ネーターの定理と場理論

　古典力学は,一般に一般化座標を時間ｔの関数としてｑ(ｔ)≡{ｑ_s(ｔ)}と表わし,一般化速度をｑ^d(ｔ)≡{ｑ_s^d(ｔ)}≡{ｄｑ_s(ｔ)/ｄｔ}とするとき,それらの関数で表わされるラグランジアンＬ＝Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)によって記述されます。

ここで,例えば流体や弾性体の"各位置における平衡位置からのずれ＝変位"のように,上述の多体系の一般化座標ｑ(ｔ)＝{ｑ_s(ｔ)}の成分ｑ_s(ｔ)での離散的添字ｓ(ｓ＝1,2,..,Ｎ)が３次元空間の位置を示す連続的パラメータｘに置き換えられ,一般化座標がｑ(ｔ)＝{ｑ(ｘ,ｔ)}で表現される場合を考えます。

このとき成分ｑ(ｘ,ｔ)は時刻ｔでの空間位置ｘにおける量,つまり場であると考えられ,これは時間ｔや空間ｘの関数である,という意味でｑ(ｔ)＝{ｑ(ｘ,ｔ)}をφ(ｔ)≡{φ(ｘ,ｔ)}と表記することにします。　

そして,系全体のラグランジアンＬ＝Ｌ(ｔ,φ,φ^d)は添字ｘ＝位置座標の近傍にＬ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))の密度で分布しているとみなします。

すなわち,Ｌ(ｔ,φ,φ^d)≡∫Ｌ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))ｄｘと表現されるとして,Ｌ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))をラグランジアン密度と呼ぶことにするわけです。

この場合,ｘは時刻ｔの関数として変動する粒子の軌道を表わす量ではなく,単に空間の位置座標を示す添字パラメータに過ぎないので,φ^d(ｘ,ｔ)は,ｑ_s^d≡ｄｑ_s(ｔ)/ｄｔと同じく時間微分は添字に無関係なのでφ^d(ｘ,ｔ)≡∂φ^d(ｘ,ｔ)/∂ｔであり偏微分で定義されます。

そして,こうした連続体の場合には多体系の作用積分Ｓ[ｑ]≡∫Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)ｄｔは,Ｓ[φ]≡∫Ｌ(ｔ,φ,φ^d)ｄｔ＝∫Ｌ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))ｄｘｄｔと表現されます。

ここで,特に時空座標(ｘ,ｔ)を相対論的なミンコフスキー空間の４次元座標としての相対論的に共変な表現ｘ^μ≡(ｘ⁰,ｘ)≡(ｃｔ,ｘ) (ｃは光速)に変更すれば,場φ(ｘ,ｔ)はφ(ｘ)と表記されます。

この表現では,ｔとｘはパラメータとして対等とされるのでＬ(ｔ,φ,φ^d)＝∫Ｌ(ｘ,φ(ｘ),∂_μφ(ｘ))ｄｘ,およびＳ[φ]＝∫Ｌ(ｘ,φ(ｘ),∂_μφ(ｘ))ｄ⁴ｘなる表現に変わります。ただし∂_μφ≡∂φ/∂ｘ^μです。

さらに,一般に場φは,弾性体の変位や流体の歪み速度,あるいは電磁場であれば,それらの場は３次元,あるいは４次元のベクトルやテンソルの場であり,また量子論に移行すればスピノルである場合もあります。

そこで,スカラー場である場合も含めて,φ(ｘ)の代わりにφ_i(ｘ)(ｉ＝1,2,..,Ｎ)と書いて,ラグランジアン密度がＬ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ)),作用積分がＳ[φ] ＝∫Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))ｄ⁴ｘとなるように一般化しておきます。

そして,多体系が,ある無限小変換ｔ^*＝ｔ＋ετ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_s(ただしε＞0 は任意の無限小パラメータ)に対して理論的に不変であるというようなネーターの定理の前提としての対称性変換の表現は,連続体の系での場の量に対しては次のように拡張変更されます。

すなわち,時空座標の変換ｘ^μ*＝ｘ^μ＋εη^μ,およびそれと独立な場の変換φ_i^*(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋εｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))があり,結果として,座標の変分δｘ^μ＝εη^μと共に場のリー変分δ_Lφ_i(ｘ)＝εＧ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ)))＝εｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))－η^μ∂_μφ_i(ｘ)があるという条件下で,Ｓ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立する,という形で与えられます。

このことはリー変分としてのラグランジアン密度Ｌの変化分が高々全微分であること,つまり,恒等的にδＬ≡Ｌ(ｘ,φ_i^*(ｘ),∂_μφ_i^*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))＝ε∂_μＸ^μ(φ_j(ｘ),∂_νφ_i(ｘ))なる形に書ける関数Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が存在することを意味します。

実際,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)なる形式であれば,Ｓ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立し,特にε→ 0 ならδＬ→ 0 です。そこで以下では逆に作用積分に対してＳ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立するならδＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)なる形式に書けることを証明します。

[証明]作用積分の任意の積分領域においてＳ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立するなら,φ,およびφ^*の変分に対するＳの停留性δＳ＝0 から得られる,両者のオイラー・ラグランジュ方程式,{∂Ｌ/∂φ_i(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ/∂{∂_μφ_i(ｘ)}]＝0 ,および{∂Ｌ/∂φ_i^*(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ/∂{∂_μφ_i^*(ｘ)}]＝0 は,それぞれφ_i(ｘ),およびφ_i^*(ｘ)に対して同一の方程式になります。

　それ故,ラグランジアン密度Ｌ(ｘ,φ_i,∂_μφ_i),およびＬ(ｘ, φ_i^*,∂_μφ_i^*)は,それぞれφ,およびφ^*について同じ関数形で与えられると思われます。そこで同一の関数記号Ｌで表現していいわけです。

そしてＬ(ｘ,φ_i^*,∂_μφ_i^*)を,φ_i,∂_μφ_iの関数と考えて,これをＬ^*(ｘ,φ_i,∂_μφ_i)と書けば,Ｓ[φ]＝Ｓ[φ^*]ですから,φの変分に対するＳの停留性δＳ＝0 から,{∂Ｌ^*/∂φ_i(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ^*/∂{∂_μφ_i(ｘ)}]＝0 も成立します。

これは当然,{∂Ｌ/∂φ_i(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ/∂{∂_μφ_i(ｘ)}]＝0 なる方程式と関数形としても同一です。

したがって,ｃ(ε)をεに依存する比例係数として,恒等的に(∂Ｌ^*/∂φ_i)－∂_μ{∂Ｌ^*/∂(∂_μφ_i)}＝ｃ(ε)[(∂Ｌ/∂φ_i)－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}] (ただし,ｃ(0)＝１)がφ_i,∂_μφ_i,∂_μ∂_νφ_iの恒等式として成立するはずです。

δＬ＝Ｌ^*－Ｌなので,これも同じオイラー・ラグランジュ方程式を満たしますから,ｆ(φ,∂_μφ)≡Ｌ^*－ｃ(ε)Ｌ＝δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌとおけば,(∂ｆ/∂φ_i)－∂_μ{∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}≡0 は恒等式です。

これは,(∂ｆ/∂φ_i)－(∂/∂φ_j){∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μφ_j)－{∂/∂(∂_νφ_j)}{∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μ∂_νφ_i)≡0 と書けます。

左辺の(∂_μ∂_νφ_i)の係数はゼロでなければならないから,{∂/∂(∂_νφ_j)}{∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}＋{∂/∂(∂_μφ_j)}{∂ｆ/∂(∂_νφ_i)}≡0 です。

したがって一般にｆ(φ,∂_μφ)＝ｇ(φ_k)＋ｈ^μi(φ_k)∂_μφ_j(ｘ)＋Σ_l=2⁴ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2..∂_μlφ_jlと書けるはずです。

ここでｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)は添字ｊ₁,ｊ₂,..,ｊ_lおよびμ₁,μ₂,..,μ_lに関して,それぞれ別々に反対称です。

また,(∂_μφ_i)の係数もゼロなので,∂ｇ(φ_k)/∂φ_i＝0 ,∂ｈ^μi/∂φ_j－∂ｈ^μj/∂φ_i＝0 です。

さらに(∂ｆ/∂φ_i)－(∂/∂φ_j){∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μφ_j)≡0 で(∂ｆ/∂φ_i)から項(∂ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}/∂φ_j)∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2..∂_μlφ_jlが生じ,－(∂/∂φ_j){∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μφ_j)から項－(∂ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}/∂φ_j)∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2..∂_μlφ_jl(∂_μφ_i/∂_μφ_j)がｌ個得られます。

後者はｉ＝ｊの項が前者と相殺します。後者の残りはどれかのｊ_sがｊ,μ_sがμと一致して∂_μsφ_jsが∂_μφ_jに置き換わります。

そして,これらの置換は添字μとｊについて同時になされるため,これら(ｌ－1)個の項の符号は係数の添字の順序をそろえたとき全て同じ符号を取るはずですから,係数がゼロである必要があるので,∂ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)/∂φ_j＝0 (ｌ≧2)です。

以上から,場φ_i,(∂_μφ_i)の汎関数としてはｇ＝定数,そして全てのｉについてｈ^μi(φ_k)＝(∂ｗ^μ(φ_k)/∂φ_j)なるφ_kの関数ｗ^μ(φ_k)が存在します。また,ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)もφ_kに依らない量,すなわち定数です。

結局,ｆ(φ,∂_μφ)＝ｇ＋∂_μ[ｗ^μ(φ_k)＋Σ_l=2⁴ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)φ_j∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2．．∂_μlφ_jl]と書けることがわかりました。

以上から,あるｘの関数Ｗが存在してｆ(φ,∂_μφ)＝∂_μＷ＋ｇと書けます。

ｆ(φ,∂_μφ)＝Ｌ^*－ｃ(ε)Ｌ＝δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌ;ｃ(0)＝１であってε→ 0 ならδＬ→ 0 により,ε→ 0 なら恒等的にｆ→ 0 となるので,これを考慮するとεは無限小でその２次以上は無視できるため,ｆ(φ,∂_μφ)＝ε[∂_μＷ^＋ｇ^]と書いてよいと思われます。

すなわち,δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌ＝ε[∂_μＷ^＋ｇ^]です。ｇ^はｇ^＝∂_μ(ｇ^ｘ^μ/4)と書くこともできるので,δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌ＝ε∂_μ[Ｗ^＋ｇ^ｘ^μ/4]とも書けます。

このとき,Ｓ[φ^*]－Ｓ[φ]＝∫(δＬ)ｄ⁴ｘ＝{ｃ(ε)－1}∫Ｌｄ⁴ｘ＋ε∫ｇ^ｄ⁴ｘですから,これが常にゼロであるためにはｃ(ε)＝1,かつｇ^≡0 が必要です。

これから,δＬ＝ε∂_μＷ^となりますから,Ｗ^を改めてＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)と書けば,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)と書けることになります。

(証明終わり)

他方,単純に変換ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μ,φ_i^*(ｘ^*)＝φ_i(ｘ)＋εＧ_i(φ_j,∂_μφ_i)の下でのリー(Lie)変分としてのラグランジアン密度Ｌの変分はδＬ≡Ｌ(ｘ,φ_i^*(ｘ),∂_μφ_i^*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))＝(∂Ｌ/∂φ_i)εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}ε∂_μＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)－(∂_μＬ)εη^μとなります。

ここでオイラー・ラグランジュ方程式(∂Ｌ/∂φ_i)－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}＝0 によって(∂Ｌ/∂φ_i)を∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}で置き換えるとδＬ＝∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}ε∂_μＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)－(∂_μＬ)εη^μ＝ε∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ]となります。

ただし,時空座標の変換ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μにおけるパラメータη^μは点ｘに依らない定数であるとしています。

そこで,δＬ＝ε∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ]＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_μφ_i)となります。

εは任意の正の数なので,∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ－Ｘ^μ(φ_j,∂_μφ_i)]＝0 が成立します。そこでｊ^μ(ｘ)≡{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ－Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)と置けばこれはカレントｊ^μ(ｘ)の保存∂_μｊ^μ＝0 を意味します。

こう定義されたカレントｊ^μ(ｘ)をネーター・カレント(Noether current)と呼びます。

この保存カレントから,Ｑ≡∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄｘなる量Ｑ＝Ｑ(ｔ)を定義するとｄＱ/ｄｔ＝0 となります。Ｑはカレント密度ｊ(ｘ,t)に対応する保存チャージです。

そして,この保存量Ｑは古典論の物理量としても量子論の演算子としても,この対称性の無限小変換の生成子(generator)になっています。

すなわち,古典論では[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ)),量子論では[ｕ,ｖ]_Ｐ.Ｂ.＝[ｕ,ｖ]/(ｉｈ_c)なる対応原理で,(ｉ/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]＝Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))を満たします。

ここに,[ｕ,ｖ]_P.B.はポアソンの括弧式です。これは多体系では,[ｕ,ｖ]_P.B.≡Σ_s[(∂ｕ/∂ｑ_s)(∂ｖ/∂ｐ_s)－(∂ｕ/∂ｐ_s)(∂ｖ/∂ｑ_s)]と定義されますが,連続体の場の理論では場φ_i(ｘ)の共役運動量をπⁱ(ｘ)＝πⁱ(φ,φ^d)≡∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)として,[ｕ,ｖ]_P.B.≡Σ_i[(∂ｕ/∂φ_i)(∂ｖ/∂πⁱ)－(∂ｕ/∂πⁱ)(∂ｖ/∂φ_i)]と定義されます。

また,[ｕ,ｖ]_Ｐ.Ｂ.＝[ｕ,ｖ]/(ｉｈ_c)なる量子論の演算子としての対応を示す記号[ｕ,ｖ]は,交換子を示します。つまり,[ｕ,ｖ]≡ｕｖ－ｖｕです。

保存チャージＱ＝∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄｘが対称性の無限小変換の生成子になること,すなわち,[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ)),あるいは[Ｑ,φ_i(ｘ)]_P.B.＝－Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))なる関係式を満たすことも以下で証明してみます。

[証明]ラグランジアン密度は時空の一様性に対応して位置座標ｘに陽には依存しないとしてＬ≡Ｌ(φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))と書きます。

　これの一般的形はＴを運動エネルギー密度,Ｖを位置エネルギー(ポテンシャル)密度としてＬ＝Ｔ－Ｖのように表現されるとすれば,一般にＬ＝(1/2)Ａ^ijμν(φ)∂_μφ_i∂_νφ_j＋Ｂ^iμ(φ)∂_μφ_i＋ｃ(φ)なる形で表現できます。

　そして,φ_i^*(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋δφ_iなる無限小変換をδφ_i＝εＧ(φ_j(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))≡ε{Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ(φ)∂_μφ_j}とします。

　このとき,δＬ＝(∂Ｌ/∂φ_i)δφ_j＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}δ(∂_μφ_j)です。また,δ(∂_μφ_j)＝∂_μ(δφ_j)＝ε{(∂Ｄ_i/∂φ_k)∂_μφ_k＋(∂Ｅ_i^jν/∂φ_k)∂_νφ_j∂_μφ_k＋Ｅ_i^lν∂_μ∂_νφ_l}です。

δＬ＝ε{(1/2)(∂Ａ^ijμν/∂φ_k)∂_μφ_i∂_νφ_j＋(∂Ｂ^iμ/∂φ_k)∂_μφ_i＋(∂ｃ/∂φ_k)}{Ｄ_k(φ)＋Ｅ_k^jμlλ(φ)∂_λφ_l}＋ε(Ａ^ijμν∂_νφ_j＋Ｂ^iμ){(∂Ｄ_i/∂φ_k)∂_μφ_k＋(∂Ｅ_i^lλ/∂φ_k)∂_μφ_k∂_λφ_l＋Ｅ_i^lλ∂_μ∂_λφ_l}です。

一方,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)＝ε[(∂Ｘ^μ/∂φ_k)∂_μφ_k＋{∂Ｘ^μ/∂(∂_νφ_k)}∂_μ∂_νφ_k]とも書けます。これらのδＬの表式では両辺は恒等的に等しく,(∂Ｘ^μ/∂φ_k)は∂_νφ_kの２次式,{∂Ｘ^μ/∂(∂_νφ_k)}は∂_λφ_lの１次式です。

したがって,Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)は高々∂_νφ_kの２次式です。

そこで,Ｘ^μはＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)≡(1/2)α^ijμνλ(φ)∂_νφ_i∂_λφ_j＋β^iμν(φ)∂_νφ_i＋γ^μ(φ)なる形に書けます。

それ故,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)＝ε[(1/2)(∂α^ijμνλ/∂φ_k)∂_νφ_i∂_λφ_j＋(∂β^iμν/∂φ_k)∂_νφ_i＋(∂γ^μ/∂φ_k)]∂_μφ_k＋ε(α^ijμνλ∂_λφ_j＋β^iμν)∂_μ∂_νφ_iが得られます。

δＬの２種類の表式が恒等的に等しいことから,Ａ^ijμνＥ_i^lλ∂_νφ_j∂_μ∂_λφ_l＝α^ijμνλ∂_λφ_j∂_μ∂_νφ_i,かつＢ^iμＥ_i^lλ∂_μ∂_λφ_l＝β^iμν∂_μ∂_νφ_iです。

それ故,α^ijμνλ＝Ａ^ljμλＥ_l^iλが成立します。この式の左辺はμ,νについて反対称なので右辺もそうです。そしてまた,β^iμν＝Ｂ^lμＥ_l^iνも成立します。

一方,(1/2)Ａ^ijμν(φ)∂_μφ_i∂_νφ_j＋Ｂ^iμ(φ)∂_μφ_i＋ｃ(φ)より,πⁱ(ｘ)≡πⁱ(φ,φ^d)＝∂Ｌ/∂φ_i^d＝Ａ^ij0ν(φ)∂_νφ_j＋Ｂⁱ⁰(φ)＝Ａ^ij00(φ)φ_j^d＋Ａ^ij0k(φ)∂_kφ_j＋Ｂⁱ⁰(φ)です。

それ故,ｘ⁰＝ｙ⁰の同時刻では[πⁱ(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝Σ_k[(∂πⁱ/∂φ_k)(∂φ_j/∂π^k)－(∂φ_j/∂φ_k)(∂πⁱ/∂π^k)]＝－δⁱ_jδ(ｘ－ｙ),同様に[πⁱ(ｘ),π^j(ｙ)]_P.B.＝[φ_i(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝0 です。

[πⁱ(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝－δⁱ_jδ(ｘ－ｙ)のように右辺にディラック(Dirac)のデルタ関数が現われるのはポアソン括弧式の定義における微分:(∂πⁱ/∂φ_k),(∂φ_j/∂π^k),(∂φ_j/∂φ_k),(∂πⁱ/∂π^k)etc.が,いわゆる汎関数微分であるからです。

したがって,－δⁱ_jδ(ｘ－ｙ)＝[πⁱ(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝[Ａ^ik00φ_k^d(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝Ａ^ik00[φ_k^d(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.Bですから,係数の行列Ａ≡{Ａ^ik00}を考えると,一般にはこれの逆行列Ａ^-1が存在するため[φ_i^d(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B＝－(Ａ^-1)_ijδ(ｘ－ｙ)が得られます。

一方,ネーター・カレントはｊ^μ(ｘ)≡{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)なので,ｊ⁰(ｘ)＝πⁱ(ｘ){Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ∂_μφ_j}－Ｘ⁰となります。ここにＸ⁰＝(1/2)α^ij0νλ(φ)∂_νφ_i∂_λφ_j＋β^i0ν(φ)∂_νφ_i＋γ⁰(φ)です。

　そして,これから具体的に保存量Ｑ＝Ｑ(ｔ)≡∫ｊ⁰(ｘ)ｄｘを構成してポアソン括弧を作ると,[Ｑ,φ_i(ｘ)]_P.B.＝∫ｄｙ[ｊ⁰(ｙ),φ_i(ｘ)]_P.B＝－{Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ∂_μφ_j}－π^lＥ_l^j0(Ａ^-1)_ji＋(1/2)α^kj00λ∂_λφ_j(Ａ^-1)_ki＋(1/2)α^kj0ν0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji＋β^k00(Ａ^-1)_kiとなります。

　ところが,π^lＥ_l^j0(Ａ^-1)_ji＝Ａ^lk0νＥ_l^j0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji＋Ｂ^l0Ｅ_l^j0(Ａ^-1)_jiであり,(1/2)α^kj00λ∂_λφ_j(Ａ^-1)_ki＋(1/2)α^kj0ν0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji＋β^k00(Ａ^-1)_ki＝Ａ^lk0νＥ_l^j0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji＋Ｂ^l0Ｅ_l^j0(Ａ^-1)_jiなので,これらの項は相殺して消えます。

以上から,[Ｑ,φ_i(ｘ)]_P.B.＝－{Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ∂_μφ_j}＝－Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j) が成立することが示されました。

(証明終わり)

ちょっとだけ,量子論に言及すると,(i/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)ですからＵ(ε)≡exp(iεＱ/ｈ_c)なる演算子によるユニタリ変換でＵ(ε)φ_i(ｘ)Ｕ(ε)^-1＝φ_i(ｘ)＋ε(i/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]＝φ_i(ｘ)＋εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)と変換されるいう意味で,量子論でもＱはこのリー群の生成子になるというわけです。

量子論でのより詳細な扱いについては,2007年８/７の記事「場の演算子とLie(リー)群の生成子」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/08/post_01e7.html を参照してください。

なお,本記事は自身が1995年４月に作成したノートを参考にして書きました。

参考文献:九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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