ガロア理論補遺(今日は誕生日)

※2022年1月21日(金)開始→2022年２月１日(火)

※(余談):投稿を迷ってるうちに,２月に入ってしまいました

今日:２/１は私の72回目の誕生日です。1950年生まれの年男

なのですが,古希も超えた死に損ないジジイには「めでたくもアリ,

めでたくもナシ,誕生日も冥途の旅の一里塚。」です。

昔は,行きつけの飲み屋のカラオケ伴奏で,毎年恒例のように,

「Happy  Birthdaty to Me」を唄ってアピールしたものでした。

常連だったんだから,誰か覚えていろよな。ホントに。。。

(※今朝はネットバンクをチェックしたら,何か10万円が一括入金

されてました。住民税非課税家庭への給付金でしょうね？

意外と早いね。ラッキー。誕生日プレゼントかな？？？)

さて,大抵の病気はグッスリと良い睡眠を散れば治るという

のが昔からの持論で,風邪でもひくと最安のユンケルと睡眠薬

で2日以内には回復してました。その他には度な「百薬の長」

でもあればなおイイいかも？と思っています。

私,30歳代の終わり頃からの慢性糖尿病が原因で,心不全であり

腎臓も透析はしてないが悪化中なので,不眠は体に負担が大きく

逆に睡眠はとてもいい薬です。なぜか？年末くらいから食欲も

なく,不眠続きで体力が低下して寝たキリに近くなっています。

かろうじて首から上だけ元気です。入院が多くてもう足の筋肉が

立ってるだじぇで辛いのでね。23歳から57歳まで長年のウツ病

で向精神薬には慣れているせいか,少々の精神安定剤は単なる睡眠

剤よりの不眠にもこよく効くので,訪問医に処方してもらって昼も

夜も飲んでいると,少しは楽になってきました。ただ,相変わらず1

分間に４リットルの酸素優吸入をしいます。食が細いのに体重が

減らないのは,きっと心臓が弱って肺に水が溜まっているようです。

利尿剤も飲んでますが,糖尿病なのに糞尿じゃなく出が悪いです。

イヤ,先は長くないですね。コロナには無関係ですが。

(余談終わり※)

※以下,本題です。ガロア理論の復習のシリーズの補足として,

記事:(1)～(9)の意味などを代数方程式解法の歴史とも関連

づけて,自己確認も兼ねて考察し要約してみました。

※古代ギリシャのユークリッド以来,,幾何学全盛の時代にも

,ディオファントスや,アルキメデス,ピタゴラスなど,必ずしも

図形とは関わらない,数字の数学を研究する学者もいました。

しかし,近代西洋代数学が発展したのは,ｘやｙという文字を

変数として,例えばｘ^４－6ｘ²＋3ｘ＋5のように.数式を表現する

方法を発明したフランスの有名な哲学者デカルト(Descartes)の

功績が非常に大きかったのでは？と思います。和算など漢数字に

よる難解と見える東洋数学の表現に比べ,数式を記号表現に簡素化

したのは,非常に明快であり,大きな意味があったと思います。

さて,まず,２次代数方程式,いわゅる２次方程式の根を求める公式

については,昔,高校で習いました。

すなわち,基本式はｆ(ｘ)＝ａｘ²＋ｎｘ＋ｃ＝0(ａ≠0)ですが,

これをａ{ｘ＋ｂ/(2ａ)}²－ｂ²/(4ａ)＋ｃ＝0と変形すると,

{ｘ＋ｂ/(2ａ)}²＝(ｂ²－4ａｃ)/(4ａ²)となりますから,

ルートの中が正か負か？を判別する判別式をＤ＝ｂ²―4ａｃと

おけば,この方程式の２根はｘ＝(―ｂ±√Ｄ)/(2ａ)　です。

次に,３次方程式ｆｒすが.これは16世紀にイタリアの学者

Tatyagliai(タルタリア)が発見したモノを,Cardano(カルダノ)

が無断で盗んだとか？金を払って買ったとか？で,今日では

「Cardano(カルダノ)の公式」と呼ばれています。

まず,基本式はｆ(ｘ)＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ＝0(ａ≠0)です。

これは,ａ{ｘ＋ｂ/(3ａ)}³－{ｂ²/(3ａ)}ｘ＋ｃｘ－ｂ³/(27ａ²)

＋ｄ＝0。と変形できます。

それ故,ｙ＝ｘ＋ｂ/(3ａ)とおき,ｘ＝ｙ－ｂ/(3ａ)を代入すれば,

ａｙ³＋{ｃ－ｂ²/(3ａ)}ｙ＋{ｄ＋2ｂ³/(27ａ²)}＝0∔となります。

これを,ｙ³＋Ａｙ＋Ｂ＝0と書けば,２次項が消え簡単になります。

ただし,Ａ＝－(ｂ²－3ａｃ)/(3ａ²),Ｂ＝(27ａ²ｄ＋2ｂ³)/(27ａ³)

です。さらに,ｙ＝ｕ＋ｖとおくと,(ｕ＋ｖ)³＋Ａ(ｕ＋ｖ)＋Ｂ＝0.

,つまり,ｕ³＋ｖ³＋(3ｕｖ＋Ａ)(ｕ＋ｖ)＋Ｂ＝0 となります。

そこで,ｕｖ＝－Ａ/3とおけば,ｕ³＋ｖ³＝－Ｂ, かつ,

ｕ³ｖ³＝－Ａ³/27となりますから,ｕ³,ｖ³は,ｔの２次方程式

ｔ²＋Ｂｔ－Ａ³／/27＝0 の未知変数ｔの２根になります。

そこで,Ｄ＝Ｂ²＋4Ａ³/27とおけば,ｕ³＝(－Ｂ＋√Ｄ)/2，

かつ,ｖ³＝(－Ｂ－√Ｄ)/2と書くことができます。

ｕ＝{(－Ｂ＋√Ｄ)/2}^1/3,ｖ＝{(－Ｂ－√Ｄ)/2}^1/3とおき,

１の３乗根を1,ω,ω²と書けば,0 ω²＋ω＋1が成立して,＝

ｙの３次方程式の３根は,ｙ＝ｕ＋ｖ.u＋ωｖ,u＋ω²ｖ です。

(※ｙ＝ｕ＋ｖ.ωｕ＋ω2ｖ,ω2u＋ωｖという等価な表現も

ありますがね。)

４次方程式の解法は,18世紀にイタリアのFerrari(フェラーリ)

により,発見されました。(彼はカルダノの弟子？らしい。)

基本式はｆ(ｘ)＝ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ｃｘ²＋ｄｘ＋ｅ＝0(ａ≠0)

です。これもｙ＝x+＋ｂ/(4ａ)として,ｘ＝ｙ－ｂ/(4ａ)を代入

すれば,３次項が消え,ｙ⁴＋Ａｙ²＋Ｂｙ＋Ｃ＝0と少し簡単に

なります。この両辺に,(2λｙ²＋λ²)を加えると,(ｙ²＋λ)²

＝(2λ－Ａ)ｙ²－Ｂｙ＋(λ²－Ｃ)＝0となることを利用します。

もしも,この右辺も(Ｅｙ＋Ｆ)²のような完全平方式なら,

(ｙ²＋λ)²＝(Ｅｙ＋Ｆ)²となるので,ｙ²＋λ＝±Ｅｙ±Ｆと

なって＋,－の２つのｙの２次方程式を解けばｙが得られます。

そして,ｘ＝ｙ－ｂ/(4ａ)から,ｘの根を得ることができます。

とことが,(2λ－Ａ)ｙ²－Ｂｙ＋(λ²－Ｃ)＝(Ｅｙ＋Ｆ)²と

なるためには,(2λ－Ａ)＝Ｅ²,かつ,左辺の判別式:Ｄがゼロに

なることが必要十分です。

すなわち,Ｄ＝Ｂ²－4(2λ－Ａ)(λ²－Ｃ)＝0であるべきですが

これは.λ³－4Ａλ²－(Ｂ²－4ＡＣ)＝0なる３次方程式です。

これを解いて,λの根が得られれば,それを先の２次方程式の係数

に代入して,その方程式を解くことにより,元の４次方程式の解が

得られます。

この解を元の基本方程式の係数:ａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅの式に書き下す

のは,とても煩雑で面倒な作業ですから.ここではワザワザやり

ませんが,時間さえかければ可能です。

一方,方程式の係数の具体的数値が既知である場合なら.

上記の解を求める手順を追うアルゴリズムを,その通りに

プログラム化すれば,容易に解の数値を得ることができます。

とにかく,４次方程式を解く問題は３次方程式,２次方程式

を解く問題に帰着されました。数値計算の実用などには問題

なしです。

しかし,５次以上の代数方程式については,結局,根を求める

一般的解法,公式は見出せないことが,わかってぃます。

ここでは,試みは失敗に終わったけれど,魅力的なフランスの

Lagrange(ラグランジュ)の方法を見てみます。

この項は,私,眼が悪くなって手持ちの本も読めない状況ので,

主に画面を拡大して,ホームページの「ラグランジュの試み」

を参照させて頂きました。

さて,解くべきｎ次代数方程式ｆ(ｘ)＝0については,それを

解くための方法の存在はともかく「複素数体Ｃの中に必ず根を

持つ。」というGaussの「代数学の基本定理」があります。

その１根をαとすれば,ｆ(ｘ)＝(ｘ－α)ｆ₁(ｘ)と因数分解され,

さらに(ｎ－1)次方程式ｆ₁(ｘ)＝0も根を持つため,ｎ次方程式

ｆ(ｘ)＝0は,Ｃの中にｎ個の根:α₁,α₂,..,α_nを持つことになり,

結局,多項式ｆ(ｘ)は,ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・・(ｘ－α_n)

(ａ≠0)と表わすことができます。

方程式に,解,または根があること＝解が存在するということと,

それを求める解法が存在するということは,全くの別問題です。

さて,以下,Lagrange(ラグランジュ)の手法を解説します。

まず１のｎ乗根を,ζ₁,ζ₂,..ζ_nとします。

そして,順列(1,2,.ｎ)の置換を,σとすると,これは1対1,かつ,

上への写像であり,σ:(1,2,..ｎ)→(σ(1),σ(2),..σ(ｎ))と

表現されます。σ全体の集合は,対称群(置換群)と呼ばれる有限群

をなし,これをＳ_nと表記すれるのが慣例です。

∀σ∈Ｓ_nに対し,Π_σという(α₁,α₂,.,α_n)を置換する写像:

Π_σ:(α₁,α₂,..,α_n)→(α_σ(1),α_σ(2),.α_σ(n))を定義して,σに

Π_σを対応させる写像を考えると,これも全単射であり,この写像

Π_σの集合:Ｇ＝{Π_σ:σ∈Ｓ_ｎも,合成写像を群の積演算として群を

なします。このＧは,前述のように,対称群Ｓ_nと全く同型です。

ここで,ｕ_σ＝α_σ(1)ζ₁＋ασ₍₂₎ζ₂＋..＋α_σ(n)ζ_nとおきます。

Ｇの元:Π_σの個数は,Ｓ_nの位数,つまり順列の総数:ｎ!に等しい

ので,Π_σの個数,従ってｕ_σの個数もｎ!個です。

そこで,Ｓ_nの元σに番号をつけて,σ₁,σ₂,..σ_k...σ_n!とし,

先のｕ_σkをｕ_kと定義し直すことにします。ただし,σ₁は恒等置換

ｅ.または１であるとします。

ところが,ｕ_σのｎ乗:ｕ_σⁿを取るとｕ_σ＝α_σ(1)ζ₁＋..＋α_σ(n)ζ_n

に,1のｎ乗根ζ_k(ｋ＝1,2,..,ｎ)を掛けた(ζ_kｎ_σ)も(ζ_kｎ_σ)ⁿ

＝ｕ_σⁿを満たすので,あるτ∈Ｓ_nに対して(ζ_jｎ_σ)＝ｎ_τであり

ｕ_σⁿ＝ｕ_τⁿとなる,σとｎ個のτの対対応があります。

よって,これらの相異なるｎ_σⁿの個数は,(ｎ－1)個の順列

の個数と同じ(ｎ－1)！です。

したがって,ｎ次方程式の根を求める方法が。(ｎ－1)次方程式

の根を求める方法に帰着することが,期待されます。

実際,２次方程式ｆ(ｘ)＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝0(ａ≠0)では２根

をα,βとすると,1の平方根はζ₁＝1,ζ₂＝－1ですから,

ｕ₁＝α＋(－1)β,ｕ₂＝(－1)α＋βとして,ｕ₁²＝(α－β)²＝ｕ₂²

です。対称式には.根と係数の関係があってα＋β＝－ｂ/ａ,αβ

＝ｃ/ａですから(α－β)²＝(α＋β)²－4αβ＝(ｂ/ａ)²－4ｃ/ａ

＝(ｂ²－4ac)/ａ²なので,Ｄ＝ｂ²－4acとおけば,α－β＝±√Ｄ/ａ

です。これとα＋β＝－ｂ/ａから,α＝(－ｂ＊√Ｄ)/(2ａ),かつ,

β＝(－ｓ－√Ｄ)/(2ａ)が得られました。

３次方程式:ｆ(ｘ)＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ＝0(ａ≠0)では,

３根をα,β,γ,１の２乗根をζ₁＝1,ζ₂＝ω,ζ₃＝ω²とします。

このとき,ω²＋ω＋1＝0です。

そして,(α,β,γ)の偶置換からｕ₁＝α＋βω＋γω²,

ｕ₂＝γ＋αω＋βω²＝ωｕ₁,ｕ₃＝β＋γω＋αω²＝ωｕ₂,

奇置換からｖ₁＝β＋αω＋γω²,ｖ₂＝γ＋βω＋αω²

＝ωｖ₁,ｖ₃＝α＋γω＋βω²＝ωｖ₂の6＝3!個が得られます

しかし,ｕ₁³＝ｕ₂³＝ｕ₃³,ｖ₁³＝ｖ₂³＝ｖ₃³＝なので3!＝6個

のうち,相異なるのは,2!＝2個だけになります。

ただしｕ₁³＝ｖ₁³の場合もあるようです。

便宜上,ｕ＝ｕ₁,＝α＋βω＋γω²,ｖ＝ｖ₁＝β＋αω＋γω²

とおきます。ｕ³＋ｖ³＝(ｕ＋ｖ)³－3ｕｖ(ｕ＋ｖ)ですが,

まず,ｕ＋ｖ＝(α＋β)(ω＋1)＋2γω²です。

さらに,方程式が,ｙを変数とする簡易型のｙ³＋Ａｙ＋Ｂ＝0

であるとします。すると,α＋β＋γ＝0ですからα＋β＝－γ

より,ｕ＋ｖ＝3γω²を得ます。

また,ｕｖ＝(α＋βω＋γω²)(β＋αω＋γω²)

＝(α²＋β²)ω＋αβ(ω²＋1)＋(α＋β)γω²＋(α＋β)γω³

＋γ²ω⁴＝(α²＋β²＋γ²)ω+(αβ＋αγ＋βγ)(ω²＋1)

＝(αβ＋αγ＋βγ)(ω²－2ω＋1)＝－3Ａωを得ます。

結局,ｕ＋ｖ＝3γω²,かつ,ｕｖ＝－3Ａωです。また,

γは,ｙ³＋Ａｙ＋Ｂ＝0の１根ですからγ³＋Ａγ＋Ｂ＝0

より,γ³＝－Ａγ－Ｂです。

それ故,(ｕ＋ｖ)³＝27γ³＝－27(Ａγ＋Ｂ)であり,

ｕ³＋ｖ³＝＝－27(Ａγ＋Ｂ)＋27Ａγ＝－27Ｂを得ました。

他方,ｕ³ｖ³＝－27Ａ³です。

故に,ｕ³,ｖ³は,ｔの２次方程式:ｔ²＋27Ｂｔ－27Ａ³＝0

の２根ｔ＝(－27Ｂ±√Ｄ)/2,ただし,Ｄ＝27²(Ｂ²＋4Ａ³/27)

です。こうして,ｕ³,ｖ³＝(27/2){―Ｂ±(Ｂ²＋4Ａ³/27ｕ)^1/2

が得られました。後はCardanoの公式での導出と同じです。

４次方程式:ｆ(ｘ)＝ａｘ⁴＋ｂｘ³＋ｃｘ²＋ｄｘ＋ｅ＝0

(ａ≠0),あるいは,簡略化したｙ⁴＋Ａｙ²＋Ｂｙ＋Ｃ＝0でも

４根をα,β,γ,δとし,1の4乗根:１,－１,ｉ，－ｉを

用いた積和でｕ_k(ｋ＝1,2,..24)をつくり,ｕ_k⁴が3！＝6個に

なって,３次方程式と２次方程式に帰着するというFerrariに

類似した方法で根の公式が得られるのですが,この面倒な作業

は省略します。昔の学者は根気よくやって成功したらしいです。

ところが,これを５次方程式で実行すると失敗します。

これらの方法では,係数が根の対称式であり,これが対称群Ｓ_n

の元に対しては不変という変換性に着目したのが重要です。

結局,Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄と,Ｓ₅の違いが決定的なことでした。

Ｓ₅だけは,他のＳ₂,Ｓ₃,Ｓ₄と異なり,正規部分群(交換子群)

を取っていっても,可換群(アーベリ群に帰着せず,途中でこれ

以上小さくできない。という困難に遭遇します。

Ｑの元:有理数を係数とするｎ次多項式は分母の公倍数を

掛ければ整数係数になります。(※有理係数の方程式と整数

係数の方程式とは同値です。)

有理係数のモニック多項式をｆ(ｘ)＝ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,

と書き,ｆ(ｘ)＝0のｎ根をα₁,α₂,..α_nであるとします。

とりあえず,ｆ(ｘ)は,既約多項式とすれば重根は存在せず,

ｆ(ｘ)は,Ｑでは因数分解できず,既約であるのにも関わらず,,

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・・(ｘ－α_n)と完全な因数分解

が可能な,Ｑの拡大体Ｅ＝Ｑ(α₁,α₂,..,α_n)が存在します。

この体Ｅをｆ(ｘ)の分解体といいます。

方程式ｆ(ｘ)＝0が「ベキ根で解けるとは.全てのｎ根の

α₁,α₂,..,α_nが,１の幾つかのベキ乗根ζと,幾つかの有理

係数:ａ₁,ａ₂,..,ａ_nのベキ乗根の四則演算式,つまり,有理式

で表わされることを意味すると考えられます。

ところで,ｆ(ｘ)の有理係数:ａ₁,ａ₂,..,ａ_nは,それぞれ,

ａ₁＝－(α₁＋α₂,＋..,＋α_n),ａ₂＝α₁α₂,＋..,＋α_n-1α_n,・

・・・・・・,ａ_n＝(－1)ⁿ(α₁α₂・・α_n-1α_n)と,全て根の

対称式で与えられるので.α₁,α₂,..α_nの,群Ｇの任意の元

の置換写像:Π_σに対して常に不変のままです。

このｎ次対称群Ｓ_nに同型な群Ｇは,Ｅ=Ｑ(α₁,α₂,..,α_n)

内の自己同型写像の群で,ＱはＧの不変体と見なせます。

(※ＧはＱからＥへのガロア拡大に対応するガロア群です。)

有理Ｇ数体Ｑに,まず,ζを,そして係数ａ_j(ｊ＝1,2,..ｎ)の

ベキ根:^ｎ√ａ_j＝(ａj)^1/ｎを１つずつ添加して単純拡大をつくる

のを繰り返して,Ｆ₁⊂Ｆ₂⊂Ｆ₃…と拡大体をつくっていくとき,

これをベキ根による拡大といいます。

これが,有限回の拡大で分解体Ｅ＝Ｑ(α₁,α₂,..,α_n))を

含んでしまえば,ｎ根:α₁,α₂,..,α_nは,ζたちや(ａj)^1/ｎたち

の幾つかの四則演算式＝有理式(根の公式)で表わされるので

,これを「ｆ(ｘ)＝0がベキ根で解ける」と解釈したのがアーベル

やガロアの代数方程式についての着想であったろうと想像します。

そして,ＱからＥへの拡大の.いわゆるガロア群は対称群Ｓ_nと

同型な自己同型群Ｇですが,Ｅ/Ｑの各中間体Ｂのそれぞれに,

Ｇの正規部分群が１対１に対応するという基本定理があります。

Ｑ＝Ｆ₀⊂Ｆ₁⊂Ｆ₂⊂..⊂Ｆ_rで,最後にF_ｒ⊃Ｅなら,ベキ根で

解けるというわけですが.これに群の縮小正規列Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁

⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇrが対応して,最後にＧ_r＝{ｅ}となる場合,これ

が,拡大体ではＦ_r＝Ｅに対応するので,群Ｇを「可解群」と呼ぶ

のでした。

Ｇ_ｋ＋1=Ｇ~_k(＝Ｄ(Ｇ_k):Ｇ_kの交換子群)という選択が常に可能

ですから,この縮小正規列は必ず存在しますが,このとき剰余群

(Ｇ_k/Ｇ_ｋ＋1)が体Ｆ_kを不変体とするＦ_k+1への拡大のガロア群

であり,これらは全て可換群(アーベル群)なる必要があります。

群の縮小正規列が有限のｒ個でＧ_r＝{ｅ}まで収縮して終わる

なら,対応する拡大体がＦ_r＝Ｅとなり,ベキ根による解が可能

なので,Ｇを可解群と呼ぶわけです。

ところで可換群の交換子群は,{ｅ}ですから,途中Ｇ_r-1が可換群

となるなら,元のＧは可解群です。

ここらあたりの詳細はシリーズ記事(6)にあります。証明抜き

で定理を羅列しておきます。

※(再掲載);まず,[定理6-4]から,(基本定理)です。

ＥをＦのガロア拡大体とし,その自己同型群をＧ,つまり,

自己同型写像全体のつくる群をＧとする。

Ｅ/Ｆの中間体:Ｂに対してＢを不変にするＧの元の全体

のつくる部分群をＵとすると,Ｕの不変体はＢである。

そして,ＢにＵを対応させる対応は,Ｅ/Ｆの中間体と,Ｇの

部分群との間の1対１対応である。

[基本定理の系]::中間体ＢからＥへのＦ上の同型写像は,

群Ｇの部分群Ｕによる剰余類から誘導されるものだけである。

また,ＢはＦのガロア拡大体である。

(※[基本定理]における対応は,Ｇの部分群に,その不変体を

対応させるものです。Ｇには,体Ｆ,Ｕには,体Ｂ，単位群{ｅ}

には,体Ｅが対応します。)

※ＥはＢのガロア拡大体ですが,ＢはＦのガロア拡大体とは

限りません。以下では,ＵがＧの正規部分群で(σＵσ^-1)＝Ｕ

であることが,ＵがＦを不変体とするＢのガロア群であるため

の必要十分条件であることがわかります。

[定理6-5]:体Ｅは体Ｆのガロア拡大体あり,Ｇはガロア群

であるとする。そして,中間体Ｂに対応するＧの部分群を

Ｕとする。∀σ∈Ｇに対して(σＢ)もＥ/Ｆの中間体であり,

対応するＧの分群は(σＵσ^-1)である。

さらに,体Ｂが体Ｆのガロア拡大体であるための必要十分

条件は,ＵがＧの正規部分群となることである。

このとき,そのガロア群は.(Ｇ/Ｕ)に同型である。

(再掲載終了※)

※さて,対称群Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄は可解群でありｎ≧5の対称群Ｓ_n

は可解群ではないことを示します。

(証明)まず,Ｓ₂は恒等置換ｅと互換:(1,2)のみが元で,

元の積は常に可換なので可換群ですから,その交換子群

は,Ｓ~₂＝{ｅ}でこれは正規部分群なのでＳ₂⊃{ｅ}が

正規列となり.明らかにＳ₂は可解群です。

次に,交代群Ａ_nは,Ｓ_nの指数２の正規部分群であり,

交換子群Ｓ~_nに等しいのですが,ｎ＝3の交代群Ａ₃は,

それ自身可換群です。何故なら,Ｓ₃の位数は６,Ａ₃の

位数は３ですじから,その元は恒等置換:ｅ＝{1,2,3}と

σ＝{2,3,1},および,σ^-1=={3,1,2}だけですから明らかに

可換群で,これも正規列:Ｓ₃⊃Ａ₃⊃{ｅ}を得るので可解群

です。また,ｎ＝4のＳ₄についての置換:σ＝{ｉ,ｊ,ｋｌ}

∈Ｓ₄は,物理学で用いるLevi-Civita(レヴィーチヴィタ)

のテンソル:ε_ijklの非ゼロ成分が,＋1のときは偶置換で,

σ∈Ａ₄です。他方,ε_ijklが(－1)のとき.σは奇置換です。

しかも,σ∈Ａ₄のとき.(1,2)σは奇置換であり,

σ,τ∈Ａ₄でσ≠τなら,(1,2)σ≠(1,2)τとなりＡ₄の

元の偶置換と1対1に対応します。

それ故,Ｓ₄/Ａ₄＝{Ａ₄,(1，2)Ａ₄}です。この商群は.

単位元Ａ₄の他には,元が１個なので可換群です。

そもそも,指数が２なら.商群の位数は２で,常に可換群

です。そして,部分群ＶをＶ＝{ｅ,(ｉ,ｊ)(ｋ,ｌ)}(ただし,

ｉ,ｊ,ｋ,ｌは１～4の異なる数)とおくと,|Ｖ|＝1＋₄Ｃ₂/2＝4

です。Ｖの元である互換の積の積は,異なる４つの互換の積:

(ｉ₁.ｊ₁)(ｋ₁,ｌ₁)×(ｉ₂,ｊ₂)(ｋ₂,ｌ₂)ですが,これは互換の

順序に依存しないので可換です。

そして,|Ａ₄|＝12より,|Ａ₄/Ｖ|＝３で(Ａ₄/Ｖ)

＝{Ｖ,(1,2,3)Ｖ.(2,3,4)Ｖ}と書けますが,そもそも位数が

３の部分群は,既述したように単位元と,それ以外の１元と

その逆元だけが全ての元なので,明らかに可換群です。

以上から,対称群Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄は可解群でありｎ≧5

の対称群Ｓ_nは可解群ではありません。

((↑※これらはガロア理論の復習(2)から抜粋しました。)

以上でｎ≦4のｎ次代数方程式はベキ根で解けて,ｎ≧5

のｎ次代数方程式はベキ根では解けないことが証明された

ことになります。　　要するにある正規部分群から先は,

どうあがいても堂々巡りで,対応する体に係数のベキ根を

添加しても.こ,れ以上は拡大できない壁があって分解体E

まで到達できない。というのが,5次以上の代数方程式

を低次の方程式に帰着できない限界なのでした。(終わり)

※※ガロア理論は,代数方程式の可解性がきっかけで展開された

理論ですが,それ以外にも,大きな応用や体系的理論があるようです。

　例えば,1969年,一浪して私が19歳で大学に入った頃久賀道郎著

(日本評論社)「ガロアの夢」という本を興味本位で購入しました。

しかし高校の受験数学しか知らなかった自分には「猫に小判」で

長い間眺めているだけでした。

随分後の2007年心臓手術を受けた頃,斎藤利弥 著

「線形微分方程式とフックス関数I(ポアンカレを読む)」

(河合文化教育研究所)という書物に遭遇し,フックス(Fuchs)関数

フックス群,確定特異点を持つフックス型線型乗微分方程式など

についても本ブログで書きました。

※最後に付録で作図不能問題に言及して終わります。

[定義1]:作図が定規とコンパスによって得られるとは,

次のような処置の有限回の繰り返しによって得られることを

いう。(1)それまでに得られた点の中から２点を取り,それら

を結ぶ直線をつくる。(2)それまでに得られた点の中から２点

を取り,その１点を中心とし,他の１点を通る円をつくる。

(3)それまでに得られた２直線,直線と円,２円の交点をつくる。

※平面上に,直交座標軸とｘ軸上の単位点Ｅを定めておき,次に

与えられた幾何図形を表わす線分が,１端を原点Ｏとして正の

ｘ軸上に取られているとする。それらの線分の端点の座標を,

ａ₁,ａ₂,..ａ_nとする。その上で,Ｆ＝Ｑ(ａ₁,ａ₂,..ａ_n)とする。

座標が体Ｆの元であるような点は,全て作図可能です。

[定理1]:座標が体Ｆの元であるような点から(1)～(3)の

ような作図を進めて到達できる点の座標は,Ｆの２^p次拡大体

の元である。（※２^ρとは,単に２のベキ乗を意味します。）

(証明)座標がＦの元である２点Ｐ₁,Ｐ₂を通る直線の方程式を

つくる。また,そのような点Ｃ,Ｐを取り,Ｃを中心とするＰを

通る円の方程式をつくる。それを,それぞれａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝0,

ｘ²＋ｙ²＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝0とすると,これらの方程式の係数

は体Ｆの元です。そして,これらの図形の交点は次の性質を

持ちます。ア)２直線の交点の座標は,やはり,体Ｆの元です。

(※２直線の方程式の係数(Ｆの元)の四則演算(有利式)で

表わされるので体Ｆの元です。)

イ)直線と円の交点の座標は.体Ｆの元か,または,Ｆ上２次の

拡大体の元です。(※高々２次方程式の根です。)

円と円の交点ぼ座標は円と直線の交点に帰着できます。

(※円と円の２交点を結ぶ直線,あるいは２円から(ｘ²＋y²)

の項を消去した直線と1円の交点に帰着)

すなわち,(1)～(3)のような作図を有限回行なって到達

できる点の座標は体Fの高々２次拡大体の有限回連続なので

２のベキ乗,つまり,２^p次拡大体の元です。(証明終わり)

[例題1]:(角の３等;分の不可能性)

任意の角:αが与えられた場合,ａ＝cosαが与えられたのと

同値です。α＝3βならβを作図でつくるのはｂ­＝cosβを作図

するのと同値です。三角関数の３倍角の公式によれば,cosα

＝cos(3β)＝4cos³β－３cosβです。

つまり,ｂ＝cosβは３次方程式4ｘ³－3ｘ－ａ＝0の根です。

例えば,α＝π/3ならｂ＝cosβ＝cos(π/9)ですが,このとき,

ａ＝coｓ(π/3)＝1/2より，ｂは,4ｘ³－3ｘ－1/2＝0 または,

8ｘ³－6ｘ＋1＝0の根です。これはＦ上,つまりＱ上では因数分解

不可能な既約多項式ですから,ｂを根とする上記多項式の分解体

がＦ(ｂ)＝Ｑ(ｂ)を含む場合,これは,Ｆ＝Ｑの３次の拡大体です。

そこで,ｂはＱの,２のベキ乗の拡大体に含まれないので作図は

不可能です。(終わり)

[例題2]:(立体倍積問題)

　長さ１の線分から体積が２の立方体の１辺を作図することは

できない。(証明)この立方体の１辺の長さはｘ³―2＝0の根

³√2でありこれをＱに添加した体Ｑ(^３√2)は.Ｑ上３次拡大体

です。よって作図不可能です。(終わり),

[例題3]:(正ｐ多角形の作図)

(解)ｐを素数とします。長さ１の線分から正ｐ角形の１辺の長さ

を作図することが必要です。複素ｚ平面の適当な原点Ｏを中心

とする,中心Ｏからの長さ1の正ｐ角形のｐ個の頂点は,角度2π

をｐ等分する点,すなわち,ｚ＝exp(2ｋπi/ｐ)(ｋ＝0、1,2,..

(ｐ＾1)で与えられ,その実部がｘ座標で虚部がｙ座標です。

これらの頂点ｚ＝ｘ＋ｙiは,ｘのｐ次方程;ｘ^p－1＝0の根

ｘ＝ｚです。つまり,ζを1のｐ乗根とするとｚ＝ζです。

特に,ｚ＝ζが１の原始ｐ乗根であるとします。

頂点の座標は,Ｑの拡大体；Ｑ(ζ,i)の元です。

この体はＱ(cos(2π/ｐ),sin(2π/ｐ),ｉ)とも書けます。

cos(2π/ｐ),sin(2π/ｐ)が作図できるためにはＱ(ζ,ｉ),

従って,作図できるには,Ｑ(ζ)がＱ上２のベキ乗次の

拡大体に含まれる必要があります。

ところが.ζの既約多項式は.ｘ^p-1＋ｘ^p-2＋．．＋ｘ＋1の

(ｐ－1)次の円周等分多項式ですから,Ｑ(ζ)はＱ上(ｐ－1)次

拡大体です。したがって,ｐ－1＝2^ρ or ｐ=＝2^ρ＋1となる場合,

つまり,Mersene(メルセンヌ)数:(２^ρ－1)に２を加えた数に

等しい場合のみです。

結局,ｐ=＝2^ρ＋1であることが,正ｐ角形を定規とコンパス

で作図可能なための条件です。それ以外のｐでは正ｐ角形の

作図は不可能です。ｐ＝3,5,17,47,6537,..のときのみに

作図可能です。(終わり)　

ではまたいずれ。。。生きていれば。

ガロア理論の復習(9)終わり)

※2022年1月16日(日)開始→2022年１月20日(木)

※(余談) 東京大学付近で刺傷事件があったそうです。

不幸な事件ですね。本当のことは本人しか,わからない

ことでしょうから憶測,邪推ですが,人生は受験勉強だけ

じゃない。とよく言われます。

かく云う私も,第２志望とスベリ止めばかりの人生です。

医者になりたい？東大に入りたい？親がすすめる？本当に

自分の意志,希望ですか？　人に限らず生き物は,それぞれ

親からの遺伝子のせいで,能力に個体差があるのは仕方ない

ことです。さらに育った環境にも左右されます

大抵は努力すれば,時間かかってもよいなら集中すれば,

ある程度希望はかなうかもしれません。でも若いときは２度

と戻りませんから,今しかないと悲観するのもアリでしょう。

でも健康に生きてれば,捨てたもんじゃないです。寝たきり

の71歳で,酸素吸入中のいつお迎えが来てもオカしくない

老齢の私には,健康で若いだけでもうやましい。

人生をアキラめずに,,ゆっくりと落ち着いて考えて,もう少し

ガンバってみよう。どこかのにいちゃん。

さて,,もはや弱毒だが感染力だけは強いオミクロン株.必要以上

に怖がって鼻水くらいでも隔離や入院で,施設も人員もパンク

しそうです。そもそも重い病気で苦しみ死ぬのはまずいと誰しも

思うだろうけど.とにかく感染が増えるのはマズイから阻止しよう

という前提を疑えば,今が大変かどうか？は押してしるべしです。

何をやっても,結局,ウイルスの方が人知より上手だから,感染を

阻止しる努力は,無理,で無駄.だろうが,政治的にアリバイ工作だけ

は必要だというわけせすね。感染すると自分だけじゃなく家族を

含む他人に病気を移すからダメなんだと常識的なふとが述べて

います。1億人以上の日本人全員,イヤ75億の地球人全員が2～3

日ずつ風邪になったとしたら,そんなに人類の危機なんですか？

私のように風邪でも死亡率3割といわれていう病人には。どんな

病気でも,ワクチンの副作用でも命が危険ですがネ。

外国を見れば,もうスグ,ピークから集団免疫で自然に終息しそう

です。ずっと,飲酒を悪物扱いして,また飲食店イジメの連続です。

,流行が下火になってから,テキトーな対策をする。そして,選挙,。

うまくできてるもんだネ。

評論家の三浦瑠璃氏,私嫌いな人なんですが、ｓmanewsの

コロナの券件だけは賛同しています。(余談終わり※)

※さて,ガロア理論本題の続きです。

第９章 不可能の証明(代数方程式の根の公式)

[定義9-1]:(アーベル拡大体の定義)

ガロア群が可換群であるようなガロア拡大体を

「アーベル拡大体」という。

[定理9-1];Ｆを体(複素数体Ｃの部分体)とする。

ζを１の原始ｎ乗根とし,Ｋ＝Ｆ(ζ)とすると,Ｋは

Ｆのアーベル拡大体である。

(証明)Ｋは原始ｎ乗根ζを含むので,ｘⁿ－1の根を全て

含みます。何故なら,ζの位数はｎでζⁿ­＝1であり,定義

により,Ｋ＝Ｆ(ζ)は1,ζ,ζ²..ζ^n-1が張るＦ上のｎ次元

ベクトル空間です。ζⁿ＝1より,ζを根とする,ＫのＦ上の

既約多項式:ｐ(ｘ)は,ｐ(ｘ)＝ｘ^n-1＋ｘ^n-2＋..＋1です。

故に,ｘⁿ－1＝(ｘ－1)ｐ(ｘ)の根は.全てＫに含まれます。

(ｘⁿ－1)のｎ個の根は全て相異なりＫは(ｘⁿ－１)の分解体

であるため,ＫはＦ上のガロア拡大体です。

σを,ＫのＦ上のガロア群:Ｇの元の自己同型写像とすると,

(σζ)ⁿ＝σ(ζⁿ)＝σ(1)＝1ですから(σζ)もまた１の

ｎ乗根です。ζは原始ｎ乗根なのでσζ＝ζ^k(σ)となるｋ(σ)

が存在します。ここで,τをσとは別のＧの自己同型とすると.

τζ＝ζ^k(τ)であり,(στ)(ζ)＝σ(ζ^k(τ))＝(σζ)^k(τ)

＝ζ^k(σ)k(τ)＝ζ^k(τ)k(σ)＝(τσ)(ζ)です。(στ).(τσ)は,

共にＧの自己同型写像であり.Ｋ＝Ｆ(ζ)なので,∀α∈Ｋに

対して,(στ)(α)＝(τσ)(α)が成立します。

つまり,Ｋの上で,恒等的にστ＝τσ(可換)です。

したがって,ＫのＦ上のガロア群Ｇが可換群となるため,

Ｋはアーベル拡大体です。(証明終わり)

[注意1]:特に,素数ｐについては,１の原始ｐ乗根をζと

すると,1≦ｋ≦(ｏ－1)のときに.ｋはｐと互いに素なので

ζ^kは全て１の原始ｐ乗根です。

ｘ^p－1＝(ｘ－1)(ｘ^p-1＋ｘ^p-2＋..＋1)であり.この第２の

因数のｘ^p-1＋ｘ^p-2＋..＋1は体Ｑ上の既約多項式です。

これがζの既約多項式なので,Ｑ(ζ)は,Ｑの(ｐ－1)次

拡大体です。素数ｐでなく,一般の自然数ｎでは,1の原始

ｎ乗根ζの既約多項式は,Euler関数をΦ(ｎ)として,φ(ｎ)

次多項式であり,{Ｑ(ζ)/Ｑ}＝φ(ｎ)です。

この一般の既約多項式:ｘ^n-1＋ｘ^n-2＋..＋1を,

「円周等分多項式」といい,Ｑ(ζ)を「円分体」といいます。

[注意2]:円分体の部分体を「円体」といいます。

円体は有理数体:Ｑのアーベル拡大体です。

(クロネッカー・フェーバーの定理)

[定理9-2]:ｎを自然数とする。体Ｆは１のｎ乗根を全て含む

とする。ａ∈Ｆとし,ｘⁿ＝ａの１根αをＦに添加した体をＫ

とする。α＝ⁿ√ａと表わすと,Ｋ＝Ｆ(α)＝Ｆ(ⁿ√ａ)である。

このとき,ＫはＦのアーベル拡大体である。

(証明)(ｘⁿ－ａ)の分解体をＥとします。(ｘⁿ－ａ)は明らかに

分離的です。すなわち，(ｘⁿ－ａ)の２根をα,α~とすると

α≠α~です。このとき,αⁿ＝ａ,かつα~ⁿ＝ａより,(α~/α)ⁿ

＝1であり,ω＝(α^/α)は１のｎ乗根の１つです。

仮定により,ω∈Ｆで,α~＝ωαよりα~∈Ｆ(α)です。

よって.Ｋ＝Ｆ(α)が(ｘⁿ－ａ)の分解体Ｅであり,ＫはＦ

のガロア拡大体です。

ＫのＦ上のガロア群をＧとするとき.σ∈Ｇなら(ｘⁿ－ａ)

の根αに対して,(σα)ⁿ＝σ(αⁿ)＝σａ＝ａですから,

(σα)も,αと同様(ｘⁿ－ａ)の根です。。

そこで,ζを１の原始ｎ乗根とすると,ζ∈Ｆであり,

(σα)＝ζ^m(σ)α(0≦ｍ(σ)≦(ｎ－1))と書けます。

τ∈Ｇについては(τα)＝ζ^m(τ)αです。

これから,前定理の証明と同様に,στ＝τσ(可換)を

得ます。故にＧは可換群で,Ｋ＝Ｆ(α)はアーベル拡大体

です。(証明終わり)

[系]:ζ∈Ｆ,ａ∈Ｆのとき,Ｆ(ⁿ√ａ)/Ｆのガロア群は

巡回群である。

証明)α＝ⁿ√ａとおくとαⁿ＝ａです。

Ｆのガロア群をＧとし,σ∈Ｇとすると(σα)ⁿ＝ａなので,

σα＝ζ^m(σ)αなる整数でｍ(α)はｎを法として一意的に

定まるので,σ→ｍ(σ)という写像を考えると,これはＧ

から,{Ｚ/(ｎ)}の上への１対１写像で,Ｇは{Ｚ/(ｎ)}に

同型です。したがって,Ｇは位数がｎの巡回群です。

(証明終わり)

[定義9-1](巡回拡大体)

ガロア群が巡回群であるガロア拡大体を「巡回拡大体」

という。

※ベキ根による可解性について

[定義9-2]:(ベキ根による拡大体)

体Ｆの拡大体:ＫがＦのガロア拡大体であり.体の列:

Ｆ＝Ｆ₀⊂Ｆ₁⊂Ｆ₂⊂..⊂Ｆ_r＝Ｋが存在して次の条件が

成立するとき,Ｋを「ベキ根による拡大体」という。

• Ｆ₁＝Ｆ₀(ζ)である。ただし,ζは１の原始ｎ乗根で

ある。(2)∀ｉ(1≦ｉ≦(ｒ－1))に対して,Ｆ_i+1＝Ｆ_i(α_i)

と書ける。ただし,α_iはｘ^ｎi－ａ_i＝0のような方程式の根

である。ここで,ａ_i∈Ｆ,ｎ_i|ｎである。

そして上の体の列を,「ベキ根による拡大列」という。

※Ｆには,１の原始ｎ乗根が含まれているので,Ｆ_iには１

の原始ｎ_i乗根が含まれています。よって,Ｆ_i+1はＦ_iの

アーベル拡大体です。

そこで,Ｋ/Ｆのガロア群をＧとし,Ｆ_iに対応する部分群

をＧ_iとすると,Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇ_r＝1のような

部分群の列が得られます。

Ｆ_i+1がＦ_iのガロア拡大体であるための条件は,Ｇ_i+1が

Ｇ_iの正規部分群であって(Ｇ_i/Ｇ_i+1)はＦ_i+1/Ｆ_iのガロア群

に同型です。Ｆ_i+1はＦ_iのアーベル拡大体ですからガロア群

(Ｇ_i/Ｇ_i+1)は)可換群です。よってＧは可解群です。

[定義9-3]:ｆ(ｘ)をＦの１次以上の多項式とする。

ｆ(ｘ)が「ベキ根で解ける」とは,ｆ(ｘ)の分解体ＥがＦの

ベキ根による拡大体に含まれることをいう。

[定理9-2]:Ｆ上の１次以上の多項式ｆ(ｘ)がベキ根で解ける

ならば,ｆ(ｘ)の分解体:ＥのＦ上のガロア群は可解群である。

(証明)ＥがＦ上の多項式:ｆ(ｘ)の分解体であるとします。

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α₁)・・・ｘ－α_n)(分離的);α_i∈Ｅであって,

Ｅ＝Ｆ(α₁,..,α_n)であるとします。

[定義9-3]から 体Ｆの拡大体:ＥがＦのガロア拡大体であり,

体の列:Ｆ＝Ｆ₀⊂Ｆ₁⊂Ｆ₂⊂..⊂Ｆ_r＝Ｋが存在して,次の条件

が成立するとき,Ｅを「ベキ根による拡大体」といいます。

そして,[定義8-7]から,ｆ(ｘ)をＦの１次以上の多項式とする

とき,ｆ(ｘ)が「ベキ根で解ける」とは,ｆ(ｘ)の分解体ＥがＦ

のベキ根による拡大体に含まれること,をいいます。

そして,Ｅ/Ｆのガロア群をＧとして,ＧG=Ｇ₀とおき,体Ｆの

Ｅ＝Ｆ_rまでの拡大中間体体列の,Ｆ_iに対応する部分群をＧ_iと

すると,Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇ_r＝1のような部分群の縮小

する列が得られますが,Ｆ_i+1がＦ_iのガロア拡大体であるための

条件は,Ｇ_i+1がＧ_iの正規部分群であって,(Ｇ_i/Ｇ_i+1)がＦ_i+1/Ｆ_i

のガロア群に同型である可換群であるときで,このＧを「可解群」

と呼ぶことは既に定義として述べました。

したがって,ｆ(ｘ)がべき根で解けるなら分解体Ｅに対する

ガロア群Ｇは可解群です。(証明終わり)

[定理9-3]:Ｆの多項式ｆ(ｘ)の分解体Ｅは,Ｆのガロア拡大体

であり,Ｇをそのガロア群とするとき,Ｅ/Ｆの中間体Ｋに対応

するＧの部分群をＮとすると,ＫはＦのガロア拡大体なので,

ＮはＧの正規部分群であり,Ｋ/Ｆのガロア群は.(Ｇ/Ｎ)に同型

です。そうして,(Ｇ/Ｎ)も,可解群です。

(証明)このシリーズ「ガロア理論の復習(6)」の[定理6-5]に,

よれば,「体Ｅが体Ｆのガロア拡大体でＧはガロア群であると

し,Ｅ/Ｆの中間体Ｂに対応するＧの部分群をＵとするとき.

∀σ∈Ｇに対して(σＢ)もＥ/Ｆの中間体であり,対応するＧ

の部分群は(σＵσ^-1)である。さらに,体Ｂが体Ｆのガロア

拡大体であるための必要十分条件はＵがＧの正規部分となる

ことである。このとき,Ｂ/Ｆのガロア群は(Ｇ/Ｕ)に同型で

ある。」とあります。このことは,既に証明済みです。

Ｇ→(Ｇ/Ｎ)の自然な準同型:ｇ→ｇＮを考えると,

(Ｇ/Ｎ)も可解群です。つまり,Ｆの拡大列に対応するＧの

縮小列:Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃Ｇ₂⊃..⊃Ｇ_r＝1に対応して,(Ｇ/Ｎ)

＝(Ｇ₀/Ｎ)⊃(Ｇ₁/Ｎ)⊃(Ｇ₂/Ｎ)⊃..⊃(Ｇ_//Ｎ)＝Ｎが

対応します。,これをＧ~_i＝(Ｇ_i/Ｎ),(Ｇ/Ｎ)

＝Ｇ~₀⊃Ｇ~₁⊃Ｇ~₂⊃..⊃Ｇ~_r＝Ｎと書くと,Ｇ~_i+1はＧ~

_iの正規部分群で(Ｇ~_i/Ｇ~_i+1)は可換群です。

何故ならｇ_i∈Ｇ_i,ｇ_i+1∈Ｇ_iとするとｇ_i^-1ｇ_i+1ｇ_i∈Ｇ_i+1

なので,(ｇiＮ)^-1(ｇ_i+1Ｎ)(ｇ_iＮ)＝{(ｇ_i^-1ｇ_i+1ｇ_i)Ｎ}

∈Ｇ_i+1Ｎであり,(Ｇ_i+1/Ｎ)は(Ｇ_i/Ｎ)の正規部分群です。

そして,Ｇ_i,Ｇ~_i＝(Ｇ_i/Ｎ)は可換群ですから,

∀σ,τ∈Ｇ_iに対して,(σＮ)(τＮ)＝(στ)Ｎ=(τσ)Ｎ

＝(τＮ)(σＮ)です。故に,(σＮ)Ｇ~_i+1＝(σＮ){(Ｇ_i+1/Ｎ)}

ですが,結局,στ＝τσであって可換なら,それらの同値類も

全て可換です。それ故,(Ｇ~_i/Ｇ~_l+1)も可換群です。

以上から,Ｇ~＝(Ｇ/Ｎ)も可解群です。(証明終わり)

[注意3]:ｎ個の変数ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_nの,有理数体Ｑ上

の有理関数体:Ｑ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)をＫとする。

Ｋにおいて,ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nの基本対称式は,次のように

書けます。(※対称式とは変数の如何なる置換によって

も不変な整式であり,それらは基本的な基本対称式と

いう対称式の関数で表わすことができます。)

ｓ₁＝ｘ₁＋ｘ₂.＋..＋ｘ_n,

ｓ₂＝ｘ₁ｘ₂＋ｘ₁ｘ₃＋..＋ｘ_n-1ｘ_n,

・・・・・・・・・・・・・,

ｓ_n＝ｘ₁ｘ₂・・・ｘ_n-1ｘ_nです。

Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓ₂..,ｓ_n)とすると.Ｆ内の多項式

ｆ(ｘ)＝(ｘ－ｘ₁)(ｘ－ｘ₂)・・・・(ｘ―ｘ_n)

＝ｘⁿ－ｓ₁ｘ^n-1＋ｓ₂ｘ^n-2＋..＋(－1)ⁿｓ_nの分解体

が,Ｋ=Ｑ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)です。

(※(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nは全て相異なりｆ(ｘ)は分離的

であるとしています。)

このとき,Ｋ/Ｆは,明らかにガロア拡大体です。

[定理9-4]:ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nを相異なる根とするＱ上

の多項式:ｆ(ｘ)の分解体Ｋ＝Ｑ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)の,

体:Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓｘ₂..,ｓ_n)上のガロア群は,ｎ次の

対称群Ｓ_nに同型である。

(証明)順列:{1,2,..,ｎ}の任意の置換をσとします。

これは{1,2,.,ｎ}→{σ(i),σ()..σ(ｎ)}なる写像

であり,ｉ≠ｊなら,σ(ｉ)≠σ(ｊ)の全単射です。

Ｋ＝Ｑ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)の元はｘ₁,ｘ₂,..ｘ_nの有理関数

ですが,これに対して写像Π_σを次のように定義します。

すなわち,α∈Ｋがｘ₁,ｘ₂,..ｘ_nの有理関数であって,

α(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)なる関数で与えられるとき,これに

対して,Π_σ(α)＝α(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))と定義します。

明らかに,Π_σ(α)＝α(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))も,

(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)のＱの元を係数とする有理関数であり,

Π_σ(α)∈Ｋ＝Ｆ(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)です。

次に,Π_σがＫの自己同型写像であることを示します。

まず,∀α,β∈Ｋひ対して,(α±β)(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)

＝α(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)±β(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ですから,

Π_σ(α±β)＝(α±β)(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))

＝α(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),..ｘ_σ(n))±β(ｘ_σ(1),ｘ_σ(2),.,ｘ_σ(n))

＝Π_σ(α)±Π_σ(β)です。

また,(αβ)(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)＝α(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n)

β(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)より,Π_σ(αβ)＝Π_σ(α)Π_σ(β)の成立

も自明です。故に,Π_σは,環準同型(加法,乗法で準同型)です。

しかも,σ,τ∈Ｓ_nに対して,σ≠τならΠ_σ≠Π_τ,であり

Ｇ＝{Π_σ:σ∈Ｓ_n}では,∀Π_σ∈Ｇに対して必ず,対応する

σ∈Ｓ_nが存在するのでＳ_nからＧへの写像:σ→Π_σは全単射

ですから,ＧとＳ_nは同型:Ｇ～Ｓ_nです。そして,このときＫの

自己同型群Ｇの不変体は,Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓ₂,..,ｓ_n)であることが

わかります。

何故なら,まず対称式ｓ₁,ｓ₂,..,ｓ_nは明らかに任意のＧの元

Π_σで不変です。そこで.体ＦはＧで不変ですから,Ｇの不変体

をF~とすると,Ｆ~⊃Ｆです。

それ故,(Ｋ/Ｆ)≧(Ｋ/Ｆ~)＝|Ｇ|＝|Ｓ_n|＝ｎ!です。

ところが,ＫはＦのｎ次多項式の分解体ですから,

(Ｋ/Ｆ)＝ｎ!です。

何故なら,ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_nがｆ(ｘ)のｎ個の根であるとき

Ｆ_n＝Ｆ,Ｆ_i=Ｆ(ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n)＝Ｆ_i+1(ｘ_i+1)とおけば,

Ｆ＝Ｆ_n⊂Ｆ_n-1⊂...⊂Ｆ₁⊂Ｆ₀＝Ｋです。

そこで,(Ｆ_i-1/Ｆ_i)≦ｉならば,(Ｋ/Ｆ)＝(Ｆ₀/Ｆ₁)(Ｆ₁/Ｆ₂)

・・・(Ｆ_n-1/Ｆ_n)≦ｎ!です。

そのためには,Ｆ_i-1はＦ_iにｘiを添加して得られる拡大体

なので,体Ｆiに係数を持ち.次数が高々ｉのｘiを根とする

(既約)多項式を見出せばよいことになります。

そこで,ｆi(ｘ)＝(ｘ－ｘ₁)(ｘ－ｘ₂)..(ｘ－ｘ_i),..,

ｆ_n(ｘ)＝ｆ(ｘ)とおけば,ｆ_i(ｘ)はｘのi次の多項式で最高次

の係数は１であり,他の係数は,Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,s₂..,ｓ_n )の元である

:ｓ₁,ｓ₂..,ｓ_nと,Ｆ_i＝Ｆ(ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n)の元:ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n

のみの関数で与えられます。例えば,ｆ_i(ｘ)のｘの係数は,

－(ｘ₁＋ｘ₂＋..＋ｘ_i)＝－ｓ₁＋(ｘ_i+1＋ｘ_i+2＋..＋ｘ_n)です。

ｘ²の係数は,(ｘ₁ｘ₂＋..ｘ_i-1ｘ_i)ですが,これもＦの元ｓ₂と

Ｆ_i＝Ｆ(ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_n)の元:ｘ_i+1,ｘ_i+2..,ｘ_nで表わされる

はずです。しかも,明らかにｆ_i(ｘ_i)＝0です。

故に,確かに(Ｆ_i-1/Ｆ_i)≦ｉが成立します。

したがって,(Ｋ/Ｆ)＝(Ｋ/Ｆ~)＝ｎ!となるため,Ｆ~＝Ｆ

です。つまり,ＦがＧの不変体で,Ｋ/Ｆのガロア群は対称群

Ｓ_nに同型です。(証明終わり)

[基本定理]:n≧5のｎ次多項式は,べき根で解けない。

(証明)Ｆ＝Ｑ(ｓ₁,ｓ₂..,ｓ_n)上の多項式ｆ(ｘ)がベキ根で解ける

ならｆ(ｘ)の分解体Ｅ＝Ｆ(ｘ₁,ｘ₂..,ｘ_n)のガロア群Ｇに同型な

対称群Ｓ_nが可解群であることが必要です。

ところがＳ_nはｎ≧5のときは可解群でないので５次以上の

代数方程式はベキ根では解けません。

※これの詳細証明については「ガロア理論の復習(2)」で群論

のトピックとして,特に代数方程式の可解性を意識することなく,

既に,可解群や対称群について詳細に論じることでて証明されて

います。そこで必要部分を再掲載して以下の証明に代えます。

(※再掲記事:抜粋開始):第２章 可解群

体の拡大列に自己同型群の縮小する正規列が対応し,それが

代数方程式の係数を置換する対称群に関わるというのは,,随分

と先のトピックであり,環や体の説明の後に記述するのが理論

構成の本来の順序であると思いますが,,一応,群についての全て

の話だけを,予めまとめて書いたらしい私の過去ノートに従う

ことにします。

[定義2-1]:(可解群の定義):群Ｇが与えられたとき,まずＧ₀を

Ｇ₀＝Ｇとおいて,ｋ＝0,1,2,,に対し,Ｇ_ｋ＋1をＧ_kの正規部分群

とする縮小する列として,Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃..⊃Ｇ_ｋ⊃Ｇ_ｋ＋1⊃．..

をつくるとき,商群(Ｇ_k/Ｇ_ｋ＋1）が全て可換群(アーベル群)となる

正規列が,有限のｍ個でＧ_m＝{ｅ}となって終わるなら,自己同型群

Ｇを「可解群」という。

※交換子群を用いてＧ_ｋ＋1＝Ｇ~_ｋとすることもできます。

(ただし,交換子群:Ｇ~はＤ(Ｇ)とも書かれ,∀ｘ,ｙ∈Ｇに対し.

その交換子:(ｘｙｘ^-1ｙ^-1)を含む最小の正規部分群のことです。)

それ故,どんな群Ｇでも正規列を作ることは可能ですが,それ

が有限個で{ｅ},または{1}に収束するかどうか？は定かでは

ないです。{ｅ}に収束しない群Ｇを「非可解群」という。

(※縮小正規列の途中でＧ_ｋが可換群(アーベル群)となるなら,

Ｇ~_k＝{ｅ}なので,Ｇ_ｋ+1＝{ｅ}と置けば,その時点で可解群

であることが判明します。)

[定義2-2]:(部分群の指数の定義)

群Ｇの部分群Ｈの指数とは,Ｈによる(左右)剰余類の個数の

ことです。これを|Ｇ：Ｈ|と表記します。

[定理2-1](ラグランジュ(Lagrange)の定理)：

Ｇが有限群で,Ｈがその部分群であれば,指数:|Ｇ:Ｈ|

＝|Ｇ|/|Ｈ|である。

(証明)前に記述したように,Ｈによる左剰余類の場合

なら,Ｇ＝ΣａＨのように,Ｇは互いに素な剰余類の

直和で表わせます。

そして,剰余類(ａＨ)の元の個数は全てＨの位数

|Ｈ|に等しいため,|Ｇ|＝|Ｇ：Ｈ|・|Ｈ|です。

故に|Ｇ：Ｈ｜＝|Ｇ|/|Ｈ|を得ます。(証明終わり)

[定義2－3]:(対称群(置換群)の定義):

ｎ個の整数の列{1,2..ｎ}の順序を交換する写像,

σ:{1,2,..ｎ}→{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}(順列)を,ｎ次の置換

と呼び,Ｓ_nを全てのｎ次の置換を元とする集合とすれば

これは置換の積について群をなし,これを対称群(置換群)

という。※ただし,置換の積とは,合成写像を意味します。

つまり,σ:{1,2..ｎ}→{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}と,τ:{1,,2，.ｎ}

→{ｑ₁,ｑ₂,..ｑ_n}なる元(写像):σ,τ∈Ｓ_nの積は,写像

σ:ｉ→ｐ_i＝σ(i)と,写像τ:i→ｑ_i­＝τ(i)を,この順に

適用して合成すると,合成写像:(τσ)(ｉ)＝τ(σ(i))

＝τ(ｐ_i)となりますが,線形代数学では,これを

置換σと置換τの積:(στ)と定義するのが慣例です。

置換操作は可換ではないので,定義での操作順序

の規約は,参考書によっては演算の順序が逆のモノ

もあり,誤解すると混乱の種になるので注意が必要

です。

そして,実際,この積演算はＳ_nの中で閉じており

整数列の順序を全く変化させない写像:ｅ(ｉ)＝ｉ,

つまり,ｅ:{1,2..ｎ}→{1,2,ｎ}を恒等置換と呼べば

これが積演算の単位元となります。

そして,σの逆元σ^-1は,これを逆写像:σ^-1:ｐ_ｉ→ｉ,

つまり,σ^-1:{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}→{1,2..ｎ}で与えれば,

(σσ^-1)＝(σ^-1σ)＝ｅとなるので,その存在は明らかです。

また,群であるために必要な積演算の結合則は,積演算

が合成写像ですから,結合則の成立も自明でＳ_nは確かに

有限群をなすことがわかります。

[定義2-4]:(互換の定義):特にｎ個の列{1,2..ｎ}のうち.

成分ｉだけを,ｊ≠iなるｊと交換して,それ以外の成分

は不変のままの置換を,(ｉ,ｊ)と書いて「互換」と呼び

ます。このとき,互換も１つの置換ですから,もちろん

∀(ｉ,ｊ)∈Ｓ_nです。

※線形代数学によれば,任意の置換σ∈Ｓ_nは有限個の

互換の積で表わすことができます。

そうして,その因子分解は,個々のσに対し一意には

決まらないのですが.1つの置換の因子分解の因子の総数

が奇数であるか,偶数であるか？は,一意的に決まります。

そこで,奇数個の互換の積で表わせる置換を奇置換と

いい,偶数個の互換の積で表わせる置換を偶置換といいます。

Ｓ_nの置換の総数,つまり,位数|Ｓ_n|は,順列の総数に

等しいので|Ｓ_n|＝_nＰ_n＝ｎ!ですが,奇置換に左からでも

右からでも互換を１つ掛けると偶置換になり,逆に,

偶置換に互換を１つ掛けると奇置換になるので１対1

の対応があり,結局,奇置換と偶置換の個数は同じです。

故に,それぞれ,(ｎ!/2)個ずつ,あるはずです。

しかし,積演算の単位元である恒等置換ｅは,偶置換

ですから,それを含む偶置換の集合だけがＳ_nの部分群

をなし,ます。これをｎ次の交代群と呼び,Ａ_nと表記

します。

[定理2-2]:交代群Ａ_nはＳ_nの交換子群:Ｓ~_nであり,

それ故,Ｓ_nの正規部分群である。

(証明)σ,τ⊂∈Ｓ_ｎのとき.交換子:στσ^-1τ^-1を

つくると,σが奇置換ならσ^-1も奇置換,σが偶置換

ならσ^-1も偶置換で,τとτ^-1についても同様です。

それ故,交換子:στσ^-1τ^-1は常に偶置換です。

故に交換子で生成される交換子群:Ｓ~_nは交代群

Ａ_nに一致しており,既述の定理によって正規部分群

です。(証明終わり)

[定理2-3]:対称群Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄は可解群でありｎ≧5

の対称群Ｓ_nは可解群ではない。(非可解群である。)

(証明)Ｓ₂は恒等置換:ｅと互換:(1,2)のみが元で,

積は常に可換なので可換群ですから,その交換子群

は,Ｓ~₂＝{ｅ}でこれは正規部分群なのでＳ₂⊃{ｅ}

が正規列となり.明らかに可解群です。

次に,交代群Ａ_nは,Ｓ_nの指数が２の正規部分群

ですが,ｎ＝3のＡ₃は,それ自身可換群です。

何故なら,Ｓ₃の位数は６,Ａ₃の位数は３で,その

元は恒等置換:ｅ＝{1,2,3}とσ＝{2,3,1},および,

σ^-1=={3,1,2}だけですから明らかに可換群であり,

正規列:Ｓ₃⊃Ａ₃⊃{ｅ}を得るので可解です。

ｎ＝4のＳ₄についてはσ＝{ｉ,ｊ,ｋｌ}∈Ｓ₄

は,物理で用いるLevi-Civitaテンソルの非ゼロ

成分のε_ijklが＋1のとき偶置換で,σ∈Ａ₄です、,

他方,ε_ijklが(－1)のとき.σは奇置換です。

しかも,σ∈Ａ₄のとき.(1,2)σは奇置換であり

σ,τ∈Ａ₄でσ≠τなら,(1,2)σ≠(1,2)τとなり

1対1に対応します。

それ故,Ｓ₄/Ａ₄＝{Ａ₄,(1，2)Ａ₄}です。この商群

は単位元Ａ₄の他には元が１個なので可換群です。

そもそも指数が２なら.商群の位数は２で,常に可換群

です。そしてＶをＶ＝{ｅ,(ｉ,ｊ)(ｋ,ｌ)}(ただし,

ｉ,ｊ,ｋ,ｌは１～4の異なる数)とおくと,|Ｖ|

＝1＋₄Ｃ₂/2＝4です。Ｖの元である互換の積の積

は,異なる４つの互換の積:(ｉ₁.ｊ₁)(ｋ₁,ｌ₁)

×(ｉ₂,ｊ₂)(ｋ₂,ｌ₂)ですが,これは互換の順序に

依らないので可換です。

そして,|Ａ₄|＝12より,|Ａ₄/Ｖ|＝3で(Ａ₄/Ｖ)

＝{Ｖ,(1,2,3)Ｖ.(2,3,4)Ｖ}と書けますが,そもそも

位数が３の部分群は,単位元と,それ以外の１つの元

とその逆元だけが全ての元なので,明らかに可換群です。

以上から,Ｓ₄⊃Ａ₄⊃Ｖ⊃{ｅ}という正規列が得られ,,

Ｓ₄が可解群であることが示されました。

次に,ｎ≧5のＳ_nを考えます。Ｓ_nの部分群で長さ

が３の巡回置換を全て含むものをＧとします。

このときＮがＧの正規部分群ならＮもまた,

長さ３の巡回置換を全て含むことを示します。

ｎ≧5なので,ｉ,ｊ,ｋ,ｒ,ｓを1からｎまでの

うちの相異なる５文字とします。

そして,σ=(ｉ,ｊ,ｓ),τ＝(ｋ,ｒ,ｓ)とすると

仮定により,σ,τ∈Ｇです。このとき,その交換子

は,στσ^-1τ^-1＝(ｉ,ｊ,ｓ)(ｋ,ｒ,ｓ)(ｓ,ｊ,ｉ)

×(ｓ,ｒ,ｋ)＝(ｒ,ｊ,ｓ)となります。

何故なら,(ｉ,ｊ,ｓ)(ｓ,ｋ,ｒ)＝(ｉ,ｊ,ｋ,ｒ,ｓ)

で,(ｊ.ｉ,ｓ)(ｒ,ｋ,ｓ)＝(ｊ,ｉ,ｒ,ｋ.ｓ)です

から,積はｉ→ｉ,ｊ→ｓ,ｋ→ｋ,ｒ→ｊ,ｓ→ｒ

となるため,(ｒ,ｊ,ｓ)と書けて,これは長さ３の

巡回置換です。交換子群は.最小の正規部分群です

から,ＮがＧの正規部分群なら(ｒ,ｊ,ｓ)∈Ｎですが

ｒ,ｉ,ｓは任意なのでＮも全ての長さ３の巡回置換

を含むことがわかりました。

それ故.もしもＳ_nが可解群であるなら,

Ｓ_n⊃Ｓ_ｎ⁽¹⁾⊃..⊃Ｓ_ｎ^(ｒ)＝{ｅ}となる正規列がある

はずですが,そうすると最後の正規部分群:|ｅ}も

長さ３の巡回置換を全て含むべきなので,これは矛盾

です。したがって,ｎ≧5のＳ_nは非可解群です。

(証明終わり)(※再掲載記事終了)

以上でｎ≦4のｎ次代数方程式はベキ根で解けて,

ｎ≧5のｎ次代数方程式はベキ根では解けないことが

証明されました。

※一応,1994年の私のノートから初期の目的は終わりました。

このシリーズは終わりです。しかし,書き残したことで続く

かもしれません。

ガロア理論の復習(8)

※2021年12月13日(月)開始→2022年１月16日(日)

遅ればせながら,明けおめ,ことよろ。。

来月の２月１日には,生きていれば72歳になる予定です・

※(余談) 12月13日月曜夕方から,何故か血中酸素濃度

が90以下まで下がり,酸素吸入のお世話になっています。

飲食物,薬はお金さえあれば何とかなるけれど酸素不足

は自分の力じゃどうしようもないです。酸素業者のお世話

になっています。4.0リットル/分の吸入で何とかなってます。

最近.流行のオミクロンでは酸素吸入(中等症)も肺炎も少ない

ようなので,私のはコロナじゃないだろうし.弱毒化した

ウィルスの感染に,政府,自治体,マスコミ,御用学者は過剰

防衛と思えるピントハズレな対策が続いていると見えます

ね。有害でない大腸菌のようなもものの感染ならいくら

体内に増加しても大丈夫ですね

さて酸素吸入器が取れないまま,年が明けてしまいました。

新年の挨拶も余裕なく,よく呼吸困難になりますが発熱も

肺炎もなくブログもたまに書くと疲れます。少しずつ

起きて書いても,すぐ疲れてキリがなく,この話題は何とか

終わりそうなのですが長いので分割します。(余談終わり※)

※ガロア理論の本題の続きです。

第８章 有限体について

※1のｎ乗根について

[補助定理1]:可換群Ｇにおいて,ａ,ｂ∈Ｇの位数がｍ,ｎ

のとき,ｍ,ｎの最小公倍数をｋとすると,Ｇの中には位数

がｋの元:ｃ∈Ｇが存在する。

(証明)(ｍ,ｎ)＝1なら,ｋ＝ｍｎであり,ｃ＝ａｂと

すれば,このｃが求める位数がｋのＧの元です。

何故なら,ｃ^k＝ａ^ｋｂ^k＝1は明らかでありｌがｃの位数

であるとすると,ｌはｃ^l＝1となる最小の正整数です。

もしも,ｌ＜ｋならｋ＝ｌｑ＋ｒ(0≦ｒ＜ｌ)で,ｃ^ｋ＝1.

ｃ^lq＝1ですから,ｃ^r＝1によりｒ＝0が必要です。よって

ｋ＝ｌｑであり,ｌはｋ＝ｍｎの約数です。

ａ^lｂ^l＝1よりａ^l＝ｂ^-lですが,(ｂ^－l)ⁿ­＝(1/ｂⁿ)^l＝1

なので,ａ^ln＝1です。ｍがａ^ｍ＝1となる最小の正整数

であったので,ｍ/(ｌｎ)であり.ｍ/l,またはｍ/ｎです

が,これらは(ｍ,ｎ)＝1に矛盾します。故に,ｃ＝ａｂの

位数は,ｌ＝ｋ＝ｍｎです。

一般の場合,ｍ,ｎを素因数分解してｍ＝ｐ₁^e1ｐ₂^e2・・・

ｐ_s^es,かつ,ｎ＝ｐ₁^f1ｐ₂^eｆ2・・・ｐ_s^fsとします。

このとき,位数が,ｐ_i^ei,ｐ_i^fi(ｉ＝1,2,..ｓ)の元が存在します。

何故なら,ｍ＝ｐｑと因数分解できるとき,ａ^ｍ＝1ですから

(ａ^ｑ)^p＝1となり,(ａ^ｑ)は位数がｐの元となるからです。

ａ＝ｐｑと同様,ｂ＝ｐｑの場合も同様です。

そこで,ｇ_i＝(ｅ_i,ｆ_i)としてｄ_i＝ｐ_i^gi(ｉ＝1,2,..s)と

おけば,ｋ＝ｄ₁ｄ₂..ｄ_sは,ｍ,ｎの最小公倍数です。

そして,位数がｄ_i＝ｐ_i^gi(ｉ＝1,2,..s)の元が存在します。

ａ_iを位数がｄ_iの元として,ｃ＝ａ₁ａ₂・・ａ_sとすれば,

ｃがｋを位数とするＧの元です。(証明終わり)

[補助定理2]:有限可換群Ｇにおいて,元の位数の最大値を

ｋとすると,任意の元の位数はｋの約数である。

(証明)群Ｇの元の位数の最大値をｋとします。

ａ∈Ｇの位数ｍがｋの約数でないなら,ｋとｍの最小公倍数は

ｋより大きく,[補助定理1]より,これを位数とする元が存在

しますが,これはｋがＧの元の位数の最大値であるという仮定

に反します。故にｍはｋの約数です。(証明終わり)

[定理8-1](可換)体Ｆの乗法群Ｆ^×の有限部分群Ｓは巡回群

である。

(証明)|Ｓ|＝ｎとし,Ｓの任意元の位数の最大値をｒとすると,

∀ｘ∈Ｓは,ｘ^r－1＝0を満たします。

しかし,この方程式はＦの中でｒ個より多くの解を持つこと

ができないので,ｎ≦ｒです。

一方,ｒはｎの約数なのでｒ≦ｎですから,結局ｒ＝ｎです。

つまり,Ｓは位数がｎの巡回群です。(証明終わり)

[定義8-1]:(１のｎ乗根)

ｎを正の整数とする。体Ｆの元αがαⁿ＝1を満たすとき,

αを「１のｎ乗根」という。

体Ｆの有限乗法部分群Ｓの位数がｎのとき,Ｓの元は全て１

のｎ乗根である。巡回群Ｓの生成要素の数は,Eulerの関数

Φ(ｎ)で与えられるが,これら生成元を「１の原始ｎ乗根」

という。

※位数が,丁度ｎである,Ｓ＝＜ε＞＝{1,ε,ε²,..,ε^n-1}の元

が存在して,ε^kが１の原始ｎ乗根であるためには,(ｋ,ｎ)＝1

なることが必要十分です。

何故なら,εⁿ＝1より,(ε^k)ⁿ＝1ですが,もしも(ε^k)^q＝1なら,

ｎ|(ｋｑ)であり,(ｋ,ｎ)＝1の場合,ｎ|ｑより,ｑ≧ｎです。

そこで,ｎがｑの最小正整数なので,これがε^kの位数です。

逆に,(ｋ,ｎ)＝ｄ＞1なら,ｋ＝ｋ₁ｄ,ｎ＝ｎ₁ｄと書けて,

ε^k＝(ε^k1)^d＝1より,(ε^k)ⁿ¹＝1でｎ₁＜ｎですから,位数は

ｎより,小さいことになるから矛盾です。

ｎが素数ｐのとき,φ(ｐ)＝ｐ－1です。

何故なら,ｎ＝ｐ(素数)なら,「Fermatの小定理」によって,

ε^p-1＝1であり,ｋが(ｐ－1)と互いに素であるＳの元ε^kは,

ｋ＝0,1,2,ｐ－2に対応する(ｐ－1)個であるからです。

[定義8-2]:(有限体の定義)

体Ｆの元が有限個数のとき,Ｆを有限体という。

[定理8-2]:Ｆの乗法群としての単位元を1とする。このとき

Ｆを加法群として見たときの1の位数をｐとするとｐは素数

である。

(証明)ｐ＝ｑｒと因数分解できてｑ＞1,ｒ＞1とすると,ｑ＜ｐ,

ｒ＜ｐです。ところが,ｐ・1＝(ｑｒ)・1＝(ｑ・1)(ｒ・1)＝0

なので(ｑ・1)＝0,または,(ｒ・1)＝0です。

これは,1の位数がｐであるという仮定に矛盾します。

故にｐは素数です。(証明終わり)

[定義8-3]:(標数の定義)

有限体Ｆの乗法の単位元1の位数である素数ｐを「体Ｆの標数」

という。

[定理8-4]ｎ∈Ｚに,(ｎ・1)∈Ｆを対応させるとＺからＦの中

への環準同型写像が得られ,標数がｐなので,核はイデアル(ｐ)

である。よって準同型定理から,Ｆは体Ｚ/(ｐ)に同型な部分体Ｆ_p

を持つ。このＦ_pをＦの「素体」という。

Ｆの元１＋１を２,１＋１＋..＋１(ｎ個)をｎと表わすことに

すると,ｐ＝0であり.Ｆ_p＝{0,1,2,..ｐ－1}である。(証明略)

[系1]:標数がｐの有限体Ｆでは∀ａ∈Ｆに対してｐａ＝0である。

(証明)ｐａ＝ａ＋ａ＋..＋ａ＝１・ａ＋1・ａ＋..＋1・ａ

＝(１＋1＋..＋1)・ａ＝(ｐ１)・ａ＝0　(終わり)

[系2];Ｆを標数がｐの有限体とする。∀ａ,ｂ∈Ｆに対して

(1)(ａ＋ｂ)^p＝ａ^p＋ｂ^p.(2)ａ^p＝ｂ^p⇔ａ＝ｂ(証明略)

[定理8-5]有限体Ｆの標数をｐ,Ｆ_p上の次数をｆとすると,

Ｆの大きさはｑ＝ｐ^fである。さらに,Ｆの乗法群Ｆ^×は,

位数:(q－1)=(ｐ^f－1)の巡回群である。

(証明)ＦはＦ_p上ｆ次元なので,Ｆの元ω₁.ω₂...ω_fが

存在して,∀α∈Ｆは,α＝ｘ₁ω₁＋ｘ₂ω₂＋..＋ｘ_fω_f

(ｘ_i∈Ｆ_p)と一意的に表わされます。

そしてｘ_iの取り方はｐ通りあるので,αの取り方,つまり,

Ｆの大きさはｑ＝ｐfです。

Ｆ^×はＦの中で有限可換群ですから[補助定理1]により巡回群

であり,位数は(ｑ－1)＝(ｐ^f－1)です。(証明終わり)

※有限体Ｆの元は0,1,ζ,ζ²,..ζ^q-2です。（ζ^q-1＝1）

[例8-1]ｐ＝2のときＦはＦ₂の２次拡大体で,Ｆ^×は位数が３

の巡回群です。Ｆ^×＝の元はｘ＝ζ,ζ²,1であって,ｘ³＝1を

満足します。ｘ³－1＝(ｘ－1)(ｘ²＋ｘ＋1)より,ζ,ζ²は，

ｘ²＋ｘ＋1＝0の根で,Ｆ＝{0,1,ζ,ζ²}です。（終わり）

※有限体の拡大体

[定理8-6]:有限体Ｅが部分体Ｆのｎ次の拡大のとき,Ｆの

大きさをｑとすると,Ｅの大きさはｑⁿである。Ｅの乗法群

Ｅ^×は位数が(ｑⁿ－1)の巡回群である。

(証明)ＥのＦ上の基底をω₁,ω₂,..ω_nとします。

すると,∀α∈Ｅは,α＝ｘ₁ω₁＋ｘ₂ω₂＋..＋ｘ_nω_n

(ｘ_i∈Ｆ)と表わされます。|Ｆ|＝ｑよりｘ_iの取り方

はｑ通りあるため,Ｅの大きさ|Ｅ|はｑⁿです。

Ｅ^×は体Ｅの中の有限群なので,巡回群であり,位数は

(ｑⁿ―1)です。()証明終わり)

[系]:有限体Ｅは,その部分体Ｆ上,Ｅ＝Ｆ(ζ)のように,

Ｆにただ１つの元ζを添加して得られる。よって有限体の

場合も,有限次拡大体は単純拡大体である。

(証明)巡回群Ｅ^×の生成元をζとすれば,ｑ＝|Ｅ|のとき

ｒ＝0,1,2,..ｑ-2に対して,ζ^r∈Ｆ(ζ)なのでＥ×⊂Ｆ(ζ)

であり,0∈Ｆ(ζ)よりＥ⊂Ｆ(ζ)です。

一方,0.1.ζ,ζ²,..,ζ^q-1のつくる体はＦ(ζ)を含むので

Ｅ＝Ｆ(ζ)です。(証明終わり)

[定理8-7]:有限体ＥがＦのｎ次の拡大のとき，ＥはＦの

ガロア拡大体(正規拡大体)である。

Ｆの大きさをｑとするとき,σ:α→α^q(α∈Ｅ)は,Ｅの

Ｆ上の自己同型写像であり,ＥのＦ上のガロア群Ｇは,

Ｇ＝{ε,σ,σ²,．.,σ^n-1}(εは恒等写像)であり,σを生成元

とする巡回群である。

(証明)Ｅ(したがってＦ)の標数をｐとすると,ｑ＝ｐⁿです

から,∀α,β∈Ｅに対して,(α±β)^ｑ＝α^q±β^qです。

何故なら,(α±β)^p2＝{(α±β)^p}^p etc.です。

同様に,(αβ)^q＝α^qβ^qです。

したがって,σ(α±β)＝σα±σβ,σ(αβ)

＝(σα)(σβ)であり,σは自己同型写像です。

また,ａ∈Ｅに対して.σａ＝ａ,つまり.ａ^q＝ａとなる

のは,ａがｘ^q＝ｘ,つまりx(ｘ^q-1－1)＝0を満たすことを

意味します。こうしたＥの元:ｘ＝ａの個数は高々ｑ個です。

ところが,Ｆの元はｑ個あって,Ｆ^×は位数(q－1)の巡回群

ですから,∀ｘ∈Ｆ^×はｘ^q-1＝1を満たし,ｘ＝0もｘ^q＝ｘを

満たすため,ａ^q＝ａを満たす元ａ∈Ｅは.Ｆのｑ個の元に一致

します。したがって,巡回群:＜σ＞の不変体がＦです。

さらに,σの位数をｍとするとき,σ^m＝εですから.Ｅ^×の

生成元をζとすると,σ^mζ＝εζ＝ζ，つまり,ζ^qm＝ζ,or

ζ^qm-1＝１ですが,ＥはＦのｎ次拡大体なので,Ｅの大きさは

ｑⁿでＥ^×は位数が(ｑⁿ－1)の巡回群ですから,ζの位数は

(ｑⁿ－1)です。よって(ｑⁿ－1)≦(ｑ^m－1)より,ｎ≦ｍです。

一方,＜σ＞＝{ε,σ,σ²,..σ^m-1}の不変体がＦなので,

ｍ=|＜σ＞|＝(Ｅ/Ｆ)ですから,結局,ｍ＝ｎです。

以上から,Ｅは位数がｎの巡回群Ｇ＝＜σ＞を,Ｆ上の

ガロア群とする,Ｆのガロア拡大体となります。(証明終わり)

[定理8-8]:与有限体Ｆと,与自然数ｎに対して,Ｆ上ｎ次の

拡大体が存在する。

(証明)Ｆの大きさをｑとするとき,Ｆ上の多項式(ｘ^qn―ｘ)の

分解体をＥとして(Ｅ/Ｆ)＝ｎを示します。(Ｅ/Ｆ)≠ｎならＥ

の大きさがｑⁿではないので,Ｅの大きさがｑⁿなら(Ｅ/Ｆ)＝ｎ

です。ところが,αがｘ^qn―ｘ＝0の根ならα^qn＝αなので,

ｘ^qn―ｘ＝(ｘ^qn－α^qn)―(ｘ－α)

＝(ｘ－α)|(ｘ^qn-1＋ｘ^qn-2α＋..＋ｘα^qn-2＋α^qn-1)-1}ですが

ｘ＝αを最右辺の第２因数に代入,すると,ｑⁿα^qn-1－1となり

ｑは標数ｐのベキですから,これは(－1)となりゼロでないです。

よって,(ｘ^qn－ｘ)は重根を持たず,根の数はｑⁿです。この根

の全体集合をＥ~とします。

α,β∈Ｅ~とするとα^qn＝α,β^qn＝βより(α±β)^qn

＝α^qn±β^qn＝α±β,かつ,(αβ)^qn＝αβなので(α±β)⊂Ｅ~,

つ,αβ∈Ｅ~であり,さらに,α≠0のとき,(α^-1)^qn＝(α^qn)^-1＝α^-1

より,α^-1∈Ｅ~です。したがって,Ｅ~は体(Ｅの部分体)をなします。

ところで.Ｆの元ａはａ^q＝ａを満たすので,(ａ^q)^q＝ａを満たし,

ａ^qn＝ａです。故に,Ｆ⊂Ｅ~⊂Ｅです。すなわち,Ｅ~はＥ/Ｆの

中間体です。一方,Ｅは,Ｅ~とＦを含む最小の体ですから

Ｅ⊂Ｅ~です。以上からＥ~＝ＥでＥの大きさはｑⁿです。

故に,(Ｅ/Ｆ)＝ｎです。(証明終わり)

[系]:ｐを素数とする。任意の自然数ｆに対して大きさが

ｐ^fの有限体が存在する。

(証明)体:Ｚ/(ｐ)のｆ次の拡大体をつくればいいです。

(※Ｚ/(ｐ)は標数ｐの有限体です・)(証明終わり)

途中ですが,長いのでもう少しですが,ここで中断して

残念ながら先送りします。(つづく)

ガロア理論の復習(7)

※2021年12月３日(金)開始→12月13日(月)

※(余談)1941年(昭和16年)12脱8日は,日本軍

のハワイ真珠湾の奇襲攻撃で,アメリカとの戦争

が始まった日でした。もう80年も前ですか?風化

はしないんだろうなぁ。昔,DVDで「トラトラトラ」

という日米合作映画を見たら,アメリカの情報部は

全て知っていて放置したらしいです。

2001年９月11日のニューヨーク貿易センター

ビルへのテロ事件も「華氏911」という映画では,

政府上層部は,事前にわかっていて防ぐことを

しなかったたらしいし,戦争したい米上層部とか

死の商人たちは,その正当防衛とか報復とかの

口実ためには,多数の国民の命の犠牲など,何

とも思ってないらしい。と感じました。

映画はフォクションかもしれないですけどね。

まあ,火のないところに煙は立たず,とも言います。

さて,9月末頃には日本での「コロナ自然消滅仮設」

の記事をブログに書きました。ネットにはフ,ェイク

やデマが氾濫していて,取捨選択せずに鵜呑みにする

と危険なことは承知なのですが,楽観的見方として,

「オミクロン＝Ｘマスプレゼント説」というものが

ありました。コロナ変種のオミクロン株は,あまり

にも大きい突然変異,言い換えると,大きなコピー

ミスの結果であり,不安定で感染力はデルタより

はるかに強いけれど,今のところデータでは症状

は無症状か軽症で,高々風邪の発熱やセキと同じ

程度で酸素吸入も不要で重症化率もごく低いと

いうので,この「善玉ウイルス」が「悪玉デルタ株」

を駆逐し去って,コロナも終焉を迎えるのでは？

と,無責任なアウトアサイダーの私は,淡い期待を

抱いています。(※オミクロン無害説)

何でもかんでも感染したら入院だと,ただの風邪

でも医療はパンクするのでしょうがね。

さて,命の残り時間が少ない私は,何事にもアセリを

感じています。所詮,無駄な抵抗ですが。。。

今日(12/12)は,何故か頭痛,と消化不良か？嘔吐,下痢

の連続で本稿アップも日を超えてしまいました。もう

長くはないなぁ。。(余談終わり※)

※さて,ガロア理論の本題の続きです。

第７章 複素数体Ｃの部分体

※本章ではすべての体は,複素数体Ｃの部分体と

します。何故,複素数体の部分体に限定するか？

というと,今の古典的なガロアの代数方程式の

可解性の理論では重要とは思われない？体の

「標数」という概念があるからです。標数は後述

の有限体に対して定義される素数であり,複素数体

のような無限体では,標数はゼロと規定されています

が,標数がゼロでない場合,以下の,体に対する定理が

成立しないこともあります。

※既約多項式の分離性

[定義7-1](導関数の定義)

体Ｆ上のｎ次多項式:

ｆ(ｘ)＝ａ_nｘⁿ＋ａ_n-1ｘ^n-1＋...＋ａ₀

(0≦ｊ≦ｎのｊについてａ_j∈Ｆ,かつ,ａ_n≠0)

の導関数:ｆ’(ｘ)を次のように定義する。

ｆ’(ｘ)＝ｎａ_nｘ^n-1＋(ｎ－１)ａ_n-1ｘ^n-2＋..＋ａ₁

[定理7-1]:ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)をＦ上の多項式とすると,

その和:(ｆＬｇ)(ｘ),積:(ｆｇ)(ｘ)＝ｆ(ｘ)ｇ（ｘ）

の導関数は次の性質を有する。

すなわち,

(1){ｆ（ｘ）＋ｇ(ｘ)}’＝ｆ’(ｘ)＋ｇ’(ｘ),

(2){ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)}’＝ｆ’(ｘ)ｇ(ｘ)＋ｆ(ｘ)ｇ’(ｘ)

である。

(証明)この命題の成立は,明らかで証明は簡単なので,

省略します。(終わり)

[定理7-2]:ｆ(ｘ)が体Ｆ上の1次以上の多項式である

場合,代数数方程式:ｆ(ｘ)＝0が重根を持つための必要

十分条件はｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)の最大公約数(最大公約式)

が1次以上の多項式になることである。

(証明)体Ｆに対して,ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]とする。

ｆ(ｘ)＝0が根(解)を持つとき,体Ｋ＝Ｆ(α)の上では,

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α)^kｇ(ｘ)(ｋ≧1,ｇ(α)≠0)と書けます。

これを,Ｋ[ｘ]の多項式(係数にαを含む多項式)と

して,その導関数をとると,

ｆ’(ｘ)＝ｋ(ｘ－α)^k-1ｇ(ｘ)＋(ｘ－α)^kｇ’(ｘ)

となります。

故に,αがｆ(ｘ)＝0の重根で,ｋ≧2であるためには,

ｆ’(ｘ)が(ｘ－α)の1次以上の因数を持つことが必要

十分条件です。つまり,ｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)がＫ＝Ｆ(α)

において.1次以上の公約数として(ｘ－α)を持つこと

が,ｆ(ｘ)＝0が重根αを持つために必要,かつ,十分な

条件です。(証明終わり)

[系]:ｆ(ｘ)∈Ｆ(ｘ)がＦで既約な多項式であるときは,

ｆ(ｘ)＝0は重根を持たない。

(証明)ｆ(ｘ)が体Ｆの上で既約多項式であるのに重根:

αを持つと仮定します。[定理7-1]によれば,ｆ(ｘ)＝0

が重根αを持てばｆ(ｘ)とｆ’(ｘ)がある共通根αを持ち,

ｆ(ｘ)は既約なので,体Ｆでは因数を持やないが,体Ｆ(α)

では1次因子(ｘ－α)を持ち,これは.ｆ’(ｘ)と共通の

因子となります。

ここでdegｆ(ｘ)＝ｎとするとdegｆ’(ｘ)＝(ｎ－1)＜ｎ

ですから,Ｆ内でｆ(ｘ)をｆ‘(ｘ)で割って商をｑ(ｘ),余り

をｒ(ｘ)とすると,ｆ(ｘ)＝ｆ’(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ)；

ただし,degｒ(ｘ)≦(ｎ-2),と表わすことができます。

このとき,もしもｒ(ｘ)≡0ならｆ(ｘ)＝ｆ’(ｘ)ｑ(ｘ)

となって,「(ｘ)はＦ上で可約となり,Ｆで既約という仮定

に反します。故に,剰余;ｒ(ｘ)は(ｎ-2)次以下の恒等的には

ゼロでない多項式ですがｆ(α)＝ｆ’(α)＝0なのでｒ(α)＝0

であり,ｒ(ｘ)も,Ｆ(α)において１次因子(ｘ－α)を持ちます。

さらに,ｆ’(ｘ)をｒ(ｘ)で除してｆ’(ｘ)＝ｒ(ｘ)ｑ₁(ｘ)

＋ｒ₁(ｘ)(degｒ₁(ｘ)≦(ｎ－3)）と,剰余:ｒ₁(ｘ)を求め,次に,

ｒ(ｘ)＝ｒ₁(ｘ)ｑ₂(ｘ)＋ｒ₂(ｘ)..と除法の操作を繰り返す

「ユークリッドの互除法」でｒ(ｘ),ｒ₁(ｘ),ｒ₂(ｘ)…と剰余

の次数を1ずつ下げていく列をつくると,結局最後はに剰余が

がゼロとなる場合もありこのときはｆ(ｘ)のＦでの既約性に

反します。一方,もしも剰余がゼロにならない場合,最後には

剰余はｘの1次式となり,それがｆ(ｘ),ｆ’(ｘ)の最大公約数

であり,(ｘ－α)の定数倍に一致するはずですが,剰余の列：

ｒ(ｘ),ｒ₁(ｘ),ｒ₂(ｘ),..は,全てＦ[ｘ]の元なので,最後

の(ｘ－α)の定数倍もＦの多項式となり,やはり,ｆ(ｘ)が

Ｆ上で既約多項式であるという仮定に矛盾します。

したがって,ｆ(ｘ)がＦ上で既約多項式ならｆ(ｘ)＝0

は重根を持たない,ことが示されました。(証明終わり)

※ガロア拡大体の条件

[定理7-2]:体Ｅを体Ｆのガロア拡大体とする。α∈Ｅ

のＦ上の既約多項式は,Ｅにおいて１次因数の積に分解

される。

(証明)αにガロア群Ｇの元(自己同型)を施して得られる

像のうち,異なるものの全体を,α₁,α₂,..,α_r,(α₁＝α)

とし,ｐ(ｘ)＝(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_r)とします。

このとき,∀σ∈Ｇに対し,σ(α₁),σ(α₂),//σ(α_r)は

全て相異なります。ｒ=|Ｇ|です。

何故なら,σ(α_i)＝σ(α_j)であれば,両辺にσ^-1を施すと,

α_i＝α_jを得るからです。

しかも,これらはＧの元によるαの像ですから,最大ｒ個

から成るα₁,…α_rの１つの順列(置換)を与えます。

一方,ｐ(ｘ)はｐ(α)＝0を満たすＦの多項式なので,その

係数は,Ｇの不変体Ｆの元であり,σを施しても不変です。

そして,ｐ(α）＝0ですからｐ(ｘ)＝0はαを根に持ちます。

ここで,ｆ(ｘ)をｆ(α)＝0を満たす任意のＦ内の多項式と

すると,∀σ∈Ｇに対し,σ{ｆ(α)}＝ｆ{σ(α)}＝0です。

つまり。σ(α)もｆ（ｘ）＝0の根となります。

各々のσ∈Ｇに対してσ(α)は,相異なるｐ(ｘ)＝0のｒ個

の根:α₁,α₂,..,α_r,のどれかに一致するため,ｆ(ｘ)はｐ(ｘ)

の根を全て含むことになります。

それ故,ｆ(ｘ)はｐ(ｘ)を因数として持ち,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))

です。つまり,Ｊ＝{ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ];ｆ(α)＝0}｝とするとき,

Ｊは,ｐ(ｘ)を最大公約数とするイデアルで,J＝(＠(ｘ))です。

何故ならｆ(ｘ)が可約でｆ(ｚ)＝ｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ)とＦの多項式

の積に因数分解できるとき,αがｆ,（ｘ）＝0のの根でｆ(α)＝0

となるのは,ｐ₁(α)＝0でｐ₁(ｘ)∈(ｐ(ｘ))であるか,ｐ₂(α)＝0

でｐ₂(ｘ)∈(ｐ(ｘ))のいずれか,または両方であることを

意味し,ｐ(ｘ)は既約なので最大公約因子です。

つまり,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))です。

ｐ(ｘ)はＦ上既約多項式なので重根を持たず,単根として

α₁,α₂,..α_rを持ち,しかも,これら以外には根を持ちません。

したがって,ｐ(ｘ)＝ａ_n(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_r),

(ａ_n∈Ｆ,ａ_n≠0)と書けます。(証明終わり)

[定義7-2](分解体):体Ｆ上の多項式ｆ(ｘ)が,拡大体Ｋ上

の１次因子の積に分解されるとする。

すなわち,ｆ(ｘ)＝ａ_n(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_N)

とする。このとき,Ｆの拡大体:Ｆ(α₁,α₂,..,α_n)をｆ(ｘ)

の「分解体」という。,

[定理7-3];ＥがＦのガロア拡大体ならば,ＥはＦ内のある

多項式の分解体となる。逆に,体Ｆ上の多項式のＦ上の

分解体はＦのガロア拡大体である。

(証明)ＥをＦのガロア拡大体とし,Ｇをガロア群とします。

,そして,(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ|＝ｎとし,Ｆのベクトル空間として

のＥの生成元(基底)をω₁,ω₂,..,ω_nとします。

前定理により,ω_ｊのＦ上の既約多項式をそれぞれ,ｐ_j(ｘ)

とすると,ｐ_j(ｘ)はＥにおいて1次因子の積に分解されます。

それ故,任意の多項式ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]の因数分解を

ｆ(ｘ)＝ａｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ)・・ｐ_n(ｘ)(ａ≠0,ｐ_j(ｘ)は

規約モニック)とおくと,ｆ(ｘ)はＥ上で1次因子の積に

分解されます。

(※このとき,ｆ(ｘ)は「分離的」である,といいます。),

※ここで,少しくどいとも思える説明を加えます。

例えば,σ_i(ω₁)＝σ_j(ω₂)なら,ω₂＝σ_j^-1σ_i(ω₁);

(σ_i,σ_j∈Ｇ)ですから,σ_ｋ＝σ_j^-1σ_i∈Ｇのような,

あるＧの元σ_ｋが存在してω₂＝σ_k(ω₁)となります。

ｐ₁(ｘ)＝0の根ω₁と,ｐ₂(x)＝0の根ω₂がＧの自己同型

写像:σ_kで互いに写像される関係なので,既約多項式モニック

として,ｐ₁(ｘ)とｐ₂(ｘ)は同じものです。

そこで,こうしたダブルカウントのｐ₂(ｘ)を因数から除く

必要があります。

実際には,集合Ｓ={σ_i(ω_j):ｉ,ｊ＝1,2,..,ｎ},;

ただし,σ_i∈Ｇ(1≦ｉ≦ｎ)の元のうち,相異なるもの

の全体を{α₁,α₂,..,α_n}とすると,∀σ_ｋ∈Ｇに対して,

σ_k(α₁),σ_k(α₂),..σ_k(α_n)もまた,Ｓの元であり,

しかも,全て相異なるので,Ｅの元の集合として

{α₁,α₂,..,α_n}＝{σ_k(α₁),σ_ｋ(α₂),..,σ_k(α_n)}です；

任意のｆ(ｘ)でｆ(ｘ)＝ａ(x－α₁)(ｘ－α₂)・(ｘ－α_n)

＝ａ{x－σ_l(α₁)}{ｘ－σ_k(α₂)}・・｛ｘ－σ_k(α_n)｝なる

等式が∀σ_k∈Ｇに対して成立することになります。

そして,α_i∈Ｓ(1≦i≦ｎ)はある(ｋ,ｊ)で,α_i＝σ_ｋ(ω_j)

であることを意味しますから,ω₁,ω₂,..,ω_nは全てｆ(ｘ)＝0

の根に含まれます。つまり,{ω₁,ω₂,..,ω_n}⊂{α₁,α₂,.,α_n}

となります。(蛇足的な説明終わり)※

ｆ(ｘ)の(最小)分解体はＦ(α₁,α₂,..,α_n)ですが,結局,

Ｅ＝Ｆ(ω₁,ω₂,..,ω_n)⊂Ｆ(α₁,α₂,..,α_n)⊂Ｅです。

したがって,Ｆのガロア拡大体Ｅは,あるｆ(ｘ)の分解体

つまり,Ｆにｆ(ｘ)＝0の根を全て添加した体となります。

逆に,Ｅがｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]の分解体であるとします。

そして,Ｆの元を不変にするＥの自己同型写像のつくる群

をＧとします。

ここで,Ｆから分解体Ｅ＝Ｆ(α₁,α₂,..α_n)までの間の

中間体の列を想定します。Ｆ＝Ｅ₀⊂Ｅ₁⊂..⊂Ｅ_n＝Ｅ,

Ｅ_i＝Ｆ(α₁,α₂,..α_i)＝Ｅ_i-1(α_i)(1≦i≦ｎ)でます。

ところが,ｆ(α_i)＝0でありｆ(ｘ)は,体Ｅ_i-1の多項式

ですから,α_iはＥ_i-1で代数的です。故に,(Ｅ_i/Ｅ_i-1)は有限

です。そこで,|Ｇ|=(Ｅ/Ｆ)=Π_i=1ⁿ(Ｅ_i/Ｅ_i-1)より,群Ｇは

有限群です。

次に,Ｇの不変体がFであることを示します

多項式ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]のｆ(ｘ)＝0の根が全てＦに属する

なら,Ｅ＝Ｆであり,Ｇの任意の元はＦの任意の元を不変に

します。そのようなαの全体はＦから出ることはないので

Ｅ＝Ｆが,Ｇの不変体であることは明らかです。

このときは,(Ｅ/Ｆ）＝1であり,Ｇの元は単位元(恒等写像)

のみです。次に,ｆ(ｘ)＝0の根のうち,ｎ個(ｎ≧1)が,体Ｆ

に含まれていないとします。,

さらに帰納法の仮定としてＦに含まれない根の個数がｎより

小さいときには,定理が成立する,つまり,ＦがＧの不変体である

とします。

ここで,αをＦに含まれないｆ(ｘ)＝0の根としｔてｆ(ｘ)

を体Ｆ(α)の多項式と見たときも,Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。

このとき,ｆ(ｘ)＝0のの根のうち,Ｆ(α)に含まれないもの

の個数はｎより小さいので,帰納法の仮定により,Ｅの自己同型群

はＦ(α)を不変にします。このＦ(α)を不変にするＥの自己同型

写像の群をＵとすると,ＵはＦ(α)を不変体とし,それ故,もちろん

Ｆを不変にしますから,Ｕ⊂Ｇです。

θを群Ｇの不変体の元とします。

θは,Ｕの全ての元で不変ですから,θ∈Ｆ(α)です。

αのF上の既約多項式ｐ(ｘ)の次数をｓとすると,θ

は.θ＝ｃ₀＋ｃ₁α＋ｃ₂α²＋..＋ｃ_a-1α^s-1,(ただし,

ｃ_j∈Ｆ,0≦ｊ≦(ｓ－1))と表わされます。

ｐ(ｘ)＝0は重根を持たないのでｐ(ｘ)の根をα₁,.α_s

とすると,αをα_jに写すＦ(α)からＦ(α)への同型写像:

σが存在します。同型写像の延長を繰り返して,σをＥから

Ｅの上への同型写像,つまりＧの元:τへと延長できます。

このτ∈Ｇをθに作用させると,τ(θ)＝ｃ₀＋ｃ₁α_i

＋ｃ₂α_i²＋..＋ｃ_s-1α_i^s-1.(ｉ＝1,2,.ｓ)となります。

故に方程式ｃ_s-1ｘ^s-1＋ｃ_s-2ｘ^s-2＋..＋ｃ₁ｘ＋(ｃ₀－θ)

＝0は,ｓ個の相異なる根:α₁,α₂,..,α_ｓを持ちますが,

これは,根の個数ｓが方程式の次数(ｓ－1)より多いので

方程式ではなく恒等式であることを意味するため,全て

の係数はゼロです。

特に,ｃ₀＝θですから,τ(θ)＝θ∈Ｆです。θはＧ

の不変体の任意の元でしたから,ＦがＧの不変体です。

以上から,ＧはＦを不変体とするガロア群で,Ｅは

ガロア拡大体,であることが示されました。(証明終わり)

[定理7-4]:体Ｆの２次の拡大体Ｅはガロア拡大体

である。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝2とすると,Ｆに含まれないω∈Ｅが存在

します。このとき,1,ω,ω²は１次従属です。

故にａ₀＋ａ₁ω＋ａ₂ω²＝0という自明でない関係式

が成立し,ωはｆ(ｘ)＝ａ₂ｘ²＋ａ₁ｘ＋ａ₀∈Ｆ[ｘ]の根

です。もしも,ａ₂＝0ならａ₀＋ａ₁ω＝0となり

ａ₀＝ａ₁＝0で自明な式となるため,ａ₂≠0です。

ｆ(ｘ)＝0の他の根は,{－(ａ₁/ａ₂^-)－ω}∈Ｅですから

Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。そしておmrががFの元

でないので,{－(ａ₁/ａ₂^-)－ω}もFの元ではないため

ｆ（ｘ）はＦ上既約な多項式ですからＥは分離的

分解体です。よってＥ/Ｆはガロア拡大です。。

(証明終わり)

[定義7-3](単純(単)拡大の定義)

体Ｆの拡大体ＫがＦにαを添加した体で,Ｋ＝Ｆ(α)

と表わされるようなαが存在するとき,この拡大を単純

(単)拡大といい,体Ｋを単純(単)拡大体という。

※複素数体Ｃ内では「ガウスによる代数学の基本定理」

を仮定すると,体Ｆ上の∀ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]は複素数体Ｃ

の中で１次因数の積に分解します。その根を全てＦに

添加した体Ｅをつくると,Ｅはｆ(ｘ)の分解体です。

つまり,複素数体の部分体Ｆ上の多項式は複素数体の

中に必ず,分解体を持ちます。

[定理7-5](原始元定理)

体Ｆの有限次拡大体Ｋには,Ｋ＝Ｆ(γ)のようなγが

存在する。つまり有限次拡大体ＫはＦの単純拡大体である。)

(証明)ＫがＦ上有限次なら,ＫのＦ上の基底をα₁,α₂,.,.α_n

とすると,Ｋ＝Ｆ(α₁,α₂,.,.α_n)です。

帰納法を用いて証明できますが,結局,ｎ＝2も場合

に定理の成立を示せば十分であるとわかります。

何故なら,Ｆ＝Ｅ₀⊂Ｅ₁⊂Ｅ₂⊂...⊂Ｅ_n＝Ｋなる拡大

する体の列を.Ｅ_i＝Ｅ_i-1(α_i),,.,Ｅ_n＝Ｆ(α₁,α₂,.,.α_n-1)(α_n)

によって,つくると.もしもＥ₂＝Ｆ(α₁,α₂)＝Ｆ(γ)とできる

ことが示せたなら,Ｅ₃＝Ｆ(α₁,α₂,α₃)＝F(γ,α₃)＝Ｆ(γ₂)

も成立することがわかる,からです。

そこで,ｎ＝2の場合として,Ｋ＝Ｆ(α,β)とします。

α,βを根とするＦ上の既約多項式をそれぞれ,ｇ(ｘ),

ｈ(ｘ)とします。ｇ(ｘ)≠ｈ(ｘ)の場合,ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)ｈ(ｘ)

の分解体をＥとするとｇ(ｘ),ｈ(ｘ)がＦで既約なのでｆ(ｘ)

は分離的です。(※ｆ(ｘ)はＥ上単根の1次因子の積に分解

されます。)

ところで,前の[定理7-2]により,分解体ＥはＦのガロア拡大体

です。そしてＫはＥ/Ｆの中間体です。ガロア拡大体の中間体

はＥのガロア群Ｇの部分群と１対１に対応るので中間体の個数

は有限です。つまり,(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ|が有限なので,中間体の個数も

有限です。

そこで,∀ｃ∈Ｆに対してγ_ｃ＝α＋ｃβとおいて,体K_ｃを

Ｋ_ｃ＝Ｆ(γ_c)で定義すると.これらはＥ/Ｆの中間体ですが,Ｃ

の部分体であるＦは無限体なので,ｃ∈Ｆの取り方は無数に

あります。しかし,中間体Ｋ_cの個数は有限ですからＫ_d＝Ｋ_ｃ

を満たすＦの元ｄで,ｄ≠ｃであるものが存在します。

するとＫ_ｄ＝Ｆ(γ_ｄ)＝Ｋ_ｃ＝Ｆ(γ_c)でγ_ｄ＝α＋ｄβです

から,γ_c,γ_d∈Ｋ_cであり,故に(ｃ－ｄ)β=(γc－γ_ｄ)∈Ｋ_ｃで

(ｇ－ｄ)≠0ですから,β∈Ｋcです。

そこで,α＝(γ_c―ｃβ)∈Ｋ_cも成立します。

それ故,Ｋ＝Ｆ(α,β)⊂Ｋ_cですが,γ_ｃ＝(α＋ｃβ)がＦ(α,β)

＝Ｋの元であることは,明らですからＫ_c＝Ｆ(γ_c)⊂Ｋであり

結局,Ｋ_c＝Ｋです。

したがって,γ＝γ_ｃとおけばＫ＝Ｆ(γ)と表わせることになり

,ＫがＦのの単純拡大体であることが示されました。

(証明終わり)

[系]:複素数体の中ではＦの有限次拡大体は単純拡大体

である。(これは自明です。)

[定理7-5]:ＥがＦのガロアｱ拡大体であることは,Ｆの複素数体

内へのＦ上の同型写像が,全てＥの自己同型写像であることに

同値である。

(証明まず,Ｆ上の同型写像とは,Ｆの元を不変に保つ同型写像

のことです。そして,ＥにおけるＦ上の同型写像の数をｍと

すると,,ｍ≦(Ｅ/Ｆ)＝ｎ＝|G|です。(※ＥはＦの有限次(ｎ次)

拡大体とします。)

故に,全ての同型写像はＥの自己同型写像でＧに含まれます

何故なら,GはＦを不変体とするＥの自己同型写像の全体

であり,そのｎ個の元はｍ個の中に含まれているので,,自己同型

写像でないＦ上の同型写像があるとｍ＞ｎとなって矛盾する

からです。

逆に,Ｆ上の同型写像が全てＥの自己同型写像とします。

ＥはＦの有限次拡大体ですからＥ＝Ｆ(γ)と書けます。

γのＦ上の既約多項式をｐ(ｘ)とします。このとき.ｐは２次

以上でｐ(ｘ)＝0の２根をγ,δとすると,γをδに対応させる

Ｆ(γ)からＦ(δ)への同型写像が存在します。

これが,Ｅの自己同型写像ですから,δ∈Ｅ＝Ｆ(γ)です。

つまり,Ｆ上の既約多項式ｐ(ｘ)の根が全てＥに含まれる

のでＥはｐ(ｘ)の分解体であり,よってＥ/Ｆはガロア拡大

です。(証明終わり

[例7-1]:次のα,βに対してＱ(α,β)＝Ｑ(γ)となるγを

求めます。Qは有理数体で,α＝√5ｉ,β＝√2,です。

(解)γ＝√5ｉ－√2とすると,(γ－√2)²＝―5,

γ²－2√2γ＋7＝0,故に,β＝√2＝{(γ²＋7)/(2γ)}∈Ｑ(γ)

よって,α＝√5ｉ＝(γ－β)∈Ｑ(γ),です。()終わり

[例7-2]:(ｘ⁴－2)は,有理数体Ｑ上の既約多項式です。

その分躯体は,Ｅ＝Ｑ(2^1/4,2,－2^1/4,2^1/4ｉ,－2^1/4ｉ)

ですが,これは明らかにＱ(2^1/4,ｉ)に等しいです。

そして{Ｑ(2^1/4)/Ｑ}＝4,{Ｑ(2^1/4,i)/Ｑ(2^1/4)}＝2

より,(ＥＱ)＝{Ｑ(2^1/4,ｉ)/Ｑ}＝8です。

ＥはＱ上8次のガロア拡大体です。

Ｅ内のＱを不変体とする自己同型写像は

2^1/4を±2^1/4,±2^1/4ｉに,写す４通り,,ｉを

±ｉに写す２通りの,σ:σ(21^/4)＝ｉ2^1/4,σ(ｉ)＝ｉ

と,τ:τ(2^1/4)＝－2^1/4,τ(ｉ)＝－ｉの２種から

Ｇ＝{1,σ,σ²,σ³,τ,στ,σ²τ,σ³τ}です。

※途中ですが,今回はここで終わります。(つづく)

ガロア理論の復習(6) )

※2021年11月23日(火)開始→12月２日(木)

※(余談)11月29日は,1869年だったかな？

シャイアン族大虐殺の悲劇があった日です。1970年

当時20歳の学生だった私,ベ平連など戦争反対のデモ

に参加していた頃,に,珍しく封切りで「ソルジャー・

ブルー」という米映画を見ました。

酋長が白旗を掲げていたのにも関わらず,ネイティブ

が女子供を中心に数百人も青い服の騎兵隊に蹂躙され,

惨殺されるのを見て,実話に基づいた映画とはいえ義憤

を感じ,若い心が慄えた記憶があります。

キャンディス・バーゲンが出てｌましたね。野性的な

女優でした。当時,可愛さだけなら,Ｄ・ホフマン主演の

「卒業」に出ていたキャサリン・ロスの方が私的には好み

でしたが,まあそんなこと考える映画じゃなかったですね。

私は最近,よくセキや低血糖の発作が起きて,転倒など

がキッカケで容態急変,ということも有り得る事態です。

全くの無神論者なので,あと何日で石に還らずにこの世に

いられるるんだろうか？私の残り時間は？と自問する毎日

です。今朝(12/２)も,急に気分が悪くなり朝飯は全部嘔吐

してしまいました。今は小康です。(余談終わり※)

※さて,本題の続きです。

※「第５章 体の拡大」の続きからです。

[定理5-9](基本定理)

体Ｆの体Ｆ~の上への写像σが環準同型である

とき,すなわち,ｘ,ｙ∈Ｆに対して,σ(ｘ＋ｙ)

＝σ(ｘ)＋σ(ｙ),,かつ,σ(ｘｙ)＝σ(ｘ)σ(ｙ)

のとき,σはＦからＦ~の上への同型写像である。

,この同型写像を,σ:Ｆ→Ｆ~と表わす。

このとき,σは,(1)σ(0)＝0.,σ(1)＝1,および,

(2)σ(－ｘ)＝－σ(ｘ),かつ,σ(ｘ^-1)＝{σ(ｘ)}^-1

という性質を持つ。

(証明)まず,kerσ＝{ｘ∈Ｆ,σ(ｘ)＝0}＝{0}なので,

Ｆ,Ｆ~を環と見たとき,[環の準同型定理]によって,

{Ｆ~/kerσ)}～Ｆ(同型)であり,しかも(Ｆ~/{0})＝Ｆ~

ですから,Ｆ~～Ｆ(同型)です。。つまり,σは,Ｆから

Ｆ~の上への同型写像となっています。

(※何故なら,和(加法)も積(乗法)も保存され,後述

するように,σ(1)＝1なので,もしもｘ＝ｎ∈Ｚなら

σ(ｘ)＝σ(ｎ)＝ｎσ(1)＝ｎ＝ｘです。また,ｘが

有理数で.ｘ＝(ｐ/q)∈Ｑ(ｑ≠0)の場合なら,1＝σ(1)

＝ｑ{σ(1/ｑ)},かつ,σ(ｘ)＝ｐ{σ(1/ｑ)}ですから,

σ(ｘ)＝(ｐ/ｑ)＝ｘです。

ｘを有理数体Ｑから,実数体Ｒの元へと拡張しても同じ

で.σ(ｘ)＝ｘと考えられます。

よって,σ(ｘ)＝0なら,ｘ＝0が成立するはずです。

(※↑性質(1)の逆命題)

そして,このことは,kerσ＝|0}を意味し,写像σが1対１

の写像(単射)であることを意味します。※)

次に,σの性質(1),(2)を証明します。

まず,(1)は,σ(ｘ)＝σ(ｘ＋0)＝σ(ｘ)＋σ(0)

⇒σ(０)＝0,,および,σ(ｘ)＝σ(ｘ)σ(1)(ｘ≠0)より

σ(1)＝1,です。次に,(2)は,0＝σ(0)＝σ{ｘ＋(－ｘ)}

＝σ(ｘ)+σ(－ｘ) ⇒σ(－ｘ)＝－σ(ｘ)であり,

また,1＝σ(1)＝σ(ｘ^-1ｘ)＝σ(ｘ^-1)σ(ｘ)

⇒σ(ｘ^-1)＝{σ(ｘ)}^-1です。(証明終わり)

[定義5－9]Ｆ上の整式(多項式):ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が,

ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n  ;ただし,0≦ｊ≦ｎ

のｊについてａ_j∈Ｆ,かつ,ａ₀≠0なる形で与えられる

とき,これの係数に左からσを施し,Ｆ~上の整式として,:

σ(ａ₀)ｘⁿ＋σ(ａ₁)ｘ^n-1＋..＋σ(ａ_n)をつくる。

この整式を(σｆ)(ｘ),または,単に(σｆ)と表わす。

[定理5-10]:∀ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]に対して,

次の性質:(1) σ(ｆ＋ｇ)＝σｆ＋σｇ,および,

(2) σ(ｆｇ)＝(σｆ)(σｇ)　が成立する。

(証明)これは,σが体Ｆの上で同型写像なので明らかです。

すなわち,ｆ(ｘ)＝Σ_j=0ⁿａ_jｘ^n-j,ｇ(ｘ)＝Σ_k=0^mｂ_kｘ^m-k

なる具体的形であれば,和の写像の場合,{σ(ｆ＋ｇ)}(ｘ)

＝Σ_k{σ(ａ_ｋ＋ｂ_ｋ)ｘ^n-k}＝(σｆ＋σｇ)(ｘ)　です。

積の場合も,詳細は略しますが,２重有限数列の積の

公式から,σ(ｆｇ)＝Σ_jΣ_k{σ(ａ_jｂ_ｋ)}ｘ^n+m-j-kと

なって,右辺＝｛σｆ(ｘ){σｇ(ｘ)}です。

(証明終わり)

[定理5-11]:ｐ(ｘ)がＦ上で既約のとき(σｐ)(ｘ)も,

Ｆ~上で既約である。

(証明）もしも(σｐ)がF~上可約なら,σｐ＝(σｑ)(σｒ)

の因数分解が可能です。σは全単射なので,対応するＦ[ｘ]

の元ｑ,ｒが存在するため,右辺＝σ(ｑｒ)であり,これは

ｐ＝ｑｒと書けることを意味しｐも可約になって,ｐが既約

という仮定に反します。(証明終わり)

[定義5-10](同型写像の延長)

σ:Ｆ→Ｆ~とし,体Ｅを体Ｆの拡大体とする。

τがＥからＦ~の拡大体Ｅ~の上への同型写像であり,

Ｅの部分体Ｆの上では,τ＝σであるとき,τはσのＥ

への「延長」である,という。

[定理5-12](同型写像の延長定理1)

σ:Ｆ→Ｆ~とし,体Ｅを体Ｆの拡大体とする。

τ:Ｅ→Ｅ~が,σのＥへの延長であるとき,(Ｅ~/Ｆ~)

＝(Ｅ/Ｆ)である

(証明)ω₁,..,ω_nＦが,Ｆ上独立なＥの基底をなすとき，

(τω₁)_,,.,(τω_n)は,Ｆ~上独立なＥ~の基底をなします。

何故なら,τがＥからＥ~への同型写像なので,Ｅ~の元:

β＝ａ₁(τω₁)＋..＋ａ_n(τω_n)には,β＝ταとなるＥ

の元αが,α＝τ^-1β＝ａ₁ω₁＋..＋ａ_nω_n で与えられる

ことに同値であるからです。(※β＝0ならα＝0で,

1次独立性の条件を与える自明な関係式も同値です。)

故に,ｎ＝(Ｅ/Ｆ)＝(Ｅ~/Ｆ~)です。(証明終わり)

[定理5-13](同型写像の延長定理2)

同型:σをσ:Ｆ→Ｆ~とし,ｐ(ｘ)をＦの既約多項式

とする。αはｐ(ｘ)＝0の根であり,βは(σｐ)(ｘ)＝0

の根である,とする。そして,Ｅ＝Ｆ(α),Ｅ~＝Ｆ~(β)

とすると,写像τ: Σ_i(ａ_iαⁱ)→Σ_i{σ(ａ_i)βⁱ}は,Ｅから

Ｅ~への同型写像であり,τはσのＥへの延長である。

逆に,σのＥへの延長は,上記のτのようなものに限る。

(証明)degｐ(ｘ)＝ｎとする。

Ｆの拡大体Ｅ＝Ｆ(α)は,1,α,..α^n-1で張られる線型

空間であるため,その元は次数(ｎ－1)のＦ[ｘ]の多項式

ｆ(ｘ)によって,ｆ(α)という形に表わされます。

そして,τの定義によれば,τ{ｆ(α)}＝(σｆ)(β)で

あり,σはＦ~の上への写像なので,∀γ∈Ｆ~(β)対して,

γ＝Σ_i(ａ~_iβⁱ)＝τ[Σ_i(ａ_iαⁱ)]＝τ{ｆ(α)}；ただし,

ａ_i＝σ^-1(ａ~₁) or ａ~_i＝σ(ａ_i)と書けます。

よって,τはＥ~＝Ｆ~(β)の上への写像です。

τがＥ＝Ｆ(α)からＥ~＝Ｆ~(β)への環準同型写像

であることも,容易に示せます。

結局,τはＥからＥ~の上への同型写像です。

　しかも,γ＝Σ_i=0^n-1(ａ_iβⁱ)のａ~₁＝..＝ａ~_ｎ-1＝0

で,γ＝ａ₀(定数)であり,γ∈Ｆ~の場合は.γ＝τ(ａ₀)

＝σ(ａ₀) (ａ₀∈Ｆ)であり,Ｆ上では,τ＝σとなって

いるので.τはσのＥへの延長です。

この　逆が成立するというτの一意性も,Ｅの基底

の写像がＥ~の基底に,一意に写されるので自明です。

(証明終わり）

[系]:ｐ(ｘ)がＦの既約多項式で,α,βがｐ(ｘ)＝0

の根のとき,αをβに写像し,Ｆの元は不変に保つ写像,:

つまり,∀ａ∈Ｆに対してはτ(ａ)＝ａであるような

Ｆ(α)から,Ｆ(β)への同型写像:τが存在する。

(証明)σとして恒等写像を選べば.ａ∈Ｆに対して,

σ(ａ)＝ａであり,τとして,[Σ_iａ_iαⁱ]を[Σ_iａ_iβⁱ]

に写す延長を選べば.これが求める同型写像です。

(証明終わり)

[定義5-12](不変体,or固定体)

体ＥからＥのある拡大体Ωの中への相異なるｎ個

の同型写像:σ₁,σ₂..,σ_nが与えられたとき,

Ｆ＝{ａ∈Ｅ:σ₁(ａ)＝σ₂(ａ)＝...＝σ_n(ａ)}は,

Ｅの１つの部分体である。

これを,σσ₁,σ₂..,σ_nの「不変体(固定体)」という。

(※このとき, 0∈Ｆ,1∈Ｆ,および,ａ∈Ｆなら,

(－ａ)∈Ｆ,ａ^-1∈Ｆが成立することは自明です。※)

[補助定理]:不変体Ｆの元:ａ₁,ａ₂..,ａ_nがあり,∀ｘ∈Ｅ

に対して,ａ₁σ₁(ｘ)＋ａ₂σ₂(ｘ)＋..＋ａ_nσ_n(ｘ)＝0..(1）

が成立するのは,ａ₁,＝ａ₂.=.,＝ａ_n＝0のときである

。つまり,ｎ個のσ₁,σ₂..,σ_nは,F上１次独立である。

(証明)(ⅰ)ｎ＝1のとき(1)は,ａ₁σ₁(ｘ)＝0ですが,

ｘ≠0のとき,σ(ｘ)≠0なのでａ₁＝0を得ます。

(ⅱ)ｎ＞1のときｋ≦(ｎ－1)に対しては

ａ₁σ₁(ｘ)＋ａ₂σ₂(ｘ)＋..＋ａ_ｋσ_ｋ(ｘ)＝0.なら,

ａ₁＝ａ₂＝..＝ａ_k＝0と,補助定理が成立すると仮定

します。　そして,ｋ＝ｎに対して;

ａ₁σ₁(ｘ)＋ａ₂σ₂(ｘ)＋..＋ａ_nσ_n(ｘ)＝0と,

• 式が成立するとします。

仮定から,0≦i≦(ｎ-1)の全てのiについてσ_i≠σ_n

であり,σ_i(α)≠σ_n(α)となるα∈Ｅが存在します、

このαについて(1)式のｘに(αｘ)を代入すれば.

(1)は,次のようになります。すなわち,

ａ₁σ₁(α)σ₁(ｘ)＋...＋ａ_nσ_n(ｘ)σ_n(ｘ)＝0.(2)

です。他方,(1)の両辺に左からσ_n(α)を掛けると,

ａ₁σ_n(α)σ₁(ｘ)＋..＋ａ_nσ_n(α)σ_n(ｘ)＝0..(3)

です。(2)式から(3)式を辺々引き算すれば,

ａ₁σ{σ₁(α)－σ_n(α)}σ₁(ｘ)＋..

＋ａ_n-1{σ_n-1(α)－σ_n(α)}σ_n-1(ｘ)＝0.を得ます。

これは,ｋ＝(ｎ－1)＜ｎの自明な1次関係式なので,

帰納法の仮定から,ａ_i{σi(α)－σ_n(α)}＝0ですが

σ_i(α)≠σ_n(α)なので.ｉ＝1,...(ｎ－1)について.

ａ_i＝0です。それ故,ａ_nσ_n(ｘ)＝0となるので,ａ_ｎ＝0

も得られます。

したがって,帰納法により[補助定理]の成立が証明

されました。(証明終わり)

[定理5-14]:(Ｅ/Ｆ）≧ｎである。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝ｍで,ｍ＜ｎと仮定します。

体Ｆ上のベクトル空間としてのＥのＦ上の生成系

を,ω₁,ω₂,..,ω_mとします。次の,連立方程式

　σ₁(ω₁)ｘ₁＋σ₂(ω₁)ｘ₂＋..＋σ_n(ω₁)ｘ_n＝0,

・・・・・・・・・

　σ₁(ω_1m)ｘ₁＋σ₂(ω_m)ｘ₂＋..＋σ_n(ω_m)ｘ_n＝0,

を考えると,これは,ｎ個の未知数ｘ_jをｎよりも少ない

ｍ個の方程式系で求める連立1次方程式なので,自明で

ない解(少なくとも１つはゼロでない解)として,ｎ個

の解の組:(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)を持ちます。

一方,∀α∈Ｅは,α＝ａ₁ω₁＋ａ₂ω₂＋..＋ａ_nω_n,

(ａ₁,ａ₂,..ａ_n∈Ｆ)で表わされます。

上の連立方程式の第１式に.σ₁(ａ₁)を掛け,第２式に

σ₂(ａ₂)を掛け,以下,第ｍ式まで同様な操作を続けると,

Ｆは不変体ですから,σ₁(ａ_j)＝…＝σ_n(ａ_j)なので,

σ₁(ａ₁ω₁)ｘ₁＋σ₂(ａ₁ω₁)ｘ₂＋..＋σ_n(ａ₁ω₁)ｘ_n＝0

・・・・・・・・,・・・

σ₁(ａ_mω_m)ｘ₁＋σ₂(ａ_mω_m)ｘ₂＋..＋σ_n(ａ_mω_ｍ)ｘ_n＝0

を得ます：これら全ての式を加えれば,∀α∈Ｅに対し,

非自明な組:(ｘ₁,ｘ₂,::ｘ_n)に対する等式として,

σ₁(α)ｘ₁＋σ₂(α)ｘ₂＋..＋σ_n(α)ｘ_n＝0を得ます。

一方,[補助定理]によれば,これは全てがゼロの自明な

ｎ個の組:ｘ₁＝ｘ₂＝..＝ｘ_n＝0でのみ成立する等式です。

したがって,矛盾が生じます。よって,ｍ≧ｎです。

(証明終わり)

第６章ガロア拡大体,ガロア群

[定義6-1](自己同型写像)

体ＥからＥ自身への同型写像を自己同型写像

という。Ｅの自己同型写像全体は明らかに群を

つくる。Ｅの自己同型(写像)の集合Ｇが有限群

をつくるとき,当然,Ｇは恒等写像を含む。

そして,Ｆ＝{ａ∈Ｅ;σ(ａ)＝ａ for∀σ∈Ｇ}

を.群Ｇの不変体(固定体)という。

また,Ｅの元αに対して,Ｇ＝[σ₁,σ₂,..σ_n}なら,

Ｓ(α)＝Σ_Gσ(ａ)(Σ_GはＧ全体をわたる総和)

＝σ₁(α)＋σ₂(α)＋..＋σ_n(α)で与えられる

Ｅの元を,αのスプ－ル(spur;対角和)という。

[定理6-1]:Ｓ(α)は不変体Ｆの元である。

そして,ＥにはＳ(α)≠0であるような元αが存在

する。

(証明)β＝Ｓ(α)とし,τをＧの任意の元とすると

τ(β)＝τ{Σσ(α)}＝Σσ(α)＝βより,β∈Ｆです。

何故なら,∀τ∈Ｇに対し,σ_j≠σ_ｋならτσ_ｊ≠τσ_k

より,Ｇ＝{σ₁,σ₂,..σ_n}＝{τσ₁,τσ₂,..τσ_n}

であることが明らかだからです。

そして,∀α∈Ｅに対して,Ｓ(α)＝0なら,αの恒等式

として,1次関係式σ₁(α)＋σ₂(α)＋..＋σ_n(α)＝0を

得ますが,これはαをｘに代えると,先の[補助定理]に

矛盾します。故に,Ｓ(α)≠0なるα∈Ｅが存在します。

(証明終わり)

[定義6-2](ガロア(Galois)拡大体とガロア群)

　体Ｅの自己同型写像のつくる群をＧとし,Ｇの不変体

をＦとするとき,ＥはＦの「ガロア拡大体」であるという。

ぞして,ＧをＥのＦ上の「ガロア群」という。

[定理6-2];体ＥがＦのガロア拡大体のとき,その拡大次数

はガロア群Ｇの位数に等しい。

つまり,(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ|＝(Ｇ：1)である。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝ｍ,|Ｇ|＝ｎとすれば.[定理5-14]

により,ｍ≧ｎですから,ｍ≦ｎを示せば十分です。

それにはＥの(ｎ＋1)個の元α_1,α₂,..α_n,α_n+1が

１次従属であることを示せばいいです。

そこで.次の連立方程式を考えます。

ｘ₁σ₁^-1(α₁)＋ｘ₂σ₁-₁(α₂)＋..＋ｘ_n+1σ₁^-1(α_n+1)＝0

ｘ₁σ₂^-1(α₁)＋ｘ₂σ₂-₁(α₂)＋..＋ｘ_n+1σ₁₂¹(α_n+1)＝0

・・・・・・・・・・

ｘ₁σ_n^-1(α₁)＋ｘ₂σ_n-₁(α₂)＋..＋ｘ_n+1σ_1n^-1(α_n+1)＝0

簡略式では,Σ_k=0ⁿ⁺¹ｘ_kσ_j^-1(α_ｋ)＝0(1≦ｊ≦ｎ)で

表わされます。そして,これらは,(ｎ＋1)個の未知数が,

それより少ないｎ個の方程式で与えられる系なのでＥの

中に,非自明な解:(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n+1)を持ちます。

ｘ_jの少なくとも１つは非ゼロなので,一般性を失うこ

となくｘ₁≠0と仮定しいぇおきます。

このとき,∀α∈Ｅに対して(αｘ₁,αｘ₂,..αｘ_n+1)

もまた,この同次連立方程式の解です。

そこで,αｘ₁がＳ(αｘ₁)≠0を満たすように,αを選び

その後に,(αｘ₁αｘ₂,..αｘ_n+1)を,改めて(ｘ₁,ｘ₂,..ｘ_n+1)

と定義し直します。するとまず,Ｓ(ｘ₁)≠0です。

そして,方程式系:Σ_k=0ⁿ⁺¹[ｘ_kσ_j^-1(α_ｋ:)]＝0(1≦ｊ≦ｎ)

に,左からそれぞれσ_jを施せば,Σ_k=0ⁿ⁺¹[σ_j(ｘ_k)α_ｋ]＝0

(1≦ｊ≦ｎ)を得ます。さらに,これらｎ個を全て加えると,

Σ_k=0ⁿ⁺[Ｓ(ｘ_k)α_ｋ]＝0となります。

ところが,Ｓ(ｘ_k)∈Ｆであり,Ｓ(ｘ₁)≠0なので,結局,

これは,α_1,α₂,..α_n,α_n+1が1次従属であることを意味

します。それ故,ｍ≦ｎであるべきすから(Ｅ/Ｆ)＝ｎ

＝|Ｇ|です。(証明終わり)

[定義6-3]:σが体Ｆを元ごとに不変にするとき,σはＦを

不変にする,とか,σはＥ/Ｆの同型写像である,という。

[定理6-2の系]:ＥがＦのガロア拡大体で.ＧがＦを不変体

とするガロア群のとき,Ｇは体Ｆを不変にするＥの同型写像

の全体集合である。

(証明)Ｆを不変にするＥの自己同型写像σがＧに属さない

ならば,Ｆは,(ｎ＋1)個の自己同型写像の不変体となって,

[定理6-2]に矛盾します。故に,このσも.Ｇに属します。

(証明終わり)

[定理6-3]:Ｇ₁,Ｇ₂が体Ｅの自己同型写像の群で Ｇ₁≠Ｇ₂

のとき,これらの不変体は異なる。

(証明) Ｇ₁,Ｇ₂が同じ不変体Ｆを持つと仮定すると.

ｎ＝(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ₁|＝|Ｇ₂|ですから,Ｇ₁≠Ｇ₂の場合は,

(Ｇ₁∪Ｇ₂)がｎよりも多い元を持つことになります。

しかし,(Ｇ₁∪Ｇ₂)の不変体も明らかにＦですから,

(Ｅ/Ｆ)＝|Ｇ₁∪Ｇ₂|＞ｎとなって,矛盾します。(終わり)

[定理6-4](基本定理)

　ＥをＦのガロア拡大体とし,その自己同型群をＧ,

つまり,自己同型写像全体のつくる群をＧとする。

Ｅ/Ｆの中間体:Ｂに対してＢを不変にするＧの元

の全体のつくる部分群をＵとすると,Ｕの不変体は

Ｂである。そしてＢにＵを対応させる対応は,Ｅ/Ｆ

の中間体と,Ｇの部分群との間の1対１対応である。

(証明)中間体Ｂを不変にするＧの部分群をＵとし、

その位数を,|Ｕ|＝ｒとします。

そして,Ｕの不変体をＢ~とします。

するとＢはＵで不変なので,Ｂ⊂Ｂ~であり(Ｅ/Ｂ~)＝ｒ

ですから.(Ｅ/Ｂ)≧ｒです。

それ故.Ｂ＝Ｂ~を示すには,(Ｅ/Ｂ)＝ｒを示せば

よいことがわかります。

,さて,σ∈ＧをＢに施すと,ＢはＥの中に同型に写像

されます。すなわち,Ｂ～σ(Ｂ)(同型)です。

さて,σ₁,σ₂∈Ｇ,,σ₁≠σ₂なら,∀β∈Ｂに対して

σ₁(β)＝σ₂(β)であるための条件は,σ₁^-1σ₂(β)＝β,

つまり,(σ₁^-1σ₂)∈Ｕ,あるいは,σ₂∈(σ₁Ｕ)です。

同一の剰余類(σＵ)に属する自己同型写像が,体Ｂに

同じ同型写像を誘導するわけです。

つまり,σ₂∈(σ₁Ｕ)が,∀β∈Ｂでσ₁(β)＝σ₂(β)

すなわち,Ｂ上で同じ同型写像である,ための条件です。

{Ｇ{＝ｎのとき,ｎ＝ｒｓなら,異なる剰余類(σＵ)

の個数はｓです。つまりｓ＝(Ｇ；Ｕ)=||Ｇ|/|Ｕ|です。

異なるｓ個の剰余類(σＵ)の代表元をτ₁,τ₂..τ_sと

すると,これらは,体Ｂの上の自己同型写像と見なすこと

ができて,その不変体はＦです。

何故なら,(τ_j)_j=1^sの不変体をF~とすると,τ_j∈Ｇ

より.∀ａ∈Ｆに対しτ_j(ａ)＝ａなので,まず.Ｆ⊂Ｆ~

です。他方.ａ∈Ｆ~で,τ_j（ａ）＝ａならτ_jは,ａを

不変に保つＧの元でもあるので,ａはＧの不変体に属し

ａ∈Ｆです。それ故,Ｆ~⊂Ｆ~も成立するため,Ｆ~＝Ｆ

です。したがって,(Ｂ/Ｆ)≧ｓです。

この不等式を先に得た(Ｅ/Ｂ)≧ｒと合わせると

(Ｅ/Ｆ)＝(Ｅ/Ｂ)(Ｂ/Ｆ)≧(ｒｓ)を得ます。

しかし,実際には(Ｅ/Ｆ)＝ｎ＝(ｒｓ)なので,結局.

(Ｅ/Ｂ)＝ｒ,かつ,(Ｂ/Ｆ)＝ｓであると結論されます。

以上から,Ｅ/Ｆの中間体Ｂに対して.Ｂを不変にする

Ｇの元全体のつくる部分群Ｕが一意に対応します。

また,Ｇの部分群Ｕに対して,Ｂを不変体とする中間体

Ｂが存在して対応する,という逆命題も成立します・

ＵはＢを不変にするＧの元の全体であり,Ｕに対して

Ｂは一意的に定まります。 (証明終わり)

[基本定理の系]::中間体ＢからＥへのＦ上の同型写像

は,群Ｇの部分群Ｕによる剰余類から誘導されるものだけ

である。また,ＢはＦのガロア拡大体である。

(証明)Ｇの元から誘導される(Ｂ/Ｆ)個以外に,ＢからＥ

への同型写像が1つでもあれば{(Ｂ/Ｆ)＋１}個の同型写像

の不変体がＢであることになるため.ＢのＦ上の次元と同型

写像の総数が一致するという定理に矛盾します。故に,

そうした同型写像は存在しません。そして,ＢはＵの不変体

ですから,ＥはＢのガロア拡大体です。(証明終わり)

(※[基本定理]における対応は,Ｇの部分群に,その不変体

を対応させるものです。Ｇには,体Ｆ,Ｕには,体Ｂ，単位群

{ｅ}には,体Ｅが対応します。)

※ＥはＢのガロア拡大体ですが,ＢはＦのガロア拡大体とは

限りません。以下では,ＵがＧの正規部分群で(σＵσ^-1)＝Ｕ

であることが,ＵがＦを不変体とするＢのガロア群であるため

の必要十分条件であることを示します。

[定理6-5]:体Ｅは体Ｆのガロア拡大体あり,Ｇはガロア群

であるとする。そして,中間体Ｂに対応するＧの部分群を

Ｕとする。∀σ∈Ｇに対して(σＢ)もＥ/Ｆの中間体であり,

対応するＧの分群は(σＵσ^-1)である。

さらに,体Ｂが体Ｆのガロア拡大体であるための必要十分

条件は,ＵがＧの正規部分となることである。

このとき,そのガロア群は.(Ｇ/Ｕ)に同型である。

(証明)σ∈ＧならσはＥの自己同型写像ですから,(σＢ)

もＢと同じく,Ｅ/Ｆの中間体です。

何故なら,ＢはＥの部分体なので(σＢ)⊂Ｅであり,

(σＢ)も体であることは明らかです。一方,ＦはＧの

不変体なので,(σＦ)＝ＦであるからσＢが中間体の

場合も同じ不変体です。

そして,(σＢ)の元はσ(β)((β∈Ｂ)と表わされます。

故に,τ∈Ｇが,全てのσ(β)を不変にするのは,∀β∈Ｂ

に対して,τ{σ(β)}＝σ(β),つまり(σ^-1τσ)(β)＝β

となることが必要十分です。これは.(σ^-1τσ)がＢを不変

にすることを意味します。

それ故,τが(σＢ)を不変にする条件は,(σ^-1τσ)∈Ｕ

が成立することであり,これはτ∈(σＵσ^-1)と値です。

したがって,(σＵσ^-1)が中間体(σＢ)に対応するＧの

部分群です。

ところが,ＵがＧの正規部分群なら,∀σ∈Ｇに対して,,

(σＵσ^-1)＝Ｕです。中間体と部分群は1対1に対応する

ので,∀σ∈Ｇに対して,対応するＧの部分群が同じなら.

中間体も一致するため,(σＢ)＝Ｂとなり,σはＥの上の

自己同型写像であると同時に,Ｂの上の自己同型写像でも

あることになります。ただし,(σＢ)の元を不変にする

自己同型写像:τは,(σＵ)の元ですが,Ｕが正規部分群

なら,τ∈Ｕでもあります。ＵがＧの正規部分群である

ときは,ＵがＢ内でＦを不変体とするガロアａ群となり

Ｂがガロア拡大体となるための必要十分条件です。

そして,Ｂを不変にするガロア群の元:τは(Ｇ/Ｕ)

の剰余類(σＵ)の代表元として,１対1に対応する

ため,ガロア群と商群(Ｇ/Ｕ)は同型です。

逆に,ＢがＦのガロア拡大体であるとき,ＵがＧの

正規部分群でないなら,(σＵσ^-1)≠Ｕであるような

σ∈Ｇが存在し,σＢ≠Ｂです。よって(Ｂ/Ｆ)個の

ガロア群Ｕの元以外に(σＦ)＝Ｆを満たす写像が

存在するわけです。このσはＥの自己同型写像です

が,Ｂの自己同型写像ではありません。

これはガロア拡大体の条件に矛盾します。

したがって,ＵがＧの正規部分群であることがＢが

Ｆのガロア拡大体であるための必要十分条件です。

(証明終わり)

[定理6-6]:Ｅ/Ｆの中間体:Ｂ₁,Ｂ₂,にそれぞれ

自己同型部分群Ｕ₁,Ｕ₂が対応するとき,Ｂ₁⊃Ｂ₂

とＵ₁⊂Ｕ₂が同値である。

(証明) Ｂ₁⊃Ｂ₂のとき,σ∈Ｕ₁なら,∀β∈Ｂ₂に

対して,β∈Ｂ₁より,σ(β)＝βですからσ∈Ｕ₂

です。それ故,Ｕ₁⊂Ｕ₂です。逆に,Ｂ₂⊃Ｂ₁なら

Ｕ₁⊃Ｕ₂が成立します。

[定理6-7]:体Ｆのガロア拡大体Ｅのガロア群を

Ｇとする。２つの中間体:Ｂ₁,Ｂ₂に対し,Ｂ₁,Ｂ₂を

含む最小の体を(Ｂ₁Ｂ₂)とし,共通部分を(Ｂ₁∩Ｂ₂)

とする。Ｂ₁,Ｂ₂,にれ対応するガロア群をＵ₁,Ｕ₂と

するとき,(1)(Ｂ₁Ｂ₂)には,(Ｕ₁∩Ｕ₂)が対応する。

(2)(Ｂ₁∩Ｂ₂)には,Ｕ₁,Ｕ₂を含む最小の部分群:Ｗ

が対応する。

(証明)(1)σ∈Ｇとします。

σが(Ｂ1Ｂ2)を不変にすることは,Ｂ1とＢ2を

共に不変にすることを意味し.これは,σ∈Ｕ1,かつ,

σ∈Ｕ2,つまり,σ∈(Ｕ1∩Ｕ2)に対応します。

• 次に,中間体:(Ｂ₁∩Ｂ₂)に対応するＧの部分群

をＶとします。

すると,(Ｂ₁∩Ｂ₂)⊂Ｂ₁,かつ,(Ｂ₁∩Ｂ₂)⊂Ｂ₂です。

故に,[定理6-2]から,Ｖ⊃Ｕ₁,かつ,Ｖ⊃Ｕ₂です。

ところが,仮定により,ＷはＵ₁,Ｕ₂を含む最小の

Ｇの部分群ですからＷ⊂Ｖです。

そこで,Ｗに対応する中間体をＢとすると,Ｗ⊂⊃Ｕ₁,

かつ,Ｗ⊃Ｕ₂より,Ｂ⊂Ｂ₁,かつ,Ｂ⊂Ｂ₂ですから.

Ｂ⊂(Ｂ₁∩Ｂ₂)です。故にＷ⊃Ｖであり,結局,

Ｗ＝Ｖです。(証明終わり)

※途中ですが,今回はここで終わります。(つづく)

ガロア理論の復習(5)

※2021年11月14日(日)開始→11月22日(月)

※(余談) やっと代数方程式の本題に入れる段階に

なりました。

19世紀のアーベリやガロアによる「５次以上の

代数方程式のベキ根による一般解法の不可能性」

については.物理学のアインシュタインらによる

「相対性理論」同様,高校時代に,そうしたトピック

があるのを知ってから,淡い興味を抱いてました。

40歳くらいまでの真面目な？サラリーマンの頃は

生活に追われ,毎日アルコール依存症のように飲酒を

続け,将棋や,少し余分な収入があるとオーディオや

PCなど受動的な趣味で,ストレス解消してました。

酒のセイか？39歳で糖尿病になり,42歳後半に厄年

でバブルが終わる頃,フリーター？(プータロー)となり

金無しヒマ有り,の状況になった機会に,お金が不要な

趣味の1つとして,学生時代研究者になる道もめざして

いた理論物理学や数学の専門書,啓蒙書の読書三昧を

再開したのでした。そうして,約25年以上前の昔その

課題を思い出して独学し,そのエッセンスを15年前

に本ﾇログ開始の2006年に「ガロア理論」のシリ－ズ

記事として書きました。

老化もあり,どの記憶も時と共に薄れていくものです

が,他のトピックと異なり理解したツモリになってても

本当には体得してはいない曖昧な理解だったセイか？

2006年から15年の今,記憶をたどっても,結局,最初の

用語の定義からコツコツとたどるしか理解の道はない

ようです。幸い,何とか判読可能な大きさの文字の自作

ノートがあったのでね。(※ルーペでやっとわかる程度)

まあ,余談以外の内容は,死ぬ前の独居老人の自己満足

の勉強履歴.自己確認に過ぎませんが,食う寝る以外の

生きろモチベーションの１つにはなります。(余談終わり)

※さて,本題の続きです。

※第５章 体の拡大

[定義5-1](部分体,拡大体,中間体)

体Ｅが体Ｆを含むとき,つまり,集合としてＦ⊂Ｅ

であり,ＦがＥで定義された２項演算(加法,乗法)で

体をなすとき,Ｆは「Ｅの部分体」であるといい,

逆に,Ｅは「Ｆの拡大体」であるという。

このとき,Ｆ⊂Ｂ⊂Ｅの関係にある体Ｂがあれば.

Ｂを「Ｅ/Ｆの中間体」という。

　Ｆ⊂Ｅのとき,Ｅ,および,Ｅ/Ｆの中間体は全てＦ上

のベクトル空間となる。Ｅがｎ次元空間のとき,Ｅは

Ｆ上有限次拡大,特にｎ次拡大という。

このｎをＥのＦ上の次数といい,これを記号(Ｅ/Ｆ)

で表記する。つまり,(Ｅ/Ｆ)＝ｎと書く。

[例5-1]:ｍが,1より大きい整数で平方数の倍数

ではないとする。Ｑを有理数体(有理数集合の体)

とし,Ｅ＝{ａ＋ｂ√ｍ:ａ,ｂ∈Ｑ}とすると,Ｅ

はＱ上２次の拡大体である。

(証明)√ｍ∈Ｑと仮定すると,√ｍ＝p/ｑ(既約分数)

と書けるので.ｑ²＝ｍｐ²です。

そこで,ｍが,ｍ＝ｐ₁^j1ｐ₂^j2・・ｐ_r^jr；ただし,1≦ｊ≦ｒ

のｊについてｐ_ｊは素数,と素因数分解できたとすると

ｑ²＝ｍｐ²により,ｑ²もｐ_jを素因数に含みますが,これは

ｑ自身がｐ_jを素因数とすることを意味するので,結果,ｐ²

もｐ_j²を因数に含むため,あるｐ_j≧2はｐ,ｑの公約数となり

p/ｑが既約分数であるという仮定に矛盾します。

故に,√ｍはＱの元(有理数)では有り得ないです。

それ故,1と√ｍはＱ上で１次独立です。つまり,

ａ＋ｂ√ｍ＝0ならａ＝ｂ＝0です。

ただし,ｂ＝0なら(ａ＋ｂ√ｍ)∈Ｑですから,

Ｑ⊂Ｅですが,ａ＋ｂ√ｍは.1と√ｍを基底として

Ｑの上で２次元のベクトル空間をなすため,ＥはＱ

の２次の拡大体です。Ｅは,1と√ｍで生成される体

である,といわれ,(Ｅ/Ｑ)＝2です。(終わり)

[定義5-2](整域)

零因子0を持ち,自明なもの:{0}以外の可換環を

整域という。これは,整数環Ｚの拡張である。

[定義5-3](単項式,多項式と整式,多項式環)

不定元(文字):ｘ,ｙ,.のべき乗の積と係数の積で

得られる単一の文字式を「単項式」といい,単項式の

２つ以上の代数和で与えられる式を「多項式」という。

そして,単項式と多項式を総称して「整式」という。

不定元がｘのみの多項式ｆ(ｘ)は,その有限個の係数:

ａ₀,ａ₁,..ａ_nが,全て体Ｋの元である場合,具体的には,

ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,という形になる。

ｆ(ｘ)が恒等的にはゼロではなく,最高次ｘⁿの係数が

ａ₀≠0なら,ｆ(ｘ)はｎ次多項式であるといい,ｆ(ｘ)の

次元はｎである,あるいは,degｆ＝ｎであるという。

これらｆ(ｘ)全体の集合は通常の加法,乗法で可換環

をなす。これを体Ｋ上の1変数の「多項式環」と呼び,

Ｋ[ｘ]と表記する。ｆ(ｘ)∈Ｋ[ｘ]である。

特に,最高次の係数が1の1変数の多項式,つまり,

f(ｘ)＝ｘ ⁿ＋ｃ₁ｘ^n-1＋..＋ｃ_n,をモニック(monic),

または,モニック多項式という。

多項式ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_nは,ａ₀≠0

なら,ｃ_j＝ａ_j/ａ₀(1≦ｊ≦ｎ)としてｆ(ｘ)＝ａ₀ｆ₀(ｘ)

ｆ₀(ｘ)＝ｘⁿ＋ｃ₁ｘ^n-1＋..＋ｃ_nのように,モニックｆ₀(ｘ)

のａ₀倍で表わすことができる。

[定義5-5](単項イデアル整域)

Ｒを環,ＡをＲの部分集合とするとき,Ａを含む最小の

イデアルＩを,Ａで生成されるイデアルという。

生成元の集合Ａの位数が有限で,Ａ＝{ａ₁,..ａ_m}と書ける

とき,Ｉは有限生成のイデアルであるという。

そこで,ＩがＡによる有限生成の左イデアルなら,

Ｉ＝{ｘ₁ａ₁＋..＋ｘ_mａ_m:ｘ_j∈Ｒ}と表わすことができる。

特にイデアルＩの生成元が単一のａ∈Ｒの場合,Ｉが

左イデアルなら,Ｉ＝{ｘａ:ｘ∈Ｒ},Ｉが右イデアルなら.

Ｉ＝{ａｘ:ｘ∈Ｒ}である。

生成元がａのみのイデアルＩが両側イデアルの場合には.

これを単項イデアル(主イデアル)といい,Ｉ＝(ａ)と表わす。

Ｒが可換環なら,Ｒのイデルは,常に両側イデアルである。

可換環:Ｒが零因子を持ちＲ≠{0}のとき,Ｒは整域と

いわれるが,Ｒのイデアルが全て単項イデアルなら,Ｒは,

「単項イデアル整域」である,という。あるいは,

Principal Ideal Domain,である。略してPIDである,

という。

[例5-2]:Ｚを整数環とするとき,ａ,ｂ∈Ｚに対して

Ｉ＝{ａｘ＋ｂｙ:ｘ,ｙ∈Ｚ}は.ａ,ｂで生成される

Ｚのイデアルですが,以前の章で示したようにａ,ｂ

の最大公約数をｄ∈Ｚ,つまり,ｄ＝(ａ,ｂ)とすると

Ｉの元は全てｄの倍数ですから,Ｉは単項イデアルで

あり,Ｉ＝(ｄ)です。特にａ,ｂが互いに素でｄ＝1

ならば,Ｉ＝Ｚです。

これを拡張して,Ｉ＝{ｘ₁ａ₁＋..＋ｘ_mａ_m:ｘ_j∈Ｚ}を

考えると,これはｄ＝(ａ₁,..ａ_m)(最大公約数)とすると,

単項イデアルであり,I＝(ｄ)です。(終わり)

[定理5-2]:体Ｋ上の多項式環Ｋ[ｘ]はPIDである。

(証明)ＩをＫ[ｘ]の{0}でない任意のイデアルとする。

すると恒等的にはゼロでないＩの元ｆ(ｘ)が存在します。

このうち,degｆが最小のｆ(ｘ)∈Ｉをｐ(ｘ)とします。

このとき,∀ｆ(ｘ)∈Ｉは多項式式の除法の公式により,

ｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ)(degｒ＜degｒ)と表わす

ことができます。

以下,簡単のため,変数ｘを省略します。

するとｆ＝ｐｑ＋ｒとなりますが,ｆ,ｐ∈Ｉでｑ∈Ｋ

であり,ＩはＫのイデアルなのでｒ＝(ｆ－ｐｑ)∈Ｉです。

故に,ｒ≠0ならｒ∈Ｉがdegｒ＜degｐのゼロでない

Ｉの多項式となり矛盾を生じるため,ｒ≡0です。

それ故,ｆ＝ｐｑです。

したがって,ＩはＩ＝(ｐ)の単項イデアルです。

変数ｘを復活させると,I＝(ｐ(ｘ))であり,Iは単項

イデアルですが,IはＫ[ｘ]の{0}でない任意のイデアル

であったので,ｘの多項式環:Ｋ[ｘ]はPIDです。

つまり,単項イデア整域です。(証明終わり)

[定義5-6](体の代数的拡大)

体Ｆのゼロでない1変数ｘの多項式ｆ(ｘ)を

ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,とする。

これは,係数:ａ₀,ａ₁,..ａ_nが全て体Ｆの元の恒等的

にはゼロでない多項式である。

このｆ(ｘ)に対して,Ｆの拡大体Ｅ⊃Ｆの1つの元α

が,ｆ(α)＝0を満たすとき,　すなわち,α∈Ｅが,

ｆ(α)＝ａ₀αⁿ＋ａ₁α^n-1＋..＋ａ_n＝0を満たすとき,

αはｆ(ｘ)＝0の根(root)であるという。

そして,こもときαは「Ｆ上代数的」である。という。

Ｅの全ての元がＦ上代数的であるとき;ＥはＦ上,

「代数的(拡大体)」であるという。

[定理5-3];ＥがＦ上,有限次なら.ＥはＦ上代数的である。

(証明)(Ｅ/Ｆ)＝ｎとすると,ＥはＦ上ｎ次のベクトル

空間なので,∀α∈Ｅのベキで構成される.Ｅの(ｎ＋1)

個の元:αⁿ,α_n-1,..,α,１は１次従属です。

故に,少なくとも１つはゼロでないＦの(ｎ＋1)個の

元:a₀.ａ₁,..ａ_nを用いて,ａ₀αⁿ＋ａ₁α^n-1＋..＋ａ_n＝0

なる自明でない１次関係式が成立します。

それ故,ｆ(ｘ)＝ａ₀ｘⁿ＋ａ₁ｘ^n-1＋..＋ａ_n,とおけば,

ｆ(ｘ)は恒等的にゼロではないＦの整式で,ｆ(α)＝0

なので,αは(ｘ)＝0の根となるため,αはＦ上代数的です。

ａ₀≠0の場合はｆ(ｘ)はｎ次の多項式です。(証明終わり)

[定理5-4]:ＢがＥ/Ｆの中間体でＦ上有限次,ＥはＢ上

有限次のとき,ＥはＦ上有限次である。

特(に(Ｅ/Ｆ)＝(Ｂ/Ｆ)(Ｅ/Ｂ)である。

(証明)(Ｂ/Ｆ)＝ｍ,(Ｅ/Ｂ)＝ｎとします。

ＢはＦ上でｍ個の基底:α₁,.,α_mを持ち,ＥはＢ上で

ｎ個の基底:β₁,.,β_nを持ちます。

このとき,ｉ＝１，ｍ,および,ｊ＝1,.ｎに対する

異なる(ｍｎ)個の元;α_iβ_jについて考察します。

ｃ_ij∈Ｆ(ｉ＝１，,ｍ,ｊ＝1,.,ｎ)とし,関係式

Σ_i,j(ｃ_ijα_iβ_j)＝0を考えます。

これは変形すると,Σ_j=1ⁿ{(Σ_i=1^mｃ_ijα_i)β_j}＝0

となりますが,(Σ_i=1^mｃ_ijα_i)∈Ｂであり,β₁,.,β_n

はＢ上１次独立ですからΣ_i=1^mｃ_ijα_i＝0(ｊ＝1,.ｎ)

です。すると,ｃ_ij∈Ｆでα₁,.α_mはＦ上1次独立

なので,全てのｉ,ｊについてｃ_iｊ＝0を得ます。

それ故,α_iβ_j(ｉ＝1,..ｍ,ｊ＝1,..ｎ)はＦ上で,

１次独立です。

そして∀ω∈Ｅについて,ω＝Σ_j=1ⁿｘ_jβ_j(ｘ_ｊ∈Ｂ),

,と表わすことができて,ｘ_j＝Σ_i=1^mｃ_ijα_i(ｃ_ij∈Ｆ)

と表わせるので,結局,ω＝Σ_i,j(ｃ_ijα_iβ_j)と書けます。

よって,ｍｎ個の独立な(α_iβ_j)がＥのＦ上の基底

となるため,(Ｅ/Ｆ)＝ｍｎ＝(Ｅ/Ｂ)(Ｂ/Ｆ)です。

(証明終わり)

[定理5-5]:ＥがＦの有限次拡大体で,Ｂが中間体の

とき,ＥはＢ上,ＢはＦ上,有限次である。

(証明)ＥのＦ上の基底をγ₁,..γ_nとすると,γ₁,.,γ_ｎ

はＢの生成元です。何故なら,∀ω∈Ｅをω＝Σ_jｃ_jγ_j

と展開したとき,係数ｃ_j∈Ｆ,および,基底γ_j∈Ｆは,

Ｂ⊃Ｆより,全てＢの元でもありますから,{γ_j}_j=1ⁿの

中で,Ｂにおいて1次独立な最大の部分集合は,Ｅの

Ｂにおける有限個の基底をなすからです。

それ以外のＦの基底によるｃ_ijγ_jの各項はＢに

おいては,1次従属ですから,今採用したＢ上の基底

の１次結合で表わせます。・

それ故,ＥはＢ上でも有限次ベクトル空間です。

また,Ｂ上の基底は,Ｆ上の基底の部分集合ですから,

ベクトル空間として,ＢはＥの部分空間です。

(証明終わり)

[定義5-4](既約多項式,モニック)

体Ｋの上の多項式ｆ(ｘ₁,.ｘ_m)が;定数ではない変数

の１次以上のＫの多項式ｇ(ｘ₁,.ｘ_m)とｈ(ｘ₁,.ｘ_m)の

積でｆ＝ｇｈと因数分解できるときｆは可約であると

いい,そうでないうきは既約であるという。

そして,ｆが既約なら.これを「既約多項式」という。

[定理5-6]:体Ｆの拡大体Ｅの元αが,Ｆ上代数的で

あるとき,Ｊ＝{f(ｘ)∈Ｆ[ｘ]；ｆ(α)＝0}は可換環

(多項式環):Ｆ[ｘ]の{0}でないイデアルである。

Ｊ＝(ｐ(ｘ))とすると,多項式ｐ(ｘ)はＦ上既約である。

(証明)まず,ｆ(ｘ)∈Ｊ,ｇ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]とすると,

ｇ(α)ｆ(α)＝0より,ｇ(ｘ)ｆ(ｘ)∈Ｊですから,Ｊは

Ｆ[ｘ]のイデアルです。そして,αはF上代数的なので,

恒等的には0でないｆ(ｘ)∈Ｊが存在するためＪ≠{0}

です。

次に,ｐ(ｘ)=ｐ₁(ｘ)ｐ₂(ｘ),ｐ₁(ｘ),ｐ₂(ｘ)∈Ｆ[ｘ],

と因数分解できるなら,degｐ＝degｐ₁＋degｐ₂ですから,

ｐ₁,ｐ₂が共に定数でないとき,0＜degｐ₁＜degｐであり,

かつ,0＜degｐ₂＜degｐです。

ところが,ｐ(α)=ｐ₁(α)ｐ₂α)＝0よりｐ₁(α)＝0

または,ｐ₂(α)＝0です。そこでｐ₁(ｘ)∈Ｊ,または,

ｐ₂(ｘ)∈Ｊです。しかし,Ｊ＝(ｐ(ｘ))ですから,

これはdegｐ₁≧degｐ,または,degｐ₂≧degｐを意味し,

矛盾です。したがって,このような因数分解は不可能

でａありｐ(ｘ)は既約です。

かくして,Ｅ⊃Ｆの元αが,体Ｆ上の多項式環Ｆ[ｘ]

の根となるイデアル:Ｊ＝{ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]:ｆ(α)＝0}

は,Ｆ上で既約な多項式ｐ(ｘ)で生成され,Ｊ＝(ｐ(ｘ))

と書けるとわかりましたが,ｐ(ｘ)の最高次の係数がａ

でａ≠0なら,(ｐ(ｘ))＝(ａ^-1ｐ(ｘ）)であり,ａ^-1ｐ(ｘ)

は既約なモニックです。そこで,このモニックを改めて

ｐ(ｘ)と定義すれば,Ｊはモニックで生成されるイデアル

ということになります。。

以下,一般性を失うことなくＪはに常にモニックで生成

されるイデアルであると見なせます。(証明終わり)

[系]:[定理5-5]のαに対するＪ＝(ｐ(ｘ))の生成モニック

ｐ(ｘ)は,αに対して一意的に定まる。

(証明)ｆ(ｘ)∈Ｊ＝(ｐ(ｘ))ならｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)と

なるので,degｐ≦degｆでありｐ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]は,ｐ(α)＝0

を満たす既約な最低次数のモニックでですから,これが一意的

であるのは自明です。これを最小多項式ともいいます。

(証明終わり)

[定義5-7]; Ｅ⊃Ｆの元αが,体Ｆ上の多項式環Ｆ[ｘ]

の根となるイデアル:Ｊ＝{ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]:ｆ(α)＝0}

は,αに対し一意に定まるＦ上で既約なモニックｐ(ｘ)

で生成され,Ｊ＝(ｐ(ｘ))となるが,このｐ(ｘ)の次数

がｎなら,αはF上ｎ次である,または,ｎはαのＦ上の

次数である,という。

[定理5-6]:体Ｆの拡大体Ｅの元αがＦ上ｎ次のとき,

ｎ個の元;1,α,..α^n-1がＦ上で張る,ベクトル空間:

Ｆ(α)＝{ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_n-1α^n-1:ｃ_j∈Ｆ}は,Ｆの

ｎ次の代数的拡大体である。

(証明)まず,ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_n-1α^n-1＝0でＦ上の係数:

ｃ₀,ｃ₁..ｃ_n-1の少なくとも1つがゼロでない場合には,,

ｆ(ｘ)＝ｃ₀＋ｃ₁ｘ＋..＋ｃ_n-1ｘ^n-1:とおけば.これは次数

が(ｎ－1)以下のゼロでない多項式でｆ(α)＝0となり,

ｐ(α)＝0を満たす最低次の多項式がｐ(ｘ)でdegｐ＝ｎ

であることに矛盾します。

それ故,1,α,..α^n-1は,Ｆ上で１次独立です。

次に,∀ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]はｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｒ(ｘ),

ただし,degｒ(ｘ)＜degｐ(ｘ)＝ｎ.と表わせます。

すると,ｐ(α)＝0なのでｆ(α)＝ｒ(α)となります。

ところがdegr(ｘ)≦(ｎ－1)なので,ｒ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]は,

ｒ(ｘ)＝ｃ₀＋ｃ₁ｘ＋..＋ｃ_n-1ｘ^n-1,のように(ｎ－1)次以下

の多項式で表わされます。ただし,ｊ＝1,.,(ｎ－1)について

係数;ｃ_ｊ∈Ｆの少なくとも1つはゼロでないです。

それ故,結局,ｆ(α)＝ｒ(α)＝ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_n-1α^n-1

と書けるため,任意のｆ(ｘ)に対して,ｆ(α)∈Ｆ(α)が

成立します。そこで,Ｆ[ｘ]からＦ(α)への写像Φを,

Φ{ｆ(ｘ)}＝ｆ(α)で定義すると,これはＦ[ｘ]からＦ(α)

の上への準同型写像です。

そして,ｆ(α)＝0ならｒ(α)＝0 ⇒ｃ₀＝ｃ₁＝..＝c_n-1＝0

なので,多項式としてｒ(ｘ)≡0より,これはｆ(ｘ)がｐ(ｘ)

で割り切れて,ｆ(ｘ)＝ｐ(ｘ)ｑ(ｘ)(ｑ(ｘ)∈Ｆ[ｘ])となる

ことを意味します。

そこでΦ{ｆ(ｘ)}＝ｆ(α)＝0は,ｆ(ｘ)∈(ｐ(ｘ))と同値

です。故に,Φの核：kerΦ＝{ｆ()∈Ｆ[ｘ]:φ{ｆ(ｘ)}＝0}

が,イデアルＩ＝(ｐ(ｘ))に等しくなります。

したがって,準同型定理により,Φから誘導される

{Ｆ[ｘ]/(ｐ(ｘ))}からＦ(α)の上への同型写像;Φ~が存在

します。つまり,Φ~{Ｃ(ｆ)}＝Φ{ｆ(ｘ)}＝ｆ(α)∈Ｆ(α)

で定義されるΦ~はＦ(α)の上への同型です。

多項式環Ｆ[ｘ]のイデアルＩ＝(ｐ(ｘ))による剰余類を

Ｃ(ｆ)と書けば,Ｃ(0)＝Ｃ(ｐ)＝(ｐ()ｘ))が剰余類零元で

あり,Ｃ(ｆ)≠Ｃ(0)なら,ｐ(ｘ)が既約故,ｆ(ｘ)とｐ(ｘ)は

互いに素です。

よって,ｆ(ｘ)ｑ(ｘ)＋ｐ(ｘ)ｒ(ｘ)＝1を満たす

ｑ(ｘ),ｒ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が存在してＣ(ｆｑ)＝1であり

Ｃ(ｆ)Ｃ(ｑ)＝1より,Ｃ(ｑ)が,Ｃ(ｆ)の乗法の逆元

{Ｃ(ｆ)}^-1です。F[ｘ]/(ｐ(ｘ))－{Ｃ(0)}が単位元と

逆元を持ち,乗法群をなすため,Ｆ[ｘ]/(ｐ(ｘ))は,

体をなすとわかります。

よって,これに同型なＦ(α)も体をなし.これはｎ個の

独立な元で張られるベクトル空間ですから,結局,Ｆ(α)

はＦのｎ次の代数的拡大体です。(証明終わり)

[定理5-7]:Ｆ上のｎ次の多項式はＦの拡大体Ｅにおいて,

高々ｎ個の根を持つ。

(証明)ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が(ｎ＋1)個の根α₁,α₂,..α_n,α_n+1

を持つとすると,ｆ(ｘ)は,(ｘ－α_j)(1≦ｊ≦(ｎ＋1))

なる因数を持つｘのｎ次式なので.1≦ｊ≦ｎの因数を

採用してｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)・・(ｘ－α_n)

とすると,これは,さらにｆ(α_n1)＝0を満足します。

すなわち,ａ(α_n+1－α₁)(α_n+1－α₂)・・(α_n+1－α_n)＝0

です。そこで.もしもαn+1≠αｊ(1≦ｊ≦ｎ)ならａ＝0

が必要条件で,ｆ()≡0となりｆ(ｘ)がｎ次でｓるという

仮定に矛盾します。

それ故,(ｎ＋1)個のα₁,α₂,.α_n,α_n+1の全てが異なる

わけではないので,異なる根の数はｎ以下です。

(※体Ｆが複素数体Ｃなら代数学の基本定理から少なくとも

1つの根α∈Ｃが存在して(ｘ－α)という因数を持つこと

から,帰納的に,ｎ次多項式がＣにｎ個以下の根を持つのは

自明なのですが,抽象的な体Ｆの上では.事情が違います。)

(証明終わり)

[例5-3]:Ｑを有理数体とするとき,(Ｑ(³√2)/Ｑ)＝3である、

(証明)(³√2)はＱ上で既約な３次多項式(ｘ⁶－2)の根です

から,(Ｑ(³√2))/Ｑ）＝3であり,Ｑ(³√2)の,Ｑ上の基底は,

1,³√2,,³√2²の３つです。(終わり)

[定義5-7](添加された拡大体)

Ｆ(α)を体Ｆにαを添加した体という。

Ｆ上代数的な有限個の元:α₁,α₂，..α_mがあるとき.

Ｆに.順に,これらの元を添加した体の拡大列として,

Ｆ(α₁)⊂Ｆ(α₁,α₂)⊂…⊂Ｆ(α₁,α₂，..α_m)を

得ることができる。

[定理5-8]:Ｆ(α₁,α₂，..α_m)は,Ｆ上代数的拡大体

である。すなわち,この体の元はＦ上のある代数方程式

の根である。

(証明)まず,Ｆ(α)はｎ個の基底:1,α,α²,.,α^n-1で

張られるｎ次元ベクトル空間で,しかもＦの拡大体です。

そこで,[定理5-3]でＥが(Ｅ/Ｆ)＝ｎのＦの拡大体

なら,α∈Ｅのとき(ｎ＋1)個の元:1,α,α²,.,α^n-1,αⁿ

は1次従属なので,ｆ(ｘ)＝ｃ₀＋ｃ₁ｘ＋..＋ｃ_nｘⁿは,

ｆ(α)＝ｃ₀＋ｃ₁α＋..＋ｃ_nαⁿ＝0という自明でない

関係式を満たすため,αは恒等的にはゼロでないn次

以下の多項式ｆ(ｘ)の根となるという証明をしたもと

同様に,Ｆ(α)はＦ上のｎ次元ベクトル空間であり,

γ∈⊂Ｆ(α)なら,F(α)も体なので,1,γ,..γ^ｎ-1,γⁿ

も全てＦ(α)の元であり.1次従属なのでｇ(γ)＝0を

満たすｎ次以下のｇ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]が存在してγはＦ上

代数的であり,故に,Ｆ(α)はFの代数的拡大体です。

そこでまず,Ｆ(α₁)はＦ上有限次で代数的です。

同様にＦ(α₁,α₂)はＦ(α₁)上有限次代数拡大です。

{Ｆ(α₁,α₂)/Ｆ}＝{Ｆ(α₁,α₂)/Ｆ(α₁)}{Ｆ(α₁)/Ｆ}

より,結局,Ｆ(α₁,α₂)はＦ上でも有限次拡大です。

後は,これを繰り返せば,帰納的にＦ(α₁α,α₂,..α_ｍ)

はＦ上の有限次代数的拡大体であることがわかります。

(証明終わり)

[例5-4]:ωを１の立方根とすれば,Ｑ(³√2,ω)を考える。

[例5-3]で見たように{Ｑ(³√2)/Ｑ}＝3です。

また,ωはＱ上ｘ²＋ｘ＋1＝0も根ですからＱ上２次で

Ｑ(³√2)上でも高々２次です。

実際にはｘ²－ｘ＋1は,Ｑ(³√2)上でも2次ですから

{Ｑ(³√2,ω)/Ｑ(³√2)}＝2なので,{Ｑ(³√2,ω)/Ｑ}＝6

と結論されます。(終わり)

[定理5-8]:体Ｆの多項式;ｆ(ｘ)∈Ｆ[ｘ]に対して,

ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α1)(ｘ－α2)・・(ｘ－αn)(αj∈Ｅ)

のように,ｆ(ｘ)のｘの１次式の積への分解が可能になる

Ｆの拡大体Ｅが存在する。

(証明)ｆ(ｘ)の既約因子ｐ(ｘ)をとる。

変数ｔの多項式環Ｆ[ｔ]のｐ(ｔによる剰余体Ｋを

Ｋ＝Ｆ[ｔ]/(ｐ(ｔ))で定義しｇます。

Ｋにおいて,Ｆ[ｔ]の元ｇ(ｔ)の剰余類を{ｇ(ｔ) mod ｐ(ｔ)}

と表わすことにします。

ａ∈Ｆのとき,ａに{ａ mod ｐ(ｔ)}∈Ｋを対応させると

体Ｆから体Ｋの中への写像で同型対応が得られます。

ａ∈Ｆを{ａ mod ｐ(ｔ)}∈Ｋと同一視するとＦ⊂Ｋです。

そして,Ｆ上の多項式はＫの部分体と考えたＦの多項式と

考えられます。特に,Ｋの元{ｔ mod ｐ(ｔ)}をα₁と表記

すればＫの元としてｐ(α₁)＝0となります。

つまり,ｐ(α₁)＝{ｐ(ｔ) mod ｐ(ｔ)}＝0です。

それ故,Ｋ内の既約多項式として,ｐ(ｘ)＝(ｘ－α₁)

×ｐ₁(ｘ)と書けます。

ｐ(ｘ)はｆ(ｘ)の既約因子であったので,ｆ(ｘ)は,

ｆ(ｘ)＝(ｘ－α₁)ｆ₁(ｘ)(ｆ₁(ｘ)∈Ｋ[ｘ])となり

ｆ₁(ｘ)の既約因子は,また,Ｋの適当な拡大体をとると

ｆ₁(ｘ)＝(ｘ－α₂)ｆ₂(ｘ)となり.帰納的に,Ｆの拡大体

Ｅが存在して,ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ－α₁)(ｘ－α₂)..(ｘ－α_n),

ａ∈Ｆａ≠0;α_j∈Ｅ(1≦ｊ≦ｎ)とできます。(証明終わり)

[定義5-8](分解体)

上記[定理5-8]の,ｆ(ｘ)の全ての根を含む拡大体:

Ｅ＝Ｆ(α₁,α₂,．．,α_n)をｆ(ｘ)の分解体」という。

※途中ですがキリもいいし今回は,ここで終わります。

(つづく)

ガロア理論の復習(4)

※2021年11月4日(木)開始→11月13日(土)

※(余談)最近,日コロナ感染者数が日本だけ,急減

しました。何ら,行政の特別な施策もなく自然消滅

も疑問ですが,専門家の一部たるマスコミ医者,御用

医者も,明確な原因解明ができず,またもや日本人

特有のファクターＸとか,危機は最悪を想定して

煽る方が安全とはいえ.根拠不明なのにインフル

が大流行するとか,飲み屋の議論や井戸端会議の

レベルの話を,占い師,予言者のように,偉そうに

ＴＶなどでコメントしてると感じてます。

選挙も終わり,札束で頬をたたくとか.動物

の調教のように,エサで釣ってマイナンバー

カード申請を促すというような人をバカにした

政策も進んでいるようです。どうせ財源は国債

か税金ですから,ツケはどこに行くのかな？

そもそも,カードなどなくてもマイナンバー

という国民背番号は,既に全員に賦与されてます

から,重要な個人情報をデータベースでホスト

のコンピュータ(＋バックアップ)にでも蓄積して

おき,それが必要な時と場所で,顔や指紋などで

認証すれば,間違うことなく彼,彼女の番号と

データをオンラインで自動照合できるはずです。

人口14億の中国のように,上海.北京のような

大都市を中心にキャッシュレスで企業の購買情報

も本人認証データも国家政府に把握され.監視カメラ

も4億以上設置されて屋外の個人行動は丸裸にされ,

危険人物,団体と見られると口座をロックされたり

投獄されたりする監視社会がすでに実現している

らしいです。

情報を握っている権力が独裁的強権的なら警察

監視社会の危険性が常にあります。

DNAを登録して認証できれば本人認証の誤認は

ないでしょうが.顔.指紋,DNを全員把握されれば

例えば犯罪を捜査する警察が自由に無断で活用

できるなら.大喜びでしょう。

というわけで,セキュリティ意識が甘くデータ

漏洩が頻繁で,平気で汚職したり証拠隠蔽する

「白アリ」とも称される日本の公務員にどこまで

の個人情報を委ねられるか？使用も監査できるか

疑問です。

問題がクリアされず,信用を得られてないの

に一時のエサにかかる人どれだけいるのかな？

エサでももらえれば,それなりですが。。

(余談終わり)

※本題の続きです。

※第３章 環とイデアル

[加群の定義]:体Ｋの上での(左)加群Ｇとは,Ｇが加法

と見なせる演算で可換群をなし,さらに∀ｇ∈Ｇに対し

Ｋの元:ｃによる(左)スカラー倍:(ｃｇ)が定義されて

(ｃｇ)∈Ｇを満たす(右加群なら(ｇｃ)∈Ｇを満たす)

場合に,Ｇを「(左)加群」という。また,Ｇの部分群で,

スカラー倍でも閉じているものを部分加群という。

(↑※Ｋ上の加群とはＫ上のベクトル空間(線形空間)

のようなものである。)

[イデアルの定義]:環Ｒの部分環Ｉ⊂Ｒで.その元の

加法については,IはＲの部分加群をなし,∀ｘ∈Ｉに

対して∀ａ∈Ｒの左からの積がＩに属する:ａｘ∈Ｉ

を満たすものをＲの「左イデアル(left ideal)」他方,

右からの積がＩに属する:ｘａ∈Ｉを満たすものをＲ

の「右イデアル(right ideal)」という。

Ｒが可換環であれば.Ｒの左右の両イデアルは一致

するので,単に「イデアル」という。

このとき,ａ,ｂ∈Ｒがa～ｂなる関係にあること,この

関係:～を(ａ－ｂ)∈Ｉとなることと定義すると,これは

１つ同値関係です。この関係による同値類の集合は.

剰余環(商環)と呼ばれる環を形成し,これを(Ｒ/Ｉ)と

表記する。

[定理3-1]:Ｌ(ｎ.Ｆ)＝{ｎ次行列:Ａ=(ａ_ij)|ａ_ij∈Ｆ}

(Ｆはある体)は,環をなすが,これには真の両側イデアル

は存在しない。(※Ｒの真のイデアルとはＩ＝ＲとＩ＝{0}

という自明なイデアル以外のイデアルＩを指す。)

(証明)Ｌ(ｎ,Ｆ)が数体Ｆの上で環であることは行列の

和と積(加法と乗法)の定義から自明です。

Ｌ(ｎ,Ｆ)の両側イデアルが存在するとして.その任意

のイデアルをＩとし,Ｉ≠{0}であると仮定します、

このとき,Ｉのゼロでない元をＡ＝(ａ_ij)とします。

ただし,このＡでは,特定の行ｉと列ｊの要素;(ｉ,ｊ)

＝(ｌ,ｍ)成分の要素については,a_ij＝ａ_lm＝0である,

と仮定します。

次に,行列Ｅ_lmを,(ｌ,ｍ)要素成分だけが1で残りの

全ての要素がゼロのｎ次行列とします。

つまり,(Ｅ_lm)_ij＝δ_ilδj_m(ｉ,ｊ＝1,..ｎ)とします。

このとき,(Ｅ_llＡＥ_mm)_ij＝Σ_λσδ_ilδ_λlａ_λσδ_σmδ_jm

＝ａ_lmδ_ilδ_jmです。

故に,ａ_lm≠0とすると,ａ_lm^-1(Ｅ_llＡＥ_mm)＝Ｅ_lmです。

ところが,仮定により,Ｉは両側イデアルなのでＡの

左右からのｎ次行列の積のスカラー(ａ_lm^{^-1})倍もＩの元

です。したがって,ａ_lm≠0なる∀ｌ,ｍに対してＥ_lm∈Ｉ

となります。すなわち,∀ｉ,ｊについてＥ_ij∈Ｉです。

∀Ａ∈Ｌ(ｎ,Ｆ)に対してＡ＝Σ_ijａ_ijＥ_ijと書ける

のでＡ∈Ｉです。

何故ならイデアルＩは,Ｆ上の加群でもあるため,

右辺のＥ_ij∈ＩのＦの元による線形和もまたＩの元

です。

結局,Ａ∈IよりL(ｎ,Ｆ)⊂ＩですからI＝L(ｎＦ)

であり,Ｉは環全体に一致し,また,Ｉ≠{0}なのでＩは

真イデアルではないことがわかります。(証明終わり)

※[定理3-2]:φが環Ｒから環Ｒ~の中への準同型写像

であるとき,Ｒの部分環Ｓの像:φ(Ｓ)={φ(ｘ):ｘ∈Ｓ}

はＲ~の部分環である。

また,φがＲ~の上への準同型写像のとき,Ｒのイデアル

Ｉの像:φ(Ｉ)＝{φ(ｘ):ｘ∈Ｉ}は.Ｒ~のイデアルである。

(証明)φは加群としても準同型ですから.φ(Ｓ)も加群

としてＲ~の部分群であるのは自明です。

そして.∀ｘ,ｙ∈Ｓに対してφ(ｘ)φ(ｙ)＝φ(ｘｙ)

∈φ(Ｓ)(準同型)なので,φ(Ｓ)は乗法についても閉じて

います。

次に,ＩがＲの(左)イデアルで,ｓ∈Ｉでφ(ｓ)∈φ(Ｉ)

とします。このとき.φがＲ~の上への写像なら,∀ｒ~∈Ｒ~

に対してｒ∈Ｒが存在してｒ^＝φ(ｒ)となるため,写像φ

の準同型性から,ｒ~φ(ｓ)＝φ(ｒ)φ(ｓ)＝φ(ｒｓ)です

が.Iは(左)イデアルなので,(ｒｓ)∈Ｉにより,

φ(ｒｓ)∈φ(Ｉ)です。それ故.∀ｓ∈Ｉに対し,∀ｒ~∈Ｒ~

でr~φ(ｓ)∈φ(Ｉ)が成立するため,φ(Ｉ)はＲ~の

(左)イデアルです。(証明終わり)

[定理3-3](環の準同型定理)

　φが環Ｒから環Ｒ^の上への準同型写像のとき,

Ｉ＝{ｚ∈Ｒ:φ(ｚ)＝0~}(~0はＲ~の単位元)はＲ

の両側イデアルである。そして.剰余環(商環)(Ｒ/Ｉ)

の元Ｃ(ｘ)に対して,φ~(Ｃ(ｘ))＝φ(ｘ)とする写像

をφ~とすると,φ~は(Ｒ/Ｉ)からＲ~の上への同型写像

である。ただし,Ｉはφの核と呼ばれるイデアルであり,.

Ｉ＝kerφと表わされる。

(証明)まず,Ｉ＝kerφは,Ｒの部分加群です。

何故なら,∀ｘ,ｙ∈Ｉに対して,φ(ｘ－ｙ)

＝φ(ｘ)－φ(ｙ)＝0~により,(ｘ－ｙ)∈Iであり,

また,ｘ∈Ｉ,ｒ∈Ｒに対し,φ(ｒｘ)＝ｒφ(ｘ)＝0~

より,(ｒｘ)∈Ｉであるからです。

さらに,ｘ,ｙ∈Ｉに対してφ(ｘｙ)=φ(ｘ)φ(ｖ)

＝0~なので,(ｘｙ)∈Ｉですから,Ｉは乗法についても

閉じています。それ故,ＩはＲの部分環でもあります。

そしてｚ∈Ｉ,ｘ∈Ｒならφ(ｘｚ)=φ(ｘ)φ(ｚ)＝0~

により,(ｘｚ)∈Ｉであり,同様に(ｚｘ)∈Ｉなので.Ｉ

はＲの両側イデアルです。

IはＲの部分加群ですから,群の準同型定理によれば,

φ~は商群(Ｒ/Ｉ)によって,φから誘導される写像です。

故に,これは(Ｒ/Ｉ)から加群Ｒ~の上への同型写像です。

何故なら,Ｒを加法群とみたとき,群は可換群なので

部分群は常に.その正規部分群であるからです。

乗法では.φ~{Ｃ(ｘ)Ｃ(ｙ)}＝φ~{Ｃ(ｘｙ)}＝φ(ｘｖ)

＝φ(ｘ)φ(ｖ)＝φ~{Ｃ(ｘ)}φ~{Ｃ(ｙ)}で,積の準同型性

が保持されます。さらにＲが乗法の単位元1を持つ場合は,

φ~{Ｃ(1)}＝φ(1)＝1~(Ｒ~の乗法の単位元)です。

以上から,φ~は加法,乗法で共に(Ｒ/Ｉ)からＲ~の上

への同型写像です。(Ｒ/Ｉ)～Ｒ~(同型)と表わされます。

(証明終わり)

[Ｒ加群の定義]:Ｒを乗法に関する単位元:1を持つ可換環

とする。このとき,加群ＭがＲ上の加群であることを,Ｍは

Ｒ加群である。という。

いい換えると,ＭがＲ加群であるとは∀ｘ∈Ｒと

∀ａ∈Ｍに対し,ｘａ∈Ｍであり,次の３条件を満たす

ことである。すなわち,∀ｘ,ｙ∈Ｒ,∀ａ,ｂ∈Ｍに対し,

(1)x(ｙａ)＝(ｘｙ)ａ(結合則)

(2)(ｘ＋ｖ)ａ＝ｘａ＋ｖａ(分配則1)

(3)ｘ(ａ＋ｂ)＝ｘａ＋ｘｂ(分配則2)の３条件です。

[定理3-4]:加群Ｍに対して,ＭからＭの中への準同型写像

の全体をＥnd(Ｍ)とするとき,ｆ,ｇ∈Ｅnd(Ｍ)に対して

(ｆ＋ｇ),ｆｇを,次のように定義する。

すなわち,∀ａ∈Ｍに対し(ｆ＋ｇ)(ａ)＝ｆ(ａ)＋ｇ(ａ),

(ｆｇ)(ａ)＝ｆ[ｇ(ａ)](合成写像)と定める。

このとき,Ｒ＝Ｅnd(Ｍ)は,単位元を持つ可換環であり,

Ｍは,Ｒ加群である。

(証明)ｆ,ｇ∈Ｒ,ａ,ｂ∈Ｍに対して,(ｆ＋ｇ)(ａ＋ｂ)

＝ｆ(ａ＋ｂ)＋ｇ(ａ＋ｂ)＝{ｆ(ａ)＋ｇ(ａ)}

＋{ｆ(ｂ)＋ｇ(ｂ)}＝(ｆ＋ｇ)(ａ)＋(ｆ＋ｇ)(ｂ)で,,

(ｆｇ)(ａ＋ｂ)＝ｆ[ｇ(ａ＋ｂ)}＝f[ｇ(ａ)＋ｇ(ｂ)]

＝ｆ[ｇ(ａ)]＋ｆ[ｇ(ｂ)]＝(ｆｇ)(ａ)+(ｆｇ)(ｂ)

ですから(ｆ＋ｇ),ｆｇも準同型であり(ｆ＋ｇ)∈Ｒ,

かつ,ｆｇ∈Ｒです。また,(ｆ－ｇ)∈Ｒも同様です。

ｅを恒等写像:ｅ(ａ)=aとすれば,ｅがＲの乗法の

単位元となることは自明です。

さらに加法,乗法の結合則,分配則も成立し,加群と

しての単位元である零元:0∈Ｒ.および,ｆの逆元:

(－ｆ)∈Ｒも存在するため,Ｒ＝EndＭ)は乗法の単位元

を持つ環です。そこで∀ａ∈Ｍに対してｆ∈Ｒとの積

をａｆ＝ｆ(ａ)∈Ｍと定義すれば,ＭはＲ加群の条件を

満たしています。(証明終わり)

[定理3-5]:ＭをＲ加群とするとき,ｘ∈Ｒに対してＭの元

(ｘａ)を対応させると,ＭからＭの中への準同型写像として

ｆ_xを得る。これは,ａ∈Ｍに対しｆ_ｘ(ａ)＝ｘａ∈Ｍとする

写像である。そこで,Φをｘ∈Ｒをｆ_xに対応させる写像と

すると,これはＲからＥnd(Ｍ)の中への準同型写像である。

このとき.Φの核をＩ＝kerΦ＝{Φ(ｘ)＝0 }とする。

ただし,φ(ｘ)＝0の0は,ｘａ＝0 (for ∀ａ∈Ｍ)なる写像

であり,Ｅnd(Ｍ)の元ｆ_x＝ｘａ＝0なる零写像を意味する。

すると(Ｒ/Ｉ)は,Ｅnd(Ｍ)の部分環:Φ(Ｍ)に同型である

ことがわかる。すなわち,Φから誘導される(Ｒ/I)からΦ(Ｍ)

への写像Φ~は,Φ~(ｘＩ)＝Φ(ｘ)＝ｆ_ｘで与えられ,これは

(Ｒ/Ｉ)からＥnd(Ｍ)の部分環;Φ(Ｍ)の上への同型である。

そこで,これをΦ(Ｍ)～(Ｒ/Ｉ)(同型)と書く。

ａ∈Ｍなら,ｘ∈Ｒに対し(ｘＩ)を同値類記号Ｃ(ｘ)で

表わせば,写像としてΦ~{Ｃ(ｘ)ａ}＝ｆ_ｘ(ａ)である。

つまり,Ｃ(ｘ)ａ＝ｘａと定めることにより.Ｒ加群Ｍ

が,(Ｒ/Ｉ)加群であるとも考えられる。

(証明)これは群Ｇと部分群Ｎによる商群,環ＲとイデアルＩ

による商環についての準同型定理と同様な命題であり,証明

はそれらと同じなので.ここでは割愛します。(終わり)

※Ｒ加群;Ｍは実質的には上記定理のような加群です。

[Ｒ部分加群の定義]:Ｒ加群Ｍの部分群Ｓが,またＲ加群

であるとき,ＳをＲ加群の「Ｒ部分加群」である,という。

ａ₁,ａ₂,..ａ_n∈Ｍのとき,係数ｘ₁,ｘ₂,.ｘ_n∈Ｒを持つ

線型関係:(ｘ₁ａ₁＋ｘ₂ａ₂＋..＋ｘ_nａ_n)の元の全体集合は

Ｒ部分加群である。

※これをａ₁,ａ₂,..ａ_nの生成するＲ部分加群という。

[定理3-6]；ＭをＲ加群,ＳをそのＲ部分加群とする。

このとき,剰余加群(Ｍ/Ｓ)もＲ加群と見なせる。

(証明)ｒ∈Ｒであり,ｍ∈ＭでＣ(ｍ)∈(Ｍ/Ｓ)のとき,

ｒＣ(ｍ)＝Ｃ(ｒｍ)と定義すると,Ｓは加群なので

Ｃ(ｍ~)＝Ｃ(ｍ)は(ｍ~-ｍ)∈Ｓを意味するため

ｒ(ｍ~－ｍ)＝(ｒｍ~－ｒｍ)∈Ｓです。

つまり,Ｃ(ｒｍ~)＝Ｃ(ｒｍ)となり,Ｃ(ｍ)∈(Ｍ/Ｓ)

なら,ｒＣ(ｍ)∈(Ｍ/Ｓ)なので,(Ｍ/Ｓ)もＲ加群です。

(証明終わり)

[定理3-7](Ｒ加群の準同型定理)

φをＲ加群ＭからＲ加群Ｍ~の上へのＲ準同型写像φと

する。つまり,通常の準同型@φ(ｘ＋ｙ)＝φ(ｘ)＋φ(ｙ),

および,φ(ｘｙ)＝φ(ｘ)φ(ｙ)(ｘ,ｙ∈Ｍ)なるち性質に

加えて,ｒ∈Ｒに対してφ(ｒｘ)＝ｒφ(ｘ)を満たす写像

とする。φをＭからＭ~への加群としての準同型と見たとき

の核を,Ｉ＝kerφ＝{ｚ∈Ｍ:φ(ｚ)＝0~}とすると,核Ｉは.

Ｒ部分加群であり,φはＲ加群(Ｍ/Ｉ)からＲ加群Ｍ~の

上へのＲ準同型写像;φ~を誘導する。

(証明)∀ｚ₁,ｚ₂∈Ｉ,に対して,φの準同型性によって,.

φ(ｚ₁―ｚ₂)＝φ(ｚ₁)－φ(ｚ₂)＝0~より(ｚ₁－ｚ₂)∈Ｉ

なので,IはＭの部分加群です。

次に,ｚ∈I,ａ∈Ｒとするとφ(ａｚ)＝ａφ(ｚ)＝0~

より,(ａｚ)∈Ｉなので,ＩはＭのＲ部分加群です。

剰余群(Ｍ/Ｉ)の元Ｃ(ａ)＝ａＩ(ａ∈Ｍ)に対して

φ~{Ｃ(ａ)}＝φ(ａ)とすると.φ~は加群(Ｍ/Ｉ)から

加群Ｍ~の上への同型写像です。(群の準同型定理)

さらにｘ∈Ｒとするとφ~{ｘＣ(ａ)}＝φ~{Ｃ(ｘａ)}

＝φ(ｘａ)＝ｘφ(ａ)＝ｘφ{Ｃ(ａ)}­が成立するので,

φ~はＲ同型写像です。（証明終わり）

[Hom(ＭＭ)の定義]:Ｈom(Ｍ,Ｍ~)をＲ加群ＭからＲ加群Ｍ~

へのＲ準同型写像の全体集合とする。

φ₁,φ₂∈Hom(Ｍ,Ｍ~)に対してａ∈Ｍのとき,加法と乗法

を(φ₁＋φ₂)(ａ)＝φ₁(ａ)＋φ₂(ａ),および,(φ₁φ₂)(ａ)

＝φ₁(ａ)φ₂(ａ)で.それぞれ,(φ1＋φ₂),および,(φ₁φ₂)を

定義する。

※Hom(Ｍ,Ｍ~)がＲ加群となることは,証明するまでもなく

明らかなことです。

[Ｇ加群の定義]:Ｍが群Ｇ上の加群であるとき,ＭをＧ加群

という。すなわち,∀ｇ∈Ｇ,∀ａ∈Ｍに対して(ｇａ)∈Ｍ

であり,ａ∈Ｍ,ｇ,ｈ∈Ｇに対しｇ(ｈａ)＝(ｇｈ)ａが成立,

し,ｅをＧの単位元とするとｅａ＝ａとなるとき,ＭはＧ加群

である。

第４章 体とベクトル空間(線形空間)

[体の定義]:これについては,本シリーズ記事(1)の第0章で

記述したものを再掲します。

集合Ｋの上で乗法(・)と加法(＋)という２種の２項演算

が定義されており,加法では(Ｋ,＋)が可換群をなし,その

単位元を0(ゼロ)と書き零元と呼ぶ。また,この0を除く集合

Ｋ^×＝Ｋ－{0}は,乗法について群をなし,この乗法群の単位元

ｅは1と書くこともある。このとき,任意のＫの元:ａ,ｂ,ｃ

について,分配則:ａ・(ｂ＋ｃ)＝a・ｂ＋ａ・ｃが成立する

なら,(Ｋ,・,＋)の組を「体(field)」という。特に乗法

についても可換なら,Ｋを「可換体」という。

[Ｋ加群の定義]:Ｍが体Ｋ上の加群なら,ＭをＫ加群という。

Ｍが加法について可換群をなし,Ｋの元によるスカラー倍

が定義されて閉じたＫ上の線形空間となるものをＫ(左)加群

というのである。Ｋ加群はＫ上のベクトル空間と同義です。

[ベクトル空間の定義]:これは省略して既知とします

(↑※詳細は線型代数学のテキストを参照されたい。)。

[定理4-1]:体Ｋ上のｍ個(ｍ≦ｎ)の同次連立方程式:

Ｌ_i＝Σ_j=1ⁿａ_ijｘ_ｊ)＝0(ｉ＝1,..ｍ)(1)の解;(ｘ_j)

の全体は,Ｋ加群:Ｋ_nの中で,部分空間Ｓをつくる。

※Ｋ_nは,体Ｋ上のｎ次元ベクトル空間全体を意味し,

Ｓは.そのｍ次元の線形部分空間であるという意味

です。さらに,非同次方程式Ｌ_i＝Σ_j=1ⁿａ_ijｙ_ｊ＝ｂ_i.(2)

(ｉ＝4,..,ｍ)が解を持てば,解(ｙ_j)の全体はＫのＳに

よる１つの剰余類をつくる。

(証明)Ｓは(1)の解集合ですからｘ_ｊ,ｘ~_ｊ∈Ｓとすると,

Σ_j=1ⁿａ_ij(ｘ_ｊ－ｘ~_j)＝0 (ｉ＝1,..ｍ)が成立するので,

(ｘ_j－ｘ~_j)∈Ｓです。さらにλ∈ＫならΣ_j=1ⁿａ_ij(λｘ_ｊ)

＝0(ｉ＝1,..ｍ)により,(λｘ_j)∈Ｓです。ＳはＬＫ群:

Ｋ_nの部分集合ですから,これらにより,ＳはＫ_nの線形

部分空間です。

次に,(2)の解全体の集合をＭとして,ｙ_ｊ,ｙ~_ｊ∈Ｍ

とすれば,Σ_j=1ⁿａ_ij(ｙ_ｊ－ｙ~_j)＝0(ｉ＝1,..ｍ)が

成立します。そこで(ｙ_j－ｙ~_j)が(1)の解となるため,

(ｙ_j－ｙ~_j)∈Ｓです。

これは,Ｍが(Ｍ/Ｓ)の剰余加群の1つの同値類である

ことを意味します。(証明終わり)

[定理4-2]:体Ｆ上のベクトル空間:Ｖの部分空間をＷと

する。剰余加群(Ｖ/Ｗ)の元Ｃ(ｖ)とｘ∈Ｆに対して,

Ｃ(ｘｖ)＝ｘＣ(ｖ)と定めると,(Ｖ/Ｗ)は,体Ｆ上の

ベクトル空間となり,dim(Ｖ/Ｗ)＝dimＶ－dimＷを

満たす。※このとき,(Ｖ/Ｗ)をＶの剰余空間という。

(証明)Ｃ(ｖ~)＝Ｃ(ｖ)のとき.(ｖ~－ｖ∈Ｗですから,

ｘ∈Ｆなら{ｘ(ｖ~－ｖ)}∈Ｗです。

故にＣ{ｘ(ｖ~－ｖ)}＝0なのでＣ(ｘｖ~)＝Ｃ(ｘｖ)

です。

それ故,Ｃ(ｘｖ)＝ｘＣ(ｖ)という定義は一意的です。

ここで,dimＷ＝ｍ,dim(Ｖ/Ｗ)＝ｒとして,Ｗのｍ個,

および,(Ｖ/Ｗ)のｒ個の基底をそれぞれ,ｗ₁,..,ｗ_m,

および,Ｃ(ｖ₁),..Ｃ(ｖ_r)とします。

Ｖの元がｖ＝ｘ₁ｗ₁＋..＋ｘ_mｗ_m＋ｙ₁ｖ₁＋..＋ｙ_rｖ_r

と表わせるとすると,ｗ∈Ｗを含む加群(Ｖ/Ｗ)の元,,

つまり,同値類はＣ(0)＝0＋Ｗで,加群(ＶＷ)の零元です。

つまり:Ｃ(ｗ)＝Ｃ(0)＝0ですから,ｊ＝1,..ｍの全て

において,Ｃ(ｗ_j)＝0です。よって,上記のｖの同値類は

Ｃ(ｖ)＝ｙ₁Ｃ(ｖ₁)＋..＋ｙ_rＣ(ｖ_r)と,ｒ個の(Ｖ/Ｗ)の

基底の線型結合で表わされます。

それ故,ｖ＝0なら.Ｃ(ｖ)＝0なのでy₁＝..=y_r＝0であり

,故にｘ₁＝..＝ｘ_m＝0が従います；

以上から,ｗ₁,..ｗ_m,ｖ₁,..ｖ_rは全て独立であり,Ｖの

基底となり得ます。何故なら,∀ｖ∈Ｖについて同値類は,

Ｃ(ｖ)＝ｙ₁ｖ₁＋..＋ｙ_rＣ(ｖ_r)と書けるので,ｗを

ｗ＝ｖ－(ｙ₁(ｖ₁＋..＋ｙ_rｖ_r)と定義すれば,Ｃ(ｗ)＝0

により,ｗ∈Ｗです。

ｗ＝ｘ₁ｗ₁＋..＋ｘ_mｗ_mと表わせるため,∀ｖ∀Ｖが,

常に,ｖ＝(ｘ₁ｗ₁＋..＋ｘ_mｗ_m)＋(ｙ₁ｖ₁＋..＋ｙ_rｖ_r)の形

に表わせるからです：

したがって,dimＶ＝(ｍ＋ｒ),つまり,ｒ＝dim(Ｖ/Ｗ)

＝dimＶ－dimＷを得ます。(証明終わり)

[定理4-3]:Ｖ,Ｗを体Ｆ上のベクトル空間とする。

そしてφをＶからＷへの準同型写像する。

このとき,Ｖ₀＝{ｖ∈Ｖ:φ(ｖ)＝0}とすると,(Ｖ/Ｖ₀)

はＶの部分空間であり,Ｖ₀による剰余空間(Ｖ/Ｖ₀)からＷ

の上への同型写像φ~が誘導される。

そして,dimＶ＝dimＷ＋dim(Ｖ/Ｖ₀)である。

(証明)ｖ₁,ｖ₂∈Ｖ₀のとき,φ(ｖ₁＋ｖ₂)＝φ(ｖ₁)＋φ(ｖ₂)

＝0より,(ｖ₁＋ｖ₂)∈Ｖ₀,また,ｖ∈Ｖ₀,ｘ∈Ｆなら,φ(ｘｖ)

=ｘφ(ｖ)＝0なので,(ｘｖ)∈Ｖ₀,よってＶ₀はＶの部分空間

です。Ｖ₀はφの核kerφですから,すぐ前に示したＦ加群の

準同型定理により,(Ｖ/Ｖ₀)からＷの上への同型写像φ~を,

φ~{Ｃ(ｖ)}＝φ(ｖ)で,φから誘導される写像として与える

ことができます。そして,,dimＶ＝dimＷ＋dim(Ｖ/Ｖ₀)です。

(証明終わり)

[定理4-4]:Ｌを非可換環Ｒの左イデアルとする。

このときＩ＝{ｘ∈Ｒ:ｘＬ＝0}はＲの両側イデアルである。

(証明)ｚ∈Ｌ,ａ,ｂ∈Ｉなら(ａ±ｂ)ｚ＝ａｚ±ｂｚ＝0

,それ故,(ａ±ｂ)∈Ｉです。また,(ａｂ)ｚ＝0から

(ａｂ)∈,Iです。,故にＩは環Ｒの部分環です。

次に,∀ｚ∈Ｌに対してＬはＲの左イデアルですから

ｘ∈Ｒに対して(ｘz)∈Ｌです。

一方,ａ∈Ｉなら.任意のＬの元ｚについて(ａｚ)＝0

です。故にａ(ｘｚ)＝0です。

以上から(ｘａ)ｚ＝0,かつ.(ａｘ)ｚ＝0なので

(ｘａ)∈Ｉ,かつ.(ａｘ)∈Ｉとなり,Ｉは両側イデアル

です。(証明終わり)

[定理4-5]:体Ｋから環Ｒへの準同型写像は零写像か,

または,同型写像でぁる。

(証明)φを,体Ｋから環Ｒへの(環)準同型写像とします。

φの核:Ｉ＝kerφ＝{ａ∈Ｋ:φ(ａ)＝0}はＫのイデアル

です。何故なら,ａ∈Ｉ,ｘ∈Ｋなら(φ(ｘａ)＝ｘφ(a)

＝0により(ｘａ)∈Ｉであるからです。

ところが,体Ｋのイデアルは,Ｋ自身か,{0}です。

何故なら,ａ∈Ｉならaａ≠0の場合は逆元.ａ^-1

が存在して 1＝(ａ^-1ａ)∈Ｉですから.∀ｘ∈Ｋ

に対して,ｘ＝(ｘ・1)∈Ｉですが,0∈Ｉですから

Ｋ⊂Ｉです。他方,ａ≠0のａ∈Ｉが存在しない

ならI＝{0}です。

そこで,Ｋ⊂Ｉの場合は.Ｉ＝kerφ＝Ｋで,φ(Ｋ)

＝{0}なので,φは零写像であり.他方,Ｉ＝kerφ＝{0}

の場合は.Ｋ＝(Ｋ/Ｉ)～Ｒで,φは,Ｒの上への同型写像

です。(証明終わり)

[定理4-6]:非可換環Ｒの有限個の両側イデアを.

Ｉ₁,Ｉ₂,..Ｉ_mとする。Ｒ＝Ｉ₁＋Ｉ₂＋..＋Ｉ_m

のとき.ｉ≠ｊなら(Ｉ_iＩ_j)＝0である。

(証明)あるｉ,ｊ(ｉ≠ｊ)についてα≠0,かつ，

α∈(Ｉi∩Ｉj)とすると,0∈Ｒは,0＝0＋0＋.＋0,

または,0＝0＋..＋α＋0＋..＋(－α)＋.＋＋0と

なり,,直和分割が一意的でないという矛盾です。

それ故,ｉ≠ｊなら(Ｉ_i∩Ｉ_j)＝{0}です。

そして,I_i,I_jは両側イデアルなので(Ｉ_iI_i)⊂Ｉ_j,

かつ,(Ｉ_iＩ_j)⊂I_iですから,(Ｉ_iＩ_l)＝0です。

(証明終わり)

[定理4-7];φを環Ｒから環Ｒ~の中への準同型写像

とする。Ｉ~をＲ~の両側側イデアルとするとφ^-1(Ｉ~)

はＲの両側イデアルである。

(証明)まず,Ｉ＝φ^-1(Ｉ~)とおきます。.

そこで,ａ∈Ｉ,ｘ∈Ｒなら,φ(ａ)∈Ｉ~であり,,

φ(ｘａ)＝φ(ｘ)φ(ａ)ですが.φ(ｘ)∈Ｒ~であり

Ｉ~はＲ~の両側イデアルですからφ(ｘａ)∈Ｉ~と

なるため.(ｘａ)∈Ｉです。

同様に,φ(ａｘ)＝φ(ｘ)φ(ａ)∈Ｉ~より,

(ａｘ)∈Ｉです。したがって,ＩもＲの両側イデアル

です。（証明終わり）,（

※途中ですが,今日はここで終わります。(つづく）

ガロア理論の復習(3)

※2021年10月25日(月)開始→11月３日(水)

※(余談):何かコロナウイルス自滅仮設が現実に

なったかのようです。私は数万人に1人くらいの

特異体質を自認していて医師の余命宣告も不発です

から.如何なるワクチンも拒否していますがそれでも

何とか生きています。

今は大谷翔平君,大坂なおみちゃん,渋野日向子

ちゃんのニュースのみ期待してます。選挙結果

もほぼ予想通りでした。投票に行く人が保守的な

日本人的な人達です。アウトサイダーには競馬

予想のような興味だけです。(余談終わり※)

※さて本論の続きです。

※Ｇが可換群なら乗法でなく加法で置き換えても

議論は「同じです。その場合,単位元は0で巡回群

は,＜ａ＞＝{0,ａ,2ａ,.}であり,位数がｑの有限

巡回群ではａ≠0なら,ｑをｑａ＝0を満たす最小

の自然数として＜ａ＞＝{0,ａ,..(q－1)ａ}です。

(※例えばmod ｑの整数,つまりｑで割った剰余の集合

をＧとすると,Ｇ＝{0,1,.,(ｑ－1)}であり,これは

加法群としては,巡回群＜1＞であり,ｑ・1＝ｑ＝0です。)

また,Ｇが部分群:Ｈ₁,..,Ｈ_mの直積で表わせる場合も

Ｇが可換群なら乗法の積を加法の和に置き換えが可能で

直積;Ｇ＝Ｈ₁×Ｈ₂×,,×Ｈ_mは,直和Ｇ＝Ｈ₁＋..＋Ｈ_m

＝Σ_i=1^mＨ_iと,解釈できます。

[定理2-5];(基本定理):任意の有限生成の可換群Ｇは

巡回部分群:Ｈ₁,..Ｈ_mの直積で書ける。ただし,ｍは

ある極小な生成系の元の個数である。

(証明)まず,1個の生成元のｍ＝1ならＧ＝Ｈ₁＝＜ｈ₁＞

であり,定理の成立は自明です。

そこで,(ｍ－1)個の生成系では定理が成立すると

仮定します。

極小な生成系の全ての自明でない１次関係で

係数に最小の正数が現われるものを,

ｘ₁ｈ₁＋．．＋ｘ_mｈ_m＝0..I1)とします。

ただし,ｈ_i∈Ｇ.ｘ_i∈Ｚ(ｉ＝1,2,..ｍ)です。

一般性を失うことなく,x_j(1≦ｊ≦ｍ)のうちで,

ｘ₁が最小の正の数であるとすることができます。

他方,任意の関係式ｙ₁ｈ₁＋．．＋ｙ_mｈ_m＝0,(2)

ｙ_i∈Ｚ(1≦ｉ≦ｍ)をとると,ｘ₁/y₁,つまり,ｘ₁は

ｙ₁の約数です。

何故なら,ｙ₁＝ｑｘ₁＋ｒ(0≦ｒ＜ｘ₁)なら,(2)から

(1)×ｑを,辺々引くと,ｒｈ₁＋..＋(ｙ_m－ｑｘ_m)ｈ_m＝0

となり,もしもｒ＞0ならｒが最小の正整数ｘ₁よりも

も小さい正整数となり矛盾が生じるので,ｒ＝0でしか

あり得ないからです。

また,(1)において,ｘ₁/ｘ_j(2≦ｊ≦ｍ)でもあります

何故なら,例えばｘ₂＝ｑｘ₁＋ｒ(0≦ｒ＜ｘ1)ならｍ個

の生成系を(ｈ₁＋ｑｈ₂),ｈ₂,..ｈ_ｍに変えれば,(1)式は,

ｘ₁(ｈ₁＋ｑｈ₂)＋ｒｈ₂＋..＋ｘ_mｈ_m＝0と書き直せます。

それ故,左辺のｈ₂の係数ｒが正ならｘ₁の最小性に矛盾

するため,やはり.ｒ＝0です。

したがって,ｘ₂＝ｑ₂ｘ₁,..ｘ_m＝ｑ_mｘ₁と書けるので

(1)はｘ₁(ｈ₁＋ｑ₂ｈ₂＋..．＋ｑ_mｈ_m)＝0を意味します。

　そこで,h~₁＝ｈ₁＋ｑ₂ｈ₂＋..＋ｑ_mｈ_mとおけば,ｈ~₁

も極小生成系の１つであり,ｘ₁ｈ~₁＝0なのでｘ₁が最小

の正整数であることから,これは位数がｘ₁の巡回部分群

＜ｈ~₁＞を構成することに同義です。

ここで,ｚ₁ｈ~₁＋ｚ₂ｈ₂＋．．＋ｚ_mｈ_m＝0(ｚ_ｊ∈Ｚ)

(ｊ＝2,..ｍ)を.生成系:ｈ~₁,ｈ₂,..ｈ_mの間の任意の関係

とすると,前のｘ₁/ｙ₁を導いたのと同様にして,ｘ₁/ｚ₁を

得ます。それ故,ｘ₁ｈ~₁＝0からｚ₁ｈ~₁＝0となります

から,先の任意の関係式がｚ₂ｈ₂＋..＋ｚ_mｈ_m＝0に帰着

します。

そこで,(ｍ－1)個のｈ_2.,..ｈ_mによって生成される

Ｇの部分群をＧ₂とし,一方.巡回部分群＜ｈ~₁＞をＧ₁

と書けば,群Ｇは,Ｇ＝Ｇ₁＋Ｇ₂(Ｇ₁∩Ｇ₂＝{0})と直和

で表わせます。

ところが,帰納法の仮定によりＧ₂は(ｍ－1)個の

巡回部分群の直積(直和)ですから,これとＧ₁を

合わせたＧ＝Ｇ₁＋Ｇ₂は.ｍ個の巡回部分群の直積

(直和)です。(証明終わり)

[定理2-6]:単位元以外の元の位数が２の群は可換群

である。

(証明)定理に仮定された群をＧとします。

∀σ,τ∈Ｇ(σ≠ｅ,τ≠ｅ)に対して.σ²＝τ²＝ｅ,

かつ,(στ)²＝στστ＝ｅです。

最後の式στστ＝ｅの両辺に左からσ,右からτ

を掛けると,τσ＝στを得るのでＧは可換群です。

(証明終わり)

[定理2-7]:巡回群Ｇでは,部分群Ｈ,および,商群

(Ｇ/Ｈ)も巡回群である。

.(証明)Ｈ＝{ｅ｝＝＜ｅ＞ならＨは位数1の巡回群で,

Ｇ/Ｈ＝Ｇ/{ｅ}＝{ａ{ｅ}:ａ∈Ｇ}＝{ａ∈Ｇ}＝Ｇ

なので,商群(Ｇ/Ｈ)にも定理の成立は明らかです。

また,Ｈ＝ＧならＨ＝Ｇは巡回群であり,商群は

Ｇ/Ｈ＝Ｇ/Ｇ＝{ａＧ:ａ∈Ｇ}＝{Ｇ}で,これは単位元

Ｇ＝Ｈのみが元の,位数1の巡回群です。

次にＨがＧ＝＜ａ＞(ａ≠ｅ)の自明でない部分群

なら,Ｈの元は全てａ^m(ｍ∈Ｚ)の形です.ａ≠ｅより,

ａ^d∈Ｈとなる最小の正整数ｄをとりｍ＝ｑｄ＋ｒ

(0≦ｒ＜ｄ)とすると,ａ^r＝ａ^(m-qd)＝(ａ^m)(ａ^d)^-1∈Ｈ

となるため,ｒ＞0であるとｄの最小性に反するので

ｒ＝0です。それ故,ｍ=qｄですから,常にａ^m＝(ａ^d)^ｑ

となり,Ｈは巡回群＜ａ^d＞であることがわかります。

そして,(Ｇ/Ｈ)の元はａⁿＨ(ｎ∈Ｚ)で,これは(ａＨ)ⁿ

に等しいので,(商ふんもＧ/Ｈ)＝＜ａＨ＞の巡回群です。

(証明終わり)

[定理2-8]:ｐ.ｑを相異なる素数とする。

Ｇ＝{ｐ^mｑⁿ;ｍ,ｎ∈Ｚ}なる可換群は巡回群ではない。

(証明)ｐ＝ｐ¹ｑ⁰,ｑ＝ｐ⁰ｑ¹よりｐ.ｑ∈Ｇです。

[定理2-7]より可換群Ｇは巡回部分群の直積で

書けますが,Ｇの生成元はｐ,ｑであり明らかに

Ｇ＝＜ｐ＞＜ｑ＞です。

＜ｐ＞も＜ｑ＞もＧの部分群ですが,前定理

から,Ｇが巡回群＜ａ＞なら部分群はＨ＝＜ａ^d＞

となりますが,ａ＝ｐ^ｍｑⁿに対し,ａ^d＝(ｐ^mｑⁿ)^d

＝ｐ(ｄ＞0)となるのはｍｄ＝1,ｎ＝0のみであり,

ａ^d＝(ｐ^mｑⁿ)^d＝ｑとなるのはｎｄ＝1,ｍ＝0のみ

です。これは,素数ｐ,ｑでは不可能ですからＧは

巡回群ではあり得ません。(証明終わり)

(系)有理数体Ｑの乗法群:Ｑ^×＝Ｑ－{0}は巡回群

ではない。

(証明)有理数体の集合Ｑは,整数Ｚとの直和

で,Ｑ＝Ｚ＋{ｐｑ^－1:ｐ,ｑは素数}と表わせて.

Ｑ^×＝Ｑ－{0}は,乗法について可換群をなします。

そこで,Ｇ＝{ｐ^mｑⁿ;ｍ,ｎ∈Ｚ}は,Ｑ^×の1つの

部分群です。もしもＱ^×が巡回群ならその部分群

Ｇも巡回群ですが.定理によってＧは巡回群では

ないのでＱ^×も巡回群ではないです。(証明終わり)

[定理2-9]:Ｈを群Ｇの部分群とし,ｘ∈Ｇとする

とき,(ｘ^-1Ｈｘ)もＧの部分群である。

※(ｘ^-1Ｈｘ)をＨに供役な部分群といいます。

(証明)∀ｘ^-1ｈ₁ｘ,ｘ^-1ｈ₂ｘ∈(ｘ^-1Ｈｘ)に対して

(ｘ^-1ｈ₁ｘ)(ｘ^-1ｈ₂ｘ)-1＝ｘ^-1(ｈ₁ｈ₂^-1)ｘですが

ｈ₁,ｈ₂∈ＨでＨがＧの部分群なのでｈ₁ｈ₂^-1∈∈Ｈ

ですから,(ｘ^-1ｈ₁ｘ)(ｘ^-1ｈ₂ｘ)^-1∈(ｘ^-1Ｈｘ)です。

したがって.ｘ^-1ＨｘもＧの部分群です。

(証明終わり)

[定理2-10]:可換群Ｇにおいて,有限位数の元全体は

Ｇの部分群をつくる。

(証明)Ｇの有限位数の元全体の集合Ｈは,.

Ｈ＝{ａ∈Ｇ|ａ^d＝ｅ.for some ｄ∈(Ｎ＋{0})}と

表わされます。(Ｎは自然数の集合です。)

そして,ａ₁,ａ₂∈Ｈなら,ａ₁^d1＝ｅ,ａ₂^d2＝ｅを満たす

非負の整数ｄ₁,ｄ₂が存在します。

このとき,(ａ₁ａ₂^-1)^d1d2＝ｅを得るので(ａ₁ａ₂^-1)∈Ｈ

です。それ故,ＨはＧの部分群です。(証明終わり)

[例2-1];位数が12の巡回群＜ａ＞の生成元とは？

(解)Ｇ＝＜ａ＞(ａ¹²＝ｅ)の元ｂがＧを生成するため

の必要十分条件は|Ｇ|＝12と互いに素なｋが存在して

ａ^ｋ＝ｂ,となることです。

　何故なら,ｋが12の1でない約数なら,ｋｄ＝12と

なる正整数:ｄ＜12が存在してｂ^d＝(ａk)^d＝ａ¹²＝ｅと

なるため,Ｇ＝＜ａ＞＝＜ｂ＞で,|Ｇ|＝ｄ＜12という

矛盾が生じるからです。故に,ｋ＝1,5,7,11であり生成元

はａ,ａ⁵,ａ⁷,ａ¹1のいずれかです。(q.e.d).

[例2-2]:無限巡回群＜ａ＞の生成元とは？

)解)Ｇ＝＜ａ＞＝＜ｂ＞すると,ｂ＝ａ^ｋ,かつ,

ａ＝ｂ^lを満たす正整数ｋ.ｌが存在するはずです。

するとａ＝ａ^klなので.ａ^(kl-1)＝ｅです。

しかし,Ｇ＝＜ａ＞の位数は∞なので(ｋｌ－1)

がゼロでない場合は有り得ません。

故にｋｌ＝1ですから,ｋ＝ｌ＝±1(複号同順)でａ

とａ^-1のみがＧの生成元となり得ます。（q.e.d）

[定理2-11]:位数が素数:ｐである群は巡回群である。

(証明){Ｇ{＝ｐ(素数)とします。ａ∈Ｇでａ≠ｅ

とすると,＜ａ＞はＧの巡回部分群で,位数はｐの約数

ですが,＜ａ＞≠＜ｅ＞により,これは1ではないので,

,|＜ａ＞|＝ｐ＝|Ｇ|です。

それ故,Ｇ＝＜ａ＞となるので,Ｇは巡回群です。

(証明終わり)

[定理2-12]:Ｎが群Ｇの部分群で指数が|Ｇ：Ｎ|＝２

なら,ＮはＧの正規部分群である。

(証明)仮定から,ａ,ｂ∈(Ｇ－Ｎ)について

Ｇ＝Ｎ＋ａＮであり,また,Ｇ＝Ｎ＋Ｎｂです。

それ故,Ｎａ＝ｂＮです。

しかし,指数が２なので,右剰余類で考えると,

ａＮ＝ｂＮです。

故にａＮ＝Ｎａ＝(Ｇ－Ｎ)となりますから,

Ｎ＝ａＮａ^-1です。これはＮがＧの正規部分群で

あることを意味します。(証明終わり)

[定理2-13]:ｇ∈Ｇに対して,φ_a(ｇ)＝ａ^-1ｇａ∈Ｇ

を対応させる写像φ_a:Ｇ→Ｇは自己同型写像である。

つまり,ＧからＧ自身への準同型全単射(bijebtion)

である。

そしてＡut(Ｇ)＝{σ:Ｇ→Ｇ:σは自己同型}とすると,

これは群で,Ｉnn(Ｇ)＝{φ_a:Ｇ→Ｇ}は,その正規部分群

である。
(証明)∀ｇ₁,ｇ₂∈Ｇについて,φ_a(ｇ₁ｇ₂)=ａ^-1(ｇ₁ｇ₂)ａ

＝(ａ^-1ｇ₁ａ)(ａ^-1ｇ₂ａ)＝φ_a(ｇ₁)φ_a(ｇ₂)が成立するので,

∀ａ∈Ｇに対してφ_aは準同型写像です。

そしてｇ∈Ｇならｇ~＝ａｇa^-1とおくと,φ_a(ｇ~)＝ｇ

となるので,φ_aは全射(Ｇの上への写像;surjection)であり,

φ_a(ｇ₁)＝φ_a(ｇ₂)ならａ^-1ｇ₁ａ＝ａ^-1ｇ₂aより,ｇ₁＝ｇ_2,

(言い換えるとｇ₁≠ｇ₂ならφ_a(ｇ₁)≠φ_a(ｇ₂))ですから,

φ_aは単射(1対1写像;injection)でもあります。

以上から,φ_aは群Ｇの自己準同型写像です。

次に,Ａut(Ｇ)が閉じていて群をなすのは自明です。

そして,Φ_a,φ_b∈Ｉnn(Ｇ)なら,φ_aφ_b^-1(ｇ)

＝φ_a(φ_b^-1(ｇ))＝ａ^-1(ｂｇｂ^-1)ａ＝(ｂ^-1ａ)^-1ｇ(ｂ^-1ａ)

＝φ_b-1a(ｇ)なので,φ_aφ_b^-1＝φ_b-1a∈Ｉnn(Ｇ)より,

Ｉnn(Ｇ)はＡut(Ｇ)の部分群です。

さらに,∀Φ_a∈Inn(Ｇ)は,∀σ∈Ａut(Ｇ)に対して,

(σφ_ａσ^-1)(ｇ)＝σ[ａ^-1{σ^-1(ｇ)}ａ]

＝ａ^-1[σ{σ^-1(ｇ)}]ａ＝ａ^-1ｇａ＝φ_a(ｇ)を満たす。

つまり,σφ_ａσ^-1＝φ_ａ∈Ｉnn(Ｇ)ですからＩnn(Ｇ)は

Ａut(Ｇ)の正規部分群です。(証明終わり)

[例2-3]:位数が６の群Ｇの構造

σ∈Ｇならσの位数は６の約数です。

σ≠ｅなら位数は２,３,６です。

(1)σの位数が６ならＧは巡回群でＧ＝＜σ＞

(2)ｅ以外の元の位数が全て２なら,Ｇは可換群です。

そこでσ≠ｅとすると,σ²＝ｅで＜σ＞は巡回部分群

であり,(Ｇ/＜σ＞)の位数は３の素数ですから巡回群

です。しかし,τ∈＜σ＞とすると,τ²＝ｅで{τ＜σ＞}²

＝＜σ＞,つまり,τ＜σ＞の位数は２で３ではないので

矛盾です。ですから,この場合は有り得ません。

(3)位数が３の元σが存在する。このとき,σ≠ｅ,σ³＝ｅ

で,(Ｇ/＜σ＞)の位数は２,指数|Ｇ：＜σ＞|＝２を意味

するので＜σ＞はＧの正規部分群です。

それ故,τ∈＜σ＞とすると,τ^-1στ∈＜σ＞ですが,

τ^-1στ＝σなら,στ＝τσ,σ³＝ｅ,で{τ<σ＞}²＝＜σ＞,

τ²＝ｅで,τ^-1στ­＝σ²なら,στ＝σ²τ,τ²＝ｅです。

[定理2-14]:Ｇを群,Ａを加法群とする。

Ｈom(Ｇ,Ａ)＝{ｆ:Ｇ→Ａ:準同型写像}とすると,ｘ∈Ｇ,

ｆ,ｇ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)に対し,(ｆ＋ｇ)(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｇ(ｘ)

なる演算(加法)で群をなす。

特に,Ｇ,Ａが共にｎ次の巡回群ならHom(Ｇ,Ａ)もｎ次の

巡回群である。

(証明)ｆ,ｇ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)とすると,ｆ,ｇはＧの上で準同型

なので,∀ｘ₁,ｘ₂∈Ｇに対して,加法の定義により,

(ｆ＋ｇ)(ｘ₁ｘ₂)＝ｆ(ｘ₁ｘ₂)+ｇ(ｘ₁ｘ₂)＝{f(ｘ₁)＋ｆ(ｘ₂)}

＋{ｇ(ｘ₁)+g(ｘ₂)}=(ｆ＋ｇ)(ｘ₁)＋(ｆ＋ｇ)(ｘ₂)ですから,

和:(ｆ＋ｇ)もＧの上で準同型,(ｆ＋ｇ)∈Ｈom(Ｇ,Ａ)です。

そして,加法は可換演算なのでｆ＋ｇ＝ｇ＋ｆです。

次に,ｆ,ｇ,ｈ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)ならｆ＋（ｇ＋ｈ）

＝(ｆ＋ｇ)＋ｈの結合則の成立は,自明です。

∀ｘ∈Ｇに対して0(ｘ)＝0なる写像:0は明らかに

Hom(Ｇ,Ａ)の単位元となります。

そこで,ｆ∈Ｈom(Ｇ,Ａ)に対して(－ｆ)(ｘ)＝－ｆ(ｘ)

で定義される写像(－ｆ):Ｇ→Ａは,写像ｆの逆元となって,

ｆ+(－ｆ)＝0,(－ｆ)＋ｆ＝0を満たします。

以上から,Ｈom(Ｇ,Ａ)は１つの可換群です。

特に,Ｇ,Ａが共に巡回群でＧ＝＜ｘ₀＞,Ａ＝＜ａ＞の場合

ｆ∈Hom(Ｇ,Ａ)でｆ(ｘ₀)＝ａとなるｆとｘ₀∈Ｇが存在します。

ｆは準同型ですからｆ(ｘ₀^k)＝ｋａ(ｋ∈Ｚ)となります。

この写像ｆ;Ｇ→Ａについてｘ＝ｘ₀^k,ｙ＝ｘ₀^l∈Ｇ(ｋ,ｌ∈Ｚ)

なら,f(ｘｙ)＝ｆ(ｘ₀^kｘ₀^l)＝ｋａ＋ｌａ＝ｆ(ｘ)+f(ｙ)であり,

確かにｆは準同型です。

そこで,ａの位数がｎ,つまり,ｎ＝|＜ａ＞|のｎ次巡回群の

場合:ｎａ＝0なので,Ｇの任意の元:ｘ＝ｘ₀^ｋ(ｋ∈Ｚ)に対し,

ｎｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ₀^k)＝ｎｋａ＝0 です。

ｘはＧの任意の元なので準同型写像として恒等的にｎｆ≡0

であることを意味すます。

ｎはｎａ＝0となる最小の正整数で,ｍａ＝0ならｎ/ｍ

です。故に,ｍｆ≡0ならｍｆ(ｘ₀)＝ｍａ＝0より,ｎ/ｍです。

つまり,ｎ≦ｍですからｆの位数もｎです。

他方,ｇ∈Hom(Ｇ,Ａ)ならｇ(ｘ₀)＝ｒａ∈Ａとなるｒ∈Ｚ

が存在しますから,ｇ(ｘ₀)＝ｒｆ(ｘ₀)です。

そこで,∀ｘ＝ｘ₀^k;∈Ｇについてもｇ(ｘ)＝ｒｆ(ｘ)となり

写像としてｇ≡ｒｆ,つまりｇ∈＜ｆ＞(加法巡回群)です。

以上から,Hom(Ｇ,Ａ)＝＜ｆ＞で,Hom(Ｇ,Ａ)も位数がｎ

のｎ次巡回群です。(証明終わり)

[定理2-15];Ｇを可換群とし,Ｎをその部分群とする。

Ｇが無限巡回群ならＧ～Ｎ×(Ｇ/Ｎ)(両辺は同型)である。

(証明)Ｇは可換群でＮをその部分群とします。

まず,無限巡回群は加群Ｚ(整数)と同型です。

何故なら,＜ａ＞が無限巡回群ならａⁿ～ｎは明らかに同型対応

ですから＜ａ＞～Ｚ(同型)と書けます。

さて,[定理2-7]からＧが巡回群なら,Ｎも商群(Ｇ/Ｎ)も巡回群

です。Ｇが無限巡回群ならＮも(Ｇ/Ｎ)もそうです。

商群は(Ｇ/Ｎ)＝{Ｃ(ａ):ａ∈Ｇ}です。ただし,Ｃ(ａ)

＝ａＮ＝Ｎａです。

商群も無限巡回群なので(Ｇ/Ｎ)＝＜Ｃ(ａ)＞と書けます。

一方,Ｋ＝＜ａ＞とし,ａ≠ｅならａ∈ＧよりＫも無限巡回群

です。ａ^r∈Ｋ(ｒ∈Ｚ)でＣ(ａ^r)＝ａ^rＮなのでＣ(ａ^r)∈ＫＮ

ですが,Ｃ(ａ^r)＝ｓ^rＮ＝(ａＮ)^r＝Ｃ(ａ)^ｒ∈(Ｇ/Ｎ)でも

あります。それ故,ＫＮ＝(Ｇ/Ｎ)でＧ＝Ｎ×ＫＮでます。

無限巡回群は全て加群Ｚと同型ですから,結局のところ,

Ｇ～Ｎ×(Ｇ/Ｎ)～Ｎ×(ＫＮ)～Ｚです。(証明終わり)

※＜ａ＞が無限巡回群であるとは,ａ^r＝eがｒ＝0を意味する

巡回群のことです。

[定理2-16]:位数が素数ｐの２乗;ｐ²である群は可換群である。

(↑※後記:この定理は間違いで成立しない。？)

証明)まず,Ｇを位数がｐ²の群とすると,|Ｇ|＝ｐ²なので,

その任意の元の位数はｐ²の約数であり1,ｐ,ｐ²のいずれか

です。しかし,Ｇの位数は1より大なのでａ≠ｅのａ∈Ｇが

必ず存在して,その位数は,ｐまたは,ｐ²です。

そこで.ａ≠ｅでａ∈Ｇならａ^p＝ｅまたは(ａ^p)^p＝ｅ

です。|＜ａ＞|＝|＜ａ^p＞|＝ｐで＜ａ＞も＜ａ^p＞もＧ

の巡回部分群です。

それ故,もしもａ^p＝ｅなら巡回部分群＜ａ＞をＫとおけば.

|Ｋ|＝ｐで.商群(Ｇ/Ｋ)の位数はｐです

(Ｇ/Ｋ)={ｅＫ,ｘ₁Ｋ,..ｘ_p-1Ｋ}と書けば,ｊ＝,1..,ｐ－1

についてｘ_j∈(Ｇ－Ｋ)ですが.この商群も位数が素数ｐです

から.巡回群です。したがって,(Ｇ:/Ｋ)＝＜ｂＫ＞,

ｂ∈(Ｇ－Ｋ)と書けます。その元は(ｂＫ)^r＝ｂ^r­Ｋ(ｒ∈Ｚ)

です。巡回群なので元は可換ですから,∀ｘ,ｙ∈Ｇに対して

(ｘＫ)(ｙＫ)＝(ｙＫ)(ｘＫ)です。

よってｘｙ＝ｙｘ(可換)です、

(↑※後記:ここは疑問です？mod Kでｘｙ～ｙｘに過ぎない

と思います。そこで,位数がｐの巡回群(可換群)の直積で。

Ｇ＝＜ｂ＞×＜a＞と書けても,一般に直和てはないので.

＜ａ＞×＜ｂ＞に一致するとは限りません。)

故に,Ｇは可換群です。(？？)

他方(ａ^p)^p＝ｅで,|＜ａ＞|＝ｐ²なら|Ｇ|＝|＜ａ＞|

なので,Ｇ=＜ａ＞でＧは巡回群なので可換群です。

(証明終わり)(つぐく)

※ＰＳ:今年も2006年１月に知り合った巣鴨一番街の

３年くらい前に立ち退きでなくなった小さなスナック

バーの,長崎出身のマスターで15年来の親友が10/28

に亡くなったという訃報が10/31に他の知り合いから

の連絡でわかりました。

コウちゃん,トシちゃんと呼ぶ間柄でした。彼は

1953年7月生まれのはずですから,まだ68歳です。

半年くらい前にガンが転移して再発したかもという

連絡がありましたが,私も介護,看護を受けてる身で何も

できません。最近は,ガンでもいずれは良くなるだろう

と放置していましたから,寝耳に水です。、

毎年のように71歳の私と同年代の長い付き合いの友達

が亡くなったという連絡がありますが.ほぼ全員死因はガン

のようです。

私のような慢性の糖尿病から心臓病,腎臓病の方長生きして

います。もはや,ほぼ動けない身体の私はどうしようもなく

自宅で勝手に焼酎でも飲んで一人通夜をするだけです。

慢性病持ちの私の方が先に逝くはずでしたがシブトイ

憎まれっ子のようです。夜にハバカリかい！！

　　合掌！

ガロア理論の復習(;2)

※2021年10月8日(金)開始→10月24日(日)

※(余談):私は,１浪して19歳で大学の理学部の

物理学科に入学しました。15歳(中３)のとき父

が病死,兄２人,姉１人の末っ子で,急に母子家庭

の貧乏になり中高一貫の私立校だったので,高校

は父の退職金や特別奨学金で普通に卒業したの

ですが,遠くの国立大学に入ったので下宿して,

ほぼ,奨学金とアルバイトで生計を賄ってました。

それでも３年生で,必須の「統計力学Ⅰ」と

「物理実験学」の２科目合計４単位？を落とし

留年して「.その１年は奨学金もストップで,もう

1年３年生をやりました。

蛇足ですが３年になる前の２年生の春にも教養

の「憲法」を落とし再試験のときは成田(三里塚

芝山町)で空港建設反対で1カ月程常駐して援農

やすわり込み,デモなどをしていたので落第の

ままで大学では教員免許取れませんでした。

しかし,私,昔から転んでもタダでは起きない

性格で,２度目の３年生では物理講義は,たった

２科目で暇だったので,1年後輩の数学科の３年

の教室にもぐりこみ数学の講義を受けました。

大学での物理学の講義は,高校物理とはあまり

にも違う内容で,未知の事柄の話をいきなりされ

ノートを取るのがやっとでチンプンカンプンで,

理解するには自分で本で独習するしかなかったの

に比べ,数学科の数学の講義は定義,定理,証明と,

何も知らない状態から丁寧で,高校時代と同じく

出席して講義を聞いてるだけで独習しなくても

自然に頭に入ってきて,ある意味で「これが大学

の講義なんだ。」と衝撃を受けました。

翌5年目は,奨学金復活し普通に物理学科４年

の講義を受けたため,数学科の4年の講義は受ける

暇はなかったのですが,集合・位相や群・環・体の

代数学,数論,解析学,関数論などの必要で基礎的な

知見は３年生の専門科目で十分で,主にこの頃に

入手したモノが.現在の頭に残っています。

さて,最近,Amazonで「博士ルーペ」という商品

らしいがＴＶショップより安いモノがあったので

注文して届き,掛けてみました。

あくまで１個人の感想ですが,昔,まだ,初期の有名

でなかった頃にハズキルーペを買って,すぐフレーム

が壊れ,結局,使えなかったのと比べて,私のような

弱視でも書に近づくと見えます。

まあ,ルーペですからね。(余談終わり※)

※さて本論の続きです。

[定理8](準同型定理):群ＧとＧ~があってφ:Ｇ→Ｇ~

がＧ~の上への準同型写像であるとき,集合Ｎ＝kerφ

＝{ｘ∈Ｇ}φ(ｘ)＝ｅ~}(ただしｅ~はＧ~の単位元)

をφの核(kernel)と定義すると)(Ｇ/Ｎ)からＧ~への

写像:φ~:ｇＮ→φ(ｇ)は商群(剰余群):(Ｇ/Ｎ)から

ら群Ｇ~の上への同型写像である。

このφ~を「φから誘導される写像」という。

(証明)(φ~の一意性):φ~(ｇ₁Ｎ)＝φ~(ｇ₂Ｎ),

つまり,φ(ｇ₁)＝φ(ｇ₂)なら,φの準同型性から

φ(ｇ₁)・[φ(ｇ₂)]^-1＝ｅ~であって同じく準同型

なのでφ(ｇ₁ｇ₂^-1)＝ｅ~です。

これは,ｇ₁ｇ₂^-1∈kerφ＝Ｎを意味します。

故に,g₁∈g₂Ｎですからg₁Ｎ＝g₂Ｎと結論されます。

(φ~の準同型性):次に,φ~(ｇ₁ｇ₂Ｎ)＝φ(ｇ₁ｇ₂)

＝φ(ｇ₁)φ(ｇ₂)＝φ~(ｇ₁Ｎ)φ~(ｇ₂Ｎ)より,

φ~が準同型であることは自明です。

(φ~の全射性):最後に,φはＧ~の上への写像です

から,∀ｇ~∈Ｇ~に対しφ(ｇ)＝ｇ~となるｇ∈Ｇ

が存在します。

それ故,ｇＮ∈(Ｇ/Ｎ)でありφ~(gＮ)＝ｇ~となる

ため,φ~もＧ~の上への写像であることになります。

(証明終わり)

[定義]:ＮをＧの正規部分群とするとき.∀ｇ∈Ｇに

対し,κ(ｇ)＝ｇＮとする写像:κ:ｇ→ｇＮをＧから

(Ｇ/Ｎ)への「自然な準同型写像」という。

これが上への写像であることは明らかです。

[定理9]:φをＧからＧ~の上への準同型写像,Ｎ~

をＧ~の正規部分群とする。

Ｎをφの原像:Ｎ＝φ^-1(Ｎ~)＝{ｇ∈Ｇ:φ(ｇ)∈Ｎ~}

とすると,φ~(ｇＮ)＝φ(ｇ)Ｎ~によって商群(Ｇ/Ｎ)

から商群(Ｇ~/Ｎ~)の上への同型写像が得られる。

(証明)写像:ψ:Ｇ~→(Ｇ~/Ｎ~)を∀ｇ~∈Ｇ~に対し

ψ(ｇ~)＝ｇ~Ｎ~なる写像として与えます。

すると,合成写像:(ψ・φ)(ｇ)＝ψ{φ(ｇ)}

＝φ(ｇ)Ｎ~は,Ｇから(Ｇ~/Ｎ~)の上への準同型

写像です。何故なら,φがＧからＧ~の上への準同型

であり,ψもＧ~から(Ｇ~/Ｎ~)の上への準同型である

からです。

さて,Ｎ＝φ^-1(Ｎ~)なので∀ｇ₁,ｇ₂∈Ｎに対して,

φ(ｇ₁)∈Ｎ~,かつ,φ(ｇ₂)∈Ｎ~です。故に,φの

準同型性から,φ(ｇ₁ｇ₂^-1)＝φ(ｇ₁){φ(ｇ₂)}^-1∈Ｎ~

であり,それ故,ｇ₁ｇ₂^-1∈Ｎ＝φ^-1(Ｎ~)となります。

そこで,まずＮはＧの部分群であることがわかります。

次に,φが準同型なので,∀ｈ∈Ｎと∀ｇ∈Ｇ

に対して,φ(ｇ^-1ｈｇ)＝{φ(ｇ)}^-1φ(ｈ)φ(ｇ)

ですが,φ(ｇ)∈Ｇ~,φ(ｈ)∈Ｎ~で,Ｎ~がＧ^の

正規部分群なので,結局,φ(ｇ^-1ｈｇ)∈Ｎ~です。

よって,ｇ^-1ｈｇ∈Ｎであり,故にＮはＧの

正規部分群であることが示されました。

そして,κ＝(ψ・φ)とおくとき,κ(ｇ)

＝ψ{φ(ｇ)}＝φ(ｇ)Ｎ~＝Ｎ~＝ｅ~Ｎ~は,

φ(ｇ)∈Ｎ~と同値であり,これは,ｇ∈Ｎ

＝φ^-1(Ｎ~)と同値です。

それ故,Ｎ＝ker(κ)が成立するので[定理8]

により.κから誘導される写像:κ~は(Ｇ/Ｎ)から

(Ｇ~/Ｎ~)の上への同型写像です。(証明終わり)

[定理10]:群ＧにおいてＨ⊂ＧをＧの部分群とし,

Ｎ⊂ＧをＧの正規部分群とするとき,

• ＨＮ＝{ｈｎ:ｈ∈Ｈ,ｎ∈Ｎ}はＧの部分群

であり,ＮはＨＮの正規部分群である、

• (Ｈ∩Ｎ)はＨの正規部分群である。
• 商群:Ｈ/(Ｈ∩Ｎ)の元:ｈ(Ｈ∩Ｎ)を商群:

(Ｈ/Ｎ)の元ｈＮに対応させる写像:

φ~:Ｈ/(Ｈ∩Ｎ)→Ｈ/Ｎは上への同型写像である。

(証明)(1)∀ｈ₁ｎ₁,ｈ₂ｎ₂∈ＨＮに対して

ｈ₁ｎ₁(ｈ₂ｎ₂)^-1＝ｈ₁ｎ₁ｎ₂^-1ｈ₂^-1

＝ｈ₁ｈ₂^-1(ｈ₂ｎ₁ｎ₂^-1ｈ₂^-1)ですが,ＨはＧの部分群

なのでｈ₁ｈ₂^-1∈Ｈであり,ＮはＧの正規部分群

ですから.ｈ₂(ｎ₁ｎ₂^-1)ｈ₂^-1∈Ｎです。

それ故,ｈ₁ｎ₁(ｈ₂ｎ₂)^-1∈ＨＮとなるため.

ＨＮ⊂ＧはＧの部分群です。

次に,∀ｈ₁ｎ₁∈ＨＮと∀ｎ∈Ｎに対して,

ＮがＧの正規部分群なのでｎ₁ｎｎ₁^-1∈Ｎです。

故に,(ｈ₁ｎ₁)n(ｈ₁ｎ₁)^-1

＝ｈ₁(ｎ₁ｎｎ₁^-1)ｈ₁^-1∈Ｎですから.ＮはＨＮ

の正規部分群です。

(2)∀ａ,ｂ∈Ｈ∩Ｎについてａｂ^-1∈Ｈ,

かつ,ａｂ^-1∈Ｎです。

よって,ａｂ^-1∈Ｈ∩ＮよりＨ∩ＮはＧの部分群

です。さらに∀ｈ∈Ｈ,∀ａ∈Ｈ∩Ｎに対して,

ｈａｈ^-1∈Ｈ,かつ,ｈａｈ^-1∈Ｎです。

故に,ｈａｈ^-1∈Ｈ∩ＮですからＨ∩ＮはＨ

の正規部分群です。

• Ｈ⊂ＨＮよりｈ∈Ｈならｈ∈ＨＮですから写像

φ:Ｈ→(ＨＮ/Ｎ)を∀ｈ∈Ｈに対しφ(ｈ)＝ｈＮ

によって,定義すると,これは明らかに準同型です。

しかも,ｇ∈ＨＮなら,ｈ∈Ｈ,ｎ∈Ｎが存在して

ｇ＝ｈｎを満たしますが,ｇ∈ｈＮですからｇＮ

＝ｈＮ＝φ(ｈ)なのでφは(ＨＮ/Ｎ)の上への写像

です。そしてkerφ＝{ｈ∈Ｈ:φ(ｈ)＝Ｎ}ですが,

φ(ｈ)＝ｈＮ＝Ｎは,ｈ∈Ｎを意味するので,

ｈ∈kerφは,ｈ∈Ｈ∩Ｎと同値ですから,結局,

kerφ＝Ｈ∩Ｎが成立します。　

故に[定理8](群の準同型定理)によって,φから

誘導される写像:φ~[ｈ(Ｈ∩Ｎ)]＝φ(ｈ)Ｎは,

[Ｈ/(Ｈ∩Ｎ)]から[ＨＮ/Ｎ]の上への同型写像です。

(証明終わり)

[定義];群Ｇの元:ｘ,ｙによるｘｙｘ^-1ｙ^-1∈Ｇ

を交換子と呼ぶ。Ｃ(Ｇ)＝{ｘｙｘ^-1ｙ^-1:ｘ,ｙ∈Ｇ}

で定義されるＧの部分集合(交換子全体)は,一般に

Ｇの積演算で閉じていないので,Ｇの部分群ではない。

しかし,交換子によって生成される部分群,

つまり,交換子とその積から得られる元を含む最小

の群をＧ~と書いて,これを交換子群と呼ぶ。

(※例えば2つの交換子：ｃ,ｄ∈Ｇ~による交換子

ｃｄｃ^-1ｄ^-1∈Ｇも群Ｇ~の元です。)

[定理11]:(1)Ｇの交換子群:Ｇ~はＧの正規部分群

である。(2)Ｇの正規部分群Ｎに対し商群Ｇ/Ｎは

可換群であるなら,Ｎ⊃Ｇ^である。

(証明)(1)∀ｃ＝ｘｙｘ^-1ｙ^-1∈Ｇ~,(ｘ,ｙ∈Ｇ)

をとると,Ｇは群ですからｃ∈Ｇであり,Ｇ~⊂Ｇです。

そこで∀ｇ∈Ｇに対してｇｘｇ^-1,ｇｙｇ^-1∈Ｇで,

ｇｘ^-1ｇ^-1＝(ｇｘｇ)^-1,ｇｙ^-1ｇ^-1＝(ｇｙｇ^-1)^-1であり,

これらは全てＧの元です。それ故,ｇｃｇ^-1

＝(ｇｘｇ^-1)(ｇｙｇ^-1)(ｇｘ^-1ｇ^-1)(ｇｙ^-1ｇ^-1)ですが,

これはＧの1つの交換子なのでＧ~の元です。

したがってＧ~はＧの正規部分群です。

(2)∀ａ,ｂ∈Ｇに対して,ａＮｂＮ＝ａｂＮ

ｂＮａＮ＝ｂａＮです。これが可換ならａｂＮ

＝ｂａＮですが,これはａｂ∈ｂａＮ,つまり,

ａｂａ^-１ｂ^-1∈Ｎなることを意味します。

よってＧ~∈Ｎです。(証明終わり)

※Ｎ＝Ｇ~⊂Ｇは,Ｇの商群:(Ｇ/Ｎ)が可換群となる

最小の正規部分群です。

[系]:Ｇが可換群である。⇔ Ｇ~＝{ｅ}である。

(証明）∀ｘ,ｙ∈Ｇについて,ｘｙ＝ｙｘであるのは,

ｘｙ(ｙｘ)^-1＝ｘｙｘ^-1ｙ^-1＝ｅと同値です。

故にＧが可換群であるのは,Ｇ~＝{ｅ}と同値です。

(証明終わり)

(※これ,別に[定理11]の系ではないような？)

第２章 可解群

※可解群というのは代数方程式がベキ根で可解と

なる条件と関連して,名称がつけられました。

体の拡大列に自己同型群の縮小する正規列が

対応し,それが方程式の係数を置換する対称群に

関わるという,随分と先のトピックであり,環や体

の説明の後に記述するのが理論構成の本来の順序

であると今では思いますが,,一応,群についての全て

の話だけを,予めまとめて書いたらしい私の過去ノート

に従うことにします。

※[可解群の定義]:群Ｇが与えられたとき,まずＧ₀

をＧ₀＝Ｇとおいて,ｋ＝0,1,2,,に対し,Ｇ_ｋ＋1をＧ_k

の正規部分群とする縮小する列として

Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃..⊃Ｇ_ｋ⊃Ｇ_ｋ＋1⊃．..をつくるとき,

商群:(Ｇ_k/Ｇ_ｋ＋1）が全て可換群(アーベル群)となる

正規列が,有限のｍ個でＧ_m＝{ｅ}となって終わるなら,

群Ｇを「可解群」という。

※交換子群を用いてＧ_ｋ＋1＝Ｇ~_ｋと選択することも

できますから,どんな群Ｇでも,正規列を作ることは

可能ですが,それが有限個で{ｅ},または{1}に収束

するかどうか？はわかりません。{ｅ}に収束しない

群Ｇは「非可解群」と呼ばれます。

※縮小正規列の途中でＧ_ｋが可換群(アーベル群)と

なるなら,Ｇ~_k＝{ｅ}なので,Ｇ_ｋ+1＝{ｅ}と置けば

その時点で可解群であることが判明します。

※[部分群の指数]:群Ｇの部分群Ｈの指数とは,Ｈ

による(左右)剰余類の個数のことです。

これを|Ｇ：Ｈ|と表記します。

※[定理2-1](ラグランジュの定理)：

Ｇが有限群で,Ｈがその部分群であれば,指数:|Ｇ:Ｈ|

＝|Ｇ|/|Ｈ|である。

(証明)前に記述したように,Ｈによる左剰余類の場合

なら,Ｇ＝ΣａＨのように,Ｇは互いに素な剰余類の

直和で表わせます。

そして,剰余類(ａＨ)の元の個数は全てＨの位数

|Ｈ|に等しいため,|Ｇ|＝|Ｇ：Ｈ|・|Ｈ|です。

故に|Ｇ：Ｈ｜＝|Ｇ|/|Ｈ|を得ます。(証明終わり)

※[対称群(置換群)の定義]:

ｎ個の整数の列{1,2..ｎ}の順序を交換する写像,

σ:{1,2,..ｎ}→{p₁,ｐ₂,..ｐ_n}(順列)を,n次の置換

と呼び,Ｓ_nを全てのｎ次の置換を元とする集合とすれば

置換の積について群をなし,これを対称群(置換群)という。

※ただし,置換の積とは,合成写像を意味します。

つまり,σ:{1,2..ｎ}→{p₁,ｐ₂,..ｐ_n}と,τ:{1,2,..ｎ}

→{ｑ₁,ｑ₂,..ｑ_n}なる元(写像):σ,τ∈Ｓ_nの積は,写像

σ:ｉ→ｐ_i＝σ(i)と,写像τ:i→ｑ_i­＝τ(i)を,この順に

適用して合成すると,合成写像:(τσ)(ｉ)＝τ(σ(i))

＝τ(ｐ_i)となりますが,線形代数学では,これを

置換σと置換τの積:στと定義するのが慣例です。

置換操作は可換ではないので,定義での操作順序

の規約は,参考書によっては演算の順序が逆のモノ

もあり,誤解すると混乱の種になるので注意が必要

です。

そして,実際,この積演算はＳ_nの中で閉じており

整数列の順序を全く変化させない写像:ｅ(ｉ)＝ｉ,

つまり,ｅ:{1,2..ｎ}→{1,2,..ｎ}を恒等置換と呼べば

これが積演算の単位元となります。

そして,σの逆元σ^-1は,これを逆写像:σ^-1:ｐ_ｉ→ｉ,

つまり,σ^-1:{ｐ₁,ｐ₂,..ｐ_n}→{12..ｎ}で与えれば,

σσ^-1＝σ^-1σ＝ｅとなるので,その存在は明らかです。

また,群であるために必要な積演算の結合則は,積演算

が合成写像ですから,結合則の成立も自明で,Ｓ_nは確かに

有限群をなすことがわかります。

※[互換の定義]:特にｎ個の列{1,2..ｎ}のうち.成分

ｉだけを,ｊ≠iなるｊと交換して,それ以外の成分

は不変のままの置換を,(ｉ,ｊ)と書いて互換と呼び

ます。このとき互換も１つの置換ですから,もちろん

∀(ｉ,ｊ)∈Ｓ_nです。

※線形代数学によれば,任意の置換σ∈Ｓ_nは有限個

の互換の積で表わすことができます。

そうして,その因子分解は,個々のσに対し一意には

決まらないのですが.1つの置換の因子分解の因子の

総数が奇数であるか,偶数であるか？は一意的です。

そこで,奇数個の互換の積で表わせる置換を奇置換と呼び

偶数個の互換の積で表わせる置換を偶置換と呼びます。

Ｓ_nの置換の総数,つまり,位数|Ｓ_n|は,順列の総数に

等しいので|Ｓ_n|＝_nＰ_n＝ｎ!ですが,奇置換に左からでも

右からでも,互換を１つ掛けると偶置換になり,逆に,

偶置換に互換を１つ掛けると奇置換になるので１対1

の対応があり,結局,奇置換と偶置換の個数は同じです。

故に,それぞれ(ｎ!/2)個ずつ,あるはずです。

しかし,積演算の単位元である恒等置換ｅは,偶置換

ですから,それを含む偶置換の集合だけがＳ_nの部分群

をなし,ます。これをｎ次の交代群と呼び,Ａ_nと表記

します。

[定理]2-2]:交代群Ａ_nはＳ_nの交換子群:Ｓ~_nであり,

それ故,Ｓ_nの正規部分群である。

(証明)σ,τ⊂∈Ｓ_ｎのとき.交換子:στσ^-1τ^-1を

つくると,σが奇置換ならσ^-1も奇置換,σが偶置換

ならσ^-1も偶置換で,τとτ^-1についても同様です。

それ故,交換子:στσ^-1τ^-1は常に偶置換です。

故に交換子で生成される交換子群:Ｓ~_nは交代群

Ａ_nに一致しており,既述の定理によって正規部分群

です。(証明終わり)

[定理2-3]:対称群Ｓ₂,Ｓ₃,Ｓ₄は可解群でありｎ≧5

の対称群Ｓ_nは可解群ではない。(非可解である。)

(証明)Ｓ₂は恒等置換:ｅと互換:(1,2)のみが元で,

積は常に可換なので可換群ですから,その交換子群

は,Ｓ~₂＝{ｅ}でこれは正規部分群なのでＳ₂⊃{ｅ}

が正規列となり.明らかに可解群です。

次に,交代群Ａ_nは,Ｓ_nの指数が２の正規部分群

ですが,ｎ＝3のＡ₃は,それ自身可換群です。

何故なら,Ｓ₃の位数は６,Ａ₃の位数は３で,その

元は恒等置換:ｅ＝{1,2,3}とσ＝{2,3,1},および,

σ^-1=={3,1,2}だけですから明らかに可換群であり,

正規列:Ｓ₃⊃Ａ₃⊃{ｅ}を得るので可解です。

ｎ＝4のＳ₄についてはσ＝{ｉ,ｊ,ｋｌ}∈Ｓ₄

は,物理で用いるLevi-Civitaテンソルの非ゼロ

成分のε_ijklが＋1のとき偶置換で,σ∈Ａ₄です、,

他方,ε_ijklが(－1)のとき.σは奇置換です。

しかも,σ∈Ａ₄のとき.(1,2)σは奇置換であり

σ,τ∈Ａ₄でσ≠τなら,(1,2)σ≠(1,2)τとなり

1対1に対応します。

それ故,Ｓ₄/Ａ₄＝{Ａ₄,(1，2)Ａ₄}です。この商群

は単位元Ａ₄の他には元が１個なので可換群です。

そもそも指数が２なら.商群の位数は２で,常に可換群

です。そしてＶをＶ＝{ｅ,(ｉ,ｊ)(ｋ,ｌ)}(ただし,

ｉ,ｊ,ｋ,ｌは１～4の異なる数)とおくと,|Ｖ|

＝1＋₄Ｃ₂/2＝4です。Ｖの元である互換の積の積

は,異なる４つの互換の積:(ｉ₁.ｊ₁)(ｋ₁,ｌ₁)

×(ｉ₂,ｊ₂)(ｋ₂,ｌ₂)ですが,これは互換の順序に

依らないので可換です。

そして,|Ａ₄|＝12より,|Ａ₄/Ｖ|＝3で(Ａ₄/Ｖ)

＝{Ｖ,(1,2,3)Ｖ.(2,3,4)Ｖ}と書けますが,そもそも

位数が３の部分群は,単位元と,それ以外の１つの元

とその逆元だけが全ての元なので,明らかに可換群です。

以上から,Ｓ₄⊃Ａ₄⊃Ｖ⊃{ｅ}という正規列が得られ,,

Ｓ₄が可解群であることが示されました。

次に,ｎ≧5のＳ_nを考えます。Ｓ_nの部分群で長さ

が３の巡回置換を全て含むものをＧとします。

このときＮがＧの正規部分群ならＮもまた,

長さ３の巡回置換を全て含むことを示します。

ｎ≧5なので,ｉ,ｊ,ｋ,ｒ,ｓを1からｎまでの

うちの相異なる５文字とします。

そして,σ=(ｉ,ｊ,ｓ),τ＝(ｋ,ｒ,ｓ)とすると

仮定により,σ,τ∈Ｇです。このとき,その交換子

は,στσ^-1τ^-1＝(ｉ,ｊ,ｓ)(ｋ,ｒ,ｓ)(ｓ,ｊ,ｉ)

×(ｓ,ｒ,ｋ)＝(ｒ,ｊ,ｓ)となります。

何故なら,(ｉ,ｊ,ｓ)(ｓ,ｋ,ｒ)＝(ｉ,ｊ,ｋ,ｒ,ｓ)

で,(ｊ.ｉ,ｓ)(ｒ,ｋ,ｓ)＝(ｊ,ｉ,ｒ,ｋ.ｓ)です

から,積はｉ→ｉ,ｊ→ｓ,ｋ→ｋ,ｒ→ｊ,ｓ→ｒ

となるため,(ｒ,ｊ,ｓ)と書けて,これは長さ３の

巡回置換です。交換子群は.最小の正規部分群です

から,ＮがＧの正規部分群なら(ｒ,ｊ,ｓ)∈Ｎですが

ｒ,ｉ,ｓは任意なのでＮも全ての長さ３の巡回置換

を含むことがわかりました。

それ故.もしもＳ_nが可解群であるなら,

Ｓ_n⊃Ｓ_ｎ⁽¹⁾⊃..⊃Ｓ_ｎ^(ｒ)＝{ｅ}となる正規列がある

はずですが,そうすると最後の正規部分群:|ｅ}も

長さ３の巡回置換を全て含むべきなので,これは

矛盾です。したがって,ｎ≧5のＳ_nは非可解群です。

(証明終わり)

※関係ｇ₁～ｇ₂を,ｇ₂＝ｘ^-1ｇ₁ｘとなるｘ∈Ｇが存在

することで定義すると,これは同値関係で,これに

よる同値類をＭ(ａ)＝{ｘ^-1ａｘ|ｘ∈Ｇ}と書けば,

Ｇの同値類別はＧ＝Ｍ(ａ)∪Ｍ(ｂ)∪..となります。

また,Ｈ(ａ)＝{ｘ∈Ｇ|ａｘ＝ｘａ}とおくと,

これはＧの部分群です。何故ならｘ,ｙ∈Ｈ(ａ)なら

ａｙ＝ｙａより,ａｙ^-1＝ｙ^-1ａですから.ａ(ｘｙ^-1)

＝ｘａｙ^-1＝(ｘｙ^-1)ａとなるのでｘｙ^-1∈Ｈ(ａ)が

成立するからです。

,このとき,ｍ＝ｘ^-1ａｘ,ｎ＝ｙ^-1ａｙなら,

ｍ.ｎ∈Ｍ(ａ)ですが,＝ｎは,(ｙｘ^-1)＝ａ(ｙｘ^-1)

を意味るため,(ｙｘ^-1)∈Ｈ(ａ),つまり,ｙ∈Ｈ(ａ)ｘ

と同値です。よって,Ｈ(ａ)による右剰余類とＭ(ａ)の

元は１対１に対応するので{Ｍ(ａ)＝|Ｇ：Ｈ(ａ)|です。

そこで特に|Ｍ(ａ)|＝1はＧ＝Ｈ(ａ)と同値です。

※[群Ｇの中心]:Ｃ＝{ａ∈Ｇ|ａｘ＝ｘａ for ∀ｘ∈Ｇ}

をＧの中心という。

この中心ＣはＧの正規部分群です。何故なら,ａ,ｂ∈Ｃ

のとき,∀ｘ∈Ｇに対し(ａｂ^-1)ｘ＝ａｘｂ^-1＝ｘ(ａｂ^-1)

よりａｂ^-1∈Ｃであり,ｘ^-1ａｘ＝ａなので正規部分群です。

また,ａ∈Ｃなら|Ｍ(ａ)|＝1でＧ＝Ｈ(ａ)です。

何故なら,ｂ∈Ｍ(ａ)ならｂ＝ｘ^-1ａｘですが,ａ∈Ｃなら

ｘ^-1ａｘ＝ａより,ｂ＝ａ,故に|Ｍ(ａ)|＝1です。；

※[巡回群の定義]:群Ｇがあるとする。∀ｇ∈Ｇに対して

ｇ＝ａ^ｎとなるａ∈Ｇとｎ∈Ｚが存在するとき,Ｇをａで,

生成される巡回群といい,Ｇ＝＜ａ＞と書く。ａ⁰＝ｅで

＜ａ＞＝{ｅ,ａ,ａ².,,}です。

※Ｇが有限群で,|Ｇ|＝ｎのとき,∀ａ∈Ｇに対してａ^ｋ＝ｅ

となるｋ∈Ｚが存在します。さもないと＜ａ＞が無限巡回群

となり有限群に矛盾します。このとき.ａ^q＝ｅとなる最小

の非負整数:ｑを元ａの位数(orｄer)と呼びます。

＜ａ＞＝{ｅ,ａ,::ａ^q-1}で.これは明らかにＧの部分群

であり巡回部分群といわれます。

|＜ａ＞|＝ｑで,この群の位数はａの位数に一致します。

しかもＧの部分群ですからｑ＝|＜ａ＞|は.ｎ＝|Ｇ|の

約数です。故にｑ≦ｎですが,もしもｑ＝ｎならＧ＝＜ａ＞

です。特にｎ＝|Ｇ|が素数ｐであるなら.Ｇの部分群は.

ｅ以外の元ａ∈ＧについてＧ＝＜ａ＞＝{ｅ,ａ,..ａ^q-1}

と{ｅ}の自明な部分群のみです。何故なら,Ｇの任意の元

は,ｎ­＝ｐの約数1かｐを位数ｑとする巡回部分群を生成

するかしかないからです。そして|＜ａ＞|＝ｐ=|Ｇ|なら

＜ａ＞＝Ｇであるからです。

※[ｐ群の定義].群Ｇの任意の元の位数が素数ｐのベキ乗

であるとき,Ｇをｐ群という。

Ｇが有限ｐ群ならＧの位数もｐのベキ乗です。

※[定理2-4]:ｐ群は可解群である。

(証明)まず,|Ｇ|＝ｐ⁰＝1ならＧは単位群{ｅ}なので

可解群です。

数学的帰納法を用います。|Ｇ|＝ｐ^ｍ(ｍ＜ｎ)の群Ｇ

は可解群である.と仮定します。

そして,次に|Ｇ|＝ｐⁿとします。Ｇの中心Ｃの位数は

ＣがＧの部分群なのでｐⁿの約数ですからｐのベキ乗

です。ただし,Ｇが可換群なら,Ｃ＝ＧなのでＧ＝Ｃ⊃{ｅ}

が正規列であり,明らかに」可解ですから,ＣはＧの真部分群

であるとすると,|Ｃ|＝ｐ^r＜ｐ^ｎと書けます。,

中心Ｃはそれ自身可換群ですが,それによる商群の

(Ｇ/Ｃ)＝{ｇＣ:ｇ∈Ｇ}も明らかに可換群です。

そして|Ｇ/Ｃ|＝ｐ^ｎ-r(ｒ≧1)で,これもｐ群です。

そこで帰納法の仮定により,

(Ｇ/Ｃ)＝Ｇ^０₀⊃Ｇ^₁⊃…⊃Ｇ^_m＝{ｅ}となる正規列

が存在します。

ここでＧから(Ｇ/Ｃ)の上への自然な準同型;κ(ｇ)

＝ｇＣの,Ｇ^_kの原像κ^-1(Ｇ^_ｋ)をＧ_kと定義すれば

Ｇ_ｋ+１はＧ_ｋの正規部分群で(Ｇ_k/Ｇ_k+1)が可換群

の正規列:Ｇ＝Ｇ₀⊃Ｇ₁⊃…⊃Ｇ_m＝{ｅ}を得るので,

Ｇも可解群であることがわかります。

(※細かい証明説明は略)　(証明終わり)

長くなったので,途中ですが終わります。(つづく)

ガロア理論の復習(1)

※2021年9月23日(木)開始→10月7日(木)

※久しぶりです。TOSHIです。

未だ終活などトンデモナイと,この世に未練タップリ

という感がありますが,何か難しい考え事でもしてないと

生きてくハリというか？モチベーションがなくなり無為

に時が過ぎるばかりで,むなしいです。

食って出して寝る,日々生きていく糧があり暑さ寒さ雨露

をしのぐ衣服と部屋があるのはとてもシアワセなことです

が「家畜と同じ生なら別に生きていてもしょうがない。」

と思うゼイタクでエゴイストのバチアタリジジイですから。。

今年の7月ころには「遺構」と称して2018年にブログ

にアップした２つの科学記事「素粒子ソリトン説(1),(2)」

という,主要項に比べて10^－40のオーダー程度の極く小さい

非線型付加項があって特殊相対論をも破る自由粒子という

仮説モデルについて論じたものを書きましが,これは遅々と

して進まず,そこで最近は素粒子理論ばかりではなく気分

転換に自分の残っている蔵書の中から19世紀の数学の

ルフィニとアーベルによる「5次以上の代数方程式の

ベキ根による解法の不可能の証明」の歴史についての本

を読んだりしていましたが,目が悪くてなかなか進みません。

老眼鏡でも文字が薄くて判読ができず,紙面を懐中電灯で

照らすと少し読めるようなので老眼というより弱視かも

しれず,眼科では2011,2012年に手術した両眼の硝子体

が濁っているらしいのですが,糖尿病だと硝子体交換手術

は難しいそうです。でも本当は手術を受けたいです。

今は読書も困難なので,かつてバブルも終わり求職活動

をしながらもフリーターで暮らすしかなくなり,暇な時間

に物理や数学の勉強を再開いていた40歳代前半の頃に

勉強した.アーベルよりも先に進んだガロアによる

「代数方程式のベキ根による解が存在するための必要

十分条件」(これは過去のブログ記事でも紹介済み)に

ついての覚え書きノートをもう1度復習し要約する

ところからやってみたいと思います。(自分の書いた

ノートなら,かろうじて読めますから。。)

※さて,以下は本題です

第0章:準備(必要な予備知識)

§1.群,環,体

(Ⅰ)[群の定義]:集合Ｇの上にある２項演算(・)が定義

され,,任意のａ,ｂ,ｃ∈Ｇに対して次の３つの条件を

満たすとき,(Ｇ.・)の組を群(group)という。

この３条件は,

(1)∀ａ,ｂ∈Ｇに対しte,結合則:ａ・(ｂ・ｃ)

＝(ａ・ｂ)・ｃが成立する。

(2)∀ａ∈Ｇに対してe・a＝ａ・ｅ=ａを満たす

単位元ｅが存在する。

(3)∀ａ∈Ｇについてａ^-1ａ＝ａａ^-1＝ｅを満たす逆元

ａ^-1が存在する。　の３つです。

　さらに∀ａ,ｂ∈Ｇが交換則:ａ・ｂ＝ｂ・ａを満たす

場合は.(Ｇ,・)は可換群(アーベル群)であるといいます。

そして,特にＧが可換群の場合,可換演算・を＋と書いて

＋を加法,(Ｇ,＋)を加法群と呼ぶことがあり加法群の場合,

単位元を0(ゼロ)と書いて零元と呼びます：

※[半群の定義]:集合Ｓの上に,ある２項演算・が定義され,

結合則を満たすとき,(Ｓ,・)の組を「半群」という。

群とは異なり,単位元の存在,逆元の存在は必ずしも

仮定されない集合です。

(Ⅱ)[環の定義] 集合Ｒの上で乗法(・)と加法(＋)という

２種の２項演算が定義されており,以下の条件を満たすとき

(Ｒ,・,＋)の組を「環(ring)」という。

（1）加法について,(Ｒ,＋)は可換群をなす。このとき,

その単位元を0(ゼロ)と書き零元と呼ぶ。

(2)(Ｒ,・)の乗法については結合則が成立する。

すなわちａ・(ｂ・ｃ)＝(ａ・ｂ)・ｃである。

(3)乗法の単位元ｅが存在する。すなわち,ｅ・ａ

＝ａ・ｅ＝ａが成立する。ただしｅはゼロとは異なる

元である

(4)加法と乗法について分配則が成り立つ。すなわち.

ａ・(ｂ＋ｃ)＝ａ・ｂ＋ａ・ｃである。

特に,Ｒが乗法についても交換則を満たすときは,これ

を「可換環」という。

(Ⅲ)[体の定義]:集合Ｋの上で乗法(・)と加法(＋)という

２種の２項演算が定義されており,加法では(Ｋ,＋)が

可換群をなし,その単位元を0(ゼロ)と書き,零元と呼ぶ。

また,この0を除く集合:Ｋ－{0}は乗法について群を

なし,この乗法群の単位元ｅは1と書くことがある。

このとき,任意のKの元:ａ,ｂ,ｃ∈Ｋについて分配則

ａ・(ｂ＋ｃ)＝a・ｂ＋ａ・ｃが成立するなら,(Ｋ,・,＋)

の組を「体(field)」という。特に乗法についても可換なら

Ｋを「可換体」という。

※以下，乗法については演算記号・を省略します。

※群Ｇの部分集合Ｈが同じ演算で群をなすなら,これを

Ｇの「部分群」という。Ｈ⊂ＧがＧの部分群となるため

の必要十分条件は,∀ａ,ｂ∈Ｈがａ^-1ｂ∈Ｇ,あるいは

ａｂ^-1∈Ｇを満たすことです。

環Ｒの「部分環」,体Ｋの「部分体」についての定義も

部分群と同様です。

※(例):有理数集合Ｑ,実数集合Ｒや複素数集合Ｃは通常

の演算で体をなします。整数集合Ｚや多項式の集合は

環をなします。

※[体Ｋの性質1]任意のａ∈Ｋについてａ0＝0ａ＝0

が成り立つ

(証明)ａの他にｂ∈Ｋを任意に取ると,ａｂ＝ａ(0＋ｂ)

＝ａ0＋ａｂです。ａｂはＫの任意の元なので,これは

ａ0＝0であることを意味します。他方,0ａ＝0も同様

に示すことができます。(証明終わり)。

※[有限体の定義]:

群,環,体の元の個数を「位数」という。体の場合.位数が

有限の体を「有限体」と呼ぶ。また,位数が有限ではない体

を「無限体」という。有限群,有限環についても同様です。

※[有限体の性質]:有限体Ｋがあって,その位数がｑである

とき,ｘがＫの任意の元ならｘ^ｑ＝ｘが成立する。

(証明)ｘ＝0なら自明なのでｘ≠0とします。

Ｋ－{0}は,位数が(ｑ－1)の乗法群をなします。

その任意の元ｘによる巡回集合:＜ｘ＞＝{1,ｘ,ｘ²,…}

は有限群の部分集合なのでｘ^ｋ＝1となる最小の自然数ｋ

が存在するはずです。これを元ｘの位数と呼べば,＜ｘ＞

はｋを位数とする巡回群をなします。これは特に乗法群:

Ｋ-{0}の部分群となるのは明らかです。,それ故,部分群:

＜ｘ＞の位数ｋは.元の乗法群の位数(ｑー1)の約数と

なります。なぜなら,部分群の元の個数はｋですが,それ

と同じ個数ｋの元を持つ剰余類の総和が乗法群:Ｋ－{0}

に一致するため,(剰余類の個数)とｋの積か(ｑ－1)に

等しいことになるからです。したがってｘ^(ｑ－1)＝1であり

ｘ^ｑ＝ｘが成立します。(証明終わり)

※[代数系のその他の必要知識]

群Ｇの部分群をＨとするとき,任意のａ∈Ｇに対して

集合:ａＨ＝{ａｈ∈Ｇ:ｈ∈Ｈ}をＨによる左剰余類.

と呼び,集合:Ｈａ＝{hａ∈Ｇ:ｈ∈Ｈ}を右剰余類

と呼ぶ。Ｈ＝ｅＨを含む全ての剰余類の集合系の総和

は集合Ｇに一致します。左剰余類ａＨとｂＨの積演算

を,(ａＨ)(ｂＨ)＝{ｘｙ∈Ｇ:ｘ∈ａＨ,ｙ∈ｂＨ}で定義

すると,明らかに(ａＨ)(ｂＨ)＝ａｂＨであり,故に,

これもＨについての左剰余類に属します。

そこで,ａ∈ＧをａＨに対応させる自然な写像:

ａ→aＨは１つの「準同型写像」です、

そして剰余類の系:{ａＨ⊂Ｇ:ａ∈Ｇ}は,この元の

積演算で単位元をＨ＝ｅＨとする群をなすことに

なります。この群を「剰余類群」とも呼びます。

右剰余類:Ｈａについても全く同様な議論ができます。

特にａＨ＝ＨａなるときＨを「正規部分群」と呼び,

記号Ｎで表わすことが多いです。Ｎが正規部分群なら

Ｎ＝ａ^-1Ｎａなので「∀ｈ∈Ｎが∀ａ∊Ｇに対して

ａ^-1ｈａ∈Ｎを満たすことと,Nが正規部分群なること

は同値」です。

　そして,部分群Ｈによる左剰余類群,右剰余類群を

総称して単に「剰余類群」または「商群」,「因子群」

とも呼び,これらの集合系の群ををＧ/Ｈで記述します

※[同値関係と同値類]：

集合Ａの２つの元に,関係:～が定義され,Ａの任意

の元ａ,ｂ,ｃ∈Ａに対して次の３つ条件(同値律)を

満たすとき,関係:～を同値関係という。すなわち,

1．反射律:ａ～ａ

２.対称律:ａ～ｂならｂ～ａ

３.推移律:ａ～ｂ,かつ.ｂ～ｃならａ～ｃ

の３条件が同値律です。

さらに.任意のａ∈Ａについて,集合Ｃ(ａ)を

Ｃ(ａ)＝{ｘ∈Ａ:ｘ～ａ}によって定義し,これを同値

関係:～に基づいてａを代表元とする「同値類」という。

すると,Ａはその同値類の総和に一致します。すなわち

Ａ＝∪_ａ∈ＡＣ(a)です。

　そして,ａ～ｂなることと,集合としてＣ(ａ)＝Ｃ(ｂ)

なることは同値であることがわかります。

よってａ～ｂでないなら,Ｃ(ａ)∩Ｃ(ｂ)＝φ(空集合)

であり,Ａ＝∪_ａ∈ＡＣ(ａ)の右辺は直和となります。

つまり,Ａ＝Σ_ａ∈ＡＣ(ａ)と書くことができます。

このように,集合Ａを同値類の総和に分解することを

「同値類別」といいます。

※[剰余類としての同値類]:整数ａ.ｂ∈Ｚの整数ｍを法

とする合同関係ａ≡ｂ(mod ｍ)は,1つの同値関係ａ～ｂ

です。これによる同値類(合同類)は,ｍで割ったときの

剰余:0，1,2...(ｍ－1)が,それぞれ同一であることを

意味するので,これも「剰余類」と呼びます。ｍを法と

する場合.異なるものはｍ個あります。特にａがｍと

互いに素:(ａ,ｍ)＝1の剰余類:Ｃ(ａ)を「既約剰余類」と

いいます。

この剰余類:Ｃ(ａ)は先に群Ｇの部分群Ｈによる剰余類

をａＨやＨａと記して説明したものと同様,Ｃ(ａ)と

Ｃ(ｂ)の積を定義すると(ａＨ)(ｂＨ)＝ａｂＨと同じく,

Ｃ(ａ)Ｃ(ｂ)＝Ｃ(ａｂ)であり,その全体集合は剰余類群

をなします。

※さて,私の1993年９月に始まる参照ノートは,いきなり

この次に書く項目から始まっていたのでて,それ以前の

記述のあるノートがあるかも,と思って探してみました

がありませんでした。

そのころの40歳代頃の私の頭では.今,準備で書いた

ようなことは常識で説明不要の用語だったので,中途

半端なところから開始したのかもしれませんが,今

読み返すと老化や却のせいか,1つ1つ意味不明の事柄

が多く,そこで定義を中心に整理したのが以上です。

※というわけで改めて本論開始です。

第１章:導入(introduction)

※[定理1]:Ｚを整数の集合とする。∀ａ,ｍ∈Ｚに

ついてａとｍが互いに素,つまり.ａ,ｂの最大公約数

がｄ＝(ａ,ｍ)­＝1であるとき,ｘ∈Ｚについて

ａx≡0(mod ｍ)ならｘ≡0(mod ｍ)である。

(証明)(ａ,ｍ)＝1により,あるｐ,ｑ∈Ｚが存在して.

ａｐ＋ｍｑ＝1とできます。そこで∀ｘ∈Ｚに対し,

ａｘｐ＋ｍｘｑ＝ｘが成立します。

それ故,ａx≡0(mod ｍ),つまり,ｍ/(ａｘ)なら,

ｍ/ｘ.つまり,ｘ≡0（mod ｍ）です。(証明終わり)

※[系]Ｃ(ａ)がｍを法とする既約剰余類:のとき，

Ｃ(ａ)Ｃ(ｘ)＝Ｃ(1),となるＣ(ｘ)は,Ｃ(ａ)に対して

一意的(ｕnique)である。

(証明)Ｃ(ａ)Ｃ(ｘ)=Ｃ(1),かつ,Ｃ(ａ)Ｃ(ｙ)＝Ｃ(1)

とすると.ａx≡1(mod ｍ),かつａｙ≡1 (mod ｍ)です。

故に,ａ(ｘ－ｙ)≡0,です。したがって定理1によって

(ｘ－ｙ)≡0,つまり,ｘ≡ｙ(mod ｍ)ですが,これは

Ｃ(ｘ)＝Ｃ(ｙ)を意味します。(証明終わり)

※[定理2]:可換環Ｒの部分環Ｓは可換環である。

(証明)ａ,ｂ,ｃ∊Ｓとする。部分環であるための

条件はａ－ｂ∈Ｓです。ａ,ｂ.ｃが加法,乗法に

ついて結合則,分配則を満たすのは定義から自明。

そして,ａ＋(－ａ)＝0∈Ｓより0∈Ｓであり,それ故,

(－ａ)＝0－ａから,(－ａ)∈Ｓです。

Ｒと同じ乗法で交換則も成立しその単位元ｅも

ＲとＳで共通です。(証明終わり)

※[定理3]:0でない整数ａ,ｂ∈Ｚの最大公約数を

ｄ=(ａ,ｂ)とすると,ａｘ＋ｂｙ＝ｄなるｘ,ｙ∈Ｚ

が存在する。

(証明)整数Ｚの部分集合:Ｉ＝{ａｘ＋ｂｙ:ｘ,ｙ∈Ｚ}

は上下に有界なので最小の正の数が存在します。

それをｃ∈Ｚとしａｘ₁＋ｂｙ₁＝ｃであるとします。

ところが仮定によりｄはａ,ｂの最大公約数ですから,

ｄ/(ａｘ₁＋ｂｙ₁)です。つまり,ｄ/ｃです。

故に,ｄはｃの約数なのでｄ≦ｃです。

他方ａｘ＝ｂｙ＝ｐｃ＋ｑ;ただし0≦ｑ≦(ｃ－1)

と書けば.ａ(ｘ－ｐｘ₁)＋ｂ(ｙ－ｐｙ₁)＝ｑですが

ｃが集合Ｉの最小の正整数でしたから,上式右辺では

ｑはｑ＝0でしかあり得ません。

よって任意のａｘ＋ｂｙがｃで割り切れるので.ｃ/ａ.

かつ,ｃ/ｂであり,ｃはａ,ｂの１つの公約数です。

故にｃ≦ｄもいえます。以上からｃ＝ｄと結論

されます。(証明終わり)

※[系]ａ,ｂが互いに素:(ａ,ｂ)＝1ならａｘ＋ｂｙ＝1

となるｘ,ｙ∈Ｚが存在する。

これの証明は1が最大条約数ｄなので自明です。

前後しますが,これは既に[定理1]の証明に用いました。

※[定理4]：半群Ｓにおいて,∀ａ∊Ｓに対してａｅ＝ａ

を満たす右単位元ｅ∈Ｓが存在し,ａｘ＝ｅを満たす

右逆元ｘ＝ａ^-1∈Ｓが存在するとき,ｅはｅａ＝ａを

満たす左単位元で,ａ^-1はａ^-1ａ＝ｅを満たす左逆元

でもある。

(証明)まず,ａ^-1ａ＝(ａ^-1ａ)ｅ＝ａ^-1ａ{(ａ^-1)(ａ^-1)^-1}

＝ａ^-1(ａａ^-1)(ａ^-1)^-1＝ａ^-1ｅ(ａ^-1)^-1

＝ａ^-1(ａ^-1)^-1＝ｅよりａ^-1ａ＝ｅが得られます。

故に,ｅａ＝（(ａａ^-1)ａ＝ａ(ａａ^-1)＝ａe＝ａ

も成立します。(証明終わり)

※[定理5]:半群Ｇにおいて∀ａ,ｂ∈Ｇに対して

常に,ｘ,ｙ∈Ｇが存在して,ａｘ＝ｂかつ,ｙｂ＝ａ

なるとき,Ｇは群である。

(証明)ｂｘ＝ｂを満たすｘ∈Ｇをとります。また

ｙｂ＝ａとなるｙ∈Ｇをとります。このときａｘ

＝(ｙｂ)ｘ＝ｙｂ＝ａです。したがって,このｘは

∀ａ∈Ｇに対してａｘ＝ａを満たします。

同様にｂｙ₁＝ａ,ｘ₁ｂ＝ｂなら.ｘ₁ａ＝ｘ₁(ｂｙ₁)

＝ｂｙ₁＝ａです。よって,∀ａ∈Ｇに対しｘ₁ａ＝ａ

が成立します。

それ故,ｘ₁ｘ＝ｘ₁＝ｘとなり，これはＧの単位元

とみなせるのでｅと表わすことにします。

次に,∀ａ∈Ｇに対しａｘ＝ｅ,ｙａ＝ｅとなるｘ,ｙ∈Ｇ

が存在します。すると,ｙａｘ­＝ｅｘ＝ｘ,ｙａｘ＝ｙｅ

＝ｙです。故にｘ＝ｙですから,これはａの逆元a^-1に

他なりません。(証明終わり)

※[定理6]：有限半群Ｇが,

(簡約律):ａｘ＝ａｙ⇒ｘ＝ｙ:ｘａ＝ｙａ⇒ｘ＝ｙ

Ｇを満たすならＧは群である。

(証明)Ｇ={ｇ₁,ｇ₂,..ｇ_n}とします。∀ｇ∈Ｇに

対し,簡約律からｇｇ_i＝ｇｇ_jならｇ_i＝ｇ_jです。

それ故,ｇ_i≠ｇ_jならｇｇ_i≠ｇｇ_jですからＧ

はＧ={ｇｇ₁,ｇｇ₂,..ｇｇ_n}とも書けます。

したがって,∀ｂ∈Ｇに対してｂ＝ｇｇ_ｋとなる

ｇ_ｋが存在します。

以上から結局,∀ｇ,ｈ∈Ｇについてｇｘ­＝ｈ

となるｘ∈Ｇが存在します。同様にして,ｙｇ＝ｈを

満たすｙ∈Ｇの存在もいえます。よって[定理4]から

Ｇは群(有限群)です。(証明終わり)

※[定理7]:群Ｇと,その部分群Ｈがある。ｇ₁,ｇ₂∈Ｇ

について左剰余類:ｇ₁Ｈ,ｇ₂Ｈをつくると,

ｇ₁Ｈ∩ｇ₂Ｈ＝φ，またはｇ₁Ｈ＝ｇ₂Ｈのいずれか

である。

(証明)これについては既に準備で説明済みです。

※(左)剰余類は同値律をみたすので同値類の１種です。

※目が見えぬのも含め,ブログを書く情熱も15年前に

56歳で始めたころより明らかに鈍化して惰性に近く

わずかの草稿書きも２週間もかかりました。

　認知症にもならず記憶は鮮明故,50年くらい前の

無用なトラウマ(PTSD?)だけが,過呼吸に似た原因

不明の発作で,ときどき自分んにワルサをするの

煩わしい限りです。

　本論の種本は1つじゃなく既に古書店から食料に

消えたらしく見つかりません。主な参考文献は

おそらく,「代数系入門か代数系の基礎」という

題名の薄い本でしたね。(つづく)