ベクトルと同値類

　今から40年くらい前になりますが,高校の数学や物理ではじめてベクトルというものを習った際に,２つのベクトルが等しいというのは,その大きさ(長さ)と向きが等しい(平行である)ということと同じである,と教えられ,空間的には離れている２つのものが等しいという概念に違和感をおぼえたものでした。

　しかし,大学の初年級の専門数学での集合論で同値関係,同値類という概念を学んだとき,"これだ!!"という風にビビッと来ました。

　すなわち,大きさと向きが等しいという関係を同値関係としてその１つ１つの同値類をベクトルと呼べばよいのであると考えたのです。

(もちろん,私の発想がオリジナルだなどと主張するものではなく,誰か他人の示唆によるものだったかも知れないし,今となっては記憶も定かではありません。)

　そして通常,明示される有向線分という形の表式の個々のベクトルは,その同値類の代表元の１つを示しているに過ぎないということです。

　では同値関係,同値類とはどういうものでしょうか？

まず,集合Ａがあって,その任意の２つの元ａ,ｂ∈Ａの間にある関係:～があるとき,ａ～ｂと書くことにします。このとき関係:～が次の３つの基準を満たすとき,この関係を同値関係と呼び,ａ～ｂならａとｂは同値であるといいます。

３つの基準は,ａ,ｂ,ｃ∈Ａのとき,"１.反射律:ａ～ａ,２.対称律:ａ～ｂならばｂ～ａ,３.推移律:ａ～ｂ,かつｂ～ｃならばａ～ｃ"です。

そして,集合Ｃ(ａ)をＣ(ａ)≡{ｘ∈Ａ|ｘ～ａ}と定義し,これをａを代表元とする同値類と呼びます。

そして,ａ～ｂなることと,集合としてＣ(ａ)＝Ｃ(ｂ)であるということは全く同一の意味になります。

同じことですが,ａ～ｂでないなら,Ｃ(ａ)∩Ｃ(ｂ)＝φ(空集合)(つまりＣ(ａ)とＣ(ｂ)は互いに素)となります。

もちろん,Ａ＝∪_a∈ＡＣ(ａ)ですから,ＡはＡ＝Σ_a∈ＡＣ(ａ)とＣ(ａ)の直和で書けることになります。

このようにＡをＣ(ａ)の和に分解することを同値類別と呼びます。

こうした定義等については今は参考書探すのが面倒なので記憶に頼って書いているのですが,何分40年近くも昔に習ったことであり,さすがに記憶が曖昧なので誤認識があるやもしれませんが。。。。

そして物理や数学で普通に学ぶ空間のベクトルについて大きさと向きが等しいという関係:～は明らかに同値関係です。

それ故,"２つのベクトルが等しい"というのは,実は同値類という集合として等しいという意味に解釈できる,ということで,私は昔,すっきりとした感覚を持ったことを最近,あるきっかけで思い出しました。

実は量子論でも状態ベクトルというのは係数やその位相が違うものも同じ状態ベクトルであるとみなすという意味で,ある代表元を持った射線(ray)と呼ばれる同値類であることがわかっています。

ベクトル演算の線形性,重ね合わせの原理など,すなわちベクトルは線形空間の元であるとか,線形写像による種々の変換性を持つとかいう代数的性格を無視して,ベクトルが等しいという概念だけに着目すれば自然に同値類,同値関係という感覚に到達するはずです。

当時は,それから,物理学,特に力学の幾何学化,すなわち幾何学の１つとしての定式化を目指し,まずは運動学から着手して１つの空間の位置とベクトルの１対１対応：ユークリッド空間の座標と位置ベクトルの対応から始めたものでした。

ところが,いつのまにやら興味は数学的定式化からより物理的なものへと移行してゆき,結局は中途挫折してしまいました。

アーノルド(V.I.Arnold)の「古典力学の数学的方法」(岩波書店)とか,数学の１分野である"力学系"の存在を知ること等により当時の記憶がよみがえったのはそれからずっと後のことです。

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    物理学

集合の濃度（可算,非可算）

　今日はカントール(Georg Cantor)が創設した集合論において,集合の元(要素)の個数＝濃度(cardinal number)というものが数学にとってどんな意味を持つのかについて若干の考察をしてみたいと思います。

　有限集合の濃度というのはまさに元の個数のことですから実際に数えればそれはわかります。

　一方,集合が無限集合,すなわち元の個数が有限でない集合の場合には,その元の個数＝濃度を決めるには,濃度が既知の集合の元との１対１対応や上への写像の存在などを調べるという方法を取ります。

　もしも,自然数の集合 N＝｛1, 2, 3, 4, ．．．｝と 集合Ａの元との間に全単射の対応がある場合にはＡは可算集合（数えられる集合)である,といわれ,その濃度は （アレフ・ゼロ)で表わされます。

　一方,実数の集合のように数えられない集合のことを非可算集合と言います。ただし（アレフ)という記号はヘブライ語の文字であり,ギリシャ語のα（アルファ＝最初という意味）と同じ意味です。

　無限集合とは不思議なもので,例えば整数の集合Ｚ＝｛．．．-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ．．｝はN を含む集合なのに,その濃度はN と同じなんですね。

　これは数えるときに 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ．．と数えていけば,Nの 1, 2, 3, 4, 5 ．．と1対1の対応ができるからなんです。

　また,正の偶数の集合はＺ に含まれる部分集合なのですが｛ 2, 4, 6, 8, ．．｝は,もちろん｛ 1, 2, 3, 4, ．．｝に対応つけられますから 濃度はN と同じでです。奇数の集合も同じですね。

　だから,は何倍してもだし,それどころか×もまたなんですね。これはたとえば有理数集合Ｑの濃度もであることを意味します。

　これはＱの元を1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4 ,2/3, 3/2, 4/1, ．．というように分母と分子を足した数が同じである順番に数えていってダブルカウントやトリプルカウントした数などを全て間引きすれば数えられる,という意味ですね。

　これの濃度が ×と同じことは自明ですから,上述のことは×＝を意味しています。

　上のことから帰納すると,一般にｎ次元の座標で成分が整数だけから成るもの ( ｋ₁, ｋ₂, ｋ₃, ．．ｋ_n )；ｋ_i∈Ｚの全体も可算無限集合ですから のｎ乗も であるということになります。

　ところが集合Ａの濃度がのとき,そのベキ集合の濃度,つまり集合Ａの空集合φを含む全ての部分集合の個数はより"大きい"のです。

　一般に有限集合Ｐの元の個数をｎとするとその部分集合の個数は各部分集合がＰのｎ個のそれぞれの元についてそれを含むか含まないかの２通りしかないので２ⁿ個であるということになります。

　このことからのアナロジーで,可算無限集合Ａのベキ集合の濃度をも２の乗であるといいます。これとは別により"大きい"濃度が存在するとしたときにの次に"大きい"濃度を₁(アレフ１)と定義します。

　そして以下同様に,₂,₃,．．．etc.をも定義していくするわけです。

　そしてカントールは実際に２の乗がよりも"大きい"ことを証明しましたから,より"大きい"濃度は確かに存在します。

　２の乗がより"大きい"ことを証明したカントールの方法は対角線論法と言われます。これはゲーデル(Gödel)の不完全性定理の証明にも利用され方法ですが,私もこの手法を使った証明を追体験してやってみます。

　Ａのベキ集合の濃度,つまり,べき集合の元の個数は２の乗ですが,これは１と２だけで作った小数 0.121121222112．．の全ての個数と同じであることは明らかですね。

　仮に,こうした小数の総個数がであるとすると,これらを1から順番に並べることが可能です。

　そこでこうした小数から次のような小数を１つ作ります。小数第１位は１番目の小数の第１位が１だったら２に,２だったら１にします。小数第２位は２番目の小数の第２位が１だったら２に２だったら１にします。

　これを繰り返して"最後までいく"ことができるとするとそのときできた小数は並べてある全ての小数と異なりますから,これは１と２だけで作ったすべての小数が順番に並べられるという仮定と矛盾します。そこで２の乗がより大きいことが証明された。ということなんですね。

　でも,なんだかいかがわしいですね。私は未だに受け入れられないという気分も少しあります。"最後までいく"というあたりですね。

　まあ,ともかく証明はできました。そして閉区間[ 0 ,1]の間の全ての小数は,２進法で0 と１の２つの数の小数だけで表わすことが可能ですから,結局上の証明で小数を構成していた１と２を 0 と１ に変えるだけで閉区間[ 0 ,1]に属する全ての実数の濃度も２の乗に等しいということができます。

　そして,関数 ｙ＝ｔａｎ（πｘ/2 ）,ｘ＝(2/π）arcｔａｎ（ｙ）,（ｘ ∈[ 0 ,1], y∈ (－∞, ∞)) でのｘとｙの対応関係によって,全ての実数の集合Rは閉区間[ 0 ,1] と全単射の対応をつけることが可能です。

　そこで,実数全体Rの濃度も２の乗であり,しかも先にのときに述べたように,Rで作ったｎ次元の座標もRと同じ濃度ですから,ｎ次元ユークリッド空間Ｒ^ｎの濃度も２の乗ですね。

　２の乗はデデキント(Dedekind)が切断という有理数の集合である,として定義した連続な実数＝実数連続体の濃度ですから連続無限個,あるいは連続濃度と呼ぶこともあります。

　そして,の次の濃度の₁についても２の₁乗は₁より"大きい"はずなのでこの論法を繰り返し適用していくことにより,濃度には上に限りがない。ということもできます。

　これらをどのように数学の諸分野に適用するかについては,いろいろと考えることができます。

　まず,ヒルベルト(Hilbert)が問題として呈示した仮説である「連続体仮設(連続体仮説)＝と２の乗の間には濃度は存在しない。つまり２の乗こそがのすぐ次の濃度₁である。」という命題については,コーエン（Cohen）とゲーデルによって「現在の公理系からは証明することが不可能である。」と否定的に解決されています。

　そこで,公理論的集合論＝ＺＦ集合論（Zeｒmelo-Fraenkel）を構成する際に,これを公理として採用するかどうかで数学そのものが変わってしまうということがあります。

　幾何学の第５公準＝平行線公理を採用するかどうかでユークリッド幾何学になるかそうでないか,というようなものである,という意味ですね。

　しかし,まあ,一般的な話としては「ルベーグ測度＝長さ,面積・・・」を考える際には濃度が可算か非可算かで大きな差があります。

　例えば閉区間[ 0 , 1]の長さは１ですが有理数＝有理点の個数は可算,つまり個なので長さはゼロです。したがって,連続無限個２の乗個の無理数＝無理点のみの長さは差し引き１ですね。

　これの証明は各有理点の長さはどんな小さな正の数εよりも短いのでそれらを全部（つまり個＝可算個）加えてもε＋ε/2＋ε/2²＋ε/2³＋・・・＝2εよりも短いので合計でゼロである,ということでなされます。

　つまり,無限小を可算個集めても無限小のままですが,非可算個集めると有限な大きさになることもある,というわけですね。面積や体積でも同じような話ができます。

  その他にはコンピュータはどうしてもアナログでなくディジタルであるということですが,コンピュータの２進桁数をいくら増やしても,現実的にはチューリングマシンであること,つまり,連続的な実数の演算をしているように見えても,それは仮想であってやはり高々可算個の離散的な演算で近似しているだけで,そこには大きな違いがあるだろうということとか。。。

　また,集合論と同じく数学の無矛盾性と関わるゲーデルの完全性定理や不完全性定理に関するものもあります。

　これは数理論理学や,数学基礎論の話ですね。証明)の回数が可算個＝個であるようなツリー構造についてしか記号論理学は論及できないとかいうのもあったと思います

　,まあ,ゲーデルの証明が対角線論法によるものですからね。これらは証明論の話です。

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一筆書き（トポロジー入門）

　今日は,また,頭の体操です。

　昔,ケーニヒベルクの橋(Königsberg bridge＝seven bridge)という数学の問題がありました。

　「大きな河が流れていて,その中に中州のような島が一つあり,そこから少し下流で２本の河に枝分かれして,その間は陸地になっている。

　その島には両岸から２つずつと,枝分かれした２本の河の間の陸地から１つの合計５つの橋がかかっており,分かれた２本の河にもそれぞれ陸地と岸との間に1つずつ橋があって,合計７つの橋がかかっている。

　この７つの橋をちょうど一回ずつわたる道筋があるのかどうだろうか？」という問題でした。(下図)

　　　　　　　　　　　

　これはスイスのオイラー(Euler)によってはじめて解かれた問題で,これがトポロジー(位相幾何学)という幾何学の始まりであるとされています。

　まあ,「平たく言えばある図形について一筆書きができるかどうか？」という問題です。

　一般に連結した図形,つまりどこかで必ず線でつながっていてところどころ交差した頂点になっているような図形についてのこうした問題はオイラーによって既に結論が出されています。

　こうした図形のどの頂点にも必ず,それにつながった線が何本かあるわけですが,対象としている図形が一筆書きできるものなら,着目した頂点がもし出発点でも終点でもない場合,それに"つながっている線＝連結線"の数は必ず偶数になります。こうした頂点を偶頂点と呼びます。

　というのは,一筆書きの途中の頂点では必ず,入ってくる線と出て行く線とがあって,それぞれ１回ずつしか通れないわけですから,それらは同じ本数だけなければならないので,その頂点につながっている連結線の合計本数は偶数になるしかないわけです。

　しかし,出発点と終点では,それらがもしも同じ頂点でないなら,必ず入ってくる線か出て行く線かのどちらかが他方より１本多いわけですから,その頂点につながっている連結線の合計本数は奇数になります。これは奇頂点です。

　そこで,出発点とか終点であるような頂点は２つあるか,またはそれらが一致する場合,つまり１つだけあるかのどちらかです。

　もしも,１つだけしかない場合は,その頂点でも入ってくる線と出て行く線の数は同数ですから,つながっている連結線の本数は偶数となり,このときは連結線の本数が奇数の頂点の数は まったくないことになります。

　というわけで,一筆書きができるかどうかは,「連結線の本数が奇数である頂点＝奇頂点」の個数がゼロであるか,２であるかのいずれかである。ということになります。

　今得られたのは,この条件は一筆書きができるための必要条件であることの証明ですが,これが十分条件であることもほぼ自明です。

　これでケーニヒスベルクの橋の場合は,奇頂点が４つ,偶頂点がゼロなので一筆書きできないということがわかりました。

　これはオイラーがはじめて証明したことです。(下右図はケーニヒスベルクの橋を模式図にしたものです。)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　これから,オイラー数の公式などに始まるトポロジーという幾何学が生まれ,フランスのポアンカレ(Poincare')などによって発展させられてゆきました。

　解決したとかいうニュースもあったと思うのですが,そうなのかどうかはっきりしないポアンカレ予想（Poincare' conjecture）という問題などが有名なトポロジーの問題として残っています。

　ポアンカレ予想とは「単連結な３次元閉多様体は３次元球面に同相である。」というものです。

　多様体というのは通常のわれわれのユークリッド世界の点,曲線,曲面,立体とかいうものを一般次元でかつ非ユークリッドなものに拡張したものの総称です。もちろん,われわれの目に見える形あるものも多様体の一種です。

　同相あるいは同位相というのは,一方から他方へとある連続写像でお互いに完全に1対１で重なって移すことが可能である,という意味で,合同という概念とは異なり,形や大きさにはこだわらないという特殊な幾何学的概念です。

　単連結なとは,言ってみれば穴が開いていないという意味ですね。また閉多様体であるとはいわゆる閉曲面のように閉じているという意味です。

　われわれの世界の球面は３次元空間の中に埋め込まれた２次元球面であり,３次元球面というのは４次元以上の「空間＝多様体」の中に抽象概念として仮想したものです。

　われわれの単連結な２次元閉曲面が普通の２次元球面と同相なのは一見して明らかなことなので,３次元だと何故むずかしいのかは数学の専門家ではないのでよくわかりません。

参考文献:瀬山士郎 著「トポロジー(柔らかい幾何学)」(日本評論社)

PS:「ポアンカレ予想」はロシアの数学者グレゴリー・ペレルマン(Grigory.Y.Perelman)氏によって2003年に提出されていた証明論文が2006年7月に査読を通過した,ということで解決されました。

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