記事リバイバル⑪(ロ－レンツ変換の導出)

※かつて何日も根をつめて計算し,出来たときは早朝で達成感

を感じた記憶のある課題

「線形を仮定することなく特殊相対論のLorentz変換を求める」

ことを意図した2007年10月の過去記事の再掲です。

もちろん参照した書物はありますが具体的導出の詳細は書かれて

いなかったのでやや苦労しました。※

　有名なEMANの物理学の「掲示板(談話室)」において,最近,あまり注目されていませんでしたが,相対論における慣性座標系間の変換について言及する投稿をされておられる方がいました。

これは,電磁気学の方程式の共変性によるのではなく,光速度不変の原理,および最低限の運動学的な条件だけから,慣性座標系間の変換を空間座標や時間の線形変換(１次変換)に限定することなく,一般的に考えてもローレンツ変換に一致するようになるのかどうか？を問題にしておられた投稿です。

これは,かつてのパソコン通信時代のニフティのフォーラムでも,たびたび出ていた話題です。

これが可能なことは,既にいろいろな方により何度も示されていたので,私もよく知ってはいましたが,試しに私的に具体的に示してみよう,という気になりました。

一応,必ずしも光速度が不変である必要はないけれど,有限な限界速度が存在してそれが不変であり,それが今のところは,たまたま光速と一致している,ということを想定した形にしました。

元々,歴史的には時空間の一様性などから,"特殊相対性原理を満たす座標変換は線形変換(１次変換)である"と直感的に設定され,最初からそれを仮定すれば,簡単にローレンツ変換(Lorents transformation)を導くことができます。

そして,実際にそうして得られるローレンツ変換が現実の物理現象と合致することもわかっているので,いまさらという感もありますが,そうした物理的な発想を意識することなく,数学であると考え,変換の不変式などの条件から数式的な考察で導出してみます。

まず,ある慣性座標系Ｓ:Ｏ-ｘｙｚ-ｔ系と,これに対してＳ系から見て相対的に等速度ｖで運動している別の慣性座標系Ｓ':Ｏ'-ｘ'ｙ'ｚ'-ｔ'系を考えます。

そして,(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)を(ｘ,ｔ),(ｘ',ｙ',ｚ',ｔ')を(ｘ',ｔ')と書くことにします。

これらの座標系で,全く同一の"事象(event)＝時空点"がＳ系では座標(ｘ,ｔ)で,Ｓ'系では座標(ｘ',ｔ')で与えられるとき,両者の関係式を一般的に導出することが本記事の目的です。

用いるべき条件は,まず第１には,"Ｓ系での時刻ｔ＝0 の瞬間にはＳ系から見てＳ'系の空間部分は完全にＳ系のそれと重なっている。

特にt＝0 の瞬間での原点ｘ＝ｘ'＝0 では,Ｓ'系での時刻もｔ'＝0 でＳ系での時刻ｔ＝0 と一致している"という条件です。

そして第２には,"物理的な速度の大きさには有限な限界が存在して,それは光速,あるいは限界速度ｃで与えられ,この値は如何なる慣性座標系でも同じ値をとる"という,いわゆる"光速度不変の原理,あるいは限界速度不変の原理,が成立する"ことを仮定します。

さらに,第３の条件は,

"Ｓ'系で常に空間座標系に張り付いて共に運動している,Ｓ'系に静止して固定されている全ての点:(ｘ'(ｔ'),ｔ')＝(ｘ',ｔ')は,

ｄｘ'/ｄｔ'＝0,あるいはｄｘ'＝0 を満たしていますが,

これに対応する点のＳ系での時系列としての軌跡:(ｘ(ｔ),ｔ)は,

ｄｘ/ｄｔ＝ｖ,あるいはｄｘ＝ｖｄｔで与えられる",

というものです。

ここで,後の便宜上,ｖ≡|ｖ|,β≡ｖ/ｃと置きます。

そして,簡単のためにＸ≡ｘ,Ｔ≡ｃｔ；Ｘ'≡ｘ',Ｔ'≡ｃｔ'と表記します。

また,未知の座標変換の変換式をＸ'＝ｆ(Ｘ,Ｔ),Ｔ'＝ｇ(Ｘ,Ｔ)という関数形で書いておきます。

光速(限界速)をｃとすると,時刻Ｔ＝Ｔ₀にＸ＝Ｘ₀を通る光の軌跡は|Ｘ―Ｘ₀|＝Ｔ－Ｔ₀を満たしますが,限界速度ｃが不変である,という条件から,Ｓ'系でも|Ｘ'―Ｘ₀'|＝Ｔ'－Ｔ₀',または|ｆ(Ｘ,Ｔ)－ｆ(Ｘ₀,Ｔ₀)|＝ｇ(Ｘ,Ｔ)－ｇ(Ｘ₀,Ｔ₀)が成立します。

さらに単純化して,Ｓ系のｘ軸をＳ'系のＳ系に対する相対速度ｖの向きに選び,ｔ＝0 のときにＳ系とＳ'系の空間直交座標の軸は全て一致しているとします。

そして,ｄｘ'＝0 を満たす運動をする点はｄｘ＝ｖｄｔを満たすという条件から,Ｓ'系で座標系に張り付いて固定されたあらゆる点はｄｙ'＝0 を満たしますから,これはｄｙ＝0 に対応します。

そこで,ｔ＝0 でｘ＝ｘ'＝0 のｙｚ面＝ｙ'ｚ'面上に固定された点に対して常にｙ'＝ｙ,ｚ'＝ｚとなりますから,この座標系のｘ軸に沿う相対運動では運動方向に垂直な向きには影響しないと考えます。

そこで座標の変換性としてはｘ座標と時間の２つのパラメータだけを考えれば十分ですから,改めて２次元の座標(ｘ,ｔ)と(ｘ',ｔ')の関係,すなわち(Ｘ,Ｔ)と(Ｘ',Ｔ')の関係だけを考察することに集中します。

そして,(Ｘ',Ｔ')を一般的に(Ｘ,Ｔ)と速度βの関数として,座標変換の変換性を,改めてＸ'＝ｆ(Ｘ,Ｔ;β),Ｔ'＝ｇ(Ｘ,Ｔ;β)なる関数で表現します。

限界速度(光速)が不変であるという条件は,|Ｘ'―Ｘ₀'|＝Ｔ'－Ｔ₀',または|ｆ(Ｘ,Ｔ;β)－ｆ(Ｘ₀,Ｔ₀;β)|＝ｇ(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ(Ｘ₀,Ｔ₀;β)と書けます。

これは,ｆ(Ｘ,Ｔ;β)±ｇ(Ｘ,Ｔ;β)＝ｆ(Ｘ₀,Ｔ₀;β)±ｇ(Ｘ₀,Ｔ₀;β)を意味します。

つまり,|Ｘ―Ｘ₀|＝Ｔ－Ｔ₀,またはＸ²－Ｔ²＝Ｘ₀²－Ｔ₀²を満たす光の軌跡:(Ｘ,Ｔ)＝(Ｘ(Ｔ),Ｔ)に対しては,ｆ²(Ｘ(Ｔ),Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ(Ｔ),Ｔ;β)＝ｆ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)－ｇ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)が成立します。

Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)≡ｆ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)－ｇ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)と置くと,Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)は,定数Ｘ₀,Ｔ₀;βだけの関数ですから,Ｘ,Ｔにはよらない単なる任意定数です。

そこで,これを単にＣ²と書けば,光の軌跡群はＸ'²－Ｔ'²＝ｆ²(Ｘ(Ｔ),Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ(Ｔ),Ｔ;β)＝Ｃ²なる双曲線族で与えられることがわかります。

今,Ｆ(Ｘ,Ｔ;β)≡ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;β) によって新しくＸとＴの関数:Ｆを定義します。

このとき,ｄＦ＝(∂Ｆ/∂Ｘ)ｄＸ＋(∂Ｆ/∂Ｔ)ｄＴですが,上に示したように,光の軌跡上ではＦ(Ｘ,Ｔ)＝Ｃ²ですからｄＦ＝0 です,

そこで,Ｘ＝Ｘ₀±(Ｔ－Ｔ₀):ｄＸ＝±ｄＴに対しては常に±(∂Ｆ/∂Ｘ)＋(∂Ｆ/∂Ｔ)＝0 が成立します。このことから,Ｆ(Ｘ,Ｔ;β)はｄＸ＝ｄＴに対しては(Ｘ－Ｔ)だけの関数,ｄＸ＝－ｄＴに対しては(Ｘ＋Ｔ)だけの関数となることがわかります。

すなわち,ある１変数関数φ^±が存在して,光線の上ではＦ(Ｘ₀＋(Ｔ－Ｔ₀),Ｔ;β)＝φ^－(Ｘ－Ｔ;β)＝φ^－(Ｘ₀－Ｔ₀;β)＝Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β),かつＦ(Ｘ₀－(Ｔ－Ｔ₀),Ｔ;β)＝φ^＋(Ｘ＋Ｔ;β)＝φ^＋(Ｘ₀＋Ｔ₀;β)＝Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)と表現することが可能です。

ところが,(Ｘ,Ｔ)を任意の時空点とすると,その点を通過する光線は必ず存在します。つまりＸ±Ｔ＝Ｘ₀±Ｔ₀となるように(Ｘ₀,Ｔ₀)を選べば,いいわけです。このときには(Ｘ,Ｔ)と(Ｘ₀,Ｔ₀)を結ぶ光線が存在可能なのは明らかですね。

したがって,任意の時空点(Ｘ,Ｔ)に対し,Ｘ±Ｔ＝Ｘ₀±Ｔ₀なる(Ｘ₀,Ｔ₀)を取れば,これに関してＦ(Ｘ,Ｔ;β)＝φ^±(Ｘ±Ｔ;β)＝Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)が成立します。

Ｘ±Ｔ＝(一定),またはＸ²－Ｔ²＝(一定)の(Ｘ,Ｔ)に対しては共通の(Ｘ₀,Ｔ₀)を与えることができますから,それらの点に共通な値Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)はＸ²－Ｔ²のみの関数になります。

結局,ある１変数関数Φによって,Ｆ(Ｘ,Ｔ;β)＝Ｃ²(Ｘ₀,Ｔ₀;β)＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)と書くことができるわけです。

言い換えると,Ｘ'²－Ｔ'²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;β) と書けることになります。

Ｘ＝Ｔ＝0 のときにはＸ'＝Ｔ'＝0 ですから,特にΦ(0;β)＝0 です。また,恒等変換β＝0 の場合には,もちろんＸ²－Ｔ²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;0)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;0)＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;0)です。または,簡単にいうと,Φ(Ｘ²－Ｔ²;0)＝Ｘ²－Ｔ²です。 

一方,ｄＸ'/ｄＴ'＝0:ｄＸ'＝0 に対応する点の軌跡:(Ｘ(Ｔ),Ｔ)はｄＸ/ｄＴ＝β:ｄＸ＝βｄＴを満たすという条件により,Ｘ'＝Ｘ₁'＝(一定)の軌跡はＳ系ではＸ(Ｔ)＝Ｘ₁＋βＴと書けます。

そこで,この軌跡:Ｘ'＝ｆ(Ｘ,Ｔ,β)＝(一定)の上では,ｆ²(Ｘ₁＋βＴ,Ｔ;β)＝ｆ²(Ｘ₁,0;β)です。そして,任意の(Ｘ,Ｔ)に対しても,Ｘ₁≡Ｘ－βＴと置けば,Ｘ'²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)＝ｆ²(Ｘ－βＴ,0;β)が得られます。

この等式は,任意の(Ｘ,Ｔ)に対して成立しますから,結局,Ｘ'²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)はＸ－βＴだけの関数で表現できることがわかりました。

そして,Ｘ'²－Ｔ'²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)から, 0＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｆ²(Ｘ－βＴ,0;β)＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)－Φ((Ｘ－βＴ)²;β)＋ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ－βＴ,0;β) です。

そこで,Ｔ'²＝ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝ｇ²(Ｘ－βＴ,0;β)＋Φ((Ｘ－βＴ)²;β)－Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)も成立します。

ところで,Ｘ'²－Ｔ'²＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)でしたから,Ｘ²－Ｔ²＝Φ^-1(Ｘ'²－Ｔ'²;β)ですが,変換の対称性を考慮すると,明らかにΦ^-1(ξ;β)＝Φ(ξ;－β)なので,Ｘ²－Ｔ²＝Φ(Ｘ'²－Ｔ'²;－β)＝Φ(Φ(Ｘ²－Ｔ²;β);－β)となるはずです。

ところが,Ｓ'系の運動の向きが正反対:β→－β(ｖ→－ｖ)の場合でも,Ｓ系の同一の点(Ｘ,Ｔ)に対応する点(Ｘ',Ｔ')についてＸ'²－Ｔ'²の値は同一であろう,という物理的な考察によれば,Φ(ξ;－β)＝Φ(ξ;β)であると考えられます。

この考察から,Φ(Φ(ξ;β);－β)＝Φ(Φ(ξ;β);β)＝Φ(ξ;η(β)),つまり,Ｘ²－Ｔ²＝Φ(Ｘ²－Ｔ²;η(β))が得られます。

ここでη(β)は速度合成に関わるあるβの関数ですが,とにかく一般にゼロではないので,Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)はβには無関係ですから,Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)＝Ｘ²－Ｔ²と結論されます。

これで,やっと重要な関係式:Ｘ'²－Ｔ'²＝ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Ｘ²－Ｔ²を得ることができました。最初から座標や時間の１次式を仮定していれば,これは苦も無く得られる関係なのですが。。。

これを用いると,Ｔ'²＝ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝ｇ²(Ｘ－βＴ,0;β)＋Φ((Ｘ－βＴ)²;β)－Φ(Ｘ²－Ｔ²;β)なる関係式は,ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ－βＴ,0;β)＝(Ｘ－βＴ)²－Ｘ²＋Ｔ²に帰着します。

この式に,Ｘ＝βＴを代入するとｇ²(βＴ,Ｔ;β)＝(1－β²)Ｔ²が得られます。 

ところで,Ｘ'＝Ｘ₁'＝(一定)のＴに沿っての軌跡は,Ｘ(Ｔ)＝Ｘ₁＋βＴでしたが,Ｔ'＝Ｔ₁'＝(一定)のＸに沿っての軌跡Ｔ＝Ｔ(Ｘ)はどのように表現されるのでしょうか？ 

Ｘ'²－Ｔ'²＝Ｘ²－Ｔ²において,Ｔ'＝Ｔ₁'＝(一定)の軌跡を仮定すると,この上ではＴ'²＝ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Ｔ₁'²＝(一定)ですから,ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Ｘ'²＝Ｘ²－Ｔ²＋Ｔ₁'²,またはｆ²(Ｘ－βＴ,0;β)＝Ｘ²－Ｔ²＋Ｔ₁'²です。

βを固定すると,左辺はＸ－βＴだけに依存する関数ですが,一見したところ,右辺はＸ－βＴだけの関数には見えません。 

そこで,Ｙ≡Ｘ－βＴとして,これをＹで表わすとｆ²(Ｙ,0;β)＝(Ｙ＋βＴ)²－Ｔ²＋Ｔ₁’²となります。βを固定した今の場合,左辺はＹだけの関数です。

Ｙを固定して,Ｔで偏微分すると∂ｆ²(Ｙ,0;β)/∂Ｔ＝2β(Ｙ＋βＴ)－2Ｔ＋ｄＴ₁'²/ｄＴ＝0 となります。つまり,ｄＴ₁’²/ｄＴ＝2Ｔ－2β(Ｙ＋βＴ)＝2Ｔ－2βＸ＝2(Ｔ－βＸ)です。これをＴで積分するとＴ₁'²＝ (Ｔ－βＸ)²＋const.が得られます。

以上から,Ｔ'＝Ｔ₁'＝(一定)のＸに沿っての軌跡は,Ｔ₁を定数としてＴ＝βＸ＋Ｔ₁なる表式で与えられることがわかりました。

よって,ｇ²(Ｘ,βＸ＋Ｔ₁;β)＝Ｔ₁'²＝ｇ²(0,Ｔ₁;β)により,任意の点(Ｘ,Ｔ)に対してｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝ｇ²(0,Ｔ－βＸ;β)が成立します。すなわち,Ｔ'²＝ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)はＴ－βＸだけの関数になります。

したがって,ｆ²(Ｘ,Ｔ;β)－ｇ²(Ｘ,Ｔ;β)＝Ｘ²－Ｔ²なる関係はｆ²(Ｘ－βＴ,0;β)－ｇ²(0,Ｔ－βＸ;β)＝Ｘ²－Ｔ²と書き直されます。

これにＴ＝βＸを代入すれば,ｆ²((1－β²)Ｘ,0;β)＝(1－β²)Ｘ²です。また,Ｘ＝βＴを代入すれば,ｇ²(0,(1－β²)Ｔ;β)＝(1－β²)Ｔ²を得ます。 

それ故,ｆ(Ｘ,0;β)＝Ｘ/(1－β²)^1/2,ｇ(0,Ｔ;β)＝Ｔ/(1－β²)^1/2,すなわち,ｆ(Ｘ－βＴ,0;β)＝(Ｘ－βＴ)/(1－β²)^1/2,ｇ(0,Ｔ－βＸ;β)＝(Ｔ－βＸ)/(1－β²)^1/2です。

結局,最終的には,Ｘ'＝ｆ(Ｘ,Ｔ,0;β)＝(Ｘ－βＴ)/(1－β²)^1/2,Ｔ'＝ｇ(Ｘ,Ｔ;β)＝(Ｔ－βＸ)/(1－β²)^1/2となります。

すなわち,ｘ'＝(ｘ－ｖｔ)/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2,ｔ'＝(ｔ－ｖｔ/ｃ²)/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2なる最終的な変換式を得ることができました。

これは確かに通常のローレンツ変換です。

こんなのは,すぐできるだろうと簡単に考えていたら,ほぼ１日かかりました。恐らくはもっと簡単にできるトリックなどがあるのでしょうが,関数方程式を立てて地道に解くと大変なことがわかりました。

最近は計算などはほとんどパクリなので,自力で計算する力は歳のせいもあるのか,かなり落ちているようです。

もっとも,物理学とか数学とか,理論が主体の学問は,自分で発見しない限りは所詮,全てパクリの連続で単に誰かが考えて述べたことを追体験するだけですが。。。

タキオンと因果律(再掲)

新年になりましたが.作年12月後半からっずとと科学記事がないのも

私のブログらしくなくてサビしいと感じたので,私得意の手抜きとして

昔の記事を再掲載してツナギにしたいと思います。

　ブログを始めてまだ３ヶ月くらいの2006年6/29の過去記事

「タキオンと因果律」を再掲します。

この記事は.このところずっと古典電磁気学を復習していて,過去の

シリーズ「電磁気学と相対論」や「電場と電束密度,磁場と磁束密度」

をチェックしているうちに遭遇し,

参考文献が記述してなかったので.我ながら元ネタは何だろうか？

と数日間探しているうち,やっとメラーの「相対性理論」の中に

あることを発見できたモノです。

元ネタを探していたのは図を挿入するためで,元本には恐らく図がある

と思い.それを参考にするかスキャナーで取り込めると期待していたか

らです。

結局.年末に元ネタはわかりましたが,図はなかったので自分で描こう

としました。

しかし,作成中にワードがオカシクなって全部消えたので頭来てPending

にしていて気分落ち着いたので.さっき文章だけアップした後でボチボチ

描いて挿入しました。

再掲記事でなく元記事に挿入するためなので,後で入れときます。

ある意味.今年の初仕事ですね。

※以下，再掲載記事です。

相対論ではタキオン(超光速粒子)の存在は否定されません。

これは虚数の質量を持ち光速より遅い速度では走ることができず,

エネルギーを貰えば貰うほど速度が遅くなるという不思議な粒子

です。

これが存在すると,因果律（原因の方が結果より前:という基本法則）

が破られます。

因果律が破られる事実は具体的には次のように示されます。

まず,ある座標系,これを仮に静止系Ｓとします。

この系に対して,ｘ軸の正の向きに相対的に等速度運動している系Ｓ'

を考えます。

それは宇宙船に固定された系であるとしてもかまいません。

ただし,これはタキオンではないのでその速度の大きさｖは

光速ｃより小さいとします。

静止系Ｓと運動系Ｓ'の双方の時刻ゼロ(ｔ＝ｔ'＝0 )に,双方

の座標系の原点が一致する(ｘ＝ｘ'＝0 となる)ように座標系

を取ります。

そして,ｘ 軸の正の向き（＝右向き)に運動する系Ｓ'の原点に

固定されている宇宙船から,時刻ゼロ(ｔ＝ｔ'＝0 )に光速より

速いタキオン信号をこの運動系でのｘ軸であるx'軸の負の向き

に発信します。

この信号を原点よりも左遠方のある位置で受け取った静止Ｓ系

にいる人が,受け取ったと同時に別のタキオン信号をｘ軸の正の

向きに返して,最初から静止Ｓ系の原点にじっとしていた別の人

が受け取るとします。

　

相対論のLorentz変換を使って,これを計算すると,最後に戻した

信号が静止していた原点にいる人に到達する時刻が静止系で負

になります。

そこで,じっと原点に静止していた観測者が時刻ゼロにすれ違った

宇宙船が信号を発するよりも前に,戻ってきたタキオン信号を受け

取ることになります。
　
　つまり,信号を発する前に信号が返ってくるという不思議なことに

なりますから,これは未来の情報が過去に伝わるという現象の例に

なっています。

これで因果律は破れます。

では具体的な計算を見てみましょう。

宇宙船の速さをｖ＜ｃ,タキオンの速さをｗ＞ｃとして２次元

のLorentz変換で計算します。

一般的に扱うために宇宙船から発射するタキオン信号の速さを

ｗ₁,受け取ってから返すタキオン信号の速さをｗ₂とします。

ただし,ｗ₁,ｗ₂＞ｃです。

最初にタキオンを発信するときの位置は,原点ｘ＝ｘ'＝0 で,

そのときの時刻はｔ＝ｔ'＝0 です。

ただし,前の説明段階でも述べたように,信号を受けて返す人の

慣性系(静止系)をＳ,それに対して速度ｖで運動し宇宙船が静止

して見える慣性系をＳ'として,Ｓ系の２次元座標を(ｘ,ｔ),

Ｓ'系での同じ点の座標を(ｘ',ｔ')としています。

そして,宇宙船から発信された最初の信号が左遠方の別の人に届

くまでの時間(届く時刻)を宇宙船Ｓ'系の時刻でｔ₁'とします。

すると,届いたときの点のｘ'座標は,明らかにｘ₁'＝－ｗ₁ｔ₁'

です。

このとき,静止している観測者の系からみた位置での時刻は,

ｔ₁＝γ(ｔ₁'－ｖｗ₁ｔ₁'/ｃ²)＝γｔ₁'(1－ｖｗ₁/ｃ²) です。

ただし,γ＝{1－(ｖ/ｃ)²}^-1/2です。

そして,観測者の系からみた位置座標は,

ｘ₁＝γ(ｘ₁'＋ｖｔ₁')＝γｔ₁'(ｖ－ｗ₁)

です。

この時刻ｔ₁に,位置ｘ₁から速度ｗ₂で信号を返します。

この信号が原点に静止している別のＳ系の観測者に届く時刻を,

その原点に静止している人の時刻でｔ₂とし,これを求めます。

ｘ₁＋ｗ₂(ｔ₂－ｔ₁)＝0 (原点)ですから,これに,

ｘ₁＝γｔ₁'(ｖ－ｗ₁),ｔ₁＝γｔ₁'(1－ｖｗ₁/ｃ²)を代入

すると,γｔ₁'(ｖ－ｗ₁)＋ｗ₂ｔ₂－γｗ₂ｔ₁'(１－ｖｗ₁/ｃ²)＝0

となります。

これを解けば,ｔ₂＝γｔ₁'{1－ｖｗ₁/ｃ²＋(ｗ₁－ｖ)/ｗ₂}

を得ます。

したがって,例えばｗ₁＞ｃ²/ｖかつｗ₂＞(ｗ₁－ｖ)であれば,

₂＜0 ですから,信号を発信した時刻ｔ＝0 より前に,まだ発信

してもいない信号が返って来ることになり,これは因果律を破

ってしまいます。

もしも,ｗ₁＝ｗ₂＝ｗならｔ₂＝γｔ₁'{2－ｖ(ｗ/ｃ²＋1/ｗ)}

です。

そこで,ｗ＞ｃ²(1＋1/γ)/ｖの条件でｔ₂＜0 になりますから,

発信信号と返信信号のタキオンの速さが全く同じであるとし

ても因果律を破ることが可能です。

ｗ＝ｃの臨界値,つまり信号がタキオンではなくて真空中の光

＝電磁波"なら,受けて返した信号が原点に届く時刻は,

ｔ₂＝2γｔ₁'(１－ｖ/ｃ)であり,このｔ₂はｖ＜ｃなら正,

ｖ＝ｃならゼロです。

この例では,光速を超えるだけでは因果律が破られるとは限らず,

もうちょっと大きい速度のタキオンが必要なようです。

(※これはチョッと計算を間違えたかな？)

しかし,宇宙船の速度ｖも光速に近くなれば信号速度が光速を超

えただけで因果律が成立しないことにはなりますね。

もしも,どこかに計算間違いありましたら,ご指摘ください。

ＰＳ：ここで用いたLorentz変換は光速度不変に基づくもので,

相対論的運動学(幾何学)の式です。

力学(mechanics or dynamics)を導入せず,運動学(kinematics)

だけの話なら,議論に質量は入ってこないので虚数質量という

問題も生じません。

また,Ｓ'系のＳに対する相対速度の大きさｖがｖ＜cを満たす

なら.γ＝{1－(ｖ/ｃ)²}^-1/2も普通の実数です。

この例では,信号速度の大きさｗについてｗ＞ｃであっても,

宇宙船の速度の大きさｖが超光速,つまり,ｖ＞ｃでない限り

はγが虚数になることはないので普通に計算できて因果律の

議論ができるのですね。

(再掲記事終わり※)

PS:バカヤロー。。

ほんのちょっとだからよかったものの。アップした記事の

修正・編集をしている最中にwindowsのシャットダウンなんか

するなよな。。

偶然どっかのキイに触ったかも知れないけれど,オレにホットキイ

なんか余計なお世話で必要ないからネ。。

こいつは,初春(はる)から極めてエンギが悪い。。

さて,今から日本テレビで箱根駅伝でも見ます。

日テレでは高校サッカー中継もあるみたいです。

私の故郷の岡山県代表はどこだろう。。普通は作陽高校ですが。。。

年末の高校駅伝も例年通り,男子は倉敷.女子は興譲館で優勝では

ないけどそぞれ.４位.２位とそこそこ活躍したようです。

高校野球の秋の神宮大会でも関西高校が準優勝と,これまでのお隣

の広島県ほどではないですが.いくつかのスポーツで全国区になりつ

つあるようです。

自分の馴染み」深い愛着のある地域や人々を愛すること,故郷を愛することは

必ずしもナショナリズムじゃなくて,,たとえいつか世界連邦のように国家が発展

的に消滅して地球が1つになったとしても残る感情でしょうね。

Diracの空孔理論(2)(荷電共役)

Diracの空孔理論の続きです。

次は荷電共役変換(charge conjugation:Ｃ)の説明です。

　粒子-反粒子の交換対称性ですね。

§5.2 荷電共役変換(Charge conjugation)

空孔理論から,自然界における根本的で新しい対称性が出現します。

各粒子に対して１つの反粒子が存在するという対称性です。

特に電子の存在は,陽電子の存在を意味します。

　そこで,今度は対応する負エネルギー波動関数から,直接,電子の

　非存在(absense of electron:欠損)を意味する陽電子波動関数

　を形成するための対称性の形式的表現を求めます。

　これまでの物理的描像から,エネルギー(－Ｅ)(Ｅ＞0)の欠損,

　および電荷ｅ(自由電子ならはｅ＜0)の欠損,を示す

　「負エネルギーの海」における空孔(hole)は,正エネルギーＥ

　の陽電子の存在と同等です。

　そこで,Dirac方程式:(i∂－ｅＡ－ｍ)Ψ＝0 の負エネルギー解

　と正エネルギー陽電子の固有状態関数は１対１に対応するはず

　です。

ただし,Ａ≡γ^μＡ_μ,i∂≡iγ^μ∂_μ＝iγ^μ(∂/∂ｘ^μ),

Ａ≡γ^μＡ_μです。

ｐ_μ^＝i(∂/∂ｘ^μ)ですから,ｐ^＝i∂です。

こうした解釈によって,陽電子の波動関数Ψ_cは正の電荷－ｅを持つ

だけ異なる電子と同じ波動方程式を満たすはずなので,

(i∂＋ｅＡ－ｍ)Ψ_c＝0 の正エネルギー解です。

　歴史的な後の考察によって,逆に陽電子についても上のDirac方程式

　から電子と等価に全ての性質を読むことができることがわかります。

一方が粒子で他方が反粒子と決めつける必要性はなく,お互いに

粒子-反粒子の関係にあります。

これまでの考察のどこにも電荷の符号が本質的役割を果たす部分はありません。

　こうして,２つの方程式をお互いに変換させる演算子を作る

　という発想に導かれます。

　そのためいは,２つの演算子:ｐ^＝i∂とＡの間の相対的符号を変化

　させることが必要であるとわかります。

　これを複素共役を取ることで実行します。

　すなわち,{i(∂/∂ｘ^μ)}^＊＝－(∂/∂ｘ^μ),Ａ_μ^＊＝Ａ_μを

　用いると,(i∂－ｅＡ－ｍ)Ψ＝0:

　または,{γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)ーｍ}Ψ＝0 は,

 {(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ＊＋ｍ}Ψ^＊＝0 となります。

そこで,もしも,(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μなる代数関係を

満たす正則行列Ｃγ⁰を見出すことができれば,

{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＋ｍ}(Ｃγ⁰Ψ^＊)＝0

より,{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ－ｍ}(Ｃγ⁰Ψ^＊)＝0 を得ます。

　故に,Ψ_c≡Ｃγ⁰Ψ^＊＝Ｃ^tΨ~とおけば,

　{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ－ｍ}Ψ_c＝0 となります。

　これは陽電子の波動関数Ψ_cが満たす方程式です。

　そして,こうしたＣが確かに存在することはこれを行列として陽

　に構成することで証明されます。

　今使っているガンマ行列の表示では,γ⁰γ^μ＊γ⁰＝^tγ^μですから,

　(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μは,Ｃ ^tγ^μＣ^-1＝－γ^μ

　またはＣ^-1γ^μＣ＝－^tγ^μ を意味します。

　この表示ではＣγ¹Ｃ^-1＝γ¹,Ｃγ²Ｃ^-1＝－γ²,Ｃγ³Ｃ^-1＝γ³,

Ｃγ⁰Ｃ^-1＝－γ⁰,つまり.Ｃγ¹＝γ¹Ｃ,Ｃγ³＝γ³Ｃ,

Ｃγ²＝－γ²Ｃ,Ｃγ⁰＝－γ⁰Ｃですから,

　例えば,係数を虚数ｉとして,Ｃ≡iγ²γ⁰と採れば,

　条件は満たされます。特に,Ｃ＝－Ｃ^-1＝－Ｃ^＋＝－^tＣです。

　これは,このガンマ行列の表示も含む任意の表示で常に,

　(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μを満たすＣを構成できること

　を示すには十分です。

　すなわち,ガンマ行列の任意の表示はユニタリ変換で互いに結び付

　いているため,別の任意の表示でも今の荷電共役Ｃの表現:iγ²γ⁰

 からユニタリ変換により移行可能な適切なＣの行列表現が存在する

　はずです。

　よって,一般性を失うことなく今の表示を採用します。

　このＣ≡iγ²γ⁰の定義においては,係数ｉを付与しましたが,定義

　にはこうした位相の任意性があることに気が付きます。

　今の荷電共役のＣの考察では,波動関数の位相には何の物理敵意味

　もないですが,パリティ変換(Parity):Ｐにおいては位相が意味を

　持つと考える場合もあります。

※(注):既に,通常のLorentz変換:ｘ→ｘ'＝ａｘに伴なう波動関数Ψ

　の変換:Ψ→Ψ'は,Dirac方程式が形を変えないための条件:

 ａ^μ_νγ^ν＝Ｓ(ａ)^-1γ^μＳ(ａ)を満たす４×４行列Ｓ(ａ)により,

　Ψ'(ｘ')＝Ψ'(ａｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(x),または,

　Ψ'(ｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(ａ^-1ｘ) と書けることを見ました。

　特殊なLorentz変換の１つである空間反転;ｘ'＝ーｘ,ｔ'＝ｔに

　対してもＳ(ａ)＝Ｐとして,Ψ'(ｘ')＝Ψ'(－ｘ,ｔ)＝ＰΨ(ｘ,ｔ)

　でパリティ変換:Ｐを定義すると,

　条件:ａ^μ_νγ^ν＝Ｓ(ａ)^-1γ^μＳ(ａ)は,ｇ^μνγ^ν＝Ｐ^-1γ^μＰ,

　または,－γ^k＝Ｐ^-1γ^kＰ,γ⁰＝Ｐ^-1γ⁰Ｐとなります。

　この条件は,δをある実数としてＰ≡exp(iδ)γ⁰とすれば満足

　されます。

　位相因子は物理的意味がないと考えても不都合はないですが,

　波動関数(spinor)自身も何らかの実在と考える立場なら,２回

　の空間反転で波動関数が元に戻ること:Ｐ²＝1を要求すること

　で,Ｐ＝±γ⁰ が得られます。。

　さらに,回転群ならspinorは２価表現であることを知っています

　から,実は４回の空間反転で波動関数が元に戻ること:Ｐ⁴＝1を

　要求すれば,Ｐ＝±γ⁰,またはＰ＝±iγ⁰です。

　(一般には,Ｐ≡exp(iδ)γ⁰で十分ですが。。)

　(注終わり※)

　さて,表示依存ではありますがＣの陽な表現:≡iγ²γ⁰を変換:

　Ψ_c≡Ｃγ⁰Ψ^＊＝Ｃ^tΨ~に代入すると,Ψ_c＝iγ²Ψ^＊と書けます。

　そこで,例えば静止したspin-downの負エネルギー電子:

　Ψ＝(2π)^{3/2 t}[0,0,0,1]exp(iｍｔ) であれば,

　荷電共役の結果は,Ψ_c＝iγ²Ψ^＊

 ＝(2π)^{3/2 t}[1.0,0,0,1]exp(－iｍｔ) となります。

　これは,静止したspin-downの負エネルギー電子の欠損が,

　静止したspin-upの正エネルギー電子の存在に等価ということ

　を示すものです。

　先に与えた射影演算子:Ｐ_r(ｐ,ｓ)＝Λ_r(ｐ)∑_r(ｓ);

　Λ_r(ｐ)≡(ε_rｐ＋ｍ)/(2ｍ),∑_r(ｓ)≡(1＋γ₅ｓ)を用いれば,

　Ψ_c＝Ｃγ⁰Ψ^＊＝Ｃγ⁰(εｐ＋ｍ)^＊(1＋γ₅ｓ)^＊Ψ^＊/(2ｍ)

　＝Ｃ(ε^tｐ＋ｍ)^＊(1－γ₅ ^tｓ)γ⁰Ψ^＊

 ＝(－εｐ＋ｍ)^＊(1＋γ₅ｓ)Ｃγ⁰Ψ^＊

 ＝(－εｐ＋ｍ)^＊(1＋γ₅ｓ)Ψ_c 　ですから,

　Ｃγ⁰＝iγ²なる行列を掛けるという演算によって,４元運動量:ｐ

　とspin:ｓで記述される負エネルギー解から,同一のｐとｓで記述

　される正エネルギー解が生じると考えられます。

　結局,自由粒子spinorにおいては次のように読めます。

　exp{iδ(ｐ,ｓ)}ｖ(ｐ,ｓ)＝Ｃ^tｕ~(ｐ,ｓ),

　exp{iδ(ｐ,ｓ)}ｕ(ｐ,ｓ)＝Ｃ^tｖ~(ｐ,ｓ)　です。　

　これは,ｖ(ｐ,ｓ)とｕ(ｐ,ｓ)が,位相因子を伴なって互いに

　荷電共役spinorになることを示しています。

　解がｐ⁰＝(ｐ²＋ｍ²)^1/2＝Ｅ＞0 であるように構成されていた

　ことを思い出すと,これはまた,

　Ψ＝(2π)^3/2 [0,0,0,1]^Ｔexp(iｍｔ)

　→ Ψ_c＝iγ²Ψ^＊＝(2π)^3/2 [1.0,0,0,1]^Ｔexp(－iｍｔ)

　では,spin:ｓが荷電共役の下で符号を変えないのに,

　今の場合には,spin:ｓの符号が逆転することに気付きます。

　この違いは,ｓ^μ＝(0,ｓ)であるような静止系では spinの射影演算子:

Σ(ｓ)＝(1＋γ⁵ｓ)が,(1＋γ⁰σｓ/2)なる形を持つという事実にあります。

　それ故,この定義での spinの符号の差異はγ⁰に由来するわけです。

　荷電共役演算子;Cは,Ψ_c＝Ｃγ⁰Ψ^＊＝Ｃ^tΨ~によって陽に陽電子の

　波動関数を作ります。

　それから,電磁場の符号を変化させる追加演算を与えるとDirac方程式

　に対する１つの不変演算子を作ることができます。

　そこで,次のような指令の連続は,Dirac理論の正式な対称性操作です。

　(1)複素共役を取る。(2)Ｃγ⁰を掛ける。(3)全てのＡ^μを－Ａ^μに変更する。

　この一連の操作を荷電共役と予呼び,Ｃで記述します。

　荷電共役:Ｃ という変換の物理的内容は,電磁ポテンシャルＡ^μの中

　にある電子の実現可能な量子状態は,電磁ポテンシャル－Ａ^μの中

　にある陽電子の実現可能な量子状態が対応することです。

　そこで,Dirac方程式:(i∂－ｅＡ－ｍ)Ψ＝0  の正エネルギー解を,同じ

　方程式の負エネルギー解：:空孔理論により１つの陽電子に変換する

　 ことによって,荷電共役:Ｃ は正エネルギーの spin-up 電子を正エネル

　ギ－の spin-up 陽電子に変えます。

(※:何故なら,:(i∂－ｅＡ－ｍ)Ψ＝0 は電子に対しては電磁ポテンシャル:

 Ａ^μの中にある場合の方程式であり,陽電子に対しては電磁ポテンシャル:

　－Ａ^μの中にある場合の方程式です。※)

　場:－Ａ^μの中にある陽電子の動力学が場:Ａ^μをの中にある電子のそれ

　と同じであるというというのは古典的常識で考えても当然のことです。

　空孔理論によって導かれろ驚くべき結論は,もしも１つの質量ｍと電荷ｅ

　を持つ粒子(特にFermion)が存在すれば,質量ｍと反対電荷－ｅを持つ

　その反粒子も存在すべきである,ということです。

　実際に,質量が同じで大きさ同じ両方の符号の電荷を持つ電子が自然界

　で観測されるという事実は相対論的量子論の少なくとも部分的妥当性を

　確信させる最強の論拠の１つです。

　ちょっとつなぎで,かなり短かいですがここまでにします。

参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell 「Relativistic　Quantum Mechanics」(McGrawHill)

PS:首,肩,腕,痛くて痛くて痛くて。。手首から肘しびれて寒さ痛さ

 ジンジン何もできなくて。。。痛い。。。寝転んでも痛ーい。。。

Diracの空孔理論(1)

「水素様原子の微細構造」(補遺)」から続く話題として,反粒子の存在を予言した「Diracの空孔理論(Hole theory)」の概説に入ります。

§1.負エネルギー解の問題 (序文)

Dirac方程式の負エネルギー解については,初期の議論のいくつか

で触れてきました。

例えば,1つの局在化された波束の構成においても,その中には

必然的に負エネルギー解成分が存在することを計算で確かめ

ました。

しかし,これまではそれらを解釈したり,その含蓄する意味を理解

するという問題については何とか避けて通ってきました。

しかし,今から後はこうした疑問に直面していきます。

負エネルギー解の存在は,原子内の電子が輻射を伴なって

負エネルギー状態へと遷移し,これまで想像もしてなかった

"無間地獄"状態へとなだれ的に落ちてゆくことを可能にし

ます。

こうした現象を避けるためには,Dirac理論の再解釈が必要

とされます。

もしも電子と光子(輻射場)の相互作用を完全に無視するなら,

こうしたことは何の問題もなく,以前の記事で書いたような定常解

が計算できて,実験と非常によく合致するエネルギー固有値や遷移

振幅をも見出すことができます。

しかし,もしも輻射相互作用(光子との相互作用)をも含むことが

要求される正確さまで原子内電子の微妙な性質による結果をも

計算したいなら,

実際的のみならず原理的に,"電子が負エネルギー状態に転げ落ちる

のを防ぐ"という問題が存在し,これを避けては通れません。

水素原子の基底状態にある電子が負エネルギー状態まで落ちる

遷移率は,半古典的輻射理論を適用すれば先に見出した波動関数

を用いて容易に計算することができます。

すなわち,電子が負エネルギーの準位:－ｍｃ²から－2ｍｃ²の間

に遷移する率(単位時間当りの遷移確率)は,

約(2α⁶/π)(ｍｃ²/ｈ_c) ～ 10⁸sec^-1です。

もしも,この準位区間だけでなく全ての負エネルギー状態への

遷移を含めれれば,こうした全遷移は大爆発を起こします。

しかしながら,これは,明らかにナンセンスです。

　こうした状況下でもなお,Dirac理論,Dirac方程式が生き残れる

　としたら,

　それは１粒子Schroedinger理論の単なる相対論的拡張として示唆

　されるのとは別の負エネルギー状態の取扱いを見つける必要に迫

　られます。

ところが,Diracはこうした見解を見出すことを既に1930年には

成し遂げました。彼は「空孔理論(Hole theory)」という新理論

を定式化してこれに臨んだのです。

その理論は,負エネルギー解によって提示されたジレンマを単に

「Pauliの排他原理」に従って負エネルギー状態を満たし尽くす

ということによって解決するものです。

この解釈によれば,真空状態(vacuum;基底状態)は

全ての負エネルギー電子状態は電子で満たされていて

正エネルギー電子は全く空の状態です。

「Pauliの原理」によれば,もはやこれ以上の電子はこうした

"負エネルギー電子の海"に収容することが不可能です。

それ故,水素原子の基底状態の安定性は保証されることになります。

この"負エネルギー電子の海'(Dirac sea)"という新しい仮説から,

多くの帰結が従います。

まず,負エネルギー電子が輻射(光子)を吸収して正エネルギー状態

に励起されることが可能となります。

これは下の図5.1に図式的に示されています。

　　

　　　　　　　　図5-1  

この現象が生じると,新たに電荷がｅ＜0 でエネルギーが＋Ｅ＞0

の１電子の存在が観測され,かつ負エネルギー電子の海に１つの

負エネルギー電子の抜けた抜け殻の空孔(hole)が観測されること

になります。

この空孔は,電荷がｅ＜0 でエネルギーが－Ｅ＜0 の

"１電子の非存在＝負エネルギー状態の占拠電子の欠如(absence)"

を示しています。

これは観測者にとっては,真空状態に相対的に電荷が－ｅ＞0 で

エネルギーが＋Ｅ＞0 の１つの粒子状態が存在すると見えるはず

です。

そこで,この電荷が－ｅ＞0 でエネルギーが＋Ｅ＞0 の粒子を

電子の反粒子(anti-particle)である陽電子(positron)と解釈

するわけです。

　これが,電子-陽電子の対創生(生成)(pair-production)に対する

　空孔理論的解釈の基礎です。

これと対照的に,負エネルギーの海における空孔,or 陽電子は

正エネルギー電子が落ちる落とし穴(trap:罠)となり,輻射(光子)

の放出を伴なって電子-陽電子の対消滅(pair-annihilation)

へと導くことがいえます。

これは下図5.2に図示されています。

　

　　　　　　　　図5-2

空孔理論によって,Dirac理論は正負両符号の電荷を持つ粒子たち

を記述する多粒子理論へと移行することが認識されます。

そして,解の波動関数(spinor)は単に１粒子理論の確率解釈を

有するという性格のモノだけではなくなります。

何故なら,それらはまた電子-陽電子対の生成や消滅をも記述する

役割を有するからです。

　歴史的には,Ｋlein-Ｇordon方程式が廃棄されてDirac方程式が

　発見され,その理論の発展が１粒子理論を確立するということが

　望まれるように動機付けられたという経緯が思い起こされます。

　それ故,何故,Ｋlein-Ｇordon方程式のケースと同様,解釈の困難

　が生じたDirac方程式もまた捨てるという選択が取られないのか？

　という疑問が生じるのも当然なことです。

　しかしながら,Dirac方程式については,次の簡明な理由からその

　廃棄を渋ってきたという経緯があります。

　つまり,これまでのところDirac方程式における"真理"の印象的な

　実体物がどんどん明らかになってきており,

　それは水素原子の超微細構造と呼ばれる正確なエネルギースペクトル

　を予言したり,電子の"ｇ因子＝磁気回転比"も非常に正確に予測して

　きているからです。

　そして,この空孔理論において予言される陽電子についても実際に

　観測にかかっています。

　元は,Diracによって合理的に写し出された推論の歴史的経緯に

　従って,電子に対する望ましい方程式へと導かれてきたわけです。

　もっとも,今となっては理論を再解釈することにより元々の発展

　への出発点となった動機は捨てられる結果になっていますが。。

　物理学の歴史では,こうした理論の進歩の試行錯誤的プロセス

　パターンは他にも山ほどの例があります。

　したがって,Dirac方程式の空孔理論解釈を支持して,最初遂行して

　完成しかかっていた"素朴な"１粒子の確率解釈は排斥することに

　します。

　ここで,また２階線形のKlein-Gordon方程式に帰ることも可能です。

　そこでもまた波動関数の適切な再解釈によってこの方程式を救済

　することも可能であることに着目しておきます。

　Klein-Gordon方程式を超えたDirac方程式の利点は,それがspinが

　1/2で,ｇ＝2 の電子を正確に記述できることにあります。

　後述する予定ですが,一方のKlein-Gordon方程式はπ中間子(pion)

　のようなspinがゼロの粒子を記述できます。

　これら両方の相対論的波動方程式について共通なことは,不変な

　２次のエネルギー・運動量の関係:ｐ_μｐ^μ＝ｍ²を記述している

　ことです。

　両方のケースで安定な基底状態を保証するためには,

　負エネルギー解の再解釈をする必要があります。

　そして,これはFermi粒子とBose粒子の双方について粒子(particle)

　だけでなく反粒子(antiparticle)が存在することを不可避にします。

　(※↑もっとも,Bose粒子では「Pauliの排他原理」は成立しない

　ので,Bosonにより占拠された負エネルギーの海という同じ解釈

　では破綻します。

　Dirac spinorやKlein-Gordon scalarが単純な確率振幅を意味

　する波動関数でなくFock空間の状態ベクトルに作用する第二量子化

　された場であると再々解釈すれば,Dirac seaのようなものを仮想

　する必要性からも解放されて新たな地平を築くこともできます。

 例えば,正エネルギー解の部分は正エネルギー粒子の生成,

　負エネルギ－解の部分は正エネルギー粒子(実は反粒子)の消滅

　に関わる振幅の部分と考えれば,負エネルギー粒子の存在を仮想

　する必要はなくなります。

　しかし,今は歴史的経緯に従って空孔理論を概説しています。

　個人的には,これを理解することも必要なプロセスであると思って

　います。※)

　結局,粒子は正エネルギー解によって記述されますが,反粒子は

　負エネルギー解の非存在(空孔)によって記述されます。

　今の例では,Dirac方程式に従う粒子は質量がｍで電荷がｅ＜0 の

　電子であり,他方,反粒子は質量は同じｍなのですが電荷が反対符号

　:－ｅ＞0 の陽電子です。

　今日は.序文(introduction)として短いですがここまでにします。

　(※関連過去記事として,2006年12/21の

　「電子の自己エネルギーとDiracの海」があります。※)

参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGrawHill)

水素様原子の微細構造(補遺5-2)

　※いやあ。驚きました。

　下の科学記事を書いた後の真夜中,なにげにこのブログのアクセス履歴を見てみたら,何と11月21日のアクセス数が１日だけで6672です。

　訪問人数も半分の3120です。(大体１人平均２回アクセスですね。)

　イツモは平日なら大体300アクセスで訪問者200人くらいですから,アクセス数で約20倍の大爆発。。何が起きたのでしょうか？？

　23日休日だからいいのですが,目が覚めてしまいました。

　カウンターも数日前に56万を超えたばかりだったのに,たちまち57万

を超えています。　

(※300/日×365日で約10万アクセス/年で5年半経ってます。)

　前も1000アクセス/日を超えたことはありました。

　そのときは,Ｘ-JAPANのTOSHI関連の比較的大きいニュースがあったときでしたから,TOSHI違いの勘違いでした。またそうなのかな？

　22日も前日の余韻なのか？1537アクセスの736人。

　普通,休日祝日は半減しますから,

　今日23日はもっと減るでしょうが。。。。

(※記事別アクセスだと11/21は不明ですが,11/22なら2006年３～４月の過去記事「サルにもわかる相対性理論①～⑥」が56％と半分以上で,

　特に2006年3/24の本論に入る「サルにもわかる相対性理論②」が最大で40％ですね。ふーむ？)

　アクセス増えるのはうれしいけれど？？？

(PS:11月21日は私の母の91回目の誕生日。何事も無ければいいが。)※※　

　さて,水素様原子の微細構造)(補遺5-1)の続き,後半です。

　波束を正エネルギー,負エネルギーの両方の重ね合わせに一般化

　します。

　Ψ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2∑_±s{ｂ(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)

　exp(－iｐ_μｘ^μ)＋ｄ^*(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)exp(iｐ_μｘ^μ)} です。

　これによる全確率を計算すれば,

　∫Ψ^＋(ｘ)Ψ(ｘ)ｄ³ｘ＝∫ｄ³ｐ∑_±s{|ｂ(ｐ,ｓ)|²＋|ｄ(ｐ,ｓ)|²}

　ですから,

　係数ｂ,ｄは,∫ｄ³ｐ∑_±s{|ｂ(ｐ,ｓ)|²＋|ｄ(ｐ,ｓ)|²}＝1

　と規格化されます。

※(注3):∫Ψ^(＋)＋(ｘ)Ψ^(＋)(ｘ)ｄ³ｘ

＝∫ｄ³ｐｄ³ｐ'{ｍ²/ＥＥ')}^1/2∑_±s,±s'[ｂ^*(ｐ',ｓ')ｂ(ｐ,ｓ)

ｕ^＋(ｐ',ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)δ³(ｐ'－ｐ)exp{i(Ｅ'－Ｅ)ｔ}

＋ｂ^*(ｐ',ｓ')ｄ^*(ｐ,ｓ)ｕ^＋(ｐ',ｓ')ｖ(ｐ,ｓ)δ³(ｐ'＋ｐ)

exp{i(Ｅ'＋Ｅ)ｔ}＋ｄ(ｐ',ｓ')ｂ(ｐ,ｓ)ｖ^＋(ｐ',ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)

δ³(ｐ＋ｐ')exp{－i(Ｅ'＋Ｅ)ｔ}

＋ｄ(ｐ',ｓ')ｄ^*(ｐ,ｓ)ｖ^＋(ｐ',ｓ')ｖ(ｐ,ｓ)δ³(ｐ－ｐ')exp{i(Ｅ－Ｅ')ｔ}] です。

　右辺のｄ³ｐ'積分の被積分関数の各項には因子δ³(ｐ'±ｐ)がある

　ため,ｐ'＝±ｐよりＥ'＝Ｅなので,{ｍ²/(ＥＥ')}^1/2＝ｍ/Ｅで,

　exp{i(Ｅ'－Ｅ)ｔ}＝exp{i(Ｅ－Ｅ')ｔ}＝1,かつ

　exp{i(Ｅ'＋Ｅ)ｔ}＝exp(2iＥｔ),exp{－i(Ｅ＋Ｅ')ｔ}

　＝exp(－2iＥｔ)です。

　さらに,ｕ^＋(ｐ,ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)＝ｖ^＋(ｐ,ｓ')ｖ(ｐ,ｓ)

　＝(Ｅ/ｍ)δ_ss',

　ｕ^＋(－ｐ,ｓ')ｖ(ｐ,ｓ)＝ｖ^＋(ｐ,ｓ')ｕ(－ｐ,ｓ)＝0

　ですから,

　結局,∫Ψ^＋(ｘ)Ψ(ｘ)ｄ³ｘ

　＝∫ｄ³ｐ(ｍ/Ｅ)∑_±s,±s'[ｂ^*(ｐ,ｓ')ｂ(ｐ,ｓ)

　ｕ^＋(ｐ,ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)＋ｄ(ｐ,ｓ')ｄ^*(ｐ,ｓ)ｖ^＋(ｐ,ｓ')ｖ(ｐ,ｓ)]

　＝∫ｄ³ｐ∑_±s{|ｂ(ｐ,ｓ)|²＋|ｄ(ｐ,ｓ)|²}

　を得ます。

(注3終わり)※

　一方,そうした波束Ψのcurrentについては,同様な計算から

　Ｊ^k＝∫Ψ~(ｘ)γ^kΨ(ｘ)ｄ³ｘ

　＝∫ｄ³ｐ(ｐ^k/Ｅ)∑_±s{|ｂ(ｐ,ｓ)|²＋|ｄ(ｐ,ｓ)|²}

　＋i∑_±s,±s'{ｂ^*(－ｐ,ｓ')ｄ^*(ｐ,ｓ)ｕ~(－ｐ,ｓ')

　σ^k0ｖ(ｐ,ｓ)exp(2iＥｔ)

　＋ｄ(－ｐ,ｓ')ｂ(ｐ,ｓ)ｖ~(ｐ,ｓ')

　σ^k0ｕ(－ｐ,ｓ)exp(2iＥｔ)}

　を得ます。

　ただし,Ｅ＝(ｐ²＋ｍ)^1/2であり,ｕ(－ｐ,ｓ)＝ｕ(Ｅ,－ｐ,ｓ),

　ｖ(－ｐ,ｓ)＝ｖ(Ｅ,－ｐ,ｓ)です。

　やや矛盾したnotationですが。。

　この表現では,時間に依存する群速度に加えて,振動数:2Ｅで急速に

　振動する正エネルギーと負エネルギーの交叉する項が出現してい

　ます。

振動数は非常に高く2Ｅ＝2ｃＥ/ｈ_c＞2ｃｍ/ｈ_c～2×10²¹sec^-1です。

こうした形で現われる急速振動は,ドイツ語でZitterbewegung

(ツィッターベベーグング)と呼ばれています。

この振動の大きさは,波束中の負エネルギー解の振幅に比例して

います。

解のこの現象については,これまでの議論からすぐに何らかの解釈

をすることはできませんが,次のような考察は可能です。

自由粒子解の一般形:Ψ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2

∑_±s{ｂ(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)＋ｄ^*(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)

exp(iｐｘ)}は,

係数ｂ(ｐ,ｓ),ｄ^*(ｐ,ｓ)の時間独立性によって,波束が初期に特に

正エネルギー解のみから形成されていれば,外力のないところでは

負エネルギー成分を持つような発展をしないことは明らかです。

しかし,初期において有限な大きさの領域に局在化され,１つの電子

を表わすように形成される波束は,必ず負エネルギー解の成分を含み

ます。

(※↑ 実は,既に2006年８/８の記事

「負エネルギー解と相対論的因果律」で,こうした事情を詳述

しています。)

　例えば,Ψ(ｘ,0,ｓ)＝(πｄ²)^-3/4exp{－ｒ²/(2ｄ²)}ｗ⁽¹⁾(0),

　(ｒ≡|ｘ|)とします。

　これは初期時刻ｔ＝0 において,原点ｒ＝0の周りの半値幅～ｄの

　Gauss分布に相当する局在化された波束です。

　そこで,ｔ＝0 では(πｄ²)^-3/4exp{－ｒ²/(2ｄ²)}ｗ⁽¹⁾(0)

　＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2∑_±s{ｂ(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp(iｐｘ)

　＋ｄ^*(ｐ,ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)exp(－iｐｘ)}です。

　そこで,Fourier変換を実行し,

　∫_-∞^∞ｄ³ｘexp{－ｒ²/(2ｄ²)}exp(iｌｘ)

　＝(2πｄ²)^3/2exp(－ｌ²ｄ²/2)を用いると,

ｂ(ｐ,ｓ)＝(ｍ/Ｅ)^1/2(π/ｄ²)^3/4exp(－ｐ²ｄ²/2)ｕ^＋(ｐ,ｓ)ｗ⁽¹⁾(0),

ｄ^*(ｐ,ｓ)＝(ｍ/Ｅ)^1/2(π/ｄ²)^3/4exp(－ｐ²ｄ²/2)ｖ^＋(ｐ,ｓ)ｗ⁽¹⁾(0)

　です。

　故に,Gaussの波束:

Ψ(ｘ,0,ｓ)＝(πｄ²)^-3/4exp{－ｒ²/(2ｄ²)}ｗ⁽¹⁾(0)の中の

負エネルギー成分の係数ｄ^*はゼロではありません。

　ｄ^*はｂに相対的に,ｕの大成分(上成分)に対するｖの小成分(上成分)

の比率:～ｐ/(Ｅ＋ｍ)だけ小さい値になっています。

　このことは,運動量がｍ程度の粒子に対しては負エネルギーの振幅

を評価できることを示しています。

　しかし,さらに,今求めた表現から波束は主として|ｐ|≦1/ｄを満たす

運動量から形成されると見られます。

こうした困難のうちで,有名なパラドックスの１つは,Kleinのparadox

と呼ばれるものです。

電子を局所化するためには,望ましい領域に閉じ込める強い外力を

導入する必要があります。

例えばエネルギーがＥの自由電子をｚ＝0 の左側の領域Ｉに閉じ込め

たい場合を考えます。

電子がｚ＝0 の右側の領域Ⅱの距離ｄより先には見出されない

ようにしたいなら,領域Ⅱにおける特性幅:πｄで振幅が急減少

するように,0≦ｚ≦ｄの微小区間の中でＶが高さＶ₀(＞Ｅ)まで

非常に鋭く上昇するような形になるはずです。

これは,幽閉長さｄが～1/ｍまで縮み,(Ｖ₀－Ｅ)がｍより大きくなる

までは,普通の非相対論的Schroedinger理論におけるのと同様です。

　相対論で何が生じるかを見るため,下図に見られるような絶壁境界

を持つ静電ポテンシャルを想定して,ｚ方向に沿って左から入射する

運動量ｐ(波数ｋ),spin-upの１電子の反射currentと透過currentを

計算してみます。

   

　領域Ⅰにおける入射波:Ψ_incと反射波:Ψ_refに対する正エネルギー解

は次のように書けます。

　Ψ_inc＝ａexp(iｐ^zｚ)^t[1,0,ｐ^z/(Ｅ＋ｍ),0],

　Ψ_ref＝ｂexp(－iｐ^zｚ)^t[1,0,－ｐ^z/(Ｅ＋ｍ),0]

　＋ｂ'exp(－iｋ^zｚ)^t[0,1,0,ｐ^z/(Ｅ＋ｍ)]です。

　何故なら,入射波:Ψ_incは,ｗ⁽¹⁾(ｐ)

＝^t[1,0,ｐ^z/(Ｅ＋ｍ),ｐ^－/(Ｅ＋ｍ)]に対応しており,

ｚ方向に沿った解なのでｐ^±＝0 ですから,exp(iｐｘ)

＝exp(iｐ^zｚ)です。

　また,反射波も自由Dirac方程式の正エネルギー解です。　

　反射波なので,ｐが(0,0,ｐ^z)→－ｐ＝(0,0,－ｐ^z)と変わります。

　そして,ｗ⁽²⁾(－ｐ)＝^t[0,1,－ｐ^＋/(Ｅ＋ｍ),ｐ^z/(Ｅ＋ｍ)]です。

　透過波については,Dirac方程式の一定の外場ポテンシャル

ｅΦ＝Ｖ₀の存在の下での解ですが,これは単に自由Dirac方程式の解

でのＥを(Ｅ－Ｖ₀)におき換えたものです。

そこで,領域Ⅱではｐ'²＝(Ｅ－Ｖ₀)²－ｍ²

＝(Ｅ－ｍ－Ｖ₀)(Ｅ＋ｍ－Ｖ₀)であり,

Ψ_trans＝ｄexp(iｐ'^zｚ)^t[1,0,ｐ'^z/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ),0]

＋ｄ'exp(iｐ'^zｚ)^t[0,1,0,－ｐ'^z/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ)]です。

そして,振幅ｄとｄ'はcurrent保存によって要求されるポテンシャル

障壁境界における解の連続性条件により,

ａ＋ｂ＝ｄ,および(ａ－ｂ)ｐ^z/(Ｅ＋ｍ)＝ｐ'^z/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ)

or,(ａ－ｂ)＝(ｐ'^z/ｐ^z)(Ｅ＋ｍ)/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ)≡ｒｄ,

そして,ｂ'＝ｄ',ｂ'ｐ^z/(Ｅ＋ｍ)＝－ｄ'ｐ'/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ)]より,

ｂ'＝ｄ'＝0 を満足します。

Ｖ₀＞0 で|Ｅ－Ｖ₀|＜ｍなら,波数(運動量)は虚数でｐ＝i|ｐ|です。

これは,領域Ⅱにおける解が距離ｄ＞1/ｍにおいて急減衰する描像

に対応しています。

　しかし,電子を閉じ込めるために障壁の高さＶ₀をＥ＋ｍを超えて

増大させると透過波の方が振動的になります。

　透過カレントと反射カレントの比率,透過率と反射率を計算すると,

　ｊ_trans/ｊ_inc＝4ｒ/(1＋ｒ)²,

　ｊ_ref/ｊ_inc＝(1－ｒ)²/(1＋ｒ)²＝1－ｊ_trans/ｊ_inc

　となります。ただし,ｒ＝(ａ－ｂ)/ｄです。

こうした形の結果は,Schroedinger理論での類似した予測

(トンネル効果)を想起させます。

　しかし,今は連続性条件が成立し,かつＶ₀＞Ｅ＋ｍ,ｒ＜0 のケース

が存在することを観る必要があります。

　何故なら,ｒｄ＝ａ－ｂ＝(ｐ'^z/ｐ^z)(Ｅ＋ｍ)/(Ｅ－Ｖ₀＋ｍ)

なので,Ｖ₀＞Ｅ＋ｍならｒ＜0 となるのです。

　この場合には,透過率:ｊ_trans/ｊ_inc＝4ｒ/(1＋ｒ)²,反射率:

ｊ_ref/ｊ_inc＝(1－ｒ)²/(1＋ｒ)²＝1－ｊ_trans/ｊ_incの式から,

負の透過current,

　および,入射currentを超過する反射currentが示され通常の理論の

常識に反する結果が見出されます。

では,Ｖ₀＞Ｅ＋ｍのケースに領域Ⅰへ,つまり左の方へと動く

領域Ⅱでのcurrentの源(source)は一体何なのでしょうか？

また,Compton波長～1/ｍの中に解を局在化させようとして

障壁ポテンシャルの高さＶ₀を(Ｅ＋ｍ)より大きく増加させ

ましたが,

結局は,目的に反して減衰しない振動解を伴なう結果に終わり

ました。

このことも,どのように解釈され得るのでしょうか？

これらの疑問への回答は,ただ新たに加わった負エネルギー解を

理解し解釈することのみにより得られると考えられます。

それは,1/ｍに局在化させた波束(例えばGauss分布解)の中には

必然的に負エネルギー解成分を含む必要があるという議論からも

明らかです。

前記のcurrentの計算から,こうした短距離では進むという描像は

うまくいかないこともまた等しく明らかです。(Zitterbewegung)

こうした疑問は,前期量子電磁気学ともいうべきDiracの空孔理論

(Hole theory)に頼れば,一応は出発点に戻って解決されます。　

しかし,その前にエネルギーの単位がｍのオーダーで距離の単位が

1/ｍ規模であるような,ポテンシャルがＶ＝V₀＜Ｅ＋ｍで弱い滑らかに

変動する領域での正エネルギー電子に対しても,相対論方程式の意味

を問う必要があります。

Dirac方程式,そしてDirac理論の適用により,非相対論的エネルギーの

領域にも新たな展開が期待できる豊富な分野があることにも着目します。

そして,ここで初めてFoldy-Wouthuysen変換や水素様原子の束縛状態

におけるエネルギー準位の相対論効果による超微細構造,Lamb-shift

などを論じた,

2011年７/17の記事「水素様原子の微細構造(1)」に始まるシリーズへと

回帰することになるわけです。

忘却のかなたですが,そもそも補遺を書くようになった動機は,2011年８/11

の「水素様原子の微細構造(4)」の(注13)で書いたZitterbewegungと

Darwin項：－{－ｅ/(8ｍ²)}divＥの関連を明らかにすることでした。

(※(再掲:注13):相対論的Dirac方程式のFoldy-Wouthuysen変換におけるDarwin項は,－{ｅ/(8ｍ²)}divＥですが,これはZitterbewegung(負エネルギー部分との相互作用運動)の効果です。※)

　Darwin項は,－{ｅ/(8ｍ²)}divＥ＝{1/(8ｍ²)}∇²Ｖです。

　これは,∇～1/(1/ｍ)のCompton波長付近で∇²～ｍ²,Ｖ＞Ｅ＋ｍ

　によって強く効く項という意味で,Zitterbewegung効果ということ

　でしょうね,

これで「水素様原子の微細構造(補遺)」シリーズは完全に

終了です。

残されているのは後はDiracの空孔理論(Hole theory)だけです。

一応,乗りかかった船なので,この過渡期的理論についても続く記事

で題名を改め詳しく述べる予定です。　

　　

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill)

水素様原子の微細構造(補遺5-1)

　またまた,かなり間が空きましたが.「水素様原子の微細構造」(補遺4)」の続きです。

　別に考え込んでいたわけではなく,最近は頚椎捻挫もあって単に自分のノートからの転記でPCに向かってキーボードを叩くだけでも,ひどく疲れしょっちゅう中断していたせいです。

　今回も,記事全体では長すぎるので２つに分けました。

　まずは,前半です。

　前回までの自由粒子Dirac方程式の平面波の基本解に関する知見と道具を前提として,さらに先へと進みます。

　さて,自由粒子の平面波解の重ね合わせによって局所化された波束(wave-packet)を作ることができます。

　重ね合わせの原理(方程式の線形性)により,これらの波束もなお自由粒子Dirac方程式の解です。

　まず,正エネルギー解のみを重ね合わせたものは,Ψ^(＋)(ｘ,ｔ)

＝∫ｄ³ｐ(2π)^-3/2(ｍ/Ｅ)^1/2∑_±s{ｂ(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)exp(－iｐ_μｘ^μ)

と表現できます。

　展開係数:ｂ(ｐ,ｓ)を単位確率に規格化するため,先述したスピノールの直交関係:ｗ^(r)＋(ε_rｐ)ｗ^(r')(ε_r'ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δ_rr’に訴えます。

　これから,ｕ^＋(ｐ,ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)＝(Ｅ/ｍ)δ_ss'ですから,

∫Ψ^(＋)＋(ｘ,ｔ)Ψ^(＋)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝∫ｄ³ｐｄ³ｐ'

{ｍ²/(ＥＥ')^1/2}∑_±s,±s'ｂ^*(ｐ',ｓ')ｂ(ｐ,ｓ)ｕ^＋(ｐ',ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)

∫ｄ³ｘ(2π)^-3 exp{i(ｐ'_μ－ｐ_μ)ｘ^μ}

＝∫ｄ³ｐ(ｍ/Ｅ)∑_±s,±s'ｂ^*(ｐ,ｓ')ｂ(ｐ,ｓ)ｕ^＋(ｐ,ｓ')ｕ(ｐ,ｓ)

です。

　すなわち,規格化は.∫Ψ^(＋)＋(ｘ,ｔ)Ψ^(＋)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ

　＝∫ｄ³ｐ)∑_±s,|ｂ(ｐ,ｓ)|²＝1 です。

　次に波束に対する平均currentは速度演算子の期待値で与えられ,

　Ｊ^(＋)＝∫^(＋)＋αΨ^(＋)ｄ³ｘです。

　これを評価するに当たって,自由粒子解から形成される４元ベクトルの重要な次の関係式を用います。 

　Dirac方程式:(ｐ^－ｍ)Ψ＝0 の任意の解:Ψ₁(ｘ),Ψ₂(ｘ)に対し,次の　恒等式が成立します。

Ψ₂~γ^μΨ₁＝{1/(2ｍ)}{Ψ₂~ｐ^^μΨ₁ －(ｐ^^μΨ₂~)Ψ₁}－{i/(2ｍ)}ｐ^_ν(Ψ₂~σ^μνΨ₁) です。

※(注1):ａｂ＝ａ_μγ^μｂ_νγ^ν＝ａ_μｂ_ν[(γ^μγ^ν＋γ^νγ^μ)/2＋[γ^μ,γ^ν]/2]＝ａ_μｂ^μ－iａ_μｂ_νσ^μνですから,

　(ｐ^－ｍ)Ψ₁＝0,Ψ₂~(－ｐ^－ｍ)＝0 より,

　0＝Ψ₂~(－ｐ^－ｍ)ａΨ₁＋Ψ₂~ａ(ｐ^－ｍ)Ψ₁

    ＝－2ｍΨ₂~ａΨ₁＋Ψ₂~ａｐ^Ψ₁－Ψ₂~ｐ^ａΨ₁ 

が成立します。

　－2ｍΨ₂~ａΨ₁＋

　Ψ₂~(ａ_μｐ^^μ－iａ_μｐ^_νσ^μν－ｐ^_μａ^μ＋iｐ^_μａ_νσ^μ)Ψ₁＝0

　です。

　故に,ａ_μ(2ｍΨ₂~γ^μΨ₁)＝ａ_μ{Ψ₂~ｐ^^μΨ₁ －(ｐ^^μΨ₂~)Ψ₁}

　－iａ_μ{Ψ₂~ｐ^_νσ^μν_μΨ₁＋(ｐ^_νΨ₂~)σ^μνΨ₁} となります。

　これが,任意のａ_μに対して成立するので,

　2ｍΨ₂~γ^μΨ₁＝Ψ₂~ｐ^^μΨ₁ －(ｐ^^μΨ₂~)Ψ₁}－iｐ^_ν(Ψ₂~σ^μνΨ₁)

　が成立するわけです。(注1終わり)※

　この恒等式は,Gordon-decompositionとして知られています。

　これは,Dirac currentを非相対論currentとspin-currentに似た相応currentとの和として表現しています。

　特に,Ψ₁＝Ψ₂＝Ψの場合には,Ψ~γ^μΨ＝{1/(2ｍ)}{Ψ~ｐ^^μΨ－

　(ｐ^^μΨ~)Ψ}－{i/(2ｍ)}ｐ^_ν(Ψ~σ^μνΨ)が成立するため,

　Ｊ_k^(＋)＝∫Ψ^(＋)~(ｘ)γ_kΨ^(＋)(ｘ)ｄ³ｘ＝∫ｄ³ｘ∫ｄ³ｐｄ³ｐ'(2π)^-3

{ｍ²/(ＥＥ')^1/2}∑_±s,±s'[ｂ^*(ｐ',ｓ')ｂ(ｐ,ｓ) exp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}

　{1/(2ｍ)}ｕ~(ｐ',ｓ'){(ｐ'_k＋ｐ_k)－(ｐ'_ν＋ｐ_ν)σ^kν}ｕ(ｐ,ｓ)]

　＝∫ｄ³ｐ(ｐ_k/Ｅ)∑_±s,±s’{ｂ(ｐ,ｓ)|²

　と書けます。

　つまり,Ｊ^(＋)＝∫Ψ^(＋)~(ｘ)γΨ^(＋)(ｘ)ｄ³ｘ

　＝∫Ψ^(＋)＋(ｘ)αΨ^(＋)(ｘ)ｄ³ｘ＝＜α＞_＋

　＝∫ｄ³ｐｐ/Ｅ)∑_±s,±s’{ｂ(ｐ,ｓ){²＝＜ｐ/Ｅ＞_＋です。

　前に与えた規格化によれば,currentは,Ｊ^(＋)＝＜α＞_＋＝＜ｐ/Ｅ＞_＋

　＝＜ｖ_gp＞_＋と書けるわけです。

　ｖ_gpは波束の群速度(group velocity)です。

　ただし,記号:＜ ＞_＋は正エネルギー波束のみに関する期待値です。

　そこで,正エネルギー解から形成される任意の波束に対するcurrentは,丁度古典論の群速度に一致します。

　相応する説明は,非相対論的Schroedinger理論ではよく知られています。

　(※:α＝ｖ_gp,ｐ＝ｍｖ/(1－β²)^1/2,Ｅ＝ｍ/(1－β²)^1/2 であり,

　α＝ｖ＝ｐ/Ｅです。)

　こうして,Diracの相対論的理論における重要な違いに到達しました。

　非相対論的Schroedinger理論においてcurrentの中に常に出現する速度演算子はｐ/ｍです。これは定数ベクトルです。

　一方,Diracの相対論的理論ではcurrentは運動量に比例しません。

　Ｊ＝Ψ^＋αΨであり,この場合,速度演算子はｖ_op＝α＝γ⁰γです。

※(注2):Dirac方程式:(ｐ^－ｍ)Ψ＝(iγ^μ∂_μ－ｍ)Ψ＝0 の行列α,βによる表現は,i(∂Ψ/∂ｔ)＝Ｈ^Ψ＝(－iα∇＋βｍ)Ψ

or　i(∂Ψ/∂ｔ)＝(αｐ^＋βｍ)Ψです。

　そこで,∂(Ψ^＋Ψ)/∂ｔ＋∇(Ψ^＋αΨ)＝0 が成立するので,

　確率密度をρ≡Ψ^＋Ψとし,Ｊ≡Ψ^＋αΨとおけば,

　∂ρ/∂ｔ＋∇Ｊ＝0　という連続の方程式の形になります。

　これは,確率Ｐ＝∫ρｄ³ｘ∫Ψ^＋Ψｄ³ｘの保存を保証するcurrent密度が

　Ｊ＝Ψ^＋αΨで与えられることを示しています。

　連続方程式∂ρ/∂ｔ＋∇Ｊ＝0 は,相対論的４次元形式では∂_μＪ^μ＝0 と書けます。Ｊ^μは４元電流密度で,Ｊ^μ＝Ψ~γ^μΨ＝(ρ,Ｊ)です。

　また,自由粒子ではなくて,電磁場Ａ^μ＝(Φ,Ａ)があれば,波動方程式は,

　i(∂Ψ/∂ｔ)＝Ｈ^Ψ＝{α(ｐ^－ｅＡ)＋βｍ＋ｅΦ}Ψです。

　Ｈ^＝α(ｐ^－ｅＡ)＋βｍ＋ｅΦなので,

　ｄｒ/ｄｔ＝i[Ｈ^,ｒ]＝i[αｐ^,ｒ]＝α　です。

　　さらに,π^≡ｐ^－ｅＡとおけば,Ｈ^＝απ^＋βｍ＋ｅΦで,

　ｄπ^/ｄｔ＝i[Ｈ^,π^]＋∂π^/∂ｔ＝i[Ｈ^,π^]－ｅ∂Ａ/∂ｔより,

　ｄπ^/ｄｔ＝ｅ[Ｅ＋α×Ｂ]を得ます。ただしＥ＝－∇Φ－∂Ａ/∂ｔ,

　Ｂ＝∇×Ａです。

　何故なら,ｐ^＝－I∇より簡単な計算によって,

　[Ｈ^,π^]＝[Ｈ^,ｐ^－ｅＡ]＝[α(ｐ^－ｅＡ)＋βｍ＋ｅΦ,ｐ^－ｅＡ]

　＝ｅ[Φ,ｐ]－ｅ[αｐ^,Ａ]－ｅ[Ａ,αｐ^]

　＝－iｅ[∇Φ＋α×(∇×Ａ)

　となるからです。

　そこで,ｄｒ/ｄｔ＝α,およびｄπ^/ｄｔ＝ｅ[Ｅ＋α×Ｂ]であり,

　π^＝ｐ－ｅＡは∂Ｌ/∂ｖで定義される正準運動量ですから,

　αが古典論での粒子速度,または波束の群速度ｖを示す量子演算子ｖ_opに対応することがわかります。ｖ_op＝α＝γ⁰γです。(注2終わり)※

　ｄπ^/ｄｔ＝ｅ[Ｅ＋ｖ_op×Ｂ](π^≡ｐ^－ｅＡ)のEhrenfest関係から,自由粒子の運動ではｄｐ/ｄｔ＝0 ですが,速度演算子αは[Ｈ^,α]≠0 なので定数ベクトルではありません。

(※何故なら,Ｈ^＝α(ｐ^－ｅＡ)＋βｍ＋ｅΦなので

ｄｐ^/ｄｔ＝i[Ｈ^,ｒ]＝i[αｐ^,ｐ^]＝0 ですが,

　[α,Ｈ^]＝ｅⁱ{ｐ^j[αⁱ,α^j]＋ｍ[αⁱ,β]＝2ｅⁱ{ｐ^jαⁱα^j－ｍβαⁱ}

＝2ｅⁱ{ｐⁱ－iσ^ijｐ^j－ｍγⁱ}≠0 です。※)

　実際,＜α＞_＋＝∫ｄ³ｐ(ｐ/Ｅ)∑_±s,±s’{ｂ(ｐ,ｓ){²＝＜ｐ/Ｅ＞_＋ですから,ｖ_op＝α＝γ⁰γの固有関数を作る際,行列α^kの固有値は１,つまり光速ｃに等しいにも関わらず,

　＜ｐ/Ｅ＞_＋＜1より,その正エネルギー期待値は|＜α^k＞_＋|＜1を満たしています。

　そこで,波束は正エネルギーだけではなくて,一般に負エネルギー解をも含む解である必要があると考えられます。(つづく)

水素様原子の微細構造(補遺4)

　「水素様原子の微細構造(補遺3-1,3-2)」の続きです。

　今のところ,水素様原子とは直接関わりのない自由粒子のDirac方程式の解の話を続けています。

　これらの自由粒子解 をできるだけ詳細に観察して,Diracの空孔理論(hole theory)(反粒子の存在理論)へと至る過程での負エネルギー粒子解の解釈等のさらなる深化を目指します。

　さて,座標系のLorents変換に呼応してスピノール(spinor)を変換させる線形演算子は,Ｓ＝exp{－(i/4)ω(σ_μνＩ^μν)}＝ exp{(1/8)ω[γ_μ,γ_ν]Ｉ^μν}で与えられることを見ました。

　変換が慣性系間にゼロでない相対速度があるブースト(boost)を伴わない単なる３次元空間の角度φの回転という特別な場合なら,

　Ｓ＝Ｓ_R＝exp{－(i/4)φ(σ_ijＩ^ij)}＝exp{(1/8)φ[γ_i,γ_j]Ｉ^ij}です。

(※ここでは,ギリシャ文字の添字μ,νについては0から3まで,ラテン文字ｉ,ｊについては1から3の和を取る規約を採用しています。)

　それ故,γ^k＝－γ_kが２行２列のPauli行列σ₍₂₎^kと－σ₍₂₎^kを反対角要素とする反対称行列で与えられる表示では,σ_ij＝i/2[γ_i,γ_j]＝σ^ijはσ₍₂₎^kを対角成分とする４行４列細胞対角行列です。

　何故なら,Pauli行列の交換関係は,[σ_(2)i,σ_(2)j]＝[σ₍₂₎ⁱ,σ₍₂₎^j]＝2iε_ijkσ₍₂₎^kだからです。

　そこで,改めてσ₍₂₎^kを対角成分とする４行４列細胞対角行列をσ^kと定義します。

　そうして,４行４列に拡張されたPauli行列のベクトルをσ＝(σ¹,σ²,σ³)とします。

　また,この表示ではChiral行列とも呼ばれる行列:γ⁵≡iγ⁰γ¹γ²γ³≡γ₅は,次の表現を有することになります。

　　　

　特に,ｚ軸(ｘ³軸)の周りの角度φの回転では,Ｉ¹²＝－Ｉ²¹＝－1以外はゼロなので,Ｓ_R＝＝exp{－(i/4)φ(σ₁₂Ｉ¹²＋σ₂₁Ｉ²¹)＝exp{(－i/2)φσ₂₁}＝exp{(i/2)φσ³}です。

　静止系でのスピン方向単位ベクトルｓ＝(ｓ¹,ｓ²,ｓ³)に対して,ｓの向きをｚ軸に取れば,スピノールに対する変換をＳ＝Ｓ_R＝exp{(i/2)φ(σｓ)}と書くことができます。

※(注):ｘ＝^t(ｘ,ｙ,ｚ)→ｘ’＝^t(ｘ',ｙ',ｚ')がｚ軸の回りのｘｙ平面上の角度φの回転なら,ｘ'＝ｘcosφ－ｙsinφ,ｙ'＝ｘsinφ＋ｙcosφ,ｚ'＝ｚです。(座標系の方が回転します。)

　これはφが無限小回転角のΔφなら,ｘ'＝ｘ－ｙΔφ,ｙ'＝ｘΔφ＋ｙ,ｚ'＝ｚと書けます。

　これを行列形で,^t(ｘ',ｙ',ｚ')＝^t(ｘ,ｙ,ｚ)＋Δφ^t(－ｙ,ｘ,0)＝{1＋Δφ(Ｔ^z)}^t(ｘ,ｙ,ｚ)と書きます。

　これが３×３(直交)行列Ｔ^zの定義であるとします。

　すると,これは行列要素がＴ¹²＝－Ｔ²¹＝－1以外はゼロの行列です。

　これに,それぞれ成分がゼロの行,および列を上,および左に付け加えて４行４列にすると,上記の４行４列の回転行列Ｉが得られます。

　(注終わり)※

そこで,静止してｚ方向に分極した電子に対する基本解:ｗ^(r)(0)；

ｗ⁽¹⁾(0)＝^t(1,0,0,0),ｗ⁽²⁾(0)＝^t(0,1,0,0),

ｗ⁽³⁾(0)＝^t(0,0,1,0),ｗ⁽⁴⁾(0)＝^t(0,0,1,0) に対して,

回転演算子:Ｓ_R＝exp{(i/2)φ(σｓ)}を適用することにより,任意方向ｓに分極した１粒子状態の解を作ることができます。

特に,スピノールｗが単位ベクトル:ｓ方向に分極した粒子に対応するとき,ｗがそうした状態にあることを関係:(σｓ)ｗ≡ｗで定義します。

つまり,これはｗの分極(polarization)がｓであることの定義です。

この記述により,これまでとは異なる基本解のnotationを導入します。

まず,４元運動量ｐ^μとスピン(spin)ｓ^μを持つ自由Dirac方程式の正エネルギー解を示す運動量表示スピノールをｕ(ｐ,ｓ)で記述します。

こう定義すれば,これは(ｐ－ｍ)ｕ(ｐ,ｓ)＝0を満足します。

ただし,ｐ≡γｐ＝γ^μｐ_μです。

スピンベクトル:ｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)は,ｓ^μ＝ａ^μ_νｓ^^ν;ｓ^^μ＝(0,ｓ^)によって静止系での分極ベクトルｓ^から定義されます。

ただし,ａ^μ_νは静止系に対するLorentz変換の係数です。

これに対応して４元運動量はｐ^μ＝ａ^μ_νｐ^^ν;ｐ^^μ＝(ｍ,0)です。

そこで,ｓ_μｓ^μ＝ｓ^_μｓ^^μ＝－ｓ^ｓ^＝－1,かつｐ_μｓ^μ＝ｐ^_μｓ^^μ＝0 なる性質が常に成立します。

定義により,ｕ(ｐ,ｓ)は

静止系で(σｓ^)ｕ(ｐ^,ｓ^)＝ｕ(ｐ^,ｓ^)を満たします。

※(注):静止系では,Dirac方程式は,i(∂ψ/∂ｔ)＝βｍψです。

[βｍ,σｓ^]＝ｍｓ^_k [γ⁰,σ^k]＝0 より,[Ｈ,σｓ^]＝0 ですから,

静止系では,σｓ^は保存量です。

よってＨとの同時固有状態を取ることができます。

これがｕ(ｐ^,ｓ^)が存在すること,故にｕ(ｐ,ｓ)が常に存在して,これが定義できることの根拠です。(注終わり)※

同様に,４元運動量ｐ^μとスピン:－ｓ^μを持つ自由Dirac方程式の負エネルギー解を示す運動量表示のスピノールをｖ(ｐ,ｓ)で記述します。

つまり,ｖ(ｐ,ｓ)は(ｐ＋ｍ)ｖ(ｐ,ｓ)＝0を満足し,静止系で分極:－ｓ^を持つとします。

すなわち,σｓ^ｖ(ｐ^,ｓ^)＝－ｖ(ｐ^,ｓ^)とします。

このように定義すると,ｕ(ｐ,ｓ)とｖ(ｐ,ｓ)はｗ^(r)(ｐ)と次式で関係付けられます。

ｗ⁽¹⁾(ｐ)＝ｕ(ｐ,ｕ_z),ｗ⁽²⁾(ｐ)＝ｕ(ｐ,－ｕ_z),

ｗ⁽³⁾(ｐ)＝ｖ(ｐ,－ｕ_z),ｗ⁽⁴⁾(ｐ)＝ｖ(ｐ,ｕ_z)　

です。

ここで,ｕ_z^μは静止系ではｕ_z^^μ＝(0,ｕ_z^)=(0,0,0,1)なる形を取る４元ベクトルです。

かくして,任意のスピノールは運動量ｐ^μとエネルギーの符号,および静止系の分極ｓ^^μによって完全に指定されます。

さて,実際計算においては.エネルギーの符号と分極を持つスピノールの射影演算子(projection operator)が便利です。

非相対論の２成分の射影演算子:Ｐ_±＝(1±σ³)/2の４成分のアナロジーを考えます。

上記のＰ_±は非相対論で任意の状態(２成分spinor)から,spin-up,またはspin-down部分を取り出して投影します。

同様に,Dirac方程式の解に対しては,与えられた運動量がｐの平面波解(４成分spinor)から,正,負エネルギー,および与えられた方向に対しspin-^up,spin-downに対応する４つの独立な解へと射影する４つの演算子を捜します。

こうした演算子を,実際計算に有用な異なるLorentz系の間で容易に変換できるような共変形で求めたいと考えます。

この４つの射影演算子:Ｐ_r(ｐ)≡Ｐ(ｐ,ｕ_z,ε_r)(ｒ＝1,2,3,4)は,

Ｐ_r(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝δ_ｒ^r'ｗ^(r)(ｐ),または,同じことですが,

Ｐ_r(ｐ)Ｐ_r'(ｐ)＝δ_rr'Ｐ_r(ｐ)を満たす演算子と定義されます。

※(注):Ｐ_r(ｐ)ｗ^(ｒ')(ｐ)＝δ_r^r'ｗ^(ｒ)(ｐ)が成立すれば,運動量ｐを持つ任意のスピノ―ル:Σ_rｃ(ｒ)ｗ^(r)(ｐ)に対して,Ｐ_r(ｐ){Σ_qｃ(ｑ)ｗ^(q)(ｐ)}＝ｃ(ｒ)ｗ^(ｒ)(ｐ)が成立します。

そして,Ｐ_r(ｐ)Ｐ_r'(ｐ){Σ_qｃ(ｑ)ｗ^(q)(ｐ)}

＝Ｐ_r(ｐ)ｃ(ｒ')ｗ^(ｒ')(ｐ)＝δ_rr'ｃ(ｒ)ｗ^(ｒ)(ｐ)

＝δ_rr'Ｐ_r(ｐ){Σ_qｃ(ｑ)ｗ^(q)(ｐ)}ですから,

Ｐ_r(ｐ)Ｐ_r'(ｐ)＝δ_rr'Ｐ_r(ｐ)を得ます。

逆に,Ｐ_r(ｐ)Ｐ_r'(ｐ)＝δ_rr'Ｐ_r(ｐ)なら,

式の等号は全て同値変形なので上記等式を逆にたどることで,

Ｐ_r(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝δ_r^r'ｗ^(ｒ)(ｐ)を得ます。

Ｐ_r(ｐ)が射影演算子であるという意味は,上記のように,運動量ｐ

を持つ任意のスピノ―ル:Σ_rｃ(ｒ)ｗ^(r)(ｐ)が,唯一のエネルギー

の符号とスピンを持つｃ(ｒ)ｗ^(ｒ)(ｐ)に射影されることです。

(注終わり)※

与えられたｐに対して正,負エネルギーとspin-up,spin-downの状態に

投影するこうした演算子:Ｐ_r(ｐ)は,

(ｐ－ε_rｍ)ｗ^(ｒ)(ｐ)＝0,および,ｗ^(ｒ)~(ｐ)(ｐ－ε_rｍ)＝0 から

見出すことができます。

これらの関係式は既に共変形です。

そして,まずΛ_r(ｐ)≡(ε_rｐ＋ｍ)/(2ｍ)と定義します。

特に,これらを選択的にΛ_±(ｐ)≡(±ｐ＋ｍ)/(2ｍ)とも

記述します。

Λ_＋(ｐ)≡Λ₁(ｐ)＝Λ₂(ｐ),Λ_－(ｐ)≡Λ₃(ｐ)＝Λ₄(ｐ)です。

このとき,Λ_r(ｐ)ｗ^(ｒ)(ｐ)＝(ε_rｐ＋ｍ)ｗ^(ｒ)(ｐ)/(2ｍ)

＝{ε_r(ｐ－ε_rｍ)/(2ｍ)＋1}ｗ^(ｒ)(ｐ)＝ｗ^(ｒ)(ｐ)です。

また,ｒ＝1,2,ｒ'＝3,4;またはｒ＝3,4,ｒ'＝1,2なら,

Λ_r(ｐ)ｗ^(ｒ')(ｐ)＝(ε_rｐ＋ｍ)ｗ^(ｒ')(ｐ)/(2ｍ)

＝ε_r(ｐ－ε_r'ｍ)ｗ^(ｒ')(ｐ)/(2ｍ)＝0 です。

ｐｐ＝ｐ²＝ｍ²を用いると,

Λ_r(ｐ)Λ_r'(ｐ)＝(ε_rｐ＋ｍ)(ε_r'ｐ＋ｍ)/(4ｍ²)

＝{(1＋ε_rε_r')ｍ²＋(ε_r＋ε_r')ｍｐ}/(4ｍ²)

＝{(1＋ε_rε_r')/2}(ε_rｐ＋ｍ)/(2ｍ) です。

つまり,Λ_r(ｐ)Λ_r'(ｐ)＝{(1＋ε_rε_r')/2}Λ_r(ｐ)を得ます。

したがって,Λ_＋(ｐ)²＝Λ_＋(ｐ),Λ_－(ｐ)²＝Λ_－(ｐ),

かつΛ_＋(ｐ)Λ_－(ｐ)＝0 です。

次に,スピンｓに対する同様な演算子を表現するため,スピンが最も

容易に記述できる粒子の静止系において,共変形にすることが可能な

射影演算子を見つけます。

Spin-up粒子に対するこれの自然な候補は,(1＋σ³)/2です。

非相対論でのスピン射影演算子:(1＋σ₍₂₎³)/2 が,３次元空間の

スカラーとして(1＋σ₍₂₎ｕ_z^)/2と書き直されることによって,

陽なｚ軸(3-軸)への依存性から解放されるのと同様な方法で,

Diracスピン射影演算子を４元ベクトルｕ_z^^μを用いてLorents

スカラー形に書くことを試みます。

これは,(1＋σ³)/2＝(1＋iγ¹γ²)/2＝(1＋iγ⁰γ¹γ²γ⁰)/2

＝(1－iγ⁰γ¹γ²γ³γ³γ⁰)/2＝(1＋γ⁵γ₃ｕ_z^³γ⁰)/2

＝(1＋γ⁵ｕ_z^γ⁰)/2 なる変形によって実行されます。

ただし,γ⁵≡iγ⁰γ¹γ²γ³≡γ₅を用いました。

演算子:(1＋σ³)/2＝(1＋γ⁵ｕ_z^γ⁰)/2 から最後の行列因子γ⁰を

削除すれば共変な形になります。

何故なら,静止系においてγ⁰をDirac基本スピノールに作用させると

±1の固有値を与えるからです。

それ故,σｓ^ｕ(ｐ^,ｓ^)＝ｕ(ｐ^,ｓ^),および,

σｓ^ｖ(ｐ^,ｓ^)＝－ｖ(ｐ^,ｓ^)なる規約に従って,

求める共変なDiracスピン射影演算子は,

∑(ｕ_z^)≡(1＋γ⁵ｕ_z^)/2,または,一般のｓ^μｐ_μ＝0を満たす

スピンベクトルｓ^μについて∑(ｓ)≡(1＋γ⁵ｓ)/2 であると

考えます。

　すると,静止系では,∑(ｕ_z^)ｗ⁽¹⁾(0)

　＝(1＋γ⁵ｕ_z^)ｗ⁽¹⁾(0)/2＝(1＋σ³)ｗ⁽¹⁾(0)/2＝ｗ⁽¹⁾(0)

　となります。

同様に,∑(－ｕ_z^)ｗ⁽²⁾(0)＝(1－γ⁵ｕ_z^)ｗ⁽²⁾(0)/2

＝(1－σ³)ｗ⁽²⁾(0)/2＝ｗ⁽²⁾(0)です。

　他方,∑(－ｕ_z^)ｗ⁽³⁾(0)＝(1－γ⁵ｕ_z^)ｗ⁽³⁾(0)/2

　＝(1＋σ³)ｗ⁽³⁾(0)/2＝ｗ⁽³⁾(0),かつ

　∑(ｕ_z^)ｗ⁽⁴⁾(0)＝(1＋γ⁵ｕ_z^)ｗ⁽⁴⁾(0)/2

　＝(1－σ³)ｗ⁽⁴⁾(0)/2＝ｗ⁽⁴⁾(0)です。

　そこで,先の基本スピノールの別のnotation:ｕ,ｖとの関連付け

　ｗ⁽¹⁾(ｐ)＝ｕ(ｐ,ｕ_z),ｗ⁽²⁾(ｐ)＝ｕ(ｐ,－ｕ_z),

ｗ⁽³⁾(ｐ)＝ｖ(ｐ,－ｕ_z),ｗ⁽⁴⁾(ｐ)＝ｖ(ｐ,ｕ_z)から,

　∑(ｕ_z^)ｕ(ｐ^,ｕ_z^)＝ｕ(ｐ^,ｕ_z^),

　∑(ｕ_z^)ｖ(ｐ^,ｕ_z^)＝ｖ(ｐ^,ｕ_z^)

　を得ます。

　一方,∑(－ｕ_z^)ｕ(ｐ^,ｕ_z^)＝∑(－ｕ_z^)ｖ(ｐ^,ｕ_z^)＝0

　です。

　これは,∑(－ｕ_z^)ｗ⁽¹⁾(0)＝(1－σ³)ｗ⁽¹⁾(0)/2＝0

　∑(－ｕ_z^)ｗ⁽⁴⁾(0)＝(1－σ³)ｗ⁽⁴⁾(0)/2＝0 etc.から

　得られます。

　ところが,∑(－ｕ_z^)は共変形の演算子:∑(ｓ)＝(1＋γ⁵ｓ)/2

　の静止系での特別な場合の表現です。

　よって,ｓ^μｐ_μ＝0を満たす任意の分極ベクトルｓ^μに対して,

　∑(ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ),∑(ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)＝ｖ(ｐ,ｓ),

　および,　∑(－ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝∑(－ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)＝0 を得ます。

　以上から,４元スピノールに対する求める射影演算子が,

　Ｐ₁(ｐ)≡Λ_＋(ｐ)∑(ｓ),Ｐ₂(ｐ)≡Λ_＋(ｐ)∑(－ｓ),

　Ｐ₃(ｐ)≡＝Λ_－(ｐ)∑(－ｓ),Ｐ₄(ｐ)＝Λ_－(ｐ)∑(ｓ)

　で定義される４行４列の行列表示の演算子:Ｐ_r(ｐ)(ｒ＝1,2,3,4)

　で与えられるという結論となります。

　何故なら,　

　[∑(ｓ),Λ_±(ｐ)]＝[(1＋γ⁵ｓ)/2,(±ｐ＋ｍ)/(2ｍ)]

＝{±1/(4ｍ)}[γ⁵ｓ,ｐ]＝{±1/(4ｍ)}ｓ_μｐ_ν[γ⁵γ^μ,γ^ν]

＝－{±1/(4ｍ)}ｓ_μｐ_ν{γ^μ,γ^ν}＝－{±1/(2ｍ)}ｓ^μｐ_μ

　より,

　ｓ^μｐ_μ＝0を満たす任意のｓ^μ,ｐ^μに対して,

　[∑(ｓ),Λ_±(ｐ)]＝0 が満たされるため,

　これらの表現が射影演算子の条件:Ｐ_r(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)

＝δ_ｒ^r'ｗ^(r)(ｐ) or Ｐ_r(ｐ)Ｐ_r'(ｐ)＝δ_rr'Ｐ_r(ｐ)を

確かに満足するからです。

　さて,共変的な定式化を遂行するため,運動量演算子:ｐ^の固有値が

ーｐでの固有状態であるような負エネルギー解を導入してきました。

　同様に,∑(ｓ)＝(1＋γ⁵ｓ)/2,および,

　∑(ｕ_z^)ｗ⁽¹⁾(0)＝ｗ⁽¹⁾(0),∑(－ｕ_z^)ｗ⁽²⁾(0)＝ｗ⁽²⁾(0),

　∑(－ｕ_z^)ｗ⁽³⁾(0)＝ｗ⁽³⁾(0),∑(ｕ_z^)ｗ⁽⁴⁾(0)＝ｗ⁽⁴⁾(0)

　 によって,

　負エネルギーのspin-up,およびspin-down状態は,静止系において,

　それぞれ固有値－1,および＋1のσ³の固有関数になります。

　負エネルギー解に対する固有関数の見かけ上の関連付けについての

　物理的に合理的な動機付けは空孔理論で明らかになります。

　今日はここで終わりますが,まだ続きます。

参考文献:J.D.Bjorken S.D.Drell「Relativistic Quantum Mechanics」(McGrawHill)

水素様原子の微細構造(補遺3－2)

「水素様原子の微細構造(補遺３)」は10/４にアップして以来,Pendingのまま少しずつ追加しながらほぼ1ヶ月が経ちます。

どうもサイズが大きくなり過ぎたのが原因らしく,書き加えるたびにフリーズするようになったので二つに分割しました。

以下↓は,「補遺３」を分割した前半の「補遺3-1」の続きです。

さて,ここまでは粒子の速度ｖ＝βがｘ軸(ｘ¹軸)に平行で,ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)＝(Ｅ,ｐ,0,0)の特別な場合でした。

これを,速度ｖの方向が任意で,ｐ^μ＝(Ｅ,ｐ)＝(Ｅ,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)の場合に一般化することを考えます。

時空座標:ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ)に対するLorentz変換ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^νは,

粒子の速度ｖ＝βがｘ¹軸に平行な場合には,

ｘ'⁰＝γ(ｘ⁰－βｘ¹),ｘ'¹＝γ(ｘ¹－βｘ⁰),

ｘ'²＝ｘ²,ｘ'³＝ｘ³ですが,

粒子の速度ｖ＝βの方向が任意の場合には,

ｘ'⁰＝γ{ｘ⁰－(βｘ)},ｘ'＝ｘ－γβｘ⁰＋(γ－1)(βｘ)β/β²

と書けます。

ただし,γ≡1/(1－β²)^1/2です。

それ故,速度が無限小速度Δβで与えられる無限小Lorentz変換:

ａ^μ_ν＝ｇ^μ_ν＋Δω^μ_ν;Δω^νμ＝－Δω^μνでは,

Δβがｘ¹軸に平行な場合には,

ｘ'⁰＝ｘ⁰－Δβｘ¹,ｘ'¹＝ｘ¹－Δβｘ⁰,ｘ'²＝ｘ²,ｘ'³＝ｘ³

より,Δω⁰₁＝Δω¹₀＝－Δβで,それ以外のΔω^μ_νはゼロですが,

Δβの方向が任意の場合は,速度ｖ＝Δβの方向余弦を

ｖ/ｖ＝Δβ/Δβ＝(cosＡ,cosＢ,cosＣ)とすると,

ｘ'⁰＝ｘ⁰－ΔβcosＡｘ¹－ΔβcosＢｘ²－ΔβcosＣｘ³,

ｘ'¹＝ｘ¹－ΔβcosＡｘ⁰,ｘ'²＝ｘ²－ΔβcosＢｘ⁰,

ｘ'³＝ｘ³－ΔβcosＣｘ⁰

です。

したがって,　　　

そこで,変換行列:Ｓ＝exp{－(i/4)ω(σ_μνＩ^μν)}

＝ exp{－(1/8)ω[γ_μ,γ_ν]Ｉ^μν}において,σ_μνＩ^μνは,

σ_μνＩ^μν＝－σ₀₁Ｉ⁰₁－σ₀₂Ｉ⁰₂－σ₀₃Ｉ⁰₃＋σ₁₀Ｉ¹₀＋σ₂₀Ｉ²₀＋σ₃₀Ｉ³₀

＝2(σ₀₁cosA＋σ₀₂cosB＋σ₀₃cosC)　と書けます。

ここで,σ_0k＝－σ_k0＝ｉγ₀γ_k＝－iγ⁰γ^k＝－iα^kですから,

σ_μνＩ^μν＝－2i(αｖ)/|ｖ|＝－2i(αβ)/|β|であることがわかります。

ω＝tanh(－β)＝－tanhβ,つまり速度ｖとして－ｖ＝－βをとることにすると,

Ｓ＝exp{－(i/4)ω(σ_μνＩ^μν)}＝exp{－(ω/2)(αβ)/|β|}　

＝Σ_n=0^∞{－{(ω/2)(α¹β¹＋α²β²＋α³β³)/|β|}ⁿです。

ところが,(α¹β¹＋α²β²＋α³β³)²＝|α|²|β|²＋{α¹,α²}β¹β²＋{α²,α³}β²β³＋{α³,α¹}β³β¹＝|β|²です。

故に,{－{(α¹β¹＋α²β²＋α³β³)/|β|}^2k＝1,かつ

{－{(α¹β¹＋α²β²＋α³β³)/|β|}^2k+1＝－(αβ)/|β|です。

そこで,Ｓ＝cosh(ω/2)－{(αβ)/|β|}sinh(ω/2)

　　　　 ＝cosh(ω/2)[1－{(αβ)/|β|}tanh(ω/2)]

を得ます。

なので,特にβ^±≡β¹±iβ²とおけば,

です。

このとき,cosh(ω/2)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2,－tanh(ω/2)＝ｐ/(Ｅ＋ｍ)であり,

－sinh(ω/2)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2{ｐ/(Ｅ＋ｍ)}です。

粒子の運動量は,ｐ＝(ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝ｍｖγ＝ｍβγ;γ≡1/(1－β²)^1/2ですが,

特に,ｐ^±≡ｐ¹±iｐ²とおけば,

一般のLorentz変換の行列:S＝S(ａ)の陽な表現として,

を得ます。

したがって,これに伴う４つの独立な規格化された変数分離解:

Ψ^(r)(ｘ)＝exp(－iε^rｐｘ)ｗ^(r)(ｐ)

　　　　＝exp(－iε^rｐｘ)Ｓｗ^(r)(0)　(ｒ=1,2,3,4)　　

ただし,ε^r＝＋1(ｒ＝1,2),ε^r-＝－1(ｒ＝3.4)

を陽に書けば,

Ψ⁽¹⁾(ｘ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2exp(－iｐｘ)

　　　　　^t(1,0,ｐ³/(Ｅ＋ｍ),ｐ^-/(Ｅ＋ｍ)),

Ψ⁽²⁾(ｘ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2exp(－iｐｘ)

　　　　　^t(0,1,ｐ⁺/(Ｅ＋ｍ),－ｐ³/(Ｅ＋ｍ)),

Ψ⁽³⁾(ｘ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2exp(＋iｐｘ)

^t(ｐ³/(Ｅ＋ｍ),ｐ^－/(Ｅ＋ｍ),1,0),

Ψ⁽⁴⁾(ｘ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^1/2exp(＋iｐｘ)

　　　　　^t(ｐ^＋/(Ｅ＋ｍ),－ｐ³/(Ｅ＋ｍ),0,1)

となります。

これらの解:Ψ^(r)(ｘ)＝exp(－iε^rｐｘ)ｗ^(r)(ｐ)の因子ｗ^(r)(ｐ)は,

(γ_μｐ^μ－ε^rｍ)ｗ^(r)(ｐ)＝0 を満たします。

そこで,ｗ^(r)~(ｐ)≡ｗ^(r)＋(ｐ)γ⁰とおけば,

ｗ^(r)~(ｐ)(γ_μｐ^μ－ε^rｍ)＝0 が成立します。

さらに,これらは,性質:ｗ^(r)~(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝δ_rr'ε^r,

および,Σ_r=1⁴ε^rｗ_α^(r)(ｐ)ｗ_β^(r)~(ｐ)＝δ_αβを持ちます。

さて,ｒ＝1,2についてはε^r＝1で,これらは正エネルギーの方程式:

(γ_μｐ^μ－ｍ)ｗ^(r)(ｐ)＝0 の解です。

そして,今の表示では,

ｗ⁽¹⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^{1/2 t}(1,0,ｐ³/(Ｅ＋ｍ),ｐ^-/(Ｅ＋ｍ)),

ｗ⁽²⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^{1/2 t}(0,1,ｐ⁺/(Ｅ＋ｍ),－ｐ³/(Ｅ＋ｍ)),

です。

これらの第３,４成分は非相対論近似での小成分です。

Ｅ～ｍのとき,これらｗ⁽¹⁾,ｗ⁽²⁾は,ｗ＝^t[ψ,χ]なる２成分×２の表現に対して,外場のない自由場の非相対論的方程式:χ＝(σｐ)ψ/(2ｍ)

;ψ＝^t(1,0) or ^t(0,1)に帰着します。

※(注):以前書いたように,

電磁場のある場合のDirac方程式:{γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)－ｍ}Ψ＝0 or

i(∂Ψ/∂ｔ)＝{α(ｐ－ｅＡ)＋βｍ－ｅΦ}Ψにおいて,

４成分スピノールΨをΨ≡^t[ψ~,χ~]と書いて,

２つの２成分スピノール:ψ,χに分解すると,

i(∂/∂ｔ)^t[ψ~,χ~]＝(σΠ)^t[χ~,ψ~]＋ｅΦ^t[ψ~,χ~]＋ｍ^t[ψ~,χ~]となります。ただし,Π≡ｐ－ｅＡです。

それ故,正エネルギーの静止状態に近いＥ～ｍの場合には,

さらに,^t[ψ~,χ~]≡exp(－iｍｔ)^t[ψ,χ]と書けば,

i(∂/∂ｔ)^t[ψ,χ]＝(σΠ)^t[χ,ψ]＋ｅΦ^t[ψ,χ]－2ｍ^t[0,χ]

となります。

このとき,小成分χは,i(∂χ/∂ｔ)＝(σΠ)ψ＋ｅΦχ－2ｍχより,

2ｍχ＝(σΠ)ψ＋ｅΦχ－i(∂χ/∂ｔ)を満たします。

ただし,ｅΦχ－i(∂χ/∂ｔ)＜＜(σΠ)ψと考えられるので,

χ≡(σΠ)ψ/(2ｍ)とおき,これを大成分の満たす方程式:

i(∂ψ/∂ｔ)＝(σΠ)χ＋ｅΦψに代入します。

すると,i(∂ψ/∂ｔ)＝{(σΠ)(σΠ)/(2ｍ)＋ｅΦ}ψとなります。

これは,結局,i(∂ψ/∂ｔ)＝[(ｐ－ｅＡ)²－ｅ(σＢ)/(2ｍ)＋ｅΦ]ψ

となって非相対論的な方程式に帰着するわけです。(注終わり※）

他方,ｒ＝3,4ではε^r＝＾1で,これは負エネルギーの方程式:

(γ_μｐ^μ＋ｍ)ｗ^(r)(ｐ)＝0 の解です。

そして今の表示では,

ｗ⁽³⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^{1/2 t}(ｐ³/(Ｅ＋ｍ),ｐ^－/(Ｅ＋ｍ),1,0),

ｗ⁽⁴⁾(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}^{1/2 t}(ｐ^＋/(Ｅ＋ｍ),－ｐ³/(Ｅ＋ｍ),0,1)

です。

これは,ｒ＝1,2の正エネルギー解とは,大成分と小成分が交替しています。

さらに,性質:ｗ^(r)~(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)＝δ_rr'ε^r,および,Σ_r=1⁴ε^rｗ_α^(r)(ｐ)ｗ_β^(r)~(ｐ)＝δ_αβから以下の考察が可能です。

すなわち,ｗ^(r)~(ｐ)ｗ^(r')(ｐ)は１つのLorentzスカラーですが,運動量空間での確率密度:ｗ^(r)＋(ｐ)ｗ^(r)(ｐ)はLorentz不変ではなく,運動量空間でのLorentz収縮を補充する４元ベクトルの第0成分として変換します。

つまり,ｗ^(r)＋(ε^rｐ)ｗ^(r')(ε^r'ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δ_rr'です。

(ｍ/Ｅ)＝(1－β²)^1/2ですが,これはLorentz収縮の因子ですから,