シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体

　我々の宇宙である時空多様体は,その計量(metric)が正定値ではなく,不定計量なので空間としてコンパクトではなく,いわゆる擬リーマン多様体(semi-Riemannian manifold)の一種です。

　すなわち,時空の計量である対称テンソルＧ≡(ｇ_μν)は擬リーマン計量です。

　そして,"適当な一般座標変換を行うことで任意の点の近傍では局所的にミンコフスキー計量を持つ空間にすることができる"という等価原理の１つの表現である局所平坦性が成立します。

　この意味で,時空の計量Ｇ≡(ｇ_μν)を一般座標変換により対角化したとき,"対角成分の符号は(0,1,2,3)成分についてミンコフスキー計量η_μνと同じく,(＋,－,－,－),または(－,＋,＋,＋)になります。

　そこで,どのような一般座標を取ろうと計量の行列式ｇ≡det(Ｇ)＝det(ｇ_μν)は負の数になることがわかります。

　こうした各点での接空間がミンコフスキー空間になっているという特別な計量構造を持つ擬リーマン多様体を,特にローレンツ多様体(Lorentz manifold)と呼びますから時空多様体は一種のローレンツ多様体であると言えます。 

　ということは"計量テンソルＧを任意の正則行列ＱによってＧ'＝^tＱＧＱと変換したとき,Ｇの固有値における(＋)符号の数と(－)符号の数,およびゼロの数はＧ'の固有値におけるそれらの数の組と全く同一である。"という性質が成立する必要があります。

　実はこの規則は線形代数学によって確かに成立することが保証されており,シルヴェスターの慣性律(シルベスターの慣性律)(Sylvester's law of inertia)として知られています。

　局所平坦性により,Ｘ＝(Ｘ^μ)を時空座標ｘ＝(ｘ^μ)に対応するミンコフスキー計量の座標として,局所一般座標変換をｄＸ＝Ａ(ｘ)ｄｘ (ｄＸ^μ＝ａ^μ_ν(ｘ)ｄｘ^ν;Ａ(ｘ)≡(ａ^μ_ν(ｘ)) )で表わすことにします。

　このとき,計量を表わす２次形式の不変式ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν＝η_μνｄＸ^μｄＸ^νから,ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν＝η_λσａ^λ_μａ^σ_νｄｘ^μｄｘ^νなる等式が成立します。 

すなわち,ｇ_μν＝η_λσａ^λ_μａ^σ_νとなるのですが,これは行列表現ではＧ＝^tＡΗＡです。ただし,^tＡはＡの転置行列でＧ(ｘ)≡(ｇ_μν(ｘ)),Η≡(η_μν)です。

ここで,Ｐ≡Ａ^-1と置けばΗ＝^tＰＧＰとも書くことができます。こうしたＰが存在することが,計量Ｇを持つ多様体がローレンツ多様体になるための必要十分条件です。

一般にＴを直交行列,すなわち^tＴ＝Ｔ^-1とすれば,det(^tＴＧＴ－λＥ)＝det[Ｔ^-1(Ｇ－λＥ)Ｔ]＝det(Ｇ－λＥ)より,Ｇに対する固有値方程式は^tＴＧＴ＝Ｔ^-1ＧＴに対するそれと全く一致することがわかり,したがって両者の固有値は完全に一致します。

そして,Ｇは実対称行列なので帰納法を用いると適当な直交行列Ｔを用いた直交変換:Ｇ→^tＴＧＴによってＧを常に対角化することが可能であることが証明できます。 

そして,そのときの対角成分は既に述べたことから全てＧの固有値ですが,λを１つの固有値とすると"Ｇｘ＝λｘ,ｘ≠0 なるベクトルｘ＝Ｇの固有ベクトル"が存在します。

Ｇは実行列なのでＧｘ＝λｘの複素共役を取ればＧｘ^*＝λ^*ｘ^*となりますが,Ｇは対称行列:^tＧ＝Ｇでもあるので^t(Ｇｘ)ｘ^*＝^tｘＧｘ^*が成立します。

それ故,λ(^tｘｘ^*)＝λ^*(^tｘｘ^*)が得られますが,^tｘｘ^*＞0 なのでλ＝λ^*,つまりλは実数であると結論されます。よって,"対角行列:^tＴＧＴの対角成分＝Ｇの固有値"は全て実数です。

したがって,Ｇを４次に限らずｎ次の実対称正方行列として,そのｎ個の固有値をλ₁,λ₂,...,λ_nとすると,適当な直交行列Ｔによる変換:ｘ'＝Ｔｘによって,実２次形式:^tｘ'Ｇｘ'は ^t(Ｔｘ)Ｇ(Ｔｘ)＝^tｘ(^tＴＧＴ)ｘ＝Σ_jλ_j(ｘ^j)²という簡単な形になります。

そして,固有値λ₁,λ₂,..,λ_nのうちｐ個が正,ｑ個が負,残りがゼロの場合,簡単のためにλ₁,..,λ_p＞0 ,λ_p+1,..,λ_p+q＜0 ,λ_p+q+1,..,λ_n＝0 と仮定します。

(必要なら基底の並べ替えを行なえばいいだけです。)

ここで対角行列Ｓを,その対角成分が(λ₁)^-1/2,..,(λ_p)^-1/2,(－λ_p+1)^-1/2,..,(－λ_p+q)^-1/2,1,..,1であるように作れば,Ｐ≡ＴＳと取ることによって,Ｐは正則となり,一般座標変換ｘ'＝Ｐｘに対して^tｘ(^tＰＧＰ)ｘ＝(ｘ¹)² ＋..＋(ｘ^p)²－(ｘ^p+1)²－..－(ｘ^p+q)²なる標準形の表現が得られるわけです。

そして,こうした表現において"正整数の対(ｐ,ｑ)が一意的であること"を証明するには,まず,(^tＰ'ＧＰ')が標準形になるような変換ｘ"＝Ｐ'ｘが別に存在すると仮定して,この変換で(ｐ,ｑ)に相当するものを(ｐ',ｑ')とすると,ｐ＋ｑ＝ｐ'＋ｑ'＝rankＧなる等式が成立することを示す必要があります。

さらにｐ'＞ｐと仮定し,ベクトルｘとして特別なベクトルを仮定すれば矛盾に導かれることから,ｐ'＝ｐ,ｑ'＝ｑとなるしかないことを示す必要があります。しかし,証明は線型代数のテキストに譲ることにして,ここでは省略してこれらは成立するとします。

結局,Ｇの固有値λ₁,λ₂,..,λ_nと^tＰＧＰの固有値 1,1,..,1,－1,－1,..,－1,0,0,..,0 は一般に異なりますが,その(＋)符号の数と(－)符号の数,およびゼロの数は同じであることがわかります。

そこで,値(ｐ,ｑ)の組は行列Ｇが与えられれば完全に決まり,一意的です。

さらに,任意の正則行列Ｑに対する変換:Ｇ'＝^tＱＧＱにおいてもＲ≡Ｑ^-1Ｐと置けば,^tＰＧＰ＝^tＲＧ'Ｒと書けますから,正則行列ＲによってＧ'をＧと同じ標準形にすることができます。 

それ故,変換Ｇ'＝^tＱＧＱに対して,ＧとＧ'の両者でその固有値は一般に異なりますが,固有値における(＋)符号の数と(－)符号の数,およびゼロの数は同一であることが示されたわけです。

われわれの時空は空間と時間を含めて４次元,つまりｎ＝４ですから４次元ローレンツ多様体であり,ことさら一般のｎ次元ローレンツ多様体を意識する必要はりませんが,例えば弦理論ではｎ＝26,またはｎ＝10です。

いずれの場合もｎは偶数なので,例えばｎ＝26のとき,そのミンコフスキー計量のｎ次元空間での時間１次元の符号を(－)に,残りの空間25次元の符号を全て(＋)としても,その逆の符号に設定しても計量の行列式の符号は共に負になるため,どちらでもいいと思われます。

しかし,次元が大きいときに扱いがより簡単なためでしょうか,弦理論では前者を採用することが多いようです。

これに対して,通常の点粒子の４次元相対論では(＋,－,－,－)の方が多く採用されているようです。

いずれにしろ,ミンコフスキー計量をどちらに取るか次第でシルヴェスターの慣性律で決まる計量に固有の(＋)符号の数と(－)符号の数の組は異なるわけですが,理論はどちらで定式化しても同じです。

(電気理論の歴史においては,当時勝手に決めた"電流＝電荷(キャリア)の流れ"の符号と,後にその主要なキャリアであることがわかった電子の流れが逆符号であったという歴史的経緯がありました。

これを見てもわかるように,(＋)とか(－)とかいう符号自体は人間が勝手に決めた概念です。

数学を含め自然科学を扱う際,例えば現状と逆に符号を定め,今は(＋)とされているものを(－)に(－)とされているものを(＋)に,という符号選択をしても理論全体の本質には全く影響がない,という鏡のような相似対称性があります。)

つまり,理論は計量全体に(－1)を掛けても変わらないということです。計量を指定したときの理論を構成する変換群を位数が２の集合{±1}で割った商群の方が本質的な意味を持ちます。

ただ,最近の統一超弦理論と言われているブレイン理論では,ｎ＝11で次元ｎが奇数らしいのですが,これについては今のところ私にはわかりません。

参考文献：佐竹一郎 著「線型代数学」(裳華房)

追伸：後で知ったのですが,本日の私の記事はちょうど5月16日零時頃にアップされたT_NAKAさんのブログの,ワイルの「空間・時間・物質」に関する記事http://teenaka.at.webry.info/200705/article_16.htmlと内容がかぶってしまったようです。

まあ,最近ワイルの書籍について書かれているのは知ってはいたのですが,内容が一致したのは全くの偶然です。　

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ベクトルと同値類

　今から40年くらい前になりますが,高校の数学や物理ではじめてベクトルというものを習った際に,２つのベクトルが等しいというのは,その大きさ(長さ)と向きが等しい(平行である)ということと同じである,と教えられ,空間的には離れている２つのものが等しいという概念に違和感をおぼえたものでした。

　しかし,大学の初年級の専門数学での集合論で同値関係,同値類という概念を学んだとき,"これだ!!"という風にビビッと来ました。

　すなわち,大きさと向きが等しいという関係を同値関係としてその１つ１つの同値類をベクトルと呼べばよいのであると考えたのです。

(もちろん,私の発想がオリジナルだなどと主張するものではなく,誰か他人の示唆によるものだったかも知れないし,今となっては記憶も定かではありません。)

　そして通常,明示される有向線分という形の表式の個々のベクトルは,その同値類の代表元の１つを示しているに過ぎないということです。

　では同値関係,同値類とはどういうものでしょうか？

まず,集合Ａがあって,その任意の２つの元ａ,ｂ∈Ａの間にある関係:～があるとき,ａ～ｂと書くことにします。このとき関係:～が次の３つの基準を満たすとき,この関係を同値関係と呼び,ａ～ｂならａとｂは同値であるといいます。

３つの基準は,ａ,ｂ,ｃ∈Ａのとき,"１.反射律:ａ～ａ,２.対称律:ａ～ｂならばｂ～ａ,３.推移律:ａ～ｂ,かつｂ～ｃならばａ～ｃ"です。

そして,集合Ｃ(ａ)をＣ(ａ)≡{ｘ∈Ａ|ｘ～ａ}と定義し,これをａを代表元とする同値類と呼びます。

そして,ａ～ｂなることと,集合としてＣ(ａ)＝Ｃ(ｂ)であるということは全く同一の意味になります。

同じことですが,ａ～ｂでないなら,Ｃ(ａ)∩Ｃ(ｂ)＝φ(空集合)(つまりＣ(ａ)とＣ(ｂ)は互いに素)となります。

もちろん,Ａ＝∪_a∈ＡＣ(ａ)ですから,ＡはＡ＝Σ_a∈ＡＣ(ａ)とＣ(ａ)の直和で書けることになります。

このようにＡをＣ(ａ)の和に分解することを同値類別と呼びます。

こうした定義等については今は参考書探すのが面倒なので記憶に頼って書いているのですが,何分40年近くも昔に習ったことであり,さすがに記憶が曖昧なので誤認識があるやもしれませんが。。。。

そして物理や数学で普通に学ぶ空間のベクトルについて大きさと向きが等しいという関係:～は明らかに同値関係です。

それ故,"２つのベクトルが等しい"というのは,実は同値類という集合として等しいという意味に解釈できる,ということで,私は昔,すっきりとした感覚を持ったことを最近,あるきっかけで思い出しました。

実は量子論でも状態ベクトルというのは係数やその位相が違うものも同じ状態ベクトルであるとみなすという意味で,ある代表元を持った射線(ray)と呼ばれる同値類であることがわかっています。

ベクトル演算の線形性,重ね合わせの原理など,すなわちベクトルは線形空間の元であるとか,線形写像による種々の変換性を持つとかいう代数的性格を無視して,ベクトルが等しいという概念だけに着目すれば自然に同値類,同値関係という感覚に到達するはずです。

当時は,それから,物理学,特に力学の幾何学化,すなわち幾何学の１つとしての定式化を目指し,まずは運動学から着手して１つの空間の位置とベクトルの１対１対応：ユークリッド空間の座標と位置ベクトルの対応から始めたものでした。

ところが,いつのまにやら興味は数学的定式化からより物理的なものへと移行してゆき,結局は中途挫折してしまいました。

アーノルド(V.I.Arnold)の「古典力学の数学的方法」(岩波書店)とか,数学の１分野である"力学系"の存在を知ること等により当時の記憶がよみがえったのはそれからずっと後のことです。

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