積分方程式(2)

　積分方程式の続きです。 

前記事のアーベル(Abel)φの積分方程式に続く話題として,リーマン・リウヴィル(Riemann-Liouville)作用素の話をします。

先に与えたアーベルの積分方程式∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ)(ａ＜ｘ＜ｂ)の左辺のｕに対する積分を定数Γ(α)で除したものを,(ａ,ｂ)の上の関数に作用する作用素(operator)と考えこれをＩ_a^αなる記号で表わすことにします。

つまりＩ_a^αｕ(ｘ)≡{1/Γ(α)}∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}(ａ＜ｘ＜ｂ)とします。そして作用素:Ｉ_a^αをリーマン・リウヴィルの積分作用素と呼びます。

これが作用する関数空間としては,取り合えず,区間Ｉの上で可測でＩにおける任意の有界閉部分集合の上で可積分な関数全体であるＬ¹_loc(Ｉ)を採用することにします。

Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)は任意のｃ∈[ａ,ｂ)に対して∫_a^c|ｕ(ｘ)|ｄｘ＜∞なる関数ｕ(ｘ)全体のことです。

例えば,ｕ(ｘ)≡(ｘ－ａ)^λ-1(λ＞0) とするとｕ(ｘ)∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)であってΓ(α)Ｉ_a^αｕ(ｘ)＝∫_a^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^1-α(ｙ－ａ)^1-λ}＝Β(α,λ)(ｘ－ａ)^λ+α-1となります。

Β(ｘ,ｙ)はΒ(ｘ,ｙ)≡∫₀¹{ｔ^x-1(1－ｔ)^y-1}＝Β(ｙ,ｘ)＝Γ(ｘ)Γ(ｙ)/Γ(ｘ＋ｙ)で定義されるオイラー(Euler)のベータ関数です。

なぜなら,積分変数をｙからζ＝(ｙ－ａ)/(ｘ－ａ)に置換すると,ｄζ＝ｄｙ/(ｘ－ａ)でありｙがａ→ｘと動くときζは0→1と動くので,∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝(ｘ－ａ)^λ+α-1∫₀¹ｄζ/{(1－ζ)^αζ^1-α}となるからです。

そして,再びΓ(α)Ｉ_a^αｕ(ｘ)＝Β(α,λ)(ｘ－ａ)^λ+α-1∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)です。

一般に,リーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αは次の命題で与えられる基本性質を持つことがわかります。

[命題１]:α＞0のとき,ｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ]ならＩ_a^αｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)であり,∀α,β＞0に対して,Ｉ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Ｉ_a^α+βｕが成立する。

　以下,これの証明です。

(証明) まず,ｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)なら∀ｃ∈[ａ,ｂ)について∫_a^c|Ｉ_a^αｕ(ｘ)|ｄｘ≦Γ(α)^-1∫_a^cｄｘ∫_a^xｄｙ{|ｕ(ｙ)|/(ｘ－ｙ)^1-α}＝Γ(α)^-1{∫_a^xｄｙ|ｕ(ｙ)|ｄｙ}{∫_a^c(ｘ－ｙ)^α-1ｄｘ≦{αΓ(α)}^-1(ｃ－a)^α∫_a^xｄｙ|ｕ(ｙ)|ｄｙ＜∞より,確かにＩ_a^α^ｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)です。

　そして,Ｉ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Γ(α)^-1Γ(β)^-1[∫_a^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)/(ｙ－ｚ)^1-β}]＝Γ(α)^-1Γ(β)^-1[{∫_a^xｕ(ｚ)ｄｚ}{∫_a^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1(ｙ－ｚ)^β－1}]です。

ところが,前にも見たように積分変数をｙからζ＝(ｙ－ｚ)/(ｘ－ｚ)に置換すれば,∫_z^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1(ｙ－ｚ)^β－1}＝(ｘ－ｚ)^(α+β)-1∫₀¹ｄζ(1－ζ)^α-1ζ^β－1＝Β(α,β)(ｘ－ｚ)^(α+β)-1となることがわかります。

ただし,Β(α,β)＝∫₀¹{ｔ^α-1(1－ｔ)^β-1}＝Β(β,α)＝Γ(α)Γ(β)/Γ(α＋β)です。

故にΓ(α)^-1Γ(β)^-1[{∫_a^xｄｚｕ(ｚ)∫_a^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1(ｙ－ｚ)^β－1}]＝Γ(α)^-1Γ(β)^-1Β(α,β)∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)(ｘ－ｚ)^(α+β)-1}＝Γ(α＋β)^-1∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)/(ｘ－ｚ)^1-(α+β)}＝Ｉ_a^α+βｕとなることがわかります。

以上でＩ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Ｉ_a^α+βｕなる等式の成立が証明されました。(証明終わり)

　上記の[命題１]の結論であるＩ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Ｉ_a^α+βｕなる性質によって,以下Ｉ_a^α(Ｉ_a^βｕ)を(Ｉ_a^αＩ_a^β)ｕと書き,これを記号的に作用素の積としてＩ_a^αＩ_a^β＝Ｉ_a^α+βと表現することにします。　 

　α＝1のときのリーマン・リウヴィル作用素Ｉ_ａ^α＝Ｉ_a¹は,Ｉ_a¹ｕ＝∫_a^xｕ(ｙ)ｄｙとなります。右辺は単にａを基点とする関数ｕの１回の積分を意味します。

それ故,上の[命題１]の結論Ｉ_a^αＩ_a^β＝Ｉ_a^α+βから,任意の自然数ｎに対して,(Ｉ_a¹)ⁿ ＝Ｉ_aⁿなる式が成立することがわかります。

Γ(ｎ)＝(ｎ－1)!ですから,これはｕのｎ回積分:(Ｉ_a¹)ⁿｕについて,(Ｉ_a¹)ⁿｕ(ｘ)＝{1/(ｎ－1)!}∫_a^xｄｙ{(ｘ－ｙ)^n-1ｕ(ｙ)}の成立を意味します。

しかし,実はｕのｎ回積分が{1/(ｎ－1)!}∫_a^xｄｙ{(ｘ－ｙ)^n-1ｕ(ｙ)}と書けることは,∫_a^x{Ｉ_a¹ｕ(ｙ)}ｄｙ＝∫_a^xｄｙ∫_a^yｕ(ｚ)ｄｚ＝∫_a^xｄｚｕ(ｚ)∫_z^xｄｙ＝∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)(ｘ－ｚ)}etc.など具体的計算から明らかです。

したがって,リーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αは,αが自然数ｎのときにはｎ回積分を示していることがわかります。

そこで,逆に定義Ｉ_a^αｕ(ｘ)≡{1/Γ(α)}∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}は,αが自然数ｎではなく一般の正の数のときのα回の積分への拡張になっていて,積分Ｉ_a^αｕ(ｘ)はαが一般の正の数である場合のα回積分と呼ぶにふさわしいものであると考えられます。

そして,もちろん(Ｉ_a^1/n)ⁿ＝Ｉ_a¹なる等式も成立しますから,リーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αは分数回積分を表現すると言われることもあるようです。

先のアーベルの積分方程式∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ)(ａ＜ｘ＜ｂ)はｆ(ｘ)/Γ(α)を改めてｆ(ｘ)と書けば{1/Γ(α)}∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ) (ａ＜ｘ＜ｂ)ですが,これをリーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αを用いて表わせばＩ_a^αφ＝ｆ(ａ＜ｘ＜ｂ)と書けます。

そして,前述したアーベルの積分方程式解法は,この方程式:Ｉ_a^αφ＝ｆの両辺にＩ_a^1-αを作用させた後に,それの両辺を微分する方法と解釈されます。　 

実際,作用素の積の性質からＩ_a^1-αＩ_a^α＝Ｉ_a¹(１回の不定積分)が成立します。

一方,微分するという演算を微分作用素Ｄ≡ｄ/ｄｘで表現すると,"微分と積分は互いに逆演算である＝関数の不定積分の微分は元の関数になる。"という微積分学の基本法則から記号的にＤＩ_a¹＝1 です。

それ故,形式的にＩ_a^αφ＝ｆ⇒Ｉ_a¹φ＝Ｉ_a^1-αｆ⇒ φ＝ＤＩ_a^1-α で表わされるアーベルの積分方程式の解法手順が可能になるわけです。

そこで,リーマン・リウヴィル微分作用素Ｄ_a^αというものをＤ_a^αｕ≡ＤＩ_a^1-αｕ＝{1/Γ(1－α)}∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}によって定義すれば,アーベルの積分方程式Ｉ_a^αφ＝ｆの解がφ＝Ｄ_a^αｆになるという意味で,Ｄ_a^αはＩ_a^αの逆作用素(Ｉ_a^α)^-1を与えると解釈されます。

しかし,上記のアーベルの積分方程式を解く手続き,あるいは作用素Ｄ_a^αを作用させるという操作Ｄ_a^αｕが正当化されるためには,Ｄ_a^αが如何なる関数ｕ(ｘ)に対して意味を持つかが問題になります。

そのため,まず∀ｃ∈[ａ,ｂ)に対し[ａ,ｃ)で絶対連続な関数全体から成る関数空間をＡＣ_loc[ａ,ｂ)と書くことにします。

このときラドン・ニコディム(Radon-Nycodim)の定理からｕ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)なることは,"ｖ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)が存在してｕ(ｘ)＝ｕ(ａ)＋∫_a^xｖ(ｙ)ｄｙ(ａ≦ｘ＜ｂ)と書けること"に同値です。

※(註):本ブログ「TOSHIの宇宙」の2007年７/７の過去記事「条件付確率と条件付期待値」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/07/post_049c.html を参照します。

「ラドン・ニコディムの定理」というのは,"もしもΦ(Ａ)が絶対連続:つまり,μ(Ｅ)＝0 Ｅ∈Ｍ なら常にΦ(Ａ)＝0 が成立するなら適当な密度関数f(ｘ)が存在してΦ(Ａ)＝∫_Ａｆ(ｘ)μ(ｄｘ)と表現できる。"というものです。(参照終わり)

ただし,σ-有限な測度空間(Ｘ,Ｍ,μ)でＭはＸの部分集合から成る可測集合族であり,μはその上の測度を意味しています。(註終わり)※

さらに,部分集合ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*をＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*≡{ｕ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)|ｕ(ａ)＝0} で定義します

このとき,次の定理が成立します。

[定理２]:0＜α＜1のとき,アーベル積分方程式Ｉ_a^αφ＝ｆがＬ¹_loc[ａ,ｂ)で可解であるためには,Ｉ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*なることが必要十分である。

そして,条件Ｉ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*の下でアーベル方程式Ｉ_a^αφ＝ｆの解は一意的にφ＝ＤＩ_a^1-αｆと解かれる。

　以下,これの証明です。

(証明)Ｉ_a^αφ＝ｆが解φ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)を持てば∫_a^xφ(ｙ)ｄｙ＝Ｉ_a^1-αｆ(ｘ)となり,左辺はｘ∈[ａ,ｂ)で絶対連続でＩ_a^1-αｆ(ａ)＝0です。それ故,Ｉ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*です。

　逆にＩ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*を仮定すると,φ≡ＤＩ_a^1-αｆが存在してＩ_a^1-αｆ(ｘ)＝∫_a^xφ(ｙ)ｄｙとなります。

　ここで,ｇ≡Ｉ_a^αφと置けば[命題1]によってｇ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)でありＩ_a^1-αｇ＝Ｉ_a¹φ(ｘ)＝∫_a^xφ(ｙ)ｄｙです。

　そこで,Ｉ_a^1-αｇ＝Ｉ_a^1-αｆが得られました。

　これの両辺にＩ_a^αを作用させると,∫_a^xｇ(ｙ)ｄｙ＝∫_a^xｆ(ｙ)ｄｙですから,両辺を微分してＬ¹_loc[ａ,ｂ)においてｇ≡ｆを得ます。(証明終わり)

　途中ですが急用を思い出したので今日はここまでにします。

参考文献:上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版)

ＰＳ:脳血管の「もやもや病」というのはアーティストの「徳永英明」さんが罹ったことで有名になったみたいですね。

　そういえば,かなり昔に確か高島兄弟の１人が主演？の弁護士もののドラマのテーマ曲として聴いていたと記憶している「壊れかけのradio」という唄が彼の持ち唄でしたね。http://www.youtube.com/watch?v=J_Lq5R8rG4s&feature=fvw

　それをカラオケでよく唄っていた頃は,高音部を唄うと首から上の血管が切れそうにな程に辛いことがよくあったのですが,「もやもや病」と何か関係あるのでしょうか？

　私の方は歌手ではなくカス？ですが。。。

(今なら昔ほど目一杯大声を張り上げずに唄うので,もっとおだやかな喉への力で唄うことができるかもしれませんね。。)

PS2:「９.11記念日」も風化しつつあるようです。。。

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積分方程式(1)(導入)

　まず,本記事を書くに至った動機として,これまで書いてきた「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式」(1)～(9)のシリーズ記事,特に「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(1)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/01/1-64b9.html の内容を抜粋して要約します。

　※(要約):

　ベーテ・サルピーター方程式(Bethe-Salpeter equation),略してＢ-Ｓ.eq.はａ,ｂ２粒子の散乱の４点グリーン関数Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)φ_a^＋(ｙ_a)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞に対し,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＋∫ｄ⁴ｚ_a∫ｄ⁴ｚ_b∫ｄ⁴ｚ_a'∫ｄ⁴ｚ_b'⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ_b)I(ｚ_a,ｚ_b;ｚ_a',ｚ_b')Ｇ(ｚ_a',ｚ_b';ｙ_a,ｙ_b)で与えられる積分方程式です。

　ただし,⊿_F'(ｘ－ｙ)は修正された(真の)伝播関数(２点グリーン関数)で,一般にスカラー場φ(ｘ)に対しては⊿_F'(ｘ－ｙ)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ^＋(ｙ))|0＞で定義されます。ＴはＴ積(時間順序積)です。

また,Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)は,４点グリーン関数Ｇから４つの"粒子外線＝外部伝播関数"を切り離した"相互作用のblob＝(ａ＋ｂ)中間状態"の中から２つの"内線＝伝播関数"を除くだけでは互いに素な２つの部分に分割不可能な固有グラフ,つまり"２粒子既約部分＝(ａ＋ｂ)-既約な積分核"の部分です。

理論は平行移動不変なので,"平行移動の生成子(generators)＝２粒子ａ,ｂの総４元運動量Ｐ^^μ"が存在して,φ_α(ｘ)＝exp(iＰ^ｘ)φ_α(0)exp(－iＰ^ｘ),φ_α^＋(ｘ)＝exp(iＰ^ｘ)φ_α^＋(0)exp(－iＰ^ｘ)(α＝ａ,ｂ),Ｐ^^μ|0＞＝0です。

Ｔ積の性質から,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)はｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,ｘ_a－ｙ_a,ｘ_b－ｙ_b,ｘ_a－ｙ_b,ｘ_b－ｙ_aなる全ての座標の差の関数であることがわかります。これらのうち,独立なものを１次結合で作ります。

結局,ｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)(η_a,η_bはη_a＋η_b＝1の任意に固定した実定数)で与えられる３つの変数が独立であることがわかります。

そして,Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)もＧと同様ｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)の関数です。

結局,Ｂ-Ｓ.eq.は運動量表示ではＧ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)＋⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ),または[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)＋(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)となります。

これは,記号的にはＫＧ＝1＋IＧと書けます。

しかし,この簡単な等式が実は"時空座標表示＝ｘ-表示"での積分方程式Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＋∫ｄ⁴ｚ_a∫ｄ⁴ｚ_b∫ｄ⁴ｚ_a'∫ｄ⁴ｚ_b'⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ_b)Ｉ(ｚ_a,ｚ_b;ｚ_a',ｚ_b')Ｇ(ｚ_a',ｚ_b';ｙ_a,ｙ_b)を意味しています。(要約終わり)※

量子論の基本方程式は,定常状態ならハミルトニアンをＨとしてエネルギーの固有値方程式:Ｈ|ψ>＝Ｅ|ψ＞で与えられますが,これはｘ表示ではＨは線形微分作用素(演算子),ψはｘの関数(波動関数)ψ(ｘ)となり,Ｈψ＝Ｅψなる形の微分方程式となります。

つまり,ｘ表示の量子論の方程式は,一般にＬを線形微分作用素,λを固有値とするｘの関数φ＝φ(ｘ)に対する線形微分方程式Ｌφ＝λφの形をしています。

そして,通常のＬの逆作用素Ｌ^-1が存在する場合には,微分方程式:Ｌφ＝λφは形式的に解くことができて,φ＝ｆ＋λＬ^-1φなる形の解を得ることができます。

Ｌが微分作用素なのでＬ^-1は微分の逆演算である積分作用素です。したがって,φ＝ｆ＋λＬ^-1φは積分方程式(integral equation)です。

結局,線形微分方程式:Ｌφ＝λφの初期値-境界値問題を解くと,常に積分方程式φ＝ｆ＋λＬ^-1φが得られます。逆に,これを微分すると元の微分方程式を得ます。

すなわち,元々は抽象ヒルベルト空間のべクトルに作用する作用素としての形で表現されたＬ|φ>＝λ|φ＞なる固有値方程式を,位置座標表示や運動量表示など種々の表示で表現したとき,これは微分方程式にも積分方程式にも表現できて,両者は等価です。

(微分方程式と積分方程式の表現は互いに逆問題ともいわれます。)

Ｌは系のある対称性変換に対する不変性に関わるネーター(Noether)保存量であって,この変換の生成子に相当します。

これらは一般に現実の時空の対称性である時間,空間の一様性に関わる平行移動変換群の生成子としてのハミルトニアン(エネルギー)と運動量,また,空間の等方性(回転群)に関わる生成子としての角運動量,

そして,内部空間である荷電空間(アイソスピン空間)の回転群の生成子である電荷(アイソスピン)などのように常に観測可能な物理量(obserbavle)に対応しています。

数学という側面で見ると,結局,"量子論というのは表示と表示の間の変換性がその本質であって表示と変換の理論である。"というように結論して,大風呂敷を広げることもできます。

実際,量子論の基礎を学んでいくと,我々は知らず知らずのうちにヒルベルト空間やバナッハ空間など状態空間を与える線形空間のベクトルとそれに作用する線形作用素に関し,固有ベクトルによるスペクトル展開などの拡張されたフーリエ理論や超関数と関わる関数解析という数学の１分野に慣れ親しむようになっています。

そして,状態空間のベクトルのｘ表示では固有値方程式はシュレーディンガー,ディラック,クライン・ゴルドンなどを含む線形偏微分方程式になり,それらの境界値問題を解くのが量子論の主要問題になります。

そして,線形微分方程式を定める線形微分作用素(線形演算子)の超関数的な逆作用素(逆演算子:inverse)をグリーン関数を積分核(kernel)として積分表現をする手法などに慣らされているので,偏微分方程式と等価に見える積分方程式についても,その基礎理論や解法についてわかっているつもりになっていました。

しかし,最近,Ｂ-Ｓ.eq.やその関連の論文を読む中で,単なる計算式のチェックに何日もかかり遅々として進まないのは,実はVorterra型やFredholm型など積分方程式関連の基本的事項について,私自身が本格的に勉強したことがなく理解できてないことがその原因ではないか？と思い当たる節があったので,少しの間,数学に寄り道をして積分方程式を真剣に学ぼうと思ったわけです。

そこで,積ん読で読んだことがないと記憶していますが比較的物理数学に近くて古い記述の,吉田耕作著の岩波全書「積分方程式の解法」を所持していたことを思い出して自分の本棚を探して見ました。

しかし,どうもこれも古本屋に売ってしまったらしく,取り合えず手元にあった上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版)というやや現代数学的色彩の本を参照することにしました。

まず,積分方程式の起源としてアーベル(Abel)が1823～1826年頃に扱ったという積分方程式から見てみます。

これは,∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ) (ａ＜ｘ＜ｂ)という方程式です。これをアーベルの積分方程式,またはアーベル型の積分方程式といいます。

ただし,方程式の対象である未知関数はφ(ｘ)であり,ｆ(ｘ)は予め与えられた既知の関数です。

また,パラメータαは 0＜α＜1を満たすある定数で,一方ａ,ｂは－∞＜ａ＜ｂ≦∞を満たします。

これは,アーベルに従えば次のようにして解けることがわかります。

まず,∫_a^xｄｙ/(ｘ－ｙ)^α∫_a^yｄｚ{φ(ｚ)/(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}と変形します。

左辺でｙとｚの積分順序を交換すれば,∫_a^xｄｚφ(ｚ)∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となります。

さらに,∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}において積分変数をｙからζ＝(ｙ－ｚ)/(ｘ－ｚ)に置換すると,ｄζ＝ｄｙ/(ｘ－ｚ)であり,ｙのｚ→ｘの変動に対してζは0→1と変動します。

結局,具体的計算結果として∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫₀¹ｄζ/{(1－ζ)^αζ^1-α}＝Β(α,1－α)を得ます。

ここで,Β(ｘ,ｙ)はオイラー(Euler)のベータ関数でΒ(ｘ,ｙ)≡∫₀¹{ｔ^x-1(1－ｔ)^y-1}＝Β(ｙ,ｘ)＝Γ(ｘ)Γ(ｙ)/Γ(ｘ＋ｙ)で定義されます。Γ(ｘ)はオイラーのガンマ関数です。

したがって,元の積分方程式はΒ(α,1－α)∫_a^xｄｚφ(ｚ)＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となります。

すなわち,φ(ｘ)＝{Β(α,1－α)}^-1(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}]となって,解φの表式を得ることができます。

ただし,右辺の積分式とその微分が有限に確定するためにはｆ(ｘ)に何らかの条件が必要です。

ｆが十分滑らかな関数なら,部分積分により(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}]＝ｆ(ａ)/(ｘ－ａ)^α＋∫_a^xｄｙ{ｆ'(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となることが期待されます。ｆ'はｆの導関数(微分係数)です。

以上がアーベルの積分方程式の解法です。

アーベルにとって,これは次の問題が動機であったらしいです。

すなわち,"ある質点が曲線Ｃに沿って,そのＣ上のある点Ａから定点Ｏまで初速ゼロで重力のみの作用を受けて摩擦なしで滑り降りるときの所要時間Ｔが与えられたとき,この曲線Ｃを決定するにはどうしたらよいか？"という物理学の問題です。

(例えば,曲線Ｃがある角度で傾いた斜面を表わす直線なら,Ｔは高校物理でも習うような斜面を滑り降りる物体が頂上から下に到達する時間だし,また錘を糸の先につけた振り子ならＣは糸の長さＬを半径とする円であって,Ｔは振り子の周期に関係する時間ですね。)

ｙｚ平面(ｚが水平方向,ｙが鉛直高さ方向)の上の曲線Ｃがｚ＝ψ(ｙ)で表わされるとし,点Ａの高さをｘとします。時刻ｔにおいて質量がｍの質点(ｙ(ｔ),ｚ(ｔ))の速度はｖ(ｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ｄｚ/ｄｔ)なので速さはｖ(ｔ)＝{(ｄｙ/ｄｔ)²＋(ｄｚ/ｄｔ)²}^1/2です。

重力加速度をｇとすると,最初の時刻ｔ＝0 ではｙ(ｔ)＝ｘで初速がｖ(ｔ)＝0 なので,この重力による運動でのエネルギーの保存則は(1/2)ｍｖ(ｔ)²＝ｍｇ{ｘ－ｙ(ｔ)}となります。

一方,速度ベクトルは曲線Ｃ:ｚ＝ψ(ｙ)の上ではｖ(ｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ｄｚ/ｄｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ψ'(ｙ)(ｄｙ/ｄｔ))です。

そこで,ｖ(ｔ)²＝(ｄｙ/ｄｔ)²＋(ｄｚ/ｄｔ)²＝{1＋ψ'(ｙ)²}(ｄｙ/ｄｔ)²によって{1＋ψ'(ｙ)²}(ｄｙ/ｄｔ)²＝2ｇ(ｘ－ｙ)です。

それ故,ｄｙ/ｄｔ＝－{2ｇ(ｘ－ｙ)}^1/2/{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2,またはｄｔ＝－[{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/{2ｇ(ｘ－ｙ)}]^1/2ｄｙです。

そこで,到達すべき終点Ｏの高さをａとすると,Ｔ＝∫_a^xｄｙ[{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/{2ｇ(ｘ－ｙ)}]^1/2と書けます。

この式は,始点Ａを曲線Ｃ上の任意の点と考えて所要時間ＴをＡの高さｘの関数ｆ(ｘ)に書き直し,関数φをφ(ｙ)≡{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/(2ｇ)^1/2と定義すれば∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2＝ｆ(ｘ)になります。

こうして結局,アーベルの積分方程式∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ)のα＝1/2とした特別な場合に当たることがわかります。

故に,これの解はφ(ｘ)＝{Β(1/2,1/2)}^-1(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}＝π(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}]＝πｆ(ａ)/(ｘ－ａ)^1/2＋π∫_a^xｄｙ{ｆ'(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}ですね。

ただし,ｙｚ平面上の曲線ｚ＝ψ(ｙ)の表現という形式にこだわるなら,ｚ＝φ(ｙ)＝{Β(1/2,1/2)}^-1(ｄ/ｄｙ)[∫_a^yｄｗ{ｆ(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}＝π(ｄ/ｄｙ)[∫_a^yｄｗ{ｆ(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}＝πｆ(ａ)/(ｙ－ａ)^1/2＋π∫_a^yｄｗ{ｆ'(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}と書くべきかも知れません。

物理学では,"時間Ｔ＝ｆ(ｘ)が最小になる曲線Ｃを決定する。"という有名な"最速降下線の問題"があって,設定はアーベルのそれとよく似ていますが,こちらの方は"最小作用の定理"などと同じく変分の問題でラグランジュ方程式を作って解くのと同じような方法で解くことができて,解はサイクロイド(cycloid)曲線になることがわかっています。

ちなみに,極座標での角度がθ＝0 のときの初期高さがＡのサイクロイド曲線はｙｚ平面ではｚ＝Ａ(θ－sinθ),ｙ＝Ａ(1－cosθ)です。

サイクロイド曲線Ｃは,ｚ＝ψ(ｙ)なる表現ではＣ上の各点における勾配がψ'(ｙ)＝ｄｚ/ｄｙ＝(1－cosθ)/sinθを満たしています。

積分方程式の導入(introduction),または考察の動機を述べることが中心の記事ということで今日はここまでにします。

現在Pendingになっているベーテ・サルピーターの方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)関連の話題の続きは積分方程式の話が終わってからにします。

参考文献:上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版),Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation",Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

PS:選挙が終わって民主党大勝の８/31(月)朝の感想です。

　今の,衆議院選挙でのある意味で政権交代が起こりやすく大政党候補者のみに有利な小選挙区に,真逆の,ある意味で投票者の死に票がほとんど生じなくて票が公平に反映されますが小党が乱立当選して議事表決がままならず法案が決まりにくい"大選挙区＝比例代表区"を少し加えたような選挙制で勝ち負けがはっきり決まって,一方的になるというケースを２度続けて見ました。

　しかし,過ぎたるは及ばざるがごとし,いっそのこと元の両方折衷のなつかしい中選挙区だけに戻した方がベターなのじゃないでしょうか？

　もっとも,私の本音は選挙制度を知ったばかりの昔から,その欠点を承知の上で選挙するなら完全な意味での"大選挙区＝比例代表区"だけでいいという思想ですが。。。

　いずれにしろ,水を差すようですが"権力を握ればそれは必ず腐敗する。"(←トロツキーの永久革命論？)ので,長期にならないように交代する,あるいは有権者が交代させることが必要でしょう。

　自民党だって,これほど長期でなければ腐敗とか癒着とかはなかっただろうと思います。

　知事など自治体首長には多選を避けて２期も勤めれば自ら勇退して,次は後進に道を譲るという思想もあるようですが。。。。

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コーシーの主値(主値積分)

　　コーヒー・ブレイクとして,数学のショートトピックを考察してみます。

　ちょっと思い付きで,コーシー(Cauchy)の主値,あるいは主値積分と呼ばれているものを考えます。

　コーシーの主値というのは,実数の区間[ａ,ｂ]で定義された関数ｆ(ｘ)がａ＜ｃ＜ｂなるある点ｃで不連続なとき,Ｐ∫_a^ｂｆ(ｘ)ｄｘ≡lim_ε→+0[∫_a^c-εｆ(ｘ)ｄｘ＋∫_c+ε^bｆ(ｘ)ｄｘ]と定義して,これを主値(積分)(principal value)と呼ぶことを指します。

　これは,区間[ａ,ｂ]が無限区間(－∞,∞)で被積分関数がｆ(ｘ)/ｘ (ｆ(ｘ):連続関数)の場合には,Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＝lim_ε→+0[∫_|x|≧ε{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ]です。

　複素平面上の実軸を含む領域でｆ(ｚ)が正則なとき,主値Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘを,複素ｚ平面上のある経路Ｃにおける線積分∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚで近似することを考えます。

Ｃとしては,実軸上の－∞から－εまで真っ直ぐ進み,原点Ｏを回避するために,Ｏを中心として半径εの小円で点－εから点εまで時計回り(負の向き)にπだけ回る半円経路を加え,さらにεから∞までの直線経路を考えたものとします。

つまり,小半円の経路をγ^-とすると,全経路はＣ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)です。

すると,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚと書けます。

ところが,明らかに∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝i∫_π⁰ｆ(εexp(iθ))ｄθ＝－iπｆ(0)です。

　それ故,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0) なることがわかります。

　被積分関数ｆ(ｚ)/ｚに対し,その特異点であるｚ＝0 付近で上半平面方向に歪めた経路Ｃ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)を取る代わりに,通常の(－∞,∞)の経路のまま,被積分関数の方をｆ(ｚ)/ｚからｆ(ｚ)/(ｚ＋iε)に微修正して,特異点をｚ＝0 から下半平面のｚ＝－iεに移すのは,事実上,同等な操作であり,同じ積分値を与えるはずです。

　すなわち,∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ＋iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0)です。

　同様な考察から∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ－iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋iπｆ(0)も得られます。

　これらの公式を,形式的に1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ), 1/(ｘ－iε)＝Ｐ(1/ｘ)＋iπδ(ｘ)と書きます。

　主値積分については,コーシーの積分定理を意識して,上半平面や下半平面で,半径が∞の半円周を加えた閉じた経路を積分経路Ｃとする説明をよく見かけますが,それは半径が∞の半円周上で積分がゼロになるような特別な被積分関数形を要求します。

　留数などを考慮する必要がある場合なら,その方がいいでしょうが,上の考察では,関数ｆ(ｚ)がｚ→ ∞でゼロに急減衰すべきであるとかの条件は全く必要ないのがミソです。

　今日は記憶に頼った短かい覚え書きなので参考文献はありません。

ＰＳ:２ヶ月ぶりに帝京大病院に診察を受けに行きました。

　これまでは内科診療は心臓や血管が専門の主治医Ｉ先生だけでしたが持病の糖尿病がかなり悪化しているというので今回からＭという糖尿病が専門の女の先生の診療も受けることになりました。

　ところが,先に診察を受けた糖尿病の方で,12時直前に受けた診察で,朝９時半に検査した結果の糖尿病の指標であるヘモグロビン(HbA1C;正常値4.3～5.8）が,前回(５月８日)まで,11くらいもあったのに,8.6と劇的に軽減されていたので,当然インシュリン注射の指導をする予定だったらしい女医が,これまで通りの投薬で様子を見るということになりました。

　空腹時血糖値は200丁度でしたが,これも前回は確か250くらいだったので減っていたし,今日は朝８時頃おにぎりを食べてきたので完全に空腹というわけではありませんでしたた。

　別に何をしたというわけもなく,このところ金がなくて空腹続きだったのが良かったのでしょうか？

　最近,何かしましたか？生活が変わりましたか？等聞かれましたが,相変わらず薬はよく忘れて半分くらいは残っているし,別に,貧乏で肉類が少なく空腹だったくらいです。

　そういえば,先月初め,知り合いに紹介されて面接した秋葉原の「コタラヒムジャパン」http://kothalahim.blog110.fc2.com/blog-entry-9.html という会社が,偶然にも和名「コタラヒム」という名前の糖尿病に効くらしいスリランカの薬草を販売している会社でした。

　そのとき,対面したＳ会長に自分も長年糖尿病である旨を伝えたら,サンプル試供品の「コタラヒム」を20粒程度頂きました。これを思いついたときには食前２錠ずつ飲んでいたのを思い出しました。

　まだ,数粒残っているので,毎日飲んだわけではないようです。

　このことを言ったら,後で診察を受けた糖尿が専門ではない心臓病の主治医は少し興味を持ったようでしたが,糖尿病が専門の医者には「毒かもしれないから,変なものは飲まないように」と言われました。

　私のデータが改善された理由は,十分な比較サンプルもないので,もちろん何の効果かははっきりしないのでしょうが,そもそもインシュリン投与の対症療法しかない糖尿病だし,専門の立場からはイカガわしいもが多いという気持ちはわかりますが,別に私はその会社の回し者ではないので調べるくらいしてもいいのにと思いました。

　(理由は,何でも薬は効きさえすればいいのだと思う。。大きな副作用があれば別ですが。。)

　心臓,血管関係では,２年前のバイパス手術退院当時,上が85～90だった血圧が120と正常になってました。また,退院時52キロだった体重も61キロと戻ってきました。

　しかし,身長が176センチなので,まだまだやせていて太りたいのですが,ここ数年来摂取カロリーが成人標準の半分程度なので,やせるのも仕方ないでしょう。

　だからこそ,食事療法などは無駄だから,インシュリンを投与しろということらしかったのですが。。。

　また,これまで,フラフラして転びやすいのは,主に低血圧のせいと思っていたら,赤血球も正常下限値の８割しかなくて貧血もあるようでした。その他は腎臓が蛋白＋２で少し悪い以外は全て正常値でした。

　念のため,次回はほぼ全部の内臓の超音波(エコー)検査をすることになりました。

　また,４月末にやった両足首の動脈の検査結果から,足の動脈硬化らしいので薬ももらいましたが,来週下半身のＭＲＩ検査をして,場合によっては足の動脈のカテーテルか,バイパス手術もあるらしいです。

　そうだとしても,今度は心臓ではなく足なので危険度ははるかに少ないでしょう。

　糖尿病状態の急激な変化は,たとえ軽癒の場合でも眼底によくないとのことで,同じ日に久しぶりに眼科の診察も受けることになりました。

　こうした検査は人間ドック以上にお金がかかるだろうとはいえ,これまで定期的に受けてきた診察では何もなかったのに５月に病院の建物や施設が新しくなったとたんに,こう色々と出てくるのでは今までは一体何だったんだろう？と思ってしまいます。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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多項式の判別式と終結式について

2009年３/11の数論関係の記事「フェルマーの定理と類体論(1)」

http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/03/fermat1-2daf.html の続きとして楕円曲線の群構造について書こうとしていましたが,参考書を読んでいると証明抜きで代数幾何学の定理を応用したものなどが出てきました。

こういうものは見過ごせば,付け焼刃的に理解することはできますが,私の悪い癖で数論よりも代数幾何学の中の射影幾何学などにも興味が湧きました。

そこで自分の本棚を探してみると,唯一持ってはいても読んだことのない「代数幾何入門」(上野健璽著(岩波書店))という本を見つけたので,それを最初から勉強することにしてそれが終わってから数論に戻ろうかとか思いをめぐらしました。

代数幾何学というのは,歴史的には式で定義された図形の幾何学などを意味し,デカルト・フェルマー(Descartes-Fermat)に始まる座標幾何学,または解析幾何学の導入と共に誕生したものらしいです。

しかし,いきなり一般論に入るのはやめて,ペル方程式のようなディオファントスの方程式の例題でも考えようとして「数論入門講義(数と楕円曲線)」(J.S.Chahel著;織田進訳(共立出版))を見つけて読んでいると,次のような終結式や判別式に関する項目が出てきました。

２つの多項式をｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (degｆ＝ｎ),ｇ(ｘ)＝ｂ₀＋ｂ₁ｘ＋ｂ₂ｘ²＋...＋ｂ_mｘ^m (degｇ＝ｍ)とするとき,係数(ａ₀,ａ₁,ａ₂,．．ａ_n)を１列ずつずらしてｍ行並べ,その下に(ｂ₀,ｂ₁,ｂ₂,．．ｂ_m)を１列ずつずらしてｎ行並べた(ｍ＋ｎ)×(ｍ＋ｎ)の行列式をｆ(ｘ),ｇ(ｘ)の終結式と呼び,Ｒ(ｆ,ｇ)と書く。

ただし,ここではｆ(ｘ),ｇ(ｘ)はある体ｋの上の多項式環ｋ[ｘ]の元とし,degｆ,degｇはそれぞれｆ,ｇの次数を表わすとする。

また,ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)の最大公約数(g.c.d)をｄ(ｘ)≡(ｆ(ｘ),ｇ(ｘ))と書くことにする。このとき,次の定理が成り立つ。

[定理１]:ｄ(ｘ)＝(ｆ(ｘ),ｇ(ｘ))とする。このとき,degｄ≧1であるための必要十分条件はＲ(ｆ,ｇ)＝0 である。

(証明)ｄ＝(ｆ,ｇ)なので,ｆ＝ｄｆ₁,ｇ＝ｄｇ₁と書けばｆｇ₁＝ｆ₁ｇ＝ｄｆ₁ｇ₁が成立します。そこで,degｄ≧1であるための必要十分条件はdegｆ₁＜degｆ,degｇ₁＜degｇ,かつｆｇ₁＝ｆ₁ｇを満たすｆ₁(ｘ),ｇ₁(ｘ)が存在することです。

ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (degｆ＝ｎ),ｇ(ｘ)＝ｂ₀＋ｂ₁ｘ＋ｂ₂ｘ²＋...＋ｂ_mｘ^m (degｇ＝ｍ)と書きます。

degｆ₁＜degｆ,degｇ₁＜degｇを満たすｆ₁,ｇ₁が存在してｆｇ₁＝ｆ₁ｇなる恒等式(identity)が成立するならdegｆ₁≦ｎ－1,degｇ₁≦ｍ－1ですから,ｆ₁(ｘ)＝α₁＋α₂ｘ＋...＋α_nｘ^n-1,ｇ₁(ｘ)＝β₁＋β₂ｘ＋...＋β_mｘ^m-1とすると,ｆｇ₁＝ｆ₁ｇは両辺の係数を等置する(ｍ＋ｎ)個の等式:ａ₀β₁＝ｂ₀α₁,ａ₁β₁＋ａ₀β₂＝ｂ₁β₁＋ｂ₀β₂,...,α_nｂ_m＝β_mａ_nが成立することを意味します。

　この(ｍ＋ｎ)個の等式はα₁,α₂,...,α_nのｎ個のｆ₁(ｘ)の係数の組をｎ成分の列ベクトルα≡^t(α₁,α₂,...,α_n)で,β₁,β₂,．．,β_mのｍ個のｇ₁(ｘ)の係数の組をｎ成分の列ベクトルβ≡^t(β₁,β₂,...,β_m)で表現すると,(ａ₀,0)β＝(ｂ₀,0)α,(ａ₁,ａ₀,0)β＝(ｂ₁,ｂ₀,0)α,(ａ₂,ａ₁,ａ₀,0)β＝(ｂ₂,ｂ₁,ｂ₀,0)α,...,となります。

　ここで,(ａ₀,0),(ａ₁,ａ₀,0),(ａ₂,ａ₁,ａ₀,0),...はｍ成分の行ベクトル(row vector),(ｂ₀,0),(ｂ₁,ｂ₀,0),(ｂ₂,ｂ₁,ｂ₀,0),...はｎ成分の行ベクトルで,これら(ｍ＋ｎ)個の式の両辺はそれぞれベクトルの内積の形になっています。

そこで,さらにβと－αを並べた(ｍ＋ｎ)成分の列ベクトル:γ≡^t(β₁,β₂,...,β_m,－α₁,－α₂,...,－α_n)を作れば,上の(ｍ＋ｎ)個の等式は(ａ₀,0,ｂ₀,0)γ＝0,(ａ₁,ａ₀,0,ｂ₁,ｂ₀,0)γ＝0,(ａ₂,ａ₁,ａ₀,0,ｂ₂,ｂ₁,ｂ₀,0)γ＝0 ...となります。

　この表現では,係数(ａ₀,0,ｂ₀,0),(ａ₁,ａ₀,0,ｂ₁,ｂ₀,0),(ａ₂,ａ₁,ａ₀,0,ｂ₂,ｂ₁,ｂ₀,0)も(ｍ＋ｎ)成分の行ベクトルです。

結局,(ｍ＋ｎ)個の等式は係数の行ベクトルを(ｍ＋ｎ)行並べたものを(ｍ＋ｎ)×(ｍ＋ｎ)の正方行列Ａと考えれば,等式系はＡγ＝0 なる行列形式の斉次連立方程式になることがわかります。

このとき,行列Ａの転置^tＡは,明らかにそれの行列式として終結式Ｒ(ｆ,ｇ)を与える行列に一致しています。

したがって,Ｒ(ｆ,ｇ)＝detＡ＝0 なる等式の成立がＡγ＝0 がγ≡^t(β₁,β₂,...,β_m,－α₁,－α₂,...,－α_n)の自明でない解を持つための必要十分条件になります。つまり,Ｒ(ｆ,ｇ)＝0 がdegｄ≧1 であるための必要十分条件です。(証明終わり)

[定義]:ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (ａ_n≠0)をｋ[ｘ]における多項式とするとき,Δ(ｆ)≡(－1)^n(n+1)/2Ｒ(ｆ,ｆ')/ａ_nをｆ(ｘ)の判別式という。

　ただし,ｆ'(ｘ)はｆ(ｘ)の導多項式と呼ばれる多項式でｆ'(ｘ)≡ａ₁＋2ａ₂ｘ＋...＋ｎａ_nｘ^n-1で定義される。

　特にｆ(ｘ)＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃならｆ'(ｘ)＝2ａｘ＋ｂより,Ｒ(ｆ,ｆ')＝ａｂ²－4ａ²ｃですから,Δ(ｆ)＝ｂ²－4ａｃです。また,ｆ(ｘ)＝ｘ³＋Ａｘ＋Ｂならｆ'(ｘ)＝3ｘ²＋Ａより,Ｒ(ｆ,ｆ')＝4Ａ³－27Ｂ²ですから,Δ(ｆ)＝－4Ａ³＋27Ｂ²です。

ｆ(ｘ)が重根を持つのはｆ(ｘ)とｆ'(ｘ)が１次以上の共通因数を持つときですから,[定理1]によりこれはＲ(ｆ,ｆ')＝0,すなわちΔ(ｆ)＝0 と同値です。

[定理２]:ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)をｋ[ｘ]における多項式とする。このときｋ[ｘ]の中に多項式Ｆ(ｘ),Ｇ(ｘ)が存在してＲ(ｆ,ｇ)＝Ｆ(ｘ)ｆ(ｘ)＋Ｇ(ｘ)ｇ(ｘ)が成り立つ。

(証明)ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (ａ_n≠0),ｇ(ｘ)＝ｂ₀＋ｂ₁ｘ＋ｂ₂ｘ²＋...＋ｂ_mｘ^m (ｂ_m≠0)とします。

　Ｒ(ｆ,ｇ)＝0 ならｆｇ₁＝ｆ₁ｇなる１次以上の多項式ｆ₁,ｇ₁が存在するので,Ｆ(ｘ)≡ｇ₁(ｘ),Ｇ(ｘ)≡－ｆ₁(ｘ)とおけば, 0＝Ｒ(ｆ,ｇ)＝Ｆ(ｘ)ｆ(ｘ)＋Ｇ(ｘ)ｇ(ｘ)となります。

そこで,Ｒ(ｆ,ｇ)≠0 と仮定してｒ(ｘ)≡Ｒ(ｆ,ｇ)と置きます。

そうして,連立方程式系ｘⁱｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁱ＋ａ₁ｘⁱ⁺¹＋ａ₂ｘⁱ⁺²＋...＋ａ_nｘⁱ⁺ⁿ (ｉ＝0,1,...,ｍ－１),ｘ^jｇ(ｘ)＝ｂ₀ｘ^j＋ｂ₁ｘ^j+1＋ｂ₂ｘ^j+2＋...＋ｂ_mｘ^j+m (ｊ＝0,1,...,ｎ－１)を考えます。

Ｘ＝^t(1,ｘ,ｘ²,...,ｘ^m+n-1),Ｙ＝^t(ｆ(ｘ),ｘｆ(ｘ),...,ｇ(ｘ),ｘｇ(ｘ),...)なるベクトル表現を採用すれば,これは(ｍ＋ｎ)次の正方行列Ａを係数とする行列形式の(ｍ＋ｎ)元連立１次方程式:ＡＸ＝Ｙとなります。                        

このとき,明らかにＲ(ｆ,ｇ)＝det(Ａ)＝ｒ≠0 です。

det(Ａ)≠0 ですから,Ａの逆行列:Ａ^-1が存在します。これは,Ａの余因子Ａ_ijを成分とする行列を(adjＡ)として,Ａ^-1＝(adjＡ)/ｒと書けますから,これをＡＸ＝Ｙの左から掛けて解としてＸ＝(adjＡ)Ｙ/ｒが得られます。

そして,Ｘ＝(adjＡ)Ｙ/ｒの第１行目の式は１＝[(Σ_j=1^mＡ_1jｘ^j-1)ｆ(ｘ)＋(Σ_j=m+1^m+nＡ_1jｘ^j-m-1)ｇ(ｘ)]/ｒ(ｘ)となります。

そこでＦ(ｘ)≡Σ_j=1^mＡ_1jｘ^j-1,Ｇ(ｘ)≡Σ_j=m+1^m+nＡ_1jｘ^j-m-1と置けばｒ(ｘ)＝Ｆ(ｘ)ｆ(ｘ)＋Ｇ(ｘ)ｇ(ｘ)が得られます。(証明終わり)

などなどと続いていきますが,ここで私がかつて学生時代に読んだ「代数学講義」(高木貞治 著(岩波書店))とは判別式,終結式の定義が全然違っているので,果たして同じものだろうか？という疑問が湧きました。

しかし,上で見たように上述の定義での判別式Δ(ｆ)は,ｆがｆ(ｘ)＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃの２次式ならΔ(ｆ)＝ｂ²－4ａｃ,ｆ(ｘ)＝ｘ³＋Ａｘ＋Ｂの３次式ならΔ(ｆ)＝－4Ａ³＋27Ｂ²で,これは両者の定義で全く同じですから,恐らく同じものなのでしょうが,本当に同じであることかどうかを証明しようという気になりました。

従来から知っていた多項式の判別式,終結式の定義は次のようなものでした。 

まず,ｎ個の変数ｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_nがあるとき,差積ＰをＰ≡(ｘ₁－ｘ₂)(ｘ₁－ｘ₃)...(ｘ₁－ｘ_n)(ｘ₂－ｘ₃)...(ｘ₂－ｘ_n)...(ｘ_n-1－ｘ_n)で定義します。このＰは対称式ではなくて交代式ですが,Ｐ²は対称式です。

そして判別式の定義は「ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿのｎ個の根をｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_nとしてこれらの差積をＰで表わすとき,Ｄ≡ａ_n^2(n-1)Ｐ²を方程式ｆ(ｘ)＝0,または多項式ｆ(ｘ)の判別式という。」というものです。

上記の別の定義ではｆの判別式はΔ(ｆ)と表記されていましたが,ここではＤです。

また,終結式の定義は「ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (ａ_n≠0),およびｇ(ｘ)＝ｂ₀＋ｂ₁ｘ＋ｂ₂ｘ²＋...＋ｂ_mｘ^m (ｂ_m≠0)の根をそれぞれα₁,α₂,...,α_n,およびβ₁,β₂,...,β_mとするとｆ(ｘ)＝ａ_nΠ_μ=1ⁿ(ｘ－α_μ),ｇ(ｘ)＝ｂ_mΠ_ν=1^m(ｘ－β_ν)ですが,Ｒ≡ａ_n^mｂ_mⁿΠ_μ,ν(α_μ－β_ν)をｆ(ｘ),ｇ(ｘ)の終結式と呼ぶ。」という形で与えられています。

別の定義ではｆ,ｇの終結式はＲ(ｆ,ｇ)と表記されています。

そして,ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (ａ_n≠0)に対して導多項式はｆ'(ｘ)≡ａ₁＋2ａ₂ｘ＋...＋ｎａ_nｘ^n-1で与えられますから,ｆ'(ｘ)＝ａ_nΠ_ν=1^n-1(ｘ－β_ν)と書けばｆ'(α_μ)＝ａ_nΠ_ν=1^n-1(α_μ－β_ν)となります。

それ故,この場合従来から知っていた定義でのｆとｆ'の終結式はＲ＝Ｒ(ｆ,ｆ')＝ａ_n^2n-1Π_μ,ν(α_μ－β_ν)＝ａ_n^n-1Π_μｆ'(α_μ)となることがわかります。

ところが,ｆ(ｘ)＝ａ_nΠ_μ=1ⁿ(ｘ－α_μ)のときｆ'(ｘ)/ｆ(ｘ)＝Σ_μ=1ⁿ{1/(ｘ－α_μ)}ですから,ｆ'(ｘ)＝Σ_μ=1ⁿ{ｆ(ｘ)/(ｘ－α_μ)}と表現できます。

それ故,ｆ'(α_μ)＝Π_μ{Π_ν≠μａ_n(α_ν－α_μ)}と表現できます。

したがって,従来の終結式はＲ＝Ｒ(ｆ,ｆ')＝ａ_n^n-1Π_μｆ'(α_μ)＝ａ_n^2n-1Π_ν{_μ≠ν(α_μ－α_ν)}となります。

一方,従来の定義でのｆ(ｘ)の判別式ＤはＰ＝(α₁－α₂)(α₁－α₃)．．(α₁－α_n)(α₂－α₃)...(α₂－α_n)...(α_n-1－α_n)としてＤ＝ａ_n^2(n-1)Ｐ²で与えられますから,Ｄ＝ａ_n^2(n-1){Π_μ＜ν(α_μ－α_ν)}²＝(－1)^n(n+1)/2ａ_n^2(n-1)Π_μ≠ν(α_μ－α_ν)です。

ここで,最右辺に符号の係数(－1)^n(n+1)/2があるのは,次のようにして示されます。

もしもα₁,α₂,...,α_nの中に１組でも重根があればＰ＝0 によりＤ＝0 なので符号係数などは関係ないです。

そうでない場合には全ての根が異なるため,α_μ＜α_ν,つまり(α_μ－α_ν)の符号がマイナスになる(α_μ,α_ν)の対の数はｎ個の中から２個を取り出す組み合わせの数ｎ(ｎ＋1)/2に等しいからです。

したがって,Ｒ＝Ｒ(ｆ,ｆ')＝ａ_n^2n-1Π_μ≠ν(α_μ－α_ν),Ｄ＝(－1) ^n(n+1)/2ａ_n^2(n-1)Π_μ≠ν(α_μ－α_ν)によって,Ｄ＝(－1) ^n(n+1)/2Ｒ(ｆ,ｆ')/ａ_nとなることがわかりました。

これは,先に与えた別の定義での終結式Ｒ(ｆ,ｇ)による判別式Δ(ｆ)の定義:Δ(ｆ)≡(－1)^n(n+1)/2Ｒ(ｆ,ｆ')/ａ_nと全く同じ形です。

したがって,終結式Ｒ(ｆ,ｇ)の２つの定義が同じものであることを証明しさえすれば,判別式については自動的にＤ＝Δ(ｆ)であることになります。

(証明)ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (ａ_n≠0),およびｇ(ｘ)＝ｂ₀＋ｂ₁ｘ＋ｂ₂ｘ²＋...＋ｂ_mｘ^m (ｂ_m≠0)の根をそれぞれα₁,α₂,...,α_n,およびβ₁,β₂,...,β_mとすると,ｆ(ｘ)＝ａ_nΠ_μ=1ⁿ(ｘ－α_μ),ｇ(ｘ)＝ｂ_mΠ_ν=1^m(ｘ－β_ν)です。

　そして根と係数の関係としてａ₀/ａ_n,ａ₁/ａ_n,...,ａ_n-1/ａ_nは全てｆ(ｘ)＝0 の根α₁,α₂,...,α_nの基本対称式,ｂ₀/ｂ_m,ｂ₁/ｂ_m,...,ｂ_m-1/ｂ_mは全てｇ(ｘ)＝0 の根β₁,β₂,...,β_mの基本対称式で表わされますから,行列式で定義された方のＲ(ｆ,ｇ)はａ_n,ｂ_mおよびα₁,α₂,...,α_n,β₁,β₂,...,β_mの関数です。

　つまり,Ｒ(ｆ,ｇ)はＲ(ａ_n,ｂ_m,α₁,α₂,...,α_n,β₁,β₂,...β_m)なる形の関数です。

一方,[定理2]の証明では(ｍ＋ｎ)元の連立方程式系ｘⁱｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁱ＋ａ₁ｘⁱ⁺¹＋ａ₂ｘⁱ⁺²＋...＋ａ_nｘⁱ⁺ⁿ (ｉ＝0,1,...,ｍ－１),ｘ^jｇ(ｘ)＝ｂ₀ｘ^j＋ｂ₁ｘ^j+1＋ｂ₂ｘ^j+2＋...＋ｂ_mｘ^j+m(ｊ＝0,1,...,ｎ－１)を想定しました。

そして,この方程式の解の組:1,ｘ,ｘ²,...,ｘ^m+n-1を列ベクトルＸ＝^t(1,ｘ,ｘ²,...,ｘ^m+n-1)で,右辺の関数の組:ｆ(ｘ),ｘｆ(ｘ),...,ｇ(ｘ),ｘｇ(ｘ),...を列ベクトルＹ＝^t(ｆ(ｘ),ｘｆ(ｘ),...,ｇ(ｘ),ｘｇ(ｘ),...)で表わせば,係数を(ｍ＋ｎ)次の正方行列Ａとして元の方程式を行列形式の１次方程式:ＡＸ＝Ｙの形に書くことができて,係数Ａの行列式が終結式Ｒ(ｆ,ｇ)に等しいことを見ました。

この連立一次方程式ＡＸ＝Ｙにおいて,仮に代数方程式ｆ(ｘ)＝0 とｇ(ｘ)＝0 に共通根ｘ＝γが存在すれば,γ≡^t(1,γ,γ²,...,γ^m+n-1)と書くとＸ＝γではＡγ＝0 となるので斉次方程式ＡＸ＝0 に自明でない解γが存在することになり,そのときにはＲ(ｆ,ｇ)＝det(Ａ)＝0 です。

そこで,先に書いたａ_n,ｂ_m,およびα_μ,β_ν(μ＝0,1,2,...,ｎ,ν＝0,1,2,...,ｍ)の関数としてのＲ(ｆ,ｇ)の表現式:Ｒ(ｆ,ｇ)＝Ｒ(ａ_n,ｂ_m,α₁,α₂,...,α_n,β₁,β₂,...,β_m)にα_μ＝β_ν＝γを代入するとＲ(ｆ,ｇ)＝0 となることがわかります。

すなわち,同じことですがα_μにβ_νを代入するとＲ(ｆ,ｇ)＝0 となります。

これは,Ｒ(ｆ,ｇ)＝Ｒ(ａ_n,ｂ_m,α₁,α₂,...,α_n,β₁,β₂,..,β_m)が全ての対(μ,ν)に関して因数(α_μ－β_ν)を持つことを意味します。

それ故,Ｒ(ｆ,ｇ)はΠ_μ,ν(α_μ－β_ν)^pなる因子を持つはずです。

因子(α_μ－β_ν)^pのベキｐが共通の値であるとしたのはＲ(ｆ,ｇ)が根の対称式だからです。

また,Ｒ(ｆ,ｇ)は係数(ａ₀,ａ₁,ａ₂,...ａ_n)を１列ずつずらしてｍ行並べ,その下に(ｂ₀,ｂ₁,ｂ₂,...,ｂ_m)を1列ずつずらしてｎ行並べた(ｍ＋ｎ)×(ｍ＋ｎ)の行列式ですが,ａ₀,ａ₁,ａ₂,...,ａ_nの各々はα₁,α₂,...,α_nの対称式のａ_n倍,ｂ₀,ｂ₁,ｂ₂,...ｂ_mの各々はβ₁,β₂,．．,β_mの対称式のｂ_m倍ですから,Ｒ(ｆ,ｇ)はα₁,α₂,...,α_nの対称式,β₁,β₂,...,β_mの対称式に係数ａ_n^mｂ_mⁿを掛けたもので与えられることがわかります。

一方,ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ＝ａ_nΠ_μ=1ⁿ(ｘ－α_μ)により,両辺の1,ｘ²,ｘ,...,ｘⁿの係数を比較すればａ₀＝ａ_nΠ_μ=1ⁿα_μ,ａ₁＝－ａ_nΣ_ν=1ⁿΠ_μ=1ⁿα_μ)/α_ν...etc.が得られますから,ａ_k/ａ_nのα_μによる次数は(ｎ－ｋ)です。

同様に,ｂ_l/ｂ_mのβ_νによる次数は(ｍ－l)です。

これから,ｍ行の(ａ₀,ａ₁,ａ₂,...,ａ_n)とｎ行の(ｂ₀,ｂ₁,ｂ₂,...,ｂ_m)からなる成るＲ(ｆ,ｇ)の行列式のゼロでない全ての展開項の根α_μ,β_νによる次数はｍｎであることがわかります。

したがって,行列式Ｒ(ｆ,ｇ)の根の対称式因子Π_μ,ν(α_μ－β_ν)^pは高々ｍｎ次の式である必要があるため,(α_μ－β_ν)^pのベキ指数ｐは１であると結論されます。

すなわち,Ｒ(ｆ,ｇ)＝Π_μ,ν(α_μ－β_ν)×(根α_μ,β_νを全く含まない因子)です。

以上から,行列式で定義されたＲ(ｆ,ｇ)はａ_n^mｂ_mⁿΠ_μ,ν(α_μ－β_ν)の定数倍であることまでわかりました。

後は定係数を決めるだけですが,既に２次式と３次式の判別式について２つの定義が一致することがわかっているので後は手抜きで定係数＝１だということで証明を終わりにします。(証明終わり)

なお,上述の証明に際しては, 勝手に以下のホームページ(HP)を参照させて頂きました。感謝!です。http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/huhensiki/node9.html 

イヤ,単なるパクリかな？ちょっと手抜き記事でした。。。

(別に,演習問題を解くことで勉強しなければいけないような学生ではないので,今のように読んでも理解がかなり困難であるわけでもなく簡単明瞭な証明が既にあるならワザワザ最初から証明する必要も無いという安易なジジィです。。)

参考文献：J.S.Chahel著;織田進 訳「数論入門講義(数と楕円曲線)」(共立出版),高木貞治 著「代数学講義」(岩波書店)

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フェルマー(Fermat)の定理と類体論(1)

深いところでは関係するかもしれないけれど,通常は物理とは関係ないような数学の話も偶にはしようかなと思います。

代数学,数論関連については,恐らく,2007年1/14～1/29のシリーズ記事「ガロア理論(1)」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/01/post_abe5.html

～「ガロア理論(6)」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/01/post_f6db. や,

それに続く2007年８/11の記事「リーマン予想と素数定理」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/08/post_0dd9.html 以来のことでしょうか。偶に考えないとカビが生えてしまいそうです。

数論について読んだ本というと,入門程度なら20年以上前にアーベルやガロアの代数方程式のベキ根による解法に対する興味と関連して通読した松坂和夫著の「代数系入門」や,最近では量子暗号に対する興味と関連して,かつてニフティのサイエンスフォーラムの数学会議室議長だったプークさん(鈴木治郎氏)が訳された「はじめての数論」を通読した程度です。

(2006年5/4の記事「公開キー暗号(神はサイコロ遊びをなさる。)」参照　http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/05/post_955b.html　)

今回は,ある程度は予備知識があることを前提に,まずは加藤和也,黒川信重,斉藤毅著「数論I」(Fermatの夢と類体論)(岩波書店)を参考に,10年くらい前に証明されたばかりのFermatの定理や高木貞治氏の研究で有名な類体論などを含む代数的数論関連の領域について言及してみたいと思います。

まず,楕円曲線と有理点について記述します。

ただし有理数体Ｑの上の楕円曲線とはｙ²＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ(ａ,ｂ,ｃ,ｄ∈Ｑ,ａ≠0),かつ右辺は重根を持たないというの形の３次方程式で定義される曲線です。

今日は,まず楕円曲線による方法の導入のため,"３以上の整数ｎについて,ｘⁿ＋ｙⁿ＝ｚⁿを満たす自然数ｘ,ｙ,ｚは存在しない。"というフェルマーの定理のうちのｎ＝4の場合の次の命題を証明することから始めます。

[命題1.1]:ｘ⁴＋ｙ⁴＝ｚ⁴を満たす自然数ｘ,ｙ,ｚは存在しない。

この命題の証明の１つはフェルマー(Fermat)が書き残しています。

彼の証明を現代風に解釈するなら,それは[命題1.1]の証明を次の楕円曲線ｙ²＝ｘ³－ｘに関する[命題1.2]の証明に帰着させるものと考えられます。

[命題1.2]:ｙ²＝ｘ³－ｘの有理数解は(ｘ,ｙ)＝(0,0),および(±1,0)のみである。

実際,もしも[命題1.1]が成立せずｘ⁴＋ｙ⁴＝ｚ⁴を満たす自然数ｘ,ｙ,ｚが存在するなら,ｘ⁴＝ｚ⁴－ｙ⁴の両辺にｚ²/ｙ⁶を掛けると(ｘ²ｚ/ｙ³)²＝(ｚ³/ｙ³)²－ｚ²/ｙ²となります。

これはｙ²＝ｘ³－ｘにｙ≠0 の有理数解(ｘ,ｙ)が存在することを意味し,これは[命題1.2]に反しますから,[命題1.2]が成立するなら[命題1.1]が成立しなければなりません。

[命題1.2]は次の[補題1.3]のｄ＝1の特別な場合になっています。

[補題1.3]:ｄを正の有理数とすると,次の条件(ⅰ)～(ⅲ)は全て同値である。

ⅰ)３辺の長さが有理数で面積がｄの直角三角形が存在する。

(ⅱ)有理数の平方となる３つの数で,公差がｄの等差数列をなすものが存在する。

(ⅲ)ｙ²＝ｘ³－ｄ²ｘの有理数解が(ｘ,ｙ)＝(0,0),(±ｄ,0)以外にも存在する。

[補題1.3]の条件(ⅰ)～(ⅲ)は,それぞれ次の[補題1.4]でＫ＝Ｑとしたときに与えられる集合Ａ_d,Ｂ_d,Ｃ_dが空集合でないことを意味するので,[補題1.4]が成立することを示せば[補題1.3]も従います。

[補題1.4]:Ｋを標数が２でない体とするとき,ｄ∈Ｋに対して集合Ａ_d,Ｂ_d,Ｃ_dをＡ_d≡{(ｘ,ｙ,ｚ)∈Ｋ×Ｋ×Ｋ;ｘ²＋ｙ²＝ｚ²,ｘｙ/2＝ｄ},Ｂ_d≡{(ｕ,ｖ,ｗ)∈Ｋ×Ｋ×Ｋ;ｕ²＋ｄ＝ｖ²,ｖ²＋ｄ＝ｗ²},Ｃ_d≡{(ｘ,ｙ)∈Ｋ×Ｋ;ｙ²＝ｘ³－ｄ²ｘ,ｙ≠0}と定義する。

　このとき,Ａ_d,Ｂ_d,Ｃ_dの間に全単射が存在する。

(ただし標数というのはＲを環とするとき,その乗法の単位元をいくつ加えたらゼロになるかという最小の数のことを意味します。通常の有理数体Ｑなどを環と考えたときの標数はゼロです。)

(証明)まず,(ｘ,ｙ,ｚ)∈Ａ_d,すなわちｘ²＋ｙ²＝ｚ²,ｘｙ/2＝ｄのとき,(ｕ,ｖ,ｗ)＝((ｙ－ｘ)/2,ｚ/2, (ｘ＋ｙ)/2)とすれば,ｕ²＋ｄ＝ｖ²,ｖ²＋ｄ＝ｗ²,より(ｕ,ｖ,ｗ)∈Ｂ_dです｡

　逆に,(ｕ,ｖ,ｗ)∈Ｂ_dなら,(ｘ,ｙ,ｚ)＝(ｗ－ｕ,ｗ＋ｕ,2ｖ)とすれば(ｘ,ｙ,ｚ)∈Ａ_dです。これは互いに逆写像となる全単射です。

　次に(ｕ,ｖ,ｗ)∈Ｋ×Ｋ×Ｋ;ｕ²＋ａ＝ｖ²＋ｂ＝ｗ²＋ｃのとき,(ｘ,ｙ)＝ｆ(ｕ,ｖ,ｗ)≡(ｕ²＋ａ＋ｕｖ＋ｖｗ＋ｗｕ,(ｕ＋ｖ)(ｖ＋ｗ)(ｗ＋ｕ))とすれば,ｙ²＝(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)(ｘ－ｃ)となります｡

　これには逆写像が存在し,それはｇ(ｘ,ｙ)＝({(ｘ－ａ) ²＋(ｂ－ａ)(ｃ－ａ)}/(2ｙ),{(ｘ－ｂ) ²＋(ｃ－ｂ)(ａ－ｂ)}/(2ｙ),{(ｘ－ｃ) ²＋(ｂ－ｃ)(ａ－ｃ)}/(2ｙ))で与えられます。

　特にａ＝ｄ,ｂ＝0,ｃ＝－ｄとおけば,これはＢ_d ⇔ Ｃ_d の全単射を表わします。(証明終わり)

※[補題1.4]の証明からのおまけ:

　[補題1.4]の結論のような全単射ではないですが,(ｕ,ｖ,ｗ)∈Ｋ×Ｋ×Ｋ;ｕ²＋ａ＝ｖ²＋ｂ＝ｗ²＋ｃに対する写像を,(ｘ,ｙ)＝ｈ(ｕ,ｖ,ｗ)≡(ｕ²＋ａ,ｕｖｗ)で定義すれば,明らかにｙ²＝ｕ²ｖ²ｗ²＝(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)(ｘ－ｃ)となります｡ ※

さて,以下ではＫ＝Ｑとして[命題1.2]を証明します。

まず,有理数ａ∈Ｑの高さＨ(ａ)を,ａをａ＝ｍ/ｎと既約分数に表わしたときＨ(ａ)≡max(ｍ,ｎ)によって定義します。

そして,ｙ²＝ｘ³－ｘに(0,0),(±1,0)以外にも有理数解が存在すると仮定しｘ座標の高さが最小のものを(ｘ₀,ｙ₀)とします。

もしもｘ座標の高さが最小の有理数解が複数個あればその中の１つを(ｘ₀,ｙ₀)とします。

一般に,ｙ²＝ｘ³－ｄ²ｘに(0,0),(±ｄ,0)以外の有理数解(ｘ,ｙ)が存在すれば,もちろんｘ≠0,ｙ≠0 ですが,この等式の両辺にｄ⁴/ｘ⁴を掛けると(ｄ²ｙ/ｘ²)²＝ｄ⁴/ｘ－(ｄ²/ｘ)³となります。

そこで,ｙ²＝ｘ³－ｄ²ｘに(0,0)と異なる有理数解(ｘ,ｙ)∈Ｑ×Ｑが存在すれば,(－ｄ²/ｘ,ｄ²ｙ/ｘ²)も(0,0)と異なる有理数解です。

ここで,特にｄ＝1とすると,もしもｙ²＝ｘ³－ｘに(0,0)とは異なる有理数解(ｘ,ｙ)∈Ｑ×Ｑが存在すれば,(－1/ｘ,ｙ/ｘ²)も同じ楕円曲線上にある有理数解であるということになります。

そしてＨ(ｘ)＝Ｈ(－1/ｘ)ですから,ｘ₀＜0 の場合には－1/ｘ₀ を新しくｘ₀に取っても,高さは同じなので問題ないことがわかります。そこで,ｘ₀＞0 を満たすｙ²＝ｘ³－ｘの解を(ｘ₀,ｙ₀)として採用します。

こう選ぶと,ｙ₀²＝ｘ₀³－ｘ₀により,ｘ₀(ｘ₀－1)(ｘ₀＋1)＝ｙ₀²＞0 であって,かつｘ₀＞0 ですからｘ₀＞1です。

このとき,ｘ₀'≡(ｘ₀＋1)/(ｘ₀－1)と置くとｘ₀'－1＝2/(ｘ₀－1),ｘ₀'＋1＝2ｘ₀/(ｘ₀－1)により,ｘ₀'(ｘ₀'－1)(ｘ₀'＋1)＝4ｘ₀(ｘ₀＋1)/(ｘ₀－1)³＝4ｙ₀²/(ｘ₀－1)⁴＝{2ｙ₀/(ｘ₀－1)²}²となります。

そこで,ｘ₀'≡(ｘ₀＋1)/(ｘ₀－1),ｙ₀'≡2ｙ₀/(ｘ₀－1)²と置けば,(ｘ₀',ｙ₀')∈Ｑ×Ｑであり,かつｘ₀'(ｘ₀'－1)(ｘ₀'＋1)＝ｙ₀'²,またはｙ₀'²＝ｘ₀'³－ｘ₀'が成立します。

ｘ₀＞1,ｘ₀∈Ｑなのでｘ₀≡ｍ/ｎ(ｍ＞ｎ＞0:既約分数)と置くと,ｘ₀'＝(ｘ₀＋1)/(ｘ₀－1)＝(ｍ＋ｎ)/(ｍ－ｎ)＝(ｍ＋ｎ)/(ｍ－ｎ)となります。

ｍ/ｎは既約分数なのでｍ,ｎが共に偶数であることはあり得ませんが,もしも共に奇数ならｐ＝(ｍ＋ｎ)/2,ｑ＝(ｍ－ｎ)/2は共に整数でｘ₀'＝ｐ/ｑであり,max(ｐ,ｑ)＜max(ｍ,ｎ),つまりＨ(ｘ₀')＜Ｈ(ｘ₀)ですから,ｘ₀の高さが最小であるという仮定に矛盾します。

それ故,ｍ,ｎのどちらか一方は偶数です。そして,ｘ₀(ｘ₀－1)(ｘ₀＋1)＝ｍｎ(ｍ－ｎ)(ｍ＋ｎ)/ｎ⁴ですが,これが有理数ｙ₀の平方に等しいので,明らかにｍｎ(ｍ－ｎ)(ｍ＋ｎ)はある整数の平方です。

なぜなら,ｍｎ(ｍ－ｎ)(ｍ＋ｎ)はｎ⁴ｙ₀²ですから,これは整数であってかつ有理数ｎ²ｙ₀の平方だからです。

ｍ/ｎが既約分数なので,ｍとｎは互いに素です。そこで,結局ｍ,ｎ,(ｍ－ｎ),(ｍ＋ｎ)は全て互いに素です。

したがって,ｍｎ(ｍ－ｎ)(ｍ＋ｎ)が平方数になるためにはｍ,ｎ,(ｍ－ｎ),(ｍ＋ｎ)が各々平方数である必要があります。(これは素因数分解可能性からの帰結です。)

それ故,ｘ₀＝ｍ/ｎ,ｘ₀－1＝(ｍ－ｎ)/ｎ,ｘ₀＋1＝(ｍ＋ｎ)/ｎは全て有理数の平方数です。

さて,[補題1.4]の証明とそのおまけから,(ｕ,ｖ,ｗ)＝ｇ(ｘ,ｙ)とｈ(ｕ,ｖ,ｗ)＝(ｕ²＋ａ,ｕｖｗ)を合成した写像ｈ・ｇを作ります。ただし,今の場合ａ＝1,ｂ＝0,ｃ＝－1とします。

任意の(ｘ₁,ｙ₁)∈Ｑ×Ｑのｇによる像を(ｕ₁,ｖ₁,ｗ₁)＝ｇ(ｘ₁,ｙ₁)とし,さらに(ｕ₁,ｖ₁,ｗ₁)∈Ｑ×Ｑ×Ｑのｈによる像を(ｘ₂,ｙ₂)＝ｈ(ｕ₁,ｖ₁,ｗ₁)とします。(ｘ₂,ｙ₂)＝ｈ・ｇ(ｘ₁,ｙ₁)ですね。

このとき,ｙ₂²＝ｕ₁²ｖ₁²ｗ₁²＝(ｘ₂－1)ｘ₂(ｘ₂＋1)ですから,ｘ₂－1,ｘ₂,ｘ₂＋1は全て有理数の平方数です。

逆に言えば,ｙ₂²＝(ｘ₂－1)ｘ₂(ｘ₂＋1)を満たす(ｘ₂,ｙ₂)∈Ｑ×Ｑで,ｘ₂－1,ｘ₂,ｘ₂＋1が全て有理数の平方である場合なら,ｈ・ｇ(ｘ₁,ｙ₁)＝(ｘ₂,ｙ₂)を満たす(ｘ₁,ｙ₁)∈Ｑ×Ｑが常に１組だけ存在することがわかりました。

ところで,すぐ前で見たようにｘ₀＝ｍ/ｎ,ｘ₀－1＝(ｍ－ｎ)/ｎ,ｘ₀＋1＝(ｍ＋ｎ)/ｎは全て有理数の平方数です。

そこで,ｈ・ｇ(ｘ_p,ｙ_p)＝(ｘ₀,ｙ₀)を満たす(ｘ_p,ｙ_p)∈Ｑ×Ｑが,存在します。

(ｕ_p,ｖ_p,ｗ_p)＝ｇ(ｘ_p,ｙ_p)よりｕ_p＝{(ｘ_p－1)²－2}/(2ｙ_p)でｘ₀＝ｕ_p²＋1,ｙ_p²＝ｘ_p³－ｘ_pです。

故に,ｘ₀＝ｕ_p²＋1＝{(ｘ_p－1)²－2}²/{4(ｘ_p³－ｘ_p)}＋1＝(ｘ_p²＋1)²/{4(ｘ_p³－ｘ_p)}です。有理数ｘ_pを互いに素な整数ｒ,ｓによる既約分数としてｘ_p＝ｒ/ｓと表わします。

このとき,ｘ₀＝(ｒ²＋ｓ²)²/{4ｒｓ(ｒ²－ｓ²)}です。

まず,ｘ₀＞1ですから,分母より分子の方が大きいので(ｒ²＋ｓ²)²＞4ｒｓ(ｒ²－ｓ²)です。

そして,ｘ_p＝ｒ/ｓは既約分数ですからｒとｓは互いに素なので,分子の(ｒ²＋ｓ²)²と分母のｒｓは明らかに共通因数を持ちませんから,分母と分子が共通因数を持つとすれば,ｒ²＋ｓ²と４,またはｒ²－ｓ²が共通因数を持つ場合に限られます。

このとき,もしもｒ,ｓが共に奇数ならｒ²＋ｓ²は４で割ると余りが２の偶数,ｒ²－ｓ²は４の倍数です。

(ｒ²＋ｓ²)²は丁度４の倍数ですから,今のｘ₀の分数表現で分子,分母は共通因数４を持ちます。

したがって,この場合にはＨ(ｘ₀)≧(ｒ²＋ｓ²)²/4≧{max(ｒ,ｓ)}⁴/4＞max(ｒ,ｓ)＝Ｈ(ｘ_p)です。

ただし,右辺の最後の不等式:{max(ｒ,ｓ)}⁴/4＞max(ｒ,ｓ)では,ｘ_p＝ｒ/ｓ＞１によりＨ(ｘ_p)＝max(ｒ,ｓ))≧2なることを考慮しました。

他方,ｒ,ｓの一方が奇数,もう一方が偶数ならｒ－ｓ,ｒ＋ｓは共に奇数で,共通因数を持ちません。そしてｐ≡ｒ－ｓ,ｑ≡ｒ＋ｓと置けばｒ²－ｓ²＝ｐｑ,ｒ²＋ｓ²＝(ｐ²＋ｑ²)/2,ｒｓ＝(ｐ²－ｑ²)/4です。

結局,ｘ₀＝(ｐ²＋ｑ²)²/{4ｐｑ(ｐ²－ｑ²)}と書けますから,片方だけが奇数の(ｒ,ｓ)の組が共に奇数の(ｐ,ｑ)に置き換えられただけで,ｘ₀の分数表現は前と全く同じ形をしています。

それ故,前と同じく分子,分母は共通因数４のみを持ちます。

そこで,この場合にもＨ(ｘ₀)≧(ｐ²＋ｑ²)²/4≧{max(ｐ,ｑ)}⁴/4＞max(ｐ,ｑ)＞max(ｒ,ｓ)＝Ｈ(ｘ_p)となります。

以上から,既約分数ｘ_p＝ｒ/ｓ＞１のｒ,ｓが共に奇数の場合,一方が奇数,もう一方が偶数の場合のいずれであっても,Ｈ(ｘ₀)＞Ｈ(ｘ_p)になるという結果が得られました。これはｘ₀の高さＨ(ｘ₀)が最小であるという仮定に矛盾します。

それ故,(ｘ,ｙ)＝(0,0),(±1,0)以外のｙ²＝ｘ³－ｘを満たす高さＨ(ｘ)が最小の(ｘ,ｙ)＝(ｘ₀,ｙ₀)は存在しないと結論されます。

これは,[命題1.2]の結論が成立することを意味しますから,結局,[命題1.2]が成立することが示されたわけです。

そして最初に述べたように,[命題1.2]が成立することは[命題1.1]が成立することを意味するので,結局,"ｘ⁴＋ｙ⁴＝ｚ⁴を満たす自然数ｘ,ｙ,ｚは存在しない。"ことが証明されました。

この証明方法はフェルマー自身が無限降下法と呼んだ方法です。

今日はここまでにします。 

参考文献:加藤和也,黒川信重,斉藤 毅著「数論I」(Fermatの夢と類体論)(岩波書店)

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分子と点群(3)

　続きです。前回中途半端で終わったので,例題の２次元の特殊ユニタリ群ＳＵ(2)について補足しておきます。

　まず,前回の最後の部分をほぼそのまま書きます。

※(再掲開始)

　例としてＧが２次元の特殊ユニタリ群:ＳＵ(2)である場合を考えてみます。Ｇ＝ＳＵ(2)≡{ｇ∈ＧＬ(2)|ｇ^＋＝ｇ^-1,detｇ＝1}です。ただしＧＬ(2)は２次の正則な正方行列から成る群です。

対角成分がａ,ａ^-1(ａ∈Ｃ,ａ≠0)の２次の対角行列をｈ_aとし,Ｈ≡{ｈ_a∈ＧＬ(2)|ａ∈Ｃ,|ａ|＝1}とします。

Ｈは明らかにＧ＝ＳＵ(2)の部分群です。しかも,これは可換群(アーベル群)であり,１-パラメータ群(ａ＝exp(iα))なので,Ｕ(1)(絶対値が１の複素数の乗法群)と同型です。

Ｇ＝ＳＵ(2)の任意の元ｇの２つの固有値をａ,ａ^-1(ａ∈Ｃ,|ａ|＝1)とすると,ｇはあるｋ∈ＳＵ(2)によってｈ_a＝ｋ^-1ｇｋ,ｈ_a∈Ｈと対角化できます。またはｇ＝ｋｈ_aｋ^-1,ｈ_a∈Ｈとすることができます。

一般にＵ(1)の幾つかの直積と同型な群をトーラス群といいます。

Ｈがトーラス群,かつＧの部分群,すなわちトーラス部分群であって,これを真に含むＧのトーラス部分群が存在しないなら,ＨをＧの極大トーラス部分群と呼びます。

今のＧ＝ＳＵ(2)の場合には,上で定義した２次の対角行列から成る部分群ＨはＳＵ(2)の極大トーラス部分群となっています。

[定理５]:Ｇ＝ＳＵ(2)とする。

(1)Ｇの任意の元ｇは極大トーラス群Ｈの元と共役である。

(2)ｇ,ｈ∈Ｇ,に対してｆ(ｈｇｈ^-1)＝ｆ(ｇ)を満たす関数(類関数という)ｆは極大トーラス部分群Ｈの上の値だけで決まる。

　すなわち,ｆ₁,ｆ₂を２つの類関数とするとき,∀ｈ∈Ｈに対してｆ₁(ｈ)＝ｆ₂(ｈ)ならｆ₁＝ｆ₂である。

Ｇ＝ＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)の指標χ_Dは明らかに類関数なので,これは極大トーラス部分群Ｈの上の値だけで決まります。

(再掲終了)※

　さて,ＳＵ(2)の(ｍ＋1)次元表現(Ｄ_m,Ｕ_m)の表現空間Ｕ_mを２つの文字ｚ₁,ｚ₂の複素係数のｍ次の同次多項式全体から成る空間とします。

　Ｕ_mの任意の元は(ｍ＋1)個の単項式ｚ₁^m,ｚ₁^m-1ｚ₂,..,ｚ₁ｚ₂^m-1,ｚ₂^mの１次結合として一意的に表現されるのでＵ_mは確かに(ｍ＋1)次元線型空間です。

　そして,表現(Ｄ_m,Ｕ_m)を∀φ∈Ｕ_mに対しＤ_m(ｇ)φ(ｚ)≡φ(ｇｚ)(∀ｇ∈ＳＵ(2)) で定義します。ここでｚ＝^t(ｚ₁,ｚ₂)としました。

このとき,∀ｇ,ｈ∈ＳＵ(2)に対してＤ_m(ｇｈ)φ(ｚ)＝φ(ｇｈｚ)＝Ｄ_m(ｇ)φ(ｈｚ)＝Ｄ_m(ｇ)Ｄ_m(ｈ)φ(ｚ)なので,この写像は定義域Ｇ＝ＳＵ(2)の上で確かに準同型になっていますが,Ｄ_m(ｇ)は本当にＵ_mの上の線型変換なのでしょうか？

　まず,φ(ｚ)がｚ₁,ｚ₂のｍ次の同次多項式,つまりφ(ｚ)＝ｃ₁ｚ₁^m＋ｃ₂ｚ₁^m-1ｚ₂＋..＋ｃ_m-1ｚ₁ｚ₂^m-1＋ｃ_mｚ₂^mであることは,φ(ｔｚ)＝ｔ^mφ(ｚ)であることを意味します。

　ｇｚ＝^t(ａｚ₁＋ｂｚ₂,ｃｚ₁＋ｄｚ₂)(ａｄ－ｂｃ＝1,ｄ＝ａ^*,ｃ＝－ｂ^*)なるｇに対しｇ(ｔｚ)＝ｔ(ｇｚ)なので,φ(ｇ(ｔｚ))＝φ(ｔ(ｇｚ))＝ｔ^mφ(ｇｚ)です。

　故に,Ｄ_m(ｇ)φ(ｚ)＝φ(ｇｚ)も成立します。つまりＤ_m(ｇ)φはｚ₁,ｚ₂のｍ次の同次多項式です。

そこで,演算Ｄ_m(ｇ)に対し表現空間Ｕ_mは不変で閉じていること:Ｄ_m(ｇ)は確かにＵ_mからＵ_mへの写像であることがわかります。

そして,∀φ,ψ∈Ｕ_mと∀α,β∈Ｃに対してＤ_m(ｇ)[(αφ＋βψ)(ｚ)]＝(αφ＋βψ)(ｇｚ)＝αＤ_m(ｇ)φ(ｚ)＋βＤ_m(ｇ)ψ(ｚ)なので線型性も自明です。

結局,Ｄ_m(ｇ)はＵ_mの上の線型変換であり,(Ｄ_m,Ｕ_m)が確かにＳＵ(2)の１つの表現であることがわかりました。

ここで,ｚ≡ｚ₁/ｚ₂と置けばＵ_mの任意の元であるｚ₁,ｚ₂のｍ次の同次多項式は,ｚのｍ次多項式φ^(ｚ)を用いてφ(ｚ)＝ｃ₁ｚ₁^m＋ｃ₂ｚ₁^m-1ｚ₂＋..＋ｃ_m-1ｚ₁ｚ₂^m-1＋ｃ_mｚ₂^m＝ｚ₂^m(ｃ₁ｚ^m＋ｃ₂ｚ^m-1＋..＋ｃ_m-1ｚ＋ｃ_m)≡ｚ₂^mφ^(ｚ)と表現されます。

ただし,ｚのｍ次多項式φ^(ｚ)をφ^(ｚ)≡φ(ｚ)/ｚ₂^m,またはφ(ｚ)≡ｚ₂^mφ^(ｚ)によって定義しました。

このｚの多項式:φ^はｚ₁,ｚ₂の同次多項式φ∈Ｕ_mと完全に１対１に対応します。

そして,ｇがｇｚ＝^t(ａｚ₁＋ｂｚ₂,ｃｚ₁＋ｄｚ₂)(ａｄ－ｂｃ＝1,ｄ＝ａ^*,ｃ＝－ｂ^*)を与えるＳＵ(2)の元である場合,

Ｄ_m(ｇ)φ(ｚ)＝φ(ｇｚ)なる変換式は,Ｄ_m(ｇ)[ｚ₂^mφ^(ｚ)]＝(ｃｚ₁＋ｄｚ₂)^mφ^((ａｚ₁＋ｂｚ₂)/(ｃｚ₁＋ｄｚ₂))＝ｚ₂^m(ｃｚ＋ｄ)^mφ^((ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ))を意味します。

結局,Ｕ_mの任意の元であるｚ₁,ｚ₂のｍ次同次多項式φ(ｚ)はｚのｍ次多項式φ^(ｚ)と完全に１対１に対応することがわかりました。

つまり,ｚ₁,ｚ₂のｍ次同次多項式φ(ｚ)は(ｍ＋1)個の基底ｚ₁^m,ｚ₁^m-1ｚ₂,..,ｚ₁ｚ₂^m-1,ｚ₂^mの１次結合として一意的に表現されますが,これはφ(ｚ)と全く同じ係数の(ｍ＋1)個の基底ｚ^m,ｚ^m-1,..,ｚ,1の１次結合であるｚのｍ次多項式φ^(ｚ)に同型対応します。

そこで,Ｕ_mはｚのｍ次多項式全体の作る線型空間Ｖ_mと同型です。

したがって,表現(Ｄ_m,Ｕ_m)における表現空間Ｕ_mをＶ_mに変更した(ｍ＋1)次元表現を(Ｄ_m,Ｖ_m)と書けば,これはｇｚ＝^t(ａｚ₁＋ｂｚ₂,ｃｚ₁＋ｄｚ₂)を与えるｇ∈ＳＵ(2)に対してＤ_m(ｇ)φ^(ｚ)＝(ｃｚ＋ｄ)^mφ^((ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ))を与える表現です。

結局,Ｕ_m→Ｖ_mは表現Ｄ_mの表現空間における単なる基底変換と見なせるので,(Ｄ_m,Ｖ_m)は(Ｄ_m,Ｕ_m)に同値です。

(なお,ｚ→ａｚ＋ｂ/(ｃｚ＋ｄ)を１次分数変換,またはメビウス変換と呼びます。この変換はＳＵ(2)と全く同型です。

普通,これもＳＵ(2)と同一視されますが,群の表現と解釈するなら忠実な表現です。)

ＳＵ(2)の(ｍ＋1)次元表現(Ｄ_m,Ｖ_m)は,ｈ_a∈Ｈに対してはＤ_m(ｈ_a)φ^(ｚ)＝ａ^-mφ^(ａｚ/ａ^-1)＝ａ^-mφ^(ａ²ｚ)ですから,Ｖ_mの全ての基底:ｆ_k(ｚ)≡ｚ^k(ｋ＝0,1,2,..,ｍ)に対してはＤ_m(ｈ_a)ｆ_k(ｚ)＝ａ^2k-mｆ_k(ｚ)となります。

したがって,基底ｆ_k＝ｆ_k(ｚ)＝ｚ^ｋの１次結合で表わした任意のφ＝Σ_k=0^mｃ_kｆ_k∈Ｖ_mに対して,Ｄ_m(ｈ_a)はＤ_m(ｈ_a)φ＝Σ_k=0^mａ^2k-mｃ_kｆ_kと書けます。

つまり,線型変換Ｄ_m(ｈ_a)は行列表現ではその成分がＤ_m(ｈ_a)_kj＝ａ^2k-mδ_kjの対角行列です。

そこで,表現(Ｄ_m,Ｖ_m)の指標χ_Ｄmをχ_mと書けば,χ_m(ｈ_a)＝Ｔr{Ｄ_m(ｈ_a)}＝Σ_k=0^mａ^2k-m＝ａ^-m(1－ａ^2(m+1))/(1－ａ²)＝(ａ^-(m+1)－ａ^m+1)/(ａ^-1－ａ)＝sin{(ｍ＋1)α}/sinα,(ａ≡exp(iα),α∈Ｒ)となります。

ところで,ｇｚ＝^t(ａｚ₁＋ｂｚ₂,ｃｚ₁＋ｄｚ₂)(ａｄ－ｂｃ＝1,ｄ＝ａ^*,ｂ＝－ｃ^*)を与えるＳＵ(2)の元ｇの成分を４つの実数ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃,ｘ₄を用いてａ＝ｘ₁＋iｘ₂,ｃ＝ｘ₃＋iｘ₄と表現すれば,ａｄ－ｂｃ＝1なる条件はｘ₁²＋ｘ₂²＋ｘ₃²＋ｘ₄²＝1となります。

そこで,３つの独立なパラメータθ₁,θ₂,θ₃∈Ｒによってｘ₁＝cosθ₁,ｘ₂＝cosθ₂sinθ₁,ｘ₃＝cosθ₃sinθ₂sinθ₁,ｘ₄＝sinθ₃sinθ₂sinθ₁と表わすことができます。

ただし,0≦θ₁≦π,0≦θ₂≦π,0≦θ₃≦2πです。

微小長さｄｓはｄｓ²＝ｄｘ₁²＋ｄｘ₂²＋ｄｘ₃²＋ｄｘ₄²＝ｄθ₁²＋sin²θ₁ｄθ₂²＋sin²θ₁sin²θ₂ｄθ₃²で与えられるので,対応する体積要素はsin²θ₁sinθ₂ｄθ₁ｄθ₂ｄθ₃になります。

そこで,∫_SU(2)ψ(ｇ)ｄｇ＝∫₀^2π∫₀^π∫₀^πψ(θ₁,θ₂,θ₃)sin²θ₁sinθ₂ｄθ₁ｄθ₂ｄθ₃がＳＵ(2)上の不変積分となります。

これにψ≡1を代入したＳＵ(2)の全体積が２π²となるので,規格化された不変測度は上記ｄｇを２π²で割り,改めてｄｇ＝{1/(2π²)}sin²θ₁sinθ₂ｄθ₁ｄθ₂ｄθ₃で与えられます。

ところで,ｇ＝ｈ_aの対角行列ではｃ＝ｘ₃＋iｘ₄＝0 ですから,これはθ₂＝0 を意味します。

そして,このときａ＝ｘ₁＋iｘ₂＝cosθ₁＋isinθ₁＝exp(iθ₁)ですから上で求めた指標χ_m(ｈ_a)＝Σ_k=0^mａ^2k-m＝sin{(ｍ＋1)α}/sinα(ａ≡exp(iα),α∈Ｒ)は,これにα＝θ₁を代入することで明確なθ₁の関数の形でχ_m(ｈ_a)＝sin{(ｍ＋1)θ₁}/sinθ₁となります。

そして,先にコンパクト群Ｇ上の関数φ,ψについての内積を＜φ|ψ＞≡∫_Ｇφ(ｇ)^*ψ(ｇ)ｄｇによって定義しました。

これによりＧ＝ＳＵ(2)においては＜χ_m+1|χ_n+1＞＝∫_SU(2)χ_m+1(ｇ)^*χ_n+1(ｇ)ｄｇ＝∫_SU(2)χ_m+1(ｈ_a)^*χ_n+1(ｈ_a)ｄｇ＝{1/(2π²)}∫₀^2π∫₀^π∫₀^πsin{(ｍ＋1)θ₁}sin{(ｎ＋1)θ₁}sinθ₂ｄθ₁ｄθ₂ｄθ₃＝(2/π)∫₀^πsin{(ｍ＋1)θ₁}sin{(ｎ＋1)θ₁}ｄθ₁＝δ_mnが得られます。

このことから,表現(Ｄ_m,Ｖ_m),または(Ｄ_m,Ｕ_m)(ｍ＝0,1,2,..)は全てＳＵ(2)の(ｍ＋1)次元の既約表現であることがわかりました。

最後に,ＳＵ(2)の既約表現が上記の(Ｄ_m,Ｖ_m),または(Ｄ_m,Ｕ_m)(ｍ＝0,1,2,..)で尽くされることを見ます。

まず,任意の表現(Ｄ,Ｕ)の指標χ_Dは極大トーラス部分群Ｈの上のｈ_a,つまりパラメータθ₁のみの関数として,χ_D(ｈ_a)＝χ_D(θ₁)で与えられ,これは＜χ_D|χ_D＞＝(2/π)∫₀^πχ_D(θ₁)^*χ _D(θ₁)sin²θ₁ｄθ₁を満たします。

しかも,ｈ_aとｈ_a^-1＝ｈ_1/aは互いに共役(相似)なのでχ_D(ｈ_a)＝χ_D(ｈ_1/a )ですが,ａ＝exp(iθ₁),ａ^-1＝1/ａ＝exp(－iθ₁)なのでχ_D(θ₁)＝χ_D(－θ₁)よりχ_D(θ₁)は偶関数です。

したがって,ξ(θ₁)≡sinθ₁χ_D(θ₁)とおくと,これはθ₁の奇関数で周期が2πの連続関数です。

そこで,こξ(θ₁)はξ(θ₁)＝Σ_n=1^∞ｃ_nsin(ｎθ₁),ｃ_n＝(2/π)∫₀^πξ(θ₁)sin(ｎθ₁)ｄθ₁とフーリエ正弦展開できます。

よって,＜χ_D|χ_m＞＝(2/π)∫₀^πξ(θ₁)sin{(ｍ＋1)θ₁}ｄθ₁＝ｃ_m+1となります。

そこで,もしも表現(Ｄ,Ｕ)があらゆる(Ｄ_m,Ｕ_m)と異値:＜χ_D|χ_m＞＝0 (ｍ＝0,1,2,..)なら,ｃ_m+1＝0 (ｍ＝0,1,2,..)によって恒等的にχ_D≡0 となります。

厳密には,フーリエ級数ξ(θ₁)＝Σ_n=1^∞ｃ_nsin(ｎθ₁)についてパーシバル(Parseval)の等式∫_-π^π|ξ(θ₁)|²ｄθ₁＝2∫₀^π|ξ(θ₁)|²ｄθ₁＝πΣ_n=1^∞|ｃ_n|²でΣ_n=1^∞|ｃ_n|²＝0 が成立します。

それ故,∫₀^π|ξ(θ₁)|²ｄθ₁＝0 から,ξ(θ₁)は,ほとんどいたるところでゼロであることがわかりますが,ξ(θ₁)はθ₁の連続関数なので恒等的にゼロです。

つまり,ξ(θ₁)＝sinθ₁χ_D(θ₁)＝0 により,χ_D(ｈ_a)＝χ_D(θ₁)＝0 なので∀ｇ∈ＳＵ(2)について,χ_D(ｇ)＝χ_D(ｈ_a)＝0 です。

これは,既約性の条件＜χ_D|χ_D＞＝１に矛盾します。

したがって,(Ｄ,Ｕ)が既約表現なら,これはあるｍに対する(Ｄ_m,Ｕ_m)と同値でなければなりません。

これらを,定理の形にまとめます。

[定理６]:(1)ＳＵ(2)の任意の既約表現は,あるｍに対するＤ_mと同値である。

(2)既約表現Ｄ_mの指標χ_mは,ＳＵ(2)の極大トーラス部分群Ｈの上ではｈ_a∈Ｈ;ａ＝exp(iθ)に対してχ_m(ｈ_a)＝sin{(ｍ＋1)θ}/sinθで与えられる。

　一般にｇの固有値がａ＝exp(iθ),ａ^-1＝exp(－iθ)のときχ_m(ｇ)＝χ_m(ｈ_a)＝sin{(ｍ＋1)θ}/sinθとなる。

(3) ＳＵ(2)の任意の表現Ｄは完全可約であって,いくつかのＤ_mの直和と同値である。

　ＳＵ(2)は単に群Ｇの１つの例として出したつもりだったのですが,ここまで書いてしまったので,ＳＵ(2)の随伴表現が回転群ＳＯ(3)≡{Ｒ∈ＧＬ(3,Ｒ)|^tＲ＝Ｒ^-1,detＲ＝1}の忠実な表現になることを利用してＳＯ(3)の既約表現を調べます。

　まず,体Ｋ(Ｃ or Ｒ)の元を成分とするｎ次の正方行列の集合をＭ(ｎ,Ｋ)と書くと,これはＫの上の線型空間を作ります。

　今,Ｕ≡{ｕ∈Ｍ(ｎ,Ｃ)|ｕ＋ｕ^＋＝0,Ｔrｕ＝0}とすると,これは∀ｕ∈Ｕは∀ｔ∈Ｒに対してｔｕ∈Ｕの(ｎ²－1)次元の実線型空間です。

　一般のｎ次の特殊ユニタリ群Ｇ＝ＳＵ(ｎ,Ｃ)の元ｇに対して,そのｕ∈Ｕに対する線型変換Ａdｇを,(Ａdｇ)ｕ≡ｇｕｇ^-1で定義します。

　固定したｇ∈ＳＵ(ｎ,Ｃ)に対してＡdｇがＵの上の線型写像であることは明らかです。

　そして∀ｕ∈Ｕについて,ｕ＋ｕ^＋＝0 とＡdｇの線型性より(Ａdｇ)ｕ＋(Ａdｇ)ｕ^＋＝0 ですが,(Ａdｇ)ｕ^＋＝ｇｕ^＋ｇ^-1＝ｇｕ^＋ｇ^＋＝(ｇｕｇ^＋)^＋t＝{(Ａdｇ)ｕ}^＋です。

　また,Ｔr((Ａdｇ)ｕ)＝0 なので,ＡdによってＵは不変です。

一方,∀ｇ₁,ｇ₂∈ＳＵ(ｎ,Ｃ)に対して,{Ａd(ｇ₂ｇ₁)}ｕ＝ｇ₂ｇ₁ｕｇ₁^-1ｇ₂^-1＝ｇ₂{(Ａdｇ₁)ｕ}ｇ₂^-1＝(Ａdｇ₂)(Ａdｇ₁)ｕですから,写像ｇ→Ａdｇは連続かつ準同型な写像です。

以上から,ＡdはＳＵ(ｎ,Ｃ)の(ｎ²－1)次元実表現空間Ｕ上での表現であることがわかりました。これをＳＵ(ｎ)の随伴表現といいます。

ここで,ｕ₁,ｕ₂∈Ｕに対する内積を＜ｕ₁|ｕ₂＞≡Ｔr(ｕ₁^＋ｕ₂)＝Σ_i,j=1ⁿ[ｕ₁^*_ijｕ_2ij]で定義します。特に,＜ｕ|ｕ＞＝Ｔr(ｕ^＋ｕ)＝Σ_i,j=1ⁿ|ｕ_ij|²≧0 (ｕ∈Ｕ)です。

そして,＜(Ａdｇ)ｕ₁|(Ａdｇ)ｕ₂＞＝Ｔr(ｇｕ₁^＋ｇ^-1ｇｕ₂ｇ^-1)＝Ｔr(ｕ₁^＋ｕ₂)＝＜ｕ₁|ｕ₂＞なので,この内積の定義ではＡdはユニタリ表現です。

しかも,Ｕは実線型空間なのでユニタリ表現であることは,Ａdｇが直交行列であることを意味します。

そこで,特にｎ＝２,ｎ²－1＝３の場合,ＳＵ(2)＝ＳＵ(2,Ｃ)の場合にはＡd[ＳＵ(2)]は"３次元直交行列の群＝回転群":ＳＯ(3)と準同型になります。

なぜなら,写像ｇ→Ａdｇは連続であり,Ａd[ＳＵ(2)]は連結なのでdet(Ａdｇ)＝1となるからです。

ただし,Ａd(－1)＝Ａd(1)＝I(回転群の単位元)なので,Ker(Ａd)＝{±1}より,ＳＵ(2)～ Ｏ(3)/{±1}＝ＳＯ(3)です。

つまり,Ｒ∈ＳＯ(3)に対して,ｇ∈ＳＵ(2)が存在してＡdｇ＝Ｒならば,Ａd(－ｇ)＝Ｒであり,このｈ＝±ｇ以外にはＡdｈ＝Ｒを満たすｈ∈ＳＵ(2)は存在しません。

パウリのスピン行列として知られているσ＝(σ₁,σ₂,σ₃)を用いて,ｅ_k≡iσ_k/√2 (ｋ＝1,2,3)とすれば,ｅ_k∈Ｕであって＜ｅ_i|ｅ_j＞＝δ_ijですから,これはＵの１つの正規直交基底になります。

任意のＵの元ｕをｕ＝Σ_k=1³ｕ^kｅ_kと展開すれば,ｅ_k(ｋ＝1,2,3)は３次元空間のあるｘｙｚ座標系のｘ,ｙ,ｚ軸方向の単位ベクトルで,(ｕ¹,ｕ²,ｕ³)は空間ベクトルｕのこの座標系での成分と同定され,ます。

そして,特にｈ_θ≡ｈ_a∈Ｈ⊂ＳＵ(2);ａ＝exp(iθ)なら線型変換Ａdｈ_θによって基底ｅ_k(ｋ＝1,2,3)は(Ａdｈ_θ)ｅ¹＝ｅ¹cos(2θ)＋ｅ²sin(2θ),(Ａdｈ_θ)ｅ²＝－ｅ¹sin(2θ)＋ｅ²cos(2θ),(Ａdｈ_θ)ｅ³＝ｅ³cos(2θ)と変換されるので,この基底ではＡdｈ_θはｅ³軸のまわりの角:2θの回転を表わしています。

また,Ａdｋ_θ,Ａdｌ_θがそれぞれｅ²軸,ｅ¹軸のまわりの角:2θの回転を表わすようなｋ_θ,ｌ_θ∈ＳＵ(2)を取ることもできるので,結局全ての回転を随伴表現で与えることが可能です。

まあ,回転群ＳＯ(3)を生成するには実際には,ｈ_θ,ｋ_θ,ｌ_θのうちの２つがあれば十分なのですが。。。

さてＳＯ(3)の１つの表現(Ｔ,Ｕ)があるとき,ｇ∈ＳＵ(2)に対してＤ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)とすれば,(Ｄ,Ｕ)はｇの1つの表現です。そしてＳＯ(3)の表現(Ｔ,Ｕ)が既約であることとＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)が既約であることは同値です。

Ｄ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)によってＳＯ(3)の任意の既約表現からＳＵ(2)の既約表現が得られますが,ＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)からＤ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)によって必ずしもＳＯ(3)の表現(Ｔ,Ｕ)は決まりません。

すなわち,Ｒ∈ＳＯ(3)に対してＡdｇ＝Ｒとなるｇ∈ＳＵ(2)は２つ存在してそれは±ｇです。

そこで,Ｄ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)であるならば,Ｄ(ｇ)＝Ｔ(Ｒ),かつＤ(－ｇ)＝Ｔ(Ｒ)ですからＤ(ｇ)＝Ｄ(－ｇ),つまりＤ(－1)＝Ｄ(1)＝Ｉである必要があります。

逆にＤ(－1)＝ＩならＤ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ),Ａdｇ＝Ｒから表現Ｔ(Ｒ)は一意的に決まります。

そこでＳＯ(3)の既約表現(Ｔ,Ｕ)を求めるにはＳＵ(2)の既約表現(Ｄ,Ｕ)を全て求め,それらのうちでＤ(－1)＝Ｉを満たすものを取ればいいことになります。

ところが,上に述べたようにＳＵ(2)の既約表現の全ては既に(ｍ＋1)次元表現(Ｄ_m,Ｕ_m)(ｍ＝0,1,2,..)で尽くされることがわかっています。そして,Ｄ_m(－1)＝(－1)^mＩです。

したがって,ｍが偶数:ｍ＝2ｌのときにはＳＵ(2)の既約表現(Ｄ_m,Ｕ_m)(ｍ＝0,1,2,..)からＴ_l(Ｒ)≡Ｄ_m(Ａd^-1Ｒ)によって回転群ＳＯ(3)の既約表現(＝１価表現)(Ｔ_l,Ｕ_2l)(ｌ＝0,1,2,..)が得られます。

(Ｔ_l,Ｕ_2l)は(2ｌ＋1)次元表現です。(これは量子論では角運動量ＪがＪ＝ｌのＪ_z＝－ｌ,..,－1,0,1,..,ｌに対応します。)

そして,Ａdｈ_θがｅ³軸のまわりの角:2θの回転Ｒ_2θを表わしていて(Ｄ_m,Ｕ_m)の指標がχ_m(ｇ)＝χ_m(ｈ_θ)＝sin{(ｍ＋1)θ}/sinθなので,ｅ³軸のまわりの角:θの回転Ｒ_θに対する(Ｔ_l,Ｕ_2l)の指標はχ_l(Ｒ_θ)＝sin{(2ｌ＋1)θ/2}/{sin(θ/2)}で与えられます。

さらに,ＳＯ(3)の任意の表現Ｔは完全可約であって,いくつかのＴ_lの直和と同値になります。

なお,ｍが奇数ｍ＝2ｋ＋1のときの,Ｔ_k+1/2(Ａdｇ)＝Ｄ_m(ｇ))(ｋ＝0,1,2,..)はＳＯ(3)の表現としては２価表現((2ｋ＋2)次元表現)を与えます。

(これは量子論で角運動量ＪがＪ＝ｋ＋1/2のときのＪ_z＝－ｋ－1/2,..,－1/2,,1/2,..,ｋ＋1/2に対応します。)

今日はここまでにします。

参考文献:山内恭彦,杉浦光夫著「連続群論入門」(培風館)，犬井鉄郎,田辺行人,小野寺嘉孝 著「応用群論」(裳華房),島 和久 著「連続群とその表現」(岩波書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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分子と点群(1)

連続群とその表現というのは,素粒子物理学をはじめ,物理学では多くの分野において重要な論題です。

今回は通常の素朴な非相対論的量子力学をベースにして巨視的物性を左右する微視的単位である分子構造を規定する対称性群としての点群の表現に関連したものを考えます。

１粒子の定常状態の波動関数ψは空間位置ｒの３次元空間におけるスカラー関数ψ(ｒ)で与えられます。

そして,座標系の空間回転の操作Ｒ:ｒ→Ｒｒの下で,この波動関数ψはψ(ｒ)→Ｒ^ψ(ｒ)と変換されるとします。

つまり,座標系の回転Ｒ:ｒ→Ｒｒに対応する関数空間での回転を示すある演算子Ｒ^が存在して,その作用をψ→Ｒ＾ψとするわけです。

このとき,ψが３次元空間におけるスカラーであるということは,空間回転の下で同じ空間位置での波動関数の値は不変であること,つまりＲ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ)なることを意味します。これは,Ｒ^ψ(ｒ)＝ψ(Ｒ^-1ｒ)と同等ですね。

しかし,量子論ではＲ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ)でなくても,一般にγを実数としてＲ^ψ(Ｒｒ)＝exp(iγ)ψ(ｒ)でありさえすれば十分です。

状態を示す状態関数としてのψは,実は位相を無視した射線(ray)という同値類の代表元でしかないというのが波動関数ψの本質的意味です。

(厳密な意味では,必ずしもＲ^ψ(Ｒｒ)＝exp(iγ)ψ(ｒ)ではなくて,Ｒ^ψ(Ｒｒ)＝exp(iγ)ψ^*(ｒ)のような反ユニタリ(anti-unitary)な変換でもかまいませんが。。。)

　しかし,波動関数がスカラーであるという意味を位相因子を無視してＲ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ)であると定義しても,一般性を失なうことはないので以下ではそのように解釈することにします。

　以下では,波動関数ψ(ｒ)が確率振幅を表わす複素数量であるという意味で＜ψ|ψ＞≡∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝１と規格化されている場合に,ψ(ｒ)→Ｒ^ψ(ｒ)がこの規格化条件を破らない物理的に意味がある変換Ｒ^のみを考察の対象とします。

　つまり,＜ψ|ψ＞＝∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝１においてψ(ｒ)の代わりにＲ^ψ(ｒ)＝ψ(Ｒ^-1ｒ)を代入しても,依然としてこの式が成立すると仮定します。すなわち,＜Ｒ^ψ|Ｒ^ψ＞＝∫ｄ³ｒψ^*(Ｒ^-1ｒ)ψ(Ｒ^-1ｒ)＝１とします。

　この条件式は,＜Ｒ^^＋Ｒ^ψ|ψ＞＝det(Ｒ^＋Ｒ)∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝１を意味します。

　Ｒ:ｒ→ＲｒのＲが空間回転を表わす場合,Ｒは実行列なのでＲ^＋＝^tＲであり,また直交行列^tＲＲ＝Ｒ^tＲ＝1ですから,Ｒ^＋Ｒ＝1を満たします。よって,det(Ｒ^＋Ｒ)＝1なので,＜Ｒ^^＋Ｒ^ψ|ψ＞＝)∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝＜ψ|ψ＞です。

　これは,Ｒ^^＋Ｒ^＝1,or Ｒ^^＋＝Ｒ^^-1,つまりＲ^がユニタリ(unitary)であることを意味します。 

ψ→Ｒ^ψなる操作によって変換されたＲ^ψが依然として同じ系の波動関数であるという意味は,任意の観測可能な物理量Ｔ^(エルミート演算子:Ｔ^＝Ｔ^^＋)の期待値＜Ｔ＞＝＜ψ|Ｔ^|ψ＞が,この操作の下で保存されることを意味します。

特にＴ^＝1のときには,ψ→Ｒ^ψなる変換で確率＜ψ|ψ＞が保存されるべきであるという要求となります。これはＲ^^＋Ｒ^＝1,つまりＲ^がユニタリであれば確かに満たされます。

Ｔ^が１ではなくて一般の任意の演算子の場合には,波動関数ψ→Ｒ^ψの変換に伴なって,Ｔ^→Ｒ^Ｔ^Ｒ^^＋＝Ｒ^Ｔ^Ｒ^^-1なるユニタリ変換がなされるなら期待値＜Ｔ＞＝＜ψ|Ｔ^|ψ＞は不変に保たれます。

そこで,以下ではψ→Ｒ^ψと同時に物理量を表わす全ての演算子Ｔ^がＴ^→Ｒ^Ｔ^Ｒ^^-1なる変換を受けるとします。

このことからｒ→Ｒｒなる変換は,ｒを量子力学の位置演算子と見たときにはＲ^ｒＲ^^-1＝Ｒｒを意味します。

そしてＲ,Ｒ^が座標系の回転を表わす場合は空間のベクトル量は全て同じ回転変換を受けるため,運動量を示すｐ^＝－iｈ_c∇なる演算子もＲ^ｐＲ^^-1＝Ｒｐを満たすはずです。

ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π);ｈはプランク定数です。

さて,定常状態のシュレーディンガー(Schrödinger)の波動方程式:Ｈ^ψ(ｒ)＝[－{ｈ_c²/(2ｍ)}∇²＋Ｖ(ｒ)]ψ(ｒ)＝Ｅψ(ｒ)におけるハミルトニアンＨ^≡ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ(ｒ)＝－{ｈ_c²/(2ｍ)}∇²＋Ｖ(ｒ)も量子力学の１つの演算子ですから,ψ→Ｒ^ψなる変換に伴なってＨ^→Ｒ^Ｈ^Ｒ^^＋＝Ｒ^Ｈ^Ｒ^^-1なる変換を受けます。

特に,Ｒ^ｐＲ^^-1＝Ｒｐであり,これのエルミート共役を取ると,Ｒ^ｐ^＋Ｒ^^-1＝ｐ^＋Ｒ^-1ですが,ｐ^＋＝ｐなので,これはＲ^ｐＲ^^-1＝ｐＲ^-1を意味します。

この最後の等式の両辺にＲ^ｐＲ^^-1＝Ｒｐを右から掛けると,Ｒ^ｐ²Ｒ^^-1＝ｐ²が得られます。あるいはＲ^∇²Ｒ^^-1＝∇²です。

また,Ｒ^Ｖ(ｒ)Ｒ^^-1＝Ｖ(Ｒ^ｒＲ^^-1)＝Ｖ(Ｒｒ)ですが,もしもポテンシャルＶ(ｒ)がクーロンポテンシャルのようにｒ＝|ｒ|のみに依存するような球対称な中心力場Ｖ(ｒ)＝Ｖ(ｒ)であれば,Ｒｒ＝ｒですからＲ^Ｖ(ｒ)Ｒ^^-1＝Ｖ(ｒ)となります。

そこで,球対称な中心力場の場合には,結局Ｒ^Ｈ^Ｒ^^-1＝Ｈ^,またはＲ^Ｈ^＝Ｈ^Ｒ^が成立します。

　今までは系の対称性変換という概念の導入のため,Ｒ:ｒ→Ｒｒ,ψ(ｒ)→Ｒ^ψ(ｒ)なる操作Ｒ,Ｒ^を座標系の空間回転に特殊化して考えましたが,以下では演算操作Ｒ,Ｒ^は必ずしも座標系の空間回転である必要はなくて,Ｒ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ),またはＲ^ψ(ｒ)＝ψ(Ｒ^-1ｒ)を満たす任意の変換であるとします。

しかし,特にＲ^が座標系の空間回転操作を表わす場合,こうした回転操作全体の集合をＧとすると,これは回転群という変換群をなすことが知られています。

逆に,Ｇを必ずしも回転群とは限らない一般の変換群とした場合,系のハミルトニアンＨ^が∀Ｒ^∈Ｇに対してＲ^Ｈ^Ｒ^^-1＝Ｈ^,またはＲ^Ｈ^＝Ｈ^Ｒ^を満たすとき,系は変換群Ｇの下で不変である,または系は変換群Ｇで規定される対称性を持つといいます。

ψがシュレーディンガー方程式Ｈ^ψ＝Ｅψの１つの解ならψはエネルギー固有値Ｅに属するＨ^の固有関数ですが,Ｒ^∈Ｇに対しＲ^Ｈ^＝Ｈ^Ｒなら,Ｈ^Ｒ^ψ＝ＥＲ^ψも成り立つので,Ｒ^ψもまたψと同じエネルギー固有値Ｅに属するＨ^の固有関数です。

そこで,Ｅに属する全ての独立な固有関数をφ_nとし,これらは正規直交化されているとします。

すなわち,Ｈ^φ_n＝Ｅφ_n,＜φ_m|φ_n＞＝δ_{m n}(ｍ,ｎ＝1,2,..,ｄ)とします。φ_nはｄ重に縮退していると仮定しています。(ｄ＝1なら縮退していませんが,１重に縮退していると広義に解釈します。)

Ｒ^Ｈ^Ｒ^^-1＝Ｈ^のとき,∀Ｒ^∈Ｇに対してＲ^φ_nは全てＨ^のＥに属する固有関数なので,φ₁,φ₂,..,φ_dの１次結合で表現されます。

つまり,Ｒ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ)ですね。そして展開係数Ｄ_mn(Ｒ)はφ_nの正規直交性＜φ_m|φ_n＞＝δ_mnにより,Ｄ_mn(Ｒ)＝＜φ_m|Ｒ^|φ_n＞と表わされることがわかります。

さて,Ｇが位相群であるとします。

つまり,Ｇは群でありかつ位相空間であって,対応(ｇ,ｈ)→ｇｈ(ｇ,ｈ∈Ｇ)で与えられる群演算,およびｇ→ｇ^-1なる写像が共に連続であるとします。

Ｕを体Ｋ(ＲまたはＣ)の上のある線型空間(ベクトル空間)とするとき,∀ｇ∈ＧにＵの上の線型変換Ｄ^(ｇ)を対応させる準同型写像Ｄ^:ｇ→Ｄ^(ｇ)を群ＧのＵ上の表現といいます。

Ｕはこの表現Ｄ^の表現空間と呼ばれます。表現Ｄ^において,その表現空間Ｕを明示したいときには,表現Ｄ^を(Ｄ^,Ｕ)と書きます。

表現空間Ｕの次元を群Ｇの表現の次元ということもあります。Ｕの次元が有限値ｎのときには,この表現をｎ次元表現といいます。

ここで,写像Ｄ^:ｇ→Ｄ^(ｇ)が準同型写像であるとは,∀ｇ,ｈ∈Ｇに対してＤ^(ｇｈ)＝Ｄ^(ｇ)Ｄ^(ｈ)が成立することを意味します。

特にｅをＧ の単位元,Ｉ_UをＵ上の恒等変換とすると,Ｄ^(ｅ)＝Ｉ_Uが常に成立します。

群の元Ｒ^とＤ(Ｒ)の対応関係は,一般には１対１とは限らず,通常はｎ対1のような対応(準同型対応)ですが,特に１対１となる場合(同型対応)には,その表現を忠実な表現といいます。

群Ｇの表現(Ｄ^,Ｕ)において,その表現空間Ｕの次元が有限である有限次元表現のとき,Ｕの任意の元にその適当な基底による１次結合の係数のベクトルｃを対応させると,Ｕ上の任意の線型変換Ｔ^はそれと完全に１対１に対応する行列Ｔと同一視できることがわかっています。

以下では,線型空間Ｕそのものではなく,それの基底による成分を並べた数ベクトルをＵの元と同一視した数ベクトル空間もまた同じ記号Ｕで記述します。

この数ベクトル空間としてのＵを表現空間とし,元の表現Ｄ^(ｇ)を行列Ｄ(ｇ)と同一視した(Ｄ^,Ｕ)に同型な表現(Ｄ,Ｕ)を行列表現といい,個々の表現を表わす行列Ｄ(ｇ)を表現行列といいます。

今の場合,Ｈ^φ_n＝Ｅφ_n (ｎ＝1,2,..,ｄ)を満たすφ_nを基底とするｄ次元ベクトル空間をＵとすれば,∀Ｒ^∈Ｇに対してＲ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ)です。

そこで,Ｈ^ψ＝Ｅψを満たす任意のψ∈Ｕがψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_nと表わされるときには,Ｒ^ψ＝Σ_n=1^dｃ_nＲ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_m{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}となります。

それ故,状態ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_n∈Ｕの各々を基底:φ₁,φ₂,．．,φ_dによる展開係数のベクトル:{ｃ_m}＝(ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_d)と同一視すれば,Ｒ^ψ＝Σ_m=1^dφ_m{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}により,Ｒ^ψ∈Ｕはベクトル:{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}＝(Σ_n=1^dＤ_1n(Ｒ)ｃ_n,Σ_n=1^dＤ_2n(Ｒ)ｃ_n,..,Σ_n=1^dＤ_dn(Ｒ)ｃ_n)と同一視されます。

そこで,(ｍ,ｎ)成分がＤ_mn(Ｒ)の行列をＤ(Ｒ)とし,ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_nの展開係数{ｃ_m}＝(ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_d)をｃ≡^t(ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_d)なるｄ次元の列ベクトルと考えれば,ψ→Ｒ^ψとｃ→Ｄ(Ｒ)ｃが等価であることがわかります。

ここで,(φ₁,φ₂,..,φ_d)を行ベクトルと考えてφ≡(φ₁,φ₂,..,φ_d)とすれば,ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_nをψ＝φｃと表現できます。

Ｒ^ψ＝Σ_m=1^dφ_m{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}もまた,Ｒ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃと書けます。

ところで,群Ｇが量子力学系のユニタリ変換から成る変換群を表わす場合,例えばＲ₁^,Ｒ₂^∈Ｇが座標系の回転を表わすような場合には,群の積の演算は波動関数ψにＲ₁^,Ｒ₂^をこの順に続けて作用させること,つまりψ→Ｒ₁^ψ→Ｒ₂^(Ｒ₁^)ψを意味します。

そこで,この場合の群演算は(Ｒ₁^,Ｒ₂^)→Ｒ₂^Ｒ₁^となり,上の位相群Ｇの表現の定義の中で仮定した演算:(ｇ,ｈ)→ｇｈ(ｇ,ｈ∈Ｇ)とは演算の順序が逆になっています。

しかし,こうした演算の順序の違いは定義を少し読み変えれば済む問題です。積の順序の違いなどは本質的なことではありません。

実際,Ｒ₁^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ₁),Ｒ₂^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ₂)より,Ｒ₂^Ｒ₁^φ_n＝Ｒ₂^[Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ₁)]＝Σ_l=1^dφ_k[Σ_m=1^dＤ_km(Ｒ₂)Ｄ_mn(Ｒ₁)]ですから,これは行列としてはＤ(Ｒ₂Ｒ₁)＝Ｄ(Ｒ₂)Ｄ(Ｒ₁)なることを意味します。

そこで,これまで通りＤ:Ｒ→Ｄ(Ｒ)が群Ｇの１つの行列表現を与えるとしても問題ないことがわかります。

次にＧの２つの表現(Ｄ^,Ｕ),(Ｄ'^,Ｖ)があるとします。

もしも,１対１の線型写像Ｔ^:Ｖ→Ｕが存在して∀Ｒ^∈Ｇに対しＴ^Ｄ'^(Ｒ)＝Ｄ^(Ｒ)Ｔ^が成立するときには,Ｄ^とＤ'^は同値な表現である,といいます。一方,同値でない表現は異値であるといいます。

上の２つの表現が(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｖ)で表わされる行列表現の場合なら,ある正則な行列Ｔ(detＴ≠0)が存在して,∀Ｒ^∈Ｇに対しＴＤ'(Ｒ)＝Ｄ(Ｒ)Ｔ,またはＤ'(Ｒ)＝Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔが成立するときＤとＤ'は同値な表現となります。

そして,(Ｄ,Ｕ)と(Ｄ',Ｖ)が同値な表現の場合,明らかに空間ＵとＶの次元は同じです。

φ₁,φ₂,..,φ_dを基底とするベクトル空間をＵとするとき,表現空間Ｕにおける変換群Ｇの表現がＲ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ)で与えられる場合,φ'_n≡Σ_m=1^dφ_mＴ_mnとするとＲ^φ'_n＝Σ_m,k=1^dφ_kＤ_km(Ｒ)Ｔ_mn＝Σ_m,k,j=1^dφ'_jＴ^-1_jkＤ_km(Ｒ)Ｔ_mn,すなわち,Ｒ^φ'_n＝Σ_m=1^dφ'_m{Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔ}_mnと書けます。

Ｄ'(Ｒ)≡Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔと定義して,上のＲ^φ'_n＝Σ_m=1^dφ'_m{Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔ}_mnをＲ^φ'_n＝Σ_m=1^dφ'_mＤ'(Ｒ)_mnに置き換えれば,表現を同値な表現に読み変えるのは,単に同じ表現空間Ｕにおける基底の変換φ₁,φ₂,..,φ_d → φ'₁,φ'₂,..,φ'_dに過ぎないことがわかります。

これをベクトル表示で考えます。

表現(Ｄ,Ｕ)はψ＝φｃのときＲ^ψがＲ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃになることを意味しますが,φ'＝φＴとすればφ＝φ'Ｔ^-1ですから,これを代入するとψ＝φｃ＝φ'Ｔ^-1ｃ,かつＲ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃ＝φ'Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)ｃ＝φ'Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔ(Ｔ^-1ｃ)となります。

したがって,ｃ'≡ Ｔ^-1ｃとおけば,これはψ＝φｃ＝φ'ｃ'のときにＲ^ψがＲ^ψ＝φ'Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔｃ'＝φ'Ｄ'(Ｒ)ｃ'と表現されることと同等です。

この新しい表現:(Ｄ',Ｕ)を,ψ＝φｃのときＲ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃになるという表現(Ｄ,Ｕ)と比較すると,変換(Ｄ,Ｕ)→(Ｄ',Ｕ)は単にφ→φ'なる基底の変換を意味することがわかります。

結局,同値な表現と定義される２つの表現は,表現空間の上の写像として同型であるという意味ですね。

さて,Ｇの２つの表現(Ｄ₁,Ｖ)と(Ｄ₂,Ｗ)があるとき,ＶとＷの直和空間:Ｕ＝Ｖ＋Ｗの上の表現:Ｄ≡Ｄ₁＋Ｄ₂を,ｕ≡ｖ＋ｗ;∀ｖ∈Ｖ,∀ｗ∈Ｖと∀Ｒ^∈Ｇに対し,Ｄ(Ｒ)ｕ＝{Ｄ₁(Ｒ)＋Ｄ₂(Ｒ)}(ｖ＋ｗ)≡Ｄ₁(Ｒ)ｖ＋Ｄ₂(Ｒ)ｗなる線型写像で定義して,この(Ｄ,Ｕ)を表現(Ｄ₁,Ｖ)と(Ｄ₂,Ｗ)の直和表現と呼ぶことにします。

そして,(Ｄ₁,Ｖ)と(Ｄ₂,Ｗ)が行列表現のとき,∀Ｒ^∈Ｇに対し２つの行列Ｄ₁(Ｒ)とＤ₂(Ｒ)を対角線に並べて,それ以外の部分行列を全てゼロと置いた行列を作ります。

これを,Ｄ₁(Ｒ)とＤ₂(Ｒ)の直和行列と呼ぶことにすれば,これは直和表現Ｄ≡Ｄ₁＋Ｄ₂の行列Ｄ(Ｒ)になることがわかります。

そこで,この直和行列をＤ₁(Ｒ)＋Ｄ₂(Ｒ)と書きます。

(Ｄ,Ｕ)を群Ｇの１つの表現とするとき,Ｕの部分空間Ｖが存在して∀Ｒ^∈ＧについてＤ(Ｒ)Ｖ⊂Ｖが成立するとき,ＶをＵのＤ-不変な部分空間,または単にＵの不変部分空間と言います。

群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)がＵ自身と{0}以外にＵのＤ-不変な部分空間を持たないとき,この表現(Ｄ,Ｕ)を既約表現といいます。既約でない表現を可約表現といいます。

また,群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)が可約のとき,特に完全可約であるとは,表現空間Ｕが不変部分空間Ｕ₁,Ｕ₂,..,Ｕ_m (Ｄ(Ｒ)Ｕ_i⊂Ｕ_i for ∀Ｒ^∈Ｇ (ｉ＝1,2,..,ｍ))の直和Ｕ＝Ｕ₁＋Ｕ₂＋..＋Ｕ_mに分解できて,Ｄ_i(Ｒ)Ｕ_i≡Ｄ(Ｒ)Ｕ_i(∀Ｒ^∈Ｇ)によって引き起こされるＤ(Ｒ)のＵ_iへの縮小写像Ｄ_i(Ｒ)による表現(Ｄ_i,Ｕ_i)(ｉ＝1,2,..,ｍ)が全て群Ｇの既約表現になることをいいます。

特に,行列表現(Ｄ,Ｕ)の表現行列が全てユニタリ行列のとき,つまりＤ(Ｒ)^＋＝Ｄ(Ｒ)^-1のときには,この表現をユニタリ表現といいます。

波動関数ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_n＝φｃの作るベクトル空間Ｕの上の対称性変換を考察するとき,この変換の変換群をＧとすると,量子力学においては元々Ｇの任意の元Ｒ^そのものがユニタリ:Ｒ^Ｒ^^＋＝Ｒ^^＋Ｒ^＝1であることが要求されます。

したがって,表現の準同型の性質からＤ(Ｒ)Ｄ(Ｒ^＋)＝Ｄ(Ｒ^＋)Ｄ(Ｒ)＝1よりＤ(Ｒ^＋)＝Ｄ(Ｒ)^-1ですが,陽な行列成分がＤ_mn(Ｒ^＋)＝＜φ_m|Ｒ^^＋|φ_n＞＝＜φ_n|Ｒ^|φ_m＞^*＝Ｄ_nm(Ｒ)^*を満たすので,Ｄ(Ｒ^＋)＝Ｄ(Ｒ)^＋,故にＤ(Ｒ)^＋＝Ｄ(Ｒ)^-1です。

そこで対象とする物理的な変換群の表現は,全てユニタリ表現です。

(Ｄ,Ｕ)が群Ｇのユニタリ表現の場合,これが既約も含めて常に完全可約な表現であることを示すことができます。

以下では,これを証明しますが,そのためにｕ₁,ｕ₂∈Ｕを列ベクトルとして,Ｕの任意の２つの元のユニタリ内積を＜ｕ₁|ｕ₂＞≡ｕ₁^＋ｕ₂で定義しておきます。

(Ｕが先述のＥの固有状態波動関数全体から成る空間の場合,ψ₁＝φｕ₁,ψ₂＝φｕ₂∈Ｕなら,波動関数の内積は＜ψ₁|ψ₂＞＝Σ_m,n=1^dｕ_1m^*ｕ_2n＜φ_m|φ_n＞＝ｕ₁^＋ｕ₂で与えられます。

したがって,線型空間Ｕを波動関数ψ＝φｕの係数ベクトルｕ全体から成る数ベクトル空間と同一視すると,波動関数ψ₁,ψ₂の内積が＜ψ₁|ψ₂＞であることとｕ₁,ｕ₂の内積が＜ｕ₁|ｕ₂＞≡ｕ₁^＋ｕ₂であることは全く同じ意味を持ちます。)

(証明)(Ｄ,Ｕ)をユニタリ表現とします。これが既約ならもちろん完全可約です。しかし,既約でない(＝可約)ならＵでも{0}でもない自明でないＤ-不変な部分空間Ｖ⊂Ｕが存在します。

　このとき,Ｖの直交補空間をＶ^⊥≡{ｗ∈Ｕ|＜ｗ|Ｖ＞＝0}で定義すると,このＶ^⊥もＤ-不変です。

　何故なら,∀ｖ∈Ｖ,∀ｗ∈Ｖ^⊥と∀Ｒ^∈Ｇに対してＤ(Ｒ^-1)ｖ∈Ｖですから,表現のユニタリ性Ｄ(Ｒ)^＋＝Ｄ(Ｒ)^-1＝Ｄ(Ｒ^-1)によって,＜Ｄ(Ｒ)ｗ|ｖ＞＝＜ｖ|Ｄ(Ｒ)ｗ＞^*＝＜ｗ|Ｄ(Ｒ)^＋ｖ＞＝＜ｗ|Ｄ(Ｒ^-1)ｖ＞＝0 から,Ｄ(Ｒ)ｗ∈Ｖ^⊥なることもわかるからです。

ＵがＶとＶ^⊥の直和:Ｕ＝Ｖ＋Ｖ^⊥であることは直交補空間の定義によって明白ですから,結局ＵはＤ-不変な部分空間の直和に書けることがわかりました。そこで,Ｖ,Ｖ^⊥が共に既約なら完全可約性の証明はここで終わりです。

しかし,Ｖ,Ｖ^⊥の一方,または両方が既約でないなら,これらをさらにＤ-不変な部分空間の直和に分解する操作を繰り返せば(Ｄ,Ｕ)は有限次元なので,結局既約な不変部分空間の直和に分解されるはずです。(証明終わり)

さらに,(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの表現の場合に,その既約性を判定する基本定理であるシューアの補題(Schur's lemma)を述べて証明しておきます。

※(シューアの補題):(Ｄ,Ｖ),(Ｄ',Ｗ)を群Ｇの２つの既約表現とするとき,線型写像Ｔ:Ｖ→Ｗが∀Ｒ∈Ｇに対しＤ'(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)を満たすならＴは同型写像か,またはＴ＝0である。

(証明)Ｌ≡KerＴ＝{ｖ∈Ｖ|Ｔｖ＝0}とすると,ｖ∈ＬならＴＤ(Ｒ)ｖ＝Ｄ'(Ｒ)Ｔｖ＝0 なので,Ｄ(Ｒ)ｖ∈ＬですからＬはＤ-不変です。

　ところが(Ｄ,Ｖ)は既約表現なので,これはＬ＝ＶかＬ＝{0}のいずれかであることを意味します。

　Ｌ＝Ｖなら,これはＴ＝0 を意味します。

　したがってＴ≠0 なら,Ｌ＝{0}ですが,これはＴが１対１写像であることを意味します。

　なぜなら,ｖ₁,ｖ₂∈Ｖに対してＴｖ₁＝Ｔｖ₂ならＴ(ｖ₁－ｖ₂)＝0 なのでｖ₁－ｖ₂∈Ｌ＝{0},よりｖ₁＝ｖ₂となるからです。

　一方,Ｄ'(Ｒ)Ｔｖ＝ＴＤ(Ｒ)ｖですから,ＴＶはＤ'-不変ですが,(Ｄ',Ｗ)が既約表現なので,ＴＶ＝ＷかＴＶ＝{0}のいずれかです。

　しかし,Ｔ≠0 ならＴＶ＝{0}では有り得ないのでＴＶ＝Ｗです。すなわち,上への写像です。

　以上からＴはＶからＷへの同型写像か,またはＴ＝0 のいずれかであることが示されました。(証明終わり)

　行列表現では,1つの線型写像Ｔは1つの行列を意味しますが有限次元空間ではＴが同型写像であることとＫerＴ＝{0},またはdetＴ≠0 なることは全て同値です。

　そして,detＴ≠0 なる線型写像Ｔ:Ｖ→Ｗが存在して∀Ｒ∈ＧについてＤ'(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)となることは,表現(Ｄ,Ｖ)と(Ｄ',Ｗ)が同値な表現であることを意味しますから,上記シューアの補題は次のようにも表現できます。

　"(Ｄ,Ｖ),(Ｄ',Ｗ)を群Ｇの２つの既約表現とするとき,ＶからＷへの線型写像Ｔがあって∀Ｒ∈ＧについてＤ'(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)を満たす場合,(1)ＤとＤ'が同値なら,このようなＴは同型写像か,またはＴ＝0である。(2)ＤとＤ'が異値ならこのようなＴはゼロしか有り得ない。"

ですね。

　さらに,(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの複素既約表現の場合,シューアの補題は次のようになります。

※(シューアの補題２):(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの複素既約表現のとき,∀Ｒ∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔはスカラー変換のみである。

　すなわち,∀Ｒ∈Ｇに対してＤ(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)なら,ある複素数λ∈Ｃが存在して,Ｔ＝λＩである。(Iは単位行列,または恒等写像)

(証明)λ∈ＣをＴの１つの固有値とします。すなわち,固有値方程式det(Ｔ－λＩ)＝0 の１つの根であるとします。Ｓ≡Ｔ－λＩと置けばＤ(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)はＤ(Ｒ)Ｓ＝ＳＤ(Ｒ)を意味します。

　そこで先のシューアの補題から行列Ｓはゼロであるか,またはdetＳ≠0なる正則な行列であるかのいずれかですが,固有値方程式det(Ｔ－λＩ)＝0 はdetＳ＝0 そのものですからＳ＝Ｔ－λＩはゼロです。つまりＴ＝λＩです。(証明終わり)

　この定理から,"可換群(アーベル群)の複素既約表現は全て１次元表現である。"という系が得られます。

　なぜなら,(Ｄ,Ｕ)が可換群Ｇの複素既約表現のときは,∀Ｒ₁,Ｒ₂∈Ｇに対してＤ(Ｒ₁)Ｄ(Ｒ₂)＝Ｄ(Ｒ₂)Ｄ(Ｒ₁)ですから,シューアの補題によりＤ(Ｒ)＝λ(Ｒ)Ｉ;λ(Ｒ)∈Ｃと書けます。

　それ故,既約な表現空間Ｕは１次元でなければならないからです。

(Ｄ(Ｒ)＝λ(Ｒ)ＩのＩが２次元以上の単位行列なら,それは可約なことは明らかです。つまり,λ(Ｒ)Ｉは１次元の対角行列(単なる数)の直和行列です。)

　さて,シューアの補題２によりＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔはスカラー変換のみであることは(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの既約表現であるための必要条件であることがわかりましたが,特に(Ｄ,Ｕ)がユニタリ表現のような完全可約な表現の場合には,これは十分条件でもあります。

　すなわち,(Ｄ,Ｕ)が完全可約の場合には,Ｕはその既約なＤ-不変部分空間によって,Ｕ＝Ｕ₁＋Ｕ₂＋..＋Ｕ_mなる形に表わすことができます。

　つまり,Ｕの任意の元ｕはｕ＝ｕ₁＋ｕ₂＋..＋ｕ_m,(ｕ_i∈Ｕ_i,(ｉ＝1,2,..,ｍ))と直和表現できます。

　そこで,この場合にはｕ∈ＵがＴｕ＝λ₁ｕ₁＋λ₂ｕ₂＋..＋λ_mｕ_mに写される線型変換Ｔを作ることが可能ですが,これは明らかに∀Ｒ∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換です。

　しかし,完全可約ならλ₁,λ₂,...λ_mは任意に選ぶことができるので,ｍ≧2,λ₁≠λ₂と選択すればＴはスカラー変換ではありません。

　以上から,結局∀Ｒ∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔがスカラー変換に限られるなら,(Ｄ,Ｕ)は既約表現でなければならないことが示されました。

　つまり,(Ｄ,Ｕ)が完全可約表現,例えばユニタリ表現のときには,Ｄ(Ｒ)(∀Ｒ∈Ｇ)と可換な線型変換Ｔがスカラー変換に限られることが表現が既約表現であるための必要十分条件であることがわかります。

　今日はここまでにします。

参考文献:山内恭彦,杉浦光夫 著「連続群論入門」(培風館),犬井鉄郎,田辺行人,小野寺嘉孝 著「応用群論」(裳華房),島 和久 著「連続群とその表現」(岩波書店)

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相対論の幾何学(第Ⅲ部-4:coffee-break)

相対論の幾何学シリーズの第Ⅲ部リーマン幾何学の続きです。ちょっとここで一休みしてコーヒー・ブレイクです。

リーマン幾何学というよりも,本来の主題である全体としての物理学としての見通しとして相対論のイメージを取り戻したいと思います。

相対論の幾何学シリーズの第Ⅰ部で曲面上の曲線の曲率から直観幾何学的な考察で得られたガウス曲率や平均曲率という比較的素朴な曲面の曲率概念と,第Ⅲ部で得られた計量のある可微分多様体の上のアファイン接続に基づく曲率テンソルの定義を比較してみます。

そのため,第Ⅰ部の復習を兼ねて2008年７月から11月までの「相対論の幾何学(第Ⅰ部)」のシリーズ記事のうちの空間曲面の幾何学関連の記事から適宜抜粋参照して要約します。

まず,３次元空間内の曲面を,平面内の領域Ｄを定義域とする実数パラメータｕ,ｖのベクトル値関数ｒ(ｕ,ｖ)＝(ｘ(ｕ,ｖ),ｙ(ｕ,ｖ),ｚ(ｕ,ｖ)),(ｕ,ｖ)∈Ｄとして定義します。

ただし,ｘ,ｙ,ｚはｕ,ｖで３回連続偏微分可能(Ｃ³-級)であり,２行３列のヤコービ行列:^t(∂ｒ/∂ｕ,∂ｒ/∂ｖ)の階数は２とします。

ｒ(ｕ,ｖ)で,ｖ＝ｂを固定してｕだけを変化させる１パラメータのベクトル値関数ｒ(ｕ,ｂ)は,ｕ＝ａで点ｒ(ａ,ｂ)を通る曲面上の１つの曲線を表わします。そして,この曲線上の点ｒ(ａ,ｂ)における接ベクトルはｒ_u(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｕ)_(a,b)で与えられます。

同様にｕ＝ａを固定した場合の曲線ｒ(ａ,ｖ)上の点ｒ(ａ,ｂ)における接ベクトルはｒ_v(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)で与えられます。 

仮定により,行列:^t(∂ｒ/∂ｕ,∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)の階数は２なので,ｒ_u(ａ,ｂ) ≡(∂ｒ/∂ｕ)_(a,b)とｒ_v(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)は１次独立なベクトルです。

　曲面ｒ(ｕ,ｖ)の各点でｒ_uとｒ_vの線形結合ξｒ_u＋ηｒ_vの形で表わされるベクトルを総称して,その点における曲面の接ベクトルといい,接ベクトル全体で張られる平面を接平面といいます。

そして,ｒ_uとｒ_vの外積:ｒ_u×ｒ_vによって,ｅ≡(ｒ_u×ｒ_v)/|ｒ_u×ｒ_v|を定義すると,これは曲面ｒ(ｕ,ｖ)の法単位ベクトルになります。

法ベクトルの直交性を内積で表現する式:(ｒ_u,ｅ)＝0, (ｒ_v,ｅ)＝0 をさらにｕ,ｖで偏微分すると,(ｒ_uu,ｅ)＋(ｒ_u,ｅ_u)＝0, (ｒ_uv,ｅ)＋(ｒ_u,ｅ_v)＝0 ,(ｒ_vu,ｅ)＋(ｒ_v,ｅ_u)＝0 ,(ｒ_vv,ｅ)＋(ｒ_v,ｅ_v)＝0 が得られます。

そして,３つのｕ,ｖの関数Ｌ,Ｍ,ＮをＬ≡(ｒ_uu,ｅ)＝－(ｒ_u,ｅ_u),Ｍ≡(ｒ_uv,ｅ)＝(ｒ_vu,ｅ)＝－(ｒ_u,ｅ_v)＝(ｒ_v,ｅ_u),Ｎ≡(ｒ_vv,ｅ)＝－(ｒ_v,ｅ_v)で定義します。

こうして曲面上の各点で定義した各々の３つのベクトルの組:ｒ_u,ｒ_v,ｅは明らかに１次独立ですから,３次元空間の任意のベクトルは全てこれらを基底とする線形結合で表わすことができます。

例えば,パラメータｕ,ｖによる２階偏導関数ベクトル:ｒ_uu,ｒ_uv,ｒ_vu,ｒ_vvは,ｒ_uu＝Γ^ｕ_uuｒ_uｄ＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,ｒ_uv＝Γ^u_uvｒ_u＋

Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vu＝Γ^u_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vv＝Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅと表わすことができます。

これをガウスの公式といいます。係数のうちのΓをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)といいます。

この各点で,基底ｒ_u,ｒ_v,ｅの代わりに,例えばｅ₁≡ｒ_u/|ｒ_u|,ｅ₂≡{ｒ_v－(ｒ_v,ｅ₁)ｅ₁}/|ｒ_v－(ｒ_v,ｅ₁)ｅ₁|,ｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂で定義されるｅ₁,ｅ₂,ｅ₃を基底にとれば,ｅ₁,ｅ₂が接平面の基底をなし互いに直交する３つの単位ベクトルの系,つまり(ｅ_i,ｅ_j)≡^tｅ_iｅ_j＝δ_ijを満たす正規直交系ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃が得られます。

こうした正規直交系の基底ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃を正規直交標構と呼びます。

接平面の異なる２組の基底{ｒ_u,ｒ_v},{ｅ₁,ｅ₂}は,ある線型結合ｒ_u＝ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂,ｒ_v＝ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂によって関連付けられます。これは(ｉ,ｊ)成分がａ_jⁱの２×２行列Ａ(detＡ≠0)を用いた,(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａなる表現とも解釈できます。

ただし,最後の表現式(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａにおいては,(ｒ_u,ｒ_v),(ｅ₁,ｅ₂)という記号は,これが他のほとんどの場所で表現する内積記号(ｅ_i,ｅ_j)≡^tｅ_iｅ_jetc.ではなく,単に空間ベクトルを並べて書いただけの行列の意味です。右辺の(ｅ₁,ｅ₂)Ａも単に行列としての積です。

ここで,ｕｖ平面上の曲線(ｕ,ｖ)＝(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対応する曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))を考えると,ｄｓに対するこの曲線上の点の微小変位ｄｒは,ｄｕ＝(ｄｕ/ｄｓ)ｄｓ,ｄｖ＝(ｄｖ/ｄｓ)ｄｓを用いた表現ではｄｒ＝ｒ_uｄｕ＋ｒ_vｄｖとなります。

これはまた,ｒ_u＝ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂,ｒ_v＝ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂によって,ｄｒ＝(ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂)ｄｕ＋(ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂)ｄｖ＝(ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ)ｅ₁＋(ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖ)ｅ₂と書けます。

そこで,θ¹≡ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ,θ²≡ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖと定義すれば,ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂となってｄｒをｅ₁,ｅ₂の線型結合の形で表わせます。 

そして,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上で多様体の計量ｄｓ²に相当する量は,曲面ｒ(ｕ,ｖ)の第１基本形式Ｉ≡(ｄｒ,ｄｒ)＝^tｄｒｄｒで定義されます。ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂を代入すると I＝θ¹θ¹＋θ²θ²とも書けます。

また,ｄｒ＝ｒ_uｄｕ＋ｒ_vｄｖなる表現からは,Ｉ≡Ｅ(ｄｕｄｕ)＋2Ｆ(ｄｕｄｖ)＋Ｇ(ｄｖｄｖ)となります。ここに,Ｅ≡(ｒ_u,ｒ_u)＝^tｒ_uｒ_u,Ｆ≡(ｒ_u,ｒ_v)＝^tｒ_uｒ_v,Ｇ≡(ｒ_v,ｒ_v)＝^tｒ_vｒ_vです。 

つぎに,曲面の曲率概念を定義します。 

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対して,ｒ'(ｓ)＝ｄｒ/ｄｓはｒ(ｓ)の接ベクトルなので,点ｒ(ｓ)において曲面ｒ(ｕ,ｖ)に接しています。

しかし,ベクトルｒ"(ｓ)＝ｄ²ｒ/ｄｓ²は一般に曲面ｒ(ｕ,ｖ)の"接平面上のベクトル＝接ベクトル"ではありません。ｒ"(ｓ)の絶対値κ(ｓ)≡|ｒ"(ｓ)|は曲線の曲率と定義されます。

ｒ"(ｓ)を点ｒ(ｓ)での曲面の接ベクトル成分:ｋ_gと法ベクトル成分:ｋ_nの和に分解します。すなわち,ｒ"(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nと書きます。

そして,ｋ_gを曲線ｒ(ｓ)の測地的曲率ベクトル,ｋ_nを法曲率ベクトルと呼びます。

これらの曲率の成分ベクトルのうちで,曲面ｒ(ｕ,ｖ)の接平面に垂直な曲率成分であるｋ_nについて考察します。

ｋ_nは法ベクトルなので,単位法ベクトル:ｅ＝(ｒ_u×ｒ_v)/|ｒ_u×ｒ_v|によって,ｋ_n＝κ_nｅと表現されます。値κ_nを法曲率と呼びます。

法曲率は,さらにκ_n＝(ｋ_n,ｅ)＝(ｒ"－ｋ_g,ｅ)＝(ｒ",ｅ)＝－(ｒ',ｅ')＝－(ｄｒ/ｄｓ,ｄｅ/ｄｓ)＝－(ｒ_u(ｄｕ/ｄｓ)＋ｒ_v(ｄｖ/ｄｓ),ｅ_u(ｄｕ/ｄｓ)＋ｅ_v(ｄｖ/ｄｓ))≡Ｌ(ｄｕ/ｄｓ)(ｄｕ/ｄｓ)＋2Ｍ(ｄｕ/ｄｓ)(ｄｖ/ｄｓ)＋Ｎ(ｄｖ/ｄｓ)(ｄｖ/ｄｓ)と変形できます。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の１点ｒ₀＝ｒ(ｕ₀,ｖ₀)における任意の単位接ベクトルをｗとすれば,ｗ＝ξｒ_u(ｕ₀,ｖ₀)＋ηｒ_v(ｕ₀,ｖ₀),かつ|ｗ|＝１と書けます。

記号Πを,Π(ｗ)≡Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²によって定義すると,上に定義した法曲率:κ_n(ｓ)はκ_n(ｓ)＝Π(ｒ'(ｓ))と表現されます。

|ｗ|²＝Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²＝１であって,ｗが点ｒ₀を中心とする接平面上の単位円の周上にあるという条件の下で,接ベクトルの法線成分Π(ｗ)＝Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²が如何なるときに最大値,最小値を取るか？という問題を考えます。

この問題は,結局λ(ｗ)≡(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)/(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)なる量λが無条件((ξ,η)≠(0,0))で,最大値,最小値を取る問題と同等なことがわかります。

そして,λ(ｗ)≡(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)/(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)なる式は,Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²－λ(ｗ)(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)＝0,つまりΠ(ｗ)－λ(ｗ)|ｗ|²＝0 なる等式と同値です。

一方,λ(ｗ)が無条件で最大値,最小値を取るための必要条件は∂λ/∂ξ＝0,∂λ/∂η＝0 で与えられます。

そこで,Π(ｗ)－λ(ｗ)|ｗ|²＝0 の両辺をξ,ηで微分し,それぞれ∂λ/∂ξ,∂λ/∂ηをゼロとおけば,(Ｌ－λＥ)ξ＋(Ｍ－λＦ)η＝0,(Ｍ－λＦ)ξ＋(Ｎ－λＧ)η＝0 なる式を得ます。これは,Ｌξ＋Ｍη＝λ(Ｅξ＋Ｆη),Ｍξ＋Ｎη＝λ(Ｆξ＋Ｇη)とも書けます。

これをξ,ηを未知数とする連立１次方程式と考えると,方程式が(ξ,η)≠(0,0)の自明でない解を持つためには,係数の作る行列の行列式がゼロになることが必要十分です。すなわち,(ＥＧ－Ｆ²)λ²－(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋ＬＮ－Ｍ²＝0 が成立する必要があります。

このλの２次方程式の２つの根をλ＝κ₁,κ₂とすると,根と係数の関係からκ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²),(κ₁＋κ₂)/2＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}となります。

そして,Ｋ≡κ₁κ₂,Ｈ≡(κ₁＋κ₂)/2 と定義してＫをガウスの曲率,Ｈを平均曲率と呼びます。

さて,正規直交標構ｅ_iの微分ｄｅ_iも３次元空間のベクトルなので,これらはｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_j,または(ｉ,ｊ)成分がω_jⁱの３×３行列Ωによってｄ(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)＝(ｄｅ₁,ｄｅ₂,ｄｅ₃)＝(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)Ωと表わせます。

ただし,ｄｅ_i＝(∂ｅ_i/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｅ_i/∂ｖ)ｄｖ＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jで,ｄｅ_ｉはｕ,ｖの１次の無限小ですからｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jの係数ω_i^jは全てｄｕ,ｄｖの線型結合で与えられるはずです。

そして,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijより,(ｄｅ_i,ｅ_j)＋(ｅ_i,ｄｅ_j)＝0 です。これとｄｅ_i＝Σ_j=1ω_i^jｅ_jによってω_i^j＋ω_jⁱ＝0 (ｉ,ｊ＝1,2,3)が得られます。つまり,Ωは交代行列であり対角成分は全てゼロです。

ところで,θ¹＝ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ,θ²＝ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖ,すなわち,^t(θ¹,θ²)＝Ａ^t(ｄｕ,ｄｖ)ですが,detＡ≠0 よりＡの逆行列Ａ^-1が存在しますから,この式の両辺に右からＡ^-1を掛ければ,^t(ｄｕ,ｄｖ)＝Ａ^-1t(θ¹,θ²)を得ます。

そして,上で述べたようにω_i^jは全てｄｕ,ｄｖの線型結合で与えられるはずですから,ω_i^jはθ¹,θ²の線型結合で書けます。

例えばｄｅ₃＝ｄｅの係数ω₁³とω₂³であれば,ω₁³＝ｂ₁₁θ¹＋ｂ₁₂θ²,ω₂³＝ｂ₂₁θ¹＋ｂ₂₂θ²,または(ｉ,ｊ)成分がｂ_ijの２×２行列Ｂで ^t(ω₁³,ω₂³)＝Ｂ^t(θ¹,θ²)と書けます。

ｄｅ₃＝ｄｅ＝ｅ_uｄｕ＋ｅ_vｄｖの両辺とｒ_uの内積を取れば(ｄｅ₃,ｒ_u)＝(ｅ_u,ｒ_u)ｄｕ＋(ｅ_v,ｒ_u)ｄｖ＝(ω₃¹ｅ₁＋ω₃²ｅ₂,ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂)＝ω₁³ａ₁¹＋ω₂³ａ₁²が成立します。

同様に,(ｄｅ₃,ｒ_ｖ) ＝(ｅ_u,ｒ_v)ｄｕ＋(ｅ_v,ｒ_v)ｄｖ＝ω₁³ａ₂¹＋ω₂³ａ₂²も成り立ちます。

そこで,行列Ｓ≡^t(ｅ_u,ｅ_v)(ｒ_u,ｒ_v)を作ると,これらの関係式はＳ^t(ｄｕ,ｄｖ)＝^tＡ^t(ω₁³,ω₂³)と書けます。

これに,^t(ω₁³,ω₂³)＝Ｂ^t(θ¹,θ²)を代入すると,Ｓ^t(ｄｕ,ｄｖ)＝^tＡ^t(ω₁³,ω₂³)＝^tＡＢ^t(θ¹,θ²)＝^tＡ^tＢＡ^t(ｄｕ,ｄｖ)ですから,変数ｄｕ,ｄｖの独立性によって,Ｓ＝^tＡＢＡであることがわかります。 

それ故,Ｓ＝^tＡＢＡ,つまり^tＳ＝^tＡ^tＢＡですからＳの対称性:^tＳ＝ＳとdetＡ≠0 から,Ｂの対称性^tＢ＝Ｂが得られます。

対称行列の性質から実行列Ｂの２つの固有値は共に実数であることがわかります。

これらのＢの固有値が先に定義した曲線ｒ(ｕ,ｖ)の主曲率κ₁,κ₂に一致します。これは次のようにしてわかります。 

まず,Ｓ＝^tＡＢＡによりＢ＝^t(Ａ^-1)ＳＡ^-1＝ＡＡ^-1t(Ａ^-1)ＳＡ^-1＝Ａ(^tＡＡ)^-1ＳＡ^-1なので,Iを単位行列とする固有値方程式det(Ｂ－λＩ)＝0 において,Ｂ－λＩ＝Ａ{(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}Ａ^-1と書けます。そこで,方程式:det(Ｂ－λＩ)＝0 はdet{(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}＝0 等価な方程式です。

ところが,行列で表わした等式:(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａから^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)＝^tＡ^t(ｅ₁,ｅ₂)(ｅ₁,ｅ₂)Ａであり,しかも正規直交性:^tｅ_iｅ_j＝δ_ijにより^t(ｅ₁,ｅ₂)(ｅ₁,ｅ₂)＝Iですから,^tＡＡ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)が成立します。

また,Ｅ＝^tｒ_uｒ_u,Ｆ＝^tｒ_uｒ_v,Ｇ＝^tｒ_vｒ_vですから^tＡＡ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)は１行目が(Ｅ,Ｆ)＝(^tｒ_uｒ_u,^tｒ_uｒ_v),２行目が(Ｆ,Ｇ)＝(^tｒ_uｒ_v,^tｒ_vｒ_v)の対称行列です。

それ故,^tＡＡの逆行列(^tＡＡ)^-1は１行目が(ＥＧ－Ｆ²)^-1(Ｇ,－Ｆ),２行目が(ＥＧ－Ｆ²)^-1(－Ｆ,Ｅ)の行列になります。

したがって,行列(ＥＧ－Ｆ²){(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}は１行目が((ＧＬ－ＦＭ)－(ＥＧ－Ｆ²)λ,ＧＭ－ＦＮ),２行目が(－ＦＬ＋ＥＭ,(－ＦＭ＋ＥＮ)－(ＥＧ－Ｆ²)λ)の行列です。

以上から,行列Ｂの固有値λを求める方程式:det(Ｂ－λＩ)＝0 に同等な方程式:det[(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ]＝0 が,(ＥＧ－Ｆ²)²λ²－(ＥＧ－Ｆ²)(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋(ＧＬ－ＦＭ)(－ＦＭ＋ＥＮ)－(ＧＭ－ＦＮ)(－ＦＬ＋ＥＭ)＝0 なる形であることがわかります。

左辺の最後の２項から成る定数項は(ＥＧ－Ｆ²)(ＬＮ－Ｍ²)と因数分解されますから,結局,ＥＧ－Ｆ²≠0 の場合には,(ＥＧ－Ｆ²)λ²－(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋ＬＮ－Ｍ²＝0 なる方程式と同値になります。

これは正に,先に記述した主曲率κ₁,κ₂を２つの解とするλの２次方程式に一致しています。

以上で,行列Ｂの２つの実数固有値が主曲率κ₁,κ₂になることが示されました。 

そこで,ガウスの曲率はＫ＝κ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁,平均曲率はＨ＝(κ₁＋κ₂)/2＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}＝(1/2)traceＢ＝(1/2)(ｂ₁₁＋ｂ₂₂)となることがわかります。

さらに,ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂＝(ｅ₁,ｅ₂)^t(θ¹,θ²),ｄｅ₃＝(ｅ₁,ｅ₂)^t(ω₃¹,ω₃²)＝－(ｅ₁,ｅ₂)^t(ω₁²,ω₂³)＝－(ｅ₁,ｅ₂)Ｂ^t(θ¹,θ²)より,κがＢの固有値でＢｗ＝κｗを満たすならｄｅ₃＝－κ(ｅ₁,ｅ₂)ｗ,つまりｄｅ₃＝－κｄｒとなります。

そこで,正規直交標構を用いた表現では行列Ｂの２つの固有値が主曲率κになるということの意味も明白ですね。 

さて,これらのことを２変数の場合の外微分形式,または単に微分形式による表現によって記述すると大体次のように要約されます。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上でｄｒ＝(ｄｘ,ｄｙ,ｄｚ)を微分１形式としてｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂と書けば,ポアンカレ(Poincare)の補題によって,これの外微分はゼロです。

つまり,ｄ(ｄｒ)＝(ｄ(ｄｘ),ｄ(ｄｙ),ｄ(ｄｚ) )＝0 ですから,0＝ｄθ¹ｅ₁－θ¹∧ｄｅ₁＋ｄθ²ｅ₂－θ²∧ｄｅ₂＝ｄθ¹ｅ₁－θ¹∧(Σ_j=1³ω₁^jｅ_j)＋ｄθ²ｅ₂－θ²∧(Σ_j=1³ω₂^jｅ_j),すなわち(ｄθ¹－Σ_i=1²θⁱ∧ω_i¹)ｅ₁＋(ｄθ²－Σ_i=1²θⁱ∧ω_i²)ｅ₂－(Σ_i=1²θⁱ∧ω_i³)ｅ₃＝0 となります。

ここでｅ₁,ｅ₂,ｅ₃は１次独立なので,ｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2),Σ_i=1²θⁱ∧ω_i³＝0 なる表式が得られます。

このうち,ｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2)は第１構造式と呼ばれます。そしてω₁^jの作る行列Ωは交代行列なので,これはｄθ¹＝θ²∧ω₂¹,ｄθ²＝θ¹∧ω₁²を意味します。

一方,ω₁³＝ｂ₁₁θ¹＋ｂ₁₂θ²,ω₂³＝ｂ₂₁θ¹＋ｂ₂₂θ²,すなわちω_i³＝Σ_i=1²ｂ_ijθ^jなる展開式を仮定してΣ_i=1²θⁱ∧ω_i³＝0 に代入すればΣ_i,j=1²ｂ_ijθⁱ∧θ^j＝0 を得ます。

これは,(ｂ₁₂－ｂ₂₁)θ¹∧θ²＝0 ,つまりｂ₁₂＝ｂ₂₁を意味しますから,行列Ｂ＝{ｂ_ij}が対称行列なることが再確認されました。

次にｄ(ｄｅ_i)＝0 なる等式にｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jを代入します。

ｅ_iは 0次微分形式,ω_i^jは１次微分形式なので,これからΣ_j=1³(ｄω_i^jｅ_j－ω_i^j∧ｄｅ_j)＝Σ_k=1³(ｄω_i^k－Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^k)ｅ_k＝0 が得られます。それ故,ｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^kなる式成立します。

特に,ｋ＝1,2,つまり接平面成分を考え,ｉ=1,2の場合にはω_i³＝Σ_j=1²ｂ_ijθ^j (ｉ＝1,2)を考慮することでｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋ω_i³∧ω₃^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋ω_k³∧ω_i³＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋Σ_h,j=1²ｂ_khｂ_ijθ^j∧θ^jを得ます。 

すなわち,ｄω_i^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋(1/2){Σ_h,j=1²(ｂ_khｂ_ij－ｂ_kjｂ_ih)θ^j∧θ^j} (ｉ,ｋ＝1,2)なる表現式が得られます。

ところが前述したように,ω_i^k(ｉ,ｋ＝1,2)で作られる行列Ωは交代行列なので唯一の独立成分として例えばω₂¹だけ考えれば十分です。

この,ω₂¹については,ｄω₂¹＝Σ_j=1²ω₂^j∧ω_j¹＋(1/2){Σ_h,j=1²(ｂ_1hｂ_2j－ｂ_1jｂ_2h)θ^j∧θ^j}＝(ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁)θ¹∧θ²＝(detＢ)θ¹∧θ²となります。 

既に,ガウスの曲率Ｋ≡κ₁κ₂が,Ｋ＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁で与えられることがわかっているので,ｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ²と書けることがわかります。これは第２構造式と呼ばれるものです。

いずれにしろ,ガウスの曲率がＫ＝κ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁で与えられることは,定式化によらず同じですが,Ｋが一般の多様体上の曲率テンソルＲと如何なる関係にあるのだろうか?という本記事の主題である疑問について論じるためには,もっと別の切り口の考察にも頼る必要があります

そのために,直接一般相対論での曲がった４次元時空の上の粒子の運動を,２次元の曲面上に束縛された粒子の運動と同一視して比較することを考え,平面座標を示すパラメータ(ｕ,ｖ)を(ｕ¹,ｕ²)と表記して曲面ｒ(ｕ,ｖ)をｒ(ｕ¹,ｕ²)と書き直すことから議論を始めます。

まず,接平面の基底をなす接ベクトルｒ_u≡(∂ｒ/∂ｕ),ｒ_v≡(∂ｒ/∂ｖ)をｒ_,i≡(∂ｒ/∂ｕⁱ)(ｉ＝1,2)と書きます。

一般の接平面上のベクトルを示す線型結合:ξｒ_u＋ηｒ_vも,パラメータξ,ηをξⁱ(ｉ＝1,2)と添字表現にすることで,ξⁱｒ_,i≡ξ¹ｒ_,1＋ξ²ｒ_,2,またはξⁱ(∂ｒ/∂ｕⁱ)≡ξ¹(∂ｒ/∂ｕ¹)＋ξ²(∂ｒ/∂ｕ²)と書き直します。 

Ｅ≡(ｒ_u,ｒ_u)＝ｒ_u²,Ｆ≡(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｒ_v,ｒ_u),Ｇ≡(ｒ_v,ｒ_v)＝ｒ_v²なるいわゆる計量の表記も,通常の表記ｇ_ij≡(ｒ_,i,ｒ_,j)＝(∂ｒ/∂ｕⁱ,∂ｒ/∂ｕ^j)(ｉ,ｊ＝1,2)に変更します。

すると,接ベクトルξⁱｒ_,i＝ξⁱ(∂ｒ/∂ｕⁱ)の長さの平方(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)は,ｇ_ijξⁱξ^jと書けます。

相対論の記法に慣れているなら,空間計量の表現としてｄｓ²＝ｇ_ijｄξⁱｄξ^jと表わす方が馴染み深いですね。 

さらに,ガウスの公式ｒ_uu＝Γ^ｕ_uuｒ_u＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,ｒ_uv＝Γ^u_uvｒ_u＋Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vu＝Γ^u_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vv＝Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅは,ｒ_,ij＝∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_Ijｅなる表現に変わります。

ここで,Γ^ｕ_uu＝(ｒ_uu,ｒ_u)/(ｒ_u,ｒ_u),Γ^v_uv＝(ｒ_uv,ｒ_v)/(ｒ_v,ｒ_v),..etc.を,Γ^k_ij＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j,∂ｒ/∂ｕ^l)/(∂ｒ/∂ｕ^k,∂ｒ/∂ｕ^l )＝ｇ_kl^-1(∂ｇ_li/∂ｕ^j)＝(ｇ_kl^-1/2)(∂ｇ_li/∂ｕ^j＋∂ｇ_lj/∂ｕⁱ)なる表現に変えています。

一般相対論でのレビ・チビタ接続(Levi-Civita接続)の係数としてのクリストッフェル記号は,Γ^σ_μν＝{σ,μν}＝(ｇ^σρ/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν,ρ);(ｇ^μν)≡(ｇ_μν)^-1で与えられます。

これは,一般座標{ｘ^μ}と局所ローレンツ系の座標{Ｘ^μ}による表現ではΓ^σ_μν＝(∂ｘ^σ/∂Ｘ^ρ)(∂²Ｘ^σ/∂ｘ^μ∂ｘ^ν)です。 

そこで,座標系の次元としてｒが３次元,{ｕⁱ}が２次元で,第３の次元による拘束力によって"曲面＝２次元多様体"の上に束縛されていて３次元目を無視するという見方をします。

これは,相対論そのものとは少し異なりますが,空間曲面の位置ベクトルｒを一般座標{ｘ^μ},パラメータ{ｕⁱ}を局所ローレンツ系{Ｘ^μ}と同一視すると,{Γ^k_ij}(ｉ,ｊ,ｋ＝1,2)が４次元時空でのクリストッフェル接続の係数{Γ^σ_μν}と全く同じ意味を持つとしてよいとわかります。　

さて,こうした認識の下で,行列:Ｐ≡(ｒ_u,ｒ_v)を定義しこれをｕ,ｖで１,２回微分する演算を考えてみます。

まず,∂_uＰ＝(ｒ_uu,ｒ_uv)＝(Γ^ｕ_uuｒ_u＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,Γ^u_uvｒ_u＋Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ),∂_vＰ＝(ｒ_vu,ｒ_vv)＝(Γ^ｕ_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅ)です。

これに,左から^tＰ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)を掛けると,法ベクトルｅとの直交性から,^tＰ(∂_uＰ)は１行目が(ＥΓ^ｕ_uu＋ＦΓ^v_uu, ＥΓ^u_uv＋ＦΓ^v_uv),２行目が(ＦΓ^ｕ_uu＋ＧΓ^v_uu,ＦΓ^u_uv＋ＧΓ^v_uv)の行列,また,^tＰ(∂_vＰ)は１行目が(ＥΓ^ｕ_vu＋ＦΓ^v_vu,ＥΓ^u_vv＋Γ^v_vvＦ),２行目が(ＦΓ^ｕ_vu＋ＧΓ^v_vu,ＦΓ^u_vv＋ＧΓ^v_vv)の行列になります。

これも添字表記で,Ｐ≡(∂ｒ/∂ｕ¹,∂ｒ/∂ｕ²)とすると,ｇ_ij≡(∂ｒ/∂ｕⁱ)(∂ｒ/∂ｕ^j),∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_ijｅなので,∂_iＰ＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ¹,∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ²)＝(Γ^k_i1(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_i1ｅ,Γ^k_i2(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_i2ｅ)という表式になります。

そして,これに左から^tＰ＝^t(∂ｒ/∂ｕ¹,∂ｒ/∂ｕ²)を掛けると,^tＰ(∂_iＰ)は１行目が(ｇ_1kΓ^k_i1,ｇ_1kΓ^k_i2),２行目が(ｇ_2kΓ^k_i1,ｇ_2kΓ^k_i2)の行列になります。

そこで,(ｋ,ｌ)成分がΓ^k_ilの行列をΓ_iと書くことにすれば,∂_iＰ＝ＰΓ_i＋(ｈ_i1ｅ,ｈ_i2ｅ)となります。そこで,^tＰ(∂_iＰ)＝ｇΓ_iです。 

したがって,∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝∂_i{^tＰ(∂_jＰ)}－∂_j{^tＰ(∂_iＰ)}＝^t(∂_iＰ)(∂_jＰ)－^t(∂_jＰ)(∂_iＰ)を得ます。

ここで,∂_iＰ＝ＰΓ_i＋(ｈ_i1ｅ,ｈ_i2ｅ),ｇ＝^tＰＰであり,ｇは対称行列:^tｇ＝ｇですから,^t(∂_iＰ)(∂_jＰ)－^t(∂_jＰ)(∂_iＰ)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂となります。

Ｊ₂は１行目が(0,1),２行目が(-1,0)の２×２交代行列です。

したがって,結局∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂なる表現の等式が得られます。

一方,同じくｇ＝^tＰＰ,^tｇ＝ｇより,これを微分すると∂_iｇ＝^t(∂_iＰ)Ｐ＋^tＰ(∂_iＰ)＝^tΓ_iｇ＋ｇΓ_iですから,これによってさらに∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇ＋ｇΓ_i)Γ_j＋ｇ∂_iΓ_j－(^tΓ_jｇ＋ｇΓ_j)Γ_i－ｇ∂_jΓ_i＝ｇ(∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_i)＋(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)なる等式を得ます。

そこで,４つの２次行列Ｒ_ij(ｉ,ｊ＝1,2)を,Ｒ_ij≡∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_iと定義すれば,上の式は∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝ｇＲ_ij＋(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)と簡単になります。

この等式の右辺を,すぐ前に求めた等式∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂の右辺に等置すれば,ｇＲ_ij＝(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂なる式が得られます。

すなわち,ｇＲ₁₁＝ｇＲ₂₂＝0,ｇＲ₁₂＝－ｇＲ₂₁＝(ｈ₁₁ｈ₂₂－ｈ₁₂ｈ₂₁)Ｊ₂＝(detｈ)Ｊ₂なる具体的表式が得られます。

一方,ガウスの曲率ＫはＫ＝κ₁κ₂＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)と表現されますから,Ｅ＝ｇ₁₁,Ｆ＝ｇ₁₂＝ｇ₂₁,Ｇ＝ｇ₂₂によってＥＧ－Ｆ²＝detｇです。

Ｌ＝ｈ_11,Ｍ＝ｈ₁₂＝ｈ₂₁,Ｎ＝ｈ₂₂によって,ＬＮ－Ｍ²＝detｈなる置換を行えば.これら相対論的表記ではＫ＝detｈ/detｇに帰着することがわかります。

こうして,結局,ｇＲ₁₂＝－ｇＲ₂₁＝(detｇ)ＫＪ₂,Ｒ₁₁＝Ｒ₂₂＝0 なる最終的な関係式を得ることができました。

そして行列ｇＲ_ijの(ｍ,ｋ)成分は(ｇＲ_ij)_ml＝ｇ_mkＲ^k_ijlです。

これの右辺のテンソル成分を示すＲ^k_ijlは,Ｒ_ij≡∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_iによって,３次元空間への埋め込みと考えられる曲面を２次元多様体と同一視したときのリーマン・クリストッフェルの曲率テンソル成分に一致します。

以上から,多様体のリーマンの曲率テンソル{Ｒ^σ_λμν}は,確かに２次元曲面の素朴な曲がり具合を示すガウスの曲率Ｋの自然で直線的な拡張であることが示されました。

これで今日のコーヒー・ブレイクは終わりにします。 

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション),杉田勝美,岡本良夫,関根松夫 共著「理論物理のための微分幾何学」(森北出版),大森英樹 著「力学的な微分幾何」(数学セミナー増刊[8](1980))(日本評論社)

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相対論の幾何学(第Ⅲ部-3)(リーマン幾何学(3))

相対論の幾何学シリーズ第Ⅲ部リーマン幾何学の続きです。

まず,前回の記事の最後の部分で与えたアファイン接続(affine connection;アフィン接続)の定義を再掲するところから始めます。

※(再掲開始)

[定義Ⅲ.3]アファイン接続∇とは,(Ｘ^,Ｙ^)に∇_XＹ^を対応させる１つの写像∇:Ｘ(Ｍ)×Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)であって次の条件を満たすものをいう。ここでＸ(Ｍ)は多様体Ｍ上のベクトル場の全体を指す。

　満たすべき条件とは,∀Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^∈Ｘ(Ｍ),およびＭ上の任意関数ｆに対して,∇_X(Ｙ^＋Ｚ^)＝∇_XＹ^＋∇_XＺ^,∇_(X+Y)Ｚ^＝∇_XＺ^＋∇_YＺ^,∇_fXＹ^＝ｆ∇_XＹ^,∇_X(ｆＹ^)＝Ｘ^[ｆ]Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^が成立することである。

　Ｍ上で座標ｘ＝φ(ｐ)を持つチャート(Ｕ,φ)を選びｍ³個の接続係数と呼ばれる変数Γ≡{Γ^λ_νμ}を∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μ＝ｅ_λΓ^λ_νμで定義します。ただし,{ｅ_μ}＝{∂/∂ｘ^μ}はＴ_p(Ｍ)の座標基底です。

　こうしてアファイン接続∇の基底ベクトル{ｅ_μ}への作用∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μが定義されれば,∇の任意のベクトルへの作用が計算可能です。

　例えばＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)に対して,∇_ＶＷ^＝Ｖ^μ∇_eμ(Ｗ^νｅ_ν)＝Ｖ^μ{ｅ_μ[Ｗ^ν]＋Ｗ^ν∇_eμｅ_ν}＝Ｖ^μ(∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λとなります。

　右辺における因子は先に直感的に得られた共変微分に形が一致していますね。

　そこで,∇_μＷ^λ≡∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μνとおけば,アファイン接続∇は２つのベクトルＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)を新しいベクトル∇_ＶＷ^＝Ｖ^μ(∂Ｗ^ν/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λに移し,これのλ番目の成分がＶ^μ∇_μＷ^λで与えられることになります。

　∇_ＶＷ^はＬ_VＷ^＝[Ｖ^,Ｗ^]とは異なってＶ^の微分を含みませんから,この意味で共変微分は関数の方向微分のテンソルへの一般化になっています。(再掲終わり)※

さて,上のアファイン接続∇の定義は,ベクトル場に対するもので,これは直感的ではないベクトル場への方向微分の拡張という形での共変微分を与えるものです。

しかし,まだスカラー,つまり多様体Ｍ上の任意関数ｆを含めた一般のテンソルに対する接続∇,または共変微分の明確な定義を与えるという課題が残されています。

まず,Ｍ上の任意関数ｆに対しては,∇_Ｘｆ≡Ｘ^[ｆ]として方向微分∇_Ｘ＝Ｘ^をｆの共変微分と定義します。

こうすると,先の定義にある∀Ｘ^,Ｙ^∈Ｘ(Ｍ)に対する規則:∇_X(ｆＹ^)＝Ｘ^[ｆ]Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^は∇_X(ｆＹ^)＝(∇_Ｘｆ)Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^となって通常の微分が満たすのと同じライプニッツ則に一致します。

そこで,任意のテンソル場Ｔ₁,Ｔ₂の積に対しても,ライプニッツ則が成立することを要求します。すなわち,∇_X(Ｔ₁⊗Ｔ₂)＝(∇_ＸＴ₁)⊗Ｔ₂＋Ｔ₁⊗(∇_ＸＴ₂)の成立を要求します。

テンソル場の共変微分(接続)がこの条件を満たすという取り決めによって共変微分は一意的に決まります。

特に,この等式は両辺のテンソルの成分表示において,幾つかの上下の添字を縮約しても成立するはずです。

そこで,１-形式ω∈Ω¹(Ｍ);ω≡ω_μｄｘ^μとベクトル場Ｙ^∈Ｘ(Ｍ);Ｙ^≡Ｙ^μ∂_μの内積:＜ω,Ｙ^＞＝スカラーについても,∇_X(＜ω,Ｙ^＞)＝＜∇_Ｘω,Ｙ^＞＋＜ω,∇_ＸＹ^＞となります。

定義によって∇_X(＜ω,Ｙ^＞)＝Ｘ^[＜ω,Ｙ^＞]＝Ｘ^μ∂_μ＜ω,Ｙ^＞＝Ｘ^μ∂_μ(ω_λＹ^λ)です。

また,∇_ＸＹ^＝Ｘ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)ｅ_λ＝Ｘ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)∂_λよって,＜ω,∇_ＸＹ^＞＝ω_λＸ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)ですから,＜∇_Ｘω,Ｙ^＞＝∇_X(＜ω,Ｙ^＞)－＜ω,∇_ＸＹ^＞＝Ｘ^μ(Ｙ^λ∂_μω_λ－Γ^λ_μνＹ^νω_λ)＝Ｙ^νＸ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)が得られます。

したがって,∇_Ｘω≡Ｘ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)ｅ^*ν＝{Ｘ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)}ｄｘ^νとなります。これが１-形式ωの共変微分です。

特に,Ｘ^＝ｅ_α＝δ^μ_α∂_μとおけば,∇_μω＝(∂_μω_ν－γ^λ_μνω_λ)ｄｘ^ν,すなわち(∇_μω)_ν＝∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λを得ます。

さらに,ω＝ｄｘ^α＝δ_μ^αｄｘ^μとおけば∇_μｄｘ^ν＝－Γ^ν_μλｄｘ^λが得られます。

これらは容易に一般化されて,∇_μｔ^λ1..λp_ν1..νq＝∂_μｔ^λ1..λp_ν1..νq＋Γ^λ1_μσｔ^σλ2..λp_ν1..νq＋..＋Γ^λp_μσｔ^λ1..λp-1σ_ν1..νq－Γ^σ_μν1ｔ^λ2..λp_σν2..νq－..－Γ^σ_μνqｔ^λ1..λp-1σ_ν1..νq-1σとなります。

そして,この表現がｔ^λ1..λp_ν1..νqなる成分を持つ(ｐ,ｑ)型テンソルの共変微分をユニークに定めることがわかります。

次に,アファイン接続の接続係数Γ^λ_μνが,多様体上の座標,つまりチャートの選択によって,どのように変換されるかを考えます。

接続係数Γ^λ_μνを与えるチャート(Ｕ,φ);ｘ＝φ(ｐ)に対してＵ∩Ｖ≠φを満たす別のチャート(Ｖ,ψ);ｙ＝ψ(ｐ)があるとき,それぞれの座標に対するベクトル場の座標基底を,{ｅ_μ}≡{∂/∂ｘ^μ},{ｆ_α}≡{∂/∂ｙ^α}と書くことにします。

そして,ｙ座標に対応する接続係数をΓ~^γ_αβとします。

ｘ座標に対応する接続係数Γ^λ_μνが∇_μｅ_ν＝∇_eμｅ_ν≡ｅ_λΓ^λ_μνで定義される量ですから,接続係数Γ~^γ_αβは∇_fαｆ_β≡ｆ_γΓ~^γ_αβで定義されます。

そして,共変微分の演算子∇そのものが共変ベクトルなので,∇_fα＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)∇_eμです。

そこで,これにｆ_α＝∂/∂ｙ^α＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)(∂/∂ｘ^μ)＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)ｅ_μを代入すると,∇_fαｆ_β＝∇_fα{(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)ｅ_μ}＝(∂²ｘ^μ/∂ｙ^α∂ｙ^β)ｅ_μ＋(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)∇_eλｅ_μ＝[(∂²ｘ^ρ/∂ｙ^α∂ｙ^β)＋(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)Γ^ρ_λμ]ｅ_ρとなります。

一方,ｆ_γΓ~^γ_αβ＝(∂ｘ^ρ/∂ｙ^γ)Γ~^γ_αβｅ_ρですから,結局(∂ｘ^ρ/∂ｙ^γ)Γ~^γ_αβ＝(∂²ｘ^ρ/∂ｙ^α∂ｙ^β)＋(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)Γ^ρ_λμなる式を得ます。

故に,接続係数はΓ~^γ_αβ＝(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)(∂ｙ^γ/∂ｘ^ρ)Γ^ρ_λμ＋(∂²ｘ^μ/∂ｙ^α∂ｙ^β)(∂ｙ^γ/∂ｘ^μ)と変換される必要があります。

これまでは,接続Γを任意の量としてきましたが多様体に計量(metric)が与えられると,可能な接続の形として適当な制限を与えることができます。

そこで,計量ｇ_μνが共変的に一定,すなわち,２つのベクトルＸ^,Ｙ^∈Ｘ(Ｍ)が任意の曲線に沿って平行移動されたとき,それらの内積が平行移動の下で一定であることを要求します。

微分多様体Ｍ上の各点ｐ∈Ｍで定義された(0,2)型テンソルｇ_p:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒ;∀Ｘ^,Ｙ^∈Ｔ_p(Ｍ)⊂Ｘ(Ｍ)に対してｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)＝ｇ_μνＸ^μＹ^νを与えるｇ_p,またはｇ_μνを計量と呼んで,＜Ｘ^,Ｙ^＞≡ｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)＝ｇ_μνＸ^μＹ^νをＸ^,Ｙ^の内積と解釈します。

そして,平行移動の下で＜Ｘ^,Ｙ^＞が一定なことをｇ_μνが共変的に一定と呼び,逆に平行移動の条件として要求するわけです。

ｇ_μνが共変的に一定であるという要求から,Ｘ^,Ｙ^∈Ｔ_p(Ｍ)が任意の曲線に沿って平行移動されるとき,Ｖ^を点ｐ∈Ｍでのその曲線の接ベクトルとすると,0＝∇_Ｖ{ｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)}＝Ｖ^μ[(∇_μｇ_p)(Ｘ^,Ｙ^)＋ｇ_p(∇_μＸ^,Ｙ^)＋ｇ_p(Ｘ^,∇_μＹ^)]となります。

そして平行移動の定義によって,∇_ＶＸ^＝Ｖ^μ∇_μＸ^＝0,かつ ∇_ＶＹ^＝Ｖ^μ∇_μＹ^＝0 なので,Ｖ^μ(∇_μｇ_p)(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｖ^σＸ^μＹ^ν(∇_σｇ)_μν＝0 が成立します。

Ｘ^,Ｙ^が任意ベクトルなので,(∇_σｇ)_μν＝0 ,つまり∂_λｇ_μν－Γ^σ_λνｇ_σν－Γ^σ_λμｇ_μσ＝0 です。

これを満たすアファイン接続∇は,計量と両立するといいます。あるいは,これを満たすアファイン接続∇を単に計量接続と呼びます。

∂_λｇ_μν－Γ^σ_λνｇ_μσ－Γ^σ_λμｇ_σν＝0 の(λ,μ,ν)の巡回置換は,∂_μｇ_νλ－Γ^σ_μλｇ_νσ－Γ^σ_μνｇ_σλ＝0,∂_νｇ_λμ－Γ^σ_νμｇ_λσ－Γ^σ_νλｇ_σμ＝0 です。

これらから,－∂_μｇ_νλ＋∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ＋Ｔ^σ_λμｇ_σν＋Ｔ^σ_λνｇ_σμ－2Γ^σ_(μν)ｇ_σλ＝0 を得ます。ここにＴ^σ_λμ≡2Γ^σ_{λμ}≡Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλ,Γ^σ_(μν)≡(Γ^σ_μν＋Γ^σ_νμ)/2です。

Ｔ^σ_λμを成分とするテンソルを捩率テンソルと呼びます。Ｔ^σ_λμは下添字について反対称,つまりＴ^σ_λμ＝－Ｔ^σ_μλです。

最後の等式:－∂_μｇ_νλ＋∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ＋Ｔ^σ_λμｇ_σν＋Ｔ^σ_λνｇ_σμ－2Γ^σ_(μν)ｇ_σλ＝0 をΓ^σ_(μν)について解けば,Γ^σ_(μν)＝{σ,μν}＋(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν)/2 を得ます。

ここに,{σ,μν}は{σ,μν}≡(1/2)ｇ^σλ(∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ－∂_μｇ_νλ)で定義される量で,これをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)と呼びれます。

そこで,結局Γ^σ_μν＝Γ^σ_(μν)＋Γ^σ_{μν}＝{σ,μν}＋(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν＋Ｔ^σ_μν)/2が得られます。

最右辺の第２項:Ｋ^σ_μν≡(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν＋Ｔ^σ_μν)/2 を歪率と呼びます。

特に多様体Ｍの上で捩率テンソル{Ｔ^σ_λμ}がゼロ:Γ^σ_λμ＝Γ^σ_μλが成立する場合には,Ｋ^σ_μν≡0 でΓ^σ_μν＝{σ,μν}となります。このときの計量接続∇をレビ・チビタ接続(Levi-Civita接続)といいます。

接続Γ＝{Γ^σ_μν}はテンソルではないので,多様体の曲がり具合を測る物指しとしての本質的な幾何学的意味を持ち得ません。

そこで本質的意味を持つものとして,捩率テンソルＴ:Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)とリーマン曲率テンソル(Riemannian curvature)Ｒ:Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)というものを定義します。

ＴはＴ(Ｘ^,Ｙ^)≡∇_ＸＹ^－∇_ＹＸ^－[Ｘ^,Ｙ^],ＲはＲ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)≡∇_Ｘ∇_ＹＺ^－∇_Ｙ∇_ＸＺ^－∇_[Ｘ,Ｙ]Ｚ^で定義されます。

ＲはＺ^に対する作用と見て,Ｒ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)の代わりにＲ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^と書くことがあります。

これらは,明らかにＸ^,Ｙ^)について反対称でＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝－Ｔ(Ｙ^,Ｘ^),Ｒ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^＝－Ｒ(Ｙ^,Ｘ^)Ｚ^を満たします。

Ｘ^＝Ｘ^μｅ_μ,Ｙ^＝Ｙ^μｅ_μと成分で書けばＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｘ^μＹ^νＴ(ｅ_μ,ｅ_ν)∈Ｘ(Ｍ)ですから,Ｔは(1,2)型テンソルでＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｔ^σ_μνＸ^μＹ^νｅ_σ,またはＴ^σ_μν＝(ｄｘ^σ,Ｔ(ｅ_μ,ｅ_ν))によって成分Ｔ^σ_μνが与えられます。

[ｅ_μ,ｅ_ν]＝[∂_μ,∂_ν]＝0 なので,Ｔ^σ_μν＝(ｄｘ^σ,Ｔ(ｅ_μ,ｅ_ν))＝(ｄｘ^σ,∇_μｅ_ν－∇_νｅ_μ)＝(ｄｘ^σ,Γ^λ_μνｅ_λ－Γ^λ_νμｅ_λ)＝Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλです。

そこで,これは確かに先に成分で定義した捩率テンソルＴ^σ_λμ≡2Γ^σ_{λμ}≡Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλの表現と一致します。

一方,Ｒ(ｆＸ^,ｇＹ^,ｈＺ^)＝ｆ∇_Ｘ{ｇ∇_Ｙ(ｈＺ^)}－ｇ∇_Ｙ{ｆ∇_Ｘ(ｈＺ^)}－ｆＸ^[ｇ]∇_Ｙ(ｈＺ^)＋ｇＹ^[ｆ]∇_Ｘ(ｈＺ^)－ｆｇ∇_[Ｘ,Ｙ](ｈＺ^)＝ｆｇ[∇_Ｘ∇_Ｙ(ｈＺ^)－∇_Ｙ∇_Ｘ(ｈＺ^)－∇_[Ｘ,Ｙ](ｈＺ^)]＝ｆｇｈＲ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)なので,Ｒは多重線形です。

それ故,Ｒ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)＝Ｘ^λＹ^μＺ^νＲ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν)と書けることから,Ｒもテンソルであることがわかります。

Ｒは(1,3)型テンソルで,(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν))＝(ｄｘ^σ,∇_λ∇_μｅ_ν－∇_μ∇_λｅ_ν)＝(ｄｘ^σ,∇_λ(Γ^ρ_μνｅ_ρ)－∇_μ(Γ^ρ_λνｅ_ρ))＝(ｄｘ^σ,(∂_λΓ^ρ_μνｅ_ρ＋Γ^ρ_μνΓ^η_λρｅ_η)－(∂_μΓ^ρ_λνｅ_ρ＋Γ^ρ_λνΓ^η_μρｅ_η))です。

曲率Ｒの成分の添字を,何故この順序に取るのが慣例なのかはわかりませんが,Ｒ^σ_νλμ＝(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν))とおいて,Ｒ^σ_νλμ＝∂_λΓ^σ_μν－∂_μΓ^σ_λν＋Γ^ρ_μνΓ^σ_λρ－Γ^ρ_λνΓ^σ_μρ,またはＲ^σ_λμν＝(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_μ,ｅ_ν)ｅ_λ)＝∂_μΓ^σ_νλ－∂_νΓ^σ_μλ＋Γ^ρ_νλΓ^σ_μρ－Γ^ρ_μλΓ^σ_νρを得ます。

テンソルの反対称性Ｔ(Ｘ^,Ｙ^)＝－Ｔ(Ｙ^,Ｘ^),Ｒ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^＝－Ｒ(Ｙ^,Ｘ^)Ｚ^から,成分の添字についての反対称性Ｔ^σ_λμ≡＝－Ｔ^σ_μλ,Ｒ^σ_λμν＝－Ｒ^σ_λνμも明らかです。

ここで,Ｒ,Ｔをそれぞれ曲率テンソル,捩率テンソルと呼ぶことの物理的意味を考えてみます。

ｐ∈Ｍを始点とする無限小の平行四辺形ｐｑｒｓを取ります。そしてε^μ,δ^μ}を無限小として,ｐ,ｑ,ｒ,ｓの座標をそれぞれ{ｘ^μ},{ｘ^μ＋ε^μ},{ｘ^μ＋ε^μ＋δ^μ},{ｘ^μ＋δ^μ}とします。

ｐ∈ＭにおけるあるベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)を経路Ｃ≡ｐｑｒに沿って平行移動します。

まず,Ｖ_C^μ(ｑ)＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^νです。

さらにＶ_C^μ(ｒ)＝Ｖ_C^μ(ｑ)－Ｖ_C^λ(ｑ)Γ^μ_νλ(ｑ)δ^ν＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－{Ｖ^λ－Ｖ^ρΓ^λ_σρ(ｐ)ε^σ}Γ^μ_νλ(ｑ)δ^ν＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)δ^ν－Ｖ^ρ{∂_λΓ^μ_νρ(ｐ)－Γ^σ_λρ(ｐ)Γ^μ_νσ(ｐ)}ε^λδ^νとなります。

一方,同じベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)を経路Ｃ'≡ｐｓｒに沿って平行移動すると,Ｖ_C'^μ(ｒ)＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)δ^ν－Ｖ^ρ{∂_νΓ^μ_λρ(ｐ)－Γ^σ_νρ(ｐ)Γ^μ_λσ(ｐ)}ε^λδ^νです。

したがって,Ｖ_C'^μ(ｒ)－Ｖ_C^μ(ｒ)＝Ｖ^ρ{∂_λΓ^μ_νρ(ｐ)－∂_νΓ^μ_λρ(ｐ)＋Γ^σ_νρ(ｐ)Γ^μ_λσ(ｐ)－Γ^σ_λρ(ｐ)Γ^μ_νσ(ｐ)}ε^λδ^ν＝Ｖ^ρＲ^μ_ρλνε^λδ^νで書けます。

要約すれば,Ｖ_C'^σ－Ｖ_C^σ＝Ｖ^ρＲ^σ_ρλνε^λδ^νです。そしてε^λδ^νは微小平行四辺形の面積を表わす無限小テンソルです。

ところで,電磁場Ａ^μに対してＦ_μνを電場Ｅ,磁場Ｂを与える場の強さとして,Ａ^μの線積分にストークスの定理を適用すれば∫_C-C'Ａ^μｄｒ＝∫(∇×Ａ^μ)ｄＳ＝∫Ｆ_μνｄＳ^μνと書けます。ここでｄＳ^λνは経路Ｃ-Ｃ'が囲む無限小面積です。

そこで,この等式においてｄＳ^λνは先の無限小平行四辺形ｐｑｒｓの面積ε^λδ^νとｄＳ^λν～ε^λδ^νなる対応があると考えられます。

また,場の強さＦ_μνは,電磁場�