記事リバイバル①(算数の問題:最終版)

※ブログの科学記事もボチボチ再開したいのですが,MS-Wordの環境がまだ復活せず,そのせいか記事を書くモチベーションが不足なので動機付けで過去の記事群から私自身のお気に入りの記事をいくつかリバイブしたいと思います。これは第１弾です。

以下は2011年11/8の記事の再掲載で,枕から全部過去記事丸写しです。

ここ数日,看板の理系記事が途絶えているので,つなぎとして,目の手術で２週間入院した直後の2011年６/13の記事「算数の問題(再々掲)」から,そのメイン部分をまたまた,再掲しておきます。

　この問題は面白いので,折にふれてアップするつもりです。

　※以下,再掲記事です。

　これは2006年３月にブログ開始してまもなく書いた問題です。

　(2006年３/30の記事「算数の問題」)

　その後2006年12月にはヒントも出しました。

　ところが,その後出題した私自身どのように解いたかを忘れてしまいました。

　「どうしてもわからないので解答を示してくれ」との要望があったため,再度トライしてみましたが,面目ないことにどうしても解けなくて,大きなことを言った手前,謝まってPendingにしていました。←　これはYahooのミラー「TOSHIの宇宙４」での話？

　しかし病院生活が余りに暇なので,６/５(日)には朝食後から,BSで延長戦になって５時間以上も続いたアスレチックスとヤンキースのゲームを見るとはなしに見ながら,何の邪魔も入らずゆっくりじっくり考えていると,昼食後の14時頃にあっさりと解けました。

　取り合えず,まず問題とヒントまでを再掲します。

　解答部分は今日夕方帰宅してから書きます。

　※(問題) でたらめな形の四角形が１つあるとします。

　その４つの各辺を,それぞれ３等分してその向かい合う点同士を直線で結ぶと,やはりでたらめな形の９個の小さい四角形に分割されます。

　このとき真ん中にできた小四角形の面積は元の四角形の面積のちょうど,1/９ になることを証明しなさい。※

　という問題です。

　そして,2006年12/20には問題再掲してヒントを与えました。。「算数の問題(再掲)

※これに対して今回はヒントとして対辺の分点同士を結んでできる３つの四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/３になることを示すことができるという指摘を追加しておきます。

(追伸)：今2007年1月９日～10日の深夜ですが,kaさんから補助線を明示した図を見たいとの希望がありました。

　そこで□ＡＢＣＤと,そのＡＤの３等分点Ｍ,ＮおよびＢＣの３等分点Ｐ,Ｑを書いた図を書いてみました。

要するに⊿ＭＰＱ＝(1/2)⊿ＭＢＱ,⊿ＭＱＮ＝(1/2)⊿ＭＱＤなので,□ＭＰＱＮ＝(1/2)□ＭＢＱＤとなります。

別の補助線を引いて⊿ＭＢＤ＝(2/3)⊿ＡＢＤ,⊿ＤＢＱ＝(2/3)⊿ＤＢＣなので,□ＭＢＱＤ＝(2/3)□ＡＢＣＤが成立します。

故に,□ＭＰＱＮ＝(1/3)□ＡＢＣＤになります。

もちろん,□ＡＢＣＤが台形でないなら,面積が1/３になるのは真ん中の四角形だけで両側の四角形は1/３にはなりません。

これがヒントです。※

PS：さて,帰宅したので,約束の解答です。

まず,９個の小四角形に下図のようにａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅ,ｆ,ｇ,ｈ,iとラベルを付けます。

同時にこれらは各四角形の面積をも表わす記号とします。

　ここで□ＡＢＣＤの面積をＳとすると,証明すべき結論はｅ＝Ｓ/9です。

まず,明らかにａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ です。

そして,ヒントから, ,ｂ＋ｅ＋ｈ＝Ｓ/3,かつｄ＋ｅ＋ｆ＝Ｓ/3 です。

このことから,ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ/3＋ｅと書けることもわかります。

これ以上,これらの式をいくら変形しても何も新しいことは出てきません。

そこで,新しい補助線を引いて考察します。

まず,⊿EＡM＝(1/2)⊿ＥＭＤ,かつ⊿EＡK＝(1/2)⊿EＫBです。

故に,ａ＝⊿ＥAM＋⊿ＥAK＝(1/2)(⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB)です。言い換えると⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB＝2ａです。そこで,□ＥＢＣＤ＝Ｓ－3ａです

他方,⊿EDR＝(1/3)⊿DEC,かつ⊿EBP＝(1/3)⊿EBＣですから,⊿ＥＤＲ＋⊿EBＰ＝(1/3)(⊿DEC＋⊿EBＣ)＝(1/3)□ＥＢＣＤです。

以上から,(ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ)－2ａ＝(1/3)(Ｓ－3ａ)ですから,ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ＝ａ＋Ｓ/3が成立します。

対称性から,同様に,ｆ＋ｉ＋ｂ＋ａ＝ｃ＋Ｓ/3,ｈ＋ｇ＋ｆ＋ｃ＝ｉ＋Ｓ/3,ｄ＋ａ＋ｈ＋ｉ＝ｇ＋Ｓ/3も成り立つはずです。

これら４つの等式の両辺を全てそれぞれ加えると,2(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ)＝(ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ)＋4Ｓ/3となります。

したがって,2(Ｓ－ｅ)＝(Ｓ/3＋ｅ)＋4Ｓ/3より3ｅ＝Ｓ/3ですからｅ＝Ｓ/9です。

解答は以上で終わりです。お疲れさま。。

算数の問題(再々掲の再掲)

 ここ数日,看板の理系記事が途絶えているので,つなぎとして,目の手術で２週間入院した直後の2011年６/13の記事「算数の問題(再々掲)」から,そのメイン部分をまたまた,再掲しておきます。

　この問題は面白いので,折にふれてアップするつもりです。

　※以下,再掲記事です。

　これは2006年３月にブログ開始してまもなく書いた問題です。

　(2006年３/30の記事「算数の問題」)

　その後2006年12月にはヒントも出しました。

　ところが,その後出題した私自身どのように解いたかを忘れてしまいました。

　「どうしてもわからないので解答を示してくれ」との要望があったため,再度トライしてみましたが,面目ないことにどうしても解けなくて,大きなことを言った手前,謝まってPendingにしていました。←　これはYahooのミラー「TOSHIの宇宙４」での話？

　しかし病院生活が余りに暇なので,６/５(日)には朝食後から,BSで延長戦になって５時間以上も続いたアスレチックスとヤンキースのゲームを見るとはなしに見ながら,何の邪魔も入らずゆっくりじっくり考えていると,昼食後の14時頃にあっさりと解けました。

　取り合えず,まず問題とヒントまでを再掲します。

　解答部分は今日夕方帰宅してから書きます。

　※(問題) でたらめな形の四角形が１つあるとします。

　その４つの各辺を,それぞれ３等分してその向かい合う点同士を直線で結ぶと,やはりでたらめな形の９個の小さい四角形に分割されます。

　このとき真ん中にできた小四角形の面積は元の四角形の面積のちょうど,1/９ になることを証明しなさい。※

　という問題です。

　そして,2006年12/20には問題再掲してヒントを与えました。。「算数の問題(再掲)

※これに対して今回はヒントとして対辺の分点同士を結んでできる３つの四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/３になることを示すことができるという指摘を追加しておきます。

(追伸)：今2007年1月９日～10日の深夜ですが,kaさんから補助線を明示した図を見たいとの希望がありました。

　そこで□ＡＢＣＤと,そのＡＤの３等分点Ｍ,ＮおよびＢＣの３等分点Ｐ,Ｑを書いた図を書いてみました。

要するに⊿ＭＰＱ＝(1/2)⊿ＭＢＱ,⊿ＭＱＮ＝(1/2)⊿ＭＱＤなので,□ＭＰＱＮ＝(1/2)□ＭＢＱＤとなります。

別の補助線を引いて⊿ＭＢＤ＝(2/3)⊿ＡＢＤ,⊿ＤＢＱ＝(2/3)⊿ＤＢＣなので,□ＭＢＱＤ＝(2/3)□ＡＢＣＤが成立します。

故に,□ＭＰＱＮ＝(1/3)□ＡＢＣＤになります。

もちろん,□ＡＢＣＤが台形でないなら,面積が1/３になるのは真ん中の四角形だけで両側の四角形は1/３にはなりません。

これがヒントです。※

PS：さて,帰宅したので,約束の解答です。

まず,９個の小四角形に下図のようにａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅ,ｆ,ｇ,ｈ,iとラベルを付けます。

同時にこれらは各四角形の面積をも表わす記号とします。

　ここで□ＡＢＣＤの面積をＳとすると,証明すべき結論はｅ＝Ｓ/9です。

まず,明らかにａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ です。

そして,ヒントから, ,ｂ＋ｅ＋ｈ＝Ｓ/3,かつｄ＋ｅ＋ｆ＝Ｓ/3 です。

このことから,ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ＝Ｓ/3＋ｅと書けることもわかります。

これ以上,これらの式をいくら変形しても何も新しいことは出てきません。

そこで,新しい補助線を引いて考察します。

まず,⊿EＡM＝(1/2)⊿ＥＭＤ,かつ⊿EＡK＝(1/2)⊿EＫBです。

故に,ａ＝⊿ＥAM＋⊿ＥAK＝(1/2)(⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB)です。言い換えると⊿ＥＭＤ＋⊿EＫB＝2ａです。そこで,□ＥＢＣＤ＝Ｓ－3ａです

他方,⊿EDR＝(1/3)⊿DEC,かつ⊿EBP＝(1/3)⊿EBＣですから,⊿ＥＤＲ＋⊿EBＰ＝(1/3)(⊿DEC＋⊿EBＣ)＝(1/3)□ＥＢＣＤです。

以上から,(ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ)－2ａ＝(1/3)(Ｓ－3ａ)ですから,ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｇ＝ａ＋Ｓ/3が成立します。

対称性から,同様に,ｆ＋ｉ＋ｂ＋ａ＝ｃ＋Ｓ/3,ｈ＋ｇ＋ｆ＋ｃ＝ｉ＋Ｓ/3,ｄ＋ａ＋ｈ＋ｉ＝ｇ＋Ｓ/3も成り立つはずです。

これら４つの等式の両辺を全てそれぞれ加えると,2(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ)＝(ａ＋ｃ＋ｇ＋ｉ)＋4Ｓ/3となります。

したがって,2(Ｓ－ｅ)＝(Ｓ/3＋ｅ)＋4Ｓ/3より3ｅ＝Ｓ/3ですからｅ＝Ｓ/9です。

解答は以上で終わりです。お疲れさま。。

過去のやさしい科学記事

　このブログの最近の科学記事は結構細かい計算が多く,話題もややマニアックてすがかつては比較的やさしくて取っ付きやすいと思われる入門的な話題も取り上げていました。

　今日は,私自身の休憩(息抜き)とバックナンバーの宣伝を兼ねて過去の記事を２つ再掲します。

　まず,2006年８/16の「台風の進路（コリオリの力） 」です。

※(再掲開始)

　そろそろ台風が頻発する季節になりました。

　今日は,北半球では赤道付近で発生し,海域から多量の水分やエネルギーを吸収しながら発達して北上する台風が,なぜ右（東）の方に進路を変えていくのか？そして,なぜ上空から見て左巻き（反時計回り）の風が吹くのかという,ごくありふれた疑問について解説してみます。

　例として,ちょっと古いけど左回転しているLPレコードがあり,その上に"一寸法師"よりも小さい小人が乗っているという仮想的な状況を考えてみます。(左回転は仮定であって実際のLPレコードは裏から見ない限り右回転(時計回り)です。)

　レコードの中心は地球の北極に相当し,レコードの最大半径の部分は地球の赤道に相当します。　

　まず,レコードの回転している"最大半径＝赤道"の上にいる小人が"レコードの中心＝北極"めがけて真っ直ぐに小石を投げたとします。

　本人は真っ直ぐ中心に向かって投げたつもりでも,小石が手を離れた瞬間には慣性によって小石はレコードの回転スピードと同じ速度で右に向かう接線速度を持ちますから,実はそれは中心の方向に向かって真っ直ぐに飛ぶのではなくて,次第に右の方に逸れていくということになりますね。

　↑ここで右というのは,小石を投げた小人にとっての右です。(わかっているとは思いますが念のため))

　次に逆に"中心＝北極"の上に小人がいて今度は"最大半径＝赤道"めがけてやはり小石を投げたとします。

　今度は北極で小人は自転しているかもしれませんが,スピンの回転半径はゼロなので,その慣性による小石の左右方向への速度はゼロですから確かに"真っ直ぐ"進むはずです。

　ところが,レコードの上,つまり北半球の地球上にいる人は"左から右＝西から東"に回転しています。その人から見ると"上＝北"から真っ直ぐ飛んでくる小石は"下＝南"から見て"左に左に（西に西に）"逸れていくように見えます。

　逆に"小石を投げた方＝北"から見ると,見かけ上はやはり右の方に逸れていくわけですね。

　小石を台風だとみなし地球の自転の角速度をΩとすると　Ωは"360度＝2πラジアン(rad)"を24時間で回転する角速度です。

　地球の半径をRとし,緯度をθとすると,そこでの回転半径はRcosθですから,回転の接線速度はΩRcosθです。

　したがって"赤道"での接線速度は最大速度"ΩR＝時速1667ｋｍ＝秒速463ｍ"ですが,日本付近の緯度:θ＝35度での接線速度は"ΩRcosθ＝秒速379ｍ"で,日本付近では回転速度は赤道より"約２割＝秒速80ｍ"くらい減少しています。

　したがって,赤道付近で発生した台風は地球のまさつにより"ΩR＝時速1667ｋｍ＝秒速463ｍ"の地球にひきずられて慣性による右向きの速度を持っていて,その右向き速度は北上しても全く変わらないものです。

　しかし,地球自身の回転速度は緯度が上がるにつれて次第に小さくなるものですから,日本付近では１秒間に80ｍくらいの割合で,右（東）へ右へと逸れていくことになります。

　先にＬＰレコードの例で述べたように仮に北極で台風が発生して南下したとしてもそれは右に逸れていきます。

　実は北半球ではどこから投げた石も見かけ上,右に逸れていくわけです。

　例えばスナイパー:ゴルゴ13が１ｋｍ遠方の標的を狙って狙撃しても,弾丸は僅かに右に逸れていくのでそれを勘定に入れて狙う必要があるわけです。

　もしも南半球なら逆に左に逸れるわけですね。

　こうした北半球で右にそれる現象は結局,遠心力などと同じく"見かけの力＝慣性力"が働いていると考えることができて,それを発見者の名前にちなんでコリオリ(Coｒiolis)の力と言います。

　そして北半球での台風を考えると,台風ですから"中心＝目の部分"の気圧が最低でまわりの気圧は目の部分のそれより高いわけです。

　風はどのように吹くか,というと水が高いところから低いところへと流れるように,風も気圧の高いところから低いところ目指してその気圧のスロープに沿って吹いていくわけです。

　もしもコリオリの力がなければ,風は"外周部から中心に向かって一直線に進む＝落下していく"はずなのですが,コリオリの力によって気圧のスロープも右にねじれてしまっています。

　それ故,風は外周部から中心に向かっていくときに,右にフックして逸れていきながら,最後は中心の気圧最低の目に向かっていくことになり,そのために左巻き（反時計回り）になるのです。

　南半球での台風は逆に右巻き（時計回り）ですね。

　どこかの"バカな大学教授"は,風呂の水が排水口へと流れていき排水されるときに,北半球では左巻き（反時計回り）ですが,赤道を越えて南半球に入ったとたんに右巻き（時計回り）に変わる,などと主張したと聞きましたが,それは誤りですね。

　風呂の水程度の規模では地球自転の影響などは出てきません。

　たまたま排水口付近で左巻きの角運動量を持っていたら左巻きになり,逆なら右巻きになるというだけで,それはカオス現象,つまり偶然の産物でしかありません。

　しかし台風くらいの規模になると地球の自転がもろに効いてきます。

　遠心力の加速度は緯度θでΩ²Ｒcosθですから,最大でも重力の加速度の0.3％程度です。

　北極で体重100kg重の人が赤道で体重を測っても300ｇ重くらいしか軽くはなりません。一方,コリオリの力の加速度は台風の北上の速度をｖとして2Ωsinθ×ｖです。

　Ω＝7,2×10^-5/ｓですから,緯度θが35度で台風の北上速度が100mを10秒で走る程度の時速36km程度なら,加速度ａ＝8.3×10^-4m/ｓ²であり,重力ｇ＝9.8m/ｓ²の約0.01％程度です。

　そこで,コリオリの力の加速度は最大で重力加速度の0.3％程度しかない遠心力のさらに1/30程度にすぎませんが,台風程度の規模だとそれがかなり効いてきます。

　地球自転の証拠であるとされるフーコー(Foucauｌt)の振り子をこのコリオリ力で説明することもできます。

　ニュートン(Isac Newton)は"慣性系の同等性＝ガリレイの相対性原理"は認めても"回転系を含む非慣性系の同等性＝マッハ(Mach)原理 → 一般相対性原理"を認めることをあきらめました。

　そして,彼が"絶対座標系＝絶対空間"に固執せざるを得なかったのも,こうした"遠心力やコリオリ力の絶対性"を解消する道はない,という考えからだったという話もあります。

　こうした"見かけの力＝慣性力"の扱いはとても悩ましいところがあります。

　(再掲終了)※

　そして,前後しますが2006年７/15の「一筆書き(トポロジー入門) 」があります。

※(再び,再掲開始)

　昔,ケーニヒベルクの橋(Königsberg bridge＝seven bridge)という数学の問題がありました。

　「大きな河が流れていて,その中に中州のような島が一つあり,そこから少し下流で２本の河に枝分かれして,その間は陸地になっている。

　その島には両岸から２つずつと,枝分かれした２本の河の間の陸地から１つの合計５つの橋がかかっており,分かれた２本の河にもそれぞれ陸地と岸との間に1つずつ橋があって,合計７つの橋がかかっている。

　この７つの橋をちょうど一回ずつわたる道筋があるのかどうだろうか？」という問題でした。(下図)

　　　　　　　　　　　

　これはスイスのオイラー(Euler)によってはじめて解かれた問題で,これがトポロジー(位相幾何学)という幾何学の始まりであるとされています。

　まあ,「平たく言えばある図形について一筆書きができるかどうか？」という問題です。

　一般に連結した図形,つまりどこかで必ず線でつながっていてところどころ交差した頂点になっているような図形についてのこうした問題はオイラーによって既に結論が出されています。

　こうした図形のどの頂点にも必ず,それにつながった線が何本かあるわけですが,対象としている図形が一筆書きできるのなら,着目した頂点が出発点でも終点でもない場合は,それに"つながっている線＝連結線"の数は必ず偶数になるはずです。こうした頂点を偶頂点と呼びます。

　というのは,一筆書きの途中の頂点では必ず,入ってくる線と出て行く線とがあって,それぞれ１回ずつしか通れないわけですから,それらは同じ本数だけ無ければならないので,その頂点につながっている連結線の合計本数は偶数になるしかないからです。

　しかし,出発点と終点では,それらがもし同じ頂点でないなら,必ず入ってくる線か出て行く線かのどちらかが他方より１本多いわけですから,その頂点につながっている連結線の合計本数は奇数になります。これは奇頂点といいます。

　ところで,出発点,または終点であるような頂点は２つあるか,またはそれらが一致する場合,つまり１つだけあるかのどちらかです。

　もしも,１つだけしかない("出発点＝終点"の)場合には,その頂点でも入ってくる線と出て行く線の数は同じですから,つながっている連結線の本数は偶数となり,このときは連結線の本数が奇数の頂点は全く無いことになります。

　というわけで,一筆書きができるかどうかは,「連結線の本数が奇数である頂点＝奇頂点」の個数がゼロであるか,２であるかのいずれかである。ということになります。

　今得られたことは,上の条件が一筆書きができるための必要条件であること(つまり"一筆書きができるなら必ずこの条件が満足されなければならないこと”)の証明ですが,これが十分条件であること(＝”図形がこの条件を満足するならそれは常に一筆書き可能であること")もほぼ自明です。

　これで,ケーニヒスベルクの橋の場合は奇頂点が４つ,偶頂点がゼロなので一筆書きできないということがわかりました。

　これはオイラーがはじめて証明したことです。(下右図はケーニヒスベルクの橋を模式図にしたものです。)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　これから,オイラー数の公式などに始まるトポロジーという幾何学が生まれ,これはフランスのポアンカレ(Poincare')などによって発展させられていきました。

　最近のトポロジー関連の話題としては,解決した？というニュースもあったと思うのですが,そうなのかどうかはっきりしない有名な「ポアンカレ予想（Poincare' conjecture）」という問題が未解決な問題として残っています。

　ポアンカレ予想とは「単連結な３次元閉多様体は３次元球面に同相である。」というものです。

　多様体というのは通常の我々のユークリッド世界の点,曲線,曲面,立体とかいうものを一般次元でかつ非ユークリッドなものにも拡張したものの総称です。もちろん,我々の目に見える形有る物も全て多様体の一種です。

　同相あるいは同位相というのは,"一方から他方へとある連続写像でお互いに完全に1対１に重なって移すことが可能である",という意味で,合同という概念とは異なって形や大きさにはこだわらないという特殊な幾何学的概念です。

　単連結とは言ってみれば穴が開いてないという意味です。また閉多様体であるとは,いわゆる閉曲面のように閉じているという意味です。

　我々の世界の球面は３次元空間の中に埋め込まれた２次元球面であり,３次元球面というのは４次元以上の「空間＝多様体」の中に抽象概念として仮想したものです。

　我々の単連結な２次元閉曲面が普通の２次元球面と同相なのは一見して明らかなことなので,３次元だと何故むずかしいのかについては数学の専門家ではないのでよくわかりません。

参考文献:瀬山士郎 著「トポロジー(柔らかい幾何学)」(日本評論社)

PS:上では未解決と書いた「ポアンカレ予想」はロシアの数学者グレゴリー・ペレルマン(Grigory.Y.Perelman)氏によって2003年に提出されていた証明論文が2006年7月に査読を通過した,ということで解決されました。　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(再掲終了)※

ＰＳ：昨日も学校で実習がありました。

　実習では,私は高齢者で要介護などの障がい者のモデルになることが多いのですが,そもそも介護というのは"その方たち＝利用者"の気持ちを斟酌することが大切だと思いました。

　例えば右片マヒというのはどういう身体の状態なのか？ということなどを考え過ぎ,役に入り過ぎて本当に右足が動かないつもりになったりして介護役に迷惑をかけたかもしれません。

　おかげで,そうした役で右足と左足を間違えるなどということはありませんでしたが。。。。

　また,外での車椅子での逆に介護役の場合でも,介護相手役( C.I さんでした)の身体が心配で水道栓などデコボコを避けたり,車道側をどうしても保護したいというような気持ちが自然に起きました。。。

PS：先週末の土曜日には,インターネット以前の時代のパソコン通信ニフティサーブのフォーラム時代からの旧知で mixi でもマイミクである「みゅーみゅーさん」が,昨年末に移った関西(大阪)から新宿方面に来られたという情報が入りました。

　ついなつかしくて連絡してしまいましたが,強行日程らしいとのことでした。また後日での出会いを楽しみにしています。

　　← みゅーみゅーさんのホームページです。また,近いうちにOFFをやりたいですね。

　また,翌日曜日にはfolomyの物理フォーラムで私の顔がディラック(Dirac)に似ている？とか何故か褒めて頂いている「like-mjさん」と私の地元の巣鴨で待ち合わせて初めてお会いしました。

　folomyは旧ニフティから有志が一部引き継いでいるコミュニテイです。

　ハンドル「like-mj」の「mj」というのは「マイケル・ジャクソン(Michael  Jackson)」と「ミラ・ジョボビッチ」のイニシャルから取ったのだそうです。

　「ミラ・ジョボビッチ」の方は,所持しているDVDの「ジャンヌ・ダルク」の主役と「フィフス・エレメント」の第５番目のelementとして私も印象に残っています。

　そういえば,「like-mjさんの」プロフィールにそのように書いてあったのを失念していました。

　彼はfolomyでの書き込みから予想したよりもお若い方でしたが,当日は楽しい時間を過ごさせていただきました。１週間遅れですが,色々とありがとうございました。

　ちなみに,私のこのブログのURLの「maldoror-ducasee」は,シュールレアリズムの祖とも言われているロートレアモン伯爵の詩集「マルドロールの歌」と本名の「イジドール・デュカス」から取ったのは皆さんご存知ですよね。

(2006年９/２の「 ロートレアモンとサド 」 ,2007年12/12の「 ロートレアモンとサド(その２) 」参照)

(本当に大切なものは物理とか数学とかじゃなくて,もっと血の通った暖かいものだということが,もうほとんど先に望みのない今になってやっとわかったのかも知れない。)　

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頭の体操(円周率：大学入試問題)

　昨日,勤務に向かう電車の中で,ある予備校の宣伝広告の中に

東京大学理科－前期入試問題として解答抜きで数学の入試問題

が１問出題してありました。

　この問題は以前もどこかで見たおぼえがあり気分転換＝頭の体操,

としてほどよいので解いてみました。

　問題は「円周率は3.05より大きいことを証明せよ。」

という簡単なものです。

　そもそも円周率とは,素朴に円周の長さをその円の直径

で割ったものです。

まあ,すぐに思いつくことではありますが,円に内接する正ｎ角形

の周は円周よりも常に短いので,

(2π)＞(内接する正ｎ角形の周)÷(半径),

という不等式が成立します。

ｎ＝ 6,つまり正六角形なら,右辺は丁度 6 なのでπ＞3

が得られます。

そこでｎ＝ 8,つまり正八角形なら π＞3.05 が得られる

ことが予想されます。

実際にそうであることを証明しましょう。

三角形における余弦定理というのは確か,私が習ったのは中学３年

のときだったと記憶していますが,

それは⊿ＡＢＣの辺の長さａ,ｂ,ｃと内角Ａ,Ｂ,Ｃの間に,

ａ²＝ｂ²＋ｃ²－2ｂｃcosＡ etc.の関係式が成立する

という定理です。

　

　これを用いるなら,(半径ｒの円に内接する正ｎ角形の周の長さ)

＝ｎｒ[2{1－cos(2π/ｎ)}]^1/2＝2ｎｒsin(π/ｎ)となります。

まあ、最後の形式などは別に余弦定理に頼らずとも得られるもの

ではありますが。。。。

よってπ＞(ｎ/2)[2{1－cos(2π/ｎ)}]^1/2ですが,

ｎ＝ 8を代入すると π＞4(2―√2)^1/2が得られます。

(※下図は,円に内接する正八角形です。α＝2π/8＝π/4(45度)です。)

よって,4(2―√2)^1/2≧3.05を示せばいいわけです。

そこで16(2―√2)－3.05²を計算しましょう。

16(2―√2)－3.05²＝32－9.3025－16√2=22.6975－16√2です。

22.69²＝(23－0.31)²＝529－14.26＋0.31² ＞ 514 ＞ 512＝(16√2)²ですから,π²＞16(2―√2)＞3.05²

したがって,π＞3.05 が証明されました。

ちょっと手抜きをしてしまいましたが,まあ息抜きですね。

http://fphys.nifty.com/(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）                                  TOSHI 

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 物理学

       

算数の問題(再掲)

2006年3月30日の記事を修正して再掲します。

　頭の体操です。簡単な？算数の問題です。

　一般的な不等辺四角形が１つあるとします。その４つの辺のそれぞれを３等分して,その向かい合う辺の分点同士を直線で結ぶと,でたらめな形の９つの小さい四角形に分割されます。

このとき真ん中にできる小四角形の面積は元の四角形の面積の丁度1/9になることを証明せよ。という問題です。小学生程度の知識だけで解けるはずです。

という記事を以前書きました。

これに対して,今回はヒント(hint)として対辺の分点同士を結んでできる３つの四角形のうちの真ん中のそれは全体の1/3になることを示すことができるという指摘を追加しておきます。

ちょっと疲れているのでブログを手抜きしました。

　追伸：今2007年1月９日～10日の深夜ですが,kaさんから補助線を明示した図を見たいとの希望がありました。

　□ＡＢＣＤとそのＡＤの３等分点Ｍ,ＮおよびＢＣの3等分点Ｐ,Ｑを書いた図を書いてみました

　要するに⊿ＭＰＱ＝(1/2)⊿ＭＢＱ,⊿ＭＱＮ＝(1/2)⊿ＭＱＤなので,□ＭＰＱＮ＝(1/2)□ＭＢＱＤとなります。

別の補助線を引いて⊿ＭＢＤ＝(2/3)⊿ＡＢＤ,⊿ＤＢＱ＝(2/3)⊿ＤＢＣなので□ＭＢＱＤ＝(2/3)□ＡＢＣＤが成立しますから,□ＭＰＱＮ＝(1/3)□ＡＢＣＤになります。

もちろん,台形ではないですから1/3になるのは真ん中の四角形だけで両側の四角形は1/3にはなりません。

これがヒントです。

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    物理学

ガウス賞,フィールズ賞

　「ポアンカレ予想」＝"単連結な３次元閉多様体は３次元球面に同相である。"は2002年に発表されたロシアのグレゴリー・ペレルマン(Grigory Yakovlevich Perelman)氏による証明が正しいと認められて今年のフィールズ賞に推薦されていますが,本人に受け取る気がないそうです。

　第１回ガウス賞はブラック－ショールズ(Black-Scholes)などの「確率微分方程式」の基礎付けとなる「伊藤積分」の考案者の京大名誉教授伊藤清氏に決まりましたが,いまどき賞金がたった１万ユーロとはなさけないですね。。

　とにかく,「連続体仮説」,「フェルマー予想」,「ポアンカレ予想」が解決されたので,あと大きいのは「リーマン予想」ですかね。

　「リーマン予想」はゼータ関数ζ(z)＝(∑(１/ｎ^z)を全複素 ｚ 平面に解析接続したもの)の自明でない零点(自明な零点は ｚ＝-2, -4, -6,..）は全てガウス z 平面の Ｒｅ（ｚ）＝1/2 の軸上にしか存在しない。というものです。

　もともとリーマン(Riemann)自身は,「素数定理」,すなわち," ｘ までの素数の個数は π(ｘ） ～ ｘ / log ｘ である。"を証明するためにこれを予想したものですが,「素数定理」の方は「リーマン予想」抜きで,既に証明されています。

　「リーマン予想」も,私が生きているうちに証明されるのでしょうか？

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数学遍歴について

　学生時代の専門科目は理論物理学の素粒子論という,いわば"物理学の王様"でした。

　これ自体は他には応用が効かない,つまり何の役にも立たない代わりに物理,数学を含め,あらゆる知見がこれに役に立つ,あるいはこれを理解するためにはほとんど全ての知見が必要である,

　という意味では,

　"素粒子論は数学の女王様である数論（整数論）によく似ている。"

と感じます。

　大学生の頃には数学を全てマスターした後でなければ理論物理学には着手できないなどという思いがあって,学生運動やそれに必要な社会科学系の勉強の合間には全く物理はやらず,数学ばかりやっていました。

　しかし,やがて数学を全てマスターすることなど無理である,不可能である,ということがわかってきたので,そのときどきに必要な数学をつまみ食いするようになりました。

　しかし,純粋数学へのあこがれは強く,物理学科で２科目だけ足りなくて大学を留年した1年間は,ほとんど数学科の専門講義に出席していました。

　そのころは連続体仮説が解決していたことを知らず,これに挑戦しようなどという不遜な考えもありましたが,

　まあ,一応,本業は物理屋だったので物理数学として必要な解析学の勉強が主となり,W．Rudinの「Principles of Mathematical Analisys」（後に日本名「現代解析学」として翻訳出版）から始めました。

　まず,これで集合,写像,実数の連続性（デデキントの切断）を学びました。

　函数解析に類するものは,W．Rudinには有限次元空間の解析しかなかったのですが,数学科の解析学の講義ではバナッハ空間etc．にも言及していました。

　それから,フーリエ(Fourier)解析,ルベーグ・スティルチェス(Lebesgue-Stieltjes)積分で解析は終わりでした。,測度論はW．Rudinの本では詳しくなかったので別の本で学びました。

　特に,コディントン・レヴィンソンなどの「常微分方程式論」を読んで微分方程式の存在定理にはまったことがありました。

　微分方程式の解の存在に関しては,特にリプシッツ条件を仮定せず,アスコリ・アルツェラの定理を用いたペアノの存在定理や直接,折れ線近似の極限が解になるいうコーシーの折れ線法に凝ったり,コワレフスカヤの優級数の方法によってべき級数解の存在定理を証明することなどに夢中になった時期もありました。

　もちろん,函数論や線形代数学,そして素朴な物理数学の意味で成分の変換構造だけを扱うベクトル解析やテンソル解析を履修したのもその頃ですね。

　その後,古典物理学を幾何学化してやろうと思って着手したけれど挫折し,後にアーノルドなどが力学系という数学の一分野で既にかなりの部分をやった後だということを知りました。

　一時期はアーベルやガロアの代数学のうちの代数方程式のベキ根による可解性にのめりこみました。

　アーベルの方は高木貞治の「代数学講義」の中にあるラグランジュの方法によるところが大きく,結構わかりやすいものでした。

　しかし,ガロアのほうはアーベルのように泥臭いアプローチではなく,簡単にいえば「方程式の係数のつくる体にベキ根を添加する,ことによって拡大していった体が,やがてその方程式の根をすべて含むようになるならば可解であるというものでした。

　そして体の拡大には群（ガロア群）が伴ない,上記の体の言葉で可解というのは,それらに伴なう『群の正規部分群の縮小列において商群がアーベル群となって最後に単位群になること＝可解群であること』と同値である。」というものです。

　係数体を不変に保つ群が代数方程式の根に関する"置換群＝対称群"と同型である,というものですね。

　そのうち,微分方程式のフックス群に興味が移り,メビウス変換での保型形式と線形常微分方程式の解とかの関係から,久賀道郎の「ガロアの夢」を読み返した頃もありました。

　これは,現在はペンディング中です。

　それに出会った当時は,ガウス(Gauss)やポアンカレ(Poincare')の天才ぶりに驚愕したものでした。

　こうした関係からゼータ函数に関するリーマン予想にたどりついても不思議はありません。まあ,数論の素数定理には驚いたものでした。

　ゼータ函数は物理学のくりこみとも関連しているらしいし,超伝導のボーズ・アインシュタイン凝縮にも関係があります。

　まあ,数論のほうは入門書を数冊読んだ程度ですが,これに関連して最近,公開鍵暗号についての理解は深まりましたね。

　もちろんフェルマー予想(＝現在では予想ではなく定理ですが）にも興味はありますが,証明の経緯はわかっても,その全貌は私の力ではまだ理解できません。（ちまたには未だ怪しげな書物が出回ってるようですね。）

　量子論とはディラックの変換理論がほとんど全てのエッセンスである,と考えるようになり,超選択則と関わる素粒子の分類も,その抽象空間の大域的対称性からくるものであるとかの関連性から,リー群の線形表現は不可欠なのでそれを勉強したりしました。

　また,一般相対論の幾何学性との関連や,局所的対称性とゲージ理論との関係から,微分幾何学や多様体論,弦理論(ひも理論)との関係からホモロジー,コホモロジーの関係でトポロジーをやるとか留まることを知りません。

　これから挑戦しようと思っているのはリーマン予想は夢ですが,ウェーブレット解析や途中になっている確率微分方程式などですかねぇ。

　いや物理もやらなくちゃ寿命は待ってくれません。

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算数の問題（エレガントな解答を求む）

　頭の体操として１つ算数の問題を出しますね。

でたらめな形の四角形が１つあるとします。

その４つの辺を,それぞれ３等分してその向かい合う点同士を直線で結ぶとやはりでたらめな形の９つの小さい四角形ができます。

　このとき真ん中にできる小四角形の面積は,元の四角形の面積のちょうど1/9 になることを証明しなさい。

　以上です。小学生(中学生かな)程度の知識だけで解けるはずです。

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