分子と点群(3)
続きです。前回中途半端で終わったので,例題の２次元の特殊ユニタリ群ＳＵ(2)について補足しておきます。
まず,前回の最後の部分をほぼそのまま書きます。
※(再掲開始)
例としてＧが２次元の特殊ユニタリ群:ＳＵ(2)である場合を考えてみます。Ｇ＝ＳＵ(2)≡{ｇ∈ＧＬ(2)|ｇ＋＝ｇ-1,detｇ＝1}です。ただしＧＬ(2)は２次の正則な正方行列から成る群です。
対角成分がａ,ａ-1(ａ∈Ｃ,ａ≠0)の２次の対角行列をｈaとし,Ｈ≡{ｈa∈ＧＬ(2)|ａ∈Ｃ,|ａ|＝1}とします。
Ｈは明らかにＧ＝ＳＵ(2)の部分群です。しかも,これは可換群(アーベル群)であり,１-パラメータ群(ａ＝exp(iα))なので,Ｕ(1)(絶対値が１の複素数の乗法群)と同型です。
Ｇ＝ＳＵ(2)の任意の元ｇの２つの固有値をａ,ａ-1(ａ∈Ｃ,|ａ|＝1)とすると,ｇはあるｋ∈ＳＵ(2)によってｈa＝ｋ-1ｇｋ,ｈa∈Ｈと対角化できます。またはｇ＝ｋｈaｋ-1,ｈa∈Ｈとすることができます。
一般にＵ(1)の幾つかの直積と同型な群をトーラス群といいます。
Ｈがトーラス群,かつＧの部分群,すなわちトーラス部分群であって,これを真に含むＧのトーラス部分群が存在しないなら,ＨをＧの極大トーラス部分群と呼びます。
今のＧ＝ＳＵ(2)の場合には,上で定義した２次の対角行列から成る部分群ＨはＳＵ(2)の極大トーラス部分群となっています。
[定理５]:Ｇ＝ＳＵ(2)とする。
(1)Ｇの任意の元ｇは極大トーラス群Ｈの元と共役である。
(2)ｇ,ｈ∈Ｇ,に対してｆ(ｈｇｈ-1)＝ｆ(ｇ)を満たす関数(類関数という)ｆは極大トーラス部分群Ｈの上の値だけで決まる。
すなわち,ｆ1,ｆ2を２つの類関数とするとき,∀ｈ∈Ｈに対してｆ1(ｈ)＝ｆ2(ｈ)ならｆ1＝ｆ2である。
Ｇ＝ＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)の指標χDは明らかに類関数なので,これは極大トーラス部分群Ｈの上の値だけで決まります。
(再掲終了)※
さて,ＳＵ(2)の(ｍ＋1)次元表現(Ｄm,Ｕm)の表現空間Ｕmを２つの文字ｚ1,ｚ2の複素係数のｍ次の同次多項式全体から成る空間とします。
Ｕmの任意の元は(ｍ＋1)個の単項式ｚ1m,ｚ1m-1ｚ2,..,ｚ1ｚ2m-1,ｚ2mの１次結合として一意的に表現されるのでＵmは確かに(ｍ＋1)次元線型空間です。
そして,表現(Ｄm,Ｕm)を∀φ∈Ｕmに対しＤm(ｇ)φ(ｚ)≡φ(ｇｚ)(∀ｇ∈ＳＵ(2)) で定義します。ここでｚ＝t(ｚ1,ｚ2)としました。
このとき,∀ｇ,ｈ∈ＳＵ(2)に対してＤm(ｇｈ)φ(ｚ)＝φ(ｇｈｚ)＝Ｄm(ｇ)φ(ｈｚ)＝Ｄm(ｇ)Ｄm(ｈ)φ(ｚ)なので,この写像は定義域Ｇ＝ＳＵ(2)の上で確かに準同型になっていますが,Ｄm(ｇ)は本当にＵmの上の線型変換なのでしょうか？
まず,φ(ｚ)がｚ1,ｚ2のｍ次の同次多項式,つまりφ(ｚ)＝ｃ1ｚ1m＋ｃ2ｚ1m-1ｚ2＋..＋ｃm-1ｚ1ｚ2m-1＋ｃmｚ2mであることは,φ(ｔｚ)＝ｔmφ(ｚ)であることを意味します。
ｇｚ＝t(ａｚ1＋ｂｚ2,ｃｚ1＋ｄｚ2)(ａｄ－ｂｃ＝1,ｄ＝ａ*,ｃ＝－ｂ*)なるｇに対しｇ(ｔｚ)＝ｔ(ｇｚ)なので,φ(ｇ(ｔｚ))＝φ(ｔ(ｇｚ))＝ｔmφ(ｇｚ)です。
故に,Ｄm(ｇ)φ(ｚ)＝φ(ｇｚ)も成立します。つまりＤm(ｇ)φはｚ1,ｚ2のｍ次の同次多項式です。
そこで,演算Ｄm(ｇ)に対し表現空間Ｕmは不変で閉じていること:Ｄm(ｇ)は確かにＵmからＵmへの写像であることがわかります。
そして,∀φ,ψ∈Ｕmと∀α,β∈Ｃに対してＤm(ｇ)[(αφ＋βψ)(ｚ)]＝(αφ＋βψ)(ｇｚ)＝αＤm(ｇ)φ(ｚ)＋βＤm(ｇ)ψ(ｚ)なので線型性も自明です。
結局,Ｄm(ｇ)はＵmの上の線型変換であり,(Ｄm,Ｕm)が確かにＳＵ(2)の１つの表現であることがわかりました。
ここで,ｚ≡ｚ1/ｚ2と置けばＵmの任意の元であるｚ1,ｚ2のｍ次の同次多項式は,ｚのｍ次多項式φ^(ｚ)を用いてφ(ｚ)＝ｃ1ｚ1m＋ｃ2ｚ1m-1ｚ2＋..＋ｃm-1ｚ1ｚ2m-1＋ｃmｚ2m＝ｚ2m(ｃ1ｚm＋ｃ2ｚm-1＋..＋ｃm-1ｚ＋ｃm)≡ｚ2mφ^(ｚ)と表現されます。
ただし,ｚのｍ次多項式φ^(ｚ)をφ^(ｚ)≡φ(ｚ)/ｚ2m,またはφ(ｚ)≡ｚ2mφ^(ｚ)によって定義しました。
このｚの多項式:φ^はｚ1,ｚ2の同次多項式φ∈Ｕmと完全に１対１に対応します。
そして,ｇがｇｚ＝t(ａｚ1＋ｂｚ2,ｃｚ1＋ｄｚ2)(ａｄ－ｂｃ＝1,ｄ＝ａ*,ｃ＝－ｂ*)を与えるＳＵ(2)の元である場合,
Ｄm(ｇ)φ(ｚ)＝φ(ｇｚ)なる変換式は,Ｄm(ｇ)[ｚ2mφ^(ｚ)]＝(ｃｚ1＋ｄｚ2)mφ^((ａｚ1＋ｂｚ2)/(ｃｚ1＋ｄｚ2))＝ｚ2m(ｃｚ＋ｄ)mφ^((ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ))を意味します。
結局,Ｕmの任意の元であるｚ1,ｚ2のｍ次同次多項式φ(ｚ)はｚのｍ次多項式φ^(ｚ)と完全に１対１に対応することがわかりました。
つまり,ｚ1,ｚ2のｍ次同次多項式φ(ｚ)は(ｍ＋1)個の基底ｚ1m,ｚ1m-1ｚ2,..,ｚ1ｚ2m-1,ｚ2mの１次結合として一意的に表現されますが,これはφ(ｚ)と全く同じ係数の(ｍ＋1)個の基底ｚm,ｚm-1,..,ｚ,1の１次結合であるｚのｍ次多項式φ^(ｚ)に同型対応します。
そこで,Ｕmはｚのｍ次多項式全体の作る線型空間Ｖmと同型です。
したがって,表現(Ｄm,Ｕm)における表現空間ＵmをＶmに変更した(ｍ＋1)次元表現を(Ｄm,Ｖm)と書けば,これはｇｚ＝t(ａｚ1＋ｂｚ2,ｃｚ1＋ｄｚ2)を与えるｇ∈ＳＵ(2)に対してＤm(ｇ)φ^(ｚ)＝(ｃｚ＋ｄ)mφ^((ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ))を与える表現です。
結局,Ｕm→Ｖmは表現Ｄmの表現空間における単なる基底変換と見なせるので,(Ｄm,Ｖm)は(Ｄm,Ｕm)に同値です。
(なお,ｚ→ａｚ＋ｂ/(ｃｚ＋ｄ)を１次分数変換,またはメビウス変換と呼びます。この変換はＳＵ(2)と全く同型です。
普通,これもＳＵ(2)と同一視されますが,群の表現と解釈するなら忠実な表現です。)
ＳＵ(2)の(ｍ＋1)次元表現(Ｄm,Ｖm)は,ｈa∈Ｈに対してはＤm(ｈa)φ^(ｚ)＝ａ-mφ^(ａｚ/ａ-1)＝ａ-mφ^(ａ2ｚ)ですから,Ｖmの全ての基底:ｆk(ｚ)≡ｚk(ｋ＝0,1,2,..,ｍ)に対してはＤm(ｈa)ｆk(ｚ)＝ａ2k-mｆk(ｚ)となります。
したがって,基底ｆk＝ｆk(ｚ)＝ｚｋの１次結合で表わした任意のφ＝Σk=0mｃkｆk∈Ｖmに対して,Ｄm(ｈa)はＤm(ｈa)φ＝Σk=0mａ2k-mｃkｆkと書けます。
つまり,線型変換Ｄm(ｈa)は行列表現ではその成分がＤm(ｈa)kj＝ａ2k-mδkjの対角行列です。
そこで,表現(Ｄm,Ｖm)の指標χＤmをχmと書けば,χm(ｈa)＝Ｔr{Ｄm(ｈa)}＝Σk=0mａ2k-m＝ａ-m(1－ａ2(m+1))/(1－ａ2)＝(ａ-(m+1)－ａm+1)/(ａ-1－ａ)＝sin{(ｍ＋1)α}/sinα,(ａ≡exp(iα),α∈Ｒ)となります。
ところで,ｇｚ＝t(ａｚ1＋ｂｚ2,ｃｚ1＋ｄｚ2)(ａｄ－ｂｃ＝1,ｄ＝ａ*,ｂ＝－ｃ*)を与えるＳＵ(2)の元ｇの成分を４つの実数ｘ1,ｘ2,ｘ3,ｘ4を用いてａ＝ｘ1＋iｘ2,ｃ＝ｘ3＋iｘ4と表現すれば,ａｄ－ｂｃ＝1なる条件はｘ12＋ｘ22＋ｘ32＋ｘ42＝1となります。
そこで,３つの独立なパラメータθ1,θ2,θ3∈Ｒによってｘ1＝cosθ1,ｘ2＝cosθ2sinθ1,ｘ3＝cosθ3sinθ2sinθ1,ｘ4＝sinθ3sinθ2sinθ1と表わすことができます。
ただし,0≦θ1≦π,0≦θ2≦π,0≦θ3≦2πです。
微小長さｄｓはｄｓ2＝ｄｘ12＋ｄｘ22＋ｄｘ32＋ｄｘ42＝ｄθ12＋sin2θ1ｄθ22＋sin2θ1sin2θ2ｄθ32で与えられるので,対応する体積要素はsin2θ1sinθ2ｄθ1ｄθ2ｄθ3になります。
そこで,∫SU(2)ψ(ｇ)ｄｇ＝∫02π∫0π∫0πψ(θ1,θ2,θ3)sin2θ1sinθ2ｄθ1ｄθ2ｄθ3がＳＵ(2)上の不変積分となります。
これにψ≡1を代入したＳＵ(2)の全体積が２π2となるので,規格化された不変測度は上記ｄｇを２π2で割り,改めてｄｇ＝{1/(2π2)}sin2θ1sinθ2ｄθ1ｄθ2ｄθ3で与えられます。
ところで,ｇ＝ｈaの対角行列ではｃ＝ｘ3＋iｘ4＝0 ですから,これはθ2＝0 を意味します。
そして,このときａ＝ｘ1＋iｘ2＝cosθ1＋isinθ1＝exp(iθ1)ですから上で求めた指標χm(ｈa)＝Σk=0mａ2k-m＝sin{(ｍ＋1)α}/sinα(ａ≡exp(iα),α∈Ｒ)は,これにα＝θ1を代入することで明確なθ1の関数の形でχm(ｈa)＝sin{(ｍ＋1)θ1}/sinθ1となります。
そして,先にコンパクト群Ｇ上の関数φ,ψについての内積を＜φ|ψ＞≡∫Ｇφ(ｇ)*ψ(ｇ)ｄｇによって定義しました。
これによりＧ＝ＳＵ(2)においては＜χm+1|χn+1＞＝∫SU(2)χm+1(ｇ)*χn+1(ｇ)ｄｇ＝∫SU(2)χm+1(ｈa)*χn+1(ｈa)ｄｇ＝{1/(2π2)}∫02π∫0π∫0πsin{(ｍ＋1)θ1}sin{(ｎ＋1)θ1}sinθ2ｄθ1ｄθ2ｄθ3＝(2/π)∫0πsin{(ｍ＋1)θ1}sin{(ｎ＋1)θ1}ｄθ1＝δmnが得られます。
このことから,表現(Ｄm,Ｖm),または(Ｄm,Ｕm)(ｍ＝0,1,2,..)は全てＳＵ(2)の(ｍ＋1)次元の既約表現であることがわかりました。
最後に,ＳＵ(2)の既約表現が上記の(Ｄm,Ｖm),または(Ｄm,Ｕm)(ｍ＝0,1,2,..)で尽くされることを見ます。
まず,任意の表現(Ｄ,Ｕ)の指標χDは極大トーラス部分群Ｈの上のｈa,つまりパラメータθ1のみの関数として,χD(ｈa)＝χD(θ1)で与えられ,これは＜χD|χD＞＝(2/π)∫0πχD(θ1)*χ D(θ1)sin2θ1ｄθ1を満たします。
しかも,ｈaとｈa-1＝ｈ1/aは互いに共役(相似)なのでχD(ｈa)＝χD(ｈ1/a )ですが,ａ＝exp(iθ1),ａ-1＝1/ａ＝exp(－iθ1)なのでχD(θ1)＝χD(－θ1)よりχD(θ1)は偶関数です。
したがって,ξ(θ1)≡sinθ1χD(θ1)とおくと,これはθ1の奇関数で周期が2πの連続関数です。
そこで,こξ(θ1)はξ(θ1)＝Σn=1∞ｃnsin(ｎθ1),ｃn＝(2/π)∫0πξ(θ1)sin(ｎθ1)ｄθ1とフーリエ正弦展開できます。
よって,＜χD|χm＞＝(2/π)∫0πξ(θ1)sin{(ｍ＋1)θ1}ｄθ1＝ｃm+1となります。
そこで,もしも表現(Ｄ,Ｕ)があらゆる(Ｄm,Ｕm)と異値:＜χD|χm＞＝0 (ｍ＝0,1,2,..)なら,ｃm+1＝0 (ｍ＝0,1,2,..)によって恒等的にχD≡0 となります。
厳密には,フーリエ級数ξ(θ1)＝Σn=1∞ｃnsin(ｎθ1)についてパーシバル(Parseval)の等式∫-ππ|ξ(θ1)|2ｄθ1＝2∫0π|ξ(θ1)|2ｄθ1＝πΣn=1∞|ｃn|2でΣn=1∞|ｃn|2＝0 が成立します。
それ故,∫0π|ξ(θ1)|2ｄθ1＝0 から,ξ(θ1)は,ほとんどいたるところでゼロであることがわかりますが,ξ(θ1)はθ1の連続関数なので恒等的にゼロです。
つまり,ξ(θ1)＝sinθ1χD(θ1)＝0 により,χD(ｈa)＝χD(θ1)＝0 なので∀ｇ∈ＳＵ(2)について,χD(ｇ)＝χD(ｈa)＝0 です。
これは,既約性の条件＜χD|χD＞＝１に矛盾します。
したがって,(Ｄ,Ｕ)が既約表現なら,これはあるｍに対する(Ｄm,Ｕm)と同値でなければなりません。
これらを,定理の形にまとめます。
[定理６]:(1)ＳＵ(2)の任意の既約表現は,あるｍに対するＤmと同値である。
(2)既約表現Ｄmの指標χmは,ＳＵ(2)の極大トーラス部分群Ｈの上ではｈa∈Ｈ;ａ＝exp(iθ)に対してχm(ｈa)＝sin{(ｍ＋1)θ}/sinθで与えられる。
一般にｇの固有値がａ＝exp(iθ),ａ-1＝exp(－iθ)のときχm(ｇ)＝χm(ｈa)＝sin{(ｍ＋1)θ}/sinθとなる。
(3) ＳＵ(2)の任意の表現Ｄは完全可約であって,いくつかのＤmの直和と同値である。
ＳＵ(2)は単に群Ｇの１つの例として出したつもりだったのですが,ここまで書いてしまったので,ＳＵ(2)の随伴表現が回転群ＳＯ(3)≡{Ｒ∈ＧＬ(3,Ｒ)|tＲ＝Ｒ-1,detＲ＝1}の忠実な表現になることを利用してＳＯ(3)の既約表現を調べます。
まず,体Ｋ(Ｃ or Ｒ)の元を成分とするｎ次の正方行列の集合をＭ(ｎ,Ｋ)と書くと,これはＫの上の線型空間を作ります。
今,Ｕ≡{ｕ∈Ｍ(ｎ,Ｃ)|ｕ＋ｕ＋＝0,Ｔrｕ＝0}とすると,これは∀ｕ∈Ｕは∀ｔ∈Ｒに対してｔｕ∈Ｕの(ｎ2－1)次元の実線型空間です。
一般のｎ次の特殊ユニタリ群Ｇ＝ＳＵ(ｎ,Ｃ)の元ｇに対して,そのｕ∈Ｕに対する線型変換Ａdｇを,(Ａdｇ)ｕ≡ｇｕｇ-1で定義します。
固定したｇ∈ＳＵ(ｎ,Ｃ)に対してＡdｇがＵの上の線型写像であることは明らかです。
そして∀ｕ∈Ｕについて,ｕ＋ｕ＋＝0 とＡdｇの線型性より(Ａdｇ)ｕ＋(Ａdｇ)ｕ＋＝0 ですが,(Ａdｇ)ｕ＋＝ｇｕ＋ｇ-1＝ｇｕ＋ｇ＋＝(ｇｕｇ＋)＋t＝{(Ａdｇ)ｕ}＋です。
また,Ｔr((Ａdｇ)ｕ)＝0 なので,ＡdによってＵは不変です。
一方,∀ｇ1,ｇ2∈ＳＵ(ｎ,Ｃ)に対して,{Ａd(ｇ2ｇ1)}ｕ＝ｇ2ｇ1ｕｇ1-1ｇ2-1＝ｇ2{(Ａdｇ1)ｕ}ｇ2-1＝(Ａdｇ2)(Ａdｇ1)ｕですから,写像ｇ→Ａdｇは連続かつ準同型な写像です。
以上から,ＡdはＳＵ(ｎ,Ｃ)の(ｎ2－1)次元実表現空間Ｕ上での表現であることがわかりました。これをＳＵ(ｎ)の随伴表現といいます。
ここで,ｕ1,ｕ2∈Ｕに対する内積を＜ｕ1|ｕ2＞≡Ｔr(ｕ1＋ｕ2)＝Σi,j=1n[ｕ1*ijｕ2ij]で定義します。特に,＜ｕ|ｕ＞＝Ｔr(ｕ＋ｕ)＝Σi,j=1n|ｕij|2≧0 (ｕ∈Ｕ)です。
そして,＜(Ａdｇ)ｕ1|(Ａdｇ)ｕ2＞＝Ｔr(ｇｕ1＋ｇ-1ｇｕ2ｇ-1)＝Ｔr(ｕ1＋ｕ2)＝＜ｕ1|ｕ2＞なので,この内積の定義ではＡdはユニタリ表現です。
しかも,Ｕは実線型空間なのでユニタリ表現であることは,Ａdｇが直交行列であることを意味します。
そこで,特にｎ＝２,ｎ2－1＝３の場合,ＳＵ(2)＝ＳＵ(2,Ｃ)の場合にはＡd[ＳＵ(2)]は"３次元直交行列の群＝回転群":ＳＯ(3)と準同型になります。
なぜなら,写像ｇ→Ａdｇは連続であり,Ａd[ＳＵ(2)]は連結なのでdet(Ａdｇ)＝1となるからです。
ただし,Ａd(－1)＝Ａd(1)＝I(回転群の単位元)なので,Ker(Ａd)＝{±1}より,ＳＵ(2)～ Ｏ(3)/{±1}＝ＳＯ(3)です。
つまり,Ｒ∈ＳＯ(3)に対して,ｇ∈ＳＵ(2)が存在してＡdｇ＝Ｒならば,Ａd(－ｇ)＝Ｒであり,このｈ＝±ｇ以外にはＡdｈ＝Ｒを満たすｈ∈ＳＵ(2)は存在しません。
パウリのスピン行列として知られているσ＝(σ1,σ2,σ3)を用いて,ｅk≡iσk/√2 (ｋ＝1,2,3)とすれば,ｅk∈Ｕであって＜ｅi|ｅj＞＝δijですから,これはＵの１つの正規直交基底になります。
任意のＵの元ｕをｕ＝Σk=13ｕkｅkと展開すれば,ｅk(ｋ＝1,2,3)は３次元空間のあるｘｙｚ座標系のｘ,ｙ,ｚ軸方向の単位ベクトルで,(ｕ1,ｕ2,ｕ3)は空間ベクトルｕのこの座標系での成分と同定され,ます。
そして,特にｈθ≡ｈa∈Ｈ⊂ＳＵ(2);ａ＝exp(iθ)なら線型変換Ａdｈθによって基底ｅk(ｋ＝1,2,3)は(Ａdｈθ)ｅ1＝ｅ1cos(2θ)＋ｅ2sin(2θ),(Ａdｈθ)ｅ2＝－ｅ1sin(2θ)＋ｅ2cos(2θ),(Ａdｈθ)ｅ3＝ｅ3cos(2θ)と変換されるので,この基底ではＡdｈθはｅ3軸のまわりの角:2θの回転を表わしています。
また,Ａdｋθ,Ａdｌθがそれぞれｅ2軸,ｅ1軸のまわりの角:2θの回転を表わすようなｋθ,ｌθ∈ＳＵ(2)を取ることもできるので,結局全ての回転を随伴表現で与えることが可能です。
まあ,回転群ＳＯ(3)を生成するには実際には,ｈθ,ｋθ,ｌθのうちの２つがあれば十分なのですが。。。
さてＳＯ(3)の１つの表現(Ｔ,Ｕ)があるとき,ｇ∈ＳＵ(2)に対してＤ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)とすれば,(Ｄ,Ｕ)はｇの1つの表現です。そしてＳＯ(3)の表現(Ｔ,Ｕ)が既約であることとＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)が既約であることは同値です。
Ｄ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)によってＳＯ(3)の任意の既約表現からＳＵ(2)の既約表現が得られますが,ＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)からＤ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)によって必ずしもＳＯ(3)の表現(Ｔ,Ｕ)は決まりません。
すなわち,Ｒ∈ＳＯ(3)に対してＡdｇ＝Ｒとなるｇ∈ＳＵ(2)は２つ存在してそれは±ｇです。
そこで,Ｄ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)であるならば,Ｄ(ｇ)＝Ｔ(Ｒ),かつＤ(－ｇ)＝Ｔ(Ｒ)ですからＤ(ｇ)＝Ｄ(－ｇ),つまりＤ(－1)＝Ｄ(1)＝Ｉである必要があります。
逆にＤ(－1)＝ＩならＤ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ),Ａdｇ＝Ｒから表現Ｔ(Ｒ)は一意的に決まります。
そこでＳＯ(3)の既約表現(Ｔ,Ｕ)を求めるにはＳＵ(2)の既約表現(Ｄ,Ｕ)を全て求め,それらのうちでＤ(－1)＝Ｉを満たすものを取ればいいことになります。
ところが,上に述べたようにＳＵ(2)の既約表現の全ては既に(ｍ＋1)次元表現(Ｄm,Ｕm)(ｍ＝0,1,2,..)で尽くされることがわかっています。そして,Ｄm(－1)＝(－1)mＩです。
したがって,ｍが偶数:ｍ＝2ｌのときにはＳＵ(2)の既約表現(Ｄm,Ｕm)(ｍ＝0,1,2,..)からＴl(Ｒ)≡Ｄm(Ａd-1Ｒ)によって回転群ＳＯ(3)の既約表現(＝１価表現)(Ｔl,Ｕ2l)(ｌ＝0,1,2,..)が得られます。
(Ｔl,Ｕ2l)は(2ｌ＋1)次元表現です。(これは量子論では角運動量ＪがＪ＝ｌのＪz＝－ｌ,..,－1,0,1,..,ｌに対応します。)
そして,Ａdｈθがｅ3軸のまわりの角:2θの回転Ｒ2θを表わしていて(Ｄm,Ｕm)の指標がχm(ｇ)＝χm(ｈθ)＝sin{(ｍ＋1)θ}/sinθなので,ｅ3軸のまわりの角:θの回転Ｒθに対する(Ｔl,Ｕ2l)の指標はχl(Ｒθ)＝sin{(2ｌ＋1)θ/2}/{sin(θ/2)}で与えられます。
さらに,ＳＯ(3)の任意の表現Ｔは完全可約であって,いくつかのＴlの直和と同値になります。
なお,ｍが奇数ｍ＝2ｋ＋1のときの,Ｔk+1/2(Ａdｇ)＝Ｄm(ｇ))(ｋ＝0,1,2,..)はＳＯ(3)の表現としては２価表現((2ｋ＋2)次元表現)を与えます。
(これは量子論で角運動量ＪがＪ＝ｋ＋1/2のときのＪz＝－ｋ－1/2,..,－1/2,,1/2,..,ｋ＋1/2に対応します。)
今日はここまでにします。
参考文献:山内恭彦,杉浦光夫著「連続群論入門」(培風館)，犬井鉄郎,田辺行人,小野寺嘉孝 著「応用群論」(裳華房),島 和久 著「連続群とその表現」(岩波書店)
http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。
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