三角関数を含むある関数の定積分

　今日はちょっと気になる計算があったので計算をしてみました。実はT_NAKAさんのブログ＝「T_NAKAの阿房ブログ」の2008年8/10の記事「高次モーメントを考える」 http://teenaka.at.webry.info/200808/article_10.htmlに関連したものです。。

　普通は公式集にあるものなら全面的にそれに頼り,わざわざ確かめたりもしませんが,偶々,所持している岩波の数学公式集,丸善の新数学公式集を見ても,適合するものが全く見つからなかったため,自力で計算せざるを得ず,実行しました。

　夏休み中で頭もボーッとしているし,最初予想していた結果と違っていたこともあって,かなり手間取りました。

計算するのは,定積分:I_k≡∫_-∞^∞ｆ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)です。

これはｋが奇数なら被積分関数:ｆ_k(ｘ)＝ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²が,ｘの奇関数なので,その積分はゼロですから,以下ではｋは偶数であるとし,ｆ_k(ｘ)がｘの偶関数の場合のみを計算します。

ｘ＝±π/2はｆ_k(ｘ)の特異点,特に極であるように見えますが,実は真の特異点ではありません。

例えばｙ≡ｘ－π/2と変数変換すれば,ｆ_k(ｘ)＝ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}＝(ｙ＋π/2)^ksin²ｙ/{ｙ²(ｙ＋π)²}なので,ｙ→ 0ではｆ_k(ｘ)→ (π/2)^k/π²,ｙ→ －πではｆ_k(ｘ)→ (－π/2)^k/(－π)²となります。

そこで,ｙ＝0,－π,すなわち,ｘ＝±π/2は,ｆ_k(ｘ)の真の特異点ではなく,これらの点でｘ→±π/2でのｆ_k(ｘ)の極限値をｆ_k(±π/2)と定義すれば被積分関数ｆ_k(ｘ)はｘ＝±π/2でも連続なので,普通に積分を実行することができます。

　しかし,実際にｘを実数のままで,この積分を評価するのはかなり面倒なのでｘを複素変数ｚに変えて,複素ｚ平面である閉曲線Ｃを周回する積分を考えてみます。

　その際,cos²ｚ＝[{exp(iｚ)＋exp(－iｚ)}/2]²＝{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)＋2}/4 なので,I_k(Ｃ)≡∫_Cｆ_k(ｚ)ｄｚ＝∫_Cｄｚ[ｚ^k{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)＋2}/{4(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)を計算します。

　これ自身は,上に述べたようにｚ＝±π/2も含めてｆ_k(ｚ)が全ｚ平面で解析的なのでＣが閉曲線の場合には常にI_k(Ｃ)＝0 です。

まず,∫_Cｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}を考えます。原点を中心としＲ＞＞1で実軸上[－Ｒ,Ｒ]を直径＝2Ｒとする上半円周をＣ_＋とします。

ただし,今の場合,被積分関数はｆ_k(ｚ)ではなく,その一部ｇ_k^＋(ｚ)≡ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}です。

これに対しては,ｚ＝±π/2 は確かに真の特異点(極)なので,Ｃ_＋は点±π/2 の周りでは特別に回避経路としてＡ_±≡lim_{ε→ +0}{ｚ(θ)|ｚ(θ)＝±π/2＋εexp(iθ),θ:π→ 0 (時計回り)}で与えられる微小半径ε＞0 の上半円周経路を含むとします。

そして,Ｃ_＋の無限遠を意味する半径Ｒの円周上の点ｚ＝Ｒexp(iθ)＝Ｒ(cosθ＋isinθ) (0≦θ≦π)では,|∫ｇ_k^＋(ｚ)ｄｚ|＝πＲ|ｚ^kexp(2iｚ){(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}_|z|=R ～πＲ^k-3exp(－2Ｒsinθ)→ 0 ですから,これの寄与は無視できます。

結局,0＝∫_C+ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋Ａ_－＋Ａ_＋なる表現で書けます。

ここで,微小半円経路Ａ_±を回る積分の寄与を同じ記号Ａ_±で省略する表現をしました。

∫ｇ_k^＋(ｚ)ｄｚにおけるＡ_±の寄与を評価する必要がありますが,これは被積分関数のローラン展開において 1/(ｚ±π/2)の係数に(－πi)を掛けたもので与えられます。

これはＡ_－の場合には,lim_{z→(－π/2)}(ｄ/ｄｚ)[(ｚ＋π/2)²ｇ_k^＋(ｚ)]で与えられます。

すなわち,lim_{z→(－π/2)}(ｄ/ｄｚ)[ｚ^kexp(2iｚ)/(ｚ－π/2)²]＝lim_{z→(－π/2)}[{(ｋｚ^k-1＋2iｚ^k)/(ｚ－π/2)²－2ｚ^k/(ｚ－π/2)³}exp(2iｚ)]＝－(－π/2)^k-1(ｋ－πi)(－π)^-2＋2(－π/2)^k(－π)^-3＝(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)です。

したがって,結局Ａ_－＝(－πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)が得られました。ここで,ｋが偶数であることを用いました。

同様にＡ_＋の場合には,lim_z→π/2(ｄ/ｄｚ)[(ｚ＋π/2)²ｇ_k^＋(ｚ)]＝lim_z→π/2[{(ｋｚ^k-1＋2iｚ^k)/(ｚ＋π/2)²－2ｚ^k/(ｚ＋π/2)³}exp(2iｚ)]＝(π/2)^k-1(ｋ＋πi)π^-2－2(π/2)^kπ^-3＝(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)ですから,Ａ_＋＝(－πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)＝Ａ_－です。

以上のことから,∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝－(Ａ_－＋Ａ_＋)＝－2Ａ_－＝(2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)が得られました。

また,被積分関数ｇ_k^－(ｚ)≡ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}に対しては,原点を中心としＲ＞＞1で実軸上[－Ｒ,Ｒ]を直径＝2Ｒとする下半円周をＣ_－とすれば,同様な考察から 0＝∫_C-ｄｚ[ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋Ｂ_－＋Ｂ_＋を得ます。

ここで,Ｂ_±はＡ_±と同様に実軸上の特異点±π/2を回避する微小な下半円周経路Ｂ_±≡lim_{ε→ +0}{ｚ(θ)|ｚ(θ)＝±π/2＋εexp(iθ),θ:－π→ 0 (反時計回り)}における積分の寄与です。

そして,Ｂ_－＋Ｂ_＋＝2Ｂ_－＝(2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1＋πi)となりますから,∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝－(Ｂ_－＋Ｂ_＋)＝－2Ｂ_－＝(－2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1＋πi)です。

したがって,cos(2ｘ)＝{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)}/2によって,上に得られた２つの積分等式を加え合わせて２で割ると,∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}]＝2(π/2)^k-1が得られます。

一方,∫_Cｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]において±π/2は２位の極なので留数はゼロですから,例えば閉路Ｃを,Ｃ＝Ｃ_＋に取れば 0＝∫_C+ｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋lim _R→∞∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]となります。

被積分関数がｇ_k^±(ｚ)＝ｚ^kexp(±2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}の場合と異なり,ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}の場合にはＣ＝Ｃ_＋に取ろうと,Ｃ＝Ｃ_－に取ろうと,半円の半径Ｒ→ ∞で円周積分が必ずしもゼロにはなりません。

以上から,2∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k{1＋cos(2ｘ)}/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k/{ｘ²－(π/2)²}²]＋∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{ｘ²－(π/2)²}²]＝－lim _R→∞∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{ｚ²－(π/2)²}²]＋2(π/2)^k-1が得られました。

右辺第１項はｚ＝Ｒexp(iθ),ｄｚ＝iＲexp(iθ)ｄθによって∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝ｉＲ∫₀^πｄθ[Ｒ^kexp(iｋθ)/{(Ｒexp(iθ)－π/2)²(Ｒexp(iθ)＋π/2)²}]となりますから,Ｒ→∞では|∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]|～πＲ^k+1/Ｒ⁴と書けます。

∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k/{ｘ²－(π/2)²}²]は実関数の実数積分であり,被積分関数はｋが偶数ならｘ∈(－∞,∞)では非負なので,この積分の符号は非負です。

　したがって,ｋが偶数故ｋ＝2ｍとおくと,この項はｍ＝0,1,すなわちｋ＝0,2では(ｋ＋1)＜4 によって,ゼロに収束しますが,ｍ≧2 or ｋ≧4 では,(ｋ＋1)＞4 なので ∞ に発散します。

　以上からI_k≡∫_-∞^∞ｆ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)はｋが偶数の場合,ｋ＝0,2 ならＩ_k＝(π/2)^k-1となって有限値,ｋが４以上のｋ＝4,6,..ならＩ_k＝∞＋(π/2)^k-1となって∞ に発散するという結果が得られました。

　ｋが奇数の場合ならI_kはゼロです。

　しかし,この結果には少し自信がありません。

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実数から複素数へ

せっかくデデキントの切断(Dedekind's cut)によって有理数から実数を定義したのですから,やはり39年くらい前の大学１～２年の頃の解析学の化石的ノートから,複素数の定義も記述しておきます。

要するに,また,得意の手抜きです。もっとも複素関数論ではなく複素数の話だけならカテゴリーとしては解析学の話ではなく代数学的,あるいは幾何学的な話ですね。

これまでと同じように"実数の集合＝実数体"をＲとします。

[定義１](複素数)

　複素数とは２つの実数ａ,ｂ∈Ｒの順序対,あるいは２次元の数ベクトル(ａ,ｂ)のことであり,実数をａ,ｂ,..,複素数をｘ,ｙ,..で表記することにすれば,ｘ＝(ａ,ｂ),ｙ＝(ｃ,ｄ)(ｃ,ｄ∈Ｒ)のとき,"ｘとｙが等しい,ｘ＝ｙであるとは,ａ＝ｃかつｂ＝ｄが成り立つことである。"

　また,これらの和,または加法,および積,または乗法の演算が,それぞれｘ＋ｙ≡(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ),およびｘｙ≡(ａｃ－ｂｄ,ａｄ＋ｂｃ)で定義されるものをいう。

　そして,こうして得られる複素数全体の集合をＣと書くことにする。

※     特に,複素数(1,0)と(0,0)については,とりあえずｕ≡(1,0),ｎ≡(0,0)と表記することにします。

[定理１]ｘ,ｙ,ｚを任意の複素数とする。すなわち∀ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃとする。このとき,(ａ)ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ,(ｂ)(ｘ＋ｙ)＋ｚ＝ｘ＋(ｙ＋ｚ),(ｃ)ｘｙ＝ｙｘ,(ｄ)(ｘｙ)ｚ＝ｘ(ｙｚ),(ｅ)(ｘ＋ｙ)ｚ＝ｘｚ＋ｙｚが成立する。

(証明)ｘ＋ｙ≡(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ),およびｘｙ≡(ａｃ－ｂｄ,ａｄ＋ｂｃ)による加法,乗法の定義に従って実際に演算を行えば確かに成立することがわかるので省略します。

　以下,証明を省略した定理を２つ述べます。

[定理２]∀ｘ∈Ｃに対してｘ＋ｎ＝ｘ,ｘｎ＝ｎ,ｘｕ＝ｘが成り立つ。

[定理３]ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃとする。ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｚならばｙ＝ｚである。

[定理４](逆元の存在)∀ｘ∈Ｃに対してｘ＋ｙ＝ｎを満たすｙ∈Ｃが唯１つ存在する。このｙを－ｘと書く。

(証明)ｘ＝(ａ,ｂ)のとき,ｙ＝(－ａ,－ｂ)とすればいいです。

　(証明終わり)

[定理５]∀ｘ,ｙ∈Ｃに対してｘ＋(－ｙ)をｘ－ｙと書くことにする。このとき,(ａ)ｘ－ｘ＝ｎ,(ｂ)(－ｘ)ｙ＝ｘ(－ｙ)＝－(ｘｙ)＝(－ｕ)(ｘｙ)が成立する。

(証明)略。　 

この定理の故に,(－ｘ)ｙ＝ｘ(－ｙ)＝－(ｘｙ)＝(－ｕ)(ｘｙ)を単に－ｘｙと書くことにします。

[定義２](絶対値)

　∀ｘ∈Ｃに対しｘ＝(ａ,ｂ)(ａ,ｂ∈Ｒ)なら|ｘ|≡(ａ²＋ｂ²)^1/2と書き,|ｘ|をｘの絶対値と呼ぶ。

[定理６]∀ｘ,ｙ∈Ｃに対して,(ａ)ｘ≠ｎなら|ｘ|＞0 ,また|ｎ|＝0 である。(ｂ)|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|が成り立つ。

(証明)略。

[定理７]ｘ,ｙ∈Ｃに対しｘｙ＝ｎならｘ＝ｎ,またはｙ＝ｎである。

(証明) 定理６より,ｘｙ＝ｎなら|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|＝0 ,故に|ｘ|＝0,または|ｙ|＝0 です。

　そこで再び定理６からｘ＝ｎ,またはｙ＝ｎです。

(証明終わり)

[定理８]ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃ,ｘｙ＝ｘｚでｘ≠ｎならｙ＝ｚである。

(証明)ｘ(ｙ－ｚ)＝ｘｙ－ｘｚ＝ｎでｘ≠ｎなので定理７によってｙ－ｚ＝ｎ,よってｙ＝ｚです。

　(証明終わり)

[定理９]∀ｘ∈Ｃ,ただしｘ≠ｎに対して,ｘｙ＝ｕを満たす複素数ｙが唯１つ存在する。このｙをｕ/ｘと書く。

(証明)ｘ＝(ａ,ｂ)(ａ,ｂ∈Ｒ)とするとき,ｘ≠ｎなのでａ²＋ｂ²≠0 です。そこでｙ≡(ａ/(ａ²＋ｂ²),－ｂ/(ａ²＋ｂ²))とすれば,ｘｙ＝(ａ,ｂ)(ａ/(ａ²＋ｂ²),－ｂ/(ａ²＋ｂ²))＝(1,0)＝ｕが確かに成り立ちます。ｙ＝ｕ/ｘの一意性は定理８より明らかです。

　(証明終わり)

[定理10](除法)∀ｘ,ｙ∈Ｃ,ただしｘ≠ｎに対してｘｚ＝ｙを満たす複素数ｚが唯１つ存在する。このｚをｙ/ｘと書く。

(証明)ｚ≡(ｕ/ｘ)ｙとおけば,ｘｚ＝ｕｙ＝ｙです。

　(証明終わり)

[定理11](実数)

　ａ,ｂ∈Ｒとします。このとき,(ａ)(ａ,0)＋(ｂ,0)＝(ａ＋ｂ,0),(ｂ)(ａ,0)(ｂ,0)＝(ａｂ,0),(ｃ)ｂ≠0 なら(ａ,0)/(ｂ,0)＝(ａ/ｂ,0), (ｄ)|(ａ,0)|＝|ａ| が成立する。

(証明)明らかなので略。

※     定理11から,(ａ,0)(ａ∈Ｒ)の形の複素数は実数ａと全く同じ性質を持って１対1に同型対応することがわかるので,以下では複素数(ａ,0)(ａ∈Ｒ)を実数ａと同一視して単にａと書くことがあります。

　この同定によってＲはＣの部分集合になります。すなわち,Ｒ⊂Ｃです。そこで,特に以下ではｕ＝(1,0)を単に1,ｎ＝(0,0)を単に 0 と書きます。

[定義３](虚数)

　複素数(0,1)をｉと書く。

[定理12]ｉ²＝－1 である。

(証明)ｉ²＝(0,1)(0,1)＝(－1,0)＝－1 です。

　(証明終わり)

[定理13]∀ａ,ｂ∈Ｒに対して,(ａ,ｂ)＝ａ＋ｂiである。

(証明)ａ＋ｂi＝(ａ,0)＋(ｂ,0)(0,1)＝(ａ,0)＋(0,ｂ)＝(ａ,ｂ)

(証明終わり)

[定理14]∀ｘ,ｙ∈Ｃに対して,|ｘ＋ｙ|≦|ｘ|＋|ｙ|である。

(証明) ｘ＋ｙ＝0 なら自明なので,ｘ＋ｙ≠0 とする。このときλ≠|ｘ＋ｙ|/(ｘ＋ｙ)と置けば,定理６(ｂ)より|λ|＝1 です。

　そしてλｘ＋λｙ＝|ｘ＋ｙ|です。

　よってλｘ＋λｙは実数ですから,λｘ＝(ａ,ｂ),λｙ＝(ｃ,ｄ)ならλｘ＋λｙ＝(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ)＝(ａ＋ｃ,0)＝ａ＋ｃです。

　そして|ａ|≦|λｘ|＝|ｘ|,かつ|ｃ|≦|λｙ|＝|ｙ|です。したがって,|ｘ＋ｙ|＝λｘ＋λｙ＝ａ＋ｃ≦|ａ|＋|ｃ|≦|ｘ|＋|ｙ|が成立します。

　(証明終わり)

[定義４](共役複素数)

　複素数ｚ＝(ａ,ｂ)＝ａ＋ｂi(ａ,ｂ∈Ｒ)に対して,複素数ｚ^*≡(ａ,－ｂ)＝ａ－ｂiをｚの共役複素数という。

以下は通常の歴史的な複素数の展開の繰り返しになるので,ここでやめます。要するに,ここで展開した一連の話は,歴史的には代数方程式の実数解を求めるための過渡的な仮想数として便宜上導入された複素数をヒルベルト(Hilbert)などの思想に基づいて,公理的発想で代数的に再構築したモデルの１例になっている思われます。

数十年前に,この定義を初めて学んだ頃は,確かに新鮮でしたが,単に複素数をガウス平面の２次元ベクトルとする平面幾何の猫像をやや記号的に定式化しただけだとしか思いませんでした。

例えばガウス平面の実軸)上の点ａ＝(ａ,0)(ａ＞0 )に虚軸上の点ｉ＝(0,1)を乗じると,これは幾何学的にはベクトルのπ/2だけの正の回転に相当し,結果的に積としての点がａi＝(0,ａ)となり,その上さらにｉ＝(0,1)を乗じると,さらにπ/2回転されることになって,合計πだけ回転されて点－ａ＝(－ａ,0)に移ります。

それ故,ｉを２回続けて乗じることは,ネットで－1を乗じることに相当し,ｉ²＝－1と同定されますが,こうした話を言い換えただけに過ぎないという感じで割と軽視していました。

しかし,物理学で相対性理論のエネルギーの等式Ｅ²＝ｐ²ｃ²＋ｍ²ｃ⁴の平方根を取ったとき,Ｅ＝±ｃ(ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2の右辺は非常に扱いにくい非線型な形式ですが,これを次元を増やして行列を用いて表現すれば線形化できるというディラックの相対論的波動方程式のアイデアを見るなどの思考体験もあって,後には少なからず見方が変わりました。

数十年も経った現在の心境としては,論理学での帰納法に関するペアノ(Peano)の公理系と同じような感覚を持って見ています。

実証科学である他の自然科学での,複素数は仮想数であるとか,２乗して－1になる数などそもそもこの世には存在しないとかの「実在するしない」という類の不毛な論議とは関係なく,

上記のような定式化は単に数学的実体として,複素数は２元数として存在するという考えを,陽に表現して明確化する,という意味がある,と思うに至っています。 

参考文献:Walter.Rudin「Principles of Mathematical Analyss」second Edition(McGrawHill)

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デデキントの切断(補遺)

　実は,昔の大学入学時の頃のノートを忠実に再現すると,ブログにまとめたものよりもはるかに泥臭いものです。

　かつて,19世紀にラグランジュ(Lagrange)などが,それまでは無批判に使用していた級数などの収束性の論議を見直さざるを得なかったのと同じ,というのはおこがましいのですが,私もそれなりに悩んだようです。

　大学に入って,高校までに勉強していた付け焼刃のような極限や微積分の概念を,コーシー(Cauchy)が創始した,いわゆるε-δ論法に代表される近代無限小解析の手法で見直す,などと関連して,私的理解を助けるための,かなり細かい書き込みがノートのそこかしこにあります。

　当時,それらの見慣れない概念を受容するために,かなり悩んだ後が見られたりします。

例えば,前記事では煩雑になるので省略したα1^*＝1^*α＝αの証明なども,かなり苦労してやっていたようです。

結局は|α|1^*＝|α|を示せばいいわけですから,ｐ∈|α|1^*ならｐ＝ｓｔ;ｓ∈|α|,ｔ＜1と書けるので,ｐ＝ｓｔ＜ｓですからｐ∈|α|,逆にｐ∈|α|ならｑ＞ｐ,ｑ∈|α|なるｑが存在してｑ＞0 の場合ｐ＝ｑ(ｑ/ｐ)よりｐ∈|α|1^＊となるという簡単明快なものです。

この証明の記述１つにしても,元々はスミルノフ著の「高等数学教程」や高木貞治著の「解析概論」など比較的古い記述の書物を参照していて,最終的に,W.Rudinというテキストに到達したようです。

ところで,前記事では急いでいたせいもあって,肝心の最後の実数の連続性を保証する"デデキントの定理(Dedekind's　theorem)"なるものが解析学にとって一体,何の意味を持つのか？ということなどについて書き漏らしていたので,ここに補足しておきます。

そもそも,前述の"デデキントの定理"は,"デデキントの切断(連続性)公理"と呼ばれることも多く,何もわざわざ有理数から無理数を含む実数を,"有理数の集合＝切断"として定義する,という前記事のような手間をかけるほどのことはなく,単にこれを公理として受容してもよいくらいのものだともいえます。

要するに,実数に対して"デデキントの定理",あるいは"デデキントの切断公理"が成立すれば,上に有界な実数集合には上限,つまり最小上界があり,下に有界な実数集合には下限,つまり最大下界があることがいえる,ということが重要なのです。

結局,私など高校の数Ⅲでは証明なしでごまかしのような説明付きで無理に記憶させられていた,"変数が有界で単調に変動するなら,それには有限な極限値が存在する。"というような極限の存在についての法則もが証明できるようになる,というくらいの意味しかないのですね。

まあ,デデキントの切断など知らなくても,"上に有界な実数集合には上限＝最小上界があり,下に有界な実数集合には下限＝最大下界がある"ことを公理として,出発しても大した差はないのですが。。。

この定理,あるいは公理の効用について,さらに述べるなら実数の完備性くらいですかね。

つまり,実数によるコーシー列は必ず有限な極限値に収束する,という命題が成立するためには,実数の連続性が必要なんですね。

そして,結局,ｎ次元ユークリッド空間Ｒⁿの完備性も実数の連続性に基づいて保証されるわけです。 

これらを具体的に述べるには,まず有界という言葉の定義から出発する必要があります。

[定義１](有界)

　実数の集合:Ｅ⊂Ｒがあるとする。

　実数ｙ∈Ｒが存在して,∀ｘ∈Ｅに対してｘ≦ｙが成立するとき,Ｅは上に有界であるといい,ｙをＥの上界と呼ぶ。

　一方,実数ｚ∈Ｒが存在して,∀ｘ∈Ｅに対してｚ≦ｘが成立するとき,Ｅは下に有界であるといい,ｚをＥの下界と呼ぶ。

　Ｅが上にも下にも有界であるときには,Ｅは有界であると言う。

実数から成る数列{ｘ_n}が有界であるとは,全てのｘ_nの集合{ｘ_n:ｎ＝1,2,..}が有界であることを言う。

[定義２](上限,下限)

　実数の集合Ｅ⊂Ｒが上に有界であるとき,ｙがＥの１つの上界でありｘ＜ｙならｘはＥの上界とは成り得ないときには,ｙをＥの最小上界＝lubＥ(lub of Ｅ),あるいはＥの上限＝supＥ(sup of Ｅ)と呼ぶ。

　別の言い方をするなら,ｙはＥの１つの上界であって,任意のε＞0 に対してｙ－ε＜ｘ≦ｙなるｘ∈Ｅが存在するとき,ｙをＥの上限と呼びｙ＝supＥと書く。

実数の集合:Ｅ⊂Ｒが下に有界のとき,ｚはＥの１つの下界であってｚ＜ｘならｘはＥの下界とは成り得ないとき,ｚをＥの最大下界＝glbＥ(glb of Ｅ),あるいはＥの下限＝infＥ(inf of Ｅ)と呼ぶ。

別の言い方をすれば,ｚはＥの１つの下界であって,任意のε＞0 に対してｚ≦ｘ＜ｚ＋εなるｘ∈Ｅが存在するとき,ｚをＥの下限と呼びｚ＝infＥと書く。

[定理1](上限,下限)

　実数の集合:Ｅ⊂Ｒが上に有界でＥ≠φとする。このときＥの上限supＥが存在する。

　また,実数の集合Ｅ⊂Ｒが下に有界でＥ≠φとする。このときＥの下限infＥが存在する。

(証明)Ａ≡{α∈Ｒ|α＜ｘなるｘ∈Ｅが存在する。}とし,Ｂ≡Ａ^c＝Ｒ－Ａとします。

　このとき,ｙ∈ＡならｙはＥの上界では有り得ず,ｙ∈Ｂなら,∀ｘ∈Ｅに対してｘ≦ｙが成立するので,ｙはＥの上界です。つまり,ＢはＥの上界全部の集合になっています。

そして,明らかにＡ∪Ｂ＝Ｒ⊂Ｒ,Ａ∩Ｂ＝φです。

また,Ｅ≠φなので,あるｘ∈Ｅが存在します。

そして,α∈Ｒはα＜ｘならα∈ＡなのでＡ≠φです。

また,Ｅ⊂Ｒが上に有界なのでＢ≠φです。

それ故,デデキントの定理によってＡが最大数を含むかＢが最小数を含むかのいずれかです。

ところが∀α∈Ａについて,α＜ｘなるｘ∈Ｅが存在するのでこのｘに対してα'≡(α＋ｘ)/2と置けばα＜α'＜ｘですからα＜α'なるα'∈Ａが存在するためＡは最大数を持ちません。

したがってＢ＝(Ｅの上界の集合)が最小数を持ちます。これはＥの最小上界＝Ｅの上限supＥです。

後半のＥの下限infＥの存在についても同様なので,後半の証明に関しては省略します。

(証明終わり)

※よくある解析学や微積分学の初歩的なテキストでは,実数の集合が有界のとき上限,あるいは下限が存在するというこの定理を公理のように理論の出発点としているものもあるようです。

　我々のような物理屋であれば,必ずしもデデキンドの切断のような数学的に微妙な論題まで知る必要はないかも知れません。

[定理２] 実数から成る数列{ｘ_n}が有界で単調に変動するならば,これはｎ→ ∞に対して有限な極限値に収束する。

(証明) 数列{ｘ_n}が上に有界で単調非減少とすると,Ｅ≡{ｘ_n:ｎ＝1,2,..}は上に有界です。したがって上限β≡supＥが存在して,ｘ_n≦β(ｎ＝1,2,..)が成立します。

　任意のε＞0 が与えられたとすると,上限の定義によって,あるＮが存在してβ－ε＜ｘ_N≦βが成立します。

　そして{ｘ_n}は単調非減少数列なのでｎ≧Ｎならｘ_N≦ｘ_nです。 

したがって,ｎ≧Ｎならβ－ε＜ｘ_N≦ｘ_n≦βが成立します。つまり,ｎ≧Ｎなら常に|β－ｘ_n|＜εです。

これは,β＝lim_n→∞ｘ_nを意味します。

この場合には,極限値は上限に一致します。一方,数列{ｘ_n}が下に有界で単調非増加の場合に,{ｘ_n}が下限に収束することも,同様にして証明できます。

(証明終わり)

[定理３] 実数の有限区間の列:[ａ₁,ｂ₁],[ａ₂,ｂ₂],..,[ａ_n,ｂ_n],..が与えられ,どの区間も先行する区間に含まれるとする。

　つまり,[ａ_n,ｂ_n]⊂[ａ_n-1,ｂ_n-1],またはａ_n≧ａ_n-1,かつｂ_n≦ｂ_n-1とする。

　そしてｎ→ ∞ に対して区間の長さｃ_n≡ｂ_n－ａ_nがゼロに収束する,つまりｃ_n→ 0  as ｎ→ ∞ のとき,数列{ａ_n}と{ｂ_n}は共通の極限値に収束する。(この有限区間の列は縮小区間列と呼ばれます。)

(証明) 仮定によって,ａ₁≦ａ₂≦..≦ａ_n-1≦ａ_n≦ｂ_n≦ｂ_n-1≦..≦ｂ₁です。したがって,数列{ａ_n}は上に有界で単調非減少なので,ある極限値αが存在してlim_n→∞ａ_n＝α≦ｂ₁です。

　lim_n→∞ｃ_n＝lim_n→∞(ｂ_n－ａ_n)＝0 ですからlim_n→∞ｂ_n＝lim_n→∞(ａ_n＋ｃ_n)＝αも得られます。

　(証明終わり)

[定理４](コーシーの収束判定条件(Cauchy's criterion))＝(完備性)

　実数から成る数列{ｘ_n}が有限な極限値に収束するための必要十分条件は”予め与えられた任意の正の数εに対して,あるＮが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する”ことである。

(証明) 必要性:{ｘ_n}が有限な極限値に収束するならば,"予め与えられた任意の正の数εに対して,あるＮが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する"のは明らかです。

十分性を証明するため,"予め与えられた任意の正の数εに対して,あるＮが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎなら|ｘ_m－ｘ_n|＜εが成立する"と仮定します。

仮定によって,あるＮ₁が存在してｍ≧Ｎ₁,かつｎ≧Ｎ₁なら|ｘ_m－ｘ_n|＜1ですから,ｋ≧Ｎ₁なら|ｘ_k－ｘ_N1|＜1が成立します。

すなわち,ｋ≧Ｎ₁ならｘ_N1－1＜ｘ_k＜ｘ_N1＋1,あるいはｘ_k∈[ｘ_N1－1,ｘ_N1＋1]です。

同様にＮ₂≧Ｎ₁なるＮ₂が存在して,ｋ≧Ｎ₂ならｘ_N2－(1/2)＜ｘ_k＜ｘ_N2＋(1/2),あるいはｘ_k∈[ｘ_N2－(1/2),ｘ_N2＋(1/2)]です。

そこで,これを繰り返して,ｍ＝1,2,..,,ｍ－1,ｍ,..について,Ｎ_m≧Ｎ_m-1≧..≧Ｎ₂≧Ｎ₁なるＮ_mの列が存在して,ｋ≧Ｎ_mならｘ_Nm－(1/ｍ)＜ｘ_k＜ｘ_Nm＋(1/ｍ),あるいはｘ_k∈[ｘ_Nm－(1/ｍ),ｘ_Nm＋(1/ｍ)]と書くことができます。

そこで,ａ_m≡ｘ_Nm－(1/ｍ),ｂ_m≡ｘ_Nm＋(1/ｍ)と置けばｘ_k∈[ａ_n,ｂ_n] (ｎ＝1,2,..)であり,区間列{[ａ_n,ｂ_n]}は前定理３の仮定である実数の縮小区間列[ａ₁,ｂ₁],[ａ₂,ｂ₂],..,[ａ_n,ｂ_n]..に他なりませんから,数列{ａ_n}と{ｂ_n}は共通の極限値に収束します。

その共通の極限値をαとすれば,lim_n→∞ａ_n＝lim_n→∞ｂ_n＝α,かつｘ_k∈[ａ_n,ｂ_n]ですからlim_n→∞ｘ_n＝αも成立します。

(証明終わり)

ここで,これらの実数空間Ｒにおける定理をｎ次元ユークリッド空間Ｒⁿに一般化してみます。

ユークリッド空間は１種の距離空間ですから,差し支えない場合には距離空間の言葉を用います。

[定義３](距離空間)

　元のことを点と呼ぶ集合Ｘが距離空間であるとは,∀ｘ,ｙ∈Ｘに対して,これらの距離と呼ばれる実数ｄ(ｘ,ｙ)≧0 が定まっていて,次の３つの性質を満たすことをいう。

　厳密にはＸだけではなく(Ｘ,ｄ)の組を距離空間と呼ぶ。

３つの性質とは,(ａ)ｘ≠ｙならｄ(ｘ,ｙ)＞0;ｄ(ｘ,ｘ)＝0　(ｂ)ｄ(ｘ,ｙ)＝ｄ(ｙ,ｘ) (ｃ)∀ｚ∈Ｘに対し,ｄ(ｘ,ｙ)≦ｄ(ｘ,ｚ)＋ｄ(ｚ,ｙ)です。

※例えばｎ次元ユークリッド空間:Ｒⁿならｘ≡(ｘ₁,ｘ₂,..,ｘ_n),ｙ≡(ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)∈Ｒⁿに対して,距離を絶対値で定義する,ｄ(ｘ,ｙ)≡|ｘ－ｙ|≡{Σ_k=1ⁿ(ｘ_k－ｙ_k)²}^1/2定義すれば,(Ｒⁿ,| |)の組は距離空間になります。

以下,集合と言えば距離空間Ｘの部分集合であることを暗黙の了解事とします。

[定義４](有界)

　集合Ｅ⊂Ｘが有界であるとは,実数Ｍとある点ｙ∈Ｘがあって,∀ｘ∈Ｘに対してｄ(ｘ,ｙ)＜Ｍが成立することをいう。

[定義５](収束点列)

　距離空間Ｘの点列{ｘ_n}が収束するとは,ある点α∈Ｘが存在して,任意のε＞0 に対して整数Ｎが存在してｎ≧Ｎならばｄ(ｘ_n,α)＜εが成立することをいう。

[定義６](コーシー列と完備性)

　距離空間Ｘの点列{ｘ_n}がコーシー列であるとは,任意のε＞0 に対し整数Ｎが存在してｍ≧Ｎ,かつｎ≧Ｎならｄ(ｘ_m,ｘ_n)＜εが成立することをいう。

　そして距離空間Ｘの任意のコーシー列が収束するとき,Ｘは完備である,という。

※定理４から実数の空間Ｒは完備であることがわかります。

　これを少し拡張すればｎ次元ユークリッド空間Ｒⁿも完備である,ことがわかります。

　一般の距離空間は必ずしも完備ではありませんが,あるコーシー列に関する同値類を作ることによって完備化することが可能です。

参考文献:Walter.Rudin「Principles of Mathematical Analyss」second Edition(McGrawHill)

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デデキントの切断(Dedekind cut)

　物理学関係についての話ばかり書くのも少し疲れたので,ちょっと数学に浮気します。

　それも19世紀の解析学の話で息抜きします。手抜きして,約39年も前の大学１～２年の頃書いたと思われる化石的なノートから引用します。

当時の私は学生運動クラブがメインで,その暇に細々,コツコツと数学の勉強をしていた程度でした。

専攻学科は理学部の物理学科でしたが,物理学に目覚めたのは大学院に入ってからで,大学５年間(１年留年)で自然科学関係で真剣に勉強したという記憶があるのは数学だけです。

必須単位を取って卒業できたのですから,物理学もやったのでしょうが,その成績は目茶目茶だったし,物理は試験前の一夜漬けくらいしか記憶にありません。

大学５年目の９月に幾つか他大学の大学院の物理学専攻を受けたのですが,物理学については１ヶ月か２ヶ月漬け程度の試験勉強でしたかね,入試の１つに合格したのも,恐らく数学の成績によるのでしょうね。

当時の参考書は洋書ですが,Walter.Rudin著の「Principles of Mathematical Analysis」でした。今取って見ると,McGraw-HillのRiprint版ですが,ボロボロですね。

後に共立出版から「現代解析学」というそれの訳が出ているはずですが,そちらは所持していません。

余談はさておき,以下本文です。

まだ,数としては有理数しか存在しない世界から実数という新しい実体を定義します。まず,Ｑを有理数全体の集合とします。

このとき,例えばｐ∈Ｑ,かつｐ²＝２を満たす元ｐは探しても存在せず,それ故,集合Ａ⊂ＱをＡ≡{ｐ∈Ｑ|ｐ≦0,またはｐ＞0,かつｐ²＜２}と定義すれば,Ａには最大数が存在しないことが簡単な考察からわかります。

また,ＱにおけるＡの補集合Ｂ≡Ａ^c＝Ｑ－Ａには最小数が存在しないこともわかります。

つまり,有理数体だけでは,数直線上には多くのギャップがあって,連続性は満たされないことがわかります。

そこで,こうしたことが"連続性を満たす新しい数＝実数"の導入の動機付けとなるわけです。

まず切断の定義です。デデキント(Dedekind)が導入したので一般にデデキントの切断(Dedekind cut)と呼ばれています。

[定義 0]集合α⊂Ｑが次の３条件を満たすとき,αを切断という。

　(ⅰ)α≠φ,α≠Ｑである。(ⅱ)ｐ∈α,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐならばｑ∈αである。(ⅲ)αは最大数を含まない。つまり,∀ｐ∈αに対してｐ＜ｒ,ｒ∈αなるｒ∈Ｑが存在する。の３条件である。

[定理Ａ1]ｐ∈αであるがｑ∈αでないならｐ＜ｑである。

(以下では"ｑ∈αでない"という文については論理記号の否定:￢を用いて,"￢ｑ∈α"と表現することもあります。)

(証明) (ⅱ)により,ｐ∈α,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐならｑ∈αです。

　またｑ＝ｐなら,もちろんｑ∈αです。

　したがってｑ≦ｐならｑ∈αですから,ｑ∈αでない(￢ｑ∈α)ならｐ＜ｑです。

　(証明終わり)

※     上の定理の結果により,αの元をlower numberと呼び,有理数であってαに属さないものについてはαの元より大きいのでupper numberと呼びます。

[定理Ａ2]ｒ∈Ｑに対してα≡{ｐ∈Ｑ|ｐ＜ｒ}と置くと,αは切断であって,ｒはαの最小のupper numberです。

(証明) αが(ⅰ),(ⅱ)を満たすのは自明です。(ⅲ)は∀ｐ∈αに対してｐ＜(ｐ＋ｒ)/2＜ｒ,(ｐ＋ｒ)/2∈αから明らかです。

　(証明終わり)

[定義１]上の定理で切断であると証明された集合αを特に有理数ｒに関する有理切断と呼び,これをｒ^*で表わす。

　次は,大小関係(順序関係)の定義です。

[定義２] α,βを切断とするとき,これが集合として等しいとき,これらは等しいと言い,α＝βと書く。

　またｐ∈βであるが,ｐ∈αでないようなｐ∈Ｑが１つでも存在すればα＜β,あるいはβ＞αと書く。

　そして,α≦βなる表現は,α＝βまたはα＜βを意味し,α≧βはα＝βまたはα＞βを意味する。

[定理Ａ3] α,βを切断とするとき,α＝βかα＜βをβ＜αのいずれか１つが成り立ち,２つ以上同時に成り立つことはない。

(証明) 手順を追って定義を確かめるだけなので省略します。

[定理Ａ4] α,β,γを切断とするとき,α＜βかつβ＜γならばα＜γである。

(証明) これも手順を追って定義を確かめるだけなので省略します。

※注:これら切断と呼ばれる有理数集合の各々が１つ１つの実数の各々に同一視されて対応する,というのがデデキントの着想です。

　次に,四則演算です。

[定理１]α,βを切断とするとき,γ≡{ｐ＋ｑ|ｐ∈α,ｑ∈β}と置けばγも切断である。

(証明)γが上記の３条件を満たすことを１つずつ順を追って示せばよくて論理的に簡単なので省略します。

　当時の私のノートには律儀に証明が書いてありますが,まあ,当時は初学者だったので当然ですね。。。

[定義３](加法:足し算)

　上記の定理１で切断であると証明されたγをα＋βと書き,αとβの和と定義します。

[定理２](交換法則,結合法則,ゼロ元)

α,β,γを切断とする。

(ａ)α＋β＝β＋α (ｂ)(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)

(ｃ)α＋0^＊＝α　が成立する。

(証明) (ａ),(ｂ)の成立は自明です。

　そこで(ｃ)の証明だけやってみます。

　まず,ｐ∈α＋0^*とします。このとき,ｐ＝ｑ＋ｒ;ｑ∈α,ｒ∈0^*なるｑ,ｒ∈Ｑが存在します。

　ｒ∈0^*より,ｒ＜0 ですからｐ＝ｑ＋ｒ＜ｑです。

　したがって,ｐ∈αが成立します。

　一方,逆にｐ∈αとするとαは切断ですから,ｐ＜ｑ,かつｑ∈αなるｑ∈Ｑが存在します。

　このｑによって,ｐ＝ｑ＋(ｐ－ｑ);ｑ∈α,(ｐ－ｑ)∈0^*と書けば,ｐ∈α＋0^*であることがわかります。

　以上からｐ∈α＋0^* ⇔ ｐ∈α,すなわち,α＋0^*＝αがいえます。

(証明終わり)

　※結合法則:(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)が成立するので,以後(α＋β)＋γ＝α＋(β＋γ)を単にα＋β＋γと表記することもあります。

[定理３]αを切断とし,ｒ∈Ｑを任意の正の数(ｒ＞0)とする。

　このとき,ｒ＝ｑ－ｐを満たすｐ,ｑ∈Ｑであって,ｐ∈α,￢ｑ∈αでｑはαの最小のupper numberではないものが存在する。

(証明) まず,α≠φなので,ｓ∈αなる適当なｓを取り,ｓ_ｎ≡ｓ＋ｎｒ(ｎ＝0,1,2,..)とします。

　このとき,ｓ_ｍ∈α,￢ｓ_ｍ+1∈αなるｍが唯1つ存在するはずです。

　(こうしたｍが存在しないと仮定すると,α＝Ｑとなって切断であることに矛盾します。)

　そこで,ｐ≡ｓ_ｍ,ｑ≡ｓ_ｍ+1とおけば,ｐ∈α,￢ｑ∈αでｑ－ｐ＝ｒです。

　ただし,もしもｑ＝ｓ_ｍ+1がαの最小のupper numberなら,ｐ≡ｓ_ｍ＋ｒ/2,ｑ＝ｓ_ｍ+1＋ｒ/2とします。

　(証明終わり)

[定理４](逆元の存在)

　αを切断とすときα＋β＝0^*を満たす切断βが唯1つ存在する。

(証明) まず,α＋β＝0^*を満たす切断βが存在するとしてその一意性から証明します。

　すなわち,α＋β＝α＋β₁＝0^*とするとβ₁＝0^*＋β₁＝(α＋β)＋β₁＝(α＋β₁)＋β＝0^*＋β＝βです。

　次に,α＋β＝0^*を満たす切断βの存在証明です。

　そのために,集合β≡{ｐ∈Ｑ|￢(－ｐ)∈α,ただし(－ｐ)はαの最小upper numberではない。}を作ります。

　そして,まず集合βが１つの切断であることを証明します。

　すなわち,βが切断条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満足することを示します。

　まず,(ⅰ)β≠φ,β≠Ｑは明らかです。

　(ⅱ)ですが,ｐ∈β,ｑ∈Ｑ,かつｑ＜ｐと仮定すると,(－ｐ)＜(－ｑ)ですから,もしも(－ｑ)∈αなら(－ｐ)∈αとなり,￢(－ｐ)∈αに矛盾します。そこで(ⅱ)も成立します。

　次に(ⅲ)です。ｐ∈βであることは,(－ｐ)がαの upper numberであることを意味しますが,最小upper numberではないので∃ｑ∈Ｑ,(－ｑ)＜(－ｐ),かつ￢(－ｑ)∈α,

　すなわち,￢(－ｑ)∈α,かつｐ＜ｑです。

　そこでｒ≡(ｐ＋ｑ)/2とおけば,ｐ＜ｒ＜ｑ,つまり(－ｑ)＜(－ｒ)＜(－ｐ)なので￢(－ｒ)∈αです。

　しかも(－ｒ)はαの最小upper numberではありませんから,ｒ∈β,かつｐ＜ｒです。

　ｐはβの任意の元でしたから,βは最大数を含みません。

　これで(ⅲ)も成り立つことがわかりました。

したがって,βも切断ですから和の切断の有理数集合α＋βが定義できます。

そしてｐ∈α＋βとすれば,定義によってｑ∈α,ｒ∈βが存在してｐ＝ｑ＋ｒと書けます。

よってｑ∈α,￢(－ｒ)∈αですが「定理Ａ1:ｐ∈α,￢ｑ∈αならｐ＜ｑである。」によれば,これからｑ＜(－ｒ)が結論されます。

これを移項すればｐ＝ｑ＋ｒ＜0 となります。

それ故,結局ｐ∈0^* が結論されます。

　逆にｐ∈0^* を仮定すると,0^*の定義によりｐ＜0 ,すなわち,(－ｐ)∈Ｑは正の数:(－ｐ)＞0 です。

　ところが「定理３:αを任意の切断としてｒ∈Ｑを任意に与えられた正の数(ｒ＞0)とすると,ｒ＝ｑ－ｐを満足し,かつｐ∈α,￢ｑ∈αであってｑはαの最小のupper numberではないような有理数の組ｐ,ｑが存在する。」によれば,

　(－ｐ)＝(－ｒ)－ｑを満足し,かつｑ∈α,￢ｒ∈αであってｒはαの最小のupper numberではないような有理数ｑ,ｒの組が存在します。

　これは,ｐ＝ｑ＋ｒ,かつｑ∈α,ｒ∈βとできることを意味します。それ故,結局ｐ∈α＋βが結論されます。

　以上から,α＋β＝0^*が成立することがわかりました。

　すなわち,α＋β＝0^*を満たす切断βが確かに存在します。こうしたβが一意的であることは既にこの証明の最初で示しましたから,定理は全て証明されました。

　(証明終わり)

[定義４](逆元)

　上記の定理４で切断αに対して存在することが証明された切断βを(－α)と書きます。

[定理５] α,β,γを切断とするときβ＜γならばα＋β＜α＋γである。特にα＞0^*,かつγ＞0^*ならばα＋γ＞0^* である。

(証明) 大小関係の定義２によってβ＜γならばα＋β＜α＋γであることは自明です。

　そして特にβ＝0^*としてα＞0^*,かつγ＞0^*とすれば,α＋γ＞α＞0^*となります。

　(証明終わり)

[定理６]α,βを切断とする。このときα＋γ＝βを満たす切断γが唯１つ存在する。

(証明)γ≡β＋(－α)とすると,α＋γ＝α＋{β＋(－α)}＝0^*＋β＝βです。そして定理５からγ₁≠γならα＋γ₁≠α＋γなのでα＋γ＝βを満たす切断γは一意的です。

　(証明終わり)

[定義５](減法:引き算)

　上記の定理５で切断α,βに対して存在することが証明された切断γ≡β＋(－α)をβ－αと書き,αのβとの差と呼ぶ。

[定理６](乗法)

　α,βをα≧0^*,かつβ≧0^*なる２つの切断とする。このときγ≡{ｒ∈Ｑ|ｒ＜0 ,またはｒ＝ｐｑ,ｐ∈α,ｐ≧0;ｑ∈β,ｑ≧0 }と置けばγは切断である。

(証明)証明は加法α＋βと似たようなものなので省略します。

[定義６](乗法:掛け算)

　上記の定理６で切断α,βに対して定義された切断γをαβと表記し,αとβの積と呼ぶ。

　さらに任意の切断αについて,|α|≡α(if α≧0^*),－α(if α＜0^*)と定義すると,|α|も１つの切断であって,明らかに|α|≧0^*である。

　そして|α|＝0^*となるのはα＝0^*のとき,このときに限る。この|α|をαの絶対値と呼ぶ。

　α,βをα≧0^*,かつβ≧0^*ではない２つの切断とする。

　このときαβ≡－(|α||β|)(α＜0^*,かつβ≧0^*,またはα≧0^*,かつβ＜0^*),|α||β|(α＜0^*,かつβ＜0^*)によって積αβを定義する。積|α||β|については既に定義されている。

[定理７](加法と乗法の性質)

　α,β,γを切断とするとき,(ａ)αβ＝βα (ｂ)(αβ)γ＝α(βγ) (ｃ)α(β＋γ)＝αβ＋αγ (ｄ)α0^*＝0^* (ｅ) αβ＝0^* ⇔ α＝0^* or β＝0^* (ｆ)α1^*＝α (ｇ)0^*＜α＜β,かつγ＞0^*ならαγ＜βγである。

(証明)これら全ての証明もコツコツやればできるので省略します。

[定理８](除法)

　αをα≠0^*なる切断とする。また,βも１つの任意の切断とする。このときαγ＝βなる切断γが唯1つ存在する。

[定義７](除法:割り算)上記の定理８で切断α(α≠0^*),βに対して存在することが証明されたαγ＝βなる唯一の切断γをβ/αと書き,βのαによる商と呼ぶ。

[定理９](有理切断)ｐ,ｑ,ｒ,..etc.を有理数とする。このとき,(ａ)ｐ^*＋ｑ^*＝(ｐ＋ｑ)^*,(ｂ)ｐ^*ｑ^*＝(ｐｑ)^* ,(ｃ)ｐ^*＜ｑ^* ⇔ ｐ＜ｑ が成立する。

(証明)これも証明は略です。

[定理10]α,βをα＜βなる任意の切断とする。このとき,α＜ｒ^*＜βなる有理切断ｒ^*が存在する。

(証明) α＜βとします。定義によってｐ∈β,￢ｐ∈αなるｐ∈Ｑが存在します。ｐ＜ｒ,かつｒ∈βなるｒを取ると,もちろん￢ｒ∈ｒ^*ですから,ｒ^*＜βです。またｐ∈ｒ^*,￢ｐ∈αより,α＜ｒ^*です。

(証明終わり)

[定理11]αを任意の切断する。このとき,ｐ∈α ⇔ ｐ^*＜αである。

(証明) ｐ∈αのとき,￢ｐ∈ｐ^*ですから,ｐ^*＜αです。

　逆にｐ^*＜αのとき,ｑ∈α,￢ｑ∈ｐ^*なる有理数ｑが存在します。

　￢ｑ∈ｐ^*よりｑ≧ｐですからｐ∈αです。

　(証明終わり)

　かくして準備は整いました。

[定義８]各々の切断を実数と呼ぶ。有理切断は有理数と同一視する。

※     以下,実数全体(切断全体)の集合をＲとします。

[定理12](デデキントの定理)

　集合Ａ,Ｂを次の性質を持つＲの部分集合とする。

(ａ)Ｒ⊂Ａ∪Ｂ (ｂ)Ａ∩Ｂ＝φ (ｃ)Ａ≠φ,かつＢ≠φ (ｄ)α∈Ａ,β∈Ｂならばα＜β である。

　このとき,α≦γ for ∀α∈Ａ,かつγ≦β for ∀β∈Ｂなる唯一のγ∈Ｒが存在する。

　証明を実行する前に系も述べておきます。

[系] 定理12の仮定の元では,Ａが最大数を含むか,Ｂが最小数を含むかのいずれかである。

(定理12の証明) γ≡{ｐ∈Ｑ|ｐ∈α for some α∈Ａ}と置きます。

　まず,このγが確かに切断であることを証明します。

　Ａ≠φなので,α∈Ａなるαが少なくとも１つは存在しますから,γ≠φです。

　一方,Ｂ≠φなので,β∈Ｂなるβも存在します。

　当然,∀α∈Ａに対してα＜βです。そしてβ≠Ｑより,￢ｑ∈βなるｑ∈Ｑが存在します。

　このとき∀α∈Ａに対して,α＜βによって￢ｑ∈αです。それ故, ￢ｑ∈γです。

　以上から,切断条件(ⅰ)γ≠φ,かつγ≠Ｑが満たされることがわかりました。

次に,ｐ∈γ,ｑ＜ｐと仮定します。ｐ∈α for some α∈Ａですからこのαに対して切断の定義によりｑ∈αです。それ故,ｑ∈γです。

これで切断条件(ⅱ)も成立します。

また,ｐ∈γとすると,ｐ∈α for some α∈Ａです。

切断の定義によりｑ＞ｐなるｑ∈αが存在します。よって,ｑ＞ｐなるｑ∈γが存在します。

これで切断条件(ⅲ)も成立します。

以上でγは１つの切断であることが示されました。

したがってγは実数です。γ∈Ｒですね。

そしてγの定義から明らかに∀α∈Ａに対してｐ∈αならｐ∈γですからα≦γです。

一方,もしあるβ∈Ｂについてβ＜γなら,あるｐ∈Ｑが存在してｐ∈γ,かつ￢ｐ∈βです。

ｐ∈γより,あるα∈Ａに対しｐ∈αなります。

このαについては,ｐ∈α,かつ￢ｐ∈βですから,これはβ＜αを意味します。

これは∀α∈Ａに対してα＜βという前提に矛盾します。

以上から,∀β∈Ｂについてγ≦βです。以上で定理の前半の存在証明は終わりました。

一方,上記γと同じ性質の実数(切断)γ₁,γ₂が存在して大小関係がγ₁＜γ₂であるとすると,定理10によってγ₁＜γ₃＜γ₂を満たすγ₃∈Ｒが存在しますが,γ₃＜γ₂よりγ₃∈Ａ,γ₁＜γ₃よりγ₃∈Ｂ,つまりγ₃∈Ａ∩Ｂ＝φとなって矛盾です。したがって一意性も証明されました。

系については定理12のγがＡの最大数かＢの最小数になることは自明であり,前提(ａ)によってどちらか一方しか起こり得ないことは明らかです。

(証明終わり)

　まだ,ちょっとあるのですが,とりあえずここまでで終わります。

　丁度10年くらい前ですか,池袋の電子専門学校で非常勤講師をしていた時代に,数学の微積分学を教えて欲しいと頼まれたことがあります。

　そのとき,つい教科書を無視して,このノートの内容などを講義してしまいました。

　指導教官に漏れて注意を受けた末に次年度からは数学の講義をはずされてしまいました。

　微積分の計算だけ教えてくれればいいということでしたね。計算も確かに教えましたが,ちょっとハメをはずしたかも知れません。

当時の相手は40人余りのクラスの生徒で確か臨床工学科でしたか？女子の方がやや多かったような記憶がありますが,生徒は私の講義を結構面白がっていたと感じたのですが。。

まあ,将来の役には立たない念仏講義なので,結局は迷惑だったかも知れませんね。

物理の講義でもちょっと私的な趣味に走ったことがありましたが,物理の講師は不足していたらしくて,幸いクビにはなりませんでした。

参考文献:Walter.Rudin「Principles of Mathematical Analysis」second Edition (MacGrawHil)

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微分形式とベクトル解析

　コーヒー・ブレイクです。物理学の話はちょっとお休みにして物理数学の軽い話題を述べてみます。

　エリ・カルタン(Elie Cartan)が創始したと言われる微分形式,または外微分の概念は,最近は向き付け可能な微分可能多様体の上でのテンソル場などと関連して導入されることが多いらしく,何か前提として微分幾何学などの知識がなければいけないかのように感じ,かなり敷居が高いなどと思われ勝ちです。

　私が35年以上も前に大学の物理学科で留年した年に,１年間数学科で浮気をしていた際,数学科の専門講義の中で解析学の一部として学んだ記憶がある微分形式は幾何学と関連があるといっても平面上の四角形はアファイン変換でもやはり四角形になる,という程度の初等幾何の話で十分なものでした。

　微分形式を抽象数学として厳密に扱おうとするなら,それを微分幾何学,多様体などの概念と結び付け,曲面上での特殊な多重線形変換の場,あるいは交代テンソルの場の一部として導入するべきかも知れません。

　しかし,古典物理での物理数学のような応用数学に利用するだけであれば,積分が微分の逆演算であること,および積分変数,あるいは微分変数の変換における不変式との関連の話で導入をする程度でお茶を濁すのがイメージを掴むやり方としては,はるかに入り易いと思います。

　ここではそうした方法での説明にトライしてみます。

　要するに,私がはじめてそれを学んだときには,微分形式というのは素朴な１変数関数の積分での変数置換に伴う単純な置換積分の公式を多変数関数の重積分の場合のそれに拡張したとき,積分形式における変換規則を微分形式の規則に翻訳するための便法として編み出した記号に過ぎないものである,と把握したものでした。

　ただ,そうした記号的手法を用いれば計算が非常に楽になるということだけは確かであり,特に直交座標であるとか極座標であるとかの点の座標表現を気にすることなく同じ形式で考察できるという意味では,重宝で便利な道具であるとは思います。

　１変数関数ｙ＝ｆ(ｘ)の不定積分:Ｆ(ｘ)＝∫^xｆ(ｔ)ｄｔは,積分変数ｔをｔ＝φ(ｕ)によってｕに変更するとき,この対応が"同相＝１価連続で逆写像もまた連続"であるならばｘ＝φ(ｖ)のとき,∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕ (ただしφ'(ｕ)≡ｄφ/ｄｕ)なる積分に一致する,つまり∫^xｆ(ｔ)ｄｔ＝∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕなる不変式が成立する,というのが置換積分法の規則です。

　これは微分規則での合成関数の微分法の規則:ｄＦ(φ(ｖ))/ｄｖ＝(ｄＦ/ｄｘ)φ'(ｖ)に対応するものです。

　では２変数関数ｇ(ｘ,ｙ)の積分の場合にはどうでしょうか？

　１変数関数のときには便宜上,積分を不定積分としましたが,今度はある決まった点(ｘ,ｙ)の連結した点集合から成る２次元の領域Ｄの上での定積分として,２重積分:∫_Dｇ(ｘ,ｙ)ｄｘｄｙを考えます。

　１変数のときと同様,ｘ＝φ(ｕ,ｖ),ｙ＝ψ(ｕ,ｖ)と変数変換してφ,ψを(ｕ,ｖ)の連結した領域:Ｄ_uvからＤの上への同相写像とします。

　すなわち,この写像の組φ,ψをベクトル表示で^t(ｘ,ｙ)＝Φ(ｕ,ｖ)≡^t(φ(ｕ,ｖ),ψ(ｕ,ｖ))と書いたとき,Ｄ＝Φ(Ｄ_uv)が成立するとします。

　そして,先の１変数の積分不変式∫^xｆ(ｔ)ｄｔ＝∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕが,そのまま形式的に２変数関数ｇ(ｘ,ｙ)の積分でも成立するとして,∫_Dｇ(ｘ,ｙ)ｄｘｄｙ＝∫_Duvｇ(φ(ｕ,ｖ),ψ(ｕ,ｖ))Φ'(ｕ,ｖ)ｄｕｄｖと書きます。

　形式的にこう書いたとしても,それだけでは,右辺の最後のΦ'(ｕ,ｖ)ｄｕｄｖなる記号表記の意味が未だ不明のままなので,これが明確に定義されない限りはこうした表現式に意味はありません。

　しかし,^t(ｘ,ｙ)＝Φ(ｕ,ｖ)≡^t(φ(ｕ,ｖ),ψ(ｕ,ｖ))という変数の変換は,局所的な微分量の変換に対応する微小変換では通常の１次元の１変数の場合の変換:ｘ＝φ(ｕ)における微分と微分係数との関係:ｄｘ＝(ｄφ/ｄｕ)ｄｕ＝φ'(ｕ)ｄｕのアナロジーで,"全微分係数(total derivative)＝全ての偏微分係数をその要素とする行列(matrix of partial-derivatives)"を記号的にｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)と書けば,^t(ｄｘ,ｄｙ)＝{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}^t(ｄｕ,ｄｖ)と書けます。

　これを陽に表現すると,^t(ｄｘ,ｄｙ)＝^t((∂φ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂φ/∂ｖ)ｄｖ,(∂ψ/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ψ/∂ｖ)ｄｖ)です。

　そして,こうした２重積分ではｄｘｄｙ,およびｄｕｄｖは何を表わしているかというと,これらの量は縦と横の辺の長さの組が(ｄｘ,ｄｙ),および(ｄｕ,ｄｖ)で与えられる微小長方形の面積要素を表わしていますね。

　ところで,一般にｎ次元ベクトル空間Ｒⁿの上のベクトル:ｕ≡^t(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n)∈Ｒⁿを別の点ｘ≡^t(ｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_n)∈Ｒⁿに写す線形写像をアファイン(or アフィン)変換と呼びますが,これは線形変換なので,あるｎ次の正方行列Ａが存在してｘ＝Ａｕなる式に書けます。

始点の一致した２つのベクトルｕ,ｖで作られる平行四辺形の面積は,ｕとｖの成す角をθとするとき,|ｕ||ｖ||sinθ|で与えられます。

これはもしもｕ,ｖが３次元空間のベクトルなら,外積,あるいはベクトル積ｕ×ｖの大きさを表わしています。

さらに行列Ａで表現されるこうした線形変換によって,ｕ,ｖがそれぞれｘ,ｙに写されるとき,つまりｘ＝Ａｕ,かつｙ＝Ａｖが成立するとき,外積の変換はｘ×ｙ＝(detＡ)(ｕ×ｖ)となります。

ただし,detＡは行列Ａの行列式を示しています。

つまり,アファイン変換では平行四辺形は平行四辺形に写され,その面積の比は,変換行列Ａの行列式の絶対値＝|detＡ|になるわけです。

したがって,微小変換^t(ｄｘ,ｄｙ)＝{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}^t(ｄｕ,ｄｖ)においても,これは微分ベクトル量同士の関係として線形変換なので,(ｄｘ,ｄｙ),および(ｄｕ,ｄｖ)の成分はそれぞれｘ軸,ｙ軸に平行な２つの微小ベクトル,およびｕ軸,ｖ軸に平行な２つの微小ベクトルを示していると考えると,それらの作る微小長方形の面積要素の比がdet{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}の絶対値で与えられると考えられます。

こうしたことは一般のｎ次元空間でも,もちろん成立し,そのとき^t(ｄｘ₁,ｄｘ₂,...,ｄｘ_n)＝{ｄΦ(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n)/ｄ(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n)}^t(ｄｕ₁,ｄｕ₂,...,ｄｕ_n)なる線形変換式を満たすｎ行ｎ列の行列{ｄΦ(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n)/ｄ(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n)}は,慣習的にヤコービ行列(Jacobi matrix)と呼ばれ,記号{∂(ｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_n)/∂(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n)}で表わされます。

そして,その行列式det{ｄΦ(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n)/ｄ(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n)}はヤコービアン(Jacobian)と呼ばれ,記号Ｊ＝|∂(ｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_n)/∂(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n)|で表わされます。

そして,２次元の場合の変換式^t(ｄｘ,ｄｙ)＝{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}^t(ｄｕ,ｄｖ)においては,(ｄｕ,ｄｖ)で作られる長方形の微小面積をｄｕ∧ｄｖなる記号で表わして,これを２次の微分形式と定義すれば,お互いの積分変数の微小面積要素の比を与える公式はｄｘ∧ｄｙ＝±det{ｄΦ(ｕ,ｖ)/ｄ(ｕ,ｖ)}ｄｕ∧ｄｖ＝±Ｊ・ｄｕ∧ｄｖ＝±|∂(ｘ,ｙ)/∂(ｕ,ｖ)|ｄｕ∧ｄｖと表現されます。

この時点ではｄｕ∧ｄｖとｄｘ∧ｄｙなる記号は,これらを微小な面積という非負の量に同一視しているので,行列式の符号如何で,右辺にはプラス,またはマイナスの符号が必要です。

ところが,１次の置換積分の公式:∫^xｆ(ｔ)ｄｔ＝∫^vｆ(φ(ｕ))φ'(ｕ)ｄｕにおいて,φ(ｕ)がｕの増加関数であるか減少関数であるかによって,積分区間の始点と終点を逆転させることを約束すれば,符号を付ける必要がなく,いつでもこのままでこの積分不変式が成立するようにできます。

微分積分法などの初等的なテキストでは重積分における変数変換に際してヤコービアン:Ｊの絶対値をとって,置換積分の変換公式を∫_Φ(D)ｇ(ｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_n)ｄｘ₁ｄｘ₂．．ｄｘ_n＝∫_Dｇ(Φ(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n))|Ｊ|ｄｕ₁ｄｕ₂...ｄｕ_nと書き,単なる行列式Ｊを用いる代わりに,その絶対値|Ｊ|を用いた式で表わすことが多いようです。

しかし,微分形式の記号ｄｕ∧ｄｖ etc.を積分等式の両辺の積分領域ＤとΦ(Ｄ)の相対的な向きの指定をも含めた形で定義するなら,±符号を除いた簡単な積分公式∫_Φ(D)ｇ(ｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_n)ｄｘ₁ｄｘ₂...ｄｘ_n＝∫_Dｇ(Φ(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n))Ｊｄｕ₁ｄｕ₂...ｄｕ_n,および対応する微分公式ｄｘ₁∧ｄｘ₂∧...∧ｄｘ_n＝Ｊ・ｄｕ₁∧ｄｕ₂∧...∧ｄｕ_nが常に成立するようにできます。

さらに,この公式の微分形も任意の関数ｇ(ｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_n)を含めた一般的表現では,ｇ(ｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_n)ｄｘ₁∧ｄｘ₂∧...∧ｄｘ_n＝ｇ(Φ(ｕ₁,ｕ₂,...,ｕ_n))Ｊ・ｄｕ₁∧ｄｕ₂∧...∧ｄｕ_nと表わすことができます。

こうした微分による変換形式を,その本質的に反対称で外積代数と同じ性質を持つという演算規則の定義をも含めてｎ次の微分形式と呼ぶわけです。

そして,ω≡Σ_i1,i2,..._ikｆ_i1,i2,..._ik (ｘ₁,ｘ₂,...,ｘ_n)ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧...∧ｄｘ_ik(0≦ｋ≦ｎ)なる線形結合で与えられる形式が,ｎ次元空間を土俵にした全く一般的なｋ次微分形式の定義です。

また,(ｎ－1)以下のｋについてのこうしたｋ次微分記式ωに対し,その外微分ｄωをｄω≡Σ_i1,i2,..._ikΣ_j=1ⁿ(∂ｆ_i1,i2,..._ik/∂ｘ_j)ｄｘ_j∧ｄｘ_i1∧ｄｘ_i2∧...∧ｄｘ_ikによって定義します。

こうした外微分に関しては,一般に"ポアンカレの補題ｄ(ｄΩ)＝0 ",および一般的な"ストークスの定理∫_Ωｄω＝∫_∂Ωω"が成立します。

この定義での微分式をなぜ外微分と呼ぶのかと言うと,微分形式や外微分の演算がいわゆる外積代数に従うからですね。

上に述べたポアンカレの補題は「完全形式(exact form)ω＝ｄΩは閉形式(closed form)ｄω＝0 である。」という定理ですが「可縮な領域では,閉形式ｄω＝0 は完全形式である,つまりω＝ｄΩと書ける微分形式Ωが存在する。」というこれの逆命題も成立します。

後者もポアンカレの補題と呼ばれることが多いです。

後者が成立することの証明については,私のブログの2006年10/21の記事「ポアンカレの補題」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/post_b9b6.html にやや詳しく記述しているので,よかったら参照してください。

逆命題としての後者のポアンカレの補題は,物理学で多用される伝統的なベクトル解析に翻訳した場合,結構重要な定理に対応しています。

例えばベクトル場が"渦無し＝非回転的"である,ベクトル場の回転がゼロであることは,対象としている場が保存的である,すなわち場のスカラーポテンシャル(位置エネルギー)が存在して元のベクトル場はそのスカラーポテンシャルの勾配として表現可能であることを意味します。

また,ベクトル場の発散がゼロであることは,場のベクトルポテンシャルが存在して,場はそれの回転で表現されることを意味するという定理などに対応しています。

ここで,上述の定理も含め,こうした微分形式の言葉を物理学でよく使われるベクトル解析の言葉に翻訳して互いに関連付けるため,スカラー場,ベクトル場etc.の再定義,およびそうした言葉の翻訳作業に必要な道具として場の関数に対するいくつかの演算の定義や,関連した記号と記法を導入したいと思います。

Ｕを３次元ユークリッド空間の開集合とし,物理学での一般的なベクトル場の表記Ｖ＝(Ｖ^x,Ｖ^y,Ｖ^z)に対応した数学としての幾何学的表記を多様体上の線形演算子の場,あるいは余接空間上のベクトル場の形式としてＶ≡Ｖ^x(∂/∂ｘ)＋Ｖ^y(∂/∂ｙ)＋Ｖ^z(∂/∂ｚ)で表わします。

そして,接空間上でのそれに双対(dual)なベクトル場としての微分形式をＶ^*≡Ｖ^xｄｘ＋Ｖ^yｄｙ＋Ｖ^zｄｚで表わすことにします。

さらに３次元ユークリッド空間においては,微分１形式:ｕ＝ｕ¹ｄｘ＋ｕ²ｄｙ＋ｕ³ｄｚに対して,*ｕを*ｕ≡ｕ¹ｄｙ∧ｄｚ＋ｕ²ｄｚ∧ｄｘ＋ｕ³ｄｘ∧ｄｙで,

微分２形式:ｖ≡ｖ²³ｄｙ∧ｄｚ＋ｖ³¹ｄｚ∧ｄｘ＋ｕ¹²ｄｘ∧ｄｙに対して*ｖを*ｖ≡ｖ²³ｄｘ＋ｖ³¹ｄｙ＋ｕ¹²ｄｚで,

そして微分３形式:ｗ≡ｆｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚに対して,*ｗを*ｗ≡ｆで定義する演算,

すなわち,ｎ次元ユークリッド空間のｋ次微分形式に対して,その左側に*印をつけることで(ｎ－ｋ)次微分形式を対応させる演算＝星印作用(star operation)を定義します。

このときの演算記号である*印を,この演算を始めた人の名を取ってホッジ作用素,あるいは星印(スター)作用素と呼びます。

上の記述では書きませんでしたが,特に0-形式,単なるスカラー関数ｇ(ｘ,ｙ,ｚ)に対しての*印演算は,*ｇ≡ｇｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚです。

そうして,これらの星印演算については一般に任意の微分形式ωに対して*(*ω)＝ωなる等式が成立します。

星印演算を用いると任意のスカラー場ｆの勾配:gradｆ＝∇ｆ＝(∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｙ,∂ｆ/∂ｚ),あるいは(∂ｆ/∂ｘ)(∂/∂ｘ)＋(∂ｆ/∂ｙ)(∂/∂ｙ)＋(∂ｆ/∂ｙ)(∂/∂ｚ)なる演算子表現に双対なベクトルの表現は,(gradｆ)^*＝(∂ｆ/∂ｘ)ｄｘ＋(∂ｆ/∂ｙ)ｄｙ＋(∂ｆ/∂ｙ)ｄｚとなります。

そこで,スカラー場ｆの勾配に関する等式として(gradｆ)^*＝ｄｆが得られます。

また,任意のベクトル場Ｖ＝(Ｖ^x,Ｖ^y,Ｖ^z)＝Ｖ^x(∂/∂ｘ)＋Ｖ^y(∂/∂ｙ)＋Ｖ^z(∂/∂ｚ)に対して,双対なものはＶ^*＝Ｖ^xｄｘ＋Ｖ^yｄｙ＋Ｖ^zｄｚなので,ｄ(Ｖ^*)＝(∂Ｖ^y/∂ｚ－∂Ｖ^z/∂ｙ)ｄｙ∧ｄｚ＋(∂Ｖ^x/∂ｚ－∂Ｖ^z/∂ｘ)ｄｚ∧ｄｘ＋(∂Ｖ^y/∂ｘ－∂Ｖ^x/∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙですから,ベクトル場Ｖの回転に関する等式として*{(rotＶ)^*}＝ｄ(Ｖ^*)が得られます。

さらに,*(Ｖ)^*＝Ｖ^xｄｙ∧ｄｚ＋Ｖ^yｄｚ∧ｄｘ＋Ｖ^zｄｘ∧ｄｙなのでｄ{*(Ｖ)^*}＝(∂Ｖ^x/∂ｘ＋∂Ｖ^y/∂ｙ＋∂Ｖ^z/∂ｚ)ｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚより,ベクトル場Ｖの発散に関する等式:*(divＶ)＝ｄ{*(Ｖ)^*}が得られます。

したがって,ポアンカレの補題:ｄ(ｄｆ)＝0 はｄ{(gradｆ)^*}＝0 となって,さらに,rot(gradｆ)＝0 となります。一方,ｄ{ｄ(Ｖ^*)}＝0 はｄ[*{(rotＶ)^*]＝0 となり,結局div(rotＶ)＝0 となります。

また,ストークスの定理∫_Ωｄω＝∫_∂Ωωによれば,ωを*(Ｗ)^*に採れば∫_Vｄ{*(Ｗ)^*}＝∫_S*(Ｗ)^*によって,∫_V(divＷ)ｄｘｄｙｄｚ＝∫_SＷｄＳをなる恒等式(identity)を得ます。これは物理ではガウスの法則と呼ばれています。

また,ωをＷ^*ととれば,∫_Sｄ(Ｗ^*)＝∫_C(Ｗ^*)によって,∫_S(rotＷ)ｄＳ＝∫_CＷｄｓなる等式を得ます。

物理学では,２次元曲面Ｓとその境界閉曲線Ｃに対するこの公式だけをストークスの法則と呼んでいます。

本当は,ここで終わりにするのがきれいな終わり方なのでしょうが,そもそも息抜きのついでにこの記事を書く気になったきっかけは,すぐ前の12月15日の記事「理想気体の圧力と気体分子運動論」にあります。

その中では積分形の運動方程式ｄ[∫_V1ｐｄＶ]/ｄｔ＝－∫_SＰｄＳの右辺が直感的に－∫_V1∇ＰｄＶと書き換えられて微分形の方程式ｄｐ/ｄｔ＝－∇Ｐになるとしたのですが,実は自分でもこの手順がすっきりしなくて,これの解決にホッジスのスター作用素が役立つのではないか？と考えたのが動機です。

そこで,私自身の問題意識としては,この問題をすっきりさせない限り,この記事を書くことには意味がありません。

しかし,ちょっと考えてみたところ,上に求めた公式では等式の両辺の積分値が全てスカラー量であるのに対し,∫_SＰｄＳ＝∫_V1∇ＰｄＶなる等式を証明する場合,この両辺の積分値はベクトル量ですから上で実施した手順に類似した推論を単純に適用することはできないことがわかります。

結局,両辺でのベクトルの成分ごとにそれぞれスカラー量として等式を導くほかはなさそうです。

実際,ω≡Ｐｄｙ∧ｄｚと置けば,ｄω＝(∂Ｐ/∂ｘ)ｄｘ∧ｄｙ∧ｄｚなので,ストークスの定理∫_Sω＝∫_V1ｄωは∫_SＰｄｙｄｚ＝∫_V1(∂Ｐ/∂ｘ)ｄＶとなります。

そして空間の一様性から直交座標系:Ｏ-ｘｙｚのｘ軸の向きはどのように取っても同じです。

さらに,(∂Ｐ/∂ｘ)は圧力Ｐの勾配ベクトル∇Ｐ＝gradＰの面ｄｙ∧ｄｚに垂直な軸成分ですが,∇Ｐ＝gradＰ自身も常に面ｄＳの法線ｎの向きを持ち,法線成分(∂Ｐ/∂ｎ)に等しい大きさを持つベクトルですから∫_SＰｄＳ＝∫_V1∇ＰｄＶが成立するのは明らかです。

ということで私自身の問題も解決したのでこれで終わります。

参考文献:深谷賢治 著「解析力学と微分形式」(岩波書店),木村利栄,菅野礼司著「微分形式による解析力学」(吉岡書店) 　

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解析接続の意味

例によって「ＥＭＡＮの物理学」の談話室での話題なのですが,ゼータ関数の定義に関連して,無限級数(の和)によって定義された関数の解析接続とか一致の定理というのは何か？についての議論が進み,ほぼ終局の状態です。

私自身はまだ言い足りないことがあったので,ここでの記事にしますが,実は投稿したものとほぼ同じです。

ダブルポストなので,通常はルール違反なのですが,自分のブログなのでかまわないでしょう。

それに掲示板ではフォントなどが限られているので,ブログでは自分の好きな形式で書けるという意味もあります。

　結局は,2006年４月23日の記事「くりこみ回避のアイデア」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/04/post_7d36.html

　で書いた話を少し精密にしただけです。

　私は,複素関数論での通常の解析接続の説明では飽き足らず,物理屋的な解説を目指しました。

　まず,ｚを任意の複素数とすると,Σ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)です。これは有限級数の和なので,|ｚ|＜1でも,ｚ＝－1でもｚ＝2でも成り立つ等式です。

　そして,|ｚ|＜1ならｎ→ ∞ で|ｚⁿ|→ 0 なので,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ)が成り立ちます。

　　しかし,ｚ＝2ではｎ→ ∞ で|ｚⁿ|→ ∞ であり,ｚ＝－1ではｎ→ ∞ でｚⁿが確定値を取らないので,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ) は成立しません。

　　そこで,複素関数ｆ(ｚ)を|ｚ|＜１で与えられる定義域においてｆ (ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...(|ｚ|＜１)によって定義することにします。

　こう定義すれば,|ｚ|＜１の領域では ｆ (ｚ)は関数１/(1－ｚ)に一致します。

　|ｚ|＞1やｚ＝－1では等式Σ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)は成立しますが,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ)は成立しません。

　しかし,そうした|ｚ|＜１の領域以外のｚに対しても部分和を表わす右辺の(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)での分子のｚⁿを無視して,(1－ｚⁿ)を１としたものと ｆ (ｚ)を同一視してｚ＝１を除く全複素平面でｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ) (ｚ≠1)と定義することにします。

　つまり,ｆ (ｚ)≡lim_ｎ→∞［{1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1}＋ｚⁿ/(1－ｚ)]という式を関数ｆ (ｚ)の正しい定義とするわけです。

　|ｚ|＜1なら,この後の定義も|ｚ|＜1 におけるｆ(ｚ)に対する前の定義ｆ(ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...(|ｚ|＜１)と全く一致します。

　一方,|ｚ|＞１やｚ＝－１では差し引くべき項:{－ｚⁿ/(1－ｚ)}は収束しません。

　特に|ｚ|＞1なら|ｚⁿ/(1－ｚ)|→∞ なので, ｆ (ｚ)≡lim_ｎ→∞［{1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1}＋ｚⁿ/(1－ｚ)]は形式的に無限大から無限大を引くという意味に取ることも可能で,これは物理学でのくりこみの処方に似ています。。

　ここまでは,直接には解析接続とは無関係な話です。

　そして複素関数論では ｆ (ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ) (|ｚ|＜1)を特異点ｚ＝１を避けて延長した点でも,それが正則関数になるように,|ｚ|≧1,ｚ≠１なる点まで接続すれば,一致の定理によってそうした点でも ｆ (ｚ)は１/(1－ｚ)に一致する場合しか有り得ないことがわかります。

　実際,ｚ＝－1＋αと置けばΣ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋・・＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)なる等式はｃ₀,ｃ₁,..,ｃ_n-1をある定数の複素係数としてΣ_k=1ⁿ(α－1)^k-1＝Σ_k=1ⁿｃ_k-1α^k-1＝{(α－1)ⁿ－1}/(α－2)と変形できます。

そして,|ｚ|＝|α－1|＞1なら右辺は,1/(1－ｚ)＝－1/(α－2)にはなりません。

　しかし一方,αの絶対値が十分小さいならｚ＝－1＋αの絶対値が１より大きくても,つまり|ｚ|＝|－1＋α|＞1でも ｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ)＝－1/(α－2)＝(1/2)/(1－α/2)＝(1/2)Σ_n=1^∞(α/2)^n-1＝(1/2)[1＋(α/2)＋(α/2)²＋...]＝(1/2)Σ_n=1^∞{(ｚ＋1)/2}^n-1＝(1/2)[1＋{(ｚ＋1)/2}＋{(ｚ＋1)/2}²＋...]とテイラー展開されます。

　つまり,ｚ＝0 のまわりでは|ｚ|＝|－1＋α|＞1なので, ｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ)はｚのべきでは展開できなくても,ｚ＝－1のまわりではα＝(ｚ＋1)の無限べき級数に展開可能ですから,ｆ (ｚ)は確かに|ｚ|＞1,ｚ≠１なる領域でも解析的です。

　また,一致の定理の内容というのは同じ点を中心としたテイラー級数の展開係数の一意性により,今の ｆ (ｚ)の場合,|ｚ|＜１ 以外の領域でも,その解析性(ベキ級数への展開可能性)を保持しながら ｆ (ｚ)を|ｚ|＜１から連続的に延長していったとき,もしも２通り以上の延長(接続)方法があったとしても,それらは一致するという定理です。

　このことから,解析接続する方法は一意的に決まります。

　今日は,短かいけれどこれで終わりです。

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    物理学

解の一意性のための必要十分条件(2)(岡村博氏による)

　前回からの続きです。前回の終わりでは解の一意性のための十分条件を拡張することによって,未知関数が１個の場合には一意性のための必要十分条件が得られる,という結論に到達しました。

　しかし,そうした条件,殊に必要条件の形式,および証明について,他にも取ることができるかどうかを改めて考えます。

　まず,先に到達した条件は形式的にはまだまだ拡張できることがすぐわかります。

　実際,関数φの連続性や微分可能性は仮定せず,ただｚ＝0,ｚ＞0 に応じてφ(ｘ,ｚ)＝0,φ(ｘ,ｚ)＞0 であり,さらにφ(ｘ,ｚ)は方程式ｄｚ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｚ)の解曲線に沿ってｘの非増加関数である,とのみ仮定しても一意性の十分条件となることは容易にわかります。

　そして,これが一意性の必要条件でもあることは,この場合はきわめて簡単に証明されます。

　実際,ｄｚ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｚ)の解が一意であるという条件でそのようなφを作るには便宜上ｆ(ｘ,ｚ)は領域{0≦ｘ≦ａ,－∞＜ｚ＜∞}にまで定義域が延長されていて,そこで連続かつ有界であるとし,φ(ｘ,ｚ)としては点(ｘ,ｚ)から左に出てくる全ての解ｚ(ｘ)に対する|ｚ(0)|の最小値をとればいいのです。

　こう取れば,ｚ＞0 に対してφ(ｘ,ｚ)＞0 となります。

　これは解ｚ＝ｚ(ｘ)の初期値ｚ(0)に関する半連続性とｚ＝ｚ(ｘ)の一意性の仮定によってわかります。

　すなわち,ｚ＞0 のときのφ(ｘ,ｚ)の値はｚ＞0 の(ｘ,ｚ)から左に出る(ｘ＞0 かつｚ＞0 の(ｘ,ｚ)を通る)解ｚ＝ｚ(ｘ)の初期値ｚ(0)に対して|ｚ(0)|で与えられるので,元々φ(ｘ,ｚ)＝|ｚ(0)|≧0 です。

　そして,解の一意性の仮定によって初期条件がｚ(0)＝0 の解,つまり原点(0,0)を通って右に出る解はｚ≡0 (ｘ軸)しかないという理由から,ｚ＞0 のときはφ(ｘ,ｚ)＝|ｚ(0)|＞0 となるしかないからです。

　そしてまた,φ(ｘ,ｚ(ｘ))がｘの非増加関数である,ことはφ(ｘ,ｚ(ｘ))≡|ｚ(0)|＝(一定)なので明らかです。

　しかし,これで得られた必要十分条件は先の条件と比較して,あまり意味のない一般化であると言えます。

　むしろ,先に与えた元々の条件ではφに連続微分可能という余計な性質を加えてはいますが,そのために非増加という性質は直接Ｄ_fφ≦0 というｆに関する不等式として表わされるという意味で幾分数学的なものとなっています。

　以上に述べた２種類の必要十分条件は未知関数が１個の場合に対するものですが,一般の連立方程式に対してはどうなるか？を考えます。

　第２の条件は,そのままｎ元連立方程式に拡張するのが容易です。ただｚの代わりに(ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_n)とし,ｚ＝0,ｚ＞0 をｎ次元ベクトルｚ＝(ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_n)のノルム|ｚ|を用いて|ｚ|＝0,|ｚ|＞0 と表現すればいいだけです。

　一方,第１の条件においても,一意性の十分条件としては,そのまま,連立方程式にまで拡張して成り立つことは明らかです。

　しかし,それが一意性の必要条件であることの１変数に対する上述の証明はｎ変数に拡張することが困難です。

　なぜなら,高次元では１つの積分φ＝Ｃは曲線ではないので,それをｄｚ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｚ)の積分として求めるわけにはいかないからです。

　つまり,ｎ変数の連立方程式では,条件に現われるφという連続微分可能な関数をいかにして獲得するかが問題になります。

　著者は,この問題について数年間,解決を求めて得られなかったけれども,あるとき(1940年1月1日)急に新しい理論を思いつき,それによって解の一意性が保証されている方程式に対して条件に合うφが存在することを証明することができた,と書いています。

　そして,このｎ元連立方程式の場合は特にｚ＝0 などという特別な値に頼る必要もなく,初期条件が任意のときに解が一意的に決まる条件として,先に連立方程式の場合の一意性の十分条件として与えた条件を採用し,その際に述べた(2ｎ＋1)変数の関数Φ＝Φ(ｘ,ｙ,ｚ)の存在の必要性が証明されるということで解決に至っています。

　以下ではｎ元連立方程式の場合の必要性の証明について述べます。

　まず,ｎ次元空間での曲線族Ωを考えます。∀Ｃ∈Ωは,区間Ｉ_Cで定義されたｎ個の微分可能な関数ｙ_i(ｘ)(ｉ＝1,2,..,ｎ) によって曲線の方程式ｙ_i＝ｙ_i(ｘ) (ｉ＝1,2,..,ｎ)で表わされるとします。

　そしてΩに属する曲線Ｃ上の(ｎ＋1)次元空間の点(ｘ,ｙ)の全ての集合をＥとし,Ｅ上の各点Ｐにおいて,Ｐを通るΩの曲線が２本以上あるとき,それらはＰで同じ方向を持っていてＰでお互いに接する,つまりｄｙ_i(ｘ)/ｄｘが一致するとします。

　そうすれば点集合Ｅの上でΩによって方向の場が決まるので,それを表わす微分方程式として,例えばｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)のようなものができます。

　しかし,Ωはその微分方程式の一般解,すなわち全ての解を与えるかどうかはわかりません。

　つまり,その微分方程式の解曲線でΩに属さないものがＥ上にあるかもしれないからです。そのような曲線が存在すればそれを包絡線と呼ぶことにします。

　そこで,与えられた微分方程式がペアノ点を持たないというのは,一般解をΩとするときにΩがＥを１重に覆い,Ωは包絡線を持たないということです。しかし一般のΩではそうとは言えません。

ところで,以下で我々はＥの任意の２点がΩに応ずる微分方程式の同一の解曲線上にあるための条件を論じます。

我々れの目的を考えて,今後Ωは次の仮定を満足するとします。

Ωの個々の曲線Ｃの定義域であるｘの区間Ｉ_C はＣ によらず一定であるとします。たとえば,Ｉ_C＝Ｉ(ａ≦ｘ≦ｂ)としＥは閉集合で,かつΩによって決まる方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)において右辺の関数Ｆ_i(ｘ,ｙ)はＥ上で連続かつ有界とします。

　次に,今後の理論に主要となる１つの関数:Ｄ(Ｐ,Ｑ)というものを,以下のように定義します。

　Ｅの任意の２点をＰ(ｘ^P,ｙ^P),Ｑ(ｘ^Q,ｙ^Q) (ｘ^P≦ｘ^Q )とします。

　そして区間[ｘ^P,ｘ^Q]を細分しｘ^P＝ξ₀≦ξ₁≦..≦ξ_k≦..≦ξ_ν＝ｘ^Qとして,Ωの１つの曲線Ｃ_k上でのξ_k-1≦ｘ≦ξ_k に対応する弧をＰ_kＱ_ｋ(左端をＰ_k,右端をＱ_ｋ；ｋ＝1,2,..,ν）とします。

　そして,これらの点Ｐ_k,Ｑ_ｋに対して和Ｓ≡|Ｑ₀Ｐ₁|＋|Ｑ₁Ｐ₂|＋..＋|Ｑ_ν-1Ｐ_ν|＋|Ｑ_νＰ_ν+1|を作ります。ただしＱ₀＝Ｐ,Ｐ_ν+1＝Ｑとし|Ｑ_kＰ_k+1|は平面ｘ＝ξ_k上における２点Ｑ_kとＰ_k+1の間の距離を表わしているものとします。

　点ＰとＱは固定し,それ以外すなわち区間[ｘ^P,ｘ^Q]を細分した分点ξ_ｋとその個数ν,およびその点を通るΩの曲線Ｃ_kについては,あらゆる取り方を許すものとしてＳの取ることが可能な全ての値の下限をＤ(Ｐ,Ｑ)で表わすことにするわけです。

　このとき,もちろんＤ(Ｐ,Ｑ)≧0 です。そしてｘ^P＝ｘ^Q なら明らかにＤ(Ｐ,Ｑ)＝|ＰＱ|です。このように定義されたＤ(Ｐ,Ｑ)について次の定理が成立します。

(ａ) ２点Ｐ,Ｑ(ｘ^P≦ｘ^Q)がＥ上で方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)の同一の解曲線上にあればＤ(Ｐ,Ｑ)＝0 である。

(ｂ)Ｅの２点Ｐ,Ｑ(ｘ^P≦ｘ^Q)に対してＤ(Ｐ,Ｑ)＝0 なら,２点Ｐ,ＱはＥ上で方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)の同一の解曲線上にある。

　まず(ａ)を証明します。

　Ｐ,Ｑが共にその上にある解曲線をΓとしξ_k-1＝ｘ^P＋(ｋ－1)(ｘ^Q－ｘ^P)/ν (ｋ＝1,2,..,ν,ν＋1)に応じたΓ上の点をＰ_kとします。

　そしてＰ_kを通る解曲線の１つをＣ_kとして,和Ｓ≡|Ｑ₀Ｐ₁|＋|Ｑ₁Ｐ₂|＋..＋|Ｑ_ν-1Ｐ_ν|＋|Ｑ_νＰ_ν+1|を作れば,これはν→ ∞ のとき,Ｓ→ 0 を満たします。

なぜなら,Ｆ_iは有界なので|Ｆ_i|≦Ｍとすれば,ξ_k-1≦ｘ≦ξ_kに応ずるΓ上の点Ｐ_k,Ｐ_k+1もＣ_k上の点Ｑ_kも,全てＰ_kから[(ｘ^Q－ｘ^P)/ν](1＋ｎＭ²)^1/2以下の距離にあり,もちろんν→∞ でゼロになります。

一方、Ｐ_k+1とＱ_kは同じ座標ｘ＝ξ_kに対応するΓの上とＣ_kの上の点であってＰ_k+1,Ｑ_kの座標をそれぞれＰ_k+1＝(ξ_k,ζ_k),Ｑ_k＝(ξ_k,η_k)とすれば,|Ｑ_kＰ_k+1|＝|ζ_ｋ－η_ｋ|です。

このとき,Ｐ_kの座標は(ξ_k-1,ζ_k-1)であって,たった今述べたようにν→ ∞ のとき|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|≦[(ｘ^Q－ｘ^P)/ν](1＋ｎＭ²)^1/2→ 0 となります。

(またξ_k＝ξ_k-1＋(ｘ^Q－ｘ^P)/νも成立しています。)

ところが,ξ_k-1≦ｘ≦ξ_kにあるΓとその近傍Ｃ_kでのＦ_iの連続性によってＦ_iはΓの近傍で一様連続です。

よって,任意にε＞0 を与えると,それに対しあるδ＞0 が存在して,|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|≦δならξ_k-1≦ｘ≦ξ_kのｘに対して|Ｆ_i(ｘ,ｙ)－Ｆ_i(ξ_k-1,ζ_k-1)|≦ε/2が成り立つようにできます。

すなわち,Γ上のＰ_kＰ_k+1とＣ_k上のＰ_kＱ_kの両方で,その曲線の傾きＦ_i(ｘ,ｙ)が [Ｆ_i(ξ_k-1,ζ_k-1)－ε/2]≦Ｆ_i(ｘ,ｙ)≦[Ｆ_i(ξ_k-1,ζ_k-1)＋ε/2]の範囲内にあることになります。

それゆえ,|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|≦δなら|Ｑ_kＰ_k+1|＝|ζ_ｋ－η_ｋ|≦ε[(ｘ^Q－ｘ^P)/ν]ですからＳ＝Σ_k|ζ_k－η_k|≦ε(ｘ^Q－ｘ^P)です。

したがって,ν→ ∞ のとき,|Ｐ_kＰ_k+1|,|Ｐ_kＱ_k|→ 0 なのでν→ ∞ のとき,Ｓ → 0 が成立します。

次に(ｂ)を証明します。

ｘ^P＝ｘ^Q ならＤ(Ｐ,Ｑ)＝|ＰＱ|ですから,Ｄ(Ｐ,Ｑ)＝0 はＰとＱとが一致することを意味し,ＰとＱは同じ解曲線上にあるのは自明です。

そこで,以下では,ｘ^P＜ｘ^Qとします。

そして,このときＤ(Ｐ,Ｑ)の定義においても,ξ_k-1＜ξ_k (ξ_k-1≠ξ_k)と仮定してもかまわないのでそうします。 

仮定によって,Ｓの列{Ｓ^(μ)}_μ＝1,2,..が存在してμ→∞ に対してＳ^(μ)→ 0 です。ただしＳ^(μ)＝Σ_k|Ｑ_k^(μ)Ｐ_k+1^(μ)|です。

そしてｘ^P≦ｘ≦ｘ^Qなるｘに対して,関数Ｙ_i^(μ)(ｘ)を次のように定義します：ｙ_i＝Ｙ_i^(μ)(ｘ)はｘ＝ｘ^PではＰを,ｘ＝ｘ^QではＱを与えｘ^P＜ｘ＜ｘ^Q なるｘでは各区間ξ_k-1^(μ)＜ｘ＜ξ_k^(μ)に対してΩの曲線Ｃ_kを与えるものとします。

このｙ_i＝Ｙ_i^(μ)(ｘ)は不連続であるとしても,それはせいぜい点ｘ＝ξ_k^(μ)(ｋ＝1,2,..,ν)においてのみですからσ_i^(μ)(ｘ)を不連続点における全ての正負の飛躍の代数和とすれば,Ｙ_i^(μ)(ｘ)－σ_i^(μ)(ｘ)は区間ｘ^P≦ｘ≦ｘ^Q で連続であり,明らかに|σ_i^(μ)(ｘ)|≦Ｓ^(μ) (ｘ^P≦ｘ≦ｘ^Q)です。

ｙ_i＝Ｙ_i^(μ)(ｘ)はｘ＝ξ_k^(μ)(ｋ＝1,2,..,ν)以外ではｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の解ですから,Ｙ_i^(μ)(ｘ)－σ_i^(μ)(ｘ)＝Ｙ_i^(μ)(ｘ^P)－σ_i^(μ)(ｘ^P)＋∫_ｘP^ｘＦ_i(ｔ,Ｙ ^(μ)(ｔ))ｄｔです。

ところがＦ_iが有界なので{Ｙ_i^(μ)(ｘ)－σ_i^(μ)(ｘ)}_μ＝1,2,..は一様有界,同等連続であり,したがってアスコリ・アルツェラの定理によって一様収束する部分列を持ちます。

|σ_i^(μ)(ｘ)|≦Ｓ^(μ)でＳ^(μ)→ 0 (μ→∞)ですから,この部分列の極限をＹ_i(ｘ)とすると,極限においてＹ_i(ｘ)＝Ｙ_i(ｘ^P)＋∫_ｘP^ｘＦ_i(ｔ,Ｙ(ｔ))ｄｔが得られます。

これによって,ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の解曲線ｙ_i＝Ｙ_i(ｘ)が２点Ｐ,Ｑを通ることがわかり,Ｅは閉集合なので,それはＥ上にあります。(以上証明終わり)

ここで,Ｄ(Ｐ,Ｑ)を定義するための和:ＳをＳ_PQと書くことにし,Ｐ,Ｑ,ＲをＥの３点でｘ^P≦ｘ^Q≦ｘ^R とすれば,Ｓ_PQ＋Ｓ_QRは１つのＳ_PRを構成するので,下限を取ることでinfＳ_PR≦infＳ_PQ＋infＳ_QRを得ます。

すなわち,一般にＤ(Ｐ,Ｒ)≦Ｄ(Ｐ,Ｑ)＋Ｄ(Ｑ,Ｒ)が成立します。

このことから,Ｄ(Ｐ,Ｑ)はＰを固定して点Ｑがｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の１つの解曲線に沿って動くとき,Ｑのｘ座標ｘ＝ｘ^Qの関数と見てｘの１つの非増加関数です。

そして,一般的に成り立つ不等式:Ｄ(Ｐ,Ｒ)≦Ｄ(Ｐ,Ｑ)＋Ｄ(Ｑ,Ｒ)において,特にｘ^Q ＝ｘ^RとすればＤ(Ｑ,Ｒ)＝|ＱＲ|なので,|Ｄ(Ｐ,Ｑ)－Ｄ(Ｐ,Ｒ)|≦|ＱＲ|＝|ｙ^Q－ｙ^R|と書くことができます。

それ故,Ｐを固定したとき,Ｄ(Ｐ,Ｑ)はＱの座標(ｘ^Q,ｙ^Q)の関数と見てリプシッツ条件を満足することがわかります。

さらに,Ｄ(Ｐ,Ｑ)は点Ｑの座標(ｘ^Q,ｙ^Q)の関数と見て連続であることもいえるのですが,長くなるのでこれの証明は割愛します。

かくして,"方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,..,ｎ)においてＦ_i(ｘ,ｙ)は領域Ｅ＝{0≦ｘ≦ａ,－∞≦ｙ_i≦∞ (ｉ＝1,2,..,ｎ)}で連続かつ有界とし,この方程式の原点Ｏ(ｘ＝ｙ₁＝ｙ₂＝..＝ｙ_n＝0)から右に出る解は一意的に決まり,それはｘ軸(ｙ_i≡0)である。したがってもちろんＦ_i(ｘ,0)＝0 である。"という前提が成立しているとき,次の命題が成り立ちます。

"Ｅにおけるｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の全ての解曲線は全区間 0≦ｘ≦ａまで延長される。この解曲線の族をΩとする。

そして,このときＰ＝(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)として関数φ(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,．．,ｙ_n)＝φ(Ｐ)≡Ｄ(Ｏ,Ｐ)を作ると,φ(Ｐ)はＯから出てくる解の一意性の仮定によってＰがｘ 軸上にあるときにのみφ(Ｐ)＝0 を満たし,それ以外ではφ(Ｐ)＞0 となる。

さらにφ(Ｐ)＝Ｄ(Ｏ,Ｐ)は１つの解曲線の上で非増加関数,かつ連続関数であり,しかもリプシッツ条件をも満たす。"

ということになります。

そして,リプシッツ条件を満たすということはＤ⁺φ(ｘ,ｙ(ｘ))≡limsup_h→0[{φ(ｘ＋ｈ,ｙ(ｘ＋ｈ))－φ(ｘ,ｙ(ｘ))}/ｈ]が,その点におけるｙ_i(ｘ)の方向比ｄｙ_i/ｄｘのみから完全に確定することを意味します。

実際,２曲線ｙ_i＝ｙ_i(ｘ),ｙ_i＝ｚ_i(ｘ)に対して,考えている点ｘでｙ_i(ｘ)＝ｚ_i(ｘ)はもちろん,ｄｙ_i/ｄｘ＝ｄｚ_i/ｄｘも成立しているとすると,そのｘにおいて(ｄ/ｄｘ){φ(ｘ,ｙ(ｘ))－φ(ｘ,ｚ(ｘ))}＝0 ,つまり,そのｘの近傍で恒等的にφ(ｘ,ｙ(ｘ))＝φ(ｘ,ｚ(ｘ))が成り立つことが,リプシッツ条件から従う,ことになるからです。

そこで,Ｄ⁺φは(ｘ,ｙ)における方向比Ｆ_i(ｘ,y)に対して決まり,かくしてφが解曲線に沿ってｘの非増加関数であるということはＤ⁺φ≦0 に置き換えられます。

この不等式は方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)に対してその解ｙに依存することなく,単にＦ_iに関する条件となっています。

これらを総合して,方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)に関する条件が得られましたが,この条件は解の一意性のための必要条件であり,しかも十分条件でもあることがわかります。

上記の関数φと性質が同じで連続微分可能なものは,いわゆる積分平均の方法などで作ることが可能です。

そのとき条件Ｄ⁺φ≦0 は,Ｄ_Fφ≡∂φ/∂ｘ＋Σ_i (∂φ/∂ｙ_i)Ｆ_i≦0 になります。

あとは必要十分条件のもう１つの表現,つまり別の関数Φ(ｘ,ｙ,ｚ)による表現を明確に証明するのみです。

"方程式ｄｙ_i/ｄｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)の右辺の関数Ｆ_i(ｘ,ｙ)は,ある領域Ｄで連続とし,Ｄの各点(ｘ,ｙ)から右に出る方程式の解が一意的に決まるとき,Ｄの内部の任意の点に対しその近傍Ｖ上の２点(ｘ,ｙ),(ｘ,ｚ)について定義され,以下の性質を満たす関数Φ(ｘ,ｙ,ｚ)が存在する。

Φは連続微分可能,かつ,|ｙ－ｚ｜＝0 ならΦ(ｘ,ｙ,ｚ)＝0 ,|ｙ－ｚ｜＞0 ならΦ(ｘ,ｙ,ｚ)＞0 を満たし,さらにＤ_FΦ≡∂Φ/∂ｘ＋Σ_i(∂Φ/∂ｙ_i)Ｆ_i(ｘ,ｙ)＋Σ_j(∂Φ/∂ｚ_j)Ｆ_j(ｘ,ｚ)≦0 という不等式を実現する。"というものです。

これは,点Ｐ,Ｑ,...を座標が(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n,ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_n)などで与えられる(2ｎ＋1)次元空間の点であると見なして,前と同じように関数Ｄ(Ｐ,Ｑ)を定義し,φ(Ｑ)=φ(ｘ,ｙ,ｚ)≡inf_Ｐ∈ＥＤ(Ｐ,Ｑ)とおくことから出発して最終的に連続微分可能で条件を満たすΦ(ｘ,ｙ,ｚ)の存在を証明する,というプロセスです。

そこで,これを具体的に述べればいい,ということになりますが,まあ,本質的な部分ではないと思うので,これを割愛し,この項についてはここで終わりにします。

しかし,昔からある程度の知見があって既に何度も考えたことのあるトピックについて書くのとは異なり,ちょっと本屋で買った書物を読んだだけでそれを理解してその解説をブログに書くには,それを読んだり理解したりする時間も必要なので,いくら暇だからといって四六時中ブログを書くという作業だけやっているというわけにもいきませんね。

参考文献：岡村博 著「微分方程式序説」(共立出版)

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    物理学

解の一意性のための必要十分条件(1)(岡村博氏による)

　2006年12月6日のブログ記事「常微分方程式の解の存在定理①(アスコリの定理)」において、次のような記事を書きました。それは以下のような前置きで始まっています。 

常微分方程式の解の存在定理について何回かに分けて述べてみたいと思います。ただし,解の存在定理のみであり,いわゆる通常の教科書に載っているリプシッツ条件を仮定した解の存在と一意性の定理ではありません。

リプシッツ条件は解の一意性の十分条件ですが,かつて日本人 岡村博氏により解の一意性の必要十分条件が発見されたことは有名です。

これの内容については読んだことはありませんが.岡村博 著「微分方程式序説」に掲載されていると思います。(最近,復刻されたようで新装版が神田神保町の三省堂書店5階にありました。)　 

　そこで,まずペアノの存在定理でもいいのですが,その代わりにオイラー・コーシーの逐次近似法(折れ線法)による存在定理を証明しようと考えたのでそれを述べたいと思います。

　というのが既に記載した記事の書き出しでした。

　ここでオイラー・コーシーの逐次近似法,あるいはピカールの逐次近似法というのは,その存在を証明したい解の定義域である独立変数 ｘ の区間を多くの小区間に分割して,各小区間では正規形の１階常微分方程式d ｙ/ｄ ｘ ＝ ｆ (ｘ ,ｙ) の右辺＝傾きが一定値であると近似した折れ線近似解によるものです。

　結局,この近似において,この区間分割の細分の極限として得られる連続曲線が元の微分方程式の厳密な解になっていることを示すことにより,解の存在を証明する方法ですが,内容的にはペアノの存在定理と変わりありません。

　そして,この記事の前置き以下では,存在定理の証明に必要な補助定理である"ある区間で一様有界で同等連続な関数の集合が,その区間で一様収束する関数列を含む"という内容のアスコリ・アルツェラの定理を証明しています。 

そして続く2006年12月7日のブログ記事「常微分方程式の解の存在定理②」において解の存在定理の証明が完了しています。 

ところで,先日神保町の古書店で岡村博 著「微分方程式序説」(共立出版)を入手したので,著者自身の手による解の一意性の必要十分条件の導出と証明を私なりに把握したものを、ここで紹介したいと思います。

この本は76ページまでの1～5章が従来の解の存在と一意性の定理やペアノによる存在定理の解説に費やされており,77ページから100ページまでの第6章,わずか24ページが解の一意性についての従来の研究と著者自身の独自の研究成果に割かれていました。 

彼＝著者(岡村博氏)が対象としている微分方程式は最初から１個の独立変数 ｘ に対してｎ個の未知関数 ｙ_i(ｘ)を求める連立ｎ元１階常微分方程式系であり,その一般形が正規形 ｄ ｙ_i/ｄ ｘ ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,．．,ｙ_n)(ｉ＝1,2,．．,ｎ)で与えられるものです。

ただし,(ｎ＋1)次元のベクトル(ｘ,ｙ₁,ｙ₂,..,ｙ_n)を単に(ｘ,ｙ)と書いてｄ ｙ_i/ｄ ｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)という表記も用いています。

もっとも未知関数が有限個である限り,解の存在定理の証明は未知関数が１個 (ｎ＝1)の場合の単なる直線的な拡張なので気にする必要はないと思います。 

通常,標準的教科書に載っている解の存在と一意性の定理はコーシー・リプシッツの方法と呼ばれるものです。 

これは微分方程式が正規形 ｄ ｙ_i/ｄ ｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ) (ｉ＝1,2,...,ｎ)で与えられているとき,(ｎ＋1)次元空間のある領域で(ｘ,ｙ)について右辺の関数Ｆ_i(ｘ,ｙ)が連続で,かつこの領域に属する2点 (ｘ,ｙ),(ｘ,ｚ)に対してリプシッツ条件という解の一意性のための十分条件|Ｆ_i(ｘ,ｙ)－Ｆ_i(ｘ,ｚ)|≦Ｌ|ｙ－ｚ|(Ｌ＞0 はある定数)を満足するという前提に立っています。

そして,与えられた領域の各点(ｘ ₀,ｙ ₀)≡(ｘ ₀,ｙ ₁₀,ｙ ₂₀,..,ｙ _n0)に対し,ｙ _i(ｘ)＝ ｙ _i0＋∫_x0^x Ｆ_i(ｘ ,ｙ(ｘ))ｄｘ という形式的に微分方程式の両辺を積分しただけの等式において,右辺の被積分関数の中の ｙ(ｘ)に最初は ｙ₀ を代入し,結果として左辺に得られる近似解を再び右辺の ｙ(ｘ)に代入するという操作を繰り返します。

これによって得られる逐次近似解の関数列が,初期条件 ｙ_i(ｘ ₀)＝ｙ _i0を満足する唯一の極限関数に一様収束することを示し,結局はその極限関数が ｄ ｙ_i/ｄ ｘ ＝ Ｆ_i(ｘ,ｙ)の一意的な解であることを証明します。 

ただし,リプシッツ条件|Ｆ_i(ｘ,ｙ)－Ｆ_i(ｘ,ｚ)|≦Ｌ|ｙ－ｚ|の左辺の|  |は単なる絶対値ですが,右辺の|  |はｎ次元空間での (ｙ－ｚ)のノルムを示しており,このノルムは ｎ＝１の場合には絶対値に一致するように定義されています。 

リプシッツ条件は,例えば対象とする領域で Ｆ_i(ｘ,ｙ)が ｙ_jについて連続偏微分可能,つまり偏導関数(∂Ｆ_i/∂ｙ_j)(ｉ,ｊ＝1,2,．．,ｎ )が存在して,全てが (ｘ,ｙ)について連続なら満足されます。

それ故,Ｆ_i(ｘ,ｙ)の連続性の他に,リプシッツ条件の代わりに Ｆ_iが ｙ_jで連続偏微分可能という条件を加えた場合にも,解の存在と一意性は成立します。 

ところが,ペアノ(Peano)は右辺の関数 Ｆ_i(ｘ,ｙ)の連続性のみを仮定して,微分方程式の解の存在を証明しました。

ただし,この連続という仮定だけでは一般に解の一意性は成立しません。 

例えば,ｎ＝１の常微分方程式:ｄ ｙ/ｄ ｘ＝ 3ｙ ^2/3においては,右辺は ｙ≧0 の領域で連続ですが,ｙ＝0 の近傍ではリプシッツ条件を満足しません。

そして,これは一般解として曲線族 ｙ＝(ｘ＋Ｃ)³を持つと同時に, ｙ＝0 という特異解を持ちます。 

したがって,ｘ 軸(ｙ＝0)上の各点 (－Ｃ,0)において,これを通る解として,常に ｙ＝0 と ｙ＝(ｘ＋Ｃ)³の２つが存在するので,初期条件 ｙ(0)＝－Ｃ を満足する解は存在するのですが一意的ではありません。

２つの解は,点(－Ｃ,0)で ｄ ｙ/ｄ ｘ が共通なので接線を共有することになります。すなわち,特異解 ｙ＝0 (ｘ軸)は一般解ｙ＝(ｘ＋Ｃ)³の包絡線と呼ばれる曲線を表わしています。 

こうした初期条件を満足する解が一意的に決まらないような初期値に対応する点,今の場合 ｘ 軸上の全ての点(－Ｃ,0)をペアノ点と呼びます。 

リプシッツ条件は解の一意性の十分条件であり,必要十分条件ではありません。そこで,もっとゆるやかな条件で解の一意性の必要かつ十分な条件を模索する試みがなされました。

ペアノの証明 の後に,オズグッド(Osgood)(1898)によって提出された方程式ｄ ｙ/ｄ ｘ＝Ｆ(ｘ,ｙ)に対する解の一意性の十分条件は,|Ｆ(ｘ,ｙ)－Ｆ(ｘ,ｚ)|≦φ(|ｙ－ｚ|)という条件です。

ただし,φ(ｕ)は ｕ＞0 のとき正となる連続関数で∫₀^u ｄ ｕ /φ(ｕ)＝∞(ｕ ＞0)となるものです。 

トネリ(Tonelli)(1925)による条件は,これをさらに拡張して|Ｆ(ｘ,ｙ)－Ｆ(ｘ,ｚ)|≦Ａ(ｘ)φ(|ｙ－ｚ|)というものです。

ここで,関数Φに関しては上と同様で Ａ は正の関数で対象としている ｘ の区間でルベーグの意味で積分が有限なものです。 

その頃,吉江(1925)は解の一意性のための１つの必要十分条件を与えています。これは注目に値しますが,それは古典的な一般理論の単なる総合に留まり,それとは別にその後も解の一意性の十分条件は種々に拡張されたものが発表されてゆきました。 

日本では南雲(1926),清水・福原・弥永(1928)ら,さらに稲葉三男(1929),南雲(1930),福原の総合報告(1932)等が発表されましたが,ここで、はじめて変数の変換を利用する,という考え方が現われてきました。 

つまり,方程式 ｄ ｙ/ｄ ｘ ＝ Ｆ(ｘ,ｙ)において例えば ｙ＝φ(ｘ,ｚ)で 未知変数 ｙ を ｚ に変数変換したとき方程式が ｄ ｚ/ｄ ｘ ＝ ｆ (ｘ,ｚ)となり,ｆ (ｘ,ｚ)は領域 Ｄ＝{0≦ ｘ ≦ａ, 0≦ ｚ ≦ｂ}で連続になるようにできるとします。 

そして,このときこの方程式は(ｘ.ｚ)＝(0,0)を通って右側 ｘ ≧0 の領域へと出て行く解の１つとして,ｚ ≡0 (ｘ 軸)を有するとします。

ｚ ≡0 が解なので,当然ながら ｆ (ｘ,0)＝ 0 ですが,さらに ｙ＝φ(ｘ,ｚ)となるφ(ｘ,ｚ)が実際に存在して,これが条件:"ｚ＝0 なら φ(ｘ,ｚ)＝0;ｚ＞0 なら φ(ｘ,ｚ)＞0,および Ｄ_fφ≡∂φ/∂ｘ＋(∂φ/∂ｚ) ｆ (ｘ,ｚ)≦0 "を満足するとします。

このときＤ上で原点から右側 ｘ ≧0 に出る解はｚ＝0 しか存在しない,という定理が成り立ちます。 

これは, ｚ＝0 なら φ(ｘ ,ｚ)＝0 という仮定があるので解 ｚ≡0 は ｙ≡φ(ｘ ,0)≡0 に一致しますが,Ｄ_fφ＝ ｄ ｙ/ｄ ｘ ＝Ｆ(ｘ ,ｙ)≦ 0 なので ｙ＝φ(ｘ,ｚ)は１変数 x のみの関数として非増加関数でもあります。 

初期条件によって ,ｘ＝0 では ｙ＝0 ですから,ｄ ｙ/ｄ ｘ ≦0より,ｘ ≧0 では ｙ＝φ(ｘ,ｚ)≦0　です。

ところが,同じく仮定により ｚ ＞0 なら φ(ｘ,ｚ)＞0 (そして ｚ＜0 なら φ(ｘ,ｚ)＜0 なのですが,今の場合は定義域が ｚ ≧0 に限られているので ｚ＜0は考慮する必要はありません。)ですから,φ(ｘ,ｚ)≦0というのはｚ＝0 を意味することになり,ｘ ≧0 では解はただ1つ ｚ＝0 しか存在できないわけです。

したがって,この仮定が解の一意性のための十分条件になっていることが示されたわけです。 

　ここで φ は全く一般の変換を表わしていますから,この定理はφを適当にとり連続性の仮定などをゆるめることによって,既に得られているさまざまな周知の条件や,その他ほとんど全ての解の一意性のための十分条件を変数変換の結果として表わすものであろうと思われます。 

　ここで,この定理を未知関数が ｎ 個の方程式 ｄ ｙ_i/ｄ ｘ＝Ｆ_i(ｘ,ｙ)(ｉ＝1,2,...,ｎ)の解である一般の場合に拡張して上で述べた解の一意性のための十分条件の ｎ 変数に対する命題を書き下しておきます。 

方程式の右辺の関数 Ｆ_iが、ある(ｎ＋1)次元の領域 Ｄで定義されているとし,Ｄ の任意の点に対してその点のまわりにある近傍 Ｖ が存在するとして,Ｖ の２点 (ｘ ,ｙ)と (ｘ ,ｚ)に対して,それらから決まる(2ｎ＋1)次元の点(ｘ ,ｙ,ｚ)から成る領域を Ｗ とします。 

"Ｗ で定義された連続微分可能な関数Φ(ｘ ,ｙ,ｚ)があって,ΦやＦ_iの定義域では常に |ｙ－ｚ|＝0 ならΦ(ｘ ,ｙ,ｚ)＝0;|ｙ－ｚ|＞0 なら Φ(ｘ ,ｙ,ｚ)＞0 ,かつＤ _FΦ≡∂Φ/∂ｘ＋Σ_i(∂Φ/∂ｙ_i)Ｆ_i(ｘ ,ｙ)＋Σ_j(∂Φ/∂ｚ_j)Ｆ_j(ｘ ,ｚ)≦0 が成立する。"とすれば,この条件が ｄ ｙ_i/ｄ ｘ＝Ｆ_i(ｘ ,ｙ)の解曲線はＤの各点 (ｘ ₀,ｙ ₀)から右 (ｘ ≧ｘ ₀)に向かってもし存在すれば一意的である,という解の一意性のための十分条件になっていることがわかります。 

　つまり,解が存在したとしてそれを ｙ_i＝ｙ_i(ｘ),および ｙ_i＝ｚ_i(ｘ)とすれば ｙ_i(ｘ ₀)＝ｚ_i(ｘ ₀)＝ｙ_i0で,関数φ(ｘ)をφ(ｘ)≡Φ(ｘ ,ｙ(ｘ),ｚ(ｘ))と置けばｄφ(ｘ)/ｄ ｘ＝Ｄ _FΦ(ｘ ,ｙ,ｚ)|_{y=y(x),z=z(x)}≦0 より,φ(ｘ)は非増加関数です。

　|ｙ－ｚ|＝0 ならΦ(ｘ ,ｙ,ｚ)＝0 ,ｙ_i(ｘ ₀)＝ｚ_i(ｘ ₀)＝ ｙ_i0 より,φ(ｘ ₀)＝Φ(ｘ ₀,ｙ(ｘ ₀),ｚ(ｘ ₀))＝0 ですから,ｘ ≧ ｘ ₀ではφ(ｘ)≦ 0 です。

　しかし,φ(ｘ)≡Φ(ｘ ,ｙ(ｘ),ｚ(ｘ))であって |ｙ－ｚ|＞0 なら Φ(ｘ ,ｙ,ｚ)＞0 ですから φ(ｘ)＝0 でしか有り得ないので ｙ_i(ｘ)＝ｚ_i(ｘ)(ｘ ≧ ｘ ₀)となるしかないということから解の一意性が言えるわけです。 

　そして,この定理で Ｄ _ＦΦ≦0 だけを逆の不等式 Ｄ _ＦΦ≧0 に置き換えれば,ｘ＝ｘ ₀の左側 ｘ ≦ｘ ₀ への一意性の十分条件となりますから,これらを合わせると左右両方への一意性の十分条件が得られます。 

そうして,先に述べた１変数に関する十分条件は,これの ｎ ＝1の場合に相当しています。そして,これが実は必要条件でもあるとしたら,それはどういう意味であるかと考えると解が一意的な微分方程式ならそれらは全てこのような条件を満たすということになります。 

　それ故,これを示す大体の方針を述べてみます。 

　すなわち,ｄ ｚ/ｄ ｘ＝ ｆ (ｘ,ｚ)において ｆ (ｘ,ｚ)は Ｄ で連続で ｆ (ｘ,0)＝0 かつ,Ｄ 上で原点から右に出る解は ｚ＝0 だけしかないとします。

　これに対して、先の条件を満たすような関数φが少なくとも１つ取れるということを,実際にφをつくることによって示せばいいわけです。 

　そのために曲線族φ＝Ｃ を方程式 ｄ ｚ/ｄ ｘ ＝ ｇ(ｘ,ｚ)の積分として求めます。ここで, ｇ(ｘ,ｚ)は{0≦ ｘ ≦ａ,ｚ ≧0}で連続,かつ ｚ ＞ 0 で連続微分可能で ｇ(ｘ,0)＝0 ,かつ ｇ(ｘ,ｚ)≧ ｆ (ｘ,ｚ)と なり,しかも ｄ ｚ/ｄ ｘ ＝ ｇ(ｘ,ｚ)はｘ 軸 ： ｚ＝0 上にもペアノ点を持たないとします。 

　こうした ｇ は一種の補間法によって作られます。その際に ｄ ｚ/ｄ ｘ ＝ ｆ (ｘ,ｚ)の解が ｚ ＝0 のところで ｘ ＝0 での初期値 ｚ(0)に関して連続であることが重要ですが,これは一意解を持つという仮定から従います。

　そしてφ(ｘ,ｚ) (ｚ ＞0 )の連続微分可能性は ｇ のそれから従います。さらに φ(ｘ,0)＝0 ,かつ∂φ/∂ｚ＞ 0 (ｚ ＞ 0)と取ることができることも容易にわかります。 

そうするとＤ_gφ＝0 と ｇ ≧ ｆ  によって Ｄ_fφ≦0 が得られます。z ＝0 で  ∂φ/∂ｘ,∂φ/∂ｚ が連続であるようにとれることも証明できます。 

今日はここまでとします。 

参考文献：岡村博 著「微分方程式序説」(共立出版)

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ベキ級数解の存在(コワレフスカヤの優級数)(3)

補助定理の証明がすべて終わったので,いよいよ"正則解＝ベキ級数解"の存在定理を証明します。

　まず,定理の再掲です。

　"１階常微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の右辺が,あるＲ₁,Ｒ₂より大きい関連収束半径を持ってベキ級数に展開できる,つまりｆ(ｘ,ｙ)＝Σａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qと書けて,右辺が|ｘ－ｘ₀|≦Ｒ₁,かつ|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂で絶対収束するものとする。

　このとき,初期条件:ｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満足し,ｘ＝ｘ₀の近傍で,(ｘ－ｘ₀)のベキ級数に展開可能な解が一意的に存在する。"

　以下に証明を与えます。

　補助定理１により,ｄｙ/ｄｘ＝Σａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qの右辺の級数は|ｘ－ｘ₀|≦Ｒ₁,かつ|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂において絶対かつ一様に収束します。

　したがって,補助定理２からｆ(ｘ,ｙ)＝Σａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qはこの閉領域でｘ,ｙに関し無限回項別偏微分可能であって,ａ_pq＝{1/(ｐ!ｑ!)}{∂^p+q/(∂ｘ^p∂ｙ^q)}ｆ(ｘ,ｙ)|_x=x0,y=y0と表わされます。

　そこで,仮にｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)＝Σａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qのベキ級数解でｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀ を満たすものが存在して,ある正の数ρ≦Ｒ₁に対して|ｘ－ｘ₀|＜ρで収束し,その範囲で|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂を満足するものとすると,その解ｙ(ｘ)は広義一様収束するので,ｘに関して無限回項別微分可能です。

　したがって,そうしたｙ(ｘ)が存在するならば,それはｙ"＝{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ}＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}ｙ',ｙ⁽³⁾＝{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ²}＋2{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘ∂ｙ)}ｙ'＋{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ²}ｙ'²＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}ｙ",...(|ｘ－ｘ₀|＜ρ)をも満足するはずです。

　そこで,今一連の定数の組をｙ₀'≡ｆ(ｘ₀,ｙ₀),ｙ₀"≡{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ}|_x=x0,y=y0＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|_x=x0,y=y0ｙ₀',ｙ₀⁽³⁾≡{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｘ²}|_x=x0,y=y0＋2{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘ∂ｙ)|_x=x0,y=y0}ｙ₀'＋{∂²ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ²}|_x=x0,y=y0ｙ₀'²＋{∂ｆ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|_x=x0,y=y0ｙ₀",...と定義していきます。

　ｙ₀',ｙ₀",...,ｙ₀^(n-1)までが定義されれば,ｙ₀⁽ⁿ⁾は∂^i+jｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘⁱ∂ｙ^j)}|_x=x0,y=y0(0≦ｉ,ｊ≦ｎ－1),およびｙ₀',ｙ₀",．．ｙ₀^(n-1)の多項式として定義できます。

　次々とこうして定義していくとき,ｙ(ｘ)はｙ(ｘ₀)＝ｙ₀,ｙ'(ｘ)|_x=x0＝ｙ₀',．．,ｙ⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0＝ｄ^n-1ｆ(ｘ,ｙ(ｘ))/ｄｘ^n-1|_x=x0＝ｙ₀⁽ⁿ⁾を満足しなければなりません。

　ところが,ｙ(ｘ)は|ｘ－ｘ₀|＜ρにおけるベキ級数の和で与えられているので,ベキ級数展開の一意性定理からｙ(ｘ)＝ｙ₀＋ｙ₀'(ｘ－ｘ₀)＋ｙ₀"(ｘ－ｘ₀)²/2!＋...ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!＋...＝Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ! (|ｘ－ｘ₀|＜ρ)と展開されなければなりません。

　すなわち,もしｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満たすベキ級数解が存在すれば,それは一意的であり,ｙ(ｘ)＝ｙ₀＋ｙ₀'(ｘ－ｘ₀)＋ｙ₀"(ｘ－ｘ₀)²/2!＋...ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!＋...＝Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!でなければならないことになります。

そこで,φ(ｘ)≡Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!と定義すれば,これが実際にｘ₀の近傍でｄφ(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))を満足することを示しましょう。

級数Σ_p,q=0^∞ａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qは,|ｘ－ｘ₀|≦Ｒ₁,かつ|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂でｆ(ｘ,ｙ)に絶対収束するので,Σ_p,q=0^∞ａ_pqＲ₁^pＲ₂^qはｆ(ｘ₀＋Ｒ₁,ｙ₀＋Ｒ₂)に収束し,それゆえｐ,ｑ → ∞ に対してａ_pqＲ₁^pＲ₂^q → 0 です。

したがって,Ｒ₁,Ｒ₂によって定まるある正の定数Ｍが存在して|ａ_pq|Ｒ₁^pＲ₂^q≦Ｍ(ｐ,ｑ＝0,1,2,...),すなわち|ａ_pq|≦Ｍ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)が成立します。

そこで,二重ベキ級数Σ_p,q=0^∞ａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qの１つの優級数Σ_p,q=0^∞{Ｍ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)}(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^qを考えると,これは|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁,かつ|ｙ－ｙ₀|＜Ｒ₂において和の順序によらず絶対収束しΣ_p,q=0^∞{Ｍ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)}(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^q＝１/[{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}{1－(ｙ－ｙ₀)/Ｒ₂}]が成り立ちます。

そこで,ｇ(ｘ,ｙ)≡Σ_p,q=0^∞{Ｍ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)}(ｘ－ｘ₀)^p(ｙ－ｙ₀)^q＝１/[{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}{1－(ｙ－ｙ₀)/Ｒ₂}]とおけば,補助定理１から右辺のベキ級数は|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁かつ|ｙ－ｙ₀|＜Ｒ₂で広義一様収束し,それ故,補助定理２によって無限回項別偏微分可能です。

したがって,さらにＭ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)＝{1/(ｐ!ｑ!)}{∂^p+q/(∂ｘ^p∂ｙ^q)}ｇ(ｘ,ｙ)|_x=x0,y=y0 が成立して,これとａ_pq＝{1/(ｐ!ｑ!)}{∂^p+q/(∂ｘ^p∂ｙ^q)}ｆ(ｘ,ｙ)|_x=x0,y=y0,および |ａ_pq|≦Ｍ/(Ｒ₁^pＲ₂^q)から|{∂^p+q/(∂ｘ^p∂ｙ^q)}ｆ(ｘ,ｙ)|_x=x0,y=y0|≦{∂^p+q/(∂ｘ^p∂ｙ^q)}ｇ(ｘ,ｙ)|_x=x0,y=y0(ｐ,ｑ＝0,1,2,...)を得ます。

　一方,ｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)＝1/[{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}{1－(ｙ－ｙ₀)/Ｒ₂}]のｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満たすベキ級数解が,ｘ＝ｘ₀の近傍で存在すると仮定し,それをｙ＝ψ(ｘ)とおけば,それはｄψ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ψ(ｘ))を満足します。

　したがって,ｄｙ/ｄｘ＝f(ｘ,ｙ)のベキ級数解ｙ(ｘ)と同様,ｙ^₀'≡ｇ(ｘ₀,ｙ₀),ｙ^₀"≡{∂ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｘ}|_x=x0,y=y0＋{∂ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|_x=x0,y=y0ｙ^₀',ｙ^₀⁽³⁾≡{∂²ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｘ²}|_x=x0,y=y0＋2{∂²ｇ(ｘ,ｙ)/(∂ｘ∂ｙ)|_x=x0,y=y0}ｙ^₀'＋{∂²ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｙ²}|_x=x0,y=y0ｙ^₀'²＋{∂ｇ(ｘ,ｙ)/∂ｙ}|_x=x0,y=y0 ｙ^₀",...と定義すれば,ｙ^₀',ｙ^₀",...ｙ^₀^(n-1)が与えられたときにｙ^₀⁽ⁿ⁾をそれらから定めることが可能となります。

　そして,ψ(ｘ)＝ｙ₀＋ｙ^₀'(ｘ－ｘ₀)＋ｙ^₀"(ｘ－ｘ₀)²/2!＋．．ｙ^₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!＋...＝Σ_n=0^∞ｙ^₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!(ｙ^₀⁽ⁿ⁾≡ｙ₀)なる等式が成立するはずです。

φ(ｘ₀)＝ｙ₀＝ψ(ｘ₀),|ｙ₀'|≦Ｍ＝ｇ(ｘ₀,ｙ₀)＝ｙ^₀'が成立していますが,一般に|ｙ₀^(k)|＝|φ^(k)(ｘ)|_x=x0|≦ｙ^₀^(k)＝ψ^(k)(ｘ)|_x=x0がｋ＝0,1,2,..,ｎ－1に対して成立すると仮定すれば,ｙ₀⁽ⁿ⁾＝ｄ^n-1ｆ(ｘ,ｙ)/ｄｘ^n-1|_x=x0,y=y0,およびｙ^₀⁽ⁿ⁾＝ｄ^n-1ｇ(ｘ,ｙ)/ｄｘ^n-1|_x=x0,y=y0 の各々は,それぞれ∂^i+jｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘⁱ∂ｙ^j)}|_x=x0,y=y0とｙ₀^(k)(0≦ｉ,ｊ,ｋ≦ｎ－1),および∂^i+jｇ(ｘ,ｙ)/(∂ｘⁱ∂ｙ^j)}|_x=x0,y=y0とｙ^₀^(k)(0≦ｉ,ｊ,ｋ≦ｎ－1)の多項式で表わされます。

しかもｙ₀⁽ⁿ⁾の各項はｙ^₀⁽ⁿ⁾の各項において,∂^i+jｆ(ｘ,ｙ)/(∂ｘⁱ∂ｙ^j)}|_x=x0,y=y0を∂^i+jｇ(ｘ,ｙ)/(∂ｘⁱ∂ｙ^j)}|_x=x0,y=y0に,ｙ₀^(k)をｙ^₀^(k)に置換したものに等しいので,帰納法の仮定によって|ｙ₀⁽ⁿ⁾|≦ｙ^₀⁽ⁿ⁾もまた成立することがわかります。

以上から数学的帰納法により,任意のｎについて|ｙ₀⁽ⁿ⁾|≦ｙ^₀⁽ⁿ⁾が成立することがわかりました。

このことは,微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)のｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満たすベキ級数解がある区間で絶対収束すればｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)のｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満たすベキ級数解φ(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!もまた同じ区間で絶対収束することを示しています。

次に実際にｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)のｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満たすベキ級数解が存在することを示しましょう。

ｄｙ/ｄｘ＝ｇ(ｘ,ｙ)＝１/[{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}{1－(ｙ－ｙ₀)/Ｒ₂}] (|ｘ－ｘ₀|≦Ｒ₁,|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂)をｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀の条件で解けば,ｙ＝ｙ₀＋Ｒ₂－Ｒ₂[1＋2Ｒ₁Ｍlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}/Ｒ₂]^1/2(|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁)となります。

ところが,[1＋2Ｒ₁Ｍlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}/Ｒ₂]^1/2は|2Ｒ₁Ｍlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}/Ｒ₂|＜1の条件下で,2Ｒ₁Ｍlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}/Ｒ₂のベキで二項展開されます。

しかも,log{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁は|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁の全てのｘに対して絶対収束するテイラー級数(Taylor series)に展開されてlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁＝－Σ_n=1^∞{(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}ⁿ/ｎとなります。

したがって,またΣ_n=1^∞|ｘ－ｘ₀|ⁿ/Ｒ₁ⁿ/ｎ＝|log{1－|ｘ－ｘ₀|/Ｒ₁|となり,2Ｒ₁Ｍ|log{1－|ｘ－ｘ₀|/Ｒ₁}|/Ｒ₂＜1であるようなｘに対しては補助定理５の仮定が満たされて,ｙ＝ψ(ｘ)＝ｙ₀＋Ｒ₂－Ｒ₂[1＋2Ｒ₁Ｍlog{1－(ｘ－ｘ₀)/Ｒ₁}/Ｒ₂]^1/2は,そのようなｘに対して(ｘ－ｘ₀)のベキ級数に展開され得ることになります。

2Ｒ₁Ｍ|log{1－|ｘ－ｘ₀|/Ｒ₁}|/Ｒ₂＜1は|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁[1－exp{－Ｒ₂(2Ｒ₁Ｍ)}]と同値なので,ρ≡Ｒ₁[1－exp{－Ｒ₂(2Ｒ₁Ｍ)}]とおけば|ｘ－ｘ₀|＜ρでｙ＝ψ(ｘ)は(ｘ－ｘ₀)のベキ級数に展開されます。

それゆえ,前の考察からΣ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!もまた|ｘ－ｘ₀|＜ρで絶対収束します。

φ(ｘ)－ｙ₀ の各項の係数の絶対値はψ(ｘ)－ｙ₀の対応する各項の係数より大きくないことは先に述べた通りですから,|ｘ－ｘ₀|＜ρで|φ(ｘ)－ｙ₀|≦|ψ(ｘ₀＋|ｘ－ｘ₀|)－ｙ₀が成立します。

0≦|ψ(ｘ₀＋|ｘ－ｘ₀|)－ｙ₀＜Ｒ₂ (|ｘ－ｘ₀|＜ρ)ですから,|φ(ｘ)－ｙ₀|＜Ｒ₂ (|ｘ－ｘ₀|＜ρ＜Ｒ₁)であり,よってｘの変域|ｘ－ｘ₀|＜ρにおいて,ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σ_p,q=0^∞ａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(φ(ｘ)－ｙ₀)^qは定義されています。

ｆ(ｘ,ｙ)は|ｘ－ｘ₀|≦Ｒ₁,|ｙ－ｙ₀|≦Ｒ₂で無限回偏微分可能で,φ(ｘ)も明らかに|ｘ－ｘ₀|＜ρで無限回微分可能であり,φ⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0＝ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｎ＝0,1,2,...,ただしφ⁽⁰⁾(ｘ)|_x=x0＝φ(ｘ₀),ｙ₀⁽⁰⁾＝ｙ₀)ですから,ω(ｘ)≡ｆ(ｘ,φ(ｘ))とおくと,ω(ｘ)は|ｘ－ｘ₀|＜ρで無限回微分可能でありω^(n-1)(ｘ)|_x=x0＝ｙ₀⁽ⁿ⁾(ω⁽⁰⁾(ｘ)＝ω(ｘ),ｎ＝1,2,．．,)となります。

φ⁽ⁿ⁾(ｘ)＝ｄφ^(n-1)(ｘ)/ｄｘであり,ｄφ(ｘ)/ｄｘはφ(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!の項別微分係数の和,すなわちΣ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁺¹⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!で与えられます。

以上から,ｄφ(ｘ)/ｄｘ＝Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁺¹⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!＝Σ_n=0^∞(ω⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0)(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!＝Σ_n=0^∞{ｆ⁽ⁿ⁾(ｘ,φ(ｘ))|_x=x0}(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ! (|ｘ－ｘ₀|＜ρ)となることがわかります。

ところが,補助定理１の系に見られる絶対収束二重級数の性質から,ω(ｘ)＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σ_p,q=0^∞ａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(φ(ｘ)－ｙ₀)^q＝Σ_p=0^∞{Σ_q=s^∞ａ_pq(ｘ－ｘ₀)^p(φ(ｘ)－ｙ₀)^q}＝Σ_p=0^∞(ｘ－ｘ₀)^p[Σ_q=0^∞ａ_pq{Σ_n=1^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!}^q](|ｘ－ｘ₀|＜ρ)です。

しかも,Σ_n=1^∞|ｙ₀⁽ⁿ⁾||ｘ－ｘ₀|ⁿ/ｎ!≦Σ_n=1^∞ｙ^₀⁽ⁿ⁾|ｘ－ｘ₀|ⁿ/ｎ!＝ψ(ｘ＋|ｘ－ｘ₀|)－ｙ₀＜Ｒ₂(|ｘ－ｘ₀|＜ρ)ですから,補助定理５よりΣ_q=0^∞ａ_pq{Σ_n=1^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!}^q＝Σ_r=0^∞ｂ_pr(ｘ－ｘ₀)^r(|ｘ－ｘ₀|＜ρ,ｂ_pr≡Σ_q=0^∞ａ_pqｙ₀^(r)(q)/ｒ!)が成立し,Σ_r=0^∞ｂ_pr(ｘ－ｘ₀)^rは|ｘ－ｘ₀|＜ρでΣ_q=0^∞ａ_pq{Σ_n=1^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!}^qに絶対収束します。

故に,ω(ｘ)＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σ_p=s^∞(ｘ－ｘ₀)^p{Σ_r=0^∞ｂ_pr(ｘ－ｘ₀)^r}＝Σ_p=0^∞{Σ_r=0^∞ｂ_pr(ｘ－ｘ₀)^p(ｘ－ｘ₀)^r}(|ｘ－ｘ₀|＜ρ)となります。

ここで,|ｘ－ｘ₀|＜Ｒ₁ ,Σ_n=0^∞ｙ₀⁽ⁿ⁾(ｘ－ｘ₀)ⁿ/ｎ!＜Ｒ₂ですから,Σ_p,q=0^∞|ａ_pq||ｘ－ｘ₀|^p{Σ_n=0^∞|ｙ₀⁽ⁿ⁾||ｘ－ｘ₀|ⁿ/ｎ!}^q＜＋∞ ( |ｘ－ｘ₀|＜ρ)です。

したがってΣ_p,q=0^∞|ａ_pq||ｘ－ｘ₀|^p{Σ_n=0^∞|ｙ₀⁽ⁿ⁾||ｘ－ｘ₀|ⁿ/ｎ!}^q＝Σ_p=0^∞{Σ_r=0^∞Ｂ_pr|ｘ－ｘ₀|^p+r}＜＋∞(|ｘ－ｘ₀|＜ρ,Ｂ_pr≡Σ_q=0^∞|ａ_pq||ｙ₀^(r)|^(q)/ｒ!)であり,また,|ｂ_pr|≦Ｂ_pr ですからΣ_p=0^∞{Σ_r=0^∞|ｂ_pr||ｘ－ｘ₀|^p+r}＜＋∞となります。

このことから,補助定理３によって,ω(ｘ)＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σ_p,r=0^∞ｂ_pr(ｘ－ｘ₀)^p+r(|ｘ－ｘ₀|＜ρ(収束は絶対収束))となりω(ｘ) ＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))＝Σ_n=0^∞ｃ_n(ｘ－ｘ₀)ⁿ(|ｘ－ｘ₀|＜ρ,ｃ_n≡Σ_p+r=n^∞ｂ_pr)が成立します。

ベキ級数展開の一意性からｃ_n＝ω⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0/ｎ!＝ｆ⁽ⁿ⁾(ｘ,φ(ｘ))|_x=x0/ｎ!が成り立ち,結局ｄφ(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,φ(ｘ))(|ｘ－ｘ₀|＜ρ)となることが示されました。

もし,ｙ＝φ(ｘ)とは別にｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の解ｙ＝φ₁(ｘ)でφ₁(ｘ₀)＝ｙ₀なるものがｘ＝ｘ₀の近傍で存在すると仮定すれば,ｄφ₁(ｘ)/ｄｘ＝ｆ(ｘ,φ₁(ｘ))であり,ｆ(ｘ,ｙ)は無限回偏微分可能ですからｆ(ｘ,φ₁(ｘ))もｘについて微分可能,すなわちｄφ₁(ｘ)/ｄｘも微分可能となり,φ₁(ｘ)は二階微分可能であってφ₁"(ｘ)＝∂ｆ/∂ｘ＋(∂ｆ/∂ｙ)φ₁'(ｘ)となることがわかります。

これを繰り返して|φ₁(ｘ)－ｙ₀|≦Ｒ₂となるような全てのｘ₀の近傍でφ₁(ｘ)は無限回微分可能であり,しかもφ₁⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0＝φ⁽ⁿ⁾(ｘ)|_x=x0＝ｙ₀⁽ⁿ⁾となります。

したがって,こうした右辺が二重ベキ級数に展開可能な常微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)に対しては,正則な解の一意性のみならず解の一意性が成り立つこと,つまりｘ＝ｘ₀の近傍で常微分方程式ｄｙ/ｄｘ＝ｆ(ｘ,ｙ)の条件:ｙ|_ｘ＝ｘ0＝ｙ₀を満たす解は正則な解φ(ｘ)に限ることが証明されました。(以上証明終わり)

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ベキ級数解の存在(コワレフスカヤの優級数)(2)

前記事の続きです。

最後の補助定理として補助定理５を与えます。これは,ベキ級数の代入についての定理です。

"ｆ(ζ)＝Σ_n=0^∞ａ_nζⁿの収束半径をＲ(＞0)とするとき,|ｘ|＜ρでｇ(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｂ_nｘⁿが絶対収束し,かつΣ_n=0^∞|ｂ_n||ｘ|ⁿ＜Ｒが成立するなら,ζ≡Σ_n=0^∞ｂ_nｘⁿをΣ_n=0^∞ａ_nζⁿに代入して得られる形式的ベキ級数Σ_n=0^∞ｃ_nｘⁿ(ｃ_n≡Σ_m=0^∞ａ_mｂ_n^(m),ｂ_n⁽⁰⁾≡1,ｂ_n⁽¹⁾≡ｂ_n,ｂ_n^(m)≡Σ_k=0^∞ｂ_n-k^(m-1)ｂ_k(ｍ≧2))は|ｘ|＜ρで絶対収束する。

そこで,|ｃ_n|＝|Σ_ｍ=0^∞ａ_mｂ_n^(m)|＜＋∞(ｎ＝0,1,2,...)であり,形式的なベキ級数Σ_n=0^∞ｃ_nｘⁿは実際のｘのベキ級数となって和は|ｘ|＜ρにおいてｆ(ｇ(ｘ))になる。

したがって,|ｘ|＜ρでｆ(ｇ(ｘ))＝Σ_n=0^∞ｃ_nｘⁿが成立しｆ(ｇ(ｘ))はｘでベキ展開可能である。"

以下これを証明します。

ｖ＝ｖ(ｘ)≡Σ_n=0^∞|ｂ_n||ｘ|ⁿ(|ｘ|＜ρ)とおくと仮定により0 ≦ｖ＜Ｒなので正項級数Σ_m=0^∞|ａ_m|ｖ^mは収束します。

一方,|ｘ|＜ρでΣ_n=0^∞ｂ_nｘⁿ,Σ_n=0^∞|ｂ_n||ｘ|ⁿが絶対収束するのでＢ_n⁽⁰⁾≡1,Ｂ_n⁽¹⁾≡|ｂ_n|,Ｂ_n^(m)≡Σ_k=0^∞|ｂ_n-k^(m-1)||ｂ_k|(ｍ≧2)とおけば,補助定理４よりΣ_n=0^∞ｂ_n^(m)ｘⁿ,とΣ_n=0^∞Ｂ_n^(m)|ｘ|ⁿは共に|ｘ|＜ρで絶対収束して(Σ_n=0^∞ｂ_nｘⁿ)^m＝Σ_n=0^∞ｂ_n^(m)ｘⁿ,かつ(Σ_n=0^∞|ｂ_n||ｘ|ⁿ)^m＝Σ_n=0^∞Ｂ_n^(m)|ｘ|ⁿ(ｍ＝0,1,2,..)が成立します。

ここで,|ｂ_n⁽⁰⁾|＝Ｂ_n⁽⁰⁾＝1,|ｂ_n⁽¹⁾|＝|ｂ_n|＝Ｂ_n⁽¹⁾,|ｂ_n^(m)|＝|Σ_k=0^∞ｂ_n-k^(m-1)ｂ_k|≦Σ_k=0^∞|ｂ_n-k^(m-1)ｂ_k|＝Ｂ_n^(m)(ｍ≧2)より,一般に|ｂ_n^(m)|≦Ｂ_n^(m)(ｍ＝0,1,2,...)が成立します。

そして,|ａ_m|ｖ^m＝|ａ_m|(Σ_n=0^∞|ｂ_n||ｘ|ⁿ)^m＝|ａ_m|(Σ_n=0^∞Ｂ_n^(m)|ｘ|ⁿ)＝Σ_n=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m)|ｘ|ⁿ(|ｘ|＜ρ,ｍ＝0,1,2,...)です。

ところが,Σ_m=0^∞|ａ_m|ｖ^mは,0≦ｖ＜Ｒで収束し|ｘ|＜ρに対してΣ_n=0^∞|ｂ_n||ｘ|ⁿ＜Ｒが成立するので,Σ_m=0^∞|ａ_m|ｖ^m＝Σ_m=0^∞(Σ_n=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m)|ｘ|ⁿ)は|ｘ|＜ρに対して収束して有限な極限値を持ちます。

したがって,補助定理３によりΣ_n=0^∞(Σ_m=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m)|ｘ|ⁿ)＝Σ_n=0^∞(Σ_m=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m))|ｘ|ⁿも|ｘ|＜ρに対し収束して極限値はΣ_m=0^∞(Σ_n=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m)|ｘ|ⁿ)＝Σ_m=0^∞|ａ_m|ｖ^m に等しいことになります。

このことから,(Σ_m=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m))|ｘ|ⁿ＜＋∞ (|ｘ|＜ρ)であり,したがってΣ_m=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m)＜＋∞となります。

|ｂ_n^(m)|≦Ｂ_n^(m)より,あらゆる負でない整数ｒに対して,|Σ_m=0^rａ_mｂ_n^(m)|≦Σ_m=0^r|ａ_m|Ｂ_n^(m)≦Σ_m=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m)が成立します。

そこで,|Σ_m=0^∞ａ_mｂ_n^(m)|≦Σ_m=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m),すなわち|ｃ_n|＝|Σ_m=0^∞ａ_mｂ_n^(m)|≦Σ_m=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m)＜＋∞です。

よってΣ_m=0^∞ａ_mｂ_n^(m)は収束して形式的に与えたｃ_nは全て有限になります。

それゆえ|ｃ_n||ｘ|ⁿ≦Σ_m=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m)|ｘ|ⁿであり,またΣ_n=0^∞(Σ_m=0^∞|ａ_m|Ｂ_n^(m)|ｘ|ⁿ)が|ｘ|＜ρで収束するので,Σ_n=0^∞|ｃ_n||ｘ|ⁿも|ｘ|＜ρで収束します。

このことからΣ_n=0^∞ｃ_nｘⁿも実際にベキ級数であって|ｘ|＜ρで絶対収束することがわかりました。

Σ_n=0^∞|ｂ_n||ｘ|ⁿ＜Ｒ (|ｘ|＜ρ)より|Σ_n=0^∞ｂ_nｘⁿ|＜Ｒ (|ｘ|＜ρ)で,しかも補助定理４によりΣ_n=0^∞ｂ_n^(m)ｘⁿ＝(Σ_n=0^∞ｂ_nｘⁿ)^m (|ｘ|＜ρ, ｍ＝0,1,2,...)です。

そこで,Σ_m=0^∞ａ_mζ^m＝Σ_m=0^∞ａ_m(Σ_n=0^∞ｂ_n^(m)ｘⁿ)＜＋∞であり,したがって補助定理３によってΣ_m=0^∞ａ_m(Σ_n=0^∞ｂ_n^(m)ｘⁿ)＝Σ_m=0^∞(Σ_n=0^∞ａ_mｂ_n^(m)ｘⁿ)＝Σ_n=0^∞(Σ_m=0^∞ａ_mｂ_n^(m))ｘⁿ­＝Σ_n=0^∞ｃ_nｘⁿが得られます。

以上から,ｆ(ｇ(ｘ))＝Σ_n=0^∞ｃ_nｘⁿ(ｃ_n＝Σ_ｍ=0^∞ａ_mｂ_n^(m))が成立します。(以上,証明終わり)

これの系として"ｇ(ｘ)＝Σ_n=0^∞ｂ_nｘⁿにおいて|ｂ₀|＝|ｇ(0)|＜Ｒならば十分小さいρ'(＜ρ)に対して,補助定理5の条件であるΣ_n=0^∞|ｂ_n||ｘ|ⁿ＜Ｒ が|ｘ|＜ρ'で満たされ,したがって補助定理５の結論が|ｘ|＜ρ'で成立する。"ということになります。

なぜならｇ₁(ｘ)≡Σ_n=0^∞|ｂ_n||ｘ|ⁿとおくと右辺は|ｘ|＜ρで広義一様収束するので|ｘ|＜ρで連続であり,したがってｘ＝0 でも連続ですからｇ₁(0)＝|ｂ₀|＜Ｒなら十分小さいρ'＞0 に対して|ｘ|＜ρ'のときｇ₁(ｘ)＝Σ_n=0^∞|ｂ_n||ｘ|ⁿ＜Ｒが成立するからです。

今日はここまでとします。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI

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