光(電磁波)の散乱(4)

　さて,途中になっている電磁波の散乱振幅の計算の続きです。

前回はｒ＝ａで磁場の垂直成分Ｂ_rがゼロであるという境界条件:ｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ}＝0 から磁気的波ＴＥ波の散乱波のポテンシャルΠ_sc^Eが,入射平面波のそれ:Π_in^Eと同じＰ_l¹(cosθ)sinφの形の項しか持たないという結論を得ました。

今日は他のｒ＝ａでの境界条件(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}＋(iω/sinθ)(∂Π^E/∂φ)＝0,および{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ}(1/ｒ)－iω∂Π^E/∂θ＝0 に着目します。

これらの条件とΠ^Eがsinφに比例するということから,電気的波ＴＭ波の方のポテンシャルΠ^Mはcosφに比例することがわかります。

そこで,Π^M＝Π_in^M＋Π_sc^Mなる分解をすれば,散乱ＴＥ波のΠ_sc^EがＰ_l¹(cosθ)sinφの項しか持たないのと同様に,散乱ＴＭ波のポテンシャルΠ_sc^MはＰ_l¹(cosθ)cosφの形の項しか持たないことがわかります。

そこで,Π_sc^M,およびΠ_sc^Eの展開式はそれぞれΠ_sc^M(ｒ,θ,φ)≡(1/ｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ,およびΠ_sc^E(ｒ,θ,φ)≡{1/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞{Ａ^E_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^E_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)sinφと書くことができます。

ここで,後の便宜上,Π_sc^Mの展開係数Ａ^M,Ｂ^Mに対応するΠ_sc^Eの展開係数はＡ^E/ｃ,Ｂ^E/ｃであるとしています。

また,ｒ→ ∞における散乱境界条件は,Π^M(ｒ,θ,φ)→Π_in^M(ｒ,θ,φ)＋ｆ₁(θ)exp(iｋｒ)cosφ/ｒ,およびΠ^E(ｒ,θ,φ)→ Π_in^E(ｒ,θ,φ)＋ｆ₂(θ)exp(iｋｒ)sinφ/ｒと書けます。

ところで,球面ベッセル(Bessel)関数の漸近近似:j_l(ｘ)→ sin(ｘ－ｌπ/2)/ｘ(ｘ→∞)です。

そこで,ｒ→∞ではΠ_in^M(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞[i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]→ (1/ｋ)Σ_l=1^∞[i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{1/(ｋｒ)}sin(ｋｒ－ｌπ/2)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]です。

つまり,Π_in^M(ｒ,θ,φ)→－{1/(2ｋ²)}Σ_l=1^∞[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ/ｒ]です。

そこで,ｆ₁(θ)＝－{1/(2ｋ²)}Σ_l=1^∞[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}ａ_lＰ_l¹(cosθ)]と置けば,Π^M(ｒ,θ,φ)→－{1/(2ｋ²)}Σ_l=1^∞[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{(1＋ａ_l)exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ/ｒ]と書けます。

一方,ｘ→∞での球面ノイマン(Neumann)関数の漸近近似はｎ_l(ｘ)→－cos(ｘ－ｌπ/2)/ｘです。

そこで,Π_sc^M(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l¹(cosθ)cosφ→ｆ₁(θ)exp(iｋｒ)cosφ/ｒにおける因子:{Ａ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)}は,ｒ→∞ではＡ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)→{Ａ^M_lsin(ｋｒ－ｌπ/2)－Ｂ^M_lcos(ｋｒ－ｌπ/2)}/(ｋｒ)＝{1/(2iｋｒ)}(－i)^l{(Ａ^M_l－iＢ^M_l)exp(iｋｒ)－(－1)^l{(Ａ^M_l＋iＢ^M_l)exp(－iｋｒ)}なる形で漸近的に挙動します。

しかし,ｒ→ ∞では内向き球面波exp(－iｋｒ)/ｒは存在せず,その係数はゼロであるはずですからＡ^M_l＋iＢ^M_l＝0,つまりＢ^M_l＝iＡ^M_lです。

それ故,Ａ^M_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ^M_lｎ_l(ｋｒ)＝Ａ^M_l{ j_l(ｋｒ)＋iｎ_l(ｋｒ)}＝Ａ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)と書けます。ただしｈ_l⁽¹⁾は球面ハンケル(Hankel)関数の１方です。

以上から,Π_sc^M(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ}と書くことができます。

同様にして,Π_sc^E(ｒ,θ,φ)＝{1/(ｃｋ)Σ_l=1^∞{Ａ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ}と書けることもわかります。

ところで,入射平面波については,既に見たように電場はＥ_rⁱⁿ＝exp(iｋｒcosθ)sinθcosφ＝ｋ²Π_in^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_in^M)/∂²ｒ}＝{1/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφです。

そして,Π_in^M(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ,Π_in^E(ｒ,θ,φ)＝{1/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφです。

そこで,Ｅ_θⁱⁿ＝(1/ｒ)∂Π_in^M/∂θ＋∂²Π_in^M/∂ｒ∂θ＋(iω/sinθ)(∂Π_in^E/∂φ)＝exp(iｋｒcosθ)sinθsinφ＝(cosφ/ｋ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)＋iｋj_l(ｋｒ)π_l(cosθ)]です。

ただし,τ_l(cosθ)≡ｄＰ_l¹(cosθ)/ｄθ＝－sinθｄＰ_l¹(cosθ)/ｄ(cosθ),π_l(cosθ)≡Ｐ_l¹(cosθ)/sinθと置きました。

また,Ｅ_φⁱⁿ＝{1/(ｒsinθ)}(∂Π_in^M/∂φ)＋(1/sinθ)(∂²Π_in^M/∂ｒ∂φ)－iω∂Π_in^E/∂θ＝－¹exp(iｋｒcosθ)sinφ＝－(sinφ/ｋ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}π_l(cosθ)＋iｋj_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)]です。

さらに,磁場はＢ_rⁱⁿ＝ｃ^-1exp(iｋｒcosθ)sinθsinφ＝ｋ²Π_in^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_in^E)/∂²ｒ}＝{1/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφです。

また,Ｂ_θⁱⁿ＝{－iω/(ｃ²sinθ)}(∂Π_in^M/∂φ)＋(1/ｒ)(∂Π_in^M/∂θ)＋∂²Π_in^M/∂ｒ∂θ＝{sinφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[iｋj_l(ｋｒ)π_l(cosθ)]＋{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)]です。

そして,Ｂ_φⁱⁿ＝(iω/ｃ²)(∂Π_in^M/∂θ)＋{1/(ｒsinθ)}(∂Π_in^E/∂φ)＋(1/sinθ)(∂²Π_in^E/∂ｒ∂φ)＝{cosφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[iｋj_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋{j_l(ｋｒ)/ｒ＋ｋj_l'(ｋｒ)}π_l(cosθ)]となります。

そして,散乱波も同じ方法で計算できてＥ_r^sc＝ｋ²Π_sc^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_sc^M)/∂²ｒ}＝{1/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]です。

また,Ｅ_θ^sc＝(1/ｒ)∂Π_sc^M/∂θ＋∂²Π_sc^M/∂ｒ∂θ＋(iω/sinθ)(∂Π_ic^E/∂φ)＝(cosφ/ｋ)Σ_l=1^∞[Ａ^M_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)＋iｋＡ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)π_l(cosθ)]です。

同じく,Ｅ_φ^sc＝{1/(ｒsinθ)}(∂Π_sc^M/∂φ)＋(1/sinθ)(∂²Π_sc^M/∂ｒ∂φ)－iω∂Π_sc^E/∂θ＝＝－(sinφ/ｋ)Σ_l=1^∞[Ａ^M_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}π_l(cosθ)＋iｋＡ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)τ_l(cosθ)]です。

同様にして,Ｂ_r^sc＝{1/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ],Ｂ_θ^sc＝{sinφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞[iｋＡ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)π_l(cosθ)＋Ａ^E_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}τ_l(cosθ)＋],Ｂ_φ^sc＝{cosφ/(ｃｋ)}Σ_l=1^∞[iｋＡ^M_lｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋Ａ^E_l{ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)/ｒ＋ｋｈ_l⁽¹⁾'(ｋｒ)}π_l(cosθ)]です。

ここで,η_l(ｋｒ)≡(ｋｒ)ｊ_l(ｋｒ),ξ_l(ｋｒ)≡(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)と置いて得られた全ての式を整理します。

まず,電場の動径成分については,Ｅ_rⁱⁿ＝{1/(ｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφです。

また,Ｅ_θⁱⁿ＝{cosφ/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[η_l'(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋iη_l(ｋｒ)π_l(cosθ)],Ｅ_φⁱⁿ＝－{sinφ/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[η_l'(ｋｒ)π_l(cosθ)＋iη_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)]とやや簡単な表現になります。

さらに磁場については,まずＢ_rⁱⁿ＝{1/(ｃｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφです。

次に,Ｂ_θⁱⁿ＝{sinφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[ iη_l(ｋｒ)π_l(cosθ)]＋η_l'(ｋｒ)τ_l(cosθ)],およびＢ_φⁱⁿ＝{cosφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1/{ｌ(ｌ＋1)}[iη_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋η_l'(ｋｒ)]π_l(cosθ)]となります。

散乱波についても全く同様ですが煩雑なので結果だけ列挙します。

まず,電場はＥ_r^sc＝{1/(ｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lξ_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ],Ｅ_θ^sc＝{cosφ/(ｋｒ)Σ_l=1^∞[Ａ^M_lξ_l'(ｋｒ)]τ_l(cosθ)＋iＡ^E_lξ_l(ｋｒ)π_l(cosθ)},Ｅ_φ^sc＝－{sinφ/(ｋｒ)}Σ_l=1^∞[Ａ^M_lξ_l'(ｋｒ)π_l(cosθ)＋iＡ^E_lξ_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)]です。

同様に,磁場はＢ_r^sc＝{1/(ｃｋ²ｒ²)}Σ_l=1^∞[ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lξ_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ],Ｂ_θ^sc＝{sinφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞[iＡ^M_lξ_l(ｋｒ)π_l(cosθ)＋Ａ^E_lξ_l'(ｋｒ)τ_l(cosθ)],Ｂ_φ^sc＝{cosφ/(ｃｋｒ)}Σ_l=1^∞[iＡ^M_lξ_l(ｋｒ)τ_l(cosθ)＋Ａ^E_lξ_l'(ｋｒ)]π_l(cosθ)]と書けます。

これに,境界条件:[Ｅ_θⁱⁿ＋Ｅ_θ^sc]_r=a＝0,[Ｅ_φⁱⁿ＋Ｅ_φ^sc]_r=a＝0,[Ｂ_rⁱⁿ＋Ｂ_r^sc]_r=a＝0 を当てはめると,(2ｌ＋1)i^l-1η_l'(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lξ_l'(ｋａ)＝0,(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lξ_l(ｋａ)＝0 を得ます。

故に,未知係数は全て陽に決まりＡ^M_l＝i^l-1(2ｌ＋1)η_l'(ｋａ)/{ｌ(ｌ＋1)ξ_l'(ｋａ)},Ａ^E_l＝i^l-1(2ｌ＋1)η_l(ｋａ)/{ｌ(ｌ＋1)ξ_l(ｋａ)}となって解が完全に得られます。

ところで,ｒ→ ∞ のときにはＥ_r^sc,Ｂ_r^sc ∝ξ_l/ｒ² →Ｏ(1/ｒ²),Ｅ_θ^sc,Ｅ_φ^sc,Ｂ_θ^sc,Ｂ_φ^sc ∝ξ_l/ｒ →Ｏ(1/ｒ)です。

それ故,ｒ→ ∞では散乱波の散乱体球の動径成分(球面波の縦波成分)Ｅ_r^sc,Ｂ_r^scは,球の接線成分(球面波の横波成分)Ｅ_θ^sc,Ｅ_φ^sc,Ｂ_θ^sc,Ｂ_φ^scに比べて無視してよいと考えられます。

つまり,ｒ→ ∞での散乱波も入射波と同じく,その球面波の進行方向に垂直な偏光成分だけを持つ横波となることがわかります。

また,ｒ→∞ではξ_l(ｋｒ)＝(ｋｒ)ｈ_l⁽¹⁾(ｋｒ)→(－i)^l+1exp(iｋｒ),ξ_l'(ｋｒ)→iｋ(－i)^l+1exp(iｋｒ)です。

そこでξ_l(ｋｒ)ξ_m'(ｋｒ)＝ξ_m'(ｋｒ)ξ_l(ｋｒ) →－iｋ(－i)^l+mexp(2iｋｒ)よりｒ→∞でＥ_θ^scＢ_θ^sc＋Ｅ_φ^scＢ_φ^sc＝0 であり,Ｅ^scＢ^sc＝0 です。

つまり散乱電磁波も電場と磁場が直交して進む横波です。

そして,散乱振幅とそれに基づいた散乱の断面積を計算するためにｒ→∞での平均エネルギー密度に関係する量を計算することを考えます。

まず,ｒ→∞では|Ｅ_θ^sc|²＋|Ｅ_φ^sc|²＝ｃ²(|Ｂ_θ^sc|²＋|Ｂ_φ^sc|²)＝{1/(ｋ²ｒ²)}(cos²φ|Ｓ_θ|²＋sin²φ|Ｓ_φ|²)と書けます。ただしＳ_θとＳ_φは次式で定義される量です。

すなわち,Ｓ_θ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lτ_l＋Ａ^E_lπ_l],Ｓ_φ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lπ_l＋Ａ^E_lτ_l]とします。

さて,既に以前計算しましたが入射電磁波の平均エネルギー密度は,複素電磁場の表現では真空中のポインテイングベクトルの時間平均値として＜|Ｓⁱⁿ|＞＝|Ｅⁱⁿ×Ｂ^in*|/(2μ₀)＝1/(2ｃμ₀)で与えられます。

一方,散乱波のそれは,＜|Ｓ^sc|＞²＝|Ｅ^sc×Ｂ^sc*|²/(4μ₀²)＝(ε_ijkＥ_jＢ_k^*ε_ilmＥ_l^*Ｂ_m)/(4μ₀²)＝{|Ｅ^sc|²|Ｂ^sc|²－|(Ｅ^scＢ^sc)|²}/(4μ₀²)→(|Ｅ^sc|²|Ｂ^sc|²)/(4μ₀²)です。

それ故,ｒ→ ∞では＜|Ｓ^sc|＞＝|Ｅ^sc|²|Ｂ^sc|/(2μ₀)＝(|Ｅ_θ^sc|²＋|Ｅ_φ^sc|²)/(2ｃμ₀)＝{1/(2ｃμ₀ｋ²ｒ²)}(cos²φ|Ｓ_θ|²＋sin²φ|Ｓ_φ|²)と書けます。

したがって,微小立体角ｄΩ＝ｄ(cosθ)ｄφへの散乱の微分断面積ｄσは,ｄσ＝(＜|Ｓ^sc|＞/＜|Ｓⁱⁿ|＞)ｒ²ｄΩなる定義によってｄσ/ｄΩ＝(1/ｋ²)(cos²φ|Ｓ_θ|²＋sin²φ|Ｓ_φ|²)となります。

ここで,Ｓ_θ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lτ_l＋Ａ^E_lπ_l],Ｓ_φ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lπ_l＋Ａ^E_lτ_l]は,今の場合の係数Ａの陽な表現では－iＳ_θ＝Σ_l=1^∞＝(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}[{η_l'(ｋａ)/ξ_l'(ｋａ)}τ_l(cosθ)＋{η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)}π_l(cosθ)],－iＳ_φ＝Σ_l=1^∞＝(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}[{η_l'(ｋａ)/ξ_l'(ｋａ)}π_l(cosθ)＋{η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)}τ_l(cosθ)]です。

そして,時間平均として,＜cos²φ＞＝＜sin²φ＞＝[∫₀^2πcos²φｄφ]/(2π)＝[∫₀^2πsin²φｄφ]/(2π)＝1/2であることを用いると,実際の観測にかかる微分断面積はｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)で与えられると結論されます。

さて,ｘ→0 ではη_l(ｘ)＝ｘｊ_l(ｘ)～ｘ^l+1/(2ｌ＋1)!!,η_l'(ｘ)～(ｌ＋1)ｘ^l/(2ｌ＋1)!!です。また,ξ_l(ｘ)＝ｘｈ_l⁽¹⁾(ｘ)～－i(2ｌ－1)!!/ｘ^l,ξ_l'(ｘ)～iｌ(2ｌ－1)!!/ｘ^l＋1です。

それ故,η_l'(ｋａ)/ξ_l'(ｋａ)～－i(ｌ＋1)(ｋａ)^2l+1/[ｌ(2ｌ＋1){(2ｌ－1)!!}²],η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)～－i(ｋａ)^2l+1/[(2ｌ＋1){(2ｌ－1)!!}²]です。

そこで,以前にも概算したｋａ→0,あるいはｋａ＜＜1,つまりａ＜＜λのレイリー(Raileigh)散乱では,上記－iＳ_θと－iＳ_φの右辺の展開においてｌ＝1の項だけが効いてきます。

そしてｌ＝1ではτ_l(cosθ)＝ｄＰ₁¹(cosθ)/ｄθ＝cosθ,π₁(cosθ)＝Ｐ₁¹(cosθ)＝1でありη₁'(ｋａ)/ξ₁'(ｋａ)～－2i(ｋａ)³/3,η_l(ｋａ)/ξ_l(ｋａ)～－i(ｋａ)³/3です。

Ｓ_θ～(ｋａ)³(2cosθ－1)/2,Ｓ_φ～(ｋａ)³(2－cosθ)/2)より,|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²～(ｋａ)⁶(5cos²θ－8cosθ＋5)/4です。

そこで,ｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)～ｋ⁴ａ⁶(5－8cosθ＋5cos²θ)/8∝ｋ⁴ａ⁶～ａ⁶/λ⁴,σ＝2π∫(ｄσ/ｄΩ)ｄ(cosθ)＝10πｋ⁴ａ⁶/3＝160π⁵ａ⁶/(3λ⁴)です。

したがって,ｋａ＜＜1,つまりａ＜＜λのレイリー散乱では微分断面積ｄσ/ｄΩ,全断面積σは共にｋ⁴に比例しています。あるいは波長λの４乗に反比例しています。

一方,ｋａ～1,つまりａ～λでは,Ｓ_θ,Ｓ_φにおける各項のη_l'(ｋａ),ξ_l'(ｋａ),η_l(ｋａ),ξ_l(ｋａ)等のｌ＝1の先頭項だけではなく,全てのｌの項が効いてきます。そして,ａ～λの太陽からの可視光線の空気中の水滴やエアロゾルなどによる散乱に相当していて,これをミイ(Mie)散乱と呼びます。

しかし,これまでの議論では散乱体は電気伝導率σ＝∞の完全導体球であると仮定して球体の半径ｒ＝ａの表面上でＥ_θ＝Ｅ_φ＝0,Ｂ_r＝0 である,という境界条件を用いました。

ここで,より現実的に考えて,散乱体が球であるという仮定はそのままでもいいですが,散乱体は完全導体から成るのではなく,任意の有限な電気伝導率σから成る物体であるとします。

また,その散乱体球の内部の透磁率は真空と同じくほぼμ₀ですが,誘電率の方は一般の値εであるとします。空気分子,水滴などによる光の散乱ではこちらの誘電体というモデルの方がふさわしいと思います。

すると,この誘電体球の内部での電磁場の運動方程式は,∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔは真空中と同じですが,∇×Ｈ＝∂Ｄ/∂ｔ(i.e.∇×Ｂ＝(1/ｃ²)∂Ｅ/∂ｔ)の方は,∇×Ｈ＝∂Ｄ/∂ｔ＋ｉ＝∂Ｄ/∂ｔ＋σＥ,すなわち∇×Ｂ＝μ₀ε∂Ｅ/∂ｔ＋μ₀σＥとすべきです。

そこで,誘電体内部でも外部と同じくＥ,Ｂがexp(－iωｔ)という定在波としての時間依存因子を持つ波とすれば,これは∇×Ｂ＝－iμ₀(εω＋iσ)Ｅとなります。

前の,散乱体が完全導体のときには内部には如何なる電流ｉも存在できず,元々電流のない球体外部と同様に内部でも∇×Ｂ＝(1/ｃ²)∂Ｅ/∂ｔで∇×Ｂ＝－i(ω/ｃ²)Ｅでした。

そして,ＴＭ波,ＴＥ波に対するポテンシャルは散乱体の外部ではもちろん,Π^M,Π^Eですが,内部ではχ^M,χ^Eであるとします。

すると,誘電体外部ではＥ^M_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ},Ｅ^M_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}でしたが,内部でも単にＥ^M_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒχ^M)/∂ｒ∂φ},Ｅ^M_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒχ^M)/∂ｒ∂θ}となります。

しかし,磁場の方は外部での表現:Ｂ^M_φ＝(iω/ｃ²)(∂Π^M/∂θ),Ｂ^M_θ＝－{iω/(ｃ²sinθ)}{∂(∂Π^M/∂φ)における係数ω/ｃ²＝μ₀ε₀ωがμ₀(εω＋iσ)＝(εω/ε₀＋iσ/ε₀)/ｃ²に変わるので,誘電体内部ではＢ^M_φ＝(iω_a/ｃ²)(∂χ^M/∂θ),Ｂ^M_θ＝－{iω_a/(ｃ²sinθ)}{∂(∂χ^M/∂φ)と書けます。

ここで,広義の複素振動数ω_aを導入してω_a≡εω/ε₀＋iσ/ε₀と定義しました。

さて,球体の外部の真空中ではポテンシャルΠが従う方程式は,波動方程式(△－ｃ^-2∂²/∂ｔ²)Π^M＝[△－μ₀ε₀∂²/∂ｔ²]Π^M＝0 において波数ｋ＝2π/λがｋ²≡ω²/ｃ²＝μ₀ε₀ω²と表現されるヘルムホルツ方程式:(△＋ｋ²)Π^M＝0 でした。

しかし,誘電体中では波動方程式は[△－μ₀(ε＋iσ/ω)∂²/∂ｔ²]χ^M＝0 となるので,これはｋ_a²≡μ₀(ε＋iσ/ω)ω²として(△＋ｋ_a²)χ^M＝0 となります。複素係数:ε＋iσ/ω＝(ω_a/ω)ε₀はωに依存する複素誘電率と解釈されます。

そこで,ｋ_a²＝μ₀(εω＋iσ)ω＝ωω_a/ｃ²であってＥ^M_r＝ｋ_a²χ^M＋(1/ｒ){∂²(ｒχ^M)/∂²ｒ},Ｂ^M_r＝0 です。ｋ_a＝2π/λ_aです。

同様に,Ｅ^E_r＝0,Ｅ^E_θ＝(iω_a/sinθ)(∂χ^E/∂φ),Ｅ^E_φ＝－iω_a∂χ^E/∂θ,Ｂ^E_r＝ｋ_a²χ^E＋(1/ｒ){∂²(ｒχ^E)/∂²ｒ},Ｂ^E_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒχ^E)/∂ｒ∂θ},Ｂ^E_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒχ^E)/∂ｒ∂φ}です。そして,(△＋ｋ_a²)χ^E＝0 ですね。

これらヘルムホルツの方程式の解としての誘電体内部のＴＭ波,ＴＥ波を与えるポテンシャルχ^M,χ^Eは,ｒ＝0 の中心で有限であって,やはりｓ波(ｌ＝0 の波)はないと考えられます。

それ故,χ^M(ｒ,θ,φ)≡(1/ｋ_a)Σ_l=1^∞Ｃ^M_lj_l(ｋ_aｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ,χ^E(ｒ,θ,φ)≡{1/(ｃｋ_a)}Σ_l=1^∞Ｃ^E_lj_l(ｋ_aｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφと表現することができます。

この場合の境界条件は,全く普通でｒ＝ａの球表面において接線成分Ｅ_θ,Ｅ_φ,Ｈ_θ,Ｈ_φが連続,そこでμ＝μ₀＝(一定)よりＢ_θ,Ｂ_φが連続であり,法線成分Ｂ_rとＤ_r＝εＥ_ｒも連続という条件となります。

ただ,今のケースでは電束密度Ｄと電場Ｅの現象論的関係は単純な実定数誘電率によるＤ＝εＥではなく,Ｄ(ω)＝(ε＋iσ/ω)Ｅ(ω)＝(ω_a/ω)ε₀Ｅ(ω)＝(ｋ_a²/ｋ²)ε₀Ｅ(ω)なる関係と考えられます。

そこで,Ｄ_rの連続性については球の外部のＥと内部の(ｋ_a²/ｋ²)Ｅの連続性を問題にする必要があります。

故に,この条件からは(1/ｋ²)[(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^M_lξ_l(ｋａ)]＝(ｋ_a²/ｋ²)(1/ｋ_a²)ｌ(ｌ＋1)Ｃ^M_lη_l(ｋ_aａ)です。

同様にＢ_rの連続性からは{1/(ｃｋ²)}[(2ｌ＋1)i^l-1η_l(ｋａ)＋ｌ(ｌ＋1)Ａ^E_lξ_l(ｋａ)]＝{1/(ｃｋ_a²)}ｌ(ｌ＋1)Ｃ^E_lη_l(ｋ_aａ)です。

また,Ｅ_θ,Ｅ_φ,Ｂ_θ,Ｂ_φの連続性からは(1/ｋ)[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}i^l-1η_l'(ｋａ)＋Ａ^M_lξ_l'(ｋａ)]＝(1/ｋ_a)Ｃ^M_lη_l'(ｋ_aａ),および(1/ｋ)[(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}i^l-1η_l'(ｋａ)＋Ａ^E_lξ_l'(ｋａ)]＝(1/ｋ_a)Ｃ^E_lη_l'(ｋ_aａ)です。

これらの式からＣ^M_l,Ｃ^E_lを消去すると,Ａ^M_l＝i^l+1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{ｋ_aη_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)－ｋη_l'(ｋ_aａ)η_l(ｋａ)}/{ｋ_aξ_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)－ｋη_l'(ｋ_aａ)ξ_l(ｋａ)},

および,Ａ^E_l＝i^l+1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}{ｋ_aη_l(ｋａ)η_l'(ｋ_aａ)－ｋη_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)}/{ｋ_aξ_l(ｋａ)η_l'(ｋ_aａ)－ｋξ_l'(ｋａ)η_l(ｋ_aａ)}が得られます。

ここで,後の便宜のために散乱体を構成する誘電体の複素屈折率をｎ^≡λ/λ_a＝ｋ_a/ｋ＝(ε＋iσ/ω)/ε₀)^1/2で定義しておきます。

例えば,ｋａ＜＜1, or ａ＜＜λの場合なら,Ａ^M_l～i^l+1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}(ｌ＋1)ｋ_a^l+2ｋ^l－ｋ_a^lｋ^l+2)ａ^2l+1/{(2ｌ＋1)!!}²,÷[i(ｌｋ_a^l+2ｋ^-(l+1)＋(ｌ＋1)ｋ_a^lｋ^-(l-1))/(2ｌ＋1)]～[i^l/{ｌ(2ｌ＋1)!!}²][(ｎ^²－1)/{ｎ^²＋(l＋1)/ｌ}](ｋａ)^2l+1です。

同様に,Ａ^E_l～[i^l/{ｌ(ｌ＋1)(2ｌ＋1)(2ｌ＋3)]/{(2ｌ＋1)!!}²(ｎ^²－1)(ｋａ)^2l+3です。

それ故,ｋａ～ 0 での通常の弾性散乱では,ＴＭ波のｌ＋1の項の寄与とＴＥ波のｌ波の寄与が同じオーダーになります。

そこでｋａ＜＜1のレイリー散乱の場合に実際に効くｌ＝1の最初の項だけに着目すると,ＴＭ波では(ｋａ)³,ＴＥ波ではｋａ)⁵に比例するため,ＴＭ波のみが効くと見ていいでしょう。

そして,ｌ＝1では,Ａ^M₁～i(ｋａ)³(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)です。

これから,特に前のように完全導体の場合ならｎ^→ ∞のため,Ａ^M₁～i(ｋａ)³となることも確認されます。

τ₁(cosθ)＝cosθ,π₁(cosθ)＝1により,Ｓ_θ～(ｋａ)³(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)cosθ,Ｓ_φ～(ｋａ)³(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)です。

そこで,ｋａ＜＜1のレーリー散乱の場合の微分断面積はｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)～(ｋ⁴ａ⁶/4)(1＋cos²θ)(ｎ^²－1)²/(ｎ^²＋2)² ∝ ｋ⁴ａ⁶ ～ａ⁶/λ⁴です。

そこで,全断面積はσ＝2π∫(ｄσ/ｄΩ)ｄ(cosθ)＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶(ｎ^²－1)²/(ｎ^²＋2)²＝(128π⁵/3)(ａ⁶/λ⁴)(ｎ^²－1)²/(ｎ^²＋2)²となります。

これらは,完全導体ｎ^→ ∞の極限ではｄσ/ｄΩ＝ｋ⁴ａ⁶(1＋cos²θ),σ＝(8π/3)ｋ⁴ａ⁶＝(128π⁵/3)ａ⁶/λ⁴です。

これは,先に初めから完全導体球を仮定してその境界条件から計算したレーリー散乱の結果,ｄσ/ｄΩ＝{1/(2ｋ²)}(|Ｓ_θ|²＋|Ｓ_φ|²)～ｋ⁴ａ⁶(5－8cosθ＋5cos²θ)/8∝ｋ⁴ａ⁶～ａ⁶/λ⁴,σ＝2π∫(ｄσ/ｄΩ)ｄ(cosθ)＝(10π/3)ｋ⁴ａ⁶＝(160π⁵/3)ａ⁶/λ⁴と微妙に係数だけが違っています。

これは,Ｓ_θ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lτ_l＋Ａ^E_lπ_l],Ｓ_φ≡Σ_l=1^∞(－i)^l+1i[Ａ^M_lπ_l＋Ａ^E_lτ_l]のｌ＝1の項で,τ₁＝cosθ,π₁＝1,Ａ^M_l～i(ｋａ)³は同じですが,完全導体境界条件ではＡ^E_l～(－i/2)(ｋａ)³であるのに対して誘電体境界条件ではＡ^E_l～ 0 であるからです。

大気中の空気分子による散乱では,後者の誘電体境界条件を採用するべきと思われます。

とにかく,空気分子ではｎ^は有限ですからＡ^M₁～i(ｋａ)³(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)において完全導体球を仮定して複素屈折率をｎ^＝∞としたものでなく,係数(ｎ^²－1)/(ｎ^²＋2)を含む方の式を用いるべきです。

今日はここまでにします。

参考文献：砂川重信著「理論電磁気学」第２版(紀伊国屋書店),M.Born,E.Wolf著(草川徹 訳)「光学の原理(3)」(東海大学出版会)

ＰＳ：ノリピーの裁判。。判決には依存ないけど。。。例によって不可解なことばかり。。

罪というのは薬物に関する法律の違反でしょう？誰と結婚しようが離婚しようが個人的な問題とは刑法は関係ないじゃん。。。

マスコミが騒いだせいで世間への影響が大きい割りに刑が軽い？。。

表向きは職業に貴賎なし。。全ての人間は性別,その生業に関わらず法の下には平等だろう。利権にからんだ周囲の大騒ぎ,ほとんどは本人の責任じゃない部分を責めてどうするんだ？。。

問題にすべきは,犯罪当時の被告の責任能力の有無(たとえば幼児であるとか認知症であるとかなら刑は軽くすべきとか。)のような問題だろうにね。。。。

まあ,普通の日本の刑事裁判(検事と弁護士の両方がいても公平であるべき判事が最初から検事９割,弁護士１割程度の予断と偏見を持っていて,本来５分５分の情況証拠なら"疑わしきは被告の利益に(＝推定無罪)"の原則のはずなのに実際には真反対で,しかも世論になびく傾向大)だから,しょうがないか。。

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光(電磁波)の散乱(3)

主としてミイ(Mie)散乱を対象と考えて計算した過去のノ－トを見つけたので,改めてその計算をチェックしながら一般的なレイリー(Rayleigh)散乱とミイ散乱の古典電磁波の散乱としての扱いを詳細に記述してみます。

散乱体を完全導体球としたときの正しい境界条件は入射平面波と散乱波を重ね合わせた全電磁波の電場Ｅ,磁場Ｂが球の表面上ｒ＝ａでｎＢ＝0,ｔＥ＝0 を満たすことです。

これは極座標では,ｒ＝ａでＢ_r＝Ｂ_xsinθcosφ＋Ｂ_ysinθ＋Ｂ_zcosθ＝0,かつＥ_θ＝Ｅ_xcosθcosφ＋Ｅ_ycosθsinφ＋Ｅ_zsinθ＝0,Ｅ_φ＝－Ｅ_xsinφ＋Ｅ_ycosφ＝0 なることを意味します。

今のケースでは入射波はｚ方向に進む角振動数がωの単色平面波でＥはｘ方向,Ｂはｙ方向に線偏光していると仮定しています。

これまで説明してきたように,散乱を１枚の全体写真として記述するため,電磁場の１成分をΦ(ｘ,ｔ)＝exp(－iωｔ)ψ(ｘ)として時間部分を分離した定在波表現を用います。

この表現では,入射波Φⁱⁿ(ｘ,ｔ)＝exp(－iωｔ)ψⁱⁿ(ｘ)の空間成分はψⁱⁿ(ｘ)＝exp(iｋｚ)＝exp(iｋｒcosθ)ですが,これはＥⁱⁿ＝(ψⁱⁿ,0,0),ｃＢⁱⁿ＝(0,ψⁱⁿ,0,0),あるいはＥⁱⁿ_x＝ｃＢⁱⁿ_y＝exp(iｋｚ),Ｅⁱⁿ_y＝Ｅⁱⁿ_z＝Ｂⁱⁿ_x＝Ｂⁱⁿ_z＝0 を意味します。

そして,真空中でのヘルムホルツ(Helmholtz)方程式よりも基本的なマクスウェル(Maxwell)の方程式:Ｄ＝ε₀Ｅ,Ｂ＝μ₀Ｈ,ｃ²＝ε₀μ₀∇,および∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔ,∇×Ｈ＝∂Ｄ/∂ｔから出発してＤとＨを消去すると,∇×Ｅ＝iωＢ,∇×Ｂ＝－(iω/ｃ²)Ｅを得ます。

これを,極座標で書くと－(iω/ｃ²)Ｅ_r＝{1/(ｒ²sinθ)}{∂(ｒsinθＢ_φ)/∂θ－∂(ｒＢ_θ)/∂φ},－(iω/ｃ²)Ｅ_θ＝{1/(ｒsinθ)}{∂Ｂ_r/∂φ－∂(ｒsinθＢ_φ)/∂ｒ},－(iω/ｃ²)Ｅ_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＢ_θ)/∂ｒ－∂Ｂ_r/∂θ},

および,iωＢ_r＝{1/(ｒ²sinθ)}{∂(ｒsinθＥ_φ)/∂θ－∂(ｒＥ_θ)/∂φ},iωＢ_θ＝{1/(ｒsinθ)}{∂Ｅ_r/∂φ－∂(ｒsinθＥ_φ)/∂ｒ},iωＢ_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＥ_θ)/∂ｒ－∂Ｅ_r/∂θ}です。

方程式は線型なので,任意の解Ｅ,Ｂは電気的波(ＴＭ波;transverse magnetic wave)と磁気的波(ＴＥ波;transverse electric wave)に分解できます。

すなわち,Ｅ＝Ｅ^M＋Ｅ^E,Ｂ＝Ｂ^M＋Ｂ^E,(ⅰ)Ｅ^M_r＝Ｅ_r,Ｂ^M_r＝0 (ＴＭ波),(ⅱ)Ｅ^E_r＝0,Ｂ^E_r＝Ｂ_r (ＴＥ波)と分解されます。

これら電気的波:Ｅ^M,Ｂ^M,および磁気的波:Ｅ^E,Ｂ^Eは,それぞれ同じ波動方程式を満足するスカラーポテンシャルΠ^M,およびΠ^Eから導出できることがわかります。以下,これを示します。

(ⅰ)Ｅ^M_r＝Ｅ_r,Ｂ^M_r＝0 (ＴＭ波＝電気的波)の場合:

　－iωｒ²sinθＢ^M_r＝∂(ｒsinθＥ^M_φ)/∂θ－∂(ｒＥ^M_θ)/∂φ＝0ですから,ｒsinθＥ^M_φ≡∂Ｕ/∂φ,ｒＥ^M_θ≡∂Ｕ/∂θ,Ｕ≡∂(ｒΠ^M)/∂ｒと置くことができます。

すなわち,Ｅ^M_φ≡{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ},Ｅ^M_θ≡(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}と書けます。

そこで,－(iω/ｃ²)Ｅ_θ＝{1/(ｒsinθ)}{∂Ｂ_r/∂φ－∂(ｒsinθＢ_φ)/∂ｒ}でＥ,ＢをＥ^M,Ｂ^Mに置き換えてＢ^M_r＝0 とした式:－(iω/ｃ²)Ｅ^M_θ＝{1/(ｒsinθ)}{－∂(ｒsinθＢ^M_φ)/∂ｒ}は,(iω/ｃ²)(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}＝(1/ｒ){∂(ｒＢ^M_φ)/∂ｒ}を意味します。

また,－(iω/ｃ²)Ｅ^M_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＢ^M_θ)/∂ｒ－∂Ｂ^M_r/∂θ}＝(1/ｒ){∂(ｒＢ^M_θ)/∂ｒ}は－(iω/ｃ²){1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ}＝(1/ｒ){∂(ｒＢ^M_θ)/∂ｒ}です。

よって,無関係の定数を除いて,Ｂ^M_φ＝{iω/(ｃ²ｒ)}{∂(ｒΠ^M)/∂θ}＝(iω/ｃ²)(∂Π^M/∂θ),Ｂ^M_θ＝－{iω/(ｃ²ｒsinθ)}{∂(ｒΠ^M)/∂φ}と書けます。

さらに,これらを－(iω/ｃ²)Ｅ^M_r＝{1/(ｒ²sinθ)}{∂(ｒsinθ∂Ｂ^M_φ)/∂θ－∂(ｒＢ^M_θ)/∂φ}に代入するとＥ^M_r＝－{1/(ｒsinθ)}[∂{sinθ(∂Π^M/∂θ)/∂θ}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)]を得ます。

そして,得られた結果をiωＢ^M_θ＝{1/(ｒsinθ)}{∂Ｅ^M_r/∂φ－∂(ｒsinθＥ^M_φ)/∂ｒ}に代入すると(ω²/ｃ²sinθ)(∂Π^M/∂φ)＝{1/(ｒsinθ)}(∂/∂φ){－1/(ｒsinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂Π^M/∂θ)}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)}－{∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}]です。

ｋ＝ω/ｃより,これは(∂/∂φ)[ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}＋{1/(ｒ²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂Π^M/∂θ)}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)]＝0です。

また,－iωＢ^M_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＥ^M_θ)/∂ｒ－∂Ｅ^M_r/∂θ}に代入すると－(ω²ｒ/ｃ²) (∂Π^M/∂θ)＝∂³(ｒΠ^M)/∂ｒ²∂θ}＋(1/ｒ²)(∂/∂θ)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂Π^M/∂θ)/∂θ}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)]です。

これから(∂/∂θ)[ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}＋{1/(ｒ²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂Π^M/∂θ)}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)]＝0を得ます。

以上のことからスカラーポテンシャルΠ^Mをヘルムホルツ方程式:(△＋ｋ²)Π^M＝0 を満たすように選んでよいことがわかります。

そこで,Ｅ^M_r＝－{1/(ｒsinθ)}[∂{sinθ(∂Π^M/∂θ)/∂θ}＋(1/sinθ)(∂²Π^M/∂φ²)]＝－△Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}によってＥ^M_r＝ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}が得られます。

要約すると,Ｅ^M_r＝ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ},Ｅ^M_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ},Ｅ^M_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ},Ｂ^M_r＝0,Ｂ^M_θ＝－{iω/(ｃ²ｒsinθ)}{∂(ｒΠ^M)/∂φ},Ｂ^M_φ＝{iω/(ｃ²ｒ)}{∂(ｒΠ^M)/∂θ}＝(iω/ｃ²)(∂Π^M/∂θ)です。

そして,(△＋ｋ²)Π^M＝0 です。

(ⅱ)Ｅ^E_r＝0,Ｂ^E_r＝Ｂ_r(ＴＥ波＝磁気的波)の場合:

　－(iωｒ²sinθ/ｃ²)Ｅ^E_r＝∂(ｒsinθＢ^E_φ)/∂θ－∂(ｒＢ^E_θ)/∂φ＝0ですから,ｒsinθＢ^E_φ≡∂Ｖ/∂φ,ｒＢ^E_θ≡∂Ｖ/∂θ,Ｖ≡∂(ｒΠ^E)/∂ｒと置きます。

すなわち,Ｂ^E_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂φ},Ｂ^E_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂θ}です。

Ｅ^E_r＝0 よりiωＢ^E_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＥ^E_θ)/∂ｒ}ですから,∂(ｒＥ^E_θ)/∂ｒ＝(iω/sinθ){∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂φ}です。

そこで,定数項を無視してＥ^E_θ＝{iω/(ｒsinθ)}{∂(ｒΠ^E)/∂φ}＝(iω/sinθ)(∂Π^E/∂φ)と置くことができます。

同様に,iωＢ^E_θ＝{－1/(ｒsinθ)}{∂(ｒsinθＥ^E_φ)/∂ｒ}より{∂(ｒＥ^E_φ)/∂ｒ}＝－iω∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂θ}なので,Ｅ^E_φ＝－iω∂Π^E/∂θと書けます。

これらのポテンシャルによる表現をiωＢ^E_r＝{1/(ｒ²sinθ)}{∂(ｒsinθＥ^E_φ)/∂θ－∂(ｒＥ^E_θ)/∂φ}に代入すると,Ｂ^E_r＝{－1/(ｒsinθ)}{∂(sinθ∂Π^E/∂θ)/∂θ}を得ます。

得られた全てのポテンシャルによる表現を－(iω/ｃ²)Ｅ^E_θ＝{1/(ｒsinθ)}{∂Ｂ^E_r/∂φ－∂(ｒsinθＢ^E_φ)/∂ｒ},および－(iω/ｃ²)Ｅ^E_φ＝(1/ｒ){∂(ｒＢ^E_θ)/∂ｒ－∂Ｂ^E_r/∂θ}に代入すれば,(∂/∂φ){(△＋ｋ²)Π^E}＝0,かつ(∂/∂θ){(△＋ｋ²)Π^E}＝0 が得られます。

そこで,(△＋ｋ²)Π^E＝0となるようにΠ^Eを選びます。このときＢ^E_r＝ｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ}と表わせます。

以上を要約すると,Ｅ^E_r＝0,Ｅ^E_θ＝(iω/sinθ)(∂Π^E/∂φ),Ｅ^E_φ＝－iω∂Π^E/∂θ,Ｂ^E_r＝ｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ},Ｂ^E_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂θ},Ｂ^E_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂φ}です。そして(△＋ｋ²)Π^E＝0 です。

(ⅰ),(ⅱ)をまとめると,電場についてはＥ_r＝Ｅ^M_r＋Ｅ^E_r＝ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ},Ｅ_θ＝Ｅ^M_θ＋Ｅ^E_θ＝(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}＋(iω/sinθ)(∂Π^E/∂φ),Ｅ_φ＝Ｅ^M_φ＋Ｅ^E_φ＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ}(1/ｒ)－iω∂Π^E/∂θとなり,

磁場についてはＢ_r＝Ｂ^M_r＋Ｂ^E_r＝ｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ},Ｂ_θ＝Ｂ^M_θ＋Ｂ^E_θ＝{－iω/(ｃ²ｒsinθ)}{∂(ｒΠ^M)/∂φ}＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ},Ｂ_φ＝Ｂ^M_φ＋Ｂ^E_φ＝(iω/ｃ²)(∂Π^M/∂θ){1/(ｒsinθ)}＋{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^E)/∂ｒ∂φ}となります。

ここでΠ^M,Π^Eは(△＋ｋ²)Π＝0 の未知関数Πに対する解です。

解ΠをΠ(ｒ,θ,φ)≡Ｒ(ｒ)Θ(θ)Φ(φ)と変数分離形に書くと,Ｒ(ｒ)に対する独立解の組は方程式{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l(ｒ)＝0 を満たすＲ_l(ｒ)＝{π/(2ｋｒ)}^1/2Ｊ_l+1/2(ｋｒ)＝ｊ_l(ｋｒ),{π/(2ｋｒ)}^1/2Ｎ_l+1/2(ｋｒ)＝ｎ_l(ｋｒ)(ｌ＝0,1,2,..)で与えられます。(Ｊ,Ｎはベッセル(Bessel)関数)

このとき,同じｌに対応するΘ(θ)Φ(φ)の独立解はＰ_l^m(cosθ){ａ_mcos(ｍφ)＋ｂ_msin(ｍφ)}(－ｌ≦ｍ≦ｌ)です。(Ｐ_l^mはルジャンドル(Legendre)の陪多項式)

それ故,Πの一般解はΠ(ｒ,θ,φ)＝Σ_l=0^∞Σ_m=-l^l{ｃ_lｊ_l(ｋｒ)＋ｄ_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l^m(cosθ){ａ_mcos(ｍφ)＋ｂ_msin(ｍφ)}です。

ところで,電場Ｅ,磁場Ｂのデカルト座標の成分と極座標の成分の関係はＥ_r＝Ｅ_xsinθcosφ＋Ｅ_ysinθ＋Ｅ_zcosθ,Ｅ_θ＝Ｅ_xcosθcosφ＋Ｅ_ycosθsinφ＋Ｅ_zsinθ,Ｅ_φ＝－Ｅ_xsinφ＋Ｅ_ycosφ,およびＢ_r＝Ｂ_xsinθcosφ＋Ｂ_ysinθ＋Ｂ_zcosθ,Ｂ_θ＝Ｂ_xcosθcosφ＋Ｂ_ycosθsinφ＋Ｂ_zsinθ,Ｂ_φ＝－Ｂ_xsinφ＋Ｂ_ycosφで与えられます。

ここで,入射波の電場Ｅ＝Ｅⁱⁿと磁場Ｂ＝Ｂⁱⁿは,Ｅⁱⁿ_x＝ｃＢⁱⁿ_y＝exp(iｋｚ),Ｅⁱⁿ_y＝Ｅⁱⁿ_z＝Ｂⁱⁿ_x＝Ｂⁱⁿ_z＝0 であると仮定されていたことを思い出します。

したがって,入射波の極座標成分はＥⁱⁿ_r＝exp(iｋｒcosθ)sinθcosφ,Ｅⁱⁿ_θ＝exp(iｋｒcosθ)cosθcosφ,Ｅⁱⁿ_φ＝－exp(iｋｒcosθ)sinφ,Ｂⁱⁿ_r＝ｃ^-1exp(iｋｒcosθ)sinθsinφ,Ｂⁱⁿ_θ＝exp(iｋｒcosθ)cosθsinφ,Ｂ_φ＝exp(iｋｒcosθ)cosφです。

これを用いて入射波に対するポテンシャルΠ^M＝Π_in^M,Π^E＝Π_in^Eを求めます。そのために先のＥ_r,Ｅ_θ,Ｅ_φ,Ｂ_r,Ｂ_θ,Ｂ_φに対するポテンシャルΠ^M,Π^Eによる表現を利用します。

式はたくさんありますが,その中の１つの式:Ｅ_r＝Ｅ^M_r＋Ｅ^E_r＝ｋ²Π^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂²ｒ}だけを考えれば十分です。このポテンシャルは合理的に定められているため後の式は自然に満たされます。

採用した式は,exp(iｋｒcosθ)sinθcosφ＝ｋ²Π_in^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_in^M)/∂²ｒ}です。

一方,exp(iｋｒcosθ)の展開はレーリー(Rayleigh)の公式:exp(iｋｒcosθ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)i^lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)で与えられることを知っています。

この両辺をθで微分します。左辺では∂{exp(iｋｒcosθ)}/∂θ＝－iｋｒexp(iｋｒcosθ)sinθです。右辺では∂Ｐ_l(cosθ)/∂θ＝－Ｐ_l¹(cosθ)(ｌ＝1),∂Ｐ_l(cosθ)/∂θ＝0 (ｌ≠1)です。

これから直ちに入射波にはｌ＝0 のｓ波が無いことがわかります。これの理由は明らかに電磁波の表わす場がベクトルであってスカラーではないことです。

レーリーの公式の両辺のθ微分にcosφを掛けて－iｋｒで割るとexp(iｋｒcosθ)sinθcosφ＝(1/ｋｒ)Σ_l=1^∞(2ｌ＋1)i^l-1j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ＝ｋ²Π_in^M＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ_in^M)/∂²ｒ}を得ます。

ここでΠ_in^Mの展開式をΠ_in^M(ｒ,θ,φ)≡(1/ｋ)Σ_l=1^∞α_lj_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφと定義すれば,∂²(ｒΠ_in^M)/∂²ｒ＋ｋ²ｒΠ_in^M＝ｒ[∂²Π_in^M/∂²ｒ＋(2/ｒ)∂Π_in^M/∂ｒ＋ｋ²Π_in^M]から,α_l{ｄ²j_l(ｋｒ)/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ¹j_l(ｋｒ)/ｄｒ＋ｋ²j_l(ｋｒ)}＝i^l-1(2ｌ＋1)ｊ_l(ｋｒ)/ｒ²なる等式を得ます。

そこで,α_l＝i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}となることがわかります。

よって,陽な展開表現:Π_in^M(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞[i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)cosφ]が得られました。

同様にして,Π_in^E(ｒ,θ,φ)＝(1/ｋ)Σ_l=1^∞[i^l-1(2ｌ＋1)/{ｌ(ｌ＋1)}j_l(ｋｒ)Ｐ_l¹(cosθ)sinφ]も得られます。

ここでｒ＝ａにおける正しい境界条件:Ｂ_r＝0,かつＥ_θ＝Ｅ_φ＝0 を考慮します。

これはｒ＝ａでｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ}＝0,かつ(1/ｒ){∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂θ}＋(iω/sinθ)(∂Π^E/∂φ)＝{1/(ｒsinθ)}{∂²(ｒΠ^M)/∂ｒ∂φ}(1/ｒ)－iω∂Π^E/∂θ＝0 を意味します。

１番目の条件:ｋ²Π^E＋(1/ｒ){∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ}＝0 (ｒ＝ａ)は,ｒ＝ａで∂²(ｒΠ^E)/∂²ｒ＋ｋ²ｒΠ^E＝ｒ[∂²Π^E/∂²ｒ＋(2/ｒ)∂Π^E/∂ｒ＋ｋ²Π^E]＝0 です。

Π^Eの展開式をΠ^E(ｒ,θ,φ)≡Σ_l=0^∞Σ_ｍ=-l^l{ｃ_lｊ_l(ｋｒ)＋ｄ_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l^m(cosθ){ａ_mcos(ｍφ)＋ｂ_msin(ｍφ)}と定義すると,これはΣ_l=0^∞Σ_ｍ=-l^lｌ(ｌ＋1)ａ^-2{ｃ_lｊ_l(ｋａ)＋ｄ_lｎ_l(ｋａ)}Ｐ_l^m(cosθ){ａ_mcos(ｍφ)＋ｂ_msin(ｍφ)}＝0 を意味します。

そこで,ＴＥ波のポテンシャルΠ^Eは恒等的にゼロである,あるいは全ての展開係数はゼロであることがわかります。

Π^E＝Π_in^E＋Π_sc^Eと書けば,左辺の展開係数が全てゼロなので,Π_in^Eがｍ＝1のＰ_l¹(cosθ)sinφの項しか持たないことから,Π_sc^Eもｍ＝1のＰ_l¹(cosθ)sinφの形の項しか持たないことがわかります。

途中ですが,計算に疲れたので今日はここまでにします。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店),M.Born,E.Wolf 著(草川徹 翻訳)「光学の原理(3)」(東海大学出版会)

ＰＳ:先日,池袋に大きいヤマダ電機がオープンしたのでこれを見に行った機会に秋葉原まで足をのばして,中古専門のソフマップに行きＰＣを中心に色々と見てきました。

　そして有名メーカーではなく自作に近くて昔ツクモや石丸で安売りしていた中古のデスクトップマシン:2004年製のemachinesのJ4320(CPUがPentium4:3GHz,HDD:200GB,WindowsXP(Home)入り,ただしメモリーが512MBから1024MBに増設されているもの)が11300円と意外に安く売られていたのでつい衝動買いしてしまいました。

　ここ数日間は今まで使っていたデスクトップと入れ替えるためのセッティングに夢中になっていました。

　今年６月に2004年製のHPパソコンのマザーボードが壊れたため,これまでは所蔵休眠していた2002年製で富士通のときどき動かなくなる中古パソコンをだましだましして使っていました。http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/06/pc-179a.html

　新ＰＣは,今のところ重いソフトを使用中に若干音がうるさいのが気になる程度で他に不満はなく,前の富士通の中古よりも快適,快調です。

　見かけはほぼ新品で(アウトレット？),モニター無し,マウス,キーボードが無く,付属ソフトもOS(Windows)とウィルスソフト以外には無かったのですが,DVD±R(さらにRAM？)ドライブと全カードリ－ダー付き(FDDは無し)で,HDDも200GB実装ですから,コアがDuoではないけれどスペックとしては十分です。

　付属品が何も付いてなくても,これらは全て前のマシンから引き継げたので私的には全く問題無しです。

　日本製の有名メーカー品とはいっても他のはるかにスペックが低く,どこかに「難あり品」なのにこの品よりもかなり高価な中古品に比べ私自身は今のところ掘り出し物だと思っています。

　結局,後で失敗だとわかったにしても11300円なら１～２回の飲み代程度ですから気になりませんね。(さらに送料も値切りました。)

　ところで今年は何故か将棋の谷川浩司九段(17世名人)の調子がいいみたいで嬉しいです。

　谷川さんには久しぶりにタイトルを取ってもらいたいですね。特に順位戦では今のところ全勝でトップです。名人復位を期待しています。

　北島忠雄六段(現在順位戦はＣ１で３勝２敗)もカゲながら応援しています。頑張ってください。下は７月の将棋オフ http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/07/post-29b5.html で私が取った写真です。(肖像権無視して載せていいのかな？クレイムあれば即削除します。)

　　

　ＰＳ２:西田房生(フサフサ生える？)さん。。連絡を待つ。この記事にメアド入りでコメントを入れてください。すぐに返信後,コメントおよびこのＰＳ２は削除します。

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光(電磁波)の散乱(2)

　最終的には温室効果の定量的評価を与えることを目的とした光(電磁波)の散乱の評価の続きです。

　前回,定義を与えた散乱断面積を散乱による波の位相のずれ(phase-shift)によって表現するため,波の ｒ→ ∞ での境界条件を考えます。 

まず,平面波:ψ_in(ｘ)＝exp(iｋｚ)＝exp(iｋｒcosθ)のレーリー(Raileigh)の公式による表現を再掲します。exp(iｋｚ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)i^lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)です。

ｒ→ ∞の場合を考えてj_l(ｋｒ)の漸近形:j_l(ｋｒ)→sin(ｋｒ－ｌπ/2)/(ｋｒ)を代入すると,exp(iｋｒcosθ)→Σ_l=0^∞{i^l(2ｌ＋1)/(ｋｒ)}sin(ｋｒ－ｌπ/2)Ｐ_l(cosθ)＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2iｋｒ)}{exp(ｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l(cosθ)と書けます。

また,散乱振幅f(θ)をルジャンドル(Legendre)多項式の完全系{Ｐ_l(cosθ)}で展開したものを,f(θ)＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)ａ_l/(2iｋ)}Ｐ_l(cosθ)と書いておきます。ここで,f(θ)が未知量なので全ての係数ａ_lも未知量です。

これらをψ(ｘ)→ψ_in(ｘ)＋ψ_sc(ｘ)＝exp(iｋｚ)＋ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒに代入すると,ψ(ｘ)→Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2iｋｒ)}{(1＋ａ_l)exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l(cosθ)となります。

一方,σ(θ)＝|ｆ(θ)|²＝ｋ^-2|Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)ａ_l/2}Ｐ_l(cosθ)|²です。そこで,σ≡∫σ(θ)ｄΩ＝2π∫_-1¹σ(θ)ｄ(cosθ)＝(2π/ｋ²)[Σ_l,l'=0^∞{(2ｌ＋1)(2ｌ'＋1)ａ_lａ_l'^*/4}∫_-1¹Ｐ_l(cosθ)Ｐ_l'(cosθ)ｄ(cosθ)]＝(π/ｋ²)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)|ａ_l|²となります。

ここで,積分公式:∫_-1¹Ｐ_l(ｘ)Ｐ_l'(ｘ)ｄｘ＝{2/(2ｌ＋1)}δ_ll'を用いました。

f(θ)＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)ａ_l/(2iｋ)}Ｐ_l(cosθ)なる表現式により,前方散乱(散乱角θ＝0)の振幅ｆ(0)はｆ(0)＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)ａ_l/(2iｋ)}と書けますから, 2iImｆ(0)＝ｆ(0)－ｆ^*(0)＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)(ａ_l＋ａ_l^*)/(2iｋ)}です。

一方,ｒ→ ∞での漸近形:ψ(ｘ)→Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2iｋｒ)}{(1＋ａ_l)exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l(cosθ)に戻ると,exp(iｋｒ)/ｒの係数(1＋ａ_l)は外向き球面波exp(－iｋｒ)/ｒの振幅を(－1)^l+1は内向き球面波の振幅を示していると見えます。

この定常状態の描像で,光＝電磁波が散乱体に全く吸収されずに保存される弾性散乱(elastic scattering)なら,各ｌについて外向き波と内向き波の振幅の絶対値は等しくなければなりません。

すなわち,|1＋ａ_l|＝1なることが要求されますから,1＋ａ_l＋ａ_l^*＋ａ_lａ_l^*＝1,あるいはａ_l＋ａ_l^*＋|ａ_l|²＝0 です。

そこで,これと表現:Imｆ(0)＝－Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)(ａ_l＋ａ_l^*)/(4ｋ)},σ≡∫σ(θ)ｄΩ＝(π/ｋ²)Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)|ａ_l|²より,σ≡∫σ(θ)ｄΩ＝(4π/ｋ)Imｆ(0)なる等式が得られます。

これを光学定理(optical theorem)といいます。

このように,弾性散乱では|1＋ａ_l|＝1なので,1＋ａ_l≡exp(2iδ_l)としてｌごとに実数δ_lを定義すれば,1＋ａ_l^*＝exp(－2iδ_l),|ａ_l|²＝ａ_lａ_l^*＝2{1－cos(2δ_l)}＝4sin²δ_lです。

故に,全断面積σはσ＝(4π/ｋ²)Σ(2ｌ＋1)sin²δ_lと書けます。

δ_l＝0 ならａ_l＝0 の散乱されない平面波だけしか存在しないので,このδ_lを散乱による位相のずれと呼びます。

このように定式化すれば,散乱の問題は全ての部分波ｌに対して位相のずれδ_lを求める問題に帰着するわけです。

δ_lを位相のずれと呼ぶのには別の理由もあります。

すなわち,1＋ａ_l＝exp(2iδ_l),(－1)^l＝exp(ilπ)をψ(ｘ)→Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2iｋｒ)}{(1＋ａ_l)exp(iｋｒ)－(－1)^lexp(－iｋｒ)}Ｐ_l(cosθ)に代入したときには,ψ(ｘ)→Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(ｋｒ)}exp(iδ_l)exp(ilπ/2)sin(ｋｒ－ｌπ/2＋δ_l)Ｐ_l(cosθ)となります。

これを,入射平面波のｒ→ ∞での漸近形の表式:exp(iｋｒcosθ)→Σ_l=0^∞{i^l(2ｌ＋1)/(ｋｒ)}sin(ｋｒ－ｌπ/2)Ｐ_l(cosθ)と比較すると,散乱波ψ(ｘ)＝ψ(ｒ,θ)の漸近形では正弦関数の位相がδ_lだけずれているからです。

では,位相のずれδ_lを個々の散乱に対して具体的に決めるにはどうすればいいのでしょうか？

まず,ｒ→∞での漸近形:j_l(ｋｒ)→sin(ｋｒ－ｌπ/2)/(ｋｒ),ｎ_l(ｘ)→－cos(ｋｒ－ｌπ/2)/(ｋｒ)によって,正確な波ψ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞[Ａ_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lｎ_l(ｋｒ)]Ｐ_l(cosθ)の漸近形はΣ_l=0^∞[Ａ_lsin(ｋｒ－ｌπ/2)－Ｂ_lcos(ｋｒ－ｌπ/2)]Ｐ_l(cosθ)/(ｋｒ)と書けます。

これとψ(ｒ,θ)→Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(2iｋｒ)}exp(iδ_l)sin(ｋｒ－ｌπ/2＋δ_l)Ｐ_l(cosθ)＝Σ_l=0^∞{(2ｌ＋1)/(ｋｒ)}exp(iδ_l)ｉ^l[cosδ_lsin(ｋｒ－ｌπ/2)＋sinδ_lcos(ｋｒ－ｌπ/2)を比較すると,Ａ_l＝(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)cosδ_l,Ｂ_l＝－(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)sinδ_lなることがわかります。

そこで,一般解はψ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞[(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)cosδ_l{j_l(ｋｒ)－tanδ_lｎ_l(ｋｒ)}Ｐ_l(cosθ)]と書けることがわかりました。

δ_lは散乱体の表面で波動を示すψ(ｒ,θ)が満たすべき境界条件によって決まるはずです。

具体的な例として,半径がａの完全導体(電気抵抗がゼロ)の球による電磁波の散乱問題を取り上げます。完全導体球の表面上で入射平面波と散乱波を重ね合わせた全電磁波はｎＢ＝0,ｔＥ＝0なる条件を満たす必要があります。

ただしｎは表面の法線単位ベクトル,ｔは接線単位ベクトルです。

これは,次のような理由から得られる条件です。

つまり,境界面の内側の導体部分を領域１,外側の真空中を領域２として,境界面を含む微小な薄い直方体の中で,方程式∇Ｂ＝0を体積分することからｎ(Ｂ₂－Ｂ₁)＝0 を得ます。

一方,方程式∇×Ｅ＝－∂Ｂ/∂ｔを境界面上の長さΔｒの辺から成る小平面ΔＳ＝ΔｒΔｈにおいて表面積分して得られるｔ(Ｅ₂－Ｅ₁)Δｒ＝－(∂Ｂ/∂ｔ)ΔｒΔｈで,Δｈ→0の極限を取ることからｔ(Ｅ₂－Ｅ₁)＝0を得ます。

そして,導体内部の電場Ｅ₁はゼロですからｔ(Ｅ₂－Ｅ₁)＝0 によりｔＥ₂＝0 を得ます。導体内部では電場Ｅ₁がゼロになるのとほぼ同じ理由で磁場の強さＨ₁もゼロですから磁束密度Ｂ₁もゼロです。

これとｎ(Ｂ₂－Ｂ₁)＝0 によってｎＢ₂＝0を得ます。そこで得られた２つの条件式ｎＢ₂＝0,ｔＥ₂＝0 から添字２を除くとｎＢ＝0,ｔＥ＝0 になるわけです。

しかし,ここではこうした条件の変わりに単に球面境界ｒ＝ａの上でψ(ａ,θ)＝0 なる条件を採用することにします。これは電磁波の成分という意味では不正確ですが,位相のずれを説明するための例として代用します。

それ故,境界条件はψ(ａ,θ)＝Σ_l=0^∞[(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)cosδ_l{j_l(ｋａ)－tanδ_lｎ_l(ｋａ)}Ｐ_l(cosθ)]＝0です。これからtanδ_l＝j_l(ｋａ)/ｎ_l(ｋａ)が要求されます。

これを代入し返して,全波動を示す関数としてψ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞[(2ｌ＋1)ｉ^lexp(iδ_l)cosδ_l{j_l(ｋｒ)－j_l(ｋａ)/ｎ_l(ｋｒ)/ｎ_l(ｋａ)}Ｐ_l(cosθ)]が決まりました。

そして,tanδ_l＝j_l(ｋａ)/ｎ_l(ｋａ)から決まるδ_lをσ＝(4π/ｋ²)Σ(2ｌ＋1)sin²δ_lに代入すれば散乱の全断面積σ≡∫σ(θ)ｄΩが得られるわけです。

電磁波の波長をλとするとｋ＝2π/λなので,波長λが半径ａよりも十分に大きいとき,すなわちλ＞＞ａならｋａ＜＜1です。

そこで,例えば10/11の記事「空気分子の大きさ」で書いた半径ａ＝ｄ/2が 0.2～0.4μｍ程度の空気分子によって散乱される波長がλ＝100～1000μｍの可視光を想定するなら,tanδ_l＝j_l(ｋａ)/ｎ_l(ｋａ)～－(ｋａ)^2l+1/[(2ｌ＋1){(2ｌ－1)!!}²]です。

実際の正しい境界条件からは,ｌ＝0 のＳ波は完全に消えます。

そこで最も大きい寄与はｌ＝1のＰ波の項からきます。したがって,こうした波ではδ_l∝(ｋａ)³です。

(正しい境界条件はｒ＝ａでＢ_r＝Ｂ_xsinθcosφ＋Ｂ_ysinθsinφ＋Ｂ_zcosθ＝0,かつＥ_θ＝Ｅ_xcosθcosφ＋Ｅ_ycosθsinφ－Ｅ_zsinθ＝0,Ｅ_φ＝－Ｅ_xsinφ＋Ｅ_ycosφ＝0 です。

また,散乱体の球はもちろん軸対称ですが,正しい散乱波の関数形は必ずしもφに依存しないψ(ｒ,θ)ではなく,より一般の形:ψ(ｒ,θ,φ)になります。詳細については次の記事で書きます。)

そこで,σ＝(4π/ｋ²)Σ(2ｌ＋1)sin²δ_l∝ｋ⁴ａ⁶∝ａ⁶/λ⁴と評価されます。このような散乱をレイリー散乱と呼びます。これは晴れた空が青く見える主要な理由を与えます。

また,ｋａ～１,つまりλ～ａのような散乱をミイ(Mie)散乱,またはエアロゾル散乱と呼びます。これは雲の水滴による光の散乱に対応しています。これは雲や曇りの空の色を説明します。

一方,ｋａ＞＞１,つまりλ＜＜ａのような散乱はａを原子半径とする結晶内の束縛電子によるＸ線散乱があります。これはトムソン(Thomson)散乱ですが正しい考察は古典論でなく量子論でなされるべきです。束縛電子でなく自由電子による散乱ならコンプトン(Compton)散乱ですね。

今日はここまでにします。 

参考文献：砂川重信著「理論電磁気学」第２版（紀伊国屋書店）

ＰＳ:さて,通学中のヘルパースクールでは10/21の授業から実習に入ります。　

　私自身は高齢者の介護の経験はありません。私はずっと縁がなくて,おカマではないけど故郷を出てから40年余り一人暮らしです。私の母は故郷の岡山県倉敷市にいて11月には89歳になる予定ですが,介護の必要はないようです。

　しかし,"知り合い＝将棋友達や飲み友達"には生来の小児麻痺などの障がい者も数人いて,中には下肢が不自由な人もいて車椅子からトイレへの移乗,そして用を足した後には逆の移乗に手を貸す程度なら私も既に数え切れないくらいやったことがあります。

　むしろ,旅行などでは彼らの足を使わない運転で移動したことも多々あります。

　２年前の心筋梗塞が２回あった頃の心臓手術前後のわずかな入院期間だけですが,私自身が車椅子で移動したり,上半身がままならなくて電動ベッドに頼って起きたり寝たりしたこともあって,立ち上がるだけとか,ほんの１ｍくらいの移動でさえ辛いということも少しは理解できるつもりです。

　しかし,無関係の他人の介護は初めてなので,虚心坦懐に実習を受けたいと思います。ある意味,座学の講義よりも実習を受けることが主目的ですから。。

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光(電磁波)の散乱(1)

　太陽から地球に降り注ぐ"光＝電磁波"が大気中の空気分子や雲の水滴などによって散乱され,その光の一部が反射されて宇宙へ引き返す現象を評価することを目的として電磁波の散乱を古典的に解析してみます。

電磁波が平面波として進行しているとき,その進行方向に障害物を置いたとします。このとき,平面波はこの障害物によって散乱されるはずです。こうした散乱に定量的な評価を与えることを考えます。

この種の問題は,近代物理学において重要な意味を持っています。

まず,真空中の電磁波の示す電場ベクトルＥと磁場ベクトルＢの６つの成分のうちの１つを取って,それをΦ(ｘ,ｔ)と書くことにします。

これは,"障害物＝散乱体"の外部では"波動方程式＝ダランベール(d'Alembert)方程式":(△－∂²/∂ｔ²)Φ(ｘ,ｔ)＝0 を満たします。ただしｃは真空中の光速を表わしています。

特に,Φ(ｘ,ｔ)が定在波の場合,つまり時間変動部分が角振動数ωが一定の波に変数分離されるΦ(ｘ,ｔ)＝exp(－iωｔ)ψ(ｘ)なる形の波の場合には,方程式(△－∂²/∂ｔ²)Φ(ｘ,ｔ)＝0 は方程式(△＋ω²/ｃ²)ψ(ｘ)＝0 に帰着します。

これは,ヘルムホルツ(Helmholtz)の方程式と呼ばれるｘの未知関数ψ(ｘ)に対する偏微分方程式です。

当面の課題は,結局のところはヘルムホルツの方程式を電磁波の散乱問題に適した境界条件の下で解くことに帰着するので,その準備として(△＋ω²/ｃ²)ψ(ｘ)＝0 の一般解を求めておきます。

そのため,ヘルムホルツ方程式(△＋ω²/ｃ²)ψ(ｘ)＝0 の解ψ(ｘ)をψ(ｒ,θ,φ)として方程式を極座標表示で書くと,[(1/ｒ)(∂²/∂ｒ²)ｒ＋{1/(ｒ²sin²θ)}{∂/∂θ(sinθ∂/∂θ)}＋{1/(ｒ²sin²θ)}∂²/∂φ²＋ｋ²]ψ(ｒ,θ,φ)＝0 となります。ただしｋ≡ω/ｃとしました。

散乱体を原点(ｒ＝0)のまわりに置き,ｚ軸方向を極軸としてその方向に平面波が入射する問題を考えます。

さらに散乱体はｚ軸のまわりに対称な形をしているとすれば,ψは角度φには依存しませんから,ψ(ｒ,θ,φ)をψ(ｒ,θ)と書くと,元のヘルムホルツ方程式は,[(1/ｒ)(∂²/∂ｒ²)ｒ＋{1/(ｒ²sin²θ)}{∂/∂θ(sinθ∂/∂θ)}＋ｋ²]ψ(ｒ,θ)＝0 となります。

これの一般解はＰ_l(ｘ)をｌ次のルジャンドル(Legendre)多項式としてψ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞Ｒ_l(ｒ)Ｐ_l(cosθ)と級数で表わされます。ただし,動径ｒの関数Ｒ_l(ｒ)は常微分方程式{ｄ²/ｄｒ²＋(2/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－ｌ(ｌ＋1)/ｒ²}Ｒ_l(ｒ)＝0 の解です。

さらに,Ｒ_l(ｒ)≡ｒ^-1/2ｕ_l(ｒ)と置いてこれを上式に代入すると,ｄＲ_l/ｄｒ＝ｒ^-1/2ｄｕ_l/ｄｒ－(1/2)ｒ^-3/2ｕ_l,ｄ²Ｒ_l/ｄｒ²＝ｒ^-1/2ｄ²ｕ_l/ｄｒ²－ｒ^-3/2ｄｕ_l/ｄｒ＋(3/4)ｒ^-5/2ｕ_lです。

それ故,動径の表わす方程式は{ｄ²/ｄｒ²＋(1/ｒ)ｄ/ｄｒ＋ｋ²－(ｌ＋1/2)²/ｒ²}ｕ_l(ｒ)＝0 となります。

得られた方程式は,(ｋｒ)を変数としパラメータνが(ｌ＋1/2)のベッセル(Bessel)の微分方程式です。そこで,その２つの独立な解の１組としてＪ_l+1/2(ｋｒ)(ベッセル関数),およびＮ_l+1/2(ｋｒ)(ノイマン関数(Neumann))を取ることができます。

ただし,ノイマン関数はベッセル関数を用いてＮ_n(ｘ)≡{Ｊ_n(ｘ)cos(ｎπ)－Ｊ_-n(ｘ)}/sin(ｎπ)と表現される関数です。

さらにＲ_l(ｒ)≡ｒ^-1/2ｕ_l(ｒ)においてｕ_l(ｒ)＝Ｊ_l+1/2(ｋｒ),およびｕ_l(ｒ)＝Ｎ_l+1/2(ｋｒ)の場合を考え,改めて２種類の球面ベッセル関数:j_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2Ｊ_l+1/2(ｘ),およびｎ_l(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2Ｎ_l+1/2(ｘ)を定義します。

また,球面ハンケル(Hankel)関数は,ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2[Ｊ_l+1/2(ｘ)＋iＮ_l+1/2(ｘ)],ｈ_l⁽²⁾(ｘ)≡{π/(2ｘ)}^1/2[Ｊ_l+1/2(ｘ)－iＮ_l+1/2(ｘ)]で定義されます。

そして,これらはj_l(ｘ)＝(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l(sinｘ/ｘ),ｎ_l(ｘ)＝－(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l(cosｘ/ｘ),ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)＝(－ｘ)^l{(1/ｘ)ｄ/ｄｘ}^l{exp(iｘ)/ｘ}と表わされることもわかります。

すなわち,j₀(ｘ)＝sinｘ/ｘ,j₁(ｘ)＝sinｘ/ｘ²－cosｘ/ｘ,j₂(ｘ)＝(3/ｘ³－1/ｘ)sinｘ/ｘ²－3cosｘ/ｘ²,..,ｎ₀(ｘ)＝－cosｘ/ｘ,ｎ₁(ｘ)＝－cosｘ/ｘ²－sinｘ/ｘ,ｎ₂(ｘ)＝－(3/ｘ³－1/ｘ)cosｘ/ｘ²－3sinｘ/ｘ²,..です。

よってｘ→ 0 のときには,j_l(ｘ)→{ｘ^l/(2ｌ＋1)!!}[1－ｘ²/{2(2ｌ＋１)}＋..],ｎ_l(ｘ)→(2ｌ－1)!!/ｘ^l+1で,ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)→－i(2ｌ－1)!!/ｘ^l+1,ｈ_l⁽²⁾(ｘ)＝→i(2ｌ－1)!!/ｘ^l+1となります。

ここに(2ｌ＋1)!!≡(2ｌ＋1)(2ｌ－1)(2ｌ－3)..5・3・1,(2ｌ－1)!!≡(2ｌ－1)(2ｌ－31)(2ｌ－5)..5・3・1です。

このことから,ｎ_l(ｘ)はｘ→ 0 に対して発散する関数であることがわかります。

一方,ｘが大きいところ,つまりｘ→ ∞での漸近形は,j_l(ｘ)→sin(ｘ－ｌπ/2)/ｘ,ｎ_l(ｘ)→－cos(ｘ－ｌπ/2)/ｘ,ｈ_l⁽¹⁾(ｘ)→(－i)^l+1exp(iｘ)/ｘ,ｈ_l⁽²⁾(ｘ)→i^l+1exp(－iｘ)/ｘとなります。

そして,ｚ軸のまわりで対称なヘルムホルツ方程式の一般解はψ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞[Ａ_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lｎ_l(ｋｒ)]Ｐ_l(cosθ)で与えられることがわかります。

ラプラスの方程式Δχ(ｒ,θ)＝0 はヘルムホルツ方程式(Δ＋ｋ²)ψ(ｒ,θ)＝0でｋ²をゼロとしたものですから,解はχ(ｒ,θ)＝Σ_l=0^∞[Ａ_lｒ^l＋Ｂ_lｒ^-(l+1)]Ｐ_l(cosθ)です。

逆に言えば,ラプラスの方程式の解χ(ｒ,θ)でｒ^lをj_l(ｋｒ)に,ｒ^-(l+1)をｎ_l(ｋｒ)に置き換えさえすればヘルムホルツ方程式の解ψ(ｒ,θ)が得られます。

特に,ｚ方向へ進む平面波exp(iｋｚ)＝exp(iｋｒcosθ)については,レーリー(Rayleigh)の公式と呼ばれる展開式:exp(iｋｒcosθ)＝Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)i^lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)が成立することが知られています。

念のため,これを証明しておきます。

(証明)平面波ψ(ｒ,θ)＝exp(iｋｚ)＝exp(iｋｒcosθ)は明らかにヘルムホルツ方程式(Δ＋ｋ²)ψ(ｒ,θ)＝0 の１つの解ですから,exp(iｋｒcosθ)＝Σ_l=0^∞[Ａ_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lｎ_l(ｋｒ)]Ｐ_l(cosθ)なる形に展開可能です。

　しかも,左辺は原点ｒ＝0でexp(iｋｒcosθ)＝1(有限)ですから,ｒ＝0でｌ≧0でｎ_l(ｋｒ)→(2ｌ－1)!!/(ｋｒ)^l+1＝∞ より全てのＢ_l(ｌ＝0,1,2,..)はゼロでなければなりません。よってexp(iｋｒcosθ)＝Σ_l=0^∞Ａ_lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)と書けます。

それ故,Σ_l=0^∞(iｋｒcosθ)^l/ｌ!＝Σ_l=0^∞Ａ_lj_l(ｋｒ)Ｐ_l(cosθ)ですからｒ→ 0ではΣ_l=0^∞(iｋｒcosθ)^l/ｌ!→ Σ_l=0^∞[Ａ_l{(ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!}Ｐ_l(cosθ)と挙動します。

また,Ｐ_l(ｘ)＝{1/(2^lｌ!)}(ｄ^l/ｄｘ^l)(ｘ²－1)^lです。したがってＰ_l(cosθ)における(cosθ)^lの係数は(2ｌ)!/{2^l(ｌ!)²}です。

よって,Σ_l=0^∞(iｋｒcosθ)^l/ｌ!～Σ_l=0^∞[Ａ_l{(ｋｒ)^l/(2ｌ＋1)!!}Ｐ_l(cosθ)において (cosθ)^lの項を等置すると,(iｋｒcosθ)^l/ｌ!＝(2ｌ)!Ａ_l/{2^l(ｌ!)²(2ｌ＋1)!!}(ｋｒcosθ)^lとなります。これから,i^l＝Ａ_l/(2ｌ＋1),すなわちＡ_l＝i^l(2ｌ＋1)を得ます。(証明終わり)

さて,波動が散乱される現象を記述するには一般に２つの方法が考えられます。

その１つは散乱体に向かって入射する波動を平面波の重ね合わせの波束であるとして,その波束が散乱体に衝突して散乱していく様子を時間的に追跡していく方法です。

これに対して,もう１つの方法は,現象全体を見て,それを１枚の写真に取って全体の様子を調べる方法です。このとき波動の流れが定常的なら,全体の様子はいつ写真を取るかという時間に関係しません。このような方法を定常的方法といいます。

ここでは,後者の方法を用いて散乱問題を取り扱うことにします。

波が散乱されていく全体を示す定常波は散乱体がある原点(ｒ＝0)近傍を除けば,方程式(Δ＋ｋ²)ψ(ｘ)＝0を満たします。

そこで,軸対称な散乱体による散乱問題は,ヘルムホルツ方程式の一般解ψ(ｘ)＝Σ_l=0^∞[Ａ_lj_l(ｋｒ)＋Ｂ_lｎ_l(ｋｒ)]Ｐ_l(cosθ)でそれに適合した境界条件を満たす未定係数Ａ_l,Ｂ_lを決める問題に帰着します。

"ｚ軸＝極軸"の方向に平面波が入射したとして,それがｒ＝0 にある散乱体によって散乱される様子を１枚の写真に取ったとします。

このときに見られる波動の全体は,散乱体から十分遠方では入射平面波と外向き球面波の両方の重ね合わせから成っています。

すなわち,ｒ→ ∞での波動はψ(ｘ)→ exp(iｋｚ)＋ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒと表わされるはずです。

ここでｆ(θ)は散乱振幅(scattering amplitude),θは散乱角(scattering angle)と呼ばれる量に相当します。

問題を解く前に,散乱を調べることによって知ることができる物理量について知る必要があります。

まず,電磁場のエネルギーの流れ密度を表わすポインティングベクトル(Poynting vector)はＳ≡Ｅ×Ｈです。Ｈは磁場の強さ(磁界)であり真空中ではＨ＝Ｂ/μ₀です。

φをスカラーポテンシャル,Ａをベクトルポテンシャルとすれば,Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａと表現されますが,真空中の電磁波なら電荷も電流もなく,特に∇Ｅ＝－∇²φ－∂∇Ａ/∂ｔ＝0 なのでクーロンゲージ∇Ａ＝0 を取れば,∇Ｅ＝－∇²φ＝0 となります。

そこで,φ＝定数であり特にφ＝0 としてもかまいません。それ故,Ａだけを用いてＥ＝－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａと書けます。

今の場合,電磁波は角振動数ωが一定の定常波ですからベクトルポテンシャルは複素表示でＡ(ｘ,ｔ)＝iａ(ｘ)exp(－iωｔ)と書けます。

ここではＥ,Ｂの空間部分が実数になるようにＡの振幅を純虚数iａ(ｘ)に取っています。

Ｅ(ｘ,ｔ)＝ωａ(ｘ)exp(－iωｔ),Ｂ(ｘ,ｔ)＝ω{∇×ａ(ｘ)}exp(－iωｔ)です。

実際の電場,磁場は実数であって,それぞれReＥ,ReＢですから,そのポインティングベクトルはＳ＝ReＥ×ReＨ＝ReＥ×ReＢ/μ₀＝(ω²/μ₀){ａ×(∇×ａ)}cos²(ωｔ)で与えられます。

そこで,エネルギー流の実効値として時間平均を取れば,周期をＴ＝2π/ωとして＜cos²(ωｔ)＞＝(1/Ｔ)∫₀^Tcos²(ωｔ)＝1/2なので,＜Ｓ＞＝{ω²/(2μ₀)}{ａ×(∇×ａ)}＝(Ｅ×Ｂ^*)/(2μ₀)です。ただし＜　＞は時間平均を示す記号です。

そこで,一般に"エネルギー流束＝単位時間に単位面積を通過する平均エネルギー"は＜|Ｓ|＞＝＜|Ｅ×Ｂ^*|/(2μ₀)＞で与えられます。

今,考えている入射平面波:ψ_in(ｘ)≡exp(iｋｚ)は電場Ｅ(ｘ,t)＝ωａ(ｘ)exp(－iωｔ)の空間部分:ωａ(ｘ)を表わすものと考えます。

つまり,電場Ｅ(ｘ,t)がｘ成分のみを持つように偏光しているとしてＥ_x(ｘ,t)＝ψ_in(ｘ)exp(－iωｔ)とし,ａ(ｘ)はａ(ｘ)＝(ψ_in(ｘ)/ω,0,0)で与えられるとします。

このとき,ａ(ｘ)＝(exp(iｋｚ)/ω,0,0)でＢ(ｘ,t)＝ω{∇×ａ(ｘ)}exp(－iωｔ)によって,磁場Ｂ(ｘ,t)はｙ成分のみを持ちｃＢ_y(ｘ,t)＝ψ_in(ｘ)exp(－iωｔ)となります。なぜなら,ｋω＝ｃです。

そこで,散乱問題において単位時間に単位面積を通って入射する電磁波のエネルギー流Ｓを特にＳ_inと書けば,平均の単位面積を通る入射エネルギーの率は＜|Ｓ_in|＞＝＜|Ｅ×Ｂ^*|/(2μ₀)＞＝{1/(2ｃμ₀)}|ψ_in|²＝1/(2ｃμ₀)です。

これに対して散乱波をψ_sc(ｘ)≡ｆ(θ)exp(iｋｒ)/ｒと書き,単位時間にθ方向の面積要素ｄＳを通って散乱される電磁波のエネルギーをＳ_scｄＳと書けば,＜|Ｓ_sc|＞ｄＳ＝{1/(2ｃμ₀)}|ψ_sc|²ｄＳ＝{1/(2ｃμ₀)}|ｆ(θ)1²ｄＳ/ｒ²＝{1/(2ｃμ₀)}|ｆ(θ)|²ｄΩです。

ただしｄΩ＝ｄθｄφは散乱体の中心からｄＳを見た立体角です。

そこで,単位時間に単位面積を通って単位エネルギーの電磁波が入射したとき,立体角ｄΩに散乱されて出てくる電磁波の単位時間当たりの平均エネルギーは,σ(θ)ｄΩ≡＜|Ｓ_sc|＞/＜|Ｓ_in|＞ｄＳ＝|ｆ(θ)|²ｄΩで与えられます。

上の式の比例係数σ(θ)は面積の単位を持っているのでσ(θ)を散乱の微分断面積(differential cross-section)と呼びます。

そして,σ≡∫σ(θ)ｄΩを散乱の全断面積(total cross-section)といいます。これは単位時間に単位面積を通って単位平均エネルギーの電磁波が入射したときに,散乱されて出てくる単位時間当たりの全平均エネルギーです。

全断面積は,直感的には散乱体の幾何学的断面積に相当するものですが,入射波の波動性のためこれらは一般には一致しません。

今日はここまでにします。

参考文献：砂川重信著「理論電磁気学」第２版（紀伊国屋書店）

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ヤング(Young)の干渉実験(8)(量子論)終わり

皆様,新年あけましておめでとうございます。 

続きです。この項目については今日の記事で一応終わりにします。 

ここまでは,演算子が時間に依らず,時間依存性は全て"波動関数＝状態"にしわ寄せさせるシュレーディンガー表示に基づいて論議を進めてきました。

しかし,量子場を記述する演算子を古典場との類似性と比較して類推で理解するには"波動関数＝状態"の方が時間に依存せず,時間依存性は全て演算子にしわ寄せさせるハイゼンベルク表示の記述の方が便利なことが多いです。

そこで,原子-輻射系の定式化のハイゼンベルク表示による記述を求めてみます。

ハイゼンベルク表示の波動関数Φ_Hはシュレーディンガー表示の波動関数Φ_S(ｔ)とΦ_H＝exp(iＨｔ/ｈ_c)Φ_S(ｔ)＝Φ_S(0)なる関係式で結ばれています。

ここにＨ は系の時間に依存しないハミルトニアンでｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク(Planck)定数です。

そして,もちろん,ｄΦ_H/ｄｔ＝0 が成立します。

一方,時間に依存しないシュレーディンガー表示の演算子Ｏに対応するハイゼンベルク表示の演算子はＯ_H(ｔ)≡exp(iＨｔ/ｈ_c)Ｏexp(－iＨｔ/ｈ_c)で定義されます。

それ故,定義式の両辺を時間微分することにより,iｈ_c{ｄＯ_H(ｔ)/ｄｔ}＝[Ｏ_H(ｔ),Ｈ ]が演算子の従う運動方程式であることがわかります。これをハイゼンベルクの運動方程式といいます。

ハミルトニアンＨ については[Ｈ,Ｈ ]＝0 が成り立つのはもちろんですから,ハミルトニアンＨ なる演算子では常にＨ(ｔ)≡Ｈ_H(ｔ)＝Ｈであって,ハイゼンベルク表示でも時間依存性はありません。

一般に,ハミルトニアンＨと交換する演算子の表わす物理量であれば,それは全て時間依存性を持たないいわゆる保存量です。

"観測可能な量＝物理量"の期待値はいずれの表示でも同じであるべきです。シュレーディンガー表示の時刻ｔでの演算子Ｏの期待値＜Ｏ＞_t＝＜Φ_S(ｔ)|Ｏ|Φ_S(ｔ)＞はハイゼンベルクの演算子Ｏ_H(ｔ)の期待値＜Ｏ(ｔ)＞＝＜Φ_H|Ｏ_H(ｔ)|Φ_H＞と一致します。

時刻ｔでのシュレーディンガー表示の密度演算子ρ(ｔ)≡Σ_SＰ_S|Φ_S(ｔ)＞＜Φ_S(ｔ)|＝Σ_SＰ_Sexp(－iＨｔ/ｈ_c)|Φ_S(0)＞＜Φ_S(0)|exp(iＨｔ/ｈ_c)は,ハイゼンベルク表示ではρ_H(ｔ)≡exp(iＨｔ/ｈ_c)ρ(ｔ)exp(－iＨｔ/ｈ_c)＝Σ_SＰ_S|Φ_S(0)＞＜Φ_S(0)|＝ρ(0)です。

そこでｄρ_H(ｔ)/ｄｔ＝0 であり, Heisenberg表示の密度演算子ρ_H(ｔ)は実は時間に独立なので,これを単にρ_Hと書きます。

そして混合状態でのＯ_H(ｔ)の期待値は＜Ｏ(ｔ)＞＝Tr(ρ_HＯ_H(ｔ))ですが,これももちろんTr(ρ(ｔ)Ｏ)と一致します。

後の計算の便宜のために,原子-輻射系に対して対象とする気体原子が実際に電磁相互作用による遷移に預かる２つの準位のみから成るという模型を設定し,それを用いてシュレーディンガー表示のハミルトニアンを簡単な形に表現しておきます。

そのために,基底状態|1＞と励起状態|2＞のみを持った原子を考察します。そしてハミルトニアンのうちの原子に関わる部分を簡単に表わすために遷移演算子π⁺≡|2＞＜1|,およびπ≡|1＞＜2|を導入します。

状態|1＞,|2＞は直交規格化されているとします。このとき,π⁺π＝|2＞＜2|,ππ⁺＝|1＞＜1|と書けて,それぞれ状態|1＞,|2＞の射影演算子になっています。

そして,完全系条件|2＞＜2|＋|1＞＜1|＝1はπ⁺π＋ππ⁺＝1を意味します。π⁺π⁺＝ππ＝0 が成り立つことも自明です。

そして,"エネルギーの基準＝零点"を基底状態|1＞の準位に取るなら,原子のハミルトニアンＨ_E はＨ_E ＝ｈ_cω₀|2＞＜2|＋0|1＞＜1|＝ｈ_cω₀|2＞＜2|＝ｈ_cω₀π⁺πと書けます。

つまりπ⁺,πは原子のエネルギー準位の"昇降演算子＝生成消滅演算子"となっています。

一方,電気双極子近似の相互作用項はＨ_ED＝ｅＤＥ_T(Ｒ,0),ただしＤ＝Σ_i,jＤ_ij|ｉ＞＜ｊ|(Ｄ_ij≡＜ｉ|Ｄ|ｊ＞),Ｅ_T(Ｒ,0)＝iΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλ[ａ_kλexp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺exp(－iｋＲ)]です。

今の場合には,Ｄ＝Ｄ₁₂(π⁺＋π)です。ただし,分極要素Ｄ₁₂,Ｄ₂₁は実数と仮定しており,Ｄ₂₁＝Ｄ₁₂としています。

故に,Ｈ_ED＝iΣ_kΣ_λｈ_cｇ_kλ[ａ_kλexp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺exp(－iｋＲ)](π⁺＋π)と書けます。

ただし,記号を簡単にするために振幅部分をｇ_kλ≡ｅ(ω_k/(ε₀ｈ_cＶ)}^1/2ε_kλＤ₁₂と定義しました。

さらに輻射光子のハミルトニアンＨ_R≡Σ_kΣ_λｈ_cω_kａ_kλａ_kλ⁺を加え,最後に消滅演算子が生成演算子より右にくるという正規順序積の規約を採用すると,シュレーディンガー表示での系の全ハミルトニアンはＨ＝Ｈ_E＋Ｈ_R＋Ｈ_ED＝ｈ_cω₀π⁺π＋Σ_kΣ_λｈ_cω_kａ_kλａ_kλ⁺＋iΣ_kΣ_λｈ_cｇ_kλ[π⁺ａ_kλexp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺πexp(－iｋＲ)]なる簡単な表式で与えられます。

このハミルトニアンのハイゼンベルク表示は,Ｈ(ｔ)＝ｈ_cω₀π⁺(ｔ)π(ｔ)＋Σ_kΣ_λｈ_cω_kａ_kλ(ｔ)ａ_kλ⁺(ｔ)＋iΣ_kΣ_λｈ_cｇ_kλ[π⁺(ｔ)ａ_kλ(ｔ)exp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺(ｔ)π(ｔ)exp(－iｋＲ)]となります。

エネルギー保存則が破れるという現象は未だ発見されていませんから,近似ではなく完全なハミルトニアンなら,如何なる表示であろうとハミルトニアンは時間に依存しないはずですが,今の場合は近似ハミルトニアンであり,シュレーディンガー表示とハイゼンベルク表示のハミルトニアンはｔ＝0 を除いて等しくありません。

そして,iｈ_c{ｄＯ_H(ｔ)/ｄｔ}＝[Ｏ_H(ｔ),Ｈ ]にＯ_H(ｔ)＝π(ｔ)を代入すると,iｈ_c{ｄπ(ｔ)/ｄｔ}＝[π(ｔ),Ｈ ]＝ｈ_cω₀π(ｔ)－iΣ_kΣ_λｈ_cｇ_kλ{2π⁺(ｔ)π(ｔ)－1}ａ_kλ(ｔ)exp(iｋＲ)です。

この方程式を形式的に積分すると,π(ｔ)＝exp(－iω₀ｔ)[π(0)－Σ_kΣ_λｇ_kλ∫₀^t{2π⁺(ｔ')π(ｔ')－1}ａ_kλ(ｔ')exp(iｋＲ＋iω₀ｔ')ｄｔ']となります。

同様に,iｈ_c{ｄπ⁺(ｔ)/ｄｔ}＝[π⁺(ｔ),Ｈ ]＝－ｈ_cω₀π⁺(ｔ)－iΣ_kΣ_λｈ_cｇ_kλ{2π⁺(ｔ)π(ｔ)－1}ａ_kλ⁺(ｔ)exp(－iｋＲ)より,π⁺(ｔ)＝exp(iω₀ｔ)[π⁺(0)－Σ_kΣ_λｇ_kλ∫₀^t{2π⁺(ｔ')π(ｔ')－1}ａ_kλ⁺(ｔ')exp(－iｋＲ－iω₀ｔ')ｄｔ']です。

輻射の生成消滅演算子については,ａ_kλ(ｔ)＝exp(－iω_kｔ)[ａ_kλ(0)－ｇ_kλ∫₀^tπ(ｔ')exp(－iｋＲ＋iω_kｔ')ｄｔ'],ａ_kλ⁺(ｔ)＝exp(iω_kｔ)[ａ_kλ⁺(0)－ｇ_kλ∫₀^tπ⁺(ｔ')exp(iｋＲ－iω_kｔ')ｄｔ']となります。

場の量子論的考察による近似計算の例として,半古典論扱いでは計算不可能な励起原子からの"光子の自然放出＝自然輻射"を考えます。

基底準位と励起準位の２つの準位のみから成る任意の状態において,その状態の中に励起準位|2＞が存在する程度は,"励起準位の射影演算子π⁺π＝|2＞＜2|"の"時刻ｔでのハイゼンベルク表示でのそれ＝π⁺(ｔ)π(ｔ)"の期待値で与えられます。

これが従う運動方程式は,ｄ{π⁺(ｔ)π(ｔ)}/ｄｔ＝π⁺(ｔ){ｄπ(ｔ)/ｄｔ}＋{ｄπ⁺(ｔ)/ｄｔ}π(ｔ)により,ｄ{π⁺(ｔ)π(ｔ)}/ｄｔ＝Σ_kΣ_λｇ_kλ{π⁺(ｔ)ａ_kλ(ｔ)exp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺(ｔ)π(ｔ)exp(－iｋＲ)}です。

右辺に近似解を代入する反復法によって,ｇ_kλ²のオーダーまで正しい解を求めるため,輻射演算子に関するｇ_kλのオーダーまで正しい表式を代入します。

π(ｔ),π⁺(ｔ)のゼロ次の近似:π(ｔ)＝π(ｔ')exp{iω₀(ｔ－ｔ')},π⁺(ｔ)＝π⁺(ｔ')exp{iω₀(ｔ'－ｔ)}を採用すれば,ａ_kλ(ｔ)＝exp(－iω_kｔ)[ａ_kλ(0)－ｇ_kλπ(ｔ)exp(－iｋＲ＋iω₀ｔ)∫₀^t exp{i(ω_k－ω₀)ｔ'}ｄｔ'],ａ_kλ⁺(ｔ)＝exp(iω_kｔ)[ａ_kλ⁺(0)－ｇ_kλπ⁺(ｔ)exp(iｋＲ－iω₀ｔ)∫₀^t exp{－i(ω_k－ω₀)ｔ'}ｄｔ']と近似されます。

これによって,ｄ{π⁺(ｔ)π(ｔ)}/ｄｔ＝Σ_kΣ_λｇ_kλ{π⁺(ｔ)ａ_kλ(ｔ)exp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺(ｔ)π(ｔ)exp(－iｋＲ)}＝Σ_kΣ_λｇ_kλ[π⁺(ｔ)ａ_kλ(0)exp(iｋＲ－iω_kｔ)－ｇ_kλπ⁺(ｔ)π(ｔ)∫₀^t exp{i(ω_k－ω₀)(ｔ'－ｔ)}ｄｔ']＋[ａ_kλ⁺(0)π(ｔ)exp(－iｋＲ＋iω_kｔ)－ｇ_kλπ⁺(ｔ)π(ｔ)∫₀^t exp{i(ω_k－ω₀)(ｔ－ｔ')}ｄｔ']を得ます。

輻射場については,ｔ＝0 で光子がゼロの真空状態|0＞にあるとすると,ｄ{π⁺(ｔ)π(ｔ)}/ｄｔの期待値は,ｄ{＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞}/ｄｔ＝－＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞Σ_kΣ_λｇ_kλ²∫₀^t [exp{i(ω_k－ω₀)(ｔ'－ｔ)}＋exp{i(ω_k－ω₀)(ｔ－ｔ')}ｄｔ'＝ －＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞Σ_kΣ_λ[2ｇ_kλ²sin{(ω_k－ω₀)ｔ}]/(ω_k－ω₀)です。

結局,ｄ{＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞}/ｄｔ ～ －＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞Σ_kΣ_λ2πｇ_kλ²δ(ω_k－ω₀) as ｔ→∞ です。

これは,初期時刻ｔ＝0 に光子が全く存在しない状態で,時間と共に元々あった原子励起状態が減衰していく比率を示しています。

そして,吸収係数を2γ≡Σ_kΣ_λ2πｇ_kλ²δ(ω_k－ω₀)で定義すると励起状態の個数の期待値について,＜0|π⁺(ｔ)π(ｔ)|0＞＝＜0|π⁺π|0＞exp(－2γｔ)なる指数減衰式が得られます。

これは光子の自発放出の過程を示していると考えられます。

さて,やっと本題のヤング(Young)の干渉実験を論じるための準備ができました。

まず,既に半古典論の項で実験の概略を述べたものを再掲します。

ヤングの干渉実験は,点光源から出たカオス光がレンズによってほぼ平行な平面波にされて右前方に進み,次に２つのスリットを備えた第１スクリーンを通過した後,その右側にある第２スクリーンの上で生じる干渉縞を観測するものです。

以下,光源は完全な点光源であると理想化され,光源が有限な直径を持つとか,ビームが完全には平行ではないなどの複雑さは無視します。

簡単のために光は１方向にだけ偏っているとして,観測スクリーンの位置ｒにおける時刻ｔでの輻射の全横電場演算子をハイゼンベルク表示でＥ_T(ｒ,ｔ)とします。

そして,都合上Ｅ_T(ｒ,ｔ)を２つの部分に分離し,Ｅ_T(ｒ,ｔ)＝Ｅ⁺(ｒ,ｔ)＋Ｅ^-(ｒ,ｔ)と書きます。

Ｅ⁺(ｒ,ｔ)≡iΣ_k{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ａ_kexp(－iω_ｋｔ＋iｋｒ),Ｅ^-(ｒ,ｔ)≡iΣ_k{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ａ_k^＋exp(iω_ｋｔ－iｋｒ)です。

この横電場は光速ｃによって定まるｔより前の時刻ｔ₁,ｔ₂におけるスリット,あるいはピンホ－ルｒ₁,ｒ₂での電場の重ね合わせです。

すなわち,形式的にはＥ^±(ｒ,ｔ)＝ｕ₁Ｅ^±(ｒ₁,ｔ₁)＋ｕ₂Ｅ^±(ｒ₂,ｔ₂)と書けます。

ｔ₁,ｔ₂はｓ₁,ｓ₂を,それぞれ光が第１スクリーン上のｒ₁,ｒ₂から第２スクリーンまで到達するまでの距離とすると,ｔ₁≡ｔ－ｓ₁/ｃ,ｔ₂≡ｔ－ｓ₂/ｃで指定される時刻です。

ｕ₁,ｕ₂は球面波に対応して,それぞれｓ₁,ｓ₂に逆比例する量です。 

古典論では,光ビームの強さＩ(ｒ,ｔ)はポインティングベクトルＳの大きさ|Ｓ|で定義され,光の複素電場をＥ(ｒ,ｔ)とすると,Ｉ(ｒ,ｔ)がサイクル平均を示すものと考えて,Ｉ(ｒ,ｔ)＝(1/2)ε₀ｃη＜|Ｅ(ｒ,ｔ)|²＞_cなる表式で与えられます。

そして,結局Ｅ^*(ｒ,ｔ)とＥ(ｒ,ｔ)の積の平均に比例する量として定義されます。

その結果,ヤングの干渉実験の半古典論では,ビーム強度はＩ(ｒ,ｔ)＝(1/2)ε₀ｃ＜|Ｅ(ｒ,ｔ)|²＞_c＝(1/2)ε₀ｃ[|ｕ₁|²＜|Ｅ(ｒ₁,ｔ₁)|²＞_c＋|ｕ₂|²＜|Ｅ(ｒ₂,ｔ₂)|²＞_c＋2ｕ₁^*ｕ₂Re＜Ｅ^*(ｒ₁,ｔ₁)Ｅ(ｒ₂,ｔ₂)＞_cで与えられるという結論を得ました。 

そして,＜Ｅ^*(ｒ₁,ｔ₁)Ｅ(ｒ₂,ｔ₂)＞_c etc.のサイクル平均の時間平均を得るため,これをカオス光としての集団平均＜Ｅ^*(ｒ₁,ｔ₁)Ｅ(ｒ₂,ｔ₂)＞etc.で置き換えて,スクリーン上で得られる縞の濃淡を示す強度がＩ(ｒ)＝＜Ｉ(ｒ,ｔ)＞＝(1/2)ε₀ｃνＥ₀²[|ｕ₁|²＋|ｕ₂|²＋2ｕ₁^*ｕ₂ exp(－γ'|τ|)cos(ω₀τ)]なる関数形で得られることを見ました。

ここで,τ＝(ｓ₁－ｓ₂)/ｃは行路差,γ'は輻射や気体原子の衝突など種々の効果に起因する光の線幅を拡げる効果の総和です。 

一方,量子論では光子が初めに光子数の確定した状態|ｎ_k＞にあったとするとき,例えばモードｋ,λの１個の光子の吸収過程に関する遷移現象を電気双極子近似による摂動の１次の行列要素で近似すると＜ｆ|Ｈ_ED|ｉ＞＝＜ｎ_kλ－1,ｉ|ｅＤ{Ｅ⁺(ｒ,ｔ)＋Ｅ^-(ｒ,ｔ)}|ｎ_kλ,j＞＝ｅ＜ｎ_kλ－1|Ｅ⁺(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ＞＜i|Ｄ|ｊ＞となります。

そこで,フェルミの黄金律による遷移速度は,1/τ＝(2π/ｈ_c²)Σ_i|＜ｎ_kλ－1|Ｅ⁺(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ＞|²|＜ｉ|ｅＤ|ｊ＞|²δ(ω_k－(ｐ_i－ｐ_j)²/(2ｍｈ_c))ρ(ｐ_i)で与えられます。

そして遷移確率への光子部分の寄与は|＜ｎ_kλ－1|Ｅ⁺(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ＞|²＝＜ｎ_kλ|Ｅ^-(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ－1＞＜ｎ_kλ－1|Ｅ⁺(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ＞＝＜ｎ_kλ|Ｅ^-(ｒ,ｔ)Ｅ⁺(ｒ,ｔ)|ｎ_kλ＞と書けます。 

そこで,古典論のビーム強度に対応する量子論での光子強度演算子:Ｉ(ｒ,ｔ)は古典論でのビーム強度Ｉ(ｒ,ｔ)での,Ｅ^*(ｒ,ｔ)Ｅ(ｒ,ｔ)を演算子Ｅ^-(ｒ,ｔ)Ｅ⁺(ｒ,ｔ)で置き換えたものとして定義されます。 

そこで,量子論でのヤングの干渉実験の結論式は＜Ｉ(ｒ,ｔ)＞＝(1/2)ε₀ｃ[|ｕ₁|²＜Ｅ^-(ｒ₁,ｔ₁)Ｅ⁺(ｒ₁,ｔ₁)＞＋|ｕ₂|²＜Ｅ^-(ｒ₂,ｔ₂)Ｅ⁺(ｒ₂,ｔ₂)＞_c＋2ｕ₁^*ｕ₂Re＜Ｅ^-(ｒ₁,ｔ₁)Ｅ⁺(ｒ₂,ｔ₂)＞です。

ここで,＜ ＞は干渉実験の系の量子状態に対する位置ｒ,時刻ｔにおける期待値を表わしています。

このときの量子状態としては光子の数が１個,２個...に確定した個数状態や,個数が全く不定のコヒーレント状態(可干渉状態)などの純粋状態である場合よりも,これらが統計的に乱雑に混合した混合状態である場合のほうが多いので,上記の期待値＜ ＞は一般に密度行列ρ_H によって＜Ｅ^-(ｒ_i,ｔ_i)Ｅ⁺(ｒ_j,ｔ_j)＞(ｉ,ｊ＝1,2)は＜Ｅ^-(ｒ_i,ｔ_i)Ｅ⁺(ｒ_j,ｔ_j)＞≡Ｔr(ρ_HＥ^-(ｒ_i,ｔ_i)Ｅ⁺(ｒ_j,ｔ_j))と定義されます。

しかしながら,最終的に干渉縞の濃淡を示す強度が統計平均を取ってＩ(ｒ)＝＜Ｉ(ｒ,ｔ)＞＝(1/2)ε₀ｃνＥ₀²[|ｕ₁|²＋|ｕ₂|²＋2ｕ₁^*ｕ₂ exp(－γ'|τ|)cos(ω₀τ)]なる関数形で得られ,周波数の拡がりγ'に左右される,というヤングの干渉実験結果の性質の理論的性格は,統計的論議に関する部分は量子論だからといって,特に古典論(半古典論)と変わるところはないため,その内容に変化はありません。

古典論での電磁波が,量子論では１個,２個と数えられる光子という粒子の波,あるいは確率波に変わったといっても,それが光であれば我々には元々実体として光が波であるという意識がありますから,粒子性を持つにも関わらず干渉という波独特の現象を起こすことにもあまり違和感はないようです。

しかし電子のド・ブロイ波のような本格的な粒子の波という意味では,光も電子も量子としての本質には違いはないと頭では理解していても,やはり１個の電子という粒子が干渉するなどという現象は今でも依然として量子論の創生期の頃と全く変わることなく我々の拙い常識で理解するのはむずかしいものですね。

以上で,本連載は終わります。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃) 

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ヤング(Young)の干渉実験(7)(量子論)

光の干渉関連の記事の続きです。年の瀬も押し詰まっている状況なので記事が細切れ気味になってきています。 

"光子＝輻射場"ではなく,気体原子(あるいは,原子を構成している電子)の方のハミルトニアンを,さらに"量子化＝第２量子化"します。

孤立原子のハミルトニアンＨ_E＝Σ_j=1^Z{ｐ_j²/(2ｍ)}＋(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒに対して,エネルギー固有値としてｈ_cω_i(ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数)を持つ固有状態を|ｉ＞と番号付けすると,Ｈ_E|ｉ＞＝ｈ_cω_i|ｉ＞です。

そして,{|ｉ＞}が状態の完全系を張っているとすると,Σ_i|ｉ＞＜ｉ|＝1ですからＨ_E＝Σ_i|ｉ＞＜ｉ|Ｈ_EΣ_j|ｊ＞＜ｊ|と書けます。

さらに,|ｉ＞は規格直交化されているとしＨ_Eは|ｉ＞によって対角化されていると想定してかまわないので＜ｉ|Ｈ_E|ｊ＞＝ｈ_cω_iδ_ijと書けるとしていいでしょう。そこでＨ_EはＨ_E＝Σ_iｈ_cω_i|ｉ＞＜ｉ|と表現されます。

こうした変形操作の手続きを個数量子化あるいは第２量子化(場の量子化)と呼び,物理系の状態全体で構成される状態空間は個数状態|ｉ＞を基底とすることができて,その任意の状態が個数状態の重ね合わせだけでいくらでも精密に表現できる線形空間であるとする理論を場の量子論といいます。

こうした理論の元祖であり,特に光や電子の電磁的な系のみを扱う伝統的な理論は量子電磁力学(QED)と呼ばれています。

すなわち,このハミルトニアンの変形操作の手続きは,まず系を振動数ω_iを持つ調和振動子の集まりと見て,番号ｉで分類される系のエネルギー固有状態のエネルギー準位を関連したある量子(粒子であり同時に波動であるような不思議な実体)の個数と同一視します。

各々の振動子のエネルギー固有状態を個数状態と呼び,エネルギーが励起されて準位が１つ上がることを量子が１つ生成されるといい,逆に準位が１つ下がることを量子が１つ消滅されるといい表わします。

こうした描像を可能にする量子力学の表示の変換を第２量子化の手続きと呼ぶわけです。

そして,原子のある固有状態|ｌ＞に|ｉ＞＜ｊ|を作用させると|ｉ＞＜ｊ|ｌ＞＝δ_jl|ｉ＞ですから,演算子(作用素)|ｉ＞＜ｊ|は状態|ｊ＞を消滅させて,状態|ｉ＞を生成するものです。

Ｈ_E＝Σ_iｈ_cω_i|ｉ＞＜ｉ|なる表現は,相互作用がなければ実質的な生成消滅がないことを示しています。

そして電気双極子近似で見た原子と輻射場(光子)の相互作用は,Ｈ_I～Ｈ_ED(ｔ)＝ｅＤＥ_T(0,ｔ)ですが,上述の変形操作に従えばＤ＝Σ_i|ｉ＞＜ｉ|ＤΣ_j|ｊ＞＜ｊ|＝Σ_i,jＤ_ij|ｉ＞＜ｊ|,ただしＤ_ij≡＜ｉ|Ｄ|ｊ＞です。

それ故,Ｈ_I～Ｈ_ED(ｔ)＝ｅＤＥ_T(0,ｔ)＝Σ_i,jｅＤ_ijＥ_T(0,ｔ)|ｉ＞＜ｊ|と書けます。

また,クーロンゲージでの横光子の第２量子化された電場Ｅ_T(ｒ,ｔ)は前の記事で既に述べたように,Ｅ_T(ｒ,ｔ)＝Σ_kＥ_k;Ｅ_k＝i{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2Σ_λε_kλ[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]なる形式で与えられることがわかっています。

しかし,より一般化して原子核は座標原点ｒ＝0 にあるわけではなくて位置ｒ＝Ｒにあるとするなら,Ｈ_ED(ｔ)＝ｅＤＥ_T(Ｒ,ｔ)と書けます。そこで,結局一般的にはＨ_ED(ｔ)＝iｅΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλＤ_ij[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋＲ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋＲ)]|ｉ＞＜ｊ|となります。

こうして"微細構造定数αの１次近似＝電気双極子近似"であることを除けば,原子-輻射系のハミルトニアンを完全に第２量子化の言葉で表わすことに成功しました。

ここで,実際の単位時間当たりの"遷移確率＝遷移速度"を求めるために時間に依存する摂動論を正しく定式化しておきます。

まず,系を記述する全ハミルトニアンＨ は時間に陽には依存しないシュレーディンガー表示の２つの演算子の和として,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ₁と表わされるとします。

ここでＨ₀は結合のない自由な電子(原子)と輻射の非相互作用ハミルトニアンです。一方,Ｈ₁はそれらの間の相互作用ハミルトニアンです。電気双極子近似ならＨ₁＝Ｈ_EDです。

全系Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ₁を結合系と呼ぶことにします。

Φ_S(ｔ)がシュレーディガーの波動方程式ＨΦ_S(ｔ)＝iｈ_c{∂Φ_S(ｔ)/∂ｔ}を満たす１つの解で,時刻ｔにおけるシュレーディンガーの波動関数を表わしているとしします。

この線型波動方程式を形式的に解くことにより,時刻ｔ₀での波動関数Φ_S(ｔ₀)が時間発展して後の任意時刻ｔ(ｔ＞ｔ₀)には,Φ_S(ｔ)になるという関係を,Φ_S(ｔ)＝exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}Φ_S(ｔ₀)なる表現として表わすことができます。

さて,ψ_fはエネルギーｈ_cω_fを持つ自由場のハミルトニアンＨ₀の固有関数(固有状態)であるとします。つまり,Ｈ₀ψ_f＝ｈ_cω_fψ_fが成立するものとします。

このとき,系が時刻ｔに状態ψ_fにあると観測される確率はψ_fとΦ_S(ｔ)との"内積＝重なり積分"の大きさの２乗|＜ψ_f|Φ_S(ｔ)＞|²＝|＜ψ_f| exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|Φ_S(ｔ₀)＞|²で与えられます。

一方,時刻ｔ₀での初期の結合系の状態は,一般にＨ₀の固有状態の重ね合わせとして表わすことができます。

ψ_uを,Ｈ₀の固有状態の１つとして,Ｈ₀ψ_u＝ｈ_cω_uψ_uが成立つものとします。

"時刻ｔ₀には系が固有状態ψ_uにあった場合に,時刻ｔに系が固有状態ψ_fに見出される確率＝始状態ψ_uから終状態ψ_fへの遷移確率"は|＜ψ_f|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ψ_u＞|²で与えられます。

以下では,この遷移確率の表式を|＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞|²と簡略的に表記することにします。

そして,１つの始状態ψ_uから特定の終状態ψ_fへの遷移確率は,ほぼ経過時間に比例するので,"遷移速度＝単位時間当りの遷移確率"を"遷移確率の時間微分＝1/τ≡(ｄ/ｄｔ)|＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞|²"によって定義します。

始状態ψ_uからいくつかの終状態ψ_fへの遷移が同時に観測されるような実験的状況,例えば実験が終状態のスピンを特定しないような場合には,1/τ≡(ｄ/ｄｔ)[Σ_f|＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞|²] で遷移速度を定義します。

遷移速度のこの形式的な表式:1/τ≡(ｄ/ｄｔ)[Σ_f|＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞|²]は,具体的に計算を実行するのに便利な形をしていません。

しかし,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ₁において,Ｈ₁＜＜Ｈ₀の場合を想定しているので,遷移速度表示の右辺をＨ₁の高次項が急速に減衰するような,Ｈ₁の行列要素のベキ級数に展開すれば,より使いやすい近似計算が可能です。

つまり,exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}をＨ₁のベキで展開するわけです。

一般に,Ｈ₀とＨ₁は非可換なため,exp(－iＨｔ/ｈ_c)≠exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)exp(－iＨ₁ｔ/ｈ_c)ですから,この展開は簡単にはできません。

しかし,等式exp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨｔ/ｈ_c)＝(iｈ_c)(ｄ/ｄｔ)[exp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)exp(－iＨｔ/ｈ_c)]が成立します。

そこで∫_t0^t exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨｔ₁/ｈ_c)ｄｔ₁＝(iｈ_c)[exp(iＨ₀ｔ/ｈ_c)exp(－iＨｔ/ｈ_c)－exp(iＨ₀ｔ₀/ｈ_c)exp(－iＨｔ₀/ｈ_c)]が成立します。

それ故,exp(－iＨｔ/ｈ_c)＝exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)[exp(iＨ₀ｔ₀/ｈ_c)exp(－iＨｔ₀/ｈ_c)－(i/ｈ_c)∫_t0^t exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(－iＨｔ₁/ｈ_c)ｄｔ₁]なる表現を得ることができます。

通常,ｔ＝－∞に初期定常状態が既に安定的に存在していたとして,初期時刻をｔ₀＝－∞に取ります。

時刻ｔ＝ｔ₀ではＨ₁＝0 ,つまりＨ＝Ｈ₀ですが相互作用Ｈ₁のスイッチが断熱的にオンオフされる状況をexp(εｔ₁)(ただしε→＋0 )なる因子の挿入で表現すると,上の等式は,exp(－iＨｔ/ｈ_c)＝exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)[1－(i/ｈ_c)∫_-∞^t exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(εｔ₁) exp(－iＨｔ₁/ｈ_c)ｄｔ₁]なる形になります。

※(注)物理学では,計算式等が有限にならないとか数学的に定義できない場合,これを回避するために無限小のε＞0 を便宜的に導入して計算完了後にε→＋0 の極限を取るような操作が正当化されます。

この操作は,例えば電磁気学や散乱理論での遅延グリ－ン関数と先進グリーン関数の違いなどに関係しています。

すなわち,計算すべき散乱振幅などが解として従う微分方程式において,満たすべき境界条件の指定によって,結果が微妙に左右される場合の境界条件の選択方法と大いに関わっています。(注釈終わり)※

さて,＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞のＨ₁のベキ展開のゼロ次の項は＜ｆ|exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)|ｕ＞＝exp(－iω_uｔ)＜ｆ|ｕ＞なる因子を持ちますが,遷移というからにはｆ≠ｕ,つまり＜ｆ|ｕ＞＝0 なので,ゼロ次の寄与はゼロになります。

１次の項は＜ｆ|exp(－iＨｔ/ｈ_c)|ｕ＞＝＜ｆ|exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)[1－(i/ｈ_c)∫_-∞^t exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(εｔ₁)exp(－iＨｔ₁/ｈ_c)ｄｔ₁]|ｕ＞の第２項の積分で,最右辺のＨをＨ₀に変えたものです。

すなわち,－(i/ｈ_c)＜ｆ|exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ₁exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(εｔ₁)exp(－iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)]|ｕ＞＝－(i/ｈ_c)exp(－iω_fｔ)＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞∫_-∞^tｄｔ₁exp(iω_fｔ₁＋εｔ₁－iω_uｔ₁)＝{＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞exp(εｔ－iω_uｔ)/ｈ_c}/(ω_u－ω_f＋iε)となります。

したがって,１次の項だけで遷移速度:1/τ＝(ｄ/ｄｔ)[Σ_f|＜ｆ|exp{－iＨ(ｔ－ｔ₀)/ｈ_c}|ｕ＞|²]を近似すると,1/τ＝(ｄ/ｄｔ)Σ_f[{|＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞|²exp(2εｔ)/ｈ_c²}/{(ω_u－ω_f)²＋ε²}]＝(2/ｈ_c²)Σ_f[{|＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞|²εexp(2εｔ)/{(ω_u－ω_f)²＋ε²}]となります。

ε→＋0 の極限を取ると,１次近似では1/τ＝(2π/ｈ_c²)Σ_f{|＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞|²δ(ω_u－ω_f)}が得られます。

これは有名なフェルミの黄金律(Fermi's golden rule)です。

さらに２次の項は,第２項の積分で,最右辺のexp(－iＨｔ₁/ｈ_c)にこれの１次の近似項を代入すれば得られます。

すなわち,(－1/ｈ_c²)＜ｆ|exp(－iＨ₀ｔ/ｈ_c)∫_-∞^tｄｔ₁∫_-∞^t1ｄｔ₂exp(iＨ₀ｔ₁/ｈ_c)Ｈ₁exp(εｔ₁)exp{－iＨ₀(ｔ₁－ｔ₂)/ｈ_c}Ｈ₁exp(εｔ₂)exp(－iＨ₀ｔ₂/ｈ_c)]|ｕ＞です。

これに,完全系を示す式:1＝Σ_l|ｌ＞＜ｌ|を挟んで整理すると,－ｈ_c^-2Σ_lexp(－iω_fｔ)＜ｆ|Ｈ₁|ｌ＞＜ｌ|Ｈ₁|ｕ＞∫_-∞^tｄｔ₁∫_-∞^t1ｄｔ₂exp{iω_fｔ₁＋εｔ₁－iω_l(ｔ₁－ｔ₂)＋εｔ₂＋iω_uｔ₁}＝Σ_l[{＜ｆ|Ｈ₁|ｌ＞＜ｌ|Ｈ₁|ｕ＞exp(2εｔ－iω_uｔ)/{(ω_u－ω_l＋iε)(ω_u－ω_f＋2iε)}}となります。

１次の項と２次の項の寄与の総和は,(1/ｈ_c){exp(εｔ－iω_uｔ)/(ω_u－ω_f＋iε)}[＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞＋(1/ｈ_c)Σ_l{＜ｆ|Ｈ₁|ｌ＞＜ｌ|Ｈ₁|ｕ＞/{(ω_u－ω_l＋iε/2)}]です。

そこで,ｆ≠ｕの２次までの近似で正しい遷移速度は,1/τ＝(2π/ｈ_c²)[Σ_f{|＜ｆ|Ｈ₁|ｕ＞＋(1/ｈ_c)Σ_l{＜ｆ|Ｈ₁|ｌ＞＜ｌ|Ｈ₁|ｕ＞/(ω_u－ω_l)}|²δ(ω_u－ω_f)}となって,フェルミの黄金律をより精密にした形になります。

２次の摂動計算のために便宜上挿入した完全系の式：1＝Σ_l|ｌ＞＜ｌ|において,導入されたエネルギーｈ_cω_lを持つ個々の状態|ｌ＞のことを中間状態(intermediate state),あるいは仮想状態(virtual state)と呼びます。

この"中間状態＝仮想状態"においては,エネルギー保存則などの保存則が破れていてもかまいません。

実際,Σ_l{＜ｆ|Ｈ₁|ｌ＞＜ｌ|Ｈ₁|ｕ＞/(ω_u－ω_l)なる中間状態|ｌ＞の寄与において,仮想状態ではなく正確にエネルギー保存ω_l＝ω_uが要求される実状態なら,分母がゼロになって困る事態が起こります。

もっとも,こうした困難を回避するため,(ω_u－ω_l)の代わりに(ω_u－ω_l＋iε)と置いて無限小の純虚数を導入し,計算結果は級数和でなく複素積分で表現されることも多いわけです。

そして,こうした中間状態の振幅への寄与の大部分が,ω_u～ω_lなるエネルギーが保存される実状態の近傍の状態に由来するのは,形から明らかなことです。

こうして仮想状態が許容されるのは,遷移現象における時間とエネルギーの不確定性原理:ΔＥΔｔ～ｈ/2,またはΔωΔｔ～1/2の反映と見ることもできます。

つまり,摂動論という便宜的な近似法の中にも量子論の本質である不確定性原理が現われているように見えるわけです。

この"中間状態＝仮想状態"が光子の状態である場合には,このときの光子を現実に観測される実光子と区別して仮想光子と呼びます。

これも不確定性原理の反映として仮想光子の質量がゼロである必要はありません。

また,中間状態が光子状態ではなく質量を持った,例えばπ中間子の状態ならば,そのπ中間子は仮想π中間子と呼ばれます。

いずれにしても仮想状態の粒子の質量は,実際に観測される粒子の質量と一致する必要はなく,それ故仮想粒子と呼ばれるわけです。

そして,仮想粒子の質量は実粒子とは違って,観測時間Δｔを短かく取れば－∞ ～＋∞ の範囲の全ての値を取ることが可能です。

そのため,実粒子状態は"質量殻の上にある＝オンシェル状態にある"といわれ,仮想粒子の状態は"質量殻の外にある＝オフシェル状態"にあるといわれることがあります。

さて,電気双極子近似での原子のハミルトニアンはＨ_E＋Ｈ_ED(ｔ);Ｈ_E＝Σ_iｈ_cω_i|ｉ＞＜ｉ|,Ｈ_ED(ｔ)＝iｅΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλＤ_ij[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋＲ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋＲ)]|ｉ＞＜ｊ|で与えられることがわかっています。

そこでΨ(ｔ)を,状態を示す波動関数とするとき,原子に対するシュレーディンガーの波動方程式は,{Ｈ_E＋Ｈ_ED(ｔ)}Ψ(ｔ)＝iｈ_c{∂Ψ(ｔ)/∂ｔ}と表わすことができます。

  この方程式は孤立原子のハミルトニアンＨ_Eが時間に依らないシュレーディンガー表示の演算子であるのに対し,電気双極子相互作用ハミルトニアンＨ_ED(ｔ)が時間ｔに依存するハイゼンベルク表示という混合形式になっています。

この式を演算子が時間を陽に含まない,通常のシュレーディンガー表示のそれに変換するため,新しいシュレーディンガー表示の波動関数Φ_s(ｔ)を,Φ_s(ｔ)≡exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)Ψ(ｔ)によって定義します。

ここで,Ｈ_R≡Σ_kΣ_λｈ_cω_kａ_kλａ_kλ⁺は輻射光子のハミルトニアンですが,本質には関わらない零点エネルギーは除いています。

これを先の波動方程式{Ｈ_E＋Ｈ_ED(ｔ)}Ψ(ｔ)＝iｈ_c{∂Ψ(ｔ)/∂ｔ}に代入すると,{Ｈ_E＋Ｈ_ED(ｔ)}exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)Φ_S(ｔ)＝iｈ_c(∂/∂ｔ){exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)Φ_S(ｔ)}＝iｈ_c exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c){(iＨ_R/ｈ_c)Φ_S(ｔ)＋{∂Φ_S(ｔ)/∂ｔ}です。

ここでＨ_EとＨ_Rは可換なので,これは{Ｈ_E＋Ｈ_R＋exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)Ｈ_ED(ｔ)exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)}Φ_S(ｔ)＝iｈ_c{∂Φ_S(ｔ)/∂ｔ}となります。

ところが,陽な表式Ｈ_R≡Σ_kΣ_λｈ_cω_kａ_kλａ_kλ⁺を左辺の{ }の中の最終項:exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)Ｈ_ED(ｔ)exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)に代入すれば,exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)Ｈ_ED(ｔ)exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)＝iｅΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλＤ_ij[exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)ａ_kλexp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)exp(－iω_kｔ＋iｋＲ)－exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)ａ_kλ⁺exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)exp(iω_kｔ－iｋＲ)]|ｉ＞＜ｊ|＝iｅΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλＤ_ij[ａ_kλexp(iｋＲ)－ａ_kλ⁺exp(－iｋＲ)]|ｉ＞＜ｊ|となります。

つまり,exp(－iＨ_Rｔ/ｈ_c)Ｈ_ED(ｔ)exp(iＨ_Rｔ/ｈ_c)＝Ｈ_ED(0)です。

右辺のＨ_ED(0)＝iｅΣ_kΣ_λ{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2ε_kλＤ_ij[ａ_kλexp(iｋＲ)－ａ_kλ^＋exp(－iｋＲ)]|ｉ＞＜ｊ|は,時間に依存しない通常のシュレーディンガー表示の演算子なので,Ｈ_ED(0)を単にＨ_EDと表記すれば波動方程式は非常に簡単な形(Ｈ_E＋Ｈ_R＋Ｈ_ED)Φ_S(ｔ)＝iｈ_c{∂Φ_S(ｔ)/∂ｔ}に帰着します。

こうして,Ｈ≡Ｈ_E＋Ｈ_R＋Ｈ_ED はシュレーディンガー表示での系の全ハミルトニアンに相当します。そしてΦ_S(ｔ)が系の正しい波動関数を示していることがわかりました。

そこで,Ｈ₀≡Ｈ_E,Ｈ₁≡Ｈ_R＋Ｈ_ED,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ₁と置いて,先に紹介した時間に依存する摂動論を適用すれば,原理的には完全に第２量子化された原子光子系の場の量子論の計算として,相互作用が電気双極子近似された場合の遷移速度等の計算を実行することができます。

さらに,それぞれ統計的重みＰ_Sを持って幾つかの純粋状態Φ_S(ｔ)が混合した混合状態における時刻ｔでの密度演算子をρ(ｔ)≡Σ_SＰ_S|Φ_S(ｔ)＞＜Φ_S(ｔ)|＝Σ_SＰ_Sexp(－iＨｔ/ｈ_c)|Φ_S(0)＞＜Φ_S(0)|exp(iＨｔ/ｈ_c)とおきます。

すると,シュレーディンガー表示での演算子Ｏの時刻ｔにおける観測期待値は,＜Ｏ(ｔ)＞＝Tr(ρ(ｔ)Ｏ)で与えられます。

もちろん,時間に依存する演算子である密度演算子ρ(ｔ)はハイゼンベルク方程式に従います。すなわち,iｈ_c(ｄρ/ｄｔ)＝[Ｈ,ρ]なる方程式に従います。

今年はここまでにします。

恐らく,この論題については来年早々終わりになると思います。あとほんの少しですから。。

では,来年もよろしく。。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃)

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ヤング(Young)の干渉実験(6)(量子論)

光の干渉関連の続きです。

前記事の最後で原子と電磁場との極小相互作用(minimal coupling)を含むクーロンゲージでの全体系のハミルトニアンがＨ'＝{1/(2ｍ)}Σ_j=1^Z{ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)}²＋(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ＋(1/2)∫(ε₀Ｅ_T(ｒ,ｔ)²＋μ₀^-1Ｂ(ｒ,ｔ)²)ｄｒと表わされると書きました。

これの右辺の第２項:(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ＝(－1/2)ε₀∫φ(ｒ,ｔ)∇²φ(ｒ,ｔ)ｄｒ＝(1/2)ε₀∫{∇φ(ｒ,ｔ)}²ｄｒ＝(1/2)ε₀∫Ｅ_L²(ｒ,ｔ)ｄｒ＝{1/(2ε₀)}∫Ｐ_L²(ｒ,ｔ)ｄｒは,形の上では電荷による静電エネルギー,ρ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅδ(ｒ－ｒ_j(ｔ))＋Ｚｅδ(ｒ),およびφ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{－Σ_j=1^Z(ｅ/|ｒ－ｒ_j(ｔ)|)＋Ｚｅ/ｒ}を代入すればクーロン相互作用エネルギーを全て含んでいることがわかります。

この第２項は輻射場を含んでいないので,第２量子化されていても量子場の演算子を含んでいません。一方,第３項は原子の運動に関わるエネルギーを含まない"輻射場＝横波光子"単独のエネルギーです。

結局,第１項のみが相互作用に関わる極小結合部分で,原子と輻射場の相互作用はＨ_int＝{ｅ/(2ｍ)}Σ_j=1^Z{ｐ_jＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)＋Ａ(ｒ_j(ｔ),ｔ)ｐ_j}＋{ｅ²/(2ｍ)}Σ_j=1^ZＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)²で与えられます。

これ自身を用いた厳密な計算結果はゲージの選択によらないはずですが,実際の多くの計算はほとんど近似計算なのでベクトルポテンシャルによる表式ではゲージ依存になります。

そこで基本的には理論を不変に保つユニタリ変換を用いてハミルトニアンを便利な形に変えることを試みます。

すなわち,ユニタリ演算子:Ｕ^(ｔ)≡exp[{i/(ｃｈ_c)}∫Ｐ_T(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄｒ](ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数)を定義します。

∇Ａ(ｒ,ｔ)＝0 なので,∫Ｐ_T(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄｒ＝∫Ｐ(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄｒが成立します。Ｐ(ｒ,ｔ)＝－ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)∫₀¹ｄλδ(ｒ－λｒ_j(ｔ))を代入すると,Ｕ^(ｔ)≡exp[(－iｅ/ｈ_c)Σ_j=1^Z∫₀¹ｄλ{ｒ_j(ｔ)Ａ(λｒ_j(ｔ),ｔ)}]となります。

このＵ^(ｔ)によって変換されたハミルトニアンＨ はＨ ＝Ｕ^^-1(ｔ)Ｈ'Ｕ^(ｔ)と書けます。

一方,Ｈ',Ｈ に対応する波動関数を,それぞれψ',ψと書くとψ＝Ｕ^(ｔ)ψ'です。

ｐ_j＝－iｈ_c∇_jなる陽な表示によって,Ｕ^^-1(ｔ){ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)}Ｕ^(ｔ)＝ｐ_j－ｅ∇_j∫₀¹ｄλ{ｒ_j(ｔ)Ａ(λｒ_j(ｔ),ｔ)}＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)となります。

Ａ(ｒ_j(ｔ),ｔ)＝∫₀¹ｄλ[{1＋ｒ_j(ｔ)∇_j}Ａ(λｒ_j(ｔ),ｔ)],

故にＵ^^-1(ｔ){ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)}Ｕ^(ｔ)＝ｐ_j－ｅ∫₀¹ｄλ[∇_j{ｒ_j(ｔ)Ａ(λｒ_j(ｔ),ｔ)}－{1＋ｒ_j(ｔ)∇_j}Ａ(λｒ_j(ｔ),ｔ)]です。

ところで,[∇{ｒＡ(ｒ,ｔ)}－{1＋ｒ∇}Ａ(ｒ,ｔ)]_i＝ｒ_k∂_iＡ_k－ｒ_k∂_kＡ_i＝ｒ_k(∂_iＡ_k－∂_kＡ_i)＝ε_ikjｒ_kε_jlm∂_lＡ_m＝{ｒ×Ｂ(ｒ,ｔ)}_i;(ただし,Ｂ(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ(ｒ,ｔ))と書けます。

結局,Ｕ^^-1(ｔ){ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)}Ｕ^(ｔ)＝ｐ_j－ｅ∫₀¹ｄλ{λｒ_j(ｔ)×Ｂ(λｒ_j(ｔ),ｔ)}です。

同様に,Ｕ^^-1(ｔ)Ｅ_T(ｒ,ｔ)Ｕ^(ｔ)＝Ｅ_T(ｒ,ｔ)－(1/ε₀)Ｐ_T(ｒ,ｔ) etc.から,Ｈ＝Ｕ^^-1(ｔ)Ｈ'Ｕ^(ｔ)＝{1/(2ｍ)}Σ_j=1^Z(ｐ_j－ｅ∫₀¹ｄλ{λｒ_j(ｔ)×Ｂ(λｒ_j(ｔ),ｔ)})²＋(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ＋(1/2)∫(ε₀Ｅ_T(ｒ,ｔ)²＋μ₀^-1Ｂ(ｒ,ｔ)²)ｄｒ＋ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλ{ｒ_j(ｔ)Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)}＋{1/(2ε₀)}∫Ｐ_T(ｒ,ｔ)²ｄｒです。

結局,変換前のハミルトニアンの中からゲージ依存のベクトルポテンシャルを追い出すことに成功しました。

電子の座標軌道ｒ_j(ｔ)はボーア半径ａ_B＝4πε₀ｈ_c²/(ｍｅ²)程度の大きさを持っていると思われます。また,勾配演算子∇がＥ_TやＢに作用するとき,それは輻射の波動ベクトルｋ程度の大きさです。

そこで,前にＶ_E(ｔ)＝ｅΣ_j=1^Z[∫₀¹ｄλｒ_j(ｔ)(1＋λｒ_j(ｔ)∇＋(1/2!){λｒ_j(ｔ)∇}²＋...)Ｅ_T(0,ｔ)]＝ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)[1＋(1/2!)ｒ_j(ｔ)∇＋(1/3!){ｒ_j(ｔ)∇}²＋...]Ｅ_T(0,ｔ),

Ｖ_M(ｔ)＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλ[{ｒ_j(ｔ)×(ｄｒ_j/ｄｔ)}(1＋λｒ_j(ｔ)∇＋(1/2!){λｒ_j(ｔ)∇}²＋...)Ｂ(0,ｔ)]＝(ｅ/ｍ)Σ_j=1^Z[ｌ_j(ｔ)((1/2!)＋(2/3!)ｒ_j(ｔ)∇＋(3/4!){ｒ_j(ｔ)∇}²＋...)Ｂ(0,ｔ)]と表現しましたが,

そこで見たような,Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)やＢ(λｒ_j(ｔ),ｔ)の多極展開において,λの高次のベキの項は急激に減衰するはずです。

したがって,－ｅ∫₀¹ｄλ{λｒ_j(ｔ)×Ｂ(λｒ_j(ｔ),ｔ)}は第１項の磁気双極子項だけ残して－{ｅ/(2ｍ)}{ｍｒ_j(ｔ)×Ｂ(0,ｔ)}で近似し,ｅ∫₀¹ｄλ{ｒ_j(ｔ)Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)}は第１項の電気双極子項ｅｒ_j(ｔ)Ｅ_T(0,ｔ)と第２項の４重極子項(ｅ/2)ｒ_j(ｔ){ｒ_j(ｔ)∇}Ｅ_T(0,ｔ)をとって近似することにします。

このとき,近似ハミルトニアンを,改めてＨと書き,Ｈ≡Ｈ_E＋Ｈ_R＋Ｈ_Iと分解します。

Ｈ_E は孤立原子のハミルトニアンでＨ_E＝Σ_j=1^Z{ｐ_j²/(2ｍ)}＋(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ,Ｈ_Rは輻射場のハミルトニアンでＨ_R＝(1/2)∫(ε₀Ｅ_T(ｒ,ｔ)²＋μ₀^-1Ｂ(ｒ,ｔ)²)ｄｒです。

そして,輻射場と原子の相互作用ハミルトニアンＨ_Iをさらに４つに分けます。Ｈ_I≡Ｈ_ED＋Ｈ_EQ＋Ｈ_MD＋Ｈ_NLです。

ここでＨ_EDとＨ_EQ は電場との相互作用項で,Ｈ_ED＝ｅΣ_j=1^Zｒ_jＥ_T(0,ｔ)＝ｅＤＥ_T(0,ｔ)であり,ｅＤ＝Σ_j=1^Zｅｒ_jは電気双極子モーメントです。

また,Ｈ_EQ＝(ｅ/2)Σ_j=1^Zｒ_j(ｔ){ｒ_j(ｔ)∇}Ｅ_T(0,ｔ)＝－(∇Ｑ)Ｅ_T(0,ｔ)です。ここで,Ｑ＝－(1/2)Σ_j=1^Zｅｒ_jｒ_jは電気４重極子モーメントです。

Ｈ_MDとＨ_NLは磁場との相互作用項です。すなわち,Ｈ_MD ＝－{ｅ/(4ｍ)}Σ_j=1^Z[ｐ_j{ｒ_j(ｔ)×Ｂ(0,ｔ)}＋{ｒ_j(ｔ)×Ｂ(0,ｔ)}ｐ_j]＝{ｅ/(2ｍ)}ＭＢ(0,ｔ)です。ただし,Ｍは角運動量の総和でＭ≡Σ_j=1^Zｌ_j＝Σ_j=1^Z{ｒ_j(ｔ)×ｐ_j}です。

最後にＨ_NLは反磁性項と呼ばれ,Ｈ_NL＝{ｅ²/(8ｍ)}Σ_j=1^Z{ｒ_j(ｔ)×Ｂ(0,ｔ)}²と表現されます。

ｒ_j ～ ａ_B＝4πε₀ｈ_c²/(ｍｅ²),ω ～ ω₀＝(3/4)ω_B＝(3ｍｅ⁴)/(128π²ε₀²ｈ_c³),ｋ～ω/ｃとして,各項のオーダーを評価します。

まず,Ｈ_ED ～Ｅ_T(0,ｔ){4πε₀ｈ_c²/(ｍｅ)}です。次に∇Ｅ_T(0,ｔ)～ｋＥ_T(0,ｔ)＝(ω/ｃ)Ｅ_T(0,ｔ)により,Ｈ_EQ ～Ｅ_T(0,ｔ){3ｅｈ_c/(16ｍｃ)}です。

一方,Ｍ≡Σ_j=1^Zｌ_j＝Σ_j=1^Z{ｒ_j(ｔ)×ｐ_j}～ｈ_cと考えてＨ_MD ～ Ｂ(0,ｔ){ｅｈ_c/(2ｍ)}～Ｅ_T(0,ｔ){ｅｈ_c/(2ｍｃ)}です。

そこで,電磁相互作用の結合の大きさを特徴付ける無次元定数である微細構造定数α≡ｅ²/(4πε₀ｈ_cｃ)～ 1/137を用いると,Ｈ_EQ ～ (3α/16)Ｈ_ED,Ｈ_MD ～(α/2)Ｈ_EDとなりますから,電気４重極子項Ｈ_EQと磁気双極子項Ｈ_MDは電気双極子項Ｈ_EDに比べてαの１次程度のオーダーになります。

以下では,電気双極子項Ｈ_EDに比べて電気４重極子項Ｈ_EQ,磁気双極子項Ｈ_MD,および非線形項の反磁性項Ｈ_NLを無視する電気双極子近似を採用してＨ_I～Ｈ_EDとします。

　というのも後述の摂動論で述べるように状態ψ_i,ψ_f間の原子遷移に伴なって光子が放出,吸収される遷移速度は行列要素＜ψ_f|Ｈ_I|ψ_i＞の絶対値の２乗に比例するからです。

　電気双極子近似ではその対称性のために行列要素＜ψ_f|Ｈ_I|ψ_i＞がゼロになるような遷移の寄与が無視され,そうした遷移は禁止されることになります。

　例えばｒ_j は空間反転に対して符号を変えるので電気双極子相互作用ｅＤ (ただしＤ＝Σ_jｒ_j)は奇のパリティ(偶奇性)を持つため,状態ψ_iとψ_fが互いに異なるパリティを持つ場合にみ,それらの間の遷移が許容されるわけです。

今日はこれで終わります。

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ヤング(Young)の干渉実験(5)(量子論)

ちょっと間があきましたが,光の干渉関連の続きです。

これまでは自由電磁場について述べてきましたが,完全な量子理論を得るためには原子と電磁場の相互作用の完全な議論を経由する必要があります。

原子番号がＺの重い原子核が座標原点に事実上静止していて,Ｚ個の電子が位置ｒ_j(ｊ＝1,2,...Ｚ)にある中性原子を考えます。

このとき素電荷をｅ＞0 とすると,電荷密度ρと電流密度Ｊはρ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅδ(ｒ－ｒ_j(ｔ))＋Ｚｅδ(ｒ),Ｊ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅｖ_j(ｔ)δ(ｒ－ｒ_j(ｔ))；ｖ_j(ｔ)≡ｄｒ_j/ｄｔです。

ここでδ(ｒ－ｒ_j)はδ(ｒ－ｒ_j)＝{1/(2π)³}∫exp{iｋ(ｒ－ｒ_j)}ｄｋとフーリエ(Fourier)積分による表示もできます。

そして,今まで通りクーロンゲージ:∇Ａ(ｒ,ｔ)＝0 を採用するとスカラーポテンシャルはφ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}∫ｄｒ'ρ(ｒ',ｔ)/|ｒ－ｒ'|で与えられます。

そこで,これにρ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅδ(ｒ－ｒ_j(ｔ))＋Ｚｅδ(ｒ)を代入して,φ(ｒ,ｔ)＝{1/(4πε₀)}{－Σ_j=1^Z(ｅ/|ｒ－ｒ_j(ｔ)|)＋Ｚｅ/ｒ}となります。

一方,ベクトルポテンシャルはＡ(ｒ,ｔ)＝{μ₀/(4π)}∫ｄｒ'Ｊ_T(ｒ',ｔ')/|ｒ－ｒ'| ;ｔ'≡ｔ－|ｒ－ｒ'|/ｃに,電流密度Ｊ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅｖ_j(ｔ)δ(ｒ－ｒ_j(ｔ)) ;ｖ_j(ｔ)≡ｄｒ_j/ｄｔの横成分Ｊ_T(ｒ,ｔ)を代入すれば得られるはずです。

ところで原子と電磁場の相互作用の記述には原子の電荷に関連した分極Ｐ(ｒ,ｔ)と磁化Ｍ(ｒ,ｔ)を用いた現象論的な表式を立てるのが都合がいいです。

すなわち,ρ(ｒ,ｔ)＝－∇Ｐ(ｒ,ｔ),Ｊ(ｒ,ｔ)＝ｄＰ(ｒ,ｔ)/ｄｔ＋∇×Ｍ(ｒ,ｔ)なる式を介して電荷密度や電流密度から逆に,これらの量を決定します。

一見してわかるように,これらを満たすＰ(ｒ,ｔ)とＭ(ｒ,ｔ)の解には任意性があります。

例えば,任意のベクトルは横成分と縦成分に分解できるので,ρ(ｒ,ｔ)＝－∇Ｐ(ｒ,ｔ)からは∇Ｐ(ｒ,ｔ)の縦成分しか決まりません。

すなわち,ρ(ｒ,ｔ)＝－∇Ｐ_L(ｒ,ｔ)ですが,以前書いた式∇Ｅ_L＝ρ/ε₀と比較すると,定数の任意性を無視して,Ｐ_L(ｒ,ｔ)＝ε₀Ｅ_L(ｒ,ｔ)です。

また,Ｊ(ｒ,ｔ)＝ｄＰ(ｒ,ｔ)/ｄｔ＋∇×Ｍ(ｒ,ｔ)からは,Ｍ(ｒ,ｔ)の縦成分が決まりません。そして,これらを満たすＰ(ｒ,ｔ),Ｍ(ｒ,ｔ)の横成分の選択にも幅があります。

ここで,ρ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅδ(ｒ－ｒ_j(ｔ))＋Ｚｅδ(ｒ),Ｊ(ｒ,ｔ)＝－Σ_j=1^Zｅｖ_j(ｔ)δ(ｒ－ｒ_j(ｔ))；ｖ_j(ｔ)≡ｄｒ_j/ｄｔを代入したρ(ｒ,ｔ)＝－∇Ｐ(ｒ,ｔ),Ｊ(ｒ,ｔ)＝ｄＰ(ｒ,ｔ)/ｄｔ＋∇×Ｍ(ｒ,ｔ)なる連立方程式に対して,次の形に書いたＰ(ｒ,ｔ),Ｍ(ｒ,ｔ)がその解になることを証明を省略して述べておきます。

すなわち,Ｐ(ｒ,ｔ)＝－ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)∫₀¹ｄλδ(ｒ－λｒ_j(ｔ)),Ｍ(ｒ,ｔ)＝－ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)×(ｄｒ_j/ｄｔ)∫₀¹ｄλλδ(ｒ－λｒ_j(ｔ))です。

解のこの積分形は便利であり相互作用エネルギーの多極展開がこれから導かれます。

すなわち,横電場Ｅ_T(ｒ,ｔ)の中にある原子のポテンシャルエネルギーをＶ_E(ｔ)とすると,Ｖ_E(ｔ)＝－∫Ｐ(ｒ,ｔ)Ｅ_T(ｒ,ｔ)ｄｒ＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλｒ_j(ｔ)Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)と書くことができます。

何故なら,静電場Ｅがあってその中に1つの双極子ｐがあるときの静電エネルギーＵはよく知られているように,Ｕ＝－ｐＥで,働く力はＦ＝－∇(ｐＥ)＝－(ｐ∇)Ｅですから,これはそれからのアナロジーです。

ところで,一般に任意のベクトルＶ(ｒ,ｔ)は,Ｖ(ｒ,ｔ)＝Ｖ_T(ｒ,ｔ)＋Ｖ_L(ｒ,ｔ);∇Ｖ_T(ｒ,ｔ)＝0 ,∇×Ｖ_L(ｒ,ｔ)＝0 と分割可能です。

Ｖ(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄｋＶ^(ｋ,ｔ)exp(iｋｒ),Ｖ_T(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄｋＶ^_T(ｋ,ｔ)exp(iｋｒ),Ｖ_L(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄｋＶ^_L(ｋ,ｔ)exp(iｋｒ)とフーリエ展開すると,Ｖ^(ｋ,ｔ)＝Ｖ^_T(ｋ,ｔ)＋Ｖ^_L(ｋ,ｔ);ｋＶ^_T(ｋ,ｔ)＝0 ,ｋ×Ｖ^_L(ｋ,ｔ)＝0 です。

そこでＶ^_T(ｋ,ｔ)≡Ａ(ｋ,ｔ)×ｋ,(ｋＡ(ｋ,ｔ)＝0),Ｖ^_L(ｋ,ｔ)≡Ｂ(ｋ,ｔ)ｋと置くと,Ａ(ｋ,ｔ)×ｋ＋Ｂ(ｋ,ｔ)ｋ＝Ｖ^(ｋ,ｔ)より,Ｂ(ｋ,ｔ)＝Ｖ^(ｋ,ｔ)/ｋ²,Ａ(ｋ,ｔ)＝ｋ×Ｖ^(ｋ,ｔ)/ｋ²。

すなわち,Ｖ_T(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄｋ[({ｋ×Ｖ^(ｋ,ｔ)}×ｋ)/ｋ²]exp(iｋｒ),Ｖ_L(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄｋ[({Ｖ^(ｋ,ｔ)ｋ}ｋ)/ｋ²]exp(iｋｒ)と書けます。

これを用いると,任意の２つのベクトル場Ｖ(ｒ,ｔ)とＷ(ｒ,ｔ)に対して∫Ｖ_T(ｒ,ｔ)Ｗ_L(ｒ,ｔ)ｄｒ＝{1/(2π)³}∫ｄｋ[({ｋ×Ｖ^(ｋ,ｔ)}×ｋ)({Ｗ^(－ｋ,ｔ)ｋ}ｋ)/ｋ⁴]により,∫Ｖ_T(ｒ,ｔ)Ｗ_L(ｒ,ｔ)ｄｒ＝0 が成立することがわかります。

したがって,Ｖ_E(ｔ)＝－∫Ｐ(ｒ,ｔ)Ｅ_T(ｒ,ｔ)ｄｒ＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλｒ_j(ｔ)Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)においてＶ_E(ｔ)＝－∫Ｐ(ｒ,ｔ)Ｅ_T(ｒ,ｔ)ｄｒ＝－∫Ｐ_T(ｒ,ｔ)Ｅ_T(ｒ,ｔ)ｄｒであり,積分に寄与するのは分極ベクトルの横成分Ｐ_T(ｒ,ｔ)だけです。

しかし,とりあえず縦成分も含めた形でＶ_E(ｔ)＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλｒ_j(ｔ)Ｅ_T(λｒ_j(ｔ),ｔ)の右辺の電場をテイラー展開するとＶ_E(ｔ)＝ｅΣ_j=1^Z[∫₀¹ｄλｒ_j(ｔ)(1＋λｒ_j(ｔ)∇＋(1/2!){λｒ_j(ｔ)∇}²＋...)Ｅ_T(0,ｔ)]＝ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)[1＋(1/2!)ｒ_j(ｔ)∇＋(1/3!){ｒ_j(ｔ)∇}²＋...]Ｅ_T(0,ｔ)となります。

ただし,[ ]内の各項での空間微分∇ⁱの実行の後ではその都度ｒ_j(ｔ)をゼロと置く操作をします。これは電気ポテンシャルエネルギーに対して"原子の電荷分布の多極モーメントによる展開＝多極展開"を行ったものです。

そして,展開の第１項ｅΣ_j=1^Zｒ_j(ｔ)Ｅ_T(0,ｔ)は電場Ｅの中で原子内の原点にＺｅの原子核があってそのまわりにＺ個の電子がある場合の全電気双極子モーメント:－ｅＤ(ｔ)≡－Σ_j=1^Zｅｒ_jに対する電気双極子相互作用ハミルトニアンＨ＝ｅＤＥと等価です。

また,展開の第２項には電気４重極子モーメント:Ｑ＝－(1/2)Σ_j=1^Zｅｒ_jｒ_jと電場の勾配との積が含まれています。

同様に,磁場Ｂ(ｒ,ｔ)の中における原子のポテンシャルエネルギーはＶ_M(ｔ)＝－∫Ｍ(ｒ,ｔ)Ｂ(ｒ,ｔ)ｄｒ＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλ[{ｒ_j(ｔ)×(ｄｒ_j/ｄｔ)}Ｂ(λｒ_j(ｔ),ｔ)]で与えられます。

磁場には元々横成分しかありません。常に,divＢ＝0 なのでＢ＝Ｂ_Tなんですね。

右辺の磁場をテイラー展開するとＶ_M(ｔ)＝ｅΣ_j=1^Z∫₀¹ｄλ[{ｒ_j(ｔ)×(ｄｒ_j/ｄｔ)}(1＋λｒ_j(ｔ)∇＋(1/2!){λｒ_j(ｔ)∇}²＋...)Ｂ(0,ｔ)]＝(ｅ/ｍ)Σ_j=1^Z[ｌ_j(ｔ)((1/2!)＋(2/3!)ｒ_j(ｔ)∇＋(3/4!){ｒ_j(ｔ)∇}²＋...)Ｂ(0,ｔ)]となります。ここにｌ_j(ｔ)≡ｍｒ_j(ｔ)×(ｄｒ_j/ｄｔ)は電子ｊの角運動量です。

ここでも展開の第１項(ｅ/ｍ)Σ_j=1^Zl_j(ｔ)Ｂ(0,ｔ)は磁場Ｂの中で原子内の原点にＺｅの原子核があってそのまわりにＺ個の電子がある場合の磁気双極子モーメント:－ｅＤ_M(ｔ)≡－(1/2)Σ_j=1^Z(ｅ/ｍ)ｌ_jに対する磁気双極子相互作用ハミルトニアンＨ_M＝ｅＤ_MＢと等価です。

また,展開の第２項には磁気４重極子モーメント:Ｑ_M＝－(2/3!)Σ_j=1^Z(ｅ/ｍ)ｒ_jｌ_jと磁場の勾配との積が含まれています。

ここで原子と電磁場との極小相互作用(minimal coupling)を含むクーロンゲージでの全体系のハミルトニアンをＨ_totとすると,Ｈ_tot＝{1/(2ｍ)}Σ_j=1^Z{ｐ_j＋ｅＡ(ｒ_j(ｔ),ｔ)}²＋(1/2)∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄｒ＋(1/2)∫(ε₀Ｅ_T(ｒ,ｔ)²＋μ₀^-1Ｂ(ｒ,ｔ)²)ｄｒと書けます。

ここまでが,丁度１年前心臓病が発覚したころの2006年12月段階で既に私が"勉強＝読解"していた内容です。

これ以降は新しい項目になるのでたった１行の式をチェックするのさえ,ときには何日もかかる恐れがあるため,かなりスピードが落ちると思います。

その上,22日から風邪を引いてしまって治りません。

私の場合,単なる風邪でも,糖尿病かつ心臓病なので治りにくく,こじらせると命取りになるので,少し体に気を付けたいと思います。

今日はここで終わります。

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　おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

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ヤング(Young)の干渉実験(4)(量子論)

ヤング(Young)の干渉実験の量子論の続きです。

電磁場Ａ(ｒ,ｔ)の生成消滅演算子ａ_kλ⁺,ａ_kλによる陽なフーリエ(Fourier)展開の表現Ａ(ｒ,ｔ)＝Σ_k,λ{ｈ_c/(ε₀Ｖω_k)}^1/2ε_kλ[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)＋ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]とａ_kλ⁺,ａ_kλの交換関係[ａ_kλ,ａ_k'λ'⁺]＝δ_kk'δ_λλ',[ａ_kλ,ａ_k'λ']＝[ａ_kλ⁺,ａ_k'λ'⁺]＝0 から,場の演算子や場の強さの演算子の様々な同時刻交換関係を計算することができます。

具体的計算の詳細を省略して結果だけ書きます。

まず,[Ｅ_Tⁱ(ｒ,ｔ),Ａ^j(ｒ',ｔ)]＝{iｈ/(2ε₀Ｖ)}Σ_λ=1²Σ_kε_k,λⁱε_kλ^j[exp{iｋ(ｒ－ｒ')}＋exp{－iｋ(ｒ－ｒ')}]です。

ここでΣ_λ=1²ε_kλⁱε_kλ^j＝δ^ij－(ｋⁱｋ^j/ｋ²)であり,しかも有限体積Ｖについてのｋ-空間での総和Σ_kはＶ→ ∞では{Ｖ/(2π)³}∫ｄｋとなるので,結局[Ｅ_Tⁱ(ｒ,ｔ),Ａ^j(ｒ',ｔ)]＝[iｈ/{ε₀(2π)³}]∫ｄｋ{δ^ij－(ｋⁱｋ^j/ｋ²)}exp{iｋ(ｒ－ｒ')}となります。

右辺は積分を実行すると特異になり,初等関数では表現できません。そしてこの表式によれば,一般にＶ(ｒ,ｔ)＝Ｖ_T(ｒ,ｔ)＋Ｖ_L(ｒ,ｔ)をＥ_T(ｒ,ｔ)と可換なベクトル場とするとき,∫ｄｒ'[Ｅ_T(ｒ,ｔ),Ｖ(ｒ',ｔ)Ａ(ｒ',ｔ)]＝(iｈ/ε₀)Ｖ_T(ｒ,ｔ)となります。

また,[Ｅ_Tⁱ(ｒ,ｔ),Ｅ_T^j(ｒ',ｔ)]＝[Ｂⁱ(ｒ,ｔ),Ｂ^j(ｒ',ｔ)]＝[Ａⁱ(ｒ,ｔ),Ａ^j(ｒ',ｔ)]＝[Ｂⁱ(ｒ,ｔ),Ａ^j(ｒ',ｔ)]＝0 です。

さらに,[Ｅ_Tⁱ(ｒ,ｔ),Ｂ^j(ｒ',ｔ)]＝ε^ijk[ｈ/{ε₀(2π)³}]∫ｄｋｋ^kexp{iｋ(ｒ－ｒ')}となります。

ここにε^ijkはレヴィ・チビタ(Levi-Civita)の反対称テンソルの記号です。

次に,状態ベクトル|ｎ_k1λ1,ｎ_k2λ2,ｎ_k3λ3..＞＝|ｎ_k1λ1＞|ｎ_k2λ2＞|ｎ_k3λ3＞...＝|{ｎ_kλ}＞において,ｎ_k1λ1＝ｎ_k2λ2＝ｎ_k3λ3＝...＝0 なる状態を想定してこれを場の真空状態と呼ぶことにします。

この状態は励起状態ではないにも関わらず,全エネルギーがゼロではないという興味深い性質を持っています。

つまり,状態|{ｎ_kλ}＞に対するＨ_rad＝Σ_k,λ[ｈ_cω_k(ａ_kλ⁺ａ_kλ＋1/2)]のエネルギー固有値はε_{ｎkλ}＝Σ_k,λε_kλ＝Σ_k,λ[ｈ_cω_k(ｎ_kλ＋1/2)]ですから,ｎ_k1λ1＝ｎ_k2λ2＝ｎ_k3λ3＝．．＝0 なる真空状態の全エネルギーはε₀＝Σ_k,λ(ｈ_cω_k/2)となって,ゼロではなく無限大です。

このε₀を零点エネルギーと言います。

しかし,幸いなことに実験と比較される理論的な量は真空状態からの差で与えられ,それらは有限な値なので零点エネルギーが無限大であっても大して困らないことがわかっています。

すなわち,例えば実際のエネルギーの観測値はε_{ｎk,λ}－ε₀≡Σ_k,λｎ_kλｈ_cω_kで与えられることになります。

ここで,特定のモードｋ,λのみを持つ電磁場に着目します。

この条件下では電場,磁場はスカラーで表現できます。

このとき光波の古典論では,これは複素電場Ｅ(ｚ,ｔ)＝Ｅ₀exp(iｋｚ－iωｔ＋iφ)で表現されますが,たった今与えた量子論での実電場表現に対応するものはＥ(ｒ,ｔ)＝(Ｅ₀/2){exp(－iωｔ＋iｋｒ＋iφ)＋exp(iωｔ－iｋｒ－iφ)}です。

量子力学においてもこうした古典論に類似した表現方法を実行する場合には,位相概念をとり入れる必要があります。

量子論での単一モードの電場演算子は先に与えたＥ_k＝i{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2Σ_εkε_kλ[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]によって,Ｅ(ｒ,ｔ)＝i{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2[ａexp(－iωｔ＋iｋｒ)－ａ⁺exp(iωｔ－iｋｒ)]です。

これと古典論の表示との対比から量子論の消滅演算子ａは規格化因子を除けば古典論の極限で位相因子:exp(iφ)に比例する量であると想像されます。

そして演算子としてａａ⁺＝ａ⁺ａ＋1＝ｎ＾＋1 (ｎ^はエルミート)なる等式が成立するので形式的にａ≡(ｎ^＋1)^1/2exp^(iφ)と定義すれば,exp^(－iφ)≡exp^(iφ)⁺と定義するとき,ａ⁺＝exp^(－iφ)(ｎ^＋1)^1/2となります。

これらはexp^(iφ)＝(ｎ^＋1)^-1/2ａ,exp^(－iφ)＝ａ⁺(ｎ^＋1)^-1/2と同等で,exp^(iφ)exp^(－iφ)＝1が成立します。

しかし,exp^(－iφ)exp^(iφ)＝１は成立しません。それ故,exp^(iφ)はあるエルミートな位相演算子:φ^の指数関数と同一視することはできません。

その意味で,exp(iφ^)と表記せず,exp^(iφ)と表記したわけです。

exp^(iφ)|ｎ＞＝(ｎ^＋1)^-1/2ｎ^1/2|ｎ－1＞ですから,ｎ≠0 ならexp^(iφ)|ｎ＞＝|ｎ－1＞,ｎ＝0 ならexp^(iφ)|ｎ＞＝0 です。

同様にexp^(－iφ)|ｎ＞＝|ｎ＋1＞です。

そこで,演算子exp^(iφ)とexp^(－iφ)のゼロではない行列要素は＜ｎ－1｜exp^(iφ)|ｎ＞＝1(ｎ≠0),および＜ｎ＋1｜exp^(iφ)|ｎ＞＝1のみです。

これら,exp^(iφ),exp^(－iφ)は先に述べたようにエルミート演算子ではありません。

しかし,形式的三角関数:cos^φ≡(1/2){exp^(iφ)＋exp^(－iφ)},sin^φ≡(－i/2){exp^(iφ)－exp^(－iφ)}を作ると,これらはエルミートです。

そしてこれらの演算子のゼロでない行列要素は＜ｎ－1｜cos^φ|ｎ＞＝＜ｎ｜cos^φ|ｎ－1＞＝1/2,＜ｎ－1｜sin^φ|ｎ＞＝－＜ｎ｜sin^φ|ｎ－1＞＝－i/2 のみです。

演算子cos^φ,sin^φはエルミートなので,これらを位相と関連した観測可能な物理量として採用することができます。

そうして,[cos^φ,sin^φ]＝{ａ⁺(ｎ^＋1)^-1ａ－1}/(2i)と書けます。それ故,[cos^φ,sin^φ]の行列要素のうちでゼロでないものは＜0|[cos^φ,sin^φ]|0＞＝－1/(2i)のみです。

また,交換関係:[ｎ^,ａ]＝－ａ,[ｎ^,ａ^＋]＝ａ^＋を用いると,[ｎ^,cos^φ]＝－isin^φ,かつ[ｎ^,sin^φ]＝icos^φが成立することがわかります。

したがって,個数演算子ｎ^と位相演算子は可換ではなく,これらの演算子が同時に固有状態となるような輻射場の状態を作ることは原理的には不可能である,ということになります。

すなわち,不確定性関係としてΔｎΔcosφ≧(1/2)|＜sin^φ＞|,ΔｎΔsinφ≧(1/2)|＜cos^φ＞|が成立します。

例えば単一モードの１個の光子が確定した位相を持つことは不可能です。正確にｎ個の光子が励起されている単一モードの個数状態はその電磁場に伴なう調和振動子のエネルギー固有状態です。

個数状態はそのモードに関する非常に便利な完全系を作っていて,それはまた簡単な性質を有しています。

実際の光源では生成される電磁場は光子数が一定ではないので,通常はこうした個数確定の状態は実験の解釈にとって直接重要ではありませんが,以下,簡単に個数状態の特徴を述べておきます。

|ｎ＞に対しては明らかにΔｎ＝0 です。そして＜ｎ|cos^φ|ｎ＞＝＜ｎ|sin^φ|ｎ＞＝0 で＜ｎ|cos^²φ|ｎ＞＝＜ｎ|sin^²φ|ｎ＞＝1/2(ｎ≠0),1/4(ｎ＝0)です。そこでΔcosφ＝Δcosφ＝(1/2)^1/2(ｎ≠0),1/2(ｎ＝0)です。

また,電場とその２乗期待値はＥ＝i{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2[ａexp(－iωｔ＋iｋｒ)－ａ^＋exp(iωｔ－iｋｒ)]より,＜ｎ|Ｅ|ｎ＞＝0 ,＜ｎ|Ｅ²|ｎ＞＝{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}(ｎ＋1/2)になります。

したがって電場の根平均２乗偏差はΔＥ＝{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2(ｎ＋1/2)^1/2です。

古典論ではＥ(ｒ,ｔ)＝(Ｅ₀/2){exp(－iωｔ＋iｋｒ＋iφ)＋exp(iωｔ－iｋｒ－iφ)}＝Ｅ₀cos(ωｔ－ｋｒ－φ)なので,＜Ｅ²＞_c＝Ｅ₀²/2ですから対応原理によって,量子論でのｎ光子個数状態:|ｎ＞の電磁波は振幅がＥ₀＝{2ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2(ｎ＋1/2)^1/2の古典波に相当することがわかります。

単一モードの状態で物理的に重要なのは,個々の個数状態ではなくそれら個数状態|ｎ＞の１次結合,重ね合わせで与えられる状態です。

可能な重ね合わせ状態は無数にありますが,特に重要なのは次に定義されるコヒーレント状態(coherent states)と呼ばれるものです。

すなわち,|α＞≡exp(－|α|²/2)Σ_n{αⁿ/(ｎ!)^1/2}|ｎ＞で定義される状態をコヒーレント状態と呼びます。この定義でのαは一般に複素数でコヒーレント状態はαの実部と虚部の値の連続的な範囲で２重に連続な状態です。

容易にわかるように＜α|α＞＝exp(－|α|²)Σ_n{|α|²ⁿ/(ｎ!)}＝1が成立しますから|α＞は規格化されています。

しかし,２つの異なる複素数α,βに対して＜α|β＞＝exp(－|α|²/2－|β|²/2＋α^*β)となるので,２つの状態は直交しません。

かくして,全ての|α＞が独立であるというわけでははなく,個数状態:|ｎ＞よりもコヒーレント状態|α＞の方がはるかに数が多いということがわかります。

つまり,集合{|α＞}は調和振動子に対する状態の超完全系を作っていて直交性がありません。

しかし,|＜α|β＞|²＝exp(－|α|²－|β|²)となるので|α－β|＞＞1のときには|α＞と|β＞は近似的に直交しています。

コヒーレント状態|α＞に対し,ａ|α＞＝exp(－|α|²/2)Σ_n{αⁿ/(ｎ!)^1/2}ｎ!^1/2|ｎ－1＞＝α|α＞が成立するので,|α＞は消滅演算子ａの固有値αに属する固有状態となっています。しかし,コヒーレント状態|α＞は生成演算子ａ⁺の固有状態ではありません。

また,|ｎ＞＝(ｎ!)^-1/2(ａ⁺)ⁿ|0＞なる表現を用いると|α＞＝exp(－|α|²/2)Σ_n{αⁿ/(ｎ!)^1/2}|ｎ＞＝exp(αａ^＋－|α|²/2)|0＞＝exp(αａ^＋－α^*ａ)|0＞とも書けます。

次にコヒーレント状態の性質を挙げます。 

まず,＜ｎ＞＝＜α|ｎ^|α＞＝|α|²です。一方,＜ｎ²＞＝＜α|ｎ^²|α＞＝|α|⁴＋|α|²ですから,根平均２乗偏差はΔｎ＝[＜ｎ²＞－|＜ｎ＞|²]^1/2＝|α|＝|＜ｎ＞|^1/2と書けます。

つまり,複素数αに対応するコヒーレント状態|α＞の平均光子数は|α|²であり,不確定さは平均光子数の平方根に等しいわけです。そこでこの空洞モードでの不確定さの比率(ratio)はΔｎ/|＜ｎ＞|＝1/|α|＝1/|＜ｎ＞|^1/2となります。

これは光子数の不確定さの度合いが,"光子数の増加＝励起の増大"と共に減少していくことを示しています。

そして,コヒーレント状態|α＞における観測において実際にｎ個の特定の光子数が見出される確率は|＜ｎ|α＞|²＝exp(－|α|²){|α|²ⁿ/ｎ!)となります。

これは光子数の平均値|α|²のまわりのポアソン分布を示しており,コヒーレント状態は確率的には非常に有りそうな状態であることがわかります。

コヒーレント状態|α＞における位相演算子の期待値はα＝|α|exp(iθ)のとき,＜α|cos^φ|α＞＝|α|cosθexp(－|α|²)Σ_n[|α|²ⁿ/{ｎ!(ｎ＋1)^1/2}]～ cosθ{1－1/(8|α|²)＋...}(|α|²＞＞1),＜α|cos^²φ|α＞＝1/2－(1/4)exp(－|α|²)＋|α|²(cos²θ－1/2) exp(－|α|²)Σ_n[|α|²ⁿ/{ｎ!(ｎ＋1)^1/2(ｎ＋2)^1/2}]～ cos²θ－(cos²θ－1/2)/(2|α|²)－...(|α|²＞＞1)となるので,(Δcosφ)²～ (1－cos²θ)/(4|α|²)＝{sinθ/(2|α|)}²,Δcosφ～ sinθ/(2|α|)(|α|²＞＞1)です。

それ故,コヒーレント状態|α＞での不確定性関係は平均光子数が大きいとき,つまり|α|²＞＞1のとき,ΔｎΔcosφ～ sinθ/2 (|α|²＞＞1)となります。一方,＜α|sin^φ|α＞～ sinθ(|α|²＞＞1)ですから,ΔｎΔcosφ＝(1/2)＜α|sin^φ|α＞＝(1/2)|＜sin^φ＞|が成立しています。

これはコヒーレント状態が先に与えた不確定性原理のΔｎΔcosφ≧(1/2)|＜sin^φ＞|で許される不確定積の最小値を取る場合に相当しており,古典的に最もコヒーレント(coherent:可干渉)な状態に対応していることを示しています。

コヒーレント状態|α＞での電場演算子Ｅ＝i{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2[ａexp(－iωｔ＋iｋｒ)－ａ⁺exp(iωｔ－iｋｒ)]の期待値は＜α|Ｅ|α＞＝－2{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2|α|sin(ωｔ－ｋｒ＋θ),＜α|Ｅ²|α＞＝{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}[4|α|²sin²(ωｔ－ｋｒ＋θ)＋1]です。したがって電場の根２乗平均偏差はΔＥ＝{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2です。

＜α|Ｅ|α＞＝－2{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2|α|sin(ωｔ－ｋｒ＋θ)＝2{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2|α|cos(ωｔ－ｋｒ＋θ＋π/2)を古典論のＥ＝Ｅ₀cos(ωｔ－ｋｒ－φ)と比較すると,Ｅ₀＝2{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2|α|なる古典波に相当することがわかります。

そしてθをθ＝－π/2と取れば＜α|Ｅ|α＞＝2{ｈ_cω/(ε₀Ｖ)}^1/2|α|cos(ωｔ－ｋｒ)＝Ｅ₀cos(ωｔ－ｋｒ)となりα＝|α|exp(iθ)＝－i|α|です。

これまでは空洞内の輻射場の量子状態が状態の完全系の１次結合として表現される,いわゆる純粋状態として表現される場合のみを考察してきましたが,一般にカオス光源から出た光ビームの電場は古典論では一定の振幅と位相の古典的安定波ではなく,これらが特定の値を持つ確率のテーブルによって指定され得るのみです。

この状況は量子論でも同様で,カオス光源の性格上,輻射された場の状態の明確な予測は不可能であり,確率的既述のみが可能です。

こうした情報の欠如のために確率的性格を持つ量子状態は統計的混合状態と呼ばれます。

すなわち,カオス光源によって発生する光では場の状態が純粋状態|Ｒ＞にある既知確率がＰ_Rで与えられるような空洞輻射場であると設定されます。

これの例としてはプランクの黒体輻射の法則を導く段階で,熱励起された光子がエネルギーＥ_n＝ｈ_cω(ｎ＋1/2)を持つ状態|ｎ＞にある確率がＰ_n＝exp{－Ｅ_n/(ｋ_BＴ)}/[Σ_nexp{－Ｅ_n/(ｋ_BＴ)}]で与えられるとされるケースがあります。

このＰ_nは混合状態を指定する確率Ｐ_Rの１例です。

状態間がエンタングルしていない混合状態では,量子力学の観測量Ｏの期待値は集団平均として＜Ｏ＞＝Σ_RＰ_R＜Ｒ|Ｏ|Ｒ＞;Σ_RＰ_R＝1で与えられますが,完全系を{|Ｓ＞}として右辺に等式1＝Σ_S|Ｓ＞＜Ｓ|を挿入すれば＜Ｏ＞＝Σ_RΣ_SＰ_R＜Ｓ|Ｒ＞＜Ｒ|Ｏ|Ｓ＞＝Ｔr(ρＯ)となります。

ここで"密度演算子＝密度行列 or 統計作用素"をρ≡Σ_RＰ_R|Ｒ＞＜Ｒ|で定義しました。

さらに"物理量＝エルミート演算子Ｘ"の"対角和＝トレース(trace or spur)"Σ_S＜Ｓ|Ｘ|Ｓ＞に対する表記として一般的な記号Ｔr(Ｘ)を用いました。

Ｔr(Ｘ)＝Σ_S＜Ｓ|Ｘ|Ｓ＞＝Σ_T＜Ｔ|Ｘ|Ｔ＞であり,対角和の値は完全系{|Ｓ＞},{|Ｔ＞}の選択に依らないことは簡単にわかります。

また,Ｔr(ρ)＝1でＴr(ρ²)＝Σ_RＰ_R²≦(Σ_RＰ_R)²＝1より,Ｔr(ρ)≦1ですが,特に確率がＰ_R＝1で完全に状態|Ｒ＞にある純粋状態では,ρ＝|Ｒ＞＜Ｒ|なのでρ²＝ρですから,純粋状態ならＴr(ρ²)＝1です。

完全系を個数状態{|ｎ＞}に取ってρ＝Σ_nＰ_n|ｎ＞＜ｎ|とし,確率Ｐ_nをＰ_n＝exp{－ｎｈ_cω/(ｋ_BＴ)}/[Σ_nexp{－ｎｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]で与えると,ρ＝[1－exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]/[Σ_nexp{－ｎｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]|ｎ＞＜ｎ|となります。

そして平均光子数＜ｎ＞はＯ＝ｎ＾＝ａ⁺ａの期待値ですから,＜ｎ＞＝Ｔr(ρａ⁺ａ)ですが,これを用いるとρ＝Σ_nＰ_n|ｎ＞＜ｎ|＝Σ_n[＜ｎ＞ⁿ/(1＋＜ｎ＞)ⁿ⁺¹]|ｎ＞＜ｎ|,あるいはρ＝[1－exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]exp{－ｈ_cωａ⁺ａ/(ｋ_BＴ)}と書けます。

単一モードではなくて全モードの完全系{|{ｎ_kλ}_k,λ＞}を考えた一般的な場合なら,密度演算子はρ＝Σ_{ｎkλ}Ｐ_{ｎkλ}|{ｎ_kλ}＞＜{ｎ_kλ}|となり,確率はＰ_{ｎkλ}＝Π_k,λ[＜ｎ_kλ＞^ｎkλ/(1＋＜ｎ_kλ＞)^ｎkλ+1]です。熱励起の空洞輻射の場合なら＜ｎ_kλ＞は＜ｎ_kλ＞＝1/[exp{ｈ_cω_k/(ｋ_BＴ)}－1]と陽に表現できます。

これらは熱励起の空洞輻射現象に限らず,統計的性質が適当にランダムである広範な励起光子の現象にも当てはまります。

したがってカオス光源から発生した光ビームの場合であっても,上述の混合状態での密度行列ρの表現を採用できます。

そして,＜ｎ_kλ＞ω_kの大きさをω_kに関しての分布がローレンツ型の依存性を持つように取れば,ρ＝Σ_{ｎkλ}Π_k,λ[＜ｎ_kλ＞^ｎkλ/(1＋＜ｎ_kλ＞)^ｎkλ+1]|{ｎ_kλ}＞＜{ｎ_kλ}|はカオス光源から出たローレンツ型周波数分布の光ビームに対する正しい密度演算子になります。

カオス光と結びついた型の光子のランダムな励起に対してはρ＝Σ_n[＜ｎ＞ⁿ/(1＋＜ｎ＞)ⁿ⁺¹]|ｎ＞＜ｎ|なる単一モードの密度演算子は光子数(励起準位)のゆらぎの時間尺度について何の情報も与えません。

しかし,一般に実験的な平均はゆらぎの時間尺度に比べて十分長い時間にわたる一連の測定結果に従って計算する必要があります。

"２個＝１対"の空洞モードを持つ同じ偏りの２個の光子の電場は古典的にはＥ(ｚ,ｔ)＝Ｅ₁exp(iｋ₁ｚ－iω₁ｔ)＋Ｅ₂exp(iｋ₂ｚ－iω₂ｔ)ですが,これに類似の２光子モードの量子力学的記述は密度演算子ρ＝|α₁＞|α₂＞＜α₂|＜α₁|を持つ純粋状態です。

今日はここで終わります。 

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃)

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    物理学

                                                                                        

ヤング(Young)の干渉実験(3)(量子論)

ヤング(Young)の干渉実験の量子論の続きです。

まず,前記事の終わりの部分を再掲します。

自由場の波動方程式は□Ａ＝∇²Ａ－(1/ｃ²)(∂²Ａ/∂ｔ²)＝0 です。電磁場の量子化はポテンシャル:Ａ(ｒ,ｔ)を量子力学の演算子と読み換えることから始まります。

簡単のために,便宜上,１辺がＬの立方体空洞の中の電磁場を想定し,しかも周期的境界条件を満たすとします。こう設定しても一般性を失なうわけではありません。

このとき波動方程式の解はＡ(ｒ,ｔ)＝Σ_k[Ａ_k(ｔ)exp(iｋｒ)＋Ａ_k^*(ｔ)exp(－iｋｒ)]とフーリエ級数で表現されます。

ここで周期的境界条件を満たす波動ベクトル:ｋ＝(ｋ_x,ｋ_y,ｋ_z)は,ｋ_x＝2πν_x/Ｌ,ｋ_y＝2πν_y/Ｌ,ｋ_z＝2πν_z/Ｌ(ν_x,ν_y,ν_z＝0,±1,±2,±3,..)で与えられます。

クーロンゲージの条件:∇Ａ(ｒ,ｔ)＝0 はｋＡ_k(ｔ)＝0 であれば満たされます。

Ａ(ｒ,ｔ)の相異なるフーリエ成分Ａ_k(ｔ)は互いに独立であり,個別に波動方程式を満たす必要があります。

すなわち,ｋ²Ａ_k(ｔ)＋(1/ｃ²)(ｄ²Ａ_k(ｔ)/ｄｔ²)＝0 です。これの複素共役Ａ_k^*(ｔ)も同じ方程式を満足します。

ω_k≡ｃｋ≡ｃ|ｋ|と置いたとき,Ａ_k,Ａ_k^*の満たす方程式:ｄ²Ａ_k/ｄｔ²＝－ω_k²Ａ_kは,通常の単振動,あるいは調和振動の方程式を表わしています。

そこで電磁場を量子力学における調和振動子の集まりとみなすことで,これを量子化できます。

Ａ_k(ｔ)＝Ａ_kexp(－iω_kｔ)と表わせば,Ａ(ｒ,ｔ)＝Σ_k[Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)＋Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)]と書けます。

ここからが,今日の記事の始まりです。

単一のモードｋのサイクル平均のエネルギーをε_kとすると,Ｅ_k,Ｂ_kが実電場,実磁場であるとするとき,ε_k＝(1/2)∫_(空洞)＜ε₀Ｅ_k²＋μ₀^-1Ｂ_k²＞_cｄＶです。

ベクトルポテンシャルＡのフーリエ展開:Ａ(ｒ,ｔ)＝Σ_k[Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)＋Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)]によれば,電場はＥ(ｒ,ｔ)＝－(∂Ａ(ｒ,ｔ)/∂ｔ)＝Σ_k(iω_k)[Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)]＝Σ_kＥ_k(ｒ,ｔ),磁場はＢ(ｒ,ｔ)＝∇×Ａ(ｒ,ｔ)＝Σ_k[iｋ×{Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)}]＝Σ_kＢ_k(ｒ,ｔ)となります。

そこで,電場のフーリエ成分:Ｅ_k＝Ｅ_k(ｒ,ｔ)と磁場のフーリエ成分:Ｂ_k＝Ｂ_k(ｒ,ｔ)は,Ｅ_k＝(iω_k){Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)},およびＢ_k＝iｋ×{Ａ_kexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－Ａ_k^*exp(iω_kｔ－iｋｒ)}と表現されます。

実電場の意味でのＥ_kでは＜Ｅ_k²＞_c＝ω_k²Ａ_kＡ_k^*であり,実磁場の意味でのＢ_kでは＜Ｂ_k²＞_c＝ｋ²Ａ_kＡ_k^*＝(ω_k/ｃ)²Ａ_kＡ_k^*です。

したがってε_k＝(1/2)∫_(空洞)＜ε₀Ｅ_k²＋μ₀^-1Ｂ_k²＞_cｄＶ＝ε₀Ｖω_k²Ａ_kＡ_k^*となります。

ここにＶ≡Ｌ³は立方体空洞の体積(volume)です。

2006年7/22の記事「黒体輻射(空洞輻射)と空洞の形状」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/07/post_ba23.html において証明したように,輻射の分布やその性質はここで仮定した立方体形状やその１辺の長さＬと関わる特殊な周期的境界条件の選択とは無関係であり,ただ空洞の大きさが有限であって体積がＶであるということのみが場にとって本質的です。つまり,特定な形状の選択によって一般性は失われません。

ここで,Ａ_k≡(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ＋iＰ_kλ)ε_kλ,Ａ_k^*≡(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ－iＰ_k,λ)ε_kλと置きます。

ε_kλはε_kλｋ＝0,|ε_kλ|^2­＝1なるｋに垂直な横波の偏光(偏り or 偏極)を示す２つの独立な単位ベクトルです。

そしてＡ_kＡ_k^*≡(2ε₀Ｖω_k²)^-1Σ_λ=1²(Ｐ_kλ²＋ω_k²Ｑ_kλ²)となり,モードエネルギーはε_k＝(1/2)Σ_λ=1²(Ｐ_kλ²＋ω_k²Ｑ_kλ²)となります。これは単位質量を持つ位置座標:Ｑ_kλ,運動量座標:Ｐ_kλを持つ通常の古典的１次元調和振動子のエネルギーの形になっています。

そこで,"総エネルギー＝電磁場全体のハミルトニアンＨ_rad"はＨ_rad＝(1/2)∫_(空洞)＜ε₀Ｅ²＋μ₀^-1Ｂ²＞_cｄＶ＝Σ_kε_k＝(1/2)Σ_λ=1²(Ｐ_kλ²＋ω_k²Ｑ_kλ²)となります。

ここで量子力学における１次元調和振動子の理論を復習します。

単位質量を仮定すると１次元調和振動子のハミルトニアンＨ はｑを位置演算子,ｐを運動量演算子としてＨ＝(ｐ²＋ω²ｑ²)と書けます。

そしてｐ,ｑは通常の交換関係:[ｑ,ｐ]＝iｈ_cに従います。(ただしｈ_c≡ｈ/(2π)はプランク定数です。)

ｐ,ｑに代わる１対の演算子ａ,ａ⁺をａ≡(2ｈ_cω)^-1/2(ωｑ＋iｐ),ａ⁺≡(2ｈ_cω)^-1/2(ωｑ－iｐ),あるいは逆にｑ≡{ｈ_c/(2ω)}^1/2(ａ＋ａ⁺),ｐ≡{ｈ_c/(2ω)}^1/2(ａ－ａ⁺)によって定義します。

これからａ⁺ａ＝(ｈ_cω)^-1(Ｈ－ｈ_cω/2),かつａａ⁺＝(ｈ_cω)^-1(Ｈ＋ｈ_cω/2)が得られます。

したがって,[ａ,ａ⁺]＝1,Ｈ＝ｈ_cω(ａ⁺ａ＋1/2)と書けます。

ここで個数演算子ｎ^をｎ^≡ａ⁺ａによって定義すればＨ＝ｈ_cω(ｎ^＋1/2)です。

固有値Ｅ_nに属するＨ のエネルギー固有状態を|ｎ＞とします。すなわち,Ｈ |ｎ＞＝ｈ_cω(ａ⁺ａ＋1/2)|ｎ＞＝Ｅ_n|ｎ＞です。

このときａ⁺Ｈ |ｎ＞＝ｈ_cω(ａ⁺ａａ⁺－ａ⁺＋ａ⁺/2)|ｎ＞＝Ｅ_nａ⁺|ｎ＞です。

故に,ｈ_cω(ａ⁺ａ＋1/2)ａ⁺|ｎ＞＝Ｈａ⁺|ｎ＞＝(Ｅ_n＋ｈ_cω)ａ⁺|ｎ＞となります。そこで,|ｎ＋1＞≡ａ⁺|ｎ＞,Ｅ_n+1≡Ｅ_n＋ｈ_cωと定義すると,上式はＨ|ｎ＋1＞＝Ｅ_n+1|ｎ＋1＞と書けます。

同様に,Ｈａ|ｎ＞＝(Ｅ_n－ｈ_cω)ａ|ｎ＞です。そこで,|ｎ－1＞≡ａ|ｎ＞,Ｅ_n-1≡Ｅ_n－ｈ_cωと定義すると,上式はＨ|ｎ－1＞＝Ｅ_n-1|ｎ－1＞とあります。

それ故,準位のはしごが等間隔ｈ_cωで上下に伸びていくという描像になります。

しかし,＜ψ|Ｈ |ψ＞＝＜φ|φ＞＋(1/2)＜ψ|ψ＞,|φ＞≡ａ|ψ＞であって,状態ベクトルの空間では状態|ψ＞のノルムは|ψ|≡＜ψ|ψ＞^1/2≧0 で定義され,＜ψ|ψ＞は非負の値を取るはずですから,＜ψ|Ｈ |ψ＞≧0 です。

つまり,ハミルトニアンＨ は演算子,あるいは行列として正値なので,その期待値は負になることはありません。したがってその固有値も非負で下に有界です。

そこで"Ｈ の固有値＝エネルギー固有値"の最小値をＥ₀≧0 とし,エネルギー固有値Ｅ₀に属する状態を基底状態(真空)と呼んで,|0＞という記号で表わすことにします。すなわちＨ |0＞＝Ｅ₀|0＞です。

|0＞がエネルギー最低の状態なので,必然的に必要条件であるＨａ|0＞＝(Ｅ₀－ｈ_cω)ａ|0＞を満たす解はａ|0＞＝0 を満たすものしかありません。それ故,Ｈ|0＞＝ｈ_cω(ａ^＋ａ＋1/2)|0＞＝(ｈ_cω/2)|0＞＝Ｅ₀|0＞,つまりＥ₀＝ｈ_cω/2 です。

これから,結局Ｅ_n＝(ｎ＋1/2)ｈ_cω(ｎ＝0,1,2,..)と書けることがわかりました。特に,|ｎ＞はＨとｎ^≡ａ⁺ａの共通の固有状態になっていてｎ^|ｎ＞＝ａ⁺ａ|ｎ＞＝ｎ|ｎ＞です。

先に規格化定数を無視して,暫定的に|ｎ＋1＞≡ａ⁺|ｎ＞,|ｎ－1＞≡ａ|ｎ＞と定義しましたが,＜ｎ－1|ｎ－1＞＝＜ｎ|ｎ＞＝＜ｎ－1|ｎ－1＞＝1を満たすようにａ|ｎ＞＝ｂ_n|ｎ－1＞,ａ⁺|ｎ＞＝ｃ_n|ｎ＋1＞と置くと,|ｂ_n|²＝ｎ,|ｃ_n|²＝ｎ＋1ですから,位相をゼロにとるとｂ_n＝ｎ^1/2,ｃ_n＝(ｎ＋1)^1/2,つまりａ|ｎ＞＝ｎ^1/2|ｎ－1＞,ａ⁺|ｎ＞＝(ｎ＋1)^1/2|ｎ＋1＞と書けます。

こうとれば個数状態は|ｎ＞＝(ｎ!)^-1/2(ａ⁺)ⁿ|0＞と陽に表わすことができます。

ここで,ｐ,ｑはエルミート演算子ですがａ,ａ⁺はエルミートではないので観測可能量ではないということを特に注意しておきます。

さて,準備が整ったので輻射場の各モード(ｋ,λ);λ＝1,2に各々調和振動子を結びつけることによって自由電磁場を量子化します。

つまり,波動ベクトルがｋ,偏りがλの空洞電磁場の各調和振動子モード(ｋ,λ)に対応する状態をｈ_cω_kだけ励起することを,エネルギーがｈ_cω_kの１個の"量子＝光子(photon)"を生成することと同一視して調和振動子のエネルギーを昇降させる演算子ａ_kλ⁺を光子の生成演算子,ａ_kλを光子の消滅演算子と呼びます。

具体的には,Ａ_k≡(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ＋iＰ_kλ)ε_kλ,Ａ_k^*≡(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ－iＰ_kλ)ε_kλにおいてａ_kλ≡(2ｈ_cω_k)^-1/2(ω_kＱ_kλ＋iＰ_k,λ),ａ_kλ^＋≡(2ｈ_cω_k)^-1/2(ω_kＱ_kλ－iＰ_kλ)と置いて,Ａ_k＝(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ＋iＰ_kλ)ε_kλ＝{ｈ_c/(ε₀Ｖω_k)}^1/2Σ_λ=1²ａ_kλε_kλ,Ａ_k^*＝(2ε₀Ｖω_k²)^-1/2Σ_λ=1²(ω_kＱ_kλ－iＰ_kλ)ε_kλ＝{ｈ_c/(ε₀Ｖω_k)}^1/2Σ_λ=1²ａ_kλ⁺ε_kλと置き換えることにより,Ｐ_kλ,およびＱ_kλを,それぞれ量子力学における調和振動子の運動量,および位置の演算子としたときの表現になります。

全ベクトルポテンシャルＡの量子化した表現はＡ(ｒ,ｔ)＝Σ_k,λ{ｈ_c/(ε₀Ｖω_k)}^1/2ε_kλ[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)＋ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]となります。

そして全横電場Ｅ_Tと磁場ＢはＥ_T(ｒ,ｔ)＝Σ_kＥ_k;Ｅ_k＝i{ｈ_cω_k/(ε₀Ｖ)}^1/2Σ_λ=1²ε_kλ[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]とＢ(ｒ,ｔ)＝Σ_kＢ_k ;Ｂ_k＝i{ｈ_c/(ε₀Ｖω_k)}^1/2Σ_λ=1²(ｋ×ε_kλ)[ａ_kλexp(－iω_kｔ＋iｋｒ)－ａ_kλ⁺exp(iω_kｔ－iｋｒ)]なる表式で与えられます。

また,自由な輻射電磁場の総エネルギーはもちろん,Ｈ_rad＝Σ_kε_k＝(1/2)Σ_kλ(Ｐ_kλ²＋ω_k²Ｑ_kλ²)＝Σ_k,λｈ_cω_k(ａ_kλ⁺ａ_kλ ＋1/2)で与えられます。そして量子論にとって重要な(正準)交換関係は調和振動子のそれ:[ａ_kλ,ａ_k'λ'⁺]＝δ_kk'δ_λλ',[ａ_kλ,ａ_k'λ']＝[ａ_kλ⁺,ａ_k'λ'⁺]＝0 です。これらによって例えば[Ｈ_rad,Ａ]＝iｈ_cＥ_Tなる関係式が成立します。

そうして,ａ_kλ|ｎ_kλ＞＝ｎ_kλ^1/2|ｎ_kλ－1＞,ａ_kλ^＋|ｎ_kλ＞＝(ｎ_kλ＋1)^1/2|ｎ_kλ＋1＞です。

空洞内の場全体の個々の状態は,モード(ｋ₁,λ₁),(ｋ₂,λ₂),(ｋ₃,λ₃)..(ただしλ₁＝λ₂＝λ₃＝...＝1,2)の作る完全系に対して,個数演算子ｎ^_kiλi≡ａ_kiλi^＋ａ_kiλiの固有値ｎ_kiλiで与えられる励起光子数の順列:ｎ_k1λ1,ｎ_k2λ2,ｎ_k3λ3．．によって指定されます。

すなわち,ある順序を指定した空洞モードについて,規格化された個数表示の固有状態ベクトル|ｎ_k1,λ1,ｎ_k2,λ2,ｎ_k3,λ3...＞＝|ｎ_k1λ1＞|ｎ_k2λ2＞|ｎ_k3λ3＞...の全体から成る集合が電磁場の状態の完全系を張ると考えるわけです。以下では,この状態の基底ベクトルの個々を|{ｎ_k,λ}＞と略記することにします。

こうした量子化の手続きを個数量子化,第２量子化,あるいは場の量子化といいます。

きりがいいので,今日はここまでにします。

参考文献:R.Loudon 著(小島忠宣,小島和子 共訳)「光の量子論(第２版)」(内田老鶴圃),J.D.Bjorken and S.D.Drell「Relativistic Quantum Field」(McGraw-Hill Book Company)

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