記事リバイバル③(一筆書き(トポロジー)入門)

※再掲載　第3弾！！2008年7/18の過去記事です。

今日は,また,頭の体操です。

　昔,ケーニヒベルクの橋(Königsberg bridge＝seven bridge)という数学の問題がありました。

　「大きな河が流れていて,その中に中州のような島が一つあり,そこから少し下流で２本の河に枝分かれして,その間は陸地になっている。

　その島には両岸から２つずつと,枝分かれした２本の河の間の陸地から１つの合計５つの橋がかかっており,分かれた２本の河にもそれぞれ陸地と岸との間に1つずつ橋があって,合計７つの橋がかかっている。

　この７つの橋をちょうど一回ずつわたる道筋があるのかどうだろうか？」という問題でした。(下図)

　　　　　　　　　　　

 これはスイスのオイラー(Euler)によってはじめて解かれた問題で,これがトポロジー(位相幾何学)という幾何学の始まりであるとされています。

　まあ,「平たく言えばある図形について一筆書きができるかどうか？」という問題です。

　一般に連結した図形,つまりどこかで必ず線でつながっていてところどころ交差した頂点になっているような図形についてのこうした問題はオイラーによって既に結論が出されています。

　こうした図形のどの頂点にも必ず,それにつながる線が何本かあるわけですが,対象としている図形が一筆書きできるものなら,着目した頂点が出発点でも終点でもない場合,それに"つながっている線＝連結線"の数は必ず偶数になります。

　こうした連結線が偶数の頂点を偶頂点と呼びます。

　なぜなら,一筆書きの途中の頂点では必ず,入ってくる線と出ていく線があって,それぞれ１回ずつしか通れない線ですから,それらは同じ本数だけなければならないため,その頂点につながる連結線の合計本数は偶数になるしかないわけです。

　しかし,出発点と終点では,それらがもしも同じ頂点でないなら,必ず入ってくる線か出て行く線かのどちらかが他方より１本多いわけですから,その頂点につながっている連結線の合計本数は奇数になります。

　これは連結線が奇数の頂点＝"奇頂点"です。

　そこで,出発点とか終点であるような頂点(奇頂点)は２つあるか？ またはそれらが一致する場合,つまり１つだけあるか？のどちらかです。

　もしも,１つだけしかない場合は,その頂点でも入ってくる線と出て行く線の数は同数ですから,つながっている連結線の本数は偶数となり,このときは連結線の本数が奇数の頂点の数は まったくないことになります。

　というわけで,一筆書きができるかどうかは,"図に「連結線の本数が奇数である頂点＝奇頂点」の個数がゼロであるか,２であるかのいずれかである。"ということになります。

　今得たのは,この条件が一筆書きができるための必要条件であることの証明ですが,これが十分条件であることもほぼ自明です。

　これでケーニヒスベルクの橋の場合は,奇頂点が４つ,偶頂点がゼロなので一筆書きできないということがわかりました。

　これはオイラーがはじめて証明したことです。(下右図はケーニヒスベルクの橋を模式図にしたものです。)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　これから,オイラー数の公式などに始まるトポロジーという幾何学が生まれ,フランスのポアンカレ(Poincare')などによって発展させられてゆきました。

　解決したとかいうニュースもあったと思うのですが,そうなのかどうかはっきりしないポアンカレ予想（Poincare' conjecture）という問題などが有名なトポロジーの問題として残っています。

　ポアンカレ予想とは「単連結な３次元閉多様体は３次元球面に同相である。」というものです。

　多様体というのは通常のわれわれのユークリッド世界の点,曲線,曲面,立体とかいうものを一般次元でかつ非ユークリッドなものに拡張したものの総称です。もちろん,われわれの目に見える形あるものも多様体の一種です。

　同相あるいは同位相というのは,一方から他方へとある連続写像でお互いに完全に1対１で重なって移すことが可能である,という意味で,合同という概念とは異なり,形や大きさにはこだわらないという特殊な幾何学的概念です。

　単連結なとは,言ってみれば穴が開いていないという意味ですね。また閉多様体であるとはいわゆる閉曲面のように閉じているという意味です。

　われわれの世界の球面は３次元空間の中に埋め込まれた２次元球面であり,３次元球面というのは４次元以上の「空間＝多様体」の中に抽象概念として仮想したものです。

　われわれの単連結な２次元閉曲面が普通の２次元球面と同相なのは一見して明らかなことなので,３次元だと何故むずかしいのかは数学の専門家ではないのでよくわかりません。

参考文献:瀬山士郎 著「トポロジー(柔らかい幾何学)」(日本評論社)

PS:「ポアンカレ予想」はロシアの数学者グレゴリー・ペレルマン(Grigory.Y.Perelman)氏によって2003年に提出されていた証明論文が2006年7月に査読を通過した,ということで解決されました。

分子と点群(2)

　対称性変換群の表現論の続きです。

　(Ｄ,Ｕ)を群Ｇのユニタリな行列表現とすると,シューアの補題(Schur's lemmma)によれば,∀Ｒ^∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔがスカラーであること,つまり∀Ｒ^∈Ｇに対する表現行列Ｄ(Ｒ)と可換な行列Ｔが単位行列の定数倍に限られるということが,Ｄが既約表現であるための必要十分条件であるというところまで書きました。

ユニタリな行列表現(Ｄ,Ｕ)は完全可約であって,表現空間Ｕ,および∀Ｒ^∈Ｇに対する表現行列Ｄ(Ｒ)は既約表現の直和に分解されます。これをＵ＝Σ_αＵ^(α),Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)と書きます。ここではΣ_αは直和を意味する記号とします。

　これから,次の定理が導かれます。

[定理１]:群Ｇのユニタリな既約表現(Ｄ^(α),Ｕ^(α))の表現行列Ｄ^(α)(Ｒ)は次の直交関係:Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_αβδ_ikδ_jlを満たす。

　ここで群Ｇは有限群であると仮定しており,ｇはその位数|Ｇ |です。また,ｄ_αは既約表現(Ｄ^(α),Ｕ^(α))の次元です。つまりＤ^(α)(Ｒ)はｄ_α次の正方行列です。

(証明)Ｂをｄ_α行ｄ_β列の任意の行列とし,同じｄ_α行ｄ_β列の行列ＴをＴ≡Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(Ｒ)によって定義します。

　このとき,Ｒ₁^∈ＧについてＤ^(α)(Ｒ₁)Ｔ＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ₁Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(Ｒ)＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(ＲＲ₁)＝ＴＤ^(β)(Ｒ₁)となります。

　つまり,Ｄ^(α)(Ｒ₁)Ｔ＝ＴＤ^(β)(Ｒ₁)です。

　この等式はＲ₁^∈Ｇを特定して得られたわけではなく,したがって任意のＲ₁^∈Ｇに対して成立するので,シューアの補題により,α≠βの場合,すなわちＤ^(α)とＤ^(β)が同値でない(異値の)既約表現の場合には,Ｔ≡0 です。

　そして,Ｔ＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(Ｒ)＝0 において,Ｂは任意なので成分表示Ｔ_jl＝Σ_m,nΣ_R∈GＤ^(α)_jm(Ｒ^-1)Ｂ_mnＤ^(β)_nl(Ｒ)＝0 において,特にＢ_mn＝δ_miδ_nkとしてこれを代入すればΣ_R∈GＤ^(α)_ji(Ｒ^-1)Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝0 を得ます。

　行列Ｄ^(α)(Ｒ)はユニタリなので,Ｄ^(α)_ji(Ｒ^-1)＝Ｄ^(α)_ji(Ｒ)^＋＝Ｄ^(α)_ij(Ｒ)^*ですが,これはΣ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝0 を意味します。　

　一方,α＝βの場合には,同じくシューアの補題によりＴ＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(α)(Ｒ)＝λIです。

　成分表示Ｔ_jl＝Σ_m,nΣ_R∈GＤ^(α)_jm(Ｒ^-1)Ｂ_mnＤ^(α)_nl(Ｒ)＝λδ_jlにおいて,特にＢ_mn＝δ_miδ_nkを代入すれば,Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(α)_kl(Ｒ)＝λδ_jlを得ます。

　ここで,ｊ＝ｌとして両辺をｊ＝1,2,..,ｄ_αについて加え合わせるとΣ_j=1^dαΣ_R∈GＤ^(α)_ji(Ｒ^-1)Ｄ^(α)_kj(Ｒ)＝Σ_R∈GＤ^(α)_ki(ＲＲ^-1)＝λｄ_αとなります。

　よって,λｄ_α＝ｇδ_ik,:λ＝(ｇ/ｄ_α)δ_ikなので,Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(α)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_ikδ_jlです。(証明終わり)

※(註)実際には,Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる直和分割において,各々のＤ^(α)(Ｒ)が,全て互いに異値であるというわけではなく,α≠βの場合でもＤ^(α)(Ｒ)とＤ^(β)(Ｒ)が同値な場合もあります。

そして,Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる既約表現への直和分解においてＤ^(α)と同値な表現の個数がｍ_αなら,このｍ_αをＤ^(α)の重複度と呼ぶことにします。

これにより表現の直和分割を改めてＤ(Ｒ)＝Σ_αｍ_αＤ^(α)(Ｒ)と書けば,上の定理１の結論である直交性Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_αβδ_ikδ_jlは,Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝{ｇ/(ｍ_αｄ_α)}δ_αβδ_ikδ_jlに変更されます。

　さて,上の定理は群Ｇが回転群のうち角運動量ｌが定まった部分群のような有限群の場合の定理ですが,そうではなくＧが回転群の全体であるような連続群で,それ故無限群の場合には次のように変わります。

[定理２]:(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')を連続群Ｇのそれぞれｍ次,ｎ次のユニタリ行列による既約表現とする。このとき,ＤとＤ'が同値なら∫_Ｇ Ｄ_ij(Ｒ)^*Ｄ'_kl(Ｒ)ｄＲ＝(1/ｍ)δ_ikδ_jl,一方ＤとＤ'が異値なら∫_Ｇ Ｄ_ij(Ｒ)^*Ｄ'_kl(Ｒ)ｄＲ＝0 が成立する。

(略証):Ｂをｍ行ｎ列の任意の行列とし,同じｍ行ｎ列の行列ＴをＴ≡∫_Ｇ Ｄ(Ｒ^-1)ＢＤ'(Ｒ)ｄＲによって定義します。

　以下,Ｇ上の連続関数ｆに対する積分の左不変性∫_Ｇｆ(Ｒ₁^-1Ｒ)ｄＲ＝∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲを用いると,任意のＲ₁^∈Ｇに対して,Ｄ(Ｒ₁)Ｔ＝ＴＤ'(Ｒ₁)なる等式が成立するという結果が得られるので,シューアの補題,および∫_ＧｄＲ＝１から,[定理1]の証明とほぼ同じ手順で[定理２]の結論が得られます。(証明終わり)

　ただし,上記の定理の命題の意味を明確にするためには,Ｇ上の任意の連続関数ｆに対し,"任意のＲ₁^∈Ｇに対して∫_Ｇｆ(Ｒ₁^-1Ｒ)ｄＲ＝∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲが成立する"という積分の左不変性を持ち,∫_ＧｄＲ＝1なる規格化条件を満たす左不変測度と呼ばれるＧ上の測度ｄＲを定義する必要があります。

　そして,こうした測度が定義できるためには位相群Ｇの位相空間としての空間体積が有限であることが必要です。

位相空間の空間体積とは何か?というような抽象的な話に入るのはなるべく避けて,連続群Ｇの例として３次元の合同変換群を挙げます。

この空間の座標パラメーターとして極座標(ｒ,θ,φ);ｒ²≡ｘ²＋ｙ²＋²ｚ²,ｘ＝ｒsinθcosφ,ｙ＝ｒsinθcosφ,ｚ＝ｒcosθを採用することができます。

３次元空間全体の体積は無限大なので平行移動群を含めた全体の合同変換群の体積は∞ なのですが,回転群だけならｒを除いた(θ,φ)だけで事足りるので,これだけなら,体積は∫sinθｄθｄφ＝4π程度です。(0≦θ＜2π,0≦φ＜π)

一方,例えばＧが３次元ポアンカレ群の部分群である３次元ローレンツ群Ｏ(2.1)であれば,極座標(ｒ,θ,φ)はｒ²≡ｃ²ｔ²－ｘ²－ｙ²,ｘ＝ｒsinhθcosφ,ｙ＝ｒsinhθcosφ,ｃｔ＝ｒcoshθです。

形は似ていますが,平行移動群のパラメータｒを除いたローレンツ群の体積は∫sinhθｄθｄφ＝∞ になります。

これは,パラメータ空間として,0≦φ＜πは同じですが,θについては回転群では 0≦θ＜2πなのに対し,ローレンツ群では双曲線関数の定義域なので－∞≦θ＜∞であるからです。

パラメータ空間の体積が有限な連続群をコンパクト群,そうでない群を非コンパクト群といいます。

物理学ではミンコフスキー(Minkowski)空間を解析接続してユークリッド空間とした方が計算しやすいので,時間変数を"複素数に拡張＝解析接続"して複素平面上の虚軸をπ/2だけウィック(Wick)回転する方法があります。

また,統計物理学では,絶対温度Ｔの逆数β≡1/(ｋ_BＴ)を量子力学での虚時間:iｔと同一視する手法が用いられます。

しかし,実際には回転群がコンパクト群であるのに対して,ローレンツ群は非コンパクト群であることに対応してミンコフスキー空間はコンパクト空間でないので,これらの手法の妥当性はみかけほど自明なことではなく,数学的な正しさにとってかなり微妙な手続きです。

さて,Ｇがコンパクト群の場合は全体積が有限なので,全体積で割ることによりｄＲを∫_ＧｄＲ＝1を満たすような体積要素とし,任意の連続関数ｆに対してＳ(ｆ)≡∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲで定義した積分Ｓ(ｆ)が次の４つの基本的性質を満たすようなものが各ｆごとに唯１つ存在します。

積分Ｓ(ｆ)を群Ｇの上の不変積分といい,ｄＲを左不変ハール測度といいます。

そして,Ｓ(ｆ)が満たすべき基本的性質とは,

(ⅰ)Ｓは線型:∀ａ,ｂ∈Ｃと任意の連続関数ｆ,ｇに対してＳ(ａｆ＋ｂｇ)＝ａＳ(ｆ)＋ｂＳ(ｇ)である。

(ⅱ)∀Ｒ^∈Ｇに対しｆ(Ｒ)≧0 ならＳ(ｆ)≧0 である。

特に,∀Ｒ^∈Ｇに対しｆ(Ｒ)≧0 であるが恒等的にｆ(Ｒ)≡0 でないなら,Ｓ(ｆ)＞0 である。

(ⅲ)Ｓは左不変,つまりＲ₁^∈Ｇに対してＬ_R1ｆ(Ｒ)≡ｆ(Ｒ₁^-1Ｒ)とすれば,Ｓ(Ｌ_R1ｆ)＝Ｓ(ｆ)である。

(ⅳ)Ｓ(1)＝1 である。

の４つです。

今,Ｒ_R1ｆ(Ｒ)≡ｆ(ＲＲ₁)と定義しＳ~(ｆ)をＳ~(ｆ)≡Ｓ(Ｒ_R1ｆ)によって定義すれば,Ｓの左不変性からＳ~(Ｌ_R1ｆ)≡Ｓ(Ｒ_R1Ｌ_R1ｆ)＝Ｓ(Ｒ_R1ｆ)＝Ｓ~(ｆ)が成立するので,Ｓ~も左不変です。

証明はしていませんが,左不変な不変積分は一意的であることがわかっているので,Ｓ~＝Ｓです。

結局,∫_Ｇｆ(ＲＲ₁)ｄＲ＝∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲが成立します。よって,左不変積分は右不変でもあります。

この不変測度による不変積分を用いて一般のコンパクト群Ｇ上の関数φ,ψについての"内積＝ユニタリ内積"を＜φ|ψ＞＝∫φ(Ｒ)^*ψ(Ｒ)ｄＲで定義します。

次に,重要な概念である群の表現の指標を定義します。

[定義１]:群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)に対して,χ_D(Ｒ)≡Ｔr{Ｄ(Ｒ)}(∀Ｒ^∈Ｇ)で定義されるＧ上の関数χ_Dをこの表現の指標という。

　すなわち,χ_D(Ｒ)＝Ｔr{Ｄ(Ｒ)}＝Σ_k=1^mＤ(Ｒ)_kkである。(ここでＴrはトレース(対角和)を意味する。ｍは表現Ｄの次数である)

　明らかに,χ_D(Ｉ)＝ｍ(表現の次元)です。

　そして,トレースの性質:Ｔr(Ａ＋Ｂ)＝Ｔr(Ａ)＋Ｔr(Ｂ),Ｔr(ＡＢ)＝Ｔr(ＢＡ)(Ｔr(ＡＢＡ^-1)＝Ｔr(Ｂ))によって,∀Ｒ₁^,Ｒ₂^∈Ｇについてχ_D(Ｒ₂Ｒ₁Ｒ₂^-1)＝χ_D(Ｒ₁),また,２つの表現(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')に対し,これらが同値なら,detＴ≠0 なるＴが存在して∀Ｒ^∈ＧについてＤ'(Ｒ)＝ＴＤ(Ｒ)Ｔ^-1と書けるのでχ_D＝χ_D'です。

　また,２つの表現(Ｄ⁽¹⁾,Ｕ⁽¹⁾),(Ｄ⁽²⁾,Ｕ⁽²⁾)に対しＤ＝Ｄ⁽¹⁾＋Ｄ⁽²⁾(直和)ならχ_D＝χ_D1＋χ_D2が成立します。

[定理３]:(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')をコンパクト群Ｇの２つの既約表現とするとき,ＤとＤ'が同値なら＜χ_D|χ_D'＞＝1,異値なら＜χ_D|χ_D'＞＝0 である。

(証明)コンパクト群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)では,積分が左右不変なので,ｕ₁,ｕ₂∈Ｕの内積＜ｕ₁|ｕ₂＞を＜ｕ₁|ｕ₂＞＝ｕ₁^＋ｕ₂から,＜ｕ₁|ｕ₂＞≡∫_Ｇ{Ｄ(Ｒ)ｕ₁}^＋{Ｄ(Ｒ)ｕ₂}ｄＲに定義し直すと,∀Ｒ₁^∈Ｇについて＜Ｄ(Ｒ₁)ｕ₁|Ｄ(Ｒ₁)ｕ₂＞＝＜ｕ₁|ｕ₂＞が成立するため,Ｄ(Ｒ₁)^＋＝Ｄ(Ｒ₁)^-1が成立するユニタリ表現と考えることができます。

そして,先の定理２の命題:"(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')をＧのそれぞれｍ次,ｎ次のユニタリ行列による既約表現とするとき,ＤとＤ'が同値なら∫_Ｇ Ｄ_ij(Ｒ)^*Ｄ'_kl(Ｒ)ｄＲ＝(1/ｍ)δ_ikδ_jl,一方ＤとＤ'が異値なら∫_Ｇ Ｄ_ij(Ｒ)^*Ｄ’_kl(Ｒ)ｄＲ＝0 が成立する。"から定理の結論が成立することは明らかです。(証明終わり)

先に,定理１の証明のすぐ後で,

"群Ｇが位数;ｇ＝|Ｇ |の有限群の場合に,"Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる既約表現への直和分解においてＤ^(α)と同値な表現の個数がｍ_αなら,これをＤ^(α)の重複度と呼ぶことにします。

これにより表現の直和分割をＤ(Ｒ)＝Σ_αｍ_αＤ^(α)(Ｒ)と書けば,上の定理１の結論である直交性:Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_αβδ_ikδ_jlはΣ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝{ｇ/(ｍ_αｄ_α)}δ_αβδ_ikδ_jl に変更されます。"

と書きました。

群Ｇがｇ＝|Ｇ |＝∞ の連続群で,それもコンパクト群の場合にはＤ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる既約表現への直和分解においてＤ^(α)の次元をｄ_α,重複度をｍ_αとするとき,上の定理１の結論は定理２のそれに変更され,直交性:Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝{ｇ/(ｍ_αｄ_α)}δ_αβδ_ikδ_jlは,"Ｄ^(α)とＤ^(β)が同値なら∫_ＧＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)ｄＲ＝(1/ｄ_α)δ_ikδ_jl,異値なら∫_ＧＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)ｄＲ＝0 である"となります。

このとき,指標χ_D(Ｒ)＝Ｔr{Ｄ(Ｒ)}はχ_D(Ｒ)＝Σ_αｍ_αＴr{Ｄ^(α)(Ｒ)}よりχ_D＝Σ_αｍ_αχ_D(α)ですが,定理３によって＜χ_D(α)|χ_D＞＝ｍ_αを得ます。

さらには＜χ_D|χ_D＞＝Σ_αｍ_α²となります。このことから次の重要な定理が得られます。

[定理４]:(1)(Ｄ,Ｕ)をコンパクト群Ｇの表現とするとき,これが既約表現であるための必要十分条件は＜χ_D|χ_D＞＝1なることである。(2)(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')をコンパクト群Ｇの２つの表現とするときＤとＤ'が同値:Ｄ～Ｄ'であるためにはχ_D＝χ_D'なることが必要十分である。

(証明)(1)は自明ですから(2)のみを証明します。

　まず,χ_D＝χ_D'なら,任意の既約表現Ｄ^(α)に対して＜χ_D(α)|χ_D’＞＝＜χ_D(α)|χ_D＞ですから,χ_D＝Σ_αｍ_αχ_D(α);＜χ_D(α)|χ_D＞＝ｍ_αを意味する表現Ｄ＝Σ_αｍ_αＤ^(α)とＤ'が同値であることは自明です。必要性は既に示されています。(証明終わり)

　さて,例として対象とする群Ｇが２次元の特殊ユニタリ群:ＳＵ(2)である場合を考えてみます。

　すなわち,Ｇ＝ＳＵ(2)≡{ｇ∈ＧＬ(2)|ｇ^＋＝ｇ^-1,detｇ＝1}とします。ただし,ＧＬ(2)は正則な２次の正方行列から成る群です。ここでは行列要素が複素数のＧＬ(2,Ｃ)を仮定しています。

対角成分がａ,ａ^-1(ａ∈Ｃ,ａ≠0)の２次の対角行列をｈ_aと書き,Ｈ≡{ｈ_a∈ＧＬ(2)|ａ∈Ｃ,|ａ|＝1}とします。

Ｈは明らかにＧ＝ＳＵ(2)の部分群です。しかもこれは可換群(アーベル群)であり,１-パラメータ群(ａ＝exp(iα))ですから,Ｕ(1)(絶対値が１の複素数の乗法群)と同型です。

Ｇ＝ＳＵ(2)の任意の元ｇの固有値をａ,ａ^-1(ａ∈Ｃ,|ａ|＝1)とするとｇはあるｋ∈ＳＵ(2)によってｈ_a＝ｋｇｋ^-1,ｈ_a∈Ｈと対角化できます。あるいは,ｇ＝ｋｈ_aｋ^-1,ｈ_a∈Ｈとすることができます。

一般にＵ(1)の幾つかの直積と同型な群をトーラス群といいます。

Ｈがトーラス群かつＧの部分群,すなわちトーラス部分群であってこれを真に含むＧのトーラス部分群が存在しないなら,ＨをＧの極大トーラス部分群といいます。

今のＧがＳＵ(2)の場合には上で定義した２次の対角行列から成る部分群ＨはＳＵ(2)の極大トーラス部分群となっています。

[定理５]:Ｇ＝ＳＵ(2)とする。(1)Ｇの任意の元ｇは極大トーラス群Ｈの元と共役である。(2)ｇ,ｈ∈Ｇに対してｆ(ｈｇｈ^-1)＝ｆ(ｇ)を満たす関数(類関数という):ｆは極大トーラス部分群Ｈの上の値で決まる。すなわち類関数ｆ₁,ｆ₂が∀ｈ∈Ｈに対してｆ₁(ｈ)＝ｆ₂(ｈ)を満たすならばＧの上でｆ₁＝ｆ₂である。

　これの証明は自明なので省略します。

　Ｇ＝ＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)が与えられたとき,指標χ_Dは明らかに１つの類関数ですから,極大トーラス部分群Ｈの上の値だけで決まります。

　今日はここまでにします。

参考文献:山内恭彦,杉浦光夫著「連続群論入門」(培風館)，犬井鉄郎,田辺行人,小野寺嘉孝 著「応用群論」(裳華房),島 和久 著「連続群とその表現」(岩波書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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分子と点群(1)

連続群とその表現というのは,素粒子物理学をはじめ,物理学では多くの分野において重要な論題です。

今回は通常の素朴な非相対論的量子力学をベースにして巨視的物性を左右する微視的単位である分子構造を規定する対称性群としての点群の表現に関連したものを考えます。

１粒子の定常状態の波動関数ψは空間位置ｒの３次元空間におけるスカラー関数ψ(ｒ)で与えられます。

そして,座標系の空間回転の操作Ｒ:ｒ→Ｒｒの下で,この波動関数ψはψ(ｒ)→Ｒ^ψ(ｒ)と変換されるとします。

つまり,座標系の回転Ｒ:ｒ→Ｒｒに対応する関数空間での回転を示すある演算子Ｒ^が存在して,その作用をψ→Ｒ＾ψとするわけです。

このとき,ψが３次元空間におけるスカラーであるということは,空間回転の下で同じ空間位置での波動関数の値は不変であること,つまりＲ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ)なることを意味します。これは,Ｒ^ψ(ｒ)＝ψ(Ｒ^-1ｒ)と同等ですね。

しかし,量子論ではＲ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ)でなくても,一般にγを実数としてＲ^ψ(Ｒｒ)＝exp(iγ)ψ(ｒ)でありさえすれば十分です。

状態を示す状態関数としてのψは,実は位相を無視した射線(ray)という同値類の代表元でしかないというのが波動関数ψの本質的意味です。

(厳密な意味では,必ずしもＲ^ψ(Ｒｒ)＝exp(iγ)ψ(ｒ)ではなくて,Ｒ^ψ(Ｒｒ)＝exp(iγ)ψ^*(ｒ)のような反ユニタリ(anti-unitary)な変換でもかまいませんが。。。)

　しかし,波動関数がスカラーであるという意味を位相因子を無視してＲ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ)であると定義しても,一般性を失なうことはないので以下ではそのように解釈することにします。

　以下では,波動関数ψ(ｒ)が確率振幅を表わす複素数量であるという意味で＜ψ|ψ＞≡∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝１と規格化されている場合に,ψ(ｒ)→Ｒ^ψ(ｒ)がこの規格化条件を破らない物理的に意味がある変換Ｒ^のみを考察の対象とします。

　つまり,＜ψ|ψ＞＝∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝１においてψ(ｒ)の代わりにＲ^ψ(ｒ)＝ψ(Ｒ^-1ｒ)を代入しても,依然としてこの式が成立すると仮定します。すなわち,＜Ｒ^ψ|Ｒ^ψ＞＝∫ｄ³ｒψ^*(Ｒ^-1ｒ)ψ(Ｒ^-1ｒ)＝１とします。

　この条件式は,＜Ｒ^^＋Ｒ^ψ|ψ＞＝det(Ｒ^＋Ｒ)∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝１を意味します。

　Ｒ:ｒ→ＲｒのＲが空間回転を表わす場合,Ｒは実行列なのでＲ^＋＝^tＲであり,また直交行列^tＲＲ＝Ｒ^tＲ＝1ですから,Ｒ^＋Ｒ＝1を満たします。よって,det(Ｒ^＋Ｒ)＝1なので,＜Ｒ^^＋Ｒ^ψ|ψ＞＝)∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝＜ψ|ψ＞です。

　これは,Ｒ^^＋Ｒ^＝1,or Ｒ^^＋＝Ｒ^^-1,つまりＲ^がユニタリ(unitary)であることを意味します。 

ψ→Ｒ^ψなる操作によって変換されたＲ^ψが依然として同じ系の波動関数であるという意味は,任意の観測可能な物理量Ｔ^(エルミート演算子:Ｔ^＝Ｔ^^＋)の期待値＜Ｔ＞＝＜ψ|Ｔ^|ψ＞が,この操作の下で保存されることを意味します。

特にＴ^＝1のときには,ψ→Ｒ^ψなる変換で確率＜ψ|ψ＞が保存されるべきであるという要求となります。これはＲ^^＋Ｒ^＝1,つまりＲ^がユニタリであれば確かに満たされます。

Ｔ^が１ではなくて一般の任意の演算子の場合には,波動関数ψ→Ｒ^ψの変換に伴なって,Ｔ^→Ｒ^Ｔ^Ｒ^^＋＝Ｒ^Ｔ^Ｒ^^-1なるユニタリ変換がなされるなら期待値＜Ｔ＞＝＜ψ|Ｔ^|ψ＞は不変に保たれます。

そこで,以下ではψ→Ｒ^ψと同時に物理量を表わす全ての演算子Ｔ^がＴ^→Ｒ^Ｔ^Ｒ^^-1なる変換を受けるとします。

このことからｒ→Ｒｒなる変換は,ｒを量子力学の位置演算子と見たときにはＲ^ｒＲ^^-1＝Ｒｒを意味します。

そしてＲ,Ｒ^が座標系の回転を表わす場合は空間のベクトル量は全て同じ回転変換を受けるため,運動量を示すｐ^＝－iｈ_c∇なる演算子もＲ^ｐＲ^^-1＝Ｒｐを満たすはずです。

ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π);ｈはプランク定数です。

さて,定常状態のシュレーディンガー(Schrödinger)の波動方程式:Ｈ^ψ(ｒ)＝[－{ｈ_c²/(2ｍ)}∇²＋Ｖ(ｒ)]ψ(ｒ)＝Ｅψ(ｒ)におけるハミルトニアンＨ^≡ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ(ｒ)＝－{ｈ_c²/(2ｍ)}∇²＋Ｖ(ｒ)も量子力学の１つの演算子ですから,ψ→Ｒ^ψなる変換に伴なってＨ^→Ｒ^Ｈ^Ｒ^^＋＝Ｒ^Ｈ^Ｒ^^-1なる変換を受けます。

特に,Ｒ^ｐＲ^^-1＝Ｒｐであり,これのエルミート共役を取ると,Ｒ^ｐ^＋Ｒ^^-1＝ｐ^＋Ｒ^-1ですが,ｐ^＋＝ｐなので,これはＲ^ｐＲ^^-1＝ｐＲ^-1を意味します。

この最後の等式の両辺にＲ^ｐＲ^^-1＝Ｒｐを右から掛けると,Ｒ^ｐ²Ｒ^^-1＝ｐ²が得られます。あるいはＲ^∇²Ｒ^^-1＝∇²です。

また,Ｒ^Ｖ(ｒ)Ｒ^^-1＝Ｖ(Ｒ^ｒＲ^^-1)＝Ｖ(Ｒｒ)ですが,もしもポテンシャルＶ(ｒ)がクーロンポテンシャルのようにｒ＝|ｒ|のみに依存するような球対称な中心力場Ｖ(ｒ)＝Ｖ(ｒ)であれば,Ｒｒ＝ｒですからＲ^Ｖ(ｒ)Ｒ^^-1＝Ｖ(ｒ)となります。

そこで,球対称な中心力場の場合には,結局Ｒ^Ｈ^Ｒ^^-1＝Ｈ^,またはＲ^Ｈ^＝Ｈ^Ｒ^が成立します。

　今までは系の対称性変換という概念の導入のため,Ｒ:ｒ→Ｒｒ,ψ(ｒ)→Ｒ^ψ(ｒ)なる操作Ｒ,Ｒ^を座標系の空間回転に特殊化して考えましたが,以下では演算操作Ｒ,Ｒ^は必ずしも座標系の空間回転である必要はなくて,Ｒ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ),またはＲ^ψ(ｒ)＝ψ(Ｒ^-1ｒ)を満たす任意の変換であるとします。

しかし,特にＲ^が座標系の空間回転操作を表わす場合,こうした回転操作全体の集合をＧとすると,これは回転群という変換群をなすことが知られています。

逆に,Ｇを必ずしも回転群とは限らない一般の変換群とした場合,系のハミルトニアンＨ^が∀Ｒ^∈Ｇに対してＲ^Ｈ^Ｒ^^-1＝Ｈ^,またはＲ^Ｈ^＝Ｈ^Ｒ^を満たすとき,系は変換群Ｇの下で不変である,または系は変換群Ｇで規定される対称性を持つといいます。

ψがシュレーディンガー方程式Ｈ^ψ＝Ｅψの１つの解ならψはエネルギー固有値Ｅに属するＨ^の固有関数ですが,Ｒ^∈Ｇに対しＲ^Ｈ^＝Ｈ^Ｒなら,Ｈ^Ｒ^ψ＝ＥＲ^ψも成り立つので,Ｒ^ψもまたψと同じエネルギー固有値Ｅに属するＨ^の固有関数です。

そこで,Ｅに属する全ての独立な固有関数をφ_nとし,これらは正規直交化されているとします。

すなわち,Ｈ^φ_n＝Ｅφ_n,＜φ_m|φ_n＞＝δ_{m n}(ｍ,ｎ＝1,2,..,ｄ)とします。φ_nはｄ重に縮退していると仮定しています。(ｄ＝1なら縮退していませんが,１重に縮退していると広義に解釈します。)

Ｒ^Ｈ^Ｒ^^-1＝Ｈ^のとき,∀Ｒ^∈Ｇに対してＲ^φ_nは全てＨ^のＥに属する固有関数なので,φ₁,φ₂,..,φ_dの１次結合で表現されます。

つまり,Ｒ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ)ですね。そして展開係数Ｄ_mn(Ｒ)はφ_nの正規直交性＜φ_m|φ_n＞＝δ_mnにより,Ｄ_mn(Ｒ)＝＜φ_m|Ｒ^|φ_n＞と表わされることがわかります。

さて,Ｇが位相群であるとします。

つまり,Ｇは群でありかつ位相空間であって,対応(ｇ,ｈ)→ｇｈ(ｇ,ｈ∈Ｇ)で与えられる群演算,およびｇ→ｇ^-1なる写像が共に連続であるとします。

Ｕを体Ｋ(ＲまたはＣ)の上のある線型空間(ベクトル空間)とするとき,∀ｇ∈ＧにＵの上の線型変換Ｄ^(ｇ)を対応させる準同型写像Ｄ^:ｇ→Ｄ^(ｇ)を群ＧのＵ上の表現といいます。

Ｕはこの表現Ｄ^の表現空間と呼ばれます。表現Ｄ^において,その表現空間Ｕを明示したいときには,表現Ｄ^を(Ｄ^,Ｕ)と書きます。

表現空間Ｕの次元を群Ｇの表現の次元ということもあります。Ｕの次元が有限値ｎのときには,この表現をｎ次元表現といいます。

ここで,写像Ｄ^:ｇ→Ｄ^(ｇ)が準同型写像であるとは,∀ｇ,ｈ∈Ｇに対してＤ^(ｇｈ)＝Ｄ^(ｇ)Ｄ^(ｈ)が成立することを意味します。

特にｅをＧ の単位元,Ｉ_UをＵ上の恒等変換とすると,Ｄ^(ｅ)＝Ｉ_Uが常に成立します。

群の元Ｒ^とＤ(Ｒ)の対応関係は,一般には１対１とは限らず,通常はｎ対1のような対応(準同型対応)ですが,特に１対１となる場合(同型対応)には,その表現を忠実な表現といいます。

群Ｇの表現(Ｄ^,Ｕ)において,その表現空間Ｕの次元が有限である有限次元表現のとき,Ｕの任意の元にその適当な基底による１次結合の係数のベクトルｃを対応させると,Ｕ上の任意の線型変換Ｔ^はそれと完全に１対１に対応する行列Ｔと同一視できることがわかっています。

以下では,線型空間Ｕそのものではなく,それの基底による成分を並べた数ベクトルをＵの元と同一視した数ベクトル空間もまた同じ記号Ｕで記述します。

この数ベクトル空間としてのＵを表現空間とし,元の表現Ｄ^(ｇ)を行列Ｄ(ｇ)と同一視した(Ｄ^,Ｕ)に同型な表現(Ｄ,Ｕ)を行列表現といい,個々の表現を表わす行列Ｄ(ｇ)を表現行列といいます。

今の場合,Ｈ^φ_n＝Ｅφ_n (ｎ＝1,2,..,ｄ)を満たすφ_nを基底とするｄ次元ベクトル空間をＵとすれば,∀Ｒ^∈Ｇに対してＲ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ)です。

そこで,Ｈ^ψ＝Ｅψを満たす任意のψ∈Ｕがψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_nと表わされるときには,Ｒ^ψ＝Σ_n=1^dｃ_nＲ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_m{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}となります。

それ故,状態ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_n∈Ｕの各々を基底:φ₁,φ₂,．．,φ_dによる展開係数のベクトル:{ｃ_m}＝(ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_d)と同一視すれば,Ｒ^ψ＝Σ_m=1^dφ_m{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}により,Ｒ^ψ∈Ｕはベクトル:{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}＝(Σ_n=1^dＤ_1n(Ｒ)ｃ_n,Σ_n=1^dＤ_2n(Ｒ)ｃ_n,..,Σ_n=1^dＤ_dn(Ｒ)ｃ_n)と同一視されます。

そこで,(ｍ,ｎ)成分がＤ_mn(Ｒ)の行列をＤ(Ｒ)とし,ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_nの展開係数{ｃ_m}＝(ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_d)をｃ≡^t(ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_d)なるｄ次元の列ベクトルと考えれば,ψ→Ｒ^ψとｃ→Ｄ(Ｒ)ｃが等価であることがわかります。

ここで,(φ₁,φ₂,..,φ_d)を行ベクトルと考えてφ≡(φ₁,φ₂,..,φ_d)とすれば,ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_nをψ＝φｃと表現できます。

Ｒ^ψ＝Σ_m=1^dφ_m{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}もまた,Ｒ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃと書けます。

ところで,群Ｇが量子力学系のユニタリ変換から成る変換群を表わす場合,例えばＲ₁^,Ｒ₂^∈Ｇが座標系の回転を表わすような場合には,群の積の演算は波動関数ψにＲ₁^,Ｒ₂^をこの順に続けて作用させること,つまりψ→Ｒ₁^ψ→Ｒ₂^(Ｒ₁^)ψを意味します。

そこで,この場合の群演算は(Ｒ₁^,Ｒ₂^)→Ｒ₂^Ｒ₁^となり,上の位相群Ｇの表現の定義の中で仮定した演算:(ｇ,ｈ)→ｇｈ(ｇ,ｈ∈Ｇ)とは演算の順序が逆になっています。

しかし,こうした演算の順序の違いは定義を少し読み変えれば済む問題です。積の順序の違いなどは本質的なことではありません。

実際,Ｒ₁^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ₁),Ｒ₂^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ₂)より,Ｒ₂^Ｒ₁^φ_n＝Ｒ₂^[Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ₁)]＝Σ_l=1^dφ_k[Σ_m=1^dＤ_km(Ｒ₂)Ｄ_mn(Ｒ₁)]ですから,これは行列としてはＤ(Ｒ₂Ｒ₁)＝Ｄ(Ｒ₂)Ｄ(Ｒ₁)なることを意味します。

そこで,これまで通りＤ:Ｒ→Ｄ(Ｒ)が群Ｇの１つの行列表現を与えるとしても問題ないことがわかります。

次にＧの２つの表現(Ｄ^,Ｕ),(Ｄ'^,Ｖ)があるとします。

もしも,１対１の線型写像Ｔ^:Ｖ→Ｕが存在して∀Ｒ^∈Ｇに対しＴ^Ｄ'^(Ｒ)＝Ｄ^(Ｒ)Ｔ^が成立するときには,Ｄ^とＤ'^は同値な表現である,といいます。一方,同値でない表現は異値であるといいます。

上の２つの表現が(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｖ)で表わされる行列表現の場合なら,ある正則な行列Ｔ(detＴ≠0)が存在して,∀Ｒ^∈Ｇに対しＴＤ'(Ｒ)＝Ｄ(Ｒ)Ｔ,またはＤ'(Ｒ)＝Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔが成立するときＤとＤ'は同値な表現となります。

そして,(Ｄ,Ｕ)と(Ｄ',Ｖ)が同値な表現の場合,明らかに空間ＵとＶの次元は同じです。

φ₁,φ₂,..,φ_dを基底とするベクトル空間をＵとするとき,表現空間Ｕにおける変換群Ｇの表現がＲ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ)で与えられる場合,φ'_n≡Σ_m=1^dφ_mＴ_mnとするとＲ^φ'_n＝Σ_m,k=1^dφ_kＤ_km(Ｒ)Ｔ_mn＝Σ_m,k,j=1^dφ'_jＴ^-1_jkＤ_km(Ｒ)Ｔ_mn,すなわち,Ｒ^φ'_n＝Σ_m=1^dφ'_m{Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔ}_mnと書けます。

Ｄ'(Ｒ)≡Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔと定義して,上のＲ^φ'_n＝Σ_m=1^dφ'_m{Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔ}_mnをＲ^φ'_n＝Σ_m=1^dφ'_mＤ'(Ｒ)_mnに置き換えれば,表現を同値な表現に読み変えるのは,単に同じ表現空間Ｕにおける基底の変換φ₁,φ₂,..,φ_d → φ'₁,φ'₂,..,φ'_dに過ぎないことがわかります。

これをベクトル表示で考えます。

表現(Ｄ,Ｕ)はψ＝φｃのときＲ^ψがＲ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃになることを意味しますが,φ'＝φＴとすればφ＝φ'Ｔ^-1ですから,これを代入するとψ＝φｃ＝φ'Ｔ^-1ｃ,かつＲ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃ＝φ'Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)ｃ＝φ'Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔ(Ｔ^-1ｃ)となります。

したがって,ｃ'≡ Ｔ^-1ｃとおけば,これはψ＝φｃ＝φ'ｃ'のときにＲ^ψがＲ^ψ＝φ'Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔｃ'＝φ'Ｄ'(Ｒ)ｃ'と表現されることと同等です。

この新しい表現:(Ｄ',Ｕ)を,ψ＝φｃのときＲ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃになるという表現(Ｄ,Ｕ)と比較すると,変換(Ｄ,Ｕ)→(Ｄ',Ｕ)は単にφ→φ'なる基底の変換を意味することがわかります。

結局,同値な表現と定義される２つの表現は,表現空間の上の写像として同型であるという意味ですね。

さて,Ｇの２つの表現(Ｄ₁,Ｖ)と(Ｄ₂,Ｗ)があるとき,ＶとＷの直和空間:Ｕ＝Ｖ＋Ｗの上の表現:Ｄ≡Ｄ₁＋Ｄ₂を,ｕ≡ｖ＋ｗ;∀ｖ∈Ｖ,∀ｗ∈Ｖと∀Ｒ^∈Ｇに対し,Ｄ(Ｒ)ｕ＝{Ｄ₁(Ｒ)＋Ｄ₂(Ｒ)}(ｖ＋ｗ)≡Ｄ₁(Ｒ)ｖ＋Ｄ₂(Ｒ)ｗなる線型写像で定義して,この(Ｄ,Ｕ)を表現(Ｄ₁,Ｖ)と(Ｄ₂,Ｗ)の直和表現と呼ぶことにします。

そして,(Ｄ₁,Ｖ)と(Ｄ₂,Ｗ)が行列表現のとき,∀Ｒ^∈Ｇに対し２つの行列Ｄ₁(Ｒ)とＤ₂(Ｒ)を対角線に並べて,それ以外の部分行列を全てゼロと置いた行列を作ります。

これを,Ｄ₁(Ｒ)とＤ₂(Ｒ)の直和行列と呼ぶことにすれば,これは直和表現Ｄ≡Ｄ₁＋Ｄ₂の行列Ｄ(Ｒ)になることがわかります。

そこで,この直和行列をＤ₁(Ｒ)＋Ｄ₂(Ｒ)と書きます。

(Ｄ,Ｕ)を群Ｇの１つの表現とするとき,Ｕの部分空間Ｖが存在して∀Ｒ^∈ＧについてＤ(Ｒ)Ｖ⊂Ｖが成立するとき,ＶをＵのＤ-不変な部分空間,または単にＵの不変部分空間と言います。

群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)がＵ自身と{0}以外にＵのＤ-不変な部分空間を持たないとき,この表現(Ｄ,Ｕ)を既約表現といいます。既約でない表現を可約表現といいます。

また,群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)が可約のとき,特に完全可約であるとは,表現空間Ｕが不変部分空間Ｕ₁,Ｕ₂,..,Ｕ_m (Ｄ(Ｒ)Ｕ_i⊂Ｕ_i for ∀Ｒ^∈Ｇ (ｉ＝1,2,..,ｍ))の直和Ｕ＝Ｕ₁＋Ｕ₂＋..＋Ｕ_mに分解できて,Ｄ_i(Ｒ)Ｕ_i≡Ｄ(Ｒ)Ｕ_i(∀Ｒ^∈Ｇ)によって引き起こされるＤ(Ｒ)のＵ_iへの縮小写像Ｄ_i(Ｒ)による表現(Ｄ_i,Ｕ_i)(ｉ＝1,2,..,ｍ)が全て群Ｇの既約表現になることをいいます。

特に,行列表現(Ｄ,Ｕ)の表現行列が全てユニタリ行列のとき,つまりＤ(Ｒ)^＋＝Ｄ(Ｒ)^-1のときには,この表現をユニタリ表現といいます。

波動関数ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_n＝φｃの作るベクトル空間Ｕの上の対称性変換を考察するとき,この変換の変換群をＧとすると,量子力学においては元々Ｇの任意の元Ｒ^そのものがユニタリ:Ｒ^Ｒ^^＋＝Ｒ^^＋Ｒ^＝1であることが要求されます。

したがって,表現の準同型の性質からＤ(Ｒ)Ｄ(Ｒ^＋)＝Ｄ(Ｒ^＋)Ｄ(Ｒ)＝1よりＤ(Ｒ^＋)＝Ｄ(Ｒ)^-1ですが,陽な行列成分がＤ_mn(Ｒ^＋)＝＜φ_m|Ｒ^^＋|φ_n＞＝＜φ_n|Ｒ^|φ_m＞^*＝Ｄ_nm(Ｒ)^*を満たすので,Ｄ(Ｒ^＋)＝Ｄ(Ｒ)^＋,故にＤ(Ｒ)^＋＝Ｄ(Ｒ)^-1です。

そこで対象とする物理的な変換群の表現は,全てユニタリ表現です。

(Ｄ,Ｕ)が群Ｇのユニタリ表現の場合,これが既約も含めて常に完全可約な表現であることを示すことができます。

以下では,これを証明しますが,そのためにｕ₁,ｕ₂∈Ｕを列ベクトルとして,Ｕの任意の２つの元のユニタリ内積を＜ｕ₁|ｕ₂＞≡ｕ₁^＋ｕ₂で定義しておきます。

(Ｕが先述のＥの固有状態波動関数全体から成る空間の場合,ψ₁＝φｕ₁,ψ₂＝φｕ₂∈Ｕなら,波動関数の内積は＜ψ₁|ψ₂＞＝Σ_m,n=1^dｕ_1m^*ｕ_2n＜φ_m|φ_n＞＝ｕ₁^＋ｕ₂で与えられます。

したがって,線型空間Ｕを波動関数ψ＝φｕの係数ベクトルｕ全体から成る数ベクトル空間と同一視すると,波動関数ψ₁,ψ₂の内積が＜ψ₁|ψ₂＞であることとｕ₁,ｕ₂の内積が＜ｕ₁|ｕ₂＞≡ｕ₁^＋ｕ₂であることは全く同じ意味を持ちます。)

(証明)(Ｄ,Ｕ)をユニタリ表現とします。これが既約ならもちろん完全可約です。しかし,既約でない(＝可約)ならＵでも{0}でもない自明でないＤ-不変な部分空間Ｖ⊂Ｕが存在します。

　このとき,Ｖの直交補空間をＶ^⊥≡{ｗ∈Ｕ|＜ｗ|Ｖ＞＝0}で定義すると,このＶ^⊥もＤ-不変です。

　何故なら,∀ｖ∈Ｖ,∀ｗ∈Ｖ^⊥と∀Ｒ^∈Ｇに対してＤ(Ｒ^-1)ｖ∈Ｖですから,表現のユニタリ性Ｄ(Ｒ)^＋＝Ｄ(Ｒ)^-1＝Ｄ(Ｒ^-1)によって,＜Ｄ(Ｒ)ｗ|ｖ＞＝＜ｖ|Ｄ(Ｒ)ｗ＞^*＝＜ｗ|Ｄ(Ｒ)^＋ｖ＞＝＜ｗ|Ｄ(Ｒ^-1)ｖ＞＝0 から,Ｄ(Ｒ)ｗ∈Ｖ^⊥なることもわかるからです。

ＵがＶとＶ^⊥の直和:Ｕ＝Ｖ＋Ｖ^⊥であることは直交補空間の定義によって明白ですから,結局ＵはＤ-不変な部分空間の直和に書けることがわかりました。そこで,Ｖ,Ｖ^⊥が共に既約なら完全可約性の証明はここで終わりです。

しかし,Ｖ,Ｖ^⊥の一方,または両方が既約でないなら,これらをさらにＤ-不変な部分空間の直和に分解する操作を繰り返せば(Ｄ,Ｕ)は有限次元なので,結局既約な不変部分空間の直和に分解されるはずです。(証明終わり)

さらに,(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの表現の場合に,その既約性を判定する基本定理であるシューアの補題(Schur's lemma)を述べて証明しておきます。

※(シューアの補題):(Ｄ,Ｖ),(Ｄ',Ｗ)を群Ｇの２つの既約表現とするとき,線型写像Ｔ:Ｖ→Ｗが∀Ｒ∈Ｇに対しＤ'(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)を満たすならＴは同型写像か,またはＴ＝0である。

(証明)Ｌ≡KerＴ＝{ｖ∈Ｖ|Ｔｖ＝0}とすると,ｖ∈ＬならＴＤ(Ｒ)ｖ＝Ｄ'(Ｒ)Ｔｖ＝0 なので,Ｄ(Ｒ)ｖ∈ＬですからＬはＤ-不変です。

　ところが(Ｄ,Ｖ)は既約表現なので,これはＬ＝ＶかＬ＝{0}のいずれかであることを意味します。

　Ｌ＝Ｖなら,これはＴ＝0 を意味します。

　したがってＴ≠0 なら,Ｌ＝{0}ですが,これはＴが１対１写像であることを意味します。

　なぜなら,ｖ₁,ｖ₂∈Ｖに対してＴｖ₁＝Ｔｖ₂ならＴ(ｖ₁－ｖ₂)＝0 なのでｖ₁－ｖ₂∈Ｌ＝{0},よりｖ₁＝ｖ₂となるからです。

　一方,Ｄ'(Ｒ)Ｔｖ＝ＴＤ(Ｒ)ｖですから,ＴＶはＤ'-不変ですが,(Ｄ',Ｗ)が既約表現なので,ＴＶ＝ＷかＴＶ＝{0}のいずれかです。

　しかし,Ｔ≠0 ならＴＶ＝{0}では有り得ないのでＴＶ＝Ｗです。すなわち,上への写像です。

　以上からＴはＶからＷへの同型写像か,またはＴ＝0 のいずれかであることが示されました。(証明終わり)

　行列表現では,1つの線型写像Ｔは1つの行列を意味しますが有限次元空間ではＴが同型写像であることとＫerＴ＝{0},またはdetＴ≠0 なることは全て同値です。

　そして,detＴ≠0 なる線型写像Ｔ:Ｖ→Ｗが存在して∀Ｒ∈ＧについてＤ'(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)となることは,表現(Ｄ,Ｖ)と(Ｄ',Ｗ)が同値な表現であることを意味しますから,上記シューアの補題は次のようにも表現できます。

　"(Ｄ,Ｖ),(Ｄ',Ｗ)を群Ｇの２つの既約表現とするとき,ＶからＷへの線型写像Ｔがあって∀Ｒ∈ＧについてＤ'(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)を満たす場合,(1)ＤとＤ'が同値なら,このようなＴは同型写像か,またはＴ＝0である。(2)ＤとＤ'が異値ならこのようなＴはゼロしか有り得ない。"

ですね。

　さらに,(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの複素既約表現の場合,シューアの補題は次のようになります。

※(シューアの補題２):(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの複素既約表現のとき,∀Ｒ∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔはスカラー変換のみである。

　すなわち,∀Ｒ∈Ｇに対してＤ(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)なら,ある複素数λ∈Ｃが存在して,Ｔ＝λＩである。(Iは単位行列,または恒等写像)

(証明)λ∈ＣをＴの１つの固有値とします。すなわち,固有値方程式det(Ｔ－λＩ)＝0 の１つの根であるとします。Ｓ≡Ｔ－λＩと置けばＤ(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)はＤ(Ｒ)Ｓ＝ＳＤ(Ｒ)を意味します。

　そこで先のシューアの補題から行列Ｓはゼロであるか,またはdetＳ≠0なる正則な行列であるかのいずれかですが,固有値方程式det(Ｔ－λＩ)＝0 はdetＳ＝0 そのものですからＳ＝Ｔ－λＩはゼロです。つまりＴ＝λＩです。(証明終わり)

　この定理から,"可換群(アーベル群)の複素既約表現は全て１次元表現である。"という系が得られます。

　なぜなら,(Ｄ,Ｕ)が可換群Ｇの複素既約表現のときは,∀Ｒ₁,Ｒ₂∈Ｇに対してＤ(Ｒ₁)Ｄ(Ｒ₂)＝Ｄ(Ｒ₂)Ｄ(Ｒ₁)ですから,シューアの補題によりＤ(Ｒ)＝λ(Ｒ)Ｉ;λ(Ｒ)∈Ｃと書けます。

　それ故,既約な表現空間Ｕは１次元でなければならないからです。

(Ｄ(Ｒ)＝λ(Ｒ)ＩのＩが２次元以上の単位行列なら,それは可約なことは明らかです。つまり,λ(Ｒ)Ｉは１次元の対角行列(単なる数)の直和行列です。)

　さて,シューアの補題２によりＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔはスカラー変換のみであることは(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの既約表現であるための必要条件であることがわかりましたが,特に(Ｄ,Ｕ)がユニタリ表現のような完全可約な表現の場合には,これは十分条件でもあります。

　すなわち,(Ｄ,Ｕ)が完全可約の場合には,Ｕはその既約なＤ-不変部分空間によって,Ｕ＝Ｕ₁＋Ｕ₂＋..＋Ｕ_mなる形に表わすことができます。

　つまり,Ｕの任意の元ｕはｕ＝ｕ₁＋ｕ₂＋..＋ｕ_m,(ｕ_i∈Ｕ_i,(ｉ＝1,2,..,ｍ))と直和表現できます。

　そこで,この場合にはｕ∈ＵがＴｕ＝λ₁ｕ₁＋λ₂ｕ₂＋..＋λ_mｕ_mに写される線型変換Ｔを作ることが可能ですが,これは明らかに∀Ｒ∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換です。

　しかし,完全可約ならλ₁,λ₂,...λ_mは任意に選ぶことができるので,ｍ≧2,λ₁≠λ₂と選択すればＴはスカラー変換ではありません。

　以上から,結局∀Ｒ∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔがスカラー変換に限られるなら,(Ｄ,Ｕ)は既約表現でなければならないことが示されました。

　つまり,(Ｄ,Ｕ)が完全可約表現,例えばユニタリ表現のときには,Ｄ(Ｒ)(∀Ｒ∈Ｇ)と可換な線型変換Ｔがスカラー変換に限られることが表現が既約表現であるための必要十分条件であることがわかります。

　今日はここまでにします。

参考文献:山内恭彦,杉浦光夫 著「連続群論入門」(培風館),犬井鉄郎,田辺行人,小野寺嘉孝 著「応用群論」(裳華房),島 和久 著「連続群とその表現」(岩波書店)

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相対論の幾何学(第Ⅲ部-4:coffee-break)

相対論の幾何学シリーズの第Ⅲ部リーマン幾何学の続きです。ちょっとここで一休みしてコーヒー・ブレイクです。

リーマン幾何学というよりも,本来の主題である全体としての物理学としての見通しとして相対論のイメージを取り戻したいと思います。

相対論の幾何学シリーズの第Ⅰ部で曲面上の曲線の曲率から直観幾何学的な考察で得られたガウス曲率や平均曲率という比較的素朴な曲面の曲率概念と,第Ⅲ部で得られた計量のある可微分多様体の上のアファイン接続に基づく曲率テンソルの定義を比較してみます。

そのため,第Ⅰ部の復習を兼ねて2008年７月から11月までの「相対論の幾何学(第Ⅰ部)」のシリーズ記事のうちの空間曲面の幾何学関連の記事から適宜抜粋参照して要約します。

まず,３次元空間内の曲面を,平面内の領域Ｄを定義域とする実数パラメータｕ,ｖのベクトル値関数ｒ(ｕ,ｖ)＝(ｘ(ｕ,ｖ),ｙ(ｕ,ｖ),ｚ(ｕ,ｖ)),(ｕ,ｖ)∈Ｄとして定義します。

ただし,ｘ,ｙ,ｚはｕ,ｖで３回連続偏微分可能(Ｃ³-級)であり,２行３列のヤコービ行列:^t(∂ｒ/∂ｕ,∂ｒ/∂ｖ)の階数は２とします。

ｒ(ｕ,ｖ)で,ｖ＝ｂを固定してｕだけを変化させる１パラメータのベクトル値関数ｒ(ｕ,ｂ)は,ｕ＝ａで点ｒ(ａ,ｂ)を通る曲面上の１つの曲線を表わします。そして,この曲線上の点ｒ(ａ,ｂ)における接ベクトルはｒ_u(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｕ)_(a,b)で与えられます。

同様にｕ＝ａを固定した場合の曲線ｒ(ａ,ｖ)上の点ｒ(ａ,ｂ)における接ベクトルはｒ_v(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)で与えられます。

仮定により,行列:^t(∂ｒ/∂ｕ,∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)の階数は２なので,ｒ_u(ａ,ｂ) ≡(∂ｒ/∂ｕ)_(a,b)とｒ_v(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)は１次独立なベクトルです。

　曲面ｒ(ｕ,ｖ)の各点でｒ_uとｒ_vの線形結合ξｒ_u＋ηｒ_vの形で表わされるベクトルを総称して,その点における曲面の接ベクトルといい,接ベクトル全体で張られる平面を接平面といいます。

そして,ｒ_uとｒ_vの外積:ｒ_u×ｒ_vによって,ｅ≡(ｒ_u×ｒ_v)/|ｒ_u×ｒ_v|を定義すると,これは曲面ｒ(ｕ,ｖ)の法単位ベクトルになります。

法ベクトルの直交性を内積で表現する式:(ｒ_u,ｅ)＝0, (ｒ_v,ｅ)＝0 をさらにｕ,ｖで偏微分すると,(ｒ_uu,ｅ)＋(ｒ_u,ｅ_u)＝0, (ｒ_uv,ｅ)＋(ｒ_u,ｅ_v)＝0 ,(ｒ_vu,ｅ)＋(ｒ_v,ｅ_u)＝0 ,(ｒ_vv,ｅ)＋(ｒ_v,ｅ_v)＝0 が得られます。

そして,３つのｕ,ｖの関数Ｌ,Ｍ,ＮをＬ≡(ｒ_uu,ｅ)＝－(ｒ_u,ｅ_u),Ｍ≡(ｒ_uv,ｅ)＝(ｒ_vu,ｅ)＝－(ｒ_u,ｅ_v)＝(ｒ_v,ｅ_u),Ｎ≡(ｒ_vv,ｅ)＝－(ｒ_v,ｅ_v)で定義します。

こうして曲面上の各点で定義した各々の３つのベクトルの組:ｒ_u,ｒ_v,ｅは明らかに１次独立ですから,３次元空間の任意のベクトルは全てこれらを基底とする線形結合で表わすことができます。

例えば,パラメータｕ,ｖによる２階偏導関数ベクトル:ｒ_uu,ｒ_uv,ｒ_vu,ｒ_vvは,ｒ_uu＝Γ^ｕ_uuｒ_uｄ＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,ｒ_uv＝Γ^u_uvｒ_u＋

Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vu＝Γ^u_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vv＝Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅと表わすことができます。

これをガウスの公式といいます。係数のうちのΓをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)といいます。

この各点で,基底ｒ_u,ｒ_v,ｅの代わりに,例えばｅ₁≡ｒ_u/|ｒ_u|,ｅ₂≡{ｒ_v－(ｒ_v,ｅ₁)ｅ₁}/|ｒ_v－(ｒ_v,ｅ₁)ｅ₁|,ｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂で定義されるｅ₁,ｅ₂,ｅ₃を基底にとれば,ｅ₁,ｅ₂が接平面の基底をなし互いに直交する３つの単位ベクトルの系,つまり(ｅ_i,ｅ_j)≡^tｅ_iｅ_j＝δ_ijを満たす正規直交系ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃が得られます。

こうした正規直交系の基底ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃を正規直交標構と呼びます。

接平面の異なる２組の基底{ｒ_u,ｒ_v},{ｅ₁,ｅ₂}は,ある線型結合ｒ_u＝ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂,ｒ_v＝ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂によって関連付けられます。これは(ｉ,ｊ)成分がａ_jⁱの２×２行列Ａ(detＡ≠0)を用いた,(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａなる表現とも解釈できます。

ただし,最後の表現式(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａにおいては,(ｒ_u,ｒ_v),(ｅ₁,ｅ₂)という記号は,これが他のほとんどの場所で表現する内積記号(ｅ_i,ｅ_j)≡^tｅ_iｅ_jetc.ではなく,単に空間ベクトルを並べて書いただけの行列の意味です。右辺の(ｅ₁,ｅ₂)Ａも単に行列としての積です。

ここで,ｕｖ平面上の曲線(ｕ,ｖ)＝(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対応する曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))を考えると,ｄｓに対するこの曲線上の点の微小変位ｄｒは,ｄｕ＝(ｄｕ/ｄｓ)ｄｓ,ｄｖ＝(ｄｖ/ｄｓ)ｄｓを用いた表現ではｄｒ＝ｒ_uｄｕ＋ｒ_vｄｖとなります。

これはまた,ｒ_u＝ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂,ｒ_v＝ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂によって,ｄｒ＝(ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂)ｄｕ＋(ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂)ｄｖ＝(ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ)ｅ₁＋(ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖ)ｅ₂と書けます。

そこで,θ¹≡ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ,θ²≡ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖと定義すれば,ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂となってｄｒをｅ₁,ｅ₂の線型結合の形で表わせます。

そして,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上で多様体の計量ｄｓ²に相当する量は,曲面ｒ(ｕ,ｖ)の第１基本形式Ｉ≡(ｄｒ,ｄｒ)＝^tｄｒｄｒで定義されます。ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂を代入すると I＝θ¹θ¹＋θ²θ²とも書けます。

また,ｄｒ＝ｒ_uｄｕ＋ｒ_vｄｖなる表現からは,Ｉ≡Ｅ(ｄｕｄｕ)＋2Ｆ(ｄｕｄｖ)＋Ｇ(ｄｖｄｖ)となります。ここに,Ｅ≡(ｒ_u,ｒ_u)＝^tｒ_uｒ_u,Ｆ≡(ｒ_u,ｒ_v)＝^tｒ_uｒ_v,Ｇ≡(ｒ_v,ｒ_v)＝^tｒ_vｒ_vです。

つぎに,曲面の曲率概念を定義します。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対して,ｒ'(ｓ)＝ｄｒ/ｄｓはｒ(ｓ)の接ベクトルなので,点ｒ(ｓ)において曲面ｒ(ｕ,ｖ)に接しています。

しかし,ベクトルｒ"(ｓ)＝ｄ²ｒ/ｄｓ²は一般に曲面ｒ(ｕ,ｖ)の"接平面上のベクトル＝接ベクトル"ではありません。ｒ"(ｓ)の絶対値κ(ｓ)≡|ｒ"(ｓ)|は曲線の曲率と定義されます。

ｒ"(ｓ)を点ｒ(ｓ)での曲面の接ベクトル成分:ｋ_gと法ベクトル成分:ｋ_nの和に分解します。すなわち,ｒ"(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nと書きます。

そして,ｋ_gを曲線ｒ(ｓ)の測地的曲率ベクトル,ｋ_nを法曲率ベクトルと呼びます。

これらの曲率の成分ベクトルのうちで,曲面ｒ(ｕ,ｖ)の接平面に垂直な曲率成分であるｋ_nについて考察します。

ｋ_nは法ベクトルなので,単位法ベクトル:ｅ＝(ｒ_u×ｒ_v)/|ｒ_u×ｒ_v|によって,ｋ_n＝κ_nｅと表現されます。値κ_nを法曲率と呼びます。

これはなおκ_n＝(ｋ_n,ｅ)＝(ｒ"－ｋ_g,ｅ)＝(ｒ",ｅ)＝－(ｒ',ｅ')＝－(ｄｒ/ｄｓ,ｄｅ/ｄｓ)＝－(ｒ_u(ｄｕ/ｄｓ)＋ｒ_v(ｄｖ/ｄｓ),ｅ_u(ｄｕ/ｄｓ)＋ｅ_v(ｄｖ/ｄｓ))≡Ｌ(ｄｕ/ｄｓ)(ｄｕ/ｄｓ)＋2Ｍ(ｄｕ/ｄｓ)(ｄｖ/ｄｓ)＋Ｎ(ｄｖ/ｄｓ)(ｄｖ/ｄｓ)と変形できます。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の１点ｒ₀＝ｒ(ｕ₀,ｖ₀)における任意の単位接ベクトルをｗとすれば,ｗ＝ξｒ_u(ｕ₀,ｖ₀)＋ηｒ_v(ｕ₀,ｖ₀),かつ|ｗ|＝１と書けます。

記号Πを,Π(ｗ)≡Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²によって定義すると,上に定義した法曲率:κ_n(ｓ)はκ_n(ｓ)＝Π(ｒ'(ｓ))と表現されます。

|ｗ|²＝Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²＝１であって,ｗが点ｒ₀を中心とする接平面上の単位円の周上にあるという条件の下で,接ベクトルの法線成分Π(ｗ)＝Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²が如何なるときに最大値,最小値を取るか？という問題を考えます。

この問題は,結局λ(ｗ)≡(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)/(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)なる量λが無条件((ξ,η)≠(0,0))で,最大値,最小値を取る問題と同等なことがわかります。

そして,λ(ｗ)≡(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)/(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)なる式は,Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²－λ(ｗ)(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)＝0,つまりΠ(ｗ)－λ(ｗ)|ｗ|²＝0 なる等式と同値です。

一方,λ(ｗ)が無条件で最大値,最小値を取るための必要条件は∂λ/∂ξ＝0,∂λ/∂η＝0 で与えられます。

そこで,Π(ｗ)－λ(ｗ)|ｗ|²＝0 の両辺をξ,ηで微分し,それぞれ∂λ/∂ξ,∂λ/∂ηをゼロとおけば,(Ｌ－λＥ)ξ＋(Ｍ－λＦ)η＝0,(Ｍ－λＦ)ξ＋(Ｎ－λＧ)η＝0 なる式を得ます。これは,Ｌξ＋Ｍη＝λ(Ｅξ＋Ｆη),Ｍξ＋Ｎη＝λ(Ｆξ＋Ｇη)とも書けます。

これをξ,ηを未知数とする連立１次方程式と考えると,方程式が(ξ,η)≠(0,0)の自明でない解を持つためには,係数の作る行列の行列式がゼロになることが必要十分です。すなわち,(ＥＧ－Ｆ²)λ²－(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋ＬＮ－Ｍ²＝0 が成立する必要があります。

このλの２次方程式の２つの根をλ＝κ₁,κ₂とすると,根と係数の関係からκ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²),(κ₁＋κ₂)/2＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}となります。

そして,Ｋ≡κ₁κ₂,Ｈ≡(κ₁＋κ₂)/2 と定義してＫをガウスの曲率,Ｈを平均曲率と呼びます。

さて,正規直交標構ｅ_iの微分ｄｅ_iも３次元空間のベクトルなので,これらはｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_j,または(ｉ,ｊ)成分がω_jⁱの３×３行列Ωによってｄ(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)＝(ｄｅ₁,ｄｅ₂,ｄｅ₃)＝(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)Ωと表わせます。

ただし,ｄｅ_i＝(∂ｅ_i/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｅ_i/∂ｖ)ｄｖ＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jで,ｄｅ_ｉはｕ,ｖの１次の無限小ですからｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jの係数ω_i^jは全てｄｕ,ｄｖの線型結合で与えられるはずです。

そして,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijより,(ｄｅ_i,ｅ_j)＋(ｅ_i,ｄｅ_j)＝0 です。これとｄｅ_i＝Σ_j=1ω_i^jｅ_jによってω_i^j＋ω_jⁱ＝0 (ｉ,ｊ＝1,2,3)が得られます。つまり,Ωは交代行列であり対角成分は全てゼロです。

ところで,θ¹＝ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ,θ²＝ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖ,すなわち,^t(θ¹,θ²)＝Ａ^t(ｄｕ,ｄｖ)ですが,detＡ≠0 よりＡの逆行列Ａ^-1が存在しますから,この式の両辺に右からＡ^-1を掛ければ,^t(ｄｕ,ｄｖ)＝Ａ^-1t(θ¹,θ²)を得ます。

そして,上で述べたようにω_i^jは全てｄｕ,ｄｖの線型結合で与えられるはずですから,ω_i^jはθ¹,θ²の線型結合で書けます。

例えばｄｅ₃＝ｄｅの係数ω₁³とω₂³であれば,ω₁³＝ｂ₁₁θ¹＋ｂ₁₂θ²,ω₂³＝ｂ₂₁θ¹＋ｂ₂₂θ²,または(ｉ,ｊ)成分がｂ_ijの２×２行列Ｂで ^t(ω₁³,ω₂³)＝Ｂ^t(θ¹,θ²)と書けます。

ｄｅ₃＝ｄｅ＝ｅ_uｄｕ＋ｅ_vｄｖの両辺とｒ_uの内積を取れば(ｄｅ₃,ｒ_u)＝(ｅ_u,ｒ_u)ｄｕ＋(ｅ_v,ｒ_u)ｄｖ＝(ω₃¹ｅ₁＋ω₃²ｅ₂,ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂)＝ω₁³ａ₁¹＋ω₂³ａ₁²が成立します。

同様に,(ｄｅ₃,ｒ_ｖ) ＝(ｅ_u,ｒ_v)ｄｕ＋(ｅ_v,ｒ_v)ｄｖ＝ω₁³ａ₂¹＋ω₂³ａ₂²も成り立ちます。

そこで,行列Ｓ≡^t(ｅ_u,ｅ_v)(ｒ_u,ｒ_v)を作ると,これらの関係式はＳ^t(ｄｕ,ｄｖ)＝^tＡ^t(ω₁³,ω₂³)と書けます。

これに,^t(ω₁³,ω₂³)＝Ｂ^t(θ¹,θ²)を代入すると,Ｓ^t(ｄｕ,ｄｖ)＝^tＡ^t(ω₁³,ω₂³)＝^tＡＢ^t(θ¹,θ²)＝^tＡ^tＢＡ^t(ｄｕ,ｄｖ)ですから,変数ｄｕ,ｄｖの独立性によって,Ｓ＝^tＡＢＡであることがわかります。

それ故,Ｓ＝^tＡＢＡ,つまり^tＳ＝^tＡ^tＢＡですからＳの対称性:^tＳ＝ＳとdetＡ≠0 から,Ｂの対称性^tＢ＝Ｂが得られます。

対称行列の性質から実行列Ｂの２つの固有値は共に実数であることがわかります。

これらのＢの固有値が先に定義した曲線ｒ(ｕ,ｖ)の主曲率κ₁,κ₂に一致します。これは次のようにしてわかります。

まず,Ｓ＝^tＡＢＡによりＢ＝^t(Ａ^-1)ＳＡ^-1＝ＡＡ^-1t(Ａ^-1)ＳＡ^-1＝Ａ(^tＡＡ)^-1ＳＡ^-1なので,Iを単位行列とする固有値方程式det(Ｂ－λＩ)＝0 において,Ｂ－λＩ＝Ａ{(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}Ａ^-1と書けます。そこで,方程式:det(Ｂ－λＩ)＝0 はdet{(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}＝0 等価な方程式です。

ところが,行列で表わした等式:(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａから^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)＝^tＡ^t(ｅ₁,ｅ₂)(ｅ₁,ｅ₂)Ａであり,しかも正規直交性:^tｅ_iｅ_j＝δ_ijにより^t(ｅ₁,ｅ₂)(ｅ₁,ｅ₂)＝Iですから,^tＡＡ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)が成立します。

また,Ｅ＝^tｒ_uｒ_u,Ｆ＝^tｒ_uｒ_v,Ｇ＝^tｒ_vｒ_vですから^tＡＡ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)は１行目が(Ｅ,Ｆ)＝(^tｒ_uｒ_u,^tｒ_uｒ_v),２行目が(Ｆ,Ｇ)＝(^tｒ_uｒ_v,^tｒ_vｒ_v)の対称行列です。

それ故,^tＡＡの逆行列(^tＡＡ)^-1は１行目が(ＥＧ－Ｆ²)^-1(Ｇ,－Ｆ),２行目が(ＥＧ－Ｆ²)^-1(－Ｆ,Ｅ)の行列になります。

したがって,行列(ＥＧ－Ｆ²){(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}は１行目が((ＧＬ－ＦＭ)－(ＥＧ－Ｆ²)λ,ＧＭ－ＦＮ),２行目が(－ＦＬ＋ＥＭ,(－ＦＭ＋ＥＮ)－(ＥＧ－Ｆ²)λ)の行列です。

以上から,行列Ｂの固有値λを求める方程式:det(Ｂ－λＩ)＝0 に同等な方程式:det[(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ]＝0 が,(ＥＧ－Ｆ²)²λ²－(ＥＧ－Ｆ²)(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋(ＧＬ－ＦＭ)(－ＦＭ＋ＥＮ)－(ＧＭ－ＦＮ)(－ＦＬ＋ＥＭ)＝0 なる形であることがわかります。

左辺の最後の２項から成る定数項は(ＥＧ－Ｆ²)(ＬＮ－Ｍ²)と因数分解されますから,結局,ＥＧ－Ｆ²≠0 の場合には,(ＥＧ－Ｆ²)λ²－(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋ＬＮ－Ｍ²＝0 なる方程式と同値になります。

これは正に,先に記述した主曲率κ₁,κ₂を２つの解とするλの２次方程式に一致しています。

以上で,行列Ｂの２つの実数固有値が主曲率κ₁,κ₂になることが示されました。

そこで,ガウスの曲率はＫ＝κ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁,平均曲率はＨ＝(κ₁＋κ₂)/2＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}＝(1/2)traceＢ＝(1/2)(ｂ₁₁＋ｂ₂₂)となることがわかります。

さらに,ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂＝(ｅ₁,ｅ₂)^t(θ¹,θ²),ｄｅ₃＝(ｅ₁,ｅ₂)^t(ω₃¹,ω₃²)＝－(ｅ₁,ｅ₂)^t(ω₁²,ω₂³)＝－(ｅ₁,ｅ₂)Ｂ^t(θ¹,θ²)より,κがＢの固有値でＢｗ＝κｗを満たすならｄｅ₃＝－κ(ｅ₁,ｅ₂)ｗ,つまりｄｅ₃＝－κｄｒとなります。

そこで,正規直交標構を用いた表現では行列Ｂの２つの固有値が主曲率κになるということの意味も明白ですね。

さて,これらのことを２変数の場合の外微分形式,または単に微分形式による表現によって記述すると大体次のように要約されます。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上でｄｒ＝(ｄｘ,ｄｙ,ｄｚ)を微分１形式としてｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂と書けば,ポアンカレ(Poincare)の補題によって,これの外微分はゼロです。

つまり,ｄ(ｄｒ)＝(ｄ(ｄｘ),ｄ(ｄｙ),ｄ(ｄｚ) )＝0 ですから,0＝ｄθ¹ｅ₁－θ¹∧ｄｅ₁＋ｄθ²ｅ₂－θ²∧ｄｅ₂＝ｄθ¹ｅ₁－θ¹∧(Σ_j=1³ω₁^jｅ_j)＋ｄθ²ｅ₂－θ²∧(Σ_j=1³ω₂^jｅ_j),すなわち(ｄθ¹－Σ_i=1²θⁱ∧ω_i¹)ｅ₁＋(ｄθ²－Σ_i=1²θⁱ∧ω_i²)ｅ₂－(Σ_i=1²θⁱ∧ω_i³)ｅ₃＝0 となります。

ここでｅ₁,ｅ₂,ｅ₃は１次独立なので,ｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2),Σ_i=1²θⁱ∧ω_i³＝0 なる表式が得られます。

このうち,ｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2)は第１構造式と呼ばれます。そしてω₁^jの作る行列Ωは交代行列なので,これはｄθ¹＝θ²∧ω₂¹,ｄθ²＝θ¹∧ω₁²を意味します。

一方,ω₁³＝ｂ₁₁θ¹＋ｂ₁₂θ²,ω₂³＝ｂ₂₁θ¹＋ｂ₂₂θ²,すなわちω_i³＝Σ_i=1²ｂ_ijθ^jなる展開式を仮定してΣ_i=1²θⁱ∧ω_i³＝0 に代入すればΣ_i,j=1²ｂ_ijθⁱ∧θ^j＝0 を得ます。

これは,(ｂ₁₂－ｂ₂₁)θ¹∧θ²＝0 ,つまりｂ₁₂＝ｂ₂₁を意味しますから,行列Ｂ＝{ｂ_ij}が対称行列なることが再確認されました。

次にｄ(ｄｅ_i)＝0 なる等式にｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jを代入します。

ｅ_iは 0次微分形式,ω_i^jは１次微分形式なので,これからΣ_j=1³(ｄω_i^jｅ_j－ω_i^j∧ｄｅ_j)＝Σ_k=1³(ｄω_i^k－Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^k)ｅ_k＝0 が得られます。それ故,ｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^kなる式成立します。

特に,ｋ＝1,2,つまり接平面成分を考え,ｉ=1,2の場合にはω_i³＝Σ_j=1²ｂ_ijθ^j (ｉ＝1,2)を考慮することでｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋ω_i³∧ω₃^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋ω_k³∧ω_i³＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋Σ_h,j=1²ｂ_khｂ_ijθ^j∧θ^jを得ます。

すなわち,ｄω_i^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋(1/2){Σ_h,j=1²(ｂ_khｂ_ij－ｂ_kjｂ_ih)θ^j∧θ^j} (ｉ,ｋ＝1,2)なる表現式が得られます。

ところが前述したように,ω_i^k(ｉ,ｋ＝1,2)で作られる行列Ωは交代行列なので唯一の独立成分として例えばω₂¹だけ考えれば十分です。

この,ω₂¹については,ｄω₂¹＝Σ_j=1²ω₂^j∧ω_j¹＋(1/2){Σ_h,j=1²(ｂ_1hｂ_2j－ｂ_1jｂ_2h)θ^j∧θ^j}＝(ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁)θ¹∧θ²＝(detＢ)θ¹∧θ²となります。

既に,ガウスの曲率Ｋ≡κ₁κ₂が,Ｋ＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁で与えられることがわかっているので,ｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ²と書けることがわかります。これは第２構造式と呼ばれるものです。

いずれにしろ,ガウスの曲率がＫ＝κ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁で与えられることは,定式化によらず同じですが,Ｋが一般の多様体上の曲率テンソルＲと如何なる関係にあるのだろうか?という本記事の主題である疑問について論じるためには,もっと別の切り口の考察にも頼る必要があります

そのために,直接一般相対論での曲がった４次元時空の上の粒子の運動を,２次元の曲面上に束縛された粒子の運動と同一視して比較することを考え,平面座標を示すパラメータ(ｕ,ｖ)を(ｕ¹,ｕ²)と表記して曲面ｒ(ｕ,ｖ)をｒ(ｕ¹,ｕ²)と書き直すことから議論を始めます。

まず,接平面の基底をなす接ベクトルｒ_u≡(∂ｒ/∂ｕ),ｒ_v≡(∂ｒ/∂ｖ)をｒ_,i≡(∂ｒ/∂ｕⁱ)(ｉ＝1,2)と書きます。

一般の接平面上のベクトルを示す線型結合:ξｒ_u＋ηｒ_vも,パラメータξ,ηをξⁱ(ｉ＝1,2)と添字表現にすることで,ξⁱｒ_,i≡ξ¹ｒ_,1＋ξ²ｒ_,2,またはξⁱ(∂ｒ/∂ｕⁱ)≡ξ¹(∂ｒ/∂ｕ¹)＋ξ²(∂ｒ/∂ｕ²)と書き直します。

Ｅ≡(ｒ_u,ｒ_u)＝ｒ_u²,Ｆ≡(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｒ_v,ｒ_u),Ｇ≡(ｒ_v,ｒ_v)＝ｒ_v²なるいわゆる計量の表記も,通常の表記ｇ_ij≡(ｒ_,i,ｒ_,j)＝(∂ｒ/∂ｕⁱ,∂ｒ/∂ｕ^j)(ｉ,ｊ＝1,2)に変更します。

すると,接ベクトルξⁱｒ_,i＝ξⁱ(∂ｒ/∂ｕⁱ)の長さの平方(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)は,ｇ_ijξⁱξ^jと書けます。

相対論の記法に慣れているなら,空間計量の表現としてｄｓ²＝ｇ_ijｄξⁱｄξ^jと表わす方が馴染み深いですね。

さらに,ガウスの公式ｒ_uu＝Γ^ｕ_uuｒ_u＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,ｒ_uv＝Γ^u_uvｒ_u＋Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vu＝Γ^u_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vv＝Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅは,ｒ_,ij＝∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_Ijｅなる表現に変わります。

ここで,Γ^ｕ_uu＝(ｒ_uu,ｒ_u)/(ｒ_u,ｒ_u),Γ^v_uv＝(ｒ_uv,ｒ_v)/(ｒ_v,ｒ_v),..etc.を,Γ^k_ij＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j,∂ｒ/∂ｕ^l)/(∂ｒ/∂ｕ^k,∂ｒ/∂ｕ^l )＝ｇ_kl^-1(∂ｇ_li/∂ｕ^j)＝(ｇ_kl^-1/2)(∂ｇ_li/∂ｕ^j＋∂ｇ_lj/∂ｕⁱ)なる表現に変えています。

一般相対論でのレビ・チビタ接続(Levi-Civita接続)の係数としてのクリストッフェル記号は,Γ^σ_μν＝{σ,μν}＝(ｇ^σρ/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν,ρ);(ｇ^μν)≡(ｇ_μν)^-1で与えられます。

これは,一般座標{ｘ^μ}と局所ローレンツ系の座標{Ｘ^μ}による表現ではΓ^σ_μν＝(∂ｘ^σ/∂Ｘ^ρ)(∂²Ｘ^σ/∂ｘ^μ∂ｘ^ν)です。

そこで,座標系の次元としてｒが３次元,{ｕⁱ}が２次元で,第３の次元による拘束力によって"曲面＝２次元多様体"の上に束縛されていて３次元目を無視するという見方をします。

これは,相対論そのものとは少し異なりますが,空間曲面の位置ベクトルｒを一般座標{ｘ^μ},パラメータ{ｕⁱ}を局所ローレンツ系{Ｘ^μ}と同一視すると,{Γ^k_ij}(ｉ,ｊ,ｋ＝1,2)が４次元時空でのクリストッフェル接続の係数{Γ^σ_μν}と全く同じ意味を持つとしてよいとわかります。　

さて,こうした認識の下で,行列:Ｐ≡(ｒ_u,ｒ_v)を定義しこれをｕ,ｖで１,２回微分する演算を考えてみます。

まず,∂_uＰ＝(ｒ_uu,ｒ_uv)＝(Γ^ｕ_uuｒ_u＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,Γ^u_uvｒ_u＋Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ),∂_vＰ＝(ｒ_vu,ｒ_vv)＝(Γ^ｕ_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅ)です。

これに,左から^tＰ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)を掛けると,法ベクトルｅとの直交性から,^tＰ(∂_uＰ)は１行目が(ＥΓ^ｕ_uu＋ＦΓ^v_uu, ＥΓ^u_uv＋ＦΓ^v_uv),２行目が(ＦΓ^ｕ_uu＋ＧΓ^v_uu,ＦΓ^u_uv＋ＧΓ^v_uv)の行列,また,^tＰ(∂_vＰ)は１行目が(ＥΓ^ｕ_vu＋ＦΓ^v_vu,ＥΓ^u_vv＋Γ^v_vvＦ),２行目が(ＦΓ^ｕ_vu＋ＧΓ^v_vu,ＦΓ^u_vv＋ＧΓ^v_vv)の行列になります。

これも添字表記で,Ｐ≡(∂ｒ/∂ｕ¹,∂ｒ/∂ｕ²)とすると,ｇ_ij≡(∂ｒ/∂ｕⁱ)(∂ｒ/∂ｕ^j),∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_ijｅなので,∂_iＰ＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ¹,∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ²)＝(Γ^k_i1(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_i1ｅ,Γ^k_i2(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_i2ｅ)という表式になります。

そして,これに左から^tＰ＝^t(∂ｒ/∂ｕ¹,∂ｒ/∂ｕ²)を掛けると,^tＰ(∂_iＰ)は１行目が(ｇ_1kΓ^k_i1,ｇ_1kΓ^k_i2),２行目が(ｇ_2kΓ^k_i1,ｇ_2kΓ^k_i2)の行列になります。

そこで,(ｋ,ｌ)成分がΓ^k_ilの行列をΓ_iと書くことにすれば,∂_iＰ＝ＰΓ_i＋(ｈ_i1ｅ,ｈ_i2ｅ)となります。そこで,^tＰ(∂_iＰ)＝ｇΓ_iです。

したがって,∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝∂_i{^tＰ(∂_jＰ)}－∂_j{^tＰ(∂_iＰ)}＝^t(∂_iＰ)(∂_jＰ)－^t(∂_jＰ)(∂_iＰ)を得ます。

ここで,∂_iＰ＝ＰΓ_i＋(ｈ_i1ｅ,ｈ_i2ｅ),ｇ＝^tＰＰであり,ｇは対称行列:^tｇ＝ｇですから,^t(∂_iＰ)(∂_jＰ)－^t(∂_jＰ)(∂_iＰ)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂となります。

Ｊ₂は１行目が(0,1),２行目が(-1,0)の２×２交代行列です。

したがって,結局∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂なる表現の等式が得られます。

一方,同じくｇ＝^tＰＰ,^tｇ＝ｇより,これを微分すると∂_iｇ＝^t(∂_iＰ)Ｐ＋^tＰ(∂_iＰ)＝^tΓ_iｇ＋ｇΓ_iですから,これによってさらに∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇ＋ｇΓ_i)Γ_j＋ｇ∂_iΓ_j－(^tΓ_jｇ＋ｇΓ_j)Γ_i－ｇ∂_jΓ_i＝ｇ(∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_i)＋(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)なる等式を得ます。

そこで,４つの２次行列Ｒ_ij(ｉ,ｊ＝1,2)を,Ｒ_ij≡∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_iと定義すれば,上の式は∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝ｇＲ_ij＋(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)と簡単になります。

この等式の右辺を,すぐ前に求めた等式∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂の右辺に等置すれば,ｇＲ_ij＝(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂なる式が得られます。

すなわち,ｇＲ₁₁＝ｇＲ₂₂＝0,ｇＲ₁₂＝－ｇＲ₂₁＝(ｈ₁₁ｈ₂₂－ｈ₁₂ｈ₂₁)Ｊ₂＝(detｈ)Ｊ₂なる具体的表式が得られます。

一方,ガウスの曲率ＫはＫ＝κ₁κ₂＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)と表現されますから,Ｅ＝ｇ₁₁,Ｆ＝ｇ₁₂＝ｇ₂₁,Ｇ＝ｇ₂₂によってＥＧ－Ｆ²＝detｇです。

Ｌ＝ｈ_11,Ｍ＝ｈ₁₂＝ｈ₂₁,Ｎ＝ｈ₂₂によって,ＬＮ－Ｍ²＝detｈなる置換を行えば.これら相対論的表記ではＫ＝detｈ/detｇに帰着することがわかります。

こうして,結局,ｇＲ₁₂＝－ｇＲ₂₁＝(detｇ)ＫＪ₂,Ｒ₁₁＝Ｒ₂₂＝0 なる最終的な関係式を得ることができました。

そして行列ｇＲ_ijの(ｍ,ｋ)成分は(ｇＲ_ij)_ml＝ｇ_mkＲ^k_ijlです。

これの右辺のテンソル成分を示すＲ^k_ijlは,Ｒ_ij≡∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_iによって,３次元空間への埋め込みと考えられる曲面を２次元多様体と同一視したときのリーマン・クリストッフェルの曲率テンソル成分に一致します。

以上から,多様体のリーマンの曲率テンソル{Ｒ^σ_λμν}は,確かに２次元曲面の素朴な曲がり具合を示すガウスの曲率Ｋの自然で直線的な拡張であることが示されました。

これで今日のコーヒー・ブレイクは終わりにします。

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション),杉田勝美,岡本良夫,関根松夫 共著「理論物理のための微分幾何学」(森北出版),大森英樹 著「力学的な微分幾何」(数学セミナー増刊[8](1980))(日本評論社)

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相対論の幾何学(第Ⅲ部-3)(リーマン幾何学(3))

相対論の幾何学シリーズ第Ⅲ部リーマン幾何学の続きです。

まず,前回の記事の最後の部分で与えたアファイン接続(affine connection;アフィン接続)の定義を再掲するところから始めます。

※(再掲開始)

[定義Ⅲ.3]アファイン接続∇とは,(Ｘ^,Ｙ^)に∇_XＹ^を対応させる１つの写像∇:Ｘ(Ｍ)×Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)であって次の条件を満たすものをいう。ここでＸ(Ｍ)は多様体Ｍ上のベクトル場の全体を指す。

　満たすべき条件とは,∀Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^∈Ｘ(Ｍ),およびＭ上の任意関数ｆに対して,∇_X(Ｙ^＋Ｚ^)＝∇_XＹ^＋∇_XＺ^,∇_(X+Y)Ｚ^＝∇_XＺ^＋∇_YＺ^,∇_fXＹ^＝ｆ∇_XＹ^,∇_X(ｆＹ^)＝Ｘ^[ｆ]Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^が成立することである。

　Ｍ上で座標ｘ＝φ(ｐ)を持つチャート(Ｕ,φ)を選びｍ³個の接続係数と呼ばれる変数Γ≡{Γ^λ_νμ}を∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μ＝ｅ_λΓ^λ_νμで定義します。ただし,{ｅ_μ}＝{∂/∂ｘ^μ}はＴ_p(Ｍ)の座標基底です。

　こうしてアファイン接続∇の基底ベクトル{ｅ_μ}への作用∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μが定義されれば,∇の任意のベクトルへの作用が計算可能です。

　例えばＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)に対して,∇_ＶＷ^＝Ｖ^μ∇_eμ(Ｗ^νｅ_ν)＝Ｖ^μ{ｅ_μ[Ｗ^ν]＋Ｗ^ν∇_eμｅ_ν}＝Ｖ^μ(∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λとなります。

　右辺における因子は先に直感的に得られた共変微分に形が一致していますね。

　そこで,∇_μＷ^λ≡∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μνとおけば,アファイン接続∇は２つのベクトルＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)を新しいベクトル∇_ＶＷ^＝Ｖ^μ(∂Ｗ^ν/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λに移し,これのλ番目の成分がＶ^μ∇_μＷ^λで与えられることになります。

　∇_ＶＷ^はＬ_VＷ^＝[Ｖ^,Ｗ^]とは異なってＶ^の微分を含みませんから,この意味で共変微分は関数の方向微分のテンソルへの一般化になっています。(再掲終わり)※

さて,上のアファイン接続∇の定義は,ベクトル場に対するもので,これは直感的ではないベクトル場への方向微分の拡張という形での共変微分を与えるものです。

しかし,まだスカラー,つまり多様体Ｍ上の任意関数ｆを含めた一般のテンソルに対する接続∇,または共変微分の明確な定義を与えるという課題が残されています。

まず,Ｍ上の任意関数ｆに対しては,∇_Ｘｆ≡Ｘ^[ｆ]として方向微分∇_Ｘ＝Ｘ^をｆの共変微分と定義します。

こうすると,先の定義にある∀Ｘ^,Ｙ^∈Ｘ(Ｍ)に対する規則:∇_X(ｆＹ^)＝Ｘ^[ｆ]Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^は∇_X(ｆＹ^)＝(∇_Ｘｆ)Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^となって通常の微分が満たすのと同じライプニッツ則に一致します。

そこで,任意のテンソル場Ｔ₁,Ｔ₂の積に対しても,ライプニッツ則が成立することを要求します。すなわち,∇_X(Ｔ₁⊗Ｔ₂)＝(∇_ＸＴ₁)⊗Ｔ₂＋Ｔ₁⊗(∇_ＸＴ₂)の成立を要求します。

テンソル場の共変微分(接続)がこの条件を満たすという取り決めによって共変微分は一意的に決まります。

特に,この等式は両辺のテンソルの成分表示において,幾つかの上下の添字を縮約しても成立するはずです。

そこで,１-形式ω∈Ω¹(Ｍ);ω≡ω_μｄｘ^μとベクトル場Ｙ^∈Ｘ(Ｍ);Ｙ^≡Ｙ^μ∂_μの内積:＜ω,Ｙ^＞＝スカラーについても,∇_X(＜ω,Ｙ^＞)＝＜∇_Ｘω,Ｙ^＞＋＜ω,∇_ＸＹ^＞となります。

定義によって∇_X(＜ω,Ｙ^＞)＝Ｘ^[＜ω,Ｙ^＞]＝Ｘ^μ∂_μ＜ω,Ｙ^＞＝Ｘ^μ∂_μ(ω_λＹ^λ)です。

また,∇_ＸＹ^＝Ｘ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)ｅ_λ＝Ｘ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)∂_λよって,＜ω,∇_ＸＹ^＞＝ω_λＸ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)ですから,＜∇_Ｘω,Ｙ^＞＝∇_X(＜ω,Ｙ^＞)－＜ω,∇_ＸＹ^＞＝Ｘ^μ(Ｙ^λ∂_μω_λ－Γ^λ_μνＹ^νω_λ)＝Ｙ^νＸ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)が得られます。

したがって,∇_Ｘω≡Ｘ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)ｅ^*ν＝{Ｘ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)}ｄｘ^νとなります。これが１-形式ωの共変微分です。

特に,Ｘ^＝ｅ_α＝δ^μ_α∂_μとおけば,∇_μω＝(∂_μω_ν－γ^λ_μνω_λ)ｄｘ^ν,すなわち(∇_μω)_ν＝∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λを得ます。

さらに,ω＝ｄｘ^α＝δ_μ^αｄｘ^μとおけば∇_μｄｘ^ν＝－Γ^ν_μλｄｘ^λが得られます。

これらは容易に一般化されて,∇_μｔ^λ1..λp_ν1..νq＝∂_μｔ^λ1..λp_ν1..νq＋Γ^λ1_μσｔ^σλ2..λp_ν1..νq＋..＋Γ^λp_μσｔ^λ1..λp-1σ_ν1..νq－Γ^σ_μν1ｔ^λ2..λp_σν2..νq－..－Γ^σ_μνqｔ^λ1..λp-1σ_ν1..νq-1σとなります。

そして,この表現がｔ^λ1..λp_ν1..νqなる成分を持つ(ｐ,ｑ)型テンソルの共変微分をユニークに定めることがわかります。

次に,アファイン接続の接続係数Γ^λ_μνが,多様体上の座標,つまりチャートの選択によって,どのように変換されるかを考えます。

接続係数Γ^λ_μνを与えるチャート(Ｕ,φ);ｘ＝φ(ｐ)に対してＵ∩Ｖ≠φを満たす別のチャート(Ｖ,ψ);ｙ＝ψ(ｐ)があるとき,それぞれの座標に対するベクトル場の座標基底を,{ｅ_μ}≡{∂/∂ｘ^μ},{ｆ_α}≡{∂/∂ｙ^α}と書くことにします。

そして,ｙ座標に対応する接続係数をΓ~^γ_αβとします。

ｘ座標に対応する接続係数Γ^λ_μνが∇_μｅ_ν＝∇_eμｅ_ν≡ｅ_λΓ^λ_μνで定義される量ですから,接続係数Γ~^γ_αβは∇_fαｆ_β≡ｆ_γΓ~^γ_αβで定義されます。

そして,共変微分の演算子∇そのものが共変ベクトルなので,∇_fα＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)∇_eμです。

そこで,これにｆ_α＝∂/∂ｙ^α＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)(∂/∂ｘ^μ)＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)ｅ_μを代入すると,∇_fαｆ_β＝∇_fα{(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)ｅ_μ}＝(∂²ｘ^μ/∂ｙ^α∂ｙ^β)ｅ_μ＋(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)∇_eλｅ_μ＝[(∂²ｘ^ρ/∂ｙ^α∂ｙ^β)＋(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)Γ^ρ_λμ]ｅ_ρとなります。

一方,ｆ_γΓ~^γ_αβ＝(∂ｘ^ρ/∂ｙ^γ)Γ~^γ_αβｅ_ρですから,結局(∂ｘ^ρ/∂ｙ^γ)Γ~^γ_αβ＝(∂²ｘ^ρ/∂ｙ^α∂ｙ^β)＋(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)Γ^ρ_λμなる式を得ます。

故に,接続係数はΓ~^γ_αβ＝(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)(∂ｙ^γ/∂ｘ^ρ)Γ^ρ_λμ＋(∂²ｘ^μ/∂ｙ^α∂ｙ^β)(∂ｙ^γ/∂ｘ^μ)と変換される必要があります。

これまでは,接続Γを任意の量としてきましたが多様体に計量(metric)が与えられると,可能な接続の形として適当な制限を与えることができます。

そこで,計量ｇ_μνが共変的に一定,すなわち,２つのベクトルＸ^,Ｙ^∈Ｘ(Ｍ)が任意の曲線に沿って平行移動されたとき,それらの内積が平行移動の下で一定であることを要求します。

微分多様体Ｍ上の各点ｐ∈Ｍで定義された(0,2)型テンソルｇ_p:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒ;∀Ｘ^,Ｙ^∈Ｔ_p(Ｍ)⊂Ｘ(Ｍ)に対してｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)＝ｇ_μνＸ^μＹ^νを与えるｇ_p,またはｇ_μνを計量と呼んで,＜Ｘ^,Ｙ^＞≡ｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)＝ｇ_μνＸ^μＹ^νをＸ^,Ｙ^の内積と解釈します。

そして,平行移動の下で＜Ｘ^,Ｙ^＞が一定なことをｇ_μνが共変的に一定と呼び,逆に平行移動の条件として要求するわけです。

ｇ_μνが共変的に一定であるという要求から,Ｘ^,Ｙ^∈Ｔ_p(Ｍ)が任意の曲線に沿って平行移動されるとき,Ｖ^を点ｐ∈Ｍでのその曲線の接ベクトルとすると,0＝∇_Ｖ{ｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)}＝Ｖ^μ[(∇_μｇ_p)(Ｘ^,Ｙ^)＋ｇ_p(∇_μＸ^,Ｙ^)＋ｇ_p(Ｘ^,∇_μＹ^)]となります。

そして平行移動の定義によって,∇_ＶＸ^＝Ｖ^μ∇_μＸ^＝0,かつ ∇_ＶＹ^＝Ｖ^μ∇_μＹ^＝0 なので,Ｖ^μ(∇_μｇ_p)(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｖ^σＸ^μＹ^ν(∇_σｇ)_μν＝0 が成立します。

Ｘ^,Ｙ^が任意ベクトルなので,(∇_σｇ)_μν＝0 ,つまり∂_λｇ_μν－Γ^σ_λνｇ_σν－Γ^σ_λμｇ_μσ＝0 です。

これを満たすアファイン接続∇は,計量と両立するといいます。あるいは,これを満たすアファイン接続∇を単に計量接続と呼びます。

∂_λｇ_μν－Γ^σ_λνｇ_μσ－Γ^σ_λμｇ_σν＝0 の(λ,μ,ν)の巡回置換は,∂_μｇ_νλ－Γ^σ_μλｇ_νσ－Γ^σ_μνｇ_σλ＝0,∂_νｇ_λμ－Γ^σ_νμｇ_λσ－Γ^σ_νλｇ_σμ＝0 です。

これらから,－∂_μｇ_νλ＋∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ＋Ｔ^σ_λμｇ_σν＋Ｔ^σ_λνｇ_σμ－2Γ^σ_(μν)ｇ_σλ＝0 を得ます。ここにＴ^σ_λμ≡2Γ^σ_{λμ}≡Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλ,Γ^σ_(μν)≡(Γ^σ_μν＋Γ^σ_νμ)/2です。

Ｔ^σ_λμを成分とするテンソルを捩率テンソルと呼びます。Ｔ^σ_λμは下添字について反対称,つまりＴ^σ_λμ＝－Ｔ^σ_μλです。

最後の等式:－∂_μｇ_νλ＋∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ＋Ｔ^σ_λμｇ_σν＋Ｔ^σ_λνｇ_σμ－2Γ^σ_(μν)ｇ_σλ＝0 をΓ^σ_(μν)について解けば,Γ^σ_(μν)＝{σ,μν}＋(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν)/2 を得ます。

ここに,{σ,μν}は{σ,μν}≡(1/2)ｇ^σλ(∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ－∂_μｇ_νλ)で定義される量で,これをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)と呼びれます。

そこで,結局Γ^σ_μν＝Γ^σ_(μν)＋Γ^σ_{μν}＝{σ,μν}＋(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν＋Ｔ^σ_μν)/2が得られます。

最右辺の第２項:Ｋ^σ_μν≡(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν＋Ｔ^σ_μν)/2 を歪率と呼びます。

特に多様体Ｍの上で捩率テンソル{Ｔ^σ_λμ}がゼロ:Γ^σ_λμ＝Γ^σ_μλが成立する場合には,Ｋ^σ_μν≡0 でΓ^σ_μν＝{σ,μν}となります。このときの計量接続∇をレビ・チビタ接続(Levi-Civita接続)といいます。

接続Γ＝{Γ^σ_μν}はテンソルではないので,多様体の曲がり具合を測る物指しとしての本質的な幾何学的意味を持ち得ません。

そこで本質的意味を持つものとして,捩率テンソルＴ:Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)とリーマン曲率テンソル(Riemannian curvature)Ｒ:Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)というものを定義します。

ＴはＴ(Ｘ^,Ｙ^)≡∇_ＸＹ^－∇_ＹＸ^－[Ｘ^,Ｙ^],ＲはＲ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)≡∇_Ｘ∇_ＹＺ^－∇_Ｙ∇_ＸＺ^－∇_[Ｘ,Ｙ]Ｚ^で定義されます。

ＲはＺ^に対する作用と見て,Ｒ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)の代わりにＲ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^と書くことがあります。

これらは,明らかにＸ^,Ｙ^)について反対称でＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝－Ｔ(Ｙ^,Ｘ^),Ｒ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^＝－Ｒ(Ｙ^,Ｘ^)Ｚ^を満たします。

Ｘ^＝Ｘ^μｅ_μ,Ｙ^＝Ｙ^μｅ_μと成分で書けばＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｘ^μＹ^νＴ(ｅ_μ,ｅ_ν)∈Ｘ(Ｍ)ですから,Ｔは(1,2)型テンソルでＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｔ^σ_μνＸ^μＹ^νｅ_σ,またはＴ^σ_μν＝(ｄｘ^σ,Ｔ(ｅ_μ,ｅ_ν))によって成分Ｔ^σ_μνが与えられます。

[ｅ_μ,ｅ_ν]＝[∂_μ,∂_ν]＝0 なので,Ｔ^σ_μν＝(ｄｘ^σ,Ｔ(ｅ_μ,ｅ_ν))＝(ｄｘ^σ,∇_μｅ_ν－∇_νｅ_μ)＝(ｄｘ^σ,Γ^λ_μνｅ_λ－Γ^λ_νμｅ_λ)＝Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλです。

そこで,これは確かに先に成分で定義した捩率テンソルＴ^σ_λμ≡2Γ^σ_{λμ}≡Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλの表現と一致します。

一方,Ｒ(ｆＸ^,ｇＹ^,ｈＺ^)＝ｆ∇_Ｘ{ｇ∇_Ｙ(ｈＺ^)}－ｇ∇_Ｙ{ｆ∇_Ｘ(ｈＺ^)}－ｆＸ^[ｇ]∇_Ｙ(ｈＺ^)＋ｇＹ^[ｆ]∇_Ｘ(ｈＺ^)－ｆｇ∇_[Ｘ,Ｙ](ｈＺ^)＝ｆｇ[∇_Ｘ∇_Ｙ(ｈＺ^)－∇_Ｙ∇_Ｘ(ｈＺ^)－∇_[Ｘ,Ｙ](ｈＺ^)]＝ｆｇｈＲ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)なので,Ｒは多重線形です。

それ故,Ｒ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)＝Ｘ^λＹ^μＺ^νＲ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν)と書けることから,Ｒもテンソルであることがわかります。

Ｒは(1,3)型テンソルで,(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν))＝(ｄｘ^σ,∇_λ∇_μｅ_ν－∇_μ∇_λｅ_ν)＝(ｄｘ^σ,∇_λ(Γ^ρ_μνｅ_ρ)－∇_μ(Γ^ρ_λνｅ_ρ))＝(ｄｘ^σ,(∂_λΓ^ρ_μνｅ_ρ＋Γ^ρ_μνΓ^η_λρｅ_η)－(∂_μΓ^ρ_λνｅ_ρ＋Γ^ρ_λνΓ^η_μρｅ_η))です。

曲率Ｒの成分の添字を,何故この順序に取るのが慣例なのかはわかりませんが,Ｒ^σ_νλμ＝(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν))とおいて,Ｒ^σ_νλμ＝∂_λΓ^σ_μν－∂_μΓ^σ_λν＋Γ^ρ_μνΓ^σ_λρ－Γ^ρ_λνΓ^σ_μρ,またはＲ^σ_λμν＝(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_μ,ｅ_ν)ｅ_λ)＝∂_μΓ^σ_νλ－∂_νΓ^σ_μλ＋Γ^ρ_νλΓ^σ_μρ－Γ^ρ_μλΓ^σ_νρを得ます。

テンソルの反対称性Ｔ(Ｘ^,Ｙ^)＝－Ｔ(Ｙ^,Ｘ^),Ｒ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^＝－Ｒ(Ｙ^,Ｘ^)Ｚ^から,成分の添字についての反対称性Ｔ^σ_λμ≡＝－Ｔ^σ_μλ,Ｒ^σ_λμν＝－Ｒ^σ_λνμも明らかです。

ここで,Ｒ,Ｔをそれぞれ曲率テンソル,捩率テンソルと呼ぶことの物理的意味を考えてみます。

ｐ∈Ｍを始点とする無限小の平行四辺形ｐｑｒｓを取ります。そしてε^μ,δ^μ}を無限小として,ｐ,ｑ,ｒ,ｓの座標をそれぞれ{ｘ^μ},{ｘ^μ＋ε^μ},{ｘ^μ＋ε^μ＋δ^μ},{ｘ^μ＋δ^μ}とします。

ｐ∈ＭにおけるあるベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)を経路Ｃ≡ｐｑｒに沿って平行移動します。

まず,Ｖ_C^μ(ｑ)＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^νです。

さらにＶ_C^μ(ｒ)＝Ｖ_C^μ(ｑ)－Ｖ_C^λ(ｑ)Γ^μ_νλ(ｑ)δ^ν＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－{Ｖ^λ－Ｖ^ρΓ^λ_σρ(ｐ)ε^σ}Γ^μ_νλ(ｑ)δ^ν＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)δ^ν－Ｖ^ρ{∂_λΓ^μ_νρ(ｐ)－Γ^σ_λρ(ｐ)Γ^μ_νσ(ｐ)}ε^λδ^νとなります。

一方,同じベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)を経路Ｃ'≡ｐｓｒに沿って平行移動すると,Ｖ_C'^μ(ｒ)＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)δ^ν－Ｖ^ρ{∂_νΓ^μ_λρ(ｐ)－Γ^σ_νρ(ｐ)Γ^μ_λσ(ｐ)}ε^λδ^νです。

したがって,Ｖ_C'^μ(ｒ)－Ｖ_C^μ(ｒ)＝Ｖ^ρ{∂_λΓ^μ_νρ(ｐ)－∂_νΓ^μ_λρ(ｐ)＋Γ^σ_νρ(ｐ)Γ^μ_λσ(ｐ)－Γ^σ_λρ(ｐ)Γ^μ_νσ(ｐ)}ε^λδ^ν＝Ｖ^ρＲ^μ_ρλνε^λδ^νで書けます。

要約すれば,Ｖ_C'^σ－Ｖ_C^σ＝Ｖ^ρＲ^σ_ρλνε^λδ^νです。そしてε^λδ^νは微小平行四辺形の面積を表わす無限小テンソルです。

ところで,電磁場Ａ^μに対してＦ_μνを電場Ｅ,磁場Ｂを与える場の強さとして,Ａ^μの線積分にストークスの定理を適用すれば∫_C-C'Ａ^μｄｒ＝∫(∇×Ａ^μ)ｄＳ＝∫Ｆ_μνｄＳ^μνと書けます。ここでｄＳ^λνは経路Ｃ-Ｃ'が囲む無限小面積です。

そこで,この等式においてｄＳ^λνは先の無限小平行四辺形ｐｑｒｓの面積ε^λδ^νとｄＳ^λν～ε^λδ^νなる対応があると考えられます。

また,場の強さＦ_μνは,電磁場と同じYang-Mills理論のゲージ場,あるいは非可換ゲージ理論のゲージ場Ａ^μに対するときには曲率テンソルと同定されます。

そこで,Ｖ_C'^σ－Ｖ_C^σ～ －∫_C-C'Ａ^μｄｒ,Ｖ^ρＲ^σ_ρλν～ －Ｆ_λνという対応が成立すると考えられます。

この対応では,Ｖ^ρＲ^σ_ρλνが丁度非可換ゲージでの"場の強さ＝曲率テンソル"に相当します。

実際に詳しい成分としての添字対応は次のようになります。

すなわち,局所対称な変換群Ｇがあるとき,その生成子を{Ｔ^a}(ａ,ｂ,ｃ＝1,2,..Ｎ)とすれば,Ｇに対応する非可換ゲージ場の４元ポテンシャルはＡ_μ≡∑_a=1^NＡ^a_μＴ^aで,共変微分はＤ_μ≡∂_μ＋iｇＡ_μで定義されます。

このとき,"場の強さ＝曲率テンソル"は一般にＦ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ－(i/ｇ)[Ｄ_μ,Ｄ_ν]＝∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ＋iｇ[Ａ_μ,Ａ_ν]で与えられます。

さらに,Ｆ_μν≡∑_a=1^NＦ^a_μνＴ^aであり,Ｆ^a_μν≡∂_μＡ^a_ν－∂_νＡ^a_μ－ｇｆ_abcＡ^b_μＡ^c_νです。

そこで,Ｖ_C'^σ－Ｖ_C^σ～ －∫_C-C'Ａ^aμｄｒ,Ｖ^ρＲ^σ_ρλν～ －Ｆ^a_λνと書けば,添字σと添字ａが対応していると考えられます。

添字を省略した大まかな対応としては,∂Ｖ～Ａ,ＶＲ～Ｆ～∂Ａですが,弱い重力場の近似では,∂Γがニュートンの万有引力に相当します。

これが,電場や磁場とＦ～∂Γのように対応するとすれば,Ｆ～∂Ａより電磁場のようなゲージ場Ａに対応するのは,クリストッフェル記号で与えられるような接続係数Γの場です。すなわち,Γ～Ａですね。

そこで重力場をゲージ場として定式化できるとすれば,ゲージ場Ａに相当するのは計量ｇではなくて,接続係数Γの方ですね。

そして,∂Ｖ～ＡですからΓ～Ａは∂Ｖ～Γを意味しますが,これはＶが重力場の計量ｇを表わす場合:Ｖ＝ｇ,Γ～ ∂Ｖ＝∂ｇに相当しています。そこで対応:ＶＲ～ Ｆ～ ∂Ａも,正しくはｇＲ～ Ｆ～ ∂Ａ,またはｇＲ～ ∂Γなる対応ですね。

2006年５/11の記事「波動関数の位相と電磁場」2007年８/24,８/25の記事「磁気単極子(モノポール)」,「磁気単極子(モノポール)(補遺))」も参照してください。

今日はここで終わります。

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

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相対論の幾何学(第Ⅲ部-2)(リーマン幾何学(2))

前に2008年12/10に書いてからずいぶん間が開きましたが相対論の幾何学シリーズの第Ⅲ部-1:リーマン幾何学(1)の続きです。

今日は平行移動,接続,そして共変微分など一般相対性理論の定式化と関連した事項を中心に話を進めていきます。

まず,いつものようにＭをｍ次元の微分可能多様体とします。

Ｍ上のベクトル場Ｖ^≡Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)はＭ上の関数ｆに対しＶ^:ｆ→ Ｖ^[ｆ]＝Ｖ^μ(∂ｆ/∂ｘ^μ)なる写像として作用し,方向微分と呼ばれる演算子です。

しかし,これのアナロジーとなるべき,一般の(ｐ,ｑ)型テンソルの方向微分なるものは存在しません。また,前に述べたリー微分Ｌ_UＶ^＝[Ｕ^,Ｖ^]もＵ^の微分に依存するため,いわゆる方向微分に対応するような概念ではありません。

　そもそも,素朴な微積分学で学ぶｍ次元空間Ｍでの方向微分という概念とは何かということを考えることから始めましょう。

　記憶に頼ると,Ｍの上で微分可能な関数ｆ:Ｍ→Ｒがあって,これをＭ上の点の位置座標を意味するｍ次元の数ベクトルｘ＝(ｘ¹,ｘ²,..,ｘ^m)の関数としてｆ＝ｆ(ｘ)と書くとき,座標ｘで表わされる点Ｐから座標ｘ＋ｄｘで表わされる点ＱまでＰＱ＝ｄｘだけの変位に対するｆ(ｘ)からｆ(ｘ＋ｄｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｄｆまでのｆの変化ｄｆに対して定義され,ベクトル解析でいう勾配∇ｆ＝gradｆという量が方向微分係数を意味するものだったような。。。

　まあ,ここでは方向微分という言葉の厳密な定義を問題にしているのではなく,共変微分という概念を発見的に導入するための伏線に過ぎませんから,ちょっとイイカゲンです。

　まあ,昔から掲示板などで論じている際に,物理用語と同じように数学用語を駆使していて,特に数学屋さんからよく重箱的なツッコミが入りましたね。

　これは,大体は本で調べるのを面倒がって記憶に頼って数学書で一度か二度接した聞きかじった程度の用語の定義や概念を一旦自分の頭で理解して記憶したと思っていることなどをテキトーに使う傾向があるためです。

　私の場合,昔から,数学という意味では大切な厳密さやディテールを犠牲にした不完全な発言であることがわかっていて,割と軽々しく意見を主張するものですから,発言を正反対の意味に取られたりしたことも多々ありましたし,実際,私自身の勘違いもよくありましたが,そこは掲示板の短かい文章で行なう議論の限界でしょうね。

　その点,いまどきの科学ブログでは,かなりディテールまで突っ込んで書くことが可能なので少しはましですね。。

　ああ,また余談を長々とやってしまった。

　さて,勾配∇ｆという量は,ＰＱ＝ｄｘなる変位に対して,ｄｆをベクトル∇ｆとｄｘのスカラー積として,ｄｆ＝∇ｆｄｘと表現できることを意味し,ｄｘがいわゆる反変ベクトルであるなら,∇ｆはそれに双対な共変ベクトルを意味しますね。

　∇ｆは,またｆの変化率が最大となる向きを表わしますから,物理学ではｆの勾配を∇ｆ＝gradｆと表記する代わりに,記号的にｄｆ/ｄｘと略記してｆのｘによる全微分係数と同一視します。

　直感的には,２次元平面上に山があって,その高さ方向をｚ軸として,ｘｙ平面の座標における山の高さをｚ＝ｆ(ｘ,ｙ)として,これが山の斜面の曲面を表わす方程式を与えるというような描像がわかりやすいのではないか,と思いました。

　すなわち,ｘｙ平面上の点の微小変位(ｘ,ｙ)→(ｘ＋Δｘ,ｙ＋Δｙ)に対し,山の高さｚはｚ＝ｆ(ｘ,ｙ)→ｚ＋Δｚ＝ｆ(ｘ＋Δｘ,ｙ＋Δｙ)＝ｆ(ｘ,ｙ)＋(∂ｆ/∂ｘ)Δｘ＋(∂ｆ/∂ｙ)Δｙと変動します。

　そこで,平面上の変位をベクトル表記でΔｒ＝(Δｘ,Δｙ)と書き,勾配と呼ばれるベクトルを∇ｆ≡(∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｙ)で定義すれば,変位に対応するｆの増分ΔｚはΔｚ＝(∂ｆ/∂ｘ)Δｘ＋(∂ｆ/∂ｙ)Δｙ＝∇ｆΔｒとスカラー積で表現されます。

　したがって,変位Δｒに対して山の高さの変化率,すなわち,傾きはΔｚ/|Δｒ|＝|∇ｆ|cosθとなります。

　ここで,θは勾配ベクトル∇ｆ≡(∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｙ)と変位ベクトルΔｒ＝(Δｘ,Δｙ)のなす角です。そして,もしも変位Δｒの向きが勾配∇ｆの向きと丁度一致すればΔｚ/|Δｒ|＝|∇ｆ|となります。

　このことは,その点(ｘ,ｙ)では勾配∇ｆの向きへの変位に対する傾きが最大であり,例えば平面上のその点に対応する山の面上の点で水を流すと,水の流れる主流方向は－∇ｆの方向になることを意味します。

　つまり方向微分,あるいは方向微分係数が∇ｆ,またはその成分を意味するものであるというのが正しいなら,それはその点での様々な方向への微小変位に対する変化率,あるいは最大変化率を代表するものであると直感されます。

　しかし一方,多様体と表題されるような数学の本で,Ｍが多様体の場合の方向微分は大体,次のような描像から導入されます。

すなわち,多様体Ｍ上で座標としてｘ＝(ｘ¹,ｘ²..,ｘ^m)を有する点Ｐ∈Ｍを通る任意の滑らかな曲線)をｃ(ｔ)＝(ｃ^μ(ｔ))(ただしｃ^μ(0)＝ｘ^μ)とし合成関数としてｆ(ｃ(ｔ))をｔの関数と見ます。

このとき"ｔに対するｆの傾き＝微分係数"を求めると,ｄｆ/ｄｔ＝(ｄｃ^μ/ｄｔ)(∂ｆ/∂ｘ^μ)＝(ｄｃ/ｄｔ)∇ｆとなります。

これは,ｔ＝0 のときＶ^μ≡(ｄｃ^μ/ｄｔ)_ｔ=0として演算子Ｖ^をＶ^≡Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)と定義すれば(ｄｆ/ｄｔ)_t=0＝Ｖ^[ｆ]と書けますから,先に与えた一般のベクトル場Ｖ^の演算子表記が(ｄｃ/ｄｔ)_t=0∇なる演算子に一致します。

つまり,単に勾配∇というベクトル演算子ではなく,曲線ｘ＝ｃ(ｔ)に沿ったある向きｄｘ＝ｄｃへの勾配∇に変動係数ｄｃまたは(ｄｃ/ｄｔ)をも含めたスカラー演算子 (ｄｃ/ｄｔ)∇を方向微分と同定するわけです。

逆に,任意のベクトルＶ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)に対し,ｄｃ^μ/ｄｔ＝Ｖ^μを満たす曲線ｃ(ｔ)＝(ｃ^μ(ｔ))が常に存在します。

そこで,多様体の立場でＶ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)を方向微分と呼ぶのは妥当な呼称と思われます。

そして初期条件ｃ^μ(0)＝ｘ^μを満たすｄｃ^μ/ｄｔ＝Ｖ^μの解曲線を求めるのは,いわゆる力学系問題ですね。

　さて,幾何学というよりも解析学の問題として,ｍ次元ユークリッド空間Ｍにおける関数ｆ:Ｍ→Ｒに対する方向微分係数∇ｆの概念を,Ｍからｎ次元ユークリッド空間Ｎへの写像ｆ:Ｍ→Ｎ;ｙ＝ｆ(ｘ),ｘ＝(ｘ¹,ｘ²..,ｘ^m)∈Ｍ,ｙ＝(ｙ¹,ｙ²..,ｙⁿ)＝(ｆ¹(ｘ),ｆ²(ｘ),．,ｆⁿ(ｘ))∈Ｎに対する概念に拡張することを考えます。

ｄｙ＝ｄｆ＝(ｄｆ¹,ｄｆ²..,ｄｆⁿ)＝(∇ｆ¹ｄｘ,∇ｆ²ｄｘ.,．．,∇ｆⁿｄｘ)ですから,(∂ｆ/∂ｘ)を(ｉ,ｊ)成分が∂ｆⁱ/∂ｘ^j(ｉ＝1,2,..ｎ,ｊ＝1,2,..ｍ)のｎ行ｍ列のヤコービ行列とし,ｄｘ＝(ｄｘ¹,ｄｘ²..,ｄｘ^m)をｍ成分の列ベクトルｄｘ＝^t(ｄｘ¹,ｄｘ²..,ｄｘ^m)とすれば,ｄｆ＝(∂ｆ/∂ｘ)ｄｘと書けるので,係数行列(∂ｆ/∂ｘ)を全微分係数(と同一視します。

先に方向微分と考えた関数ｆの勾配∇ｆ＝ｄｆ/ｄｘは,ｎ×ｍヤコービ行列(∂ｆ/∂ｘ)のｎ＝1,Ｎ＝Ｒ (ｍ＝1)の特別な場合である,と考えれば自然ですね。

このときにも,ｘ＝ｃ(ｔ)に対してｆ(ｃ(ｔ))をｔで微分すると,ｄｆ/ｄｔ＝(∂ｆ/∂ｘ)(ｄｃ/ｄｔ)ですから,Ｖ^μ≡ｄｃ^μ/ｄｔ,かつＶ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)と置いてｄｆ/ｄｔ＝(∂ｆ/∂ｘ)(ｄｃ/ｄｔ)を考えるとｄｆ^ν/ｄｔ＝(∂ｆ^ν/∂ｘ^μ)(ｄｃ^μ/ｄｔ)＝Ｖ^μ(∂ｆ^ν/∂ｘ^μ)＝Ｖ^[ｆ^ν],または記号的にｄｆ/ｄｔ＝Ｖ^[ｆ]と表現できます。

　さて,一般の多様体Ｍ上のベクトル場Ｖ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)において,基底をｅ_μ≡∂/∂ｘ^μとすれば,Ｖ^＝Ｖ^μｅ_μと表記できます。

　そして,ベクトル場Ｖ^＝Ｖ^μｅ_μのｘ^νに関する微分係数

は,通常はμ成分として偏微分係数の形で∂Ｖ^μ/∂ｘ^ν＝lim_Δｘν→0[{Ｖ^μ(..,ｘ^ν＋Δｘ^ν,..)－Ｖ^μ(..,ｘ^ν,..)}/Δｘ^ν]を持つということで定義されます。

　しかし,この右辺の分子の第２項のＶ^μは点ｘ≡(ｘ^μ)で定義される量であるのに対して,第１項のＶ^μは点ｘ＋Δｘ≡(..,ｘ^ν＋Δｘ^ν,..)で定義される量です。

ベクトルＶ^(ｘ)をｘからｘ＋Δｘまで座標を移動させたときに,平行移動したベクトルＶ^のμ成分の差というからには点ｘにおけるμ軸と点ｘ＋Δｘにおけるμ軸が同じ軸であるか,少なくとも同じ向きである場合でなければ平行移動という意味はないと思われます。

そこで,例えばベクトルＶ^(ｘ)の点ｘにおけるμ軸の成分Ｖ^μ(ｘ)ではなく,点ｘ＋Δｘにおけるμ軸成分を求める必要があります。そのＶ^(ｘ)の点ｘ＋Δｘにおけるμ軸成分をＶ~^μ(ｘ＋Δｘ)と書くことにします。

このとき,２つのμ軸成分の差Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)－Ｖ^μ(ｘ)はΔｘに比例するオーダーを持ちますから,この差をＣ^μ_ν(Ｖ^)Δｘ^νと書くことにします。すなわち,Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)＝Ｖ^μ(ｘ)＋Ｃ^μ_ν(Ｖ^)Δｘ^νとします。

ｘ,およびｘ＋Δｘで定義される任意のベクトルＶ^(ｘ),Ｗ^(ｘ)があるとき,ベクトルの和の同じμ軸成分ですから常に(Ｖ＋Ｗ)~^μ(ｘ＋Δｘ)＝Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)＋Ｗ~^μ(ｘ＋Δｘ)なる線形性が成立すると考えられます。

これはＣ^μ_ν(Ｖ^＋Ｗ^)＝Ｃ^μ_ν(Ｖ^)＋Ｃ^μ_ν(Ｗ^)を意味します。

つまり,Ｃ^μ_ν(Ｖ^)はベクトルＶ^の定数項を持たない１次関数です。そこで比例係数行列の成分をＶ^には無関係な－Γ^μ_νλなる記号で表わせば,Ｃ^μ_ν(Ｖ^)は結局Ｃ^μ_ν(Ｖ^)＝－Γ^μ_νλＶ^λなる形に書けます。

そこで,Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)＝Ｖ^μ(ｘ)－Γ^μ_νλＶ^λΔｘ^νですね。

それ故,"(0,0)型テンソル＝関数"ｆの方向微分に対応する(0,1)型テンソルＶ^の方向微分として,lim_Δｘν→0[{Ｖ^μ(ｘ＋Δｘ)－Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)}/Δｘ^ν]なる量を共変微分という名称で定義すると,これは∂Ｖ^μ/∂ｘ^ν＋Γ^μ_νλＶ^λと書けます。

そしてＶ^μ(ｘ)→Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)＝Ｖ^μ(ｘ)－Γ^μ_νλＶ^λΔｘ^νなる変換を平行移動と呼ぶことにします。

　ただし,今のところ係数Γ^μ_νλの選び方に何の制限も与えていないので,係数Γ＝{Γ^μ_νλ}の１つの選択ごとに平行移動,共変微分の規則が１つ決まることになります。

　しかし,多様体Ｍに計量(metric)が与えられている場合には,都合のよい係数Γ＝{Γ^μ_νλ}の選択が存在します。

　すなわち,Γ^λ_νμ＝Γ^λ_μνなる対称性を満たし平行移動の前後でベクトルのノルムが不変であるという２条件を満たすという規則を持つレビ-チビタ接続(Levi-Civita接続)と呼ばれるものを採用します。

　以上のような直感的考察を踏まえて,まずアファイン接続(affine connection;アフィン接続)を定義します。

[定義Ⅲ.3] アファイン接続∇とは(Ｘ^,Ｙ^)に∇_XＹ^を対応させる１つの写像∇:Ｘ(Ｍ)×Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)であって次の条件を満たすものを言う。ここでＸ(Ｍ)は多様体Ｍ上のベクトル場の全体を指す。

　満たすべき条件とは∀Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^∈Ｘ(Ｍ),およびＭ上の任意関数ｆに対して,∇_X(Ｙ^＋Ｚ^)＝∇_XＹ^＋∇_XＺ^,∇_(X+Y)Ｚ^＝∇_XＺ^＋∇_YＺ^,∇_fXＹ^＝ｆ∇_XＹ^,∇_X(ｆＹ^)＝Ｘ[ｆ]Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^が成立することである。

　Ｍ上で座標ｘ＝φ(ｐ)を持つチャート(Ｕ,φ)を選びｍ³個の接続係数と呼ばれる変数を∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μ＝ｅ_λΓ^λ_νμで定義します。ただし,{ｅ_μ}＝{∂/∂ｘ^μ}はＴ_p(Ｍ)の座標基底です。

　こうしてアファイン接続∇の基底ベクトル{ｅ_μ}への作用∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μが定義されれば,∇の任意のベクトルへの作用が計算可能です。

　例えばＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)に対して∇_VＷ^＝Ｖ^μ∇_eμ(Ｗ^νｅ_ν)＝Ｖ^μ{ｅ_μ[Ｗ^ν]＋Ｗ^ν∇_eμｅ_ν}＝Ｖ^μ(∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λとなります。

　右辺における因子は先に直感的に得られた共変微分と形が一致していますね。

　そこで,∇_μＷ^λ≡∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μνとおけばアファイン接続∇は,２つのベクトルＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)を新しいベクトル∇_VＷ^＝Ｖ^μ(∂Ｗ^ν/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λに移し,これのλ番目の成分がＶ^μ∇_μＷ^λで与えられることになります。

　この∇_VＷ^はリー微分Ｌ_VＷ^＝[Ｖ^,Ｗ^]とは異なってＶ^の微分を含みませんから,この意味で共変微分は関数の方向微分のテンソルへの一般化になっています。

　さて,次に多様体Ｍ上の任意の滑らかな曲線をｃ(ｔ)＝(ｃ^μ(ｔ))とし,この曲線上の点の座標ｘ^μ＝ｃ^μ(ｔ)は点ｐ∈Ｍの座標がｘ＝φ(ｐ)となるようなチャート(Ｕ,φ)によって与えられるとします。

　そしてＸ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)は少なくともｃ(ｔ)に沿う点の上で定義されたベクトル場とします。

　つまり,Ｘ^|_c(ｔ)＝Ｘ^μ(ｃ(ｔ))ｅ_μ|_c(ｔ)とします。ここでｅ_μ≡∂/∂ｘ^μです。

　一方,ｃ(ｔ)によって与えられる方向微分,あるいは接ベクトルをＶ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)≡(ｄｃ^μ/ｄｔ)ｅ_μ|_c(ｔ),つまりＶ^≡(ｄ/ｄｔ)|_c(ｔ)とします。

　このときＸ^|_c(ｔ)が∀ｔに対して∇_VＸ^＝0 なる条件を満たすならＸ^は曲線をｃ(ｔ)に沿って平行移動されると言います。

∇_VＸ^＝0 を成分で書くと(ｄｃ^μ/ｄｔ)(∂Ｘ^λ/∂ｘ^μ＋Ｘ^νΓ^λ_μν)|_c(ｔ)＝0,つまりｄＸ^μ/ｄｔ＋Γ^μ_νλ(ｄｘ^ν/ｄｔ)Ｘ^λ＝0 となります。

特に,接ベクトルＶ^≡(ｄ/ｄｔ)|_c(ｔ)と自身がｃ(ｔ)に沿って平行移動される,すなわち∇_VＶ^＝0 なら曲線ｃ(ｔ)は測地線であると言われます。

∇_VＶ^＝0 を成分で表わすには,∇_VＸ^＝0 の成分表示ｄＸ^μ/ｄｔ＋Γ^μ_νλ(ｄｘ^ν/ｄｔ)Ｘ^λ＝0 に,Ｘ^＝Ｖ^の成分表示:Ｘ^μ＝Ｖ^μ＝ｄｃ^μ/ｄｔ＝ｄｘ^μ/ｄｔを代入すればよいことがわかります。

そこで,結局,座標成分で表わした測地線の方程式はｄ²ｘ^μ/ｄｔ²＋Γ^μ_νλ(ｄｘ^ν/ｄｔ)(ｄｘ^λ/ｄｔ)＝0 で与えられるという結果を得ます。

短かいですが今日はこれで終わります。

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相対論の幾何学(第Ⅲ部-1)(リーマン幾何学(1)

相対論の幾何学シリーズは大体第Ⅱ部でやっと準備段階が完了したので,さっそく第Ⅲ部を開始し,リーマン幾何学に入ります。

いきなり計量(metric)と計量付きの多様体の定義から入ります。

[定義Ⅲ.1]Ｍを微分多様体とする。Ｍ上の各点ｐで定義された(0,2)型テンソル:ｇをｐの関数としてｇ_p＝ｇ|_p:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒと書くとき,これが次の公理を満たすなら,テンソルｇをリーマン計量(Riemannian metric)と呼ぶ。

　リーマン計量を持つ多様体をリーマン多様体(Riemannian manifold)と呼ぶ。以下,公理です。

公理:(ⅰ)∀Ｕ,Ｖ∈Ｔ_p(Ｍ)に対してｇ_p(Ｖ,Ｕ)＝ｇ_p(Ｕ,Ｖ),(ⅱ)∀Ｕ∈Ｔ_p(Ｍ)に対してｇ_p(Ｕ,Ｕ)≧0 である。特にｇ_p(Ｕ,Ｕ)＝0 ⇔ Ｕ＝0 である。(ｇ_pは正定値で対称な双１次形式です。)

[定義Ⅲ.2] Ｍを微分多様体とする。各点ｐ∈Ｍで定義された(0,2)型テンソル:ｇをｐの関数としてｇ_p＝ｇ|_p:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒと書くとき,これが次の公理を満たすならテンソルｇを擬リーマン計量(semi-Riemannian metric)と呼ぶ。

　擬リーマン計量を持つ多様体を擬リーマン多様体(semi-Riemannian manifold)と呼ぶ。以下,公理です。

公理:(ⅰ)∀Ｕ,Ｖ∈Ｔ_p(Ｍ)に対してｇ_p(Ｖ,Ｕ)＝ｇ_p(Ｕ,Ｖ),(ⅱ) Ｖ∈Ｔ_p(Ｍ)とする,もしも∀Ｕ∈Ｔ_p(Ｍ)に対してｇ_p(Ｕ,Ｖ)＝0 ならＶ＝0 である。(ｇ_pは対称な双１次形式です。)

以下では,計量ｇが付与された微分多様体Ｍ,すなわちリーマン多様体や擬リーマン多様体Ｍを(Ｍ,ｇ)と表記します。

また,多様体Ｍの次元をｍとします。ｍ＝dimＭです。

　さて,以前の記事では,接ベクトルＶ∈Ｔ_p(Ｍ)と,その双対ベクトル(1-形式)ω∈Ｔ_p^*(Ｍ)との内積を＜,＞:Ｔ_p^*(Ｍ)×Ｔ_p(Ｍ)→Ｒなる写像として記号＜ω,Ｖ＞で定義しました。

今定義したばかりの計量ｇが存在する多様体では,２つの接ベクトルＵ,Ｖ∈Ｔ_p(Ｍ)に対し,ｇ_p:Ｔ_p(Ｍ)×Ｔ_p(Ｍ)→Ｒなる写像(＝(0,2)型テンソル)ｇ_p(Ｕ,Ｖ)を,この空間Ｔ_p(Ｍ)でのベクトルの内積と解釈します。

　Ｖ→ｇ_p(Ｕ,Ｖ)で定義される写像ｇ_p(Ｕ,):Ｔ_p(Ｍ)→Ｒはある1-形式ω_U∈Ｔ_p^*(Ｍ)(ω_U≡ｇ_p(Ｕ,))と同一視されます。

　逆に任意のω∈Ｔ_p^*(Ｍ)に対して,＜ω,Ｖ＞＝ｇ_p(Ｖ_ω,Ｕ)によってＶ_ω∈Ｔ_p(Ｍ)が誘導されます。

　したがって,このＵ→ω_U,およびω→Ｖ_ωなる１対１の対応によって計量ｇ_pはＴ_p(Ｍ)とＴ_p^*(Ｍ)の同型写像を引き起こします。

　Ｍの各点の近傍におけるチャート(Ｕ,φ)により,ｐ∈Ｍに座標ｘ≡{ｘ^μ}＝φ(ｐ)を与えます。(0,2)型テンソルｇ_pは線型空間Ｔ₀²_p(Ｍ)の元ですがＴ₀²_p(Ｍ)は基底{ｄｘ^μ⊗ｄｘ^ν}_{μ,ν=1,2,..m}で張られます。

　そこで,ｇ_pはｇ_p＝ｇ_μν(ｐ)ｄｘ^μ⊗ｄｘ^νと展開されます。

　それ故,ｇ_pを(2,0)形式の基底(∂/∂ｘ^μ,∂/∂ｘ^ν)に作用させると,ｇ_μν(ｐ)＝ｇ_p(∂/∂ｘ^μ,∂/∂ｘ^ν)＝ｇ_νμ(ｐ)となります。

以下,混乱がない限り,ｇ_μν(ｐ)のｐを省略してｇ_μνと書き,(ｇ_μν)を,(μ,ν)成分をｇ_μνとするｍ次対称行列と考えます。

ｇ_μνは(0,2)型テンソルｇ_pの成分で,Ｕ＝Ｕ^μ(∂/∂ｘ^μ),Ｖ＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)に対してｇ_p(Ｕ,Ｖ)＝ｇ_μνＵ^μＶ^νが成立します。

　一般に,行列(ｇ_μν)＝(ｇ_μν(ｐ))の行列式det(ｇ_μν)はゼロでないので,(ｇ_μν)＝(ｇ_μν(ｐ))は逆行列(ｇ_μν)^-1＝(ｇ_μν(ｐ))^-1を持ちます。

　これを,慣例に従って(ｇ^μν)＝(ｇ^μν(ｐ))と表記します。つまりｇ_μνｇ^νλ＝ｇ^λνｇ_νμ＝δ_μ^λですね。

　以下では,det(ｇ_μν)をｇと表わします。明らかにdet(ｇ^μν)＝1/ｇです。

先に,ｇ_p(Ｕ,):Ｔ_p(Ｍ)→Ｒはある1-形式ω_U∈Ｔ_p^*(Ｍ)と同じであると述べました。

そして,ベクトルをＵ＝Ｕ^μ(∂/∂ｘ^μ),Ｖ＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ),ω_U＝ω_μｄｘ^μと成分表示で書けば,ｇ_μνは対称でｇ_p(Ｕ,Ｖ)＝ｇ_μνＵ^μＶ^ν＝＜ω_U,Ｖ＞＝ω_μＶ^μなので,ω_μ＝ｇ_μνＵ^ν,または逆にＵ^μ＝ｇ^μνω_νとなります。

このＵ→ω_U＝ｇ_p(Ｕ,)なる対応は,Ｔ_p(Ｍ)からＴ_p^*(Ｍ)への同型写像になっています。

ｇ_p＝ｇ_μνｄｘ^μ⊗ｄｘ^νなる定義から,座標ｘ≡{ｘ^μ}の点ｐ∈Ｍと座標ｘ＋ｄｘ≡{ｘ^μ＋ｄｘ^μ}の点ｐ'∈Ｍとの無限小距離の２乗ｄｓ²を意味するもの,無限小変位ベクトルｄｘ^≡ｄｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)の長さの２乗を意味するものとして,ｄｓ²≡ｇ_p(ｄｘ^,ｄｘ^)＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νと定義します。

厳密な意味では計量とは,テンソルｇ_p＝ｇ_μνｄｘ^μ⊗ｄｘ^νのことですが,以下ではｄｓ²≡ｇ_p(ｄｘ^,ｄｘ^)＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νも計量と呼ぶことにします。

さて,(ｇ_μν)は対称行列なので,その固有値は全て実数です。

そしてｇ_pがリーマン計量なら計量行列(ｇ_μν)は正値なので,固有値は全て正ですが,擬リーマン計量なら,これはいわゆる不定計量なので固有値には負の値もあります。

そして一般のｎ次元の時空における計量行列を想定すると,適当な直交行列を用いてこの行列を対角化する,つまり基底ベクトルをうまく取るとき計量行列(ｇ_μν)は,その"固有値＝対角成分"が全て１または－1の対角行列"にすることができます。これを標準形といいます。

そして,この対角成分のうち１の個数(正の固有値の数)ｐと－1の数(負の固有値の数)ｑの対:(ｐ,ｑ)を計量の符号数と呼びますが,これは座標変換をしても不変な量です。

これはシルヴェスターの慣性律(シルベスターの慣性律)(Sylvester's law of inertia)として知られています。

そして,この記事で参考にしているテキストでは,ｑ＝1,つまり負の固有値が１個だけで他は正の符号数が(ｐ,1)の擬リーマン計量をローレンツ計量と呼ぶ,としています。

しかし,実は時空座標はその全体に符号(－1)を掛けたものを採用しても,理論としては同等なので符号数が(ｐ,ｑ)の時空と符号数が(ｑ,ｐ)の時空は,それを扱う理論全体の符号を取り違えることがないなら,全く同じ時空を表わすものと考えていいのです。

したがって,符号数が(ｐ,1)の場合だけでなく,(1,ｑ)の場合,つまり正の固有値が１個だけで他は負の擬リーマン計量もローレンツ計量と呼ぶことにします。

そして,特にこれら計量がローレンツ計量であるような擬リーマン多様体をローレンツ多様体(Lorentz manifold)と呼びます。

特に,時空次元がｎ＝４の４次元時空の場合には,リーマン計量からはユークリッド計量:δ≡diag(1,1,1,1)が得られ,ローレンツ計量からはミンコフスキー計量Minkowski metric):η≡diag(－1,1,1,1),またはη≡diag(1,－1,－1,－1)が得られます。

ただし,私の本シリーズの記事ではミンコフスキー計量として一貫して後者のη＝diag(－1,1,1,1)を採用します。

なお,シルヴェスターの慣性律関連については,過去2007年5/15のブログ記事「シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体」において詳述していますので,よろしかったら参照してください。

さて,(Ｍ,ｇ)がローレンツ多様体である場合,Ｔ_p(Ｍ)の元は次のように３つのクラスに分類できます。

(ⅰ)ｇ_p(Ｕ,Ｕ)＞0 :Ｕは時間的(time-like)である。(ⅱ)ｇ_p(Ｕ,Ｕ)＝0 :Ｕは光錐的(light-like),あるいは零(null)である,(ⅲ)ｇ_p(Ｕ,Ｕ)＜0 :Ｕは空間的(space-like)である。という分類ですね。

　ここで以前の2007年5/15のブログ記事「シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体」から少しだけ引用します。

(引用):時空座標がｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)で与えられる点ｐの近傍での一般座標変換による局所的に平坦なミンコフスキー計量の座標をＸ^μとし,これらの間の変換をｄＸ^μ＝ａ^μ_ν(ｐ)ｄｘ^ν,またはＡ(ｐ)を成分が(ａ^μ_ν(ｐ))の行列としてｄＸ＝Ａ(ｐ)ｄｘと表わします。

　このとき,ａ^μ_ν(ｐ)＝(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)|_ｐであり,計量を示す２次形式の不変式は,ｄｓ²＝ｇ_μν(ｐ)ｄｘ^μｄｘ^ν＝η_μνｄＸ^μｄＸ^ν＝η_λσａ^λ_μａ^σ_νｄｘ^μｄｘ^νと書けます。

すなわち,ｇ_μν(ｐ)＝η_λσａ^λ_μａ^σ_ν＝η_λσ(∂Ｘ^λ/∂ｘ^μ)(∂Ｘ^σ/∂ｘ^ν)|_ｐが成立します。

行列形式では,Ｇ(ｐ)＝^tＡ(ｐ)ΗＡ(ｐ)です。

ただし,行列Ｇ(ｐ),Ｈは成分がＧ(ｐ)≡[ｇ_μν(ｐ)],Η≡(η_μν)で与えられるとして定義しています。

Ｇ(ｐ),Ａ(ｐ)などにおける引数ｐを省略してこれらをＧ,Ａ etc.と書き,Ｐ≡(Ａ)^-1とおけば,Ｇ(ｐ)＝^tＡ(ｐ)ΗＡ(ｐ)は,Ｇ＝^tＰ^-1ΗＰ^-1,あるいはＨ＝^tＰＧＰとも書くことができます。

こうしたＰが常に存在することが,計量Ｇ(ｐ)を持つ多様体が"ローレンツ多様体"になるための条件です。

これを時空における基底の変換と解釈し,{ｅ_μ},および{ｅ⁰_μ}をそれぞれ計量がｇ_μν,およびη_μνとなる同じ時空点の局所座標の基底,すなわち,ｄｘ^μｅ_μ＝ｄＸ^μｅ⁰_μであるとします。

ｄＸ^μ＝ａ^μ_ν(ｘ)ｄｘ^νを代入すれば,ｄｘ^μｅ_μ＝ａ^ν_μ(ｘ)ｄｘ^μｅ⁰_νによってｅ_μ＝ａ^ν_μ(ｐ)ｅ⁰_ν,または(ｅ₀,ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)＝(ｅ⁰₀,ｅ⁰₁,ｅ⁰₂,ｅ⁰₃)Ａ(ｐ)です。

また,ｐを省略しＰ≡Ａ^-1を用いると(ｅ⁰₀,ｅ⁰₁,ｅ⁰₂,ｅ⁰₃)＝(ｅ₀,ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)Ｐです。(引用終わり)

さて,{ｅ⁰₀,ｅ⁰₁,ｅ⁰₃,ｅ⁰₄}を計量ｇ_μνがη_μνとなるるミンコフスキー標構の基底とします。

このとき,ｅ⁰_±≡(ｅ⁰₀±ｅ⁰₁)/2^1/2として,この新基底{ｅ⁰₊,ｅ⁰_-,ｅ⁰₃,ｅ⁰₄}に対する計量ｇ_μνをη^LC_μνとします。

すると,ｄＸ^μｅ⁰_μ＝ｄＸ⁰ｅ⁰₀＋ｄＸ¹ｅ⁰₁＋ｄＸ²ｅ⁰₂＋ｄＸ³ｅ⁰₃＝ｄＸ⁺ｅ⁰₊＋ｄＸ^-ｅ⁰_-＋ｄＸ²ｅ⁰₂＋ｄＸ³ｅ⁰₃なので,これからｄＸ⁰＝(ｄＸ⁺＋ｄＸ^-)/2^1/2,ｄＸ¹＝(ｄＸ⁺－ｄＸ^-)/2^1/2が得られます。

そこで,この変換に一般的公式ｇ_μν＝η_λσ(∂Ｘ^λ/∂ｘ^μ)(∂Ｘ^σ/∂ｘ^ν)を適用すると,η^LC₀₀＝η₀₀(∂Ｘ⁰/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ⁰/∂Ｘ⁺)＋η₀₁(∂Ｘ⁰/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ¹/∂Ｘ⁺)＋η₀₁(∂Ｘ¹/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ⁰/∂Ｘ⁺)＋η₁₁(∂Ｘ¹/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ¹/∂Ｘ⁺)＝1/2－1/2＝0,η^LC₀₁＝(∂Ｘ⁰/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ⁰/∂Ｘ^-)－(∂Ｘ¹/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ¹/∂Ｘ^-)＝1/2＋1/2＝1＝η^LC₁₀となります。

同様にη^LC₁₁＝0 となります。これ以外はη^LC_μν＝η_μνです。

計量がｇ_μν＝η^LC_μνの形になるような標構{ｅ⁰₊,ｅ⁰_-,ｅ⁰₃,ｅ⁰₄}を光錐標構といいます。

さて,ここでまた以前の2008年11/３の記事「相対論の幾何学(第Ⅱ部-4:流れとリー微分)」で述べた多様体におけるいくつかの概念の定義を再掲します。

(再掲) 一方,ｆ_*(Ｖ^)[ｇ]≡Ｖ^[ｇ・ｆ]を満たす写像としてｆ:Ｍ→Ｎからの誘導写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)を定めた上述の論旨のアナロジーで,双対空間においても写像ｆから誘導される写像ｆ^*:Ｔ_f(p)^*(Ｎ)→Ｔ_p^*(Ｍ)を,＜ｆ^*ω,Ｖ^＞＝＜ω,ｆ_*(Ｖ^)＞を満たす写像として自然に定義できます。

ｆ:Ｍ→Ｎに対して,ｆ_*がＴ_p(Ｍ)からＴ_f(p)(Ｎ)への写像であったのに反し,ｆ^*の方はＴ_f(p)^*(Ｎ)からＴ_p^*(Ｍ)への写像であって,これは対応する余接空間の間の写像の向きが元の多様体の間の写像の向きと逆なので,いわゆる引き戻しと呼ばれるものの一種です。

ここで,多様体Ｍ,Ｎの次元がｍ≦ｎ,すなわちdimＭ≦dimＮを満たす場合を想定します。

そして滑らかな写像ｆ：Ｍ→Ｎによって誘導される微分写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)が単射のとき,つまりrank­ｆ_*＝ｍ＝dimＭなるとき,写像ｆをＭからＮへの"はめ込み(immersion)"と言います。

写像ｆが"はめ込み"であって,かつ像ｆ(Ｍ)がＭに微分同相であるとき,ｆを"埋め込み(embedding)"であると言い,ｆ(Ｍ)をＮの部分多様体と呼びます。(再掲終わり)

さて,(Ｎ,ｇ_N)を計量ｇ_Nが与えられたｎ次元の微分多様体Ｍ⊂Ｎをｍ次元の部分多様体とします。

すなわち,ｆ：Ｍ→ＮがＭの部分多様体としての構造を誘導する"埋め込み"であるとします。このとき,引き戻しｆ^*はＭにおける自然な計量ｇ_Ｍ≡ｆ^*ｇ_Ｎを誘導します。この計量を誘導計量と言います。

定義をそのまま書き連ねてゆくと,まず写像ｆ:Ｍ→Ｎに対する引き戻しｆ^*は誘導写像ｆ^*:Ｔ_f(p)^*(Ｎ)→Ｔ_p^*(Ｍ)で,＜ｆ^*ω,Ｖ^＞＝＜ω,ｆ_*(Ｖ^)＞を満たすものとして定義されます。

そこで,∀Ｕ,Ｖ∈Ｔ_f(p)(Ｎ)に対しＶ→ｇ_Ｎ(Ｕ,Ｖ)で定義される写像(1-形式)ω_U≡ｇ_Ｎ(Ｕ,):Ｔ_f(p)(Ｎ)→Ｒの引き戻しは,＜ｆ^*ω_U,Ｖ^＞＝＜ω_U,ｆ_*(Ｖ^)＞,つまり＜ｆ^*ｇ_Ｎ(Ｕ,),Ｖ^＞＝＜ｇ_N(Ｕ,),ｆ_*(Ｖ^)＞を満たす写像です。

一方,ｆ:Ｍ→ＮとＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)に対して誘導写像ｆ_*はｆ_*(Ｖ^)[ｈ]≡Ｖ^[ｈ・ｆ]で定義されます。

ここで,ｈはＮ上の任意関数です。

つまり∀Ｕ,Ｖ∈Ｔ_p(Ｍ)に対してｆ_*(Ｕ^),ｆ_*(Ｖ^)∈Ｔ_f(p)(Ｎ)ですから,写像ｇ_Ｍ≡ｆ^*ｇ_Ｎは＜ｆ^*ｇ_Ｎ(ｆ_*(Ｕ^),),ｆ_*(Ｖ^)＞＝＜ｇ_Ｎ(ｆ_*(Ｕ^),ｆ_*(Ｖ^)＞＝ｇ_Ｎ(ｆ_*(Ｕ^),ｆ_*(Ｖ^))を意味します。

結局,ｇ_Ｍ≡ｆ^*ｇ_Ｎなる定義は,ｇ_Ｍ(Ｕ^,Ｖ^)＝ｇ_Ｎ(ｆ_*(Ｕ^),ｆ_*(Ｖ^))なる等式を意味するというわけで,計量として自然な定義になっています。

ここで,最初の方で述べた(0,2)型テンソルｇを基底{ｄｘ^μ⊗ｄｘ^ν}で展開したときの係数ｇ_μν＝ｇ_μν(ｐ)が計量ｇ_pの成分である,という計量の成分の定義式:ｇ_p＝ｇ_μν(ｐ)ｄｘ^μ⊗ｄｘ^νを考えます。

点ｐ∈Ｍの座標をｘ,点ｆ(ｐ)∈Ｎの座標をｙ＝ｆ(ｘ)とし上の定義式ｇ_p＝ｇ_μν(ｐ)ｄｘ^μ⊗ｄｘ^νの代わりに,ｇ_Ｍ(ｘ)＝ｇ_Ｍμν(ｘ)ｄｘ^μ⊗ｄｘ^ν,ｇ_Ｎ(ｆ(ｘ))＝ｇ_Ｎ(ｙ)＝ｇ_Ｎμν(ｙ)ｄｙ^μ⊗ｄｙ^νと書いてみます。

一方,ｆ_*の定義式ｆ_*(Ｖ^)[ｈ]≡Ｖ^[ｈ・ｆ]にＶ^＝∂/∂ｘ^μを代入すると,ｆ_*(∂/∂ｘ^μ)[ｈ]＝[∂{ｈ(ｙ))/∂ｘ^μ]＝(∂ｆ^λ/∂ｘ^μ)(∂ｈ/∂ｙ^λ)ですから,結局ｆ_*(∂/∂ｘ^μ)＝(∂ｆ^λ/∂ｘ^μ)(∂/∂ｙ^λ)です。

そこで,上で得た等式ｇ_Ｍ(Ｕ^,Ｖ^)＝ｇ_Ｎ(ｆ_*(Ｕ^),ｆ_*(Ｖ^))にＵ^＝∂/∂ｘ^μ,Ｖ^＝∂/∂ｘ^νを代入すると,ｇ_Ｍ(∂/∂ｘ^μ,∂/∂ｘ^ν)＝ｇ_Ｎ(ｆ_*(∂/∂ｘ^μ),ｆ_*(∂/∂ｘ^ν))＝(∂ｆ^λ/∂ｘ^μ)(∂ｆ^σ/∂ｘ^ν)ｇ_Ｎ(∂/∂ｙ^λ,∂/∂ｙ^σ)を得ます。

したがって,ｇ_Ｍの成分はｇ_Ｎの成分からｇ_Ｍμν(ｘ)＝ｇ_Ｎλσ(ｆ(ｘ))(∂ｆ^λ/∂ｘ^μ)(∂ｆ^σ/∂ｘ^ν)によって誘導されます。

今日はこれで終わります。

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

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相対論の幾何学(第Ⅱ部-7)(リー群とリー代数)

相対論の幾何学シリーズ記事の多様体に作用するリー群とリー代数等について残りの必要な知見を要約します。

まず,既に述べたことの復習です。

(復習):Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)を微分多様体Ｍ上の滑らかなベクトル場とするとき,Ｘ^の積分曲線ｘ(ｔ)とはＭ上の曲線であって,その上の各点ｘ＝ｘ(ｔ)∈Ｍでの接ベクトルが丁度Ｘ^|_xに一致するものです。

つまり,ｘ＝ｘ(ｔ)がＸ^の積分曲線であるとは曲線上の各点ｘの近傍Ｕでチャート(Ｕ,φ)が与えられたとき,座標(位置ベクトル)ｘ(ｔ)＝{ｘ^μ(ｔ)}が,微分方程式ｄｘ^μ/ｄｔ＝Ｘ^μ(ｘ(ｔ))の解になることを意味します。

ただし,正確には点の座標ｘ^μ＝ｘ^μ(ｔ)とは,チャート(Ｕ,φ)による座標φ(ｘ(ｔ))の成分φ^μの意味です。

ベクトル場Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)が滑らかなベクトル場であることから,初期条件として点ｘ(0)＝ｘ₀を与えれば,この点を通る一意的なｄｘ/ｄｔ＝Ｘの解が少なくとも局所的には存在することが,常微分方程式の解の存在と一意性の定理によって保証されます。

そこで初期条件ｘ(0)＝ｘ₀を満たすｄｘ/ｄｔ＝Ｘの一意解をσ(ｔ,ｘ₀)とします。

すなわち,ｄσ^μ(ｔ,ｘ₀)/ｄｔ＝Ｘ^μ(σ(ｔ,ｘ₀)),かつσ^μ(0,ｘ₀)＝ｘ₀^μとします。

このσ(ｔ,ｘ)∈Ｍ for (ｔ,ｘ)∈Ｒ×Ｍで表わされる写像σ:Ｒ×Ｍ → Ｍを"Ｍの上の滑らかなベクトル場Ｘ^によって生成される流れ"と呼びます。

[定義５]:リー群をＧとし,ａ,ｇ∈Ｇとする。Ｇの上での変換としてｇのａによる右移動Ｒ_a,および左移動Ｌ_aを,それぞれＲ_aｇ≡ｇａ,およびＬ_aｇ≡ａｇで定義する。

定義により,右左移動:Ｒ_a,Ｌ_aは共に明らかにＧからＧへの微分同相写像です。

したがって,これらに対して接ベクトルの空間の上の誘導写:Ｒ_a*:Ｔ_g(Ｇ)→Ｔ_ga(Ｇ),およびＬ_a*:Ｔ_g(Ｇ)→Ｔ_ag(Ｇ)が存在します。

そして,これら両方の移動は等価なので,以下では左移動のみを考えることにします。

以下,移動に関連する概念の定義をいくつか列記します。

[定義６]:Ｘ^＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)をリー群Ｇ上のベクトル場とする。これが左移動に対してＬ_a*Ｘ^|_g＝Ｘ^|_agを満たすとき,このＸ^を左不変ベクトル場であるという。

[定義７]:Ｇの上の左不変ベクトル場全体の集合ｇであって,リー括弧積[ , ]:ｇ×ｇ →ｇが定義されたものをリー代数(Lie algebra),またはリー環という。

　(復習終わり)

　さて,Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)を"リ－群Ｇ＝微分多様体Ｇ"上の滑らかな左不変ベクトル場とすると,これはＧにおける流れを生成します。これに関連して1つ定義を書きます。

[定義８]:Ｇにおける曲線φ:Ｒ→Ｇがφ(ｔ)φ(ｓ)＝φ(ｔ＋ｓ)を満たすとき,φをＧの１-パラメータ部分群)という。

これから,明らかにｅ＝φ(0),かつφ^-1(ｔ)＝φ(－ｔ)であり,曲線φはＲからＧへの準同型写像です。Ｇが非アーベル群の場合でも,曲線φの群は常にアーベル部分群であることもわかります。

Ｇの１-パラメータ部分群φ:Ｒ→Ｇが与えられたとき,ｄφ^μ(ｔ)/ｄｔ＝Ｘ^μを満たすベクトル場Ｘ≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)が存在します。これがＧの上で左不変であることを示します。

すなわち,ｄ/ｄｔ≡(ｄφ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)が左不変であることを証明します。

(証明):定義によれば,ベクトル場ｄ/ｄｔが左不変である,というのは(Ｌ_a)_*(ｄ/ｄｔ)|_g＝(ｄ/ｄｔ)||_agが成立することを意味しますが,点ｇと点ａｇが共に同じ流れ関数の曲線φ(ｔ)上の点でなければ,ｄ/ｄｔなる演算に意味がないのでｇ＝φ(ｓ),ａ＝φ(ｔ)とすると,φは１-パラメータ部分群なのでａｇ＝φ(ｔ)φ(ｓ)＝φ(ｔ＋ｓ)です。

今,ａもｇもパラメータｔ,ｓだけで決まるので,(Ｌ_a)_*(ｄ/ｄｔ)|_gを(Ｌ_t)_*(ｄ/ｄｔ)|_sと書きます。

そして,ｆ:Ｍ→Ｎに対する誘導写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)の定義式ｆ_*Ｘ^[ｈ]≡Ｘ^[ｈ・ｆ]で,ｆ,ｆ_*の代わりにＬ_t:Ｇ→Ｇ,(Ｌ_t)_*:Ｔ_φ(s)(Ｇ)→Ｔ_φ(t+s)(Ｇ)を代入し,ｈをＮ上の関数ではなくＧ上の任意関数とします。

すると,誘導写像の定義は,(Ｌ_t)_*(ｄｈ(φ(ｔ))/ｄｔ)|_s＝(ｄ/ｄｔ)[ｈ(Ｌ_tφ(ｓ))]＝(ｄ/ｄｔ)(ｈ(φ(ｔ＋ｓ)))を意味します。

それ故,１-パラメータ部分群φの場合,誘導写像の定義がそのまま左不変の定義(Ｌ_t)_*(ｄ/ｄｔ)|_s＝(ｄ/ｄｔ)|_t+sに一致しますから,確かにｄ/ｄｔ＝(ｄφ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)は左不変です。

特に,ｇ＝φ(ｓ)でｓ＝0 つまりｇ＝φ(0)＝ｅとすれば左不変性は(Ｌ_t)_*(ｄ/ｄｔ)|₀＝(ｄ/ｄｔ)|_tと書けます。(証明終わり)

くどいようですが,Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)の係数がＸ^μ≡ｄφ^μ(ｔ)/ｄｔで与えられる場合には,ｇ＝φ(ｔ)のときＸ^|_g＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)|_g＝(ｄ/ｄｔ)|_t＝(ｄφ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)|_φ(t)と書けます。

そして,この式でｔ＝0 としてｇの代わりにｅ＝φ(0)と書くと,Ｘ^|_e＝(ｄ/ｄｔ)|₀＝(ｄφ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)|_φ(0)となります。

そこで,上に示したｄ/ｄｔの左不変性(Ｌ_t)_*(ｄ/ｄｔ)|₀＝(ｄ/ｄｔ)|_tは,ベクトル場Ｘ^を用いた表記ではＬ_g*Ｘ^|_e＝Ｘ^|_gとなります。

以上から,流れφ(ｔ)が与えられると,それに伴なう左不変ベクトル場Ｘ^|_gが常に存在することが示されました

逆に,左不変ベクトル場Ｘ^があると,ｄσ^μ(ｔ,ｇ)/ｄｔ＝Ｘ^μ|_g,かつσ(0,ｇ)＝ｇを満たす流れσ(ｔ,ｇ):Ｒ→Ｇが存在します。

そこでφ(ｔ)≡σ(ｔ,ｅ)と定義すると,曲線φ(ｔ)はＧの１-パラメータ部分群になることがわかります。

すなわち,定義によりｄσ^μ(ｔ,σ(ｓ,ｅ))/ｄｔ＝Ｘ^μ(σ(ｔ,σ(ｓ,ｅ))),つまりｄσ^μ(ｔ,φ(ｓ))/ｄｔ＝Ｘ^μ(σ(ｔ,φ(ｓ)))です。また特にσ(0,φ(ｓ))＝φ(ｓ)です。

一方,σ~(ｔ,φ(ｓ))をσ~(ｔ,φ(ｓ))≡φ(ｔ)φ(ｓ)で定義すれば,φ(ｔ)≡σ~(ｔ,ｅ)ですからｄσ~^μ(ｔ,φ(ｓ))/ｄｔ＝Ｘ^μ(σ~(ｔ,φ(ｓ))),かつσ~(0,φ(ｓ))＝φ(ｓ)です。

以上から,常微分方程式の解の一意性定理によって,σとσ~は一致します。つまりσ(ｔ,σ(ｓ,ｅ))＝σ~(ｔ,φ(ｓ))＝φ(ｔ)φ(ｓ)となりますが,σ(ｔ,ｇ)は流れですからσ(ｔ,σ(ｓ,ｅ))＝σ(ｔ＋ｓ,ｅ)＝φ(ｔ＋ｓ)を満足します。

そこで,結局φ(ｔ＋ｓ)＝φ(ｔ)φ(ｓ)が得られます。

こうして,Ｇの１-パラメータ部分群と左不変ベクトル場の間には１対１の対応があることがわかりました。

[定義９]:Ｇを１つのリー群としＶ＾∈Ｔ_e(Ｇ)とする。このとき指数写像:exp:Ｔ_e(Ｇ)→Ｇを,exp(Ｖ＾)≡φ_V(1)で定義する。ここでφ_V(ｔ)は左不変ベクトル場Ｘ_V|_g≡Ｌ_ｇ*Ｖ^に対応するＧの１-パラメータ部分群である。

(Ｘ_V|_e＝Ｖ＾∈Ｔ_e(Ｇ)であり,Ｘ_VはＸ_V|_g≡Ｌ_ｇ*Ｖ^で定義されて,これをＶ＾によって生成される左不変ベクトル場といいます。)

ここで,任意のベクトル場Ｖ^∈Ｔ_e(Ｇ)に対して一意的に決まる左不変ベクトル場Ｘ_V^の概念について,前記事で述べた内容を再掲します。

(再掲):任意のベクトル場Ｖ^∈Ｔ_e(Ｇ)とｇ∈Ｇに対して,ベクトル場Ｘ_V^をＸ_V^|_g≡Ｌ_g*Ｖ^で定義します。

　Ｘ_V^|_g,ｇ∈ＧはＧ全体で決まります。

　そして,これはＸ_V^|_ag＝Ｌ_ag*Ｖ^＝(Ｌ_a*Ｌ_g*)Ｖ^＝Ｌ_a*Ｘ_V^|_gを満たしますから,Ｘ_V^それ自身左不変です。

　逆にＧの上の任意の左不変ベクトル場Ｘ^があるとき,Ｔ_e(Ｇ)の元としてＶ^≡Ｘ^|_eを与えるとＸ_V^|_g＝Ｌ_a*Ｖ^|_gとなりますから,Ｘ_V^≡Ｘ^が成立します。

Ｇの上の左不変ベクトル場全体の集合をｇと書けば,写像Ｖ^→Ｘ_V^はＴ_ｅ(Ｇ)からｇへの同型写像であることがわかります。

左不変ベクトル場全体ｇはＴ_ｅ(Ｇ)に同型なベクトル空間です。そして,特にdimｇ＝dimＧです。

Ｘ_V^をＶ^によって生成される左不変ベクトル場といいます。

ベクトルＶ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)|_e∈Ｔ_e(Ｇ)は,リー群Ｇが行列群ＧＬ(ｎ,Ｒ)の場合には,Ｖ^＝Ｖ^ij(∂/∂ｘ^ij)|_eとなり,Ｖ^で生成される左不変ベクトル場Ｘ_V^はＸ_V^|_g＝Ｌ_a*Ｖ^|_g＝Σ_ijklmＶ^ij[∂({ｘ^kl(ｇ)ｘ^lm(ｅ)}/∂ｘ^ij(ｅ)}{∂/∂ｘ^km(ｇ)}＝Σ_ijkｘ^ki(ｇ)Ｖ^ij(ｅ)(∂/∂ｘ^kj)|_gと表わされます。

(Ｖ^ijは行列Ｖ^の(ｉ,ｊ)要素ですが,これをｎ²次元ベクトルＶ^の成分Ｖ^μ(μ＝1,2,..ｎ²)と同一視しました。)

ここで,上の最後に陽に書いたベクトル場Ｘ_V^|_g＝Ｌ_a*Ｖ^|_gの係数をｇの座標を示す行列とＶ^の行列との積の行列要素として,Σ_kｘ^ki(ｇ)Ｖ^ij(ｅ)＝(ｇＶ)^kjと書くことにすれば,上記表現はＸ_V^|_g＝Σ_ij(ｇＶ)^ij(∂/∂ｘ^ij)|_gとなります。(再掲終わり)

さて,重要な定理を１つ与えて証明します。

[定理]:Ｇを１つのリー群としＶ＾∈Ｔ_e(Ｇ)とする。このときexp(ｔＶ＾)＝φ_V(ｔ)が成り立つ。

(証明)ａ∈Ｒをゼロでない定数とすると,