転して得られるアイソカレントの＋成分は

第３成分:ｊ^5μ(3)のτ³に,τ^＋ではなく,τ^－を対応

させたｊ^5μ(＋)＝(1/2)Ψ~γ^μγ⁵τ^－Ψ＋σ(∂^μπ^＋)

－π^＋(∂^μσ)＋ｇ₀^-1(∂^μπ^＋),(τ^－＝(τ¹－iτ²)/√2,

π^＋＝(π₁―iπ₂)/√2.)となるはずです。

それ故,＜π^－(ｑ)|ｊ^5μ(＋)|0＞

＝＜π₁＋iπ₂)(ｑ)|(ｊ^5μ(1)－iｊ^5μ(2))|0＞/2

＝(2ｑ⁰)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2)　となります。

ここで,ｋ＝1,2,3の各々のπ_ｋはｋが同じカレント

ｊ^5μ(ｋ)のみ相互作用することができて,ｋに関わらず,

＜π_ｋ|ｊ^5μ(ｋ)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2.)

になるという対称性を仮定しました。

そして,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞

＝(2ｑ0)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2の４次元発散を

取り,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^rを代入して,

＜π^－(ｑ)|(π^－(ｑ)＞＝(2ｑ₀)^-1/2を用いると次式

を得ます。すなわち,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2＝ｆ_π/√2

です。

そこで,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^rのくり込み

定数は除去されて,このPGAG方程式を完全に物理量

だけで書き表わせます。

結局,重要なPCAC関係式として,

∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒなる結果が得られました。

と書いたところで前回記事は終わりました。

※さて,ここからが,今回追加の記事内容です。

先に与えたｆ_πが,丁度,荷電π中間子の弱い相互作用

による崩壊振幅に等しいことを,検証します。

そのため,本ブログでPCACの意味とｆ_πの意味に

ついて,「(岩波講座)現代物理学の基礎(11)素粒子論」

という古い本を参照して書いた過去記事を再掲載します。

40年以上前に買ったこの本を,昔,読んだときの覚え

書きで,今では解釈が間違っているかもも知れません。

※以下は再掲記事です。

さて,π^－中間子の運動量がｑの1粒子状態は,

|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞

＋Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞と,完全系に展開

できる,とします。

崩壊:π^－→μ^－＋ν_μ~は,第１項の振幅と見ても,

第２項以下の振幅で見ても同じであると仮定します。

つまり,|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞,

であり,かつ, |π^－(ｑ)＞

＝Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞でもある

というわけですから,|π^-＞の{μν~＞への崩壊は

|ＮＮ~＞の中間状態を通してのみ可能な反応である

と考えるわけです。

ということは,実は,展開の第1項と第２項以下は,

同じモノで,どちらかの項はゼロロとして消していい

ということになります。

そこで,展開の右辺第１項,または第2項以下を評価

すればいいのですが,これは現象論的弱い相互作用:

ａ_π(∂_μπ){μ~γ^μ(１－γ⁵)ν}による,

摂動Hamiltonian:Ｈ_π→μνの１次の崩壊振幅で

あり,

＜Ｈ_π→μν＞＝(Ｇ/√2)∫ｄ⁴ｘ＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞

×{μ~(ｘ)γ^μ(１－γ⁵)ν(ｘ)}なる計算式で

与えられます。ここで,＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｘ)＞

＝(2π)^-3/2(2ｑ₀)^-1(iｑ_μ)ａ_π　で,現象論的な

Fermiのカレント-カレント相互作用の弱い結合係数:

Ｇに対する中間子πのカレントに相当する(∂_μπ)の寄与

の比率係数ａ_πを定義しておきます。

この現象論的弱い相互作用での最低次近似による

π^－→μ^－＋ν_e~の崩壊率,1/τ_π→μνの計算」結果と

その実験値を比較すると,

(1/τの計算値)＝{Ｇ²ａ_π²/(8πμ)}(ｍ_μ/μ)²であり

(1/τの実験地)～3.84×10⁷sec^-1です。

(※μは,πの質量,ｍ_μは,μ粒子の質量です。)

この比較によれば,ａ_πの大きさは|ａ_π|～0.97μ

と評価されます。(※本ブログの2016年3/21の過去

記事:「弱い相互作用の旧理論(Fermi理論)(12)」で,

荷電π中間子の崩壊について記述しましたが,そこ

では,今のａ_πを単にａと記し,|ａ|～ 0.87μ,または,

|ａ|～ 0.93μと評価されましたが,これらは上記の

|ａ_π|～0.97μと,誤差の範囲内で一致していると

見えます。そして,この|ａ|は,核子１個当たりのπ中間子

の雲の存在確率振幅を意味すると解釈されていました。※)

レプトンの軸性カレントの因子:{μ~γ^μ(１－γ⁵)ν}を

Ｌ^^μと表わせば,π^－→μ^－＋ν_μ~の崩壊振幅は,

＜μν~|Ｌ^^μ{0＞＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂_μπ^ー)|π^－＞

×＜π^－|π^－(ｑ)＞　と表わされます。

他方,これが,|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞

＋Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞における右辺の

第1項のみ,または,第２項以下の強い相互作用を仮定

したNの中間状態の寄与の総和:Σ_ＮＮ~＜μν~|Ｌ^_μ{0＞

＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂^μπ^ー)|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞

＝＜μν~|Ｌ^_μ{0＞

＜0|(ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)(Ｇａ_π/√2)ｊ^5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞

の両者が一致して,いずれかが象論的Fermiも弱い

相互作用に寄与なるというのが,過去記事の

内容でした。

　πの方のカレント相互作用の因子:(Ｇ/√2)(ａ_π∂^μπ^ー)

が,レプトンのV-Aカレント因子のA(軸性ベクトルカレント)

の部分:(Ｇ/√2)ａ_π(ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)ｊ^5μ(ｘ)のみと作用すると

見るのは.π^-が擬スカラー粒子なので相互作用因子ａ_π∂_μπ^ー

は,Fermi粒子のＮやレプトンのV-Aの弱カレントのうちの,

Aのみと相互作用する,軸性ベクトルカレントに相当する

と考えられるからです。

それ故,第1項＝第２項Vいう同一視の仮定が満足

されるためには,V-AカレントのVに対するAの比率を

ｒ_Ａ＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖとして,ａ_π＜0|∂_μπ^ー|π^－(ｑ)＞

＝ｒ_Ａ＜0|ｊ^5μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞　が成立することが必要

かつ,十分です。

そして,この式の両辺の４次元発散を取れば,

ｒ_Ａ＜0|∂_μｊ^5μ(ｘ){π^－(ｑ)＞

＝ａ_π＜0|□π^ー|π^－(ｑ)＞＝－ａ_πμ²＜0|π^ー|π^－(ｑ)＞

を得ます。ここで,1粒子の実π中間子は,自由なπ中間子

の運動方程式であるKlein-Gordon方程式::(□＋μ²)π^－＝0

を満たすはずなので,□π^－＝－μ²π^－と書けることを

用いました。それ故,ｆ_π/√2＝ａ_πμ²/ｒ_Ａ,

(ｒ_Ａ＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)と置けば,状態ベクトルを外した演算子

方程式として,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π√2)π^－なる式を得ます。

アイソスピン対称性から,これが荷電π中間子に対する

だけでなく,中性のπ⁰中間子に対しても成立するなら,

∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π⁰ですから,先のPCAC関係式と一致

するため,ｆ_πは確かに荷電π中間子の崩壊率に比例する

量であること,がわかります。

ただし,ここでのπについての場の演算子:π＾および

π⁰は,既に,輻射補正されて,くりこまれた場:π^―ｒ,

および,π^0ｒであると解釈しています。再掲載終了※)

今回は,キリもいいのでここまでにします。(つづく)

物理学の哲学(7)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

副題の(止まると死ぬ)は,だんだん記事の意図

から外れてきたので,副題を(アノマリー)に変更

しました。

(※余談):９/７（月）夜です。九州には大型台風

がきてるらしいけど,私は,餅じゃなく,カリン糖

が喉に詰まる誤嚥で呼吸困難になってしばらく

一人で七転八倒したりして,相変わらず死と隣り合

わせの状態が日常的に起こるので,先は長くない

ですね。体はボロボロで頭ばかり冴えてます。

(余談終わり※)

  さて,少し飛躍して量子アノマリーを研究

する目的の1つであった,π⁰ →2γ崩壊の

Ｓ行列要素 →崩壊率の評価を考えます。

まず,過去記事「摂動論のアノマリー」

の(13)を参照します。

(※以下,再掲載記事)

粒子の散乱などの量子遷移現象において,

初期状態,or始状態(initial stare)を|ｉ＞,

終状態(final stateを|ｆ＞で記述すると,

今のπ⁰→2γの崩壊過程では,|ｉ＞＝|π⁰ ＞

であり,|ｆ＞＝|γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)＞です。

ただし,ｋ₁,ｋ₂は,終状態の２個の光子(2γ)

の運動量,または波数であり,ε₁,ε₂は偏極

(偏光)を示しています。

一般の散乱行列(Ｓ行列)要素Ｓ_fi,および,Ｓ^

演算子は,ユニタリ変換だけ異なる２つの完全系:

incomibgの漸近場の状態とoutgoingの漸近場

の状態(散乱状態)によって,

Ｓ_fi＝＜ｆ;out|ｉ;in＞＝＜ｆ;in|Ｓ^|ｉ:in＞

で定義されます。

そこで,Ｓ^演算子は,＜ｆ:in|＝＜ｆ；out|Ｓ＾

で定義されます。

今のπ⁰崩壊の場合は,

Ｓ_fi ＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);out|π⁰in＞

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|Ｓ^|π⁰in＞

であり,|ｉ＞から|ｆ＞への遷移確率を示す

Ｓ_fiは,散乱行列要素というより,π⁰ → 2γ

の崩壊行列要素を意味します。

このS行列要素と,ここまで論じてきた電磁場

が存在する場合の裸の質量ｍ₀の軸性ベクトル

カレント:ｊ^5μ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ^μγ5ψ(ｘ)の

部分的保存(PCAC)を意味する４次元発散の式:

∂_μｊ^5μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵ｘ)

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.

 ただし,ｊ⁵(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ⁵ψ(ｘ)とが,

どのように関連付けられるかを見るため,過去

記事「摂動論のアノマリー」(16)」において,

これを次式に置き換えることによって,三角

グラフの輻射補正に由来するアノマリーの

可能性を考慮に入れると,

∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵

＋{α₀/(4π)}(1＋Ｃ)Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ

と書けます。(※Ｃは輻射補正の寄与率)

以下,上記の式を「低エネルギー定理」

の基礎式として用います。

そして,４元運動量:ｋ₁,ｋ₂と偏極(偏光):

ε₁,ε₂を持つ２光子の状態のKetベクトル:

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|と,真空:|0＞による

これら各項の行列要素を取ってみます。

 ４元運動量:ｋ₁,ｋ₂と偏光:ε₁,ε₂から構成

することができる唯一の擬スカラー量は定係数

因子を除けば,ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρ

のみです。

それ故,軸性ベクトルの４次元発散の両辺の

項の行列要素は,因子として,この表現を含む

はずです。そこで,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂_μｊ^5μ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁,ｋ₂)　....(1)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＧ(ｋ₁,ｋ₂)　.....(2)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|

{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＨ(ｋ₁,ｋ₂)　....(3)と書きます。

Ｆ(ｋ₁,ｋ₂),Ｇ(ｋ₁,ｋ₂),Ｈ(ｋ₁,ｋ₂)は,

スカラー量:(ｋ₁)²,(ｋ₂)²,(ｋ₁＋ｋ₂)²の

関数ですが,２光子状態の光子は,共に質量が

ゼロの実光子であるとしているので,

(ｋ₁)²＝0,かつ,(ｋ₂)²＝0であり,結局,

Ｆ,Ｇ,Ｈは(ｋ₁ｋ₂)のみの関数であると

見ることができます。

そこで,軸性ベクトルカレントの４次元発散式

の行列要素での表現は,Ｆ,Ｇ,Ｈによって,

Ｆ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｇ(ｋ₁ｋ₂)＋(1＋Ｃ)Ｈ(ｋ₁ｋ₂)

と書き直せます。

これから「低エネルギー定理」というものを

導出するために,行列要素:Ｍ^μ＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|ｊ^5μ|0＞の注目すべき

運動学的性質を用います。それは,Lorentz不変性,

ゲージ不変性,Bose統計の要請ですが,これらから

次の一般形式をとることが要求されます。

以下,これらの性質から軸性カレントの

４次元発散の行列要素,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂_μｊ^5μ|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

×ε_ξτσρＦ(ｋ₁ｋ₂)が,(ｋ1＋ｋ2)_μＭ^μに比例し,

(ｋ₁＋ｋ₂)_μ＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|ｊ^5μ|0＞

の定数倍であることがわかります。

これからＦ(ｋ₁ｋ₂)∝(ｋ₁ｋ₂)と結論されます。

故に,Ｆ(0)＝0が成立します。

このことが,素朴な発散の(真空 →２光子の

行列要素:＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

ε_ξτσρＧ(ｋ₁ｋ₂)のＧ(ｋ₁ｋ₂)を,演算子:

{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρの行列要素,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|{α₀/(4π)}

Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊

ε_ξτσρＨ(ｋ₁ｋ₂)のＨ(ｋ₁ｋ₂)に関係付ける

「低エネルギー定理」を与えます。

すなわち,Ｆ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｇ(ｋ₁ｋ₂)

＋(1＋Ｃ)Ｈ(ｋ₁ｋ₂)が成立することから,

0＝Ｆ(0)＝Ｇ(0)＋(1＋Ｃ)Ｈ(0)　を得ます。

したがって,Ｇ(0)＝－(1＋Ｃ)Ｈ(0)です。

ただし,摂動論の最低次(treeレベル)では輻射補正

Ｃは無視します。

ところが,Ｈ(0)については,ｊ^5μ,ｊ⁵,および,

アノマリー項:{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρのグラフ

に対するFeynman規則を用いて,評価することができて

Ｈ(0)＝2α₀/πであること,がわかります。

そしてＧ(0)＝－(1＋Ｃ)Ｈ(0)ですが,ｋ₁→0.ｋ₂→ 0

の低エネルギー極限では,Ｃ＝0となることから,

Ｇ(0)＝－Ｈ(0)＝－2α₀/πなる評価を得ます。

この,Ｇ(0)に対する結果は,大した面倒もなく,

直接,具体的な最低次のグラフのＧの表現式：,

Ｒ_σρ＝ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρＢ₁,Ｂ₁＝8π²ｍ₀Ｉ₀₀(ｋ₁,ｋ₂)

からも導出できるものです。

すなわち,具体的計算でも,確かに

Ｇ(0)­＝[iε₁^σ＊ε₂^ρ＊(－iｅ₀²)(2π)^-4

(2ｍ₀Ｒ_σρ)/ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε

×ε_ξτσρ]_{k1,k2→ 0}＝ｅ₀²(2π)^-4(2ｍ₀Ｂ₁) _{k1,k2→ 0}

＝－ｅ₀²/(2π²)＝－2α₀/π　を得ます。

そこで,実際には発散する係数Ｇに切断Λを入れて

有限化した,Ｇ_Λの Λを無原大とした極限の

くり込まれた量をＧ~,つまり,

Ｇ~(ｋ₁ｋ₂)＝lim_ｋΛ→∞Ｇ_Λ(ｋ₁ｋ2)と書くと,

ｋ₁～0.ｋ₂ ～0の低エネルギー極限では,裸の

微細構造定数:α₀を,観測量αに置き換えた関係:

Ｇ~(0)＝－2α/πになる,という定理:を得ます。

これが,求めたかった「低エネルギ定理」です。

※ここで,これまでのQEDでのVVA三角アノマリーと

今の「低エネルギー定理」の結果を一般化した場の

理論の,いわゆる σ模型を導入してこれを考察します。

σ模型もQEDのそれと同じく,正確な演算子恒等式と

して,部分的保存条件(PCAC)を満足します。

上に導出した「低エネルギー定理」の,この種の模型

への拡張は,π⁰ → 2γの崩壊率の予測に導き,結果,

その予測計算値と実験値との比較を可能にします。

σ模型は,PCACが演算子関係式として成立する場理論

の模型の特殊なケースです。

基本的に興味あるのは,三角グラフを通して２光子と

相互作用ができる電気的に中性の軸性ベクトルカレント

です。そこで,過去記事では,まず,電気的に中性の軸性

ベクトルカレントのみを含むσ模型の「不完全版」を

考察しました。この模型では,系のLagrangian密度Ｌ

は次式で与えられます。すなわち,

Ｌ＝ψ~{iγ^μ∂_μ－Ｇ₀(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ⁵)}ψ

＋λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²}

＋(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²)

＋(1/2){(∂π)²＋(∂σ)²}

－(μ₁²/2)(π²＋σ²)　です。

これは,陽子ｐのスピノル場:ψ(ｘ),中性π中間子π⁰

の場:π(ｘ),および,スカラー中間子の場σ(ｘ)のみ

を含みます。

　過去記事では,この「不完全版」からスタートして

議論を展開しましたが,ここでは,最初から,中性の

軸性ベクトルカレントだけでなく,荷電軸性ベクトル

カレントも含み,π中間子も荷電π中間子も含む

「完全版」のσ模型を想定します。

　すなわち,強い相互作用の荷電独立性

(アイソスピン対称性)が,このσ模型でも成立する

と仮定して.「不完全版」の陽子ｐのスピノル場:

Ψ(ｘ)を,核子:(ｐ,ｎ)のアイソスピノル場:

Ψ＝(ψ_ｐ,ψ_ｎ)^Ｔで置き換え,単一のπ⁰中間子の場

であったπ(ｘ)を,アイソベクトル場:π＝(π₁,π₂,π₃)^Ｔ

で置き換えます。σ(ｘ)については電気的に中性のみの

アイソスカラーでアイソスピンはゼロの場とします。

よって,「完全版」のσ模型でのLagrangian密度は,

Ｌ＝Ψ~「[iγ^μ∂_μ－Ｇ₀({ｇ₀^-1＋σ＋i(τπ)γ⁵}]Ψ

＋λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²}

＋(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²)

＋(1/2){(∂π)²＋(∂σ)²}－(μ₁²/2)(π²＋σ²)

となります。

このとき,実際に観測されているπ中間子の

(π^＋,π^－,π⁰)の粒子状態は,アイソベクトル場;

π＝(π₁,π₂,π₃)^Ｔの状態;|π_ｋ＞(ｋ＝1,2,3)

により,|π^＋＞＝(|π₁＞＋i|π₂>)/√2,

|π^－＞＝(|π₁＞－i|π₂>)/√2,および,|π⁰＞

＝|π₃＞なる線形結合で与えられます。

ここで,係数(1/√2)は状態を規格化する

ための因子です。

ただし,πの１粒子状態は,|π_ｋ＞＝(π_ｋ)^＋|0＞

(ｋ＝1.2､3)のように,真空:|0＞に場の生成演算子

(π_ｋ)^＋を作用させて得られるので,上記の粒子状態

の表現は,粒子の消滅演算子を意味す粒子場:π_ｋでは

π^＋＝(π₁―iπ₂)/√2,,π^－＝(π₁＋iπ₂)/√2,

π⁰＝π₃ です。

この模型のＬの場合,カイラルゲージ変換は無限小の

局所ゲージパラメータ:ｖ(ｘ)をアイソ空間のベクトル

として,アイソスピノル Ψ＝(ψ_ｐ,ψ_ｎ)^Ｔに対しては,

Ψ → {1＋{(i/2)γ⁵(τｖ)}Ψなる変換となり,対応

して,アイソベクトル場:π＝(π₁,π₂,π₃)^Ｔは

,π → π＋ｖ(ｇ₀^－1＋σ) なる変換です。

そこで,特に中性のπ⁰中間子の場:π⁰＝π₃は,

π₃ → π₃＋ｖ3(ｇ₀^－1＋σ)と変換します。ここで,

Pauliのスピン行列を導入しこれをτ＝(τ¹,τ²,τ³)

と表記して用いました。また,σについての変換

は,σ → σ＋(ｖπ)です。

そして「Noether(ネーター)の定理」の応用でこの変換

に対応するカレントは軸性なのでこれを,

ｊ^5μ＝－δＬ/δ(∂_μｖ)で定義すると,今の場合,この

軸性ベクトルカレントもアイソベクトルで,

ｊ^5μ＝(1/2)Ψ~γ^μγ⁵τΨ＋σ(∂^μπ)

－π(∂^μσ)＋ｇ₀^-1(∂^μπ).で与えられます。

この変換で,Lが不変なら,これは∂_μｊ^5μ＝0を満たす

保存カレントであるはずですが,残念ながらＬは不変

ではなく,余分な項:(－μ₁²/ｇ₀)πがあるため,これまで

論じてきたQEDでの質量ｍ₀≠0の場合の軸性ベクトル

カレントの４次元発散のケースと同じく,部分的保存

(PCAC)のみが成立します。

つまり,この場合は∂_μｊ^5μ＝－δＬ/δｖ＝(μ₁²/ｇ₀)π≠0

となります。

こうして,σ模型は演算子恒等式としてPCACの条件を満足

する,との先の言明通り軸性ベクトルカレントｊ^5μの

４次元発散:∂_μｊ^5μが,πの場に比例する,という重要な

式を得ました。

σ模型について,その他色々と詳細な話ありますが,

重要なのは,このPCACの関係が成立することです。

また,摂動論のあらゆる次数までで,＜0|σ|0＞＝0.

となるように,σ模型が全体に平行移動された形式

を選択しました。もしも,最初に選択した場:σでは.

＜0|σ|0＞＝σ₀≠0の場合,σ → σ~＝σ－σ₀ と平行

移動して,このσ~を改めてσに採用することで,常に

＜0|σ|0＞＝0 としておきます

パラメータ:μ₁²はσの裸の伝播関数(ｑ²－μ₁²＋iε)^-1

に現われる裸のσ中間子質量の平方です。

σについての Euler-Lagrange方程式:

∂_λ{∂Ｌ/δ(∂_λσ)}－(∂Ｌ/∂σ)＝0 を書き下すと,

□σ＋(μ₁²－μ₀²)σ＝－Ｇ₀ψ~ψ＋ｇ₀^-1μ₀²

＋λ₀{8σ＋4ｇ₀(3σ²＋π²)＋4ｇ₀²σ(σ²＋π²)²}です。

そこで,＜0|δＬ/δ(∂_λσ)|0＞＝0は,□＜0|σ|0＞＝0

を意味し.大域的にこれが成立することは,0|σ|0＞が

時空点に依存しない定数であることを意味します。

それ故,恒等的に＜0|σ(ｘ)|0＞＝0　と表わすことが

できます。σの生成,消滅の両Fourier成分を持つ

σのincoming漸近場:σ_inによって,|σ＞＝σ_in|0＞

と書けば,＜0|Ｈ_int(ｘ)|σ＞＝＜0|Ｈ_int(ｘ)σ_in(ｘ)|0＞

＝0であることを意味します。これから,

＜0|Ｔ[Ｈ_in(ｔ₁Ｈ_in(ｔ₂)..Ｈ_in(ｔ_ｎ)σ_in(ｘ)|0＞＝0,

つまり,＜|Ｓ^σ_in|0＞＝0となり,摂動の全ての次数で

＜0|σ|0＞＝0が保証されるわけです。

さらなる作業のため,σ模型のPCAC方程式:

∂_μｊ^5μ＝－δＬ/δｖ＝(μ₁²/ｇ₀)πを,次のように

書き換えます。

すなわち∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^r

とします。つまり,π＝(Ｚ₃^π)^1/2π^rで,くりこみ係数:

Ｚ₃^πと,くりこまれたπの場:π^rを定義するわけです。

次に,π中間子の崩壊振幅ｆ_πを次式で定義します。

すなわち,＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)

×(ｆ_π/√2.)です。ここで,μはπ中間子の質量です。

アイソベクトル場:πを含む完全版σ模型では,πも

ｊ^5μも中性成分だけでなく荷電成分を持つため,ｆ_π

は丁度,荷電π中間子の弱い崩壊振幅に等しいもの

であることがわかります。

特に,中性のπ⁰に対する,先の「不完全版」の中性

軸性べクトルカレント:ｊ^5μ(ｘ)は,アイソ軸性ベクトル

カレント:ｊ^5μ(ｘ)の,アイソ第３成分ですから,それを

ｊ^5μ(3)(ｘ)と表わし.中性カレントの＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞

＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2 なる表現を,

＜π⁰(ｑ)|ｊ^5μ(3)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)

×ｆ_π/√2.　と書き直します。

荷電π中間子の場の演算子は,π^＋＝(π₁－iπ₂)/√2,

および,π^－＝(π₁＋iπ₂)/√2,ですが,

その粒子の状態ベクトルは,|π^＋＞＝|π₁＋iπ₂＞/√2,

および,π^－＞＝|π₁－iπ₂＞/√2でしたから,π^－の

崩壊における行列要素:<α|π^－＞の向きを逆転させた

＜π^－|α＞は,その複素共役で与えられます。

つまり,Bra:|π^－＞＝|π₁－iπ₂＞/√2に対して,

Ket:＜π^－|＝＜π₁＋iπ₂|/√2が対応すると

考えられます。

そして,軸性ベクトルカレントのアイソ第３成分は

ｊ^5μ(3) ＝(1/2)Ψ~γ^μγ⁵τ³Ψ＋σ(∂^μπ₃)－π₃(∂^μσ)

＋ｇ₀^-1(∂^μπ₃)で与えられますが,これをアイソ回転する

ことで得られる＋成分は,そのτ3をτ+ではなく,τ-とする

ことにより,ｊ^5μ(＋)＝(1/2)Ψ~γ^μγ⁵τ^－Ψ＋σ(∂^μπ^＋)

－π^＋(∂^μσ)＋ｇ₀^-1(∂^μπ^＋)　になるはずです。

ただし,τ^－＝(τ¹－iτ²)/√2,かつ

π^＋＝(π₁―iπ₂)/√2です。

そこで,＜π^－(ｑ)|ｊ^5μ(＋)|0＞

＝＜(π₁＋iπ₂)(ｑ)|(ｊ^5μ(1)－iｊ^5μ(2))|0＞/2

＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2)となります。

ここで,ｋ＝1,2,3の各々のπ_ｋはｋが同じカレント

ｊ^5μ(ｋ)のみとcoupleすることができてｋに関わらず,

＜π_ｋ|ｊ^5μ(ｋ)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)(ｆ_π/√2)

になる,という対称性を仮定しました。

因子:(－iｑ^μ)は,πの崩壊相互作用部分の行列要素

が,＜π_i(ｑ)|ｇ₀^-1∂^μπ|0＞＝(2ｑ₀)^-1(－iｑ^μ)Ｆ(ｑ²)

なる形で与えられるという現象論的推論から出てきます。

σを含む項の寄与は先に述べた通り項が,演算子πと

交換するのでゼロです。

＜π(ｑ)|ｊ^5μ|0＞＝(2ｑ0)^-1/2(－iｑ^μ/μ²)ｆ_π/√2

の４次元発散を取り,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^r

を代入して,＜π^－(ｑ)|π^ｒ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2を用いると

次式を得ます。

すなわち,(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2＝ｆ_π/√2です。

そこで,∂_μｊ^5μ＝(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^rのくり込み定数

は,除去されて,このPCAC方程式を完全に物理量だけで書き

表わせます。結局,∂_μｊ^5μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒとなる,という

重要な結果が得られました。

まだまだ先が長いので今回はここまでにします。