ブラウン運動と伊藤積分(10)

　確率積分の話題の続きです。前回はこれを定義しただけですが今回はこれの性質,特に伊藤の公式について説明します。

次の不等式は,シュヴァルツ(Schwartz)の不等式の一般化です。

(補題9.1):(国田・渡辺の不等式)

  Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,cとする。

  φ(ｓ,ω),ψ(ｓ,ω)は発展的可測で∀ｔ＞0 に対して,∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞,∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s＜∞ とする。

このとき,∀ｔ＞0 に対して,|∫₀^tφ(ｓ,ω)ψ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦(∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 (ａ.ｓ)である。 (ａ.ｓ.はalmost surely＝"ほとんど確実に"です。)

(証明)＜Ｍ,Ｎ＞の定義:＜Ｍ,Ｎ＞≡(1/4)(＜Ｍ＋Ｎ＞－＜Ｍ－Ｎ＞)と,その性質：＜ａＭ,Ｎ＞＝ａ＜Ｍ,Ｎ＞によって,＜Ｍ＞＝＜Ｍ,Ｍ＞,＜Ｎ＞＝＜Ｎ,Ｎ＞であり,∀ｒ∈Ｒに対して＜Ｍ＋ｒＮ＞＝＜Ｍ＞＋2ｒ＜Ｍ,Ｎ＞＋ｒ²＜Ｎ＞となります。

したがって,0≦∫_s1^s2ｄ＜Ｍ＋ｒＮ＞_s＝∫_s1^s2ｄ＜Ｍ＞_s＋2ｒ∫_s1^s2ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＋ｒ²∫_s1^s2ｄ＜Ｎ＞_s ａ.ｓ が全ての実数ｒに対して成立するようにできます。

よって,実数ｒの２次式が常に非負でｒ²の係数が正なので,その判別式は(判別式)≦0 を満足しなければならないことから,不等式|∫_s1^s2ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|²≦(∫_s1^s2ｄ＜Ｍ＞_s)(∫_s1^s2ｄ＜Ｎ＞_s)が得られます。

それ故,φ(ｓ,ω)≡Σ_iφ_i(ω)1_(ti,ti+1),ψ(ｓ,ω)≡Σ_iψ_i(ω)1_(ti,ti+1)∈Ｌ₀に対して,|∫∫₀^tφ(ｓ,ω)ψ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|＝|Σ_iφ_i(ω)ψ_i(ω)∫_ti^ti+1ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦Σ_i|φ_i(ω)||ψ_i(ω)|(∫₀^tｄ＜Ｍ＞_s) ^1/2(∫₀^tｄ＜Ｎ＞_s)^1/2≦(Σ_i|φ_i|²∫_ti^ti+1ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(Σ_i|ψ_i|²∫_ti^ti+1ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2＝(∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 (ａ.ｓ)となります。

有界なφ(ｓ,ω),ψ(ｓ,ω)については,再掲(補題：8.3):"Ｌ₀はＬ₂(＜Ｍ＞)内で稠密である"によって,上のようなＬ₀の元で近似することができます。

一般のφ,ψについてはまず有界なもので近似してＬ₀の元で近似すると極限で命題が成立します。

(証明終わり)

(定理9.2)　

(ⅰ) Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,c,ｆ(ｓ,ω)∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)のとき,Ｘ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sとすると,＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_sであり,かつ任意のＮ∈Ｍ_2,cに対して＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_sを満たすＸ∈Ｍ_2,cでＸ₀＝0 なるものはＸ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sに限る。

(ⅱ)Ｉ(ｆ)＝Ｘ_T＝∫₀^Ｔｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s：Ｌ₂(0,Ｔ；＜Ｍ＞)→Ｍ_2,c(0,Ｔ)は∀Ｔに対して等距離写像(isometric mapping)である。：すなわちＥ[|Ｘ_T|²]＝Ｅ[∫₀^Ｔ|ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]である。

(証明)(ⅰ)ｆ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対してｆ_n∈Ｌ₀でＥ[∫₀^t|ｆ_n(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0  as ｎ→ ∞なるものを取ります。

Ｘⁿ_t＝∫₀^tｆ_n(ｓ,ω)ｄＭ_sとおくと,再掲(補題8.7):"Ｅ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]＝Ｅ[∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]である。"によって,Ｅ[＜Ｘⁿ－Ｘ＞_t]＝Ｅ[∫₀^t|ｆ_n(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s] → 0  as ｎ→ ∞,∀ｔです。

一方,|∫ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦|∫ｄ＜Ｍ＞_s|^1/2|∫ｄ＜Ｎ＞_s|^1/2ですが,Ｅ[|＜Ｍ,Ｎ＞_t|]＝Ｅ[|∫₀^tｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|]，Ｅ[|＜Ｍ＞_t|]＝Ｅ[|∫₀^tｄ＜Ｍ＞_s|]，Ｅ[|＜Ｎ＞_t|]＝Ｅ[|∫₀^tｄ＜Ｎ＞_s|]より,一般にＥ[|＜Ｍ,Ｎ＞_t|]≦Ｅ[|＜Ｍ＞_t|]^1/2Ｅ[|＜Ｎ＞_t|]^1/2です。

したがって,Ｅ[|＜Ｘⁿ,Ｎ＞_t－＜Ｘ,Ｎ＞_t|]＝Ｅ[|＜Ｘⁿ－Ｘ,Ｎ＞_t|]≦Ｅ[|＜Ｘⁿ－Ｘ＞_t|]^1/2Ｅ[|＜Ｎ＞_t|]^1/2 → 0  as ｎ →∞ ,∀ｔが得られます。

また,＜Ｘⁿ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ_n(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_sがｆ_n(ｓ,ω)∈Ｌ₀を具体的に書き下すことによって(補題8.5)の証明と同じようにして言えるので,結局＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s ａ.ｓであることがわかります。

　後半の,一意性については,＜Ｘ~,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s ａ.ｓ ∀Ｎ∈Ｍ_2,cとすると,＜Ｘ－Ｘ~,Ｎ＞_t＝0 ａ.ｓですから,特にＮ＝Ｘ－Ｘ~とすると＜Ｘ－Ｘ~＞_t＝0 ａ.ｓ,あるいはＥ[|Ｘ_t－Ｘ~_t|²]＝0 よりＸ_t＝Ｘ~_t ａ.ｓとなることから示されます。

(ⅱ)(ⅰ)よりＸ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sとおけば,＜Ｘ＞_T＝＜Ｘ,Ｘ＞_T＝∫₀^Tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｘ＞_sであり,＜Ｍ,Ｘ＞_s＝∫₀^sｆ(ｕ,ω)ｄ＜Ｍ＞_uですからｄ＜Ｍ,Ｘ＞_s＝ｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_sなので,＜Ｘ＞_T＝∫₀^Tｆ(ｓ,ω) ²ｄ＜Ｍ＞_s＝∫₀^T|ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_sとなります。

　これとＥ[|Ｘ_T|²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]を合わせると,Ｅ[|Ｘ_T|²]＝Ｅ[∫₀^T|ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]が得られます。(証明終わり)

(系9.3)(ⅰ)Ｍ∈Ｍ_2,c,ｆ,ｇ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞),ａ,ｂ∈Ｒに対して∫₀^t{ａｆ(ｓ,ω)＋ｂｇ(ｓ,ω)}ｄＭ_s＝ａ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＋ｂ∫₀^tｇ(ｓ,ω)ｄＭ_s,∀ｔである。

(ⅱ)Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,c,ｆ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)∩Ｌ₂(＜Ｎ＞),ａ,ｂ∈Ｒに対してｆ∈Ｌ₂(＜ａＭ＋ｂＮ＞)で∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ(ａＭ＋ｂＮ)_s＝ａ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＋ｂ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＮ_s ,∀ｔである。

(証明) (ⅰ)Ｎ∈Ｍ_2,cのとき,(定理9.2)と二次変分の性質(命題7.8)より,＜∫₀^t(ａｆ＋ｂｇ)ｄＭ_s,Ｎ＞＝∫₀^t(ａｆ＋ｂｇ)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＝ａ∫₀^tｆｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＋ｂ∫₀^tｇｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＝＜ａ∫₀^tｆｄＭ_s,Ｎ＞＋＜ｂ∫₀^tｇｄＭ_s,Ｎ＞です。

　そしてＮは任意なので,例えばＮ＝∫₀^t(ａｆ＋ｂｇ)ｄＭ_s－ａ∫₀^tｆｄＭ_s－ｂ∫₀^tｇｄＭ_sと取ることによって,∫₀^t{ａｆ(ｓ,ω)＋ｂｇ(ｓ,ω)}ｄＭ_s＝ａ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＋ｂ∫₀^tｇ(ｓ,ω)ｄＭ_s ,∀ｔが得られます。

(ⅱ)ｆ∈Ｌ₂(＜ａＭ＋ｂＮ＞)なることについては,再掲(補題9.1):"Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,cとしφ(ｓ,ω),ψ(ｓ,ω)は発展的可測で,∀ｔ＞0 に対して∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞,∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s＜∞ とする。このとき∀ｔ＞0 に対し|∫₀^tφ(ｓ,ω)ψ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦(∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 ａ.ｓである。"と二次変分の性質からいえます。

すなわち,(補題9.1)でφ＝ψ＝ｆとおくと,不等式|∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦(∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 ａ.ｓが得られます。

　これと等式ｄ＜ａＭ＋ｂＮ＞_s＝ａ²ｄ＜Ｍ＞_s＋2ａｂｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＋ｂ²ｄ＜Ｎ＞_sから,ｆ∈Ｌ₂(＜ａＭ＋ｂＮ＞)なることは自明です。

　そして(定理9.2)と(命題7.8)によれば,∀Ｌ∈Ｍ_2,ｃに対して＜∫₀^tｆｄ(ａＭ＋ｂＮ)_s,Ｌ＞＝∫₀^tｆｄ＜(ａＭ＋ｂＮ),Ｌ＞_s＝ａ∫₀^tｆｄ＜Ｍ,Ｌ＞_s＋ｂ∫₀^tｆｄ＜Ｎ,Ｌ＞_s＝＜ａ∫₀^tｆｄＭ＋ｂ∫₀^tｆｄＮ,Ｌ＞が成立するので命題が成り立つことは明らかです。

　(証明終わり)

　次に,局所マルチンゲールに対して確率積分を定義します。

(定義10.1)：(局所マルチンゲールに対する確率積分)

Ｍ∈Ｍ_ｃ,locとし,Ｍに対しＰ(∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞)＝1,∀Ｔを満たす発展的可測過程ｆ(ｓ,ω)について確率積分を定義する。

Ｍ∈Ｍ_ｃ,locよりσ_n↑∞ ａ.ｓとなる停止時刻の列{σ_n}が存在して,Ｍ_t∧σn∈Ｍ_2,ｃが成立する。そしてτ_n(ω)≡ｎ∧inf{ｔ≧0：∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s≧ｎ}とおけばτ_n↑∞ ａ.ｓである。

　そこでρ_n≡τ_n∧σ_nとしＭⁿ_t≡Ｍ_t∧ρn,ｆⁿ(ｔ,ω)≡ｆ(ｔ,ω)1_{t≦ρn}とおけば,Ｍⁿ_t∈Ｍ_2,ｃ,ｆⁿ(ｔ,ω)∈Ｌ₂(＜Ｍⁿ＞)なので確率積分Ｉ(ｆⁿ)がＩ(ｆⁿ)(ｔ,ω)＝∫₀^tｆⁿ(ｓ,ω)ｄＭⁿ_sと定義できる。

　これはＩ(ｆⁿ)(ｔ,ω)＝Ｉ(ｆ^m)(ｔ,ω),0≦ｔ≦ρ_n,ｎ≦ｍとなることがわかる。

　そして,ｎ→ ∞ に対してσ_n → ∞ なので,Ｉ(ｆ)(ｔ,ω)≡Ｉ(ｆⁿ)(ｔ,ω), 0≦ｔ≦ρ_nとすれば,ｎ→ ∞ の極限で∀ｔについてＩ(ｆ)が定義できる。

　このＩ(ｆ)をｆの確率積分という。

(定理9.2)を局所マルチンゲールに対して書き直したものはＭ∈Ｍ_ｃ,loc ,ｆ(ｓ,ω)をＰ(∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞)＝1,∀Ｔを満たす発展的可測過程とする。

　このときＸ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s,Ｍ∈Ｍ_ｃ,locはＸ₀＝0 で＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s∀ｔ ａ.ｓを満たす唯１の元である。

　となります。

　これの証明は,ｔをｔ∧ρ_nにおきかえると,(定理9.2)の証明と同じなので省略します。

次に,確率積分が普通の積分と同様な概念を表現するものであるということを示す重要な性質を証明します。

　"ｆ(ｓ,ω)がＦ_tに適合して左連続であるとする。このとき,分割Δ:0＝ｓ₀＜ｓ₁＜..＜ｓ_nをとれば,∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＝Ｐ-lim_|Δ|→0Σ_iｆ(ｓ_i)(Ｍ_si+1－Ｍ_si)となる。ただし,Ｐ-lim は確率収束極限の意味である。という命題を証明します。

(証明)ｆが有界でｆ∈Ｍ_2,ｃのとき,分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_nに対してｆ^Δ(ｓ,ω)≡Σ_iｆ(ｔ_i,ω)1_(ti,ti+1)(ｓ),ｆ^Δ(0,ω)≡ｆ(0,ω)とおくと,左連続性によってｆ^Δ(ｓ,ω)→ ｆ(ｓ,ω) as Δ→ 0,∀ｓ,ωです。

Ｘ^Δ_t＝∫₀^tｆ^Δ(ｓ,ω)ｄＭ_s＝Σ_iｆ(ｔ_i,ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)であり,Ｅ[∫₀^t|ｆ^Δ(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0 よりＥ[|Ｘ^Δ_t－Ｘ_t|²] → 0 as Δ→ 0,∀ｔです。

一般の局所マルチンゲールの場合は(定義10.1)のτ_nを使って局所化すればいいだけです。

(証明終わり)

ここで微積分学における合成関数の微分法則(連鎖公式)の確率解析版とされる伊藤の公式を示すことにします。

その応用は極めて広いものです。

(定義11.1)確率過程Ｘ＝{Ｘ_t}がＸ_t＝Ｘ₀＋Ｍ_t＋Ａ_t,Ｍ∈Ｍ_loc,Ａ∈Ａ(増加過程:Ａ_＋に属する元の差で表わされる過程)で,Ｘ₀はＦ₀-可測関数,ただし,Ｍ₀＝0 ａ.ｓ,Ａ₀＝0 ａ.ｓと表わされるとき,{Ｘ_t}は半マルチンゲールであるという。

また,Ｒ^N値確率過程が半マルチンゲールであるとは,各成分が半マルチンゲールのときをいう。

さらに,Ｍ_t,Ａ_tが連続確率過程であれば{Ｘ_t}は連続な半マルチンゲールであるという。

(定理11.2)(伊藤の公式)

Ｘ_t＝(Ｘ¹_t,Ｘ²_t,..,Ｘ^N_t)を連続な半マルチンゲールとする。すなわち,Ｘⁱ_t＝Ｘⁱ₀＋Ｍⁱ_t＋Ａⁱ_t (ｉ＝1,2,..,Ｎ)とする。

ｆ∈Ｃ²(Ｒ^N)のとき,ｆ(Ｘ_t)は連続な半マルチンゲールであり,ｆ(Ｘ_t)－ｆ(Ｘ₀)＝Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＭⁱ_s＋Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＡ_sⁱ＋(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ,Ｍ^j＞_sと書くことができる。

ただし,Ｄ_iｆ≡∂ｆ/∂ｘ_i,Ｄ_ijｆ≡∂²ｆ/∂ｘ_i∂ｘ_j(ｉ,j＝1,2,．．Ｎ)である。

(証明)τ_n＝inf{ｔ≧0：|Ｘ₀|＞ｎ,or|Ｍ_t|＞ｎ,|Ａ_t|＞ｎ}({　}≠φのとき),τ_n＝∞ ({　}＝φのとき);とおきます。このとき,ｎ→ ∞ に対してτ_n→ ∞ ａ.ｓなので,Ｘ_t∧τn について,この等式を証明すれば十分です。

したがって,Ｘ₀,Ｍ_t,Ａ_tは全て有界,ｆ,Ｄ_iｆ,Ｄ_ijｆも全て有界,かつ一様連続であるとしてかまいません。それ故,ある定数Ｋがあって|ｆ|＋Σ_i|Ｄ_iｆ|＋Σ_i,j |Ｄ_ijｆ|≦Ｋと書くことができます。

Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_n＝ｔを [0,ｔ]の分割とします。

このとき,テイラー展開の定理により,ｆ(Ｘ_t)－ｆ(Ｘ₀)＝Σ_k=1^n-1(ｆ(Ｘ_tk+1)－ｆ(Ｘ_tk))＝Σ_k=1^n-1Σ_i=1^NＤ_iｆ(Ｘ_tk)(Ｘⁱ_tk+1－Ｘⁱ_tk)＋(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ｘⁱ_tk+1－Ｘⁱ_tk)(Ｘ^j_tk+1－Ｘ^j_tk),ξ_k＝Ｘ_tk＋θ_k(Ｘ_tk+1－Ｘ_tk), 0≦θ_k≦1と表現できます。

右辺の第１項は|Δ|→0 のとき,確率積分の定義により,Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＭⁱ_{s s}＋Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＡ_sⁱに確率収束します。

一方,右辺の第２項は,(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk)＋Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ａ^j_tk+1－Ａ^j_tk)＋(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ａⁱ_tk+1－Ａⁱ_tk)(Ａ^j_tk+1－Ａ^j_tk)≡Ｉ₁＋Ｉ₂＋Ｉ₃となります。

Ａ∈Ａより,Ａ≡Ａ^＋－Ａ^－,Ａ^＋,Ａ^－∈Ａ_＋,cとすると,|Σ_k=1^n-1(Ａ_tk+1－Ａ_tk)|≦|Ａ^＋_t|＋|Ａ^－_t|で,sup|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|→ 0,sup|Ａ_tk+1－Ａ_tk|→ 0 なので,|Ｉ₂|≦Ｋsup _k|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|(|Ａ^＋_t|＋|Ａ^－_t|)→ 0 as　|Δ|→ 0 ａ.ｓ,かつ|Ｉ₃|≦Ｋsup|Ａ_tk+1－Ａ_tk|(|Ａ^＋_t|＋|Ａ^－_t|→ 0 as　|Δ|→ 0 ａ.ｓです。

よって,後はＩ₁→(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ,Ｍ^j＞ as　|Δ|→ 0 ａ.ｓを示すことができればいいことになります。

通常の積分と微分との関係では２次の微小量を総和して積分しても１次の微小量になるだけで,|Δ|→ 0 では消えてしまうのでこうした２階導関数の項は出現しません。

実際,上に示したように有界変動の関数ＡはＡ＝Ａ^＋－Ａ^－と有界な単調増加関数の差で表わせるので,その２次の量を積分するとき,その寄与はゼロになります。

しかし,Ｍがブラウン運動のような過程である場合には有界変動の関数ではなくて,その長さが確率１で無限大になることは,ずいぶん前の記事で述べましたが,その場合のＭの２次の量を積分するとき,その寄与はゼロではなくて有限です。

Ｉ₁'＝(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(Ｘ_tk)(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk)とおくと,|Ｉ₁－Ｉ₁'|≦(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^N|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)||Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk||Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk|≦(1/2)sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|[Σ_n,mＱ_t(Ｍⁿ,Δ)^1/2Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)^1/2]です。

よって,Ｅ[|Ｉ₁－Ｉ₁'|]≦(1/2)Σ_n,m=1^NＥ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|Ｑ_t(Ｍⁿ,Δ)^1/2Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)^1/2]≦(1/2)Σ_n,m=1^NＥ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|²]^1/2(Ｅ[Ｑ_t(Ｍⁿ,Δ)Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)])^1/2≦(1/2)Ｅ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|²]^1/2(Σ_n,m=1^NＥ[Ｑ_t(Ｍⁿ,Δ)²]^1/4Ｅ[Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)²]^1/4)です。

再掲(補題７.3):"Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃとするとき分割Δに依らない定数ｃが存在してＥ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦ｃが成り立つ。"とＥ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|²]^1/2→ 0 as　|Δ|→ 0 によって,右辺→ 0 as |Δ|→ 0 が得られます。

また,Ｉ₁"＝(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(Ｘ_tk)(＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk)とおくとＥ[|Ｉ₁'－Ｉ₁"|²]＝(1/4)Σ_k=1 ^n-1Ｅ[|Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(Ｘ_tk){(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk)－∫_tk^tk+1ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s|²]≦Σ_k=1 ^n-1(Ｋ²/4)Ｅ[|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|⁴＋Σ_i,j=1^N(＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk)²]≦(Ｋ²/4)Ｅ[sup_k|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|²Σ_i=1^NＱ_t(Ｍⁱ,Δ)]＋(Ｋ²/4)Σ_i,j=1^NＥ[sup_k|＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk|(＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk)] → 0 as |Δ|→ 0 です。

すなわち,Ｅ[|Ｉ₁'－Ｉ₁"|²]→ 0 as　|Δ|→ 0 が得られます。

一方,Ｉ₁"＝(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^N∫_tk^tk+1Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s→(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s as　|Δ|→ 0 ですから,結局,Ｉ₁→(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s in Ｌ(Ω) as　|Δ|→ 0 です。

以上から,∀ｔに対して,ほとんどいたるところで,ｆ(Ｘ_t)－ｆ(Ｘ₀)＝Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＭⁱ_s＋Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＡ_sⁱ＋(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ,Ｍ^j＞_sが成立し,両辺はｔについて連続なので,この等式は確率１で∀ｔに対して成立します。

(証明終わり)

例として原点から出発する１次元ブラウン運動をＸ_t＝Ｂ_tとし,ｆ(ｘ)＝ｘⁿとすると,伊藤の公式から,Ｂ_tⁿ＝ｎ∫₀^tＢ_s^n-1ｄＢ_s＋{ｎ(ｎ－1)/2}∫₀^tＢ_s^n-2ｄｓです。

特にｎ＝2とすれば,Ｂ_t²＝2∫₀^tＢ_sｄＢ_s＋ｔです。

このことはＢ_t²－ｔがマルチンゲールであることを示しています。これは,マルチンゲールの確率積分が,その定義によって常にマルチンゲールであるからです。

こうして,１次元ブラウン運動の確率積分が通常の関数についての積分公式ｔ²＝2∫₀^tｘｄｘとは食い違うことが明確にわかります。

　次の例として,Ａ_t＝－ｔ/2としＸ_t＝Ｂ_t＋Ａ_t＝,ｆ(ｘ)＝exp(ｘ)とするとき,伊藤の公式から,exp(Ｘ_t)－exp(Ｘ₀)＝exp(Ｂ_t－ｔ/2)－exp(Ｂ₀)＝∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄＢ_s＋∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄ(－ｓ/2)＋(1/2)∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄｓです。

したがって,exp(Ｂ_t－ｔ/2)＝1＋∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄＢ_sです。

Ｂ_tはマルチンゲールなので,もちろんその確率積分exp(Ｂ_t－ｔ/2)もマルチンゲールです。

また,Ｅ[exp{iξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}]＝exp{－(ｔ－ｓ)ξ²/2}より,ｓ＝0 ,ξ＝－2ｉとおいて,Ｅ[exp(2Ｂ_t)]＝exp(2ｔ),すなわち,Ｅ[exp(2Ｂ_t－ｔ)]＝exp(ｔ)です。

それ故,exp(Ｂ_t－ｔ/2)は２乗可積分マルチンゲールです。

さらにＢ_t＝(Ｂ¹_t,Ｂ²_t,..,Ｂ^N_t)をＮ次元ブラウン運動とし,ｆ(ｘ)＝{(ｘ¹)²＋(ｘ²)²＋..＋(ｘ^N)²}^ｍ/2とするとき,ｍ≧2ならｆ(Ｂ_t)－ｆ(Ｂ₀)＝ｍΣ_i=1^N∫₀^tＢⁱ_s|Ｂ_s|^ｍ-2ｄＢⁱ_s＋(1/2)∫₀^t{Ｎｍ＋ｍ(ｍ－2)}|Ｂ_s|^ｍ-2ｄｓです。

また,Ｎ≧3でｍ＝2－Ｎ,σ_n＝inf{ｔ:|Ｂ_t|≦1/ｎ}とするとき,ｆ(Ｂ_t∧σn)－ｆ(Ｂ₀)＝(2－Ｎ)Σ_i=1^N∫₀^t∧σnＢⁱ_s|Ｂ_s|^-NｄＢⁱ_sですから,Ｂ_tの出発点が 0 でないとき:Ｐ(Ｂ_t＝ｘ₀)＝1,ｘ₀≠0 なるときも含めて,Ｐ(σ_n↑∞　as ｎ→∞)＝1 なので,ｆ(Ｂ_t)－ｆ(Ｂ₀)は局所マルチンゲールです。

今日はここまでにします。

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(９)

　次のステップとして確率積分という主題に移ります。

以下では,フィルター付確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_t)はＦ_tが右連続であり,かつ次の条件を満たしているものとします。すなわち,Ｎ≡{Ａ∈Ω｜∃Ｂ∈Ｆ：Ａ⊂Ｂ,Ｐ(Ｂ)＝0}⊂Ｆ₀ であるとします。

Ｍ₂(0,Ｔ)≡{Ｍ：Ｅ[|Ｍ_T|²]＜∞;{Ｍ_t}_t∈[0,T]は右連続マルチンゲール},Ｍ_2,c(0,Ｔ)≡{Ｍ∈Ｍ₂(0,Ｔ)：{Ｍ_t}_t∈[0,T]は連続}と置きます。

また,特にσ-加法族の増大系Ｆ_tを強調する場合には,Ｍ₂(0,Ｔ;Ｆ_t),Ｍ₂(Ｆ_t),Ｍ_2,c(0,Ｔ;Ｆ_t),Ｍ_2,c(Ｆ_t)のように表わします。

(系7.6)によれば,∀Ｍ∈Ｍ_2,cに対し,ある＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cがあって,Ｍ_t²－＜Ｍ＞_tはマルチンゲールになっています。

Ｍ∈Ｍ_2,cに対してＬ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)≡{φ:φは発展的可測でＥ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞},Ｌ₂(＜Ｍ＞)≡{φ:φは発展的可測でＥ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞,∀Ｔ}とおきます。

２乗可積分(連続)マルチンゲール全体の空間のヒルベルト構造に関する次の補題は,確率積分の定義において重要な役割を果たします。

(補題8.1):(ⅰ)Ｍ₂(0,Ｔ),Ｍ_2,c(0,Ｔ)は|Ｍ|_T≡Ｅ[|Ｍ_T|²]^1/2をノルムとするヒルべルト空間である。(ⅱ) Ｍ₂,Ｍ_2,cは,その２つの元Ｍ,Ｎに対してｄ(Ｍ,Ｎ)≡Σ_n=0^∞(|Ｍ－Ｎ|_n∧1)/2ⁿを距離とする完備距離空間である。

(証明)(ⅰ) {Ｍⁿ_T}_n=1,2,..をＭ₂(0,Ｔ),またはＭ_2,c(0,Ｔ)に属するＬ²(Ω,Ｆ,Ｐ)のコーシー列とします。

再掲(定理6.1):"{Ｘ_t}_t∈Tを右連続非負劣マルチンゲールとしＸ_T^*≡sup_0≦t≦T|Ｘ_t|とおくと,(ⅰ)λ^pＰ(Ｘ_T^*≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1 (ⅱ) Ｅ[|Ｘ_T^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が成り立つ。"

により,Ｅ[sup_0≦t≦T|Ｍⁿ_t－Ｍ^m_t|²]≦4Ｅ[|Ｍⁿ_T－Ｍ^m_T|²]です。

再掲(補題７.4):"{Ｙ_sⁿ}をＦ_tに適合した連続確率過程でlim_n,m→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_sⁿ－Ｙ_s^m|²]＝0 なるものとする。

このとき連続確率過程{Ｙ_s}でＦ_tに適合したものがあり{Ｙ_sⁿ}の適当な部分列{Ｙ_s^nk}を取れば,Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|→ 0 as ｋ→ ∞)＝1であり,lim_k→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|²]＝0 となる。"

によって,連続確率過程:Ｍ＝{Ｍ_t}_t∈[0,T]が存在して,ｎ→∞のとき確率１で[0,T]上一様にＭⁿ_t－Ｍ_t→ 0 となることがわかります。

このとき,もちろんＥ[sup_0≦t≦T|Ｍⁿ_t－Ｍ_t|²]→ 0 as ｎ→∞ です。

それ故,∀Ａ∈Ｆ_sについてＥ[(Ｍⁿ_s－Ｍ_s),Ａ]→ 0,Ｅ[(Ｍⁿ_t－Ｍ_t),Ａ]→ 0 です。

　Ｍⁿのマルチンゲール性:Ｅ[Ｍⁿ_t,Ａ]＝Ｅ[Ｍⁿ_s,Ａ],∀Ａ∈Ｆ_sと合わせると,Ｅ[Ｍ_t,Ａ]＝Ｅ[Ｍ_s,Ａ],∀Ａ∈Ｆ_sです。すなわち,Ｍ＝{Ｍ_t}_t∈[0,T]もマルチンゲールです。

よって,Ｍ＝{Ｍ_t}_t∈[0,T]も{Ｍⁿ_T}_n=1,2,..と同じく,Ｍ₂(0,Ｔ)またはＭ_2,c(0,Ｔ)に属することがわかりますから,Ｍ₂(0,Ｔ),Ｍ_2,c(0,Ｔ)はＬ²空間として完備なノルム空間であることがわかりました。

もちろん,このノルム空間において,|Ｍ|_T≡Ｅ[|Ｍ_T|²]^1/2がノルムになっていることは自明です。

そして,Ｍ,Ｎの内積(Ｍ,Ｎ)を(Ｍ,Ｎ)≡(1/4)[|Ｍ＋Ｎ|²_T－|Ｍ－Ｎ|²_T]＝Ｅ[Ｍ_TＮ_T]で定義することにより,Ｍ₂(0,Ｔ),Ｍ_2,c(0,Ｔ)をヒルベルト空間とすることができます。

(ⅱ){Ｍⁿ}_n=1,2,..⊂Ｍ₂をｎ,ｍ →∞ のときｄ(Ｍⁿ,Ｍ^m)→ 0 となるような列とします。

このとき,∀Ｔについて{Ｍⁿ_t}_t≦TはＭ₂(0,Ｔ)のコーシー列になるので,(ⅰ)よりＭ^T＝{Ｍ^T_t}_t≦T∈Ｍ₂(0,Ｔ)が存在して|Ｍⁿ－Ｍ^T|_T→ 0 as ｎ →∞ となります。

ところで,Ｔ₁≧Ｔとすると極限の一意性によって,0≦∀ｔ≦ＴについてＭ^T1_t＝Ｍ^T_tですからＭ^T1_Ｔ＝Ｍ^T_Ｔが成立しています。

それ故,0≦∀ｔ≦∞ に対してＭ_t≡Ｍ^t_tと置くことによって,Ｍ_t＝lim_T→∞Ｍ^T_tを定義することができて,Ｍ＝{Ｍ_t}_t≦∞とすると,ｄ(Ｍⁿ,Ｍ) → 0 as ｎ→ ∞ となりＭ＝{Ｍ_t}∈Ｍ₂です。

したがって,Ｍ₂はその２つの元Ｍ,Ｎに対して,ｄ(Ｍ,Ｎ)≡Σ_n=0^∞(|Ｍ－Ｎ|_n∧1)/2ⁿを距離とする完備距離空間です。

さらにＭ_2,cはＭ₂の閉部分空間なので,Ｍ_2,cも同じ距離について完備距離空間です。

(証明終わり)

(補題8.2):(ⅰ)Ｌ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)は∀φ∈Ｌ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)に対して|φ|_T≡Ｅ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞]^1/2をノルムとするヒルべルト空間である。

(ⅱ) Ｌ₂(＜Ｍ＞)は∀φ₁,φ₂∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対してρ(φ₁,φ₂)≡Σ_n=1^∞(|φ₁－φ₂|_n∧1)/2ⁿを距離とする完備距離空間である。

(証明)(詳細は略して概略のみ記述します。)

(ⅰ)ｍ(Ａ)≡Ｅ[∫₀^T1_A(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_s]^1/2,Ａ∈Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_tによって([0,Ｔ])×Ω,Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_t)の上での測度を定義すればＬ²([0,Ｔ])×Ω,Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_t,ｄｍ)はｍ＝|・|_Tをノルムとしたヒルベルト空間です。

Ｌ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)はＬ²([0,Ｔ])×Ω,Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_t,ｄｍ)の閉部分空間ですから命題が成立します。

(ⅱ)(ⅰ)から明らかです。

（証明終わり）

※     φ(ｔ,ω)＝Σ_i=0^kξ_i(ω)１_(ti,ti+1)(ｔ)；0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_k+1,ｋ＝1,2,..で各ξ_iはＦ_ti-可測で有界なもの,で与えられるφを初等確率過程と呼びます。そして初等確率過程の全体をＬ₀で表わすことにします。

(補題：8.3):Ｌ₀はＬ₂(＜Ｍ＞)内で稠密である。

（証明)∀φ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対してlim_n→∞φ_n＝φ ａ.ｓ inＬ²,つまりlim_n→∞Ｅ[∫₀^T|φ_n(ｓ,ω)－φ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 を満たす関数列{φ_n}_n=1,2,..⊂Ｌ₀ が存在することを示せばいいです。

そこで,φ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)とすると,Ｅ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞,∀Ｔですが,φは有界であるとしｓの近傍でのφの平均値としてφ_nをφ_n(ｓ,ω)≡∫_(ｓ－1/n)+^sφ(ｕ,ω)ｄ＜Ｍ＞_u/[＜Ｍ＞_s－＜Ｍ＞_(s-1/n)+]で定義します。ただしａ+≡ａ∨0 です。

そして,さらにφ~(ｓ,ω)≡limsup_n→∞φ_n(ｓ,ω)と置きます。

　このとき上極限の定義によって,ｄ＜Ｍ＞_s,∀ｓ∈[0,Ｔ]のほとんど到るところで部分列が存在してlim_n→∞φ_n(ｓ,ω)＝φ~(ｓ,ω)であり,定義から∫₀^Tφ~(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_s＝∫₀^Tφ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_sが成り立っています。

　また,φが発展的可測なので,φ_n(ｓ,ω)はＦ_tに適合しています。

　分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_k+1に対し,φ_n^(Δ)(ｓ,ω)≡Σ_i=0^kφ_n(ｔ_i,ω)１_(ti,ti+1)(ｓ)とおけば,φ_n^(Δ)∈Ｌ₀でありφ_nは左連続ですから,lim_|Δ|→0φ_n^(Δ)(ｓ,ω)＝φ_n(ｓ,ω)∀(ｓ,ω)です。

　したがって,Ｅ[∫₀^T|φ_n^(Δ)(ｓ,ω)－φ_n(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0 as |Δ|→ 0 となります。

　また,lim_n→∞φ_n(ｓ,ω)＝φ~(ｓ,ω)より,lim_n→∞∫₀^T|φ_n(ｓ,ω)－φ~(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ですから,lim _{n→∞,|Δ|→0}Ｅ[∫₀^T|φ_n^(Δ)(ｓ,ω)－φ~(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 を得ます。

　ところが,∫₀^Tφ~(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_s＝∫₀^Tφ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_sですから,lim _{n→∞,|Δ|→0}Ｅ[∫₀^T|φ_n^(Δ)(ｓ,ω)－φ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 です。

　以上からＬ₀はＬ₂(＜Ｍ＞)内で稠密であることが証明されました。

　(証明終わり)

(定義8.4):(初等確率過程に対する確率積分の定義)

　φ(ｓ,ω)＝Σ_i=0^kξ_i(ω)１_(ti,ti+1)(ｓ)∈Ｌ₀に対して確率積分Ｉ(φ)をＩ(φ)(ｔ,ω)≡Σ_ti+1＜tξ_i(ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)＋ξ_l(ω)(Ｍ_t－Ｍ_tl),ｔ_l≦ｔ≦ｔ_l+1と定義する。そして,これをＩ(φ)(ｔ,ω)＝∫₀^tφ(ｓ,ω)ｄＭ_sと表わす。

ここでξ_i(ω)がＦ_ti-可測であることに注意されたい。

つまり積分和の係数である確率変数の値として分割の分点の左側の値を取っていることが確率積分の特徴です。後述するように,この取り方のおかげで確率積分はマルチンゲールになります。

さらに,初等確率過程に対する確率積分Ｉ(φ)の性質として次の補題を証明しておきます。

(補題8.5):Ｉ(φ)∈Ｍ_2,cで,(ⅰ)＜Ｉ(φ)＞_t＝∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sである。(ⅱ)Ｅ[Ｉ(φ)_t²]＝Ｅ[∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]である。

(証明)ｓ≦ｔのときＥ[Ｉ(φ)_t|Ｆ_s]＝Ｅ[Σ_ti+1＜tξ_i(ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_l(ω)(Ｍ_t－Ｍ_tl)|Ｆ_s]＝Σ_ti+1＜sξ_i(ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)＋ξ_p(ω)(Ｍ_s－Ｍ_tp)＝Ｉ(φ)_sより,確かにＩ(φ)(ｔ,ω)はマルチンゲールです。

　さらに,Ｍ∈Ｍ_2,cよりＩ(φ)∈Ｍ_2,cです。

(ⅰ)ｔ_m≦ｓ≦ｔ_m+1≦ｔ_l≦ｔ≦ｔ_l+1とします。

　Ｍのマルチンゲール性から,Ｅ[{Ｉ(φ)(ｔ)－Ｉ(φ)(ｓ)}²|Ｆ_s]＝Ｅ[{Σ_i=m+1^l-1ξ_i(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)＋ξ_l(Ｍ_t－Ｍ_tl)＋ξ_m(Ｍ_tm+1－Ｍ_s)}²|Ｆ_s]＝Σ_i=m+1^l-1Ｅ[ξ_i²(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_l²(Ｍ_t－Ｍ_tl)²|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_m²(Ｍ_tm+1－Ｍ_s)²|Ｆ_s]＝Σ_i=m+1^l-1Ｅ[ξ_i²(＜Ｍ_ti+1＞－＜Ｍ_ti＞)|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_l²(＜Ｍ_t＞－＜Ｍ_tl＞)|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_m²(＜Ｍ_tm＞－＜Ｍ_s＞|Ｆ_s]です。

　すなわち,Ｅ[{Ｉ(φ)(ｔ)－Ｉ(φ)(ｓ)}²|Ｆ_s]＝Ｅ[∫_s^tφ(ｕ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_u|Ｆ_s]となります。

　また,Ｉ(φ)のマルチンゲール性から,Ｅ[{Ｉ(φ)(ｔ)－Ｉ(φ)(ｓ)}²|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｉ(φ)(ｔ)²－Ｉ(φ)(ｓ)²|Ｆ_s]ですから,結局,Ｅ[Ｉ(φ)(ｔ)²－∫₀^tφ(ｕ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_u|Ｆ_s]＝Ｉ(φ)(ｓ)²－∫₀^sφ(ｕ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_uとなり,Ｉ(φ)_t²－∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sがマルチンゲールとなることがわかりました。

Ｉ(φ)∈Ｍ_2,cですから,(系7.6)の二次変分の一意性によって,＜Ｉ(φ)＞_t＝∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sです。

(ⅱ)Ｉ(φ)(0)＝0 なので,(系7.6)(ⅲ)より直ちにＥ[Ｉ(φ)_t²]＝Ｅ[∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s] を得ます。(証明終わり)

(定義8.6):(確率積分の定義)

　一般のｆ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対して確率積分を定義する。

　(補題8.3)により,ｆ_n∈Ｌ₀でlim_n→∞Ｅ[∫₀^T|ｆ_n(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ∀Ｔを満たすものを取ることができる。

　そして,Ｘⁿ_t≡I(ｆ_n)＝∫₀^tｆ_n(ｓ,ω)ｄＭ_sと置くと,(補題8.5)によってｎ,ｍ→∞ のときＥ[|Ｘⁿ_t－Ｘ^m_t|²]＝Ｅ[∫₀^t|Ｘⁿ_s－Ｘ^m_s|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0 ∀ｔである。

　またＥ[sup_s≦t|Ｘⁿ_s－Ｘ^m_s|²]＝4Ｅ[|Ｘⁿ_t－Ｘ^m_t|²]ですから,{Ｘⁿ_t}_n=1,2,..のある収束する部分列{Ｘ^nk_t}_k=1,2,..があって,その極限値をＸ_tと置けばＸ＝{Ｘ_t}∈Ｍ_2,cでlim_k→∞ｄ(Ｘ^nk,Ｘ)＝0 かつＰ(Ｘ^nk_t→Ｘ_t,ｋ→∞,広義一様収束)＝１となる。

このＸ＝{Ｘ_t}はｆ_n∈Ｌ₀の取り方によらない。

実際,ｆ_n,ｆ~_n∈Ｌ₀でlim_n→∞Ｅ[∫₀^T|ｆ_n(ｓ)－ｆ(ｓ)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ,lim_n→∞Ｅ[∫₀^T|ｆ~_n(ｓ)－ｆ(ｓ)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 を満たすものを取ります。

上のやり方で連続マルチンゲールＸ_tとＸ~_tが決められたとすると,Ｅ[sup_s≦t|Ｘ_s－Ｘ~_s|²]＝4Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ~_t|²]＝lim_n,m→∞4Ｅ[|Ｘⁿ_t－Ｘ^m_t|²]＝lim_n,m→∞4Ｅ[∫₀^t|ｆ_n(ｓ)－ｆ_m(ｓ)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ∀ｔなので,Ｘ_t＝Ｘ~_t ａ.ｓ が結論され,Ｘ＝{Ｘ_t}はｆ_n∈Ｌ₀の取り方によらず一意的に決まります。

こうして決まるＸ＝{Ｘ_t}をｆのＭによる確率積分といい,Ｘ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sと表わす。

ここで,確率積分Ｘ＝{Ｘ_t}の二次変分はどのように与えられるか？について言及しておきます。

(補題8.7):Ｅ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]＝Ｅ[∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]なる等式が成り立つ。

(証明)(補題8.5)から＜Ｘⁿ＞_Ｔ＝∫₀^Tｆ_n(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sです。

　＜Ｘⁿ＞_Ｔのｎ→∞の極限で＜Ｘ＞_Ｔ＝∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s ａ.ｓ です。Ｘ＝{Ｘ_t}∈Ｍ_2,ｃより(系7.6)(ⅲ)からＥ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]＝Ｅ[∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]が成立します。

(証明終わり)

特に,Ｂ_tを原点から出発するブラウン運動とすると,Ｂ_t²－ｔのマルチンゲール性によって,＜Ｂ_t＞＝ｔです。

既に示したように,自然数ｎについてＥ[|Ｂ_t－Ｂ_s|²ⁿ]＝ｃ_n(ｔ－ｓ)ⁿ,ｃ_n=2^-n(2ｎ)!/ｎ!です。すなわち,Ｅ[Ｂ_t²ⁿ]＝ｃ_nｔⁿですから,Ｅ[∫₀^TＢ_t²ⁿｄｔ]＜∞です。

そこで,確率積分Ｘ_Ｔ＝∫₀^TＢ_t²ⁿｄＢ_tが定義できて,Ｅ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[∫₀^TＢ_t²ⁿｄ＜Ｂ_t＞]＝Ｅ[∫₀^TＢ_t²ⁿｄｔ]＝ｃ_n∫₀^Tｔⁿｄｔ＝ｃ_nＴⁿ⁺¹/(ｎ＋1)となります。

ブラウン運動のような確率過程では(Ｂ_t－Ｂ_s)²～(ｔ－ｓ)より,(ｄＢ_t)² ～ｄｔ,すなわち,ｄＢ_t ～ (ｄｔ)^1/2なので(ｄＢ_t)²は２次の微小量ではなく１次の微小量です。

そこで積分法や微分法において,これをｄｔと比較して無視することができません。こうした事情が確率積分をむずかしくしている原因であろうと思われます。

切りがいいので今日はここまでにします。

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(８)

: 前回の記事では二次変分という量の説明が中途になりましたが,今回はその説明を完成させます。 

　まず(定理7.2)の証明から始めます。

(定理7.2の証明)

まず,Ｍ_tに対して二次変分Ａ_t≡＜Ｍ＞_tが存在することをを仮定してその一意性の方から証明します。

すなわち,Ｍ_t²－Ａ_tとＭ_t²－Ａ~_tは共にマルチンゲールでＡ,Ａ~∈Ａ_＋,c,かつＡ₀＝Ａ~₀＝0 を満たすとすると,Ａ_t－Ａ~_t＝(Ｍ_t²－Ａ~_t)－(Ｍ_t²－Ａ_t)もマルチンゲールで,Ａ－Ａ~∈Ａです。

そこで,(補題7.1)によってＡ_t－Ａ~_t＝Ａ₀－Ａ~₀＝0 ∀ｔ ａ.ｓが成立しますから,Ａ＝＜Ｍ＞が存在すれば,それは唯１つであることがわかります。

　 次に,存在を証明します。 

まず,分割Δを取って|Δ|→ 0 とすると,Ｑ_t(Ｍ_t;Δ)がＬ²(Ω)においてコーシー列を作ることを示します。

　Δ：0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n＜ｔ_n+1＜..で,ｔ_n＜ｔ＜ｔ_n+1なる分割を取ります。

ｔ_k＜ｓ＜ｔ_k+1とすると,Ｍ_tのマルチンゲール性により,Ｅ[Ｍ_tk+1Ｍ_tk|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_tk+1|Ｆ_s]Ｍ_tk＝Ｍ_sＭ_tk,およびＥ[Ｍ_tk+1²|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_tk+1|Ｆ_s]Ｍ_tk+1＝Ｍ_sＭ_tk+1です。

また,仮定により,Ｍ_tはＦ_ｔに適合している,つまりＦ_t-可測です。そしてｔ_k＜ｓより,Ｆ_ｔk⊂Ｆ_sですから,Ｍ_tkはＦ_s-可測になります。 

そこで,"ＸがＧ-可測で積ＸＹが可積分ならＥ[ＸＹ|Ｇ ]＝ＸＥ[Ｙ|Ｇ ] (ａ.ｓ),特にＥ[Ｘ|Ｇ ]＝Ｘ (ａ.ｓ)である。"という条件付期待値の性質からＥ[Ｍ_tk|Ｆ_s]＝Ｍ_tkです。

つまり,これは"時刻ｓでの情報が既にわかっているという条件下では,ｓより前の時刻ｔ_kにおける確率変数Ｍ_tk(ω)(∀ω∈Ω)の値は完全に確定している。"という当然の性質ですが,これを用いるとＥ[Ｍ_tk²|Ｆ_s]＝Ｍ_tk²が得られます。

したがって,マルチンゲールＭに対しては,Ｅ[(Ｍ_tk+1－Ｍ_tk)²|Ｆ_s]＝Ｅ[(Ｍ_tk+1²＋Ｍ_tk²－2Ｍ_tk+1Ｍ_tk)|Ｆ_s]＝Ｅ[(Ｍ_tk+1²＋Ｍ_s²－2Ｍ_tk+1Ｍ_s|Ｆ_s] ＋Ｍ_tk²＋Ｍ_s²－2Ｍ_sＭ_tkです。

すなわち,Ｅ[(Ｍ_tk+1－Ｍ_tk)²|Ｆ_s]＝Ｅ[(Ｍ_tk+1－Ｍ_s)²|Ｆ_s]＋(Ｍ_s－Ｍ_tk)²なる等式を得ます。 

そして,0≦ｌ≦ｋ－1では,ｔ_l,ｔ_l+1＜ｓなので,もちろんＥ[(Ｍ_tl+1－Ｍ_tl)²|Ｆ_s]＝(Ｍ_tl+1－Ｍ_tl)²であり,またＥ[(Ｍ_s－Ｍ_tk)²|Ｆ_s]＝(Ｍ_s－Ｍ_tk)²です。

そこで,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)|Ｆ_s]＝Σ_l=0 ^k-1(Ｍ_tl+1－Ｍ_tl)²＋(Ｍ_s－Ｍ_tk)²＋Ｅ[{(Ｍ_tk+1－Ｍ_s)²＋Σ_i=k+1 ^n-1(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²＋(Ｍ_t－Ｍ_tn)²}|Ｆ_s]です。

すなわち,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)|Ｆ_s]＝Σ_l=0 ^k-1(Ｍ_tl+1－Ｍ_tl)²＋(Ｍ_s－Ｍ_tk)²＋Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_s²|Ｆ_s]＝Ｑ_s(Ｍ;Δ)＋Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_s²|Ｆ_s]という表式が得られます。

したがって,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_s(Ｍ;Δ)|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_s²|Ｆ_s],つまりＥ[Ｍ_t²－Ｑ_t(Ｍ;Δ)|Ｆ_s]＝Ｍ_s²－Ｑ_s(Ｍ;Δ)となります。

結局,Ｍ＝{Ｍ_t}がマルチンゲールなら,{Ｍ_t²－Ｑ_t(Ｍ;Δ)}もマルチンゲールであることがわかりました。

次に,Δ'を別の分割とすれば,{Ｍ_t²－Ｑ_t(Ｍ;Δ')}もマルチンゲールですから,Ｌ_t≡Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ')とおくと,Ｌ＝{Ｌ_t}もマルチンゲールです。そして,Ｍ_t∈Ｍ_4,ｃなのでＬ_tもＬ²(Ω)に属します。

そこで,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_s(Ｍ;Δ)|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_s²|Ｆ_s]において,Ｍ_tをＬ_tに,ΔをΔ∪Δ'に,Ｆ_sをＦ₀に,それぞれ読み換えることにより,Ｅ[Ｑ_t(Ｌ;Δ∪Δ')－Ｑ₀(Ｌ;Δ∪Δ')|Ｆ₀]＝Ｅ[Ｌ_t²－Ｌ₀²|Ｆ₀]を得ます。

さらに,Ｑ₀＝0,Ｌ₀＝0 であり,Ｑ_t,Ｌ_t²はＦ₀と独立なので,これはＥ[Ｑ_t(Ｌ;Δ∪Δ')]＝Ｅ[Ｌ_t²]となります。

つまり,Ｅ[Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ');Δ∪Δ')]＝Ｅ[(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ')²]です。

そして,一般に成り立つ不等式(Ａ－Ｂ)²＝Ａ²－2ＡＢ＋Ｂ²≦2Ａ²＋2Ｂ²を用いれば,Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ');Δ∪Δ')≦2Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ);Δ∪Δ')＋2Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ');Δ∪Δ')が得られます。

一方,分割Δ∪Δ'をΔ∪Δ':0＝ｓ₀＜ｓ₁＜..＜ｓ_ｌ＜ｓ_l+1＜..,;ただし,ｓ_l＜ｔ＜ｓ_l+1としｔ_j≦ｓ_k＜ｓ_k+1≦ｔ_j+1とします。

Ｑ_sk+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sk(Ｍ;Δ)＝(Ｍ_sk+1－Ｍ_tj)²－(Ｍ_sk－Ｍ_tj)²＝(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)(Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj)ですから,Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ);Δ∪Δ')＝Σ_k(Ｑ_sk+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sk(Ｍ;Δ))²＋(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sl(Ｍ;Δ))²＝Σ_k(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)²(Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj)²＋(Ｍ_t－Ｍ_sl)²(Ｍ_t＋Ｍ_sk－2Ｍ_tn)²です。 

したがって,Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ);Δ∪Δ')≦sup_k|Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj|²Ｑ_t(Ｍ;Δ∪Δ')が成立します。

故に,Ｅ[(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ'))²]≦2Ｅ[Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ);Δ∪Δ')]＋2Ｅ[Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ');Δ∪Δ')]≦2Ｅ[sup_k|Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj|⁴]^1/2Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ∪Δ')²]^1/2＋2Ｅ[sup_k|Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj'|⁴]^1/2Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ∪Δ')²]^1/2となります。 

ここで,sup_k|Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj|⁴≦4(Ｍ^*_t)⁴, Ｍ^*_t≡sup_s≦t|Ｍ_s|でＭ_t∈Ｍ_4,ｃですから,これは有界です。

そこで,"ルベーグの収束定理＝定積分の存在定理"によって,lim_{|Δ|,|Δ'|→0}Ｅ[sup_k|Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj|⁴]＝0 です。

そして,(補題7.3)によれば,Ｍ_t∈Ｍ_4,ｃなるＭに対してＥ[Ｑ_t(Ｍ;Δ∪Δ')²]＜∞ですから,結局lim_{|Δ|,|Δ'|→0}Ｅ[(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ'))²]＝0 となることがわかりました。

ここで,∀ｔ＞0 に対して,分割列Δ_nをｎ→ ∞で|Δ_n|→ 0 となるように取ります。

Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－Ｑ_s(Ｍ;Δ_m),ｓ≦ｔはマルチンゲールなので,たった今示したことによって,|Δ_n|,|Δ_m|→ 0 のとき,Ｅ[sup_s≦t|Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－Ｑ_s(Ｍ;Δ_m)|²] → 0 です。

Ｑ_t(Ｍ;Δ_n)は t について連続なので,(補題7.4)によれば連続確率過程＜Ｍ＞_s∈Ｌ²が存在して,Ｐ(|Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－＜Ｍ＞_s|→ 0 as ｎ→ ∞,ｓ∈[0,t]について一様収束)＝1,かつＥ[|Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－＜Ｍ＞_s|²] → 0 as ｎ→ ∞,∀ｓ＜ｔが成立します。 

また,予め∪_n=1^∞Δ_nが[0,t]で稠密でΔ_n⊂Δ_n+1∀ｎとなるように分割列{Δ_n}を取っておくことにしておけばｓ₁＜ｓ₂,ｓ₁,ｓ₂∈Δ_nならＱ_s1(Ｍ;Δ_n)≦Ｑ_s2(Ｍ;Δ_n)なので,＜Ｍ＞_sも∪_n=1^∞Δ_nで単調非減少であり,＜Ｍ＞_s∈Ａ_＋,cとなります。

もちろん,＜Ｍ＞_tはＦ_tに適合しています。 

そして{Ｍ_t²－Ｑ_t(Ｍ;Δ_n)}はマルチンゲールですから,ｎ→∞ の極限をとれば,{Ｍ_t²－＜Ｍ＞_t}もマルチンゲールです。

以上から,ブラウン運動{Ｂ_t}に対するマルチンゲール{Ｂ_t²－ｔ}における分散ｔに対応して,{Ｍ_t}に対する二次変分＜Ｍ＞_tが存在して一意的であることが示されました。

(定理7.2の証明終わり)

次に,Ｍ＝{Ｍ_t}を１つの右連続マルチンゲール,τを停止時刻としてＭ^τ_t≡Ｍ_τ∧tとすると,Ｍ^τはマルチンゲールであること,そしてさらにＭ∈Ｍ_4,ｃとすると＜Ｍ^τ＞_t＝＜Ｍ＞_τ∧tとなることを証明します。 

(証明)(定理6.2)により,Ｅ[Ｍ_τ∧t|Ｆ_s]＝Ｍ_τ∧ｓです。

なぜなら,ｓ≦ｔとすると,τ∧ｔ＝ｔならＥ[Ｍ_τ∧t|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_t|Ｆ_s]＝Ｍ_ｓ＝Ｍ_τ∧ｓとなり,τ∧ｔ＝τならＥ[Ｍ_τ∧t|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_τ|Ｆ_s]＝Ｍ_τ∧ｓとなるからです。

よって,Ｍ^τ＝{Ｍ^τ}_t＝{Ｍ_τ∧t}はマルチンゲールです。 

　Ｍ∈Ｍ_4,ｃのときには,Ｎ_t≡Ｍ_t²－＜Ｍ＞_tは２乗可積分マルチンゲールで,Ｎ^τ_t≡(Ｍ^τ_t)²－＜Ｍ＞_τ∧t＝(Ｍ_τ∧t)²－＜Ｍ＞_τ∧t＝Ｎ_τ∧tはマルチンゲールであり,Ａ_t≡＜Ｍ＞_τ∧t∈Ａ_＋,cです。

(定理7.2)よりＡ_t＝＜Ｍ＞_tの一意性によって,＜Ｍ^τ＞_t＝＜Ｍ＞_τ∧tであることがわかります。(証明終わり)

さて,ここで局所マルチンゲールの定義を与えます。

(定義7.5):Ｆ_tに適合した右連続確率過程{Ｘ_t}に対して停止時刻の列{τ_n}があって,τ_n≦τ_n+1,∀ｎ,lim_n→∞τ_n＝∞ (ただし0≦ｔ≦Ｔで考えるときは,lim_n→∞τ_n＝Ｔ)を満たし,各ｎに対して{Ｘ^τn _t}≡{Ｘ_{τn ∧t}}がマルチンゲールになるとき,元の確率過程:{Ｘ_t}は局所マルチンゲールであると言う。

　そして,局所マルチンゲール全体の空間をＭ_loc,連続局所マルチンゲール全体の空間をＭ_c,locと表わす。

(系7.6):Ｍ∈Ｍ_c,_locとするとき,

(ⅰ)＜Ｍ＞₀＝0 なる＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cがあって,Ｍ²－＜Ｍ＞は連続な局所マルチンゲールとなる。

(ⅱ)∀ｔ＞0 に対して[0,ｔ]の分割の列{Δ_n}を取ると,lim_|Δn|→0Ｐ(sup_s≦t|Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－＜Ｍ＞_s|＞ε)＝0 for ∀ε＞0 となる。

(ⅲ)Ｍ₀＝0 のときＭ∈Ｍ_2,ｃなることはＥ[＜Ｍ＞_t]＜∞,∀ｔと同値であり,さらにＥ[Ｍ_t ²]＝Ｅ[＜Ｍ＞_t]である。

(証明)(ⅰ)仮定より,ある停止時刻の列:{τ_n}があって,Ｍ^τnはマルチンゲールとなります。

　σ_n≡inf{ｔ：|Ｍ_t |≧ｎ}とおくと,σ_n↑∞であり,Ｍⁿ≡Ｍ^σn∧τnは有界マルチンゲールとなります。 

なぜなら,ｍ≧ｎのときσ_n＞σ_mであると仮定すると,σ_n＞∃ｔ＞σ_m:ｍ＞|Ｍ_t |≧ｎですから,σ_n＝inf{ｔ:|Ｍ_t |≧ｎ}に矛盾します。それ故,ｍ≧ｎならσ_m≧σ_nであり,σ_n↑∞となります。 

また,|Ｍ_t|≧ｎなるｔの集合は閉集合なので,σ_nは停止時刻ですから,Ｍⁿは確かにマルチンゲールです。

そして,ｔ≦σ_nなら|Ｍ_t|≦ｎですが,Ｍⁿ_t＝Ｍ_{σn∧τn∧t}なので∀ｔに対して|Ｍⁿ_t|≦ｎ,つまりＭⁿは有界なマルチンゲールです。 

ここで,(定理7.2)により(Ｍⁿ∈Ｍ_4,ｃという仮定の下で∀ｎについてＡⁿ∈Ａ_＋,cが存在して(Ｍⁿ)²－Ａⁿはマルチンゲールになります。

ところが,ρ_n≡σ_n∧τ_nとおくと,ρ_n≦ρ_n+1でありＭⁿ_t＝Ｍ_ρn∧tですから,Ｍⁿ⁺¹_ρn＝Ｍ_ρn+1∧ρn＝Ｍ_ρn＝Ｍⁿ_ρnです。

すなわち,(Ｍⁿ⁺¹_ρn)²－Ａⁿ⁺¹_ρn＝(Ｍⁿ_ρn)²－Ａⁿ⁺¹_ρnです。

そこで,Ａⁿの一意性から,Ａⁿ⁺¹_ρn＝Ａⁿ_ρnとなります。 

そこで,∀ｔ＞0 に対して＜Ｍ＞_t≡lim_n→∞Ａⁿ_tとおけば,(Ｍⁿ_t)²－Ａⁿ_t＝(Ｍ_ρn∧t)²－＜Ｍ＞_ρn∧tであり,これがマルチンゲールですからＭに対して一意的な＜Ｍ＞が存在して,Ｍが局所マルチンゲールとなることが証明されました。 

(ⅱ)ρ_n↑∞なので,∀δ＞0 に対してＰ(ρ_m≦ｔ)＜δとなるｍ＝ｍ(δ)が存在します。

　また,Ｍ^m＝Ｍ^ρmは有界マルチンゲールで,ｓ≦ρ_mならＭ^ρm_s＝Ｍ_ρm∧s＝Ｍ_sですから,Ｑ_s(Ｍ;Δ)＝Ｑ_s(Ｍ^ρm,Δ),かつ＜Ｍ＞_s＝＜Ｍ^ρm＞_sです。 

　よって,ｓ≦ρ_mならＱ_s(Ｍ;Δ)－＜Ｍ＞_s＝Ｑ_s(Ｍ^ρm;Δ)－＜Ｍ^ρm＞_sですから,0≦ｓ≦ｔのとき∀ε＞0 に対し|Ｑ_s(Ｍ;Δ)－＜Ｍ＞_s|＞εとなる確率はｍがＰ(ρ_m≦ｔ)＜δを満たしｓ≦ρ_mで|Ｑ_s(Ｍ^ρm;Δ)－＜Ｍ^ρm＞_s|＞εとなる確率より小さいはずです。

　つまり,Ｐ(sup_0≦s≦t|Ｑ_s(Ｍ;Δ)－＜Ｍ＞_s|＞ε)≦Ｐ(ρ_m≦ｔ)＋Ｐ(sup_0≦s≦t|Ｑ_s(Ｍ^ρm;Δ)－＜Ｍ^ρm＞_s|＞ε) です。

そして,Ｍが局所マルチンゲールですから,|Δ|→0 に対してＱ_s(Ｍ^ρm;Δ)→＜Ｍ^ρm＞_sです。それゆえ,結局limsup_|Δ|→0Ｐ(sup_0≦s≦t|Ｑ_s(Ｍ;Δ)－＜Ｍ＞_s|＞ε)≦δという結論が得られます。

つまり,∀ｔ＞0 に対して[0,ｔ]の分割の列 {Δ_n}を取るとき,lim_|Δn|→0Ｐ(sup_s≦t|Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－＜Ｍ＞_s|＞ε)＝0 for ∀ε＞0 となる。ことが示されたわけです。

(ⅲ)Ｍ∈Ｍ_2,ｃ,Ｍ₀＝0 とします。

　Ｍ∈Ｍ_2,ｃよりＭ∈Ｍ_4,ｃですから,Ｅ[(Ｍ^ρn_t)²－＜Ｍ^ρn＞_t]＝0 となります。

　したがって,Ｅ[＜Ｍ＞_t]＝lim_n→∞Ｅ[＜Ｍ^ρn＞_t]＝lim_n→∞Ｅ[(Ｍ^ρn_t)²]≦Ｅ[Ｍ_t ²]です。

　逆にＥ[Ｍ_t ²]≦liminf_n→∞Ｅ[(Ｍ^ρn_t)²]＝liminf_n→∞Ｅ[＜Ｍ^ρn＞_t]≦Ｅ[＜Ｍ＞_tとなります。 

(証明終わり)

(注意):この系によりＭ∈Ｍ_2,ｃ,Ｍ₀＝0 なるＭに対しても＜Ｍ＞∈Ａ_＋,c,＜Ｍ＞₀＝0 でＭ²－＜Ｍ＞がマルチンゲールとなるものが一意的に存在すること,がわかります。

(系7.7):Ｍ,Ｎを連続な局所マルチンゲールとする。

　このとき＜Ｍ,Ｎ＞₀＝0 なる＜Ｍ,Ｎ＞∈Ａ_cが一意的に存在して,

(ⅰ)ＭＮ－＜Ｍ,Ｎ＞は連続な局所マルチンゲールである。

(ⅱ)∀ｔ＞0 に対して[0,ｔ]の分割の列{Δ_n}を取ると,lim_|Δn|→0Ｐ(sup_s≦t|Ｑ_s(Ｍ,Ｎ;Δ_n)－＜Ｍ,Ｎ＞_s|＞ε)＝0 for∀ε＞0 となる。

　ただし,Ｑ_s(Ｍ,Ｎ;Δ_n)≡Σ_ti+1＜s(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)(Ｎ_ti+1－Ｎ_ti)＋..＋(Ｍ_s－Ｍ_tn)(Ｎ_s－Ｎ_tn),Δ:ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_n＜..である。 

(証明)(ⅰ)＜Ｍ,Ｎ＞≡(1/4)(＜Ｍ＋Ｎ＞－＜Ｍ－Ｎ＞)とおくと,(系7.6)より(Ｍ＋Ｎ)²－＜Ｍ＋Ｎ＞,(Ｍ－Ｎ)²－＜Ｍ－Ｎ＞は＜Ｍ＋Ｎ＞₀＝0,＜Ｍ－Ｎ＞₀＝0 を満たす連続な局所マルチンゲールであって＜Ｍ＋Ｎ＞,＜Ｍ－Ｎ＞∈Ａ_＋,cが成立します。

　そして,(1/4)[(Ｍ＋Ｎ)²－(Ｍ－Ｎ)²]＝ＭＮですから,＜Ｍ,Ｎ＞₀＝0,＜Ｍ,Ｎ＞∈Ａ_cであって,ＭＮ－＜Ｍ,Ｎ＞は連続な局所マルチンゲールです。

(ⅱ)(系7.6)(ⅱ)より,lim_|Δn|→0Ｐ(sup_s≦t|Ｑ_s(Ｍ±Ｎ;Δ_n)－＜Ｍ±Ｎ＞_s|＞ε)＝0 for ∀ε＞0が成立します。

　これとＱ_s(Ｍ,Ｎ;Δ_n)＝1/4[Ｑ_s(Ｍ＋Ｎ;Δ_n)－Ｑ_s(Ｍ－Ｎ;Δ_n)]からこの(系7.7)(ⅱ)が成立します。

(証明終わり)

ここで以前の記事でのブラウン運動の性質:再掲(補題4.9);"Ｎ次元Ｆ_t-ブラウン運動{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,．．,Ｂ_t^N)}について,∀ｔ≧ｓ＞0 に対して,(ⅰ)Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱ;ｉ＝1,2,..,Ｎ (ⅱ)Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)である。"

という命題によって,{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,..,Ｂ_t^N)}をＮ次元Ｆ_t-ブラウン運動とすると,＜Ｂⁱ,Ｂ^j＞_t＝δ_ijｔとなることがわかります。

(命題7.8):Ｍ,Ｎ,Ｌを連続な局所マルチンゲールとすると,次の(ⅰ)～(ⅳ)が成立する。

(ⅰ)＜Ｍ,Ｎ＞＝＜Ｎ,Ｍ＞

(ⅱ)＜Ｍ＋Ｎ,Ｌ＞＝＜Ｍ,Ｌ＞＋＜Ｎ,Ｌ＞

(ⅲ)任意の定数ａに対して＜ａＭ,Ｎ＞＝ａ＜Ｍ,Ｎ＞

(ⅳ)τを停止時刻とすると,＜Ｍ^τ,Ｎ^τ＞_t＝＜Ｍ^τ,Ｎ＞_t＝＜Ｍ,Ｎ＞_τ∧tである。

　これらの証明はきわめてやさしく,命題が成り立つことはほぼ自明なので省略します。 

※先の(定理7.2),または(系7.6)では連続な(局所)マルチンゲールに対して,その二次変分の存在を直接示しましたが,通常はDoob-Meyer分解と呼ばれる以下の定理を用いて二次変分の存在が示されます。

Ｘ_tを２乗可積分なマルチンゲールとすれば,Ｘ_t²は劣マルチンゲールですから,一般に非負劣マルチンゲールＹ_tをマルチンゲールＭ_tと増加過程Ａ_tの和としてＹ_t＝Ｍ_t＋Ａ_tと分解できれば,Ｙ_t≡Ｘ_t²とおいて,対応する増加過程Ａ_t＝Ｘ_t²－Ｍ_tをＸ_tの二次変分＜Ｘ＞_tとして定義することができます。 

　ここでは,上のＹ_t＝Ｍ_t＋Ａ_tの分解が可能であるという内容のDoob-Meyerの分解定理を証明なしに掲載しておくことにして今日の記事を終わりにしたいと思います。

　まず,準備として１つの定義を述べておきます。 

(命題7.9):右連続な劣マルチンゲールＸ_tがクラス(Ｄ)に属するとは,{Ｘ_σ:σは有限値の停止時刻}が一様可積分なるときをいい,クラス(ＤＬ)に属するとは,∀ａ＞0 に対してＸ_t∧aがクラス(Ｄ)に属するときをいう。

(命題7.10):(Doob-Meyerの分解定理)

　Ｆ_tが右連続でＮ≡{Ａ∈Ω｜∃Ｂ∈Ｆ：Ａ⊂Ｂ,Ｐ(Ｂ)＝0}⊂Ｆ₀を満たすとし,Ｆ_tに適合した右連続劣マルチンゲールＹ_tがクラス(ＤＬ)に属するならば,右連続マルチンゲールＭ_tと増加過程Ａ_tが存在してＹ_t＝Ｍ_t＋Ａ_tを満たす。

　ここで,Ａ_tは自然増加過程とされる。さらに,Ａ_tを自然増加過程にとるとき,このような分解は一意的である。

※     Ａ_tが自然増加過程であるとは,任意の有界右連続マルチンゲールＭ_tに対しＥ[∫₀^tＭ_sｄＡ_s]＝Ｅ[∫₀^tＭ_s-ｄＡ_s]なるときをいいます。

次回はいよいよ確率積分に入る予定です。 

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(７)

続きです。今日は確率積分を定義して導入する準備として二次変分という量の説明をします。

以下,フィルター付確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_t)はＦ_tが右連続であり,かつ次の条件を満たしているものとします。

すなわち,Ｎ≡{Ａ∈Ω｜∃Ｂ∈Ｆ：Ａ⊂Ｂ,Ｐ(Ｂ)＝0}⊂Ｆ₀ (これは確率測度がゼロの全ての集合がＦ₀ に,それ故全てのｔに対するＦ_tに含まれることを意味します。)

右連続な確率過程Ａ_t(ω):[0,∞)×Ω→[0,∞)であって,Ｆ_tに適合しており,ｔ₁＜ｔ₂ならＡ_t1≦Ａ_t2＜∞ ａ.ｓを満たすものを増加過程といい,増加過程全体をＡ_＋で表わします。

そして,Ａ_＋によって２つの確率過程の族Ａ,およびＡ_＋,cを,次のように定義します。

Ａ≡{Ａ₁－Ａ₂:Ａ₁,Ａ₂∈Ａ_＋},およびＡ_＋,c≡{Ａ＝{Ａ_t}∈Ａ_＋:Ａ_tは連続}です。さらにＡ_c≡{Ａ＝{Ａ_t}∈Ａ:Ａ_tは連続}と定義します。

一方,∀ｐ≧1に対してマルチンゲールの族Ｍ_p,およびＭ_p,cを,Ｍ_p≡{Ｍ＝{Ｍ_t}:ＭはマルチンゲールでＥ[|Ｍ_t|^p]＜∞,∀ｔ},およびＭ_p,c≡{Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_p:Ｍ_tは連続}によって定義します。

以下では,連続な局所マルチンゲールＭ(後述：定義7.5)に対して,Ｍ²－＜Ｍ＞がまた局所マルチンゲールとなるような連続増加過程＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cが一意的に存在して,この連続増加過程が二次変分という意味を持つことを示します。

そして,この事実は後に確率積分を定義する基礎となります。

ここで展開する解析は伊藤の公式を証明する際に有効に働きます。

まず,いくつかの補題や定理を与えます。

(補題７.1):{Ｍ_t}を連続マルチンゲールとする。このとき,Ｍ∈Ａならば Ｍ_t＝Ｍ₀ ∀ｔ ａ.ｓ である。

(証明) Ｍ₀＝0として分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n＝ｔを取り,|Δ|≡max_0≦i≦n-1|ｔ_i+1－ｔ_i|とおきます。

Ｍ₀＝0 なので有界なマルチンゲールＭ_tに対して,Ｅ[Ｍ_t²]＝Σ_i=0^n-1Ｅ[Ｍ_ti+1²－Ｍ_ti²]＝Σ_i=0^n-1Ｅ[(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²]≦Ｅ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ_ti+1－Ｍ_ti|Σ_i=0 ^n-1 |Ｍ_ti+1－Ｍ_ti|]です。

なぜなら,Ｍ_t のマルチンゲール性によりＥ[Ｍ_ti+1|Ｆ_ti]＝Ｍ_tiなので,Ｅ[Ｍ_ti+1Ｍ_ti|Ｆ_ti]＝Ｅ[Ｍ_ti+1|Ｆ_ti]Ｍ_ti＝Ｍ_ti²です。

つまりＥ[Ｍ_ti+1Ｍ_ti]＝Ｅ[Ｍ_ti²]なので,Ｅ[(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²]＝Ｅ[(Ｍ_ti+1²＋Ｍ_ti²－2Ｍ_ti+1Ｍ_ti)]＝Ｅ[Ｍ_ti+1²－Ｍ_ti²]だからです。

Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ａ でＭ₀＝0 なので,Ａ¹₀＝Ａ²₀＝0 なる増加過程Ａ¹,Ａ²が存在して,Ｍ＝Ａ¹－Ａ² (Ｍ_t＝Ａ¹_t－Ａ²_t),{Ａ¹_t},{Ａ²_t}∈Ａ_＋と書くことができます。

　そして,τ_k≡inf{ｔ：Ａ¹_t＋Ａ²_t＞ｋ}({　}≠φのとき),∞ ({　}＝φのとき)なる量を定義して,Ｍ^k_t≡Ｍ_t∧τkとおけば,(定理6.2)によりＭ^k_tは有界な連続マルチンゲールです。

そこで,Ｅ[Ｍ^k_t²]≦Ｅ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|Σ_i=0 ^n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|]です。

Σ_i=0 ^n-1|Ｍ_ti+1－Ｍ_ti|＝Σ_i=0 ^n-1|ΔＭ_i|＝Σ_i=0 ^n-1|ΔＡ¹_i－ΔＡ²_i|≦Σ_i=0 ^n-1(ΔＡ¹_i＋ΔＡ²_i)＝Ａ¹_tn＋Ａ²_tn＝Ａ¹_t＋Ａ²_t でＭ^k_t＝Ｍ_t∧τkにおいてはＡ¹_t＋Ａ²_t≦ｋですから,Ｅ[Ｍ^k_t²]≦ｋＥ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|]となります。

lim_|Δ|→0Ｅ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|]＝0 なので,lim_|Δ|→0Ｅ[Ｍ^k_t²]＝0 ,つまりＭ^k_t＝0 ａ.ｓです。

それ故,Ｍ_t＝0＝Ｍ₀  ａ.ｓです。Ｍ₀＝0 という仮定は一般性を失わない仮定なので補題は証明されました。

(証明終わり)

次に分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n＜ｔ_n+1＜..(ｔ_n＜ｔ＜ｔ_n+1)に対して,Ｑ_t(Ｍ;Δ)≡Σ_i=0^n-1(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²＋(Ｍ_t－Ｍ_tn)²,Ｑ₀(Ｍ；Δ)≡0 と置きます。

以前の記事でブラウン運動{Ｂ_t}に関するものとして,再掲(定理2.3):"{Ｂ_t}_t∈TをＮ次元ブラウン運動とする。ｔ＞0 に対して分割 Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜t_n＜ｔ＜ｔ_n+1を取り,|Δ|≡max_i|ｔ_i+1－ｔ_i |→ 0 とすると,各ｔに対してＥ[(∑_i=0^n-11Ｂ_ti+1－Ｂ_ti|²＋1Ｂ_t－Ｂ_n|²－Ｎｔ)²] → 0 となる。"という命題,

および"{Ｂ_t}を１次元ブラウン運動とすると,Ｂ_t, Ｂ_t²－ｔはそれぞれマルチンゲールである。"という命題が証明されています。

そこで,１次元ブラウン運動{Ｂ_t}に関し,|Δ|→ 0 のとき,Ｑ_t(Ｂ；Δ) → ｔ in Ｌ²(Ω)(Ｌ²は２乗可積分の空間＝"収束する"ことが差の絶対値の２乗がゼロに収束することを意味する空間)なること,またＢ_t²－ｔがマルチンゲールとなることが既にわかっています。

ここでは,これを任意のＭ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃに対して一般化します。

(定理７.2):Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃとする。

このとき＜Ｍ＞₀＝0 を満たす＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cが存在して,|Δ|→ 0 のときＱ_t(Ｍ；Δ)→＜Ｍ＞_t in Ｌ²(Ω) ∀ｔとなり,Ｍ²－＜Ｍ＞がマルチンゲールとなる。

そして,Ｍ²－＜Ｍ＞がマルチンゲールとなるような＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cで＜Ｍ＞₀＝0 を満たすものは唯１つである。

この定理を証明する前に準備として２つの補題を与え,証明します。

(補題７.3):Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃとするとき,分割Δに依らない定数ｃが存在してＥ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦ｃが成り立つ。

(補題7.3の証明)まず,ある定数Ｋ≧0 が存在して,|Ｍ_t|≦Ｋの場合に示します。

Δ:ｓ₀＝0＜ｓ₁＜．．＜ｓ_l＜ｔ＜..とします。

ｓ_l+1＝ｔとおくと,Ｑ_t(Ｍ;Δ)²＝{Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)²}²＝Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)⁴＋2Σ_j<k(Ｍ_sj+1－Ｍ_sj)²(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)²＝Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)⁴＋2Σ_j(Ｍ_sj+1－Ｍ_sj)²{Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}＝Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)⁴＋2Σ_j{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}{Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}となります。

　ここで,Ｅ[{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}{Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}]＝Ｅ[{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}(Ｍ_t－Ｍ_sj+1)²]です。

なぜなら,(補題7.1)の証明の中でＭ_tのマルチンゲール性を用いてＭ₀＝0 の場合のＥ[Ｍ_t²]の表現式を与えましたが,一般のＭ₀の場合にはＥ[Ｍ_t²－Ｍ₀²]＝Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)]が得られます。

よって,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}＝Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_sj+1²]＝Ｅ[(Ｍ_t－Ｍ_sj+1)²]となるからです。

ここで,条件付期待値の性質:ＸがＧ-可測で積ＸＹが可積分ならＥ[ＸＹ|Ｇ ]＝ＸＥ[Ｙ|Ｇ ] (ａ.ｓ),およびＥ｢Ｅ[Ｘ|Ｇ]｣＝Ｅ[Ｘ] (ａ.ｓ)が成り立つことから,一般にＥ[ＸＹ]＝Ｅ[ＸＥ[Ｙ]]と書けることを用いました。

そこで,結局,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]＝Ｅ[Σ_j=0^l(Ｍ_sj+1－Ｍ_sj)⁴]＋2Σ_jＥ[{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}(Ｍ_t－Ｍ_sj+1)²]≦Ｅ[(sup_j|Ｍ_sj+1－Ｍ_sj|²＋2sup_j|Ｍ_t－Ｍ_sj+1|²)Ｑ_t(Ｍ;Δ)]≦12Ｋ²Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)]が得られます。

ここで,再びＭ_tのマルチンゲール性から,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)]＝Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ₀²]≦Ｋ²なる,ことを用いるとＥ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]≦12Ｋ⁴＜∞です。

以上で,ある定数Ｋ≧0 が存在して|Ｍ_t|≦Ｋの場合に,補題が証明されました。

一般の場合はＭ^*_t≡sup_s≦t|Ｍ_s|とおいて,sup_j|Ｍ_sj+1－Ｍ_sj|²≦4(Ｍ^*_t)²と評価すれば,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]≦Ｅ[12(Ｍ^*_t)²Ｑ_t(Ｍ;Δ)]≦Ｅ[12²(Ｍ^*_t)⁴]^1/2Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]^1/2です。(シュヴァルツの不等式)

そこで,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦Ｅ[12²(Ｍ^*_t)⁴]が得られます。

前記事で示した定理;再掲(定理6.1)"{Ｘ_t}_t∈Tを右連続非負劣マルチンゲールとし,Ｘ^*_T≡sup_0≦t≦T|Ｘ_t|とおくと(ⅰ)λ^pＰ(Ｘ^*_T≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1 (ⅱ) Ｅ[|Ｘ^*_T|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が成り立つ。"を用いると,Ｅ[(Ｍ^*_t)⁴]≦(4/3)⁴Ｅ[|Ｍ_t|⁴]です。

そこで,不等式Ｅ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦12²(4/3)⁴Ｅ[|Ｍ_t|⁴]を得ます。

Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃなので,定義によってＥ[|Ｍ_t|⁴]＜∞ですから,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]＜∞と結論されます。(補題7.3の証明終わり)

(補題７.4):{Ｙ_sⁿ}をＦ_tに適合した連続確率過程でlim_n,m→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_sⁿ－Ｙ_s^m|²]＝0 なるものとする。

このとき,連続確率過程{Ｙ_s}でＦ_tに適合したものがあり{Ｙ_sⁿ}の適当な部分列{Ｙ_s^nk}を取れば,Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s| → 0 as ｋ→ ∞)＝1であり,lim_k→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|²]＝0 となる。

(補題7.4の証明) ｎ_kをｎ_k≧ｎ_k-1,Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_sⁿ－Ｙ_s^m|²]≦1/2^3k；ｎ,ｍ≧ｎ_kなるように取ります。

このとき,チェビシェフの不等式によって,Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|＞1/2^k)≦2^2kＥ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|²] ≦1/2^k ですから,Σ_k=1^∞Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|＞1/2^k)＜∞です。

それ故,再掲,ボレル・カンテリの補題:

"{Ａ_n}_n=1,2,..を集合列としＡをこれらの集合の無限個の共通に含まれる要素の集合,Ｐを確率測度とする。このとき,(ａ)ΣＰ(Ａ_n)＜∞ならＰ(Ａ)＝0 (ｂ)ΣＰ(Ａ_n)＝∞ で事象Ａ_nが独立ならばＰ(Ａ)＝1 である。"

からＰ(∩_m=1^∞∪_k=m^∞{sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|＞1/2^k})＝0 です。

すなわち,Ω₀≡∪_m=1^∞∩_k=m^∞{sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|≦1/2^k}とおけば,Ｐ(Ω₀)＝1 です。

ω∈Ω₀に対して,あるｍが存在してｋ≧ｍなる∀ｋに対してsup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|≦1/2^kですから,j≧i≧ｍに対してsup_s≦t|Ｙ_sⁿⁱ－Ｙ_s^nj|≦Σ_l=i^j-11/2^l≦1/2^i-1となります。

つまり,{Ｙ_s^nk}はＣ([0,ｔ](ｓ∈[0,ｔ]についての連続関数の集合に属するコーシー列) (ａ.ｓ)ですから,ある連続確率過程Ｙ_sがあって,sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|→ 0 as ｋ→ ∞ ａ.ｓです。

また,lim_k→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|²]＝lim_k→∞lim_j→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s^nj|²]≦lim_k→∞liminf_j→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s^nj|²]＝0 が得られます。

(補題7.4の証明終わり)

　途中ですが,長くなったので,(定理7.2)を証明する準備ができたところで一旦終わります。

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(６)

ブラウン運動と確率積分関連の記事の続きです。まず離散時間と連続時間のマルチンゲール(martingale)について説明します。

まず,マルチンゲールの定義を与えます。

(定義5.1):Ｒ¹上の確率過程{Ｘ_t}_t∈Tが以下の条件を満たすとき,この確率過程を劣マルチンゲールである,という。

(ⅰ) {Ｘ_t}はＦ_tに適合している。(つまりＦ_t-可測である:すなわちＲ¹上の任意の開集合Ａに対し,{ω∈Ω｜Ｘ_t(ω)∈Ａ}∈Ｆ_t≡σ(Ｘ_s；ｓ≦ｔ)である。)

(ⅱ)Ｅ[|Ｘ_t|]＜∞ 　

(ⅲ) Ｅ[Ｘ_t|Ｆ_s]≧Ｘ_s (ａ.ｓ) ∀ｔ≧ｓ；ｔ,ｓ∈Ｔ

また,{－Ｘ_t}_t∈T が劣マルチンゲールであるとき,{Ｘ_t}_t∈Tを優マルチンゲールであるという。

{Ｘ_t}_t∈Tと{－Ｘ_t}_t∈Tが共に劣マルチンゲールであるとき,言い換えると,{Ｘ_t}_t∈Tが劣マルチンゲール,かつ優マルチンゲールであるとき,確率過程{Ｘ_t}_t∈Tはマルチンゲールであると言う。

マルチンゲールの性質をいくつか述べます。

まず,{Ｘ_t}_t∈Tは劣マルチンゲールであるとし,ｆ(ｘ)を単調非減少凸関数とする。(ｆ(ｘ)は非減少で,ｆ(λｘ＋(1－λ)ｙ)≦λｆ(ｘ)＋(1－λ)ｆ(ｙ),∀ｘ,ｙ∈Ｒ¹,0≦∀λ≦1とする。)

ｆ(Ｘ_t)が可積分なら,{f(Ｘ_t)}_t∈T も劣マルチンゲールである。

特に,{Ｘ_t}_t∈Tがマルチンゲールなら,ｆの単調性の仮定を省いても同じ結論が得られる。

これを証明します。

(証明)ｆ(ｘ)が凸関数なので,∫ｆ(ｘ)ｄｐ(ｘ)≧ｆ(∫ｘｄｐ(ｘ))です。なぜなら,凸関数性はｆ(Σ_iξ_iΔｐ_i)≦Σ_iΔｐ_iｆ(ξ_i)とも表わすことができるからです。

そして,∫ｆ(ｘ)ｄｐ(ｘ)≧ｆ(∫ｘｄｐ(ｘ))はＥ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s]≧ｆ(Ｅ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s]を意味します。

{Ｘ_t}_t∈Tの"劣マルチンゲール性"Ｅ[Ｘ_t|Ｆ_s]≧Ｘ_sと,ｆ(ｘ)を単調非減少性から,ｆ(Ｅ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s] ≧ｆ(Ｘ_s)です。

以上から,Ｅ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s]≧ｆ(Ｘ_s)を得ます。後半は明らかです。

(証明終わり)

次にパラメータ集合がＴ＝Ｚ+である場合を考えます。

(１){Ｙ_n}_n∈Z+を確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された独立同分布確率変数列であるとし,Ｅ[Ｙ₁]＝0 とする。

Ｘ_n≡Σ_i=1ⁿＹ_i,Ｆ_n≡σ(Ｙ_i;ｉ＝1,2,..,ｎ)と定義すると,{Ｘ_n}_n∈Z+はマルチンゲールである。

(２) {Ｙ_n}_n∈Z+を確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された独立同分布非負確率変数列であるとし,Ｅ[Ｙ₁]＝1 とする。

このとき,Ｘ_n≡Π_i=1ⁿＹ_i,Ｆ_n≡σ(Ｙ_i;ｉ＝1,2,..,ｎ)と定義すると{Ｘ_n}_n∈Z+はマルチンゲールである。

ことを証明します。

連続時間でこの２つの例に相当するのはブラウン運動であり,ブラウン運動の指数関数から決まる指数マルチンゲールです。

(証明) (１)独立同分布確率変数列でＥ[Ｙ₁]＝0 なので,Ｅ[Ｙ_i]＝0 (ｉ＝1,2,..,ｎ)です。

また,Ｅ[Ｘ_n|Ｆ_n-1]＝Ｅ[Σ_i=1ⁿＹ_i|Ｙ₁,Ｙ₂,..,Ｙ_n-1指定]＝Σ_i=1^n-1Ｙ_i＋Ｅ[Ｙ_n]＝Σ_i=1^n-1Ｙ_i＝Ｘ_n-1となります。

(２)については対数を取ると(１)に帰着するので自明です。

(証明終わり)

以下ではパラメータ集合Ｔ＝Ｚ+の場合に,マルチンゲールに関する諸定理を準備します。

そしてしばらくの間はフィルター付き確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_n)_n∈Z+で定義された劣マルチンゲール{Ｘ_n}_n∈Z+を考えていきます。

そして,Ｚ+∪{∞}に値をとる停止時刻τ(ω)を考えます。τ(ω)は{τ≦ｎ}∈Ｆ_n) ∀ｎなる確率変数です。

(定理5.2):(任意抽出定理)

τ₁,τ₂を有界な停止時刻で,τ₁≦τ₂ ａ.ｓ なるものとする。

このとき,劣マルチンゲールIＸ_n}に対して,Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]≧Ｘ_τ1 ａ.ｓ が成り立つ。

したがって,Ｅ[Ｘ_τ2]≧Ｅ[Ｘ_τ1]である。またＸ_nが一様可積分,つまり,"lim_c→∞sup_nＥ[|Ｘ_n|;|Ｘ_n|＞ｃ]＝0 "なら任意のτ₁≦τ₂＜∞ ａ.ｓ なる停止時刻に対して上が成立する。

(証明)まず,条件付期待値の性質:Ｈ⊂ＧならＥ｢Ｅ｢Ｘ|Ｇ｣|Ｈ｣＝Ｅ[Ｘ|Ｈ]において,Ｈ≡{φ,Ω}と置けばＥ｢Ｅ｢Ｘ|Ｇ｣｣＝Ｅ[Ｘ]となることがわかります。

そこで,Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]≧Ｘ_τ1が証明されさえすれば,Ｅ[Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]]＝Ｅ[Ｘ_τ2]≧≧Ｅ[Ｘ_τ1]が従うことが予め確認されました。

そして,条件付期待値の定義から,Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]≧Ｘ_τ1を証明するにはＥ[Ｘ_τ2,Ａ]≧Ｅ[Ｘ_τ1,Ａ] ∀Ａ∈Ｆ_τ1を示せばいいです。

そのためには,∀ｎに対してＥ[Ｘ_τ2,Ａ∩{τ₁＝ｎ}]≧Ｅ[Ｘ_τ1,Ａ∩{τ₁＝ｎ}]なることを見ればいいです。

Ｂ≡Ａ∩{τ₁＝ｎ}∈Ｆ_n ,{τ₂≧ｎ＋1}∈Ｆ_nです。

(なぜなら,{τ₂≦ｎ}∈Ｆ_n )

τ₂≧τ₁＝ｎなる条件下では,Ｅ[Ｘ_τ1,Ａ∩{τ₁＝ｎ}]＝Ｅ[Ｘ_τ1,Ｂ]＝Ｅ[Ｘ_n,{τ₂≧ｎ}∩Ｂ]＝Ｅ[Ｘ_n,{τ₂＝ｎ}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_n,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]≦Ｅ[Ｘ_τ2,{τ₂＝ｎ}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_n+1,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]＝Ｅ[Ｘ_τ2,{ｎ≦τ₂≦ｎ＋1}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_n+1,{τ₂≧ｎ＋2}∩Ｂ]≦Ｅ[Ｘ_τ2,{ｎ≦τ₂≦ｍ}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_m,{τ₂＞ｍ}∩Ｂ]が成立します。

ここで,{τ₂＝ｎ＋1}∩Ｂ∈Ｆ_nより,劣マルチンゲール性Ｅ[Ｘ_n+1|Ｆ_n ]≧Ｘ_nから,Ｅ[Ｘ_n+1,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]≧Ｅ[Ｘ_n,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]が成り立つことなどを用いました。

この不等式でｍを十分大きく取ればτ₂は有界ですから,{ｎ≦τ₂≦ｍ}∩Ｂ＝Ｂ,{τ₂＞ｍ}∩Ｂ＝φとなり,Ｅ[Ｘ_τ1,Ｂ]≦Ｅ[Ｘ_τ2,Ｂ]が得られます。

これで前半は証明されました。

後半は私自身が前半と何が異なるのかについて題意を理解できないので証明もわかりません。

もしかしたら,非負整数の各ｎについてＸ_nが一様可積分ならτ₁≦τ₂＜∞であればτ₁,τ₂が非負整数でなくても定理が成立するということかもしれません。

それなら,Ｘ_τi(ｉ＝1、2)が可積分であることさえ示せれば後は前半と同じです。

(証明終わり)

(定理5.3):(Doobの不等式)

{Ｘ_n}を非負劣マルチンゲールとする。Ｘ_n^*≡max_0≦j≦n|Ｘ_j|と置くと各ε＞0,ｎ≧0 に対しＰ(Ｘ_n^*≧ε)≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n]である。

Ｅ[(Ｘ_n^*)^p]^1/p≦[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[(|Ｘ_n|^p]^1/p for ｐ＞1である。

(証明)τ_n≡min{ｊ≦ｎ;Ｘ_j^*≧ε}(if {ｊ≦ｎ；Ｘ_j^*≧ε}≠φ),ｎ(if {ｊ≦ｎ；Ｘ_j^*≧ε}＝φ)と置きます。

つまり,Ｘ_n^*≧εならτ_n≦ｎ,Ｘ_n^*＜εならτ_n＝ｎです。

{τ_n≦ｎ}＝{ω：Ｘ_n^*≧ε}∪{ω：Ｘ_n^*＜ε}＝Ω∈Ｆ_nより,τ_nは停止時刻です。

したがって,{Ｘ_n}が劣マルチンゲールでτ_n≦ｎですから,先の(定理5.2)によって,Ｅ[Ｘ_ｎ]≧Ｅ[Ｘ_τn]です。

そこで,Ｅ[Ｘ_n]＝Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]＋Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*＜ε]≧Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*≧ε]＋Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*＜ε]＝Ｅ[Ｘ_τn]です。

Ｘ_n^*＜εならτ_n＝ｎより,Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*＜ε]＝Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*＜ε]ですから,不等式Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≧Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*≧ε]が得られます。

一方,Ｘ_nは非負:|Ｘ_n|＝Ｘ_nですから,Ｐ(Ｘ_n^*≧ε)＝Ｐ(max_0≦j≦nＸ_j≧ε)＝Ｐ(Ｘ_τn≧ε)です。

したがって,チェビシェフの不等式(Chebyshev)によって不等式Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*≧ε]＝Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_τn≧ε]≧εＰ(Ｘ_τn≧ε)＝εＰ(Ｘ_n^*≧ε)も得られます。

結局,得られた２つの不等式からεＰ(Ｘ_n^*≧ε)≦Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]が成り立つことがわかります。

そしてＸ_nは非負故,Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≦Ｅ[Ｘ_n]ですから,Ｐ(Ｘ_n^*≧ε)≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n]となります。

次にｐ＞1,Ｅ[|Ｘ_n^*|^p]＜∞とします。

Ｅ[|Ｘ_n^*|^p]＝∫ｔ^pｄｐ＝∫ｔ^p{Ｐ(Ｘ_n^*≦ｔ＋ｄｐ)－Ｐ(Ｘ_n^*≦ｔ)}＝∫₀^∞{－ｔ^p(ｄＰ/ｄｔ)}＝lim_t→∞[ｔ^pＰ(Ｘ_n^*≧ｔ)]＋ｐ∫₀^∞ｔ^p-1(Ｐ(Ｘ_n^*≧ｔ)＝ｐ∫₀^∞ｔ^p-1(Ｐ(Ｘ_n^*≧ｔ)≦ｐ∫₀^∞ｔ^p-2Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ｔ]です。(Cauchy-Scwartzの不等式)

さらに,ｐ∫₀^∞ｔ^p-2Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ｔ]ｄｔ＝ｐＥ[Ｘ_n∫₀^Ｘn*ｔ^p-2ｄｔ]＝[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[Ｘ_n(Ｘ_n^*)^p-1]≦[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[|Ｘ_n|^p]^1/pＥ[(Ｘ_n^*)^p]^p-1/pです。(Hoelderの不等式)

そこで,Ｅ[(Ｘ_n^*)^p]^1/p≦[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[|Ｘ_n|^p]^1/pが成立します。

Ｅ[|Ｘ_n^*|^p]＝∞のときは,上述の証明でＸ_n^*をＸ_n^*∧Ｋ(Ｋは定数)で置き換えれば,Ｅ[(Ｘ_n^*∧Ｋ)^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_n|^p]となります。

そしてこの式においてＫ→ ∞ に移行すれば命題の式が得られます。(証明終わり)

ここで,次のような停止時刻の列を考えます。

ａ＜ｂに対してτ₀＝0 ,τ_2m-1＝min{ｎ＞τ_2m-2;Ｘ_n≦ａ},τ_2m＝min{ｎ＞τ_2m-1;Ｘ_n≧ｂ},ｍ=1,2,..,ただし{　}＝φのときはτ_k＝∞と約束します。

そしてＸ_nの[ａ,ｂ]-上向き横断回数Ｕ_n(ａ,ｂ)をＵ_n(ａ,ｂ)≡0 (τ₂＞ｎのとき),max{ｍ；τ_2m≦ｎ}(τ₂≦ｎのとき)で定義します。

(定理5.4):(横断数定理)

任意のｎに対し{Ｘ_n}を劣マルチンゲール,(Ｘ_n－ａ)+≡(Ｘ_n－ａ)∨ 0 とするとＥ[Ｕ_n(ａ,ｂ)]≦[1/(ｂ－ａ)]Ｅ[(Ｘ_n－ａ)+]である。

(証明) Ｘ_nが劣マルチンゲールで(Ｘ_n－ａ)+≡(Ｘ_n－ａ)∨ 0 はＸ_nの単調非減少凸関数ですから,(Ｘ_n－ａ)+も劣マルチンゲールです。

Ｘ_nの[ａ,ｂ]-上向き横断回数Ｕ_n(ａ,ｂ)は(Ｘ_n－ａ)+の[0,ｂ－ａ]-上向き横断回数に等しいことがわかります。

なぜなら,Ｘ_n≦ａは(Ｘ_n－ａ)∨ 0 ≦0 と同値でＸ_n≧ｂは(Ｘ_n－ａ)∨ 0 ≧ｂ－ａ と同値です。

そこでＸ_n≧0 としてＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦(1/ｂ)Ｅ[Ｘ_n]を示せばよいことになります。

φ_i(Ｘ_i)をφ_i(Ｘ_i)≡1 (τ_m＜ｉ＜τ_m+1＜,∃ｍ：奇数),0 (τ_m＜ｉ＜τ_m+1＜,∃ｍ：偶数)と定義すれば,φ_i(Ｘ_i)＝1 ならＸ_i≧ｂ,Ｘ_i-1＜ｂ(ｍ＋1：偶数);Ｘ_i-2＜ｂ,..,Ｘ_i-k＜0 なので,Σ_j=i-k+1ⁱφ_i(Ｘ_j－Ｘ_j-1)≦(Ｘ_i－Ｘ_j-k)≦ｂです。

そして,この横断数がＵ_n(0,ｂ)なので,ｂＵ_n(0,ｂ)≦Σ_i=1ⁿφ_i(Ｘ_i－Ｘ_i-1),故に,ｂＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦Σ_i=1ⁿφ_i(Ｅ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1])です。

ここで,Ｘ_nが非負劣マルチンゲールなのでＥ[Ｘ_i]≧Ｅ[Ｘ_i-1],つまりＥ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1]≧0 です。

それ故,ｂＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦Σ_i=1ⁿφ_i(Ｅ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1])≦Σ_i=1ⁿ(Ｅ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1])＝Ｅ[Ｘ_n]－Ｅ[Ｘ₀]≦Ｅ[Ｘ_n]です。

以上からＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦(1/ｂ)Ｅ[Ｘ_n]が示されました。

(証明終わり)

(定理5.5):(マルチンゲールの収束定理)

{Ｘ_n}は劣マルチンゲールでsup_nＥ[|Ｘ_n|]＜∞なるものとする。

このとき,Ｘ_∞∈Ｌ¹(Ω)があって,lim_n→∞Ｘ_n(ω)＝Ｘ_∞(ω) ａ.ｓである。

さらに,Ｘ_nが一様可積分:lim_c→∞sup_nＥ[|Ｘ_n|；|Ｘ_n|＞ｃ]＝0 ならＥ[|Ｘ_n－Ｘ_∞|]→ 0 as ｎ→∞であり,Ｘ_∞まで含めて劣マルチンゲールとなる。

(証明)今,Ｐ(limsup_n→∞Ｘ_n(ω)＞liminf _n→∞Ｘ_n(ω))＞0 と仮定します。

このとき,{limsup_n→∞Ｘ_n＞liminf _n→∞Ｘ_n}＝∪_a＜b,b∈Q+{limsup_n→∞Ｘ_n＞ｂ＞ａ＞liminf _n→∞Ｘ_n}ですから,ある正の有理数(positive rational)の組ａ＜ｂ∈Ｑ+があって,Ｐ(limsup_n→∞Ｘ_n＞ｂ＞ａ＞liminf _n→∞Ｘ_n)＞0 です。

このとき(定理5.4):(横断数定理)によって,Ｅ[Ｕ_n(ａ,ｂ)]≦[1/(ｂ－ａ)]Ｅ[(Ｘ_n－ａ)+]≦[1/(ｂ－ａ)](Ｅ[Ｘ_n+]＋|ａ|)です。

したがって,Ｅ[Ｕ_∞(ａ,ｂ)]＝lim _n→∞Ｅ[Ｕ_n(ａ,ｂ)]≦[1/(ｂ－ａ)](sup_nＥ[Ｘ_n+]＋|ａ|)です。

ところが,sup_nＥ[Ｘ_n+]≦sup_nＥ[|Ｘ_n|]＜∞ですからＥ[Ｕ_∞(ａ,ｂ)]＜∞となってしまいます。

しかし可算無限個の有理数の組ａ＜ｂ∈Ｑ+があって,各々のａ,ｂについてＰ(limsup_n→∞Ｘ_n＞ｂ＞ａ＞liminf _n→∞Ｘ_n)＞0 なので,横断数は無限大ですからＥ[Ｕ_∞(ａ,ｂ)]＝∞のはずです。

これは矛盾です。それ故,Ｐ(limsup_n→∞Ｘ_n(ω)＞liminf _n→∞Ｘ_n(ω))＝0 でなければなりません。

すなわち,Ｘ_∞(ω)≡limsup_n→∞Ｘ_n(ω)＝liminf _n→∞Ｘ_n(ω) ａ.ｓと置くことができてＥ[|Ｘ_∞|]＝Ｅ[lim_n→∞|Ｘ_n|]≦liminf _n→∞Ｅ[|Ｘ_n|]≦limsup _n→∞Ｅ[|Ｘ_n|]＜∞です。

また,Ｘ_nが一様可積分なら積分論の収束定理によってＬ¹で収束すること：つまりＥ[|Ｘ_n－Ｘ_∞|]→ 0 as　ｎ→ ∞ となることがわかるので,Ｅ[Ｘ_∞|Ｆ_n]＝lim_n→∞Ｅ[Ｘ_n|Ｆ_n]≧Ｘn,つまりＸ_∞まで含めて劣マルチンゲールです。

(証明終わり)

(注意):(ⅰ){Ｘ_n}_n∈Z+がＸ_n≦ｃ(ｃ:定数)を満たす劣マルチンゲールなら,ｃ≧Ｅ[Ｘ_n]≧Ｅ[Ｘ₀]なので{Ｘ_n}_n∈Z+は(定理5.5)の仮定を満たし,∃lim_n→∞Ｘ_n∈Ｌ¹ ａ.ｓです。

(ⅱ) {Ｘ_n}_n∈Z+を後ろ向き劣マルチンゲールとします。すなわちＦ_m⊂Ｆ_n,ｎ＜ｍ,Ｅ[Ｘ_n|Ｆ_m]＝Ｘ_m,Ｘ_n∈Ｌ¹とします。

このとき,inf _nＥ[Ｘ_n]＞－∞ならば{Ｘ_n}は一様可積分であり、それゆえsup _nＥ[|Ｘ_n|]＜∞です。

実際,ε＞0 を任意に与えたとき,それに対しＥ[Ｘ_k]－liminf _n→∞Ｅ[Ｘ_n]＜εを満たすｋを取ってｎ≧ｋとすると,Ｅ[|Ｘ_n|,|Ｘ_n|＞ｃ]＝Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n＞ｃ]＋Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n≧－ｃ]－Ｅ[Ｘ_n]≦Ｅ[Ｘ_k,Ｘ_n＞ｃ]＋Ｅ[Ｘ_k,Ｘ_n≧－ｃ]－Ｅ[Ｘ_k]＋ε≦Ｅ[|Ｘ_k|,|Ｘ_n|＞ｃ]＋εです。

またＰ(|Ｘ_n|＞ｃ)≦(1/ｃ)Ｅ[|Ｘ_n|]＝(1/ｃ)(2Ｅ[Ｘ_n+]－Ｅ[Ｘ_n])≦(1/ｃ)(2Ｅ[Ｘ₀+]－Ｅ[Ｘ_n])ですからｃ→ ∞ のときsup _n≧kＰ(|Ｘ_n|＞ｃ) → 0 です。

よってlimsup _{c→∞,n≧k}Ｅ[|Ｘ_n|,|Ｘ_n|＞ｃ]≦limsup _{c→∞,n≧k}Ｅ[|Ｘ_k|,|Ｘ_n|＞ｃ]＋ε＝εとなりますから。sup _nＥ[|Ｘ_n|]＜∞となることがわかります。

さて次に連続時間パラメータのマルチンゲールに入ります。

パラメータ空間Ｔを区間Ｔ⊂[0,∞)であるとして確率空間の族(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_t)_t∈Tが与えられているとします。

ＤをＤ⊂Ｔなる可算稠密集合とし,Ｄ＝∪_n=1^∞Ｄ_n,ｎ＝1,2,..となる有限集合Ｄ_nを取ります。

これまでの離散マルチンゲールに関する諸定理はパラメータ集合をＤ_nに限定した場合の各Ｄ_nについての劣マルチンゲールに対して成立しています。

(定理6.1):{Ｘ_t}_t∈Tを右連続非負劣マルチンゲールとしＸ_T^*をＸ_T^*≡sup_0≦t≦T|Ｘ_t|で定義すると,(ⅰ)λ^pＰ(Ｘ_T^*≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1 (ⅱ) Ｅ[|Ｘ_T^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が成り立つ。

(証明)右辺が有限のときについて示せば十分です。

Ｔ∈Ｄ_n∀nとしてよいのでそのように仮定します。

そしてＸ_n^*≡sup_t∈Dn|Ｘ_t|と置きます。Ｘ_tは非負劣マルチンゲールですからｐ≧1 のときには|Ｘ_t|^pも非負劣マルチンゲールです。

したがって,(定理5.3)により,λ＞0 に対してλ^pＰ(Ｘ_n^*≧λ)≦λ^pＰ[|Ｘ_n^*|^p≧λ^p]≦Ｅ[|Ｘ_n|^p]です。

それ故,λ^pＰ(sup_t∈DＸ_t^*≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1が得られます。

同様にして(定理5.3)によりＥ[|Ｘ_n^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1から,(ⅱ) Ｅ[|Ｘ_T^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が得られます。

(注意):(ⅰ)Ｍ_tがマルチンゲールのときは|Ｍ_t|が非負劣マルチンゲールとなるので,|Ｍ_t|に対して上述の(定理6.1)が適用できます。

　(ｆ(ｘ)=|ｘ|は単調凸関数ではありませんが,明らかに∫ｆ(ｘ)ｄｐ≧ｆ(∫ｘｄｐ),つまり∫|ｘ|ｄｐ≧|∫ｘｄｐ|より,Ｅ[|Ｍ_t|Ｆ_s]≧|Ｍ_s|が成立します。)

(ⅱ)離散時間パラメータの場合と違って連続時間パラメータの場合は停止時刻:σに対してＸ_σがＦ_σ-可測であることは自明ではありません。

　Ｘ_σ|_{σ≦t}がＦ_t-可測であることを言えばよいのですが,σが停止時刻であることから,σ:{ω:σ≦ｔ}→｢0,ｔ｣は{σ≦ｔ}∩Ｆ_t/Ｂ(｢0,ｔ｣)-可測です。

したがって,ω→(σ(ω),ω)は写像:Ω→[0,ｔ]×ΩとしてＦ_t/Ｂ(｢0､ｔ｣)×Ｆ_t-可測ですから,Ｘ_σは発展的可測過程;Ｘ_s(ω):[0,ｔ]×Ω→Ｘ_s(ω)です。

すなわち,Ｂ(｢0,ｔ｣)×Ｆ_t-可測な写像と写像Ω→[0,ｔ]×Ω:ω→(σ(ω),ω)の合成として可測です。

(定理6.2):{Ｘ_t}_t∈Tを右連続劣マルチンゲールとする。

　σ,τをσ≦τなる有界な停止時刻とするとＥ[Ｘ_τ|Ｆ_σ]≧Ｘ_σである。さらにＸ_tが一様可積分のときはσ≦τ＜∞ａ.ｓなる任意の停止時刻に対して上記が成立する。

(証明)σ_n(ω)≡ｋ/2ⁿ ((ｋ－1)/2ⁿ≦σ＜ｋ/2ⁿのとき)と置きます。

　τに対しても同様にτ_nを定義すると明らかにσ_n≦τ_nです。

　また,σ_n≦τ_nは停止時刻になっています。

　このときσ_n≧σ_n+1≧..≧σとなりＥ｢Ｘ_σn|Ｆ_σn｣≧Ｘ_σm ,ｎ＜ｍです。またＥ｢Ｘ_τn|Ｆ_σn｣≧Ｘ_σnです。したがってＡ∈Ｆ_σ⊂Ｆ_σｎに対してＥ[Ｘ_τn,Ａ]≧Ｅ[Ｘ_σn,Ａ]と書けます。

　Ｘ_σm,Ｘ_τm は後向き劣マルチンゲールでinf_nＥ[Ｘ_σn]≧Ｅ[Ｘ₀]＞－∞です。

　Ｘ_tの右連続性により,lim_n→∞Ｘ_σn＝Ｘ_σですが,(定理5.5)の後で記述した(注意)によって,この収束はＬ¹の意味にもなっています。

　同様にlim_n→∞Ｘ_τn＝Ｘ_τ∈Ｌ¹(Ω)です。したがってＥ[Ｘ_τ,Ａ]≧Ｅ[Ｘ_σ,Ａ],Ａ∈Ｆ_σ が得られます。

　(証明終わり)

最後に"(ⅰ){Ｂ_t}を１次元ブラウン運動とすると,{Ｂ_t},および{Ｂ_t²－ｔ}はそれぞれマルチンゲールである。(ⅱ){Ｂ_t}を１次元Ｆ_t-ブラウン運動とするとき,{exp(Ｂ_t－ｔ/2)}はマルチンゲールである。"ことを示します。

(証明)(ⅰ)再掲:(補題4.9):Ｎ次元Ｆ_t-ブラウン運動:{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,..,Ｂ_t^N)}について,∀ｔ≧ｓ＞0 に対して(ⅰ)Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱ：ｉ＝1,2,..,Ｎ(ⅱ) Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)である。

によれば,Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱはＮ＝1ではＥ[Ｂ_t|Ｆ_s]＝Ｂ_sです。

また,Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)はＮ＝１,ｉ＝ｊ＝1とすると,Ｅ[(Ｂ_t²－Ｂ_s²)|Ｆ_s]＝ｔ－ｓです。

これは,Ｅ[(Ｂ_t²－ｔ)|Ｆ_s]＝Ｂ_s²－ｓを意味します。

(ⅱ) {Ｂ_t}がＮ次元Ｆ_t-ブラウン運動であることと同値な関係式：Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}において,Ｎ＝１としてξ＝－iを代入するとＥ[exp{(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{(ｔ－ｓ)/2}：すなわちＥ[exp(Ｂ_t－ｔ/2)|Ｆ_s]＝exp(Ｂ_s－ｓ/2)です。

(証明終わり)

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

条件付確率と条件付期待値

ブラウン運動と伊藤積分(確率積分)の理論を展開していく上で,既にそのいくつかの性質を利用しましたが,以後もしばしば前置きも証明も無く条件付期待値やそれに関する色々な公式を用いる予定です。

そこで,以前に約束したように,ここで,まとめて条件付期待値や,それに関する公式等の解説をしておきたいと思います。

まず,確率空間を与えて正確に条件付確率と条件付期待値(平均値)を定義しておきます。

確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)が与えられ,Ｐ(Ｂ)＞0 を満たすある事象Ｂ∈Ｆが確実におきるという前提の下で,Ｂを標本空間とした１つの確率測度Ｐ_B(Ａ)≡Ｐ(Ａ∩Ｂ)/Ｐ(Ｂ)∀Ａ∈Ｆを定義したとき,"Ｐ_B(Ａ)は事象Ｂに関するＡの条件付確率である。"といいます。

このＰ_B(Ａ)≡Ｐ(Ａ∩Ｂ)/Ｐ(Ｂ)を一般にＰ(Ａ|Ｂ)と書きます。

同様に,確率変数をＸ＝Ｘ(ω) ∀ω∈Ωとします。

初等確率論では確率変数はその値をＮ次元ユークリッド空間Ｒ^N あるいは,その部分集合に取ります。すなわち,通常はＸ＝Ｘ(ω)∈Ｒ^Nとするわけです。

しかし,私のブログ記事「ブラウン運動と伊藤積分」では確率変数の値域をＲ^Nよりもっと広い一般の距離空間Ξに取っています。すなわち,Ｘ＝Ｘ(ω)∈Ξとしています。

そして,Ｘ＝Ｘ(ω)∀ω∈Ωが与えられたとき,ＸのＰ_Bに関する平均値をＥ[Ｘ|Ｂ]≡∫_ΩＸ(ω)Ｐ_B(ｄω)＝∫_BＸ(ω)Ｐ(ｄω)/Ｐ(Ｂ)で定義し,"Ｅ[Ｘ|Ｂ]は事象Ｂに関するＸの条件付期待値,または条件付平均値である。"といいます。

ここで,Ｅ[Ｘ|Ｂ]≡∫_ΩＸ(ω)Ｐ_B(ｄω)＝∫_BＸ(ω)Ｐ(ｄω)/Ｐ(Ｂ)においてＰ_B(ｄω)あるいはＰ(ｄω)というのは確率変数がω～ω＋ｄωの範囲にある確率測度ｄＰを表わしたものです。

右辺は,有界変動の関数のルベーグ・スティルチェス積分を表わしています。

※余談ですが,ｄＰとか,ｄωとかによる積分は古来から定義することが可能なルベーグ・スティルチェス積分であり,私の記事「ブラウン運動と伊藤積分」で説明している"確率積分＝伊藤積分"は,それら通常の概念の積分ではありません。

確率積分は確率変数Ｘ＝Ｘ(ω)による測度をｄＸ＝ｄＸ(ω)と書いた積分のことです。

Ｘ＝Ｘ(ω)は確定した値ではなく,ω∈Ωとその確率Ｐによって確率的に変動するもので,そもそもブラウン運動などではＸ＝Ｘ(ω)は有界変動の関数ではありません。

すなわち,例えばブラウン運動では,その有限な経路の長さが有限ではなく無限大になります。

こうした確率変数による確率積分を初めて定義することに成功したのがわが国の伊藤清氏です。そこで確率積分の定義式や性質などは伊藤積分とか伊藤の公式と呼ばれています。

条件付確率,および条件付期待値を１つの事象Ｂ∈Ｆという条件に対するものではなく,２個以上の事象,つまりＦに含まれる部分σ加法族Ｇ⊂Ｆという条件に対して定義します。

そのため,Ｂ∈Ｇに対しＥ[Ｘ,Ｂ]≡Ｅ[Ｘ・１_B]＝∫_BＸ(ω)Ｐ(ｄω)と置きます。この積分はＢに関して絶対連続です。

つまり,Ｐ(Ｂ)＝0 ならＥ[Ｘ,Ｂ]＝∫_BＸ(ω)Ｐ(ｄω)＝0 です。

そこで,「ラドン・ニコディムの定理」によって適当なＧ-可測関数Ｙ(ω)が存在して,Ｅ[Ｘ,Ｂ]＝∫_BＸ(ω)Ｐ(ｄω)＝∫_BＹ(ω)Ｐ(ｄω)と書くことができます。

※これは抽象的で何を述べているのか理解できないと思われる方もおられるかもしれません。簡単に言えば,Ｅ[Ｘ,Ｂ]＝Ｅ[Ｘ(ω)・１_B]＝Ｅ[Ｙ(ω)・１_B]＝Ｅ[Ｙ,Ｂ]なることを示しています。

そもそもσ-有限な測度空間(Ｘ,Ｍ,μ)での集合Ａ∈Ｍ の関数＝集合関数:Φ(Ａ)は必ずしもその測度μに関する密度関数 f(ｘ)；ｘ∈Ｘ を持っていて常にΦ(Ａ)＝∫_Aｆ(ｘ)μ(ｄｘ)という形に表現できるとは限らないわけです。

(Φ(Ａ)が事象Ａの確率Ｐ(Ａ)を表わす場合なら,f(ｘ)は確率密度関数ｐ(ｘ)です。)

ところが,「ラドン・ニコディムの定理」というのは,"もしもΦ(Ａ)が絶対連続である:つまり,μ(Ｅ)＝0 Ｅ∈Ｍ なら常にΦ(Ａ)＝0 である。という条件を満足するなら適当な密度関数 f(ｘ)が存在してΦ(Ａ)＝∫_Aｆ(ｘ)μ(ｄｘ)と表現できる。"というものです。

より一般には,定理の前半として"任意の集合関数は絶対連続な集合関数と特異な(絶対連続でない)集合関数との和に一意的に分解される。"という命題も含まれています。ただし,この定理の証明は省略します。※

そして,Ｅ[Ｘ,Ｂ]＝∫_BＸ(ω)Ｐ(ｄω)＝∫_BＹ(ω)Ｐ(ｄω)＝Ｅ[Ｙ(ω),Ｂ]となるようなＧ-可測な密度関数:Ｙ(ω)をＥ[Ｘ|Ｇ]と書いてＧ の下での条件付期待値と呼びます。

特に,Ａ∈Ｆ に対して確率変数をＸ(ω)≡１_A(ω)＝集合Ａの定義関数としたときの条件付期待値Ｅ[１_A|Ｇ]を,Ｐ(Ａ|Ｇ)≡Ｅ[１_A|Ｇ]と書いてＰ(Ａ|Ｇ)を条件付確率と呼びます。

こうした条件付期待値の定義は抽象的でわかりにくいものです。

むしろ,歴史的にはより具体的な定義が先に与えられ,それが今与えた定義と一致することから,こうした抽象的な定義が採用されるようになったといえるでしょう。

つまり,∀Ｂ∈Ｇ についてＥ[Ｘ,Ｂ]＝Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｇ],Ｂ]を満足するＥ[Ｘ|Ｇ]は一意的に決まるので,それを条件付期待値として定義したということです。

ＧがΩのＦ -可測な有限分割であるとします。

Ω＝∪_i=1ⁿＢ_i；Ｂ_i∈Ｆ；Ｂ_i∩Ｂ_j＝φ(ｉ≠ｊ)でＧ ＝σ({Ｂ_i}_1≦i≦n)となっている場合を想定します。

このとき,∀ｉに対しＰ(Ｂ_i)＞0 と仮定すると,Ｅ[Ｘ|Ｇ ](ω)＝Σ_i=1ⁿＥ[Ｘ|Ｂ_i]１_Bi(ω)となります。

また,Ａ∈Ｆ に対して,Ｐ(Ａ|Ｇ )(ω)＝Σ_i=1ⁿＰ(Ａ|Ｂ_i)１_Bi(ω)と表現されます。

ここで,前に定義した通りＥ[Ｘ|Ｂ_i]やＰ(Ａ|Ｂ_i)(ｉ＝1,2,..,ｎ)は,Ｅ[Ｘ|Ｂ_i]≡∫_ΩＸ(ω)Ｐ_Bi(ｄω)＝∫_BiＸ(ω)Ｐ(ｄω)/Ｐ(Ｂ_i)でＰ(Ａ|Ｂ_i)＝Ｐ_Bi(Ａ)≡Ｐ(Ａ∩Ｂ_i)/Ｐ(Ｂ_i)etc.で与えられます。

条件付期待値の有限分割に対する後の定義Ｅ[Ｘ|Ｇ](ω)＝Σ_i=1ⁿＥ[Ｘ|Ｂ_i]１_Bi(ω)が,先の抽象的な定義でのＥ[Ｘ|Ｇ](ω)＝Ｙ(ω)と一致することを見るにはＥ[Ｘ,Ｂ]＝∫_BＸ(ω)Ｐ(ｄω)が∀Ｂ∈Ｇ について∫_BΣ_i=1ⁿＥ[Ｘ|Ｂ_i]１_Bi(ω)Ｐ(ｄω)と一致することを見ればいいわけです。

実際,分割の各Ｂ_iの上では両辺は共に∫_BiＸ(ω)Ｐ(ｄω)＝Ｅ[Ｘ|Ｂ_i]Ｐ(Ｂ_i)となって一致しています。

条件付確率の定義:Ｐ(Ａ|Ｇ)(ω)＝Σ_i=1ⁿＰ(Ａ|Ｂ_i)1_Bi(ω)については,これはＥ[Ｘ|Ｇ](ω)＝Σ_i=1ⁿＥ[Ｘ|Ｂ_i]１_Bi(ω)でＸ(ω)＝１_A(ω)の特別な場合なので、Ｅ[Ｘ|Ｇ](ω)について成立することはもちろんＰ(Ａ|Ｇ)(ω)についても成立しますから,改めて示すまでもありません。

これらが共にＥ[Ｘ,Ｂ]に一致することと前後の定義が同等であることが同値であることは次のように証明されます。

もし仮に,２つのＹ₁(ω),Ｙ₂(ω)が存在してＥ[Ｘ,Ｂ]＝Ｅ[Ｙ₁,Ｂ]＝Ｅ[Ｙ₂,Ｂ] ∀Ｂ∈Ｇが成立すれば,Ｅ[(Ｙ₁－Ｙ₂),Ｂ]＝0 ∀Ｂ∈Ｇ より,Ｙ₁＝Ｙ₂(ａ.ｓ.＝ほとんど確実に),あるいは(ａ.ｅ.＝ほとんどいたるところで))なることがわかります。

つまり確率１でＹ₁とＹ₂は一致することがわかるのです。

次に条件付期待値の代表的な７つの性質を述べて証明します。

ただし,証明においては(ａ.ｓ)や(ａ.ｅ)を省略します。

Ｘ,Ｙ,Ｘ_n(ｎ∈Ｎ)は可積分な確率変数とする。

(１) ∀ａ,ｂ∈Ｒに対してＥ[ａＸ＋ｂＹ|Ｇ]＝ａＥ[Ｘ|Ｇ]＋ｂＥ[Ｙ|Ｇ] (ａ.ｓ)　

(証明)これは期待値の定義から自明です。

(２) Ｘ≧0 ならＥ[Ｘ|Ｇ]≧0 (ａ.ｓ) (証明)これも自明です。

(３) ＸがＧ-可測で積ＸＹが可積分ならＥ[ＸＹ|Ｇ]＝ＸＥ[Ｙ|Ｇ] (ａ.ｓ),特にＥ[Ｘ|Ｇ]＝Ｘ (ａ.ｓ)である。

(証明) ＸＥ[Ｙ|Ｇ]はＧ-可測ですから,Ｅ[ＸＹ,Ｂ]＝Ｅ[ＸＥ[Ｙ|Ｇ],Ｂ] ∀Ｂ∈Ｇ を示せば十分です。

まず,Ｘ＝１_A,Ａ∈Ｇ のときはＥ[１_AＥ[Ｙ|Ｇ],Ｂ]＝Ｅ[Ｅ[Ｙ|Ｇ],Ａ∩Ｂ]＝Ｅ[Ｙ,Ａ∩Ｂ]＝Ｅ[１_AＹ,Ｂ]ですから,Ｅ[１_AＹ,Ｂ]＝Ｅ[１_AＥ[Ｙ|Ｇ],Ｂ] ∀Ｂ∈Ｇが成立します。

そこでＸがＧ-可測な単関数Ｘ＝Σ_i=1ⁿａ_i１_Ai(ｎ∈Ｎ,ａ_i∈Ｒ)のときにも,Ｅ[ＸＹ,Ｂ]＝Ｅ[ＸＥ[Ｙ|Ｇ],Ｂ]∀Ｂ∈Ｇが成立します。

さらに極限を取ることにより,Ｘが一般のＧ-可測関数のときにも,この等式は成立します。

それ故,Ｅ[ＸＹ|Ｇ]＝ＸＥ[Ｙ|Ｇ]です。特にＹ＝１と取ればＥ[Ｘ|Ｇ]＝Ｘを得ます。

(４)Ｈ,ＧをＦの部分σ-加法族でＨ⊂Ｇとすれば,Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｇ]|Ｈ]＝Ｅ[Ｘ|Ｈ] (ａ.ｓ),特にＥ[Ｅ[Ｘ|Ｇ]]＝Ｅ[Ｘ] (ａ.ｓ)である。

(証明) 両辺ともＨ-可測ですから,Ｅ[Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｇ]|Ｈ],Ｂ]＝Ｅ[Ｘ,Ｂ]∀Ｂ∈Ｈを示せば十分です。

ところが,条件付期待値の定義によって∀Ｂ∈Ｈ に対してＥ[Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｇ]|Ｈ],Ｂ]＝Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｇ],Ｂ]です。

そして,Ｈ⊂Ｇなので,∀Ｂ∈Ｈ はＢ∈Ｇ を意味しますから,Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｇ],Ｂ]＝Ｅ[Ｘ,Ｂ]∀Ｂ∈Ｈ です。すなわち,Ｅ[Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｇ]|Ｈ],Ｂ]＝Ｅ[Ｘ,Ｂ]∀Ｂ∈Ｈ,つまりＥ[Ｅ[Ｘ|Ｇ]|Ｈ]＝Ｅ[Ｘ|Ｈ]が得られます。

そして,特にＨ≡{φ,Ω}と取ってＨを自明なσ-加法族とすれば,明らかに任意のσ-加法族Ｇに対してＨ⊂Ｇであり,Ｅ[Ｘ,Ω]＝Ｅ[Ｘ],Ｅ[Ｘ,φ]＝0です。

それ故,Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｈ],Ω]＝Ｅ[Ｘ],Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｈ],φ]＝0 が必要十分なので,Ｅ[Ｘ|Ｈ]＝Ｅ[Ｘ]です。

(つまりＥ[Ｘ|Ｈ]＝Ｅ[Ｘ]１_Ω＋0・1_φ＝Ｅ[Ｘ])

よって,この特別な場合を考えると,Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｇ]|Ｈ]＝Ｅ[Ｘ|Ｈ]はＥ[Ｅ[Ｘ|Ｇ]]＝Ｅ[Ｘ]に帰着します。

(５)(Jensenの不等式):ψはＲ上の実数値関数で下に凸である(ψ(λｘ＋(1－λ)ｙ)≦λψ(ｘ)＋(1－λ)ψ(ｙ),∀ｘ,ｙ∈Ｒ,0≦∀λ≦1)とする。

ψ(Ｘ)が可積分ならψ(Ｅ[Ｘ|Ｇ])≦Ｅ[ψ(Ｘ)|Ｇ](ａ.ｓ)となる。

特に,Ｘ∈Ｌ^p≡Ｌ^p(Ω,Ｆ,Ｐ),ｐ≧１(Ｅ[|Ｘ|^p]＜∞)なら|Ｅ[Ｘ|Ｇ]|^p≦Ｅ[|Ｘ|^p|Ｇ] (ａ.ｓ)である。

(証明) ψは下に凸なので,この曲線はその上の任意の点の接線より上にあります。

すなわち,∀ａ∈Ｒに対してｃ＝ｃ(ａ)∈Ｒが存在して,ψ(ｘ)≧ψ(ａ)＋ｃ(ｘ－ａ),ｘ∈Ｒとできます。

特にｘ＝Ｘ,ａ＝Ｅ[Ｘ|Ｇ]と取れば,Ｇ-可測関数ｃ~＝ｃ~(ω)＝ｃ(Ｅ[Ｘ|Ｇ])が存在してψ(Ｘ)≧ψ(Ｅ[Ｘ|Ｇ])＋ｃ~(Ｘ－Ｅ[Ｘ|Ｇ])であることがわかります。

したがって,(１),(２)よりＥ[ψ(Ｘ)|Ｇ]≧Ｅ[ψ(Ｅ[Ｘ|Ｇ])|Ｇ]＋Ｅ[ｃ~(Ｘ－Ｅ[Ｘ|Ｇ])|Ｇ]が成立します。

ところが,ψ(Ｅ[Ｘ|Ｇ])はＧ-可測なので(３)によりＥ[ψ(Ｅ[Ｘ|Ｇ])|Ｇ]＝ψ(Ｅ[Ｘ|Ｇ])です。そして,やはり(３)よりＥ[ｃ~(Ｘ－Ｅ[Ｘ|Ｇ])|Ｇ]＝ｃ~(Ｅ[Ｘ|Ｇ]－Ｅ[Ｅ[Ｘ|Ｇ]|Ｇ]＝0 です。

以上から,Jensenの不等式:ψ(Ｅ[Ｘ|Ｇ])≦Ｅ[ψ(Ｘ)|Ｇ]が証明されました。

そして,ψ(ｘ)≡|ｘ|^p,ｐ≧1と置けば,これは下に凸ですから第２の不等式が得られます。

(６) Ｘ_n→Ｘ　as ｎ→ ∞ で,Ｘ∈Ｌ¹ならＥ[Ｘ_n|Ｇ]→Ｅ[Ｘ|Ｇ] as ｎ→ ∞ であってＥ[Ｘ|Ｇ]∈Ｌ¹である。

(証明) (１),(５),(４)を順に用います。

Ｅ{|Ｅ[Ｘ_n|Ｇ]－Ｅ[Ｘ|Ｇ]|}＝Ｅ[|Ｅ[(Ｘ_n－Ｘ)|Ｇ]|] ≦ Ｅ[Ｅ{|Ｘ_n－Ｘ||Ｇ]＝Ｅ{|Ｘ_n－Ｘ|→ 0 as ｎ→ ∞ より,命題は証明されました。

(７) ＸとＧが独立なら,Ｅ[Ｘ|Ｇ]＝Ｅ[Ｘ]である。したがって,ｆをＲ上のボレル関数としてｆ(Ｘ)が可積分なら,Ｅ[ｆ(Ｘ)|Ｇ]＝Ｅ[ｆ(Ｘ)]である。

(証明) ＸとＧは独立なので,∀Ｂ∈Ｇに対してＥ[Ｘ,Ｂ]＝Ｅ[Ｘ]Ｐ(Ｂ)＝Ｅ[Ｅ[Ｘ],Ｂ]ですが,これはＥ[Ｘ|Ｇ]＝Ｅ[Ｘ]を意味します。

ＸとＧが独立なら,ｆ(Ｘ)とＧも独立になるのでＸの代わりにｆ(Ｘ)と置けばＥ[ｆ(Ｘ)|Ｇ]＝Ｅ[ｆ(Ｘ)]が得られます。

以上です。

参考文献：舟木直久著「確率微分方程式」(岩波書店)：小谷眞一 著「測度と確率」(岩波書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(５)

続きです。

次項でのマルチンゲール(martingale)の説明への準備として停止時刻とσ加法族の増大系の関係についての種々の性質を紹介しましょう。

まずτを停止時刻とします。このとき,Ｆ_τ≡{Ａ∈Ｆ：Ａ∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_t ∀ｔ}と置けばＦ_τはσ加法族となることを証明します。

(証明)φ∈Ｆ_τは明らかです。Ａ∈Ｆ_τのとき,Ａ∈ＦよりＡ^c∈Ｆです。そして,τは停止時刻なので{τ≦ｔ}∈Ｆ_t,それ故,{τ＞ｔ}∈Ｆ_tが成立します。

Ａ^c∩{τ≦ｔ}＝(Ａ∪{τ＞ｔ})^cですが,(Ａ∩{τ≦ｔ})∪{τ＞ｔ}∈Ｆ_tですから,Ａ∪{τ＞ｔ}∈Ｆ_tとなります。よって,Ａ^c∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_tが得られ,結局Ａ^c∈Ｆ_τとなることがわかります。

次にＡ_n∈Ｆ_τ,ｎ＝1,2,..なら,Ａ_n∈Ｆより,∪_n=1^∞Ａ_n∈Ｆです。また,Ａ_n∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_t∀ｔより,(∪_n=1^∞Ａ_n)∩{τ≦ｔ}＝∪_n=1^∞(Ａ_n∩{τ≦ｔ})∈Ｆ_t ∀ｔです。

それ故,∪_n=1^∞Ａ_n∈Ｆ_τも成立します。以上から,Ｆ_τが１つのσ加法族であることが示されました。(証明終わり)

次に主な６つの性質を列記して証明します。

(補題4.7):σ,τ,σ_n,ｎ＝1,2,..を停止時刻とする。(ただし,場合によっては,文字σをσ_nの極限値として用います。そのときはσ_nは停止時刻ですが,極限値σは停止時刻とは仮定されていません。)　

このとき,

(ⅰ)σ∨τ,σ∧τは共に停止時刻である。

(ⅱ)σ_n↑(ｎについて単調増加)のとき,σ≡lim _n→∞σ_nは停止時刻である。また,Ｆ_tが右連続のとき,σ_n↓(ｎについて単調減少)なら,σ≡lim_n→∞σ_nは停止時刻である。

(ⅲ)σ(ω)≦τ(ω)∀ωなら,Ｆ_σ⊂Ｆ_τである。

(ⅳ)Ｆ_tが右連続のとき,σ_n(ω)↓σ(ω)∀ωなら,∩_n=1^∞Ｆ_σn＝Ｆ_σである。

(ⅴ)Ｆ_σ∧τ＝Ｆ_σ∩Ｆ_τである。

(ⅵ){τ＜σ},{τ≦σ},{τ＝σ}∈Ｆ_σ∩Ｆ_τである。

(証明)(ⅰ){(σ∨τ)≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ},{(σ∧τ)≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∪{τ≦ｔ}が成立します。

そこでσ,τが停止時刻であること:{σ≦ｔ}∈Ｆ_t {τ≦ｔ}∈Ｆ_t,およびＦ_tがσ加法族であることから,{(σ∨τ)≦ｔ}∈Ｆ_tとなります。それ故,{(σ∧τ)も停止時刻であることは自明です。

(ⅱ)σ_n↑のとき,{σ≦ｔ}＝{σ＞ｔ}^c＝(∪_n=1^∞{σ_n＞ｔ})^cです。よってσ_nが停止時刻なら{σ_n＞ｔ}＝{σ_n≦ｔ}^c∈Ｆ_t ∀ｎです。

そこで,σ≡lim _n→∞σ_nが停止時刻であることは自明です。

σ_n↓のとき,{σ＜ｔ}＝∪_n=1^∞{σ_n＜ｔ}で{σ_n＜ｔ}∈Ｆ_t ∀ｎです。したがって{σ＜ｔ}∈Ｆ_t ですが,Ｆ_t が右連続なのでσ≡lim _n→∞σ_nは,やはり停止時刻です。

(ⅲ)σ(ω)≦τ(ω) ∀ωなら,{τ≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ}です。故に,Ａ∩{τ≦ｔ}＝Ａ∩{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ}です。そこで,Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆ_tなら,{τ≦ｔ}∈Ｆ_tよりＡ∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_tとなります。

すなわち,Ａ∈Ｆ_σならＡ∈Ｆ_τです。つまりＦ_σ⊂Ｆ_τです。

(ⅳ)Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆ_tなら,Ａ∩{σ＜ｔ}∈Ｆ_tです。また,Ａ∩{σ＜ｔ}∈Ｆ_tなら∩_n=1^∞{σ＜ｔ＋1/ｎ}∩Ａ∈∩_n=1^∞Ｆ_t+1/nよりＡ∩{σ≦ｔ}∈Ｆ_t＋です。

したがって,Ｆ_tが右連続:Ｆ_t＋＝Ｆ_tなら,Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆ_tとＡ∩{σ＜ｔ}∈Ｆ_tは同値です。

σ_n(ω)↓σ(ω) ∀ωなら,{σ＜ｔ}＝∪_n=1^∞{σ_n＜ｔ}ですから,Ａ∩{σ＜ｔ}＝∪_n=1^∞(Ａ∩{σ_n＜ｔ})です。

そして,σ≦σ_n∀ｎより,Ｆ_σ⊂Ｆ_σn ∀ｎです。それ故,Ｆ_σ⊂∩_n=1^∞Ｆ_σnです。

一方,Ａ∩{σ_n＜ｔ}∈Ｆ_t∀ｎ,すなわちＡ∈∩_n=1^∞Ｆ_σnならσ＝lim_n→∞σ_nでＦ_tがσ加法族であることから,Ａ∩{σ＜ｔ}∈Ｆ_tです。

それ故,Ａ∈Ｆ_σですから,∩_n=1^∞Ｆ_σn⊂Ｆ_σも成立します。以上からＦ_tが右連続なら,∩_n=1^∞Ｆ_σn＝Ｆ_σです。

(ⅴ)σ∧τ≦σ,σ∧τ≦τですから,(ⅲ)よりＦ_σ∧τ⊂Ｆ_σ∩Ｆ_τとなります。

一方,等式Ａ∩{σ∧τ≦ｔ}＝(Ａ∩{σ≦ｔ})∪(Ａ∩{τ≦ｔ})により,Ａ∈Ｆ_σ∩Ｆ_τなら,Ａ∩{σ≦ｔ}∈Ｆ_t,かつＡ∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_tなのでＡ∩{σ∧τ≦ｔ}∈Ｆ_tです。

したがって,Ｆ_σ∩Ｆ_τ⊂Ｆ_σ∧τも成立します。以上から,Ｆ_σ∧τ＝Ｆ_σ∩Ｆ_τを得ます。

(ⅵ) {σ≦τ}∩{τ≦ｔ}＝{σ≦ｔ}∩{τ≦ｔ}∩{σ∧ｔ≦τ∧ｔ}です。そうして,σ∧ｔ,τ∧ｔはＦ_t-可測です。

(なぜなら,{σ∧ｔ≦ａ}＝{σ≦ａ}∪{ｔ≦ａ}＝{σ≦ａ}(if ｔ＞ａ), Ω(ifｔ≦ａ)です。

そこで,σは停止時刻ですからｔ＞ａならＦ_a⊂Ｆ_tより,{σ≦ａ}∈Ｆ_a⊂Ｆ_t:すなわち,ｔ＞ａなら{σ∧ｔ≦ａ}＝{σ≦ａ}∈Ｆ_tです。

一方,ｔ≦ａならＦ_tがσ加法族なので,{σ∧ｔ≦ａ}＝Ω∈Ｆ_tです。

したがって,いずれにしても,{σ∧ｔ≦ａ}∈Ｆ_tですから,σ∧ｔはＦ_t-可測です。同様にして,τ∧ｔがＦ_t-可測であることも示すことができます。)

よって,{σ∧ｔ≦τ∧ｔ}∈Ｆ_tです。一方σ,τは停止時刻なので,{σ≦ｔ}∈Ｆ_t,{τ≦ｔ}∈Ｆ_tですから,結局{σ≦τ}∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_tです。それ故,{σ≦τ}∈Ｆ_τが成立します。そこで,{σ＞τ}＝{σ≦τ}^c∈Ｆ_τです。

また,{σ＜τ}∩{τ≦ｔ}＝{σ∧ｔ＜τ∧ｔ}∩{τ≦ｔ}なので,{σ＜τ}∩{τ≦ｔ}∈Ｆ_t:すなわち{σ＜τ}∈Ｆ_τです。

さらに,{σ＝τ}＝{σ≦τ}∩{σ≧τ}∈Ｆ_τです。σとτを入れ換えることにより,{τ＜σ},{σ＞τ},{τ≦σ},{σ≦τ},{τ＝σ}∈Ｆ_σ∩Ｆ_τ＝Ｆ_σ∧τが成立することがわかります。(証明終わり)

(定義4.8):確率過程{Ｂ_t}は次の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満たすときＮ次元Ｆ_t-ブラウン運動であるという。

(ⅰ){Ｂ_t}はＦ_tに適合している。

(ⅱ)各ｔ＞ｓ≧0 に対して(Ｂ_t－Ｂ_s)はＦ_sと独立な:平均ベクトルがゼロ,共分散行列が(ｔ－ｓ)ＥのＮ次元ガウス変数である。

(ⅲ){Ｂ_t}は連続確率過程である。

そして,上の(定義4.8)の(ⅱ)は,条件付期待値の特性関数に関する等式Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}が成立することと同値です。

(証明)Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}なら,∀Ａ∈Ｆ_sに対してω∈Ａであるという条件付期待値はＥ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)};Ａ]＝Ｅ[Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s];Ａ]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}Ｐ(Ａ)を意味しますから,(Ｂ_t－Ｂ_s)はＦ_sと独立です。

確かに,平均ベクトルはゼロ,共分散行列は(ｔ－ｓ)Ｅです。逆が成立することは自明です。(証明終わり)

例えば,Ｎ次元ブラウン運動:{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,..,Ｂ_t^N)}に対して,Ｆ_t^B≡σ(Ｂ_s;ｓ≦ｔ)と置くと,各Ｂ_tⁱ:ｉ＝1,2,..,Ｎは１次元Ｆ_t^Bi-ブラウン運動です。

また,{Ｂ_t}をＮ次元ブラウン運動とすると,(Ｂ_t+s－Ｂ_s)はＦ_s＋^Bと独立で,{Ｂ_t}はＮ次元Ｆ_t＋^B-ブラウン運動となります。

(証明)Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s＋^B]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}を示せばいいです。

ｔ＞ｓ＋1/ｎのとき,Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s+1/n)}|Ｆ_s+1/n^B]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ－1/ｎ)/2}より,∀Ａ∈Ｆ_s＋^Bに対してＥ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s+1/n)};Ａ]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ－1/ｎ)/2}Ｐ(Ａ)です。

ｎ→ ∞の極限では,Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s+1/n)};Ａ]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}Ｐ(Ａ)を得ます。(証明終わり)

(補題4.9):Ｎ次元Ｆ_t-ブラウン運動{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,..,Ｂ_t^N)}について,∀ｔ≧ｓ＞0 に対し(ⅰ)Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱ:ｉ＝1,2,..,Ｎ (ⅱ) Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)である。

(証明)既に,Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}であることを示しました。(ⅰ)ξⁱで微分してξ＝0 と置くと,Ｅ[i(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)|Ｆ_s]＝[－ξⁱexp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}]_ξ＝0 ＝0 です。

故に,Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱ:ｉ＝1,2,..,Ｎです。(ⅱ)ξⁱ,ξ^jで微分してξ＝0 と置くと,Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)です。(証明終わり)

(補題4.10):{Ｂ_t}を確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された,初期分布をνとするＮ次元ブラウン運動とする。

Ｆ_t^B≡σ(Ｂ_s;ｓ≦ｔ),Ｆ^B≡∨_t≧0Ｆ_t^B,Ｎ≡{Ｆ⊂Ω:Ｆ⊂∃Ｇ^c∈Ｆ^B,Ｐ(Ｇ)＝0},Ｆ_t＝Ｆ_t^B∨Ｎとすると,Ｆ_t＋＝Ｆ_tである。

(ここで,２つの集合族Ｍ,Ｎに対して集合族Ｍ∨ＮをＭ∨Ｎ≡{Ｆ|∃Ｅ∈Ｍ:(Ｆ－Ｅ)∪(Ｅ－Ｆ)∈Ｎ}で定義します。)

(証明)以前に導入した密度関数:ｇ(ｔ,ｘ)＝(2πｔ)^-N/2exp{－|ｘ|²/(2ｔ)},ｘ∈Ｒ^N,ｔ＞0 を用いて,Ｔ_tｆ(ｘ)＝∫ｇ(ｔ,ｙ－ｘ)ｆ(ｙ)ｄｙと定義します。

このとき,ｆ(ｘ)が有界可測ならＴ_tｆ(ｘ)も有界可測です。また,先に示したことにより,(Ｂ_t+s－Ｂ_s)はＦ_s＋^Bと独立なＮ次元Ｆ_t＋^B-ブラウン運動です。

そこで,ｓ≦ｔ₁＜ｔ₂としｆ₁,ｆ₂を有界可測とすると,Ｅ[ｆ₁(Ｂ_t1)ｆ₂(Ｂ_t2)|Ｆ_s＋^B]＝Ｅ[ｆ₁(Ｂ_t1)Ｅ[ｆ₂(Ｂ_t2－Ｂ_t1＋Ｂ_t1)|Ｆ_t1＋^B]|Ｆ_s＋^B]＝Ｅ[ｆ₁(Ｂ_t1)Ｔ_t2－t1ｆ₂(Ｂ_t1)|Ｆ_s＋^B]＝Ｔ_t1－sｆ₁{Ｔ_t2－t1ｆ₂ }(Ｂ_s)＝Ｅ[ｆ₁(Ｂ_t1)ｆ₂(Ｂ_t2)|Ｆ_s^B](Ｐ-a.s)＝(確率的にほとんど確実に)となります。

これを繰り返せば,0≦ｔ₁＜ｔ₂＜．．＜ｔ_k-1＜ｓ＜ｔ_k＜ｔ_k+1＜..＜ｔ_nと有界可測なｆ₁,ｆ₂,．．,ｆ_nに対して,Ｅ[ｆ₁(Ｂ_t1)ｆ₂(Ｂ_t2)..ｆ_n(Ｂ_tn)|Ｆ_s＋^B]＝ｆ₁(Ｂ_t1)ｆ₂(Ｂ_t2)..ｆ_k-1(Ｂ_tk-1)Ｅ[ｆ_k(Ｂ_tk)..ｆ_n(Ｂ_tn)|Ｆ_s＋^B]＝ｆ₁(Ｂ_t1)ｆ₂(Ｂ_t2)..ｆ_k-1(Ｂ_tk-1)Ｅ[ｆ_k(Ｂ_tk)..ｆ_n(Ｂ_tn)|Ｆ_s^B] (Ｐ-a.s)を得ます。

特に,有界可測な関数をｆ_i(ｘ)≡１_Γi(ｘ)(Γ_iはボレル集合,ｉ＝1,2,..,ｎ)に取れば,Ｐ(Ｂ_t1∈Γ₁,Ｂ_t2∈Γ₂,..,Ｂ_tn∈Γ_n|Ｆ_s＋^B)＝１_{{Bt1∈Γ1,Bt2∈Γ2,..Btk-1∈Γk-1}}Ｐ[Ｂ_tk∈Γ_k,．．,Ｂ_tn∈Γ_n|Ｆ_s^B] (Ｐ-a.s)となります。

したがって,ＤをＤ≡{Ｆ∈Ｆ^B:Ｐ(Ｆ|Ｆ_s＋^B)がＦ_s^B可測な修正を持つ}と定義するときＤはディンキン系(族)(Dynkin class)です。

※(ディンキン系の定義):Ωをある集合としΩの部分集合からなる集合族Ｄが次の条件を満たすとき,Ｄはディンキン系(ディンキン族)である,と言います。

(ⅰ)Ω∈Ｄ (ⅱ)Ａ,Ｂ∈Ｄ,Ａ⊂ＢならＢ－Ａ∈Ｄ (ⅲ)Ａ_n∈Ｄ,Ａ_n⊂Ａ_n+1,ｎ＝1,2,..なら∪_n=1^∞Ａ_n∈Ｄ

※     (ディンキン系の定理)ディンキン系の有する性質の１つです。

ＣをΩの部分集合からなる族でＡ,Ｂ∈ＣならＡ∩Ｂ∈Ｃとなるものとする。Ｄ(Ｃ)をＣを含む最小のディンキン系とすると,Ｄ(Ｃ)はσ(Ｃ)である。

(つまり,Ｃを含む最小のσ加法族と一致する。)(証明は簡単なのでここでは証明しません。)

　よって,ディンキン系の定理を用いると,Ｄ＝Ｄ(Ｆ^B)＝σ(Ｆ^B)より,Ｆ^B⊂Ｄですから,∀Ｇ∈Ｆ^Bに対してＰ(Ｇ|Ｆ_s＋^B)はＦ_s^B可測な修正を持ちます。

　その修正を１~_Gと表わすことにします。つまりＧ∈Ｆ_s＋^Bを取ったとき,Ｇ~≡{１~_G＝１}はＧの修正ですから,明らかに(Ｇ－Ｇ~)∪(Ｇ~－Ｇ)＝[{１~_G≠１_G}∩(Ｇ∪Ｇ~)]∈Ｎです。(Ｐ[{１~_G≠１_G}∩(Ｇ∪Ｇ~)]＝0 です。)

それ故,Ｇ∈Ｆ_s＝Ｆ_s^B∨Ｎが成立します。

あらゆる閉集合:Ｆ∈Ｆ_s＋＝∩_n=1^∞Ｆ_s+1/nに対し,各ｎについてＧ_n∈Ｆ_s+1/n,(Ｆ－Ｇ_n)∪(Ｇ_n－Ｆ)∈ＮなるＧ_nが存在するので,Ｇ＝∩_n=1^∞Ｇ_nと取れば(Ｇ－Ｆ)∈Ｎ,かつ(Ｆ－Ｇ)∈Ｎです。

しかも,Ｇ∈Ｆ_s＋^B⊂Ｆ_sですからＦ∈Ｆ_s:すなわち,Ｆ_s＋⊂Ｆ_sが得られます。したがって,結局Ｆ_s＋＝Ｆ_sが得られました。(証明終わり)

切りがいいので,今日はここまでにします。

※なお,条件付期待値に関する演算の性質については,時を改めてやさしい解説記事を書くつもりです。 

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(４)

確率過程というのは確率変数の時間発展であり,その"過去の軌跡"を情報と見るとき,これは情報の増大系であるということができます。

これを数学的に表現するものは,"フィルトレーション＝σ加法族の増大系"です。

今日は,確率過程,特にブラウン運動を時刻と共に我々に得られる情報が増加していくプロセス,つまり,"情報を獲得する１つのフィルター＝σ加法族の増大系"というものであると捉える理論について述べたいと思います。

(定義4.1):確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)とＦ＝{Ωの部分集合の族でσ加法族}の部分集合の族{Ｆ_t }_t∈Ｔで次の(ⅰ),(ⅱ)を満たすものが与えられているとする。

(ⅰ) 0≦ｓ＜ｔ に対してＦ_s ⊂Ｆ_t ⊂Ｆ

(ⅱ)各ｔ∈Ｔに対してＦ_t はσ加法族である。このとき,(Ω,Ｆ,Ｐ；Ｆ_t)をフィルター付き確率空間と呼ぶ。

(例) 確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義されたＮ次元ブラウン運動を{Ｂ_t}とするとき,Ｆ_t^B≡σ(Ｂ_s；ｓ≦ｔ)＝{Ｂ_s}_s≦tを可測にする最小のσ加法族と置けば,(Ω,Ｆ,Ｐ；Ｆ_t^B)はフィルター付き確率空間です。

この{Ｆ_t^B }を,ブラウン運動{Ｂ_t}の生成する"フィルトレーション"といいます。

以下ではフィルター付き確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ；Ｆ_t)が与えられているものとします。

(定義4.2):{Ｘ_t}を距離空間:Ξ上の確率過程とする。

(ⅰ) 各ｔに対しＸ_tがＦ_t-可測であるとき(すなわちＡをΞの任意の開集合とするとき:{ω∈Ω：Ｘ_t(ω)∈Ａ}∈Ｆ_tとなるとき),{Ｘ_t}はＦ_tに適合している。という。

(ⅱ)各ｔに対し,写像:(ｓ,ω)∈[0,ｔ]×Ω→Ｘ_s(ω)∈ΞがＢ([0,ｔ])×Ｆ_t-可測であるとき,確率過程{Ｘ_t}はＦ_t-発展的可測であるという。

まず,Ｆ_t-発展的可測性に関する１つの補題を述べて証明します。

(補題4.3):確率過程{Ｘ_t}がＦ_tに適合していて,Ｘ_tがｔに関して左(右)連続ならば{Ｘ_t}はＦ_t-発展的可測である。

(証明) Ｘ_tが右連続であるとして証明します。

まず,Ｘ_s⁽ⁿ⁾(ω)≡Ｘ_(k+1)t/2n(ω) for ｋｔ/2ⁿ＜ｓ≦(ｋ＋1)ｔ/2ⁿ,ｋ＝0,1,2,..,2ⁿ－1と定義します。

仮定によってＸ_(k+1)t/2n(ω)と１_{{kt/2n≦s≦(k+1)t/2n}}は共にＢ([0,ｔ])×Ｆ_t-可測であり,Ｘ_s⁽ⁿ⁾(ω)はＸ_(k+1)t/2n(ω)と１_{{kt/2n≦s≦(k+1)t/2n}}の合成関数ですから,(ｓ,ω)→Ｘ_s⁽ⁿ⁾(ω)はＢ([0,ｔ])×Ｆ_t-可測です。

(１_{{kt/2n≦s≦(k+1)t/2n}}のような階段集合の定義関数の上でｓに依らず一定値:Ｘ_(k+1)t/2n(ω)を取るような単純階段関数は無条件で可測関数であることが自明です。)

そして,Ｘ_s(ω)＝lim_n→∞Ｘ_s⁽ⁿ⁾(ω),(ｓ,ω)∈[0,ｔ]×ΩがＸ_sのｓに関する右連続性によって成立するので補題の結論が従います。(証明終わり)

(注)一般にσ加法族の可算加法性と半連続性から可測性を導くのはルベーグの測度論において詳しく論じられている内容です。

(定義4.4):Ｆ_t＋≡∩_τ＞0Ｆ_t＋τと定義する。Ｆ_t＋＝Ｆ_t となるときＦ_t は右連続であるという。(Ｆ_t-≡∩_τ＞0Ｆ_t-τと定義する。Ｆ_t-＝Ｆ_t となるとき,Ｆ_t は左連続であるという。)

次に,{Ｂ_t}を(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義されたブラウン運動とします。Ｆ_t^B≡σ(Ｂ_s;ｓ≦ｔ)は左連続ですが右連続ではないことを証明しましょう。

(証明) Ｆ_t^B≡σ(Ｂ_s；ｓ≦ｔ)はＡ＝{ω:(Ｂ_t0,Ｂ_t1,．．,Ｂ_tk)∈Ｇ},0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_k ＝ｔ,Ｇ:Ωの開集合で生成されるσ加法族です。

ｓ_n↑ｔ as ｎ→ ∞ のときＢ_t＝lim_n→∞Ｂ_ｓnですから,Ａ＝∪_j=1^∞∩_n=j^∞{ω:(Ｂ_t0,Ｂ_t1,..,Ｂ_ｓn)∈Ｇ}∈Ｆ_t–^Bです。故に,Ｆ_t^B＝Ｆ_t–^B:すなわちＦ_t^Bは左連続です。

一方,Ｈ_n≡{ω：Ｂ_t＋1/nⁱ－Ｂ_tⁱ≧0 (ｉ＝1,2,..,Ｎ)}と定義し,Ｈ≡∪_m=1^∞∩_n=m^∞Ｈ_nとおけば,Ｈ＝∪_m=k^∞∩_n=m^∞Ｈ_n∈Ｆ_t＋1/k^B ∀ｋよりＨ∈Ｆ_t＋です。

しかし,Ｈ_n≡{ω：Ｂ_t＋1/nⁱ－Ｂ_tⁱ≧0}はＦ_t^B≡σ(Ｂ_s;ｓ≦ｔ)には属さないので,Ｈ≡∪_m=1^∞∩_n=m^∞Ｈ_nはＦ_t＋の元ですがＦ_t の元ではありません。故に,Ｆ_t^B≠Ｆ_t＋^B：すなわちＦ_t^Bは右連続ではありません。(証明終わり)

(定義4.5):[0,∞)に値をとる確率変数τ(ω)は,各ｔに対して{ω:τ(ω)≦ｔ}∈Ｆ_tとなるとき停止時刻である,あるいはマルコフ時刻であるという。

※(注)停止時刻というのは,元々ゼロサムゲームの１つであるマルチンゲール(martingale)という賭博ゲームで賭博をいつやめるか？という時刻,を定める条件を示したもので,未来の未知情報によるのではなく,"現在までに獲得した確実な情報＝フィルターＦ_t"をベースに,賭博をやめる時刻を決定すべきであるという条件になっています。）

ここでＦ_tが右連続のときにはτ(ω)が停止時刻であること:{ω:τ(ω)≦ｔ}∈Ｆ_t であることは,τ(ω)＝ｔの等式を含まない集合{ω：τ(ω)＜ｔ}について{ω：τ(ω)＜ｔ}∈Ｆ_tとなることと同値であること,そしてまた,Ｘ_t(ω)≡１_[0,τ(ω)](ｔ)がＦ_t に適合していることと同値であることを証明します。

(ωの集合Ａの定義関数１_Aは,ω∈Ａなら１_A＝ 1,ω∈Ａでなければ１_A＝ 0 となるようなωの集合Ａの集合関数と定義されます。

そして,１_A(ｔ)と書いたとき,これは集合Ａを定義する関数１_Aが時刻ｔの関数であること:つまりωの集合Ａ自身がｔと共に変化していく過程であることを示しています。)

(証明) τ(ω)が停止時刻:すなわち{ω:τ(ω)≦ｔ}∈Ｆ_tであると仮定すると,{ω：τ(ω)＜ｔ}∈Ｆ_tであることは自明です。

逆に任意のｔについて{ω：τ(ω)＜ｔ}∈Ｆ_tであって,Ｆ_tが右連続:Ｆ_t＝Ｆ_t＋であるとすれば,{ω：τ(ω)＜ｔ＋1/ｋ}∈Ｆ_t＋1/kです。そこで,∩_n=k^∞{ω:τ(ω)＜ｔ＋1/ｎ}∈Ｆ_t＋1/kとなります。

それ故,{ω：τ(ω)≦ｔ}∈Ｆ_t＋＝Ｆ_tが得られます。すなわち,τ(ω)は停止時刻です。

また,{ω:１_[0,τ(ω)]＝1}＝{ω:0≦ｔ≦τ(ω)}＝{ω:τ(ω)≧ｔ}＝{ω:τ(ω)＜ｔ}^cですから,{ω:１_[0,τ(ω)]＝0}＝{ω:１_[0,τ(ω)]＝1}^c＝{ω:τ(ω)＜ｔ}です。

Ｘ_t(ω)≡{ω:１_[0,τ(ω)]＝1}＝{ω:τ(ω)＜ｔ}^cがＦ_t に適合していることは,Ｆ_tがσ加法族なので{ω:１_[0,τ(ω)]＝0}＝{ω:τ(ω)＜ｔ}∈Ｆ_tであることと同値です。そこでＦ_tが右連続:Ｆ_t＝Ｆ_t＋なら,これはτ(ω)が停止時刻であることと同値です。(証明終わり)

さらに停止時刻に関する補題を述べて証明します。

(補題4.6):{Ｘ_t}を距離空間Ξ上の確率過程とする。そして,Ｘ_tは右連続でＦ_tに適合しているとする。さらにＦ_tも右連続とする。

Ξの任意の開部分集合Ｇに対して,[0,∞)に属する値σ_Gをσ_G≡inf{ｔ≧0,Ｘ_t∈Ｇ} ({ｔ≧0,Ｘ_t∈Ｇ}≠φのとき);σ_G≡∞ ({ｔ≧0,Ｘ_t∈Ｇ}＝φのとき);で定義すると,σ_Gは停止時刻である。

また,Ξの閉部分集合Ｆに対してσ_Fを同様に定義するとき,Ｘ_tが連続でＦ_tに適合しているならばσ_Fも停止時刻である。

(証明){ω:σ_G≧ｔ}＝{ω:Ｘ_s(ω)∈Ｇ^c,ｓ＜ｔ}＝∩_{τ＜t,τ∈Ｑ＋}{ω:Ｘ_τ(ω)∈Ｇ^c} (Ｑ+は正の有理数の集合)が成立します。

ここに,σ_GはΞの開集合Ｇに対してＸ_t∈Ｇとなるｔ≧0 の下限です。そこで,σ_G≧ｔであるということは,ｔはＸ_t∈Ｇとなるｔの下限以下なのですから,∀ｓ＜ｔのｓに対してＸ_s∈Ｇ^cであることを意味します。

　それ故,{ω:σ_G＜ｔ}＝∪_{τ＜t,t∈Ｑ＋}{ω:Ｘ_τ(ω)∈Ｇ}です。

　Ｘ_tが右連続でＦ_tに適合しているので,{ω:Ｘ_τ(ω)∈Ｇ}∈Ｆ_τでＸ_τの右連続性から,∩_{τ＜t,τ∈Ｑ＋}{ω:Ｘ_τ(ω)∈Ｇ}＝{ω:Ｘ_t(ω)∈Ｇ}∈Ｆ_tです。

　つまり,{ω:σ_G＜ｔ}∈Ｆ_tです。Ｆ_tが右連続なので,先に示した停止時刻の性質から,これはσ_Gが停止時刻であることを意味します。

　一方,ＦをΞのある閉集合とします。ρを距離空間Ξの距離であるとして集合Ｇ_nをＧ_n≡{ｘ∈Ξ:ρ(ｘ,Ｆ)＜1/ｎ}と定義します。(ρ(ｘ,Ｆ)＝inf_ｙ∈Ｆρ(ｘ,ｙ)です。)

そして,σ≡lim_n→∞σ_Gnと置くと,経路Ｘ_tの連続性によってＸ_σ＝lim_n→∞Ｘ_σGnとなりますが,σ_Gn≦σ_F ∀ｎです。

(なぜなら,σ_Gn＝inf{ｔ≧0,ρ(Ｘ_t,Ｆ)＜1/ｎ},σ_F≡inf{ｔ≧0,Ｘ_t∈Ｆ}ですが,{ｔ≧0,Ｘ_t∈Ｆ}⊂{ｔ≧0,ρ(Ｘ_t,Ｆ)＜1/ｎ}であるからです。) それ故,ｎ→ ∞の極限を取るとσ≦σ_Fです。

一方,Ｘ_σGn+1∈Ｇ_nより,Ｘ_σ∈Ｇ_n∀ｎですからＸ_σ∈∩_n=1∞Ｇ_n＝Ｆとなり,σ≧σ_Fも成り立ちます。

したがって,σ＝σ_Fとなることがわかりますから,{ω:σ_F≦ｔ}＝{ω:σ≦ｔ}＝∩_n=1∞{ω:σ_Gn＜ｔ}∈Ｆ_tが得られます。つまり,σ_Fも１つの停止時刻であることが示されました。(証明終わり)

途中ですが少し疲れたので,続きは明日以降にして,今日はここまでにします。

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(３)

さらに前記事の続きです。 

すぐ前の記事において,確率空間(Ω^N,Ｂ^N,Ｐ)の上で定義され,ほぼブラウン運動の条件を満たす確率過程{Ｘ_t}の存在が確認されました。

その確率過程{Ｘ_t}の修正として,連続確率過程{Ｙ_t}が存在し,それによって実際にブラウン運動が実現されることを示すのが,今日の記事の目的です。

そして,その目的に到達するために,いきなり次の定理を述べることから始めます。

(定理3.2):確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された確率過程{Ｘ_t}_t∈[0,1]が次の条件を満たしているとする。

すなわち,"Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ_s|^α]≦ｃ|ｔ－ｓ|^1+β；0≦ｓ,ｔ≦1,∃α,β,ｃ＞ 0 "を満たしているとする。このとき,"{Ｘ_t}の修正である連続確率過程{Ｙ_t}が存在して,あるδ＞0 に対し,Ｐ(ω:∃η(ω)＞0 such that sup_{0≦s､t≦1,|t-s|<η(ω)}{|Ｙ_t－Ｙ_s|/|ｔ－ｓ|^λ}≦δ)＝1,for some λ：0＜λ≦β/α"なる命題が成り立つ。

これを証明するためには補題として,次の「ボレル・カンテリの補題(Borel-Cantelli lemma)」が必要です。

(ボレル・カンテリの補題):"{Ａ_n}_n=1,2,.を集合列とし,Ａをこれらの集合の無限個の共通に含まれる要素の集合とし,Ｐを確率測度とする。

このとき,「(ａ)ΣＰ(Ａ_n)＜∞ならＰ(Ａ)＝0 」,「(ｂ)ΣＰ(Ａ_n)＝∞で事象Ａ_nが独立ならＰ(Ａ)＝1」である。"

(上の補題の証明)(ａ) Ａ＝∩_r=1^∞∪_n=r^∞Ａ_nと書けます。よって∀ｒについてＡ⊂∪_n=r^∞Ａ_nです。

ΣＰ(Ａ_n)＜∞より,ΣＰ(Ａ_n)は収束するので,ε＞0 を任意に取れば十分大きいｒに対して,Ｐ(Ａ)≦Ｐ(∪_n=r^∞Ａ_n)≦Σ_n=r^∞Ｐ(Ａ_n)＜εと書けます。ε＞0 は任意なのでＰ(Ａ)＝0 です。

(ｂ) Ａ＝∩_r=1^∞∪_n=r^∞Ａ_nよりＡ^c＝∪_r=1^∞∩_n=r^∞Ａ_n^cです。1－Ｐ(Ａ)＝Ｐ(Ａ^c)＝Ｐ(∪_r=1^∞∩_n=r^∞Ａ_n^c)≦Σ_r=1^∞Ｐ(∩_n=r^∞Ａ_n^c)≦Σ_r=1^∞Π_n=r^∞[1－Ｐ(Ａ_n)]です。

ここで,ΣＰ(Ａ_n)＝∞なので,各ｒについて無限積はゼロに発散します。(つまりΣlog[1－Ｐ(Ａ_n)]≦－ΣＰ(Ａ_n)＝－∞より,Π_n=r^∞[1－Ｐ(Ａ_n)]＝exp(－∞)＝0 です。)

故に,Ｐ(Ａ)＝1です。(補題の証明終わり)

(定理3.2の証明)仮定によって,任意のε＞0 に対してＰ(|Ｘ_t－Ｘ_s|＞ε)≦Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ_s|^α]/ε^α≦ｃε^-α|ｔ－ｓ|^1+βが成立します。

(なぜなら,Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ_s|^α]≧Ｐ(|Ｘ_t－Ｘ_s|＞ε)・ε^α)

よって,ε≡2^-λn；0＜λ＜β/αとすると,Ｐ(sup_1≦k≦2n|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn)＝Ｐ(∪_k=1²ⁿ(|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn))≦Σ_k=1²ⁿＰ(|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn)≦2ⁿｃ2^{-n(1+β-αλ)}＝ｃ2^-n(β-αλ)が成立します。

そして,(β－λα)＞0 よりΣ_nｃ2^-n(β-αλ)＜∞ です。それ故,Σ_nＰ(sup_1≦k≦2n|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn)＜∞ を得ます。

故にボレル・カンテリの補題より,∀ｎに対して,sup_1≦k≦2n|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn なる集合をＡ⊂Ωとすると,Ｐ(Ａ)＝0 です。

そこで,Ω₀≡Ａ^cとおけば,Ｐ(Ω₀)＝1でΩ₀∈Ｆです。

そして,"∀ω∈Ω₀に対して,∃ｎ₀(ω)∈Ｚ+:sup_1≦k≦2n|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＜2^-λn if ｎ≧ｎ₀(ω)"が成立します。

(Ｚ+は正の整数全体の集合)

ここでＤ_n≡{ｋ/2ⁿ：ｋ＝0,1,2,..,2ⁿ},Ｄ≡∪_n=1^∞Ｄ_nとします。

ｓ,ｔ∈Ｄ_n,ｎ＞ｎ₀(ω)とし,さらに 0＜ｔ－ｓ＜2^-ｎ0(ω)とすると,ｎ₀(ω)＜ｍ＜ｎなるｍがあって,1/2^m+1≦ｔ－ｓ＜1/2^mとなります。

ｓ₁≡min{ｓ'∈Ｄ_n-1,ｓ≦ｓ'},ｔ₁≡max{ｔ'∈Ｄ_n-1,ｔ'≦ｔ}とおくと,|ｓ－ｓ₁|,|ｔ－ｔ₁|≦1/2ⁿ です。

ここで,"Ｐ(Ω₀)＝1なるΩ₀∈Ｆが存在して,∀ω∈Ω₀に対し∃ｎ₀(ω)∈Ｚ+:sup_1≦k≦2n|Ｘ_k/2n－Ｘ_k-1/2n|＞2^-λn if ｎ≧ｎ₀(ω)"となるので,そのΩ₀について,∀ω∈Ω₀に対し|Ｘ_t－Ｘ_t1|,|Ｘ_s－Ｘ_s1|≦2^-λnとなります。

したがって,|Ｘ_t－Ｘ_s|≦2^1-λn＋|Ｘ_t1－Ｘ_s1|,ｓ₁,ｔ₁∈Ｄ_n-1,ｔ₁－ｓ₁＜1/2^m を得ます。

ｓ,ｔをｓ₁,ｔ₁に置き換えることによって,ｓ,ｔを基にした選択から新パラメータｓ₁,ｔ₁を獲得したようにｓ₁,ｔ₁を基にして同様にｓ₂,ｔ₂を獲得することができます。

これを繰り返して,ｓ₃,ｔ₃,..を逐次取っていくと,ｓ_n-(m+1),ｔ_n-(m+1)∈Ｄ_m+1;|Ｘ_t－Ｘ_s|≦2Σ_j=0^n-(m+2)2^-λ(n-j)＋|Ｘ_tn-(m+1)－Ｘ_sn-(m+1)|とすることができます。

このとき,ｔ_n-(m+1)－ｓ_n-(m+1)＝1/2^m+1となるので,結局,|Ｘ_t－Ｘ_s|≦2Σ_j=0^n-(m+1)2^-λ(n-j)≦{2/(1－2^-λ)}(2^-λ)^m+1≦δ|ｔ－ｓ|^λ (δ≡2/(1－2^-λ))となります。

これで,各ω∈Ω₀に対してＸ_t(ω)のヘルダー(Hölder)連続性:|Ｘ_t(ω)－Ｘ_s(ω)|≦δ|ｔ－ｓ|^λが成立することが示されました。

Ω₀に属さないωに対しては,Ｙ_t(ω)≡0と置きます。

ω∈Ω₀に対しては,ｔ∈[0,1]なる各ｔについてｔ_n∈Ｄ,lim_n→∞|ｔ_n－ｔ|＝0 となる２進数の数列{ｔ_n}を取って,Ｙ_t(ω)≡lim_n→∞Ｘ_tn(ω)と定義することができます。

Ｐ(Ω₀)＝1であり,0＜ｔ－ｓ＜2^-ｎ0(ω)なるｓ,ｔ∈[0,1]とω∈Ω₀に対して|Ｘ_t－Ｘ_s|≦δ|ｔ－ｓ|^λとなるので,このようにして構成した{Ｙ_t}はＰ(ω：∃η(ω)＞0 such that sup_{0≦s,t≦1,|t-s|＜η(ω)}{|Ｙ_t－Ｙ_s|/|ｔ－ｓ|^λ≦δ})＝1を確かに満足します。

また,ｔ∈Ｄなるｔに対しては,ほとんどいたるところで,つまり確率１でＸ_t＝Ｙ_tです。

一方,ｔ∈Ｄ^c∩[0,1]なるｔに対しては,任意のε＞0 に対しＰ(|Ｘ_t－Ｘ_s|＞ε)≦Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ_s|^α]/ε^α≦ｃε^-α|ｔ－ｓ|^1+βが成り立ちますから,lim_n→∞Ｐ(|Ｘ_tn－Ｘ_t|＞ε)＝0 for ∀ε＞0 です。

これと,Ｐ(lim_n→∞(|Ｘ_tn－Ｙ_t|＝0)＝1から,Ｐ(|Ｘ_t－Ｙ_t|＝0)＝1 が得られます。つまり,Ｙ_tはＸ_tの修正である,ことが示されました。(証明終わり)

(注)ここでは,ｔ∈[0,1]としましたが一般性を失うことなく,ｔ∈[0,Ｔ]とすることができるのは明らかです。

それ故,定理は容易にパラメータ空間を[0,∞)にした確率過程に適用できるよう拡張できます。

ここで,(定理3.1)とｇ(ｔ,ｘ)≡(2πｔ)^-N/2exp{－|ｘ|²/(2ｔ)},ｘ∈Ｒ^N,ｔ＞0,ｔ₀＝0＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n に対して,μ_t0,t1,..tn(Ｂ₀×Ｂ₁×..×Ｂ_n )≡∫_{Ｂ0×Ｂ1×..×Ｂn}ν(ｄｘ₀)Π_i=1^Nｇ(ｔ_i－ｔ_i-1,ｘ_i－ｘ_i-1)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_nで作った(Ω^N,Ｂ^N,Ｐ)上の確率過程{Ｘ_t}の各成分{Ｘ_tⁱ}(ｉ＝1,2,..,Ｎ)について,φ(ξ)≡Ｅ[exp{iξ(Ｘ_tⁱ－Ｘ_sⁱ)}]＝exp{－(ｔ－ｓ)ξ²/2}＝Σ_k=0^∞[(－1/2)^k(ｔ－ｓ) ^kξ^2k/ｋ!]です。

したがって,φ⁽²ⁿ⁾(ξ)＝Σ_k=0^∞[(－1/2)^k(ｔ－ｓ)^k/ｋ!](2ｋ)(2ｋ－1)..(2ｋ－2ｎ＋1)ξ^2k-2nですから,φ⁽²ⁿ⁾(0)＝(－1/2)ⁿ(ｔ－ｓ)ⁿ(2ｎ)!/ｎ!です。

　それ故,Ｅ[|Ｘ_tⁱ－Ｘ_sⁱ|²ⁿ]＝|φ⁽²ⁿ⁾(0)|＝ｃ_n|ｔ－ｓ|ⁿ；ｃ_n≡(2ｎ)!/2ⁿｎ! For ∀ｎ;ｉ＝1,2,..,Ｎが成立します。

つまり,α＝2ｎ,β＝ｎ－1,ｃ≧ｃ_nとすれば,Ｅ[|Ｘ_tⁱ－Ｘ_sⁱ|^α]≦ｃ|ｔ－ｓ|^1+βが成り立ち,0＜λ＜β/αは 0＜λ＜1/2となります。

こうして,(Ω^N,Ｂ^N,Ｐ)上で定義された{Ｘ_t}の修正である連続確率過程{Ｙ_t}があって,その標本路は確率１で,λ次ヘルダー連続(0＜λ＜1/2)であることがわかりました。

以上のことから,Ｙ.(ω):Ω^N → Ｗ^Nを用いて,Ｐ^(ω)をＰ^(ω)≡Ｐ(Ｙ.(ω)^-1)で定義し,ｗ∈Ｗ^Nの座標関数をＢ_t(ｗ)≡ｗ(ｔ)と取れば,確率空間(Ｗ^N,Ｂ^N,Ｐ^)で定義された連続確率過程{Ｂ_t}は初期分布をνとするＮ次元ブラウン運動になります。

これで当面の目的を達成したので,今日はここまでとします。 

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/「健康商品の店 タクザイ」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(２)

前記事の続きです。 

Ｗ^NをＷ^N≡Ｃ([0,∞)；Ｒ^N),すなわち[0,∞)で定義され,Ｒ^Nに値をとる連続関数の全体とします。

そして,{Ｂ_t}をＮ次元ブラウン運動とすると,その定義によって,全体として確率が１のΩの元ω∈Ωに対し,Ｂ_t(ω)はｔの連続関数ですから,Ｂ_t(ω)はΩからＷ^Nへの写像であると見ることができます。

この写像:Ω→Ｗ^N:ω∈Ω→{Ｂ_t(ω)}_t∈[0,∞)∈Ｗ^Nを,Ｂ.(ω)と表わすことにすれば,Ｂ.(ω)＝{Ｂ_t(ω)}_{ｔ∈[0,∞)}です。

上述の"確率が１のΩの元ω∈Ωに対して"という意味は,"Ｐ(ω∈Ω:Ｂ.(ω)∈Ｗ^N)＝1に属するωに対して"と表現できます。

任意のｗ₁,ｗ₂∈Ｗ^Nに対して,ｄ(ｗ₁,ｗ₂)≡∑_n=0^∞2^-n(sup_0≦t≦n|ｗ₁(ｔ)－ｗ₂(ｔ)|∧１)と置けば,Ｗ^Nはｄを距離とする完備距離空間になります。

そして,その位相的ボレルσ加法族(Ｗ^Nの全ての開集合を含む最小のσ加法族)をＢ(Ｗ^N)とし,各Ｂ.(ω)∈Ｗ^Nに対して集合関数μ_B(Ｆ)をμ_B(Ｆ)≡Ｐ(Ｂ^-1(Ｆ))＝Ｐ(ω∈Ω:Ｂ.(ω)∈Ｆ);Ｆ∈Ｂ(Ｗ^N)によって定義すれば,このμ_Bは(Ｗ^N,Ｂ(Ｗ^N))上の分布になります。

この分布をＮ次元ウィーナー測度と言います。

特に,Ｐ(Ｂ₀＝ｘ)＝1;ｘ∈Ｒ^NなるＮ次元ブラウン運動{Ｂ_t(ω)}_{ｔ∈[0､∞)}が与えられたとき,対応するμ_B(・)を,Ｐ_x(・)と表わすことにします。

ｗ∈Ｗ^Nに対し座標関数:Ｘ_t(ｗ)≡ｗ(ｔ)(Ｘ₀(ｗ)≡ｗ(0)＝ｘ)を取ると,Ｘ_tは確率空間(Ｗ^N,Ｂ(Ｗ^N),Ｐ_x)で定義されたｘ∈Ｒ^Nから出発するブラウン運動です。

ここでは,逆にブラウン運動を構成するに当たって,これをこの空間(Ｗ^N,Ｂ(Ｗ^N))に実現することを考えます。

つまり,確率空間(Ｗ^N,Ｂ(Ｗ^N),Ｐ_x)における確率過程として,ブラウン運動というものが本当に存在することを示したいと思います。

言わばブラウン運動の存在定理の証明を以下において試みます。

そのため,まず,より広い空間Ω^N≡(Ｒ^N)^[0,∞)≡{ω＝ω(・)∈Ω^N：[0,∞)→Ｒ^N}を用意します。

座標関数Ｘ_t(ω)≡ω(ｔ),ω∈Ω^Nにより,ωの有限個の座標を指定することによって,Ω^Nの部分集合が定まります。

これを筒集合と呼びます。

すなわち,ｋ＝1,2,..に対して,0≦ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_k；Ｂ₁,Ｂ₂,..,Ｂ_k∈Ｂ(Ｒ^N)を取ったとき,{ω∈Ω^N:Ｘ_t1(ω)∈Ｂ₁,Ｘ_t2(ω)∈Ｂ₂,..,Ｘ_tk(ω)∈Ｂ_k}の形の部分集合のことを筒集合と呼ぶわけです。

筒集合の有限和の全体は,明らかに有限加法族です。この有限加法族を含む最小のσ加法族をＢ^Nと書くことにします。

そして(Ω^N,Ｂ^N)上の確率測度を作るわけですが,これを実行する手続きにおいて「コルモゴロフの拡張定理(Kolmogorov)」を利用します。

与えられた確率空間(Ω,Ｂ,Ｐ)上で,[0,∞)をパラメータとする確率過程{Ｘ_t}に対し,その有限次元分布μ_{t1,t2,．．tn}は,μ_{t1,t2,．．tn}(Ｂ₁×Ｂ₂×..×Ｂ_n)≡Ｐ(Ｘ(ｔ₁)∈Ｂ₁,Ｘ(ｔ₂)∈Ｂ₂,..,Ｘ(ｔ_n)∈Ｂ_n)で定められます。

そして,逆に分布の族{μ_t1,t2,..,tn}：0＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n ,ｎ＝1,2,..が与えられたとき,それらを有限次元分布とする確率過程が存在するために課せられる条件が,次の「コルモゴロフの拡張定理」の整合性条件です。 

つまり,"μ_{t1,t2,..,ti-1,ti+1,..,tn}(Ｂ₁×Ｂ₂×..×Ｂ_i-1×Ｂ_i+1×..×Ｂ_n)＝μ_{t1,t2,..,ti-1,ti,ti+1,..,tn}(Ｂ₁×Ｂ₂×..×Ｂ_i-1×Ｒ^N×Ｂ_i+1×..×Ｂ_n);ｉ＝1,2,..,ｎ；Ｂ₁,Ｂ₂,..,Ｂ_n∈Ｂ(Ｒ^N)"なる条件が「コルモゴロフの拡張定理」が成立するための整合性条件です。 

(定理3.1):「コルモゴロフの拡張定理」

上述の整合性条件を満たす分布の族{μ_t1,t2,..,tn}：0＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n ,ｎ＝1,2,..が与えられているとする。

このとき,(Ω^N,Ｂ^N)上に確率測度Ｐが唯１つ存在して,確率過程{Ｘ_t}の有限次元分布はμ_t1,t2,..,tnに等しい。 

これを証明するためには,次の補題が必要です。

(補題)Ｐ₁,Ｐ₂,..が,それぞれ(Ｒ^N,Ｂ(Ｒ^N)),(Ｒ^2N,Ｂ(Ｒ^2N)),..,上の確率測度で,Ｐ_n+1(Ｂ×Ｒ^N)＝Ｐ_n(Ｂ)を満たすならば,((Ｒ^N)^∞,Ｂ((Ｒ^N)^∞))上の確率測度Ｐが存在して,Ｐ(Ｂ)＝Ｐ_n(Ｂ),Ｂ∈Ｂ(Ｒ^nN)を満たす。

(証明) 写像π_n:(Ｒ^N)^∞→(Ｒ^N)ⁿを,ω＝(ω₁,ω₂,..,ω_n,..)∈(Ｒ^N)^∞ → π_n(ω)≡(ω₁,ω₂,..,ω_n)∈(Ｒ^N)ⁿ で定義すると,Ｃ≡{π_n^-1(Ｂ)：Ｂ∈Ｂ(Ｒ^nN),ｎ＝1,2,..}は(Ｒ^N)^∞上の１つの有限加法族を定義します。

(※なぜなら,φ∈Ｂ(Ｒ^nN)に対しπ_n^-1(φ)＝φによりφ∈Ｃです。　　　　(∵φ×Ｒ^M＝φ)

また,π_n^-1(Ｂ)∪π_n^-1(Ｂ^c)＝π_n^-1(Ｂ∪Ｂ^c)＝π_n^-1(Ｒ^nN)＝(Ｒ^N)^∞です。故に,(π_n^-1(Ｂ))^c＝π_n^-1(Ｂ^c),よって,"Ａ∈Ｃ⇒Ａ^c∈Ｃ"も成立します。

また,Ａ₁,Ａ₂∈Ｃなら,あるＢ₁,Ｂ₂∈Ｂ(Ｒ^nN)が存在してＡ₁＝π_n^-1(Ｂ₁),Ａ₂＝π_n^-1(Ｂ₂)と書けますから,Ａ₁∪Ａ₂＝π_n^-1(Ｂ₁)∪π_n^-1(Ｂ₂)＝π_n^-1(Ｂ₁∪Ｂ₂)で,Ｂ₁∪Ｂ₂∈Ｂ(Ｒ^nN)より,Ａ₁∪Ａ₂∈Ｃであるからです。※)

Ｆ∈Ｃに対してＰ(Ｆ)≡Ｐ_n(Ｂ),Ｆ＝π_n^-1(Ｂ),Ｂ∈Ｂ(Ｒ^nN):Ｐ(Ｆ)≡Ｐ_n(π_n(Ｆ))(あるいはＰ(π_n^-1(Ｂ))＝Ｐ_n(Ｂ))と定義するとき,ＰはＣ上で有限加法的です。

(※なぜなら,ｎ≧ｋに対してπ_n,k((ω₁,ω₂,．．,ω_n))≡(ω₁,ω₂,..,ω_k)∈Ｒ^kNと定義すると,仮定Ｐ_n+1(Ｂ×Ｒ^N)＝Ｐ_n(Ｂ)により,∀Ｂ⁰∈Ｂ(Ｒ^(n-1)N)に対してπ_n,n-1^-1(Ｂ⁰) ∈Ｒ^nNです。

Ｐ_n(π_n,n-1^-1(Ｂ⁰))＝Ｐ_n-1(Ｂ⁰)etc.であり,明らかに∀Ｂ⁰∈Ｂ(Ｒ^kN)に対してπ_n,k^-1(Ｂ⁰)∈Ｒ^nNでＰ_n(π_n,k^-1(Ｂ⁰))＝Ｐ_k(Ｂ⁰)です。そして明らかにπ_n^-1(π_n,k^-1(Ｂ⁰))＝π_k^-1(Ｂ⁰)です

したがって,Ｆ₁,Ｆ₂,．．,Ｆ_k∈ＣでＦ_i∩Ｆ_j＝φ(i≠j)なるものを取ると,ｉ＝1,2,．．,ｋの全てのｉについて共通のｎが存在してＦ_i＝π_n^-1(Ｆ_i⁰)；Ｆ_i⁰∈Ｂ(Ｒ^nN),Ｆ_i⁰∩Ｆ_j⁰＝φ(i≠j)であるとしてよく,

Ｐ(∪_i=1^kＦ_i)＝Ｐ(∪_i=1^kπ_n^-1(Ｆ_i⁰))＝Ｐ(π_n^-1(∪_i=1^kＦ_i⁰))＝Ｐ_n(∪_i=1^kＦ_i⁰)＝∑_i=1^kＰ_n(Ｆ_i⁰)＝∑_i=1^kＰ(π_n^-1(Ｆ_i⁰))＝∑_i=1^kＰ(Ｆ_i),つまりＰ(∪_i=1^kＦ_i)＝∑_i=1^kＰ(Ｆ_i)ですから,ＰはＣの上で有限加法的です。※)

(注)有限加法的測度がσ加法族の上で完全加法的測度に拡張できることは自明なので敢えてそれを証明はしません。

次にＦ_k↓φのときにＰ(Ｆ_k)→ 0 as ｋ→∞を示します。(つまりＰ(φ)＝0 を証明します。)

そのために,lim_k→∞Ｐ(Ｆ_k)＝ε＞0 と仮定します。一般性を失うことなくＦ_k＝π_k^-1(Ｆ_k⁰)；Ｆ_k⁰∈Ｂ(Ｒ^kN)とします。

また,Ｐ_kは(Ｒ^kN,Ｂ(Ｒ^kN))の確率測度なので,上に与えられたε＞0 に対してＰ_k(Ｆ_k⁰－Ａ_k⁰)＜ε/2^k+1なるコンパクト集合Ａ_k⁰が存在します。(これの理由はルベーグ測度論を参照してください。)

したがって,定義からＰ(π_k^-1(Ｆ_k⁰－Ａ_k⁰))＜ε/2^k+1です。

そこで,Ｂ_k≡∩_i=1^kπ_i^-1(Ａ_i⁰)⊂Ｆ_kとおくと,Ｐ(Ｆ_k)－Ｐ(Ｂ_k)＝Ｐ(π_k^-1(Ｆ_k⁰)－Ｂ_k)≦Σ_i=1^kＰ(π_k^-1(Ｆ_k⁰)－π_i^-1(Ａ_i⁰))≦Σ_i=1^kＰ(π_i^-1(Ｆ_i⁰)－π_i^-1(Ａ_i⁰))＝Σ_i=1^kＰ(π_i^-1(Ｆ_i⁰－Ａ_i⁰))＜ε/2よりlim_k→∞Ｐ(Ｂ_k)＞ε/2＞0 が得られます。

ところが,ω＝(ω₁^(k),ω₂^(k),..)∈Ｂ_k＝∩_i=1^kπ_i^-1(Ａ_i⁰)⊂Ｆ_kとすると,π_k(ω)＝(ω₁^(k),ω₂^(k),..,ω_k^(k))∈π_k(Ｂ_k)＝∩_i=1^kＡ_i⁰ですから,ｋ＝1,2,..,のうちでｋ_1jをω₁^(k1j)が収束するような自然数の添字の部分列,ｋ_2jをｋ_1jの部分列でω_２^(k2j)が収束する部分列というように次々に添字の数列を取ってゆけば,lim_l→∞(ω₁^(k1j),ω₂^(k2j),..,ω_l^(klj))∈∩_i=1^lＡ_i⁰＝π_l(Ｂ_l),ｌ＝1,2,..,となります。

そこで,(ω₁^(kll),ω₂^(kll),..,ω_l^(kll))を取れば,これはｌ→ ∞ に対して収束します。

lim_l→∞ω_j^(kll＝ω_jとすると,lim_l→∞(ω₁^(k1j),ω₂^(k2j),..,ω_l^(klj))＝(ω₁,ω₂,..,ω_i)∈π_i(Ｂ_i),ｉ＝1,2,..,ですから,(ω₁,ω₂,..)∈Ｂ_k,ｋ＝1,2,.. for ∀ｋ,すなわち∩_k=1^∞Ｂ_k⊂∩_k=1^∞Ｆ_kであって∩_k=1^∞Ｂ_k≠φです。

つまり,lim _k→∞Ｂ_k≠φとなるので,lim _k→∞Ｆ_k≠φです。したがって,これはＦ_k↓φ,すなわちlim _k→∞Ｆ_k＝φに矛盾します。

これは,lim_k→∞Ｐ(Ｆ_k)＝ε＞0 という仮定が正しくないことを示していますから,Ｆ_k↓φならlim_k→∞Ｐ(Ｆ_k)＝0 です。それ故,Ｐ(φ)＝0 です。

そこで,補題の結論Ｐ(Ｂ)＝Ｐ_n(Ｂ)を,Ｐ(π_n^-1(Ｂ))＝Ｐ_n(Ｂ)の意味と解釈することにより,上記の補題が成り立つことが証明されました。(補題の証明終わり)

(定理3.1の証明)Ｔ≡[0,∞)に対しτ≡(ｔ₁,ｔ₂,..),ｔ_i∈Ｔ,ｉ＝1,2,..を取り,Ｐ_n^τ(Ｂ)≡μ_t1,t2,..,tn(Ｂ),Ｂ∈Ｂ(Ｒ^nN)と定義すれば,整合性条件によってＰ_n^τは補題の条件Ｐ_n+1^τ(Ｂ×Ｒ^N)＝Ｐ_n^τ(Ｂ)を満たします。

そこで,これは((Ｒ^N)^∞,Ｂ((Ｒ^N)^∞))上の確率測度Ｐ^τを一意的に定義します。

　π^τ(ω)≡(ω(ｔ₁),ω(ｔ₂),..,ω(ｔ_n),..),ω∈(Ｒ^N)^Ｔ,(ω₁⁰,ω₂⁰,..)≡(ω(ｔ₁),ω(ｔ₂),..)∈(Ｒ^N)^∞,π_k(ω⁰)≡(ω₁⁰,ω₂⁰,..,ω_k⁰)とおくと,Ｐ^τ・π^-1_k＝μ_t1,t2,..,tkです。

ここで,Ｂ≡σ{(π^τ)^-1(Ｂ)；Ｂ∈Ｂ((Ｒ^N)^∞),τ⊂Ｔ,τは可算集合)}とし,Ｐ((π^τ) ^-1(Ｂ))＝Ｐ^τ(Ｂ)とすると,このＰ,あるいはＰ・(π^τ) ^-1がＢ上の確率測度を一意的に定義することを示します。

Ｂ＝(π^τ1)^-1(Ｂ₁⁰)＝(π^τ2)^-1(Ｂ₂⁰),Ｂ_i⁰∈Ｂ((Ｒ^N)^∞),ｉ＝1,2とするとき,あるＢ₃⁰∈Ｂ((Ｒ^N)^∞)があって,Ｂ＝(π^τ1∪τ2)^-1(Ｂ₃⁰)なので,τ⊂τ'⊂ＴとするときＰ^τ(Ｂ)＝Ｐ^τ'(Ｂ)が言えればいいのですが,実はこれはＰ^τ・π^-1_k＝μ_t1,t2,..,tkから明らかです。

Ｐの可算加法性については,Ｂ_n＝(π^τn)^-1(Ｂ_n⁰),Ｂ_n⁰∈Ｂ((Ｒ^N)^∞)とし,Ｂ_nは互いに素な集合とすると,Ｂ_n⁰も互いに素で,∪_n=1^∞τ_n＝τは可算集合です。

そこで,Ｐ(∪_n=1^∞Ｂ_n)＝Ｐ(∪_n=1^∞(π^τn)^-1(Ｂ_n⁰))＝Ｐ^τ(∪_n=1^∞Ｂ_n⁰)＝Σ_n=1^∞Ｐ^τ(Ｂ_n⁰)＝Σ_n=1^∞Ｐ((π^τn)^-1(Ｂ_n⁰))＝Σ_n=1^∞Ｐ(Ｂ_n)が確かに成立します。(証明終わり)

次に,νを(Ｒ^N,Ｂ(Ｒ^N))上のある確率測度とし,ｘ∈Ｒ^N,ｔ＞0 に対して,ｇ(ｔ,ｘ)≡(2πｔ)^-N/2 exp{－|ｘ|²/(2ｔ)}とします。

このとき,"ｔ₀＝0＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_nに対しμ_t0,t1,..,tn(Ｂ₀×Ｂ₁×..×Ｂ_n )≡∫_{Ｂ0×Ｂ1×..×Ｂn}ν(ｄｘ₀)Π_i=1^Nｇ(ｔ_i－ｔ_i-1,ｘ_i－ｘ_i-1)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_nと置けば,μ_t0,t1,..,tnは整合性条件を示す。"という命題が成立することを示します。

簡単のためにＮ＝1で証明します。

∫ｄｔ_i{2π(ｔ_i－ｔ_i-1)}^-1/2{2π(ｔ_i+1－ｔ_i)}^-1/2exp[－(ｘ_i－ｘ_i-1)²/{2(ｔ_i－ｔ_i-1)}－(ｘ_i+1－ｘ_i)²/{2(ｔ_i+1－ｔ_i)}]＝{2π(ｔ_i+1－ｔ_i-1)}^-1/2 exp[－(ｘ_i+1－ｘ_i-1)²/{2(ｔ_i+1－ｔ_i-1)}]を示せばよいわけですが,具体的に計算すれば間単に示すことができるので,詳細な計算は省略します。

"(定理3.1)＝「コルモゴロフの拡張定理」と上記の具体的な確率測度の式によって,(Ω^N,Ｂ^N)上に確率測度Ｐが存在し{Ｘ_t}の有限次元分布はμ_t0,t1,..,tnとなっていること,がわかります。

さらにその定義によりＸ_t－Ｘ_sは平均がゼロ,共分散行列が(ｔ－ｓ)ＥのＮ次元ガウス型確率変数です。またＸ_t－Ｘ_sは各ｕ≦ｓに対してＸ_uと独立になっています。しかしＸ_t(ω);ω∈Ω^Nは必ずしもｔの連続関数になっていません。

また,一般にＷ^NはＢ^Nの元ではありません。これを証明します。 

(証明)Ｓ⊂[0,∞)に対して,Ｆ_S≡σ(Ｘ_t：ｔ∈Ｓ)とし,Ｆ^*≡∪_S:可算Ｆ_Sとおきます。

このとき,Ａ_n∈Ｆ^*なら∃Ｓ_n⊂[0,∞):可算,Ａ_n∈Ｆ_Sn,(ｎ＝1,2,．．)ですから,Ｓ^*≡∪_n=1^∞Ｓ_nとするとＳ^*も可算集合です。

それ故.∪_n=1^∞Ａ_n∈Ｆ_S⊂Ｆ^*なのでＦ^*はσ加法族です。しかも,Ｆ^*は全ての筒集合,すなわち{ω∈Ω^N: Ｘ_t1(ω)∈Ｂ₁,Ｘ_t2(ω)∈Ｂ₂,..,Ｘ_tk(ω)∈Ｂ_k}＝{ω(・)∈Ω^N:ω(ｔ₁)∈Ｂ₁,ω(ｔ₁)∈Ｂ₁,．．,ω(ｔ_k)∈Ｂ_k} ( 0≦ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_k；Ｂ₁,Ｂ₂,..,Ｂ_k∈Ｂ(Ｒ^N))の形の部分集合全体を含みますからＦ^*＝Ｂ^Nです。

そして,もしＷ^N∈Ｂ^Nであるとすると,ある可算集合Ｓ⊂[0,∞)が存在してＷ^N∈Ｆ_S＝σ(Ｘ_t：ｔ∈Ｓ)となります。

したがって,Ｗ^N≡Ｃ([0,∞)；Ｒ^N)＝([0,∞)で定義され,Ｒ^Nに値をとる連続関数の全体)がＦ_Sの元ですから,ｗ∈Ｗ^Nのときに∀ｔ∈ＳについてＸ_t(ｗ)＝Ｘ_t(ｗ'),すなわち,ｗ(ｔ)＝ｗ'(ｔ)ならば,Ｘ_t(ｗ)とＸ_t(ｗ')より,ｗ(ｔ)とｗ'(ｔ)はＦ_Sの元として全く同じものを表わしている,ことになりますからｗ'∈Ｗ^Nとならなければなりません。

しかしながら,ｗ(ｔ)＝ｗ'(ｔ) for ∀ｔ∈ＳでもＳは単なる可算集合ですから,ｗ'(ｔ)がＳ以外の点ｔ∈[0,∞)で不連続な場合もあるのでこれはｗ'∈Ｗ^Nと矛盾します。つまり,一般にＷ^N∈Ｂ^Nではありません。(証明終わり)

途中ですが今日はここまでとします。 

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/「健康商品の店 タクザイ」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学