鳳・テブナンの定理(電気回路)

　今日は電気回路において有名な鳳・テブナンの定理(Ho-Thevenin's theorem)について述べてみます。

　そのために,まず重ね合わせの理(重ねの理)を証明します。

　重ね合わせの理というのは"線形素子のみから成る電気回路に幾つかの電圧源と電流源がある場合,この回路の任意の枝の電流,および任意の節点間の電圧は,個々の電圧源や電流源が各々単独で働き,他の電源が全て殺されている場合の回路の電流や電圧の代数和(重ね合わせ)に等しい。"という定理です。

　ここで電源を殺すとは起電力や電流源電流をゼロにすることです。

　つまり電圧源を殺すというのは端子間の電圧源を除いて,電気抵抗がゼロの導線をつなぐことと等価であり,電流源を殺すというのは端子間の電流源を除いて端子間を開放することと等価です。

　この定理を証明するために,まず電圧源のみがある回路を考えて線形素子に対するキルヒホッフの法則に基づいて回路系における連立1次方程式である回路方程式系を書き表わします。

　すなわち,Ｅを電圧源列ベクトル,ｉを電流列ベクトルとし,Ｚをインピーダンス行列とするなら,この回路方程式系はＺｉ＝Ｅと書けます。

このとき電気回路の特性からＺは必ず,逆行列であるアドミッタンス行列Ｙ＝Ｚ^-1を持つことがわかります。

したがって,Ｅを単独源の和としてＥ＝ΣＥ_kと書くならｉ＝Ｚ^-1Ｅ＝ΣＺ^-1Ｅ_kとなるので,ｉ_k≡Ｚ^-1Ｅ_kと置けばｉ＝Σｉ_kと書くことができます。

同様にＪを電流源列ベクトル,ｖを電圧列ベクトルとするとＹｖ＝Ｊなので,ｖ_k≡Ｙ^-1Ｊ_kと置けばｖ＝Σｖ_kとなります。

ところで,起電力がＥ,内部抵抗がｒの電圧源と内部コンダクタンスがｇの電流源Ｊの両方を考えると,電圧源の端子間電圧はｖ＝Ｅ－ｒｉで電流源の端子間電流はｉ＝Ｊ－ｇｖです。

これらの電源が等価であるとすると開放端子での端子間電圧はｉ＝0 でｖ＝Ｅより 0＝Ｊ－ｇＥ,短絡端子での端子間電流はｖ＝0 でｉ＝Ｊより 0＝Ｅ－ｒＪとなり,これらが同時に成立するためにはｒ＝1/ｇが必要十分であることになります。

というわけで電流源は等価な電圧源で電圧源は等価な電流源で互いに置き換えることができますから,上に既に示された電流や電圧の重ね合わせの原理は電流源と電圧源が混在している場合にもそれぞれ成立することがわかります。

これで重ね合わせの理(重ねの理)は証明されたことになります。

次に,鳳・テブナンの定理ですがこれは,"内部に電源を持つ電気回路の任意の２点間にインピーダンスＺ_Lをつないだとき,Ｚ_Lに流れる電流Ｉ_LはＺ_Lをつなぐ前の２点間の開放電圧をＥ₀,また内部の電源を全部殺して測った端子間のインピーダンスをＺ₀とするとＩ_L＝Ｅ₀/(Ｚ₀＋Ｚ_L)で与えられる。"というものです。

これを証明するために,まずＺ_Lに直列に起電力が同じＥ₀の互いに逆向きの電圧源を挿入した回路を想定します。

これは,挿入した２つの電圧源の起電力の総和がゼロなので,実質的には何も挿入しないのと同じですから,元の回路と変わりないので普通に同じ電流Ｉ_Lが流れるはずです。

そして,この２個の電圧源挿入回路は追加した１個の逆起電力－Ｅ₀のみがあって,結果的に回路の端子間電圧がゼロなので電流がゼロの回路と,追加した１個のＥ₀以外の電源をすべて殺した同じ回路との重ね合わせに分解できます。

したがって,重ね合わせの理によって合計電流Ｉ_Lは,後者の回路の電流Ｅ₀/(Ｚ₀＋Ｚ_L)に一致することがわかります。

鳳・テブナンの定理は等価電圧源の定理とも呼ばれます。

電圧源を電流源に置き換え,直列インピーダンスを並列アドミッタンスに置き換えたものについての同様な定理も証明できますが,これをノートンの定理(Norton)＝等価電流源の定理といいます。

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    物理学

電気の伝わる速さ（分布定数回路）

  以前,電流というのは電子などが流れる速さを意味しており,通常の家庭電器の中を流れる電流は数アンペア程度で,これは電子の速さにして秒速何ミリとか何センチ程度の遅いものですと書きました。

　そして,それでも電荷のキャリアがトコロテン式に押し出される結果として,遠いところに電源やスイッチがある場合でも,電灯などはほぼ即座に点くというような内容のことを述べました。

　それでは,ほぼ即座といっても,直流回路でスイッチを入れてから,電流がほぼ一定になって安定するまでに,実際どのくらいの時間がかかるのでしょうか？

　回路の抵抗をＲオーム（Ω）,電池など電圧源の直流起電力をＥボルト(V)とします。

　導線には必ず変動電流によって誘導される起電力,つまり,自己インダクタンス(自己誘導係数)＝ Ｌ ヘンリー(H)があると考えられますが,電流 ｉ アンペアが一定な安定状態では,それによる逆起電力は起きません。

　しかし,電流 ｉ がゼロから定常のＥ/Ｒに達するまでは電流は一定ではなく次第に大きくなるように変化するので,その際には僅かな間でも逆起電力が働くはずです。

　そこで,回路方程式はL (ｄ ｉ /ｄｔ )＋Ｒ ｉ＝Ｅ と書けます。

　ｔ＝0　で ｉ＝0 の初期条件でこれを解くと, ｉ ＝(Ｅ/Ｒ )｛１－exp（－ｔ /τ)} となります。ただしτ＝Ｌ/Ｒです。

　この式によれば電流が定常電流の ｉ ＝Ｅ/Ｒ になるには,時間 ｔ が ∞ になる必要がありますが,実際にはｔ＝τで既に ｉ ＝(Ｅ/Ｒ )(１－1/ｅ),つまり定常電流の約 2/3 にまで達し, ｔ＝3τで は定常電流の95 ％ 以上にもなります。

　そして円形断面の均質な導線の場合,透磁率をμ,長さをℓとして自己インダクタンスＬを計算すると,Ｌ＝μℓ/(4π)であることがわかります。

　真空では透磁率はμ＝４π× 10^-7Hです。そして抵抗はＲ＝ρℓ/Ｓですが通常の半径が0.1mm程度の断面の銅製の導線ではρ＝13.6ΩmでS＝π× 10^-8m²ですから,τ＝L/RはμS/（4πρ）～  10^-15秒程度になります。

　それ故,導線の材料が銅より抵抗の大きい金属だとしても,ほんの一瞬で電流はほぼ100％までの定常に達するはずです。

　こうした非定常電流の現象を過渡現象といいます。

　例えば２本の平行導線回路が無限に延びていて左端に電圧源Ｅボルトがあるだけの閉回路を想定します。

　これは,単位長さ当たり,抵抗Ｒ,インダクタンスＬと２本の導線間のキャパシタ(コンデンサ容量):Ｃ,と内部コンダクタンス（アドミッタンス＝インピーダンスの逆数の実部）Ｇがあるような等価回路としてよいと考えられます。

　こうした回路を分布定数回路といいます。

　分布定数回路において,Ｒ＝0 かつＧ＝0 の極限の理想状態の回路,つまり,無損失回路を考えて,ｘ から ｘ＋Δｘ までの間の電圧変化をΔｅ とすると ,ｅ＋Δe ＝ｅ－(ＬΔｘ) (∂ｉ/∂ｔ) であり,また電流上昇をΔｉ とすると ｉ＋Δｉ＝ ｉ－(ＣΔｘ) (∂ｅ/∂ｔ) と書くことができます。

　これら２つの式は,∂ｅ/∂ｘ＝－Ｌ(∂ｉ/∂ｔ),および∂ｉ/∂ｘ＝－Ｃ(∂ｅ/∂ｔ)となります。これらの式をまとめると,∂²ｉ/∂ｔ²＝{1/(ＬＣ)} (∂²ｉ/∂ｘ²)となりますが,これは位相速度がｖ＝1/(ＬＣ)^1/2の波動方程式です。

　したがって,電流は波動として,この速度 ｖ で伝送されます。電圧も全く同様な方程式に従う波として伝送されますから,この ｖ が「電気の伝わる速さ」と同定されます。

　特に２本の平行導線の断面が同じ半径ｒ (m),の円で,それら導線間の中心間の距離が ｄ (m)なら,導線の表面だけを電荷が流れるとして計算すると,L＝(μ/π)log(ｄ/ｒ) (H/m), C=πε/log(ｄ/ｒ) (F/m) なので,ｖ＝1/(ＬＣ)^1/2＝1/(με)^1/2となります。ここにεは誘電率です。

　特にμとεが真空中と同じ値なら ,ｖ は光速 ｃに一致します。つまり電流は実質的に蟻の歩く速さのように遅いにも関わらず,回路に何のエネルギー損失も無い理想的な場合なら「電気の伝わる速さ」は真空中の光速ｃに等しいことになります。

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