記事リバイバル⑦(ＷＫＢ近似・Hamilton-Ｊａｃｏｂｉ・経路積分)

※このブログの過去記事の中から私自身がこれは興味深い 

と思ったモノを再掲載しているシリーズの第７弾です。
 

今回は2006年10/8の記事: 

「ＷＫＢ近似・ハミルトン-ヤコービ方程式・経路積分」 

から全文丸々コピーです。

10年以上も前の記事だからといっても,別にモウロクしたわけでもなく,

むしろ老人性のサバン症候群ではないか？と思うくらい頭だけは若い

ようです。ただし気持ちと裏腹に視力や体が思うように働いてくれない

のがナサケナイですね。調子イイ日と悪い日があります。

昨年５月から８月そして11月14日から1ヶ月の入院中は,思い付きで

アマゾンで購入したハーモニカを吹いてヒマツブシしてました。

幼稚園か小学校のころに吹いてたダケですが。。なぜかメロディー

を吹くのは音符など参照しなくても自由にできるようで童謡はモチロン

「涙そうそう」や「合衆国国歌」など。。私,音感あるのかな？

楽器演奏は認知症の予防にもイイらしいです。

　クラシックも「小夜曲」や「主よｊ人の望みの喜びよ」くらいは楽に吹け

ましたが,速い曲は練習しても少しムズカシイですね。


　昨日アップした過去記事を読みやすいように再編集しているうち

文字化けがひどくなったので削除して結局編集なしで丸写し。。

以下が過去記事再掲載です。

　今日は量子論におけるＷＫＢ近似が,なぜ準古典近似と呼ばれるのか,を解析力学のハミルトン・ヤコービ(Hamilton-Jacobi)の方程式と関連付けて説明し,さらに経路積分との関連についても手短かに述べてみたいと思います。

　まず,古典力学の力学系での一般化座標をｑ_r(ｒ＝1,2...ｎ)とし,系を記述するLagrangian(ラグランジアン)をＬ(ｑ,ｑ^d,ｔ)とします。

　ここで,ｑはｑ_r全体を総称しｑ^d≡ｑ^dotはｑの時間による微分:

ｑ_r^d≡(ｄｑ_r/ｄｔ)の全体を意味します。

　さらに,ｐ_r≡(∂Ｌ/∂ｑ_r^d)を一般化運動量と定義します。

　このｐ_r＝(∂Ｌ/∂ｑ_r^d)を解いてｑ_r^dをｑ_rとｐ_rの関数で表わしたものを,式:Ｈ≡∑ｐ_rｑ_r^d－Ｌの右辺のｑ_r^d に代入したものを系のHamiltonian:Ｈ(ｑ,ｐ,ｔ)と定義します。

　このとき,元々のNewtonの運動方程式は,これをD'Alembertの原理(D'Alembert)で加工して一般化し,一般化座標の方程式に変換したｎ個のEuler-Lasgrange方程式:[ｄ(∂Ｌ/∂ｑ_r^d)/ｄｔ]－∂Ｌ/∂ｑ_r＝0 に取って代わられます。

　さらに,ｑ_r^d≡(ｄｑ_r/ｄｔ)＝(∂Ｈ/∂ｐ_r),ｐ_r^d≡(ｄｐ_r/ｄｔ)＝－(∂Ｈ/∂ｑ_r)なる形の2ｎ個の１階微分方程式＝Hamiltonの正準方程式に変換されます。

　ほとんどのＨ(ｑ,ｐ,ｔ)では,一般化座標の変数ｐ_r,ｑ_rを計算に都合がいいような新変数Ｐ_r,Ｑ_rに変換して,新しいハミルトニアンとしてＫ(Ｑ,Ｐ,ｔ)を作り,Hamiltonの正準方程式が形としてそのまま保存されるようにできます。

　つまり,ｑ_r^d＝(∂Ｈ/∂ｐ_r),ｐ_r^d≡－(∂Ｈ/∂ｑ_r)がＱ_r^d≡(ｄＱ_r/ｄｔ)＝(∂Ｋ/∂Ｐ_r),Ｐ_r^d≡(ｄＰ_r/ｄｔ)＝－(∂Ｋ/∂Ｑ_r)と同値になるようにできます。こうした変換を正準変換と呼びます。

　このとき,新変数による新しいLagrangianをＬ'＝∑Ｐ_rＱ_r^d－Ｋと書けば,元のLagrangian:Ｌ＝∑ｐ_rｑ_r^d－Ｈとの間に,ある関数Ｗが存在して

Ｌ＝Ｌ'＋(ｄＷ/ｄｔ)なる等式が成り立つはずです。

　これは,変換の下で理論が不変に保たれるための必要十分条件です。

この結果,∑ｐ_rｑ_r^d－Ｈ＝∑Ｐ_rＱ_r^d－Ｋ＋(ｄＷ/ｄｔ)と書けます。

　関数Ｗ は,ｔの他にはｐ,ｑ,Ｐ,Ｑの4ｎ個の変数の関数ですが,このうちで独立な変数は2ｎ個だけですから,例えばＷ＝Ｗ(ｑ,Ｐ,ｔ)と独立変数を選んでみます。

　このときは,ｄＷ＝∑ｐ_rｄｑ_r＋∑Ｑ_rｄＰ_r＋(Ｋ－Ｈ)ｄｔなる式によってｐ_r＝∂Ｗ/∂ｑ_r,Ｑ_r＝∂Ｗ/∂Ｐ_r,Ｋ＝Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔとなります。

　次に,特に変換によって特異になる危険性を犠牲にしてもHamiltonian:Ｋが恒等的にゼロになる,つまりＫ≡0 となる特別な正準変換があったら,と想定してみます。

　このときには,Hamiltonの正準方程式は,Ｐ_r^d≡(ｄＰ_r/ｄｔ)＝0 ,Ｑ_r^d≡(ｄＱ_r/ｄｔ)＝0 となり,座標点は全て時間的に静止していてＰ_r＝α_r(定数),Ｑ_r＝β_r(定数)とすることができて最高に好都合です。

　そして,このとき元の正準変換に戻ってみると,

ｑ＝ｑ(Ｑ,Ｐ,ｔ)＝ｑ(β,α,ｔ),ｐ＝ｐ(Ｑ,Ｐ,ｔ)＝ｐ(β,α,ｔ)

となり,ｎ個の積分定数または初期条件を含む解が求まるわけです。

　つまり"一般化座標の時間的変化＝軌道"は全て決まる,あるいは問題は完全に解ける,ことになります。

　そして,Ｗ＝Ｗ(ｑ,Ｐ,ｔ)＝Ｗ(ｑ,α,ｔ),ｐ_r＝∂Ｗ/∂ｑ_r,β_r＝∂Ｗ/∂α_rと書くこともできます。

　そこで,逆にこうした都合のいい関数Ｗを求めるための方程式は,

 Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝Ｋ＝0 ,つまり,Ｈ[ｑ,∂Ｗ(ｑ,ｔ)/∂ｑ,t]＋∂Ｗ(ｑ,ｔ)/∂ｔ＝0 で与えられると考えます。

　そして,微分方程式:Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝0 を解くことによって,積分定数αを含むＷ(ｑ,α,ｔ)が得られると考えることもできるわけです。

　この方程式:Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝0 をHamilton-Jacobiの偏微分方程式と呼びます。

　特にHamiltonian:Ｈが時間ｔを陽には含まないときは,Ｈは固定したｑ,ｐに対しては時間的に一定となるので,Ｈ(ｑ,ｐ)＝Ｅ (定数)と書くことができます。

　Ｈがｔを陽に含まない場合には,Noether(ネーター)の定理により,右辺の定数Ｅがいわゆるエネルギーであり,時間的に変化しない保存量であることはよく知られた事実です。

　このとき,Ｈ(ｑ,ｐ)＝Ｅにより,Hamilton-Jacobiの偏微分方程式:Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝ 0 はＷ(ｑ,α,ｔ)/∂ｔ＝－Ｅ (一定)となりますから,

 Ｗ(ｑ,α,ｔ)＝Ｓ(ｑ,α)－Ｅｔと書いてよいことになります。

　ｐ_r＝∂Ｗ/∂ｑ_r＝∂Ｓ/∂ｑ_rなので,結局Ｈ(ｑ,∂Ｓ/∂ｑ)＝Ｅ (ただしｐ＝∂Ｓ/∂ｑ)と表現できて,方程式は少し簡単になります。 

こうしてＨがｔを陽に含まない場合,波動光学からのアナロジーでＷが一定の面を,ある力学的波動の位相(phase)が一定の面を表わすものであると考えてみます。

Ｗ＝(Ｓ－Ｅｔ)という量から,"Ｓと同じ単位＝(エネルギー×時間)"を持つある比例定数:ｈ_cを用いて,単位のない変数(Ｗ/ｈ_c)＝{(Ｓ/ｈ_c)－(Ｅ/ｈ_c)}を作ります。

これを位相として,ω＝Ｅ/ｈ_cを角振動数(ω＝2πν)とするような波動を考えることにし,その波動を表わす量をψと定義します。

すなわち,ψ＝Ａexp(iＷ/ｈ_c)＝Ａexp[i{(Ｓ/ｈ_c)－ω}ｔ]とします。

ただし,ω≡Ｅ/ｈ_cです。つまり,Ｅ＝ｈ_cω＝ｈνです。

特に１変数のみの系では,ｐ＝∂Ｓ/∂ｑ＝∇Ｓから,

ｐψ＝(∇Ｓ)ψ＝(－iｈ_c∇ψ)となるので,記号的には

ｐ～(－iｈ_c∇)と見なすことができます。 

ｈ_cをPlanck定数＝(ｈ/2π)と同一視すれば,ψは量子力学の波動関数に対応し,Hamilton-Jacobiの偏微分方程式は正にSchödinger(シュレーディンガー)方程式になります。

古典力学と量子力学との間には大きな谷間(gap)があり,それぞれが独立な"法則＝公理"を持つ独立な理論なので,古典力学から何の飛躍もなく量子力学を導くことは不可能です。

しかし,20世紀初頭の前期量子論の段階では上記のような推論がなされていたと思われます。 

ＷＫＢ近似という量子力学の問題を解く1つの近似法:つまり,"時間を含まない定常波動関数ｕ(ｘ)をexp[iＳ(ｘ)]なる形式で表現して近似するという方法"が準古典近似(semi-classicl approximation)という名称で呼ばれているのはこうした理由からでしょう。

ところで,上述のＳ(ｑ,α)をLagrangian:Ｌで表わすと,

Ｓ＝∫Ｌ(ｑ,ｑ^d,ｔ)ｄｔと書けます。

これは,謂ゆる作用(action:作用積分)と呼ばれる量です。

つまり,Ｓは"系の運動はｑの変分δｑに対する作用Ｓの変分がゼロ:

δＳ＝0 となる,またはＳが停留値を取る,という条件で与えられる"という１つの基本的な"変分原理＝最小作用の原理"の源となる作用関数になっています。

そこで,量子力学でFeynmanの経路積分を用いた理論展開で,時間発展の確率振幅が作用:Ｓによって,＜ｑ_f|exp{－(ｉ/ｈ_c)Ｈ(ｔ_f－ｔ_i)}|ｑ_i＞＝Ａ∫Ｄｑexp[(ｉ/ｈ_c)Ｓ(ｑ(ｔ))]と表現されることが思い出されます。

私見では,これはＤｑがあらゆる分岐した経路にわたる積分であるという意味で,多世界解釈にもつながると考えているのですが,それはさておき,経路積分の意味を説明します。

　

この経路積分の公式は,作用ＳをＳ(ｑ(ｔ)) ～ Δｔ∑_j^NＬ[ｑ(ｔ_j),{ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}/Δｔ]と分割し,中間状態の射影演算子|ｑ(ｔ_j)＞＜ｑ(ｔ_j)|を考えたとき,中間状態の完全性を利用すれば得られます。

中間状態の完全性とは,あらゆる座標ｑの全空間での"総和＝積分"が１になること,∫ｄｑ|ｑ＞＜ｑ|＝１であることです。

よって,遷移確率振幅＜ｑ_f|exp{－(ｉ/ｈ_c)Ｈ(ｔ_f－ｔ_i)}|ｑ_i＞を時間分割して＜ｑ_j+1|exp{－(ｉ/ｈ_c)ＨΔｔ}|ｑ_j＞と細分化した際,各細分時刻ｔ_jにおいて,∫ｄｑ(ｔ_j)|ｑ(ｔ_j)＞＜ｑ(ｔ_j)|(＝1)を挿入しても結果は変わりません。

そして,各々の細分では＜ｑ_j+1|exp{－(ｉ/ｈ_c)ＨΔｔ}|ｑ_j＞＝＜ｑ_j+1|exp{－(ｉ/ｈ_c)ｐ(ｔ_j){ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}＋(ｉ/ｈ_c)ΔｔＬ[ｑ(ｔ_j),{ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}/Δｔ]|ｑ_j＞と表現できます。

ここで,ｑ_j≡ｑ(ｔ_j),Δｔ≡(ｔ_f－ｔ_i)/Ｎであり,ｔ_i≡ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜...＜ｔ_j＜ｔ_j+1＜...＜ｔ_Ｎ≡ｔ_f です。

結局,遷移確率振幅は＜ｑ_f|exp{－(ｉ/ｈ_c)Ｈ(ｔ_f－ｔ_i)}|ｑ_i＞＝Π_j^N＜ｑ_j+1|exp{(ｉ/ｈ_c)ΔｔＬ[ｑ(ｔ_j),{ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}/Δｔ]|ｑ_j＞となります。

この式の右辺でＮ → ∞とした極限が経路積分です。

そして,この経路積分の計算結果においては,被積分関数の指数関数の中で最小作用の原理を満たすδＳ＝0 の部分の寄与が最大になります。

つまり,古典的な軌道に相当する経路が"遷移確率振幅＝伝播関数(propagator)"に大部分の寄与をすることがわかっています。

これは,古典論と量子論の隙間(gap)を埋める話として一つの注目に値する論点であると考えられます。

参考文献：大貫義郎著「解析力学」(岩波書店) 並木美喜雄著「解析力学」(丸善) 深谷賢治著「解析力学と微分形式」(岩波書店)

力学覚え書き(その1)

ノーベル医学生理学賞が体内時計。。物理学賞が重力波 

ということで,思いついたことを少し。。
 

最初の思いつきは, 体内時計の時間が今の地球自転周期24時間と 

約1時間のずれがあるらしい,という話と月や太陽の地球への重力 

による潮汐力の効果で地球の自転速度が年々僅かずつ遅くなって 

いるという話が結び付く？と浅薄な邪推をしたことでした。 

しかし,これらは向きが逆の話で勘違いでした。。
 

宇宙空間に月と地球だけがあるとして月を質量がｍの質点で近似 

地球を質量がＭで自転軸のまわりの慣性モーメントがIの剛体球で 

近似,地球自転の角速度をω₁,月が地球の周りを回る軌道を円軌道 

で近似して回転角速度をω₂とします。
 

自転する地球の半径をａ,月が公転する半径(月と地球の距離) 

をＲとすると,月と地球は万有引力:Ｆ＝－ＧＭｍ/Ｒで互い 

に引っ張り合っています。
 

このとき,地球のスピン角運動量は,Ｓ＝Ｉω₁,月の公転の軌道 

角運動量はＬ＝ｍＲ²ω₂で与えられます。
 

普通に運動方程式を立てると,ｄＳ/ｄｔ＝Ｎ,ｄＬ/ｄｔ＝－Ｎ 

です。Ｎは月が地球に及ぼすトルク(力のモーメント)です。
 

系の総角運動量:(Ｓ＋Ｌ)は,系には外からのトルクが無く閉じて 

いると仮定しているので保存されます。 

すなわち,ｄ(Ｓ＋Ｌ)/ｄｔ＝0です。
 

地球の自転軸と月の公転軸の角度(地球の赤道面が公転面と 

なす角度)をθとすると,Ｎ＝ＦＲsinθ 

＝(－ＧＭｍ/Ｒ²)Ｒsinθ  

＝－(ＧＭｍ/Ｒ)sinθですから,地球の自転軸のまわりの 

慣性モーメントIと月の質量ｍは一定とすると

解くべき方程式系は,Ｉ(ｄω₁/ｄｔ)＝－(ＧＭｍ/Ｒ)sinθ(1), 

および,ｍ{ｄ(Ｒ²ω₂/ｄｔ)＝(ＧＭｍ/Ｒ)sinθ(2),あるいは, 

ω₂(ｄＲ/ｄｔ)＝{ＧＭ/(2Ｒ²)} sinθ－Ｒ(ｄω₂/ｄｔ)(2)’

です。
 

(2)は,公転角速度ω₂の変化が小さいとして無視する近似では 

月と地球の距離Ｒが増加して離れていくことを意味する式

になります。
 

他方,剛体球近似では地球半径がａなら,Ｉ＝(2/5)Ｍａ²ですから 

ｄω₁/ｄｔ＝－{5Ｇｍ/(2ａ²Ｒ)sinθの率で自転が遅くなります。
 

大体の見積りは,今の自転周期がＴ＝24時間＝24×3600秒で 

ω₁＝2π/Ｔ,地球半径:ａ～ 6400km ＝ 6.4×10⁶ｍ, 

万有引力定数が:Ｇ ～ 6.67 × 10^-11 Ｎm² kg^-2 月の質量　 

ｍ～ 5.75×10²²kg,月と地球の距離:Ｒ ～ 38万4千km

＝3.84×10⁸ｍ 

θ～23.5度＝23.5π/180,sinθ～ 0.4　を代入して計算すると 

ｄω/ｄｔ＝－Ｇｍ sinθ/(Ｒａ²) ～ －10^-11くらいです。
 

(※地軸の傾きは23.4度とか23.5度とか小学校で習ったけど月の 

公転面の傾きθとしてこれを採用してもいいのかな？)
 

今から1万年＝3.15×10¹¹秒後ではω₁の減少はΔω₁～ -3, 

10万年～ 3.15×10¹²秒が経つと,Δω₁ ～ －30です。
 

現在は,自転角速度はω₁～24×3600/(2π)～ 13758,ですが, 

今から10万年経つと,30/137583＝1/600の割合で角速度が小さく 

なります。自転周期＝1日が24時間＝86400秒ですから,その1/600 

は約150秒＝2分30秒です。
 

大体の見積りでは10万年当たり.これだけ1日が延びる勘定です。 

単純計算では,哺乳類,人類誕生の200万年前の自転周期－1日は 

23時間くらいで,今よりも短いようです。。。
 

ありゃ昔の方が短かいのか？？と,実際にはここで初めて勘違いに 

気付きました。
 

体内時計の1日は25時間に近いことが知られているので,最初. 

これは昔の方が1日が長くて,体内時計がこれに同期していた？ 

と考えたのでしたが.実は昔は今より回転が速かったのなら1日が 

短いので反対でした。。相変わらず,オッチョコチョイです。
 

ところで,この計算自体合ってるのかな？自信はありません。

この頃は本当に字だけの本が読みたいけど,老眼鏡でも見えず, 

判読疲れで細かい本は読めません。理科年表でさえ読み辛く

この頃は記憶に頼るか,ネットで調べて拡大する方が早いです、

とても不便です。
 

まあ,そういう意味では,計算しなくてもネットで探せば何でも 

ある時代ですが,自分で確かめないとダメという性分なので。。
 

しかし,2億年続いた恐竜の滅亡は地磁気のＮとＳの逆転が原因？ 

とか言われているらしいし,月以外に太陽の影響もあるし氷河期も 

あったし。。月が衛星になって何十億年も同ペースで,外から突然 

の衝撃なども受けず,静かに閉じた系として進展してきたのか？も 

疑問ですが。。
 

ところで,本ブログでは初等力学について.余りり論じてなかった 

ので,これを機に剛体や質点系力学についておさらいしてみます。
 

これも,眼が悪くて参考書をろくに読めないので,主として記憶に 

頼りますが。。
 

ｎ個の質点から成る質点系があるとし,そのｉ番目の粒子質量を 

ｍ_i,位置座標をｒ_iとして,その速度を,ｖ_i＝ｄｒ_i/ｄｔとします。
 

その運動量をｐ_i＝ｍ_iｖ_iで定義すると,各々の質点が従う古典論の 

Newtpnの運動方程式はｄｐ_i /ｄｔ＝Ｆ_iです。 

ここで,Ｆ_iは質点ｉに作用する力です。
 

質点ｉに作用する力:Ｆ_iは,ｎ個の系の外部から作用する外力Ｆ^ext_i 

と系の他の質点ｊ(ｊ≠ｉ)がｉに及ぼす内力:Ｆ^int_jiの総和の和 

に分割されます。すなわち,Ｆ_i＝Ｆ^ext_i＋∑_ｊ≠iＦ^int_jiです。
 

系内の粒子同士で互いに及ぼす内力:Ｆ^int_jiは電気力.重力のような 

もので.作用・反作用の法則から,Ｆ^int_ji＝－Ｆ^int_ij、および, 

(ｒ_i－ｒ_ｊ)×Ｆ^int_ij＝0　が満たされます。
 

ここで,双質量をＭ＝Σｍ_iとして,系の重心の位置ベクトルを 

Ｒ＝Σｍ_iｒ_i/Ｍで定義します。
 

重心速度は,Ｖ＝ｄＲ/ｄｔ＝Σｍ_iｖ_i/Ｍ,重心運動量はＰ＝ＭＶ 

＝Σｐ_iで与えられます。
 

ｄｐ_i /ｄｔ＝Ｆ^ext_i＋∑_ｊ≠iＦ^int_jiを総和することで,重心運動 

の方程式:ｄＰ/ｄｔ＝Σ_iＦ^ext_iが得られます。
 

他方,質点iの原点の回りの角運動量をｌ_i＝ｒ_i×ｐ_iで定義すると, 

ｄｌ_i/ｄｔ＝(ｐ_i×ｐ_i)/ｍ_i＋ｒ_i×(ｄｐ_i/ｄｔ) 

＝ｒ_i×Ｆ_i＝ｒ_i×Ｆ^ext_i＋∑_ｊ≠i(ｒ_i×Ｆ^int_ji) が成立します。
 

系の総角運度量をＬ＝Σ_iｌ_i＝Σ_i(ｒ_i×ｐ_i)とすると, 

ｄＬ/ｄｔ＝Σ_i(ｒ_i×Ｆ^ext_i)＋Σ_i∑_ｊ≠i(ｒ_i×Ｆ^int_ji) 

＝Σ_i(ｒ_i×Ｆ^ext_i)＝Σ_iＮ^ext_i＝Ｎ　と書けます。
 

ここで,位置ｒにある質点に働く力がＦのとき,Ｎ＝ｒ×Ｆをその 

質点にかかる原点:Ｏの回りのトルク(力のモ－メント)と呼ぶと, 

Ｎ^ext_iは質点ｉにかかる外力だけのトルクであり,Ｎはその総和 

を意味します。
 

最後の等式では,内力のトルクの総計がゼロを用いました。
 

何故なら,Σ_i∑_ｊ≠i(ｒ_i×Ｆ^int_ji)＝(1/2)[Σ_i∑_ｊ≠i (ｒ_i×Ｆ^int_ji) 

＋Σ_j∑_ｊ≠i (ｒ_j×Ｆ^int_ij)]＝(1/2)Σ_i,j(i≠j)(ｒ_i－ｒ_j)×Ｆ^int_ji＝0 

となるからです。
 

さて,今では通常の物質は全て微小な分子の集まりでできている 

ことを知っています。そして.その個数は我々の常温,常圧で1cm³ 

の体積中に10²²個も存在するオーダーなので,構成分子を質点と 

みなしても,物質の塊は莫大な個数の質点系です。
 

このとき,系の内力は基本的に電気力で,それは分子を束縛する 

分子間力と呼ばれています。
 

それ故,古典物理では物体を連続体近似することが多いようです。 

例えば,気体,液体,固体を弾性体,気体,液体をそれぞれ,圧縮性, 

非圧縮性の流体で近似したり,固体を剛体で近似します。
 

特に,剛体というのは弾性体的には応力が無限大で全く変形しない 

理想的な固体モデルです。したがって,その物体内での異なる2点 

(原点Ｏともう1点)の位置が指定できれば,その剛体の位置状態は 

完全に決まります。
 

そこで,この2点の6個の座標の軌道を求める独立な6個の方程式 

があり,これが解ければ 異なる2点の運動が定まります。 

それ故,剛体の運動を定めるには,６個の方程式が必要十分です、
 

ところで,ここまでの質点系の論議で,重心運動の方程式: 

ｄＰ/ｄｔ＝Σ_iＦ^ext_i＝Ｆは独立成分が３個の方程式です。
 

また,方程式:ｄＬ/ｄｔ＝Σ_i(ｒ_i×Ｆ^ext_i)＝Σ_iＮ^ext_i＝Ｎ 

も独立成分は３個で.合わせて独立成分6個の方程式なので, 

これらを運動を決める必要十分な方程式と見ることができます。
 

1質点なら運動方程式は３個で十分だったのですが,大きさのある 

剛体モデルなら６個に増えます。
 

特に,原点Ｏを含む固定軸の回りを角速度ωで回転している剛体は,

角運動量の総和:Ｌは.回転軸をｚ軸にとる座標系で 

Ｌ＝Σ(ｒ_i×ｍ_iｖ_i)＝{Σｍ_i(ｘ_i²＋ｙ_i²)}ω＝Ｉω； 

Ｉ＝Σｍ_i(ｘ_i²＋ｙ_i²)と書けます。
 

このとき,Ｉを,このｚ軸のまわりの慣性モーメントと呼びます。
 

離散的なｎ個の質点でなく位置ｒにおける密度がρ(ｒ)の連続体 

ならＩ＝∫_Ｖｄ³ｒρ(ｒ)ｒ²sin²θ＝2π∫ｄ³ｒρ(ｒ)ｒ⁴sin²θと 

書けます。
 

ただし,θは極座標表示:ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ) 

＝(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)　の極角です。
 

特に密度が一様:ρ(ｒ)＝ρで半径がａの球の自転軸のまわり 

の慣性モーメントなら,Ｉ＝∫ｄ³ｒρｒ²sin²θ 

＝2π∫₀^ａｄｒρｒ⁴∫_-1¹ｄ(cosθ)sin²θ＝8πρａ⁵/15です。 

そこで,質量がＭならＭ＝4πρａ³/3よりρ＝3Ｍ/(4πａ³)なので 

I＝(2/5)Ｍａ²を得ます。

 

ここで特に,ｒ_i＝Ｒ＋ｒ~_iと書いて,重心座標と相対座標 

を分離します。 

両辺をｔで微分するとｖ＝Ｖ＋ｖ~_i です。すぐわかるように, 

Σ_iｍ_iｖ~_i＝0 なる性質があります。
 

故に,総運動エネルギーＴは,Ｔ＝(1/2)Σｍ_iｖ,² 

＝(1/2)ＭＶ²＋(1/2)Σｍ_iｖ~_i²＋ＶΣｍ_iｖ~_i 

＝(1/2)ＭＶ²＋(1/2)Σｍ_iｖ~_i²となり,Ｔは重心運動エネルギー: 

Ｔ_Ｇ＝(1/2)ＭＶ²と相対運動エネルギー:Ｔ~＝(1/2)Σｍ_iｖ~_i² 

に分離されます。
 

系全体が重心を含むある固定軸の回りを角速度ωで回転 

している剛体では, 固定軸をｚ軸に取ると,相対運動の速度 

がｖ~_i＝(ｘ~_i²＋ｙ~_i²)^1/2ω で与えられるので,
 

相対運動のエネルギー＝回転エネルギーは, 

Ｔ~＝(1/2)Σ_iｍ_iｖ~,²＝(1/2)Σｍ_iｖ~_i² 

＝(1/2)Σ(ｘ~_i²＋ｙ~_i²)^1/2ω²＝(1/2)Ｉ~ω² 

で与えられます。
 

ここでは,Ｌ~＝Σ(ｒ~_i×ｍ_iｖ~_i)＝Ｉ~ω,；であり 

Ｉ~＝Σｍ_i(ｘ~_i²＋ｙ~_i²)です。
 

例題として,高校物理で学んだような物体が自分の重みで斜面を 

下りてくる問題を考えます。
 

滑って下りてくるとき,物体を質量ｍの質点で近似して摩擦ゼロと 

すると.質点の速度ｖはニュートン力学の力学的エネルギーの 

保存則から斜面の最高点(出発点)からの降下高さｈとすると, 

位置エネルギー減少分＝ｍｇｈ＝(1/2)ｍｖ²＝運動エネルギー 

の増加分ですから,その点での斜面上の速度の大きさは 

ｖ＝(2ｇｈ)^1/2です。
 

しかし,一般には物体は質点じゃなくて,大きさがあります。 

斜面を下りてくるのがパチンコ玉のようなものとして半径が 

ａの剛体球近似し,今度は滑りは全く無く完全に転がり下りる 

とし,蛇行せず直線的に転がるとして回転の角速度をωと 

してみます。
 

ｖ_回転＝ａωで,慣性モーメントをＩとすると回転エネルギ^― 

は,(1/2)Ｉω²です。
 

球の中心＝重心の速度の大きさも,ｖ＝ａωですから重心運動の 

運動エネルギーは,(1/2)ｍｖ²＝(1/2)ｍａ²ω²です。 

故にエネルギー保存則は,ｍｇｈ＝(1/2) ｍａ²ω²＋(1/2)Ｉω² 

あるいは,,ｍｇｈ＝(1/2) ｍｖ²＋(1/2)(Ｉ/ａ²)ｖ² 

＝(1/2){ｍ＋(Ｉ/ａ²)}ｖ²となり実質的に慣性モーメント分だけ 

降下速度が減少します。
 

球の公式:Ｉ＝(2/5)ｍａ²を代入すると(9/10)ｍｖ²＝ｍｇｈ=から 

ｖ＝(10ｇｈ/9)^1/2です。
 

近似計算でしたが,半径が大きいほど,ゆっくり転がり下りてくる 

というっ常識に合っています。
 

ところで地球から月を見ると,常に一方の面しか見えず,これは 

自転周期と公転周期が全く一致しているためですが,地球への 

月の潮汐力の反作用の結果であるとされています。
 

実際の地球の海の潮汐は,月だけでなく太陽も影響して新月や満月 

では地球に対し両者がほぼ直線に並んで重力を及ぼすので気象に 

特有のタイムラグありますが,こうしたとき大潮になるようです。
 

一般に,月に限らず,どの衛星や惑星の自転-公転系でも長時間が 

経てば自転周期と公転周期が同期するところでバランスする 

という共鳴現象がある,ことを以前から聞いています。
 

量子論でのプランク定数による束縛電子の離散的軌道でもない 

だろうし古典軌道の固有周期運動が本当に整数比で安定になる 

のか？という疑問と.それが真ならその理由は何か？について 

興味津々ですが,生半可ではうまく計算できないので,そこらが 

詳しい天体力学の本が読めたら読むということでPendingにして 

終わります。

うらぶれ　このみに　ふくかぜかなし。。

再掲載記事：解析力学の初歩

　今日は思うところあって2007年11/５の過去記事「解析力学の初歩」をそのまま再掲載します。

　このところ「Dirac方程式の導出（3）」の草稿を入院前,入院中もずっと書いていたのですが,。。。 

　この課題の最後の主題が電磁相互作用がある場合に,非相対論極限でDirac方程式から自動的に非相対論のPauliのスピン相互作用を含む方程式が再現されることの説明であり,それには電磁場がある場合の古典的な解析力学の定式化を復習する必要があったからです。

　まあ手抜きの一つではありますが。。^^;;

　※以下,再掲載記事です。

今日は,最初はBerryの位相とAharanov-Bohm効果(ＡＢ効果)の関係などを論じることを計画していたのですが。。

　その前に,必要な「断熱定理」と関連してHamiltonianが時間ｔに陽に依存する場合の解析力学の定式化が私は気になりました。

　それを考えているうちに,我ながら解析力学の基本的なことの理解が完全ではないことに気付いて,復習してみようという気になったので記事＝日記にします。

　イヤ,ここで記事に書いていることのほとんどは,私は既に何度も勉強したり考えたりしたことがあることばかりなんですよ。

　でも,そうした論題が出てくるたびに,もちろん,文章や数式の一言一句まで内容を全部記憶しているわけじゃないし,新たな疑問や過去にはヒョットして勘違いしていたのじゃないか?という疑いが出てきます。

　特に物理学や数学に限らず,モノを知るのには必要な知見を全部記憶する必要はなく(そもそもコンピュータでも不可能でしょう),

　どういうときに,どこのどういうモノを調べればいいか？ということがわかり,そういう参考文献を探して読んだときに,小時間のうちに疑問を解決できる能力を体得するのが,過去に学校で学んだ意味だと思っています。

　ですから,気になったらその都度調べたり考えたりするだけです。

　以下は,主として自分のためのおさらいなので,ここで論じている定式化の手順は,必ずしも標準的な教科書の順番ではなく私の思い付きの順になっています。

　通常のNoether(ネーター)の定理で時間の一様性によって,"エネルギー＝Hamiltonian"Ｈが保存されるという描像は,ｑ_r(ｒ＝1,2,...,Ｎ)を自由度がＮの一般化座標,ｐ_r(ｒ＝1,2,...,Ｎ)を一般化運動量とするとき,

　系のHamiltonian:Ｈ(ｐ,ｑ,ｔ)がｔを陽に含まないこと:

　Ｈ(ｐ,ｑ,ｔ)＝Ｈ(ｐ,ｑ)と書けることと同定されます。

　しかし,一般的な力学系においては力学的エネルギーが保存しない場合が存在することも事実です。

　これは,純粋な力学的エネルギーをＨとするとき,その他に熱エネルギーとか,電気的エネルギーなどが存在して摩擦などの散逸により力学的エネルギーの一部が熱に転化して消散していく場合などが,それに相当します。

　もっとも素粒子のレベルまでの微視的な見方では,もはやエネルギーを力学的云々とか,種類ごとに分類する必要もなく,時間の一様性は常に確実に成立していて,Hamiltonian:Ｈは確かに時間ｔを陽に含むこともないので,全体としても微視的過程でもエネルギーの保存は常に正確に成立します。

一般に保存力場の場合には,一般化速度をｑ^d_r≡ｄｑ_r/ｄｔで定義すると,系のLagrangianＬ(ｑ,ｑ^d,ｔ)はＬ＝Ｔ－Ｕで与えられます。

Ｔは運動エネルギーでＴ＝(1/2)Σ_r,s=1^Nａ_rs(ｑ)ｑ^d_rｑ^d_sなる２次形式で与えられ,Ｕは保存力場のポテンシャルで位置座標ｑ＝(ｑ₁,ｑ₂,...,ｑ_N)の関数Ｕ＝Ｕ(ｑ)です。

そして,ｐ_r≡∂Ｌ/∂ｑ^d_rであり,Hamiltonianは,

Ｈ＝Σ_r=1^Nｐ_rｑ^d_r－Ｌ＝Σ_r,s=1^Nａ_rs(ｑ) ｑ^d_rｑ^d_s－(Ｔ－Ｕ)

＝2Ｔ－(Ｔ－Ｕ)＝Ｔ＋Ｕとなります。

この場合にはＨは系全体のエネルギーと一致します。

そして,Ｈがｔを陽に含まないなら,∂Ｈ/∂ｔ＝0 ですから,

ｄＨ/ｄｔ＝Σ_r=1^N(∂Ｈ/∂ｑ_r)ｑ^d_r＋Σ_r=1^N(∂Ｈ/∂ｐ_r)ｐ^d_r

です。

ｐとｑの微小変分に対するＨの変分δＨは,

δＨ＝δ(Σ_r=1^Nｐ_rｑ^d_r－Ｌ)

＝Σ_r=1^N{δｐ_rｑ^d_r ＋ｐ_rδｑ^d_r}－δＬ　

です。

Ｌの変分δＬは,

δＬ＝Σ_r=1^N{(∂Ｌ/∂ｑ_r)_pδｑ_r＋(∂Ｌ/∂ｐ_r)_qδｐ_r}

＝Σ_r=1^N{(∂Ｌ/∂ｑ_r)δｑ_r＋(∂Ｌ/∂ｑ^d_r)}δｑ^d_r

＝Σ_r=1^N(ｐ^d_rδｑ_r＋ｐ_rδｑ^d_r)で与えられます。

ただし,この式の導出仮定で,Euler-Lagrange方程式:

(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ^d_r)－∂Ｌ/∂ｑ_r＝0 ,つまり,

∂Ｌ/∂ｑ_r＝ｄｐ_r/ｄｔ＝ｐ^d_rを用いました。 

したがって,δＨ＝

Σ_r=1^N[{δｐ_rｑ^d_r ＋ｐ_rδｑ^d_r}－{(∂Ｌ/∂ｑ_r)_pδｑ_r

＋(∂Ｌ/∂ｐ_r)_qδｐ_r}＝Σ_r=1^N(ｑ^d_r δｐ_r－ｐ^d_rδｑ_r)

となります。

それ故,これから直ちに,∂Ｈ/∂ｐ_r＝ｑ^d_r,∂Ｈ/∂ｑ_r＝－ｐ^d_r

というHamiltonの正準方程式が得られます。

以上から,∂Ｈ/∂ｔ＝0 のときには,

ｄＨ/ｄｔ＝Σ_r=1^N(∂Ｈ/∂ｑ_r)ｑ^d_r＋Σ_r=1^N(∂Ｈ/∂ｐ_r)ｐ^d_r＝0 ,

つまり"エネルギー＝Hamiltonian"Ｈが時間ｔに依らない保存量であるというよく知られた性質が導かれるわけです。

ところが,運動方程式がEuler-Lagrange方程式:

(ｄ/ｄｔ){∂Ｌ/∂(ｄｑ_r/ｄｔ)}－∂Ｌ/∂ｑ_r＝0 で与えられるのは,

必ずしもＬがＬ＝Ｔ－Ｕ,Ｕ＝Ｕ(ｑ)と書ける場合に限定する必要は

ありません。

LagrangianＬを一般のｔを陽に含むＬ＝Ｔ－Ｖ,Ｖ＝Ｖ(ｑ,ｑ^d,ｔ)

なる形であると考えてもよく,この場合,Hamiltonian:

Ｈ＝Σ_r=1^Nｐ_rｑ^d_r－Ｌ,ｐ_r≡∂Ｌ/∂ｑ^d_rもｔを陽に含みます。 

例えば,電荷がｅの荷電粒子１個の自由運動のHamiltonianを

Ｈ₀(ｐ,ｑ)とすると,それが電磁場の中にあるときには,

極小相互作用変換により

HamiltonianはＨ(ｐ,ｑ,ｔ)＝Ｈ₀(ｐ－ｅＡ,ｑ)＋ｅφとなること

が知られています。

一般に電磁場は静的な場ではないので,電磁場のスカラーポテンシャルをφ,ベクトルポテンシャルをＡとすると,これらφ,Ａは時間ｔを陽に含んでいます。

Ｌ＝ｐ(ｄｑ/ｄｔ)－Ｈ＝ｐ(ｄｑ/ｄｔ)－(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)－ｅφ

となります。

これとｐ＝∂Ｌ/∂(ｄｑ/ｄｔ)を用いると,

ｐ＝ｍｖ＋ｅＡ,ｖ≡ｄｑ/ｄｔ,かつ

Ｌ＝ｍｖ²/2－ｅφ＋ｅＡｖとなるはずです。

ここに,Ａ＝Ａ(ｒ,ｔ),φ＝φ(ｒ,ｔ)であり,どちらもｔを陽に含んでいると想定します。

これから導かれる荷電粒子の運動方程式は,ｑをｒと書き直した

Euler-Lagrange方程式:(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｖ)－∂Ｌ/∂ｒ＝0

です。

これは,

ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＋ｅｄＡ/ｄｔ＋ｅ∇φ－ｅ∇(Ａ・ｖ)＝0

という形になります。

ここで,

ｄＡ/ｄｔ＝(∂Ａ/∂ｔ)＋(ｖ∇)Ａ,Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,

Ｂ＝∇ＸＡであり,

ｖ×Ｂ＝ｖ×(∇ＸＡ)＝∇(Ａ・ｖ)－(ｖ∇)Ａですから,

結局,これはｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｅＥ＋ｅ(ｖ×Ｂ)

です。

したがって,確かに通常の１荷電粒子が従うべき非相対論的なNewtonの運動方程式が得られました。

しかし,ＨからＬを逆算するのは本末転倒で,運動方程式からLagrangian:Ｌを求め,然る後にＨ＝ｐ(ｄｑ/ｄｔ)－ＬによってHamiltonian:Ｈを導くというのが当然の道筋ですね。

実は,単に私自身が電磁場の中での荷電粒子の運動に対する

LagrangianＬの形を忘れていたので,上のプロセスは,これを安易

に求める道を取ったに過ぎません。

とにかく,古典的電磁場の中では,

Ｌ＝ｍｖ²/2－ｅφ＋ｅＡｖ＝Ｔ－ｅφ(ｒ,ｔ)＋ｅＡ(ｒ,ｔ)ｖ

となり,Ｌ＝Ｔ－Ｖ,Ｖ(ｒ,ｖ,ｔ)＝ｅφ(ｒ,ｔ)－ｅＡ(ｒ,ｔ)ｖ

となることがわかります。

そして,Hamiltonian:Ｈがｔに陽に依存するので,このＨは保存量

ではないことがわかります。

これは,今考えているHamiltonian:Ｈでは,

"全体系＝粒子＋電磁場"の中で,単に荷電粒子のエネルギーだけに

着目して,相互作用部分を除いては電磁場のエネルギーを全く考慮

していないためです。

実際,Ｈを系全体のHamiltonianとするには,電磁場のエネルギー

を表わす(1/2)∫(εＥ²＋μ^-1Ｂ²)ｄｒという項も含む必要が

あります。

ただ,ｐ＝ｍｖ＋ｅＡ,ｖ≡ｄｒ/ｄｔなる表式には,既に系の

運動量ｐが粒子の運動量ｍｖと電磁場の運動量ｅＡの代数和で

与えられることを示してはいます。

さて,より基本的な定式化を行なうために,改めて一般のｎ個

の質点系から成る物理系に対するNewtonの運動方程式から

始めます。

Newtonの運動方程式はｉ番目の粒子の質量をｍ_i,位置ベクトル

をｒ_i,その質点ｉに働く力＝(外力＋内力)をＦ_iとすると,

ｍ_i(ｄ²ｒ_i /ｄｔ²)＝Ｆ_i (ｉ＝1,2,...ｎ)なる式系で表現

されます。

そして,一般的な状況を考え,これが

f_j(ｒ₁,ｒ₂,...,ｒ_n)＝0 (ｊ＝1,2,...,ｍ)なる形で与えられる

ｍ個の拘束(束縛)条件を満たすべきケースを想定します。

静力学では各作用点での力の釣り合い:Ｆ_i＝0 に対しては

仮想仕事の原理が成立します。

これは,釣り合いを保つためには,Σ_i=1ⁿＦ_iδｒ_i＝0 を満たす変位

のみが許される,という原理です。

これを直接に動力学に拡張すると,いわゆるD'Alembertの

原理としてΣ_i=1ⁿ{Ｆ_i－ｍ_i(ｄ²ｒ_i /ｄｔ²)}δｒ_i＝0 なる式

が得られます。

さらに,ある時刻ｔにおけるｍ個の拘束条件:

f_j(ｒ₁,ｒ₂,...,ｒ_n,ｔ)＝0 (ｊ＝1,2,...,ｍ)を,微小変位δｒ_i

に対してΣ_i=1ⁿ(∂f_j/∂ｒ_i)δｒ_i＝0 が成立するという式で置き

換えてよい場合,

Lagrangeの未定係数法を利用すると,未定係数をλ_jとして,

上記,D'Alembertの原理は,

Σ_i=1ⁿ{Ｆ_i－ｍ_i(ｄ²ｒ_i /ｄｔ²)＋Σ_j=1^m{Σ_iλ_j(∂ｆ_j/∂ｒ_i)}δｒ_i＝0

なる形に帰着します。

すなわち,

Σ_i=1ⁿ{Ｆ_i＋Σ_j=1^mλ_j(∂ｆ_j/∂ｒ_i)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｖ_i)}δｒ_i＝0

と書けるわけです。

そして,ｒ_i＝(ｘ_3i-2,ｘ_3i-1,ｘ_3i)と成分表示すると,

上式はδｒ_i＝(δｘ_3i-2,δｘ_3i-1,δｘ_3i)なる変分:

δｘ_k(ｋ＝1,2,...,3ｎ),の各々に対して独立に成立します。

ｍ個のパラメータλ_jは,最後のｍ個のｋであるｋ＝3ｎ－ｍ＋1,

3ｎ－ｍ＋2,．．,3ｎに対するｍ個の連立方程式:

Ｆ_k＋Σ_j=1^mλ_j(∂ｆ_j/∂ｘ_k)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｖ_k)＝0

の解として得られるとします。

こうして,Ｎ＝3ｎ－ｍとして,Ｎを対象の力学系の"自由度"

と呼べば,自由度の数Ｎだけの個数の独立な方程式:

Σ_k=1^N{Ｆ_k＋Σ_j=1^mλ_j(∂ｆ_j/∂ｘ_k)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｖ_k)}δｘ_k＝0

が得られます。

ここで,改めて独立なＮ個の座標:ｑ_r(ｒ＝1,2,...,Ｎ)を用いて,

δｑ_rを各時刻ｔのｑ_rの変分としたときの,時間ｔに陽には依存しない

ｒ_iの変分をδｒ_i＝Σ_r=1^N(∂ｒ_i/∂ｑ_r)δｑ_rと表現すれば,

上の変分方程式は,

Σ_r=1^N(Ｆ_r＋Σ_j=1^mλ_j(∂ｆ_j/∂ｑ_r)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｑ^d_r)

＋∂Ｔ/∂ｑ_r)δｑ_r＝0 と変形されます。

ここに,Ｆ_r≡Σ_i=1ⁿＦ_i(∂ｒ_i/∂ｑ_r)で定義されるＮ個の量:Ｆ_rを

一般化力と呼びます。

そして先に決定されたパラメータλ_jに対して,

Ｃ_r≡Σ_j=1^mλ_j(∂ｆ_j/∂ｑ_r)を拘束力と呼び,いわゆる滑らかな

拘束:Σ_r=1^NＣ_rδｑ_r＝0 つまり,拘束力は仕事をしないと

考えると,

Σ_r=1^N(Ｆ_r－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｑ^d_r)＋∂Ｔ/∂ｑ_r)δｑ_r＝0

と書けます。

この等式では,Ｎ個のδｑ_rは全て独立なので,

(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｑ^d_r)－∂Ｔ/∂ｑ_r＝Ｆ_rなる

Lagrangeの方程式の系が得られます。 

ここで,特にＦ_r＝Σ_i=1ⁿＦ_i(∂ｒ_i/∂ｑ_r)＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｖ/∂ｑ^d_r)

－∂Ｖ/∂ｑ_rとなるようなＶ＝Ｖ(ｑ,ｑ^d,ｔ)が存在する場合なら,

Ｌ＝Ｔ－Ｖとおけば,(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｑ^d_r)－∂Ｔ/∂ｑ_r＝Ｆ_rは,

Euler-Lagrangeの方程式(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ^d_r)－∂Ｌ/∂ｑ_r＝0

に一致します。

先の,電磁場の中での荷電粒子の運動についての考察から得られた

Ｌ＝Ｔ－Ｖ,Ｖ(ｒ,ｖ,ｔ)＝ｅφ(ｒ,ｔ)－ｅＡ(ｒ,ｔ)ｖでは,

電磁力:Ｆ＝ｅＥ＋ｅ(ｖ×Ｂ)が,上述のＶに対する条件式:

Ｆ＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｖ/∂ｖ)－∂Ｖ/∂ｒを確かに満足しています。

今日は,取り合えず,私的には納得できたのでこれで終わります。

※以上,再掲載終了です。

ＷＫＢ近似,ハミルトン・ヤコービ方程式,経路積分(再掲)

　今日は,まあ,手抜きなのですが,過去の科学記事(バックナンバー)の中から我ながら秀逸と思った記事をもう一度表舞台に出してお茶を濁します。

　余談ですが私の思いつきの今日の一言:"性悪説"の時代(戒律を課し罰を与える旧約の神) →"性善説"の時代 (すべて全てを恕(ゆる)す新約の神)→？？

　「沈黙は金,雄弁は銀(トーマス・カーライル)」,。。この言葉ができた当時は銀の価値の方が金よりも上だったそうで言葉の価値,偉大さを述べたものらしく一般的な普通の解釈とは逆かも知れません。

　ただし雄弁とは単なるおシャベリを意味するものではなく,駄弁なら沈黙の方がましでしょう。

(以下,2006年10月８日に書いた記事の再掲です。

　今日は量子論におけるＷＫＢ近似が,なぜ半古典近似と呼ばれるのか,を解析力学のハミルトン・ヤコービの方程式と関連付けて説明し,さらに経路積分との関連についても手短かに述べてみたいと思います。

　まず,古典力学の力学系での一般化座標をｑ_r(ｒ＝1,2...ｎ)とし,系を記述するラグランジアン(Lagrangian)をＬ(ｑ,ｑ^d,ｔ)とします。

　ここで,ｑはｑ_r全体を総称しｑ^d≡ｑ^dotはｑの時間による微分:ｑ_r^d≡(ｄｑ_r/ｄｔ)の全体を意味します。

　さらに,ｐ_r≡(∂Ｌ/∂ｑ_r^d)を一般化運動量と定義します。

　このｐ_r＝(∂Ｌ/∂ｑ_r^d)を解いてｑ_r^dをｑ_rとｐ_rの関数で表わしたものを,式:Ｈ≡∑ｐ_rｑ_r^d－Ｌの右辺のｑ_r^d に代入したものを系のハミルトニアン(Hamiltonian):Ｈ(ｑ,ｐ,ｔ)と定義します。

　このとき,元々のニュートンの運動方程式は,これをダランベールの原理(D'Alembert)で加工して一般化し,一般化座標の方程式に変換したｎ個のオイラー・ラグランジュ方程式[ｄ(∂Ｌ/∂ｑ_r^d)/ｄｔ]－∂Ｌ/∂ｑ_r＝0 に取って代わられます。

　さらに,ｑ_r^d≡(ｄｑ_r/ｄｔ)＝(∂Ｈ/∂ｐ_r),ｐ_r^d≡(ｄｐ_r/ｄｔ)＝－(∂Ｈ/∂ｑ_r)なる形の2ｎ個の１階微分方程式＝ハミルトンの正準方程式に変換されます。

　ほとんどのＨ(ｑ,ｐ,ｔ)では,一般化座標の変数ｐ_r,ｑ_rを計算に都合がいいような新変数Ｐ_r,Ｑ_rに変換して,新しいハミルトニアンとしてＫ(Ｑ,Ｐ,ｔ)を作り,ハミルトンの正準方程式が形としてそのまま保存されるようにできます。

　つまり,ｑ_r^d＝(∂Ｈ/∂ｐ_r),ｐ_r^d≡－(∂Ｈ/∂ｑ_r)がＱ_r^d≡(ｄＱ_r/ｄｔ)＝(∂Ｋ/∂Ｐ_r),Ｐ_r^d≡(ｄＰ_r/ｄｔ)＝－(∂Ｋ/∂Ｑ_r)と同値になるようにできます。こうした変換を正準変換と呼びます。

　このとき,新変数による新しいラグランジアンをＬ'＝∑Ｐ_rＱ_r^d－Ｋと書けば,元のラグランジアンＬ＝∑ｐ_rｑ_r^d－Ｈとの間にある関数Ｗが存在して,Ｌ＝Ｌ'＋(ｄＷ/ｄｔ)なる等式が成り立つはずです。

　これは,変換の下で理論が不変に保たれるための必要十分条件です。この結果,∑ｐ_rｑ_r^d－Ｈ＝∑Ｐ_rＱ_r^d－Ｋ＋(ｄＷ/ｄｔ)と書けます。

　関数Ｗ はｔのほかにはｐ,ｑ,Ｐ,Ｑの4ｎ個の変数の関数ですが,このうち独立な変数は2ｎ個だけですから,例えばＷ＝Ｗ(ｑ,Ｐ,ｔ)と独立変数を選んでみます。

　このときは,ｄＷ＝∑ｐ_rｄｑ_r＋∑Ｑ_rｄＰ_r＋(Ｋ－Ｈ)ｄｔなる式によってｐ_r＝∂Ｗ/∂ｑ_r,Ｑ_r＝∂Ｗ/∂Ｐ_r,Ｋ＝Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔとなります。

　次に,特に変換によって特異になる危険性を犠牲にしてもハミルトニアンＫが恒等的にゼロになる:Ｋ≡0 となる特別な正準変換があったらと想定してみます。

　このときには,ハミルトンの正準方程式はＰ_r^d≡(ｄＰ_r/ｄｔ)＝0 ,Ｑ_r^d≡(ｄＱ_r/ｄｔ)＝0 となり,座標点は全て時間的に静止していて,Ｐ_r＝α_r(定数),Ｑ_r＝β_r(定数)とすることができて最高に好都合です。

　そして,このとき元の正準変換に戻ってみるとｑ＝ｑ(Ｑ,Ｐ,ｔ)＝ｑ(β,α,ｔ),ｐ＝ｐ(Ｑ,Ｐ,ｔ)＝ｐ(β,α,ｔ)と,2ｎ個の積分定数または初期条件を含む解が求まるわけです。

　つまり"一般化座標の時間的変化＝軌道"は全て決まる,あるいは問題は完全に解けることになります。

　そして,Ｗ＝Ｗ(ｑ,Ｐ,ｔ)＝Ｗ(ｑ,α,ｔ),ｐ_r＝∂Ｗ/∂ｑ_r,β_r＝∂Ｗ/∂α_rと書くこともできます。

　そこで,逆にこうした都合のいい関数Ｗを求めるための方程式Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝Ｋ＝0 ,つまり,Ｈ[ｑ,∂Ｗ(ｑ,ｔ)/∂ｑ,t]＋∂Ｗ(ｑ,ｔ)/∂ｔ＝0 で与えられると考えます。

　そして,微分方程式Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝0 を解くことによって,積分定数αを含むＷ(ｑ,α,ｔ)が得られると考えることもできるわけです。

　この方程式:Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝0 をハミルトン・ヤコービ(Hamilton-Jacobi)の偏微分方程式と呼びます。

　特にハミルトニアンＨが時間ｔを陽には含まないときには,Ｈは固定したｑ,ｐに対しては時間的に一定になるので,Ｈ(ｑ,ｐ)＝Ｅ (定数)とかくことができます。

　Ｈがｔを陽に含まない場合にはネーターの定理(Noether's theorem)によって,右辺の定数Ｅがいわゆるエネルギーであり,時間的に変化しない保存量であることはよく知られた事実です。

　このとき,Ｈ(ｑ,ｐ)＝Ｅにより,ハミルトン・ヤコービの偏微分方程式:Ｈ＋∂Ｗ/∂ｔ＝ 0 はＷ(ｑ,α,ｔ)/∂ｔ＝－Ｅ (一定)となりますからＷ(ｑ,α,ｔ)＝Ｓ(ｑ,α)－Ｅｔと書いてよいことになります。

　ｐ_r＝∂Ｗ/∂ｑ_r＝∂Ｓ/∂ｑ_rなので,結局Ｈ(ｑ,∂Ｓ/∂ｑ)＝Ｅ (ただしｐ＝∂Ｓ/∂ｑ)と表現できて,方程式は少し簡単になります。

Ｈがｔを陽に含まない場合,Ｗが一定の面を波動光学からのアナロジーで,ある力学的波動の位相が一定の面を表わすものであると考えてみます。

Ｗ＝(Ｓ－Ｅｔ)という量から,"Ｓと同じ単位＝(エネルギー×時間)"を持つある比例定数:ｈ_cを用いて,単位のない変数(Ｗ/ｈ_c)＝{(Ｓ/ｈ_c)－(Ｅ/ｈ_c)}を作り,これを位相としてω＝Ｅ/ｈ_cを角振動数2πνとするような波動を考えることにして,その波動を表わす量をψと定義します。

すなわち,ψ＝Ａexp(iＷ/ｈ_c)＝Ａexp[i{(Ｓ/ｈ_c)－ω}ｔ] (ω≡Ｅ/ｈ_c)とします。

特に１変数のみの系では,ｐ＝∂Ｓ/∂ｑ＝∇Ｓから,ｐψ＝(∇Ｓ)ψ＝(－iｈ_c∇ψ)となるので,記号的にはｐ ～ (－iｈ_c∇)と見なすことができます。

ｈ_cをプランク(Planck)定数＝(ｈ/2π)と同一視すれば,ψは量子力学の波動関数に対応し,ハミルトン・ヤコービの偏微分方程式は正にシュレーディンガー(Schödinger)方程式になります。

古典力学と量子力学との間には大きな谷間(gap)があり,それぞれが独立な法則＝公理を持つ独立な理論なので,古典力学から何の飛躍もなく量子力学を導くことは不可能ですが,前期量子論の段階では上記のような推論がなされていたと思われます。

こうしたことから,ＷＫＢ近似という量子力学の問題を解く1つの近似法＝"時間を含まない定常波動関数ｕ(ｘ)をexp[iＳ(ｘ)]なる形式で表現して近似するという方法"は半古典近似という名称で呼ばれているのでしょう。

ところで,上述のＳ(ｑ,α)はラグランジアンで表わすとＳ＝∫Ｌ(ｑ,ｑ^d,ｔ)ｄｔと書けます。これはいわゆる作用(作用積分)と呼ばれる量です。

つまり,Ｓは"系の運動はｑの変分δｑに対する作用Ｓの変分がゼロ:δＳ＝0 となる＝Ｓが停留値を取るという条件によって与えられる。"という１つの基本的な変分原理＝最小作用の原理の元になる作用関数になっています。

そこで,量子力学でファインマンの経路積分(Feynman)を用いた理論展開で,時間発展の確率振幅が作用Ｓによって,＜ｑ_f|exp{－(ｉ/ｈ_c)Ｈ(ｔ_f－ｔ_i)}|ｑ_i＞＝Ａ∫Ｄｑexp[(ｉ/ｈ_c)Ｓ(ｑ(ｔ))]と表現されることが思い出されます。

私見では,これはＤｑがあらゆる分岐した経路にわたる積分であるという意味で,多世界解釈にもつながると考えているのですが,それはさておき,経路積分の意味を説明します。

　

この経路積分の公式は,作用ＳをＳ(ｑ(ｔ)) ～ Δｔ∑_j^NＬ[ｑ(ｔ_j),{ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}/Δｔ]と分割し,中間状態の射影演算子|ｑ(ｔ_j)＞＜ｑ(ｔ_j)|を考えたとき,中間状態の完全性を利用すれば得られます。

中間状態の完全性とは,あらゆる座標ｑの全空間での総和＝積分が１になること,∫ｄｑ|ｑ＞＜ｑ|＝１であることです。

すなわち,遷移確率振幅＜ｑ_f|exp{－(ｉ/ｈ_c)Ｈ(ｔ_f－ｔ_i)}|ｑ_i＞を時間分割して,＜ｑ_j+1|exp{－(ｉ/ｈ_c)ＨΔｔ}|ｑ_j＞と細分化したとき,各細分時刻ｔ_jにおいて,１＝∫ｄｑ(ｔ_j)|ｑ(ｔ_j)＞＜ｑ(ｔ_j)|を挿入しても結果は変わりません。

そして,各々の細分では＜ｑ_j+1|exp{－(ｉ/ｈ_c)ＨΔｔ}|ｑ_j＞＝＜ｑ_j+1|exp{－(ｉ/ｈ_c)ｐ(ｔ_j){ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}＋(ｉ/ｈ_c)ΔｔＬ[ｑ(ｔ_j),{ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}/Δｔ]|ｑ_j＞と表現できます。

ここで,ｑ_j≡ｑ(ｔ_j),Δｔ≡(ｔ_f－ｔ_i)/Ｎであり,ｔ_i≡ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜...＜ｔ_j＜ｔ_j+1＜...＜ｔ_Ｎ≡ｔ_fです。

結局,遷移確率振幅は＜ｑ_f|exp{－(ｉ/ｈ_c)Ｈ(ｔ_f－ｔ_i)}|ｑ_i＞＝Π_j^N＜ｑ_j+1|exp{(ｉ/ｈ_c)ΔｔＬ[ｑ(ｔ_j),{ｑ(ｔ_j+1)－ｑ(ｔ_j)}/Δｔ]|ｑ_j＞となり,これでＮ → ∞とした極限が経路積分です。

そして,この経路積分の計算結果においては被積分関数の指数関数の中で最小作用の原理を満たすδＳ＝0 の部分の寄与が最大になり,遷移確率振幅＝伝播関数に大部分の寄与をする,ことがわかっています。

これは古典論と量子論の隙間(gap)を埋める話として,一つの注目に値する論点であると考えられます。

参考文献：大貫義郎著「解析力学」(岩波書店) 並木美喜雄著「解析力学」(丸善) 深谷賢治著「解析力学と微分形式」(岩波書店)

電磁力学と解析力学

１月末にfolomy物理フォーラムでMössbauer(メスバウアー)効果と磁性のZeema効果などとの関連についての質問を受けたのですが,Mössbauer効果の方面については私自身ほとんど考えたり勉強したりしたことがなかったので２月初めにでも詳細にブログに書くと約束しました。

そこで,まずは「γ崩壊とメスバウアー効果」という題目で原稿を書き始め,γ崩壊の摂動Hamiltonianとして"γ線量子＝光子"と原子核との電磁相互作用を考察することから始めました。

すなわち,

摂動HamiltonianＨ'を電磁場(γ線)と核の相互作用＝電磁相互作用HamiltonianとしてＨ'＝∫ｊ^μ(ｒ,ｔ)Ａ_μ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ＝∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ－∫ｊ(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒと表わすことから始めます。

ただし,ｊ^μ＝(ｃρ,ｊ),Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)でρ(ｒ,ｔ)は電荷密度,

ｊ(ｒ,ｔ)は電流密度です。

ｖを時刻ｔに位置ｒにある電荷の速度とすると,伝導電流が存在しないときはｊ(ｒ,ｔ)＝ρ(ｒ,ｔ)ｖと書くことができます。

という文章から書き始めたのでした。

しかし,相互作用を電気双極子,磁気双極子,電気四重極子と多重極展開する際の細かい計算,特にベクトル解析での変換の計算などで２,３日つまづいたりしているうちに,

私の学生時代からの悪い癖ですが,忘れてしまったという意味も含めてはっきりとは理解していない項目があることに気付いて基礎の基礎まで降りて考察したくなってしまいました。

さて,2008年11/２の記事「解析力学の初歩」によれば,電場をＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,磁場をＢ＝∇×Ａとするとき,その中で電荷がｑの荷電粒子が運動するときの粒子の運動エネルギーをＴとすれば,

荷電粒子のLagrangianは,Ｌ＝Ｔ－Ｖ,Ｖ＝Ｖ(ｒ,ｖ,ｔ)≡ｑφ(ｒ,ｔ)－ｑｖＡ(ｒ,ｔ)で与えられることがわかります。

このとき,ｄＡ/ｄｔ＝∂Ａ/∂ｔ＋(ｖ∇)Ａ,ｖ×Ｂ＝ｖ×(∇×Ａ)＝∇(ｖＡ)－(ｖ∇)Ａなので－∂Ｖ/∂ｒ＋(+ｄ/ｄｔ)(∂Ｖ/∂ｖ)＝ｑＥ＋ｑ(ｖ×Ｂ)です。

そこで,Lagrangeの方程式:(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｖ)＝∂Ｌ/∂ｒ,

または(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｖ)＝－∂Ｖ/∂ｒ＋(ｄ/ｄｔ)(∂Ｖ/∂ｖ)は,

(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｖ)＝ｑＥ＋ｑ(ｖ×Ｂ)　となります。

そして,ｐ≡∂Ｌ/∂ｖと定義するとエネルギーを意味するHamiltonianはＨ＝ｐｖ－Ｌ＝ｖ(∂Ｌ/∂ｖ)－Ｌとなります。

今の場合,対象としているのは荷電粒子の運動を与える系ですが,実際にはこれだけでなく電磁場をも含む全体で閉じています。

全体の系は,(自由荷電粒子＋相互作用)の他に,自由電磁場:

Ｈ_M≡∫(ε₀Ｅ²＋Ｂ²/μ₀)ｄ³ｒ＝(ｃ²ε₀/4)∫(Ｆ_μνＦ^μν)ｄ³ｒ

をも加えた総和になります。

ただしＦ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μです。

さて,粒子だけの部分系での考察を続けます。

電磁場がない場合の全くの自由粒子なら正準運動量はｐ≡∂Ｌ/∂ｖ＝∂Ｔ/∂ｖですが,電磁場がある場合はＬ＝Ｔ－Ｖ,Ｖ＝Ｖ(ｒ,ｖ,ｔ)≡ｑφ(ｒ,ｔ)－ｑｖＡ(ｒ,ｔ)です。

Ｖもｖに陽に依存して,∂Ｖ/∂ｖ＝－ｑＡですから,

ｐ＝∂Ｔ/∂ｖ－∂Ｖ/∂ｖ＝∂Ｔ/∂ｖ＋ｑＡとなります。

よって,運動量ｐは自由粒子の運動量(∂Ｔ/∂ｖ)に電磁場の運動量ｑＡを加えたものとなります。

そこで,"エネルギー＝Hamiltonian"はＨ＝ｐｖ－Ｌ＝ｖ(∂Ｌ/∂ｖ)－Ｌ＝ｖ(∂Ｔ/∂ｖ＋ｑＡ)－Ｔ＋Ｖ＝ｖ(∂Ｔ/∂ｖ)－Ｔ＋ｑφです。

一方,電磁場のない自由粒子のLagrangianをＬ₀,HamiltonianをＨ₀とし,運動量をｐ₀と書けばＬ₀＝Ｔであり,Ｈ₀＝ｐ₀ｖ－Ｌ₀

＝ｖ(∂Ｌ₀/∂ｖ)－Ｌ₀＝ｖ(∂Ｔ/∂ｖ)－Ｔです。

これらを用いると電磁場のある場合の量はｐ＝ｐ₀＋ｑＡ,Ｈ＝Ｈ₀＋ｑφと書けます。そこで,ｐ₀のみの関数という意味で,

自由粒子のHamiltonianをＨ₀＝Ｈ₀(ｐ₀)と表現すれば,

Ｈ＝Ｈ₀(ｐ₀)＋ｑφ＝Ｈ₀(ｐ－ｑＡ)＋ｑφ となります。

あるいは,これは電磁ポテンシャルをＡ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)と４元ベクトル表現すれば,Ｈ/ｃ＝Ｈ₀(ｐ－ｑＡ)/ｃ＋ｑＡ⁰となります。

さらに,エネルギーと運動量も４元ベクトル表現をすると,

ｐ^μ＝(Ｈ/ｃ,ｐ),ｐ₀^μ＝(Ｈ₀/ｃ,ｐ₀)ですから,上式は,

ｐ⁰＝ｐ₀⁰(ｐ－ｑＡ)＋ｑＡ⁰,または,

ｐ⁰－ｑＡ⁰＝ｐ₀⁰(ｐ－ｑＡ)と書き直されます。

つまり,電磁場のないときのHamiltonianがＨ＝ｆ(ｐ),またはｐ⁰＝ｆ(ｐ)というｐの関数の形で与えられるとき,これをｐ⁰－ｑＡ⁰＝ｆ(ｐ－ｑＡ)と書き換えれば電磁相互作用を含む形式に変換されます。

このｐ^μ → ｐ^μ－ｑＡ^μなる置換が,いわゆる電磁場の極小相互作用変換(minimal-coupling transformation)と呼ばれるものです。

ところで,非相対論では速度がｖの自由粒子の運動エネルギーＴはＴ＝ｍｖ²/2で与えられるので,運動量はｐ₀＝∂Ｔ/∂ｖ＝ｍｖです。

それ故,自由粒子HamiltonianはＨ＝ｐ²/(2ｍ)ですから,極小相互作用変換は,Ｈ－ｑφ＝(ｐ－ｑＡ)²/(2ｍ),つまりＨ＝(ｐ－ｑＡ)²/(2ｍ)＋ｑφとなります。

このとき,(Euler-)Laglange方程式と等価なHamiltonの正準方程式は,

ｄｒ/ｄｔ＝∂Ｈ/∂ｐ＝(ｐ－ｑＡ)/ｍ＝ｖ,および

ｄｐ/ｄｔ＝－∂Ｈ/∂ｒ:ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｑＥ＋ｑ(ｖ×Ｂ) です。

したがって,これまでの手続きに従えば荷電粒子に及ぼす電気力や磁場のLorentz力による荷電粒子の正しいNewton力学の運動方程式が得られることが再確認されます。

この定式化では,電磁場があるときのHamiltonianはＨ＝(ｐ－ｑＡ)²/(2ｍ)＋ｑφ＝ｐ²/(2ｍ)－ｑｐＡ/ｍ＋ｑ²Ａ²/(2ｍ)＋ｑφです。

そこで自由粒子のHamiltonianＨ₀≡ｐ²/(2ｍ)に対して相互作用がある場合のHamiltonianをＨ＝Ｈ₀＋Ｈ'と書いて,Ｈ'＝ｑφ－ｑｐＡ/ｍ＋ｑ²Ａ²/(2ｍ)なる摂動があると解釈します。

この摂動Ｈ'はまたＨ'＝ｑφ－ｑ(ｐ－ｑＡ)Ａ/ｍ－ｑ²Ａ²/(2ｍ)＝ｑφ－ｑｖＡ－ｑ²Ａ²/(2ｍ)とも表現できます。

この一体での定式化を質量がｍ_i,電荷がｑ_i(ｉ＝1,2,..,Ｎ)の粒子の多体系に拡張すると,HamiltonianはＨ＝Σ_i=1^N[{ｐ_i－ｑ_iＡ(ｒ_i,ｔ)}²/(2ｍ_i)＋ｑ_iφ(ｒ_i,ｔ)]＝Σ_i=1^N{ｐ_i²/(2ｍ_j)}－Σ_i=1^N[ｑ_iｐ_iＡ(ｒ_i,ｔ)/ｍ_i＋ｑ_i²Ａ(ｒ_i,ｔ)²/(2ｍ_i)＋ｑ_iφ(ｒ_i,ｔ)]になります。

そして,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ'なる表現においてはＨ₀＝Σ_i=1^N{ｐ_i²/(2ｍ_j)},

かつＨ'＝Σ_i=1^N[ｑ_iφ(ｒ_i,ｔ)－ｑ_iｖ_iＡ(ｒ_i,ｔ)－ｑ_i²Ａ(ｒ_i,ｔ)²/(2ｍ_i)} です。

さらに,対象とする帯電体が総電荷がΣ_iｑ＝∫ρｄ³ｒ,総電流がΣ_iｑ_iｖ_i＝∫ｊｄ³ｒで与えられる連続体なら,上記摂動:Ｈ'は

Ｈ'＝∫(ρφ－ｊＡ)ｄ³ｒ－∫{ρ²Ａ²/(2μ)}ｄ³ｒ

＝∫ｊ^μＡ_μｄ³ｒ－∫{ρ²Ａ²/(2μ)}ｄ³ｒとなるはずです。

ここで,μは帯電体の(質量)密度です。 

しかし,そもそも電磁場の真空中のMawell方程式系は相対論を考慮した場合のみが正しい扱いですから,変換の出発点となる自由粒子のLagrangianは相対論的力学でのそれであるＬ＝－ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^1/2とすべきです。

これによれば,ｐ≡∂Ｌ/∂ｖ＝ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2です。

これからＨ＝ｐｖ－Ｌ＝ｍｖ²/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2＋ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^1/2

＝ｍｃ²/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2です。

これらは,確かに相対論的力学で与えられる式に一致しています。

これからまた,(Ｈ/ｃ)²－ｐ²＝ｍ²ｃ²,またはｐ_μｐ^μ＝ｐ⁰²－ｐ²＝ｍ²ｃ²,あるいは,Ｈ＝ｃ(ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2というよく知られたエネルギー・運動量の不変式の表現を得ます。

古典論の段階では正エネルギーのみで考察してよいので量子論で現われる負エネルギー,または反粒子などの問題は生じません。

そして,(Ｈ/ｃ)²－ｐ²＝ｍ²ｃ²に極小相互作用変換を施せば,(Ｈ－ｑφ)²/ｃ²－(ｐ－ｑＡ)²＝ｍ²ｃ²,あるいはＨ＝ｃ{(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ²}^1/2＋ｑφです。

しかし,実はｐ＝ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2＋ｑＡよりｐ－ｑＡ＝ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2,ｃ{(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ²}^1/2＝ｃ{ｍ²ｖ²/(1－ｖ²/ｃ²)＋ｍ²ｃ²}^1/2＝ｍｃ²/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2でＨ－ｑφは自由粒子のエネルギーＨ－ｑφ＝ｍｃ²/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2です。

そこで,この表式は自由粒子の質量がｍであるという以上の情報を含んではいません。

しかし,このＨ＝ｃ{(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ²}^1/2＋ｑφなる表式から正準方程式:ｄｒ/ｄｔ＝∂Ｈ/∂ｐ＝ｖ,ｄｐ/ｄｔ＝－∂Ｈ/∂ｒによって自動的に電磁場の中での荷電粒子の運動方程式が得られます。

方程式:ｄｐ/ｄｔ＝－∂Ｈ/∂ｒの左辺は,ｄｐ/ｄｔ

＝(ｄ/ｄｔ){ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2}＋ｑ(ｄＡ/ｄｔ)

＝(ｄ/ｄｔ){ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2}＋ｑ(∂Ａ/∂ｔ)＋ｑ(ｖ∇)Ａ

と変形されます。

一方,右辺は－∂Ｈ/∂ｒ＝－ｑ∇φ－ｃ{{(ｐ－ｑＡ)∂(ｐ－ｑＡ)/∂ｒ}/{(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ²}^1/2で,ｐ－ｑＡ＝ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2,ｃ{(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ²}^1/2＝ｍｃ²/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2により,

－∂Ｈ/∂ｒ＝－ｑ∇φ＋ｑ(ｖ∂Ａ/∂ｒ)と書けます。

故にｖ×Ｂ＝ｖ×(∇×Ａ)＝∇(ｖＡ)－(ｖ∇)Ａを用いれば,(ｄ/ｄｔ){ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2}＝ｑＥ＋ｑ(ｖ×Ｂ)を得ます。

これは,確かに先に書いた電磁場の中の荷電粒子に対するNewtonの運動方程式:ｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｑＥ＋ｑ(ｖ×Ｂ)を相対論に拡張した運動方程式になっています。

ところで,自由粒子のエネルギー・運動量の不変式:(Ｈ/ｃ)²－ｐ²＝ｍ²ｃ²,またはｐ_μｐ^μ＝ｍ²ｃ²に,Ｈ＝iｈ_c(∂/∂ｔ),ｐ＝－iｈ_c∇,またはｐ^μ＝iｈ_c(∂/∂ｘ_μ)を代入して簡易的に量子化をすると,

波動方程式:{(1/ｃ²)∂²/∂ｔ²－∇²＋(ｍｃ/ｈ_c)²}ψ(ｒ,ｔ)

＝{□＋(ｍｃ/ｈ_c)²}ψ(ｒ,ｔ)＝0 が得られます。

これは,自由粒子の従う相対論的波動方程式の１つであるKlein-Gordon方程式として知られているものです。

ここにψは波動関数または粒子場です。(ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)で,ｈはPlanck定数です。)

しかし,電子や原子核のようなFermi粒子(Fermion)の場合は粒子の波動関数または粒子場ψは古典論のエネルギー・運動量の不変式の平方根を取った等式:Ｈ/ｃ－(ｐ²＋ｍ²ｃ²)^1/2＝0 を量子化して得られる方程式:

iｈ_c[(1/ｃ)(∂/∂ｔ)－{(－iｈ_c∇)²＋ｍ²ｃ²)}^1/2]ψ(ｒ,ｔ)＝0

に従うことがわかっています。

すなわち,ψは左辺の平方根を行列展開して線形化たDirac方程式:

(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｍｃ)ψ(ｒ,ｔ)＝0,あるいは

(γ^μｐ_μ－ｍｃ)ψ(ｒ,ｔ)＝0 に従います。

(ψはスピノール(spinor)表現です。)

そして,γ^μｐ_μ－ｍｃに極小相互作用変換を施せば,{γ^μ(ｐ_μ－ｑＡ_μ)－ｍｃ}ψ(ｒ,ｔ)＝0 となります。

そこで,ψ~≡ψ⁺γ⁰として量子論で自由Fermi粒子のLagrangianＬをＬ＝∫Ｌｄ³ｒで与えるLagrangian密度をＬ＝ψ~(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｍｃ)ψ＝Σ_αβ{ψ~_α(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｍｃ)_αβψ_β}とすることができます。

すると正準運動量は,π_α≡∂Ｌ/∂(∂ψ_α/∂ｔ)

＝ｃ^-1∂Ｌ/∂(∂₀ψ_α)＝iｃ^-1ｈ_cψ⁺_αです。

それ故,HamiltonianをＨ＝∫Ｈ ｄ³ｒで与えるHamiltonian密度;Ｈ はＨ＝Σ_απ_α(∂ψ_α/∂ｔ)－Ｌ＝iｈ_cψ⁺∂₀ψ－ψ~(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｍｃ)ψ＝－ψ~(iｈ_cγ^k∂_k－ｍｃ)ψです。

運動方程式(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｍｃ)ψ＝0 によって,－(iｈ_cγ^k∂_k－ｍｃ)ψ＝iｈ_cγ⁰∂₀ψですからＨ＝iｈ_cψ⁺∂₀ψとも表現されます。

極小相互作用変換を施したDirac方程式:{γ^μ(ｐ_μ－ｑＡ_μ)－ｍｃ}ψ＝(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｑγ^μＡ_μ－ｍｃ)ψ＝0 に対応するLagrangian密度は,

Ｌ＝ψ~(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｑγ^μＡ_μ－ｍｃ)ψ＝Σ_αβ[ψ~_α(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｑγ^μＡ_μ－ｍｃ)_αβψ_β]です。

そして,正準運動量はπ_α≡∂Ｌ/∂(∂ψ_α/∂ｔ)

＝ｃ^-1∂Ｌ/∂(∂₀ψ_α)＝iｃ^-1ｈ_cψ⁺_αです。

Hamiltonian密度Ｈ はＨ＝Σ_απ_α(∂ψ_α/∂ｔ)－Ｌ

＝iｈ_cψ⁺∂₀ψ_α－ψ~_α(iｈ_cγ^μ∂_μ－ｑγ^μＡ_μ－ｍｃ)ψ

＝－ψ~_α(iｈ_cγ^k∂_k－ｑγ^μＡ_μ－ｍｃ)ψ＝－ψ~(iｈ_cγ^k∂_k－ｍｃ)ψ＋ｑψ~γ^μＡ_μです。

自由粒子のHamiltonianを,改めてＨ₀＝－∫{ψ~(iｈ_cγ^k∂_k－ｍｃ)ψ}ｄ³ｒとおくと,電磁場がある場合には,

Ｈ＝－∫{ψ~(iｈ_cγ^k∂_k－ｍｃ)ψ}ｄ³ｒ＋ｑ∫(ψ~γ^μＡ_μψ)ｄ³ｒ

＝Ｈ₀＋ｑ∫(ψ~γ^μＡ_μψ)ｄ³ｒと書けます。

Fermi粒子の４元電流密度は,ｊ^μ＝ｑψ~γ^μψで与えられることがわかっていますから,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ'と書いたときの"摂動＝電磁相互作用"Ｈ'は,

正確にＨ'＝ｑ∫(ψ~γ^μＡ_μψ)ｄ³ｒ＝∫ｊ^μＡ^μｄ³ｒとなります。

以上から,最初に述べたように,"電磁場(γ線)と核の相互作用＝電磁相互作用Hamiltonian"Ｈ'が確かにＨ'＝∫ｊ^μ(ｒ,ｔ)Ａ_μ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ

＝∫ρ(ｒ,ｔ)φ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ－∫ｊ(ｒ,ｔ)Ａ(ｒ,ｔ)ｄ³ｒ

と表現されることが明確に示されました。

これは今日の記事の１つの目的です。

しかし,最初の古典論での考察はむしろ自由粒子における運動量がｐ＝∂Ｔ/∂ｖ,で与えられHamiltonianが,Ｈ＝ｖ(∂Ｔ/∂ｖ)－Ｔになるという式から出発しています。

ところが,相対論における運動エネルギーは,Ｔ＝ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2－ｍｃ²となるはずで,運動量をｐ＝∂Ｔ/∂ｖで表現すると,

ｐ＝∂Ｔ/∂ｖ＝ｍｖ(1－ｖ²/ｃ²)^-3/2です。

しかし,これは相対論の自由粒子Lagrangian;Ｌ＝－ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^1/2から求めた正しい運動量:ｐ≡∂Ｌ/∂ｖ＝ｍｖ/(1－ｖ²/ｃ²)^1/2とは一致しません。

逆に,Ｌ－Ｔを計算するとＬ－Ｔ＝ｍｃ²－ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2＋ｍｃ²(1－ｖ²/ｃ²)^1/2＝ｍｃ²－ｍｖ²(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2ですから,

Ｌ＝Ｔ－ｍｖ²(1－ｖ²/ｃ²)^-1/2＋ｍｃ²です。

つまり,相対論力学では本質的でない定数項:ｍｃ²を無視しても自由粒子のLagrangianが運動エネルギーＴと一致しないと結論されます。(ただし,HamiltonianはＴと一致します。)

これで本記事でもう一つの目的としていたことも達成されました。

もう30年以上も前の話ですが,当時の指導教官に「少しぐらいつまづいても細かい事に拘泥していたら学生の数年間では目標分野の最先端まで到達できないぞ。」とか言われても,読書は繰り返しではなく１回精読主義の自分には結局無理で,今もその性格は変わりませんね。

他人に説明しようとして考察しているうちに,自分自身がドツボにはまるようではまだまだですね。

参考文献:砂川重信 著「理論電磁気学(第２版)」(紀伊国屋書店)

PS:将棋順位戦:Ｂ級１組の渡辺明竜王のＡ級昇級が確定したようです。

　

 

ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル(補遺)

前記事「ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル」で延期(Pending)にしておいた問題について気になっていたので,他の事をやっている合間にも細々と考えたり計算していたら何とか解決したので,補足記事にしておきます。

まずは,問題そのものがどうだったか？について思い出すために,前記事のその部分を再掲します。

(※再掲開始)

ここで,古典解析力学で多体系に対して定義されるPoisson括弧式:

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_s[(∂ｕ/∂ｑ_s)(∂ｖ/∂ｐ_s)－(∂ｕ/∂ｐ_s)(∂ｖ/∂ｑ_s)]

を連続体の場の理論に拡張します。

場φ_i(ｘ)に正準共役な運動量π_i(ｘ)を,π_i(ｘ)≡∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)

で定義して,Poissojn括弧式を,

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_i[(∂ｕ/∂φ_i)(∂ｖ/∂π_i)－(∂ｕ/∂π_i)(∂ｖ/∂φ_i)]

とします。

これを使用すると,場の量φ＝{φ_i(ｘ)}とNoether保存量:Ｑについては[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Σ_k[(∂φ_i/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂φ_i/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]＝∂Ｑ/∂π_iと書けます。

Ｑ＝∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄ³ｘ,ｊ⁰(ｘ,t)＝ｊ⁰(ｘ)

＝Σ_k{∂Ｌ/∂(∂₀φ_k)}Ｇ_k(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη⁰－Ｘ⁰(φ_j,∂_νφ_i)

＝Σ_kＧ_k(φ_j,∂_μφ_j)π_k(ｘ)－Ｌη⁰－Ｘ⁰(φ_j,∂_νφ_i) です。

Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j),Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が,∂₀φ_j,またはπ_jと独立な場合,

∂Ｑ/∂π_i＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)なので,

[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j) なる等式が得られます。 

すなわち,この無限小変換に際しては,δ_Lφ_i＝ε∂Ｑ/∂π_i

＝ε[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B. が成立します。

このような関係を満たす量Ｑを,この変換の生成子(generator)

と呼びます。

理論を不変(作用を不変)に保つ対称性変換に対しては,Noether保存量:Ｑは常にその変換の生成子になっていると考えられます。

一方,δ_Lπ_i＝δ_L{∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)}＝∂(δ_LＬ)/∂(∂₀φ_i)

＝ε{∂(∂_μＸ^μ)/∂(∂₀φ_i)}ですが,先にも述べたように,

Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が,∂₀φ_j,またはπ_jと独立な場合を想定するなら,

δ_Lπ_i＝0 です。

また,[π_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Σ_k[(∂π_i/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂π_i/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]＝－∂Ｑ/∂φ_iであることもわかります。

そこで,φ_i(ｘ),π_i(ｘ)の汎関数で与えられる任意の物理量を,

Ａ＝Ａ(φ_j,π_j)とすると,この対称性変換によるＡのLie変分は

δ_LＡ＝Σ_k[(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_k＋(∂Ａ/∂π_k)δ_Lπ_k(ｘ)]で,

δ_Lπ_k＝0 ゆえ,δ_LＡ＝εΣ_k(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_k となります。

一方,ε[Ａ,Ｑ]_P.B.＝εΣ_k[(∂Ａ/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂Ａ/∂π_k)

(∂Ｑ/∂φ_k)]＝Σ_k[(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_k＋ε(∂Ａ/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]

と書けます。

物理量Ｑが,δ_Lφ_i(ｘ)＝ε∂Ｑ/∂π_i＝ε[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.を満たし,

変換の生成子となっている場合,

一般に,δ_LＡ＝ε[Ａ,Ｑ]_P.B.となるであろうという予測に基づいて考察していたのですが,今のところは,どうもうまくいきません。

古典論でLie微分とPoisson括弧は,HamiltonianをＨとして,

ｄＡ/ｄｔ＝[Ａ,Ｈ] _P.B.なる関係があることから類推して,

Lie変分についてもPoisson括弧は同等な内容を与えると思ったのですが,

当面はこの項目の議論を延期します。(Pendingです。)

(再掲終わり※)

こういうのは解析力学の原点に帰って,１変数ｑのｔを陽には含まないLagrangian;Ｌ＝Ｌ(ｑ,ｑ^d)で考えるのが一番です。

ここでは,簡単のためｑ^d＝ｑ^dot≡ｄｑ/ｄｔとしました。

そして,δ_Lｑ≡εＧなる変換ｑ→ｑ＋δ_Lｑ＝ｑ＋εＧに対して,

δ_LＬ＝εｄＸ(ｑ,ｑ^d,ｔ)/ｄｔ＝ε[∂Ｘ/∂ｔ＋(∂Ｘ/∂ｑ)ｑ^d

＋(∂Ｘ/∂ｑ^d)(ｄｑ^d/ｄｔ)]と書ける場合を考察します。

δ_LＬ＝(∂Ｌ/∂ｑ)δ_Lｑ＋(∂Ｌ/∂ｑ^d)δ_Lｑ^dですが,

δ_Lｑ^d＝δ_L(ｄｑ/ｄｔ)＝ｄ(δ_Lｑ)/ｄｔです。

運動方程式であるEuler-Lagrange方程式:

(∂Ｌ/∂ｑ)－ｄ(∂Ｌ/∂ｑ^d)/ｄｔ＝0 から,

∂Ｌ/∂ｑ＝ｄ(∂Ｌ/∂ｑ^d)/ｄｔを代入すれば,

δ_LＬ＝{ｄ(∂Ｌ/∂ｑ^d)/ｄｔ}δ_Lｑ＋ｄ(δ_Lｑ)/ｄｔ

＝ｄ{(∂Ｌ/∂ｑ^d)δ_Lｑ}/ｄｔ＝εｄ{(∂Ｌ/∂ｑ^d)Ｇ}/ｄｔ

が得られます。

一方,既に述べたようにδ_LＬ＝εｄＸ/ｄｔと書けると仮定しているので,上のδ_LＬの表式の最右辺と等置すれば,

εｄ{(∂Ｌ/∂ｑ^d)Ｇ}/ｄｔ＝εｄＸ/ｄｔ　です。

そこで,Ｑ≡(∂Ｌ/∂ｑ^d)Ｇ－Ｘとおけば,ｄＱ/ｄｔ＝0 となりますが,

このＱが先の記事でも述べたような,この変換ｑ→ｑ＋δ_Lｑ＝ｑ＋εＧ

に伴なうNoether保存量です。

そして,ｑに正準共役な運動量ｐ≡(∂Ｌ/∂ｑ^d)を定義して,ｑ,ｐによる

Poisson括弧で表現することを考えれば,Ｑ＝ｐＧ－Ｘなので,

[ｑ,Ｑ]_P.B.＝∂Ｑ/∂ｐ＝Ｇ＋ｐ(∂Ｇ/∂ｐ)－(∂Ｘ/∂ｐ)]

となります。

そして,関数:Ｘ＝Ｘ(ｑ,ｑ^d,ｔ)が特にＸ＝Ｘ(ｑ,ｔ)とｑ,ｔのみの関数の場合には,もちろん∂Ｘ/∂ｐ＝0 です。

また,ｐ＝(∂Ｌ/∂ｑ^d)を逆に解いたｑ^d＝ｑ^d(ｐ,ｑ)に対して,無限小変換ｑ→ｑ＋δ_Lｑ＝ｑ＋εＧにおける関数Ｇのｐに対する依存性は.

Ｇ＝Ｇ(ｑ,ｑ^d)＝Ｇ(ｑ,ｑ^d(ｐ,ｑ))で与えられます。

この変換が座標ｑに依らない大域的変換であるとすれば,Ｇはｑの時間微分ｑ^dにも依存せず,したがってｐにも依存しないので∂Ｇ/∂ｐ＝0 となるはずですから,結局,[ｑ,Ｑ]_P.B.＝∂Ｑ/∂ｐ＝Ｇとなります。 

そこで,δ_Lｑ＝ε[ｑ,Ｑ]_P.B.＝ε∂Ｑ/∂ｐが成立し,やはりNoether保存量Ｑがこの変換の生成子といえることがわかります。

一方,ｐ＝(∂Ｌ/∂ｑ^d)なので,δ_Lｐ＝δ_L(∂Ｌ/∂ｑ^d)

＝∂(δ_LＬ)/∂ｑ^dであり,仮定:δ_LＬ＝εｄＸ/ｄｔによって

δ_Lｐ＝ε∂(ｄＸ/ｄｔ)/∂ｑ^dと書けます。

そして,今はこのδ_LＬを与える関数Ｘ＝Ｘ(ｑ,ｑ^d,ｔ)が,Ｘ＝Ｘ(ｑ,ｔ)のようにｑ,ｔのみの関数形に書ける場合を考えています。

先の記事では,ｄＸ/ｄｔがｑ^dに独立なためδ_Lｐ＝0 になると早合点しましたが,実はＸがｑ^dに独立でもｄＸ/ｄｔはｑ^dに独立ではなく,

ｄＸ(ｑ,ｔ)/ｄｔ＝∂Ｘ/∂ｔ＋(∂Ｘ/∂ｑ)ｑ^dとなります。

これは簡単なｑ^dの１次式ですから,δ_Lｐ＝ε∂(ｄＸ/ｄｔ)/∂ｑ^d

＝ε∂Ｘ/∂ｑとなってδ_Lｐはゼロではありません。

一方,Ｑ＝ｐＧ－Ｘより,[ｐ,Ｑ]_P.B.＝－∂Ｑ/∂ｑ

＝－ｐ(∂Ｇ/∂ｑ)＋(∂Ｘ/∂ｑ)ですから,変換ｑ→ｑ＋δ_Lｑ

＝ｑ＋εＧが,やはり座標ｑに依らない大域的変換であるとすれば,

∂Ｇ/∂ｑ＝0 なので,[ｐ,Ｑ]_P.B.＝∂Ｘ/∂ｑ

となることがわかります。

これと,上のδ_Lｐ＝ε∂Ｘ/∂ｑなる表式を比較すれば,

δ_Lｐ＝ε[ｐ,Ｑ]_P.B.＝－ε∂Ｑ/∂ｑ が得られます。

以上から,δ_Lｑ＝ε[ｑ,Ｑ]_P.B.＝ε∂Ｑ/∂ｐ,δ_Lｐ＝ε[ｐ,Ｑ]_P.B.

＝－ε∂Ｑ/∂ｑであり,結局ｑ,ｐの任意関数Ａ＝Ａ(ｑ,ｐ)に対して,

δ_LＡ＝(∂Ａ/∂ｑ)δ_Lｑ＋(∂Ａ/∂ｐ)δ_Lｐ

＝ε[(∂Ａ/∂ｑ)(∂Ｑ/∂ｐ)－(∂Ａ/∂ｐ)(∂Ｑ/∂ｑ)],

つまり,δ_LＡ＝ε[Ａ,Ｑ]_P.B.なる等式が得られることがわかりました。

結局,理論の対称性を示す無限小変換:ｑ→ｑ＋δ_Lｑ＝ｑ＋εＧに対し,

Noether保存量をＱとすると,任意の物理量に対して常に,

δ_LＡ＝ε[Ａ,Ｑ]_P.B.が成立する,という法則が得られました。

そこで,改めてＱが変換の生成子(generator)であるとは,こういう意味だったのか,と再認識することができました。

また,古典論ではLie変分とPoisson括弧が同等な意味を持っていること,

もわかりました。

１変数の考察を多変数に拡張し,さらに連続的な場の量に対するものに拡張するのは直線的作業で平易なので,これを詳細に書くことはしませんが,

δ_Lφ_i＝ε[φ_i,Ｑ]_P.B.＝ε∂Ｑ/∂π_i,δ_Lπ_i＝ε[π_i,Ｑ]_P.B.

＝－ε∂Ｑ/∂φ_iから,φ_i,π_iの任意関数Ａ＝Ａ(φ,π)に対して

δ_LＡ＝ε[Ａ,Ｑ]_P.B.が得られる,という内容に変わりはありません。

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ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル

電磁場と相対論に関するシリーズ記事は一応終了しましたが,最後の物質中の電磁力学における電磁エネルギー運動量テンソルについてのMinkowskiの表現形式とAbrahamのそれについての論題が少し気になりました。

これは,解析力学における「Noether(ネーター)の定理」と関連づけて更に掘り下げた考察を行なうことが可能であると感じ,いささか個人的興味が湧いたので少し論じてみたいと思います。

電磁場に限らず,４次元Minkowski空間内の領域Σに例えば連続体の各点における変位などを表現した古典的な場φ(ｘ)＝{φ_i(ｘ)}があって系のLagrangian密度Ｌが場φ_i(ｘ)とその１階微分∂_μφ_i(ｘ)の関数として

Ｌ(φ_i(ｘ),∂_μφ_i (ｘ))で表わされるとします。

このとき,作用積分は,Ｓ[φ]＝∫_Σｄ⁴ｘＬ(φ_i,∂_μφ_i)

で与えられます。

そして場の従う基本的な運動方程式はφ_i(ｘ)の変分に対する作用Ｓの

停留条件:δＳ＝0 から決まります。

すなわち,系を支配する運動方程式は,δＳ/δφ_i

＝∂Ｌ/∂φ_i－∂_μ{∂Ｌ/{∂_μφ_i }]＝0 で与えられます。

これはよく知られた,Euler-Lagrange方程式です。

そして,「Noetherの定理」は"ある連続変換の下で作用Ｓが不変な場合には,その変換に対応した保存量が必ず存在する。"という定理です。

これの証明は,既に2008年２/29の記事「ネーターの定理と場理論」で行ないましたが,ここでは改めて概略的な証明を与えることにします。

以下,証明です。

ε＞0 を無限小パラメータとし,時空座標の変換ｘ^μ→ｘ^μ*＝ｘ^μ＋εη^μ,および,それとは独立な場の変換φ_i(ｘ)→φ^*_i(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋εｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)があるとします。

これは,座標の変分δｘ^μ＝εη^μと共に場のLie(リー)変分:

δ_Lφ_i(ｘ)＝εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)＝ε[ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－η^μ∂_μφ_i]

があるとして表現されます。

この変換の下で作用積分Ｓが不変である,すなわちＳ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立する,という対称性が存在するとします。

このことは,Lagrangian密度ＬのLie変分が高々全微分であること,

つまり,恒等的に,δ_LＬ

≡Ｌ(ｘ,φ_i^*(ｘ),∂_μφ_i^*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))

＝ε∂_μＸ^μ(φ_j(ｘ),∂_νφ_i(ｘ))と書けるある関数:

Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が存在することを意味します。

この命題については,先述の記事,2008年２/29の「ネーターの定理と場理論」に詳しい証明を与えてありますから,ここでは改めて証明することはせず単に認めることにします。

他方,変換:ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μ,φ_i^*(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)の下でのLagrangianＬのLie変分δ_LＬを素朴なεの１次の変分項という意味で計算します。

δ_LＬ≡Ｌ(ｘ,φ_i^*(ｘ),∂_μφ_i^*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))

＝Σ_i[(∂Ｌ/∂φ_i)εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)＋

{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}ε∂_μＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)]－(∂_μＬ)εη^μ

と書けます。 

さらに,先に述べたEuler-Lagrange方程式:

∂Ｌ/∂φ_i－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}＝0 によって,

上式の右辺の∂Ｌ/∂φ_iを∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}

で置き換えます。

このとき,δ_LＬ＝εΣ_i[∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)

＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}∂_μＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)]－ε(∂_μＬ)η^μ

＝ε∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ]

となります。

ただし,ε＞0,および時空座標の変換:ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μにおけるパラメータη^μが点ｘに依らない定数の大域的変換を仮定しています。

そこで,２つの方法で得られたＬのリー変分δ_LＬを等置することから,

δ_LＬ＝ε∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ]

＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_μφ_i)が得られます。

εは任意の定数パラメータなので,結局,

∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ－Ｘ^μ(φ_j,∂_μφ_i)]

＝0

が成立することがわかります。

これは,ｊ^μ(ｘ)≡Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ

－Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)とおけば,∂_μｊ^μ＝0 ,

つまり,カレントｊ^μ(ｘ)の保存を意味します。

こう定義したカレントｊ^μ(ｘ)を"Noether-current"と呼びます。

つまり,上記カレントｊ^μ(ｘ)の第 0 成分を用いて,Ｑ(ｔ)≡∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄ³ｘなる量Ｑ(ｔ)を定義すると,∂_μｊ^μ＝0 の結果から,

ｄＱ/ｄｔ＝0 となって,Ｑ(ｔ)はｔに依らないことがわかります。

ｔに依らず一定なので,Ｑ(ｔ)は単にＱと書いてもよく,このＱがカレント密度ｊ(ｘ,t)に対応する１つの保存量になるというわけです。

Ｑは保存量ですから,ある１つの物理量と同定されます。

以上で「Noetherの定理」の証明は終わりました。

ここで,古典解析力学で多体系に対して定義されるPoisson括弧式:

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_s[(∂ｕ/∂ｑ_s)(∂ｖ/∂ｐ_s)－(∂ｕ/∂ｐ_s)(∂ｖ/∂ｑ_s)]

を連続体の場の理論に拡張します。

場φ_i(ｘ)に正準共役な運動量π_i(ｘ)をπ_i(ｘ)≡∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)

で定義して,Poisson括弧式を,

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_i[(∂ｕ/∂φ_i)(∂ｖ/∂π_i)－(∂ｕ/∂π_i)(∂ｖ/∂φ_i)]

とします。

これを使用すると,場の量φ＝{φ_i(ｘ)}とNoeter保存量:Ｑについては,

[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Σ_k[(∂φ_i/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂φ_i/∂π_k)

(∂Ｑ/∂φ_k)]＝∂Ｑ/∂π_iと書けます。

Ｑ＝∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄ³ｘ,ｊ⁰(ｘ,t)＝ｊ⁰(ｘ)

＝Σ_k{∂Ｌ/∂(∂₀φ_k)}Ｇ_k(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη⁰－Ｘ⁰(φ_j,∂_νφ_i)

＝Σ_kＧ_k(φ_j,∂_μφ_j)π_k(ｘ)－Ｌη⁰－Ｘ⁰(φ_j,∂_νφ_i)

です。

Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j),Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が∂₀φ_j,またはπ_jと独立な場合,

∂Ｑ/∂π_i＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)なので,

[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)なる等式が得られます。 

すなわち,この無限小変換に際しては,δ_Lφ_i＝ε∂Ｑ/∂π_i

＝ε[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.が成立します。

このような関係を満たす量Ｑを,この変換の生成子(generator)

と呼びます。

理論を不変(作用を不変)に保つ対称性変換に対しては,Noether保存量Ｑが常にその変換の生成子になっていると考えられます。

一方,δ_Lπ_i＝δ_L{∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)}＝∂(δ_LＬ)/∂(∂₀φ_i)

＝ε{∂(∂_μＸ^μ)/∂(∂₀φ_i)}ですが,先にも述べたように,

Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が,∂₀φ_jまたはπ_jと独立な場合を想定するなら,

δ_Lπ_i＝0 です。

また,[π_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Σ_k[(∂π_i/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂π_i/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]＝－∂Ｑ/∂φ_iであることもわかります。

そこで,φ_i(ｘ),π_i(ｘ)の汎関数で与えられる任意の物理量を,

Ａ＝Ａ(φ_j,π_j)とすると,この対称性変換によるＡのLie変分は

δ_LＡ＝Σ_k[(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_k＋(∂Ａ/∂π_k)δ_Lπ_k(ｘ)]で,

δ_Lπ_k＝0 ゆえ,δ_LＡ＝εΣ_k(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_kとなります。

一方,ε[Ａ,Ｑ]_P.B.＝εΣ_k[(∂Ａ/∂φ_k)(∂Ｑ/∂π_k)－(∂Ａ/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]＝Σ_k[(∂Ａ/∂φ_k)δ_Lφ_k＋ε(∂Ａ/∂π_k)(∂Ｑ/∂φ_k)]と書けます。

物理量Ｑがδ_Lφ_i＝ε∂Ｑ/∂π_i＝ε[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.を満たし,変換の生成子となっている場合,

一般にδ_LＡ＝ε[Ａ,Ｑ]_P.B.となるであろうという予測に基づいて考察していたのですが,今のところは,どうもうまくいきません。

古典論でLie微分とPoisson括弧は,HamiltonianをＨとして,

ｄＡ/ｄｔ＝[Ａ,Ｈ]_P.B.なる関係があることから類推して,

Lie変分についてもPoisson括弧は同等な内容を与えるであろうと思ったのですが,当面はこの項目の議論を延期します。(Pendingです。)

(Arnoldの「古典力学の数学的方法」やAi.George(ジョージ・アイ)の「物理学におけるリー代数」,あるいは微分幾何や力学系の本でも読めばいいのかしら。。)

今は古典場の話をしているのですが,ｕ,ｖが量子論の演算子,または作用素である場合には[ｕ,ｖ]を交換子:[ｕ,ｖ]≡ｕｖ－ｖｕと定義します。

古典論のPoisson括弧と量子論の交換子の間に[ｕ,ｖ]_Ｐ.Ｂ.＝[ｕ,ｖ]/(ｉｈ_c)なる対応原理を与えれば,これは古典論を量子化して量子論にすることと同等であるという命題が,Diracらによって示された,という歴史的経緯もあります。

ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π)はPlanck定数です。

この対応原理を適用すれば,古典論の生成子Ｑに対する

[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)なる基本式は,

Ｑが演算子であって,場φ_i(ｘ)が量子場を示す演算子である場合には,

(ｉ/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)なる表式に変わります。

そこで,この対称性変換での量子場の無限小変換は,

φ_i(ｘ)＋δ_Lφ_i(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)

＝φ_i(ｘ)＋(ｉε/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]　と書けます。

ここで,θをパラメータとする場φ_i(ｘ)のユニタリ(unitary)変換:

exp(iθＱ/ｈ_c)φ_i(ｘ)exp(－iθＱ/ｈ_c)を考えると,

この変換において,特にθが無限小:θ＝εの場合,

これはexp(iεＱ/ｈ_c)φ_i(ｘ)exp(－iεＱ/ｈ_c)

＝φ_i(ｘ)＋(ｉε/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]と書けるので,

φ_i(ｘ)＋εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)

＝exp(iεＱ/ｈ_c)φ_i(ｘ)exp(－iεＱ/ｈ_c) となります。

したがって,この変換に伴なって場が受ける変換は,Noether保存量Ｑに相当する演算子を生成子(generator)としたユニタリ変換という形で表現されることがわかります。

そして,古典場の場合と同様,Ａをφ_i(ｘ),π_i(ｘ)の任意の汎関数とすると,δ_LＡ＝(ｉε/ｈ_c)[Ｑ,Ａ]ですから,

exp(iεＱ/ｈ_c)Ａexp(－iεＱ/ｈ_c)＝Ａ＋δ_LＡとなるはずです。 

これ以上の余談的な考察を続けるには,対称性変換が線型リー群と呼ばれる変換群を形成し,群全体の代数的性質を決定するには無限小(接触)変換を調べれば十分であること,

それ故,"群の生成子の線型結合やそのPoisson括弧,または交換子で構成される線形空間＝リー環,あるいはリー代数"の構造を調べればよい,とかいった数学的議論になると思われるので,

何かその種の数学の本を参照しなければ無理ですが,この記事での本題ではないので,そうしたことは,またの機会に譲って次に移ります。

今,必要なのは場のエネルギー運動量テンソルですが,これは並進,つまり,時空座標の平行移動変換:ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μ＝ｘ^μ－δ^μに対して作用が不変なこと,

すなわち,時空の一様性,言い換えると時空座標の原点をどこに取ろうと理論は同じであるという性質から得られるNoether保存量です。

この対称性を有するLagrangian密度Ｌは,これまで前提としてきた最も一般的な形の座標ｘを陽に含んだもの:Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))ではなくて,ｘを陽には含まないＬ(φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))なる形と考えます。

そして,この場合の変換ではｇ_i≡0 なので,ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μ＝ｘ^μ－δ^μに伴なうφ_iのLie変分はδ_Lφ_i(ｘ)＝εＧ_i(φ_j,∂_μφ_i)＝δ^ρ∂_ρφ_j(ｘ)となります。

また,ＳだけでなくＬもこの座標変換の不変量であると考えると,δ_LＬ＝ε∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)]＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_μφ_i)＝δ^ρ∂_ρＬ が成立します。

そこで,関数Ｌが座標ｘに陽には依存しない場合のNoeter保存カレントの表式:ｊ^μ(ｘ)＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)の両辺にεを掛けた等式で,εＧ_i(φ_j,∂_μφ_i)＝δ^ρ∂_ρφ_j,εＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)＝δ^ρ∂_ρＬを代入します。

この時空座標の平行移動の対称変換については「Noetherお定理」の証明における最後の式ε∂_μｊ^μ(ｘ)＝0 を意味するものとして,δ^ρ∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}∂_ρφ_i－δ_ρ^μＬ]＝0 なる恒等式が得られます。

したがって,この場合は唯一の無限小パラメータεに関する恒等式:

ε∂_μｊ^μ(ｘ)＝0 から,唯一のカレントｊ^μ(ｘ)の保存:

∂_μｊ^μ(ｘ)＝0を導き出した前記の証明での手続きにおけるものとは違う形の恒等式が得られます。

すなわち,ρ＝0,1,2,3の各々に対応した独立な４つの任意パラメータδ^ρに関する恒等式:δ^ρ∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}∂_ρφ_i－δ_ρ^μＬ]＝0

を得ます。

それぞれのρに対応して,∂_μｊ_ρ^μ(ｘ)＝0 を満たす４つのNoether保存カレントｊ_ρ^μ(ｘ)が存在することがわかります。

それらは,ｊ_ρ^μ(ｘ)＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}∂_ρφ_i－δ_ρ^μＬ

で表現されます。 

そして,これら時空座標の平行移動に対する理論の不変性に伴なうカレントｊ_ρ^μ(ｘ)を特にＴ_ρ^μ(ｘ)と書いて,これを(正準)エネルギー運動量テンソル(canonical energy-momentum tensor)と呼びます。

この場合,保存カレントｊ^μ(ｘ)の第ゼロ成分から構成され,変換の生成子を形成するNoether保存量:Ｑ＝∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄ³ｘも４つの保存カレントｊ_ρ^μ(ｘ)＝Ｔ_ρ^μ(ｘ)に対応して,ρ＝0,1,2,3の各々の平行移動変換の生成子を形成します。

これら４つの"生成子＝Noether保存量"をＱ_ρ≡∫Ｔ_ρ⁰(ｘ,t)ｄ³ｘと表記することにします。

さらに,混合テンソル表現;Ｔ_μ^ν＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_νφ_i)}∂_μφ_i－δ_μ^νＬを反変テンソル表現に変えて,

Ｔ^μν＝η^μρＴ_ρ^ν＝Σ_i {∂Ｌ/∂(∂_νφ_i)}∂^μφ_i(ｘ)－η^μνＬ

と表わせば,Ｑ^μ＝∫Ｔ^μ0(ｘ,t)ｄ³ｘと書けます。 

ところが,元々Noether保存カレントやNoether保存量は,全体に共通の定数を乗じても保存方程式を満たす保存量としての意味は同じです。

これは,単位はどのように取ってもかまわない,という意味でもありますが,要するに,その定義には定数係数だけの任意性があり一般に一意には決まりません。

しかし,時間の一様性,つまり時間ｔについての無限小平行移動:ｔ^*＝ｔ－ηに対する不変性に伴なう"Noether保存量＝生成子"は系のエネルギーＥであり,空間ｘについての無限小平行移動ｘ^*＝ｘ－δに対する不変性に伴なう"Noether保存量＝生成子"は系の運動量Ｐである,とされています。 

また,Ｑ⁰＝∫Ｔ⁰⁰(ｘ)ｄ³ｘ＝∫[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)}∂⁰φ_i－Ｌ]ｄ³ｘの右辺は,系のLagrangianをＬ＝∫Ｌｄ³ｘと書いたとき,

多粒子系のHamiltonian:Ｈ＝Σ_i{∂Ｌ/∂(ｄｑ_i/ｄｔ)}(ｄｑ_i/ｄｔ)

－Ｌ＝Σ_iｐ_i(ｄｑ_i/ｄｔ)－Ｌの連続体への拡張になっていることが

明らかです。

それ故,Ｑ⁰は系のエネルギーＥを意味すると考えられるので,

Ｑ⁰＝Ｅ＝∫Ｔ⁰⁰(ｘ)ｄ³ｘと書けます。 

ところが,時空座標の無限小の平行移動ｘ^*μ＝ｘ^μ－δ^μのうち,特に保存量:Ｑ⁰の存在を保証する第ゼロ成分の座標ｘ⁰＝ｃｔに関する平行移動:

ｘ^*0＝ｘ⁰－δ⁰を,時間座標ｔに関するそれで表現すると,

ｃｔ^*＝ｃｔ－δ⁰,またはｔ^*＝ｔ－δ⁰/ｃとなります。

そこで,恒等式δ^ρ∂_μＴ_ρ^μ(ｘ)＝δ^ρ∂_μ[Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}∂_ρφ_i(ｘ)－δ_ρ^μＬ]＝0 から決まるカレントＴ_ρ^μ(ｘ)によって,

Ｑ⁰＝Ｅ＝∫Ｔ⁰⁰(ｘ)ｄ³ｘを与える恒等式のρ＝0 の成分に対する係数パラメータはδ⁰ではなく,ｔ^*＝ｔ－δ⁰/ｃに対応してδ⁰/ｃです。

パラメータ係数δ^ρの無限小変換から定まるカレントＴ_ρ^μ(ｘ),あるいは保存量Ｑ^ρをρについて対等に扱うと,

ρ＝0 のｔ^*＝ｔ－δ⁰/ｃに対応するＱ⁰＝Ｅから,保存量の反変ベクトル

Ｑ^μ＝(Ｑ⁰,Ｑ)が,４元運動量Ｐ^μによりＱ^μ＝Ｐ^μ/ｃ＝(Ｅ,Ｐ/ｃ)

と表現できることがわかります。

余談ですが,一般に時空の一様性は,対象領域が空間の一部に限定されたような場合には成立しません。

例えば熱統計力学を考察する際に通常設定される狭い箱の中に閉じ込められた多粒子系というモデルでは,空間の一様性に起因する運動量保存は成立せず,時間の一様性によるエネルギー保存のみが成立します。

さて,電磁場の場合,私がかつて学生時代の専門としていたQED(量子電磁力学)のように微視的個数の電子と光子の衝突散乱などを対象とする場合,

空気のような媒質中の現象を対象とする場合は,物質中の電場,磁場でも真空中の微視的効果の巨視的平均と考える「Lorentzの電子論」と同じく,基本的に光子を表わすものとして真空中の電磁場のみを考えます。

そして真空中の物理系であれば「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」で書いたように,不変質量密度がμ⁰で携帯電流密度がｓ_μの真空中にある連続物質の帯電体も含め,

系全体のLagrangian密度はＬ＝－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μν－Ａ^μｓ_μ－μ⁰ｃ²＝(－ｃ²ε₀/4)(∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_ν)(∂Ａ_ν/∂ｘ^μ－∂Ａ_μ/∂ｘ^ν)－Ａ^μｓ_μ－μｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2と書けます。

そして,自由物質場の項:－μ⁰ｃ²や電磁場と物質電荷密度の相互作用項－Ａ^μｓ_μを除いた自由電磁場のLagrangian密度項は,

Ｌ_E≡－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μνとなります。

この総Lagrangian密度Ｌに対して上述のEuler-Lagrangeの運動方程式:

{∂Ｌ/∂φ_i}－∂_μ{∂Ｌ/(∂_μφ_i)}＝0 における場φ_i(ｘ)を,

電磁場Ａ^ν(ｘ)に置き換えれば,確かに電磁場のMaxwell方程式:

∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ_μ/(ｃ²ε₀)が得られます。

そして,このLagrangian密度ＬからNoether定理に基づく系の(正準)エネルギー運動量テンソルの反変テンソル表現Ｔ^μνを求めると,

Ｔ^μν＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_νφ_i)}∂_μφ_i(ｘ)－η^μνＬ

＝{∂Ｌ/∂(∂_νＡ^ρ)}∂_μＡ^ρ－η^μνＬ　となります。

これが,先に別の考察から得られたエネルギー運動量テンソルの表現:

Ｔ^μν＝θ^μν＋Ｓ^μν,θ^μν≡μ⁰Ｕ^μＵ^ν,

Ｓ^μν≡－(ｃ²ε₀)[Ｆ_λ^μＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_σρＦ^σρ)]

＝－(ｃ²ε₀)[η^μδＦ_λδＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_σρＦ^σρ)]

と完全に一致すればよかったのですが,実は∂ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たす

テンソルｔ^μνだけ違っています。

すなわち,真空中で特に物質場を無視した電磁場単独のLagrangian密度:

Ｌ_E＝－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μνに対し,Noether保存量として得られるエネルギー運動量テンソルの反変テンソル表現は,

Ｔ_E^μν＝{∂Ｌ_E/∂(∂_νＡ^ρ)}∂_μＡ^ρ－η^μνＬ_E

＝－(ｃ²ε₀)[－η^μδ∂_δＡ_λＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_σρＦ^σρ)]

となります。

上にも述べたように,この表現は真空中の電磁気学のこれまでの議論から得られた電磁エネルギー運動量テンソルの表現:

Ｓ^μν＝－(ｃ²ε₀)[η^μδＦ_λδＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_σρＦ^σρ)]

とは微妙に異なっていて.

ｔ^μν≡－(ｃ²ε₀)η^μδ∂_λＡ_δＦ^λνとすれば

Ｓ^μν＝Ｔ_E^μν＋ｔ^μνとなります。

Noetherの定理によって,もちろん∂Ｔ_E^μν/∂ｘ^ν＝0 ですが,

運動方程式:∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝0 より,明らかに

∂ｔ^μν/∂ｘ^ν＝－(ｃ²ε₀)η^μδ(∂_λ∂_νＡ_δ)Ｆ^λν＝0 ですから

Ｔ_E^μν,Ｓ^μνのいずれを電磁エネルギー運動量テンソルとして採用しても問題はありません。

しかし,Ｓ^μνの方は対称テンソルでかつtraceless(対角和がゼロ)という閉じた系でのエネルギー運動量テンソルの条件を全て満足していますから,

通常は素朴なNoetherカレントＴ_E^μνではなく,これにｔ^μνを加えたＳ^μνを電磁エネルギー運動量テンソルとします。

物質中と異なり真空中の電磁場については,これで異論もなく全く問題はありません。

一方,物質中の電磁場に対するMinlowskiの電磁エネルギー運動量テンソルＳ^μνもAbrahamのそれ:Ｓ_A^μνも,元々物質が電磁気的に等方的な場合,

すなわち,εを誘電率,μを透磁率として,Ｈ^μνＵ_ν/ｃ²

＝εＦ^μνＵ_ν,Ｆ^μνＵ^λ＋Ｆ^νλＵ^μ＋Ｆ^λμＵ^ν

＝μ(Ｈ^μνＵ^λ＋Ｈ^νλＵ^μ＋Ｈ^λμＵ^ν)と書ける場合,

ε→ε₀,μ→μ₀としたとき真空のＳ^μνに帰するよう作られています。

そして,Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソル:Ｓ^μν＝－η^νσＦ^μλＨ_σλ＋(1/4)Ｆ^λσＨ_λση^μνが,(正準)エネルギー運動量テンソル:

Ｔ_E^μν＝η^μρＴ_Eρ^ν＝{∂Ｌ_E/∂(∂_νＡ^ρ)}∂_μＡ^ρ－η^μνＬ_E に,

ｔ^μνを除いて一致するような電磁場のLagrangian密度Ｌ_Eを考えて,

Ｌ_E＝－(1/4)Ｆ^λσＨ_λσとします。

これは,ε→ε₀,μ→μ₀では確かに真空中のLagrangian密度:

Ｌ_E＝－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μνに一致します。

このＬ_E＝－(1/4)Ｆ^λσＨ_λσにおいて,Ｆ^λσ＝∂^λＡ^σ－∂^σＡ^λであり,

Ｓ⁰系ではＬ_E⁰＝－(1/4)Ｆ^0λσＨ⁰_λσ＝－(ｃ²ε/4)Ｆ^0λσＦ⁰_λσです。

(正準)エネルギー運動量テンソル:Ｔ_E^0μνはＴ_E^0μν＋ｔ^0μν

＝{∂Ｌ_E⁰/∂(∂⁰_νＡ^ρ)}∂⁰_μＡ^0ρ－η^μνＬ_E⁰＋ｔ^0μν

＝－η^νσＦ^0μλＨ⁰_σλ＋(1/4)Ｆ^0λσＨ⁰_λση^μν＝Ｓ^0μν

となります。

すなわち,静止系Ｓ⁰ではＴ_E^0μν＋ｔ^0μνはMinkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルＳ^0μνに一致します。

そこで,テンソルの性質から任意のＳ系においてもＴ_E^μν＋ｔ^μν＝η^μρＴ_Eρ^ν＝{∂Ｌ_E/∂(∂_νＡ^ρ)}∂_μＡ^ρ－η^μνＬ_E＋ｔ^μν＝Ｓ^μνです。

それ故,Noether理論による電磁エネルギー運動量テンソルＴ_E^μν＋ｔ^μνが,Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルＳ^μνに一致することがわかります。

さらに,系全体のLagrangian密度は携帯電流密度ｓ_μを全電流密度Ｊ_μに変えた形のＬ＝Ｌ_E－Ａ^μＪ_μ－μ⁰ｃ²

＝－(1/4)Ｆ^λσＨ_λσ－Ａ^μＪ_μ－μｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2になります。

そこで,Ａ^ν(ｘ)についてのEuler-Lagrangeの運動方程式

{∂Ｌ/∂Ａ^ν}－∂_μ{∂Ｌ/(∂_μＡ^ν)}＝0 も拡張されたMaxwell方程式

である∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μになります。

したがって,Noetherの定理の観点から電磁エネルギー運動量テンソルを見直すなら,Abrahamの表現と比較してMinkowskiの表現の優越性が示されるようです。

部分的な電磁場のみのテンソル:Ｔ_E^μν＋ｔ^μν＝Ｓ^μνが非対称でも,物質場を含めた全体のテンソルＴ^μν＝θ^μν＋Ｓ^μνは対称テンソルになることが可能なので,電磁エネルギー運動量テンソルについてはMinkowskiの非対称な表現でも問題ないと思います。

参考文献:九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館),L.Fonda and G.C.Ghirardy 著「Symmetry Principles In Quantum Physics」(Marcel Dekker Inc. New.York(1970))

ＰＳ：「インターネット検索」から,Michael Forger and Hartmann Römerによる表題「Currents and the Energy-Momentum Tensor in Classical Field Theory」の2003年の論文:

(http://arxiv.org/abs/hep-th/0307199)を見つけて入手しましたが,

印刷すると91ページの大部で読むだけでも大変です。

そこで,取り合えずざっと眺めてみましたが,その限りでは上で論じたような計量が平坦なη_μνの時空上だけではなく,一般の曲がった計量ｇ_μνを持つ時空上の話を想定しているようです。

平坦な時空でNoether保存量としてエネルギー運動量テンソルを得る基になった時空の対称性,すなわち単純な"時空座標の平行移動に対する不変性＝時空の大域的一様性"は曲がった時空においては局所的領域で考える必要があることなども述べられています。

そして,電磁場のようなゲージ(gauge)場と物質場との総和の総Lagrangian:Ｌ＝Ｌ_g＋Ｌ_mを考えているわけですが,

Ｌ_gを自由ゲージ場のLagrangianとして,物質場とゲージ場の相互作用項はＬ_mの中に含めた表現を取るとき,Ｌ_gについては論じる必要がなく改善された正しい総エネルギー運動量テンソルは物質場のLagrangianＬ_mのみから決まるということが述べられています。

次に,上のＬ_mをさらに物質場と"時空自身の重力場＝ゲージ場"とに分割して改めてＬ_g＋Ｌ_mと書けば,Noether保存量として得られる総エネルギー運動量テンソルＴ^μνはＴ^μν＝－2δＬ_m/δｇ_μνなる式で与えられ,

これはｇ_μνが対称なので必然的に対称テンソルであるという話を数学的に展開しているようです。

これは真空中の場であり,それゆえ上記ブログ記事での物質中の電磁場のMinkowskiやAbrahamの話とは関係がなさそうです。

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ネーターの定理と場理論

　さて,古典解析力学は,一般化座標を時間ｔの関数として

 ｑ(ｔ)≡{ｑ_s(ｔ)}と表わし,一般化速度を,

 ｑ^d(ｔ)≡{ｑ_s^d(ｔ)}≡{ｄｑ_s(ｔ)/ｄｔ}とするとき,

　それらの関数で表わされるLagrangian Ｌ＝Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)

　によって記述されます。 

ここで,例えば流体や弾性体の"各位置における平衡位置

からのずれ＝変位"のように,上述の多体系の一般化座標

ｑ(ｔ)＝{ｑ_s(ｔ)}の成分ｑ_s(ｔ)での離散的添字ｓ(ｓ＝1,2,..,Ｎ)

が３次元空間の位置を示す連続的パラメータｘに置き換えられ

一般化座標がｑ(ｔ)＝{ｑ(ｘ,ｔ)}で表現される場合を

考えます。

このとき成分ｑ(ｘ,ｔ)は時刻ｔでの空間位置ｘにおける量,

つまり場であると考えられ,これは時間ｔや空間ｘの関数で

ある,という意味でｑ(ｔ)＝{ｑ(ｘ,ｔ)}をφ(ｔ)≡{φ(ｘ,ｔ)}

と表記することにします。

そして,系全体のLagrangian Ｌ＝Ｌ(ｔ,φ,φ^d)は添字ｘ＝位置

座標の近傍にＬ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))の密度で分布している

と見なします。

すなわち,Ｌ(ｔ,φ,φ^d)≡∫Ｌ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))ｄｘ

と表現されるとして,Ｌ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))をLagrangian

密度と呼ぶことにするわけです。

この場合,ｘは時刻ｔの関数として変動する粒子の軌道を表わす量

ではなく,単に空間の位置座標を示す添字パラメータに過ぎない

ので,φ^d(ｘ,ｔ)は,ｑ_s^d≡ｄｑ_s(ｔ)/ｄｔと同じく,時間微分は

添字に無関係なのでφ^d(ｘ,ｔ)≡∂φ(ｘ,ｔ)/∂ｔであり偏微分

で定義されます。

そして,こうした連続体の場合には多体系の作用積分

Ｓ[ｑ]≡∫Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)ｄｔは,

Ｓ[φ]≡∫Ｌ(ｔ,φ,φ^d)ｄｔ

＝∫Ｌ(ｔ,φ(ｘ,ｔ),φ^d(ｘ,ｔ))ｄｘｄｔ

と表現されます。

ここで,特に時空座標(ｘ,ｔ)を相対論的なMinkowski空間の

４次元座標としての相対論的に共変な表現 ｘ^μ≡(ｘ⁰,ｘ)

≡(ｃｔ,ｘ) (ｃは光速)に変更すれば,場φ(ｘ,ｔ)はφ(ｘ)

と表記されます。

この表現では,ｔとｘはパラメータとして対等とされるので

Ｌ(ｔ,φ,φ^d)＝∫Ｌ(ｘ,φ(ｘ),∂_μφ(ｘ))ｄｘ,および

Ｓ[φ]＝∫Ｌ(ｘ,φ(ｘ),∂_μφ(ｘ))ｄ⁴ｘなる表現に変わり

ます。 ただし∂_μφ≡∂φ/∂ｘ^μです。 

さらに,一般に場φは,弾性体の変位や流体の歪み速度,あるいは

電磁場であれば,それらの場は３次元,あるいは４次元のベクトル

やテンソルの場であり,また量子論に移行すればスピノルである

場合もあります。

そこで,スカラー場である場合も含めて,φ(ｘ)の代わりに

φ_i(ｘ)(ｉ＝1,2,..,Ｎ)と書いて,

Lagrangian密度がＬ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ)),

作用積分がＳ[φ] ＝∫Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))ｄ⁴ｘ

となるように一般化しておきます。 

そして,多体系が,ある無限小変換

ｔ^*＝ｔ＋ετ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_s

(ただしε＞0 は任意の無限小パラメータ)に対して

理論的に不変であるというようなネーター(Noether)の定理

の前提としての対称性変換の表現は,連続体の系での場の量

に対しては次のように拡張変更されます。

すなわち,時空座標の変換ｘ^μ*＝ｘ^μ＋εη^μ,および,それと

独立な場の変換φ_i^*(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋εｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))

があり,結果として,座標の変分δｘ^μ＝εη^μと共に

場のLie変分 δ_Lφ_i(ｘ)＝εＧ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ)))

＝εｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))－η^μ∂_μφ_i(ｘ)がある

という条件の下で,Ｓ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立する,という形

で与えられます。

このことはLie変分としてのLagrangian密度Ｌの変化分が

高々全微分であること,

つまり,恒等的に,δＬ

≡Ｌ(ｘ,φ_i^*(ｘ),∂_μφ_i^*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))

＝ε∂_μＸ^μ(φ_j(ｘ),∂_νφ_i(ｘ))なる形に書ける関数

Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)が存在することを意味します。

実際,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)なる形式であれば,

Ｓ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立し,特にε→ 0 ならδＬ→ 0 です。

そこで以下では逆に作用積分に対してＳ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立

するならδＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)なる形式に書けること

を証明します。

[証明]作用積分の任意の積分領域においてＳ[φ]＝Ｓ[φ^*]が成立

するなら,φ,およびφ^*の変分に対するＳの停留性δＳ＝0 から

得られる,両者のEuler-agrange方程式,

{∂Ｌ/∂φ_i(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ/∂{∂_μφ_i(ｘ)}]＝0 ,および,

{∂Ｌ/∂φ_i^*(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ/∂{∂_μφ_i^*(ｘ)}]＝0 は,

それぞれφ_i(ｘ),およびφ_i^*(ｘ)に対して同一の方程式に

なります。

　それ故,Lagrangian密度Ｌ(ｘ,φ_i,∂_μφ_i),および,

Ｌ(ｘ, φ_i^*,∂_μφ_i^*)は,それぞれ,φ,およびφ^*について同じ

関数形で与えられると思われます。

そこで同一の関数記号Ｌで表現していいわけです。

そしてＬ(ｘ,φ_i^*,∂_μφ_i^*)を,φ_i,∂_μφ_iの関数と考えて,

これをＬ^*(ｘ,φ_i,∂_μφ_i)と書けば,Ｓ[φ]＝Ｓ[φ^*]ですから,

φの変分に対するＳの停留性δＳ＝0 から,

{∂Ｌ^*/∂φ_i(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ^*/∂{∂_μφ_i(ｘ)}]＝0

も成立します。

これは当然,{∂Ｌ/∂φ_i(ｘ)}－∂_μ[∂Ｌ/∂{∂_μφ_i(ｘ)}]＝0

なる方程式と関数形としても同一です。

したがって,ｃ(ε)をεに依存する比例係数として,恒等的に

(∂Ｌ^*/∂φ_i)－∂_μ{∂Ｌ^*/∂(∂_μφ_i)}

＝ｃ(ε)[(∂Ｌ/∂φ_i)－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}]

(ただし,ｃ(0)＝１)がφ_i,∂_μφ_i,∂_μ∂_νφ_iの恒等式として

成立するはずです。

δＬ＝Ｌ^*－Ｌなので,これも同じEuler-Lagrange方程式を

満たしますから,ｆ(φ,∂_μφ)≡Ｌ^*－ｃ(ε)Ｌ

＝δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌとおけば,

(∂ｆ/∂φ_i)－∂_μ{∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}≡0 は

恒等式です。

これは,

(∂ｆ/∂φ_i)－(∂/∂φ_j){∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μφ_j)

－{∂/∂(∂_νφ_j)}{∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μ∂_νφ_i)≡0

と書けます。

左辺の(∂_μ∂_νφ_i)の係数はゼロでなければならないから

{∂/∂(∂_νφ_j)}{∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}

＋{∂/∂(∂_μφ_j)}{∂ｆ/∂(∂_νφ_i)}≡0 です。

したがって一般に,

ｆ(φ,∂_μφ)＝ｇ(φ_k)＋ｈ^μi(φ_k)∂_μφ_j(ｘ)

＋Σ_l=2⁴ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2..∂_μlφ_jl

と書けるはずです。

ここでｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)は添字ｊ₁,ｊ₂,..,ｊ_l,

および,μ₁,μ₂,..,μ_lに関して,それぞれ別々に

反対称です。 

また,(∂_μφ_i)の係数もゼロなので,∂ｇ(φ_k)/∂φ_i＝0 ,

∂ｈ^μi/∂φ_j－∂ｈ^μj/∂φ_i＝0 です。

さらに(∂ｆ/∂φ_i)－(∂/∂φ_j){∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μφ_j)

≡0 で,

(∂ｆ/∂φ_i)から項(∂ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}/∂φ_j)∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2..∂_μlφ_jlが生じ,

－(∂/∂φ_j){∂ｆ/∂(∂_μφ_i)}(∂_μφ_j)から

項－(∂ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}/∂φ_j)∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2..

∂_μlφ_jl(∂_μφ_i/∂_μφ_j)がｌ個得られます。

後者はｉ＝ｊの項が前者と相殺します。

後者の残りはどれかのｊ_sがｊ,μ_sがμと一致して

∂_μsφ_jsが∂_μφ_jに置き換わります。 

そして,これらの置換は添字μとｊについて同時になされるため,

これら(ｌ－1)個の項の符号は係数の添字の順序をそろえたとき

全て同じ符号を取るはずですから,係数がゼロである必要がある

ので,∂ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)/∂φ_j＝0 (ｌ≧2)です。

以上から,場φ_i,(∂_μφ_i)の汎関数としてはｇ＝定数,そして

全てのｉについてｈ^μi(φ_k)＝(∂ｗ^μ(φ_k)/∂φ_j)なるφ_kの

関数ｗ^μ(φ_k)が存在します。

また,ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k)も,φ_kに依らない量,すなわち

定数です。

結局,ｆ(φ,∂_μφ)＝ｇ＋∂_μ[ｗ^μ(φ_k)

＋Σ_l=2⁴ｈ^{j1j2..jl;μ1μ2..μl}(φ_k) φ_j∂_μ1φ_j1∂_μ2φ_j2．．∂_μlφ_jl]

と書けることがわかりました。

以上から,あるｘの関数Ｗが存在して

ｆ(φ,∂_μφ)＝∂_μＷ＋ｇ と書けます。

ｆ(φ,∂_μφ)＝Ｌ^*－ｃ(ε)Ｌ＝δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌ;ｃ(0)

＝１であってε→ 0 ならδＬ→ 0 により,ε→ 0 なら恒等的

にｆ→ 0 となるので,これを考慮するとεは無限小でその２次

以上は無視できるため,

ｆ(φ,∂_μφ)＝ε[∂_μＷ^＋ｇ^]と書いてよいと思われます。

すなわち,δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌ＝ε[∂_μＷ^＋ｇ^]です。

ｇ^はｇ^＝∂_μ(ｇ^ｘ^μ/4)と書くこともできるので,

δＬ－{ｃ(ε)－1}Ｌ＝ε∂_μ[Ｗ^＋ｇ^ｘ^μ/4]

とも書けます。

このとき,Ｓ[φ^*]－Ｓ[φ]＝∫(δＬ)ｄ⁴ｘ

＝{ｃ(ε)－1}∫Ｌｄ⁴ｘ＋ε∫ｇ^ｄ⁴ｘですから,これが常に

ゼロであるためにはｃ(ε)＝1,かつｇ^≡0 が必要です。

これから,δＬ＝ε∂_μＷ^となりますから,Ｗ^を改めて

Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)と書けば,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)と

書けることになります。 (証明終わり)

他方,単純に変換ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μ,φ_i^*(ｘ^*)＝φ_i(ｘ)＋ε

Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_i)の下でのLie変分としてのLagrangian密度Ｌ

の変分は,

δＬ≡Ｌ(ｘ,φ_i^*(ｘ),∂_μφ_i^*(ｘ))－Ｌ(ｘ,φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))

＝(∂Ｌ/∂φ_i)εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)

＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}ε∂_μＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)－(∂_μＬ)εη^μ

となります。 

ここでEuler-Lsgrange方程式

(∂Ｌ/∂φ_i)－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}＝0 によって

(∂Ｌ/∂φ_i)を∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}で置き換えると,

δＬ＝∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)

＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}ε∂_μＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)－(∂_μＬ)εη^μ

＝ε∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ]

となります。

ただし,時空座標の変換ｘ^*μ＝ｘ^μ＋εη^μにおけるパラメータ

η^μは点ｘに依らない定数であるとしています。

そこで,δＬ＝ε∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ]

＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_μφ_i)となります。

εは任意の正の数なので,

∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ－Ｘ^μ(φ_j,∂_μφ_i)]

＝0 が成立します。

そこで,

ｊ^μ(ｘ)≡{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｌη^μ

－Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)と置けばこれはカレントｊ^μ(ｘ)の保存

∂_μｊ^μ＝0 を意味します。

こう定義されたカレントｊ^μ(ｘ)をネーター・カレント

(Noether current)と呼びます。

この保存カレントから,Ｑ≡∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄｘなる量Ｑ＝Ｑ(ｔ)

を定義するとｄＱ/ｄｔ＝0 となります。Ｑはカレント密度

ｊ(ｘ,t)に対応する保存チャージです。

そして,この保存量Ｑは古典論の物理量としても量子論の

演算子としても,この対称性の無限小変換の生成子(generator)

になっています。

すなわち,古典論では,[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ)),

量子論では,[ｕ,ｖ]_Ｐ.Ｂ.＝[ｕ,ｖ]/(ｉｈ_c)なる対応原理で,

(ｉ/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]＝Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))を満たします。

ここに,[ｕ,ｖ]_P.B.はPoissonの括弧式です。

これは多体系では,

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_s[(∂ｕ/∂ｑ_s)(∂ｖ/∂ｐ_s)－(∂ｕ/∂ｐ_s)(∂ｖ/∂ｑ_s)]

と定義されますが,

連続体の場の理論では場φ_i(ｘ)の共役運動量を

πⁱ(ｘ)＝πⁱ(φ,φ^d)≡∂Ｌ/∂(∂₀φ_i)として,

[ｕ,ｖ]_P.B.

≡Σ_i[(∂ｕ/∂φ_i)(∂ｖ/∂πⁱ)－(∂ｕ/∂πⁱ)(∂ｖ/∂φ_i)]

と定義されます。

また,[ｕ,ｖ]_Ｐ.Ｂ.＝[ｕ,ｖ]/(ｉｈ_c)なる量子論の演算子と

しての対応を示す記号[ｕ,ｖ]は,交換子を示します。

つまり,[ｕ,ｖ]≡ｕｖ－ｖｕです。

保存チャージＱ＝∫ｊ⁰(ｘ,t)ｄｘが対称性の無限小変換の生成子

になること,

すなわち,[φ_i(ｘ),Ｑ]_P.B.＝Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ)),あるいは

[Ｑ,φ_i(ｘ)]_P.B.＝－Ｇ_i(φ_j(ｘ),∂_μφ_j(ｘ))なる関係式を

満たすことも以下で証明してみます。

[証明]Lagrangian密度は時空の一様性に対応して位置座標ｘ

に陽には依存しないとしてＬ≡Ｌ(φ_i(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))

と書きます。

　これの一般的形はＴを運動エネルギー密度,Ｖを位置エネルギー

(ポテンシャル)の密度としてＬ＝Ｔ－Ｖのように表現されると

すれば,一般に

Ｌ＝(1/2)Ａ^ijμν(φ)∂_μφ_i∂_νφ_j＋Ｂ^iμ(φ)∂_μφ_i＋ｃ(φ)

なる形で表現できます。

　そして,φ_i^*(ｘ)＝φ_i(ｘ)＋δφ_iなる無限小変換を

δφ_i＝εＧ(φ_j(ｘ),∂_μφ_i(ｘ))≡ε{Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ(φ)∂_μφ_j}

とします。

このとき,δＬ＝(∂Ｌ/∂φ_i)δφ_j＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}δ(∂_μφ_j)

です。

また,δ(∂_μφ_j)＝∂_μ(δφ_j)

＝ε{(∂Ｄ_i/∂φ_k)∂_μφ_k＋(∂Ｅ_i^jν/∂φ_k)∂_νφ_j∂_μφ_k

＋Ｅ_i^lν∂_μ∂_νφ_l}　です。

δＬ＝ε{(1/2)(∂Ａ^ijμν/∂φ_k)∂_μφ_i∂_νφ_j

＋(∂Ｂ^iμ/∂φ_k)∂_μφ_i＋(∂ｃ/∂φ_k)}{Ｄ_k(φ)

＋Ｅ_k^jμlλ(φ)∂_λφ_l}

＋ε(Ａ^ijμν∂_νφ_j＋Ｂ^iμ){(∂Ｄ_i/∂φ_k)∂_μφ_k

＋(∂Ｅ_i^lλ/∂φ_k)∂_μφ_k∂_λφ_l＋Ｅ_i^lλ∂_μ∂_λφ_l}

です。

一方,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)＝ε[(∂Ｘ^μ/∂φ_k)∂_μφ_k＋{∂Ｘ^μ/∂(∂_νφ_k)}∂_μ∂_νφ_k]とも書けます。

これらのδＬの表式では。両辺は恒等的に等しく,

(∂Ｘ^μ/∂φ_k)は∂_νφ_kの２次式,{∂Ｘ^μ/∂(∂_νφ_k)}は

∂_λφ_lの１次式です。

したがって,Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)は高々∂_νφ_kの２次式です。

そこで,Ｘ^μは、Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)

≡(1/2)α^ijμνλ(φ)∂_νφ_i∂_λφ_j＋β^iμν(φ)∂_νφ_i

＋γ^μ(φ)なる形に書けます。

それ故,δＬ＝ε∂_μＸ^μ(φ_j,∂_νφ_i)

＝ε[(1/2)(∂α^ijμνλ/∂φ_k)∂_νφ_i∂_λφ_j＋(∂β^iμν/∂φ_k)∂_νφ_i

＋(∂γ^μ/∂φ_k)]∂_μφ_k＋ε(α^ijμνλ∂_λφ_j＋β^iμν)∂_μ∂_νφ_i

が得られます。 

δＬの２種類の表式が恒等的に等しいことから,

Ａ^ijμνＥ_i^lλ∂_νφ_j∂_μ∂_λφ_l＝α^ijμνλ∂_λφ_j∂_μ∂_νφ_i,

かつ,Ｂ^iμＥ_i^lλ∂_μ∂_λφ_l＝β^iμν∂_μ∂_νφ_iです。

それ故,α^ijμνλ＝Ａ^ljμλＥ_l^iλが成立します。

この式の左辺はμ,νについて反対称なので右辺もそうです。

そしてまた,β^iμν＝Ｂ^lμＥ_l^iνも成立します。

一方,(1/2)Ａ^ijμν(φ)∂_μφ_i∂_νφ_j＋Ｂ^iμ(φ)∂_μφ_i＋ｃ(φ)

より,πⁱ(ｘ)≡πⁱ(φ,φ^d)＝∂Ｌ/∂φ_i^d＝Ａ^ij0ν(φ)∂_νφ_j

＋Ｂⁱ⁰(φ)＝Ａ^ij00(φ)φ_j^d＋Ａ^ij0k(φ)∂_kφ_j＋Ｂⁱ⁰(φ)　です。

それ故,ｘ⁰＝ｙ⁰の同時刻では[πⁱ(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.

＝Σ_k[(∂πⁱ/∂φ_k)(∂φ_j/∂π^k)－(∂φ_j/∂φ_k)(∂πⁱ/∂π^k)]

＝－δⁱ_jδ(ｘ－ｙ),

同様に[πⁱ(ｘ),π^j(ｙ)]_P.B.＝[φ_i(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝0 です。

[πⁱ(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝－δⁱ_jδ(ｘ－ｙ)のように右辺にDirac

のデルタ関数が現われるのはPoisson括弧式の定義における微分

(∂πⁱ/∂φ_k),(∂φ_j/∂π^k),(∂φ_j/∂φ_k),(∂πⁱ/∂π^k)etc.

が,謂わゆる汎関数微分であるからです。

したがって,－δⁱ_jδ(ｘ－ｙ)＝[πⁱ(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.

＝[Ａ^ik00φ_k^d(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B.＝Ａ^ik00[φ_k^d(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B

ですから,

係数の行列Ａ≡{Ａ^ik00}を考えると,一般にはこれの逆行列

Ａ^-1が存在するため,

[φ_i^d(ｘ),φ_j(ｙ)]_P.B＝－(Ａ^-1)_ijδ(ｘ－ｙ)が得られます。

一方,ネーター・カレントは,

ｊ^μ(ｘ)≡{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i)}Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)－Ｘ^μ(φ_j,∂_νφ_i)

なので,ｊ⁰(ｘ)＝πⁱ(ｘ){Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ∂_μφ_j}－Ｘ⁰

となります。

ここに,Ｘ⁰＝(1/2)α^ij0νλ(φ)∂_νφ_i∂_λφ_j＋β^i0ν(φ)∂_νφ

_i＋γ⁰(φ)　です。

　そして,これから具体的に保存量Ｑ＝Ｑ(ｔ)≡∫ｊ⁰(ｘ)ｄｘ

を構成してPoisson括弧を作ると,

[Ｑ,φ_i(ｘ)]_P.B.＝∫ｄｙ[ｊ⁰(ｙ),φ_i(ｘ)]_P.B

＝－{Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ∂_μφ_j}－π^lＥ_l^j0(Ａ^-1)_ji

＋(1/2)α^kj00λ∂_λφ_j(Ａ^-1)_ki＋(1/2)α^kj0ν0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji＋β^k00(Ａ^-1)_kiとなります。

　ところが,π^lＥ_l^j0(Ａ^-1)_ji＝Ａ^lk0νＥ_l^j0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji

＋Ｂ^l0Ｅ_l^j0(Ａ^-1)_jiであり,(1/2)α^kj00λ∂_λφ_j(Ａ^-1)_ki

＋(1/2)α^kj0ν0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji＋β^k00(Ａ^-1)_ki

＝Ａ^lk0νＥ_l^j0∂_νφ_k(Ａ^-1)_ji＋Ｂ^l0Ｅ_l^j0(Ａ^-1)_jiなので,

これらの項は相殺して消えます。

以上から,[Ｑ,φ_i(ｘ)]_P.B.

＝－{Ｄ_i(φ)＋Ｅ_i^jμ∂_μφ_j}＝－Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)

が成立することが示されました。　　　　　　　(証明終わり)

ちょっとだけ,量子論に言及すると,

(i/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]＝Ｇ_i(φ_j,∂_μφ_j)ですから

Ｕ(ε)≡exp(iεＱ/ｈ_c)なる演算子によるユニタリ変換

で,Ｕ(ε)φ_i(ｘ)Ｕ(ε)^-1＝φ_i(ｘ)＋ε(i/ｈ_c)[Ｑ,φ_i(ｘ)]

＝φ_i(ｘ)＋εＧ_i(φ_j,∂_μφ_j)と変換されるいう意味で,

量子論でもＱはこのリー群の生成子になるというわけです。

量子論でのより詳細な扱いについては,2007年８/７の記事

「場の演算子とリー群（Ｌｉｅ群）の生成子」を参照して

ください。

なお,本記事は自身は1995年４月に作成したノートを参考

にして書きました。

参考文献:九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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非ネーター保存量(続き)

今日は,前記事で全訳した論文

「The Unified Form of Hojman's Conservation Law and Lutzky's Conservation Law(「Hojmanの保存則とLutzkyの保存則の統一形式」)  Hong-Bin ZHANG and Li-Qun CHEN Journal of Physical Society of Japan Vol.74,No.3,March,2005,pp905-909」

のよく理解できなかった部分を解釈することを試みます。 

その前に,いい機会なのでNoetherの定理の古典論を復習します。

　系の一般化座標ベクトルを時間ｔの関数としてｑ(ｔ)≡{ｑ_s(ｔ)},一般化速度ベクトルをｑ^d(ｔ)≡{ｑ_s^d (ｔ)}≡{ｄｑ_s(ｔ)/ｄｔ}として,

系はこれらの関数で表わされるLagrangian:Ｌ＝Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)で記述されるとします。 

そして前記事と同じく,系はある無限小変換:

ｔ^*＝ｔ＋Δｔ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋Δｑ_s,ただし,

Δｔ＝ετ(ｔ,ｑ,ｑ^d),Δｑ_s＝εξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)に対して

理論が不変である,という対称性を有するとします。

この変分に対してLagrangianはＬ(ｔ,ｑ,ｑ^d)から,

Ｌ(ｔ^*,ｑ^*,ｑ^d*)に移行します。

そして,Lie変分の意味で,Ｌ^*(ｔ,ｑ,ｑ^d)≡Ｌ(ｔ^*,ｑ^*,ｑ^d*)|_t*=t

とおけば作用積分は,Ｓ＝∫Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)ｄｔ

→Ｓ^*＝∫Ｌ^*(ｔ,ｑ,ｑ^d)ｄｔなる変換を受けるので,

理論が不変なことはＳ＝Ｓ^*と同値です。 

これは,Ｌ^*(ｔ,ｑ,ｑ^d)－Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝ｄＧ/ｄｔなる関数Ｇが存在すること,つまり,Ｌ(ｔ^*,ｑ^*,ｑ^d*)|_t*=t－Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d) ＝ｄＧ/ｄｔなるＧの存在を意味します。

(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

－(ｄＬ/ｄｔ)τ＝ｄＧ/ｄｔと表現できますが,

右辺のＧをＧ－Ｌτに置き換えれば,前記事の論文でNoetherの定理が成立するための条件である(29)式:

(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)＋Ｌτ^d

＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔと同等です。

つまり,(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)

{(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)ｑ_s^2ｄτ＋Ｌｄτ/ｄｔ

＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔと同等です。

(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

－(ｄＬ/ｄｔ)τ＝ｄＧ/ｄｔの左辺で,

(∂Ｌ/∂ｔ)＋ｑ_s^d(∂Ｌ/∂ｑ_s)＋ｑ_s^2ｄ(∂Ｌ/∂ｑ_s^ｄ)

＝ｄＬ/ｄｔを考慮します。

すると,－ｑ_s^dτ(∂Ｌ/∂ｑ_s)－ｑ_s^2ｄτ(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)

＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d){(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}

＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)ｑ_s^2ｄτ＝ｄＧ/ｄｔとなります。

　これらをまとめると,{(∂Ｌ/∂ｑ_s)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}

　(ξ_s－ｑ_s^dτ)＋{(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)

　＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d){(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔ

　となります。

　"運動方程式＝Euler-Lagrange方程式"

  (∂Ｌ/∂ｑ_s)＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)を代入すると,

{(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)

{(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔとなります。

　すなわち,(ｄ/ｄｔ)[Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)]＝0

が得られます。

　したがって,Noetherの定理で保証される保存量として,

Ｉ^N≡Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)が得られるわけです。

　これは,Ｉ^N≡Ｇ＋Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}ξ_s＋(ｐ_sｑ_s^d－Ｌ)τ

＝Ｈτ＋{Ｇ＋Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}ξ_s}とも書けます。

　ここにｐ_s≡(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)は一般化運動量であり,Ｈ≡ｐ_sｑ_s^d－Ｌは系の"Hamiltonian＝エネルギー"です。

　Ｉ^Nの添え字ＮはNoether対称性の保存量という意味です。

　ただし,前記事の対応する保存量Ｉは,Ｇ→Ｇ－Ｌτとして,

Ｉ＝Ｉ^N－Ｌτ＝Ｇ－Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)

＝Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}ξ_s＋(ｐ_sｑ_s^d－Ｌ)τ

Ｈτ＋{Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}ξ_s}

です。

通常は時間軸における時間原点の平行移動に対する不変性,つまり時間の一様性に関するエネルギーＨの保存に関わる場合を除けば一般に時間変数を動かすことはありません。

その場合,Ｉ^N≡Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)においてτ≡0であり,

しかも,そうした対称性では,作用Ｓだけではなく,LagrangianＬ自身も不変です。

それ故,関数ＧはＧ≡0 である場合がほとんどなので不変量は

Ｉ_N≡－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)ξ_sで与えられます。

そもそも,通常はNoether対称性は大域的対称性ですから,パラメータ:

εξ_sはせいぜい座標の一次関数εξ_s＝ελ_srｑ_rです。

そこで,Ｉ_N≡－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)λ_srｑ_rとなる場合,または全てが

任意定数εξ_s＝ε_sであり,保存量は無限小パラメータε_sの数だけ

あって,Ｉ^N_s≡－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)となるケースなどがほとんどです。

この後者では,特にεξ_s＝－ε_sと係数を取れば

Ｉ^N_s≡ｐ_s＝(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)となり空間の一様性と関連した保存量

としての運動量ｐ_sの表現になります。

一方,前者εξ_s＝ελ_srｑ_rの場合はｑ_s^*＝ｑ_s＋ελ_srｑ_r

＝(δ_sr＋ελ_sr)ｑ_rで,これは位相変換:

ｑ^*＝exp(－εΛ)ｑ (Λ＝{λ_sr}は行列の無限小変換に対応していて

一般座標を場の量に置き換えれば場の量の位相変換になるので場の

理論ではよくあるケースですね。

また,特に時間軸における時間原点の平行移動に対する不変性,つまり時間の一様性に関する対称性の場合にはξ_s≡0 であって,τは定数であり,

Ｇ＝－ＬτなのでＩ^N＝(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)ｑ_s^d－Ｌ)τ＝(ｐ_sｑ_s^d－Ｌ)τ

＝Ｈτです。

これも大域的対称性なので,ετは任意定数です。

それ故,保存量としてはＩ^N＝Ｈ,つまりエネルギーの保存が得られます。

そして,前記事の論文における定理を再掲します。

[定理1]:関数τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)とξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)が条件:

ξ_s^2d－2α_sτ^d－ｑ_s^dτ^2d＝Ｘ⁽¹⁾(α_s)(8)を満たし,関数:

λ(ｔ,ｑ,ｑ^d)が方程式∂α_s/∂ｑ_s^d＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (10)

を満たすとき,

物理系　ｑ_s^2d＝α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(1)の保存量Ｉとして,

Ｉ≡(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}－τ^d (9)　を持つ。

系が通常のLagrangian:Ｌ(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝Ｔ－Ｖによって記述される保存力場の場合には,

力α_sはポテンシャルＶによって,

α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝－∂Ｖ/∂ｑ_s＝∂Ｌ/∂ｑ_sで与えられます。

また,加速度は運動エネルギーＴによって,

ｑ_s^2d＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｔ/∂ｑ_s)＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s)

で与えられます。

そして,Euler-Lagrange方程式:(∂Ｌ/∂ｑ_s)－(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s

)＝0 は運動方程式ｑ_s^2d＝α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(1)に一致します。

そして,変換の生成子はＸ⁽¹⁾≡τ(∂/∂ｔ)＋ξ_s(∂/∂ｑ_s)

＋(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂/∂ｑ_s^d)(7)であり,α_s＝∂Ｌ/∂ｑ_sなので,

パラメータτとξ_sが満たすべき条件:

ξ_s^2d－2α_sτ^d－ｑ_s^dτ^2d＝Ｘ⁽¹⁾(α_s)(8)は,

ξ_s^2d－2(∂Ｌ/∂ｑ_s)τ^d－ｑ_s^dτ^2d

＝τ(∂²Ｌ/∂ｔ∂ｑ_s)＋ξ_k(∂²Ｌ/∂ｑ_k∂ｑ_s)

＋(ξ_k^d－ｑ_k^dτ^d)(∂∂²Ｌ/∂ｑ_k^d∂ｑ_s)

と書けます。

通常,Noether定理の前提として,作用Ｓの不変性を与える無限小変換:

ｔ^*＝ｔ＋ετ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_sのパラメータτ,ξ_sは時間ｔには

依らないので,パラメータの時間微分τ^d,τ^2d,ξ_k^d,ξ_s^2dは

全てゼロとしていいですから,

この条件式(8)は,τ(∂²Ｌ/∂ｔ∂ｑ_s)＋ξ_k(∂²Ｌ/∂ｑ_k∂ｑ_s)

＝τ(∂α_s/∂ｔ)＋ξ_k(∂α_s/∂ｑ_k)＝0 となります。 

また,関数λの満たすべき条件式:

∂α_s/∂ｑ_s^d＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (10)は,

ｄ(lnλ)/ｄｔ＝∂²Ｌ/∂ｑ_s∂ｑ_s^dを意味しますが,

これはλ＝Ｄ≡det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)とおけば満足されます。

このとき,定理１の結論として存在が保証されている保存量は,

Ｉ≡(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}－τ^d (9)ですが,これは具体的には,

Ｇ＝Ｌτ＋(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)－∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)

(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d＋ｃ(ｔ,ｑ)(32)　となります。

そして,先に考察したNoether保存量:

Ｉ^N≡Ｇ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)によれば,

これは,I＝Ｉ^N－Ｌτ＝Ｇ－Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)

で与えられる量Ｉに一致するはずですから,

Ｉ≡Ｇ－Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)

＝－∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d＋ｃ(ｔ,ｑ)

と書けます。

ところが再掲の定理２：

[定理２]τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)とξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)がNoether対称性を表現するものであって,λ＝det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)であるなら,式(9)で定義される保存量は恒等的にゼロである。

によれば,上に計算された式(9)の保存量:

Ｉ＝－∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d＋ｃ(ｔ,ｑ)

は恒等的にゼロであること:自明な保存量であることがわかっています。

しかし,これは通常のNoether定理で保証される保存量というのは全てゼロであって,無意味であることを意味するものではありません。

実際,エネルギー,運動量,電荷など,ゼロでないNoether保存量はたくさん存在しますからね。

ここでの,自明な保存量:Ｉ≡0 は条件

(8)τ(∂²Ｌ/∂ｔ∂ｑ_s)＋ξ_k(∂²Ｌ/∂ｑ_k∂ｑ_s)＝τ(∂α_s/∂ｔ)

＋ξ_k(∂α_s/∂ｑ_k)＝0 を満たす特殊な無限小変換:

ｔ^*＝ｔ＋ετ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_sに対し物理系の作用Ｓが不変

であるような対称性を持つ場合です。

そして,λが条件(10)ｄ(lnλ)/ｄｔ＝∂²Ｌ/∂ｑ_s∂ｑ_s^dを満たす関数:

λ＝det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)であり,これに対して保存量が

(9)Ｉ≡(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}－τ^d で与えられる特別なケースです。

これは,Noether保存量の意味からは,Ｉ＝Ｉ^N－Ｌτ

＝Ｇ－Ｌτ－(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)における右辺のゲージ関数

Ｇを,Ｇ＝Ｌτ＋(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)－

∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d＋ｃ(ｔ,ｑ)

なる形に特定した特殊例に過ぎないといえます。

そして,Noether対称性の変換になるための前提条件である

"系のLagrangianＬが存在して(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋

(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)＋Ｌτ^d

＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔ(29)を満たすゲージ関数Ｇが存在する。"

という条件が満足されない場合でも,

系の運動方程式ｑ_s^2d＝α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(1) が不変に保たれる変換であって,その変換のパラメータτ,ξ_sが条件(8),(10)を満たす限り,

式(9)Ｉ≡(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋

(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}－τ^d

で与えられる保存量Ｉの存在が保証されます。

しかもこれが自明＝ゼロとはならないケースが実際にある,ことは２つの例で示されています。

したがって,これが非Noether保存量としてのHojmanの保存量やLutzkyの保存量の意味するところであると思われます。

これらは特別な場合としてNoether保存量も含みますが,その場合には保存量は自明＝ゼロにしかならないので,実質的に意味があるのは非Noether保存量としてのそれのみであろうと思われます。

しかし,Noether保存量であるエネルギーや電荷のように物理学にとって意味のある量として,そうした保存量が出現する具体例が挙げられない限り,数学的意味付けは得られても,物理屋としてのモチベーションが湧いてきません。

まあ,具体例は自分で考えるか文献で探して挙げればればいいのかもしれませんが。。。,

というわけでモチベーションの関係もあって,この記事の完成はやや遅れました。

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非ネーター保存量

私がサブマネージャーをしているfolomyの物理フォーラム,さらにそこで世話役をしている「量子の部屋」において,先日ある方から「非ネーター保存量について」という表題の質問がありました。

→ http://folomy.jp/heart/?m=pc&a=page_c_topic_detail&target_c_commu_topic_id=9533&comment_count=3

その質問内容は,

"かつては,物理系の保存量というのは対称性変換に対する作用,またはLagrangianの不変性からNoether(ネーター)の定理を通して定まるものだけでした。

エネルギー(時間の一様性＝時間の平行移動不変性),運動量(空間の一様性＝空間の平行移動不変性),角運動量(空間の等方性＝空間の回転不変性),電荷(荷電(アイソスピン)空間の等方性＝荷電空間の回転不変性)など全てはそれに当てはまります。

ところが,1979年にはLutzky,1992年にはHojuman,その他によって,その範疇には入らず,系の運動方程式の不変性のみから定まる別の種類の保存量の存在が指摘されたということで,そうした新種の保存量と従来のNoether保存量との違いについて知りたい。"

というものでした。

しかし,実は私自身は今まで保存量は系の対称性からNoetherの定理によって保証されるもの以外には存在しないと思っていて,寡聞にしてそうした新保存量の存在は全く知りませんでした。

そこで,ネットで検索してみると,2004年にZhangとChenによって,それらをまとめたと思われる論文を見つけたので,有料でしたがネットから直接Downloadしてそれを入手してみました。

その中には参考文献としてLutzkyらの原論文もあるようですが,それよりも,この取り寄せた論文を解読すれば,よりわかりやすく疑問が解決されると考えたので,とりあえず全文を翻訳してみることにしました。

以下はまず,Downloadした論文の翻訳です。

"The Unified Form of Hojman's Conservation Law and Lutzky's Conservation Law"

(Hojmanの保存則とLutzkyの保存則の統一形式)  　　

　Hong-Bin ZHANG and Li-Qun CHEN:Journal of Physical Society

　of Japan Vol.74,No.3,March,2005,pp905-909

1.     序文(introduction)

　力学系の対称性は物理学において最も重要な課題の１つである。これに関しては長い間研究がなされてきた。

　力学系の対称性は系の不変量(または第１積分)と密接に関連しているので運動方程式を積分する際に役に立つと思われる。

　こうした不変量(保存量)を見出す近代的なアプローチは主としてNoether対称性,Lie対称性,および,Mel形式の不変性によるものである。

Noether対称性は連続群の無限小変換の下での作用(＝作用積分)の不変性である。

Noetherの定理は１つ1つの保存量が,各々Noether対称性に関わるというものである。

また,Mel形式の不変性は連続群の無限小変換の下での非ポテンシャル的一般化力(＝非保存力),一般化拘束etc.で構成されるLagrangianのような,系の動力学関数の不変性である。

新しいタイプの保存量はMel形式を用いても得られる。

Lieの手法は微分方程式系を不変に保つ連続な対称性の群を見つけることから成る手法である。

こうした対称性の変換はそれぞれLie群を構成している。

ひとたび,対称性の群が得られたならば,第１積分を見つけるいくつかの方法がある。

1979年にLutzkyはある種のLagrangian系の運動の恒量(保存量)は作用を不変に保たないような点対称性からでも決定される,ということを示した,

そしてこうした保存量の陽な形は対称性群の生成子に関する知見から定められる,ことを示した。

2003年には,FuとChenが非Noether対称性と非保存力学系の保存量についてさらに研究を進めた。

1992年には,HojmanがLagrangianもHamiltonianも用いることなく,単に対称性の存在に基づいて,新しい保存則を与えた。

この直接的な方法は大勢の注意を引き付けた。

本論文では,Hojmanの保存則とLutzkyのそれの統一された形式を導く。

また,こうした保存量が運動方程式の対称性変換ベクトルによってのみ構成されることを示す。

その際,時間と一般化座標の両方の変分を考慮に入れる。

Hojmanの保存則とLutzkyのそれは,この統一された形式の特別な場合とみなされる。

さらに自明な保存量を除外するために,ある条件が与えられる。

最後に,この結果の応用を示すために,２つの簡単な例を与える。

2. 無限小変換と決定方程式

　α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)が力を表わす関数であるとし,系の運動を表わす

　２階常微分方程式:ｑ_s^2d＝α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(1)の集合を考える。

(※注:以下では,このブログ記事で数式を表記する方法の限界のため,

　論文本文での時間微分を示す上付きdotの代わりに,上付き添え字:

　ｄの表記:ｑ_s^d≡ｑ_s^dot≡ｄｑ_s/ｄｔ,ｑ_s^2d≡ｄｑ_s^d/ｄｔ

　＝ｄ²ｑ_s/ｄｔ² etc.を用います。)

　ここで,時間,一般化座標,一般化速度について無限小変分を導入する。

　ｔ^*＝ｔ＋Δｔ(2),ｑ_s^*＝ｑ_s＋Δｑ_s(3),または展開された形式で

　ｔ^*＝ｔ＋ετ(ｔ,ｑ,ｑ^d)(4),ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(5)

　とする。

　ここに,εは無限小パラメータで,τ(ｔ,ｑ,ｑ^d),ξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)は

　係数関数である。

(※注:取り合えず,τ,ξ_sはｔ,ｑ,ｑ^dの任意関数としておきますが,後に対称性変換となるための条件を与えます。)

　Ｘ⁽⁰⁾≡τ(∂/∂ｔ)＋ξ_s(∂/∂ｑ_s) (6)を無限小変換(4),(5)の生成子ベクトルとする。

　このとき,Ｘ⁽⁰⁾の１次の延長という概念をＸ⁽¹⁾≡Ｘ⁽⁰⁾＋(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂/∂ｑ_s^d) (7)で定める。

　Ｘ⁽¹⁾はＸ⁽⁰⁾の１次の延長を記述する演算子とする。

　ここでは,軌跡に沿っての時間による全微分を表わすのに,文字の上にドットを付けている。

　すなわち,Ｉ^d≡ｄＩ/ｄｔ＝∂Ｉ/∂ｔ＋ｑ_s^d(∂Ｉ/∂ｑ_s)

　＋α_s(∂Ｉ/∂ｑ_s^d)　である。

[定義１]:無限小変換(4),(5)が系１のLie対称性変換であるとは次の決定方程式を満たす関数τ(ｔ,ｑ,ｑ^d),ξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)が存在することをいう:

　ξ_s^2d－2α_sτ^d－ｑ_s^dτ^2d＝Ｘ⁽¹⁾(α_s) (8)

（※注:ｔ^*＝ｔ＋Δｔ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋Δｑ_s ,ただし,

　Δｔ＝ετ(ｔ,ｑ,ｑ^d),Δｑ_s＝εξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)

　です。

　この無限小変換に伴なうｑ_s^d＝ｄｑ_s/ｄｔの変分:

　Δ(ｑ_s^d)＝Δ(ｄｑ_s/ｄｔ)は,ｄｑ_s^*/ｄｔ^*－ｄｑ_s/ｄｔ

　＝ｄ(ｑ_s＋Δｑ_s)/{ｄ(ｔ＋Δｔ)}－ｄｑ_s/ｄｔです。

　そして,ｄ(ｔ＋Δｔ)＝ｄ(ｔ＋ετ)＝ｄｔ＋εｄτ

　＝ｄｔ＋ε(ｄτ/ｄｔ)ｄｔ＝ｄｔ＋ετ^dｄｔ

　＝ｄｔ(1＋ετ^d)です。

そしてεは無限小なので１次の無限小まで考えて微分量とεの積など

２次以上の無限小を無視すると,

ｄ(ｑ_s＋Δｑ_s)/{ｄ(ｔ＋Δｔ)}＝ｄ(ｑ_s＋εξ_s)/{ｄｔ(1＋ετ^d)}

＝{ｄｑ_s＋εｄξ_s)/ｄｔ}(1－ετ^d)

＝ｄｑ_s/ｄｔ＋εｄξ_s/ｄｔ－ε(ｄｑ_s/ｄｔ)τ^d

＝ｄｑ_s/ｄｔ＋ε(ξ_s^d－ｑ^d_sτ^d)ですから,

Δ(ｑ_s^d)＝Δ(ｄｑ_s/ｄｔ)

＝ｄ(ｑ_s＋Δｑ_s)/{ｄ(ｔ＋Δｔ)}－ｄｑ_s/ｄｔ＝ε(ξ_s^d－ｑ^d_sτ^d)

となります。

　つまり,ｔ^*＝ｔ＋ετ(ｔ,ｑ,ｑ^d)(4),ｑ_s^*＝ｑ_s＋εξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)(5)

　の変換に伴なってｑ_s^d＝ｄｑ_s/ｄｔもｑ_s^d*＝ｑ_s^d＋ε(ξ_s^d－ｑ^d_sτ^d)

　なる変換を受けます。

　それ故,Ｉ(ｔ,ｑ,ｑ^d)を一般の任意の物理量とするとき,

　この無限小変換に伴なってＩ→Ｉ⁺＝Ｉ＋ΔＩと変換される際,

　変分ΔＩは,１次の無限小まで取るなら,

　ΔＩ＝ετ(∂Ｉ/∂ｔ)＋εξ_s(∂Ｉ/∂ｑ_s)

　＋ε(ξ_s^d－ｑ^d_sτ^d)_s(∂Ｉ/∂ｑ_s^d)

　＝εＸ⁽⁰⁾(Ｉ)＋ε(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂Ｉ/∂ｑ_s^d)

　となります。

　すなわち,ΔＩ＝εＸ⁽⁰⁾(Ｉ)ではなく,ΔＩ＝εＸ⁽¹⁾(Ｉ)

　で与えられると考えられます。(注終わり※)

3.     Hojmanの保存則とLutzkyの保存則の統一形式

　　微分方程式の系(1)に対する対称性変換の生成子:

　τ(∂/∂ｔ)＋ξ_s(∂/∂ｑ_s)＋(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂/∂ｑ_s^d)を決定する

　２つの係数項τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)とξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)に基づき,次の定理に関連した保存量を構成することができる。

[定理１]:関数τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)とξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)が条件(8)を満たし,

　関数λ(ｔ,ｑ,ｑ^d)が方程式:∂α_s/∂ｑ_s^d＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (10)

　を満たすとき,物理系(1)は次の保存量Ｉを有する。

Ｉ≡(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)

＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}－τ^d   (9)

(証明)まず,式(9)によるＩの定義から,これをｔで全微分すると,

ｄＩ/ｄｔ＝(ｄ/ｄｔ){(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)

＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)}＋(ｄＸ⁽¹⁾{lnλ}/ｄｔ)－τ^2d (11)

となる。

ここで一般に任意関数Ａ(ｔ,ｑ,ｑ^d)に対して,以下の関係式が成立することを容易に示すことができる。

すなわち,(ｄ/ｄｔ)(∂Ａ/∂ｔ)＝(∂/∂ｔ)(ｄＡ/ｄｔ)－(∂α_k/∂ｔ)(∂Ａ/∂ｑ_k^d)(12),(ｄ/ｄｔ)(∂Ａ/∂ｑ_s)

＝(∂/∂ｑ_s)(ｄＡ/ｄｔ)－(∂α_k/∂ｑ_s)(∂Ａ/∂ｑ_k^d)(13),

　および,(ｄ/ｄｔ)(∂Ａ/∂ｑ_s^d)

＝(∂/∂ｑ_s^d)(ｄＡ/ｄｔ)－(∂Ａ/∂ｑ_s)－(∂α_k/∂ｑ_s^d)(∂Ａ/∂ｑ_k^d)

(14),

Ｘ⁽¹⁾{∂Ａ/∂ｑ_s^d}＝(∂/∂ｑ_s^d){Ｘ⁽¹⁾(Ａ)}－(∂τ/∂ｑ_s^d)(∂Ａ/∂ｔ)

－(∂ξ_k/∂ｑ_s^d)(∂Ａ/∂ｑ_k)

－(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂Ａ/∂ｑ_k^d) (15)　である。

τ(ｔ,ｑ,ｑ^d),ξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)がｑ_s^2d＝α_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)に対する対称性を定義する条件式は(8)で与えられるが,この式を用いると,もしＸ⁽¹⁾が対称性変換の生成子なら次式が成立することが示せる。

すなわち,Ａ(ｔ,ｑ,ｑ^d)を任意関数とするとき,(12)－(14)から

ｄＸ⁽¹⁾(Ａ)/ｄｔ＝Ｘ⁽¹⁾{ｄＡ/ｄｔ}＋τ^d(ｄＡ/ｄｔ)(16)が成立する。

　また,(ｄ/ｄｔ){(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)}＝τ^2d＋τ^d(∂α_s/∂ｑ_s^d)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^2d－2α_sτ^d－ｑ_s^dτ^2d)－(∂α_k/∂ｔ)(∂τ/∂ｑ_k^d)－(∂α_k/∂ｑ_s^d)(∂ξ_s/∂ｑ_k^d)－(∂α_k/∂ｑ_s^d)(∂/∂ｑ_k^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(17)なる表式を得る。

　さらに,(8)と(15)からＸ⁽¹⁾{∂α_k/∂ｑ_k^d}＝(ｄ/ｄｔ){(∂τ/∂ｔ)＋(∂ξ_s/∂ｑ_s)＋(∂/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)}－τ^2d－(∂α_s/∂ｑ_s^d)τ^d(18)である。

　そして,式(8),および(16)－(18)を式(11)に代入すると,

　結局ｄＩ/ｄｔ＝0 (19)が得られる。

　(証明終わり)

　[定理１]から次の３つの系を容易に導くことができる。

[系１]:λ(ｔ,ｑ,ｑ^d)が(10)を満足する関数ならば,τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝0

　であり,かつξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)が決定方程式:ξ_s^2d－(∂α_s/∂ｑ_k)ξ_k

－(∂α_s/∂ｑ_k^d)ξ_k^d＝0 (21)を満たすとき,

　物理系(1)は次の保存量Ｉを有する。

　Ｉ≡(1/λ){∂(λξ_s)/∂ｑ_s}＋(1/λ){∂(λξ_s^d)/∂ｑ_s^d} (20)

　である。

　実際,この系１はλ＝λ(ｑ)のときのHojmanの保存則そのものを

　示している。

[系２]:λ(ｔ,ｑ,ｑ^d)が(10)を満足する関数ならば,ξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝0

　であり,かつ τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)が方程式:2α_sτ^d＋ｑ_sτ^2d＋τ(∂α_s/∂ｔ)

　－ｑ_s^dτ^d(∂α_s/∂ｑ_k^d)＝0 (23)を満たすとき,

　物理系(1)は次の保存量Ｉを有する。

　Ｉ≡(1/λ){∂(λτ)/∂ｔ}－(1/λ){∂(λｑ_s^dτ^d)/∂ｑ_s^d}－τ^2d (22)

　である。

系２は新しい形の保存則である。

これは例１で示す予定の自明でない保存量を与える。

[系３]:LagrangianＬ(ｔ,ｑ,ｑ^d)を有し運動方程式が(1)で与えられるｎ次元力学系があるとする。

　このとき,Ｘ⁽⁰⁾≡τ(ｔ,ｑ)(∂/∂ｔ)＋ξ_s(ｔ,ｑ)(∂/ｑ_s)(24)によって生成される１径数Lie群に対して運動方程式(1)が不変であるなら,この物理系は次の保存量Iを有する。

　すなわち,Ｉ≡2{(∂ξ_s/∂ｑ_s)－ｑ_s^d(∂τ/∂ｑ_s)}－ｎτ^d＋Ｘ⁽¹⁾{lnλ}(25)である。

　ここに,λ＝det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)であり,Ｘ⁽¹⁾≡はＸ⁽⁰⁾の延長,または接続である。

　よく知られているように,τ(ｔ,ｑ)とξ_s(ｔ,ｑ)は恒等式:

　∂τ^d/∂ｑ_s^d＝∂τ/∂ｑ_s (26),および,∂ξ_s^d/∂ｑ_s^d＝∂ξ_s/∂ｑ_s (27)

　を満足する。

　保存量Ｉを表わす式(25)は(9),(26),(27)を用いれば得られるが,この系３がLutzkyの保存則そのものを示すことは明らかである。

4.     自明な保存量を除外するための条件

　保存量(9)は,いくつかの場合には自明なそれ,つまり恒等的にゼロになる,ことを指摘する必要がある。

　本節では,そうした自明な保存量＝ゼロを除外するための条件を与える。

　物理系(1)が非特異LagrangianＬで表わされる系であるとき,その要素が(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)で与えられる行列の行列式をＤとおけば,

　簡単な計算から,∂α_s/∂ｑ_s^d＋ｄ(lnＤ)/ｄｔ＝0 (28)なる等式が成立することがわかる。

　そこで,λ＝Ｄに取れば,これによって条件(10)が満たされる。

(※注:非特異Lagrangianとはdet(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)≠0 なるLagrangian Ｌのことです。

　Lagrangianが非特異のときには,一般化運動量ｐ_sが与えられると,

これを定める定義式ｐ_s＝∂Ｌ/∂ｑ_s^dを逆に解いてｑ_s^dをｑ,ｐのみで表現することができるため,Lagrangian形式からHamiltonの正準形式に移行することが可能となります。

　そこで,この場合には,この形式から何の障害もなく正準量子化によって簡単に量子論を定式化することが可能です。

　余談ですが,Lagrangianが特異な場合,つまり,det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)＝0 である場合には,それが原因で例えば電磁場のようにゲ－ジ変換の任意性があるようになります。

　このとき,正準形式の定式化は通常のPoisson括弧の代わりにDirac括弧を用いる修正が必要で,共変的量子化は単純ではありません。)

　このとき,問題としている変換:τ(∂/∂ｔ)＋ξ_s(∂/∂ｑ_s)

＋(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)(∂/∂ｑ_s^d)がNoether対称性の変換になるための条件は,

　(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)＋Ｌτ^d

　＝ｄＧ(ｔ,ｑ,ｑ^d)/ｄｔ(29)　で与えられる。

　ここに,Ｇ(ｔ,ｑ,ｑ^d)はゲージ関数と呼ばれる。

　(29)式においてｑ_k^2d≡ｄｑ_k^d/ｄｔに関係する項のみを分離すると,

　(∂Ｌ/∂ｑ_s^d){(∂/∂ｑ_k^d)}(ξ_s－ｑ_s^dτ)＋{∂(Ｌτ)/∂ｑ_k}

　＝∂Ｇ/∂ｑ_k^d (30),

　および,(∂Ｌ/∂ｔ)τ＋(∂Ｌ/∂ｑ_s)ξ_s

＋(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)[(∂/∂ｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)＋ｑ_k^d(∂/∂ｑ_k)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}

　＋Ｌ[(∂τ/∂ｔ)＋ｑ_k^d(∂τ/∂ｑ_k)]

　＝[(∂Ｇ/∂ｔ)＋ｑ_k^d(∂Ｇ/∂ｑ_k)] (31) となる。

式(30)から,Ｇ＝Ｌτ＋(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)－∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)

(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d＋ｃ(ｔ,ｑ) (32)と表わせることがわかる。

これを変形して評価するために,

ｖ≡∫(ξ_s－ｑ_s^dτ)(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)ｄｑ_k^d－ｃ(ｔ,ｑ)(33)

とおく。

(33)式の両辺をｑ_k^dで微分すると,

(ξ_s－ｑ_s^dτ)＝(Ｍ_sk/λ)(∂ｖ/∂ｑ_k^d)(34)と書ける。

ここに,λ＝Ｄ≡det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)であり,Ｍ_skはＬの２階微分係数で形成される行列(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)の余因子である。

これの右辺を式(31)の両辺の(ξ_s－ｑ_s^dτ)に代入して変形すると,

次のｖに対する等式が得られる。

(∂ｖ/∂ｔ)＋ｑ_k^d(∂ｖ/∂ｑ_k)＋(ξ_s－ｑ_s^dτ)[(∂Ｌ/∂ｑ_s)

－(∂²Ｌ/∂ｔ∂ｑ_s^d)－ｑ_k^d(∂²Ｌ/∂ｑ_k∂ｑ_s^d)]＝0 (35)である。

一方,Euler-Lagrange方程式方程式は,

∂Ｌ/∂ｑ_s＝(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｑ_s^d)

＝(∂²Ｌ/∂ｔ∂ｑ_s^d)＋ｑ_k^d(∂²Ｌ/∂ｑ_k∂ｑ_s^d)

＋ｑ_k^2d(∂²Ｌ/∂ｑ_k^d∂ｑ_s^d) (36)である。

この(36)式を(35)式に代入して簡単化すると,

(∂ｖ/∂ｔ)＋ｑ_k^d(∂ｖ/∂ｑ_k)＋ｑ_k^2d(∂ｖ/∂ｑ_k ^d)＝0 (37),

すなわちｄｖ/ｄｔ＝0 (38)が得られる。

一方(34)から,λ(ξ_s－ｑ_s^dτ)＝Ｍ_sk(∂ｖ/∂ｑ_k^d)(39)である。

そこで式(39)の両辺の全微分を取り(38)と(14)を用いると,

λ(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)

＝－Ｍ_sk(∂ｖ/∂ｑ_s^d)－Ｍ_sk(∂ｖ/∂ｑ_ρ^d)(∂α_ρ/∂ｑ_k^d)

－Ｍ_sk(∂ｖ/∂ｑ_k^d)(λ^d/λ)(40)が得られる。

さらに条件(10)から,λ^d/λ＝－(∂α_s/∂ｑ_s^d)(41)である。

したがってλ(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)＝－Ｍ_sk(∂ｖ/∂ｑ_s^d)(42)

となることがわかる。

(39)と(42)を(9)式に代入し(10)を用いると,不変量Ｉは,

Ｉ＝(1/λ)[{∂(λτ)/∂ｔ}＋{∂(λξ_s)/∂ｑ_s}

＋(∂/∂ｑ_s^d){λ(ξ_s^d－ｑ_s^dτ^d)}]－τ^d

＝(1/λ)[{∂(λτ)/∂ｔ}＋(∂/∂ｑ_s){λ(ξ_s－ｑ_s^dτ)}

＋(∂/∂ｑ_s^d){λ(ｄ/ｄｔ)(ξ_s－ｑ_s^dτ)}＋ｑ_s^d{∂(λτ)/∂ｑ_s}

＋ｑ_s^2d{∂(λτ)/∂ｑ_s^d}＋(λτ)(∂α_s/∂ｑ_s^d)]－τ^d

＝(1/λ){(ｄ/ｄｔ)(λτ)－τλ^d}－τ^d＝0

となる。

つまり不変量Ｉは自明な量であることが示されました。

この結果は次の定理にまとめられる。

[定理２]:τ(ｔ,ｑ,ｑ^d)とξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)がNoether対称性を表現するものであり,λ＝det(∂²Ｌ/∂ｑ_s^d∂ｑ_k^d)なら,式(9)で定義される保存量は恒等的にゼロである。

5.     例

　これまでの節で展開された理論のさまざまな様相を描写するため,

　例１ではLieの点対称性変換を与え,例２では,一般化されLieの対称性を導入する。

[例１]:第１の例としてLagrangian:Ｌ＝(1/2)exp(γｔ)(ｑ^ｄ)²(γは定数)(43)を有する１自由度の減衰線型振動子を考える。

　この系の微分方程式はｑ^2ｄ＝－γｑ^ｄ(44)で与えられる。

　変換パラメータは,τ＝τ(ｔ,ｑ)(45),ξ＝ξ(ｔ,ｑ)(46)とする。

　このとき方程式(44)における(45),(46)の無限小変換の下でのLie対称性を決定する方程式は,ξ_tt＋γξ_t＋(2ξ_tq＋γτ_t－τ_tt)ｑ^ｄ＋

　(2ξ_qq－2τ_tq＋2γτ_q)(ｑ^ｄ)²－τ_qq(ｑ^ｄ)³＝0 (47)　である。

　これは恒等式なので,(47)からξ_tt＋γξ_t＝0 (48),

　2ξ_tq＋γτ_t－τ_tt＝0 (49),2ξ_qq－2τ_tq＋2γτ_q＝0 (50),

　τ_qq＝0 (51)　を得る。

　(48)－(51)を解けば,τ＝[ｃ₃＋ｃ₄exp(γｔ)]ｑ＋ｃ₅＋ｃ₆exp(γｔ)

　－(ｃ₂/γ³)exp(－γｔ)(52),ξ＝{(ｃ₁＋ｃ₂ｑ)/γ²}exp(－γｔ)＋

　ｃ₈＋ｃ₇ｑ－ｃ₃ｑ² (53)が得られる。

　また,(10)は－γ＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (54)を意味するが,これから解:

　λ＝(ｑ^d)^-1の存在がわかる。

(※注:ｑ^2ｄ＝－γｑ^ｄ(44)より,－γ＝ｄ(lnｑ^d)/ｄｔ(44),

　故に,－γ＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (54)は,

　ｄ(lnｑ^d)/ｄｔ＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 です。

　よってlnｑ^d＋lnλ＝一定。すなわち.λ＝ｃ(ｑ^d)^-1を得ます。

　ｃ＝1とおけばλ＝(ｑ^d)^-1です。※)

　式(52),(53),(55)を(9)に代入すると,保存量Ｉは次のように書ける。

　すなわち,Ｉ＝ｃ₇＋ｃ₁exp(－γｔ)/(γｑ^d)＋ｃ₂(ｑ^d＋γｑ)

　exp(－γｔ)/(γ²ｑ^d)－2ｃ₃(ｑ^d＋γｑ)－2ｃ₄ｑ^dexp(γｔ)

　である。

　実際には,(48)－(51)と(9)には次のような特殊解がある。

　すなわち,

　τ＝0 ,ξ＝exp(－γｔ)/γ2,Ｉ＝exp(－γｔ)/(γｑ^d) (57);

　τ＝－exp(－γｔ)/γ³,ξ＝ｑexp(－γｔ)/γ²,

　Ｉ＝(ｑ^d＋γｑ)exp(－γｔ)/(γ²ｑ^d) (58);τ＝ｑ,

　ξ＝－γｑ²,I＝－2(ｑ^d＋γｑ) (59);τ＝ｑexp(γｔ),

　ξ＝0 ,I＝－2ｑ^dexp(γｔ) (60)

　である。

　明らかに,上の４つの非自明な保存量は独立ではなく,このうちの２つだけが関数的に独立である。

　特にξ＝0 ,τ＝exp(γｔ)ｑ,λ＝(ｑ^d)^-1なら(22)によって

　I＝－2exp(γｔ)ｑ^d (61)である。

　これは系２が自明でない保存量を与える例を示している。

[例２]:２次の自明でない２階常微分方程式ｑ^2ｄ＝(ｑ^ｄ)² (62)を考える。

　簡単のために,一般化されたLie対称性変換がｑ^dについて線型であると仮定する。

　すなわち,τ＝τ₁(ｔ,ｑ)ｑ^ｄ＋τ₂(ｔ,ｑ)(63),

　ξ＝ξ₁(ｔ,ｑ)ｑ^ｄ＋ξ₂(ｔ,ｑ)(64)とする。

このとき無限小変換(63),(64)の下で方程式(62)のLie対称性を決定する方程式は,

ξ_2tt＋(2ξ_2tq－2ξ_2t＋ξ_1tt－τ_2tt)ｑ^ｄ＋

(2ξ_1tq－2τ_2tq－τ_1tt ＋ξ_2qq－ξ_2q)(ｑ^ｄ)²＋

(ξ_1qq－τ_2qq＋ξ_1q－τ_2q－2τ_1tq－2τ_1t)(ｑ^ｄ)³＋

(τ_1qq＋3τ_1q＋2τ₁)(ｑ^ｄ)⁴＝0 (65)

であることがわかる。

これは恒等式なので,(65)から,

ξ_2tt＝0 (66),

2ξ_2tq－2ξ_2t＋ξ_1tt－τ_2tt＝0 (67),

2ξ_1tq－2τ_2tq－τ_1tt ＋ξ_2qq－ξ_2q＝0 (68),

ξ_1qq－τ_2qq＋ξ_1q－τ_2q－2τ_1tq－2τ_1t＝0 (69),

τ_1qq＋3τ_1q＋2τ₁＝0 (70)

を得る。

式(66)－(70)は次の解を有する。

τ＝{(ｃ₁ｔ＋ｃ₂)exp(－ｑ)＋(ｃ₃ｔ＋ｃ₄)exp(－2ｑ)}ｑ^d

＋{(ｃ₉exp(－ｑ)＋ｃ₁₀)}ｔ＋ｃ₁₂ (71),

ξ＝{ｃ₆ｔ²－ｃ₁₁exp(－ｑ)－ｃ₃exp(－2ｑ)} ｑ^d＋{ｃ₅exp(ｑ)＋ｃ₆}ｔ

＋ｃ₇exp(ｑ)＋ｃ₈－ｃ₉exp(－ｑ) (72)である。

(10)から,2ｑ^d＋ｄ(lnλ)/ｄｔ＝0 (73)が得られる。

(73)はλ＝exp(－2ｑ)(74)という解を持つ。

(71),(72),(74)を(9)式に代入して保存量Ｉを求めると,

Ｉ＝(3ｃ₁₁－2ｃ₁)exp(－ｑ)ｑ^d＋4ｃ₃exp(－2ｑ){ｑ^d＋ｔ(ｑ^d)²}

－4ｃ₄exp(－2ｑ)(ｑ^d)²－3ｃ₉(1＋ｔｑ^d)exp(－ｑ)－2ｃ₈－ｃ₁₀ (75)

となる。

上の(75)の量に関して,力学系(62)による軌跡に沿って直線的に計算していくとｄＩ/ｄｔ＝0 が得られる。

解(71)－(72)と保存量(75)には次のような特殊ケースがある。

すなわち,τ＝ｔexp(－ｑ)ｑ^d,ξ＝－exp(－ｑ)ｑ^d,

Ｉ＝exp(－ｑ)ｑ^d (76),τ＝ｔexp(－2ｑ)ｑ^d,

ξ＝－exp(－2ｑ)ｑ^d,Ｉ＝4exp(－ｑ){ｑ^d＋ｔ(ｑ^d)²} (77),

τ＝ｔexp(－2ｑ)ｑ^d,ξ＝0,Ｉ＝4exp(－2ｑ)(ｑ^d)² (78),

τ＝exp(－ｑ)ｔ,ξ＝－exp(－ｑ),

Ｉ＝3{exp(－ｑ)＋ｔexp(－ｑ)ｑ^d} (79)　である。

　明らかに(78)の第１積分(＝Ｉ)は,(76)のそれの平方であり,

　(77)のそれは(76)と(79)から得られる。

6.     結論

　本論文ではHojmanの保存則とLutzkyの保存則の統一形式を与えた。

　そして保存量は運動方程式の対称性変換ベクトルのみによって構成されること,Hojmanの保存則とLutzkyの保存則は,この統一形式の２つの特殊な場合であるとみなされることを示した。

　さらに,自明な保存量(ゼロ)を除外するための１つの条件を与えた。

　２つの例を挙げることにより,この新しい保存則から２階常微分方程式の関数的に独立な２つの自明でない保存量が得られることを示した。

　時間と一般化座標の両方の変分を考慮したので,この保存量に関する定理は場の理論や相対性理論を含む形式に拡張することができる。

　こうした問題については将来論じる予定である。

[謝辞(acknowledgement)]

　この研究はthe National Natural Science Foundation of China under Grant No.10172056 and the Science Reseach of the Education Bureau of Anhui Province under Grant No.2004KJ294.によってsupportされたものである。

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15)F.Gona’lez-Gaseo’n: J.Phys,A27(1994)Ⅰ.59.

16)M.Lutzky: J.Phys,A28(1995)Ⅰ.637.

17)T.Pilay and P.G.L.Leach: J.Phys,A29(1996)6999.

18)F.X.Mei: Chin。Sci.Bull,47(2002)1544

19)F.X.Mei: Acta.Phys.Sin. 52(2003)1048.[in Chineses]

20)H.B.Zhang and L.Q.Chen: Acta.Math.Sin. 36(2004)254.[in Chineses]

21)H.B.Zhang and L.Q.Chen: Commun.Theor.Phys. 42(2004)321

22)M.Lutzky: Phys.Lett,A75(1979)8.

23)W.Sarlet and F.Cantrijn:SIAM Rev. 23(1981)467                             　　　　　　　　　　　

(以上:全翻訳了※)

(後記):これを翻訳し,かつ読了した時点では,保存量が非自明となる理由や非Noeteherネーター保存量となる点について,ほとんど把握できていませんでした。

　しかし,考えて理解できないはずもないし,長くなったので,それらについては続編で書くことにします。

　今のところ,私が考えているのはNoether定理における対称性は,

論文の(2)(3)(4)(5)で定義されているｔ^*＝ｔ＋Δｔ,ｑ_s^*＝ｑ_s＋Δｑ_s (Δｔ＝ετ(ｔ,ｑ,ｑ^d),Δｑ_s＝εξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d))のような無限小変換で与えられる局所的対称性ではなく,

　例えば時間や空間の一様性におけるΔｔ＝ε,Δｑ_s＝ε_s (ε,ε_s は任意の無限小の"定数)であるような大域的対称性に対するものであった,と記憶していることぐらいです。

　もっとも,局所的対称性は特別な場合として大域的対称性を含みます。

　そこでτ(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝const.ξ_s(ｔ,ｑ,ｑ^d)＝constが系の対称性条件を満足するなら,元の局所的対称性が成立すれば大域的対称性も成立するので,それで保証されたNoether保存量も存在するはずです。

　逆に大域的対称性があるからといって,局所的対称性があるとは限りませんが。。

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