積分方程式(2)

　積分方程式の続きです。 

前記事のアーベル(Abel)φの積分方程式に続く話題として,リーマン・リウヴィル(Riemann-Liouville)作用素の話をします。

先に与えたアーベルの積分方程式∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ)(ａ＜ｘ＜ｂ)の左辺のｕに対する積分を定数Γ(α)で除したものを,(ａ,ｂ)の上の関数に作用する作用素(operator)と考えこれをＩ_a^αなる記号で表わすことにします。

つまりＩ_a^αｕ(ｘ)≡{1/Γ(α)}∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}(ａ＜ｘ＜ｂ)とします。そして作用素:Ｉ_a^αをリーマン・リウヴィルの積分作用素と呼びます。

これが作用する関数空間としては,取り合えず,区間Ｉの上で可測でＩにおける任意の有界閉部分集合の上で可積分な関数全体であるＬ¹_loc(Ｉ)を採用することにします。

Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)は任意のｃ∈[ａ,ｂ)に対して∫_a^c|ｕ(ｘ)|ｄｘ＜∞なる関数ｕ(ｘ)全体のことです。

例えば,ｕ(ｘ)≡(ｘ－ａ)^λ-1(λ＞0) とするとｕ(ｘ)∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)であってΓ(α)Ｉ_a^αｕ(ｘ)＝∫_a^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^1-α(ｙ－ａ)^1-λ}＝Β(α,λ)(ｘ－ａ)^λ+α-1となります。

Β(ｘ,ｙ)はΒ(ｘ,ｙ)≡∫₀¹{ｔ^x-1(1－ｔ)^y-1}＝Β(ｙ,ｘ)＝Γ(ｘ)Γ(ｙ)/Γ(ｘ＋ｙ)で定義されるオイラー(Euler)のベータ関数です。

なぜなら,積分変数をｙからζ＝(ｙ－ａ)/(ｘ－ａ)に置換すると,ｄζ＝ｄｙ/(ｘ－ａ)でありｙがａ→ｘと動くときζは0→1と動くので,∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝(ｘ－ａ)^λ+α-1∫₀¹ｄζ/{(1－ζ)^αζ^1-α}となるからです。

そして,再びΓ(α)Ｉ_a^αｕ(ｘ)＝Β(α,λ)(ｘ－ａ)^λ+α-1∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)です。

一般に,リーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αは次の命題で与えられる基本性質を持つことがわかります。

[命題１]:α＞0のとき,ｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ]ならＩ_a^αｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)であり,∀α,β＞0に対して,Ｉ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Ｉ_a^α+βｕが成立する。

　以下,これの証明です。

(証明) まず,ｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)なら∀ｃ∈[ａ,ｂ)について∫_a^c|Ｉ_a^αｕ(ｘ)|ｄｘ≦Γ(α)^-1∫_a^cｄｘ∫_a^xｄｙ{|ｕ(ｙ)|/(ｘ－ｙ)^1-α}＝Γ(α)^-1{∫_a^xｄｙ|ｕ(ｙ)|ｄｙ}{∫_a^c(ｘ－ｙ)^α-1ｄｘ≦{αΓ(α)}^-1(ｃ－a)^α∫_a^xｄｙ|ｕ(ｙ)|ｄｙ＜∞より,確かにＩ_a^α^ｕ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)です。

　そして,Ｉ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Γ(α)^-1Γ(β)^-1[∫_a^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)/(ｙ－ｚ)^1-β}]＝Γ(α)^-1Γ(β)^-1[{∫_a^xｕ(ｚ)ｄｚ}{∫_a^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1(ｙ－ｚ)^β－1}]です。

ところが,前にも見たように積分変数をｙからζ＝(ｙ－ｚ)/(ｘ－ｚ)に置換すれば,∫_z^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1(ｙ－ｚ)^β－1}＝(ｘ－ｚ)^(α+β)-1∫₀¹ｄζ(1－ζ)^α-1ζ^β－1＝Β(α,β)(ｘ－ｚ)^(α+β)-1となることがわかります。

ただし,Β(α,β)＝∫₀¹{ｔ^α-1(1－ｔ)^β-1}＝Β(β,α)＝Γ(α)Γ(β)/Γ(α＋β)です。

故にΓ(α)^-1Γ(β)^-1[{∫_a^xｄｚｕ(ｚ)∫_a^xｄｙ(ｘ－ｙ)^α-1(ｙ－ｚ)^β－1}]＝Γ(α)^-1Γ(β)^-1Β(α,β)∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)(ｘ－ｚ)^(α+β)-1}＝Γ(α＋β)^-1∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)/(ｘ－ｚ)^1-(α+β)}＝Ｉ_a^α+βｕとなることがわかります。

以上でＩ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Ｉ_a^α+βｕなる等式の成立が証明されました。(証明終わり)

　上記の[命題１]の結論であるＩ_a^α(Ｉ_a^βｕ)＝Ｉ_a^α+βｕなる性質によって,以下Ｉ_a^α(Ｉ_a^βｕ)を(Ｉ_a^αＩ_a^β)ｕと書き,これを記号的に作用素の積としてＩ_a^αＩ_a^β＝Ｉ_a^α+βと表現することにします。　 

　α＝1のときのリーマン・リウヴィル作用素Ｉ_ａ^α＝Ｉ_a¹は,Ｉ_a¹ｕ＝∫_a^xｕ(ｙ)ｄｙとなります。右辺は単にａを基点とする関数ｕの１回の積分を意味します。

それ故,上の[命題１]の結論Ｉ_a^αＩ_a^β＝Ｉ_a^α+βから,任意の自然数ｎに対して,(Ｉ_a¹)ⁿ ＝Ｉ_aⁿなる式が成立することがわかります。

Γ(ｎ)＝(ｎ－1)!ですから,これはｕのｎ回積分:(Ｉ_a¹)ⁿｕについて,(Ｉ_a¹)ⁿｕ(ｘ)＝{1/(ｎ－1)!}∫_a^xｄｙ{(ｘ－ｙ)^n-1ｕ(ｙ)}の成立を意味します。

しかし,実はｕのｎ回積分が{1/(ｎ－1)!}∫_a^xｄｙ{(ｘ－ｙ)^n-1ｕ(ｙ)}と書けることは,∫_a^x{Ｉ_a¹ｕ(ｙ)}ｄｙ＝∫_a^xｄｙ∫_a^yｕ(ｚ)ｄｚ＝∫_a^xｄｚｕ(ｚ)∫_z^xｄｙ＝∫_a^xｄｚ{ｕ(ｚ)(ｘ－ｚ)}etc.など具体的計算から明らかです。

したがって,リーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αは,αが自然数ｎのときにはｎ回積分を示していることがわかります。

そこで,逆に定義Ｉ_a^αｕ(ｘ)≡{1/Γ(α)}∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}は,αが自然数ｎではなく一般の正の数のときのα回の積分への拡張になっていて,積分Ｉ_a^αｕ(ｘ)はαが一般の正の数である場合のα回積分と呼ぶにふさわしいものであると考えられます。

そして,もちろん(Ｉ_a^1/n)ⁿ＝Ｉ_a¹なる等式も成立しますから,リーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αは分数回積分を表現すると言われることもあるようです。

先のアーベルの積分方程式∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ)(ａ＜ｘ＜ｂ)はｆ(ｘ)/Γ(α)を改めてｆ(ｘ)と書けば{1/Γ(α)}∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ) (ａ＜ｘ＜ｂ)ですが,これをリーマン・リウヴィル積分作用素Ｉ_a^αを用いて表わせばＩ_a^αφ＝ｆ(ａ＜ｘ＜ｂ)と書けます。

そして,前述したアーベルの積分方程式解法は,この方程式:Ｉ_a^αφ＝ｆの両辺にＩ_a^1-αを作用させた後に,それの両辺を微分する方法と解釈されます。　 

実際,作用素の積の性質からＩ_a^1-αＩ_a^α＝Ｉ_a¹(１回の不定積分)が成立します。

一方,微分するという演算を微分作用素Ｄ≡ｄ/ｄｘで表現すると,"微分と積分は互いに逆演算である＝関数の不定積分の微分は元の関数になる。"という微積分学の基本法則から記号的にＤＩ_a¹＝1 です。

それ故,形式的にＩ_a^αφ＝ｆ⇒Ｉ_a¹φ＝Ｉ_a^1-αｆ⇒ φ＝ＤＩ_a^1-α で表わされるアーベルの積分方程式の解法手順が可能になるわけです。

そこで,リーマン・リウヴィル微分作用素Ｄ_a^αというものをＤ_a^αｕ≡ＤＩ_a^1-αｕ＝{1/Γ(1－α)}∫_a^xｄｙ{ｕ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}によって定義すれば,アーベルの積分方程式Ｉ_a^αφ＝ｆの解がφ＝Ｄ_a^αｆになるという意味で,Ｄ_a^αはＩ_a^αの逆作用素(Ｉ_a^α)^-1を与えると解釈されます。

しかし,上記のアーベルの積分方程式を解く手続き,あるいは作用素Ｄ_a^αを作用させるという操作Ｄ_a^αｕが正当化されるためには,Ｄ_a^αが如何なる関数ｕ(ｘ)に対して意味を持つかが問題になります。

そのため,まず∀ｃ∈[ａ,ｂ)に対し[ａ,ｃ)で絶対連続な関数全体から成る関数空間をＡＣ_loc[ａ,ｂ)と書くことにします。

このときラドン・ニコディム(Radon-Nycodim)の定理からｕ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)なることは,"ｖ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)が存在してｕ(ｘ)＝ｕ(ａ)＋∫_a^xｖ(ｙ)ｄｙ(ａ≦ｘ＜ｂ)と書けること"に同値です。

※(註):本ブログ「TOSHIの宇宙」の2007年７/７の過去記事「条件付確率と条件付期待値」を参照します。

「ラドン・ニコディムの定理」というのは「もしも,Φ(Ａ)が"絶対連続:μ(Ｅ)＝0 Ｅ∈Ｍ ⇒Φ(Ａ)＝0 "なら,適当な密度関数f(ｘ)が存在してΦ(Ａ)＝∫_Ａｆ(ｘ)μ(ｄｘ)と表現できる。」というものです。(参照終わり)

ただし,σ-有限な測度空間(Ｘ,Ｍ,μ)でＭはＸの部分集合から成る可測集合族であり,μはその上の測度を意味しています。(註終わり)※

さらに,部分集合ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*をＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*≡{ｕ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)|ｕ(ａ)＝0}で定義します

このとき,次の定理が成立します。

[定理２]:0＜α＜1のとき,アーベル積分方程式Ｉ_a^αφ＝ｆがＬ¹_loc[ａ,ｂ)で可解であるためには,Ｉ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*なることが必要十分である。

そして,条件Ｉ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*の下でアーベル方程式Ｉ_a^αφ＝ｆの解は一意的にφ＝ＤＩ_a^1-αｆと解かれる。

　以下,これの証明です。

(証明)Ｉ_a^αφ＝ｆが解φ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)を持てば∫_a^xφ(ｙ)ｄｙ＝Ｉ_a^1-αｆ(ｘ)となり,左辺はｘ∈[ａ,ｂ)で絶対連続でＩ_a^1-αｆ(ａ)＝0です。それ故,Ｉ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*です。

　逆にＩ_a^1-αｆ∈ＡＣ_loc[ａ,ｂ)_*を仮定すると,φ≡ＤＩ_a^1-αｆが存在してＩ_a^1-αｆ(ｘ)＝∫_a^xφ(ｙ)ｄｙとなります。

　ここで,ｇ≡Ｉ_a^αφと置けば[命題1]によってｇ∈Ｌ¹_loc[ａ,ｂ)でありＩ_a^1-αｇ＝Ｉ_a¹φ(ｘ)＝∫_a^xφ(ｙ)ｄｙです。

　そこで,Ｉ_a^1-αｇ＝Ｉ_a^1-αｆが得られました。

　これの両辺にＩ_a^αを作用させると,∫_a^xｇ(ｙ)ｄｙ＝∫_a^xｆ(ｙ)ｄｙですから,両辺を微分してＬ¹_loc[ａ,ｂ)においてｇ≡ｆを得ます。(証明終わり)

　途中ですが急用を思い出したので今日はここまでにします。

参考文献:上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版)

ＰＳ:脳血管の「もやもや病」というのはアーティストの「徳永英明」さんが罹ったことで有名になったみたいですね。

　そういえば,かなり昔に確か高島兄弟の１人が主演？の弁護士もののドラマのテーマ曲として聴いていたと記憶している「壊れかけのradio」という唄が彼の持ち唄でしたね。

　それをカラオケでよく唄っていた頃は,高音部を唄うと首から上の血管が切れそうにな程に辛いことがよくあったのですが,「もやもや病」と何か関係あるのでしょうか？

　私の方は歌手ではなくカス？ですが。。。

(今なら昔ほど目一杯大声を張り上げずに唄うので,もっとおだやかな喉への力で唄うことができるかもしれませんね。。)

PS2:今日は９月11日ですが「記念日(2006年) 」( 今日は記念日 (2008年)) も風化しつつあるようです。。。

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積分方程式(1)(導入)

　まず,本記事を書くに至った動機として,これまで書いてきた「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式」(1)～(9)のシリーズ記事の中で,特に「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(1）」の内容を抜粋して要約します。

　※(要約):

　ベーテ・サルピーター方程式(Bethe-Salpeter equation),略してＢ-Ｓ.eq.はａ,ｂ２粒子の散乱の４点グリーン関数Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)φ_a^＋(ｙ_a)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞に対し,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＋∫ｄ⁴ｚ_a∫ｄ⁴ｚ_b∫ｄ⁴ｚ_a'∫ｄ⁴ｚ_b'⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ_b)I(ｚ_a,ｚ_b;ｚ_a',ｚ_b')Ｇ(ｚ_a',ｚ_b';ｙ_a,ｙ_b)で与えられる積分方程式です。

　ただし,⊿_F'(ｘ－ｙ)は修正された(真の)伝播関数(２点グリーン関数)で,一般にスカラー場φ(ｘ)に対しては⊿_F'(ｘ－ｙ)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ^＋(ｙ))|0＞で定義されます。ＴはＴ積(時間順序積)です。

また,Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)は,４点グリーン関数Ｇから４つの"粒子外線＝外部伝播関数"を切り離した"相互作用のblob＝(ａ＋ｂ)中間状態"の中から２つの"内線＝伝播関数"を除くだけでは互いに素な２つの部分に分割不可能な固有グラフ,つまり"２粒子既約部分＝(ａ＋ｂ)-既約な積分核"の部分です。

理論は平行移動不変なので,"平行移動の生成子(generators)＝２粒子ａ,ｂの総４元運動量Ｐ^^μ"が存在して,φ_α(ｘ)＝exp(iＰ^ｘ)φ_α(0)exp(－iＰ^ｘ),φ_α^＋(ｘ)＝exp(iＰ^ｘ)φ_α^＋(0)exp(－iＰ^ｘ)(α＝ａ,ｂ),Ｐ^^μ|0＞＝0です。

Ｔ積の性質から,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)はｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,ｘ_a－ｙ_a,ｘ_b－ｙ_b,ｘ_a－ｙ_b,ｘ_b－ｙ_aなる全ての座標の差の関数であることがわかります。これらのうち,独立なものを１次結合で作ります。 

結局,ｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)(η_a,η_bはη_a＋η_b＝1の任意に固定した実定数)で与えられる３つの変数が独立であることがわかります。

そして,Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)もＧと同様ｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)の関数です。

結局,Ｂ-Ｓ.eq.は運動量表示ではＧ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)＋⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ),または[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)＋(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)となります。

これは,記号的にはＫＧ＝1＋IＧと書けます。

しかし,この簡単な等式が実は"時空座標表示＝ｘ-表示"での積分方程式Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＋∫ｄ⁴ｚ_a∫ｄ⁴ｚ_b∫ｄ⁴ｚ_a'∫ｄ⁴ｚ_b'⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ_b)Ｉ(ｚ_a,ｚ_b;ｚ_a',ｚ_b')Ｇ(ｚ_a',ｚ_b';ｙ_a,ｙ_b)を意味しています。(要約終わり)※

量子論の基本方程式は,定常状態ならハミルトニアンをＨとしてエネルギーの固有値方程式:Ｈ|ψ>＝Ｅ|ψ＞で与えられますが,これはｘ表示ではＨは線形微分作用素(演算子),ψはｘの関数(波動関数)ψ(ｘ)となり,Ｈψ＝Ｅψなる形の微分方程式となります。

つまり,ｘ表示の量子論の方程式は,一般にＬを線形微分作用素,λを固有値とするｘの関数φ＝φ(ｘ)に対する線形微分方程式Ｌφ＝λφの形をしています。

そして,通常のＬの逆作用素Ｌ^-1が存在する場合には,微分方程式:Ｌφ＝λφは形式的に解くことができて,φ＝ｆ＋λＬ^-1φなる形の解を得ることができます。 

Ｌが微分作用素なのでＬ^-1は微分の逆演算である積分作用素です。したがって,φ＝ｆ＋λＬ^-1φは積分方程式(integral equation)です。 

結局,線形微分方程式:Ｌφ＝λφの初期値-境界値問題を解くと,常に積分方程式φ＝ｆ＋λＬ^-1φが得られます。逆に,これを微分すると元の微分方程式を得ます。

すなわち,元々は抽象ヒルベルト空間のべクトルに作用する作用素としての形で表現されたＬ|φ>＝λ|φ＞なる固有値方程式を,位置座標表示や運動量表示など種々の表示で表現したとき,これは微分方程式にも積分方程式にも表現できて,両者は等価です。

(微分方程式と積分方程式の表現は互いに逆問題ともいわれます。)

Ｌは系のある対称性変換に対する不変性に関わるネーター(Noether)保存量であって,この変換の生成子に相当します。

これらは一般に現実の時空の対称性である時間,空間の一様性に関わる平行移動変換群の生成子としてのハミルトニアン(エネルギー)と運動量,また,空間の等方性(回転群)に関わる生成子としての角運動量,

そして,内部空間である荷電空間(アイソスピン空間)の回転群の生成子である電荷(アイソスピン)などのように常に観測可能な物理量(obserbavle)に対応しています。

数学という側面で見ると,結局,"量子論というのは表示と表示の間の変換性がその本質であって表示と変換の理論である。"というように結論して,大風呂敷を広げることもできます。

実際,量子論の基礎を学んでいくと,我々は知らず知らずのうちにヒルベルト空間やバナッハ空間など状態空間を与える線形空間のベクトルとそれに作用する線形作用素に関し,固有ベクトルによるスペクトル展開などの拡張されたフーリエ理論や超関数と関わる関数解析という数学の１分野に慣れ親しむようになっています。

そして,状態空間のベクトルのｘ表示では固有値方程式はシュレーディンガー,ディラック,クライン・ゴルドンなどを含む線形偏微分方程式になり,それらの境界値問題を解くのが量子論の主要問題になります。

そして,線形微分方程式を定める線形微分作用素(線形演算子)の超関数的な逆作用素(逆演算子:inverse)をグリーン関数を積分核(kernel)として積分表現をする手法などに慣らされているので,偏微分方程式と等価に見える積分方程式についても,その基礎理論や解法についてわかっているつもりになっていました。

しかし,最近,Ｂ-Ｓ.eq.やその関連の論文を読む中で,単なる計算式のチェックに何日もかかり遅々として進まないのは,実はVorterra型やFredholm型など積分方程式関連の基本的事項について,私自身が本格的に勉強したことがなく理解できてないことがその原因ではないか？と思い当たる節があったので,少しの間,数学に寄り道をして積分方程式を真剣に学ぼうと思ったわけです。

そこで,積ん読で読んだことがないと記憶していますが比較的物理数学に近くて古い記述の,吉田耕作著の岩波全書「積分方程式の解法」を所持していたことを思い出して自分の本棚を探して見ました。

しかし,どうもこれも古本屋に売ってしまったらしく,取り合えず手元にあった上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版)というやや現代数学的色彩の本を参照することにしました。

まず,積分方程式の起源としてアーベル(Abel)が1823～1826年頃に扱ったという積分方程式から見てみます。

これは,∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ) (ａ＜ｘ＜ｂ)という方程式です。これをアーベルの積分方程式,またはアーベル型の積分方程式といいます。

ただし,方程式の対象である未知関数はφ(ｘ)であり,ｆ(ｘ)は予め与えられた既知の関数です。

また,パラメータαは 0＜α＜1を満たすある定数で,一方ａ,ｂは－∞＜ａ＜ｂ≦∞を満たします。

これは,アーベルに従えば次のようにして解けることがわかります。

まず,∫_a^xｄｙ/(ｘ－ｙ)^α∫_a^yｄｚ{φ(ｚ)/(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}と変形します。

左辺でｙとｚの積分順序を交換すれば,∫_a^xｄｚφ(ｚ)∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となります。

さらに,∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}において積分変数をｙからζ＝(ｙ－ｚ)/(ｘ－ｚ)に置換すると,ｄζ＝ｄｙ/(ｘ－ｚ)であり,ｙのｚ→ｘの変動に対してζは0→1と変動します。

結局,具体的計算結果として∫_z^xｄｙ/{(ｘ－ｙ)^α(ｙ－ｚ)^1-α}＝∫₀¹ｄζ/{(1－ζ)^αζ^1-α}＝Β(α,1－α)を得ます。

ここで,Β(ｘ,ｙ)はオイラー(Euler)のベータ関数でΒ(ｘ,ｙ)≡∫₀¹{ｔ^x-1(1－ｔ)^y-1}＝Β(ｙ,ｘ)＝Γ(ｘ)Γ(ｙ)/Γ(ｘ＋ｙ)で定義されます。Γ(ｘ)はオイラーのガンマ関数です。

したがって,元の積分方程式はΒ(α,1－α)∫_a^xｄｚφ(ｚ)＝∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となります。

すなわち,φ(ｘ)＝{Β(α,1－α)}^-1(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}]となって,解φの表式を得ることができます。

ただし,右辺の積分式とその微分が有限に確定するためにはｆ(ｘ)に何らかの条件が必要です。

ｆが十分滑らかな関数なら,部分積分により(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}]＝ｆ(ａ)/(ｘ－ａ)^α＋∫_a^xｄｙ{ｆ'(ｙ)/(ｘ－ｙ)^α}となることが期待されます。ｆ'はｆの導関数(微分係数)です。

以上がアーベルの積分方程式の解法です。 

アーベルにとって,これは次の問題が動機であったらしいです。

すなわち,"ある質点が曲線Ｃに沿って,そのＣ上のある点Ａから定点Ｏまで初速ゼロで重力のみの作用を受けて摩擦なしで滑り降りるときの所要時間Ｔが与えられたとき,この曲線Ｃを決定するにはどうしたらよいか？"という物理学の問題です。

(例えば,曲線Ｃがある角度で傾いた斜面を表わす直線なら,Ｔは高校物理でも習うような斜面を滑り降りる物体が頂上から下に到達する時間だし,また錘を糸の先につけた振り子ならＣは糸の長さＬを半径とする円であって,Ｔは振り子の周期に関係する時間ですね。)

ｙｚ平面(ｚが水平方向,ｙが鉛直高さ方向)の上の曲線Ｃがｚ＝ψ(ｙ)で表わされるとし,点Ａの高さをｘとします。時刻ｔにおいて質量がｍの質点(ｙ(ｔ),ｚ(ｔ))の速度はｖ(ｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ｄｚ/ｄｔ)なので速さはｖ(ｔ)＝{(ｄｙ/ｄｔ)²＋(ｄｚ/ｄｔ)²}^1/2です。

重力加速度をｇとすると,最初の時刻ｔ＝0 ではｙ(ｔ)＝ｘで初速がｖ(ｔ)＝0 なので,この重力による運動でのエネルギーの保存則は(1/2)ｍｖ(ｔ)²＝ｍｇ{ｘ－ｙ(ｔ)}となります。

一方,速度ベクトルは曲線Ｃ:ｚ＝ψ(ｙ)の上ではｖ(ｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ｄｚ/ｄｔ)＝(ｄｙ/ｄｔ,ψ'(ｙ)(ｄｙ/ｄｔ))です。

そこで,ｖ(ｔ)²＝(ｄｙ/ｄｔ)²＋(ｄｚ/ｄｔ)²＝{1＋ψ'(ｙ)²}(ｄｙ/ｄｔ)²によって{1＋ψ'(ｙ)²}(ｄｙ/ｄｔ)²＝2ｇ(ｘ－ｙ)です。

それ故,ｄｙ/ｄｔ＝－{2ｇ(ｘ－ｙ)}^1/2/{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2,またはｄｔ＝－[{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/{2ｇ(ｘ－ｙ)}]^1/2ｄｙです。

そこで,到達すべき終点Ｏの高さをａとすると,Ｔ＝∫_a^xｄｙ[{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/{2ｇ(ｘ－ｙ)}]^1/2と書けます。

この式は,始点Ａを曲線Ｃ上の任意の点と考えて所要時間ＴをＡの高さｘの関数ｆ(ｘ)に書き直し,関数φをφ(ｙ)≡{1＋ψ'(ｙ)²}^1/2/(2ｇ)^1/2と定義すれば∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2＝ｆ(ｘ)になります。

こうして結局,アーベルの積分方程式∫_a^xｄｙ{φ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1-α}＝ｆ(ｘ)のα＝1/2とした特別な場合に当たることがわかります。

故に,これの解はφ(ｘ)＝{Β(1/2,1/2)}^-1(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}＝π(ｄ/ｄｘ)[∫_a^xｄｙ{ｆ(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}]＝πｆ(ａ)/(ｘ－ａ)^1/2＋π∫_a^xｄｙ{ｆ'(ｙ)/(ｘ－ｙ)^1/2}ですね。

ただし,ｙｚ平面上の曲線ｚ＝ψ(ｙ)の表現という形式にこだわるなら,ｚ＝φ(ｙ)＝{Β(1/2,1/2)}^-1(ｄ/ｄｙ)[∫_a^yｄｗ{ｆ(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}＝π(ｄ/ｄｙ)[∫_a^yｄｗ{ｆ(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}＝πｆ(ａ)/(ｙ－ａ)^1/2＋π∫_a^yｄｗ{ｆ'(ｗ)/(ｙ－ｗ)^1/2}と書くべきかも知れません。

物理学では,"時間Ｔ＝ｆ(ｘ)が最小になる曲線Ｃを決定する。"という有名な"最速降下線の問題"があって,設定はアーベルのそれとよく似ていますが,こちらの方は"最小作用の定理"などと同じく変分の問題でラグランジュ方程式を作って解くのと同じような方法で解くことができて,解はサイクロイド(cycloid)曲線になることがわかっています。

ちなみに,極座標での角度がθ＝0 のときの初期高さがＡのサイクロイド曲線はｙｚ平面ではｚ＝Ａ(θ－sinθ),ｙ＝Ａ(1－cosθ)です。

サイクロイド曲線Ｃは,ｚ＝ψ(ｙ)なる表現ではＣ上の各点における勾配がψ'(ｙ)＝ｄｚ/ｄｙ＝(1－cosθ)/sinθを満たしています。

積分方程式の導入(introduction),または考察の動機を述べることが中心の記事ということで今日はここまでにします。

現在Pendingになっているベーテ・サルピーターの方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)関連の話題の続きは積分方程式の話が終わってからにします。

参考文献:上村豊著「積分方程式(逆問題の視点から)」(共立出版),Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation",Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

PS:選挙が終わって民主党大勝の８/31(月)朝の感想です。

　今の,衆議院選挙でのある意味で政権交代が起こりやすく大政党候補者のみに有利な小選挙区に,真逆の,ある意味で投票者の死に票がほとんど生じなくて票が公平に反映されますが小党が乱立当選して議事表決がままならず法案が決まりにくい"大選挙区＝比例代表区"を少し加えたような選挙制で勝ち負けがはっきり決まって,一方的になるというケースを２度続けて見ました。

　しかし,過ぎたるは及ばざるがごとし,いっそのこと元の両方折衷のなつかしい中選挙区だけに戻した方がベターなのじゃないでしょうか？

　もっとも,私の本音は選挙制度を知ったばかりの昔から,その欠点を承知の上で選挙するなら完全な意味での"大選挙区＝比例代表区"だけでいいという思想ですが。。。

　いずれにしろ,水を差すようですが"権力を握ればそれは必ず腐敗する。"(←トロツキーの永久革命論？)ので,長期にならないように交代する,あるいは有権者が交代させることが必要でしょう。

　自民党だって,これほど長期でなければ腐敗とか癒着とかはなかっただろうと思います。

　知事など自治体首長には多選を避けて２期も勤めれば自ら勇退して,次は後進に道を譲るという思想もあるようですが。。。。

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連続(非可算)固有値と可分性

　今日は全く違う論題の記事を書こうと思って準備していたのですが,量子論の状態空間としての無限次元ヒルベルト空間の"可分性＝可算稠密な基底を持つこと"について,どうにも納得できなくて説明を求めておられる方がいるらしいと思われるので何かせかされていると感じて,急遽予定を変更しました。

　どうも「EMANの物理学」談話室の昨年の過去ログ「ヒルベルト空間の次元」で2007年9/7にこうしたことについて証明したという内容のNo.2376のhirotaさんの投稿「非可算和＝可算和」の説明文だけでは納得されず,どうしても具体的な構成による説明を求められておられるような気がしたので,実際に可算個の基底が存在して状態のヒルベルト空間の任意のベクトルがその可算個の基底で展開されるモデル例を作ってみます。

　まず,Ｈを状態ベクトルの空間とします。

　簡単のためにＨは位置座標ｘの関数空間である,つまりＨの任意の"元＝状態ベクトル"はψ(ｘ)なる波動関数(＝＜ｘ|ψ＞)であって,そのノルム|ψ|は|ψ|≡|＜ψ|ψ＞|^1/2＝[∫_－∞^∞ψ^*(ｘ)ψ(ｘ)ｄｘ]^1/2で定義されるとします。

　そして,このノルムが有限,つまり|ψ|＜∞であることが,状態であるため:ψ(ｘ)∈Ｈであるための条件であるとします。

(この条件は波動関数の絶対値の２乗が確率密度に比例し,それゆえノルムの２乗|ψ|²がその状態の総存在確率に比例する量を表わすので当然です。)

この空間では,状態に作用する運動量演算子Ｐは通常の位置表示の微分演算子Ｐ≡－iｈ_c∇で与えられます。

(ｈ_c≡ｈ/(2π);ｈはプランク定数です。)

この表示で固有値方程式Ｐφ_p＝ｐφ_pを満たす関数である平面波φ_p(ｘ)≡(2πｈ_c)^-3/2exp(iｐｘ/ｈ_c)は,実はノルム|φ_p|＝[∫_－∞^∞φ_p^*(ｘ)φ_p(ｘ)ｄｘ]^1/2が有限ではないので,φ_p(ｘ)∈Ｈではなく運動量の連続固有値ｐに対応するφ_p(ｘ)は状態ベクトルではないことになるので,もちろん固有ベクトルではありません。

それ故,この表現に固執すると,この空間では運動量の固有状態は存在不可能であって,そこで"運動量の固有値は存在しない。"とさえ言えることになります。

そこで,こうしたことを解消する手立てとして,今仮に運動量空間の分割の最小単位Δｐが存在すると想定して,運動量ｐ＝(ｐ_x,ｐ_y,ｐ_z)のｐ_x,ｐ_y,ｐ_zのそれぞれの軸上(－∞,∞)の上に,..,－(3/2)Δｐ,－(1/2)Δｐ,(1/2)Δｐ,(3/2)Δｐ,..,(ｋ＋1/2)Δｐ,]..,なる分割点列を取りこれらの分割による空間格子点を作ります。

このとき,ｐ空間の格子点全体の濃度は可算個ですから,これらを順に並べてｐ₁,ｐ₂,ｐ₃,..と番号の添え字を付けることが可能です。

そして,運動量ｐ＝(ｐ_x,ｐ_y,ｐ_z)について各成分がｐ_x∈[ｐ_ix－Δｐ/2,ｐ_ix＋Δｐ/2],ｐ_y∈[ｐ_iy－Δｐ/2,ｐ_iy＋Δｐ/2],かつｐ_z＝∈[ｐ_iz－Δｐ/2,ｐ_iz＋Δｐ/2]を満たすことを,ｐ_i－Δｐ/2≦ｐ≦ｐ_i＋Δｐ/2と書きます。

そして,φ_i(ｘ)≡(Δｐ)^-3/2∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2exp(iｐｘ/ｈ_c)ｄｐ(ｉ＝1,2,3,..)なる関数を考えます。

これは,"存在確率＝波動関数の絶対値の２乗"という意味で,ｐ_iを中心とする１辺がΔｐの微小立方体の形でｐ_iの周りに集中した平面波φ_p(ｘ)≡(2πｈ_c)^-3/2exp(iｐｘ/ｈ_c)の重ね合わせで構成され,規格化されてノルムが１のベクトルばかりから成る可算濃度の集合{φ_i(ｘ)}を用意します。

そして,このときＰφ_i(ｘ)＝－iｈ_c∇φ_i(ｘ)＝(Δｐ)^-3/2∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2ｐexp(iｐｘ/ｈ_c)ｄｐよりｐ_i－Δｐ/2≦＜φ_i|Ｐ|φ_i＞≦ｐ_i＋Δｐ/2ですから,期待値の意味で近似的にＰφ_i(ｘ) ～ ｐ_iφ_i(ｘ)であり,かつφ_i(ｘ)∈Ｈです。

したがって,連続的でそれ故非可算個の任意の運動量値ｐに対し,それがｐ_i－Δｐ/2≦ｐ≦ｐ_i＋Δｐ/2を満足するような唯一のｐ_iを採れば,ｐ_iが運動量演算子Ｐ＝－iｈ_c∇の近似的な固有値となるような近似的固有ベクトルφ_i(ｘ)が存在します。

そして,全ての近似的固有ベクトルの集合{φ_i(ｘ)}の濃度は,可算個になります。

さらに,この可算ベクトル系は規格化直交性＜φ_i|φ_j＞＝∫_－∞^∞φ_i^*(ｘ)φ_j(ｘ)ｄｘ＝δ_ij (ｉ,ｊ＝1,2,3,．．)を満足します。

Ｈの任意の規格化された状態ベクトルをψ(ｘ)とします。

これは,一般にψ(ｘ)＝(2πｈ_c)^-3/2∫_－∞^∞ｆ(ｐ)exp(iｐｘ/ｈ_c)ｄｐで与えられ,|ψ|＝[∫_－∞^∞ψ^*(ｘ)ψ(ｘ)ｄｘ]^1/2＝[∫_－∞^∞|ｆ(ｐ)|²ｄｐ]^1/2＝1を満たす波束です。

ψ(ｘ)がφ_i(ｘ)によって,ψ(ｘ)＝Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)と級数展開可能であると仮定すると,＜φ_k|ψ＞＝∫_－∞^∞φ_k^*(ｘ)ψ(ｘ)ｄｘ＝Σ_j=1^∞ｃ_i＜φ_k|φ_i＞＝ｃ_kによって係数はｃ_k＝＜φ_k|ψ＞となることが必要です。

そこで,逆に係数をｃ_i≡＜φ_i|ψ＞で定義した級数Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)を作り,これとψ(ｘ)との差のノルムの平方を計算すると,|ψ(ｘ)－Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)|²＝|ψ(ｘ)－Σ_i=1^∞＜φ_i|ψ＞φ_i(ｘ)|²＝＜ψ－Σ_i=1^∞＜φ_i|ψ＞φ_i|ψ－Σ_i=1^∞＜φ_i|ψ＞φ_i＞＝＜ψ|ψ＞－Σ_i=1^∞|＜φ_i|ψ＞|²となります。

ところで,＜φ_i|ψ＞＝(2πｈ_c)^-3/2(Δｐ)^-3/2∫_－∞^∞ｄｑｆ(ｑ)∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2ｄｐ∫_－∞^∞ｄｘexp{i(ｑ－ｐ)ｘ/ｈ_c}＝(2πｈ_c/Δｐ)^3/2∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2ｆ(ｐ)ｄｐです。

ｐの分割区間には重なりが全くないので,Σ_i=1^∞|＜φ_i|ψ＞|²＝(2πｈ_c/Δｐ)³Σ_i=1^∞∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2|ｆ(ｐ)|²ｄｐと書けます。

したがって|ψ(ｘ)－Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)|²＝＜ψ|ψ＞－Σ_i=1^∞|＜φ_i|ψ＞|²＝∫_－∞^∞|ｆ(ｐ)|²ｄｐ－(2πｈ_c/Δｐ)³Σ_i=1^∞∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2|ｆ(ｐ)|²ｄｐです。

それ故,運動量刻みΔｐをΔｐ＝2πｈ_c＝ｈに等しく取れば,|ψ(ｘ)－Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)|²＝∫_－∞^∞|ｆ(ｐ)|²ｄｐ－Σ_i=1^∞∫_pi－Δp/2^pi＋Δp/2|ｆ(ｐ)|²ｄｐ＝0 となります。

かくして,"ノルム収束＝強収束"の意味でψ(ｘ)＝Σ_i=1^∞ｃ_iφ_i(ｘ)と書くことができて,級数展開可能になります。

ψ(ｘ)はヒルベルト空間Ｈの任意のベクトルでしたから,結局{φ_i(ｘ)}はＨの可算基底となり,これは完全系を張ります。

この記事を書いている最中にも関連したコメントが投稿されました。

それは"清水明氏の量子力学の著書に,今書いたこの記事内容と同様な示唆がある"との内容でしたが,別に上記の話は私というか,私を含む少数のオリジナルというわけではなく,量子論の識者であれば共通の認識ですからその通りでしょう。

ただ,わざわざここまで具体的にモデル化して説明することは,結構珍しいのではないかと思います。

一応,前から書こうと思っていたけれど,面倒臭いと思ってペンディングにしておいた記事が終わり,ちょっとは肩の荷が降りました。

今回は短い計算だし,珍しく参考にした文献は全くナシです。

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無限次元ヒルベルト空間

　ちょっと前にEMANさんのボードで話題になっていて,私のブログ

　でも数人がコメントを寄せて論じ合っている量子論の状態空間

　に関する話題では,私自身に説明が求められているようです。

　しかし私自身がそうした話について.完全にスッキリしていると

　いうわけではないし,かなり本質的な話題なので現時点での認識

　を覚書き程度に書いておきます。 

　量子論では,物理系の状態は,Hilbert(ヒルベルト)空間:Ｈ の,

　ある規格化可能なベクトルとして記述されます。

　そして一般に量子力学では,Ｈ は可分(separable)な空間である

　とされています。

　可分とは,一般に位相空間が与えられているとき,それが可算で稠密

　な部分空間を含むことをいいます。

　例えば,実数集合:Ｒは,可算稠密な部分集合として有理数集合:Ｑを

　含むので距離空間として可分です。

　状態ベクトルの空間が,可分ということは,その空間には高々可算個

　の基底ベクトルが存在して,任意の状態は,必ずそれらの高々可算個

　の重ね合わせ(1次結合)で,いくらでも精密に近似できることを意味

　します。

　これは,事実上,任意のベクトルが可算基底で展開できるという意味

　に取れます。

　一方,2006年８/19の記事;「スペクトル展開と超関数(量子力学) 」

　や,2006年12/14の過去記事:

　「演算子のスペククトル展開の例(空洞光子の量子場）」,

　そして,最近の2007年８/８の「量子力学の基礎(表示の話)(1)」

　で書いたように,

　関数解析の,"Riesz(リース)の表現定理"や,演算子(作用素)の

　"スペクトル展開定理"というものがあります。

　それらは,物理量を表わす演算子の固有ベクトル全体が完全系を

　作っていて,その固有ベクトル全体を直交基底として任意の状態

　ベクトルを展開できるという定理です。

　しかし位置座標や運動量・エネルギーを表示対象の物理量とした

　場合,それらの固有値は一般に連続的な値を取り,基底をなすと見

　える固有ベクトルの個数は一般に可算個ではなく非可算個である

　ということになります。

　しかし,こうした連続固有値に属する"ベクトル"は,固有ベクトル

　とは呼んでいるものの,これらの"線スペクトル"は,

　先に,"物理系の状態はヒルベルト空間Ｈ のある規格化可能な

　ベクトルとして記述されます。"と書いた条件,

　を満足していません。

　これらは,規格化可能ではなく,ノルムとして無限大の大きさを

　持ちますから,Ｈ に属するべクトルでさえないので,物理的状態

　とは云えない,ということになります。 

　そして,2007年５/24の記事:

　「有限な１次元空間に限定された運動量演算子」では,私自身が

　"物理的状態としての境界条件を満たさないような固有ベクトル

　で展開できたとしても,それに何の意味があるのか？"と書いて

　言及しています。

　要するに,

　連続スペクトルによる積分展開形式というのは,必ずしも物理

　的状態による展開ではなく,状態空間が可分なヒルベルト空間

　であるなら,もしも本質的な意味で物理的状態のみで展開しよ

　うとするなら,基底は可算個で十分である,ということになる

　はずです。

　つまり,台のLebesgue測度がゼロの超関数のような存在を認めない

　なら,そもそも位置座標や運動量・エネルギーというような

　"連続固有値を持つ"と見える物理量は,実は,

　"Hilbert空間:Ｈ においては全く固有値を持たない。"

　とさえ云えるわけです。

　EMANさんのボードで,hirotaさんもその証明を書かれておられる

　ように,

　"連続(非可算)固有ベクトルによる積分スペクトル展開が存在する

　ことは,可分であるということと矛盾するものではない。"

　ということがわかっています。

　つまり,任意の状態を示す波は,形式上は"ある点で大きさ無限大

　の確率密度を持つ波,あるいはノルムが無限大の波の積分として

　連続個,非可算個のスペクトルに展開されているように見えます。

　しかし,これらのスペクトルを有限な大きさの波束とし,正しい

　Hilbert空間:Ｈ の物理的ベクトルの集まりとして構成すれば,

　状態は高々可算個の基底ベクトルの和の形で,正しく展開され,

　表現される,と考えられます。

2007年８/12の記事:「真空のゆらぎ,エネルギー」や,

2007年８/14の記事:「プランクの法則と零点エネルギー」

でも書きましたが,

物理的に許されない無限大のノルムの固有基底のようなものが

出現するのは,

無限大の零点エネルギーや,"紫外発散部分＝くりこみ部分"が

存在するのと同じく,そもそも量子論自体の確率波という性格,

あるいは不確定性原理に根本の原因があると考えられます。

そこで,量子論では,それらを注意深く考察することは避けて通

れない問題だと思われます。

場の理論では時空点における物理量の密度演算子は局所的場の

双1次形式で与えられ,それらが局所的な１点での場の積で与え

られる限り超関数としてしか定義できません。

ゆらぎの期待値が無限大になるということは,連続固有値の

１点での固有ベクトルのノルムが無限大になることと無縁

ではありません。

ただ,デルタ関数のように,空間の点の関数として見たとき

１点では無限大ですが,総和すると有限というような性格

を持っています。

(ただし,２乗して積分すると無限大になるので,

Ｌ²-空間のベクトルのノルムというような意味では,

有限ではありませんが。。。)

もっとも,通常の量子力学の状態空間は可分とされていますが,

場の量子論での状態空間(フォック空間)は,そうした連続

スペクトルの物理的状態としての存在をも許していると

いう側面もあるように見えるので,その空間は可分でさえない

と思っています。

　まあ,ここらへんの量子論の本質的問題を考えることで,ときどき

　夢の中でもうなされることがあります。

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    物理学

演算子のスペクトル展開の例(空洞光子の量子場)

　2006年８/19 に「スペクトル展開と超関数(量子力学)」という量子力学の演算子のスペクトル展開に関する記事を書きました。

　これを再掲し,その応用として空洞輻射の光子(photon)を量子化した調和振動子の場としたときの密度演算子ρのスペクトル展開の例をあげてみます。

(※再掲記事開始)

　まず,ある自己共役な線形演算子Ａの固有値は離散的として,それをλ_n(ｎ＝1,2,..)とし,その固有状態のケットベクトルを|λ_n＞とします。

　簡単のため,縮退がないとすると,ｍ≠ｎのとき＜λ_m|Ａ|λ_n＞＝λ_m＜λ_m|λ_n＞＝λ_n＜λ_m|λ_n＞でλ_m≠λ_nより,|λ_m＞と|λ_n＞は直交していて＜λ_m|λ_n＞＝ 0 です。

　一般に離散的固有値のみのときは＜λ_m|λ_n＞＝δ_mnとHilbert空間のベクトルとして直交規格化することができます。

　そして固有状態のベクトル系が完全系であれば,任意の状態のベクトル|ψ＞は|ψ＞＝∑_n|λ_n＞＜λ_n|ψ＞と展開できます。

　特にＡ|ψ＞＝∑_nＡ|λ_n＞＜λ_n|ψ＞＝∑_n|λ_n＞λ_n＜λ_n|ψ＞と書くこともできるので,Ｐ_n≡|λ_n＞＜λ_n|により射影演算子を定義すれば,形式的にＡ＝∑_nλ_nＰ_nと表すことができます。

　これを演算子のスペクトル展開と言います。

　一方,Ａが位置Ｘや運動量Ｐのような連続固有値を持つ場合はどうでしょうか？

　運動量Ｐは閉じ込められたり束縛状態の場合には離散固有値も取りますが,自由粒子では連続固有値しか取りませんね。

　このときのＡの連続固有値をλ,固有ベクトルを|λ＞とするとλ≠λ'なら,やはり＜λ|λ'＞＝0 ですが,この場合は一般に固有ベクトルはノルムが有限でないため,Hilbert空間のベクトルではないので直交規格化することはできません。

　例えば,Ｘ表示では＜Ｘ|Ｘ'＞＝δ(Ｘ－Ｘ')というDiracのデルタ関数という,"関数とはいえないもの＝超関数"という形でしか,直交規格化をうまく表現できません。

　展開の方も,形式的には,|ψ＞＝∫|λ＞＜λ|ψ＞ｄλ,また,Ａ|ψ＞＝∫|λ＞λ＜λ|ψ＞ｄλと書き,

　Ｐ(λ)≡|λ＞＜λ|と定義して,Ａ＝∫λＰ(λ)ｄλと書いて,これを演算子のスペクトル展開である,としてもいいように思えます。

　しかし,Ｐ(λ)＝|λ＞＜λ|なるものを記号的に射影演算子と定義してもこれ自身が"長さ＝ノルム"が有限ではない超関数的な実体でHilbert空間の上の有限な演算子,または物理量という資格がありません。

　Ａ＝∫λＰ(λ)ｄλという形式的展開を表わす右辺の積分もLebesgueやRiemannの意味での積分という通常の定義からはみだしています。

　そこで,Ａの固有値がλとλ＋ｄλの間のＰ(λ)ｄλ＝|λ＞ｄλ＜λ|に相当するものとして,ｄＥ(λ)なるものをスペクトル射影演算子として定義します。

　そして,Stieltjes積分を使って|ψ＞＝∫|ψ＞ｄＥ(λ)と展開し,またＡ＝∫λｄＥ(λ)と書けば,やっと演算子のスペクトル展開になるわけです。

　超関数を気持ち悪いと考えないなら,DiracのオリジナルのＡ＝∫λＰ(λ)ｄλ＝∫|λ＞λ＜λ|ｄλを演算子のスペクトル展開としても別にかまわないと思います。

　いずれの扱いでも積分の定義を拡大解釈することにより,離散的な場合をも含めて機能的に扱うことができます。

(再掲記事終了※)

　さて,ここで量子論の演算子のスペクトル展開の例として単一モード(単一運動量)の空洞輻射の光子の熱励起を個数状態で展開した密度演算子(密度行列)ρ≡Σ_nＰ_n|ｎ＞＜ｎ|を考えてみます。

　統計力学によれば,光子がｎ個励起される確率は,

　Ｐ_n＝exp{－Ｅ_n/(ｋ_BＴ)}/[Σ_n=0^∞exp{－Ｅ_n/(ｋ_BＴ)}]

　で与えられます。

　そして,量子化された場の調和振動子としての単一モードの光子のエネルギーは,Planck定数をｈ,ｈ_c≡ｈ/(2π)とすれば,

　Ｅ_n＝(ｎ＋1/2)ｈ_cω (ｎ＝0,1,2..)で与えられます。

　そこで,Ｕ≡exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}とおけば,

　ｎ個の光子が励起される確率は,Ｐ_n＝Ｕⁿ/Σ₀^∞Ｕⁿ＝(1－Ｕ)Ｕⁿ

＝[1－exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]exp{－ｎｈ_cω/(ｋ_BＴ)} です。

　したがって,密度演算子は,ρ≡ΣＰ_n|ｎ＞＜ｎ|

＝[1－exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]exp{－ｎｈ_cω/(ｋ_BＴ)}|ｎ＞＜ｎ|

と書けます。

　これが量子論の密度演算子ρのスペクトル展開ですが,完全系をなす"エネルギー固有状態＝個数状態"によって,ρのあらゆる行列要素を求めると,

＜ｍ|ρ|ｎ＞＝Ｐ_nδ_mnとなり,行列ρは対角要素しか持ち得ません。

＜ｍ|ρ|ｎ＞は演算子ρのあらゆる情報を網羅しているので,実は密度演算子ρはＰ_nのｎを演算子のｎ^＝ａ^⁺ａ^に変えた式で,

ρ＝Ｐ_a^+a^＝[1－exp{－ｈ_cω/(ｋ_BＴ)}]exp{－ｈ_cω(ａ^⁺ａ^)/(ｋ_BＴ)}

と書くことができます。

これは,個数演算子:ｎ^＝ａ^⁺ａ^(＝Σ_n=0^∞ｎ|ｎ＞＜ｎ|)の固有状態によるスペクトル展開の形で表現された演算子としての,

密度演算子:ρ≡Σ_nＰ_n|ｎ＞＜ｎ|が,

スペクトル展開の逆演算としてｎ^＝ａ^⁺ａ^の関数として直接,陽に書けるようにできる例になっています。

参考文献；Loudon 著(小島忠宣・小島和子 共訳)「光の量子論」(内田老鶴圃)

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    物理学

バナッハ空間における陰関数定理

前記事の逆写像定理(逆関数の存在定理)の系として,陰関数定理(Implicit-function Theorem)も証明しておきましょう。

これは次のような内容です。

"Ｘ,ＹをBanach空間とし,Ｅ⊂(Ｘ×Ｙ)(＝Ｘ,Ｙの直積空間)を,(Ｘ×Ｙ)の開集合とする。

ただし,(ｘ,ｙ)∈⊂(Ｘ×Ｙ)のノルム|(ｘ,ｙ)|は,

|(ｘ,ｙ)|≡|ｘ|＋|ｙ| で定義する。

ｆをＥ→ＸのＣ¹級の写像とする。

ｆ(ａ,ｂ)＝0 を満たすある(ａ,ｂ)∈(Ｘ×Ｙ)において,

ｆの線形かつ連続な微分係数をＡ≡ｆ'(ａ,ｂ)∈Ｌ(Ｘ×Ｙ,Ｘ)

とおく。

そして,Ｊ_xをＪ_x(ｘ)≡(ｘ,0)なるＸ→(Ｘ×Ｙ)の線形写像

と定義するとき,合成線形写像:ＡＪ_xが可逆なら

ｂ∈ＷなるあるＹの開集合Ｗ⊂Ｙが存在して,ｇ(ｂ)＝ａ,

かつ∀ｙ∈Ｗに対してｆ(ｇ(ｙ),ｙ)＝0 が成立するような写像

ｇ:Ｗ→Ｘが存在して,ｇはＣ¹級であり一意的である。"

というものです。

(これをなぜ陰関数定理と呼ぶのかというと,これはｆ(ｘ,ｙ)＝0 なる式から,それと同等な意味を持つ,

ｘ＝ｇ(ｙ)が存在してｆ(ｇ(ｙ),ｙ)＝0 が成立する,という

"陰関数の存在と一意性"を保証するものだからです。) 

まず,準備として次の補題が必要なので証明しておきます。

"Ａ∈Ｌ(Ｘ×Ｙ,Ｘ)でＡＪ_x:Ｘ→Ｘが可逆なら,

Ｂ(ｘ,ｙ)≡(Ａ(ｘ,ｙ),ｙ)で定義されるＢ:(Ｘ×Ｙ)→(Ｘ×Ｙ)

は線形連続写像,

つまりＢ∈Ｌ(Ｘ×Ｙ)であって,これも可逆である。"

というものです。

これの証明をやってみます。

Ｂの線形性はＡの線形性から直線的に得られるので,

これの証明は省略します。

Ｂの"連続性＝有界性"の方の証明ですが,

これは,|Ｂ(ｘ,ｙ)|≡|(Ａ(ｘ,ｙ),ｙ)|≦|Ａ||(ｘ,ｙ)|＋|ｙ|

＝|Ａ|(|ｘ|＋|ｙ|)＋|ｙ|≦(|Ａ|＋1)|(ｘ,ｙ)|より,

確かに成立することがわかります。

よって,Ｂ∈Ｌ(Ｘ×Ｙ)です。

次に,Ｂ(ｘ,ｙ)＝(0,0)ならば,Ａ(ｘ,ｙ)＝0 かつｙ＝0 です。

よって,ＡＪ_xｘ＝0 かつｙ＝0 ですが,仮定によりＡＪ_x:Ｘ→Ｘは可逆なので,これから(ｘ,ｙ)＝(0,0)が得られます。

故に,Ｂは１対１(単射)です。

有限次元なら線形写像では１対１写像(単射)と上への写像(全射)は同義なのですが,無限次元空間なのでそうはいきません。

そこで,Ｂが上への写像であることも証明する必要があります。

(ｚ,ｗ)∈(Ｘ×Ｙ)が任意に与えられたとします。

ｘ≡(ＡＪ_x)^-1(ｚ－Ａ(0,ｗ)),かつｙ≡ｗとすると,

Ｂ(ｘ,ｙ)≡(Ａ(ｘ,ｙ),y)＝(Ａ(ｘ,0)＋Ａ(0,ｙ),ｙ)

＝(ＡＪ_xｘ＋Ａ(0,ｙ),ｙ)＝(ｚ,ｗ)が確かに成立します。

かくして,Ｂは全単射であることがわかりましたから,

逆写像Ｂ^-1が存在します。

次に,Ｂ^-1(ｚ,ｗ)＝((ＡＪ_x)^-1(ｚ－Ａ(0,ｗ)),ｗ)ですから,

|Ｂ^-1(ｚ,ｗ)|≦|(ＡＪ_x)^-1|(|ｚ|＋|Ａ||ｗ|)＋|ｗ|

≦{|(ＡＪ_x)^-1|(|Ａ|＋1)＋1}|(ｚ,ｗ)|により,

Ｂ^-1も"有界＝連続"です。

以上で,Ｂ∈Ｌ(Ｘ×Ｙ)で,Ｂは可逆であることが証明されました。

では,本題の陰関数定理の証明に取り掛かります。

まず,写像Ｆ:Ｅ→(Ｘ×Ｙ)をＦ(ｘ,ｙ)≡(ｆ(ｘ,ｙ),ｙ)

で定義します。

このとき,(ａ,ｂ)∈(Ｘ×Ｙ)におけるＦの微分係数を求めます。

Ｆ(ａ＋ｈ,ｂ＋ｋ)－Ｆ(ａ,ｂ)＝(ｆ(ａ＋ｈ,ｂ＋ｋ)－ｆ(ａ,ｂ),ｋ)

＝(ｆ'(ａ,ｂ)(ｈ,ｋ)＋ｒ(ｈ,ｋ),ｋ)＝(Ａ(ｈ,ｋ),ｋ)＋ｓ(ｈ,ｋ),

ただし,|ｓ(ｈ,ｋ)|/|(ｈ,ｋ)|→ 0 as (ｈ,ｋ)→ (0,0) です。

それ故,Ｂ:(Ｘ×Ｙ)→(Ｘ×Ｙ)をＢ(ｈ,ｋ)≡(Ａ(ｈ,ｋ),ｋ)であるように定めると,Ｂ＝Ｆ'(ａ,ｂ)で上の補題によりＢは可逆です。

結局,Ｆ:Ｅ→(Ｘ×Ｙ)でＢ＝Ｆ'(ａ,ｂ)は可逆であり,

Ｆ(ａ,ｂ)＝(ｆ(ａ,ｂ),ｂ)＝(0,ｂ)です。

そこで,逆写像(逆関数)定理により,開集合Ｕ,Ｖ⊂(Ｘ×Ｙ)が存在して

(ａ,ｂ)∈Ｕ⊂Ｅ,(0,ｂ)∈Ｖで,Ｆ:Ｕ→Ｖが全単射となります。

それ故,逆写像Φ≡Ｆ^-1:Ｖ→Ｕが存在してＶの上でＣ¹級です。

Φ(ｚ,ｗ)＝(ｘ,ｙ)ならＦ(ｘ,ｙ)≡(ｆ(ｘ,ｙ),ｙ)＝(ｚ,ｗ)より,

ｙ＝ｗです。

そこでΦ(ｚ,ｗ)≡(φ(ｚ,ｗ),ｗ)でφ:Ｖ→Ｘを定義すれば,

φもＶの上でＣ¹級です。

そして,Ｆ(ａ,ｂ)＝(0,ｂ)により,Φ(0,ｂ)＝(ａ,ｂ),

すなわちφ(0,ｂ)＝ａです。

また,Ｆ(φ(ｚ,ｗ),ｗ)＝(ｚ,ｗ) for ∀(ｚ,ｗ)∈Ｖ ⇒ (f(φ(ｚ,ｗ),ｗ),ｗ)＝(ｚ,ｗ) for ∀(ｚ,ｗ)∈Ｖです。

Ｖは開集合で,(0,ｂ)∈Ｖですから,ヨε＞0：{(ｚ,ｗ)||ｚ|＋|ｗ－ｂ|＜ε}⊂Ｖが成立します。

このとき,Ｗ≡|ｗ∈Ｙ｜|ｗ－ｂ|＜ε}と定義すると,ＷはＹの開集合で

∀ｗ∈Ｗに対して(0,ｗ)∈Ｖです。

そして(f(φ(0,ｗ),ｗ),ｗ)＝(0,ｗ) for ∀ｗ∈Ｗ,

すなわちf(φ(0,ｗ),ｗ)＝0 for ∀ｗ∈Ｗ ,

つまりｇ(ｗ)≡φ(0,ｗ)とおけばｆ(ｇ(ｗ),ｗ)＝0 for ∀ｗ∈Ｗ

です。

ｇはＷの上でＣ¹級であることが示されました。

次に,ｇの他にｆ(ｇ^*(ｗ),ｗ)＝0 for ∀ｗ∈Ｗなるｇ^*が存在すれば,

Ｆ(ｇ(ｗ),ｗ)＝(ｆ(ｇ(ｗ),ｗ),ｗ)＝(0,ｗ)＝(ｆ(ｇ^*(ｗ),ｗ),ｗ)

＝Ｆ(ｇ^*(ｗ),ｗ)でありＦ:Ｕ→Ｖは全単射ですから,

Ｗの上でｇ(ｗ)＝ｇ^*(ｗ)となります。

以上で証明終わりです。

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    物理学

バナッハ空間における逆写像定理

　今日は解析学の課題として完備なノルム空間であるバナッハ空間(Banach)における"逆写像定理(＝逆関数定理:Inverse-function Theorem)"を証明してみたいと思います。

　まず,逆写像定理という定理の意味ですが,これは次の命題のことです。

"ＸをBanach空間としＥ⊂ＸをＸにおける開集合とする。そして,ｆをＥ→ＸのＣ¹級写像とし,ａ∈Ｅ,ｂ＝ｆ(ａ)とする。

　さらに,線形写像:Ａ≡ｆ'(ａ)は可逆(invertible),つまり,点ａにおけるｆの微分係数Ａ＝ｆ'(ａ)は全単射で逆写像;Ａ^-1を持つ,とする。"

(定理の仮定)

(※もしも,Banach空間ＸがＲⁿであれば,可逆とはｆ'(ａ)のJacobi行列式(Jacobian)がゼロでないことを意味します。※）

　このとき,"ａ∈Ｕ⊂Ｅ,ｂ∈Ｖを満たすＸの開集合:Ｕ,Ｖが存在して,

(1)ｆ:Ｕ→Ｖは全単射 (2)ｆ^-1はＣ¹級写像となる。"(定理の結論)

　というものです。

　これを証明するためには２つの補題:「縮小写像定理(contraction lemma)or 不動点定理」と「平均値の定理」が必要です。

　縮小写像定理(不動点定理)とは,

　"(Ｅ,ｄ)を完備な距離空間(complete metric space)とする。

　ｆがＥ→Ｅの縮小写像である(0＜^ヨＫ＜1:ｄ(ｆ(ｘ),ｆ(ｙ))≦Ｋｄ(ｘ,ｙ) for ∀ｘ,ｙ∈Ｅ)なら,ｆ(ｘ)＝ｘを満たすｘ∈Ｅが存在して一意的である。"

　という定理です。

　この定理の結論での一意的(unique)なｘのことを不動点と言います。

　これの証明は簡単です。

　任意のｘ₀∈Ｅを取り,これを基に,ｘ₁＝ｆ(ｘ₀),ｘ₂＝ｆ(ｘ₁),..,ｘ_n＝ｆ(ｘ_n-1),..と点列{ｘ_n}を逐次的に定義すると,

　ｄ(ｘ₂,ｘ₁)＝ｄ(ｆ(ｘ₁),ｆ(ｘ₀))≦Ｋｄ(ｘ₁,ｘ₀)...より,

　帰納的にｄ(ｘ_n+1,ｘ_n)≦Ｋⁿｄ(ｘ₁,ｘ₀)が成り立うことがわかります。

　そこで,ｍ＞ｎのときにはｄ(ｘ_m,ｘ_n)≦{Ｋⁿ/(1－Ｋ)}ｄ(ｘ₁,ｘ₀)→ 0 as ｍ,ｎ→ ∞ です。

　つまり{ｘ_n}はCauchy列になります。

したがって,(Ｅ,ｄ)の完備性から,∃ｘ∈Ｅ:ｄ(ｘ,ｘ_n)→ 0 です。

ところで,0＜^ヨＫ＜1:ｄ(ｆ(ｘ),ｆ(ｙ))≦Ｋｄ(ｘ,ｙ) for ∀ｘ,ｙ∈Ｅ であり,ｆはＥの上で一様連続なので,

ｎ→ ∞に対してｆ(ｘ_n)→ ｆ(ｘ)となります。

他方,ｄ(ｆ(ｘ_n),ｘ_n)≦Ｋⁿｄ(ｘ₁,ｘ₀)が成立しますから,

ｎ→ ∞の極限では,ｄ(ｆ(ｘ),ｘ)＝0,つまりｆ(ｘ)＝ｘです。

もしも,これ以外に不動点ｘ'があれば,ｄ(ｘ,ｘ')＝ｄ(ｆ(ｘ),ｆ(ｘ'))≦Ｋｄ(ｘ,ｘ')＜ｄ(ｘ,ｘ'),つまりｄ(ｘ,ｘ')＜ｄ(ｘ,ｘ')となって明らかに矛盾です。

よって不動点ｘは一意的です。(証明終わり)

次に平均値の定理ですが,これは,

"ＸをBanach空間,Ｕ⊂ＸをＸにおける開集合,さらに凸集合とする。

そして,ｆをＵにおいてＣ¹級の写像とする。　

(※Banach空間というのは完備な線形ノルム空間です。

ノルム空間の距離空間としての距離ｄは,ノルム(norm)で与えられ,ノルムを|・|で表わすと,ｘとｙの距離はｄ(ｘ,ｙ)＝|ｘ－ｙ|です。※)

このとき,ｘ,ｙ∈Ｕに対しｖ＝ｘ＋ｔ(ｙ－ｘ)(0＜ｔ＜1)が存在して,

|ｆ(ｙ)－ｆ(ｘ)|≦|ｙ－ｘ|sup|ｆ'(ｖ)|が成立する。"

というのが平均値の定理です。

これの証明は,Ｆ(ｔ)≡ｆ(ｘ＋ｔ(ｙ－ｘ))とおけば,Ｆ'(ｔ)＝(ｙ－ｘ)ｆ'(ｘ＋ｔ(ｙ－ｘ))ですが,単純な実数関数の平均値の定理により

|Ｆ(1)－Ｆ(0)|＝|Ｆ'(ｃ)|なる 0＜ｃ＜1 が存在するので完了です。

(つまり実数値関数ｈ(ｔ)≡|Ｆ(ｔ)－Ｆ(0)|に平均値の定理を適用すればいいのですね。)

さて,いよいよ,逆写像定理の証明をします。

(証明) Ａ≡ｆ'(ａ)が可逆なのでＡ^-1が存在しますから,1/λ≡|Ａ^-1|とおきます。

ｆ'はＥの上で連続でＥは開集合なので,ｒ＞0 が存在して,

|ｘ－ａ|≦ｒなら,ｘ∈Ｅ,かつ|Ａ－ｆ'(ｘ)|≦λ/2,

つまり|Ｉ－Ａ^-1ｆ'(ｘ)|≦1/2を満たすようにできます。

(ここで線形写像のノルムも同じノルム記号を使っています。)

次に,|ｙ－ｂ|≦λｒ/2なるｙ∈Ｘを取り固定します。

ｇ_y(ｘ)≡ｘ＋Ａ^-1(ｙ－ｆ(ｘ)とおけば,ｇ_y'(ｘ)＝Ｉ－Ａ^-1ｆ'(ｘ),

よって|ｇ_y'(ｘ)|≦1/2 for ∀ｘ:|ｘ－ａ|≦ｒです。

平均値の定理により,∀ｘ₁,ｘ₂:|ｘ_i－ａ|≦ｒ(ｉ＝1,2)に対して,

|ｇ_y(ｘ₁)－ｇ_y(ｘ₂)|≦(1/2)|ｘ₁－ｘ₂|が成立します。

特に,|ｘ－ａ|≦ｒなら,|ｇ_y(ｘ)－ｇ_y(ａ)|≦ｒ/2,

また|ｇ_y(ａ)－ａ|＝|Ａ^-1(ｙ－ｂ)|≦ｒ/2,

つまり|ｇ_y(ａ)－ａ|≦ｒです。

しかも |ｇ_y(ｘ₁)－ｇ_y(ｘ₂)|≦(1/2)|ｘ₁－ｘ₂|より,ｇ_y(ｘ)はＵ_r(ａ)の閉包の上では縮小写像ですから,

縮小写像定理によって,Ｕ_r(ａ)の閉包の中にｘ^*＝ｇ_y(ｘ^*), or

ｙ＝ｆ(ｘ^*)を満たすｘ^*が一意的に存在します。

上のｙは固定していましたが,これは任意なので,

Ｕ_λr(ｂ)の閉包における任意のｙに対して,Ｕ_r(ａ)の閉包の中に一意的なｘが存在してｙ＝ｆ(ｘ)が成立することが示されました。

そして,ｘ＝ｘ＋Ａ^-1(ｙ－ｆ(ｘ)－Ａ^-1(ｙ－ｆ(ｘ))より,

|ｘ－ａ|≦|ｇ_y(ｘ)－ｇ_y(ａ)|＋|Ａ^-1(ｆ(ｘ)－ｂ)|

≦|Ａ^-1||ｆ(ｘ)－ｂ|＋(1/2)|ｘ－ａ|です。

よって,|ｆ(ｘ)－ｂ|≧(λ/2)|ｘ－ａ|であり,|ｘ－ａ|≧ｒなら

|ｆ(ｘ)－ｂ|≧λｒ/2です。

そこで,ｙ＝ｆ(ｘ)でｙ∈Ｕ_λr(ｂ)ならｘ∈Ｕ_r(ａ)ですから,

"ｙ∈Ｕ_λr(ｂ)⇒ｘ∈Ｕ_r(ａ)"の関係は,ｘの一意性により１対１対応であることがわかります。

ここで,Ｕ≡{ｘ∈Ｕ_r(ａ)｜f(ｘ)∈Ｕ_λr(ｂ)}とおけば,

ｆの連続性からＵは開集合であり,Ｖ≡ｆ(Ｕ)とおくと,

明らかにｆはＵ→Ｖの上への写像になります。

結局,φ:Ｖ→Ｕなるｆの逆写像φ≡ｆ^-1が存在することがわかります。

そこで,Ｖも開集合であることを証明するために,ｙ₀∈Ｖを取ります。

既に示したことから,ｙ₀＝ｆ(ｘ₀)を満たすｘ₀∈Ｕが存在しますが,

Ｕは開集合なので|ｘ－ｘ₀|＜η⇒ｘ∈Ｕなるη＞0 が存在します。

ところが,先に導いた|ｆ(ｘ)－ｂ|≧(λ/2)|ｘ－ａ|と同じく,

|ｘ－ｘ₀|≦(2/λ)|ｆ(ｘ)－ｙ₀|＝(2/λ)|ｙ－ｙ₀|ですから,

|ｙ－ｙ₀|＜λη/2なら|ｘ－ｘ₀|＜ηより,

ｘ∈Ｕ,すなわちｆ(ｘ)∈Ｖ,つまりｙ∈Ｖが成立します。

よってＶも開集合です。

最後に,φ≡ｆ^-1がＶの上でＣ¹級写像であることを示しましょう。

ｘ∈Ｕ_r(ａ)⇒|Ａ－ｆ'(ｘ)|≦λ/2＜λ＝1/|Ａ^-1|から

ｆ'(ｘ)も可逆であることがわかります。

実際,微分係数ｆ'(ｘ)というのは線形写像を意味するのですが,

Ｔを,ＸからＸへの|Ａ－Ｔ|＜λ＝1/|Ａ^-1|を満たす任意の線形写像とすると,|(Ａ－Ｔ)Ａ^-1|≦|Ａ－Ｔ||Ａ^-1|＜1なので,

δ≡|Ａ－Ｔ||Ａ^-1|とおけば 0＜δ＜1であり,

|Σ_k=n^m{(Ａ－Ｔ)Ａ^-1}^k|≦δⁿ/(1－δ)→ 0 となります。

そして,Ｘの完備性により,Ｘの上の線形写像全体から成る線形空間:Ｌ(Ｘ)も完備ですから,極限:Ｗ≡Σ_n=0^∞{(Ａ－Ｔ)Ａ^-1}ⁿが存在してＷ∈Ｌ(Ｘ)となります。

それ故,∀ｙ∈Ｘに対しｘ≡Ａ^-1Ｗｙとすると,

Ｔｘ＝{Ａ－(Ａ－Ｔ)}ｘ＝{Ｉ－(Ａ－Ｔ)Ａ^-1}Ｗｙ

＝Σ_n=0^∞{(Ａ－Ｔ)Ａ^-1}ⁿｙ－Σ_n=1^∞{(Ａ－Ｔ)Ａ^-1}ⁿｙ＝ｙ

となることがわかります。

さらに,Ｔは１対１であることも示せるので,結局Ａが可逆で,かつ

|Ａ－Ｔ|＜λ＝1/|Ａ^-1|なら,Ｔも可逆ということになるからです。 

そこで,Ｂ≡ｆ'(ｘ)^-1とするとＢは有界です。

y,ｙ＋ｋ∈Ｖ,ｘ＝φ(ｙ),ｈ≡φ(ｙ＋ｋ)－φ(ｙ)とおけば,

ｋ＝ｆ(ｘ＋ｈ)－ｆ(ｘ)＝ｆ'(ｘ)ｈ＋ｒ(ｈ)です。

ただし,|ｒ(ｈ)|/|ｈ|→ 0 as |ｈ|→ 0です。

それ故,Ｂｋ＝ｈ＋Ｂｒ(ｈ):φ(ｙ＋ｋ)－φ(ｙ)＝Ｂｋ－Ｂｒ(ｈ)

ですが,λ|ｈ|/2≦|ｋ|なので ,|ｋ|→ 0 なら|ｈ|→ 0 です。

したがって,φ'(y)が存在してφ'(y)＝Ｂ＝ｆ'(φ(ｙ))^-1です。

そして,ｆ'(ｘ)が"連続＝有界"でありφも連続故,合成写像φ'も"連続＝有界"ですから,結局φ≡ｆ^-1はＶの上でＣ¹級写像です。(証明終わり)

※これは大学の物理学科３年のときに数学科の２年の解析学の講義にもぐりこんで取ったノ－トに基づいているので特に種本はありません。

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    物理学

スペクトル展開と超関数（量子力学）

　自分の復習の意味で"量子力学の線形演算子＝物理量"をその固有状態の状態ベクトルで作った射影演算子で展開する方法を考察してみます。

　まず,ある自己共役な線形演算子Ａの固有値が離散的であるとして,それをλ_n (ｎ＝1,2,3,...) とし,その固有状態のケットベクトルを|λ_n ＞とします。

　簡単のため縮退がないとすると ｍ≠ｎのときは＜λ_m| Ａ |λ_n＞＝λ_m＜λ_m |λ_n ＞＝λ_n ＜λ_m |λ_n ＞で,λ_m≠λ_n ですから ,＜λ_m |λ_n＞＝0 であり, |λ_m＞と |λ_n＞は直交します。

　一般に離散的固有値のみのときは,＜λ_m |λ_n ＞＝δ_mnとヒルベルト空間のベクトルとして直交規格化することができます。

　そして固有状態のベクトル系が完全系:∑_n|λ_n＞＜λ_n | ＝1であれば任意の状態のベクトル |ψ＞は |ψ＞＝∑_n|λ_n＞＜λ_n |ψ＞ と展開できます。

　特に, Ａ |ψ＞＝∑_n|λ_n＞λ_n＜λ_n |ψ＞ と書くこともできるので,P_n≡|λ_n＞＜λ_n | で射影演算子を定義すれば, Ａ＝∑_nλ_n P_n と表わすことができます。

　これを演算子のスペクトル展開といいます。

　一方,Ａが位置や運動量Ｐのような連続)固有値の場合はどうでしょうか？

　 運動量Ｐは閉じ込められたり,束縛状態(の場合には離散固有値も取りますが,自由粒子では連続固有値しか取りませんね。

　このときの Ａの連続固有値をλ,固有ベクトルを|λ＞とするとλ≠λ' ならやはり ＜λ |λ' ＞＝0 です。

　しかし,この場合は一般に固有ベクトルはノルムが有限でなく,ヒルベルト空間のベクトルでさえないので,"直交規格化"することはできません。

　例えばＸ表示で は,＜Ｘ | Ｘ'＞＝δ(X－Ｘ' ) という,ディラック(Dirac)のデルタ関数という"関数とはいえないもの＝超関数"でしか"直交規格化"をうまく表現できません。

　展開の方も,形式的には |ψ＞＝∫|λ＞＜λ |ψ＞ｄλ,また Ａ |ψ＞＝∫|λ＞λ＜λ |ψ＞ｄλと書いて,Ｐ (λ)≡|λ＞＜λ| と定義し, Ａ＝∫λP(λ) ｄλ と表現して,これを演算子の"スペクトル展開"である。としてもいいように思えます。

　しかし,Ｐ (λ)≡|λ＞＜λ|なるものを記号的,形式的に射影演算子と定義しても,これ自身が"長さ＝ノルム"が有限でなくて超関数的な実体です。

　ヒルベルト空間の上の有限な演算子,または物理量という資格がありません。

　Ａ＝∫λP(λ) ｄλという形式的な展開を表わす右辺の積分も,ルベーグやリーマンの意味での積分という通常の定義からはみ出してしまいます。

　そこでＡの固有値がλとλ＋ｄλの間のＰ（λ）ｄλ＝|λ＞ｄλ＜λ| に相当するものｄＥ（λ）をスペクトル射影演算子と定義します。

　そして,スティルチェス積分を使って,|ψ＞＝∫|ψ＞ｄＥ（λ）と展開します。

　また,Ａ＝∫λｄＥ（λ）と書けば,やっと意味のある演算子のスペクトル展開になるわけです。

　超関数を気持ち悪いと考えないなら,ディラックのオリジナルのＡ＝∫λP(λ) ｄλ＝∫|λ＞λ＜λ |ｄλを演算子のスペクトル展開としても,私は別にかまわないと思います。

　いずれの扱いでも,積分の定義を拡大解釈することにより,離散的な場合をも含めて機能的に扱うことが可能となります。

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