指数関数,三角関数の構成的定義

　T_NAKAさんのブログ「T_NAKAの阿房ブログ」の最近のEulerの公式関連の記事に刺激されたこともありますが,

　ここのところ,私の科学記事は物理学それも素粒子論の「量子電磁力学のくりこみの具体的計算」と,かなり偏ってきているので,数学,それも19世紀の解析学(analysis)で息抜き？をします。

　手抜き(＝息抜き？)をして40年くらい前の大学３～４年の頃の化石的ノートからです。

　種本はもうボロボロになったW.Rudinの"Principles of Mathematical Analysis"(McGrawHill)のReprint版です。

　当時は"学生運動部,暴力学生科"に属していたこともあり,物理学科３年生で必修２科目＝たった４単位足りなくて留年となりました。

　この２回目の３年生のときは,物理は２科目とヒマなので数学科にもぐりこんで講義を受けましたが,そのときの教科書がこれです。

　これ,後に邦訳で「現代解析学」として出版されています。

(↑このときの数学科の講義を受けた１年間は,後で非常に役に立っています。昔から転んでもタダでは起きないので。。。)

　さて,この項では複素関数論の知見を極力用いずに,単に実数体Ｒでの議論を複素数体Ｃに拡張した話として論じます。

　そこで,ほとんどはＣをＲに,ｚ∈Ｃをｘ∈Ｒに読み替えても成立する話です。

[補助定理](級数論から)：Ｒをある非負の実数とし,級数Σ_n=0^∞ｃ_nｚⁿ (ｚ∈Ｃ)が|ｚ|＜Ｒに対して収束するとき,

　ｆ(ｚ)≡Σ_n=0^∞ｃ_nｚⁿとおけば,∀0＜ε＜Ｒに対して,上記級数は{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で一様収束する。

　また,ｆ(ｚ)は{ｚ∈Ｃ:|ｚ|＜Ｒ}において連続かつ微分可能であってｆ'(ｚ)≡ｄｆ/ｄｚ＝Σ_n=1^∞ｎｃ_nｚ^n-1 である。

(証明):Ｒより小さい実数ε＞0 が任意に与えられたとします。

　|ｚ|≦Ｒ－εなら|ｃ_nｚⁿ|≦|ｃ_n(Ｒ－ε)ⁿ|であり仮定によってΣ_n=0^∞ｃ_n(Ｒ－ε)ⁿは収束します。

　故に優級数の法則によりΣ_n=0^∞ｃ_nｚⁿは{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で絶対かつ一様収束します。

　一方,lim_n→∞ｎ^1/n＝1なのでlimsup(ｎ|ｃ_n|)^1/n＝limsup(|ｃ_n|)^1/n＝1/Ｒです。

　したがって,Σ_n=1^∞ｎｃ_nｚ^n-1 も{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で絶対かつ一様収束します。

　ｓ_n(ｚ)＝Σ_k=0ⁿｃ_kｚ^kとおけば,これは明らかに{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で連続かつ微分可能です。

　ｆ(ｚ)＝lim_n→∞ｓ_n(ｚ)が一様収束なので,ｆ(ｚ)は{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で連続です。

　また,ｓ_n'(ｚ)＝Σ_k=1ⁿｋｃ_kｚ^k-1であり,これは{ｚ∈Ｃ:|ｚ|≦Ｒ－ε}で連続です。

　この領域でｓ_n(ｚ)がｓ_n(ｚ)→ｆ(ｚ)と各点収束し,ｓ_n'(ｚ)→ｇ(ｚ)と一様収束するなら,ｆ'(ｚ)＝ｇ(ｚ)＝lim_n→∞ｓ_n'(ｚ)＝Σ_n=1^∞ｎｃ_nｚ^n-1 でありｇ(ｚ)＝ｆ'(ｚ)は連続です。(証明終わり)

(※(注0):優級数の法則というのは,実数Ｒの空間が絶対値をノルムとして完備なノルム空間,すなわち数列(点列)のCauchy列が収束するなら列も収束する空間なので,

　|ａ_n|≦|ｂ_n|(ｂ_nがａ_nの優級数)でΣ_nｂ_nが収束するなら,|Σ_n=m^∞ａ_n|≦|Σ_n=m^∞ｂ_n|→0 より,Σ_nａ_nも収束するという法則です。※)

[定義1](指数関数):複素数体Ｃの上の関数Ｅ(ｚ)を右辺の級数が収束するなら,Ｅ(ｚ)≡Σ_n=0^∞ｕ_n(ｚ)＝Σ_n=0^∞ｚⁿ/ｎ!で定義する。(ｕ_n(ｚ)≡ｚⁿ/ｎ!)

[Ｅの性質]:∀ｚ∈Ｃについて,{|ｚ|ⁿ⁺¹/(ｎ＋1)!}/(|ｚ|ⁿ/ｎ!)＝|ｚ|/(ｎ＋1)→ 0 as ｎ→∞ なので,

　十分大きいｎに対し,limsup|ｕ_n+1(ｚ)/ｕ_n(ｚ)|＜1です。

　故に,Σ_n=0^∞ｕ_n＝Σ_n=0^∞ｚⁿ/ｎ!は∀ｚ∈Ｃに対して絶対収束して有限確定値を取ります。

　定義式の級数の収束半径は∞であり,絶対かつ一様に収束します。

　絶対収束する級数の掛け算則によれば,

　Ｅ(ｚ)Ｅ(ｗ)＝(Σ_n=0^∞ｚⁿ/ｎ!)(Σ_m=0^∞ｗ^m/ｍ!)

＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)Σ_k=0ⁿ [_nＣ_k=0ⁿｚ^kｗ^n-k]＝Σ_n=0^∞(ｚ＋ｗ)ⁿ/ｎ!です。

　故に,∀ｚ,ｗ∈Ｃに対しＥ(ｚ＋ｗ)＝Ｅ(ｚ)Ｅ(ｗ)が成立します。

　これから,Ｅ(ｚ)Ｅ(－ｚ)＝Ｅ(0)＝1です。

　このことから,また,∀ｚ∈ＣについてＥ(ｚ)≠0 です。

　そして,特にｘ∈ＲならＥ(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｘⁿ/ｎ!ですが,右辺の級数はｘ＞0 なら正ですからＥ(ｘ)＞0　です。

　そこで,Ｅ(ｘ)Ｅ(－ｘ)＝Ｅ(0)＝1より,Ｅ(－ｘ)＝1/Ｅ(ｘ)＞0 ですから,結局∀ｘ∈ＲについてＥ(ｘ)＞0 です。

　定義によって,ｘ→＋∞に対してＥ(ｘ)＞1＋ｘ→＋∞ですからＥ(ｘ)＝1/Ｅ(－ｘ)よりｘ→－∞に対してＥ(ｘ)→0 です。

　ｘ＞0のとき,Ｅ(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｘⁿ/ｎ!の右辺各項は１を除いて全て単調増加するので,0＜ｘ＜ｙならＥ(ｘ)＜Ｅ(ｙ)です。故に,0＜ｘ＜ｙならＥ(－ｘ)＞Ｅ(－ｙ)です。

[定理1]:微分係数:Ｅ'(ｚ)は常に存在してＥ'(ｚ)＝Ｅ(ｚ)である。

(証明):{Ｅ(ｚ＋ｈ)－Ｅ(ｚ)}/ｈ＝{Ｅ(ｚ)Ｅ(ｈ)－Ｅ(ｚ)}/ｈ＝Ｅ(ｚ)[{Ｅ(ｈ)－1}/ｈ]です。

　ところが,{Ｅ(ｈ)－1}/ｈ＝Σ_n=1^∞ｈ^n-1/ｎ!＝1＋ｈ/2!＋ｈ²/3!＋..ですから,lim_h→0[{Ｅ(ｈ)－1}/ｈ]＝1＝Ｅ'(0)です。

　故に,Ｅ'(ｚ)＝lim_h→0{Ｅ(ｚ＋ｈ)－Ｅ(ｚ)}/ｈ＝Ｅ(ｚ)im_h→0[{Ｅ(ｈ)－1}/ｈ]＝Ｅ(ｚ)です。(証明終わり)

　Ｅ(ｚ＋ｗ)＝Ｅ(ｚ)Ｅ(ｗ)から,帰納法によってＥ(ｚ₁＋ｚ₂＋..＋ｚ_n)＝Ｅ(ｚ₁)Ｅ(ｚ₂)..Ｅ(ｚ_n)です。

　特に,ｚ₁＝ｚ₂＝..＝ｚ_n＝ｚならＥ(ｎｚ)＝{Ｅ(ｚ)}ⁿです。

さらに,Ｅ(ｎｚ)＝{Ｅ(ｚ)}ⁿにおいて,ｚ＝1とおけばＥ(ｎ)＝{Ｅ(1)}ⁿを得ます。

　ところが,数ｅの定義から,Ｅ(1)＝Σ_n=1^∞(1/ｎ!)＝1＋1＋1/2!＋1/3!＋..＝ｅですから,結局,ｎが自然数ならＥ(ｎ)＝ｅⁿです。

　そしてＥ(－ｎ)＝1/Ｅ(ｎ)ですから,Ｅ(－ｎ)＝1/ｅⁿ ＝ｅ^-nであり,またＥ(0)＝1＝ｅ⁰です。

　結局ｎが整数ならＥ(ｎ)＝ｅⁿという結論を得ます。

※(注1):実数(超越数)ｅの定義は,このRudinのテキストではｅ≡Σ_n=1^∞(1/ｎ!)ですが,テキストによってはｅ≡lim_n→∞(1＋1/ｎ)ⁿが定義です。

　私も高校では後者の定義を習いました。

　これらの定義が等価であることを示すために,数列{ｓ_n},{ｔ_n}をそれぞれｓ_n≡Σ_k=1ⁿ(1/ｋ!),ｔ_n≡(1＋1/ｎ)ⁿとおきます。

ｓ_n≡Σ_k=1ⁿ(1/ｋ!)は,陽な外延的表現ではｓ_n＝1＋1＋1/2!＋1/3!＋..＋1/ｎ!です。

他方,二項定理によりｔ_n＝Σ_k=0ⁿ _nＣ_k(1/ｎ^k)＝Σ_k=0ⁿ{1/(ｎ^kｋ!)}ｎ(ｎ－1)(ｎ－2)..(ｎ－ｋ＋1)

＝Σ_k=0ⁿ[(1－1/ｎ)(1－2/ｎ)..{1－(ｋ－1)/ｎ}/ｋ!]

＝1＋1＋(1－1/ｎ)/2!＋(1－1/ｎ)(1－2/ｎ)/3!＋//＋[(1－1/ｎ)(1－2/ｎ)..{1－(ｎ－1)/ｎ}/ｎ!です。

　故に,ｔ_n≦ｓ_nですからlimsupｔ_n≦limsupｓ_nです。

　一方,ｎ≧ｍなら

ｔ_n＝1＋1＋(1－1/ｎ)/2!＋..＋[(1－1/ｎ)(1－2/ｎ)..{1－(ｎ－1)/ｎ}/ｎ! ≧1＋1＋(1－1/ｎ)/2!＋..＋[(1－1/ｎ)(1－2/ｎ)..{1－(ｍ－1)/ｎ}/ｍ!です。

　この式の右辺でｍを固定して,ｎ→∞の極限を取ると,

　liminfｔ_n≧1＋1＋1/2!＋..＋l/ｍ!＝ｓ_mを得ます。

　よって,ｍ→∞としてliminfｔ_n≧liminfｓ_nが得られます。

ｓ_nは収束することがわかっており,そこでlimsupｓ_n＝liminfｓ_n＝lim_n→∞ｓ_nです。

そこで,ｅ≡1＋1＋1/2!＋1/3!＋..＝limｓ_nという定義からは,

ｅ＝limsupｓ_n＝liminfｓ_nですから,ｅ≦liminfｔ_n≦limsupｔ_n≦ｅとなりlimsupｓ_n＝liminfｓ_n＝ｅとなります。

したがって,lim_n→∞ｔ_n＝lim_n→∞(1＋1/ｎ)ⁿ＝ｅであり,両者の定義は一致します。(注1終わり)※

　次に,ｐを正の有理数としてｐ＝ｎ/ｍとします。

　ｎ,ｍは自然数です。

　有理数体をＱ,整数環をＺ,自然数(正整数全体)をＪとする慣例記法を採用すれば,ｐ＝ｎ/ｍ∈Ｑ,(ｐ＞0),ｎ,ｍ∈Ｊです。

　このとき,{Ｅ(ｐ)}^m＝Ｅ(ｍｐ)＝Ｅ(ｎ)＝ｅⁿです。

よって,ｐ∈Ｑ,ｐ＞0ならＥ(ｐ)＝ｅ^n/m＝ｅ^pです。

Ｅ(－ｐ)＝1/Ｅ(ｐ)よりＥ(－ｐ)＝ｅ^-pですから,結局,∀ｐ∈Ｑに対してもＥ(ｐ)＝ｅ^pを得ます。

　ところで,ａ＞1なるａ∈Ｒと∀ｘ∈Ｒに対しては,ａ^ｘ＝supａ^pが成立します。

　ａ^pの上限:supａ^pとはsup{ａ^p:ｐ∈Ｑ,ｐ＜ｘ}を意味します。

そこでｘ∈Ｒについてもｅ^x＝sup{ｅ^p:ｐ∈Ｑ,ｐ＜ｘ}です。

関数Ｅ(ｘ)の連続性と単調性とＥ(ｐ)＝ｅ^p (ｐ∈Ｑ)から,∀ｘ∈Ｒに対してＥ(ｘ)＝ｅ^x＝exp(ｘ)を得ます。

後は,一致の定理,または解析接続によって,

∀ｚ∈Ｃに対してＥ(ｚ)＝ｅ^z＝exp(ｚ)を得ます。

ただし,複素関数論の詳細についてはここでは言及しません。

以下では,Ｅ(ｚ)をｅ^z,またはexp(ｚ)と書きます。

それ故,ｅ^z＝exp(ｚ)＝Σ_n=0^∞ｚⁿ/ｎ!です。

　さて,ｘ∈Ｒのときの指数関数exp(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｘⁿ/ｎ!の性質を列挙しておきます。

[定理2]:　　　

(ａ)関数exp(ｘ)はＲの上で連続で微分可能である。　

(ｂ){exp(ｘ)}'＝exp(ｘ)　

(ｃ)関数exp(ｘ)はＲの上で単調増加連続である。

(ｄ)exp(ｘ＋ｙ)＝exp(ｘ)exp(ｙ)　

(ｅ)lim_x→∞exp(ｘ)＝∞,lim_x→-∞exp(ｘ)＝0　

(ｆ)lim_x→∞{ｘⁿexp(－ｘ)}＝0 (ｎ∈J)

　(ｆ)以外は,ほぼ自明なので(ｆ)のみの証明を与えておきます。

((ｆ)の証明):ｘ＞0なら,exp(ｘ)＞ｘⁿ⁺¹/(ｎ＋1)!⇔ exp(－ｘ)＜(ｎ＋1)!/ｘⁿ⁺¹です。

故に,0＜ｘⁿexp(－ｘ)＜ｎ＋1)!/ｘなので,

lim_x→∞ｘⁿexp(－ｘ)＝0です。(証明終わり)

[定義2](対数関数):ＥはＲの上で厳密に単調増加で微分可能なので,やはり厳密に単調増加で微分可能な逆関数Ｌを持ちます。

　すなわち,Ｅ(Ｌ(ｙ))＝ｙ(ｙ＞0),あるいは同じことですがＬ(Ｅ(ｘ))＝ｘです。

　つまり,Ｌ(ｙ)はＥ(ｘ)＝ｙなるｘで定義されます。

[Ｌの性質]:

　Ｅ(Ｌ(ｙ))＝ｙの両辺をｙで微分すると,

　Ｅ'(ｘ)＝ｄＥ(ｘ)/ｄｘ＝Ｅ(ｘ)なので,合成関数の微分則(chain-rule)によりＥ(Ｌ(ｙ))Ｌ'(ｙ)＝1です。

　すなわち,ｙＬ'(ｙ)＝1なのでＬの微分係数はＬ'(ｙ)＝ｄＬ(ｙ)/ｄｙ＝1/ｙです。

　また,Ｌ(Ｅ(ｘ))＝ｘよりＬ(Ｅ(0))＝0,つまりＬ(1)＝0 です。

　それ故,微分の逆演算としての積分法の基本定理により,

　Ｌ(ｙ)＝∫₁^yＬ'(ｘ)ｄｘ＝∫(1/ｘ)ｄｘです。₁^y

　次に,ｕ＝Ｅ(ｘ),ｖ＝Ｅ(ｙ)と書けば,Ｌ(ｕｖ)＝Ｌ(Ｅ(ｘ)Ｅ(ｙ))＝Ｌ(Ｅ(ｘ＋ｙ))＝ｘ＋ｙです。

　ｘ＝Ｌ(ｕ),ｙ＝Ｌ(ｖ)ですから,Ｌ(ｕｖ)＝Ｌ(ｕ)＋Ｌ(ｖ)(ｕ,ｖ＞0)が成立します。

　Ｌ(ｘ)はＥ(ｘ)＝exp(ｘ)の逆関数ですから,通常Ｌ(ｘ)をlogｘと書き,ｘの対数関数と呼びます。

　さて,対数関数の他の性質ですが,[定理2](ｅ)のlim_x→∞exp(ｘ)＝∞,lim_x→-∞exp(ｘ)＝0 ,および関数Ｅ,Ｌの単調性から,

　ｙ＝Ｅ(ｘ)→∞とｘ＝Ｌ(ｙ)→∞は同値,またｙ＝Ｅ(ｘ)→0 とｘ＝Ｌ(ｙ)→－∞は同値です。

　そこで,ｘ→∞に対しlogｘ→∞,ｘ→0 に対しlogｘ→-∞です。

　また,ｘ＞0 としてＥ(ｎＬ(ｘ))＝{Ｅ(Ｌ(ｘ))}ⁿ＝ｘⁿです。

　これはｎ∈Ｚの場合ですが,同じくｘ＞0,ｍ∈Ｊとして,

　Ｅ(Ｌ(ｘ)/ｍ)＝ｘ^1/mです。何故なら,両辺をｍ乗するとＥ(Ｌ(ｘ))＝ｘとなるからです。

　よってｘ＞0 なら∀ｐ∈Ｑに対してｘ^p＝Ｅ(ｐＬ(ｘ))＝exp(ｐlogｘ)＝ｅ^plogxですから,

　∀α∈Ｒに対して,

　ｘ^α≡Ｅ(αＬ(ｘ))＝exp(αlogｘ)＝ｅ^αlogx

でｘ(ｘ＞0)のα乗:ｘ^αを定義します。

(※余談ですが,ｘ＞0でなかったり複素数ｘ＝ｚなら,logｘは一般に一価でなく多価です。

　つまり,通常の意味では関数でさえないのでｘ^αも多価で,一意的定義にはなりません。まあ,(－1)^1/2＝±iとかは複素数を考えないなら存在しないですが。。

　しかし,α＝ｎ(ｎが整数)なら,ｘ＜0でｘ＝－ｙ(ｙ＞0)でも,logｘ＝logｙ＋i(2ｋ＋1)πなのでｘⁿ＝exp(αlogｘ)＝exp(ｎlogｙ＋iｎ(2ｋ＋1)π＝exp(ｎlogｙ＋iｎπ)＝(－1)ⁿｙⁿで通常のｘⁿの定義に一致するため問題ないのですが。。※)

　この定義を用いると,ｘ^αの微分係数は,

　(ｘ^α)'＝Ｅ(αＬ(ｘ))(α/ｘ)＝αｘ^α-1で与えられます。

　かくして,整数ｎに対する微分法則:(ｘⁿ)'＝ｎｘ^n-1は,ｎが整数でなく一般の実数αのケースでも成立することがわかります。

　そこで,α≠－1なら∫ｘ^αｄｘ＝ｘ^α+1/(α＋1)＋Ｃであり,

　また,α＝－1なら∫ｘ^αｄｘ＝∫(1/ｘ)ｄｘ＝logｘ＋Ｃです。

　さらにα＞0 ならｘ→∞に対してｘ^-αlogｘ→0 です。

　何故なら,0＜ε＜αとすると,

　ｘ^-αlogｘ＝ｘ^-α∫ｔ^-1ｄｔ＜ｘ^-α∫ｔ^ε-1ｄｔ＝ｘ^-α(ｘ^ε－1)/ε＜ｘ^ε-α/ε→0 となるからです。

[定義3](三角関数):∀ｘ∈Ｒに対してＣ(ｘ)＝{Ｅ(iｘ)＋Ｅ(－iｘ)}/2,Ｓ(ｘ)＝{Ｅ(iｘ)－iＥ(－iｘ)}/(2i)と定義する。

[Ｃ,Ｓの性質}:

上記のＣ(ｘ),Ｓ(ｘ)の定義が,歴史的に幾何学的考察から定義されたcosｘ,sinｘに一致することを以下に示そうと思います。

まず,ｚ∈ＣについてΣ_n=0^m(ｚ^＊)ⁿ/ｎ!＝{Σ_n=0^mｚⁿ/ｎ!}^＊ですから,

Ｅ(ｚ)の定義によりlim_m→∞|Ｅ(ｚ)^＊－Σ_n=0^m(ｚ^＊)ⁿ/ｎ!|＝lim_m→∞|Ｅ(ｚ)－Σ_n=0^mｚⁿ/ｎ!|＝0 です。 (上添字 * は複素共役(complex-conjugate)を意味します。)

したがって,Ｅ(ｚ^＊)＝Ｅ(ｚ)^＊です。

故に∀ｘ∈ＲについてＥ(－iｘ)＝Ｅ(iｘ)^＊ですからＣ(ｘ),Ｓ(ｘ)は実数ｘの実数値関数です。

定義から明らかに,exp(iｘ)＝Ｅ(iｘ)＝Ｃ(ｘ)＋iＳ(ｘ)です。

Ｃ(ｘ),Ｓ(ｘ)は,それぞれＥ(iｘ)＝exp(iｘ)の実部と虚部です。

また.|Ｅ(iｘ)|²＝Ｅ(iｘ)Ｅ(iｘ)^＊＝Ｅ(iｘ)Ｅ(－iｘ)＝1ですから,||Ｅ(iｘ)|＝1で,Ｃ(ｘ)²＋Ｓ(ｘ)²＝1が成立します。

そして,これから|Ｃ(ｘ)|≦1,|Ｓ(ｘ)|≦1,あるいは－1≦Ｃ(ｘ)≦1,－1≦Ｓ(ｘ)≦1です。

さらに,Ｅ(0)＝Ｃ(0)＋iＳ(0)＝1より,Ｃ(0)＝1,Ｓ(0)＝0 です。

また,Ｃ'(ｘ)＝{iＥ'(iｘ)－iＥ'(－iｘ)}/2＝－{Ｅ(iｘ)－iＥ(－iｘ)}/(2i),Ｃ'(ｘ)＝{iＥ'(iｘ)＋iＥ'(－iｘ)}/(2i)＝{Ｅ(iｘ)＋Ｅ(－iｘ)}/2です。

つまり,Ｃ'(ｘ)＝－Ｓ(ｘ),Ｓ'(ｘ)＝Ｃ(ｘ)です。

故に,∫Ｓ(ｘ)ｄｘ＝－Ｃ(ｘ)＋Ｃ,∫Ｃ(ｘ)ｄｘ＝Ｓ(ｘ)＋Ｃが成立します。ただし,紛らわしいですが右辺のＣは積分定数です。

[定理3]:Ｃ(ｘ)＝0を満たす正の実数ｘが存在する。

(証明)帰謬法で証明するため,まずＣ(ｘ)＝0 かつｘ＞0 を満たすｘ∈Ｒが存在しないと仮定します。

すると,Ｃ(0)＝1でＣは連続ですから,∀ｘ＞0 に対しＣ(ｘ)＞0 となります。

つまり,ｘ＞0 なら,Ｓ'(ｘ)＝Ｃ(ｘ)＞0 なので,この領域でＳは単調増加であり,Ｓ(0)＝0 です。それ故,ｘ＞0 ならＳ(ｘ)＞0 です。

よって,0＜ｘ＜ｙならＳ(ｘ)(ｙ－ｘ)＜∫_x^yＳ(ｔ)ｄｔ＝Ｃ(ｘ)－Ｃ(ｙ)≦2です。

つまり,あるａ＞0 を固定してＡ＝Ｓ(ａ)と置けば,Ａ＞0 であって,ｂ＞ａのとき,Ａ(ｂ－ａ)≦2,ｂ≦(ａ＋2/Ａ)が成立します。

しかし,ｂ＞ａなるｂはいくらでも大きい値を取ることができるので,十分大きいｂに対し,この不等式は矛盾を生じます。

したがって,Ｃ(ｘ)＝0,かつｘ＞0 を満たすｘ∈Ｒが存在しないという元の仮定が否定されます。(証明終わり)

さて,ｘ₀をＣ(ｘ₀)＝0 を満たす最小の正の数とします。こうしたｘ₀＞0 は確かに存在します。

何故なら,Ｃ(0)≠0であり{ｘ＞0|Ｃ(ｘ)＝0}は関数Ｃの連続性から閉集合ですから,この集合には最小値があります。

つまり,{0}はＲにおいて閉集合ですから,Ｃ(ｘ)の連続性から{0}の逆像Ｃ^-1({0})は閉集合でｘ＞0 の領域の部分集合も閉集合です。

ここで,数πをπ≡2ｘ₀で定義します。

こう定義すればＣ(ｘ₀)＝0 はＣ(π/2)＝0 と書けます。

Ｃ(π/2)＝{Ｅ(πi/2)＋Ｅ(－πi/2)}/2＝0ですから,Ｅ(－πi/2)}/2＝－Ｅ(πi/2)です。

そこで,Ｓ(π/2)＝{Ｅ(πi/2)－Ｅ(－πi/2)}/(2i)

＝Ｅ(πi/2)/iであり,しかもＳ(π/2)＝は実数です。

ところが,|Ｅ(πi/2)/i|＝1ですから,Ｓ(π/2)は絶対値が1の実数なので,＋1か－1のどちらかに等しいはずです。

しかし,区間(0,π/2)ではＳ'(ｘ)＝Ｃ(ｘ)＞0 より,Ｓは単調増加であってＳ(0)＝0 ですからＳ(π/2)＞0 です。

よって,Ｓ(π/2)＝1と結論されます。

そこで,Ｓ(π/2)＝Ｅ(iπ/2)/i＝1 により,Ｅ(iπ/2)＝iです。

したがって,Ｅ(πi)＝{Ｅ(πi/2)}²＝i²＝－1 であり,さらに,

Ｅ(2πi)＝{Ｅ(πi)}²＝i²＝1です。

したがって,∀ｚ∈ＣについてＥ(ｚ＋2πi)＝Ｅ(ｚ)Ｅ(2πi)＝Ｅ(ｚ)が成立します。

※(注2):Ｅ(πi)＝－1 は,形の上ではEulerの公式:exp(iπ)＝－1ですが,ここで定義した数π≡2ｘ₀が謂わゆる円周率のπに一致するかどうかは未だ不明です。(注2終わり)※

[定理4]:(ａ)Ｅは周期的であって,周期は2πiである。

(ｂ)ＣとＳは周期的であって周期は2πである。

(ｃ) 0＜ｔ＜2πならＥ(iｔ)≠1である。

(ｄ)ｚ∈Ｃ,|z|＝1のとき,∃1ｔ∈[0,2π]:ｚ＝Ｅ(iｔ)　

(↑※∃1とは存在して一意的,exist uniquelyの意味です。)

(証明)(ａ)既に上で証明した。

(ｂ)Ｅ(ｚ)が周期2πiの周期関数なのでＥ(iｘ),Ｅ(－iｘ)は周期2πの周期関数です。そこでＣ(ｘ＋2π)＝Ｃ(ｘ),Ｓ(ｘ＋2π)＝Ｓ(ｘ)です。

　しかし,実関数の周期はこうした周期的性質を満たす最小の正の数を意味します。

　Ｓ(ｘ)＝0 を満たすｘはＳ(0)＝0,Ｓ(π)＝0よりｘ＝0,ｘ＝πの順ですからＳの周期はπの倍数ですが,Ｓ(π/2)＝1,Ｓ(3π/2)＝－1ですから周期はπではありません。Ｃについても同様です。

　したがって,Ｃ,Ｓの周期(最小周期)は2πです。

(ｃ) 0＜ｔ＜π/2のとき,

　Ｅ(iｔ)＝ｘ＋iｙと置くと,ｘ＝Ｃ(ｔ),ｙ＝Ｓ(ｔ)ですが,　

　ｘ²＋ｙ²＝1で 0＜ｘ＜1,0＜ｙ＜1です。

　そして,Ｅ(4iｔ)＝(ｘ＋iｙ)⁴＝ｘ⁴－6ｘ²ｙ²＋ｙ⁴＋4iｘｙ(ｘ²－ｙ²)です。もしもＥ(4iｔ)∈Ｒならｘｙ≠0 によりｘ²－ｙ²＝0です。

　一方,ｘ²＋ｙ²＝1 なので,ｘ²＝ｙ²＝1/2です。

　故にＥ(4iｔ)∈ＲならＥ(4iｔ)＝－1です。

　0＜4ｔ＜2πより,この4ｔを改めてｔと書けば,0＜ｔ＜2πでＥ(iｔ)∈ＲならＥ(iｔ)＝－1ですから,Ｅ(iｔ)≠1です。

(ｄ) 0≦ｔ₁＜ｔ₂≦2πなら,0＜ｔ₂－ｔ₁＜2πなので,

　Ｅ(iｔ₂){Ｅ(iｔ₁)}^-1＝Ｅ(iｔ₂－iｔ₁)≠1です。つまりＥ(iｔ₂)≠Ｅ(iｔ₁)です。

故に,Ｅ(iｔ)＝ｚを満たすｔは,この範囲で存在すれば一意的です。

次に,ｚ₁＝ｘ₁＋iｙ₁,ｘ₁≧0,ｙ₁≧0,ｘ₁²＋ｙ₁²＝1とします。

Ｃ'(ｔ)＝－Ｓ(ｔ)＜0 より,関数Ｃ(ｔ)は[0,π/2]の上で 1から0 まで単調減少なのでＣ(ｔ₁)＝ｘ₁を満たすｔ₁∈[0,π/2]が存在します。

一方,Ｃ(ｔ₁)²＋Ｓ(ｔ₁)²＝1でｔ₁∈[0,π/2]よりＳ(ｔ₁)≧0 ですからｘ₁²＋ｙ₁²＝1でｘ₁＝Ｃ(ｔ₁) ｙ₁≧0 から,ｙ₁＝Ｓ(ｔ₁)です。

よって,ｚ₁＝Ｅ(iｔ₁)です。

一般に,ｚ＝ｘ＋iｙ,|ｚ|＝1のとき,ｘ＜0,ｙ≧0 ならｚ₁＝－iｚ,ｘ＜0,ｙ＜0 ならｚ₁＝－ｚ,ｘ≧0,ｙ＜0 ならｚ₁＝iｚと置けば,ｚ₁＝Ｅ(iｔ₁),0≦ｔ₁≦π/2を満たすｔ₁が存在します。

しかも,i＝Ｅ(πi/2),－1＝Ｅ(πi),－i＝Ｅ(3πi/2)で,0＜ｔ₁＋3π/2≦2πですが,

ｘ＜0 なら,y₁＝－ｘ＞0 よりｔ₁＋3π/2≠2πです。

故に,ｚ＝Ｅ(iｔ)(0≦ｔ≦2π)と書けます。(証明終わり)

以上から,γ(ｔ)＝Ｅ(iｔ)＝exp(iｔ)(0＜ｔ＜2π)は,その値域がGauss面上(複素平面上)の単位円に等しい単純閉曲線を作ることがわかります。

そしてγ'(ｔ)＝iＥ(iｔ)＝iexp(iｔ)より|γ'(ｔ)|＝1で,その長さＶ(γ)はＶ(γ)＝∫₀^2π|γ'(ｔ)|ｄｔ＝2πです。

それ故,単位円の周の長さが2πに等しいことがわかります。

つまり,先にπ≡2ｘ₀で定義した数πが通常の幾何学的円周率に等しいことがわかりました。

一方,∫₀^t0|γ'(ｔ)|ｄｔ＝ｔ₀でですから,ｔが0 からｔ₀まで増加するに従って,複素平面上の点γ(ｔ)は長さｔ₀の円弧を描きます。

以上から,頂点がｚ₁＝0,ｚ₂＝γ(ｔ),ｚ₃＝Ｃ(ｔ)の三角形を考えることにより,Ｃ(ｔ),Ｓ(ｔ)はそれぞれcosｔ,sinｔと同じであることがわかりました。　

参考文献:Walter Rudin "Principles of Mathematical Analysis"(McGrawHIll)

ＰＳ１:今から１時間後の朝８時45分に,"たいと"さんがワンボックスの車で迎えに来てくれて湯河原の「杉の宿」まで,毎年恒例「将棋チェスネット」の"夏のオフ会＝将棋合宿"に行くため,

ここでPending...にします。

タイプミスなどを直していたけどもう時間がない。。

ただし,体調は良好です。内科の主治医も一緒に来るしね。。

ＰＳ２:その後,帰ってからPending部分を追加しました。

　なお,退院後一ヶ月で右目はかなり見えてきましたが,なぜか左目がかゆい。

三角関数を含むある関数の定積分

　今日はちょっと気になる計算があったので計算をしてみました。実はT_NAKAさんのブログの2008年8/10の記事「 T_NAKAの阿房ブログ(高次モーメントを考える)」に関連したものです。。

　普通は公式集にあるものなら全面的にそれに頼り,わざわざ確かめたりもしませんが,偶々,所持している岩波の数学公式集,丸善の新数学公式集を見ても,適合するものが全く見つからなかったため,自力で計算せざるを得ず,実行しました。

　夏休み中で頭もボーッとしているし,最初予想していた結果と違っていたこともあって,かなり手間取りました。

計算するのは,定積分:I_k≡∫_-∞^∞ｆ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)です。

これはｋが奇数なら被積分関数:ｆ_k(ｘ)＝ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²が,ｘの奇関数なので,その積分はゼロですから,以下ではｋは偶数であるとし,ｆ_k(ｘ)がｘの偶関数の場合のみを計算します。

ｘ＝±π/2はｆ_k(ｘ)の特異点,特に極であるように見えますが,実は真の特異点ではありません。

例えばｙ≡ｘ－π/2と変数変換すれば,ｆ_k(ｘ)＝ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}＝(ｙ＋π/2)^ksin²ｙ/{ｙ²(ｙ＋π)²}なので,ｙ→ 0ではｆ_k(ｘ)→ (π/2)^k/π²,ｙ→ －πではｆ_k(ｘ)→ (－π/2)^k/(－π)²となります。

そこで,ｙ＝0,－π,すなわち,ｘ＝±π/2は,ｆ_k(ｘ)の真の特異点ではなく,これらの点でｘ→±π/2でのｆ_k(ｘ)の極限値をｆ_k(±π/2)と定義すれば被積分関数ｆ_k(ｘ)はｘ＝±π/2でも連続なので,普通に積分を実行することができます。

　しかし,実際にｘを実数のままで,この積分を評価するのはかなり面倒なのでｘを複素変数ｚに変えて,複素ｚ平面である閉曲線Ｃを周回する積分を考えてみます。

　その際,cos²ｚ＝[{exp(iｚ)＋exp(－iｚ)}/2]²＝{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)＋2}/4 なので,I_k(Ｃ)≡∫_Cｆ_k(ｚ)ｄｚ＝∫_Cｄｚ[ｚ^k{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)＋2}/{4(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)を計算します。

　これ自身は,上に述べたようにｚ＝±π/2も含めてｆ_k(ｚ)が全ｚ平面で解析的なのでＣが閉曲線の場合には常にI_k(Ｃ)＝0 です。

まず,∫_Cｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}を考えます。原点を中心としＲ＞＞1で実軸上[－Ｒ,Ｒ]を直径＝2Ｒとする上半円周をＣ_＋とします。

ただし,今の場合,被積分関数はｆ_k(ｚ)ではなく,その一部ｇ_k^＋(ｚ)≡ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}です。

これに対しては,ｚ＝±π/2 は確かに真の特異点(極)なので,Ｃ_＋は点±π/2 の周りでは特別に回避経路としてＡ_±≡lim_{ε→ +0}{ｚ(θ)|ｚ(θ)＝±π/2＋εexp(iθ),θ:π→ 0 (時計回り)}で与えられる微小半径ε＞0 の上半円周経路を含むとします。

そして,Ｃ_＋の無限遠を意味する半径Ｒの円周上の点ｚ＝Ｒexp(iθ)＝Ｒ(cosθ＋isinθ) (0≦θ≦π)では,|∫ｇ_k^＋(ｚ)ｄｚ|＝πＲ|ｚ^kexp(2iｚ){(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}_|z|=R ～πＲ^k-3exp(－2Ｒsinθ)→ 0 ですから,これの寄与は無視できます。

結局,0＝∫_C+ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋Ａ_－＋Ａ_＋なる表現で書けます。

ここで,微小半円経路Ａ_±を回る積分の寄与を同じ記号Ａ_±で省略する表現をしました。

∫ｇ_k^＋(ｚ)ｄｚにおけるＡ_±の寄与を評価する必要がありますが,これは被積分関数のローラン展開において 1/(ｚ±π/2)の係数に(－πi)を掛けたもので与えられます。

これはＡ_－の場合には,lim_{z→(－π/2)}(ｄ/ｄｚ)[(ｚ＋π/2)²ｇ_k^＋(ｚ)]で与えられます。

すなわち,lim_{z→(－π/2)}(ｄ/ｄｚ)[ｚ^kexp(2iｚ)/(ｚ－π/2)²]＝lim_{z→(－π/2)}[{(ｋｚ^k-1＋2iｚ^k)/(ｚ－π/2)²－2ｚ^k/(ｚ－π/2)³}exp(2iｚ)]＝－(－π/2)^k-1(ｋ－πi)(－π)^-2＋2(－π/2)^k(－π)^-3＝(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)です。

したがって,結局Ａ_－＝(－πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)が得られました。ここで,ｋが偶数であることを用いました。

同様にＡ_＋の場合には,lim_z→π/2(ｄ/ｄｚ)[(ｚ＋π/2)²ｇ_k^＋(ｚ)]＝lim_z→π/2[{(ｋｚ^k-1＋2iｚ^k)/(ｚ＋π/2)²－2ｚ^k/(ｚ＋π/2)³}exp(2iｚ)]＝(π/2)^k-1(ｋ＋πi)π^-2－2(π/2)^kπ^-3＝(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)ですから,Ａ_＋＝(－πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)＝Ａ_－です。

以上のことから,∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝－(Ａ_－＋Ａ_＋)＝－2Ａ_－＝(2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)が得られました。

また,被積分関数ｇ_k^－(ｚ)≡ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}に対しては,原点を中心としＲ＞＞1で実軸上[－Ｒ,Ｒ]を直径＝2Ｒとする下半円周をＣ_－とすれば,同様な考察から 0＝∫_C-ｄｚ[ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋Ｂ_－＋Ｂ_＋を得ます。

ここで,Ｂ_±はＡ_±と同様に実軸上の特異点±π/2を回避する微小な下半円周経路Ｂ_±≡lim_{ε→ +0}{ｚ(θ)|ｚ(θ)＝±π/2＋εexp(iθ),θ:－π→ 0 (反時計回り)}における積分の寄与です。

そして,Ｂ_－＋Ｂ_＋＝2Ｂ_－＝(2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1＋πi)となりますから,∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝－(Ｂ_－＋Ｂ_＋)＝－2Ｂ_－＝(－2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1＋πi)です。

したがって,cos(2ｘ)＝{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)}/2によって,上に得られた２つの積分等式を加え合わせて２で割ると,∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}]＝2(π/2)^k-1が得られます。

一方,∫_Cｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]において±π/2は２位の極なので留数はゼロですから,例えば閉路Ｃを,Ｃ＝Ｃ_＋に取れば 0＝∫_C+ｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋lim _R→∞∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]となります。

被積分関数がｇ_k^±(ｚ)＝ｚ^kexp(±2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}の場合と異なり,ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}の場合にはＣ＝Ｃ_＋に取ろうと,Ｃ＝Ｃ_－に取ろうと,半円の半径Ｒ→ ∞で円周積分が必ずしもゼロにはなりません。

以上から,2∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k{1＋cos(2ｘ)}/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k/{ｘ²－(π/2)²}²]＋∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{ｘ²－(π/2)²}²]＝－lim _R→∞∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{ｚ²－(π/2)²}²]＋2(π/2)^k-1が得られました。

右辺第１項はｚ＝Ｒexp(iθ),ｄｚ＝iＲexp(iθ)ｄθによって∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝ｉＲ∫₀^πｄθ[Ｒ^kexp(iｋθ)/{(Ｒexp(iθ)－π/2)²(Ｒexp(iθ)＋π/2)²}]となりますから,Ｒ→∞では|∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]|～πＲ^k+1/Ｒ⁴と書けます。

∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k/{ｘ²－(π/2)²}²]は実関数の実数積分であり,被積分関数はｋが偶数ならｘ∈(－∞,∞)では非負なので,この積分の符号は非負です。

　したがって,ｋが偶数故ｋ＝2ｍとおくと,この項はｍ＝0,1,すなわちｋ＝0,2では(ｋ＋1)＜4 によって,ゼロに収束しますが,ｍ≧2 or ｋ≧4 では,(ｋ＋1)＞4 なので ∞ に発散します。

　以上からI_k≡∫_-∞^∞ｆ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)はｋが偶数の場合,ｋ＝0,2 ならＩ_k＝(π/2)^k-1となって有限値,ｋが４以上のｋ＝4,6,..ならＩ_k＝∞＋(π/2)^k-1となって∞ に発散するという結果が得られました。

　ｋが奇数の場合ならI_kはゼロです。

　しかし,この結果には少し自信がありません。

　緊急告知！！　Attention!! [広告宣伝]です。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/　 健康商品の店「TRS健康ランド」－ SCS(食品洗浄剤),黒ウコン,酒の帝王,鵜鶏王などの専売店  ←この店は私TOSHIが店長をしています。(楽天ショップです。TRSのTはTOSHIのTです。)

　「TRS健康ランド」では2008年１月10日よりお徳用SCS500mlを新発売！！当店の専売です。

　そこのお酒のみの方，いろいろと飲食の機会の増えたあなた、体によいし特に肝臓によいウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性機能に効果があると言われています。

　おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。 

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックすると人気blogランキングに跳びます。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング投票です。１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホ－ムページームに跳びます。）

　

実数から複素数へ

せっかくデデキントの切断(Dedekind's cut)によって有理数から実数を定義したのですから,やはり39年くらい前の大学１～２年の頃の解析学の化石的ノートから,複素数の定義も記述しておきます。

要するに,また,得意の手抜きです。もっとも複素関数論ではなく複素数の話だけならカテゴリーとしては解析学の話ではなく代数学的,あるいは幾何学的な話ですね。

これまでと同じく実数の集合(set of reals)をＲで表記します。

これは四則演算を加味した代数の意味では,体(field)を作りますから,

特にＲは実数体(real field)を表わす記号でもあります。

[定義１]:(複素数:complex)

　複素数とは２つの実数ａ,ｂ∈Ｒの順序対,または２次元の数ベクトル(ａ,ｂ)のことであり,実数をａ,ｂ,.,複素数をｘ,ｙ,.で表記することにすれば

　,

　ｘ＝(ａ,ｂ),ｙ＝(ｃ,ｄ)(ｃ,ｄ∈Ｒ)のとき,"ｘとｙが等しい:

　ｘ＝ｙであるとは,ａ＝ｃかつｂ＝ｄが成り立つことである。"

　また,これらの和,または加法,および積,または乗法の演算が,

　それぞれ,ｘ＋ｙ≡(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ),および

　ｘｙ≡(ａｃ－ｂｄ,ａｄ＋ｂｃ)で定義されるものをいう。"

　そして,こうして得られる複素数全体の集合をＣと書くことにする。

※     特に,複素数(1,0)と(0,0)については,取り合えず,

　ｕ≡(1,0),ｎ≡(0,0)と表記することにします。

[定理１]:ｘ,ｙ,ｚを任意の複素数,すなわち∀ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃとする。　

　このとき,

(ａ)ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ,

(ｂ)(ｘ＋ｙ)＋ｚ＝ｘ＋(ｙ＋ｚ),　

(ｃ)ｘｙ＝ｙｘ,

(ｄ)(ｘｙ)ｚ＝ｘ(ｙｚ),

(ｅ)(ｘ＋ｙ)ｚ＝ｘｚ＋ｙｚ　が成立する。

(証明)ｘ＋ｙ≡(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ),およびｘｙ≡(ａｃ－ｂｄ,ａｄ＋ｂｃ)による加法,乗法の定義に従って実際に演算を行えば確かに成立することがわかるので省略します。

　以下,証明を省略した定理を２つ述べます。

[定理２]:∀ｘ∈Ｃに対しｘ＋ｎ＝ｘ,ｘｎ＝ｎ,ｘｕ＝ｘが成り立つ。

[定理３]:ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃとする。ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｚならばｙ＝ｚである。

[定理４]:(逆元(inverse)の存在)　

　∀ｘ∈Ｃに対してｘ＋ｙ＝ｎを満たすｙ∈Ｃが唯１つ存在する。

　このｙを－ｘと書く。

(証明)ｘ＝(ａ,ｂ)のとき,ｙ＝(－ａ,－ｂ)とすればいいです。　

(証明終わり)

[定理５]:∀ｘ,ｙ∈Ｃに対してｘ＋(－ｙ)をｘ－ｙと書くことにする。

　このとき,

(ａ)ｘ－ｘ＝ｎ,および

(ｂ)(－ｘ)ｙ＝ｘ(－ｙ)＝－(ｘｙ)　＝(－ｕ)(ｘｙ) が成立する。

(証明)略。　

この定理の故に,(－ｘ)ｙ＝ｘ(－ｙ)＝－(ｘｙ)

＝(－ｕ)(ｘｙ)を単に－ｘｙと書くことにします。

[定義２]:(絶対値:absolute value)　

　∀ｘ∈Ｃに対し,ｘ＝(ａ,ｂ)(ａ,ｂ∈Ｒ)なら

　|ｘ|≡(ａ²＋ｂ²)^1/2と書き,|ｘ|をｘの絶対値と呼ぶ。

[定理６]:∀ｘ,ｙ∈Ｃに対し,

(ａ)ｘ≠ｎなら|ｘ|＞0 である。 また|ｎ|＝0 である。

(ｂ)|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|が成り立つ。

(証明)略。

[定理７]:ｘ,ｙ∈Ｃに対しｘｙ＝ｎならｘ＝ｎ,またはｙ＝ｎである。

(証明)[定理６]より,ｘｙ＝ｎなら|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|＝0 ,

故に|ｘ|＝0,または|ｙ|＝0 です。

　そこで再び[定理６]からｘ＝ｎ,またはｙ＝ｎです。(証明終わり)

[定理８]:ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃ,ｘｙ＝ｘｚでｘ≠ｎならｙ＝ｚである。

(証明)ｘ(ｙ－ｚ)＝ｘｙ－ｘｚ＝ｎでｘ≠ｎなので[定理７]によって

ｙ－ｚ＝ｎ,よってｙ＝ｚです。(証明終わり)

[定理９]:∀ｘ∈Ｃ,ただしｘ≠ｎに対し,ｘｙ＝ｕを満たす複素数ｙ

が唯一つ存在する。このｙをｕ/ｘと書く。

(証明)ｘ＝(ａ,ｂ)(ａ,ｂ∈Ｒ)とすると,ｘ≠ｎ故,ａ²＋ｂ²≠0

です。そこで,ｙ≡(ａ/(ａ²＋ｂ²),－ｂ/(ａ²＋ｂ²))とおけば,

　確かにｘｙ＝(ａ,ｂ)(ａ/(ａ²＋ｂ²),－ｂ/(ａ²＋ｂ²))＝(1,0)

　＝ｕとなります。

　そして,このｙ＝ｕ/ｘの一意性は[定理８]より明らかです。　

　(証明終わり)

[定理10]:(除法)　

　∀ｘ,ｙ∈Ｃ,ただしｘ≠ｎに対してｘｚ＝ｙを満たす複素数ｚが

　唯一つ存在する。このｚをｙ/ｘと書く。

(証明)ｚ≡(ｕ/ｘ)ｙとおけば,ｘｚ＝ｕｙ＝ｙです。(証明終わり)

[定理11]:(実数)　

　ａ,ｂ∈Ｒとする。

　このとき,　

　(ａ)(ａ,0)＋(ｂ,0)＝(ａ＋ｂ,0),

　(ｂ)(ａ,0)(ｂ,0)＝(ａｂ,0),

　(ｃ)ｂ≠0 なら(ａ,0)/(ｂ,0)＝(ａ/ｂ,0),

　(ｄ)|(ａ,0)|＝|ａ|　が成立する。

(証明)明らかなので略。

※  [定理11]から,(ａ,0)(ａ∈Ｒ)の形の複素数は,実数ａと全く同じ性質

を持って一対一に同型対応することがわかります。

　そこで,以下では複素数(ａ,0)(ａ∈Ｒ)を実数ａと同一視して単にａ

　と書くことがあります。

　この同定により,ＲはＣの部分集合,つまりＲ⊂Ｃとなります。

　そこで以下では,特に,ｕ＝(1,0)を単に1,ｎ＝(0,0)を単に

　 0 と書きます。

[定義３]:(虚数:imaginary)　

　複素数:(0,1)をｉと書く。

[定理12]:ｉ²＝－1 である。

(証明)ｉ²＝(0,1)(0,1)＝(－1,0)＝－1 です。(証明終わり)

[定理13]:∀ａ,ｂ∈Ｒに対して(ａ,ｂ)＝ａ＋ｂiである。

(証明)ａ＋ｂi＝(ａ,0)＋(ｂ,0)(0,1)＝(ａ,0)＋(0,ｂ)＝(ａ,ｂ)　

(証明終わり)

[定理14]:∀ｘ,ｙ∈Ｃに対して,|ｘ＋ｙ|≦|ｘ|＋|ｙ|である。

(証明) ｘ＋ｙ＝0 なら自明なので,ｘ＋ｙ≠0 とします。

　このときλ≠|ｘ＋ｙ|/(ｘ＋ｙ)とおけば,[定理６](ｂ)より

　|λ|＝1 です。

　そしてλｘ＋λｙ＝|ｘ＋ｙ|です。

　よってλｘ＋λｙは実数ですから,λｘ＝(ａ,ｂ),λｙ＝(ｃ,ｄ)

　ならλｘ＋λｙ＝(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ)＝(ａ＋ｃ,0)＝ａ＋ｃです。

　そして,|ａ|≦|λｘ|＝|ｘ|,かつ|ｃ|≦|λｙ|＝|ｙ|です。

　それ故,|ｘ＋ｙ|＝λｘ＋λｙ＝ａ＋ｃ≦|ａ|＋|ｃ|

　≦|ｘ|＋|ｙ|が成立します。(証明終わり)

[定義４]:(共役複素数:complex conjugate)　

　複素数:ｚ＝(ａ,ｂ)＝ａ＋ｂi(ａ,ｂ∈Ｒ)に対して複素数:

　ｚ^*≡(ａ,－ｂ)＝ａ－ｂiをｚの共役複素数という。

これより以降の展開は通常の歴史的な複素数の話の繰り返しに過ぎない

ので,ここまででやめます。

要するに,ここで展開した一連の話は歴史的には代数方程式の実数解を

求めるための過渡的な仮想数として便宜上導入された複素数をHilbert

などの近代思想に基づいて,公理的発想で代数的に再構築したモデルの

一例です。

数十年前,この定義を初めて学んだ頃は,確かに新鮮でしたが,単に複素数

をGauss平面の２次元ベクトルとする平面幾何の猫像をやや記号的に定式

化しただけだとしか思いませんでした。

例えば,Gauss平面の実軸上の点:ａ＝(ａ,0)(ａ＞0)に虚軸上の点

ｉ＝(0,1)を乗じると,これは幾何学的には,ベクトルの(π/2)だけ

の回転に相当して,積は点ａi＝(0,ａ)に移動することを意味します。

その上に,さらにｉ＝(0,1)を乗じるとさらに(π/2)回転され,合計π

だけ回転されて点は－ａ＝(－ａ,0)に移ります。

それ故,ｉを２回続けて乗じることはトータルでは－1を乗じることに

相当し,結局ｉ²＝－1なる演算と同一視されます。

このモデルは,こうした話を言い換えただけに過ぎないという感じで

考えて,割と軽視していました。

しかし,例えば物理学での相対性理論のエネルギーの等式:

Ｅ²＝ｐ²ｃ²＋ｍ²ｃ⁴の平方根を取ると,Ｅ＝±ｃ(ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2

です。

この右辺は非常に扱いにくい非線型な形式ですが,これを次元を増やして

行列表現すると線形な形にできるというDiracの相対論的波動方程式のア

イデアを見るなどの思考体験もあって,少なからず,見方は変わってゆき

ました。

数十年も経った現在の心境としては,論理学での帰納法に関するPeanoo

の公理系と同じような感覚を持って見ています。

実証科学である他の自然科学での,"複素数は仮想数である,とか,

２乗して－1になる数など,そもそもこの世には存在しない,"とか

の「実在するしない」という類の不毛な論議と関係なく,

上記のような定式化は,単に数学的実体として,"複素数は２元数として

存在する"という考えを陽に表現して明確化するという意味がある,と

思うに至っています。

参考文献:Walter.Rudin　「Principles of Mathematical Analyss」second Edition(McGrawHill) 

　緊急告知！！　Attention!! [広告宣伝]です。

　「TRS健康ランド」では2008年１月10日よりお徳用ＳＣＳ500mlを新発売！！当店の専売です。

　そこのお酒のみの方，いろいろと飲食の機会の増えたあなた、体によいし特に肝臓によいウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性機能に効果があると言われています。

　おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。

　http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホームページに跳びます。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

デデキントの切断(補遺)

　実は,昔の大学入学時の頃のノートを忠実に再現すると,ブログにまとめたものよりもはるかに泥臭いものです。

　かつて,19世紀にラグランジュ(Lagrange)などが,それまでは無批判に使用していた級数などの収束性の論議を見直さざるを得なかったのと同じ,というのはおこがましいのですが,私もそれなりに悩んだようです。

　大学に入って,高校までに勉強していた付け焼刃のような極限や微積分の概念を,コーシー(Cauchy)が創始した,いわゆるε-δ論法に代表される近代無限小解析の手法で見直す,などと関連して,私的理解を助けるための,かなり細かい書き込みがノートのそこかしこにあります。

　当時,それらの見慣れない概念を受容するために,かなり悩んだ後が見られたりします。

例えば,前記事では煩雑になるので省略したα・1^*＝1^*・α＝αの

証明なども,かなり苦労してやっていたようです。

結局は|α|・1^*＝|α|を示せばいいわけですから,ｐ∈|α|・1^*

なら,ｐ＝ｓ・ｔ;ｓ∈|α|,ｔ＜1と書けるので,ｐ＝ｓ・ｔ＜ｓ

ですからｐ∈|α|,逆にｐ∈|α|ならｑ＞ｐ,ｑ∈|α|なるｑが存

在してｑ＞0 の場合ｐ＝ｑ・(ｑ/ｐ)よりｐ∈|α|・1^*となると

いう簡単明快なものです。

この証明の記述１つにしても,元々はスミルノフ著の「高等数学教程」

や高木貞治著の「解析概論」など,比較的古い記述の書物を参照して

いて,最終的に,W.Rudinというテキストに到達したようです。

ところで,前記事では急いでいたせいもあって,肝心の最後の実数の連続性を保証する"デデキントの定理(Dedekind's theorem)"なるものが解析学にとって一体,何の意味を持つのか？ということなどについて書き漏らしていたので,ここに補足しておきます。

そもそも,前述の"Dedekindの定理"は,"Dedekindの切断(連続性)公理"と呼ばれることも多く,何もわざわざ有理数から無理数を含む実数を"有理数の集合＝切断"として定義する,という,

前記事のような手間をかけるほどのことはなく,単にこれを公理として受容してもよいくらいのものだ,ともいえます。

要するに,

実数に対して"Dedekindの定理",または"Dedekindの切断公理"が成立すれば,上に有界な実数集合には"上限",つまり"最小上界"があり,下に有界な実数集合には"下限",つまり"最大下界"があることがいえる,

ということが重要なのです。

結局,私など高校の数Ⅲでは証明なしでごまかしのような説明付きで無理に記憶させられていた,

"変数が有界で単調に変動するなら,それには有限な極限値が存在する。"

というような極限の存在についての法則が証明できるようになる,という

くらいの意味しかないのですね。

まあ,Dedekindの切断など知らなくても,

"上に有界な実数集合には上限＝最小上界があり,下に有界な実数集合には下限＝最大下界がある"

ことを公理として,出発しても大した差はないのですがね。。。

この定理,または公理の効用について,さらに述べるなら"実数の完備性"くらいですかね。

つまり,"実数によるCauchy列は必ず有限な極限値に収束する"という命題が成立するためには,実数の連続性が必要なんですね。

そして,結局,ｎ次元Euclid空間:Ｒⁿの完備性も実数の連続性に基づいて保証されるわけです。

これらを具体的に述べるには,まず有界という言葉の定義から出発する必要があります。

[定義１]:(有界)

　実数の集合:Ｅ⊂Ｒがあるとする。

　実数ｙ∈Ｒが存在して,∀ｘ∈Ｅに対してｘ≦ｙが成立するとき,

Ｅは上に有界であるといい,ｙをＥの上界と呼ぶ。

　一方,実数ｚ∈Ｒが存在して,∀ｘ∈Ｅに対してｚ≦ｘが成立するとき,

Ｅは下に有界であるといい,ｚをＥの下界と呼ぶ。

　Ｅが上にも下にも有界であるときには,Ｅは有界であるという。

実数から成る数列:{ｘ_n}が有界であるとは,全てのｘ_nの集合:

{ｘ_n:ｎ＝1,2,..}が有界であることをいう。

[定義２]:(上限,下限)

　実数の集合Ｅ⊂Ｒが上に有界であるとき,ｙがＥの１つの上界であり

ｘ＜ｙならｘはＥの上界とは成り得ないときには,ｙをＥの最小上界

＝lubＥ(lub of Ｅ),またはＥの上限＝supＥ(sup of Ｅ)と呼ぶ。

　別の言い方をするなら,ｙはＥの１つの上界であって,任意のε＞0 に対してｙ－ε＜ｘ≦ｙなるｘ∈Ｅが存在するとき,ｙをＥの上限と呼び

ｙ＝supＥと書く。(lub=least upper bound;sup=supremum)

実数の集合:Ｅ⊂Ｒが下に有界のとき,ｚはＥの１つの下界であって

ｚ＜ｘならｘはＥの下界とは成り得ないとき,ｚをＥの最大下界

＝glbＥ(glb of Ｅ),またはＥの下限＝infＥ(inf of Ｅ)と呼ぶ。

別の言い方をすれば,ｚはＥの１つの下界であって,任意のε＞0 に対し

てｚ≦ｘ＜ｚ＋εなるｘ∈Ｅが存在するとき,ｚをＥの下限と呼び

ｚ＝infＥと書く。(glb=greatest lower bound;inf=infimum)

[定理1]:(上限,下限)

　実数の集合:Ｅ⊂Ｒが上に有界でＥ≠φとする。

このときＥの上限supＥが存在する。

　また,実数の集合Ｅ⊂Ｒが下に有界でＥ≠φとする。

　このときＥの下限infＥが存在する。

(証明)集合ＡをＡ≡{α∈Ｒ|α＜ｘなるｘ∈Ｅが存在する。}と定義し,

　集合ＢをＢ≡Ａ^c＝Ｒ－Ａと定義します。

　このとき,ｙ∈ＡならｙはＥの上界では有り得ず,

　ｙ∈Ｂなら,∀ｘ∈Ｅに対してｘ≦ｙが成立するので,

　ｙはＥの上界です。

　つまり,ＢはＥの上界全部の集合になっています。

そして,明らかにＡ∪Ｂ＝Ｒ⊂Ｒ,Ａ∩Ｂ＝φです。

また,Ｅ≠φなので,あるｘ∈Ｅが存在します。

そして,α∈Ｒはα＜ｘならα∈ＡなのでＡ≠φです。

また,Ｅ⊂Ｒが上に有界なのでＢ≠φです。

それ故,"Dedekindの定理"によってＡが最大数を含むかＢが最小数を含む

かのいずれかです。

ところが,∀α∈Ａについて,α＜ｘなるｘ∈Ｅが存在するので,このｘに

対してα'≡(α＋ｘ)/2とおけば,α＜α'＜ｘですからα＜α'なる

α'∈Ａが存在するため,Ａは最大数を持ちません。

したがって,Ｂ＝(Ｅの上界の集合)が最小数を持ちます。

この最小数は,Ｅの最小上界＝Ｅの上限supＥです。

後半のＥの下限infＥの存在についても同様なので,後半の証明に

関しては省略します。(証明終わり)

※よくある解析学や微積分学の初歩的なテキストでは,実数の集合が有界のとき上限,あるいは下限が存在するというこの定理を,公理のように理論の

出発点としているものも多々あるようです。

　我々のような物理屋であれば,必ずしもDedekindの切断のような数学的に微妙な論題まで知る必要はないかも知れません。

[定理２]: 実数から成る数列:{ｘ_n}が有界で単調に変動するならば,

これはｎ→ ∞に対して有限な極限値に収束する。

(証明) 数列:{ｘ_n}が上に有界で単調非減少とすると,Ｅ≡{ｘ_n:ｎ＝1,2,..}は上に有界です。

　したがって,上限β≡supＥが存在して,ｘ_n≦β(ｎ＝1,2,..)が

　成立します。

　任意のε＞0 が与えられたとすると,上限の定義によって,あるＮが存在

してβ－ε＜ｘ_N≦βが成立します。

　そして{ｘ_n}は単調非減少数列なので,ｎ≧Ｎならｘ_N≦ｘ_nです。

したがって,ｎ≧Ｎならβ－ε＜ｘ_N≦ｘ_n≦βが成立します。

つまり,ｎ≧Ｎなら常に|β－ｘ_n|＜εです。

これは,β＝lim_n→∞ｘ_nを意味します。

この場合には,極限値は上限に一致します。

一方,数列{ｘ_n}が下に有界で単調非増加の場合に,{ｘ_n}が下限に収束することも,同様にして証明できます。(証明終わり)

[定理３]: 実数の有限区間の列:[ａ₁,ｂ₁],[ａ₂,ｂ₂],..,[ａ_n,ｂ_n],..

が与えられ,どの区間も先行する区間に含まれるとする。

　つまり,[ａ_n,ｂ_n]⊂[ａ_n-1,ｂ_n-1],または

　ａ_n≧ａ_n-1,かつｂ_n≦ｂ_n-1とする。

　そしてｎ→ ∞ に対して区間の長さｃ_n≡ｂ_n－ａ_nがゼロに収束する,

　つまりｃ_n→ 0  as ｎ→ ∞ のとき,数列{ａ_n}と{ｂ_n}は共通の極限値

　に収束する。(この有限区間の列は縮小区間列と呼ばれる。)

(証明) 仮定により,ａ₁≦ａ₂≦..≦ａ_n-1≦ａ_n≦ｂ_n≦ｂ_n-1≦..≦ｂ₁

です。

　したがって,数列{ａ_n}は上に有界で単調非減少なので,ある極限値α

　が存在してlim_n→∞ａ_n＝α≦ｂ₁です。

　lim_n→∞ｃ_n＝lim_n→∞(ｂ_n－ａ_n)＝0 ですから,lim_n→∞ｂ_n

＝lim_n→∞(ａ_n＋ｃ_n)＝αも得られます。(証明終わり)

[定理４]:(Cauchyの収束判定条件(Cauchy's criterion))＝(完備性)　　

　実数から成る数列{ｘ_n}が有限な極限値に収束するための

必要十分条件は,

　”予め与えられた任意の正の数εに対して,あるＮが存在してｍ≧Ｎ,

　かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する”

　ことである。

(証明) 必要性:{ｘ_n}が有限な極限値に収束するならば,

　"予め与えられた任意の正の数εに対して,あるＮが存在してｍ≧Ｎ,

　かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する"のは明らかです。

十分性を証明するため,"予め与えられた任意の正の数εに対して,

あるＮが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する"

と仮定します。

仮定によって,あるＮ₁が存在してｍ≧Ｎ₁,かつｎ≧Ｎ₁なら

|ｘ_m－ｘ_n|＜1ですから,ｋ≧Ｎ₁なら|ｘ_k－ｘ_N1|＜1が成立

します。

すなわち,ｋ≧Ｎ₁ならｘ_N1－1＜ｘ_k＜ｘ_N1＋1,あるいは

ｘ_k∈[ｘ_N1－1,ｘ_N1＋1]です。

同様にＮ₂≧Ｎ₁なるＮ₂が存在して,ｋ≧Ｎ₂なら

ｘ_N2－(1/2)＜ｘ_k＜ｘ_N2＋(1/2),または

ｘ_k∈[ｘ_N2－(1/2),ｘ_N2＋(1/2)]です。

そこで,これを繰り返して,ｍ＝1,2,..,,ｍ－1,ｍ,..について,

Ｎ_m≧Ｎ_m-1≧..≧Ｎ₂≧Ｎ₁なるＮ_mの列が存在して,ｋ≧Ｎ_mなら

ｘ_Nm－(1/ｍ)＜ｘ_k＜ｘ_Nm＋(1/ｍ),または

ｘ_k∈[ｘ_Nm－(1/ｍ),ｘ_Nm＋(1/ｍ)]

と書くことができます。

そこで,ａ_m≡ｘ_Nm－(1/ｍ),ｂ_m≡ｘ_Nm＋(1/ｍ)とおけば,

ｘ_k∈[ａ_n,ｂ_n] (ｎ＝1,2,..)であり,区間列{[ａ_n,ｂ_n]}は前定理３

の仮定である実数の縮小区間列:[ａ₁,ｂ₁],[ａ₂,ｂ₂],..,[ａ_n,ｂ_n]..

に他なりませんから,数列{ａ_n}と{ｂ_n}は共通の極限値に収束します。

その共通の極限値をαとすれば,lim_n→∞ａ_n＝lim_n→∞ｂ_n＝α,

かつｘ_k∈[ａ_n,ｂ_n]ですから,lim_n→∞ｘ_n＝αも成立します。

(証明終わり)

ここで,これらの実数空間Ｒにおける定理をｎ次元Euclid空間Ｒⁿに,一般化してみます。

Euclid空間は１種の距離空間ですから,差し支えない場合には距離空間

の言葉を用います。

[定義３]:(距離空間；metric space)

　元のことを点と呼ぶ集合Ｘが距離空間であるとは,　

　"∀ｘ,ｙ∈Ｘに対して,これらの距離と呼ばれる実数;ｄ(ｘ,ｙ)≧0

が定まっていて,次の３つの性質を満たすことをいう。

　３つの性質とは,　

(ａ)ｘ≠ｙならｄ(ｘ,ｙ)＞0;特にｄ(ｘ,ｘ)＝0　

(ｂ)ｄ(ｘ,ｙ)＝ｄ(ｙ,ｘ)

(ｃ)∀ｚ∈Ｘに対し,ｄ(ｘ,ｙ)≦ｄ(ｘ,ｚ)＋ｄ(ｚ,ｙ)　

である。

厳密にはＸだけではなく,(Ｘ,ｄ)の組を距離空間と呼ぶ。

※ 例えば,ｎ次元Euclid空間:Ｒⁿなら,

　ｘ≡(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n),ｙ≡(ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)∈Ｒⁿに対して,距離を

絶対値で定義します。

　すなわち,ｄ(ｘ,ｙ)≡|ｘ－ｙ|≡{Σ_k=1ⁿ(ｘ_k－ｙ_k)²}^1/2定義すれば,

(Ｒⁿ,| |)の組は距離空間になります。

以下,集合といえば距離空間Ｘの部分集合であることを暗黙の了解事と

します。

[定義４]:(有界)

　集合Ｅ⊂Ｘが有界であるとは,実数Ｍとある点ｙ∈Ｘがあって,∀ｘ∈Ｘ

　に対してｄ(ｘ,ｙ)＜Ｍが成立することをいう。

[定義５];(収束点列)　距離空間Ｘの点列{ｘ_n}が収束するとは,ある点α∈Ｘが存在して,任意のε＞0 に対して整数Ｎが存在してｎ≧Ｎならばｄ(ｘ_n,α)＜εが成立することをいう。

[定義６](Cauchy列と完備性)

　距離空間Ｘの点列{ｘ_n}がCauchy列であるとは,任意のε＞0 に対し

整数Ｎが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎならｄ(ｘ_m,ｘ_n)＜εが成立する

ことをいう。

　そして距離空間Ｘの任意のCauchy列が収束するとき,Ｘは完備(complete)である,という。

※定理４から実数の空間Ｒは完備であることがわかります。

　これを少し拡張すればｎ次元Euclid空間Ｒⁿも完備である,ことが

  わかります。

　一般の距離空間は必ずしも完備ではありませんが,あるCauchy列に関する同値類を作ることによって完備化することが常に可能です。

参考文献:Walter.Rudin「Principles of Mathematical Analyss」second Edition(McGrawHill)　

　緊急告知！！　Attention!! [広告宣伝]です。

　「TRS健康ランド」では2008年１月10日よりお徳用ＳＣＳ500mlを新発売！！当店の専売です。

　そこのお酒のみの方，いろいろと飲食の機会の増えたあなた、体によいし特に肝臓によいウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性機能に効果があると言われています。

　おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。

　http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホームページに跳びます。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）                                                 

デデキントの切断(Dedekind cut)

　物理学関係についての話ばかり書くのも少し疲れたので,ちょっと数学に

浮気します。

　それも19世紀の解析学の話で息抜きします。

　手抜きして,約39年も前の大学１～２年の頃に書いたと思われる化石的なノートから引用します。

当時の私は学生運動クラブがメインで,その暇に細々,コツコツと数学の勉強をしていた程度でした。

専攻学科は理学部の物理学科でしたが,物理学に目覚めたのは大学院に入ってからで,大学５年間(１年留年)で自然科学関係で真剣に勉強したという記憶があるのは数学だけです。

必須単位を取って卒業できたのですから,物理学もやったのでしょうが,その成績は目茶目茶だったし,物理は試験前の一夜漬けくらいしか記憶にありません。

大学５年目の９月に幾つか他大学の大学院の物理学専攻を受けたのですが,物理学については１ヶ月か２ヶ月漬け程度の試験勉強でしたかね,入試の１つに合格したのも,恐らく数学の成績によるのでしょうね。

当時の参考書は洋書ですが,Walter.Rudin著の"Principles of Mathematical Analysis"でした。

今取って見ると,McGraw-HillのRiprint版ですがボロボロですね。

後に共立出版から「現代解析学」というその訳が出ているはずですが,そちらは所持していません。

余談はさておき,以下本文です。

まだ,数としては有理数しか存在しない世界から実数という新しい実体を定義します。

まず,Ｑを有理数全体の集合とします。

このとき,例えばｐ∈Ｑ,かつｐ²＝２を満たす元ｐは探しても存在せず,

それ故,集合Ａ⊂ＱをＡ≡{ｐ∈Ｑ|ｐ≦0,またはｐ＞0,かつｐ²＜２}

と定義すれば,Ａには最大数が存在しないことが簡単な考察からわか

ります。

また,ＱにおけるＡの補集合:Ｂ≡Ａ^c＝Ｑ－Ａには最小数が存在しないこともわかります。

つまり,有理数体だけでは,数直線上には多くのギャップ(gap)があって,

連続性は満たされないことがわかります。

そこで,こうしたことが"連続性を満たす新しい数＝実数"の導入の動機付け(motivatuon)になるわけです。

まず切断(cut)の定義です。

デデキント(Dedekind)が導入したので一般にデデキントの切断(Dedekind cut)と呼ばれています。

[定義_0]:集合α⊂Ｑが次の３条件を満たすときαを切断という。

(ⅰ)α≠φ,α≠Ｑである。　

　(ⅱ)ｐ∈α,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐならばｑ∈α。　

　(ⅲ)αは最大数を含まない。

     つまり,∀ｐ∈αに対してｐ＜ｒ,ｒ∈αなるｒ∈Ｑが存在する。

　の３条件である。

[定理Ａ1]:ｐ∈αであるがｑ∈αでないならｐ＜ｑである。

(※以下では"ｑ∈αでない"という文については論理記号の否定:￢を

用いて"￢ｑ∈α"と表現することもあります。)

(証明) ｐ∈αのとき,(ⅱ)によりｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐならｑ∈αです。

　また,ｑ＝ｐなら,もちろんｑ∈αです。

　したがって,ｐ∈αのときｑ≦ｐならｑ∈αですからｑ∈αでない(つまり￢ｑ∈α)ならｐ＜ｑです。(証明終わり)

※     上の定理の結果により,αの元をlower numberと呼び,

　有理数であってαに属さないものについてはαの元より大きいので

　upper numberと呼びます。

[定理Ａ2]:ｒ∈Ｑに対してα≡{ｐ∈Ｑ|ｐ＜ｒ}と置くとαは切断であってｒはαの最小のupper numberである。

(証明) αが(ⅰ),(ⅱ)を満たすのは自明です。

(ⅲ)は,∀ｐ∈αに対してｐ＜(ｐ＋ｒ)/2＜ｒ,(ｐ＋ｒ)/2∈αから明らかに満たされます。それ故,αは確かに切断です。

　さらに,￢ｒ∈Ｑは明らかなのでｒはαのupper numberです。

　そしてα のupper numberは全てｒ以上の有理数ですから

　ｒは確かにαのupper numberの最小値です。(証明終わり)

[定義１]:上の定理で切断であると証明された集合αを特に有理数ｒに関する有理切断と呼び,これをｒ^*で表わす。

　次は,大小関係(順序関係)の定義です。

[定義２]:α,βを切断とするとき,これが集合として等しいときこれらは

等しいと言い,α＝βと書く。

　またｐ∈βであるがｐ∈αでないようなｐ∈Ｑが１つでも存在すれば

　α＜β,あるいはβ＞αと書く。

　そして,α≦βなる表現はα＝βまたはα＜βを意味し,α≧βはα＝β

　またはα＞βを意味する。

[定理Ａ3]:α,βを切断とするとき,α＝βかα＜βかβ＜αのいずれか

１つが成り立ち,２つ以上同時に成り立つことはない。

(証明)手順を追って定義を確かめるだけなので省略します。

[定理Ａ4]:α,β,γを切断とするとき,

α＜βかつβ＜γならばα＜γである。

(証明)これも手順を追って定義を確かめるだけなので省略します。

※(注):"これら切断と呼ばれる有理数の部分集合の各々が１つ１つの

実数の各々に同一視されて対応する。"

というのが,Dedekindの発見的着想であり彼の切断公理の骨子です。

　次に,四則演算です。

[定理１]:α,βを切断とするとき,γ≡{ｐ＋ｑ|ｐ∈α,ｑ∈β}とおけば

γも切断である。

(証明)γが上記の３条件を満たすことを１つずつ順を追って示せばよくて

論理的に簡単なので省略します。

　当時の私のノートには律儀に証明が書いてありますが,まあ,当時は初学者だったので当然ですね。

[定義３]:(加法:足し算)

　上記の定理１で切断であると証明されたγをα＋βと書き,αとβの和と定義する。

[定理２]:(交換法則,結合法則,ゼロ元)

α,β,γを切断とする。

(ａ)α＋β＝β＋α,　

(ｂ)(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ),　

(ｃ)α＋0^＊＝α　

が成立する。

(証明) (ａ),(ｂ)の成立は自明です。

　そこで,(ｃ)の証明だけやってみます。

　まず,ｐ∈α＋0^*とします。このとき,ｐ＝ｑ＋ｒ;ｑ∈α,ｒ∈0^*なる

　ｑ,ｒ∈Ｑが存在します。

　ｒ∈0^*よりｒ＜ 0 ですから,ｐ＝ｑ＋ｒ＜ｑです。

　そこでｐ∈αが成立します。

　逆にｐ∈αとすると,αは切断ですから,ｐ＜ｑ,かつｑ∈αなる

　ｑ∈Ｑが存在します。

　このｑによってｐ＝ｑ＋(ｐ－ｑ);ｑ∈α,(ｐ－ｑ)∈0^*と書けば

　ｐ∈α＋0^*であることがわかります。

　以上から,ｐ∈α＋0^*⇔ｐ∈α,すなわちα＋0^*＝αがいえます。

　(証明終わり)

※結合法則:(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)が成立するので,以後,

　(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)を単にα＋β＋γと表記すること

　もあります。

[定理３]:αを切断とし,ｒ∈Ｑを任意の正の数(ｒ＞0)とする。

　このとき,ｒ＝ｑ－ｐを満たすｐ,ｑ∈Ｑであってｐ∈α,￢ｑ∈αで

　ｑはαの最小のupper numberではないものが存在する。

(証明) まず,α≠φなのでｓ∈αなる適当なｓを取りｓ_ｎ≡ｓ＋ｎｒ(ｎ＝0,1,2,..)によって有理数の等差数列{ｓ_ｎ}を作ります。

　このとき,ｓ_ｍ∈α,￢ｓ_ｍ+1∈αを満たす整数ｍが唯１つ存在するはずです。何故なら,こうしたｍが存在しないとするとα＝Ｑ(有理数全体)となってαが切断であることに矛盾するからです。

　そこで,このｍに対してｐ≡ｓ_ｍ,ｑ≡ｓ_ｍ+1とおけばｐ∈α,￢ｑ∈αでありｑ－ｐ＝ｒです。

　ただし,もしもｑ＝ｓ_ｍ+1がαの最小のupper numberに一致するなら

　ｐ≡ｓ_ｍ＋ｒ/2,ｑ＝ｓ_ｍ+1＋ｒ/2と定義します。(証明終わり)

[定理４]:(逆元の存在)

　αを切断とすとき,α＋β＝0^*を満たす切断βが唯１つ存在する。

(証明) まず,α＋β＝0^*を満たす切断βが存在すると仮定して,その一意性

　から証明します。

　すなわち,α＋β＝α＋β₁＝0^*とすると,

　β₁＝0^*＋β₁＝(α＋β)＋β₁＝(α＋β₁)＋β＝0^*＋β＝β

　です。

　次に,α＋β＝0^*を満たす切断βの存在の証明です。

　そのため,集合:β≡{ｐ∈Ｑ|￢(－ｐ)∈α,ただし(－ｐ)はαの

　最小upper numberではない。}を作ります。

　まず,集合βが１つの切断であることを証明します。

　つまり,βが切断の条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満足することを示します。

　まず,(ⅰ)β≠φ,β≠Ｑは明らかです。

　次に,ｐ∈β,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐと仮定します。

　(－ｐ)＜(－ｑ)ですから,(－ｑ)∈αと仮定すると(－ｐ)∈α

　となります。

　これはｐ∈β:つまり￢(－ｐ)∈αに矛盾します。

　それ故,￢(－ｑ)∈αであり(－ｑ)もαのupper numberですが,

　(－ｐ)＜(－ｑ)で,かつ(－ｐ)がαの最小upper numberではない

　ので(－ｑ)もそうです。

　以上から,ｐ∈β,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐならｑ∈βです。

　すなわち(ⅱ)も成立することがわかります。

　次に(ⅲ)です。

　ｐ∈βであることは(－ｐ)がαの upper numberであることを意味

　しますが,これはαの最小のupper numberではないため,

　∃ｑ∈Ｑ,(－ｑ)＜(－ｐ),かつ￢(－ｑ)∈αです。

　つまり,￢(－ｑ)∈α,かつｐ＜ｑです。

　そこで,ｒ≡(ｐ＋ｑ)/2とおけば,ｐ＜ｒ＜ｑ,つまり

　(－ｑ)＜(－ｒ)＜(－ｐ)なので,￢(－ｒ)∈αです。

　しかも,(－ｒ)はαの最小upper numberではありませんから

　ｒ∈β,かつｐ＜ｒです。

　ｐはβの任意の元でしたから結局βは最大数を含まないことが

　示されました。

　これで,集合βは条件(ⅲ)も満足することがわかりました。

したがって,βも切断ですから,和の有理数集合:α＋βが矛盾なく

切断として定義できることがわかります。

そして,ｐ∈α＋βとすれば定義によってｑ∈α,ｒ∈βが存在して

ｐ＝ｑ＋ｒと書けます。

よって,ｑ∈α,￢(－ｒ)∈αですが,"[定理Ａ1]:ｐ∈α,￢ｑ∈αならｐ＜ｑである。"によればｑ＜(－ｒ)が結論されます。

そしてｑ＜(－ｒ)を移項すればｐ＝ｑ＋ｒ＜ 0 です。

それ故,ｐ∈0^* が結論されます。

　逆にｐ∈0^*を仮定すると,0^*の定義によりｐ＜0,つまり,

　(－ｐ)∈Ｑは正の数:(－ｐ)＞ 0 であることがわかります。

　"[定理３]:αを任意の切断としてｒ∈Ｑを任意に与えられた正の数(ｒ＞0)とすると,ｒ＝ｑ－ｐを満足し,かつｐ∈α,￢ｑ∈αであってｑはαの最小のupper numberではないような有理数の組ｐ,ｑが存在する。"によれば,

　(－ｐ)＝(－ｒ)－ｑを満足し,かつｑ∈α,￢ｒ∈αであってｒはαの

最小のupper numberではないような有理数ｑ,ｒの組が存在します。

　これは,ｐ＝ｑ＋ｒ,かつｑ∈α,ｒ∈βとできることを意味します。

　そこで,結局ｐ∈α＋βなることが結論されます。

　以上からα＋β＝0^*が成立することがわかりました。

　すなわち,α＋β＝0^*を満たす切断:βが確かに存在します。

　こうしたβが一意的であることは既に最初に証明しましたかｒら

　定理は全て証明されました。(証明終わり)

[定義４]:(逆元)　

　上記の[定理４]で切断αに対して存在することが証明された切断βを

　(－α)と書き,αの逆元と呼ぶ。

[定理５]:α,β,γを切断とするとき,β＜γならばα＋β＜α＋γ

である。特にα＞0^*,かつγ＞0^*ならばα＋γ＞0^* である。

(証明) 大小関係の定義２によって,β＜γならばα＋β＜α＋γである

ことは自明です。

　そして,特にβ＝0^*としてα＞0^*,かつγ＞0^*とすれば,α＋γ＞α＞0^*

となります。(証明終わり)

[定理６]:α,βを切断とする。このとき,α＋γ＝βを満たす切断γが唯１つ存在する。

(証明)γ≡β＋(－α)とすると,α＋γ＝α＋{β＋(－α)}＝0^*＋β

　＝βです。そして[定理５]から,γ₁≠γならα＋γ₁≠α＋γなので

　α＋γ＝βを満たす切断γは一意的です。(証明終わり

[定義５]:(減法:引き算)　

　上記の[定理５]で切断α,βに対して存在することが証明された切断  γ≡β＋(－α)をβ－αと書きαのβとの差と呼ぶ。

[定理６]:(乗法)α,βをα≧0^*,かつβ≧0^*なる２つの切断とする。　

　このとき,γ≡{ｒ∈Ｑ|ｒ＜ 0,またはｒ＝ｐｑ,ｐ∈α,ｐ≧0;

　ｑ∈β,ｑ≧0}と置けばγは切断である。

(証明)証明は加法α＋βと似たようなものなので省略します。

[定義６]:(乗法:掛け算)　

　上記の[定理６]で切断α,βに対して定義された切断γをαβと表記しαとβの積と呼ぶ。

　さらに任意の切断αについて,|α|≡α (if α≧0^*),－α(if α＜0^*)

　と定義すると,|α|も１つの切断であって明らかに|α|≧0^*である。

　そして,|α|＝0^*となるのは,α＝0^*のときこのときに限る。

　この|α|を,αの絶対値(absolute value)と呼ぶ。

　α,βを(α≧0^*かつβ≧0^*)ではない２つの切断とする。

　このとき,αβ≡－(|α||β|)(α＜0^*,β≧0^*,またはα≧0^*,β＜0^*

のとき),|α||β|(α＜0^*,β＜0^*のとき)によって積αβを定義する。

　積|α||β|については既に定義されている。

[定理７]:(加法と乗法の性質)　

　α,β,γを切断とするとき,

(ａ) αβ＝βα (交換則),(ｂ)(αβ)γ＝α(βγ) (結合則),

(ｃ) α(β＋γ)＝αβ＋αγ (分配則),

(ｄ) α0^*＝0^*,および,(ｅ)αβ＝0^*⇔α＝0^* or β＝0^* (零元の性質),

(ｆ) α1^*＝α (単位元),

(ｇ) 0^*＜α＜β,かつγ＞0^*なら,αγ＜βγである。

(証明)これら全ての証明もコツコツやれば直線的にできると思うので

省略します。

[定理８]:(除法)

　αをα≠0^*なる切断とする。また,βも１つの任意の切断とする。

　このときαγ＝βなる切断γが唯１つ存在する。

　(これも証明略です。)

[定義７]:(除法:割り算)上記の[定理８]で切断α(α≠0^*),βに対して存在することが証明されたαγ＝βなる唯一の切断γをβ/αと書き,βのαによる商と呼ぶ。

[定理９]:(有理切断)ｐ,ｑ,ｒ,.etc.を有理数とする。

　このとき,(ａ)ｐ^*＋ｑ^*＝(ｐ＋ｑ)^*,(ｂ)ｐ^*ｑ^*＝(ｐｑ)^* ,

　および,(ｃ)ｐ^*＜ｑ^*⇔ｐ＜ｑ が成立する。

(証明)これも証明は略です。

[定理10]:α,βをα＜βなる任意の切断とする。

　このとき,α＜ｒ^*＜βなる有理切断ｒ^*が存在する。

(証明) α＜βとします。

　定義によってｐ∈β,￢ｐ∈αなるｐ∈Ｑが存在します。

　ｐ＜ｒ,かつｒ∈βなるｒを取ると,もちろん￢ｒ∈ｒ^*ですから

　ｒ^*＜βです。またｐ∈ｒ^*,￢ｐ∈αより,α＜ｒ^*です。

(証明終わり)

[定理11]:αを任意の切断する。

このとき,ｐ∈α⇔ｐ^*＜αである。

(証明) ｐ∈αのとき,￢ｐ∈ｐ^*ですからｐ^*＜αです。

　逆にｐ^*＜αのとき,ｑ∈α,￢ｑ∈ｐ^*なる有理数ｑが存在します。　　

　￢ｑ∈ｐ^*よりｑ≧ｐですからｐ∈αです。(証明終わり)

　これで準備は整いました。

[定義８]:各々の切断を実数と呼ぶ。

　有理切断は有理数と同一視する。

※     以下,実数全体(切断全体)の集合をＲとします。

[定理12]:(デデキントの定理)　

　集合Ａ,Ｂを次の性質を持つＲの部分集合とする。

(ａ)Ｒ⊂Ａ∪Ｂ,(ｂ)Ａ∩Ｂ＝φ,(ｃ)Ａ≠φ,かつＢ≠φ,

(ｄ)α∈Ａ,β∈Ｂならばα＜β である。

　このとき,任意のα∈Ａについてα≦γであり,かつ任意のβ∈Ｂ

についてγ≦βを満たす唯一の実数γ∈Ｒが存在する。

　証明を実行する前にこれの系も述べておきます。

[系]:[定理12]の仮定の下では,Ａが最大数を含むかＢが最小数を含むか

のいずれかである。

(定理12の証明)γ≡{ｐ∈Ｑ|ｐ∈α for some α∈Ａ}と置きます。

　まず,このγが確かに切断であることを証明します。

　Ａ≠φなのでα∈Ａなるαが少なくとも１つは存在しますから

　γ≠φです。

　一方,Ｂ≠φなのでβ∈Ｂなるβも存在します。

　当然,∀α∈Ａに対してα＜βです。

　そしてβ≠Ｑより￢ｑ∈βなるｑ∈Ｑが存在します。

　このとき∀α∈Ａに対しα＜βによって￢ｑ∈αです。

　それ故,ｑ∈γです。

　以上から切断の条件:(ⅰ)γ≠φ,かつγ≠Ｑが満たされることが

　わかりました。

次に,ｐ∈γ,ｑ＜ｐと仮定します。

ｐ∈α for some α∈Ａですから,このαに対して切断の定義により

ｑ∈αです。それ故,ｑ∈γです。

これで切断条件(ⅱ)も成立することがわかります。

また,ｐ∈γとするとｐ∈α for some α∈Ａです。

切断の定義によりｑ＞ｐなるｑ∈αが存在します。

よってｑ＞ｐなるｑ∈γが存在します。

これで切断条件(ⅲ)も成立することが示されました。

以上でγは１つの切断であることがわかりました。

したがってγは実数です。すなわちγ∈Ｒですね。

そしてγの定義から明らかに∀α∈Ａに対してｐ∈αならｐ∈γ

ですからα≦γです。

一方,もしもあるβ∈Ｂについてβ＜γなら,あるｐ∈Ｑが存在して

ｐ∈γ,かつ￢ｐ∈βです。

ｐ∈γより,あるα∈Ａに対してｐ∈αなります。

このαについては,ｐ∈α,かつ￢ｐ∈βですから,これはβ＜αを

意味します。

これは∀α∈Ａに対してα＜βという前提に矛盾します。

以上から,∀β∈Ｂについてγ≦βです。

以上で定理の前半のγの存在の証明は終わりました。

一方,上記γと同じ性質の実数(切断)γ₁,γ₂が存在して大小関係が

γ₁＜γ₂であるとすると,[定理10]によってγ₁＜γ₃＜γ₂を満たす

γ₃∈Ｒが存在します。

ところが,γ₃＜γ₂よりγ₃∈Ａです。

また,γ₁＜γ₃よりγ₃∈Ｂです。

つまりγ₃∈Ａ∩Ｂ＝φとなってこれは矛盾です。

したがって,一意性も証明されました。

系については[定理12]のγがＡの最大数かＢの最小数になることは

自明ですが,前提:(ｂ)Ａ∩Ｂ＝φによってどちらか一方しか起こり

得ないことは明らかです。(証明終わり)

　まだ,ちょっとあるのですが取り合えずここまでで終わります。

　丁度10年くらい前ですか池袋の電子専門学校で非常勤講師をしていた

時代に,数学の微積分学を教えて欲しいと頼まれたことがあります。

　そのとき,つい教科書を無視してこのノートの内容などを講義してし

まいました。

　指導教官に漏れて注意を受けた末に,次年度からは数学の講義をはず

されてしまいました。

　微積分の計算だけ教えてくれればいいということでしたね。

　計算も確かに教えましたが,ちょっとハメをはずしたかも知れません。

当時の相手は40人余りのクラスの生徒で確か臨床工学科でしたか？

病院などで採血や血液検査等を担当する臨床検査技師の卵たちで

女子の方がやや多かったような記憶があります。

生徒は私の講義を結構面白がっていたと感じたのですが。。

まあ,直接にはほとんど将来の役に立たない念仏講義なので結局は

迷惑だったかも知れませんね。

この専門学校では物理の講義でも,ちょっと私的な趣味に走ったことが

ありましたが,物理の講師は不足していたらしくて幸いクビにはなりま

せんでしたね。

参考文献:Walter.Rudin「Principles of Mathematical Analysis」second Edition (MacGrawHil)

　緊急告知！！　Attention!! [広告宣伝]です。

　「TRS健康ランド」では2008年１月10日よりお徳用ＳＣＳ500mlを新発売！！当店の専売です。

　そこのお酒のみの方，いろいろと飲食の機会の増えたあなた、体によいし特に肝臓によいウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性機能に効果があると言われています。

　おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。

　http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホームページに跳びます。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）                                                    

微分形式とベクトル解析

　コーヒー・ブレイクです。物理学の話はちょっとお休みにして物理数学の軽い話題を述べてみます。

　エリ・カルタン(Elie Cartan)が創始したと言われる微分形式,または外微分の概念は,最近は向き付け可能な微分可能多様体の上でのテンソル場などと関連して導入されることが多いらしく,何か前提として微分幾何学などの知識がなければいけないかのように感じ,かなり敷居が高いなどと思われ勝ちです。

　私が35年以上も前に大学の物理学科で留年した年に,１年間数学科で浮気をしていた際,数学科の専門講義の中で解析学の一部として学んだ記憶がある微分形式は幾何学と関連があるといっても平面上の四角形はアファイン変換でもやはり四角形になる,という程度の初等幾何の話で十分なものでした。

　微分形式を抽象数学として厳密に扱おうとするなら,それを微分幾何学,多様体などの概念と結び付け,曲面上での特殊な多重線形変換の場,あるいは交代テンソルの場の一部として導入するべきかも知れません。

　しかし,古典物理での物理数学のような応用数学に利用するだけであれば,積分が微分の逆演算であること,および積分変数,あるいは微分変数の変換における不変式との関連の話で導入をする程度でお茶を濁すのがイメージを掴むやり方としては,はるかに入り易いと思います。

　ここではそうした方法での説明にトライしてみます。

　要するに,私がはじめてそれを学んだときには,微分形式というのは素朴な１変数関数の積分での変数置換に伴う単純な置換積分の公式を多変数関数の重積分の場合のそれに拡張したとき,積分形式における変換規則を微分形式の規則に翻訳するための便法として編み出した記号に過ぎないものと把握したものでした。

　ただ,そうした記号的手法を用いれば計算が非常に楽になるということだけは確かであり,特に直交座標とか極座標とかの点の異なる座標表現を気にすることなく同じ形式で考察できるという意味では,重宝で便利な道具であるとは思います。

　１変数関数ｙ＝ｆ(ｘ)の不定積分:Ｆ(ｘ)＝∫^xｆ(ｔ)ｄｔは積分変数ｔをｔ＝φ(ｕ)によってｕに変更するとき,この対応が同相,つまりφが１価連続で逆写像もまた連続なら,ｘ＝φ(ｖ)のとき,これが∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕ (ただしφ'(ｕ)≡ｄφ/ｄｕ)なる積分に一致する:∫^xｆ(ｔ)ｄｔ＝∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕなる不変式が成立する,というのが置換積分法の規則です。

　これは微分規則での合成関数の微分法の規則:ｄＦ(φ(ｖ))/ｄｖ＝(ｄＦ/ｄｘ)φ'(ｖ)に対応するものです。

　では２変数関数ｇ(ｘ,ｙ)の積分の場合にはどうでしょうか？

　１変数関数のときには便宜上,積分を不定積分としましたが,今度はある決まった点(ｘ,ｙ)の連結した点集合から成る２次元の領域Ｄの上での定積分として,２重積分:∫_Dｇ(ｘ,ｙ)ｄｘｄｙを考えます。

　そして,１変数の場合と同様にｘ＝φ(ｕ,ｖ),ｙ＝ψ(ｕ,ｖ)と変数変換して,φ,ψを(ｕ,ｖ)の連結した領域Ｄ_uvから(ｘ,ｙ)の領域Ｄの上への同相写像とします。

　すなわち,この写像の組φ,ψをベクトル表示で ^t(ｘ,ｙ)＝Φ(ｕ,ｖ)≡^t(φ(ｕ,ｖ),ψ(ｕ,ｖ))と書くとき,Ｄ＝Φ(Ｄ_uv)となるとします。

　そして,先の１変数の積分不変式∫^xｆ(ｔ)ｄｔ＝∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕが２変数関数ｇ(ｘ,ｙ)の積分でも成立するとして,形式的に∫_Dｇ(ｘ,ｙ)ｄｘｄｙ＝∫_Duvｇ(φ(ｕ,ｖ),ψ(ｕ,ｖ))Φ'(ｕ,ｖ)ｄｕｄｖと書きます。

　形式的にこう書いたとしても,それだけでは,右辺の最後のΦ'(ｕ,ｖ)ｄｕｄｖなる表記の記号の意味がまだ不明のなので,これが明確に定義されない限り,この表現式に意味はありません。

　しかし,^t(ｘ,ｙ)＝Φ(ｕ,ｖ)≡^t(φ(ｕ,ｖ),ψ(ｕ,ｖ))という変数変換は,局所的な微分量の変換に対応する微小変換では通常の１次元の１変数の場合の変換ｘ＝φ(ｕ)における微分と微分係数の関係:ｄｘ＝(ｄφ/ｄｕ)ｄｕ＝φ'(ｕ)ｄｕのアナロジーとして理解されます。

　すなわち,"全微分係数＝全ての偏微分係数をその要素とする行列"を記号的にｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)と書けば,^t(ｄｘ,ｄｙ)＝{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}^t(ｄｕ,ｄｖ)と書けます。

　これは陽な成分表現では,^t(ｄｘ,ｄｙ)＝^t((∂φ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂φ/∂ｖ)ｄｖ,(∂ψ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ψ/∂ｖ)ｄｖ)と書けます。

　そして,こうした２重積分ではｄｘｄｙ,およびｄｕｄｖは何を表わしているかというと,これらの量は縦と横の辺の長さの組が(ｄｘ,ｄｙ),および(ｄｕ,ｄｖ)で与えられる微小長方形の面積を表わしています。

　ところで,一般にｎ次元ベクトル空間Ｒⁿの上のベクトル:ｕ≡^t(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)∈Ｒⁿを別の点ｘ≡^t(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)∈Ｒⁿに写す線形写像をアファイン(or アフィン)変換と呼びますが,これは線形変換なので,あるｎ次の正方行列Ａが存在してｘ＝Ａｕなる式に書けます。

始点の一致した２つのベクトルｕ,ｖで作られる平行四辺形の面積は,ｕとｖの成す角をθとするとき,|ｕ||ｖ||sinθ|で与えられます。

これはもしもｕ,ｖが３次元空間のベクトルなら,外積,あるいはベクトル積ｕ×ｖの大きさを表わしています。

さらに行列Ａで表現されるこうした線形変換によって,ｕ,ｖがそれぞれｘ,ｙに写されるとき,つまりｘ＝Ａｕ,かつｙ＝Ａｖが成立するとき,外積の変換はｘ×ｙ＝(detＡ)(ｕ×ｖ)となります。

ただし,detＡは行列Ａの行列式を示しています。

つまり,アファイン変換では平行四辺形は平行四辺形に写され,その面積の比は,変換行列Ａの行列式の絶対値＝|detＡ|になるわけです。

したがって,微小変換^t(ｄｘ,ｄｙ)＝{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}^t(ｄｕ,ｄｖ)でも,これは微分量同士の関係としては線形変換なので,(ｄｘ,ｄｙ),および(ｄｕ,ｄｖ)の成分はそれぞれｘ軸,ｙ軸に平行な２つの微小ベクトル,およびｕ軸,ｖ軸に平行な２つの微小ベクトルを示していると考えると,それらの作る微小長方形の面積要素の比はdet{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}の絶対値で与えらます。

こうしたことは一般のｎ次元空間でも,もちろん成立します。

このときには^t(ｄｘ₁,ｄｘ₂,..,ｄｘ_n)＝{ｄΦ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)/ｄ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)}^t(ｄｕ₁,ｄｕ₂,..,ｄｕ_n)なる線形変換式を満たすｎ行ｎ列の行列{ｄΦ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)/ｄ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)}は,慣習的にヤコービ行列(Jacobi matrix)と呼ばれ,記号{∂(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)/∂(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)}で表わされます。

そして,その行列式:det{ｄΦ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)/ｄ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)}はヤコービアン(Jacobian)と呼ばれ,記号:Ｊ≡|∂(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)/∂(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n)|で表わされます。

２次元の場合の変換式^t(ｄｘ,ｄｙ)＝{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}^t(ｄｕ,ｄｖ)において,(ｄｕ,ｄｖ),および(ｄｘ,ｄｙ)で作られる長方形の微小面積を,それぞれ記号ｄｕ∧ｄｖ,およびｄｘ∧ｄｙで表わしこれらを２次の微分形式と定義します。

すると,お互いの積分変数の微小面積要素の比を与える公式はｄｘ∧ｄｙ＝±det{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}ｄｕ∧ｄｖ＝±Ｊｄｕ∧ｄｖ＝±|∂(ｘ,ｙ)/∂(ｕ,ｖ)|ｄｕ∧ｄｖと表現されます。

この時点ではｄｕ∧ｄｖとｄｘ∧ｄｙなる記号は,これらを微小な面積という非負の量に同一視しているので,行列式の符号如何で,右辺にはプラス,またはマイナスの符号が必要です。

ところが,１次の置換積分の公式:∫^xｆ(ｔ)ｄｔ＝∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕにおいてはφ(ｕ)がｕの増加関数であるか減少関数であるかによって,積分区間の始点と終点を逆転させると規約すれば一々符号を付ける必要なく常にこの積分不変式が成立するようにできます。

微分積分法などの初等的なテキストでは重積分における変数変換に際してヤコービアン:Ｊの絶対値をとって,置換積分の変換公式を∫_Φ(D)ｇ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_n＝∫_Dｇ(Φ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n))|Ｊ|ｄｕ₁ｄｕ₂..ｄｕ_nと書き,単なる行列式Ｊを用いる代わりに,その絶対値|Ｊ|を用いた式で表わすことが多いようです。

しかし,微分形式の記号ｄｕ∧ｄｖ etc.を積分等式の両辺の積分領域ＤとΦ(Ｄ)の相対的な向きの指定をも含めた形で定義するなら,±符号を除いた簡単な積分公式∫_Φ(D)ｇ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ₁ｄｘ₂..ｄｘ_n＝∫_Dｇ(Φ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n))Ｊｄｕ₁ｄｕ₂..ｄｕ_n,および対応する微分公式ｄｘ₁∧ｄｘ₂∧..∧ｄｘ_n＝Ｊｄｕ₁∧ｄｕ₂∧..∧ｄｕ_nが常に成立するようにできます。 

さらに,この公式の微分形も任意の関数ｇ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)を含めた一般的表現ではｇ(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ₁∧ｄｘ₂∧..∧ｄｘ_n＝ｇ(Φ(ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_n))Ｊｄｕ₁∧ｄｕ₂∧..∧ｄｕ_nと表わすことができます。

こうした微分による変換形式を,その本質的に反対称で外積代数と同じ性質を持つという演算規則の定義をも含めてｎ次の微分形式と呼ぶわけです。 

そして,ω≡Σ_i1,i2,.._ikｆ_i1,i2,..,_ik (ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n)ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧...∧ｄｘ_ik(0≦ｋ≦ｎ)なる線形結合で与えられる形式が,ｎ次元空間を土俵にした全く一般的なｋ次微分形式の定義です。

また,(ｎ－1)以下のｋについてのこうしたｋ次微分記式ωに対し,その外微分ｄωをｄω≡Σ_i1,i2,.._ikΣ_j=1ⁿ(∂ｆ_i1,i2,.._ik/∂ｘ_j)ｄｘ_j∧ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧..∧ｄｘ_ikによって定義します。

こうした外微分に関しては,一般に"ポアンカレの補題ｄ(ｄΩ)＝0 ",および一般的な"ストークスの定理∫_Ωｄω＝∫_∂Ωω"が成立します。

この定義での微分式をなぜ外微分と呼ぶのかと言うと,微分形式や外微分の演算がいわゆる外積代数に従うからです。

上に述べたポアンカレの補題は「完全形式(exact form):ω＝ｄΩは閉形式(closed form):ｄω＝0 である。」という定理ですが「可縮な領域では,閉形式ｄω＝0 は完全形式である,つまりω＝ｄΩと書ける微分形式Ωが存在する。」というこれの逆命題も成立します。

後者もポアンカレの補題と呼ばれることが多いです。

後者が成立することの証明については,私のブログの2006年10/21の記事「ポアンカレの補題」にやや詳しく記述しているので,よかったら参照してください。

逆命題としての後者のポアンカレの補題は,物理学で多用される伝統的なベクトル解析に翻訳した場合,結構重要な定理に対応しています。

例えばベクトル場が"渦無し＝非回転的"である,ベクトル場の回転がゼロであることは,対象としている場が保存的である,すなわち場のスカラーポテンシャル(位置エネルギー)が存在して元のベクトル場はそのスカラーポテンシャルの勾配として表現可能であることを意味します。

また,ベクトル場の発散がゼロであることは,場のベクトルポテンシャルが存在して,場はそれの回転で表現されることを意味するという定理などに対応しています。

ここで,上述の定理も含め,こうした微分形式の言葉を物理学でよく使われるベクトル解析の言葉に翻訳して互いに関連付けるため,スカラー場,ベクトル場etc.の再定義,およびそうした言葉の翻訳作業に必要な道具として場の関数に対するいくつかの演算の定義や,関連した記号と記法を導入したいと思います。

Ｕを３次元ユークリッド空間の開集合とし,物理学での一般的なベクトル場の表記Ｖ＝(Ｖ^x,Ｖ^y,Ｖ^z)に対応した数学としての幾何学的表記を多様体上の線形演算子の場,あるいは余接空間上のベクトル場の形式としてＶ≡Ｖ^x(∂/∂ｘ)＋Ｖ^y(∂/∂ｙ)＋Ｖ^z(∂/∂ｚ)で表わします。

そして,接空間上でのそれに双対(dual)なベクトル場としての微分形式をＶ^*≡Ｖ^xｄｘ＋Ｖ^yｄｙ＋Ｖ^zｄｚで表わすことにします。 

さらに３次元ユークリッド空間においては,微分１形式:ｕ＝ｕ¹ｄｘ＋ｕ²ｄｙ＋ｕ³ｄｚに対して,*ｕを*ｕ≡ｕ¹ｄｙ∧ｄｚ＋ｕ²ｄｚ∧ｄｘ＋ｕ³ｄｘ∧ｄｙで,

微分２形式:ｖ≡ｖ²³ｄｙ∧ｄｚ＋ｖ³¹ｄｚ∧ｄｘ＋ｕ¹²ｄｘ∧ｄｙに対して*ｖを*ｖ≡ｖ²³ｄｘ＋ｖ³¹ｄｙ＋ｕ¹²ｄｚで,

そして微分３形式:ｗ≡ｆｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚに対して,*ｗを*ｗ≡ｆで定義する演算,

すなわち,ｎ次元ユークリッド空間のｋ次微分形式に対して,その左側に*印をつけることで(ｎ－ｋ)次微分形式を対応させる演算＝星印作用(star operation)を定義します。

このときの演算記号である*印を,この演算を始めた人の名を取ってホッジ作用素,あるいは星印(スター)作用素と呼びます。

上の記述では書きませんでしたが,特に0-形式,単なるスカラー関数ｇ(ｘ,ｙ,ｚ)に対しての*印演算は,*ｇ≡ｇｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚです。

そうして,これらの星印演算については一般に任意の微分形式ωに対して*(*ω)＝ωなる等式が成立します。

星印演算を用いると任意のスカラー場ｆの勾配:gradｆ＝∇ｆ＝(∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｙ,∂ｆ/∂ｚ),あるいは(∂ｆ/∂ｘ)(∂/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｙ)(∂/∂ｙ)＋(∂ｆ/∂ｙ)(∂/∂ｚ)なる演算子表現に双対なベクトルの表現は,(gradｆ)^*＝(∂ｆ/∂ｘ)ｄｘ＋(∂ｆ/∂ｙ)ｄｙ＋(∂ｆ/∂ｙ)ｄｚとなります。

そこで,スカラー場ｆの勾配に関する等式として(gradｆ)^*＝ｄｆが得られます。

また,任意のベクトル場Ｖ＝(Ｖ^x,Ｖ^y,Ｖ^z)＝Ｖ^x(∂/∂ｘ)＋Ｖ^y(∂/∂ｙ)＋Ｖ^z(∂/∂ｚ)に対して,双対なものはＶ^*＝Ｖ^xｄｘ＋Ｖ^yｄｙ＋Ｖ^zｄｚなので,

ｄ(Ｖ^*)＝(∂Ｖ^y/∂ｚ－∂Ｖ^z/∂ｙ)ｄｙ∧ｄｚ＋(∂Ｖ^x/∂ｚ－∂Ｖ^z/∂ｘ)ｄｚ∧ｄｘ＋(∂Ｖ^y/∂ｘ－∂Ｖ^x/∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙです。

そこでベクトル場Ｖの回転に関する等式として*{(rotＶ)^*}＝ｄ(Ｖ^*)が得られます。

さらに,*(Ｖ)^*＝Ｖ^xｄｙ∧ｄｚ＋Ｖ^yｄｚ∧ｄｘ＋Ｖ^zｄｘ∧ｄｙなのでｄ{*(Ｖ)^*}＝(∂Ｖ^x/∂ｘ＋∂Ｖ^y/∂ｙ＋∂Ｖ^z/∂ｚ)ｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚより,ベクトル場Ｖの発散に関する等式:*(divＶ)＝ｄ{*(Ｖ)^*}が得られます。

したがって,ポアンカレの補題ｄ(ｄｆ)＝0 は,ｄ{(gradｆ)^*}＝0 およびrot(gradｆ)＝0 と等価です。一方,ｄ{ｄ(Ｖ^*)}＝0 はｄ[*{(rotＶ)^*]＝0 となり,結局div(rotＶ)＝0 とも等価です。

また,ストークスの定理∫_Ωｄω＝∫_∂Ωωによれば,ω≡*(Ｗ)^*とすれば,∫_Vｄ{*(Ｗ)^*}＝∫_S*(Ｗ)^*により∫_V(divＷ)ｄｘｄｙｄｚ＝∫_SＷｄＳをなる恒等式を得ます。

これは物理数学ではガウスの法則と呼ばれています。

また,ω≡Ｗ^*とすれば,∫_Sｄ(Ｗ^*)＝∫_C(Ｗ^*)によって∫_S(rotＷ)ｄＳ＝∫_CＷｄｓなる等式を得ます。

物理学では,２次元曲面Ｓとその境界閉曲線Ｃに対するこの公式だけをストークスの法則と呼んでいます。 

本当は,ここで終わりにするのがキレイな終わり方なのでしょうが,そもそも息抜きのついでにこの記事を書く気になったきっかけは,すぐ前の12月15日の記事「理想気体の圧力と気体分子運動論」にあります。

その中では積分形の運動方程式:ｄ[∫_V1ｐｄＶ]/ｄｔ＝－∫_SＰｄＳの右辺が直感的に－∫_V1∇ＰｄＶと書き換えられて微分形の方程式ｄｐ/ｄｔ＝－∇Ｐになると書いたのですが,実は自分でもこの手順がすっきりしなくて,これの解決にホッジスのスター作用素が役立つのではないか？と考えたのがこの記事を書いた動機なのです。

そこで,私自身の問題意識としては,この問題をすっきりさせない限りこの記事を書くことに意味がありません。

ところが,ちょっと考えてみたところ,上に求めた公式では等式の両辺の被積分値は全てスカラー量です。

しかし,∫_SＰｄＳ＝∫_V1∇ＰｄＶなる等式を証明する場合には両辺の被積分値はベクトル量ですから上で実施した手順に類似した推論を単純に適用することはできないことがわかります。

結局,両辺でのベクトルの成分ごとにそれぞれスカラー量として等式を導くほかはなさそうです。

実際,ω≡Ｐｄｙ∧ｄｚと置けば,ｄω＝(∂Ｐ/∂ｘ)ｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚなので,ストークスの定理∫_Sω＝∫_V1ｄωは∫_SＰｄｙｄｚ＝∫_V1(∂Ｐ/∂ｘ)ｄＶとなります。

そして空間の一様性から直交座標系:Ｏ-ｘｙｚのｘ軸の向きはどのように取っても同じです。

さらに,(∂Ｐ/∂ｘ)は圧力Ｐの勾配ベクトル∇Ｐ＝gradＰの面ｄｙ∧ｄｚに垂直な軸成分ですが,∇Ｐ＝gradＰ自身も常に面ｄＳの法線ｎの向きを持ち,法線成分(∂Ｐ/∂ｎ)に等しい大きさを持つベクトルですから∫_SＰｄＳ＝∫_V1∇ＰｄＶが成立するのは明らかです。

ということで私自身の問題も解決したのでこれで終わります。 

参考文献:深谷賢治 著「解析力学と微分形式」(岩波書店),木村利栄,菅野礼司著「微分形式による解析力学」(吉岡書店) 　

緊急告知！！　Attention!! [広告宣伝]です。

　年末、クリスマスにつき、2007年中に期間限定で下記URLの「TRS健康ランド」でご注文の方にはＳＣＳを除く全商品を３割引きにて提供致します。

　そこのお酒のみの方や年末で飲食の機会の増えたあなた、体によいし特に肝臓によいウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性機能に効果があると言われています。

　おやおや、そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。

　http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）                                                                                                                                                                              

解析接続の意味

例によって「ＥＭＡＮの物理学」の談話室での話題なのですが,ゼータ関数の定義に関連して,無限級数(の和)によって定義された関数の解析接続とか一致の定理というのは何か？についての議論が進み,ほぼ終局の状態です。

私自身はまだ言い足りないことがあったので,ここでの記事にしますが,実は投稿したものとほぼ同じです。

ダブルポストなので,通常はルール違反なのですが,自分のブログなのでかまわないでしょう。

それに掲示板ではフォントなどが限られているので,ブログでは自分の好きな形式で書けるという意味もあります。

　結局は,2006年４月23日の記事「くりこみ回避のアイデア」で書いた話を少し精密にしただけです。

　私は,複素関数論での通常の解析接続の説明では飽き足らず,物理屋的な解説を目指しました。

　まず,ｚを任意の複素数とすると,Σ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)です。これは有限級数の和なので,|ｚ|＜1でも,ｚ＝－1でもｚ＝2でも成り立つ等式です。

　そして,|ｚ|＜1ならｎ→ ∞ で|ｚⁿ|→ 0 なので,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ)が成り立ちます。

　　しかし,ｚ＝2ではｎ→ ∞ で|ｚⁿ|→ ∞ であり,ｚ＝－1ではｎ→ ∞ でｚⁿが確定値を取らないので,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ) は成立しません。

　　そこで,複素関数ｆ(ｚ)を|ｚ|＜１で与えられる定義域においてｆ (ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...(|ｚ|＜１)によって定義することにします。

　こう定義すれば,|ｚ|＜１の領域では ｆ (ｚ)は関数１/(1－ｚ)に一致します。

　|ｚ|＞1やｚ＝－1では等式Σ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)は成立しますが,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ)は成立しません。

　しかし,そうした|ｚ|＜１の領域以外のｚに対しても部分和を表わす右辺の(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)での分子のｚⁿを無視して,(1－ｚⁿ)を１としたものと ｆ (ｚ)を同一視してｚ＝１を除く全複素平面でｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ) (ｚ≠1)と定義することにします。

　つまり,ｆ (ｚ)≡lim_ｎ→∞［{1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1}＋ｚⁿ/(1－ｚ)]という式を関数ｆ (ｚ)の正しい定義とするわけです。

　|ｚ|＜1なら,この後の定義も|ｚ|＜1 におけるｆ(ｚ)に対する前の定義ｆ(ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...(|ｚ|＜１)と全く一致します。

　一方,|ｚ|＞１やｚ＝－１では差し引くべき項:{－ｚⁿ/(1－ｚ)}は収束しません。

　特に|ｚ|＞1なら|ｚⁿ/(1－ｚ)|→∞ なので, ｆ (ｚ)≡lim_ｎ→∞［{1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1}＋ｚⁿ/(1－ｚ)]は形式的に無限大から無限大を引くという意味に取ることも可能で,これは物理学でのくりこみの処方に似ています。。

　ここまでは,直接には解析接続とは無関係な話です。

　そして複素関数論では ｆ (ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ) (|ｚ|＜1)を特異点ｚ＝１を避けて延長した点でも,それが正則関数になるように,|ｚ|≧1,ｚ≠１なる点まで接続すれば,一致の定理によってそうした点でも ｆ (ｚ)は１/(1－ｚ)に一致する場合しか有り得ないことがわかります。

　実際,ｚ＝－1＋αと置けばΣ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋・・＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)なる等式はｃ₀,ｃ₁,..,ｃ_n-1をある定数の複素係数としてΣ_k=1ⁿ(α－1)^k-1＝Σ_k=1ⁿｃ_k-1α^k-1＝{(α－1)ⁿ－1}/(α－2)と変形できます。

そして,|ｚ|＝|α－1|＞1なら右辺は,1/(1－ｚ)＝－1/(α－2)にはなりません。

　しかし一方,αの絶対値が十分小さいならｚ＝－1＋αの絶対値が１より大きくても,つまり|ｚ|＝|－1＋α|＞1でも ｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ)＝－1/(α－2)＝(1/2)/(1－α/2)＝(1/2)Σ_n=1^∞(α/2)^n-1＝(1/2)[1＋(α/2)＋(α/2)²＋...]＝(1/2)Σ_n=1^∞{(ｚ＋1)/2}^n-1＝(1/2)[1＋{(ｚ＋1)/2}＋{(ｚ＋1)/2}²＋...]とテイラー展開されます。

　つまり,ｚ＝0 のまわりでは|ｚ|＝|－1＋α|＞1なので, ｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ)はｚのべきでは展開できなくても,ｚ＝－1のまわりではα＝(ｚ＋1)の無限べき級数に展開可能ですから,ｆ (ｚ)は確かに|ｚ|＞1,ｚ≠１なる領域でも解析的です。

　また,"一致の定理"の内容というのは同じ点を中心としたテイラー級数の展開係数の一意性により,今の ｆ (ｚ)の場合,|ｚ|＜１ 以外の領域でも,その解析性(ベキ級数への展開可能性)を保持しながら ｆ (ｚ)を|ｚ|＜１から連続的に延長していったとき,もしも２通り以上の延長(接続)方法があったとしても,それらは一致するという定理です。

　このことから,解析接続する方法は一意的に決まります。

　今日は,短かいけれどこれで終わりです。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/「ＴＲＳ健康ランド」-- 黒ウコン,ＳＣＳ(洗浄剤)専売などの店：  私が店長 です。

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

揚力とベルヌーイの定理

　2007年８月２日の記事「ダランベールの背理(D'Alembert's paradox)」において,

　完全流体では流速がＵの一様流の中に置かれた物体に働く揚力Ｆ_yの値を,物体のまわりを反時計回りにまわる流れの循環Γによって,Ｆ_y＝－ρＵΓと評価できることを述べました。

　Ｆ＝(Ｆ_x,Ｆ_y)は物体に働く力でＦ_xは抗力,Ｆ_yは揚力です。 

そこではｆ(ｚ)＝Φ＋iΨ(Φは速度ポテンシャル,Ψは流れ関数)とし,複素関数論を利用して,ベルヌーイの定理:∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋ｖ²/2＋Ω＝Ａ(ｔ)(空間的に一定)とブラウジウスの(第一)公式:Ｆ_x－iＦ_y＝iρ∫_C[(ｄｆ/ｄｚ)²/2]ｄｚを導出するプロセスを記述しました。

それによって,物体に働く力Ｆ＝－∫_C ｐｎｄｓを考察し,そして,クッタ・ジューコフスキーの定理を証明した後,この定理の一部分に従って上述の命題を得るという手続きを行ないました。

　しかし,このような扱いは,私には少々大げさだと感じられたので,今日は物体部分からは全く湧き出しがない:divｖ＝0 という前提の下で,簡略化されたベルヌーイの定理ｐ＋ρｖ²/2＝Ａ(一定)から直接的に揚力と循環の関係Ｆ_y＝－ρＵΓを導いてみたいと思います。 

　まず,ベルヌーイの定理からｐ＝Ａ－ρｖ²/2なので,物体に働く力はＦ＝－∫_C ｐｎｄｓ＝－∫_CＡｎｄｓ＋(ρ/2)∫_Cｖ²ｎｄｓ＝(ρ/2)∫_Cｖ²ｎｄｓです。

　Ｃの線素ベクトルをｄｓ＝(ｄｘ,ｄｙ)とすると,ｎｄｓ＝0 ですから,ｎｄｓ＝(ｄｙ,－ｄｘ)となるので,結局,揚力はＦ_y＝(－ρ/2)∫_Cｖ²ｄｘ＝(－ρ/2)∫_C(ｖ_x²＋ｖ_y²)ｄｘなる式で与えられます。

ところで,物体の外では当然,連続の方程式が成立しており,また仮定によって物体内部に湧き出しがありませんから,空間のいたるところで divｖ＝0 が成立します。

すなわち,閉曲線Ｃで囲まれる任意の領域Ｓにおいて∫_S divｖｄＳ＝∫_S(∂ｖ_x /∂ｘ＋∂ｖ_y /∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙ＝0 です。

これは任意の閉曲線Ｃの上で∫_Cｖ_xｄｙ－∫_Cｖ_yｄｘ＝0 が成立することを意味しています。それ故,ｙ＝ｆ(ｘ)なる任意の曲線上の点で常にｖ_xｄｙ＝ｖ_yｄｘです。

つまり,この曲線の傾きｙ'＝ｄｙ/ｄｘ＝ｆ'(ｘ)に対し常にｖ_y＝ｙ'ｖ_xが成立しています。

また,閉曲線Ｃの上での流れの循環ΓはΓ≡∫_Cｖｄｓ＝∫_C(ｖ_xｄｘ＋ｖ_yｄｙ)で定義されます。

(これはΓ＝∫_S rotｖｄＳ＝∫_S(∂ｖ_y /∂ｘ－∂ｖ_x /∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙと書き直すこともできます。)

故に,Γ＝∫_Cｖ_xｄｘ＋∫_Cｖ_yｄｙ＝∫_Cｖ_x(1＋ｙ'²)ｄｘです。一方,揚力Ｆ_yもＦ_y＝(－ρ/2)∫_Cｖ²ｄｘ＝(－ρ/2)∫_C(ｖ_x²＋ｖ_y ²)ｄｘ＝(－ρ/2)∫_Cｖ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘと表わすことができます。

ここで,流れｖ＝(ｖ_x,ｖ_y)が,一様流Ｕ＝(Ｕ,0)に微小な流れｕ＝(ｕ_x,ｕ_y)を重ね合わせたもの:ｖ＝Ｕ＋ｕで与えられるとします。

ｖ_x＝Ｕ＋ｕ_x,ｖ_y＝ｕ_yですから,これを上の循環と揚力の表式に代入して,Γ＝∫_C(Ｕ＋ｕ_x)(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_x(1＋ｙ'²)ｄｘ,およびＦ_y＝(－ρ/2)∫_C(Ｕ＋ｕ_x)²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝－ρＵ∫_Cｕ_x(1＋ｙ'²)ｄｘ－(ρ/2)∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘを得ます。

ここで,∫_C(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｄｘ＋∫_Cｙ'ｄｙ＝0 を用いました。さらに,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_C(ｕ_x²＋ｕ_y²)ｄｘ＝∫_Cｕ²ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓなのでＦ_y＝－ρＵΓ－(ρ/2)∫_Cｕ_xｄΓです。

最後の表式で∫_Cｕ_xｄΓがゼロになるための条件はｄＷ＝ｕ_xｄΓなるＷが存在することです。

ポアンカレの補題によって,それはｄ(ｕ_xｄΓ)＝ｄｕ_x∧ｄΓ＝[－ｕ_x(∂ｕ_x /∂ｙ)＋ｕ_y(∂ｕ_x /∂ｘ)]ｄｘ∧ｄｙ＝0 すなわち,－ｕ_x(∂ｕ_x /∂ｙ)＋ｕ_y(∂ｕ_x /∂ｘ)＝0 が成り立つことと同値です。

これ以上は,適切なモデルで考えないと無理です。

まず,線素を極座標で書くとｄｓ＝(ｄｘ,ｄｙ)＝ｒ(ｄ(cosθ),ｄ(sinθ))＝ｒｄθ(－sinθ,cosθ)となります。

湧き出しがない条件は∫_S divｖｄＳ＝∫_C(ｖ_xｄｙ－ｖ_yｄｘ)＝0 ですから,∫_Cｖ_xｄｙ＝∫_Cｖ_yｄｘ →∫_C(Ｕ＋ｕ_x)ｄｙ＝∫_Cｕ_yｄｘ,故に∫_Cｕ_xｄｙ＝∫_Cｕ_yｄｘです。

つまり,∫₀^2πｒｕ_xcosθｄθ＝－∫₀^2πｒｕ_ysinθｄθなので,ｒｕ_x≡－Ｂsinθ,ｒｕ_y≡Ｂcosθ(Ｂはｒだけの関数)というモデルを想定すると,これにより上述の湧き出しゼロ条件は自動的に満たされます。

また,循環はΓ≡∫_C(ｖ_xｄｘ＋ｖ_yｄｙ)＝∫_C(ｕ_xｄｘ＋ｕ_yｄｘ)で与えられますから,Γ＝∫₀^2π(－ｒｕ_xsinθ＋ｒｕ_ycosθ)ｄθ＝2πＢ：つまりＢ＝Γ/(2π)です。

そこでＢは定数なので,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓ＝∫_C(ｕ_x²＋ｕ_y²)ｄｘ＝－∫₀^2π(Ｂ²/ｒ)sinθｄθ＝0 が得られます。

したがって,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓ＝0 となり,求める揚力と循環の関係Ｆ_y＝－ρＵΓが得られました。

　したがって,以上の私の試みによって流れが上の面に沿って速く下の面に沿って遅いときに,ベルヌーイの定理から上向きの力＝揚力が生じるというメカニズムを考えれば,このとき負の循環Γ＜0 つまり時計回りの循環があることに相当することがわかります。

　そこで,クッタ・ジュ－コフスキーの定理により上向きの力＝揚力が生じる,という命題と同等である,ということを直接的に示せたのではないかと思います。

　逆に,循環がなくて(rotｖ＝0)湧き出しＱがあるとき抗力Ｆ_xと湧き出しＱの関係Ｆ_x＝－ρＵＱが得られることも上とほぼ同様にして示すことができます。

そして循環も湧き出しも共に存在するときは,例えば電気回路の重ねの理と同じように,この場合を上記の２つの場合の重ね合わせと考えることによって,Ｆ_x＝－ρＵＱとＦ_y＝－ρＵΓが同時に成り立つことも言えます。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/健康商品の店 「TRS健康ランド」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

解の一意性のための必要十分条件(2)(岡村博氏による)

　まず前回からの続きです。

　前回の終わりでは解の一意性のための十分条件を拡張することによって,未知関数が１個の場合には一意性のための必要十分条件が得られる,という結論に到達しました。

　しかし,そうした条件,殊に必要条件の形式,および証明について,他にも取ることができるかどうかを改めて考えます。

　まず,先に到達した条件は形式的にはまだまだ拡張できることがすぐわかります。

　実際,関数φの連続性や微分可能性は仮定せず,ただｚ＝0,ｚ＞0 に応じてφ(ｘ,ｚ)＝0,φ(ｘ,ｚ)＞0 であり,さらにφ(ｘ,ｚ)は方程式ｄｚ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｚ)の解曲線に沿ってｘの非増加関数である,とのみ仮定しても一意性の十分条件となることは容易にわかります。

　そして,これが一意性の必要条件でもあることは,この場合はきわめて簡単に証明されます。

　実際,ｄｚ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｚ)の解が一意であるという条件で,そのようなφを作るには便宜上ｆ(ｘ,ｚ)は領域{0≦ｘ≦ａ,－∞＜ｚ＜∞}にまで定義域が延長されていて,そこで連続かつ有界であるとし,φ(ｘ,ｚ)としては点(ｘ,ｚ)から左に出てくる全ての解ｚ(ｘ)に対する|ｚ(0)|の最小値をとればいいのです。

　こう取れば,ｚ＞0 に対してφ(ｘ,ｚ)＞0 となります。

　これは解ｚ＝ｚ(ｘ)の初期値ｚ(0)に関する半連続性とｚ＝ｚ(ｘ)の一意性の仮定によってわかります。

　すなわち,ｚ＞0 のときのφ(ｘ,ｚ)の値はｚ＞0 の(ｘ,ｚ)から左に出る(ｘ＞0 かつｚ＞0 の(ｘ,ｚ)を通る)解ｚ＝ｚ(ｘ)の初期値ｚ(0)に対して|ｚ(0)|で与えられるので,元々φ(ｘ,ｚ)＝|ｚ(0)|≧0 です。

　そして,解の一意性の仮定によって初期条件がｚ(0)＝0 の解,つまり原点(0,0)を通って右に出る解はｚ≡0 (ｘ軸)しかないという理由から,ｚ＞0 のときはφ(ｘ,ｚ)＝|ｚ(0)|＞0 となるしかないからです。

　そしてまた,φ(ｘ,ｚ(ｘ))がｘの非増加関数である,ことはφ(ｘ,ｚ(ｘ))≡|ｚ(0)|＝(一定)なので明らかです。

　しかし,これで得られた必要十分条件は先の条件と比較して,あまり意味のない一般化であると言えます。

　むしろ,先に与えた元々の条件ではφに連続微分可能という余計な性質を加えてはいますが,そのために非増加という性質は直接Ｄ_fφ≦0 というｆに関する不等式として表わされるという意味で幾分数学的なものとなっています。

　以上に述べた２種類の必要十分条件は未知関数が１個の場合に対するものですが,一般の連立方程式に対してはどうなるか？を考えます。

　第２の条件は,そのままｎ元連立方程式に拡張するのが容易です。ただｚの代わりに(ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_n)とし,ｚ＝0,ｚ＞0 をｎ次元ベクトルｚ＝(ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_n)のノルム|ｚ|を用いて|ｚ|＝0,|ｚ|＞0 と表現すればいいだけです。

　一方,第１の条件においても,一意性の十分条件としては,そのまま,連立方程式にまで拡張して成り立つことは明らかです。

　しかし,それが一意性の必要条件であることの１変数に対する上述の証明はｎ変数に拡張することが困難です。

　なぜなら,高次元では１つの積分φ＝Ｃは曲線ではないので,それをｄｚ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｚ)の積分として求めるわけにはいかないからです。

　つまり,ｎ変数の連立方程式では,条件に現われるφという連続微分可能な関数をいかにして獲得するかが問題になります。

　著者は,この問題について数年間,解決を求めて得られなかったけれども,あるとき(1940年1月1日)急に新しい理論を思いつき,それによって解の一意性が保証されている方程式に対して条件に合うφが存在することを証明することができた,と書いています。

　そして,このｎ元連立方程式の場合は特にｚ＝0 などという特別な値に頼る必要もなく,初期条件が任意のときに解が一意的に決まる条件として,先に連立方程式の場合の一意性の十分条件として与えた条件を採用し,その際に述べた(2ｎ＋1)変数の関数Φ＝Φ(ｘ,ｙ,ｚ)の存在の必要性が証明されるということで解決に至っています。

　以下ではｎ元連立方程式の場合の必要性の証明について述べます。 

　まず,ｎ次元空間での曲線族Ωを考えます。∀Ｃ∈Ωは,区間Ｉ_Cで定義されたｎ個の微分可能な関数ｙ_i(ｘ)(ｉ＝1,2,..,ｎ) によって曲線の方程式ｙ_i＝ｙ_i(ｘ) (ｉ＝1,2,..,ｎ)で表わされるとします。

　そしてΩに属する曲線Ｃ上の(ｎ＋1)次元空間の点(ｘ,ｙ)の全ての集合をＥとし,Ｅ上の各点Ｐにおいて,Ｐを通るΩの曲線が２本以上あるとき,それらはＰで同じ方向を持っていてＰでお互いに接する,つまりｄｙ_i(ｘ)/ｄｘが一致するとします。

　そうすれば点集合Ｅの上でΩによって方向の場が決まるので,それを表わす微分方程式として,例えばｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)のようなものができます。

　しかし,Ωはその微分方程式の一般解,すなわち全ての解を与えるかどうかはわかりません。

　つまり,その微分方程式の解曲線でΩに属さないものがＥ上にあるかもしれないからです。そのような曲線が存在すればそれを包絡線と呼ぶことにします。

　そこで,与えられた微分方程式がpeano点を持たないというのは,一般解をΩとするときにΩがＥを１重に覆い,Ωは包絡線を持たないということです。しかし一般のΩではそうとは言えません。 

ところで,以下で我々はＥの任意の２点がΩに応ずる微分方程式の同一の解曲線上にあるための条件を論じます。

我々れの目的を考えて,今後Ωは次の仮定を満足するとします。

Ωの個々の曲線Ｃの定義域であるｘの区間Ｉ_C はＣ によらず一定であるとします。たとえば,Ｉ_C＝Ｉ(ａ≦ｘ≦ｂ)としＥは閉集合で,かつΩによって決まる方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)において右辺の関数Ｆ_i(ｘ,ｙ)はＥ上で連続かつ有界とします。

　次に,今後の理論に主要となる１つの関数:Ｄ(Ｐ,Ｑ)というものを,以下のように定義します。

　Ｅの任意の２点をＰ(ｘ^P,ｙ^P),Ｑ(ｘ^Q,ｙ^Q) (ｘ^P≦ｘ^Q )とします。

　そして区間[ｘ^P,ｘ^Q]を細分しｘ^P＝ξ₀≦ξ₁≦..≦ξ_k≦..≦ξ_ν＝ｘ^Qとして,Ωの１つの曲線Ｃ_k上でのξ_k-1≦ｘ≦ξ_k に対応する弧をＰ_kＱ_ｋ(左端をＰ_k,右端をＱ_ｋ；ｋ＝1,2,..,ν）とします。

　そして,これらの点Ｐ_k,Ｑ_ｋに対して和Ｓ≡|Ｑ₀Ｐ₁|＋|Ｑ₁Ｐ₂|＋..＋|Ｑ_ν-1Ｐ_ν|＋|Ｑ_νＰ_ν+1|を作ります。ただしＱ₀＝Ｐ,Ｐ_ν+1＝Ｑとし|Ｑ_kＰ_k+1|は平面ｘ＝ξ_k上における２点Ｑ_kとＰ_k+1の間の距離を表わしているものとします。 

　点ＰとＱは固定し,それ以外すなわち区間[ｘ^P,ｘ^Q]を細分した分点ξ_ｋとその個数ν,およびその点を通るΩの曲線Ｃ_kについては,あらゆる取り方を許すものとしてＳの取ることが可能な全ての値の下限をＤ(Ｐ,Ｑ)で表わすことにするわけです。

　このとき,もちろんＤ(Ｐ,Ｑ)≧0 です。そしてｘ^P＝ｘ^Q なら明らかにＤ(Ｐ,Ｑ)＝|ＰＱ|です。このように定義されたＤ(Ｐ,Ｑ)について次の定理が成立します。

(ａ) ２点Ｐ,Ｑ(ｘ^P≦ｘ^Q)がＥ上で方程式:ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)

(ｉ＝1,2,..,ｎ)の同一の解曲線上にあればＤ(Ｐ,Ｑ)＝0 である。

(ｂ)Ｅの２点Ｐ,Ｑ(ｘ^P≦ｘ^Q)に対してＤ(Ｐ,Ｑ)＝0 なら,２点Ｐ,Ｑ

はＥ上で方程式:ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)の同一の解

曲線上にある。

　まず(ａ)を証明します。

　Ｐ,Ｑが共にその上にある解曲線をΓとしξ_k-1＝ｘ^P＋(ｋ－1)(ｘ^Q－ｘ^P)/ν (ｋ＝1,2,..,ν,ν＋1)に応じたΓ上の点をＰ_kとします。

　そしてＰ_kを通る解曲線の１つをＣ_kとして,和Ｓ≡|Ｑ₀Ｐ₁|＋|Ｑ₁Ｐ₂|＋..＋|Ｑ_ν-1Ｐ_ν|＋|Ｑ_νＰ_ν+1|を作れば,これはν→ ∞ のとき,Ｓ→ 0 を満たします。

何故なら,Ｆ_iは有界なので|Ｆ_i|≦Ｍとすれば,ξ_k-1≦ｘ≦ξ_kに応ずるΓ上の点Ｐ_k,Ｐ_k+1もＣ_k上の点Ｑ_kも,全てＰ_kから[(ｘ^Q－ｘ^P)/ν](1＋ｎＭ²)^1/2以下の距離にあり,もちろんν→∞ でゼロになります。

一方、Ｐ_k+1とＱ_kは同じ座標ｘ＝ξ_kに対応するΓの上とＣ_kの上の点であってＰ_k+1,Ｑ_kの座標をそれぞれＰ_k+1＝(ξ_k,ζ_k),Ｑ_k＝(ξ_k,η_k)とすれば,|Ｑ_kＰ_k+1|＝|ζ_ｋ－η_ｋ|です。

このとき,Ｐ_kの座標は(ξ_k-1,ζ_k-1)であって,たった今述べたようにν→ ∞ のとき|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|≦[(ｘ^Q－ｘ^P)/ν](1＋ｎＭ²)^1/2→ 0 となります。

(またξ_k＝ξ_k-1＋(ｘ^Q－ｘ^P)/νも成立しています。)

ところが,ξ_k-1≦ｘ≦ξ_kにあるΓとその近傍Ｃ_kでのＦ_iの連続性によってＦ_iはΓの近傍で一様連続です。

よって,任意にε＞0 を与えると,それに対しあるδ＞0 が存在して,|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|≦δならξ_k-1≦ｘ≦ξ_kのｘに対して|Ｆ_i(ｘ,ｙ)－Ｆ_i(ξ_k-1,ζ_k-1)|≦ε/2が成り立つようにできます。

すなわち,Γ上のＰ_kＰ_k+1とＣ_k上のＰ_kＱ_kの両方で,その曲線の傾きＦ_i(ｘ,ｙ)が [Ｆ_i(ξ_k-1,ζ_k-1)－ε/2]≦Ｆ_i(ｘ,ｙ)≦[Ｆ_i(ξ_k-1,ζ_k-1)＋ε/2]の範囲内にあることになります。

それ故,|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|≦δなら|Ｑ_kＰ_k+1|＝|ζ_ｋ－η_ｋ|≦ε[(ｘ^Q－ｘ^P)/ν]ですからＳ＝Σ_k|ζ_k－η_k|≦ε(ｘ^Q－ｘ^P)です。

したがって,ν→ ∞ のとき,|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|→ 0 なのでν→ ∞ のとき,Ｓ → 0 が成立します。

次に(ｂ)を証明します。

ｘ^P＝ｘ^Q ならＤ(Ｐ,Ｑ)＝|ＰＱ|ですから,Ｄ(Ｐ,Ｑ)＝0 はＰとＱとが一致することを意味し,ＰとＱは同じ解曲線上にあるのは自明です。

そこで,以下では,ｘ^P＜ｘ^Qとします。

そして,このときＤ(Ｐ,Ｑ)の定義においても,ξ_k-1＜ξ_k (ξ_k-1≠ξ_k)と仮定してもかまわないのでそうします。

仮定によって,Ｓの列{Ｓ^(μ)}_μ＝1,2,..が存在してμ→∞ に対してＳ^(μ)→ 0 です。ただしＳ^(μ)＝Σ_k|Ｑ_k^(μ)Ｐ_k+1^(μ)|です。

そしてｘ^P≦ｘ≦ｘ^Qなるｘに対して,関数Ｙ_i^(μ)(ｘ)を次のように定義します：ｙ_i＝Ｙ_i^(μ)(ｘ)はｘ＝ｘ^PではＰを,ｘ＝ｘ^QではＱを与えｘ^P＜ｘ＜ｘ^Q なるｘでは各区間ξ_k-1^(μ)＜ｘ＜ξ_k^(μ)に対してΩの曲線Ｃ_kを与えるものとします。

このｙ_i＝Ｙ_i^(μ)(ｘ)は不連続であるとしても,それはせいぜい

点ｘ＝ξ_k^(μ)(ｋ＝1,2,..,ν)においてのみですから,

σ_i^(μ)(ｘ)を不連続点における全ての正負の飛躍の代数和とすれば,

Ｙ_i^(μ)(ｘ)－σ_i^(μ)(ｘ)は区間ｘ^P≦ｘ≦ｘ^Q で連続であり,明らかに

|σ_i^(μ)(ｘ)|≦Ｓ^(μ) (ｘ^P≦ｘ≦ｘ^Q)です。

ｙ_i＝Ｙ_i^(μ)(ｘ)はｘ＝ξ_k^(μ)(ｋ＝1,2,..,ν)以外ではｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の解ですから,Ｙ_i^(μ)(ｘ)－σ_i^(μ)(ｘ)＝Ｙ_i^(μ)(ｘ^P)－σ_i^(μ)(ｘ^P)＋∫_ｘP^ｘＦ_i(ｔ,Ｙ ^(μ)(ｔ))ｄｔです。

ところがＦ_iが有界なので{Ｙ_i^(μ)(ｘ)－σ_i^(μ)(ｘ)}_μ＝1,2,..は一様有界,同等連続であり,

したがって,「Ascoli-Arzelaの定理」によって一様収束する部分列を

持ちます。

|σ_i^(μ)(ｘ)|≦Ｓ^(μ)でＳ^(μ)→ 0 (μ→∞)ですから,この部分列の極限をＹ_i(ｘ)とすると,極限においてＹ_i(ｘ)＝Ｙ_i(ｘ^P)＋∫_ｘP^ｘＦ_i(ｔ,Ｙ(ｔ))ｄｔが得られます。

これによって,ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の解曲線ｙ_i＝Ｙ_i(ｘ)が２点Ｐ,Ｑを通ることがわかり,Ｅは閉集合なので,それはＥ上にあります。(以上証明終わり)

ここで,Ｄ(Ｐ,Ｑ)を定義するための和:ＳをＳ_PQと書くことにし,Ｐ,Ｑ,ＲをＥの３点でｘ^P≦ｘ^Q≦ｘ^R とすれば,Ｓ_PQ＋Ｓ_QRは１つのＳ_PRを構成するので,下限を取ることでinfＳ_PR≦infＳ_PQ＋infＳ_QRを得ます。

すなわち,一般にＤ(Ｐ,Ｒ)≦Ｄ(Ｐ,Ｑ)＋Ｄ(Ｑ,Ｒ)が成立します。

このことから,Ｄ(Ｐ,Ｑ)はＰを固定して点Ｑがｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の１つの解曲線に沿って動くとき,Ｑのｘ座標ｘ＝ｘ^Qの関数と見てｘの１つの非増加関数です。

そして,一般的に成り立つ不等式:Ｄ(Ｐ,Ｒ)≦Ｄ(Ｐ,Ｑ)＋Ｄ(Ｑ,Ｒ)において,特にｘ^Q ＝ｘ^RとすればＤ(Ｑ,Ｒ)＝|ＱＲ|なので,|Ｄ(Ｐ,Ｑ)－Ｄ(Ｐ,Ｒ)|≦|ＱＲ|＝|ｙ^Q－ｙ^R|と書くことができます。

それ故,Ｐを固定したとき,Ｄ(Ｐ,Ｑ)はＱの座標(ｘ^Q,ｙ^Q)の関数と見てLipdchitz条件を満足することがわかります。

さらに,Ｄ(Ｐ,Ｑ)は点Ｑの座標(ｘ^Q,ｙ^Q)の関数と見て連続であることもいえるのですが,長くなるのでこれの証明は割愛します。

かくして,

"方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)において,Ｆ_i(ｘ,ｙ)

は領域Ｅ＝{0≦ｘ≦ａ,－∞≦ｙ_i≦∞ (ｉ＝1,2,..,ｎ)}で連続かつ

有界とし,この方程式の原点Ｏ(ｘ＝ｙ₁＝ｙ₂＝..＝ｙ_n＝0)から右に

出る解は一意的に決まり,それはｘ軸(ｙ_i≡0)である。

したがってもちろんＦ_i(ｘ,0)＝0 である。"

という前提が成立しているとき,次の命題が成り立ちます。

"Ｅにおけるｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の全ての解曲線は全区間

0≦ｘ≦ａまで延長される。この解曲線の族をΩとする。

そして,このときＰ＝(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)として関数:

φ(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)＝φ(Ｐ)≡Ｄ(Ｏ,Ｐ)を作ると,φ(Ｐ)は

Ｏから出てくる解の一意性の仮定によってＰがｘ 軸上にあるとき

にのみφ(Ｐ)＝0 を満たし,それ以外ではφ(Ｐ)＞0 となる。

さらにφ(Ｐ)＝Ｄ(Ｏ,Ｐ)は１つの解曲線の上で非増加関数,かつ

連続関数であり,しかもLipschitz条件をも満たす。"

ということになります。

そして,Lipschitz条件を満たすということは,Ｄ⁺φ(ｘ,ｙ(ｘ))

≡limsup_h→0[{φ(ｘ＋ｈ,ｙ(ｘ＋ｈ))－φ(ｘ,ｙ(ｘ))}/ｈ]が,

その点におけるｙ_i(ｘ)の方向比ｄｙ_i/ｄｘのみから完全に確定

することを意味します。

実際,２曲線ｙ_i＝ｙ_i(ｘ),ｙ_i＝ｚ_i(ｘ)に対して,考えている点ｘで

ｙ_i(ｘ)＝ｚ_i(ｘ)はもちろん,ｄｙ_i/ｄｘ＝ｄｚ_i/ｄｘも成立して

いるとすると,

そのｘで,(ｄ/ｄｘ){φ(ｘ,ｙ(ｘ))－φ(ｘ,ｚ(ｘ))}＝0 ,

つまり,そのｘの近傍で恒等的に,φ(ｘ,ｙ(ｘ))＝φ(ｘ,ｚ(ｘ))が

成り立つことが,Lipschitz条件から従う,ことになるからです。

そこで,Ｄ⁺φは(ｘ,ｙ)における方向比Ｆ_i(ｘ,y)に対して決まり,

かくしてφが解曲線に沿ってｘの非増加関数であるということは

Ｄ⁺φ≦0 に置き換えられます。

この不等式は方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)に対して,その解ｙに

依存することなく,単にＦ_iに関する条件となっています。 

これらを総合して,方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)に関する条件が

得られましたが,この条件は解の一意性のための必要条件であり,

しかも十分条件でもあることがわかります。

上記の関数φと性質が同じで連続微分可能なものは,いわゆる積分平均の方法などで作ることが可能です。

そのとき条件Ｄ⁺φ≦0 は,Ｄ_Fφ≡∂φ/∂ｘ＋Σ_i (∂φ/∂ｙ_i)Ｆ_i≦0 になります。

あとは必要十分条件のもう１つの表現,つまり別の関数Φ(ｘ,ｙ,ｚ)による表現を明確に証明するのみです。

"方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の右辺の関数Ｆ_i(ｘ,ｙ)は,ある領域Ｄで連続とし,Ｄの各点(ｘ,ｙ)から右に出る方程式の解が一意的に決まるとき,Ｄの内部の任意の点に対しその近傍Ｖ上の２点(ｘ,ｙ),(ｘ,ｚ)について定義され,以下の性質を満たす関数Φ(ｘ,ｙ,ｚ)が存在する。

Φは連続微分可能,かつ,|ｙ－ｚ｜＝0 ならΦ(ｘ,ｙ,ｚ)＝0 ,|ｙ－ｚ｜＞0 ならΦ(ｘ,ｙ,ｚ)＞0 を満たし,さらにＤ_FΦ≡∂Φ/∂ｘ＋Σ_i(∂Φ/∂ｙ_i)Ｆ_i(ｘ,ｙ)＋Σ_j(∂Φ/∂ｚ_j)Ｆ_j(ｘ,ｚ)≦0 という不等式を実現する。"というものです。

これは,点Ｐ,Ｑ,...を座標が(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n,ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_n)などで与えられる(2ｎ＋1)次元空間の点であると見なして,前と同じように関数Ｄ(Ｐ,Ｑ)を定義し,φ(Ｑ)=φ(ｘ,ｙ,ｚ)≡inf_Ｐ∈ＥＤ(Ｐ,Ｑ)とおくことから出発して最終的に連続微分可能で条件を満たすΦ(ｘ,ｙ,ｚ)の存在を証明する,というプロセスです。

そこで,これを具体的に述べればいい,ということになりますが,まあ,本質的な部分ではないと思うので,これを割愛し,この項についてはここで終わりにします。

しかし,昔からある程度の知見があって既に何度も考えたことのある

トピックについて書くのとは異なり,ちょっと本屋で買った書物を読

んだだけでそれを理解してその解説をブログに書くには,それを読んだり理解したりする時間も必要なので,

いくら暇だからといっても,四六時中ブログを書くという作業だけ

やってるというわけにもいきませんね。

参考文献：岡村博 著「微分方程式序説」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/「健康商品の店 タクザイ」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学

解の一意性のための必要十分条件(1)(岡村博氏による)

2006年12月６日のブログ記事「常微分方程式の解の存在定理①(アスコリの定理)において,次のような記事を書きました。それは以下のような前置きで始まっています。

「常微分方程式の解の存在定理」について,何回かに分けて述べてみたい,

と思います。

ただし,,主題は「解の存在定理」のみであって,謂わゆる通常の教科書に載

っているLipschitz(リプシッツ)条件を仮定した「解の存在と一意性の定理」

ではありません。

Lipschitz条件は解の一意性の十分条件ですが,かつて日本人 岡村博氏により解の一意性の必要十分条件が発見されたことは有名です。

これの内容については読んだことはありませんが.岡村博 著「微分方程式序説」に掲載されていると思います。(最近,復刻されたようで新装版が神田神保町の三省堂書店5階にありました。)　

　そこで,まず,「Peano(ペアノ)の存在定理」でもいいのですが,その代わりに「Euler-Cauchyの逐次近似法(折れ線法)」による存在定理を証明しようと考えたので,それを述べたいと思います。

　というのが既に記載した記事の書き出しでした。

　ここで,「Euler-Cauchyの逐次近似法」,あるいは「Picard(ピカール)の逐次近似法」というのは,その存在を証明したい解の定義域である独立変数 ｘ の区間を多くの小区間に分割して,各小区間では正規形の１階常微分方程式d ｙ/ｄ ｘ ＝ ｆ (ｘ ,ｙ) の右辺＝傾きが一定値であると近似した折れ線近似解によるものです。

　※下は微分方程式の解の折れ線近似の模式図です。

　　　　

　結局,この近似において,この区間分割の細分の極限として得られる連続曲線が元の微分方程式の厳密な解になっていることを示すことにより,解の存在を証明する方法ですが,内容的には「Peanoの存在定理」と変わりありません。

　そして,この記事の前置き以下では,存在定理の証明に必要な補助定理である"ある区間で一様有界で同等連続な関数の集合が,その区間で一様収束する関数列を含む"という内容の「Ascoli-Arzelaの定理」を証明しています。

そして続く2006年12月7日のブログ記事「常微分方程式の解の存在定理②」において解の存在定理の証明が完了しています。

ところで,先日神保町の古書店で岡村博 著「微分方程式序説」(共立出版)を入手したので,著者自身の手による解の一意性の必要十分条件の導出と証明を私なりに把握したものを、ここで紹介したいと思います。

この本は76ページまでの1～5章が従来の「解の存在と一意性の定理」や「Peanoによる存在定理」の解説に費やされており,77ページから100ページまでの第6章,わずか24ページが解の一意性についての従来の研究と著者自身の独自の研究成果に割かれていました。

彼＝著者(岡村博氏)が対象としている微分方程式は最初から１個の独立変数 ｘ に対してｎ個の未知関数 ｙ_i(ｘ)を求める連立ｎ元１階常微分方程式系であり,その一般形が正規形 ｄ ｙ_i/ｄ ｘ ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,．．,ｙ_n)(ｉ＝1,2,..,ｎ)で与えられるものです。

ただし,(ｎ＋1)次元のベクトル(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)を単に(ｘ,ｙ)と書いて

ｄ ｙ_i/ｄ ｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)という表記も用いています。

もっとも,未知関数が有限個である限り,解の存在定理の証明は未知関数が

１個 (ｎ＝1)の場合の単なる直線的拡張なので,気にする必要はないと思い

ます。

通常,標準的教科書に載っている「解の存在と一意性の定理」は「Cauchy-Lipschitzの方法」と呼ばれるものです。

これは微分方程式が,正規形 :ｄ ｙ_i/ｄ ｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ) (ｉ＝1,2,...,ｎ)

で与えられているとき,,

(ｎ＋1)次元空間のある領域で(ｘ,ｙ)について,右辺の関数Ｆ_i(ｘ,ｙ)が

連続で,かつこの領域に属する2点 (ｘ,ｙ),(ｘ,ｚ)に対してLipschitz条件

という解の一意性のための十分条件:|Ｆ_i(ｘ,ｙ)－Ｆ_i(ｘ,ｚ)|≦Ｌ|ｙ－ｚ|

(Ｌ＞0 はある定数)を満足するという前提に立っています。

そして,与えられた領域の各点(ｘ ₀,ｙ ₀)≡(ｘ ₀,ｙ ₁₀,ｙ ₂₀,..,ｙ _n0)に対し

,ｙ _i(ｘ)＝ ｙ _i0＋∫_x0^x Ｆ_i(ｘ ,ｙ(ｘ))ｄｘ という形式的に微分方程式の両辺

を積分しただけの等式において,

右辺の被積分関数の中の ｙ(ｘ)に最初は ｙ₀ を代入し,結果として左辺に

得られる近似解を再び右辺の ｙ(ｘ)に代入するという操作を繰り返します。

これによって得られる逐次近似解の関数列が,初期条件 ｙ_i(ｘ ₀)＝ｙ _i0を

満足する唯一の極限関数に一様収束することを示し,結局はその極限関数

が ｄ ｙ_i/ｄ ｘ ＝ Ｆ_i(ｘ,ｙ)の一意的な解であることを証明します。

ただし,Lipschitz条件|Ｆ_i(ｘ,ｙ)－Ｆ_i(ｘ,ｚ)|≦Ｌ|ｙ－ｚ|の左辺の|  |は単なる絶対値ですが,右辺の|  |はｎ次元空間での (ｙ－ｚ)のノルムを示しており,このノルムは ｎ＝１の場合には絶対値に一致するように定義されています。

Lipscitz条件は,例えば対象とする領域で Ｆ_i(ｘ,ｙ)が ｙ_jについて連続

偏微分可能,つまり偏導関数(∂Ｆ_i/∂ｙ_j)(ｉ,ｊ＝1,2,..,ｎ )が存在して

,全てが (ｘ,ｙ)について連続なら満足されます。

それ故,Ｆ_i(ｘ,ｙ)の連続性の他に,Lipschitz条件の代わりに Ｆ_iが ｙ_jで連続偏微分可能という条件を加えた場合にも,解の存在と一意性は成立します。

ところが,Peanoは右辺の関数 Ｆ_i(ｘ,ｙ)の連続性のみを仮定して,微分方程式の解の存在を証明しました。

ただし,この連続という仮定だけでは一般に解の一意性は成立しません。

例えば,ｎ＝１の常微分方程式:ｄ ｙ/ｄ ｘ＝ 3ｙ ^2/3においては,右辺は ｙ≧0 の領域で連続ですが,ｙ＝0 の近傍ではLipschitz条件を満足しません。

そして,これは一般解として曲線族 ｙ＝(ｘ＋Ｃ)³を持つと同時に, ｙ＝0 という特異解を持ちます。

したがって,ｘ 軸(ｙ＝0)上の各点 (－Ｃ,0)において,これを通る解として,常に ｙ＝0 と ｙ＝(ｘ＋Ｃ)³の２つが存在するので,初期条件 ｙ(0)＝－Ｃ を満足する解は存在するのですが一意的ではありません。

２つの解は,点(－Ｃ,0)で ｄ ｙ/ｄ ｘ が共通なので接線を共有します。

すなわち,特異解 ｙ＝0 (ｘ軸)は一般解ｙ＝(ｘ＋Ｃ)³の包絡線と呼ばれる曲線を表わしています。

こうした初期条件を満足する解が一意的に決まらないような初期値に対応する点,今の場合 ｘ 軸上の全ての点(－Ｃ,0)をPeano点と呼びます。

ところで,先にあ述べたLipschitz条件は,解の一意性の十分条件ですが,必要十分条件ではないです。

そこで,,もっと緩やかな条件で解の一意性の必要かつ十分な条件を模索する試みがなされてきました。

Peanoの一意性を含まない解の存在定理の証明 の後,Osgood(1898)

によって提出された方程式:ｄ ｙ/ｄ ｘ＝Ｆ(ｘ,ｙ)に対する解の一意性の

十分条件は,|Ｆ(ｘ,ｙ)－Ｆ(ｘ,ｚ)|≦φ(|ｙ－ｚ|)という条件です。

ただし,φ(ｕ)は ｕ＞0 のとき正となる連続関数で

∫₀^u ｄ ｕ /φ(ｕ)＝∞(ｕ ＞0)となるものです。

Tonelli(1925)による条件は,これをさらに拡張して,

|Ｆ(ｘ,ｙ)－Ｆ(ｘ,ｚ)|≦Ａ(ｘ)φ(|ｙ－ｚ|)というものです。

ここで,関数Φに関しては上と同様で, Ａ は正の関数であり,対象としている ｘ の区間でLebesgueの意味で積分が有限なものです。

その頃,吉江(1925)は解の一意性のための１つの必要十分条件を与えて

います。

これは注目に値しますが,それは古典的な一般理論の単なる総合に留まり,

それとは別にその後も解の一意性の十分条件は種々に拡張されたものが

発表されてゆきました。

日本では南雲(1926),清水・福原・弥永(1928)ら,さらに稲葉三男(1929),南雲(1930),福原の総合報告(1932)等が発表されましたが,ここで初めて変数の変換を利用する,という考え方が現われてきました。

つまり,方程式 ｄ ｙ/ｄ ｘ ＝ Ｆ(ｘ,ｙ)において例えば ｙ＝φ(ｘ,ｚ)で

未知変数 ｙ を ｚ に変数変換したとき方程式が ｄ ｚ/ｄ ｘ ＝ ｆ (ｘ,ｚ)

となり,ｆ (ｘ,ｚ)は領域 Ｄ＝{0≦ ｘ ≦ａ, 0≦ ｚ ≦ｂ}で連続になるように

できるとします。

そして,このときこの方程式は(ｘ.ｚ)＝(0,0)を通って右側 ｘ ≧0 の領域へと出て行く解の１つとして,ｚ ≡0 (ｘ 軸)を有するとします。

ｚ ≡0 が解なので,当然ながら ｆ (ｘ,0)＝ 0 ですが,さらに ｙ＝φ(ｘ,ｚ)となるφ(ｘ,ｚ)が実際に存在して,これが条件:"ｚ＝0 なら φ(ｘ,ｚ)＝0;ｚ＞0 なら φ(ｘ,ｚ)＞0,および Ｄ_fφ≡∂φ/∂ｘ＋(∂φ/∂ｚ) ｆ (ｘ,ｚ)≦0 "を満足するとします。

このときＤ上で原点から右側 ｘ ≧0 に出る解はｚ＝0 しか存在しない,という定理が成り立ちます。

これは, ｚ＝0 なら φ(ｘ ,ｚ)＝0 という仮定があるので解 ｚ≡0 は ｙ≡φ(ｘ ,0)≡0 に一致しますが,Ｄ_fφ＝ ｄ ｙ/ｄ ｘ ＝Ｆ(ｘ ,ｙ)≦ 0 なので ｙ＝φ(ｘ,ｚ)は１変数 x のみの関数として非増加関数でもあります。

初期条件によって ,ｘ＝0 では ｙ＝0 ですから,ｄ ｙ/ｄ ｘ ≦0より,ｘ ≧0 では ｙ＝φ(ｘ,ｚ)≦0　です。

ところが,同じく仮定により ｚ ＞0 なら φ(ｘ,ｚ)＞0

(そして ｚ＜0 なら φ(ｘ,ｚ)＜0 なのですが,今の場合は定義域が ｚ ≧0

に限られているので ｚ＜0は考慮する必要はありません。)ですから,

φ(ｘ,ｚ)≦0 というのはｚ＝0 を意味することになり,ｘ ≧0 では,解はただ

1つ:ｚ＝0 しか存在できないわけです。

したがって,この仮定が解の一意性のための十分条件になっていることが示されたわけです。

　ここで φ は全く一般の変換を表わしていますから,この定理はφを適当に取り連続性の仮定などをゆるめることによって,既に得られているさまざまな周知の条件や,その他ほとんど全ての解の一意性のための十分条件を変数変換の結果として表わすものであろうと思われます。

　ここで,この定理を未知関数が ｎ 個の方程式:

ｄ ｙ_i/ｄ ｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,...,ｎ)の解である一般の場合に拡張して

上で述べた解の一意性のための十分条件の ｎ 変数に対する命題を書き

下しておきます。

方程式の右辺の関数 Ｆ_iが,ある(ｎ＋1)次元の領域 Ｄで定義されていると

し,Ｄ の任意の点に対してその点のまわりにある近傍 Ｖ が存在するとして,

Ｖ の２点 (ｘ ,ｙ)と (ｘ ,ｚ)に対して,それらから決まる(2ｎ＋1)次元の点

(ｘ ,ｙ,ｚ)から成る領域を Ｗ とします。

"Ｗ で定義された連続微分可能な関数Φ(ｘ ,ｙ,ｚ)があって,

ΦやＦ_iの定義域では,常に ,|ｙ－ｚ|＝0 ならΦ(ｘ ,ｙ,ｚ)＝0;

|ｙ－ｚ|＞0 なら Φ(ｘ ,ｙ,ｚ)＞0 ,

かつ,Ｄ _FΦ≡∂Φ/∂ｘ＋Σ_i(∂Φ/∂ｙ_i)Ｆ_i(ｘ ,ｙ)＋

Σ_j(∂Φ/∂ｚ_j)Ｆ_j(ｘ ,ｚ)≦0 が成立する。"

とすれば,この条件が ｄ ｙ_i/ｄ ｘ＝Ｆ_i(ｘ ,ｙ)の解曲線はＤの各点 (ｘ ₀,ｙ ₀)

から右 (ｘ ≧ｘ ₀)に向かってもし存在すれば一意的である,という解の一意

性のための十分条件になっていることがわかります。

　つまり,解が存在したとして,それを ｙ_i＝ｙ_i(ｘ),および ｙ_i＝ｚ_i(ｘ)とすれば,

　 ｙ_i(ｘ ₀)＝ｚ_i(ｘ ₀)＝ｙ_i0で,関数φ(ｘ)をφ(ｘ)≡Φ(ｘ ,ｙ(ｘ),ｚ(ｘ))とおけば

　ｄφ(ｘ)/ｄ ｘ＝Ｄ _FΦ(ｘ ,ｙ,ｚ)|_{y=y(x),z=z(x)}≦0 より,

　φ(ｘ)は非増加関数です。

　|ｙ－ｚ|＝0 ならΦ(ｘ ,ｙ,ｚ)＝0 ,ｙ_i(ｘ ₀)＝ｚ_i(ｘ ₀)＝ ｙ_i0 より,

　φ(ｘ ₀)＝Φ(ｘ ₀,ｙ(ｘ ₀),ｚ(ｘ ₀))＝0 ですから,,

　ｘ ≧ ｘ ₀ではφ(ｘ)≦ 0 です。

　しかし,φ(ｘ)≡Φ(ｘ ,ｙ(ｘ),ｚ(ｘ))であって |ｙ－ｚ|＞0 なら Φ(ｘ ,ｙ,ｚ)＞0

ですから φ(ｘ)＝0 でしか有り得ないので ｙ_i(ｘ)＝ｚ_i(ｘ)(ｘ ≧ ｘ ₀)となる

  しかないということから,解の一意性がいえるわけです。

　そして,この定理で Ｄ _ＦΦ≦0 だけを逆の不等式 Ｄ _ＦΦ≧0 に置き換えれ

　ば,ｘ＝ｘ ₀の左側 ｘ ≦ｘ ₀ への一意性の十分条件となりますから,これらを

　合わせると左右両方への一意性の十分条件が得られます。

そうして,先に述べた１変数に関する十分条件は,これの ｎ ＝1の場合に相当しています。

そして,これが実は必要条件でもあるとしたら,それはどういう意味であるかと考えると解が一意的な微分方程式ならそれらは全てこのような条件を満たすということになります。

　それ故,これを示す大体の方針を述べてみます。

　すなわち,ｄ ｚ/ｄ ｘ＝ ｆ (ｘ,ｚ)において ｆ (ｘ,ｚ)は Ｄ で連続で ｆ (ｘ,0)＝0 ,

　かつ,Ｄ 上で原点から右に出る解は ｚ＝0 だけしかないとします。

　これに対して、先の条件を満たすような関数φが少なくとも１つ取れるということを,実際にφをつくることによって示せばいいわけです。

　そこで,曲線族φ＝Ｃ を方程式 ｄ ｚ/ｄ ｘ ＝ ｇ(ｘ,ｚ)の積分として求めます。

　ここで, ｇ(ｘ,ｚ)は{0≦ ｘ ≦ａ,ｚ ≧0}で連続,かつ ｚ ＞ 0 で連続微分可能で

　 ｇ(ｘ,0)＝0 ,かつ ｇ(ｘ,ｚ)≧ ｆ (ｘ,ｚ)と なり,しかも ｄ ｚ/ｄ ｘ ＝ ｇ(ｘ,ｚ)は

　ｘ 軸 ： ｚ＝0 上にもPeano点を持たないとします。

　こうした ｇ は一種の補間法によって作られます。

　その際に ｄ ｚ/ｄ ｘ ＝ ｆ (ｘ,ｚ)の解が ｚ ＝0 のところで ｘ ＝0 での初期値 :

　ｚ(0)に関して連続であることが重要ですが,これは一意解を持つという仮定

　から従います。

　そしてφ(ｘ,ｚ) (ｚ ＞0 )の連続微分可能性は ｇ のそれから従います。

　さらに φ(ｘ,0)＝0 ,かつ∂φ/∂ｚ＞ 0 (ｚ ＞ 0)と取ることができることも

　容易にわかります。

そうするとＤ_gφ＝0 と ｇ ≧ ｆ  によって Ｄ_fφ≦0 が得られます。

z ＝0 で  ∂φ/∂ｘ,∂φ/∂ｚ が連続であるようにとれることも証明でき

ます。

今日はここまでにします。

参考文献：岡村博 著「微分方程式序説」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。）

http://homepage2.nifty.com/toshis-kaiga-auction/「健康商品の店 タクザイ」

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング）

    物理学