積分方程式(2)

　積分方程式の続きです。 

前記事のアーベル(Abel)φの積分方程式に続く話題として,リーマン・リウヴィル(Riemann-Liouville)作用素の話をします。

先に与えたアーベルの積分方程式∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ)(ａ＜ｘ＜ｂ)の左辺のｕに対する積分を定数Γ(α)で除したものを,(ａ,ｂ)の上の関数に作用する作用素(operator)と考えこれをＩ_a^αなる記号で表わすことにします。

つまりＩ_a^αｕ(ｘ)≡{1/Γ(α)}∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}(ａ＜ｘ＜ｂ)とします。そして作用素:Ｉ_a^αをリーマン・リウヴィルの積分作用素と呼びます。

これが作用する関数空間としては,取り合えず,区間Ｉの上で可測でＩにおける任意の有界閉部分集合の上で可積分な関数全体であるＬ¹_loc(Ｉ)を採用することにします。

Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)は任意のｃ∈[ａ,ｂ)に対して∫_a^c|ｕ(ｘ)|ｄｘ＜∞なる関数ｕ(ｘ)全体のことです。

例えば,ｕ(ｘ)≡(ｘ－ａ)^λ-1(λ＞0) とするとｕ(ｘ)∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)であってΓ(α)Ｉ_a^αｕ(ｘ)＝∫_a^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^1-α(ｙ－ａ)^1-λ}＝Β(α,λ)(ｘ－ａ)^λ+α-1となります。

Β(ｘ,ｙ)はΒ(ｘ,ｙ)≡∫₀¹{ｔ^x-1(1－ｔ)^y-1}＝Β(ｙ,ｘ)＝Γ(ｘ)Γ(ｙ)/Γ(ｘ＋ｙ)で定義されるオイラー(Euler)のベータ関数です。

なぜなら,積分変数をｙからζ＝(ｙ－ａ)/(ｘ－ａ)に置換すると,ｄζ＝ｄｙ/(ｘ－ａ)でありｙがａ→ｘと動くときζは0→1と動くので,∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝(ｘ－ａ)^λ+α-1∫₀¹ｄζ/{(1－ζ)^αζ^1-α}となるからです。

そして,再びΓ(α)Ｉ_a^αｕ(ｘ)＝Β(α,λ)(ｘ－ａ)^λ+α-1∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)です。

一般に,リーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αは次の命題で与えられる基本性質を持つことがわかります。

[命題１]:α＞0のとき,ｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ]ならＩ_a^αｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)であり,∀α,β＞0に対して,Ｉ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Ｉ_a^α+βｕが成立する。

　以下,これの証明です。

(証明) まず,ｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)なら∀ｃ∈[ａ,ｂ)について∫_a^c|Ｉ_a^αｕ(ｘ)|ｄｘ≦Γ(α)^-1∫_a^cｄｘ∫_a^xｄｙ{|ｕ(ｙ)|/(ｘ－ｙ)^1-α}＝Γ(α)^-1{∫_a^xｄｙ|ｕ(ｙ)|ｄｙ}{∫_a^c(ｘ－ｙ)^α-1ｄｘ≦{αΓ(α)}^-1(ｃ－a)^α∫_a^xｄｙ|ｕ(ｙ)|ｄｙ＜∞より,確かにＩ_a^α^ｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)です。

　そして,Ｉ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Γ(α)^-1Γ(β)^-1[∫_a^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)/(ｙ－ｚ)^1-β}]＝Γ(α)^-1Γ(β)^-1[{∫_a^xｕ(ｚ)ｄｚ}{∫_a^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1(ｙ－ｚ)^β－1}]です。

ところが,前にも見たように積分変数をｙからζ＝(ｙ－ｚ)/(ｘ－ｚ)に置換すれば,∫_z^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1(ｙ－ｚ)^β－1}＝(ｘ－ｚ)^(α+β)-1∫₀¹ｄζ(1－ζ)^α-1ζ^β－1＝Β(α,β)(ｘ－ｚ)^(α+β)-1となることがわかります。

ただし,Β(α,β)＝∫₀¹{ｔ^α-1(1－ｔ)^β-1}＝Β(β,α)＝Γ(α)Γ(β)/Γ(α＋β)です。

故にΓ(α)^-1Γ(β)^-1[{∫_a^xｄｚｕ(ｚ)∫_a^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1(ｙ－ｚ)^β－1}]＝Γ(α)^-1Γ(β)^-1Β(α,β)∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)(ｘ－ｚ)^(α+β)-1}＝Γ(α＋β)^-1∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)/(ｘ－ｚ)^1-(α+β)}＝Ｉ_a^α+βｕとなることがわかります。

以上でＩ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Ｉ_a^α+βｕなる等式の成立が証明されました。(証明終わり)

　上記の[命題１]の結論であるＩ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Ｉ_a^α+βｕなる性質によって,以下Ｉ_a^α(Ｉ_a^βｕ)を(Ｉ_a^αＩ_a^β)ｕと書き,これを記号的に作用素の積としてＩ_a^αＩ_a^β＝Ｉ_a^α+βと表現することにします。　 

　α＝1のときのリーマン・リウヴィル作用素Ｉ_ａ^α＝Ｉ_a¹は,Ｉ_a¹ｕ＝∫_a^xｕ(ｙ)ｄｙとなります。右辺は単にａを基点とする関数ｕの１回の積分を意味します。

それ故,上の[命題１]の結論Ｉ_a^αＩ_a^β＝Ｉ_a^α+βから,任意の自然数ｎに対して,(Ｉ_a¹)ⁿ ＝Ｉ_aⁿなる式が成立することがわかります。

Γ(ｎ)＝(ｎ－1)!ですから,これはｕのｎ回積分:(Ｉ_a¹)ⁿｕについて,(Ｉ_a¹)ⁿｕ(ｘ)＝{1/(ｎ－1)!}∫_a^xｄｙ{(ｘ－ｙ)^n-1ｕ(ｙ)}の成立を意味します。

しかし,実はｕのｎ回積分が{1/(ｎ－1)!}∫_a^xｄｙ{(ｘ－ｙ)^n-1ｕ(ｙ)}と書けることは,∫_a^x{Ｉ_a¹ｕ(ｙ)}ｄｙ＝∫_a^xｄｙ∫_a^yｕ(ｚ)ｄｚ＝∫_a^xｄｚｕ(ｚ)∫_z^xｄｙ＝∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)(ｘ－ｚ)}etc.など具体的計算から明らかです。

したがって,リーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αは,αが自然数ｎのときにはｎ回積分を示していることがわかります。

そこで,逆に定義Ｉ_a^αｕ(ｘ)≡{1/Γ(α)}∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}は,αが自然数ｎではなく一般の正の数のときのα回の積分への拡張になっていて,積分Ｉ_a^αｕ(ｘ)はαが一般の正の数である場合のα回積分と呼ぶにふさわしいものであると考えられます。

そして,もちろん(Ｉ_a^1/n)ⁿ＝Ｉ_a¹なる等式も成立しますから,リーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αは分数回積分を表現すると言われることもあるようです。

先のアーベルの積分方程式∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ)(ａ＜ｘ＜ｂ)はｆ(ｘ)/Γ(α)を改めてｆ(ｘ)と書けば{1/Γ(α)}∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ) (ａ＜ｘ＜ｂ)ですが,これをリーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αを用いて表わせばＩ_a^αφ＝ｆ(ａ＜ｘ＜ｂ)と書けます。

そして,前述したアーベルの積分方程式解法は,この方程式:Ｉ_a^αφ＝ｆの両辺にＩ_a^1-αを作用させた後に,それの両辺を微分する方法と解釈されます。　 

実際,作用素の積の性質からＩ_a^1-αＩ_a^α＝Ｉ_a¹(１回の不定積分)が成立します。

一方,微分するという演算を微分作用素Ｄ≡ｄ/ｄｘで表現すると,"微分と積分は互いに逆演算である＝関数の不定積分の微分は元の関数になる。"という微積分学の基本法則から記号的にＤＩ_a¹＝1 です。

それ故,形式的にＩ_a^αφ＝ｆ⇒Ｉ_a¹φ＝Ｉ_a^1-αｆ⇒ φ＝ＤＩ_a^1-α で表わされるアーベルの積分方程式の解法手順が可能になるわけです。

そこで,リーマン・リウヴィル微分作用素Ｄ_a^αというものをＤ_a^αｕ≡ＤＩ_a^1-αｕ＝{1/Γ(1－α)}∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}によって定義すれば,アーベルの積分方程式Ｉ_a^αφ＝ｆの解がφ＝Ｄ_a^αｆになるという意味で,Ｄ_a^αはＩ_a^αの逆作用素(Ｉ_a^α)^-1を与えると解釈されます。

しかし,上記のアーベルの積分方程式を解く手続き,あるいは作用素Ｄ_a^αを作用させるという操作Ｄ_a^αｕが正当化されるためには,Ｄ_a^αが如何なる関数ｕ(ｘ)に対して意味を持つかが問題になります。

そのため,まず∀ｃ∈[ａ,ｂ)に対し[ａ,ｃ)で絶対連続な関数全体から成る関数空間をＡＣ_loc[ａ,ｂ)と書くことにします。

このときラドン・ニコディム(Radon-Nycodim)の定理からｕ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)なることは,"ｖ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)が存在してｕ(ｘ)＝ｕ(ａ)＋∫_a^xｖ(ｙ)ｄｙ(ａ≦ｘ＜ｂ)と書けること"に同値です。

※(註):本ブログ「TOSHIの宇宙」の2007年７/７の過去記事「条件付確率と条件付期待値」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/07/post_049c.html を参照します。

「ラドン・ニコディムの定理」というのは,"もしもΦ(Ａ)が絶対連続:つまり,μ(Ｅ)＝0 Ｅ∈Ｍ なら常にΦ(Ａ)＝0 が成立するなら適当な密度関数f(ｘ)が存在してΦ(Ａ)＝∫_Ａｆ(ｘ)μ(ｄｘ)と表現できる。"というものです。(参照終わり)

ただし,σ-有限な測度空間(Ｘ,Ｍ,μ)でＭはＸの部分集合から成る可測集合族であり,μはその上の測度を意味しています。(註終わり)※

さらに,部分集合ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*をＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*≡{ｕ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)|ｕ(ａ)＝0} で定義します

このとき,次の定理が成立します。

[定理２]:0＜α＜1のとき,アーベル積分方程式Ｉ_a^αφ＝ｆがＬ¹_loc[ａ,ｂ)で可解であるためには,Ｉ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*なることが必要十分である。

そして,条件Ｉ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*の下でアーベル方程式Ｉ_a^αφ＝ｆの解は一意的にφ＝ＤＩ_a^1-αｆと解かれる。

　以下,これの証明です。

(証明)Ｉ_a^αφ＝ｆが解φ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)を持てば∫_a^xφ(ｙ)ｄｙ＝Ｉ_a^1-αｆ(ｘ)となり,左辺はｘ∈[ａ,ｂ)で絶対連続でＩ_a^1-αｆ(ａ)＝0です。それ故,Ｉ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*です。

　逆にＩ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*を仮定すると,φ≡ＤＩ_a^1-αｆが存在してＩ_a^1-αｆ(ｘ)＝∫_a^xφ(ｙ)ｄｙとなります。

　ここで,ｇ≡Ｉ_a^αφと置けば[命題1]によってｇ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)でありＩ_a^1-αｇ＝Ｉ_a¹φ(ｘ)＝∫_a^xφ(ｙ)ｄｙです。

　そこで,Ｉ_a^1-αｇ＝Ｉ_a^1-αｆが得られました。

　これの両辺にＩ_a^αを作用させると,∫_a^xｇ(ｙ)ｄｙ＝∫_a^xｆ(ｙ)ｄｙですから,両辺を微分してＬ¹_loc[ａ,ｂ)においてｇ≡ｆを得ます。(証明終わり)

　途中ですが急用を思い出したので今日はここまでにします。

参考文献:上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版)

ＰＳ:脳血管の「もやもや病」というのはアーティストの「徳永英明」さんが罹ったことで有名になったみたいですね。

　そういえば,かなり昔に確か高島兄弟の１人が主演？の弁護士もののドラマのテーマ曲として聴いていたと記憶している「壊れかけのradio」という唄が彼の持ち唄でしたね。http://www.youtube.com/watch?v=J_Lq5R8rG4s&feature=fvw

　それをカラオケでよく唄っていた頃は,高音部を唄うと首から上の血管が切れそうにな程に辛いことがよくあったのですが,「もやもや病」と何か関係あるのでしょうか？

　私の方は歌手ではなくカス？ですが。。。

(今なら昔ほど目一杯大声を張り上げずに唄うので,もっとおだやかな喉への力で唄うことができるかもしれませんね。。)

PS2:「９.11記念日」も風化しつつあるようです。。。

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積分方程式(1)(導入)

　まず,本記事を書くに至った動機として,これまで書いてきた「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式」(1)～(9)のシリーズ記事,特に「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(1)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/01/1-64b9.html の内容を抜粋して要約します。

　※(要約):

　ベーテ・サルピーター方程式(Bethe-Salpeter equation),略してＢ-Ｓ.eq.はａ,ｂ２粒子の散乱の４点グリーン関数Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)φ_a^＋(ｙ_a)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞に対し,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＋∫ｄ⁴ｚ_a∫ｄ⁴ｚ_b∫ｄ⁴ｚ_a'∫ｄ⁴ｚ_b'⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ_b)I(ｚ_a,ｚ_b;ｚ_a',ｚ_b')Ｇ(ｚ_a',ｚ_b';ｙ_a,ｙ_b)で与えられる積分方程式です。

　ただし,⊿_F'(ｘ－ｙ)は修正された(真の)伝播関数(２点グリーン関数)で,一般にスカラー場φ(ｘ)に対しては⊿_F'(ｘ－ｙ)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ^＋(ｙ))|0＞で定義されます。ＴはＴ積(時間順序積)です。

また,Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)は,４点グリーン関数Ｇから４つの"粒子外線＝外部伝播関数"を切り離した"相互作用のblob＝(ａ＋ｂ)中間状態"の中から２つの"内線＝伝播関数"を除くだけでは互いに素な２つの部分に分割不可能な固有グラフ,つまり"２粒子既約部分＝(ａ＋ｂ)-既約な積分核"の部分です。

理論は平行移動不変なので,"平行移動の生成子(generators)＝２粒子ａ,ｂの総４元運動量Ｐ^^μ"が存在して,φ_α(ｘ)＝exp(iＰ^ｘ)φ_α(0)exp(－iＰ^ｘ),φ_α^＋(ｘ)＝exp(iＰ^ｘ)φ_α^＋(0)exp(－iＰ^ｘ)(α＝ａ,ｂ),Ｐ^^μ|0＞＝0です。

Ｔ積の性質から,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)はｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,ｘ_a－ｙ_a,ｘ_b－ｙ_b,ｘ_a－ｙ_b,ｘ_b－ｙ_aなる全ての座標の差の関数であることがわかります。これらのうち,独立なものを１次結合で作ります。

結局,ｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)(η_a,η_bはη_a＋η_b＝1の任意に固定した実定数)で与えられる３つの変数が独立であることがわかります。

そして,Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)もＧと同様ｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)の関数です。

結局,Ｂ-Ｓ.eq.は運動量表示ではＧ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)＋⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ),または[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)＋(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)となります。

これは,記号的にはＫＧ＝1＋IＧと書けます。

しかし,この簡単な等式が実は"時空座標表示＝ｘ-表示"での積分方程式Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＋∫ｄ⁴ｚ_a∫ｄ⁴ｚ_b∫ｄ⁴ｚ_a'∫ｄ⁴ｚ_b'⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ_b)Ｉ(ｚ_a,ｚ_b;ｚ_a',ｚ_b')Ｇ(ｚ_a',ｚ_b';ｙ_a,ｙ_b)を意味しています。(要約終わり)※

量子論の基本方程式は,定常状態ならハミルトニアンをＨとしてエネルギーの固有値方程式:Ｈ|ψ>＝Ｅ|ψ＞で与えられますが,これはｘ表示ではＨは線形微分作用素(演算子),ψはｘの関数(波動関数)ψ(ｘ)となり,Ｈψ＝Ｅψなる形の微分方程式となります。

つまり,ｘ表示の量子論の方程式は,一般にＬを線形微分作用素,λを固有値とするｘの関数φ＝φ(ｘ)に対する線形微分方程式Ｌφ＝λφの形をしています。

そして,通常のＬの逆作用素Ｌ^-1が存在する場合には,微分方程式:Ｌφ＝λφは形式的に解くことができて,φ＝ｆ＋λＬ^-1φなる形の解を得ることができます。

Ｌが微分作用素なのでＬ^-1は微分の逆演算である積分作用素です。したがって,φ＝ｆ＋λＬ^-1φは積分方程式(integral equation)です。

結局,線形微分方程式:Ｌφ＝λφの初期値-境界値問題を解くと,常に積分方程式φ＝ｆ＋λＬ^-1φが得られます。逆に,これを微分すると元の微分方程式を得ます。

すなわち,元々は抽象ヒルベルト空間のべクトルに作用する作用素としての形で表現されたＬ|φ>＝λ|φ＞なる固有値方程式を,位置座標表示や運動量表示など種々の表示で表現したとき,これは微分方程式にも積分方程式にも表現できて,両者は等価です。

(微分方程式と積分方程式の表現は互いに逆問題ともいわれます。)

Ｌは系のある対称性変換に対する不変性に関わるネーター(Noether)保存量であって,この変換の生成子に相当します。

これらは一般に現実の時空の対称性である時間,空間の一様性に関わる平行移動変換群の生成子としてのハミルトニアン(エネルギー)と運動量,また,空間の等方性(回転群)に関わる生成子としての角運動量,

そして,内部空間である荷電空間(アイソスピン空間)の回転群の生成子である電荷(アイソスピン)などのように常に観測可能な物理量(obserbavle)に対応しています。

数学という側面で見ると,結局,"量子論というのは表示と表示の間の変換性がその本質であって表示と変換の理論である。"というように結論して,大風呂敷を広げることもできます。

実際,量子論の基礎を学んでいくと,我々は知らず知らずのうちにヒルベルト空間やバナッハ空間など状態空間を与える線形空間のベクトルとそれに作用する線形作用素に関し,固有ベクトルによるスペクトル展開などの拡張されたフーリエ理論や超関数と関わる関数解析という数学の１分野に慣れ親しむようになっています。

そして,状態空間のベクトルのｘ表示では固有値方程式はシュレーディンガー,ディラック,クライン・ゴルドンなどを含む線形偏微分方程式になり,それらの境界値問題を解くのが量子論の主要問題になります。

そして,線形微分方程式を定める線形微分作用素(線形演算子)の超関数的な逆作用素(逆演算子:inverse)をグリーン関数を積分核(kernel)として積分表現をする手法などに慣らされているので,偏微分方程式と等価に見える積分方程式についても,その基礎理論や解法についてわかっているつもりになっていました。

しかし,最近,Ｂ-Ｓ.eq.やその関連の論文を読む中で,単なる計算式のチェックに何日もかかり遅々として進まないのは,実はVorterra型やFredholm型など積分方程式関連の基本的事項について,私自身が本格的に勉強したことがなく理解できてないことがその原因ではないか？と思い当たる節があったので,少しの間,数学に寄り道をして積分方程式を真剣に学ぼうと思ったわけです。

そこで,積ん読で読んだことがないと記憶していますが比較的物理数学に近くて古い記述の,吉田耕作著の岩波全書「積分方程式の解法」を所持していたことを思い出して自分の本棚を探して見ました。

しかし,どうもこれも古本屋に売ってしまったらしく,取り合えず手元にあった上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版)というやや現代数学的色彩の本を参照することにしました。

まず,積分方程式の起源としてアーベル(Abel)が1823～1826年頃に扱ったという積分方程式から見てみます。

これは,∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ) (ａ＜ｘ＜ｂ)という方程式です。これをアーベルの積分方程式,またはアーベル型の積分方程式といいます。

ただし,方程式の対象である未知関数はφ(ｘ)であり,ｆ(ｘ)は予め与えられた既知の関数です。

また,パラメータαは 0＜α＜1を満たすある定数で,一方ａ,ｂは－∞＜ａ＜ｂ≦∞を満たします。

これは,アーベルに従えば次のようにして解けることがわかります。

まず,∫_a^xｄｙ/(ｘ－ｙ)^α∫_a^yｄｚ{φ(ｚ)/(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}と変形します。

左辺でｙとｚの積分順序を交換すれば,∫_a^xｄｚφ(ｚ)∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となります。

さらに,∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}において積分変数をｙからζ＝(ｙ－ｚ)/(ｘ－ｚ)に置換すると,ｄζ＝ｄｙ/(ｘ－ｚ)であり,ｙのｚ→ｘの変動に対してζは0→1と変動します。

結局,具体的計算結果として∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫₀¹ｄζ/{(1－ζ)^αζ^1-α}＝Β(α,1－α)を得ます。

ここで,Β(ｘ,ｙ)はオイラー(Euler)のベータ関数でΒ(ｘ,ｙ)≡∫₀¹{ｔ^x-1(1－ｔ)^y-1}＝Β(ｙ,ｘ)＝Γ(ｘ)Γ(ｙ)/Γ(ｘ＋ｙ)で定義されます。Γ(ｘ)はオイラーのガンマ関数です。

したがって,元の積分方程式はΒ(α,1－α)∫_a^xｄｚφ(ｚ)＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となります。

すなわち,φ(ｘ)＝{Β(α,1－α)}^-1(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}]となって,解φの表式を得ることができます。

ただし,右辺の積分式とその微分が有限に確定するためにはｆ(ｘ)に何らかの条件が必要です。

ｆが十分滑らかな関数なら,部分積分により(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}]＝ｆ(ａ)/(ｘ－ａ)^α＋∫_a^xｄｙ{ｆ'(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となることが期待されます。ｆ'はｆの導関数(微分係数)です。

以上がアーベルの積分方程式の解法です。

アーベルにとって,これは次の問題が動機であったらしいです。

すなわち,"ある質点が曲線Ｃに沿って,そのＣ上のある点Ａから定点Ｏまで初速ゼロで重力のみの作用を受けて摩擦なしで滑り降りるときの所要時間Ｔが与えられたとき,この曲線Ｃを決定するにはどうしたらよいか？"という物理学の問題です。

(例えば,曲線Ｃがある角度で傾いた斜面を表わす直線なら,Ｔは高校物理でも習うような斜面を滑り降りる物体が頂上から下に到達する時間だし,また錘を糸の先につけた振り子ならＣは糸の長さＬを半径とする円であって,Ｔは振り子の周期に関係する時間ですね。)

ｙｚ平面(ｚが水平方向,ｙが鉛直高さ方向)の上の曲線Ｃがｚ＝ψ(ｙ)で表わされるとし,点Ａの高さをｘとします。時刻ｔにおいて質量がｍの質点(ｙ(ｔ),ｚ(ｔ))の速度はｖ(ｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ｄｚ/ｄｔ)なので速さはｖ(ｔ)＝{(ｄｙ/ｄｔ)²＋(ｄｚ/ｄｔ)²}^1/2です。

重力加速度をｇとすると,最初の時刻ｔ＝0 ではｙ(ｔ)＝ｘで初速がｖ(ｔ)＝0 なので,この重力による運動でのエネルギーの保存則は(1/2)ｍｖ(ｔ)²＝ｍｇ{ｘ－ｙ(ｔ)}となります。

一方,速度ベクトルは曲線Ｃ:ｚ＝ψ(ｙ)の上ではｖ(ｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ｄｚ/ｄｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ψ'(ｙ)(ｄｙ/ｄｔ))です。

そこで,ｖ(ｔ)²＝(ｄｙ/ｄｔ)²＋(ｄｚ/ｄｔ)²＝{1＋ψ'(ｙ)²}(ｄｙ/ｄｔ)²によって{1＋ψ'(ｙ)²}(ｄｙ/ｄｔ)²＝2ｇ(ｘ－ｙ)です。

それ故,ｄｙ/ｄｔ＝－{2ｇ(ｘ－ｙ)}^1/2/{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2,またはｄｔ＝－[{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/{2ｇ(ｘ－ｙ)}]^1/2ｄｙです。

そこで,到達すべき終点Ｏの高さをａとすると,Ｔ＝∫_a^xｄｙ[{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/{2ｇ(ｘ－ｙ)}]^1/2と書けます。

この式は,始点Ａを曲線Ｃ上の任意の点と考えて所要時間ＴをＡの高さｘの関数ｆ(ｘ)に書き直し,関数φをφ(ｙ)≡{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/(2ｇ)^1/2と定義すれば∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2＝ｆ(ｘ)になります。

こうして結局,アーベルの積分方程式∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ)のα＝1/2とした特別な場合に当たることがわかります。

故に,これの解はφ(ｘ)＝{Β(1/2,1/2)}^-1(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}＝π(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}]＝πｆ(ａ)/(ｘ－ａ)^1/2＋π∫_a^xｄｙ{ｆ'(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}ですね。

ただし,ｙｚ平面上の曲線ｚ＝ψ(ｙ)の表現という形式にこだわるなら,ｚ＝φ(ｙ)＝{Β(1/2,1/2)}^-1(ｄ/ｄｙ)[∫_a^yｄｗ{ｆ(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}＝π(ｄ/ｄｙ)[∫_a^yｄｗ{ｆ(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}＝πｆ(ａ)/(ｙ－ａ)^1/2＋π∫_a^yｄｗ{ｆ'(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}と書くべきかも知れません。

物理学では,"時間Ｔ＝ｆ(ｘ)が最小になる曲線Ｃを決定する。"という有名な"最速降下線の問題"があって,設定はアーベルのそれとよく似ていますが,こちらの方は"最小作用の定理"などと同じく変分の問題でラグランジュ方程式を作って解くのと同じような方法で解くことができて,解はサイクロイド(cycloid)曲線になることがわかっています。

ちなみに,極座標での角度がθ＝0 のときの初期高さがＡのサイクロイド曲線はｙｚ平面ではｚ＝Ａ(θ－sinθ),ｙ＝Ａ(1－cosθ)です。

サイクロイド曲線Ｃは,ｚ＝ψ(ｙ)なる表現ではＣ上の各点における勾配がψ'(ｙ)＝ｄｚ/ｄｙ＝(1－cosθ)/sinθを満たしています。

積分方程式の導入(introduction),または考察の動機を述べることが中心の記事ということで今日はここまでにします。

現在Pendingになっているベーテ・サルピーターの方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)関連の話題の続きは積分方程式の話が終わってからにします。

参考文献:上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版),Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation",Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

PS:選挙が終わって民主党大勝の８/31(月)朝の感想です。

　今の,衆議院選挙でのある意味で政権交代が起こりやすく大政党候補者のみに有利な小選挙区に,真逆の,ある意味で投票者の死に票がほとんど生じなくて票が公平に反映されますが小党が乱立当選して議事表決がままならず法案が決まりにくい"大選挙区＝比例代表区"を少し加えたような選挙制で勝ち負けがはっきり決まって,一方的になるというケースを２度続けて見ました。

　しかし,過ぎたるは及ばざるがごとし,いっそのこと元の両方折衷のなつかしい中選挙区だけに戻した方がベターなのじゃないでしょうか？

　もっとも,私の本音は選挙制度を知ったばかりの昔から,その欠点を承知の上で選挙するなら完全な意味での"大選挙区＝比例代表区"だけでいいという思想ですが。。。

　いずれにしろ,水を差すようですが"権力を握ればそれは必ず腐敗する。"(←トロツキーの永久革命論？)ので,長期にならないように交代する,あるいは有権者が交代させることが必要でしょう。

　自民党だって,これほど長期でなければ腐敗とか癒着とかはなかっただろうと思います。

　知事など自治体首長には多選を避けて２期も勤めれば自ら勇退して,次は後進に道を譲るという思想もあるようですが。。。。

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水の波(8)(有限振幅の波:非線形波３)

　水の波の続きです。

　このシリーズは今日で終わりますが,非線形波やソリトンについての話はまた別の題名でアップする予定です。

　前回の最後では,Ｋ-ｄＶ方程式:∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 の定常波の解をｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ(ζ),ζ≡ｘ－σｔとして３階常微分方程式：－σ(ｄｕ/ｄζ)＋ｕ(ｄｕ/ｄζ)＋μ(ｄ³ｕ/ｄζ³)＝0 を求め,これの積分を求めました。

すなわち,１回積分すると,μ(ｄ²ｕ/ｄζ²)＝－ｕ²/2＋σｕ＋2Ａ (Ａは積分定数)となり,さらに両辺にｄｕ/ｄζを掛けて,積分すると(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ(Ａ,Ｂは積分定数)となります。

両辺を６倍して右辺をｆ(ｕ)とすると,3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³＋3σｕ²＋6Ａｕ＋6Ｂ≡ｆ(ｕ)です。この方程式が物理的に意味があるｕの実数解を持つのは,明らかにｆ(ｕ)≧0 の範囲でのみです。

実係数の３次方程式ｆ(ｕ)＝0 は１実根,または３実根を持ちますが,この方程式が１実根のみを持つ場合には,ｆ(ｕ)≧0 を値域とする解ｕが有界でないため,これは"有限範囲での振動＝波"を表わす解ではないので,ここでの考察では対象外とします。

ｆ(ｕ)＝0 が３実根を持つとして,それらをｕ₁,ｕ₂,ｕ₃ (ｕ₁≦ｕ₂≦ｕ₃)と書くと,ｆ(ｕ)＝(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)です。

ｆ(ｕ)＝－ｕ³＋3σｕ²＋6Ａｕ＋6Ｂより,σ＝(ｕ₁＋ｕ₂＋ｕ₃)/3,Ａ＝－(ｕ₁ｕ₂＋ｕ₂ｕ₃＋ｕ₃ｕ₁)/6,Ｂ＝ｕ₁ｕ₂ｕ₃ /6です。

ｕ₂≦ｕ≦ｕ₃でｆ(ｕ)≧0ですから,3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝ｆ(ｕ)はｕのこの区間を往復する非線形振動を表わすと思われます。

　そこで,3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝ｆ(ｕ)＝(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)の解でｕ＝ｕ₃でζ＝0 となるものを求めます。

　つまり,方程式ｄζ/(3μ)^1/2＝ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2を解きます。

　まず,ｋ²≡(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁)とします。さらに,ｔ＝{(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2とおくとｄｔ＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₂)^-1/2(ｕ₃－ｕ)^-1/2ｄｕです。

1－ｔ²＝1－(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)＝(ｕ－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₂),1－ｋ²ｔ²＝1－ｋ²(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)＝1－(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₁)＝(ｕ－ｕ₁)/(ｕ₃－ｕ₁)です。

故に,ｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₂)^-1/2(ｕ₃－ｕ)^-1/2ｄｕ(ｕ₃－ｕ₂)^1/2(ｕ₃－ｕ₁)^1/2/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)}^1/2＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₁)^1/2ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2です。

そこで,方程式ｄζ/(3μ)^1/2＝ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2は,－{(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ｄζ＝ｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2を意味します。

したがって,楕円積分Ｆ(ｘ,ｋ)を用いて{(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ＝Ｆ({(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2,ｋ)なる解の表式を得ます。

それ故,sn({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)＝{(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2です。そこで,cn²({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)＝1－sn²({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)＝(ｕ－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₂)です。

※(注):snはヤコービ(Jacobi)の楕円関数:sn(ｕ,ｋ)＝Ｆ^-1(ｕ,ｋ)＝ｘ≡sinφです。またはｕ＝Ｆ(ｘ,ｋ)です。

　Ｆ(ｘ,ｋ)は第１種の楕円積分で,Ｆ(ｘ,ｋ)≡∫₀^xｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2＝∫₀^φｄθ/(1－ｋ²sin²θ)^1/2で定義されます。

特に,Ｋ(ｋ)≡Ｆ(π/2,ｋ)は第１種の完全楕円積分と呼ばれ,4Ｋ(ｋ)は楕円関数:snの２つの周期のうちの１つです。

さらに,sn(ｕ,ｋ)＝ｘ＝sinφに対応して関数:cnをcn(ｕ,ｋ)≡cosφ＝{1－sn²(ｕ,ｋ)}^1/2で定義します。これもヤコービの楕円関数と呼ばれています。(注終わり)※

さて,振動区間をＵ≡ｕ₃－ｕ₂とおけば,上に得られた解はｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕcn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2(ｘ－σｔ),ｋ)と書けます。ここで,σ＝(ｕ₁＋ｕ₂＋ｕ₃)/3＝ｕ₂＋(ｕ₁＋ｕ₃－2ｕ₂)/3＝ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3です。

以上から, ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕcn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2[ｘ－{ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3}ｔ],ｋ)と書けます。ただし,Ｕ＝ｕ₃－ｕ₂,ｋ²＝(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁)です。

この解は,周期関数cnで表現される定常波形を持つ波列を表わしており,この意味でクノイド波(cnoidal wave)と呼ばれます。

　クノイド波:ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕ・cn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2[ｘ－{ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3}ｔ],ｋ)は,速度ｕ₂の一様流の上に振幅がＵの周期波cn²が重なった形をしており,周期波は一様流に相対的に位相速度(2－ｋ^-2)Ｕ/3で進行するという様を表わしています。

　波形cn²(ｓ,ｋ)は,パラメータｋ(0≦ｋ≦1)の値に応じて,cn²(ｓ,0)＝cos²ｓからcn²(ｓ,1)＝sech²ｓまで変化します。

cnの周期は4Ｋですから,これに応じて波長λを{Ｕ/(12μｋ²)}^1/2λ≡4Ｋで定義すると,これはλ＝8Ｋ(3μｋ²/Ｕ)^1/2なる式で与えられます。

　以上では,前提なしで３実根ｕ₁,ｕ₂,ｕ₃ が全て異なる:ｕ₁＜ｕ₂＜ｕ₃と仮定しましたが,特にｕ₂→ｕ₁の極限:ｕ₁＝ｕ₂の重根の場合を想定すると,ｋ²≡(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁)よりｋ＝1です。

そこで,cn(ｓ,ｋ)＝cn(ｓ,1)＝sechｓより,この定常進行波はｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₁＋Ｕsech²[{Ｕ/(12μ)}^1/2{ｘ－(ｕ₁＋Ｕ/3)ｔ}],Ｕ＝ｕ₃－ｕ₁となります。この場合,解は波列でなく,定常波形がsech²の孤立波を表わします。

この孤立波は振幅Ｕの平方根に反比例した拡がりを持ち,一様流ｕ＝ｕ₁に相対的に,位相速度Ｕ/3で進行します。

いま１つの極限ｕ₃→ｕ₂,つまりｕ₂＝ｕ₃の重根の場合はｋ＝0,かつＵ＝0 なので波はｕ＝ｕ₃の一様流に帰着します。　 

ただし,その重根の極限の近傍のｋ～0,Ｕ～0では,Ｕ/ｋ²＝ｕ₃－ｕ₁より,定常解はｕ(ｘ,ｔ)～ｕ₂＋(ｕ₃－ｕ₂)cos²[{Ｕ/(12μｋ²)}^1/2(ｘ－ｕ₁ｔ)]＝ｕ₃＋2ｕ₂sin[{(ｕ₃－ｕ₁)/(3μ)}^1/2(ｘ－ｕ₁ｔ)]となって微小振幅の正弦波となります。

　こうして,"Korteweg-deVries方程式＝Ｋ-ｄＶ方程式"で記述される有限振幅の長波のうちの定常進行波は,クノイド波,または孤立波になることがわかりました。

　しかし,一般に任意の初期条件から出発した非定常の波が,これらの定常解に漸近するとは限りません。

Ｋ-ｄＶ方程式,および類似の非線形発展方程式の研究は近年急速な発展を遂げ,特にＫ-ｄＶ方程式については,かなり多くのことがわかっているようです。

ここでは孤立波に関する２,３の結果を紹介します。

初期条件が三角関数:ｕ(ｘ,0)＝cosπｘのＫ-ｄＶ方程式∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 の初期値問題はZabuskyとKruskal(1965)によって数値的に解かれました。

特にμ＝0 なら,数値計算に頼らずとも,解はｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]となることがわかります。

※(注)ｕ(ｘ,ｔ)≡cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]とおけば,これはｕ(ｘ,0)＝cosπｘを満たします。

そして,∂ｕ/∂ｔ＝π{σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ}sin[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}],∂ｕ/∂ｘ＝π{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}sin[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]ですから,∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＝0 はσ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]＝0 となります。

これから,ｔ＝0 ではσ＝cosπｘ＝ｕ(ｘ,0)を得ます。すなわち,σ(ｘ,0)＝ｕ(ｘ,0)です。

そこで,σ＝ｕ＝cos[π(ｘ－σｔ)]とおいてみると,σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]＝σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}σ＝{∂σ/∂ｔ＋σ(∂σ/∂ｘ)}ｔ＝0 となります。

よって,解の一意性から解はｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]です。(注終わり)※

μ＝0 の解ｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]では,∂ｕ/∂ｘ＝π{－1＋(∂ｕ/∂ｘ)ｔ}sin[π(ｘ－ｕｔ)]より,[1－πｔsin[π(ｘ－ｕｔ)]](∂ｕ/∂ｘ)＝－πsin[π(ｘ－ｕｔ)]となります。

この解は,ｔ＝ｔ_B＝1/πに点ｘ＝1/2の付近で突っ立ち:|∂ｕ/∂ｘ|＝∞という現象を呈し,その点以後のｘでは解は多価となって物理的意味を持たなくなります。

ZabuskyとKruskal(1965)の数値計算は,μ^1/2＝0.022 において実行され,その結果得られた数値解は,やはりｔ＝ｔ_B付近で突っ立ちに近い状態を示します。

しかし,この場合はゼロでない分散項の効果により,波の重なりは起こらず,逆に連続的な波が,いくつかの孤立波に分散します。

ｔ＝3.6ｔ_Bでは,波形はほぼ完全に分離した孤立波の連なりとなりますが,これらの孤立波は,先に得られた定常波ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₁＋Ｕsech²[{Ｕ/(12μ)}^1/2{ｘ－(ｕ₁＋Ｕ/3)ｔ}],Ｕ＝ｕ₃－ｕ₁と同じものであることが,その振幅,幅,進行速度の関係から確かめられます。

Ｋ-ｄＶ方程式に従う有限振幅波がある場合に,いくつかの孤立波の集まりになってしまうとすれば,これらの孤立波の間には,どのような相互作用が働くでしょうか？

孤立波の位相速度は振幅に比例するので,ある時刻に大振幅の波を左に,小振幅の波を右にして,互いに十分遠く離しておいたとすれば,大振幅波が小振幅波に近づき,ついには追いつくと予想されます。

Zabusky(1967)は初期条件として,ｕ_j(ｘ,0)＝Ｕ_jsech²(ｘ/Ｄ_j),Ｄ_j≡(12μ/Ｕ_j)^1/2の形を持つ２つの孤立波ｕ_j(ｘ,ｔ)(ｊ＝1,2)を取り,それぞれの振幅をＵ₁＝180,Ｕ₂＝80として,初期に距離を12Ｄ₁(Ｄ₁＝(12μ/Ｕ₁)^1/2＝(μ/15)^1/2)だけ隔てて置きました。

そして,小振幅の方の波が静止するように,さらにｕ₁＝－26＋2/3の一様流を加えました。

数値計算の結果として得られた２つの波は,重なる以前は互いに独立に運動しますが,驚くべきことに衝突以後に再び分離して衝突前と同じ大きさと形と位相速度で運動を続けます。

衝突の影響は,僅かに両者の位相の変化となって残るだけです。

２つの波が初期と同じ間隔12Ｄ₁だけ離れたときの振幅の変化は,僅かにΔＵ₁/Ｕ₁＜0.07％,ΔＵ₂/Ｕ₂＜0.5％なることが見出されました。

　このように,Ｋ-ｄＶ方程式の孤立波解が,あたかも独立の粒子であるかのように挙動するという結果から,この孤立波をソリトン(soliton)と名付けました。

　非線形波動の現象は,水の波に限らずプラズマ振動,さらに素粒子のモデルなどと関連して研究者の興味を集めており,非線形現象の解明と数学的理論の開発の両面にわたって,その発展が期待されます。

　水の波の話から自然にソリトンを紹介するという所期の目的が達せられたので,水の波の記事シリーズをこれで終わります。

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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水の波(7)(有限振幅の波:非線形波２)

　水の波の続きです。

　水面ｚ＝ηでの速度ポテンシャルは,Φ(ξ,η,τ)＝Φ(ξ,0,τ)＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(ξ,τ)＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)|_z=0η(ξ,τ)²＋..のようにηのテイラー級数に展開できます。

この級数展開と,先のεのベキ級数展開:Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},およびη(ｘ,ｔ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}を,ｚ＝ηでの境界条件:∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ),および∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 に代入します。

まず,Φ(ξ,η,τ)＝Φ(ξ,0,τ)＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(ξ,τ)＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)|_z=0η(ξ,τ)²＋..をｚ＝ηで∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)に代入します。

すると,Φ＝Φ(ξ,ｚ,τ)について(∂Φ/∂ｚ)＋(∂²Φ/∂ｚ²)η＋.. ＝∂η/∂ｔ＋(∂/∂ｘ){Φ＋(∂Φ/∂ｚ)η＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)η²＋..}(∂η/∂ｘ)となります。

ただし,両辺の量は全てｚ＝0 における値です。

ξ≡ε^1/2(ｘ－ｃ₀ｔ),τ≡ε^3/2ｔですから,∂/∂ｘ＝(∂ξ/∂ｘ)(∂/∂ξ)＝ε^1/2(∂/∂ξ),∂/∂ｔ＝(∂ξ/∂ｔ)(∂/∂ξ)＋(∂τ/∂ｔ)(∂/∂τ)＝－ｃ₀ε^1/2(∂/∂ξ)＋ε^3/2(∂/∂τ)です。

そこで,上で求めた境界条件のｚ＝0 での形は,(∂Φ/∂ｚ)＋(∂²Φ/∂ｚ²)η＋.. ＝－ｃ₀ε^1/2(∂η/∂ξ)＋ε^3/2(∂η/∂τ)＋ε(∂/∂ξ){Φ＋(∂Φ/∂ｚ)η＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)η²＋..}(∂η/∂ξ)となります。

これに,Φ(ξ,ｚ,τ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},η(ｘ,ｔ)＝η(ξ,τ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}を代入して,ｚ＝0 で両辺の同じεのベキの係数を等置します。

ηはΦよりε^1/2のオーダーだけ小さい量であると仮定した展開ですから,ｚ＝0 でε^1/2の係数としては,∂Φ⁽¹⁾/∂ｚ＝0 です。

そこで,ε^3/2の係数として∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ),ε^5/2の係数として∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＋η⁽¹⁾(∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ),..を得ます。

一方,ｚ＝ηでのもう１つの動的境界条件:∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 は－ｃ₀ε^1/2(∂Φ/∂ξ)＋ε^3/2(∂Φ/∂τ)＋{ε(∂Φ/∂ξ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 です。

これもｚ＝0 の近傍での展開:Φ(ξ,ｚ,τ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},η(ｘ,ｔ)＝η(ξ,τ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}を代入して,εのベキの係数を等置します。

ｚ＝0では∂Φ⁽¹⁾/∂ｚ＝0なので,εの係数として,－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0,ε²の係数として∂Φ⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂Φ⁽²⁾/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0 です。

これらの関係式に,前記事で求めた境界条件を満たす解の具体的形:Φ⁽¹⁾＝Φ⁽¹⁾(ξ,τ),Φ⁽²⁾＝(－1/2)(ｚ＋ｈ)²{∂²Φ⁽¹⁾(ξ,τ)/∂ξ²}＋ｆ₁(ξ,τ),Φ⁽³⁾＝(1/24)(ｚ＋ｈ)⁴(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－(1/2)(ｚ＋ｈ)²(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｆ₂(ξ,τ),..を代入して高次の項を消去します。

結局,水面波形の第１近似η⁽¹⁾(ξ,τ)に対する方程式として,∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)が得られます。

同じ方程式は,水平速度の第１近似∂Φ⁽¹⁾/∂ξに対しても成立します。こうして,第１近似解が得られれば,高次の近似解は機械的に得られます。

(証明)∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－(ｚ＋ｈ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²),∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²＝－∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²,∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＝(1/6)(ｚ＋ｈ)³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－(ｚ＋ｈ)(∂²ｆ₁/∂ξ²)です。

これにｚ＝0 を代入すると,∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²),∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²＝－∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²,∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＝(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)です。

よって,∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,①－ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)となります。

また,∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＋η⁽¹⁾(∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,②(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)－η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)と書けます。

一方,③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0 はそのままで,∂Φ⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂Φ⁽²⁾/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0 の方は,Φ⁽²⁾＝(－1/2)ｈ²(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＋ｆ₁より,④∂Φ⁽¹⁾/∂τ＋(1/2)ｃ₀ｈ² (∂³Φ⁽¹⁾/∂ξ³)－ｃ₀(∂ｆ₁/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0 です。

ｃ₀²＝ｇｈなので,①－ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0をξで微分すれば得られます。

他方,④∂Φ⁽¹⁾/∂τ＋(1/2)ｃ₀ｈ²(∂³Φ⁽¹⁾/∂ξ³)－ｃ₀(∂ｆ₁/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0 をξで微分してｈを掛けると,ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂τ∂ξ)＋(1/2)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｃ₀ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｈ(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＋ｇｈ(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝0 となります。

左辺の最後の項ｇｈ(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝ｃ₀²(∂η⁽²⁾/∂ξ)に,②(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)－η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)より得られるｃ₀²(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)－(1/6)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)＋ｃ₀ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｃ₀η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)を代入します。

ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂τ∂ξ)＋(1/3)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)＋ｈ(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＋ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＋ｃ₀η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝0 です。

最後に,③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0 より,∂Φ⁽¹⁾/∂ξ＝ｇη⁽¹⁾/ｃ₀としてΦ⁽¹⁾を消去します。

すると,ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋(1/3)ｇｈ³(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)＋(ｇ²ｈ/ｃ₀²)η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ²) ＋ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋ｇｈη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇｈη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝0 です。

したがって,2ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋(1/3)ｃ₀²ｈ²(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)＋3ｇη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝0,つまり∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)が得られます。

∂Φ⁽¹⁾/∂ξ＝ｇη⁽¹⁾/ｃ₀なのでη⁽¹の代わりに∂Φ⁽¹⁾/∂ξを代入しても同じ非線形方程式を満たします。(証明終わり)

たった今得られら有限振幅の非線形波に対する方程式:∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)は,既に19世紀末(1895)に,KortweigとdeVriesによって上記とは別の方法で導かれており,これをKortweig-deVries方程式,または略してＫ-ｄＶ方程式と呼びます。

Ｋ-ｄＶ方程式∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)は,適当な尺度(単位)の取り方によって∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 なる形に書くことができます。

係数μは正負どちらでもいい形ですが,変換ｕ→－ｕ,ｘ→－ｘ,ｔ→ｔによって,この方程式におけるμはμ→－μと変換されますから,一般性を失なうことなくμ＞0 としていいです。

Ｋ-ｄＶ方程式∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 の解として,波形を変えず一定速度で伝播する定常波が存在するとして,それを求めてみます。

そのために,σを速度を表わす定数としてｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ(ζ),ζ≡ｘ－σｔとします。こうすると,∂ｕ/∂ｔ＝－σ(ｄｕ/ｄζ),∂ｕ/∂ｘ＝ｄｕ/ｄζです。

そこで,∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 は３階常微分方程式－σ(ｄｕ/ｄζ)＋ｕ(ｄｕ/ｄζ)＋μ(ｄ³ｕ/ｄζ³)＝0 に帰着します。

これは,ζで１回積分すると,μ(ｄ²ｕ/ｄζ²)＝－ｕ²/2＋σｕ＋2Ａ (Ａは積分定数)となります。

さらに両辺にｄｕ/ｄζを掛けて,もう１度積分すると,(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ (Ａ,Ｂは積分定数)です。

μＶ(ｕ)≡Ｅ－(－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ)と置くと,これは(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＋μＶ(ｕ)＝Ｅとなります。そこでｕを質量μを持つ質点の位置座標,Ｖ(ｕ)をそれに働く力のポテンシャルと考えることができます。

位相速度が一定の線形波の典型的な形である正弦波ならｕ＝Ｃsin(ωｔ－ｋｘ)＝－Ｃsin(ｋζ),ζ≡ｘ－σｔ;σ≡ω/ｋです。

ｄｕ/ｄζ＝－ｋＣcos(ｋζ),ｄ²ｕ/ｄζ²＝ｋ²Ｃsin(ｋζ)なので,ｕ＝ｕ(ζ)の満たす方程式はｄ²ｕ/ｄζ²＝－ｋ²ｕ,ｋ^-2(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ²＋Ｃ²です。

これは,(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－(1/2)μｋ²ｕ²＋(1/2)μｋ²Ｃ²ですからＶ(ｕ)＝(1/2)ｋ²ｕ²と置けば,(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＋μＶ(ｕ)＝Ｅ (Ｅ≡(1/2)μｋ²Ｃ²)であり,Ｖ(ｕ)は線形な調和振動子のポテンシャルです。

非線形なＫｄＶ方程式のポテンシャル(非調和振動子ポテンシャル)μＶ(ｕ)≡Ｅ－(－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ)が,線形な調和振動子のそれμＶ(ｕ)＝(1/2)μｋ²ｕ²と決定的に違うのは,非調和振動子のポテンシャルｕの３次以上の項を含むことです。

定数項の差はエネルギーの基準点の違いだけだし,ｕの１次の項の差は完全平方によって２次の項に含めることができます。

今日はここまでにします。

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)

ＰＳ:明日は毎年夏恒例の一泊二日の「将棋チェスネット」http://www.shogi-chess.net/ 主催の「関東お泊りオフ」別名「将棋合宿」に行ってきます。今年は隔年の湯河原の杉の宿で開催の年です。

　去年　http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/08/post_6026.html と同じく,何もなければ,まず,明日朝,たいとさんが私の家に来られてて,次に北島プロ,柿木さんを拾って直接現地に向かう予定です。

　１年に１回の道楽なので前から何もなければ生きているうちは毎年参加することにしています。今年は女流プロは休場中のバンカナと藤田綾初段が見えるそうですね。

　(15年以上も前から,ときたま日程の都合で行けない場合を除いて参加していたのですが,最近は2006,2007年病気入院もあって参加できず,昨年復帰しました。将棋は弱いくせに威張っています。)

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水の波(6)(有限振幅の波:非線形波１)

　水の波の続きです。

　かなり間が開きました。早く非線形波,ソリトンへと進んでいこうと思います。 

前回の最後では,ｘ軸とそれに直角なｙ方向に単位長さ,そして鉛直ｚ方向には水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)から水面η～ 0までの立体Ｖを取り,Ｖの中の水のエネルギーをＥ,波のエネルギーをＥ_wとして,波のエネルギーの時間変化について書きました。

そして,εを水のエネルギー密度とするとｄＥ_w/ｄｔ＝ｄＥ/ｄｔ＝∫_V(∂ε/∂ｔ)ｄＶ＋∫_S(εｖ_n)ｄＳ,ε＝ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚと書けることから,"波のエネルギー保存則の微分形＝波のエネルギー方程式":ｄＥ_w/ｄｔ＝ｄＥ/ｄｔ＝ρ(∂/∂ｘ){∫_S(ｘ)(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｘ)ｄＳ}を得ました。

今日は,まず,微小振幅の線形波に対して,具体的に,この波のエネルギー方程式を計算します。

微小振幅波の速度ポテンシャルは,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)と書けることを既に見ました。ｃは位相速度で,ｃ＝ω/ｋ＝{ｇtanh(ｋｈ)/ｋ}^1/2です。

前と同じように,時間間隔δｔを取ります。δｔは波群の時間的変化の尺度に比べれば十分短かいけれど,その中には多数の振動を含むとします。

波のエネルギーＥ_wや水のエネルギーＥは,実際にはｔだけでなくｘの関数でもあるので,ｄＥ/ｄｔを∂Ｅ/∂ｔと書き,エネルギー方程式を∂Ｅ/∂ｔ＝∂ρ(∂/∂ｘ){∫_S(ｘ)(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｘ)ｄＳ}と書き直します。

これに,上記の具体的な微小振幅波の速度ポテンシャルを代入して,(∂Ｅ/∂ｔ)δｔ＝ρ∫₀^δtｄｔ[(∂/∂ｘ){∫_-h⁰(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｘ)ｄｚ}]を計算します。

すると,(∂Ｅ/∂ｔ)δｔ＝ρ(∂/∂ｘ)[{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}²(－ｋω)∫₀^δtｄｔ∫_-h⁰ｄｚ cosh²{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin²(ｋｘ－ωｔ)]＝－ρ(∂/∂ｘ)[{Ａ²ｃ/sinh²(ｋｈ)}ｇｋtanh(ｋｈ){ｈ/2＋sinh(2ｋｈ)/(4ｋ)}]δｔ/2＝－δｔ(∂/∂ｘ)[(ρｇＡ²ｃ/2){1/2＋ｋｈsinh^-1(2ｋｈ)}]となります。

すなわち,∂Ｅ/∂ｔ＝－(∂/∂ｘ)[(ρｇＡ²ｃ/2){1/2＋ｋｈsinh^-1(2ｋｈ)}]です。

また,微小振幅線形波のエネルギーの表式は,Ｅ_w＝ρｇＡ²/2です。

そして,以前に書いた「水の波(4)」で与えたように,微小線形波の群速度の一般的な表式はｃ_g＝ｄω/ｄｋ＝ｃ[1－(1/2){1－(γｋ²)/(ρｇ)}{1＋(γｋ²)/(ρｇ)}＋ｋｈcosech(2ｋｈ)]です。

この式で,表面張力γを無視してこれをゼロと置くと,ｃ_g＝ｃ{1/2＋ｋｈsinh^-1(2ｋｈ)}となります。

これを用いると,波のエネルギー方程式は,∂Ｅ_w/∂ｔ＋∂(ｃ_gＥ_w)/∂ｘ＝0 となります。

この形は,３次元の流れ(波)では∂Ｅ_w/∂ｔ＋div(ｃ_gＥ_w)＝0 なる連続の方程式に相当します。このことは波の群速度ｃ_gが波群のエネルギーの伝播速度を与えることを示しています。

さて,もしも波の振幅が微小ではなく,有限な大きさであるとすると,この波は記事「水の波(1)」で書いたように,∇²Φ＝0 を満たす速度ポテンシャルΦ＝Φ(ｒ,ｔ)から得られる水面の高さη＝η(ｘ,ｙ.ｔ)を表わす式:η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²で記述されます。　 

ただし,右辺のΦ(ｒ,ｔ)では微分計算の後にｚ＝ηとします。

境界条件は,水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で∂Φ/∂ｎ＝0,および水面ｚ＝ηでは∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)です。 

水面の高さηが小さい微小振幅波であるという仮定の下では,Φとηに関する２次の項を無視して,η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²はη＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)とし,ｚ＝ηでの境界条件∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)は∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔで近似します。

これらの式からηを消去すれば,ｚ＝ηで∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 となります。

このときには,速度ポテンシャルをｚ＝0 の周りで展開すると,Φ(ｒ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,0,ｔ)＋(∂Φ/∂ｚ)_z=0η＋Ｏ(Φη²)ですから,Φとηに関して２次以上の微小量を無視する近似ではΦ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,0,ｔ)としても同じです。

結局,微小振幅近似ではｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0,およびｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で∂Φ/∂ｎ＝0 の境界条件の下で,ラプラス方程式∇²Φ＝0 を解くという問題に帰着することがわかりました。

有限振幅波では,渦無しの流れでは速度ポテンシャルΦは線形なラプラス方程式の解ですが,微小振幅近似をする前のｚ＝ηでの境界条件:∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/)∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)や,η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²は非線形です。

こうした非線形性のために,重ね合わせなどを利用した線形方程式の一般解法は全く適用できなくなります。 

このために,有限振幅のいわゆる非線形波は微小振幅の線形波に比べて,その取り扱いはきわめて難しく,研究も立ち遅れていました。 

有限振幅波を表わす厳密解として知られている唯一の解は19世紀初頭に得られたGerstnerのトロコイド波(Gerstner(1962))です。

これが深水波の円形軌道から出発してラグランジュの式記述による基礎方程式を厳密に解いて圧力場と波形を求めたものであり,波形がトコロイド曲線であることから,この名があります。

しかし,この波に伴なう水の運動は渦無しではなく,深さと共に指数関数的に減少する渦度を持ちます。

このため,この波は静止状態から保存力によって作り出すことはできませんが,初期に水面付近に風による吹送流があったと考えれば十分実現可能です。

有限振幅波に関するもう１つの注目すべき研究は,KortwegとdeVries(1895)による非線形長波の研究です。(ＫｄＶ方程式の研究)

彼らは,弱い有限振幅の長波について,波形の突っ立ちと分散効果とが釣り合う結果,定常波が形成されることを見出し,波列,および孤立波を表わす解を求めました。

非線形波動の研究は,その後,あまり著しい発展をみせませんでしたが,ZabuskyとKruskal(1965)が数値実験によって,有限振幅の孤立波がきわめて安定であり,あたかも１個の粒子のように挙動することを見出し,これをソリトン(soliton)と名づけたのを契機として,新しいそして目覚しい展開を見せるに至りました。

以下,その発端となった非線形分散波を中心に有限振幅の水の波について概観してみます。

簡単のため,水の深さｈは一定で,かつ波はｘ軸方向にのみ変化する１次元の波であるとします。

まず,波を支配するラプラス方程式∇²Φ＝0は∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 となります。

また,境界条件のうち,水底で∂Φ/∂ｎ＝0 はｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0 です。

ｚ＝ηでの境界条件:∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)は,ｙ方向が無関係なので∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/)∂ｘ)となります。

η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²も,∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 となります。

結局,有限振幅波の問題は,境界条件:ｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0, ｚ＝ηで∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ),および∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 の下で,方程式∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 を解く問題に帰着します。

微小振幅の場合は,非線形境界条件:ｚ＝ηで∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ),および∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 が,ηを消去してｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 の線形条件になります。

これの一定振動数ωの解は,既に見たようにΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)でη(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ) (ただしＡ≡－－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ))で,分散関係はｃ＝ω/ｋ＝{ｇtanh(ｋｈ)/ｋ}^1/2です。 

これは,浅水長波ｋｈ＜＜1の場合には,tanh(ｋｈ)～ｋｈ－(ｋｈ)³/3＋2(ｋｈ)⁵/15－..＝ｋｈ{1－(ｋｈ)²/3＋Ｏ[(ｋｈ)⁴]}よりｃ＝ω/ｋ～ｃ₀{1－ｈ²ｋ²/6＋Ｏ(ｋ⁴)}(ｃ₀≡√ｇｈ)と近似展開されます。

波がいくつかの正弦波から構成される場合, 波の分散はそれぞれの正弦波が異なる速度で進むため波形の変化を引き起こします。そして分散の強さは,浅水長波の場合ｃ＝ω/ｋ～ｃ₀{1－ｈ²ｋ²/6＋Ｏ(ｋ⁴)の右辺第２項の大きさε≡ｈ²ｋ²＜＜1で表現されます。

(ここではεはエネルギー密度ではなく速度ｃの分散です。)

一方,有限振幅波においては,波を構成する各正弦波が独立ではなく,その間に非線形相互作用が働くため,線形の分散効果と釣り合った場合には波形の変化が止まり,一定波形の定常波が出現することが期待されます。

そうした期待の下に,分散の強さεと同程度の大きさの振幅を持つ弱い非線形波を家庭します。

そして,線形近似の分散関係:ｃ＝ω/ｋ＝ｃ₀(1－ｈ²ｋ²/6) (ｃ₀≡√ｇｈ)の下では,波の位相はｋｘ－ωｔ＝ｋ(ｘ－ｃ₀ｔ)＋ｃ₀ｈ²ｋ³ｔ/6となります。

ｈｋ＝ε^1/2の小さい値に対して,波の時間的空間的変化を正しく記述するには,ｋｘ－ωｔ＝ｋ(ｘ－ｃ₀ｔ)＋ｃ₀ｈ²ｋ³/6の右辺の各項が,それぞれ１程度になるような変換ξ≡ε^1/2(ｘ－ｃ₀ｔ),τ≡ε^3/2ｔを施せばいいことがわかります。

こうすれば,ｋ(ｘ－ｃ₀ｔ)＝ｋε^-1/2ξ＝ξ/ｈ,ｃ₀ｈ²ｋ³ｔ/6＝ｃ₀ｈ²ｋ³ε^-3/2τ/6＝ｃ₀τ/(6ｈ)と書けます。

この変換は正方向に位相速度ｃ₀で動く座標系に乗ったことに相当しており,正方向の進行波を記述するのに適しています。

また,εに比例する小因子によって,ｘ座標と時間ｔが縮小されていることは,ｘ軸方向,および時間方向にきわめてゆるやかな変化を扱うことに相当しています。

例えば,1/Δτに対して,1/Δｔ＝(1/Δτ)(Δτ/Δｔ) ＝(1/Δτ)ε^3/2ｔ＜＜1/Δτです。

波の振幅についてはεと同程度の弱い非線形波を考えています。 

η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²より,η～ －ωｇ^-1Φ＝－(ｈ/ｇ)^1/2ｋΦ～ －ε^1/2Φです。

Φ,およびηは,それぞれεのベキ級数:Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},およびη(ｘ,ｔ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}の形に書けるものとします。

∂²Φ/∂ｘ²＝ε(∂²Φ/∂ξ²)ですから,上のΦのベキ展開式を∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 の左辺に代入して,εの各ベキの係数をゼロと置けば,∂²Φ⁽¹⁾/∂ｚ²＝0,∂²Φ⁽ⁿ⁾/∂ｚ²＋∂²Φ^(n-1)/∂ξ²＝0(ｎ≧2)が得られます。

また,境界条件ｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0 は,ｚ＝－ｈで∂Φ⁽ⁿ⁾/∂ｚ＝0(ｎ≧1)です。

そこで,境界条件を満たす解は,Φ⁽¹⁾＝Φ⁽¹⁾(ξ,τ),Φ⁽²⁾＝(－1/2)(ｚ＋ｈ)²{∂²Φ⁽¹⁾(ξ,τ)/∂ξ²}＋ｆ₁(ξ,τ),Φ⁽³⁾＝(1/24)(ｚ＋ｈ)⁴(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－(1/2)(ｚ＋ｈ)²(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｆ₂(ξ,τ),..,と表現されます。

ただし,ｆ₁,ｆ₂,..はξとτの任意関数です。

途中ですが今日はここまでにします。 

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)

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水の波(5)(群速度,波のエネルギー)

　ちょっと間があきましたが,水の波の続きです。

　群速度が波群の進行速度を表わすことは既に述べましたが,ここでは波群の運動学の立場から群速度を概観してみます。

　一般に分散性媒質中では,任意の初期状態から出発した波の場は時間が経つにつれて分散が進み,長時間の後には,局所的には１つの波数と振動数の単色波になるという状態が実現します。

　こうした状態においては,波の場の振動的構造を無視して,場全体を波数,振動数,振幅などの特性量の場として大局的に記述することが可能になります。

　これは波の場を波群の運動学として記述するもので,いわば波動光学に対する幾何光学に対応しています。

　局所的に単色波である波の場では,もはや波の分裂や合体は起こらないので,波数,および振動数の保存則が成り立つと考えられます。

　今,ｘ軸の方向に長さδｘを取り,δｘは波数ｋの空間的変化の尺度に比べればきわめて小さいが,その中には多数の波を含むとします。

　同様に,時間間隔δｔを取り,δｔは振動数ωの時間的変化の尺度に比べれば十分短かいが,中に多数の振動を含むとします。

　ｘ軸の正の向きに進む水の波を考えると,δｔ内にｘ,およびｘ＋δｘを通過する波の数は,それぞれω(ｘ,ｔ)δｔ,およびω(ｘ＋δｘ,ｔ)δｔです。

そこで,区間(ｘ,ｘ＋δｘ)内には,差し引きω(ｘ,ｔ)δｔ－ω(ｘ＋δｘ,ｔ)δｔ＝－(∂ω/∂ｘ)δｘδｔだけの波が残ります。

ところが波数の保存側によって,これはこの区間δｘ内において,時間δｔ内における波数の増加(∂ｋ/∂ｔ)δｘδｔに等しくなければなりません。

したがって,∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 です。位相速度ｃ＝ω/ｋを代入すると∂ｋ/∂ｔ＋∂(ｃｋ)/∂ｘ＝0 と書けますが,これは明らかに波数ｋに対する連続の方程式を表わしています。

この記述では,波の位相速度ｃが波数ｋの伝播速度を与えることを示しています。

他方,群速度がｃ_g＝ｄω/ｄｋで与えられることから,∂ω/∂ｘ＝(ｄω/ｄｋ)(∂ｋ/∂ｘ)なので,波数の保存式∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 は∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ＝0 なることを意味します。

あるいは,∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘ＝0 です。ωはｋを通じてｘ,ｔに依存しているとしています。

そして,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gならｄｋ/ｄｔ＝∂ｋ/∂ｔ＋(∂ｋ/∂ｘ)(ｄｘ/ｄｔ)＝∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ,かつｄω/ｄｔ＝∂ω/∂ｔ＋(∂ω/∂ｘ)(ｄｘ/ｄｔ)＝∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘです。

それ故,波数の保存式∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 は,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gなる道筋に沿って波数ｋと振動数ωが一定なることを示しています。

つまり,波の群速度ｃ_gは,波数ｋ,または振動数ωが一定である点の移動速度を与えます。

ωはｋのみの関数で,ｃ_gもまたｋのみの関数と考えることができるのでｋ＝一定の道筋の上では,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gの解は,ｘ－ｃ_gｔ＝一定なる直線,つまり等速運動になります。

そこで,一定の波数,または振動数の波群は,一定の群速度で進行することがわかります。

媒質が不均一である場合には,ωはｋだけでなくｘにも依存するため,∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ＝0 または∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘ＝0 は成立しません。

しかし,この場合も局所的な群速度を,ｘを固定した偏微分で,ｃ_g≡(∂ω/∂ｋ)_xで定義します。

(∂ω/∂ｋ)_x(∂ｋ/∂ｔ)_x＝(∂ω/∂ｔ)_xを考慮すれば,再びωに対する方程式:(∂ω/∂ｔ)_x＋ｃ_g(∂ω/∂ｘ)_x＝0 が得られます。

したがって,不均一な媒質においても一定振動数の波群は群速度ｃ_gで進行します。

ただし,この場合,群速度ｃ_gは一定ではなく,道筋もまた直線的(等速運動)ではありませんが,ｃ_gはωとｘの関数であり,ωは道筋に沿って一定ですから,ｃ_gはｘのみの関数となります。

次に波のエネルギーを考察します。 

ｘ軸とそれに直角なｙ軸方向にそれぞれ単位長さの幅を持ち,鉛直ｚ方向には水底ｚ＝－ｈから水面ｚ＝ηまでの立体Ｖを取り,Ｖの中の水のエネルギーを考えます。

水の密度をρ＝一定とすると,渦なしの流れの場合,水の速度ｕは速度ポテンシャルΦによってｕ＝∇Φと表わされるので,運動エネルギーＫはＫ＝∫_V(ρｕ²/2)ｄＶ＝(ρ/2)∫_V|∇Φ|²ｄＶで与えられます。

一方,位置エネルギーＰはＰ＝ρｇ∫_VｚｄＶです。

したがって,全エネルギーはＥ＝Ｋ＋Ｐ＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ}ｄＶで与えられます。

これを微小振幅波について具体的に計算してみます。 

体積Ｖとしてｙ方向の幅は単位長さとしていますが,ｘ方向の長さをδｘを考えると,まず運動エネルギーはＫδｘ＝(ρ/2)∫₀^δxｄｘ∫_-h⁰ｄｚ{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}と表わされます。ここでｚ積分の上限は線形近似でη＝0 としました。 

既に求めたように微小振幅波の速度ポテンシャルはΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)です。

これを,Ｋδｘの表現に代入し位相速度がｃ＝ｃ(ｋ)＝ｋ/ω＝ｆλ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2を用います。

すると,Ｋδｘ＝(ρ/2){Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}²∫₀^δxｄｘ∫_-h⁰ｄｚ[sin²(ｋｘ－ωｔ)＋sinh²{ｋ(ｚ＋ｈ)}]＝(ρ/2){(ｇＡ²ｋ)tanh(ｋｈ)/sinh²(ｋｈ)}}δｘ[ｈ/2＋{sinh(2ｋｈ)/(2ｋ)－ｈ}/2]＝ρｇＡ²δｘ/4,すなわち,Ｋ＝ρｇＡ²/4を得ます。

また,位置エネルギーは水面の高さが意味を持つので,ηを復活させてη＝η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)とすると,Ｐδｘ＝ρｇ∫₀^δxｄｘ∫_-h^ηｚｄｚ＝(ρｇ/2)∫₀^δx(η²－ｈ²)ｄｘ＝(ρｇ/2)∫₀^δx{Ａ²sin² (ｋｘ－ωｔ)－ｈ²}ｄｘ＝(ρｇδｘ/2)(Ａ²/2－ｈ²)です。

よってＰ＝ρｇＡ²/4－ｈ²/2です。

したがって,全エネルギーはＥ＝Ｋ＋Ｐ＝ρｇＡ²/2－ｈ²/2です。

ところが右辺の定数項:－ｈ²/2はＡ＝0 で波がなく静止しているときにも存在する水の位置エネルギーですから,これを基準としたエネルギーを改めて波のエネルギーとしてＫ_w,Ｐ_w,Ｅ_w＝Ｋ_w＋Ｐ_wを定義すれば,Ｋ_w＝Ｐ_w＝ρｇＡ²/4,Ｅ_w＝ρｇＡ²/2となります。

これらのエネルギーは,いずれも波数や振動数に無関係であり,水面波ηの振幅Ａだけで決まる量です。そして,今の場合,運動エネルギーと位置エネルギーの等分配則が成立しています。

一般的には,波のエネルギーはＥ＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ}ｄＶから,水の静止エネルギー∫_V0ρｇｚｄＶを引いたＥ_w＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2]ｄＶ＋∫_VρｇｚｄＶ－∫_V0ρｇｚｄＶで定義できます。

ただし,Ｖ₀は水面波ηがない場合の立体体積です。

次に,波のエネルギーの時間変化ｄＥ_w/ｄｔ＝ｄＥ/ｄｔを考えます。特にエネルギー密度をε≡ ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚとおけば,Ｅ＝∫_VεｄＶであり,ｄＥ/ｄｔ＝∫_V(∂ε/∂ｔ)ｄＶ＋∫_S(εｖ_n)ｄＳです。

ここで,ＳはＶの表面を表わし,ｖ_nはＳの面要素ｄＳの動く速度ｖの外向き法線成分を表わします。

ここで,圧力方程式∂Φ/∂ｔ＋Ｐ/ρ＋|∇Φ|²/2＋ｇｚ＝ｆ(ｔ)≡Ｐ₀/ρ(広義のベルヌーイの定理)を考慮すると,ε＝ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ＝－ρ(∂Φ/∂ｔ)－(Ｐ－Ｐ₀)と表現できます。

そこでｄＥ/ｄｔ＝ρ∫_V[∇Φ∇(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ－∫_S[{ρ(∂Φ/∂ｔ)＋(Ｐ－Ｐ₀)}ｖ_n]ｄＳと書けます。

ところが,∇²Φ＝0 ですから,∫_V[∇Φ∇(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ＝∫_V[∇{∇Φ(∂Φ/∂ｔ)}－∇²Φ(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ＝∫_V[∇{∇Φ(∂Φ/∂ｔ)}ｄＶ＝∫_S(∂Φ/∂ｎ)(∂Φ/∂ｔ)ｄＳです。

したがって,ｄＥ/ｄｔ＝∫_S{ρ(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ－ｖ_n)＋(Ｐ－Ｐ₀)ｖ_n}ｄＳと書けます。

ところでＶの表面Ｓは４つの鉛直な側面と水面,水底面から成りますが,水面では∂Φ/∂ｎ－ｖ_n＝0,かつＰ－Ｐ₀＝0 です。

そしてｘ軸に平行な一対の側面では∂Φ/∂ｎ＝ｖ_n＝0です。またｘ軸に垂直な一対の側面ではｖ_n＝0 ですが,一般に∂Φ/∂ｎ≠0 です。

それ故,ｘ軸に垂直な側面をＳ_nとすると,ｄＥ/ｄｔ＝ρ∫_Sn(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)ｄＳなる式が得られます。これは波のエネルギー保存則を意味します。

ところで,Ｓ_n上でｕ_n≡∂Φ/∂ｎと定義し,エネルギー密度の表現:ε＝－ρ(∂Φ/∂ｔ)－(Ｐ－Ｐ₀)を用いると,上式はｄＥ/ｄｔ＝－ρ∫_Sn(εｕ_n)ｄＳ－∫_Sn{(Ｐ－Ｐ₀)ｕ_n}ｄＳと書けます。

これは,右辺第１項が体積Ｖ内へのエネルギーの流入率,第２項が大気と流体の圧力差によってＶ内の流体が受ける仕事率を表わすというエネルギー保存の典型的な形式になっています。

ここで,体積Ｖとしてｘ軸方向に長さδｘを有するものを取り,座標ｘ,ｘ＋δｘにおける境界面Ｓ_nを,それぞれＳ(ｘ),Ｓ(ｘ＋δｘ)と書けば,エネルギー保存式は,(ｄＥ/ｄｔ)δｘ＝ρ[∫_S(x+δx)－∫_S(x)][(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)]ｄＳとなります。

そこで,ｄＥ/ｄｔ＝ρ(∂/∂ｘ){∫_S(x)(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)ｄＳ}となります。これは波のエネルギー保存則の微分形で,波のエネルギー方程式を与えるものとなっています。

とりあえず,今日はここまでにします。

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)　

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水の波(4)(波群,群速度)

水の波のつづきです。今日は,波群と群速度の話題です。

一般にある波源から出る波は単一正弦波ではなく,無数の異なる波長の正弦波から成ると考えられます。

媒質が分散性である場合,ある時間の後にこれら正弦波の内の伝播速度の速い成分は遠方まで到達し,遅い成分は近くに取り残されます。

こうした成分波の分散は,時間と共にますます著しくなり,波源から遠いところは速い成分波,近いところは遅い成分波で占有されます。

したがって,分散が十分進んだ後には,空間内のある場所には,ある波数と振動数の成分波だけが存在し,その分布の模様は時間と共に変化します。

このような波の場を全体として眺めたとき,波数と振動数を場所と時間の関数と考えることができます。

また,媒質が不均質な場合,波の伝播速度は場所と共に変化するので,上述のような扱いがなおさら必要です。こうした波の場の大局的記述には群速度の概念が有効です。

例として,振幅,波数,振動数がほぼ等しい２つの正弦波,η₁＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ),η₂＝(Ａ＋δＡ)sin{(ｋ＋δｋ)ｘ－(ω＋δω)ｔ}が共存している場合を考えます。もちろん,δＡ＜＜Ａ,δｋ＜＜ｋ,δω＜＜ωです。

このとき,η≡η₁＋η₂＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)＋(Ａ＋δＡ)sin{(ｋ＋δｋ)ｘ－(ω＋δω)ｔ}＝2Ａcos[{(δｋ)ｘ－(δω)ｔ}/2]sin{(ｋ＋δｋ/2)ｘ－(ω＋δω/2)ｔ}＋δＡsin{(ｋ＋δｋ)ｘ－(ω＋δω)ｔ}～ 2Ａcos[{(δｋ)ｘ－(δω)ｔ}/2]sin(ｋｘ－ωｔ)となります。

この波形は,δｋ＜＜ｋ,δω＜＜ωなる仮定により,η₁＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)とほぼ同じ波数ｋと振動数ωを持つ正弦波ですが,振幅が空間的,時間的に非常に緩やかに変形するというものです。

これは,うなりの現象として知られていますが,電気通信の分野の言葉では,搬送波と振幅変調に相当しています。

合成波の振幅の包絡線である2Ａcos[{(δｋ)ｘ－(δω)ｔ}/2]は,それ自身,基本正弦波に比べて,はるかに長い波長(4π/δｋ)と周期(4π/δω)を持つ進行正弦波です。

これは上記のの振幅変調によって,基本正弦波を長さ(2π/δｋ)の波群に区切っています。そして,この波群の進行速度は明らかにｃ_g＝(δω/δｋ)で与えられます。この速度ｃ_gを群速度(group velocity)といいます。 

さらに一般的な例として,ある波数ｋを中心として,その近傍の波数を連続的に含む波を考えます。

振幅の波数に対する分布を正規分布形に取れば,波形はη＝Ａ(α/π)^1/2∫_-∞^∞exp{－α(ｋ'－ｋ)²}sin{ｋ'ｘ－ω(ｋ')ｔ}ｄｋ'の形に表わされます。

ただし,α＞0 は定数です。α＞＞1のとき,被積分関数はｋ'＝ｋの近傍でのみゼロでない値を持つため, ω(ｋ')＝ω(ｋ)＋(ｄω/ｄｋ)(ｋ'－ｋ)と近似できます。

この近似の下ではη ～ Ａexp[{－1/(4α)}{ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}²]sin{ｋｘ－ω(ｋ)ｔ}となります。

これを証明します。

(証明)sin{ｋ'ｘ－ω(ｋ')ｔ}～ sin[(ｋ'－ｋ){ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}＋ｋｘ－ω(ｋ)ｔ]＝{1/(2i)}{exp(i[(ｋ'－ｋ){ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}＋ｋｘ－ω(ｋ)ｔ])＋exp(－i)[(ｋ'－ｋ){ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}＋ｋｘ－ω(ｋ)ｔ}])}です。

　そこで,∫_-∞^∞exp{－α(ｋ'－ｋ)²}exp(±i[(ｋ'－ｋ){ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}}ｄｋ'＝ ∫_-∞^∞exp(－α[－(ｋ'－ｋ)±i/(2α){ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}]²－{1/(4α)}{ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}²)ｄｋ'＝{(π/α)^1/2exp[－{1/(4α)}{ｘ－(ｄω/ｄｋ)ｔ}²］を得ます。(証明終わり)

これは,先のη≡η₁＋η₂～2Ａcos[{(δｋ)ｘ－(δω)ｔ}/2]sin(ｋｘ－ωｔ)とは異なり,ｘ＝(ｄω/ｄｋ)ｔの場所に最大の振幅を持つ単独の波群を表わしています。

この波群は速度(ｄω/ｄｋ)で進行します。

一般的には,この速度で群速度ｃ_gを定義します。

すなわち,ｃ_g≡ｄω/ｄｋ＝ｄ(ｃｋ)/ｄｋ＝ｃ＋ｋｄｃ/ｄｋ＝ｃ－λｄｃ/ｄλです。

非分散性媒質においては,ｄｃ/ｄｋ＝ｄｃ/ｄλ＝0 なので群速度ｃ_gは位相速度ｃと一致します。 

また,例えば,水深一定の進行正弦波について,表面張力をも考慮した最も一般的な分散関係は,ω＝{ｋ(ｇ＋γｋ²/ρ)tanh(ｋｈ)}^1/2で与えられます。 

そこで,これの群速度はｃ_g＝ｄω/ｄｋ＝(1/2){(ｇ＋γｋ²/ρ)tanh(ｋｈ)＋(ｇ＋γｋ²/ρ)(ｋｈ)sech²(ｋｈ)＋(2γｋ²/ρ)tanh(ｋｈ)}{ｋ(ｇ＋γｋ²/ρ)tanh(ｋｈ)}^-1/2＝ｃ[1－(1/2)(λ²－λ_m²)/(λ²＋λ_m²)＋(2πｈ/λ)cosech(4πｈ/λ)]となります。

ここで,ｃ＝ω/ｋ＝{(ｇ＋γｋ²/ρ)tanh(ｋｈ)/ｋ}^1/2は位相速度で,λ_mはλ_m≡2π{γ/(ρｇ)}^1/2で与えられる波長です。

長波 or 浅水波のときにはλ＞＞ｈ,ｋｈ＜＜1ですから,ｃ_g～ ｃ,かつtanh(ｋｈ)～ ｋｈです。そこで,ｃ～ (ｇｈ)^1/2ですから,長波ではｃ_g＝ｃ＝(ｇｈ)^1/2と表わせます。

一方,深水重力波のときはλ_m＜λ＜＜ｈですから(2πｈ/λ)cosech(4πｈ/λ)～0より, ｃ_g＜ｃです。特に,λ_m/λ→ ∞ の極限では,ｃ_g＝ｃ/2＝(1/2){ｇλ/(2π)}^1/2となります。

表面張力波 or さざ波なら,λ＜λ_mですから,ｃ_g＞ｃです。特にλ_m/λ→ 0 の極限では,ｃ_g＝3ｃ/2＝(3/2){2πγ/(ρλ)}^1/2です。 

群速度の概念が有効なのは,振幅スペクトルの広がりが,かなり小さく,波の振幅,波数,振動数の空間的,時間的変化がかなり緩やかな場合,光学の言葉で言えば準単色の波に対してのみです。

途中で短かいですが,今日はここまでにします

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水の波(3)(定在波,定常波)

水の波のつづきです。今日は,まず定在波を考えます。

　これまで主として考えてきた波は,速度ポテンシャルがΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝φ(ｚ)cos(ｋｘ－ωｔ)で与えられ,ｘ方向に位相速度ｃ＝ω/ｋで伝わる単一正弦波でした。

　ここでは,位相速度ｃが正のｃ＝ω/ｋ＞0 の正弦波と,位相速度が－ｃ＜0 の進行方向が正反対の波を重ね合わせたもの:Φ(ｘ,ｚ,　ｔ)＝φ₁(ｚ)cos(ｋｘ－ωｔ)＋φ₂(ｚ)cos(ｋｘ＋ωｔ)を考えます。

　これもこれまでの単一正弦波と同じｋを持つ∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 の解です。そして,φ₁(ｚ),およびφ₂(ｚ)はｄ²φ₁/ｄｚ²－ｋ²φ₁＝0,およびｄ²φ₂/ｄｚ²－ｋ²φ₂＝0 の解です。

水面波の形η(ｘ,ｔ)はη(ｘ,ｔ)＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)_ｚ=0で与えられます。

前の記事では,これにΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝φ(ｚ)cos(ｋｘ－ωｔ),φ(ｚ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}を代入して,η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ),Ａ≡－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ)を得ました。

今の重ねあわせポテンシャルΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝φ₁(ｚ)cos(ｋｘ－ωｔ)＋φ₂(ｚ)cos(ｋｘ＋ωｔ)では,正負の向きの波の振幅が同一:φ₁(ｚ)＝－φ₂(ｚ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}で,Ａ/2≡－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ)と仮定して代入すると,η(ｘ,ｔ)＝(Ａ/2){sin(ｋｘ－ωｔ)＋sin(ｋｘ＋ωｔ)}＝Ａsin(ｋｘ)cos(ωｔ)となります。

　そして,このときには速度ポテンシャルΦもΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}{cos(ｋｘ－ωｔ)－cos(ｋｘ＋ωｔ)}＝{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin(ｋｘ)sin(ωｔ)と書けて,空間と時間が分離した関数形になります。

ここで,Ａ/2＝－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ),かつω＝{ｇｋtanh(ｋｈ)}^1/2により,正負の向きの２つの正弦波の共通の位相速度の大きさｃがｃ＝ω/ｋ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＞0 で与えられますから,2Ｃ＝－Ａｇ/{ωcosh(ｋｈ)}＝－Ａ/{sinh(ｋｈ)}{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝－Ａｃ/{sinh(ｋｈ)}となることを用いました。

そして,水の運動方程式はｄｘ/ｄｔ＝ｕ＝∂Φ/∂ｘ＝{Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ)sin(ωｔ),ｄｚ/ｄｔ＝ｗ＝∂Φ/∂ｚ＝{Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}sinh{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin(ｋｘ)sin(ωｔ)sin(ωｔ)となります。

前の記事と同じく,動点の座標(ｘ,ｚ)を,その１周期での平均値(ｘ₀,ｚ₀)を用いてｘ＝ｘ₀＋(ｘ－ｘ₀),ｚ＝ｚ₀＋(ｚ－ｚ₀)と書き,そこからの差(ｘ－ｘ₀),(ｚ－ｚ₀)の２次以上の微小量を無視した微小振幅波の近似をします。この近似ではＡ自身も１次の微小量です。

この近似で運動方程式を解いて水の運動を求めると,ｘ＝ｘ₀＋{Ａ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}cos(ｋｘ₀)cos(ωｔ),ｚ＝ｚ₀＋{Ａ/sinh(ｋｈ)}sinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}sin(ｋｘ₀)cos(ωｔ)となります。

一方,水面の運動は式η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ)cos(ωｔ)により,ｘ＝ｎπ/ｋ(ｎは整数)の点で振幅がゼロとなり,ｘ＝(ｎ＋1/2)π/ｋ(ｎは整数)の点で振幅が最大になります。

この水面波での振幅がゼロの点を波の節,振幅が最大の点を波の腹といいます。

波の波長をλとすると,波数はｋ＝2π/λで与えられますから,波の節のｘ座標はｘ＝ｎπ/ｋ＝ｎλ/2,腹のｘ座標はｘ＝(ｎ＋1/2)π/ｋ＝(ｎ＋1/2)λ/2とも書けます。

いずれにしても,これら節や腹を含め振幅が一定であるような点は,一般の進行波のように空間的に移動せず定位置にあります。このような波を定在波と呼びます。

そして,水中の水の運動はｘ－ｘ₀＝[Ａ/sinh(ｋｈ)]cosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}cos(ｋｘ₀)cos(ωｔ),ｚ－ｚ₀＝{Ａ/sinh(ｋｈ)}sinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}sin(ｋｘ₀)cos(ωｔ)ですから,波の節の位置ｘ₀＝ｎπ/ｋ(ｎは整数)では水平運動だけ,波の腹の位置ｘ₀＝(ｎ＋1/2)π/ｋ(ｎは整数)では鉛直運動だけです。

また,節でも腹でもない一般のｘ＝ｘ₀の位置の付近では,ある一定の傾きで直線的な単振動をします。

波の腹に対応する鉛直面ｘ＝(ｎ＋1/2)π/ｋ＝(ｎ＋1/2)λ/2において水は鉛直運動のみを行なうことから,腹の鉛直面を固体平面の境界で置き換えても,この境界の上での完全流体の境界条件ｕｎ＝0 は定在波によって自動的に満足され波の形は乱されません。

　そこで,この定在波はｘ＝(ｎ＋1/2)λ/2の位置にある２枚の鉛直固体壁と水底の水平面で仕切られた容器の中の水の振動と同一視することができます。

それ故,容器中にｘ方向の定在波が存在し得るためには容器のｘ方向の幅が波の半波長λ/2の自然数倍であればいいことになります。

あるいは,逆に容器の幅がＬで与えられたなら,この中では波長がλ＝2Ｌ/ｎ(ｎは自然数)で与えられる定在波のみが存在可能です。

こうした定在波をこの容器での固有振動と呼びます。この振動の波長λ＝2Ｌ/ｎを固有波長と呼びます。

これに対応する角振動数ω＝2πｆは,ｋ＝2π/λ＝ｎπ/Ｌ＝ω/ｃより,ω＝{ｇｋtanh(ｋｈ)}^1/2＝{(ｎπｇ/Ｌ)tanh(ｎπｈ/Ｌ)}^1/2となります。このωを固有角振動数,ｆ＝ω/(2π)を固有振動数といいます。

定在波としては,上述のような１次元の波に限らず,ｙ軸を復活させてｘｙ平面内の任意の閉曲線Ｃで囲まれた領域内における２次元の波を考えることができます。

この２次元波の問題は,ｘｙ平面の閉曲線Ｃの固体壁と水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で与えられる容器の境界面の上での境界条件ｕ_n＝ｕｎ＝∂Φ/∂ｎ＝0 ,および自由水面上:ｚ＝0 での境界条件∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 を満たすラプラス方程式∇²Φ＝∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 の解を求める問題に帰着します。

これを一般的なケースについて解くのは面倒ですが,水深ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)が一定の長波(浅水波)の場合には取り扱いが著しく簡単になります。

長波(浅水波)の近似では,ｈ＜＜λですから∇²Φ＝∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 を－ｈ≦ｚ≦0 にわたってｚで定積分する際,ｚの微分を含まない項はｚに依らず一定と考えられます。

そして,水底ｚ＝－ｈでの境界条件:ｕ_n＝ｕｎ＝∂Φ/∂ｎ＝0 は(∂Φ/∂ｚ)_z=-h＝0 を意味します。それ故,ラプラス方程式をｚで定積分した結果として,(∂Φ/∂ｚ)_z=0＝－ｈ(∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²)が得られます。

これに,水面ｚ＝0 での境界条件∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0を代入すると,∂²Φ/∂ｔ²＝ｃ²(∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²),ｃ≡(ｇｈ)^1/2が得られます。最後の式においては,もはや速度ポテンシャルΦはｚに依らず,Φ＝Φ(ｘ,ｙ,ｔ)と書いてよいと考えています。

得られた方程式:∂²Φ/∂ｔ²＝ｃ²(∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²)は２次元の波動方程式であり,これに対する境界条件はｘｙ平面内の閉曲線Ｃの上で∂Φ/∂ｎ＝0です。ただし,ｎはＣ上のの各点におけるＣの法線方向です。

そこで,Φの定在波解をΦ(ｘ,ｙ,ｔ)≡φ(ｘ,ｙ)cosωｔと置いて波動方程式∂²Φ/∂ｔ²＝ｃ²(∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²)に代入すると,∂²φ/∂ｘ²＋∂²φ/∂ｙ²＋ｋ²φ＝0,ｋ≡ω/ｃを得ます。

これは２次元のヘルムホルツ(Helmholtz)方程式です。これは閉曲線Ｃの形に応じた座標系での変数分離で解けます。

Ｃが簡単な長方形境界の場合,その中心を原点に取ってＣを示す辺をｘ＝±ａ/2,ｙ＝±ｂ/2(ａ,ｂ＞0)で表わせば,境界条件はｘ＝±ａ/2で∂φ/∂ｘ＝0,ｙ＝±ｂ/2で∂φ/∂ｙ＝0となり,このときの解はφ(ｘ,ｙ)＝Ａ_mnsin(ｋ_xｘ)sin(ｋ_yｙ)で与えられます。 

ただし,ｋ²＝ｋ_x²＋ｋ_y²,ｋ_x≡(2ｍ＋1)π/ａ,ｋ_y≡(2ｎ＋1)π/ｂです。ｍ,ｎは自然数,Ａ_mnは任意定数です。ｋ＝(ｋ_x²＋ｋ_y²)^1/2≡ｋ_mn≡π[{(2ｍ＋1)π/ａ}²＋{(2ｎ＋1)π/ｂ}²]^1/2(ｍ,ｎ＝1,2,...)は波数の固有値を与えます。

この開口が長方形の容器内の一般的な２次元長波(浅水波)は,Φ_mn(ｘ,ｙ,ｔ)≡φ_mn(ｘ,ｙ)cosω_mnｔ＝Ａ_mnsin(ｋ_xｘ)sin(ｋ_yｙ)cosω_mnｔ,ω_mn≡ｃｋ_mn (ｃ＝(ｇｈ)^1/2)なる個々の固有振動の全ての重ね合わせで与えられます。

自然現象としては,湖水や港湾における固有振動は,"静振"として知られています。また津波や潮汐も有限な平面形を持つ海洋内の長波,または定在長波として扱うことができます。

次に定常波について考察します。

一定の位相速度ｃで進行する波を静止系に対して速度Ｕ＝ｃで動く座標系から見た場合,水面波の形は静止しています。

同じ,静止波形は静止系で波の伝播の向きとは逆にＵ＝－ｃで流れる水の上においても現われます。このように波形が時間的に静止した波を定常波と呼びます。

もちろん,定常波においても水の運動まで止まっているわけではなく,水は進行波の運動と一定速度Ｕの一様流が重なって運動しています。

今,一定速度Ｕで流れる水の中に微小な物体,例えばｚ軸に平行な細い円柱を置いたとすると,この物体の起こす微小な撹乱により微小な波が発生すると考えられます。

この波を構成する無数の正弦波のうち,位相速度ｃ＝－Ｕの波だけが定常波としてそこに留まり,他の波は上流,または下流に向かって流れ去ると思われます。

例として表面張力の働く深水波を考えると,位相速度ｃには波長λ＝λ_m≡2π{γ/(ρｇ)}^1/2)における最小値ｃ＝ｃ_m≡(4γｇ/ρ)^1/4が存在します。そこで,もしもＵ＞－ｃ_m(ｃ_m＞－Ｕ)なら定常波は存在不可能です。

一方,Ｕ＜－ｃ_mなら,２種類の波が定常波として存在し得ます。その１つは表面張力波でλ＜λ_mです。他方は重力波でλ＞λ_mです。

ところが,これらの２つの定常波が水面上の同じところに同時に現われるかといえば,そうではなく現実には物体より上流に表面張力波,下流に重力波がそれぞれ分かれて定常波として現われます。

このことは,直ちに理解することは難しいかも知れませんが後で述べる群速度の概念を用いると説明できます。

物体をｘ＝0 の位置に置き,一様な流れ速度をＵ＜0 とします。物体が発生する波のうちで定常波条件ｃ＝－Ｕ(＞0)を満たす波の群は群速度ｃ_g(＞0)でｘ軸の正の向きに進むと同時に流速:Ｕ(＜0)によって負の向きに運ばれます。

したがって,時間ｔの後にはｘ＝0 で発生した波はｘ＝(ｃ_g＋Ｕ)ｔ＝(ｃ_g－ｃ)ｔの位置にあることになります。それ故,ｃ＜ｃ_gの波はｘ＞0,つまり物体の上流側に,ｃ＞ｃ_gの波はｘ＜0,つまり物体の下流側に位置を占めることになります。

そこで,後述する群速度の計算式から深水波での重力波λ＞λ_mの場合にはｃ＞ｃ_gなので,その定常波は下流側,表面張力波λ＜λ_mの場合にはｃ＜ｃ_gより,定常波は上流側に現われるというわけです。

このような流れの中に置かれた２次元物体による定常波の構造は,定性的には,３次元物体によって作られる２次元波についても同様に成り立つことが示されて,この場合でも上流側が表面張力波,下流側が重力波で占められます。

今日はここまでにします

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水の波(1)(微小振幅波)

非圧縮性完全流体における波動(wave),特に水の波(water wave)について数回にわたって記述します。

これを書こうと思ったのは,持ってはいても読んでなかった戸田盛和 著「非線形波動とソりトン」(日本評論社)を偶々本棚から取って見るとはなしにパラパラとめくっているうちに,ある素人的アイデアが浮かんだからです。

場の量子論では,自発的対称性の破れを生ぜしめ,結果として粒子が質量を獲得するヒッグスメカニズムと関わるモデルとして,自由スカラー場に余分なφ⁴に比例する非線形項の存在を仮定するφ⁴模型やシグマ模型と呼ばれる単純なものがあります。

一方,流体力学の水面波を記述する方程式として発見されたＫｄＶ方程式(Kortveig-de Vries方程式):∂η/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}{η(∂η/∂ξ)}＝－(ｃ₀ｈ²/6)(∂³η/∂ξ³)という非線形な方程式があります。

これは安定な孤立波の解としてソリトン(soliton)という際立ったパルス的特徴の解を持つことがわかっています。

そして,上記の自由スカラー粒子の場にφ⁴に比例する自己相互作用の存在を仮定する単純φ⁴-ヒッグス模型でも,スカラー場φはＫｄＶ方程式に似た非線形構造を持つ波動方程式に従います。

そこで,このφ⁴-モデルのスカラー場φについても,水面波のソリトン解と同様に,安定したパルス(粒子)としての性質を持つ解が存在すると予想されます。

これらのことから,こうした非線形解はかなり合理的な"くりこみにおける正則化の手法"を与えるのではないか？,あるいは正則化というような一種の対症療法や有効理論としてではなく,より本質的な意味で紫外発散の除去を可能とするのではないか？とふと考えたのが本記事を書く気になった動機です。

そもそも,ソリトンは戸田盛和氏の戸田格子のような非線型格子と大いに関係あるようですから,最近の"格子ゲージ理論"など格子を利用した数値計算手法とも関係するはずですから,単に私が知らないだけで既に場の理論での類似した試み,あるいは,はるかに進んだ理論があるのかもしれません。

線形な波動であれば,それは正弦波の重ね合わせで構成されますから,最初は波束という孤立したパルスのような波形を持っていても放置すれば自然にくずれ拡がって,常に減衰してゆきます。(分散現象)

しかし,波が非線形波動であれば,ローレンツアトラクタによるカオスの発生例にも見られるように,減衰するのでなく,ときには逆に自励発振して自然に増幅したりもします。

孤立的なソリトンが安定で有り続けることが可能なのも,そうした理由のためでしょう。

自由な実スカラー場φのラグランジアン密度Ｌ＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－(1/2)μ²φ²に,微小な摂動項－λφ⁴/4!を加えた模型を考えます。

こうすれば,Ｌからオイラー・ラグランジュ方程式∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}－∂Ｌ/∂φ＝0 によって得られる場の方程式は通常の自由スカラー場が従う線形なクライン・ゴルドン方程式(□＋μ²)φ＝0 から,非線形な方程式(□＋μ²)φ＝－(λ/6)φ³に変わります。

唐突ですが,私のかつてのサラリーマン時代の本業は,さして優秀でもないコンピュータによる数値シミュレーションの技術屋でした。

そのころの拙い経験から考えると,微分方程式や差分方程式の解の性質を支配するのは,方程式の最高次の次数です。

もしも,方程式(□＋μ²)φ＋λφ³/3!＝0 の解を求めたいのであれば,λが如何に小さくλφ³/3!は無視できる程度のオーダーであろうと,この非線形項がφの最大次数の項として解の安定性等にとって本質的な意味を持つであろうと考えられます。

これは線形な数値計算であれば,いわゆる丸め誤差とか累積誤差とか呼ばれるものに相当するのですが,誤差とはいえ数値計算ではこれの扱いを間違うと致命的です。

時空の中に自分自身しか存在しない自由粒子の場であっても,背景時空のプランク時間やプランク長さのオーダーよりも小さい規模の領域に関わる計算では時空の曲がりとか,本質的に非線形な重力場の効果とかも無視できないはずです。

そこで,そうした非線型な効果が,自由クライン・ゴルドン場にも通常のスケールでは無視できる程度の非線形項を付加することにより抽象されると考えられます。

従来の素朴な自由線形場で展開された摂動計算では無限大に発散するファインマン積分も,その計算で線形場の代わりに自由非線形場を代入すると,まるでソリトンのように,結果が発散せず有限な計算値として得られる可能性があると予想されます。

つまり,λ＝0 での計算結果は無限大に発散しでも,λ≠0 での有限な計算結果がλ→0 の極限で有限に留まるかもしれない,極限をとる順序を変えると異なる結果を得ることも可能と考えたわけです。

というわけで,そうした動機も含めてＫｄＶ方程式のソりトン解やそれに関連して逆散乱法等にも興味が湧いたので,取りあえず15年くらい前の流体力学のノートから,水面波に対してＫｄＶ方程式を求めるところの復習から始めようという気になったわけです。

本題に入ります。

まず,流体の密度をρ,流速をｕ＝(ｕ,ｖ,ｗ)とすると,その質量の保存を示す連続方程式は∂ρ/∂ｔ＋∇(ρｕ)＝Ｄρ/Ｄｔ＋ρ∇ｕ＝0 で与えられます。

非圧縮性流体ではＤρ/Ｄｔ＝0 なので,連続方程式は∇ｕ＝0 となります。Ｄ/Ｄｔはラグランジュ微分:Ｄ/Ｄｔ≡∂/∂ｔ＋ｕ∇です。

特に渦無し:∇×ｕ＝0 とし,速度ポテンシャルΦ＝Φ(ｒ,ｔ)が存在して流速がｕ＝∇Φと表わせる場合を仮定します。

上記の連続方程式∇ｕ＝0 はΦに対するラプラス方程式∇²Φ＝0 になります。したがって,Φは調和関数です。

また,通常,水底の深さｈは時間によらず一定ですから,鉛直上向きをｚ軸の正の向きとするｘｙｚ座標系:ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)を取り,水底のｚ座標がｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で与えられるとします。

また,水面の高さのｚ座標はｚ＝η(ｘ,ｙ,ｔ)で与えられるとします。水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)での完全流体流速の境界条件は流束の垂直成分がゼロであること,つまりｕ_n＝ｕｎ＝∂Φ/∂ｎ＝0 です。ｎは水底面の法線ベクトルです。

一方,水面のｚ座標がｚ＝η(ｘ,ｙ,ｔ)であること,または水面がｚ－η＝0 を満たすという性質は時間的に不変なので,これからＤ(ｚ－η)/Ｄｔ＝0 という運動学的境界条件を得ます。

これは,Ｄｚ/Ｄｔ＝ｗより,ｗ＝∂η/∂ｔ＋ｕ(∂η/∂ｘ)＋ｖ(∂η/∂ｙ) or ∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)なる等式を意味します。

一方,完全流体の運動方程式であるオイラーの方程式はρ(Ｄｕ/Ｄｔ)＝－∇ｐ＋ρＫです。ここにｐは圧力,ρＫは外力を示しています。

ただし流体全体に働く外力は重力のように密度ρに比例する体積力であると仮定しています。

さらに熱力学の状態方程式のような関係式によって,ρがρ＝ρ(ｐ)のように圧力ｐだけの関数で表わせるなら,Ｐ≡∫ｄｐ/ρなる量Ｐを定義してｄＰ＝ｄｐ/ρと書けるので,オイラーの運動方程式はＤｕ/Ｄｔ＝－∇Ｐ＋Ｋと書けます。

これはオイラー微分による表現では(∂ｕ/∂ｔ)＋(ｕ∇)ｕ＝－∇Ｐ＋Ｋとなります。

もしも,外力Ｋが保存力ならポテンシャルΩが存在してＫ＝－∇Ωと書けます。これとｕ＝∇Φを運動方程式に代入すれば,(ｕ∇)ｕ＝(∇Φ∇)∇Φ＝∇{(∇Φ)²/2}なので,∇[∂Φ/∂ｔ＋Ｐ＋(∇Φ)²/2＋Ω)＝0 なる式が得られます。

これから,圧力方程式と呼ばれる方程式:∂Φ/∂ｔ＋Ｐ＋(∇Φ)²/2＋Ω＝ｆ(ｔ)が得られます。(これは拡張されたベルヌーイの定理(Bernoulliの定理)です。)

そして,もしも流体が非圧縮の上にさらに密度が一様:ρ＝ρ(ｐ)＝一定ならＰ＝ｐ/ρとなるのでこれは∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋(∇Φ)²/2＋Ω＝ｆ(ｔ)となります。

また,地球上の一様重力場であれば重力の加速度をｇとして,Ω＝ｇｚ＋const.と書けますから,∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋(∇Φ)²/2＋ｇｚ＝ｆ(ｔ)－const.となります。

そこで,水面ｚ＝ηに接する大気の圧力をｐ₀＝ｐ₀(ｔ)とすれば,その位置ｚ＝ηでの圧力の連続性から∂Φ/∂ｔ＋ｐ₀(ｔ)/ρ＋(∇Φ)²/2＋ｇη＝ｆ(ｔ)－const.を得ます。

速度ポテンシャルΦ＝Φ(ｒ,ｔ)をｔの任意関数ｆ(ｔ)がｆ(ｔ)＝ｐ₀(ｔ)/ρ＋const.となるように選択すれば,∂Φ/∂ｔ＋(∇Φ)²/2＋ｇη＝0 です。

結局,ラプラス方程式∇²Φ＝0 を満たす速度ポテンシャルΦ＝Φ(ｒ,ｔ)によって,水面の高さη＝η(ｘ,ｙ,ｔ)を表わす式η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²が得られました。

ただし,右辺のΦ(ｒ,ｔ)では微分した後でｚ＝ηと置きます。

特に水面の高さηの運動で与えられる水面波が,ηの小さい微小振幅波であると仮定してΦとηに関しての２次の項を無視すれば,ｚ＝ηでη＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²なる式は,η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)に帰着します。

一方,水面ｚ＝ηでの境界条件は∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)ですが,同じくΦとηに関して２次の項を無視すれば,これは単に∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔとなります。

これらの式からηを消去すれば,ｚ＝ηで∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 という式になります。

ところが速度ポテンシャルをｚ＝0 の周りでηのベキ級数に展開すると,Φ(ｒ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,η,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,0,ｔ)＋(∂Φ/∂ｚ)_z=0η＋Ｏ(Φη²)です。

Φとηに関して２次以上の微小量を無視する近似ではｚ＝η近傍でΦ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,0,ｔ)としても同じです。

結局,問題はｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0,およびｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で∂Φ/∂ｎ＝0 という２つの境界条件の下で,ラプラス方程式∇²Φ＝0 を解くという問題に帰することがわかりました。

ここでさらに簡単化して,水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)を与えるｈは(ｘ,ｙ)に無関係な一定値であるとし,Φはｙ方向には一定で流れがｘ,ｚ面内の"運動＝波"の場合であると考えます。この場合,波はｘ方向にのみ伝播するので１次元の波です。

また,ラプラス方程式:∇²Φ＝0 は,∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 となります。境界条件もｚ＝0で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0,ｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0 と簡単になります。

そして水面波の形はη＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)_ｚ=0で与えられます。

Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝φ(ｚ)cos(ｋｘ－ωｔ)と変数分離形を仮定して∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 に代入すると,ｄ²φ/ｄｚ²－ｋ²φ＝0 です。そこでｋ＞0 として,一般解φ(ｚ)＝Ｃ₁exp(ｋｚ)＋Ｃ₂exp(－ｋｚ)(Ｃ₁,Ｃ₂は定数)が得られます。

つまり,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝{Ｃ₁exp(ｋｚ)＋Ｃ₂exp(－ｋｚ)}cos(ｋｘ－ωｔ)です。

ここで,ｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0 なので,ｋＣ₁exp(－ｋｈ)－ｋＣ₂exp(ｋｈ)＝0 です。Ｃ₁exp(－ｋｈ)＝Ｃ₂exp(ｋｈ)＝Ｃ/2と置けば,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)となります。

それ故,水面波の形η＝η(ｘ,ｙ,ｔ)をη(ｘ,ｔ)と書くとη(ｘ,ｔ)＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)_ｚ=0＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ),Ａ≡－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ)となります。

Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)に,さらにｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 なる境界条件を課すと－ω²cosh(ｋｈ)＋ｇｋsinh(ｋｈ)＝0 です。

そこで,ω＞0 とすれば,ω＝{ｇｋtanh(ｋｈ)}^1/2です。または,波の位相速度をｃとすると,ｃ＝ω/ｋ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2を得ます。

これは,位相速度ｃが波数ｋ,あるいは波長λと共に変化することを示しています。すなわち,位相速度ｃはｋｈ＝2πｈ/λの増加と共に緩やかに減少していきます。

一般には任意波形のη＝η(ｘ,ｔ)はそれが従う方程式が線形で境界条件も線形故,フーリエ(Fourier)級数に展開できることから,η(ｘ,ｔ)は無数の正弦波の重ね合わせから成ると考えられます。

今の場合の水の微小振幅波について要約します。

水の微小振幅波の解は境界条件も線形なのでその波を構成する個々の正弦波は互いに独立であり,個々の正弦波の挙動は速度ポテンシャルΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)で全て決定され,流速ｕ＝(ｕ,ｗ)はｕ＝∇Φによって与えられます。

ｕ＝∂Φ/∂ｘ＝－Ｃｋcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin(ｋｘ－ωｔ),ｗ＝∂Φ/∂ｚ＝Ｃｋsinh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)です。

そして,水面波は波高をηとして,η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ) (ただしＡ≡－Ｃωcosh(ｋｈ))で与えられることになります。

ただし,境界条件が満たされるためには波数ｋ＝2π/λと角振動数ω＝２πｆ(ｆは振動数)の間にω＝{ｇｋtanh(ｋｈ)}^1/2なる関係が成り立つことが要求されます。

それ故,個々の正弦波の位相速度ｃ＝ｃ(ｋ)はｃ(ｋ)＝ｋ/ω＝ｆλ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2となって,ｋまたはλの関数として与えられることになります。

異なる波長の正弦波が異なる速度で進むため,無数の正弦波から成る全体の波の形は時々刻々に変化します。このことを波の分散といい,こうした分散を生ぜしめる媒質を分散性媒質といいます。

今の場合のｃ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2のように,位相速度ｃと波数 or波長との関係を分散関係といいます。

一方,もしも位相速度ｃが波数ｋ or 波長λに無関係で常に一定であるような媒質中では任意の波は形の変形を受けることなく進みます。このような波を与える媒質を非分散性媒質といいます。

さて,Ａ＝－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ),ω＝{ｇｋtanh(ｋｈ)}^1/2なのでＣ＝－Ａｇ/{ωcosh(ｋｈ)}＝－Ａ{(ｇ/ｋ)^1/2/{tanh(ｋｈ)^1/2cosh(ｋｈ)}＝－{Ａ/sinh(ｋｈ)}{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2,結局Ｃ＝－Ａｃ/sinh(ｋｈ)です。

それ故,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)と書けます。

そこで,水の微小振幅波において水と共に動く１点の流体素片の座標を(ｘ,ｚ)とするとその点の軌道(ｘ,ｚ)＝(ｘ(ｔ),ｚ(ｔ))は運動方程式ｄｘ/ｄｔ＝ｕ＝∂Φ/∂ｘ＝{Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin(ｋｘ－ωｔ),ｄｚ/ｄｔ＝ｗ＝∂Φ/∂ｚ＝{Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}sinh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)の解として与えられます。

ところが,この方程式は右辺にｔの未知関数ｘ＝ｘ(ｔ),ｚ＝ｚ(ｔ)についての超越関数を含む非線形方程式であり,これを厳密に解くことは困難です。

しかし,波による水の運動は周期的と考えられるので動点の座標(ｘ,ｚ)の１周期での平均値を(ｘ₀,ｚ₀)と表わすと,今問題としている微小振幅波では,(ｘ－ｘ₀),(ｚ－ｚ₀)もΦ,ηやｕと同程度の微小量です。

そこで,ｄｘ/ｄｔ＝{Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin(ｋｘ－ωｔ),ｄｚ/ｄｔ＝{－Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}sinh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)の右辺にｘ＝ｘ₀＋(ｘ－ｘ₀),ｚ＝ｚ₀＋(ｚ－ｚ₀)を代入すればＡ自身も１次の微小量ですから,右辺で(ｘ－ｘ₀),(ｚ－ｚ₀)による寄与は２次以上の微小量となってこの近似では無視できます。

以上から微小振幅波の近似では,ｘ,ｚの時間経過ｔに伴なう運動はｘ＝ｘ₀＋[Ａcosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)]cos(ｋｘ₀－ωｔ),ｚ＝ｚ₀＋[Ａsinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)]sin(ｋｘ₀－ωｔ)で与えられることがわかります。

ｔを消去すれば,点の軌道が(ｘ－ｘ₀)²/ａ²＋(ｚ－ｚ₀)²/ｂ²＝1,ａ≡Ａcosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ),ｂ≡Ａsinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)で与えられることになります。

これは明らかに長半径がａ,短半径がｂの楕円です。すなわち,水はこの楕円軌道の上を負の向き,つまり時計回りに回転運動をすることがわかります。

楕円の厚みの比:ｂ/ａ＝tanh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}は水深(－ｚ₀)と共に減少し,水底ｚ₀＝－ｈではｂ/ａ＝0 となります。

つまり,水底では水は水平方向に単振動します。ａ＝Ａcosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)自身も水深:(－ｚ₀)と共に減少します。

ただし,楕円の焦点間の距離2(ａ²－ｂ²)^1/2は 2Ａ/sinh(ｋｈ)ですから,これは水深(－ｚ₀)に依らず一定です。

また,ｂ＝Ａsinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)は,水面ｚ₀＝0 ではＡに等しくなります。当然水面での波η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)の振幅に一致します。

そして,水の運動の水平速度成分ｄｘ/ｄｔはsin(ｋｘ－ωｔ)に比例しますからｚ,またはηと同位相であり,それ故,水面波は山のところではｘの正の向きに谷のところではｘの負の向きに動きます。

今日はここまでにします。

参考文献:巽友正 著「流体力学」(培風館),戸田盛和 著「非線形波動とソリトン」(日本評論社)

PS:「草なぎ剛(つよぽん)」は本当に偉い!! ← 尊敬のまなざし。。2006年３/24「インモラルと人間の解放」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/03/post_dab1.html 参照。。

「公然わいせつ罪」とか言ってるけど草薙くんの裸というか,人間の裸を見て「わいせつ」と思う奴がいるなら,そいつがイチバン「わいせつな存在」だろう。。。

もっとも「わいせつ」というのが「いたづらに性欲を掻き立てる」という意味であれば,異性の裸を見てそう思うのは動物として全く健康な証拠であり,決して非難さるべきことではない,と思うけど。。。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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揚力とベルヌーイの定理

　2007年８月２日の記事「ダランベールの背理」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/08/post_ccd8.html において,

　完全流体では流速がＵの一様流の中に置かれた物体に働く揚力Ｆ_yの値を,物体のまわりを反時計回りにまわる流れの循環Γによって,Ｆ_y＝－ρＵΓと評価できることを述べました。

　Ｆ＝(Ｆ_x,Ｆ_y)は物体に働く力でＦ_xは抗力,Ｆ_yは揚力です。 

そこではｆ(ｚ)＝Φ＋iΨ(Φは速度ポテンシャル,Ψは流れ関数)とし,複素関数論を利用して,ベルヌーイの定理:∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋ｖ²/2＋Ω＝Ａ(ｔ)(空間的に一定)とブラウジウスの(第一)公式:Ｆ_x－iＦ_y＝iρ∫_C[(ｄｆ/ｄｚ)²/2]ｄｚを導出するプロセスを記述しました。

それによって,物体に働く力Ｆ＝－∫_C ｐｎｄｓを考察し,そして,クッタ・ジューコフスキーの定理を証明した後,この定理の一部分に従って上述の命題を得るという手続きを行ないました。

　しかし,このような扱いは,私には少々大げさだと感じられたので,今日は物体部分からは全く湧き出しがない:divｖ＝0 という前提の下で,簡略化されたベルヌーイの定理ｐ＋ρｖ²/2＝Ａ(一定)から直接的に揚力と循環の関係Ｆ_y＝－ρＵΓを導いてみたいと思います。 

　まず,ベルヌーイの定理からｐ＝Ａ－ρｖ²/2なので,物体に働く力はＦ＝－∫_C ｐｎｄｓ＝－∫_CＡｎｄｓ＋(ρ/2)∫_Cｖ²ｎｄｓ＝(ρ/2)∫_Cｖ²ｎｄｓです。

　Ｃの線素ベクトルをｄｓ＝(ｄｘ,ｄｙ)とすると,ｎｄｓ＝0 ですから,ｎｄｓ＝(ｄｙ,－ｄｘ)となるので,結局,揚力はＦ_y＝(－ρ/2)∫_Cｖ²ｄｘ＝(－ρ/2)∫_C(ｖ_x²＋ｖ_y²)ｄｘなる式で与えられます。

ところで,物体の外では当然,連続の方程式が成立しており,また仮定によって物体内部に湧き出しがありませんから,空間のいたるところで divｖ＝0 が成立します。

すなわち,閉曲線Ｃで囲まれる任意の領域Ｓにおいて∫_S divｖｄＳ＝∫_S(∂ｖ_x /∂ｘ＋∂ｖ_y /∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙ＝0 です。

これは任意の閉曲線Ｃの上で∫_Cｖ_xｄｙ－∫_Cｖ_yｄｘ＝0 が成立することを意味しています。それ故,ｙ＝ｆ(ｘ)なる任意の曲線上の点で常にｖ_xｄｙ＝ｖ_yｄｘです。

つまり,この曲線の傾きｙ'＝ｄｙ/ｄｘ＝ｆ'(ｘ)に対し常にｖ_y＝ｙ'ｖ_xが成立しています。

また,閉曲線Ｃの上での流れの循環ΓはΓ≡∫_Cｖｄｓ＝∫_C(ｖ_xｄｘ＋ｖ_yｄｙ)で定義されます。

(これはΓ＝∫_S rotｖｄＳ＝∫_S(∂ｖ_y /∂ｘ－∂ｖ_x /∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙと書き直すこともできます。)

故に,Γ＝∫_Cｖ_xｄｘ＋∫_Cｖ_yｄｙ＝∫_Cｖ_x(1＋ｙ'²)ｄｘです。一方,揚力Ｆ_yもＦ_y＝(－ρ/2)∫_Cｖ²ｄｘ＝(－ρ/2)∫_C(ｖ_x²＋ｖ_y ²)ｄｘ＝(－ρ/2)∫_Cｖ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘと表わすことができます。

ここで,流れｖ＝(ｖ_x,ｖ_y)が,一様流Ｕ＝(Ｕ,0)に微小な流れｕ＝(ｕ_x,ｕ_y)を重ね合わせたもの:ｖ＝Ｕ＋ｕで与えられるとします。

ｖ_x＝Ｕ＋ｕ_x,ｖ_y＝ｕ_yですから,これを上の循環と揚力の表式に代入して,Γ＝∫_C(Ｕ＋ｕ_x)(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_x(1＋ｙ'²)ｄｘ,およびＦ_y＝_C(－ρ/2)∫_C(Ｕ＋ｕ_x)²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝－ρＵ∫_Cｕ_x(1＋ｙ'²)ｄｘ－(ρ/2)∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘを得ます。

ここで,∫_C(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｄｘ＋∫_Cｙ'ｄｙ＝0 を用いました。さらに,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_C(ｕ_x²＋ｕ_y²)ｄｘ＝∫_Cｕ²ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓなのでＦ_y＝－ρＵΓ－(ρ/2)∫_Cｕ_xｄΓです。

最後の表式で∫_Cｕ_xｄΓがゼロになるための条件はｄＷ＝ｕ_xｄΓなるＷが存在することです。

ポアンカレの補題によって,それはｄ(ｕ_xｄΓ)＝ｄｕ_x∧ｄΓ＝[－ｕ_x(∂ｕ_x /∂ｙ)＋ｕ_y(∂ｕ_x /∂ｘ)]ｄｘ∧ｄｙ＝0 すなわち,－ｕ_x(∂ｕ_x /∂ｙ)＋ｕ_y(∂ｕ_x /∂ｘ)＝0 が成り立つことと同値です。

これ以上は,適切なモデルで考えないと無理です。

まず,線素を極座標で書くとｄｓ＝(ｄｘ,ｄｙ)＝ｒ(ｄ(cosθ),ｄ(sinθ))＝ｒｄθ(－sinθ,cosθ)となります。

湧き出しがない条件は∫_S divｖｄＳ＝∫_C(ｖ_xｄｙ－ｖ_yｄｘ)＝0 ですから,∫_Cｖ_xｄｙ＝∫_Cｖ_yｄｘ →∫_C(Ｕ＋ｕ_x)ｄｙ＝∫_Cｕ_yｄｘ,故に∫_Cｕ_xｄｙ＝∫_Cｕ_yｄｘです。

つまり,∫₀^2πｒｕ_xcosθｄθ＝－∫₀^2πｒｕ_ysinθｄθなので,ｒｕ_x≡－Ｂsinθ,ｒｕ_y≡Ｂcosθ(Ｂはｒだけの関数)というモデルを想定すると,これにより上述の湧き出しゼロ条件は自動的に満たされます。

また,循環はΓ≡∫_C(ｖ_xｄｘ＋ｖ_yｄｙ)＝∫_C(ｕ_xｄｘ＋ｕ_yｄｘ)で与えられますから,Γ＝∫₀^2π(－ｒｕ_xsinθ＋ｒｕ_ycosθ)ｄθ＝2πＢ：つまりＢ＝Γ/2πです。

そこでＢは定数なので,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓ＝∫_C(ｕ_x²＋ｕ_y²)ｄｘ＝－∫₀^2π(Ｂ²/ｒ)sinθｄθ＝0 が得られます。

したがって,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓ＝0 となり,求める揚力と循環の関係Ｆ_y＝－ρＵΓが得られました。

　したがって,以上の私の試みによって流れが上の面に沿って速く下の面に沿って遅いときに,ベルヌーイの定理から上向きの力＝揚力が生じるというメカニズムを考えれば,このとき負の循環Γ＜0 つまり時計回りの循環があることに相当することがわかります。

　そこで,クッタ・ジュ－コフスキーの定理により上向きの力＝揚力が生じる,という命題と同等である,ということを直接的に示せたのではないかと思います。

　逆に,循環がなくて(rotｖ＝0)湧き出しＱがあるとき抗力Ｆ_xと湧き出しＱの関係Ｆ_x＝－ρＵＱが得られることも上とほぼ同様にして示すことができます。

そして循環も湧き出しも共に存在するときは,例えば電気回路の重ねの理と同じように,この場合を上記の２つの場合の重ね合わせと考えることによって,Ｆ_x＝－ρＵＱとＦ_y＝－ρＵΓが同時に成り立つことも言えます。

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