TOSHIの宇宙: 相対論

相対論

2009年8月25日 (火)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(9)

　ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)の続きです。

前回は,Wick回転(Wick-rotation)された部分波(partial wave)のＢ-Ｓ.eq.として,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)を求めました。

　Ｑ_l(ｚ)は第２種のルジャンドル(Legendre)関数で,これは第１種のルジャンドル関数Ｐ_l(ｚ)から,Ｑ_l(ｚ)＝(1/2)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}で与えられます。

右辺の積分核(kernel)のトレースは有限ですから,この積分方程式には,古典Fredholm理論を適用できます。

　固有値λ_νLl(ｓ)を除く積分核部分のトレースをσ_l(ｓ)＝(2/π)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴(Ｑ_l(1＋μ²＋/(2|ｐ|²))/[{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}])と書けば,これは収束する積分として与えられます。

幾つかの操作の後にσ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[ｘ₃'δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃μ²－ｘ₃ｘ₁ｍ_a²－ｘ₂ｘ₃ｍ_b²－ｘ₁ｘ₂ｓ)]を得ます。

これは,ｘ₃'を除けば,正確に三角グラフに対する質量殻の上のFeymanパラメーター積分に対応しています。

この式を証明するために,Feyman積分の公式,(ＡＢＣ)^-1＝2∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(Ａｘ₁＋Ｂｘ₂＋Ｃｘ₃)³]を用いて,σ_l(ｓ)＝(4/π)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴[ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}]^-3としました。

右辺の被積分関数の分母の[ ]の中は,ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃/Ｑ_l(1＋μ²＋/(2|ｐ|²))＝ｘ₁(ｍ_a²＋|ｐ|²)＋ｘ₂(ｍ_b²＋|ｐ|²)＋(ｘ₁＋ｘ₂){ｐ⁴－i√ｓ(ｘ₁η_a－ｘ₂η_b)/(ｘ₁＋ｘ₂)}²＋ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}です。

さらに∫_-∞^∞ｄｐ⁴積分を実行してσ_l(ｓ)＝(3/2)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1/2∫₀^∞ｄ|ｐ|{ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)＋(ｘ₁＋ｘ₂)|ｐ|²＋ｘ₃μ²/(2|ｐ|²)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)}^-5/2]としました

そして,∫₀^∞ｄ|ｐ|積分を実行すればσ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1[ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)－{2(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ₃μ²}^1/2]^-2となる。

というところまで書きました。

ここで,行き詰まってPendingになっていたのですが,結局,水曜日(８/18)に永田町の国会図書館に行って,中西さんの1963年の部分波Ｂ-Ｓ.eq.の原論文を参照することにしました。

ところが,午前中に都営三田線内幸町から都バスという障害者無料の都営交通経路で図書館まで行き,当該論文を検索すると東京の図書館が手狭になったため,当該資料の掲載されているPhysical Reviewなど洋雑誌は全て京都の関西館に移管されていて,それを見るには電送でコピー,または郵送で本雑誌を取り寄せるしかないとのことでした。

電送だと即日で午後までには届くということでしたが,コピーされたものが届くまで内容をチェックすることもできず,しかも電送コピーでは普通のコピー(Ａ4だと１枚24円＋消費税)の倍の料金を取られ,最大40ページまでとのことでした。

まあ,この程度の計算を書いた論文が10ページを超えることはめったにないので,それでもよかったのですが,もしかして40ページだと2000円超えるし,これまで国会図書館でやってきたように予め内容を確認して場合によっては必要部分だけのコピーを取りたかったので,土曜日(８/22)に出直すことにしました。

４日遅れましたが同じルートで再び土曜日午前中に国会図書館に出向いて実際に1963年のPhysical Reviewの本文を見るとたった６ページだったので,即日複写で151円の料金を払ってコピーを受け取りました。

というわけで,原論文のコピーを入手したのですが,その日は残暑の中往復しただけで体がすっかり疲れてしまい帰宅して寝てしまいました。

かつて,このシリーズのタネ本である"1969年の中西さんの論文＝ProgressのsupplementのＢ-Ｓ.eq.のレビュー"を最初に読んだ34年前(1975年)の学生の頃にも,確か同じ箇所の計算でつまづいて,それをきっかけに,まあいいやと読むのをやめた記憶があります。

もしも,その頃ちゃんと読む気になっていれば,当時の大学の素粒子や物性理論など理論物理学の研究室のある階の私の部屋の４つくらい右隣の部屋には図書室があり,Phys.Rev,Phys.Rev.Letters,それにNovtiment(Novciment?)やProgressくらいの主だった論文や著書は全て揃っていました。

理論なので,特別な実験環境は不要とはいえ,やはり大学とか研究関係の組織に属していた方が,参考論文などを苦労せずにいくらでもタダで参照できる環境にあるとはいえますね。

もっとも,今回,国会図書館で会員登録(無料)をしてIDとPasswordを作ったので次回からは,有料ですがオンラインで自宅にいながら資料取り寄せることもできるらしいです。

クレジットカードが失効していなければ,以前のように別ルートでネットで気軽に論文をダウンロードする道もあったのですが。。。

というわけで,たった５ページちょっとだし,その論文の記述順序を変更したり,表記を書き直したりして今のブログ本文につなげるのも面倒なので,改めて関連部分を直接要約することにします。

まず,部分波のＢ-Ｓ.eq.ですが,Wick回転した{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)ではなく,回転する前のη_a＝η_b＝1/2のＢ-Ｓ.eq.から出発します。　

すなわち,ｋ＝η_aＰ＝η_bＰ＝Ｐ/2,ｋ⁰＝Ｐ⁰/2＝√ｓ/2で,{ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}ψ_l(|ｐ|,ｐ⁰)＝{2λ/(πi)}∫₀^∞ｄ|ｑ|∫_-∞^∞ｄｑ⁰Ｑ_l[{μ²＋ｐ²＋ｑ²－(ｐ⁰－ｑ⁰)²}/(2|ｐ||ｑ|)]ψ_l(|ｑ|,ｑ⁰)が出発点です。

そして,積分核のトレースもσ_l(ｓ)＝(2/π)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴(Ｑ_l(1＋μ²/(2|ｐ|²))/[{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}])ではなく,σ_l＝{2/(πi)}∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ^０(Ｑ_l(1＋μ²/(2ｐ²))/[{ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}]{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}])とします。

　ここで,Ｑ_l(β)＝(1/2)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(β－ζ)},β≡1＋μ²/(2ｐ²)より,σ_l＝{1/(πi)}∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ^０∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)/[(β－ζ){ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}]です。

Feyman積分の公式,(ＡＢ)^-1＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂[δ(1－ｘ₁－ｘ₂)/(Ａｘ₁＋Ｂｘ₂)²]＝∫₀¹ｄｘ₁{Ａｘ₁＋Ｂ(1－ｘ₁)}^-2でｘ₁＝(1＋ｚ)/2とすれば(1/2)∫_-1¹ｄｚ{Ａ(1＋ｚ)/2＋Ｂ(1－ｚ)/2}^-2です。

そこで,∫_-∞^∞ｄｘ(ｘ²＋Ａ²)^-2＝(π/2)Ａ^-3より∫_-∞^∞ｄｐ^０[{ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}])^-1＝(1/2)∫_-∞^∞ｄｐ^０{ｍ_a²(1＋ｚ)/2＋ｍ_b²(1－ｚ)/2＋ｐ²＋(ｐ⁰＋ｋ⁰ｚ)²＋(1－ｚ²)(ｋ⁰)²}^-2＝(πi/4)∫_-1¹ｄｚ{ｐ²＋ρ(ｚ)}^-3/2を得ます。

ρ(ｚ)≡ｍ_a²(1＋ｚ)/2＋ｍ_b²(1－ｚ)/2＋(1－ｚ²)(ｋ⁰)²です。

したがって,σ_l＝(1/2)∫_-1¹ｄｚ∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)∫₀^∞ｄ|ｐ|(ｐ²/[{ｐ²＋ρ(ｚ)}^3/2{μ²＋2ｐ²(1－ζ)}])と書けます。

一方,一般のＢ-Ｓ.eq.はここまで{ｍ_a²＋ｐ²－(η_aＰ⁰＋ｐ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ⁰－ｐ⁰)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[φ_Br(ｑ,Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]と表記してきました。

ここでは,これも上記式中のＢ-Ｓ振幅:φ_Br(ｑ,Ｐ)を,単にｆ(ｑ)と表記して今回得た原論文におけるＢ-Ｓ.eq.の形式:{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{λ/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[ｆ(ｑ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]に変更します。

そして,Ｂ-Ｓ振幅:ｆ(ｐ)の体球関数Ｙ_lm(ｐ)≡|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)による展開係数を積分形にして,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺²)と積分表示できると仮定します。

ここにｓ≡(ｐ＋ｋ)²,ｔ≡(ｐ－ｋ)²です。

ｎは,右辺のFeynman積分が収束するように,つまり(ｎ＋2)＞ｌ/2となるように選択します。また,右辺の積分が意味を持つように,lim_α→∞[φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/αⁿ⁺¹]＝0,φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,－∞)＝0 と仮定します。

そして,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺²)の因子を部分積分します。

∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺²)＝－(ｎ＋1)^-1φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺¹|_-∞^∞＋(ｎ＋1)^-1∫_-∞^∞ｄα({∂φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/∂α}/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺¹)＝(ｎ＋1)^-1∫_-∞^∞ｄα[{∂φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/∂α}/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε]]ⁿ⁺¹]ですね。

これは,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l^(n-1)(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺¹)の因子に一致するはずですから,漸化式φ_l^(n-1)(ｚ,α)＝(ｎ＋1)^-1{∂φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/∂α}を得ます。

さらに,Ｙ_lm(ｐ)≡|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)より,任意関数Ｆに対して両辺の積分が収束するなら,∫ｄｑＦ(ｑ²)Ｙ_lm(ｑ＋ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫ｄｑＦ(ｑ²)が成立することが簡単にわかります。

※(注)簡単にわかると書いてありましたが,私にはなかなかわからないので,この式の証明はPendingです。※)

ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)を{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{λ/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[ｆ(ｑ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]に代入します。

変形していくと,結局ｆ(ｐ)＝{(ｎ＋2)/2}Ｙ_lm(ｐ)λ∫_-1¹ｄｚ'∫_-∞^∞ｄα'φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ',α')∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα∫₀¹ｄｘｘ^l-n-1{ｇ(α',ｚ',ｘ)}^-n-1αⁿ{θ(α)－θ(α－Ｒ(ｚ,ｚ')ｇ(α',ｚ',ｘ))}[α－(1－ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])^-n-3)となります。

ここに,ｇ(α',ｚ',ｘ)≡ｘ^-1{α'＋(1－ｘ)ρ(ｚ')}＋(1－ｘ)^-1μ²,Ｒ(ｚ,ｚ')≡(1―ｚ)/(1－ｚ') (ｚ＞ｚ'),(1＋ｚ)/(1＋ｚ') (ｚ＜ｚ')です。

(証明)ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)(∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)の表式に,漸化式φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)＝(ｎ＋2)^-1{∂φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/∂α}によるφ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)＝(ｎ＋2)∫_-∞^αｄα'φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α')を代入します。

ｆ(ｐ)＝(ｎ＋2)Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄαθ(α)∫_-∞^∞ｄα'φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α')[α－(1－ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])^-n-3)となります。

一方,ｇ(α',ｚ',ｘ)＝ｘ^-1{α'＋(1－ｘ)ρ(ｚ')}＋(1－ｘ)^-1μ²なので,∫₀¹ｄｘｘ^l-n-1{ｇ(α',ｚ',ｘ)}^-n-1＝∫₀¹ｄｘｘ^l[{α'＋(1－ｘ)ρ(ｚ')}＋ｘμ²/(1－ｘ)]^-n-1です。

また,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)を,{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{λ/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[ｆ(ｑ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]の両辺に代入します。

左辺は{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)です。

右辺は{λ/(iπ²)}∫ｄｑ⁰∫ｄｑ[Ｙ_lm(ｑ)/{μ²＋(ｐ－ｑ)²－(ｐ⁰－ｑ⁰)²－iε}]∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³]＝{λ/(iπ²)}∫ｄｑ⁰Ｙ_lm(ｐ)∫ｄｑ[1/{μ²＋ｑ²－(ｐ⁰－ｑ⁰)²－iε}]∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³]です。(Pending)

途中ですが,今日はここで終わります。

　参考文献:(1) Noboru Nakanishi "Partial-Wave Bethe-Salpeter Equation",Physical Review,Vol.130,No.3,pp1230-1235(1963),

(2) Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

ＰＳ:本当に世間では信じられないことをいつまでもやってるなあ。。

　逮捕状が出て逮捕されても,起訴されるかどうかもわからないんだから,裁判の被告でさえないんだよ。

　起訴されて被告となることが確定しても,まだ裁判結果で有罪になるまでは,法律的には犯罪者ではないんだし無罪の可能性もあるんだよ。

　さらに,ついこの前もあったけど,本人が犯行を自供して17年間も服役しても,実は捜査の方が間違いで無罪どころか無実もあるんだよ。

　だから,こんな起訴されるかどうかの本来は秘密であるべき警察という密室の中で行われている捜査段階の情報の垂れ流しは異常だよ。。

　例えば,密室の中では本人が「やってない。」と主張しても警察側が確かな情報としてリークすると,世論にオモねることで金儲けにつながる御用マスコミが大した裏も取らず流すと大体信用してしまう。

　こんなの40年くらい昔の話ですが,東京で16キロもの路上デモの間,ずーっと機動隊にサンドイッチ規制されて,両側の人間はまわりから見えない場所では,こづかれたり蹴られたりされ続け,痛いからこちらが手でよけようとしたら公務執行妨害で逮捕するというような昔からの汚い官憲の手口を知ってれば,全部鵜呑みにする方がオカシイと思う。。

　こちらが,警察に殴られたとか言っても全然通らないし,防御で手を出したのも暴行したことにされるし。。。白も黒になる一方的なデマばっかしだった。。

(体に傷は残らないので物的証拠も残らず,交代で番をして容疑者が眠ったら起こすという眠らせない拷問をやられると,それでやがて死刑になるとしても,その場で眠りたいからやってない殺人でもやったと言ってしまうだろう。。

　戦時中のパルチザンとかレジスタンスとか言っても,拷問に耐え切れず仲間を売ってしまう。後で解放されても裏切り者で仲間にリンチされパージされる。。

　しかし拷問に耐えられなかったからといって誰が非難できるのだろう。。人間なんてそんなに強くない。

　日本の警察じゃないし,一応事実に基づくフィクションということですが,かつて見たイヴ・モンタン主演の仏映画「Ｚ」や,南アフリカのアパルトヘイトが主題の映画「ワールドアパート」でも似たような状況があったと記憶しています。。← また脱線やらかしてる。。)

(後者は,まだ南アが人種差別支持の時代にLDで買って見たものです。そのLDはまだ所持していますが,もう古いしDVDで出てないだろうなあ。破防法で捕まって執行猶予中の友人？に見せたら「どこの国の官憲も同じだなあ。。」と言っていた。。)

　そして,当時の大抵のマスコミはヘルメットかぶってデモする奴の方が悪いという報道(世論)に都合のいいデマゴギーの方だけをそのまま報道するしという時代だった。。

　そもそも,デモンストレーション(示威行動)というのは宣伝してもらいたいから派手にやってるのに,なかなか報道されませんでしたね。。

　逆に,今回の事件はつかまった側が頼んでもいないのに派手に宣伝するからね。。有名人だから普通人以上に悪影響があるって？。。

　それじゃ何でいつまでも派手に報道してるんだよ。え？きれいごと言うんじゃねえよ。結局はそれでニュースが売れてスポンサー様が喜ぶからだろ。。。

(それが証拠にかわいそうに？一方の押尾君の扱いはかなり小さい。)

　そういうのも,自分が悪いのを他人のせいにする一種の逆恨みっていうやつだよ。。

ＰＳ２:福見ちゃん,前から谷亮子よりカワイかったけど柔道ばっかやってるせいか24歳にもなっても高校生のトキと同じロリ顔ですな。。

　そういえば,去年の北京五輪で唯一私が気に入った銀メダルの塚田真希ちゃんもデブで決して美形とは思わないけど,笑顔と泣き顔は絶品で輝いていましたね。。 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/08/post_65ed.html

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2009年8月25日 (火) 相対論, 素粒子論, 量子論 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2009年8月10日 (月)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(8)

　色々あって,ずいぶん間が開きましたが,"束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(Bethe-Salpeter方程式)＝Ｂ-Ｓ.eq."シリーズの続きです。

§6.ウィック・カトコスキー模型(Wick–Cutkosky model)の途中から再開継続する予定でしたが,その前に是非必要な中西先生自身のオリジナルとして得られたＢ-Ｓ振幅の積分表示を解説したいと思います。

前記事2009年３/30の「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(7)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/03/7-2e32.html では,Ｂ-Ｓ振幅の積分表示式について,根拠を示すことなく論文の内容をそのまま書きました。

　"一般に,Ｂ-Ｓ振幅は∫_-1¹ｄｚ∫₀^∞ｄγ[φ(ｚ,γ,ｐ,Ｐ)/{γ＋(1＋ｚ)(ｍ_a²－ｖ)/2＋(1－ｚ)(ｍ_b²－ｗ)/2－iε}²]と表現されます。ここで,φは多項式的にｐ＝ｐ^μに依存します。

この積分の被積分関数の分母は,ｐ⁰＝0 で(－iε)を除いて正定値,すなわち,Wick回転の結果,|Ｐ⁰|＜min(ｍ_a/|η_a|,ｍ_b/|η_b|)を満たすなら,如何なる特異点に遭遇することもなくｐ⁰について必要な解析性を得ることができます。

ここでは,もはやｓ≧0 なる物理的制約もないことがわかります。"

と書きました。ただし,ｖ≡(η_aＰ＋ｐ)²,ｗ≡(η_bＰ－ｐ)²です。

以下では,これの根拠を示します。

まず,通常のミンコフスキー(Minkowski)空間での束縛状態の"はしご近似(ladder approximation)"でのＢ-Ｓ.eq.:{ｍ_a²－(η_aＰ＋ｐ)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ－ｐ)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]を考えます。

慣性中心系:Ｐ＝0で,ミンコフスキー空間の４元ベクトルｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)をユークリッド空間の４元ベクトルｐ~^μ＝(ｐ,ｐ⁴)etc.で表現すれば,Ｂ-Ｓ.eq.が{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]とユークリッド化されることを見ました。

これが,Wick回転の意味するところです。

さて,2009年２/７の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(4)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/02/4-27ef.htmlでは,次のように書きました。

(※再掲開始)

Nakanishi(中西;1965)は,小群(little group)の体調和関数(solid harmonics)の概念を導入しました。

ｎ重に縮退した束縛状態のＢ-Ｓ振幅は,φ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)＝＜0|Ｔ[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞,(ｒ＝1,2,..,ｎ)で与えられますが,これはポアンカレ群,すなわち非斉次ローレンツ群の有限次元表現の表現空間を形成します。

空間反転,時間反転を含む斉次ローレンツ変換の群をＬとします。

ローレンツ変換の部分集合として,Ｐ＝Ｐ^μ＝(Ｐ⁰,Ｐ)を不変に保つ部分群Ｌ(Ｐ)をＬ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}で定義します。Ｌ(Ｐ)は,いわゆるＰに属する小群と呼ばれるもので,ウィグナー(Wigner)の導入したものです。

Ｂ-Ｓ振幅の運動量表示:φ_Br(ｐ,Ｐ_B)はΛＰ_B＝Ｐ_Bを満足するＬ(Ｐ_B)の元Λに対してのみ相互に変換できます。

これは,{φ_Br(ｐ,Ｐ_B)}_r=1ⁿがＬ(Ｐ_B)の表現空間の基底であることを意味します。

Ｌ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}は次のようなＰ依存性を持ちます。(以下では,ｓ＝Ｐ²＝(Ｐ⁰)²－Ｐ²です。)

[1]Ｐ^μが時間的(time-like):ｓ＞0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(3)です。

(※何故なら,このときはＰ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)と取れば,明らかにＬ(Ｐ)は通常の３次元空間の回転群Ｏ(3)を意味します。)

[2]Ｐ^μが空間的(space-like):ｓ＜0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(2,1)です。

[3]Ｐ^μ≡0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(3,1)＝Ｌ全体です。

[4]Ｐ^μが光的(light-like):ｓ＝0 ならＬ(Ｐ)～Ｅ(2)です。

(※(訳注):光のようにｍ＝0 なら,Ｐ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)とは取れないので,ｓ＝0 を満たすようにＰ^μ≡(1,0,0,1)と取れば,Ｌ(Ｐ)は自由度が２の回転群:Ｅ(2)(２次元ユークリッド群)になります。)

そして,通常の体球関数の定義を一般化することにより,次のようにして小群Ｌ(Ｐ)の体調和関数Ｘ_l(ｐ)を定義します。

Ｘ_l(ｐ)は,(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0,およびＰ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 を同時に満足するｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³のｌ次の同次多項式とします。

固定されたｌに対して,Ｘ_l(ｐ)の全体はＬ(Ｐ)の有限次元既約表現の空間を張ることが容易にわかります。

ここで,Ｐ^μは反変ベクトル,∂/∂ｐ^μは共変ベクトルです。

Ｐ^μ∂/∂ｐ^μ≡Ｐ⁰∂/∂ｐ⁰＋Ｐ¹∂/∂ｐ¹＋Ｐ²∂/∂ｐ²＋Ｐ³∂/∂ｐ³ですが,Ｘ_l(ｐ)はｐ^μのｌ次の同次式です。対称性から,これはｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝ｌＸ_l(ｐ)なる不変な等式を満たします。

まず,特殊なローレンツ系でＸ_l(ｐ)の標準形を求めます。

[1] ｓ＞0 の場合:Ｐ^μ≡(√ｓ, 0)とします。

　このとき,Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 から,√ｓ(∂/∂ｐ⁰)Ｘ_l(ｐ)＝0 により,Ｘ_l(ｐ)はｐ⁰に依存しないことがわかります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

そこで,この準拠系では(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0 はラプラス方程式:∇_p²Ｘ_l(ｐ)＝0 になります。故に,Ｘ_l(ｐ)の定義は通常の球関数Ｙ_lm(ｐ)と一致します。

このＹ_lm(ｐ)は,定係数を除いて|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)と同じ関数です。

ここに,θ,φはｐの極座標です。そしてＹ_lm(θ,φ)は通常の球面調和関数(球関数)です。

　このＹ_lm(ｐ)はゲーゲンバウアー(Gegenbauer)多項式:Ｃ_k^α(ｚ)によって表現するのも便利です。

すなわち,Ｙ_lm(ｐ)＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{(4π)(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2(2|ｍ|－1)!!(ｐ¹±iｐ²)^|m||ｐ|^l-mＣ_l-|m|^|m|+1/2(ｐ³/|ｐ|) (ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,..,ｌ)ですね。

ただし,±iはｍ/|ｍ|を意味し(2ｋ－1)!!はΠ_j=1^k(2ｊ－1)によって定義されます。

規格化因子はゲーゲンバウアー多項式の直交性:∫_-1¹ｄｚ(1－ｚ²)^α-1/2Ｃ_k^α(ｚ)Ｃ_k’^α(ｚ)＝πΓ(2α＋ｋ)δ_kk’/{2^2α-1ｋ!(α＋ｋ)Γ(α)²}から計算されます。(再掲終わり※)

　以上から,ｓ＞0 ではＰ^μ≡(√ｓ, 0)におけるユークリッド化された部分波Ｂ-Ｓ振幅を体調和関数としてφ~_νLlm(ｐ~,Ｐ)＝Ｙ_lm(θ,φ)|ｐ|^-1ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)(Ｌ≧ｌ≧|ｍ|)と書けることがわかります。

　このφ~_νLlm(ｐ~,Ｐ)を,先に書いたＢ-Ｓeq:{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]に,両辺のφ~_Br(ｐ~,Ｐ)に代わる因子として代入します。

　すると,部分波のＢ-Ｓeq.として,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)が得られます。

　ここで,Ｑ_l(ｚ)は第２種のルジャンドル(Legendre)関数で,ｚ→∞ではｚ^-l-1のように挙動します。第１種のルジャンドル関数(ルジャンドル多項式)Ｐ_l(ｚ)とはＱ_l(ｚ)＝(1/2)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}によって関連付けられます。

(※訳注):右辺のうち,ｐ'空間全体の積分は,∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|²∫_-1¹ｄ(cosθ')∫₀^2πｄφ'Ｙ_lm(θ',φ')|ｐ'|^-1ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)/[μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|{cosθcosθ'＋ sinθsinsθ'cos(φ－φ')}]です。

ここで,具体的に,球関数をＹ_lm(θ,φ)≡Ｃ_lmexp(iｍφ)Ｐ_l^(m)(cosθ)(Ｐ_l^(m)(ｚ)はルジャンドル陪関数,Ｃ_lmは規格化定数)と表現し,また極軸(θ＝0)をｐの向きに取ると,上の積分はＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄ(cosθ')∫₀^2πｄφ'exp(iｍφ')Ｐ_l^(m)(cosθ')/[μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|cosθ']です。

ところが,右辺のｄφ'積分がゼロでない結果を与えるのはｍ＝0 のときのみであり,そのとき,Ｐ_l^(m)(ｚ)は第１種のルジャンドル関数Ｐ_l(ｚ)になります。

そこで,上の積分は,2πＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄζ[Ｐ_l(ζ)/{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|ζ}＝2πＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|(2|ｐ||ｐ'|)^-1ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}＝2πＣ_lm|ｐ|^-1∫₀^∞ｄ|ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)Ｑ_l(ｚ)}に帰着します。

ただし,最後の式ではｚ≡{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)と置きました。

　よって,Ｂ-Ｓ.eq.{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]に代入して,両辺に共通なＣ_lm|ｐ|^-1などの因子を簡約した結果,次式を得ます。

すなわち,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞∫ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)です。(訳注終わり※)

　さて,積分方程式:{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞∫ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)の右辺の核(kernel)のトレース(trace)は有限です。

　そこで,この積分方程式には,古典Fredholm理論を適用できます。

　実際,固有値λ_νLl(ｓ)を除く積分核の部分のトレースを,σ_l(ｓ)と書けば,これは収束する積分で与えられます。

すなわち,σ_l(ｓ)＝(2/π)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴(Ｑ_l(1＋μ²＋/(2|ｐ|²))/[{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}])です。

これから,幾つかの操作の後に,σ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[ｘ₃'δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃μ²－ｘ₃ｘ₁ｍ_a²－ｘ₂ｘ₃ｍ_b²－ｘ₁ｘ₂ｓ)]なる表現式が得られます。

これは,ｘ₃'を除けば,正確に三角グラフに対する質量殻上のFeymanパラメーター積分に対応しています。

(※訳注):Feymanパラメーター積分の公式:(ＡＢＣ)^-1＝2∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(Ａｘ₁＋Ｂｘ₂＋Ｃｘ₃)³]から,σ_l(ｓ)＝(4/π)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴[ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}]^-3と書けます。

右辺の被積分関数の分母の[ ]の中は,ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}＝ｘ₁(ｍ_a²＋|ｐ|²)＋ｘ₂(ｍ_b²＋|ｐ|²)＋(ｘ₁＋ｘ₂){ｐ⁴－i√ｓ(ｘ₁η_a－ｘ₂η_b)/(ｘ₁＋ｘ₂)}²－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}です。

そして,定積分の式∫_-∞^∞ｄｘ[(ｘ－ｃ)²＋Ａ²]}^-3＝(3π/8)Ａ^-5を用いて∫_-∞^∞ｄｐ⁴積分を実行すれば,σ_l(ｓ)＝(3/2)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1/2∫₀^∞ｄ|ｐ|[{ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)＋(ｘ₁＋ｘ₂)|ｐ|²＋ｘ₃μ²/(2|ｐ|²)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)}^-5/2]となります。

さらに,∫₀^∞ｄｘ(ａｘ²＋ｂ＋ｃ/ｘ²)^-5/2＝∫₀^∞ｄｘ[ｘ⁵/(ａｘ⁴＋ｂｘ²＋ｃ)^5/2]＝(1/2)∫₀^∞ｄｔ[ｔ²/(ａｔ²＋ｂｔ＋ｃ)^5/2]＝(2/3)ａ^-1/2{ｂ－(4ａｃ)^1/2}^-2を用いて∫₀^∞ｄ|ｐ|積分を実行します。

すると,σ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1[ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)－{2(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ₃μ²}^1/2]^-2が得られます。

因子δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)があるので,被積分関数の中では(ｘ₁＋ｘ₂)を(1－ｘ₃)と同一視することもできます。(Pending)

途中ですが今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

ＰＳ:上の本文で結構苦労して考えている計算も中西さんの1963年のphys.Levの元論文や関連文献のコピーをネットで購入できるお金があればはるかに簡単なのですが。。。

　ワザワザ永田町の国会図書館まで足を運ぶのも面倒だし。。あるいは,知り合いの大学関係者に気軽に研究室の図書館からコピーを頼めればいいのですが。。。

ＰＳ２:今朝(８月10日(月))は,いつもの病院で初めて外科の先生に診てもらいました。(初診のＫ先生は若い頃の将棋の中原名人のようなかわいい顔の人なつこい印象の人でした。)

　２年前の心臓手術当時の,以前の内科の主治医がよく「Ｔさんが思っているのとは違って,本当はいつ逝ってもオカシクない瀬戸際なんですよ。」と言ってたように,私が思っている以上に病気はヒドイというのが真実らしく,今回も動脈硬化の足の血管を外科的に助けようとすると逆に心臓が助からないので奨めないということでした。

　足と心臓のどちらを助けるか選べと言われて,足を取るバカもいないでしょうね。足の方を選んだら命がないのですから。。

　というわけで,血管が細すぎて無理だと言われたカテーテルも含め外科的な方法はあきらめることにしました。

　また,骨髄から取った遺伝子を注射するという白血病で用いるような方法も糖尿性網膜症があるのでできないそうです。(これも失明しても良ければ可能でしょうから,いずれも究極の選択ですね。)

　要するに足が全く無くなるなら別に心臓には負担かからないけれど,足の血流を急に正常にしたなら,それを維持できるほどの心臓のポンプの能力がないので,現状の心臓では耐えられないということです。

　むしろ,今現在は足に血を通わせないおかげで,心臓がポンプとして持っているということらしいです。

　内科的には,現在の薬物投与を効率的な点滴による投薬に変更するために入院する方法はあるけれど,血流を改善するバイパスのような外科手術には耐えられないので,日常的に足が痛いのを我慢してセッセと歩くことで,心臓と共存できる自然な血管細胞の再生を促すという方法があるくらいだそうです。

　私にたくさん蓄えがあるとか身内が裕福とかで,ただ命を永らえる手段だけを模索して,ノンビリ湯治でもできる楽隠居の身分ならいいのですが。。。。

　生憎く私は性格がアリさんでなくキリギリスであったせいで(現在もそうです)日々の生活の糧を得るためには,病気という理由で遊んでいるわけにもいかないので,飯を食べるのにも窮々としています。

　もっとも,楽しいことが全然なくて苦しいだけの生活なら,別に命を永らえる必要もないですがね。。。

　(↑フン,病気になったのも金がないのも自業自得だぜ!!)

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2009年8月10日 (月) 相対論, 素粒子論, 量子論 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (1)

2009年5月 9日 (土)

超弦理論(22)(2-11)

　超弦理論(superstring theory)の続きです。

　これまでは共変ゲージｈ_αβ＝η_αβで物理的状態になるべき補助条件としてヴィラソロ条件(Virasoro条件)を課して自由ボソン弦の量子化を調べてきました。

　しかし,以前に指摘したように計量(metric)をｈ_αβ＝η_αβと固定した後に,なお特殊な弦の座標選択を可能にするゲージ対称性が残っています。

　実際,特殊な非共変選択をすることによってヴィラソロ拘束方程式を陽に解き,物理的自由度のみを記述するフォック空間の理論を展開できるようになります。

　以下で述べる自発的に破れたゲージ理論のユニタリゲージに類似した定式化は元々1973年にGoddard,Goldstone,Rebbi,Thornによって展開されたものです。

　これは光錐(光円錐)定式化(light-cone定式化)と呼ばれるものです。この定式化は明白に共変なわけではありませんが明白にゴースト・フリー(ghost-free)です。

　逆に,ゴースト・フリーではないけれど明白に共変な共変定式化とこれの同等性を証明することによって,「ゴースト非存在の定理(no-ghost theorem)」の厳密な証明を得ることができます。

　光錐定式化を,ここで述べるのには他にも多くの理由があります。

歴史的には,双対模型(dual model)が弦理論であるということを確立させたのも光錐量子化でした。

光錐描像は非常に物理的なものです。そしてまた,多くの計算やａ＝1,Ｄ＝26という選択の必要性を理解する上で有益な理論的枠組みを与えるものです。

　さて,既に見たように,共変ゲージｈ_αβ＝η_αβで開弦の境界条件を満たす弦座標:Ｘ^μ(μ＝0,1,..,Ｄ－1)は,Ｘ^μ(σ,τ)＝ｘ^μ＋ｐ^μτ＋iΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)なるモード展開の形で表わされます。

　そして,これがヴィラソロ補助条件Ｔ_＋＋＝Ｔ_－－＝0 を満足することにも留意しておきましょう。

　さらに,世界面の再パラメータ化:σ^α→σ^α＋δσ^α(δσ^α＝ξ^α)において,∂^αξ^β＋∂^βξ^α＝Λη_αβを満たす任意の変換,または生成子Ｖ^＋≡ξ^＋(σ^＋)(∂/∂σ^＋),Ｖ^－≡ξ^－(σ^－)(∂/∂σ^－)で生成される変換に対応するゲージ対称性が残っていることを見ました。

この残りの対称性を追加のゲージ条件として用いるわけです。これは非共変ですがとても便利なものです。

まず,時空において光錐座標として,Ｘ^＋,Ｘ^－を導入することから始めます。

Ｘ^＋,Ｘ^－をＸ^＋≡(Ｘ⁰＋Ｘ^D-1)/2^1/2,Ｘ^－≡(Ｘ⁰－Ｘ^D-1)/2^1/2で定義します。これらは,以前弦の世界面に導入した光錐座標σ^±に似ていますが大きな違いがあります。

時空においては,Ｄ個の座標があり,それらの中で２つ,Ｘ⁰とＸ^D-1を任意の非共変な方法で選抜することを伴ないます。

一方,世界面上では,元々たった２つしか座標がなく,σ^±を定義する選択に何の任意性の余地もありません。

さて,光錐座標ではＤ個の時空座標はＸ^±と残りの横波の空間座標Ｘⁱ(ｉ＝1,2,..,Ｄ－2)です。

ここでミンコフスキー計量(Minkowski metric)η_μνのゼロでない成分はη_＋－＝η_－＋＝1,η_ii＝－1 (ｉ＝1,2,..,Ｄ－2)です。

この座標系では,任意のベクトルＶ^μの成分もＶ^±＝(Ｖ⁰±Ｖ^D-1)/2^1/2とＶⁱ(ｉ＝1,2,..,Ｄ－2)になります。

２つのベクトルＶとＷの内積はＶＷ＝Ｖ^＋Ｗ^－＋Ｖ^－Ｗ^＋－ＶⁱＷⁱで与えられます。また,反変⇔共変の添字の上げ下げは,Ｖ^＋＝Ｖ_－,Ｖ^－＝Ｖ_＋,Ｖⁱ＝－Ｖ_iなるルールに従います。

それでは,残るゲージ対称性からは,どのような簡単化が可能なのでしょうか？

これに関し,2009年３/14の過去記事「超弦理論(14)(2-3)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/03/142-3-4d1f.htmlにおいて,以下のような記述があります。

"共変ゲージの典型的な形としてｈ^αβ＝η^αβと置くだけではまだゲージ自由度を完全には使い尽くしていません。

∂^αξ^β＋∂^βξ^α＝Λη_αβを満たす任意の組合わせに対する再パラメータ化：σ^α→σ^α＋δσ^α(δσ^α＝ξ^α)をすれば,この(再パラメータ化)＋(ワイルスケーリング:Weil-scaling)の後で,なお特殊な共変ゲージ選択ｈ^αβ＝η^αβが保持されます。

このとき,∂_τξ⁰＝∂_σξ¹＝Λ/2,∂_τξ¹＝∂_σξ⁰より∂_τ(ξ⁰＋ξ¹)＝∂_σ(ξ⁰＋ξ¹),∂_τ(ξ⁰－ξ¹)＝∂_σ(ξ¹－ξ⁰)です。

これは,ξ^±＝ξ⁰±ξ¹なる光錐系の言葉では,∂_－ξ^＋＝0 ,∂_＋ξ^－＝0 なること,つまりξ^＋はσ^＋＝τ＋σの任意関数であり,ξ^－はσ^－＝τ－σの任意関数であることを意味します。"

すなわち,世界面の光錐座標σ^±＝τ±σで表現すると,残りのゲージ不変性は任意の再パラメータ化の可能性:σ^＋→σ~^＋(σ^＋),σ^－→σ~^－(σ^－)に対応します。

閉弦ではσ^＋とσ^－は独立に再パラメータ化されますが開弦の場合には両者は境界条件でつながっています。

つまり,τ＝(σ^＋＋σ^－)/2 → τ~＝[σ~^＋(τ＋σ)＋σ~^－(τ－σ)]/2,σ＝(σ^＋－σ^－)/2 → σ~＝[σ~^＋(τ＋σ)－σ~^－(τ－σ)]/2なる再パラメータ化が許されます。

これはτ~が質量のない自由な波動方程式:(∂²/∂σ²－∂²/∂τ²)τ~＝0 の任意の解であることを意味しますから,τ~が決まればσ~も完全に決まります。

では質量のない自由な波動方程式の解τ~を選ぶ自然な方法とはどんなものでしょうか？

τ~について唯一要求される条件は,それが自由な波動方程式:(∂²/∂σ²－∂²/∂τ²)τ~＝0 の解であることです。

この方程式は以前に見た共形ゲージ(conformalゲージ)で,時空座標Ｘ^μ(σ,τ)が従うべき方程式:□Ｘ^μ＝(∂²/∂τ²－∂²/∂σ²)Ｘ^μ＝0 と全く同じ形をしています。

そこで,残るゲージ自由度は,望むならパラメータτ~が正確に弦の座標Ｘ^μの１つに一致するように再パラメータ化してもよい,という事実に対応します。

これは,光錐ゲージではτ~＝Ｘ^＋/ｐ^＋＋const.と選んでもよいことを意味します。通常これはＸ^＋(σ,τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τなる光錐ゲージ選択をすることで表現されます。

このことは古典的記述において,ｎ≠0 の振動子座標α_n^＋を全てゼロと置くことに相当します。

弦座標のＸ^＋成分は弦が無限大運動量で運動するような系で見られる時間座標に対応します。このゲージ選択ではＸ^＋がσに依存しないので,弦のあらゆる点が同じ時間での値を取るという概念的な利点を有します。

そこで,Ｘ^＋(σ,τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τによってＸ^＋(σ,τ)を固定することにします。

このとき,ヴィラソロ拘束方程式(Ｘ^d±Ｘ')²＝0 はＸ^－d±Ｘ^－'＝{Σ_i=1^D-2(Ｘ^id±Ｘⁱ')²}/(2ｐ^＋)となります。

この式からＸ^－を簡単に陽に解くことができて,これをＸⁱと未知の積分定数で表わせることがわかります。

つまり光錐ゲージでは,Ｘ^＋とＸ^－の両方を消去できて,横波の振動子Ｘⁱのみが残ります。

※(訳注48):すぐ前で参照した「超弦理論(14)(2-3)」にあるように,世界面光錐座標でのエネルギー運動量のゼロでない成分はＴ_＋＋＝－∂_＋Ｘ∂_＋Ｘ,Ｔ_－－＝－∂_－Ｘ∂_－Ｘです。

　∂_＋Ｘ＝∂_＋Ｘ_L＝Ｘ_L^d,∂_－Ｘ＝∂_－Ｘ_R＝Ｘ_R^dですから,これらはＴ_＋＋＝－(Ｘ_L^d)²,Ｔ_－－＝－(Ｘ_R^d)²と書けます。

そこで,拘束条件:Ｔ_－－＝Ｔ_＋＋＝0 は(Ｘ_R^d)²＝(Ｘ_L^d)²＝0 なることを意味します。

逆に,(Ｘ_R^d)²＝(Ｘ_L^d)²＝0 は∂_＋Ｘ∂_＋Ｘ＝∂_－Ｘ∂_－Ｘ＝0 であり,∂_±＝(∂_τ±∂_σ)/2 ですから,元の拘束条件は(Ｘ^d±Ｘ')²＝0 とも表現できます。

(訳注48終わり)※

開弦のＸ^－のモード展開は,Ｘ^μ＝ｘ^μ＋ｐ^μτ＋iΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)]から,Ｘ^－＝ｘ^－＋ｐ^－τ＋iΣ_n≠0[(α_n^－/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)]となります。

そこで,Ｘ^－d±Ｘ^－'＝{Σ_i=1^D-2(Ｘ^id±Ｘⁱ')²}/(2ｐ^＋)から得られるα_n^－の陽な解は,α_n^－＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}－ａδ_n]となります。

ここで共変的扱いとしてα₀^－に未知の正規順序(normal-ordering)定数:ａを導入しました。

※(訳注49):Ｘ^－d±Ｘ^－'＝{Σ_i=1^D-2(Ｘ^id±Ｘⁱ')²}/(2ｐ^＋)にＸ^－＝ｘ^－＋ｐ^－τ＋iΣ_n≠0[(α_n^－/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)]を代入すると,ｐ^－＋Σ_n≠0[α_n^－exp{－iｎ(τ±σ)}]＝[Σ_i=1^D-2Σ_m,n=-∞^∞α_m-nⁱα_nⁱexp{－iｍ(τ±σ)}]/(2ｐ^＋)となります。

そこで,この式の左辺のｎ＝0 と右辺のｍ＝0 の項を比較して等置すると,α₀^－＝ｐ^－＝{Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞α_-mⁱα_mⁱ}/(2ｐ^＋)＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_-mⁱα_nⁱ:}－ａ]を得ます。

左辺のｎ≠0 の項からはα_n^－＝{Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ}/(2ｐ^＋)＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_nⁱ:}が得られます。

(訳注49終わり)※

光錐ゲージではα₀^－とｐ^－を同一視することは質量殻条件そのものを意味します。

実際,α₀^－＝ｐ^－＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}－ａ]から,Ｍを質量としてＭ²＝2ｐ^＋ｐ^－－Σ_i=1^D-2ｐⁱｐⁱ＝2(Ｎ－ａ),Ｎ＝Σ_i=1^D-2Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱが得られます。

以下では,縮約の規則を採用し,必要がある場合を除いてΣ_i=1^D-2ｐⁱｐⁱをｐⁱｐⁱと書くことにします。こうすれば,質量殻条件はＭ²＝2ｐ^＋ｐ^－－ｐⁱｐⁱ＝2(Ｎ－ａ),Ｎ＝Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱと簡単になります。

また,この式はＭ²＝2ｐ^＋ｐ^－－ｐⁱｐⁱ＝－2ａ＋2Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱと表現できますから,先に共変的扱いで見出されたＭ²＝－2ａ－2Σ_n=1^∞α_-nα_n(ただしα_-nα_n＝α_-n_μα_n^μ)と同じ質量殻条件です。

もっとも今の場合,Ｎ＝Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱには横波振動子のみが寄与するという違いがあります。(「超弦理論(17)」参照)

ところで,量ｐ^＋α_n^－＝(1/2){Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}－ａδ_nはヴィラソロ代数を満足します。

すなわち,交換関係:[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_n^－]＝(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_m+n^－＋[{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)＋2ａｍ]δ_m+nが成立します。

これを得るための計算は共変量子化でのヴィラソロ代数の論議と正確に同じです。これは光錐量子化における基本公式と考えられます。

※(訳注50):[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_n^－]＝(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_m+n^－＋Ａ(ｍ)δ_m+nと書けば「超弦理論(18)」と同様にして,Ａ(ｍ)＝ｃ₃ｍ³＋ｃ₁ｍですが,[ｐ^＋α₁^－,ｐ^＋α_-1^－]＝2ｐ^＋α₀^－＋ｃ₃＋ｃ₁で,かつ2ｐ^＋α₀^－＝ 2ｐ^＋ｐ^－＝ｐⁱｐⁱ－2ａ＋2Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱです。

ｎ≠0 なら,ｐ^＋α_n^－＝(1/2){Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}ですから,0＝＜0;0|[ｐ^＋α₁^－,ｐ^＋α_-1^－]|0;0＞＝－2ａ＋ｃ₃＋ｃ₁です。

また,[ｐ^＋α₂^－,ｐ^＋α_-2^－]＝4ｐ^＋α₀^－＋8ｃ₃＋2ｃ₁より(Ｄ－2)/2＝＜0;0|[ｐ^＋α₂^－,ｐ^＋α_-2^－]|0;0＞＝－4ａ＋8ｃ₃＋2ｃ₁を得ます。

それ故,ｃ₁＝－(Ｄ－2)/12＋2ａ,ｃ₃＝(Ｄ－2)/12が得られます。すなわち,Ａ(ｍ)＝{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)＋2ａｍです。

(訳注50終わり)※

さて,理論がこの光錐ゲージで本当にローレンツ共変かどうかを調べたいと思います。

素朴に考えると,そうあるはずです。

なぜなら,これはローレンツ共変性が基本にあるゲージ不変な理論において,単にゲージを１つに固定することによって得られたものであるからです。

ａとＤの幾つかの値に対して理論に何か不都合があるとすれば,それはローレンツ不変性が陽には維持されない光錐ゲージにおいて,具体的にローレンツ不変性の欠如を示す良い機会を与えると考えられます。

さて,光錐ゲージにおいては,全ての弦の励起は横波振動子α_nⁱによって生成されます。

例えば,第１励起状態はα_-1ⁱ|0;ｐ＞で与えられます。これは横波による(Ｄ－2)次元回転群ＳＯ(Ｄ－2)の(Ｄ－2)成分のベクトル表現です。

横に偏極した運動量ベクトルでも,質量がゼロでないなら一般にローレンツ変換によって縦の偏極成分を獲得します。

これは,"質量のある粒子のスピンはＳＯ(Ｄ－1)の既約表現で分類され,一方,質量の無い粒子はＳＯ(Ｄ－2)の既約表現に対応する。"というよく知られた事実の言明です。

(ただし今はボーズ粒子の弦ですが,フェルミ粒子の話なら,これをカバーする群であるスピン群:Spin(Ｄ－1)とSpin(Ｄ－2)を回転群ＳＯ(Ｄ－1)とＳＯ(Ｄ－2)の代わりに用いる必要があります。)

したがって,もしもベクトル状態:α_-1ⁱ|0;ｐ＞が質量の無い粒子状態でないなら光錐ゲージにおいてローレンツ共変な弦理論を与えることができないことは明らかです。

それ故,理論がローレンツ共変であるためには,状態α_-1ⁱ|0;ｐ＞に対するＭ²＝2ｐ^＋ｐ^－－ｐⁱｐⁱ＝2(Ｎ－ａ)の固有値がゼロであることが要求されます。

そこで,Ｎ＝Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱからＮα_-1ⁱ|0;ｐ＞＝1より,結局ａ＝1でなければならないと結論されます。

次に時空次元Ｄに対する制限を理解するというより困難な問題に向かいます。

最初に,たった今得たローレンツ共変な弦理論であるための必要条件:ａ＝1を用いた発見的な議論をします。

そのために,正規順序定数ａを直接計算で求めることを試みます。

まず,[α_m^μ,α_n^ν]＝－ｍδ_m+nη^μνより,横波成分については[α_mⁱ,α_n^j]＝ｍδ_m+nδ^ijですから,[α_n,α_-n]＝[α_nⁱ,α_-nⁱ]＝ｎ(Ｄ－2)が得られます。

そこで,(1/2){Σ_n=-∞^∞α_-nⁱα_nⁱ}＝(1/2){Σ_n=-∞^∞:α_-nⁱα_nⁱ:}＋{(Ｄ－2)/2}{Σ_n=-1^∞ｎ}です。

もちろん第２項の和は発散するので何らかの正則化がなされる必要があります。

その正則化の１つの方法として,一般的な場の理論でも同様な正規順序の問題でよく用いられる'ゼータ関数正則化'を使用してみます

一般的な和:Σ_n=-1^∞ｎ^-sを考えます。Reｓ＞1に対しては,この和はリーマンのゼータ関数ζ(ｓ)として知られている関数に収束します。

そしてゼータ関数ζ(ｓ)の方は点ｓ＝－1にも一意的に解析接続できて,ζ(－1)＝－1/12となります。

そこで,Σ_n=-1^∞ｎ^-sにおいてｓ＝－1とおいた和:Σ_n=-1^∞ｎに,このζ(－1)の値－1/12を強引に'代入する'と{(Ｄ－2)/2}{Σ_n=-1^∞ｎ}＝－(Ｄ－2)/24なる式が得られます。

(これは,もちろん正しい等式ではありませんが,"くりこみ"における擬似等式ではそれは承知の上です。)

ところで,我々は既にｐ^＋α₀^－＝(1/2){Σ_n=-∞^∞α_-nⁱα_nⁱ}＝(1/2){Σ_n=-∞^∞:α_-nⁱα_nⁱ:}－ａの定数ａが１であるべきことを知っているので,(Ｄ－2)/24＝1と等置することから,時空次元Ｄが26であることが示唆されます。

こうしたゼータ関数正則化は幾らか形式的なものですが,後章で零点エネルギーを正則化するという,より物理的な方法からも同じ答を得ることになります。

今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

ＰＳ:しかし,ビーチバレーの報道でよく思うのですが,浅尾・西堀ペアのスポーツニュースではいつも浅尾さんばかりがクローズアップされるのが少し不満です。

　私は昔から双子の西堀姉妹のお姉さん？の方の「西堀健実」さんの方がはるかに好みのタイプです。

　　http://ameblo.jp/takemi0820/　　

　まあ「浅尾美和」さんの方が圧倒的に人気があるのかも知れませんが,ペアの勝敗などのニュースでも,浅尾さん１人だけのインタビューや1人だけの映像でニュースが終わってしまうのには,個人的にいつも不満に思っています。

　西堀さんの方は,なんとなく私の姪の「Ｎ子＝ハンドル名:いくよくるよ」や,ときどきここにコメントくれる「れな(れい)ちゃん」にも似ているようで親しみを感じますしね。。。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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2009年5月 9日 (土) 相対論, 素粒子論, 量子論 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2009年4月21日 (火)

超弦理論(21)(2-10)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

物理的状態を解析するという現在の目的にとって明確な共形次元を持つ演算子の導入が有益な理由は,こうした演算子はその作用によって古い物理的状態から新しい物理的状態を作るという作業に使用可能であるということです。

実際,|φ＞が物理的状態である,つまり(Ｌ_m－ａδ_m)|φ＞＝0 (ｍ≧0)を満たすとき,演算子Ａ(τ)が明確な共形次元Ｊ＝1を持つなら,定義式[Ｌ_m,Ａ_n]＝{ｍ(Ｊ－1)－ｎ}Ａ_m+nにＪ＝1を代入すると,[Ｌ_m,Ａ_n]＝－ｎＡ_m+nとなりますから[Ｌ_m,Ａ₀]＝0 となることがわかります。

このことから,|φ'＞≡Ａ₀|φ＞もまた(Ｌ_m－ａδ_m)|φ'＞＝0 (ｍ≧0)を満たすので,|φ'＞も物理的状態の条件を満たします。

　反応１→１'＋２における質量固有状態２の放出と関わる頂点演算子は,物理的始状態１を物理的終状態１'に写すべきなので,上の|φ'＞≡Ａ₀|φ＞による|φ＞→|φ'＞の物理的状態間の移行規則は,開弦放出の頂点演算子の共形次元が１であるべきことを示唆しています。

既に記術した記事「超弦理論(1)～(11)」の序章(introduction)においては,開弦の頂点演算子が次元１の局所演算子であるべきことを別の方法で学びました。

すなわち,2009年１/６の記事「超弦理論(10)(開弦,チャン・パトン因子)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/01/10-a483.htmlにおいて,"外粒子の開弦は世界面の境界にのみ挿入されているため,Ｖ＝∫ｄτ[ｈ_ττ^1/2Ｕ(τ)]の形の頂点演算子の挿入で記述されるはずです。

ここでのτは単に世界面の境界上の１つのパラメータを示しているだけです。そしてｈ_ττ→ (expφ)ｈ_ττなる計量(metric)の共形的再縮尺の下での演算子Ｖの不変性は開弦の場合にはＵ＝Ｕ(τ)の次元が１であるべきことを要求します。"と書きました。

さて,ある時刻τとσ＝0 で運動量が(－ｋ^μ)の物理的粒子の放出,または運動量がｋ^μの物理的粒子の吸収に対する頂点演算子:Ｖ(ｋ,τ)≡Ｖ(ｋ,0,τ)は,その演算子が如何なる運動量状態に作用するときでも,運動量の総量をｋ^μだけ増加させる必要があります。

それ故,弦の波動の質量中心座標への依存性は,exp{－iｋ_μｘ^μ(τ)}のようである必要があります。

ここでｘ^μ(τ)＝ｘ^μ＋ｐ^μτであり,これは時刻τにおける弦の質量中心のＤ次元時空内での位置を示しています。

弦という環境の下で,これを実現するための明確なやり方はＶ(ｋ,τ)にexp{－iｋ_μＸ^μ(0,τ)}なる因子を持たせることです。

実際,世界面パラメータ(σ,τ)＝(0,τ)に対応する時空位置Ｘ^μ(0,τ)において運動量ｋ^μの質量固有状態を吸収する弦がexp{－iｋ_μＸ^μ(0,τ)}なる因子で修正された波動関数を持つのは当然です。

もしも,吸収または放出される粒子としての弦が,状態として運動量の他には個を区別する量子数を全く持たないなら,頂点演算子Ｖ(ｋ,τ)は単にＶ(ｋ,τ)＝exp{－iｋ_μＸ^μ(0,τ)}で与えられるとしてもいいと思われます。

実際には,これだけではダメで正規順序による表現を併用することも必要です。

開弦ではＸ^μ(σ,τ)＝ｘ^μ＋ｐ^μτ＋iΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)]より,Ｘ^μ(0,τ)＝ｘ^μ(τ)＋iΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp(－iｎτ)]です。

それ故,Ｖ(ｋ,τ)＝:exp{－iｋ_μＸ^μ(0,τ)}:≡exp(－ｋΣ_n=1^∞[(α_-n/ｎ)exp(iｎτ)]exp{－iｋ_μｘ^μ(τ)}exp(ｋΣ_n=1^∞[(α_n/ｎ)exp(－iｎτ)]と定義します。

この定義式での指数関数の指数は"正規順序＝：："を取らなかった場合の値とは,発散する総和項α'ｋ²Σ_n(1/ｎ)だけ異なっています。

(それ故,ｋ²＝0 の特別なケースには正規順序の効果は無しです。)

※(訳注42):線型演算子Ａ,Ｂの交換子:[Ａ,Ｂ]が[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0,または[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 を満たすなら,expＡ・expＢ＝exp(Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]/2)なる公式が成立します。

(これについては2006年10/27のブログ過去記事「量子力学の交換関係の問題(その２)」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/post_ada9.html を参照ください。)

　そして,Ａ＝－ｌｋΣ_n=1^∞[(α_-n/ｎ)exp(iｎτ),Ｂ＝ｌｋΣ_n=1^∞[(α_n/ｎ)exp(－iｎτ)とおけば,[α_m,α_n]＝－ｍδ_m+nより,[Ａ,Ｂ]＝－ｌ²ｋ²Σ_mn[{1/(ｍｎ)}[α_-m,α_n]exp{－i(ｍ－ｎ)τ}]＝2α'ｋ²Σ_n(1/ｎ)となって,Ａ,Ｂの交換子:[Ａ,Ｂ]は無限大に発散します。

　それでも,ともかく[Ａ,Ｂ]は単なるｃ-数ですから,expＡ・expＢ＝exp(Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]/2)が成立します。

それ故,:exp(Ａ＋Ｂ):≡expＡ・expＢ＝exp(Ａ＋Ｂ)exp([Ａ,Ｂ]/2)なる等式が得られます。

これは,exp(Ａ＋Ｂ)の正規順序を取らなかった場合と,因子にしてexp([Ａ,Ｂ]/2),指数にして[Ａ,Ｂ]/2＝α'ｋ²Σ_n(1/ｎ)だけ異なります。

(訳注42終わり)※

そして,正規順序で定義した頂点演算子Ｖ(ｋ,τ)の共形次元を計算してみます。

先に示したように,Ｘ^μ(τ)は共形次元Ｊ＝0 を持つので,Ｘ^μ(τ)Ｘ^ν(τ)のような積や,より一般のＸ^μ(τ)の任意関数ｆ(Ｘ^μ(τ))のような形の合成演算子もまた共形次元:Ｊ＝0 を持つと予想されます。

実際,演算子Ａ(τ)がＡ(τ)＝Σ_m=-∞^∞Ａ_mexp(－iｍτ)なる形にモード展開が可能なとき,[Ｌ_m,Ａ_n]＝{ｍ(Ｊ－1)－ｎ}Ａ_m+nが成立すればＡ(τ)が明確な共形次元Ｊを持つという性質があります

これを直接用いると,もしも２つの演算子Ａ₁(τ),Ａ₂(τ)がそれぞれ共形次元Ｊ₁,Ｊ₂を持つなら,積Ａ₁(τ)Ａ₂(τ)は共形次元(Ｊ₁＋Ｊ₂)を持つことを示すことができます。

※(訳注43):Ａ₁(τ)＝Σ_m=-∞^∞Ａ_1mexp(－iｍτ),Ａ₂(τ)＝Σ_m=-∞^∞Ａ_2mexp(－iｍτ)と展開されるとき,Ｂ(τ)＝Σ_n=-∞^∞Ｂ_nexp(－iｎτ)≡Ａ₁(τ)Ａ₂(τ)＝Σ_j,k[Ａ_1jＡ_2kexp{－i(ｊ－ｋ)τ}]とすれば,Ｂ_n＝Σ_j+k=nＡ_1jＡ_2kと書けます。

　そして,[Ｌ_m,Ａ_1n]＝{ｍ(Ｊ₁－1)－ｎ}Ａ_1,m+n,[Ｌ_m,Ａ_2n]＝{ｍ(Ｊ₂－1)－ｎ}Ａ_2,m+nと仮定します。

　このとき,[Ｌ_m,Ａ_1jＡ_2k]＝[Ｌ_m,Ａ_1j]Ａ_2k＋Ａ_1j[Ｌ_m,Ａ_2k]＝{ｍ(Ｊ₁－1)－ｊ}Ａ_1,m+jＡ_2k＋{ｍ(Ｊ₂－1)－ｋ}Ａ_1jＡ_2,m+kですから,[Ｌ_m,Ｂ_n]＝Σ_j+k=n[Ｌ_m,Ａ_1jＡ_2k]＝Σ_j+k=n[{ｍ(Ｊ₁－1)－ｊ}Ａ_1,m+jＡ_2k＋{ｍ(Ｊ₂－1)－ｋ}Ａ_1jＡ_2,m+k]＝Σ_k[{ｍ(Ｊ₁－1)－(ｎ－ｋ)}Ａ_1,m+n-kＡ_2k＋Σ_j[{ｍ(Ｊ₂－1)－(ｎ－ｊ)}Ａ_1jＡ_2,m+n-j]＝Σ_j[{ｍ(Ｊ₁－1)－(ｊ－ｍ)＋ｍ(Ｊ₂－1)－(ｎ－ｊ)}Ａ_1jＡ_2,m+n-j]が得られます。

それ故,Ｂ(τ)＝Ａ₁(τ)Ａ₂(τ)のフーリエ・モード:Ｂ_nに対し形式的には,[Ｌ_m,Ｂ_n]＝Σ_j[{ｍ(Ｊ₁＋Ｊ₂－1)－ｎ}Ａ_1jＡ_2,m+n-j]＝Σ_j+k=m+n[{ｍ(Ｊ₁＋Ｊ₂－1)－ｎ}Ａ_1jＡ_2k]＝{ｍ(Ｊ₁＋Ｊ₂－1)－ｎ}Ｂ_m+nが成立します。

(訳注43終わり)※

これは,演算子Ａ₁(τ)とＡ₂(τ)を別々に定義するために必要とされるもの以外には,どんな"引き算"や"くりこみ"といった曖昧な手続きなしに積Ａ₁(τ)Ａ₂(τ)が明確に定義されて,well-definedな場合,

言い換えると,２点演算子積Ａ₁(τ)Ａ₂(τ')がτ'→τの極限で如何なる近距離特異性も持たない場合には,いつでも真なる性質です。

実際には,:Ｘ^μ(τ)Ｘ^ν(τ):のような典型的な正規順序積は明確な共形次元を持ちません。

しかし,Ｖ(ｋ,τ)＝:exp{－iｋ_μＸ^μ(τ)}:はゼロでない明確な共形次元を持つことがわかります。

Ｖ(ｋ,τ)において演算子の順序を変える効果の足跡を保持することに留意すれば,直接的に各振動子項の操作から[Ｌ_m,Ｖ(ｋ,τ)]を計算することで,Ｖ(ｋ,τ)の共形次元を決定することができます。

Ｖ(ｋ,τ)＝exp[－ｋΣ_n=1^∞{(α_-n/ｎ)exp(iｎτ)}]exp{－iｋ_μＸ^μ(τ)}exp[ｋΣ_n=1^∞{(α_n/ｎ)exp(－iｎτ)}]に対して[Ｌ_m,Ｖ(ｋ,τ)]を評価するためには,まず[α_p^μ,exp(－ｋα_-n)]＝ｐδ_p-nｋ^μexp(－ｋα_-n)なる式が成立することに着目します。

(※これはｐ＝0 のときにも成り立つ式です。これの証明については,2006年10/16のブログ過去記事「量子力学の交換関係の問題」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/post_cf85.html を参考にしてください。)

[α_p^μ,exp(－ｋα_-n)]＝ｐδ_p-nｋ^μexp(－ｋα_-n)とヴィラソロ演算子Ｌ_mの表現式Ｌ_m＝(－1/2)Σ_qα_m-qα_qを用いると,[Ｌ_m,exp(－ｋα_-n)]＝(－1/2)Σ_q{α_m-q[α_q,exp(－ｋα_-n)]＋[α_m-q,exp(－ｋα_-n)]α_q}＝(－1/2)Σ_q{ｎｋα_m-n,exp(－ｋα_-n)}となります。

ただし,最右辺の括弧の記号{ , }は反交換子:{Ａ,Ｂ}≡ＡＢ＋ＢＡを意味します。

これを,Ｖ(ｋ,τ)＝exp[－ｋΣ_n=1^∞{(α_-n/ｎ)exp(iｎτ)}]exp{－iｋ_μｘ^μ(τ)}exp[ｋΣ_n=1^∞{(α_n/ｎ)exp(－iｎτ)}]に対して,[Ｌ_m,Ｖ(ｋ,τ)]を評価するのに用いるに際して,ｍ＞0と仮定します。(ｍ＜0 の場合にも論旨は同じです。)

フーリエ・モードに頼らない表現では,演算子Ａ(τ)が共形次元Ｊを持つという性質は[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)で与えられます。

そして,もしも"正規順序という論点を無視するなら"計算結果からは頂点演算子Ｖ(ｋ,τ)が共形次元Ｊ＝0 を持つという結果:[Ｌ_m,Ｖ(ｋ,τ)]＝(－i)exp(iｍτ)(ｄＶ/ｄτ)を得ます。

※(訳注44):正規順序を無視して頂点演算子を,Ｖ(ｋ,τ)≡exp{－iｋ_μＸ^μ(τ)}＝exp[－ｋ_μΣ_n≠0{(α_-n^μ/ｎ)exp(iｎτ)－iｋ_μｘ^μ(τ)}]と定義するなら,(－i)(ｄＶ/ｄτ)＝－ｋ_μΣ_nα_-n^μexp(iｎτ)Ｖ(ｋ,τ)が得られます。

　一方,[Ｌ_m,Ｖ(ｋ,τ)]＝－ｋ_μΣ_nα_m-n^μexp(iｎτ)Ｖ(ｋ,τ)＝－ｋ_μΣ_nα_-n^μexp{i(ｍ＋ｎ)τ}Ｖ(ｋ,τ)＝exp(iｍτ)[－ｋ_μΣ_nα_-n^μexp(iｎτ)Ｖ(ｋ,τ)]より,確かに[Ｌ_m,Ｖ(ｋ,τ)]＝(－i)exp(iｍτ)(ｄＶ/ｄτ)が成立します。

　(訳注44終わり)※

しかし,実際には頂点演算子Ｖ(ｋ,τ)は,正規順序表現Ｖ(ｋ,τ)＝:exp{－iｋ_μＸ^μ(τ)}:で定義され,これはＶの微分ｄＶ/ｄτもまた自動的に正規順序であることを意味します。

しかし,交換子[Ｌ_m,Ｖ(ｋ,τ)]を得るために,[Ｌ_m,exp(－ｋα_-n)]＝(－1/2)Σ_q{ｎｋα_m-n,exp(－ｋα_-n)}を用いると,こちらの方はＶ(ｋ,τ)が正規順序でも一般には正規順序ではない表現を得ます。

すなわち,Ｖ(ｋ,τ)＝exp[－ｋΣ_n=1^∞{(α_-n/ｎ)exp(iｎτ)}]exp{－iｋ_μｘ^μ(τ)}exp[ｋΣ_n=1^∞{(α_n/ｎ)exp(－iｎτ)}]の無限積の各項に対する[Ｌ_m,exp(－ｋα_-n)]＝(－1/2)Σ_q{ｎｋα_m-n,exp(－ｋα_-n)}の右辺の寄与のうち,有限個については正規順序の形になりません。

それら個々の項は,Ｖ(ｋ,τ)において,モードを下げる(消滅)演算子を上げる(生成)演算子の左側に持ちます。

それは,[(－1/2)Σ_n=1^mｋα_m-nexp(iｎτ)]Ｖ(ｋ,τ)です。

これらは,正規順序表現での値に加えて,別に交換子の寄与[(－1/2)Σ_n=1^mｋα_m-nexp(iｎτ),Ｖ(ｋ,τ)]＝(－1/2)Σ_n=1^mｋ²exp(iｍτ)Ｖ(ｋ,τ)＝(－1/2)ｍｋ²exp(iｍτ)Ｖ(ｋ,τ)を与えます。

※(訳注45):[α_m-n,exp{－(ｋα_-l/ｌ)exp(iｌτ)}]＝(ｍ－ｎ)δ_m-n-l(ｋ^μ/ｌ)exp{－(ｋα_-j/ｌ)exp(iｌτ)}ですから,[(－1/2)Σ_n=1^mｋα_m-nexp(iｎτ),exp{－ｋΣ_l(α_-l/ｌ)exp(iｌτ)}]＝(－ｋ_μ/2)ｋ^μexp(iｎτ)exp{i(ｍ－ｎ)τ}exp{－ｋΣ_l(α_-l/ｌ)exp(iｌτ)}＝[(－1/2)Σ_n=1^mｋ²exp(iｍτ)]exp{－ｋΣ_l(α_-l/ｌ)exp(iｌτ)}を得ます。

　(訳注45終わり)※

　こうして,結局[Ｌ_m,Ｖ(ｋ,τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)－ｍｋ²/2}Ｖ(ｋ,τ)なる評価式が得られます。

　これを演算子Ａ(τ)が共形次元Ｊを持つという定義式[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)と比較すると,頂点演算子Ｖ(ｋ,τ)の共形次元ＪがＪ＝－ｋ²/2で与えられることが導かれます。

序章では２点関数の計算によって,同じ演算子exp(－iｋ_μＸ^μ)の異常次元を計算しました。

そして,閉弦境界へ挿入したときには,この演算子はＪ＝－ｋ²/4,開弦境界へ挿入したときには,Ｊ＝－ｋ²/2の異常次元を与えるという結果を得ました。

(2008年12/14の記事http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/12/9-153a.html および,2009年１/６の記事 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/01/10-a483.html を参照)

一方,たった今振動子による方法から得た値:Ｊ＝－ｋ²/2が,序章において開弦について得た結果と完全に一致することに着目すると,これまでの弦についての手法の正当性に関して心強いものがあります。

　以上から,もしもｋ²＝－２ならＪ＝１が得られ,Ｖ(ｋ,τ)＝Σ_m=-∞^∞Ｖ_m(ｋ)exp(－iｍτ)と展開したときの係数について,共形次元がＪ＝１で[Ｌ_m,Ｖ₀(ｋ)]＝0 を満たす物理的な頂点演算子Ｖ₀(ｋ)を与えることがわかります。

　これは具体的には平方質量を試験的にＭ²＝－2と割り当てた基底状態タキオン(tachyon)の放出に対する頂点演算子です。

　Ｖ(ｋ,τ)が正規順序を要求しない唯一の場合はｋ²＝0 の場合です。

　この場合はＶ(ｋ,τ)＝:exp(－iｋＸ):の共形次元Ｊはゼロです。

　しかしｋ²＝0 の条件は,質量がゼロのベクトル・メソンに対してのみ正しい条件ですから,この場合には頂点演算子としては共形次元のＪ＝0 は不適切な次元です。

　(※なぜなら,質量殻条件は,－α'ｋ²－Σ_n=1^∞α_-nα_n＝Ｌ₀＝ａ＝１によりα'ｋ²＝ｎ－1ですから,質量殻の上にある物理的粒子でｋ²＝0 ならこれはｎ＝１(ベクトル)を意味します。)

　前に述べたように,ｄＸ^μ/ｄτの共形次元は１なので,Ｖ_ξ(ｋ,τ)≡－ξ_μ(ｄＸ^μ/ｄτ)exp(－iｋＸ)が偏極ξ^μ(ｋ)を持つゼロ質量のベクトル中間子放出に対する頂点演算子と解釈するのが自然です。

　そして,このようにＶ_ξ(ｋ,τ)が,{ξ_μ(ｄＸ^μ/ｄτ)}とexp(－iｋＸ)の演算子積から成ることは,ｋξ＝ｋ^μξ_μ＝0 なら,Ｖ_ξ(ｋ,τ)の共形次元Ｊが１になることを保証します。

　また,これらには近距離特異性もありません。

　質量がゼロのベクトル粒子には制限があって,許される偏極は限られているというのはQED(量子電磁力学)ではお馴染みの事実であり,前に物理的状態スペクトルの解析でも遭遇しました。

　ここでのこうした出現は,共形次元が１の頂点演算子が物理的状態と１対１対応するという事実の実例です。

　スペクトルにおいて出現する他の状態に対応する頂点演算子は,より複雑です。

　質量殻条件α'ｋ²＝ｎ－１を満たす物理的粒子状態に対応する頂点演算子は,一般に:ｆ(Ｘ^d,Ｘ^2d,..,)exp(－iｋＸ):なる形をしています。

　ここでｆの中にあるＸのτ微分の総数がｎとなります。しかし,Ｊ＝１なる完全な状態を得るためには,さらに付加的制限が必要です。

　次に,ゼロノルム状態に対する頂点演算子は次のように記述されることがわかります。

　まず,Ｗ(ｋ,τ)が因子:exp(－iｋＸ):を含む共形次元がゼロの演算子であるとすれば,Ｖ(ｋ,τ)≡－i{ｄＷ(ｋ,τ)/ｄτ}＝[Ｌ₀,Ｗ(ｋ,τ)]の共形次元はＪ＝１で与えられます。

※(訳注46):なぜなら,Ｌ_mはτによらない演算子なので,[Ｌ_m,Ｗ(ｋ,τ)]＝(－i){exp(iｍτ)(ｄＷ/ｄτ)}により,[Ｌ_m,Ｖ(ｋ,τ)]＝[Ｌ_m,－i{ｄＷ(ｋ,τ)/ｄτ}]＝(－i)(ｄ/ｄτ)(－i)exp(iｍτ)(ｄＷ/ｄτ)＝(－i)exp(iｍτ)(ｄＶ/ｄτ)＋ｍ・exp(iｍτ)Ｖです。

　[Ｌ_m,Ｖ(ｋ,τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍ}Ｖ(ｋ,τ)です。

　(訳注46終わり)※

　そして,例えばｋ²＝0 のＷ(ｋ,τ)＝exp(－iｋＸ)なるJがゼロの演算子を取り上げれば,Ｖ(ｋ,τ)＝－i{ｄＷ(ｋ,τ)/ｄτ}は縦偏極:ξ^μ＝ｋ^μを持つゼロ質量中間子の放出に対する頂点演算子を与えると考えられます。

　実際にＷがＪ＝0 を持つときのＶ(ｋ,τ)＝－i(ｄＷ/ｄτ)の形の演算子は,常にゼロノルム状態の放出を記述します。

(なぜなら,Ｖ(ｋ,τ)＝－i(ｄＷ/ｄτ)の偏極は,必ず縦偏極ｋ^μであり,Ｊ＝－ｋ²/2＝0 からｋ²＝0ですが偏極がｋ^μであることと合わせうとこれはノルムがゼロなることを意味します。)

　論旨がかなり先の話まで飛躍することを承知で,ゼロノルム状態が分離される理由を述べると,Ｖ＝－i(ｄＷ/ｄτ)は１つのτによる全微分項であるため,物理的状態|φ＞を物理的状態Ｖ₀|φ＞に移すＶのゼロ振動数成分Ｖ₀は消えるという事実にその理由があることです。

　さらなる例として,α'ｋ²＝1を持つ第２励起レベルの状態の放出についての頂点を考えます。

　この場合,因子Ｖ₀(ｋ)はＪ＝－１を持ち,それ故ξ_μνＸ^μdＸ^νd:exp(－iｋＸ):は,もしもこの演算子積に近距離特異性がないならＪ＝1を持ちます。そして,これはｋ_μξ^μν＝Ｔrξ＝0 (トレースレス＝対角和がゼロ)のケースです。

　これらは,ξ_μν(ｋ)が質量を持つスピンが２の状態の偏極テンソル:ＳＯ(Ｄ－1)の対称トレースレステンソルとなるための条件です。

　同じ質量レベルでスピン１と偏極η_μの物理的状態に対する頂点演算子Ｙ_k,η＝η_μ(ｄＸ^μd/ｄτ)exp(－iｋＸ)の存在も仮定できます。

　しかし,η_μｋ^μ＝0 ならη_μＸ^μd:exp(－iｋＸ):のτによる全微分(－i)[ｄ{η_μＸ^μd:exp(－iｋＸ):}/ｄτ]＝{－iη_μ(ｄＸ^μd/ｄτ)－η_μＸ^μdｋ^νＸ^νd}:exp(－iｋＸ):の記述するところは,Ｌ_-1η_μα_-1^μ|0;ｋ＞で表わされるゼロノルム状態の放出と,Ｙの(Ｄ－1)個の可能な成分を説明します。

※(訳注47):先に述べたように,Ｊ＝0 のＷに対して－i(ｄＷ/ｄτ)は常にゼロノルム状態の放出を意味します。

　Ｗ＝η_μＸ^μd:exp(－iｋＸ):とすると,Ｗはη_μα_-1^μ|0;ｋ＞の頂点ですから,この物理的状態に対して,これの最も簡単なゼロノルム状態はＬ_-1η_μα_-1^μ|0;ｋ＞です。

　一方, (－i)[ｄ{η_μＸ^μd:exp(－iｋＸ):}/ｄτ]＝{－iη_μ(ｄＸ^μd/ｄτ)－η_μＸ^μdｋ^νＸ^νd}:exp(－iｋＸ):の右辺第１項はη_μｋ^μ＝0 の条件１つを持つ1個の頂点演算子Ｙ_k,ηです。(訳注47終わり)※

　それ故,Ｙのこれらの成分はξ_μνＸ^μdＸ^νd:exp(－iｋＸ):の形の表現とゼロノルムに対応する成分だけ異なっており,残りの偏極はη_μ＝ｋ_μに対応しています。

　Ｄ＝26のケースには,これは新しい物理的状態の放出を与えません。

　なぜなら,こうしたＹは,ξ_μνＸ^μdＸ^νd:exp(－iｋＸ):の形の状態の放出とゼロノルム状態:{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|0;ｋ＞の放出の線型結合に対応しているからです。

　それ故,26次元の第２励起質量レベルでは,総じて唯一の適切な開弦頂点演算子はξ_μνＸ^μdＸ^νd:exp(－iｋＸ):の形です。

　これはスピン２の質量のある粒子(ｋ²＝1/α’),すなわち,ＳＯ(25)の対称トレースレス２階テンソルとして変換する粒子の放出,または吸収を記述します。

今日はここまでにして,次回からは共変ゲージではなく,電磁場ならクーロンゲージに相当する光(円)錐(light-cone)ゲージの定式化について述べる予定です。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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2009年4月21日 (火) 相対論, 素粒子論, 量子論 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2009年4月18日 (土)

超弦理論(20)(2-9)

超弦理論(superstring theory)の続きです。取りあえずここまで来たら,行き詰まるところまで行きましょうか。

この時点で序文(introduction)で紹介した弦のグラフにおける頂点演算子について考察します。

開弦の相互作用はツリーグラフでは基本的に単一の弦が２つに分岐したり,逆に２つの弦が結合して１つになるというプロセスと見ることができます。これらは３つの開弦の世界面が真ん中で連結したグラフになります。

一般的な相互作用としては,こうした過程に関係する３つの開弦の全てが質量殻の上にはないと予期しますが,特に３つの開弦のうちの１つは物理的な質量殻の固有状態であるような場合について考察します。

３つの開弦の状態を１,１',２と名付けて１→１'＋２という反応過程を考え,特に２は質量固有状態であるとします。１と１'については質量固有状態にあるかもしれないしそうでないかもしれません。

弦の質量固有状態というのは量子力学的概念であって,古典的概念ではありません。単位としてプランク定数"ｈ_c＝ｈ/(2π)"を復活させるなら質量固有状態はｈ_cのオーダーの幅と平方質量を持つはずです。

それ故,古典的極限では弦の如何なる質量固有状態もある意味では点粒子に類似していると言えます。

質量殻状態２の放出を伴なう１→１'の遷移過程では,弦１'の量子状態は,ある線型変換によって弦１の量子状態と関連付けられる必要があります。

そして,この線形変換は弦２の状態に依存するはずです。変換が線型であるのは量子力学を論じているからです。

２が質量固有状態であり従って点状であることから,弦１'は弦１から２が放出された端点において,ある局所演算子の作用によって得られると考えるのが自然です。

この局所演算子は質量殻状態２の放出に対する頂点演算子ですが,状態２と関わる頂点の演算子なので通常Ｖ₂と表記します。

発見的議論の導くところによれば,序章で異なるやり方で論じたように任意の質量殻状態|φ＞には適切な頂点演算子Ｖ_φを結び付けるべきであろうと推察されます。

頂点演算子を論じるに当たって,我々がここで目指すゴールは実際に相互作用を解析して具体的に計算することではありません。これは後章での課題です。

今の目的は取りあえず物理的状態のスペクトルを解析できる道具を開発することです。

以下で論じる話は序章で述べたことへの有用な補完となるはずです。ここでの目的のためには,議論の対象を開弦のみに集中することで十分であると思われます。

頂点演算子は閉弦理論においても重要であることに変わりはないですが,ここで開弦について論じることは閉弦に直線的に流用できます。

さて,開弦状態を与えるヒルベルト空間の元に作用する一般の局所演算子Ａ(σ,τ)を考察します。ここでは,特にσ＝0 とおいて弦の端点での演算子Ａ(0,τ)を調べます。簡単のためにＡ(0,τ)を単にＡ(τ)と書くことにします。

物理的状態であるための拘束条件を与える開弦の"エネルギー運動量テンソルＴのフーリエ・モード＝ヴィラソロ(Virasoro)演算子"Ｌ_mの第ゼロ成分(周波数によらない部分)(Ｌ₀－ａ)はハミルトニアンＨに等しいので,局所演算子Ａ(τ)はＡ(τ)＝exp(iτＨ)Ａ(0)exp(－iτＨ)＝exp(iτＬ₀)Ａ(0)exp(－iτＬ₀)と表現されます。

我々が関心あるのはヴィラソロ代数によって自分自身に変換される演算子Ａ(τ)です。

演算子Ａ(τ)は,変数τの任意の変換τ→τ'(τ)の下でＡ(τ)→ Ａ'(τ')＝(ｄτ/ｄτ')^JＡ(τ)なる変換を受けるとき,そのときに限って共形次元Ｊを持つと定義されます。

ここでの共形次元という概念は,以前2008年12/14の記事「超弦理論(9)(タキオン(続き)と重力子の散乱振幅)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/12/9-153a.html において論じた閉弦における頂点演算子exp{－iｋＸ(ｚ)}の"異常次元＝アノーマリー次元"と同じものです。

この記事では,閉弦での頂点演算子:exp(－iｋＸ)の異常次元を求める際,スケール不変な理論では次元がｐを持つ演算子Ｙの２点関数が＜Ｙ(ｚ)Ｙ⁺(0)＞＝Ｃ|ｚ|^-2pとなるべきであるという論旨から,exp(－iｋＸ)は異常次元として－ｋ²/4を持つべきことが導かれ,

別の論点からexp(－iｋＸ)の次元は２であるべきという要求があることと合わせて閉弦の基底状態のタキオン(tachyon)の質量がｍ²＝ｋ²＝－８であると結論されました。

また,2009年１/６の記事「超弦理論(10)(開弦,チャン・パトン因子：Chan-Paton factor)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/01/10-a483.html において,開弦では頂点演算子exp{－iｋＸ(ｘ)}の座標変数が１次元の実変数ｘになることから,これの異常次元が－ｋ²/2で与えられ,一方別の論点からexp(－iｋＸ)の次元は１であるべきという要求があることと合わせて開弦の基底状態タキオンの質量はｍ²＝ｋ²＝－２であると結論されています。

さて,τの変換が無限小変換τ→ τ'＝τ＋ε(τ)であるケースを考えると,共形次元がＪの場Ａ(τ)の変換規則:Ａ(τ)→ Ａ'(τ)＝Ａ(τ)＋δＡはδＡ＝－ε(ｄＡ/ｄτ)－ＪＡ(ｄε/ｄτ)で与えられます。

※(訳注38):無限小変換:τ→ τ'＝τ＋ε(τ)においてはｄτ'/ｄτ＝1＋ｄε/ｄτですから,(ｄτ/ｄτ')^J＝1－Ｊ(ｄε/ｄτ)です。

　そこで,共形次元Ｊの定義によればＡ'(τ')＝(ｄτ/ｄτ')^JＡ(τ)＝Ａ(τ)－ＪＡ(ｄε/ｄτ)です。

　一方,場の変分δＡはδＡ≡Ａ'(τ)－Ａ(τ)で定義されます。

それ故,Ａ'(τ')－Ａ(τ)＝Ａ'(τ')－Ａ'(τ)＋δＡですが,τ→ τ'＝τ＋ε(τ)はε(τ)が無限小の無限小変換なので,Ａ'(τ')－Ａ'(τ)＝Ａ(τ')－Ａ(τ)＝ε(ｄＡ/ｄτ)が成立します。

そこで,Ａ'(τ')－Ａ(τ)＝ε(ｄＡ/ｄτ)＋δＡ＝－ＪＡ(ｄε/ｄτ)となりますから,結局δＡ＝－ε(ｄＡ/ｄτ)－ＪＡ(ｄε/ｄτ)が得られます。

(訳注38終わり)※

ヴィラソロ演算子Ｌ_mはε(τ)＝exp(iｍτ)に対して,τ→ τ'＝τ＋ε(τ)なる変換を生成します。すなわち,共形次元Ｊを持つ任意の演算子Ａ(τ)に対して[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)を成立させます。

※(訳注39):δＡ＝－ε(ｄＡ/ｄτ)－ＪＡ(ｄε/ｄτ)にε＝exp(iｍτ)を代入すると,δＡ＝－exp(iｍτ)(ｄＡ/ｄτ)－iｍexp(iｍτ)ＪＡ＝(－i)exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)となります。

一方,演算子Ｌ_mが変換を生成するということはＡ(τ')＝Ａ(τ)＋δＡ(τ)＝exp(－iＬ_m)Ａ(τ)exp(iＬ_m)を意味しますが,これはもしも(iＬ_m)が無限小なら(1－iＬ_m)Ａ(τ)(1＋iＬ_m)＝Ａ(τ)＋δＡ(τ),または[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝iδＡ(τ)と解釈されます。

しかし,これでは私は納得できません。

私が腑に落ちないのは前の論旨では変換τ→ τ'＝τ＋ε(τ)が無限小変換であると仮定していたのに,今のε(τ)＝exp(iｍτ)という設定では,右辺の絶対値が常に１なのでε(τ)は無限小では有り得ないということです。

そこで,通常仮定するようにε_m＞0 を任意の無限小定数のパラメータとし,ε(τ)＝exp(iｍτ)ではなくε(τ)≡ε_mexp(iｍτ)とします。

すると,前の一連の式は単にεがε_m倍されるに過ぎないので,δＡ(τ)＝－ε(ｄＡ/ｄτ)－ＪＡ(ｄε/ｄτ)＝(－iε_m)exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)となります。

そして,通常の生成子の定義のように,Ｌ_mをＡ(τ)＋δＡ(τ)＝exp(－iＬ_mε_m)Ａ(τ)exp(iＬ_mε_m)を与える演算子とすれば,(iＬ_mε_m)は確かに無限小なので,exp(－iＬ_mε_m)Ａ(τ)exp(iＬ_mε_m)＝Ａ(τ)－iε_m[Ｌ_m,Ａ(τ)]となります。

そこで,δＡ(τ)＝(－iε_m)exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)をexp(－iＬ_mε_m)Ａ(τ)exp(iＬ_mε_m)－Ａ(τ)＝－iε_m[Ｌ_m,Ａ(τ)]に等置すれば,前と同じ式:[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)が得られます。

私は,こちらの解釈の方が辻褄が合うと思うので,そう解釈します。

　(訳注39終わり)※

さて,この局所演算子Ａ(τ)がフーリエ・モード展開:Ａ(τ)＝Σ_m=-∞^∞Ａ_mexp(－iｍτ)を有するなら,上の関係式[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)はフーリエ・モードの係数演算子に対する式:[Ｌ_m,Ａ_n]＝{ｍ(Ｊ－1)－ｎ}Ａ_m+nに帰着します。

これは容易に証明できて,ヴィラソロ代数やヤコービ恒等式などと共立します。

※(訳注40):実際,[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)にＡ(τ)＝Σ_m=-∞^∞Ａ_mexp(－iｍτ)を代入すると,Σ_n=-∞^∞[Ｌ_m,Ａ_n]exp(－iｎτ)＝Σ_n=-∞^∞exp{i(ｍ－ｎ)τ}{－ｎ＋ｍＪ}Ａ_nです。

　そこで,右辺のｎをｎ→ｍ＋ｎとシフトすれば,Σ_n=-∞^∞exp{i(ｍ－ｎ)τ}{－ｎ＋ｍＪ}Ａ_n＝Σ_n=-∞^∞exp(－iｎτ){ｍ(Ｊ－1)－ｎ}Ａ_m+nとなり,確かに[Ｌ_m,Ａ_n]＝{ｍ(Ｊ－1)－ｎ}Ａ_m+nが得られます。

　(訳注40終わり)※

　[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ),または[Ｌ_m,Ａ_n]＝{ｍ(Ｊ－1)－ｎ}Ａ_m+nによる演算子Ａ(τ)の共形次元Ｊの定義によれば,例えば弦座標Ｘ^μ(τ)は次元Ｊ＝0 を持ち,運動量演算子(係数略)Ｘ^μd(τ)≡ｄＸ^μ(τ)/ｄτは次元Ｊ＝1を持つことがわかります。

(訳注41):開弦の座標のフーリエ展開はＸ^μ(τ)＝Ｘ^μ(0,τ)＝ｘ^μ＋ｌ²ｐ^μτ＋iｌΣ_n≠0{(α_n^μ/ｎ)exp(－iｎτ)}(α₀^μ＝ｌｐ^μ)なので,Ｘ_n^μ≡iｌα_n^μ/ｎ(ｎ≠0)と置けば,Ｘ^μ(τ)＝ｘ^μ＋ｌα₀^μτ＋Σ_n≠0Ｘ_n^μexp(－iｎτ)となります。

そして,Ｘ_n^μd≡ｌα_n^μと定義すれば,Ｘ^μd(τ)＝ｄＸ^μ(τ)/ｄτ＝ｌα₀^μ＋ｌΣ_n≠0α_n^μexp(－iｎτ)＝Σ_n=-∞^∞Ｘ_n^μdexp(－iｎτ)と書けます。

　一方,Ｌ_m＝(－1/2)Σ_k=-∞^∞α_m-kα_kですから,[ＡＢ,Ｃ]＝ＡＢＣ－ＣＡＢ＝Ａ[Ｂ,Ｃ]＋[Ａ,Ｃ]Ｂ,および[α_m,α_n]＝－ｍδ_m+nを用いると,[Ｌ_m,α_n]＝(－1/2)Σ_k=-∞^∞(α_m-k[α_k,α_n]＋[α_m-k,α_n]α_k)＝－ｎα_m+n,つまり[Ｌ_m,α_n]＝－ｎα_m+nを得ます。

　そこで,[Ｌ_m,Ｘ_n]＝－iｌα_m+n＝－(ｍ＋ｎ)Ｘ_m+n(ｎ≠0),および [Ｌ_m,Ｘ_n^d]＝－ｎｌα_m+n＝－ｎＸ_m+n^dが成立します。

　これらは,次元Ｊの定義式[Ｌ_m,Ａ_n]＝{ｍ(Ｊ－1)－ｎ}Ａ_m+nにおいて,Ａ_n＝Ｘ_n,Ｊ＝0 ,およびＡ_n＝Ｘ_n^d,Ｊ＝1を代入したものです。

ただし,Ｘ_nのｎ＝0 の項:Ｘ₀については定義されていませんが,ｎ→ 0 の極限でＸ_n^μexp(－iｎτ)→ Ｘ₀^μ(1－iｎτ)＝ｘ^μ＋ｌα₀^μτとなるとでも考えれば,Ｘ₀^μ≡ｘ^μ＝lim _n→0(iｌα_n^μ/ｎ)とか何とかで定義可能と思えます。

しかし,[Ｌ_m,α_n]＝－ｎα_m+nを用いると,ｎ→ 0 の極限を先に取るか後で取るか次第で,[Ｌ_m,Ｘ₀]＝－iｌα_m＝－ｍＸ_mであると考えるべきか,[Ｌ_m,Ｘ₀]＝0 であると考えるべきか微妙ですね。

(訳注41終わり)※

(後で,ゲージ固定に必要なＦＰゴースト(Fadeev-Popov ghost)を論じる際には,ゴーストｃの座標はＪ＝－１を反ゴーストｂのそれはＪ＝２を持つことを見ることになります。)

ある明確なＪの値について,[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)のように変換する演算子は一定の共形次元を持つといわれますが,それらはヴィラソロ代数の下で"うまく"変換するものです。

(一般には,このように一定の共形次元を持つ演算子の方がむしろ特殊であり珍しいものです。)

短かいですが今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

ＰＳ:別にＰ＆Ｇという会社のまわしものじゃないですが,ここのところ「ジョイ」という台所用洗剤を使ってみて,今まで使っていた洗剤と比べてかなり気に入りました。。。

　ここは個人の日記ですからＣＭではないし,万人にとっていいかどうかはわかりませんが,ウソじゃなく私がいいと思ったものをいいと書いて文句を言われる筋合いはないですね。。←何突っ張ってるんだ？ソデの下でも当てにしてんのかい？

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2009年4月13日 (月)

超弦理論(19)(2-8)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

ツナギ,ツナギと言いながら,ずーっとこればっかしですみません。今は丁度木の芽どきでもあり,なぜか精神に余裕がなくブログも滞りがちです。

　さて,ヴィラソロ条件(Virasoro-condition)(Ｌ_m－ａδ_m0)|φ＞＝0 (ｍ≧0)が課された場合,負ノルムの物理的状態が全く存在しないことを保証するような定数パラメータａと時空次元Ｄの満たすべき条件について予備的な検査をしてみます。

結果として,ａとＤのある領域では負ノルム状態が存在し,他の領域では負ノルム状態は全く存在しないという結論が得られます。

以下,その内容を詳述します。

　物理的ヒルベルト空間に全く負ノルム状態がないようなパラメータａとＤの領域を記述するためには,ゼロノルムの物理的状態を探すことが非常に有用な手段になります。

物理的ヒルベルト空間が非負定値ノルムを持つ領域から負ノルムを持つ領域までを横切ってａとＤを変動させれば,それら２つの領域間の境界にはゼロノルムを与える物理的領域が存在すると考えられます。

　そして後述する理由のために,これらある意味では余分のゼロノルム状態が重要な物理的原理に関連付けられ,最も関心のある物理的ヒルベルト空間が発展する際のゴースト状態の縁にある臨界の場合に相当するという結論を得ることになります。

　以下の理論展開では開弦のみを対象にしますが,振動子とヴィラソロ条件を二重にすれば,閉弦の話もほとんど同じです。

　実際,拘束Σ_n=1^∞α_-nα_n＝Σ_n=1^∞α~_-nα~_nを除けば,閉弦のｎ番目の質量レベルは左移動演算子から作られる物理的状態のヒルベルト空間の元と,右移動演算子から作られる物理的状態のヒルベルト空間の元のテンソル積で表現されます。

したがって,左移動と右移動の物理的状態は開弦の物理的状態と全く同等ですから,負ノルム状態を探すという今の論題においても開弦と同等であり,開弦のみが対象の理論展開は,そのまま閉弦にも当てはまるといえます。

さて,運動量ｋ^μを持つ開弦の基底状態を|0;ｋ＞で記述します。

このとき,Ｌ₀＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_n＝－α'ｐ²－Σ_n=1^∞α_-nα_n,およびｐ²|0;ｋ＞＝ｋ²,かつα_n|0;ｋ＞＝0 によって,質量殻条件(Ｌ₀－ａ)|0;ｋ＞＝0,またはＬ₀＝ａは,α'ｋ²＝－ａなる等式を意味します。

(パラメータα'は後に1/2と置きます。)

基底状態｜0;ｋ＞からの第１励起レベルの状態ξα_-1｜0;ｋ＞を考えます。ここで,ξ＝ξ^μ(ｋ)はゲージ拘束を考慮する前には,Ｄ個の独立成分を持つ偏極ベクトルであり,ξα_-1｜0;ｋ＞なる状態は,詳しく表現すればξ_μ(ｋ)α_-1^μ｜0;ｋ＞です。

この第１励起状態に対して,質量殻条件Ｌ₀＝－α'ｐ²－Σ_n=1^∞α_-nα_n＝ａは－α'ｋ²＝ａ－1を与えます。

また,Ｌ₁補助条件Ｌ₁(ξα_-1)|0;ｋ＞＝0 は,Ｌ₁＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_1-nα_nによって,ξｋ＝ξ_μｋ^μ＝0 を与えます。

後者のξｋ＝ξ_μｋ^μ＝0 は,ゲージ拘束条件であり,Ｄ個の成分を持つ一般のベクトルξ＝(ξ^μ)において,実際に許される独立な偏極の数は(Ｄ－1)個であることを示しています。

状態:ξα_-1｜0;ｋ＞のノルムは,－ξ²＝－ξ_μξ^μです。そこで,特に,ベクトルｋ＝(ｋ^μ)が(0,1)平面内にある,つまりｋ＝(ｋ^μ)＝(ｋ⁰,ｋ¹,0,0,..,0)であるような座標系を選択すれば,ｋに垂直で空間的な偏極を持つ(Ｄ－2)個の状態は正のノルムを持ちます。

例えば,ξ＝(ξ^μ)＝(0,0,1,0,0,..,0),(0,0,0,1,0,..,0),..,(0,0,0,0,0,..,1)のような(Ｄ－2)個の空間的偏極ベクトルを考えることができます。

そして,もしも状態がｋ²＝Ｍ²＜0 のタキオンなら,ベクトルｋは空間的なので時間成分ｋ⁰がゼロであるようにｋの座標を選ぶことができます。すると,最後の(Ｄ－1)個目の状態の偏極ξ＝(ξ^μ)は時間的(time-like)であり,－ξ²＝－ξ_μξ^μ＜0 となってノルムは負になります。

すなわち,ξｋ＝ξ_μｋ^μ＝0 を与える最後の偏極ベクトルとして例えば,ξ＝(ξ^μ)＝(1,0,0,0,0,..,0)と取ることができるわけです。

一方,もしもｋ²＝Ｍ²＞0 なら最後の(Ｄ－1)個目の状態のξも他の(Ｄ－2)個の状態と同じく空間的で,偏極ξは－ξ²＝－ξ_μξ^μ＞0 を満たし正のノルムを持ちます。(例えばξ＝(ξ^μ)＝(0,1,0,0,0,..,0)と選べます。)

最後に質量がゼロ,つまりｋ²＝Ｍ²＝0 (光的)なら(0,1)平面内のベクトルｋの成分はｋ⁰＝±ｋ¹となります。

このとき,ξ_μｋ^μ＝ξ⁰ｋ⁰－ξ¹ｋ¹＝0 なる必要条件から,(Ｄ－1)個目の偏極ベクトルはξ＝(ξ^μ)＝(ξ⁰,ξ¹,0,0,..,0),ξ⁰＝±ξ¹,例えばξ＝(ξ^μ)＝(1,1,0,0,0,..,0)と選ぶことができて,－ξ²＝－ξ_μξ^μ＝0 となり,この状態のノルムはゼロです。

以上から,－ξ²＝－ξ_μξ^μ＜0 によって負ノルムが生じない条件はベクトルｋが空間的または光的であること,つまりｋ²＝Ｍ²≧0 であることが必要と考えられます。

この条件は,等式－α'ｋ²＝ａ－1 により,ａ－1≦0 を意味します。よって,ゴーストが存在しないための最初の条件:ａ≦1が得られます。

特に,この条件の境界のａ＝1 の場合には,スカラー基底状態|0;ｋ＞はα'ｋ²＝－ａ＝－1 により,ｋ²＝Ｍ²＝－1/α'＜0 のタキオン状態ですが,最初の励起状態であるξα_-1|0;ｋ＞ではｋ²＝Ｍ²＝0 となるので,これの示すベクトル粒子の質量はゼロです。

質量がゼロのベクトル粒子のケースにはＬ₁補助条件:Ｌ₁(ξα_-1)|0;ｋ＞＝0 ,またはξｋ＝ξ_μｋ^μ＝0 は丁度質量がゼロの光子(電磁場Ａ^μ)のQED(量子電磁力学)における共変ゲージ条件∂^μＡ^μ＝0 に対応しています。

そして,丁度,QEDの共変グプタ・ブロイラー(Gupta-Bleuler )量子化での∂^μＡ^μ＝0 と同じように,Ｌ₁補助条件ξｋ＝ξ_μｋ^μ＝0 は"横偏極を持つ(Ｄ－2)個の正ノルム状態＝(Ｄ－2)個の横波状態"と１個のゼロノルムの縦波状態:ξ^μ＝ｋ^μを許される偏極として残します。

そして,観測にかかるＳ行列からは最後の縦波のゼロノルム状態が解離することを示す必要があります。

場の理論では縦波ゼロノルム状態の解離はゲージ不変性とカレントの保存から導かれましたが,弦理論でもこのことを具体的に証明することは可能です。

(第１章序文(introduction)では重力のワード・高橋恒等式(Ward-Takahashi identity)の項目の議論で,これを証明する１つのアプローチをスケッチしました。)

しかし,我々は今のところ明らかにされているより深い構造について不完全な理解にしか到達していません。

ａが臨界値ａ＝１を取るときの最初の励起レベルξα_-1|0;ｋ＞は,一般には無限個存在する"ゼロノルム状態＝ヌル状態"の最初の例を与えています。この特殊な励起状態に関して見出される結果は,以下の考察によって一般化することができます。

任意の状態|φ＞は,それが拘束:Ｌ_m|φ＞＝0 (ｍ＞0),かつ(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝0 を満たすなら物理的状態と呼ばれます。

※(訳注30):(Ｌ₀－ａ)Ｌ_-n|χ_n＞＝{[Ｌ₀,Ｌ_-n]＋Ｌ_-n(Ｌ₀－ａ)}|χ_n＞＝Ｌ_-n(Ｌ₀－ａ＋ｎ)|χ_n＞＝0 より,|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞なら(Ｌ₀－ａ)|ψ＞＝0 であって,|φ＞が物理的状態なら,ｎ＞0 のときＬ_n|φ＞＝0 ですから,＜φ|Ｌ_-n|χ_n＞＝＜χ_n|Ｌ_n|φ＞^*＝0 となります。

　そこで,|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞と表わせることは|ψ＞が擬似状態であるための十分条件になっています。

　(訳注30終わり)※

|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞の右辺の無限級数は実際にはｎ≧3 に対する項:Ｌ_-n|χ_n＞のＬ_-nをＬ_-1とＬ_-2の交換子の繰り返しによって表現することができることがわかります。

すなわち,例えばＬ_-3～[Ｌ_-1,Ｌ_-2]なる同一視が可能であり,Ｌ_-4はＬ_-1,Ｌ_-2,Ｌ_-3で表現できるので,|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞は右辺を短縮して切り取った表現として|ψ＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞,(Ｌ₀－ａ＋1)|χ₁＞＝0,(Ｌ₀－ａ＋2)|χ₂＞＝0 と簡単に書くことができるわけです。

※(訳注31):(Ｌ₀－ａ＋3)|χ₃＞＝0 を満たす|χ₃＞に対して|χ₁＞≡Ｌ_-2|χ₃＞,|χ₂＞≡－Ｌ_-1|χ₃＞と置けば,(Ｌ₀－ａ＋1)|χ₁＞＝0,(Ｌ₀－ａ＋2)|χ₂＞＝0 が満たされ,Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞＝[Ｌ_-1,Ｌ_-2]|χ₃＞＝Ｌ_-3|χ₃＞が成立します。

そこで,Ｌ_-3|χ₃＞はＬ_-3|χ₃＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞なる形で表現されることがわかります。

そして,ｎ≧4のＬ_-n|χ_n＞もこうした [Ｌ_-1,Ｌ_-2],[[Ｌ_-1,Ｌ_-2],Ｌ_-1]etc.のような交換子の繰り返しの組み合わせによってＬ_-n|χ_n＞＝Ｌ_-1|χ₁＞＋Ｌ_-2|χ₂＞なる形に表現可能であると予想されます。

(訳注31終わり)※

(既に,|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-n|χ_n＞が擬似状態であるための十分条件であることは示しましたが必要条件であることを示します。)

　つまり演算子Ｏ≡|ψ＞＜ψ|は,全ての物理的状態を消滅させます。

　(訳注32終わり)※

一般的な物理的状態に対する唯一の制限はｍ＞0 の任意のＬ_mによって消滅させられることですから,Ｏが任意の物理的状態を消滅させるということは演算子群:Ｘ_-nを係数としてＯ＝Σ_n>0Ｘ_-nＬ_nと展開できることを意味します。

※(訳注33):|ψ＞＜ψ|＝Σ_n>0Ｘ_-nＬ_-nより,＜ｘ|ψ＞≠0 なる任意の状態|ｘ＞に対し＜ｘ|ψ＞＜ψ|＝Σ_n>0＜ｘ|Ｘ_-nＬ_nです。これのエルミート共役を取ると,＜ψ|ｘ＞|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-nＸ_-n^＋|ｘ＞です。故に|ψ＞＝Σ_n>0Ｌ_-nＸ_-n^＋|ｘ＞/＜ψ|ｘ＞です。

(訳注33終わり)※

よって,こうした擬似状態かつ物理的状態である状態|ψ＞はゼロノルムを持つことがわかります。これらをヌル物理的状態と呼びます。

|χ~＞は演算子α₀^μの固有状態としてはゼロ運動量状態:|0;0＞であることも可能ですが,任意の状態はｐ^μだけシフトできます。

|ψ＞≡Ｌ_-1|χ~＞はさらに擬似状態であることに加えて,Ｌ₁|ψ＞＝0なるＬ₁補助条件を除いて物理的状態であるためのあらゆる条件を満足しています。

そして,アノマリーを含むヴィラソロ代数[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋(Ｄ/12)(ｍ³－ｍ)δ_m+nを用いると,Ｌ₁|ψ＞＝Ｌ₁Ｌ_-1|χ~＞＝2Ｌ₀|χ~＞＝2(ａ―1)|χ~＞となります。そこで,ａ＝１ならＬ₁|ψ＞＝0 も満足されます。

これから,擬似状態であるための条件であり物理的状態であるための条件の１つである(Ｌ₀－ａ)|ψ＞＝(Ｌ₀－1)|ψ＞＝0 が確かに満たされていることがわかります。

さらに,|ψ＞は明らかにｍ≧3のＬ_mによっては消滅されるので,アノマリーを含むヴィラソロ代数:[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋(Ｄ/12)(ｍ³－ｍ)δ_m+nを用いて,|ψ＞が残りの条件Ｌ₁|ψ＞＝0,Ｌ₂|ψ＞＝0 をも満足することが可能かどうかを調べます。

簡単な計算によって,これら２つの条件は3－2γ＝0 とＤ/2－(4＋6γ)＝0 を与えることがわかります。これから,γ＝3/2,Ｄ＝26が得られます。

※(訳注34):Ｌ₁|ψ＞＝(Ｌ₁Ｌ_-2＋γＬ₁Ｌ_-1²)|χ~＞＝(3Ｌ_-1＋2γＬ_-1Ｌ₀)|χ~＞＝(3－2γ)Ｌ_-1|χ~＞＝0より3－2γ＝0 です。また,Ｌ₂|ψ＞＝(Ｌ₂Ｌ_-2＋γＬ₂Ｌ_-1²)|χ~＞＝(4Ｌ₀＋Ｄ/2＋6γＬ₀)|χ~＞＝{Ｄ/2－(4＋6γ)}|χ~＞＝0 よりＤ/2－(4＋6γ)＝0を得ます。

　(訳注34終わり)※

そこで,|ψ＞＝{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|χ~＞とすれば,これは擬似状態かつ物理的状態ということになります。もちろん,＜ψ|ψ＞＝＜χ~|Ｌ₂＋(3/2)Ｌ₁²|ψ＞＝0 となっています。

こうして,ａ＝1,Ｄ＝26の場合には|ψ＞＝{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|χ~＞の形のはるかに多くのゼロノルム物理的状態が存在することがわかりました。

前の|ψ＞＝Ｌ_-1|χ~＞のゼロノルム物理的状態とは異なり,この２番目のタイプの状態のノルムはＤ＝26のときに限ってゼロになります。

|ψ＞＝{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|χ~＞の形の最初の例としては,{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|0;ｐ＞なる形が考えられます。

計算すると,これは|ψ＞＝{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|0;ｐ＞＝{－(1/2)α_-1α_-1－(5/2)ｐα_-2＋(3/2)(ｐα_-1)²}|0;ｐ＞と書けます。

ただし,ａ＝１であり|χ~＞＝|0;ｐ＞は(Ｌ₀＋1)|0;ｐ＞＝(－ｐ²/2＋1)|0;ｐ＞＝0 を満たすのでｐ²＝2です。この|ψ＞のノルムは(Ｄ－26)/2となるので,予期したようにＤ＝26で消えます。

※(訳注36):Ｌ_-2＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_-2-nα_n,Ｌ_-1＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_-1-nα_nです。そこで,Ｌ_-2の右辺の級数で状態Ｌ_-2|0;ｐ＞にゼロでない寄与をする項はｎ＝0,－1,－2の項だけです。

　それ故,Ｌ_-2|0;ｐ＞＝(－1/2)(α_-2α₀＋α_-1α_-1＋α₀α_-2)|0;ｐ＞＝{－(1/2)α_-1α_-1－α_-2α₀}|0;ｐ＞＝{－(1/2)α_-1α_-1－ｐα_-2}|0;ｐ＞となります。

　一方,Ｌ_-1の右辺の級数の項でＬ_-1²|0;ｐ＞にゼロでない寄与をするのはｎ＝0,1,－1,－2の項だけです。

　Ｌ_-1²|0;ｐ＞＝(1/4)(α_-1α₀＋α_-2α₁＋α₀α_-1＋α₁α_-2)(α_-1α₀＋α_-2α₁＋α₀α_-1＋α₁α_-2)|0;ｐ＞＝(1/4)(α_-1α₀＋α_-2α₁＋α₀α_-1＋α₁α_-2)(α_-1α₀＋α₀α_-1)|0;ｐ＞＝(α_-1α₀)²－α_-2α₀)|0;ｐ＞＝{(ｐα_-1)²－ｐα_-2}|0;ｐ＞となります。

　そして,|ψ＞＝{－(1/2)α_-1α_-1－(5/2)ｐα_-2＋(3/2)(ｐα_-1)²}|0;ｐ＞より,|ψ＞のノルムは＜ψ|ψ＞＝(1/4)＜0;ｐ|α₁^μα_1μα_-1^να_-1ν|0;ｐ＞＋(25/4)ｐ²＜0;ｐ|α₂α_-2|0;ｐ＞＋(9/4)ｐ_μｐ_νｐ_ρｐ_σ＜0;ｐ|α₁^μα₁^να_-1^ρα_-1^σ|0;ｐ＞－2(3/4)＜0;ｐ|α₁^μα_1μｐ^να_-1νｐ^ρα_-1ρ|0;ｐ＞となります。

　(訳注36終わり)※

　時空次元が26より小さいとき,すなわちＤ＜26のときには,|ψ＞のノルム:＜ψ|ψ＞＝(Ｄ－26)/2が負になるという事実は重要ではありません。というのは,Ｄ＜26の場合には|ψ＞＝{Ｌ_-2＋(3/2)Ｌ_-1²}|0;ｐ＞はＬ₁|ψ＞＝0 を満足しないので物理的状態ではないからです。

　現実に負ノルムの物理的状態が出現するのはＤ＞26の場合です。例として|φ＞＝{ｃ₁α_-1α_-1＋ｃ₂ｐα_-2＋ｃ₃(ｐα_-1)²}|0;ｐ＞なる形の状態|φ＞を考えます。ただし,(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝(Ｌ₀－1)|φ＞＝0 が満たされるようにｐ²＝2とします。

　簡単な計算から,この状況で状態|φ＞がＬ₁|φ＞＝Ｌ₂|φ＞＝0 に従うのは,ｃ₂＝ｃ₁(Ｄ－1)/5,ｃ₃＝ｃ₁(Ｄ＋4)/10 のときであることがわかります。

※(訳注37):α₀²＝ｐ²＝2 とすると,Ｌ₀α_-1α_-1|0;ｐ＞＝{(－1/2)α₀²－α₁α_-1}α_-1α_-1|0;ｐ＞＝(－1＋2)α_-1α_-1|0;ｐ＞＝α_-1α_-1|0;ｐ＞です。

　それ故,Ｌ₀(ｐα_-1)²|0;ｐ＞＝(ｐα_-1)²|0;ｐ＞も成立します。また,Ｌ₀α_-2|0;ｐ＞＝{(－1/2)α₀²－α₂α_-2}α_-2|0;ｐ＞＝α_-2|0;ｐ＞も成立します。

　以上から,ｐ²＝2 で|φ＞＝{ｃ₁α_-1α_-1＋ｃ₂ｐα_-2＋ｃ₃(ｐα_-1)²}|0;ｐ＞なら,Ｌ₀|φ＞＝|φ＞なる等式が成立し,確かに(Ｌ₀－1)|φ＞＝0 なる条件が満たされることがわかります。

次に,Ｌ₁＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_1-nα_nなので,Ｌ₁α_-1α_-1|0;ｐ＞＝－α₀α₁α_-1α_-1|0;ｐ＞＝2α₀α_-1|0;ｐ＞＝2(ｐα_-1)|0;ｐ＞です。

そこで,Ｌ₁|φ＞＝0 なる条件が満たされるためには2ｃ₁＋2ｃ₂＋4ｃ₃＝0,すなわちｃ₁＋ｃ₂＋2ｃ₃＝0 が成立する必要があります。

一方,Ｌ₂＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_2-nα_nですから,Ｌ₂α_-1α_-1|0;ｐ＞＝(－1/2)α₁α₁α_-1α_-1|0;ｐ＞＝－Ｄ|0;ｐ＞,Ｌ₂(ｐα_-1)²|0;ｐ＞＝(－1/2)α₁α₁(ｐα_-1)(ｐα_-1)|0;ｐ＞＝ｐ²|0;ｐ＞＝2|0;ｐ＞,Ｌ₂(ｐα_-2)|0;ｐ＞＝－α₀α₂(ｐα_-2)|0;ｐ＞＝2ｐ²|0;ｐ＞＝4|0;ｐ＞ですから－ｃ₁Ｄ＋4ｃ₂＋2ｃ₃＝0 を得ます。

そして,連立方程式:ｃ₁＋ｃ₂＋2ｃ₃＝0,－ｃ₁Ｄ＋4ｃ₂＋2ｃ₃＝0 を解けば,ｃ₂＝ｃ₁(Ｄ－1)/5,ｃ₃＝ｃ₁(Ｄ＋4)/10 が得られます。

(訳注37終わり)※

この場合,|φ＞＝{ｃ₁α_-1α_-1＋ｃ₂ｐα_-2＋ｃ₃(ｐα_-1)²}|0;ｐ＞のノルムを計算すると,＜φ|φ＞＝2ｃ₁²Ｄ－4ｃ₂²＋8ｃ₃²-8ｃ₁ｃ₃＝2ｃ₁²(Ｄ－1)(26－Ｄ)となります。

それ故,Ｄ＞26の場合には物理的スペクトルの中にゴーストが存在することになります。

後に証明される一般的規則では,ａ＝1,かつＤ＝26,またはａ≦1,かつＤ≦25であれば物理的状態のスペクトルはゴーストを持たないということがわかります。

ａ＝1,かつＤ＝26の場合には多くの余分なゼロノルム状態が存在し,物理的状態のスペクトルはα振動子の"(Ｄ－2)個＝24個"のセットによって生成されるものと同数の伝播モードを持ちます。

一方,後者のａ≦1,かつＤ≦25の場合にはゼロノルム状態ははるかに少なく,物理的状態のスペクトルは"(Ｄ－1)個≦24個"のセットから生成されます。

また,ａ＝1,かつＤ＝26の場合には弦は横波励起のみを持ち,一方,ａ≦1,かつＤ≦25の場合には横波だけでなく縦波モードも有するともいえます。こうした事実はゴースト非存在の定理(no-ghost theorem)の証明に関連して出現してきます。

ここでの定式化での自由理論の研究だけからは時空次元が26に等しくなければならないと結論付けることはできません。

その理由は,理論がＤ＝26に対してゴーストを持たないなら,そのα_n^μ振動子(μ＝0,1,2,..,25)が例えばμ＝25の基底状態,つまり成分α_n²⁵がゼロの状態から成るＤ＝25の部分空間もまたゴーストを持たないからです。

この定式化においてツリーレベルで示すのが可能と思われる最大のことは,Ｄ＝26の空間が最も自然であり,Ｄ＜26の空間は全体の26次元空間に属しそれから任意に切り取った部分空間であろうということです。

Ｄ＝26のみに存在する余分なゼロノルム状態の発見が,このことの第一のしるしです。というのは,このゼロノルム状態は非常に便利な意味を持つからです。

前に述べた質量がないベクトルメソンの縦波モード状態の解離のように,物理的に有意な理論においてはゼロノルム状態は場の理論のゲージ不変性に類似したある根底的な原理によってＳ行列から分離される必要があります。

そこで,Ｄ＝26に対して余分なゼロノルム状態が発生することは,この理論が拡張されたゲージ不変性を持ち,最も興味深い可能性を含む理論であることを示唆していると思われます。

同様に,正確にａ＝1に対してゼロノルム状態の無限個の連鎖があることも,これが最も興味深いケースであることを暗示しています。

そこで,以下に続く節では,試しに開弦の基底状態をａ＝1に対応した平方質量が－2のタキオンと考え,第１励起レベルを質量がゼロのベクトルメソンと考えます。

こうした質量がゼロのゲージ粒子の存在は臨界次元における弦理論の非常に特別な性質の１つの側面を示していると言えます。

今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」Cambridge University Press)

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2009年4月13日 (月) 相対論, 素粒子論, 量子論 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2009年4月 9日 (木)

超弦理論(18)(2-7)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

実はツナギとしてアップしようと軽く考えていたのですが,ノートにある約10年前にやった計算の間違いに気付いたので,やや手間取っていました。

種本の計量(metric)と私が常用しているBjorken-Drellのテキストの計量では符号が逆なので,ときどき混乱することがあるのでした。

　さて,既に説明したように,ボソン弦(Bosonic string)の振動するα_m^μ(とα~_m^μ)で作られるフォック空間は,時間成分の交換関係における負の計量のために正定値ではありません。

一方,物理的状態の空間は,ｍ≧0 に対して(Ｌ_m－ａδ_m0)|φ＞＝0 なるヴィラソロ条件(Virasoro condition)を満足する状態:|φ＞で作られる上記フォック空間の部分空間に対応します。

(閉弦における演算子Ｌ~_m,α~_mについての話も,Ｌ_m,α_mについてのそれとほぼ同じなので,ここでは余計な煩雑さを避けるために開弦のＬ_m,α_mだけについて話を進めます。)

　そして,ヴィラソロ条件は時間的(time-like)な負ノルムの振動子と１対１に対応するため,丁度正定値な部分フォック空間を残すのに十分な条件を与えます。

　これを理解するために,ヴィラソロ演算子が,Ｌ_m～－ｐ_μα_m^μ＋(振動子の２次の項)と表わせることに着目します。

※(訳注27):記事「超弦理論(16)(2-4)」で示したように,開弦では,Ｌ_m＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_m-n,μα_n^μですが,α'＝1/2ならα₀^μ＝ｌｐ^μ＝ｐ^μより,Ｌ_m＝(－1/2)Σ_n=-∞^∞α_m-n,μα_n^μ＝(－1/2)(α_m,μα₀^μ＋α_0,μα_m^μ)＋(－1/2)Σ_n≠0,mα_m-n,μα_n^μ＝－ｐ_μα_m^μ＋(－1/2)Σ_n≠0,mα_m-n,μα_n^μとなります。

　(訳注27終わり)※

この近似式から,もしも振動子の２次の項がないなら,条件Ｌ_m|φ＞＝0 はｐ_μα_m^μ|φ＞＝0 と同値になることがわかります。

そして,一般に粒子がタキオン(tachyon)でないなら,その運動量は時間的(ｐ²＝ｐ_μｐ^μ＝Ｍ²＞0),または光的(ｐ²＝Ｍ²＝0)なので,ｐ_μ＝(Ｍ,0)という静止系を取れば,ｐ_μα_m^μ|φ＞＝0 はα_m⁰|φ＞＝0,あるいはａ_m^⁰|φ＞＝0 を意味します。

とにかく,ヴィラソロ条件は負ノルム振動子と１対１に対応します。

　そこで,静止系での物理的状態は,振動子ベクトルα_m＝(α_m⁰,α_m)＝(α_m⁰,α_m¹,α_m²,..,α_m^D-1)のうち,(Ｄ－1)次元の空間成分ベクトルα_m≡(α_m¹,α_m²,..,α_m^D-1)だけで生成されます。

　これは,条件の個数をカウントすることからヴィラソロ条件(Ｌ_m－ａδ_m0)|φ＞＝0 (ｍ≧0)が,ゴーストを分離するのに十分であることを示しています。

しかし,振動子の２次の項も重要な役割を有していて,真理は,はるかに精緻で興味深いものです。

　以下では,ゴーストのないスペクトルは先に述べた定数ａと時空の次元Ｄのある値においてのみ可能であることを示します。

　より綿密に調べるためには,ヴィラソロ演算子の代数を研究することが必要です。

　既に,記事「超弦理論(16)(2-5)」で,ヴィラソロ代数が古典形式ではポアソン括弧(Poisson括弧)[ , ]_P.B.によって,[Ｌ_m,Ｌ_n]_P.B.＝－i(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nなる形で与えられることを見ました。

　これは量子論ではポアソン括弧を交換子[ , ]に置き換えた[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nなる表現に変わります。

　古典形式では,Ｌ_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_m-nα_n＝0,[α_m,α_n]_P.B.＝iｍδ_m+nから,[Ｌ_m,Ｌ_n]_P.B.＝(1/4)Σ_k,l[α_m-kα_k,α_n-lα_l]_P.B.＝(i/2)[Σ_kｋα_m-kα_k+n＋Σ_k(ｍ－ｋ)α_m-k+nα_k]と変形しましたが,ポアソン括弧[ , ]_P.B.を交換子[ , ]の(－i)倍で置き換えれば,ここまでの変形過程は量子論でもそのまま正しいと考えられます。

そして,右辺第１項をΣ_kｋα_m-kα_k+n＝Σ_k(ｋ－ｎ)α_m-k+nα_kと変数変換することも,ｍ＋ｎ≠0 の場合なら,量子論でも全く問題ないので,ｍ＋ｎ≠0 ならΣ_kｋα_m-kα_k+n＋Σ_k(ｍ－ｋ)α_m-k+nα_k＝Σ_k(ｋ－ｎ)α_m-k+nα_k＋Σ_k(ｍ－ｋ)α_m-k+nα_k＝(ｍ－ｎ)Σ_kα_m-k+nα_k)としてもいいです。

しかし,ｍ＋ｎ＝0 に対しては右辺の２つの無限和の各々が量子レベルで正規順序による無限大の不明瞭さを伴なうことがわかります。

Σ_kｋα_m-kα_k+n＋Σ_k(ｍ－ｋ)α_m-k+nα_kの２つの無限和の項は,各々がill-defined(定義がまずい)ですから,古典論で[Ｌ_m,Ｌ_n]_P.B.＝－i(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n,量子論で[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nを得るために,２つの無限和のうちの１つの和において和を施す添字をシフトする操作はきわめて危険です。

しかし,こうして,ｍ＋ｎ＝0 に対して[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nを示す過程で生じるかもしれない如何なる正規順序の曖昧さも,単にｃ-数を加減することに帰着するので,[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nなる式はＡ(ｍ)をｍに依存するあるｃ-数として [Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋Ａ(ｍ)δ_m+nなる形に修正さるべきであることが保証されます。

そこで,[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋Ａ(ｍ)δ_m+nを仮定します。

この式でｍ＋ｎ＝0 なる関係を保存したまま,ｍ→－ｍとすればＡ(－ｍ)＝－Ａ(ｍ)を得ます。また,Ａ(0)＝0であることもわかります。

それ故,正のｍについてＡ(ｍ)を決めれば,全てのｍについてのＡ(ｍ)が決まります。

しかしながら,Σ_kｋα_m-kα_k+n＝Σ_k(ｋ－ｎ)α_m-k+nα_kとする仮定での右辺の２つの無限和の正規順序を直接調べることから,Ａ(ｍ)を求めるのは驚くほど扱いにくい作業です。

そこで,とりあえず別の簡単なアプローチでＡ(ｍ)を求めます。

まず,ヤコービの恒等式:0＝[Ｌ_k,[Ｌ_n,Ｌ_m]]＋[Ｌ_n,[Ｌ_m,Ｌ_k]]＋[Ｌ_m,[Ｌ_k,Ｌ_n]]において,ｋ＋ｍ＋ｎ＝0 とすると(ｎ－ｍ)Ａ(ｋ)＋(ｍ－ｋ)Ａ(ｎ)＋(ｋ－ｎ)Ａ(ｍ)＝0 を得ます。

※なぜなら,0＝－[Ｌ_k,(ｎ－ｍ)Ｌ_n+m]－[Ｌ_n,(ｍ－ｋ)Ｌ_m+k]－[Ｌ_m, (ｋ－ｎ)Ｌ_k+n]ですからｋ＋ｍ＋ｎ＝0 とすると(ｎ－ｍ)Ａ(ｋ)＋(ｍ－ｋ)Ａ(ｎ)＋(ｋ－ｎ)Ａ(ｍ)＝0 です。※

ここで,ｋ＝1,ｍ＝－ｎ－1を代入すると(2ｎ＋1)Ａ(1)－(ｎ＋2)Ａ(ｎ)＋(ｎ－1)Ａ(ｎ＋1)ですからＡ(ｎ＋1)＝{(ｎ＋2)Ａ(ｎ)－(2ｎ＋1)Ａ(1)}/(ｎ－1)です。

この漸化式はＡ(1)とＡ(2)を決めれば,全てのＡ(ｎ)が決まることを示しています。そこで,Ａ(ｎ)の一般形は２つの未知係数によって決まるはずです。

実際,上の漸化式の一般解はｃ₁,ｃ₃を未知定数としてＡ(ｍ)＝ｃ₃ｍ³＋ｃ₁ｍで与えられることがわかります。

※(訳注27):Ａ(ｎ)＝ａ_nと書けば,漸化式は(ｎ－1)ａ_n+1＝(ｎ＋2)ａ_n－(2ｎ＋1)ａ₁です。

　まず,Ａ(0)＝0よりａ₀＝0です。そこでａ_n≡ｎｂ_nとして,これ代入すると,(ｎ－1)(ｎ＋1)ｂ_n+1＝ｎ(ｎ＋2)ｂ_n－(2ｎ＋1)ａ₁です。

　そこで,さらにｕ_n≡ｂ_n/{(ｎ－1)(ｎ＋1)}とおくとｕ_n－ｕ_n＝－(2ｎ＋1)ａ₁/{(ｎ－1)ｎ(ｎ＋1)(ｎ＋2)}＝－ａ₁[1/{(ｎ－1)ｎ(ｎ＋1)}＋1/{ｎ(ｎ＋1)(ｎ＋2)}]です。

　右辺はさらに(－ａ₁/2)[1/{(ｎ－1)ｎ}－[1/{ｎ(ｎ＋1)}]＋(－ａ₁/2)[1/{ｎ(ｎ＋1)}－[1/{(ｎ＋1)(ｎ＋2)}]となります。

両辺の階差数列を加えるとｕ_n－ｕ₂＝(－ａ₁/2)[1/2－1/{(ｎ－1)ｎ}]＋(－ａ₁/2)[1/6－1/{ｎ(ｎ＋1)}]を得ます。

ｕ_n＝ｂ_n/{(ｎ－1)(ｎ＋1)}を代入すると,ｂ_n/{(ｎ－1)(ｎ＋1)}－ｂ₂/3＝－ａ₁/3＋(ａ₁/2)[1/{(ｎ－1)ｎ}＋1/{ｎ(ｎ＋1)}],結局ｂ_n＝(ｂ₂－ａ₁)(ｎ²－1)/3＋ａ₁です。

ａ_n＝ｎｂ_nを代入し返すと,ａ_n＝(2ａ₂－ａ₁)(ｎ³－ｎ)/3＋ｎａ₁＝ｃ₃ｎ³＋ｃ₁ｎ,ｃ₃＝(2ａ₂－ａ₁)/3,ｃ₁＝(2ａ₂－ａ₁)/3＋ａ₁と書けることがわかりました。ａ₁,ａ₂が任意なのでｃ₁,ｃ₃も任意です。

　さらに,このＡ(ｍ)＝ｃ₃ｍ³＋ｃ₁ｍを(ｎ－ｍ)Ａ(ｋ)＋(ｍ－ｋ)Ａ(ｎ)＋(ｋ－ｎ)Ａ(ｍ) に代入すれば,(ｎ－ｍ)Ａ(ｋ)＋(ｍ－ｋ)Ａ(ｎ)＋(ｋ－ｎ)Ａ(ｍ)＝－ｃ₃(ｎ－ｍ)(ｍ－ｋ)(ｋ－ｎ)(ｎ＋ｍ＋ｋ)を得るので,(ｎ＋ｍ＋ｋ)＝0 なら(ｎ－ｍ)Ａ(ｋ)＋(ｍ－ｋ)Ａ(ｎ)＋(ｋ－ｎ)Ａ(ｍ)＝0 は確かに満足されています。

　(訳注27終わり)※

　Ａ(ｍ)＝ｃ₃ｍ³＋ｃ₁ｍの定数ｃ₁はＬ₀の定義を定数だけシフトさせることによって変化し得る定数です。これはその他にはヴィラソロ代数を乱さない操作です。

Ｌ₀を定数だけシフトさせることは,また(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝0 の定数ａをもシフトさせます。それ故,それはａとｃ₁の間の唯一の意味を持つ関係です。

さて,Ｌ_mとＬ_-mの交換子を非常に注意深く評価することで,正しくアノマリー(異常項)の寄与を得ることができます。特に,ｃ₁とｃ₃を決める最も簡単で最も安全な方法は適切な状態での[Ｌ_m,Ｌ_-m]の期待値を計算することです。

特に,ｍ＝1に対しては,＜0;0|[Ｌ₁,Ｌ_-1]|0;0＞＝0 を見出します。

なぜなら,Ｌ₁やＬ_-1の全ての項は0-運動量の基底状態を消滅させるからです。

※(訳注28):何故なら,[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(1/4)Σ_k,l[α_m-kα_k,α_n-lα_l]から,＜0;0|[Ｌ₁,Ｌ_-1]|0;0＞＝(1/4)Σ_k,l＜0;0|[α_1-kα_k,α_-1-lα_l]|0;0＞ですが,α_-1-lα_l＝α_lα_-1-lです。

　(訳注28終わり)※

ｍ＝２からは,＜0;0|[Ｌ₂,Ｌ_-2]|0;0＞＝＜0;0|Ｌ₂Ｌ_-2|0;0＞＝1/4Σ_k,l＜0;0|[α_2-kα_k,α_-2-lα_l]|0;0＞＝1/4＜0;0|α_1,μα_-1^μα_1,να_-1^ν|0;0＞＝－(1/2)η_μν＜0;0|α₁^μα_-1^ν|0;0＞＝(1/2)η_μνη^μν＝(1/2)Ｄを見出します。

※ (訳注29):[α_2-kα_k,α_-2-lα_l]＝[α_2-k,μα_k^μ,α_-2-l,να_l^ν]に

恒等式:[ＡＢ,ＣＤ]＝Ａ[Ｂ,Ｃ]Ｄ＋ＡＣ[Ｂ,Ｄ]＋[Ａ,Ｃ]

ＤＢ＋Ｃ[Ａ,Ｄ]Ｂを適用します。

[α_m^μ,α_n^ν]＝－ｍδ_m+nη^μνを用いると,第１,４項では交換子がゼロでないのは,ｋ－ｌ＝2のときのみで[Ｂ,Ｃ]＝[α_k^μ,α_-2-l,ν]＝－ｋδ^μ_ν,[Ａ,Ｄ]＝[α_2-k,μ,α_l^ν]＝－(2－ｋ)δ^μ_νです。

また,第２,３項ではｋ＋ｌ＝0 のときのみで,[Ｂ,Ｄ]＝[α_k^μ,α_l^ν]＝－ｋη^μν,[Ａ,Ｃ]＝[α_2-k,μ,α_-2-lν]＝－(2－ｋ)η_μνです。

よって,ｋ≧2に対しては第１,４項の寄与は共にゼロで,ｋ＜0では両項の寄与であるｋ(2－ｋ)と－ｋ(2－ｋ)が相殺されてゼロとなりますから,結局これらからはｋ＝1,ｌ＝－1の第１項－＜0;0|α₁^μα_-1,μ|0;0＞だけがゼロでない寄与を与えます。

(訳注29終わり)※

得られた２つの値:Ａ(1)＝＜0;0|[Ｌ₁,Ｌ_-1]|0;0＞＝0,Ａ(2)＝＜0;0|[Ｌ₂,Ｌ_-2]|0;0＞＝Ｄ/2は一般項:Ａ(ｍ)＝ｃ₃ｍ³＋ｃ₁ｍの係数ｃ₁,ｃ₃を決めるには十分です。

実際に計算することから,ｃ₃＝－ｃ₁＝Ｄ/12を得ます。つまり,Ａ(ｍ)＝(Ｄ/12)(ｍ³－ｍ)です。

したがって,アノマリーを含むヴィラソロ演算子の代数は[Ｌ_m,Ｌ_n]＝(ｍ－ｎ)Ｌ_m+n＋(Ｄ/12)(ｍ³－ｍ)δ_m+nとなることがわかります。

特に,こうしたヴィラソロ代数とアノマリーの構造はＬ₁,Ｌ₀,Ｌ_-1だけを生成子とする閉部分代数をリー代数とする線形リー群:ＳＵ(1,1)またはＳＬ(2,Ｒ)と同型であることに注意しておきます。

途中ですが今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

ＰＳ：畠山鈴香さんが「無期は絶対イヤ」と控訴するらしいのは「死刑の方がまだマシ」という意味も含まれていますよね？

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2009年4月 9日 (木) 相対論, 素粒子論, 量子論 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2009年3月 9日 (月)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(6）

　ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)の続きです。

前回は急用があったせいもあって,かなり中途半端なところで終わったので,もう１度ファインマン振幅(Feynman amplitude)を定義するところから再開します。

ここで,|Ｐ＞は任意の総４元運動量固有状態を記述します。また,Ｔ~は反時間順序積です。

これを,2009年1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/01/3-b2b4.html において束縛状態|Ｂ,ｒ＞に対するＢ-Ｓ.振幅(B-S. amplitude)とその共役を定義したものと比較します。

その後,理論の平行移動不変性により,φ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(－iＰ_BＸ)φ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(iＰ_BＸ)φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)(ただし,Ｘ≡η_aｘ_a＋η_bｘ_b,ｘ＝ｘ_a－ｘ_b)と表現してφ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)を与えました。

これを見ると,もしも上のファインマン振幅:φ(ｘ,Ｐ),φ^(ｘ,Ｐ)の定義で|Ｐ＞を|Ｂ,ｒ＞で置き換えてＰ＝Ｐ_Bとすれば,これらはそれぞれ定数因子を除いて束縛状態のＢ-Ｓ.振幅:φ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)に一致することがわかります。

そして,ｆ(ｘ,Ｐ)≡＜0|φ_a(η_bｘ)φ_b(－η_aｘ)|Ｐ＞,ｇ(ｘ,Ｐ)≡＜0|φ_b(－η_aｘ)φ_a(η_bｘ)|Ｐ＞とおけば,ファインマン振幅はφ(ｘ,Ｐ)＝θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)＋θ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ),φ^(ｘ,Ｐ) ＝θ(ｘ⁰)ｇ^*(ｘ,Ｐ)＋θ(－ｘ⁰)ｆ^*(ｘ,Ｐ)と表現できます。

ここで,フーリエ変換による運動量表示でのファインマン振幅の定義:φ(ｘ,Ｐ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)φ(ｐ,Ｐ),φ^(ｘ,Ｐ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(iｐｘ)φ^(ｐ,Ｐ),および公式:θ(ｘ⁰)＝－(2πi)^-1∫ｄ⁴ｋexp(－iｋｘ)δ³(ｋ)(ｋ⁰＋iε)^-1etc.を用いて運動量空間における表式に変換します。

すると,φ(ｐ,Ｐ)＝{－1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}＋{1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)},φ^(ｐ,Ｐ)＝{－1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｆ^*(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}＋{1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｇ^*(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}となります。

これはφ(ｐ,Ｐ)とφ^(ｐ,Ｐ)が共役であるという意味の詳細を示しています。すなわち,これらのφとφ^の表式においてｄｑ⁰による被積分関数の分子は互いに複素共役の関係にありますが,特異性を与える分母は両者で一致しています。

したがって,φ^の吸収部分はφのそれの複素共役に等しいことがわかります。φ^の分散部分はφ^の吸収部分に関連付けられますが,正確に同じようにφの分散部分はφの吸収部分と関連付けられています。

ところで,粒子ａは,単独では如何なる状態へも自発的に崩壊することは不可能です。しかし,逆に状態Ｎの静止エネルギーが１粒子ａ,つまり状態φ_a^＋(0)|0＞のそれより小さくない場合には,その遷移振幅＜0|φ_a(0)|Ｎ＞は必ずしもゼロとは限りません。

それ故,ｐ_N²≧ｍ_a²,かつｐ_N⁰＞0 でないなら＜0|φ_a(0)|Ｎ＞＝0,つまり,(η_aＰ＋ｐ)²≧ｍ_a²,かつη_aＰ⁰＋ｐ⁰＞0 でないならｆ(ｐ,Ｐ)＝0 です｡

同様にｇ(ｐ,Ｐ)についても,(η_bＰ－ｐ)²≧ｍ_b²,かつη_bＰ⁰－ｐ⁰＞0 でないならｇ(ｐ,Ｐ)＝0 です｡

つまり,ω_min≡[ｍ_a²＋(η_aＰ＋ｐ)²]^1/2－η_aＰ⁰,ω_max≡η_bＰ⁰－[ｍ_b²＋(η_bＰ＋ｐ)²]^1/2とおいたとき,ｑ⁰≧ω_minでないならｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 ,ｑ⁰≦ω_maxでないならｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 となります。

そこで,もしもω_min≦0 かω_max≧0 のどちらかが起きると,ウィック回転された後でも置き換えられた極が残ります。

この望ましくない状況を避けるためには,|Ｐ⁰|＜ min(ｍ_a/|η_a|,ｍ_b/|η_b|)であれば十分です。

※(訳注):つまり,ｆ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)ｆ(ｐ,Ｐ)とθ(τ)＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｋexp(－iｋτ)(ｋ＋iε)^-1から,(2π)^-4∫ｄ⁴ｘ[exp(iｐｘ)θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)]＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}なる表式が得られます。

一方,ｆ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)ｆ(ｐ,Ｐ)＝∫ｄ³ｐ_N(2ｐ_N⁰)^-1[Σ_p=-ηaP+pN＜0|φ_a(0)|Ｎ＞＜Ｎ|φ_b(0)|Ｐ＞exp(－iｐｘ)]と書けます。

それ故,(2π)^-4∫ｄ⁴ｘ[exp(iｐｘ)θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)]＝{－1/(2πi)}∫ｄｑ⁰[∫ｄ³ｐ_N(2ｐ_N⁰)^-1{Σ_p=-ηaP+pN (＜0|φ_a(0)|Ｎ＞＜Ｎ|φ_b(0)|Ｐ＞|_p0＝q0)}/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)]が成立することがわかります。

そこで,結局ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝∫ｄ³ｐ_N(2ｐ_N⁰)^-1{Σ_p=-ηaP+pN (＜0|φ_a(0)|Ｎ＞＜Ｎ|φ_b(0)|Ｐ＞|_p0＝q0)},かつθ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)[{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}]が得られます。

そして,ｑ⁰≧ω_minでないならｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 ですから,∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}の積分区間は(－∞,∞)から[ω_min,∞)に変更できます。つまり,この積分は∫_ωmin^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}と書けます。

したがって,ｆ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)ｆ(ｐ,Ｐ)の右辺のｄ⁴ｐ積分のうちｄｐ⁰積分の極は複素平面上の実軸よりもわずかに下のｐ⁰＝ｑ⁰－iεであることがわかります。

同様にして,ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝∫ｄ³ｐ_N(2ｐ_N⁰)^-1{Σ_p=-ηaP+pN (＜0|φ_b(0)|Ｎ＞＜Ｎ|φ_a(0)|Ｐ＞|_p0＝q0)},かつθ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(iｐｘ)[{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}]です。

そしてｑ⁰≦ω_maxでないならｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 ですから∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}の積分区間は(－∞,∞)から(－∞,ω_max]に変更できます。つまり,この積分は∫_-∞^ωmaxｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}と書けます。

そこで,ｇ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)ｇ(ｐ,Ｐ)のｄ⁴ｐ積分のうちｄｐ⁰積分の極は複素平面上の実軸よりもわずかに上のｐ⁰＝ｑ⁰＋iεであることがわかります。

さて,∫_-∞^∞ｄｐ⁰の積分路を次のような複素平面上の閉路Ｃに変更することを考えます。

まず,(－∞,∞)の実軸上を真っ直ぐ右に進み,右端の点∞から半径がＲ＝∞ の原点が中心の円に連結して,反時計回りに虚軸上の上端点i∞まで四分円を作り,その上端点i∞から虚軸上の下端点－i∞まで虚軸に沿って真っ直ぐ下方に進みます。

最後に下端点－i∞から,やはり半径がＲ＝∞ の円に連結させて,時計回りに四分円を描き,実軸の左端の点－∞に戻る閉路をＣとします。

積分路を(－∞,∞)からＣに変えてｐ⁰による積分∫_-∞^∞ｄｐ⁰を∫_Cｄｐ⁰に変更したとき,Ｃで囲まれた領域内でｐ⁰＝ｑ⁰－iεが極になるのはｑ⁰－iεが(－∞,0)の側の四分円の内部にあるときです。

それ故,もしもω_min≦0なら,[ω_min,∞)∩(－∞,0)＝(ω_min,0)となるので,左下四分円内に極ｐ⁰＝ｑ⁰－iε,ｑ⁰∈(ω_min,0)が存在します。

一方,積分∫_Cｄｐ⁰の積分路Ｃで囲まれた領域内でｐ⁰＝ｑ⁰＋iεが極になるのはｑ⁰＋iεが(0,∞)の側の四分円内にあるときです。

そこで,もしもω_max≧0なら,(－∞,ω_max]∩(0,∞)＝(0,ω_max)となるので,右上四分円内に極ｐ⁰＝ｑ⁰＋iε,ｑ⁰∈(0,ω_max)が存在します。

したがって,ω_min≦0 かω_max≧0 のどちらか一方でも成立するならウィック回転を意味する積分路のＣへの変更後でも極が残るのです。

ところで,ヘヴィサイド関数のθ(τ)＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｋexp(－iｋτ)(ｋ＋iε)^-1なる表現を考えてみます。

右辺のｋ積分は,τ＞0 のときには積分路を実軸(－∞,∞)に複素ｋ平面の下半平面を負の向きにまわる半径Ｒ＝∞の半円を加えた閉路に取れば,その内部に極ｋ＝－iεがあるためその留数から右辺の値としてexp(－ετ)が得られます。

そして,これはε→＋0 のとき１になります。

一方,τ＜0 のときには,積分路を実軸(－∞,∞)に上半平面を正の向きにまわる半径Ｒ＝∞ の半円を加えた閉路に取れば,内部にはｋの極がないので右辺の値はゼロになります。

　そして,τ＞0 の場合には複素ｋ平面の下半平面の半円の上ではＲ＝∞ によりｋ＝－i∞になるので,exp(－iｋτ)なる因子によって積分は指数的にゼロになります。

　一方,τ＜0 の場合には複素ｋ平面の上半平面でＲ＝∞ によりｋ＝＋i∞となってexp(－iｋτ)が指数的にゼロになるので,いずれの場合も実軸に付け加えた半径Ｒ＝∞ の半円の積分への寄与はゼロです。

　これをもって,ヘヴィサイド関数をθ(τ)＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｋexp(－iｋτ)(ｋ＋iε)^-1と表現することが正当化されるわけです。

φ(ｘ,Ｐ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)φ(ｐ,Ｐ)の第１項θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)[{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}]の右辺の∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)のうちで,∫_-∞^∞ｄｐ⁰exp(－iｐ⁰ｘ⁰)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)はヘヴィサイド因子θ(ｘ⁰)exp(－iｑ⁰ｘ⁰)を表わしています。

そして,ヘヴィサイド関数の積分表現では,∫_-∞^∞ｄｐ⁰の積分路(－∞,∞)に,半径Ｒ＝∞ の下半円を加えても積分には寄与しないことがわかっているので,積分路(－∞,∞)を積分路Ｃに変えた積分∫_Cｄｐ⁰のＣにおける左下の半径Ｒ＝∞ の四分円の寄与もゼロです。(右上四分円の寄与はゼロではありません。)

また,φ(ｘ,Ｐ)の第２項θ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)[{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}]の右辺の∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)のうち,∫_-∞^∞ｄｐ⁰exp(－iｐ⁰ｘ⁰)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)の部分からは∫_Cｄｐ⁰において,積分路Ｃのうち右上の半径Ｒ＝∞ の四分円の寄与がゼロであることがわかります。(左下四分円の寄与はゼロではありません。)

結局,φ(ｘ,Ｐ)＝θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)＋θ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ)における右辺のフーリエ表示での∫_-∞^∞ｄｐ⁰をWick回転を意味する積分∫_Cｄｐ⁰に変えた経路Ｃのうちでθ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)の左下の四分円路上の寄与とθ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ)の右上の四分円路上の寄与はゼロになります。(訳注終わり)※

さて,もしも束縛状態の問題を考える場合,つまりφ(ｐ,Ｐ)をＢ-Ｓ.振幅φ_Br(ｐ,Ｐ)と同一視する場合なら,束縛状態の安定条件ｓ^1/2＜ｍ_a＋ｍ_b(ａ＋ｂの結合系の質量がａ,ｂの質量の和より小さい)はω_min≧ω_maxを意味します。

そこで,この場合には"ファインマン振幅＝Ｂ-Ｓ.振幅"の運動量空間における表式φ(ｐ,Ｐ)＝{－1/(2πi)}∫_ωmin^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}＋{1/(2πi)}∫_-∞^ωmaxｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)},およびφ^(ｐ,Ｐ)＝{－1/(2πi)}∫_ωmin^∞ｄｑ⁰{ｆ^*(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}＋{1/(2πi)}∫_-∞^ωmaxｄｑ⁰{ｇ^*(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}には２つの切断の間にギャップが存在します。

※(訳注):つまり,束縛状態では必然的にω_min≧ω_maxとなるので複素ｐ⁰平面内の実軸上の２つの切断(－∞,ω_max]と[ω_min,∞)の間には,ギャップ(ω_max,ω_min)が存在するわけです。※

束縛状態の安定条件ｓ^1/2＜ｍ_a＋ｍ_bを満たす任意のｓに対しては,Ｐ＝0 の慣性中心系でパラメータをη_a≡ｍ_a/(ｍ_a＋ｍ_b),η_b≡ｍ_b/(ｍ_a＋ｍ_b)に選べば,ω_min＞0,かつω_max＜0 となりますから,ファインマン振幅に極が残らないようにできます。

この場合は,条件ｓ^1/2＜ｍ_a＋ｍ_bと条件|Ｐ⁰|＜min(ｍ_a/|η_a|,ｍ_b/|η_b|)が,同値な条件になっています。

しかし,散乱問題の場合には,ｓ^1/2＞ｍ_a＋ｍ_b,つまりω_max＞ω_minなので,切断の間のギャップはなく,それ故,既に考察したように必然的に１つ以上の特異点に遭遇します。

さて,以下,具体的にウイック回転を論じましょう。

まず,"はしご近似(ladder近似)"で束縛状態を考察します。

簡単のために,関係する全ての粒子はスカラーであり,Ｐ^μは時間的(time-like;Ｐ²＝Ｐ_μＰ^μ＞0)であると仮定します。

このとき,静止系Ｐ＝0 では{ｍ_a²＋ｐ²－(η_aＰ⁰＋ｐ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ⁰－ｐ⁰)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]が成立します。

ここでμは交換する中間子の質量です。またη_a≡ｍ_a/(ｍ_a＋ｍ_b),η_b≡ｍ_b/(ｍ_a＋ｍ_b)としています。

※(訳注):これは前と同じく1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/01/3-b2b4.html で明示した,

束縛状態のＢ-Ｓ.eqである,Ｋφ_Br＝Ｉφ_Brの運動量表示,つまり[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1φ_Br(ｐ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)φ_Br(ｐ',Ｐ)において,伝播関数⊿_Fa',⊿_Fb'を自由場の伝播関数⊿_Fa,⊿_Fbで置き換え積分核Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)に"はしご近似"を適用したものです。

すなわち,左辺の⊿_F'(ｋ)を自由場の⊿_F(ｋ,ｍ)＝－i(ｋ²－ｍ²＋iε)^-1にして,それぞれｋ＝η_aＰ＋ｐ,ｍ＝ｍ_a,およびｋ＝η_bＰ－ｐ,ｍ＝ｍ_bを代入した後に静止系の条件としてＰ＝0 とします。

一方,右辺の(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)は,質量がμの中間子でａ,ｂとの結合定数がｇ_a,ｇ_ｂ(そしてλ_B(ｓ)≡ｇ_aｇ_ｂ/(4π)²)であるものを１個だけ交換するはしごグラフの寄与:{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[(ｐ－ｐ')²－μ²＋iε]^-1で近似します。こうすれば先に書いた式が得られるわけです。※

φ_Br(ｐ,Ｐ)の解析性は,φ(ｐ,Ｐ)＝{－1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}＋{1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}で,ｑ⁰≧ω_minでないならｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 ,ｑ⁰≦ω_maxでないならｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 こと,および束縛状態ではω_min＞0,かつω_max＜0 であることによって与えられます。

そこで,束縛状態では先に訳注の中で与えた∫_Cｄｐ⁰の閉路Ｃの内部にｐ⁰の極を全く持たないので∫_Cｄｐ'⁰ [φ_Br(ｐ'⁰,ｐ',Ｐ)/{μ²＋(ｐ－ｐ')²－(ｐ⁰－ｐ'⁰)²－iε}]＝0 が成立します。

ｆ,ｇの漸近的挙動から右辺の∫_Cｄｐ'⁰積分への２つの四分円経路からの寄与はゼロとなるので,∫_-∞^∞ｄｐ'⁰[φ_Br(ｐ'⁰,ｐ',Ｐ)/{μ²＋(ｐ－ｐ')²－(ｐ⁰－ｐ'⁰)²－iε}]＝∫_-i∞^i∞ｄｐ'⁰[φ_Br(ｐ'⁰,ｐ',Ｐ)/{μ²＋(ｐ－ｐ')²－(ｐ⁰－ｐ'⁰)²－iε}]＋(極の寄与)となるはずですが,束縛状態ではＣの内部にｐ⁰の極は全くないので,(極の寄与)はゼロです。

そこで,ｐ'⁰≡iｐ'⁴,またはｐ'⁴≡－iｐ'⁰と置けば∫_-i∞^i∞ｄｐ'⁰＝i∫_-∞^∞ｄｐ'⁴であり,さらにｐ⁰≡iｐ⁴,またはｐ⁴≡－iｐ⁰と置けば－(ｐ⁰－ｐ'⁰)²＝(ｐ⁴－ｐ'⁴)²となります。

故に,∫_-∞^∞ｄｐ'⁰[φ_Br(ｐ'⁰,ｐ',Ｐ)/{μ²＋(ｐ－ｐ')²－(ｐ⁰－ｐ'⁰)²－iε}]＝i∫_-∞^∞ｄｐ'⁴[φ_Br(iｐ'⁴,ｐ',Ｐ)/{μ²＋(ｐ－ｐ')²＋(ｐ⁴－ｐ'⁴)²－iε}]を得ます。

ミンコフスキー空間(Minkowski space)の４元ベクトルｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)をユークリッド空間の４元ベクトルｐ~^μ＝(ｐ,ｐ⁴)で表現すれば,

"はしご近似":{ｍ_a²＋ｐ²－(η_aＰ⁰＋ｐ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ⁰－ｐ⁰)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]は,{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]とユークリッド化されます。

途中ですが,今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

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2009年3月 4日 (水)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(5）

前回から大分間が空きましたが,ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)の続きです。

ローレンツ群ＬはWignerによって導入された小群(little group)と呼ばれるＬの部分群:Ｌ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}において,Ｐ＝(Ｐ^μ)を設定することで４種類に分類されます。

ここで前のようにｓ≡Ｐ²＝Ｐ_μＰ^μとします。

それら４種類の小群の族は,[1]ｓ＞0 の場合～Ｏ(3):Ｐ^μ≡(√ｓ,0) [2]ｓ＜0 の場合～Ｏ(2,1):Ｐ^μ≡(0,0,0,√－ｓ)[3]Ｐ^μ≡0 の場合～Ｏ(3,1)[4]ｓ＝0 だがＰ^μ≡0 ではない場合～Ｅ(2):Ｐ^μ≡(Ｐ⁰,0,0,Ｐ⁰)(Ｐ⁰≠0) です。

そして,Ｂ-Ｓ振幅(B.S amplitude):φ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)＝＜0|Ｔ[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞,(ｒ＝1,2,..,ｎ)のフーリエ(Fourier)変換:{φ_Br(ｐ,Ｐ_B)}_r=1ⁿはローレンツ群の１つの有限次元表現となっているＬ(Ｐ_B)の表現空間の基底を形成します。

特に,それらは体調和関数で表現されます。

体調和関数は(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0,およびＰ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 を同時に満足するｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³のｌ次の同次多項式Ｘ_l(ｐ)で定義されます。

前記事では,小群の表現空間を構成する体調和関数が特殊座標系ではなく任意のローレンツ系ではどうなるかを調べる過程に入ったところで終わりました。

そこでは,まず,[1]Ｐ²＝ｓ＞0 の場合:４元運動量がＰ^(0)μ≡(√ｓ,0)となる特殊座標系と同じｓを持つ任意座標系を考えました。

このときには,あるローレンツ変換Λ∈Ｌが存在して,Ｐ＝ΛＰ⁽⁰⁾と書けます。そして,このΛとｐに対してｑ≡Λ^-1ｐを定義します。

このとき,小群Ｌ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}の体調和関数は,Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｙ_lm(ｑ)で与えられます。

Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｙ_lm(ｑ)＝Ｙ_lm(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)で,Ｙ_lm(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)はＬ(Ｐ⁽⁰⁾)の体調和関数ですから,ｑ⁰,ｑ¹,ｑ²,ｑ³のｌ次の同次多項式です。

そして,ｑ^μ＝(Λ^-1)^μ_νｐ^νなのでｑ⁰,ｑ¹,ｑ²,ｑ³のｌ次の同次多項式であることは,それがｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³のｌ次の同次多項式であることと同値です。

Ｐ＝ΛＰ⁽⁰⁾,ｐ＝Λｑより(∂/∂ｐ)²Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝(∂/∂ｑ)²Ｙ_lm(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)＝0,Ｐ(∂/∂ｐ)Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｐ⁽⁰⁾(∂/∂ｑ)Ｙ_lm(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)＝0 が成立することも自明です。

故にＹ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｙ_lm(ｑ)をＬ(Ｐ)の体調和関数と同定できます。

次に,あるｓの関数を掛けることで体調和関数Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)をｓ平面で解析接続します。これによって,[1],[2],[4]のケースを統一した方法で論じることができます。

例えば,Λ⁰₀＝Λ³₃＝α,Λ¹₁＝Λ²₂＝1,Λ⁰₃＝Λ³₀＝βで,それ以外のΛ^μ_νは全てゼロ(ただし,α≡(ａ＋ａ^-1ｓ)/(2√ｓ),β≡(ａ－ａ^-1ｓ)/(2√ｓ)(ａ≠0))なるΛを考えます。

すると,Ｐ^(0)μ≡(√ｓ,0),Ｐ＝ΛＰ⁽⁰⁾(Λ^μ_νＰ^(0)ν)より,Ｐ^μ＝((ａ＋ａ^-1ｓ)/2,0,0,(ａ－ａ^-1ｓ)/2)であり,ｑ＝Λ^-1ｐ (ｑ^μ＝(Λ^-1)^μ_νｐ^ν)より,ｑ¹＝ｐ¹,ｑ²＝ｐ²,ｑ³＝αｐ³－βｐ⁰です。

Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｙ_lm(ｑ)において,右辺のｑに上記のｑ¹＝ｐ¹,ｑ²＝ｐ²,ｑ³＝αｐ³－βｐ⁰を代入し,Ｙ_lm(ｑ)＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{(4π)(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2(2|ｍ|－1)!!(ｑ¹±iｑ²)^|m||ｑ|^l-mＣ_l-|m|^|m|+1/2(ｑ³/|ｑ|) (ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,..,ｌ)なる陽な表現を用いるとＹ_im(ｐ,Ｐ)の陽な形が得られます。

ｓがゼロの極限での発散を避けるため,Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)にｓ^(l-|m|)/2を掛けてｓ→ 0 の極限を取ると,lim_s→0[ｓ^(l-|m|)/2Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)]＝(定数)×(ｐ¹±iｐ²)^|m|(ｐ³－ｐ⁰)^l-|m|となり,確かに既に述べた,[4]ｓ＝0での標準の体調和関数χ_lm(ｐ)＝ａ_lm(ｐ¹±iｐ²)^|ｍ|(ｐ³－ｐ⁰)^l-|ｍ|に一致します。

　最後にＢ-Ｓeq.への応用上で重要なＹ_lm(ｐ,Ｐ)の自己再生性と直交性を証明します。

　まず,球関数Ｙ_lm(θ,φ)に対する等式:∫₀^πsinθ'ｄθ'∫₀^2πｄφ'ｆ(cosω)Ｙ_lm(θ',φ')＝ｈＹ_lm(θ,φ)に着目します。

　ここでｆ(ｚ)は任意の連続関数,ｈはある定数です。また,cosωはcosω≡cosθcosθ'＋sinθsinθ'cos(φ－φ')で与えられます。

式が成立することは,ｆ(cosω)をルジャンドル多項式Ｐ_l(cosω)の級数に展開し,その加法定理:Ｐ_l(cosω)＝{4π/(2ｌ＋1)}Σ_m=-l^lＹ_lm(θ,φ)Ｙ_lm(θ',φ'),およびＹ_lm(θ,φ)の積分の直交性を用いて証明することができます。

ｐｐ'＝|ｐ||ｐ'|cosωですから,もしもｆ(ｐ,ｐ')が不変量:ｐ²,ｐ'²,ｐｐ'のみの任意の連続関数であり,これらスカラー量についての十分急減少な関数なら,上の球関数の等式∫₀^πsinθ'ｄθ'∫₀^2πｄφ'ｆ(cosω)Ｙ_lm(θ',φ')＝ｈＹ_lm(θ,φ)は,体調和関数に対する等式∫ｄ³ｐ'ｆ(ｐ,ｐ')Ｙ_lm(ｐ')＝ｈ(ｐ)Ｙ_lm(ｐ)になります。

Ｆ(ｐ,ｐ',Ｐ⁽⁰⁾)を,ｐ,ｐ',Ｐ⁽⁰⁾から形成される不変量を引数とする十分急減少な任意のファインマン型分布関数とすれば,ｐＰ⁽⁰⁾＝√ｓｐ⁰,ｐ'Ｐ⁽⁰⁾＝√ｓｐ'⁰なので,この式は∫ｄ⁴ｐ'Ｆ(ｐ,ｐ',Ｐ⁽⁰⁾)Ｙ_lm(ｐ')＝Ｈ(ｐ,Ｐ⁽⁰⁾)Ｙ_lm(ｐ)を意味します。

ここで,Ｈ(ｐ,Ｐ⁽⁰⁾)はｐ²とｐＰ⁽⁰⁾とｓだけに依存します。

∫ｄ⁴ｐ'Ｆ(ｐ,ｐ',Ｐ⁽⁰⁾)Ｙ_lm(ｐ')＝Ｈ(ｐ,Ｐ⁽⁰⁾)Ｙ_lm(ｐ)で,単に変数ｐ,ｐ'をｑ,ｑ'に変えると,∫ｄ⁴ｑ'Ｆ(ｑ,ｑ',Ｐ⁽⁰⁾)Ｙ_lm(ｑ')＝Ｈ(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)Ｙ_lm(ｑ)となります。

そして,ｑ＝Λ^-1ｐ,およびＹ_lm(ｑ)＝Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)を代入すると,∫ｄ⁴ｐ'Ｆ(Λ^-1ｐ,Λ^-1ｐ',Ｐ⁽⁰⁾)Ｙ_lm(ｐ',Ｐ)＝Ｈ(Λ^-1ｐ,Ｐ⁽⁰⁾)Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)となりますが,これはＦ,Ｈのローレンツ不変性によって∫ｄ⁴ｐ'Ｆ(ｐ,ｐ',Ｐ)Ｙ_lm(ｐ',Ｐ)＝Ｈ(ｐ,Ｐ)Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)に帰着します。

こうして,Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)の自己再生性が示されました。

これをｓ平面で解析接続すれば,これが[1],[2],[4]のケースのどのケースでも成立することがわかります。

同じテクニックを用いてＹ_im(ｐ,Ｐ)の直交性も証明できます。

直交性は∫ｄ⁴ｐＦ(ｐ,Ｐ)Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)Ｙ_l'm'^*(ｐ,Ｐ)＝Ｈ(ｓ)δ_ll'δ_mm'です。ここでもＦ(ｐ,Ｐ)はｐとＰの十分に急減少する任意の不変分布関数です。

また,[3]Ｐ^μ≡0 の場合のローレンツの体調和関数Ｚ_Llm(ｐ)の自己再生性と直交性も４次元球面調和関数の性質から従うとわかります。

ヘリシティ定式化でスピンを持つ粒子を扱うためには,Ｙ_lm(θ,φ)の代わりに,一般化された球面調和関数を考える必要があります。

対応するＹ_im(ｐ,Ｐ)の一般化も重要ですが,それは現時点ではまだなされていません。

§5.ウィック回転(Wick rotation)

Ｂ-Ｓ.eq.の核は,ファインマン伝播関数の特異点を含んでいるので,標準的な数学の定理,公式を直接的にＢ-Ｓ.eq.に適用することはほとんどできません。

1954にWickはこうした困難を克服する手法を発見しました。

彼は複合粒子や束縛状態の安定条件の下で,相対エネルギー変数の外周積分路を複素平面上の虚軸に持ってくることで,新しい核をユークリッド計量の核にすることができることを示しました。

この手続きはウィック回転(Wick rotation)と呼ばれていますが,あいにく回転という名称のためにしばしば誤解を受けています。

1955に,KemmerとSalamはウィック回転を弾性領域の散乱のＢ-Ｓ.eq.に拡張しました。またTickpoulos(1964)は,質量殻上の逐次近似解を考えることから,それがユークリッド的に変換されることを示しました。

ウィック回転は,最近になって散乱のＢ-Ｓ.eq.を数値的に解くための手法として再認識されています。

SchwartzとZemach(1966)は位置空間で論じました。PagnamentaとTaylor(1966),およびSaenger(1967)はウィック回転の後で,どのような特異性が残るかを調べました。

ここで,|Ｐ＞は任意の総４元運動量固有状態を記述します。またＴ~は反時間順序積です。

これを,2009年1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/01/3-b2b4.html において束縛状態|Ｂ,ｒ＞に対するＢ-Ｓ.振幅とその共役を定義したものと比較します。

そして,理論の平行移動不変性によってφ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(－iＰ_BＸ)φ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(iＰ_BＸ)φ_Br^(ｘ,Ｐ_B) (Ｘ≡η_aｘ_a＋η_bｘ_b,ｘ＝ｘ_a－ｘ_b)と表現して,φ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)を与えました。

これを見ると,もしも上のファインマン振幅φ(ｘ,Ｐ),φ^(ｘ,Ｐ)の定義で|Ｐ＞を|Ｂ,ｒ＞で置き換えてＰ＝Ｐ_Bとすれば,これらはそれぞれ定数因子を除いて束縛状態のＢ-Ｓ.振幅φ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)に一致することがわかります。

※(訳注):このファインマン振幅については,2009年1/26の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(2)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/01/2-a6fd.html において,

"ファインマンＦ(ｐ,Ｐ)というのは一体,何を意味するのか不明ですが,グリーン関数Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)とは異なり,入射粒子の運動量遷移ｑを含まないので,位置表示でのＦ(ｘ_a,ｘ_b)がＦ(ｘ_a,ｘ_b)＝∫ｄｙ_aｄｙ_bＧ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)のようなものではないかと推測されます。"

という趣旨のことを書きましたが,ここまできてやっと明確な定義がわかりました｡※

さて,ｆ(ｘ,Ｐ)≡＜0|φ_a(η_bｘ)φ_b(－η_aｘ)|Ｐ＞,ｇ(ｘ,Ｐ)≡＜0|φ_b(－η_aｘ)φ_a(η_bｘ)|Ｐ＞とおけば,ファインマンはφ(ｘ,Ｐ)＝θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)＋θ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ),φ^(ｘ,Ｐ)＝θ(ｘ⁰)ｇ^*(ｘ,Ｐ)＋θ(－ｘ⁰)ｆ^*(ｘ,Ｐ)と表現できます。

フーリエ変換による運動量表示でのファインマン振幅の定義φ(ｘ,Ｐ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)φ(ｐ,Ｐ),φ^(ｘ,Ｐ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(iｐｘ)φ^(ｐ,Ｐ),および公式θ(ｘ⁰)＝－(2πi)^-1∫ｄ⁴ｋexp(－iｋｘ)δ³(ｋ)(ｋ⁰＋iε)^-1etc.を用いてファインマン振幅の表式を運動量空間における式に変換します。

これは,φ(ｐ,Ｐ)とφ^(ｐ,Ｐ)が共役であるという意味の詳細を示しています。

これらのφとφ^の表式において,ｄｑ⁰による被積分関数の分子は互いに複素共役の関係にありますが,特異性を与える分母は両者で一致しています。

すなわち,φ^の吸収部分はφのそれの複素共役に等しいことがわかります。φ^の分散部分はφ^の吸収部分に関連付けられますが,正確に同じ道筋でφの分散部分はφの吸収部分と関連付けられます。

ところで,１粒子ａは,単独では如何なる状態へも自発的に崩壊することは不可能です。

※(訳注)例えば,ｎ→ｐ＋ｅ＋νのようなβ-崩壊であっても,実際には自発的崩壊ではなく"弱い相互作用"という相互作用の摂動を受けた結果の誘導崩壊と考えられるわけです。厳密な意味では,自由粒子が自然に崩壊したのではありません。

たとえ,中性子ｎのように弱い相互作用の意味で安定な粒子でなく不安定な粒子でも,そうだと思います。

もっと言うなら,安定な粒子ｎであっても実はクォークやグルオンなどの構造を持つ複合粒子であって,１粒子ではないのでｎよりも小さい質量のｐに崩壊するのだともいえます。

しかし,逆に状態|Ｎ＞の静止エネルギーが１粒子ａ,つまり状態φ_a^＋(0)|0＞のそれよりも小さくない場合には,その遷移振幅＜0|φ_a(0)|Ｎ＞は一般にゼロとは限りません。※

それ故,ｐ_N²≧ｍ_a²,かつｐ_N⁰＞0 でないなら,＜0|φ_a(0)|Ｎ＞＝0です。つまり,(η_aＰ＋ｐ)²≧ｍ_a²,かつη_aＰ⁰＋ｐ⁰＞0 でないならｆ(ｐ,Ｐ)＝0 です｡

同様にｇ(ｐ,Ｐ)について(η_bＰ－ｐ)²≧ｍ_b²,かつη_bＰ⁰－ｐ⁰＞0 でないならｇ(ｐ,Ｐ)＝0 です｡

つまり,ｑ⁰≧ω_minでないなら,ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 であり,ｑ⁰≦ω_maxでないならｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 です。

ただし,ω_min≡[ｍ_a²＋(η_aＰ＋ｐ)

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