多項式の判別式と終結式について

2009年３/11の数論関係の記事「フェルマーの定理と類体論(1)」

http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/03/fermat1-2daf.html の続きとして楕円曲線の群構造について書こうとしていましたが,参考書を読んでいると証明抜きで代数幾何学の定理を応用したものなどが出てきました。

こういうものは見過ごせば,付け焼刃的に理解することはできますが,私の悪い癖で数論よりも代数幾何学の中の射影幾何学などにも興味が湧きました。

そこで自分の本棚を探してみると,唯一持ってはいても読んだことのない「代数幾何入門」(上野健璽著(岩波書店))という本を見つけたので,それを最初から勉強することにしてそれが終わってから数論に戻ろうかとか思いをめぐらしました。

代数幾何学というのは,歴史的には式で定義された図形の幾何学などを意味し,デカルト・フェルマー(Descartes-Fermat)に始まる座標幾何学,または解析幾何学の導入と共に誕生したものらしいです。

しかし,いきなり一般論に入るのはやめて,ペル方程式のようなディオファントスの方程式の例題でも考えようとして「数論入門講義(数と楕円曲線)」(J.S.Chahel著;織田進訳(共立出版))を見つけて読んでいると,次のような終結式や判別式に関する項目が出てきました。

２つの多項式をｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (degｆ＝ｎ),ｇ(ｘ)＝ｂ₀＋ｂ₁ｘ＋ｂ₂ｘ²＋...＋ｂ_mｘ^m (degｇ＝ｍ)とするとき,係数(ａ₀,ａ₁,ａ₂,．．ａ_n)を１列ずつずらしてｍ行並べ,その下に(ｂ₀,ｂ₁,ｂ₂,．．ｂ_m)を１列ずつずらしてｎ行並べた(ｍ＋ｎ)×(ｍ＋ｎ)の行列式をｆ(ｘ),ｇ(ｘ)の終結式と呼び,Ｒ(ｆ,ｇ)と書く。

ただし,ここではｆ(ｘ),ｇ(ｘ)はある体ｋの上の多項式環ｋ[ｘ]の元とし,degｆ,degｇはそれぞれｆ,ｇの次数を表わすとする。

また,ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)の最大公約数(g.c.d)をｄ(ｘ)≡(ｆ(ｘ),ｇ(ｘ))と書くことにする。このとき,次の定理が成り立つ。

[定理１]:ｄ(ｘ)＝(ｆ(ｘ),ｇ(ｘ))とする。このとき,degｄ≧1であるための必要十分条件はＲ(ｆ,ｇ)＝0 である。

(証明)ｄ＝(ｆ,ｇ)なので,ｆ＝ｄｆ₁,ｇ＝ｄｇ₁と書けばｆｇ₁＝ｆ₁ｇ＝ｄｆ₁ｇ₁が成立します。そこで,degｄ≧1であるための必要十分条件はdegｆ₁＜degｆ,degｇ₁＜degｇ,かつｆｇ₁＝ｆ₁ｇを満たすｆ₁(ｘ),ｇ₁(ｘ)が存在することです。

ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (degｆ＝ｎ),ｇ(ｘ)＝ｂ₀＋ｂ₁ｘ＋ｂ₂ｘ²＋...＋ｂ_mｘ^m (degｇ＝ｍ)と書きます。

degｆ₁＜degｆ,degｇ₁＜degｇを満たすｆ₁,ｇ₁が存在してｆｇ₁＝ｆ₁ｇなる恒等式(identity)が成立するならdegｆ₁≦ｎ－1,degｇ₁≦ｍ－1ですから,ｆ₁(ｘ)＝α₁＋α₂ｘ＋...＋α_nｘ^n-1,ｇ₁(ｘ)＝β₁＋β₂ｘ＋...＋β_mｘ^m-1とすると,ｆｇ₁＝ｆ₁ｇは両辺の係数を等置する(ｍ＋ｎ)個の等式:ａ₀β₁＝ｂ₀α₁,ａ₁β₁＋ａ₀β₂＝ｂ₁β₁＋ｂ₀β₂,...,α_nｂ_m＝β_mａ_nが成立することを意味します。

　この(ｍ＋ｎ)個の等式はα₁,α₂,...,α_nのｎ個のｆ₁(ｘ)の係数の組をｎ成分の列ベクトルα≡^t(α₁,α₂,...,α_n)で,β₁,β₂,．．,β_mのｍ個のｇ₁(ｘ)の係数の組をｎ成分の列ベクトルβ≡^t(β₁,β₂,...,β_m)で表現すると,(ａ₀,0)β＝(ｂ₀,0)α,(ａ₁,ａ₀,0)β＝(ｂ₁,ｂ₀,0)α,(ａ₂,ａ₁,ａ₀,0)β＝(ｂ₂,ｂ₁,ｂ₀,0)α,...,となります。

　ここで,(ａ₀,0),(ａ₁,ａ₀,0),(ａ₂,ａ₁,ａ₀,0),...はｍ成分の行ベクトル(row vector),(ｂ₀,0),(ｂ₁,ｂ₀,0),(ｂ₂,ｂ₁,ｂ₀,0),...はｎ成分の行ベクトルで,これら(ｍ＋ｎ)個の式の両辺はそれぞれベクトルの内積の形になっています。

そこで,さらにβと－αを並べた(ｍ＋ｎ)成分の列ベクトル:γ≡^t(β₁,β₂,...,β_m,－α₁,－α₂,...,－α_n)を作れば,上の(ｍ＋ｎ)個の等式は(ａ₀,0,ｂ₀,0)γ＝0,(ａ₁,ａ₀,0,ｂ₁,ｂ₀,0)γ＝0,(ａ₂,ａ₁,ａ₀,0,ｂ₂,ｂ₁,ｂ₀,0)γ＝0 ...となります。

　この表現では,係数(ａ₀,0,ｂ₀,0),(ａ₁,ａ₀,0,ｂ₁,ｂ₀,0),(ａ₂,ａ₁,ａ₀,0,ｂ₂,ｂ₁,ｂ₀,0)も(ｍ＋ｎ)成分の行ベクトルです。

結局,(ｍ＋ｎ)個の等式は係数の行ベクトルを(ｍ＋ｎ)行並べたものを(ｍ＋ｎ)×(ｍ＋ｎ)の正方行列Ａと考えれば,等式系はＡγ＝0 なる行列形式の斉次連立方程式になることがわかります。

このとき,行列Ａの転置^tＡは,明らかにそれの行列式として終結式Ｒ(ｆ,ｇ)を与える行列に一致しています。

したがって,Ｒ(ｆ,ｇ)＝detＡ＝0 なる等式の成立がＡγ＝0 がγ≡^t(β₁,β₂,...,β_m,－α₁,－α₂,...,－α_n)の自明でない解を持つための必要十分条件になります。つまり,Ｒ(ｆ,ｇ)＝0 がdegｄ≧1 であるための必要十分条件です。(証明終わり)

[定義]:ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (ａ_n≠0)をｋ[ｘ]における多項式とするとき,Δ(ｆ)≡(－1)^n(n+1)/2Ｒ(ｆ,ｆ')/ａ_nをｆ(ｘ)の判別式という。

　ただし,ｆ'(ｘ)はｆ(ｘ)の導多項式と呼ばれる多項式でｆ'(ｘ)≡ａ₁＋2ａ₂ｘ＋...＋ｎａ_nｘ^n-1で定義される。

　特にｆ(ｘ)＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃならｆ'(ｘ)＝2ａｘ＋ｂより,Ｒ(ｆ,ｆ')＝ａｂ²－4ａ²ｃですから,Δ(ｆ)＝ｂ²－4ａｃです。また,ｆ(ｘ)＝ｘ³＋Ａｘ＋Ｂならｆ'(ｘ)＝3ｘ²＋Ａより,Ｒ(ｆ,ｆ')＝4Ａ³－27Ｂ²ですから,Δ(ｆ)＝－4Ａ³＋27Ｂ²です。

ｆ(ｘ)が重根を持つのはｆ(ｘ)とｆ'(ｘ)が１次以上の共通因数を持つときですから,[定理1]によりこれはＲ(ｆ,ｆ')＝0,すなわちΔ(ｆ)＝0 と同値です。

[定理２]:ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)をｋ[ｘ]における多項式とする。このときｋ[ｘ]の中に多項式Ｆ(ｘ),Ｇ(ｘ)が存在してＲ(ｆ,ｇ)＝Ｆ(ｘ)ｆ(ｘ)＋Ｇ(ｘ)ｇ(ｘ)が成り立つ。

(証明)ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (ａ_n≠0),ｇ(ｘ)＝ｂ₀＋ｂ₁ｘ＋ｂ₂ｘ²＋...＋ｂ_mｘ^m (ｂ_m≠0)とします。

　Ｒ(ｆ,ｇ)＝0 ならｆｇ₁＝ｆ₁ｇなる１次以上の多項式ｆ₁,ｇ₁が存在するので,Ｆ(ｘ)≡ｇ₁(ｘ),Ｇ(ｘ)≡－ｆ₁(ｘ)とおけば, 0＝Ｒ(ｆ,ｇ)＝Ｆ(ｘ)ｆ(ｘ)＋Ｇ(ｘ)ｇ(ｘ)となります。

そこで,Ｒ(ｆ,ｇ)≠0 と仮定してｒ(ｘ)≡Ｒ(ｆ,ｇ)と置きます。

そうして,連立方程式系ｘⁱｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁱ＋ａ₁ｘⁱ⁺¹＋ａ₂ｘⁱ⁺²＋...＋ａ_nｘⁱ⁺ⁿ (ｉ＝0,1,...,ｍ－１),ｘ^jｇ(ｘ)＝ｂ₀ｘ^j＋ｂ₁ｘ^j+1＋ｂ₂ｘ^j+2＋...＋ｂ_mｘ^j+m (ｊ＝0,1,...,ｎ－１)を考えます。

Ｘ＝^t(1,ｘ,ｘ²,...,ｘ^m+n-1),Ｙ＝^t(ｆ(ｘ),ｘｆ(ｘ),...,ｇ(ｘ),ｘｇ(ｘ),...)なるベクトル表現を採用すれば,これは(ｍ＋ｎ)次の正方行列Ａを係数とする行列形式の(ｍ＋ｎ)元連立１次方程式:ＡＸ＝Ｙとなります。                        

このとき,明らかにＲ(ｆ,ｇ)＝det(Ａ)＝ｒ≠0 です。

det(Ａ)≠0 ですから,Ａの逆行列:Ａ^-1が存在します。これは,Ａの余因子Ａ_ijを成分とする行列を(adjＡ)として,Ａ^-1＝(adjＡ)/ｒと書けますから,これをＡＸ＝Ｙの左から掛けて解としてＸ＝(adjＡ)Ｙ/ｒが得られます。

そして,Ｘ＝(adjＡ)Ｙ/ｒの第１行目の式は１＝[(Σ_j=1^mＡ_1jｘ^j-1)ｆ(ｘ)＋(Σ_j=m+1^m+nＡ_1jｘ^j-m-1)ｇ(ｘ)]/ｒ(ｘ)となります。

そこでＦ(ｘ)≡Σ_j=1^mＡ_1jｘ^j-1,Ｇ(ｘ)≡Σ_j=m+1^m+nＡ_1jｘ^j-m-1と置けばｒ(ｘ)＝Ｆ(ｘ)ｆ(ｘ)＋Ｇ(ｘ)ｇ(ｘ)が得られます。(証明終わり)

などなどと続いていきますが,ここで私がかつて学生時代に読んだ「代数学講義」(高木貞治 著(岩波書店))とは判別式,終結式の定義が全然違っているので,果たして同じものだろうか？という疑問が湧きました。

しかし,上で見たように上述の定義での判別式Δ(ｆ)は,ｆがｆ(ｘ)＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃの２次式ならΔ(ｆ)＝ｂ²－4ａｃ,ｆ(ｘ)＝ｘ³＋Ａｘ＋Ｂの３次式ならΔ(ｆ)＝－4Ａ³＋27Ｂ²で,これは両者の定義で全く同じですから,恐らく同じものなのでしょうが,本当に同じであることかどうかを証明しようという気になりました。

従来から知っていた多項式の判別式,終結式の定義は次のようなものでした。 

まず,ｎ個の変数ｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_nがあるとき,差積ＰをＰ≡(ｘ₁－ｘ₂)(ｘ₁－ｘ₃)...(ｘ₁－ｘ_n)(ｘ₂－ｘ₃)...(ｘ₂－ｘ_n)...(ｘ_n-1－ｘ_n)で定義します。このＰは対称式ではなくて交代式ですが,Ｐ²は対称式です。

そして判別式の定義は「ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿのｎ個の根をｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_nとしてこれらの差積をＰで表わすとき,Ｄ≡ａ_n^2(n-1)Ｐ²を方程式ｆ(ｘ)＝0,または多項式ｆ(ｘ)の判別式という。」というものです。

上記の別の定義ではｆの判別式はΔ(ｆ)と表記されていましたが,ここではＤです。

また,終結式の定義は「ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (ａ_n≠0),およびｇ(ｘ)＝ｂ₀＋ｂ₁ｘ＋ｂ₂ｘ²＋...＋ｂ_mｘ^m (ｂ_m≠0)の根をそれぞれα₁,α₂,...,α_n,およびβ₁,β₂,...,β_mとするとｆ(ｘ)＝ａ_nΠ_μ=1ⁿ(ｘ－α_μ),ｇ(ｘ)＝ｂ_mΠ_ν=1^m(ｘ－β_ν)ですが,Ｒ≡ａ_n^mｂ_mⁿΠ_μ,ν(α_μ－β_ν)をｆ(ｘ),ｇ(ｘ)の終結式と呼ぶ。」という形で与えられています。

別の定義ではｆ,ｇの終結式はＲ(ｆ,ｇ)と表記されています。

そして,ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (ａ_n≠0)に対して導多項式はｆ'(ｘ)≡ａ₁＋2ａ₂ｘ＋...＋ｎａ_nｘ^n-1で与えられますから,ｆ'(ｘ)＝ａ_nΠ_ν=1^n-1(ｘ－β_ν)と書けばｆ'(α_μ)＝ａ_nΠ_ν=1^n-1(α_μ－β_ν)となります。

それ故,この場合従来から知っていた定義でのｆとｆ'の終結式はＲ＝Ｒ(ｆ,ｆ')＝ａ_n^2n-1Π_μ,ν(α_μ－β_ν)＝ａ_n^n-1Π_μｆ'(α_μ)となることがわかります。

ところが,ｆ(ｘ)＝ａ_nΠ_μ=1ⁿ(ｘ－α_μ)のときｆ'(ｘ)/ｆ(ｘ)＝Σ_μ=1ⁿ{1/(ｘ－α_μ)}ですから,ｆ'(ｘ)＝Σ_μ=1ⁿ{ｆ(ｘ)/(ｘ－α_μ)}と表現できます。

それ故,ｆ'(α_μ)＝Π_μ{Π_ν≠μａ_n(α_ν－α_μ)}と表現できます。

したがって,従来の終結式はＲ＝Ｒ(ｆ,ｆ')＝ａ_n^n-1Π_μｆ'(α_μ)＝ａ_n^2n-1Π_ν{_μ≠ν(α_μ－α_ν)}となります。

一方,従来の定義でのｆ(ｘ)の判別式ＤはＰ＝(α₁－α₂)(α₁－α₃)．．(α₁－α_n)(α₂－α₃)...(α₂－α_n)...(α_n-1－α_n)としてＤ＝ａ_n^2(n-1)Ｐ²で与えられますから,Ｄ＝ａ_n^2(n-1){Π_μ＜ν(α_μ－α_ν)}²＝(－1)^n(n+1)/2ａ_n^2(n-1)Π_μ≠ν(α_μ－α_ν)です。

ここで,最右辺に符号の係数(－1)^n(n+1)/2があるのは,次のようにして示されます。

もしもα₁,α₂,...,α_nの中に１組でも重根があればＰ＝0 によりＤ＝0 なので符号係数などは関係ないです。

そうでない場合には全ての根が異なるため,α_μ＜α_ν,つまり(α_μ－α_ν)の符号がマイナスになる(α_μ,α_ν)の対の数はｎ個の中から２個を取り出す組み合わせの数ｎ(ｎ＋1)/2に等しいからです。

したがって,Ｒ＝Ｒ(ｆ,ｆ')＝ａ_n^2n-1Π_μ≠ν(α_μ－α_ν),Ｄ＝(－1) ^n(n+1)/2ａ_n^2(n-1)Π_μ≠ν(α_μ－α_ν)によって,Ｄ＝(－1) ^n(n+1)/2Ｒ(ｆ,ｆ')/ａ_nとなることがわかりました。

これは,先に与えた別の定義での終結式Ｒ(ｆ,ｇ)による判別式Δ(ｆ)の定義:Δ(ｆ)≡(－1)^n(n+1)/2Ｒ(ｆ,ｆ')/ａ_nと全く同じ形です。

したがって,終結式Ｒ(ｆ,ｇ)の２つの定義が同じものであることを証明しさえすれば,判別式については自動的にＤ＝Δ(ｆ)であることになります。

(証明)ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ (ａ_n≠0),およびｇ(ｘ)＝ｂ₀＋ｂ₁ｘ＋ｂ₂ｘ²＋...＋ｂ_mｘ^m (ｂ_m≠0)の根をそれぞれα₁,α₂,...,α_n,およびβ₁,β₂,...,β_mとすると,ｆ(ｘ)＝ａ_nΠ_μ=1ⁿ(ｘ－α_μ),ｇ(ｘ)＝ｂ_mΠ_ν=1^m(ｘ－β_ν)です。

　そして根と係数の関係としてａ₀/ａ_n,ａ₁/ａ_n,...,ａ_n-1/ａ_nは全てｆ(ｘ)＝0 の根α₁,α₂,...,α_nの基本対称式,ｂ₀/ｂ_m,ｂ₁/ｂ_m,...,ｂ_m-1/ｂ_mは全てｇ(ｘ)＝0 の根β₁,β₂,...,β_mの基本対称式で表わされますから,行列式で定義された方のＲ(ｆ,ｇ)はａ_n,ｂ_mおよびα₁,α₂,...,α_n,β₁,β₂,...,β_mの関数です。

　つまり,Ｒ(ｆ,ｇ)はＲ(ａ_n,ｂ_m,α₁,α₂,...,α_n,β₁,β₂,...β_m)なる形の関数です。

一方,[定理2]の証明では(ｍ＋ｎ)元の連立方程式系ｘⁱｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁱ＋ａ₁ｘⁱ⁺¹＋ａ₂ｘⁱ⁺²＋...＋ａ_nｘⁱ⁺ⁿ (ｉ＝0,1,...,ｍ－１),ｘ^jｇ(ｘ)＝ｂ₀ｘ^j＋ｂ₁ｘ^j+1＋ｂ₂ｘ^j+2＋...＋ｂ_mｘ^j+m(ｊ＝0,1,...,ｎ－１)を想定しました。

そして,この方程式の解の組:1,ｘ,ｘ²,...,ｘ^m+n-1を列ベクトルＸ＝^t(1,ｘ,ｘ²,...,ｘ^m+n-1)で,右辺の関数の組:ｆ(ｘ),ｘｆ(ｘ),...,ｇ(ｘ),ｘｇ(ｘ),...を列ベクトルＹ＝^t(ｆ(ｘ),ｘｆ(ｘ),...,ｇ(ｘ),ｘｇ(ｘ),...)で表わせば,係数を(ｍ＋ｎ)次の正方行列Ａとして元の方程式を行列形式の１次方程式:ＡＸ＝Ｙの形に書くことができて,係数Ａの行列式が終結式Ｒ(ｆ,ｇ)に等しいことを見ました。

この連立一次方程式ＡＸ＝Ｙにおいて,仮に代数方程式ｆ(ｘ)＝0 とｇ(ｘ)＝0 に共通根ｘ＝γが存在すれば,γ≡^t(1,γ,γ²,...,γ^m+n-1)と書くとＸ＝γではＡγ＝0 となるので斉次方程式ＡＸ＝0 に自明でない解γが存在することになり,そのときにはＲ(ｆ,ｇ)＝det(Ａ)＝0 です。

そこで,先に書いたａ_n,ｂ_m,およびα_μ,β_ν(μ＝0,1,2,...,ｎ,ν＝0,1,2,...,ｍ)の関数としてのＲ(ｆ,ｇ)の表現式:Ｒ(ｆ,ｇ)＝Ｒ(ａ_n,ｂ_m,α₁,α₂,...,α_n,β₁,β₂,...,β_m)にα_μ＝β_ν＝γを代入するとＲ(ｆ,ｇ)＝0 となることがわかります。

すなわち,同じことですがα_μにβ_νを代入するとＲ(ｆ,ｇ)＝0 となります。

これは,Ｒ(ｆ,ｇ)＝Ｒ(ａ_n,ｂ_m,α₁,α₂,...,α_n,β₁,β₂,..,β_m)が全ての対(μ,ν)に関して因数(α_μ－β_ν)を持つことを意味します。

それ故,Ｒ(ｆ,ｇ)はΠ_μ,ν(α_μ－β_ν)^pなる因子を持つはずです。

因子(α_μ－β_ν)^pのベキｐが共通の値であるとしたのはＲ(ｆ,ｇ)が根の対称式だからです。

また,Ｒ(ｆ,ｇ)は係数(ａ₀,ａ₁,ａ₂,...ａ_n)を１列ずつずらしてｍ行並べ,その下に(ｂ₀,ｂ₁,ｂ₂,...,ｂ_m)を1列ずつずらしてｎ行並べた(ｍ＋ｎ)×(ｍ＋ｎ)の行列式ですが,ａ₀,ａ₁,ａ₂,...,ａ_nの各々はα₁,α₂,...,α_nの対称式のａ_n倍,ｂ₀,ｂ₁,ｂ₂,...ｂ_mの各々はβ₁,β₂,．．,β_mの対称式のｂ_m倍ですから,Ｒ(ｆ,ｇ)はα₁,α₂,...,α_nの対称式,β₁,β₂,...,β_mの対称式に係数ａ_n^mｂ_mⁿを掛けたもので与えられることがわかります。

一方,ｆ(ｘ)＝ａ₀＋ａ₁ｘ＋ａ₂ｘ²＋...＋ａ_nｘⁿ＝ａ_nΠ_μ=1ⁿ(ｘ－α_μ)により,両辺の1,ｘ²,ｘ,...,ｘⁿの係数を比較すればａ₀＝ａ_nΠ_μ=1ⁿα_μ,ａ₁＝－ａ_nΣ_ν=1ⁿΠ_μ=1ⁿα_μ)/α_ν...etc.が得られますから,ａ_k/ａ_nのα_μによる次数は(ｎ－ｋ)です。

同様に,ｂ_l/ｂ_mのβ_νによる次数は(ｍ－l)です。

これから,ｍ行の(ａ₀,ａ₁,ａ₂,...,ａ_n)とｎ行の(ｂ₀,ｂ₁,ｂ₂,...,ｂ_m)からなる成るＲ(ｆ,ｇ)の行列式のゼロでない全ての展開項の根α_μ,β_νによる次数はｍｎであることがわかります。

したがって,行列式Ｒ(ｆ,ｇ)の根の対称式因子Π_μ,ν(α_μ－β_ν)^pは高々ｍｎ次の式である必要があるため,(α_μ－β_ν)^pのベキ指数ｐは１であると結論されます。

すなわち,Ｒ(ｆ,ｇ)＝Π_μ,ν(α_μ－β_ν)×(根α_μ,β_νを全く含まない因子)です。

以上から,行列式で定義されたＲ(ｆ,ｇ)はａ_n^mｂ_mⁿΠ_μ,ν(α_μ－β_ν)の定数倍であることまでわかりました。

後は定係数を決めるだけですが,既に２次式と３次式の判別式について２つの定義が一致することがわかっているので後は手抜きで定係数＝１だということで証明を終わりにします。(証明終わり)

なお,上述の証明に際しては, 勝手に以下のホームページ(HP)を参照させて頂きました。感謝!です。http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/huhensiki/node9.html 

イヤ,単なるパクリかな？ちょっと手抜き記事でした。。。

(別に,演習問題を解くことで勉強しなければいけないような学生ではないので,今のように読んでも理解がかなり困難であるわけでもなく簡単明瞭な証明が既にあるならワザワザ最初から証明する必要も無いという安易なジジィです。。)

参考文献：J.S.Chahel著;織田進 訳「数論入門講義(数と楕円曲線)」(共立出版),高木貞治 著「代数学講義」(岩波書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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フェルマー(Fermat)の定理と類体論(1)

深いところでは関係するかもしれないけれど,通常は物理とは関係ないような数学の話も偶にはしようかなと思います。

代数学,数論関連については,恐らく,2007年1/14～1/29のシリーズ記事「ガロア理論(1)」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/01/post_abe5.html

～「ガロア理論(6)」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/01/post_f6db. や,

それに続く2007年８/11の記事「リーマン予想と素数定理」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/08/post_0dd9.html 以来のことでしょうか。偶に考えないとカビが生えてしまいそうです。

数論について読んだ本というと,入門程度なら20年以上前にアーベルやガロアの代数方程式のベキ根による解法に対する興味と関連して通読した松坂和夫著の「代数系入門」や,最近では量子暗号に対する興味と関連して,かつてニフティのサイエンスフォーラムの数学会議室議長だったプークさん(鈴木治郎氏)が訳された「はじめての数論」を通読した程度です。

(2006年5/4の記事「公開キー暗号(神はサイコロ遊びをなさる。)」参照　http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/05/post_955b.html　)

今回は,ある程度は予備知識があることを前提に,まずは加藤和也,黒川信重,斉藤毅著「数論I」(Fermatの夢と類体論)(岩波書店)を参考に,10年くらい前に証明されたばかりのFermatの定理や高木貞治氏の研究で有名な類体論などを含む代数的数論関連の領域について言及してみたいと思います。

まず,楕円曲線と有理点について記述します。

ただし有理数体Ｑの上の楕円曲線とはｙ²＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ(ａ,ｂ,ｃ,ｄ∈Ｑ,ａ≠0),かつ右辺は重根を持たないというの形の３次方程式で定義される曲線です。

今日は,まず楕円曲線による方法の導入のため,"３以上の整数ｎについて,ｘⁿ＋ｙⁿ＝ｚⁿを満たす自然数ｘ,ｙ,ｚは存在しない。"というフェルマーの定理のうちのｎ＝4の場合の次の命題を証明することから始めます。

[命題1.1]:ｘ⁴＋ｙ⁴＝ｚ⁴を満たす自然数ｘ,ｙ,ｚは存在しない。

この命題の証明の１つはフェルマー(Fermat)が書き残しています。

彼の証明を現代風に解釈するなら,それは[命題1.1]の証明を次の楕円曲線ｙ²＝ｘ³－ｘに関する[命題1.2]の証明に帰着させるものと考えられます。

[命題1.2]:ｙ²＝ｘ³－ｘの有理数解は(ｘ,ｙ)＝(0,0),および(±1,0)のみである。

実際,もしも[命題1.1]が成立せずｘ⁴＋ｙ⁴＝ｚ⁴を満たす自然数ｘ,ｙ,ｚが存在するなら,ｘ⁴＝ｚ⁴－ｙ⁴の両辺にｚ²/ｙ⁶を掛けると(ｘ²ｚ/ｙ³)²＝(ｚ³/ｙ³)²－ｚ²/ｙ²となります。

これはｙ²＝ｘ³－ｘにｙ≠0 の有理数解(ｘ,ｙ)が存在することを意味し,これは[命題1.2]に反しますから,[命題1.2]が成立するなら[命題1.1]が成立しなければなりません。

[命題1.2]は次の[補題1.3]のｄ＝1の特別な場合になっています。

[補題1.3]:ｄを正の有理数とすると,次の条件(ⅰ)～(ⅲ)は全て同値である。

ⅰ)３辺の長さが有理数で面積がｄの直角三角形が存在する。

(ⅱ)有理数の平方となる３つの数で,公差がｄの等差数列をなすものが存在する。

(ⅲ)ｙ²＝ｘ³－ｄ²ｘの有理数解が(ｘ,ｙ)＝(0,0),(±ｄ,0)以外にも存在する。

[補題1.3]の条件(ⅰ)～(ⅲ)は,それぞれ次の[補題1.4]でＫ＝Ｑとしたときに与えられる集合Ａ_d,Ｂ_d,Ｃ_dが空集合でないことを意味するので,[補題1.4]が成立することを示せば[補題1.3]も従います。

[補題1.4]:Ｋを標数が２でない体とするとき,ｄ∈Ｋに対して集合Ａ_d,Ｂ_d,Ｃ_dをＡ_d≡{(ｘ,ｙ,ｚ)∈Ｋ×Ｋ×Ｋ;ｘ²＋ｙ²＝ｚ²,ｘｙ/2＝ｄ},Ｂ_d≡{(ｕ,ｖ,ｗ)∈Ｋ×Ｋ×Ｋ;ｕ²＋ｄ＝ｖ²,ｖ²＋ｄ＝ｗ²},Ｃ_d≡{(ｘ,ｙ)∈Ｋ×Ｋ;ｙ²＝ｘ³－ｄ²ｘ,ｙ≠0}と定義する。

　このとき,Ａ_d,Ｂ_d,Ｃ_dの間に全単射が存在する。

(ただし標数というのはＲを環とするとき,その乗法の単位元をいくつ加えたらゼロになるかという最小の数のことを意味します。通常の有理数体Ｑなどを環と考えたときの標数はゼロです。)

(証明)まず,(ｘ,ｙ,ｚ)∈Ａ_d,すなわちｘ²＋ｙ²＝ｚ²,ｘｙ/2＝ｄのとき,(ｕ,ｖ,ｗ)＝((ｙ－ｘ)/2,ｚ/2, (ｘ＋ｙ)/2)とすれば,ｕ²＋ｄ＝ｖ²,ｖ²＋ｄ＝ｗ²,より(ｕ,ｖ,ｗ)∈Ｂ_dです｡

　逆に,(ｕ,ｖ,ｗ)∈Ｂ_dなら,(ｘ,ｙ,ｚ)＝(ｗ－ｕ,ｗ＋ｕ,2ｖ)とすれば(ｘ,ｙ,ｚ)∈Ａ_dです。これは互いに逆写像となる全単射です。

　次に(ｕ,ｖ,ｗ)∈Ｋ×Ｋ×Ｋ;ｕ²＋ａ＝ｖ²＋ｂ＝ｗ²＋ｃのとき,(ｘ,ｙ)＝ｆ(ｕ,ｖ,ｗ)≡(ｕ²＋ａ＋ｕｖ＋ｖｗ＋ｗｕ,(ｕ＋ｖ)(ｖ＋ｗ)(ｗ＋ｕ))とすれば,ｙ²＝(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)(ｘ－ｃ)となります｡

　これには逆写像が存在し,それはｇ(ｘ,ｙ)＝({(ｘ－ａ) ²＋(ｂ－ａ)(ｃ－ａ)}/(2ｙ),{(ｘ－ｂ) ²＋(ｃ－ｂ)(ａ－ｂ)}/(2ｙ),{(ｘ－ｃ) ²＋(ｂ－ｃ)(ａ－ｃ)}/(2ｙ))で与えられます。

　特にａ＝ｄ,ｂ＝0,ｃ＝－ｄとおけば,これはＢ_d ⇔ Ｃ_d の全単射を表わします。(証明終わり)

※[補題1.4]の証明からのおまけ:

　[補題1.4]の結論のような全単射ではないですが,(ｕ,ｖ,ｗ)∈Ｋ×Ｋ×Ｋ;ｕ²＋ａ＝ｖ²＋ｂ＝ｗ²＋ｃに対する写像を,(ｘ,ｙ)＝ｈ(ｕ,ｖ,ｗ)≡(ｕ²＋ａ,ｕｖｗ)で定義すれば,明らかにｙ²＝ｕ²ｖ²ｗ²＝(ｘ－ａ)(ｘ－ｂ)(ｘ－ｃ)となります｡ ※

さて,以下ではＫ＝Ｑとして[命題1.2]を証明します。

まず,有理数ａ∈Ｑの高さＨ(ａ)を,ａをａ＝ｍ/ｎと既約分数に表わしたときＨ(ａ)≡max(ｍ,ｎ)によって定義します。

そして,ｙ²＝ｘ³－ｘに(0,0),(±1,0)以外にも有理数解が存在すると仮定しｘ座標の高さが最小のものを(ｘ₀,ｙ₀)とします。

もしもｘ座標の高さが最小の有理数解が複数個あればその中の１つを(ｘ₀,ｙ₀)とします。

一般に,ｙ²＝ｘ³－ｄ²ｘに(0,0),(±ｄ,0)以外の有理数解(ｘ,ｙ)が存在すれば,もちろんｘ≠0,ｙ≠0 ですが,この等式の両辺にｄ⁴/ｘ⁴を掛けると(ｄ²ｙ/ｘ²)²＝ｄ⁴/ｘ－(ｄ²/ｘ)³となります。

そこで,ｙ²＝ｘ³－ｄ²ｘに(0,0)と異なる有理数解(ｘ,ｙ)∈Ｑ×Ｑが存在すれば,(－ｄ²/ｘ,ｄ²ｙ/ｘ²)も(0,0)と異なる有理数解です。

ここで,特にｄ＝1とすると,もしもｙ²＝ｘ³－ｘに(0,0)とは異なる有理数解(ｘ,ｙ)∈Ｑ×Ｑが存在すれば,(－1/ｘ,ｙ/ｘ²)も同じ楕円曲線上にある有理数解であるということになります。

そしてＨ(ｘ)＝Ｈ(－1/ｘ)ですから,ｘ₀＜0 の場合には－1/ｘ₀ を新しくｘ₀に取っても,高さは同じなので問題ないことがわかります。そこで,ｘ₀＞0 を満たすｙ²＝ｘ³－ｘの解を(ｘ₀,ｙ₀)として採用します。

こう選ぶと,ｙ₀²＝ｘ₀³－ｘ₀により,ｘ₀(ｘ₀－1)(ｘ₀＋1)＝ｙ₀²＞0 であって,かつｘ₀＞0 ですからｘ₀＞1です。

このとき,ｘ₀'≡(ｘ₀＋1)/(ｘ₀－1)と置くとｘ₀'－1＝2/(ｘ₀－1),ｘ₀'＋1＝2ｘ₀/(ｘ₀－1)により,ｘ₀'(ｘ₀'－1)(ｘ₀'＋1)＝4ｘ₀(ｘ₀＋1)/(ｘ₀－1)³＝4ｙ₀²/(ｘ₀－1)⁴＝{2ｙ₀/(ｘ₀－1)²}²となります。

そこで,ｘ₀'≡(ｘ₀＋1)/(ｘ₀－1),ｙ₀'≡2ｙ₀/(ｘ₀－1)²と置けば,(ｘ₀',ｙ₀')∈Ｑ×Ｑであり,かつｘ₀'(ｘ₀'－1)(ｘ₀'＋1)＝ｙ₀'²,またはｙ₀'²＝ｘ₀'³－ｘ₀'が成立します。

ｘ₀＞1,ｘ₀∈Ｑなのでｘ₀≡ｍ/ｎ(ｍ＞ｎ＞0:既約分数)と置くと,ｘ₀'＝(ｘ₀＋1)/(ｘ₀－1)＝(ｍ＋ｎ)/(ｍ－ｎ)＝(ｍ＋ｎ)/(ｍ－ｎ)となります。

ｍ/ｎは既約分数なのでｍ,ｎが共に偶数であることはあり得ませんが,もしも共に奇数ならｐ＝(ｍ＋ｎ)/2,ｑ＝(ｍ－ｎ)/2は共に整数でｘ₀'＝ｐ/ｑであり,max(ｐ,ｑ)＜max(ｍ,ｎ),つまりＨ(ｘ₀')＜Ｈ(ｘ₀)ですから,ｘ₀の高さが最小であるという仮定に矛盾します。

それ故,ｍ,ｎのどちらか一方は偶数です。そして,ｘ₀(ｘ₀－1)(ｘ₀＋1)＝ｍｎ(ｍ－ｎ)(ｍ＋ｎ)/ｎ⁴ですが,これが有理数ｙ₀の平方に等しいので,明らかにｍｎ(ｍ－ｎ)(ｍ＋ｎ)はある整数の平方です。

なぜなら,ｍｎ(ｍ－ｎ)(ｍ＋ｎ)はｎ⁴ｙ₀²ですから,これは整数であってかつ有理数ｎ²ｙ₀の平方だからです。

ｍ/ｎが既約分数なので,ｍとｎは互いに素です。そこで,結局ｍ,ｎ,(ｍ－ｎ),(ｍ＋ｎ)は全て互いに素です。

したがって,ｍｎ(ｍ－ｎ)(ｍ＋ｎ)が平方数になるためにはｍ,ｎ,(ｍ－ｎ),(ｍ＋ｎ)が各々平方数である必要があります。(これは素因数分解可能性からの帰結です。)

それ故,ｘ₀＝ｍ/ｎ,ｘ₀－1＝(ｍ－ｎ)/ｎ,ｘ₀＋1＝(ｍ＋ｎ)/ｎは全て有理数の平方数です。

さて,[補題1.4]の証明とそのおまけから,(ｕ,ｖ,ｗ)＝ｇ(ｘ,ｙ)とｈ(ｕ,ｖ,ｗ)＝(ｕ²＋ａ,ｕｖｗ)を合成した写像ｈ・ｇを作ります。ただし,今の場合ａ＝1,ｂ＝0,ｃ＝－1とします。

任意の(ｘ₁,ｙ₁)∈Ｑ×Ｑのｇによる像を(ｕ₁,ｖ₁,ｗ₁)＝ｇ(ｘ₁,ｙ₁)とし,さらに(ｕ₁,ｖ₁,ｗ₁)∈Ｑ×Ｑ×Ｑのｈによる像を(ｘ₂,ｙ₂)＝ｈ(ｕ₁,ｖ₁,ｗ₁)とします。(ｘ₂,ｙ₂)＝ｈ・ｇ(ｘ₁,ｙ₁)ですね。

このとき,ｙ₂²＝ｕ₁²ｖ₁²ｗ₁²＝(ｘ₂－1)ｘ₂(ｘ₂＋1)ですから,ｘ₂－1,ｘ₂,ｘ₂＋1は全て有理数の平方数です。

逆に言えば,ｙ₂²＝(ｘ₂－1)ｘ₂(ｘ₂＋1)を満たす(ｘ₂,ｙ₂)∈Ｑ×Ｑで,ｘ₂－1,ｘ₂,ｘ₂＋1が全て有理数の平方である場合なら,ｈ・ｇ(ｘ₁,ｙ₁)＝(ｘ₂,ｙ₂)を満たす(ｘ₁,ｙ₁)∈Ｑ×Ｑが常に１組だけ存在することがわかりました。

ところで,すぐ前で見たようにｘ₀＝ｍ/ｎ,ｘ₀－1＝(ｍ－ｎ)/ｎ,ｘ₀＋1＝(ｍ＋ｎ)/ｎは全て有理数の平方数です。

そこで,ｈ・ｇ(ｘ_p,ｙ_p)＝(ｘ₀,ｙ₀)を満たす(ｘ_p,ｙ_p)∈Ｑ×Ｑが,存在します。

(ｕ_p,ｖ_p,ｗ_p)＝ｇ(ｘ_p,ｙ_p)よりｕ_p＝{(ｘ_p－1)²－2}/(2ｙ_p)でｘ₀＝ｕ_p²＋1,ｙ_p²＝ｘ_p³－ｘ_pです。

故に,ｘ₀＝ｕ_p²＋1＝{(ｘ_p－1)²－2}²/{4(ｘ_p³－ｘ_p)}＋1＝(ｘ_p²＋1)²/{4(ｘ_p³－ｘ_p)}です。有理数ｘ_pを互いに素な整数ｒ,ｓによる既約分数としてｘ_p＝ｒ/ｓと表わします。

このとき,ｘ₀＝(ｒ²＋ｓ²)²/{4ｒｓ(ｒ²－ｓ²)}です。

まず,ｘ₀＞1ですから,分母より分子の方が大きいので(ｒ²＋ｓ²)²＞4ｒｓ(ｒ²－ｓ²)です。

そして,ｘ_p＝ｒ/ｓは既約分数ですからｒとｓは互いに素なので,分子の(ｒ²＋ｓ²)²と分母のｒｓは明らかに共通因数を持ちませんから,分母と分子が共通因数を持つとすれば,ｒ²＋ｓ²と４,またはｒ²－ｓ²が共通因数を持つ場合に限られます。

このとき,もしもｒ,ｓが共に奇数ならｒ²＋ｓ²は４で割ると余りが２の偶数,ｒ²－ｓ²は４の倍数です。

(ｒ²＋ｓ²)²は丁度４の倍数ですから,今のｘ₀の分数表現で分子,分母は共通因数４を持ちます。

したがって,この場合にはＨ(ｘ₀)≧(ｒ²＋ｓ²)²/4≧{max(ｒ,ｓ)}⁴/4＞max(ｒ,ｓ)＝Ｈ(ｘ_p)です。

ただし,右辺の最後の不等式:{max(ｒ,ｓ)}⁴/4＞max(ｒ,ｓ)では,ｘ_p＝ｒ/ｓ＞１によりＨ(ｘ_p)＝max(ｒ,ｓ))≧2なることを考慮しました。

他方,ｒ,ｓの一方が奇数,もう一方が偶数ならｒ－ｓ,ｒ＋ｓは共に奇数で,共通因数を持ちません。そしてｐ≡ｒ－ｓ,ｑ≡ｒ＋ｓと置けばｒ²－ｓ²＝ｐｑ,ｒ²＋ｓ²＝(ｐ²＋ｑ²)/2,ｒｓ＝(ｐ²－ｑ²)/4です。

結局,ｘ₀＝(ｐ²＋ｑ²)²/{4ｐｑ(ｐ²－ｑ²)}と書けますから,片方だけが奇数の(ｒ,ｓ)の組が共に奇数の(ｐ,ｑ)に置き換えられただけで,ｘ₀の分数表現は前と全く同じ形をしています。

それ故,前と同じく分子,分母は共通因数４のみを持ちます。

そこで,この場合にもＨ(ｘ₀)≧(ｐ²＋ｑ²)²/4≧{max(ｐ,ｑ)}⁴/4＞max(ｐ,ｑ)＞max(ｒ,ｓ)＝Ｈ(ｘ_p)となります。

以上から,既約分数ｘ_p＝ｒ/ｓ＞１のｒ,ｓが共に奇数の場合,一方が奇数,もう一方が偶数の場合のいずれであっても,Ｈ(ｘ₀)＞Ｈ(ｘ_p)になるという結果が得られました。これはｘ₀の高さＨ(ｘ₀)が最小であるという仮定に矛盾します。

それ故,(ｘ,ｙ)＝(0,0),(±1,0)以外のｙ²＝ｘ³－ｘを満たす高さＨ(ｘ)が最小の(ｘ,ｙ)＝(ｘ₀,ｙ₀)は存在しないと結論されます。

これは,[命題1.2]の結論が成立することを意味しますから,結局,[命題1.2]が成立することが示されたわけです。

そして最初に述べたように,[命題1.2]が成立することは[命題1.1]が成立することを意味するので,結局,"ｘ⁴＋ｙ⁴＝ｚ⁴を満たす自然数ｘ,ｙ,ｚは存在しない。"ことが証明されました。

この証明方法はフェルマー自身が無限降下法と呼んだ方法です。

今日はここまでにします。 

参考文献:加藤和也,黒川信重,斉藤 毅著「数論I」(Fermatの夢と類体論)(岩波書店)

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デデキントの切断(補遺)

　実は,昔の大学入学時の頃のノートを忠実に再現すると,ブログにまとめたものよりもはるかに泥臭いものです。

　かつて,19世紀にラグランジュ(Lagrange)などが,それまでは無批判に使用していた級数などの収束性の論議を見直さざるを得なかったのと同じ,というのはおこがましいのですが,私もそれなりに悩んだようです。

　大学に入って,高校までに勉強していた付け焼刃のような極限や微積分の概念を,コーシー(Cauchy)が創始した,いわゆるε-δ論法に代表される近代無限小解析の手法で見直す,などと関連して,私的理解を助けるための,かなり細かい書き込みがノートのそこかしこにあります。

　当時,それらの見慣れない概念を受容するために,かなり悩んだ後が見られたりします。

例えば,前記事では煩雑になるので省略したα1^*＝1^*α＝αの証明なども,かなり苦労してやっていたようです。

結局は|α|1^*＝|α|を示せばいいわけですから,ｐ∈|α|1^*ならｐ＝ｓｔ;ｓ∈|α|,ｔ＜1と書けるので,ｐ＝ｓｔ＜ｓですからｐ∈|α|,逆にｐ∈|α|ならｑ＞ｐ,ｑ∈|α|なるｑが存在してｑ＞0 の場合ｐ＝ｑ(ｑ/ｐ)よりｐ∈|α|1^＊となるという簡単明快なものです。

この証明の記述１つにしても,元々はスミルノフ著の「高等数学教程」や高木貞治著の「解析概論」など比較的古い記述の書物を参照していて,最終的に,W.Rudinというテキストに到達したようです。

ところで,前記事では急いでいたせいもあって,肝心の最後の実数の連続性を保証する"デデキントの定理(Dedekind's　theorem)"なるものが解析学にとって一体,何の意味を持つのか？ということなどについて書き漏らしていたので,ここに補足しておきます。

そもそも,前述の"デデキントの定理"は,"デデキントの切断(連続性)公理"と呼ばれることも多く,何もわざわざ有理数から無理数を含む実数を,"有理数の集合＝切断"として定義する,という前記事のような手間をかけるほどのことはなく,単にこれを公理として受容してもよいくらいのものだともいえます。

要するに,実数に対して"デデキントの定理",あるいは"デデキントの切断公理"が成立すれば,上に有界な実数集合には上限,つまり最小上界があり,下に有界な実数集合には下限,つまり最大下界があることがいえる,ということが重要なのです。

結局,私など高校の数Ⅲでは証明なしでごまかしのような説明付きで無理に記憶させられていた,"変数が有界で単調に変動するなら,それには有限な極限値が存在する。"というような極限の存在についての法則もが証明できるようになる,というくらいの意味しかないのですね。

まあ,デデキントの切断など知らなくても,"上に有界な実数集合には上限＝最小上界があり,下に有界な実数集合には下限＝最大下界がある"ことを公理として,出発しても大した差はないのですが。。。

この定理,あるいは公理の効用について,さらに述べるなら実数の完備性くらいですかね。

つまり,実数によるコーシー列は必ず有限な極限値に収束する,という命題が成立するためには,実数の連続性が必要なんですね。

そして,結局,ｎ次元ユークリッド空間Ｒⁿの完備性も実数の連続性に基づいて保証されるわけです。 

これらを具体的に述べるには,まず有界という言葉の定義から出発する必要があります。

[定義１](有界)

　実数の集合:Ｅ⊂Ｒがあるとする。

　実数ｙ∈Ｒが存在して,∀ｘ∈Ｅに対してｘ≦ｙが成立するとき,Ｅは上に有界であるといい,ｙをＥの上界と呼ぶ。

　一方,実数ｚ∈Ｒが存在して,∀ｘ∈Ｅに対してｚ≦ｘが成立するとき,Ｅは下に有界であるといい,ｚをＥの下界と呼ぶ。

　Ｅが上にも下にも有界であるときには,Ｅは有界であると言う。

実数から成る数列{ｘ_n}が有界であるとは,全てのｘ_nの集合{ｘ_n:ｎ＝1,2,..}が有界であることを言う。

[定義２](上限,下限)

　実数の集合Ｅ⊂Ｒが上に有界であるとき,ｙがＥの１つの上界でありｘ＜ｙならｘはＥの上界とは成り得ないときには,ｙをＥの最小上界＝lubＥ(lub of Ｅ),あるいはＥの上限＝supＥ(sup of Ｅ)と呼ぶ。

　別の言い方をするなら,ｙはＥの１つの上界であって,任意のε＞0 に対してｙ－ε＜ｘ≦ｙなるｘ∈Ｅが存在するとき,ｙをＥの上限と呼びｙ＝supＥと書く。

実数の集合:Ｅ⊂Ｒが下に有界のとき,ｚはＥの１つの下界であってｚ＜ｘならｘはＥの下界とは成り得ないとき,ｚをＥの最大下界＝glbＥ(glb of Ｅ),あるいはＥの下限＝infＥ(inf of Ｅ)と呼ぶ。

別の言い方をすれば,ｚはＥの１つの下界であって,任意のε＞0 に対してｚ≦ｘ＜ｚ＋εなるｘ∈Ｅが存在するとき,ｚをＥの下限と呼びｚ＝infＥと書く。

[定理1](上限,下限)

　実数の集合:Ｅ⊂Ｒが上に有界でＥ≠φとする。このときＥの上限supＥが存在する。

　また,実数の集合Ｅ⊂Ｒが下に有界でＥ≠φとする。このときＥの下限infＥが存在する。

(証明)Ａ≡{α∈Ｒ|α＜ｘなるｘ∈Ｅが存在する。}とし,Ｂ≡Ａ^c＝Ｒ－Ａとします。

　このとき,ｙ∈ＡならｙはＥの上界では有り得ず,ｙ∈Ｂなら,∀ｘ∈Ｅに対してｘ≦ｙが成立するので,ｙはＥの上界です。つまり,ＢはＥの上界全部の集合になっています。

そして,明らかにＡ∪Ｂ＝Ｒ⊂Ｒ,Ａ∩Ｂ＝φです。

また,Ｅ≠φなので,あるｘ∈Ｅが存在します。

そして,α∈Ｒはα＜ｘならα∈ＡなのでＡ≠φです。

また,Ｅ⊂Ｒが上に有界なのでＢ≠φです。

それ故,デデキントの定理によってＡが最大数を含むかＢが最小数を含むかのいずれかです。

ところが∀α∈Ａについて,α＜ｘなるｘ∈Ｅが存在するのでこのｘに対してα'≡(α＋ｘ)/2と置けばα＜α'＜ｘですからα＜α'なるα'∈Ａが存在するためＡは最大数を持ちません。

したがってＢ＝(Ｅの上界の集合)が最小数を持ちます。これはＥの最小上界＝Ｅの上限supＥです。

後半のＥの下限infＥの存在についても同様なので,後半の証明に関しては省略します。

(証明終わり)

※よくある解析学や微積分学の初歩的なテキストでは,実数の集合が有界のとき上限,あるいは下限が存在するというこの定理を公理のように理論の出発点としているものもあるようです。

　我々のような物理屋であれば,必ずしもデデキンドの切断のような数学的に微妙な論題まで知る必要はないかも知れません。

[定理２] 実数から成る数列{ｘ_n}が有界で単調に変動するならば,これはｎ→ ∞に対して有限な極限値に収束する。

(証明) 数列{ｘ_n}が上に有界で単調非減少とすると,Ｅ≡{ｘ_n:ｎ＝1,2,..}は上に有界です。したがって上限β≡supＥが存在して,ｘ_n≦β(ｎ＝1,2,..)が成立します。

　任意のε＞0 が与えられたとすると,上限の定義によって,あるＮが存在してβ－ε＜ｘ_N≦βが成立します。

　そして{ｘ_n}は単調非減少数列なのでｎ≧Ｎならｘ_N≦ｘ_nです。 

したがって,ｎ≧Ｎならβ－ε＜ｘ_N≦ｘ_n≦βが成立します。つまり,ｎ≧Ｎなら常に|β－ｘ_n|＜εです。

これは,β＝lim_n→∞ｘ_nを意味します。

この場合には,極限値は上限に一致します。一方,数列{ｘ_n}が下に有界で単調非増加の場合に,{ｘ_n}が下限に収束することも,同様にして証明できます。

(証明終わり)

[定理３] 実数の有限区間の列:[ａ₁,ｂ₁],[ａ₂,ｂ₂],..,[ａ_n,ｂ_n],..が与えられ,どの区間も先行する区間に含まれるとする。

　つまり,[ａ_n,ｂ_n]⊂[ａ_n-1,ｂ_n-1],またはａ_n≧ａ_n-1,かつｂ_n≦ｂ_n-1とする。

　そしてｎ→ ∞ に対して区間の長さｃ_n≡ｂ_n－ａ_nがゼロに収束する,つまりｃ_n→ 0  as ｎ→ ∞ のとき,数列{ａ_n}と{ｂ_n}は共通の極限値に収束する。(この有限区間の列は縮小区間列と呼ばれます。)

(証明) 仮定によって,ａ₁≦ａ₂≦..≦ａ_n-1≦ａ_n≦ｂ_n≦ｂ_n-1≦..≦ｂ₁です。したがって,数列{ａ_n}は上に有界で単調非減少なので,ある極限値αが存在してlim_n→∞ａ_n＝α≦ｂ₁です。

　lim_n→∞ｃ_n＝lim_n→∞(ｂ_n－ａ_n)＝0 ですからlim_n→∞ｂ_n＝lim_n→∞(ａ_n＋ｃ_n)＝αも得られます。

　(証明終わり)

[定理４](コーシーの収束判定条件(Cauchy's criterion))＝(完備性)

　実数から成る数列{ｘ_n}が有限な極限値に収束するための必要十分条件は”予め与えられた任意の正の数εに対して,あるＮが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する”ことである。

(証明) 必要性:{ｘ_n}が有限な極限値に収束するならば,"予め与えられた任意の正の数εに対して,あるＮが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する"のは明らかです。

十分性を証明するため,"予め与えられた任意の正の数εに対して,あるＮが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する"と仮定します。

仮定によって,あるＮ₁が存在してｍ≧Ｎ₁,かつｎ≧Ｎ₁なら|ｘ_m－ｘ_n|＜1ですから,ｋ≧Ｎ₁なら|ｘ_k－ｘ_N1|＜1が成立します。

すなわち,ｋ≧Ｎ₁ならｘ_N1－1＜ｘ_k＜ｘ_N1＋1,あるいはｘ_k∈[ｘ_N1－1,ｘ_N1＋1]です。

同様にＮ₂≧Ｎ₁なるＮ₂が存在して,ｋ≧Ｎ₂ならｘ_N2－(1/2)＜ｘ_k＜ｘ_N2＋(1/2),あるいはｘ_k∈[ｘ_N2－(1/2),ｘ_N2＋(1/2)]です。

そこで,これを繰り返して,ｍ＝1,2,..,,ｍ－1,ｍ,..について,Ｎ_m≧Ｎ_m-1≧..≧Ｎ₂≧Ｎ₁なるＮ_mの列が存在して,ｋ≧Ｎ_mならｘ_Nm－(1/ｍ)＜ｘ_k＜ｘ_Nm＋(1/ｍ),あるいはｘ_k∈[ｘ_Nm－(1/ｍ),ｘ_Nm＋(1/ｍ)]と書くことができます。

そこで,ａ_m≡ｘ_Nm－(1/ｍ),ｂ_m≡ｘ_Nm＋(1/ｍ)と置けばｘ_k∈[ａ_n,ｂ_n] (ｎ＝1,2,..)であり,区間列{[ａ_n,ｂ_n]}は前定理３の仮定である実数の縮小区間列[ａ₁,ｂ₁],[ａ₂,ｂ₂],..,[ａ_n,ｂ_n]..に他なりませんから,数列{ａ_n}と{ｂ_n}は共通の極限値に収束します。

その共通の極限値をαとすれば,lim_n→∞ａ_n＝lim_n→∞ｂ_n＝α,かつｘ_k∈[ａ_n,ｂ_n]ですからlim_n→∞ｘ_n＝αも成立します。

(証明終わり)

ここで,これらの実数空間Ｒにおける定理をｎ次元ユークリッド空間Ｒⁿに一般化してみます。

ユークリッド空間は１種の距離空間ですから,差し支えない場合には距離空間の言葉を用います。

[定義３](距離空間)

　元のことを点と呼ぶ集合Ｘが距離空間であるとは,∀ｘ,ｙ∈Ｘに対して,これらの距離と呼ばれる実数ｄ(ｘ,ｙ)≧0 が定まっていて,次の３つの性質を満たすことをいう。

　厳密にはＸだけではなく(Ｘ,ｄ)の組を距離空間と呼ぶ。

３つの性質とは,(ａ)ｘ≠ｙならｄ(ｘ,ｙ)＞0;ｄ(ｘ,ｘ)＝0　(ｂ)ｄ(ｘ,ｙ)＝ｄ(ｙ,ｘ) (ｃ)∀ｚ∈Ｘに対し,ｄ(ｘ,ｙ)≦ｄ(ｘ,ｚ)＋ｄ(ｚ,ｙ)です。

※例えばｎ次元ユークリッド空間:Ｒⁿならｘ≡(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n),ｙ≡(ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)∈Ｒⁿに対して,距離を絶対値で定義する,ｄ(ｘ,ｙ)≡|ｘ－ｙ|≡{Σ_k=1ⁿ(ｘ_k－ｙ_k)²}^1/2定義すれば,(Ｒⁿ,| |)の組は距離空間になります。

以下,集合と言えば距離空間Ｘの部分集合であることを暗黙の了解事とします。

[定義４](有界)

　集合Ｅ⊂Ｘが有界であるとは,実数Ｍとある点ｙ∈Ｘがあって,∀ｘ∈Ｘに対してｄ(ｘ,ｙ)＜Ｍが成立することをいう。

[定義５](収束点列)

　距離空間Ｘの点列{ｘ_n}が収束するとは,ある点α∈Ｘが存在して,任意のε＞0 に対して整数Ｎが存在してｎ≧Ｎならばｄ(ｘ_n,α)＜εが成立することをいう。

[定義６](コーシー列と完備性)

　距離空間Ｘの点列{ｘ_n}がコーシー列であるとは,任意のε＞0 に対し整数Ｎが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎならｄ(ｘ_m,ｘ_n)＜εが成立することをいう。

　そして距離空間Ｘの任意のコーシー列が収束するとき,Ｘは完備である,という。

※定理４から実数の空間Ｒは完備であることがわかります。

　これを少し拡張すればｎ次元ユークリッド空間Ｒⁿも完備である,ことがわかります。

　一般の距離空間は必ずしも完備ではありませんが,あるコーシー列に関する同値類を作ることによって完備化することが可能です。

参考文献:Walter.Rudin「Principles of Mathematical Analyss」second Edition(McGrawHill)

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デデキントの切断(Dedekind cut)

　物理学関係についての話ばかり書くのも少し疲れたので,ちょっと数学に浮気します。

　それも19世紀の解析学の話で息抜きします。手抜きして,約39年も前の大学１～２年の頃書いたと思われる化石的なノートから引用します。

当時の私は学生運動クラブがメインで,その暇に細々,コツコツと数学の勉強をしていた程度でした。

専攻学科は理学部の物理学科でしたが,物理学に目覚めたのは大学院に入ってからで,大学５年間(１年留年)で自然科学関係で真剣に勉強したという記憶があるのは数学だけです。

必須単位を取って卒業できたのですから,物理学もやったのでしょうが,その成績は目茶目茶だったし,物理は試験前の一夜漬けくらいしか記憶にありません。

大学５年目の９月に幾つか他大学の大学院の物理学専攻を受けたのですが,物理学については１ヶ月か２ヶ月漬け程度の試験勉強でしたかね,入試の１つに合格したのも,恐らく数学の成績によるのでしょうね。

当時の参考書は洋書ですが,Walter.Rudin著の「Principles of Mathematical Analysis」でした。今取って見ると,McGraw-HillのRiprint版ですが,ボロボロですね。

後に共立出版から「現代解析学」というそれの訳が出ているはずですが,そちらは所持していません。

余談はさておき,以下本文です。

まだ,数としては有理数しか存在しない世界から実数という新しい実体を定義します。まず,Ｑを有理数全体の集合とします。

このとき,例えばｐ∈Ｑ,かつｐ²＝２を満たす元ｐは探しても存在せず,それ故,集合Ａ⊂ＱをＡ≡{ｐ∈Ｑ|ｐ≦0,またはｐ＞0,かつｐ²＜２}と定義すれば,Ａには最大数が存在しないことが簡単な考察からわかります。

また,ＱにおけるＡの補集合Ｂ≡Ａ^c＝Ｑ－Ａには最小数が存在しないこともわかります。

つまり,有理数体だけでは,数直線上には多くのギャップがあって,連続性は満たされないことがわかります。

そこで,こうしたことが"連続性を満たす新しい数＝実数"の導入の動機付けとなるわけです。

まず切断の定義です。デデキント(Dedekind)が導入したので一般にデデキントの切断(Dedekind cut)と呼ばれています。

[定義 0]集合α⊂Ｑが次の３条件を満たすとき,αを切断という。

　(ⅰ)α≠φ,α≠Ｑである。(ⅱ)ｐ∈α,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐならばｑ∈αである。(ⅲ)αは最大数を含まない。つまり,∀ｐ∈αに対してｐ＜ｒ,ｒ∈αなるｒ∈Ｑが存在する。の３条件である。

[定理Ａ1]ｐ∈αであるがｑ∈αでないならｐ＜ｑである。

(以下では"ｑ∈αでない"という文については論理記号の否定:￢を用いて,"￢ｑ∈α"と表現することもあります。)

(証明) (ⅱ)により,ｐ∈α,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐならｑ∈αです。

　またｑ＝ｐなら,もちろんｑ∈αです。

　したがってｑ≦ｐならｑ∈αですから,ｑ∈αでない(￢ｑ∈α)ならｐ＜ｑです。

　(証明終わり)

※     上の定理の結果により,αの元をlower numberと呼び,有理数であってαに属さないものについてはαの元より大きいのでupper numberと呼びます。

[定理Ａ2]ｒ∈Ｑに対してα≡{ｐ∈Ｑ|ｐ＜ｒ}と置くと,αは切断であって,ｒはαの最小のupper numberです。

(証明) αが(ⅰ),(ⅱ)を満たすのは自明です。(ⅲ)は∀ｐ∈αに対してｐ＜(ｐ＋ｒ)/2＜ｒ,(ｐ＋ｒ)/2∈αから明らかです。

　(証明終わり)

[定義１]上の定理で切断であると証明された集合αを特に有理数ｒに関する有理切断と呼び,これをｒ^*で表わす。

　次は,大小関係(順序関係)の定義です。

[定義２] α,βを切断とするとき,これが集合として等しいとき,これらは等しいと言い,α＝βと書く。

　またｐ∈βであるが,ｐ∈αでないようなｐ∈Ｑが１つでも存在すればα＜β,あるいはβ＞αと書く。

　そして,α≦βなる表現は,α＝βまたはα＜βを意味し,α≧βはα＝βまたはα＞βを意味する。

[定理Ａ3] α,βを切断とするとき,α＝βかα＜βをβ＜αのいずれか１つが成り立ち,２つ以上同時に成り立つことはない。

(証明) 手順を追って定義を確かめるだけなので省略します。

[定理Ａ4] α,β,γを切断とするとき,α＜βかつβ＜γならばα＜γである。

(証明) これも手順を追って定義を確かめるだけなので省略します。

※注:これら切断と呼ばれる有理数集合の各々が１つ１つの実数の各々に同一視されて対応する,というのがデデキントの着想です。

　次に,四則演算です。

[定理１]α,βを切断とするとき,γ≡{ｐ＋ｑ|ｐ∈α,ｑ∈β}と置けばγも切断である。

(証明)γが上記の３条件を満たすことを１つずつ順を追って示せばよくて論理的に簡単なので省略します。

　当時の私のノートには律儀に証明が書いてありますが,まあ,当時は初学者だったので当然ですね。。。

[定義３](加法:足し算)

　上記の定理１で切断であると証明されたγをα＋βと書き,αとβの和と定義します。

[定理２](交換法則,結合法則,ゼロ元)

α,β,γを切断とする。

(ａ)α＋β＝β＋α (ｂ)(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)

(ｃ)α＋0^＊＝α　が成立する。

(証明) (ａ),(ｂ)の成立は自明です。

　そこで(ｃ)の証明だけやってみます。

　まず,ｐ∈α＋0^*とします。このとき,ｐ＝ｑ＋ｒ;ｑ∈α,ｒ∈0^*なるｑ,ｒ∈Ｑが存在します。

　ｒ∈0^*より,ｒ＜0 ですからｐ＝ｑ＋ｒ＜ｑです。

　したがって,ｐ∈αが成立します。

　一方,逆にｐ∈αとするとαは切断ですから,ｐ＜ｑ,かつｑ∈αなるｑ∈Ｑが存在します。

　このｑによって,ｐ＝ｑ＋(ｐ－ｑ);ｑ∈α,(ｐ－ｑ)∈0^*と書けば,ｐ∈α＋0^*であることがわかります。

　以上からｐ∈α＋0^* ⇔ ｐ∈α,すなわち,α＋0^*＝αがいえます。

(証明終わり)

　※結合法則:(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)が成立するので,以後(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)を単にα＋β＋γと表記することもあります。

[定理３]αを切断とし,ｒ∈Ｑを任意の正の数(ｒ＞0)とする。

　このとき,ｒ＝ｑ－ｐを満たすｐ,ｑ∈Ｑであって,ｐ∈α,￢ｑ∈αでｑはαの最小のupper numberではないものが存在する。

(証明) まず,α≠φなので,ｓ∈αなる適当なｓを取り,ｓ_ｎ≡ｓ＋ｎｒ(ｎ＝0,1,2,..)とします。

　このとき,ｓ_ｍ∈α,￢ｓ_ｍ+1∈αなるｍが唯1つ存在するはずです。

　(こうしたｍが存在しないと仮定すると,α＝Ｑとなって切断であることに矛盾します。)

　そこで,ｐ≡ｓ_ｍ,ｑ≡ｓ_ｍ+1とおけば,ｐ∈α,￢ｑ∈αでｑ－ｐ＝ｒです。

　ただし,もしもｑ＝ｓ_ｍ+1がαの最小のupper numberなら,ｐ≡ｓ_ｍ＋ｒ/2,ｑ＝ｓ_ｍ+1＋ｒ/2とします。

　(証明終わり)

[定理４](逆元の存在)

　αを切断とすときα＋β＝0^*を満たす切断βが唯1つ存在する。

(証明) まず,α＋β＝0^*を満たす切断βが存在するとしてその一意性から証明します。

　すなわち,α＋β＝α＋β₁＝0^*とするとβ₁＝0^*＋β₁＝(α＋β)＋β₁＝(α＋β₁)＋β＝0^*＋β＝βです。

　次に,α＋β＝0^*を満たす切断βの存在証明です。

　そのために,集合β≡{ｐ∈Ｑ|￢(－ｐ)∈α,ただし(－ｐ)はαの最小upper numberではない。}を作ります。

　そして,まず集合βが１つの切断であることを証明します。

　すなわち,βが切断条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満足することを示します。

　まず,(ⅰ)β≠φ,β≠Ｑは明らかです。

　(ⅱ)ですが,ｐ∈β,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐと仮定すると,(－ｐ)＜(－ｑ)ですから,もしも(－ｑ)∈αなら(－ｐ)∈αとなり,￢(－ｐ)∈αに矛盾します。そこで(ⅱ)も成立します。

　次に(ⅲ)です。ｐ∈βであることは,(－ｐ)がαの upper numberであることを意味しますが,最小upper numberではないので∃ｑ∈Ｑ,(－ｑ)＜(－ｐ),かつ￢(－ｑ)∈α,

　すなわち,￢(－ｑ)∈α,かつｐ＜ｑです。

　そこでｒ≡(ｐ＋ｑ)/2とおけば,ｐ＜ｒ＜ｑ,つまり(－ｑ)＜(－ｒ)＜(－ｐ)なので￢(－ｒ)∈αです。

　しかも(－ｒ)はαの最小upper numberではありませんから,ｒ∈β,かつｐ＜ｒです。

　ｐはβの任意の元でしたから,βは最大数を含みません。

　これで(ⅲ)も成り立つことがわかりました。

したがって,βも切断ですから和の切断の有理数集合α＋βが定義できます。

そしてｐ∈α＋βとすれば,定義によってｑ∈α,ｒ∈βが存在してｐ＝ｑ＋ｒと書けます。

よってｑ∈α,￢(－ｒ)∈αですが「定理Ａ1:ｐ∈α,￢ｑ∈αならｐ＜ｑである。」によれば,これからｑ＜(－ｒ)が結論されます。

これを移項すればｐ＝ｑ＋ｒ＜0 となります。

それ故,結局ｐ∈0^* が結論されます。

　逆にｐ∈0^* を仮定すると,0^*の定義によりｐ＜0 ,すなわち,(－ｐ)∈Ｑは正の数:(－ｐ)＞0 です。

　ところが「定理３:αを任意の切断としてｒ∈Ｑを任意に与えられた正の数(ｒ＞0)とすると,ｒ＝ｑ－ｐを満足し,かつｐ∈α,￢ｑ∈αであってｑはαの最小のupper numberではないような有理数の組ｐ,ｑが存在する。」によれば,

　(－ｐ)＝(－ｒ)－ｑを満足し,かつｑ∈α,￢ｒ∈αであってｒはαの最小のupper numberではないような有理数ｑ,ｒの組が存在します。

　これは,ｐ＝ｑ＋ｒ,かつｑ∈α,ｒ∈βとできることを意味します。それ故,結局ｐ∈α＋βが結論されます。

　以上から,α＋β＝0^*が成立することがわかりました。

　すなわち,α＋β＝0^*を満たす切断βが確かに存在します。こうしたβが一意的であることは既にこの証明の最初で示しましたから,定理は全て証明されました。

　(証明終わり)

[定義４](逆元)

　上記の定理４で切断αに対して存在することが証明された切断βを(－α)と書きます。

[定理５] α,β,γを切断とするときβ＜γならばα＋β＜α＋γである。特にα＞0^*,かつγ＞0^*ならばα＋γ＞0^* である。

(証明) 大小関係の定義２によってβ＜γならばα＋β＜α＋γであることは自明です。

　そして特にβ＝0^*としてα＞0^*,かつγ＞0^*とすれば,α＋γ＞α＞0^*となります。

　(証明終わり)

[定理６]α,βを切断とする。このときα＋γ＝βを満たす切断γが唯１つ存在する。

(証明)γ≡β＋(－α)とすると,α＋γ＝α＋{β＋(－α)}＝0^*＋β＝βです。そして定理５からγ₁≠γならα＋γ₁≠α＋γなのでα＋γ＝βを満たす切断γは一意的です。

　(証明終わり)

[定義５](減法:引き算)

　上記の定理５で切断α,βに対して存在することが証明された切断γ≡β＋(－α)をβ－αと書き,αのβとの差と呼ぶ。

[定理６](乗法)

　α,βをα≧0^*,かつβ≧0^*なる２つの切断とする。このときγ≡{ｒ∈Ｑ|ｒ＜0 ,またはｒ＝ｐｑ,ｐ∈α,ｐ≧0;ｑ∈β,ｑ≧0 }と置けばγは切断である。

(証明)証明は加法α＋βと似たようなものなので省略します。

[定義６](乗法:掛け算)

　上記の定理６で切断α,βに対して定義された切断γをαβと表記し,αとβの積と呼ぶ。

　さらに任意の切断αについて,|α|≡α(if α≧0^*),－α(if α＜0^*)と定義すると,|α|も１つの切断であって,明らかに|α|≧0^*である。

　そして|α|＝0^*となるのはα＝0^*のとき,このときに限る。この|α|をαの絶対値と呼ぶ。

　α,βをα≧0^*,かつβ≧0^*ではない２つの切断とする。

　このときαβ≡－(|α||β|)(α＜0^*,かつβ≧0^*,またはα≧0^*,かつβ＜0^*),|α||β|(α＜0^*,かつβ＜0^*)によって積αβを定義する。積|α||β|については既に定義されている。

[定理７](加法と乗法の性質)

　α,β,γを切断とするとき,(ａ)αβ＝βα (ｂ)(αβ)γ＝α(βγ) (ｃ)α(β＋γ)＝αβ＋αγ (ｄ)α0^*＝0^* (ｅ) αβ＝0^* ⇔ α＝0^* or β＝0^* (ｆ)α1^*＝α (ｇ)0^*＜α＜β,かつγ＞0^*ならαγ＜βγである。

(証明)これら全ての証明もコツコツやればできるので省略します。

[定理８](除法)

　αをα≠0^*なる切断とする。また,βも１つの任意の切断とする。このときαγ＝βなる切断γが唯1つ存在する。

[定義７](除法:割り算)上記の定理８で切断α(α≠0^*),βに対して存在することが証明されたαγ＝βなる唯一の切断γをβ/αと書き,βのαによる商と呼ぶ。

[定理９](有理切断)ｐ,ｑ,ｒ,..etc.を有理数とする。このとき,(ａ)ｐ^*＋ｑ^*＝(ｐ＋ｑ)^*,(ｂ)ｐ^*ｑ^*＝(ｐｑ)^* ,(ｃ)ｐ^*＜ｑ^* ⇔ ｐ＜ｑ が成立する。

(証明)これも証明は略です。

[定理10]α,βをα＜βなる任意の切断とする。このとき,α＜ｒ^*＜βなる有理切断ｒ^*が存在する。

(証明) α＜βとします。定義によってｐ∈β,￢ｐ∈αなるｐ∈Ｑが存在します。ｐ＜ｒ,かつｒ∈βなるｒを取ると,もちろん￢ｒ∈ｒ^*ですから,ｒ^*＜βです。またｐ∈ｒ^*,￢ｐ∈αより,α＜ｒ^*です。

(証明終わり)

[定理11]αを任意の切断する。このとき,ｐ∈α ⇔ ｐ^*＜αである。

(証明) ｐ∈αのとき,￢ｐ∈ｐ^*ですから,ｐ^*＜αです。

　逆にｐ^*＜αのとき,ｑ∈α,￢ｑ∈ｐ^*なる有理数ｑが存在します。

　￢ｑ∈ｐ^*よりｑ≧ｐですからｐ∈αです。

　(証明終わり)

　かくして準備は整いました。

[定義８]各々の切断を実数と呼ぶ。有理切断は有理数と同一視する。

※     以下,実数全体(切断全体)の集合をＲとします。

[定理12](デデキントの定理)

　集合Ａ,Ｂを次の性質を持つＲの部分集合とする。

(ａ)Ｒ⊂Ａ∪Ｂ (ｂ)Ａ∩Ｂ＝φ (ｃ)Ａ≠φ,かつＢ≠φ (ｄ)α∈Ａ,β∈Ｂならばα＜β である。

　このとき,α≦γ for ∀α∈Ａ,かつγ≦β for ∀β∈Ｂなる唯一のγ∈Ｒが存在する。

　証明を実行する前に系も述べておきます。

[系] 定理12の仮定の元では,Ａが最大数を含むか,Ｂが最小数を含むかのいずれかである。

(定理12の証明) γ≡{ｐ∈Ｑ|ｐ∈α for some α∈Ａ}と置きます。

　まず,このγが確かに切断であることを証明します。

　Ａ≠φなので,α∈Ａなるαが少なくとも１つは存在しますから,γ≠φです。

　一方,Ｂ≠φなので,β∈Ｂなるβも存在します。

　当然,∀α∈Ａに対してα＜βです。そしてβ≠Ｑより,￢ｑ∈βなるｑ∈Ｑが存在します。

　このとき∀α∈Ａに対して,α＜βによって￢ｑ∈αです。それ故, ￢ｑ∈γです。

　以上から,切断条件(ⅰ)γ≠φ,かつγ≠Ｑが満たされることがわかりました。

次に,ｐ∈γ,ｑ＜ｐと仮定します。ｐ∈α for some α∈Ａですからこのαに対して切断の定義によりｑ∈αです。それ故,ｑ∈γです。

これで切断条件(ⅱ)も成立します。

また,ｐ∈γとすると,ｐ∈α for some α∈Ａです。

切断の定義によりｑ＞ｐなるｑ∈αが存在します。よって,ｑ＞ｐなるｑ∈γが存在します。

これで切断条件(ⅲ)も成立します。

以上でγは１つの切断であることが示されました。

したがってγは実数です。γ∈Ｒですね。

そしてγの定義から明らかに∀α∈Ａに対してｐ∈αならｐ∈γですからα≦γです。

一方,もしあるβ∈Ｂについてβ＜γなら,あるｐ∈Ｑが存在してｐ∈γ,かつ￢ｐ∈βです。

ｐ∈γより,あるα∈Ａに対しｐ∈αなります。

このαについては,ｐ∈α,かつ￢ｐ∈βですから,これはβ＜αを意味します。

これは∀α∈Ａに対してα＜βという前提に矛盾します。

以上から,∀β∈Ｂについてγ≦βです。以上で定理の前半の存在証明は終わりました。

一方,上記γと同じ性質の実数(切断)γ₁,γ₂が存在して大小関係がγ₁＜γ₂であるとすると,定理10によってγ₁＜γ₃＜γ₂を満たすγ₃∈Ｒが存在しますが,γ₃＜γ₂よりγ₃∈Ａ,γ₁＜γ₃よりγ₃∈Ｂ,つまりγ₃∈Ａ∩Ｂ＝φとなって矛盾です。したがって一意性も証明されました。

系については定理12のγがＡの最大数かＢの最小数になることは自明であり,前提(ａ)によってどちらか一方しか起こり得ないことは明らかです。

(証明終わり)

　まだ,ちょっとあるのですが,とりあえずここまでで終わります。

　丁度10年くらい前ですか,池袋の電子専門学校で非常勤講師をしていた時代に,数学の微積分学を教えて欲しいと頼まれたことがあります。

　そのとき,つい教科書を無視して,このノートの内容などを講義してしまいました。

　指導教官に漏れて注意を受けた末に次年度からは数学の講義をはずされてしまいました。

　微積分の計算だけ教えてくれればいいということでしたね。計算も確かに教えましたが,ちょっとハメをはずしたかも知れません。

当時の相手は40人余りのクラスの生徒で確か臨床工学科でしたか？女子の方がやや多かったような記憶がありますが,生徒は私の講義を結構面白がっていたと感じたのですが。。

まあ,将来の役には立たない念仏講義なので,結局は迷惑だったかも知れませんね。

物理の講義でもちょっと私的な趣味に走ったことがありましたが,物理の講師は不足していたらしくて,幸いクビにはなりませんでした。

参考文献:Walter.Rudin「Principles of Mathematical Analysis」second Edition (MacGrawHil)

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代数学の基本定理

コーヒー・ブレイクとして,ガウスの代数学の基本定理＝"複素係数の多項式は,それが定数でなければ複素数体Ｃの中に必ず零点を持つ。"の証明について記述してみます。 

　まず普通の証明です。 

(証明)あるｚの多項式ｆ(ｚ)＝ａ₀＋ａ₁ｚ＋..＋ａ_Nｚ^N＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1)が任意に与えられたとき,これが複素数体Ｃの中に零点を持たないと仮定すると,ｇ(ｚ)≡1/ｆ(ｚ)はＣ全体で正則です。

　ところが十分大きい正の数Ｒに対して|ｚ|≧Ｒなら|ｆ(ｚ)|/|ｚ|^N＝|ａ_N＋ａ₁/ｚ＋..＋ａ₀/ｚ^N|≧|ａ_N|－|ａ₁/ｚ＋..＋ａ₀/ｚ^N|≧|ａ_N|/2となります。

　すなわち,|ｆ(ｚ)|≧|ａ_Nｚ^N|/2なので,|ｇ(ｚ)|＝1/|ｆ(ｚ)|≦2/|ａ_Nｚ^N|≦2/|ａ_NＲ^N|,つまりｇ(ｚ)は|ｚ|≧Ｒで有界です。

　そこで,閉領域|ｚ|≦Ｒでの|ｇ(ｚ)|の最大値をＭとすると,|ｚ|≦Ｒなら|ｇ(ｚ)|≦Ｍ,|ｚ|≧Ｒなら|ｇ(ｚ)|≦2/|ａ_NＲ^N|です。よって,ｇはＣ全体で有界です。

　ところが最大絶対値の原理によって,ｇはＣ全体で正則(つまり整関数),かつ有界なのでこれは定数です。これはｆ(ｚ)＝1/ｇ(ｚ)＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ においてａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1であるという仮定と矛盾します。したがってｆはＣに零点を持ちます。(証明終わり)

　以上の証明が,通常,複素関数論の初学者が教えられる一般的な証明でしょう。 

　ここで,"有界な整関数は定数しかない。"という命題が最大絶対値の原理に帰すると書きましたが,最大絶対値の原理というのは"ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がＤで最大値を取るならばｆは定数である。"というものです。

こうした複素関数論における定理の出発点は大体においてコーシーの積分定理にあります。

これは,"領域Ｄで正則な関数ｆがあってＣをＤの内部にあって正の向きにまわる閉曲線の経路とするときＣが１点にホモトープ(領域の場合は単連結と同義)なら∫_Cｆ(ｚ)＝0 である。"という定理です。

これと,∫_|z－α|=ρｄｚ/(ｚ－α)＝2πiという計算式から,"Ｃを単純閉曲線としαはＣの上にない点とすると,αがＣの囲む領域の内部にあれば∫_Cｄｚ/(ｚ－α)＝2πi, αがＣの外部にあれば∫_Cｄｚ/(ｚ－α)＝0 である。"という命題が成立します。

したがって,ｆを領域Ｄで正則な関数としＣを単純閉曲線としてＣとその内部(Ｃ)がＤに含まれるとき∀ｚ∈(Ｃ)に対してｆ(ｚ)＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]という積分表示が成立します。

そして,ｆ(ｚ)を滑らかな単純閉曲線Ｃ上で連続な関数であるとしてＣ上にない点ｚ∈Ｄ対して関数φ(ｚ)≡∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]を定義します。

このとき,Ｃの上にない点αに対し,Ｒ_α≡inf{|ζ－α|:∀ζ∈Ｃ}とおけば 0＜ρ＜Ｒ_αなる任意のρについて,|ｚ－α|≦ρなら1/(ζ－ｚ)＝1/[(ζ－α)－(ｚ－α)]＝{1/(ζ－α)}[1/{1－(ｚ－α)/(ζ－α)}]＝Σ_n=0^∞(ｚ－α)ⁿ/(ζ－α)ⁿ⁺¹が成り立ちますから,ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)＝Σ_n=0^∞(ｚ－α)ⁿ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}となります。

右辺は∀ζ∈Ｃに関して一様収束するので,ａ_n≡∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}とおくと,|ｚ－α|≦ρならφ(ｚ)＝∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとベキ級数展開ができます。

ところが,関数φ(ｚ)が|ｚ－α|≦ρで絶対かつ一様収束するベキ級数に展開可能なとき,φ(ｚ)はαの近傍で無限回微分可能です。そして関数の"ベキ級数＝Taylor級数"の展開係数の一意性によってａ_n＝φ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}なる等式が成立します。

一方,先に述べたように,"ｆを領域Ｄで正則な関数としＣを単純閉曲線としてＣとその内部(Ｃ)がＤに含まれるとき,∀ｚ∈(Ｃ)に対してｆ(ｚ)＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]が成立する。"という定理があります。

そこで,ｆ(ｚ)は∀α∈Ｄに対して|ｚ－α|＜Ｒ_α＝inf{|ζ－α|:∀ζ∈Ｃ}で一意的にｆ(ｚ)＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとベキ級数に展開できて,ａ_n＝ｆ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}が成立することがわかります。

したがって,ｆ(ｚ)が円板Ｎ(α;Ｒ)≡{ｚ:|ｚ－α|＜Ｒ}において正則であるとすると,ｆ(α)＝{1/(2πi)}∫_|z－α|=ρ[ｆ(ｚ)/(ｚ－α)]ｄｚ；0＜ρ＜Ｒと表現されます。

ｚ＝α＋ρｅ^iθ;0≦θ≦2πと書けば,ｆ(α)＝{1/(2π)}∫₀^2πｆ(α＋ρｅ^iθ)ｄθ；0＜ρ＜Ｒと変形されます。

これはいわゆる平均値の定理ですが,これから絶対値についての不等式として|ｆ(α)|≦{1/(2π)}∫₀^2π|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|ｄθ;0＜ρ＜Ｒが得られます。

ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がα∈Ｄで最大値を取るとすると,∀ｚ∈Ｄに対して|ｆ(ｚ)|≦|ｆ(α)|です。

そこで,Ｎ(α;Ｒ)＝{ｚ∈Ｃ:|ｚ－α|＜Ｒ}⊂Ｄとなるように半径Ｒを取ると 0＜ρ＜Ｒ なるρに対して|ｆ(α)|≦{1/(2π)}∫₀^2π|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|ｄθ≦|ｆ(α)|と書けます。

よって 0＜ρ＜Ｒ なる任意のρについて,中心がαで半径がρの円周上では,|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|＝|ｆ(α)|ですから,ｚ∈Ｎ(α;Ｒ)なら|ｆ(ｚ)|＝|ｆ(α)|＝一定です。すなわち,円板Ｎ(α;Ｒ)において|ｆ|は定数です。

このときｆ≡ｕ＋iｖ(ｕ＝Reｆ,ｖ＝Imｆ)とおくと|ｆ|²＝ｕ²＋ｖ²であり,これが定数ですからｕ・ｕ_x＋ｖ・ｖ_x＝ｕ・ｕ_x－ｖ・ｕ_y＝0 かつ,ｕ・ｕ_y＋ｖ・ｖ_y＝ｕ・ｕ_y＋ｖ・ｕ_x＝0 から直ちにｕ_x＝ｕ_y＝ｖ_x＝ｖ_y＝0 が得られるので,結局Ｎ(α:Ｒ)においてｆ自身が定数です。

したがって,一致の定理によってｆはＤ全体で定数となることがわかります。

こうして,"ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がＤで最大値を取るならばｆは定数である。"という最大絶対値の原理を得ました。

ここでｆが整関数の場合にはｆが正則関数である領域Ｄとして,無限遠点を除く複素平面全体Ｃ＝{ｚ；|ｚ|＜∞}を採用できます。

そして,そのとき|ｆ|がＤで最大値を取るという命題はｆがＣで有界であることと同じですから,結局,"有界な整関数は定数である。"という定理が得られます。

これをリウヴィルの定理(Liouville)といいます。

ついでに一致の定理ですが,これは解析接続という概念の元になるもので,"ｆ,ｇが領域Ｄで正則とする。Ｄの部分集合Ａのあらゆる点ｚでｆ(ｚ)＝ｇ(ｚ)が成立し,Ａのある集積点がＤに含まれるならばＤ全体でｆ＝ｇである。"というものです。

一応これも証明しておきましょう。 

(証明)仮定によって,Ａのある集積点がＤに含まれるので,αをα∈ＤなるＡの集積点とします。

　αに収束するＡの点列{ｚ_n}_n=1,2,..⊂Ａが存在して,φ≡ｆ－ｇとおくとφ(ｚ_n)＝0 (ｎ＝1,2,..)が成立します。

　φはＤで正則ですから,その連続性によってφ(α)＝lim_n→∞φ(ｚ_n)＝0 です。しかし,"Ｄ全体では,φ≠0 である,つまり,φ(ｚ)≠0 なるｚ∈Ｄが存在する。"として矛盾を導きます。

ここでφ⁽ⁿ⁾(α)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)である場合を考えます。

そしてある任意の点ζ∈Ｄを選びζとαをＤ内の折れ線Ｃで結びます。Ｄは領域ですから開集合であり,それ故,Ｃの点はすべてＤの内点ですが,ＣはＤの有界閉集合なのでコンパクトです。つまりＣの有限個の点を中心としてＤに含まれる有限個の開近傍の集合で閉曲線Ｃを被覆することができます。

したがって折れ線Ｃと境界∂Ｄとの距離をｄ≡inf{|ζ₁－ζ₂|:ζ₁∈Ｃ,ζ₂∈∂Ｄ}とすると,これはゼロではなくて正:ｄ＞0 です。

ここで,Ｃ上に十分多くの有限個の点α＝ｚ₀,ｚ₁,..,ｚ_p-1,ｚ_p＝ζを取って,|ｚ_j+1－ｚ_j|＜ｄ (ｊ＝0,1,2,..,ｐ－1)が満たされるようにします。そして,Δ_ｊ≡{ｚ∈Ｃ：|ｚ―ｚ_j|＜ｄ}(ｊ＝0,1,2,..,ｐ－1)と置きます。

円Δ₀:|ｚ－α|＜ｄ内ではｚ∈Ｄとなるので,そこでφは正則です。それ故,φを展開しφ(ｚ)＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとすれば,全てのｎについてａ_n＝φ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝0 と書けるので,Δ₀内ではφ＝0 です。

したがって,ｚ₁∈Δ₀でも全てのｎについてφ⁽ⁿ⁾(ｚ₁)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)となります。

同様に,円Δ₁:|ｚ－ｚ₁|＜ｄ内でφを(ｚ－ｚ₁)のベキ級数に展開することでΔ₁内ではφ＝0 を得ます。

それ故,ｚ₂∈Δ₁でφ⁽ⁿ⁾(ｚ₂)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)が得られます。これを繰り返していって,結局Δ_p-1でφ＝0 となり,ζ＝ｚ_p∈Δ_P-1なのでφ(ζ)＝0 を得ます。

ζはＤ内の任意の点であると仮定していましたから,結局φ⁽ⁿ⁾(α)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)である場合にはＤ全体でφ＝0 である,という結論が得られます。

一方,Ｄで恒等的にφ＝0 というわけではなくて,αは正則関数φの単なる零点であるとするならばφ^(k)(α)＝0(ｋ＝0,1,...ｍ－1),φ^(m)(α)≠0 となるある正の整数ｍが存在するはずです。このときαはφのｍ位の零点である,あるいはｍは零点αの位数であるといいます。

そして,φのαの近傍Ｕでの展開はφ(ｚ)＝Σ_n=m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝(ｚ－α)^mΣ_k=0^∞ａ_m+k(ｚ－α)^k；ａ_m≠0 となりますからψ(ｚ)≡Σ_k=0^∞ａ_m+k(ｚ－α)^kとおけばψ(ｚ)はαの近傍Ｕで正則であってψ(α)≠0 であり,φ(ｚ)＝(ｚ－α)^mψ(ｚ)と書けます。

ところでφ(α)＝0 となることはわかっていて,φ≠0 と仮定したので,ある正の整数ｍが存在してαの近傍Ｕで正則かつψ(α)≠0 なるψを用いてφ(ｚ)＝(ｚ－α)^mψ(ｚ)と表わせます。

そして,十分大きいｎに対しｚ_n≠αはＵに含まれますから,φ(ｚ_n)＝(ｚ_n－α)^mψ(ｚ_n)＝0 です。

よって,十分大きいｎでψ(ｚ_n)＝0 が成立します。

したがって,ψの連続性によってψ(α)＝lim_n→∞ψ(ｚ_n)＝0 となりますから,これはψ(α)≠0 に矛盾します。

要するに,収束する点列の上で正則関数φの値が常にゼロというのは,φのあらゆる導関数もまたゼロなることを意味しているわけです。

したがって,Ｄ全体でφ＝ｆ－ｇ＝0 :つまりｆ＝ｇ,あるいはｆとｇが一致するという定理の結論が得られました。

(証明終わり)

しかし,私が学生時代に初めて大学で函数論を履修したときに代数学の基本定理の証明として教わったものは,もっと複雑なルーシェの定理によるもので,講義を受けたその場ですぐには理解できませんでした。

「ＤをＣの有界領域としｆをＤ上の正則関数,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線でその上にはｆの零点はないものとする。ｇをＤ上の正則関数でＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ｆ(ｚ)|と仮定する。このときＣの囲むｆの零点の個数と(ｆ＋ｇ)の零点の個数は等しい。」というのがルーシェの定理です。

これの証明に取りかかる前にそのために必要な予備知識や補助的定理などについて考察します。

　まず,有理型関数というものを定義します。

　"ＤをＣの領域とする。Ｄ内では特異点を持っても極に過ぎないような関数をＤ上の有理型関数と呼ぶ。"というものです。 

そして,α∈Ｃとρ₁＜ρ₂≦∞ に対し円環領域:Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)≡{ｚ∈Ｃ：ρ₁＜|ｚ－α|＜ρ₂}の上でｆが正則関数であるとします。

このとき,ｆはＲ(α;ρ₁,ρ₂)においてｆ(ｚ)＝Σ_n=-1^-∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＋Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿと展開されます。

この展開をｆのローラン展開(Laurent expantion)と呼びます。

この級数の収束は絶対かつ広義一様収束です。

これを証明するために,ｚ∈Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)を任意に取りρ₁',ρ₂'をρ₁＜ρ₁'＜|ｚ－α|＜ρ₂'＜ρ₂となるように取ります。また,ρ＞0 をρ＜ｄ≡inf{|ｚ－ζ|:ζ∈∂Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)}なる値に取ります。

そして点α＋ρ₁'ｅ^i(argz)からαを中心として半径ρ₁'の円を反時計回りに一周する曲線をＣ₁,α＋ρ₁'ｅ^i(argz)から,α＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)へ向かう線分をＣ₂,α＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)から時計回りにα＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)まで半周する曲線をＣ₃,α＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)からα＋ρ₂'ｅ^i(argz)に向かう線分をＣ₄,α＋ρ₂'ｅ^i(argz)から半径ρ₂'の円を反時計回りに一周する曲線をＣ₅,α＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)から時計回りにα＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)まで半周する曲線をＣ₆とします。

このとき,Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)－{ｚ}内でＣ≡－Ｃ₁＋Ｃ₂＋Ｃ₃＋Ｃ₄＋Ｃ₅－Ｃ₄＋Ｃ₆－Ｃ₂は１点にホモトープなので,∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)＝0 です。

それ故,ｆ(ｚ)＝{－1/(2πi)}∫_C3＋C6ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＋{1/(2πi)}∫_C5ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]です。

Ｃ₁上では|(ζ－α)/(ｚ－α)|＜1で,－1/(ζ－ｚ)＝－1/{(ζ－α)－(ｚ－α)}＝{1/(ｚ－α)}[1/{1－(ζ－α)/(ｚ－α)}]＝Σ_n=0^∞(ζ－α)ⁿ/(ｚ－α) ⁿ⁺¹ですから,ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)＝Σ_n=0^∞(ζ－α)ⁿｆ(ζ)/(ｚ－α)ⁿ⁺¹です。

それ故,{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=-1^-∞[{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)](ｚ－α)ⁿとなります。

同様にＣ₅上では|(ｚ－α)/(ζ－α)|＜1ですから,{1/(2πi)}∫_C5ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=0^∞[{1/(2πi)}∫_C5ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)](ｚ－α)ⁿとなります。

そして,(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)は∀ζ∈Ｒ(α;ρ₁,ρ₂):ρ₁＜|ζ－α|＜ρ₂なるζに関して正則ですから,∫_C1ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)＝∫_C5ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)です。

よって,全ての整数ｎに対してａ_n≡∫_|ζ－α|=ρｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ);ρ₁＜ρ＜ρ₂の値はρの取り方に依らないことになります。つまりａ_nはwell-definedになります。

そしてこの展開係数ａ_nによって,ｆは確かにＲ(α;ρ₁,ρ₂)でローラン展開されてｆ(ｚ)＝Σ_n=-1^-∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＋Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿと表現されることがわかりました。

そこで"ｆ(ｚ)がＤ上の有理型関数である。"というのは∀α∈Ｄについて,αを除くαの近傍でのｆのローラン展開ｆ(ｚ)＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿにおいて,ｎ＜0 についてａ_n≠0 なるものが有限個しかないこと,つまりαが高々ｍ位の極であって,ｆ(ｚ)＝Σ_n=-m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝ａ_-m/(ｚ－α)^m＋ａ_-m+1/(ｚ－α)^m-1＋..＋ａ₀＋..と表わされることを意味します。

このときローラン展開の展開係数ａ_-1を特にｆのαでの留数と呼びRes(α;ｆ)と書きます。

そして,ρ＞0 が十分小さいときには実際に級数を項別積分すると{1/(2πi)}∫_|ζ－α|=ρｆ(ζ)ｄζ＝ａ_-1となるので,Res(α;ｆ)＝{1/(2πi)}∫_|ζ－α|=ρｆ(ζ)ｄζが成立します。

特異点αが無限遠点＝∞ のときには,ｚ~≡1/ｚとおいてｆのローラン展開をｆ(ｚ)＝Σ_n=-∞^∞ａ_nｚⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_-nｚ~ⁿ ≡ｆ~(ｚ~)と置き,ｆの ∞ での留数をRes(∞;ｆ)＝－ａ_-1＝{1/(2πi)}∫_|1/ζ|=ρｆ(ζ)ｄζ＝{1/(2πi)}∫_|1/ζ|=ρｆ~(1/ζ)ｄ(1/ζ)で定義します。

αが１位の極のときには,Res(α;ｆ)＝lim_z→α(ｚ－α)ｆ(ｚ)によって,具体的にｆのαでの留数を求めることができます。

また,αがｍ位の極(ｍ≧2)のときには,Res(α;ｆ)＝{1/(ｍ－1)!}[(ｄ^m-1/ｄｚ^m-1)(ｚ－α)^mｆ(ｚ)]_z=αによって,ｆのαでの留数が求められます。

ここで,Ｄ上の有理型関数ｆ(ｚ)に対して対数微分(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ＝ｄ(logｆ)/ｄｚを考えると,α∈Ｄがｆの零点でも極でもないなら,(ｄｆ/ｄｚ)/ｆはα∈Ｄで正則です。

しかし,α∈Ｄがｆのｍ位の零点なら,α≠∞ のとき,ｆ(ｚ)＝Σ_n=m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ,ｄｆ/ｄｚ＝Σ_n=m^∞ｎａ_n(ｚ－α)^n-1なので,(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ＝ｍ/(ｚ－α)＋Σ_n=0^∞ｃ_n(ｚ－α)ⁿと表わせます。

よって,Res(α;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝ｍです。同様にα＝∞ のときにもRes(∞;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝ｍ を得ることができます。

また,α∈Ｄがｆのｐ位の極ならα≠∞ のとき,ｆ(ｚ)＝Σ_n=-p^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ,ｄｆ/ｄｚ＝Σ_n=-p^∞ｎａ_n(ｚ－α)^n-1なので,Res(α;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝－ｐです。同様にα＝∞ のときも,Res(∞;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝－ｐを得ます。

それ故,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線であって,その上にはｆの零点も極もないとき,Ｃが囲むＤの領域内にｆのｍ_ν位の零点α_ν(ν＝1,2,..), およびｐ_μ位の極β_μ(μ＝1,2,..)があるとすれば,{1/(2πi)}∫_C(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚ＝Σｍ_ν－Σｐ_μと表わすことができます。

さらに,ｄ(logｆ)＝(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚより,{1/(2πi)}∫_C(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚ＝{1/(2πi)}[(logｆ)]_C＝[argｆ]_C/(2π)ですから,この積分はｚが閉曲線Ｃをまわるときの"ｆの偏角:argｆの変化を(2π)で割ったもの＝回転数"を表わしていると考えられます。

さて,ルーシェの定理＝"ＤをＣの有界領域としｆをＤ上の正則関数,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線でその上にはｆの零点はないものとする。

ｇをＤ上の正則関数でＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ｆ(ｚ)|と仮定する。

このとき,Ｃの囲むｍ位の零点をｍ個と重複して数えると,ｆの零点の個数と(ｆ＋ｇ)の零点の個数は等しい。"ことを証明します。

(証明)ｆ,ｇはＤ上の正則関数なので,ｆも(ｆ＋ｇ)もＣの囲む領域に零点は持っていても極を持つことはありません。

ｍ位の零点をｍ個と重複して数えたときのｆの零点の総数をＭとすると,(ｆ＋ｇ)の零点の総数Ｍ'はＭ'＝{1/(2πi)}∫_C{(ｆ'＋ｇ')/(ｆ＋ｇ)ｄｚ＝{1/(2πi)}∫_C[(ｆ'/ｆ)＋(ｇ/ｆ)'/{1＋(ｇ/ｆ)}]ｄｚ＝Ｍ＋{1/(2πi)}∫_C[(ｇ/ｆ)'/{1＋(ｇ/ｆ)}]ｄｚ＝Ｍ＋{1/(2πi)}∫_C(ｈ'/ｈ)ｄｚとなります。ここでｈ≡{1＋(ｇ/ｆ)}とおきました。

ところが,Ｃ上で|ｇ/ｆ|＜1ですから,|1＋(ｇ/ｆ)|≦1＋|ｇ/ｆ|＜2,かつ|1＋(ｇ/ｆ)|≧1－|ｇ/ｆ|＞0です。したがって,ｈ＝{1＋(ｇ/ｆ)}はＣ上に零点も極も持ちません。

またＣ上で|1－ｈ|＜1ですから,点１からｈまでの距離は常に1より小さいことになります。そこでｚがＣ上を１回転するときｈがlogｈの分岐点ｈ＝0 のまわりを回転することは決してありません。

それ故,∫_C(ｈ'/ｈ)ｄｚ＝0 です。

以上から,結局Ｍ'＝Ｍであることが示されました。

(証明終わり)

そこで,ｚのＮ次多項式ｆ(ｚ)＝ａ₀＋ａ₁ｚ＋..＋ａ_Nｚ^N＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1) が任意に与えられたとき,ｆ(ｚ)＝ａ_Nｚ^N＋ｇ(ｚ) (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1)とおけば,正則関数ａ_Nｚ^N はＮ位の零点としてｚ＝0 があるだけなのでａ_Nｚ^Nの零点の総数はＮです。

そしてルーシェの定理の閉曲線Ｃを円:|ｚ|＝Ｒに取れば,Ｒが十分大きいときにはＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ａ_Nｚ^N|ですから,この定理によって任意のＮ次多項式は丁度Ｎ個の零点を持つことが結論されます。 

　参考文献：野口潤次郎 著「複素解析概論」(裳華房)；岸 正倫,藤本担孝 共著「複素関数論」(学術図書)；Benjamin Fine,Gerhard Rosenberger 著(新妻弘,木村哲三 訳)「代数学の基本定理」(共立出版) 

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    物理学

リーマン予想と素数定理

素数定理π(ｘ) ～ ｘ/logｘは現在も未解決のリーマン予想＝R.H(Riemann hypothesis)の解決を待つまでもなく既に証明されていますが,リーマン予想が元々は精密な素数定理を導くことをその目的としていたことはよく知られています。

しかしゼータ関数の零点が素数の個数分布π(ｘ)と具体的にはどのように結びつくのか,の詳細については知らなかったので,ちょっと調べてみました。

2006年10/30に「ベルヌーイ数とゼータ関数」,10/31には,その続編「ベルヌーイ数とゼータ関数(その２)」という記事を書きました。　http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/post_d00d.html　

そこでは,整数のべき乗数列の有限和のベルヌーイ数による表現として,オイラー・マクローリン(Euler-Maclaulin)の和公式を与えました。

すなわち,ｓ≠1なら∑_n=1^N(1/ｎ^s)＝(1－1/Ｎ^s-1)/(ｓ－1)＋(1/2)(1＋1/Ｎ^s)＋∑_k=1^M-1[Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!](ｓ)_k(1－1/Ｎ^s+k)－{(ｓ)_M/Ｍ!}∫₁^NＢ_M(ｘ－[ｘ])ｘ^-s-Mｄｘなる公式です。(ただし,Ｍは任意の自然数,Ｂ_rはベルヌーイ数,(ｓ)_k≡ｓ(ｓ＋1)...(ｓ＋ｋ－1)です。）

そしてリーマンのゼータ関数ζ(ｓ)は,Re(ｓ)＞1の複素数ｓに対し,ζ(ｓ)≡∑_n=1^∞(1/ｎ^s)で定義されるのですが,上のオイラー・マクローリンの和公式の右辺は,この範囲では絶対収束すします。

そこで,両辺のＮ→ ∞ の極限を取ると,ζ(ｓ)＝∑_n=1^∞(1/ｎ^s)＝1/(ｓ－1)＋1/2＋∑₁^M-1[Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!](ｓ)_k－{(ｓ)_M/Ｍ!}∫₁^∞Ｂ_M(ｘ－[ｘ])ｘ^-s-Mｄｘ;(Re(ｓ)＞1)という表現式が得られます。

ところが,右辺の積分式の方はRe(ｓ)＞(1－Ｍ)の範囲で絶対収束するので,右辺によって,ゼータ関数ζ(ｓ)はRe(ｓ)＞(1－Ｍ)の範囲のｓに自然に解析接続されます。

Ｍは任意の自然数ですから,ζ(ｓ)はｓ＝１に"特異点＝１位の極"を持つだけで,この点を除く全複素ｓ平面に解析接続されます。

そこで,今日はまずリーマンの原論文に従ってｓと1－ｓの交換に対して不変な関数:π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)を考察することから始めます。

オイラーのΓ関数の定義Γ(ｓ)≡∫₀^∞ｘ^s-1exp(－ｘ)ｄｘに部分積分を繰り返すことによって,等式Γ(ｓ)/ｎ^s＝∫₀^∞ｘ^s-1exp(－ｎｘ)ｄｘが得られます。

これから,Γ(ｓ)ζ(ｓ)＝∫₀^∞[ｘ^s-1/{exp(ｘ)－1}]ｄｘが成立することがわかります。

そこで,積分∫₀^∞[(－ｘ)^s-1/{exp(ｘ)－1}]ｄｘの積分路が囲む１位の極ｘ＝±2πｎiの留数の寄与を考えると,2sin(πｓ)Γ(ｓ)ζ(ｓ)＝(2π)^sΣ₁^∞ｎ^s-1[i^s-1＋(－i)^s-1]＝(2π)^sζ(1－ｓ)2sin(πｓ/2)を得ます。

公式:Γ(ｓ)Γ(1－ｓ)＝π/sin(πｓ)より,sin(πｓ)＝π/[Γ(ｓ)Γ(1－ｓ)],sin(πｓ/2)＝π/[Γ(ｓ/2)Γ(1－ｓ/2)]ですから,ζ(ｓ)/Γ(1－ｓ)＝(2π)^sζ(1－ｓ)/[Γ(ｓ/2)Γ(1－ｓ/2)]となります。

一方,ルジャンドルの関係式Γ(ｓ)＝2^s-1π^-1/2Γ(ｓ/2)Γ((ｓ＋1)/2)より,Γ(1－ｓ)＝2^-sπ^-1/2Γ((1－ｓ)/2)Γ(1－ｓ/2)です。

結局,関数等式:π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)＝π^-(1-s)/2Γ((1－ｓ)/2)ζ(1－ｓ)が得られます。よって,確かにπ^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)はｓと1－ｓの交換について対称であることがわかりました。

　さて,Γ(ｓ)/ｎ^s＝∫₀^∞ｘ^s-1 exp(－ｎｘ)ｄｘと同様にして,部分積分により,π^-s/2Γ(ｓ/2)/ｎ^s＝∫₀^∞ｘ^s/2-1exp(－ｎ²πｘ)ｄｘが得られます。

　そこで,ψ(ｘ)≡Σ_n=1^∞exp(－ｎ²πｘ)(← これは今日では,ヤコービのテータ関数と呼ばれている。)を定義すれば,π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)＝∫₀^∞ｘ^s/2-1ψ(ｘ)ｄｘとなります。

ここで,ψ(ｘ)の既知の性質：2ψ(ｘ)＋1＝ｘ^-1/2{2ψ(1/ｘ)＋1}を用いると,π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)＝∫₁^∞ｘ^s/2-1ψ(ｘ)ｄｘ＋∫₀¹ｘ^(s-3)/2ψ(1/ｘ)ｄｘ＋(1/2)∫₀¹(ｘ^(s-3)/2－ｘ^s/2-1)ｄｘ＝1/{ｓ(ｓ－1)}＋∫₁^∞(ｘ^s/2-1＋ｘ^-(1+s)/2)ψ(ｘ)ｄｘとなります。

そして,これの右辺第２項の積分は全てのｓについて正則なので,結局π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)は,ｓ＝0,1の１位の極を除いて全ｓ平面で正則であることがわかります。

一方,ガンマ関数のよく知られた性質から,Γ(ｓ/2)はｓ＝－2,－4,...に１位の極を持ちますが,π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)はそこで正則で,しかもゼロではないので,ζ(ｓ)がｓ＝－2,－4,...に重複度１の零点を持つことがわかります。

これをζ(ｓ)の自明な零点といいます。

先に述べたオイラー・マクローリンの和公式でも,ｍを自然数とするとき,ζ(1－ｍ)＝－1/ｍ＋1/2＋∑₁^m-1[Ｂ_k+1/(ｋ＋1)!](1－ｍ)(2－ｍ)...(ｋ－ｍ)と書けることから,ｍ＝3,5,...ではζ(1－ｍ)＝ζ(1－ｍ)＝－Ｂ_m/ｍ＝0 となることがわかります。

しかも,ζ(1－ｍ)/(1－ｍ)≠0 ですから,これら自明な零点は重複度が１であることがわかります。

いずれにしても,ζ(ｓ)の自明な零点はΓ(ｓ/2)の極によって相殺されます。

そしてΓ(ｓ/2)は零点を持ちませんから,π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)の全ての零点は,ζ(ｓ)の自明でない全ての零点と完全に一致します。

2006年10月24日「素数を分母とする循環小数とその周辺」,および10月25日「素数定理への入り口」において,オイラーによるゼータ関数ζ(ｓ)の素数ｐによる無限積表示(オイラー積)ζ(ｓ)＝Π_p=素数(1－ｐ^-s)^-1を紹介して,これによってlog{ζ(ｓ)}＝－Σlog(1－ｐ^-s)が成立することを既に記述しています。

http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/10_285f.html　http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/post_62be.html

そしてｓ＝σ＋iτ(σ,τは実数)とおけば,|ｐ^-s|＝ｐ^-σであり,σ＞1 のときには,－Σlog(1－|ｐ^-s|)＝－Σlog(1－ｐ^-σ)≦Σｐ^-σ＜∞ です。

つまりσ＝Reｓ＞1なら,log{ζ(ｓ)}＝－Σlog(1－ｐ^-s)は有限なので,Reｓ＞1 には,"ζ(ｓ)の零点＝π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)の零点",は存在しないことがわかります。

また,関数等式:π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)＝π^-(1-s)/2Γ((1－ｓ)/2)ζ(1－ｓ)によるｓと(1－ｓ)の交換対称性から,Re(1－ｓ)＞1はReｓ＜0 と同値ですから,結局 Reｓ＜0 にもReｓ＞1にもπ^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)の零点は存在しないことがわかります。

つまり,"π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)の零点＝ζ(ｓ)の自明でない零点"は存在すれば,0≦Reｓ≦1の領域にしか存在しません。

ここで唐突ですが複素関数論で現われる正則関数の零点に関するワイエルシュトラス(Weierstrass)の標準形を考えます。

これは,正則関数ｆ(ｚ)が重複度も含めてｎ個の零点ａ₁,ａ₂,．．,ａ_nを持てば,ｆ(ｚ)の一般形はｇ(ｚ)を整関数として,ｆ(ｚ)＝exp{ｇ(ｚ)}(ｚ－ａ₁)(ｚ－ａ₂)...(ｚ－ａ_n)と書けることを意味します。

しかし,このままではｎ→ ∞ に移行するときに不便なので,これをａ_k≠0 なる全ての零点について(－ａ_k)で割ります。

ｍをａ_k＝0 なる零点の重複度とすると,Σ_n|1/ａ_n|＜∞ ならばｎ→ ∞ では,ｆ(ｚ)＝ｚ^mexp{ｇ(ｚ)}Π_an≠0(1－ｚ/ａ_n)という形に書けると述べる定理が成立します。

しかし,一般にはΣ_n|1/ａ_n|＜∞ が成立するとは限りません。

そこで,より一般的な展開式は,ｍ_nを∀t＞0 に対してΣ_n{2/(ｍ_n＋1)}|ｔ/ａ_n|^mn+1＜∞ なる最小の正の整数とするとｆ(ｚ)＝ｚ^mexp{ｇ(ｚ)}Π_an≠0[(1－ｚ/ａ_n)exp{(ｚ/ａ_n)＋(ｚ/ａ_n)²/2＋...＋(ｚ/ａ_n)^mn/ｍ_n}]と書けるという式になります。

これが"ワイエルシュトラスの標準形"です。

特に,ｚ＝ 0 がｆ(ｚ)の零点ではなく,Σ_n|1/ａ_n|＝∞,Σ_n|1/ａ_n|²＜∞ の場合には,ｆ(ｚ)＝Ｃexp(Ｂｚ)Π_an≠0[(1－ｚ/ａ_n)exp(ｚ/ａ_n)]と表わすことができます。

ここでは「Weierstrassの因数分解定理と有理型関数」というmurakさんのホームページのpdf情報を参照しました。http://homepage3.nifty.com/mkdragon/studies/etc/meromorphic.pdf

これによると,ｓ(1－ｓ)π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)は全ｓ平面で正則で,その零点＝ζ(ｓ)の自明でない零点ρ,は全て単根でρ≠0 であり,Σ_ρ|1/ρ|＝∞,Σ_n|1/ρ|²＜∞なので,ｓ(1－ｓ)π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)＝Ｃexp(Ｂｓ)Π_ρ[(1－ｓ/ρ)exp(ｓ/ρ)]と表現できます。

この両辺でｓ→ 0 とすると,ｓΓ(ｓ/2)ζ(ｓ)→ 2ζ(0)＝－1 なのでＣ＝－1 です。またｓ→ 1 とすると(1－ｓ)π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)→ －1 なので,1＝exp(Ｂ)(1－1/ρ)exp(1/ρ)です。

さらに,exp(Ｂｓ)Π_ρ[(1－ｓ/ρ)exp(ｓ/ρ)]の,ｓ→ 1－ｓでの不変性により,exp(Ｂ)＝Π_ρ[{(1－ρ)/(－ρ)]exp{－1/(1－ρ)}]となります。

結局,ｓ(1－ｓ)π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)＝－Π_ρ(1－ｓ/ρ)が得られました。右辺最後の式Π_ρ:零点(1－ｓ/ρ)をアダマール積といいます。

したがって,ζ(ｓ)＝Π_p.素数(1－ｐ^-s)^-1＝[－π^-s/2Γ(ｓ/2)/{ｓ(1－ｓ)}]Π_ρ:零点(1－ｓ/ρ)という関係式が得られます。

オイラー積とアダマール積の間にこうした美しい関係があることがわかりました。これは素数とゼータの零点の間に成り立つ１つの双対性であると考えられます。

オイラー積表現:ζ(ｓ)＝Π_p.素数(1－ｐ^-s)^-1の両辺をｓで対数微分するとｄlog(ζ(ｓ))/ｄｓ＝Σ_p.素数(1－ｐ^-s)^-1logｐ＝Σ_n=1^∞Λ(ｎ)ｎ^-sと表わすことができます。ここでΛ(ｎ)はvon Mangoldtの関数と呼ばれるｎの関数で,Λ(ｎ)≡logｐ(ｎ＝ｐ^m:ｍ≧1のとき),Λ(ｎ)≡0 (それ以外)です。

アダマール積表現ζ(ｓ)＝[－π^-s/2Γ(ｓ/2)/{ｓ(1－ｓ)}]Π_ρ:零点(1－ｓ/ρ)もｓで対数微分して,オイラー積表現の式に等置すればｄlog(ζ(ｓ))/ｄｓ＝Σ_n=1^∞Λ(ｎ)ｎ^-s＝1/ｓ＋1/(ｓ－1)－1/2logπ＋Γ'(ｓ/2)/{2Γ(ｓ/2)}－Σ_ρ:零点{1/(ｓ－ρ)}なる式を得ます。

ここで,前に戻りζ(ｓ)においてｓ＝1/2＋iｔ,またはｔ＝i(1/2－ｓ)(ｔは複素数)とおいてξ(ｔ)≡π^-s/2Γ(ｓ/2＋1)(ｓ－1)ζ(ｓ)＝{ｓ(ｓ－1)/2}π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)と書けば,ξ(ｔ)＝1/2－(ｔ²＋1/4)∫₁^∞ｄｘ[ｘ^-3/4cos{(ｔlogｘ)/2}ψ(ｘ)],またはξ(ｔ)＝4∫₁^∞ｄｘ[ｘ^-1/4cos{(ｔlogｘ)/2}ｄ{ｘ^3/2ψ(ｘ)}/ｄｘ]と書けます。

これからξ(ｔ)はｔの偶関数であり,しかもｔが実数ならξ(ｔ)も実数であることがわかります。

このとき,ξ(ｔ)＝0 となる根ｔで 0≦Reｔ≦Ｔなるものの個数：すなわち 0≦Reｓ≦1(－1/2≦Imｔ≦1/2),かつ 0≦Imｓ≦Ｔ(0≦Reｔ≦Ｔ)を満たすζ(ｓ)の自明でない零点ρ＝ｓの個数をＮ(Ｔ)と書けば,"Ｎ(Ｔ)＝{Ｔ/(2π)}log{Ｔ/(2π)}－{Ｔ/(2π)}＋ｏ(logＴ)である。"という命題が成立することに関するリーマンの幾分不十分な説明が与えられていますが,これは1905年に von Mangoldt によって,厳密な証明が与えられています。

そしてξ(α)＝0 を満たす任意の根をαとします。

ρ＝1/2＋iαですからα＝i(1/2－ρ)ですが.このときリーマンによれば上に求めたＮ(Ｔ)＝{Ｔ/(2π)}log{Ｔ/(2π)}－{Ｔ/(2π)}＋ｏ(logＴ)という表式を考慮することで,積公式ξ(ｔ)＝ξ(0)Π_Reα＞0(1－ｔ²/α²),つまりlogξ(ｔ)＝Σ_Reα＞0log(1－ｔ²/α²)＋logξ(0)が得られるということです。

これも,リーマンの説明は私にははっきり言ってよく理解できません。実際これも不十分な説明で厳密な証明はHadamardによって,1896年に与えられたらしいです。

しかし,むしろ先に求めた等式ｄlog(ζ(ｓ))/ｄｓ＝Σ_n=1^∞Λ(ｎ)ｎ^-s＝1/ｓ＋1/(ｓ－1)－1/2logπ＋Γ'(ｓ/2)/{2Γ(ｓ/2)}－Σ_ρ:零点{1/(ｓ－ρ)}と,ξ(ｔ)＝{ｓ(ｓ－1)/2}π^-s/2Γ(ｓ/2)ζ(ｓ)という表式,およびξ(ｔ)の偶関数性から,ｄlog(ξ(ｔ))/ｄｔ＝iΣ_ρ{1/(ｓ－ρ)}＝Σ_Reα＞0{1/(ｔ－α)＋1/1/(ｔ＋α)}です。

この両辺を,0からｔまで定積分するとlog(ξ(ｔ))－log(ξ(0))＝Σ_Reα＞0[log(ｔ±α)－log(±α)]＝Σ_Reα＞0log(1－ｔ²/α²)が直接得られるので,先のリーマンの説明は不要ですね。

そして,このξ(ｔ)の表式をζ(ｓ)の表式に翻訳するとlog(ζ(ｓ))＝(ｓ/2)logπ－log(ｓ－1)－log{Γ(ｓ/2＋1)}＋Σ_Reα＞0log{1＋(ｓ－1/2)²/α²}＋log(ξ(0))なる式が得られます。

次に任意の正の実数ｘより小さい素数の個数を慣例によってπ(ｘ)で表わし,ｘの関数Ｆ(ｘ)を,ｘが素数でないならＦ(ｘ)≡π(ｘ),ｘが素数ならＦ(ｘ)≡lim_ε→0[π(ｘ＋ε)＋π(ｘ－ε)]/2＝π(ｘ－0)＋1/2 によって定義します。

さらに関数ｆ(ｘ)をｆ(ｘ)≡Ｆ(ｘ)＋Ｆ(ｘ^1/2)/2＋Ｆ(ｘ^1/3)/3＋...＝Σ_m=1^∞[Ｆ(ｘ^1/m)/ｍ]で定義します。

log(ζ(ｓ))＝－Σ_plog(1－ｐ^-s)＝Σ_pｐ^-s＋Σ_pｐ^-2s/2＋Σ_pｐ^-3s/3＋...＝Σ_m=1^∞[Σ_pｐ^-ms/ｍ]であり,ｐ^-ms＝ｓ∫_pm^∞ｘ^-s-1ｄｘなのでlog(ζ(ｓ))/ｓ＝∫₁^∞ｘ^-s-1ｆ(ｘ)ｄｘが得られます。

そして,フーリエの反転公式によれば,ｆ(ｘ)＝{1/(2πi)}∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^slog(ζ(ｓ))/ｓ]です。

ただし右辺が収束しない場合を考慮して,１回引き算した形にすると,ｆ(ｘ)＝[{1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^sｄ{log(ζ(ｓ))/ｓ]/ｄｓ]となります。

これに,log(ζ(ｓ))＝(ｓ/2)logπ－log(ｓ－1)－log{Γ(ｓ/2＋1)}＋Σ_Reα＞0log{1＋(ｓ－1/2)²/α²}＋log(ξ(0))を代入します。

例えば,－log{Γ(ｓ/2＋1)}＝lim_m→∞Σ_n=1^n-mlog{1＋ｓ/(2ｎ)}－(ｓ/2)logｍ}ですから,ｄ[log{Γ(ｓ/2＋1)}/ｓ]/ｄｓ＝Σ_n=1^∞(ｄ[log{1＋ｓ/(2ｎ)}/ｓ]/ｄｓ)です。

よって,log(ξ(0))を別にすればｆ(ｘ)を示す右辺の積分の全ての項が,[{±1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^sｄ{log(1－ｓ/β)/ｓ}/ｄｓ]という形をしています。

ｄ{log(1－ｓ/β)/ｓ]/ｄβ＝1/{β(β－ｓ)}ですから,{1/(2πi)}∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^sｄ{log(1－ｓ/β)/ｓ]/ｄβ]なる積分を計算すると{1/(2πi)}∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^s/{β(β－ｓ)}]＝ｘ^β/βです。

そして,これはReｓが Reβより大きいとき,Reβが負であるか正であるかによってｘ^β/β＝∫_∞^xｘ^β-1ｄｘ＝(ｄ/ｄβ)∫_∞^x[ｘ^β-1/logｘ]^β-1ｄｘ,またはｘ^β/β＝∫₀^xｘ^β-1ｄｘ＝(ｄ/ｄβ)∫₀^x[ｘ^β-1/logｘ]^β-1ｄｘとなります。

それ故,[{1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^sｄ{log(1－ｓ/β)/ｓ}/ｄｓ]＝∫_∞^x[ｘ^β-1/logｘ]ｄｘ＋(定数),または∫₀^x[ｘ^β-1/logｘ]ｄｘ＋(定数)です。

具体的には,[{1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ(ｘ^sｄ[log{Γ(ｓ/2＋1)}/ｓ]/ｄｓ)＝∫_x^∞[1/{ｘ(ｘ²－1)logｘ}]ｄｘ,[{1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^sｄ{log(ｓ－1)/ｓ}/ｄｓ]＝Li(ｘ)を得ます。

ここに,Li(ｘ)は対数積分と呼ばれる関数で,Li(ｘ)≡∫₀^x(ｄｕ/logｕ)＝lim_ε→0[∫₀^1-ε(ｄｕ/logｕ)＋∫_1+ε^x(ｄｕ/logｕ)]で定義されます。

そして,ｆ(ｘ)＝[{1/(2πi)}/logｘ]∫_a-i∞^a+i∞ｄｓ[ｘ^sｄ{log(ζ(ｓ))/ｓ]/ｄｓ]＝Li(ｘ)―Σ_α[Li(ｘ^1/2＋αi)＋Li(ｘ^1/2-αi)]＋∫_x^∞[1/{ｘ(ｘ²－1)logｘ}]ｄｘ－log2 となることがわかります。これは「リーマンの素数式」と呼ばれます。

一方,ｆ(ｘ)＝Σ_m=1^∞[Ｆ(ｘ^1/m)/ｍ]の反転公式はＦ(ｘ)＝π(ｘ)＝Σ_m=1^∞[μ(ｍ)ｆ(ｘ^1/m)/ｍ]で与えられます。

ここで,μ(ｍ)は,数論でよく知られたメビウス関数で,μ(ｍ)≡(－1)^ｋ(ｍの素因数分解:ｍ＝ｐ₁ｐ₂...ｐ_k;ｋ個の素数ｐ₁,ｐ₂,...,ｐ_kが全て相異なる素数のとき),μ(ｍ)≡1(ｍ＝1のとき),μ(ｍ)≡0 (それ以外のとき)で定義されるものです。

結局,Ｆ(ｘ)＝π(ｘ)＝Σ_m=1^∞[μ(ｍ)ｆ(ｘ^1/m)/ｍ],ｆ(ｘ)＝Li(ｘ)―Σ_α[Li(ｘ^1/2＋αi)＋Li(ｘ^1/2-αi)]＋∫_x^∞[1/{ｘ(ｘ²－1)logｘ}]ｄｘ－log2 なる式が素数定理の表現を与えることがわかりました。

素数定理π(ｘ)～ Li(ｘ)はリーマン予想とは別に1896年にHadamardや,de la Vallee-Poussinによって証明されましたが,π(ｘ)～ Σ_m=1^∞[μ(ｍ)Li(ｘ^1/m)/ｍ]という近似式の方がより優れていることがかなり大きいｘまで検証されています。

ここまでは,ζ(ｓ)の自明でない零点が全て 0≦Reｓ≦1 の領域にあれば成立することであり,特にリーマン予想が成立することを必要としません。

しかし,特に"ζ(ｓ)の自明でない零点が全てReｓ＝1/2の上にある。"というリーマン予想が成立するなら,素数定理"π(ｘ) ～ Li(ｘ)"はより精密に,リーマン予想と同値な命題であることが1901年にvon Kochによって証明されている定理として,"Ｆ(ｘ)＝π(ｘ)＝Li(ｘ)＋ｏ(ｘ^1/2+ε) (εは任意の正の数)"に置き換わることになります。

最後に挙げた命題が,リーマン予想と同値な命題であることの理由についてはまだ把握していませんが,もしも詳細が理解できたなら,そのときにはまた紹介したいと思います。

参考文献：鹿野 腱 編著「リーマン予想」(日本評論社)；梅田 亨,黒川信重,若山正人,中島さち子 著「ゼータの世界」(日本評論社),荒川恒男,伊吹山知義,金子昌信 著「ベルヌーイ数とゼータ関数」(牧野書店) ；E.Artin著(上野建爾 訳・解説)「ガンマ関数入門」(日本評論社)

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    物理学

ｅ とπの超越性

　木曜からの風邪がだんだんひどくなり,セキが止まらないので仕方なく近くの滝野川病院で診察を受け,薬をもらいました。

　近くなのに病院まで歩いていけなくてタクシーを拾いました。普通は風邪くらいなら市販薬を飲んで寝るだけなのですが,手術の予後で体力回復が万全でないので心配になったのです。

　それにしても私はこのところ病院づいていますね。

しかし,もらった薬は食後に飲むように指定されていて,自宅には米以外の食料がなかったので病院のすぐそばにあったスーパーでいろいろと食料を買いましたが,自宅まで歩けないのでまた仕方なくタクシーに乗りました。

でも自宅に帰ってもおかゆさえ食べる気にならず,まあいいやと食前だけど薬を飲んだところ,プラシーボかもしれないが,さすがは病院の薬であるせいなのか,すぐに症状は軽減されました。

最近,ブログネタもないので,本の受け売りですが,以前の2007年5月27日の記事「代数的数と超越数」の続きとして,ｅとπの超越性の証明でも書いておきます。

(ｅの超越性の証明)

ｅが代数的数であると仮定すると,ａ₀＋ａ₁ｅ＋..＋ａ_nｅⁿ＝0 を満たす整数の組ａ₀,ａ₁,..,ａ_nが存在します。ｎ≧1,ａ₀ａ_n≠0 です。

ところで,ｆ(ｘ)をｍ次の多項式,ｔを複素数とし積分路を0とｔを結ぶ直線としてｔの関数Ｉ(ｔ)をＩ(ｔ)≡ｅ^t∫₀^tｅ^-xｆ(ｘ)ｄｘで定義し,部分積分を繰り返すと,Ｉ(ｔ)＝ｅ^tｆ(0)－ｆ(ｔ)＋ｅ^t∫₀^tｅ^-x(ｄｆ/ｄｘ)ｄｘ＝ｅ^tΣ_j=0^mｆ^(j)(0)－Σ_j=0^mｆ^(j)(ｔ)が得られます。

ｆ(ｘ)をｆ(ｘ)≡ｘ^p-1(ｘ－1)^p..(ｘ－ｎ)^pとします。

ｐは十分大きい素数です。

Ｊ≡－{ａ₀Ｉ(0)＋ａ₁Ｉ(1)＋..＋ａ_nＩ(ｎ)}とおくと,Ｊ＝－(ａ₀＋ａ₁ｅ＋..＋ａ_nｅⁿ)Σ_j=0^mｆ^(j)(0)＋ａ₀Σ_j=0^mｆ^(j)(0)＋ａ₁Σ_j=0^mｆ^(j)(1)＋..＋ａ_nΣ_j=0^mｆ^(j)(ｎ) ＝ａ₀Σ_j=0^mｆ^(j)(0)＋ａ₁Σ_j=0^mｆ^(j)(1)＋..＋ａ_nΣ_j=0^mｆ^(j)(ｎ)となります。

ただし,ｍ＝degｆ＝ｎｐ＋ｐ－1であり,0≦ｊ≦ｍなるｊに対してｆ^(j)(ｘ)はｘ^p-1,(ｘ－1)^p．．,(ｘ－ｎ)^pの各々をそれぞれｌ₀,ｌ₁,..,ｌ_n回ずつ(Σ_i=0l_i＝ｊ)微分した項の積和ですから,右辺の各ｆ^(j)(ｋ)(ｋ＝0,1,2,..,ｎ)は全て整数であり,それゆえＪも整数です。

そして,ｊ＜ｐなら明らかにｆ^(j)(ｋ)＝0 (ｋ＝1,2,..,ｎ)でｊ＜ｐ－1ならｆ^(j)(0)＝0 です。

ところで,ｋ≧ｌのときｋ(ｋ－1)..(ｋ－ｌ＋1)/ｌ!はｌ!で割り切れるので整係数多項式ｇ(ｘ)のｌ回導関数の係数はすべてｌ!で割り切れます。したがってｊ≧ｐのときｆ^(j)(ｘ)の係数はｊ!で割り切れ,よって全てｐ!で割り切れます。

したがって,ｆ^(j)(ｋ)はｊ＝ｐ－１かつｋ＝0 の場合を除いて,ｐ!で割り切れます。ところが,ｆ^(p-1)(0)＝(－1)^p(ｐ－1)!(ｎ!)^pであり,これは(ｐ－1)!では割り切れますが,ｐが十分大きいときｐでは割り切れません。

それ故,Ｊはゼロでない整数であり,(ｐ－1)!で割り切れます。よって,|Ｊ|≧(ｐ－1)!です。

一方,0≦ｘ≦ｋ,0≦ｋ≦ｎのとき,|ｘ|,|ｘ－1|,..,|ｘ－ｎ|≦2ｎなので |Ｉ(ｋ)|＝|∫₀^kｅ^k-xｆ(ｘ)ｄｘ|≦ｋｅ^k(2ｎ)^ｍです。

それ故,|Ｊ|≦|ａ₀||Ｉ(0)|＋|ａ₁||Ｉ(1)|＋..＋|ａ_n||Ｉ(ｎ)|≦(2ｎ)^ｍΣ_k=0ⁿ|ａ_k|ｋｅ^kです。ｍ＝ｎｐ＋ｐ－1ですから,ｐに無関係な定数ｃ＞0 が存在し,|Ｊ|＜ｃ^p が成立します。

ところが,Stirlingによれば,ｐが大きいとき,(ｐ－1)!～ｐ^pｅ^-pですから,素数ｐを大きくすると,やがて(ｐ－1)!＞ｃ^pとなります。

そこで,２つの不等式|Ｊ|≧(ｐ－1)!と|Ｊ|＜ｃ^p は両立しませんから,これは矛盾です。したがって,ｅが代数的数であるとした仮定が間違いであり,ｅは超越数であることがわかります。(証明終わり)

(πの超越性の証明)：

πを代数的数であると仮定すると,iπも代数的数です。ここでθ＝iπの共役：つまりθ＝iπの最小多項式における相異なるｎ個の根の組をθ₁＝θ,θ₂,..,θ_d；ｄ≡degθとします。

このとき等式(Euler's formula)ｅ^iπ＋1＝0 より,(ｅ^θ1＋1)(ｅ^θ2＋1)..(ｅ^θd＋1)＝0 となります。

そして左辺を展開すると,Σ_i=1,2,..,n^δi=0,1ｅ^{δ1θ1＋δ2θ2＋..＋δdθd}＝0 となります。

2^d個のδ₁θ₁＋δ₂θ₂＋..＋δ_dθ_d (δ_i＝0または１)のうちで 0 でないものがｎ個あったとし,それらをα₁,α₂,..,α_nをとします。

また,ｎ＜ｊ≦2^d に対してはα_j＝0 とします。そうすると,ｑ＋ｅ^α1＋ｅ^α2＋..＋ｅ^αn＝0 が得られます。ここで,ｑ≡2^d－ｎ＞0です。

ここで,ｅの超越性の証明と同様に,Ｉ(ｔ)＝ｅ^t∫₀^tｅ^-xｆ(ｘ)ｄｘを考え,今度はｆ(ｘ)≡ｌ^npｘ^p-1(ｘ－α₁)^p..(ｘ－α_n)^pとします。

ただしｐは十分大きい素数で,ｌはlθ₁,lθ₂,．．,lθ_d ,したがってlα₁,lα₂,．．,lα_n が代数的整数となるような整数です。

ここで,βが代数的整数であるとは,代数的数βの整数係数の最小多項式がその最高次の係数＝１の形つまり整数係数のモニックになることをいいます。

そして,Ｊ≡－{Ｉ(α₁)＋Ｉ(α₂)＋．．＋Ｉ(α_n)}とおくとＪ＝－(ｅ^α1＋ｅ^α2＋..＋ｅ^αn)Σ_j=0^mｆ^(j)(0)＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α₁)＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α₂)＋..＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α_n)＝ｑΣ_j=0^mｆ^(j)(0)＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α₁)＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α₂)＋..＋Σ_j=0^mｆ^(j)(α_n), ｍ＝ｎｐ＋ｐ－1です。

多項式ｆ(ｘ)の各係数はlα₁,lα₂,..,lα_nの整数係数の対称式,したがって,lθ₁,lθ₂,．．,lθ_dの整数係数の対称式です。

ところが,lα₁,lα₂,．．,lα_nを根とするモニックの最小多項式をＰ(ｘ)とすると,Ｐ(ｘ)＝(ｘ－lα₁)(ｘ－lα₂)..(ｘ－lα_n)＝ｘⁿ－ｓ₁ｘ^n-1＋ｓ₂ｘ^n-2－..＋(－1)ｓ_nであって,ｓ₁,ｓ₂,．．,ｓ_nはlα₁,lα₂,．．,lα_nの基本対称式であり,lα₁,lα₂,..,lα_nが代数的数なのでこれらは整数です。

しかもlα₁,lα₂,．．,lα_nの全ての整数係数の対称式は基本対称式の整数係数の多項式として表わせることは明らかなので,ｆ(ｘ)の各係数は整数になります。

したがって,ｆ^(j)(0)も整数です。また,Σ_k=1ⁿｆ^(j)(α_k)(ｊ≧0)もlα₁,lα₂,..,lα_nの整数係数の対称式なので,上と同じ論旨から,これは整数になります。

そして,ｊ＜ｐなら明らかにｆ^(j)(α_k)＝0 (ｋ＝1,2,..,ｎ)で,ｊ＜ｐ－1ならｆ^(j)(0)＝0 です。したがってｊ≧ｐのとき,ｆ^(j)(ｘ)の係数は全てｐ!で割り切れます。

以上から,ｆ^(j)(α_k)とｊ≠ｐ－１のときのｆ^(j)(0)は,ｐ!で割り切れます。ところが,ｆ^(p-1)(0)＝(－1)^p(ｐ－1)!(lα₁lα₂..,l)^pであり,これは,(ｐ－1)!では割り切れますが,ｐが十分大きいときｐでは割り切れません。

それ故,Ｊはゼロでない整数であって,(ｐ－1)!で割り切れます。よって,|Ｊ|≧(ｐ－1)!です。

一方,0≦ｘ≦α_kまたは,α_k≦ｘ≦0 for 0≦ｋ≦ｎなるｘに対して,Ｍ＝max_k|2α_k|とおくと,|ｘ|,|ｘ－α₁|,..,|ｘ－α_n|≦Ｍなので,|Ｉ(α_k)|＝|∫₀^αkｅ^αk-xｆ(ｘ)ｄｘ|≦|α_k|ｅ^αkｌ^npＭ^ｍです。

それ故,|Ｊ|≦|Ｉ(0)|＋|Ｉ(α₁)|＋..＋|Ｉ(α_n)|≦ｌ^npＭ^ｍΣ_k=0ⁿ|α_k|ｅ^αkと評価できます。ここで,ｍ＝ｎｐ＋ｐ－1ですからｐに無関係な定数ｃ＞0 が存在して|Ｊ|＜ｃ^pが成立します。

ｐが大きいとき,(ｐ－1)!＞ｃ^pとなりますから,２つの不等式|Ｊ|≧(ｐ－1)!と|Ｊ|＜ｃ^p は両立しません。したがってπが代数的数であるとした仮定が間違いでありπは超越数であることがわかります。(証明終わり)

これで,ｅおよびπは超越数であることが証明されました。超越数ですから当然無理数ですが,いささか本末転倒ながらこれらが無理数であることをもっと直接的に証明してみます。

(ｅが無理数であることの証明)：

ｅ＝1＋1/1!＋1/2!＋1/3!＋..ですから,0＜ｎ!ｅ－ｎ!Σ_k=0ⁿ(1/ｋ!) ＝ｎ!Σ_k=n+1^∞(1/ｋ!)≦{1/(ｎ＋1)}(1＋1/2＋1/2²＋．．)＝2/(ｎ＋2)→ 0 as ｎ→∞ が成立します。

ところが,一般にαが有理数でα＝ａ/ｂ(ａ,ｂ∈Ｚ,ｂ＞0)なら,αと異なる全ての有理数ｐ/ｑに対して|ｑα－ｐ|＝|ｑａ－ｐｂ|/ｂ≧1/ｂですから,αにのみ依存する正の定数ｃが存在して,|α－ｐ/ｑ|≧ｃ/ｑとなります。それ故,0＜|ｑ_nα－ｐ_n|→ 0 as ｎ→ ∞ なる整数列{ｐ_n},{ｑ_n}が存在するならαは無理数です。

以上から,ｅは無理数であることが示されました。(証明終わり)

(πが無理数であることの証明)：

実係数の多項式ｆ(ｘ)に対してＦ(ｘ)≡ｆ(ｘ)－ｆ⁽²⁾(ｘ)＋ｆ⁽⁴⁾(ｘ)－ｆ⁽⁶⁾(ｘ)＋..とおきます。ｆ(ｘ)は多項式なので右辺は有限項で終わりＦ(ｘ)も多項式になります。

このとき,{Ｆ'(ｘ)sinｘ－Ｆ(ｘ)cosｘ}'＝{Ｆ"(ｘ) ＋Ｆ(ｘ)}sinｘ＝ｆ(ｘ)sinｘなので,∫₀^πｆ(ｘ)sinｘｄｘ＝Ｆ(0)＋Ｆ(π)と書くことができます。

今,πが有理数であると仮定して,π＝ａ/ｂ(ａ,ｂ∈Ｚ,ｂ＞0)とし,上式でｆ(ｘ)＝(ｂⁿ/ｎ!)ｘⁿ(π－ｘ)ⁿ＝(1/ｎ!)ｘⁿ(ａ－ｂｘ)ⁿとおきます。

ただし,ｎは十分大きい正の整数とします。明らかに,ｊ＜ｎのときｆ^(j)(0)＝0 で,ｊ≧ｎのときは多項式:{ｘⁿ(ａ－ｂｘ)ⁿ}^(j)のすべての係数は,ｊ!したがってｎ!で割り切れます。故に,ｊ≧0なるすべてのｊについてｆ^(j)(0)は整数です。

ところで,ｊ≧0なるすべてのｊについてｆ^(j)(ｘ)＝(－1)^jｆ^(j)(π－ｘ)よりｆ^(j)(π)＝(－1)^jｆ^(j)(0)も整数です。

以上から,∫₀^πｆ(ｘ)sinｘｄｘ＝Ｆ(0)＋Ｆ(π)の右辺{Ｆ(0)＋Ｆ(π)}は整数です。

一方,左辺は,0＜∫₀^πｆ(ｘ)sinｘｄｘ≦(ｂⁿπ²ⁿ/ｎ!)∫₀^πsinｘｄｘ＝2ｂⁿπ²ⁿ/ｎ!＜ｃⁿ/ｎ!です。ｃはｎに依存しない正の定数です。

これからｎ! ≦ｃⁿ ですが,ｎが十分大きいときには成立しません。

以上からπは無理数であることが示されました。(証明終わり)

参考文献：塩川宇賢 著「無理数と超越数」(森北出版)

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代数的数と超越数

前の記事で,代数関数,および超越関数に関連したことを記述したことがきっかけで,急にこれに関連した代数的数,および超越数の記事を書きたいという欲求が起きました。

そこで,今日はコーヒー・ブレイクとして代数的数と超越数の定義や性質について少し記述してみようと思います。

まず,これらの定義は,"ａ₀,ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_nを任意の整数(ｎは任意の自然数でａ₀≠0)とするとき,複素数αがａ₀,ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_n を係数とする代数方程式ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n-1ｘ＋ａ_n＝0 の解の１つならαを代数的数と呼ぶ。一方,複素数αが如何なる整数係数の代数方程式の解にも成り得ない場合には,このαを超越数と呼ぶ。"というものです。

まず,複素数αが代数的数であり係数ａ₀,ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_nが全て整数環Ｚの元の代数方程式ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n-1ｘ＋ａ_n＝0 の解である場合には,整数は有理数ですから,係数ａ₀,ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_nが全て有理数体Ｑの元であるような代数方程式の特別な場合です。

それ故,代数的数αはいつでも有理数係数の代数方程式の解であることは明らかです。

その逆,つまり複素数αが有理数係数の代数方程式の解であるならば,それはいつでも"整数係数の代数方程式の解＝代数的数"であるということをも示すことができます。

すなわち,ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n-1ｘ＋ａ_n＝0 を,その係数:ａ₀,ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_n が全て"有理数＝有理数体Ｑの元"の代数方程式とすると,ａ₀,ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_nを全て既約分数で表わしたときのｎ個の分母の整数の最小公倍数を方程式の両辺に掛けて得られる代数方程式は,係数が全て整数の代数方程式です。

これは方程式としては,元の有理係数のそれと全く同じですから,解はこの操作の前後で全く不変です。

したがって,複素数体Ｃの中で整数係数の代数方程式の解と有理数係数の代数方程式の解は全く同じもので,共に代数的数を定義するものとなっています。

次に上に定義した,全ての代数的数の集合をΩ⊂Ｃとします。そして,まずΩの濃度＝Card(Ω)が可算であること,つまり,Card(Ω)＝ (alef-0:アレフ・ゼロ)であることを示しましょう。

「代数学の基本定理」によれば,ｎ次代数方程式ｆ(ｘ)＝0 は複素数体Ｃの中に少なくとも１つの解を持ちます。(ＰＳ：代数学の基本定理」については2007年8/17の記事参照 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/08/post_7467.html　)

ｆ(ｘ)＝0 の解(＝多項式ｆ(ｘ)の零点)の１つをα∈Ｃとすれば,多項式ｆ(ｘ)は(ｘ－α)で割り切れて,ｆ(ｘ)＝(ｘ－α)ｇ(ｘ)(ｇ(ｘ)は多項式)と表わすことができます。

そして,ｇ(ｘ)＝0 も,(ｎ－1)次代数方程式ですから,それは複素数体Ｃの中に少なくとも１つの解を持ちます。

これを繰り返せば,結局ｎ次代数方程式は複素数体Ｃの中に高々ｎ個の異なる解を持つ,ということが言えます。

ｎを固定したときのｎ次代数方程式の(ｎ＋1)個の係数の組はそれを(ａ₀,ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_n)と(ｎ＋1)次元ベクトルの形式で表わしたとき,その座標成分が全て整数で与えられる(ｎ＋1)次元空間を形成しますから,その全ての係数集合の濃度はⁿ⁺¹＝ を超えません。

係数の組の個数は明らかに有限ではありませんから,その(ｎ＋1)次元空間の濃度は丁度 (可算個)に等しいことになります。

そして,たった今示したことから,各々の(ａ₀,ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_n)に対してそれを係数とするｎ次代数方程式の異なる解の個数は高々ｎ個ですから,ｎを固定したときのｎ次代数方程式の解の集合の濃度は高々(ｎ×)であり,結局(可算)であるということになります。

そして,代数的数の集合Ωの濃度:Card(Ω)はｎを固定したときのｎ次代数方程式の解の集合をｎ＝1,2,..について全て総和したもので与えられますから,Card(Ω)＝Σ_n=1^∞ ＝×＝です。

こうして,代数的数の集合Ωの濃度はであること,つまり,整数係数(有理数係数)の代数方程式の解になることが可能な複素数の個数は可算個であることが示されました。

元々複素数全体Ｃの濃度は可算ではなく,連続無限ですから代数的数Ωの個数に比べて"超越数＝Ｃ－Ω"の個数の方がはるかに多い,ということがわかりました。

次に,より本質的な性質であると思われる,"Ωは体をなす"という命題を証明することにします。

それには集合Ωが加法について群をなすこと,および集合Ω^×≡Ω－{0}が乗法について群をなすこと,の両方を示せば十分です。

Ω,Ω^×が,それぞれ,加法,乗法について閉じていれば,結合法則,α,β,γ∈Ωなら,(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ),およびα,β,γ∈Ω^×なら(αβ)γ＝α(βγ)が成立することは明らかです。

また,0と1は明らかに代数的数ですから,0が加法群Ωの,1が乗法群Ω^×の単位元であることも明らかです。

さらに,α∈Ωであってｆ(α)＝ａ₀αⁿ＋ａ₁α^n-1＋..＋ａ_n-1α＋ａ_n＝0 (ａ₀,ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_n∈Ｚ)が成立するとします。

このとき,{(－1)ⁿａ₀}(－α)ⁿ＋{(－1)^n-1ａ₁}(－α)^n-1＋..＋(－ａ_n-1)(－α)＋ａ_n＝0 が成立するので,(－α)∈Ωです。

特にα≠0なるときは,ａ_n(1/α)ⁿ＋ａ_n-1(1/α)^n-1＋..＋ａ₁(1/α)α＋ａ₀＝0 が成立するので,(1/α)＝α^-1∈Ω^×となることもいえます。

そこで,加法と乗法について,共に単位元と逆元が存在することも自明です。

ところが,Ωが加法について閉じていること,つまりα,β∈Ωなら(α＋β)∈Ωとなること,およびΩ^×が乗法について閉じていること,つまりα,β∈Ω^×ならαβ∈Ω^×となることを具体的に示すのは少々やっかいです。

証明のために,まずαがｆ(α)＝ａ₀αⁿ＋ａ₁α^n-1＋..＋ａ_n-1α＋ａ_n＝0 (ａ₀,ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_n∈Ｚ)を,βがｇ(β)＝ｂ₀β^m＋ｂ₁β^m-1＋..＋ｂ_m-1β＋ｂ_m＝0 (ｂ₀,ｂ₁,..,ｂ_m-1,ｂ_m∈Ｚ)を満足するとします。

ここで,一般性を失うことなくｎ≧ｍと仮定してよいので,そのように仮定します。

ｘ＝α＋βとおくと,α＝ｘ－βよりｆ(α)＝ｆ(ｘ－β)＝0 ですから,φ(ｘ)≡ｆ(ｘ－β)＝ｃ₀ｘⁿ＋ｃ₁ｘ^n-1＋..＋ｃ_n-1ｘ＋ｃ_nと定義すれば,φ(ｘ)はｘのｎ次多項式でφ(α＋β)＝0 です。

一方,ｘ＝αβとおくとα＝ｘ/βよりｆ(α)＝ｆ(ｘ/β)＝0 ですから,ψ(ｘ)≡ｆ(ｘ/β)＝ｄ₀ｘⁿ＋ｄ₁ｘ^n-1＋..＋ｄ_n-1ｘ＋ｄ_nと定義すればψ(ｘ)はｘのｎ次多項式でψ(αβ)＝0 が成立します。

ところが,ｃ₀,ｃ₁,..,ｃ_n-1,ｃ_n ;ｄ₀,ｄ₁,..,ｄ_n-1,ｄ_n は一般に整数あるいは有理数ではありませんから,ｘ＝α＋βやｘ＝αβは確かに代数方程式φ(ｘ)＝0 やψ(ｘ)＝0 の解ですが,それが代数的数であるとは言えません。

あるいは,ｆ(ｘ)＝(ｘ－α)ｆ₁(ｘ),ｇ(ｘ)＝(ｘ－β)ｇ₁(ｘ)より,ｙ≡2ｘとしてχ(ｙ)≡ｆｇ₁＋ｆ₁ｇ＝{ｙ－(α＋β)}ｆ₁(ｙ/2)ｇ₁(ｙ/2)と定義すれば,これは確かにｙ＝α＋βを解とします。

しかしχ(ｙ)はｙの多項式ではありますが,その係数は整数または有理数ではありません。

有理数係数の多項式を微分しても導関数はやはり有理数係数の多項式ですから,これらの操作や性質を用いることも試行しましたが,私の力不足かα＋βやαβを解とする具体的な整数あるいは有理数係数の代数方程式を求めようとする方法ではうまくいきません。

そこで抽象的な方法を利用することにし,代数的整数論の知識を借りて,α,β∈Ωなら(α＋β)∈Ω,かつαβ∈Ωとなることを示します。

有理数体をＱで表わすとき,α∈Ωを仮定して"αのＱ上の最小多項式＝αを根とする有理数係数のモニック(最高次の係数が１の多項式)でその次数が最小のもの"をｆ(ｘ)とします。

αのＱ上の最小多項式ｆ(ｘ)の表現をｆ(ｘ)＝ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n-1ｘ＋ａ_n (ａ₁,..,ａ_n-1,ａ_n∈Ｑ):ｆ(α)＝αⁿ＋ａ₁α^n-1＋..＋ａ_n-1α＋ａ_n＝0 とします。

同様に,β∈Ωとして,βのＱ上の最小多項式をｇ(ｘ)とします。ｇ(ｘ)＝ｘ^m＋ｂ₁ｘ^m-1＋..＋ｂ_m-1ｘ＋ｂ_m (ｂ₁,..,ｂ_m-1,ｂ_m∈Ｑ):ｇ(β)＝β^m＋ｂ₁β^m-1＋..＋ｂ_m-1β＋ｂ_m＝0です。

そして,Ｃの部分環であってＱ,α,βを含む最小の環,つまり有理数体Ｑにαとβを添加してできる環をＱ[α,β]とします。

このとき,αの最小多項式ｆ(ｘ)の性質:ｆ(α)＝0 から,αⁿ＝－ａ₁α^n-1－..－ａ_n-1α－ａ_nが成立しますから,αの全ての次数の量は1,α,..,α^n-1のＱの元を係数とする1次結合で表わすことができることがわかります。

同様に,βの全ての次数の量は,1,β,..,β^m-1のＱの元を係数とする1次結合で表わせます。

　それ故,Ｑ[α,β]の全ての元は(ｎｍ)個の(αⁱβ^j)(ｉ＝0,1,..,ｎ－1；ｊ＝0,1,..,ｍ－1)の１次結合で表わすことができます。

　(ｎｍ)個の(αⁱβ^j)を,改めてθ_k(ｋ＝1,2,..,ｎｍ)と書きます。

　このとき,∀γ∈Ｑ[α,β]に対してγθ_k(ｋ＝1,2,..,ｎｍ)も全てＱ[α,β]の元ですから,これらの各々はγθ_k＝Σ_j=1^nmｂ_kjθ_j(ｂ_kj∈Ｑ)とθ_j(j＝1,2,..,ｎｍ)の１次結合で表わすことができます。

　そこで,θ_k(ｋ＝1,2,．．,ｎｍ)の集合をθ≡^t(θ₁,θ₂,．．,θ_nm)と列ベクトルの形で再定義し,ＢをＱの元ｂ_ijを成分とするｎｍ次の正方行列とすれば,γθ＝Ｂθ,つまり(γＥ－Ｂ)θ＝0 と表現できます。

　そして,θ≠0 なので,det(γＥ－Ｂ)＝0 が成立します。

　(detＡはＡの行列式(determinant)を意味します。)

　det(γＥ－Ｂ)＝0 はγを根とする係数が有理数のｎｍ次の代数方程式です。それ故,γ∈Ωとなります。

　したがって,Ｑ[α,β]⊂Ωであることが示されたわけです。そこで特にα＋β,αβ∈Ωです。

　以上で,代数的数全体の集合Ωは体をなす,すなわち,複素数体Ｃの可算な部分体である,という命題が証明されました。

まだ,ｅやπが超越数であることを示すというような魅力的な話題も残っています。

ｅやπが無理数であることや超越数であることの証明については,ちょっと興味が湧いて１年くらい前に買った本に詳ししく載っています。

しかし,本の内容をただ写してブログ記事にする。というのはやりたくないので,書名を紹介するに留めて,今日はこのくらいにします。

その書名は塩川宇賢 著「無理数と超越数」(森北出版)です。そのまんまですね。 

参考文献：石田 信 著「代数的整数論」(森北出版)

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虚数(複素数)の起源

　虚数(imaginary),あるいは複素数(complex),すなわちａ,ｂを実数(real)としてａ＋ｂ√－1と表わされる想像上の数が数学の世界に導入されるようになったきっかけは,別に全ての２次方程式が必ず根を持つようにするためというような理由からではありません。

　例えば,方程式ｘ²＋１＝0 がｘ＝±√－1という根を持つとしなければ,この方程式は解を持たない,などという理論的な不都合と感じられるものを無くそうという理由からであった。などと思われがちですが,実際の歴史的経緯は違います。

実は３次方程式の根の公式であるカルダノの公式が当時においては唯一認められていた実数解を実際に表現するためには,途中経過として虚数を経由しなければ不可能なケースがあったためです。

すなわち,一般の３次方程式はｘ³の係数が１のモニックとして,ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝0 で与えられます。

これは,ｙ＝ｘ＋ａ/3とおいてｘ＝ｙ－ａ/3を元の方程式に代入してｙの方程式にすれば,必ずｙ²の係数がゼロの３次方程式ｙ³＋ｐｙ＋ｑ＝0 (ｐ≡－ａ²/3＋ｂ,ｑ≡2ａ³/27－ａｂ/3＋ｃ)に変換されます。

そして,この３次方程式を満たすｙの根を求めるには,これにｙ＝ｕ＋ｖを代入します。

(ｕ＋ｖ)³＋ｐ(ｕ＋ｖ)＋ｑ＝0 ,すなわち,ｕ³＋ｖ³＋(ｕ＋ｖ)(3ｕｖ＋ｐ)＋ｑ＝0 が得られます。

これから,解ｙを求めることは,ｕ³＋ｖ³＝－ｑ,ｕｖ＝－ｐ/3,を満たすｕ,ｖの組,あるいはｕ³＋ｖ³＝－ｑ,ｕ³ｖ³＝－ｐ³/27を満足するｕ³とｖ³の組を求めることに帰着します。

明らかに,このｕ³とｖ³の組を求めるには２次方程式ｔ²＋ｑｔ－ｐ³/27＝0 を解けばいいので,結局３次方程式の根を求めることが２次方程式の根を求めることに帰着します。

２次方程式の根の公式によれば,ｕ³,ｖ³＝－ｑ/2±(ｑ²/4＋ｐ³/27)^1/2です。したがって,ｕ,ｖ＝[－ｑ/2±(ｑ²/4＋ｐ³/27)^1/2]^1/3が得られますから,これらをｙ＝ｕ＋ｖに戻せば,これが３次方程式ｙ³＋ｐｙ＋ｑ＝0 の１つの根になります。

上に得られた３次方程式の根の公式をカルダノの公式と呼びます。

現在のわれわれの立場で考えると,ｕ,ｖが１組でも求まれば,ωを１とは異なる１の立方根,すなわち,ω²＋ω＋1＝0 の根の１つとすれば,ｙ＝ｕ＋ｖ,ｕω＋ｖω²,ｕω²＋ｖωが３次方程式ｙ³＋ｐｙ＋ｑ＝0 の３つの根の全てを表現するものである,とすぐに理解できます。

しかし,当時は複素数は存在しないという時代であったので,３次方程式の根であると認められるのは実数解だけでした。

ところが,例えばｙ³－15ｙ－4＝0 という具体的な方程式を考えると,これは代入すれば明らかなようにｙ＝4 という実数根を持ちます。

しかし,カルダノの根の公式によれば,これの根はｙ＝(2＋√-121)^1/3＋(2－√-121)^1/3と表現されますから,これの右辺が４に等しい,つまり(2＋√-121)^1/3＋(2－√-121)^1/3＝4であるとせざるを得ません。

現在のわれわれの感覚であれば,ｉを虚数√－1とすれば√-121＝11iであり,例えば(2±ｉ)³＝2±11i＝2±√-121ですからｕ,ｖ＝2±ｉ＝ 2±√－1とすれば,ｙ＝ｕ＋ｖ＝4となって何ら矛盾を感じるようなことはありません。

ところが,当時は想像上の数である虚数√-121＝11ｉの存在を認めるということは,たとえ計算の途中でも有り得ない。という雰囲気であったので,大いに困惑しただろうと想像されます。

結局,３次方程式の根を計算する途中に限って,特別に虚数,あるいは複素数の存在を認めるということになったのが,虚数.あるいは複素数を導入するきっかけになったと考えられます。

ですから,２次方程式が必ず根を持つためとかいう理論的な経緯から,これが導入されたわけではありません。　

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５次以上の代数方程式の解法

　５次以上の任意の代数方程式の解について方程式の係数からベキ根を取ることによって得られる解の公式を求めることはアーベル(Abel)とガロア(Galois)によって不可能であることが証明されました。

(これについては,2007年1/14「ガロア理論(1)」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/01/post_abe5.html から2007年1/29「ガロア理論(6)」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/01/post_f6db. までの記事や関連記事もありますからよかったら参照してください。)

　しかしながら,ベキ根による解法が存在しなくても,代数学の基本定理)によれば,複素数体の中にその"代数方程式の解＝零点"が必ず存在する,ことはわかっています。

　"解が存在する。"ということと"解法が存在する。"ということは全く別のことなのですね。

　ところで,５次以上の任意の代数方程式の解について,ベキ根による解法は存在しなくても,それ以外の方法で解を求める一般的な解法というものは存在しないのでしょうか？

　例えば,１のｎ乗根,すなわちｘⁿ－1＝ 0 の解は既に述べたようにその全てをベキ根で表現することが可能ですが,それを具体的に示すことはかなり面倒な課題です。

　しかし,ルートを取るという操作と四則演算のみに頼るという狭い方法にこだわることなく,指数関数や三角関数を用いてよいなら,ｎ乗根をζ_k(ｋ＝0,1,2,...ｎ－1)とおくと,ζ_k＝ｅ^2πki/ｎ＝cos(2πki/ｎ)＋ｉsin(2πki/ｎ)という形に書くことができること,

　かなりすっきりとした簡明な形で表現できることは,もっと昔から知られていました。

　実は,一般の５次の代数方程式の解もベキ根に頼るのではなくて,楕円関数を用いる方法によって,その解の公式を与えることが可能であることがわかっていて,テータ関数を用いてその公式を与える実際の表式が得られています。

　これを厳密に説明することは,私の現時点での容量の限界を超えているので,その手順の概略のみを紹介してみます。

　一般の５次の代数方程式をｘ⁵＋ａ₁ｘ⁴＋ａ₂ｘ³＋ａ₃ｘ²＋ａ₄ｘ＋ａ₅＝0 と書くと,ｙ＝ｘ＋ａ₁/5 とおくことによって,ａ₁＝ 0 の場合に帰着させることができますが,この変換を一般化してチルンハウゼン変換(Tschirnhausen変換)と呼ばれる変換:ｙ＝α₀＋α₁ｘ＋α₂ｘ²＋α₃ｘ³＋α₄ｘ⁴を考えます。

　ここでα_iはある複素数です。このとき,複素数ｂ_iが存在して先のｘに対する５次の代数方程式がｙに対する方程式ｙ⁵＋ｂ₁ｙ⁴＋ｂ₂ｙ³＋ｂ₃ｙ²＋ｂ₄ｙ＋ｂ₅＝0 に変換されるとします。

　もしも,1≦ｉ≦4を満たす４つのｉについてｂ_i(α₀,α₁,α₂,α₃,α₄)＝0 を満たす複素数の組α₀,α₁,α₂,α₃,α₄を見つけることができれば,そうしたα_iに対してはｙの５次方程式はｙ⁵＋ｂ₅ ＝0 となり,この解は根号によって,ｙ＝(－ｂ₅)^1/5と書けますから,結局元のｘに対する５次方程式の解が求まることになります。

　ところが,ｂ_i(α₀,α₁,α₂,α₃,α₄)＝0 (1≦ｉ≦4)を満足する解(α₀,α₁,α₂,α₃,α₄)≠0 を求めるには,残念ながら,24次の代数方程式を解かなければならず,５次の代数方程式ｘ⁵＋ａ₁ｘ⁴＋ａ₂ｘ³＋ａ₃ｘ²＋ａ₄ｘ＋ａ₅＝0 に対してこの24次の方程式を解くことは不可能なことがわかっています。

　しかし,４つ全部のｉではなく1≦ｉ≦3を満たす３つだけについてｂ_i(α₀,α₁,α₂,α₃,α₄)＝0 を満足する(α₀,α₁,α₂,α₃,α₄)≠0 を求めるには高々４次の代数方程式を解けばいいので,結局,チルンハウゼン変換により,ベキ根のみの方法によって与えられた方程式をｙ⁵＋ｙ＋ｂ＝0 という形にまで簡略化できます。

　これは,この方法を始めて行った人の名を取って,Bring-Jerrardの標準形と言われます。

　そして,このｙ⁵＋ｙ＋ｂ＝0 の一般解を求めることはべき根によるのでは不可能ですが,楕円関数の世界ではこの解の公式を具体的に表わすことができるらしいのです。

　６次以上の代数方程式についても,楕円関数をさらに超越積分∫[1/√ｆ(ｘ)]ｄｘに置き換えることで,解の公式を作ることができるらしいですね。

　参考文献；梅村 浩 著「楕円関数論」(東京大学出版会)　

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