線型代数のエッセンス(13)(ユニタリ空間-4)

線型代数のエッセンスの§4.ユニタリ空間の続きです。

[定義4-46](ユニタリ変換):ユニタリ空間のそれ自身の上への同型写像をこの空間のユニタリ変換(unitary transformation)という。

　すなわち,ユニタリ空間Ｌの正則な１次変換Ｕ^がＬのユニタリ内積を保存するとき:つまり∀ａ,ｂ∈Ｌに対して(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)＝(ａ,ｂ)を満足するとき,Ｕ^をＬのユニタリ変換という。

[定理4-47](ユニタリ変換):Ｕ^がユニタリ変換ならＵ^⁺＝Ｕ^^-1である。逆も成立する。

(証明) Ｕ^がユニタリ変換なら∀ｘ,ｙ∈Ｌに対して(ｘ,ｙ)＝(Ｕ^ｘ,Ｕ^ｙ)＝(ｘ,Ｕ^⁺Ｕ^ｙ)ですから,Ｕ^⁺Ｕ^＝Ｅ^を得ます。

そこでＵ^⁺＝Ｕ^^-1でありＵ^Ｕ^⁺＝Ｅ^も成立するのでＵ^は正規変換でもあります。

逆に,Ｕ^⁺＝Ｕ^^-1ならＵ^⁺Ｕ^＝Ｅ^より,∀ｘ,ｙ∈Ｌに対して(Ｕ^ｘ,Ｕ^ｙ)＝(ｘ,Ｕ^⁺Ｕ^ｙ)＝(ｘ,ｙ)なのではユニタリ変換です。

(証明終わり)

[定理4-48]:ユニタリ空間Ｌにおいて正規直交座標系を任意に選ぶとき,これに対するユニタリ変換Ｕ^の行列をＵとすればＵ⁺Ｕ＝ＵＵ⁺＝Ｅ,つまりＵ⁺＝Ｕ^-1である。

　逆に,Ｕ⁺＝Ｕ^-1ならＵ^＝Ｕ^^-1である。

(↑同型対応によって自明なので証明略)

[定理4-49]:ユニタリ空間Ｌの１次変換Ｕ^がベクトルの長さ(ノルム)を変えないならＵ^はユニタリである。

(証明)Ｕ^がベクトルの長さを変えないなら∀ａ,ｂ∈Ｌ,∀λ∈Ｃに対して(ａ＋λｂ,ａ＋λｂ)＝(Ｕ^(ａ＋λｂ),Ｕ^(ａ＋λｂ)),かつ(ａ,ａ)＝(Ｕ^ａ,Ｕ^ａ),(ｂ,ｂ)＝(Ｕ^ｂ,Ｕ^ｂ)です。

(ａ＋λｂ,ａ＋λｂ)＝(Ｕ^(ａ＋λｂ),Ｕ^(ａ＋λｂ))は(ａ,ａ)＋λ(ｂ,ａ)＋λ^*(ａ,ｂ)＋λλ^*(ｂ,ｂ)＝(Ｕ^ａ,Ｕ^ａ)＋λ(Ｕ^ｂ,Ｕ^ａ)＋λ^*(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)＋λλ^*(Ｕ^ｂ,Ｕ^ｂ)と変形されます。

これはλ(ｂ,ａ)＋λ^*(ａ,ｂ)＝λ(Ｕ^ｂ,Ｕ^ａ)＋λ^*(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)を意味します。

　λ＝1とおけば(ｂ,ａ)＋(ａ,ｂ)＝(Ｕ^ｂ,Ｕ^ａ)＋(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ),λ＝ｉとおけば(ｂ,ａ)－(ａ,ｂ)＝(Ｕ^ｂ,Ｕ^ａ)－(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)が得られます。

したがって,(ａ,ｂ)＝(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)を得ますから[定義4-46]によってＵ^がユニタリ変換であることがわかります。(証明終わり)

[定理4-50]:ユニタリ空間Ｌの１次変換Ｕ^がユニタリである⇔ Ｕ^は正規直交基を正規直交基にうつす。

(証明)ベクトル系:ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nをユニタリ空間Ｌの正規直交基とすると,Ｕ^がユニタリなら(Ｕ^ｅ_i,Ｕ^ｅ_j)＝(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ij(ｉ,ｊ＝1,2,..,ｎ)より系:Ｕ^ｅ₁,Ｕ^ｅ₂,..,Ｕ^ｅ_nもＬの正規直交基です。

逆に(Ｕ^ｅ_i,Ｕ^ｅ_j)＝δ_ij(ｉ,ｊ＝1,2,..,ｎ)なら,Ｌの任意の２元:ａ＝α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿα_jｅ_j,ｂ＝β₁ｅ₁＋β₂ｅ₂＋..＋β_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿβ_jｅ_jについて(Ｕ^ａ,Ｕ^ｂ)＝Σ_j=1ⁿα_jβ_j^*＝(ａ,ｂ)が成立するため,Ｕ^はユニタリです。(証明終わり)

[定理4-51]:(ⅰ)恒等変換はユニタリである。(ⅱ)ユニタリ変換の積はユニタリである。(ⅲ)ユニタリ変換の逆変換はユニタリである。

(証明)(ⅰ),(ⅲ)は自明です。(ⅱ)Ｕ^,Ｖ^をユニタリ変換とするとＵ^⁺＝Ｕ^^-1,Ｖ^⁺＝Ｖ^^-1ですから,(Ｕ^Ｖ^)⁺＝Ｖ^⁺Ｕ^⁺＝Ｖ^^-1Ｕ^^-1＝(Ｕ^Ｖ^)^-1よりＵ^Ｖ^もユニタリです。

(証明終わり)

[定義4-52](ユニタリ同値):Ｌ,Ｌ₁を２つのユニタリ空間としＡ^,およびＡ^₁をそれぞれＬ,およびＬ₁の上の１次変換とする。

　Ａ^をＡ^₁にうつすＬからＬ₁への同型写像が存在するとき,Ａ^とＡ^₁とは同型または相似,あるいはユニタリ同値(unitary-equivalent)であるという。

　特に,Ｌ＝Ｌ₁のとき,同型写像はユニタリ変換:Ｕ^でＡ^₁＝Ｕ^Ａ^Ｕ^^-1である。

　これは正規直交基に対する行列の形ではＵがユニタリ行列でＡ＝ＵＡＵ^-1と表現される。

この場合,行列ＡとＡ₁は相似,またはユニタリ同値であるという。

※(注):すなわち,∀ｘ∈Ｌに対しｙ＝Ａ^ｘのときｘ₁＝ｆ(ｘ),ｙ₁＝ｆ(ｙ)なるＬからＬ₁への同型写像ｆ:Ｌ→Ｌ₁があって,ｙ₁＝Ａ^₁ｘ₁が満たされるならＡ^とＡ^₁は相似,または同型であるというわけです。

Ｌ,Ｌ₁はユニタリ空間なのでｆが同型写像という意味は線型写像であるだけでなく,ユニタリ内積を保存することを意味します。

つまり,(ｘ,ｙ)＝(ｆ(ｘ),ｆ(ｙ))₁です。ただしＬ₁におけるユニタリ内積をＬにおけるそれと区別するために( , )₁と表現しました。

　Ｌ＝Ｌ₁のとき,ｘ₁＝ｆ(ｘ),ｙ₁＝ｆ(ｙ)なる同型写像ｆは"内積を保存する同型写像＝ユニタリ変換":Ｕ^に置き換えられｘ₁＝Ｕ^ｘ,ｙ₁＝Ｕ^ｙです。

∀ｘ∈Ｌに対しｙ＝Ａ^ｘでかつｘ₁＝Ｕ^ｘ,ｙ₁＝Ｕ^ｙであり,ｙ₁＝Ａ^₁ｘ₁が満たされるなら,ｙ＝Ａ^ｘＵ^ｙ＝Ａ^₁Ｕ^ｘ,かつＵ^ｙ＝Ｕ^Ａ^ｘなので,Ａ^₁Ｕ^ｘ＝Ｕ^Ａ^ｘ or Ａ^₁Ｕ^＝Ｕ^Ａ^,つまりＡ^₁＝Ｕ^Ａ^Ｕ^^-1です。(注終わり)※

[定理4-53]:ユニタリ空間Ｌの１次変換Ａ^,Ｂ^が同型である。⇔ Ｌに適当な２つの正規直交基が存在してその一方によるＡ^の行列が他方によるＢ^の行列に一致する。

(証明)(→)Ａ^,Ｂ^が同型:ユニタリ変換Ｕ^が存在してＢ^＝Ｕ^Ａ^Ｕ^^-1と書けるとします。このときＡ^＝Ｕ^^-1Ｂ^Ｕ^です。

そこで,正規直交基ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nによる行列Ａは(Ａ^ｅ₁,Ａ^ｅ₂,..,Ａ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ａで与えられます。

これは(Ｕ^^-1Ｂ^Ｕ^ｅ₁,Ｕ^^-1Ｂ^Ｕ^ｅ₂,..,Ｕ^^-1Ｂ^Ｕ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ａ,つまり,(Ｂ^Ｕ^ｅ₁,Ｂ^Ｕ^ｅ₂,..,Ｂ^Ｕ^ｅ_n)＝(Ｕ^ｅ₁,Ｕ^ｅ₂,..,Ｕ^ｅ_n)Ａを意味します。

最後の等式は,正規直交基(Ｕ^ｅ₁,Ｕ^ｅ₂,..,Ｕ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ｕに対する変換Ｂ^の行列が(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)によるＡ^の行列Ａに一致することを示しています。

(←)２つの正規直交基ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n,およびｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n'に対して(Ａ^ｅ₁,Ａ^ｅ₂,..,Ａ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ａ,および(Ｂ^ｅ₁',Ｂ^ｅ₂',..,Ｂ^ｅ_n')＝(ｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n')Ａが成立するとします。

そこで(ｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n')＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ｕ＝(Ｕ^ｅ₁,Ｕ^ｅ₂,..,Ｕ^ｅ_n)とおけば,Ｕ^^-1Ｂ^Ｕ^＝Ａ^が成立しますが,(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n),および(ｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n')が共に正規直交基なのでＵ^はユニタリです。(証明終わり)

[定理4-54]:ユニタリ空間Ｌの２つの正規な１次変換Ａ^,Ｂ^が同型(ユニタリ同値)であるためには,それらの固有多項式が一致することが必要かつ十分である。

(証明)(必要性):ユニタリ変換Ｕ^が存在してＢ^＝Ｕ^Ａ^Ｕ^^-1と書けるため固有多項式は|λＥ－Ｂ|＝|λＥ－ＵＡＵ^-1|＝|λＥ－Ａ|です。

(十分性):Ａ^とＢ^の固有多項式が同じなら両者の固有値は全て一致します。さらに共に正規変換ならＬの適当な２つの正規直交基によって,Ａ^Ｂ^には同一の対角線型行列が対応します。

したがって,上記の[定理4-53]により正規変換Ａ^とＢ^は同型(ユニタリ同値)であることがわかります。(証明終わり)

[定理4-54の系]:Ａ,Ｂがそれらの共役Ａ⁺,Ｂ⁺とそれぞれ可換な行列(正規行列)であってＡとＢがユニタリ同値である。⇔Ａ,Ｂの固有多項式(全ての固有値)が一致する。(← 自明)

[定理4-55]:ユニタリ空間Ｌの正規変換Ａ^(Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^)に対しては,ユニタリ行列Ｕが存在してＵＡＵ^-1＝ＵＡＵ⁺を対角線型にすることができる。

(証明)前記事最後に記した [定理4-44]:"ユニタリ空間Ｌにおいては正規変換Ａ^の各々に対し,Ａ^の固有ベクトルからつくられる正規直交基が存在し,この基底においてＡ^の行列Ａは対角線型となる。"

　によって正規変換Ａ^に対しては固有ベクトルからつくられる正規直交基:ｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n'による行列表現:(Ａ^ｅ₁',Ａ^ｅ₂',..,Ａ^ｅ_n')＝(ρ₁ｅ₁',ρ₂ｅ₂',..,ρ_nｅ_n')＝(ｅ₁',ｅ₂',..,ｅ_n')ＢではＢは対角成分がＡ^の固有値(ρ₁,ρ₂,..,ρ_n)で与えられる対角行列です。

他方,別のある正規直交基:ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nに対しては行列Ａにより((Ａ^ｅ₁,Ａ^ｅ₂,..,Ａ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ａと書けます。

このとき,Ａ^が正規変換:Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^なので,それに同型対応するＡ,Ｂも行列としてそれらの共役Ａ⁺,Ｂ⁺とそれぞれ可換,つまりＡ,Ｂは共に正規行列です。

しかもＡ,Ｂの固有多項式は一致します。

そこで,上記の[定理4-54の系]:"Ａ,Ｂがそれらの共役Ａ⁺,Ｂ⁺とそれぞれ可換な行列(正規行列)であってＡとＢがユニタリ同値である。⇔ Ａ,Ｂの固有多項式(全ての固有値)が一致する。"

　によってＡとＢはユニタリ同値ですから,あるユニタリ行列ＵによってＢ＝ＵＡ^Ｕ^-1と書けます。(証明終わり)

[定理4-55の系]:ユニタリ行列Ａ(ＡＡ⁺＝Ａ⁺Ａ＝Ｅ)に対してはユニタリ行列Ｕが存在してＵＡＵ^-1＝ＵＡＵ⁺を対角線型にすることができる。

(↑ユニタリ行列Ａは正規行列なので[定理4-55]から明らかです。)

[定理4-56]:ユニタリ変換の固有多項式の根の絶対値は１である。

(証明)Ｌをユニタリ空間,Ｕ^をユニタリ変換とします。ａ∈Ｌが固有値αに属するＵ^の固有ベクトルならＵ^ａ＝αａですから,(ａ,ａ)＝(Ｕ^ａ,Ｕ^ａ)＝αα^*(ａ,ａ)です。

　したがってαα^*＝1ですが,これは|α|²＝1,つまり|α|＝1なることを意味します。(証明終わり)

※ユニタリ変換の固有値αは全てα＝exp(iθ)(θは実数)の形です。

[定義4-57](対称変換):ユニタリ空間Ｌの１次変換をＡ^とする。

　Ａ^⁺＝Ａ^のとき,この変換Ａ^を対称(symmetric),またはHermite(エルミート)であるという。

すなわち,"(Ａｘ,ｙ)＝(ｘ,Ａｙ) for ∀ｘ,ｙ∈Ｌ"⇔ Ａ^が対称である。

※対称変換は明らかに正規変換です。 

[定理4-58](対称変換の性質):Ａ^,Ｂ^はユニタリ空間Ｌの対称変換:Ａ^⁺＝Ａ^,Ｂ^⁺＝Ｂ^とする。

このとき,(ⅰ)(Ａ^＋Ｂ^)⁺＝Ａ^⁺＋Ｂ^⁺＝Ａ^＋Ｂ^ (ⅱ)α∈Ｒ(実数)に対して(αＡ^)⁺＝α^*Ａ^⁺＝αＡ^ (ⅲ)(Ａ^Ｂ^)⁺＝Ａ^Ｂ^⇔ Ａ^Ｂ^＝Ｂ^Ａ が成立する。

(証明)(ⅰ),(ⅱ)は自明,(ⅲ)も(Ａ^Ｂ^)⁺＝Ｂ^⁺Ａ^⁺ですから明らかです。(証明終わり)

[定理4-59](対称変換の性質):Ａ^がユニタリ空間Ｌの対称変換:Ａ^⁺＝Ａ^ならＡ^の固有値は実数である。

(証明)ａ∈Ｌが固有値αに属するＡ^の固有ベクトルならＡ^ａ＝αａですから,(ａ,ａ)＝(ａ,Ａ^ａ)＝α^*(ａ,ａ)＝(Ａ^ａ,ａ)＝α(ａ,ａ)が成立します。

　よってα^*＝αですが,これはαが実数なることを意味します。

(証明終わり)

[定理4-59の系]:Hermite行列の固有多項式の根は全て実数である。(正規直交基に対しては対称変換はHermite行列に同型対応するので自明)

[定理4-60]:ユニタリ空間の対称変換は適当な正規直交基に対して実対角行列をもつ。

　すなわち,任意のHermite行列Ａ(Ａ⁺＝Ａ)は適当なユニタリ行列ＵによってＵＡＵ-1が対角行列になるようにできる。(←自明)

[定義4-61](反対称変換):ユニタリ空間Ｌの１次変換をＡ^とする。

　Ａ^⁺＝－Ａ^のとき,変換Ａ^を反対称(anti-symmetric),または交代(alternative)という。

　すなわち,"(ｘ,Ａｙ)＝－(Ａｘ,ｙ)＝for ∀ｘ,ｙ∈Ｌ"⇔ Ａ^が反対称である。

※反対称変換は明らかに正規変換です。 

[定理4-62](反対称変換の性質):Ａ^がユニタリ空間Ｌの反対称変換:Ａ^⁺＝－Ａ^⇔Ａ^＝iＢ^なる対称変換Ｂ^(Ｂ^⁺＝Ｂ^)が存在する

(証明)(←)Ａ^⁺＝(iＢ^)＝－iＢ^＝－Ａ^です。(→)Ｂ^≡－iＡ^とおくとＢ^⁺＝iＡ^⁺＝－iＡ^＝Ｂ^です。(証明終わり)

[定義4-63](反Hermite):Ａ⁺＝－Ａを満たす行列を反Hermite行列,あるいはHermite反対称行列という。

[定理4-64](反対称変換の性質):Ａ^がユニタリ空間Ｌの反対称変換:Ａ^⁺＝－Ａ^ならＡ^の固有値はゼロまたは純虚数である。

(証明)ａ∈Ｌが固有値αに属するＡ^の固有ベクトルならＡ^ａ＝αａですから(ａ,ａ)＝(ａ,Ａ^ａ)＝α^*(ａ,ａ)＝－(Ａ^ａ,ａ)＝－α(ａ,ａ)です。

　したがってα^*＝－αですが,これはαがゼロまたは純虚数なることを意味します。(証明終わり)

　途中ですが長くなったので,ここでまた一休みです。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:たまの「寝てようび」なのに貧乏症が出ていますが,そろそろ毎週日曜だけ飲める飲み屋で骨休めしようと思います。

　ところで,前にどこかで聞いたことがありますが,日本の庶民の食文化が一汁一菜の質素なものであり,欧米のようなものでないのは,パン等に比べ主食の"米＝銀シャリ"があまりにウマ過ぎるためだそうです。

　おかずが塩だけのおにぎりでもウマいためであるということですが,これはよく実感しています。

線型代数のエッセンス(12)(ユニタリ空間-3)

線型代数のエッセンスの§4.ユニタリ空間の続きです。

[定義4-32](汎関数):Ｌを複素数体Ｃの上の任意の有限次元線型空間とする。ｘ∈Ｌの各々にｆ(ｘ)∈Ｃを対応させる写像ｆ:Ｌ→Ｃがあるとき,このｘ→ｆ(ｘ)の対応ｆをＬの上で定義された汎関数(functional)という。

[定義4-33](線型汎関数):Ｌを複素数体Ｃの上の任意の有限次元線型空間とする。Ｌの上の汎関数ｆが∀ｘ,ｙ∈Ｌ,∀α,β∈Ｃに対しｆ(αｘ＋βｙ)＝αｆ(ｘ)＋βｆ(ｙ)を満たすとき,汎関数ｆは線型汎関数であるという。

[定義4-34](共役空間):Ｌを複素数体Ｃの上の任意の有限次元線型空間とするとき,Ｌの上の線型汎関数全体の集合Ｌ^*:すなわちＬ^*≡{ｆ|ｆはＬの上の線型汎関数}をＬの共役空間(conjugate space),または双対空間(dual space)という。

[定理4-35]:Ｌを複素数体Ｃの上の任意の有限次元線型空間とするとき,その共役空間Ｌ^*はｆ∈Ｌ^*の複素数値ｆ(ｘ)の和と積で定義される演算について線型空間をなす。

(証明) Ｌ^*の元の和とその複素数倍の積演算について以下の線形空間の公理が満たされるのは明らかです。

(ⅰ)ｆ＋ｇ＝ｇ＋ｆ (ｆ,ｇ∈Ｌ^*),(ⅱ)(ｆ＋ｇ)＋ｈ＝ｆ＋(ｇ＋ｈ) (ｆ,ｇ,ｈ∈Ｌ^*),(ⅲ)∀ｆ,ｇ∈Ｌに対してｆ＋φ＝ｇを満たすφ∈Ｌ^*が存在する。このφをｇ－ｆと書く。(ⅳ)α(βｆ)＝(αβ)ｆ (α,β∈Ｃ,ｆ∈Ｌ^*),

(ⅴ)α(ｆ＋ｇ)＝αｆ＋αｇ (α∈Ｃ,ｆ,ｇ∈Ｌ^*),(ⅵ) (α＋β)ｆ＝αｆ＋βｆ (α,β∈Ｃ,ｆ∈Ｌ^*),(ⅶ)∀ｆ∈Ｌ^*に対し1・ｆ＝ｆ

(証明終わり)

[定理4-35]:Ｌを任意の有限次元線型空間とし(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)をＬにおけるある座標系とする。Ｃの数の列α₁,α₂,..,α_nを全く任意に与えたとき,Ｌの上で定義された線型汎関数ｆ∈Ｌ^*でｆ(ｅ_j)＝α_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)を満足するものが１つ,しかも唯１つに限って存在する。

(証明)ｘ＝ξ₁ｅ₁＋ξ₂ｅ₂＋..＋ξ_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jに対してｆ(ｘ)≡α₁ξ₁＋α₂ξ₂＋..＋α_nξ_n＝Σ_j=1ⁿα_jξ_jと定義すればｆ(ｅ_j)＝α_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)です。

　さらにｙ＝η₁ｅ₁＋η₂ｅ₂＋..＋η_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿη_jｅ_jとすれば,α,β∈Ｃに対してαｘ＋βｙ＝(αξ₁＋βη₁)ｅ₁＋(αξ₂＋βη₂)ｅ₂＋..＋(αξ_n＋βη_n)ｅ_n＝Σ_j=1ⁿ(αξ_j＋βη_j)ｅ_jです。

それ故,ｆ(αｘ＋βｙ)＝Σ_j=1ⁿα_j(αξ_j＋βη_j)＝α(Σ_j=1ⁿα_jξ_j)＋β(Σ_k=1ⁿα_kη_k)＝αｆ(ｘ)＋βｆ(ｙ)が成立します。

したがってｆはＬの線型汎関数です。

　次にｇをｇ(ｅ_j)＝α_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)を満たすＬの上の線型汎関数とすると,ｘ＝ξ₁ｅ₁＋ξ₂ｅ₂＋..＋ξ_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jに対して常にｇ(ｘ)＝α₁ξ₁＋α₂ξ₂＋..＋α_nξ_n＝Σ_j=1ⁿα_jξ_j＝ｆ(ｘ)となるのでｇ＝ｆです。(証明終わり)

[定理4-36]:Ｌを有限次元ユニタリ空間とする。このとき以下の命題が成立する。

(ⅰ)ａ∈Ｌに対してｆ_a(ｘ)≡(ｘ,ａ)とするとｆ_aはＬの上の線型汎関数である。

(ⅱ)異なるａ∈Ｌには異なるｆ_aが対応する。つまりａ,ｂ∈Ｌ,ａ≠ｂならｆ_a≠ｆ_bである。

(ⅲ)Ｌの上の任意の線型汎関数ｆ∈Ｌ^*に対してｆ＝ｆ_a,つまり"ｆ(ｘ)＝(ｘ,ａ) for ∀ｘ∈Ｌ"を満たすａ∈Ｌが唯一つ存在する。

(証明)(ⅰ)自明

(ⅱ)ｆ_a＝ｆ_b:つまり"(ｘ,ａ)＝(ｘ,ｂ) for ∀ｘ∈Ｌ"なら,(ｘ,ａ－ｂ)＝0 より,(ａ－ｂ,ａ－ｂ)＝0 なのでａ＝ｂを得ます。

　よって,ａ≠ｂならｆ_a≠ｆ_bです。

(ⅲ)Ｌの正規直交基底をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとします。

ｆ∈Ｌ^*が任意に与えられたとき,γ_j≡ｆ(ｅ_j)^*(ｊ＝1,2,..,ｎ)によってａ≡γ₁ｅ₁＋γ₂ｅ₂＋..＋γ_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿγ_jｅ_jとおけば,ｘ＝ξ₁ｅ₁＋ξ₂ｅ₂＋..＋ξ_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jに対して,(ｘ,ａ)＝γ₁^*ξ₁＋γ₂^*ξ₂＋..＋γ_n^*ξ_n＝Σ_j=1ⁿγ_j^*ξ_jです。

一方,ｆ(ｅ_j)＝γ_j^*(ｊ＝1,2,..,ｎ)ですからｘ＝ξ₁ｅ₁＋ξ₂ｅ₂＋..＋ξ_nｅ_n＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jに対してｆ(ｘ)＝γ₁^*ξ₁＋γ₂^*ξ₂＋..＋γ_n^*ξ_n＝Σ_j=1ⁿγ_j^*ξ_jです。

以上からｆ(ｘ)＝(ｘ,ａ)が成立します。

これを満たすａ∈Ｌが唯一(unique)であることは,(ⅱ)によって明らかです。(証明終わり)

[定義4-37](共役変換):Ａ^をユニタリ空間Ｌの上の１次変換とする。

∀ｙ∈Ｌに対してｆ_y(ｘ)＝(Ａ^ｘ,ｙ)はｘについての線型汎関数なので,ｙ∈Ｌに対応してａ_y∈Ｌが一意的に存在しｆ_y(ｘ)＝(Ａ^ｘ,ｙ)＝(ｘ,ａ_y)が成立する。

ａ_y∈Ｌはｙ∈ＬだけでなくＡ^に対して一意的なので,ｙ∈Ｌにａ_y∈Ｌを対応させる変換をＡ^の共役変換(conjugate　transformation)といいＡ^⁺で表わす。

つまり,ａ_y＝Ａ^⁺ｙであり(Ａ^ｘ,ｙ)＝(ｘ,Ａ^⁺ｙ)である。

[定理4-38]:Ａ^をユニタリ空間Ｌの上の１次変換とするとき,その共役Ａ^⁺も空間Ｌの上の１次変換である。

さらに,Ａ^,Ｂ^をユニタリ空間Ｌの上の１次変換,αを任意の複素数とすると以下の性質が成り立つ。

(ⅰ)(Ａ^⁺)⁺＝Ａ^ (ⅱ)(αＡ^)⁺＝α^*Ａ^⁺

(ⅲ)(Ａ^＋Ｂ^)⁺＝Ａ^⁺＋Ｂ^⁺ (ⅳ)(Ａ^Ｂ^)⁺＝Ｂ^⁺Ａ^⁺

(ⅴ)Ｅ^⁺＝Ｅ^,Ｏ^⁺＝Ｏ^

(証明)まず,ｘ,ｙ∈Ｌとして,Ａ^⁺の定義式を(ｘ,Ａ^⁺ｙ)＝(Ａ^ｘ,ｙ)と書きます。

これにｕ,ｖ∈Ｌ,α,β∈Ｃとしてｙ＝αｕ＋βｖを代入すると,(ｘ,Ａ^⁺(αｕ＋βｖ))＝(Ａ^ｘ,αｕ＋βｖ)＝α^*(Ａ^ｘ,ｕ)＋β^*(Ａ^ｘ,ｖ)＝α^*(ｘ,Ａ^⁺ｕ)＋β^*(ｘ,Ａ^⁺ｖ)＝(ｘ,αＡ^⁺ｕ＋βＡ^⁺ｖ)となります。

　つまり(ｘ,Ａ^⁺(αｕ＋βｖ))＝(ｘ,αＡ^⁺ｕ＋βＡ^⁺ｖ)ですから,(Ａ^ｘ,ｙ)＝(ｘ,ａ_y)を満たすａ_y＝Ａ^⁺ｙの一意性によりＡ^⁺(αｕ＋βｖ)＝αＡ^⁺ｕ＋βＡ^⁺ｖを得ます。

　よってＡ^⁺は空間Ｌの上の１次変換です。

(ⅰ)(ｘ,(Ａ^⁺)⁺ｙ)＝(Ａ^⁺ｘ,ｙ)＝(ｙ,Ａ^⁺ｘ)^*＝(Ａ^ｙ,ｘ)^*＝(ｘ,Ａ^⁺ｙ)です。故に(Ａ^⁺)⁺＝Ａ^を得ます。

(ⅱ)(ｘ,(αＡ^)⁺ｙ)＝(αＡ^ｘ,ｙ)＝α(Ａ^ｘ,ｙ)＝α(ｘ,Ａ^⁺ｙ)＝(ｘ,α^*Ａ^⁺ｙ)です。故に(αＡ^)⁺＝α^*Ａ^⁺を得ます。

(ⅲ)(ｘ,(Ａ^＋Ｂ^)⁺ｙ)＝((Ａ^＋Ｂ^)ｘ,ｙ)＝(Ａ^ｘ,ｙ)＋(Ｂ^ｘ,ｙ)＝(ｘ,Ａ^⁺ｙ)＋(ｘ,Ｂ^⁺ｙ)＝(ｘ,(Ａ^⁺＋Ｂ^⁺)ｙ)です。故に(Ａ^＋Ｂ^)⁺＝Ａ^⁺＋Ｂ^⁺です。

(ⅳ)(ｘ,(Ａ^Ｂ^)⁺ｙ)＝(Ａ^Ｂ^ｘ,ｙ)＝(Ａ^(Ｂ^ｘ),ｙ)＝(Ｂ^ｘ,Ａ^⁺ｙ)＝(ｘ,Ｂ^⁺Ａ^⁺ｙ)です。故に(Ａ^Ｂ^)⁺＝Ｂ^⁺Ａ^⁺を得ます。

(ⅴ)(ｘ,Ｅ^⁺ｙ)＝(Ｅ^ｘ,ｙ)＝(ｘ,ｙ)＝(ｘ,Ｅ^ｙ),および,(ｘ,Ｏ^⁺ｙ)＝(Ｏ^ｘ,ｙ)＝0＝(ｘ,Ｏ^ｙ)です。故にＥ^⁺＝Ｅ^,および,Ｏ^⁺＝Ｏ^です。(証明終わり)

[定理4-39]:ユニタリ空間Ｌの正規直交基に対する１次変換Ａ^の行列をＡとすると,共役変換Ａ^⁺の行列はエルミート共役行列(Hermitian conjugate matrix):Ａ⁺である。

(証明)Ｌの正規直交基をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとしＡ＝(α_ij)とすると,変換の行列の定義によって(Ａ^ｅ₁,Ａ^ｅ₂,..,Ａ^ｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nと)Ａ,またはＡ^ｅ_j＝Σ_i=1ⁿα_ijｅ_iです。

　そして,正規直交性:(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijから(Ａ^ｅ_j,ｅ_k)＝α_kj＝(ｅ_j,Ａ^⁺ｅ_k)＝(Ａ^⁺ｅ_k,ｅ_j)^*です。よって(Ａ^⁺ｅ_k,ｅ_j)＝α_kj^*,あるいは(Ａ^⁺ｅ_j,ｅ_k)＝α_jk^*です。

　したがって,Ａ^⁺ｅ_j＝Σ_i=1ⁿα_ji^*ｅ_iなのでＡ^⁺の行列は(Ａ^⁺)_ij＝(α_ji^*),つまり^tＡ^*＝Ａ⁺で与えられることがわかります。

(証明終わり)

[定義4-40](正規変換):ユニタリ空間Ｌの１次変換Ａ^でその共役Ａ^⁺と可換なもの:つまりＡ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^を満たすＡ^を正規変換(normal transformation)という。

[定理4-41]:ユニタリ空間Ｌの正規変換Ａ^の正規直交座標系における行列をＡとするとＡＡ⁺＝Ａ⁺Ａが成立する。

(↑Ａ^,Ａ^⁺ ⇔Ａ,Ａ⁺は同型対応なので自明です。)

[定理4-42]:Ａ^をユニタリ空間Ｌの正規変換とする。ρがＡ^の固有値であるときρ^*はＡ^⁺の固有値になり,Ａ^の固有値ρに属する固有ベクトルはＡ^⁺の固有ベクトルであって固有値ρ^*に属する。 

(証明)Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^,かつＡ^ａ＝ρａ(ａ∈Ｌ)とします。

　Ａ^ａ＝ρａは,(Ａ^－ρＥ^)ａ＝0 とも書けます。

　また,Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^から(Ａ^－ρＥ^)(Ａ^－ρＥ^)⁺＝(Ａ^－ρＥ^)⁺(Ａ^－ρＥ^)です。

　よって,0＝((Ａ^－ρＥ^)ａ,(Ａ^－ρＥ^)ａ)＝(ａ,(Ａ^－ρＥ^)⁺(Ａ^－ρＥ^)ａ)＝(ａ,(Ａ^－ρＥ^)(Ａ^－ρＥ^)⁺ａ)＝((Ａ^－ρＥ^)⁺ａ,(Ａ^－ρＥ^)⁺ａ)です。

　したがって,(Ａ^－ρＥ^)⁺ａ＝0 ,すなわちＡ^⁺ａ＝ρ^*ａを得ます。

(証明終わり)

[定理4-43]:ユニタリ空間Ｌの正規変換Ａ^の異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交する。

(証明) Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^,かつＡ^ａ＝ρａ,Ａ^ｂ＝σｂ (ａ,ｂ∈Ｌ;ρ,σ∈Ｃ)でρ≠σとします。

このとき,ρ(ａ,ｂ)＝(Ａ^ａ,ｂ)＝(ａ,Ａ^ｂ)＝σ(ａ,ｂ),すなわち,(ρ－σ)(ａ,ｂ)＝0 ですが,仮定からρ≠σなので(ａ,ｂ)＝0 です。

(証明終わり)

[定理4-44]:ユニタリ空間Ｌにおいては正規変換Ａ^の各々に対し,Ａ^の固有ベクトルからつくられる正規直交基が存在し,この基底におけるＡ^の行列Ａは対角線型(diagonal-linear)となる。

(証明)ユニタリ空間Ｌにおいて,まず正規変換Ａ^の１つの固有ベクトルａ₁を任意に取り,ａ₁に直交するＬの部分空間をＬ₁とします。

すなわち,Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^,Ａ^ａ₁＝ρ₁ａ₁(ａ₁≠0),Ｌ₁≡{ｘ∈Ｌ|(ａ₁,ｘ)＝0}です。

　すると,∀ｘ∈Ｌ₁に対して,(ａ₁,Ａ^ｘ)＝(Ａ^⁺ａ₁,ｘ)＝ρ₁^*(ａ₁,ｘ)＝0 ですからＡ^ｘ∈Ｌ₁となりＬ₁はＡ^に関して不変な部分空間(Ａ^Ｌ₁⊂Ｌ₁)であることがわかります。

　そこで,Ａ^Ｌ₁⊂Ｌ₁によりＬ₁の中にまたＡ^の固有ベクトルａ₂が存在します。Ａ^ａ₂＝ρ₂ａ₂(ａ₂≠0)です。

　それ故,Ｌ₂≡{ｘ∈Ｌ|(ａ₂,ｘ)＝0}とすると,これもＡ^に関してＬの不変部分空間(Ａ^Ｌ₂⊂Ｌ₂)を構成します。

さらに,部分空間Ｌ₂'をＬ₂'≡Ｌ₁∩Ｌ₂で定義すれば,Ａ^Ｌ₁⊂Ｌ₁,かつＡ^Ｌ₂⊂Ｌ₂によってＡ^Ｌ₂'⊂Ｌ₂'です。つまりＬ₂'はＬ₁の不変部分空間となります。

　したがってまた,Ｌ₂'の中にＡ^ａ₃＝ρ₂ａ₃(ａ₃≠0)なるＡ^の固有ベクトルａ₃を見出すことができますから,さらにａ₃と直交するＬ₂'の不変部分空間Ｌ₃'＝Ｌ₁∩Ｌ₂∩Ｌ₃をつくることができます。

　こうしてＡ^の固有ベクトルａ₁,ａ₂,ａ₃と,これのそれぞれに直交する不変部分空間の列Ｌ₁⊃Ｌ₂'⊃Ｌ₃'をつくることができました。

　この手続きを繰り返せば,結局,Ｌの直交基底:ａ₁,ａ₂,..,ａ_nが得られ,さらにｅ_j≡ａ_j/|ａ_j|(ｊ＝1,2,..,ｎ)と正規化(normalize)すれば,これらをＬの正規直交基ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとすることができます。

　すなわち,Ａ^ｅ_j＝ρ_jｅ_j,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ij(ｊ＝1,2,..,ｎ)満たすＡ^の全ての固有ベクトルの系:ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nが得られます。

　したがって,(Ａ^ｅ₁,Ａ^ｅ₂,..,Ａ^ｅ_n)＝(ρ₁ｅ₁,ρ₂ｅ₂,..,ρ_nｅ_n)＝(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)Ａと表現されるのでＡ^の行列Ａは,

　なる形の対角行列 or 対角線型の行列で与えられます。

正規直交基ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nに対する正規変換Ａ^の行列Ａは,互いに異なるとは限らないｎ個の固有値:ρ₁,ρ₂,..,ρ_nを対角成分とする対角線型の行列になります。(証明終わり)

※(注１):[定理4-44]は正規行列は常に複素数を対角成分とする対角行列に相似変換可能なことを述べています。(注１終わり)※

[定理4-45]:零空間でない実線型空間Ｌの１次変換Ａ^はいずれも次元が１か２のＡ^に関する不変部分空間を少なくとも１つは持っている。

(証明)ｎ次元実線型空間Ｌの１次変換Ａ^の固有多項式φ(λ)は係数が全て実数のｎ次多項式です。

それ故,代数方程式φ(λ)＝0のｎ個の解は全て実根と互いに共役な虚根のペアで与えられます。

　ｎ次方程式φ(λ)＝0が実根λ＝ｒ∈Ｒを持てば,Ａ^の行列Ａに対してＡ[ｘ₁]＝ｒ[ｘ₁]を満たし,一般に成分が複素数のｎ次元列ベクトルのＡの固有ベクトル[ｘ₁]を見出すことができます。

Ａは実行列なので,Ａ[ｘ₁]＝ｒ[ｘ₁]からＡ[ｘ₁^*]＝Ａ^*[ｘ₁^*]＝ｒ[ｘ₁^*]が成立することがわかります。

よって[ａ]≡([ｘ₁]＋[ｘ₁^*])/2と定義すれば,[ａ]はＡ[ａ]＝ｒ[ａ],[ａ^*]＝[ａ]を満たす実成分のｎ次元列ベクトルです。

故に,これに同型対応するｎ次元実線型空間Ｌのベクトルａ∈Ｌが存在します。

そこでＬの部分空間Ｌ₁をＬ₁≡{ｘ∈Ｌ|ｘ＝ｐａ(ｐ∈Ｒ)}で定義すれば,これはａ≠0 のみで張られる実線型空間ＬのＡ^に関する１次元不変部分空間となります。

一方,ｎ次方程式φ(λ)＝0 が実根を持たないとき互いに共役な虚根のペアをλ＝α,α^*とすればｎ次元列ベクトル[ｘ₁]が存在してＡ[ｘ₁]＝α[ｘ₁],かつＡ^*[ｘ₁^*]＝Ａ[ｘ₁^*]＝α^*[ｘ₁^*]です。

[ａ]≡([ｘ₁]＋[ｘ₁^*])/2,[ｂ]≡([ｘ₁]－[ｘ₁^*])/(2i),とすると[ａ],[ｂ]は共に実成分のｎ次元列ベクトルで,[ｘ₁]＝[ａ]＋i[ｂ],[ｘ₁^*]＝[ａ]－i[ｂ]です。

故に,Ａ[ａ]＝(α[ｘ₁]＋α^*[ｘ₁^*])/2＝{(α＋α^*)/2}[ａ]－{(α－α^*)/(2i)}[ｂ],Ａ[ｂ]＝{(α＋α^*)/2}[ａ]＋{(α－α^*)/(2i)}[ｂ]を満たしますが係数{(α＋α^*)/2},{(α－α^*)/(2i)}は実数です。

そこで,[ａ],[ｂ]にそれぞれ同型対応するｎ次元実線型空間Ｌのベクトルａ,ｂ∈Ｌが存在します。

したがって,この場合はＬの部分空間Ｌ₁をＬ₁≡{ｘ∈Ｌ|ｘ＝ｐａ＋ｑｂ(ｐ,ｑ∈Ｒ)}で定義すれば,これはａ,ｂのみで張られる実線型空間ＬのＡ^に関する２次元不変部分空間となります。(証明終わり)

※(注２):[定理4-45]は,実行列なら常に１次か２次のブロック対角行列に相似変換できることを述べています。(注２終わり)※

今日はここまでにします。 

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:比較的遠くまで出かける必要がある日には,夏は猛暑,冬は最近の東京じゃめったには降らない雪とか,さんざん天候に災いされて自分,ずい分運が悪いようですが,

　偶々,昨日朝に命綱のお米が切れて千円さえ借りる相手もなく米を２kgも買う金もなくて,本日３日の15時頃帰宅中の巣鴨駅でどうしたものか？と案じてるところに,天の助け,毎週日曜日に通っている飲み屋のりくちゃん(現在の保護者?)にバッタリ出くわしました。

(↑2009年１/10の過去記事「私の保護者」を参照)

　彼女に千円貸してもらって当面の虎口を脱することができそうです。私に千円以上与えてもスグにムダに使ってしまうことなど彼女は熟知しています。

　「捨てる神あれば拾う神あり。」イヤ,パスモに280円は残ってますが。。

　どうしようもないときには必ずといっていいほど助けが現われる。。やはり私は運がいいのでしょうか？

　都バスは障害者割引でゼロ円,出勤日にはお昼は食堂で食べて給料から引かれますが,その他お米さえあれば家賃,光熱費後払いで,ほぼゼロ円でずっと暮らせることは暮らせます。

　お米が２kgで12合くらい,１日２合を食べるかどうかなので何もなければ１週間以上は大丈夫ですってナサケナイ暮らししてるなあ。＞自分

　西友で最安値の２ｋｇ,699円のお米は嬉しかったのですが,個人的貧乏人の消費者としてはTPPでも実行されるともっと有難いです。

　現在,米国内では米５ｋｇが300円くらいなのに日本に輸入されると関税が約800％近くもかけられ約９倍の５ｋｇが2500円前後の売価になるというカリフォルニア米(米国産のコシヒカリ,あきたこまちなど)が,米国内と同じように５kg300円で売られるなら全く違います。

　ただし,関税が撤廃されても需要の少ない米国の安い価格が日本でそのままの米価ではないでしょうが,恐らく安い米なら10kgでせいぜい1000円くらいと考えられるので計算上は１年間ト－タルでも主食のお米が１万円くらいで賄えることになります。

　これだと,私のようにエンゲル係数がほぼ100％の最低生活では,家賃,光熱費以外は年間数万円の出費で済む勘定になります。

　TPPは私のような単純な消費者という立場でなく,日本の生産者:特に農業で米を作っている農家などには大打撃となります。

　米作りが主体では食べていけず関税の高い米作等に従事する意欲が極度に失せて,食糧の国内自給率がほとんどゼロにもなりかねません。

　農業に限らず,生産者が打撃を受けると経済的には国の税収なども影響を受けて国民というか消費者の経済にも響くので複雑？みたいですね。

PS2:さて,昨日(２日)もつい気紛れで小石川植物園前の教会のところから自宅まで真っ直ぐ帰れる住宅街の静かな道をプラプラと歩いていると前からパトカーが来て何とはなくすれ違った後,しばらくして

　そのパトカーが何故か引き返してきて久しぶりに警官に職質されました。

　職質の種類が,何となく真昼間に寒空の中をよろよろと歩くジジイへの配慮,心配系,おまわり的親切系に見えたので,本来警官は全然スキくないけど珍しく素直に答えてあげましたネ。

　昨日の雨上がりの帰り道の軒先で見かけた,スミレの鉢植えについ立ち止まってシャッターを押しました。↓　

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　

　まだ,花を愛でる程度の余裕があるというか？イヤ,その程度の心の癒ししか求め得ないというか。。ですね

線型代数のエッセンス(11)(ユニタリ空間-2)

　線型代数のエッセンスの§4.ユニタリ空間の続きです。

[定義4-21](同型写像):２つのユニタリ空間ＬとＬ₁が線型空間として同型であり,その同型写像において,"スカラー積＝ユニタリ内積"が保存されるとき,ユニタリ空間ＬとＬ₁は同型であるという。

[定理4-22]:２つのユニタリ空間ＬとＬ₁が同型 ⇔ dimＬ＝dimＬ₁

(証明)十分性(ＬとＬ₁が同型ならdimＬ＝dimＬ₁)は明らかです。.

必要性を示すため,dimＬ＝dimＬ₁＝ｎと仮定します。

そしてＬ,およびＬ₁の正規直交座標系をそれぞれ(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n),および(ｅ'₁,ｅ'₂,..,ｅ'_n)と選びます。

ａ∈Ｌとａ'∈Ｌ₁は,ここで選んだ座標系に対して座標が同一であるとき,ａとａ'が対応するということにします。

このとき,この対応は１対１であって,加法と乗法(スカラー倍)が保存されることは既に示しました。

また,Ｌの任意の２つのベクトルをａ＝α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_n,ｂ＝β₁ｅ₁＋β₂ｅ₂＋..＋β_nｅ_nとすると,これらに対応するＬ₁のベクトルはａ'＝α₁ｅ'₁＋α₂ｅ'₂＋..＋α_nｅ'_n,ｂ'＝β₁ｅ'₁＋β₂ｅ'₂＋..＋β_nｅ'_nです。

このとき,明らかに(ａ,ｂ)＝Σ_j=1ⁿα_jβ_j^*＝(ａ',ｂ')が成立しますから,ユニタリ内積も保存されることがわかります。(証明終わり)

[定義4-23](集合の直交性):ユニタリ空間の集合ＭとＮにおいて,∀ａ∈Ｍと∀ｂ∈Ｎが直交する:(ａ,ｂ)＝0 のとき,ＭとＮは直交するといいＭ⊥Ｎと書く。

　また,あるａ∈Ｌが∀ｘ∈Ｍと直交する:"(ａ,ｘ)＝0 for ∀ｘ∈Ｍ "のとき,ａとＭは直交するといいａ⊥Ｍと書く

[定理4-24]:Ｍ⊥ＮならＭ∩Ｎ＝{0}である。

(証明)ａ∈Ｍ∩Ｎなら(ａ,ａ)＝0 なのでａ＝0 です。(証明終わり)

[定義4-25]:ユニタリ空間Ｌの線型部分空間の和:Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_s＝{ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s∈Ｌ|ａ₁∈Ａ₁,ａ₂∈Ａ₂,..,ａ_s∈Ａ_s}において,Ａ_j⊥Ａ_k(ｊ≠ｋ)なら,この和を直交和(orthogonal sum)という。

[定理4-26]:ユニタリ空間の部分空間の直交和は常に直和である。

(証明)Ａ≡Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sとし直交和であるとします。

　そして,ａ＝ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s＝0;ａ₁∈Ａ₁,ａ₂∈Ａ₂,..,ａ_s∈Ａ_sとします。

　両辺にａ_jを掛けてユニタリ内積をとると,(ａ_j,ａ_j)＝0 となるためａ_j＝0 (ｊ＝1,2,..,ｓ)です。

　したがって,Ａ_j∩Ａ_k＝{0}(ｊ≠ｋ)ですからＡ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sが直和(direct sum)であることがわかります。(証明終わり)

[定理4-26]:ユニタリ空間の部分空間Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sが直交和でａ＝ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s;ａ₁∈Ａ₁,ａ₂∈Ａ₂,..,ａ_s∈Ａ_s,かつｂ＝ｂ₁＋ｂ₂＋..＋ｂ_s＝0;ｂ₁∈Ａ₁,ｂ₂∈Ａ₂,..,ｂ_s∈Ａ_sなら,(ａ,ｂ)＝(ａ₁,ｂ₁)＋(ａ₂,ｂ₂)＋..＋(ａ_s,ｂ_s)である。

(↑自明なので証明略)

[定義4-27]:ユニタリ空間Ｌの空でない部分集合Ｍと直交するベクトルの全体をＭの直交補空間(orthogonal complement)といいＭ^⊥で表わす。Ｍ^⊥≡{ａ∈Ｌ|ａ⊥Ｍ }である。

[定理4-28]:ユニタリ空間Ｌの任意の空でない線型部分空間Ｍの直交補空間Ｍ^⊥はＬの線型部分空間である。

(証明)ａ,ｂ∈Ｍ^⊥,α,β∈Ｃに対し(αａ＋βｂ,ｃ)＝α(ａ,ｃ)＋β(ｂ,ｃ)＝0 よりαａ＋βｂ∈Ｍ^⊥ですから,Ｍ^⊥はＬの線型部分空間です。(証明終わり)

[定理4-29]:ユニタリ空間Ｌはその任意の部分空間Ａとその直交補空間Ａ^⊥の直和としてＬ＝Ａ＋Ａ^⊥と表わせる。

(証明)ｎ＝dimＬ,ｍ＝dimＡ,ｓ＝dim(Ａ＋Ａ^⊥としてＡの正規直交基をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_m,Ａ^⊥の正規直交基をｅ_m+1,ｅ_m+2,..,ｅ_sとします。

系ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_m,ｅ_m+1,ｅ_m+2,..,ｅ_sがＬの基底ではないと仮定すると,(ｅ,ｅ)＝1,(ｅ,ｅ_j)＝0 (ｊ＝1,2,..,ｓ)を満たすｅ∈Ｌが存在します。

このｅは明らかにＡ^⊥に直交しますから,ｅ∈Ａ^⊥であり,しかもゼロではないのでｅ_m+1,ｅ_m+2,..,ｅの全てと直交することは不可能ですから,矛盾を生じます。

よって,系ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_m,ｅ_m+1,ｅ_m+2,..,ｅ_sはＬの基底であり,ｓ＝ｎでＬ＝Ａ＋Ａ^⊥です。(証明終わり)

(別証明)Ａの正規直交基をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_mとするとき,任意のａ∈Ｌに対してａ’≡ａ－{(ａ,ｅ₁)ｅ₁＋(ａ,ｅ₂)ｅ₂＋..＋(ａ,ｅ_m)ｅ_m}と置けば,任意のｂ∈Ａについて(ａ',ｂ)＝(ａ,ｂ)－{(ａ,ｅ₁)(ｂ,ｅ₁)＋(ａ,ｅ₂)(ｂ,ｅ₂)＋..＋(ａ,ｅ_m)(ｂ,ｅ_m)}＝0 です。

　何故なら,ｂ＝(ｂ,ｅ₁)ｅ₁＋(ｂ,ｅ₂)ｅ₂＋..＋(ｂ,ｅ_m)ｅ_mなので(ａ,ｂ)＝(ａ,ｅ₁)(ｂ,ｅ₁)＋(ａ,ｅ₂)(ｂ,ｅ₂)＋..＋(ａ,ｅ_m)(ｂ,ｅ_m)であるからです。

故に,ａ'∈Ａ^⊥であり∀ａ∈Ｌが常にａ＝(ａ－ａ')＋ａ';ａ－ａ'∈Ａ,ａ'∈Ａ^⊥の形に書けるのでＬ＝Ａ＋Ａ^⊥です。(証明終わり)

[定理4-29の系]:(Ａ^⊥)^⊥＝Ａである。(←自明)

[定義4-30]:ユニタリ空間Ｌがその部分空間Ａと直交補空間Ａ^⊥の直和としてＬ＝Ａ＋Ａ^⊥と表わされるとする。

∀ｘ∈Ｌはｘ＝ａ＋ｂ;ａ∈Ａ,ｂ∈Ａ^⊥と一意的に分解されるが,このａをｘのＡへの射影(projection),ｂをｘのＡ^⊥への射影という。

ｘ＝ａ＋ｂ;ａ∈Ａ,ｂ∈Ａ^⊥のときａ＝Ｐr_Ａ^ｘ,ｂ＝Ｐr_Ａ⊥^ｘと表わす。Ｐr_Ａ^(またはＰr_Ａ⊥^)を射影変換,または作用素として射影演算子(projection operator)という。

[定理4-31]:Ｐr_Ａ^はＬにおける１次変換であり,Ｐr_Ａ^Ｌ＝Ａである。特にＰr_L^＝Ｅ^(恒等変換)である。 (←自明)

[定理4-31の系]:ユニタリ空間の２つのベクトルの和の部分空間への射影はそれぞれの射影の和に等しく,ベクトルと数の積の射影はベクトルの射影と数の積に等しい。

すなわち,Ｌ＝Ａ＋Ａ^⊥のとき,∀ｘ,ｙ∈Ｌ,∀α∈Ｃに対してＰr_Ａ^(ｘ＋ｙ)＝Ｐr_Ａ^ｘ＋Ｐr_Ａ^ｙ,Ｐr_Ａ^(αｘ)＝αＰr_Ａ^ｘである。

(↑自明)

短かいですが今日はここまでにします。 

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:エリカ様,ちょっとイメージ変わったかな？変わらなくていいのに,様がとれたらツマンナイ。。。

　京大の入試,私も現役,浪人と理学部を２回受けて２回とも落ちたのでちょっと懐かしいですネ。

　安田講堂事件で東大入試中止の年の２回目(1969年３月)は,京大も封鎖中だったので受験会場は京都工繊大でしたが,現役(1968年３月)のときは学部は覚えてないけど確か京大構内で試験を受けました。

　私も数学の試験でカンニング,といっても机の右端に座っててそれとなく右隣の離れた席の解答が見えたので１問だけ答合わせをして,ほぼ同じだったので安心した,という記憶があります。

　当時は,今と違ってまだ両目とも視力が2.0でしたからね。(母子家庭で貧乏だったので私立は受けてません。。)

線型代数のエッセンス(10)(ユニタリ空間-1)

　線型代数のエッセンスの続きです。§4.ユニタリ空間に入ります。

そろそろ別テーマの科学記事も書きたいと思っていますが,これまでの経験から途中で複数のシリ－ズなどを同時進行すると一方に興味が移って半永久的に中断する可能性があるので,もう少しこのテーマだけを続けようと思います。

今日は,午後に事務的というかボランティア的用事をするためにお休みを取っています。

今,通っているところは無償のボランティアの種がいっぱいある宝の山なので,もしも私が最後の死に場所を探すならもってこいですね。

(イヤ,積極的にやるなら例えば今ならニュージーランドまで行って活動するとかもあるけれど,恐らく今の私ではお荷物になるだけです。

消極的ですが現在可能なことを精一杯やるだけです。

とはいっても,張り切ってヤルぞーとひとりよがりにテンパッテるツモリはありませんが。。何なんだ？？

なさけは他人のためでなく自分のためなんです。。。)

§4.ユニタリ空間

[定義4-1](ユニタリ内積,ユニタリ空間):線型空間Ｌの２つの元ａ,ｂに対して以下の性質を持つ演算(combination)(ａ,ｂ)を定義する。

　(ａ,ｂ)は,(Ｌ×Ｌ) → Ｃの写像で(ａ,ｂ)∈Ｃである。

(ⅰ)(ｂ,ａ)＝(ａ,ｂ)^*,(ⅱ)(αａ,ｂ)＝α(ａ,ｂ),(ⅲ)(ａ＋ｂ,ｃ)＝(ａ,ｃ)＋(ｂ,ｃ),(ⅳ)(ａ,ａ)は非負の実数,

(ⅴ)(ａ,ａ)＝0 ⇔ ａ＝0

　ただし,α∈Ｃ,ａ,ｂ,ｃ∈Ｌである。

　複素数λ∈Ｃに対して,λ^*はλの複素共役(complex conjugate)を意味する。

　この演算(ａ,ｂ)をａとｂのスカラー積,またはユニタリ内積(unitary inner-product)といい,ユニタリ内積が定義された線型空間Ｌを(複素)ユニタリ空間(unitary space)と呼ぶ。

特に,(ａ,ｂ)が常に実数(real)でαも実数の場合には,Ｌを実ユニタリ空間と呼ぶ。

[定理4-2](ユニタリ内積の性質Ⅰ):ユニタリ空間Ｌの元ａ,ｂ,ｃとα,β∈Ｃに対して次の性質が成り立つ。

1.(αａ,βｂ)＝αβ^*(ａ,ｂ),2.(ａ,ｂ＋ｃ)＝(ａ,ｂ)＋(ａ,ｃ),

3.(ａ,0)＝(0,ａ)＝0

(↑自明なので証明略)

[定義4-3]:Ｌをユニタリ空間とするとき,∀ａ∈Ｌに対し(ａ,ａ)^1/2をベクトルａの長さ(length),またはノルム(norm)と呼び,記号|ａ|で表わす。

[定理4-4](ユニタリ内積の性質Ⅱ):ユニタリ空間Ｌの元ａ,ｂ,ｃとα,β∈Ｃに対して次の性質が成り立つ。

1. |0|＝0  2.｜αａ｜＝|α||ａ|:|α|はαの絶対値:(αα^*)^1/2

(↑自明)

[定理4-5](Schwartzの不等式):ユニタリ空間Ｌの任意の２つのベクトルａ,ｂに対して|(ａ,ｂ)|≦|ａ||ｂ|が成立する。この不等式をSchwartzの不等式という。

(証明) ユニタリ内積の定義から∀λ∈Ｃに対して(ａ－λｂ,ａ－λｂ)≧0 です。それ故,(ａ,ａ)－λ^*(ａ,ｂ)－λ(ａ,ｂ)^*＋λλ^*(ｂ,ｂ)≧0 です。

　ｂ≠0 の場合,特にλ≡(ａ,ｂ)^*/(ｂ,ｂ)とおけばλ^*≡(ａ,ｂ)/(ｂ,ｂ)です。

　これを上式に代入すると|ａ|²－|(ａ,ｂ)|²/|ｂ|²≧0,すなわち,|(ａ,ｂ)|²≦|ａ|²|ｂ|²,つまり|(ａ,ｂ)|≦|ａ||ｂ|を得ます。

　また,ｂ＝0 の場合には明らかに|(ａ,ｂ)|＝|ａ||ｂ|＝0 です。

　そして,もしもａとｂが１次独立なら,∀λ∈Ｃに対してａ－λｂ≠0 より(ａ－λｂ,ａ－λｂ)＞0 ですから不等号が成立して|(ａ,ｂ)|＜|ａ||ｂ|となります。

一方,ａとｂが１次従属で,ある複素数αに対してａ＝αｂと書けるなら,|(ａ,ｂ)|＝|α||(ｂ,ｂ)|＝|ａ||ｂ|となって等号が成立します。(証明終わり)

[定理4-5の系]:ユニタリ空間Ｌの任意の２つのベクトルａ,ｂに対して不等式:|ａ＋ｂ|≦|ａ|＋|ｂ|が成立する。

(証明)|ａ＋ｂ|²＝(ａ＋ｂ,ａ＋ｂ)＝(ａ,ａ)＋(ａ,ｂ)＋(ａ,ｂ)^*＋(ｂ,ｂ)＝|ａ|²＋2Re(ａ,ｂ)＋|ｂ|²ですが,Schwartzの不等式よりRe(ａ,ｂ)≦|(ａ,ｂ)|≦|ａ||ｂ|なので|ａ＋ｂ|²≦|ａ|²＋2|ａ||ｂ|＋|ｂ|²＝(|ａ|＋|ｂ|)²が成立します。

(証明終わり)

[定義4-6]:ユニタリ空間Ｌの任意の２つのベクトルａ,ｂに対して|ａ－ｂ|をａとｂの間の距離(distance or metric)といい記号ρ(ａ,ｂ)で表わす。ρ(ａ,ｂ)≡|ａ－ｂ|である。

[定理4-7](距離の性質):ユニタリ空間Ｌの任意のベクトルａ,ｂ,ｃに対して次の性質が成り立つ。

1.ρ(ｂ,ａ)＝ρ(ａ,ｂ),および,2.ρ(ａ,ｂ)＋(ｂ,ｃ)≧ρ(ａ,ｃ)(三角不等式)

↑この定理はユニタリ内積,ノルムの性質を距離によって置き換えたに過ぎないので証明は省略します。

[定義4-8]:ユニタリ空間Ｌのベクトルａ,ｂに対して(ａ,ｂ)＝0 が成立するとき,ａとｂは直交する(orthogonal)という。

[定理4-9]:ベクトル 0 は∀ａ∈Ｌと直交する。また,逆に∀ａ∈Ｌと直交するＬのベクトルは 0 のみである。

(証明)定理の前半は明らかです。そして後半もほぼ自明です。

つまり,"∃ｂ∈Ｌ:(ａ,ｂ)＝0 for ∀ａ∈Ｌ"と仮定すれば,(ａ,ｂ)＝0 にａ＝ｂを代入すると(ｂ,ｂ)＝0 となるため,ユニタリ内積の定義:[定義4-1]の(ⅴ)によりｂ＝0 を得ます。(証明終わり)

[定義4-10](直交系):ユニタリ空間Ｌのベクトルの集合:{ａ₁,ａ₂,..,ａ_m}において,異なる全てのｊ,ｋ(ｊ,ｋ＝1,2,..,ｍ)に対し(ａ_j,ａ_k)＝0 が成立するとき,このベクトル系:ａ₁,ａ₂,..,ａ_mをユニタリ空間Ｌの直交系という。

[定理4-11]:ユニタリ空間Ｌのゼロ(零:0)でないベクトルが作る任意の直交系の元は全て１次独立である。

(証明)ａ₁,ａ₂,..,ａ_mをユニタリ空間Ｌのゼロでないベクトルが作る直交系とし,１次関係式:α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_mａ_m＝0 (α₁,α₂,..,α_m∈Ｃ)を仮定します。

ｊ＝1,2,..,ｍの各々のｊについて,ａ_jと上式の両辺との内積を取れば,(ａ_j,α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_mａ_m＝0 (ｊ＝1,2,..,ｍ)です。

そして,ｋ≠ｊのａ_kとの直交性:(ａ_j,ａ_k)＝0を用いると,結局α_j(ａ_j,ａ_j)＝0 (ｊ＝1,2,..,ｍ)となりますが,ａ_jがゼロでないという仮定から(ａ_j,ａ_j)≠0 です。

したがって,α_j＝0 (ｊ＝1,2,..,ｍ)を得ます。(証明終わり)

[定義4-12](直交基):ユニタリ空間Ｌの次元がｎのとき,ｎ個のゼロでないベクトルのつくる直交系が存在すれば,これはＬの基底となる。この直交系をＬの直交基(orthogonal basis)と呼ぶ。

[定理4-13]:任意のユニタリ空間Ｌにおいてゼロでないベクトルのつくる任意の直交系は,これに適当なベクトルを補足して空間Ｌにおける直交基となるようにできる。

　この定理の証明のため,次の補題(Schmidtの直交化法)を示します。

[補題]:(Schmidtの直交化法)

　まず,ａ₁≠0 なるベクトルａ₁∈Ｌを適当に選びます。

このとき,(ｂ,ａ₁)≠0 を満たすｂ∈Ｌが存在すればｂを用いてベクトルａ₂∈Ｌをａ₂≡ｂ－{(ｂ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁で定義します。

すると,明らかに(ａ₂,ａ₁)＝0 です。

しかし,もしもｂがａ₁に従属,つまり適当な複素数αに対してｂ＝αａ₁と書けるならａ₂＝αａ₁－{(αａ₁,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁＝0となってａ₂が零ベクトルになってしまいます。

そこで,ｂとしてはａ₁に独立:ａ₁に平行でないものを選びます。

こうすると,ａ₂≠0 であり,かつ(ａ₂,ａ₁)＝0 ですから,[定理4-11]によってａ₁とａ₂は１次独立です。

　次に,ａ₁,ａ₂に独立で(ｃ,ａ₁)≠0,(ｃ,ａ₂)≠0 を満たすｃ∈Ｌが存在すれば,ｃを用いてベクトルａ₃∈Ｌを,ａ₃≡ｃ－{(ｃ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁－{(ｃ,ａ₂)/(ａ₂,ａ₂)}ａ₂によって定義します。

　こう定義すると(ａ₃,ａ₁)＝0,(ａ₃,ａ₂)＝0 です。こうして３個のベクトルから成る直交系:ａ₁,ａ₂,ａ₃が得られました。

この方法(Schmidtの直交化法)を繰り返して,さらにａ₄,ａ₅,..,ａ_mと定義してゆき,これ以上はａ₁,ａ₂,..,ａ_mに独立でどれとも直交しないゼロでないＬのベクトルが存在し得ないなら,系:ａ₁,ａ₂,..,ａ_mをＬの極大直交系と呼びます。

Ｌが有限次元ならこの方法による1次独立なベクトルの創生には限りがありますから,極大直交系が存在することは明らかです。

(定理4-13の証明)ｎ次元ユニタリ空間Ｌにおいて直交系ａ₁,ａ₂,..,ａ_mが与えられているとします。

　これにＬのゼロでないベクトルａ_m+1,..,ａ_sを適当に補足してａ₁,ａ₂,..,ａ_sがＬの極大直交系となるようにします。

そして,∀ｘ∈Ｌに対してξ_k≡(ｘ,ａ_k)/(ａ_k,ａ_k)(ｋ＝1,2,..,s)とおいてベクトルｙ≡ξ₁ａ₁＋ξ₂ａ₂＋..＋ξ_sａ_sをつくります。

このとき,(ｙ,ａ_k)＝ξ_k(ａ_k,ａ_k)＝(ｘ,ａ_k),つまり(ｘ－ｙ,ａ_k)＝0 (ｋ＝1,2,..,ｓ)が得られます。

故に,ａ₁,ａ₂,..,ａ_sが極大直交系であるという仮定により,ｘ－ｙ＝0,すなわちｘ＝ｙです。

　したがって,∀ｘ∈Ｌはｘ＝ξ₁ａ₁＋ξ₂ａ₂＋..＋ξ_sａ_s (ξ_k≡(ｘ,ａ_k)/(ａ_k,ａ_k)(ｋ＝1,2,..,s)と常にａ₁,ａ₂,..,ａ_sの１次結合で表わされるので,ａ₁,ａ₂,..,ａ_sはＬの基底であり,それ故ｓ＝ｎであってＬの直交基をなします。(証明終わり)

[定義4-14](正規直交系):ユニタリ空間Ｌの単位長さ(ノルムが１)のベクトルのみからなる直交系を正規直交系(orthonormal system)という。

　特にＬの基底(base)をなす正規直交系を正規直交基(orthonormal basis)と呼ぶ。

[定理4-15]:ユニタリ空間Ｌの任意の正規直交系は,これに適当なベクトルを補足して空間Ｌにおける正規直交基となるようにできる。

　これの証明は[定理4-13]で用いたSchmidtの直交化法:ａ₂≡ｂ－{(ｂ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁,ａ₃≡ｃ－{(ｃ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁－{(ｃ,ａ₂)/(ａ₂,ａ₂)}ａ₂..で,途中にノルムを１に正規化する手続きを挿入して変更するだけでいいので割愛します。

　すなわち,ａ₂'≡ｂ－{(ｂ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁,ａ₂≡ａ₂'/|ａ₂'|,ａ₃'≡ｃ－{(ｃ,ａ₁)/(ａ₁,ａ₁)}ａ₁－{(ｃ,ａ₂)/(ａ₂,ａ₂)}ａ₂,ａ₃≡ａ₃'/|ａ₃'|,..とすれば証明できます。

[定理4-15の系]:有限次元ユニタリ空間には必ず正規直交基が存在する。(証明略)

[定義4-16](座標系):ユニタリ空間Ｌのベクトル系ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nがＬの基底をなすとき,一定の順序を着けた系:(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)をＬの座標系(coordinate system)という。

ａ∈Ｌに対してａ＝α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_nを与える数の組(α₁,α₂,..,α_n)をａの座標(coordinate)といい,α_jをａの座標成分(component)という。

特に,ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nがＬの正規直交基であるとき,座標系(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)をＬの正規直交座標系(orthonormal coordinetes)という。この場合,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijである。

[定理4-17]:(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)をユニタリ空間Ｌの正規直交座標系とするとａ∈Ｌの座標は(ａ,ｅ₁),(ａ,ｅ₂),..,(ａ,ｅ_n)に等しい。

(証明)ａ＝α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_nとすると(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijより(ａ,ｅ_j)＝α_j,(ｊ＝1,2,..,ｎ)です。(証明終わり)

[定理4-18]:(ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_n)をユニタリ空間Ｌの正規直交座標系としａ,ｂ∈Ｌがａ＝Σ_j=1ⁿα_jｅ_j,ｂ＝Σ_j=1ⁿβ_jｅ_jと表わされるとき(ａ,ｂ)＝Σ_j=1ⁿα_jβ_j^*である。

(↑自明)

[定理4-19](Besselの不等式):ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_m(ｍ≦ｎ)をｎ次元ユニタリ空間Ｌの任意の正規直交系としａ∈Ｌに対してα_k＝(ａ,ｅ_k)(ｋ＝1,2,..,ｍ)とおけば,Besselの不等式:|ａ|²＝(ａ,ａ)≧Σ_j=1^mα_jα_j^*＝|α₁|²＋|α₂|²＋..|α_m|²が成立する。

(証明)ｘ≡α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_mｅ_mと置けば,0≦(ａ－ｘ,ａ－ｘ)＝(ａ,ａ)－(ｘ,ａ)－(ａ,ｘ)＋(ｘ,ｘ)です。

そして,(ｘ,ｘ)＝(Σ_j=1^mα_jｅ_j,Σ_k=1^mα_kｅ_k)＝Σ_j=1^mα_jα_j^*,(ａ,ｘ)＝(ａ,Σ_j=1^mα_jｅ_j)＝Σ_j=1^mα_j^*(ａ,ｅ_j)＝Σ_j=1^mα_jα_j^*,(ｘ,ａ)＝(Σ_j=1^mα_jｅ_j,ａ)＝Σ_j=1^mα_j(ｅ_j,ａ)＝Σ_j=1^mα_jα_j^*です。

故に,0≦(ａ－ｘ,ａ－ｘ)＝(ａ,ａ)－Σ_j=1^mα_jα_j^*を得ます。

したがって,|ａ|²＝(ａ,ａ)≧Σ_j=1^mα_jα_j^*＝|α₁|²＋|α₂|²＋..|α_m|²です。(証明終わり)

[定理4-19の系](Parsevalの等式):ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nがユニタリ空間Ｌの正規直交基ならａ∈Ｌに対してα_k＝(ａ,ｅ_k)(ｋ＝1,2,..,ｎ)とおけば, Parsevalの等式:|ａ|²＝(ａ,ａ)＝Σ_j=1ⁿα_jα_j^*＝|α₁|²＋|α₂|²＋..|α_n|²が成立する。(自明)

[定理4-20]:ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nをユニタリ空間Ｌの正規直交系とする。

任意のａ∈Ｌに対しα_k＝(ａ,ｅ_k)(ｋ＝1,2,..,ｎ)とするとき,|ａ|²＝(ａ,ａ)＝Σ_j=1ⁿα_jα_j^*＝|α₁|²＋|α₂|²＋..|α_n|²が成立するならｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nはＬの基底をなす。

(証明)ｘ≡α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_nと置けば(ａ－ｘ,ａ－ｘ)＝(ａ,ａ)－Σ_j=1ⁿα_jα_j^* ですから(ａ,ａ)＝Σ_j=1ⁿα_jα_j^*なら(ａ－ｘ,ａ－ｘ)＝0 です。

したがって,ａ－ｘ＝0,つまりａ＝ｘ＝α₁ｅ₁＋α₂ｅ₂＋..＋α_nｅ_nとが成立しますが,ａ∈Ｌは任意なのでｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nは空間Ｌの基底をなすことがわかります。(証明終わり)

今日はここまでにします。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:無償のボランテイアなどといいながら,昨日は３/８の修了式を含めあと３回(３週)の手話講習会が終わって椎名町から池袋まで４人の女性と５人で帰り,最後に池袋駅で若い看護士さんとツーショットになったので飲みに誘いました。

　ＯＫだったのですが,つい自分好みの飲み屋と嗜好が違ったのでまた次の機会と述べて別れてしまいました。次があるかどうかもわからないのにどこでも良かったですね。

　たまたま,女性に１軒おごるくらいの金はあったのですが,やはりフーテンの寅さんモドキですかね。。

線型代数のエッセンス(9)(１次変換(補遺))

　線型代数のエッセンスの§3.１次変換の残りです。

[定義3-47](固有多項式):線型空間Ｌのある１次変換Ａ^について適当な座標系を取ればＡ^の行列Ａが作られる。この行列Ａの固有多項式:φ(λ)＝|λＥ－Ａ|を変換Ａ^の固有多項式(characteristic polynomial)という。

※座標系を変えてもＡは変換行列Ｔにより相似な行列Ａ₁＝ＴＡＴ^-1に変わるだけなのでφ(λ)は座標系の選び方には依りません。すなわち,|λＥ－Ａ₁|＝|λＥ－ＴＡＴ^-1|＝|Ｔ(λＥ－Ａ)Ｔ^-1|＝|λＥ－Ａ|＝φ(λ)です。※

[定理3-48]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の固有多項式の次数はＡ^の作用する空間Ｌの次元に等しい。

(証明)固有多項式φ(λ)＝|λＥ－Ａ|の次数は正方行列(λＥ－Ａ)の次数,すなわち正方行列Ａの次数に等しくこれは空間Ｌの次元に等しいのは明らかです。(証明終わり)

[定理3-49]:線型空間Ｌがその上の１次変換Ａ^に関して不変な部分空間の直和に分解されるならば,Ａ^の固有多項式は誘導される変換Ａ₁^,Ａ₂^の固有多項式の積に等しい。

(証明)Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂によりλＥ－Ａ＝(λＥ₁－Ａ₁)＋(λＥ₂－Ａ₂)ですから|λＥ－Ａ|＝|λＥ₁－Ａ₁||λＥ₂－Ａ₂|です。(証明終わり)

[定理3-50]:線型空間Ｌの各１次変換Ａ^はその固有多項式の根である。すなわち,λの多項式:φ(λ)＝|λＥ－Ａ|に形式的にλ＝Ａ＾を代入すると,作用素の恒等式としてφ(Ａ^)＝Ｏ＾が成立する。

(証明)φ(λ)＝|λＥ－Ａ|＝α₀＋α₁λ＋..＋α_nλⁿと多項式を陽に表わすと「線型代数のエッセンス(1)(行列)」で証明した「Hamilton-Cayleyの定理」より,行列の恒等式としてφ(Ａ)＝α₀＋α₁Ａ＋..＋α_nＡⁿ＝Ｏが成立することがわかっています。

　したがって,Ａ→Ａ^の同型対応によりφ(Ａ^)＝α₀＋α₁Ａ^＋..＋α_nＡ^ⁿ＝Ｏ^が得られます。(証明終わり)

※(注):φ(Ａ^)＝α₀＋α₁Ａ^＋..＋α_nＡ^ⁿ＝Ｏ^というのは∀ｘ∈Ｌに対してφ(Ａ^)ｘ＝0が成立することを意味します。(注終わり)※

[定義3-51](最小多項式):線型空間Ｌの１次変換Ａ^を根とする最高次係数が１の多項式で次数が最小のものをＡ^の最小多項式(minimal polynomial)という。

[定理3-52]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の最小多項式はＡ^の行列Ａの最小多項式に等しい。

(↑自明)

[定義3-53](固有値,固有ベクトル):線型空間Ｌの１次変換Ａ^に対して数ζ∈Ｃと零でないベクトルａ∈Ｌが存在してＡ^ａ＝ζａが成立するときζをＡ^の固有値(eigenvalue),ａをＡ^のζに属する固有ベクトル(eigenvector)という。

[定理3-54]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の１つの固有ベクトルだけによって張られるＬの１次元部分空間はＬの１つの不変部分空間である。(←自明)

[定理3-55]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の固有値ζは全てその固有多項式φ(λ)＝|λＥ－Ａ|の根である。逆にζがＡ^の固有多項式の根ならζはＡ^の固有値である。

つまり,ζが１次変換Ａ^の固有値 ⇔ φ(ζ)＝|ζＥ－Ａ|＝0である

(証明)「線型代数のエッセンス(1)(行列)」の内容の一部を再掲して証明とします。

(再掲記事): [定義1-20](固有多項式):Ａをｎ次の正方行列とするとき,ｎ次多項式;φ(λ)≡|λＥ－Ａ| or φ(λ)≡det(λＥ－Ａ)をＡの固有多項式という。そしてφ(λ)の零点,or 方程式φ(λ)＝0 の根λ₁,λ₂,..,λ_nを行列Ａの固有値という。

※(注):列ベクトルｘがＡの固有値λに属する固有ベクトルであるとは,ｘ≠0であってＡｘ＝λｘなる関係式が成立することです。そして,Ａｘ＝λｘは行列形式では(λＥ－Ａ)ｘ＝0と表現できます。

このｎ元連立１次方程式:(λＥ－Ａ)ｘ＝0 が自明な解(ｘ＝0)以外の解(ｘ≠0)を持つための必要十分条件がφ(λ)＝|λＥ－Ａ|＝0です。(注終わり※)(再掲終わり)

そしてＬの適当な座標系におけるＡ^⇔Ａ,およびａ⇔[ａ]の同型対応によりＡ^ａ＝ζａはＡａ＝ζ[ａ]に同型対応しますから定理が成立します。(証明終わり)

[定義3-56]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の固有値ζの固有多項式の根としての重複度を固有値ζの重複度という。

[定理3-57]:ｎ次元線型空間Ｌの１次変換Ａ^がｎ個の1次独立な固有ベクトルを持つならば,これらのベクトルを座標系に取ることによって変換Ａ^の行列Ａを対角行列形にすることができる。

逆に行列Ａがある座標系において対角行列形を取るならその基底ベクトルはのＡ~の固有ベクトルである。

(証明)Ａ^ａ_j＝λ_jａ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)が成立してａ₁,ａ₂,..,ａ_nが１次独立で座標系にとることができるなら,(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,..,Ａ^ａ_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａ,　

　　

と書くことができます。逆の成立も自明です。(証明終わり)

[定理3-58]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の異なる固有値に属する固有ベクトルは１次独立である。

(証明) Ａ^ａ₁＝λ₁ａ₁,Ａ^ａ₂＝λ₂ａ₂,ａ₁≠0,ａ₂≠0で,かつλ₁≠λ₂とします。このとき,ａ₁,ａ₂についての1次関係式をα₁ａ₁＋α₂ａ₂＝0 と書けばＡ^(α₁ａ₁＋α₂ａ₂)＝λ₁α₁ａ₁＋λ₂α₂ａ₂＝0が成立します。

λ₁α₁ａ₁＋λ₂α₂ａ₂＝0にα₂ａ₂＝－α₁ａ₁を代入するとα₁(λ₁－λ₂)ａ₁＝0ですがａ₁≠0,かつλ₁≠λ₂よりα₁＝0を得ます。それ故,α₂ａ₂＝0,かつａ₂≠0よりα₂＝0も得られますからａ₁とａ₂は１次独立です。(証明終わり)

[定理3-58の系]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の固有多項式がｎ個の相異なる根を持てばその変換の行列Ａは適当な座標系において対角行列の形である。(←自明)

短いですが,これで§3は終わりなので今日はここまでにします。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:一般に人は,環境との関わり,特に同じ"人間＝他人"とのコミュニケーション自体にストレスを感じます。

　これは,まだ物心もつかない乳幼児でも人見知りをすることにも見られるように人に限らず犬や猫なども持つ性質であろうと思われます。

　動物,いや生き物の防衛本能に帰属するものかも知れません。

　特に,日本では私よりも老人の方によく見られる現象ですが,英語圏で"Excuse me"に相当するであろう"失礼"とか,"失礼します","すみません"etc.とかの断りも云わず(云えず),人にぶつかったりして,さらに何も云わずにサッと過ぎて行く方がおられ,時には私でさえ少しムカつくことがあります。

　私は,これを社会性がない人と呼んでいます。

　社会性がない人の典型は,女性であれば,駅で切符を買う際に混雑して行列ができているときでも自分の番が来てからゆっくりと運賃表を探しておもむろにバッグから財布を取り出しコインを探して,さらに切符を購入後もその場をドかずに財布とバッグを直すなど,後に続く他人など全く気にしないような,かつては"オバタリアン"と称された人のことです。

　まあ,昔の女性は家庭に押し込められていて社会に出て働く人は希少であったという理由で,他人を配慮することも含めた社会性が身についていないことはある程度理解できます。

　また,かつての典型的な田舎の朴訥な人柄で「モノ言えば本当に唇が寒い」という人々や,戦後の自分が生きていくのがやっとの焼け跡・闇市の時代に育って他人とのコミュニケーションではイヤなこと,イヤな人ばかりに遭遇して人間不信になったという"トラウマ"がある人たちもいるでしょう。

　でも,老人とは限らず,他人と関わりを持つ,会話をすることのフラストレーションやストレスと,他方,他人とは関係せず孤独であることの寂しさ,ストレスを比較して,後者の方が大きくい,あるいは少しのストレスやリスクはあっても他人の温もり,癒し,人肌の方がより恋しいこともありますね。

　私の場合は,ときに孤独であることも嫌いではないですが今は若い頃ほど他人とのコミュニケーションが苦にならない,というより関係を持つことにより喜びを感じるようになりました。

　当たり前のことなんですが,他人を含む環境との関わりは生老病死のストレスをもたらすだけではなくて,歓びをも与えてくれます。

　そのことを今さらながら,実感しているんですね。生きていることは悪いことばかりではないですよ。

　土曜ですがこれから出勤します。。

線型代数のエッセンス(8)(１次変換-2)」

　線型代数のエッセンスの§3.１次変換の続きです。
 

[定義3-26]:線型空間Ｌの部分集合Ｍの上の１次変換Ａ^による像

(image)の全体をＡ^に関するＭの像といいＡ^Ｍと書く。

また,{ｘ∈Ｌ|Ａ^ｘ∈Ｍ}をＭの原像(inverse image)といい

Ａ^^-1Ｍと書く。
 

[定理3-27]:線型空間Ｌの線型部分空間の１次変換Ａ^に関する像,

および原像は共に線型部分空間となる。
 

(証明)Ａ⊂Ｌを線型空間Ｌの線型部分空間とします。

Ａ^ＡはＡ^に関するＡの像です。
 

ａ,ｂ∈Ａ^Ａとすると,ａ＝Ａ^ｘ,ｂ＝Ａ^ｙを満たすｘ,ｙ∈Ａ

が存在します。よって,ＡがＬの線型部分空間なので∀α,β∈Ｃ

に対してαｘ+βｙ∈Ａです。
 

それ故,Ａ^(αｘ+βｙ)＝αＡ^ｘ＋βＡ^ｙ＝αａ＋βｂ∈Ａ^Ａ

です。したがって,ａ,ｂ∈Ａ^Ａ,α,β∈Ｃならαａ＋βｂ∈Ａ^Ａ

なのでＡ^ＡもＬの線型部分空間です。
 

他方,Ａ^に関するＡの像原像をＡ^^-1Ａと書けばｘ,ｙ∈Ａ^^-1Ａ

ならＡ^ｘ,Ａ^ｙ∈Ａです。
 

よって,ＡがＬの線型部分空間なので∀α,β∈Ｃに対し,

αＡ^ｘ+βＡ^ｙ＝Ａ^(αｘ+βｙ)∈Ａです。

したがって,αｘ+βｙ∈Ａ^^-1ＡなのでＡ^^-1ＡもＬの線型部分

空間です。(証明終わり)
 

[定義3-28]:Ａ^を線型空間Ｌにおける１つの１次変換とする。

このとき,KerＡ^≡{ｘ∈Ｌ|Ａ^ｘ＝0}をＡ^の核(kernel)という。

また,Ａ^Ｌをの値域(range)という。
 

値域Ａ^Ｌの次元dim(Ａ^Ｌ)を変換Ａ^の階数といいrankＡ^と書く。

KerＡ^の次元dim(KerＡ^)をＡ^の退化次数

(degenerate dimension:縮退次数)という。
 

[定理3-29]:線型空間Ｌの１次変換Ａ^の階数と退化次数の和は

Ｌの次元dimLに等しい。
 

(証明)ｒ＝rankＡ^＝dim(Ａ^Ｌ),ｄ＝dim(KerＡ^),とします。

また,Ａ^Ｌの基底をａ₁,ａ₂,..,ａ_rとします。ａ₁,ａ₂,..,ａ_r∈Ａ^Ｌ

ですからＡ^ｂ_i＝ａ_i(ｉ＝1,2,..,ｒ)となる１組のｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_r∈Ｌ

を選択するとこの{ｂ_i}_i=1,2,..,ｒ１次独立です。
 

　なぜなら,１次関係式α₁ｂ₁＋α₂ｂ₂＋..＋α_rｂ_r＝0 の左から

Ａ^を掛けると式α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_rａ_r＝0となり

式:α₁＝α₂＝..＝α_r＝0 が従うからです。
 

　そこで,ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_r∈Ｌによって張られるＬのｒ次元部分空間

をＭとします。
 

ｂ∈Ｍとするとｂ＝α₁ｂ₁＋α₂ｂ₂＋..＋α_rｂ_rと書けます。

そしてＡ^ｂ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_rａ_rです。

故に,もしＡ^ｂ＝0 ならα₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_rａ_r＝0 より

α₁＝α₂＝..＝α_r＝0 ですからｂ＝0 です。
 

したがって,kerＡ^∩Ｍ＝{0}です。
 

　一方,ａ∈Ｌとすると,Ａ^ａ∈Ａ^Ｌですから

Ａ^ａ＝β₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_rａ_rと書けます。

Ａ^ｂ_i＝ａ_i(ｉ＝1,2,..,ｒ)よりｂ≡β₁ｂ₁＋β₂ｂ₂＋..＋β_rｂ_r

とおけばｂ∈ＭでＡ^ｂ＝β₁ａ₁＋ａ∈Ｌとβ₂ａ₂＋..＋β_rａ_r＝Ａ^ａ

となります。

よって,Ａ^(ａ－ｂ)＝0 より(ａ－ｂ)∈kerＡ^でａ＝(ａ－ｂ)＋ｂ,

かつｂ∈Ｍです。ａ∈Ｌは任意であって,KerＡ^∩Ｍ＝{0}なので

ＬはKerＡ^とＭの直和:Ｌ＝KerＡ^＋Ｍです。
 

したがって,”[定理2-51]:線型空間Ｌの２つの線型部分空間Ａ

とＢの直和の次元は部分空間ＡとＢの次元の和に等しい。”

によってdimＬ＝ｄ＋ｒです。(証明終わり)
 

[定義3-30]:線型空間における可逆な１次変換を

正則(regular)な変換,非可逆な1次変換を

非正則(irregular)な変換,または特異(singular)な変換という。
 

[定理3-31]:線型空間Ｌにおける１次変換Ａ^が正則である。

　⇔ KerＡ^＝{0}
 

(証明)まず,変換Ａ^が正則なら可逆なのでＡ^^-1が存在します。

そしてＡ^^-1 0＝0 なのでＡ^^-1 {0}＝{0},つまりKerＡ^＝{0}

です。
 

　逆にKerＡ^＝{0}ならdim(KerＡ^)＝0より,[定理3-29]:

dimＬ＝ dim(KerＡ^)＋dim(Ａ^Ｌ)よりdimＬ＝dim(Ａ^Ｌ),

つまりＡ^Ｌ＝Ｌです。

また,ａ,ｂ∈ＬでＡ^ａ＝Ａ^ｂならＡ^(ａ－ｂ)＝0で

KerＡ^＝{0}よりａ－ｂ＝0 or ａ＝ｂです。

つまりａ≠ｂならＡ^ａ≠Ａ^ｂです。
 

したがって,Ａ^は全単射(bijection)ですから可逆,つまり正則です。

(証明終わり)
 

[定理3-31の系]:線型空間Ｌにおける１次変換Ａ^が正則である。

　⇔ Ａ^Ｌ＝Ｌ 

 (↑自明)
 

[定義3-32]:線型空間Ｌから自身への同型写像を自己同型写像(automorphism)という。
 

[定理3-33]:Ａ^が正則な１次変換であることと自己同型写像である

ことは同値である。(←(↑自明)
 

[定義3-34](相似変換):線型空間Ｌの２つの１次変換Ａ^,Ｂ^がある

とする。Ｌのある自己同型写像Ｃ^が存在してＡ^による変換がＢ^

による変換にうつされるとき,

つまりｙ＝Ａ^ｘのときｕ＝Ｃ^ｘ,ｖ＝Ｃ^ｙすればｖ＝Ｂ＾ｕ

となるとき,変換Ａ^とＢ^は相似(similar)である,

または同型であるという。
 

[定理3-35]:変換Ａ^とＢ^は相似である。⇔ 正則な変換Ｃ^が存在

してＡ^＝Ｃ^^-1Ｂ^Ｃ^, or Ｂ^＝Ｃ^Ａ^Ｃ^^-1と書ける。
 

(証明)ｖ＝Ｂ＾ｕにｕ＝Ｃ^ｘ,ｖ＝Ｃ^ｙを代入すると,

Ｃ^ｙ＝Ｂ＾Ｃ^ｘ,故にｙ＝Ｃ^^-1Ｂ^Ｃ^ｘです。

ところがｙ＝Ａ^ｘなのでＡ^ｘ＝Ｃ^^-1Ｂ^Ｃ^ｘ,すなわち,

Ａ^＝Ｃ^^-1Ｂ^Ｃ^を得ます。(証明終わり)
 

[定理3-35の系]:変換Ａ^とＢ^は相似である。⇔ 行列ＡとＢは

相似である。ただしＡ,Ｂはそれぞれ変換Ａ^,Ｂ^の行列である。

(↑自明)
 

"[定義1-19](相似性):行列ＡとＢに対してある正則行列Ｘが存在

てＡ＝Ｘ^-1ＢＸ,あるいはＸＡ＝ＢＸが成立するとき,ＡはＢに相似

であるという。"を参照されたい。)※
 

[定理3-36](変換の行列の階数):線型空間Ｌの任意の１次変換Ａ^

の階数は,この変換の行列Ａの階数に等しい。
 

(証明)ａ₁,ａ₂,..,ａ_nをＬの座標系とします。変換の行列の定義

から(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,.., Ａ^ａ_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａです。
 

　変換Ａ^の階数の定義:“値域Ａ^Ｌの次元dim(Ａ^Ｌ)を変換Ａ^

の階数といいrankＡ^と書く。”から,

Ａ^の階数はＡ^ａ₁,Ａ^ａ₂,.., Ａ^ａ_nのｎ個のベクトルのうち

で１次独立なベクトルの最大個数に等しいです。
 

　これは,(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)がｎ個の１次独立な基底なので

行列Ａ＝([ａ₁],[ａ₂],..,[ａ_n])のｎ個の列ベクトル

[ａ_j]≡^t(α_1j,α_2j,.., α_nj)(ｊ＝1,2)のうちで１次独立な

ベクトルの個数の最大値,つまり行列Ａの階数に等しいこと

がわかりました。(証明終わり)
 

※(注):まず,行列の階数の定義を再掲します。
 

[定義2-29]:ｘ₁,ｘ,..,ｘ_m∈Ｌが座標:

[ｘ₁]＝^t(α₁₁,α₂₁,..,α_n1),[ｘ₂]＝^t(α₁₂,α₂₂,..,α_n2),..,[ｘ_m]

＝^t(α_1m,α_2m,..,α_nm)を有するとき,これらの列ベクトルから

作られる行列を

Ａ≡[[ｘ₁][ｘ₂]..[ｘ_m]]＝[^t(α₁₁,α₂₁,..,α_n1)

^t(α₁₂,α₂₂,..,α_n2)..^t(α_1m,α_2m,..,α_nm)]　とする。
 

　このＡを構成する数空間の列ベクトル:[ｘ₁],[ｘ₂],..,[ｘ_m]

のうちで１次独立なベクトルの個数の最大値を行列Ａの階数

という。
 

次に,関連する定理の再掲です。
 

[定理2-31]:[定義2-29]と同じ前提でｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_m∈Ｌの１次独立

なベクトルの個数の最大値は行列Ａの階数に等しい。(再掲終了)
 

これらのことから,(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,.., Ａ^ａ_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａ

のうちの１次独立なベクトルの個数の最大値,つまりdim(Ａ^Ｌ)が

行列ＡＬ≡([Ａ^ａ₁],[Ａ^ａ₂],..,[Ａ^ａ_n])の階数に等しいこと

がわかります。
 

しかし,(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)を基底とするなら,

(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,.., Ａ^ａ_n)

＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)([Ａ^ａ₁],[Ａ^ａ₂],..,[Ａ^ａ_n])

＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａなので,行列ＡＬと行列Ａは実は同じ

ものです。(注終わり)※
 

[定義3-37](行列の退化次数):正方行列Ａの次数と階数の差:

(ｎ－rankＡ)を行列Ａの退化次数という。
 

[定理3-38]:１次変換Ａ^の退化次数とその行列Ａの退化次数

は等しい。

(１次変換Ａ^の退化次数)＝dim(KerＡ^)＝ｎ－dim(Ａ^Ｌ)

＝ｎ－rankＡ＝(行列Ａの退化次数)は自明です。)
 

[定理3-39]:ｎ元同次(斉次)連立１次方程式Ａ[ｘ]＝0の１次独立

な解の最大個数はこの方程式の行列Ａの退化次数に等しい。

(※１次独立な解は[0]とは異なる非自明解です。)
 

(証明)方程式Ａ[ｘ]＝0を同等な線型空間の１次変換Ａ^でＡ^ｘ＝0

と書けば１次独立な解の最大個数はdim(KerＡ＾)ですが,これは

(行列Ａの退化次数)＝ｎ－rankＡと同じです。 

(証明終わり)
 

任意のベクトルが変換Ａ^によって再びＡに属するベクトルにうつされるとき:Ａ^Ａ⊂ＡのときＡは変換Ａ^に関して不変である,

あるいはＬのＡ^に関する不変部分空間であるという。
 

[定理3-40]:線型空間Ｌの線型部分空間のうち零空間{0}と全空間

Ｌは任意の１次変換に関して不変である。また,２つ以上の不変

部分空間の和,および共通部分はまた不変である。 

(↑自明)
 

[定理3-41]:線型空間Ｌの線型部分空間Ａが１次変換Ａ^に関して

不変なら,ＡはＡ^の関数ｆ(Ａ^)で与えられる変換に関してもまた

不変である。(←自明)
 

[定理3-42]:線型空間Ｌにおける１次変換Ａ^が不変な線型部分空間

Ａを持てばＡ^の行列Ａは４ゆの細胞に分割され,そのうち主対角線

上の細胞は正方行列で左下の矩形細胞はＯ(ゼロ)である。
 

(証明)不変部分空間Ａの基底をａ₁,ａ₂,..,ａ_mとし,これと１次独立

なａ_M+1,..,ａ_nを補ってＬの基底,つまり座標系とします。
 

　このとき,1≦ｊ≦ｍなら

Ａ^ａ_j＝α_1jａ₁＋α_2jａ₂＋..＋α_mjａ_m,ｍ＋1≦ｊ≦ｎなら

Ａ^ａ_j＝α_1jａ₁＋α_2jａ₂＋..＋α_mjａ_m＋α_m+1jａ₁＋..＋α_njａ_n

です。

つまり,Ａ^ａ_j＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_m,ａ_M+1,..,ａ_m)^t(α_1j,α_2j,..,α_mj,0,..,0)(1≦ｊ≦ｍ), 

　 Ａ^ａ_j＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)^t(α_1j,α_2j,..,α_nj) (ｍ＋1≦ｊ≦ｎ)

です。
 

　故に,(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,.., Ａ^ａ_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａ

で与えられる行列Ａは
 

となります。
 

ただし,Ａ₁はｍ次正方行列,Ａ₂は(ｎ－ｍ)次正方行列,

Ｂはｍ×(ｎ－ｍ)矩形行列,Ｏは(ｎ－ｍ)×ｍの矩形零]行列

です。 (証明終わり)
 

[定理3-42の系]:線型空間Ｌにおける１次変換Ａ^の行列Ａが

ｍ次正方行列Ａ₁,(ｎ－ｍ)次正方行列Ａ₂,ｍ×(ｎ－ｍ)矩形行列

Ｂ,(ｎ－ｍ)×ｍの矩形零]行列Ｏによって
 

と書けるとき,Ｌの座標系ａ₁,ａ₂,..,ａ_nのうち,はじめのｍ個の

基底ベクトルａ₁,ａ₂,..,ａ_mので張られる空間は変換Ａ^に関して

Ｌの不変部分空間である。(←自明)
 

[定義3-43]:線型空間Ｌにおける１次変換Ａ^がｍ次の不変部分空間

Ａを有するとき,Ａ^をＡにおける変換Ａ₁^がと見なしＡ₁^をＡ^

によって誘導される変換(induced transformation by Ａ^)

という。
 

[定理3-43]:線型空間Ｌにおける１次変換Ａ^の行列Ａが
 

と書けるとき,Ａ^によって誘導される変換Ａ₁^の行列はＡ₁

である。 

(↑ (Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,.., Ａ^ａ_m)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_m)Ａ₁

より自明)　
 

[定理3-44]:線型空間Ｌが１次変換Ａ^によって２つの不変部分空間

Ａ₁をＡ₂の直和に分解されるならば,適当な座標系においてＡ^の行列

Ａは細胞対角行列になり,その主対角線上の細胞はＡ^のによって誘導

された変換Ａ₁^,Ａ₂^の行列Ａ₁,Ａ₂となる。
 

　すなわち,Ｌ＝Ａ₁＋Ａ₂ならＡ＝Ａ₁＋Ａ₂となる。
 

(証明)不変部分空間Ａ₁の基底をａ₁,ａ₂,..,ａ_mとし,これと

１次独立なａ_M+1,..,ａ_nを補ってＬの座標系とします。
 

ただし,今の場合はＬ＝Ａ₁＋Ａ₂なのでａ_M+1,..,ａ_nはＡ₂の

基底です。
 

　すると,Ａ^ａ_j＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_m,ａ_m+1,..,ａ_n)^t(α_1j,α_2j,..,α_mj,0,..,0)(1≦ｊ≦ｍ), 

　 Ａ^ａ_j＝(ａ₁,..,ａ_m,ａ_m+1,ａ_m+2,..,ａ_n)^t(0,..,0,α_m+1j,α_m+2j,..,α_nj) (ｍ＋1≦ｊ≦ｎ)

です。
 

　故に,(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,.., Ａ^ａ_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａ

で与えられる行列Ａは
 

となります。(証明終わり)
 

途中ですが今日はここまでにします。
 

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光 訳)「線型代数学」(東京図書)

線型代数のエッセンス(7)(１次変換-1)

　線型代数のエッセンスの続きです。

※(余談:"ソリトンやインスタントン,非線形戸田格子etc.の可能性")

　私的には,21世紀に入った頃から非線形現象に着目していました。

　摂動のない多重周期の基準モードの線型運動のようなものだけを考慮するなら,粒子間にエネルギー交換があるという統計力学の根本的仮定が満足されません。

　また,１次元の非線型バネのコンピュータ解析でのFermi-Pasta-Ulamの再帰現象(和達三樹著「非線型波動」参照)のように,非線型振動では不安定な分散が生じるのとは逆に時間的に安定な振動が見られます。

　直感的に考えても,理想気体を構成する各気体分子が完全弾性衝突するだけでは,ビリアードでの玉のように衝突で軌道は折れ曲がっても究極的には永久に同じモードで周期運動するだけです。

　玉の数が増えれば基準振動モードの軌道形は複雑になっても,軌道間のモードの乗換えによるエネルギー交換は不可能です。

　話は変わりますが,物理現象を規定する微分方程式を数値計算可能にするために差分化すると,元が線型微分方程式の場合には差分方程式は連立１次方程式になります。

　そして,こうした線型な連立方程式でさえ,ガウス-ザイデル法のような緩和法の反復法を用いると比較的安定な陰解法でもコンピュータがデジタルであるための可算演算の限界故,差分スキームの選択次第では丸め誤差の累積により解が不安定になって発散する現象が起こります。

　理想的な無限ビットのアナログコンピュータを仮定してそれで計算するなら線型方程式の有限であるべき解が計算されて発散することはないのですが。。。

(↑全ての無限小数をデジタルで表現できるのですから)

　一方,たとえアナログコンピュータでも線型でなくわずかな非線型項があれば同等な累積現象による発散が期待できます。

　くりこみにおけるλφ⁴理論のように,実は自由場が線型ではなくプランクオーダーの係数λを持つ非線形項があって,その累積がマイナスの引き算項として紫外発散と相殺するなら,などと自分で勝手気儘なことを考えていたのですが。。。

　Higgs粒子についても同様な非線型項を夢見ていました。

　私がこれらの具体化を考える前に,そうしたものに似た既存理論があるみたいですね。

　私が思い付きで考えることぐらいは既にあるみたいで去年還暦を機会にやろうかと思って調べていてやや挫折感がありました。(終わり)※

　さて,本題の§3に入ります。

§3.１次変換

[定義3-1]:集合Ｍがあるとする。∀ｍ∈Ｍの各々に１つのＭの元を対応させる写像(mapping)を集合Ｍの上の変換(transformation)という。

ここでは変換をＭの元に左からＡ^,Ｂ^,..の作用素(operator:演算子)を施すことで表現する。

すなわち,ｍ∈Ｍに変換Ａ^を行なった結果として得られる元をＡ^ｍと表わしＡ^ｍを変換Ａ^による像(image)という。逆にｍをＭの元Ａ^ｍの原像(inverse image)という。

※(注):Ｌが量子力学の状態を表わすケット(ket)の状態空間で|ψ＞∈Ｌ,Ａ^が量子演算子なら像はＡ^|ψ＞ですね。(注終わり)※ 

[定義3-2]:Ｍにの２つの変換:Ａ^,Ｂ^があるとする。ｍをＢ^(Ａ^ｍ)∈Ｍにうつす変換をＡ^とＢ^の積と名付け,これをＢ^Ａ^と表わす。

すなわちＢ^(Ａ^ｍ)＝(Ｂ^Ａ^)ｍと書く。

[定理3-3](積の結合則):Ａ^,Ｂ^,Ｃ^をＭの任意の変換とすると(Ａ^Ｂ^)Ｃ^＝Ａ^(Ｂ^Ｃ^)である。

　特に,Ａ^Ａ^をＡ^²,Ａ^²Ａ^をＡ^³,...etc.と指数で表現すれば,Ａ^^mＡ^ⁿ＝Ａ^ ^m+n,(Ａ^^m)ⁿ＝Ａ^ ^mnが成立する。(←自明なので証明は略)

[定義3-4]:∀ｍ∈Ｍの各々にｍ自身を対応させる変換を恒等変換(identity)と呼び,この変換をＥ^で表わす。Ｅ^ｍ＝ｍである。

[定理3-5]:Ａ^をＭの任意の変換とするとＥ^Ａ^＝Ａ^Ｅ^＝Ａ^である。(↑自明)

[定義3-6]:Ｍの変換Ａ^に対してＡ^Ｂ^＝Ｂ^Ａ^＝Ｅ^を満たす変換Ｂ^を見出し得るとき,Ｂ^をＡ^の逆変換(inverse)といいＡ^^-1で表わす。

　また,Ａ^に関する逆変換Ａ^^-1があるとき,変換Ａ^は可逆(invertible)であるという。

[定理3-7]:可逆な変換に対しその逆変換は常に唯一(unique)である。

(証明)変換Ａ^は可逆であってＡ^Ｂ^＝Ｂ^Ａ^＝Ｅ^,かつＡ^Ｃ^＝Ｃ^Ａ^＝Ｅ^が成立するとする。

　このとき,Ｃ^＝Ｅ^Ｃ^＝(Ｂ^Ａ^)Ｃ^＝Ｂ^(Ａ^Ｃ^)＝Ｂ^Ｅ^＝Ｂ^となりＣ^とＢ^は全く同じものです。(証明終わり)

[定理3-8]:可逆な変換Ａ^に対し逆変換Ａ^^-1もまた可逆であり(Ａ^^-1)^-1＝Ａ^である。

　また,Ａ^^-n≡(Ａ^^-1)ⁿ＝と定義し,Ａ^⁰＝Ｅと規約すると(Ａ^ⁿ)^-1＝Ａ^^-n,(Ａ^Ｂ^)^-1＝Ｂ^^-1Ａ^^-1が成立する。

(証明)まず,(Ａ^^-1)^-1＝(Ａ^^-1)^-1Ｅ^＝(Ａ^^-1)^-1(Ａ^^-1Ａ^)＝{(Ａ^^-1)^-1Ａ^^-1}Ａ^＝Ｅ^Ａ^ ⁿ＝Ａです。

次に,明らかにＥ^ ⁿ＝Ｅ^なので,(Ａ^ⁿ)^-1＝(Ａ^ⁿ)^-1Ｅ^＝(Ａ^ⁿ)^-1Ｅ^ⁿ＝(Ａ^ⁿ)^-1(Ａ^Ａ^^-1)ⁿ＝(Ａ^Ａ^..Ａ^)^-1{(Ａ^Ａ^^-1)(Ａ^Ａ^^-1)...(Ａ^Ａ^^-1)}＝(Ａ^Ａ^..Ａ^)^-1(Ａ^Ａ^...Ａ^)(Ａ^^-1)ⁿ＝Ｅ^(Ａ^^-1)ⁿ＝^(Ａ^^-1)ⁿ が得られます。

　最後に,(Ａ^Ｂ^)^-1＝Ｅ^(Ａ^Ｂ^)^-1＝(Ｂ^^-1Ｅ^Ｂ^)(Ａ^Ｂ^)^-1＝{Ｂ^^-1(Ａ^^-1Ａ^)Ｂ^}(Ａ^Ｂ^)^-1＝(Ｂ^^-1Ａ^^-1)(Ａ^Ｂ^)(Ａ^Ｂ^)^-1＝(Ｂ^^-1Ａ^^-1)Ｅ^＝Ｂ^^-1Ａ^^-1です。(証明終わり)

[定理3-9]:集合Ｍの上の変換Ａ^が可逆である。⇔Ａ^はＭからそれ自身への双一意写像である。(⇔ は同値(必要十分)を表わす記号)

※(注):双一意写像とは,先に述べた１対１上への写像＝全単射(bijection)のことです。

　すなわちＡ^がＭからそれ自身への双一意写像であるとは,各々のｍ∈ＭがそのＡ^による原像をＭの中に有し,さらにｍ₁,ｍ₂∈Ｍ,ｍ₁≠ｍ₂なら常にＡ^ｍ₁≠Ａ^ｍ₂となることです。(注終わり)※

(証明)まず,Ａ^が可逆であってＡ^^-1が存在するとします。このとき,∀ｍ∈Ｍに対してｎ＝Ａ^^-1ｍとおけば,ｎ∈ＭでありＡ^ｎ＝Ａ^Ａ^^-1ｍ＝ｍです。

次に,ｍ₁,ｍ₂∈ＭについてＡ^ｍ₁＝Ａ^ｍ₂ならＡ^^-1Ａ^ｍ₁＝Ａ^^-1Ａ^ｍ₂よりｍ₁＝ｍ₂です。故に,ｍ₁≠ｍ₂ならＡ^ｍ₁≠Ａ^ｍ₂が従います。

逆にＡ^がＭからそれ自身への双一意写像(全単射)であるとすると,∀ｍ∈Ｍに対してあるｎ∈Ｍが存在してＡ^ｎ＝ｍであって,この対応:ｍ→ｎは一意的(unique)です。

そこで,このｍ→ｎの変換をＢ^で表わすと,Ｂ^ｍ＝ｎですからＢ^Ａ^ｎ＝Ｂ^ｍ＝ｎ,Ａ^Ｂ^ｍ＝Ａ^ｎ＝ｍなので,これはＢ^Ａ^＝Ａ^Ｂ^＝Ｅ^を意味しますからＢ^＝Ａ^^-1と書けます。(証明終わり)

[定義3-10]:線型空間Ｌの上の変換Ａ^が１次変換(線型変換:linear transformation)であるとは,∀ｘ,ｙ∈Ｌ,∀α,β∈Ｃに対してＡ^(αｘ＋βｙ)＝αＡ^ｘ＋βＡ^ｙが成立することをいう。

[定理3-11]:Ａ^を線型空間Ｌの上の１次変換とするとＡ^0＝0 である。

(証明)Ａ^(αｘ)＝αＡ^ｘにおいてα＝0とするとＡ^0＝0 を得ます。

(証明終わり)

[定理3-12]:恒等変換Ｅ^は１次変換である。(←自明)

[定義3-13]:∀ｘ∈Ｌを全て零元:0∈Ｌにうつす変換を零変換と呼びＯ^で表わす。

[定理3-14]:零変換Ｏ^は１次変換である。(←自明)

[定理3-15]:ａ₁,ａ₂,..,ａ_nをｎ次元線型空間Ｌの任意の基底とする。そしてＬの任意に選んだｎ個の元をｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_nをとする。

　このとき,ａ₁,ａ₂,..,ａ_nを,それぞれｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_nにうつす１次変換が一つ,しかも唯一つに限って存在する。

(証明)∀ｘ∈Ｌは基底ａ₁,ａ₂,..,ａ_nによってｘ＝ξ₁ａ₁＋ξ₂ａ₂＋..＋ξ_nａ_nと一意的に表わされます。

　このとき,ｘのＡ^による像:ｘ'＝Ａ^ｘ∈Ｌを同じ座標成分:ξ₁,ξ₂,..,ξ_nを用いてｘ'≡ξ₁ｂ₁＋ξ₂ｂ₂＋..＋ξ_nｂ_nにより定義します。

　この定義において,特にξ_i＝1,ｊ≠ｉならξ_i＝0 おくことにより,ｂ_i＝Ａ^ａ_i(ｉ＝12,..,ｎ)を得ます。

　また,ｘ,ｙ∈Ｌ,α,β∈Ｃに対してＡ^(αｘ＋βｙ)＝αＡ^ｘ＋βＡ^ｙが成立することも明らかですから,変換Ａ^は１次変換です。

　次に,変換Ｂ^がＢ^(αｘ＋βｙ)＝αＢ^ｘ＋βＢ^ｙがＢ^ａ_i＝ｂ_i (ｉ＝1,2,..,ｎ)を満たすとすれば,ｘ＝ξ₁ａ₁＋ξ₂ａ₂＋..＋ξ_nａ_nのとき,Ｂ^ｘ＝ξ₁ｂ₁＋ξ₂ｂ₂＋..＋ξ_nｂ_n＝Ａ^ｘです。

つまり,∀ｘ∈Ｌに対してＢ^ｘ＝Ａ^ｘですから,Ｂ^＝Ａ^です。

(証明終わり)

[定義3-16](１次変換の行列):線型空間Ｌの座標系をａ₁,ａ₂,..,ａ_n,１次変換をＡ^とし,Ａ^ａ₁≡α₁₁ａ₁＋α₂₁ａ₂＋..＋α_n1ａ_n＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)[ａ₁]＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)^t(α₁₁,α₂₁,..＋α_n1),Ａ^ａ₂≡α₁₂ａ₁＋α₂₂ａ₂＋..＋α_n2ａ_n＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)[ａ₂]＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)^t(α₁₂,α₂₂,..＋α_n2),

...,Ａ^ａ_n≡α_1nａ₁＋α_2nａ₂＋..＋α_nnａ_n＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)[ａ_n]＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)^t(α_1n,α_2n,..＋α_nn),つまり(ｉ＝1,2,..,ｎ)

とする。

　このとき,Ａ≡([ａ₁],[ａ₂],,..,[ａ_n]),すなわち

　を座標系:ａ₁,ａ₂,..,ａ_nにおける変換Ａ^の行列と名付ける。

　(※(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,..,,Ａ^ａ_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａです。)

[定理3-17]:行列Ａによって,ベクトルＡ^ａ₁,Ａ^ａ₂,..,,Ａ^ａ_nが定まるため,ＡとＡ^は１対１対応である。(※ここでの１対１対応は同型対応(全単射)の意味です。)

(証明)[定理3-15],およびその証明から変換Ａ^が定まることは,基底(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)に対して(ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_n)≡(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,..,,Ａ^ａ_n)が全て定まることに同値であることがわかります。

　そして,(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,..,,Ａ^ａ_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａにより行列Ａが一意に定まることも明らかです。(証明終わり)

[定理3-18]:[定義3-16]で定義される変換の行列の同型対応において,零変換Ｏ^には成分が全てゼロの零行列Ｏが,恒等変換Ｅ^には単位行列Ｅが対応する。(← 自明なので証明略)

[定理3-19]:線型空間Ｌの座標系をａ₁,ａ₂,..,ａ_n,１次変換をＡ^とし,その行列をＡとする。

Ｌの任意の元ｘ∈Ｌがｘ＝ξ₁ａ₁＋ξ₂ａ₂＋..＋ξ_nａ_n＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)[ｘ]＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)と表わされるとすれば,Ａ^ｘ＝(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,..,,Ａ^ａ_n)^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａ^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)である。

つまり,

である。

すなわち,座標ベクトル:[ｘ]＝^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)に対してＡ^ｘの座標ベクトルは行列Ａにより[Ａ^ｘ]＝Ａ^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)＝Ａ[ｘ]と表現される。

(証明)Ａ^ｘ＝Ａ^{(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)[ｘ]}＝{(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａ}[ｘ]＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａ[ｘ]により,[Ａ^ｘ]＝Ａ[ｘ]です。

(証明終わり)

[定理3-20]:(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n),および(ａ',ａ',..,ａ')を線型空間Ｌの２つの座標系とし,Ｔをその変換行列とする。(※すなわち,(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)Ｔです。)

Ｌの上の１次変換Ａ^の(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)に対する行列をＡとすると,Ａ^の(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)に対する行列は(ＴＡＴ^-1)である。

(証明)ｘ＝ξ₁ａ₁＋ξ₂ａ₂＋..＋ξ_nａ_n＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)に,(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)Ｔを代入すると,ｘ＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)Ｔ^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)です。

　それ故,同じｘの別基底による表現:ｘ＝ξ'₁ａ'₁＋ξ'₂ａ'₂＋..＋ξ'_nａ'_n＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n) ^t(ξ'₁,ξ'₂,..,ξ'_n)での座標は変換行列Ｔによって ^t(ξ'₁,ξ'₂,..,ξ'_n)＝Ｔ^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)と表わされます。

　これは,実は既に[定理2-34]で既に示されています。

　そして,これの逆表現は(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)＝(Ｔ^-1)^t(ξ'₁,ξ'₂,..,ξ'_n)ですね。

　他方,[定理3-19]よりＡ^ｘ＝(Ａ^ａ₁,Ａ^ａ₂,..,,Ａ^ａ_n)^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ａ^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)です。

　これに,(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)Ｔを代入すると,Ａ^ｘ＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)ＴＡ^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)を得ます。

上式の最右辺にさらに,^t(ξ₁,ξ₂,..,ξ_n)＝(Ｔ^-1)^t(ξ'₁,ξ'₂,..,ξ'_n)を代入すると,Ａ^ｘ＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)(ＴＡＴ^-1)^t(ξ'₁,ξ'₂,..,ξ'_n)が得られます。

これは,座標系:(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)に対する変換Ａ^の行列が(ＴＡＴ^-1)であることを意味します。(証明終わり)

[定理3-21]:１次変換の積は１次変換である。

(証明)Ａ^,Ｂ^を線型空間Ｌの上の１次変換とし,ｘ,ｙ∈Ｌ,α,β∈Ｃとします。

　すると,(Ｂ^Ａ^)(αｘ＋βｙ)＝Ｂ^{Ａ^(αｘ＋βｙ)}＝Ｂ^(αＡ^ｘ＋βＡ^ｙ)＝α(Ｂ^Ａ^)ｘ＋β(Ｂ^Ａ^)ｙですから,Ｂ^Ａ^も線型空間Ｌの上の１次変換です。(証明終わり)

[定理3-22]:線型空間Ｌの上の１次変換Ａ^,Ｂ^の行列をＡ,Ｂとすると,積変換Ｂ^Ａ^,およびＡ^Ｂ^の行列はそれぞれＢＡ,およびＡＢである。

　特に,Ａ^自身のｍ個の積:Ａ^^m＝Ａ^Ａ^...Ａ^の行列はＡのｍ個の積:Ａ^m＝ＡＡ..Ａである。

(証明)ｘ∈Ｌの座標を[ｘ]とすると,定義により[Ａ^ｘ]＝Ａ[ｘ]です。したがって,[(Ｂ^Ａ^)ｘ]＝[Ｂ^(Ａ^ｘ)]＝Ｂ[Ａ^ｘ]＝ＢＡ[ｘ]となります。(証明終わり)

[定理3-23]:Ａ^が線型空間Ｌの上の可逆な１次変換ならＡ^^-1も１次変換である。Ａ^の行列がＡならＡ^^-1の行列はＡ^-1である。

(証明)ＸをＡ^^-1に対応する行列とすれば,Ａ^Ａ^^-1＝Ａ^^-1Ａ^＝Ｅ^ですから,たった今証明した[定理3-22]の積の同型対応によりＡＸ＝ＸＡ＝Ｅが成立します。故に,Ｘ＝Ａ^-1です。(証明終わり)

[定理3-24]:１次変換の和,およびスカラー倍も１次変換であり,それらの行列は,それぞれ各変換の行列の和,およびスカラー倍である。

(↑自明)

[定理3-25]:１次変換の多項式は１次変換であり,その行列は行列の多項式に等しい。(←自明)

　今日はここまでにします。

※(余談２):Schroedingerの波動力学では状態空間を部分空間とする線型空間Ｌは粒子の位置座標ｘの関数ψ(ｘ)全体から成る関数空間で１次変換の演算子Ａ^は(∂/∂ｘ),∇のスカラー倍のような微分演算子,単なるｘの関数ｆ(ｘ)を掛ける演算,∫ｄｘのような積分演算子でした。

　一方,Ｌを関数空間に特定せず,その概念も包摂した抽象的ベクトルを元とする抽象線型空間として定式化してみます。

　もしも空間Ｌが有限次元であるなら,上述のようにＬは数を成分とする列ベクトルを元とする数ベクトル空間[Ｌ]に同型対応し,Ｌの１次変換の演算子Ａ^は数ベクトル空間[Ｌ]の行列Ａに同型対応します。

　したがって,状態の空間が有限次元ではなく無限次元を取る可能性を除けば,Schroedingerの波動力学がHeisenbergの行列力学と同値であるということは線型代数学から自然に演繹されます。

　１粒子の通常の素朴な量子力学では,DiracやVon.Neumannを待つまでもなく.この程度の認識でいいでしょう。

　しかし,量子電磁力学以後の定式化で生じている主要な問題は,正に有限次元と無限次元の違い,多粒子系の状態ベクトルを元とする空間の可分性(可算基底と非可算基底の問題)等に起因していると考えられます。

　有限次元と無限次元の違いを認識するためにも,こうした私的に線型代数のエッセンスを確認する作業は無駄ではないと思います。※　 

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

ＰＳ：一昨日夜は手話講習,昨日は早朝から春日部(武里)での定期診断でしたが異常に寒くて疲れました。

　前からの予定ですから,こういうのは天候くらいでめったに予定変更しませんが,何故か私は雨男,雪男で,これまでも普段と違う行動の日には決まって地震,台風を含む天変地異がよく起こると感じています。

　でも,こういうことは困ったもんです。昔とは違って今は私は病人で心臓は寒さ暑さには滅法弱いですから。。。

　前に,私の認識の閾値がオカシイと書いたのはシャレではなく,実際,手話講習会での手話認識では年齢とか不真面目のせいではなく,真剣に授業受けても思い込みでなく人一倍劣等生であることを自認しています。

　生まれてこの方パターン認識,特に空間認識は苦手なようです。

　自慢ですが,岡山の田舎の２クラス100人程度の小学校ではほとんど常にペーパーテストでは学年トップの成績でした。

　ところが,当時のアチーブメントテスト,つまりＩＱテストでは手を抜いたわけではなく平均点よりかなり低いことがよくあり先生に心配されました。

　単に図形とかの認識の問題ができなかったのですね。

　そこで,当時少しはやった将棋なども最弱の方でした。

　しかし,将棋,卓球など持って生まれた才能はダメでも訓練して集中力が続けば人並みになりました。勉強もそうだったのかな？

　右脳の劣等性を左脳でカバーした,というわけですかね。イヤ逆かな？

　中学に入って,幾何の平面図形は普通にできましたが,空間図形には少し苦労しました。高校でデカルト座標で解析幾何学やベクトルの成分表示など数式に変換されるとこれも問題なくなりましたが。。。

　というようにパターン認識等の自然現象の常識認識には生来の欠陥があるかもしれません。

　まあ,大げさに考えなくても生活に支障なかったし,サバン症候群ほどではないけれど何かのプラスに作用してるかも知れませんネ。

線型代数のエッセンス(6)(線型部分空間)

　線型代数のエッセンスの続きです。

[定義2-35]:線型空間Ｌの空でない部分集合Ａが次の２つの条件(ⅰ),(ⅱ)を満たすときＡをＬの線型部分空間(linear subspace)という。

(ⅰ)ａ∈Ａなら∀α∈Ｃに対してαａ∈Ａ

(ⅱ)ａ,ｂ∈Ａならａ＋ｂ∈Ａ

[定理2-36]:線型空間(ベクトル空間)Ｌの線型部分空間Ａはそれ自身１つの線型空間(ベクトル空間)である。

(証明)線型空間(ベクトル空間)Ｌの定義:[定義2-1]における和とスカラー積の演算をＬの部分空間Ａにおいてそのまま保持すれば,これらの演算はＡでも"次の性質＝線型空間の公理"を満たすのは明らかです。

(ⅰ)ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ(ａ,ｂ∈Ａ),(ⅱ)(ａ＋ｂ)＋ｃ＝ａ＋(ｂ＋ｃ)(ａ,ｂ,ｃ∈Ａ),(ⅲ) ∀ａ,ｂ∈Ａに対してａ＋ｘ＝ｂを満たすｘ∈Ａが存在する。このｘをｂ－ａと書く。

(ⅳ)α(βａ)＝(αβ)ａ (α,β∈Ｃ,ａ∈Ａ),

(ⅴ)α(ａ＋ｂ)＝αａ＋αｂ (α∈Ｃ,ａ,ｂ∈Ａ),(ⅵ) (α＋β)ａ＝αａ＋βａ (α,β∈Ｃ,ａ∈Ａ),(ⅶ)∀ａ∈Ａに対し1・ａ＝ａ

(証明終わり)

[定理2-37]:線型空間Ｌの線型部分空間をＡとすると0∈Ａである。また,ａ,ｂ∈Ａ,α,β∈Ｃならαａ＋βｂ∈Ａである。

(証明)ほぼ自明ですが,ａ∈Ａなら,0＝0・ａ∈Ａより 0∈Ａ,ａ,ｂ∈Ａ,α,β∈Ｃなら,αａ∈Ａ,かつβｂ∈Ａよりαａ＋βｂ∈Ａ

(証明終わり)

[定義2-38]:線型空間Ｌの零元:0のみから成る集合:{0}は明らかにＬの線型部分空間であるが,この{0}を零空間(zero-subspace)という。

そして,{0},およびＬをＬの自明な(trivial)(線型)部分空間),これ以外の部分空間をＬの自明でない(non-trivial)部分空間,または真の部分空間(true subspace)という。

[定理2-39]:線型空間をＬとしａ₁,ａ₂,..,ａ_m∈Ｌとする。このとき,集合Ａ≡{ａ∈Ｌ|ａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_mａ_m∈Ｌ}はＬの線型部分空間である。(←自明)

[定義2-39]:上記の線型空間Ｌの部分空間Ａ≡{ａ∈Ｌ|ａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_mａ_m∈Ｌ}をａ₁,ａ₂,..,ａ_mによって張られるＬの部分空間,またはａ₁,ａ₂,..,ａ_mの上に張られるＬの部分空間(linear-subspace spanned on ａ₁,ａ₂,..,ａ_m)という。

(※(注):ａ₁,ａ₂,..,ａ_mは部分空間Ａの生成系＝生成元(generator)の系です。※)

[定理2-40]:線型空間をＬとする。ａ₁,ａ₂,..,ａ_m∈Ｌによって張られるＬの部分空間Ａの次元は,系ａ₁,ａ₂,..,ａ_mに含まれる１次独立なベクトルの個数の最大値である。(←自明)

[定義2-41]:Ａ,Ｂを線型空間Ｌの(線型)部分空間とするとき,集合としてのＡとＢの共通部分(intersection):Ａ∩Ｂ≡{ａ∈Ｌ|ａ∈Ａ,かつａ∈Ｂ}にＬの線型演算を含めたものを部分空間ＡとＢの共通部分と呼び,記号Ａ∩Ｂで表わす。

[定理2-42]:Ａ,Ｂが線型空間Ｌの線型部分空間ならＡ∩ＢもまたＬの線型部分空間である。

(証明)[定理2-37]よりＡ,Ｂが線型空間Ｌの線型部分空間なら,0∈Ａ∩Ｂですから,Ａ∩Ｂ≠φです。

そして,明らかに,(ⅰ)ａ∈Ａ∩Ｂなら∀α∈Ｃに対してαａ∈Ａ∩Ｂ (ⅱ)ａ,ｂ∈Ａ∩Ｂならａ＋ｂ∈Ａ∩Ｂを満たすので線型部分空間の定義によって,Ａ∩ＢもまたＬの線型部分空間です。（証明終わり）

[定義2-43]:線型空間Ｌの有限個の線型部分空間Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_sの和(sum):Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sをＡ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_s≡{ａ∈Ｌ|ａ＝ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s;ａ_i∈Ａ_i(ｉ＝1,2..,ｓ)}によって定義する。

[定理2-44]:線型空間Ｌの有限個の線型部分空間Ａ_sの和は,またＬの線型部分空間である。

(↑自明なので証明は略)

[定理2-45]:Ａ,Ｂ,Ｃが線型空間Ｌの線型部分空間とする。このとき,(ⅰ)Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ, (ⅱ)Ａ＋(Ｂ＋Ｃ)＝(Ａ＋Ｂ)＋Ｃ,(ⅲ)Ａ⊂Ｂ,ＣならＡ＋Ｂ＝Ｂ,が成立する。(←自明)

[定理2-46]:線型空間Ｌの２つの線型部分空間Ａ,Ｂの和:Ａ＋Ｂの次元はＡ,Ｂそれぞれの次元の和からＡ∩Ｂの次元を引いたものに等しい。すなわち,dim(Ａ＋Ｂ)＝dimＡ＋dimＢ－dim(Ａ∩Ｂ)である。

(証明)ｒ＝dimＡ,ｓ＝dimＢ,ｍ＝dim(Ａ∩Ｂ)とし,Ａ∩Ｂの任意の基底をｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_mとします。

　このｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_mに,1次独立なベクトル系ａ₁,ａ₂,..,ａ_k∈Ａを補ってｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_m,ａ₁,ａ₂,..,ａ_kがＡの基底になるようにすることができます。ｒ＝ｍ＋ｋです。

　同様に,ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_mに1次独立なベクトル系ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_pを補ってｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_m,ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_pがＢの基底になるようにすることができます。ｓ＝ｍ＋ｐです。

　これによって,∀ａ∈Ａ,∀ｂ∈Ｂに対する任意のＡ＋Ｂの元ａ＋ｂがｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_m,ａ₁,ａ₂,..,ａ_k,ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_pの１次結合で表わせることは明らかです。

　ところで,これらの１次関係式をα₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_kａ_k＋β₁ｂ₁＋β₂ｂ₂＋..＋β_pｂ_p＋γ₁ｃ₁＋γ₂ｃ₂＋..＋γ_mｃ_m＝0 と書けば,β₁ｂ₁＋β₂ｂ₂＋..＋β_pｂ_p＝－α₁ａ₁－α₂ａ₂－..－α_kａ_k－γ₁ｃ₁－γ₂ｃ₂－..－γ_mｃ_mですが,左辺はＢに属し右辺はＡに属します。

　それ故,β₁ｂ₁＋β₂ｂ₂＋..＋β_pｂ_p∈Ａ∩Ｂです。

　そこで,右辺からα₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_kａ_k＋γ₁ｃ₁＋γ₂ｃ₂＋..＋γ_mｃ_m∈Ａ∩Ｂですが,ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_mだけがＡ∩Ｂの基底をなすのでα₁＝α₂＝..＝α_k＝0 です。

　そこで元の1次関係式はβ₁ｂ₁＋β₂ｂ₂＋..＋β_pｂ_p＋γ₁ｃ₁＋γ₂ｃ₂＋..＋γ_mｃ_m＝0 と書けますが,ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_m,ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_pはＢの基底なのでβ₁＝β₂＝..＝β_k＝γ₁＝γ₂＝..＝γ_k＝0を得ます。

以上から,ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_m,ａ₁,ａ₂,..,ａ_k,ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_pは全て１次独立でＡ＋Ｂの基底をなすことがわかりました。

よって,dim(Ａ＋Ｂ)＝ｍ＋ｋ＋ｐ＝ｒ＋ｓ－ｍ＝dimＡ＋dimＢ－dim(Ａ∩Ｂ)が示されました。(証明終わり)

[定理2-46の系]:線型空間Ｌの２つの線型部分空間をＡ,Ｂとする。このとき,共通部分Ａ∩Ｂの次元はＡ,Ｂそれぞれの次元の和からＬの次元を引いたものより小さくは成り得ない。つまりdim(Ａ∩Ｂ)≧dimＡ＋dimＢ－dimＬである。

(証明)ｎ＝dimＬ,ｍ＝dim(Ａ∩Ｂ),ｒ＝dimＡ,ｓ＝dimＢとすると[定理2-46]よりdim(Ａ＋Ｂ)＝ｒ＋ｓ－ｍでこれがｎ以下ですから,ｒ＋ｓ－ｍ≦ｎよりｍ≧ｒ＋ｓ－ｎ,つまりdim(Ａ∩Ｂ)≧dimＡ＋dimＢ－dimＬです。(証明終わり)

[定義2-47]:線型空間Ｌの有限個の線型部分空間Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_sの和:Ａ≡Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sにおいて任意のａ∈Ｌはａ＝ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s;ａ_i∈Ａ_i(ｉ＝1,2..,ｓ)と表わされるが,この分解表現が一意的(unique)であるときＡをＡ₁,Ａ₂,..,Ａ_sの直和(direct sum)という。

ここでは,直和ＡをＡ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sと書くことにする。

[定理2-48]:線型空間Ｌの有限個の線型部分空間Ａ₁,Ａ₂,..,Ａ_sの和:Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sにおいて,零元 0の部分空間への分解:0＝ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s(ａ_i∈Ａ_i;ｉ＝1,2..,ｓ)が常にａ₁＝ａ₂＝..＝ａ_s＝0 を意味するとき,和Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sは直和である。

(証明)ａ∈Ｌがａ＝ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s;ａ_i∈Ａ_i(ｉ＝1,2..,ｓ),かつａ＝ａ'₁＋ａ'₂＋..＋ａ'_s;ａ'_i∈Ａ_i(ｉ＝1,2..,ｓ)と分解されたとすると,(ａ₁－ａ'₁)＋(ａ₂－ａ'₂)＋..＋(ａ_s－ａ'_s)＝0 でａ_i－ａ'_i∈Ａ_i(ｉ＝1,2..,ｓ)が成立します。

　すると,定理の仮定によりａ_i－ａ'_i＝0,すなわちａ_i＝ａ'_i(ｉ＝1,2..,ｓ)ですから,∀ａ∈Ｌの分解表現は一意的です。したがって和Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sは直和です。

(証明終わり)

※(注):上記の定理は"ａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s＝0 (ａ_i∈Ａ_i;ｉ＝1,2..,ｓ)ならａ₁＝ａ₂＝..＝ａ_s＝0 なること"が,和:Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sが直和にであるための十分条件であると述べるものですが,この条件が必要条件でもあることは明らかです。(注終わり)※

[定理2-49]:線型空間の分解:Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_s;Ａ₁＝Ａ₁₁＋Ａ₁₂＋..＋Ａ_1,m1,Ａ₂＝Ａ₂₁＋Ａ₂₂＋..＋Ａ_2,m2,..,Ａ_s＝Ａ_s1＋Ａ_s2＋..＋Ａ_s,msが全て直和であるなら,分解:Ａ＝Ａ₁₁＋Ａ₁₂＋..＋Ａ_1,m1＋..＋Ａ_s1＋Ａ_s2＋..＋Ａ_s,msも直和である。

(証明)ａ₁₁＋ａ₁₂＋..＋ａ_1,m1＋..＋ａ_s1＋ａ_s2＋..＋ａ_s,ms＝0 (ａ_ij∈Ａ_ij)とする。

　このときａ₁＋ａ₂＋..＋ａ_s＝0 ;ａ₁＝ａ₁₁＋ａ₁₂＋..＋ａ_1,m1∈Ａ₁,ａ₂＝ａ₂₁＋ａ₂₂＋..＋ａ_2,m∈Ａ₂,..,ａ_s＝ａ_s1＋ａ_s2＋..＋ａ_s,ms∈Ａ_sと書けます。

　Ａ＝Ａ₁＋Ａ₂＋..＋Ａ_sが直和なので,ａ₁＝ａ₂＝..＝ａ_s＝0です。

　そこでａ_i＝ａ_i1＋ａ_i2＋..＋ａ_i,mi＝0,Ａ_i＝Ａ_i1＋Ａ_i2＋..＋Ａ_i,mi (ｉ＝1,2..,ｓ)(直和)によりａ₁₁＝ａ₁₂＝..＝ａ_s,ms＝0 です。

(証明終わり)

[定理2-50]:線型空間Ｌの２つの線型部分空間ＡとＢの和が直和であるための必要十分条件はＡ∩Ｂ＝{0}なることである。

(証明)Ａ∩Ｂ≠{0}とし,ａ≠0,ａ∈Ａ∩Ｂとするとａ∈Ａ∩Ｂ,(－ａ)∈Ａ∩Ｂで,0＝ａ＋(－ａ)∈Ａ＋Ｂ;ａ∈Ａ,(－ａ)∈Ｂ,かつａ≠0,(－ａ)≠0 となるためＡ＋Ｂは直和ではありません。

逆にＡ＋Ｂが直和ではないなら,0の分解も一意的ではないので,あるａ≠0,ａ∈Ａとあるｂ≠0,ｂ∈Ｂが存在して 0＝ａ＋ｂと書けます。すると,ｂ＝－ａでｂ≠0,ｂ∈Ａ∩ＢですからＡ∩Ｂ≠{0}です。

(証明終わり)

[定理2-51]:線型空間Ｌの２つの線型部分空間ＡとＢの直和の次元は部分空間ＡとＢの次元の和に等しい。つまり,dim(Ａ＋Ｂ)＝dimＡ＋dimＢ

(証明) [定理2-46]よりdim(Ａ＋Ｂ)＝dimＡ＋dimＢ－dim(Ａ∩Ｂ)ですが和Ａ＋Ｂが直和Ａ＋Ｂの場合はＡ∩Ｂ≠{0}よりdim(Ａ∩Ｂ)＝0ですからdim(Ａ＋Ｂ)＝dimＡ＋dimＢです。(証明終わり)

[定理2-51の系]:線型空間Ｌの２つの線型部分空間ＡとＢの和の次元がＡとＢの次元の和に等しいなら和Ａ＋Ｂは直和である。(←自明)

短いですが今日はここまでにします。

次回からは,１次変換(線型変換)と行列の関係などの話に移行する予定です。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

線型代数のエッセンス(5)(線型空間２の補遺)

　たまには科学記事も書かないと,本ブログのこの分野を忘れられそうなので,つなぎとしての「線型代数のエッセンス(4)」の書き残し部分を書きます。

余談ですが,ここでの記述のように数学の定義,定理,証明という手続きの連続はある意味で退屈な作業です。

しかし,私は科学事象を規定する用語や概念について人一倍認識能力のない人間(なかなか,なるほどと納得できない認識の閾値(threshold)が低いタイプの人間)です。

(↑たとえで言えば,かつては幼児レベルまで下がった説明でないと容易に納得できたと言わない頑固者でした。

ある時期からは,物質の運動状態とか色などの物理的性質ならその量的側面を定量化して数式にまで昇華した形で理解できたら,取り合えず納得した気になるようになりました。)

そこで,用語や概念,命題を一旦"論理的アルゴリズム?(algorithm)＝トートロジー(tautology)の連続"によって認識しやすいアセンブラ(低級言語)にコンパイル(翻訳:compile)するという数学的作業なしには,

こうした概念や理論について未知の外国語を聞いているようにチンプンカンプンなのです。

さて,本題に入ります。

[定義2-25](座標系):線型空間Ｌにおける基底ベクトルをある一定の順序に配列したものをＬにおける座標系(coordinate system)という。

[定義2-26](座標):Ｌにおける座標系をａ₁,ａ₂,..,ａ_nとするとき,∀ａ∈Ｌはａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_nａ_n;α₁,α₂,..,α_n∈Ｃと一意的に表わされるが,係数:α₁,α₂,..,α_nの各々をａの座標成分(component)と呼ぶ。

　座標成分の列表示:^t(α₁,α₂,..,α_n)をａの座標ベクトル,または座標(coordinate)と呼び,ここではこれを記号[ａ]で表わす。

　こうすればａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_nａ_n＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)^t(α₁,α₂,..,α_n)＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)[ａ]と行列積表現される。

※(注):^t(α₁,α₂,..,α_n)は行(α₁,α₂,..,α_n)の転置(transpot)を意味します。(注終わり)※

[定理2-27](座標の性質):任意のａ,ｂ∈Ｌ,α∈Ｃに対し,[αａ]＝α[ａ],[ａ＋ｂ]＝[ａ]＋[ｂ]である。(←自明なので証明は略)

[定理2-27の系]:∀ａ∈Ｌに対して列ベクトル[ａ]＝^t(α₁,α₂,..,α_n)全体が作る集合は１つの線型空間(ベクトル空間)を構成する。(←自明)

※(注):列ベクトル[ａ]＝^t(α₁,α₂,..,α_n)全体が作るベクトル空間を特に数ベクトル空間(number-space)と呼ぶ。※

[定理2-28]:ａ→[ａ]の対応は同型対応である。そこで線型空間Ｌの次元がｎ(dimＬ＝ｎ)のときＬはその座標のｎ次元数ベクトル空間に同型(isomorphic)であり,１次独立なＬのべクトルの系は座標の作る数ベクトル空間の１次独立な系に対応する。(←自明)

[定義2-29](行列の階数):ｘ₁,ｘ,..,ｘ_m∈Ｌが座標:[ｘ₁]＝^t(α₁₁,α₂₁,..,α_n1),[ｘ₂]＝^t(α₁₂,α₂₂,..,α_n2),..,[ｘ_m]＝^t(α_1m,α_2m,..,α_nm)を有するとき,これらの列ベクトルから作られる行列をＡ≡[[ｘ₁][ｘ₂]..[ｘ_m]]＝[^t(α₁₁,α₂₁,..,α_n1)^t(α₁₂,α₂₂,..,α_n2)..^t(α_1m,α_2m,..,α_nm)],つまり

　　　　　

  とする。

　このとき,行列Ａを構成するｍ個の数空間の列ベクトル:[ｘ₁],[ｘ₂],..,[ｘ_m]のうちで１次独立なベクトルの個数の最大値を行列Ａの階数(rank)という。

[定理2-31]:[定義2-29]と同じように構成された行列Ａ≡[[ｘ₁][ｘ₂]..[ｘ_m]]に対し,線型空間Ｌのｍ個のベクトルｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_mのうちで１次独立なベクトルの個数の最大値は行列Ａの階数に等しい。

(証明)[定理2-28]よりｘ_i∈Ｌ →[ｘ_i]の対応は同型対応ですから,[定義2-29]によりこれは明らかです。(証明終わり)

[定理2-32]:行列Ａの階数はＡのうちのゼロでない小行列式(minor determinant)の次数の最大値に等しい。

(証明) これは次の(注)[補助定理]から従います。(終わり)

※(注):[補助定理]:ｍ個のｎ次元列ベクトル[ａ_j]≡^t(α_1j,α_2j,..,α_nj)(ｊ＝1,2,..,ｍ)が一次独立であるための必要十分条件は,ｍ≦ｎでｎ×ｍ行列:Ａ≡[[ａ₁][ａ₂]..[ａ_m]]＝(α_ij)のｎ個の行からｍ個の行を取出して作ったｍ次小行列式の中にゼロでないものが存在することである。

(証明)[ａ_j]≡^t(α_1j,α_2j,..,α_nj)(ｊ＝1,2,..,ｍ)が一次独立であるときにはｍ≦ｎであるべきことは,ｎ次元次元列ベクトル[ａ]全体から成る数ベクトル空間の次元がｎであるということ,および先の"[定理2-18]:ｎ次元線型空間Ｌの(ｎ＋1)個のベクトルからなる系は全て１次従属である。"という命題からわかります。

　そして,[ａ_j]≡^t(α_1j,α_2j,..,α_nj)(ｊ＝1,2,..,ｍ)が一次独立でｍ≦ｎであるとすると,

"[定理2-17]:ｎ次元線型空間Ｌにおける任意の１次独立な系ａ₁,ａ₂,..,ａ_m(ｍ＜ｎ)に対し適当なＬのベクトルの系ａ_m+1,..,ａ_nを加えて系ａ₁,ａ₂,..,ａ_m,ａ_m+1,..,ａ_nがＬの基底となるようにできる。"

という命題から,

[ａ_j](ｊ＝1,2,..,ｍ)に適当なｎ次元列ベクトルの系[ａ_m+1],..,[ａ_n]を加えて系:[ａ₁],[ａ₂],..,[ａ_m],[ａ_m+1],..,[ａ_n]がｎ次元数ベクトル空間の１次独立な基底となるようにできることがわかります。

　そこで,ｊ＝1,2,..,ｍだけでなくｊ＝ｍ＋1,ｍ＋2,..,ｎについても[ａ_j]≡^t(α_1j,α_2j,..,α_nj)と定義し,ｎ×ｎ行列ＢをＢ≡[[ａ₁][ａ₂]..[ａ_n]]＝(α_ij)_i,j=1,2,..,nと定義します。

　こうすれば,自明な関係式β₁[ａ₁]＋β₂[ａ₂]＋..＋β_n[ａ_n]＝[0]は,[β]を未知数とするＢ[β]＝[0]なる行列表現を持つｎ次連立１次方程式になります。ただし,[β]≡^t(β₁,β₂,..,β_n)です。

クラーメル(Cramer)によれば,[β]に対するこの方程式が自明な解:[β]＝[0]＝^t(0,0,..,0)のみを持つための必要十分条件はＢが正則なこと:Ｂの行列式:|Ｂ|＝detＢがゼロでないことです。

　特に,追加した１次独立な数ベクトルを[ａ_m+1],..,[ａ_n]を[ａ_j]≡^t(α_1j,α_2j,..,α_nj)＝^t(δ_1j,δ_2j,..,δ_nj)(ｊ＝ｍ＋1,..,ｎ)と選ぶことが可能です。

　このときには,|Ｂ|＝|α_ij|＝det(α_ij)(ｉ,ｊ＝1,2,..,ｍ)です。

より一般には,上記のｍ個の添字ｊ＝1,2,..,ｍを任意に置換してｋ_j(ｊ＝1,2,..,ｍ)とした配列の[ａ_kj](ｊ＝1,2,..,ｍ)に,ｎ次元列ベクトル[ａ_m+1],..,[ａ_n]を加えてｎ次元数ベクトル空間の座標基底とすることもできます。

故に|Ｂ|＝|α_i,kj|＝det(α_i,kj)(ｉ,ｊ＝1,2,..,ｍ)と書けます。

よって,Ｂが正則なこと:つまりＢの行列式:|Ｂ|＝detＢがゼロでないこととｎ個の行からｍ個の行を選び出して作ったｍ次の行列式の中にゼロでないものが存在することは同値であることが示されました。

以上から,"ｍ個のｎ次元列ベクトル:[ａ_j]≡^t(α_1j,α_2j,..,α_nj)(ｊ＝1,2,..,ｍ)が一次独立であるための必要十分条件は,ｍ≦ｎでｎ×ｍ行列:Ａ≡[[ａ₁][ａ₂]..[ａ_m]]＝(α_ij)のｎ個の行からｍ個の行を選び出して作ったｍ次小行列式の中にゼロでないものが存在することである。"という命題が証明されました。(証明終わり)

↑証明には佐武一郎著「線型代数学」(裳華房)を参照しました。

(注終わり)※

[定義2-33]:Ｌの２つの座標系ａ₁,ａ₂,..,ａ_n∈Ｌとａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n∈Ｌを取るとａ₁＝τ₁₁ａ'₁＋τ₂₁ａ'₂＋..＋τ_n1ａ'_n,ａ₂＝τ₁₂ａ'₁＋τ₂₂ａ'₂＋..＋τ_n2ａ'_n,..,ａ_n＝τ_1nａ'₁＋τ_2nａ'₂＋..＋τ_nnａ'_nと書ける。

　このとき,ｎ×ｎ行列:Ｔ≡(τ_ij),

　つまり,

をａ₁,ａ₂,..,ａ_nからａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_nへの変換行列(transormation matrix)という。

※(注):行列表現で(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)Ｔです。

　Ｔはもちろん正則:|Ｔ|≠0ですから,逆行列Ｔ^-1が存在して(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)Ｔ^-1＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)と書けます。※

[定理2-34]:ａ∈Ｌの座標系:ａ₁,ａ₂,..,ａ_n∈Ｌに対する座標を^t(α₁,α₂,..,α_n),座標系:ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_nに対する座標を^t(α'₁,α'₂,..,α'_n)としａ₁,ａ₂,..,ａ_nからａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_nへの変換行列をＴとすると,^t(α'₁,α'₂,..,α'_n)＝Ｔ^t(α₁,α₂,..,α_n),

つまり

　　

　が成立する。

(証明)ａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_nａ_n＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)^t(α₁,α₂,..,α_n),かつａ＝α'₁ａ'₁＋α'₂ａ'₂＋..＋α'_nａ'_n＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)^t(α'₁,α'₂,..,α'_n)ですから(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)^t(α₁,α₂,..,α_n)＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)^t(α'₁,α'₂,..,α'_n)です。

　ところが,定義によって(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)Ｔですから(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)Ｔ^t(α₁,α₂,..,α_n)＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)^t(α'₁,α'₂,..,α'_n)と書けます。

ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_nは座標系(基底)であり,座標表現:ａ＝α'₁ａ'₁＋α'₂ａ'₂＋..＋α'_nａ'_n＝(ａ'₁,ａ'₂,..,ａ'_n)^t(α'₁,α'₂,..,α'_n)は一意的ですから,^t(α'₁,α'₂,..,α'_n)＝Ｔ^t(α₁,α₂,..,α_n),あるいは,^t(α₁,α₂,..,α_n)＝Ｔ^{-1 t}(α'₁,α'₂,..,α'_n)が結論されます。

(証明終わり)

短いですが今日はここまでにします。 

ここで述べたかったことのエッセンスは,有限次元線型空間Ｌの本質はその次元がｎ(dimＬ＝ｎ)であるということです。 

つまり,次元が同じｎであれば抽象的な線型空間(ベクトル空間)であろうと全てｎ次元数ベクトル空間に同型であり,抽象線型空間の元であるベクトルについても数空間の列ベクトルに同型という意味です。

例えば,量子論の状態を示すブラ・ケットのような抽象的状態ベクトルであろうと,こうした粒子のスピンやクォークのカラー,フレイバーに代表される有限で離散量子数のみで指定されるような有限次元の線型部分空間の代数的性質の話を考えるのであれば,

これら全ては普通の数ベクトル空間,およびその列ベクトルの性質,特に行列や行列式を観察すれば十分であるということを論理的に表現したかったのです。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)

PS:整いました。今日の駄じゃれ。。。

　「壁に耳あり,障子にメアリー(まり)」

線型代数のエッセンス(4)(線型空間２)

　線型代数の§2.線型空間の続きです。

　まず,線型空間の定義を再掲します。

[定義2-1]:空でない集合Ｌについて以下の諸条件が満たされるとき,Ｌを複素数体Ｃの上の線型空間(linear space)またはベクトル空間(vector space)という。またＬの任意の元(要素;element)ａをベクトル(vector)と呼ぶ。

　これが既に与えた線型空間の定義ですが,実は空間Ｌのスカラー積の係数を与える数体としては,ここで特定した複素数体Ｃに限る必要はなく一般の数体Ｋとして構いません。

そして,上の定義のように係数を与える数体を複素数体Ｃに選んだ線型空間なら,これを複素数体Ｃの上の線型空間といいます。

[定義2-19](同型):同一の数体の上の２つの線型空間が同型(isomorphic)であるとは２つの空間の元(要素)間に１対１の対応が存在して,第１の空間のベクトルの和には第２の空間の対応するベクトルの和が対応し,第１の空間のベクトルと数αの積には第２の空間の対応するベクトルの積が対応するようにできることをいう。

　上述の１対１対応(one to one correspondence)を同型対応または同型写像(isomorphism)という。

※(注):紛らわしいのですが,ここでいう１対１対応とは単に写像(mapping)として"１対１(one to one)＝単射(injection)"であるという意味ではなく,"１対１上への写像(one to one onto-mappimg)＝全単射(bijection)"であることを意味します。

線型空間として同型であるためには,少なくとも集合(set)として同型である必要があります。

そして,ＡとＢが集合として同型であるとはＡからＢへの"全単射＝１対１写像(単射:injection)かつ全射(surjection)"が少なくとも１つは存在することです。

もしも,Ａ,Ｂが有限集合の場合ならＡとＢが集合として同型であることは両者の元(要素)の個数が同じであることを意味します。この場合には単射と全射は同義です。

Ａ,Ｂを集合(set)とするとき,ある規則に基づいてＡの各々の元に対してＢの元を１つずつ対応させる操作をＡからＢへの写像という。

ｆが集合ＡからＢへの写像であることをｆ:Ａ→Ｂと表わす。

写像ｆによってａ∈Ａがｂ∈Ｂに写されることを記号的にｂ＝ｆ(ａ)と表わす。

このとき,Ａをｆの定義域(domain),Ｂを値域(range)という。

また,Ｂの部分集合:ｆ(Ａ)≡{ｆ(ｘ)∈Ｂ|ｘ∈Ａ}をｆによるＡの像(image)という。

Ｂの部分集合Ｃに対して,ｆ^-1(Ｃ)≡{ｘ∈Ａ|ｆ(ｘ)∈Ｃ}をＣのｆによる原像または逆像(inverse image)という。

ａ₁,ａ₂∈Ａに対してｂ₁＝ｆ(ａ₁),ｂ₂＝ｆ(ａ₂),ｂ₁,ｂ₂∈Ｂと書くと,ａ₁≠ａ₂なら常にｂ₁≠ｂ₂となるとき,この写像ｆはＡからＢへの単射であるという。

　また,∀ｂ∈Ｂに対しｂ＝ｆ(ａ)を満たすａ∈Ａが必ず存在する:つまりＢ＝ｆ(Ａ)のとき,写像ｆはＡからＢへの全射であるという。また,ＡからＢへの全射をＡからＢの上への写像(onto mapping)という。

　ｆが単射かつ全射のとき,これを全単射という。

さて,ｆが集合の同型写像(全単射)なら,Ｂの原像はＡ＝ｆ^-1(Ｂ)≡{ｘ∈Ａ|ｆ(ｘ)∈Ｂ}ですが,単一のｂ∈Ｂに対する原像をｆ^-1(ｂ)≡{ｘ∈Ａ|ｆ(ｘ)＝ｂ}と定義すれば,ｆの単射性からこれは単一の元から成るＡの部分集合です。

すなわち,ｂ＝ｆ(ａ)ならｆ^-1(ｂ)＝{ａ}です。

　このときはｂ∈Ｂにａ∈Ａを対応させる写像をｇと表わすとｇも全単射です。この写像ｇ:Ｂ→Ａを記号的にｆ^-1:Ｂ→Ａと書き,ｆの逆写像といいます。ａ＝ｇ(ｂ)＝ｆ^-1(ｂ)です。

ただし,[定義2-19]での線型空間における同型,あるいは同型写像の定義は,集合としての同型写像(全単射)の上,さらに線型空間における和,積の演算の準同型(homomorphic)の意味を持っています。(注終わり)※

[定義2-20]:２つの線型空間をＬ,Ｌ₁としＬからＬ₁へのある写像をｆとするとき,∀ａ,ｂ∈Ｌ,∀α∈Ｃに対しｆ(ａ＋ｂ)＝ｆ(ａ)＋ｆ(ｂ),ｆ(αａ)＝αｆ(ａ)が成立するなら,この写像ｆを準同型写像(homomorphism)という。

　準同型写像ｆが上への写像(全射)ならｆを同型写像という。

このようなＬからＬ₁へのある同型写像ｆが存在するならＬとＬ₁は同型である。

[定理2-21]:線型空間における同型写像において,0 は 0 に対応する。

(証明)線型空間ＬとＬ₁が同型でｆをＬからＬ₁への任意の同型写像とすると,ｆ(0)＝ｆ(ａ＋(－ａ))＝ｆ(ａ)＋ｆ(－ａ)＝ｆ(ａ)＋ｆ((－1)ａ)＝ｆ(ａ)＋(－1)ｆ(ａ)＝ｆ(ａ)＋(－ｆ(ａ))＝0 です。

(証明終わり)

[定理2-22]:同型な線型空間ＬからＬ₁への同型写像においてはＬの生成元の系はＬ₁の生成元の系に写像される。

(証明)ｆをＬからＬ₁への同型写像とし,{ａ₁,ａ₂,..,ａ_s}をＬの生成元の系とします。

　そして,ｂ₁≡ｆ(ａ₁),ｂ₂≡ｆ(ａ₂),..,ｂ_s≡ｆ(ａ_s)とおきます。

　任意のｂ∈Ｌ₁に対してａ≡ｆ^-1(ｂ)とおきます。

　このとき{ａ₁,ａ₂,..,ａ_s}がＬの生成元の系であるという仮定より,ａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_sａ_s;α₁,α₂,..,α_s∈Ｃと書けます。

故に,ｂ＝ｆ(ａ)＝ｆ(α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_sａ_s)＝α₁ｆ(ａ₁)＋α₂ｆ(ａ₂)＋..＋α_sｆ(ａ_s)＝α₁ｂ₁＋α₂ｂ₂＋..＋α_sｂ_sです。

　よって,{ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_s}はＬ₁の生成元の系です。

　(証明終わり)

[定理2-23]:同型な線型空間ＬからＬ₁への同型写像においてはＬの１次独立なベクトルはＬ₁の１次独立なベクトルに写像される。

(証明)ｆをＬからＬ₁への同型写像とし,ａ₁,ａ₂,..,ａ_mをＬの１次独立なベクトルとします。さらに,ｂ_j≡ｆ(ａ_j)(j＝1,2,..,ｍ)とします。

ｂ_j(j＝1,2,..,ｍ)に対する１次関係式をβ₁ｂ₁＋β₂ｂ₂＋..＋β_mｂ_m＝0;β₁,β₂,..,β_m∈Ｃと書けば,これはβ₁ｆ(ａ₁)＋β₂ｆ(ａ₂)＋..＋β_mｆ(ａ_m)＝ｆ(β₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_mａ_m)＝0 を意味します。

故にβ₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_mａ_m＝ｆ^-1(0)ですが,ｆがＬからＬ₁への同型写像ならｆ^-1はＬ₁からＬへの同型写像なので,[定理2-21]によりβ₁ａ₁＋β₂ａ₂＋..＋β_mａ_m＝0 です。

ところが,仮定からａ₁,ａ₂,..,ａ_mはＬの１次独立なベクトルなのでβ₁＝β₂＝..＝β_m＝0 でなければなりません。

よって,ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_mはＬ₁の１次独立なベクトルです。(証明終わり)

[定理2-24]:同型な線型空間ＬからＬ₁への同型写像によってＬの基底がＬ₁の基底に写像され,それ故同型な線型空間は同一の次元を持つ。すなわち,ＬとＬ₁が同型 ⇔ dimＬ＝dimＬ₁である。。

　また,２つの線型空間が同一の次元を持てばそれらは同型である。

(証明)定理の前半は[定理2-22],[定理2-23]より明らかです。

また,前半の逆命題である後半の証明は以下の通りです。

ＬとＬ₁が共通の次元ｎを持つとしＬ,およびＬ₁のそれぞれの基底を{ａ₁,ａ₂,..,ａ_n},および{ｂ₁,ｂ₂,..,ｂ_n}とするとき,各々のａ_jにｂ_jを対応させる写像をｆとします。すなわち,ｂ_j≡f(ａ_j)です。

さらに,任意のａ＝α₁ａ₁＋α₂ａ₂＋..＋α_nａ_n∈Ｌ;α₁,α₂,..,α_n∈Ｃにｂ＝α₁ｆ(ａ₁)＋α₂ｆ(ａ₂)＋..＋α_nｆ(ａ_n)＝α₁ｂ₁＋α₂ｂ₂＋..＋α_nｂ_n∈Ｌ₁を対応させることでＬからＬ₁への写像としてｆを定義できます。

この写像ｆが線型空間ＬからＬ₁への１つの同型写像であることは明らかです。

したがって,ＬとＬ₁は同型であることがわかります。(証明終わり)

このところ科学記事の間が開きすぎている感があるので,中途半端で短かいですが続きは後回しにして今日はここまでにします。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光訳)「線型代数学」(東京図書)