結合エネルギーが最大の元素(鉄）

重い原子核の結合エネルギーは質量公式:Ｅ(Ｚ,Ｎ)＝－ｃ₁Ａ＋ｃ₂Ｚ²Ａ^-1/3＋ｃ₃(Ｎ－Ｚ)²/Ａ＋ｃ₄Ａ^2/3,ｃ₁＝16MeV,ｃ₂＝0.72MeV,ｃ₃＝24MeV,ｃ₄＝18MeVで近似的に表現できることを既に述べました。

そこで安定な原子核のＺはＡのどのような関数であるかを調べ,次に１核子当たりの結合エネルギーが最大の原子核の質量数ＡをＮ～Ｚ～Ａ/2の近似のもとで求めてみます。

安定な核は,条件式(∂Ｅ/∂Ｚ)|_A＝0 から得られます。

Ｎ－Ｚ＝Ａ－2Ｚなので,(∂Ｅ/∂Ｚ)|_A＝2ｃ₂ＺＡ^-1/3－4ｃ₃(Ａ－2Ｚ)/Ａ＝0 であり,このＺを境にして∂Ｅ/∂Ｚは正から負に変わりますから,このＺでＥは最小になります。

したがって,Ｚ＝2ｃ₃Ａ/(ｃ₂Ａ^2/3＋4ｃ₃)≒48Ａ/(0.72Ａ^2/3＋96)という式が安定な核の条件になります。そこでＡがあまり大きくなければ,Ｚ～Ａ/2 で安定ですね。

また,Ｎ～Ｚ～Ａ/2で１核子当たりの結合エネルギーが最大になるＡを求めると,ｄ{Ｅ(Ａ/2,Ａ/2)/Ａ}/ｄＡ＝ｄ(－ｃ₁＋ｃ₂Ａ^2/3/4＋ｃ₄Ａ^-1/3)/ｄＡ＝Ａ^-4/3(ｃ₂Ａ/6－ｃ₄/3)なので,Ａ＝2ｃ₄/ｃ₂≒36/0.72～50となります。

Ａ～50付近の元素で,組成がＺ～Ａ/2に近いものは,バナジウム(Ｖ:Ａ＝51,Ｚ＝23),クロム(Ｃr:Ａ＝52,Ｚ＝24,マンガン(Ｍn:Ａ＝55,Ｚ＝25),鉄(Ｆe:Ａ＝56,Ｚ＝26)etc.があります。

しかし,これらは,丁度Ｚ＝Ａ/2を満たすわけではありません。むしろ,Ｅ(Ｚ,Ｎ)に,Ｚ＝2ｃ₃Ａ/(ｃ₂Ａ^2/3＋4ｃ₃)≒48Ａ/(0.72Ａ^2/3＋96),およびＮ＝2Ａ－Ｚを代入した後,ｄＥ/ｄＡがゼロとなるＡを求めた方がいいかもしれません。これは,結構大変ですね。

鉄(Ｆe:Ａ＝56,Ｚ＝26)は,Ｚ＝2ｃ₃Ａ/(ｃ₂Ａ^2/3＋4ｃ₃)≒48Ａ/(0.72Ａ^2/3＋96)に組成がかなり近いようです。そして,実在の元素では鉄(Ｆe)のときに結合エネルギーＥ(Ｚ,Ｎ)が最大になるようです。

したがって,星の熱核融合で重元素が創られていっても,最終的に鉄(Ｆe)に到達すると,それ以上反応は進まないで,そこで核融合は終わることになるようです。

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中性子星の物理

　重力収縮した星の中心部のように非常に高密度の物質では,陽子,電子,中性子の自由粒子の混合としての理想気体という描像とは程遠く,通常,核子は自由粒子ではなく原子核という状態で存在しています。

　したがって,高密度状態では核力の影響を無視できません。

　重い原子核の結合エネルギーは次のような半経験的質量公式で表わすことができます。

　すなわち,Ｚ,Ｎをそれぞれ陽子数,中性子数,Ａ＝Ｚ＋Ｎを質量数とすると,結合エネルギーＥ(Ｚ,Ｎ)はＥ(Ｚ,Ｎ)＝－ｃ₁Ａ＋ｃ₂Ｚ²Ａ^-1/3＋ｃ₃(Ｎ－Ｚ)²/Ａ＋ｃ₄Ａ^2/3で与えられるという式です。

　ここに,ｃ₁＝16MeV,ｃ₂＝0.72MeV,ｃ₃＝24MeV,ｃ₄＝18MeVです。

　公式の右辺の項は,順に体積エネルギー,クーロンエネルギー,対称エネルギー,表面エネルギーです。

　このうち,クーロンエネルギーｃ₂Ｚ²Ａ^-1/3と表面エネルギーｃ₄Ａ^2/3でのＡ依存性は,原子核の半径がｒ＝1.3×10^-15Ａ^1/3ｍのように与えられることから推察されます。

　原子核は,β崩壊による自由電子の放出と逆β過程による電子の吸収(捕獲)との平衡状態にあると考えられます。

　この平衡は原子核をＡ(Ｚ,Ｎ)で表わすと,Ａ(Ｚ,Ｎ)＋ｅ^- ⇔ Ａ(Ｚ－1,Ｎ＋1)と表現されます。

　この平衡式を原子核の静止質量を含んだエネルギーの保存と解釈すると,Ｚｍ_pｃ²＋Ｎｍ_nｃ²＋Ｅ(Ｚ,Ｎ)＋Ｅ_e＝(Ｚ－1)ｍ_pｃ²＋(Ｎ＋1)ｍ_nｃ²＋Ｅ(Ｚ－1,Ｎ＋1)と書けます。

　すなわち,{Ｅ(Ｚ,Ｎ)－Ｅ(Ｚ－1,Ｎ)}＋Ｅ_e＝{Ｅ(Ｚ－1,Ｎ＋1)－Ｅ(Ｚ－1,Ｎ)}＋(ｍ_n－ｍ_p)ｃ² です。

　Ｚ,Ｎ＞＞1であれば,Ｅ(Ｚ,Ｎ)－Ｅ(Ｚ－1,Ｎ)～∂Ｅ(Ｚ,Ｎ)/∂Ｚ≡μ_p,Ｅ(Ｚ－1,Ｎ＋1)－Ｅ(Ｚ－1,Ｎ)～∂Ｅ(Ｚ,Ｎ)/∂Ｎ≡μ_nです。

　ここで化学ポテンシャルμ_p,μ_n は,それぞれ陽子,中性子を原子核に1個追加するのに必要なエネルギーを意味するので,原子核の内部エネルギーレベルのうちで占められる最も高い準位のエネルギーレベルと考えていいでしょう。

　そこで,Ｅ_e＝μ_e＋ｍ_eｃ²を考慮すると,平衡の式はμ_n－μ_p＋(ｍ_n－ｍ_p－ｍ_e)ｃ²＝μ_eですが,今はμ_e＞＞(ｍ_n－ｍ_p－ｍ_e)ｃ²の場合を想定しているので,質量エネルギーを無視して平衡の条件をμ_n－μ_p＝μ_eとします。

　一方,Ｅ(Ｚ,Ｎ)＝－ｃ₁Ａ＋ｃ₂Ｚ²Ａ^-1/3＋ｃ₃(Ｎ－Ｚ)²/Ａ＋ｃ₄Ａ^2/3,∂Ｅ(Ｚ,Ｎ)/∂Ｚ≡μ_p,∂Ｅ(Ｚ,Ｎ)/∂Ｚ≡μ_pより,μ_n－μ_p＝－2ｃ₂ＺＡ^-1/3＋4ｃ₃(Ｎ－Ｚ)/Ａです。

ここで,核子の平均個数密度をｎ_Nとすると,電子の平均個数密度ｎ_eはｘ≡Ｚ/Ａとしてｎ_e＝ｘｎ_Nです。

縮退フェルミ気体としての電子は,フェルミ運動量をｐ_Fとして,ｎ_e＝(ｐ_F /ｈ_c)³/(3π²),またはｐ_F＝(3π²)^1/3ｈ_cｎ_e^1/3 (ｈ_c≡ｈ/(2π);ｈはプランク定数)を満たします。

相対論的粒子なら,μ_e＝ｐ_Fｃ＝2Ｋｎ_e^1/3＝2Ｋｎ_N^1/3ｘ^1/3,Ｋ≡(3π²)^1/3ｈ_cｃ/2です。さらに簡単のため,6ｃ₃ｋ≡Ｋｎ_N^1/3によってｋを定義しておきます。

このとき,平衡条件:μ_n－μ_p＝μ_eは,μ_n－μ_p＝－2ｃ₂ＺＡ^-1/3＋4ｃ₃(Ｎ－Ｚ)/Ａより,12ｃ₃ｋｘ^1/3＝－2ｃ₂ｘＡ^2/3＋4ｃ₃(1－2ｘ),ｃ₂ｘＡ^2/3＝2ｃ₃(1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)となります。

ここで,与えられた固定のＡ値に対し,エネルギーが最低になるｘ≡Ｚ/Ａを求めてみます。

Ａは定数なので１核子当たりのエネルギーＥ_tot/Ａ＝Ｅ/Ａ＋(3/4)ｘμ_eで考えることにします。

ただし,第２項(3/4)μ_eは１核子当たりの電子の平均フェルミエネルギーＥ_e/ｎ_Nです。

なぜなら,相対論的には,Ｅ_e＝3Ｐ_e＝(3/4)(3π²)^1/3ｈ_cｃｎ_e^4/3＝(3/4)ｎ_eμ_e＝(3/4)ｘμ_eｎ_Nより,Ｅ_e/ｎ_N＝(3/4)μ_eとなるからです。

結局,Ｅ_tot/Ａ＝－ｃ₁＋2ｃ₃ｘ(1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)＋ｃ₃(1－2ｘ)²＋ｃ₄{ｃ₂/(2ｃ₃)}^1/2ｘ^1/2(1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)^-1/2＋9ｃ₃ｋｘ^4/3となるので,ｄ(Ｅ_tot/Ａ)/ｄｘ＝0 を計算すると,ｘ^1/2(1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)^3/2＝ｃ₄ｃ₂^1/2/{2(2ｃ₃)^3/2}が得られます。

具体的な値はＫ≒4.9×10^-26Ｊｍ,ｃ₃＝24MeV≒3.84×10^-12Ｊですから,Ｋ/6ｃ₃≒3.84×10^-15ｍ,ｎ_N～10²⁸ｍ^-3より,ｎ_N^1/3～4.6×10¹⁰ｍ^-1です。

ｋ～10^-4,2ｋｘ^1/3～10^-4からｄ(Ｅ_tot/Ａ)/ｄｘを調べると,ｘ^1/2 (1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)^3/2＝ｃ₄ｃ₂^1/2/{2(2ｃ₃)^3/2}を満たすｘでＥ_tot/Ａは極小になることがわかります。

具体的なｃ₂,ｃ₃,ｃ₄の値を代入すると,ｘ^1/3(1－2ｘ－3ｋｘ^1/3)≒0.081,すなわちｋ＝(1/3)ｘ^-1/3(-0.081ｘ^-1/3＋1－2ｘ)となり,これからＡ≒12.5(Ａ/Ｚ)²が得られます。

すなわち,Ａ＝Ｚ²/12.5という放物線が平衡曲線として得られたわけです。

一方,中性子の結合エネルギー:μ_n＜0 はμ_n≒－16＋3.88ｘ^2/3＋24(1－4ｘ²)(MeV)なので,ｎ_Nが増加してｘが減少するにつれてμ_nは増加してｘ≒0.32でμ_n＝ 0 となってしまいます。

これの意味はこれ以上の密度では中性子を追加するとかえって原子核の内部エネルギーが高くなってしまうということです。

そこで,この密度以上では一部の中性子は非束縛の核子として自由な中性子として挙動するわけです。

この臨界の自由中性子が発生する核子密度は,ρ＝ｍ_Nｎ_Nとしてρ＝ρ₁≒2.84×10¹⁴kgｍ^-3です。そして,ｘ≒0.32でＡ＝122,Ｚ＝39です。

ρ＞ρ₁では物質は原子核,電子,中性子の３成分から成っています。もちろん,このときの中性子を理想気体として扱うことはできません。

核力をも考慮した状態方程式が計算できるので,これを用いて全エネルギーが最小になる状態を定めると密度の増加と共に引き続きＡとＺは増加しますがｘは減少します。

そして密度がρ₂≒5.6×10¹⁶kgｍ^-3以上になると,μ_pも正になりこの密度からは原子核も溶けてしまうことになります。 

ρ₂以上の密度では,中性子とその数百分の１の陽子,電子で構成された状態になり,核子間では中性子の縮退圧よりも大きい核力が働くことになります。

参考文献；佐藤文隆 原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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星の進化とチャンドラセカール質量

星を構成する気体物質の圧力をＰ,密度をρ,万有引力定数をＧとし,ｃを中心,ｇを気体,ｒを輻射,ｅを電子,Ｉを正のイオンの添字を表わすものとします。

すると,エムデン(Emden)解における質量Ｍは,Ｍ＝[Ｐ_c³/(4πＧ³ρ_c⁴)]^1/2φ_N ,ただしφ_N≡－(Ｎ＋1)^1/2[ξ²ｄθ_N(ξ)/ｄξ]_ξ＝ξNで与えられます。

ここでＰ_c＝Ｐ_gc＋Ｐ_rc,Ｐ_gc＝Ｐ_Ic＋Ｐ_ecですが,β_c＝Ｐ_gc/Ｐ_cとおけばＰ_rc/Ｐ_c＝1－β_cです。

ρ_cは電子とイオンによるもので,平均分子量μと水素原子の質量ｍ_Hを用いてＰ_gc＝ρ_cｋ_BＴ_c/(μｍ_H)と書けます。Ｔ_c はもちろん星の中心の温度です。

このとき,Ｐ_c³/ρ_c⁴＝(Ｐ_c/Ｐ_ｇc)⁴{ｋ_BＴ_c/(μｍ_H)}⁴/Ｐ_c＝(1－β_c){ｋ_B/(μｍ_H)}⁴Ｔ_c⁴/(β_c⁴Ｐ_c)となります。

ところが,ステファン・ボルツマンの法則:Ｅ＝ａＴ⁴とＰ＝Ｅ/3(Ｅはエネルギー密度)により,Ｐ_c＝ａＴ_c⁴/3ですから,星の全質量はＭ＝[3{ｋ_B/(μｍ_H)}⁴/(4πＧ³ａ)]^1/2{(1－β_c)^1/2/β_c²}φ_Nとなります。

これは,輻射優勢のとき,つまりβ_c＜＜1のときにはＭが大きくなることを示唆しています。

ｄＰ/ｄｒ＝－ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)/ｒ²の両辺に4πｒ³を掛けて,0 ～ Ｒまでｒで積分すると∫₀^R4πｒ³(ｄＰ/ｄｒ)ｄｒ＝－∫₀^M(ＧＭ(ｒ)/ｒ)ｄＭ(ｒ)です。

右辺は星自身の重力エネルギーΩを表わしています。一方,左辺＝[4πｒ³Ｐ]_r=0^ｒ=R＝－3∫ＰｄＶですからΩ＝－3∫ＰｄＶです。

ところで星の内部で比熱比γが一定とすると,Ｐ＝Ｅ/ｎ＝(γ－1)Ｅであり,内部エネルギーはＵ＝∫ＥｄＶですから,結局 3(γ－1)Ｕ＋Ω＝0 が得られます。この等式を星のビリアル定理といいます。

一方,Ω＝－∫₀^M(ＧＭ(ｒ)/ｒ)ｄＭ(ｒ)＝－ＧＭ²/(2Ｒ)－∫{ＧＭ(ｒ)²/(2ｒ²)}ｄｒ＝－ＧＭ²/(2Ｒ)－∫{Ｍ(ｒ)/ρ(ｒ)}ｄＰです。

ここで,ポリトロープガス球の関係:ＮｄlogＰ＝(Ｎ＋1)ｄlogρより,ｄＰ/ρ＝(Ｎ＋1)ｄ(Ｐ/ρ)を用いると,Ω＝－ＧＭ²/(2Ｒ)－∫{Ｍ(ｒ)/ρ(ｒ)}ｄＰ＝－ＧＭ²/(2Ｒ)－{(Ｎ＋1)/2}∫ＰｄＶです。

そして,∫ＰｄＶ＝(γ－1)Ｕ＝－Ω/3ですから,－ＧＭ²/Ｒ＝(5－Ｎ)Ω/3,あるいはΩ＝3ＧＭ²/{(Ｎ－5)Ｒ}です。

よって,Ｕ＝－Ω/{3(γ－1)}＝ＧＭ²/{(γ－1)(5－Ｎ)Ｒ}を得ますから,内部エネルギーと重力エネルギーを加えた全エネルギーをＥ_tとするとＥ_t＝Ｕ＋Ω＝－(3γ－4)ＧＭ²/{(γ－1)(5－Ｎ)Ｒ}＝(3γ－4)Ω/{3(γ－1)}＝－(3γ－4)Ｕとなります。

もっとも,Ｅ_t＝Ｕ＋Ω＝－(3γ－4)Ｕの関係を導くだけなら,こんな面倒な計算をしなくても3(γ－1)Ｕ＋Ω＝0 からすぐ得られます。

星が重力的に束縛されているためにはＥ_t＜0 が必要ですから,γ＞4/3でなければなりません。

そして,γ＞4/3の場合,星の表面からエネルギーが放出されるとｄＥ_t/ｄｔ＜0 であり,Ｅ_t＝(3γ－4)Ω/{3(γ－1)}によってｄΩ/ｄｔ＜0 であって,ｄＵ/ｄｔ＞0 であることがわかります。

すなわち,収縮によって解放された重力エネルギーΔΩのうちΔΩ/{3(γ－1)}が内部エネルギーに加わり,残りは外部に放出されることになります。

通常,物体から熱エネルギーが流出すれば,その物体の温度は低下するのですが,重力平衡にある星では逆に,エネルギーが流出するほど内部エネルギーＵが増加するので温度が上がることになります。

以下では,星間ガスから原始星になり主系列星になっていくという星の進化の議論に入っていきますが,星の質量によってその進化過程が異なるという話になっていきます。

ただし,その詳細については,私自身がまだ十分に把握していないので,概略しか述べることはできませんが。。。。

星の内部の圧力を無視すると,物質はｄ²ｒ/ｄｔ²＝－ＧＭ/ｒ²によって自由落下するので星の平均密度をρとするとその落下時間ｔ_ffはｔ_ff＝{3/(4πＧρ)}^1/2で与えられます。

一方,圧力が大きくて重力が無視できるときはρｄ²ｒ/ｄｔ²＝－ｄＰ/ｄｒ＞ 0 なので,膨張時間 ｔ_exはρＲ/ｔ_ex²～ Ｐ/Ｒと近似してｔ_ex～ Ｒ/(Ｐ/ρ)^1/2となります。

そして,重力と圧力が釣り合って平衡ならｔ_ff～ ｔ_exとなると考えられます。

Ｐ/ρ＝ｋ_BＴ/μｍ_Hにより,ｔ_ex～ Ｒ/(Ｐ/ρ)^1/2＝(μｍ_H/ｋ_BＴ)^1/2{3Ｍ/(4πρ)}^1/3ですから,ｔ_ff～ ｔ_exの条件はＴ～ (Ｇｍ_H/ｋ_B)ρ^1/3Ｍ^2/3です。

これをＴ－ρの両対数曲線で表わしたとき,この条件を満たす曲線を力学的平衡線といいます。

ρに対して,Ｔがこれより低いときには,ｔ_ff＜ｔ_exなので収縮が起きます。また,質量が小さいときは力学的平衡線は温度Ｔの低い方に下がるので,収縮はより低温にならないと始まりません。

一方,収縮して密度ρが高くなるとガス雲は冷却の原因となる赤外線などの輻射に対して不透明になります。

不透明になった原始星は輻射冷却が不透明性によって阻害されるため,断熱的に収縮して結果として温度は上昇します。

そして収縮の途中では水素分子の解離と電離にそのエネルギーを費やすため,やがて温度上昇は横ばいになり,そして電離が終わると再び温度が上昇していきます。

その後はまず中心部で収縮が止み,それから外層の落下収縮も止まります。こうして原始星は収縮して平衡に向かい,いわゆる主系列の星になります。この段階を"林フェイズ"と言います。

主系列星でＨが燃焼され尽くされると,星はＨeコア(ヘリウム核)と初期の元素組成を保つ外層部との層状な構造となり,Ｈeコアの表面でのＨの殻燃焼段階に入ります。

殻燃焼が進むとＨeコアの質量が大きくなるためにコアは収縮し,星は半径が増大して巨星化します。

それ以後の進化はその質量によって異なることが知られています。

Ｍ＜3Ｍ_太陽の星はその進化とともに小さい星になります。そして内部の核エネルギーを使い果たすと共に収縮し,中心密度が高くなって電子が縮退を始めます。

それでも表面からのエネルギー放出は続くので,冷却してやがて電子の縮退圧で支えられる星になります。

このような星を白色矮星といいます。こうした白色矮星の限界質量を考えてみます。

簡単のため,化学組成は一様とし,完全冷却して完全縮退したＴ＝0 の場合を考えます。

この場合の状態方程式はＰ＝Ｋｆ(ｘ),Ｋ＝{1/(3π²)}(ｍ_eｃ/ｈ)³ｍ_eｃ²＝6.0×10¹⁴Ｊ/ｍ³,ｆ(ｘ)＝ｘ(2ｘ－3)(ｘ²＋1)^1/2＋3sinh^-1(ｘ),ｘ≡ｐ_F/(ｍ_eｃ)で与えられます。

ここで,原子核による圧力は小さいので電子の縮退圧のみを考えています。また,ｃは光速,ｈはプランク(Planck)定数,ｍ_eは電子質量です。

電子数密度ｎ_eはｎ_e＝(8π/3)(ｍ_eｃ/ｈ)³ｘ³＝(1/3π²)(ｍ_eｃ/ｈ_c)³ｘ³ (ｈ_c≡ｈ/(2π))であり,ρ＝μ_eｎ_eｍ_pです。

μ_eは原子１個当たりの電子数,ｍ_pは陽子質量です。

また,物質密度ρは,ρ＝ρ_critｘ³,ただしρ_crit＝{ｍ_Nμ_e/(3π²)}(ｍ_eｃ/ｈ)³≒9.7×10⁸μ_e kg/ｍ³(ｍ_Nは核子の質量)で与えられます。

相対論的な場合を考えてρ＞＞ρ_c,ｘ＞＞1とすると,ｆ(ｘ)～ 2ｘ⁴－3ｘ²より,Ｐ＝{ｈ_cｃ/(12π²)}{3π²ρ/(ｍ_Nμ_e)}^4/3となります。

これはポリトロープ指数Ｎ＝3に相当しますから,質量はＭ＝[Ｐ_c³/(4πＧ³ρ_c⁴)]^1/2φ_N(Ｎ＝3)で与えられます。

(Ｐ_c³/ρ_c⁴)^1/2＝{ｈ_cｃ/(12π²)}^3/2{3π²/(ｍ_Nμ_e)}²であり,エムデンの数値解によると,φ₃＝6.957ですからＭ＝{(3π²)^1/2/16}φ₃{(ｈ_cｃ/Ｇ)^3/2/(ｍ_Nμ_e)²}＝1.16×10³¹μ_e^-2 kg＝5.84μ_e^-2Ｍ_太陽が得られます。

これが電子の縮退圧で支えることのできる白色矮星の限界質量であり,これはチャンドラセカール限界質量(Chandrasekhar limit)と呼ばれています。

このチャンドラセカール質量Ｍ_chは,μ_e＝2の場合が多いため,Ｍ_ch=1.46(2/μ_e)²Ｍ_太陽と書かれることが多いです。

実際には電子のフェルミエネルギーが大きくなると,電子は陽子と反応して中性子をつくるようになるので電子の縮退圧で支えられる白色矮星という描像は意味を失い,さらに高密度の中性子星となり中性子の縮退圧で支えられるようになります。

ところで,チャンドラセカール(Chandrasekhar)の名著"星の構造(Stellar structure)"の訳本の復刊を数年前から復刊ドットコムhttp://www.fukkan.com/fk/VoteDetail?no=2164にリクエストしていますが,投票が100票に達しないと復刊交渉をしてもらえません。

洋書のリプリント版は持っていますが,ぜひ日本語で読みたいので,できましたら投票にご協力くださるようお願いします。

参考文献；佐藤文隆 原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店）

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星の構造(ポリトロープガス球とエムデン解)

前回の議論において,４つの未知数Ｐ.ρ,Ｌ,Ｔに対する４つの方程式が得られました。

すなわち,①ｄＰ/ｄｒ＝－(4πＧρ(ｒ)/ｒ²)∫₀^rｒ²ρ(ｒ)ｄｒ,②Ｐ＝Ｐ(ρ,Ｔ,μ),③ｄＬ/ｄｒ＝4πｒ²ρε,④ｄＴ/ｄｒ＝－(1/λ){Ｌ/(4πｒ²)} (λ＝4ａｃＴ³/(3κρ))の４つです。

そこで,星の中心ｒ＝0 でＬ＝0 ,表面ｒ＝ＲでＰ＝Ｐ_表面 ～ 0 ,Ｔ＝Ｔ_表面 ～ 0 (中心のＴに比べ表面のＴは無視できるほど小さい)という境界条件を与えます。

化学組成によりμやκがわかり,核反応の詳細なメカニズムの解明によりεがわかれば,①～④を解くことが原理的には可能となるので平衡状態での星の構造を知ることができると考えられます。

ただし,それでもまだ条件的には解くことがむずかしいと思われるので,式④ｄＴ/ｄｒ＝－(1/λ){Ｌ/(4πｒ²)}の代わりになるようなより簡明な温度勾配の式を与えるモデルを考えてみます。

一般に,断熱変化での温度勾配はｄＴ/ｄｒ＝{1/(ｎ＋1)}(Ｔ/Ｐ)(ｄＰ/ｄｒ)と表わすことができます。

ｎは状態方程式ＰＶ＝Ｕ/ｎを満たすｎを意味します。非相対論的気体分子なら,ＰＶ＝(2/3)Ｕよりｎ＝3/2,光子気体のような相対論的気体ＰＶ＝Ｕ/3よりｎ＝3です。

これは次のような考察で導くことができます。

すなわち,並進以外の回転や振動などの自由度を無視すれば,Ｎを体積(Ｖの気体を構成する粒子数とすると,Ｕ＝ｎＮｋ_BＴです。

したがってＰＶ＝Ｎｋ_BＴですが,ｄＵ＝ｎＮｋ_BｄＴで断熱変化ではｄＵ＋ＰｄＶ＝0 によって,ＰｄＶ＝－ｎＮｋ_BｄＴが成立します。ここでｋ_Bはボルツマン定数(Boltzmann's constant)です。

それ故,ＰＶ＝Ｎｋ_BＴ,ＰｄＶ＋ＶｄＰ＝Ｎｋ_BｄＴは－ｎＮｋ_BｄＴ＋Ｎｋ_BＴｄＰ/Ｐ＝Ｎｋ_BｄＴ,(ｎ＋1)ｄＴ/Ｔ＝ｄＰ/Ｐとなりますから,結局ｄＴ/ｄｒ＝{1/(ｎ＋1)}(Ｔ/Ｐ)(ｄＰ/ｄｒ)が得られます。

これは,1/(ｎ＋1)＝ｄ(logＴ)/ｄ(logＰ)を意味しますから,ＰＴ^-(n+1)＝(一定),あるいはＰρ^-(n+1)/n＝(一定)となります。Ｐ＝ｋρ^(n+1)/n＝ｋρ^1+1/n (ｋは定数)と書いても同じです。

そして,④式の温度勾配ｄＴ/ｄｒ＝－(1/λ){Ｌ/(4πｒ²)}と断熱変化の温度勾配ｄＴ/ｄｒ＝{1/(ｎ＋1)}(Ｔ/Ｐ)(ｄＰ/ｄｒ)は,ｄＰ/ｄｒ＜0 なのでどちらも負の値となります。

温度勾配の絶対値|ｄＴ/ｄｒ|が断熱変化のそれより大きいなら,輻射や熱伝導だけでは平衡を保つだけのエネルギーを輸送することができず,流体(ガス)自体の運動が生じる必要があります。これを対流と呼びます。

そしてこうした大きい温度勾配の状態は対流が生じるという意味で不安定なので,最終的にはｄＴ/ｄｒ＝{1/(ｎ＋1)}(Ｔ/Ｐ)(ｄＰ/ｄｒ)に落ち着くか,より安定な温度勾配に落ち着きます。

これを対流平衡といいます。

これらから,Ｐとρの間に次のような関係があると仮定します。

すなわち,ｄ(logρ)/ｄ(logＰ)＝Ｎ/(Ｎ＋1)が成り立つとします。このとき,Ｐ＝ｋρ^{(Ｎ＋1)/Ｎ}＝ｋρ^1＋1/Ｎ(ｋは定数)が成立します。このＮのことをポリトロープ指数と呼びます。

通常の理想気体の断熱変化ではｃ_v,ｃ_pをそれぞれ定積比熱,定圧比熱としてγを比熱比γ≡ｃ_p /ｃ_vとすると,Ｐ＝ｋρ^γ (ｋは定数)となるのでγ＝ｄ(logＰ)/ｄ(logρ)であり,このときのポリトロープ指数ＮはＮ＝1/(γ－1)で与えられます。

ケルヴィン(Kelvin)は断熱変化でなく対流平衡でもδＱ＝ｃｄＴとなるケースがあることに気づきました。

例えば湿潤大気では乾燥大気とは異なる対流平衡が存在し得ることを示すこともできます。

エムデン(Emden)はこれを一般化してδＱ＝ｃｄＴなる変化をポリトロープ変化と呼んで考察しました。

これはｃ＝0 では断熱変化,ｃ＝∞では等温変化,ｃ＝ｃ_v,ｃ_pでは,それぞれ定積変化,定圧変化になるという意味で一般的な記述になっていると考えられます。

そしてδＱ＝ｃｄＴというポリトロープ変化でも,あるＮについてＰ＝ｋρ^1＋1/Ｎ(ｋは定数)が成立することを導くことができます。

すなわち,δＱ＝ｄＵ＋ＰｄＶにおいてｃ_v＝(∂Ｑ/∂Ｔ)_V＝(∂Ｕ/∂Ｔ)_Vです。理想気体なら(∂Ｕ/∂Ｖ)_T＝0 なので,(∂Ｕ/∂Ｔ)_V＝ｄＵ/ｄＴ,ＰＶ＝Ｎｋ_BＴよりδＱ＝(ｄＵ/ｄＴ＋Ｎｋ_B)ｄＴ－ＶｄＰです。

そこでｃ_p＝(∂Ｑ/∂Ｔ)_P＝ｄＵ/ｄＴ＋Ｎｋ_B,つまりｃ_p－ｃ_v＝Ｎｋ_B(マイヤー(Mayer)の公式)が成立します。

それ故,δＱ＝ｄＵ＋ＰｄＶはｃｄＴ＝ｃ_vｄＴ＋(ｃ_p－ｃ_v)ＴｄＶ/Ｖより,(ｃ_v－ｃ)ｄＴ/Ｔ＋(ｃ_p－ｃ_v)ｄＶ/Ｖ＝0 と書けます。

γ'≡(ｃ_p－ｃ)/(ｃ_v－ｃ)とおけば,ｃ＝0 のときはγ'＝γであり,また(ｃ_p－ｃ_v)/(ｃ_v－ｃ)＝γ'－1ですから,ＴＶ^γ'－1＝(一定),あるいはＰＶ^γ'＝(一定)です。

したがって,1/γ'≡Ｎ/(Ｎ＋1)とおけばγ'＝1＋1/Ｎ(Ｎ＝1/(γ'－1))でＰ＝ｋρ^1＋1/Ｎ(ｋは定数)が得られます。

Ｐ＝ｋρ^1＋1/Ｎ(ｋは定数)④'を④の代わりに用いたガスによる球対称の星をポリトロープガス球(Polytropic gas sphere)と呼びます。

①  の両辺を(ｒ²/ρ)倍した後,さらにｒで微分すると(ｄ/ｄｒ){(ｒ²/ρ)ｄＰ/ｄｒ}＝－4πＧρｒ²となります。

この方程式にＰ＝ｋρ^1＋1/Ｎ(ｋは定数)を代入すると,レーン・エムデン(Lane-Emden)の式と呼ばれる微分方程式(1/ξ²)(ｄ/ｄξ){ξ²ｄθ_N(ξ)/ｄξ}＝－[θ_N(ξ)]^Nが得られます。

ここで,ρ≡ρ_c[θ_N(ξ)]^N,ｒ≡αξ,α≡(Ｎ＋1)^1/2[Ｐ_c/(4πＧρ_c²)]^1/2でρ_cは中心の密度,Ｐ_c は中心圧力です。θ_N(0)＝1でξ,θ_Nは無次元量です。

θ_Nが満たすべき条件はθ_N(0)＝1の他には,ξ＝ｒ＝0 においてｄＰ/ｄｒ＝0 ,すなわちθ_N'(0)＝0 です。そしてこの方程式の解をエムデン解と呼びます。

この方程式の一般のＮに対する解を求めるには数値計算が必要ですが,Ｎ＝0,1,5 の場合は解析的に厳密解を求めることができます。

ここでは,証明を省略してそれらの解を列記しておきます。

θ₀(ξ)＝1－ξ²/6,θ₁(ξ)＝sinξ/ξ,θ₅(ξ)＝1/(1＋ξ²/3)^1/2です。θ₅(ξ)はξが有限の範囲ではゼロにならないので,半径は∞になります。

θ_N(ξ)＞0 なら,ｄθ_N/ｄξ＝－(1/ξ²)∫₀^ξξ²{θ_N(ξ)}^Nｄξ＜ 0 なので,その範囲ではθ_N(ξ)は単調減少関数です。

そしてθ_N(ξ)が最初にゼロになるところが星の表面ですから,その値をξ_Nと置くと,Ｎ＜5 のときは星の半径はＲ_N＝αξ_N＝[Ｐ_c/(4πＧρ_c²)]^1/2(Ｎ＋1)^1/2ξ_Nで与えられます。

星の質量Ｍは,Ｍ＝∫₀^ＲN4πρｒ²ｄｒ＝－4πα³ρ_c∫₀^ξN(ｄ/ｄξ)[ξ²{θ_N(ξ)}^N]ｄξ＝[Ｐ_c³/(4πＧ³ρ_c⁴)]^1/2φ_Nとなります。ただしφ_N≡－(Ｎ＋1)^1/2[ξ²ｄθ_N(ξ)/ｄξ]_ξ＝ξNです。

定数であるφ_NはＮによる変動が小さいので,Ｍ＝[Ｐ_c³/(4πＧ³ρ_c⁴)]^1/2φ_NはＭとＰ_c,ρ_cの関係を知ることができる式になっています。

　Ｎ＝5のときには半径が∞ですが質量Ｍは有限です。しかし,Ｎ＞5のときは質量,半径ともに∞になりますから,Ｎ≧5は現実的な解を与えるとは思われません。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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星の重力平衡とエネルギーの流れ

　星(恒星)は重力によって束縛されたガスの塊りで,その表面から核融合などの反応で得られたエネルギーを放出しています。こうしたメカニズムの一端を述べてみます。

　まず,今日は球対称な星の重力平衡の話から始めます。 

　中心から半径がｒ,ｒ＋ｄｒにおける圧力をＰ,Ｐ＋ｄＰとすると,この圧力差によってｒとｒ＋ｄｒの間のガスはｒの増加する向きに単位面積当たり－ｄＰの力を受けます。

　一方,同じ領域のガスはｒの内側の質量Ｍ(ｒ)による重力で中心に向かって引き付けられています。

　そこで,万有引力定数をＧ,半径ｒの位置の密度をρ(ｒ)とすると,重力平衡,すなわち釣り合いの条件は,－ｄＰΔＳ＝{ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)ΔＶ/ｒ²}＝{ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)/ｒ²}ΔＳｄｒ,つまり－ｄＰ/ｄｒ＝ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)/ｒ²で与えられます。

　また,Ｍ(ｒ)はＭ(ｒ)＝4π∫₀^rｒ²ρ(ｒ)ｄｒと書くことができます。他方,Ｐとρは一般に温度Ｔや組成の平均分子量μなどで決まる気体の状態方程式Ｐ＝Ｐ(ρ,Ｔ,μ)を満足するはずです。

　このため,温度Ｔを決定する関係式が必要となり,そのためには星の内部でのエネルギーの流れを考えなければなりません。

　ガスのエネルギー密度をＥ,そこでのエネルギー流束をＦとし,εを単位質量当たりの星によるエネルギー発生率とすると,エネルギー保存の方程式は∂Ｅ/∂ｔ＋∇Ｆ＝ρεで与えられます。

　そこで,Ｌ(ｒ)を半径ｒの球面を単位時間に横切るエネルギーの総量とすると,Ｌ(ｒ)＝4πｒ²Ｆ_rですから,ｄＬ/ｄｒ＝4πｄ(ｒ²Ｆ_r)/ｄｒ＝4πｒ²∇Ｆ＝4πｒ²(－∂Ｅ/∂ｔ＋ρε)です。

　平衡状態では∂Ｅ/∂ｔ＝0 ですから,ｄＬ(ｒ)/ｄｒ＝4πｒ²ρεとなります。

　一方,Ｌ(ｒ)＝4πｒ²Ｆ_rにおいて,一般にＦ＝－λ∇ＴによってＦ_r＝－λ(ｄＴ/ｄｒ)ですから,ｄＴ/ｄｒ＝－(1/λ){Ｌ(ｒ)/(4πｒ²)}を得ます。

　輻射平衡の場合は熱拡散係数λはａをステファン・ボルツマンの法則(Stefan-Boltzmannの法則)Ｅ＝ａＴ⁴における係数とし,ｃを光速,κを吸収係数とすれば,λ＝4ａｃＴ³/(3κρ)なる式で与えられます。

　ここで,理論的にλ＝4ａｃＴ³/(3κρ)なる式が成立することを証明しておきます。 

　Ｉを光の強度(単位時間当たりに単位面積を通過する単位立体角当たりの光のエネルギー)とすると,エネルギー流束はＦ＝∫ＩcosθｄΩ＝πＩで与えられます。そして,熱平衡で完全黒体のときにはＩ＝Ｊ≡ａｃＴ⁴/(4π)です。

　光の強度Ｉとエネルギーの流束Ｆの違いは,あらゆる方向から直進してきた強度Ｉの光がその断面積をあらゆる方向に通過するのに対して,流束Ｆはその断面に垂直な成分のみを総和したという意味になっているということです。

　振動数がνの光の流束と光の強度をＦ_ν,Ｉ_νとするとＦ＝∫Ｆ_νｄν,Ｉ＝∫Ｉ_νｄνです。それに対応して平衡状態での理想的な黒体輻射の法則をＪ＝∫Ｊ_νｄνと書いておきます。

ある物質の距離ｄｓを通過する間に,Ｉ_νが物質によってα_νＩ_νだけ吸収され,物質からｊ_νの光放出を受け,さらに全体として散乱の寄与を受けるとすれば,ｄＩ_ν/ｄｓ＝－α_νＩ_ν＋ｊ_ν－α_ν^SC(Ｉ_ν－Ｊ_ν)＝－(α_ν＋α_ν^SC) (Ｉ_ν－Ｓ_ν)となります。

α_ν^SCは散乱係数でＳ_ν≡(ｊ_ν＋α_ν^SCＪ_ν)/(α_ν＋α_ν^SC)です。

ここで,簡単のために物質の温度や吸収係数がｚ方向のみに変化するとして考察することにすれば,対称性によって光の強度もｚとその方向となす角度(angle)θのみに依存します。

θ方向への光の流れを考えるとｄｓ＝ｄｚ/cosθより,cosθ{∂Ｉ_ν(ｚ,θ)/∂ｚ}＝－(α_ν＋α_ν^SC)(Ｉ_ν－Ｓ_ν),あるいはＩ_ν(ｚ,θ)＝Ｓ_ν－cosθ(∂Ｉ_ν/∂ｚ)/(α_ν＋α_ν^SC)です。

星の内部では局所的に熱平衡にある,とみなせるので,第ゼロ次の近似としてＩ_ν⁽⁰⁾(ｚ,θ)＝Ｓ_ν⁽⁰⁾ ＝Ｊ_ν(Ｔ)と取ります。そして第１次の近似を行なえばＩ_ν⁽¹⁾(ｚ,θ)＝Ｊ_ν(Ｔ)－cosθ{Ｊ_ν(Ｔ)/∂ｚ}/(α_ν＋α_ν^SC)となります。

そこでエネルギーの流束として正味の値,つまり向きが反対の光も考慮してθを 0 ～ πの範囲に取ると,Ｆ_ν(ｚ)＝∫Ｉ_ν⁽¹⁾cosθｄΩ＝2π∫_-1¹Ｉ_ν⁽¹⁾cosθｄ(cosθ)＝－[4π/{3(α_ν＋α_ν^SC)}]{∂Ｊ_ν(Ｔ)/∂ｚ}を得ます。

∂J_ν(Ｔ)/∂ｚ＝{∂Ｊ_ν(Ｔ)/∂Ｔ}(ｄＴ/ｄｚ)ですから,Ｆ(ｚ)＝∫Ｆ_ν(ｚ)ｄν＝(－4π/3)(ｄＴ/ｄｚ)∫(∂Ｊ_ν/∂Ｔ)/{ρ(κ_ν＋κ_ν^SC)}ｄνとなります。

ここで,α_ν＝ρκ_ν,α_ν^SC＝ρκ_ν^SCとしました。

さらに,∫(∂J_ν/∂Ｔ)ｄν＝(∂/∂Ｔ)(∫Ｊ_νｄν)＝(∂/∂Ｔ){ａｃＴ⁴/(4π)}＝ａｃＴ³/πを使用し,ロースランド平均(Rossland mean)1/κ≡[∫(∂Ｊ_ν/∂Ｔ)/(κ_ν＋κ_ν^SC)ｄν]/[∫(∂Ｊ_ν/∂Ｔ)ｄν]による吸収係数κを定義すると,Ｆ(ｚ)＝－{4ａｃＴ³/(3κρ)}(ｄＴ/ｄｚ)が得られます。

そして,１次元ｚから球対称ｒに移行すれば,Ｌ(ｒ)＝4πｒ²Ｆ_rで,Ｆ_r＝－{4ａｃＴ³/(3κρ)}(ｄＴ/ｄｒ)となります。以上で証明は完了しました。

こうした吸収,散乱のほかに熱伝導によるエネルギーの減衰も考えると物質の吸収のκをκ_rad,熱伝導率をκ_condとして1/κ＝1/κ_rad＋1/κ_cond とする必要があります。

とりあえず,今日はここまでにします。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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高密度状態での陽子の中性子化(2)

前記事の続きです。

簡単のために水素原子を考えます。水素原子の半径はほぼボーア半径:ａ_B＝ｈ_c²/(ｍ_eｅ²)＝0.53×10^-8cmで与えられます。ここで,ｈ_c≡ｈ/(2π),ｈはプランク(Planck)定数で,ｍ_eは電子の質量です。

原子が密着して配列しているなら水素原子の密度:ρ_Hはρ_H＝ｍ_H/(4πａ_B³/3)で与えられますが,この密度以上に物質が圧縮されると原子がバラバラに配列している状態からはずれて,とても高密度な状態にあると言えます。ただしｍ_H は水素原子の質量です。

例えば,原子が半径ａの空間に圧縮されれば,電子の陽子との間に働く静電エネルギーはc.g.s単位でＥ_e＝ｅ²/ａです。

一方,不確定性関係Δｐ・Δｘ～ｈ_cより,半径ａの空間に閉じ込められた電子は(ｈ_c/ａ)程度の運動量を持ち,従ってＥ_k＝ｈ_c²/(2ｍ_eａ²)程度の運動エネルギーで運動しています。

このエネルギーは密度ｎ～1/ａ³の"縮退エネルギー＝フェルミエネルギー"ε_F＝ｐ_F²/(2ｍ_e)＝[{3/(4πｇｈ³)}^}1/3ｎ^1/3]²/(2ｍ_e)＝(3π²)^}2/3ｈ_c²/(2ｍ_eａ²)と同程度です。

ちなみに,ρ_H＝ｍ_H/(4πａ_B²/3)の密度ではＥ_k/Ｅ_e＝{ｈ_c²/(2ｍ_eｅ²)}/ａ_B＝1/2～1なので,Ｅ_kとＥ_eは同じオーダーになります。

しかし,ａが小さくなるとＥ_k/Ｅ_e＝ａ_B/(2ａ)は大きくなります。電子のエネルギーＥ_k＝ｈ_c²/(2ｍ_eａ²)が大きくなって陽子の束縛をはずれて自由に飛び回るようになります。

これを圧力電離といいます。電離された電子は密度が大きくなるにつれて静電相互作用を無視して一様密度の自由粒子の気体のように挙動するようになります。

一方,陽子の量子的運動エネルギーをＥ_K とし,その陽子同士の静電エネルギーをＥ_pと書くと,陽子の質量をｍ_pとしてＥ_K/Ｅ_p＝{ａ_B/(2ａ)}(ｍ_e/ｍ_p)です。

Ｅ_KがＥ_pより大きくなるのは電子の場合と比べてａが(ｍ_e/ｍ_p)倍まで小さくなったとき,密度にして10¹⁰倍大きくなったときです。

したがって,その密度が達成されるまでは陽子は静電エネルギーが最小となるような配列で規則正しく並ぶことになります。

しかし,温度Ｔがゼロの近傍ではなく十分大きくなってｋ_BＴ＞ｈ_c²/(2ｍ_pａ²)となった場合,Ｅ_Kは縮退エネルギーである量子的運動エネルギーよりも,主として熱運動エネルギーで与えられることになります。

そこで,このときはＥ_pとＥ_Kの比Γは,Γ＝Ｅ_p/Ｅ_K ～ ｅ²/(ａｋ_BＴ)となります。そしてΓ＞1なら陽子は規則正しく結晶状に配列すると予想されます。

陽子ではなく,質量数がＡで電荷がＺのイオンなら密度はρ＝Ａｍ_pｎなので,Γ～ (Ｚｅ²)/(ａｋ_BＴ)＝2.27×10⁶(Ｚ²/Ａ^1/3){ρ(kg/ｍ³)}^1/3/Ｔです。

コンピュータによる結晶化の仮想数値実験によると,Γ～1では局所的に秩序のある液体状態を保っていますが,Γが50～170程度になるとはじめて結晶化するらしいです。

つまり,結晶化が崩れる温度は大体Ｔ＞2.3×10⁴(100/Γ)(Ｚ²/Ａ^1/3){ρ(kg/ｍ³)}^1/3Ｋであることになります。

これら圧力電離が生じ始めるのは,ρ＜2×10⁹ kg/ｍ³程度の高密度状態ですが,これ以上の高密度状態になると陽子の中性子化が起きるようになります。

中性子と陽子の質量差はＱ＝(ｍ_n－ｍ_p)ｃ²＝1.29 MeVで,中性子のほうが陽子より重いので通常は陽子のほうが安定で中性子が陽子に崩壊します。これが弱い相互作用によるベータ崩壊(β-decay)です。

当然のことですが自然の崩壊現象というのは重い粒子が軽い粒子に崩壊するものです。逆反応は自然には有り得ずません。

しかし,Ｑ＝(ｍ_n－ｍ_p)ｃ²＝1.29MeVよりも大きいエネルギーを持つ電子を陽子に照射すればベータ崩壊の逆反応である陽子による電子捕獲ｐ＋ｅ^-→ｎ＋ν_eという反応が起こります。

物質密度が非常に高くなり,ａが小さくなって電子の"縮退エネルギー＝絶対温度Ｔで電子の取り得る上限のエネルギー"ε_F＝(3π²)^}2/3ｈ_c²/(2ｍ_eａ²)がこの反応を起こすほど大きくなると,陽子は電子を吸収してどんどん中性子化してゆきます。

今,簡単のためにＴ＝0 として陽子,電子,中性子のみから成る気体を仮想して平衡状態における組成を検討してみましょう。

高密度状態で先に述べた電子捕獲の反応が起こって,ベータ崩壊と平衡状態に達するとします。

温度一定:ｄＴ＝0 ,密度一定:ｄＶ＝0 のときは平衡になる条件はヘルムホルツの自由エネルギーＦ≡Ｕ－ＴＳが極小になることです。

粒子を通さない壁で仕切られた２つの異なる系があって,２つの系のうち系２は十分大きい熱浴であるとして,これらが平衡にごく近い状態にあるとするとＴ₁＝Ｔ₂＝Ｔ,Ｐ₁＝Ｐ₂＝Ｐです。

２つの系全体では孤立系なので,反応は総エントロピーＳ＝Ｓ₁＋Ｓ₂が増加する方向,すなわちｄＳ₁＋ｄＳ₂≧0 の方向に進むはずです。

ところが,反応の前後で全エネルギーも全体積も保存するはずですから,ｄＵ₁＝－ｄＵ₂,ｄＶ₁＝－ｄＶ₂です。

したがって,ｄＳ₂＝(ｄＵ₂＋ＰｄＶ₂)/Ｔ＝－(ｄＵ₁＋ＰｄＶ₁)/Ｔなので,反応が進む条件はｄＳ₁－(ｄＵ₁＋ＰｄＶ₁)/Ｔ≧0 となります。

熱浴ではない系１の反応だけに着目して,添字１をはずすとｄＳ－(ｄＵ＋ＰｄＶ)/Ｔ≧0 です。ｄＴ＝0,ｄＶ＝0ではＰｄＶ＝0 なので,この条件はｄ(ＴＳ－Ｕ)/Ｔ＝－ｄＦ/Ｔ≧0,つまりｄＦ≦0 になります。

それ故に,平衡の条件はヘルムホルツの自由エネルギーＦ≡Ｕ－ＴＳが極小であることになるわけです。

そして,今はＴ＝0 の場合を考えているのでＦ＝Ｕですから平衡になる条件は内部エネルギーＵが極小になることです。

そして体積が一定ｄＶ＝0 の条件では,これは内部エネルギー密度Ｅ＝Ｕ/Ｖが極小になることと同じことですね。

ｐ＋ｅ^-→ｎ＋ν_eの反応で発生した電子ニュートリノν_eは物質との相互作用が極端に小さく何でも通り抜けてしまうため,これは高密度の領域からすぐに逃げてしまうと考えられるので,これの効果は無視することにします。

核子の数密度ｎ_Bの保存と電荷の保存から陽子,電子,中性子の数密度を,それぞれｎ_p,ｎ_e,ｎ_nとすると,ｎ_p＋ｎ_n＝ｎ_B かつｎ_p＝ｎ_eが成立するので,与えられた一定のｎ_Bに対してｎ_nが与えられれば全ての組成は決まってしまいます。

そして陽子,中性子,電子のそれぞれについて質量を除いた内部エネルギーの密度をＥ＝Ｕ/Ｖとすると,全エネルギー密度ξはξ＝ｎｍｃ²＋Ｅで与えられます。

系全体のエネルギー密度はξ＝ξ_n＋ξ_p＋ξ_eです。

そして先に述べた平衡の条件は相対論まで含めれば質量のエネルギーと運動エネルギーを加えた広い意味での内部エネルギーが極小になる条件ですから,結局ξが極小になるという条件に同等です。

そこで平衡になるときの組成を得るためには,ｎ_n の変化に対してξが極小になる条件を求めればいいことになります。

すなわち,ｄξ/ｄｎ_n＝ｄξ_n/ｄｎ_n＋ｄξ_p/ｄｎ_n＋ｄξ_e/ｄｎ_n＝ｄξ_n/ｄｎ_n－ｄξ_p/ｄｎ_p－ｄξ_e/ｄｎ_e＝0 です。

ｄｎ＝(ｇ/ｈ³)ｐ_F²ｄｐ_F,ｄＥ＝(ｇ/ｈ³)ｄ[∫₀^ｐFεｐ²ｄｐ]により,ｄＥ/ｄｎ＝ｐ_F^-2(ｄ/ｄｐ_F)[∫₀^ｐFεｐ²ｄｐ]＝ε_Fなのでｄξ_i/ｄｎ_i＝ε_Fi＋ｍ_iｃ² (ｉ＝ｎ,ｐ,ｅ)となります。

したがって,平衡の条件はε_Fn＋ｍ_nｃ²＝ε_Fp＋ｍ_pｃ²＋ε_Fe＋ｍ_eｃ²,すなわち,(ｐ_Fn²＋ｍ_n²ｃ²)^1/2＝(ｐ_Fp²＋ｍ_p²ｃ²)^1/2＋(ｐ_Fe²＋ｍ_e²ｃ²)^1/2となります。

次はこの式からｎ_p＝ｎ_eによってｐ_Fp＝ｐ_Feであることに注意しながら(ｐ_Fp/ｐ_Fn)²を解くことを考えればよいことになります。

具体的な計算は煩雑なので省略して結果だけを書くと,(ｐ_Fp/ｐ_Fn)²＝[1＋(4Ｑｍ_n/ｐ_Fn²)＋4(Ｑ²－ｍ_e²ｃ⁴)ｍ_n²/ｐ_Fn⁴]/[4{1＋(ｍ_nｃ/ｐ_Fn)²}]が得られます。

なお,この結果式においては,ｍ_p＝ｍ_nとして,ｍ_pはｍ_nで置き換えています。

ｎ_p/ｎ_n＝(ｐ_Fp/ｐ_Fn)³ですが,ρ_c≡ｍ_n⁴ｃ³/(3π²ｈ_c³)≒6.11×10¹⁸ kg/ｍ³とおけば,ｍ_nｃ/ｐ_Fn＝(ρ_c/ｍ_nｎ_n)^1/3となります。

そこで,ｎ_p/ｎ_n＝(1/8)[(1＋{4Ｑ/(ｍ_nｃ²)}(ρ_c/ｍ_nｎ_n)^2/3＋{4(Ｑ²－ｍ_e²ｃ⁴)/(ｍ_n²ｃ⁴)}(ρ_c/ｍ_nｎ_n)^4/3)/(4{1＋(ρ_c/ｍ_nｎ_n)^2/3})]^3/2が得られます。

右辺をｍ_nｎ_nで微分することにより,ｎ_p/ｎ_nはｎ_nの増加と共に大体において減少するが,ある値を境にして増加に転ずることがわかります。

(ｎ_p/ｎ_n)は,ｍ_nｎ_n～ 1.27×10^-4ρ_c＝7.74×10¹⁴ kg/ｍ³のとき最小値:(ｎ_p/ｎ_n)_min～[{Ｑ＋(Ｑ²－ｍ_e²ｃ⁴)^1/2}/(ｍ_nｃ²)]^3/2≒1.34×10^-4を取り,ｍ_nｎ_n＞＞ρ_cになると,極限値1/8に近づいてゆきます。

いずれにしても,圧縮されて密度が高くなると陽子はそのほとんどが中性子に変わり中性子の割合が大きくなります。

そして,中性子が崩壊しようにも常にある量の電子が存在するため,崩壊によって生成される電子や陽子のエネルギー状態は既に占拠されているので中性子の崩壊が妨げられ,そのため不安定な粒子である中性子が安定に存在していると考えられます。

ただし,上述の議論は陽子,電子,中性子の系を理想気体と仮定したものです。

実際には高密度物質はこの理想化からは程遠い状態にあり,しかも核子は相互作用の無視できる自由運動をするわけではなく,原子核の状態で存在し,そうでなくても核力によって強く相互作用するわけですから,核力の影響を無視できないことになります。

これらを考慮した話は中性子星を中心とした話になりますが,これについては機会があったらまた記事にしてみたいと思います。

参考文献；佐藤文隆 原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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高密度状態での陽子の中性子化（1）

　陽子と中性子と電子が多数ある系で,高密度状態の際に陽子が中性子化するメカニズムについて述べてみたいと思います。 

　そのために,今日はまずスピンの自由度がｇであるフェルミ粒子(Fermion)について,"縮退エネルギー＝フェルミエネルギー"について論じてみます。 

スピンが半奇数である粒子は絶対温度Ｔでフェルミ・ディラック分布(フェルミ分布)に従います。

これは,化学ポテンシャルをμとするとき,エネルギーがεの状態にある平均粒子数がｎ_F(ε)＝1/[exp{(ε－μ)/(ｋ_BＴ)}＋1]で与えられることを示しています。

このフェルミ分布はボ－ズ分布と同じく,exp{(ε－μ)/(ｋ_BＴ)}＞＞１のときにはｎ～ exp{－(ε－μ)/(ｋ_BＴ)}というマクスウェル・ボルツマン分布になります。

体積がＶの系の全粒子数はＮ＝(Ｖ/ｈ³)∫(4πｇｐ²/[exp{(ε－μ)/(ｋ_BＴ)}＋1])ｄｐ～ (Ｖ/ｈ³)∫₀^∞[4πｇｐ²exp{－(ε－μ)/(ｋ_BＴ)}]ｄｐで与えられます。

したがって,粒子の数密度ｎはｎ≡Ｎ/Ｖ～ (4πｇ/ｈ³)∫₀^∞[ｐ²exp{－(ε－μ)/(ｋ_BＴ)}]ｄｐとなります。

また,系の全エネルギーをＵとすると,エネルギー密度はＥ≡Ｕ/Ｖ～ (4πｇ/ｈ³)∫₀^∞[εｐ²exp{－(ε－μ)/(ｋ_BＴ)}]ｄｐです。

同様に,圧力ＰはＰ～ {4πｇ/(3ｈ³)}∫₀^∞[(ｄε/ｄｐ)ｐ²exp{－(ε－μ)/ｋ_BＴ}]ｄｐ＝(4πｇｋ_BＴ/ｈ³)∫₀^∞[ｐ²exp{－(ε－μ)/ｋ_BＴ}]ｄｐ＝ｎｋ_BＴとなります。 

非相対論的粒子ではエネルギーがε＝ｐ²/(2ｍ)なので,数密度ｎ＝Ｎ/Ｖを求めるｄｐ積分を実行し結果をμをｎで表わす式で示せば,μ＝ｋ_BＴlog[(ｎ/ｇ){ｈ²/(2πｍｋ_BＴ)}^3/2]],or exp{μ/ｋ_BＴ}＝(ｎ/ｇ){ｈ²/(2πｍｋ_BＴ)}^3/2となります。

そして,特にexp{μ/ｋ_BＴ}＞＞1,すなわち,数密度ｎが非常に高い状態でのフェルミ分布ｎ_F(ε)＝1/[exp{(ε－μ)/(ｋ_BＴ)}＋1]を考えると,これはｎ_F(ε)～ 1 (ε＜μ),ｎ_F(ε)～ 0 (ε＞μ)なる分布で近似できます。

特にＴ→ 0 の極限では厳密にこの分布になります。この極限の状態を完全縮退と言い,そうでないときは部分縮退と言います。

そして,この分布においてｎ_F(ε)がゼロではない上限のエネルギーをε_Fと書き,これをフェルミエネルギーと呼びます。

一般にε_F～ μであり,完全縮退の極限では正確にε_F＝μです。ε_Fに対応する上限運動量の大きさをｐ_Fと書きフェルミ運動量と呼びます。ε_F＝(ｐ_F²ｃ²＋ｍ²ｃ⁴)^1/2－ｍｃ²ですね。 

フェルミ運動量ｐ_Fを用いると,数密度ｎ,圧力Ｐ,エネルギーＥは,ｎ＝(4πｇ/ｈ³)∫₀^ｐFｐ²ｄｐ＝(4πｇ/3)(ｍｃ/ｈ)³ｘ³,Ｐ＝{4πｇ/(3ｈ³)}∫₀^ｐF[ｐ²(ｄε/ｄｐ)]ｄｐ＝Ｋｆ(ｘ),Ｅ＝(4πｇ/ｈ³)∫₀^ｐF(εｐ²)ｄｐ＝Ｋｇ(ｘ)と表現できます。

ここで,ｘ≡ｐ_F/(ｍｃ)としました。

Ｋ＝{ｇ/(6π²)}(ｍｃ/ｈ)³ｍｃ²≒6.0×10¹⁴×(ｇ/2)Ｊ/ｍ³,ｆ(ｘ)＝ｘ(2ｘ²－3)(ｘ²＋1)^1/2＋3sinh^-1(ｘ),ｇ(ｘ)＝8ｘ³[(ｘ²＋1)^1/2－1]－ｆ(ｘ)です。 

また,ｎ＝(4πｇ/ｈ³)∫₀^ｐFｐ²ｄｐ＝(4πｇ/3)(ｍｃ/ｈ)³ｘ³,ｘ≡ｐ_F/(ｍｃ)からｐ_F＝{3/(4πｇｈ³)}^}1/3ｎ^1/3と書くことができます。

　　(つづく)　

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