ケプラー(Kepler)問題

　すぐ前の記事で一般相対性理論で光線の湾曲について論じたのを機会に初心に戻って,相対論以前のニュートンの万有引力に従って太陽の周りを公転する１惑星の運動,すなわち,素朴な２体問題としてケプラー運動(Kepler運動)を計算してみます。

　まず,一般的な中心力場の２体問題の定式化をします。

太陽と惑星の質量をそれぞれｍ₁,ｍ₂とし,位置ベクトルをｒ₁,ｒ₂とします。そして,それらの間に働く力をＦ₁₂(１が２に及ぼす力),およびＦ₂₁(２が１に及ぼす力)とします。

作用・反作用の法則によって,Ｆ₂₁＝－Ｆ₁₂,かつ(ｒ₁－ｒ₂)×Ｆ₁₂＝0 が成立します。

太陽,惑星を質点とすれば,運動方程式はｍ₁(ｄ²ｒ₁/ｄｔ²)＝Ｆ₂₁,ｍ₂(ｄ²ｒ₂/ｄｔ²)＝Ｆ₁₂となります。

そして,"物体２＝惑星"の"物体１＝太陽"に対する相対運動を考察するために,太陽を原点と想定したときの位置ベクトルをｒ≡ｒ₂－ｒ₁によって定義します。

このとき,運動方程式は唯１つの式でｄ²ｒ/ｄｔ²＝ｄ²(ｒ₂－ｒ₁)/ｄｔ²＝Ｆ₁₂/ｍ₁－Ｆ₂₁/ｍ₂＝(1/ｍ₁＋1/ｍ₂)Ｆ₁₂なる形に書けます。

惑星の換算質量ｍを1/ｍ≡1/ｍ₁＋1/ｍ₂によって定義し,太陽１が惑星２に及ぼす力Ｆを改めてＦ≡Ｆ₁₂によって定義すると,ｍ(ｄ²ｒ/ｄｔ²)＝Ｆとなり,結局,２体問題は１体問題に帰着します。

当面の問題では太陽の質量ｍ₁が惑星の質量ｍ₂よりはるかに大きい:ｍ₁＞＞ｍ₂ので,1/ｍ＝1/ｍ₁＋1/ｍ₂～1/ｍ₂ですから,事実上ｍ＝ｍ₂として換算質量を惑星質量と同一視してもかまいません。

さらに後の便宜上,太陽の質量ｍ₁をＭで表わすことにします。

さて,力Ｆは特に相対位置ｒだけに依存した力場,しかも保存力場である,つまり,渦なしの場:rotＦ＝∇×Ｆ＝0 であるとすると,ポアンカレの補題によって,あるポテンシャルＶ(ｒ)が存在して,Ｆ＝－gradＶ(ｒ)＝－∇Ｖ(ｒ)と書くことができます。

特に,Ｖがｒの絶対値ｒ≡|ｒ|,すなわち,太陽と惑星の間の距離|ｒ₂－ｒ₁｜だけの関数である,つまりＶ(ｒ)＝Ｖ(ｒ)＝Ｖ(|ｒ₂－ｒ₁｜)であるとすればＦ＝Ｆ₁₂＝－∇Ｖ＝(－ｄＶ/ｄｒ)(ｒ/ｒ)＝(－ｄＶ/ｄｒ){(ｒ₂－ｒ₁)/ｒ}です。

そこで,保存力場の内力がＦ₁₂＝－∇₂Ｖ,Ｆ₂₁＝－∇₁Ｖで与えられるとするなら,あるいは,このように内力のポテンシャルが２質点間の距離だけの関数の場合には,作用・反作用の法則は自動的に満足されます。

さて,ｍ(ｄ²ｒ/ｄｔ²)＝Ｆ＝－∇Ｖ(ｒ)を積分します。

Ｖ(ｒ)≡ｍＵ(ｒ)と置いて単位質量当りのポテンシャルＵ(ｒ)を定義すれば,ｄ²ｒ/ｄｔ²＝－∇Ｕ(ｒ)と書けます。

この両辺に速度ｄｒ/ｄｔを掛けて内積を作ると,(ｄ²ｒ/ｄｔ²)(ｄｒ/ｄｔ)＝－∇Ｕ(ｒ)(ｄｒ/ｄｔ)です。

それ故,(ｄ/ｄｔ)[(1/2)(ｄｒ/ｄｔ)²]＝－(ｄＵ/ｄｒ)(ｄｒ/ｄｔ),つまり,(ｄ/ｄｔ)[(1/2)(ｄｒ/ｄｔ)²＋Ｕ(ｒ)]＝0 が得られます。

このことから,(1/2)(ｄｒ/ｄｔ)²]＋Ｕ(ｒ)＝(時間によらず一定)が得られます。右辺の定数は単位質量当りの力学的エネルギーを示していると考えられるので,これをＥと置きます。

つまり,(1/2)(ｄｒ/ｄｔ)²＋Ｕ(ｒ)＝Ｅです。

また,角運動量ＬをＬ≡ｒ×ｍ(ｄｒ/ｄｔ)と定義すれば,ｄＬ/ｄｔ＝ｒ×ｍ(ｄ²ｒ/ｄｔ²)ですが,ｍ(ｄ²ｒ/ｄｔ²)＝Ｆですから,ｄＬ/ｄｔ＝ｒ×Ｆとなります。

内力に関しては(ｒ₁－ｒ₂)×Ｆ₁₂＝0 より,ｒ×Ｆ＝0 なのでｄＬ/ｄｔ＝0 すなわち,角運動量は時間によらず保存されます。

したがって,Ｌ≡ｒ×ｍ(ｄｒ/ｄｔ)＝一定,つまりｒ×ｖ＝一定ですから,ベクトルの外積の性質から,一定ベクトルｒ×ｖは常にｒとｖの両方に垂直です。

すなわち,一定ベクトルｒ×ｖは,ｒとｖの作る平面の法線ベクトルであって,これが一定であることから,ｒとｖの作る平面は常に一定です。したがって,運動は常に一定の平面内に限られることになります。

ここで,極座標(ｒ,θ,φ)を導入します。ｘ＝ｒsinθcosφ,ｙ＝ｒsinθsinφ,ｚ＝ｒcosθです。

このとき,運動エネルギー(1/2)(ｄｒ/ｄｔ)²は(1/2)(ｄｒ/ｄｔ)²＝(1/2)[(ｄｒ/ｄｔ)²＋ｒ²(ｄθ/ｄｔ)²＋ｒ²sin²θ(ｄφ/ｄｔ)²]と表現されます。

したがって,(1/2)(ｄｒ/ｄｔ)²＋Ｕ(ｒ)＝Ｅは,(ｄｒ/ｄｔ)²＋ｒ²(ｄθ/ｄｔ)²＋ｒ²sin²θ(ｄφ/ｄｔ)²＝2{Ｅ－Ｕ(ｒ)}となります。

また,角運動量はＬ/ｍ＝ｒ×(ｄｒ/ｄｔ)＝{－ｒ²(ｄθ/ｄｔ)sinφ－ｒ²(ｄφ/ｄｔ)sinθcosθcosφ}ｉ＋{ｒ²(ｄθ/ｄｔ)cosφ－ｒ²(ｄφ/ｄｔ)sinθcosθsinφ}ｊ＋ｒ²sin²θ(ｄφ/ｄｔ)ｋ＝ｒ²(ｄθ/ｄｔ)(－sinφｉ＋cosφｊ)＋ｒ²sinθ(ｄφ/ｄｔ)(ｋsinθ－cosθcosφｉ－cosθsinφｊ)です。

先に述べたように,運動はある平面上に限定されるので,それが特にｘｙ平面になるように座標系を取って,θ＝π/2＝一定とすれば,Ｌ/ｍ＝ｒ²(ｄφ/ｄｔ)ｋ≡ｈｋ(一定)と書くことができます。

よって,(ｄｒ/ｄｔ)²＋ｒ²(ｄθ/ｄｔ)²＋ｒ²sin²θ(ｄφ/ｄｔ)²＝2{Ｅ－Ｕ(ｒ)}は(ｄｒ/ｄｔ)²＋ｈ²/ｒ²＝2{Ｅ－Ｕ(ｒ)},あるいはｄｒ/ｄｔ＝±[2{Ｅ－Ｕ(ｒ)－ｈ²/ｒ²}]^1/2です。

一方,ｄφ/ｄｔ＝ｈ/ｒ²ですが,両辺をこれで割ればｄｒ/ｄφ＝±[2{Ｅ－Ｕ(ｒ)}－ｈ²/ｒ²]^1/2ｒ²/ｈとなります。

したがって,惑星の軌道は±∫ｄφ＝∫[2{Ｅ－Ｕ(ｒ)}/ｈ²－1/ｒ²]^-1/2ｒ^-2ｄｒで与えられることがわかります。

特に,ニュートンの万有引力の場合はＵ(ｒ)＝－ＧＭ/ｒですから,軌道の初期条件の向きが＋符号の方であるとすれば,φ＋α＝∫[2{Ｅ＋ＧＭ/ｒ}/ｈ²－1/ｒ²]^-1/2(ｄｒ/ｒ²)となります。

φ＋α＝∫ｄｓ{2Ｅ/ｈ²＋(2ＧＭ/ｈ²)ｓ－ｓ²}^-1/2,したがって,[2Ｅ/ｈ²－(ＧＭ/ｈ²)²]^1/2cos(φ＋α)＝[1/ｒ－(ＧＭ/ｈ²)],つまり1/ｒ＝(ＧＭ/ｈ²)＋{2Ｅ/ｈ²－(ＧＭ/ｈ²)²}^1/2cos(φ＋α)となります。

そこでℓ≡ｈ²/(ＧＭ),ｅ≡{2Ｅｈ²－Ｇ²Ｍ²]^1/2/(ＧＭ)と置けば,惑星の軌道は,よく知られた円錐曲線ｒ＝ℓ/{1＋ｅcos(φ＋α)}で与えられることがわかります。

ｅは離心率と呼ばれる非負の数ですが,0≦ｅ＜1なら,この曲線は２つの焦点の１方を太陽とする楕円であり,特にｅ＝0 なら中心が太陽の円です。また,ｅ＝1なら放物線,ｅ＞1なら双曲線になります。

一般に,太陽系の惑星とされている星はエネルギーＥが比較的小さいために 0≦ｅ＜1を満たし,太陽付近に接近すると太陽に捕獲されて楕円軌道になります。

実際,これらの惑星では,ｅはゼロに近くて楕円軌道は円に近いものになっています。

ところが,彗星(comet;箒星)などはＥが大きいため,離心率ｅは大きく,それでもｅ＜1なら楕円軌道になるので,太陽や地球の付近に１度現われたとすれば,周期は数年,数十年ととても長くても,再び接近することがあります。

しかし,中にはｅ≧1を満たすため２度と接近しないものもあります。

そして,もしもｅが小さいなら周期も小さくて,ときには彗星ではなくて惑星であると同定される場合もあるようです。

(2007年4/27の記事「シュヴァルツシルト時空内の測地線(惑星の公転軌道)」も参照してください。 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/04/post_b80b.html )

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学