頭の体操；過去の大学入試問題

年末とか年始とかも関係なく毎日のように看護師や介護

ヘルパーの各々1時間程度の訪問サービスを受ける生活

をしています。

,主として足の傷からの感染から敗血症による死を防ぐため,
少しでも体温などに異変を感じたら即入院して抗生物質の

点滴を受けて毒消しの必要があるからです。

　したがって正月とか3連休とか関係なく一応毎日が寝てヨウビ

ですが,体力の衰えの防止の意味のリハビリも兼ねて週2日くらい

は日本橋の作業所に通っています。

　そういう意味では入院せずに自宅にいる限り表面上は以前と

変わらぬ通常の日常生活をしています。(足や様々な老化のため

遠出などして無理はできませんが。。)

ここのところ,とりあえず引っ越し作業が終わって第2段階の部屋

の整理をしています。

　その合間に前のように本格的に科学ブログを書く作業もやっては

いますが遅々として進まず。。。頭の体操でもやってみます。
 

　過去の数学オリンピック問題集の古書を2冊持っていますが,これは

解くのに時間がかかる問題が多く,すぐ後にヒントや答が載っている

のでツイそれらを見てしまったりします。
　
そこで,ネットに問題だけで答が載ってない面白そうな大学入試

問題がないか？と探して適当な問題を１つ見つけました。

以下問題です。

(※)ｘを超えない最大の整数を[ｘ]と書きます。 

ｎを自然数とし,二次方程式 ｘ²－2ｘ－ｎ＝ 0 の正の解をａ_ｎと

します。

Ｓ_j ＝Σ_k=1 ^j [ａ_k] とするとき,Ｓ_n2 を計算してください。(※)

まず,これが今風なのか？昔と比べて「計算せよ」ではなく

「計算してください」と丁寧な「ですます調」になっているの

がやや気になりました。まあ,枝葉末節ですが。。。
 

ここで,[ｘ]というのは,一般にはｘのGauss記号と呼ばれている

ものです。

二次方程式のの根の公式から,すぐにａ_ｎ＝1＋(ｎ＋1)^1/2を得ます。
 

そこで,Ｓ_n2 ＝Σ_k=1 ⁿ²[ ａ_k] ＝ Σ_k=1 ⁿ² {1＋[(ｋ＋1)^1/2]} 

＝ｎ²＋Σ_k=1 ⁿ²[(ｋ＋1)^1/2] ですから,

結局,Σ_k=1 ⁿ²[(ｋ＋1)^1/2] を計算することに帰着します。
 

昔,御茶ノ水などの予備校で教えていた経験から,こういう数列の

問題はもっとわかりやすく書き下すのが解決の早道であると

わかっています。
 

Σ_k=1 ⁿ²[(ｋ＋1)^1/2]

＝[√2]＋[√3]＋[√4]＋[√5]＋[√6]＋..＋[(ｎ²＋1)^1/2]　

です。
 

[√2],[√3]は1であり,[√4],√5],[√6],[7],[√8]は2です。

さらに[√9],√10],[√11],..[√15]は3であり

[√16],√17],[√13],..[√24]は4,です。
 

もう答は見えましたね。
 

1が2個,あり,2は9－4＝5個,3は16＾9＝7個,4は25－16＝9個です。
 

1だけは[√1]が勘定に入ってないので4－3＝3個より1だけ少ない

ですが,それを除けば,個数は平方数の階差である１,3,5,7,9の2番目

以降1,に一致しています。

そうして最後の項は,[(ｎ²＋1)^1/2]＝ｎです。
 

[(ｋ＋1)^1/2]＝ｎとなるｋはｋ＋1＝ｎ², ｎ²＋1,ｎ²＋2,..[(ｎ＋1)² 

の(2ｎ＋1)個で全部ですが,このうち総和にカウントされるのは

常にｋ＋1＝ｎ², ｎ²＋1の2個だけですから和への寄与は2ｎです。

ただし,ｎ＝1のときはｋ＋1＝ｎ²,＋1のみの1個です。
 

　以上から,ｎ≧2なら,

Σ_k=1 ⁿ²[(ｋ＋1)^1/2]＝[√2]＋[√3]＋[√4]＋[√5]＋[√6]＋..＋[(ｎ²＋1)^1/2] 

＝1×2＋{2×5＋3×7＋4×9＋・・・・＋(ｎ－1)(2ｎ－1}}＋2ｎ

つまり, 

＝Σ_k=1 ⁿ²[(ｋ＋1)^1/2]＝[√2]＋[√3]＋[√4]＋[√5]＋[√6]＋..

＋[(ｎ²＋1)^1/2]

＝{1×3＋2×5＋3×7＋4×9＋・・・・＋(ｎ－1)(2ｎ－1)}－1＋2ｎ

です。

与式＝Σ_k=1 ^n-1ｋ(2ｋ＋1) ＋2ｎ－1＝Σ_k=1 ^n-1(2ｋ²＋ｋ) ＋2ｎ－1 

＝ｎ(ｎ―1)(2ｎ－1)/3＋ｎ(ｎ－1)/2＋2ｎ－1 

＝ｎ(ｎ－1)(4ｎ＋1)/6＋2ｎ－1　　です。
 

したがって,Ｓ_n2＝ｎ²＋ｎ(ｎ－1)(4ｎ＋1)/6＋2ｎ－1 

＝(4ｎ³＋3ｎ²＋11ｎ－6)/6

です。
 

さて,検算しｔｒみます。 

ｎ＝2ではＳ₄＝(1＋[√2])＋(1＋[√3])＋(1＋[√4])＋(1＋[√5])＝10

で,(4ｎ³＋3ｎ²＋11ｎ－6)/6＝10,
 

ｎ＝3ではＳ₉＝(1＋[√2])＋(1＋[√3])＋(1＋[√4])＋(1＋[√5]) 

＋(1＋[√6])＋(1＋[√7])＋(1＋[√8])＋(1＋[√9])＋(1＋[√10])

＝27ですが,一方,(4ｎ³＋3ｎ²＋11ｎ－6)/6＝27,となって両者は

確かに合致しています。
 

ｎ＝1のときもＳ₁＝1＋[√2]＝2ですが,

(4ｎ³＋3ｎ²＋11ｎ－6)/6＝2ですから正しいようです。
 

これは2009年の慶応大学の情報工学部の入試問題ということです。

　入試問題の解答本を見れば,答は載っているでしょうが。。。

解法のテクニックははともかく答は合っているでしょう。

ところで,年末か年始に過去のｔV番組のリバイバルで「でんじろう」先生の講義

なの番組を見ましたが。。。

　　お金持ちと貧乏人,有名人とその他大勢というのもそうですが,私とは正反対の

方のようです。

　私も決して実験や観察が大嫌いというわけじゃないですが。。。。

それらは他人にまかせて実験結果のデータや分析を見て,「「なぜそうなるのか？」

の理屈や仕組みを頭で考えることのみに興味があるという性格なので。。

　物理など実証科学じゃなく,て,むしろ純粋数学向きだったのかもしれませｎネ。。。

これらはここでは余談ですが。。
 

　入試問題の難易度は大学の偏差値とは関係なく偏差値が低くても

難問だったりしますが,,。。結局,誰も解けない。。。ということに

なりがちですネ。

ＰＳ:いつ死んでもどうってことなく何の役にも立たない有象無象

のクソジジイを.仕事とはいえ,寄ってたかって命を救って頂いて

います。

　私,痛いとか苦しいということさえ,素直に感情を表現できない

ヒネクレ者なのですが。まだ生きていることに何らかの意味があり

感謝すべきなのでしょうね。。。皆様ありがとうございます。

過去の眼科入院中のExcersize

　ちょっと手抜きで,前に眼科入院時(右眼,左眼手術時)にやった

　算数・数学のExcersizeを振り返って内容を再掲載してみます。

　ただし,これだけでは記事が寂しいので今回２度目の左眼手術

　の当日の朝,よく晴れて帝京大学病院の７階談話室の窓から,

　遠くに富士山が見えたのを撮影しようとした２枚の写真を冒頭

　に載せておきます。

　朝日の中の逆光でしたし,望遠でもないので,後で見ると,富士山

　の姿は不明でしたが,これだけで電池が切れで専用の充電 BOX

　を忘れてきたため,入院中に撮った写真はこれだけです。

　　　　　

　　　　

　さて,本題ですが,まずは昨年2011年５/30入院,５/31右眼手術,

　６/11退院の最初の眼科入院のときの2011年６/13の記事

　「算数の問題」からです。

※以下,再掲内容です。

　退院時,入院記念に看護師さんに置きみやげ？として,

　「お世話になりました。ありがとう,さようなら」という

　短い手紙に加えて「算数の問題」を出題,手渡してきました。

　夜勤などの眠気覚まし,ひまつぶしのツモリですが,そんな暇はなく

　迷惑でしょうから,シカトされ即ゴミ箱行きかも知れませんが。。

　これは,実は2006年３月に,ブログ開始してまもなく書いた記事です。

　(◎ 2006年３/30の記事「算数の問題」参照)

　その後,2006年12月にはヒントも出しました。

　ところが,その後出題した私自身がどのようにして解いたかを失念

　してしまいました。

　かつて,解けたはずなのに,改めて考えても算数の解き方にこだわる

　限り,どうしてもできなかったので,解答はいずrということにして

　取り合えずは,そのままにしていました。

　ところが,その間にも「解答を示してくれ」との要望が幾つかあり,

　再度トライしてみましたが,面目ないことにどうしても解けなくて,

　大きなことを言った手前,謝まってPendingにしていました。

　(◎↑ これはここの@niftyのココログだけでなく,Yahooのミラー

　ブログ「TOSHIの宇宙４」での話も含まれています。)

　しかし,今回,病院生活が余りに暇なので,６/５(日)には朝食後

　から,BSで延長戦になって５時間以上も続いたメジャーリーグの

　アスレチックス対ヤンキースのゲームを見るとはなしに見ながら

　何の邪魔も入らず,ゆっくりじっくり考えていると,昼食後の14時

　頃にあっさりと解けました。

　取り合えず,問題とヒントまでを,再掲します。

　解答部分は,今日夕方,職場から帰宅して後に書きます。

◎(問題): でたらめな形の四角形が１つあるとします。

　その４つの各辺を,それぞれ３等分してその向かい合う点同士を

　直線で結ぶと,やはりでたらめな形の９個の小さい四角形に分割

　されます。

　このとき,真ん中にできた小四角形の面積は元の四角形の面積

　のちょうど,1/９ になることを証明しなさい。

　という問題です。

　そして,2006年12/20には問題再掲してヒントを与えました。。

　（「算数の問題(再掲)　↓)

　◎これに対して,今回はヒントとして対辺の分点同士を結んでできる３つ

　の四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/３になることを示すことがで

　きるという指摘を追加しておきます。

(追伸)：今2007年1月９日～10日の深夜ですが,,kaさんから補助線を明示した

　図を見たいとの希望がありました。

　そこで□ＡＢＣＤと,そのＡＤの３等分点Ｍ,Ｎ,および,ＢＣの３等分点Ｐ,Ｑを

　書いた図を示してみました

要するに,⊿ＭＰＱ＝(1/2)⊿ＭＢＱ,⊿ＭＱＮ＝(1/2)⊿ＭＱＤなので,

□ＭＰＱＮ＝(1/2)□ＭＢＱＤとなります。

別の補助線を引いて,⊿ＭＢＤ＝(2/3)⊿ＡＢＤ,⊿ＤＢＱ＝(2/3)⊿ＤＢＣ

なので□ＭＢＱＤ＝(2/3)□ＡＢＣＤが成立しますから,

□ＭＰＱＮ＝(1/3)□ＡＢＣＤになります。

もちろん,□ＡＢＣＤが台形でないなら,面積が1/３になるのは真ん中の

四角形だけで,両側の四角形は1/３にはなりません。

これがヒントです。◎

さて職場から,帰宅したので,約束通り,解答を示します。

まず,９個の小四角形に下図のようにａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅ,ｆ,ｇ,ｈ,iとラベルを付けます。

同時にこれらは各四角形の面積をも表わす記号とします。

　ここで□ＡＢＣＤの面積をＳとすると,証明すべき結論は,ｅ＝Ｓ/9です。

まず,明らかにａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ です。

そして,ヒントから, ,ｂ＋ｅ＋ｈ＝Ｓ/3,かつｄ＋ｅ＋ｆ＝Ｓ/3 です。

このことから,ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ/3＋ｅと書けることもわかります。

これ以上,これらの式をいくら変形しても何も新しいことは出てきません。

そこで,新しい補助線を引いて考察します。

まず,⊿EＡM＝(1/2)⊿ＥＭＤ,かつ⊿EＡK＝(1/2)⊿EＫBです。

故に,ａ＝⊿ＥAM＋⊿ＥAK＝(1/2)(⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB)です。

いいかえると⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB＝2ａです。

そこで,□ＥＢＣＤ＝Ｓ－3ａです

他方,⊿EDR＝(1/3)⊿DEC,かつ⊿EBP＝(1/3)⊿EBＣ ですから,

⊿ＥＤＲ＋⊿EBＰ＝(1/3)(⊿DEC＋⊿EBＣ)＝(1/3)□ＥＢＣＤ です。

以上から,(ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ)－2ａ＝(1/3)(Ｓ－3ａ) ですから,

ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ＝ａ＋Ｓ/3 が成立します。

対称性から,同様に,

ｆ＋ｉ＋ｂ＋ａ＝ｃ＋Ｓ/3,  ｈ＋ｇ＋ｆ＋ｃ＝ｉ＋Ｓ/3,  ｄ＋ａ＋ｈ＋ｉ＝ｇ＋Ｓ/3

も成り立つはずです。

これら４つの等式の両辺を,全て,それぞれ加えると,

2(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ)＝(ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ)＋4Ｓ/3

となります。

したがって, 2(Ｓ－ｅ)＝(Ｓ/3＋ｅ)＋4Ｓ/3 より,

3ｅ＝Ｓ/3 ですから, ｅ＝Ｓ/9です。

解答は以上で終わりです。 お疲れさま。。

ここまで全部が,2011年記事の再掲内容です。※

次は,今年2012年春の４/23入院,４/24左眼手術,４/28退院の入院時

の４/30の記事「数学(算数？)の問題(入院中にトライ)」の再掲載です。

実は,７階の眼科(701号室)で手術する前に,４/16に,インスリン投与開始

のため,15階の内科(1503号室)に入院し,その後４/23に病棟を転科して

きたのでした。

※さて,以下は再掲内容です。

これまでの経験から,入院生活は退屈極まりないことがわかっていたので

数冊の専門書や小説だけでは,スグに時間が枯渇し,また飽きてしまうと

思い,ルービックキューブや詰め将棋本も持ち込みました。

　さらに,この他に入院直前に急遽Amazonで「数学オリンピック

　完全攻略」という古書を注文購入して病院に持参しました。

　入院初日の4/17の午後に,最初に考えて解き,なぜか退院までに

　最も印象に残った問題は次の問題でした。

　数学オリンピックの問題（1979年）

　ｐ,ｑを,ｐ/ｑ＝1－1/2＋1/3－1/4＋...－1/1318＋1/1319

　を満たす正の整数とするとき,

　ｐは1979で割り切れることを示せ。

(◎)以下は,これのヒントから,というより,即解答を書きます。

　ｐ/ｑ＝1－1/2＋1/3－1/4＋...－1/1318＋1/1319

　＝1＋(1/2－1)＋1/3＋(1/4－1/2)＋...＋(1/1318－1/659)＋1/1319

　＝1＋1/2＋1/3＋1/4＋...＋1/1318＋1/1319－(1+1/2＋..＋1/659)

　＝1/660＋1/661＋..＋1/1318＋1/1319

　＝1979/(660・1319)＋1979/(661・1318)＋..＋1979/(989・990)

　＝1979×(1//(660・1319)＋1/(661・1318)＋..＋1/989・990)

　より,

　1/(660・1319)＋1/(661・1318)＋..＋1/989・990)を通分した

　既約分数をｍ/ｎとおけば,ｐ/ｑ＝1979(ｍ/ｎ)　です。

　故に,ｐ＝1979ｍｑ/ｎと書けます。

ところで,1979はちょっと確かめればわかるように,素数です

から,1と1979 以外には,分母のｎと共通因数を持つ可能性は

全くありません。

しかも,ｎは660・661・・・1319の約数ですから,これは明らかに

1979では割り切れません。

そこで,ｐが整数であるという仮定から,ｍｑの方がｎで割り切れる

と結論されます。

したがって,ｐ＝1979ｍｑ/ｎで,かつ,ｍｑ/ｎが整数ですから,

ｐは1979で割り切れることになります。(終わり)◎

こうして入院初日は暮れてゆき,11泊12日が続いたのでした。

(↑ この問題を退院時,看護師さんに宿題として置きみやげに,

渡してきました。昨年の前回入院でも帰りに宿題出しましたが,

忘れてるでしょうね。← イヤ,毎度,迷惑な話です。)

(以上,2012年記事の再掲です。※)

入院中のExcersize(頭の体操)

　今回の入院中も退屈であることが予想されたので,

　昔,ブックオフで買ったまま,まだ読んでいなかった東野圭吾の短編

　推理小説集「怪しい人々」とR.P.Feynmanの古い素粒子論のテキスト

　「Photon-HadronInterction 」,詰め将棋の本１冊の他に,

　以前,神保町の理系専門の古書店の明倫館書店で見て何気に買って

　いた19990年代の数学オリンピックの問題集を持参し,

　途中でイヤになって放り出さない程度の比較的容易な問題を選んで

　解くという作業をやって時間を潰しました。

　身体の方はベッドでゴロゴロ寝ていても,間寛平チャンの"止まるとシヌー"

　とかの状態には程遠く.,Excersizeといえば,普段でも,職場で始業時にやる

　ラジオ体操くらいですが。。。

　頭の方は,トキドキ"止まるとシヌー"という状態に近くなることもあります。

　シャバであれば,ネット将棋で勝ち負け関係なく暫く対局すれば,解消でき

　るようですが,入院中はそうもいかないので,excersize用意しました。

　まず,111/26(月)の帝京大学附属病院の眼科に入院当日,自分の部屋

　とベッドが７階東病棟の701号室の第４ベッド(入り口通路側)に決ま

　って自分の荷物をロッカーなどに整理し,昼食も取って落ち着いて後

　２問やってみました。

　まず,第６回日本数学オリンピック予選(1996)から,

３.正整数ｎに対して,ａ_n＝10²ⁿ－10ⁿ＋1とするとき,

　2√ａ_n の整数部分を求めよ。

※(私の解答):これはすぐに,わかりました。

　4ａ_n＝4・10²ⁿ－4・10ⁿ＋4＝(2・10ⁿ －1)²＋3 ですから,

　Ｍ＝2・10ⁿ －1とおくと, 4ａ_n＝Ｍ²＋3と書けます。

　そして,ｎ＝1でもＭ＝20－1＝19ですからＭ≧19です。

　よって,(Ｍ＋1)²＝Ｍ²＋2Ｍ＋1＞Ｍ²＋3＞Ｍ² です。

　故に,Ｍ＜ 2√ａ_n の＝√4ａ_n ＜Ｍ＋1　です。

　以上から,2√ａ_n の整数部分はＭ＝2・10ⁿ －1です。

　例えば,ｎ＝1では,ａ₁＝91なら,2√ａ₁＝2√91＝√364です。

　364は19²＝361と20²＝400の間ですから,

　整数部分は確かにＭ＝19です。

(終わり)※

　次は,同じく第６回予選から,

４.ａをｘ³－ｘ－-1＝0 の１つの解とするとき,

　ａ²を解とする3次方程式を１つ求めよ。

※(私の解答):ａ³＝ａ＋1なので,ａ⁶＝(ａ＋1)²

＝ａ²＋2ａ＝1です。

　そこでＡ＝ａ²とおけば,Ａ³＝Ａ＋2ａ＋1です。

　一方,ａ³＝ａ＋1の両辺にａを掛けると,ａ⁴＝ａ²＋ａ

　です。

　つまり,Ａ²＝Ａ＋ａですから,a＝Ａ²－Ａとなります。

　これをＡ³＝Ａ＋2ａ＋1に代入すれば,

　Ａ³＝Ａ＋2(Ａ²－Ａ)＋1＝2Ａ²－Ａ＋1　を得ます。

　よって,Ａ³－2Ａ²＋Ａ－1＝0 が満たされます。

　したがってＡ＝ａ²を解とする3次方程式の１つは,

　ｘ³－2ｘ²＋ｘ－1＝0　です。

(終わり)※

　次は,手術も終わって,推理小説にも飽きた,手術翌々日の

　11/29に解いた１問です。

　第２回日本数学オリンピック予選(1992)から,

４.Ａを次の条件1),2)を満たす正整数の集合とする。

1) 2,3,5,7,11,13以外の素因数を持たない。

2) 2²,3²,5²,7²,11²,13² のいずれでも割り切れない。

ただし,1∈Ａとする。

Ａの要素ｎの逆数1/ｎの総和:

1＋1/2＋1/3＋1/5＋..＋1/(2・3・5・7・11・13)

を求めよ。

※(私の解答):

このままでも,できますが,総和の式を通分すると,

求める総和式

＝(2・3・5・7・11・13＋3・5・7・11・13＋2・5・7・11・13

＋2・3・7・11・13＋..＋7＋5＋3＋2＋1)/(2・3・5・7・11・13)

となります。

分子は,分母＝2・3・5・7・11・13の自身と1を含む全ての約数の

総和ですね。

昔,自分自身の高校,一浪時代や,後の予備校等での講師としての講義

において,大学入試問題を解くテクニックの１つで,

ここで,素因数分解がｐ^αｑ^βｒ^γｓ^δ・・・であるような正整数

の約数の総和は,

(1＋ｐ＋..+ｐ^α)(1＋ｑ＋..+ｑ^β)(1＋ｒ＋..+ｒ^γ)

(1＋ｓ＋..+ｓ^γδ)・・・

で与えられるというのを,思い出しました。

今の場合は,分子＝(2・3・5・7・1・11・13の全ての約数の総和)

＝(1＋2)(1＋3)(1＋5)(1＋7)(1＋11)(1＋13)

＝3・4・6・8・12・14＝2⁹・3³・7　です。

故に,(分子)/(分母)＝2⁸・3²/(5・11・13)

＝256×9/(143×5)＝2304/715　です。

後で考えると,別に通分せずとも。。。

そのまま,(1＋1/2)(1＋1/3)(1＋1/5)(1＋1/7)(1＋1/11)(1＋1/13)

＝(3/2)・(4/3)・(6/5)・(8/7)・(12/11)・(14/13)

として求める方が,若干簡単でしたね。

(終わり)※

予想より早く退院できたので,今回はこれだけです。

ちょっと,やさし過ぎて歯ごたえないものばかりと見えます。

片目だと根気続かないので,長めの問題や図を考えるモノなどは,

問題を読んで理解するのも億劫で]敬遠しましたが。。。

この手の問題は,実は題意が理解できれば,半分解けたようなもん

ですね。

PS:実は早朝にアップして,編集作業中にフリーズして,

せっかくの数時間がパーになったので頭に来て放り出し,

また出勤前に編集し直したのでした。

続・数学の問題(入院中ニトライ)

　ブログネタも同じようなものばかりで特徴あるものは少ないので,退院直後にアップした「数学(算数?)の問題」の続きを書きます。

　前の記事では,最初の問題は入院初日の4/17の午後に解いた,と書きましたが,実は入院初日の17日は検査とか,必要品の買い物などやるべきことがたくさんありました。

　雑用を済ませた後,問題を見て考えて本に書いてあるヒントを見るのも癪なので,完全解答には17日の消灯後の夜中までかかりました。

入院中の日記を兼ねたノートによれば,次の18日には３問に挑戦していますが,18日中に解けたのは次の２問でした。

最初の問題を問１として番号を付けます。

問２.  0＜ａ,ｂ,ｃ≦1のとき,次の不等式が成り立つことを示せ。

ａ/(ｂ＋ｃ＋1)＋ｂ/(ｃ＋ａ＋1)＋ｃ/(ａ＋ｂ＋1)

＋(1－ａ)(1－ｂ)(1－ｃ)≦1

(解答)まず,一般性を失なうことなく,ａ,ｂ,ｃの大小関係を,

　0＜ａ≦ｂ≦ｃ≦1と仮定する,ことができます。

　この条件下では,(ａ＋ｂ＋1)≦(ｃ＋ａ＋1)≦(ｂ＋ｃ＋1)ですから,

　1/(ａ＋ｂ＋1)≧1/(ｃ＋ａ＋1)≧1/(ｂ＋ｃ＋1)　です。

そこで,ａ/(ｂ＋ｃ＋1)＋ｂ/(ｃ＋ａ＋1)＋ｃ/(ａ＋ｂ＋1)

≦(ａ＋ｂ＋ｃ)/(ａ＋ｂ＋1)＝1＋(ｃ-1)/(ａ＋ｂ＋1)です。

　したがって,1＋(ｃ-1)/(ａ＋ｂ＋1)＋(1－ａ)(1－ｂ)(1－ｃ)≦1を示せば十分です。

　よって,(1－ｃ){(1－ａ)(1－ｂ)－1/(ａ＋ｂ＋1)}≦0 を示せば十分ですが,(1－ｃ)＞0 なので,{(1－ａ)(1－ｂ)－1/(ａ＋ｂ＋1)}≦0 を示せばいいことになります。

結局,{1－(ａ＋ｂ＋1)(1－ａ)(1－ｂ)}≧0 を示せばいいです。

上式の左辺＝－(ａ＋ｂ){1－(ａ＋ｂ)＋ａｂ}＋{ａ＋ｂ－ａｂ}

　＝(ａ＋ｂ)²－ａｂ(ａ＋ｂ)－ａｂですが,

　正の数の相加平均は相乗平均より大きいので,(ａ＋ｂ)≧2ａ^1/2ｂ^1/2

ですから,結局,(左辺)≧(3ａｂ－2ａ^3/2ｂ^3/2) です。

そこで,簡単のためにＸ≡ａ^1/2ｂ^1/2 とおくと,0＜Ｘ≦1です。

そして,Ｘの関数ｆ(Ｘ)≡3Ｘ²－2Ｘ³を考えると,ｆ(0)＝0であり,

0＜Ｘ≦1では,ｄｆ/ｄＸ＝6Ｘ(１－Ｘ)≧0 なので,この範囲では

ｆ(Ｘ)は単調非減少です。

故に,ｆ(Ｘ)≧0 (0＜Ｘ≦1)と結論されます。

以上から,ｆ(ａｂ)＝3ａｂ－2ａ^3/2ｂ^3/2)≧0,であり,そして,

(ａ＋ｂ)²－ａｂ(ａ＋ｂ)≧ｆ(ａｂ)なので,

(ａ＋ｂ)²－ａｂ(ａ＋ｂ)≧0,です。

したがって,－(1－ｃ){(1－ａ)(1－ｂ)－1/(ａ＋ｂ＋1)}≦0 より,

ａ/(ｂ＋ｃ＋1)＋ｂ/(ｃ＋ａ＋1)＋ｃ/(ａ＋ｂ＋1)

＋(1－ａ)(1－ｂ)(1－ｃ)≦1

が証明されました。 (終わり)

(※PS:今思うと,

(ａ＋ｂ)²－ａｂ(ａ＋ｂ)－ａｂ≧3ａｂ－ａｂ(ａ＋ｂ)

＝ａｂ(3－ａ－ｂ)＝ａｂ{1＋(1－ａ)＋(1－ｂ)}＞0 ですから,

微分までやることはなかったですね。

当時(3週間前)は,今より頭が柔らかくなかったようです。※)

問３.  任意の正の整数ｋに対して,Ｓ＝{2¹―1,..,2^2k－1}の元の

少なくとも１つは,(2ｋ＋1)で割り切れることを示せ。

(解答)まず,集合Ｓの位数,つまりＳの元:2¹―1,..,2^2k－1の個数は

丁度 2ｋです。

そして,Ｓの各々の元を(2ｋ＋1)で割ったときの余りｒは,

ｒ＝0,1,2,..,2ｋ のいずれかです。

Ｓの元を(2ｋ＋1)で割ったときの余りがｒであることを,

2ⁿ―1≡ｒ mod(2ｋ＋1) (ｎ＝1,..,2ｋ)と表現します。

仮にＳの元の全てが(2ｋ＋1)で割り切れないとすると,

2ⁿ―1≡0 mod(2ｋ＋1),かつ１≦ｎ≦2ｋを満たすｎは存在しません。

ところが,もしも2^p―1と2^q―1の余りが等しいとすれば,つまり,

2^ｐ―1≡2^q―1 mod(2ｋ＋1)を満たすp,ｑ(1≦ｑ＜ｐ≦2ｋ)が存在

するとすれば,2^p－2^q≡0 mod(2ｋ＋1)なので,

2^q(2^p-q－1)≡0 mod(2ｋ＋1)となりますが,偶数の2^qが奇数の(2ｋ＋1)

で割り切れることはないので,これは,2^p-q－1≡0 mod(2ｋ＋1)である

こと:(2^p-q－1)が(2ｋ＋1)で割り切れることを意味します。

しかし,1≦(ｐ－ｑ)≦2ｋですから,１≦ｎ≦2ｋを満たすｎについて,2ⁿ―1≡0 mod(2ｋ＋1)となるｎは存在しないという仮定から,

2^ｐ―1≡2^q―1 mod(2ｋ＋1)を満たすp,ｑ(1≦ｑ＜ｐ≦2ｋ)は存在し

ません。

以上から,Ｓ＝{2¹―1,..,2^2k－1}の2ｋ個の元を(2ｋ＋1)で割った余り

ｒは全て異なると結論されます。

しかも,(2ｋ＋1)では割り切れないのですから,余りｒは.1,2,.,.2ｋのいずれかの2ｋ個であって,しかもこれら全てを尽くします。

しかし,このことから2ⁿ―1≡2ｋ mod(2ｋ＋1),かつ１≦ｎ≦2ｋなるｎが少なくとも１つ存在します。

このとき,2ⁿ≡2ｋ＋1≡0 mod(2ｋ＋1)ですから,この2ⁿは(2ｋ＋1)で割り切れるはずです。

2のベキ乗の因数しか持たない2ⁿが,奇数の(2ｋ＋1)を因数とするはずはないので,これは矛盾です。

そこで,１≦ｎ≦2ｋを満たすｎについて,2ⁿ―1≡0 mod(2ｋ＋1)となるｎは存在しない,という仮定の方が誤りということになります。

謂わゆる背理法ですが,これで成立を証明すべき命題の真なることが示されました。(終わり)

そして,次の問４は18日中には解けず,結局,翌19日に最後にはヒント(ほぼ答)を見てしまいました。

この問４については本日は問題だけをアップしておきます。

問４. {ｘ_n}を,ｘ₁＝ｘ,(ｘはｘ＞1なる実数),ｘ_n+1＝ｘ_n²＋ｘ_n ,

で定義される数列とする。

このとき,級数和:Ｓ＝Σ_n=1^∞{1/(1＋ｘ_n)}を求めよ。

という問題です。

　これ以後もありますが,私は気紛れなのでブログでこの続きを書くかどうかはわかりません。

　でも,整数,数式や数列関連の問題を解くのが得意というわけではなく,ただそれを考えるのが好きな変態？であることは再認識しました。

(↑※入院のヒマつぶしに,算数や高校数学の難問？を考えるのはある種の変態(or オタク？)でしょう。)

私の弱点は空間図形などのパターン認識がからむ問題です。

私は,２次元でも地図を見てもわからず,しょっちゅう他人に聞かないとたどりつけないことが多々ある方向音痴です。(※左脳は何とか機能していても右脳はダメかな。。。)

一応,これも入院中の日記の１つをアップしたつもりですが,この手の記事は引用文献を書かないと単なる盗作ですから,タネ本を下に明示しておきます。

では,またね。

(参考文献):秋山仁＋ピーターフランクル共著「(完全攻略)数学オリンピック(増補版)」(日本評論社)

PS：難問というと昔,「明聖アカデミー」という御茶ノ水の現役高校生専門予備校のアルバイトで,ＲＱＣ(randomquestion corner)という教室で何でも質問を聞く講師というのをやってた時代を思い出します。

　その予備校の当時の数学主任のＨ先生の個別指導の宿題で出された数学難問集をＲＱＣで毎回質問する高3なのに中学生のように見える小さくてかわいい女子高生がいて,他のまだ大学生の講師たちと解き方など相談していたことを思い出します。

　当時,私は９年間住んでいた江東区の木場から豊島区巣鴨に転居したばかりの40代中半から,50歳代にかかる頃でした。

　結局,彼女＝Ｋ野さん,については,その後,正社員のＨ先生からアルバイトの私が数学の個別指導を引き継いだのですが,

　何と彼女の第一志望は千葉大教育学部で,第二志望は明治大学文系ということでしたから,数学が必要といってもセンター試験だけです。

　確かに難問をたくさん解く,考えるという勉強法もありますが,私はセンター試験の過去問を解く訓練をすれば十分と考えました。

　何ゆえに,自力ではほとんど解けず,毎回ＲＱＣで質問するような難問の宿題ばかりを出していたのか？とそのときは疑問に思いましたね。

　結局,その彼女,現役のときは千葉大を落ちて,数学は関係ない明治大には合格したので,私はＫ野ちゃんの何らかお役に立ったのか,邪魔をしたのかは不明です。

　なつかしいですね。

数学(算数？)の問題(入院中にトライ)

　これまでの経験から入院生活は退屈極まりないことがわかっていたので,数冊の専門書や小説だけではスグに時間が枯渇し,また飽きてしまうと思い,ルービックキューブや詰め将棋本も持ち込みました。

　さらに,この他に入院直前に急遽Amazonで「数学オリンピック完全攻略」という古書を注文購入して病院に持参しました。

　入院初日の4/17の午後に,最初に考えて解き,なぜか退院までに最も印象に残った問題は次の問題でした。

　数学オリンピックの問題（1979年）

　ｐ,ｑを,

　ｐ/ｑ＝1－1/2＋1/3－1/4＋...－1/1318＋1/1319

を満たす正の整数とするとき,

　ｐは1979で割り切れることを示せ。

(※)以下は,これのヒントから,というより,即解答ですが。。。

ｐ/ｑ＝1－1/2＋1/3－1/4＋...－1/1318＋1/1319

＝1＋(1/2－1)＋1/3＋(1/4－1/2)＋...＋(1/1318－1/659)＋1/1319

＝1＋1/2＋1/3＋1/4＋...＋1/1318＋1/1319－(1+1/2＋..＋1/659)

＝1/660＋1/661＋..＋1/1318＋1/1319

＝1979/(660・1319)＋1979/(661・1318)＋..＋1979/989・990

＝1979×(1//(660・1319)＋1/(661・1318)＋..＋1/989・990) より

1//(660・1319)＋1/(661・1318)＋..＋1/989・990)を通分した既約分数をｍ/ｎとおけば,ｐ/ｑ＝1979(ｍ/ｎ)です。

故に,ｐ＝1979ｍｑ/ｎとなります。

ところで,1979は,ちょっと確かめればわかるように素数ですから,1と1979 以外には,分母のｎと共通因数を持つ可能性はありません。

しかも,ｎは660・661・・・1319の約数ですから,これは明らかに1979では割り切れません。

そこで,ｐが整数であるという仮定なら,ｍｑの方がｎで割り切れると結論されます。

したがって, ｐ＝1979ｍｑ/ｎで,かつｍｑ/ｎが整数ですから,ｐは1979で割り切れることになります。(終わり)

こうして入院初日は暮れてゆき,11泊12日が続いたのでした。

(※この問題を,退院時看護師さんに宿題として置きみやげに渡してきました。

昨年の前回入院でも帰りに宿題出しましたが忘れてるでしょうね。←迷惑な)　

PS:1503号室も701号室も一番安い４人部屋でしたが,４人いると１人くらいは大いびきをかく人がいるもので,11泊中の７泊はスグ隣にそういう方がおられました。

私は,自宅にいるときでも,風や雷とか,または隣近所の自分に無意味なノイズは気にせずにいると,脳が割と勝手に無視してしまうという傾向なので,気付いてはいてもほぼ熟睡していましたね。

それに,病院での睡眠時間も家と同じく４,5時間程度なので,消灯21時ころだと夜中の2時,3時には普通に目覚めて完全に起床してしまうため,大いびきとの交錯時間も少なく,無問題でした。

でも,中には部屋から逃げ出したり,看護師を呼んで苦情を言ってもらう方もおられました。

別に昼間仕事があるわけじゃなし,病院入院じゃいつでも寝られるので夜寝られなきゃ昼間寝たらどうですか？などと無責任なアドバイスもしましたが,まあこういうことは自分自身にもはね返ってきます。

眠っているときに,自分の状態がどうであるかなどは自分じゃわかりませんからね。(いびき,寝言,歯ぎしりetc.あるかも。。)

以前,もう5年も前で,まだ今ほど自分以外の人に完全に寛大じゃなかったころですが。。。

心臓手術のあくる日に,順天大学病院のCCUで,その日だけ睡眠薬を禁止されたので,隣人の大いびきで眠れなかった。と,つい看護師に苦情を言ってみたら,

大部屋なんだからガマンしなきゃ仕方がないでしょう。どうしても気になるなら,あなたの方が個室に入れば。。,

というようなことを言われて,鼻白んだ記憶があります。

まだ若かったですね。今なら当然受け入れます。

そもそも,近くにいる他人のそれではなく,自分だけの不都合についてであれば恐らく苦情は言わないでしょう。

まあ,お互い貧乏なので大部屋なのですから,仕方ないでしょうね。

PS2:昨日自宅で寝るとはなく横になっていると,20時前にさっそくお誘いがあり,大山の居酒屋で退院祝いをしてもらいました。

焼酎のサワーを3,4杯飲み,カラオケも歌って帰宅は22時半でした。

算数の問題（再々掲）

　入院記念に看護師さんに置きみやげ？として,「お世話になりました。ありがとう,さようなら」という短い手紙に加え「算数の問題」を出題,手渡してきました。

　夜勤などの眠気覚まし,ひまつぶしのツモリですが,そんな暇などはなくて迷惑でしょうからシカトされ即ゴミ箱行きかも知れませんが。。。

　これは2006年３月にブログ開始してまもなく書いた問題です。

　(2006年３/30の記事「算数の問題」)

　その後2006年12月にはヒントも出しました。

　ところが,その後出題した私自身がどのようにして解いたかを失念してしまいました。

　どうしてもわからないので解答を示してくれとの要望があったために,再度トライしてみましたが,面目ないことにどうしても解けなくて,大きなことを言った手前,謝まってPendingにしていました。←　これはYahooのミラー「TOSHIの宇宙４」での話かも？

　しかし病院生活が余りに暇なので６/５(日)には朝食後から,BSで延長戦になって５時間以上も続いたアスレチックスとヤンキースのゲームを見るとはなしに見ながら,何の邪魔も入らずゆっくりじっくり考えていると,昼食後の14時頃にあっさりと解けました。

　取り合えず問題とヒントまでを再掲します。解答部分は今日夕方帰宅してから書きます。

　※(問題) でたらめな形の四角形が１つあるとします。

　その４つの各辺を,それぞれ３等分してその向かい合う点同士を直線で結ぶと,やはりでたらめな形の９個の小さい四角形に分割されます。

　このとき真ん中にできた小四角形の面積は元の四角形の面積のちょうど,1/９ になることを証明しなさい。※

　という問題です。

　そして,2006年12/20には問題再掲してヒントを与えました。。「算数の問題(再掲)

※これに対して今回はヒントとして対辺の分点同士を結んでできる３つの四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/３になることを示すことができるという指摘を追加しておきます。

追伸：今2007年1月９日～10日の深夜ですが,kaさんから補助線を明示した図を見たいとの希望がありました。

　そこで□ＡＢＣＤと,そのＡＤの３等分点Ｍ,ＮおよびＢＣの３等分点Ｐ,Ｑを書いた図を書いてみました。

要するに⊿ＭＰＱ＝(1/2)⊿ＭＢＱ,⊿ＭＱＮ＝(1/2)⊿ＭＱＤなので,□ＭＰＱＮ＝(1/2)□ＭＢＱＤとなります。

別の補助線を引いて⊿ＭＢＤ＝(2/3)⊿ＡＢＤ,⊿ＤＢＱ＝(2/3)⊿ＤＢＣなので□ＭＢＱＤ＝(2/3)□ＡＢＣＤが成立しますから,□ＭＰＱＮ＝(1/3)□ＡＢＣＤになります。

もちろん,□ＡＢＣＤが台形でないなら,面積が1/３になるのは真ん中の四角形だけで両側の四角形は1/３にはなりません。

これがヒントです。※

さて,解答です。

まず,９個の小四角形に下図のようにａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅ,ｆ,ｇ,ｈ,iとラベルを付けます。

同時にこれらは各四角形の面積をも表わす記号とします。

　ここで□ＡＢＣＤの面積をＳとすると,証明すべき結論はｅ＝Ｓ/9です。

まず,明らかにａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ です。

そして,ヒントから, ,ｂ＋ｅ＋ｈ＝Ｓ/3,かつｄ＋ｅ＋ｆ＝Ｓ/3 です。

このことから,ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ/3＋ｅと書けることもわかります。

これ以上,これらの式をいくら変形しても何も新しいことは出てきません。

そこで,新しい補助線を引いて考察します。

まず,⊿EＡM＝(1/2)⊿ＥＭＤ,かつ⊿EＡK＝(1/2)⊿EＫBです。

故に,ａ＝⊿ＥAM＋⊿ＥAK＝(1/2)(⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB)です。言い換えると⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB＝2ａです。そこで,□ＥＢＣＤ＝Ｓ－3ａです

他方,⊿EDR＝(1/3)⊿DEC,かつ⊿EBP＝(1/3)⊿EBＣですから,⊿ＥＤＲ＋⊿EBＰ＝(1/3)(⊿DEC＋⊿EBＣ)＝(1/3)□ＥＢＣＤです。

以上から,(ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ)－2ａ＝(1/3)(Ｓ－3ａ)ですから,ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ＝ａ＋Ｓ/3が成立します。

対称性から,同様に,ｆ＋ｉ＋ｂ＋ａ＝ｃ＋Ｓ/3,ｈ＋ｇ＋ｆ＋ｃ＝ｉ＋Ｓ/3,ｄ＋ａ＋ｈ＋ｉ＝ｇ＋Ｓ/3も成り立つはずです。

これら４つの等式の両辺を全てそれぞれ加えると,2(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ)＝(ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ)＋4Ｓ/3となります。

したがって,2(Ｓ－ｅ)＝(Ｓ/3＋ｅ)＋4Ｓ/3より3ｅ＝Ｓ/3ですからｅ＝Ｓ/9です。

解答は以上で終わりです。お疲れさま。。

PS:今６/14(火)のPM6：00です。

手話講習に行くつもりでしたが金欠病もあり気力が萎えました。

明日朝９：00には帝京の眼科外来の予約ありますし。。

頭の体操(円周率：大学入試問題)

　昨日,勤務に向かう電車の中で,ある予備校の宣伝広告の中に

東京大学理科－前期入試問題として解答抜きで数学の入試問題

が１問出題してありました。

　この問題は以前もどこかで見たおぼえがあり気分転換＝頭の体操,

としてほどよいので解いてみました。

　問題は「円周率は3.05より大きいことを証明せよ。」

という簡単なものです。

　そもそも円周率とは,素朴に円周の長さをその円の直径

で割ったものです。

まあ,すぐに思いつくことではありますが,円に内接する正ｎ角形

の周は円周よりも常に短いので,

(2π)＞(内接する正ｎ角形の周)÷(半径),

という不等式が成立します。

ｎ＝ 6,つまり正六角形なら,右辺は丁度 6 なのでπ＞3

が得られます。

そこでｎ＝ 8,つまり正八角形なら π＞3.05 が得られる

ことが予想されます。

実際にそうであることを証明しましょう。

三角形における余弦定理というのは確か,私が習ったのは中学３年

のときだったと記憶していますが,

それは⊿ＡＢＣの辺の長さａ,ｂ,ｃと内角Ａ,Ｂ,Ｃの間に,

ａ²＝ｂ²＋ｃ²－2ｂｃcosＡ etc.の関係式が成立する

という定理です。

　

　これを用いるなら,(半径ｒの円に内接する正ｎ角形の周の長さ)

＝ｎｒ[2{1－cos(2π/ｎ)}]^1/2＝2ｎｒsin(π/ｎ)となります。

まあ、最後の形式などは別に余弦定理に頼らずとも得られるもの

ではありますが。。。。

よってπ＞(ｎ/2)[2{1－cos(2π/ｎ)}]^1/2ですが,

ｎ＝ 8を代入すると π＞4(2―√2)^1/2が得られます。

(※下図は,円に内接する正八角形です。α＝2π/8＝π/4(45度)です。)

よって,4(2―√2)^1/2≧3.05を示せばいいわけです。

そこで16(2―√2)－3.05²を計算しましょう。

16(2―√2)－3.05²＝32－9.3025－16√2=22.6975－16√2です。

22.69²＝(23－0.31)²＝529－14.26＋0.31² ＞ 514 ＞ 512＝(16√2)²ですから,π²＞16(2―√2)＞3.05²

したがって,π＞3.05 が証明されました。

ちょっと手抜きをしてしまいましたが,まあ息抜きですね。

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 物理学

       

算数の問題(再掲)

2006年3月30日の記事を修正して再掲します。

　頭の体操です。簡単な？算数の問題です。

　一般的な不等辺四角形が１つあるとします。その４つの辺のそれぞれを３等分して,その向かい合う辺の分点同士を直線で結ぶと,でたらめな形の９つの小さい四角形に分割されます。

このとき真ん中にできる小四角形の面積は元の四角形の面積の丁度1/9になることを証明せよ。という問題です。小学生程度の知識だけで解けるはずです。

という記事を以前書きました。

これに対して,今回はヒント(hint)として対辺の分点同士を結んでできる３つの四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/3になることを示すことができるという指摘を追加しておきます。

ちょっと疲れているのでブログを手抜きしました。

　追伸：今2007年1月９日～10日の深夜ですが,kaさんから補助線を明示した図を見たいとの希望がありました。

　□ＡＢＣＤとそのＡＤの３等分点Ｍ,ＮおよびＢＣの3等分点Ｐ,Ｑを書いた図を書いてみました

　要するに⊿ＭＰＱ＝(1/2)⊿ＭＢＱ,⊿ＭＱＮ＝(1/2)⊿ＭＱＤなので,□ＭＰＱＮ＝(1/2)□ＭＢＱＤとなります。

別の補助線を引いて⊿ＭＢＤ＝(2/3)⊿ＡＢＤ,⊿ＤＢＱ＝(2/3)⊿ＤＢＣなので□ＭＢＱＤ＝(2/3)□ＡＢＣＤが成立しますから,□ＭＰＱＮ＝(1/3)□ＡＢＣＤになります。

もちろん,台形ではないですから1/3になるのは真ん中の四角形だけで両側の四角形は1/3にはなりません。

これがヒントです。

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    物理学

量子力学の交換関係の問題(その２)

今回も量子力学の交換関係の問題を解きます。

"線形演算子:Ａ,Ｂが,[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0 または[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 を満足するとき,ｅ^Ａｅ^Ｂ＝ｅ^{{Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]/2}}が成立することを証明せよ。"

という問題です。

[解答] [Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0 と仮定し,関数ｆ(ｘ)をｆ(ｘ)≡ｅ^ｘＡｅ^ｘＢ と定義します。このとき,もちろんｆ(0)＝1です。

　また,ｆ(ｘ)をｘで微分すると,ｄｆ/ｄｘ＝Ａｅ^ｘＡｅ^ｘＢ＋ｅ^ｘＡＢｅ^ｘＢ ＝{Ａ＋ｅ^ｘＡＢｅ^-ｘＡ}ｆ(ｘ)と書くことができます。

　そこで,今度はｇ(ｘ)≡ｅ^ｘＡＢｅ^-ｘＡという関数ｇを考えます。

　するとｇ(0)＝Ｂ です。

　次にこれをｘで微分すると,ｄｇ/ｄｘ＝ｅ^ｘＡ[Ａ,Ｂ]ｅ^-ｘＡですから,

　ｘ＝0 とおいてｇ'(0)＝[Ａ,Ｂ]です。

　さらに微分すると,ｄ²ｇ/ｄｘ²＝ｅ^ｘＡ[Ａ,[Ａ,Ｂ]]ｅ^-ｘＡよりｇ"(0)＝[Ａ,[Ａ,Ｂ]]を得ます。

　結局,帰納的に考えると,ｇ(ｘ)＝ｅ^ｘＡＢｅ^-ｘＡは,ｇ(ｘ)＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘ＋[Ａ,[Ａ,Ｂ]]ｘ²/2!＋[Ａ,[Ａ,[Ａ,Ｂ]]]ｘ³/3!＋..とMaclaurin展開されることになります。

　そして,特にｘ＝1とおくと,ｇ(1)＝ｅ^ＡＢｅ^-Ａ ＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]＋[Ａ,[Ａ,Ｂ]]/2!＋[Ａ,[Ａ,[Ａ,Ｂ]]]/3!＋..が成立します。

　まあ,これは余談ですね。

　ところで,仮定より[Ａ,[Ａ,Ｂ]]＝0ですから,この場合には

　ｇ(ｘ)＝ｅ^ｘＡＢｅ^-ｘＡ＝Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘとなりますね。

　したがって,ｄｆ/ｄｘ＝{Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘ}ｆ(ｘ)です。

　ｆ(0)＝1という条件下でこの線形微分方程式を解くと,解は一意的で

　ｆ(ｘ)＝ｅ^{{(Ａ＋Ｂ)ｘ＋[Ａ,Ｂ]ｘ^2/2}}となります。

　これにｘ＝1を代入すると,ｆ(1)＝ｅ^Ａｅ^Ｂ＝ｅ^{{Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]/2}} 

　が得られます。

一方,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 のときは,

ｄｆ/ｄｘ＝ｅ^ｘＡＡｅ^ｘＢ＋ｅ^ｘＡｅ^ｘＢＢ

＝ｆ(ｘ){ｅ^-ｘＢＡｅ^ｘＢ＋Ｂ} と書けます。

そして,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 ならｅ^-ｘＢＡｅ^ｘＢ＝Ａ＋[Ａ,Ｂ]ｘなので,

ｄｆ/ｄｘ＝ｆ(ｘ){Ａ＋Ｂ＋[Ａ,Ｂ]ｘ}となり,同様にして

同じ結果が得られます。

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量子力学の交換関係の問題

　久しぶりに問題を出しますが,今回は簡単なのですぐに解答も添えておきます。

　[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 なら[Ａ,ｆ(Ｂ)]＝[Ａ,Ｂ](ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)であることを証明せよ。

という問題です。

　解答は以下の通りです。

　まず,ｆ(Ｂ)＝Ｂⁿのときには,(ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)＝ｎＢ^n-1ですから,

　[Ａ,Ｂⁿ]＝ｎ[Ａ,Ｂ]Ｂ^n-1となることが簡単にわかります。

　例えばｎ＝2 のとき,[Ａ,Ｂ²]＝ＡＢ²－Ｂ²Ａ＝ＡＢ²－ＢＡＢ＋ＢＡＢ－Ｂ²Ａ＝[Ａ,Ｂ]Ｂ＋Ｂ[Ａ,Ｂ]ですが,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 なので[Ａ,Ｂ]Ｂ＝Ｂ[Ａ,Ｂ]です。

　故に,[Ａ,Ｂ²]＝2[Ａ,Ｂ]Ｂとなります。

　そこで,ｎ＝ｋに対して[Ａ,Ｂ^k]＝ｋ[Ａ,Ｂ]Ｂ^k-1が成立すると仮定して数学的帰納法で証明します。

　[Ａ,Ｂ^k+1]＝ＡＢ^k+1－Ｂ^k+1Ａ＝ＡＢ・Ｂ^k－ＢＡＢ^k＋ＢＡＢ^k－Ｂ・Ｂ^kＡ

　＝[Ａ,Ｂ]Ｂ^k＋Ｂ[Ａ,Ｂ^k]です。

　これに,[Ａ,Ｂ^k]＝ｋ[Ａ,Ｂ]Ｂ^k-1を代入すると,

　[Ａ,Ｂ^k+1]＝[Ａ,Ｂ]Ｂ^k＋ｋＢ[Ａ,Ｂ]Ｂ^k-1ですが,[Ｂ,[Ａ,Ｂ]]＝0 より,Ｂ[Ａ,Ｂ]＝[Ａ,Ｂ]Ｂですから,

　[Ａ,Ｂ^k+1]＝[Ａ,Ｂ]Ｂ^k＋ｋ[Ａ,Ｂ]Ｂ^k＝(ｋ＋1)[Ａ,Ｂ]Ｂ^k

となります。

　よって,ｎ＝ｋ＋1でも成立するので,帰納法によって

　[Ａ,Ｂⁿ]＝ｎ[Ａ,Ｂ]Ｂ^n-1となることが証明されました。

　このことから,ｆ(Ｂ)がＢの多項式(polymonial)であるときには[Ａ,ｆ(Ｂ)]＝[Ａ,Ｂ](ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)が成立することも明らかです。

　そこでｆが解析的であるとして,これをMaclaulin展開してみます。

　すなわち,ｆ(Ｂ)＝∑ａ_nＢⁿ,ａ_n＝[ｄⁿｆ/ｄＢⁿ]_Ｂ＝0/ｎ!と展開します。

　このとき,[Ａ,ｆ(Ｂ)]＝[Ａ,Ｂ]∑ｎａ_nＢ^n-1＝[Ａ,Ｂ](ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)となりますから,ｆがＢで展開可能なら[Ａ,ｆ(Ｂ)]＝[Ａ,Ｂ](ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)となります。

　ところで,演算子の関数とかその微分というのは何を意味するのでしょうか？

　この問題での関数の意味は,ｘを単なる数の変数としたときのｆ(ｘ)と,その微分式(ｄｆ/ｄｘ)にｘの代わりに形式的に演算子Ｂを代入したものですね。

　一般に級数展開には収束半径:r＞0 が存在しますが,演算子Ｂにノルムを与えるならｆ(Ｂ)＝∑ａ_nＢⁿ は,このノルムが収束半径ｒより小さいなら強収束する,という意味に取れます。

　そしてＢのノルムとしては任意に小さい値を与えることが可能ですから,形式的な公式:[Ａ,ｆ(Ｂ)]＝[Ａ,Ｂ](ｄ/ｄＢ)ｆ(Ｂ)は,

　特異点を除いて無限回微分可能なあらゆる関数ｆに対して成立すると考えてよいと思われます。