震源の探知(大森公式等)

　今日は,ちょっと手抜きのツナギで2006年11/14の記事 「結晶内での弾性波（地震波）」の続きとして,中学か高校の地学で習った簡単な知識を披瀝してお茶をにごします。

　年末,体調はよくも悪くもないですがヒマ人なりに予定がこみ合っていて貧乏なこともありフリ－マンをエンジョイというわけにはいきません。

　ではまず,記事の再掲から始めます。

　(※再掲)

　今日は等方的とは限らない一般の結晶内での弾性波,特に地震波について考察してみます。

弾性体の密度をρ,応力テンソルを{σ_jk},それを構成する部分の局所的速度をｕ＝{ｕ_j}とすると,この弾性体が従うべき運動方程式は流体方程式と同じくρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝∂σ_jk/∂ｘ_kで表与えられます。

そして,歪み速度テンソル{ｕ_jk}をｕ_jk≡(∂ｕ_j/∂ｘ_k＋∂ｕ_k/∂ｘ_j)/2で定義すれば,これは{σ_jk}と同じく反対称の単なる回転を除いた対称テンソルです。これは６個の独立成分を持ちます。

線形弾性体近似では,フック(Hooke)の法則:σ_jk＝Ｃ_jklmｕ_lmが成立するため,先の運動方程式はρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝Ｃ_jklm(∂²ｕ_m/∂ｘ_k∂ｘ_l)となります。

Ｃ_jklmは,一般に81個の成分を持ちますが,{σ_jk}も{ｕ_jk}も対称テンソルなのでｊとｋ,ｌとｍについて対称ですから,独立成分は６×６＝36個となります。

また,歪みエネルギーＷはΔＷ＝σ_jkΔｕ_jkから求まり,対称２次形式Ｗ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmになるので,Ｃ_jklmはｊ,ｋとｌ,ｍの交換についても対称であり,結局,その独立成分は(30/2)＋6＝21個となります。

この方程式の平面波の解をｕ_j＝ｕ_0jexp[i(ｋｒ－ωｔ)]として代入すると,ρω²ｕ_j＝Ｃ_jklmｋ_kｋ_lｕ_mとなります。これを書き直すと(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)ｕ_m＝0 となります。

この１次方程式が自明でない解を持つためには,３行３列の行列係数:(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l) (ｊ,ｍ＝1,2,3)の行列式がゼロ,すなわち,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 が成立する必要があります。

そして,ω²を未知数としてこの方程式を解けば,ω²の３個の解が得られ,それらはｋの関数となります。

ところで,もしも結晶が等方性弾性体であれば,歪みエネルギーＷ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmは座標系の回転に対して不変なスカラーであるはずですが,ｕ_jkの２次形式の形で得られる独立な不変スカラーはｕ_kk²とｕ_jkｕ_jkのみです。

そこで,適当な係数λ,μを選んでＷ＝(1/2)λｕ_kk²＋μｕ_jkｕ_jkと書けるはずです。そこで,応力テンソル{σ_jk}＝{Ｃ_jklmｕ_lm}はσ_jk＝λｕ_llδjk＋2μｕ_jkと書けます。ここに弾性定数λ,μはラメ(Lame)の定数と呼ばれています。

このときには運動方程式もρｄ²ｕ/ｄｔ²＝(λ＋μ)∇(∇ｕ)＋μ∇²ｕと,簡単になります。

先に挙げた１次方程式の係数の行列要素はρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l＝(ρω²－μｋ²)δ_jm－(λ＋μ)ｋ_jｋ_mとなります。

ｋの向きをｘ軸の正の向きに取ると,ｋ₁＝ｋ＝|ｋ|,ｋ₂＝ｋ₃＝0 ですから,行列[(ρω²－μｋ²)δ_jm＋(λ＋μ)ｋ_jｋ_m]は対角成分が[ρω²－(λ＋2μ)ｋ²]と２つの(ρω²－μｋ²)の対角行列になります。

したがって,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 の解はＶ_P²≡(ω_P/ｋ)²＝(λ＋2μ)/ρ,Ｖ_S²≡(ω_S/ｋ)²＝μ/ρとなります。

それぞれの速度に対応する平面波は,速度Ｖ_Pで波の伝播方向への振動である"縦波＝Ｐ波"と,速度Ｖ_Sで波の伝播方向に垂直な方向の振動である"横波＝Ｓ波"です。

しかし,もしも異方性の弾性体の場合ならω＞0 の３つの解ω(ｋ)はｋの関数として１次の同次式ではあっても,単なる１次関数になるとは限らず,弾性波は一般に分散性の波でもあると思われます。

そこで,伝播速度は"単一波の速度＝位相速度"ではなく,群速度Ｖ＝∂ω/∂ｋで与えられると考えられます。

ところで,σ_jkやｕ_jkを[σ]＝^t(σ₁₁,σ₂₂,σ₃₃,σ₂₃,σ₃₁,σ₁₂)のように６次元の列ベクトルで表わすボイト(Vogit)の表記という表記法があります。

この表記で表現すると,フックの法則は[σ]＝Ｃ[ｕ]と簡単になります。ここでＣは６行６列のテンソル行列です。

また,このとき,特に結晶が等方性弾性体ならＣの成分のうちで独立なのはやはり２つだけで,先に述べたラメの定数はλ＝Ｃ₁₂,μ＝Ｃ₄₄＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2と表わされます。

例えば結晶が立方体構造をしている立方晶系では独立成分は３つです。つまり,Ｃ₁₁＝Ｃ₂₂＝Ｃ₃₃,Ｃ₁₂＝Ｃ₂₃＝Ｃ₃₁,かつ４～６行の成分は４～６列しか成分のない対角行列であってＣ₄₄＝Ｃ₅₅＝Ｃ₆₆であり,結局,この結晶構造を示すにはＣ₁₁とＣ₁₂とＣ₄₄の３つだけあれば十分である,ということになります。

この条件ではｘ軸をｋの向きに取り,先のdet(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝ 0 でのＣ_jklmをボイトの表記でＣを表わせば,ξ＝(ω/ｋ)²,ａ＝Ｃ₁₁/ρ,ｂ＝Ｃ₄₄/ρ,c＝Ｃ₁₂/ρとして(ξ－ａ)(ξ－ｂ)²＝0 ですから,解はξ＝ａ,ｂとなります。

つまり速度をＶ_P,Ｖ_Sとすると,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρとＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρの２つの速度が得られます。これは等方性弾性体でのＣ₄₄＝μ,Ｃ₁₁＝λ＋2μのケースと一致しています。

一方,六方晶系ではＣ₁₁＝Ｃ₂₂で,Ｃ₁₃＝Ｃ₂₃,また４～６は対角行列でＣ₄₄＝Ｃ₅₅,Ｃ₆₆＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2ですから,結局のところＣ₁₁,Ｃ₁₂,Ｃ₁₃,Ｃ₃₃,Ｃ₄₄の５つだけがあれば十分となります。

結果だけ書くと,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρ,およびＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρ,(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/(2ρ)となり,"横波＝Ｓ波"には２つの速度があるので地震の観測ではＳ波のほうに２重の波が観測されると予測されます。

ただし,異方性の結晶では一般に波は完全にＳ波とＰ波になるように行列が対角形になるとは限らないので,これらの計算においては偶々波の進行方向が結晶の対称軸と一致したり直交していたりする特別なケースだけしか扱っていません。

一般的な扱いについては,暇があってその気になればまた記事にするかもしれません。

参考文献；ランダウ＝リフシッツ 著「弾性理論」(東京図書),角谷典彦 著「連続体力学」(共立出版)

(再掲終了※)

　と書きましたが,ここからもっと身近な地震の話題へとつなげます。

等方性媒質を仮定すると,Ｖ_P＝{(λ＋2μ)/ρ}^1/2,Ｖ_S＝(μ/ρ)^1/2ですからＶ_P＞Ｖ_Sです。

そこで,震源Ｏから地震を感知する場所:ＡまでＰ波,およびＳ波が到着するまでの時間を,それぞれｔ_P,およびｔ_Sと書けばｔ_P＝∫_O^A(1/Ｖ_P)ｄｓ,ｔ_S＝∫_O^A(1/Ｖ_S)ｄｓです。Ｖ_P＞Ｖ_Sですからｔ_S＞ｔ_Pとなります。

つまり,まず縦揺れのＰ波だけが到着しその後に横揺れＳ波も到着して両方が重ね合わされた大きいゆれが始まるのですね。

特にＯＡ間の到るところで媒質が同じ均等な弾性体であれば,この区間でＶ_P,Ｖ_Sが一定です。

そこで,このときにはＯＡ間の波の進行距離(直線距離でなくてもよい)をｄ_A≡∫_O^Aｄｓとするとｔ_P＝ｄ_A/Ｖ_P,ｔ_S＝ｄ_A/Ｖ_Sです。

これから,引き算するとｔ_S－ｔ_P＝(ｄ_A/Ｖ_S－ｄ_A/Ｖ_P)＝ｄ_A(1/Ｖ_S－1/Ｖ_P)です。

それ故,Ｔ_A≡ｔ_S－ｔ_P,ｋ≡(1/Ｖ_S－1/Ｖ_P)^-1＝Ｖ_PＶ_S/(Ｖ_P－Ｖ_S)と定義すればｄ_A＝ｋＴ_Aという比例関係の公式を得ます。

　この式は発見者の大森房吉氏(1918)の名前を取って,大森公式(Ohmori's law)と呼ばれます。

こうした等方的で均質な媒質を伝わる場合,弱いＰ波だけが来て「あ,ひょっとして地震かな？」と思ってから本格的で大きな揺れがくるまでの初期微動の時間をＴ_Aとするとその地点Ａから震源Ｏまでの距離ｄ_AはＴ_Aに比例します。

初期微動時間が長いほど震源までの距離(地理的な距離だけでなく震源深さまでも含めた距離)が長いということが言えます。もしも震源が直下にあれば縦揺れは上下震動,横揺れは左右震動になります。

さて,標高ｈが違う３地点Ａ,Ｂ,Ｃがありその座標がそれぞれ(ｘ_A,ｙ_A,ｈ_A),(ｘ_B,ｙ_B,ｈ_B) (ｘ_C,ｙ_C,ｈ_C)であるとき,上記のような公式に基づいて初期震動時間の観測から観測点から震源までの距離ｄ_A,ｄ_B,ｄ_Cが全てわかったとします。

このとき,未知の震源Ｏの座標を(ｘ_O,ｙ_O,ｈ_O)と仮定すれば地震波が全て直進ならｄ_A²＝(ｘ_A－ｘ_O)²＋(ｙ_A－ｙ_O)²＋(ｈ_A－ｈ_O)²,ｄ_B²＝(ｘ_B－ｘ_O)²＋(ｙ_B－ｙ_O)²＋(ｈ_B－ｈ_O)²,ｄ_C²＝(ｘ_C－ｘ_O)²＋(ｙ_C－ｙ_O)²＋(ｈ_C－ｈ_O)²が成立します。

これは３つの未知数ｘ_O,ｙ_O,ｈ_Oに対する３つの連立２次方程式ですから解くことが可能です。つまり,正確に震源までの距離を観測できる点が３個あれば原理的には震源の位置がわかります。これは３点法と呼ばれるものですね。

普通,震源の高さｈ_Oは海抜で測って負の数であり震源は地中または海中にあります。

大森公式ｄ_A＝ｋＴ_Aは地震に対する公式で大森係数と呼ばれるｋ＝Ｖ_PＶ_S/(Ｖ_P－Ｖ_S)は8(ｋｍ/ｓ)程度の値ですが,この式は雷における音と光の２つのように速さの異なる２つの信号が届く現象では全く同じ公式が成立します。

ただし,雷の場合は光速がｃ～30万km/ｓ,空気中の音速がｖ～340ｍ/ｓでｃ＞＞ｖなのでｋ＝ｃｖ/(ｃ－ｖ)～ｃｖ/ｃ＝ｖですから,事実上ｄ_A～ｖＴ_Aなのでほとんど光速は関係無しです。

例えば,ピカッと光ってから雷の音が聴こえるまでの時間が１秒なら,自分から340ｍ程度離れたところ(空中かもしれません)で"放電＝落雷"があったと推測されます。

PS：＞私のマノン・レスコーたちへ　

　病気とか事故に会っていなければどこで誰と遊んでいてもいいけれど,連絡つかない状況だととにかく心配です。大丈夫かなあ。。。。)

　("マゾ, ロリコン, 準デブ専, メガネフェチ＝変態"のＴＯＳＨＩより。。)

(Ｔ.ウッズも聖人君子ではなく適当にストレスを解消しているらしいので安心しました。あれだけの収入を得る能力があれば大勢の家族を養えますね。

　性欲のある健康な男だし,大有名人で品行方正キャラが売り物なら日本だと風俗通いもままならないので女遊びは囲い込むしか仕方ないとして,もしもプロテスタントならマドンナの養子のように大勢を扶養するのはむしろ義務かな？)

PS2:ドクちゃんって日本が好きなんだ。。？？

　国ではなくて故郷(くに)が好きなんでしょ？

　http://news.aimu-net.com/read.cgi/wildplus/1257045443/

PS3:「陳情政治」からいきなり「非陳情政治」へと革命的に移行するのではなく,途中で１人(小沢さん)に権力が集中するシステムを経る。。

　共産革命でも過渡期ではプロレタリア独裁(現実には中国では毛沢東,ロシアではレーニンの１人独裁)です。それはそれでマヌーバとしてありなのでしょうが独裁者がプラトン的(プラトニック)に正しい哲人でいるうちはいいけど,うまく移行できないと"元の木阿弥"か,もっと悪くなります。

　小沢氏が中国に大挙して出かけていって米国にブラフかけて「ポッポ政権」を裏で後押ししてるのかも知れないけど,うまくいくのかねえ。基地問題。。

　朝っぱらから女子アナが「吉宗は何将軍？」と聞かれて「暴れん坊将軍？」と答えていました。それでもいいんだろうけど,ニュース番組なので一応「米(コメ)将軍だろ？」とツッコミたくなりました。。。アハハ

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定量的地震学６

　つなぎで地震学の続きを書きます。

前回は内部面上での応力,または変位(歪み)の不連続性で表現される地震源(面源)の体源による等価物の存在を証明しました。

そして,断層面を横切る剪断作用に対する体積力の等価物として次のような表現が得られるという結論で終わりました。 

まず,応力の不連続性[Ｔ]がゼロでない場合には,その寄与－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣ_ξは,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V(∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξ}Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0))ｄＶ_ηで表現できます。

それ故,Σ上の応力不連続性の体積力等価物はｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξで与えられます。

一方,変位の不連続性による寄与∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}は,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V (∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξ)Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)ｄＶ_ηで表現されます。

そこで,Σ上の変位不連続性の体積力等価物はｆ_p^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξで与えられると考えられます。

ただし,鍵括弧[ ]の量はΣ上の各点での不連続性を表わす量です。

すなわち,[Ｔ(ξ,τ)]≡Ｔ(ξ,τ)|_Σ+－Ｔ(ξ,τ)|_Σ-,かつ[ｕ_i(ξ,τ)]≡ｕ_i(ξ,τ)|_Σ+－ｕ_i(ξ,τ)|_Σ-etc.と定義されています。

という内容のことを書きました。

こうすれば応力,および変位の不連続性はそれぞれ－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣ_ξ＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p^[T](η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η,および∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p^[ｕ](η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_ηと体源で表現できるわけです。

まず,これらについて前回,少し書き残したことを補足することから始めます。

　上記,変位不連続性の表現の被積分関数は,各ｐに対して,添字ｉ,ｊ,ｑのそれぞれが異なる27個の項を含んでいますが,以下では媒質に対称性があって２個か３個を除く全ての項がゼロであるような重要な例を取り上げる予定です。

　しかし,取り合えず上記の恒等式自体は一般的な非均質,非等方媒質に対して成立する式です。

　これらはＶ内の各点における体源応力が断層面の上の弾性媒質の性質のみに依存する表現になっていることは注目すべきことです。

そして,Ｖ内の断層運動は内部プロセス(内力のみの系)なので,全運動量と全角運動量は保存されなければなりません。

すなわち,全てのτに対し∫_Vｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝0,かつ全てのτとη₀に対し∫_V[(η－η₀)×ｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝0 であるべきです。

実際,ｆ_p^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξですから,ガウスの積分定理によって∫_Vｆ_p^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝－∫_VｄＶ_η∫_ΣｄΣ_ξ{[([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}＝∫_ΣｄΣ_ξ∫_ＳextｄＳ_η[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_jδ³(η－ξ)です。

ところがＳ_extとΣは全く共通点がないので,決してη＝ξとは成り得ず,最右辺は確かに消えます。

一方,∫_V[(η－η₀)×ｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_ηの第ｍ成分は∫_Vε_mnp(η_n－η_0n)ｆ_p^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝－∫_ΣｄΣ_ξ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j∫_VｄＶ_η(ε_mnp(η_n－η_0n){∂δ³(η－ξ)/∂η_q})＝∫_Σ(ε_mqpＣ_ijpq(ξ)ν_j[ｕ_i(ξ,τ)])ｄΣ_ξで与えられます。

ところがＣ_ijpq(ξ)＝Ｃ_ijqp(ξ),かつε_mqp＝ε_mqpなので,これの右辺もゼロになります。

こうして体積力の表現が内力である条件を満たす合理的なものであることを示すことができました。これが前回書き残した補足事項です。 

さて,野外の不連続性に等価な体積力の簡単な例として,丁度１点と１方向に加えられた体積力のケースを考えます。

以前の記事「定量的地震学１,３」では次のように瞬間体積力を与えました。

“ｘ＝ξに対する１つの個別粒子に時刻ｔ＝τにｎ方向に瞬時的に加えられる１つの体積力ｆ(ｘ,ｔ)があれば,その成分ｆ_i(ｘ,ｔ)は空間位置を与えるのに３次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,衝撃の時刻を与えるのに１次元のデルタ関数に比例してｆ_i(ｘ,ｔ)＝Ａδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inと表現されます。

ただしＡは衝撃の強さを与える定数です。ｆ_i,δ³(ｘ－ξ),δ(ｔ－τ)の次元がそれぞれ[力/体積]＝ＭＬＴ^-2/Ｌ³,1/Ｌ³,1/Ｔであることに着目するとδ_inは無次元なので,衝撃の強さＡは正しく,”衝撃＝力積”の物理的次元を有することがわかります。”

これは,応力成分の不連続性とみなすこともできます。

ここでは,体積力の応力の不連続性との等価性を見るために,ｘ₃を深さ方向とし,ｘ₃＝ｈの１点(0,0,ｈ)に加わる体積力ですがδ(ｔ－τ)に比例する瞬時的な力ではなく,τ＝0から定常的にｘ₃＝ｈの１点(0,0,ｈ)にＦの大きさの体積力とします。

すなわち,ｆ(η,τ)＝Ｆδ(η₁)δ(η₂)δ(η₃－ｈ)θ(τ),Ｆ≡(0,0,Ｆ)とします。ここでθ(τ)はHeaviside関数(階段関数)です。

これは,平面ξ₃＝ｈ上の１点を横切る応力の不連続性:[Ｔ(ξ,τ)]＝Ｔ(ξ,τ)|_{(ξ1,ξ2,ｈ+)}－Ｔ(ξ,τ)|_{(ξ1,ξ2,ｈ-)}＝－Ｆδ(ξ₁)δ(ξ₂)θ(τ)と同一視できることがわかります。

これは,先に得られた表現:ｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξの右辺において,平面ξ₃＝ｈをΣとして,[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]＝－Ｆδ(ξ₁)δ(ξ₂)θ(τ)を代入すれば,ｆ^[T](η,τ)＝Ｆδ(η₁)δ(η₂)δ(η₃－ｈ)θ(τ)が確かに得られることからわかります。

断層スリップ(地滑り)によって引き起こされる地震波は,モーメントを帳消しにするようなある断層上の力の分布によって引き起こされる地震波と同じです。

問題としている断層スリップに対し,この力の分布は一意的ではありませんが,等方的な媒質内ではそれを常に複数の偶力源の表面分布として選択可能です。

この結論は,地震が単一の偶力源か複数の偶力源のいずれによってモデル化されるかという疑問に関連して長期間論じられた論争の見地からは皮肉な結論です。

単一の偶力源を擁護する人々は地震は断層上のスリップが原因であると強く信じていました。そして彼らは,これが単一の偶力源,すなわち断層の相対する側の運動に対応する２つの力に等価であると直線的に信じました。

しかし,弾性力学では経験上直線的アプローチは危険なことが多いようです。

複数の偶力源を擁護する人々のあるものは,地震が既存の剪断応力下での体積的崩壊であるに違いないと思っていました。 

今や,複数の偶力源に等価であると認識されている近年の断層理論は,莫大な距離で観測された放射パターンによる支持のみならず,震源に非常に近いところで得られたデータによる強い支持を得ています。 

断層Σは平面ξ₃＝0 上にあるものとします。すると,スリップ[ｕ]はξ₃方向には成分を持たず,ベクトル[ｕ]は平面Σに平行と考えられます。 

さらに,平面ξ₃＝0 上でのスリップ[ｕ]の方向をξ₁方向とします。すると,[ｕ₂]＝[ｕ₃]＝0 でありν₁＝ν₂＝0 ,ν₃＝1 です。 

そこで,等価体積力の表現:ｆ_p^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξは,ｆ_p^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σ[ｕ₁(ξ,τ)]Ｃ_13pq(ξ){∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄξ₁ｄξ₂となります。 　

既述のように,不均質でも等方的な物質では弾性係数Ｃ_ijpqはＣ_ijpq＝λδ_ijδ_pq＋μ(δ_ipδ_jq＋δ_iqδ_jp)なる形をしています。独立定数λ,μはLame(ラメ)の定数と呼ばれます。

よって,今の場合の被積分関数のＣ_13pq(ξ)は,Ｃ₁₃₁₃(ξ)＝Ｃ₁₃₃₁(ξ)＝μ(ξ)を除いて全てゼロです。

それ故,ｆ₁^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]δ(η₁－ξ₁)δ(η₂－ξ₂){∂δ(η₃)/∂η₃}ｄξ₁ｄξ₂,ｆ₂^[ｕ](η,τ)＝0,ｆ₃^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]{∂δ(η₁－ξ₁)/∂η₁}δ(η₂－ξ₂)δ(η₃)ｄξ₁ｄξ₂となります。

まず,ｆ₁^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]δ(η₁－ξ₁)δ(η₂－ξ₂){∂δ(η₃)/∂η₃}ｄξ₁ｄξ₂を見ると,これは±η₁方向内の力でη₂方向に腕がありη₃方向にモーメントを持つΣにわたる単偶力源を示しているとわかります。

実際,積分を実行すると,ｆ₁^[ｕ](η,τ)＝－μ(η)[ｕ₁(η,τ)]{∂δ(η₃)/∂η₃}です。

これは平面η₃＝0⁺上に寄与する点力とη₃＝0^-上に寄与する反対向きの点力のペアであると考えられ,補足事項の最初の式で示したように,内力なのでｆ₁^[ｕ](η,τ)の合力成分は消えます。

一方,力のモーメントはこの力の成分だけでは消えず,この成分によるη₂軸の回りのモーメントは∫_Vη₃ｆ₁^[ｕ]ｄＶ＝－∫_Vη₃μ(η)[ｕ₁(η,τ)]{∂δ(η₃)/∂η₃}ｄη₁ｄη₂ｄη₃＝∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξとなります。

Σにわたるスリップを平均すると,＜ｕ(τ)＞≡∫_Σ[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξ/Ｓです。ただし,Ｓ≡∫_ΣｄΣ_ξは断層の全面積です。

そこで,もしも断層域が均質,つまりΣの上でμ(ξ)＝μ(一定)なら,η₂軸の回りのｆ₁^[ｕ](η,τ)による全モーメントは,単にη₂軸の正の向きに∫_Vη₃ｆ₁^[ｕ]ｄＶ＝∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξ＝μＳ＜ｕ(τ)＞で与えられます。

体積力には,また３軸成分:ｆ₃^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]{∂δ(η₁－ξ₁)/∂η₁}δ(η₂－ξ₂)δ(η₃)ｄξ₁ｄξ₂＝－∂{μ(η)[ｕ₁(η,τ)]/∂η₁}δ(η₃)があります。

この成分によるη₂軸の回りの力のモーメントは－∫_Vη₁ｆ₃^[ｕ]ｄＶ＝∫_Vη₁∂{μ(η)[ｕ₁(η,τ)]/∂η₁}δ(η₃)ｄη₁ｄη₂ｄη₃＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξです。

これについても,もしも媒質が均質でΣの上でμ(ξ)＝μ(一定)なら,－μＳ＜ｕ(τ)＞です。

よって,均質,不均質いずれにしても全モーメントはゼロです。これも既に,補足事項として一般的な形で証明した事実に一致しています。

途中ですが今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

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定量的地震学５

　１月以上の間があきましたが地震学の続きです。 

　前回は曲線座標変換というやや幾何学的な話に寄り道しましたが,今日は第３章の地震源(震源)の表示に入ります。

　固体地球外部の地震源の例を上げると,風,大洋波浪,隕石衝突,ロケットの打ち上げ,大気中の爆発などがあります。その他,人々の歩行によってさえ地震が生じます。

こうした外部の地震源については,通常単純な地球表面に加えられた時刻変動応力の解析の枠組みの中で処理できます。

　また,多くの実用的目的を有する現象に起因するものや,その他にも火山の噴火,ガス漏れなど比較的規模の大きい爆発,粉砕などもありますが,これも外部ソースであり上記に含まれるでしょう。

　一方,一般的な地震や地下爆発など地球内部のソースに対しては,解析の枠組みはよりむずかしい展開を必要とします。

なぜなら,これまで論じてきた弾性運動を支配する方程式が固体地球内部の到るところで有効というわけではないからです。

この章では内部ソースについてのみ論じます。これは断層源と体源の２つのカテゴリーに分けられます。 

断層源は破砕された平面を通っての"断層＝地滑り"のような内部面と関連した事象です。一方,体源は体積的なソース領域における爆発的膨張のような内部体積に関わる事象です。

内部ソースの数学的記述は古典的には異なる２つのラインに沿って追跡されてきました。

１つはソースを含む媒質のある要素へ加わる体積力によるライン,もう１つは変位,または歪みの幾つかの不連続性(すなわち,断裂する断層面や体源の表面を通るそれ)によるラインです。

しかし,２番目のアプローチは有効的に１番目のそれに組み込むことが可能です。すなわち,断層面を横切る単純な剪断作用については体積力の等価物が存在します。

以下では,こうした体積力の等価物について理論を幾分詳細に展開し,根本的に異なる力の系が正確に同じ変位の不連続性に同等であることを示すことから解析を始めます。 

それから後に,BarridgeとKnopoff(1964)に従って断層源の一般理論を展開し,最後に体源に関する理論を概説する予定です。

一般に,震動図に記載された運動は地震源の効果と伝播の効果の両方の結果です。

震動図を理解することを追求してきた主な理由の１つは地震運動から伝播の効果を分離することです。というのは地震源の効果は地球の内部構造に関する情報を携帯しているからです。

最近では,地殻プレートの運動を図示して地震源のプレートがどのように動かされるかを学ぶという目的のために,次震源(震源)のメカニズムが研究されているようです。

現在では,近くの断層の性質と局地的応力の分布に関する地質学的,地球物理学的データに基づいて工学用途の敷地における地震危害の予測を行なうという観点から,こうしたソース(source;震源)の理論が広く展開されているようです。

さて,初めに述べた通り,[内部面における表示定理]＝"応力と変位における不連続性に対する体積力(実体力)の恒等式(等価物)"を与えるという主題に移ります。

第２章で与えられた表示定理は,表面Ｓを体積Ｖ内部の隣り合う面に選べば震源において強力な助けに成り得ます。

ここでの考察の動機は,H.F.Reidの仕事に起因するものです。

彼の1906年のSan Francisco地震前後のSan-Andreas断層の研究は,地震運動が活性化した地質学的断層上の自然発生的地滑りにより放射された波動によるという一般的認識に導きました。

我々は,こうしたソースのメカニズムをすぐ後により詳細に論じる予定です。他方,動力学的過程や他のソースのメカニズムについてはずっと後の第15章で述べる予定です。

現在の関心としては,埋没した地滑りのプロセスとそれから放射された波が,既に得られた表示定理からどのようにして自然に解析され得るかということです。 

既に述べたように,表示定理は次の３つの異なる表現を有します。 

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S[{Ｇ_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)－ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ_kn(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ^l}}ｄＳ_ξ..(1)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^rig_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ^rig_kn(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξ..(2)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)}ｄＳ_ξ..(3)　です。

そこで述べたように,これらは変位ベクトルｕ(ｘ,ｔ)がＳ上の変位に依存するのか →(2),それとも応力に依存するのか →(3),または両方に依存するのか →(1)という疑問への矛盾を示しているように見えます。

しかし,弾性媒質上では応力と変位が独立というわけではないので矛盾はありません。

さて,この表示定理における表面ＳがＶの外部境界面だけでなく埋没した断層の相対する面であるような隣り合う内部面をも含むとする視点は地震源の理論にとって中心的な論点です。

すなわち,Ｓ≡Ｓ_ext＋Σに取ってみます。ただし,Ｓ_extはＶの外部表面でありΣ≡Σ⁺＋Σ^-はＶ内部の１つの断層の相対する面です。

まず,表示定理で最も一般的な式(1)をｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(ξ,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijpq(ξ)ｎ_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－{Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ｎ)}]ｄＳ_ξと書き直します。

　Ｓ_extは地球全体の表面としてもいいのでそう考えます。

　グリーン関数ＧがＳ_ext上で斉次境界条件Ａ_i＋γ_jＡ_i,_j＝0,Ｂ_i＋γ_jＢ_i,_j＝0 を満足していると考えられます。ただし,Ａ_i(ｘ,ｔ)≡Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁),Ｂ_i(ｘ,ｔ)≡Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ₂,－τ₂)です。

こうすれば,右辺のＳ＝Ｓ_ext＋Σにおける表面積分のうち,外部地球の表面Ｓ_extの寄与は無視できます。 

そして,Σ^-の外向き法線単位ベクトルをｎ＝νとします。するとΣ⁺の外向き法線単位ベクトルは明らかにｎ＝－νです。 

また,Ｖの内部での一般座標をηとし,ξは表面(断面)Σの上の一般座標のみを表わすとします。

さらに,鍵括弧[ ]の中の量はΣ⁺とΣ^-の差を示すとします。例えば,[ｕ(ξ,τ)]≡ｕ(ξ,τ)|_Σ+－ｕ(ξ,τ)|_Σ-と定義されます。

すると,表示定理はｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η＋∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－{Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)}]ｄΣ となります。

これが実際的な計算において意味を持つためには,Σ上で何らかの境界条件を与える必要があります。

境界条件のｕに対する選択は破裂する断層面を横切る応力と変位の現実の性質に従わせる必要がありますが,Ｇに対する選択は有益な形になるように自由に選ぶことが可能です。

変位ｕについては,両断層面の上でゼロではないスリップ[ｕ]が存在するはずですが,応力については連続性から[Ｔ(ｕ,ν)]＝0 と考えられます。

また,Σ上でのＧの性質の定義を確立する最も簡単で最も共通に用いられている方法は,Σを横切ってＧとその空間微分係数が連続であるように設定することです。 

これは体積Ｖに対して計算するには最も容易なグリーン関数です。

もしも,このｕに対して体積力ｆがないときにはｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q})ｄΣ となります。

　この表現式は断層上での変位があらゆる場所における変位を決めるのに十分であることを示していますが,これは「定量的地震学２」で述べた"一意性定理"から予測できることです。

(↑ 複素関数論のコーシーの積分定理にも似てますね。)

※注:"一意性定理"の内容を再掲します。

[一意性定理]:表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内の到るところで,与えられた時刻ｔ₀における変位と粒子速度の値,およびｔ＞ｔ₀における(ⅰ)体積力ｆと供給される熱Ｌ,(ⅱ)表面Ｓ＝Ｓ₁＋Ｓ₂の一方の部分Ｓ₁上での応力Π,(ⅲ)残りの部分Ｓ₂上での変位が既知なら,時刻ｔ₀より後の時刻ｔおける変位ｕ＝ｕ(ｘ,ｔ)は一意的に決まる。

(注終わり※)

しかし,一見したところこの表現式においてソースの伝播を記述するグリーン関数についてΣにおける境界条件が与えられていないことは驚くべきことです。

断層上で生じた運動は,それ自身が断層面によってある形式で回折される波を作り上げると予測されますが,この相互作用はスリップ関数[ｕ(ξ,τ)]の決定を複雑にはするけれどグリーン関数の決定には入り込まないからですね。

こうして,多くの地震学者はある仮定されたスリップ関数によって作り上げられた運動を記述するために,この公式:ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q})ｄΣを用いてきました。

以下では,たった今記述した直接には如何なる体積力も含んでない地震源の表現の体積力の等価物を求めることを試みます。

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q})ｄΣは,各々が体積力によって作り上げられたグリーン関数にわたって積分することにより,(ｘ,ｔ)における変位を与えることを示していると見ることもできます。

こうした見方によれば,活断層も体積力の面的寄与と見なせるような意味があるに違いないと確信されます。

この方法で予測されるような体積力の等価物を決定するため,再び元の一般的な表示定理の式(1)の表現から始めます。

すなわち,再掲するとｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η＋∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－{Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)}]ｄΣです。

ただし,ＧはΣに対してなお透明,つまりΣを横切ってＧもその空間微分係数も連続とする仮定を採用します。

ここで,Σを横切る[ｕ],[Ｔ(ｕ,ν)]については,先の境界条件[Ｔ(ｕ,ν)]＝0 のような条件を全く仮定せず,応力の不連続性も存在するようなより一般的な状況とします。

するとｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η＋∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0))ｄΣと書けます。

ここで,デルタ関数δ³(η－ξ)を用いればΣにおける不連続性はＶの中に局在化できることを利用します。

例えばΣにおける(応力×面積＝力):[Ｔ]ｄΣは,体積力としての寄与∫_VｄＶ{[Ｔ]δ³(η－ξ)ｄΣ}を与えます。

したがって,応力の不連続性[Ｔ]がゼロでない場合,その寄与－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣは－∫_-∞^∞ｄτ∫_V(∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ}Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0))ｄＶで表現できます。

それ故,Σ上の応力不連続性の体積力の等価物はｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣで与えられます。

変位の不連続性は応力よりも物理的解釈が困難なのですが,数学的に考えて∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q＝－∫_V{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)ｄＶなる恒等式を用いれば応力不連続性に等価式に同等な表現を得ます。

すなわち,変位の不連続性による寄与∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}は,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V(∫_Σ{([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ)Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄＶと表現されます。

そこで,Σ上の変位不連続性の体積力の等価物はｆ_p^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ{[([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣで与えられることがわかります。

今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

ＰＳ：昨日はヘルパーの現場実習の初日として赤羽の訪問介護施設の現役のヘルパーさんに同行して自宅訪問の実習を受けてきました。

　実は,実際の利用者様に迷惑をかけてはいけない実習なので,ほとんど見学同然と思ってはいましたが,当初から最も危惧していたのがこの同行訪問実習でした。

　というのも,この訪問介護実習で不可避な自転車での移動というのは「糖尿病＋心不全＋足の動脈硬化」である私にとって可能かどうか？という体力的に最も不安な材料だったからです。

　実際,その通りでしたね。

　北区の赤羽付近は坂が多く"心臓破りの坂"もあって,心臓＋足が動かず,平気を装ってはいましたが一瞬死ぬかとも思うこともありました。

　楽な下りがあるということは,帰りは上りですから,動かなくなってしまったら同行者の方に迷惑だと思いましたが,降りて歩いて押していくしかありません。(逆に１人だったら少しは楽だったかも。。。)

　利用者様の自宅までの往復と買い物支援,さらに終わって最後に事務所に帰る際,はぐれて道に迷ったのも含め,約２時間も自転車に乗ったのは過去の健康時代を考えても,めったにないことでした。

　ともあれ,雨も降らず鬼門の同行訪問実習は無事終了しました。移動以外の実習は体力的には休息時間でしたが,問題ないと思います。

(例によって,何事があっても常にニコニコ笑顔だった(ツモリな)のは,八方美人の性分ですね。)

　後の施設実習でも体力は必要でしょうが,まだ給金を頂いて責任を取ることを余儀なくされる本格的な仕事ではなく,学生としての実習だろうし私の最も得意な？他人とのコミュニケーション(＝おしゃべり？)の方が主体ではないかとも思い,とにかく少なくとも自転車での移動がないであろうことを考えて楽観しています。

　本日は寝て曜日で完全休養日にしよう。アレ?岡山のおフクロの89歳の誕生日は今日17日か21日かどっちだったかな？

(↑ イキアタリバッタリで脳天気だなあ。。ウーン,キム・ヨナはいいなあ。。。忘れてた。今日(11/17)は「将棋の日」でもありました。)

　(実は,昨日朝は訪問介護事務所の付近まで最近懇意にして頂いている自宅の隣人のＭさんに車で送って頂いたのです。Ｍさんどうもありがとうございました。

　しかし,住所だけを頼りにして到着したためか,頂いた矢印付きの地図と写真の通りに徒歩で行けば自然にわかったらしい事務所の入口を間違えてしまって指定時間通りには入ることができず最初から躓きました。

　実は私はかなりヒドイ方向音痴です。事務所の担当の方とスクールで対応して頂いた方,ゴメンナサイ。

　16年くらい昔は住所だけを頼りに当日自分が交通ガードマンとして立つべき場所を探していたのですから,まるっきりの方向音痴でもないでしょうが。。)

　オマケに昼休み近くのコンビニまで往復の際,靴の左側を間違えて履いていって帰ってから気付いて皆様に笑われましたが,靴を間違えてご迷惑かけてゴメンナサイ。

　こういうことで笑いを取ってはいけませんね。^^;)

PS2:市橋事件について,何日も食事を取っていないなどの報道はどこまで真実なのでしょうか?　取り調べ段階での官憲の守秘義務とマスコミリークとの関係等々についてはよく知りませんが。。。

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定量的地震学４

　地震学の続きです。

さて,前回の最後では表示定理の形式として次の３つの異なる表現を得ました。

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)－ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ_kn(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξ ・・・(1)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^rig_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ^rig_kn(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξ ・・・(2)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)}ｄＳ_ξ ・・・(3)

これらを総見すると,変位ｕ(ｘ,ｔ)はＳ上の変位に依存するのか,応力に依存するのか,それとも両方に依存するのか,ということに関して矛盾を示しているように見えます。

しかし,弾性媒質上では応力と変位は独立には決まらないので矛盾はありません。

表示定理において,その上で応力,または変位の陽な値が要求される表面Ｓとしては,通常Ｖの外側の面を意味します。

この表面Ｓを埋没した断層の相対する面であるような２つの隣り合う内部面として考慮するという課題は,地震源の理論にとって中心的な問題ですが,これは後の章で扱う予定です。

さて,これまではデカルト座標のみを考えてきましたが実際の地震学では個々の問題にとって変位,応力,歪みの成分間の物理的関係が単純に見える一般曲線座標を適用した方が適切なことが多いとわかります。

そこで,弾性理論において必要な通常のベクトルや微分作用素∇(grad,div,rot),∇²等について一般の直交曲線座標における形や性質を求めてみます。

まず,位置ベクトルｘのデカルト座標(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)が別のパラメータ(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)で指定されるとします。すなわち,(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)の各成分が(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)のスカラー関数ｘ_i＝ｘ_i(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)(ｉ＝1,2,3)で与えられるとします。

そして,これらの関数ｘ_iは全て連続な導関数を持ち,常に逆関数ｃ^p＝ｃ^p(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃) or ｃ^p＝ｃ^p(ｘ)(ｐ＝1,2,3)が存在するとします。

そこで,方程式ｃ^p(ｘ)＝(一定)は各ｐについて座標面を作ります。３つの座標面ｃ^p(ｘ)＝(一定)は,それに沿ってｃ¹,ｃ²,ｃ³のうちの１つｃ^pのみが変わるような線素(軸)と交わっています。

ｎ^pをそうしたｃ^p(ｘ)＝(一定)の座標面に垂直な単位法線ベクトルとします。位置ベクトルｘとｘ＋ｄｘが共にｃ^p(ｘ)＝(一定)の同じ座標面にあるとすれば,ｃ^p(ｘ＋ｄｘ)＝ｃ^p(ｘ)です。

そこで,ｄｘ∇ｃ^p＝0 ですがｄｘは面上の任意の線素ですから∇ｃ^pはこの面に垂直なベクトルです。それ故∇ｃ^pはｎ^pに平行です。

そこで1/ｈ^p≡|∇ｃ^p|とおけば,ｎ^p＝ｈ^p∇ｃ^pです。さらに,(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)が(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)と同じく右手系であるとすれば,ｎ^pｎ^q＝δ^pqかつｎ³＝ｎ¹×ｎ²です。

そして,ｘ^_iをデカルト座標の第ｉ軸単位ベクトルとするとｘ＝ｘ_iｘ^_iよりｘ^_i＝∂ｘ/∂ｘ_iです。

そして,ｎ^p_iをｎ^pの第ｉデカルト成分とすればｎ^p＝ｈ^p∇ｃ^pからｎ^p_i＝ｈ^p(∂ｃ^p/∂ｘ_i)です。

それ故,ｎ^p＝ｎ^p_iｘ^_i＝ｎ^p_i(∂ｘ/∂ｘ_i)＝Σ_qｎ^p_i(∂ｘ/∂ｃ^q)(∂ｃ^q/∂ｘ_i)＝Σ_q(ｎ^p_iｎ^q_i/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q)＝Σ_q(δ^pq/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q),すなわち,ｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p),または∂ｘ/∂ｃ^p＝ｈ^pｎ^pという表現式を得ます。

位置ベクトルの微小変化ｄｘはｃ¹,ｃ²,ｃ³の微小変化とはｄｘ＝Σ_p(∂ｘ/∂ｃ^p)ｄｃ^pによって関連付けられるのでｄｓ²≡ｄｘｄｘ＝Σ_p,q(∂ｘ/∂ｃ^p)(∂ｘ/∂ｃ^q)ｄｃ^pｄｃ^q＝Σ_p,qｈ^pｈ^qｎ^pｎ^qｄｃ^pｄｃ^q＝Σ_p(ｈ^pｄｃ^p)²です。

結局,ｄｓ²＝ｄｘ₁²＋ｄｘ₂²＋ｄｘ₃²＝(ｈ¹ｄｃ¹)²＋(ｈ²ｄｃ²)²＋(ｈ³ｄｃ³)²を得ます。すなわち,ｎ¹に沿う増分ｄｃ¹に対するユークリッド距離はｈ¹ｄｃ¹,同様なことはｎ^２,ｎ³に沿う増分ｄｃ^２,ｄｃ³についてもいえます。

後に必要になる∂ｎ^p/∂ｃ^qの形の導関数を法線ｎ^pを微分しない式を求めておきます。

ｎ^pｎ^q＝δ^pq,およびｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p)から,ｎ^p(∂ｎ^q/∂ｃ^r)＋ｎ^q(∂ｎ^p/∂ｃ^r)＝0(18個の方程式),∂(ｈ^pｎ^p)/∂ｃ^q＝∂(ｈ^qｎ^q)/∂ｃ^p(３個の方程式)が得られます。これらは∂ｎ^p/∂ｃ^qの27個の未知成分に対して丁度27個の異なる方程式になっていますから解を決定するのに十分です。

実際,(∂ｘ/∂ｃ^p)(∂ｘ/∂ｃ^q)＝(ｈ^pｎ^p)(ｈ^qｎ^q)＝ｈ^pｈ^qδ^pqより,0＝(∂/∂ｃ¹)(∂ｘ/∂ｃ²)(∂ｘ/∂ｃ³)＋(∂/∂ｃ²)(∂ｘ/∂ｃ³)(∂ｘ/∂ｃ¹)－(∂/∂ｃ³)(∂ｘ/∂ｃ¹)(∂ｘ/∂ｃ²)＝2(∂²ｘ/∂ｃ¹∂ｃ²)(∂ｘ/∂ｃ³)ですから,∂ｘ/∂ｃ^p＝ｈ^pｎ^pによって{∂(ｈ²ｎ²)/∂ｃ¹}ｎ³＝{∂(ｈ¹ｎ¹)/∂ｃ²}ｎ³＝0です。

そこで,∂(ｈ²ｎ²)/∂ｃ¹＝∂(ｈ¹ｎ¹)/∂ｃ²はｎ³と直交しますから,ｎ¹とｎ²の１次結合で表現できます。しかし,∂(ｈ²ｎ²)/∂ｃ¹＝ｈ²(∂ｎ²/∂ｃ¹)＋(∂ｈ²/∂ｃ¹)ｎ²,かつ∂(ｈ¹ｎ¹)/∂ｃ²＝ｈ¹(∂ｎ¹/∂ｃ²)＋(∂ｈ¹/∂ｃ²)ｎ¹より,結局∂ｎ²/∂ｃ¹,∂ｎ¹/∂ｃ²自身がｎ¹とｎ²の１次結合です。

ｎ^p(∂ｎ^q/∂ｃ^r)＋ｎ^q(∂ｎ^p/∂ｃ^r)＝0から,明らかにｎ²(∂ｎ²/∂ｃ¹)＝ｎ¹(∂ｎ¹/∂ｃ²)＝0により∂ｎ²/∂ｃ¹＝Ａ₂₁ｎ¹,∂ｎ¹/∂ｃ²＝Ａ₁₂ｎ²と書けます。

結局,ｈ²Ａ₂₁ｎ¹＋(∂ｈ²/∂ｃ¹)ｎ²＝(∂ｈ¹/∂ｃ²)ｎ¹＋ｈ¹Ａ₁₂ｎ²から∂ｎ²/∂ｃ¹＝(ｎ¹/ｈ²)(∂ｈ¹/∂ｃ²),かつ∂ｎ¹/∂ｃ²＝(ｎ²/ｈ¹)(∂ｈ²/∂ｃ¹)が得られます。

以上から,ｐ≠ｑなら∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)です。

一方,ｎ^p(∂ｎ^q/∂ｃ^r)＋ｎ^q(∂ｎ^p/∂ｃ^r)＝0からｎ^p(∂ｎ^p/∂ｃ^p)＝0です。そこで,特に∂ｎ¹/∂ｃ¹＝Ｂ₁₂ｎ²＋Ｂ₁₃ｎ³と書けます。

そして,ｎ²(∂ｎ¹/∂ｃ¹)＋ｎ¹(∂ｎ²/∂ｃ¹)＝0より,Ｂ₁₂＝－(1/ｈ²)(∂ｈ¹/∂ｃ²)です。同様にＢ₁₃＝－(1/ｈ³)(∂ｈ¹/∂ｃ³)なので∂ｎ¹/∂ｃ¹＝－(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ¹/∂ｃ²)－(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ¹/∂ｃ³)を得ます。

以上から,∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)－δ^pq[(ｎ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]なる一般公式が得られました。

この公式に従って通常のデカルト座標での歪み成分ｅ_ij≡(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)を一般化した歪み成分ｅ^pqと変位成分ｕ^rの関係を求めます。

ここで,ｅ^pqは準拠点で一般直交曲線座標で指定された右手系の方向単位ベクトルｎ¹,ｎ²,ｎ³に取られた局所的な回転デカルト軸で参照される単なるデカルト２階テンソルｅの成分です。

歪みの次元さえ持たない一般のテンソル成分ｅ^pqよりも歪みの物理的成分ｅ_ijを強調したいので当面の問題は,成分ｅ^pqを各点ごとにｎ¹,ｎ²,ｎ³で決められている変位の物理成分による微分係数によって表現することです。

そして,通常の固定でカルト座標とは異なり,点ごとに一定ではない目盛り関数ｈ¹,ｈ²,ｈ³と同じく点ごとに一定でない方向ｎ¹,ｎ²,ｎ³の空間変化のために困難が生じます。

ｎ^pに沿うデカルト軸ｘ^₁,ｘ^₂,ｘ^₃　(ただしｘ^_i＝∂ｘ/∂ｘ_i)に対する方向余弦を(ｎ^p₁,ｎ^p₂,ｎ^p₃)とします。つまり,ｎ^p＝ｎ^p_iｘ^_i,または(ｎ^p,ｘ^_i)＝ｎ^p_iです。

そこで,変位ベクトルｕの成分をｕ＝ｕ_iｘ^_i＝Σ_pｕ^pｎ^pと書けばｕ_i＝Σ_pｕ^pｎ^p_iですが,ｎ^p_iｎ^q_i＝δ^pqなのでｕ^p＝ｎ^p_iｕ_iでもあります。

それ故,ベクトルの直積と同じ変換性を有する２階テンソルｅの成分間の関係はｅ_ij＝Σ_p,qｅ^pqｎ^p_iｎ^q_j,またはｅ^pq＝ｎ^p_iｎ^q_jｅ_ijです。

ところで,すぐ前では同じくｎ^p_iをｎ^pの第ｉデカルト成分とするとｎ^p＝Σ_pｈ^p∇ｃ^pよりｎ^p_i＝ｈ^p(∂ｃ^p/∂ｘ_i)であり,そこでｎ^p＝ｎ^p_iｘ^_i＝ｎ^p_i(∂ｘ/∂ｘ_i)＝Σ_qｎ^p_i(∂ｘ/∂ｃ^q)(∂ｃ^q/∂ｘ_i)＝Σ_q(ｎ^p_iｎ^q_i/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q)＝Σ_q(δ^pq/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q),すなわちｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p) なる表現式を得ました。

したがって,ｅ^pq＝ｎ^p_iｎ^q_jｅ_ij＝{1/(2ｈ^pｈ^q)}(∂ｘ/∂ｃ^p)(∂ｘ/∂ｃ^q)(∂ｕ_i/∂ｘ_j＋∂ｕ_j/∂ｘ_i)＝{1/(2ｈ^pｈ^q)}{(∂ｘ_i/∂ｃ^p)(∂ｕ_i/∂ｃ^q)＋(∂ｘ_i/∂ｃ^q)(∂ｕ_i/∂ｃ^p)}です。

それ故,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}[(∂/∂ｃ^q){(ｕ_i/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p)}－ｕ_i(∂/∂ｃ^q){(1/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p)}]＋{1/(2ｈ^p)}[(∂/∂ｃ^p){(ｕ_i/ｈ^q)(∂ｘ_i/∂ｃ^q)}－ｕ_i(∂/∂ｃ^p){(1/ｈ^q)(∂ｘ_i/∂ｃ^q)}]です。

ここで,ｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p)またはｎ^p_i＝(1/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p),そしてｕ^p＝ｎ^p_iｕ_i＝(ｕ_i/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p)を代入すると,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}(∂ｕ^p/∂ｃ^q)＋{1/(2ｈ^p)}(∂ｕ^q/∂ｃ^p)－(ｕ_i/2){(1/ｈ^p)(∂ｎ^p_i/∂ｃ^q)＋(1/ｈ^q)(∂ｎ^q_i/∂ｃ^p)}です。

結局,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}(∂ｕ^p/∂ｃ^q)＋{1/(2ｈ^p)}(∂ｕ^q/∂ｃ^p)－(ｕ/2){(1/ｈ^p)(∂ｎ^p/∂ｃ^q)＋(1/ｈ^q)(∂ｎ^q/∂ｃ^p)}なる式が得られました。

これの右辺に先に得た公式:∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)－δ^pq[(ｎ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]を代入します。

ｕｎ^p＝ｎ^p_iｕ_i＝ｕ^pなので(1/ｈ^q)(∂ｕ^p/∂ｃ^q)－(ｕｎ^p/ｈ^pｈ^q)(∂ｈ^p/∂ｃ^q)＝(1/ｈ^q)(∂ｕ^p/∂ｃ^q)－(ｕ^p/ｈ^pｈ^q)(∂ｈ^p/∂ｃ^q)＝(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}です。

それ故,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}(∂ｕ^p/∂ｃ^q)＋{1/(2ｈ^p)}(∂ｕ^q/∂ｃ^p)－(ｕ/2){(1/ｈ^p)(∂ｎ^p/∂ｃ^q)＋(1/ｈ^q)(∂ｎ^q/∂ｃ^p)}＝(1/2)[(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}＋(ｈ^q/ｈ^p){∂(ｕ^q/ｈ^q)/∂ｃ^q}]＋(δ^pq/ｈ^q)[(ｕ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｕ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｕ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]です。

こうして最終的にはデカルト座標の添字は全て削除されました。再記するとｅ^pq＝(1/2)[(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}＋(ｈ^q/ｈ^p){∂(ｕ^q/ｈ^q)/∂ｃ^q}]＋(δ^pq/ｈ^q)[(ｕ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｕ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｕ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]です。

ｑ≠ｐのｅ^pqの非対角要素の場合なら右辺第２項がゼロですから,第１項が成分ｅ^pqに一致します。つまり,ｑ≠ｐならｅ^pq＝(1/2)[(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}＋(ｈ^q/ｈ^p){∂(ｕ^q/ｈ^q)/∂ｃ^q}]です。

一方,ｑ＝ｐの対角要素の場合には,(第１項)＝∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｕ^p/∂ｃ^q)－(ｕ^p/ｈ^2p)(∂ｈ^p/∂ｃ^p)ですから,(第２項)＝(1/ｈ^p)[(ｕ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｕ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｕ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]の３項のうち(ｕ^p/ｈ^2p)(∂ｈ^p/∂ｃ^p)に一致する１つの項が(第１項)の－(ｕ^p/ｈ^2p)(∂ｈ^p/∂ｃ^p)と相殺して消えます。

そこで,対角要素はｅ¹¹＝(1/ｈ¹)(∂ｕ¹/∂ｃ¹)＋{ｕ²/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)＋{ｕ³/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ¹/∂ｃ³),ｅ²²＝(1/ｈ²)(∂ｕ²/∂ｃ²)＋{ｕ³/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ²/∂ｃ³)＋{ｕ¹/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ²/∂ｃ¹),ｅ³³＝(1/ｈ³)(∂ｕ³/∂ｃ³) ＋{ｕ¹/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ³/∂ｃ¹)＋{ｕ²/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ³/∂ｃ²)となります。

次にｕとτの一般直交曲線座標成分における応力-変位関係を得るために,前に「定量的地震理論１」で固定デカルト座標で運動方程式ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jを導出した際の手順を繰り返します。

すなわち,表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体に対するラグランジュ的記述でのニュートンの運動方程式(∂/∂ｔ)[∫_V{ρ(∂ｕ/∂ｔ)}ｄＶ]＝∫_VｆｄＶ＋∫_SＴ(ｎ)ｄＳの右辺の項∫_SＴ(ｎ)ｄＳに着目します。

Ｔ(ｎ)ｄＳにおけるｄＳの外向き法線ベクトルの記号ｎは今の一般直交座標の方向単位ベクトルｎ¹,ｎ²,ｎ³にと混同されると困るので記号νに変更してＴ(ν)ｄＳとします。

ν＝ν_jｘ^_j＝Σ_pν^pｎ^pであり,ｅ_ij＝Σ_p,qｅ^pqｎ^p_iｎ^q_jと同様τ_ij＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iｎ^q_jですから,Ｔ(ν)ｄＳのｘ^_ｉ軸成分はＴ_i(ν)ｄＳ＝τ_ijν_jｄＳ＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iｎ^q_jν_jｄＳ＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iν^qｄＳです。

ここに,νはｄＳの外向き単位法線ベクトルなのでν^qはｎ^qに沿って分解されたｄＳの法線の成分です。そこでν^qｄＳはｃ^q(ｘ)＝(一定)の座標面へのｄＳの射影です。

それ故,ν¹ｄＳ＝ｈ²ｈ³ｄｃ²ｄｃ³,ν²ｄＳ＝ｈ³ｈ¹ｄｃ³ｄｃ¹,ν³ｄＳ＝ｈ¹ｈ²ｄｃ¹ｄｃ²なる表現を得ます。

したがって,ガウスの定理から∫_SＴ_i(ν)ｄＳ＝Σ_p∫_S[τ^p1ｎ^p_iｈ²ｈ³ｄｃ²ｄｃ³＋τ^p2ｎ^p_iｈ³ｈ¹ｄｃ³ｄｃ¹＋τ^p3ｎ^p_iｈ¹ｈ²ｄｃ¹ｄｃ²]＝Σ_p∫_V[(∂/∂ｃ¹)(τ^p1ｎ^p_iｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ^p2ｎ^p_iｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ^p3ｎ^p_iｈ¹ｈ²)]ｄｃ¹ｄｃ²ｄｃ³です。

ここで以前「定量的地震理論１」において,∫_SＴ_j(ν)ｄＳ＝∫_Sτ_jiν_jｄＳ＝∫_V(∂τ_ji/∂ｘ_j)ｄＶと∫_V{ρ(∂²ｕ/∂ｔ²)}ｄＶ＝∫_VｆｄＶ＋∫_SＴ(ν)ｄＳから微分型の運動方程式ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋∂τ_ji/∂ｘ_jを得たことを思い起こします。

今は物理的体積要素は一般座標でｄＶ＝ｈ¹ｈ²ｈ³ｄｃ¹ｄｃ²ｄｃ³ですから,ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_p,q[(∂/∂ｃ^q)(τ^pqｎ^p_iｈ¹ｈ²ｈ³/ｈ^q)]なる方程式を得ます。

これは,ベクトル表記ではρ(∂²ｕ/∂ｔ²)＝ｆ＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_p,q[(∂/∂ｃ^q)(τ^pqｎ^qｈ¹ｈ²ｈ³/ｈ^q)]です。

これは,両辺にｎ^pを掛けてデカルト座標添字を一般座標添字に変換した表示ではρ(∂²ｕ^p/∂ｔ²)＝ｆ^p＋{ｎ^p/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_r,q[(∂/∂ｃ^q)(τ^rqｎ^rｈ¹ｈ²ｈ³/ｈ^q)]です。

特に,ρ(∂²ｕ¹/∂ｔ²)＝ｆ¹＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_r[(∂/∂ｃ¹)(τ¹¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ¹²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ¹³ｈ¹ｈ²)]＋Σ_r[(τ^r1/ｈ¹){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ¹)}＋(τ^r2/ｈ²){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ²)}＋(τ^r3/ｈ³){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ³)}]です。

これに,再び公式∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)－δ^pq[(ｎ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]を代入します。

特に,ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ^q)＝(δ^q1/ｈ^r)(∂ｈ^q/∂ｃ^r)－(δ^rq/ｈ¹)(∂ｈ^r/∂ｃ¹)ですからΣ_r[(τ^r1/ｈ¹){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ¹)}＋(τ^r2/ｈ²){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ²)}＋(τ^r3/ｈ³){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ³)}]＝{τ²¹/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)＋{τ³¹/(ｈ¹ｈ³)}(∂ｈ¹/∂ｃ³)－{τ²²/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ²/∂ｃ¹)－{τ³³/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ³/∂ｃ¹)です。

そこで,運動方程式のｎ¹方向成分はρ(∂²ｕ¹/∂ｔ²)＝ｆ¹＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}[(∂/∂ｃ¹)(τ¹¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ¹²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ¹³ｈ¹ｈ²)]－{τ¹²/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)－{τ¹³/(ｈ¹ｈ³)}(∂ｈ¹/∂ｃ³)－{τ²²/(ｈ²ｈ¹)}(∂ｈ²/∂ｃ¹)－{τ³³/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ³/∂ｃ¹)となります。

同様にしてρ(∂²ｕ²/∂ｔ²)＝ｆ²＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}[(∂/∂ｃ¹)(τ²¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ²²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ²³ｈ¹ｈ²)]－{τ²¹/(ｈ²ｈ¹)(∂ｈ²/∂ｃ¹)－{τ²³/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ²/∂ｃ³)－{τ¹¹/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)－(τ³³/ｈ³ｈ²)(∂ｈ³/∂ｃ²)となります。

ρ(∂²ｕ³/∂ｔ²)＝ｆ³＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}[(∂/∂ｃ¹)(τ³¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ³²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ³³ｈ¹ｈ²)]－{τ³¹/(ｈ³ｈ¹)(∂ｈ³/∂ｃ¹)－{τ³²/(ｈ³ｈ²)}(∂ｈ³/∂ｃ²)－{τ¹¹/(ｈ¹ｈ³)}(∂ｈ¹/∂ｃ³)－{τ²²/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ²/∂ｃ³)となります。

さて,固定デカルト座標では応力-歪み関係はτ_ij＝Ｃ_ijklｅ_klですが「定量的地震学２」で述べたように,等方性媒体中では係数の一般形がＣ_ijkl＝λδ_ijδ_kl＋μ(δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk)なのでτ_ij＝λδ_ijｅ_kk＋2μｅ_ijです。

ラメ(Lame)の係数λ,μは一般には位置の関数です。そしてｅ_kk＝ｅ₁₁＋ｅ₂₂＋ｅ₃₃＝divｕでこれは体積歪みに相当します。

τ_ij＝Ｃ_ijklｅ_klは応力-歪み関係の線形性を示しているので一般座標系でも同じ形の関係τ^pq＝Σ_r,sＣ^pqrsｅ^rsになるはずです。

上述したように応力テンソルと歪みテンソルの変換性はτ_ij＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iｎ^q_j,かつｅ_ij＝Σ_p,qｅ^pqｎ^p_iｎ^q_jです。

故にτ_ij＝Ｃ_ijklｅ_klはΣ_p,qΣ_r,sＣ^pqrsｅ^rsｎ^p_iｎ^q_j＝Ｃ_ijklΣ_r,sｅ^rsｎ^r_kｎ^s_lとなりますから両辺にｎ^t_iｎ^u_jを掛けて縮約するとΣ_r,sＣ^tursｅ^rs＝Ｃ_ijklｎ^t_iｎ^u_jｎ^r_kｎ^s_lｅ^rsです。

それ故,結局Ｃ^pqrs＝Ｃ_ijklｎ^p_iｎ^q_jｎ^r_kｎ^s_lを得ます。

そこで,等方性媒質Ｃ_ijkl＝λδ_ijδ_kl＋μ(δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk)では,Ｃ^pqrs＝λδ^pqδ^rs＋μ(δ^prδ^qs＋δ^psδ^qr)ですからτ^pq＝λδ^pqΣ_rｅ^rr＋2μｅ^pqが得られます。

特に直交曲線座標が空間極座標(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)＝(ｒ,θ,φ)のときにはｈ¹,ｈ²,ｈ³はそれぞれ１,ｒ,ｒsinθです。このときには,ｅ¹²をｅ_rθ,ｕ³をｕ_φetc.と記述します。

また,円筒座標(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)＝(ｒ,φ,ｚ)のときにはｈ¹,ｈ²,ｈ³はそれぞれ１,ｒ,1です

今日はこれで終わります。

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

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定量的地震学３

　地震学の続きです。 

　今日は,地震学において典型的に生じる変位の形を表示する方法について考察します。

　先の記事では,一意性定理によって初期変位と運動を生ぜしめる要因である実体力,応力を与えれば弾性体における変位はユニークに決まることを見ました。

　しかし,通常の地震の断層による震源は有限体積と有限時間に広がっていて,様々な方向と大きさを持った運動を含むという意味でかなり複雑なものです。

　そこで,現実的な地震をモデル化した震源による変位が最も単純な震源から生じる変位から総合して扱えるような１つの簿記的道具を与えることを考えます。

　ここで,最も単純な震源というのは空間と時間の両方において正確に指定された単一方向の単位衝撃(力積:inpulse)です。こうした単純な震源による変位場は弾性力学のグリーン関数(Green's function)と呼ばれるものです。

　空間位置ｘ＝ξとｔ＝τにおいて単位衝撃がｎ方向に加えられたときの一般座標(ｘ,ｔ)における変位ｕのｉ成分ｕ_iをＧ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)と表わすことにします。

以前の記事「定量的地震学１」では運動方程式がρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jで与えられることを見ました。

右辺のｆ_iは正確にはある時刻ｔにｘにおいて作用する体積力(実体力)ｆ(ｘ,ｔ)の第ｉ成分です。そして,その記事では衝撃Ａと力ｆの関係について次のように書きました。

すなわち,"弾性体を構成する位置ｘ＝ξにおける１つの個別粒子に対し時刻ｔ＝τにｎ方向に瞬時的に加えられる１つの体積力ｆ(ｘ,ｔ)があれば,その成分ｆ_i(ｘ,ｔ)は空間位置を与えるのに３次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,衝撃の時刻を与えるのに１次元のデルタ関数に比例してｆ_i(ｘ,ｔ)＝Ａδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inと表現されます。

Ａは衝撃の強さを与える定数です。ｆ_i,δ³(ｘ－ξ),δ(ｔ－τ)の次元はそれぞれ,[力/体積]＝ＭＬＴ^-2/Ｌ³,1/Ｌ³,1/Ｔであることに着目するとδ_inは無次元なので,衝撃の強さＡは正しく,衝撃＝力積の物理的次元を有することがわかります。"と書きました。

運動方程式ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jにおいて,ｕ_i＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ),ｆ_i(ｘ,ｔ)＝δ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inを代入し,さらに応力テンソルτ_ijとしてフックの法則による表現:τ_ij＝Ｃ_ijklｅ_kl;ｅ_ij≡(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)＝(1/2)(Ｇ_in,_j＋Ｇ_jn,_i)を代入します。

すると,グリーン関数ｕ_i＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)を定めるための方程式として,ρ(∂²Ｇ_in/∂ｔ²)＝δ_inδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)＋(∂/∂ｘ_j){Ｃ_ijkl(∂Ｇ_kn /∂ｘ_l)}を得ます。

ただし,ｔ≦τ,かつｘ≠ξではＧ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ),∂Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)/∂ｔが全てゼロという初期条件を与えます。

グリーン関数Ｇをユニークに決定するには,さらに境界面Ｓ上の境界条件を指定することが必要です。これには個々の環境に応じて種々の異なる境界条件を使用することで対応します。

Ｓが剛体表面で境界条件が時間に依存しないなら時間の原点はどのようにでもシフトできます。それ故,Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)ですからグリーン関数Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)は時間変数ｔとτについてはｔ－τという組み合わせのみに依存することがわかります。

したがって,Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)＝Ｇ_in(ｘ,－τ;ξ,－ｔ)です。この性質は震源と受信点に関する相反定理と呼ばれるものです。

一方,ベッチ(Betti)の定理の積分形∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[ｕ(ｘ,ｔ)ｇ(ｘ,τ－ｔ)－ｖ(τ－ｔ)ｆ(ｘ,ｔ)]ｄＶ＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S{ｖ(ｘ,τ－ｔ)Ｔ(ｕ(ｘ,ｔ),ｎ)－ｕ(ｘ,ｔ)Ｔ(ｖ(ｘ,τ－ｔ),ｎ)}ｄＳにおいて,ｆ_i(ｘ,ｔ)＝δ_imδ³(ｘ－ξ₁)δ(ｔ－τ₁),ｇ_i(ｘ,ｔ)＝δ_inδ³(ｘ－ξ₂)δ(ｔ＋τ₂),ｕ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁),ｖ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ₂,－τ₂)を代入します。

すると,左辺＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[Ｇ_im(ｘ.ｔ;ξ₁,τ₁)δ_inδ³(ｘ－ξ₂)δ(τ－ｔ＋τ₂)－Ｇ_in(ｘ,τ－ｔ;ξ₂,－τ₂)δ_imδ³(ｘ－ξ₁)δ(ｔ－τ₁)]ｄＶ＝Ｇ_nm(ξ₂,τ＋τ₂;ξ₁,τ₁)－Ｇ_mn(ξ₁,τ－τ₁;ξ₂,－τ₂)です。

そして,右辺＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S[Ｇ_in(ｘ.τ－ｔ;ξ₂,－τ₂)Ｃ_ijklｎ_j{∂Ｇ_km(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁)/∂ｘ_l}－Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁)Ｃ_ijklｎ_j{∂Ｇ_kn(ｘ,τ－ｔ;ξ₂,－τ₂)/∂ｘ_l}]ｄＳです。

ところがｕ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁),ｖ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ₂,－τ₂)がＳ上で斉次境界条件ｕ_i＋γ_jｕ_i,_j＝0,ｖ_i＋γ_jｖ_i,_j＝0 を満足するなら,Ｓの上ではｖ_i(τ－ｔ)Ｃ_ijklｎ_jｕ_k,_l(ｔ)－ｕ_i(ｔ)Ｃ_ijklｎ_jｖ_k,_l(τ－ｔ)＝Ｃ_ijklｎ_j{－γ_pｖ_i,_p(τ－ｔ)ｕ_k,_l(ｔ)＋γ_pｕ_i,_p(ｔ)ｖ_k,_l(τ－ｔ)}＝0 なので,結局,右辺はゼロとなります。

そこで,ＧがＳ上で斉次境界条件を満たす場合には震源と受信点に対しＧ_nm(ξ₂,τ＋τ₂;ξ₁,τ₁)＝Ｇ_mn(ξ₁,τ－τ₁;ξ₂,－τ₂)なる等式で示される重要な相反定理が得られました。

特にτ₁＝τ₂＝0と選べばＧ_nm(ξ₂,τ₂;ξ₁,0)＝Ｇ_mn(ξ₁,τ;ξ₂,0)を得ますが,これは純粋な空間相反性です。一方,τ＝0とすればＧ_nm(ξ₂,τ₂;ξ₁,τ₁)＝Ｇ_mn(ξ₁,－τ₁;ξ₂,－τ₂)ですが,これは空間・時間相反性を示しています。

弾性力学のグリーン関数を具体的に求めることは,それ自身複雑な問題ですが,この課題については,最も単純な均質で等方的な弾性固体媒質の場合と,震源と受信点の間が不均質で大きく離れている場合について後に扱う予定です。

さし当たってグリーン関数が既知としての議論に集中します。

再びベッチの定理の積分形∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[ｕ(ｘ,ｔ)ｇ(ｘ,τ－ｔ)－ｖ(τ－ｔ)ｆ(ｘ,ｔ)]ｄＶ＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S{ｖ(ｘ,τ－ｔ)Ｔ(ｕ(ｘ,ｔ),ｎ)－ｕ(ｘ,ｔ)Ｔ(ｖ(ｘ,τ－ｔ),ｎ)}ｄＳに,ｇ_i(ｘ,ｔ)＝δ_inδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ),ｖ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,0)を代入します。

こうすれば,Ｖにおける実体力ｆとＳにおける変位が既知のときの変位場ｕを得ることができます。

すなわち,ｕ_n(ξ,τ)＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[ｆ_i(ｘ,ｔ)Ｇ_in(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)]ｄＶ＋∫_-∞^∞ｄｔ∫_S{Ｇ_in(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)Ｔ_i(ｕ(ｘ,ｔ),ｎ)－ｕ_i(ｘ,ｔ)Ｃ_ijklｎ_jＧ_kn,l(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)}ｄＳです。

この式の物理的解釈を行なう前に,記号ｘとξ,およびｔとτを交換した方がいいと思われるのでそうします。

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)－ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_jＧ_kn,l(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄＳ_ξですね。

最後の被積分関数の項の因子Ｇ_kn,l(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)はξ_lによる微分∂Ｇ_kn,l(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_lを意味することになります。

このように,弾性体における変位を初期変位,および運動を生ぜしめる要因である実体力,応力によって一意的に表わす方法,あるいは表示式を表示の定理と呼びます。 

上に得られた最初の表示定理は,ある明確な点ｘでの変位ｕがＶ中の到るところでの実態力ｆによる寄与,およびＳ上の応力Ｔ(ｕ,ｎ)とｕ自身による寄与から作り上げられるメカニズムを表現しています。

しかし,これら３つの寄与が重み付けされる方法は一見して不十分なものです。

というのは,各々の寄与を与える項はｘを震源としξを受信点とするグリーン関数Ｇを含んでいますが,むしろ,ｘを"観測点＝受信点"とするグリーン関数を使用した表現が望ましいと考えられるからです。

ξを震源としｘを受信点とするグリ－ン関数による表現であれば,ｘにおける変位は各体積要素ｄＶと面積要素ｄＳによるｘへの変位の寄与の"総和(重ね合わせ)＝積分"と見なせる合理的な解釈ができます。

そこで,Ｇに対する相反定理を使用すればよいと思われますが,これはグリ－ン関数への余分な条件を要求します。

なぜなら,空間相反性:Ｇ_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)＝Ｇ_ni(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)であれば,これはＧが境界Ｓ上で斉次境界条件を満たすときに限って証明された性質です。一方,上の表示定理の方は(ξ,τ)でのｎ方向への単位衝撃による任意のグリーン関数Ｇに対して正しい公式です。

特に,グリーン関数がＳ上で斉次境界条件を満たす２つの異なる場合について考察してみます。

まず,ＧがＳ上で剛体境界条件を満たす場合のグリーン関数であるとします。このときのグリーン関数をＧ^rigと書けば,Ｓが剛体面なのでξ∈ＳならＧ^rig_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)＝0です。

こうすれば先の表示公式はｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^rig_iin(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ^rig_kn,l(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξとなります。

もう１つの場合はＳが自由境界面の場合でＳ上では応力がない場合です。例えば真空の宇宙空間での星の表面での応力は圧力Ｐのみであってゼロであると近似できます。

この自由境界条件のグリーン関数をＧ^freeと書けば,ξ∈ＳならＣ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ^free_kn,l(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_l}＝0 です。

このときの表示公式はｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)}ｄＳ_ξとなります。

今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

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定量的地震学２

　地震学の続きです。 

　媒質は応力が除かれたとき,それが戻る自然な状態(歪みも応力もゼロ)を持つなら弾性的であるといわれます。

　与えられた負荷の影響の下では,応力と歪みは共に変化します。それらの間の関係(構成関係)は媒質の重要な特徴です。

　そして,そうした関係が存在することを,以下で熱力学的議論により証明します。

　自然科学は経験科学ですから,実際の関係そのものについては実験的に決定するのが正しい姿勢です。 

Robert Hooke(ロバート・フック)の"弾性物体"の測定は,300年以上も前に応力が歪みに比例するという結論を導きました。

ただし,この事実に関する彼の報告は今日のような応力のテンソルの概念が当時は利用できなかったため,幾分不可解なものでした。

Augstin Cauchyは,19世紀初期に初めて今の応力の近代的考え方の多くを展開しました。今日ではテンソルによってもっと容易に伝達できる多くの結果を彼が理解したのは明らかです。

こうしたテンソル概念は20世紀までは使用されませんでした。

フックの法則の現代的な一般化は,応力テンソルの各成分が歪みテンソルのあらゆる成分の線型結合であるということです。

すなわち,応力テンソルτ_ijと歪みテンソルｅ_ij≡(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)の間に,関係:τ_ij＝Ｃ_ijpqｅ_pqを与える比例係数Ｃ_ijpqが存在します。この構成関係に従う物体を線型弾性的であるといいます。 

量Ｃ_ijpqは４階テンソルの成分で,次の対称性を持っています。

すなわち,τ_ji＝τ_ijによりＣ_jipq＝Ｃ_ijpq,ｅ_qp＝ｅ_pqによりＣ_ijqp＝Ｃ_ijpqです。また,以下に示すように熱力学的論点からＣ_pqij＝Ｃ_ijpqもまた真であることがわかります。

弾性体が表面境界Ｓで囲まれた体積Ｖを占めていると仮定します。

熱力学第１法則によれば物体は内部エネルギーを持ちますが,これは物体の変形と共に変わり,エネルギーのバランスは(受ける力学的仕事率)＋(受ける熱の率)＝[(運動エネルギー＋内部エネルギー)の増加率]で与えられるはずです。

(1)力学的仕事率

ｕ^dot＝ｕ^d≡∂ｕ/∂ｔとおくと,Ｖが受ける力学的仕事率は∫_Vｆｕ^dｄＶ＋∫_SＴｕ^dｄＳです。これはガウスの発散定理を用いると∫_V[ｆ_iｕ_i^d＋(τ_ijｕ_i^d),_j]ｄＶと書けます。

さらに,運動方程式:ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_j,あるいはρｕ_i^2d＝ｆ_i＋τ_ji,_jによってｆ_iｕ_i^d＋(τ_ijｕ_i^d),_j＝ρｕ_i^dｕ_i^2d＋τ_ijｕ_i,_j^d＝(∂/∂ｔ){(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}＋τ_ijｅ_ij^dです。

これを代入すると力学的仕事率の最終形として(∂/∂ｔ)[∫_V{(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}ｄＶ]＋∫_V(τ_ijｅ_ij^d)ｄＶが得られます。

(2)熱の率

ベクトルｈ(ｘ,ｔ)を,時刻ｔにｎを外向き法線とする任意の面素ｄＳに対しｈｎｄＳがｎの向きに通過する熱の率となるような"熱流束＝単位時間に単位面積を通過する熱エネルギー"とします。

また,Ｌ(ｘ,ｔ)を,物体Ｖの有する熱の密度(単位体積当たりの熱量)とします。このとき熱に関するバランス(平衡)から－∫_SｈｎｄＳ＝(∂/∂ｔ)(∫_VＬｄＶ)です。

これはガウスの定理によって,微分形としては"物体が受ける熱の率＝単位時間当たり単位体積当たりの熱エネルギー"がＬ^ｄ＝－∇ｈ＝－ｈ_i,_iで与えられるという形になります。

(3)運動エネルギーの増加率

　運動エネルギーの増加率は明らかに(∂/∂ｔ)[∫_V{(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}ｄＶ]です。

(4)内部エネルギーの増加率

　Ｕ(ｘ,ｔ)を,物体Ｖの有する単位体積当たりの内部エネルギーとします。内部エネルギーの増加率はもちろんＵ^ｄです。

以上,(1)～(4)から(受ける力学的仕事率)＋(受ける熱の率)＝[(運動エネルギー＋内部エネルギー)の増加率]は,(∂/∂ｔ){(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}＋τ_ijｅ_ij^d＋Ｌ^ｄ＝(∂/∂ｔ){(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}＋Ｕ^ｄとなります。ただし,Ｌ^ｄ＝－∇ｈ＝＝－ｈ_i,_iです。

　それ故,Ｕ^ｄ＝Ｌ^ｄ＋τ_ijｅ_ij^d＝－ｈ_i,_i＋τ_ijｅ_ij^dです。

これをＵ,Ｌ,ｅ_ijを熱力学的平衡状態からの微小摂動として表現するなら,ｄＵ＝ｄＬ＋τ_ijｄｅ_ij＝ＴｄＳ＋τ_ijｄｅ_ijです。ここにＴは絶対温度,Ｓは単位体積当たりのエントロピーです。

この表現式から,形式的にτ_ij＝(∂Ｕ/∂ｅ_ij)_Sを得ます。

一方,Ｆをフレドホルムの自由エネルギー(Ｆ≡Ｕ－ＴＳ)とすれば,ｄＦ＝ＳｄＴ＋τ_ijｄｅ_ijより,同じくτ_ij＝(∂Ｆ/∂ｅ_ij)_Tを得ます。

そこで,もしも,変形過程がいくつかの地殻構造過程のように等温的にゆっくりと生じるならτ_ij＝(∂Ｆ/∂ｅ_ij)_Tです。

しかし,変形過程が断熱的でｈ＝0 かつＬ^ｄ＝0 では定エントロピーとなり,その下ではτ_ij＝(∂Ｕ/∂ｅ_ij)_Sです。

すなわち,断熱過程の場合には内部エネルギーＵの変化は歪みの変化だけで決まります。

これらは,ほとんど全ての波長の地震波に対して地震学では全く通常の状況です。　 

というのも岩石における熱拡散の時間尺度を示す時間定数＝(距離)²/(速さ)は,地震波の周期＝(波長)/(速さ)よりもはるかに長いので,地震過程は断熱過程,あるいは等温過程で近似できるからです。

そこで断熱過程ではＷ≡Ｕ,等温過程ではＷ≡ＦとしてＷを歪み-エネルギー関数と呼べば,それぞれの過程でτ_ij＝∂Ｗ/∂ｅ_ijです。

したがって,これらをフックの法則:τ_ij＝Ｃ_ijpqｅ_pqと組み合わせると,先述した最後の対称性Ｃ_ijpq＝∂τ_ij/∂ｅ_pq＝∂²Ｗ/(∂ｅ_ij∂ｅ_pq)＝∂τpq/∂ｅ_ij＝Ｃ_pqijが得られます。

そして,歪み-エネルギー関数ＷはＷ＝(1/2)Ｃ_ijklｅ_ijｅ_kl＝(1/2)τ_ijｅ_ijと陽な形式に表現できます。

断熱過程,または等温過程では,歪み-エネルギー関数Ｗ＝Ｕ,またはＦは自然状態を除いて常に正です。そこで,Ｗ＝(1/2)Ｃ_ijklｅ_ijｅ_klの右辺は正値２次形式です。

係数Ｃ_ijklは歪みｅ_ijには依存しないですが,一般には位置ｘの関数です。地震学で用いられる弾性理論では,媒質は不均質ですが到るところ等方的な球対称の媒質という先入観で特徴付けられています。

一般に,係数テンソルＣの3⁴＝81個の成分Ｃ_ijklは,上記の対称性のおかげで独立な成分は21個です。さらに,上記の先入観に根ざした等方性媒質では,Ｃも等方的である必要があり,かなり単純になります。

1972年にはJeffreys and Jeffreysによって,最も一般的な対称４階等方テンソルＣは次の形をとることが示されました。

すなわち,Ｃ_ijkl＝λδ_ijδ_kl＋μ(δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk)です。ただし,２つの独立定数λ,μはLame(ラメ)の定数と呼ばれます。

しかし,こうして得られた結果は応力と歪みが共にゼロの準拠状態から微小摂動だけ離れたケースに限定されていることに着目すべきです。

一方,地球内部内では平衡状態での自己重力が約１メガバール(Mbar)までの圧力の原因をなすことが知られています。

地球物質に対してゼロ応力,ゼロ歪みの準拠状態を仮定しても,上述のフックの法則に関する結果を直接には地震学において適用することはできません。

というのも上記の自己重力にに起因する圧力による歪みが小さくないからです。応力と歪みが共にゼロの準拠状態を用いると応力-歪み関係が非線型な有限歪みの理論を扱う必要があることになります。

しかし,地震に先立つ準拠系として代わりに地球の静的平衡状態を用いることもできます。実はこれが地震学での普通の扱いです。

定義によって,準拠系ではゼロ歪み状態ですが,初期応力の方はゼロではありません。

そして,このときには地震運動は歪みと初期応力からの増分応力との線型関係で表現できます。

かくして,ゼロ歪みでの初期応力をσ⁰とすると,ゼロとは限らない一般の歪みに対する応力はσ⁰＋τ (τ_ij＝Ｃ_ijklｅ_kl)で与えられます。そしてσ⁰の成分σ⁰_ijは係数テンソルの成分Ｃ_ijkl(～１メガバール)と同じオーダーの量です。

しかし,さし当たっては,簡単のため初期応力σ⁰の効果を無視することにします。

この単純化は,後の第８章で正当化されます。そこでは,初期応力σ⁰が正しく考慮され,修正を要する理論の概観について短かいレビューを与えます。そして第８章では自己重力の効果を定量化するためにオイラー的アプローチを採択する予定です。

さて, 運動が設定され得る方法と関わる幾つかの一般的注意と共に,まず表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内でのラグランジュ的変位場ｕ(ｘ,ｔ)についての一意性(uniqueness)の議論を導入することが自然な手続きであると思われます。

変位はＶ内の到るところでρｕ_i^2d＝ｆ_i＋τ_ji,_jを満たすように制約されているので,変位場ｕにはＶにおける実体力ｆと表面Ｓ上の応力τが寄与します。

今から,Ｖ内到るところでの実体力とＳ上全てにわたる応力の明細が既知であれば,与えられた初期条件からＶ内で発展する変位場を一意的に決定するに十分であることを示します。

変位場へのＳの影響を指定する別の方法は,応力の代わりにＳ上の変位自身に対して境界条件を与えることです。

例えば,表面Ｓが剛体的であるというように,一見したところＳ上の応力と変位はＶ内の変位場にとって独立な性質のように見えます。

しかし,これは誤りで以下の直感的理解からＳにわたる応力はＳ上の変位を決定し,その逆も成り立つことを認識することが重要です。

以下に,ある境界条件,初期条件下での変位場の一意性の定理を述べ,これの証明を与えます。

[一意性定理]:表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内の到るところで,与えられた時刻ｔ₀における変位と粒子速度の値(＝初期条件),およびｔ＞ｔ₀における次の境界条件:

(ⅰ)実体力ｆと供給される熱Ｌ,(ⅱ)表面Ｓ＝Ｓ₁＋Ｓ₂の一方の部分Ｓ₁上での応力Π,(ⅲ)残りの部分Ｓ₂上での変位

が与えられたとき,

　時刻ｔ₀より後の時刻ｔおけるＶ内到るところでの変位ｕ＝ｕ(ｘ,ｔ)は一意的に決定される。

(証明)ｕ₁とｕ₂が同じ初期条件を満足し,定理の境界条件(ⅰ)～(ⅲ)の同じ値で設定される変位ｕの任意の２つの解であると仮定します。

　このとき,Ｕ≡ｕ₁－ｕ₂とおけば,Ｕ(ｘ,ｔ)は初期値が恒等的にＵ(ｘ,ｔ₀)≡0 であるような変位場です。

　そして,Ｕはｔ＞ｔ₀における実体力ｆがゼロ,かつ供給される熱Ｌもゼロ,さらにＳ₁上での応力Ｔ,またはτがゼロ,Ｓ₂上での変位Ｕもゼロの変位場を表わします。

　それ故,一意性定理を証明するには,Ｖ内の到るところでｔ＞ｔ₀でもＵ＝0 であることを示せばよいことになります。

まず,ｔ＞ｔ₀での力学的仕事率を与える式:∫_Vｆｕ^dｄＶ＋∫_SＴｕ^dｄＳ＝∫_V[ρｕ_i^dｕ_i^2d＋τ_ijｕ_i,_j^d]ｄＶにおいて,ｕがＵの場合にはｆ＝Ｔ≡0 ですから,これらは明らかに恒等的にゼロです。

そして,∫_V[ρＵ_i^dＵ_i^2d＋τ_ijＵ_i,_j^d]ｄＶ＝0 を時間ｔについてｔ₀からｔまで積分して,応力-歪み関係式τ_ij＝Ｃ_ijklＵ_i,_jを用いると∫_V[(1/2)ρＵ_i^dＵ_i^d]ｄＶ＋∫_V[(1/2)Ｃ_ijklＵ_i,_jＵ_k,_l]ｄＶ＝0 です。

ところが,右辺の第１項の被積分関数である運動エネルギー密度も第２項の被積分関数である歪みエネルギー密度Ｗ＝(1/2)Ｃ_ijklＵ_i,_jＵ_k,_lも共に正定値な量です。

したがって,これらのＶ全体での総和がゼロということは,Ｖ内では到るところでＵ_i＝Ｕ_i^d＝0 なることを意味します。よって,ｔ＞ｔ₀でも到るところでＵ＝0 です。

以上から,ｕ₁≡ｕ₂が結論されます。(証明終わり)

一方,同じ表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内での一対の変位場ｕ,ｖに対して,相反性(reciprocal relation)と呼ばれる性質があることもわかります。

まず,ｕ＝ｕ(ｘ,ｔ)は変位場の１つであるとし,ｕは実体力ｆとＳ上の境界条件,そしてｔ＝0 における初期条件によって決まるとします。

一方,ｖ＝ｖ(ｘ,ｔ)も変位場の１つであるとし,ｖは実体力ｇとｕに対するものとは異なるＳ上の境界条件とｔ＝0 における初期条件によって決まるものとします。

これら,２つのケースでｎを法線とする面上の応力を区別するため,変位ｕによる応力をＴ(ｕ,ｎ),変位ｖによる応力をＴ(ｖ,ｎ)と書くことにします。

このとき,次のようなBetti(ベッチ)の定理と呼ばれる相反性定理が成立します。 

[ベッチの定理]:上記のような条件の下で,等式∫_V(ｆ－ρｕ^2d)ｖｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｕ,ｎ)ｖ}ｄＳ＝∫_V(ｇ－ρｖ^2d)ｕｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｖ,ｎ)ｕ}ｄＳが成立する。

(証明)左辺＝∫_V(ｆ－ρｕ^2d)ｖｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｕ,ｎ)ｖ}ｄＳ＝－∫_V[{τ_ij,_j(ｕ)ｖ_i}ｄＶ＋∫_S(τ_ijｎ_jｖ_i)ｄＳ＝∫_Vτ_ij(ｕ)ｖ_i,_j]ｄＶ＝∫_VＣ_ij,_klｕ_k,_lｖ_i,_j]ｄＶ＝∫_V(ｇ－ρｖ^2d)ｕｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｖ,ｎ)}ｄＳ＝右辺です。(証明終わり)

さて,ベッチの定理は,ｕ,ｖに関する初期条件を含まないことに注目します。

そこで,ｕ,ｕ^2d,Ｔ(ｕ,ｎ),ｆは時刻ｔ₁で評価され,ｖ,ｖ^2d,Ｔ(ｖ,ｎ),ｇが時刻ｔ₂で評価されるとしても∫_V(ｆ－ρｕ^2d)ｖｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｕ,ｎ)ｖ}ｄＳ＝∫_V(ｇ－ρｖ^2d)ｕｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｖ,ｎ)ｕ}ｄＳなる等式は正しいです。

　一方,ｘを省略して時間ｔで0からτまで積分すると∫₀^τ{ρｕ^2d(ｔ)ｖ(τ－ｔ)－ρｕ (ｔ)ｖ^2d(τ－ｔ)}ｄｔ＝ρ∫₀^τ[(∂/∂ｔ){ｕ^d(ｔ)ｖ(τ－ｔ)＋ｕ(ｔ)ｖ^d(τ－ｔ)}]ｄｔ＝ρ{ｕ^d(τ)ｖ(0)－ｕ^d(0)ｖ(τ)＋ｕ(τ)ｖ^d(0)－ｕ(0)ｖ^d(τ)}が成立します。

それ故,ｔ₁＝ｔ,ｔ₂＝τ－ｔと選択して∫₀^τｄｔ∫{ρｕ^2d(ｘ,ｔ)ｖ(ｘ,τ－ｔ)－ρｕ (ｘ,ｔ)ｖ^2d(ｘ,τ－ｔ)}ｄＶ＝∫ρ{ｕ^d(ｘ,τ)ｖ(ｘ,0)－ｕ^d(ｘ,0)ｖ(ｘ,τ)＋ｕ(ｘ,τ)ｖ^d(ｘ,0)－ｕ(ｘ,0)ｖ^d(ｘ,τ)}ｄＶです。

したがって,その時刻ｔ＝τ₀＞0 より前にはＶ上到るところでｕ,ｖがゼロであるようなある時刻τ＝τ₀があればτ≦τ₀ならｕ^d(ｘ,τ)＝ｖ^d(ｘ,τ)＝0 です。

そこで,その場合には回転項∫_-∞^∞ｄｔ{ρｕ^2d(ｘ,ｔ)ｖ(ｘ,τ－ｔ)－ρｕ (ｘ,ｔ)ｖ^2d(ｘ,τ－ｔ)}ｄＶはゼロです。

それ故,ベッチの定理から,∫_-∞^∞ｄｔ∫_V([ｕ(ｘ,ｔ)ｇ(ｘ,τ－ｔ)－ｖ(τ－ｔ)ｆ(ｘ,ｔ)]ｄＶ＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S{ｖ(ｘ,τ－ｔ)Ｔ(ｕ(ｘ,ｔ),ｎ)－ｕ(ｘ,ｔ)Ｔ(ｖ(ｘ,τ－ｔ),ｎ)}ｄＳを得ます。

途中ですが今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

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定量的地震学１

私がサブマネージャーをしているfolomy物理フォーラムで,最近,電磁波の水滴による減衰に関する質問があり,確か20年以上前にボルン-ウォルフ著「光学の原理」を参考にして雲やエアロゾルによる古典電磁波のミイ(Mie)散乱の断面積を計算したことがあるのを思い出し,そのとき作成したノートを探していました。

これが見つかれば,これに便乗して,最近の地球温暖化の原因とされる温室効果ガスの中で,その効果が最も大きいと思われる雲,あるいは水滴の効果を評価したいとも考えていました。

ところが,そのノートは２,３日探しても見つからず,代わりに1991年に,２番目の会社で地震の震源地予測プログラム開発のために国会図書館でコピーした,AkiとRichards著の「Quantitative Seismology」という地震学の本についてまとめた３冊のノートを見つけました。

そこで急遽,これを紹介する記事を書こうという気になりました。

(もちろん,曇りの空の色に関係するミイ散乱や,晴れの青い空に関係するレイリー(Rayleigh)散乱などを検討して,電磁波の減衰効果についてもいずれ書こうとは思います。)

英語で書かれている「Quantitative Seismology」については,近年,共著者の安芸氏とは別の日本人によって,安芸敬一,P.G.Richards著「地震学」という大部の翻訳書として出版されているのを知っていますが高価なので,これはまだ,買ってはいません。

もっとも,当時,国分寺の方の会社に委託されて,従来よりも正確かつ迅速に震源地を求めようという試みは挫折しました。

地震については,2006年11/14の過去記事「結晶内での弾性波(地震波)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/11/post_0cc6.html もあります。

さて,第１章の序文は省略して第２章の「動力学的弾性体の基礎理論」から始めます。

地球内の地震運動を研究するための解析的枠組みは少なくとも次の３つの成分を組み込んでいる必要があります。

すなわち,震源を記述する方法,地震運動の伝播を支配する運動方程式,そして震源の記述を方程式の個々の解に結合させる理論です。

地震学においては,小さい運動の２つのセットは非線型な形で干渉することはなく重ねあわされるという推測があります。

そして,もう１つの推測として,ある物理的源によって生起された地震運動は震源と波動伝播の媒質の性質を結びつけることによって一意的に決定されるというものです。

こうした推論や地震学者によって一般に真であると仮定されている他の多くの推論は線型応力-歪み関係を有する弾性媒体に対する古典連続体力学の無限小運動の性質であり,これが理論に対する全ての数学的枠組みを提供します。

それでは定式化に向かいます。

連続体の運動力学を記述するために,２つの異なる方法が広く用いられています。

これらの１つは,"ある参照時刻ｔに初期時刻ｔ₀の元の位置で指定された質点の運動を追跡する。"というラグランジュ(Lagrange)的記述と,もう１つは"いかなる質点であろうと指定した空間位置を占めている質点に着目する。"というオイラー(Euler)的記述です。

地震学の大抵の応用では,線型弾性理論をラグランジュ的記述で展開するのが概念的により簡単です。

以下では,枠組みとして殆ど常にラグランジュ的記述を採択します。

要するに,震動図は地球の個々の部分における地震計が設置されている質点の運動の記録であり,直接ラグランジュ的運動の記録と考えられるからです。

まず,系はデカルト(Descartes)座標系(直交座標系):ｘ＝(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)で扱い,全てのテンソルはデカルトテンソルとします。

変位(displacement)という量を空間ｘと時間ｔの関数として用いることから始めます。

すなわち,ある時刻ｔ₀に占めていた空間位置のベクトルｘから,その質点が時刻ｔに移動した量としてのベクトルを変位と呼び,それをｕ＝ｕ(ｘ,ｔ)と書きます。

このラグランジュ的表記では,時間ｔが変わってもｘは不変な独立量なので,粒子(質点)の速度は∂ｕ/∂ｔ,加速度は∂²ｕ/∂ｔ²です。

固体であれ液体であれ,また弾性的であれ非弾性的であれ,媒質の歪みを解析するためには歪みテンソルを使用します。

最初,位置ｘにあった質点が位置ｘ＋ｕに動かされるなら,そのときの関係ｕ＝ｕ(ｘ)が変位の場を記述するために用いられます。

初期にｘ近傍にある媒質部分の歪みを調べるために,初期位置ｘ＋δｘにあった質点の新しい位置を知る必要があります。この新しい位置はｘ＋δｘ＋ｕ(ｘ＋δｘ)です。

この変位の変化をδｕとすれば,δｘ＋δｕ＝ｘ＋δｘ＋ｕ(ｘ＋δｘ)－(ｘ＋ｕ)です。|δｘ|は任意の微小量なので,ｕ(ｘ＋δｘ)＝ｕ(ｘ)＋(δｘ∇)ｕ＋Ｏ(|δｘ|²)ですから,δｕ＝(δｘ∇)ｕ,または,δｕ_i＝(∂ｕ_i/∂ｘ_j)δｘ_jです。

しかし,ｘの近傍の真の歪みを指定するのにテンソル:(ｕ_i,_j)＝(∂ｕ_i/∂ｘ_j)の全ての成分が必要なわけではありません。

なぜなら,"運動＝変位"の一部は単にｘの近傍の無限小な剛体回転によるものです。

これは恒等式:(ｕ_i,_j－ｕ_j,_i)δｘ_j＝ε_ijkε_jlmｕ_m,_lδｘ_kからわかります。(つまり,Ｏ≡rotｕと置けば,(ｕ_i,_j－ｕ_j,_i)δｘ_j＝(Ｏ×δｘ)_iと表現されます。)

それ故,δｕ_i＝(∂ｕ_i/∂ｘ_j)δｘ_j＝ｕ_i,_jδｘ_jは,δｕ_i＝(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)δｘ_j＋(1/2)(rotｕ×δｘ)_Iと書き直せます。

剛体回転の総量は(1/2)rotｕなので,|ｕ_i,_j|＜＜1なら全変位を表わす右辺のうち,最後の項を剛体回転として解釈することが可能です。

変位勾配が|ｕ_i,_j|＜＜1の意味での無限小でないなら,δｕにおいて有限な回転の寄与を解析する必要があります。

しかし,有限回転は非可換な変動でベクトルでは表現できないので,はるかに困難な事象です。

ここでは|ｕ_i,_j|＜＜1と想定し,無限小の歪みテンソルとして,ｅ_ij≡(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)なる対称テンソルを定義し,これを任意の線素δｘ_iについて相対位置をｅ_ijδｘ_jだけ変える真の歪み効果とします。

回転の方は要素の長さには影響しません。実際,新しい長さは|δｘ＋δｕ|＝(δｘδｘ＋2δｕδｘ)^1/2＝(δｘδｘ＋2ｅ_ijδｘ_iδｘ_j)^1/2＝|δｘ|(1＋ｅ_ijν_iν_j)となります。

ただし,νはν≡δｘ/|δｘ|で定義される単位ベクトルです。

|δｘ＋δｕ|＝|δｘ|(1＋ｅ_ijν_iν_j)は,線素のν方向への伸縮歪みがｅ_ijν_iν_jであることを示しています。

連続体内の隣接した粒子間の相互に作用する力を解析するためには,応力テンソルの概念を用います。

応力とは連続体内の内部面積当たりに働く力のことです。これは面の一方の側の粒子が他の側の粒子に作用する単位面積当たりの接触力を定量化したベクトル量です。

厳密には,連続体内部の面上の与えられた１点に対し,その点の無限小面素δＳを横切って作用する無限小の力δＦを考え,δＦ/δＳのδＳ→ 0 の極限で応力を定義します。

面δＳに垂直な単位ベクトルｎに対し,ｎがその内側へと向く側の物質からｎを外向き法線の単位ベクトルとする側の物質に作用する力としてδＦを定義します。

δＦ/δＳの極限である応力Ｔの大きさと方向は,面δＳの向き,つまりｎにの取り方に依存します。そして一般にＴはｎに平行ではありません。Ｔはｎの関数としてＴ＝Ｔ(ｎ)なる形で表現されます。

例えば,面に垂直な応力である流体内の圧力であれば,その大きさは－ｎＴ(ｎ)で与えられます。一方,固体物質に対しては,せん断力は面に平行な向きに作用し得ます。

さて,連続物体内の質点(粒子)に作用する力としては,上記の隣接粒子間に働く接触力応力だけではなく,一般には隣接粒子間の相互重力や磁力など古典的な非接触の遠隔作用力もあります。

こうした非接触力など外力を実体力と名付けます。そして,初期時刻にある位置ｘにあった物体の別のある時刻ｔに作用する単位体積当たりの実体力をｆ(ｘ,ｔ)と書くことにします。

初期位置がｘ＝ξの１つの個別粒子に時刻ｔ＝τに瞬時的に加えれる１つの衝撃力という特殊ケースを考えてみます。

この力がｘ_n軸方向にあるとき,成分ｆ_i(ｘ,ｔ)は空間位置を与えるのに３次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,そして衝撃の時刻を与えるのに１次元のデルタ関数に比例し,さらにｉ≠ｎについてはｆ_i＝0 なる方向性を持つとします。

こうすれば,力の密度はｆ_i(ｘ,ｔ)＝Ａδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inと表現されます。ここにＡは衝撃の強さを与える定数です。

ｆ_i,δ³(ｘ－ξ),δ(ｔ－τ)の次元がそれぞれ[力/体積]＝ＭＬＴ^-2/Ｌ³,1/Ｌ³,1/Ｔであることに着目すれば,δ_inは無次元なので衝撃の強さＡは正しく,"衝撃＝力積"の物理的次元を持つことがわかります。

こうして,境界面Ｓを有する体積Ｖの到るところで加速度,実体力(体積力),応力に対する制約を述べられる位置に到達しました。

さて,ニュートンの運動法則によってＶを構成する粒子群の運動量総体の変化率とＶの全体に作用する力とを等置すれば,(∂/∂ｔ)[∫_V{ρ(∂ｕ/∂ｔ)}ｄＶ]＝∫_VｆｄＶ＋∫_SＴ(ｎ)ｄＳとなります。

この関係はラグランジュ的記述に基づいており,ＶとＳは粒子と共に動きます。

この描像では,ρｄＶは時間的に一定なので,左辺は∫_V{ρ(∂²ｕ/∂ｔ²)}ｄＶと書き直すことができます。

以下,この式を利用して応力Ｔ(ｎ)の陽な形を求め,応力テンソルを導入します。

加速度,実体力,応力のどれも特異ではないような媒質中の粒子Ｐを考えます。そして,点Ｐを微小体積ΔＶで囲み,ΔＶ→ Ｐと収縮する極限で∫_V{ρ(∂²ｕ/∂ｔ²)}ｄＶ＝∫_VｆｄＶ＋∫_SＴ(ｎ)ｄＳの各項のΔＶに対する相対的な大きさを評価します。

このとき,被積分関数が特異ではないので両辺の体積積分の項はΔＶのオーダーですが,面積積分の項は∫_SｄＳのオーダーであり,(ΔＶ)^2/3のオーダーの量です。

そこで,∫_V{ρ(∂²ｕ/∂ｔ²)}ｄＶ＝∫_VｆｄＶ＋∫_SＴ(ｎ)ｄＳの両辺を∫_SｄＳで割った式では,ΔＶ→ 0 に対し,∫_V{ρ(∂²ｕ/∂ｔ²)}ｄＶ/∫_SｄＳ→ 0 ,かつ∫_VｆｄＶ/∫_SｄＳ→ 0 です。

仮に,ΔＶとして外向き法線ｎと－ｎを持つ相対する平面板とここでは重要ではない側面を持つ直方体を取れば,ΔＶ→ 0 に対して∫_SＴ(ｎ)ｄＳ/∫_SｄＳ→ 0 ですから,Ｔ(－ｎ)＝－Ｔ(ｎ)を得ます。

次に,ΔＶを小さな四面体ＯＡＢＣとし,その３つの面⊿ＯＢＣ,⊿ＯＣＡ,⊿ＯＡＢが,それぞれｘ₁軸に垂直な23面,ｘ₂軸に垂直な31面,ｘ₃軸に垂直な12面の上にあり,残る４番目の面の⊿ＡＢＣの外向き法線がｎであるとします。

このとき,∫_SＴ(ｎ)ｄＳ/∫_SｄＳ→ 0 は,Ｔ(ｎ)⊿ＡＢＣ＋Ｔ(－ｘ^₁)⊿ＯＢＣ＋Ｔ(－ｘ^₂)⊿ＯＣＡ＋Ｔ(－ｘ^₃)⊿ＯＡＢ/∫_SｄＳ→ 0 を意味します。

ただし,ｘ^_iはｉ軸方向の単位ベクトルです。結局,Ｔ(ｎ)＝Ｔ(ｘ^_j)ｎ_jなる関係式を得ます。

Ｔ(－ｎ)＝－Ｔ(ｎ),およびＴ(ｎ)＝Ｔ(ｘ^_j)ｎ_jなる等式は,媒質が静止中であろうと運動中であろうと成立します。そこでτ_jl≡Ｔ_l(ｘ^_j)と置けば,常にＴ_j(ｎ)＝τ_jiｎ_jと書けます。

ガウスの定理を用いると∫_SＴ_j(ｎ)ｄＳ＝∫_Sτ_jiｎ_jｄＳ＝∫_Vτ_ji,_jｄＶですから,∫_V{ρ(∂²ｕ/∂ｔ²)}ｄＶ＝∫_VｆｄＶ＋∫_SＴ(ｎ)ｄＳは,∫_Ｖ{ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)－ｆ_i－τ_ji,_j}ｄＶ＝0 となりますが,Ｖは任意なので微分型の運動方程式としてρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jが得られます。

運動力学のもう１つの制約式は座標原点の周りのＶ内の総角運動量の変化率をＶにおける力のモーメントに等置することで得られます。

すなわち,(∂/∂ｔ)[∫_V{Ｘ×ρ(∂ｕ/∂ｔ)}ｄＶ]＝∫_V(Ｘ×ｆ)ｄＶ＋∫_S{Ｘ×Ｔ(ｎ)}ｄＳです。ただし,Ｘ≡ｘ＋ｕです。

∂ｘ/∂ｔ,ｕ×(∂ｕ/∂ｔ),∂(ρｄＶ)/∂ｔは全てゼロなので,左辺は∫_V{Ｘ×ρ(∂²ｕ/∂ｔ²)}ｄＶと書けます。

そこで,これに運動方程式:ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_j,およびＴ_i(ｎ)＝τ_jiｎ_jを代入することにより,∫_V{ε_ijkＸ_j(∂τ_lk/∂ｘ_l)}ｄＶ＝∫_V[ε_ijkＸ_j{ρ(∂²ｕ_k/∂ｔ²)－ｆ_k}]ｄＶ＝∫_S{ε_ijkＸ_jＴ_k(ｎ)}ｄＳ＝∫_S(ε_ijkＸ_jτ_lkｎ_l)ｄＳを得ます。

ところが,ガウスの定理より∫_S(ε_ijkＸ_jτ_lkｎ_l)ｄＳ＝∫_V{(∂/∂ｘ_l)(ε_ijkＸ_jτ_lk)}ｄＶ＝∫_V{ε_ijk(∂Ｘ_j/∂ｘ_l)τ_lk}ｄＶ＋∫_V{ε_ijkＸ_j(∂τ_lk/∂ｘ_l)}ｄＶ＝∫_V(ε_ijkτ_jk)ｄＶ＋∫_V{ε_ijkＸ_j(∂τ_lk/∂ｘ_l)}ｄＶです。

したがって,∫_V(ε_ijkτ_jk)ｄＶ＝0 と結論されます。

これは,到るところでε_ijkτ_jk＝0 なること,つまり,応力テンソルが対称であること:τ_kj:＝τ_jkを意味します。

これらの基本的結果から,応力の成分についての最終的公式を定めることができます。

すなわち,応力テンソル(τ_ij)は対称であって,応力ＴはＴ_i＝τ_jiｎ_jで与えられます。さらに,運動方程式はρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jで与えられます。

今日はここで終わります。

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

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結晶内での弾性波(地震波)

　今日は等方的とは限らない一般の結晶内での弾性波,特に地震波について考察してみます。

弾性体の密度をρ,応力テンソルを{σ_jk},それを構成する部分の局所的速度をｕ＝{ｕ_j}とすると,この弾性体が従うべき運動方程式は流体方程式と同じくρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝∂σ_jk/∂ｘ_kで表与えられます。

そして,歪み速度テンソル{ｕ_jk}をｕ_jk≡(∂ｕ_j/∂ｘ_k＋∂ｕ_k/∂ｘ_j)/2で定義すれば,これは{σ_jk}と同じく反対称の単なる回転を除いた対称テンソルです。これは６個の独立成分を持ちます。

線形弾性体近似では,フック(Hooke)の法則:σ_jk＝Ｃ_jklmｕ_lmが成立するため,先の運動方程式はρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝Ｃ_jklm(∂²ｕ_m/∂ｘ_k∂ｘ_l)となります。

Ｃ_jklmは,一般に81個の成分を持ちますが,{σ_jk}も{ｕ_jk}も対称テンソルなのでｊとｋ,ｌとｍについて対称ですから,独立成分は６×６＝36個となります。

また,歪みエネルギーＷはΔＷ＝σ_jkΔｕ_jkから求まり,対称２次形式Ｗ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmになるので,Ｃ_jklmはｊ,ｋとｌ,ｍの交換についても対称であり,結局,その独立成分は(30/2)＋6＝21個となります。

この方程式の平面波の解をｕ_j＝ｕ_0jexp[i(ｋｒ－ωｔ)]として代入すると,ρω²ｕ_j＝Ｃ_jklmｋ_kｋ_lｕ_mとなります。これを書き直すと(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)ｕ_m＝0 となります。

この１次方程式が自明でない解を持つためには,３行３列の行列係数:(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l) (ｊ,ｍ＝1,2,3)の行列式がゼロ,すなわち,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 が成立する必要があります。

そして,ω²を未知数としてこの方程式を解けば,ω²の３個の解が得られ,それらはｋの関数となります。

ところで,もしも結晶が等方性弾性体であれば,歪みエネルギーＷ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmは座標系の回転に対して不変なスカラーであるはずですが,ｕ_jkの２次形式の形で得られる独立な不変スカラーはｕ_kk²とｕ_jkｕ_jkのみです。

そこで,適当な係数λ,μを選んでＷ＝(1/2)λｕ_kk²＋μｕ_jkｕ_jkと書けるはずです。そこで,応力テンソル{σ_jk}＝{Ｃ_jklmｕ_lm}はσ_jk＝λｕ_llδjk＋2μｕ_jkと書けます。ここに弾性定数λ,μはラメ(Lame)の定数と呼ばれています。

このときには運動方程式もρｄ²ｕ/ｄｔ²＝(λ＋μ)∇(∇ｕ)＋μ∇²ｕと,簡単になります。

先に挙げた１次方程式の係数の行列要素はρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l＝(ρω²－μｋ²)δ_jm－(λ＋μ)ｋ_jｋ_mとなります。

ｋの向きをｘ軸の正の向きに取ると,ｋ₁＝ｋ＝|ｋ|,ｋ₂＝ｋ₃＝0 ですから,行列[(ρω²－μｋ²)δ_jm＋(λ＋μ)ｋ_jｋ_m]は対角成分が[ρω²－(λ＋2μ)ｋ²]と２つの(ρω²－μｋ²)の対角行列になります。

したがって,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 の解はＶ_P²≡(ω_P/ｋ)²＝(λ＋2μ)/ρ,Ｖ_S²≡(ω_S/ｋ)²＝μ/ρとなります。

それぞれの速度に対応する平面波は,速度Ｖ_Pで波の伝播方向への振動である"縦波＝Ｐ波"と,速度Ｖ_Sで波の伝播方向に垂直な方向の振動である"横波＝Ｓ波"です。

しかし,もしも異方性の弾性体の場合ならω＞0 の３つの解ω(ｋ)はｋの関数として１次の同次式ではあっても,単なる１次関数になるとは限らず,弾性波は一般に分散性の波でもあると思われます。

そこで,伝播速度は"単一波の速度＝位相速度"ではなく,群速度Ｖ＝∂ω/∂ｋで与えられると考えられます。

ところで,σ_jkやｕ_jkを[σ]＝^t(σ₁₁,σ₂₂,σ₃₃,σ₂₃,σ₃₁,σ₁₂)のように６次元の列ベクトルで表わすボイト(Vogit)の表記という表記法があります。

この表記で表現すると,フックの法則は[σ]＝Ｃ[ｕ]と簡単になります。ここでＣは６行６列のテンソル行列です。

また,このとき,特に結晶が等方性弾性体ならＣの成分のうちで独立なのはやはり２つだけで,先に述べたラメの定数はλ＝Ｃ₁₂,μ＝Ｃ₄₄＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2と表わされます。

例えば結晶が立方体構造をしている立方晶系では独立成分は３つです。つまり,Ｃ₁₁＝Ｃ₂₂＝Ｃ₃₃,Ｃ₁₂＝Ｃ₂₃＝Ｃ₃₁,かつ４～６行の成分は４～６列しか成分のない対角行列であってＣ₄₄＝Ｃ₅₅＝Ｃ₆₆であり,結局,この結晶構造を示すにはＣ₁₁とＣ₁₂とＣ₄₄の３つだけあれば十分である,ということになります。

この条件ではｘ軸をｋの向きに取り,先のdet(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝ 0 でのＣ_jklmをボイトの表記でＣを表わせば,ξ＝(ω/ｋ)²,ａ＝Ｃ₁₁/ρ,ｂ＝Ｃ₄₄/ρ,c＝Ｃ₁₂/ρとして(ξ－ａ)(ξ－ｂ)²＝0 ですから,解はξ＝ａ,ｂとなります。

つまり速度をＶ_P,Ｖ_Sとすると,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρとＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρの２つの速度が得られます。これは等方性弾性体でのＣ₄₄＝μ,Ｃ₁₁＝λ＋2μのケースと一致しています。

一方,六方晶系ではＣ₁₁＝Ｃ₂₂で,Ｃ₁₃＝Ｃ₂₃,また４～６は対角行列でＣ₄₄＝Ｃ₅₅,Ｃ₆₆＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2ですから,結局のところＣ₁₁,Ｃ₁₂,Ｃ₁₃,Ｃ₃₃,Ｃ₄₄の５つだけがあれば十分となります。

結果だけ書くと,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρ,およびＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρ,(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/(2ρ)となり,"横波＝Ｓ波"には２つの速度があるので地震の観測ではＳ波のほうに２重の波が観測されると予測されます。

ただし,異方性の結晶では一般に波は完全にＳ波とＰ波になるように行列が対角形になるとは限らないので,これらの計算においては偶々波の進行方向が結晶の対称軸と一致したり直交していたりする特別なケースだけしか扱っていません。

一般的な扱いについては,暇があってその気になればまた記事にするかもしれません。

参考文献；ランダウ＝リフシッツ 著「弾性理論」(東京図書),角谷典彦 著「連続体力学」(共立出版)

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移流拡散方程式を解く

　特殊な条件の下で移流拡散方程式を解いてみたいと思います。これは30年ほど前に就職した会社で配属後に計算したものです。 

　点源から不断にＱ(ｍ³/ｓ)の気体物質が排出され,風速が一様でｖ＝(ｕ,0,0),拡散係数:Ｋ_x,Ｋ_y,Ｋ_zが定数である場合の濃度計算を考えます。まずは,点源が原点にあるとします。 

　このとき,濃度Ｃに対する拡散方程式は∂Ｃ/∂ｔ＋ｕ(∂Ｃ/∂ｘ)＝Ｋ_x(∂²Ｃ/∂ｘ²)＋Ｋ_y(∂²Ｃ/∂ｙ²)＋Ｋ_z(∂²Ｃ/∂ｚ²)＋Ｑδ³(ｒ)と書けます。

　これを解くため,Ｃをフーリエ(Fourier)変換して,Ｃ(ｒ,ｔ)≡{1/(2π)³}∫ｄ³ｋＣ^(ｋ,ｔ)exp(ｉｋｒ)とします。

　ｒ≠0 ではＣ^＝Ｃ^(ｋ,ｔ)について∂Ｃ^/∂ｔ＋(Ｋ_xｋ_x²＋Ｋ_yｋ_y²＋Ｋ_zｋ_z²＋ｉｋ_xｕ)Ｃ^＝0 となります。

　故に,Ｃ^(ｋ,ｔ)＝Ｃ^(ｋ,ｔ₀)exp[－(Ｋ_xｋ_x²＋Ｋ_yｋ_y²＋Ｋ_zｋ_z²＋ｉｋ_xｕ)(ｔ－ｔ₀)]と書くことができます。

　そして,Ｃ^(ｋ,ｔ₀)＝∫ｄ³ｒ'Ｃ(ｒ'＋ｒ,ｔ₀)exp[－ｉｋ(ｒ'＋ｒ)]ですからＣ(ｒ,ｔ)＝{1/(2π)³}∫ｄ³ｋＣ^(ｋ,ｔ₀)exp[－(Ｋ_xｋ_x²＋Ｋ_yｋ_y²＋Ｋ_zｋ_z²＋ｉｋ_xｕ)(ｔ－ｔ₀)＋ｉｋｒ]＝{1/(2π)³}∫ｄ³ｒ'Ｃ(ｒ'＋ｒ,ｔ₀)∫ｄ³ｋexp[－(Ｋ_xｋ_x²＋Ｋ_yｋ_y²＋Ｋ_zｋ_z²)(ｔ－ｔ₀)－ｉ{ｋｒ'－ｋ_xｕ(ｔ－ｔ₀)}]となります。 

　ところが,∫ｄ³ｋexp[－(Ｋ_xｋ_x²＋Ｋ_yｋ_y²＋Ｋ_zｋ_z²)(ｔ－ｔ₀)－ｉ{ｋｒ'－ｋ_xｕ(ｔ－ｔ₀)}]＝∫exp[－Ｋ_x(ｔ－ｔ₀){ｋ_x＋ｉ[ｘ'－ｕ(ｔ－ｔ₀)]/[2Ｋ_x(ｔ－ｔ₀)]}²]ｄｋ_x∫exp[－Ｋ_y(ｔ－ｔ₀){ｋ_y＋ｉｙ'/[2Ｋ_y(ｔ－ｔ₀)]}²]ｄｋ_y∫exp[－Ｋ_z(ｔ－ｔ₀){ｋ_z＋ｉｚ'/[2Ｋ_z(ｔ－ｔ₀)]}²]ｄｋ_zexp[－{ｘ'－ｕ(ｔ－ｔ₀)}²/{4Ｋ_x(ｔ－ｔ₀)}－ｙ'²/{4Ｋ_y(ｔ－ｔ₀)}－ｚ'²/{4Ｋ_z(ｔ－ｔ₀)}]です。

　ガウス積分を実行することにより,右辺＝[π³/{Ｋ_xＫ_yＫ_z(ｔ－ｔ₀)³}]^1/2exp[－{ｘ'－ｕ(ｔ－ｔ₀)}²/{4Ｋ_x(ｔ－ｔ₀)}－ｙ'²/{4Ｋ_y(ｔ－ｔ₀)}－ｚ'²/{4Ｋ_z(ｔ－ｔ₀)}]となります。

　したがって,Ｃ(ｒ,ｔ)＝(1/8)[1/{π³Ｋ_xＫ_yＫ_z(ｔ－ｔ₀)³}]^1/2∫ｄ³ｒ'Ｃ(ｒ'＋ｒ,ｔ₀)exp[－{ｘ'－ｕ(ｔ－ｔ₀)}²/{4Ｋ_x(ｔ－ｔ₀)}－ｙ'²/{4Ｋ_y(ｔ－ｔ₀)}－ｚ'²/{4Ｋ_z(ｔ－ｔ₀)}]です。

　特に初期瞬時濃度が排出強度Ｑ'そのもの,つまりＣ(ｒ,ｔ₀)＝Ｑ'δ³(ｒ)なら,Ｃ(ｒ,ｔ)＝(Ｑ'/8)[1/{π³Ｋ_xＫ_yＫ_z(ｔ－ｔ₀)³}]^1/2exp[－{ｘ－ｕ(ｔ－ｔ₀)}²/{4Ｋ_x(ｔ－ｔ₀)}－ｙ²/{4Ｋ_y(ｔ－ｔ₀)}－ｚ²/{4Ｋ_z(ｔ－ｔ₀)}]となりますね。

　そこで,排出量が単位時間当たりＱ,つまり,微小時間ｄｔ₀ではＱ'＝Ｑｄｔ₀である場合,これを代入してｔ₀で積分します。

　定常状態の濃度Ｃ(ｒ)はこれで得られるはずです。

　Ｃ(ｒ)＝∫₀^∞ｄｔ₀(Ｑ/8)[1/{π³Ｋ_xＫ_yＫ_z(ｔ－ｔ₀)³}]^1/2exp[－{ｘ－ｕ(ｔ－ｔ₀)}²/{4Ｋ_x(ｔ－ｔ₀)}－ｙ²/{4Ｋ_y(ｔ－ｔ₀)}－ｚ²/{4Ｋ_z(ｔ－ｔ₀)}]と書けます。

　この時間積分を実行すると,結局Ｃ(ｒ)＝(Ｑ/4)[1/{π²Ｋ_xＫ_yＫ_z}]^1/2(ｘ²/Ｋ_ｘ＋ｙ²/Ｋ_y＋ｚ²/Ｋ_z)^-1/2 exp{ｕｘ/(2Ｋ_ｘ)}exp(－ｕ(ｘ²/Ｋ_ｘ＋ｙ²/Ｋ_y＋ｚ²/Ｋ_z)^1/2/(2Ｋ_ｘ^1/2))となります。

　特にｘ,ｙを水平方向,ｚを鉛直上向き方向としたとき,一般に地上付近を考えるならばｘ,ｙ＞＞ｚであり,水平方向の対称性から,Ｋ_ｘ＝Ｋ_y＝Ｋ_H とすると,(ｘ²/Ｋ_ｘ＋ｙ²/Ｋ_y＋ｚ²/Ｋ_z)^1/2～ Ｒ/Ｋ_Hと考えることができます。

　ただし,Ｒ≡(ｘ²＋ｙ²)^1/2は点源からの水平距離です。 

　そこで,Ｃ(ｒ) ～ [Ｑ/(4π)][1/(ＲＫ_HＫ_z^1/2)]exp {ｕｘ/(2Ｋ_H)－ｕ{Ｒ²/(2Ｋ_H)²＋ｚ²/(4Ｋ_zＫ_H)^1/2}]です。

　さらに風下方向ｘがｙよりも風に流される影響が優勢であると考えてｘ＞＞ｙとすると,ｕｘ/(2Ｋ_H)－ｕ{Ｒ²/(2Ｋ_H)²＋ｚ²/(4Ｋ_zＫ_H)^1/2} ～ ｕｘ/(2Ｋ_H)－ｕｘ/(2Ｋ_H)[1＋ｙ²/(2ｘ²)＋Ｋ_Hｚ²/(2Ｋ_zｘ²)]と近似すれば,Ｃ(ｒ) ～ [Ｑ/(4π)][1/(ｘＫ_HＫ_z^1/2)]exp[－ｕｙ²/(4Ｋ_Hｘ)－ｕｚ²/(4Ｋ_zｘ)]となります。

ここで,σ_x²＝σ_y²＝2Ｋ_Hｘ/ｕ,σ_z²＝2Ｋ_zｘ/ｕと書けば,Ｃ(ｒ)～[Ｑ/(2πσ_xσ_zｕ)]exp[－ｙ²/(2σ_y²)－ｚ²/(2σ_z²)]となります。

しかし,一般には地上ｚ＝0 より下のｚ＜0 には拡散しないのでｚ＝0 では境界条件として∂Ｃ/∂ｚ＝0 なる反射条件が成立します。

規格化定数は上半面ｚ＞0 のみを考えるので,先の値の２倍となります。また,拡散式は発生点源より風上のｘ≦0 ではＣ(ｒ)＝0 であるという境界条件も満足する必要があります。

もし,点源が高さｚ＝Ｈ_e＝(有効高さ)を持つなら,地下ｚ＝－Ｈ_eに仮想の鏡像点源があると考えればよく,濃度はＣ(ｒ) ～ [Ｑ/(2πσ_xσ_zｕ)]exp{－ｙ²/(2σ_y²)}[exp|－(ｚ－Ｈ_e)²/(2σ_z²)＋exp|－(ｚ＋Ｈ_e)²/(2σ_z²)]]と変更されます。

行政では,簡易式として,ｙ方向について－∞ から＋∞ まで積分し,その濃度が円周2πＲではなく16等分した風向の風下扇形(π/8)Ｒ部分に全て分配されると仮定して近似した式が採用されているようです。

すなわち,濃度は風向をｘ軸としてＣ(ｒ)～Ｃ(Ｒ,ｚ)～ [Ｑ/{(2π)^1/2(π/8)Ｒσ_zｕ}][exp|－(ｚ－Ｈ_e)²/(2σ_z²)＋exp|－(ｚ＋Ｈ_e)²/(2σ_z²)]]で与えられるという簡易式です。

これらの式は有風時のプルーム式と呼ばれています。

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大気中の移流拡散方程式

　大気中の気体物質の拡散方程式について若干の考察をしてみたいと思います。 

　ある温度で大気の単位体積中に存在する同じ温度の気体物質の体積の値をその濃度と呼びＣで表わすことにします。

　"(大気＋物質)の密度＝大気全体の密度"をρ,濃度対象としている気体物質のみの密度をρ₁とし,質量濃度をｃとします。ρ₁＝ρｃです。

　そして,大気全体には"主流＝平均流"として風速ｖがあるとし,大気全体は非圧縮,かつ空間的にもρは一定と仮定すると,その全体としての連続の方程式はdivｖ＝∇ｖ＝0 となります。

　一方,混合された気体物質に着目した連続の方程式には湧き出しがあるとして,∂ρ₁/∂ｔ＋∇(ρ₁ｖ₁)＝ｑ₁と書くことができます。湧き出しｑ₁は物質の排出強度と呼ばれます。 

　連続の方程式∂ρ₁/∂ｔ＋∇(ρ₁ｖ₁)＝ｑ₁にρ₁＝ρｃを代入すると,∂(ρｃ)/∂ｔ＋∇(ρｃｖ)＝－∇[ρｃ(ｖ₁－ｖ)]となります。

　結局,Ｄｃ/Ｄｔ＝∂ｃ/∂ｔ＋ｖ∇ｃ＝－∇ｉ＋ｑ₁ /ρと書けます。ただし,Ｄ/Ｄｔ＝∂ｃ/∂ｔ＋ｖ∇はラグランジュ微分で,ｉ≡ｃ(ｖ₁－ｖ)は拡散流束密度と呼ばれる量です。

　ここで,Ｎ₀をアボガドロ数,Ｍを大気全体の分子量,Ｍ₁を濃度対象の気体物質の分子量とすると,大気全体と対象物質の単位体積当たりの分子数は,それぞれ,Ｎ₀ρ/Ｍ,Ｎ₀ρ₁/Ｍ₁です。

　同一温度での気体の体積は分子の数に比例するので,Ｃ＝ρ₁Ｍ/(ρＭ₁)＝(Ｍ/Ｍ₁)ｃとなります。よって,質量濃度ｃと(体積)濃度Ｃは単に定数係数の違いしかありません。

　したがって,質量濃度ｃの方程式Ｄｃ/Ｄｔ＝－∇ｉ＋ｑ₁ /ρは体積濃度Ｃで表わすと,ＤＣ/Ｄｔ＝－∇ｊ＋Ｑとなります。

　ｊ≡(Ｍ/Ｍ₁)ｉ＝Ｃ(ｖ₁－ｖ)は(体積濃度の)拡散流束密度,Ｑ≡ｑ₁Ｍ/(ρ/Ｍ₁)は物質の(体積)排出強度と解釈することができます。

　ここで,フィック型の拡散を想定し拡散流束密度ｊが濃度の高い方から低い方へその勾配に比例して流れるとします。

　その拡散流束密度は拡散係数Ｋをテンソル{Ｋ_ij}としてｊ_i＝－Ｋ_ij(∂Ｃ/∂ｘ_j)となります。Ｋは拡散係数ですから正値です。

　ただし,同じ添字が２度出現するときは１から３まで加える,というアインシュタインの規約を用います。

　拡散係数テンソルＫを主軸変換して対角化し,Ｋ_ij＝Ｋ_iδ_ijの主軸をｘ,ｙ,ｚ方向に取れば,その主軸成分はＫ_x,Ｋ_y,Ｋ_z とすることができます。

　このときには,拡散流束密度はｊ＝{Ｋ_x(∂Ｃ/∂ｘ)}ｅ_x＋{Ｋ_y(∂Ｃ/∂ｙ)}ｅ_y＋{Ｋ_z(∂Ｃ/∂ｚ)}ｅ_zです。

　そこで,拡散方程式:∂Ｃ/∂ｔ＋ｖ∇Ｃ＝(∂/∂ｘ){Ｋ_x(∂Ｃ/∂ｘ)}＋(∂/∂ｙ){Ｋ_y(∂Ｃ/∂ｙ)}＋(∂/∂ｚ){Ｋ_z(∂Ｃ/∂ｚ)}＋Ｑが得られます。

　特に拡散係数Ｋがスカラーで近似的に定数と見なせるときは,Ｋ_ij＝Ｋδ_ijであり,通常の移流拡散方程式である∂Ｃ/∂ｔ＋ｖ∇Ｃ＝Ｋ∇²Ｃ＋Ｑに帰着します。 

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