115. 素粒子論

2020年9月25日 (金)

物留学の手留学(11)(アノマリー)

物理学の哲学」の続きです。

(※余談):今日は9月25日(金)です。

けさはゴミ出しに行くともう肌寒かったです。

温暖化で日本も亜熱帯気候に近くなり,日本

にはいないはずの動植物やデング熱,マラリア

などの細菌やウィルスもいて驚きます。

今年も秋は短かく,すぐに冬がくるのでしょうね。

今度は,時代劇で笠置シズ子が出てるのを見て

泣けました。時代劇チャンネルは,昭和の今は亡き

出演者が多くて,まだ,若くて元気なのかと勘違い

しますね。懐かしいですが。(余談終わり※)

※さて本題です。前回の記事では,このシリーズ

書いてきた内容を,自分の中で改めて整理する

ために長い要約を書き記しました。

今回は,その続きとして,まず,要約記事の直前の

前々回の記事を思い出し,その最後の部分を再掲載

して,そこから話の続きを進めたいと思います。

  • 以下は,まず再掲載記事の部分です。

前々回の記事「物理学の哲学(9)」の最後では,

中性のπ0中間子崩壊:π02γにおいて,入射

する,または静止状態のπ0中間子の運動量がqμ

の場合の,崩壊のS行列要素fiを書き下した式

を考察しました。これはLSZの公式により,

fi=<γ(k11)γ(k2,ε2);out|π0;in>

=i∫d4xf(x)(□+μ2)

<γ(k11)γ(k22);in|π0r|0>という

式で与えられますが,これはx表示ではincoming

漸近状態のπ0中間子の平面波の基本波動関数:

(x)=(2π)-3/2(2q0)-1/2exp(-iqx),および

崩壊して出てゆく2光子のincomingの状態関数:

(2π)-3(4k1020)-1/2ε1σ*ε2ρ*

×exp{i(k1+k2)x}によって,

fi=i∫d4x[(2π)-9/2exp{-i(q-k1-k2)}

(2q0)-1/2(4k1020)-1/2ε1σ*ε2ρ*σρ(k1,k2,q)]

と書けるはずです。

ただし,Sσρ(k1,k2:q)は,3粒子の運動量k1,k2

qに依存する部分の指数関数以外の因子です。

そこで,(2π)-1/2(2q0)-1/2(4k1020)-1/2ε1σ*ε2ρ*

σρ(k1,k2,q)は,上記Sfiの積分表示の被積分関数:

if(x)<γ(1,ε1)γ(k2,ε2);in|□+μ2)π0r|0>

のFourier変換の形になっています。

それ故,(2π)(4k1020)-1/2ε1σ*ε2ρ*σρ(k1,k2,q)

は,f(x)<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2);in|(□+μ2)π0r|0>

から,,π0の波動関数f(x)をはずした2光子の状態

の振幅:<γ(k11)γ(k22);in|(□+μ20r|0>

のFourier変換(運動量表示であると考えられます。

他方,<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2):in|(□+μ20r|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρπ(k12)

によって関数Fπ(k12)を定義します。

すると,2種類のSfiの積分表示の比較から,

(2π)SσΡ(k1,k2,:q)=k1ξ2τεξτσρπ(k12)

なる等式の成立がわかります。

と書いたところて記事は終わりました。 

(※以上,再掲記事終わり※)

ここからが,今回の続きの記事です。

さて,これまでは電磁場の存在しない場合の

σ模型を論じてきましたが,これに電磁場:Aμ(x)

を含めるには,元のσ模型のLagrangian密度:

に,-(1/4)Fμνμνと,-e0ψ~γμψμ

2項を加えるだけです。

すると,三角グラフの存在のために,PCACの素朴

な方程式:∂μ=(fπ/√2)πは,次のように

アノマリーを持ち形に修正されます。

すなわち,∂μ=(fπ/√2)π

+(1/2){α0/(4π)}Fξστρεξστρ  です。

ただし,右辺最後のアノマリー項の因子:(1/2)

は,単にσ模型の軸性カレントの具体的な表式:

=(1/2)ψ~γμγ5ψ+σ(∂μπ)-π(∂μσ)

+g0-1(∂μπ)の最初の核子項に現われる因子

の(1/2)を反映したものです。

そこで,適切に正規化された(くり込まれた)Feynman

規則を導入し,QEDでの論旨を同様に実行することに

より,これが電磁相互作用と強い相互作用の両方の

摂動論の全ての次数まで正しいことを示せます。

つまり,三角グラフへの如何なる仮想光子,仮想中間子

の輻射補正もアノマリー項とそのの係数を変えること

はないわけです。

上述の考察の全ては,先のσ模型では,アイソスピン

対称性変換群のSU(2)群の基本表現の核子(p,n)系を

想定していましたが,これを,ハドロンのクォークの

フレイバーSU(3)群の基本表現(p,n,λ)系への一般化

に持ち込むことができます。

(※ 現在では(u,d,s,c,t,b)の6種の存在が

認められているクォークは,過去の記事で参照した論文

出版時の1970年当時には,)u,d,sの,3種だけと

考えられていて,(p,n,λ)と記すのが慣習でした。)

(p,n,λ)を基底とするSU(3)のケースなら,Ψは

3成分でψ=(ψ123)に置き換えられ,スカラー

中間子σと:擬スカラー中間子πは9重項の中間子

(1重項+8重項)に置き換えられるため,軸性ベクトル

カレントは,8成分のカレントとなり,π0に対応

するのは,その第3成分:5μ(3)になります。

それ故,π0に対してのアノマリーを持つPCAC方程式

は,∂μ5μ(3)=(fπ/√2)π0r+S{α0/(4π)}Fξστρ

×εξστρ と書けます。

ただし,係数Sは,S=Σiii2で定義されています。

ここにQiはJ5μ(3)の中に素粒子場として現われる

i番目のFermion(クォ―ク) の電荷であり,giは,

その結合定数です。つまり,J5μ(3)=Σiiψ~iγμγ5ψj

+(中間子項)という表式でのgiを意味します。

これも摂動論の全ての有限次まで正しい式です。

Sに対する表現:S=Σiii2の解釈はアノマリー

へのトータルの寄与は,個々の素Fermi粒子を全て

巻き込む,各々の三角グラフの寄与の総和による

と考えるからです。

PCACB関係式:μ5μ(3)=(fπ/√2)π0r

+S{α0/(4π)}Fξστρεξστρ は,素朴な4次元

発散が,乗法的くり込み可能な任意のくり込まれた

場の理論において,正しいと予測されます。

したがって,正しいPCAC式は,μ5μ(3)

(fπ/√2)π0r+S{α0/(4π)}Fξστρεξστρ.

よなりますが,これはσ模型のような特殊な場理論

の模型でなく,一般的なクラスの模型でも成立する.

正確な方程式である,と考えられます。

そして,次は「摂動論のアノマリー(20)」の

「π0 崩壊の低エネルギー定理」という項目

から引用した議論です。

アノマリーを持つ4次元発散の真空から2光子への

行列要素としての正確な「低エネルギー定理」を考える

ため,まず,∂μ5μ(3)=(fπ/√2)π0r

+S{α0/(4π)}Fξστρεξστρ.における素朴な

4次元発散の値:(fπ/√2)π0rがπ0中間子の場

であることに着目します。

この場合「低エネルギー定理」は,π0中間子の質量

がゼロでのoff-shellに外挿されたπ0 → 2γの振幅に

ついての命題が得られます。

π0 → 2γの振幅:Fπ(k12)の標準定義は,

<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2):in|(□+μ20r|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρπ(k12)であったことを思い起こします。

そして,くり返しになりますが,別の過去記事では,

<γ(k11)γ(k22):in|μ|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρF(k12),

<γ(k1,ε)γ(k22);in|2im05|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σε2ρ*

×εξτσρG(k12),

<γ(k11)γ(k22):in|{α0^/(4π)}

(Fξσ+FRξσ)(Fτρ+FRτρξστρ|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρH(k12)

として,(k12)の関数:F,G,Hを定義し,これら

は実は対数発散するので,切断Λを入れて正規化した

Λ,GΛ,HΛのくり込まれた量であるF~,G~,H~,

つまり,F~(k12)=limΛ→∞Λ(k12) etc.

に対して,F~(0)=0,G~(0)=-H~(0)=-2α/π

が成立する。という「低エネルギー定理」

を得ています。今の場合はアノマリー項の因子Sを

含めるように,係数Hを定義し直すとH~(0)=2αS/π

となるので,G~(0)=-H^(0)=-2αS/πです。

そしてF(k12),G(k12),H(k12)の

定義式を,Fπ(k12)の定義式:

<γ(k11)γ(k22)in|(□+μ20r|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

εξτσρ×Fπ(k12)と比較して,(k12)=0の場合を

考えると,上記の「低エネルギー定理」

は,G~(0)=-2αS/π=(μ-2π/√2)Fπ(0)

となります。

すなわち,π0崩壊のSg等列要素の真空から2光子

への因子:Fπに対しては,正確な「低エネルギー定理」

は,Fπ(0)=-(2√2μ2αS)/(πfπ)を意味する

ことがわかります。

何故なら,π0の運動量:qμ=k1μ+k2において.

2=(k1+k2)2=0,つまり,(k12)=0の

低エネルギーは.質量がゼロのoff-Shel(質量殻外に

ある仮想π中間子状態意味しますが,このときには,

<γ(k11)γ(k22);in|(□+μ20r|0>

={-(k1+k2)2+μ2)}

×<γ(k11)γ(k22)|π0|0>

=μ2<γ(k11)γ(k22)|π0r|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ

×Fπ(0)となります。

ところが,π0を含むPCAC関係式:∂μJ 5μ(3)

=(fπ/√2)π0r+S{α0/(4π)}Fξστρ

×εξστρ.によれば,

μ2π0r=(√2μ2/fπ)∂μJ 5μ(3)

-(√2μ2S/fπ){α0/(4π)}Fξστρεξστρ.

です。

それ故.μ2<γ(k11)γ(k22);in|π0|0>

=(√2μ2/fπ)

×<γ(k11)γ(k22);ih|∂μ(3)|0

(√2μ2/fπ)0/(4π)}

<γ(k11)γ(k22);in|Fξστρεξστρ|0>

と書けます。

そして,この式の両辺の各項から,共通因子

の(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρ除けば,Fπ(0)=(√2μ2/fπ)F(0)

-(√2μ2/fπ)H(0)を得ますが,これはくりこんだ

は,π(0)=(√2μ2/fπ)F~(0)-(√2μ2/fπ)

×H~(0)となります。そして,この右辺第1項の

 ~(0)は,<γ(k11)γ(k22);in|∂μ5μ(3)|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρF(k12)の係数Fをくりこんだ量

ですが,これは,低エネルギーのq2=(k1+k2)2

=0ではF(k12)=F(0)=0,であり,

F~(0)=0です。

したがって,結局,π(0)=-(√2μ2π)H~(0)

を得ます、

 ここで先の「低エネルギー定理」によれば,

0=F~(0)=G~(0)+H~(0)であって

H~(0)=2αS/πより,G~(0)=-H~(0)

=-2αS/πなので,π(0)=(√2μ2/fπ)G~(0)

-(2√2μ2αS)/(πfπ)が得られます。

ところで,

<γ(k11)γ(k22);in|(□+μ20r|0>

={-(k1+k2)2+μ2}

×<γ(k11)γ(k22)|π0|0>

ですから,(k1+k2)2=μ2の(on-shell;

量殻上)にあるときは,(k12)=μ2/2

なのですが, このと両辺がゼロで,左辺は

π(k12)=Fπ2/2)に比例する量なので,

π2/2)=0となりそうですが,実際には,

<γ(k11)γ(k22)|π0r|0>が,(k1+k2)2=μ2

に極を持つ,と考えられるので、この質量殻上での

π,(μ2/2)は。一般にゼロにはなりません。

しかし,<γ(k11)γ(k22)|π0|0>は,

質量殻外の(k1+k2)2=0 には、極を持たない

ので.(k1+k2)2=0  のとき,

(k1+k2)2<γ(k11)γ(k22)|π0|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρG~(k12)(k1+k2)2は,ゼロです。

またまた,くり返しになりますが,π0 → 2γ

の崩壊行列要素は,Sfi

=<γ(k11)γ(k22);in|(□+μ20r(x)|0>

=i∫d4x(2π)-4 exp{-i(q-k1-k2)x}

(2π)-3/2(2q0)-1/2

×<γ(k11)γ(k22)|(□+μ20|0> 

で与えられますが,他方,

<γ(k11)γ(k2,ε2)|(□+μ20r|0>

=(4k1020)-1/2ったので,

1ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ

×Fπ(k12)であπ(0)

=-(2√2μ2αS)/(πfπ)は,低エネルギー

でのπ0 → 2γの振幅が,直接:∂μJ 5μ(3)

(fπ/√2)π0r+S{α0/(4π)}Fξστρ

×εξστρ.のアノマリー項に比例することを

示しています。

この項はSに依存します。そして,Sは

素Fermi粒子の電荷Qと,その軸性カレント

での結合定数gからS=Σjj2 によって

決まります。

さて,求めるべき,π0の崩壊率:1/τ(τは崩壊寿命)

については,次の公式があります。

すなわち,1/τ=(μ3/64π)|Fπ2/2)|2..です。

これは,崩壊の反応体積をV,時間をTとすると,

単位体積当たりの遷移速度は,|Sfi|2/(VT)

(2π)4δ4(q-k1-k2)(2π)-9(8k1020q)

|Fπ2/2)|2

ε1,ε2|k1ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ|2]

で与えられます。ただし,E0=q0で,これは

π0中間子のエネルギーです。

※(注):何故なら,まず,Sfiは4元運動量保存の因子:

(2π)4δ4(q-k1-k2)を含み,VT=(2π)4δ4(0)

と同定されるので.|Sfi|2/(VT)は,因子:

(2π)4δ4(q-k1-k2)を1個含みます。

π0 →2γ反応では,Sfiが規格化因子:

(2π)-3/2(2k10)-1/2(2π)-3/2(2k20)-1/2

(2π)-3/2(2E0)-1/2を持つため,これは

|Sfi|2(VT)には(2π)-9(8k1020q)-1

の寄与をします。

そして,(k1+k2)2=μ2 のときk12=k22=0

より,(k12)=μ2/2なので,係数:Fπ(k12)

寄与はFπ2/2)です。

そして,π0の静止系を想定するとqμ=(Eq,)

=(μ,0)です。そこで,12とおくと,

k=||=μ/2ですから,k10=k20=k=μ/2です。

よっての向きを3軸(z軸)に取って=k3

すると,k1ξ2τで.ゼロでないのは,ξ=0,τ=3か,

ξ=3,τ=0のみです。

さらに,k1ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ=2k2ε0 3σρ

においてε12は横波を示すので,ε11=ε22=0,

より,ゼロでないのは,(σ,ρ)=(1,2),(2,1)のみで,

このとき,ε1σ*ε2ρ*=1です。

結局,Σε1,ε2|k1ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ|2

=|2k2ε0 312|2+|2k2ε0 321|2=8k4 

得ます。全空間Vに1個のπ0が存在する,という

規格化を考慮してπ0の1個当たりの崩壊確率を

求めると,1/τ(1/2!)∫d3132{V|Sfi|2

/(VT)}=(μ3/64π)|Fπ2/2)|2が得られます。

因子:(1/2!)は,2光子の区別不可能性による因子

です。こうして得られた評価式1/τ-1

=(μ3/64π)|Fπ2/2)|2において,Fπ2/2)

をFπ(0)=-(2√2μ2αS)/(πfπ)で近似すると,

結局,π0崩壊の崩壊率の近似計算値が,

1/τ=(μ3/64π)|8μ4α22/(π2π2)

=S2μ7α2/(8π3π2)で与えられることが

わかりました。

これに,具体的な物理定数の近似値:α~1/137,

μ~135 MeV,および,fπ~√2aπμ2/r,に

π=0.87μ~0.97μを代入,過去記事「弱い相互

作用の旧理論(7)」からの引用でr~1.21の代入

から得られるfπ=1.02μ3 ~1.13μ3をも,1/τを

与える式に代入すれば,崩壊率の近似計算値として

,1/τ=22.74S2eV~30.21S2eVを得ます。

一方,Rosenfeldによって引用されたπ0崩壊の

崩壊率の実験値は,

1/τexp=(1.12±0.22)×1016sec-1

=(7.37±1.5)eVです。(※つまり,π0

崩壊寿命は,τ~10-16sec程度です。また,現在

でのより正確な実験値は,1/τexp=(7.48±0.32)eV

です。)

そこで,仮にS2=1/4であれば,計算値が,

1/τ=5.68 eV~7.55eVと予測されます。

この結果からは,S2=1/4のときに実験値との

著しい一致を見ることになります。

ところが,π0が関わる軸性ベクトルカレント

では,クォークの基本3粒子の場:Ψ=(ψ123)

=(p,n,λ)の結合定数について,ストレンジ粒子

λは無関係で(g1,g2,g3)=(1/2,-1/2,0) です。

そして電磁カレントの[Uスピン不変性]から,

基本粒子の(p,n,λ)の電荷は,(Q1,Q2,Q3)

=(Q,Q-1,Q-1)というパターンを持ち,

Q=2/3とすると(Q1,Q2,Q3)=(2/3,-1/3.-1/3)

なのでS=Σjj2=1/6となります。

しかし,現在の見地では,クォークにはフレイバー

自由度とは独立に,カラー自由度が存在して,カラー

SU(3)対称性を持つことが知られており,この自由度

3により,S=(1/6)×3=1/2となるため,確かに

2=1/4を満たします。。 

現在,ハドロンを構成する基本粒子のクォーク

はフレイバー自由度も3個ではなく6個の

(u,d,s,c,t,b)=(up,down,strange,charm,

top,bottom)が存在すると,されていますが,

1970年当時は,そのうちの3個(p,n,λ)

=(u,d,s)の3種だけで基本クォークが

構成されると予想されていました。しかし

π中間子と関わるカレントのクォーク成分は

(u,d)=(p,n)だけなので,全体のフレイバー

自由度が3から6に増加しても,カラーを考量

したS=1/2という値には変わりなく実験値との

矛盾はないことになります。

荷電π中間子π±の平均寿命が,τ~2.6×10-8sec

観測されているのに対し,中性のπ0中間子の

平均寿命は,τ~10-16 sec程度と,はるかに短かく

π0→2γの崩壊は,π→μ+ν~の崩壊とは異なる作用

で,アノマリー項の寄与によるものと考えられると

いうのが,最終結論です。

そもそも,π中間子は,カイラルゲージ対称性を持つ

系の対称性の自発的破れで「南部-oldstonの定理」に

従って出現したゼロ質量の粒子(NG粒子)が,ゲージ

対称性の破れという特殊性で,Higgsメカニズムに

よって質量を獲得した粒子と解釈されています。

 それ故,元々質量は大きくなく,もしも本当にゼロ質量

なら中性π0の場合,理論上崩壊は禁止されるので,実際に

崩壊が生じるのはアノマリー存在のためと考えられます。

アノマリーは,ゴーストや仮想粒子のように,存在しても

実在として観測されないモノではなく,現実に観測され,

崩壊寿命の計算などに必要なモノです。

ここで,キリもいいので今回はここまでです。(つづく)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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2020年9月18日 (金)

物理学の哲学(10)(アノマリー)

「物理学の哲学」の続きです。

(※余談):今日は9月18日(金)です。

先日,私と同学年の岸部シローさんが亡くなられた

ようです。元GSのタイガースのメンバーで岸部一徳

さんの弟,時代劇では関西弁のキャラで面白かったの

ですが。。今年に入って,コロナで,志村けんさんも

亡くなられました。昨年は,ショ-ケン(萩原健一さん

,ちょっと前には,関西のやしきたかじんさんと,

1949/4~1950/3生まれの私と同学年の芸能人が

次々と病死されています。

有名人じゃなくても,ここ数年,同年代の身近な飲み

友達など,数人がガンなどの病気で他界しました。

皆,70歳以上で,諸行無常とはいえ,さみしいことです。

ところで,時代劇といえば,つい先日,専門チャンネル

を視ていると,昭和30年代,テレビを見始めた頃に映画

やTVで活躍されていた嵐寛寿郎さん(アラカン)と,

上原謙さんが「必殺」に出ていて,私,つい涙が出そうに

なりました。近衛十四郎さんもいたら完璧でしたがね。

結局,無名の馬の骨,有象無象の私だけが70歳にして

まだ,何とか,生きています。

「憎まれっ子,夜(ヨル)にハバカリ」とかね。。。

その昔,池袋の専門学校の講義で,このオヤジギャグ

をカマしても「ハバカリって何?」ということで全く

ウケませんでした。

ハバカリとは,便所,ご不浄,お手洗い,化粧室,雪隠

(セッチン),川屋(カワヤ),トイレ、W.C.(water-closet,

orウンコとシッコ)でんがな。。。(以上,余談終わり※)

 

※さて,本題です。

崩壊:π0→2γの崩壊率を求める問題は,今,初めて

考察してブログ記事を作っているのじゃなく,本ブログ

の過去に書いた記事を,ストーリーに従って並べ直して

いるだけです。

昔の記事をコピペしては,修正しながらアップして

いるうち,自分でも混乱してきたので,ここで,これまで

の記事の経過を,詳細を省いて主な結論だけを要約して

頭の中にあるストーリーを,整理してみました。

※ブログサイトの改編や,セキュリティ強化で図や写真

も入れたいけど,昔ほど簡単には挿入できず,文章ばかり

の内容なのも,混迷と退屈の原因カモね。)

さて,まず,裸の質量がm0,で,スピンが1/2の電子eや

陽子pなどのスピノル場:ψ(x)で記述されるFermionの

荷電粒子の場と電磁場(光子の場)Aμが共存する系で,

ψによる軸性ベクトルカレントの演算子:

(x)=ψ~(x)γμγ5ψ(x)を考えると,もしもm0=0

(質量がゼロ)なら,カイラルゲージ変換に対する系の

不変性が成立して,∂μ」」=0と,その軸性ルカレント

の4次元発散がゼロとなって,カレントの保存が成立

するのですが,一般には,m0≠0なので,∂μ

=2im05≠0であり,このカレントは,時間的に保存

される物理量ではありません。ただし,」5(x)

=ψ~(x)γ5ψ(x)です。この式はPCAC(部分的保存)

の関係式と呼ばれます。

ところが,電磁場の存在の下で頂点関数に対して成立

するはずのWard-高橋の恒等式(WT恒等式)を考察する

ために,カイラルの軸性頂点γμγを含むVVA三角ブラフ

(vector-vwctor-Axialvsctor diagram)の寄与を調べると

純粋にQEDの計算だけから得られた関係に,余分な項

アノマリー項(量子異常項)が存在することがわかり

ます。そして,これは簡単には除去できない本質的意味

がある項であることがわかります。

このWT恒等式のアノマリーは,実は.軸性カレント

のPCAC式に,アノマリー項が存在することに由来して

います。すなわち,∂μ=2im05

+{α0/(4π)}Fξστρεξστρなる関係式に起因

しています。

これら両辺の各項は,摂動論のFeynmanグラフの計算

では,対数発散し,有意な量とみるには正規化して補正

する必要がありますが,それはアノマリー項だけに効く

ので,補正率をCとすると,∂μ=2im05

+(1+C){α0/(4π)}Fξστρεξστρ と修正されます。

これがπ0→ 2γ崩壊率に如何に関係するか?を見るため

そのS行列要素:Sfi=<f;out|i;in>

=<γ(k11),γ(k22);out|π0;in>を考えると,

LSZの公式からSfi=i∫d4xfq(x)(□+μ2)

<γ(k11),γ(k22):in|π0r(x)|0>なる表式を

得ます。ただし,π0r(x)は,π0r(x)=(Z3π)1/2π0(x)

で定義される,π0中間子の(裸の)場:π0(x)のくりこまれた

であり,μは,π0の質量を意味します。

一方,後の便宜のため,∂μ=2im05

+(1+C){α0/(4π)}Fξστρεξστρ の両辺の各項

を,<γ(k11),γ(k22);in>|と,真空:|0>で

挟んだ行列要素を考えます。

これらは全てk1ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρに比例する

と考えられるので,それぞれ,

<γ(k11)γ(k2,ε2)|:in|μ|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρF(k12)

<γ(1,ε1)γ(k2,ε2);in|2im05|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρG(k12)

<γ(k11)γ(k22):in|

{α0/(4π)}Fξστρεξστρ|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρH(k12) と置きます。

すると,先の軸性ベクトルカレントのPCAC関係式

は,F(k12)=G(k12)+(1+C)H(k12)

に帰着します。

そして,F(k12)∝(k12)なる性質があるので,

2光子の4元運動量k1,k2が,k1~0,k2~0.である

ような低エネルギー極限では,F(0)=0であり,その

領域では補正Cは無視できるので

0=F(0)=G(0)+H(0),または,G(0)=-H(0)を

得ます。アノマリー項の低エネルギーでの寄与:

H(0)は,VVA三角グラフで,具体的に計算できて,

H(0)=2α0/πであり,故にG()=-2α0/πです。

しかし,実際にはF,G,Hは対数発散するので

切断Λを入れて正則化した量をFΛ,GΛ,HΛとして

これらのくり込まれた量をF~,G~,H~とします。

つまり,F~(k12)=limkΛ→∞Λ(k12).etc.です。

すると,k1~0.k2 ~0の低エネルギー極限では,

F~(0)=0,H~(0)=2α/πであり,G~(0)=-2α/π

になる,という定理を得ます。

これがQEDの軸性ベクトルカレントのPCACとVVA

アノマリーに関する「低エネルギー定理」です。

これらQEDのVVA三角アノマリーと「低エネルギー定理」

の結果を,π0中間子の崩壊と関連付けるため,一般化して,

場の理論のアイソスピン対称性を持つσ模型を導入します。

その系のLagrangian密度:のカイラル変換に対応する

Noetherカレント:jμ(x)=-δ)は軸性カレント

なので,これをj(x)と書くと,QEDの軸性カレントの

PCAC式と同じ形のカレントの4次元発散に対する関係式:

μ=(μ12/g0)πを得ます。(※ここでは5μπ

アイソスピンが1の,アイソベクトルです。)

さらに,π中間子の(裸の)場:πのくりこまれた場:πrと,

くりこみ定数Z3πを,,πr(x)=(Z3π)1/2π(x)で定義すると,

μ=(μ12/g0)(Z3π)-1/2πrとなります。

次に,π中間子の崩壊振幅:fπを次式で定義します。

すなわち,<π(q)|j|0>=(2q0)-1/2(-iqμ2)

×(fπ/√2.)とします。そして,これの4次元発散を

取り <π-(q)|πr|0>=(2q0-1/2因子をはずして

演算子式として,先の∂μ=(μ12/g0)(Z3π)-1/2πr

と右辺を比較すると,(μ12/g0)(Z3π)-1/2=fπ/√2

なる等式を得ます。

そこで,∂μ=(μ12/g0)(Z3π)-1/2πrのくり込み

定数が除去されて,物理量だけで書き表わしたPCAC

の関係式が得られて,∂μ=(fπ/√2)π

書けます。

ところが,中性子のβ崩壊:n→p+e+ν~に代表

される,弱い相互作用の現象論的Fermi理論では,荷電

π中間子の崩壊:π→μ+ν~の崩壊率を求めるには,

現象論的相互作用Hamiltonian:Hπ→μνの1次の効果で

ある,<Hπ→μν>=(G/√2)∫d4

<0|∂μπ(x)>{μ~(x)γμ(1-γ5)ν(x)}

という計算式を用いて行います。

(※ν~はニュートリノ:νの反粒子を意味します。)

しかし,π→μ+ν~に寄与するのは,V-Aカレントの

うち,Aの部分のみで,レプトン因子のA=軸性カレント

を,L^μ(x)=μ~(x)γμγ5ν(x)と表わせば,

崩壊振幅への実際の寄与は,(G/√2)∫d4

<0|∂μπ(x)>L^μ(x)となります。

そして,πの4元運動量がqμの粒子状態

への寄与を<0|∂μπ(x)>

=(2π)-3/2(20)-1(iqμ)(aπ)として,π中間子の雲

の振幅:aπを定義すると,崩壊:π→μ+ν~の振幅は,

<μν~|L^μ{0>

<0|(Gaπ/√2)(∂μπ)|π><π(q)>

と表現されます。そして,これによって崩壊率:1/τを

計算すると,1/τ={G2π2/(8πμ)}(mμ/μ)2 となり

ますが,これが実験値 1/τ ~3.84×107sec-1と合致する

には,,|aπ|=0.87μ~.97μである,ことが必要である,

と評価されています。

一方,擬スカラー場:πから作られる軸性ベクトル

μπの弱軸性カレントjに相当する寄与率:r

=g/gを考慮して,これから上述の崩壊振幅を

得るには,r<0|j(x)|π(q)>

=aπ<0|∂μπ(q)>となることが必要十分

です。この式の左辺で4次元発散を取れば,

r<0|∂μ(x)|π(q)>=aπ<0|□π(q)>

=-aπμ2<0|π(q)>となりますから,fπ/√2

=-aπμ2/rとすれば,∂μ=(fπ√2)πを得ます。

この式の右辺のπ中間子の場:π(x)を,くりこまれた場

π-r(x)である,と解釈するなら,これは,∂μ

=(fπ√2)π-r となります。

他方.σ模型のPCAC関係式はアイソベクトルπについて,

μj5μ=(μ12/g0)(3π)-1/2πrでしたから,両者の関係式

が一致することを要請すれば,再び,(μ12/g0)(Z3π)-1/2

=fπ/√2が成立するはずです。

このPCAC式が,荷電π中間子πだけでなく,中性の

π0中間子でも成立するなら,∂μ=(fπ/√2)π0rです。

そこで,中性のπ0中間子においても,係数fπは荷電π

中間子の崩壊率に比例する量であるとが証明されました。

結局,QEDではないσ模型でも,三角グラフを通して

2光子と相互作用する電気的に中性な軸性ベクトルカレント

がPCACの条件を満足するとき,その4次元発散:

μが,πの場に比例するという結果を得ました。

(※ここまでが,これまでの記事の要約です。)

今回は,これ以上進むと長くなるので,(9)までの

要約のみでした。(つづく)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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2020年9月12日 (土)

物理学の哲学(9)(アノマリー)

物理学の哲学」の続きです。

 今回も余談抜きです。

さて,これまでの記事内容と重複するかも

知れませんが,粒子の散乱などの量子遷移現象

において,初期状態,or 始状態を,|i>,終状態を

|f>で記述すると.|i>から|f>への散乱行列

(S行列)要素:Sfiは,ユニタリ変換だけ異なる

2つの完全系:incomibg漸近場の状態と

outgoing漸近場の状態によって,

fi=<f;out|i;in>=<f;in|S^|i:in>

で定義されます。そして,S^演算子は,<f;in|

=<f;out|S^で定義されます。

今のπ0→2γの崩壊過程では,|i>=|π0

であり,|f>=|γ(11)γ(k2,ε2)>です。

そして,これに,LSZの還元公式を用いると,

fii∫d4x(2π)-3/2(2q0)-1/2exp(-iqx)

(□x+μ2)<γ(k1,ε1)γ(2,ε2);in|π0r(x)|0>

と書けます。ただしπ0r(x)は,くりこまれた中性の

π0中間子の場(擬スカラー場)であり,μはπ0の質量

です。そして,Klein-Gordon演算子:(□+μ2)を挿入

しているのは,始状態で,入射するπ0のincoming漸近場:

π0in(x)が,その自由場と同じ方程式に従うため,

(□+μ20in=0のKlein-Gordon方程式を満たす

からです。

ここで,本ブログの過去記事「LSZの公式(4)」から,

LSZ(Lehmann-Synmanzik-Zimmerman)の公式の

紹介記事を,今のπ0中間子の崩壊過程に適用するため,

少し修正して再掲載します。

 参考にしたのは,J.D.Bjorken とS。D。Drellの共著

「Relativistic Quanrum Field」(McGrawHill) です。

これは私が学生の頃の場の量子論の標準的テキスト

でした。(※もっとも,当時は1ドル360円の時代で,洋書

は高価で貧乏学生だった私は,研究室図書館の蔵書を青焼き

コピーしてファイルににして使ってました。これを買えた

のは,サラリーマンに就職後です。※)

※さて,以下は修正した再掲記事です。

粒子群:αに4元運動量がpのπ中間子1個

が加わった入射粒子群のincomingの漸近状態を

意味する:|αp;in>から,終状態の粒子群:βの

outgoing漸近状態のKet:<β;out|への遷移振幅

を示すS行列要素(散乱業辣要素)を与えるS行列

要素:Sβ(αp)=<β;out|αp;in>を考察します。

以下,漸近条件を用いて,始状態:|αp;in>と

終状態|β;out>の両方から1粒子pを差し引く

代わりに,適当な場の演算子を挿入した式が

得られることを示します

質量がμのπ中間子の漸近場の消滅演算子;

in^(p),および,aout^(p)は,それぞれ,

in^()=i∫d3(x)∂0πin(x),

および,aout^()=i∫d3(x)∂0πout(x)

という表式で書けることを用います。

他方,これら漸近場の生成演算子:ain^(p)と

out^(p)の方は,上式の両辺のHermite共役を

取れば得られます。

ただし,f(x)=(2π)-3/2(2ωp)-1/2

exp(-ipx)です。(ω=p0=(2+μ2)1/2)

一方、f(x)=(2π)-3/2(2ω)-1/2exp(ip)

で,これらは,(□+μ2)f=0,(□+μ2)f*=0

を満たす平面スカラー波の解です

 また,任煮,の2つのtの関数:a(t),b(t)に

対して,a(t)0b(t)で与えられる関数を,

a(t)∂0b(t)=a(t){∂b(t)/∂t}

-[∂a(t)/∂t}b(t) で定義しています。

そこで,<β;out|αp;in>

=<β;out|ain^(p)|α;in>

=<β;out|aout^p)|α;in>

+<β;out|ain^(p)-aout^(p)|α;in>

=<β-p;out|α;in>

-i<β;out|∫d3x[p(x)∂0

in(x)-πout(x)]]|α;in>と書けます。

 |β-p;out>は,もしも集合:βの中にp

が存在する場合は,βからpを除いた終状態を

表わしますが,βの中にpが存在しない場合は,

この項はゼロで消えてなくなります。

また,|αp;in>が,初期に2粒子がある場合の

散乱を表現しているなら,<β-p;out|α;in>

は入射粒子と標的粒子が運動量を含め,それら

の量子数を保存する前方弾性散乱のみに寄与

します。つまり,<β-p;out|α;in>

=δ(β-p)αです。

(※ 何故なら|α;in>が1粒子の場合は,

<β-p;out|P^2|α;in>

=α2<β-p;out|α;in>

=(β-p)2<β-p;out|α;in>なので,

<β-p;out|α;in>≠0である場合は,

(β-p)2=α2=μ2ですから,|β-p;out>

も同じ1粒子の終状態です。

そして,また,<β-p;out|P^μ|α;in>

=αμ<β-p;out|α;in>

=(β-p)μ<β-p;out|α;in>

ですから,<β-p;out|α;in>≠0のときは,

(β-p)μ=αμ,つまり,βμ=(α+p)μと,

4元運動量が不変な弾性散乱で,しかも方向を

変えず素通りする前方散乱のみの振幅を意味

するからです。※)

さて,<β;out|αp;in>

=<β-p;out|α;in>

-i<β;out|∫d3x[(x)0

in(x)-πout(x)}]|α;in> の右辺の

項:-i∫d3<β;out|fp(x)∂0

in(x)-πout(x)}|α;in>

は「Greenの定理」によって時間tに依存しません。

そして,始状態,終状態の散乱状態の粒子たちが

波束のように,あるf(x)≠0の形の有限な台に

局所化されていることを保証する漸近条件:

limt→-∞<α|π(t)|β>=Z1/2<α|πin(t)|β>,

limt→+∞<α|πf(t)|β>=Z1/2<α|πoutf(t)|β>

の要請,を満たすことから,t=x0→ -∞ の極限では,

πin(,t)を,Z-1/2π(,t)で,また,t=x0→ +∞

の極限でも,πout(x,)を,やはり,Z-1/2π(,t)

で置き換えることが許されます。

(※Zは,π(x)のくりこみ定数を意味しています。)

 それ故,結局,<β;out|αp;in>

=<β-p;out|α;in>

+(iZ-1/2(lim0→ +∞-limx0→-∞)

<β;out|∫d3(x)∂0π(x)|α;in>

と書くことができます。

これが,Reduction手続きの最初の段階です。

これから,より便利な形を得るために,公式:

(lim x0→ +∞-lim x0→ -∞)∫d31(x)∂02(x)

=∫-∞4x[∂0{g1(x)∂02(x)}]

=∫-∞4x[g1(x)∂022(x)

-{∂021(x)}g2(x)]が成立すること

を用います。

そこで,g1(x)=f(x),g2(x)

=π(x)として,これに代入すると,

1(x)=fP(x)は,(□+μ2)f(x)=0

を満たすので,∂02(x)=(∇2-μ2)f(x)

Gが成立します。

 よって,Z-1/2(lim x0→+-limx0→-∞)∫d3

<β;out|f(x)∂0π(x)|α;in>

=iZ-1/2-∞4x<β;out|

(x)∂02π(x){∂02p(x)}π(x)|α;in>

=iZ-1/2-∞4x<β;out|f(x)

(∂02+μ2)π(x)-(∇2(x))π(x)]|α;in>

となります。

 結局,Z-1/2(lim x0→+-limx0→-∞)∫d3

=iZ-1/2-∞4xfp(x)(□+μ2)

<β;out|π(x)|α;in> なる表式を得ます。

ここで,最後の式変形では部分積分に対する

「Greenの公式」を用いました。

したがって,元のS行列要素の始状態,終状態

の両方から1粒子を減ずる還元公式の最終式

として,Sβ(αp)=<β;out|αp;in>

=<β-p;out|α;in>

+iZ-1/2-∞4xf(x)(□+μ2)

<β:out,|π(x)|α;in>

が得られました。 (再掲記事終了※)

今のπ0中間子の崩壊のS行列要素:

fi =<γ(k11)γ(k2,ε2);out|π0in>

=<γ(k11)γ(k22);in|S^|π0in>

に対するLSZの公式を考えると,上記で,

<β;out|=<γ(k11)γ(k22);out|

とし,|αp;in>=|π0in>として,それ故,

|α:in>は,真空:|0>を意味するので,上記

の最終形の式で,π中間子の場π(x)を,π0中間子

の場:π0(x)に置き換え,そのくりこまれた場

を,π0r(x)と書いて,π0r(x)=Z1/2π0(x)

と乗法的に定義されているなら,入射π0粒子の

4元運動量がpμでなく,qμの場合の崩壊の

S行列要素として,

i=<γ(k11)γ(k2,ε2);out|π0;in>

=i∫d4xf(x)(□+μ2)

<γ(k11)γ(k22);out|π0r|0>

なる表式が得られます。

ここで,始状態,および.終状態を共に

incomingの漸近状態のx座標表示で表わすと,

それぞれ,<x|π0 ;in>=f(x)

=(2π)-3/2(2q0)-1/2exp(-iqx),および,

γ(k1,ε1)γ(k2,ε2);in|x>σρ

=(2π)-3(4k1020)-1/2ε1σ*ε2ρ*

exp(ik1x)exp(ik2x) です。

そこで,S行列要素:fii∫d4xf(x)

<γ(k1,ε1)γ(k2,ε2);out|(□+μ2)π0|0>

を,このx表示で書けば,未知の因子を

σρ(k1,k2:q)として,Sfi=i∫d4x(2π)-9/2

(2q0)-1/2exp{-i(q-k1-k2)x}

(4k1020)-1/2ε1σ*ε2ρ*σρ(k1,k2:q)

なる形に書けるはずです。

そこで,(2π)-1/2(2q0)-1/24k1020)-1/2

ε1σ*ε2ρ*σρ(k1,k2:q)が,f(x)

×<γ(1,ε1)γ(k2,ε2);in|(□+μ2)π0r|0>

のFourier変換(運動量表示)になっています。

それ故,(4k1020)-1/2ε1σ*ε2ρ*(2π)×

σρ(k1,k2:q)がが,S行列要素の,運動量表示

(x)<γ(1,ε1)γ(k2,ε2);in|

(□+μ2)π0|0>から,|π0;;in>から,波動関数

(x)=(2π)-3/2(2q0)-1/2exp(-iqx)

を除いた因子である

<γ(k11)γ(k22);in|(□+μ2)qπ0r|0>

のFourier変換(運動量表示になっている

と考えられます。

そこで,Sfi=i∫d4xf(x)(□+μ2)

<γ(k11)γ(k22);in|π0r|0>

の被積分関数を[(2π)-9/2(2q0)-1/2

exp{-i(q-k1-k2)x}

(4k1020)-1/2ε1σ*ε2ρ*1ξ2τε1σε2ρ*

εξτσρπ(k12)と書いて,

fi=i∫d4x(2π)-9/2(2q0)-1/2

exp{-i(q-k1-k2)x}(4k1020)-1/2

ε1σ*ε2ρ*σρ(k1,k2:q)の被積分関数

と等置すれば,(2π)SσΡ(k1,k2,:q)

=k1ξ2τεξτσρπ(k12) となります。

今回は,ここで終わります。(つづく)

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2020年9月11日 (金)

物理学の哲学(8)(アノマリー)

物理学の哲学」の続きです。

余談は省略で,さっそく本題の続きに入ります。

 前回は,QED以外に,部分的保存(PCAC)を満たす

場理論のσ模型を導入して,π中間子の崩壊振幅

πを,次式で定義しました。

すなわち,<π(q)|j|0>

=(2q0)-1/2(-iqμ2)(π/√2.)です。

ここで,μはπ中間子の質量です。

アイソベクトル場:πを含むσ模型では,πもj

も中性成分だけでなく荷電成分を持つため,fπ

丁度,荷電π中間子の弱い崩壊振幅に等しいもので

あることがわかります。

特に,中性のπ0に対する先の「不完全版」の

σ模型の中性軸性べクトルカレントj(x)は,アイソ

軸性ベクトルカレントj(x)の,アイソ第3成分です

から,それを5μ(3)(x)と記し.中性カレントでの表現:

<π(q)|j|0>=(2q0)-1/2(-iqμ2)fπ/√2.

を,<π0(q)|5μ(3)|0>=(2q0)-1/2(-iqμ2)fπ/√2.

と書き直します。

荷電π中間子の場の演算子は,π=(π1-iπ2)√2,

および,π=(π1+iπ2)/√2,ですが,,一方,粒子の

状態ベクトルとしては,|π>=|π1+iπ2>/√2,

および,{π>=|π1-iπ2>/√2でしたから,

πの崩壊:π→ μ+νμ~, π→ e+νe~

おける行列要素:<α|π>の向きを逆転させた

要素:<π{α>は,<π{α>=<α|π

なるはずです。これは,つまり,Bra:,|π

=|π1-iπ2>/√2に対し,Ket<π|=<π1+iπ2|/√2

が対応することを示している,と考えられます。

そこで,軸性ベクトルカレントの第3成分は,

5μ(3)Ψ~γμγ5τ3Ψ+σ(∂μπ3)-π3(∂μσ)

+g0-1(∂μπ3)なる演算子で与えられますが,これを

アイソ回転して得られるアイソカレントの+成分は

第3成分:j5μ(3)τ3ではなく,τを対応

せたj5μ(+)=(1/2)Ψ~γμγ5τΨ+σ(∂μπ)

-π(∂μσ)+g0-1(∂μπ),(τ=(τ1-iτ2)/√2,

π=(π1―iπ2)/√2.)となるはずです。

それ故,<π(q)|j5μ(+)|0>

=<π12)(q)|(j5μ(1)ij5μ(2))|0>/2

(2q0)-1/2(-iqμ2)(fπ/√2) となります。

ここで,k=1,2,3の各々のπはkが同じカレント

5μ(k)のみ相互作用することができて,kに関わらず,

<π|j5μ(k)|0>=(2q0)-1/2(-iqμ2)(fπ/√2.)

になるという対称性を仮定しました。

そして,<π(q)|j|0>

=(2q0)-1/2(-iqμ2)fπ/√2の4次元発散を

取り,∂μ=(μ12/g0)(Z3π)1/2πrを代入して,

<π(q)|(π(q)>=(2q0)-1/2を用いると次式

を得ます。すなわち,(μ12/g0)(Z3π)1/2=fπ/√2

です。

そこで,∂μ=(μ12/g0)(Z3π)1/2πrのくり込み

定数は除去されて,このPGAG方程式を完全に物理量

だけで書き表わせます。

結局,重要なPCAC関係式として,

μ=(fπ/√2)πなる結果が得られました。

と書いたところで前回記事は終わりました。

※さて,ここからが,今回追加の記事内容です。

先に与えたfπが,丁度,荷電π中間子の弱い相互作用

による崩壊振幅に等しいことを,検証します。

そのため,本ブログでPCACの意味とπの意味に

ついて,「(岩波講座)現代物理学の基礎(11)素粒子論」

という古い本を参照して書いた過去記事を再掲載します。

40年以上前に買ったこの本を,昔,読んだときの覚え

書きで,今では解釈が間違っているかもも知れません。

※以下は再掲記事です。

さて,π中間子の運動量がqの1粒子状態は,

(q)>=|π>|π>|π(q)>

+ΣNN~|NN~><NN~|π(q)>と,完全系に展開

できる,とします。

崩壊:π→μ+νμ~は,第1項の振幅と見ても,

第2項以下の振幅で見ても同じであると仮定します。

つまり,|π(q)>=|π>|π>|π(q)>,

であり,かつ, |π(q)>

=ΣNN~|NN~><NN~|π(q)>でもある

というわけですから,|π->の{μν~>への崩壊は

|NN~>の中間状態を通してのみ可能な反応である

と考えるわけです。

ということは,実は,展開の第1項と第2項以下は,

同じモノで,どちらかの項はゼロロとして消していい

ということになります。

そこで,展開の右辺第1項,または第2項以下を評価

すればいいのですが,これは現象論的弱い相互作用:

π(∂μπ){μ~γμ(1-γ5)ν}による,

摂動Hamiltonian:π→μνの1次の崩壊振幅で

あり,

<Hπ→μν>=(G/√2)∫d4x<0|∂μπ(x)>

×{μ~(x)γμ(1-γ5)ν(x)}なる計算式で

与えられます。ここで,<0|∂μπ(x)>

=(2π)-3/2(20)-1(iqμ)aπ で,現象論的な

Fermiのカレント-カレント相互作用の弱い結合係数:

Gに対する中間子πのカレントに相当する(∂μπ)の寄与

の比率係数πを定義しておきます。

この現象論的弱い相互作用での最低次近似による

π→μ+νe~の崩壊率,1/τπ→μνの計算」結果と

その実験値を比較すると,

(1/τの計算値)={G2π2/(8πμ)}(mμ/μ)2であり

(1/τの実験地)~3.84×107sec-1です。

(※μは,πの質量,mμは,μ粒子の質量です。)

この比較によれば,aπの大きさは|aπ|~0.97μ

と評価されます。(※本ブログの2016年3/21の過去

記事:「弱い相互作用の旧理論(Fermi理論)(12)」で,

荷電π中間子の崩壊について記述しましたが,そこ

では,今のaπを単にaと記し,|a|~ 0.87μ,または,

|a|~ 0.93μと評価されましたが,これらは上記の

|aπ|~0.97μと,誤差の範囲内で一致していると

見えます。そして,この|a|は,核子1個当たりのπ中間子

の雲の存在確率振幅を意味すると解釈されていました。※)

レプトンの軸性カレントの因子:{μ~γμ(1-γ5)ν}を

L^μと表わせば,π→μ+νμ~の崩壊振幅は,

<μν~|L^μ{0><0|(Gaπ/√2)(∂μπ)|π

×<π(q)> と表わされます。

他方,これが,|π(q)>=|π>|π>|π(q)>

+ΣNN~|NN~><NN~|π(q)>における右辺の

第1項のみ,または,第2項以下の強い相互作用を仮定

したNの中間状態の寄与の総和:ΣNN~<μν~|L^μ{0>

<0|(Gaπ/√2)(∂μπ)|NN~><NN~|π(q)>

=<μν~|L^μ{0>

<0|(g/g)(Gaπ/√2)j(x)|π(q)>

の両者が一致して,いずれかが象論的Fermiも弱い

相互作用に寄与なるというのが,過去記事の

内容でした。

 πの方のカレント相互作用の因子:(G/√2)(aπμπ)

が,レプトンのV-Aカレント因子のA(軸性ベクトルカレント)

の部分:(G/√2)aπ(g/g)j(x)のみと作用すると

見るのは.π-が擬スカラー粒子なので相互作用因子aπμπ

は,Fermi粒子のNやレプトンのV-Aの弱カレントのうちの,

Aのみと相互作用する,軸性ベクトルカレントに相当する

と考えられるからです。

それ故,第1項=第2項Vいう同一視の仮定が満足

されるためには,V-AカレントのVに対するAの比率を

=g/gとして,aπ<0|∂μπ(q)>

=r<0|j(x)|π(q)> が成立することが必要

かつ,十分です。

そして,この式の両辺の4次元発散を取れば,

<0|∂μ(x){π(q)>

=aπ<0|□π(q)>=-aπμ2<0|π(q)>

を得ます。ここで,1粒子の実π中間子は,自由なπ中間子

の運動方程式であるKlein-Gordon方程式::(□+μ2=0

を満たすはずなので,□π=-μ2πと書けることを

用いました。それ故,fπ/√2=aπμ2/r,

(r=g/g)と置けば,状態ベクトルを外した演算子

方程式として,∂μ=(fπ√2)πなる式を得ます。

アイソスピン対称性から,これが荷電π中間子に対する

だけでなく,中性のπ0中間子に対しても成立するなら,

μ5μ=(fπ/√2)π0ですから,先のPCAC関係式と一致

するため,fπは確かに荷電π中間子の崩壊率に比例する

量であること,がわかります。

ただし,ここでのπについての場の演算子:π^および

π0は,既に,輻射補正されて,くりこまれた場:π―r,

および,π0rであると解釈しています。再掲載終了※)

今回は,キリもいいのでここまでにします。(つづく)

 

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2020年9月 7日 (月)

物理学の哲学(7)(アノマリー)

物理学の哲学」の続きです。

副題の(止まると死ぬ)は,だんだん記事の意図

から外れてきたので,副題を(アノマリー)に変更

しました。

(※余談):9/7(月)夜です。九州には大型台風

がきてるらしいけど,私は,餅じゃなく,カリン糖

が喉に詰まる誤嚥で呼吸困難になってしばらく

一人で七転八倒したりして,相変わらず死と隣り合

わせの状態が日常的に起こるので,先は長くない

ですね。体はボロボロで頭ばかり冴えてます。

(余談終わり※)

  さて,少し飛躍して量子アノマリーを研究

する目的の1つであった,π0 →2γ崩壊の

S行列要素 →崩壊率の評価を考えます。

まず,過去記事「摂動論のアノマリー」

の(13)を参照します。

(※以下,再掲載記事)

粒子の散乱などの量子遷移現象において,

初期状態,or始状態(initial stare)を|i>,

終状態(final stateを|f>で記述すると,

今のπ0→2γの崩壊過程では,|i>=|π0

であり,|f>=|γ(k11)γ(k2,ε2)>です。

ただし,k1,k2は,終状態の2個の光子(2γ)

の運動量,または波数であり,ε12は偏極

(偏光)を示しています。

一般の散乱行列(S行列)要素Sfi,および,S^

演算子は,ユニタリ変換だけ異なる2つの完全系:

incomibgの漸近場の状態とoutgoingの漸近場

の状態(散乱状態)によって,

fi=<f;out|i;in>=<f;in|S^|i:in>

で定義されます。

そこで,S^演算子は,<f:in|=<f;out|S^

で定義されます。

今のπ0崩壊の場合は,

fi =<γ(k11)γ(k22);out|π0in>

=<γ(k11)γ(k22);in|S^|π0in>

であり,|i>から|f>への遷移確率を示す

fiは,散乱行列要素というより,π0 → 2γ

の崩壊行列要素を意味します。

このS行列要素と,ここまで論じてきた電磁場

が存在する場合の裸の質量m0の軸性ベクトル

カレント:j(x)=ψ~(x)γμγ5ψ(x)の

部分的保存(PCAC)を意味する4次元発散の式:

μ(x)=2im05x)

+{α0/(4π)}Fξστρεξστρ.

 ただし,j5(x)=ψ~(x)γ5ψ(x)とが,

どのように関連付けられるかを見るため,過去

記事「摂動論のアノマリー」(16)」において,

これを次式に置き換えることによって,三角

グラフの輻射補正に由来するアノマリーの

可能性を考慮に入れると,

μ5μ(x)=2im05

0/(4π)}(1+C)Fξσ(x)Fτρ(x)εξστρ

と書けます。(※Cは輻射補正の寄与率)

以下,上記の式を「低エネルギー定理」

基礎式として用います。

そして,4元運動量:k1,k2と偏極(偏光):

ε12を持つ2光子の状態のKetベクトル:

<γ(k11)γ(k22)|と,真空:|0>による

これら各項の行列要素を取ってみます。

 4元運動量:k1,k2と偏光:ε12から構成

することができる唯一の擬スカラー量は定係数

因子を除けば,k1ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ

のみです。

それ故,軸性ベクトルの4次元発散の両辺の

項の行列要素は,因子として,この表現を含む

はずです。そこで,

<γ(k11)γ(k22)|∂μ|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρF(k1,k2) ....(1)

<γ(k11)γ(k22)|2im05|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρG(k1,k2) .....(2)

<γ(k11)γ(k22)|

0/(4π)}Fξστρεξστρ|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρH(k1,k2) ....(3)と書きます。

F(k1,2),G(k1,k2),H(k1,k2)は,

スカラー量:(k1)2,(k2)2,(k1+k2)2

関数ですが,2光子状態の光子は,共に質量が

ゼロの実光子であるとしているので,

(k1)2=0,かつ,(k2)2=0であり,結局,

F,G,Hは(k12)のみの関数であると

見ることができます。

そこで,軸性ベクトルカレントの4次元発散式

の行列要素での表現は,F,G,Hによって,

F(k12)=G(k12)+(1+C)H(k12)

と書き直せます。

これから「低エネルギー定理」というものを

導出するために,行列要素:μ=(4k1020)-1/2

<γ(k11)γ(k22)|j|0>の注目すべき

運動学的性質を用います。それは,Lorentz不変性,

ゲージ不変性,Bose統計の要請ですが,これらから

次の一般形式をとることが要求されます。

以下,これらの性質から軸性カレントの

4次元発散の行列要素,

<γ(k11)γ(k22)|∂μ|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

×εξτσρF(k12)が,(k1+k2)μμに比例し,

(k1+k2)μ<γ(k11)γ(k22)|j|0>

の定数倍であることがわかります。

これからF(k12)∝(k12)と結論されます。

故に,F(0)=0が成立します。

このことが,素朴な発散の(真空 →2光子の

行列要素:<γ(k11)γ(k22)|2im05|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

εξτσρG(k12)のG(k12)を,演算子:

0/(4π)}Fξστρεξστρの行列要素,

<γ(k11)γ(k22)|{α0/(4π)}

ξστρεξστρ|0>

=(4k1020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*

εξτσρH(k12)のH(k12)に関係付ける

「低エネルギー定理」を与えます。

すなわち,F(k12)=G(k12)

+(1+C)H(k12)が成立することから,

0=F(0)=G(0)+(1+C)H(0) を得ます。

したがって,G(0)=-(1+C)H(0)です。

ただし,摂動論の最低次(treeレベル)では輻射補正

Cは無視します。

ところが,H(0)については,j,j5,および,

アノマリー項:{α0/(4π)}Fξστρεξστρのグラフ

に対するFeynman規則を用いて,評価することができて

H(0)=2α0/πであること,がわかります。

そしてG(0)=-(1+C)H(0)ですが,k1→0.2→ 0

の低エネルギー極限では,C=0となることから,

G(0)=-H(0)=-2α0/πなる評価を得ます。

この,G(0)に対する結果は,大した面倒もなく,

直接,具体的な最低次のグラフのGの表現式:,

σρ=k1ξ2τεξτσρ1,B1=8π2000(k1,2)

からも導出できるものです。

すなわち,具体的計算でも,確かに

G(0)­=[iε1σ*ε2ρ*(-ie02)(2π)-4

(2m0σρ)/k1ξ2τε1σ*ε2ρ*ε

×εξτσρ]k1,k2→ 0=e02(2π)-4(2m01) k1,k2→ 0

-e02/(2π2)=-2α0/π を得ます。

そこで,実際には発散する係数Gに切断Λを入れて

有限化した,GΛの Λを無原大とした極限の

くり込まれた量をG~,つまり,

G~(k12)=limkΛ→∞Λ(k1k2)と書くと,

1~0.k2 ~0の低エネルギー極限では,裸の

微細構造定数:α0を,観測量αに置き換えた関係:

G~(0)=-2α/πになる,という定理:を得ます。

これが,求めたかった「低エネルギ定理」です。

※ここで,これまでのQEDでのVVA三角アノマリーと

今の「低エネルギー定理」の結果を一般化した場の

理論の,いわゆる σ模型を導入してこれを考察します。

σ模型もQEDのそれと同じく,正確な演算子恒等式と

して,部分的保存条件(PCAC)を満足します。

上に導出した「低エネルギー定理」の,この種の模型

への拡張は,π0 → 2γの崩壊率の予測に導き,結果,

その予測計算値と実験値との比較を可能にします。

σ模型は,PCACが演算子関係式として成立する場理論

模型の特殊なケースです。

基本的に興味あるのは,三角グラフを通して2光子と

相互作用ができる電気的に中性の軸性ベクトルカレント

です。そこで,過去記事では,まず,電気的に中性の軸性

ベクトルカレントのみを含むσ模型の「不完全版」を

考察しました。この模型では,系のLagrangian密度

は次式で与えられます。すなわち,

=ψ~{iγμμ-G0(g0-1+σ+iπγ5)}ψ

+λ0{4σ2+4g0σ(σ2+π2)+g022+π2)2}

+(μ02/2)(2g0-1σ+σ2+π2)

+(1/2){(∂π)2+(∂σ)2}

-(μ12/2)(π2+σ2) です。

これは,陽子pのスピノル場:ψ(x),中性π中間子π0

の場:π(x),および,スカラー中間子の場σ(x)のみ

含みます。

 過去記事では,この「不完全版」からスタートして

議論を展開しましたが,ここでは,最初から,中性の

軸性ベクトルカレントだけでなく,荷電軸性ベクトル

カレントも含み,π中間子も荷電π中間子も含む

「完全版」のσ模型を想定します。

 すなわち,強い相互作用の荷電独立性

(アイソスピン対称性)が,このσ模型でも成立する

と仮定して.不完全版」の陽子pのスピノル場:

Ψ(x)を,核子:(p,n)のアイソスピノル場:

Ψ=(ψ)で置き換え,単一のπ0中間子の場

であったπ(x)を,アイソベクトル場:π=(π123)

で置き換えます。σ(x)については電気的に中性のみの

アイソスカラーでアイソスピンはゼロの場とします。

よって,「完全版」のσ模型でのLagrangian密度は,

=Ψ~「[iγμμ-G0({g0-1+σ+i(τπ5}]Ψ

+λ0{4σ2+4g0σ(σ2π2)+g022π2)2}

+(μ02/2)(2g0-1σ+σ2π2)

+(1/2){(∂π)2+(∂σ)2}-(μ12/2)(π2+σ2)

となります。

このとき,実際に観測されているπ中間子の

0)の粒子状態は,アイソベクトル場;

π=(π123)の状態;|π>(k=1,2,3)

により,|π>=(|π1+i|π2>)/√2,

=(|π1>-i|π2>)/√2,および,|π0

=|π3>なる線形結合で与えられます。

ここで,係数(1/√2)は状態を規格化する

ための因子です。

ただし,πの1粒子状態は,|π>=(π)|0>

(k=1.2、3)のように,真空:|0>に場の生成演算子

)を作用させて得られるので,上記の粒子状態

の表現は,粒子の消滅演算子を意味す粒子場:πでは

π=(π1―iπ2)/√2,,π=(π12)/√2,

π0πです。

この模型のの場合,カイラルゲージ変換は無限小の

局所ゲージパラメータ:(x)をアイソ空間のベクトル

として,アイソスピノル Ψ=(ψ)に対しては,

Ψ → {1+{(i/2)γ5(τv)}Ψなる変換となり,対応

して,アイソベクトル場:π=(π123)

,π → π(g0-1+σ) なる変換です。

そこで,特に中性のπ0中間子の場:π0=π3は,

π→ π3+v3(g0-1+σ)と変換します。ここで,

Pauliのスピン行列を導入しこれをτ=(τ12,τ3)

表記して用いました。また,σについての変換

は,σ → σ+(vπ)です。

そして「Noether(ネーター)の定理」の応用でこの変換

に対応するカレントは軸性なのでこれを,

=-δ/δ(∂μ)で定義すると,今の場合,この

軸性ベクトルカレントもアイソベクトルで,

=(1/2)Ψ~γμγ5τΨ+σ(∂μπ)

π(∂μσ)+g0-1(∂μπ).で与えられます。

この変換で,Lが不変なら,これは∂μ5μ=0を満たす

保存カレントであるはずですが,残念ながらは不変

ではなく,余分な項:(-μ12/g0)πがあるため,これまで

論じてきたQEDでの質量m0≠0の場合の軸性ベクトル

カレントの4次元発散のケースと同じく,部分的保存

(PCAC)のみが成立します。

つまり,この場合は∂μ=-δ/δv=(μ12/g0)π≠0

となります。

こうして,σ模型は演算子恒等式としてPCACの条件を満足

する,との先の言明通り軸性ベクトルカレント

4次元発散:∂μが,πの場に比例する,という重要な

式を得ました。

σ模型について,その他色々と詳細な話ありますが,

重要なのは,このPCACの関係が成立することです。

また,摂動論のあらゆる次数までで,<0|σ|0>=0.

となるように,σ模型が全体に平行移動された形式

を選択しました。もしも,最初に選択した場:σでは.

<0|σ|0>=σ0≠0の場合,σ → σ~=σ-σと平行

移動して,このσ~を改めてσに採用することで,常に

<0|σ|0>=0 としておきます

パラメータ:μ12はσの裸の伝播関数(q2-μ12+iε)-1

に現われる裸のσ中間子質量の平方です。

σについての Euler-Lagrange方程式:

λ{∂/δ(∂λσ)}-(∂L/∂σ)=0 を書き下すと,

□σ+(μ12-μ02)σ=-G0ψ~ψ+g0-1μ02

+λ0{8σ+4g0(3σ2+π2)+4g02σ(σ2+π2)2}です。

そこで,<0|δ/δ(∂λσ)|0>=0は,□<0|σ|0>=0

を意味し.大域的にこれが成立することは,0|σ|0>が

時空点に依存しない定数であることを意味します。

それ故,恒等的に<0|σ(x)|0>=0 と表わすことが

できます。σの生成,消滅の両Fourier成分を持つ

σのincoming漸近場:σinによって,|σ>=σin|0>

書けば,<0|int(x)|σ>=<0|int(x)σin(x)|0>

=0であることを意味します。これから,

<0|T[Hin(t1in(t2)..Hin(tin(x)|0>=0,

つまり,<|S^σin|0>=0となり,摂動の全ての次数で

<0|σ|0>=0が保証されるわけです。

さらなる作業のため,σ模型のPCAC方程式:

μ=-δ=(μ12/g0)πを,次のように

書き換えます。

すなわち∂μ=(μ12/g0)(Z3π)1/2πr 

とします。つまり,π=(Z3π)1/2πrで,くりこみ係数:

3πと,くりこまれたπの場:πrを定義するわけです。

次に,π中間子の崩壊振幅fπを次式で定義します。

すなわち,<π(q)|j|0>=(2q0)-1/2(-iqμ2)

×(fπ/√2.)です。ここで,μはπ中間子の質量です。

アイソベクトル場:πを含む完全版σ模型では,π

も中性成分だけでなく荷電成分を持つため,fπ

は丁度,荷電π中間子の弱い崩壊振幅に等しいもの

であることがわかります。

特に,中性のπ0に対する,先の「不完全版」の中性

軸性べクトルカレント:j(x)は,アイソ軸性ベクトル

カレント:(x)の,アイソ第3成分ですから,それを

5μ(3)(x)と表わし.中性カレントの<π(q)|j|0>

=(2q0)-1/2(-iqμ2)fπ/√2 なる表現を,

<π0(q)|j5μ(3)|0>=(2q0)-1/2(-iqμ2)

×fπ/√2. と書き直します。

荷電π中間子の場の演算子は,π=(π1-iπ2)/√2,

および,π=(π1+iπ2)/√2,ですが,

その粒子の状態ベクトルは,|π>=|π1+iπ2>/√2,

および,π>=|π1-iπ2>/√2でしたから,π

崩壊における行列要素:<α|π>の向きを逆転させた

π|α>は,その複素共役で与えられます。

つまり,Bra:|π>=|π1-iπ2>/√2に対して,

Ket:<π|=<π1+iπ2|/√2が対応すると

考えられます。

そして,軸性ベクトルカレントのアイソ第3成分は

5μ(3) =(1/2)Ψ~γμγ5τ3Ψ+σ(∂μπ3)-π3(∂μσ)

+g0-1(∂μπ3)で与えられますが,これをアイソ回転する

ことで得られる+成分は,そのτ3をτ+ではなく,τ-とする

ことにより,5μ(+)(1/2)Ψ~γμγ5τΨ+σ(∂μπ)

-π(∂μσ)+g0-1(∂μπ) になるはずです。

ただし,τ=(τ1-iτ2)/√2,かつ

π=(π1―iπ2)/√2です。

そこで,<π(q)|j5μ(+)|0>

=<(π1+iπ2)(q)|(j5μ(1)-ij5μ(2))|0>/2

=(2q0)-1/2(-iqμ2)(fπ/√2)となります。

ここで,k=1,2,3の各々のπはkが同じカレント

5μ(k)のみとcoupleすることができてkに関わらず,

<π|j5μ(k)|0>=(2q0)-1/2(-iqμ2)(fπ/√2)

になる,という対称性を仮定しました。

因子:(-iqμ)は,πの崩壊相互作用部分の行列要素

が,<πi(q)|g0-1μπ|0>=(2q0)-1(-iqμ)F(q2)

なる形で与えられるという現象論的推論から出てきます。

σを含む項の寄与は先に述べた通り項が,演算子πと

交換するのでゼロです。

<π(q)|j|0>=(2q0)-1/2(-iqμ2)fπ/√2

の4次元発散を取り,∂μ=(μ12/g0)(Z3π)1/2πr

を代入して,<π(q)|π|0>=(2q0)-1/2を用いると

次式を得ます。

すなわち,(μ12/g0)(Z3π)1/2=fπ/√2です。

そこで,∂μ=(μ12/g0)(Z3π)1/2πrのくり込み定数

は,除去されて,このPCAC方程式を完全に物理量だけで書き

表わせます。結局,∂μ=(fπ/√2)πとなる,という

重要な結果得られました。

まだまだ先が長いので今回はここまでにします。

 

 

 

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2020年8月13日 (木)

物理学の哲学(止まると死ぬ)(6)

「物理学の哲学の続きです。

コロナじゃなく慢性心不全(肺水腫)です

が,血中酸素濃度が低くなり,8/6から,

また酸素吸入をしています。

治療は利尿剤を増やすだけで,いつ命が

終わるかも,わからないので,この回顧

ブログも急いでいます。(余談終わり※)

さて,ここでQED(量子電磁力学)における

基本的なW-T恒等式(Ward-Takahashi恒等式:

(p-p~)μΓμ(p,p~)

=S~-1(p)-S~-1(p~) を,伝統的な

正準定式化の摂動論でのT積(T-product;

時間順序積)の真空期待値で定義される

Green関数から,グラフ的考察に頼らず,

電磁ベクトルカレント密度の保存式:

μμ=0を用いて,導いてみます・

※(証明):

<0|T{ψ(x)ψ~(y)jμ(z)|0>を考えます。

これは,場の演算子のT積の部分を陽に書き下す

と,T{ψ(x)ψ~(y)jμ(z)}

=θ(x0-y0)θ(y0-z0)ψ(x)ψ~(y)jμ(z)

+θ(x0-z0)θ(z0-y0)ψ(x)jμ(z)ψ~(y)

-θ(y0-x0)θ(x0-z0)ψ~(y)ψ(x)jμ(z)

-θ(y0-z0)θ(z0-x0)ψ~(y)jμ(z)ψ(x)

+θ(z0-x0)θ(x0-y0)jμ(z)ψ(x)ψ~(y)

-θ(z0-y0)θ(y0-x0)jμ(z)ψ~(y)ψ(x)

となります。

この両辺の左から∂μ=(∂/∂zμ)を作用させる

と,∂zμ[T{ψ(x)ψ~(y)jμ(z)}

=T{ψ(x)ψ~(y)∂μμ(z)}

-θ(x0-y0)δ(y0-z0)ψ(x)ψ~(y)j0(z)

-δ(x0-z0)θ(z0-y0)ψ(x)j0(z)ψ~(y)

+θ(x0-z0)δ(z0-y0)ψ(x)j0(z)ψ~(y)

+θ(y0-x0)δ(x0-z0)ψ~(y)ψ(x)j0(z)

+δ(y0-z0)θ(z0-x0)ψ~(y)j0(z)ψ(x)

-θ(y0-z0)δ(z0-x0)ψ~(y)j0(z)ψ(x)

+δ(z0-x0)θ(x0-y0)j0(z)ψ(x)ψ~(y)

-δ(z0-y0)θ(y0-x0)j0(z)ψ~(y)ψ(x)

です。これを見ると,右辺第1講は∂μμ=0に

よって消えます。次に,まず,

-θ(x0-y0)δ(y0-z0)ψ(x)ψ~(y)j0(z)

+θ(x0-z0)δ(z0-y0)ψ(x)j0(z)ψ~(y)

=-θ(x0-y0)δ(y0-z0)ψ(x)

×[ψ~(y),j0(z)]y0=z0 です。

ここで,[A,BC]={A,B}C-B{A,C}

より,y0=z0では,[ψ~(y),j0(z)]

=[ψ~(y),ψ(z)ψ(z)]

=-ψ(z){ψ~(y)ψ(z)}

=-δ3(y-z)ψ~(z)ですから,

与式=θ(x0-y04(y-z)ψ(x)ψ~(z)

を得ます。そして,次に,

θ(y0-x0)δ(x0-z0)ψ~(y)ψ(x)j0(z)

-θ(y0-z0)δ(z0-x0)ψ~(y)j0(z)ψ(x)

=θ(y0-x0)δ(x0-z0)ψ~(y)

×[ψ(x),j0(z)]x0=z0

=-θ(y0-x04(x―z)ψ~(y)ψ(z)

です。これらの和を取ると,

-δ4(x-z)T{ψ(z)ψ~(y)}となること

がわかります。さらに,

-δ(x0-z0)θ(z0-y0)ψ(x)j0(z)ψ~(y)

+δ(z0-x0)θ(x0-y0)j0(z)ψ(x)ψ~(y)

=-δ(x0-z0)θ(z0-y0)

×[ψ(x),j0(z)]x0=z0ψ~(y)

=θ(z0-y04(x-z)ψ(z)ψ~(y),および,

θ(y0-z0)δ(z0-x0)ψ~(y)j0(z)ψ(x)

-δ(z0-y0)θ(y0-x0)j0(z)ψ~(y)ψ(x)

=-δ(z0-y0)θ(z0-x0)

×[ψ~(y),j0(z)]ψ(x)

=-θ(z0-x04(y-z)ψ~(z)ψ(x)

ですから,これらの和を取ると,

δ4(y-z)T{ψ(x)ψ~(x)}です。

したがって,結局

zμ<0{T{ψ(x)ψ~(y)jμ(z)}|0>

=δ4(y-z)<0|T{ψ(z)ψ~(x)}|0>

-δ4(x-z)<0|T{ψ(z)ψ~(y)}|0>

が得られます。

ただしカレントが保存されない場合:

μμ≠0なら,右辺第1項が消えない

ので,zμ<0{T{ψ(x)ψ~(y)jμ(z)}|0>

=<0{T{ψ(x)ψ~(y)∂μμ(z)}|0>

=δ4(y-z)<0|T{ψ(z)ψ~(x)}|0>

-δ4(x-z)<0|T{ψ(z)ψ~(y)}|0>

となります。 

ところで,QEDの3点Green関数:

(3)μ(x,y,z)

=<0|T{ψ(x)ψ~(y)Aμ(z)}|0>

に,□z=(∂zμ)を作用させると,

まず,∂z<0|T{ψ(x)ψ~(y)Aμ(z)}|0>

=<0|T{ψ(x)ψ~(y)∂μμ(z)}|0>

+(ψとA0の交換子に比例する項)

=<0|T{ψ(x)ψ~(y)∂μμ(z)}|0>

よなるので,□Aμ=jμにより,

z<0|T{ψ(x)ψ~(y)Aμ(z)}|0>

=<0|T{ψ(x)ψ~(y)□Aμ(z)}|0>

=<0|T{ψ(x)ψ~(y)jμ(z)}|0>

を得ます。

3点Green関数に□を掛けて光子の

質量核上:k2=0とおくことは,光子外線を

除くという意味があります。

運動量表示で考察するために

(3)μ(x,y,z)

=<0|T{ψ(x)ψ~(y)Aμ(z)}|0>

を,Fourier変換してGreen関数の運動量

表示を(2π)12δ4(p-p~-k)

×G(3)μ(p,p~,k)

=∫d4xd4yd4

[exp{i(px-p~y-kz)}

×<0|T{ψ(x)ψ~(y)Aμ(z)}|0>]

とします。すると,□(3)μ(x,y,z)

=<0|T{ψ(x)ψ~(y)jμ(z)}|0>を,

さらにzで微分したモノ,

μ(3)μ(x,y,z)が,先の

μ<0|T{ψ(x)ψ~(y)jμ(z)}|0>

に一致しますが,これの運動量表示は,

(2π)12δ4(p-p~-k)

×(ikμ)(―k2)G(3)μ(p,p~,k)

=(2π)12δ4(p-p~-k)i(p-p~)μ

×(―k2)G(3)μ(p,p~,k)|k=p-p~

となります。

一方,このT積の真空期待値の微分を

書き下して得た等式の右辺の運動量表示は,

∫d4xd4yd4

[exp{i(px-p~y-kz)}

4(y-z)<0|T{ψ(z)ψ~(x)}|0>

-δ4(x-z)<0|T{ψ(z)ψ~(y)}|0>]

=∫dxexp{i(p-p~-k)x}

×[∫d4y[expi(k-p~)(y―x)]

<0|T{ψ(y)ψ~(x)}|0>

-∫d4y[expi(k-p)(y―x)]

<0|T{ψ(y)ψ~(x)}|0>]

=(2π)12δ4(p-p~-k)

[iS~(k-p)-iS~(k-p~)

=(2π)8δ4(p-p~-k)

×{iS~(p~)-iS~(p)}となります。

以上から,

 (p-p~)μ(-k2)G(3)μ(p,p~,k)k=p-p~

=S~(p~)-S~(p)を得ます。

ところが,3点Green関数の運動量表示

は,頂点関数Γμにより,G(3)μ(p,p~,k)

=S~(p~)Γμ(p,p~)S~(p~)D~(k)

と書けます。そして,iD~(k)=(-i)/k2

です。それ故,

(p-p~)μS~(p)Γμ(p,p~)S~(p~)

=S~(p~)-S~(p)を得ます。

そこで左からS~-1(p),右からS~-1(p~)

を掛けると,確かに,WT恒等式

(p-p~)μΓμ(p,p~)

=S~-1(p~)-S~-1(p)が得られます。 

(証明終わり※)

私にとっては自明と思っていたことを,いざ,

改めてウン十年ぶりに証明してみると,老いた

頭には意外と面倒で煩雑になりました。

さて,ベクトルカレント(極性ベクトルカレント)

の密度:jμでなく,裸の質量m0を持つ粒子ψの軸性

ベクトルカレント(Axial-vector current):の密度

(x)=ψ~(x)γμγ5ψ(x)を考えると,

まず,これは部分的保存則(PCAC)と言われる

μ=2im05を満たします。ただし,

5(x)=ψ~(x)γ5ψ(x)です。

そこで質量m0がゼロでない限り,軸性カレント

は保存されません。

それ故,これに対するWT恒等式は:

(p-p~)μΓ(p,p~)=2m0Γ5(p,p~)

+S~-1(p)γ5+γ5S~-1(p~)

となることがわかります。

軸性の頂点を,Γ=γ5γμ+Λ,および,

Γ5=γ5+Λ5と,対数発散部分を切り離して

表わせば,WT恒等式として,別の表現:

(p-p~)μΛ(p,p~)

=2m0Λ5(p,p~)-Σ(p)γ5-γ5Σ(p~)

を得ます。

しかし,頂点への寄与をグラフ的に考察すると;

通常の純粋にQEDのWT恒等式では頂点関数の

loop積分が,高々対数発散なので積分内で変数

をシフトしても不変という性質を用いること

ができて,WT恒等式に破れは,生じなかったの

ですが,VVA三角グラフの寄与では1次発散

するloop積分なので,変数のシフトが許されず,

その差が余分な項となって,WT恒等式に破れ

が生じることになります。 

これが,前から述べていたVVA三角ブラフ

の量子子アノマリーです。

本ブログの過去記事「摂動論のアノマリー)」

の(5)(6)(7)を参照すると,アノマリーを与える

三角グラフの寄与はRosenbergによって得られた

表現と呼ばれる,次式で評価されます。

すなわち,(-ie02)(2π)-4σρμ

=2∫d4r(2π)-4(-1)Tr[{i/(1-m0)}

(-ie0γσ){i/(-m0)}(-ie0γρ)]

×{i/(2-m0)}(γμγ5)].です。

これは見かけ上1次発散しますが,ベクトル

カレントの保存の要請から,光子場の強さの電場,

または,磁場のテンソル:(k2ξε2ρ-k2ρε2ξ),

(k1ηε2σ-k2σε1η)を通してcoupleすること

を考慮すると,運動量の2つのベキが,その因子

に費やされるため,有効発散次数はDeff=-1と

なって収束する積分となります。,

ここで,Rosenbergの表現:

(-ie02)(2π)-4μσρの右辺の被積分関数の

最後の因子:(γμγ5)を,(2m0γ5)に置き換えた

モノを,(-ie02)(2π)-42m0σρと定義します。

もしも上で,場理論から理論的に得た軸性

カレントのWT恒等式:(p-p~)μΛ(p,p~)

=2m0Λ5(p,p~)-Σ(p)γ5-γ5Σ(p~)

が三角グラフの摂動計算においても正しいなら,

(p-p~)μ=-(k1+k2)μとなるはずで,そこで

―(k1+k2)μσρμ=2m0σρとなるべきなの

ですが,実際に計算を実行すると,

-(k1+k2)μσρμ=2m0σρ

+8π21ξ2τεξτσρとなり,三角グラフの場合

には,軸性カレントのWT恒等式は成立せず,,

破れ(アノマリー)が存在する,ことがわかります。

過去記事「摂動論のアノマリー(8)」によれば,

一般の場合の軸性ベクトルカレントのWT恒等式

は,軸性ベクトルカレントに対するPCAC

(部分的保存)の式:μ(x)=2im05(x)

を, ∂μ5μ(x)=2im05(x)

+{α0/(4π)}Fξσ(x)Fτρ(x)εξστρ

に置き換えることによって,得られ,これは

,5,および,{α0/(4π)}Fξστρεξστρ

対するグラフのFeynman規則を用いれば,

容易に証明できます。

そして,このアノマリーは単純な切断や引き算等

では除去できない本質的な項であることがわかります。

 

ここで,また,中断して次回にまわします。(つづく)

 

 

 

 

 

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2020年8月10日 (月)

物理学の哲学(止まると死ぬ)(5)

「物理学の哲学」の続きです。

  さて,1点における場φの真空期待値はゼロ,

つまり,<0|φ(x)|0>=0ですが,同じ場:φの

局所演算子積(ゆらぎ)の真空期待値は,そのまま

では通常,無限大になります。

例えば,実際に自由場:φ(x)の積分表示で,積の

真空期待値を,展開係数演算子:a^やa^の積の

真空期待値を用いて評価計算すると,自由場では

<0|φ(x)φ(x)|0>=∞となることが導かれ,

陽に確かめられます。

これは,このスカラー場の正準交換関係が,

[φ(x),φ(y)]=Δ(x-y)(不変デルタ関数)

で与えられるため,特に同時刻:x0=y0では,

[φ(x),φ(y)]x0=y0=δ3(x-)となって

limx→y[φ(x),φ(y)]=∞となることも関係

しています。

ここで,局所演算子積(複合演算子)が特異性を

持つのには本質的理由があることを述べておきます。

古典論での静電場や重力(万有引力)のポテンシャル

は.力の中心からの距離をrとして,A/rのような形

で与えられます。(Aは力の発生源の強さ)

これは,V=A/rの形の位置エネルギーがあるの

を意味するので,古典論では,よくやるように基準を

明確にせず,V=A/r+(定数)としてもいいのです

が,特にr=∞でV=0となるようV-=A/rとする

のが慣例となっています。

この場合,問題となるのは,r →0で,V→±∞に

なることです。これは,1点の問題のように見えても

実は無限に近接した2粒子間の問題です。

こうして古典論でも,1次発散する,いわゆる電場の

自己エネルギーというのは,解釈が難しい問題の1つ

でしたが,これは量子論でも対数発散に緩和される

とはいえ,依然付きまとう問題で,「くりこみ理論」

という処方で困難を回避する方法が作られました。

このポテンシャルは2体問題としては,2粒子の

位置座標を1,2として,V=A/|1-x2|という

形ですが,同じ1粒子内で空間的(space-like)に

離れた2点がある,という非局所構造を許すと.

相対論的微視的因果律を破ることになるので,

大きさ(構造)のない点粒子しか想定することが

できないという事情の宿命で,発散が生じたと

考えられるのです。

私が現役の院生の頃,素粒子論ではカレント代数

という研究分野がありました。これ,今もあるのか

は,よく知りません。

電子のようなFermionの局所カレント密度は,その

スピノル場ψ(x)によりjμ(x)=ψ~(x)γμψ(x)

のように双1次形式で与えられますが,単純にその

真空期待値を取ると,すぐ前にスカラー場φで述べた

ように,これは無限大になってしまいます。

結局.同一時空点の2つ以上の演算子の積が無限大

になる特異性の原因は,古典論の点粒子の問題と同様

のことであって,容易には回避できない宿命的な問題

であり,物理学理論の本質にかかわっています。

そこで,1つには,正規順序積(normal ordering)

という量を,ψ~(x)γμψ(x)=ψ~(x)γμψ(x)

-(γμ)αβ[ψ~α(x),ψβ(x)]なる操作で作り,これ

をカレント密度jμ(x)と再定義すれば,取りあえず

真空期待値は強制的にゼロとできます。

 あるいは,微小なε>0を取ってb-ilocal場を

考えます。すなわち,カレントを同一点でなく微小

な距離:εμだけ離れた2点:x-ε/2とx+ε/2の

場の積:jμ(x,ε)=ψ~(ⅹ+ε/2)γμψ(x-ε/2)

×exp{i∫x-ε/2x+ε/2eAμ(y)dyμ}}と定義した

量であると想定するのです。ただし,最後の指数関数

因子は,Diracのモノポール模型のようにスピノル場

は時空点:xごとに異なる位相を持ち,それば電磁場:

μがあるときは,極小変換:pμ→pμ-eAμ,or

μ→∂μ+ieAμに対応している,という考えに基づく

ものです。(ベリーの位相?)

このカレント密度では,ε=0でない限り真空期待値

の無限大発散は回避されます。

そして.この電磁ベクトルカレントjμは,保存則,

μμ=0を満足することに留意しておきます。

物理屋の多くは同一点の積の特異性を深く考えずに

考察していて,位相も重視してない時代もありました

が,実は,特異性も位相も重要なファクターです。

ところで,カイラル軸性カレントを考えると,これは

(x)=ψ~(ⅹ)γ5γμψ(x)であり,これも1つの

局所演算[子積(複合演算子)です。

これの特異性を意識してbilocalカレント

(x,ε)を作れば,これにも特異性はありません。

すなわち,軸性ベクトルカレントの密度を

(x,ε)=ψ~(ⅹ-ε/2)γ5γμψ(x+ε/2)

×{∫x-ε/2x+ε/2μ(y)dyμ}で定義するわけです。

1976年(26歳)当時,私が表向きのクォーク模型では

なく,密かに勝手に専門として研究していたのはQED

における三角アノマリー(Adler-Jackew anomaly)と

いうテーマでした。,

この不思議な現象を解析すれば,紫外発散を除去

する「くりこみ」という操作の理論的メカニズムが

明快に理解できるのでは?と期待したからです。

しかし,このテーマは当時,素粒子論の端緒を

齧った程度の身で,一人でやるには壮大過ぎて,結局,

卒業(修了)までには間に合わず,仕方なく1974年

(24歳)のときに発見された(J/ψ)の新粒子

(後に,Charmクォークを含む重中間子と同定された。)

に関連してカラー1重項の中間子とその反粒子,

または3体の重粒子と,その反粒子のみが観測され

例えば2体,3体のカラー多重項や,4体以上から

成るexoticな粒子が観測されない理由について

考察した「三重三元クォーク模型の束縛ポテンシャル」

という,自分の本意でない修士論文しか書けなかった

のでした。

一方,量子アノマリーは,私のその後の普通

の社会人に就職した後も,アマチュアとして細々

と考察していたのですが,この地道な努力を嘲笑

うかのように,まもなくt’Hooftらの研究者に

より解明されたらしい,ことを知りました。

例えば,1990年代に私がテキスト(として,よく

読んでいた(九後汰一郎著)「ゲージ場の量子論」

(培風館)の第9章「アノマリー」にあるように,

ゲージ不変な.くりこみを,次元正則化を使って

行なおうとするとき,γ5を含む軸性カレントの

存在がネックとなって出現する余分な項である,

とか,経路積分で変数置換を行なう際,やはりγ5

存在のため,変換のヤコービ行列式に現われる異常項

であるとかの意味で,解決されていました。

まあ,自分がオリジナルで解決できなくても理解

さえできればいい,というスタンスなので,それでも

満足だったのですが,実験観測データを説明できる

偉大な「対症療法」である「くりこみ理論」を、

「原因療法」に変えたい,という,私的な構想と量子,

アノマリーの間に大した関係がなかったという意味

で予想がはずれ,40歳の頃,一旦は,がっかりしたの

でした。(※ その後,次の目標を見つけました。)

VVA三角アノマーに興味持ったのは,電荷を

持たない中性中間子であるπ0中観子の崩壊現象:

主要過程が,π0→γ+γにの電磁崩壊現象に興味

を持ったからでした。

π0は,電荷を持たないので摂動の1次では光子

と電磁相互作用することはができないので,例えば,

π0→e+e→2γのような,弱い相互作用の電子

のV-Aカレントを中間状態とする,2次の過程で

説明できるはずです。

これは必ずしも電.子eのようなレプトンカレント

を介する必要はなく,p-p~(陽子反陽子対)が中間

過程のπ0→p+p~→2γでもいいはずです。

学生当時の自分は,QEDや弱い相互作用にクォーク

を想定する想像力がなく,実在する荷電ハドロンの

1つの陽子pを挟む過程で考察しましたが,クォーク

であればnクォークでも,1/3の電荷をもつので電磁

相互作用が可能です。

そして,例えば電子のe~γμ(1-γ5)のような,

V-Aの弱カレント(Fieltz変換したモノ)の相互

作用頂点:γμ(1-γ5)が,eとeの内線に分岐

して,その各々のγσΡの電磁頂点から,光子を

放出する,というFeynmanグラフの三角形のグラフ

を考えられ想定します。

そもそも,純粋なQEDだけを考えると,こういう

グラフの寄与は存在しません。

しかも「Furryの定理」により,γμ(1-γ5)の

うちのγμによるVVV三角グラフの寄与はゼロで,

γμγ5頂点を含むVVA三角の寄与のみ残ります。

通常のγ→e+e→γの真空偏極仮想過程での

光子の自己エネルギーの既約グラフの寄与:Πμν(q)

はloop積分で2次発散しますが,ゲージ条件,または

カレント保存を用いてΠμν(q)=(qμν-gμν2)×Π(q2)

という形に書けることがわかり,次数が2だけ下がって,Π(q2)

の対数発散に帰着させられ,くりこみが可能となるという手続き

が思い出されます。

そこで,三角グラフのloopp積分では2次発散では

なく,,1次発散になります

QEDで,1次発散するのは,電子の自己エネルギーの

既約グラフΣ(p)でした。

しかし,これはWard-高橋恒等式(WT恒等式);

(p-p~)μΓμ(p,p~)=SF~-1(p)-SF~-1(p~)

or (p-p~)μΛμ(p~,p~)=Σ(p)-Σ(p~)に

より,Σ(p)が頂点関数::Γμ=γμ+Λμの対数発散

部分:Λμで表わせるため,実質的には対数発散となり。

これも,くりこみ可能となるのでした。

 

以下,またまた長くなるので,一旦終わって次回に

まわします。(つづく)

 

 

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2020年8月 6日 (木)

物理学の哲学(止まると死ぬ)(4)

「物理学の哲学」の続きです。

特殊相対性理論の話もしたし脱線ついでに

重力(万有引力)に関わる一般相対論にも.一応

言及しておきます。

特殊相対論のように,慣性座標系の相対性

(同等性)だけでなく,一般座標変換の座標系

も相対的な意味しかもたない,というのが,

アインシュタインの一般相対性理論です

しかし,一般相対論に基づく重力場の理論

は妥当でも,太陽系が太陽を中心として地球

を含む惑星が回転する回転系と見るか,地球

を中心して太陽や他の惑星が複雑な運動をする

非回転系と見るかの立場が同等であり,地動説

天動説もない,という大袈裟な話になる厳密な

相対性の成立については疑問です。

我々の実感する重力が「永久重力」なのか?

それとも,座標系の取り方のため発生した遠心力

のように,適切な座標の逆変換により消えてしまう

「見かけの重力」に過ぎないのか?,という論題

がありますが,一応,座標に伴なう計量テンソル

μνから計算で得られるRiemannn-Christoffel

の曲率テンソル:Rかゼロなら,見かけの重力で,

それがゼロでないなら真の重力=永久重力であり

曲率Rはテンソル量なので如何なる一般座標変換

でも,ゼロはゼロで不変となる普遍的性質である

という話になります。

これに関する議論が1992~1995年ごろ,パソコン

通信Nifty-Serveのサイエンス・フォーラム(FSCI)

の物理会議室で侃々諤々と幾度となく蒸し返されて

議論したのは,今では懐かしい思い出です。

例えば,重力がなくて特殊相対論が成り立つ計量

がMinkowski計量:gμν=(1、-1,-1,-1)の空間

を平坦な空間と呼びますが,この系が一定加速度α

で運動すると見える座標変換をすると,質量がmの

物体には(-mα)という重力(慣性力)が発生します。

 この時空をMinkowski時空と呼ぶなら,如何なる

変換をして,計量がMinkowskiから変わったと

してもMinkowski時空はMinkowski時空かどうか?

という言葉の定義の問題のような議論もありました。

例えば地球上には重力gがあり,実は日本とは地球

の反対側にあるブラジルやアルゼンチンでは重力の

向きは正反対で,落下の向きで上下を決めるなら,上下

の向きも正反対です。

しかし,地球上のどこかの場所に高層ビルのような

建物があって,そのエレベーターのワイヤが切れて落下

している,わずかな時間に,エレベーターの箱の中にいる

観測者を想定すれば,内部は見かけ上無重力な空間と

なり,小さいけれど,いわゆる平坦な空間と見なせます。

しかし,全体として地球上のどこでも同時に無重力と

する座標系を取るのは不可能であろうことは,直感的に

認識できます。

どのような時空間でも,局所的には曲率Rがゼロの

フラットな座標系を常に取ることができても,大域的

には,曲率R≠0の空間から曲率R=0の空間には変換

は不可能である,というのは議論の両者で共通の認識

であったのに,色々とこの論題で揉めました。

曲率Rとは別に,計量テンソルgμνからテンソルで

ないChristoffelの記号:Γという量が構成され,これ

が実質的に重力と観測される量ですが,曲率とは違って

テンソル量ではないので,ゼロからノンゼロにも,その

逆にも変換されるということです。

こうした量:Γが存在して,それが永久であろうが,

見掛けであろうが,これを実感する観測者にとっては

区別ができず,重力として体感する,というので,「重力

と加速度は等価である」という等価原理が一般相対論

に基づく重力理論のミソであると思っています。

ですから,むしろ,曲率Rにより永久重力か見掛け

の重力かを区別ができるのは承知していますが,理論

のミソはそこではなく,計量も曲率もわからない空間の

内部にいる人間には,見掛けか真かが区別できない,

という方が本質的であると主張していたと記憶して

いますが,今思うとやはり不毛であったかもしれない

と思います。

この理論では,如何に複雑な曲がった時空を示す

座標系の空間においても,その各時空点近傍の局所

慣性系では光は光速cで直進します。そこで,例えば

先の落下するエレベーターの箱の中の側壁から反対

の壁へ直進する光を,外部から見ると重力に引かれて

落下すると観測される,ことになります。

20世紀当時は,浅学菲才なことを隠し,議論に勝つ

だけが目的のディベートのようなことをしていた

ようです,本当のところ,この分野は今も私の中で

はっきり断定できるような自信がある知見がある

わけではありません。

宇宙の星,天体については,地球が太陽のまわり

を回っているとしても,太陽系も銀河系の一部で

あり,その銀河系も,また,回転している,というような

宇宙を想定すると,地球の自転1つに着目しても,実は

地球は自転してなくて地球以外の全ての宇宙が回転して

いるという座標系を取っても,それらが対等であるとは,

とても主張できません。

実は宇宙全体(星)の回転が重力を生むというThiring等

の試算(サニャック効果?)などもありますが,地球が中心

の角速度ωの回転では,回転半径がr=c/ωのところで,

回転速度が光速cを超えてしまい,そこが事象の地平線

となって内部と外部が隔離されるという問題もあります。

我々の宇宙を時空多様体という実体と考え,座標系という

のは多様体に付与したラベルに過ぎず,これを色々と変える

ことはできても,多様体という幾何学的実体には変化は

ない,というトポロジカルな話もあります。

多様体にとって座標変換を受けても不変なのは曲率がゼロか否か?

もそうですが,計量が正定置か不定計量なのか?というのも

「シルヴェスターの慣性律」により決まっていて我々の時空は

不定計量の擬リーマン多様体,特にローレンツ(Lorentz)多様体

であるとされます。

あらゆる座標系は相対的で,同等であるというような一般相対性

原理の意図とは,離れてしまいました。

さて,エネルギーとは何なのか?ということに着目

すると,平坦なMinkowski計量の空間=特殊相対論の

空間では運動量は空間の一様性,エネルギーは時間の

一様性,つまり,空間座標や時間を平行移動しても理論

は不変であり,故に空間や時間の原点(基準)をどこに

取ってもよい,というのが,それら4元運動量が保存量

としての意味を持つ根拠でした、

これらは,連続体中のエネルギー・運動量テンソル

密度のある時刻tでの空間積分の切片という意味も

あります。

しかし,時空を連続体と見た一般相対論での運動量

やエネルギーの意味については,私自身,まだ,ほとんど

考えたこともありませんから,この分野での蘊蓄は,この

くらいで尽きました。

また,私の学生時代にもアインシュタインの重力場

の方程式,それを修正した?ブランズ-ディッケ理論

などがあり,Robertson-Waker計量に基づく球対称な

時空のSchwartzachildの解,カー時空の解などがあり、

重力崩壊理論から星の進化が論じられ,Chandrasekhar

質量とか,重力崩壊の結末ではブラックホールができる

という仮説などの話題がもありました。

宇宙論では,宇宙項のない重力場方程式にも宇宙の

始まりの初期条件次第で膨張,定常,収縮の解があり

ますが,絶対温度が3K程度の宇宙背景輻射が観測

され,それがGamowの予想と合致したことで,我々の

宇宙は膨張宇宙であると認識され,この膨張現象が

ビッグバンと名付けたのでした。

ブラックホールも白鳥座付近のX線観測で存在

が確認されたとか,どうとか言われています。

ブラックホールは膨張宇宙を時間反転した収縮解

に相当しますが,宇宙初期には宇宙は灼熱火の玉状態

で,あらゆる素粒子の質量はゼロであり,それ故,完全

にゲージ対称でしたが,膨張と共に冷えてゆき対称性

の破れが生じて,Higgsメカニズムにより質量を獲得

したとかの素粒子論と関連したq話もありま。

その他,私は少し齧っただけですが,宇宙は,ごく

初期に急速に膨張して,その後は緩やかな膨張に移行

して現在に至る,というインフレーション宇宙論も

あります。

それに伴なう現象として,宇宙初期には大量の

モノポール(磁気単極子)が存在して,今はその名残り

が観測されるはずたとか,絶対安定なはずの陽子も

崩壊するとかが予測されていますが,実際には未だ

観測されていないようです。

また,観測される星(恒星)の密度と膨張宇宙の成立

条件の不一致から予想されるダークマター(暗黒物質)

の存在と,ニュートリノ振動から予測されたゼロでない

ニュートリノ質量の関係など,枚挙にいとまのない未知

のこと(私が知らないだけかも?)があります。

 所詮,考古学や宇宙の歴史は実験で検証できないのでね。

重力場はアインシュタインの古典論の重力場方程式が厳密に

正しいとしても,非線形な方程式であることもあって,未だ,

その量子化に成功したという話は聞いていません。

1950年代後期にYan-Millsや内山龍雄先生が提唱

した重力場のゲージ理論に基づき,質量がゼロのゲージ粒子

でスピンが2の2階テンソルの重力子:グラビトンや,

グラビティーノが,力を媒介する,という仮説,発想は

ありますが,線形な量子場と違って,数学的に定式化

するのは難しいようです。

かつての,まだ電磁場の存在だけを仮定した5次元の

カルツァ・クライン理論,最近?の超弦理論,超重力

理論等,本で読んで少しは知ってますが,物理理論は

実験で検証されない限り,数学じゃないので机上の

空論かも知れません。

今回,脱線,蘊蓄話だけに終始しているうち長く

なってしまいました。次回は本題の続きに戻る予定

で,今回はここまでにします。(つづく)    

 

 

 

 

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2020年8月 1日 (土)

物理学の哲学(止まると死ぬ)(3)

「物理学の哲学」の続きです。

(※余談):コロナ感染が拡大中ですが

相変わらず,口は出してもお金(自分の

金じゃなく税金ですが)は出さないし,

何があろうと誰かに丸投げで,責任だけ

は取らない,という政権が続いてますが,

それを選挙で選んだのも国民で,韓国

みたいにデモで大統領をクビにするとか

のリコール活動もできず選挙まで待つ

しかないよけど,そのときはまた愚かな

政治家を選ぶ繰り返しのようです。老兵には

関係ないけど。。。(余談終わり※)

さて,特殊相対論を考慮すると,質量がμの

スカラー粒子の運動エネルギーはT=μv2/2

=p2/(2μ)ではなくT=μc2/(1-v2/c2)1/2

-μc2となります。これは,自然単位c=1では

T=μ/(1-v2)1/2-μです。

そして,特殊相対論では最小作用の原理を満たし,

作用が停留値となるためのEuler-Lagrange方程式:

(d/dt)(∂L/∂v)-∂L/∂x=0が運動方程式

dp/dt=Fに一致する関数をLとすると,それが

系のLagrangianです。

特に,外力Fのない自由粒子のLagrangian:Lは,

共役運動量pがp=∂L/∂v=μv/(1-v2)1/2

与えられるように,LをL=-μ(1-v2)1/2で与えます。

また,外力FがあってポテンシャルV(x)により,

F=-∇Vと表わせるときは,非相対論的力学と同様,

L=-μ(1-v2)1/2-V(x)とすればいいです。

すると,Hamiltonian:Hは,H=pv-L

=μv2/(1-v2)1/2-μ(1-v2)1/2+V(x)

=μ/(1-v2)1/2+V(z)となりますが,xとpの

関数で書くと,H=(p2+μ2)1/2+V(x)となり,

Hは運動エネルギーTと位置エネルギーVの和に

さらに静止エネルギー:μを加えた,総エネルギー

のEに一致します。

この場合,外力Vのない自由粒子の総エネルギー

Eは静止エネルギーμを加えたE=μ/(1-v2)1/2

=(p2+μ2)1/2であり,運動エネルギーTは,Eから

静止エネルギーμを引いた,T=E-μになります。

特に,vが光速c=1より,はるかに小さい非相対論

極限のv<<1の場合,T=E-μ ~μv2/2であり

運動量も,p ~μvと近似されるため,確かに,以前

の非相対論力学のHamiltonianの表式:H=T+V

=μv2/2+V(x)=p2/(2μ)+V(x)に帰着します。

相対論でも非相対論でも1次元調和振動子の場合,

運動方程式はdp/dt=F=-kxで与えられます。

しかしながら.質量をμでなくmとするとき,相対論

では,運動方程式がd{mv/(1-v2)1/2}/dt

=-kxとなり,H=EもH=(p2+m2)1/2+V(x)

と複雑になって単純な式ではなくなりますから,量子化

の量子の模型としては,相対論も考慮した現実の厳密な

古典振動子を想定すると,却ってモデルとして不適切

になるようです。相対論を考慮した振動子は,量子論

の昇降演算子:a^,a^を導入する模型には邪魔に

なるので考慮する必要はなかったですね。

いずれにしろ,自由粒子では,力学的エネルギーは,

運動エネルギーTのみから成る,と考えられますが,

先の非相対論的1次元調和振動子のエネルギーには

静止エネルギーmは,考慮されていませんでした。

古典力学では,ポテンシャルV(x)は;F=-∇Vを

与えさえすればいいので,V(x)がV(x)+(定数)

定数シフトされても,運動方程式に無関係なので

保存される力学的エネルギー:E=T+Vの基準を

どこに取ってもいい,という,エネルギーの定義でした。

という意味では,運動エネルギーTの方に静止質量

エネルギー:mを含ませても.E →(E+mと定数

シフトされるだけで.理論的には新たな問題は生じ

ません。

もともと,古典論では,場の量子論のように

「真空という特別な基準の状態があって,その

エネルギーがゼロでなければならない。」

というような法則はなかったのです。

また,常識的な古典論でいう真空とは,空気の

抜けた,物質が全くない状態のことで,可視光や

紫外線,赤外線を含む放射線=電磁波が飛び交って

いても真空は真空でした。

一方,量子論の真空は,電磁波=光子もニュートリノ

(中性微子)も存在しない別の状態を意味します。

 

実はもっと基本的に,量子論でなく古典論でも,

絶対空間というものは存在しないので,静止という

概念も絶対速度という概念も存在せず,速度概念は

相対的にしか存在しません。

そもそもNewton力学の時代でも相対性原理,つまり

「ガリレイの相対性原理」がありました。これは,

力学的方法では,物体が静止しているか?それとも,

運動しているのか?を判断することができない。

ということを述べた原理でした。

その後,アインシュタインの時代までに,力学的な

世界観の世界以外にも電磁気などの世界が存在

することが明らかになり.電磁波=光(放射線)の信号

を使えば物体や座標系の静止か,運動か?の判別を

するのが実験的に可能ではないか?との期待が

生まれたのですが,「アインシュタインの相対性原理」

の出現によって,その期待も失われたのです。

電磁波=光のセンサー自体の速さcが,どの座標系

でも同一で,むしろ,時間の絶対性の意味が失われる

のが真実とされたからでした。

ですから,Newton力学の時代でも,標系の取り方

によって物体の速度は異なり,例えば自分は列車の

シートに座って静止していても列車が速度vで運動

していれば,車外の観測者は体重に相当する質量m

の自分の体の運動エネルギーTをゼロでなく

=mv2/2と,観測するわけです。もちろん,車内

観測者の測定では,v=0でT=0です。

つまり,運動エネルギー,故に力学的エネルギーは,

どの座標系で測るかによって異なるのです。

こうして,エネルギーが相対的意味しか持たない

のであれば,量子論のエネルギー準位(レベル)という

概念にも,どれほどの意味があるのか?と,当然の疑問

が生じると思います:

しかし,自由空間でなく束縛系の話ですが,例えば

水素原子のように,1つの陽子を中心とした1つの電子

の挙動を実験室で観測したとき,エネルギー準位の値

は,陽子と電子の両者が無限に離れている状態を基準値

のゼロとして,準位のエネルギーがマイナスの値で記述

されるのが原子物理学での慣例でした。

そして,特に,主量子数がn=1で,軌道角運動量がl=0

のとき,電子のスピンが1/2のupまたはdownという

状態がエネルギーレベルが最低の基底状態を与える

ことが知られています。

しかし,このケースでもエネルギーレベルの基準値

は必ずしもゼロである必要はなく.その値が定数だけ

シフトされるだけで,本質的意味の準位のエネルギー

基準値との差は,基準値が何であろうと同じです。

ところが,最低レベル=基底状態というものがある

というのは重要なことです。

より高い励起準位にある電子は,放置すると,やがて

光子を放出して,結局,基底準位まで遷移して落ちて

くるからです。

ですから,基底状態か,または,束縛されてないと

見えるほど陽子と電子が離れた状態をエネルギー

基準とするとき,その基準値がゼロでなくても

いいのですが,基底準位よりも下の準位が存在すれば

状態は,安定でなく,際限なく底なし沼のように落ちて

いくというジレンマに陥るはずですが,実際には

そうはならず,水素原子は安定に存在しています。

つまり,エネルギー基準値が固定されているという

必要はないのですが,最低レベル=基底状態が存在

することは不可欠である,と考えられるわけです。

束縛系でなく自由粒子の空間でも「Diracの相対論的

電子論」では,真空という安定な状態があり,それは

実は,負エネルギーの電子が満杯に詰まったマイナス

無限大のエネルギー状態であると仮定されます。

それでも不安定でないのは,スピンが半奇数のFermi

粒子では「Pauliの排他原理(禁制原理)」という法則

があって,それはスピンUp,doen状態を含め,同一の

量子状態を占有できるのは1個の電子だけという原理

で,故に満杯である限りは,落下も上昇もできず安定

ある,という「,Diracの海(Dirac-sea)」という発想

がありました。そして,この海から,光照射で1電子が

正エネルギー状態に遷移して空いた負の準位の穴

=正孔が,電子の反粒子の陽電子に対応するとして

電子-陽電子の対創生や対消滅等をモデル化した

のでした。

ところが.Pauliの排他原理はFermi粒子にのみに

当てはまる原理なので,電子の正孔が陽電子になると

いうことには適用できましたが,π中間子のような

Bose粒子の反粒子描像には適合しません。

では,エネルギー基準値より重要な基底状態=真空

状態は,座標変換によって,どのように変換されて,それ

は変換後も維持される絶対的な存在なのでしょうか?

そして,座標系によって状態の物理量の観測値は,

どのように変わるののでしようか?

場の理論では座標系のPoincare’変換(Lorentz変換

+平行移動):x~μ=aμμν+bμ,あるいは,略して

x~=ax+bに対して,真空状態に限らず,物理系

の任意の状態:|ψ>は,|ψ~>=U^(a,b)|ψ>なる

ユニタリ変換を受けるとされます。

そして,特に,真空|0>は,U^(a,b)|0>=|0>と

なり,変換に対して不変な状態と規定されます。

しかも,真空は如何なる量子数も持たない特別な状態

と定義されています。したがって真空は4元運動量

μ^固有値が全てゼロの状態で,P^μ|0>=0と

規約され,変換を受けてもこの性質は不変なのです

この意味で,光速c=1と同じく,真空は如何なる

座標系でも不変な存在です。

そこで,エネルギー:H^=P0^を含む4元運動量の

基準が真空にあります。この基準の状態の固有値を

ゼロ以外の値に選ぶと,色々と不都合が生じます。

それ故,古典論では明確でなかったエネルギーの

基準を量子論ではゼロに固定したいのですが,それ

には,またしても零点エネルギーが邪魔なのです。

Fermi粒子のDiracの海のマイナス無限大と

Bose粒子の零点エネルギーのプラス無限大が相殺

して,真空状態のエネルギー=ゼロが維持される,

というようなFermi粒子とBose粒子が1対1に

対応する,という超対称性の理論もあります。

またまた,途中ですが長くなったので,中断して

次にまわします。(つづく)

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2020年7月21日 (火)

物理学の哲学(止まると死ぬ)(2)

「物理学の哲学」の続きです。

(※余談)私,若い頃のトラウマで人間不信になり,

子も孫もない寂しい老後で,今70歳でも自分の

ことを考えるだけの生活です。

44年も前の入試問題を執念深く思い出すという

世間ずれしたことをしています。若い頃も,誰より

も早く自分が発見したいとかじゃなく,誰が発見

しても,何故そうなるかを知りたい,という好奇心

さえ満たされればそれでいいという研究者に不向き

な性格で,もしか自分が発見に関われば.お金や名誉

がついてくるかもしれないという程度で,自分から

起業して積極的に金や名誉に向かう,というのとは

違う,後ろ向きで上昇志向とは無縁な奴でした。

精神病のせいもあり,生きているだけでも自分は

幸せと思っていますが,できれば自分以外の誰かの

役に立ちたいけど,自身の衣食足りてるのが,せい

いっぱいで,体不自由な今となっては無理です。

孤独も好きな人生ですが,後は今は信じてないが

自然的な神のような存在にでも会って,あの世

想像するのもいいかも。他人や政治を批判する

ほど偉くないしね。(余談終わり※)

 

さて,定常状態のSchroedinger方程式を微分方程式

として解き,解のψEを求めて固有値Eを得る,という

伝統的なSchroedinger波動力学の方法もありますが,

ここでは,H^=p^2/(2m)+mω2x^2/2に戻り,抽象的

に考察する(行列力学の)方法を用いて解いてみます。

まず,H^をH^={(p^-imωx^)(p+imωx^)

+imω[p^,x^]}/(2m)と因数分解して,最後の項

を,imω[p^,x^]/(2m)=hcω/2と書き直します。

ここでa^={ω/(2mhc)1/2)(p^/ω-imx^)

と置けば,p^,x^はHermite(実)演算子なので,

a^のHermite共役を取ると,演算子

a^={ω/(2mhc)1/2)(p^/ω+imx^)を得ます。

これらを用いると,H^は,H^=(a^a^+1/2)hcω

と表現することができます。

このとき,a^とa^の交換関係は,明らかに

[a^,a^]=1です。

それ故,(a^a^)a^=a^(a^a^)-a^,かつ,

(a^a^)a^=a^(a^a^)+a^となるので,

H^a^=a^H^-ahcω,かつ,

H^a^=a^H^+a^です。

よって,E>に対して,H|E>=E|E>が成立して

いるなら,H^a^|E>=(E-hcω)a|E>,および,

H^a^|E>=(E+hcω)a^|E>が成立します。

したがって,a^|E>は,固有値:(E-hcω)に属する

H^の固有状態であり,a^|E>は,固有値:(E+hcω)

に属するH^の固有状態です。

そこで,定係数をc1,d1としてa^|E>,および,

a^|E>を,それぞれ,a^|E>=c1|E-hcω>,

おとび,a^|E>=d1|E+hcω>と表わすことが

できます。

a^,a^は,それぞれ,エネルギー固有値をhcωだけ

上げ,下げした固有状態(エネルギー准位)に移動させる

ので,昇降演算子と呼ばれます。

そこで,a^|E>に,さらにa^を作用さると,

a^2|E>=c1a^|E-hcω>=c2|E-2hcω>と

なります。これを,反復して,H^の固有値が減少する

固有ベクトルの列:a^|E>=c|E-nhcω>

(n=1.2...)を得ます。

同様に.H^の固有値が増加する固有ベクトルの列:

(a^)|E>=d|E-nhcω>(n=1.2...)

も得られます。

ところが,量子論では物理的状態を示す量子状態|ψ>

は,そのノルムの2乗の確率解釈のため,Hildert空間

のベクトルである,とされています。

つまり,状態のノルムの2乗(絶対値の2乗)は存在確率

(確率密度)を示すので,非負でなければなりません。

言いかえると,状態ベクトル全体の作る空間を

すると,|ψ>∈なら,|{ψ>|2=<ψ|ψ>≧0であり

等号は|ψ>=0のとき,そのときに限られます。

それ故,H^=E|E>なら,E<E|E>=E||E>|2

=<E|H^|E>=hcω<E|a^a^+1/2|E>

=hcω|a^|E>|2+(hω/2)|E>|2は非負であり

|E>≠0なので,常にE≧hω/2>0となります。

言い換えるとH^の固有値:Eは,負とは成ることが

できません。このH^の対角要素が非負である性質は

H^の正値性といわれます。

そこで,列:a^|E>=c|E-nhcω>(n=1.2..)

には,H^の固有値をそれ以上下げると負になって正値性

に反するようになる最小の固有値(E-nhω)≧0を

与える自然数nが存在することになります。

このエネルギー固有値が最小の固有状態=基底状態を,

慣例に従って,|0>と記述します。

この|0>が,最小の固有状態であるためにはa^|0>=0

を満たす必要があります。さもないと矛盾が生じるからです。

そこで,特に,H^|0>=(hcω/2)|0>です。

故に,H^a^|0>=(3hcω/2)a^|0>であり,

さらに,H^(a^)|0>=(n+1/2)hcω(a^)|0>

(n=1,2..)となります。

そこで,<n|n>=1と規格化した状態|n>を,

|n>=α(a^)n|0>で定義します。特に|,0>

は<0|0>=1を満たす,とします。

そして,係数αを求めるため,交換関係:

[a^.a^]=1を用います。まず,a^a^|0>=|0>

であり,a^(a^)2|0>=(a^a^)a^|0>=a^|0>

です。さらに,a^(a^]3|0>=(a^a^)(a^)2|0>

=(a^a^)(a^)2|0>+(a^)2|0>=2(a^)2|0>

となります。それ故,帰納的に,a^(a^)|0>

=n(a^)n-1|0>です。

したがって,a^(a^)|0>=na^n-1(a^)n-1|0>

ですから,1=,<n|n>=|αn|2<0|a^(a^)|0>

=n|αn|2<0|a^n-1(a^)n-1|0>

=n|αn|2<n-1|n-1>/|αn-1|2 となります。

つまり,1=n|αn{2/|αn-1|2,あるいは,1/|αn{2

=n/|αn-1|2=n(n-1)/|αn-1|2

=n(n-1)..2・1/|α0|2=(n!)/|α0|2 です。

そして,<0|0>=1なので,|α0|2=1であり,結局,

n|2=1/n!が得られました。

係数αを実数に選ぶとα=(n!)-1/2であり

|n>=(n!)-1/2(a^)n|0>と書けることになります。

=(n+1/2)hcωと置くとH^|n>=E|n>

(n=0,1,2,,) ですが,これらが求めるH^の全ての

固有値と固有ベクトルです。解けました。

このモデルでは基底状態|0>の固有値E0はゼロでは

なく,hcω/2>0です。これが「零点エネルギー」です。

これは,単一の振動子では非常に小さい値ですが,

振動数の異なる全てのモードの振動子の集合では無限大

になると考えられます。

,前期量子論では,如何なる粒子も波動性を持っていて,

その振動数をν,角同数をω=2πνとすると,エネルギ-

はhν=hcωで与えられ,これを量子と呼んだことから

量子論が生まれるきっかけの1つとなったのでした。

そこで,nをエネルギー準位Eの指標ではなく状態

に存在する角振動数がω(エネルギーがhcω)の粒子(量子)

の個数を示すモノと考えると,演算子:a^は,そうした

量子を生み出す生成演算子,a^は消滅演算子と呼ぶこと

ができます。

すると,|0>には,エネルギー量子がないのにも関わらず,

cω/2というゼロでないエネルギー(零点エネルギー)を

持つという,最初の論理矛盾が現われます。

ここで,以前,論じかけた.第2量子化された電磁場の

表式:A^μ(x)=∫d3(2π)-3[aμ^()exp(-ikx)

+aμ^^()exp(ikx)] に戻って考えます。

この展開係数の演算子は,

[aμ^(),aν^+(~)]=gμνδ3(k-~)なる

交換関係を満たします。

 そこで,これらの空間成分ai^(),aj^(k)

(i,j=1,2.3)は,丁度,1次元調和振動子の場合と同様,

運動量hckを持つ光量子(光子)の生成演算子,消滅演算子

を形成していることがわかります。

この意味で,前に量子化された電磁場が1次元調和

振動子の(連続)無拳固の集まりに相当する,と述べた

のでした。

そこで,波数がの光子の個数をn=0,1.2,..

として,|nk,,μ>=(nk!)-1/2(aμ^)nk|0>により,

|0,k,μ>,|1,k,μ>,,,|nk,k,μ>.を構成し,

これらのあらゆるkによる超直積を作れば原理的には,

全てのk,μを持つ光子の個数表示の状態を張れます。

特に如何なるモードの光子も存在しない状態は基底状態

で,これを真空と呼びます。

しかし,電磁場の場合は,質量がゼロベクトル場でaμ^

の第ゼロ成分は,[a0^(),a0^(~)]=-δ3(~)

を満たすためa0^()|0>のノルムが非負でなくなり

それ故,特別な物理状態の選択や解釈を導入しないと

場理論が矛盾して成立しなくなります。

この問題を取りあえず回避するため,光子の場を考える

代わりに,単一成分のスカラー場:φ^(x)を考えます。

すなわちφ^(x)=∫d3(2π)-3[a^()exp(-ikx)

+a^^()exp(ikx)] を考えます。

μ^(x)は共変ゲージ:∂μμ=0で,□Aμ=の解でした

が,φ^はKlein-Gordon方程式:(□+μ2)φ^=0の解

ですから,exp(±ikx)のkxは,kx=k0t-kx

0=ω=(k2+μ2)1/2です。

そして,[a^(),a^(k~)]=δ3(~)です。

この質量がμのスカラー粒子の場では,計量が正定置で

なくなる,という不定計量の問題は生じません。

そこで,運動量hcのスカラー粒子の個数をn=0,

1,2,..として,|nk,>=(nk!)-1/2(aμ^)nk|0>に

より,|0,k>,|1,k>...|n,k>を構成し,これら

のあらゆるkによる状態の超直積を作って全ての

スカラー粒子の状態を張る部分空間とすることに

します。

すると「零点エネルギー」のために,粒子の存在

しない真空:|0>でも,無限大のエネルギー固有状態

にあることになってしまいます。

そこで,そもそも真空のエネルギーはゼロである,と

する規約,つまり,この零点エネルギーを切り捨て無視

する規約を採用します。後でこれは無理がある規約で

あることもわかりますが真空のエネルギ-がゼロである

としないと「対称性の破れ」とか,別の問題が生じます。

というのはゼロは座標系を回転しても不変なスカラー量

の中でも特別な不変量だからです。無限大もゼロと同じくらい不変,かつ,対称ですが,そもそも数でさえありません。

ところで,1次元調和新振動子では,そのエネルギーは,

H=p2/(2m)+(1/2)mω22/2あり,量子論ではHが

演算子で,その固有値:hω(a^a^+1/2)がエネルギー

を意味しました

同様に,自由スカラー場φのLagrangian は,

L=∫^d3,=(1.2)∂μφ∂μφ-(1.2)μφ2

であり、共役運動量は,π=∂/∂(∂0φ)=∂0φ

=φで与えられます。それ故,H=∫3,で

=πφ-=(1/2)(∇φ)+(1/2)μ2φ2ですが,

これも実はH^=∫d3[hcω{a^()a^(k)+1/2}

と,前の振動子の,H^=hcω(a^a^++1//2)と形と

して同じものに変形されます。

またまた長くなったので終了します。(つづく

 

 

「物理学の哲学(止まると死ぬ)(2)」

「物理学の哲学」の続きです。

(※余談)私,若い頃のトラウマで人間不信になり,

子も孫もない寂しい老後で,今70歳でも自分の

ことを考えるだけの生活です。

44年も前の入試問題を執念深く思い出すという

世間ずれしたことをしています。若い頃も,誰より

も早く自分が発見したいとかじゃなく,誰が発見

しても,何故そうなるかを知りたい,という好奇心

さえ満たされればそれでいいという研究者に不向き

な性格で,もしか自分が発見に」関わればお金や名誉

がついてくるかもしれないという程度で,自分から

起業して積極的に金や名誉に向かう,というのとは

違う後ろ向きで上昇志向とは無縁な奴でした。

精神病のせいもあり,生きているだけでも自分は

幸せと思っていますが,できれば自分以外の誰かの

役に立ちたいけれど,自身の衣食足りてるのが,せい

いっぱいで,体不自由な今となっては無理です。

孤独も好きな人生ですが,後は今は信じてないが超

自然的な神のような存在にでも会って,あの世を

想像するのもいいかも。他人や政治を批判するほど

偉くないしね。(余談終わり※)

 

さて,定常状態のSchroedinger方程式を微分方程式

として解き,解のψEを求めて固有値Eを得る,という

伝統的なSchroedinger波動力学の方法もありますが,

ここでは,H^=p^2/(2m)+mω2x^2/2に戻り,抽象的

に考察する(行列力学の)方法を用いて解いてみます。

まず,H^をH^={(p^-imωx^)(p+imωx^)

+imω[p^,x^]}/(2m)と因数分解して,最後の項

を,imω[p^,x^]/(2m)=hcω/2と書き直します。

ここでa^={ω/(2mhc)1/2)(p^/ω-imx^)

と置けば,p^,x^はHermite(実)演算子なので,

a^のHermite共役を取ると,演算子

a^={ω/(2mhc)1/2)(p^/ω+imx^)を得ます。

これらを用いると,H^は,H^=(a^a^+1/2)hcω

と表現することができます。

このとき,a^とa^の交換関係は,明らかに

[a^,a^]=1です。

それ故,(a^a^)a^=a^(a^a^)-a^,かつ,

(a^a^)a^=a^(a^a^)+a^となるので,

H^a^=a^H^-ahcω,かつ,

H^a^=a^H^+a^です。

よって,E>に対して,H|E>=E|E>が成立して

いるなら,H^a^|E>=(E-hcω)a|E>,および,

H^a^|E>=(E+hcω)a^|E>が成立します。

したがって,a^|E>は,固有値:(E-hcω)に属する

H^の固有状態であり,a^|E>は,固有値:(E+hcω)

に属syるH^の固有状態です。

そこで,定係数をc1,d1としてa^|E>,および,

a^|E>を,それぞれ,a^|E>=c1|E-hcω>,

おとび,a^|E>=d1|E+hcω>と表わすことが

できます。

a^,a^は,それぞれ,エネルギー固有値をhcωだけ

上げ,下げした固有状態(エネルギー准位)に移動させる

ので,昇降演算子と呼ばれます。

そこで,a^|E>に,さらにa^を作用さると,

a^2|E>=c1a^|E-hcω>=c2|E-2hcω>と

なります。これを,反復して,H^の固有値が減少する

固有ベクトルの列:a^|E>=c|E-nhcω>

(n=1.2...)を得ます。

同様に.H^の固有値が増加する固有ベクトルの列:

(a^)|E>=d|E-nhcω>(n=1.2...)

も得られます。

ところが,量子論では物理的状態を示す量子状態|ψ>

は,そのノルムの2乗の確率解釈のため,Hildert空間

のベクトルである,とされています。

つまり,状態のノルムの2乗(絶対値の2乗)は存在確率

(確率密度)を示すので,非負でなければなりません。

言いかえると,状態ベクトル全体の作る空間を

すると,|ψ>∈なら,|{ψ>|2=<ψ|ψ>≧0であり

等号は|ψ>=0のとき,そのときに限られます。

それ故,H^=E|E>なら,E<E|E>=E||E>|2

=<E|H^|E>=hcω<E|a^a^+1/2|E>

=hcω|a^|E>|2+(hω/2)|E>|2は非負であり

|E>≠0なので,常にE≧hω/2>0となります。

言い換えるとH^の固有値:Eは,負とは成ることが

できません。このH^の対角要素が非負である性質は

H^の正値性といわれます。

そこで,列:a^|E>=c|E-nhcω>(n=1.2..)

には,H^の固有値をそれ以上下げると負になって正値性

に反するようになる最小の固有値(E-nhω)≧0を

与える自然数nが存在することになります。

このエネルギー固有値が最小の固有状態=基底状態を,

慣例に従って,|0>と記述します。

この|0>が,最小の固有状態であるためにはa^|0>=0

を満たす必要があります。さもないと矛盾が生じるからです。

そこで,特に,H^|0>=(hcω/2)|0>です。

故に,H^a^|0>=(3hcω/2)a^|0>であり,

さらに,H^(a^)|0>=(n+1/2)hcω(a^)|0>

(n=1,2..)となります。

そこで,<n|n>=1と規格化した状態|n>を,

|n>=α(a^)n|0>で定義します。特に|,0>

は<0|0>=1を満たす,とします。

そして,係数αを求めるため,交換関係:

[a^.a^]=1を用います。まず,a^a^|0>=|0>

であり,a^(a^)2|0>=(a^a^)a^|0>=a^|0>

です。さらに,a^(a^]3|0>=(a^a^)(a^)2|0>

=(a^a^)(a^)2|0>+(a^)2|0>=2(a^)2|0>

となります。それ故,機能的に,a^(a^)|0>

=n(a^)n-1|0>です。

したがって,a^(a^)|0>=na^n-1(a^)n-1|0>

ですから,1=,<n|n>=|αn|2<0|a^(a^)|0>

=n|αn|2<0|a^n-1(a^)n-1|0>

=n|αn|2<n-1|n-1>/|αn-1|2 となります。

つまり,1=n|αn{2/|αn-1|2,あるいは,1/|αn{2

=n/|αn-1|2=n(n-1)/|αn-1|2

=n(n-1)..2・1/|α0|2=(n!)/|α0|2 です。

そして,<0|0>=1なので,|α0|2=1であり,結局,

n|2=1/n!が得られました。

係数αを実数に選ぶとα=(n!)-1/2であり

|n>=(n!)-1/2(a^)n|0>と書けることになります。

=(n+1/2)hcωと置くとH^|n>=E|n>

(n=0,1,2,,) ですが,これらが求めるH^の全ての

固有値と固有ベクトルです。解けました。

このモデルでは基底状態|0>の固有値E0はゼロでは

なく,hcω/2>0です。これが「零点エネルギー」です。

これは,単一の振動子では非常に小さい値ですが,

振動数の異なる全てのモードの振動子の集合では無限大

になると考えられます。

,前期量子論では,如何なる粒子も波動性を持っていて,

その振動数をν,角同数をω=2πνとすると,エネルギ-

はhν=hcωで与えられ,これを量子と呼んだことから

量子論が生まれるきっかけの1つとなったのでした。

そこで,nをエネルギー準位Eの指標ではなく状態

に存在する角振動数がω(エネルギーがhcω)の粒子(量子)

の個数を示すモノと考えると,演算子:a^は,そうした

量子を生み出す生成演算子,a^は消滅演算子と呼ぶこと

ができます。

すると,|0>には,エネルギー量子がないのにも関わらず,

cω/2というゼロでないエネルギー(零点エネルギー)を

持つという,最初の論理矛盾が現われます。

ここで,以前,論じかけた.第2量子化された電磁場の

表式:A^μ(x)=∫d3(2π)-3[aμ^()exp(-ikx)

+aμ^^()exp(ikx)] に戻って考えます。

この展開係数の演算子は,[aμ^(),ν+(^)]

=gμνδ3(k-~)なる交換関係を満たします

 そこで,これらの空間成分ai^(),aj^(k)

(i,j=1,2.3)は,丁度,1次元調和振動子の場合と同様,

運動量hckを持つ光量子(光子)の生成演算子,消滅演算子

を形成していることがわかります。

この意味で,前に量子化された電磁場が1次元調和

振動子の(連続)無拳固の集まりに相当する,と述べた

のでした。

そこで,波数がの光子の個数をn=0,1.2,..

として,|nk,,μ>=(nk!)-1/2(aμ^)nk|0>により,

|0,k,μ>,|1,k,μ>,,,|nk,k,μ>.を構成し,

これらのあらゆるkによる超直積を作れば原理的には,

全てのk,μを持つ光子の個数表示の状態を張れます。

特に如何なるモードの光子も存在しない状態は基底状態

で,これを真空と呼びます。

しかし,電磁場の場合は,質量がゼロベクトル場でaμ^

の第ゼロ成分は,[a0^(),a0^(^)]=-δ3(~)

を満たすためa0^()|0>のノルムが非負でなくなり

それ故,特別な物理状態の選択や解釈を導入しないと

場理論が矛盾して成立しなくなります。

この問題を取りあえず回避するため,光子の場を考える

代わりに,単一成分のスカラー場:φ^(x)を考えます。

すなわちφ^(x)=∫d3(2π)-3[a^()exp(-ikx)

+a^^()exp(ikx)] を考えます。

μ^(x)は共変ゲージ:∂μμ=0で,□Aμ=の解でした

が,φ^はKlein-Gordon方程式:(□+μ2)φ^=0の解

ですから,exp(±ikx)のkxは,kx=k0t-kx

0=ω=(k2+μ2)1/2です。

そして,[a^(),a^(k~)]=δ3(~)です。

この質量がμのスカラー粒子の場では,計量が正定置で

なくなる,という不定計量の問題は生じません。

そこで,運動量hcのスカラー粒子の個数をn=0,

1,2,..として,|nk,>=(nk!)-1/2(aμ^)nk|0>に

より,|0,k>,|1,k>...|n,k>を構成し,これら

のあらゆるkによる状態の超直積を作って全ての

スカラー粒子の状態を張る部分空間とすることに

します。

すると「零点エネルギー」のために,粒子の存在

しない真空:|0>でも,無限大のエネルギー固有状態

にあることになってしまいます。

そこで,そもそも真空のエネルギーはゼロである,と

する規約,つまり,この零点エネルギーを切り捨て無視

する規約を採用します。後でこれは無理がある規約で

あることもわかりますが真空のエネルギ-がゼロである

としないと「対称性の破れ」とか,別の問題が生じます。

というのはゼロは座標系を回転しても不変なスカラー量

の中でも特別な不変量だからです。無限大もゼロと同じくらい不変,かつ,対称ですが,そもそも数でさえありません。

ところで,1次元調和新振動子では,そのエネルギーは,

H=p2/(2m)+(1/2)mω22/2あり,量子論ではHが

演算子で,その固有値:hω(a^s^+1/2)がエネルギー

を意味しました

同様に,自由スカラー場φのLagrangian は,

L=∫^d3,=(1.2)∂μφ∂μφ-(1.2)μφ2

であり、共役運動量は,π=∂/∂(∂0φ)=∂0φ

=φで与えられます。それ故,H=∫3,で

=πφ-=(1/2)(∇φ)+(1/2)μ2φ2ですが,

これも実はH^=∫d3[hcω{a^()a^(k)+1/2}

と,前の振動子の,H^=hcω(a^a^++1//2)と形と

して同じものに変形されます。

またまた長くなったので終了します。(つづく

 

 

 

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