301. 集合・位相

2007年3月10日 (土)

ベクトルと同値類

 今から40年くらい前になりますが,高校の数学や物理で初めてベクトル

というものを習った際,,

 

,「2つのベクトルが等しい,というのは,その大きさ(長さ)と向きが等しい(平行である)ということと同じである。」,

 

 と教えられ,空間的には離れている2つのものが等しいという概念に違和

感をおぼえたものでした。

 

 しかし,大学の初年級の専門数学での集合論で同値関係,同値類

という概念を学んだとき,"これだ!!"という風に

ビビッと来ました。

 

 すなわち,「大きさと向きが等しいという関係」を同値関係として,その1つ1つの同値類をベクトルと呼べばよいのである,

と考えたのです。

 

(もちろん,私の発想がオリジナルだなどと主張するものではなく,誰か他人の示唆によるものだったかも知れないし,今となっては記憶も定かではありません。

 

※:実際オリジナルどころか,誰でも知っている常識でした。※)

 

 そして通常,明示される有向線分という形の表式の個々のベクトルは,

その同値類の代表元の1つを示しているに過ぎないということです。

 

 では同値関係,同値類とはどういうものでしょうか?

 

まず,集合Aがあって,その任意の2つの元a,b∈Aの間にある関係:

~があるとき,a~bと書くことにします。

 

このとき関係:~が次の3つの基準を満たすとき,この関係を同値関係

と呼び,a~bならaとbは同値であるといいます。

 

3つの基準は,

 

 a,b,c∈Aのとき,

1.a~a (反射律),

2.a~bならb~a (対称律),

3.a~b,かつb~cならa~c (推移律)

  

です。

 

そして,集合:C(a)を,

C(a)≡{x∈A|x~a}と定義して,

これをaを代表元とする同値類と呼びます。

 

そして,a~bなることと,集合としてC(a)=C(b)であるということ

は,全く同一の意味になります。

 

同じことですが,a~bでないなら,C(a)∩C(b)=φ(空集合)

(つまりC(a)とC(b)は互いに素)となります。

 

もちろん,A=∪a∈A(a)ですから,AはA=Σa∈A(a)と

(a)の直和で書けることになります。

 

このようにAをC(a)の和に分解することを同値類別と呼びます。

 

こうした定義等については今は参考書探すのが面倒なので記憶に

頼って書いているのですが,何分40年近くも昔に習ったことであり,

さすがに記憶が曖昧なので誤認識があるやもしれませんが。。。。

 

そして物理や数学で普通に学ぶ空間のベクトルについて大きさと向き

が等しいという関係:~は明らかに同値関係です。

 

それ故,"2つのベクトルが等しい"というのは,実は同値類という

集合として等しいという意味に解釈できる,ということで,

 

私は昔,すっきりとした感覚を持ったことを最近,あるきっかけ

で思い出しました。

 

実は量子論でも状態ベクトルというのは係数やその位相が違うものも

同じ状態ベクトルであるとみなすという意味で,ある代表元を持った

射線(ray)と呼ばれる同値類であることがわかっています。

 

ベクトル演算の線形性,重ね合わせの原理など,すなわち,ベクトルは線形空間の元であるとか,線形写像による種々の変換性を持つとかいう代数的性格を無視して,

 

ベクトルが等しいという概念だけに着目すれば,自然に同値類,

同値関係という感覚に到達するはずです。

 

当時は,それから,物理学,特に力学の幾何学化,

 

すなわち,幾何学の1つとしての定式化を目指し,まずは運動学から着手して1つの空間の位置とベクトルの1対1対応:ユークリッド空間の座標

と位置ベクトルの対応から始めたものでした。

 

ところが,いつのまにやら興味は数学的定式化からより物理的なもの

へと移行してゆき,結局は中途挫折してしまいました。

 

アーノルド(V.I.Arnold)著の「古典力学の数学的方法」(岩波書店)とか,

数学の1分野である"力学系"の存在を知ること等により,当時の記憶が

よみがえったのは,それからずっと後のことです。

 

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2006年7月17日 (月)

集合の濃度(可算,非可算)

 今日はカントール(Georg Cantor)が創設した集合論において,集合の元(要素)の個数=濃度(cardinal number)というものが数学にとってどんな意味を持つのかについて若干の考察をしてみたいと思います。

 有限集合の濃度というのはまさに元の個数のことですから実際に数えればそれはわかります。

 一方,集合が無限集合,すなわち元の個数が有限でない集合の場合には,その元の個数=濃度を決めるには,濃度が既知の集合の元との1対1対応や上への写像の存在などを調べるという方法を取ります。

 もしも,自然数の集合 N={1, 2, 3, 4, ...}と 集合Aの元との間に全単射の対応がある場合にはAは可算集合(数えられる集合)である,といわれ,その濃度は \aleph_0(アレフ・ゼロ)で表わされます。

 一方,実数の集合のように数えられない集合のことを非可算集合と言います。ただし\aleph(アレフ)という記号はヘブライ語の文字であり,ギリシャ語のα(アルファ=最初という意味)と同じ意味です。

 無限集合とは不思議なもので,例えば整数の集合Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ..}はN を含む集合なのに,その濃度はN と同じ\aleph_0なんですね。

 これは数えるときに 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ..と数えていけば,Nの 1, 2, 3, 4, 5 ..と1対1の対応ができるからなんです。

 また,正の偶数の集合はZ に含まれる部分集合なのですが{ 2, 4, 6, 8, ..}は,もちろん{ 1, 2, 3, 4, ..}に対応つけられますから 濃度はN と同じで\aleph_0です。奇数の集合も同じですね。

 だから,\aleph_0は何倍しても\aleph_0だし,それどころか\aleph_0×\aleph_0もまた\aleph_0なんですね。これはたとえば有理数集合Qの濃度も\aleph_0であることを意味します。

 これはQの元を1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4 ,2/3, 3/2, 4/1, ..というように分母と分子を足した数が同じである順番に数えていってダブルカウントやトリプルカウントした数などを全て間引きすれば数えられる,という意味ですね。

 これの濃度が \aleph_0×\aleph_0と同じことは自明ですから,上述のことは\aleph_0×\aleph_0\aleph_0を意味しています。

 上のことから帰納すると,一般にn次元の座標で成分が整数だけから成るもの ( k1, k2, k3, ..kn );ki∈Zの全体も可算無限集合ですから\aleph_0 のn乗も \aleph_0であるということになります。

 ところが集合Aの濃度が\aleph_0のとき,そのベキ集合の濃度,つまり集合Aの空集合φを含む全ての部分集合の個数は\aleph_0より"大きい"のです。

 一般に有限集合Pの元の個数をnとするとその部分集合の個数は各部分集合がPのn個のそれぞれの元についてそれを含むか含まないかの2通りしかないので2n個であるということになります。

 このことからのアナロジーで,可算無限集合Aのベキ集合の濃度をも2の\aleph_0乗であるといいます。これとは別に\aleph_0より"大きい"濃度が存在するとしたときに\aleph_0の次に"大きい"濃度を\aleph1(アレフ1)と定義します。

 そして以下同様に,\aleph2,\aleph3,...etc.をも定義していくするわけです。

 そしてカントールは実際に2の\aleph_0乗が\aleph_0よりも"大きい"ことを証明しましたから,\aleph_0より"大きい"濃度は確かに存在します。

 2の\aleph_0乗が\aleph_0より"大きい"ことを証明したカントールの方法は対角線論法と言われます。これはゲーデル(Gödel)の不完全性定理の証明にも利用され方法ですが,私もこの手法を使った証明を追体験してやってみます。

 Aのベキ集合の濃度,つまり,べき集合の元の個数は2の\aleph_0乗ですが,これは1と2だけで作った小数 0.121121222112..の全ての個数と同じであることは明らかですね。

 仮に,こうした小数の総個数が\aleph_0であるとすると,これらを1から順番に並べることが可能です。

 そこでこうした小数から次のような小数を1つ作ります。小数第1位は1番目の小数の第1位が1だったら2に,2だったら1にします。小数第2位は2番目の小数の第2位が1だったら2に2だったら1にします。

 これを繰り返して"最後までいく"ことができるとするとそのときできた小数は並べてある全ての小数と異なりますから,これは1と2だけで作ったすべての小数が順番に並べられるという仮定と矛盾します。そこで2の\aleph_0\aleph_0より大きいことが証明された。ということなんですね。

 でも,なんだかいかがわしいですね。私は未だに受け入れられないという気分も少しあります。"最後までいく"というあたりですね。

 まあ,ともかく証明はできました。そして閉区間[ 0 ,1]の間の全ての小数は,2進法で0 と1の2つの数の小数だけで表わすことが可能ですから,結局上の証明で小数を構成していた1と2を 0 と1 に変えるだけで閉区間[ 0 ,1]に属する全ての実数の濃度も2の\aleph_0乗に等しいということができます。

 そして,関数 y=tan(πx/2 ),x=(2/π)arctan(y),(x ∈[ 0 ,1], y∈ (-∞, ∞)) でのxとyの対応関係によって,全ての実数の集合Rは閉区間[ 0 ,1] と全単射の対応をつけることが可能です。

 そこで,実数全体Rの濃度も2の\aleph_0乗であり,しかも先に\aleph_0のときに述べたように,Rで作ったn次元の座標もRと同じ濃度ですから,n次元ユークリッド空間Rの濃度も2の\aleph_0乗ですね。

 2の\aleph_0乗はデデキント(Dedekind)が切断という有理数の集合である,として定義した連続な実数=実数連続体の濃度ですから連続無限個,あるいは連続濃度と呼ぶこともあります。

 そして,\aleph_0の次の濃度の\aleph1についても2の\aleph1乗は\aleph1より"大きい"はずなのでこの論法を繰り返し適用していくことにより,濃度には上に限りがない。ということもできます。

 これらをどのように数学の諸分野に適用するかについては,いろいろと考えることができます。

 まず,ヒルベルト(Hilbert)が問題として呈示した仮説である「連続体仮設(連続体仮説)=\aleph_02の\aleph_0の間には濃度は存在しない。つまり2の\aleph_0乗こそが\aleph_0のすぐ次の濃度\aleph1である。」という命題については,コーエン(Cohen)とゲーデルによって「現在の公理系からは証明することが不可能である。」と否定的に解決されています。

 そこで,公理論的集合論=ZF集合論(Zermelo-Fraenkel)を構成する際に,これを公理として採用するかどうかで数学そのものが変わってしまうということがあります。

 幾何学の第5公準=平行線公理を採用するかどうかでユークリッド幾何学になるかそうでないか,というようなものである,という意味ですね。

 しかし,まあ,一般的な話としては「ルベーグ測度=長さ,面積・・・」を考える際には濃度が可算か非可算かで大きな差があります。

 例えば閉区間[ 0 , 1]の長さは1ですが有理数=有理点の個数は可算,つまり\aleph_0個なので長さはゼロです。したがって,連続無限個2の\aleph_0個の無理数=無理点のみの長さは差し引き1ですね。

 これの証明は各有理点の長さはどんな小さな正の数εよりも短いのでそれらを全部(つまり\aleph_0個=可算個)加えてもε+ε/2+ε/22+ε/23+・・・=2εよりも短いので合計でゼロである,ということでなされます。

 つまり,無限小を可算個集めても無限小のままですが,非可算個集めると有限な大きさになることもある,というわけですね。

 2次元の面積や3次元の体積でも同じような話ができます。

  その他には,コンピュータはどうしてもアナログでなくディジタルであるということですが,コンピュータの2進桁数をいくら増やしても,現実的にはチューリングマシンであること,

 つまり,連続的な実数の演算をしているように見えても,それは仮想であってやはり高々可算個の離散的な演算で近似しているだけで,そこには大きな違いがあるだろうということとか。。。

 また,集合論と同じく数学の無矛盾性と関わるゲーデルの完全性定理や不完全性定理に関するものもあります。

 これは数理論理学や,数学基礎論の話ですね。証明)の回数が可算個=\aleph_0個であるようなツリー構造についてしか記号論理学は論及できないとかいうのもあったと思います

 ,まあ,ゲーデルの証明が対角線論法によるものですからね。これらは証明論の話です。

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2006年7月15日 (土)

一筆書き(トポロジー入門)

 今日は,また,頭の体操です。

 昔,ケーニヒベルクの橋(Königsberg bridge=seven bridge)という数学の問題がありました。

 「大きな河が流れていて,その中に中州のような島が一つあり,そこから少し下流で2本の河に枝分かれして,その間は陸地になっている。

 その島には両岸から2つずつと,枝分かれした2本の河の間の陸地から1つの合計5つの橋がかかっており,分かれた2本の河にもそれぞれ陸地と岸との間に1つずつ橋があって,合計7つの橋がかかっている。

 この7つの橋をちょうど一回ずつわたる道筋があるのかどうだろうか?」という問題でした。(下図)

           

 これはスイスのオイラー(Euler)によってはじめて解かれた問題で,これがトポロジー(位相幾何学)という幾何学の始まりであるとされています。

 まあ,「平たく言えばある図形について一筆書きができるかどうか?」という問題です。

 一般に連結した図形,つまりどこかで必ず線でつながっていてところどころ交差した頂点になっているような図形についてのこうした問題はオイラーによって既に結論が出されています。

 こうした図形のどの頂点にも必ず,それにつながる線が何本かあるわけですが,対象としている図形が一筆書きできるものなら,着目した頂点が出発点でも終点でもない場合,それに"つながっている線=連結線"の数は必ず偶数になります。

 こうした連結線が偶数の頂点を偶頂点と呼びます。

 なぜなら,一筆書きの途中の頂点では必ず,入ってくる線と出ていく線があって,それぞれ1回ずつしか通れない線ですから,それらは同じ本数だけなければならないため,その頂点につながる連結線の合計本数は偶数になるしかないわけです。

 しかし,出発点と終点では,それらがもしも同じ頂点でないなら,必ず入ってくる線か出て行く線かのどちらかが他方より1本多いわけですから,その頂点につながっている連結線の合計本数は奇数になります。

 これは連結線が奇数の頂点="奇頂点"です。

 そこで,出発点とか終点であるような頂点(奇頂点)は2つあるか? またはそれらが一致する場合,つまり1つだけあるか?のどちらかです。

 もしも,1つだけしかない場合は,その頂点でも入ってくる線と出て行く線の数は同数ですから,つながっている連結線の本数は偶数となり,このときは連結線の本数が奇数の頂点の数は まったくないことになります。

 というわけで,一筆書きができるかどうかは,"図に「連結線の本数が奇数である頂点=奇頂点」の個数がゼロであるか,2であるかのいずれかである。"ということになります。

 今得たのは,この条件が一筆書きができるための必要条件であることの証明ですが,これが十分条件であることもほぼ自明です。

 これでケーニヒスベルクの橋の場合は,奇頂点が4つ,偶頂点がゼロなので一筆書きできないということがわかりました。

 これはオイラーがはじめて証明したことです。(下右図はケーニヒスベルクの橋を模式図にしたものです。)

                         

 これから,オイラー数の公式などに始まるトポロジーという幾何学が生まれ,フランスのポアンカレ(Poincare')などによって発展させられてゆきました。

 解決したとかいうニュースもあったと思うのですが,そうなのかどうかはっきりしないポアンカレ予想(Poincare' conjecture)という問題などが有名なトポロジーの問題として残っています。

 ポアンカレ予想とは「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である。」というものです。

 多様体というのは通常のわれわれのユークリッド世界の点,曲線,曲面,立体とかいうものを一般次元でかつ非ユークリッドなものに拡張したものの総称です。もちろん,われわれの目に見える形あるものも多様体の一種です。

 同相あるいは同位相というのは,一方から他方へとある連続写像でお互いに完全に1対1で重なって移すことが可能である,という意味で,合同という概念とは異なり,形や大きさにはこだわらないという特殊な幾何学的概念です。

 単連結なとは,言ってみれば穴が開いていないという意味ですね。また閉多様体であるとはいわゆる閉曲面のように閉じているという意味です。

 われわれの世界の球面は3次元空間の中に埋め込まれた2次元球面であり,3次元球面というのは4次元以上の「空間=多様体」の中に抽象概念として仮想したものです。

 われわれの単連結な2次元閉曲面が普通の2次元球面と同相なのは一見して明らかなことなので,3次元だと何故むずかしいのかは数学の専門家ではないのでよくわかりません。

参考文献:瀬山士郎 著「トポロジー(柔らかい幾何学)」(日本評論社)

PS:「ポアンカレ予想」はロシアの数学者グレゴリー・ペレルマン(Grigory.Y.Perelman)氏によって2003年に提出されていた証明論文が2006年7月に査読を通過した,ということで解決されました。

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