超弦理論(25)(2-14)

　ずいぶん間があきましたが超弦理論(superstring theory)の続きです。

実は記事にも書いたように2009年６/１に最後の投稿をした後,６/８にＰＣがクラッシュしてしまいました。

そこで「超弦理論(25)」の原稿は途中まで出来上がっていましたが,それを含めてマシン上に保存してある(23),(24)の草稿も失いました。

幸いにして(23),(24)は既に投稿済みだったので原稿がブログに残りました。

しかし,(23),(24),(25)はボソン弦の背景空間の次元Ｄが26であるべきことを示すという佳境の部分でもあったので,このクラッシュで何故か続きを書く気力が失せてしまっていました。

まあ,ワープロでなく手書きの元のノートはあるので,久しぶりに弦理論について書きます。ほぼ半年ぶりですね。

古典的レベルでは共変的議論と光錐(光円錐)ゲージ(light-cone gauge)の関係は全く明瞭です。光錐ゲージは共形(conformal)なゲージ選択を十分に指定することで得られます。

しかし,量子的レベルでは２つの定式化の間の関連は明瞭さとは程遠いものです。これを明確にすることが以下の仕事です。

元の共変量子化については本シリーズ記事の「超弦理論(17)(2-6)」から「超弦理論(21)(2-10)」で展開しましたが,そこでは物理的状態が従うべきヴィラソロ条件(Virasoro condition)を定式化しました。

しかし,そのときはこうした条件に従う状態の一般的記述を与えることはできませんでした。

今想定しているゴールは,このギャップを埋めて全ての物理的励起状態を陽に構成することです。

特に,共変定式化が光錐ゲージ定式化と同等であることを明らかにします。既にこれまでの論議で光錐ゲージ定式化はある条件の下でゴースト・フリーであることが示されたので,この定式化の同等性を通して共変定式化に対しての「ゴースト非存在の定理(no-ghost theorem)」の証明が可能になります。

こうしたアプローチは,Del.Giadice,Di Veccia,Fubini(通称:ＤＤＦ)によって開拓されました。

彼らは,ヴィラソロ演算子と交換し基底状態に続けて作用させることであらゆる可能な物理的状態を与えることができる演算子のセットを構成しました。これを「ＤＤＦの構成」と呼びます。

ＤＤＦの構成については以下で詳細に記述する予定ですが,これはスペクトルが生成する演算子のセット:{Ａ_mⁱ}で与えられます。ここで上添字ｉは(Ｄ－2)個の横波添字にわたり下添字ｎは任意の整数です。

こうした演算子はα_m^μの横波成分と１対１対応にあり,弦の横波モードを記述します。

ヴィラソロの拘束は各ｎの値に対して１つの制限を与えます。そこでスペクトルが生成する代数が各ｎの値に対して(Ｄ－1)個の演算子を含む必要があると予期されます。

それ故,失なわれていた縦波演算子Ａ_m^－も理論に入ってきます。

まず,｜0;ｐ₀＞によって運動量ｐ₀^μを持つ開弦のスペクトルのタキオン基底状態を記述します。これはａ＝1と取るとｐ₀²＝－2の状態を意味します。

なぜなら,ヴィラソロ演算子の１つはＬ₀＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_n＝－α'ｐ²－Σ_n=1^∞α_-nα_nですが,ｐ²|0;ｐ₀＞＝ｐ₀²,かつα_n|0;ｐ₀＞＝0により質量殻条件(mass-shell condition):(Ｌ₀－ａ)|0;ｐ₀＞＝0,またはＬ₀＝ａはα'ｐ₀²＝－ａを意味するからです。α'＝1/2です。

このタキオンはｐ₀^＋＝1,ｐ₀^－＝－1,ｐ₀ⁱ＝0 で記述される特別な運動状態にあると仮定します。これは確かにｐ₀²＝2ｐ₀^＋ｐ₀^－－Σ_i=1^D-2ｐ₀ⁱｐ₀ⁱ ＝－2を満足しています。

便宜上,１つのヌルベクトル(null vector)ｋ₀^μをｋ₀^－＝－1,ｋ₀^＋＝ｋ₀ⁱ＝0 で導入します。明らかにｋ₀²＝2ｋ₀^＋ｋ₀^－－Σ_i=1^D-2ｋ₀ⁱｋ₀ⁱ ＝0 を満たしノルムがゼロ(null)なので確かにヌルベクトルです。

そして,ｋ₀ｐ₀＝ｋ₀⁺ｐ₀^-＋ｋ₀^-ｐ₀^＋－Σ_i=1^D-2ｋ₀ⁱｐ₀ⁱ ＝－1です。

Ｍ²≡ｐ²,Ｎ≡Σ_n=1^∞α_-nα_nと置けば,Ｌ₀＝－α'ｐ²－Σ_n=1^∞α_-nα_n＝－α'Ｍ²－Ｎ＝ａ＝1なので,質量Ｍがこれに従ってα'Ｍ²＝Ｎ－1で与えられる場合,その運動量がｐ^μ＝ｐ₀^μ－Ｎｋ₀^μで与えられる状態のみを調べてみます。

ｐ₀^＋＝1,ｐ₀^－＝ｋ₀^―＝－1,ｐ₀ⁱ＝ｋ₀ⁱ＝ｋ₀^＋＝0 なのでｐⁱ＝ｐ₀ⁱ－Ｎｋ₀ⁱ＝0,ｐ^＋＝ｐ₀^＋－Ｎｋ₀^＋＝1,ｐ^－＝ｐ₀^－－Ｎｋ₀^－＝Ｎ－１ですから,ｐ²＝2ｐ^＋ｐ^－＝2(Ｎ－1)です。

それ故,α'＝1/2,Ｍ²＝ｐ²ならｐ^μ＝ｐ₀^μ－Ｎｋ₀^μの粒子状態の質量Ｍは確かにα'Ｍ²＝Ｎ－1を満たします。

そして,ｐ^μ＝0 を除く任意の物理的粒子の運動量状態は条件:ｐ₀^＋＝1,ｐ₀ⁱ＝0 に従う状態へとローレンツ変換され得ます。

すなわち,この条件はｐ₀ⁱ＝0 でかつ,ｐ₀^＋＝(ｐ₀⁰＋ｐ₀^D-1)/2^1/2＝1,ｐ₀^－＝(ｐ₀⁰－ｐ₀^D-1)/2^1/2＝Ｎ－1ですが,後者はｐ₀⁰＝2^-1/2Ｎ,ｐ₀^D-1＝2^-1/2(2－Ｎ)を意味します。

これはエネルギーがゼロでなく,横成分はゼロの粒子という意味ですが４次元空間なら単に粒子の進行方向を３軸とする座標系を取るという意味に過ぎません。エネルギーゼロの状態でない限りこうした座標系選択は常に可能です。

「超弦理論(21)(2-10)」で与えたように,質量がゼロの開弦の頂点演算子:Ｖ_ξ(ｋ,τ)はＶ_ξ(ｋ,τ)≡－ξ_μ(ｄＸ^μ/ｄτ)exp(－iｋＸ)＝－ξＸ^dexp(－iｋＸ)で定義されますがこれはスペクトルが生成する代数の構成に決定的役割を果たします。

この頂点演算子はＸ^μ(0,τ)のモード展開におけるｐ^μτから生じる因子exp(－iｋｐτ)を除けば周期が2πのτの周期関数です。

もし整数ｎに対してｋ^μ＝ｎｋ₀^μを持つ質量ゼロのベクトル頂点のみを扱うなら,許される状態に作用するときには－ｋｐが整数なのでexp(－iｋｐτ)もまた周期が2πのτの周期関数になります。

そうした状況では横偏極に対応する頂点演算子はＶⁱ(ｎｋ₀,τ)＝Ｘ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}(ｉ＝1.2,..Ｄ－2)です。ただしＸ^μ(τ)はＸ^μ(0,τ)の略記でありＸ^id(τ)≡ｄＸⁱ(τ)/ｄτです。

これはヒルベルト空間Ｈの許された部分空間(つまり,{|Ｍ＝0(Ｊ＝1);ｋ,ξ＞:ｋ^μ＝ｎｋ₀^μ}⊂Ｈ)の上ではτについて周期的なので,その部分空間の上では明確にフーリエ(Fourier)成分が定義できます。

すなわち,Ａ_nⁱ≡(2π)^-1∫₀^2πＶⁱ(ｎｋ₀,τ)ｄτ＝(2π)^-1∫₀^2πＸ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτと定義してこれを「ＤＤＦオペレータ(演算子)」と呼びます。

※(訳注57):特に,光錐ゲージではＸ^＋(τ)＝Ｘ^＋(0,τ)＝Ｘ^＋(σ,τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τで今の場合ｐ^＋＝ｐ₀^＋－Ｎｋ₀^＋＝1 なので,Ｘ^id(τ)＝ｐⁱ＋Σ_m≠0α_mⁱexp(－iｍτ)によりＡ_nⁱ＝(2π)^-1exp(iｎｘ^＋)∫₀^2πＸ^id(τ)exp(iｎτ)＝exp(iｎｘ^＋)α_nⁱです。(α₀ⁱ＝ｐⁱ)

それ故,ＤＤＦの定義したＡ_nⁱは光錐ゲージでＶⁱ(τ)＝Σ_-∞^∞α_nⁱ exp(－iｎτ)とフーリエ展開したときの係数＝フーリエ成分の共変ゲージでのアナロジーになっています。※

ＤＤＦオペレータは２つの重要な性質を持ちます。それらは第１にはＬ_nと交換するという性質です。そして,もう１つ以下に述べるような単純な代数に従います。

「超弦理論(20)」で紹介した共形次元の定義によれば,任意の演算子Ａ(τ)が次元Ｊを持つための条件は[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)が成立することです。

そこで,Ｖ(τ)がＪ＝1を持てば[Ｌ_m,Ｖ(τ)]＝(－i)(ｄ/ｄτ){exp(iｍτ)Ｖ(τ)}が成立します。

したがって,Ａ_nⁱ≡(2π)^-1∫₀^2πＶⁱ(ｎｋ₀,τ)ｄτの被積分関数が周期的であるような制限下では[Ｌ_m,Ａ_nⁱ]＝－i(2π)^-1∫₀^2π[ｄ/ｄτ{exp(iｍτ)Ｖⁱ(ｎｋ₀,τ)}]ｄτ＝－i(2π)^-1[exp(iｍτ)Ｖⁱ(ｎｋ₀,τ)]₀^2πからＡ_nⁱは第１の条件[Ｌ_m,Ａ_nⁱ]＝0 を満たします。

特に,これのＬ₀条件から得られる系は[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝－ｎＡ_nⁱです。

※(訳注58)[Ｌ₀,Ａ_nⁱ]＝0 ですがＬ₀＝－ｐ²/2＋Σ_n=1^∞α_-nα_n＝－ｐ²/2＋Ｎ＝－ｐ^＋ｐ^－＋ｐⁱｐⁱ/2＋Ｎですから,0＝[Ｌ₀,Ａ_nⁱ]＝[Ｎ,Ａ_nⁱ]－ｐ^＋[ｐ^－,Ａ_nⁱ],つまり[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝ｐ^＋[ｐ^－,Ａ_nⁱ]です。

　そして,既に見たようにｐ^－＝α₀^－＝(1/ｐ^＋){(1/2)Σ_m=-∞^∞:α_mⁱα_-mⁱ:－ａ}でかつＸ^id(τ)＝ｐⁱ＋Σ_n≠0α_nⁱexp(－iｎτ)ですから,[ｐ^－,Ｘ^id(τ)]＝(1/ｐ^＋)[(1/2)Σ_m,n[α_m^jα_-m^j,α_nⁱ]exp(－iｎτ)＝(－1/ｐ^＋)Σ_m≠0ｍα_mⁱexp(－iｍτ)＝(－i/ｐ^＋)ｄＸ^id(τ)/ｄτを得ます。

　Ａ_nⁱ＝(2π)^-1∫₀^2πＸ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτですから,ｐ^＋[ｐ^－,Ａ_nⁱ]＝－i(2π)^-1∫₀^2π{ｄＸ^id(τ)/ｄτ}exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτ＝－ｎ(2π)^-1∫₀^2πＸ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτ＝－ｎＡ_nⁱです。

　それ故,[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝－ｎＡ_nⁱなる式が得られます。※

これらの条件:[Ｌ_m,Ａ_nⁱ]＝0,[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝－ｎＡ_nⁱから,|ψ＞≡Ａ_-n1ⁱ¹Ａ_-n2ⁱ²..Ａ_-nk^ik|0,ｐ₀＞の形の任意の状態は,ヴィラソロ条件(Ｌ_m－ａδ_m0)|ψ＞＝0 を満たしＮ＝Σ_j=1^kｎ_jを有することがわかります。

(つまり,(Ｌ_m－ａδ_m0)|0,ｐ₀＞＝0,Ｎ|0,ｐ₀＞＝0 ,および[Ｌ_m－ａδ_m0,Ａ_nⁱ]＝0,[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝－ｎＡ_nⁱから,(Ｌ_m－ａδ_m0)|ψ＞＝0,Ｎ|ψ＞＝Σ_j=1^kｎ_j|ψ＞が従うわけです。)

Ａ_nⁱの代数を決定するためには非同時のτにおけるＸ^id(τ)の交換子が要求されます。

これについては,モード展開Ｘ^id(τ)=＝ｐⁱ＋Σ_m≠0α_mⁱexp(－iｍτ)＝Σ_-∞^∞α_mⁱexp(－iｍτ)を考えることにより,[Ｘ^id(τ₁),Ｘ^jd(τ₂)]＝2πiδ^ijδ'(τ₁－τ₂)が見出されます。

なぜなら,[Ｘ^id(τ₁),Ｘ^jd(τ₂)]＝δ^ijΣ_-∞^∞[ｍ・exp{iｍ(τ₁－τ₂)}＝iδ^ij[ｄ/ｄτ{Σ_-∞^∞exp(－iｍτ)}_τ=(τ1-τ2)であり,ｎ→∞に対しΣ_ｍ=-nⁿ exp(－iｍτ)＝sin{(ｎ＋1)τ/2}]/sin(τ/2)→ 2πδ(τ)となるからです。

そこで,非同時刻でもＸ^＋はそれ自身やＸⁱと交換することに着目すると,容易にＡ_nⁱの交換子を計算できます。

すなわち,[Ａ_mⁱ,Ａ_n^j]＝(2π)^-2∫₀^2π[Ｘ^id(τ₁),Ｘ^jd(τ₂)]exp{iｍＸ^＋(τ₁)＋iｎＸ^＋(τ₂)}ｄτ₁ｄτ₂＝(ｍ/2π)δ^ij[∫₀^2πｄτ[Ｘ^＋d(τ)exp{i(ｍ＋ｎ)Ｘ^＋(τ))＝ｍδ^ijδ_m+nを得ます。

ここでＸ^＋(τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τ,ｐ^＋＝1 を用いました。

この,[Ａ_mⁱ,Ａ_n^j]＝ｍδ^ijδ_m+nを見ると,Ａ_mⁱの代数は丁度横波振動子α_mⁱのそれと同じであることがわかります。

((訳注57)で光錐ゲージではＡ_mⁱ＝－exp(iｍｘ^＋)α_mⁱとなることを示しました。そこでゲージ不変な理論であれば,Ａ_mⁱの交換関係とα_mⁱのそれ:[α_mⁱ,α_n^j]＝ｍδ^ijδ_m+nが一致するのは当然です。)

Ａ_nⁱはまた実数性Ａ_n^i＋＝Ａ_nⁱ,およびｎ＞0 に対してＡ_nⁱ｜0；ｐ0＞＝0 なる性質＝横波振動子α_nⁱと同一の性質を持ちます。

これらの事実はＤＤＦオペレータを基底状態に作用させることによって得られる物理的状態:Ａ_-n1ⁱ¹Ａ_-n2ⁱ²..Ａ_-nk^ik|0,ｐ₀＞が全て正計量(正のノルム)を持ち,光錐ゲージにおいてタキオン状態に横波振動子を作用させろことから得られる状態と一致することを保証します。

こうしたＡ_-n1ⁱ¹Ａ_-n2ⁱ²..Ａ_-nk^ik|0,ｐ₀＞なる形で与えられる状態を「ＤＤＦ状態」と呼びます。

我々は,既にＤ＞26に対する物理的部分空間にはゴ－ストが存在することを知っています。そこで一般の次元Ｄに対してはＡ_nⁱは物理的状態以外の全てのスペクトルを生成するわけではないはずです。

今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

PS:スパコン,スパコンとか騒いでいるけど,いくら演算スピードが速くても例えば天気予報とか地震予測とかカオス関係の数値シミュレーションの結果は,所詮,そのモデル(模型),つまり計算式や数値計算のアルゴリズムの優劣次第で決まります。

　乱流やカオスの予測の明確な計算法は未だ確立されてないはずです。

　極端な話,間違った方程式や解法で計算すれば,いくら演算速度が速かろうと意味ないです。

　円周率の計算にしたって,これはカオスじゃないので計算式自体が誤りということはありませんが,アルゴリズムや式の選択次第で計算速度は全く違います。

　ソフトがちゃんとしてなければハードがいくら速くても無意味なことが多いですね。

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束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(9)

　ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)の続きです。

前回は,Wick回転(Wick-rotation)された部分波(partial wave)のＢ-Ｓ.eq.として,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)を求めました。

　Ｑ_l(ｚ)は第２種のルジャンドル(Legendre)関数で,これは第１種のルジャンドル関数Ｐ_l(ｚ)から,Ｑ_l(ｚ)＝(1/2)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}で与えられます。

右辺の積分核(kernel)のトレースは有限ですから,この積分方程式には,古典Fredholm理論を適用できます。

　固有値λ_νLl(ｓ)を除く積分核部分のトレースをσ_l(ｓ)＝(2/π)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴(Ｑ_l(1＋μ²＋/(2|ｐ|²))/[{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}])と書けば,これは収束する積分として与えられます。

幾つかの操作の後にσ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[ｘ₃'δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃μ²－ｘ₃ｘ₁ｍ_a²－ｘ₂ｘ₃ｍ_b²－ｘ₁ｘ₂ｓ)]を得ます。

これは,ｘ₃'を除けば,正確に三角グラフに対する質量殻の上のFeymanパラメーター積分に対応しています。

この式を証明するために,Feyman積分の公式,(ＡＢＣ)^-1＝2∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(Ａｘ₁＋Ｂｘ₂＋Ｃｘ₃)³]を用いて,σ_l(ｓ)＝(4/π)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴[ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}]^-3としました。

右辺の被積分関数の分母の[ ]の中は,ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃/Ｑ_l(1＋μ²＋/(2|ｐ|²))＝ｘ₁(ｍ_a²＋|ｐ|²)＋ｘ₂(ｍ_b²＋|ｐ|²)＋(ｘ₁＋ｘ₂){ｐ⁴－i√ｓ(ｘ₁η_a－ｘ₂η_b)/(ｘ₁＋ｘ₂)}²＋ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}です。

さらに∫_-∞^∞ｄｐ⁴積分を実行してσ_l(ｓ)＝(3/2)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1/2∫₀^∞ｄ|ｐ|{ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)＋(ｘ₁＋ｘ₂)|ｐ|²＋ｘ₃μ²/(2|ｐ|²)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)}^-5/2]としました

そして,∫₀^∞ｄ|ｐ|積分を実行すればσ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1[ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)－{2(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ₃μ²}^1/2]^-2となる。

というところまで書きました。

ここで,行き詰まってPendingになっていたのですが,結局,水曜日(８/18)に永田町の国会図書館に行って,中西さんの1963年の部分波Ｂ-Ｓ.eq.の原論文を参照することにしました。

ところが,午前中に都営三田線内幸町から都バスという障害者無料の都営交通経路で図書館まで行き,当該論文を検索すると東京の図書館が手狭になったため,当該資料の掲載されているPhysical Reviewなど洋雑誌は全て京都の関西館に移管されていて,それを見るには電送でコピー,または郵送で本雑誌を取り寄せるしかないとのことでした。

電送だと即日で午後までには届くということでしたが,コピーされたものが届くまで内容をチェックすることもできず,しかも電送コピーでは普通のコピー(Ａ4だと１枚24円＋消費税)の倍の料金を取られ,最大40ページまでとのことでした。

まあ,この程度の計算を書いた論文が10ページを超えることはめったにないので,それでもよかったのですが,もしかして40ページだと2000円超えるし,これまで国会図書館でやってきたように予め内容を確認して場合によっては必要部分だけのコピーを取りたかったので,土曜日(８/22)に出直すことにしました。

４日遅れましたが同じルートで再び土曜日午前中に国会図書館に出向いて実際に1963年のPhysical Reviewの本文を見るとたった６ページだったので,即日複写で151円の料金を払ってコピーを受け取りました。

というわけで,原論文のコピーを入手したのですが,その日は残暑の中往復しただけで体がすっかり疲れてしまい帰宅して寝てしまいました。

かつて,このシリーズのタネ本である"1969年の中西さんの論文＝ProgressのsupplementのＢ-Ｓ.eq.のレビュー"を最初に読んだ34年前(1975年)の学生の頃にも,確か同じ箇所の計算でつまづいて,それをきっかけに,まあいいやと読むのをやめた記憶があります。

もしも,その頃ちゃんと読む気になっていれば,当時の大学の素粒子や物性理論など理論物理学の研究室のある階の私の部屋の４つくらい右隣の部屋には図書室があり,Phys.Rev,Phys.Rev.Letters,それにNovtiment(Novciment?)やProgressくらいの主だった論文や著書は全て揃っていました。

理論なので,特別な実験環境は不要とはいえ,やはり大学とか研究関係の組織に属していた方が,参考論文などを苦労せずにいくらでもタダで参照できる環境にあるとはいえますね。

もっとも,今回,国会図書館で会員登録(無料)をしてIDとPasswordを作ったので次回からは,有料ですがオンラインで自宅にいながら資料取り寄せることもできるらしいです。

クレジットカードが失効していなければ,以前のように別ルートでネットで気軽に論文をダウンロードする道もあったのですが。。。

というわけで,たった５ページちょっとだし,その論文の記述順序を変更したり,表記を書き直したりして今のブログ本文につなげるのも面倒なので,改めて関連部分を直接要約することにします。

まず,部分波のＢ-Ｓ.eq.ですが,Wick回転した{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)ではなく,回転する前のη_a＝η_b＝1/2のＢ-Ｓ.eq.から出発します。　 

すなわち,ｋ＝η_aＰ＝η_bＰ＝Ｐ/2,ｋ⁰＝Ｐ⁰/2＝√ｓ/2で,{ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}ψ_l(|ｐ|,ｐ⁰)＝{2λ/(πi)}∫₀^∞ｄ|ｑ|∫_-∞^∞ｄｑ⁰Ｑ_l[{μ²＋ｐ²＋ｑ²－(ｐ⁰－ｑ⁰)²}/(2|ｐ||ｑ|)]ψ_l(|ｑ|,ｑ⁰)が出発点です。

そして,積分核のトレースもσ_l(ｓ)＝(2/π)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴(Ｑ_l(1＋μ²/(2|ｐ|²))/[{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}])ではなく,σ_l＝{2/(πi)}∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ^０(Ｑ_l(1＋μ²/(2ｐ²))/[{ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}]{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}])とします。 

　ここで,Ｑ_l(β)＝(1/2)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(β－ζ)},β≡1＋μ²/(2ｐ²)より,σ_l＝{1/(πi)}∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ^０∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)/[(β－ζ){ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}]です。 

Feyman積分の公式,(ＡＢ)^-1＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂[δ(1－ｘ₁－ｘ₂)/(Ａｘ₁＋Ｂｘ₂)²]＝∫₀¹ｄｘ₁{Ａｘ₁＋Ｂ(1－ｘ₁)}^-2でｘ₁＝(1＋ｚ)/2とすれば(1/2)∫_-1¹ｄｚ{Ａ(1＋ｚ)/2＋Ｂ(1－ｚ)/2}^-2です。

そこで,∫_-∞^∞ｄｘ(ｘ²＋Ａ²)^-2＝(π/2)Ａ^-3より∫_-∞^∞ｄｐ^０[{ｍ_a²＋ｐ²－(ｐ⁰－ｋ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(ｐ⁰＋ｋ⁰)²}])^-1＝(1/2)∫_-∞^∞ｄｐ^０{ｍ_a²(1＋ｚ)/2＋ｍ_b²(1－ｚ)/2＋ｐ²＋(ｐ⁰＋ｋ⁰ｚ)²＋(1－ｚ²)(ｋ⁰)²}^-2＝(πi/4)∫_-1¹ｄｚ{ｐ²＋ρ(ｚ)}^-3/2を得ます。

ρ(ｚ)≡ｍ_a²(1＋ｚ)/2＋ｍ_b²(1－ｚ)/2＋(1－ｚ²)(ｋ⁰)²です。

したがって,σ_l＝(1/2)∫_-1¹ｄｚ∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)∫₀^∞ｄ|ｐ|(ｐ²/[{ｐ²＋ρ(ｚ)}^3/2{μ²＋2ｐ²(1－ζ)}])と書けます。 

一方,一般のＢ-Ｓ.eq.はここまで{ｍ_a²＋ｐ²－(η_aＰ⁰＋ｐ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ⁰－ｐ⁰)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[φ_Br(ｑ,Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]と表記してきました。

ここでは,これも上記式中のＢ-Ｓ振幅:φ_Br(ｑ,Ｐ)を,単にｆ(ｑ)と表記して今回得た原論文におけるＢ-Ｓ.eq.の形式:{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{λ/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[ｆ(ｑ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]に変更します。

そして,Ｂ-Ｓ振幅:ｆ(ｐ)の体球関数Ｙ_lm(ｐ)≡|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)による展開係数を積分形にして,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺²)と積分表示できると仮定します。

ここにｓ≡(ｐ＋ｋ)²,ｔ≡(ｐ－ｋ)²です。

ｎは,右辺のFeynman積分が収束するように,つまり(ｎ＋2)＞ｌ/2となるように選択します。また,右辺の積分が意味を持つように,lim_α→∞[φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/αⁿ⁺¹]＝0,φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,－∞)＝0 と仮定します。

そして,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺²)の因子を部分積分します。

∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺²)＝－(ｎ＋1)^-1φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺¹|_-∞^∞＋(ｎ＋1)^-1∫_-∞^∞ｄα({∂φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/∂α}/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺¹)＝(ｎ＋1)^-1∫_-∞^∞ｄα[{∂φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/∂α}/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε]]ⁿ⁺¹]ですね。

これは,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l^(n-1)(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺¹)の因子に一致するはずですから,漸化式φ_l^(n-1)(ｚ,α)＝(ｎ＋1)^-1{∂φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)/∂α}を得ます。

さらに,Ｙ_lm(ｐ)≡|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)より,任意関数Ｆに対して両辺の積分が収束するなら,∫ｄｑＦ(ｑ²)Ｙ_lm(ｑ＋ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫ｄｑＦ(ｑ²)が成立することが簡単にわかります。

※(注)簡単にわかると書いてありましたが,私にはなかなかわからないので,この式の証明はPendingです。※)

ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)を{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{λ/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[ｆ(ｑ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]に代入します。

変形していくと,結局ｆ(ｐ)＝{(ｎ＋2)/2}Ｙ_lm(ｐ)λ∫_-1¹ｄｚ'∫_-∞^∞ｄα'φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ',α')∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα∫₀¹ｄｘｘ^l-n-1{ｇ(α',ｚ',ｘ)}^-n-1αⁿ{θ(α)－θ(α－Ｒ(ｚ,ｚ')ｇ(α',ｚ',ｘ))}[α－(1－ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])^-n-3)となります。

ここに,ｇ(α',ｚ',ｘ)≡ｘ^-1{α'＋(1－ｘ)ρ(ｚ')}＋(1－ｘ)^-1μ²,Ｒ(ｚ,ｚ')≡(1―ｚ)/(1－ｚ') (ｚ＞ｚ'),(1＋ｚ)/(1＋ｚ') (ｚ＜ｚ')です。

(証明)ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)(∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)の表式に,漸化式φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α)＝(ｎ＋2)^-1{∂φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/∂α}によるφ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)＝(ｎ＋2)∫_-∞^αｄα'φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α')を代入します。

ｆ(ｐ)＝(ｎ＋2)Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄαθ(α)∫_-∞^∞ｄα'φ_l⁽ⁿ⁾(ｚ,α')[α－(1－ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])^-n-3)となります。

一方,ｇ(α',ｚ',ｘ)＝ｘ^-1{α'＋(1－ｘ)ρ(ｚ')}＋(1－ｘ)^-1μ²なので,∫₀¹ｄｘｘ^l-n-1{ｇ(α',ｚ',ｘ)}^-n-1＝∫₀¹ｄｘｘ^l[{α'＋(1－ｘ)ρ(ｚ')}＋ｘμ²/(1－ｘ)]^-n-1です。

また,ｆ(ｐ)＝Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)を,{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{λ/(iπ²)}∫ｄ⁴ｑ[ｆ(ｑ)/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}]の両辺に代入します。

左辺は{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}ｆ(ｐ)＝{ｍ_a²－(ｐ＋ｋ)²}{ｍ_b²－(ｐ－ｋ)²}Ｙ_lm(ｐ)∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³)です。 

右辺は{λ/(iπ²)}∫ｄｑ⁰∫ｄｑ[Ｙ_lm(ｑ)/{μ²＋(ｐ－ｑ)²－(ｐ⁰－ｑ⁰)²－iε}]∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³]＝{λ/(iπ²)}∫ｄｑ⁰Ｙ_lm(ｐ)∫ｄｑ[1/{μ²＋ｑ²－(ｐ⁰－ｑ⁰)²－iε}]∫_-1¹ｄｚ∫_-∞^∞ｄα(φ_l⁽ⁿ⁺¹⁾(ｚ,α)/[α－(1＋ｚ)(ｓ－ｍ_a²)/2＋(1－ｚ)(ｔ－ｍ_b²)/2－iε])ⁿ⁺³]です。(Pending)

途中ですが,今日はここで終わります。 

　参考文献:(1) Noboru Nakanishi "Partial-Wave Bethe-Salpeter Equation",Physical Review,Vol.130,No.3,pp1230-1235(1963),

(2) Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

ＰＳ:本当に世間では信じられないことをいつまでもやってるなあ。。

　逮捕状が出て逮捕されても,起訴されるかどうかもわからないんだから,裁判の被告でさえないんだよ。

　起訴されて被告となることが確定しても,まだ裁判結果で有罪になるまでは,法律的には犯罪者ではないんだし無罪の可能性もあるんだよ。

　さらに,ついこの前もあったけど,本人が犯行を自供して17年間も服役しても,実は捜査の方が間違いで無罪どころか無実もあるんだよ。

　だから,こんな起訴されるかどうかの本来は秘密であるべき警察という密室の中で行われている捜査段階の情報の垂れ流しは異常だよ。。

　例えば,密室の中では本人が「やってない。」と主張しても警察側が確かな情報としてリークすると,世論にオモねることで金儲けにつながる御用マスコミが大した裏も取らず流すと大体信用してしまう。

　こんなの40年くらい昔の話ですが,東京で16キロもの路上デモの間,ずーっと機動隊にサンドイッチ規制されて,両側の人間はまわりから見えない場所では,こづかれたり蹴られたりされ続け,痛いからこちらが手でよけようとしたら公務執行妨害で逮捕するというような昔からの汚い官憲の手口を知ってれば,全部鵜呑みにする方がオカシイと思う。。

　こちらが,警察に殴られたとか言っても全然通らないし,防御で手を出したのも暴行したことにされるし。。。白も黒になる一方的なデマばっかしだった。。

(体に傷は残らないので物的証拠も残らず,交代で番をして容疑者が眠ったら起こすという眠らせない拷問をやられると,それでやがて死刑になるとしても,その場で眠りたいからやってない殺人でもやったと言ってしまうだろう。。

　戦時中のパルチザンとかレジスタンスとか言っても,拷問に耐え切れず仲間を売ってしまう。後で解放されても裏切り者で仲間にリンチされパージされる。。

　しかし拷問に耐えられなかったからといって誰が非難できるのだろう。。人間なんてそんなに強くない。

　日本の警察じゃないし,一応事実に基づくフィクションということですが,かつて見たイヴ・モンタン主演の仏映画「Ｚ」や,南アフリカのアパルトヘイトが主題の映画「ワールドアパート」でも似たような状況があったと記憶しています。。← また脱線やらかしてる。。)

(後者は,まだ南アが人種差別支持の時代にLDで買って見たものです。そのLDはまだ所持していますが,もう古いしDVDで出てないだろうなあ。破防法で捕まって執行猶予中の友人？に見せたら「どこの国の官憲も同じだなあ。。」と言っていた。。)

　そして,当時の大抵のマスコミはヘルメットかぶってデモする奴の方が悪いという報道(世論)に都合のいいデマゴギーの方だけをそのまま報道するしという時代だった。。

　そもそも,デモンストレーション(示威行動)というのは宣伝してもらいたいから派手にやってるのに,なかなか報道されませんでしたね。。

　逆に,今回の事件はつかまった側が頼んでもいないのに派手に宣伝するからね。。有名人だから普通人以上に悪影響があるって？。。

　それじゃ何でいつまでも派手に報道してるんだよ。え？ きれいごと言うんじゃねえよ。結局はそれでニュースが売れてスポンサー様が喜ぶからだろ。。。

(それが証拠にかわいそうに？一方の押尾君の扱いはかなり小さい。)

　そういうのも,自分が悪いのを他人のせいにする一種の逆恨みっていうやつだよ。。

ＰＳ２:福見ちゃん,前から谷亮子よりカワイかったけど柔道ばっかやってるせいか24歳にもなっても高校生のトキと同じロリ顔ですな。。

　そういえば,去年の北京五輪で唯一私が気に入った銀メダルの塚田真希ちゃんもデブで決して美形とは思わないけど,笑顔と泣き顔は絶品で輝いていましたね。。 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/08/post_65ed.html

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束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(8)

　色々あって,ずいぶん間が開きましたが,"束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(Bethe-Salpeter方程式)＝Ｂ-Ｓ.eq."シリーズの続きです。

§6.ウィック・カトコスキー模型(Wick–Cutkosky model)の途中から再開継続する予定でしたが,その前に是非必要な中西先生自身のオリジナルとして得られたＢ-Ｓ振幅の積分表示を解説したいと思います。

前記事2009年３/30の「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(7)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/03/7-2e32.html では,Ｂ-Ｓ振幅の積分表示式について,根拠を示すことなく論文の内容をそのまま書きました。

　"一般に,Ｂ-Ｓ振幅は∫_-1¹ｄｚ∫₀^∞ｄγ[φ(ｚ,γ,ｐ,Ｐ)/{γ＋(1＋ｚ)(ｍ_a²－ｖ)/2＋(1－ｚ)(ｍ_b²－ｗ)/2－iε}²]と表現されます。ここで,φは多項式的にｐ＝ｐ^μに依存します。

この積分の被積分関数の分母は,ｐ⁰＝0 で(－iε)を除いて正定値,すなわち,Wick回転の結果,|Ｐ⁰|＜min(ｍ_a/|η_a|,ｍ_b/|η_b|)を満たすなら,如何なる特異点に遭遇することもなくｐ⁰について必要な解析性を得ることができます。

ここでは,もはやｓ≧0 なる物理的制約もないことがわかります。"

と書きました。ただし,ｖ≡(η_aＰ＋ｐ)²,ｗ≡(η_bＰ－ｐ)²です。

以下では,これの根拠を示します。

まず,通常のミンコフスキー(Minkowski)空間での束縛状態の"はしご近似(ladder approximation)"でのＢ-Ｓ.eq.:{ｍ_a²－(η_aＰ＋ｐ)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ－ｐ)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]を考えます。

慣性中心系:Ｐ＝0で,ミンコフスキー空間の４元ベクトルｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)をユークリッド空間の４元ベクトルｐ~^μ＝(ｐ,ｐ⁴)etc.で表現すれば,Ｂ-Ｓ.eq.が{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]とユークリッド化されることを見ました。

これが,Wick回転の意味するところです。

さて,2009年２/７の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(4)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/02/4-27ef.htmlでは,次のように書きました。

(※再掲開始)

Nakanishi(中西;1965)は,小群(little group)の体調和関数(solid harmonics)の概念を導入しました。

ｎ重に縮退した束縛状態のＢ-Ｓ振幅は,φ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)＝＜0|Ｔ[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞,(ｒ＝1,2,..,ｎ)で与えられますが,これはポアンカレ群,すなわち非斉次ローレンツ群の有限次元表現の表現空間を形成します。

空間反転,時間反転を含む斉次ローレンツ変換の群をＬとします。

ローレンツ変換の部分集合として,Ｐ＝Ｐ^μ＝(Ｐ⁰,Ｐ)を不変に保つ部分群Ｌ(Ｐ)をＬ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}で定義します。Ｌ(Ｐ)は,いわゆるＰに属する小群と呼ばれるもので,ウィグナー(Wigner)の導入したものです。

Ｂ-Ｓ振幅の運動量表示:φ_Br(ｐ,Ｐ_B)はΛＰ_B＝Ｐ_Bを満足するＬ(Ｐ_B)の元Λに対してのみ相互に変換できます。

これは,{φ_Br(ｐ,Ｐ_B)}_r=1ⁿがＬ(Ｐ_B)の表現空間の基底であることを意味します。

Ｌ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}は次のようなＰ依存性を持ちます。(以下では,ｓ＝Ｐ²＝(Ｐ⁰)²－Ｐ²です。)

[1]Ｐ^μが時間的(time-like):ｓ＞0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(3)です。

(※何故なら,このときはＰ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)と取れば,明らかにＬ(Ｐ)は通常の３次元空間の回転群Ｏ(3)を意味します。)

[2]Ｐ^μが空間的(space-like):ｓ＜0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(2,1)です。

[3]Ｐ^μ≡0 なら,Ｌ(Ｐ)～Ｏ(3,1)＝Ｌ全体です。

[4]Ｐ^μが光的(light-like):ｓ＝0 ならＬ(Ｐ)～Ｅ(2)です。

(※(訳注):光のようにｍ＝0 なら,Ｐ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)とは取れないので,ｓ＝0 を満たすようにＰ^μ≡(1,0,0,1)と取れば,Ｌ(Ｐ)は自由度が２の回転群:Ｅ(2)(２次元ユークリッド群)になります。)

そして,通常の体球関数の定義を一般化することにより,次のようにして小群Ｌ(Ｐ)の体調和関数Ｘ_l(ｐ)を定義します。

Ｘ_l(ｐ)は,(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0,およびＰ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 を同時に満足するｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³のｌ次の同次多項式とします。

固定されたｌに対して,Ｘ_l(ｐ)の全体はＬ(Ｐ)の有限次元既約表現の空間を張ることが容易にわかります。

ここで,Ｐ^μは反変ベクトル,∂/∂ｐ^μは共変ベクトルです。

Ｐ^μ∂/∂ｐ^μ≡Ｐ⁰∂/∂ｐ⁰＋ Ｐ¹∂/∂ｐ¹＋Ｐ²∂/∂ｐ²＋Ｐ³∂/∂ｐ³ですが,Ｘ_l(ｐ)はｐ^μのｌ次の同次式です。対称性から,これはｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝ｌＸ_l(ｐ)なる不変な等式を満たします。

まず,特殊なローレンツ系でＸ_l(ｐ)の標準形を求めます。

[1] ｓ＞0 の場合:Ｐ^μ≡(√ｓ, 0)とします。

　このとき,Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 から,√ｓ(∂/∂ｐ⁰)Ｘ_l(ｐ)＝0 により,Ｘ_l(ｐ)はｐ⁰に依存しないことがわかります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

そこで,この準拠系では(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0 はラプラス方程式:∇_p²Ｘ_l(ｐ)＝0 になります。故に,Ｘ_l(ｐ)の定義は通常の球関数Ｙ_lm(ｐ)と一致します。

このＹ_lm(ｐ)は,定係数を除いて|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)と同じ関数です。

ここに,θ,φはｐの極座標です。そしてＹ_lm(θ,φ)は通常の球面調和関数(球関数)です。

　このＹ_lm(ｐ)はゲーゲンバウアー(Gegenbauer)多項式:Ｃ_k^α(ｚ)によって表現するのも便利です。

すなわち,Ｙ_lm(ｐ)＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{(4π)(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2(2|ｍ|－1)!!(ｐ¹±iｐ²)^|m||ｐ|^l-mＣ_l-|m|^|m|+1/2(ｐ³/|ｐ|) (ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,..,ｌ)ですね。

ただし,±iはｍ/|ｍ|を意味し(2ｋ－1)!!はΠ_j=1^k(2ｊ－1)によって定義されます。

規格化因子はゲーゲンバウアー多項式の直交性:∫_-1¹ｄｚ(1－ｚ²)^α-1/2Ｃ_k^α(ｚ)Ｃ_k’^α(ｚ)＝πΓ(2α＋ｋ)δ_kk’/{2^2α-1ｋ!(α＋ｋ)Γ(α)²}から計算されます。(再掲終わり※)

　以上から,ｓ＞0 ではＰ^μ≡(√ｓ, 0)におけるユークリッド化された部分波Ｂ-Ｓ振幅を体調和関数としてφ~_νLlm(ｐ~,Ｐ)＝Ｙ_lm(θ,φ)|ｐ|^-1ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)(Ｌ≧ｌ≧|ｍ|)と書けることがわかります。

　このφ~_νLlm(ｐ~,Ｐ)を,先に書いたＢ-Ｓeq:{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]に,両辺のφ~_Br(ｐ~,Ｐ)に代わる因子として代入します。

　すると,部分波のＢ-Ｓeq.として,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)が得られます。

　ここで,Ｑ_l(ｚ)は第２種のルジャンドル(Legendre)関数で,ｚ→∞ではｚ^-l-1のように挙動します。第１種のルジャンドル関数(ルジャンドル多項式)Ｐ_l(ｚ)とはＱ_l(ｚ)＝(1/2)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}によって関連付けられます。

(※訳注):右辺のうち,ｐ'空間全体の積分は,∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|²∫_-1¹ｄ(cosθ')∫₀^2πｄφ'Ｙ_lm(θ',φ')|ｐ'|^-1ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)/[μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|{cosθcosθ'＋ sinθsinsθ'cos(φ－φ')}]です。

ここで,具体的に,球関数をＹ_lm(θ,φ)≡Ｃ_lmexp(iｍφ)Ｐ_l^(m)(cosθ)(Ｐ_l^(m)(ｚ)はルジャンドル陪関数,Ｃ_lmは規格化定数)と表現し,また極軸(θ＝0)をｐの向きに取ると,上の積分はＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄ(cosθ')∫₀^2πｄφ'exp(iｍφ')Ｐ_l^(m)(cosθ')/[μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|cosθ']です。

ところが,右辺のｄφ'積分がゼロでない結果を与えるのはｍ＝0 のときのみであり,そのとき,Ｐ_l^(m)(ｚ)は第１種のルジャンドル関数Ｐ_l(ｚ)になります。

そこで,上の積分は,2πＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄζ[Ｐ_l(ζ)/{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²＋2|ｐ||ｐ'|ζ}＝2πＣ_lm∫₀^∞ｄ|ｐ'||ｐ'|(2|ｐ||ｐ'|)^-1ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)∫_-1¹ｄζ{Ｐ_l(ζ)/(ｚ－ζ)}＝2πＣ_lm|ｐ|^-1∫₀^∞ｄ|ｐ'|ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)Ｑ_l(ｚ)}に帰着します。

ただし,最後の式ではｚ≡{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)と置きました。

　よって,Ｂ-Ｓ.eq.{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]に代入して,両辺に共通なＣ_lm|ｐ|^-1などの因子を簡約した結果,次式を得ます。

すなわち,{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞∫ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)です。(訳注終わり※)

　さて,積分方程式:{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}ψ_νLl(|ｐ|,ｐ⁴,;ｓ)＝{2λ_νLl(ｓ)/π}∫₀^∞ｄ|ｐ'|∫_-∞^∞∫ｄｐ⁴'Ｑ_l[{μ²＋|ｐ|²＋|ｐ'|²＋(ｐ⁴－ｐ⁴')²}/(2|ｐ||ｐ'|)]ψ_νLl(|ｐ'|,ｐ⁴';ｓ)の右辺の核(kernel)のトレース(trace)は有限です。

　そこで,この積分方程式には,古典Fredholm理論を適用できます。

　実際,固有値λ_νLl(ｓ)を除く積分核の部分のトレースを,σ_l(ｓ)と書けば,これは収束する積分で与えられます。

すなわち,σ_l(ｓ)＝(2/π)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴(Ｑ_l(1＋μ²＋/(2|ｐ|²))/[{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}])です。

これから,幾つかの操作の後に,σ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[ｘ₃'δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃μ²－ｘ₃ｘ₁ｍ_a²－ｘ₂ｘ₃ｍ_b²－ｘ₁ｘ₂ｓ)]なる表現式が得られます。

これは,ｘ₃'を除けば,正確に三角グラフに対する質量殻上のFeymanパラメーター積分に対応しています。

(※訳注):Feymanパラメーター積分の公式:(ＡＢＣ)^-1＝2∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)/(Ａｘ₁＋Ｂｘ₂＋Ｃｘ₃)³]から,σ_l(ｓ)＝(4/π)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)∫₀^∞ｄ|ｐ|∫_-∞^∞ｄｐ⁴[ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}]^-3と書けます。

右辺の被積分関数の分母の[ ]の中は,ｘ₁{ｍ_a²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴－iη_a√ｓ)²}＋ｘ₂{ｍ_b²＋|ｐ|²＋(ｐ⁴＋iη_b√ｓ)²}＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}＝ｘ₁(ｍ_a²＋|ｐ|²)＋ｘ₂(ｍ_b²＋|ｐ|²)＋(ｘ₁＋ｘ₂){ｐ⁴－i√ｓ(ｘ₁η_a－ｘ₂η_b)/(ｘ₁＋ｘ₂)}²－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)＋ｘ₃{1＋μ²/(2|ｐ|²)－ζ}です。

そして,定積分の式∫_-∞^∞ｄｘ[(ｘ－ｃ)²＋Ａ²]}^-3＝(3π/8)Ａ^-5を用いて∫_-∞^∞ｄｐ⁴積分を実行すれば,σ_l(ｓ)＝(3/2)∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)[δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1/2∫₀^∞ｄ|ｐ|[{ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)＋(ｘ₁＋ｘ₂)|ｐ|²＋ｘ₃μ²/(2|ｐ|²)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)}^-5/2]となります。

さらに,∫₀^∞ｄｘ(ａｘ²＋ｂ＋ｃ/ｘ²)^-5/2＝∫₀^∞ｄｘ[ｘ⁵/(ａｘ⁴＋ｂｘ²＋ｃ)^5/2]＝(1/2)∫₀^∞ｄｔ[ｔ²/(ａｔ²＋ｂｔ＋ｃ)^5/2]＝(2/3)ａ^-1/2{ｂ－(4ａｃ)^1/2}^-2を用いて∫₀^∞ｄ|ｐ|積分を実行します。

すると,σ_l(ｓ)＝∫₀¹ｄｘ₁∫₀¹ｄｘ₂∫₀¹ｄｘ₃∫_-1¹ｄζＰ_l(ζ)δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)(ｘ₁＋ｘ₂)^-1[ｘ₁ｍ_a²＋ｘ₂ｍ_b²＋ｘ₃(1－ζ)－ｘ₁ｘ₂ｓ/(ｘ₁＋ｘ₂)－{2(ｘ₁＋ｘ₂)ｘ₃μ²}^1/2]^-2が得られます。

因子δ(1－ｘ₁－ｘ₂－ｘ₃)があるので,被積分関数の中では(ｘ₁＋ｘ₂)を(1－ｘ₃)と同一視することもできます。(Pending)

途中ですが今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

ＰＳ:上の本文で結構苦労して考えている計算も中西さんの1963年のphys.Levの元論文や関連文献のコピーをネットで購入できるお金があればはるかに簡単なのですが。。。

　ワザワザ永田町の国会図書館まで足を運ぶのも面倒だし。。あるいは,知り合いの大学関係者に気軽に研究室の図書館からコピーを頼めればいいのですが。。。

ＰＳ２:今朝(８月10日(月))は,いつもの病院で初めて外科の先生に診てもらいました。(初診のＫ先生は若い頃の将棋の中原名人のようなかわいい顔の人なつこい印象の人でした。)

　２年前の心臓手術当時の,以前の内科の主治医がよく「Ｔさんが思っているのとは違って,本当はいつ逝ってもオカシクない瀬戸際なんですよ。」と言ってたように,私が思っている以上に病気はヒドイというのが真実らしく,今回も動脈硬化の足の血管を外科的に助けようとすると逆に心臓が助からないので奨めないということでした。

　足と心臓のどちらを助けるか選べと言われて,足を取るバカもいないでしょうね。足の方を選んだら命がないのですから。。

　というわけで,血管が細すぎて無理だと言われたカテーテルも含め外科的な方法はあきらめることにしました。

　また,骨髄から取った遺伝子を注射するという白血病で用いるような方法も糖尿性網膜症があるのでできないそうです。(これも失明しても良ければ可能でしょうから,いずれも究極の選択ですね。)

　要するに足が全く無くなるなら別に心臓には負担かからないけれど,足の血流を急に正常にしたなら,それを維持できるほどの心臓のポンプの能力がないので,現状の心臓では耐えられないということです。

　むしろ,今現在は足に血を通わせないおかげで,心臓がポンプとして持っているということらしいです。

　内科的には,現在の薬物投与を効率的な点滴による投薬に変更するために入院する方法はあるけれど,血流を改善するバイパスのような外科手術には耐えられないので,日常的に足が痛いのを我慢してセッセと歩くことで,心臓と共存できる自然な血管細胞の再生を促すという方法があるくらいだそうです。

　私にたくさん蓄えがあるとか身内が裕福とかで,ただ命を永らえる手段だけを模索して,ノンビリ湯治でもできる楽隠居の身分ならいいのですが。。。。

　生憎く私は性格がアリさんでなくキリギリスであったせいで(現在もそうです)日々の生活の糧を得るためには,病気という理由で遊んでいるわけにもいかないので,飯を食べるのにも窮々としています。

　もっとも,楽しいことが全然なくて苦しいだけの生活なら,別に命を永らえる必要もないですがね。。。

　(↑フン,病気になったのも金がないのも自業自得だぜ!!)

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電磁場の共変的量子化(補遺)

さて,すぐ前に「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書きましたが,こうした唐突な主題の記事を全く何の脈絡もなく書くはずもなく,実は電磁場の共変的量子化におけるＥ関数の意味を明確にするための公式を得るという目的がありました。

電磁場の共変的量子化では,４次元交換関係などを表現するために,不変デルタ関数としてＤ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)},およびＥ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}を与えました。

このうち,Ｄ関数Ｄ(ｘ)はダランベール方程式□Ｄ＝0 の解であり,右辺のフーリエ因子のδ(ｐ²)は有限な関数ｆ(ｐ²)との積として非特異な関数としての意味を持ちます。

しかし,Ｅ関数Ｅ(ｘ)のフーリエ因子(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)は有限な関数ｆ(ｐ²)との積としてはなお特異な関数です。ただ,ｐ²ｆ(ｐ²)のような関数との積としては,意味を持つ超関数です。

ところで,中西さんの教科書「場の量子論」で与えられているＥ関数の定義は,私が直感的考察で与えた表現:Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}とは若干異なる形をしています。

すなわち,Δ(ｘ,ｍ²)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²－ｍ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}に対して,Ｅ(ｘ)≡－[∂Δ(ｘ,ｍ²)/∂ｍ²]_m=0＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ'(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}で定義されています。

これら２つのＥ(ｘ)の表現が実は等価であることを見るために,先の「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書いたのです。

この記事では,1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ)なる公式を得ましたが,これにｘ＝ｐ²を代入すると1/(ｐ²＋iε)＝Ｐ(1/ｐ²)－iπδ(ｐ²)となります。

移項すると,積分核としてのデルタ関数の別の表現として,iπδ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)－1/(ｐ²＋iε)なる等式を得ます。

両辺を(ｐ²＋iε)で割ると,iπ(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)/(ｐ²＋iε)－1/(ｐ²＋iε)²となります。

一方, iπδ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)－1/(ｐ²＋iε)の両辺をｐ²で微分すると,iπδ'(ｐ²)＝－Ｐ{1/(ｐ²)²}＋1/(ｐ²＋iε)²となります。

そこで,ε→＋0 の極限では,超関数の意味で,(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)＝－δ'(ｐ²)なる等式が成立することがわかります。

　したがって,超関数の意味でＥ関数の表現:Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}と,Ｅ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ'(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}が等価であることが示されました。(以上)

参考文献:中西襄 著「場の量子論」(培風館)

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電磁場の共変的量子化(3)(中西-Lautrap理論)

　電磁場の共変的量子化(3)(中西-Lautrap理論)」の続きです。

　前回は,共変ゲージでの電磁場Ａ_μ(ｘ),補助場Ｂ(ｘ)の一般的４次元交換関係が[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝0,[Ａ_μ(ｘ),Ａ_ν(ｙ)]＝－iη_μνＤ(ｘ－ｙ)＋i(1－α)∂^x_μ∂^x_νＥ(ｘ－ｙ)で与えられるというところまで書きました。

　これは,Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ), Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)]なる表現に基づくものです。

　忘れていましたが,４次元交換関係[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]をまだ計算していませんでした。

これも,Ｂ(ｙ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ)を代入した式,[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z₀^⇔[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｚ)]を利用すれば計算できます。

右辺の被積分関数はｚ⁰に依存しないので,ｚ⁰＝ｘ⁰とおけば,これは[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｚ)]と[Ａ_μ(ｘ), ∂^z₀Ｂ(ｚ)]の同時刻交換関係から計算できます。

まず,μ＝ｉなら,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 によって[Ａ_i(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝－∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)[Ａ_i(ｘ),∂^z₀Ｂ(ｚ)]と書けます。

ところが,∂_μＢ＝□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^νですから,∂₀Ｂ＝□Ａ₀－∂₀∂_νＡ^ν＝Σ_k∂_k(∂₀Ａ^k)－∇²Ａ₀です。 

そして,同時刻では,[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ａ_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝0 ですから[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∇_y²Ａ₀(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

また,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝－iδ_i^kδ³(ｘ－ｙ)より,[Ａ_j(ｘ⁰,ｘ),Σ_k∂^y_k(∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ))＝－iΣ_k∂^y_kδ_i^kδ³(ｘ－ｙ)＝－i∂^y_iδ³(ｘ－ｙ)なので,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝－i∂^y_iδ³(ｘ－ｙ)を得ます。

それ故,[Ａ_i(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝i∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z_iδ³(ｘ－ｚ)＝－i∂^x_iＤ(ｙ－ｘ)＝i∂^x_iＤ(ｘ－ｙ)となります。

(なぜなら,Ｄ(ｙ－ｘ)＝－Ｄ(ｘ－ｙ)です。)

一方,同時刻で[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),∇_y²Ａ₀(ｘ⁰,ｙ)]＝0 なることは明らかです。また,[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 ですから,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ), Σ_k∂^y_k(∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

よって,[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 が得られます。

一方,[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝－iδ³(ｘ－ｙ)ですから,[Ａ₀(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝－i∫ｄ³ｚ∂^z₀Ｄ(ｙ－ｚ)δ³(ｘ－ｚ)＝－i∂^x₀Ｄ(ｙ－ｘ)＝i∂^x₀Ｄ(ｘ－ｙ)です。

　以上から,４次元の共変的交換関係:[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝i∂^x_μＤ(ｘ－ｙ)も得られました。

　補助場Ｂ(ｘ)はダランベール方程式:□Ｂ＝0 の解なので,運動量表示は,Ｂ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｐ(2|ｐ|)^-1/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ｂ^(ｐ)exp(－i|ｐ|ｔ＋iｐｘ)＋ｂ^^＋(ｐ)exp(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)}},

　あるいは,Ｂ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ｂ^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ｂ^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}と,よく知られた形に表現して何の問題もありません。

　そして,これらの逆変換としてｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2(2|ｐ|)^-1/2∫ｄ³ｘ[(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)]]∂₀^⇔Ｂ(ｘ)],あるいはｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]を得ます。

　ｂ^(ｐ)＝θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)(2|ｐ|)^1/2ｂ^(ｐ)です。

　しかし,□Ａ^μ＝0 ではないので,Ａ^μ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｐ(2|ｐ|)^-1/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ａ^μ^(ｐ)exp(－i|ｐ|ｔ＋iｐｘ)＋ａ^μ^^＋(ｐ)exp(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)}}＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ａ^μ^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ａ^μ^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)と書くことはできません。

　これが,この問題のネックなのです。

Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ),およびＡ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)]なるキルヒホッフの表示式,

そして,Ｄ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)},Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}なる表現式,

ｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]なる逆表現から類推して,ａ^μ^(ｐ)≡－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)[∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ａ^μ(ｘ)－(1－α)(ｐ＋iε)^-2exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]と定義してみます。

Ｂ(ｘ)の正振動数部分をＢ^＋(ｘ)と書けば,Ｂ^＋(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ｂ^(ｐ)exp(－iｐｘ)です。

同様に,Ａ^μ(ｘ)の正振動数部分をＡ^μ＋(ｘ)と書けばＡ^μ＋(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²)ａ^μ^(ｐ)exp(－iｐｘ)です。

こうすれば,運動方程式,□Ｂ＝0 ,□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 ,∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 は,それぞれｐ²ｂ^(ｐ)＝0 ,ｐ²ａ^μ^(ｐ)＝i(1－α)ｐ^μｂ(ｐ),ｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ)となります。

また,交換関係は[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0,[ａ^μ^(ｐ),ａ^ν＋(ｑ)]＝δ⁴(ｐ－ｑ)[－η^μνδ(ｐ²)＋(1－α)ｐ^μｐ^νｐ^-2δ(ｐ²)],[ａ^μ^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)ｐ^μδ(ｐ²)です。

グプタ・ブロイラーの方法では,物理的状態を|phys＞と表記すると,その条件は,∂_μＡ^μ＋(ｘ)|phys＞＝0 とされています。これはα＝0 のランダウゲージ以外では,ｂ(ｐ)|phys＞＝0 と同値です。

そこで,逆に物理的状態であるための条件をｂ(ｐ)|phys＞＝0 であることと定義します。

さて,運動量がｐ^μの１光子状態は,ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞とｂ^^＋(ｐ)|0＞であるとします。ただし,ｐ_μａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－iαｂ^＋(ｐ)|0＞なる条件がありますから,このうち独立な偏光成分は４つだけです。

これら１光子状態は,ｐ²ｂ^(ｐ)＝0 より,ｐ²ｂ^^＋(ｐ)|0＞＝0 を満たし,ｐ²ａ^μ^(ｐ)＝i(1－α)ｐ^μｂ(ｐ)より,ｐ²ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－i(1－α)ｐ^μｂ^^＋(ｐ)|0＞を満たすことがわかります。

ここで,簡単のために,ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝(Ｅ,0,0,Ｅ)(Ｅ≠0)なる座標系を取ります。これは,光子の運動方向をｚ軸方向に取るというだけの意味ですから,決して一般性を失なうものではありません。

このとき,ｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ)は,１光子としては,Ｅ(ａ⁰^^＋(ｐ)－ａ^3＋(ｐ)|0＞＝iαｂ^＋(ｐ)|0＞なることを意味します。 

さらに,スカラー光子を|ｐ,Ｓ＞≡ｂ^^＋(ｐ)|0＞,縦波光子を|ｐ,Ｌ＞≡ａ³^^＋(ｐ)|0＞,横波光子を|ｐ,Ｔ^j＞≡ａ^j^^＋(ｐ)|0＞(ｊ＝1,2)と表記しておきます。

すると,ｐ²ｂ^^＋(ｐ)|0＞＝0,ｐ²ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－i(1－α)ｐ^μｂ^^＋(ｐ)|0＞は,ｐ²|ｐ,Ｓ＞＝ｐ²|ｐ,Ｔ^j＞＝0 ,かつｐ²|ｐ,Ｌ＞＝－i(1－α)Ｅ|ｐ,Ｓ＞を意味します。

そこで,スカラー光子|ｐ,Ｓ＞と横波光子|ｐ,Ｔ^j＞は固有値ｐ²＝0 に属するｐ²の固有状態ですから,これらは質量がゼロの粒子状態を表わしています。

しかし,縦波光子|ｐ,Ｌ＞はα＝1の場合を除いて,ｐ²の固有状態ではありません。しかし,(ｐ²)²|ｐ,Ｌ＞＝0 を満たすので,いわゆる双極ゴースト(dipole ghost)です。

さらに,[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0 により,＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｓ＞＝0 です。また,[ａ^μ^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)ｐ^μδ(ｐ²)により,＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｔ^j＞＝0,＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｌ＞＝－δ⁴(ｑ－ｐ)Ｅδ(ｐ²)です。

そして,[ａ^μ^(ｐ), ａ^ν＋(ｑ)]＝δ⁴(ｐ－ｑ)[－η^μνδ(ｐ²)＋(1－α)ｐ^μｐ^νｐ^-2δ(ｐ²)]により,＜ｑ,Ｌ|ｐ,Ｌ＞＝δ⁴(ｐ－ｑ)δ(ｐ²)＋(1－α)Ｅ²ｐ^-2δ(ｐ²)]です。

さらに,＜ｑ,Ｔ^j|ｐ,Ｌ＞＝0,＜ｑ,Ｔ^k|ｐ,Ｔ^j＞＝δ^kjδ(ｐ²)δ⁴(ｐ－ｑ)であることもわかります。

また,再び[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0 により,ｂ^(ｑ)|ｐ,Ｓ＞＝0 です。そして,[ａ^j^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝0 (ｊ＝1.2)によって,ｂ^(ｑ)|ｐ,Ｔ^j＞＝0 です。

一方,[ａ³^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)Ｅδ(ｐ²)なので,ｐ²＝0,かつｑ＝ｐなら|ｂ(ｑ)|ｐ,Ｌ＞≠0 です。

そこで,双極ゴースト粒子の縦波光子は非物理的状態であり,観測可能な状態ではないことがわかります。

したがって,スカラー光子と横波光子のみが物理的状態となる条件を満たす物理的粒子です。

ただし,スカラー光子のノルム＜ｐ,Ｓ|ｐ,Ｓ＞は常にゼロです。

それ故,スカラー光子は,確かに質量がゼロの物理的粒子ですが,観測される確率はゼロという意味で閉じ込められるため,実光子ではなく仮想光子と呼ばれます。

さて,自由場を離れて相互作用(４元電流密度)がある場合には,運動方程式は,□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝－j_μ(ｘ)となります。

特に静電場なら,j₀(ｘ)＝j₀(ｘ,ｔ)＝ρ(ｘ)(電荷密度)だけがゼロでない成分で,時間変動はありませんから,∂₀＝∂/∂ｔ＝0 を代入すると,－∇²Ａ₀＝ρ,∇²Ａ_k＝－(1－α)∂_kＢとなります。

－∇²Ａ₀＝ρは,Ａ₀をφと書けば∇²φ＝－ρです,

これから,静電ポテンシャルはφ(ｘ)＝－∫ｄ³ｙ[ρ(ｙ)/(4π|ｘ－ｙ|)]で,静電場はＥ(ｘ)＝－∇φ(ｘ)で与えられます。

そこで補助場Ｂ(ｘ)の存在に関係なく,静電場のクーロンの法則は確かに成立します。補助場Ｂ(ｘ)は単にゲージ変換と同等な意味しか持たないわけです。

そして,－∇²Ａ₀＝ρは,運動量表示では,ｐ²ａ⁰^(ｐ)＝ρ^(ｐ)と同等です。同じく,∇²Ａ_k＝－(1－α)∂_kＢはｐ²ａ^k^(ｐ)＝－i(1－α)ｐ^kｂ^(ｐ)です。

∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 よりｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ),あるいはｐ²＝0でｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝(Ｅ,0,0,Ｅ)(Ｅ≠0)なら,ｐ²＝Ｅ²でＥ{ａ⁰^(ｐ)－ａ³^(ｐ)}＝－iαｂ^(ｐ)です。

そしてＥ²ａ³^(ｐ)＝－i(1－α)Ｅｂ^(ｐ)です。これらの式から,ａ³^(ｐ)を消去すると,ａ⁰^(ｐ)＝iｂ^(ｐ)/Ｅを得ます。同様にａ⁰^^＋(ｐ)＝－iｂ^^＋(ｐ)/Ｅとなります。

そこで,φ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰){δ(ｐ²)＋(ｐ＋iε)^-2δ(ｐ²)}{ａ⁰^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ａ⁰^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}のａ⁰^(ｐ),ａ⁰^^＋(ｐ)を,それぞれiｂ^(ｐ)/Ｅ,－iｂ^^＋(ｐ)/Ｅに置き換えたものが静電場のクーロンポテンシャルに相当することがわかります。

それ故,クーロン相互作用は,閉じ込められていて観測されない質量ゼロのスカラー光子の媒介によるという描像が得られました。

ちょっと,詳細を省いていますが,理論の概略としてはこの程度です。

今日はここで終わります。

参考文献:J.D.Bjorken,S.D.Drell「Relativistic Quantum Fields」(McGraw-Hill),中西 襄 著「場の量子論」(培風館)

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電磁場の共変的量子化(2)(中西理論;不変デルタ関数)

「電磁場の共変的量子化(中西-Lautrap理論)」の続きです。ＰＣトラブルで,ちょっと間があきました。

今日は,一般的な不変デルタ関数を考察します。

無用な煩雑さを避けるため,素朴な質量ｍのクライン・ゴルドン方程式に従う１成分の自由な中性スカラー場φ(ｘ)の考察から始めます。

(簡単のため,ｃ＝ｈ/(2π)＝1の自然単位を採用します。)

自由な中性スカラー場φ(ｘ)のラグランジアン密度Ｌ₀はＬ₀(φ,∂_μφ)＝(1/2)(∂_μφ∂^μφ－ｍ²φ)で与えられます。

(ただし,∂_μφ≡∂φ/∂ｘ^μetc.です。)

φの変分δφに対して,作用Ｓ＝∫Ｌ₀(φ,∂_μφ)ｄ⁴ｘの変分δＳが停留値を取るべきであるという作用原理から,場の運動方程式はオイラー・ラグランジュ方程式∂_μ{∂Ｌ₀/∂(∂_μφ)}－∂Ｌ₀/∂φ＝0 で与えられます。

当然ながら,これは素朴なクライン・ゴルドン方程式(□＋ｍ²)φ(ｘ)＝0 に一致します。ここに□≡∂_μ∂^μ＝∂²/∂ｔ²－∇²で,これはダランベルシャン(d'Alembertian)と呼ばれる微分演算子です。∇²はラプラス演算子(Laplacian)です。

正準共役な運動量密度演算子はπ(ｘ)＝∂Ｌ₀/∂(∂₀φ)＝∂⁰φ＝∂₀φで与えられます。

そこで,同時刻の正準交換関係は,[π(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝－iδ³(ｘ－ｙ),および[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝[π(ｘ),π(ｙ)]|_x0=y0＝0 となります。

そして,φ(ｘ)の自由平面波によるフーリエ(Fourier)展開式はφ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1/2{ａ^(ｋ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ)exp(iｋｘ)}と書けます。

ただし,ω_k≡(ｋ²＋ｍ²)^1/2＞0 であり,exp(－iｋｘ)＝exp(－iω_kｔ＋iｋｘ),exp(iｋｘ)＝exp(iω_kｔ－iｋｘ)です。また,ａ^^＋(ｋ)はａ^(ｋ)のエルミート共役です。

同時刻の正準交換関係[π(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝－iδ³(ｘ－ｙ),[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝[π(ｘ),π(ｙ)]|_x0=y0＝0 から,ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ)の交換関係[ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]＝δ³(ｋ－ｋ'),[ａ^(ｋ),ａ^(ｋ')]＝[ａ^^＋(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]＝0 が得られます。

これらａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ)の交換関係から,同時刻とは限らない一般の場の交換関係のフーリエ積分表示として,[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}＋exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]を得ます。

これをiΔ(ｘ－ｙ)と定義します。

特に,質量ｍの関数であることを強調したいときには,Δ(ｘ)の代わりにΔ(ｘ,ｍ²)と表記します。Δ(ｘ),またはΔ(ｘ,ｍ²)は座標ｘ^μのローレンツ変換に対して不変なので,不変デルタ関数と呼ばれます。

　そして,iΔ(ｘ－ｙ)＝[φ(ｘ),φ(ｙ)]ですから,Δ(ｙ－ｘ)＝－Δ(ｘ－ｙ)であり,また,(□＋ｍ²)φ(ｘ)＝0 ですから,(□＋ｍ²)Δ(ｘ)＝0 を満たします。

　前記事の電磁場について,不変デルタ関数として与えたＤ(ｘ)は－Δ(ｘ,0)であり,□Ｄ(ｘ)＝0 の解です。

不変デルタ関数は,交換子[φ(ｘ),φ(ｙ)]で与えられる上記の関数だけではなく,(□＋ｍ²)Δ(ｘ)＝0 ,または(□＋ｍ²)Δ(ｘ)＝±δ⁴(ｘ)を満たすローレンツ不変な関数Δ(ｘ)は全て,クライン・ゴルドン演算子(□＋ｍ²)に対する不変デルタ関数と呼ばれるようです。

　同時刻交換関係[π(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝[∂₀φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝－iδ³(ｘ－ｙ)から,このΔ(ｘ)は∂₀Δ(ｘ)|_x0=0＝－δ³(ｘ)を満たします。

　そして,[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝0 から,ｘとｙが空間的(space-like)に離れているとき,すなわち(ｘ－ｙ)²＜0なら[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝iΔ(ｘ－ｙ)＝0 が得られます。

　空間的(ｘ－ｙ)²＝(ｘ⁰－ｙ⁰)²－(ｘ－ｙ)²＜0 の場合,適当なローレンツ変換によって,２つの事象ｘ,ｙが同時刻:ｘ⁰＝ｙ⁰となるような座標系を取ることが可能です。

　その座標系では同時刻なので[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝0 ですが,これはローレンツ変換に対して不変な関係ですから,[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝iΔ(ｘ－ｙ)＝0 と結論されます。

　そういうわけで,(ｘ－ｙ)²＜0 (空間的)なら[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝0 が成立します。これは理論が相対論的な微視的因果律を満たす十分条件になっています。

　さて,簡単な計算によって,ω_k≡(ｋ²＋ｍ²)^1/2＞0とｋの任意関数ｆ(ω_k,ｋ)に対し,公式∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1ｆ(ω_k,ｋ)＝∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)ｆ(ｋ⁰,ｋ)が成立することがわかります。

ただし,θ(τ)はヘヴィサイド関数(階段関数)でθ(τ)≡1(τ＞0),0(τ＞0)によって定義され,常にθ(τ)＋θ(－τ)＝1を満たします。

　これを用いると,iΔ(ｘ)＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1[exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)]より,Δ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)[exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)ε(ｋ⁰)exp(－iｋｘ)と書けます。

　ここで,ε(τ)はε(τ)≡1(τ＞0),－1(τ＞0)でθ(τ)＝(1/2){ε(τ)＋1}で定義される符号関数です。

　一方,(□＋ｍ²)Δ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)を満たすグリーン関数として,よく知られた伝播関数(propagator)Δ_F(ｘ)があります。

　これは,Ｔ積の真空期待値:iΔ_F(ｘ－ｙ)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ(ｙ)))|0＞＝θ(ｘ⁰－ｙ⁰)＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞で与えられるグリーン関数です。

　φ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1/2{ａ^(ｋ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ)exp(iｋｘ)}を代入すると,＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1exp{－iｋ(ｘ―ｙ)},＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1exp{iｋ(ｘ―ｙ)}です。

この＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞,＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞を示す関数を,それぞれΔ_＋(ｘ－ｙ),Δ_－(ｘ－ｙ)と書けば,iΔ_F(ｘ)＝θ(ｘ⁰)Δ_＋(ｘ)＋θ(－ｘ⁰)Δ_－(ｘ)と書けます。

一般に,Δ_ret(ｘ)≡θ(ｘ⁰)Δ_＋(ｘ)は遅延グリーン関数と呼ばれ,Δ_adv(ｘ)≡－θ(－ｘ⁰)Δ_－(ｘ)は先進グリーン関数と呼ばれます。

そこで,伝播関数iΔ_F(ｘ)は,iΔ_F(ｘ)＝Δ_ret(ｘ)－Δ_adv(ｘ)とも表現されます。

一方,iΔ(ｘ－ｙ)＝[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝＜0|[φ(ｘ),φ(ｙ)]|0＞＝＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞－＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞＝Δ_＋(ｘ－ｙ)－Δ_－(ｘ－ｙ)です。よって,iΔ(ｘ)＝Δ_＋(ｘ)－Δ_－(ｘ)です。

Δ_ret(ｘ)≡θ(ｘ⁰)Δ_＋(ｘ),およびΔ_adv(ｘ)≡－θ(－ｘ⁰)Δ_－(ｘ),用いると,iΔ(ｘ)もiΔ(ｘ)＝θ(ｘ⁰)Δ_ret(ｘ)＋θ(－ｘ⁰)Δ_adv(ｘ)と表現することができます。

いずれにしても,ｘ⁰＞0 の未来では,iΔ(ｘ)＝iΔ_F(ｘ)＝Δ_ret(ｘ)＝Δ_＋(ｘ)となりますから,iΔ(ｘ)もiΔ_F(ｘ)も遅延グリーン関数として同じ意味を持ちます。

したがって,Δ(ｘ)を用いてもΔ_F(ｘ)を用いても,全く同じように初期値問題のキルヒホッフ表示が可能です。

なお,(□＋ｍ²)Δ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)から,Δ_F(ｘ)のフーリエ変換をΔ_F(ｘ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｋΔ~_F(ｋ)exp(－iｋｘ)と書けば,(ｋ²－ｍ²)Δ~_F(ｋ)＝1となります。

そこで,iΔ_F(ｘ)＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]は,別の表示として(2π)^-4∫ｄ⁴ｋ[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²－ｍ²＋iε)]を持ちます。

これは,ヘヴィサイド関数θ(τ)がθ(τ)＝{－/(2πi)}∫_-∞^∞ｄω[exp(－iωτ)(ω＋iε)^-1]と表わせることからも簡単に示せます。

Δ(ｘ),Δ_F(ｘ)を,それぞれΔ(ｘ,ｍ²),Δ_F(ｘ,ｍ²)と表記して質量ｍがゼロの場合のΔ(ｘ,ｍ²),Δ_F(ｘ,ｍ²)を,それぞれＤ(ｘ)≡Δ(ｘ,0),Ｄ_F(ｘ)≡Δ_F(ｘ,0)と定義します。

(□＋ｍ²)Δ(ｘ,ｍ²)＝0,(□＋ｍ²)Δ_F(ｘ,ｍ²)＝－δ⁴(ｘ)でしたから,□Ｄ(ｘ)＝0,□Ｄ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)です。

Ｄ(ｘ)のフーリエ積分表示は,Ｄ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)θ(ｋ⁰)[exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)ε(ｋ⁰)exp(－iｋｘ)であり,∂₀Ｄ(ｘ)|_x0=0＝－δ³(ｘ)です。

また,ｘが空間的:ｘ²＜0ならＤ(ｘ)＝0です。

一方,Ｄ_F(ｘ)のフーリエ積分表示は,Ｄ_F(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｋ(ｘ―ｙ)}]＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｋ[exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}/(ｋ²＋iε)]です。

さらに,Ｅ関数は□Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)を満たす関数であるとすると,□²Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)です。

Ｄ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)ε(ｋ⁰)exp(－iｋｘ)でしたから,形式上はＥ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)ε(ｋ⁰)ｋ^-2exp(－iｋｘ)です。

しかし,被積分関数がｋ²＝0 に特異性を持つので何らかの特異点を避ける処理が必要です。ｋ²をｋ²＋iεで置き換えて,積分後にε→＋0 の極限を取ることにします。

細かいことは後にして,,電磁場の共変的量子化を考えます。

すぐ前の記事では,Ｄ(ｘ)は∂₀Ｄ(ｘ)|_x0=0＝δ³(ｘ)を満たすと書いていることからもわかるように,前記事でのＤ(ｘ)は－Δ(ｘ,0)を意味していました。

そこでは,補助場Ｂ(ｘ)がダランベール方程式□Ｂ(ｘ)＝0 を満たすので,キルヒホッフの積分表示がＢ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｘ⁰}Ｂ(ｚ)＋Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ⁰]で与えられるとしていました。

しかし,ここではＤ(ｘ)＝Δ(ｘ,0)としているので,キルヒホッフの表示式はＢ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｚ⁰}Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ⁰]となります。

ここで,記号∂₀^⇔をｆ∂₀^⇔ｇ≡{∂ｆ(ｘ)/∂ｘ⁰}ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)∂ｇ(ｘ)/∂ｘ⁰によって定義すると,Ｂ(ｘ)の積分表示は,Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ)と簡単になります。

右辺の積分式はｚ⁰に依存するように見えますが,左辺のＢ(ｘ)がｚ⁰に依存しないので,右辺をｚ⁰で偏微分してもゼロのはずです。

実際,□Ｂ＝0 を用いると確かに∂[∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ)]/∂ｚ⁰＝∫ｄ³ｚ[∇²Ｄ(ｘ－ｚ)Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀²Ｂ(ｚ)]＝0 となります。

４次元交換関係[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]にＢ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{∂^z₀Ｄ(ｘ－ｚ)Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀Ｂ(ｚ)}を代入すると,[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝∫ｄ³ｚ{∂^z₀Ｄ(ｘ－ｚ)[Ｂ(ｚ),Ｂ(ｙ)]－Ｄ(ｘ－ｚ)[∂^z₀Ｂ(ｚ),Ｂ(ｙ)]}が得られます。

右辺のｚ⁰は何でもいいので,ｚ⁰＝ｙ⁰とおくと,既知の同時刻交換関係[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0,[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 から,[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝0 が得られます。

一方,運動方程式:□Ａ_μ＝(1－α)∂_μＢ＝0 から,前記事では,Ａ_μ(ｘ)＝Ｃ_μ(ｘ)＋(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ^μ},□Ｃ_μ＝0 なる表現ができるはずと書きました。

特に,□Ｃ_μ＝0 を満たすＣ_μ(ｘ)を,Ｃ_μ(ｘ)≡∫ｄ³ｚ{∂^z₀Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)}とします。

残りの非同次の部分:(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ^μ}は,前記事ではＤ(ｘ)の符号が違うので,これを－Ｄ(ｘ)に変更します。

すると,Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)}－(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z_μＢ(ｚ)となります。

さらに,□∂_μＢ＝0 ですから,∂_μＢ＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)}とキルヒホッフ表示式で表現できます。

そこで,Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ){∂－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)}－(1－α)∫ｄ⁴ｙ∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｙ)Ｄ(ｙ－ｚ)∂^z_μＢ(ｚ)となります。

ところが,□Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)から,Ｅ(ｘ)はＥ(ｘ)＝－∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ)Ｄ(ｚ)なる表現を持ちますから,∫ｄ⁴ｙ∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｙ)Ｄ(ｙ－ｚ)＝Ｅ(ｘ－ｚ)と書けます。

したがって,結局Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)}なる表現を得ます。

これから,[Ａ_μ(ｘ),Ａ_ν(ｙ)]＝－iη_μνＤ(ｘ－ｙ)＋i(1－α)∂^x_μ∂^x_νＥ(ｘ－ｙ)なる４次元交換関係の表現が得られます。

最後の部分の詳細についてはは次回にして今日はここで終わります。

参考文献：J.D.Bjorken,S.D.Drell「Relativistic Quantum Fields」McGraw-Hill,中西 襄 著「場の量子論」(培風館)

ＰＳ：(6/17(水)早朝記す。) 何？「大政奉還すべきだ。」という主張の意味がわからない？だって。。発想が貧困だなあ。。

「別に政権を朝廷に返せ」などというアナクロな意味じゃないよ。。

これは,「政治を本来の主人＝主権者に返還するべきだ。」という意味だろう？

いつまでも姑息な延命をはかるんじゃなくて,早く主権者に返して少なくとも審判を仰げ。。という素朴な意味だぜ。。

ＰＳ２:どうも,この記事はCatFalconさんのブログの記事「不変デルタ関数」http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/29567993.html とほぼ,かぶっているようです。

CatFalconさんの方が,時期的に少し前で,かなり似ているようですが参考文献が同じ中西さんの本なのでそうなりますね。。

ヒョッとしたら,記事を見かけてブログネタとして参考にしたかもしれませんが,内容をコピーしたわけではありません。

悪気はないので,よろしくです。。＞CatFalconさん

なお,「電磁場の共変的量子化(2)」の続きは今執筆中です。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　TOSHI

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電磁場の共変的量子化(中西-Lautrap理論)(1)

ちょっと息抜きで,電磁場を共変的に量子化する「中西-Lautrap理論」の概略でも書いてみます。

自然単位系ｃ＝ｈ_c＝1 (ただしｈ_c≡(ｈ/(2π))での,自由電磁場Ａ^μ＝(φ,Ａ)の単独のラグランジアン密度は,Ｌ_EM＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν,Ｆ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μで与えられます。

理論が有するゲージ変換の自由度を消して,ゲージを固定するため,補助場Ｂというものを導入して,Ｌ_EM＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν＋Ｂ(∂_μＡ^μ)＋(1/2)αＢ²としてみます。

これに対する,オイラーラグランジュ方程式∂_ν(∂Ｌ_EM/∂(∂_νＡ^μ))－∂Ｌ_EM/∂Ａ^μ＝0 ,および∂_ν(∂Ｌ_EM/∂(∂_νＢ))－∂Ｌ_EM/∂Ｂ＝0 から,運動方程式として,∂_νＦ^ν_μ－∂_μＢ＝0,すなわち,□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 ,および∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 を得ます。

Ａ^μに対する運動方程式:□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 に,∂^μを掛けると,□Ｂ＝0 を得ますから,補助場Ｂも質量がゼロのスカラー粒子を表わす場です。

そして,Ｂに対する運動方程式:∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 をＡ^μに対する運動方程式:□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 に代入すると,□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 が得られます。

　それ故,α＝0 のときにのみ,∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 がローレンツ条件:∂_μＡ^μ＝0 に一致し,α＝1のときにのみ,Ａ^μに対する運動方程式□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 がダランベール方程式:□Ａ_μ＝0 に一致します。

これらの特別なゲージ,α＝0 をランダウ(Landau)ゲージ,α＝1をファインマン(Feynman)ゲージといいます。

ただし,□∂_μＡ_μ＝0,□²Ａ_μ＝0 はαの値に無関係に成立します。

　さて,Ｌ_EM＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν＋Ｂ(∂_μＡ^μ)＋(1/2)αＢ²により,正準運動量は,π_k＝∂Ｌ_EM /∂(∂₀Ａ^k)＝－∂₀Ａ_k＋∂_kＡ₀＝－Ｆ_0k(＝Ｅ^k),π₀＝∂Ｌ_EM /∂(∂₀Ａ⁰)＝Ｂとなります。

そして,同時刻における通常の正準交換関係:[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),π_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝iη_μνδ³(ｘ－ｙ),[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ａ_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝[π_μ(ｘ⁰,ｘ),π_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝0 を設定します。

　これから,[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｙ)]＝iδ_μkδ³(ｘ－ｙ),[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)] ＝－iη_μ0δ³(ｘ－ｙ),[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ａ_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝0,[∂₀Ａ_j(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｙ)]＝0,[∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0,[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 が得られます。

必要なもののうち,∂₀Ａ₀と∂₀Ｂだけが現われていませんが,これらのうち∂₀Ａ₀は,∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 により,∂₀Ａ₀＝(Σ_k∂_kＡ_k)－αＢ,そしてまた,∂₀Ｂは□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝0 により,∂₀Ｂ＝□Ａ₀－∂₀∂_νＡ^ν＝{Σ_k∂_k(∂₀Ａ_k)}－△Ａ₀と表現できます。

よって,これらの同時刻交換関係は,計算で得ることができます。例えば[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

ハミルトニアンＨ_EMをＨ_EM＝∫ｄ³ｘＨ_EM^(ｘ)と書けば,その密度はＨ_EMM^(ｘ)＝π_μ∂₀Ａ^μ－Ｌ_EM(ｘ)＝(－Σ_kＦ_0k∂₀Ａ^k)＋Ｂ∂₀Ａ₀＋(1/4)Ｆ_μνＦ^μν－Ｂ(∂_μＡ^μ)－(1/2)αＢ²＝(1/2)Σ_k(Ｆ_0k)²＋Σ_j,k(1/4)(Ｆ_jk)²－(1/2)αＢ²＋∂_kΣ_k[Ｆ_0kＡ₀＋ＢＡ_k]－Σ_k[(∂_kＦ_0k)Ａ₀＋(∂_kＢ)Ａ_k]で与えられます。

運動方程式∂_νＦ^ν_μ－∂_μＢ＝0 によれば,Σ_k∂_kＦ_0k＝∂₀Ｂですから,Ｈ_EM(ｘ)＝(1/2)Σ_k(Ｆ_0k)²＋Σ_j,k(1/4)(Ｆ_jk)²－(∂₀Ｂ)Ａ₀－Σ_k[(∂_kＢ)Ａ_k]－(1/2)αＢ²と置けば,Ｈ_EM^(ｘ)＝Ｈ_EM(ｘ)＋∂_kΣ_k[Ｆ_0kＡ₀＋ＢＡ_k]と書けます。

空間積分においては,∂_kΣ_k[Ｆ_0kＡ₀＋ＢＡ_k]の項は効かないので,この項を省いても同じですから,Ｈ_EM＝∫ｄ³ｘＨ_EM(ｘ)となります。この新しいＨ_EM(ｘ)の方をハミルトニアン密度と解釈します。

補助場Ｂ(ｘ)は,ダランベール方程式□Ｂ＝0 の解ですが,電磁場Ａ_μ(ｘ)は運動方程式:□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 を満たします。そこで,Ａ_μは,□²Ａ_μ＝0 の解ですが,α＝１以外では,ダランベール方程式□Ａ_μ＝0 の解ではありません。

したがって,Ａ_μ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰){ａ_μ(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ａ_μ^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}と４次元的運動量表示をしても,一般には,□Ａ_μ≠0 のため,ｐ²＝0 以外でもａ_μ(ｐ)がゼロでない意味を持つことになります。

すなわち,質量がゼロのｐ²＝0 の近傍でのみ,ａ_μ(ｐ)が意味を持つという付帯条件を付けることなどが必要になります。

あるいは,ｐ²≠0 のａ_μ(ｐ)をどう解釈するか？を指示しないと,この運動量表示は不完全です。

以下では,こうしたことを明確にするための準備をします。

まず,□Ｂ＝0 の解のＢ(ｘ)を求めるために,ダランベール演算子の逆演算子:□^-1を求める必要があります。

□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)を満たす,グリーン関数□^-1δは,一般に不変Ｄ関数と呼ばれ,フーリエ(Fourier)積分の形では,Ｄ(ｘ)≡Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_adv(ｘ)＝ｉ∫ｄ⁴ｋ(2π)^-3θ(ｋ⁰)δ(ｋ²){exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)}と表わされます。

ただし,Ｄ_ret(ｘ),Ｄ_adv(ｘ)はそれぞれ遅延グリ－ン関数,先進グリーン関数です。

(2006年12/16の記事「電流によって発生する光子の個数分布」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/12/post_a73e.html を参照)

ダランベール方程式□Ｂ＝0 の解は,Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｘ⁰}Ｂ(ｚ)＋Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ⁰]の積分形で書けます。

(2006年10/３の記事「ホイヘンスの原理の正当性」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/huygens_8c9a.html を参照)

もしも,非同次方程式:□ψ＝ρの解ψを表現するのであれば,ψ(ｘ)＝Ｃ(ｘ)＋∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ)ρ(ｘ), □Ｃ＝0 と書いていいのでしょうが,Ｂは同次方程式の解なので,初期値問題に対するキルヒホッフ表示に書きました。

ということは,□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 は,Ａ_μ(ｘ)＝Ｃ_μ(ｘ)＋(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ^μ},□Ｃ_μ＝0 という表現もできますね。意味あるかどうかは知らないけど。。

一方,電磁場Ａ_μ(ｘ)は□²Ａ_μ＝0 の解なので,□²の逆演算子(□²)^-1が存在するのなら,それに相当する□²のグリーン関数Ｅ(ｘ)も求めておきましょう。

すなわち,□²Ｅ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)を満たすローレンツ不変な関数Ｅ(ｘ)を求めます。

安易な道を取るなら,□Ｄ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)なので,Ｄ(ｘ)＝□Ｅ(ｘ)なるＥ(ｘ)を求めれば,□²Ｅ(ｘ)＝δ⁴(ｘ)となるはずですから,Ｅ＝□^-1Ｄを利用して形式的には直ちにＥ(ｘ)が得られるはずです。

そして,Ｄ(ｘ)＝Ｄ_ret(ｘ)－Ｄ_adv(ｘ)ですから,Ｄ_ret(ｘ)＝□Ｅ_ret(ｘ),Ｄ_adv(ｘ)＝□Ｅ_adv(ｘ),により,Ｅ(ｘ)＝Ｅ_ret(ｘ)－Ｅ_adv(ｘ)を満たすＥ_ret(ｘ),Ｅ_adv(ｘ)も得られるはずです。

　いかにも途中ですが,今日はここで終わります。あとで書き直すかもしれないけど。。。

参考文献：中西 襄 著「場の量子論」(培風館)

ＰＳ:冤罪が晴れて無実が証明された菅家さん。それでも,不幸中の幸い？でした。死刑が確定しているような事件で執行されていれば取り返しがつきません。

(彼の今の外見から20年前の事件当時の人物像を推し量ることはできません。私は,その温厚で人格者のような外見は,長年の理不尽な扱いに対する諦観等で培われてきたところが大きいと思うからです。

　穏やかな人でも,何らかの事情(例えば正当防衛に似たもの)で,止むを得ず,殺傷するような人はいるでしょう。

　しかし,当時,恐らく個人的性癖とかの理由だと思いますが,それで幼女を殺すような人物に見えたのでしょうか？　私には疑問です。)

　本当に17年もの長い間ほうっておいてゴメンナサイ。。。

　心から謝罪します。。。。

(世の中に,理不尽がまかり通っていることを許している責任の一端は,私を含めあらゆる人にあるはずです。)

　そういえば,狭山事件の石川一雄さんはどうなったんだろう。。。

　(2006年６/９の記事「狭山差別裁判」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/06/post_c46a.html 参照)

ＰＳ２:長崎のじゃがいもを貰ったのですが,肉とか他の食材がないので,昨日(６/６)は「イモの煮っころがし」と「ジャガイモとワカメの入った味噌汁」を作りました。

　前者は追いガツオなどもやりましたが,レシピ通りに味付けするとどうも甘すぎるようです。

　前に玉子焼きも味付けをレシピに頼ると甘すぎたので,このレシピの著者(甘党？)の味覚は私には合わないと思います。これからは,砂糖は半分以下に減らすつもりです。

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超弦理論(24)(2-13)

　　超弦理論(superstring theory)の続きです。

　前回は,アノマリー(ゴースト)を生みだす可能性のある交換関係[Ｊ^i－,Ｊ^j－]が,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)}なる形に表現できる,というところまで書きました。

　今日は,これの右辺の係数Δ_mの具体的な形を計算して,非共変な光錐ゲージを採用した場合も,弦理論がゲージ不変な理論として本質的にはローレンツ共変であるための条件:[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝0 ,あるいはΔ_m＝0 を満たすために,Ｄとａに課せられる条件を決定します。

　そのために,Ｊ^i－＝ｌ^i－＋Ｅ^i－＝ｘⁱｐ^－－ｘ^－ｐⁱ＋Ｅ^i－,Ｊ^j－＝ｌ^j－＋Ｅ^j－＝ｘ^jｐ^－－ｘ^－ｐ^j＋Ｅ^j－と分解して,各項ごとの交換関係を求めます。

　まず,[ｘ^－,1/ｐ^＋]＝i(ｐ^＋)^-2です。

※(訳注53) 正準交換関係:[ｘ^μ,ｐ^ν]＝－iη^μνから,[ｘ⁰,ｐ⁰]＝－i, [ｘ^D-1,ｐ^D-1]＝i,かつ,[ｘ⁰,ｘ^D-1]＝[ｐ⁰,ｐ^D-1]＝[ｘ⁰,ｐ^D-1]＝[ｘ^D-1,ｐ⁰]＝0 です。

　そして,ｘ^－＝(ｘ⁰－ｘ^D-1)/2^1/2,ｐ^＋＝(ｐ⁰＋ｐ^D-1)/2^1/2ですから,[ｘ^－,ｐ^＋]＝－iです。よって,ｐ^＋[ｘ^－,1/ｐ^＋]ｐ^＋＝ｐ^＋ｘ^－－ｘ^－ｐ^＋＝－[ｘ^－,ｐ^＋]＝iなので,[ｘ^－,1/ｐ^＋]＝i(ｐ^＋)^-2を得ます。

さらに,[ｘ^－,ｐ^－]＝i(ｐ^＋)^-1ｐ^－です。

これは質量殻条件:Ｍ²＝2ｐ^＋ｐ^－－Σ_k=1^D-2ｐ^kｐ^kにより,0＝[ｘ^－,ｐ^＋ｐ^－]＝[ｘ^－,ｐ^＋]ｐ^－＋ｐ^＋[ｘ^－,ｐ^－]＝－iｐ^－＋ｐ^＋[ｘ^－,ｐ^－]から得られます。(訳注53終わり)※

次に,Ｅ^j≡ｐ^＋Ｅ^j－によってＥ^jなる量を定義すると,[ｘⁱ,Ｅ^j]＝－iＥ^jjです。

※(訳注54)Ｅ^j＝ｐ^＋Ｅ^j－＝－iｐ^＋Σ_n=1^∞[(α_-nⁱα_n^－－α_-n^－α_nⁱ)/ｎ]＝－iΣ_n=1^∞[{1/(2ｎ)}{α_-nⁱ(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)－(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)α_n^j}]です。

そして,α₀^k＝ｐ^k故,[ｘⁱ,α₀^k]＝[ｘⁱ,ｐ^k]＝iδ^ikでｘⁱはこれ以外のα_n^kとは交換します。

Ｅ^j＝ｐ^＋Ｅ^j－＝－iΣ_n=1^∞[{1/(2ｎ)}{α_-nⁱ(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)－(Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:)α_n^j}]なので,[ｘⁱ,Ｅ^j]では,右辺のΣ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:で,ｘⁱとα_n-m^kα_m^kが交換しないｍ＝ｎとｍ＝0 の項だけに着目します。

これから,[ｘⁱ,Ｅ^j]＝i×(－i)Σ_n=1^∞[(α_-n^jα_nⁱ－α_-nⁱα_n^j)/ｎ]＝－iＥ^ijが簡単に得られます。(訳注54終わり)※

以上から,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(ｐ^＋)^-2Ｃ^ij,Ｃ^ij＝2iｐ^＋α₀^－Ｅ^ij－[Ｅⁱ,Ｅ^j]－iＥⁱｐ^j＋iＥ^jｐⁱ－iｐ^＋α₀^－l^ijが得られます。

※(訳注55)Ｊ^i－＝ｌ^i－＋Ｅ^i－＝ｘⁱｐ^－－ｘ^－ｐⁱ＋(ｐ^＋)^-1Ｅⁱですから,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝[ｘⁱ,Ｅ^j]ｐ^－(ｐ^＋)^-1－[ｘ^j,Ｅⁱ]ｐ^－(ｐ^＋)^-1＋(ｐ^＋)^-2[Ｅⁱ,Ｅ^j]－[ｘ^－,1/ｐ^＋]ｐⁱＥ^j＋[ｘ^－,1/ｐ^＋]ｐ^jＥⁱ－ｘⁱ[ｐ^－,ｘ^－]ｐ^j－ｘ^jｐⁱ[ｘ^－,ｐ^－]です。

これに,[ｘ^－,1/ｐ^＋]＝i(ｐ^＋)^-2,[ｘⁱ,Ｅ^j]＝－iＥ^jj,および[ｘ^－,ｐ^－]＝i(ｐ^＋)^-1ｐ^－を代入して最後にｐ^－をα₀^－と書きます。

そうすれば,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－2iＥ^jj(ｐ^＋)^-1α₀^－＋(ｐ^＋)^-2[Ｅⁱ,Ｅ^j]－i(ｐ^＋)^-2Ｅ^jｐⁱ＋i(ｐ^＋)^-2Ｅⁱｐ^j＋i(ｐ^＋)^-1α₀^－ｌ^jj＝－(ｐ^＋)^-2{2iｐ^＋α₀^－Ｅ^jj－[Ｅⁱ,Ｅ^j] －iＥⁱｐ^j＋iＥ^jｐⁱ－iｐ^＋α₀^－ｌ^jj}が得られます。(訳注55終わり)※

したがって,結局,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(ｐ^＋)^-2Ｃ^ij＝－(ｐ^＋)^-2Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)}です。

それ故,Ｃ^ij＝Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)},かつＣ^ij＝2iｐ^＋α₀^－Ｅ^ij－[Ｅⁱ,Ｅ^j]－iＥⁱｐ^j＋iＥ^jｐⁱ－iｐ^＋α₀^－l^ijです。

Ｃ^ijの前者の表現と,[α_mⁱ,α_n^j]＝ｍδ^ijδ_m+n(ｉ,ｊ＝1,2,...,Ｄ－2)により,簡単に＜0|α_m^kＣ^ijα_-m^l|0＞＝ｍ²Δ_m(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)が得られます。

一方,ｐ^＋α_n^－＝Σ_n=1^∞[(1/2){Σ_k=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-m^kα_m^k:－ａδ_n}および,[α_mⁱ,α_n^j]＝ｍδ^ijδ_m+nから,[α_n^－,α_mⁱ]＝－ｍα_m+nⁱ/ｐ^＋,[α_mⁱ,α_n^－]＝ｍα_m+nⁱ/ｐ^＋を得ます。

そこで,＜0|α_m^kＣ^ijα_-m^l|0＞＝＜0|{2ｍ(ｍ－ａ)δ^ikδ^jl－ｍｐ^jｐ^lδ^ki＋ｍｐ^jｐ^kδ^il＋(δ^kiｐ^＋α_m^－－ｍΣ_n=1^∞α_m-n^kα_nⁱ)(ｍΣ_n=1^∞α_-n^jα_n-m^l－δ^jlｐ^＋α_-m^－)|0＞－(ｉ⇔ｊ)です。

以前の記事で計算したように,[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_n^－]＝(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_m+n^－＋[{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)＋2ａｍ]δ_m+nですから,[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_-m^－]＝2ｍｐ^＋α₀^－＋{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)＋2ａｍです。

そして＜0|ｐ^＋α₀^－|0＞＝－ａですから,特に(ｐ^＋)²＜0|α_m^－α_-m^－|0＞＝{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)が成立します。

また,ｐ^＋＜0|α_m^－Σ_n=1^∞α_-n^jα_n-m^l|0＞＝ｐ^jｐ^l＋Σ_n=1^m-1(ｍ－ｎ)δ^jl＝ｐ^jｐ^l＋δ^jlｍ(ｍ－1)/2も成り立ちます。

さらに,ｐ^＋＜0|α_m^－Σ_n=1^∞{(α_-n^kα_n-mⁱ)/ｎ}|0＞＝ｐ^kｐⁱ＋Σ_n=1^m-1(ｍ－ｎ)δ^ki＝ｐ^kｐⁱ＋δ^kiｍ(ｍ－1)/2,同様にｐ^＋＜0|α_m^－Σ_n=1^∞{(α_-n^jα_n-m^l)/ｎ}|0＞＝ｐ^jｐ^l＋δ^jlｍ(ｍ－1)/2です。

そして,＜0|Σ_n=1^m{(α_-n^kα_n-mⁱ)/ｎ}Σ_p=1^m{(α_-p^kα_p-mⁱ)/ｐ}|0＞＝－(ｍ－1)(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)です。

これらのことから,Δ_m＝{(26－Ｄ)/12}ｍ－{(Ｄ－26)/12＋2(1－ａ)}/ｍと書けることがわかります。

※(訳注56) 詳細な計算は,＜0|α_m^kＣ^ijα_-m^l|0＞＝2ｍ(ｍ－ａ)(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)－ｍｐ^jｐ^lδ^ki＋ｍｐ^jｐ^kδ^il＋ｍｐⁱｐ^lδ^jk－ｍｐⁱｐ^kδ^jl－(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il){(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ) ｍｐ^jｐ^lδ^ik＋ｍｐⁱｐ^kδ^jl－ｍｐⁱｐ^lδ^jk－ｍｐ^jｐ^kδ^il＋δ^ikδ^jlｍ(ｍ－1)/2＋δ^ikδ^jlｍ(ｍ－1)/2－δ^jkδ^jlｍ(ｍ－1)/2－δ^jkδ^ilｍ(ｍ－1)/2＋ｍ²(ｍ－1)(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)となります。

結局,ｍ²Δ_m(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)＝(δ^ikδ^jl－δ^jkδ^il)[{(26－Ｄ)/12}ｍ³－{(Ｄ－26)/12＋2(1－ａ)}ｍ]が得られるわけです。(計算の詳細はかなり省略しています。)(訳注56終わり)※

したがって,最終的に[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)},Δ_m＝{(26－Ｄ)/12}ｍ－{(Ｄ－26)/12＋2(1－ａ)}/ｍなる詳細な表現が得られました。

そこで,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝0 ,あるいはΔ_m＝0 を要求すると,予期したように,Ｄ＝26,かつａ＝1が必要です。

短かいですが,今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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超弦理論(23)(2-12)

　超弦理論(superstring theory)の続きです。

　ずいぶん間が空きましたが,またまた,超弦理論でツナギです。

　前記事の最後で述べたゼータ関数正則化の幾分発見的な手法の示すところは,光錐(light-cone)定式化のローレンツ共変性が,ａ＝１,Ｄ＝26なる条件を要求することでした。

　以下では,ローレンツ生成子Ｊ^μνの体系的研究により,こうした条件ａ＝１,Ｄ＝26が実際にローレンツ不変性にとって必要十分であることを厳密に証明します。

さて,Ｄ次元の"ローレンツ生成子＝角運動量演算子":Ｊ^μνは以前に次の形で定義しました。　 

すなわち「超弦理論(15)(2-4)」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/03/152-4-9fed.html において、

Ｊ^μν＝ｌ^μν＋Ｅ^μν,ｌ^μν＝ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ, Ｅ^μν＝－iΣ_n＝1^∞[(α_-n^μα_n^ν－α_-n^να_n^μ)/ｎ]と定義しました。

今の,光錐ゲージではゲージがローレンツ不変でないので,座標へのローレンツ変換の効果はゲージに敏感なものでなければなりません。

変換の幾つかは,＋方向を他の方向に回転し,そこでゲージ条件を復元するためには,再パラメータ化(これもゲージ変換です)を実行する必要があります。

これを補償再パラメータ化と呼びます。

ゲージ条件に影響する変換はＪ^＋－とＪ^i－によって生成されるはずです。そして,これらは潜在的にアノマリーを有する変換であろうと予期されます。

このアノマリーを相殺させることが,ａとＤにある種の制限を与えると予想されます。

残りの,ローレンツ生成子Ｊ^ij(ｉ,ｊ＝1,2,...,Ｄ－2)は,光錐ゲージの持つ明白な対称性であるＳＯ(Ｄ－2)を生成する横波空間に関連したものです。

まず,任意の再パラメータ化ξ^α(σ,τ)を許しながら,古典論での座標への無限小ローレンツ変換に対する一般的表現を考えます。

これはδＸ^μ(σ,τ)＝ａ^μ_νＸ^ν(σ,τ)＋ξ^α(σ,τ)∂_αＸ^μ(σ,τ)です。ただし,ξ^αはゲージ条件ｈ_αβ＝η_αβと両立するように制限されています。

この制限は,既に述べたように,ξ^αが∂^αξ^β＋∂^βξ^α＝Λη_αβを満足すべきことを意味します。 

一方,ゲージ条件Ｘ^＋(σ,τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τは,新座標系でもこれが保持されるために,δＸ^＋＝ａ^＋_νｘ^ν＋ａ^＋_νｐ^ντ＝ａ^＋_ν(ｘ^ν＋ｐ^ντ)に従って変換されることを要求します。

なぜなら,ゲージ条件Ｘ^＋＝ｘ^＋＋ｐ^＋τはδＸ^＋＝δｘ^＋＋δｐ^＋τなら保持されますが,δｘ^μ＝ａ^μ_νｘ^ν,δｐ^μ＝ａ^μ_νｐ^νより,δｘ^＋＝ａ^＋_νｘ^ν,δｐ^＋＝ａ^＋_νｐ^νですから,δＸ^＋＝δｘ^＋＋δｐ^＋τはδＸ^＋＝ａ^＋_ν(ｘ^ν＋ｐ^ντ)を意味するからです。

一方,δＸ^μ＝ａ^μ_νＸ^ν＋ξ^α∂_αＸ^μより,δＸ^＋＝ａ^＋_νＸ^ν＋ξ⁰∂₀Ｘ^＋＋ξ¹∂₀Ｘ^＋＝ａ^＋_νＸ^ν＋ξ⁰δｐ^＋です。

そこで,δＸ^＋＝ａ^＋_ν(ｘ^ν＋ｐ^ντ)はａ^＋_νＸ^ν＋ξ⁰ｐ^＋＝ａ^＋_ν(ｘ^ν＋ｐ^ντ)＝ａ^＋_νｘ^ν(τ)となります。ただし,ｘ^μ(τ)≡ｘ^μ＋ｐ^μτです。

したがって,ξ⁰＝ａ^＋_ν{ｘ^ν(τ)－Ｘ^ν(σ,τ)}/ｐ^＋によって変換のパラメータ成分ξ⁰が決まります。

そして,∂^αξ^β＋∂^βξ^α＝Λη_αβより∂₀ξ¹－∂₁ξ⁰＝0 ですから,ξ¹＝∫^τｄτ'(∂ξ⁰/∂σ)によりξ¹も決まります。

これらの,座標Ｘ^νの１次関数であるξ^αの表現をδＸ^μ(σ,τ)＝ａ^μ_νＸ^ν(σ,τ)＋ξ^α(σ,τ)∂_αＸ^μ(σ,τ)に代入すると,非共変なゲージ固定を考慮したローレンツ変換の作用形式が得られます。

新しい重要な特徴は,ξ^αがＸ^νについて１次なので,ａ^＋_iを伴なうそうしたローレンツ変換が横座標Ｘⁱに非線形に作用することです。

量子論では,そうした双線形項はローレンツ代数でアノマリー源となる可能性があり,それを正規順序(normal-ordering)等で処理する必要があるかどうか?という繊細な争点を生み出します。

それ故,Ｊ^μν＝ｌ^μν＋Ｅ^μν,ｌ^μν＝ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ,Ｅ^μν＝－iΣ_n＝1^∞[(α_-n^μα_n^ν－α_-n^να_n^μ)/ｎ]なる表現の生成子が,本当に正しくローレンツ代数:[Ｊ^μν,Ｊ^ρλ]＝iη^νρＪ^μλ－iη^μρＪ^νλ－iη^νλＪ^μρ＋iη^μλＪ^νρを生成するかどうか？をチェックすることが重要になります。

交換子のほとんどは直線的にチェックできて,如何なるＤに対しても正しい答を与えることがわかります。

しかし,Ｊ^i－の変換については注意が必要であると予期されます。

特に交換子:[Ｊ^i－,Ｊ^j－]はローレンツ不変性が成り立つなら消えてゼロとなる必要があります。しかし,特殊な制限下を除いてアノマリーに導きます。

※(訳注51):[Ｊ^μν,Ｊ^ρλ]＝iη^νρＪ^μλ－iη^μρＪ^νλ－iη^νλＪ^μρ＋iη^μλＪ^νρをが成立するとします。

　まず,Ｊ^i－＝(Ｊⁱ⁰－Ｊ^i,D-1)/2^1/2ですから,1≦ｉ,ｊ≦Ｄ－2 に対して[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝(1/2)[Ｊⁱ⁰－Ｊ^i,D-1,Ｊ^j0－Ｊ^j,D-1]＝(1/2){[Ｊⁱ⁰,Ｊ^j0]＋[Ｊ^i,D-1,Ｊ^j,D-1]}となります。

(なぜなら,[Ｊⁱ⁰,Ｊ^j,D-1]＝[Ｊ^i,D-1,Ｊ^j0]＝0 です。)

そして,[Ｊⁱ⁰,Ｊ^j0]＝－iη⁰⁰Ｊ^ij＝－iＪ^ij,[Ｊ^i,D-1,Ｊ^j,D-1]＝－iη^D-1,D-1Ｊ^ij＝iＪ^ijです。

そこで,確かに[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝0 となることが必要です。

(訳注51終わり)※

さて,光錐ゲージではＥ^μ＋＝Ｅ^＋μ＝0 です。

一方,Ｅ^i－はα_n^－の光錐ゲージでの展開:α_n^－＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}－ａδ_n]を代入すると,横波振動子について３次式になります。

結果として,交換子[Ｊ^i－,Ｊ^j－]は６次ですが,高次の項は相殺されて,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)}(係数Δ_mはｃ-数)なる形になり,振動子の２次の項で表わせることがわかります。

※(訳注52):(証明)Ｊ^i－＝ｌ^i－＋Ｅ^i－＝ｘⁱｐ^－－ｘ^－ｐⁱ－iΣ_n=1^∞[(α_-nⁱα_n^－－α_-n^－α_nⁱ)/ｎ], α_n^－＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}－ａδ_n],ｐ^－＝α₀^－です。

そして,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝[ｌ^i－,ｌ^j－]＋[ｌ^i－,Ｅ^j－]＋[Ｅ^i－,ｌ^j－]＋[Ｅ^i－,Ｅ^j－]です。

　特に,４つ以上の振動子を含んで６次の項となるのは交換子[Ｅ^i－,Ｅ^j－]です。

これは,[Ｅ^i－,Ｅ^j－]＝－Σ_n,m=1^∞({1/(ｎｍ)}[α_-nⁱα_n^－－α_-n^－α_nⁱ,α_-mⁱα_m^－－α_-m^－α_mⁱ])＝－(1/ｐ^＋)²Σ_n,m=1^∞({1/(4ｎｍ)}[Σ_s=-∞^∞Σ_k=1^D-2{α_-nⁱ:α_n-s^kα_s^k:－:α_n-s^kα_s^k: α_-nⁱ},Σ_t=-∞^∞Σ_l=1^D-2{α_-m^j:α_m-t^lα_t^l:－:α_m-t^lα_t^l:α_-m^j}]です。

これは,確かにα_nⁱの６次の項になります。

特に,[Ｅ^i－,Ｅ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_n,m=1^∞({1/(ｎｍ)}[α_-nⁱｐ^＋α_n^－－ｐ^＋α_-n^－α_nⁱ,α_-mⁱｐ^＋α_m^－－ｐ^＋α_-m^－α_mⁱ])と書きます。

既に,[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_n^－]＝(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_m+n^－＋Ａ(ｍ)δ_m+nであり[ｐ^＋α_n^－,α_m^j]＝－ｍα_n+m^j,or [α_nⁱ,ｐ^＋α_m^－]＝ｎα_n+mⁱであることを知っています。

交換子の恒等式:[ＡＢ,ＣＤ]＝Ａ[Ｂ,Ｃ]Ｄ＋ＡＣ[Ｂ,Ｄ]＋[Ａ,Ｃ]ＢＤ＋Ｃ[Ａ,Ｄ]Ｂを使用します。

そうして,具体的に[Ｅ^i－,Ｅ^j－]を計算すると,[Ｅ^i－,Ｅ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_n,m=1^∞({1/(ｎｍ)}[ｍα_-nⁱα_n-m^jｐ^＋α_m^－＋(ｎ－ｍ)α_-nⁱｐ^＋α_m+n^－－ｎα_-mⁱα_m-n^jｐ^＋α_m^－＋ｐ^＋α_-n^－ｎα_n-mⁱα_m^jｐ＋

(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_-n-m^－α_m^jα_nⁱ－ｐ^＋α_-m^－ｍα_m-n^jα_nⁱ－α_-nⁱ{(ｎ＋ｍ)ｐ^＋α_n-m^－＋Ａ(ｎ)δ_n-m}α_m^j＋α_nⁱｐ^＋α_-m^－ｍα_n+m^j＋

ｎα_n+mⁱα_m^jｐ^＋α_n^－＋ｐ^＋α_-m^－ｐ^＋α_n^－ｎδ_m-nδ^ij－ｎδ_n-mδ^ijｐ^＋α_-n^－ｐ^＋α_m^－－ｐ^＋α_-n^－α_-m^jｎα_n+mⁱ－ｍα_-n-m^jｐ^＋α_m^－α_nⁱ＋α_m^j{(ｎ＋ｍ)ｐ^＋α_m-n^－＋Ａ(ｍ)δ_m-n}α_nⁱ])となります。

Ｅ^i－＝－iΣ_n=1^∞[(α_-nⁱα_n^－－α_-n^－α_nⁱ)/ｎ]＝(－i/2)Σ_n≠0[(:α_-nⁱα_n^－:－:α_-n^－α_nⁱ:)/ｎ]と書けるので,α_nとα_-nの順序を気にせずｎと－ｎの変換が許されます。

また,ｎ－ｍ→－ｍなどの変換も,ｎ,ｍが単なるパラメータなので許されます。

そこで,ｐα^－の添字をｐ^＋α_m+n^－に,αⁱをα_-nⁱにα^jをα_-m^jにそれぞれ添字を統一すると,{－(ｐ^＋)²][Ｅ^i－,Ｅ^j－]＝Σ_n,m≠0{(1/ｍ)(ｐ^＋α_m+n^－α_-nⁱα_-m^j＋α_-m^jα_-nⁱｐ^＋α_m+n^－－α_-nⁱｐ^＋α_m+n^－α_-m^j－α_-m^jｐ^＋α_m+n^－α_-m^j)}－Σ_n0{Ａ(ｎ)(α_-nⁱα_n^j－α_-n^jα_nⁱ)/ｎ²]と書けます。

さらに,{－(ｐ^＋)²][Ｅ^i－,Ｅ^j－]＝－Σ_n≠0{Ａ(ｎ)(α_-nⁱα_n^j－α_-n^jα_nⁱ)/ｎ²]＋Σ_n,m≠0{(ｎ/ｍ)(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)}です。

よって,結局α_nⁱの高次の項は消えて２次の項だけが残りアノマリーの形も決まります。(まだ,正規順序を考慮していないのでこれで最終形ではありません。)

そこで,[Ｊ^i－,Ｊ^j－]＝－(1/ｐ^＋)²Σ_m=1^∞{Δ_m(α_-mⁱα_m^j－α_-m^jα_mⁱ)}と書けるはずです。係数Δ_mはｃ-数です。

(訳注52終わり)※

短いですが,今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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超弦理論(22)(2-11)

　超弦理論(superstring theory)の続きです。

　これまでは共変ゲージｈ_αβ＝η_αβで物理的状態になるべき補助条件としてヴィラソロ条件(Virasoro条件)を課して自由ボソン弦の量子化を調べてきました。

　しかし,以前に指摘したように計量(metric)をｈ_αβ＝η_αβと固定した後に,なお特殊な弦の座標選択を可能にするゲージ対称性が残っています。

　実際,特殊な非共変選択をすることによってヴィラソロ拘束方程式を陽に解き,物理的自由度のみを記述するフォック空間の理論を展開できるようになります。

　以下で述べる自発的に破れたゲージ理論のユニタリゲージに類似した定式化は元々1973年にGoddard,Goldstone,Rebbi,Thornによって展開されたものです。

　これは光錐(光円錐)定式化(light-cone定式化)と呼ばれるものです。この定式化は明白に共変なわけではありませんが明白にゴースト・フリー(ghost-free)です。

　逆に,ゴースト・フリーではないけれど明白に共変な共変定式化とこれの同等性を証明することによって,「ゴースト非存在の定理(no-ghost theorem)」の厳密な証明を得ることができます。

　光錐定式化を,ここで述べるのには他にも多くの理由があります。

歴史的には,双対模型(dual model)が弦理論であるということを確立させたのも光錐量子化でした。

光錐描像は非常に物理的なものです。そしてまた,多くの計算やａ＝1,Ｄ＝26という選択の必要性を理解する上で有益な理論的枠組みを与えるものです。

　さて,既に見たように,共変ゲージｈ_αβ＝η_αβで開弦の境界条件を満たす弦座標:Ｘ^μ(μ＝0,1,..,Ｄ－1)は,Ｘ^μ(σ,τ)＝ｘ^μ＋ｐ^μτ＋iΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)なるモード展開の形で表わされます。

　そして,これがヴィラソロ補助条件Ｔ_＋＋＝Ｔ_－－＝0 を満足することにも留意しておきましょう。

　さらに,世界面の再パラメータ化:σ^α→σ^α＋δσ^α (δσ^α＝ξ^α)において,∂^αξ^β＋∂^βξ^α＝Λη_αβを満たす任意の変換,または生成子Ｖ^＋≡ξ^＋(σ^＋)(∂/∂σ^＋),Ｖ^－≡ξ^－(σ^－)(∂/∂σ^－)で生成される変換に対応するゲージ対称性が残っていることを見ました。

この残りの対称性を追加のゲージ条件として用いるわけです。これは非共変ですがとても便利なものです。

まず,時空において光錐座標として,Ｘ^＋,Ｘ^－を導入することから始めます。

Ｘ^＋,Ｘ^－をＸ^＋≡(Ｘ⁰＋Ｘ^D-1)/2^1/2,Ｘ^－≡(Ｘ⁰－Ｘ^D-1)/2^1/2で定義します。これらは,以前弦の世界面に導入した光錐座標σ^±に似ていますが大きな違いがあります。

時空においては,Ｄ個の座標があり,それらの中で２つ,Ｘ⁰とＸ^D-1を任意の非共変な方法で選抜することを伴ないます。

一方,世界面上では,元々たった２つしか座標がなく,σ^±を定義する選択に何の任意性の余地もありません。

さて,光錐座標ではＤ個の時空座標はＸ^±と残りの横波の空間座標Ｘⁱ(ｉ＝1,2,..,Ｄ－2)です。

ここでミンコフスキー計量(Minkowski metric)η_μνのゼロでない成分はη_＋－＝η_－＋＝1,η_ii＝－1 (ｉ＝1,2,..,Ｄ－2)です。

この座標系では,任意のベクトルＶ^μの成分もＶ^±＝(Ｖ⁰±Ｖ^D-1)/2^1/2とＶⁱ (ｉ＝1,2,..,Ｄ－2)になります。

２つのベクトルＶとＷの内積はＶＷ＝Ｖ^＋Ｗ^－＋Ｖ^－Ｗ^＋－ＶⁱＷⁱで与えられます。また,反変⇔共変の添字の上げ下げは,Ｖ^＋＝Ｖ_－,Ｖ^－＝Ｖ_＋,Ｖⁱ＝－Ｖ_iなるルールに従います。

それでは,残るゲージ対称性からは,どのような簡単化が可能なのでしょうか？

これに関し,2009年３/14の過去記事「超弦理論(14)(2-3)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/03/142-3-4d1f.htmlにおいて,以下のような記述があります。

"共変ゲージの典型的な形としてｈ^αβ＝η^αβと置くだけではまだゲージ自由度を完全には使い尽くしていません。

∂^αξ^β＋∂^βξ^α＝Λη_αβを満たす任意の組合わせに対する再パラメータ化：σ^α→σ^α＋δσ^α (δσ^α＝ξ^α)をすれば,この(再パラメータ化)＋(ワイルスケーリング:Weil-scaling)の後で,なお特殊な共変ゲージ選択ｈ^αβ＝η^αβが保持されます。

このとき,∂_τξ⁰＝∂_σξ¹＝Λ/2,∂_τξ¹＝∂_σξ⁰より∂_τ(ξ⁰＋ξ¹)＝∂_σ(ξ⁰＋ξ¹),∂_τ(ξ⁰－ξ¹)＝∂_σ(ξ¹－ξ⁰)です。

これは,ξ^±＝ξ⁰±ξ¹なる光錐系の言葉では,∂_－ξ^＋＝0 ,∂_＋ξ^－＝0 なること,つまりξ^＋はσ^＋＝τ＋σの任意関数であり,ξ^－はσ^－＝τ－σの任意関数であることを意味します。"

すなわち,世界面の光錐座標σ^±＝τ±σで表現すると,残りのゲージ不変性は任意の再パラメータ化の可能性:σ^＋→σ~^＋(σ^＋),σ^－→σ~^－(σ^－)に対応します。

閉弦ではσ^＋とσ^－は独立に再パラメータ化されますが開弦の場合には両者は境界条件でつながっています。

つまり,τ＝(σ^＋＋σ^－)/2 → τ~＝[σ~^＋(τ＋σ)＋σ~^－(τ－σ)]/2,σ＝(σ^＋－σ^－)/2 → σ~＝[σ~^＋(τ＋σ)－σ~^－(τ－σ)]/2なる再パラメータ化が許されます。

これはτ~が質量のない自由な波動方程式:(∂²/∂σ²－∂²/∂τ²)τ~＝0 の任意の解であることを意味しますから,τ~が決まればσ~も完全に決まります。

では質量のない自由な波動方程式の解τ~を選ぶ自然な方法とはどんなものでしょうか？

τ~について唯一要求される条件は,それが自由な波動方程式:(∂²/∂σ²－∂²/∂τ²)τ~＝0 の解であることです。

この方程式は以前に見た共形ゲージ(conformalゲージ)で,時空座標Ｘ^μ(σ,τ)が従うべき方程式:□Ｘ^μ＝(∂²/∂τ²－∂²/∂σ²)Ｘ^μ＝0 と全く同じ形をしています。

そこで,残るゲージ自由度は,望むならパラメータτ~が正確に弦の座標Ｘ^μの１つに一致するように再パラメータ化してもよい,という事実に対応します。

これは,光錐ゲージではτ~＝Ｘ^＋/ｐ^＋＋const.と選んでもよいことを意味します。通常これはＸ^＋(σ,τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τなる光錐ゲージ選択をすることで表現されます。

このことは古典的記述において,ｎ≠0 の振動子座標α_n^＋を全てゼロと置くことに相当します。

弦座標のＸ^＋成分は弦が無限大運動量で運動するような系で見られる時間座標に対応します。このゲージ選択ではＸ^＋がσに依存しないので,弦のあらゆる点が同じ時間での値を取るという概念的な利点を有します。

そこで,Ｘ^＋(σ,τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τによってＸ^＋(σ,τ)を固定することにします。

このとき,ヴィラソロ拘束方程式(Ｘ^d±Ｘ')²＝0 はＸ^－d±Ｘ^－'＝{Σ_i=1^D-2(Ｘ^id±Ｘⁱ')²}/(2ｐ^＋)となります。

この式からＸ^－を簡単に陽に解くことができて,これをＸⁱと未知の積分定数で表わせることがわかります。

つまり光錐ゲージでは,Ｘ^＋とＸ^－の両方を消去できて,横波の振動子Ｘⁱのみが残ります。

※(訳注48):すぐ前で参照した「超弦理論(14)(2-3)」にあるように,世界面光錐座標でのエネルギー運動量のゼロでない成分はＴ_＋＋＝－∂_＋Ｘ∂_＋Ｘ,Ｔ_－－＝－∂_－Ｘ∂_－Ｘです。

　∂_＋Ｘ＝∂_＋Ｘ_L＝Ｘ_L^d,∂_－Ｘ＝∂_－Ｘ_R＝Ｘ_R^dですから,これらはＴ_＋＋＝－(Ｘ_L^d)²,Ｔ_－－＝－(Ｘ_R^d)²と書けます。

そこで,拘束条件:Ｔ_－－＝Ｔ_＋＋＝0 は(Ｘ_R^d)²＝(Ｘ_L^d)²＝0 なることを意味します。

逆に,(Ｘ_R^d)²＝(Ｘ_L^d)²＝0 は∂_＋Ｘ∂_＋Ｘ＝∂_－Ｘ∂_－Ｘ＝0 であり,∂_±＝(∂_τ±∂_σ)/2 ですから,元の拘束条件は(Ｘ^d±Ｘ')²＝0 とも表現できます。

(訳注48終わり)※

開弦のＸ^－のモード展開は,Ｘ^μ＝ｘ^μ＋ｐ^μτ＋iΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)]から,Ｘ^－＝ｘ^－＋ｐ^－τ＋iΣ_n≠0[(α_n^－/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)]となります。

そこで,Ｘ^－d±Ｘ^－'＝{Σ_i=1^D-2(Ｘ^id±Ｘⁱ')²}/(2ｐ^＋)から得られるα_n^－の陽な解は,α_n^－＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}－ａδ_n]となります。

ここで共変的扱いとしてα₀^－に未知の正規順序(normal-ordering)定数:ａを導入しました。

※(訳注49):Ｘ^－d±Ｘ^－'＝{Σ_i=1^D-2(Ｘ^id±Ｘⁱ')²}/(2ｐ^＋)にＸ^－＝ｘ^－＋ｐ^－τ＋iΣ_n≠0[(α_n^－/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)]を代入すると,ｐ^－＋Σ_n≠0[α_n^－exp{－iｎ(τ±σ)}]＝[Σ_i=1^D-2Σ_m,n=-∞^∞α_m-nⁱα_nⁱexp{－iｍ(τ±σ)}]/(2ｐ^＋)となります。

そこで,この式の左辺のｎ＝0 と右辺のｍ＝0 の項を比較して等置すると,α₀^－＝ｐ^－＝{Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞α_-mⁱα_mⁱ}/(2ｐ^＋)＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_-mⁱα_nⁱ:}－ａ]を得ます。

左辺のｎ≠0 の項からはα_n^－＝{Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ}/(2ｐ^＋)＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_nⁱ:}が得られます。

(訳注49終わり)※

光錐ゲージではα₀^－とｐ^－を同一視することは質量殻条件そのものを意味します。

実際,α₀^－＝ｐ^－＝(1/ｐ^＋)[(1/2){Σ_i=1^D-2Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}－ａ]から,Ｍを質量としてＭ²＝2ｐ^＋ｐ^－－Σ_i=1^D-2ｐⁱｐⁱ＝2(Ｎ－ａ),Ｎ＝Σ_i=1^D-2Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱが得られます。

以下では,縮約の規則を採用し,必要がある場合を除いてΣ_i=1^D-2ｐⁱｐⁱをｐⁱｐⁱと書くことにします。こうすれば,質量殻条件はＭ²＝2ｐ^＋ｐ^－－ｐⁱｐⁱ＝2(Ｎ－ａ),Ｎ＝Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱと簡単になります。

また,この式はＭ²＝2ｐ^＋ｐ^－－ｐⁱｐⁱ＝－2ａ＋2Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱと表現できますから,先に共変的扱いで見出されたＭ²＝－2ａ－2Σ_n=1^∞α_-nα_n (ただしα_-nα_n＝α_-nμα_n^μ)と同じ質量殻条件です。

もっとも今の場合,Ｎ＝Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱには横波振動子のみが寄与するという違いがあります。(「超弦理論(17)」参照)

ところで,量ｐ^＋α_n^－＝(1/2){Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}－ａδ_nはヴィラソロ代数を満足します。

すなわち,交換関係:[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_n^－]＝(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_m+n^－＋[{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)＋2ａｍ]δ_m+nが成立します。

これを得るための計算は共変量子化でのヴィラソロ代数の論議と正確に同じです。これは光錐量子化における基本公式と考えられます。

※(訳注50):[ｐ^＋α_m^－,ｐ^＋α_n^－]＝(ｍ－ｎ)ｐ^＋α_m+n^－＋Ａ(ｍ)δ_m+nと書けば「超弦理論(18)」と同様にして,Ａ(ｍ)＝ｃ₃ｍ³＋ｃ₁ｍですが,[ｐ^＋α₁^－,ｐ^＋α_-1^－]＝2ｐ^＋α₀^－＋ｃ₃＋ｃ₁で,かつ2ｐ^＋α₀^－＝ 2ｐ^＋ｐ^－＝ｐⁱｐⁱ－2ａ＋2Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱです。

ｎ≠0 なら,ｐ^＋α_n^－＝(1/2){Σ_m=-∞^∞:α_n-mⁱα_mⁱ:}ですから,0＝＜0;0|[ｐ^＋α₁^－,ｐ^＋α_-1^－]|0;0＞＝－2ａ＋ｃ₃＋ｃ₁です。

また,[ｐ^＋α₂^－,ｐ^＋α_-2^－]＝4ｐ^＋α₀^－＋8ｃ₃＋2ｃ₁より(Ｄ－2)/2＝＜0;0|[ｐ^＋α₂^－,ｐ^＋α_-2^－]|0;0＞＝－4ａ＋8ｃ₃＋2ｃ₁を得ます。

それ故,ｃ₁＝－(Ｄ－2)/12＋2ａ,ｃ₃＝(Ｄ－2)/12が得られます。すなわち,Ａ(ｍ)＝{(Ｄ－2)/12}(ｍ³－ｍ)＋2ａｍです。

(訳注50終わり)※

さて,理論がこの光錐ゲージで本当にローレンツ共変かどうかを調べたいと思います。

素朴に考えると,そうあるはずです。

なぜなら,これはローレンツ共変性が基本にあるゲージ不変な理論において,単にゲージを１つに固定することによって得られたものであるからです。

ａとＤの幾つかの値に対して理論に何か不都合があるとすれば,それはローレンツ不変性が陽には維持されない光錐ゲージにおいて,具体的にローレンツ不変性の欠如を示す良い機会を与えると考えられます。

さて,光錐ゲージにおいては,全ての弦の励起は横波振動子α_nⁱによって生成されます。

例えば,第１励起状態はα_-1ⁱ|0;ｐ＞で与えられます。これは横波による(Ｄ－2)次元回転群ＳＯ(Ｄ－2)の(Ｄ－2)成分のベクトル表現です。

横に偏極した運動量ベクトルでも,質量がゼロでないなら一般にローレンツ変換によって縦の偏極成分を獲得します。

これは,"質量のある粒子のスピンはＳＯ(Ｄ－1)の既約表現で分類され,一方,質量の無い粒子はＳＯ(Ｄ－2)の既約表現に対応する。"というよく知られた事実の言明です。

(ただし今はボーズ粒子の弦ですが,フェルミ粒子の話なら,これをカバーする群であるスピン群:Spin(Ｄ－1)とSpin(Ｄ－2)を回転群ＳＯ(Ｄ－1)とＳＯ(Ｄ－2)の代わりに用いる必要があります。)

したがって,もしもベクトル状態:α_-1ⁱ|0;ｐ＞が質量の無い粒子状態でないなら光錐ゲージにおいてローレンツ共変な弦理論を与えることができないことは明らかです。

それ故,理論がローレンツ共変であるためには,状態α_-1ⁱ|0;ｐ＞に対するＭ²＝2ｐ^＋ｐ^－－ｐⁱｐⁱ＝2(Ｎ－ａ)の固有値がゼロであることが要求されます。

そこで,Ｎ＝Σ_n=1^∞α_-nⁱα_nⁱからＮα_-1ⁱ|0;ｐ＞＝1より,結局ａ＝1でなければならないと結論されます。

次に時空次元Ｄに対する制限を理解するというより困難な問題に向かいます。

最初に,たった今得たローレンツ共変な弦理論であるための必要条件:ａ＝1を用いた発見的な議論をします。

そのために,正規順序定数ａを直接計算で求めることを試みます。

まず,[α_m^μ,α_n^ν]＝－ｍδ_m+nη^μνより,横波成分については[α_mⁱ,α_n^j]＝ｍδ_m+nδ^ijですから,[α_n,α_-n]＝[α_nⁱ,α_-nⁱ]＝ｎ(Ｄ－2)が得られます。

そこで,(1/2){Σ_n=-∞^∞α_-nⁱα_nⁱ}＝(1/2){Σ_n=-∞^∞:α_-nⁱα_nⁱ:}＋{(Ｄ－2)/2}{Σ_n=-1^∞ｎ}です。

もちろん第２項の和は発散するので何らかの正則化がなされる必要があります。

  その正則化の１つの方法として,一般的な場の理論でも同様な正規順序の問題でよく用いられる'ゼータ関数正則化'を使用してみます

一般的な和:Σ_n=-1^∞ｎ^-sを考えます。Reｓ＞1に対しては,この和はリーマンのゼータ関数ζ(ｓ)として知られている関数に収束します。

そしてゼータ関数ζ(ｓ)の方は点ｓ＝－1にも一意的に解析接続できて,ζ(－1)＝－1/12となります。

そこで,Σ_n=-1^∞ｎ^-sにおいてｓ＝－1とおいた和:Σ_n=-1^∞ｎに,このζ(－1)の値－1/12を強引に'代入する'と{(Ｄ－2)/2}{Σ_n=-1^∞ｎ}＝－(Ｄ－2)/24なる式が得られます。

(これは,もちろん正しい等式ではありませんが,"くりこみ"における擬似等式ではそれは承知の上です。)

ところで,我々は既にｐ^＋α₀^－＝(1/2){Σ_n=-∞^∞α_-nⁱα_nⁱ}＝(1/2){Σ_n=-∞^∞:α_-nⁱα_nⁱ:}－ａの定数ａが１であるべきことを知っているので,(Ｄ－2)/24＝1と等置することから,時空次元Ｄが26であることが示唆されます。

こうしたゼータ関数正則化は幾らか形式的なものですが,後章で零点エネルギーを正則化するという,より物理的な方法からも同じ答を得ることになります。

今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

ＰＳ:しかし,ビーチバレーの報道でよく思うのですが,浅尾・西堀ペアのスポーツニュースではいつも浅尾さんばかりがクローズアップされるのが少し不満です。

　私は昔から双子の西堀姉妹のお姉さん？の方の「西堀健実」さんの方がはるかに好みのタイプです。

　　http://ameblo.jp/takemi0820/　　

　まあ「浅尾美和」さんの方が圧倒的に人気があるのかも知れませんが,ペアの勝敗などのニュースでも,浅尾さん１人だけのインタビューや1人だけの映像でニュースが終わってしまうのには,個人的にいつも不満に思っています。

　西堀さんの方は,なんとなく私の姪の「Ｎ子＝ハンドル名:いくよくるよ」や,ときどきここにコメントくれる「れな(れい)ちゃん」にも似ているようで親しみを感じますしね。。。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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