線型代数のエッセンス(14)(ユニタリ空間-5)

　線型代数のエッセンスの§4.ユニタリ空間の続きです。

[定義4-65]:Ａ^をユニタリ空間Ｌの対称変換(Ａ^⁺＝Ａ^)とする。∀ｘ∈Ｌに対して(Ａ^ｘ,ｘ)≧0 のとき,Ａ^は負でない(nonnegative:非負である)という。

　このとき,特に"(Ａ^ｘ,ｘ)＝0 ⇔ｘ＝0 "であるなら,Ａ^は正(positive),or 正定符号(positive-definite:正定値)であるという。

※(注):Ａ^が対称変換(Ａ^⁺＝Ａ^)のとき,(Ａ^ｘ,ｘ)^*＝(ｘ,Ａ^ｘ)＝(Ａ^ｘ,ｘ)より,(Ａ^ｘ,ｘ)が実数であることは保証されています。※

[定理4-66]:ユニタリ空間の負でない(非負の)変換の負でない実数を係数とする１次結合は負でない変換である。(← 自明)

[定理4-67]:Ａ^をユニタリ空間の任意の１次変換とすると,Ａ^Ａ^⁺,およびＡ^⁺Ａ^は共に負でない対称変換(nonnegative-Hermite)である。

(証明)Ａ^をユニタリ空間Ｌの任意の１次変換とします。

まず,(Ａ^Ａ^⁺)⁺＝(Ａ^⁺)⁺Ａ^⁺＝Ａ^Ａ^⁺,(Ａ^⁺Ａ^)⁺＝Ａ^⁺(Ａ^⁺)⁺＝Ａ^⁺Ａ^ですからＡ^Ａ^⁺,Ａ^⁺Ａ^は確かに対称変換です。

次に,∀ｘ∈Ｌに対して(Ａ^Ａ^⁺ｘ,ｘ)＝(Ａ^⁺ｘ,Ａ^⁺ｘ)＝|Ａ^⁺ｘ|²≧0,(Ａ^⁺Ａ^ｘ,ｘ)＝(Ａ^ｘ,Ａ^ｘ)＝|Ａ^ｘ|²≧0 も明らかです。

(証明終わり)

[定理4-67の系]:任意の対称変換の平方は負でない対称変換である。

(証明)Ａ^⁺＝Ａ^なのでＡ^²＝Ａ^⁺²＝Ａ^Ａ^⁺＝Ａ^⁺Ａ^ですから,定理によって自明です。(証明終わり)

[定理4-68]:ユニタリ空間の負でない対称変換の固有値は負でない実数である。

(証明)Ａ^をユニタリ空間Ｌの負でない１次変換とします。

Ａａ＝αａ(ａ∈Ｌ,ａ≠0)とすれば,(Ａａ,ａ)＝α(ａ,ａ)＝α|ａ|²≧0 であり|ａ|²≠0 なのでα≧0 を得ます。(証明終わり)

[定理4-69]:ユニタリ空間の対称変換Ａ^の固有値が全て負でない実数ならＡ^は負でない１次変換である。

(証明)Ａ^はｎ次のユニタリ空間Ｌの対称変換でＡ^の全ての固有値(重複を含めたＡ^のｎ次固有多項式の根)をα₁,α₂,..,α_nとします。

そして,α₁,α₂,..,α_nのそれぞれに属する固有ベクトルを正規化したＬの正規直交基をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとします。

∀ｘ∈Ｌはｘ＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jと書けます。

このｘについては,(Ａ^ｘ,ｘ)＝(Ａ^(Σ_j=1ⁿξ_jｅ_j),Σ_k=1ⁿξ_kｅ_k)＝Σ_j=1ⁿΣ_k=1ⁿξ_jξ_k^*(Ａ^ｅ_j,ｅ_k)＝Σ_j=1ⁿΣ_{k =1}ⁿξ_jξ_k^*α_j(ｅ_j,ｅ_k)＝Σ_j=1ⁿΣ_{k =1}ⁿξ_jξ_k^*α_jδ_jk＝Σ_j=1ⁿα_j|ξ_j|²と書けます。

仮定によってα_j≧0 (ｊ＝1,2,..,ｎ)ですから∀ｘ∈Ｌに対して(Ａ^ｘ,ｘ)≧0 です。(証明終わり)

[定理4-70]:ユニタリ空間の負でない対称変換Ａ^が正定符号である。⇔ Ａ^は正則な変換である。

(証明)Ａ^はｎ次のユニタリ空間Ｌの対称変換でＡ^の全ての固有値(重複を含めたＡ^のｎ次固有多項式の根)をα₁,α₂,..,α_nとします。

Ａ^は対称変換ですからＡの行列は対角成分が固有値α₁,α₂,..,α_nの対角行列に同値ですから,その行列式は|Ａ|＝detＡ＝α₁α₂..α_nで与えられます。

　したがって,Ａ^が正則でない:|Ａ|＝0 なら,あるｊについてはα_j＝0　となります。

　それ故,α₁,α₂,..,α_nの固有ベクトルを正規化したＬの正規直交基ｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nに対して,このｊについては(Ａｅ_j,ｅ_j)＝α_j＝0 となるため,Ａ^は正定符号ではありません。

　一方,Ａ^が正則:|Ａ|≠0 なら,α_j＞0 (ｊ＝1,2,..,ｎ)ですからＬの任意の元:ｘ＝Σ_j=1ⁿξ_jｅ_jに対して(Ａ^ｘ,ｘ)＝Σ_j=1ⁿα_j|ξ_j|²＞0 が成立します。

　しかも,(Ａ^ｘ,ｘ)＝0 となるのはξ_j＝0 (ｊ＝1,2,..,ｎ),つまりｘ＝0 のときだけですからＡ^は正定符号です。(証明終わり)

[定理4-71]:ユニタリ空間の負でない対称変換Ａ^に対してＡ^＝Ｂ^²を満足する負でない対称変換Ｂ^が唯一つに限って存在する。さらにＡ^と可換な１次変換は全てＢ^とも可換である。

(証明)Ａ^はｎ次のユニタリ空間Ｌの対称変換でＡ^の全ての固有値(重複を含めたＡ^のｎ次固有多項式の根)をα₁,α₂,..,α_nとします。

そして,α₁,α₂,..,α_nのそれぞれに属する固有ベクトルを正規化したＬの正規直交基をｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとします。

このとき,α_j≧0なので１次変換Ｂ^をＢ^ｅ_j≡α_j^1/2ｅ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)によって定義します。

すると,Ｂ^の固有値は明らかにα_j^1/2(ｊ＝1,2,..,ｎ)であり,固有値が全て負でないのでＢ^は負でない対称変換です。

しかも,Ｂ^²ｅ_j＝α_jｅ_j＝Ａ^ｅ_j(ｊ＝1,2,..,ｎ)が成立しますからＡ^＝Ｂ^²です。

次に１次変換Ｘ^がＡ^＝Ｂ^²と可換であるとします。

すなわち,Ａ^Ｘ^＝Ｘ^Ａ^とします。Ａ^,Ｂ^,Ｘ^のｅ₁,ｅ₂,..,ｅ_nとによる行列Ａ,Ｂ,Ｘは適当な配列に対して,

可換条件:Ａ^Ｘ^＝Ｘ^Ａ^:ＸＡ＝ＡＸはα_jＸ_jk＝Ｘ_jkα_k (ｊ,ｋ＝1,2,..,ｓ),つまり(α_j－α_k)Ｘ_jk＝0 を意味します。

この行列の細胞表現ではｊ≠ｋならα_j≠α_kなのでｊ≠ｋならＸ_jk＝0　であり,Ｘの非対角成分はゼロです。

それ故,行列Ｘ,ＢＸ,ＸＢの具体的な形が次のように書けます。

以上から,Ｂ^Ｘ^＝Ｘ^Ｂ^を得ました。

次にＢ^とは別に,Ａ^＝Ｃ^²で負でない対称変換Ｃ^があるとします。

先のＡ^の行列表現Ａのｓ×ｓ個の細胞分割に対応して,空間ＬはＬ＝Ｌ₁＋Ｌ₂＋..＋Ｌ_sとＡ^の不変部分空間Ｌ_j(j＝1,2,..,ｓ)の直和に分解されます。

明らかにＣ^Ａ^＝Ａ^Ｃ^ですからＬ_jはＣ^に対しても不変です。

またＣ^は対称変換なので各部分空間Ｌ_jにおいてＣ^の固有ベクトルから成る正規直交基が存在します。それらに対応するＣ^の固有値をγ_j1,γ_j2,..,γ_jρとします。

また,Ａ^,Ｂ^,Ｃ^の不変部分空間に誘導される変換をＡ_j^,Ｂ_j^,Ｃ_j^と書きます。

するとＡ_j^＝α_jＥ_j^,Ｂ_j^＝α_j^1/2Ｅ_j^,かつＡ_j^＝Ｃ_j^²なのでγ_j1²＝γ_j2²＝..,γ_jρ²＝α_jです。

したがって,Ｃ_j^＝α_j^1/2Ｅ_j^＝Ｂ_j^です。

それ故,Ｃ~＝Ｂ^であり一意性も示されました。(証明終わり)

[定理4-72]:ユニタリ空間の互いに可換な負でない対称変換の積は負でない対称変換である。

(証明)Ａ₁^,Ａ₂^をユニタリ空間Ｌの互いに可換な負でない対称変換とします。

　[定理4-71]によりＡ₁^＝Ｂ₁^²,Ａ₂^＝Ｂ₂^²を満たす負でない対称変換Ｂ₁^,Ｂ₂^が存在して,これらも可換です。

　故に,Ａ₁^Ａ₂^＝Ｂ₁^²Ｂ₂^²＝Ｂ₁^Ｂ₂^Ｂ₁^Ｂ₂^＝(Ｂ₁^Ｂ₂^)²が成立します。

　ところで,Ｂ₁^Ｂ₂^＝Ｂ₂^Ｂ₁^なので[定理4-58](ⅲ)よりＢ₁^Ｂ₂^は対称であり,負でないことも明らかですから,[定理4-67の系]によってＡ₁^Ａ₂^は負でない対称変換です。(証明終わり)

[定理4-73]:ユニタリ空間の任意の１次変換Ａ^はある対称変換Ｂ^,Ｃ^によってＡ^＝Ｂ^＋iＣ^の形に表わすことができる。

　また,実ユニタリ空間の任意の１次変換Ａ^はある対称変換Ｂ^,反対称変換Ｃ^によってＡ^＝Ｂ^＋Ｃ^の形に表わすことができる。

(証明)Ｂ^≡(Ａ^＋Ａ^⁺)/2,Ｃ^≡(Ａ^－Ａ^⁺)/(2i)と置けばＡ^＝Ｂ^＋iＣ^でありＢ^⁺＝(Ａ^⁺＋Ａ^)/2＝Ｂ^,Ｃ^⁺＝(Ａ^⁺－Ａ^)/(－2i)＝Ｃ^となってＢ^,Ｃ^は対称であることがわかります。

　また,Ｂ^≡(Ａ^＋Ａ^⁺)/2,Ｃ^≡(Ａ^－Ａ^⁺)/2と置けばＡ^＝Ｂ^＋Ｃ^であり,Ｂ^⁺＝(Ａ^⁺＋Ａ^)/2＝Ｂ^,Ｃ^⁺＝(Ａ^⁺－Ａ^)/2＝－Ｃ^となってＢ^は対称,Ｃ^は反対称であることがわかります。(証明終わり)

[定理4-74](補助定理):ユニタリ空間Ｌの１次変換Ａ^,Ｂ^がベクトルの長さを同じように変える:つまり∀ｘ∈Ｌに対し(Ａ^ｘ,Ａ^ｘ)＝(Ｂ^ｘ,Ｂ^ｘなら,あるユニタリ変換Ｕ^が存在してＢ^＝Ｕ^Ａ^と書ける。

(証明)Ａ≡Ａ^Ｌ,Ｂ≡Ｂ^Ｌとします。

　∀ａ∈Ａに対し,あるｘ∈Ｌが存在してａ＝Ａ^ｘです。このとき,ｂ≡Ｂ^ｘとすればｂはａに対して一意的です。

　何故なら,もしａ＝Ａ^ｘ₁ならＡ^(ｘ－ｘ₁)＝0 ですが,仮定により(Ａ^(ｘ－ｘ₁),Ａ^(ｘ－ｘ₁))＝(Ｂ^(ｘ－ｘ₁),Ｂ^(ｘ－ｘ₁))＝0 なのでＢ^(ｘ－ｘ₁)＝0 よりＢ^ｘ＝Ｂ^ｘ₁となるからです。

　そこで,変換Ｖ^を上述のようにａ∈Ａにｂ∈Ｂに対応させるＡからＢへの写像:ｂ＝Ｖ^ａとして定義します。

　そしてＡ^とＢ^は対等なので同様にａもｂに対して一意的ですから,Ｖ^は１対１写像です。

　この定義から,あるｘ∈ＬについてＶ^Ａ^ｘ＝Ｂ^ｘです。

　次にａ₁,ａ₂∈Ａ,α,β∈Ｃとします。そして,ａ₁＝Ａ^ｘ₁,ａ₂＝Ａ^ｘ₂ (ただしｘ₁,ｘ₂∈Ｌ)とします。

　このとき,Ｖ^(αａ₁＋βａ₂)＝Ｖ^(αＡ^ｘ₁＋βＡ^ｘ₂)＝Ｂ^(αｘ₁＋βｘ₂)＝αＢ^ｘ₁＋βＢ^ｘ₂＝αＶ^ａ₁＋βＶ^ａ₂なのでＶ~は１次変換です。

　また,(Ｖ^ａ₁,Ｖ^ａ₁)＝(Ｖ^Ａ^ｘ₁,Ｖ^Ａ^ｘ₁)＝(Ｂ^ｘ₁,Ｂ^ｘ₁)＝(Ａ^ｘ₁,Ａ^ｘ₁)＝(ａ₁,ａ₁)です。

　以上からＶ^はＡからＢへの同型写像です。

　次にＡ,およびＢそれぞれの直交補空間Ａ^⊥,およびＢ^⊥を考えます。Ｌ＝Ａ＋Ａ^⊥＝Ｂ＋Ｂ^⊥です。

　ところがＡとＢが同型:dimＡ＝dimＢなので,dimＡ^⊥＝dimＢ^⊥ですからＡ^⊥とＢ^⊥も同型です。

　それ故,Ａ^⊥からＢ^⊥への同型写像Ｗ^が存在するはずです。

　つまり,ａ',ａ"∈Ａ^⊥,α,β∈ＣならＷ^ａ',Ｗ^ａ"∈Ｂ^⊥でＷ^(αａ'＋βａ")＝αＷ^ａ'＋Ｗ^ａ",かつ(Ｗ^ａ',Ｗ^ａ")＝(ａ',ａ")を満たす変換Ｗ^が存在します。

　そして,∀ｘ∈Ｌはｘ＝ｘ'＋ｘ",ｘ'∈Ａ,ｘ"∈Ａ^⊥と常に一意的に直和分解できますから変換Ｕ^をＵ^ｘ≡Ｖ^ｘ'＋Ｗ^ｘ"で定義します。

　すると,∀ｘ,ｙ∈Ｌ,α,β∈Ｃに対しＵ^(αｘ＋βｙ)＝Ｖ^(αｘ'＋βｙ')＋Ｗ^(αｘ"＋βｙ")＝αＵ^ｘ＋βＵ^ｙが成立するため,変換Ｕ^は線型です。

　また,(Ｕ^ｘ,Ｕ^ｘ)＝(Ｖ^ｘ'＋Ｗ^ｘ",Ｖ^ｘ'＋Ｗ^ｘ")＝(Ｖ^ｘ',Ｖ^ｘ')＋(Ｗ^ｘ",Ｗ^ｘ")＝(ｘ',ｘ')＋(ｘ",ｘ")＝(ｘ,ｘ)です。

　したがってＵ^はユニタリです。さらにＵ^Ａ^ｘ＝Ｖ^Ａ^ｘ＝Ｂ^ｘですから,Ｂ^＝Ｕ^Ａ^を得ます。(証明終わり)

[定理4-75]:ユニタリ空間Ｌの任意の１次変換Ａ^はユニタリ変換Ｕ^(Ｕ^⁺＝Ｕ^^-1)と負でない対称変換Ｄ^(Ｄ^⁺＝Ｄ^)の積としてＡ^＝Ｕ^Ｄ^と一意的に分解される。この分解を極分解という。

(証明)Ａ＾をユニタリ空間Ｌの任意の１次変換とすると,[定理4-67]よりＡ^⁺Ａ^は負でない対称変換です 。

　それ故,[定理4-72]からＡ^⁺Ａ^＝Ｄ^²を満たす負でない対称変換Ｄ^が存在して一意的です。

　そして,∀ｘ∈Ｌに対して(Ａ^ｘ,Ａ^ｘ)＝(ｘ,Ａ^⁺Ａ^ｘ)＝(ｘ,Ｄ^²ｘ)＝(Ｄ^ｘ,Ｄ^ｘ)ですから,[定理4-73]によりＡ^＝Ｕ^Ｄ^,Ｕ^⁺＝Ｕ^^-1と書けます。

　逆に,Ｕ^⁺＝Ｕ^^-1,Ｄ^⁺＝Ｄ^でＡ^＝Ｕ^Ｄ^ならＡ^⁺＝Ｄ^Ｕ^^-1よりＡ^⁺Ａ^＝Ｄ^²です。Ｄ^を非負に限るとこれを満たすＤ^は一意的です 。

　そして,Ａ^が正則ならＤ^も正則なのでＵ^＝Ａ^Ｄ^^-1となりＵ^も一意的です。

　Ａ^が正則でないならＤ^も正則でないのでＤ^は負ではないですが正定符号ではないため,Ａ^,Ｄ^は共にゼロ固有値を持ちます。

　ゼロ固有値以外の不変部分空間ではＡ^に対してＵ^は一意ですがそれ以外では不定です。？？(証明終わり)

[定理4-75の系]:ユニタリ空間Ｌの任意の１次変換Ａ^は負でない対称変換Ｄ^(Ｄ^⁺＝Ｄ^)とユニタリ変換Ｕ^(Ｕ^⁺＝Ｕ^^-1)の積としてＡ^＝Ｄ^Ｕ^と一意的に分解される。

(証明)[定理4.75]の証明においてＡ^⁺Ａ^＝Ｄ^²の代わりにＡ^Ａ^⁺＝Ｄ^²とするだけです。(終わり)

[定理4.76](Cayley変換):ユニタリ空間の対称変換をＡ^(Ａ^⁺＝Ａ^)とすると,Ａ^±iＥ^は逆を持ち,Ｕ^≡(Ａ^－iＥ^)(Ａ^＋iＥ^)^-1で与えられる変換Ｕ^はユニタリである。

　このＵ^は固有値として１を持たず,またＡ^＝－i(Ｕ＾＋Ｅ^)(Ｕ^－Ｅ^)^-1はと表わされる。

　逆に,Ｕ^がＵ^⁺＝Ｕ^^-1を満たし１に等しい固有値を持たないならＵ^－Ｅ^は可逆でＡ^≡－i(Ｕ＾＋Ｅ^)(Ｕ^－Ｅ^)^-1は対称でありＵ^はＵ^≡(Ａ^－iＥ^)(Ａ^＋iＥ^)^-1で与えられる。

(証明)まず,Ａ^⁺＝Ａ^よりＡ^の固有値は実数であって±iではないので|Ａ±iＥ|≠0 ですからＡ^±iＥ^は正則です。

　そして,(Ａ^＋iＥ^)(Ａ^－iＥ^)＝Ａ^²－iＡ^＋iＡ^＋Ｅ^＝(Ａ^－iＥ^)(Ａ^＋iＥ^)です。これから(Ａ^＋iＥ^)^-1と(Ａ^－iＥ^)^-1も可換です 。

　そこで,Ｕ^≡(Ａ^－iＥ^)(Ａ^＋iＥ^)^-1とするとＵ^⁺＝(Ａ^＋iＥ^)^+-1(Ａ^＋iＥ^)⁺＝(Ａ^－iＥ^)^-1(Ａ^＋iＥ^)よりＵ^Ｕ^⁺＝Ｅ^が成立することは自明です。

　次にＵ^－Ｅ^＝(Ａ^－iＥ^)(Ａ^＋iＥ^)^-1－Ｅ^なので,(Ｕ^－Ｅ^)(Ａ^＋iＥ^)＝-2iＥ^です。

　故に,(Ｕ^－Ｅ^)^-1＝(Ａ^＋iＥ^)/(－2i)です。|Ｕ－Ｅ|≠0 なのでＵ^は固有値として１を持ちません。

　しかも,(Ｕ^－Ｅ^)Ａ^＝-2iＥ^－iＥ^(Ｕ^－Ｅ^)＝－iＥ^(Ｕ^＋Ｅ^)より,Ａ^＝－i(Ｕ＾＋Ｅ^)(Ｕ^－Ｅ^)^-1となります。

　逆も同じように直線的なので以下省略します。(証明終わり)

　この線型代数シリーズはここで一区切りにします。

参考文献:ア・イ・マリツェフ(柴岡康光 訳)「線型代数学」(東京図書)

コーシーの主値(主値積分)

　コーヒー・ブレイクとして,数学のあるショートトピックを

　考察してみます。

　ちょっと思い付きで,コーシー(Cauchy)の主値,あるいは主値積分と

　呼ばれているものを考えます。

　Cauchyの主値というのは,

　実数の区間[ａ,ｂ]で定義された関数ｆ(ｘ)がａ＜ｃ＜ｂなるある点

　ｃで不連続なとき,

　Ｐ∫_a^ｂｆ(ｘ)ｄｘ≡lim_ε→+0[∫_a^c-εｆ(ｘ)ｄｘ＋∫_c+ε^bｆ(ｘ)ｄｘ]

　と定義し,これを主値(積分)(principal value)

　と呼ぶことを指します。

　これは,区間[ａ,ｂ]が無限区間(－∞,∞)で被積分関数が

　ｆ(ｘ)/ｘ (ｆ(ｘ):連続関数)の場合には,

　Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＝lim_ε→+0[∫_|x|≧ε{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ]

　です。

　複素平面上の実軸を含む領域でｆ(ｚ)が正則なとき,

　主値Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘを,複素ｚ平面上のある経路Ｃに

　おける線積分∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚで近似することを考えます。

　Ｃとしては,実軸上の－∞から－εまで真っ直ぐ進み,原点Ｏを回避

　するために,Ｏを中心として半径εの小円で点－εから点εまで時計

　回り(負の向き)にπだけ回る半円経路を加え,さらにεから∞までの

　直線経路を考えたものとします。

つまり,小半円の経路をγ^-とすると,全経路は,

Ｃ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)です。

すると,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ

＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ

と書けます。

ところが,明らかに,

∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝i∫_π⁰ｆ(εexp(iθ))ｄθ

＝－iπｆ(0)です。

それ故,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ

＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0)

なることがわかります。

　被積分関数ｆ(ｚ)/ｚに対し,その特異点であるｚ＝0 付近で

　上半平面方向に歪めた経路Ｃ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)を

　取る代わりに,

　通常の(－∞,∞)の経路のまま,被積分関数の方をｆ(ｚ)/ｚ

　からｆ(ｚ)/(ｚ＋iε)に微修正して,特異点をｚ＝0 から

　下半平面のｚ＝－iεに移すのは,事実上,同等な操作であり,

　同じ積分値を与えるはずです。

　すなわち,∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ＋iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ

　＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0)　です。

　同様な考察から∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ－iε)}ｄｘ

　＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋iπｆ(0)

　も得られます。

　これらの公式を,形式的に,

　1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ), 1/(ｘ－iε)

　＝Ｐ(1/ｘ)＋iπδ(ｘ)　と書きます。

　主値積分については,Cauchyの積分定理を意識して,上半平面や

　下半平面で,半径が∞の半円周を加えた閉じた経路を積分経路Ｃ

　とする説明をよく見かけますが,それは半径が∞の半円周上で積分

　がゼロになるような特別な被積分関数形を要求します。

　留数などを考慮する必要がある場合なら,その方がいいでしょうが,

　上の考察では,関数ｆ(ｚ)がｚ→ ∞でゼロに急減衰すべきであると

　かの条件は全く必要ないのがミソです。

　今日は記憶に頼った短かい覚え書きなので参考文献はありません。

PS:２ヶ月ぶりに帝京大病院に診察を受けに行きました。

　これまでは内科診療は心臓や血管が専門の主治医Ｉ先生だけでした

　が持病の糖尿病がかなり悪化しているというので,今回からＭという

　糖尿病が専門の女の先生の診療も受けることになりました。

　ところが,先に診察を受けた糖尿病の方で,12時直前に受けた診察

　で,朝９時半に検査した結果の糖尿病の指標であるヘモグロビン

　(HbA1C;正常値4.3～5.8）が,前回(５月８日)まで,11くらいもあっ

　たのに,8.6と劇的に軽減されていたので,

　当然インシュリン注射の指導をする予定だったらしい女医が,

　これまで通りの投薬で様子を見るということになりました。

　空腹時血糖値は200丁度でしたが,これも前回は確か250くらい

　だったので減っていたし,今日は朝８時頃おにぎりを食べてきた

　ので完全に空腹というわけではありませんでした。

　別に何をしたというわけもなく,このところ金がなくて空腹続き

　だったのが良かったのでしょうか？

　最近,何かしましたか？生活が変わりましたか？等聞かれましたが,

　相変わらず薬はよく忘れて半分くらいは残っているし,別に,貧乏で

　肉類が少なく空腹だったくらいです。

　そういえば,先月初め,知り合いに紹介されて面接した秋葉原の

「コタラヒムジャパン」という会社

　http://kothalahim.blog110.fc2.com/blog-entry-9.html 

　が,偶然にも和名「コタラヒム」という名前の糖尿病に効くらしい

　スリランカの薬草を販売している会社でした。

　そのとき,対面したＳ会長に自分も長年糖尿病である旨を伝えたら,

　サンプル試供品の「コタラヒム」を20粒程度頂きました。

　これを食前２錠ずつ飲んでいたのを思い出しました。

　まだ,数粒残っているので,毎日飲んだわけではないようです。

　このことを言ったら,後で診察を受けた糖尿が専門ではない

　心臓病の主治医は少し興味を持ったようでしたが,糖尿病が専門の

　医者には「毒かもしれないから,変なものは飲まないように」

　と言われました。

　私のデータが改善された理由は,十分な比較サンプルもないので,

　もちろん何の効果かははっきりしないのでしょうが,そもそも

　インシュリン投与の対症療法しかない糖尿病だし,

　専門の立場からは,イカガわしいモノが多い,という気持ちはわかり

　ますが,別に私はその会社の回し者ではないし,頭から拒否しない

　で調べるくらいしてもいいのに。。と思いました。

　(※その理由は,何でも薬は効きさえすればいいのだと思う。。

　もっとも,大きな副作用があれば別ですが。。)

　心臓,血管関係では,２年前のバイパス手術退院当時,上が85～90

　だった血圧が120と正常になってました。

　また,退院時52キロだった体重も61キロと戻ってきました。

　しかし,身長が176センチなので,まだまだやせていて太りたいの

　ですが,ここ数年来摂取カロリーが成人標準の半分程度なので,

　やせるのも仕方ないでしょう。

　だからこそ,食事療法などは無駄だから,インシュリンを投与しろ

　ということらしかったのですが。。。

　また,これまで,フラフラして転びやすいのは,主に低血圧のせいと

　思っていたら,赤血球も正常下限値の８割しかなくて貧血もあるよ

　うでした。

　その他は腎臓が蛋白＋２で少し悪い以外は全て正常値でした。

　念のため,次回はほぼ全部の内臓の超音波(エコー)検査をすること

　になりました。

　また,４月末にやった両足首の動脈の検査結果から,足の動脈硬化

　らしいので薬ももらいましたが,来週下半身のＭＲＩ検査をして,

　場合によっては足の動脈のカテーテルか,バイパス手術もあるらし

　いです。

　そうだとしても,今度は心臓ではなく足なので危険度ははるかに

　少ないでしょう。

　糖尿病状態の急激な変化は,たとえ軽癒の場合でも眼底によくな

　いとのことで,同じ日に久しぶりに眼科の診察も受けることにな

　りました。

　こうした検査は人間ドック以上にお金がかかるだろうとはいえ,

　これまで定期的に受けてきた診察では何もなかったのに,５月に

　病院の建物や施設が新しくなったとたんに,こう色々と出てくる

　のでは今までは一体何だったんだろう？と思ってしまいます。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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三角関数を含むある関数の定積分

　今日はちょっと気になる計算があったので計算をしてみました。実はT_NAKAさんのブログの2008年8/10の記事「 T_NAKAの阿房ブログ(高次モーメントを考える)」に関連したものです。。

　普通は公式集にあるものなら全面的にそれに頼り,わざわざ確かめたりもしませんが,偶々,所持している岩波の数学公式集,丸善の新数学公式集を見ても,適合するものが全く見つからなかったため,自力で計算せざるを得ず,実行しました。

　夏休み中で頭もボーッとしているし,最初予想していた結果と違っていたこともあって,かなり手間取りました。

計算するのは,定積分:I_k≡∫_-∞^∞ｆ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)です。

これはｋが奇数なら被積分関数:ｆ_k(ｘ)＝ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²が,ｘの奇関数なので,その積分はゼロですから,以下ではｋは偶数であるとし,ｆ_k(ｘ)がｘの偶関数の場合のみを計算します。

ｘ＝±π/2はｆ_k(ｘ)の特異点,特に極であるように見えますが,実は真の特異点ではありません。

例えばｙ≡ｘ－π/2と変数変換すれば,ｆ_k(ｘ)＝ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}＝(ｙ＋π/2)^ksin²ｙ/{ｙ²(ｙ＋π)²}なので,ｙ→ 0ではｆ_k(ｘ)→ (π/2)^k/π²,ｙ→ －πではｆ_k(ｘ)→ (－π/2)^k/(－π)²となります。

そこで,ｙ＝0,－π,すなわち,ｘ＝±π/2は,ｆ_k(ｘ)の真の特異点ではなく,これらの点でｘ→±π/2でのｆ_k(ｘ)の極限値をｆ_k(±π/2)と定義すれば被積分関数ｆ_k(ｘ)はｘ＝±π/2でも連続なので,普通に積分を実行することができます。

　しかし,実際にｘを実数のままで,この積分を評価するのはかなり面倒なのでｘを複素変数ｚに変えて,複素ｚ平面である閉曲線Ｃを周回する積分を考えてみます。

　その際,cos²ｚ＝[{exp(iｚ)＋exp(－iｚ)}/2]²＝{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)＋2}/4 なので,I_k(Ｃ)≡∫_Cｆ_k(ｚ)ｄｚ＝∫_Cｄｚ[ｚ^k{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)＋2}/{4(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)を計算します。

　これ自身は,上に述べたようにｚ＝±π/2も含めてｆ_k(ｚ)が全ｚ平面で解析的なのでＣが閉曲線の場合には常にI_k(Ｃ)＝0 です。

まず,∫_Cｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}を考えます。原点を中心としＲ＞＞1で実軸上[－Ｒ,Ｒ]を直径＝2Ｒとする上半円周をＣ_＋とします。

ただし,今の場合,被積分関数はｆ_k(ｚ)ではなく,その一部ｇ_k^＋(ｚ)≡ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}です。

これに対しては,ｚ＝±π/2 は確かに真の特異点(極)なので,Ｃ_＋は点±π/2 の周りでは特別に回避経路としてＡ_±≡lim_{ε→ +0}{ｚ(θ)|ｚ(θ)＝±π/2＋εexp(iθ),θ:π→ 0 (時計回り)}で与えられる微小半径ε＞0 の上半円周経路を含むとします。

そして,Ｃ_＋の無限遠を意味する半径Ｒの円周上の点ｚ＝Ｒexp(iθ)＝Ｒ(cosθ＋isinθ) (0≦θ≦π)では,|∫ｇ_k^＋(ｚ)ｄｚ|＝πＲ|ｚ^kexp(2iｚ){(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}_|z|=R ～πＲ^k-3exp(－2Ｒsinθ)→ 0 ですから,これの寄与は無視できます。

結局,0＝∫_C+ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋Ａ_－＋Ａ_＋なる表現で書けます。

ここで,微小半円経路Ａ_±を回る積分の寄与を同じ記号Ａ_±で省略する表現をしました。

∫ｇ_k^＋(ｚ)ｄｚにおけるＡ_±の寄与を評価する必要がありますが,これは被積分関数のローラン展開において 1/(ｚ±π/2)の係数に(－πi)を掛けたもので与えられます。

これはＡ_－の場合には,lim_{z→(－π/2)}(ｄ/ｄｚ)[(ｚ＋π/2)²ｇ_k^＋(ｚ)]で与えられます。

すなわち,lim_{z→(－π/2)}(ｄ/ｄｚ)[ｚ^kexp(2iｚ)/(ｚ－π/2)²]＝lim_{z→(－π/2)}[{(ｋｚ^k-1＋2iｚ^k)/(ｚ－π/2)²－2ｚ^k/(ｚ－π/2)³}exp(2iｚ)]＝－(－π/2)^k-1(ｋ－πi)(－π)^-2＋2(－π/2)^k(－π)^-3＝(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)です。

したがって,結局Ａ_－＝(－πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)が得られました。ここで,ｋが偶数であることを用いました。

同様にＡ_＋の場合には,lim_z→π/2(ｄ/ｄｚ)[(ｚ＋π/2)²ｇ_k^＋(ｚ)]＝lim_z→π/2[{(ｋｚ^k-1＋2iｚ^k)/(ｚ＋π/2)²－2ｚ^k/(ｚ＋π/2)³}exp(2iｚ)]＝(π/2)^k-1(ｋ＋πi)π^-2－2(π/2)^kπ^-3＝(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)ですから,Ａ_＋＝(－πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)＝Ａ_－です。

以上のことから,∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝－(Ａ_－＋Ａ_＋)＝－2Ａ_－＝(2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1－πi)が得られました。

また,被積分関数ｇ_k^－(ｚ)≡ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}に対しては,原点を中心としＲ＞＞1で実軸上[－Ｒ,Ｒ]を直径＝2Ｒとする下半円周をＣ_－とすれば,同様な考察から 0＝∫_C-ｄｚ[ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋Ｂ_－＋Ｂ_＋を得ます。

ここで,Ｂ_±はＡ_±と同様に実軸上の特異点±π/2を回避する微小な下半円周経路Ｂ_±≡lim_{ε→ +0}{ｚ(θ)|ｚ(θ)＝±π/2＋εexp(iθ),θ:－π→ 0 (反時計回り)}における積分の寄与です。

そして,Ｂ_－＋Ｂ_＋＝2Ｂ_－＝(2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1＋πi)となりますから,∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^kexp(－2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝－(Ｂ_－＋Ｂ_＋)＝－2Ｂ_－＝(－2πi)(π^k-3/2^k-1)(ｋ－1＋πi)です。

したがって,cos(2ｘ)＝{exp(2iｚ)＋exp(－2iｚ)}/2によって,上に得られた２つの積分等式を加え合わせて２で割ると,∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}]＝2(π/2)^k-1が得られます。

一方,∫_Cｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]において±π/2は２位の極なので留数はゼロですから,例えば閉路Ｃを,Ｃ＝Ｃ_＋に取れば 0＝∫_C+ｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝∫_-∞^∞ｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＋lim _R→∞∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]となります。

被積分関数がｇ_k^±(ｚ)＝ｚ^kexp(±2iｚ)/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}の場合と異なり,ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}の場合にはＣ＝Ｃ_＋に取ろうと,Ｃ＝Ｃ_－に取ろうと,半円の半径Ｒ→ ∞で円周積分が必ずしもゼロにはなりません。

以上から,2∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k{1＋cos(2ｘ)}/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k/{ｘ²－(π/2)²}²]＋∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos(2ｘ)/{ｘ²－(π/2)²}²]＝－lim _R→∞∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{ｚ²－(π/2)²}²]＋2(π/2)^k-1が得られました。

右辺第１項はｚ＝Ｒexp(iθ),ｄｚ＝iＲexp(iθ)ｄθによって∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]＝ｉＲ∫₀^πｄθ[Ｒ^kexp(iｋθ)/{(Ｒexp(iθ)－π/2)²(Ｒexp(iθ)＋π/2)²}]となりますから,Ｒ→∞では|∫_|z|＝Rｄｚ[ｚ^k/{(ｚ－π/2)²(ｚ＋π/2)²}]|～πＲ^k+1/Ｒ⁴と書けます。

∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^k/{ｘ²－(π/2)²}²]は実関数の実数積分であり,被積分関数はｋが偶数ならｘ∈(－∞,∞)では非負なので,この積分の符号は非負です。

　したがって,ｋが偶数故ｋ＝2ｍとおくと,この項はｍ＝0,1,すなわちｋ＝0,2では(ｋ＋1)＜4 によって,ゼロに収束しますが,ｍ≧2 or ｋ≧4 では,(ｋ＋1)＞4 なので ∞ に発散します。

　以上からI_k≡∫_-∞^∞ｆ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{ｘ²－(π/2)²}²]＝∫_-∞^∞ｄｘ[ｘ^kcos²ｘ/{(ｘ－π/2)²(ｘ＋π/2)²}](ｋ＝0,1,2,..)はｋが偶数の場合,ｋ＝0,2 ならＩ_k＝(π/2)^k-1となって有限値,ｋが４以上のｋ＝4,6,..ならＩ_k＝∞＋(π/2)^k-1となって∞ に発散するという結果が得られました。

　ｋが奇数の場合ならI_kはゼロです。

　しかし,この結果には少し自信がありません。

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実数から複素数へ

せっかくデデキントの切断(Dedekind's cut)によって有理数から実数を定義したのですから,やはり39年くらい前の大学１～２年の頃の解析学の化石的ノートから,複素数の定義も記述しておきます。

要するに,また,得意の手抜きです。もっとも複素関数論ではなく複素数の話だけならカテゴリーとしては解析学の話ではなく代数学的,あるいは幾何学的な話ですね。

これまでと同じく実数の集合(set of reals)をＲで表記します。

これは四則演算を加味した代数の意味では,体(field)を作りますから,

特にＲは実数体(real field)を表わす記号でもあります。

[定義１]:(複素数:complex)

　複素数とは２つの実数ａ,ｂ∈Ｒの順序対,または２次元の数ベクトル(ａ,ｂ)のことであり,実数をａ,ｂ,.,複素数をｘ,ｙ,.で表記することにすれば

　,

　ｘ＝(ａ,ｂ),ｙ＝(ｃ,ｄ)(ｃ,ｄ∈Ｒ)のとき,"ｘとｙが等しい:

　ｘ＝ｙであるとは,ａ＝ｃかつｂ＝ｄが成り立つことである。"

　また,これらの和,または加法,および積,または乗法の演算が,

　それぞれ,ｘ＋ｙ≡(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ),および

　ｘｙ≡(ａｃ－ｂｄ,ａｄ＋ｂｃ)で定義されるものをいう。"

　そして,こうして得られる複素数全体の集合をＣと書くことにする。

※     特に,複素数(1,0)と(0,0)については,取り合えず,

　ｕ≡(1,0),ｎ≡(0,0)と表記することにします。

[定理１]:ｘ,ｙ,ｚを任意の複素数,すなわち∀ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃとする。　

　このとき,

(ａ)ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ,

(ｂ)(ｘ＋ｙ)＋ｚ＝ｘ＋(ｙ＋ｚ),　

(ｃ)ｘｙ＝ｙｘ,

(ｄ)(ｘｙ)ｚ＝ｘ(ｙｚ),

(ｅ)(ｘ＋ｙ)ｚ＝ｘｚ＋ｙｚ　が成立する。

(証明)ｘ＋ｙ≡(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ),およびｘｙ≡(ａｃ－ｂｄ,ａｄ＋ｂｃ)による加法,乗法の定義に従って実際に演算を行えば確かに成立することがわかるので省略します。

　以下,証明を省略した定理を２つ述べます。

[定理２]:∀ｘ∈Ｃに対しｘ＋ｎ＝ｘ,ｘｎ＝ｎ,ｘｕ＝ｘが成り立つ。

[定理３]:ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃとする。ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｚならばｙ＝ｚである。

[定理４]:(逆元(inverse)の存在)　

　∀ｘ∈Ｃに対してｘ＋ｙ＝ｎを満たすｙ∈Ｃが唯１つ存在する。

　このｙを－ｘと書く。

(証明)ｘ＝(ａ,ｂ)のとき,ｙ＝(－ａ,－ｂ)とすればいいです。　

(証明終わり)

[定理５]:∀ｘ,ｙ∈Ｃに対してｘ＋(－ｙ)をｘ－ｙと書くことにする。

　このとき,

(ａ)ｘ－ｘ＝ｎ,および

(ｂ)(－ｘ)ｙ＝ｘ(－ｙ)＝－(ｘｙ)　＝(－ｕ)(ｘｙ) が成立する。

(証明)略。　

この定理の故に,(－ｘ)ｙ＝ｘ(－ｙ)＝－(ｘｙ)

＝(－ｕ)(ｘｙ)を単に－ｘｙと書くことにします。

[定義２]:(絶対値:absolute value)　

　∀ｘ∈Ｃに対し,ｘ＝(ａ,ｂ)(ａ,ｂ∈Ｒ)なら

　|ｘ|≡(ａ²＋ｂ²)^1/2と書き,|ｘ|をｘの絶対値と呼ぶ。

[定理６]:∀ｘ,ｙ∈Ｃに対し,

(ａ)ｘ≠ｎなら|ｘ|＞0 である。 また|ｎ|＝0 である。

(ｂ)|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|が成り立つ。

(証明)略。

[定理７]:ｘ,ｙ∈Ｃに対しｘｙ＝ｎならｘ＝ｎ,またはｙ＝ｎである。

(証明)[定理６]より,ｘｙ＝ｎなら|ｘｙ|＝|ｘ||ｙ|＝0 ,

故に|ｘ|＝0,または|ｙ|＝0 です。

　そこで再び[定理６]からｘ＝ｎ,またはｙ＝ｎです。(証明終わり)

[定理８]:ｘ,ｙ,ｚ∈Ｃ,ｘｙ＝ｘｚでｘ≠ｎならｙ＝ｚである。

(証明)ｘ(ｙ－ｚ)＝ｘｙ－ｘｚ＝ｎでｘ≠ｎなので[定理７]によって

ｙ－ｚ＝ｎ,よってｙ＝ｚです。(証明終わり)

[定理９]:∀ｘ∈Ｃ,ただしｘ≠ｎに対し,ｘｙ＝ｕを満たす複素数ｙ

が唯一つ存在する。このｙをｕ/ｘと書く。

(証明)ｘ＝(ａ,ｂ)(ａ,ｂ∈Ｒ)とすると,ｘ≠ｎ故,ａ²＋ｂ²≠0

です。そこで,ｙ≡(ａ/(ａ²＋ｂ²),－ｂ/(ａ²＋ｂ²))とおけば,

　確かにｘｙ＝(ａ,ｂ)(ａ/(ａ²＋ｂ²),－ｂ/(ａ²＋ｂ²))＝(1,0)

　＝ｕとなります。

　そして,このｙ＝ｕ/ｘの一意性は[定理８]より明らかです。　

　(証明終わり)

[定理10]:(除法)　

　∀ｘ,ｙ∈Ｃ,ただしｘ≠ｎに対してｘｚ＝ｙを満たす複素数ｚが

　唯一つ存在する。このｚをｙ/ｘと書く。

(証明)ｚ≡(ｕ/ｘ)ｙとおけば,ｘｚ＝ｕｙ＝ｙです。(証明終わり)

[定理11]:(実数)　

　ａ,ｂ∈Ｒとする。

　このとき,　

　(ａ)(ａ,0)＋(ｂ,0)＝(ａ＋ｂ,0),

　(ｂ)(ａ,0)(ｂ,0)＝(ａｂ,0),

　(ｃ)ｂ≠0 なら(ａ,0)/(ｂ,0)＝(ａ/ｂ,0),

　(ｄ)|(ａ,0)|＝|ａ|　が成立する。

(証明)明らかなので略。

※  [定理11]から,(ａ,0)(ａ∈Ｒ)の形の複素数は,実数ａと全く同じ性質

を持って一対一に同型対応することがわかります。

　そこで,以下では複素数(ａ,0)(ａ∈Ｒ)を実数ａと同一視して単にａ

　と書くことがあります。

　この同定により,ＲはＣの部分集合,つまりＲ⊂Ｃとなります。

　そこで以下では,特に,ｕ＝(1,0)を単に1,ｎ＝(0,0)を単に

　 0 と書きます。

[定義３]:(虚数:imaginary)　

　複素数:(0,1)をｉと書く。

[定理12]:ｉ²＝－1 である。

(証明)ｉ²＝(0,1)(0,1)＝(－1,0)＝－1 です。(証明終わり)

[定理13]:∀ａ,ｂ∈Ｒに対して(ａ,ｂ)＝ａ＋ｂiである。

(証明)ａ＋ｂi＝(ａ,0)＋(ｂ,0)(0,1)＝(ａ,0)＋(0,ｂ)＝(ａ,ｂ)　

(証明終わり)

[定理14]:∀ｘ,ｙ∈Ｃに対して,|ｘ＋ｙ|≦|ｘ|＋|ｙ|である。

(証明) ｘ＋ｙ＝0 なら自明なので,ｘ＋ｙ≠0 とします。

　このときλ≠|ｘ＋ｙ|/(ｘ＋ｙ)とおけば,[定理６](ｂ)より

　|λ|＝1 です。

　そしてλｘ＋λｙ＝|ｘ＋ｙ|です。

　よってλｘ＋λｙは実数ですから,λｘ＝(ａ,ｂ),λｙ＝(ｃ,ｄ)

　ならλｘ＋λｙ＝(ａ＋ｃ,ｂ＋ｄ)＝(ａ＋ｃ,0)＝ａ＋ｃです。

　そして,|ａ|≦|λｘ|＝|ｘ|,かつ|ｃ|≦|λｙ|＝|ｙ|です。

　それ故,|ｘ＋ｙ|＝λｘ＋λｙ＝ａ＋ｃ≦|ａ|＋|ｃ|

　≦|ｘ|＋|ｙ|が成立します。(証明終わり)

[定義４]:(共役複素数:complex conjugate)　

　複素数:ｚ＝(ａ,ｂ)＝ａ＋ｂi(ａ,ｂ∈Ｒ)に対して複素数:

　ｚ^*≡(ａ,－ｂ)＝ａ－ｂiをｚの共役複素数という。

これより以降の展開は通常の歴史的な複素数の話の繰り返しに過ぎない

ので,ここまででやめます。

要するに,ここで展開した一連の話は歴史的には代数方程式の実数解を

求めるための過渡的な仮想数として便宜上導入された複素数をHilbert

などの近代思想に基づいて,公理的発想で代数的に再構築したモデルの

一例です。

数十年前,この定義を初めて学んだ頃は,確かに新鮮でしたが,単に複素数

をGauss平面の２次元ベクトルとする平面幾何の猫像をやや記号的に定式

化しただけだとしか思いませんでした。

例えば,Gauss平面の実軸上の点:ａ＝(ａ,0)(ａ＞0)に虚軸上の点

ｉ＝(0,1)を乗じると,これは幾何学的には,ベクトルの(π/2)だけ

の回転に相当して,積は点ａi＝(0,ａ)に移動することを意味します。

その上に,さらにｉ＝(0,1)を乗じるとさらに(π/2)回転され,合計π

だけ回転されて点は－ａ＝(－ａ,0)に移ります。

それ故,ｉを２回続けて乗じることはトータルでは－1を乗じることに

相当し,結局ｉ²＝－1なる演算と同一視されます。

このモデルは,こうした話を言い換えただけに過ぎないという感じで

考えて,割と軽視していました。

しかし,例えば物理学での相対性理論のエネルギーの等式:

Ｅ²＝ｐ²ｃ²＋ｍ²ｃ⁴の平方根を取ると,Ｅ＝±ｃ(ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2

です。

この右辺は非常に扱いにくい非線型な形式ですが,これを次元を増やして

行列表現すると線形な形にできるというDiracの相対論的波動方程式のア

イデアを見るなどの思考体験もあって,少なからず,見方は変わってゆき

ました。

数十年も経った現在の心境としては,論理学での帰納法に関するPeanoo

の公理系と同じような感覚を持って見ています。

実証科学である他の自然科学での,"複素数は仮想数である,とか,

２乗して－1になる数など,そもそもこの世には存在しない,"とか

の「実在するしない」という類の不毛な論議と関係なく,

上記のような定式化は,単に数学的実体として,"複素数は２元数として

存在する"という考えを陽に表現して明確化するという意味がある,と

思うに至っています。

参考文献:Walter.Rudin　「Principles of Mathematical Analyss」second Edition(McGrawHill) 

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解析接続の意味

例によって「ＥＭＡＮの物理学」の談話室での話題なのですが,ゼータ関数の定義に関連して,無限級数(の和)によって定義された関数の解析接続とか一致の定理というのは何か？についての議論が進み,ほぼ終局の状態です。

私自身はまだ言い足りないことがあったので,ここでの記事にしますが,実は投稿したものとほぼ同じです。

ダブルポストなので,通常はルール違反なのですが,自分のブログなのでかまわないでしょう。

それに掲示板ではフォントなどが限られているので,ブログでは自分の好きな形式で書けるという意味もあります。

　結局は,2006年４月23日の記事「くりこみ回避のアイデア」で書いた話を少し精密にしただけです。

　私は,複素関数論での通常の解析接続の説明では飽き足らず,物理屋的な解説を目指しました。

　まず,ｚを任意の複素数とすると,Σ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)です。これは有限級数の和なので,|ｚ|＜1でも,ｚ＝－1でもｚ＝2でも成り立つ等式です。

　そして,|ｚ|＜1ならｎ→ ∞ で|ｚⁿ|→ 0 なので,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ)が成り立ちます。

　　しかし,ｚ＝2ではｎ→ ∞ で|ｚⁿ|→ ∞ であり,ｚ＝－1ではｎ→ ∞ でｚⁿが確定値を取らないので,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ) は成立しません。

　　そこで,複素関数ｆ(ｚ)を|ｚ|＜１で与えられる定義域においてｆ (ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...(|ｚ|＜１)によって定義することにします。

　こう定義すれば,|ｚ|＜１の領域では ｆ (ｚ)は関数１/(1－ｚ)に一致します。

　|ｚ|＞1やｚ＝－1では等式Σ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)は成立しますが,Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ)は成立しません。

　しかし,そうした|ｚ|＜１の領域以外のｚに対しても部分和を表わす右辺の(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)での分子のｚⁿを無視して,(1－ｚⁿ)を１としたものと ｆ (ｚ)を同一視してｚ＝１を除く全複素平面でｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ) (ｚ≠1)と定義することにします。

　つまり,ｆ (ｚ)≡lim_ｎ→∞［{1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1}＋ｚⁿ/(1－ｚ)]という式を関数ｆ (ｚ)の正しい定義とするわけです。

　|ｚ|＜1なら,この後の定義も|ｚ|＜1 におけるｆ(ｚ)に対する前の定義ｆ(ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...(|ｚ|＜１)と全く一致します。

　一方,|ｚ|＞１やｚ＝－１では差し引くべき項:{－ｚⁿ/(1－ｚ)}は収束しません。

　特に|ｚ|＞1なら|ｚⁿ/(1－ｚ)|→∞ なので, ｆ (ｚ)≡lim_ｎ→∞［{1＋ｚ＋ｚ²＋...＋ｚ^n-1}＋ｚⁿ/(1－ｚ)]は形式的に無限大から無限大を引くという意味に取ることも可能で,これは物理学でのくりこみの処方に似ています。。

　ここまでは,直接には解析接続とは無関係な話です。

　そして複素関数論では ｆ (ｚ)≡Σ_n=1^∞ｚ^n-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋...＝1/(1－ｚ) (|ｚ|＜1)を特異点ｚ＝１を避けて延長した点でも,それが正則関数になるように,|ｚ|≧1,ｚ≠１なる点まで接続すれば,一致の定理によってそうした点でも ｆ (ｚ)は１/(1－ｚ)に一致する場合しか有り得ないことがわかります。

　実際,ｚ＝－1＋αと置けばΣ_k=1ⁿｚ^k-1＝1＋ｚ＋ｚ²＋・・＋ｚ^n-1＝(1－ｚⁿ)/(1－ｚ)なる等式はｃ₀,ｃ₁,..,ｃ_n-1をある定数の複素係数としてΣ_k=1ⁿ(α－1)^k-1＝Σ_k=1ⁿｃ_k-1α^k-1＝{(α－1)ⁿ－1}/(α－2)と変形できます。

そして,|ｚ|＝|α－1|＞1なら右辺は,1/(1－ｚ)＝－1/(α－2)にはなりません。

　しかし一方,αの絶対値が十分小さいならｚ＝－1＋αの絶対値が１より大きくても,つまり|ｚ|＝|－1＋α|＞1でも ｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ)＝－1/(α－2)＝(1/2)/(1－α/2)＝(1/2)Σ_n=1^∞(α/2)^n-1＝(1/2)[1＋(α/2)＋(α/2)²＋...]＝(1/2)Σ_n=1^∞{(ｚ＋1)/2}^n-1＝(1/2)[1＋{(ｚ＋1)/2}＋{(ｚ＋1)/2}²＋...]とテイラー展開されます。

　つまり,ｚ＝0 のまわりでは|ｚ|＝|－1＋α|＞1なので, ｆ (ｚ)＝1/(1－ｚ)はｚのべきでは展開できなくても,ｚ＝－1のまわりではα＝(ｚ＋1)の無限べき級数に展開可能ですから,ｆ (ｚ)は確かに|ｚ|＞1,ｚ≠１なる領域でも解析的です。

　また,"一致の定理"の内容というのは同じ点を中心としたテイラー級数の展開係数の一意性により,今の ｆ (ｚ)の場合,|ｚ|＜１ 以外の領域でも,その解析性(ベキ級数への展開可能性)を保持しながら ｆ (ｚ)を|ｚ|＜１から連続的に延長していったとき,もしも２通り以上の延長(接続)方法があったとしても,それらは一致するという定理です。

　このことから,解析接続する方法は一意的に決まります。

　今日は,短かいけれどこれで終わりです。

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    物理学

代数学の基本定理

コーヒー・ブレイクとして,ガウスの代数学の基本定理＝"複素係数の多項式は,それが定数でなければ複素数体Ｃの中に必ず零点を持つ。"の証明について記述してみます。 

　まず普通の証明です。 

(証明)あるｚの多項式ｆ(ｚ)＝ａ₀＋ａ₁ｚ＋..＋ａ_Nｚ^N＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1)が任意に与えられたとき,これが複素数体Ｃの中に零点を持たないと仮定すると,ｇ(ｚ)≡1/ｆ(ｚ)はＣ全体で正則です。

　ところが十分大きい正の数Ｒに対して|ｚ|≧Ｒなら|ｆ(ｚ)|/|ｚ|^N＝|ａ_N＋ａ_N-1/ｚ＋..＋ａ₀/ｚ^N|≧|ａ_N|－|ａ_N-1/ｚ＋..＋ａ₀/ｚ^N|≧|ａ_N|/2となります。

　すなわち,|ｆ(ｚ)|≧|ａ_Nｚ^N|/2なので,|ｇ(ｚ)|＝1/|ｆ(ｚ)|≦2/|ａ_Nｚ^N|≦2/|ａ_NＲ^N|,つまりｇ(ｚ)は|ｚ|≧Ｒで有界です。

　そこで,閉領域|ｚ|≦Ｒでの|ｇ(ｚ)|の最大値をＭとすると,|ｚ|≦Ｒなら|ｇ(ｚ)|≦Ｍ,|ｚ|≧Ｒなら|ｇ(ｚ)|≦2/|ａ_NＲ^N|です。よって,ｇはＣ全体で有界です。

　ところが最大絶対値の原理によって,ｇはＣ全体で正則(つまり整関数),かつ有界なのでこれは定数です。これはｆ(ｚ)＝1/ｇ(ｚ)＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ においてａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1であるという仮定と矛盾します。したがってｆはＣに零点を持ちます。(証明終わり)

　以上の証明が,通常,複素関数論の初学者が教えられる一般的な証明でしょう。 

　ここで,"有界な整関数は定数しかない。"という命題が最大絶対値の原理に帰すると書きましたが,最大絶対値の原理というのは"ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がＤで最大値を取るならばｆは定数である。"というものです。

こうした複素関数論における定理の出発点は大体においてコーシーの積分定理にあります。

これは,"領域Ｄで正則な関数ｆがあってＣをＤの内部にあって正の向きにまわる閉曲線の経路とするときＣが１点にホモトープ(領域の場合は単連結と同義)なら∫_Cｆ(ｚ)＝0 である。"という定理です。

これと,∫_|z－α|=ρｄｚ/(ｚ－α)＝2πiという計算式から,"Ｃを単純閉曲線としαはＣの上にない点とすると,αがＣの囲む領域の内部にあれば∫_Cｄｚ/(ｚ－α)＝2πi, αがＣの外部にあれば∫_Cｄｚ/(ｚ－α)＝0 である。"という命題が成立します。

したがって,ｆを領域Ｄで正則な関数としＣを単純閉曲線としてＣとその内部(Ｃ)がＤに含まれるとき∀ｚ∈(Ｃ)に対してｆ(ｚ)＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]という積分表示が成立します。

そして,ｆ(ｚ)を滑らかな単純閉曲線Ｃ上で連続な関数であるとしてＣ上にない点ｚ∈Ｄ対して関数φ(ｚ)≡∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]を定義します。

このとき,Ｃの上にない点αに対し,Ｒ_α≡inf{|ζ－α|:∀ζ∈Ｃ}とおけば 0＜ρ＜Ｒ_αなる任意のρについて,|ｚ－α|≦ρなら1/(ζ－ｚ)＝1/[(ζ－α)－(ｚ－α)]＝{1/(ζ－α)}[1/{1－(ｚ－α)/(ζ－α)}]＝Σ_n=0^∞(ｚ－α)ⁿ/(ζ－α)ⁿ⁺¹が成り立ちますから,ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)＝Σ_n=0^∞(ｚ－α)ⁿ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}となります。

右辺は∀ζ∈Ｃに関して一様収束するので,ａ_n≡∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}とおくと,|ｚ－α|≦ρならφ(ｚ)＝∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとベキ級数展開ができます。

ところが,関数φ(ｚ)が|ｚ－α|≦ρで絶対かつ一様収束するベキ級数に展開可能なとき,φ(ｚ)はαの近傍で無限回微分可能です。そして関数の"ベキ級数＝Taylor級数"の展開係数の一意性によってａ_n＝φ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}なる等式が成立します。

一方,先に述べたように,"ｆを領域Ｄで正則な関数としＣを単純閉曲線としてＣとその内部(Ｃ)がＤに含まれるとき,∀ｚ∈(Ｃ)に対してｆ(ｚ)＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]が成立する。"という定理があります。

そこで,ｆ(ｚ)は∀α∈Ｄに対して|ｚ－α|＜Ｒ_α＝inf{|ζ－α|:∀ζ∈Ｃ}で一意的にｆ(ｚ)＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとベキ級数に展開できて,ａ_n＝ｆ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝{1/(2πi)}∫_Cｄζ{ｆ(ζ)/(ζ－α)ⁿ⁺¹}が成立することがわかります。

したがって,ｆ(ｚ)が円板Ｎ(α;Ｒ)≡{ｚ:|ｚ－α|＜Ｒ}において正則であるとすると,ｆ(α)＝{1/(2πi)}∫_|z－α|=ρ[ｆ(ｚ)/(ｚ－α)]ｄｚ；0＜ρ＜Ｒと表現されます。

ｚ＝α＋ρｅ^iθ;0≦θ≦2πと書けば,ｆ(α)＝{1/(2π)}∫₀^2πｆ(α＋ρｅ^iθ)ｄθ；0＜ρ＜Ｒと変形されます。

これはいわゆる平均値の定理ですが,これから絶対値についての不等式として|ｆ(α)|≦{1/(2π)}∫₀^2π|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|ｄθ;0＜ρ＜Ｒが得られます。

ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がα∈Ｄで最大値を取るとすると,∀ｚ∈Ｄに対して|ｆ(ｚ)|≦|ｆ(α)|です。

そこで,Ｎ(α;Ｒ)＝{ｚ∈Ｃ:|ｚ－α|＜Ｒ}⊂Ｄとなるように半径Ｒを取ると 0＜ρ＜Ｒ なるρに対して|ｆ(α)|≦{1/(2π)}∫₀^2π|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|ｄθ≦|ｆ(α)|と書けます。

よって 0＜ρ＜Ｒ なる任意のρについて,中心がαで半径がρの円周上では,|ｆ(α＋ρｅ^iθ)|＝|ｆ(α)|ですから,ｚ∈Ｎ(α;Ｒ)なら|ｆ(ｚ)|＝|ｆ(α)|＝一定です。すなわち,円板Ｎ(α;Ｒ)において|ｆ|は定数です。

このときｆ≡ｕ＋iｖ(ｕ＝Reｆ,ｖ＝Imｆ)とおくと|ｆ|²＝ｕ²＋ｖ²であり,これが定数ですからｕ・ｕ_x＋ｖ・ｖ_x＝ｕ・ｕ_x－ｖ・ｕ_y＝0 かつ,ｕ・ｕ_y＋ｖ・ｖ_y＝ｕ・ｕ_y＋ｖ・ｕ_x＝0 から直ちにｕ_x＝ｕ_y＝ｖ_x＝ｖ_y＝0 が得られるので,結局Ｎ(α:Ｒ)においてｆ自身が定数です。

したがって,一致の定理によってｆはＤ全体で定数となることがわかります。

こうして,"ｆを領域Ｄの上の正則関数とするとき,|ｆ|がＤで最大値を取るならばｆは定数である。"という最大絶対値の原理を得ました。

ここでｆが整関数の場合にはｆが正則関数である領域Ｄとして,無限遠点を除く複素平面全体Ｃ＝{ｚ；|ｚ|＜∞}を採用できます。

そして,そのとき|ｆ|がＤで最大値を取るという命題はｆがＣで有界であることと同じですから,結局,"有界な整関数は定数である。"という定理が得られます。

これをリウヴィルの定理(Liouville)といいます。

ついでに一致の定理ですが,これは解析接続という概念の元になるもので,"ｆ,ｇが領域Ｄで正則とする。Ｄの部分集合Ａのあらゆる点ｚでｆ(ｚ)＝ｇ(ｚ)が成立し,Ａのある集積点がＤに含まれるならばＤ全体でｆ＝ｇである。"というものです。

一応これも証明しておきましょう。 

(証明)仮定によって,Ａのある集積点がＤに含まれるので,αをα∈ＤなるＡの集積点とします。

　αに収束するＡの点列{ｚ_n}_n=1,2,..⊂Ａが存在して,φ≡ｆ－ｇとおくとφ(ｚ_n)＝0 (ｎ＝1,2,..)が成立します。

　φはＤで正則ですから,その連続性によってφ(α)＝lim_n→∞φ(ｚ_n)＝0 です。しかし,"Ｄ全体では,φ≠0 である,つまり,φ(ｚ)≠0 なるｚ∈Ｄが存在する。"として矛盾を導きます。

ここでφ⁽ⁿ⁾(α)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)である場合を考えます。

そしてある任意の点ζ∈Ｄを選びζとαをＤ内の折れ線Ｃで結びます。Ｄは領域ですから開集合であり,それ故,Ｃの点はすべてＤの内点ですが,ＣはＤの有界閉集合なのでコンパクトです。つまりＣの有限個の点を中心としてＤに含まれる有限個の開近傍の集合で閉曲線Ｃを被覆することができます。

したがって折れ線Ｃと境界∂Ｄとの距離をｄ≡inf{|ζ₁－ζ₂|:ζ₁∈Ｃ,ζ₂∈∂Ｄ}とすると,これはゼロではなくて正:ｄ＞0 です。

ここで,Ｃ上に十分多くの有限個の点α＝ｚ₀,ｚ₁,..,ｚ_p-1,ｚ_p＝ζを取って,|ｚ_j+1－ｚ_j|＜ｄ (ｊ＝0,1,2,..,ｐ－1)が満たされるようにします。そして,Δ_ｊ≡{ｚ∈Ｃ：|ｚ―ｚ_j|＜ｄ}(ｊ＝0,1,2,..,ｐ－1)と置きます。

円Δ₀:|ｚ－α|＜ｄ内ではｚ∈Ｄとなるので,そこでφは正則です。それ故,φを展開しφ(ｚ)＝Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿとすれば,全てのｎについてａ_n＝φ⁽ⁿ⁾(α)/ｎ!＝0 と書けるので,Δ₀内ではφ＝0 です。

したがって,ｚ₁∈Δ₀でも全てのｎについてφ⁽ⁿ⁾(ｚ₁)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)となります。

同様に,円Δ₁:|ｚ－ｚ₁|＜ｄ内でφを(ｚ－ｚ₁)のベキ級数に展開することでΔ₁内ではφ＝0 を得ます。

それ故,ｚ₂∈Δ₁でφ⁽ⁿ⁾(ｚ₂)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)が得られます。これを繰り返していって,結局Δ_p-1でφ＝0 となり,ζ＝ｚ_p∈Δ_P-1なのでφ(ζ)＝0 を得ます。

ζはＤ内の任意の点であると仮定していましたから,結局φ⁽ⁿ⁾(α)＝0 (ｎ＝0,1,2,..)である場合にはＤ全体でφ＝0 である,という結論が得られます。

一方,Ｄで恒等的にφ＝0 というわけではなくて,αは正則関数φの単なる零点であるとするならばφ^(k)(α)＝0(ｋ＝0,1,...ｍ－1),φ^(m)(α)≠0 となるある正の整数ｍが存在するはずです。このときαはφのｍ位の零点である,あるいはｍは零点αの位数であるといいます。

そして,φのαの近傍Ｕでの展開はφ(ｚ)＝Σ_n=m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝(ｚ－α)^mΣ_k=0^∞ａ_m+k(ｚ－α)^k；ａ_m≠0 となりますからψ(ｚ)≡Σ_k=0^∞ａ_m+k(ｚ－α)^kとおけばψ(ｚ)はαの近傍Ｕで正則であってψ(α)≠0 であり,φ(ｚ)＝(ｚ－α)^mψ(ｚ)と書けます。

ところでφ(α)＝0 となることはわかっていて,φ≠0 と仮定したので,ある正の整数ｍが存在してαの近傍Ｕで正則かつψ(α)≠0 なるψを用いてφ(ｚ)＝(ｚ－α)^mψ(ｚ)と表わせます。

そして,十分大きいｎに対しｚ_n≠αはＵに含まれますから,φ(ｚ_n)＝(ｚ_n－α)^mψ(ｚ_n)＝0 です。

よって,十分大きいｎでψ(ｚ_n)＝0 が成立します。

したがって,ψの連続性によってψ(α)＝lim_n→∞ψ(ｚ_n)＝0 となりますから,これはψ(α)≠0 に矛盾します。

要するに,収束する点列の上で正則関数φの値が常にゼロというのは,φのあらゆる導関数もまたゼロなることを意味しているわけです。

したがって,Ｄ全体でφ＝ｆ－ｇ＝0 :つまりｆ＝ｇ,あるいはｆとｇが一致するという定理の結論が得られました。

(証明終わり)

しかし,私が学生時代に初めて大学で函数論を履修したときに代数学の基本定理の証明として教わったものは,もっと複雑なルーシェの定理によるもので,講義を受けたその場ですぐには理解できませんでした。

「ＤをＣの有界領域としｆをＤ上の正則関数,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線でその上にはｆの零点はないものとする。ｇをＤ上の正則関数でＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ｆ(ｚ)|と仮定する。このときＣの囲むｆの零点の個数と(ｆ＋ｇ)の零点の個数は等しい。」というのがルーシェの定理です。

これの証明に取りかかる前にそのために必要な予備知識や補助的定理などについて考察します。

　まず,有理型関数というものを定義します。

　"ＤをＣの領域とする。Ｄ内では特異点を持っても極に過ぎないような関数をＤ上の有理型関数と呼ぶ。"というものです。 

そして,α∈Ｃとρ₁＜ρ₂≦∞ に対し円環領域:Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)≡{ｚ∈Ｃ：ρ₁＜|ｚ－α|＜ρ₂}の上でｆが正則関数であるとします。

このとき,ｆはＲ(α;ρ₁,ρ₂)においてｆ(ｚ)＝Σ_n=-1^-∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＋Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿと展開されます。

この展開をｆのローラン展開(Laurent expantion)と呼びます。

この級数の収束は絶対かつ広義一様収束です。

これを証明するために,ｚ∈Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)を任意に取りρ₁',ρ₂'をρ₁＜ρ₁'＜|ｚ－α|＜ρ₂'＜ρ₂となるように取ります。また,ρ＞0 をρ＜ｄ≡inf{|ｚ－ζ|:ζ∈∂Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)}なる値に取ります。

そして点α＋ρ₁'ｅ^i(argz)からαを中心として半径ρ₁'の円を反時計回りに一周する曲線をＣ₁,α＋ρ₁'ｅ^i(argz)から,α＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)へ向かう線分をＣ₂,α＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)から時計回りにα＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)まで半周する曲線をＣ₃,α＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)からα＋ρ₂'ｅ^i(argz)に向かう線分をＣ₄,α＋ρ₂'ｅ^i(argz)から半径ρ₂'の円を反時計回りに一周する曲線をＣ₅,α＋(|ｚ－α|＋ρ)ｅ^i(argz)から時計回りにα＋(|ｚ－α|－ρ)ｅ^i(argz)まで半周する曲線をＣ₆とします。

このとき,Ｒ(α;ρ₁,ρ₂)－{ｚ}内でＣ≡－Ｃ₁＋Ｃ₂＋Ｃ₃＋Ｃ₄＋Ｃ₅－Ｃ₄＋Ｃ₆－Ｃ₂は１点にホモトープなので,∫_Cｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝0 です。

それ故,ｆ(ｚ)＝{－1/(2πi)}∫_C3＋C6ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＋{1/(2πi)}∫_C5ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]です。

Ｃ₁上では|(ζ－α)/(ｚ－α)|＜1で,－1/(ζ－ｚ)＝－1/{(ζ－α)－(ｚ－α)}＝{1/(ｚ－α)}[1/{1－(ζ－α)/(ｚ－α)}]＝Σ_n=0^∞(ζ－α)ⁿ/(ｚ－α) ⁿ⁺¹ですから,ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)＝Σ_n=0^∞(ζ－α)ⁿｆ(ζ)/(ｚ－α)ⁿ⁺¹です。

それ故,{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=-1^-∞[{－1/(2πi)}∫_C1ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)](ｚ－α)ⁿとなります。

同様にＣ₅上では|(ｚ－α)/(ζ－α)|＜1ですから,{1/(2πi)}∫_C5ｄζ[ｆ(ζ)/(ζ－ｚ)]＝Σ_n=0^∞[{1/(2πi)}∫_C5ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)](ｚ－α)ⁿとなります。

そして,(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)は∀ζ∈Ｒ(α;ρ₁,ρ₂):ρ₁＜|ζ－α|＜ρ₂なるζに関して正則ですから,∫_C1ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)＝∫_C5ｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ)です。

よって,全ての整数ｎに対してａ_n≡∫_|ζ－α|=ρｄζ(ζ－α)^-n-1ｆ(ζ);ρ₁＜ρ＜ρ₂の値はρの取り方に依らないことになります。つまりａ_nはwell-definedになります。

そしてこの展開係数ａ_nによって,ｆは確かにＲ(α;ρ₁,ρ₂)でローラン展開されてｆ(ｚ)＝Σ_n=-1^-∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＋Σ_n=0^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿと表現されることがわかりました。

そこで"ｆ(ｚ)がＤ上の有理型関数である。"というのは∀α∈Ｄについて,αを除くαの近傍でのｆのローラン展開ｆ(ｚ)＝Σ_n=-∞^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿにおいて,ｎ＜0 についてａ_n≠0 なるものが有限個しかないこと,つまりαが高々ｍ位の極であって,ｆ(ｚ)＝Σ_n=-m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ＝ａ_-m/(ｚ－α)^m＋ａ_-m+1/(ｚ－α)^m-1＋..＋ａ₀＋..と表わされることを意味します。

このときローラン展開の展開係数ａ_-1を特にｆのαでの留数と呼びRes(α;ｆ)と書きます。

そして,ρ＞0 が十分小さいときには実際に級数を項別積分すると{1/(2πi)}∫_|ζ－α|=ρｆ(ζ)ｄζ＝ａ_-1となるので,Res(α;ｆ)＝{1/(2πi)}∫_|ζ－α|=ρｆ(ζ)ｄζが成立します。

特異点αが無限遠点＝∞ のときには,ｚ~≡1/ｚとおいてｆのローラン展開をｆ(ｚ)＝Σ_n=-∞^∞ａ_nｚⁿ＝Σ_n=-∞^∞ａ_-nｚ~ⁿ ≡ｆ~(ｚ~)と置き,ｆの ∞ での留数をRes(∞;ｆ)＝－ａ_-1＝{1/(2πi)}∫_|1/ζ|=ρｆ(ζ)ｄζ＝{1/(2πi)}∫_|1/ζ|=ρｆ~(1/ζ)ｄ(1/ζ)で定義します。

αが１位の極のときには,Res(α;ｆ)＝lim_z→α(ｚ－α)ｆ(ｚ)によって,具体的にｆのαでの留数を求めることができます。

また,αがｍ位の極(ｍ≧2)のときには,Res(α;ｆ)＝{1/(ｍ－1)!}[(ｄ^m-1/ｄｚ^m-1)(ｚ－α)^mｆ(ｚ)]_z=αによって,ｆのαでの留数が求められます。

ここで,Ｄ上の有理型関数ｆ(ｚ)に対して対数微分(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ＝ｄ(logｆ)/ｄｚを考えると,α∈Ｄがｆの零点でも極でもないなら,(ｄｆ/ｄｚ)/ｆはα∈Ｄで正則です。

しかし,α∈Ｄがｆのｍ位の零点なら,α≠∞ のとき,ｆ(ｚ)＝Σ_n=m^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ,ｄｆ/ｄｚ＝Σ_n=m^∞ｎａ_n(ｚ－α)^n-1なので,(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ＝ｍ/(ｚ－α)＋Σ_n=0^∞ｃ_n(ｚ－α)ⁿと表わせます。

よって,Res(α;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝ｍです。同様にα＝∞ のときにもRes(∞;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝ｍ を得ることができます。

また,α∈Ｄがｆのｐ位の極ならα≠∞ のとき,ｆ(ｚ)＝Σ_n=-p^∞ａ_n(ｚ－α)ⁿ,ｄｆ/ｄｚ＝Σ_n=-p^∞ｎａ_n(ｚ－α)^n-1なので,Res(α;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝－ｐです。同様にα＝∞ のときも,Res(∞;(ｄｆ/ｄｚ)/ｆ)＝－ｐを得ます。

それ故,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線であって,その上にはｆの零点も極もないとき,Ｃが囲むＤの領域内にｆのｍ_ν位の零点α_ν(ν＝1,2,..), およびｐ_μ位の極β_μ(μ＝1,2,..)があるとすれば,{1/(2πi)}∫_C(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚ＝Σｍ_ν－Σｐ_μと表わすことができます。

さらに,ｄ(logｆ)＝(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚより,{1/(2πi)}∫_C(ｄｆ/ｄｚ)/{ｆ(ｚ)}ｄｚ＝{1/(2πi)}[(logｆ)]_C＝[argｆ]_C/(2π)ですから,この積分はｚが閉曲線Ｃをまわるときの"ｆの偏角:argｆの変化を(2π)で割ったもの＝回転数"を表わしていると考えられます。

さて,ルーシェの定理＝"ＤをＣの有界領域としｆをＤ上の正則関数,ＣをＤ内で１点にホモトープな閉曲線でその上にはｆの零点はないものとする。

ｇをＤ上の正則関数でＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ｆ(ｚ)|と仮定する。

このとき,Ｃの囲むｍ位の零点をｍ個と重複して数えると,ｆの零点の個数と(ｆ＋ｇ)の零点の個数は等しい。"ことを証明します。

(証明)ｆ,ｇはＤ上の正則関数なので,ｆも(ｆ＋ｇ)もＣの囲む領域に零点は持っていても極を持つことはありません。

ｍ位の零点をｍ個と重複して数えたときのｆの零点の総数をＭとすると,(ｆ＋ｇ)の零点の総数Ｍ'はＭ'＝{1/(2πi)}∫_C{(ｆ'＋ｇ')/(ｆ＋ｇ)ｄｚ＝{1/(2πi)}∫_C[(ｆ'/ｆ)＋(ｇ/ｆ)'/{1＋(ｇ/ｆ)}]ｄｚ＝Ｍ＋{1/(2πi)}∫_C[(ｇ/ｆ)'/{1＋(ｇ/ｆ)}]ｄｚ＝Ｍ＋{1/(2πi)}∫_C(ｈ'/ｈ)ｄｚとなります。ここでｈ≡{1＋(ｇ/ｆ)}とおきました。

ところが,Ｃ上で|ｇ/ｆ|＜1ですから,|1＋(ｇ/ｆ)|≦1＋|ｇ/ｆ|＜2,かつ|1＋(ｇ/ｆ)|≧1－|ｇ/ｆ|＞0です。したがって,ｈ＝{1＋(ｇ/ｆ)}はＣ上に零点も極も持ちません。

またＣ上で|1－ｈ|＜1ですから,点１からｈまでの距離は常に1より小さいことになります。そこでｚがＣ上を１回転するときｈがlogｈの分岐点ｈ＝0 のまわりを回転することは決してありません。

それ故,∫_C(ｈ'/ｈ)ｄｚ＝0 です。

以上から,結局Ｍ'＝Ｍであることが示されました。

(証明終わり)

そこで,ｚのＮ次多項式ｆ(ｚ)＝ａ₀＋ａ₁ｚ＋..＋ａ_Nｚ^N＝Σ_n=0^Nａ_nｚⁿ (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1) が任意に与えられたとき,ｆ(ｚ)＝ａ_Nｚ^N＋ｇ(ｚ) (ａ_Ｎ≠0,Ｎ≧1)とおけば,正則関数ａ_Nｚ^N はＮ位の零点としてｚ＝0 があるだけなのでａ_Nｚ^Nの零点の総数はＮです。

そしてルーシェの定理の閉曲線Ｃを円:|ｚ|＝Ｒに取れば,Ｒが十分大きいときにはＣ上で|ｇ(ｚ)|＜|ａ_Nｚ^N|ですから,この定理によって任意のＮ次多項式は丁度Ｎ個の零点を持つことが結論されます。 

　参考文献：野口潤次郎 著「複素解析概論」(裳華房)；岸 正倫,藤本担孝 共著「複素関数論」(学術図書)；Benjamin Fine,Gerhard Rosenberger 著(新妻弘,木村哲三 訳)「代数学の基本定理」(共立出版) 

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揚力とベルヌーイの定理

　2007年８月２日の記事「ダランベールの背理(D'Alembert's paradox)」において,

　完全流体では流速がＵの一様流の中に置かれた物体に働く揚力Ｆ_yの値を,物体のまわりを反時計回りにまわる流れの循環Γによって,Ｆ_y＝－ρＵΓと評価できることを述べました。

　Ｆ＝(Ｆ_x,Ｆ_y)は物体に働く力でＦ_xは抗力,Ｆ_yは揚力です。 

そこではｆ(ｚ)＝Φ＋iΨ(Φは速度ポテンシャル,Ψは流れ関数)とし,複素関数論を利用して,ベルヌーイの定理:∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋ｖ²/2＋Ω＝Ａ(ｔ)(空間的に一定)とブラウジウスの(第一)公式:Ｆ_x－iＦ_y＝iρ∫_C[(ｄｆ/ｄｚ)²/2]ｄｚを導出するプロセスを記述しました。

それによって,物体に働く力Ｆ＝－∫_C ｐｎｄｓを考察し,そして,クッタ・ジューコフスキーの定理を証明した後,この定理の一部分に従って上述の命題を得るという手続きを行ないました。

　しかし,このような扱いは,私には少々大げさだと感じられたので,今日は物体部分からは全く湧き出しがない:divｖ＝0 という前提の下で,簡略化されたベルヌーイの定理ｐ＋ρｖ²/2＝Ａ(一定)から直接的に揚力と循環の関係Ｆ_y＝－ρＵΓを導いてみたいと思います。 

　まず,ベルヌーイの定理からｐ＝Ａ－ρｖ²/2なので,物体に働く力はＦ＝－∫_C ｐｎｄｓ＝－∫_CＡｎｄｓ＋(ρ/2)∫_Cｖ²ｎｄｓ＝(ρ/2)∫_Cｖ²ｎｄｓです。

　Ｃの線素ベクトルをｄｓ＝(ｄｘ,ｄｙ)とすると,ｎｄｓ＝0 ですから,ｎｄｓ＝(ｄｙ,－ｄｘ)となるので,結局,揚力はＦ_y＝(－ρ/2)∫_Cｖ²ｄｘ＝(－ρ/2)∫_C(ｖ_x²＋ｖ_y²)ｄｘなる式で与えられます。

ところで,物体の外では当然,連続の方程式が成立しており,また仮定によって物体内部に湧き出しがありませんから,空間のいたるところで divｖ＝0 が成立します。

すなわち,閉曲線Ｃで囲まれる任意の領域Ｓにおいて∫_S divｖｄＳ＝∫_S(∂ｖ_x /∂ｘ＋∂ｖ_y /∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙ＝0 です。

これは任意の閉曲線Ｃの上で∫_Cｖ_xｄｙ－∫_Cｖ_yｄｘ＝0 が成立することを意味しています。それ故,ｙ＝ｆ(ｘ)なる任意の曲線上の点で常にｖ_xｄｙ＝ｖ_yｄｘです。

つまり,この曲線の傾きｙ'＝ｄｙ/ｄｘ＝ｆ'(ｘ)に対し常にｖ_y＝ｙ'ｖ_xが成立しています。

また,閉曲線Ｃの上での流れの循環ΓはΓ≡∫_Cｖｄｓ＝∫_C(ｖ_xｄｘ＋ｖ_yｄｙ)で定義されます。

(これはΓ＝∫_S rotｖｄＳ＝∫_S(∂ｖ_y /∂ｘ－∂ｖ_x /∂ｙ)ｄｘ∧ｄｙと書き直すこともできます。)

故に,Γ＝∫_Cｖ_xｄｘ＋∫_Cｖ_yｄｙ＝∫_Cｖ_x(1＋ｙ'²)ｄｘです。一方,揚力Ｆ_yもＦ_y＝(－ρ/2)∫_Cｖ²ｄｘ＝(－ρ/2)∫_C(ｖ_x²＋ｖ_y ²)ｄｘ＝(－ρ/2)∫_Cｖ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘと表わすことができます。

ここで,流れｖ＝(ｖ_x,ｖ_y)が,一様流Ｕ＝(Ｕ,0)に微小な流れｕ＝(ｕ_x,ｕ_y)を重ね合わせたもの:ｖ＝Ｕ＋ｕで与えられるとします。

ｖ_x＝Ｕ＋ｕ_x,ｖ_y＝ｕ_yですから,これを上の循環と揚力の表式に代入して,Γ＝∫_C(Ｕ＋ｕ_x)(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_x(1＋ｙ'²)ｄｘ,およびＦ_y＝(－ρ/2)∫_C(Ｕ＋ｕ_x)²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝－ρＵ∫_Cｕ_x(1＋ｙ'²)ｄｘ－(ρ/2)∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘを得ます。

ここで,∫_C(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｄｘ＋∫_Cｙ'ｄｙ＝0 を用いました。さらに,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_C(ｕ_x²＋ｕ_y²)ｄｘ＝∫_Cｕ²ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓなのでＦ_y＝－ρＵΓ－(ρ/2)∫_Cｕ_xｄΓです。

最後の表式で∫_Cｕ_xｄΓがゼロになるための条件はｄＷ＝ｕ_xｄΓなるＷが存在することです。

ポアンカレの補題によって,それはｄ(ｕ_xｄΓ)＝ｄｕ_x∧ｄΓ＝[－ｕ_x(∂ｕ_x /∂ｙ)＋ｕ_y(∂ｕ_x /∂ｘ)]ｄｘ∧ｄｙ＝0 すなわち,－ｕ_x(∂ｕ_x /∂ｙ)＋ｕ_y(∂ｕ_x /∂ｘ)＝0 が成り立つことと同値です。

これ以上は,適切なモデルで考えないと無理です。

まず,線素を極座標で書くとｄｓ＝(ｄｘ,ｄｙ)＝ｒ(ｄ(cosθ),ｄ(sinθ))＝ｒｄθ(－sinθ,cosθ)となります。

湧き出しがない条件は∫_S divｖｄＳ＝∫_C(ｖ_xｄｙ－ｖ_yｄｘ)＝0 ですから,∫_Cｖ_xｄｙ＝∫_Cｖ_yｄｘ →∫_C(Ｕ＋ｕ_x)ｄｙ＝∫_Cｕ_yｄｘ,故に∫_Cｕ_xｄｙ＝∫_Cｕ_yｄｘです。

つまり,∫₀^2πｒｕ_xcosθｄθ＝－∫₀^2πｒｕ_ysinθｄθなので,ｒｕ_x≡－Ｂsinθ,ｒｕ_y≡Ｂcosθ(Ｂはｒだけの関数)というモデルを想定すると,これにより上述の湧き出しゼロ条件は自動的に満たされます。

また,循環はΓ≡∫_C(ｖ_xｄｘ＋ｖ_yｄｙ)＝∫_C(ｕ_xｄｘ＋ｕ_yｄｘ)で与えられますから,Γ＝∫₀^2π(－ｒｕ_xsinθ＋ｒｕ_ycosθ)ｄθ＝2πＢ：つまりＢ＝Γ/(2π)です。

そこでＢは定数なので,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓ＝∫_C(ｕ_x²＋ｕ_y²)ｄｘ＝－∫₀^2π(Ｂ²/ｒ)sinθｄθ＝0 が得られます。

したがって,∫_Cｕ_x²(1＋ｙ'²)ｄｘ＝∫_Cｕ_xｄΓ＝0 となり,求める揚力と循環の関係Ｆ_y＝－ρＵΓが得られました。

　したがって,以上の私の試みによって流れが上の面に沿って速く下の面に沿って遅いときに,ベルヌーイの定理から上向きの力＝揚力が生じるというメカニズムを考えれば,このとき負の循環Γ＜0 つまり時計回りの循環があることに相当することがわかります。

　そこで,クッタ・ジュ－コフスキーの定理により上向きの力＝揚力が生じる,という命題と同等である,ということを直接的に示せたのではないかと思います。

　逆に,循環がなくて(rotｖ＝0)湧き出しＱがあるとき抗力Ｆ_xと湧き出しＱの関係Ｆ_x＝－ρＵＱが得られることも上とほぼ同様にして示すことができます。

そして循環も湧き出しも共に存在するときは,例えば電気回路の重ねの理と同じように,この場合を上記の２つの場合の重ね合わせと考えることによって,Ｆ_x＝－ρＵＱとＦ_y＝－ρＵΓが同時に成り立つことも言えます。

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    物理学

ダランベールの背理(D‘Alemdert's paradox)

　レイノルズ数(Reynords number)の大きい粘性流体の極限である完全流体(理想流体)について自分なりにまとめてみたのでそれを定式化しておきます。

ここでは対象とする流体を非圧縮性流体であると考えます。

すると質量保存の方程式＝連続の方程式∂ρ/∂ｔ＋div(ρｖ)＝0 と密度保存の方程式Ｄρ/Ｄｔ＝∂ρ/∂ｔ＋ｖgradρ＝0 から,ρdivｖ＝0 が得られ,ρ≠0 なので結局,divｖ＝0 が導かれます。

そこで非圧縮性流体では連続の方程式は,divｖ＝0 です。

そして,特に３次元空間内のある１つの直角座標については全く考える必要がない場合,つまり流れの速度ｖが常に１つの平面Ａに対して平行で,かつその平面に垂直な方向には全く変化しない場合を考えます。

このときには,面ＡがＯ:ｘｙｚ座標系のｘｙ面になるように選び,流れはｚ軸方向には変化しないものとします。こうした流れを２次元流と呼びます。

このとき,流れの速度ベクトルｖはｖ＝(ｕ,ｖ,0)と書けてｘ,ｙ成分はｕ＝ｕ(ｘ,ｙ,ｔ),ｖ＝ｖ(ｘ,ｙ,ｔ)と表わすことができます。

非圧縮性流体の場合,連続の方程式 divｖ＝0 は∂ｕ/∂ｘ＋∂ｖ/∂ｙ＝0 となります。

任意の２回連続偏微分可能な関数Ψ(ｘ,ｙ,ｔ)に対して,ｕ≡∂Ψ/∂ｙ,ｖ≡－∂Ψ/∂ｘとおけば,divｖ＝∂ｕ/∂ｘ＋∂ｖ/∂ｙ＝0 は自動的に満足されます。

この関数Ψ(ｘ,ｙ,ｔ)を流れ関数と呼びます。

もしも流体が静止中に接線応力を持つと,それは耐えられずに流れてしまって静止状態であることに矛盾するので,流体であるなら静止中には接線応力を持ちません。

しかし,一般に運動中には接線応力を持ち,その応力は粘性と呼ばれます。運動中にも接線応力を持たない理想的な流体があると仮定して,そうした流体を完全流体あるいは理想流体と呼びます。

法線応力は常に存在しますが､流体の場合は圧力のみが存在し張力には耐えられません。

さて,非圧縮性完全流体を対象と考えると,最初それが無限遠では一様な流れであった場合には,そこでは一様流なので渦無し,つまりω≡rotｖを渦と定義すると一様流である場所では,ω＝rotｖ＝0 です。

そして流体の従う運動方程式は通常のニュートンの運動方程式＝運動量の保存方程式を流体素片に適用すれば得られます。

これは非圧縮性粘性流体についてはナビエ・ストークス方程式になります。特に非圧縮性完全流体なら,運動方程式はオイラーの運動方程式ρＤｖ/Ｄｔ＝－gradｐ＋ρＫ,またはＤｖ/Ｄｔ＝－gradｐ/ρ＋Ｋで与えられます。

ここでρは流体の密度,ｐは流体の圧力,Ｋは単位体積当たりの流体が受ける重力などの外力(体積力)です。

Eulerの運動方程式Ｄｖ/Ｄｔ＝－gradｐ/ρ＋Ｋ のラグランジュ微分Ｄｖ/Ｄｔをオイラー微分に直すと∂ｖ/∂ｔ＋(ｖgrad)ｖ＝－gradｐ/ρ＋Ｋとなります。

熱力学の状態方程式からρ＝ｆ(ｐ)と書ける場合,これは∂ｖ/∂ｔ＝－grad(Ｐ＋ｖ²/2)＋Ｋ＋ｖ×rotｖと変形されます。

ここで,Ｐ(ｐ)≡∫ｄｐ/ρ(ｐ)で,これは例えば流れがＤＳ/Ｄｔ＝0 と等エントロピー的な場合などには,こう書けますから通常の断熱的な流れなら成立しています。

そして一般に重力などの外力Ｋは,摩擦などによるエネルギーの熱散逸がない保存力であるとすれば,rotＫ＝0 であって,外力のポテンシャルΩが存在してＫ＝－gradΩと書けます。

そこで,こうした通常の場合には,結局,運動方程式は∂ｖ/∂ｔ＝－grad(Ｐ＋ｖ²/2＋Ω)＋ｖ×rotｖと表わされます。

流れｖが,ある時刻ｔにある場所ｒで渦無し：ω＝rotｖ＝0 なら,そのとき,そこではｖ×rotｖ＝0 です。

そして,Δｔを微小時間とすれば運動方程式によって,ｖ(ｒ,ｔ＋Δｔ)＝ｖ(ｒ,ｔ)－grad(Ｐ＋ｖ²/2＋Ω)Δｔとなります。

両辺の空間回転:rotを取れば,rot[ｖ(ｒ,ｔ＋Δｔ)]＝rot[ｖ(ｒ,ｔ)]＝0 が成立します。

つまり,非圧縮性完全流体では,ある時刻に元々は一様流のようであって,渦無しの流れであれば未来永劫渦が生じることはない,という定理が導かれます。(渦定理)

今,対象とする領域全体で渦無し,つまりω＝rotｖ＝0 であるような非圧縮性完全流体を仮定します。rotｖ＝0 であることから,あるスカラー関数Φ＝Φ(ｒ,ｔ)が存在してｖ＝gradΦと書くことができます。

このスカラー関数Φを速度ポテンシャルと呼び,こうした速度ポテンシャルが存在する完全流体の流れをポテンシャル流といいます。

そして,非圧縮流体では連続の方程式はdivｖ＝0 ,つまりdiv(gradΦ)＝△Φ＝0 となります。すなわち,関数Φはラプラスの方程式を満足します。言い換えると,速度ポテンシャルΦは調和関数です。

ここで,問題を２次元の流れに戻すと,速度ポテンシャルΦ＝Φ(ｒ,ｔ)はΦ＝Φ(ｘ,ｙ,ｔ)と表わすことができて,ｖ＝gradΦはｕ＝∂Φ/∂ｘ,ｖ＝∂Φ/∂ｙになります。また,△Φ＝0 は∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²＝0 を意味します。

そこで,先の流れ関数Ψによる表現ｕ＝∂Ψ/∂ｙ,ｖ＝－∂Ψ/∂ｘと合わせると,ｕ＝∂Φ/∂ｘ＝∂Ψ/∂ｙ,ｖ＝∂Φ/∂ｙ＝－∂Ψ/∂ｘと書けます。

この式を見ると,これは点(ｘ,ｙ)を複素平面上の点ｚ＝ｘ＋ｉｙと同一視しｚの複素関数ｆ(ｚ)をｆ(ｚ)＝ｆ(ｘ,ｙ)≡Φ(ｘ,ｙ)＋ｉΨ(ｘ,ｙ)と定義したときのｆ(ｚ)のｚにおける正則性の条件と一致していることがわかります。

この条件ｆ(ｚ)＝Φ＋ｉΨに対し,∂Φ/∂ｘ＝∂Ψ/∂ｙ,∂Φ/∂ｙ＝－∂Ψ/∂ｘなる式をコーシー・リーマンの関係式(Cauchy-Riemann's relation)といいます。

(ここでは便宜上,関数の時間ｔ依存性を省略表記しました。)

複素関数ｆ(ｚ)が微分可能であるためには,Δｚ＝Δｘ＋ｉΔｙが微小であるときの微小差分Δｆ＝ｆ(ｚ＋Δｚ)－ｆ(ｚ)において,Δｚ＝ΔｘのときとΔｚ＝ｉΔｙのときの両方で(Δｆ/Δｚ)が完全に一致することが必要です。

つまり,(Δｆ/Δｘ)＝(ΔΦ/Δｘ)＋ｉ(ΔΨ/Δｘ)＝[Δｆ/(ｉΔｙ)]＝－ｉ(ΔΦ/Δｙ)＋(ΔΨ/Δｙ)であることが必要です。

そこで.Δｘ, Δｙ→ 0 の極限でｕ＝(ΔΦ/Δｘ)＝(ΔΨ/Δｙ),かつｖ＝(ΔΦ/Δｙ)＝－(ΔΨ/Δｘ)となることがｆ(ｚ)が微分可能であるための必要条件となります。

さらに,実関数ΦやΨが２回連続微分可能ならこれは微分可能であるための十分条件にもなります。

この複素関数としての微分可能の条件:∂Φ/∂ｘ＝∂Ψ/∂ｙ,かつ∂Φ/∂ｙ＝－∂Ψ/∂ｘをコーシー・リーマンの関係と呼ぶのです。

そして,この条件式が満たされるとき,ｆ(ｚ)は正則(微分可能)であるといわれ,ｆ(ｚ)を複素速度ポテンシャルと呼びます。

そして微分係数ｄｆ/ｄｚ＝(∂Φ/∂ｘ)＋ｉ(∂Ψ/∂ｘ)＝ｕ－ｉｖを複素速度と呼びます。

このとき必然的に∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²＝0 ,かつ∂²Ψ/∂ｘ²＋∂²Ψ/∂ｙ²＝0 が成立します。Φ,Ψは２次元調和関数となります。

複素関数論によれば,ｆ(ｚ)＝ｆ(ｘ,ｙ)≡Φ(ｘ,ｙ)＋ｉΨ(ｘ,ｙ)は無限回微分可能であって,しかも解析的,つまりこの点のまわりでｚのベキ級数として展開可能な解析関数になります。

すなわち,複素変数で考えると微分可能という性質だけで関数としての範囲が非常に厳しく限定されることになります。

したがって,正則な複素関数ｆ(ｚ)を１つ指定すれば,それによって直ちに速度ポテンシャルΦと流れ関数Ψが１つずつ決まって,２次元非圧縮完全流体のポテンシャル流が決まります。

これで決まる流れは∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｙ²＝0 ,かつ∂²Ψ/∂ｘ²＋∂²Ψ/∂ｙ²＝0 によって連続の方程式 divｖ＝0と渦無し条件rotｖ＝0 を確かに満足しています。

しかし,rotｖ＝0 のときの運動方程式である∂ｖ/∂ｔ＝－grad(Ｐ＋ｖ²/2＋Ω)を満足しているのでしょうか？

ｖ＝gradΦですから,運動方程式はgrad(∂Φ/∂ｔ＋Ｐ＋ｖ²/2＋Ω)＝0 と書けます。これは,∂Φ/∂ｔ＋Ｐ＋ｖ²/2＋Ω＝(空間領域全体で一定),を意味します。

これは広義のベルヌーイ(Bernoulli)の定理です。もしも,定常流:∂ｖ/∂ｔ＝0 であれば,ｖ＝gradΦのΦ(ｒ,ｔ)としてｔを陽に含まない形のΦ＝Φ(ｒ)を取ることができて,∂Φ/∂ｔ＝0 とできます。

そこで,∂Φ/∂ｔ＋Ｐ＋ｖ²/2＋Ω＝(空間領域全体で一定)はＰ＋ｖ²/2＋Ω＝(空間領域全体で一定)となります。

つまり,非圧縮完全流体のポテンシャル流においては,流れに対する運動方程式とベルヌーイの定理は同じものになるのですね。

もう１つ忘れてならないのは境界条件です。普通,流体は無限に広がっているわけではなくて,どこかにその流体以外の物体でできた境界があります。

現実の粘性流体なら,その境界上で流体は粘着してその境界に対して静止します。

つまり境界が止まっていようと動いていようと流体はそこで境界に対する相対速度がゼロになるというのが現実に即した粘性流体に対する境界条件であるべきです。そしてそれ故,粘性流体なら境界があればそこで流線は途切れます。

実際の流体を非圧縮の"線型粘性流体＝ニュートン流体"として近似した運動方程式であるナビエ・ストークス方程式で,上述の境界条件が解の存在と一意性にとって必要十分であるかどうか？というのは一般的な問題としてはまだ未解決です。

しかし,この方程式が解析的あるいは数値的に解けるときには多くの場合,これは肯定的であるとされています。

通常の微分方程式ではいわゆる力学系として初期条件を満たす一般解の描く曲線族は解の存在と一意性が成立するが故に,互いに決して交わることはないです。

ところが,先に述べたように粘性流体の問題では,境界で流線が途切れて終わってしまうことがあります。

これがナビエ・ストークス方程式で解の存在と一意性の問題を解決するためのネックになっているのではないかと推察します。

しかし,完全流体では粘性流体と同じ境界条件を仮定したのでは方程式の解を決めるのには過剰な条件になります。

そこで境界で流体がその表面から境界の内部へと侵入して対象領域の外へ出て行くような法線方向の速度成分を全く持たないという条件,つまり境界上ではすべっていく,というのが完全流体の境界条件です。

実際こちらの条件は,既にそれが解の存在と一意性のための必要十分条件であるということで解決しています。そして完全流体なら境界があっても,そこで流線が途切れたりすることはなくずっと続いています。

つまり,今のポテンシャル流の場合,境界条件は境界表面の法線方向をｎとし境界速度をｖ_bとすれば境界上で(ｖ－ｖ_b)ｎ＝0 です。

境界が静止していろポテンシャル流の場合なら,境界上ではｖ＝gradΦ＝0 :境界上でΦ＝一定,というのは過剰な条件で,境界上でｖｎ＝∂Φ/∂ｎ＝0 というのが必要十分な条件です。

この場合,速度ポテンシャルΦにとってはノイマン問題となるので解Φには定数だけの任意性があります。

いずれにしろ,２次元では境界に沿った任意の変分Δｒに対してΔｒｎ＝Δｘｎ_x＋Δｙｎ_y＝0 となります。

そして,２次元の定常問題では解は正則関数ｆ(ｚ)＝Φ＋iΨで与えられ,静止した境界形状であるなら境界条件はｖｎ＝∂Φ/∂ｎ＝0 なので,これはｖ＝gradΦ＝(∂Φ/∂ｘ,∂Φ/∂ｙ)＝(∂Ψ/∂ｙ,－∂Ψ/∂ｘ)とΔｒが平行であることを意味します。

すなわち,ｄｘ/(∂Ψ/∂ｙ)＝－ｄｙ/(∂Ψ/∂ｘ),またはｄΨ＝(∂Ψ/∂ｘ)ｄｘ＋(∂Ψ/∂ｙ)ｄｙ＝gradΨΔｒ＝0 ですから,境界上では流れ関数Ψ＝一定です。

そこで,正則関数ｆ(ｚ)＝Φ＋iΨであって,Ψ＝一定で与えられる曲線群のうちの1つが境界線に一致するようにｆ(ｚ)を定めれば解が求められたことになります。

Ψ＝一定で定まる境界線以外の曲線群は流線群を表わしています。

ここで,ポテンシャル流の流れの中に１つの境界を与えるものとして流れとは無関係な力によって固定された物体があって静止しているとします。

２次元なのでこの物体自身の領域をＳとするとその境界はある閉曲線Ｃで与えられます。そこで物体に働く正味の力はＦ＝ｅ_i∫_CＰ_ijｎ_jｄｓ＝－∫_C ｐｎｄｓです。

簡単のためにこの完全流体は単に非圧縮というだけでなく密度ρが一様であるとします。

そうすれば,Ｐ＝ｐ/ρであり,体積力＝２次元では面積力である外力ρＫはgrad(ρΩ)に等しく.運動方程式＝ベルヌーイの定理は∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋ｖ²/2＋Ω＝Ａ(ｔ)(空間領域全体で一定)となります。

そこで,ｐ＝ρＡ(ｔ)－ρ[∂Φ/∂ｔ＋ｖ²/2＋Ω]より,Ｆ＝－∫_C ｐｎｄｓ＝ρ∫_C[∂Φ/∂ｔ＋ｖ²/2＋Ω]ｎｄｓです。

Ｆ＝－∫_Cｐｎｄｓから,Ｆ_x－iＦ_y＝－ i∫_Cｐｄｚ^*です。

∂Φ/∂ｔ＝Re(∂ｆ/∂ｔ),ｖ²＝|ｄｆ/ｄｚ|²なので,∂Φ/∂ｔ＋ｖ²/2＋Ω＝Re(∂ｆ/∂ｔ)＋|ｄｆ/ｄｚ|²/2＋Ωにより,Ｆ_x－iＦ_y＝iρ∫_C[Re(∂ｆ/∂ｔ)＋|ｄｆ/ｄｚ|²/2＋Ω]ｄｚ^*となります。

そこで,流れが定常であって外力がないときには,Ｆ_x－iＦ_y＝iρ∫_C(|ｄｆ/ｄｚ|²/2)ｄｚ^*です。

ところで,物体表面＝境界Ｃの上ではΨ＝一定であって,ｄｆ＝ｄΦ＝ｄｆ^*なので|ｄｆ/ｄｚ|²ｄｚ^*＝(ｄｆ/ｄｚ)(ｄｆ^*/ｄｚ^*)ｄｚ^*＝(ｄｆ/ｄｚ)²ｄｚです。

したがって,Ｆ_x－iＦ_y＝iρ∫_C[(ｄｆ/ｄｚ)²/2]ｄｚとなります。

これを,ブラウジウスの(第一)公式(Blausius)といいます。

ここで,境界となる物体が一様流の中の原点Ｏ:ｚ＝0 の位置を中心として置かれているとします。

物体の外部領域では流れは１価正則なポテンシャル流であってｚ→ ∞ で一様な流速Ｕになるとすればｄｆ/ｄｚのローラン展開はｄｆ/ｄｚ＝Ｕ＋Σ_ν=1^∞ａ_ν/ｚ^νとなります。

そこで,複素速度ポテンシャルはｆ(ｚ)＝Ｕｚ＋ａ₁logｚ－Σ_ν=1^∞(ａ_ν+1/ν)ｚ^-νと書くことができます。

ｆ(ｚ)はｚ＝0 を極や分岐点とし,ｚ＝0 の近傍では多価関数になったりしますが,物体の存在する境界Ｃの特異点ｚ＝0 の外側の対象としている流体領域ではｆ(ｚ)は１価正則な解析関数です。

そこで,このｆ(ｚ)の表わす流れが２次元非圧縮完全流体のポテンシャル流であることは間違いありません。

そして,(ｄｆ/ｄｚ)²＝Ｕ²＋2Ｕａ₁/ｚ＋(1/ｚ²)[Σ_ν=0^∞ｂ_ν/ｚ^ν]と書けます。

それ故,物体の受ける力Ｆ＝(Ｆ_x,Ｆ_y)はｆ(ｚ)＝Ｕｚ＋ａ₁logｚ－Σ_ν=1^∞(ａ_ν+1/ν)ｚ^-νのlogｚの項の係数ａ₁のみを用いて,Ｆ_x－iＦ_y＝iρ∫_C[(ｄｆ/ｄｚ)²/2]ｄｚ＝－2πρＵａ₁と書くことができます。

また,∫_C(ｄｆ/ｄｚ)ｄｚ＝2πiａ₁＝∫_C(ｕ－iｖ)(ｄｘ＋iｄｙ)＝∫_C(ｕｄｘ＋ｖｄｙ)＋i∫_C(ｕｄｙ－ｖｄｘ)＝∫_Cｖｄｓ＋i∫_S(divｖ)ｄＳ＝Γ＋iＱです。

すなわち,∫_C(ｄｆ/ｄｚ)ｄｚ＝2πiａ₁＝Γ＋iＱ,あるいはＱ－iΓ＝2πａ₁となります。

ここでＱ≡∫_S(divｖ)ｄＳは物体の領域で発生する流体体積の湧き出し量であり,Γ≡∫_Cｖｄｓは物体のまわりを反時計回りにまわる循環を表わしています。

Ｆ_x－iＦ_y＝－2πρＵａ₁＝－ρＵＱ＋iρＵΓですから,物体に働く力は物体の形などには関係なく,流体の運動方向であるｘ方向の力＝抵抗力Ｆ_x＝－ρＵＱは湧き出しρＱに比例します。

また,物体に働く流体の運動方向に垂直なｙ方向の力＝揚力(ｘｙ面を鉛直面と考えたときの上向きの力):Ｆ_y＝－ρＵΓは循環ρΓに比例することがわかります。

この関係式をクッタ・ジューコフスキーの定理(Kutta-Joukowskis theorem)と呼びます。

ここで,仮にｚ＝0 のε-近傍の２つの特異点として同じ大きさの湧き出しと吸い込みの両方があって特異点以外ではポテンシャル流である２次元の流体,つまり,"双極子＝２重湧き出し"のある２次元ポテンシャル流を考えます。

原点近傍の２つの特異点をｚ₁,ｚ₂とすると速度ポテンシャルはｆ(ｚ)＝ｍlog(ｚ－ｚ₁)－ｍlog(ｚ－ｚ₂)＝ｍlog[(ｚ－ｚ₁)/(ｚ－ｚ₂)]＝ｍlog[(ｚ－εｅ^iα)/(ｚ＋εｅ^iα)]となります。

ここで,ε→ 0,ｍ→ ∞,2εｍ＝μ(一定)の極限をとると,ｆ(ｚ)＝－μｅ^iα/ｚとなります。これの表わす流れをを２次元２重湧き出しと呼びます。

このときには,ｆ(ｚ)＝－μｅ^iαｚ^*/ｒ²より,imｆ(ｚ)＝Ψ(ｒ,θ)＝μsin(θ－α)/ｒですから,これは原点ｒ＝0 を通過するあらゆる円をΨ(ｒ,θ)＝(一定)の流線としています。それ故,このポテンシャル流は原点ｒ＝0 を通るある円を境界とする流れです。

ｆ(ｚ)＝Ｕｚ－μｅ^iα/ｚと書けば,この流れはｒ＝∞での一様速度がゼロではなくＵであるという違いだけでｆ(ｚ)＝－μｅ^iα/ｚで与えられるものと同じ流れを表わしています。

このとき ｄｆ/ｄｚ＝ｕ－iｖ＝Ｕ＋μｅ^iα/ｚ²＝Ｕ＋μｅ^-i(2θ-2α)/ｒ² なので,ｕ＝Ｕ＋μcos(2θ－2α)/ｒ²,ｖ＝μsin(2θ－2α)/ｒ²と書けます。

これは３次元で一様流の中に球が固定して置かれた場合と同様,２次元で一様流の中に円が置かれた場合に相当しています。

そして,この円のまわりの２重湧き出しの流れは,湧き出し＋吸い込み＝ 0 なので,その他に特異点がないなら流れがあるにもかかわらず物体には全く抵抗力が働かない,という例になっています。

完全流体において必然的に生じるこうした非常識的な計算結果をダランベールの背理(D'Alemdert's paradox)といいます。

ｆ(ｚ)＝－μｅ^iα/ｚ＝－(μｅ^iα)[ｄ(logｚ)/ｄｚ]と書けば,３次元の場合の単湧き出しのポテンシャルΦ₁＝－ｍ/ｒ＋Ｃに対して,2^k重湧き出しのポテンシャルがΦ_k＝μ_i1i2..ik∂_i1∂_i2..∂_ik(1/ｒ)で与えられるのと同様,２次元ではΦ₁＝ｍlogｒ＋Ｃ, or ｆ＝ｍlogｚに対してΦ_k＝μ_i1i2..ik∂_i1∂_i2..∂_ik(logｒ) or ｆ_k＝μ_i1i2..i(ｄ^kf/ｄｚ^k)が 2^k重湧き出しのポテンシャルを示しています。

既に述べた論旨から完全流体の場合,物体にゼロでない抵抗力が働くのは単湧き出しΦ₁＝－ｍ/ｒ＋Ｃ (３次元)や,Φ₁＝ｍlogｒ＋Ｃ, or ｆ＝ｍlogｚ＋Ｃ'(２次元)がある場合に限られ,２重湧き出し以上の多重湧き出しは物体に働く抵抗力への寄与はありません。

一方,揚力の方は物体が回転していて流体が引きずられるような場合などにもゼロでない寄与が生じます。 

　上に見てきたようにブラウジウスの公式とクッタ・ジューコフスキーの定理の組み合わせも,実は基本的な運動方程式であるベルヌーイの定理の単なる書き換えに過ぎません。

　例えば飛行物体などで,循環Γ＜ 0 の存在のおかげで上向きの揚力が生じるというクッタ・ジューコフスキーの定理も,ベルヌーイの定理によってその物体付近の上部の領域より下部の領域の圧力が大きいことと同値です。

　この圧力差が生じる理由は,結局上部のその領域での流速が下部の流速より大きいということを意味し,これは循環Γ＜ 0 と同じ意味です。

　そして,運動量あるいはエネルギーの保存という意味では,これは何らかの理由で運動量あるいは運動エネルギーが下部領域から上部領域へと輸送される結果であると考えられます。

　また,書き換えという意味では流体も含めて物理学の理論を数学的に定式化するプロセスでは,ある種の"トートロジー＝同義語反復"という過程が多く含まれています。

　流体でいえば同じことを別の表現で述べているだけであることが多く,例えばベルヌーイの定理は圧力差の話を流体の速度差あるいは運動エネルギーの差の話に置き換えているだけです。

　圧力差による力とかベルヌーイの定理であるとか言っても,結局はニュートンの運動の法則や作用反作用の法則を書き換えた運動量保存則やエネルギー保存則などを流体力学特有の用語に置き換えて説明しているに過ぎない,と言えばその通りかもしれません。

　こうして,これらの定理によって形式上は完全流体の揚力についても一応の合理的な説明ができたような気にはなります。

　しかし,この説明において,揚力を生み出す源となる,循環Γ,あるいは上下の流速差がどういうメカニズムで生じるのか？,という本質的な問題に論及しなければ数学的整合性がある,というだけの理論＝単なる同義語反復理論です。

　元の複雑だった問題を比較的理解しやすい問題へと翻訳還元したに過ぎません。

　しかし,こうした循環や流速差などの運動学的量の発生する起源として合理的な説明を与えることはかなりむずかしく単純な翼形状などにその理由を求めることができるのかどうかもわかりません。

　過去には既存の教科書や通俗書などで翼の上部の領域での流速が下部の流速より大きい理由として「翼上縁が翼下縁より流体素片の進む行路が長いのに翼先端で分かれた流体素片が後端に同時に到着すべきであるから上縁における流速が下縁上の流速より大きいのである。」というような仮説による説明がまことしやかになされていました。

　しかし,飛行中に必ずしも翼の上下の向きなどが所定の方向に決まっている必要はないし流体素片が後端に同時に到着すべきであるという主張に理論的な根拠も無く,また,これについては多くの実験事実で結果は否定的であるということで.この通俗仮説は現在では誤った説明であるとするのが主流です。

これよりもむしろ平板翼の迎え角の理論などを主眼とした説明の方が現実的であり実際に近くて理にかなっていると思われます。

　さらに現実の流体は明らかに完全流体ではなく,たとえレイノルズ数が大きいとしても境界表面には層流境界層や乱流境界層があって境界条件を単純に完全流体のそれでおきかえるわけにはいきません。

　また,境界層の剥離現象や失速,Wake(伴流;ウェーキ)の内部のカルマン渦列などの複雑な現象やさらにカオス的で解明のむずかしい複雑な乱流現象などもあります。

　そこで,例えば翼理論についてもここで述べたような完全流体の模型による理論的扱いよりも現状では実験的あるいは数値的な扱いの方がより有効なことが多いと思います。

ここで最後に上記では簡単な話でもあるので省略していた重力など物体にかかる外力Ｆ_ex＝ρ∫_CΩｎｄｓを計算しておきます。

これについてはCの内部の面積領域に外力Ｋの渦などの特異性があると考える必要はないので単連結領域に対して成立するストークスの法則∫_∂S ω＝∫_Sｄωを用いるとＦ_ex＝ρ∫_CΩｎｄｓ＝ρ∫_SgradΩｄＳ＝－ρ∫_SＫｄＳとなります。

ここで最も通常の例として,外力Ｋが重力であるとすればＫ＝－ｇｅ_yとなりＦ_ex＝ρＳｇｅ_yが得られます。

ただしｅ_yは鉛直上向きの単位ベクトルでありρＳｇは物体の面積Ｓと同じ面積の流体の重さですからＫが重力ならＦ_ex＝ρＳｇｅ_yは浮力を表わしています。

この記事の続きとなるような流体力学の話題については2006年9月25日の記事「ベナール対流の安定性とレイリー数」があります。

これは非圧縮性完全流体に浮力(つまり重力)の効果だけ圧縮性を与えたいわゆるブジネスク近似をした方程式において,上下に温度差があるために重力に起因する浮力が生じて対流＝ベナール対流が生じます。

この対流の安定性の限界の臨界レイリー数において不安定な交代渦などが生じる条件などについて考察したものです。

参考文献：色々なので省略します。もっとも,ほとんど記憶だけに頼ったのですが。。。

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    物理学

フックス関数の理論(2)(ポアンカレの理論)

　続きです。２つ目の初期論文です。

同じフックス群に対応し,正の整数ｍの値が同じである２つのテータフックス関数の比Ｆ(ｚ)はｚの１価関数であって,Ｆ(ｚＫ_i)＝Ｆ(ｚ)が成り立つ。

故に,前に与えた定義からＦ(ｚ)は１つのフックス関数である。

つまり,定数ａ,ｂ,ｃ,ｄの無数の値に対して,恒等的にＦ([(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ)]＝Ｆ(ｚ)が成り立つ。

　私(Poincare')は次の２つの定理を証明する。

１°同じ群に属しその定義の結果として生ずるもの以外には真性特異点を持たない２つのフックス関数の間には代数的関係が存在する。

※(注1)基本領域が基本円の上に集積する結果としてフックス関数は基本円上に真性特異点を持ちます。定義の結果として生ずる真性特異点とはこれを指しています。

　以下,このようなもの以外には真性特異点を持たないフックス関数を２つ取るとそれらは互いに他の代数関数になっているという意味です。(注１終わり)※

２°全てのフックス関数Ｆ(ｚ)は次のようにして代数関数を係数とする線型方程式を積分することができる。

　すなわち,もしｘ＝Ｆ(ｚ),ｙ₁＝(ｄＦ/ｄｚ)^1/2,ｙ₂＝ｚ(ｄＦ/ｄｚ)^1/2と置くなら,ｙ₁,ｙ₂は微分方程式:ｄ²ｙ/ｄｘ²＝ｙφ(ｘ)を満足し,φ(ｘ)は代数関数である。

※(注２)ｙ₁,ｙ₂を解とする２階線形常微分方程式は,det(ｙ,ｙ',ｙ")＝0 ,すなわち,ｙ"－[(ｙ₁ｙ₂"－ｙ₁"ｙ₂)/(ｙ₁ｙ₂'－ｙ₁'ｙ₂)]ｙ'＋[(ｙ₁'ｙ₂"－ｙ₁"ｙ₂')/(ｙ₁ｙ₂'－ｙ₁'ｙ₂)]ｙ＝0 で与えられます。

　ｙ≡^t(ｙ,ｙ₁,ｙ₂),ｙ'≡ｄｙ/ｄｘ,ｙ"≡ｄ²ｙ/ｄｘ²です。

　今,ｘ＝Ｆ(ｚ),ｙ₁＝(ｄＦ/ｄｚ)^1/2,ｙ₂＝ｚ(ｄＦ/ｄｚ)^1/2と置けば,具体的に,ｙ₁'＝(ｄＦ/ｄｚ)^-3/2ｄ²Ｆ/ｄｚ²,ｙ₂'＝(ｄＦ/ｄｚ)^-1/2＋(ｚ/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-3/2ｄ²Ｆ/ｄｚ²,

　そして,ｙ₁"＝－(3/4)(ｄＦ/ｄｚ)^-7/2(ｄ²Ｆ/ｄｚ²)²＋(1/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-5/2ｄ³Ｆ/ｄｚ³,ｙ₂"＝－(3ｚ/4)(ｄＦ/ｄｚ)^-7/2(ｄ²Ｆ/ｄｚ²)²＋(ｚ/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-5/2ｄ³Ｆ/ｄｚ³と計算されます。

　それ故,ｙ₁ｙ₂'－ｙ₁'ｙ₂ ＝1,ｙ₁ｙ₂"－ｙ₁"ｙ₂ ＝0,ｙ₁'ｙ₂"－ｙ₁"ｙ₂'＝－[(1/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-3ｄ³Ｆ/ｄｚ³－(3/4)(ｄＦ/ｄｚ)^-4(ｄ²Ｆ/ｄｚ²)²]です。

　すなわち,方程式はｙ"－[(1/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-3ｄ³Ｆ/ｄｚ³－(3/4)(ｄＦ/ｄｚ)^-4(ｄ²Ｆ/ｄｚ²)²]ｙ＝0 となります。

  故に,φ(ｘ)≡[(1/2)(ｄＦ/ｄｚ)^-3ｄ³Ｆ/ｄｚ³－(3/4)(ｄＦ/ｄｚ)^-4(ｄ²Ｆ/ｄｚ²)²]＝{1/(2Ｆ’²)}{Ｆ,ｚ} (ｚ＝Ｆ^-1(ｘ))と定義すれば,ｄ²ｙ/ｄｘ²＝ｙφ(ｘ)が満足されます。

　そして,Ｆはフックス関数なので,それの属する任意の変換をｚ→ｚ₁＝(ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ)とし,Ｆ(ｚ)のｚに関する１階,２階,３階導関数を,それぞれＦ',Ｆ",Ｆ⁽³⁾と書けば,Ｆ(ｚ₁)＝Ｆ(ｚ),Ｆ'(ｚ₁)ｄｚ₁/ｄｚ＝Ｆ'(ｚ),Ｆ"(ｚ₁)(ｄｚ₁/ｄｚ)²＋Ｆ'(ｚ₁)ｄ²ｚ₁/ｄｚ²＝Ｆ"(ｚ),Ｆ⁽³⁾(ｚ₁)(ｄｚ₁/ｄｚ)³＋3Ｆ"(ｚ₁)(ｄｚ₁/ｄｚ)(ｄ²ｚ₁/ｄｚ²)²＋Ｆ'(ｚ₁)ｄ³ｚ₁/ｄｚ³＝Ｆ⁽³⁾(ｚ)となります。

これらの式から,具体的計算を行なうことにより,ｘの関数φ(ｘ)≡φ(Ｆ(ｚ))≡[(1/2)(Ｆ'(ｚ))^-3Ｆ⁽³⁾(ｚ)－(3/4)(Ｆ'(ｚ))^-4(Ｆ"(ｚ))²]について,φ(Ｆ(ｚ₁))＝φ(Ｆ(ｚ))が成立することを陽に導くことができます。

故に,φ(ｘ)≡φ(Ｆ(ｚ))はｚのフックス関数です。

ｘ＝Ｆ(ｚ)もフックス関数なので,φ(ｘ)はｘの代数関数です。

つまり,φ(ｘ)≡φ(Ｆ(ｚ))はｘ＝Ｆ(ｚ)の関数であって,Ｆ(ｚ)はフックス関数ですから,Ｆ(ｚ₁)＝Ｆ(ｚ)が成立します。

それ故,φ(Ｆ(ｚ))＝φ(Ｆ(ｚ₁))となるのは自明なことであって,そもそも具体的計算で証明することなど不要ではないかと思われます。

しかし,ｘ＝Ｆ(ｚ)は一般にｚの１価関数であるかどうかもわかっていないので,φ(Ｆ(ｚ))＝φ(Ｆ(ｚ₁))が成り立つことは必ずしも自明であるとはいえないわけです。

実際,ｙ₁＝(ｄＦ/ｄｚ)^1/2,ｙ₂＝ｚ(ｄＦ/ｄｚ)^1/2もｘ＝Ｆ(ｚ)の関数ですが,こちらの方は明らかにｚについて１価関数ではなく,Ｆ(ｚ)＝0 なるｚ(Ｆ(ｚ)の零点)に分岐点を持ちます。

　したがって,ｘ＝Ｆ(ｚ)がたとえｚの多価関数であっても,Ｆ(ｚ)がフックス関数でありさえすれば,φ(ｘ)≡φ(Ｆ(ｚ))の方は必ずフックス関数になるというのが,上の具体的証明の内容であることを述べているのだろうと思います。

　まだ,複素関数の多価性を表わすモノドロミー群が登場していませんから,これとフックス群の準同型な関係についての議論などは示されていないので,上に述べたことは「フックス関数であることと１価関数であるということは同値である。」ことを示唆していると思われます。

「φ(ｘ)≡φ(Ｆ(ｚ))はｚのフックス関数です。ｘ＝Ｆ(ｚ)もフックス関数なのでφ(ｘ)はｘの代数関数になります。」と書きました。

これはポアンカレが証明したと称している「１°同じ群に属しその定義の結果として生ずるもの以外には真性特異点を持たない２つのフックス関数の間には代数的関係が存在する。」という命題を認めて,これを用いた結果です。(注２終わり)※

例えば,特に方程式を,(１)ｄ²ｙ/ｄｘ²＝ｙ[(1/α²－1)/4ｘ²＋(1/β²－1)/{4(ｘ－1)²}＋(1＋1/γ²－1/α²－1/β²)/{4ｘ(ｘ－1)}]とする。

ここに,α,β,γは有限または無限の正の整数で,1/α＋1/β＋1/γ＜1とする。ｚがこれの積分の比(つまりこれの解の比)なら,ｘ＝ｆ(ｚ)とするとｆ(ｚ)は群(α,β,γ)に関するフックス関数である。

この関数は基本円の内部でしか存在しない。そして次の２つのテータフックス関数の比とみなされる。

(ｄｆ/ｄｚ)^ｍ/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ],および(ｄｆ/ｄｚ)^ｍｆ(ｚ)/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ],ｍ,ｐ,ｑは次の不等式を満たす整数である。

1－ｐ/ｍ≧1/α,1－ｑ/ｍ≧1/β,(ｐ＋ｑ－1)/ｍ－1≧1/γ。この不等式は同時に成立可能である。

基本円の内部でしか存在しないこれら２つのテータフックス関数はこの円の内部で正則である。α＝β＝γ＝∞ならば,(１)はsinamｘの周期をそのモジュラーの平方の関数として定める方程式に帰着する。

　※(注３)(１)は超幾何微分方程式と本質的には同じものです。

　一般に２階線形常微分方程式:ｕ"＋ｐ(ｘ)ｕ'＋ｑ(ｘ)ｕ＝0 に対して変換ｕ＝exp{－(1/2)∫ｐ(ｘ)ｄｘ}ｙを行なうと,ｙ"＝[ｐ'(ｘ)/2＋ｐ(ｘ)²/4－ｑ(ｘ)]ｙと変換されます。

そこで,特に超幾何微分方程式ｘ(ｘ－1)ｕ"＋[(ａ＋ｂ＋1)ｘ－ｃ]ｕ'＋ａｂｕ＝ 0 ,すなわちｕ"＋[ｃ/ｘ＋(ａ＋ｂ－ｃ)/(ｘ－1)]ｕ'＋[ａｂ/{ｘ(ｘ－1)}]ｕ＝0 を取ります。

上で与えた変換:ｕ＝ｘ^-c/2(ｘ－1)^-(a+b-c)/2ｙを行なって,さらに|1－ｃ|＝1/α,|ｃ－ａ－ｂ|＝1/β,|ａ－ｂ|＝1/γと置けば,(１)ｄ²ｙ/ｄｘ²＝ｙ[(1/α²－1)/4ｘ²＋(1/β²－1)/{4(ｘ－1)²}＋(1＋1/γ²－1/α²－1/β²)/{4ｘ(ｘ－1)}]が得られます。

変換ｕ→ｙの形から見て,(１)の２つの解の比とそれに対応する超幾何微分方程式の解の比は全く同じなのでｚは超幾何方程式の解の比と考えてよいと思われます。

また,α,β,γは各特異点における決定方程式の根の差の絶対値の逆数なので,シュワルツの研究において現われたｍ,ｎ,ｐに相当します。

そこでは,既にシュワルツの研究を通じて,ｘ＝ｆ(ｚ)がフックス関数になるための条件はα,β,γが全て正の整数で1/α＋1/β＋1/γ＜1であることを見たし,それに対応するフックス群が(α,β,γ)であることも見ました。

　すなわち,ポアンカレはここでもシュワルツが既に得ていた結果を彼の名に触れることなく述べています。 

　Ｋをフックス群の任意の元とすれば,ｆ(ｚ)がフックス関数ならｆ(ｚＫ)=ｆ(ｚ)ですが,両辺をｚで微分するとｆ'(ｚＫ)ｄ(ｚＫ)/ｄｚ＝ｆ'(ｚ)より,[ｆ'(ｚＫ)]^ｍ＝[ｆ'(ｚ)]^ｍ[ｄ(ｚＫ)/ｄｚ]^-ｍを得るので[ｆ'(ｚ)]^ｍは１つのテータフックス関数です。

　そして,ｆ(ｚ)がフックス関数なのでｆ'(ｚ)をｄｆ/ｄｚと書いて(ｄｆ/ｄｚ)^ｍ/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ],(ｄｆ/ｄｚ)^ｍｆ(ｚ)/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ]もやはりテータフックス関数です。

　そして,ｆ(ｚ)はこれらの比として得られます。

　条件:1－ｐ/ｍ≧1/α,1－ｑ/ｍ≧1/β,(ｐ＋ｑ－1)/ｍ－1≧1/γは,これらのテータフックス関数が基本円の内部で正則になることを保証する条件です。

　実際ｚとｆ(ｚ)の対応は,(１)の特異点であるｘ＝ 0,1,∞ を除けば,局所的に１対１正則なので,群の基本領域の頂点以外では正則です。

　ｚは微分方程式の２つの解の比なので,ｚの選び方はいろいろありますがどれを選んでも結論は同じです。

　そこで,特にｆ(0)＝0 となるようにｚを選べば,その近傍でｚ＝ｘ^1/α(1＋..);(ただし'..'は定数項を含まないｘのベキ級数)と書けるため,ｘ＝ｆ(ｚ)＝ｚ^α(1＋..)となります。

　これから,(ｄｆ/ｄｚ)^ｍ＝α^ｍｚ^ｍ(α-1)(1＋..),よって(ｄｆ/ｄｚ)^ｍ/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ]＝(定数)×ｚ^{ｍ(α-1)-ｐα}(1＋..),(ｄｆ/ｄｚ)^ｍｆ(ｚ)/[{ｆ(ｚ)}^ｐ{ｆ(ｚ)－1}^ｑ]＝(定数)×ｚ^{ｍ(α-1)-ｐα+α}(1＋..)が得られます。

　ｍ,α,ｐは正整数なので,これらがｚ＝0 で正則であるための条件として,ｍ(α－1)－ｐα≧ 0 ,すなわち,1－ｐ/ｍ≧1/αを得ます。

　同様に,ｘ＝ｆ(ｚ)＝1,およびｘ＝ｆ(ｚ)＝∞ の近傍で,それぞれｆ(0)＝1,ｆ(0)＝∞ となるようにｚを選んで,ｚ＝1,およびｚ＝∞でのｘ＝ｆ(ｚ)の正則条件から,1－ｑ/ｍ≧1/β,および(ｐ＋ｑ－1)/ｍ－1≧1/γを得ることができます。

　最後に,sinamｘと書いてあるのは,現在ではsnｘという記号で示される関数のヤコービの記号です。

　既にガウスの項で示したように, snｘ＝sinamｘは,∫₀^xｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ'²ｘ²)}^1/2の逆関数です。

　これにおけるモジュラスをｋとすると,Ｋ＝∫₀¹ｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ²ｘ²)}^1/2＝(π/2)Ｆ(1/2,1/2,1;ｋ²),Ｋ'＝∫₀¹ｄｘ/{(1－ｘ²)(1－ｋ'²ｘ²)}^1/2＝(π/2)Ｆ(1/2,1/2,1;ｋ'²)となります。

　そこで,ξ≡ｋ²と置けば,snｘの２つの周期:4Ｋ,2iＫ'はａ＝ｂ＝1/2,ｃ＝1 に対応する超幾何微分方程式:ξ(ξ－1)ｕ"＋(2ξ－1)ｕ'＋ｕ/4＝0 の解となります。

　このとき,1/α＝|1－ｃ|＝0, 1/β＝|ｃ－ａ－ｂ|＝0, 1/γ＝|ａ－ｂ|＝0 となりますから,α＝β＝γ＝∞です。

　最後の文章はこのことを述べています。(注３終わり)※

　私は,次に私が1879年11月にアカデミーに提出する栄を得たノートの中で定義した数論的な不変式をテータフックス関数に帰着させる。

Ｆ(ｚ)を任意のフックス関数とし,ｘ＝Ｆ(ｚ)と置く。

ｚの１価関数の系:θ₁(ｚ),θ₂(ｚ),..,θ_n(ｚ)で,これから行列式 det(ｄ^α1θ/ｄｘ^α1,ｄ^α2θ/ｄｘ^α2,..,ｄ^αnθ/ｄｘ^αn) (θ(ｚ)≡^t(θ₁(ｚ),θ₂(ｚ),..,θ_n(ｚ)))を作ったときに,α₁,α₂,..,α_nがどんな整数であっても,これがフックス関数であるようなものをゼータフックス関数の系と呼ぶ。 

　θ₁,θ₂,..,θ_nが,それらをｘ＝Ｆ(ｚ)の関数と見たときに係数がｘの代数関数であるような１つの線形微分方程式を満たすことは明らかである。

※(注４)θ₁,θ₂,..,θ_nの任意の線形結合を一般解に持つ線形常微分方程式は行列式の等式 det(ｙ,ｙ',ｙ",..,ｙ⁽ⁿ⁾)＝0 で与えられます。

　ここで,ｙ≡^t(ｙ,θ₁,θ₂,..,θ_n),ｙ'≡ｄｙ/ｄｘ,ｙ"≡ｄ²ｙ/ｄｘ²,..,ｙ⁽ⁿ⁾≡ｄⁿｙ/ｄｘⁿです。

　したがって,θ₁,θ₂,..,θ_nがゼータフックス関数の系としての性質を持つならば,この線形微分方程式の係数は全てｚのフックス関数になります。一方,ｘ＝Ｆ(ｚ)もフックス関数ですから,１°によって微分方程式の係数はｘの代数関数であるということになります。(注４終わり) ※

　私は,無数のゼータフックス関数を作ることができることを証明し,それにいろいろな級数による表現を与える。

　そして,これらは無数の微分方程式,とりわけ有限の範囲に２つ,無限遠に１つの特異点を持つ有理関数の線形微分方程式の全てを積分することができる。 

　１つの特別な応用を与える。 

　Ｋ,Ｋ'が楕円関数の周期でωがそれのモジュラスであるとする。

　φは,ω＝φ[(Ｋ＋Ｋ'√－1)/(Ｋ－Ｋ'√－1)]で定まる関数とする。そして,ｘ＝0,ｘ＝1,ｘ＝∞ に特異点を持つ有理係数の線形微分方程式があるとする。ｘ＝φ(ｚ)と置き,この微分方程式の積分をθ₁(ｚ),θ₂(ｚ),..,θ_n(ｚ)とする。

　このとき,φ(ｚ)はフックス関数でθ₁,θ₂,..,θ_nはゼータフックス関数である。これらは基本円の内部でしか存在しない。これらはこの円の内部で正則で,したがって常に整級数で表わされ.その係数は容易に計算できる。 

　要するに,楕円関数がその特別の場合であるような極めて広い関数のクラスが存在する。

　これらの関数は多数の微分方程式を積分することができる。

　いろいろな性質がこの関数と楕円関数の類似を,そしてテータフックス関数,およびゼータフックス関数と関数Θ,およびΖとの類似を顕著にしている。 

　※(注５)(φは楕円モジュラー関数であって,これは超幾何微分方程式ω(ω－1)ｕ"＋(2ω－1)ｕ'＋ｕ/4＝ 0 (ただしｕ'＝ｄｕ/ｄω,ｕ"＝ｄ²ｕ/ｄω²)の解の比の逆関数として得られるフックス関数であり,それの属するフックス群は群(∞,∞,∞)です。

　このことから,上に述べられていること,すなわち,0,1,∞のみに特異点を持つ有理係数の全ての線形微分方程式が,フックス関数φ(ｚ)とゼータフックス関数θ₁(ｚ),θ₂(ｚ),..,θ_n(ｚ)を用いてｘ＝φ(ｚ),ｙ＝ｃ₁θ₁(ｚ)＋ｃ₂θ₂(ｚ)＋,..,＋ｃ_nθ_n(z) (ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_nは任意定数)のような形に積分できることが証明できます。

　これについての詳しい説明は,いずれ後の主論文で与えられます。

　なお,Θ,およびΖはヤコービの記号で,現在の記法ではθ,およびζに相当します。(注５終わり)※

※

　ところで,本文の中で「これらの関数が微分方程式を積分する。」という表現がありますが,これは「これらの関数が微分方程式の解になる。」という意味であると考えられます。 

　これで,ポアンカレ(Poicare')の項の第１章が終わり,以下は本論の第２章へと続きます。

　ここまでを退院前日の４/21(土)PM4:04 に読了し,一応ノルマと課していたフックス関数の理論での序論の部分を全て読んで理解し終えたので,これで満足して病院での読書を全て終わりにし,翌日４/22(日)のAM9:30ごろに無事退院しました。

その後,自宅にてポアンカレの第２章フックス群の理論に入ったのは退院してから１週間以上を経た４/30(月)のことでした。

気紛れな私は,やはり退院してからは入院中のような情熱は失せてしまったようです。

　以後はこの本については数ページしか読み進んでいません。したがって,この続きがブログ記事になるのは,かなり先のことになるかもしれません。※

参考文献：斎藤利弥 著「線形微分方程式とフックス関数I(ポアンカレを読む)」(河合文化教育研究所)

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ポアンカレに関する１つの挿話

コーヒーブレイクとして,フックス関数の研究の際にポアンカレに生じた精神的変化に関する興味深い話題を述べてみようと思います。

既に記したように,ポアンカレは1880年5月にフックスの論文を入手し,それに刺激されてわずか１ヶ月足らずの間にコンクール論文を書き上げました。

しかしその内容はかなり未熟でした。

すなわち,２階線形微分方程式の２つの解ｆ(ｘ),φ(ｘ)の比ｚ＝ｆ(ｘ)/φ(ｘ)の逆関数ｘ(ｚ)がｚ平面全体で１価有理関数となるケースのみを考え,実は理論の中に有理関数と楕円関数は含まれていますが,肝心のフックス関数が含まれていませんでした。

ところが1881年になって投稿された彼の論文を見ると,この時には既にポアンカレはフックス関数の全貌をほぼつかんでいます。

このようなポアンカレの精神の中に起こった劇的な変化を説き明かす１つの興味深い挿話,つまり科学者,数学者としての発見のプロセスにおけるひらめきの瞬間がどのように訪れたのか？ということについての挿話を,彼自身がパリでの講演の中で語ったのですが,これは彼の著書「科学と方法(1908)」の中で読むことができます。

「２週間にわたって私は自分が後にフックス関数と名付けたものと類似の関数は存在しないということを証明しようと努力していた。

その頃私は全く無知だったのである。．．．(中略)．．．．

ある晩,私は習慣に反してブラックコーヒーを飲み,眠ることができなかった。いろいろな考えが群をなして押し寄せてきた。

私はこれらが互いにぶつかり合い,遂にそのうちの二つが互いに引っ掛かり合って,いわば安定な組合わせを作るのを感じた。

朝になったとき,私は超幾何級数から導かれるフックス関数の１つのクラスの存在を証明できた。私はその結果を書き上げるだけでよく。。

次に私はその関数を２つの級数の比として表わそうと思った。

このアイディアは完全に意識的で熟考を経たものであった。楕円関数との類推が私を導いてくれた。私はそのような級数がもし存在すればそれはどんな性質のものでなければならないかを自問し,何の困難もなく,私がテータフックス級数と名付けた級数を作ることができた。

この頃私は．．．．地質調査旅行に加わった。

旅行中の環境が私に数学の仕事を忘れさせた。．．乗合馬車に乗った。その階段に足を掛けたとき,それまでそのことについて心の中に何の準備もしていなかったのに,一つの考えが浮かんできた。

それはフックス関数を定義するのに用いられた変換が非ユークリッド幾何の変換と同一のものだということであった．．．．私はカアンに帰ってから良心をなだめるためにそれをゆっくりと検証した。

次に私はある数論の問題の研究を始めたが．．．．うまくいかないのに嫌気がさして,私は海岸で数日を過ごし全く別のことを考えていた。

ある日,崖に沿って歩いていたとき,一つの考えがいつもと同じような独特の簡潔さ,唐突さ,そして間髪を容れない確実さをもって浮かんできた。それは三元不定値二次形式の数論的変換は非ユークリッド幾何の変換と同じものだということである。

．．．．この二次形式の例は私に超幾何級数に対応するもの以外にもフックス群が存在することを教えてくれた。．．．」

初期の２つの論文に述べられている理論が,どのようにしてポアンカレの頭の中に形を成していったかを,この文章は生々しく伝えてくれています。

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