コーシーの主値(主値積分)

　　コーヒー・ブレイクとして,数学のショートトピックを考察してみます。

　ちょっと思い付きで,コーシー(Cauchy)の主値,あるいは主値積分と呼ばれているものを考えます。

　コーシーの主値というのは,実数の区間[ａ,ｂ]で定義された関数ｆ(ｘ)がａ＜ｃ＜ｂなるある点ｃで不連続なとき,Ｐ∫_a^ｂｆ(ｘ)ｄｘ≡lim_ε→+0[∫_a^c-εｆ(ｘ)ｄｘ＋∫_c+ε^bｆ(ｘ)ｄｘ]と定義して,これを主値(積分)(principal value)と呼ぶことを指します。

　これは,区間[ａ,ｂ]が無限区間(－∞,∞)で被積分関数がｆ(ｘ)/ｘ (ｆ(ｘ):連続関数)の場合には,Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＝lim_ε→+0[∫_|x|≧ε{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ]です。

　複素平面上の実軸を含む領域でｆ(ｚ)が正則なとき,主値Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘを,複素ｚ平面上のある経路Ｃにおける線積分∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚで近似することを考えます。

Ｃとしては,実軸上の－∞から－εまで真っ直ぐ進み,原点Ｏを回避するために,Ｏを中心として半径εの小円で点－εから点εまで時計回り(負の向き)にπだけ回る半円経路を加え,さらにεから∞までの直線経路を考えたものとします。

つまり,小半円の経路をγ^-とすると,全経路はＣ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)です。

すると,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚと書けます。

ところが,明らかに∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝i∫_π⁰ｆ(εexp(iθ))ｄθ＝－iπｆ(0)です。

　それ故,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0) なることがわかります。

　被積分関数ｆ(ｚ)/ｚに対し,その特異点であるｚ＝0 付近で上半平面方向に歪めた経路Ｃ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)を取る代わりに,通常の(－∞,∞)の経路のまま,被積分関数の方をｆ(ｚ)/ｚからｆ(ｚ)/(ｚ＋iε)に微修正して,特異点をｚ＝0 から下半平面のｚ＝－iεに移すのは,事実上,同等な操作であり,同じ積分値を与えるはずです。

　すなわち,∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ＋iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0)です。

　同様な考察から∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ－iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋iπｆ(0)も得られます。

　これらの公式を,形式的に1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ), 1/(ｘ－iε)＝Ｐ(1/ｘ)＋iπδ(ｘ)と書きます。

　主値積分については,コーシーの積分定理を意識して,上半平面や下半平面で,半径が∞の半円周を加えた閉じた経路を積分経路Ｃとする説明をよく見かけますが,それは半径が∞の半円周上で積分がゼロになるような特別な被積分関数形を要求します。

　留数などを考慮する必要がある場合なら,その方がいいでしょうが,上の考察では,関数ｆ(ｚ)がｚ→ ∞でゼロに急減衰すべきであるとかの条件は全く必要ないのがミソです。

　今日は記憶に頼った短かい覚え書きなので参考文献はありません。

ＰＳ:２ヶ月ぶりに帝京大病院に診察を受けに行きました。

　これまでは内科診療は心臓や血管が専門の主治医Ｉ先生だけでしたが持病の糖尿病がかなり悪化しているというので今回からＭという糖尿病が専門の女の先生の診療も受けることになりました。

　ところが,先に診察を受けた糖尿病の方で,12時直前に受けた診察で,朝９時半に検査した結果の糖尿病の指標であるヘモグロビン(HbA1C;正常値4.3～5.8）が,前回(５月８日)まで,11くらいもあったのに,8.6と劇的に軽減されていたので,当然インシュリン注射の指導をする予定だったらしい女医が,これまで通りの投薬で様子を見るということになりました。

　空腹時血糖値は200丁度でしたが,これも前回は確か250くらいだったので減っていたし,今日は朝８時頃おにぎりを食べてきたので完全に空腹というわけではありませんでしたた。

　別に何をしたというわけもなく,このところ金がなくて空腹続きだったのが良かったのでしょうか？

　最近,何かしましたか？生活が変わりましたか？等聞かれましたが,相変わらず薬はよく忘れて半分くらいは残っているし,別に,貧乏で肉類が少なく空腹だったくらいです。

　そういえば,先月初め,知り合いに紹介されて面接した秋葉原の「コタラヒムジャパン」http://kothalahim.blog110.fc2.com/blog-entry-9.html という会社が,偶然にも和名「コタラヒム」という名前の糖尿病に効くらしいスリランカの薬草を販売している会社でした。

　そのとき,対面したＳ会長に自分も長年糖尿病である旨を伝えたら,サンプル試供品の「コタラヒム」を20粒程度頂きました。これを思いついたときには食前２錠ずつ飲んでいたのを思い出しました。

　まだ,数粒残っているので,毎日飲んだわけではないようです。

　このことを言ったら,後で診察を受けた糖尿が専門ではない心臓病の主治医は少し興味を持ったようでしたが,糖尿病が専門の医者には「毒かもしれないから,変なものは飲まないように」と言われました。

　私のデータが改善された理由は,十分な比較サンプルもないので,もちろん何の効果かははっきりしないのでしょうが,そもそもインシュリン投与の対症療法しかない糖尿病だし,専門の立場からはイカガわしいもが多いという気持ちはわかりますが,別に私はその会社の回し者ではないので調べるくらいしてもいいのにと思いました。

　(理由は,何でも薬は効きさえすればいいのだと思う。。大きな副作用があれば別ですが。。)

　心臓,血管関係では,２年前のバイパス手術退院当時,上が85～90だった血圧が120と正常になってました。また,退院時52キロだった体重も61キロと戻ってきました。

　しかし,身長が176センチなので,まだまだやせていて太りたいのですが,ここ数年来摂取カロリーが成人標準の半分程度なので,やせるのも仕方ないでしょう。

　だからこそ,食事療法などは無駄だから,インシュリンを投与しろということらしかったのですが。。。

　また,これまで,フラフラして転びやすいのは,主に低血圧のせいと思っていたら,赤血球も正常下限値の８割しかなくて貧血もあるようでした。その他は腎臓が蛋白＋２で少し悪い以外は全て正常値でした。

　念のため,次回はほぼ全部の内臓の超音波(エコー)検査をすることになりました。

　また,４月末にやった両足首の動脈の検査結果から,足の動脈硬化らしいので薬ももらいましたが,来週下半身のＭＲＩ検査をして,場合によっては足の動脈のカテーテルか,バイパス手術もあるらしいです。

　そうだとしても,今度は心臓ではなく足なので危険度ははるかに少ないでしょう。

　糖尿病状態の急激な変化は,たとえ軽癒の場合でも眼底によくないとのことで,同じ日に久しぶりに眼科の診察も受けることになりました。

　こうした検査は人間ドック以上にお金がかかるだろうとはいえ,これまで定期的に受けてきた診察では何もなかったのに５月に病院の建物や施設が新しくなったとたんに,こう色々と出てくるのでは今までは一体何だったんだろう？と思ってしまいます。

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三角関数を含むある関数の定積分

　今日はちょっと気になる計算があったので計算をしてみました。実はT_NAKAさんのブログ＝「T_NAKAの阿房ブログ」の2008年8/10の記事「高次モーメントを考える」 http://teenaka.at.webry.info/200808/article_10.htmlに関連したものです。。

　普通は公式集にあるものなら全面的にそれに頼り,わざわざ確かめたりもしませんが,偶々,所持している岩波の数学公式集,丸善の新数学公式集を見ても,適合するものが全く見つからなかったため,自力で計算せざるを得ず,実行しました。

　夏休み中で頭もボーッとしているし,最初予想していた結果と違っていたこともあって,かなり手間取りました。

計算するのは,定積分:I_k≡∫_-∞^∞ｆ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)です。

これはｋが奇数なら被積分関数:ｆ_k(ｘ)＝ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²が,ｘの奇関数なので,その積分はゼロですから,以下ではｋは偶数であるとし,ｆ_k(ｘ)がｘの偶関数の場合のみを計算します。

ｘ＝±π/2はｆ_k(ｘ)の特異点,特に極であるように見えますが,実は真の特異点ではありません。

例えばｙ≡ｘ－π/2と変数変換すれば,ｆ_k(ｘ)＝ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}＝(ｙ＋π/2)^ksin²ｙ/{ｙ²(ｙ＋π)²}なので,ｙ→ 0ではｆ_k(ｘ)→ (π/2)^k/π²,ｙ→ －πではｆ_k(ｘ)→ (－π/2)^k/(－π)²となります。

そこで,ｙ＝0,－π,すなわち,ｘ＝±π/2は,ｆ_k(ｘ)の真の特異点ではなく,これらの点でｘ→±π/2でのｆ_k(ｘ)の極限値をｆ_k(±π/2)と定義すれば被積分関数ｆ_k(ｘ)はｘ＝±π/2でも連続なので,普通に積分を実行することができます。

　しかし,実際にｘを実数のままで,この積分を評価するのはかなり面倒なのでｘを複素変数ｚに変えて,複素ｚ平面である閉曲線Ｃを周回する積分を考えてみます。

　その際,cos²ｚ＝[{exp(iｚ)＋exp(－iｚ)}/2]²＝{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)＋2}/4 なので,I_k(Ｃ)≡∫_Cｆ_k(ｚ)ｄｚ＝∫_Cｄｚ[ｚ^k{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)＋2}/{4(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)を計算します。

　これ自身は,上に述べたようにｚ＝±π/2も含めてｆ_k(ｚ)が全ｚ平面で解析的なのでＣが閉曲線の場合には常にI_k(Ｃ)＝0 です。

まず,∫_Cｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}を考えます。原点を中心としＲ＞＞1で実軸上[－Ｒ,Ｒ]を直径＝2Ｒとする上半円周をＣ_＋とします。

ただし,今の場合,被積分関数はｆ_k(ｚ)ではなく,その一部ｇ_k^＋(ｚ)≡ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}です。

これに対しては,ｚ＝±π/2 は確かに真の特異点(極)なので,Ｃ_＋は点±π/2 の周りでは特別に回避経路としてＡ_±≡lim_{ε→ +0}{ｚ(θ)|ｚ(θ)＝±π/2＋εexp(iθ),θ:π→ 0 (時計回り)}で与えられる微小半径ε＞0 の上半円周経路を含むとします。

そして,Ｃ_＋の無限遠を意味する半径Ｒの円周上の点ｚ＝Ｒexp(iθ)＝Ｒ(cosθ＋isinθ) (0≦θ≦π)では,|∫ｇ_k^＋(ｚ)ｄｚ|＝πＲ|ｚ^kexp(2iｚ){(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}_|z|=R ～πＲ^k-3exp(－2Ｒsinθ)→ 0 ですから,これの寄与は無視できます。

結局,0＝∫_C+ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋Ａ_－＋Ａ_＋なる表現で書けます。

ここで,微小半円経路Ａ_±を回る積分の寄与を同じ記号Ａ_±で省略する表現をしました。

∫ｇ_k^＋(ｚ)ｄｚにおけるＡ_±の寄与を評価する必要がありますが,これは被積分関数のローラン展開において 1/(ｚ±π/2)の係数に(－πi)を掛けたもので与えられます。

これはＡ_－の場合には,lim_{z→(－π/2)}(ｄ/ｄｚ)[(ｚ＋π/2)²ｇ_k^＋(ｚ)]で与えられます。

すなわち,lim_{z→(－π/2)}(ｄ/ｄｚ)[ｚ^kexp(2iｚ)/(ｚ－π/2)²]＝lim_{z→(－π/2)}[{(ｋｚ^k-1＋2iｚ^k)/(ｚ－π/2)²－2ｚ^k/(ｚ－π/2)³}exp(2iｚ)]＝－(－π/2)^k-1(ｋ－πi)(－π)^-2＋2(－π/2)^k(－π)^-3＝(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)です。

したがって,結局Ａ_－＝(－πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)が得られました。ここで,ｋが偶数であることを用いました。

同様にＡ_＋の場合には,lim_z→π/2(ｄ/ｄｚ)[(ｚ＋π/2)²ｇ_k^＋(ｚ)]＝lim_z→π/2[{(ｋｚ^k-1＋2iｚ^k)/(ｚ＋π/2)²－2ｚ^k/(ｚ＋π/2)³}exp(2iｚ)]＝(π/2)^k-1(ｋ＋πi)π^-2－2(π/2)^kπ^-3＝(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)ですから,Ａ_＋＝(－πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)＝Ａ_－です。

以上のことから,∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝－(Ａ_－＋Ａ_＋)＝－2Ａ_－＝(2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)が得られました。

また,被積分関数ｇ_k^－(ｚ)≡ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}に対しては,原点を中心としＲ＞＞1で実軸上[－Ｒ,Ｒ]を直径＝2Ｒとする下半円周をＣ_－とすれば,同様な考察から 0＝∫_C-ｄｚ[ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋Ｂ_－＋Ｂ_＋を得ます。

ここで,Ｂ_±はＡ_±と同様に実軸上の特異点±π/2を回避する微小な下半円周経路Ｂ_±≡lim_{ε→ +0}{ｚ(θ)|ｚ(θ)＝±π/2＋εexp(iθ),θ:－π→ 0 (反時計回り)}における積分の寄与です。

そして,Ｂ_－＋Ｂ_＋＝2Ｂ_－＝(2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1＋πi)となりますから,∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝－(Ｂ_－＋Ｂ_＋)＝－2Ｂ_－＝(－2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1＋πi)です。

したがって,cos(2ｘ)＝{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)}/2によって,上に得られた２つの積分等式を加え合わせて２で割ると,∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}]＝2(π/2)^k-1が得られます。

一方,∫_Cｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]において±π/2は２位の極なので留数はゼロですから,例えば閉路Ｃを,Ｃ＝Ｃ_＋に取れば 0＝∫_C+ｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋lim _R→∞∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]となります。

被積分関数がｇ_k^±(ｚ)＝ｚ^kexp(±2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}の場合と異なり,ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}の場合にはＣ＝Ｃ_＋に取ろうと,Ｃ＝Ｃ_－に取ろうと,半円の半径Ｒ→ ∞で円周積分が必ずしもゼロにはなりません。

以上から,2∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k{1＋cos(2ｘ)}/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k/{ｘ²－(π/2)²}²]＋∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{ｘ²－(π/2)²}²]＝－lim _R→∞∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{ｚ²－(π/2)²}²]＋2(π/2)^k-1が得られました。

右辺第１項はｚ＝Ｒexp(iθ),ｄｚ＝iＲexp(iθ)ｄθによって∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝ｉＲ∫₀^πｄθ[Ｒ^kexp(iｋθ)/{(Ｒexp(iθ)－π/2)²(Ｒexp(iθ)＋π/2)²}]となりますから,Ｒ→∞では|∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]|～πＲ^k+1/Ｒ⁴と書けます。

∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k/{ｘ²－(π/2)²}²]は実関数の実数積分であり,被積分関数はｋが偶数ならｘ∈(－∞,∞)では非負なので,この積分の符号は非負です。

　したがって,ｋが偶数故ｋ＝2ｍとおくと,この項はｍ＝0,1,すなわちｋ＝0,2では(ｋ＋1)＜4 によって,ゼロに収束しますが,ｍ≧2 or ｋ≧4 では,(ｋ＋1)＞4 なので ∞ に発散します。

　以上からI_k≡∫_-∞^∞ｆ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)はｋが偶数の場合,ｋ＝0,2 ならＩ_k＝(π/2)^k-1となって有限値,ｋが４以上のｋ＝4,6,..ならＩ_k＝∞＋(π/2)^k-1となって∞ に発散するという結果が得られました。

　ｋが奇数の場合ならI_kはゼロです。

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実数から複素数へ

せっかくデデキントの切断(Dedekind's cut)によって有理数から実数を定義したのですから,やはり39年くらい前の大学１～２年の頃の解析学の化石的ノートから,複素数の定義も記述しておきます。

要するに,また,得意の手抜きです。もっとも複素関数論ではなく複素数の話だけならカテゴリーとしては解析学の話ではなく代数学的,あるいは幾何学的な話ですね。

これまでと同じように"実数の集合＝実数体"をＲとします。

[定義１](複素数)

　複素数とは２つの実数ａ,ｂ∈Ｒの順序対,あるいは２次元の数ベクトル(ａ,ｂ)のことであり,実数をａ,ｂ,..,複素数をｘ,ｙ,..で表記することにすれば,ｘ＝(ａ,ｂ),ｙ＝(ｃ,ｄ)(ｃ,ｄ∈Ｒ)のとき,"ｘとｙが等しい,ｘ＝ｙであるとは,ａ＝ｃかつｂ＝ｄが成り立つことである。"

　また,これらの和,または加法,および積,または乗法の演算が,それぞれｘ＋ｙ≡(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ),およびｘｙ≡(ａｃ－ｂｄ,ａｄ＋ｂｃ)で定義されるものをいう。

　そして,こうして得られる複素数全体の集合をＣと書くことにする。

※     特に,複素数(1,0)と(0,0)については,とりあえずｕ≡(1,0),ｎ≡(0,0)と表記することにします。

[定理１]ｘ,ｙ,ｚを任意の複素数とする。すなわち∀ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃとする。このとき,(ａ)ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ,(ｂ)(ｘ＋ｙ)＋ｚ＝ｘ＋(ｙ＋ｚ),(ｃ)ｘｙ＝ｙｘ,(ｄ)(ｘｙ)ｚ＝ｘ(ｙｚ),(ｅ)(ｘ＋ｙ)ｚ＝ｘｚ＋ｙｚが成立する。

(証明)ｘ＋ｙ≡(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ),およびｘｙ≡(ａｃ－ｂｄ,ａｄ＋ｂｃ)による加法,乗法の定義に従って実際に演算を行えば確かに成立することがわかるので省略します。

　以下,証明を省略した定理を２つ述べます。

[定理２]∀ｘ∈Ｃに対してｘ＋ｎ＝ｘ,ｘｎ＝ｎ,ｘｕ＝ｘが成り立つ。

[定理３]ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃとする。ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｚならばｙ＝ｚである。

[定理４](逆元の存在)∀ｘ∈Ｃに対してｘ＋ｙ＝ｎを満たすｙ∈Ｃが唯１つ存在する。このｙを－ｘと書く。

(証明)ｘ＝(ａ,ｂ)のとき,ｙ＝(－ａ,－ｂ)とすればいいです。

　(証明終わり)

[定理５]∀ｘ,ｙ∈Ｃに対してｘ＋(－ｙ)をｘ－ｙと書くことにする。このとき,(ａ)ｘ－ｘ＝ｎ,(ｂ)(－ｘ)ｙ＝ｘ(－ｙ)＝－(ｘｙ)＝(－ｕ)(ｘｙ)が成立する。

(証明)略。　 

この定理の故に,(－ｘ)ｙ＝ｘ(－ｙ)＝－(ｘｙ)＝(－ｕ)(ｘｙ)を単に－ｘｙと書くことにします。

[定義２](絶対値)

　∀ｘ∈Ｃに対しｘ＝(ａ,ｂ)(ａ,ｂ∈Ｒ)なら|ｘ|≡(ａ²＋ｂ²)^1/2と書き,|ｘ|をｘの絶対値と呼ぶ。

[定理６]∀ｘ,ｙ∈Ｃに対して,(ａ)ｘ≠ｎなら|ｘ|＞0 ,また|ｎ|＝0 である。(ｂ)|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|が成り立つ。

(証明)略。

[定理７]ｘ,ｙ∈Ｃに対しｘｙ＝ｎならｘ＝ｎ,またはｙ＝ｎである。

(証明) 定理６より,ｘｙ＝ｎなら|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|＝0 ,故に|ｘ|＝0,または|ｙ|＝0 です。

　そこで再び定理６からｘ＝ｎ,またはｙ＝ｎです。

(証明終わり)

[定理８]ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃ,ｘｙ＝ｘｚでｘ≠ｎならｙ＝ｚである。

(証明)ｘ(ｙ－ｚ)＝ｘｙ－ｘｚ＝ｎでｘ≠ｎなので定理７によってｙ－ｚ＝ｎ,よってｙ＝ｚです。

　(証明終わり)

[定理９]∀ｘ∈Ｃ,ただしｘ≠ｎに対して,ｘｙ＝ｕを満たす複素数ｙが唯１つ存在する。このｙをｕ/ｘと書く。

(証明)ｘ＝(ａ,ｂ)(ａ,ｂ∈Ｒ)とするとき,ｘ≠ｎなのでａ²＋ｂ²≠0 です。そこでｙ≡(ａ/(ａ²＋ｂ²),－ｂ/(ａ²＋ｂ²))とすれば,ｘｙ＝(ａ,ｂ)(ａ/(ａ²＋ｂ²),－ｂ/(ａ²＋ｂ²))＝(1,0)＝ｕが確かに成り立ちます。ｙ＝ｕ/ｘの一意性は定理８より明らかです。

　(証明終わり)

[定理10](除法)∀ｘ,ｙ∈Ｃ,ただしｘ≠ｎに対してｘｚ＝ｙを満たす複素数ｚが唯１つ存在する。このｚをｙ/ｘと書く。

(証明)ｚ≡(ｕ/ｘ)ｙとおけば,ｘｚ＝ｕｙ＝ｙです。

　(証明終わり)

[定理11](実数)

　ａ,ｂ∈Ｒとします。このとき,(ａ)(ａ,0)＋(ｂ,0)＝(ａ＋ｂ,0),(ｂ)(ａ,0)(ｂ,0)＝(ａｂ,0),(ｃ)ｂ≠0 なら(ａ,0)/(ｂ,0)＝(ａ/ｂ,0), (ｄ)|(ａ,0)|＝|ａ| が成立する。

(証明)明らかなので略。

※     定理11から,(ａ,0)(ａ∈Ｒ)の形の複素数は実数ａと全く同じ性質を持って１対1に同型対応することがわかるので,以下では複素数(ａ,0)(ａ∈Ｒ)を実数ａと同一視して単にａと書くことがあります。

　この同定によってＲはＣの部分集合になります。すなわち,Ｒ⊂Ｃです。そこで,特に以下ではｕ＝(1,0)を単に1,ｎ＝(0,0)を単に 0 と書きます。

[定義３](虚数)

　複素数(0,1)をｉと書く。

[定理12]ｉ²＝－1 である。

(証明)ｉ²＝(0,1)(0,1)＝(－1,0)＝－1 です。

　(証明終わり)

[定理13]∀ａ,ｂ∈Ｒに対して,(ａ,ｂ)＝ａ＋ｂiである。

(証明)ａ＋ｂi＝(ａ,0)＋(ｂ,0)(0,1)＝(ａ,0)＋(0,ｂ)＝(ａ,ｂ)

(証明終わり)

[定理14]∀ｘ,ｙ∈Ｃに対して,|ｘ＋ｙ|≦|ｘ|＋|ｙ|である。

(証明) ｘ＋ｙ＝0 なら自明なので,ｘ＋ｙ≠0 とする。このときλ≠|ｘ＋ｙ|/(ｘ＋ｙ)と置けば,定理６(ｂ)より|λ|＝1 です。

　そしてλｘ＋λｙ＝|ｘ＋ｙ|です。

　よってλｘ＋λｙは実数ですから,λｘ＝(ａ,ｂ),λｙ＝(ｃ,ｄ)ならλｘ＋λｙ＝(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ)＝(ａ＋ｃ,0)＝ａ＋ｃです。

　そして|ａ|≦|λｘ|＝|ｘ|,かつ|ｃ|≦|λｙ|＝|ｙ|です。したがって,|ｘ＋ｙ|＝λｘ＋λｙ＝ａ＋ｃ≦|ａ|＋|ｃ|≦|ｘ|＋|ｙ|が成立します。

　(証明終わり)

[定義４](共役複素数)

　複素数ｚ＝(ａ,ｂ)＝ａ＋ｂi(ａ,ｂ∈Ｒ)に対して,複素数ｚ^*≡(ａ,－ｂ)＝ａ－ｂiをｚの共役複素数という。

以下は通常の歴史的な複素数の展開の繰り返しになるので,ここでやめます。要するに,ここで展開した一連の話は,歴史的には代数方程式の実数解を求めるための過渡的な仮想数として便宜上導入された複素数をヒルベルト(Hilbert)などの思想に基づいて,公理的発想で代数的に再構築したモデルの１例になっている思われます。

数十年前に,この定義を初めて学んだ頃は,確かに新鮮でしたが,単に複素数をガウス平面の２次元ベクトルとする平面幾何の猫像をやや記号的に定式化しただけだとしか思いませんでした。

例えばガウス平面の実軸)上の点ａ＝(ａ,0)(ａ＞0 )に虚軸上の点ｉ＝(0,1)を乗じると,これは幾何学的にはベクトルのπ/2だけの正の回転に相当し,結果的に積としての点がａi＝(0,ａ)となり,その上さらにｉ＝(0,1)を乗じると,さらにπ/2回転されることになって,合計πだけ回転されて点－ａ＝(－ａ,0)に移ります。

それ故,ｉを２回続けて乗じることは,ネットで－1を乗じることに相当し,ｉ²＝－1と同定されますが,こうした話を言い換えただけに過ぎないという感じで割と軽視していました。

しかし,物理学で相対性理論のエネルギーの等式Ｅ²＝ｐ²ｃ²＋ｍ²ｃ⁴の平方根を取ったとき,Ｅ＝±ｃ(ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2の右辺は非常に扱いにくい非線型な形式ですが,これを次元を増やして行列を用いて表現すれば線形化できるというディラックの相対論的波動方程式のアイデアを見るなどの思考体験もあって,後には少なからず見方が変わりました。

数十年も経った現在の心境としては,論理学での帰納法に関するペアノ(Peano)の公理系と同じような感覚を持って見ています。

実証科学である他の自然科学での,複素数は仮想数であるとか,２乗して－1になる数などそもそもこの世には存在しないとかの「実在するしない」という類の不毛な論議とは関係なく,

上記のような定式化は単に数学的実体として,複素数は２元数として存在するという考えを,陽に表現して明確化する,という意味がある,と思うに至っています。 

参考文献:Walter.Rudin「Principles of Mathematical Analyss」second Edition(McGrawHill)

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解析接続の意味

例によって「ＥＭＡＮの物理学」の談話室での話題なのですが,ゼータ関数の定義に関連して,無限級数(の和)によって定義された関数の解析接続とか一致の定理というのは何か？についての議論が進み,ほぼ終局の状態です。

私自身はまだ言い足りないことがあったので,ここでの記事にしますが,実は投稿したものとほぼ同じです。

ダブルポストなので,通常はルール違反なのですが,自分のブログなのでかまわないでしょう。

それに掲示板ではフォントなどが限られているので,ブログでは自分の好きな形式で書けるという意味もあります。

　結局は,2006年４月23日の記事「くりこみ回避のアイデア」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/04/post_7d36.html

　で書いた話を少し精密にしただけです。

　私は,複素関数論での通常の解析接続の説明では飽き足らず,物理屋的な解説を目指しました。

　まず,ｚを任意の複素数とすると,Σ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)です。これは有限級数の和なので,|ｚ|＜1でも,ｚ＝－1でもｚ＝2でも成り立つ等式です。

　そして,|ｚ|＜1ならｎ→ ∞ で|ｚⁿ|→ 0 なので,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ)が成り立ちます。

　　しかし,ｚ＝2ではｎ→ ∞ で|ｚⁿ|→ ∞ であり,ｚ＝－1ではｎ→ ∞ でｚⁿが確定値を取らないので,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ) は成立しません。

　　そこで,複素関数ｆ(ｚ)を|ｚ|＜１で与えられる定義域においてｆ (ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...(|ｚ|＜１)によって定義することにします。

　こう定義すれば,|ｚ|＜１の領域では ｆ (ｚ)は関数１/(1－ｚ)に一致します。

　|ｚ|＞1やｚ＝－1では等式Σ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)は成立しますが,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ)は成立しません。

　しかし,そうした|ｚ|＜１の領域以外のｚに対しても部分和を表わす右辺の(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)での分子のｚⁿを無視して,(1－ｚⁿ)を１としたものと ｆ (ｚ)を同一視してｚ＝１を除く全複素平面でｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ) (ｚ≠1)と定義することにします。

　つまり,ｆ (ｚ)≡lim_ｎ→∞［{1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1}＋ｚⁿ/(1－ｚ)]という式を関数ｆ (ｚ)の正しい定義とするわけです。

　|ｚ|＜1なら,この後の定義も|ｚ|＜1 におけるｆ(ｚ)に対する前の定義ｆ(ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...(|ｚ|＜１)と全く一致します。

　一方,|ｚ|＞１やｚ＝－１では差し引くべき項:{－ｚⁿ/(1－ｚ)}は収束しません。

　特に|ｚ|＞1なら|ｚⁿ/(1－ｚ)|→∞ なので, ｆ (ｚ)≡lim_ｎ→∞［{1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1}＋ｚⁿ/(1－ｚ)]は形式的に無限大から無限大を引くという意味に取ることも可能で,これは物理学でのくりこみの処方に似ています。。

　ここまでは,直接には解析接続とは無関係な話です。

　そして複素関数論では ｆ (ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ) (|ｚ|＜1)を特異点ｚ＝１を避けて延長した点でも,それが正則関数になるように,|ｚ|≧1,ｚ≠１なる点まで接続すれば,一致の定理によってそうした点でも ｆ (ｚ)は１/(1－ｚ)に一致する場合しか有り得ないことがわかります。

　実際,ｚ＝－1＋αと置けばΣ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋・・＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)なる等式はｃ₀,ｃ₁,..,ｃ_n-1をある定数の複素係数としてΣ_k=1ⁿ(α－1)^k-1＝Σ_k=1ⁿｃ_k-1α^k-1＝{(α－1)ⁿ－1}/(α－2)と変形できます。

そして,|ｚ|＝|α－1|＞1なら右辺は,1/(1－ｚ)＝－1/(α－2)にはなりません。

　しかし一方,αの絶対値が十分小さいならｚ＝－1＋αの絶対値が１より大きくても,つまり|ｚ|＝|－1＋α|＞1でも ｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ)＝－1/(α－2)＝(1/2)/(1－α/2)＝(1/2)Σ_n=1^∞(α/2)^n-1＝(1/2)[1＋(α/2)＋(α/2)²＋...]＝(1/2)Σ_n=1^∞{(ｚ＋1)/2}^n-1＝(1/2)[1＋{(ｚ＋1)/2}＋{(ｚ＋1)/2}²＋...]とテイラー展開されます。

　つまり,ｚ＝0 のまわりでは|ｚ|＝|－1＋α|＞1なので, ｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ)はｚのべきでは展開できなくても,ｚ＝－1のまわりではα＝(ｚ＋1)の無限べき級数に展開可能ですから,ｆ (ｚ)は確かに|ｚ|＞1,ｚ≠１なる領域でも解析的です。

　また,一致の定理の内容というのは同じ点を中心としたテイラー級数の展開係数の一意性により,今の ｆ (ｚ)の場合,|ｚ|＜１ 以外の領域でも,その解析性(ベキ級数への展開可能性)を保持しながら ｆ (ｚ)を|ｚ|＜１から連続的に延長していったとき,もしも２通り以上の延長(接続)方法があったとしても,それらは一致するという定理です。

　このことから,解析接続する方法は一意的に決まります。

　今日は,短かいけれどこれで終わりです。

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    物理学

代数学の基本定理

コーヒー・ブレイクとして,ガウスの代数学の基本定理＝"複素係数の多項式は,それが定数でなければ複素数体Ｃの中に必ず零点を持つ。"の証明について記述してみます。 

　まず普通の証明です。 

(証明)あるｚの多項式ｆ(ｚ)＝ａ₀＋ａ₁ｚ＋..＋ａ_Nｚ^N＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1)が任意に与えられたとき,これが複素数体Ｃの中に零点を持たないと仮定すると,ｇ(ｚ)≡1/ｆ(ｚ)はＣ全体で正則です。

　ところが十分大きい正の数Ｒに対して|ｚ|≧Ｒなら|ｆ(ｚ)|/|ｚ|^N＝|ａ_N＋ａ₁/ｚ＋..＋ａ₀/ｚ^N|≧|ａ_N|－|ａ₁/ｚ＋..＋ａ₀/ｚ^N|≧|ａ_N|/2となります。

　すなわち,|ｆ(ｚ)|≧|ａ_Nｚ^N|/2なので,|ｇ(ｚ)|＝1/|ｆ(ｚ)|≦2/|ａ_Nｚ^N|≦2/|ａ_NＲ^N|,つまりｇ(ｚ)は|ｚ|≧Ｒで有界です。

　そこで,閉領域|ｚ|≦Ｒでの|ｇ(ｚ)|の最大値をＭとすると,|ｚ|≦Ｒなら|ｇ(ｚ)|≦Ｍ,|ｚ|≧Ｒなら|ｇ(ｚ)|≦2/|ａ_NＲ^N|です。よって,ｇはＣ全体で有界です。

　ところが最大絶対値の原理によって,ｇはＣ全体で正則(つまり整関数),かつ有界なのでこれは定数です。これはｆ(ｚ)＝1/ｇ(ｚ)＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ においてａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1であるという仮定と矛盾します。したがってｆはＣに零点を持ちます。(証明終わり)

　以上の証明が,通常,複素関数論の初学者が教えられる一般的な証明でしょう。 

　ここで,"有界な整関数は定数しかない。"という命題が最大絶対値の原理に帰すると書きましたが,最大絶対値の原理というのは"ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がＤで最大値を取るならばｆは定数である。"というものです。

こうした複素関数論における定理の出発点は大体においてコーシーの積分定理にあります。

これは,"領域Ｄで正則な関数ｆがあってＣをＤの内部にあって正の向きにまわる閉曲線の経路とするときＣが１点にホモトープ(領域の場合は単連結と同義)なら∫_Cｆ(ｚ)＝0 である。"という定理です。

これと,∫_|z－α|=ρｄｚ/(ｚ－α)＝2πiという計算式から,"Ｃを単純閉曲線としαはＣの上にない点とすると,αがＣの囲む領域の内部にあれば∫_Cｄｚ/(ｚ－α)＝2πi, αがＣの外部にあれば∫_Cｄｚ/(ｚ－α)＝0 である。"という命題が成立します。

したがって,ｆを領域Ｄで正則な関数としＣを単純閉曲線としてＣとその内部(Ｃ)がＤに含まれるとき∀ｚ∈(Ｃ)に対してｆ(ｚ)＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]という積分表示が成立します。

そして,ｆ(ｚ)を滑らかな単純閉曲線Ｃ上で連続な関数であるとしてＣ上にない点ｚ∈Ｄ対して関数φ(ｚ)≡∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]を定義します。

このとき,Ｃの上にない点αに対し,Ｒ_α≡inf{|ζ－α|:∀ζ∈Ｃ}とおけば 0＜ρ＜Ｒ_αなる任意のρについて,|ｚ－α|≦ρなら1/(ζ－ｚ)＝1/[(ζ－α)－(ｚ－α)]＝{1/(ζ－α)}[1/{1－(ｚ－α)/(ζ－α)}]＝Σ_n=0^∞(ｚ－α)ⁿ/(ζ－α)ⁿ⁺¹が成り立ちますから,ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)＝Σ_n=0^∞(ｚ－α)ⁿ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}となります。

右辺は∀ζ∈Ｃに関して一様収束するので,ａ_n≡∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}とおくと,|ｚ－α|≦ρならφ(ｚ)＝∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとベキ級数展開ができます。

ところが,関数φ(ｚ)が|ｚ－α|≦ρで絶対かつ一様収束するベキ級数に展開可能なとき,φ(ｚ)はαの近傍で無限回微分可能です。そして関数の"ベキ級数＝Taylor級数"の展開係数の一意性によってａ_n＝φ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}なる等式が成立します。

一方,先に述べたように,"ｆを領域Ｄで正則な関数としＣを単純閉曲線としてＣとその内部(Ｃ)がＤに含まれるとき,∀ｚ∈(Ｃ)に対してｆ(ｚ)＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]が成立する。"という定理があります。

そこで,ｆ(ｚ)は∀α∈Ｄに対して|ｚ－α|＜Ｒ_α＝inf{|ζ－α|:∀ζ∈Ｃ}で一意的にｆ(ｚ)＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとベキ級数に展開できて,ａ_n＝ｆ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}が成立することがわかります。

したがって,ｆ(ｚ)が円板Ｎ(α;Ｒ)≡{ｚ:|ｚ－α|＜Ｒ}において正則であるとすると,ｆ(α)＝{1/(2πi)}∫_|z－α|=ρ[ｆ(ｚ)/(ｚ－α)]ｄｚ；0＜ρ＜Ｒと表現されます。

ｚ＝α＋ρｅ^iθ;0≦θ≦2πと書けば,ｆ(α)＝{1/(2π)}∫₀^2πｆ(α＋ρｅ^iθ)ｄθ；0＜ρ＜Ｒと変形されます。

これはいわゆる平均値の定理ですが,これから絶対値についての不等式として|ｆ(α)|≦{1/(2π)}∫₀^2π|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|ｄθ;0＜ρ＜Ｒが得られます。

ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がα∈Ｄで最大値を取るとすると,∀ｚ∈Ｄに対して|ｆ(ｚ)|≦|ｆ(α)|です。

そこで,Ｎ(α;Ｒ)＝{ｚ∈Ｃ:|ｚ－α|＜Ｒ}⊂Ｄとなるように半径Ｒを取ると 0＜ρ＜Ｒ なるρに対して|ｆ(α)|≦{1/(2π)}∫₀^2π|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|ｄθ≦|ｆ(α)|と書けます。

よって 0＜ρ＜Ｒ なる任意のρについて,中心がαで半径がρの円周上では,|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|＝|ｆ(α)|ですから,ｚ∈Ｎ(α;Ｒ)なら|ｆ(ｚ)|＝|ｆ(α)|＝一定です。すなわち,円板Ｎ(α;Ｒ)において|ｆ|は定数です。

このときｆ≡ｕ＋iｖ(ｕ＝Reｆ,ｖ＝Imｆ)とおくと|ｆ|²＝ｕ²＋ｖ²であり,これが定数ですからｕ・ｕ_x＋ｖ・ｖ_x＝ｕ・ｕ_x－ｖ・ｕ_y＝0 かつ,ｕ・ｕ_y＋ｖ・ｖ_y＝ｕ・ｕ_y＋ｖ・ｕ_x＝0 から直ちにｕ_x＝ｕ_y＝ｖ_x＝ｖ_y＝0 が得られるので,結局Ｎ(α:Ｒ)においてｆ自身が定数です。

したがって,一致の定理によってｆはＤ全体で定数となることがわかります。

こうして,"ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がＤで最大値を取るならばｆは定数である。"という最大絶対値の原理を得ました。

ここでｆが整関数の場合にはｆが正則関数である領域Ｄとして,無限遠点を除く複素平面全体Ｃ＝{ｚ；|ｚ|＜∞}を採用できます。

そして,そのとき|ｆ|がＤで最大値を取るという命題はｆがＣで有界であることと同じですから,結局,"有界な整関数は定数である。"という定理が得られます。

これをリウヴィルの定理(Liouville)といいます。

ついでに一致の定理ですが,これは解析接続という概念の元になるもので,"ｆ,ｇが領域Ｄで正則とする。Ｄの部分集合Ａのあらゆる点ｚでｆ(ｚ)＝ｇ(ｚ)が成立し,Ａのある集積点がＤに含まれるならばＤ全体でｆ＝ｇである。"というものです。

一応これも証明しておきましょう。 

(証明)仮定によって,Ａのある集積点がＤに含まれるので,αをα∈ＤなるＡの集積点とします。

　αに収束するＡの点列{ｚ_n}_n=1,2,..⊂Ａが存在して,φ≡ｆ－ｇとおくとφ(ｚ_n)＝0 (ｎ＝1,2,..)が成立します。

　φはＤで正則ですから,その連続性によってφ(α)＝lim_n→∞φ(ｚ_n)＝0 です。しかし,"Ｄ全体では,φ≠0 である,つまり,φ(ｚ)≠0 なるｚ∈Ｄが存在する。"として矛盾を導きます。

ここでφ⁽ⁿ⁾(α)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)である場合を考えます。

そしてある任意の点ζ∈Ｄを選びζとαをＤ内の折れ線Ｃで結びます。Ｄは領域ですから開集合であり,それ故,Ｃの点はすべてＤの内点ですが,ＣはＤの有界閉集合なのでコンパクトです。つまりＣの有限個の点を中心としてＤに含まれる有限個の開近傍の集合で閉曲線Ｃを被覆することができます。

したがって折れ線Ｃと境界∂Ｄとの距離をｄ≡inf{|ζ₁－ζ₂|:ζ₁∈Ｃ,ζ₂∈∂Ｄ}とすると,これはゼロではなくて正:ｄ＞0 です。

ここで,Ｃ上に十分多くの有限個の点α＝ｚ₀,ｚ₁,..,ｚ_p-1,ｚ_p＝ζを取って,|ｚ_j+1－ｚ_j|＜ｄ (ｊ＝0,1,2,..,ｐ－1)が満たされるようにします。そして,Δ_ｊ≡{ｚ∈Ｃ：|ｚ―ｚ_j|＜ｄ}(ｊ＝0,1,2,..,ｐ－1)と置きます。

円Δ₀:|ｚ－α|＜ｄ内ではｚ∈Ｄとなるので,そこでφは正則です。それ故,φを展開しφ(ｚ)＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとすれば,全てのｎについてａ_n＝φ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝0 と書けるので,Δ₀内ではφ＝0 です。

したがって,ｚ₁∈Δ₀でも全てのｎについてφ⁽ⁿ⁾(ｚ₁)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)となります。

同様に,円Δ₁:|ｚ－ｚ₁|＜ｄ内でφを(ｚ－ｚ₁)のベキ級数に展開することでΔ₁内ではφ＝0 を得ます。

それ故,ｚ₂∈Δ₁でφ⁽ⁿ⁾(ｚ₂)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)が得られます。これを繰り返していって,結局Δ_p-1でφ＝0 となり,ζ＝ｚ_p∈Δ_P-1なのでφ(ζ)＝0 を得ます。

ζはＤ内の任意の点であると仮定していましたから,結局φ⁽ⁿ⁾(α)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)である場合にはＤ全体でφ＝0 である,という結論が得られます。

一方,Ｄで恒等的にφ＝0 というわけではなくて,αは正則関数φの単なる零点であるとするならばφ^(k)(α)＝0(ｋ＝0,1,...ｍ－1),φ^(m)(α)≠0 となるある正の整数ｍが存在するはずです。このときαはφのｍ位の零点である,あるいはｍは零点αの位数であるといいます。

そして,φのαの近傍Ｕでの展開はφ(ｚ)＝Σ_n=m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝(ｚ－α)^mΣ_k=0^∞ａ_m+k(ｚ－α)^k；ａ_m≠0 となりますからψ(ｚ)≡Σ_k=0^∞ａ_m+k(ｚ－α)^kとおけばψ(ｚ)はαの近傍Ｕで正則であってψ(α)≠0 であり,φ(ｚ)＝(ｚ－α)^mψ(ｚ)と書けます。

ところでφ(α)＝0 となることはわかっていて,φ≠0 と仮定したので,ある正の整数ｍが存在してαの近傍Ｕで正則かつψ(α)≠0 なるψを用いてφ(ｚ)＝(ｚ－α)^mψ(ｚ)と表わせます。

そして,十分大きいｎに対しｚ_n≠αはＵに含まれますから,φ(ｚ_n)＝(ｚ_n－α)^mψ(ｚ_n)＝0 です。

よって,十分大きいｎでψ(ｚ_n)＝0 が成立します。

したがって,ψの連続性によってψ(α)＝lim_n→∞ψ(ｚ_n)＝0 となりますから,これはψ(α)≠0 に矛盾します。

要するに,収束する点列の上で正則関数φの値が常にゼロというのは,φのあらゆる導関数もまたゼロなることを意味しているわけです。

したがって,Ｄ全体でφ＝ｆ－ｇ＝0 :つまりｆ＝ｇ,あるいはｆとｇが一致するという定理の結論が得られました。

(証明終わり)

しかし,私が学生時代に初めて大学で函数論を履修したときに代数学の基本定理の証明として教わったものは,もっと複雑なルーシェの定理によるもので,講義を受けたその場ですぐには理解できませんでした。

「ＤをＣの有界領域としｆをＤ上の正則関数,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線でその上にはｆの零点はないものとする。ｇをＤ上の正則関数でＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ｆ(ｚ)|と仮定する。このときＣの囲むｆの零点の個数と(ｆ＋ｇ)の零点の個数は等しい。」というのがルーシェの定理です。

これの証明に取りかかる前にそのために必要な予備知識や補助的定理などについて考察します。

　まず,有理型関数というものを定義します。

　"ＤをＣの領域とする。Ｄ内では特異点を持っても極に過ぎないような関数をＤ上の有理型関数と呼ぶ。"というものです。 

そして,α∈Ｃとρ₁＜ρ₂≦∞ に対し円環領域:Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)≡{ｚ∈Ｃ：ρ₁＜|ｚ－α|＜ρ₂}の上でｆが正則関数であるとします。

このとき,ｆはＲ(α;ρ₁,ρ₂)においてｆ(ｚ)＝Σ_n=-1^-∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＋Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿと展開されます。

この展開をｆのローラン展開(Laurent expantion)と呼びます。

この級数の収束は絶対かつ広義一様収束です。

これを証明するために,ｚ∈Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)を任意に取りρ₁',ρ₂'をρ₁＜ρ₁'＜|ｚ－α|＜ρ₂'＜ρ₂となるように取ります。また,ρ＞0 をρ＜ｄ≡inf{|ｚ－ζ|:ζ∈∂Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)}なる値に取ります。

そして点α＋ρ₁'ｅ^i(argz)からαを中心として半径ρ₁'の円を反時計回りに一周する曲線をＣ₁,α＋ρ₁'ｅ^i(argz)から,α＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)へ向かう線分をＣ₂,α＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)から時計回りにα＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)まで半周する曲線をＣ₃,α＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)からα＋ρ₂'ｅ^i(argz)に向かう線分をＣ₄,α＋ρ₂'ｅ^i(argz)から半径ρ₂'の円を反時計回りに一周する曲線をＣ₅,α＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)から時計回りにα＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)まで半周する曲線をＣ₆とします。

このとき,Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)－{ｚ}内でＣ≡－Ｃ₁＋Ｃ₂＋Ｃ₃＋Ｃ₄＋Ｃ₅－Ｃ₄＋Ｃ₆－Ｃ₂は１点にホモトープなので,∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)＝0 です。

それ故,ｆ(ｚ)＝{－1/(2πi)}∫_C3＋C6ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＋{1/(2πi)}∫_C5ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]です。

Ｃ₁上では|(ζ－α)/(ｚ－α)|＜1で,－1/(ζ－ｚ)＝－1/{(ζ－α)－(ｚ－α)}＝{1/(ｚ－α)}[1/{1－(ζ－α)/(ｚ－α)}]＝Σ_n=0^∞(ζ－α)ⁿ/(ｚ－α) ⁿ⁺¹ですから,ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)＝Σ_n=0^∞(ζ－α)ⁿｆ(ζ)/(ｚ－α)ⁿ⁺¹です。

それ故,{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=-1^-∞[{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)](ｚ－α)ⁿとなります。

同様にＣ₅上では|(ｚ－α)/(ζ－α)|＜1ですから,{1/(2πi)}∫_C5ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=0^∞[{1/(2πi)}∫_C5ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)](ｚ－α)ⁿとなります。

そして,(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)は∀ζ∈Ｒ(α;ρ₁,ρ₂):ρ₁＜|ζ－α|＜ρ₂なるζに関して正則ですから,∫_C1ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)＝∫_C5ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)です。

よって,全ての整数ｎに対してａ_n≡∫_|ζ－α|=ρｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ);ρ₁＜ρ＜ρ₂の値はρの取り方に依らないことになります。つまりａ_nはwell-definedになります。

そしてこの展開係数ａ_nによって,ｆは確かにＲ(α;ρ₁,ρ₂)でローラン展開されてｆ(ｚ)＝Σ_n=-1^-∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＋Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿと表現されることがわかりました。

そこで"ｆ(ｚ)がＤ上の有理型関数である。"というのは∀α∈Ｄについて,αを除くαの近傍でのｆのローラン展開ｆ(ｚ)＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿにおいて,ｎ＜0 についてａ_n≠0 なるものが有限個しかないこと,つまりαが高々ｍ位の極であって,ｆ(ｚ)＝Σ_n=-m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝ａ_-m/(ｚ－α)^m＋ａ_-m+1/(ｚ－α)^m-1＋..＋ａ₀＋..と表わされることを意味します。

このときローラン展開の展開係数ａ_-1を特にｆのαでの留数と呼びRes(α;ｆ)と書きます。

そして,ρ＞0 が十分小さいときには実際に級数を項別積分すると{1/(2πi)}∫_|ζ－α|=ρｆ(ζ)ｄζ＝ａ_-1となるので,Res(α;ｆ)＝{1/(2πi)}∫_|ζ－α|=ρｆ(ζ)ｄζが成立します。

特異点αが無限遠点＝∞ のときには,ｚ~≡1/ｚとおいてｆのローラン展開をｆ(ｚ)＝Σ_n=-∞^∞ａ_nｚⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_-nｚ~ⁿ ≡ｆ~(ｚ~)と置き,ｆの ∞ での留数をRes(∞;ｆ)＝－ａ_-1＝{1/(2πi)}∫_|1/ζ|=ρｆ(ζ)ｄζ＝{1/(2πi)}∫_|1/ζ|=ρｆ~(1/ζ)ｄ(1/ζ)で定義します。

αが１位の極のときには,Res(α;ｆ)＝lim_z→α(ｚ－α)ｆ(ｚ)によって,具体的にｆのαでの留数を求めることができます。

また,αがｍ位の極(ｍ≧2)のときには,Res(α;ｆ)＝{1/(ｍ－1)!}[(ｄ^m-1/ｄｚ^m-1)(ｚ－α)^mｆ(ｚ)]_z=αによって,ｆのαでの留数が求められます。

ここで,Ｄ上の有理型関数ｆ(ｚ)に対して対数微分(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ＝ｄ(logｆ)/ｄｚを考えると,α∈Ｄがｆの零点でも極でもないなら,(ｄｆ/ｄｚ)/ｆはα∈Ｄで正則です。

しかし,α∈Ｄがｆのｍ位の零点なら,α≠∞ のとき,ｆ(ｚ)＝Σ_n=m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ,ｄｆ/ｄｚ＝Σ_n=m^∞ｎａ_n(ｚ－α)^n-1なので,(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ＝ｍ/(ｚ－α)＋Σ_n=0^∞ｃ_n(ｚ－α)ⁿと表わせます。

よって,Res(α;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝ｍです。同様にα＝∞ のときにもRes(∞;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝ｍ を得ることができます。

また,α∈Ｄがｆのｐ位の極ならα≠∞ のとき,ｆ(ｚ)＝Σ_n=-p^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ,ｄｆ/ｄｚ＝Σ_n=-p^∞ｎａ_n(ｚ－α)^n-1なので,Res(α;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝－ｐです。同様にα＝∞ のときも,Res(∞;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝－ｐを得ます。

それ故,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線であって,その上にはｆの零点も極もないとき,Ｃが囲むＤの領域内にｆのｍ_ν位の零点α_ν(ν＝1,2,..), およびｐ_μ位の極β_μ(μ＝1,2,..)があるとすれば,{1/(2πi)}∫_C(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚ＝Σｍ_ν－Σｐ_μと表わすことができます。

さらに,ｄ(logｆ)＝(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚより,{1/(2πi)}∫_C(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚ＝{1/(2πi)}[(logｆ)]_C＝[argｆ]_C/(2π)ですから,この積分はｚが閉曲線Ｃをまわるときの"ｆの偏角:argｆの変化を(2π)で割ったもの＝回転数"を表わしていると考えられます。

さて,ルーシェの定理＝"ＤをＣの有界領域としｆをＤ上の正則関数,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線でその上にはｆの零点はないものとする。

ｇをＤ上の正則関数でＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ｆ(ｚ)|と仮定する。

このとき,Ｃの囲むｍ位の零点をｍ個と重複して数えると,ｆの零点の個数と(ｆ＋ｇ)の零点の個数は等しい。"ことを証明します。

(証明)ｆ,ｇはＤ上の正則関数なので,ｆも(ｆ＋ｇ)もＣの囲む領域に零点は持っていても極を持つことはありません。

ｍ位の零点をｍ個と重複して数えたときのｆの零点の総数をＭとすると,(ｆ＋ｇ)の零点の総数Ｍ'はＭ'＝{1/(2πi)}∫_C{(ｆ'＋ｇ')/(ｆ＋ｇ)ｄｚ＝{1/(2πi)}∫_C[(ｆ'/ｆ)＋(ｇ/ｆ)'/{1＋(ｇ/ｆ)}]ｄｚ＝Ｍ＋{1/(2πi)}∫_C[(ｇ/ｆ)'/{1＋(ｇ/ｆ)}]ｄｚ＝Ｍ＋{1/(2πi)}∫_C(ｈ'/ｈ)ｄｚとなります。ここでｈ≡{1＋(ｇ/ｆ)}とおきました。

ところが,Ｃ上で|ｇ/ｆ|＜1ですから,|1＋(ｇ/ｆ)|≦1＋|ｇ/ｆ|＜2,かつ|1＋(ｇ/ｆ)|≧1－|ｇ/ｆ|＞0です。したがって,ｈ＝{1＋(ｇ/ｆ)}はＣ上に零点も極も持ちません。

またＣ上で|1－ｈ|＜1ですから,点１からｈまでの距離は常に1より小さいことになります。そこでｚがＣ上を１回転するときｈがlogｈの分岐点ｈ＝0 のまわりを回転することは決してありません。

それ故,∫_C(ｈ'/ｈ)ｄｚ＝0 です。

以上から,結局Ｍ'＝Ｍであることが示されました。

(証明終わり)

そこで,ｚのＮ次多項式ｆ(ｚ)＝ａ₀＋ａ₁ｚ＋..＋ａ_Nｚ^N＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1) が任意に与えられたとき,ｆ(ｚ)＝ａ_Nｚ^N＋ｇ(ｚ) (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1)とおけば,正則関数ａ_Nｚ^N はＮ位の零点としてｚ＝0 があるだけなのでａ_Nｚ^Nの零点の総数はＮです。

そしてルーシェの定理の閉曲線Ｃを円:|ｚ|＝Ｒに取れば,Ｒが十分大きいときにはＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ａ_Nｚ^N|ですから,この定理によって任意のＮ次多項式は丁度Ｎ個の零点を持つことが結論されます。 

　参考文献：野口潤次郎 著「複素解析概論」(裳華房)；岸 正倫,藤本担孝 共著「複素関数論」(学術図書)；Benjamin Fine,Gerhard Rosenberger 著(新妻弘,木村哲三 訳)「代数学の基本定理」(共立出版) 

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フックス関数の理論(2)(ポアンカレの理論)

　続きです。２つ目の初期論文です。

同じフックス群に対応し,正の整数ｍの値が同じである２つのテータフックス関数の比Ｆ(ｚ)はｚの１価関数であって,Ｆ(ｚＫ_i)＝Ｆ(ｚ)が成り立つ。

故に,前に与えた定義からＦ(ｚ)は１つのフックス関数である。

つまり,定数ａ,ｂ,ｃ,ｄの無数の値に対して,恒等的にＦ([(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ)]＝Ｆ(ｚ)が成り立つ。

　私(Poincare')は次の２つの定理を証明する。

１°同じ群に属しその定義の結果として生ずるもの以外には真性特異点を持たない２つのフックス関数の間には代数的関係が存在する。

※(注1)基本領域が基本円の上に集積する結果としてフックス関数は基本円上に真性特異点を持ちます。定義の結果として生ずる真性特異点とはこれを指しています。

　以下,このようなもの以外には真性特異点を持たないフックス関数を２つ取るとそれらは互いに他の代数関数になっているという意味です。(注１終わり)※

２°全てのフックス関数Ｆ(ｚ)は次のようにして代数関数を係数とする線型方程式を積分することができる。

　すなわち,もしｘ＝Ｆ(ｚ),ｙ₁＝(ｄＦ/ｄｚ)^1/2,ｙ₂＝ｚ(ｄＦ/ｄｚ)^1/2と置くなら,ｙ₁,ｙ₂は微分方程式:ｄ²ｙ/ｄｘ²＝ｙφ(ｘ)を満足し,φ(ｘ)は代数関数である。

※(注２)ｙ₁,ｙ₂を解とする２階線形常微分方程式は,det(ｙ,ｙ',ｙ")＝0 ,すなわち,ｙ"－[(ｙ₁ｙ₂"－ｙ₁"ｙ₂)/(ｙ₁ｙ₂'－ｙ₁'ｙ₂)]ｙ'＋[(ｙ₁'ｙ₂"－ｙ₁"ｙ₂')/(ｙ₁ｙ₂'－ｙ₁'ｙ₂)]ｙ＝0 で与えられます。

　ｙ≡^t(ｙ,ｙ₁,ｙ₂),ｙ'≡ｄｙ/ｄｘ,ｙ"≡ｄ²ｙ/ｄｘ²です。

　今,ｘ＝Ｆ(ｚ),ｙ₁＝(ｄＦ/ｄｚ)^1/2,ｙ₂＝ｚ(ｄＦ/ｄｚ)^1/2と置けば,具体的に,ｙ₁'＝(ｄＦ/ｄｚ)^-3/2ｄ²Ｆ/ｄｚ²,ｙ₂'＝(ｄＦ/ｄｚ)^-1/2＋(ｚ/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-3/2ｄ²Ｆ/ｄｚ²,

　そして,ｙ₁"＝－(3/4)(ｄＦ/ｄｚ)^-7/2(ｄ²Ｆ/ｄｚ²)²＋(1/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-5/2ｄ³Ｆ/ｄｚ³,ｙ₂"＝－(3ｚ/4)(ｄＦ/ｄｚ)^-7/2(ｄ²Ｆ/ｄｚ²)²＋(ｚ/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-5/2ｄ³Ｆ/ｄｚ³と計算されます。

　それ故,ｙ₁ｙ₂'－ｙ₁'ｙ₂ ＝1,ｙ₁ｙ₂"－ｙ₁"ｙ₂ ＝0,ｙ₁'ｙ₂"－ｙ₁"ｙ₂'＝－[(1/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-3ｄ³Ｆ/ｄｚ³－(3/4)(ｄＦ/ｄｚ)^-4(ｄ²Ｆ/ｄｚ²)²]です。

　すなわち,方程式はｙ"－[(1/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-3ｄ³Ｆ/ｄｚ³－(3/4)(ｄＦ/ｄｚ)^-4(ｄ²Ｆ/ｄｚ²)²]ｙ＝0 となります。

  故に,φ(ｘ)≡[(1/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-3ｄ³Ｆ/ｄｚ³－(3/4)(ｄＦ/ｄｚ)^-4(ｄ²Ｆ/ｄｚ²)²]＝{1/(2Ｆ’²)}{Ｆ,ｚ} (ｚ＝Ｆ^-1(ｘ))と定義すれば,ｄ²ｙ/ｄｘ²＝ｙφ(ｘ)が満足されます。

　そして,Ｆはフックス関数なので,それの属する任意の変換をｚ→ｚ₁＝(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ)とし,Ｆ(ｚ)のｚに関する１階,２階,３階導関数を,それぞれＦ',Ｆ",Ｆ⁽³⁾と書けば,Ｆ(ｚ₁)＝Ｆ(ｚ),Ｆ'(ｚ₁)ｄｚ₁/ｄｚ＝Ｆ'(ｚ),Ｆ"(ｚ₁)(ｄｚ₁/ｄｚ)²＋Ｆ'(ｚ₁)ｄ²ｚ₁/ｄｚ²＝Ｆ"(ｚ),Ｆ⁽³⁾(ｚ₁)(ｄｚ₁/ｄｚ)³＋3Ｆ"(ｚ₁)(ｄｚ₁/ｄｚ)(ｄ²ｚ₁/ｄｚ²)²＋Ｆ'(ｚ₁)ｄ³ｚ₁/ｄｚ³＝Ｆ⁽³⁾(ｚ)となります。

これらの式から,具体的計算を行なうことにより,ｘの関数φ(ｘ)≡φ(Ｆ(ｚ))≡[(1/2)(Ｆ'(ｚ))^-3Ｆ⁽³⁾(ｚ)－(3/4)(Ｆ'(ｚ))^-4(Ｆ"(ｚ))²]について,φ(Ｆ(ｚ₁))＝φ(Ｆ(ｚ))が成立することを陽に導くことができます。

故に,φ(ｘ)≡φ(Ｆ(ｚ))はｚのフックス関数です。

ｘ＝Ｆ(ｚ)もフックス関数なので,φ(ｘ)はｘの代数関数です。

つまり,φ(ｘ)≡φ(Ｆ(ｚ))はｘ＝Ｆ(ｚ)の関数であって,Ｆ(ｚ)はフックス関数ですから,Ｆ(ｚ₁)＝Ｆ(ｚ)が成立します。

それ故,φ(Ｆ(ｚ))＝φ(Ｆ(ｚ₁))となるのは自明なことであって,そもそも具体的計算で証明することなど不要ではないかと思われます。

しかし,ｘ＝Ｆ(ｚ)は一般にｚの１価関数であるかどうかもわかっていないので,φ(Ｆ(ｚ))＝φ(Ｆ(ｚ₁))が成り立つことは必ずしも自明であるとはいえないわけです。

実際,ｙ₁＝(ｄＦ/ｄｚ)^1/2,ｙ₂＝ｚ(ｄＦ/ｄｚ)^1/2もｘ＝Ｆ(ｚ)の関数ですが,こちらの方は明らかにｚについて１価関数ではなく,Ｆ(ｚ)＝0 なるｚ(Ｆ(ｚ)の零点)に分岐点を持ちます。

　したがって,ｘ＝Ｆ(ｚ)がたとえｚの多価関数であっても,Ｆ(ｚ)がフックス関数でありさえすれば,φ(ｘ)≡φ(Ｆ(ｚ))の方は必ずフックス関数になるというのが,上の具体的証明の内容であることを述べているのだろうと思います。

　まだ,複素関数の多価性を表わすモノドロミー群が登場していませんから,これとフックス群の準同型な関係についての議論などは示されていないので,上に述べたことは「フックス関数であることと１価関数であるということは同値である。」ことを示唆していると思われます。

「φ(ｘ)≡φ(Ｆ(ｚ))はｚのフックス関数です。ｘ＝Ｆ(ｚ)もフックス関数なのでφ(ｘ)はｘの代数関数になります。」と書きました。

これはポアンカレが証明したと称している「１°同じ群に属しその定義の結果として生ずるもの以外には真性特異点を持たない２つのフックス関数の間には代数的関係が存在する。」という命題を認めて,これを用いた結果です。(注２終わり)※

例えば,特に方程式を,(１)ｄ²ｙ/ｄｘ²＝ｙ[(1/α²－1)/4ｘ²＋(1/β²－1)/{4(ｘ－1)²}＋(1＋1/γ²－1/α²－1/β²)/{4ｘ(ｘ－1)}]とする。

ここに,α,β,γは有限または無限の正の整数で,1/α＋1/β＋1/γ＜1とする。ｚがこれの積分の比(つまりこれの解の比)なら,ｘ＝ｆ(ｚ)とするとｆ(ｚ)は群(α,β,γ)に関するフックス関数である。

この関数は基本円の内部でしか存在しない。そして次の２つのテータフックス関数の比とみなされる。

(ｄｆ/ｄｚ)^ｍ/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ],および(ｄｆ/ｄｚ)^ｍｆ(ｚ)/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ],ｍ,ｐ,ｑは次の不等式を満たす整数である。

1－ｐ/ｍ≧1/α,1－ｑ/ｍ≧1/β,(ｐ＋ｑ－1)/ｍ－1≧1/γ。この不等式は同時に成立可能である。

基本円の内部でしか存在しないこれら２つのテータフックス関数はこの円の内部で正則である。α＝β＝γ＝∞ならば,(１)はsinamｘの周期をそのモジュラーの平方の関数として定める方程式に帰着する。

　※(注３)(１)は超幾何微分方程式と本質的には同じものです。

　一般に２階線形常微分方程式:ｕ"＋ｐ(ｘ)ｕ'＋ｑ(ｘ)ｕ＝0 に対して変換ｕ＝exp{－(1/2)∫ｐ(ｘ)ｄｘ}ｙを行なうと,ｙ"＝[ｐ'(ｘ)/2＋ｐ(ｘ)²/4－ｑ(ｘ)]ｙと変換されます。

そこで,特に超幾何微分方程式ｘ(ｘ－1)ｕ"＋[(ａ＋ｂ＋1)ｘ－ｃ]ｕ'＋ａｂｕ＝ 0 ,すなわちｕ"＋[ｃ/ｘ＋(ａ＋ｂ－ｃ)/(ｘ－1)]ｕ'＋[ａｂ/{ｘ(ｘ－1)}]ｕ＝0 を取ります。

上で与えた変換:ｕ＝ｘ^-c/2(ｘ－1)^-(a+b-c)/2ｙを行なって,さらに|1－ｃ|＝1/α,|ｃ－ａ－ｂ|＝1/β,|ａ－ｂ|＝1/γと置けば,(１)ｄ²ｙ/ｄｘ²＝ｙ[(1/α²－1)/4ｘ²＋(1/β²－1)/{4(ｘ－1)²}＋(1＋1/γ²－1/α²－1/β²)/{4ｘ(ｘ－1)}]が得られます。

変換ｕ→ｙの形から見て,(１)の２つの解の比とそれに対応する超幾何微分方程式の解の比は全く同じなのでｚは超幾何方程式の解の比と考えてよいと思われます。

また,α,β,γは各特異点における決定方程式の根の差の絶対値の逆数なので,シュワルツの研究において現われたｍ,ｎ,ｐに相当します。

そこでは,既にシュワルツの研究を通じて,ｘ＝ｆ(ｚ)がフックス関数になるための条件はα,β,γが全て正の整数で1/α＋1/β＋1/γ＜1であることを見たし,それに対応するフックス群が(α,β,γ)であることも見ました。

　すなわち,ポアンカレはここでもシュワルツが既に得ていた結果を彼の名に触れることなく述べています。 

　Ｋをフックス群の任意の元とすれば,ｆ(ｚ)がフックス関数ならｆ(ｚＫ)=ｆ(ｚ)ですが,両辺をｚで微分するとｆ'(ｚＫ)ｄ(ｚＫ)/ｄｚ＝ｆ'(ｚ)より,[ｆ'(ｚＫ)]^ｍ＝[ｆ'(ｚ)]^ｍ[ｄ(ｚＫ)/ｄｚ]^-ｍを得るので[ｆ'(ｚ)]^ｍは１つのテータフックス関数です。

　そして,ｆ(ｚ)がフックス関数なのでｆ'(ｚ)をｄｆ/ｄｚと書いて(ｄｆ/ｄｚ)^ｍ/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ],(ｄｆ/ｄｚ)^ｍｆ(ｚ)/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ]もやはりテータフックス関数です。

　そして,ｆ(ｚ)はこれらの比として得られます。

　条件:1－ｐ/ｍ≧1/α,1－ｑ/ｍ≧1/β,(ｐ＋ｑ－1)/ｍ－1≧1/γは,これらのテータフックス関数が基本円の内部で正則になることを保証する条件です。

　実際ｚとｆ(ｚ)の対応は,(１)の特異点であるｘ＝ 0,1,∞ を除けば,局所的に１対１正則なので,群の基本領域の頂点以外では正則です。

　ｚは微分方程式の２つの解の比なので,ｚの選び方はいろいろありますがどれを選んでも結論は同じです。

　そこで,特にｆ(0)＝0 となるようにｚを選べば,その近傍でｚ＝ｘ^1/α(1＋..);(ただし'..'は定数項を含まないｘのベキ級数)と書けるため,ｘ＝ｆ(ｚ)＝ｚ^α(1＋..)となります。

　これから,(ｄｆ/ｄｚ)^ｍ＝α^ｍｚ^ｍ(α-1)(1＋..),よって(ｄｆ/ｄｚ)^ｍ/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ]＝(定数)×ｚ^{ｍ(α-1)-ｐα}(1＋..),(ｄｆ/ｄｚ)^ｍｆ(ｚ)/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ]＝(定数)×ｚ^{ｍ(α-1)-ｐα+α}(1＋..)が得られます。

　ｍ,α,ｐは正整数なので,これらがｚ＝0 で正則であるための条件として,ｍ(α－1)－ｐα≧ 0 ,すなわち,1－ｐ/ｍ≧1/αを得ます。

　同様に,ｘ＝ｆ(ｚ)＝1,およびｘ＝ｆ(ｚ)＝∞ の近傍で,それぞれｆ(0)＝1,ｆ(0)＝∞ となるようにｚを選んで,ｚ＝1,およびｚ＝∞でのｘ＝ｆ(ｚ)の正則条件から,1－ｑ/ｍ≧1/β,および(ｐ＋ｑ－1)/ｍ－1≧1/γを得ることができます。

　最後に,sinamｘと書いてあるのは,現在ではsnｘという記号で示される関数のヤコービの記号です。

　既にガウスの項で示したように, snｘ＝sinamｘは,∫₀^xｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ'²ｘ²)}^1/2の逆関数です。

　これにおけるモジュラスをｋとすると,Ｋ＝∫₀¹ｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ²ｘ²)}^1/2＝(π/2)Ｆ(1/2,1/2,1;ｋ²),Ｋ'＝∫₀¹ｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ'²ｘ²)}^1/2＝(π/2)Ｆ(1/2,1/2,1;ｋ'²)となります。

　そこで,ξ≡ｋ²と置けば,snｘの２つの周期:4Ｋ,2iＫ'はａ＝ｂ＝1/2,ｃ＝1 に対応する超幾何微分方程式:ξ(ξ－1)ｕ"＋(2ξ－1)ｕ'＋ｕ/4＝0 の解となります。

　このとき,1/α＝|1－ｃ|＝0, 1/β＝|ｃ－ａ－ｂ|＝0, 1/γ＝|ａ－ｂ|＝0 となりますから,α＝β＝γ＝∞です。

　最後の文章はこのことを述べています。(注３終わり)※

　私は,次に私が1879年11月にアカデミーに提出する栄を得たノートの中で定義した数論的な不変式をテータフックス関数に帰着させる。

Ｆ(ｚ)を任意のフックス関数とし,ｘ＝Ｆ(ｚ)と置く。

ｚの１価関数の系:θ₁(ｚ),θ₂(ｚ),..,θ_n(ｚ)で,これから行列式 det(ｄ^α1θ/ｄｘ^α1,ｄ^α2θ/ｄｘ^α2,..,ｄ^αnθ/ｄｘ^αn) (θ(ｚ)≡^t(θ₁(ｚ),θ₂(ｚ),..,θ_n(ｚ)))を作ったときに,α₁,α₂,..,α_nがどんな整数であっても,これがフックス関数であるようなものをゼータフックス関数の系と呼ぶ。 

　θ₁,θ₂,..,θ_nが,それらをｘ＝Ｆ(ｚ)の関数と見たときに係数がｘの代数関数であるような１つの線形微分方程式を満たすことは明らかである。

※(注４)θ₁,θ₂,..,θ_nの任意の線形結合を一般解に持つ線形常微分方程式は行列式の等式 det(ｙ,ｙ',ｙ",..,ｙ⁽ⁿ⁾)＝0 で与えられます。

　ここで,ｙ≡^t(ｙ,θ₁,θ₂,..,θ_n),ｙ'≡ｄｙ/ｄｘ,ｙ"≡ｄ²ｙ/ｄｘ²,..,ｙ⁽ⁿ⁾≡ｄⁿｙ/ｄｘⁿです。

　したがって,θ₁,θ₂,..,θ_nがゼータフックス関数の系としての性質を持つならば,この線形微分方程式の係数は全てｚのフックス関数になります。一方,ｘ＝Ｆ(ｚ)もフックス関数ですから,１°によって微分方程式の係数はｘの代数関数であるということになります。(注４終わり) ※

　私は,無数のゼータフックス関数を作ることができることを証明し,それにいろいろな級数による表現を与える。

　そして,これらは無数の微分方程式,とりわけ有限の範囲に２つ,無限遠に１つの特異点を持つ有理関数の線形微分方程式の全てを積分することができる。 

　１つの特別な応用を与える。 

　Ｋ,Ｋ'が楕円関数の周期でωがそれのモジュラスであるとする。

　φは,ω＝φ[(Ｋ＋Ｋ'√－1)/(Ｋ－Ｋ'√－1)]で定まる関数とする。そして,ｘ＝0,ｘ＝1,ｘ＝∞ に特異点を持つ有理係数の線形微分方程式があるとする。ｘ＝φ(ｚ)と置き,この微分方程式の積分をθ₁(ｚ),θ₂(ｚ),..,θ_n(ｚ)とする。

　このとき,φ(ｚ)はフックス関数でθ₁,θ₂,..,θ_nはゼータフックス関数である。これらは基本円の内部でしか存在しない。これらはこの円の内部で正則で,したがって常に整級数で表わされ.その係数は容易に計算できる。 

　要するに,楕円関数がその特別の場合であるような極めて広い関数のクラスが存在する。

　これらの関数は多数の微分方程式を積分することができる。

　いろいろな性質がこの関数と楕円関数の類似を,そしてテータフックス関数,およびゼータフックス関数と関数Θ,およびΖとの類似を顕著にしている。 

　※(注５)(φは楕円モジュラー関数であって,これは超幾何微分方程式ω(ω－1)ｕ"＋(2ω－1)ｕ'＋ｕ/4＝ 0 (ただしｕ'＝ｄｕ/ｄω,ｕ"＝ｄ²ｕ/ｄω²)の解の比の逆関数として得られるフックス関数であり,それの属するフックス群は群(∞,∞,∞)です。

　このことから,上に述べられていること,すなわち,0,1,∞のみに特異点を持つ有理係数の全ての線形微分方程式が,フックス関数φ(ｚ)とゼータフックス関数θ₁(ｚ),θ₂(ｚ),..,θ_n(ｚ)を用いてｘ＝φ(ｚ),ｙ＝ｃ₁θ₁(ｚ)＋ｃ₂θ₂(ｚ)＋,..,＋ｃ_nθ_n(z) (ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_nは任意定数)のような形に積分できることが証明できます。

　これについての詳しい説明は,いずれ後の主論文で与えられます。

　なお,Θ,およびΖはヤコービの記号で,現在の記法ではθ,およびζに相当します。(注５終わり)※

※

　ところで,本文の中で「これらの関数が微分方程式を積分する。」という表現がありますが,これは「これらの関数が微分方程式の解になる。」という意味であると考えられます。 

　これで,ポアンカレ(Poicare')の項の第１章が終わり,以下は本論の第２章へと続きます。

　ここまでを退院前日の４/21(土)PM4:04 に読了し,一応ノルマと課していたフックス関数の理論での序論の部分を全て読んで理解し終えたので,これで満足して病院での読書を全て終わりにし,翌日４/22(日)のAM9:30ごろに無事退院しました。

その後,自宅にてポアンカレの第２章フックス群の理論に入ったのは退院してから１週間以上を経た４/30(月)のことでした。

気紛れな私は,やはり退院してからは入院中のような情熱は失せてしまったようです。

　以後はこの本については数ページしか読み進んでいません。したがって,この続きがブログ記事になるのは,かなり先のことになるかもしれません。※

参考文献：斎藤利弥 著「線形微分方程式とフックス関数I(ポアンカレを読む)」(河合文化教育研究所)

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ポアンカレに関する１つの挿話

コーヒーブレイクとして,フックス関数の研究の際にポアンカレに生じた精神的変化に関する興味深い話題を述べてみようと思います。

既に記したように,ポアンカレは1880年5月にフックスの論文を入手し,それに刺激されてわずか１ヶ月足らずの間にコンクール論文を書き上げました。

しかしその内容はかなり未熟でした。

すなわち,２階線形微分方程式の２つの解ｆ(ｘ),φ(ｘ)の比ｚ＝ｆ(ｘ)/φ(ｘ)の逆関数ｘ(ｚ)がｚ平面全体で１価有理関数となるケースのみを考え,実は理論の中に有理関数と楕円関数は含まれていますが,肝心のフックス関数が含まれていませんでした。

ところが1881年になって投稿された彼の論文を見ると,この時には既にポアンカレはフックス関数の全貌をほぼつかんでいます。

このようなポアンカレの精神の中に起こった劇的な変化を説き明かす１つの興味深い挿話,つまり科学者,数学者としての発見のプロセスにおけるひらめきの瞬間がどのように訪れたのか？ということについての挿話を,彼自身がパリでの講演の中で語ったのですが,これは彼の著書「科学と方法(1908)」の中で読むことができます。

「２週間にわたって私は自分が後にフックス関数と名付けたものと類似の関数は存在しないということを証明しようと努力していた。

その頃私は全く無知だったのである。．．．(中略)．．．．

ある晩,私は習慣に反してブラックコーヒーを飲み,眠ることができなかった。いろいろな考えが群をなして押し寄せてきた。

私はこれらが互いにぶつかり合い,遂にそのうちの二つが互いに引っ掛かり合って,いわば安定な組合わせを作るのを感じた。

朝になったとき,私は超幾何級数から導かれるフックス関数の１つのクラスの存在を証明できた。私はその結果を書き上げるだけでよく。。

次に私はその関数を２つの級数の比として表わそうと思った。

このアイディアは完全に意識的で熟考を経たものであった。楕円関数との類推が私を導いてくれた。私はそのような級数がもし存在すればそれはどんな性質のものでなければならないかを自問し,何の困難もなく,私がテータフックス級数と名付けた級数を作ることができた。

この頃私は．．．．地質調査旅行に加わった。

旅行中の環境が私に数学の仕事を忘れさせた。．．乗合馬車に乗った。その階段に足を掛けたとき,それまでそのことについて心の中に何の準備もしていなかったのに,一つの考えが浮かんできた。

それはフックス関数を定義するのに用いられた変換が非ユークリッド幾何の変換と同一のものだということであった．．．．私はカアンに帰ってから良心をなだめるためにそれをゆっくりと検証した。

次に私はある数論の問題の研究を始めたが．．．．うまくいかないのに嫌気がさして,私は海岸で数日を過ごし全く別のことを考えていた。

ある日,崖に沿って歩いていたとき,一つの考えがいつもと同じような独特の簡潔さ,唐突さ,そして間髪を容れない確実さをもって浮かんできた。それは三元不定値二次形式の数論的変換は非ユークリッド幾何の変換と同じものだということである。

．．．．この二次形式の例は私に超幾何級数に対応するもの以外にもフックス群が存在することを教えてくれた。．．．」

初期の２つの論文に述べられている理論が,どのようにしてポアンカレの頭の中に形を成していったかを,この文章は生々しく伝えてくれています。

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フックス関数の理論(1)(ポアンカレの登場)

連載記事の続きです。1880年代に入って,ついに舞台に天才ポアンカレ(Poincare')が登場します。

1880年１月フランスの科学アカデミーは次の課題の下に懸賞論文を募りました。:「１独立変数の線形微分方程式の理論を何らかの重要な点において改良すること。」

当時25歳の新進数学者ポアンカレはこれに応募し３月22日に１編の論文をアカデミーに投稿しました。

しかしその後５月１日に彼はフックス(Fuchs)の１論文を入手しました。これは既にフックスの項で述べた内容の論文です。

そしてポアンカレはこの論文から,線形微分方程式の解の一意化という重要なアイディアを思いつきました。

そこで彼は投稿論文のテーマを急遽これに切り替えて５月末までに新論文を書き上げ,前に投稿した論文を撤回して,この新論文をアカデミーに送りました。

これは６月１日に受理されています。これが"きっかけ"でした。

この論文は２つの部分から成立していますが,彼の研究の出発点として重要なのはその第２部です。

彼はその中で,適当な２階線形微分方程式の２つの解の比)ｚ(ｘ)を用いることにより,ｄⁿｖ/ｄｘⁿ＋φ₁(ｘ)ｄ^n-1ｖ/ｄｘ^n-1＋..＋φ_n(ｘ)ｖ＝ 0 の解ｖをｘ＝ｘ(ｚ),ｖ＝ｖ(ｚ)のような形に一意化する,というアイディアを初めて述べています。

以後,このテーマに関して立て続けに発表されたポアンカレの数十個の論文の中から,これに関する彼の理論の全貌が尽くされている重要な４つの論文について述べていきたいと思います。

しかし,その前に最も初期に発表された研究速報の初めの２つを読んでみます。これらの初期論文から彼がスタート時点で既に全理論の設計図を作り上げていたことがわかります。

以下,初期論文＝研究速報,の内容です。 

ｚは複素変数で複素平面上の点で表わされる。

ｚをｆ₁(ｚ)に変える作用をＫ₁,ｚをｆ₂(ｚ)に変える作用をＫ₂とするときｚＫ₁＝ｆ₁(ｚ),ｚＫ₂＝ｆ₂(ｚ),ｚＫ₁Ｋ₂＝ｆ₂[ｆ₁(ｚ)]と書くことにする。

原点を中心とする半径１の円を基本円と呼びｚを(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ) (ａ,ｂ,ｃ,ｄは定数)に変えるような作用の群で基本円を不変に保つようなものを双曲線群と呼ぶ。

無限小作用,すなわちｚを限りなく近くに写す作用を含まない群を不連続群と言う。

そして双曲線群に含まれる不連続群を全てフックス群と呼ぶ。フックス群の作用によって値が変化しないｚの１価関数をフックス関数と言う。 

(注1)彼は基本円を単位円に限定していますが,別にそうである必要はありません。一定の円または直線を不変に保つ１次分数変換の群を双曲線群と呼ぶとしていいです。(注1終わり)

まず,全てのフックス群を作る必要がある。私(ポアンカレ)は非ユークリッド幾何学の助けを借りてこれを成し遂げたがそれについてはここでは述べない。

私は基本円の内部が次の条件を満たす無限個の領域Ｒ₀,Ｒ₁,..Ｒ_i,..に無数のやり方で分割できることを示した。

Ⅰ.これらの領域は基本円に直交する円に属する円弧を辺とする曲線多辺形である。

Ⅱ.ｉが何でもＲ_i＝Ｒ₀Ｋ_iとなるような双曲線群の作用Ｋ_iが存在する。

ことを示した。

このような作用Ｋ_iの全体が双曲線群に含まれる不連続群,すなわちフックス群を作ることは明らかである。 

そして次の問題Ⅰを設定する。 

問題Ⅰ,無限個の領域Ｒ₀,Ｒ₁,..,Ｒ_i,..の最初のものＲ₀が与えられた曲線多辺形となるように,この分割を作ることができるか？ 

(注2)フックス群が与えられると,それに対応して基本円の内部が基本領域に分割されることは当然ですが,ここでポアンカレが設定しているのはこの逆の問題です。

  すなわち,基本円となるべき円が与えられ,それの内部がⅠ,Ⅱを満たすような円弧多辺形Ｒ₀,Ｒ₁,..に分割されていれば,それからＫ_iの全体としてフックス群が作られるということです。

  そして問題Ⅰは最初の領域Ｒ₀をどのように与えたらⅠ,Ⅱを満たすような分割ができるか？を問うています。(注2終わり)

１つの特別な例を取る。

基本円に直交する円に含まれる弧を辺とする２つの曲線三角形ＡＢＣ,ＢＣＤを考える。

これらの三角形の頂角が∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝π/α,∠ＣＢＡ＝∠ＣＢＤ＝π/β,∠ＢＣＡ＝∠ＢＣＤ＝π/γに等しいとする。

α,β,γは正の整数で1/α＋1/β＋1/γ＜1 とする。基本円の内部を条件Ⅰ,Ⅱを満たす無数の領域Ｒ₀,Ｒ₁,..Ｒ_i,..に分けてＲ₀が四辺形ＡＢＤＣになるようにすることができる。

このような分割には,フックス群が対応する。それを群(α,β,γ)と呼ぶことにする。

(注3)この例は,正に,シュワルツ(Schwarz)が発見したものと同じです。そこでは,α,β,γはｍ,ｎ,ｐと書かれており,上の条件はλ＝1/ｍ,μ＝1/ｎ,ν＝1/ｐとして,λ＋μ＋ν＜1 としていたものに相当します。

群(α,β,γ)は超幾何方程式のモノドロミー群から導かれます。したがって,この群はそれに準同型な１次分数変換に他なりません。

ポアンカレもシュワルツと同じく,超幾何微分方程式の解の比を考えることによってフックス群を発見したに違いないと思われます。

２階線形方程式の解の比の逆関数としてフックス関数を得るというのがポアンカレの着想であったことを思えば,彼がそうしたと見るのは全く自然です。

しかし,彼はシュワルツの名前には全然触れていません。つまり,この時点ではポアンカレはシュワルツの論文の存在を全く知らなかったわけで,後に交流のあったクライン(Klein)に教えられて初めてシュワルツの研究を知ったとされています。(注3終わり)

私(ポアンカレ)は,一般の場合について問題Ⅰを解く。

そして如何にして全てのフックス群を作り,それに合理的な分類を与えることができるかを,２つの異なった見地から示す。

　フックス群の中に特に我々の注目に値するものがある。 

１°群(2,3,∞)：これはａ,ｂ,ｃ,ｄをａｄ－ｂｃ＝1であるような整数としてｚを(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ)に変える作用の群と同型である。

２°整係数の不定値３元２次形式を不変にするような整係数の１次変換の群と準同型なある群

これらの存在によって,数論と今考えている解析的な問題とを結ぶ密接な関連が浮かび上がってくる。

(注４)１°に述べられている群：すなわちＳＬ(２,Ｚ)/{±}は実軸を基本円とするフックス群です。基本領域は,その頂角がπ/2,π/3,π/∞ の三角形を２つ合わせたものですから,(2,3,∞)と同型です。

  この群は通常,モジュラー群と呼ばれ楕円モジュラー関数は,この群あるいはこれの部分群に関するフックス関数です。

２°で述べられているフックス群は次のようなものです。整係数の不定値３元２次形式Ｆ(ｘ,ｙ,ｚ)が Ｆ(ｘ,ｙ,ｚ)＝Ｙ²－ＸＺ, ^t(Ｘ,Ｙ,Ｚ)＝Ａ^t(ｘ,ｙ,ｚ)で与えられるものとします。ただしＡは要素が全て整数の３×３正方行列です。

整係数の１次変換^t(ｘ',ｙ',ｚ')＝Ｓ^t(ｘ,ｙ,ｚ)を行い,^t(Ｘ',Ｙ',Ｚ')＝Ａ^t(ｘ',ｙ',ｚ')としたとき,Ｙ'²－Ｘ'Ｚ'＝Ｙ²－ＸＺが成り立つならばＳを２次形式Ｆのと呼びます。そして,このようなＳ全体の群Ｇを作ります。

このとき,^t(Ｘ',Ｙ',Ｚ')＝Ｐ^t(Ｘ,Ｙ,Ｚ)で,Ｐは次の形を持つことがわかります。行列Ｐの成分表示をＰ＝(ｐ_ij)として,(ｐ₁₁,ｐ₁₂,ｐ₁₃)＝(α²,2αγ,γ²),(ｐ₂₁,ｐ₂₂,ｐ₂₃)＝(αβ,αδ＋βγ,γδ),(ｐ₃₁,ｐ₃₂,ｐ₃₃)＝(β²,2βδ,δ²),(ただし|αδ－βγ|＝1)です。

そして,Ｓに１次分数変換ｚ→(αｚ＋β)/(γｚ＋δ)を対応させると,このような１次分数変換の全体はＧと準同型な群ｇを作り,ｇはフックス群です。

ポアンカレは２次形式Ｆに対する条件がフックス群ｇに対する条件として表わせることを後の論文で示していますが,上記の文章は彼がこの時点でこうした成果をある程度つかんでいたことを示しています。(注4終わり)

ｚの１価関数Θ(ｚ)でＫ_iをフックス群の任意の作用とするとき恒等的にΘ(ｚＫ_i)＝Θ(ｚ){ｄ(ｚＫ_i)/ｄｚ}^-ｍ が成り立つものを,テータフックス関数と呼ぶ。ｍは任意の正の整数である。

言い換えると,ａｄ－ｂｃ＝1であるような無数のａ,ｂ,ｃ,ｄに対し,恒等的にΘ[(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ)]＝Θ(ｚ)(ｃｚ＋ｄ)^2ｍが成り立つようなものである。 

私は収束級数Σ_i=1^∞Ｈ(ｚＫ_i){ｄ(ｚＫ_i)/ｄｚ}^ｍで定義されるテータフックス関数が無数に存在することを証明する。

ここにｍは１より大きい整数でＫ_iはフックス群Ｇの作用,Ｈ(ｚ)はｚの有理関数とする。

次の２つの場合が起こり得る。

１°基本円の全ての点がΘ(ｚ)の真性特異点である。このときは実際に２つの異なる関数が得られる。

１つは基本円の内部においてのみ存在し,もう１つは基本円の外部においてのみ存在する。

  なぜなら,一方から他方へ連続的に移ることができないからです。

２°Θ(ｚ)は基本円上に無数の真性特異点を持つ。しかしこれらの特異点は孤立していて関数は全平面で存在する。

  この関数は基本円の上を除けば常に有理型である。私はそれの異なる零点の数,および異なる無限大の数を数える方法を示す。

ここで初期の２つの論文のうちの１つが終わっているので今日はここまでにします。

参考文献：斎藤利弥 著「線形微分方程式とフックス関数I(ポアンカレを読む)」(河合文化教育研究所)

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有限なモノドロミー群と代数関数解

ポアンカレ以前のシュワルツの項目で気になったことを補足しておきます。

すなわち,前記事までに次のような内容の事実が得られました。

超幾何微分方程式ｘ(ｘ－1)(ｄ²ｙ/ｄｘ²)＋{(α＋β＋1)ｘ－γ}(ｄｙ/ｄｘ)＋αβｙ＝0 の１次独立な解の比であるｓ関数ｚ(ｘ)の逆関数ｘ(ｚ)がｚの１価関数となるための条件は,正の整数ｍ,ｎ,ｐが存在してλ＝｜1－γ|＝1/ｍ,μ＝|γ－α－β|＝1/ｎ,ν＝|α－β|と書けることです。

このとき,さらに,(ⅰ)λ＋μ＋ν＝1/ｍ＋1/ｎ＋1/ｐ＞1 の場合,(ⅱ)λ＋μ＋ν＝1/ｍ＋1/ｎ＋1/ｐ＝1 の場合,(ⅲ)λ＋μ＋ν＝1/ｍ＋1/ｎ＋1/ｐ＜1 の場合に分けます。

それぞれの場合に,ｘ(ｚ)の定義域である∪_T∈GＴｚ(Π)の基本領域を構成するＴｚ(Π⁺),Ｔｚ(Π^-)に対応する円弧三角形の内角の和が(λ＋μ＋ν)πで与えられるということから判断すると,次のような幾何学との関係性が見て取れます。

すなわち,(ⅰ)がリーマン空間＝楕円幾何学の空間,(ⅱ)がユークリッド空間＝放物幾何学の空間,(ⅲ)がロバチェフスキー空間＝双曲幾何学の空間に,それぞれ対応していることがわかります。

そこで,超幾何微分方程式の解についての議論は,非ユークリッド幾何学,あるいはユークリッド幾何学のような空間幾何学の分類と非常に密接な関係があるのではないか？ということに気が付きます。

ところで,(ⅰ)λ＋μ＋ν＝1/ｍ＋1/ｎ＋1/ｐ＞1 の場合について既述したように,αを任意の複素数とすると,ｘ(ｚ)＝αとなるｚの値は各基本領域の中に１つずつしかありません。

そして,この場合はＧは有限群であり,基本領域の総数が有限なのでｚ平面全体でｘ(ｚ)＝αとなるｚの個数,複素数αに対する方程式ｘ(ｚ)－α＝0 の解の個数は有限です。

このような１価関数ｘ(ｚ)は有理関数でしか有り得ないと結論されます。と書きましたが,実は書いた本人の私には,これは自明なこととは思えませんでした。

フックス群Ｇに対応するモノドロミー群が有限群のとき,または(ⅰ)λ＋μ＋ν＝1/ｍ＋1/ｎ＋1/ｐ＞1の場合,ｓ関数ｚ(ｘ)の逆関数で１価関数のｘ(ｚ)に関し,任意の複素数αに対する方程式ｘ(ｚ)－α＝0 の解の個数が有限個である。というところまでは問題なしです。

しかし,ｚ(ｘ)の逆関数で１価関数のｘ(ｚ)に関し任意の複素数αに対する方程式ｘ(ｚ)－α＝0 の解の個数が有限個なら,何故ｘ(ｚ)が有理関数でしか有り得ないのだろうか？という疑問が湧きました。

そこで,これを自分なりの方法で証明してみます。

まず,ｘ(ｚ)は１価関数なのでｘ(ｚ)－αもそうです。

そこで,{ｘ(ｚ)－α}の零点は分岐点ではなく,零点の位数は全て正整数であるはずです。

そして,この根の重複度も含めてｘ(ｚ)－α＝ 0 の解ｚの個数(基本領域の個数)をＮとすると,{ｘ(ｚ)－α}はそれらの解を零点とするＮ次多項式ｆ_N(α,ｚ)で割り切れて,ｘ(ｚ)－α＝ｆ_N(α,ｚ)ｇ(α,ｚ)と表現できるはずです。

すなわち,ｘ(ｚ)＝α＋ｆ_N(α,ｚ)ｇ(α,ｚ)と表わせます。

ｘ(ｚ)－αとｆ_N(α,ｚ)は共にｚの１価関数ですから,ｇ(α,ｚ)もｚの１価関数です。そしてあり,ｇ(α,ｚ)は特異点は持っても零点を全く持たない関数です。

ところで,ｚ(ｘ)は超幾何微分方程式の解であり,例えばｘ＝0 の近傍ではｚ(ｘ)＝ｘ^λＰ(ｘ)＝ｘ^1/pＰ(ｘ) (Ｐ(0)≠0でＰ(ｘ)はｘ＝0 の近傍で正則)という形をしています。

それ故,その逆関数"ｘ(ｚ)の特異点＝ｇ(α,ｚ)"の特異点は真性特異点ではなく,しかもｇ(α,ｚ)はｚの１価関数ですから,これの特異点は全て極であり,それ故ｇ(α,ｚ)は有理型関数であることがわかります。

ちなみに,有理関数はもちろん有理型関数ですが,有理型関数が全て有理関数であるというわけではありません。

例えば,expｚやsinｚもｚ＝∞を除けば,有理型関数ですが,もちろん有理関数ではありません。expｚは整関数ですがｚ＝∞ に特異点を持ち,それは極ではなくて真性特異点です。

これは,exp(1/ｘ)がｘ＝0 に真性特異点を持つというのと同じ意味で,特異点ｘ＝0 の周りのローラン展開の主要部がｘの負の無限級数になる:つまり特異点ｘ＝0 を極と考えるならその位数が∞ になる,という意味です。

話を元に戻すと,有理型関数ｇ(α,ｚ)は零点を全く持たないので,{1/ｇ(α,ｚ)}は無限遠点を除いて特異点を全く持たないことからｚの整関数です。

しかも,ｚ＝∞ に真性特異点を持たないことから,結局 1/ｇ(α,ｚ)はｚの多項式であり,ｇ(α,ｚ)は1/(ｚの多項式)の形をしていることがわかります。

それ故,ｘ(ｚ)＝α＋ｆ_N(α,ｚ)ｇ(α,ｚ)は１つの有理関数であることが証明されました。(以上）

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超幾何微分方程式の代数関数解(シュワルツ)(5)

前記事の続きです。

次に∪_T∈GＴｚ(Π)の構造を少し詳しく調べてみます。

ｚ(ｘ)の１つの分枝を定め,それによるｘの上半平面:Π⁺の像をｘ＝0,1,∞ が頂点Ａ,Ｂ,Ｃに対応する円弧三角形ＡＢＣとします。

ｚ(ｘ)をｘの下半平面:Π^-に解析接続するには,

　"(ⅰ)区間(－∞,0)を横切る経路に沿って接続する。(ⅱ)区間(0,1)を横切る経路に沿って接続する。(ⅲ)区間(1,∞)を横切る経路に沿って接続する。"

という３通りの方法があります。

　既に前記事で述べた通り,(ⅱ)を行なって得られるｚ(ｘ)の分枝によって,下半平面Π^-を写像するならば,その像は弧ＡＢに関して円弧三角形ＡＢＣを反転した円弧三角形ＡＢＣ'になります。

　全く同様に(ⅰ)によって接続すると下半平面Π^-は円弧三角形ＡＢＣを弧ＡＣに関して反転した円弧三角形ＡＢ'Ｃになり,(ⅲ)によるなら弧ＢＣに関して反転した円弧三角形Ａ'ＢＣになります。

　以下,同様に各辺に関する反転を繰り返すことにより,ｚ(ｘ)のいろいろな分枝による上半平面Π⁺,下半平面Π^-の像の円弧三角形の連鎖が得られ,各円弧三角形はその円弧でできた３辺の全てを他の３個の円弧三角形の１辺と共有し,全体として単連結な領域をなします。

　こうして作られた反転領域の全体がｘ(ｚ)の定義域∪_T∈GＴｚ(Π)です。

　隣接した上半平面Π⁺の像,下半平面Π^-の像を合わせたものを１組選ぶと,それはｚ(ｘ)のある分枝によるｘ平面全体Πの像です。

　これを群Ｇによる保型関数ｘ(ｚ)の基本領域と呼びます。

　基本領域はＧに関する１次分数変換Ｔによって,他の基本領域に移ります。なぜなら,１つおきに隣接したΠ⁺の像である円弧三角形は反転を２回行なうことで互いに移ることができるし,同じことはΠ^-の像についてもいえます。

　そして,既に述べたように,偶数回の反転の合成は,それぞれが１つの１次分数変換になるからです。

　領域∪_T∈GＴｚ(Π)が如何なるものか？をさらに調べるために、シュワルツにしたがって次の分類を行ないます。

　(ⅰ)λ＋μ＋ν＞ 1,(ⅱ)λ＋μ＋ν＝ 1,(ⅲλ＋μ＋ν＜ 1 の３つの場合に分けて考察します。

(ⅰ)の場合:ｓ関数ｚ(ｘ)として特に上半平面Π⁺の像である円弧三角形ＡＢＣで2辺ＡＢ,ＡＣが共に直線分でＢＣが円弧となるものを取ってみます。

　そのようなｓ関数ｚ(ｘ)が存在し得ることは,既に見た通りです。この三角形の頂角は,それぞれλπ,μπ,νπなので,この場合には三角形の内角の和(λ＋μ＋ν)πはπより大きいわけです。

　したがってこの⊿ＡＢＣは凸三角形であり,円弧ＢＣの中心ＯはＢＣを境にしてＡと同じ側にありＡは円Ｏの内部にあります。

　図を描けないので詳細を省いて結果だけ述べます。

　ＯＡと垂直な円Ｏの弦を直径としＡを中心としてＢ,Ｃを通る円Γを赤道とするような球面Σを作り,その北極点Ｎから立体射影によって⊿ＡＢＣを球面Σの上に射影したものを⊿Ａ₁Ｂ₁Ｃ₁とすると３つの弧Ａ₁Ｂ₁,Ａ₁Ｃ₁,Ｂ₁Ｃ₁はΣの大円の一部になります。

　ところで,一般に次のことが知られています。

　"γをｚ平面上の円として,それのΣ上への立体射影γ₁がΣの大円であるとする。

　このときＰをｚ平面上のある点で,Ｐ'をそれのγに関する反転とし,Ｐ,Ｐ'のΣ上への立体射影をＰ₁,Ｐ₁'とすると,Ｐ₁とＰ₁'とは大円γ₁が定める平面に関して互いに対称である。"

という性質が成り立つことです。

　これによると,ｚ平面上で⊿ＡＢＣをその1辺に関して反転した図形のΣ上への射影は弧Ａ₁Ｂ₁,Ａ₁Ｃ₁,Ｂ₁Ｃ₁はΣの大円の一部なので,三角形⊿Ａ₁Ｂ₁Ｃ₁を対応する辺に関して球面上で折り返したものとなります。

　したがって,それは球面三角形として⊿Ａ₁Ｂ₁Ｃ₁と合同な三角形であり,その３辺はやはりΣの大円の弧になっています。

　ｚ平面上で⊿ＡＢＣから出発して辺に関する反転を次々に繰り返し,それをΣ上に射影するとΣは合同な球面三角形群に覆われます。

　しかしΣの全面積は有限であり,異なる球面三角形は辺を除いて重なる部分を全く持たないのですから,そうした球面三角形は有限個しかΣの上に載ることはできません。

　このことはＧが有限群であることを示しており,それ故ｘ(ｚ)の定義域は有限個の基本領域の和で成立していることを意味します。

　Σ上の全ての点を,立体射影の逆写像でｚ平面上に引き戻すと,それはｚ平面全体ですから,結局ｚ平面全体を有限個の基本領域が覆っていることになります。

　ところで,λ＋μ＋ν＝1/ｍ＋1/ｎ＋1/ｐ＞1 となるような(ｍ,ｎ,ｐ)の組み合わせは,実は次に挙げるものだけです。

　すなわち,(2,2,ｋ),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)だけです。

　これらに対応する群Ｇは多面体群と呼ばれる既知の群です。

　既述したように,αを任意の複素数とするとき,ｘ(ｚ)＝αとなるｚの値は各基本領域の中に１つずつしかありません。

　ところが,今の場合はＧは有限群であり,基本領域の総数が有限なのでｚ平面全体でｘ(ｚ)＝αとなるｚの個数,任意の複素数αに対して方程式ｘ(ｚ)－α＝0 の解の個数は有限です。

　このような１価関数ｘ(ｚ)は有理関数でしか有り得ない,と結論されます。

(ⅱ)の場合:λ＋μ＋ν＝1/ｍ＋1/ｎ＋1/ｐ＝1 となる正整数(ｍ,ｎ,ｐ)の組み合わせは(3,3,3),(2,4,4),(2,3,6)だけです。

　ｓ関数ｚ(ｘ)として上半平面Π⁺の像である円弧三角形の１つＡＢＣの２辺ＡＢ,ＡＣが共に直線分となるように選ばれているとします。

　三角形の内角の和が(λ＋μ＋ν)π＝πなので,円弧ＢＣも実は直線分です。すなわち,⊿ＡＢＣは直線三角形でなければなりません。

　そして⊿ＡＢＣは,(ｍ,ｎ,ｐ)＝(3,3,3)のとき正三角形,(ｍ,ｎ,ｐ)＝(2,4,4)のとき直角二等辺三角形,(ｍ,ｎ,ｐ)＝(2,3,6)のとき,他の２角が60度,30度の直角三角形となります。

辺は全て直線分なので反転は対称な折り返しです。

　このとき基本領域は平行四辺形になり,基本領域をいくつか合わせた平行四辺形の各辺に対応する平行移動Ｇに属することになります。

　その平行四辺形の集合から成る定義域∪_T∈GＴｚ(Π)の上で,ｘ(ｚ)はこの平行移動に対して不変に保たれます。

　つまり,ｘ(ｚ)はトポロジー的には,この平行四辺形を周期平行四辺形とするトーラス,あるいは周期平行四辺形とする楕円関数です。

　楕円関数は超越関数ですから,(ⅱ)の場合には超幾何微分方程式の解は必ず超越関数を含み,したがって解が全て代数関数であるという場合ではありません。

(ⅲ)の場合:この場合もｓ関数ｚ(ｘ)として特に上半平面Π⁺の像である円弧三角形ＡＢＣで2辺ＡＢ,ＡＣが共に直線分でＢＣが円弧となるものを取ります。

　(ⅰ)の場合とは逆に三角形の内角の和(λ＋μ＋ν)πはπより小さいので,⊿ＡＢＣの円弧ＢＣの中心ＯはＢＣを境にしてＡとは反対側にありＡは円Ｏの外部にあります。

　Ａから円Ｏに接線を引き,Ａを中心としてＡと接点を結ぶ線分を半径とする円を描けば,その円Γは明らかに直線ＡＢ,ＡＣおよび円Ｏと直交します。

　すなわち⊿ＡＢＣの全ての辺と直交する円Γが存在します。

　そこで,この円Γを実軸に移す１次分数変換をＴとして新しいｓ関数Ｔｚ(ｘ)を考察します。

　この新しい関数Ｔｚ(ｘ)を改めてｚ(ｘ)と書けば１次分数変換は等角写像なのでΠ⁺のｚ(ｘ)による像である円弧三角形の各辺は実軸と直交します。それ故,各辺はそれぞれ実軸上に中心を持つ円の弧です。

　このような円弧三角形を⊿ＡＢＣとし,例えば弧ＢＣに関してこれを反転したものを⊿Ａ'ＢＣとします。

　弧ＢＣの中心Ｏは実軸上にあり,その円の半径をｒとすればＰが実軸上の任意の点であるとき,ＯＰ・ＯＰ'＝ｒ²を満たす直線ＯＰ上の点Ｐ'はもちろん実軸上にあります。

　実軸の反転は元の実軸です。反転は角度を不変に保つので⊿Ａ'ＢＣの３辺もやはり実軸と直交する円弧,つまり,実軸上に中心を持つ円の円弧です。

　したがって,ｚ平面上で⊿ＡＢＣから出発して辺に関する反転を次々に繰り返して得られる三角形の各辺は全て実軸と直交する円であり,実軸は実軸に移されます。

　Ｇに属する１次分数変換Ｔは全てこのような反転を偶数回合成すれば得られるので,∀Ｔ∈Ｇも実軸を実軸に移します。したがってこのようにｚ(ｘ)を選んだ場合にはＧの要素は全て実係数の１次分数変換で表わせるはずです。

　今,ｓ関数ｚ(ｘ)の分枝の選び方によって⊿ＡＢＣがｚ平面の上半部にあったとします。

　全ての反転が実軸上に中心を持つ円に関して行なわれるので,反転をいくら繰り返しても作られる三角形は全てｚの上半平面に含まれる故,Ｇの基本領域は全てｚの上半平面に属することになります。

　基本領域全ての和集合をＤとすれば,それがｘ(ｚ)の定義域です。Ｄについては次のことが成り立ちます。

　(1) Ｄは無数の基本領域から成る。

　(2) Ｄは上半平面から実軸を除いた部分:{ｚ|Imｚ＞0}である。

　という命題が成立するように見えます。

　シュワルツは上記の命題を証明抜きで主張していましたが,これは決して自明なことではありません。

　特に,(2)を厳密に証明するには,シュワルツよりも後にポアンカレによって考案されたポアンカレ計量と呼ばれる１種の距離を上半平面に導入しなければなりません。

　この巧妙なテクニックについては,いずれポアンカレの項目で紹介する予定なのでここでは (2)を証明なしで認めておきます。

　これに対して(1)の方は次のようにして証明できます。すなわち,Ｐ∈Ｄとします。Ｄは基本領域で埋め尽くされており,各基本領域は２つの円弧三角形から成っています。

　故にＰはある円弧三角形Δの内部にあるかその辺上にあるかのいずれかです。

　もしＰがΔの内部にあればＰはもちろんＤの内点)です。一方ＰがΔの辺上にあってしかも頂点でないなら,Δをその辺に関して反転したものをΔ₁とするとΔ∪Δ₁は１つの基本領域であって,この場合も明らかにＰはＤの内点です。

　さらにＰがΔの頂点ならＰはいくつかの円弧三角形Δ, Δ₁,Δ₂．．Δ_nによって囲まれてしまうのでこのときもＰはＤの内点です。

　以上からＤの点は全てＤの内点であることになり,それ故,Ｄは開集合です。

　ところが基本領域は明らかに閉集合であり有限個の閉集合の和集合は閉集合なので,Ｄは無限個の基本領域の和である必要があります。

　故に(1)が成り立つことになります。

　したがってＤが無限個の基本領域から成るので,ｘ(ｚ)は無数の異なるｚに対して同一の値を取ります。

　故に逆関数ｚ(ｘ)はｘの無限多価関数で,それ故,超越関数です。

　すなわち(ⅲ)の場合にも超幾何微分方程式の解は必ず超越関数を含み,したがって解が全て代数関数であるという場合ではありません。

　これで超幾何微分方程式の解が全て代数関数となるのは(ⅰ)の場合,すなわち,ｍ,ｎ,ｐが存在してλ＝|1－γ|＝1/ｍ,μ＝|γ－α－β|＝1/ｎ,ν＝|α－β|＝1/ｐ, 1/ｍ＋1/ｎ＋1/ｐ＞1 である場合に限ることがわかりました。

　シュワルツはさらにλ,μ,νが整数となる場合も考察しています。

　これについては省略しますが,ただこの場合には例外的な場合を除いて超幾何微分方程式の解は対数関数を含むので代数関数にはなりません。

　また,λ,μ,νの中にゼロになるものがあると,それに対応する円弧三角形の頂角はゼロになりますが,そのときその頂点は実軸の上に乗っていなければなりません。

　ここで例としてλ＝μ＝ν＝0 の特別な場合を挙げておきます。このときはα＝β＝1/2,γ＝1ですから,ガウスの項で扱った例です。

　すなわち,そこでは「α＝β＝1/2,γ＝1に対する超幾何微分方程式はｘ(ｘ－1)(ｄ²ｙ/ｄｘ²)＋(2ｘ－1)(ｄｙ/ｄｘ)＋(1/4)ｙ＝ 0 で,そのｘ＝ｋ² における解は1/Ｍ(1,ｋ')＝Ｆ(1/2,1/2,1;ｋ²),1/Ｍ(1,ｋ)＝Ｆ(1/2, 1/2,1;ｋ'²)＝Ｆ(1/2, 1/2,1;1－ｋ²)です。

　それら解の比は,τ＝ｉＫ'/Ｋ＝ｉＭ(1,ｋ')/Ｍ(1,ｋ)＝ｉＦ(1/2,1/2,1;1－ｋ²)/Ｆ(1/2,1/2,1;ｋ²)で与えられました。

　そして,その逆関数ｘ＝ｋ²(τ)はフックス群:Γ(2)/{±}に関するフックス関数でした。

　また楕円関数∫₀^xｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ²ｘ²)}^1/2＝ｕの逆関数:ｘ＝snｕの周期は4Ｋと2iＫ'なので,τには楕円関数の周期の比という意味があります。

　ｋ,ｋ'はそれぞれsnｕのモジュラス,補モジュラスと呼ばれ,ｋ(τ),ｋ'(τ)は楕円モジュラー関数と呼ばれる。という内容でした。

　シュワルツの研究での記号と比較すると,ｚ＝τ,ｘ(ｚ)＝ｋ²(τ)となります。すなわち,ｘ(ｚ)はモジュラー関数であってｚ平面上の基本領域については既にガウスの項で述べた通りです。

　シュワルツは超幾何方程式の解が代数関数となるための条件を決定することを目的としていたので,彼にとっては,場合(ⅰ)λ＋μ＋ν＞1 が重要な意味を持っているのでしょうが,われわれにとっては.むしろ場合(ⅲ)λ＋μ＋ν＜1 において現われる楕円関数とも異なる無限多価超越関数＝フックス関数のｘ(ｚ)の方に興味があります。

　これによってガウスによるモジュラー関数以外のフックス関数がはじめて発見されたわけです。(以上,シュワルツの項終わり)

　以上で,ポアンカレ以前の状況の説明を全て終わります。

　ここまでの部分は退院３日前の4月19日午前８時頃＝'朝飯前'に読了しました。

参考文献：斎藤利弥 著「線形微分方程式とフックス関数I(ポアンカレを読む)」(河合文化教育研究所)　

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