震源の探知(大森公式等)

　今日は,ちょっと手抜きのツナギで2006年11/14の記事 「結晶内での弾性波（地震波）」の続きとして,中学か高校の地学で習った簡単な知識を披瀝してお茶をにごします。

　年末,体調はよくも悪くもないですがヒマ人なりに予定がこみ合っていて貧乏なこともありフリ－マンをエンジョイというわけにはいきません。

　ではまず,記事の再掲から始めます。

　(※再掲)

　今日は等方的とは限らない一般の結晶内での弾性波,特に地震波について考察してみます。 

弾性体の密度をρ,応力テンソルを{σ_jk},それを構成する部分の局所的速度をｕ＝{ｕ_j}とすると,この弾性体が従うべき運動方程式は流体方程式と同じくρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝∂σ_jk/∂ｘ_kで与えられます。

そして,歪み速度テンソル{ｕ_jk}をｕ_jk≡(∂ｕ_j/∂ｘ_k＋∂ｕ_k/∂ｘ_j)/2で定義すれば,これは{σ_jk}と同じく反対称の単なる回転を除いた対称テンソルです。これは６個の独立成分を持ちます。

微小変位に対しては適切な線形弾性体近似では,フック(Hooke)の法則:σ_jk＝Ｃ_jklmｕ_lmが成立するため,先の運動方程式はρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝Ｃ_jklm(∂²ｕ_m/∂ｘ_k∂ｘ_l)となります。

Ｃ_jklmは,一般に81個の成分を持ちますが,{σ_jk}も{ｕ_jk}も対称テンソルなのでｊとｋ,ｌとｍについて対称ですから,独立成分は６×６＝36個となります。

また,歪みエネルギーＷはΔＷ＝σ_jkΔｕ_jkから求まり,対称２次形式Ｗ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmになるので,Ｃ_jklmはｊ,ｋとｌ,ｍの交換についても対称であり,結局,その独立成分は(30/2)＋6＝21個となります。

この方程式の平面波の解をｕ_j＝ｕ_0jexp[i(ｋｒ－ωｔ)]として代入すると,ρω²ｕ_j＝Ｃ_jklmｋ_kｋ_lｕ_mとなります。

これは書き直すと(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)ｕ_m＝0 とも書けます。

この１次方程式が自明でない解を持つためには,３行３列の行列係数:(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l) (ｊ,ｍ＝1,2,3)の行列式がゼロ,

すなわち,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 が成立する必要があります。

そして,ω²を未知数としてこの方程式を解けば,ω²の３個の解が得られ,それらはｋの関数となります。 

ところで,もしも結晶が等方性弾性体であれば歪みエネルギー:

Ｗ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmは座標系の回転に対して不変なスカラーであるはずですが,ｕ_jkの２次形式の形で得られる独立な不変スカラーはｕ_kk²とｕ_jkｕ_jkのみです。

そこで,適当な係数λ,μを選んでＷ＝(1/2)λｕ_kk²＋μｕ_jkｕ_jkと書けるはずです。

そこで,応力テンソル{σ_jk}＝{Ｃ_jklmｕ_lm}はσ_jk＝λｕ_llδjk＋2μｕ_jkと書けます。ここに弾性定数λ,μはラメ(Lame)の定数と呼ばれています。

このときには運動方程式も,

ρｄ²ｕ/ｄｔ²＝(λ＋μ)∇(∇ｕ)＋μ∇²ｕ

と簡単になります。

先に挙げた１次方程式の係数の行列要素は,

ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l＝(ρω²－μｋ²)δ_jm－(λ＋μ)ｋ_jｋ_m

となります。

ｋの向きをｘ軸の正の向きに取ると,ｋ₁＝ｋ＝|ｋ|,ｋ₂＝ｋ₃＝0 ですから,行列[(ρω²－μｋ²)δ_jm＋(λ＋μ)ｋ_jｋ_m]は対角成分が[ρω²－(λ＋2μ)ｋ²]と２つの(ρω²－μｋ²)の対角行列になります。

したがって,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 の解は,

Ｖ_P²≡(ω_P/ｋ)²＝(λ＋2μ)/ρ,Ｖ_S²≡(ω_S/ｋ)²＝μ/ρ

となります。

それぞれの速度に対応する平面波は,速度Ｖ_Pで伝播する波の伝播方向への振動である"縦波＝Ｐ波"と,速度Ｖ_Sで伝播する波の伝播方向に垂直な方向の振動である"横波＝Ｓ波"です。

しかし,もしも異方性の弾性体の場合ならω＞0 の３つの解ω(ｋ)はｋの関数として１次の同次式ではあっても,単なる１次関数になるとは限らず,弾性波は一般に分散性の波でもあると思われます。

そこで,伝播速度は"単一波の速度＝位相速度"ではなく,群速度Ｖ＝∂ω/∂ｋで与えられると考えられます。

ところで,σ_jkやｕ_jkを[σ]＝^t(σ₁₁,σ₂₂,σ₃₃,σ₂₃,σ₃₁,σ₁₂)のように６次元の列ベクトルで表わすボイト(Vogit)の表記という表記法があります。

この表記で表現すると,フックの法則は[σ]＝Ｃ[ｕ]と簡単になります。ここでＣは６行６列のテンソル行列です。

また,このとき,特に結晶が等方性弾性体ならＣの成分のうちで独立なのはやはり２つだけです。

先に述べたラメの定数はλ＝Ｃ₁₂,およびμ＝Ｃ₄₄＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2と表わされます。

例えば結晶が立方体構造をしている立方晶系では独立成分は３つです。

つまり,Ｃ₁₁＝Ｃ₂₂＝Ｃ₃₃,Ｃ₁₂＝Ｃ₂₃＝Ｃ₃₁,かつ４～６行の成分は４～６列しか成分のない対角行列であってＣ₄₄＝Ｃ₅₅＝Ｃ₆₆です。

結局,この結晶構造を示すにはＣ₁₁とＣ₁₂とＣ₄₄の３つだけあれば十分である,ということになります。

この条件ではｘ軸をｋの向きに取り,先のdet(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝ 0 でのＣ_jklmをボイトの表記でＣを表わせば,ξ＝(ω/ｋ)²,ａ＝Ｃ₁₁/ρ,ｂ＝Ｃ₄₄/ρ,c＝Ｃ₁₂/ρとして(ξ－ａ)(ξ－ｂ)²＝0 です。

この解はξ＝ａ,ｂとなります。

つまり速度をＶ_P,Ｖ_Sとすると,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρとＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρの２つの速度が得られます。

これは等方性弾性体でのＣ₄₄＝μ,Ｃ₁₁＝λ＋2μのケースと一致します。

一方,六方晶系ではＣ₁₁＝Ｃ₂₂で,Ｃ₁₃＝Ｃ₂₃,また４～６は対角行列でＣ₄₄＝Ｃ₅₅,Ｃ₆₆＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2ですから,結局のところＣ₁₁,Ｃ₁₂,Ｃ₁₃,Ｃ₃₃,Ｃ₄₄の５つだけがあれば十分となります。

結果だけ書くと,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρ,およびＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρ,(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/(2ρ)となり,"横波＝Ｓ波"には２つの速度があるので地震の観測ではＳ波のほうに二重の波が観測されると予測されます。

ただし,異方性の結晶では一般に波は完全にＳ波とＰ波になるように行列が対角形になるとは限らないので,これらの計算においては偶々波の進行方向が結晶の対称軸と一致したり直交していたりする特別なケースだけしか扱っていません。

一般的な扱いについては,暇があってその気になればまた記事にするかもしれません。 

参考文献；ランダウ＝リフシッツ 著「弾性理論」(東京図書),角谷典彦 著「連続体力学」(共立出版)

(再掲終了※)

　と書きましたが,ここからもっと身近な地震の話題へとつなげます。

等方性媒質を仮定すると,Ｖ_P＝{(λ＋2μ)/ρ}^1/2,Ｖ_S＝(μ/ρ)^1/2ですからＶ_P＞Ｖ_Sです。

そこで,震源Ｏから地震を感知する場所:ＡまでＰ波,およびＳ波が到着するまでの時間を,それぞれＴ_P,およびＴ_Sと書けばＴ_P＝∫_O^A(1/Ｖ_P)ｄｓ,Ｔ_S＝∫_O^A(1/Ｖ_S)ｄｓです。

Ｖ_P＞Ｖ_SですからＴ_S＞Ｔ_Pとなります。

つまり,まず縦揺れのＰ波だけが到着しその後に横揺れＳ波も到着して両方が重ね合わされた大きいゆれが始まるのですね。 

特にＯＡ間の到るところで媒質が同じ均等な弾性体であれば,この区間でＶ_P,Ｖ_Sが一定です。

そこで,このときにはＯＡ間の波の進行距離(直線距離でなくてもよい)をｄ_A≡∫_O^AｄｓとするとＴ_P＝ｄ_A/Ｖ_P,Ｔ_S＝ｄ_A/Ｖ_Sです。

これから,辺々を引き算すると,

Ｔ_S－Ｔ_P＝(ｄ_A/Ｖ_S－ｄ_A/Ｖ_P)＝ｄ_A(1/Ｖ_S－1/Ｖ_P) です。

それ故,Ｔ_SP≡Ｔ_S－Ｔ_P,ｋ≡(1/Ｖ_S－1/Ｖ_P)^-1＝Ｖ_PＶ_S/(Ｖ_P－Ｖ_S)と定義すれば,ｄ_A＝ｋＴ_SPという比例関係の公式を得ます。 

　この式は発見者の大森房吉氏(1918)の名前を取って,大森公式(Ohmori's law)と呼ばれます。　

　(下図は中越地震本震の地震計記録からです。)

　　　　　

こうした等方的で均質な媒質を伝わる場合,弱いＰ波だけが来て「あ,ひょっとして地震かな？」と思ってから本格的で大きな揺れがくるまでの初期微動の時間をＴ_SPとするとその地点Ａから震源Ｏまでの距離ｄ_AはＴ_SPに比例します。 

初期微動時間が長いほど震源までの距離(地理的な距離だけでなく震源深さまでも含めた距離)が長いということが言えます。もしも震源が直下にあれば縦揺れは上下震動,横揺れは左右震動になります。 

さて,標高ｈが違う３地点Ａ,Ｂ,Ｃがありその座標がそれぞれ(ｘ_A,ｙ_A,ｈ_A),(ｘ_B,ｙ_B,ｈ_B) (ｘ_C,ｙ_C,ｈ_C)であるとき,上記のような公式に基づいて初期震動時間の観測から観測点から震源までの距離ｄ_A,ｄ_B,ｄ_Cが全てわかったとします。 

このとき,未知の震源Ｏの座標を(ｘ_O,ｙ_O,ｈ_O)と仮定すれば,地震波が全て直進なら,

ｄ_A²＝(ｘ_A－ｘ_O)²＋(ｙ_A－ｙ_O)²＋(ｈ_A－ｈ_O)²,

ｄ_B²＝(ｘ_B－ｘ_O)²＋(ｙ_B－ｙ_O)²＋(ｈ_B－ｈ_O)²,

ｄ_C²＝(ｘ_C－ｘ_O)²＋(ｙ_C－ｙ_O)²＋(ｈ_C－ｈ_O)²

が成立します。

これは３つの未知数ｘ_O,ｙ_O,ｈ_Oに対する３つの連立２次方程式ですから解くことが可能です。

つまり,正確に震源までの距離を観測できる点が３個あれば原理的には震源の位置がわかります。これは３点法と呼ばれるものですね。

普通,震源の高さ:ｈ_Oは海抜で測って負の数であり,震源は地中または海中にあります。

大森公式:ｄ_A＝ｋＴ_SPは地震に対する公式で大森係数と呼ばれる

ｋ＝Ｖ_PＶ_S/(Ｖ_P－Ｖ_S)は８(ｋｍ/ｓ)程度の値です。

しかし,パラメータｋを色々と変えると,雷における音と光のように速さの異なる２つの信号が届く現象では全く同じ公式が成立します。

ただし,雷の場合は光速がｃ～30万km/ｓ,空気中の音速がｖ～340ｍ/ｓでｃ＞＞ｖなのでｋ＝ｃｖ/(ｃ－ｖ)～ｃｖ/ｃ＝ｖですから,事実上ｄ_A～ｖＴなのでほとんど光速は関係無しです。(Ｔは光が見えてから音が聞こえるまでの時間です。)

例えば,ピカッと光ってから雷の音が聴こえるまでの時間が１秒なら,自分から340ｍ程度離れたところ(空中かもしれません)で"放電＝落雷"があったと推測されます。

PS：＞私のマノン・レスコーたちへ　

　病気とか事故に会っていなければどこで誰と遊んでいてもいいけれど,連絡つかない状況だととにかく心配です。大丈夫かなあ。。。。

　("マゾ, ロリコン, 準デブ専, メガネフェチ＝変態"のＴＯＳＨＩより。。)

(Ｔ.ウッズも聖人君子ではなく適当にストレスを解消しているらしいので安心しました。あれだけの収入を得る能力があれば大勢の家族を養えますね。

　性欲のある健康な男だし,大有名人で品行方正キャラが売り物なら日本だと風俗通いもままならないので女遊びは囲い込むしか仕方ないとして,もしもプロテスタントならマドンナの養子のように大勢を扶養するのはむしろ義務かな？)

PS2:ドクちゃんって日本が好きなんだ。。？？

　国ではなくて故郷(くに)が好きなんでしょ？

　http://news.aimu-net.com/read.cgi/wildplus/1257045443/

PS3:「陳情政治」からいきなり「非陳情政治」へと革命的に移行するのではなく,途中で１人(小沢さん)に権力が集中するシステムを経る。。

　共産革命でも過渡期ではプロレタリア独裁(現実には中国では毛沢東,ロシアではレーニンの１人独裁)です。それはそれでマヌーバとしてありなのでしょうが独裁者がプラトン的(プラトニック)に正しい哲人でいるうちはいいけど,うまく移行できないと"元の木阿弥"か,もっと悪くなります。

　小沢氏が中国に大挙して出かけていって米国にブラフかけて「ポッポ政権」を裏で後押ししてるのかも知れないけど,うまくいくのかねえ。基地問題。。

　朝っぱらから女子アナが「吉宗は何将軍？」と聞かれて「暴れん坊将軍？」と答えていました。それでもいいんだろうけど,ニュース番組なので一応「米(コメ)将軍だろ？」とツッコミたくなりました。。。アハハ

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定量的地震学６

　つなぎで地震学の続きを書きます。

前回は内部面上での応力,または変位(歪み)の不連続性で表現される地震源(面源)の体源による等価物の存在を証明しました。

そして,断層面を横切る剪断作用に対する体積力の等価物として次のような表現が得られるという結論で終わりました。 

まず,応力の不連続性[Ｔ]がゼロでない場合には,その寄与－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣ_ξは,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V(∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξ}Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0))ｄＶ_ηで表現できます。

それ故,Σ上の応力不連続性の体積力等価物はｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξで与えられます。

一方,変位の不連続性による寄与∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}は,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V (∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξ)Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)ｄＶ_ηで表現されます。

そこで,Σ上の変位不連続性の体積力等価物はｆ_p^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξで与えられると考えられます。

ただし,鍵括弧[ ]の量はΣ上の各点での不連続性を表わす量です。

すなわち,[Ｔ(ξ,τ)]≡Ｔ(ξ,τ)|_Σ+－Ｔ(ξ,τ)|_Σ-,かつ[ｕ_i(ξ,τ)]≡ｕ_i(ξ,τ)|_Σ+－ｕ_i(ξ,τ)|_Σ-etc.と定義されています。

という内容のことを書きました。

こうすれば応力,および変位の不連続性はそれぞれ－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣ_ξ＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p^[T](η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η,および∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p^[ｕ](η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_ηと体源で表現できるわけです。

まず,これらについて前回,少し書き残したことを補足することから始めます。

　上記,変位不連続性の表現の被積分関数は,各ｐに対して,添字ｉ,ｊ,ｑのそれぞれが異なる27個の項を含んでいますが,以下では媒質に対称性があって２個か３個を除く全ての項がゼロであるような重要な例を取り上げる予定です。

　しかし,取り合えず上記の恒等式自体は一般的な非均質,非等方媒質に対して成立する式です。

　これらはＶ内の各点における体源応力が断層面の上の弾性媒質の性質のみに依存する表現になっていることは注目すべきことです。

そして,Ｖ内の断層運動は内部プロセス(内力のみの系)なので,全運動量と全角運動量は保存されなければなりません。

すなわち,全てのτに対し∫_Vｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝0,かつ全てのτとη₀に対し∫_V[(η－η₀)×ｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝0 であるべきです。

実際,ｆ_p^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξですから,ガウスの積分定理によって∫_Vｆ_p^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝－∫_VｄＶ_η∫_ΣｄΣ_ξ{[([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}＝∫_ΣｄΣ_ξ∫_ＳextｄＳ_η[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_jδ³(η－ξ)です。

ところがＳ_extとΣは全く共通点がないので,決してη＝ξとは成り得ず,最右辺は確かに消えます。

一方,∫_V[(η－η₀)×ｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_ηの第ｍ成分は∫_Vε_mnp(η_n－η_0n)ｆ_p^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝－∫_ΣｄΣ_ξ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j∫_VｄＶ_η(ε_mnp(η_n－η_0n){∂δ³(η－ξ)/∂η_q})＝∫_Σ(ε_mqpＣ_ijpq(ξ)ν_j[ｕ_i(ξ,τ)])ｄΣ_ξで与えられます。

ところがＣ_ijpq(ξ)＝Ｃ_ijqp(ξ),かつε_mqp＝ε_mqpなので,これの右辺もゼロになります。

こうして体積力の表現が内力である条件を満たす合理的なものであることを示すことができました。これが前回書き残した補足事項です。 

さて,野外の不連続性に等価な体積力の簡単な例として,丁度１点と１方向に加えられた体積力のケースを考えます。

以前の記事「定量的地震学１,３」では次のように瞬間体積力を与えました。

“ｘ＝ξに対する１つの個別粒子に時刻ｔ＝τにｎ方向に瞬時的に加えられる１つの体積力ｆ(ｘ,ｔ)があれば,その成分ｆ_i(ｘ,ｔ)は空間位置を与えるのに３次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,衝撃の時刻を与えるのに１次元のデルタ関数に比例してｆ_i(ｘ,ｔ)＝Ａδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inと表現されます。

ただしＡは衝撃の強さを与える定数です。ｆ_i,δ³(ｘ－ξ),δ(ｔ－τ)の次元がそれぞれ[力/体積]＝ＭＬＴ^-2/Ｌ³,1/Ｌ³,1/Ｔであることに着目するとδ_inは無次元なので,衝撃の強さＡは正しく,”衝撃＝力積”の物理的次元を有することがわかります。”

これは,応力成分の不連続性とみなすこともできます。

ここでは,体積力の応力の不連続性との等価性を見るために,ｘ₃を深さ方向とし,ｘ₃＝ｈの１点(0,0,ｈ)に加わる体積力ですがδ(ｔ－τ)に比例する瞬時的な力ではなく,τ＝0から定常的にｘ₃＝ｈの１点(0,0,ｈ)にＦの大きさの体積力とします。

すなわち,ｆ(η,τ)＝Ｆδ(η₁)δ(η₂)δ(η₃－ｈ)θ(τ),Ｆ≡(0,0,Ｆ)とします。ここでθ(τ)はHeaviside関数(階段関数)です。

これは,平面ξ₃＝ｈ上の１点を横切る応力の不連続性:[Ｔ(ξ,τ)]＝Ｔ(ξ,τ)|_{(ξ1,ξ2,ｈ+)}－Ｔ(ξ,τ)|_{(ξ1,ξ2,ｈ-)}＝－Ｆδ(ξ₁)δ(ξ₂)θ(τ)と同一視できることがわかります。

これは,先に得られた表現:ｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξの右辺において,平面ξ₃＝ｈをΣとして,[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]＝－Ｆδ(ξ₁)δ(ξ₂)θ(τ)を代入すれば,ｆ^[T](η,τ)＝Ｆδ(η₁)δ(η₂)δ(η₃－ｈ)θ(τ)が確かに得られることからわかります。

断層スリップ(地滑り)によって引き起こされる地震波は,モーメントを帳消しにするようなある断層上の力の分布によって引き起こされる地震波と同じです。

問題としている断層スリップに対し,この力の分布は一意的ではありませんが,等方的な媒質内ではそれを常に複数の偶力源の表面分布として選択可能です。

この結論は,地震が単一の偶力源か複数の偶力源のいずれによってモデル化されるかという疑問に関連して長期間論じられた論争の見地からは皮肉な結論です。

単一の偶力源を擁護する人々は地震は断層上のスリップが原因であると強く信じていました。そして彼らは,これが単一の偶力源,すなわち断層の相対する側の運動に対応する２つの力に等価であると直線的に信じました。

しかし,弾性力学では経験上直線的アプローチは危険なことが多いようです。

複数の偶力源を擁護する人々のあるものは,地震が既存の剪断応力下での体積的崩壊であるに違いないと思っていました。 

今や,複数の偶力源に等価であると認識されている近年の断層理論は,莫大な距離で観測された放射パターンによる支持のみならず,震源に非常に近いところで得られたデータによる強い支持を得ています。 

断層Σは平面ξ₃＝0 上にあるものとします。すると,スリップ[ｕ]はξ₃方向には成分を持たず,ベクトル[ｕ]は平面Σに平行と考えられます。 

さらに,平面ξ₃＝0 上でのスリップ[ｕ]の方向をξ₁方向とします。すると,[ｕ₂]＝[ｕ₃]＝0 でありν₁＝ν₂＝0 ,ν₃＝1 です。 

そこで,等価体積力の表現:ｆ_p^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξは,ｆ_p^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σ[ｕ₁(ξ,τ)]Ｃ_13pq(ξ){∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄξ₁ｄξ₂となります。 　

既述のように,不均質でも等方的な物質では弾性係数Ｃ_ijpqはＣ_ijpq＝λδ_ijδ_pq＋μ(δ_ipδ_jq＋δ_iqδ_jp)なる形をしています。独立定数λ,μはLame(ラメ)の定数と呼ばれます。

よって,今の場合の被積分関数のＣ_13pq(ξ)は,Ｃ₁₃₁₃(ξ)＝Ｃ₁₃₃₁(ξ)＝μ(ξ)を除いて全てゼロです。

それ故,ｆ₁^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]δ(η₁－ξ₁)δ(η₂－ξ₂){∂δ(η₃)/∂η₃}ｄξ₁ｄξ₂,ｆ₂^[ｕ](η,τ)＝0,ｆ₃^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]{∂δ(η₁－ξ₁)/∂η₁}δ(η₂－ξ₂)δ(η₃)ｄξ₁ｄξ₂となります。

まず,ｆ₁^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]δ(η₁－ξ₁)δ(η₂－ξ₂){∂δ(η₃)/∂η₃}ｄξ₁ｄξ₂を見ると,これは±η₁方向内の力でη₂方向に腕がありη₃方向にモーメントを持つΣにわたる単偶力源を示しているとわかります。

実際,積分を実行すると,ｆ₁^[ｕ](η,τ)＝－μ(η)[ｕ₁(η,τ)]{∂δ(η₃)/∂η₃}です。

これは平面η₃＝0⁺上に寄与する点力とη₃＝0^-上に寄与する反対向きの点力のペアであると考えられ,補足事項の最初の式で示したように,内力なのでｆ₁^[ｕ](η,τ)の合力成分は消えます。

一方,力のモーメントはこの力の成分だけでは消えず,この成分によるη₂軸の回りのモーメントは∫_Vη₃ｆ₁^[ｕ]ｄＶ＝－∫_Vη₃μ(η)[ｕ₁(η,τ)]{∂δ(η₃)/∂η₃}ｄη₁ｄη₂ｄη₃＝∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξとなります。

Σにわたるスリップを平均すると,＜ｕ(τ)＞≡∫_Σ[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξ/Ｓです。ただし,Ｓ≡∫_ΣｄΣ_ξは断層の全面積です。

そこで,もしも断層域が均質,つまりΣの上でμ(ξ)＝μ(一定)なら,η₂軸の回りのｆ₁^[ｕ](η,τ)による全モーメントは,単にη₂軸の正の向きに∫_Vη₃ｆ₁^[ｕ]ｄＶ＝∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξ＝μＳ＜ｕ(τ)＞で与えられます。

体積力には,また３軸成分:ｆ₃^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]{∂δ(η₁－ξ₁)/∂η₁}δ(η₂－ξ₂)δ(η₃)ｄξ₁ｄξ₂＝－∂{μ(η)[ｕ₁(η,τ)]/∂η₁}δ(η₃)があります。

この成分によるη₂軸の回りの力のモーメントは－∫_Vη₁ｆ₃^[ｕ]ｄＶ＝∫_Vη₁∂{μ(η)[ｕ₁(η,τ)]/∂η₁}δ(η₃)ｄη₁ｄη₂ｄη₃＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξです。

これについても,もしも媒質が均質でΣの上でμ(ξ)＝μ(一定)なら,－μＳ＜ｕ(τ)＞です。

よって,均質,不均質いずれにしても全モーメントはゼロです。これも既に,補足事項として一般的な形で証明した事実に一致しています。

途中ですが今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

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定量的地震学５

　１月以上の間があきましたが地震学の続きです。 

　前回は曲線座標変換というやや幾何学的な話に寄り道しましたが,今日は第３章の地震源(震源)の表示に入ります。

　固体地球外部の地震源の例を上げると,風,大洋波浪,隕石衝突,ロケットの打ち上げ,大気中の爆発などがあります。その他,人々の歩行によってさえ地震が生じます。

こうした外部の地震源については,通常単純な地球表面に加えられた時刻変動応力の解析の枠組みの中で処理できます。

　また,多くの実用的目的を有する現象に起因するものや,その他にも火山の噴火,ガス漏れなど比較的規模の大きい爆発,粉砕などもありますが,これも外部ソースであり上記に含まれるでしょう。

　一方,一般的な地震や地下爆発など地球内部のソースに対しては,解析の枠組みはよりむずかしい展開を必要とします。

なぜなら,これまで論じてきた弾性運動を支配する方程式が固体地球内部の到るところで有効というわけではないからです。

この章では内部ソースについてのみ論じます。これは断層源と体源の２つのカテゴリーに分けられます。 

断層源は破砕された平面を通っての"断層＝地滑り"のような内部面と関連した事象です。一方,体源は体積的なソース領域における爆発的膨張のような内部体積に関わる事象です。

内部ソースの数学的記述は古典的には異なる２つのラインに沿って追跡されてきました。

１つはソースを含む媒質のある要素へ加わる体積力によるライン,もう１つは変位,または歪みの幾つかの不連続性(すなわち,断裂する断層面や体源の表面を通るそれ)によるラインです。

しかし,２番目のアプローチは有効的に１番目のそれに組み込むことが可能です。すなわち,断層面を横切る単純な剪断作用については体積力の等価物が存在します。

以下では,こうした体積力の等価物について理論を幾分詳細に展開し,根本的に異なる力の系が正確に同じ変位の不連続性に同等であることを示すことから解析を始めます。 

それから後に,BarridgeとKnopoff(1964)に従って断層源の一般理論を展開し,最後に体源に関する理論を概説する予定です。

一般に,震動図に記載された運動は地震源の効果と伝播の効果の両方の結果です。

震動図を理解することを追求してきた主な理由の１つは地震運動から伝播の効果を分離することです。というのは地震源の効果は地球の内部構造に関する情報を携帯しているからです。

最近では,地殻プレートの運動を図示して地震源のプレートがどのように動かされるかを学ぶという目的のために,次震源(震源)のメカニズムが研究されているようです。

現在では,近くの断層の性質と局地的応力の分布に関する地質学的,地球物理学的データに基づいて工学用途の敷地における地震危害の予測を行なうという観点から,こうしたソース(source;震源)の理論が広く展開されているようです。

さて,初めに述べた通り,[内部面における表示定理]＝"応力と変位における不連続性に対する体積力(実体力)の恒等式(等価物)"を与えるという主題に移ります。

第２章で与えられた表示定理は,表面Ｓを体積Ｖ内部の隣り合う面に選べば震源において強力な助けに成り得ます。

ここでの考察の動機は,H.F.Reidの仕事に起因するものです。

彼の1906年のSan Francisco地震前後のSan-Andreas断層の研究は,地震運動が活性化した地質学的断層上の自然発生的地滑りにより放射された波動によるという一般的認識に導きました。

我々は,こうしたソースのメカニズムをすぐ後により詳細に論じる予定です。他方,動力学的過程や他のソースのメカニズムについてはずっと後の第15章で述べる予定です。

現在の関心としては,埋没した地滑りのプロセスとそれから放射された波が,既に得られた表示定理からどのようにして自然に解析され得るかということです。 

既に述べたように,表示定理は次の３つの異なる表現を有します。 

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S[{Ｇ_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)－ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ_kn(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ^l}}ｄＳ_ξ..(1)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^rig_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ^rig_kn(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξ..(2)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)}ｄＳ_ξ..(3)　です。

そこで述べたように,これらは変位ベクトルｕ(ｘ,ｔ)がＳ上の変位に依存するのか →(2),それとも応力に依存するのか →(3),または両方に依存するのか →(1)という疑問への矛盾を示しているように見えます。

しかし,弾性媒質上では応力と変位が独立というわけではないので矛盾はありません。

さて,この表示定理における表面ＳがＶの外部境界面だけでなく埋没した断層の相対する面であるような隣り合う内部面をも含むとする視点は地震源の理論にとって中心的な論点です。

すなわち,Ｓ≡Ｓ_ext＋Σに取ってみます。ただし,Ｓ_extはＶの外部表面でありΣ≡Σ⁺＋Σ^-はＶ内部の１つの断層の相対する面です。

まず,表示定理で最も一般的な式(1)をｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(ξ,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijpq(ξ)ｎ_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－{Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ｎ)}]ｄＳ_ξと書き直します。

　Ｓ_extは地球全体の表面としてもいいのでそう考えます。

　グリーン関数ＧがＳ_ext上で斉次境界条件Ａ_i＋γ_jＡ_i,_j＝0,Ｂ_i＋γ_jＢ_i,_j＝0 を満足していると考えられます。ただし,Ａ_i(ｘ,ｔ)≡Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁),Ｂ_i(ｘ,ｔ)≡Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ₂,－τ₂)です。

こうすれば,右辺のＳ＝Ｓ_ext＋Σにおける表面積分のうち,外部地球の表面Ｓ_extの寄与は無視できます。 

そして,Σ^-の外向き法線単位ベクトルをｎ＝νとします。するとΣ⁺の外向き法線単位ベクトルは明らかにｎ＝－νです。 

また,Ｖの内部での一般座標をηとし,ξは表面(断面)Σの上の一般座標のみを表わすとします。

さらに,鍵括弧[ ]の中の量はΣ⁺とΣ^-の差を示すとします。例えば,[ｕ(ξ,τ)]≡ｕ(ξ,τ)|_Σ+－ｕ(ξ,τ)|_Σ-と定義されます。

すると,表示定理はｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η＋∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－{Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)}]ｄΣ となります。

これが実際的な計算において意味を持つためには,Σ上で何らかの境界条件を与える必要があります。

境界条件のｕに対する選択は破裂する断層面を横切る応力と変位の現実の性質に従わせる必要がありますが,Ｇに対する選択は有益な形になるように自由に選ぶことが可能です。

変位ｕについては,両断層面の上でゼロではないスリップ[ｕ]が存在するはずですが,応力については連続性から[Ｔ(ｕ,ν)]＝0 と考えられます。

また,Σ上でのＧの性質の定義を確立する最も簡単で最も共通に用いられている方法は,Σを横切ってＧとその空間微分係数が連続であるように設定することです。 

これは体積Ｖに対して計算するには最も容易なグリーン関数です。

もしも,このｕに対して体積力ｆがないときにはｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q})ｄΣ となります。

　この表現式は断層上での変位があらゆる場所における変位を決めるのに十分であることを示していますが,これは「定量的地震学２」で述べた"一意性定理"から予測できることです。

(↑ 複素関数論のコーシーの積分定理にも似てますね。)

※注:"一意性定理"の内容を再掲します。

[一意性定理]:表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内の到るところで,与えられた時刻ｔ₀における変位と粒子速度の値,およびｔ＞ｔ₀における(ⅰ)体積力ｆと供給される熱Ｌ,(ⅱ)表面Ｓ＝Ｓ₁＋Ｓ₂の一方の部分Ｓ₁上での応力Π,(ⅲ)残りの部分Ｓ₂上での変位が既知なら,時刻ｔ₀より後の時刻ｔおける変位ｕ＝ｕ(ｘ,ｔ)は一意的に決まる。

(注終わり※)

しかし,一見したところこの表現式においてソースの伝播を記述するグリーン関数についてΣにおける境界条件が与えられていないことは驚くべきことです。

断層上で生じた運動は,それ自身が断層面によってある形式で回折される波を作り上げると予測されますが,この相互作用はスリップ関数[ｕ(ξ,τ)]の決定を複雑にはするけれどグリーン関数の決定には入り込まないからですね。

こうして,多くの地震学者はある仮定されたスリップ関数によって作り上げられた運動を記述するために,この公式:ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q})ｄΣを用いてきました。

以下では,たった今記述した直接には如何なる体積力も含んでない地震源の表現の体積力の等価物を求めることを試みます。

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q})ｄΣは,各々が体積力によって作り上げられたグリーン関数にわたって積分することにより,(ｘ,ｔ)における変位を与えることを示していると見ることもできます。

こうした見方によれば,活断層も体積力の面的寄与と見なせるような意味があるに違いないと確信されます。

この方法で予測されるような体積力の等価物を決定するため,再び元の一般的な表示定理の式(1)の表現から始めます。

すなわち,再掲するとｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η＋∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－{Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)}]ｄΣです。

ただし,ＧはΣに対してなお透明,つまりΣを横切ってＧもその空間微分係数も連続とする仮定を採用します。

ここで,Σを横切る[ｕ],[Ｔ(ｕ,ν)]については,先の境界条件[Ｔ(ｕ,ν)]＝0 のような条件を全く仮定せず,応力の不連続性も存在するようなより一般的な状況とします。

するとｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p(η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η＋∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}－[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0))ｄΣと書けます。

ここで,デルタ関数δ³(η－ξ)を用いればΣにおける不連続性はＶの中に局在化できることを利用します。

例えばΣにおける(応力×面積＝力):[Ｔ]ｄΣは,体積力としての寄与∫_VｄＶ{[Ｔ]δ³(η－ξ)ｄΣ}を与えます。

したがって,応力の不連続性[Ｔ]がゼロでない場合,その寄与－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣは－∫_-∞^∞ｄτ∫_V(∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ}Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0))ｄＶで表現できます。

それ故,Σ上の応力不連続性の体積力の等価物はｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣで与えられます。

変位の不連続性は応力よりも物理的解釈が困難なのですが,数学的に考えて∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q＝－∫_V{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)ｄＶなる恒等式を用いれば応力不連続性に等価式に同等な表現を得ます。

すなわち,変位の不連続性による寄与∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}は,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V(∫_Σ{([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ)Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄＶと表現されます。

そこで,Σ上の変位不連続性の体積力の等価物はｆ_p^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ{[([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣで与えられることがわかります。

今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

ＰＳ：昨日はヘルパーの現場実習の初日として赤羽の訪問介護施設の現役のヘルパーさんに同行して自宅訪問の実習を受けてきました。

　実は,実際の利用者様に迷惑をかけてはいけない実習なので,ほとんど見学同然と思ってはいましたが,当初から最も危惧していたのがこの同行訪問実習でした。

　というのも,この訪問介護実習で不可避な自転車での移動というのは「糖尿病＋心不全＋足の動脈硬化」である私にとって可能かどうか？という体力的に最も不安な材料だったからです。

　実際,その通りでしたね。

　北区の赤羽付近は坂が多く"心臓破りの坂"もあって,心臓＋足が動かず,平気を装ってはいましたが一瞬死ぬかとも思うこともありました。

　楽な下りがあるということは,帰りは上りですから,動かなくなってしまったら同行者の方に迷惑だと思いましたが,降りて歩いて押していくしかありません。(逆に１人だったら少しは楽だったかも。。。)

　利用者様の自宅までの往復と買い物支援,さらに終わって最後に事務所に帰る際,はぐれて道に迷ったのも含め,約２時間も自転車に乗ったのは過去の健康時代を考えても,めったにないことでした。

　ともあれ,雨も降らず鬼門の同行訪問実習は無事終了しました。移動以外の実習は体力的には休息時間でしたが,問題ないと思います。

(例によって,何事があっても常にニコニコ笑顔だった(ツモリな)のは,八方美人の性分ですね。)

　後の施設実習でも体力は必要でしょうが,まだ給金を頂いて責任を取ることを余儀なくされる本格的な仕事ではなく,学生としての実習だろうし私の最も得意な？他人とのコミュニケーション(＝おしゃべり？)の方が主体ではないかとも思い,とにかく少なくとも自転車での移動がないであろうことを考えて楽観しています。

　本日は寝て曜日で完全休養日にしよう。アレ?岡山のおフクロの89歳の誕生日は今日17日か21日かどっちだったかな？

(↑ イキアタリバッタリで脳天気だなあ。。ウーン,キム・ヨナはいいなあ。。。忘れてた。今日(11/17)は「将棋の日」でもありました。)

　(実は,昨日朝は訪問介護事務所の付近まで最近懇意にして頂いている自宅の隣人のＭさんに車で送って頂いたのです。Ｍさんどうもありがとうございました。

　しかし,住所だけを頼りにして到着したためか,頂いた矢印付きの地図と写真の通りに徒歩で行けば自然にわかったらしい事務所の入口を間違えてしまって指定時間通りには入ることができず最初から躓きました。

　実は私はかなりヒドイ方向音痴です。事務所の担当の方とスクールで対応して頂いた方,ゴメンナサイ。

　16年くらい昔は住所だけを頼りに当日自分が交通ガードマンとして立つべき場所を探していたのですから,まるっきりの方向音痴でもないでしょうが。。)

　オマケに昼休み近くのコンビニまで往復の際,靴の左側を間違えて履いていって帰ってから気付いて皆様に笑われましたが,靴を間違えてご迷惑かけてゴメンナサイ。

　こういうことで笑いを取ってはいけませんね。^^;)

PS2:市橋事件について,何日も食事を取っていないなどの報道はどこまで真実なのでしょうか?　取り調べ段階での官憲の守秘義務とマスコミリークとの関係等々についてはよく知りませんが。。。

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空気分子の大きさ(アインシュタインとブラウン運動)

　地球大気の温室効果について段階的に論じていこうと思います。

　まずは,私自身が"自己満足"して納得するため,2006年11/21の記事「地球の平均気温とステファン・ボルツマンの法則」において,温室効果を無視した地球平均気温(＝約－18℃)という定量的評価のための材料とした「太陽からの輻射に対するアルベド(albedo:反射率)が30～31％であること」の理論的根拠などから論じてゆきます。

　今日は,まず太陽から地球に放射される光が地球表面で散乱され減衰することと関連して,大気圏での主要な散乱体である"主に窒素と酸素から構成された空気分子"の大きさを評価することから始めます。

　そのための方法として植物学者ブラウン(Brown)の「花粉の水中運動の永久性＝ブラウン運動"の発見(1829)」に対する「アインシュタイン(Einstein)の解明(1905)」の話から始めようと思います。

　媒質中のブラウン粒子の運動を位置座標のｘ成分の軌道で代表させると,その運動方程式はｕ≡ｄｘ/ｄｔとしてｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝Ｘ(ｔ)－ｕ/μで与えられると考えられます。

ここにｍは対象粒子の質量,Ｘ(ｔ)は媒質からその粒子にかかる力のｘ成分,μは易動度と呼ばれる量で,ｕ/μが媒質の速度に比例する摩擦力となるようなケースでの比例係数の逆数です。

ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝Ｘ(ｔ)－ｕ/μの左辺がゼロの定常状態に達した場合ならｕ＝μＸですが,これが易動度という言葉の意味ですね。

流体力学のストークス(Stokes)の抵抗法則によれば,ブラウン粒子を半径ａの球と仮定しηを媒質の粘性率とすると,この程度のレイノルズ数では 1/μ＝6πηａと書けるはずです。

ストークスの法則の詳細は,2007年７/27の「遅い粘性流(1)(Stokes近似）」,および2007年７/28の記事「遅い粘性流(2)(Stokes近似） 」

そして,それに続く2007年７/31の記事「遅い粘性流(5)(Stokes近似）」を参照してください。

ブラウン運動の方程式:ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝Ｘ(ｔ)－ｕ/μはランジュバン(Langevin)方程式:ｄｕ/ｄｔ＝－γｕ－Ｒ(ｔ)/ｍ (Ｒ(ｔ)は"ゆらぎ＝揺動",または雑音の影響を表わす量)と同じものです。

ランジュバン方程式については非平衡統計力学の線型応答理論に関連した2007年７/20の記事「揺動散逸定理 」を参照してください。

運動方程式:ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝Ｘ(ｔ)－ｕ/μ (ｕ＝ｄｘ/ｄｔ)の両辺にｘ＝ｘ(ｔ)を掛けてｔについて0からｔまで積分すると,左辺はｍ∫₀^t(ｘｄｕ/ｄｔ)ｄｔ＝ｍ∫₀^t(ｘｄ²ｘ/ｄｔ²)ｄｔ＝[ｍｘｄｘ/ｄｔ]₀^t－ｍ∫₀^t(ｄｘ/ｄｔ)²ｄｔです。

一方,右辺は∫₀^tＸｘｄｔ－(1/μ)∫₀^t(ｘｄｘ/ｄｔ)ｄｔ＝∫₀^tＸｘｄｔ－(1/μ)∫₀^t[ｄ/ｄｔ{ｘ²/2}]ｄｔ＝∫₀^tＸｘｄｔ－(1/μ)[ｘ²/2]₀^tとなります。

したがって,[ｍｘｕ]₀^t－ｍ∫₀^tｕ²ｄｔ＝∫₀^tＸｘｄｔ－(1/μ)[ｘ²/2]₀^tを得ます。

ところが,ｔが十分長ければ右辺第１項∫₀^tＸｘｄｔはＸ(ｔ)が正負の全くランダムな値を取るために消えるはずです。

そして,統計力学のエネルギー等分配の法則により長時間平均の意味でｍ∫₀^tｕ²ｄｔ＝(ｔ＜ｍｕ²＞)_t→∞＝ｋ_BＴｔとなります。ここにｋ_Bはボルツマン(Boltzmann)定数,Ｔは絶対温度です。

そこで,ｔ→ ∞では[ｍｘｕ]₀^t－ｋ_BＴｔ＝－(1/μ)[ｘ²/2]₀^tです。それ故,大きいｔで[ｍｘｕ]₀^tが省略できる場合には＜ｘ²＞_AV≡([ｘ²]₀^t)_t→∞＝2μｋ_BＴｔとなります。

こちらの＜ｘ²＞_AVは,前の＜ｍｕ²＞のような長時間平均ではなく時刻ｔにおける相空間平均(確率平均)です。

実際,＜ｕ²＞^1/2～ (ｋ_BＴ/ｍ)^1/2ですがエルゴード性により時刻ｔにおける空間平均という意味でもｕ～ (ｋ_BＴ/ｍ)^1/2ですから,ｘ ～(2μｋ_BＴｔ)^1/2であれば,＜ｍｘｕ＞_AV＝[ｍｘｕ]₀^t～ｋ_BＴ(2ｍμｔ)^1/2となります。

そこで,[ｍｘｕ]₀^tの値は大きいｔに対してｔ^1/2のオーダーですからｔと比較して省略できることがわかります。

一方,ブラウン運動を時間τごとに微小長さを進む酔歩の問題と考えると次のように考察されます。

これは私のブログでは既にずいぶん前に考察済みです。

2006年９/14のブログ記事「酔歩(ランダム・ウォーク) 」から該当部分を多少修正して再掲します。

※(再掲開始)

１次元ではｘ軸の上で左右どちらにも１歩ずつ動くことができて１歩の長さが一定値λであるとします。そして左右どちらかに進む確率は両側共に1/2であるとします。

ｘ軸の原点から出発しててＮ歩の後にｘ＝ｎλ(－Ｎ≦ｎ≦Ｎ)の位置にいる確率をＰ(ｎ,Ｎ)とすると,正の向きにＮ⁺,負の向きにＮ^-歩いてｘに到達するとした場合の数がＮ!/(Ｎ⁺!Ｎ^-!)ですから,Ｐ(ｎ,Ｎ)＝{Ｎ!/(Ｎ⁺!Ｎ^-!)}(1/2)^Nとなるはずです。

ただし,Ｎ⁺＋Ｎ^-＝Ｎ,Ｎ⁺－Ｎ^-＝ｎなので単純に計算するとＮ⁺＝(Ｎ＋ｎ)/2,Ｎ^-＝(Ｎ－ｎ)/2ですが,Ｎ＋ｎとＮ－ｎは一方が奇数なら他方も奇数,一方が偶数なら他方も偶数です。これらが偶数でなければ負でない整数なることが必要なＮ⁺もＮ^-も存在しません。 

したがって,Ｎ－ｎが偶数のときにはＰ(ｎ,Ｎ)＝{Ｎ!/(Ｎ⁺!Ｎ^-!)}(1/2)^N(Ｎ⁺＝(Ｎ＋ｎ)/2,Ｎ^-＝(Ｎ－ｎ)/2)ですが,Ｎ－ｎが奇数のときにはＰ(ｎ,Ｎ)＝0 です。

ここで,ｎが非常に大きいときのスタ－リングの公式:ｎ!～(2π)^1/2exp(－ｎ)ｎ^(ｎ+1/2),あるいはlog(ｎ!)～(1/2)log(2π)＋(ｎ＋1/2)log(ｎ)－ｎを使用します。

Ｎ－ｎが偶数でＮが非常に大きいとすれば,Ｎ⁺＝(Ｎ＋ｎ)/2,Ｎ^-＝(Ｎ－ｎ)/2も非常に大きいことになってlog{Ｐ(ｎ,Ｎ)}～ －Ｎlog2＋ＮlogＮ－Ｎ⁺logＮ⁺－Ｎ^-logＮ^-＋(1/2)log(2π)＋(1/2)(logＮ－logＮ⁺－logＮ^-)＝(1/2)log{2/(πＮ)}－(Ｎ/2)[{1＋(ｎ＋1)/Ｎ}log{1＋(ｎ/Ｎ)}＋{1＋(1－ｎ)/Ｎ}log{1－(ｎ/Ｎ)}]です。

ここで,ｎ＜＜Ｎと考えて上のα＝ｎ/Ｎの対数関数において,αの２次までの近似展開:log(1－α)～ －α－α²/2,log(1＋α)～ α－α²/2を利用します。

すると,log{Ｐ(ｎ,Ｎ)}～(1/2)log{2/πＮ)}－(Ｎ/2)(ｎ/Ｎ)²よりＰ(ｎ,Ｎ) ～{2/(πＮ)}^1/2exp{－ｎ²/(2Ｎ)}です。

ここで,ｘ＝ｎλ(－Ｎ≦ｎ≦Ｎ)の酔歩の１歩の長さλは非常に小さいとしてＮ－ｎが偶数と奇数の両方の場合を考慮すれば,ｘがｘとｘ＋ｄｘの間にある確率はＰ(ｘ,Ｎ)ｄｘ＝(1/2){2/(πＮ)}^1/2exp{－ｘ²/(2Ｎλ²)}(ｄｘ/λ)＝(2πＮλ²)^-1/2exp{－ｘ²/(2Ｎλ²)}ｄｘです。

これは,Ｎλ→ ∞,λ→ 0,かつＮλ²→σ²(有限)の条件で,ｘについて積分すると１になるので,確かに確率密度の条件を満たしています。

　一方,２次元での確率密度は,モデルが等方的なので単純に上の１次元の式でｘ²をｒ²≡ｘ²＋ｙ²で置き換えるだけでいいと考えられるところですが,実は１歩の各方向への成分Δｘ,ΔｙがΔｘ²＋Δｙ²＝λ²を満たす必要があるので修正が必要です。

ｘ方向とｙ方向を対等に扱うと,Δｘ²＝Δｙ²＝λ²/2なのでＮ歩で位置ｒ＝(ｘ,ｙ)に到達する確率密度は,全平面で１になるように規格化してＰ(ｘ,ｙ,Ｎ)ｄｘｄｙ＝(πＮλ²)^-1exp{－ｘ²/(Ｎλ²)}exp{－ｙ²/(Ｎλ²)}ｄｘｄｙ＝(πＮλ²)^-1exp{－ｒ²/(Ｎλ²)}ｄ²ｒになります。 

同様に,３次元ではｒ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²としてΔｘ²＝Δｙ²＝Δｚ²＝λ²/3により,位置ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)に到達する確率はＰ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)ｄｘｄｙｄｚ＝{(2/3)πＮλ²}^-3/2exp[－ｒ²/{(2/3)Ｎλ²}]ｄ³ｒになると考えられます。 

  特に,３次元の一般式でｔ＝Ｎτ,Ｄ＝λ²/(6τ)と置けば,4Ｄｔ＝(2/3)Ｎλ²となるため,時刻ｔに位置ｒに存在する確率はＰ(ｒ,ｔ)＝Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)＝(4πＤｔ)^-3/2exp{－ｒ²/(4Ｄｔ)}と書けます。

これは,丁度拡散係数がＤの拡散方程式∂Ｐ/∂ｔ＝Ｄ∇²Ｐにおいて初期時刻ｔ＝0 に確率密度が原点に集中しているときの解,すなわち,初期値がＰ(ｒ,0)＝δ³(ｒ)のときのＰ(ｒ,ｔ)の一意解に一致しています。(再掲終わり)※

そこで,この確率密度Ｐ(ｒ,ｔ)に基づいて計算すれば,ｘ方向の"ゆらぎ＝揺動",つまりｔ＝0 に確率１で原点ｒ＝0 にあった場合の時刻ｔでの平均位置(ｒ＝0)からのずれｘの２乗平均値は,＜ｘ²＞_AV＝∫_-∞^∞[ｘ²Ｐ(ｒ,ｔ)]ｄ³ｒ＝(4πＤｔ)^-1/2∫_-∞^∞[ｘ²exp{－ｘ²/(4Ｄｔ)}ｄｘ＝2Ｄｔとなります。

これを,先にブラウン運動の１次元方程式から求めたｘのゆらぎの表現:＜ｘ²＞_AV＝([ｘ²]₀^t)_t→∞＝2μｋ_BＴｔと比較すれば,Ｄ＝μｋ_BＴ(アインシュタインの関係式)が得られます。

今,媒質の粘性率をηとし拡散粒子の半径をａとすれば,先に求めた易動度μに対するストークスの式:1/μ＝6πηａから,Ｄ＝ｋ_BＴ/(6πηａ)なる等式が得られます。これをアインシュタイン・ストークスの関係式と呼びます。

ここで理科年表によると,空気の粘性率は温度が常温25℃＝298Ｋでη＝18.2×10^-3Ｎs/ｍ²,またｋ_B＝Ｒ/Ｎ_A＝1.38×10^-23Ｊ/Ｋです。Ｒ～8.31Ｊ/(Ｋmol)は気体定数,Ｎ_A～6.02×10^-23/molはアヴォガドロ数(ロシュミット数)です。　

また,質量がｍの気体分子の速度をｖとすると,統計力学によって平衡状態での２乗平均の速度は(＜ｖ²＞_AV)^1/2＝(3ｋ_BＴ/ｍ)^1/2です。一方,速度の絶対値|ｖ|の平均は＜|ｖ|＞_AV＝{8ｋ_BＴ/(πｍ)}^1/2です。

空気をＯ₂とＮ₂の1:4の混合気体とみると分子質量はｍ＝28.8/Ｎ_A(ｇ)～ 4.78×10^-26(ｋｇ)ですから,常温Ｔ＝298Ｋでの２乗平均速度は＜ｖ²＞^1/2 ～ (3ｋ_BＴ/ｍ)^1/2～ 約508(ｍ/s)です。

一方,絶対値平均速度で見ると,＜|ｖ|＞_AV＝{8ｋ_BＴ/(πｍ)}^1/2～ 約468(ｍ/s),ですです。

さて,気体分子を直径がｄの剛体球とモデル化すると,２つの気体分子の中心間距離がｄになるときにこれらは衝突します。

そして,１つの分子が衝突するまでに分子が移動する平均の距離を平均自由行程と呼びます。これは先に述べた酔歩の１歩に相当するので同じ記号λで表わすことにします。

１つの気体分子から見るとその中心を底面中心として体積がπｄ²λの円筒内に他の分子が１個入るという勘定になります。

したがって,気体分子数密度をｎとするとπｄ²λｎ＝1ですから平均自由行程はλ＝1/(πｄ²ｎ)と評価されます。

さて,速度ｖ＝(ｕ,ｖ,ｗ)＝(ｖ_x,ｖ_y,ｖ_z)の各成分がｖ_x～ｖ_x＋ｄｖ_x,ｖ_y～ｖ_y＋ｄｖ_y,ｖ_z～ｖ_z＋ｄｖ_zの間にある分子数をｆ(ｖ_x,ｖ_y,ｖ_z)ｄｖ_xｄｖ_yｄｖ_z＝ｆ(ｖ)ｄ³ｖとします。

全分子数をＮとするとｆ(ｖ)は全速度空間で積分して∫ｆ(ｖ)ｄ³ｖ＝Ｎとなるように規格化されています。このように定義されるｆ(ｖ)＝ｆ(ｖ_x,ｖ_y,ｖ_z)を速度の分布関数と呼びます。

そして,絶対温度がＴの熱平衡状態では,ｆ(ｖ)がマクスウェル(Maxwell)分布:ｆ(ｖ)＝Ｎ{ｍ/(2πｋ_BＴ)}^3/2exp{－ｍｖ²/(2ｋ_BＴ)}で与えられることがわかっています。

分子数密度がｎ＝Ｎ/Ｖの熱平衡状態を仮定します。

通常のｘｙｚ空間のｚ＝0 の面の単位面積を通って単位時間にｚ＞0 の側からｚ＜0 の側に移動する分子数をＩ₊とすると,Ｉ₊＝ｎ{ｍ/(2πｋ_BＴ)}^3/2∫_-∞^∞ｄｖ_x∫_-∞^∞ｄｖ_y∫₀^∞ｄｖ_zｖ_zexp{－ｍｖ²/(2ｋ_BＴ)}＝(ｎ/4){8ｋ_BＴ/(πｍ)}^1/2と計算されます。

ところが,先述したように＜|ｖ|＞_AV＝{8ｋ_BＴ/(πｍ)}^1/2です。また,対称性からｚ＝0 の単位面積を通ってｚ＜0 の側からｚ＞0 の側に移動する単位時間当たりの分子数をＩ_-にとすると,これはＩ₊は等しいのでＩ₊＝Ｉ_-＝(ｎ/4)＜|ｖ|＞_AVと書けます。

そして,巨視的な粘性率を微視的な分子から統計的平均量として見積もるために,ｚ＝0 の面を通して下方から上方へと輸送されるｘ方向の運動量を評価してみます。

これは,ｚ＝0 の面から平均自由行程程度の下方の運動量が上方に運ばれ,これから下方に運ばれる平均自由行程程度の上方の運動量を引いた差で与えられると考えられます。

その平均自由行程程度のｚ座標を±αλ(0＜α＜1)とします。

まず,ｚ＝－αλから入ってくる運動量のｘ成分はｘ方向の速度成分をｚだけの関数としてｕ(ｚ)と表わせばＩ₊ｍｕ(－αλ)＝(ｍｎ/4)＜|ｖ|＞_AV{ｕ(0)－αλ(∂ｕ/∂ｚ)}と見積もられます。

同様にｚ＝0 の面を通って上方から下方へと輸送されるｘ方向の運動量はＩ_-ｍｕ(αλ)＝(ｍｎ/4)＜|ｖ|＞_AV{ｕ(0)＋αλ(∂ｕ/∂ｚ)}と見積もられます。

結局,ｚ＝0 の面を通って下方から上方へと輸送される正味の運動量のｘ成分は,Ｉ₊ｍｕ(－αλ)－Ｉ_-ｍｕ(αλ)＝－(αλρ/2)＜|ｖ|＞_AV(∂ｕ/∂ｚ)となります。ただし,ρ≡ｍｎは媒質の気体の密度です。

得られた単位時間当たりの輸送量－(αλρ/2)＜|ｖ|＞_AV(∂ｕ/∂ｚ)が,流体力学における現象論的粘性応力:－η(∂ｕ/∂ｚ)に一致すると考えられるので,粘性率ηに対してη＝(αλｍｎ/2){8ｋ_BＴ/(πｍ)}^1/2なる評価式が得られました。

　これにλ＝1/(πｄ²ｎ)を代入するとη＝(α/ｄ²)(2πｍｋ_BＴ)^1/2となります。それ故,Ｄ＝ｋ_BＴ/(6πηａ)＝{ｋ_BＴｄ²/(6πａα)}(2πｍｋ_BＴ)^-1/2＝(2π)^-3/2(ｋ_BＴｄ⁴/ｍ)^1/2/(3ａα)が得られます。

この式によれば,αがわかれば半径ａが既知のブラウン粒子の空気中での分子拡散係数Ｄを測定すれば,空気分子の平均直径ｄを計算により評価できることがわかります。

実験等から得られる空気分子の径の評価値は0.4～0.8μｍで可視光線の波長と同程度だそうです。

今日はここで終わります。

次回は電離層などプラズマの影響,大気層における空気分子や雲(水滴)によるレイリー散乱,ミイ散乱なども考慮して,地球面頂上でのフレネル反射や吸収の寄与による"太陽輻射(太陽定数)の減衰＝アルベド(albed)"の定量的評価を論じることを予定しています。

参考文献:中村 伝 著「統計力学」(岩波書店),北原和夫 著「非平衡統計力学」(岩波書店),クドリャフツェフ 著(豊田博慈 訳)「熱と分子の物理学」(東京図書)

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定量的地震学４

　地震学の続きです。

さて,前回の最後では表示定理の形式として次の３つの異なる表現を得ました。

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)－ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ_kn(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξ ・・(1)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^rig_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ^rig_kn(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξ ・・(2)

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)}ｄＳ_ξ ・・(3)

これらを総見すると,変位ｕ(ｘ,ｔ)はＳ上の変位に依存するのか,応力に依存するのか,それとも両方に依存するのか,ということに関して矛盾を示しているように見えます。

しかし,弾性媒質上では応力と変位は独立には決まらないので矛盾はありません。

表示定理において,その上で応力,または変位の陽な値が要求される表面Ｓとしては,通常Ｖの外側の面を意味します。

この表面Ｓを埋没した断層の相対する面であるような２つの隣り合う内部面として考慮するという課題は,地震源の理論にとって中心的な問題ですが,これは後の章で扱う予定です。

さて,これまではデカルト座標のみを考えてきましたが実際の地震学では個々の問題にとって変位,応力,歪みの成分間の物理的関係が単純に見える一般曲線座標を適用した方が適切なことが多いとわかります。

そこで,弾性理論において必要な通常のベクトルや微分作用素∇(grad,div,rot),∇²等について一般の直交曲線座標における形や性質を求めてみます。

まず,位置ベクトルｘのデカルト座標(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)が別のパラメータ(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)で指定されるとします。すなわち,(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)の各成分が(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)のスカラー関数ｘ_i＝ｘ_i(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)(ｉ＝1,2,3)で与えられるとします。

そして,これらの関数ｘ_iは全て連続な導関数を持ち,常に逆関数ｃ^p＝ｃ^p(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃) or ｃ^p＝ｃ^p(ｘ)(ｐ＝1,2,3)が存在するとします。

そこで,方程式ｃ^p(ｘ)＝(一定)は各ｐについて座標面を作ります。３つの座標面ｃ^p(ｘ)＝(一定)は,それに沿ってｃ¹,ｃ²,ｃ³のうちの１つｃ^pのみが変わるような線素(軸)と交わっています。

ｎ^pをそうしたｃ^p(ｘ)＝(一定)の座標面に垂直な単位法線ベクトルとします。位置ベクトルｘとｘ＋ｄｘが共にｃ^p(ｘ)＝(一定)の同じ座標面にあるとすれば,ｃ^p(ｘ＋ｄｘ)＝ｃ^p(ｘ)です。

そこで,ｄｘ∇ｃ^p＝0 ですがｄｘは面上の任意の線素ですから∇ｃ^pはこの面に垂直なベクトルです。それ故∇ｃ^pはｎ^pに平行です。

そこで1/ｈ^p≡|∇ｃ^p|とおけば,ｎ^p＝ｈ^p∇ｃ^pです。さらに,(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)が(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃)と同じく右手系であるとすれば,ｎ^pｎ^q＝δ^pqかつｎ³＝ｎ¹×ｎ²です。

そして,ｘ^_iをデカルト座標の第ｉ軸単位ベクトルとするとｘ＝ｘ_iｘ^_iよりｘ^_i＝∂ｘ/∂ｘ_iです。

そして,ｎ^p_iをｎ^pの第ｉデカルト成分とすればｎ^p＝ｈ^p∇ｃ^pからｎ^p_i＝ｈ^p(∂ｃ^p/∂ｘ_i)です。

それ故,ｎ^p＝ｎ^p_iｘ^_i＝ｎ^p_i(∂ｘ/∂ｘ_i)＝Σ_qｎ^p_i(∂ｘ/∂ｃ^q)(∂ｃ^q/∂ｘ_i)＝Σ_q(ｎ^p_iｎ^q_i/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q)＝Σ_q(δ^pq/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q),すなわち,ｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p),または∂ｘ/∂ｃ^p＝ｈ^pｎ^pという表現式を得ます。

位置ベクトルの微小変化ｄｘはｃ¹,ｃ²,ｃ³の微小変化とはｄｘ＝Σ_p(∂ｘ/∂ｃ^p)ｄｃ^pによって関連付けられるのでｄｓ²≡ｄｘｄｘ＝Σ_p,q(∂ｘ/∂ｃ^p)(∂ｘ/∂ｃ^q)ｄｃ^pｄｃ^q＝Σ_p,qｈ^pｈ^qｎ^pｎ^qｄｃ^pｄｃ^q＝Σ_p(ｈ^pｄｃ^p)²です。

結局,ｄｓ²＝ｄｘ₁²＋ｄｘ₂²＋ｄｘ₃²＝(ｈ¹ｄｃ¹)²＋(ｈ²ｄｃ²)²＋(ｈ³ｄｃ³)²を得ます。すなわち,ｎ¹に沿う増分ｄｃ¹に対するユークリッド距離はｈ¹ｄｃ¹,同様なことはｎ^２,ｎ³に沿う増分ｄｃ^２,ｄｃ³についてもいえます。

後に必要になる∂ｎ^p/∂ｃ^qの形の導関数を法線ｎ^pを微分しない式を求めておきます。

ｎ^pｎ^q＝δ^pq,およびｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p)から,ｎ^p(∂ｎ^q/∂ｃ^r)＋ｎ^q(∂ｎ^p/∂ｃ^r)＝0(18個の方程式),∂(ｈ^pｎ^p)/∂ｃ^q＝∂(ｈ^qｎ^q)/∂ｃ^p(３個の方程式)が得られます。これらは∂ｎ^p/∂ｃ^qの27個の未知成分に対して丁度27個の異なる方程式になっていますから解を決定するのに十分です。

実際,(∂ｘ/∂ｃ^p)(∂ｘ/∂ｃ^q)＝(ｈ^pｎ^p)(ｈ^qｎ^q)＝ｈ^pｈ^qδ^pqより,0＝(∂/∂ｃ¹)(∂ｘ/∂ｃ²)(∂ｘ/∂ｃ³)＋(∂/∂ｃ²)(∂ｘ/∂ｃ³)(∂ｘ/∂ｃ¹)－(∂/∂ｃ³)(∂ｘ/∂ｃ¹)(∂ｘ/∂ｃ²)＝2(∂²ｘ/∂ｃ¹∂ｃ²)(∂ｘ/∂ｃ³)ですから,∂ｘ/∂ｃ^p＝ｈ^pｎ^pによって{∂(ｈ²ｎ²)/∂ｃ¹}ｎ³＝{∂(ｈ¹ｎ¹)/∂ｃ²}ｎ³＝0です。

そこで,∂(ｈ²ｎ²)/∂ｃ¹＝∂(ｈ¹ｎ¹)/∂ｃ²はｎ³と直交しますから,ｎ¹とｎ²の１次結合で表現できます。しかし,∂(ｈ²ｎ²)/∂ｃ¹＝ｈ²(∂ｎ²/∂ｃ¹)＋(∂ｈ²/∂ｃ¹)ｎ²,かつ∂(ｈ¹ｎ¹)/∂ｃ²＝ｈ¹(∂ｎ¹/∂ｃ²)＋(∂ｈ¹/∂ｃ²)ｎ¹より,結局∂ｎ²/∂ｃ¹,∂ｎ¹/∂ｃ²自身がｎ¹とｎ²の１次結合です。

ｎ^p(∂ｎ^q/∂ｃ^r)＋ｎ^q(∂ｎ^p/∂ｃ^r)＝0から,明らかにｎ²(∂ｎ²/∂ｃ¹)＝ｎ¹(∂ｎ¹/∂ｃ²)＝0により∂ｎ²/∂ｃ¹＝Ａ₂₁ｎ¹,∂ｎ¹/∂ｃ²＝Ａ₁₂ｎ²と書けます。

結局,ｈ²Ａ₂₁ｎ¹＋(∂ｈ²/∂ｃ¹)ｎ²＝(∂ｈ¹/∂ｃ²)ｎ¹＋ｈ¹Ａ₁₂ｎ²から∂ｎ²/∂ｃ¹＝(ｎ¹/ｈ²)(∂ｈ¹/∂ｃ²),かつ∂ｎ¹/∂ｃ²＝(ｎ²/ｈ¹)(∂ｈ²/∂ｃ¹)が得られます。

以上から,ｐ≠ｑなら∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)です。

一方,ｎ^p(∂ｎ^q/∂ｃ^r)＋ｎ^q(∂ｎ^p/∂ｃ^r)＝0 からｎ^p(∂ｎ^p/∂ｃ^p)＝0 です。そこで,特に∂ｎ¹/∂ｃ¹はｎ²とｎ³だけの線形和として∂ｎ¹/∂ｃ¹＝Ｂ₁₂ｎ²＋Ｂ₁₃ｎ³と書けます。

そして,ｎ²(∂ｎ¹/∂ｃ¹)＋ｎ¹(∂ｎ²/∂ｃ¹)＝0 よりＢ₁₂＝－(1/ｈ²)(∂ｈ¹/∂ｃ²)です。同様にＢ₁₃＝－(1/ｈ³)(∂ｈ¹/∂ｃ³)なので∂ｎ¹/∂ｃ¹＝－(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ¹/∂ｃ²)－(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ¹/∂ｃ³)です。

以上から,∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)－δ^pq[(ｎ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]なる一般公式が得られました。

この公式に従って通常のデカルト座標での歪み成分ｅ_ij≡(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)を一般化した歪み成分ｅ^pqと変位成分ｕ^rの関係を求めます。

ここで,ｅ^pqは準拠点で一般直交曲線座標で指定された右手系の方向単位ベクトルｎ¹,ｎ²,ｎ³に取られた局所的な回転デカルト軸で参照される単なるデカルト２階テンソルｅの成分です。

歪みの次元さえ持たない一般のテンソル成分ｅ^pqよりも歪みの物理的成分ｅ_ijを強調したいので当面の問題は,成分ｅ^pqを各点ごとにｎ¹,ｎ²,ｎ³で決められている変位の物理成分による微分係数によって表現することです。

そして,通常の固定でカルト座標とは異なり,点ごとに一定ではない目盛り関数ｈ¹,ｈ²,ｈ³と同じく点ごとに一定でない方向ｎ¹,ｎ²,ｎ³の空間変化のために困難が生じます。

ｎ^pに沿うデカルト軸ｘ^₁,ｘ^₂,ｘ^₃　(ただしｘ^_i＝∂ｘ/∂ｘ_i)に対する方向余弦を(ｎ^p₁,ｎ^p₂,ｎ^p₃)とします。つまり,ｎ^p＝ｎ^p_iｘ^_i,または(ｎ^p,ｘ^_i)＝ｎ^p_iです。

そこで,変位ベクトルｕの成分をｕ＝ｕ_iｘ^_i＝Σ_pｕ^pｎ^pと書けばｕ_i＝Σ_pｕ^pｎ^p_iですが,ｎ^p_iｎ^q_i＝δ^pqなのでｕ^p＝ｎ^p_iｕ_iでもあります。

それ故,ベクトルの直積と同じ変換性を有する２階テンソルｅの成分間の関係はｅ_ij＝Σ_p,qｅ^pqｎ^p_iｎ^q_j,またはｅ^pq＝ｎ^p_iｎ^q_jｅ_ijです。

ところで,すぐ前では同じくｎ^p_iをｎ^pの第ｉデカルト成分とするとｎ^p＝Σ_pｈ^p∇ｃ^pよりｎ^p_i＝ｈ^p(∂ｃ^p/∂ｘ_i)であり,そこでｎ^p＝ｎ^p_iｘ^_i＝ｎ^p_i(∂ｘ/∂ｘ_i)＝Σ_qｎ^p_i(∂ｘ/∂ｃ^q)(∂ｃ^q/∂ｘ_i)＝Σ_q(ｎ^p_iｎ^q_i/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q)＝Σ_q(δ^pq/ｈ^q)(∂ｘ/∂ｃ^q),すなわちｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p) なる表現式を得ました。

したがって,ｅ^pq＝ｎ^p_iｎ^q_jｅ_ij＝{1/(2ｈ^pｈ^q)}(∂ｘ/∂ｃ^p)(∂ｘ/∂ｃ^q)(∂ｕ_i/∂ｘ_j＋∂ｕ_j/∂ｘ_i)＝{1/(2ｈ^pｈ^q)}{(∂ｘ_i/∂ｃ^p)(∂ｕ_i/∂ｃ^q)＋(∂ｘ_i/∂ｃ^q)(∂ｕ_i/∂ｃ^p)}です。

それ故,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}[(∂/∂ｃ^q){(ｕ_i/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p)}－ｕ_i(∂/∂ｃ^q){(1/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p)}]＋{1/(2ｈ^p)}[(∂/∂ｃ^p){(ｕ_i/ｈ^q)(∂ｘ_i/∂ｃ^q)}－ｕ_i(∂/∂ｃ^p){(1/ｈ^q)(∂ｘ_i/∂ｃ^q)}]です。

ここで,ｎ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｘ/∂ｃ^p)またはｎ^p_i＝(1/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p),そしてｕ^p＝ｎ^p_iｕ_i＝(ｕ_i/ｈ^p)(∂ｘ_i/∂ｃ^p)を代入すると,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}(∂ｕ^p/∂ｃ^q)＋{1/(2ｈ^p)}(∂ｕ^q/∂ｃ^p)－(ｕ_i/2){(1/ｈ^p)(∂ｎ^p_i/∂ｃ^q)＋(1/ｈ^q)(∂ｎ^q_i/∂ｃ^p)}です。

結局,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}(∂ｕ^p/∂ｃ^q)＋{1/(2ｈ^p)}(∂ｕ^q/∂ｃ^p)－(ｕ/2){(1/ｈ^p)(∂ｎ^p/∂ｃ^q)＋(1/ｈ^q)(∂ｎ^q/∂ｃ^p)}なる式が得られました。

これの右辺に先に得た公式:∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)－δ^pq[(ｎ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]を代入します。

ｕｎ^p＝ｎ^p_iｕ_i＝ｕ^pなので(1/ｈ^q)(∂ｕ^p/∂ｃ^q)－(ｕｎ^p/ｈ^pｈ^q)(∂ｈ^p/∂ｃ^q)＝(1/ｈ^q)(∂ｕ^p/∂ｃ^q)－(ｕ^p/ｈ^pｈ^q)(∂ｈ^p/∂ｃ^q)＝(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}です。

それ故,ｅ^pq＝{1/(2ｈ^q)}(∂ｕ^p/∂ｃ^q)＋{1/(2ｈ^p)}(∂ｕ^q/∂ｃ^p)－(ｕ/2){(1/ｈ^p)(∂ｎ^p/∂ｃ^q)＋(1/ｈ^q)(∂ｎ^q/∂ｃ^p)}＝(1/2)[(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}＋(ｈ^q/ｈ^p){∂(ｕ^q/ｈ^q)/∂ｃ^q}]＋(δ^pq/ｈ^q)[(ｕ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｕ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｕ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]です。

こうして最終的にはデカルト座標の添字は全て削除されました。再記するとｅ^pq＝(1/2)[(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}＋(ｈ^q/ｈ^p){∂(ｕ^q/ｈ^q)/∂ｃ^q}]＋(δ^pq/ｈ^q)[(ｕ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｕ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｕ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]です。

ｑ≠ｐのｅ^pqの非対角要素の場合なら右辺第２項がゼロですから,第１項が成分ｅ^pqに一致します。つまり,ｑ≠ｐならｅ^pq＝(1/2)[(ｈ^p/ｈ^q){∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^q}＋(ｈ^q/ｈ^p){∂(ｕ^q/ｈ^q)/∂ｃ^q}]です。

一方,ｑ＝ｐの対角要素の場合には,(第１項)＝∂(ｕ^p/ｈ^p)/∂ｃ^p＝(1/ｈ^p)(∂ｕ^p/∂ｃ^q)－(ｕ^p/ｈ^2p)(∂ｈ^p/∂ｃ^p)ですから,(第２項)＝(1/ｈ^p)[(ｕ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｕ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｕ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]の３項のうち(ｕ^p/ｈ^2p)(∂ｈ^p/∂ｃ^p)に一致する１つの項が(第１項)の－(ｕ^p/ｈ^2p)(∂ｈ^p/∂ｃ^p)と相殺して消えます。

そこで,対角要素はｅ¹¹＝(1/ｈ¹)(∂ｕ¹/∂ｃ¹)＋{ｕ²/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)＋{ｕ³/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ¹/∂ｃ³),ｅ²²＝(1/ｈ²)(∂ｕ²/∂ｃ²)＋{ｕ³/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ²/∂ｃ³)＋{ｕ¹/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ²/∂ｃ¹),ｅ³³＝(1/ｈ³)(∂ｕ³/∂ｃ³) ＋{ｕ¹/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ³/∂ｃ¹)＋{ｕ²/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ³/∂ｃ²)となります。

次にｕとτの一般直交曲線座標成分における応力-変位関係を得るために,前に「定量的地震学１」で固定デカルト座標で運動方程式ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jを導出した際の手順を繰り返します。

すなわち,表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体に対するラグランジュ的記述でのニュートンの運動方程式(∂/∂ｔ)[∫_V{ρ(∂ｕ/∂ｔ)}ｄＶ]＝∫_VｆｄＶ＋∫_SＴ(ｎ)ｄＳの右辺の項∫_SＴ(ｎ)ｄＳに着目します。

Ｔ(ｎ)ｄＳにおけるｄＳの外向き法線ベクトルの記号ｎは今の一般直交座標の方向単位ベクトルｎ¹,ｎ²,ｎ³にと混同されると困るので記号νに変更してＴ(ν)ｄＳとします。

ν＝ν_jｘ^_j＝Σ_pν^pｎ^pであり,ｅ_ij＝Σ_p,qｅ^pqｎ^p_iｎ^q_jと同様τ_ij＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iｎ^q_jですから,Ｔ(ν)ｄＳのｘ^_ｉ軸成分はＴ_i(ν)ｄＳ＝τ_ijν_jｄＳ＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iｎ^q_jν_jｄＳ＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iν^qｄＳです。

ここに,νはｄＳの外向き単位法線ベクトルなのでν^qはｎ^qに沿って分解されたｄＳの法線の成分です。そこでν^qｄＳはｃ^q(ｘ)＝(一定)の座標面へのｄＳの射影です。

それ故,ν¹ｄＳ＝ｈ²ｈ³ｄｃ²ｄｃ³,ν²ｄＳ＝ｈ³ｈ¹ｄｃ³ｄｃ¹,ν³ｄＳ＝ｈ¹ｈ²ｄｃ¹ｄｃ²なる表現を得ます。

したがって,ガウスの定理から∫_SＴ_i(ν)ｄＳ＝Σ_p∫_S[τ^p1ｎ^p_iｈ²ｈ³ｄｃ²ｄｃ³＋τ^p2ｎ^p_iｈ³ｈ¹ｄｃ³ｄｃ¹＋τ^p3ｎ^p_iｈ¹ｈ²ｄｃ¹ｄｃ²]＝Σ_p∫_V[(∂/∂ｃ¹)(τ^p1ｎ^p_iｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ^p2ｎ^p_iｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ^p3ｎ^p_iｈ¹ｈ²)]ｄｃ¹ｄｃ²ｄｃ³です。

ここで以前「定量的地震学１」において,∫_SＴ_j(ν)ｄＳ＝∫_Sτ_jiν_jｄＳ＝∫_V(∂τ_ji/∂ｘ_j)ｄＶと∫_V{ρ(∂²ｕ/∂ｔ²)}ｄＶ＝∫_VｆｄＶ＋∫_SＴ(ν)ｄＳから微分型の運動方程式ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋∂τ_ji/∂ｘ_jを得たことを思い起こします。

今は物理的体積要素は一般座標でｄＶ＝ｈ¹ｈ²ｈ³ｄｃ¹ｄｃ²ｄｃ³ですから,ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_p,q[(∂/∂ｃ^q)(τ^pqｎ^p_iｈ¹ｈ²ｈ³/ｈ^q)]なる方程式を得ます。

これは,ベクトル表記ではρ(∂²ｕ/∂ｔ²)＝ｆ＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_p,q[(∂/∂ｃ^q)(τ^pqｎ^qｈ¹ｈ²ｈ³/ｈ^q)]です。

これは,両辺にｎ^pを掛けてデカルト座標添字を一般座標添字に変換した表示ではρ(∂²ｕ^p/∂ｔ²)＝ｆ^p＋{ｎ^p/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_r,q[(∂/∂ｃ^q)(τ^rqｎ^rｈ¹ｈ²ｈ³/ｈ^q)]です。

特に,ρ(∂²ｕ¹/∂ｔ²)＝ｆ¹＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}Σ_r[(∂/∂ｃ¹)(τ¹¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ¹²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ¹³ｈ¹ｈ²)]＋Σ_r[(τ^r1/ｈ¹){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ¹)}＋(τ^r2/ｈ²){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ²)}＋(τ^r3/ｈ³){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ³)}]です。

これに,再び公式∂ｎ^p/∂ｃ^q＝(ｎ^q/ｈ^p)(∂ｈ^q/∂ｃ^p)－δ^pq[(ｎ¹/ｈ¹)(∂ｈ^p/∂ｃ¹)＋(ｎ²/ｈ²)(∂ｈ^p/∂ｃ²)＋(ｎ³/ｈ³)(∂ｈ^p/∂ｃ³)]を代入します。

特に,ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ^q)＝(δ^q1/ｈ^r)(∂ｈ^q/∂ｃ^r)－(δ^rq/ｈ¹)(∂ｈ^r/∂ｃ¹)ですからΣ_r[(τ^r1/ｈ¹){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ¹)}＋(τ^r2/ｈ²){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ²)}＋(τ^r3/ｈ³){ｎ¹(∂ｎ^r/∂ｃ³)}]＝{τ²¹/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)＋{τ³¹/(ｈ¹ｈ³)}(∂ｈ¹/∂ｃ³)－{τ²²/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ²/∂ｃ¹)－{τ³³/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ³/∂ｃ¹)です。

そこで,運動方程式のｎ¹方向成分はρ(∂²ｕ¹/∂ｔ²)＝ｆ¹＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}[(∂/∂ｃ¹)(τ¹¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ¹²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ¹³ｈ¹ｈ²)]－{τ¹²/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)－{τ¹³/(ｈ¹ｈ³)}(∂ｈ¹/∂ｃ³)－{τ²²/(ｈ²ｈ¹)}(∂ｈ²/∂ｃ¹)－{τ³³/(ｈ³ｈ¹)}(∂ｈ³/∂ｃ¹)となります。

同様にしてρ(∂²ｕ²/∂ｔ²)＝ｆ²＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}[(∂/∂ｃ¹)(τ²¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ²²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ²³ｈ¹ｈ²)]－{τ²¹/(ｈ²ｈ¹)(∂ｈ²/∂ｃ¹)－{τ²³/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ²/∂ｃ³)－{τ¹¹/(ｈ¹ｈ²)}(∂ｈ¹/∂ｃ²)－(τ³³/ｈ³ｈ²)(∂ｈ³/∂ｃ²)となります。

ρ(∂²ｕ³/∂ｔ²)＝ｆ³＋{1/(ｈ¹ｈ²ｈ³)}[(∂/∂ｃ¹)(τ³¹ｈ²ｈ³)＋(∂/∂ｃ²)(τ³²ｈ³ｈ¹)＋(∂/∂ｃ³)(τ³³ｈ¹ｈ²)]－{τ³¹/(ｈ³ｈ¹)(∂ｈ³/∂ｃ¹)－{τ³²/(ｈ³ｈ²)}(∂ｈ³/∂ｃ²)－{τ¹¹/(ｈ¹ｈ³)}(∂ｈ¹/∂ｃ³)－{τ²²/(ｈ²ｈ³)}(∂ｈ²/∂ｃ³)となります。

さて,固定デカルト座標では応力-歪み関係はτ_ij＝Ｃ_ijklｅ_klですが「定量的地震学２」で述べたように,等方性媒体中では係数の一般形がＣ_ijkl＝λδ_ijδ_kl＋μ(δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk)なのでτ_ij＝λδ_ijｅ_kk＋2μｅ_ijです。

ラメ(Lame)の係数λ,μは一般には位置の関数です。そしてｅ_kk＝ｅ₁₁＋ｅ₂₂＋ｅ₃₃＝divｕでこれは体積歪みに相当します。

τ_ij＝Ｃ_ijklｅ_klは応力-歪み関係の線形性を示しているので一般座標系でも同じ形の関係τ^pq＝Σ_r,sＣ^pqrsｅ^rsになるはずです。

上述したように応力テンソルと歪みテンソルの変換性はτ_ij＝Σ_p,qτ^pqｎ^p_iｎ^q_j,かつｅ_ij＝Σ_p,qｅ^pqｎ^p_iｎ^q_jです。

故にτ_ij＝Ｃ_ijklｅ_klはΣ_p,qΣ_r,sＣ^pqrsｅ^rsｎ^p_iｎ^q_j＝Ｃ_ijklΣ_r,sｅ^rsｎ^r_kｎ^s_lとなりますから両辺にｎ^t_iｎ^u_jを掛けて縮約するとΣ_r,sＣ^tursｅ^rs＝Ｃ_ijklｎ^t_iｎ^u_jｎ^r_kｎ^s_lｅ^rsです。

それ故,結局Ｃ^pqrs＝Ｃ_ijklｎ^p_iｎ^q_jｎ^r_kｎ^s_lを得ます。

そこで,等方性媒質Ｃ_ijkl＝λδ_ijδ_kl＋μ(δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk)では,Ｃ^pqrs＝λδ^pqδ^rs＋μ(δ^prδ^qs＋δ^psδ^qr)ですからτ^pq＝λδ^pqΣ_rｅ^rr＋2μｅ^pqが得られます。

特に直交曲線座標が空間極座標(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)＝(ｒ,θ,φ)のときにはｈ¹,ｈ²,ｈ³はそれぞれ１,ｒ,ｒsinθです。このときには,ｅ¹²をｅ_rθ,ｕ³をｕ_φetc.と記述します。

また,円筒座標(ｃ¹,ｃ²,ｃ³)＝(ｒ,φ,ｚ)のときにはｈ¹,ｈ²,ｈ³はそれぞれ１,ｒ,1です

今日はこれで終わります。

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

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定量的地震学３

　地震学の続きです。

　今日は,地震学において典型的に生じる変位の形を表示する方法について考察します。

　先の記事では,一意性定理によって初期変位と運動を生ぜしめる要因である実体力,応力を与えれば弾性体における変位はユニークに決まることを見ました。

　しかし,通常の地震の断層による震源は有限体積と有限時間に広がっていて,様々な方向と大きさを持った運動を含むという意味でかなり複雑なものです。

　そこで,現実的な地震をモデル化した震源による変位が最も単純な震源から生じる変位から総合して扱えるような１つの簿記的道具を与えることを考えます。

　ここで,最も単純な震源というのは空間と時間の両方において正確に指定された単一方向の単位衝撃(力積:inpulse)です。こうした単純な震源による変位場は弾性力学のグリーン関数(Green's function)と呼ばれるものです。

　空間位置ｘ＝ξとｔ＝τにおいて単位衝撃がｎ方向に加えられたときの一般座標(ｘ,ｔ)における変位ｕのｉ成分ｕ_iをＧ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)と表わすことにします。

以前の記事「定量的地震学１」では運動方程式がρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jで与えられることを見ました。

右辺のｆ_iは正確にはある時刻ｔにｘにおいて作用する体積力(実体力)ｆ(ｘ,ｔ)の第ｉ成分です。そして,その記事では衝撃Ａと力ｆの関係について次のように書きました。

すなわち,"弾性体を構成する位置ｘ＝ξにおける１つの個別粒子に対し時刻ｔ＝τにｎ方向に瞬時的に加えられる１つの体積力ｆ(ｘ,ｔ)があれば,その成分ｆ_i(ｘ,ｔ)は空間位置を与えるのに３次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,衝撃の時刻を与えるのに１次元のデルタ関数に比例してｆ_i(ｘ,ｔ)＝Ａδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inと表現されます。

Ａは衝撃の強さを与える定数です。ｆ_i,δ³(ｘ－ξ),δ(ｔ－τ)の次元はそれぞれ,[力/体積]＝ＭＬＴ^-2/Ｌ³,1/Ｌ³,1/Ｔであることに着目するとδ_inは無次元なので,衝撃の強さＡは正しく,衝撃＝力積の物理的次元を有することがわかります。"と書きました。

運動方程式ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_jにおいて,ｕ_i＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ),ｆ_i(ｘ,ｔ)＝δ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inを代入し,さらに応力テンソルτ_ijとしてフックの法則による表現:τ_ij＝Ｃ_ijklｅ_kl;ｅ_ij≡(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)＝(1/2)(Ｇ_in,_j＋Ｇ_jn,_i)を代入します。

すると,グリーン関数ｕ_i＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)を定めるための方程式として,ρ(∂²Ｇ_in/∂ｔ²)＝δ_inδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)＋(∂/∂ｘ_j){Ｃ_ijkl(∂Ｇ_kn /∂ｘ_l)}を得ます。

ただし,ｔ≦τ,かつｘ≠ξではＧ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ),∂Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)/∂ｔが全てゼロという初期条件を与えます。

グリーン関数Ｇをユニークに決定するには,さらに境界面Ｓ上の境界条件を指定することが必要です。これには個々の環境に応じて種々の異なる境界条件を使用することで対応します。

Ｓが剛体表面で境界条件が時間に依存しないなら時間の原点はどのようにでもシフトできます。それ故,Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)ですからグリーン関数Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)は時間変数ｔとτについてはｔ－τという組み合わせのみに依存することがわかります。

したがって,Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,τ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)＝Ｇ_in(ｘ,－τ;ξ,－ｔ)です。この性質は震源と受信点に関する相反定理と呼ばれるものです。

一方,ベッチ(Betti)の定理の積分形∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[ｕ(ｘ,ｔ)ｇ(ｘ,τ－ｔ)－ｖ(τ－ｔ)ｆ(ｘ,ｔ)]ｄＶ＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S{ｖ(ｘ,τ－ｔ)Ｔ(ｕ(ｘ,ｔ),ｎ)－ｕ(ｘ,ｔ)Ｔ(ｖ(ｘ,τ－ｔ),ｎ)}ｄＳにおいて,ｆ_i(ｘ,ｔ)＝δ_imδ³(ｘ－ξ₁)δ(ｔ－τ₁),ｇ_i(ｘ,ｔ)＝δ_inδ³(ｘ－ξ₂)δ(ｔ＋τ₂),ｕ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁),ｖ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ₂,－τ₂)を代入します。

すると,左辺＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[Ｇ_im(ｘ.ｔ;ξ₁,τ₁)δ_inδ³(ｘ－ξ₂)δ(τ－ｔ＋τ₂)－Ｇ_in(ｘ,τ－ｔ;ξ₂,－τ₂)δ_imδ³(ｘ－ξ₁)δ(ｔ－τ₁)]ｄＶ＝Ｇ_nm(ξ₂,τ＋τ₂;ξ₁,τ₁)－Ｇ_mn(ξ₁,τ－τ₁;ξ₂,－τ₂)です。

そして,右辺＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S[Ｇ_in(ｘ.τ－ｔ;ξ₂,－τ₂)Ｃ_ijklｎ_j{∂Ｇ_km(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁)/∂ｘ_l}－Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁)Ｃ_ijklｎ_j{∂Ｇ_kn(ｘ,τ－ｔ;ξ₂,－τ₂)/∂ｘ_l}]ｄＳです。

ところがｕ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_im(ｘ,ｔ;ξ₁,τ₁),ｖ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ₂,－τ₂)がＳ上で斉次境界条件ｕ_i＋γ_jｕ_i,_j＝0,ｖ_i＋γ_jｖ_i,_j＝0 を満足するなら,Ｓの上ではｖ_i(τ－ｔ)Ｃ_ijklｎ_jｕ_k,_l(ｔ)－ｕ_i(ｔ)Ｃ_ijklｎ_jｖ_k,_l(τ－ｔ)＝Ｃ_ijklｎ_j{－γ_pｖ_i,_p(τ－ｔ)ｕ_k,_l(ｔ)＋γ_pｕ_i,_p(ｔ)ｖ_k,_l(τ－ｔ)}＝0 なので,結局,右辺はゼロとなります。

そこで,ＧがＳ上で斉次境界条件を満たす場合には震源と受信点に対しＧ_nm(ξ₂,τ＋τ₂;ξ₁,τ₁)＝Ｇ_mn(ξ₁,τ－τ₁;ξ₂,－τ₂)なる等式で示される重要な相反定理が得られました。

特にτ₁＝τ₂＝0 と選べばＧ_nm(ξ₂,τ₂;ξ₁,0)＝Ｇ_mn(ξ₁,τ;ξ₂,0)を得ますが,これは純粋な空間相反性です。一方,τ＝0とすればＧ_nm(ξ₂,τ₂;ξ₁,τ₁)＝Ｇ_mn(ξ₁,－τ₁;ξ₂,－τ₂)ですが,これは空間・時間相反性を示しています。

弾性力学のグリーン関数を具体的に求めることは,それ自身複雑な問題ですが,この課題については,最も単純な均質で等方的な弾性固体媒質の場合と,震源と受信点の間が不均質で大きく離れている場合について後に扱う予定です。

さし当たってグリーン関数が既知としての議論に集中します。

再びベッチの定理の積分形∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[ｕ(ｘ,ｔ)ｇ(ｘ,τ－ｔ)－ｖ(τ－ｔ)ｆ(ｘ,ｔ)]ｄＶ＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S{ｖ(ｘ,τ－ｔ)Ｔ(ｕ(ｘ,ｔ),ｎ)－ｕ(ｘ,ｔ)Ｔ(ｖ(ｘ,τ－ｔ),ｎ)}ｄＳに,ｇ_i(ｘ,ｔ)＝δ_inδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ),ｖ_i(ｘ,ｔ)＝Ｇ_in(ｘ,ｔ;ξ,0)を代入します。

こうすれば,Ｖにおける実体力ｆとＳにおける変位が既知のときの変位場ｕを得ることができます。

すなわち,ｕ_n(ξ,τ)＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_V[ｆ_i(ｘ,ｔ)Ｇ_in(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)]ｄＶ＋∫_-∞^∞ｄｔ∫_S{Ｇ_in(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)Ｔ_i(ｕ(ｘ,ｔ),ｎ)－ｕ_i(ｘ,ｔ)Ｃ_ijklｎ_jＧ_kn,l(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)}ｄＳです。

この式の物理的解釈を行なう前に,記号ｘとξ,およびｔとτを交換した方がいいと思われるのでそうします。

ｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)－ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_jＧ_kn,l(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄＳ_ξですね。

最後の被積分関数の項の因子Ｇ_kn,l(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)はξ_lによる微分∂Ｇ_kn,l(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_lを意味することになります。

このように,弾性体における変位を初期変位,および運動を生ぜしめる要因である実体力,応力によって一意的に表わす方法,あるいは表示式を表示の定理と呼びます。

上に得られた最初の表示定理は,ある明確な点ｘでの変位ｕがＶ中の到るところでの実態力ｆによる寄与,およびＳ上の応力Ｔ(ｕ,ｎ)とｕ自身による寄与から作り上げられるメカニズムを表現しています。

しかし,これら３つの寄与が重み付けされる方法は一見して不十分なものです。

というのは,各々の寄与を与える項はｘを震源としξを受信点とするグリーン関数Ｇを含んでいますが,むしろ,ｘを"観測点＝受信点"とするグリーン関数を使用した表現が望ましいと考えられるからです。

ξを震源としｘを受信点とするグリ－ン関数による表現であれば,ｘにおける変位は各体積要素ｄＶと面積要素ｄＳによるｘへの変位の寄与の"総和(重ね合わせ)＝積分"と見なせる合理的な解釈ができます。

そこで,Ｇに対する相反定理を使用すればよいと思われますが,これはグリ－ン関数への余分な条件を要求します。

なぜなら,空間相反性:Ｇ_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)＝Ｇ_ni(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)であれば,これはＧが境界Ｓ上で斉次境界条件を満たすときに限って証明された性質です。一方,上の表示定理の方は(ξ,τ)でのｎ方向への単位衝撃による任意のグリーン関数Ｇに対して正しい公式です。

特に,グリーン関数がＳ上で斉次境界条件を満たす２つの異なる場合について考察してみます。

まず,ＧがＳ上で剛体境界条件を満たす場合のグリーン関数であるとします。このときのグリーン関数をＧ^rigと書けば,Ｓが剛体面なのでξ∈ＳならＧ^rig_in(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)＝0です。

こうすれば先の表示公式はｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^rig_iin(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ－∫_-∞^∞ｄτ∫_S[ｕ_i(ξ,τ)Ｃ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ^rig_kn,l(ｘ,τ－ｔ;ξ,0)/∂ξ_l}]ｄＳ_ξとなります。

もう１つの場合はＳが自由境界面の場合でＳ上では応力がない場合です。例えば真空の宇宙空間での星の表面での応力は圧力Ｐのみであってゼロであると近似できます。

この自由境界条件のグリーン関数をＧ^freeと書けば,ξ∈ＳならＣ_ijkl(ξ)ｎ_j{∂Ｇ^free_kn,l(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_l}＝0 です。

このときの表示公式はｕ_n(ｘ,ｔ)＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_i(ξ,τ)Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)]ｄＶ_ξ＋∫_-∞^∞ｄτ∫_S{Ｇ^free_in(ｘ,ｔ－τ;ξ,0)Ｔ_i(ｕ(ξ,τ),ｎ)}ｄＳ_ξとなります。

今日はここで終わります。

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

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定量的地震学２

　地震学の続きです。 

　媒質は応力が除かれたとき,それが戻る自然な状態(歪みも応力もゼロ)を持つなら弾性的であるといわれます。

　与えられた負荷の影響の下では,応力と歪みは共に変化します。それらの間の関係(構成関係)は媒質の重要な特徴です。

　そして,そうした関係が存在することを,以下で熱力学的議論により証明します。

　自然科学は経験科学ですから,実際の関係そのものについては実験的に決定するのが正しい姿勢です。 

Robert Hooke(ロバート・フック)の"弾性物体"の測定は,300年以上も前に応力が歪みに比例するという結論を導きました。

ただし,この事実に関する彼の報告は今日のような応力のテンソルの概念が当時は利用できなかったため,幾分不可解なものでした。

Augstin Cauchyは,19世紀初期に初めて今の応力の近代的考え方の多くを展開しました。今日ではテンソルによってもっと容易に伝達できる多くの結果を彼が理解したのは明らかです。

こうしたテンソル概念は20世紀までは使用されませんでした。

フックの法則の現代的な一般化は,応力テンソルの各成分が歪みテンソルのあらゆる成分の線型結合であるということです。

すなわち,応力テンソルτ_ijと歪みテンソルｅ_ij≡(1/2)(ｕ_i,_j＋ｕ_j,_i)の間に,関係:τ_ij＝Ｃ_ijpqｅ_pqを与える比例係数Ｃ_ijpqが存在します。この構成関係に従う物体を線型弾性的であるといいます。 

量Ｃ_ijpqは４階テンソルの成分で,次の対称性を持っています。

すなわち,τ_ji＝τ_ijによりＣ_jipq＝Ｃ_ijpq,ｅ_qp＝ｅ_pqによりＣ_ijqp＝Ｃ_ijpqです。また,以下に示すように熱力学的論点からＣ_pqij＝Ｃ_ijpqもまた真であることがわかります。

弾性体が表面境界Ｓで囲まれた体積Ｖを占めていると仮定します。

熱力学第１法則によれば物体は内部エネルギーを持ちますが,これは物体の変形と共に変わり,エネルギーのバランスは(受ける力学的仕事率)＋(受ける熱の率)＝[(運動エネルギー＋内部エネルギー)の増加率]で与えられるはずです。

(1)力学的仕事率

ｕ^dot＝ｕ^d≡∂ｕ/∂ｔとおくと,Ｖが受ける力学的仕事率は∫_Vｆｕ^dｄＶ＋∫_SＴｕ^dｄＳです。これはガウスの発散定理を用いると∫_V[ｆ_iｕ_i^d＋(τ_ijｕ_i^d),_j]ｄＶと書けます。

さらに,運動方程式:ρ(∂²ｕ_i/∂ｔ²)＝ｆ_i＋τ_ji,_j,あるいはρｕ_i^2d＝ｆ_i＋τ_ji,_jによってｆ_iｕ_i^d＋(τ_ijｕ_i^d),_j＝ρｕ_i^dｕ_i^2d＋τ_ijｕ_i,_j^d＝(∂/∂ｔ){(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}＋τ_ijｅ_ij^dです。

これを代入すると力学的仕事率の最終形として(∂/∂ｔ)[∫_V{(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}ｄＶ]＋∫_V(τ_ijｅ_ij^d)ｄＶが得られます。

(2)熱の率

ベクトルｈ(ｘ,ｔ)を,時刻ｔにｎを外向き法線とする任意の面素ｄＳに対しｈｎｄＳがｎの向きに通過する熱の率となるような"熱流束＝単位時間に単位面積を通過する熱エネルギー"とします。

また,Ｌ(ｘ,ｔ)を,物体Ｖの有する熱の密度(単位体積当たりの熱量)とします。このとき熱に関するバランス(平衡)から－∫_SｈｎｄＳ＝(∂/∂ｔ)(∫_VＬｄＶ)です。

これはガウスの定理によって,微分形としては"物体が受ける熱の率＝単位時間当たり単位体積当たりの熱エネルギー"がＬ^ｄ＝－∇ｈ＝－ｈ_i,_iで与えられるという形になります。

(3)運動エネルギーの増加率

　運動エネルギーの増加率は明らかに(∂/∂ｔ)[∫_V{(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}ｄＶ]です。

(4)内部エネルギーの増加率

　Ｕ(ｘ,ｔ)を,物体Ｖの有する単位体積当たりの内部エネルギーとします。内部エネルギーの増加率はもちろんＵ^ｄです。

以上,(1)～(4)から(受ける力学的仕事率)＋(受ける熱の率)＝[(運動エネルギー＋内部エネルギー)の増加率]は,(∂/∂ｔ){(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}＋τ_ijｅ_ij^d＋Ｌ^ｄ＝(∂/∂ｔ){(1/2)ρｕ_i^dｕ_i^d}＋Ｕ^ｄとなります。ただし,Ｌ^ｄ＝－∇ｈ＝＝－ｈ_i,_iです。

　それ故,Ｕ^ｄ＝Ｌ^ｄ＋τ_ijｅ_ij^d＝－ｈ_i,_i＋τ_ijｅ_ij^dです。

これをＵ,Ｌ,ｅ_ijを熱力学的平衡状態からの微小摂動として表現するなら,ｄＵ＝ｄＬ＋τ_ijｄｅ_ij＝ＴｄＳ＋τ_ijｄｅ_ijです。ここにＴは絶対温度,Ｓは単位体積当たりのエントロピーです。

この表現式から,形式的にτ_ij＝(∂Ｕ/∂ｅ_ij)_Sを得ます。

一方,Ｆをフレドホルムの自由エネルギー(Ｆ≡Ｕ－ＴＳ)とすれば,ｄＦ＝ＳｄＴ＋τ_ijｄｅ_ijより,同じくτ_ij＝(∂Ｆ/∂ｅ_ij)_Tを得ます。

そこで,もしも,変形過程がいくつかの地殻構造過程のように等温的にゆっくりと生じるならτ_ij＝(∂Ｆ/∂ｅ_ij)_Tです。

しかし,変形過程が断熱的でｈ＝0 かつＬ^ｄ＝0 では定エントロピーとなり,その下ではτ_ij＝(∂Ｕ/∂ｅ_ij)_Sです。

すなわち,断熱過程の場合には内部エネルギーＵの変化は歪みの変化だけで決まります。

これらは,ほとんど全ての波長の地震波に対して地震学では全く通常の状況です。　 

というのも岩石における熱拡散の時間尺度を示す時間定数＝(距離)²/(速さ)は,地震波の周期＝(波長)/(速さ)よりもはるかに長いので,地震過程は断熱過程,あるいは等温過程で近似できるからです。

そこで断熱過程ではＷ≡Ｕ,等温過程ではＷ≡ＦとしてＷを歪み-エネルギー関数と呼べば,それぞれの過程でτ_ij＝∂Ｗ/∂ｅ_ijです。

したがって,これらをフックの法則:τ_ij＝Ｃ_ijpqｅ_pqと組み合わせると,先述した最後の対称性Ｃ_ijpq＝∂τ_ij/∂ｅ_pq＝∂²Ｗ/(∂ｅ_ij∂ｅ_pq)＝∂τpq/∂ｅ_ij＝Ｃ_pqijが得られます。

そして,歪み-エネルギー関数ＷはＷ＝(1/2)Ｃ_ijklｅ_ijｅ_kl＝(1/2)τ_ijｅ_ijと陽な形式に表現できます。

断熱過程,または等温過程では,歪み-エネルギー関数Ｗ＝Ｕ,またはＦは自然状態を除いて常に正です。そこで,Ｗ＝(1/2)Ｃ_ijklｅ_ijｅ_klの右辺は正値２次形式です。

係数Ｃ_ijklは歪みｅ_ijには依存しないですが,一般には位置ｘの関数です。地震学で用いられる弾性理論では,媒質は不均質ですが到るところ等方的な球対称の媒質という先入観で特徴付けられています。

一般に,係数テンソルＣの3⁴＝81個の成分Ｃ_ijklは,上記の対称性のおかげで独立な成分は21個です。さらに,上記の先入観に根ざした等方性媒質では,Ｃも等方的である必要があり,かなり単純になります。

1972年にはJeffreys and Jeffreysによって,最も一般的な対称４階等方テンソルＣは次の形をとることが示されました。

すなわち,Ｃ_ijkl＝λδ_ijδ_kl＋μ(δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk)です。ただし,２つの独立定数λ,μはLame(ラメ)の定数と呼ばれます。

しかし,こうして得られた結果は応力と歪みが共にゼロの準拠状態から微小摂動だけ離れたケースに限定されていることに着目すべきです。

一方,地球内部内では平衡状態での自己重力が約１メガバール(Mbar)までの圧力の原因をなすことが知られています。

地球物質に対してゼロ応力,ゼロ歪みの準拠状態を仮定しても,上述のフックの法則に関する結果を直接には地震学において適用することはできません。

というのも上記の自己重力にに起因する圧力による歪みが小さくないからです。応力と歪みが共にゼロの準拠状態を用いると応力-歪み関係が非線型な有限歪みの理論を扱う必要があることになります。

しかし,地震に先立つ準拠系として代わりに地球の静的平衡状態を用いることもできます。実はこれが地震学での普通の扱いです。

定義によって,準拠系ではゼロ歪み状態ですが,初期応力の方はゼロではありません。

そして,このときには地震運動は歪みと初期応力からの増分応力との線型関係で表現できます。

かくして,ゼロ歪みでの初期応力をσ⁰とすると,ゼロとは限らない一般の歪みに対する応力はσ⁰＋τ (τ_ij＝Ｃ_ijklｅ_kl)で与えられます。そしてσ⁰の成分σ⁰_ijは係数テンソルの成分Ｃ_ijkl(～１メガバール)と同じオーダーの量です。

しかし,さし当たっては,簡単のため初期応力σ⁰の効果を無視することにします。

この単純化は,後の第８章で正当化されます。そこでは,初期応力σ⁰が正しく考慮され,修正を要する理論の概観について短かいレビューを与えます。そして第８章では自己重力の効果を定量化するためにオイラー的アプローチを採択する予定です。

さて, 運動が設定され得る方法と関わる幾つかの一般的注意と共に,まず表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内でのラグランジュ的変位場ｕ(ｘ,ｔ)についての一意性(uniqueness)の議論を導入することが自然な手続きであると思われます。

変位はＶ内の到るところでρｕ_i^2d＝ｆ_i＋τ_ji,_jを満たすように制約されているので,変位場ｕにはＶにおける実体力ｆと表面Ｓ上の応力τが寄与します。

今から,Ｖ内到るところでの実体力とＳ上全てにわたる応力の明細が既知であれば,与えられた初期条件からＶ内で発展する変位場を一意的に決定するに十分であることを示します。

変位場へのＳの影響を指定する別の方法は,応力の代わりにＳ上の変位自身に対して境界条件を与えることです。

例えば,表面Ｓが剛体的であるというように,一見したところＳ上の応力と変位はＶ内の変位場にとって独立な性質のように見えます。

しかし,これは誤りで以下の直感的理解からＳにわたる応力はＳ上の変位を決定し,その逆も成り立つことを認識することが重要です。

以下に,ある境界条件,初期条件下での変位場の一意性の定理を述べ,これの証明を与えます。

[一意性定理]:表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内の到るところで,与えられた時刻ｔ₀における変位と粒子速度の値(＝初期条件),およびｔ＞ｔ₀における次の境界条件:

(ⅰ)実体力ｆと供給される熱Ｌ,(ⅱ)表面Ｓ＝Ｓ₁＋Ｓ₂の一方の部分Ｓ₁上での応力Π,(ⅲ)残りの部分Ｓ₂上での変位

が与えられたとき,

　時刻ｔ₀より後の時刻ｔおけるＶ内到るところでの変位ｕ＝ｕ(ｘ,ｔ)は一意的に決定される。

(証明)ｕ₁とｕ₂が同じ初期条件を満足し,定理の境界条件(ⅰ)～(ⅲ)の同じ値で設定される変位ｕの任意の２つの解であると仮定します。

　このとき,Ｕ≡ｕ₁－ｕ₂とおけば,Ｕ(ｘ,ｔ)は初期値が恒等的にＵ(ｘ,ｔ₀)≡0 であるような変位場です。

　そして,Ｕはｔ＞ｔ₀における実体力ｆがゼロ,かつ供給される熱Ｌもゼロ,さらにＳ₁上での応力Ｔ,またはτがゼロ,Ｓ₂上での変位Ｕもゼロの変位場を表わします。

　それ故,一意性定理を証明するには,Ｖ内の到るところでｔ＞ｔ₀でもＵ＝0 であることを示せばよいことになります。

まず,ｔ＞ｔ₀での力学的仕事率を与える式:∫_Vｆｕ^dｄＶ＋∫_SＴｕ^dｄＳ＝∫_V[ρｕ_i^dｕ_i^2d＋τ_ijｕ_i,_j^d]ｄＶにおいて,ｕがＵの場合にはｆ＝Ｔ≡0 ですから,これらは明らかに恒等的にゼロです。

そして,∫_V[ρＵ_i^dＵ_i^2d＋τ_ijＵ_i,_j^d]ｄＶ＝0 を時間ｔについてｔ₀からｔまで積分して,応力-歪み関係式τ_ij＝Ｃ_ijklＵ_i,_jを用いると∫_V[(1/2)ρＵ_i^dＵ_i^d]ｄＶ＋∫_V[(1/2)Ｃ_ijklＵ_i,_jＵ_k,_l]ｄＶ＝0 です。

ところが,右辺の第１項の被積分関数である運動エネルギー密度も第２項の被積分関数である歪みエネルギー密度Ｗ＝(1/2)Ｃ_ijklＵ_i,_jＵ_k,_lも共に正定値な量です。

したがって,これらのＶ全体での総和がゼロということは,Ｖ内では到るところでＵ_i＝Ｕ_i^d＝0 なることを意味します。よって,ｔ＞ｔ₀でも到るところでＵ＝0 です。

以上から,ｕ₁≡ｕ₂が結論されます。(証明終わり)

一方,同じ表面境界Ｓを持つ体積Ｖの弾性体内での一対の変位場ｕ,ｖに対して,相反性(reciprocal relation)と呼ばれる性質があることもわかります。

まず,ｕ＝ｕ(ｘ,ｔ)は変位場の１つであるとし,ｕは実体力ｆとＳ上の境界条件,そしてｔ＝0 における初期条件によって決まるとします。

一方,ｖ＝ｖ(ｘ,ｔ)も変位場の１つであるとし,ｖは実体力ｇとｕに対するものとは異なるＳ上の境界条件とｔ＝0 における初期条件によって決まるものとします。

これら,２つのケースでｎを法線とする面上の応力を区別するため,変位ｕによる応力をＴ(ｕ,ｎ),変位ｖによる応力をＴ(ｖ,ｎ)と書くことにします。

このとき,次のようなBetti(ベッチ)の定理と呼ばれる相反性定理が成立します。 

[ベッチの定理]:上記のような条件の下で,等式∫_V(ｆ－ρｕ^2d)ｖｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｕ,ｎ)ｖ}ｄＳ＝∫_V(ｇ－ρｖ^2d)ｕｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｖ,ｎ)ｕ}ｄＳが成立する。

(証明)左辺＝∫_V(ｆ－ρｕ^2d)ｖｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｕ,ｎ)ｖ}ｄＳ＝－∫_V[{τ_ij,_j(ｕ)ｖ_i}ｄＶ＋∫_S(τ_ijｎ_jｖ_i)ｄＳ＝∫_Vτ_ij(ｕ)ｖ_i,_j]ｄＶ＝∫_VＣ_ij,_klｕ_k,_lｖ_i,_j]ｄＶ＝∫_V(ｇ－ρｖ^2d)ｕｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｖ,ｎ)}ｄＳ＝右辺です。(証明終わり)

さて,ベッチの定理は,ｕ,ｖに関する初期条件を含まないことに注目します。

そこで,ｕ,ｕ^2d,Ｔ(ｕ,ｎ),ｆは時刻ｔ₁で評価され,ｖ,ｖ^2d,Ｔ(ｖ,ｎ),ｇが時刻ｔ₂で評価されるとしても∫_V(ｆ－ρｕ^2d)ｖｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｕ,ｎ)ｖ}ｄＳ＝∫_V(ｇ－ρｖ^2d)ｕｄＶ＋∫_S{Ｔ(ｖ,ｎ)ｕ}ｄＳなる等式は正しいです。

　一方,ｘを省略して時間ｔで0からτまで積分すると∫₀^τ{ρｕ^2d(ｔ)ｖ(τ－ｔ)－ρｕ (ｔ)ｖ^2d(τ－ｔ)}ｄｔ＝ρ∫₀^τ[(∂/∂ｔ){ｕ^d(ｔ)ｖ(τ－ｔ)＋ｕ(ｔ)ｖ^d(τ－ｔ)}]ｄｔ＝ρ{ｕ^d(τ)ｖ(0)－ｕ^d(0)ｖ(τ)＋ｕ(τ)ｖ^d(0)－ｕ(0)ｖ^d(τ)}が成立します。

それ故,ｔ₁＝ｔ,ｔ₂＝τ－ｔと選択して∫₀^τｄｔ∫{ρｕ^2d(ｘ,ｔ)ｖ(ｘ,τ－ｔ)－ρｕ (ｘ,ｔ)ｖ^2d(ｘ,τ－ｔ)}ｄＶ＝∫ρ{ｕ^d(ｘ,τ)ｖ(ｘ,0)－ｕ^d(ｘ,0)ｖ(ｘ,τ)＋ｕ(ｘ,τ)ｖ^d(ｘ,0)－ｕ(ｘ,0)ｖ^d(ｘ,τ)}ｄＶです。

したがって,その時刻ｔ＝τ₀＞0 より前にはＶ上到るところでｕ,ｖがゼロであるようなある時刻τ＝τ₀があればτ≦τ₀ならｕ^d(ｘ,τ)＝ｖ^d(ｘ,τ)＝0 です。

そこで,その場合には回転項∫_-∞^∞ｄｔ{ρｕ^2d(ｘ,ｔ)ｖ(ｘ,τ－ｔ)－ρｕ (ｘ,ｔ)ｖ^2d(ｘ,τ－ｔ)}ｄＶはゼロです。

それ故,ベッチの定理から,∫_-∞^∞ｄｔ∫_V([ｕ(ｘ,ｔ)ｇ(ｘ,τ－ｔ)－ｖ(τ－ｔ)ｆ(ｘ,ｔ)]ｄＶ＝∫_-∞^∞ｄｔ∫_S{ｖ(ｘ,τ－ｔ)Ｔ(ｕ(ｘ,ｔ),ｎ)－ｕ(ｘ,ｔ)Ｔ(ｖ(ｘ,τ－ｔ),ｎ)}ｄＳを得ます。

途中ですが今日はここで終わります。 

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

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水の波(8)(有限振幅の波:非線形波３)

水の波の続きです。

 このシリーズは今日で終わりますが,非線形波やソリトンに

ついての話はまた別の題名でアップする予定です。

 前回最後では,Ｋ-ｄＶ方程式:

∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0

の定常波の解を求めるために,

ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ(ζ),ζ≡ｘ－σｔとして.

３階常微分方程式：

－σ(ｄｕ/ｄζ)＋ｕ(ｄｕ/ｄζ)＋μ(ｄ³ｕ/ｄζ³)＝0

に変形し,これの積分を求めました。

　すなわち,１回積分すると,

μ(ｄ²ｕ/ｄζ²)＝－ｕ²/2＋σｕ＋2Ａ(Ａは積分定数)となり,

さらに,両辺にｄｕ/ｄζを掛けて積分すると

(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ

(Ａ,Ｂは積分定数)　となります。

　この両辺を６倍して右辺をｆ(ｕ)とすると,これは

3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³＋3σｕ²＋6Ａｕ＋6Ｂ≡ｆ(ｕ)

です。そして,この方程式が物理的に意味があるｕの実数解

を持つのは,明らかにｆ(ｕ)≧0 の範囲でのみです。

　実係数の３次代数方程式:ｆ(ｕ)＝0 は,必ず,１実根,または

３実根を持ちますが,この方程式が１実根のみを持つ場合には,

ｆ(ｕ)≧0 を値域とする解:ｕが有界でないため,

これは."有限範囲での振動＝波"を表わす解ではありません。

そこで,ここでの考察では１実根のケースは対象外とします。

　さて,ｆ(ｕ)＝0 が３実根を持つとして,それらを

ｕ₁,ｕ₂,ｕ₃ (ｕ₁≦ｕ₂≦ｕ₃)と書くと,

ｆ(ｕ)＝(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)です。

ｆ(ｕ)＝－ｕ³＋3σｕ²＋6Ａｕ＋6Ｂ　より,

σ＝(ｕ₁＋ｕ₂＋ｕ₃)/3,Ａ＝－(ｕ₁ｕ₂＋ｕ₂ｕ₃＋ｕ₃ｕ₁)/6,

Ｂ＝ｕ₁ｕ₂ｕ₃ /6　が成立します。

　ｕ₂≦ｕ≦ｕ₃でｆ(ｕ)≧0ですから,

3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝ｆ(ｕ)なる式はｕのこの区間を往復する

非線形振動を表わすと思われます。

　そこで,

　3μ(ｄｕ/ｄζ)²＝ｆ(ｕ)＝(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)

　の解で,ｕ＝ｕ₃でζ＝0 となるものを求めます。

　つまり,方程式:

　ｄζ/(3μ)^1/2＝ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2

　を解きます。

　まず,ｋ²≡(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁)とします。

さらに,ｔ＝{(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2とおくと

ｄｔ＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₂)^-1/2(ｕ₃－ｕ)^-1/2ｄｕ　です。

1－ｔ²＝1－(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)＝(ｕ－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₂),

1－ｋ²ｔ²＝1－ｋ²(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)

＝1－(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₁)＝(ｕ－ｕ₁)/(ｕ₃－ｕ₁)　です。
 

故に,ｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2

＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₂)^-1/2(ｕ₃－ｕ)^-1/2ｄｕ

(ｕ₃－ｕ₂)^1/2(ｕ₃－ｕ₁)^1/2/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)}^1/2

＝(－1/2)(ｕ₃－ｕ₁)^1/2ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2

です。

　そこで,方程式:

ｄζ/(3μ)^1/2＝ｄｕ/{(ｕ－ｕ₁)(ｕ－ｕ₂)(ｕ₃－ｕ)}^1/2は,

－{(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ｄζ＝ｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2

を意味します。

したがって,楕円積分Ｆ(ｘ,ｋ)を用いて

{(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ＝Ｆ({(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2,ｋ)

なる解の表式を得ます。

それ故,

sn({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)＝{(ｕ₃－ｕ)/(ｕ₃－ｕ₂)}^1/2

です。そこで,

cn²({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)

＝1－sn²({(ｕ₃－ｕ₁)/(12μ)}^1/2ζ,ｋ)＝(ｕ－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₂)

です。

　※(注8-1):snはヤコービ(Jacobi)の楕円関数:

sn(ｕ,ｋ)＝Ｆ^-1(ｕ,ｋ)＝ｘ≡sinφです。または,

ｕ＝Ｆ(ｘ,ｋ)です。

　Ｆ(ｘ,ｋ)は第１種の楕円積分で,

　Ｆ(ｘ,ｋ)≡∫₀^xｄｔ/{(1－ｔ²)(1－ｋ²ｔ²)}^1/2

　＝∫₀^φｄθ/(1－ｋ²sin²θ)^1/2で定義されます。

特に,Ｋ(ｋ)≡Ｆ(π/2,ｋ)は第１種の完全楕円積分と呼ばれ

4Ｋ(ｋ)は楕円関数:snの２つの周期のうちの１つです。
 

さらに,sn(ｕ,ｋ)＝ｘ＝sinφに対応して関数:cnを

cn(ｕ,ｋ)≡cosφ＝{1－sn²(ｕ,ｋ)}^1/2で定義します。

これもJacobiの楕円関数と呼ばれています。

(注8-1終わり)※

　さて,振動区間をＵ≡ｕ₃－ｕ₂とおけば,上に得られた解は

ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕcn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2(ｘ－σｔ),ｋ)

と書けます。

ここで,σ＝(ｕ₁＋ｕ₂＋ｕ₃)/3＝ｕ₂＋(ｕ₁＋ｕ₃－2ｕ₂)/3

＝ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3　です。

以上から,

ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕcn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2[ｘ

－{ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3}ｔ],ｋ)　と書けます。

ただし,Ｕ＝ｕ₃－ｕ₂,ｋ²＝(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁)　です。

この解は,周期関数cnで表現される定常波形を持つ波列を

表わしており,この意味でクノイド波(cnoidal wave)と

呼ばれます。

　 クノイド波:

　ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₂＋Ｕ・cn²({Ｕ/(12μｋ²)}^1/2

　[ｘ－{ｕ₂＋(2－ｋ^-2)Ｕ/3}ｔ],ｋ) は,

　速度ｕ₂の一様流の上に振幅がＵの周期波cn²が重なった形

　をしており,周期波は一様流に相対的に位相速度:

　(2－ｋ^-2)Ｕ/3で進行するという様を表わしています。

　波形:cn²(ｓ,ｋ)は,パラメータｋ(0≦ｋ≦1)の値に応じて,

　cn²(ｓ,0)＝cos²(s)からcn²(ｓ,1)＝sech²(ｓ)まで

　変化します。

cnの周期は4Ｋですから,これに応じて波長λを

{Ｕ/(12μｋ²)}^1/2λ≡4Ｋで定義すると,

これはλ＝8Ｋ(3μｋ²/Ｕ)^1/2 なる式で与えられます。

　以上では,前提なしで３実根ｕ₁,ｕ₂,ｕ₃ が全て異なる:

　ｕ₁＜ｕ₂＜ｕ₃と仮定しましたが,特にｕ₂→ｕ₁の極限:

　ｕ₁＝ｕ₂の重根の場合を想定すると,

　ｋ²≡(ｕ₃－ｕ₂)/(ｕ₃－ｕ₁) より ｋ＝1です。

そこで,cn(ｓ,ｋ)＝cn(ｓ,1)＝sechｓより,この定常進行波

はｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₁＋Ｕsech²[{Ｕ/(12μ)}^1/2{ｘ－(ｕ₁＋Ｕ/3)ｔ}],

Ｕ＝ｕ₃－ｕ₁ となります。

この場合,解は波列でなく,定常波形がsech²の孤立波を

表わします。

　この孤立波は振幅Ｕの平方根に反比例した拡がりを持ち,

一様流ｕ＝ｕ₁に相対的に,位相速度:Ｕ/3で進行します。

いま１つの極限:ｕ₃→ｕ₂,つまりｕ₂＝ｕ₃の重根の場合は

ｋ＝0,かつＵ＝0 なので.波はｕ＝ｕ₃の一様流に

帰着します。

　　ただし,その重根の極限の近傍のｋ～0,Ｕ～0では,

Ｕ/ｋ²＝ｕ₃－ｕ₁より,定常解は,

ｕ(ｘ,ｔ)～ｕ₂＋(ｕ₃－ｕ₂)cos²[{Ｕ/(12μｋ²)}^1/2(ｘ－ｕ₁ｔ)]

＝ｕ₃＋2ｕ₂sin[{(ｕ₃－ｕ₁)/(3μ)}^1/2(ｘ－ｕ₁ｔ)]

となって微小振幅の正弦波となります。

　こうして,"Korteweg-deVries方程式＝Ｋ-ｄＶ方程式"で記述

される有限振幅の長波のうちの定常進行波は,クノイド波,

または孤立波になることがわかりました。

　しかし,一般に任意の初期条件から出発した非定常の波が,

　これらの定常解に漸近するとは限りません。

Ｋ-ｄＶ方程式,および類似の非線形発展方程式の研究は

近年急速な発展を遂げ,特にＫ-ｄＶ方程式については,

かなり多くのことがわかっているようです。

ここでは孤立波に関する２,３の結果を紹介します。

初期条件が三角関数:ｕ(ｘ,0)＝cosπｘのＫ-ｄＶ方程式:

∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0

の初期値問題はZabuskyとKruskal(1965)によって数値的

に解かれました。

特にμ＝0 なら,数値計算に頼らずとも,解は

ｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]　となることがわかります。

※(注8-2):ｕ(ｘ,ｔ)≡cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]

とおけば,これは,ｕ(ｘ,0)＝cosπｘ　を満たします。

そして,

∂ｕ/∂ｔ＝π{σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ}sin[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}],

∂ｕ/∂ｘ＝π{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}sin[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]

ですから,

∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＝0 は,
  σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ

＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]＝0

となります。

  これから,ｔ＝0 ではσ＝cosπｘ＝ｕ(ｘ,0)を得ます。

すなわち,σ(ｘ,0)＝ｕ(ｘ,0)です。

  そこで,σ＝ｕ＝cos[π(ｘ－σｔ)]とおいてみると,

σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ

＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}cos[π{ｘ－σ(ｘ,ｔ)ｔ}]

＝σ＋(∂σ/∂ｔ)ｔ＋{－1＋(∂σ/∂ｘ)ｔ}σ

＝{∂σ/∂ｔ＋σ(∂σ/∂ｘ)}ｔ＝0 となります。

よって,解の一意性から解はｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]です。

(注8-2終わり)※

  μ＝0 の解:ｕ＝cos[π(ｘ－ｕｔ)]では,

∂ｕ/∂ｘ＝π{－1＋(∂ｕ/∂ｘ)ｔ}sin[π(ｘ－ｕｔ)]より,

[1－πｔsin[π(ｘ－ｕｔ)]](∂ｕ/∂ｘ)＝－πsin[π(ｘ－ｕｔ)]

となります。

　この解は,ｔ＝ｔ_B＝1/πに点ｘ＝1/2の付近で突っ立ち:

|∂ｕ/∂ｘ|＝∞という現象を呈し,その点以後のｘでは

解は多価となって,物理的意味を持たなくなります。

ZabuskyとKruskal(1965)の数値計算は,μ^1/2＝0.022 に

おいて実行され,その結果得られた数値解は,やはり

ｔ＝ｔ_B付近で突っ立ちに近い状態を示します。

しかし,この場合はゼロでない分散項の効果により,波の重なり

は起こらず,逆に連続的な波が,いくつかの孤立波に分散します。

ｔ＝3.6ｔ_Bでは,波形はほぼ完全に分離した孤立波の連なり

となりますが,これらの孤立波は,先に得られた定常波:

ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ₁＋Ｕsech²[{Ｕ/(12μ)}^1/2{ｘ－(ｕ₁＋Ｕ/3)ｔ}],

Ｕ＝ｕ₃－ｕ₁と同じものであることが,その振幅,幅,進行速度

の関係から確かめられます。

　Ｋ-ｄＶ方程式に従う有限振幅波がある場合に,いくつかの

孤立波の集まりになってしまうとすれば,これらの孤立波の

間には,どのような相互作用が働くでしょうか？

孤立波の位相速度は振幅に比例するので,ある時刻に大振幅

の波を左に,小振幅の波を右にして,互いに十分遠く離して

おいたとすれば,大振幅波が小振幅波に近づき,ついには

追いつくと予想されます。

Zabusky(1967)は初期条件として,ｕ_j(ｘ,0)＝Ｕ_jsech²(ｘ/Ｄ_j),

Ｄ_j≡(12μ/Ｕ_j)^1/2の形を持つ２つの孤立波:ｕ_j(ｘ,ｔ)

(ｊ＝1,2)を取り,それぞれの振幅をＵ₁＝180,Ｕ₂＝80として,

初期に距離を12Ｄ₁(Ｄ₁＝(12μ/Ｕ₁)^1/2＝(μ/15)^1/2)だけ

隔てて置きました。

　そして,小振幅の方の波が静止するように,さらに

ｕ₁＝－26＋2/3　の一様流を加えました。

　 数値計算の結果として得られた２つの波は,重なる以前は

互いに独立に運動しますが,

  驚くべきことに衝突以後に再び分離して,衝突前と同じ

大きさと形と位相速度で運動を続けます。
 

衝突の影響は,僅かに両者の位相の変化となって残るだけです。

２つの波が初期と同じ間隔12Ｄ₁だけ離れたときの振幅の変化

は,僅かにΔＵ₁/Ｕ₁＜0.07％,ΔＵ₂/Ｕ₂＜0.5％なることが

見出されました。

   このように,Ｋ-ｄＶ方程式の孤立波解が,あたかも独立の

粒子であるかのように挙動するという結果から,この孤立波

をソリトン(soliton)と名付けました。

　非線形波動の現象は,水の波に限らずプラズマ振動,

さらに,素粒子のモデルなどと関連して研究者の興味を

集めており,非線形現象の解明と数学的理論の開発の

両面にわたってその発展が期待されます。

 水の波の話から自然にソリトンを紹介するという所期

の目的が達せられたので,水の波の記事シリーズを

これで終わります。

(参考文献):巽友正著「流体力学」(培風館)
 

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水の波(7)(有限振幅の波:非線形波２)

 水の波の続きです。

　水面ｚ＝ηでの速度ポテンシャルは,

 Φ(ξ,η,τ)＝Φ(ξ,0,τ)＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(ξ,τ)

　＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)|_z=0η(ξ,τ)²＋..　のようにηの

　Taylor級数に展開できます。

　この級数展開と,先のεのベキ級数展開:

Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},

および,η(ｘ,ｔ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}

を,ｚ＝ηでの境界条件:

∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ),および,

∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0

に代入します。

　まず,Φ(ξ,η,τ)＝Φ(ξ,0,τ)＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(ξ,τ)

＋(∂Φ/∂ｚ)|_z=0η(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)|_z=0η(ξ,τ)²＋..

を.ｚ＝ηで∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)

に代入します。

　すると,

Φ＝Φ(ξ,ｚ,τ)について(∂Φ/∂ｚ)＋(∂²Φ/∂ｚ²)η＋..

＝∂η/∂ｔ＋(∂/∂ｘ){Φ＋(∂Φ/∂ｚ)η

＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)η²＋..}(∂η/∂ｘ)

となります。

ただし,両辺の量は全てｚ＝0 における値です。

ξ≡ε^1/2(ｘ－ｃ₀ｔ),τ≡ε^3/2ｔですから,

∂/∂ｘ＝(∂ξ/∂ｘ)(∂/∂ξ)＝ε^1/2(∂/∂ξ),

∂/∂ｔ＝(∂ξ/∂ｔ)(∂/∂ξ)＋(∂τ/∂ｔ)(∂/∂τ)

＝－ｃ₀ε^1/2(∂/∂ξ)＋ε^3/2(∂/∂τ)

です。

　そこで,上で求めた境界条件のｚ＝0 での形は,

(∂Φ/∂ｚ)＋(∂²Φ/∂ｚ²)η＋..

＝－ｃ₀ε^1/2(∂η/∂ξ)＋ε^3/2(∂η/∂τ)

＋ε(∂/∂ξ)

×{Φ＋(∂Φ/∂ｚ)η＋(1/2)(∂²Φ/∂ｚ²)η²＋..}

×(∂η/∂ξ)　となります。

　これに,

Φ(ξ,ｚ,τ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},

η(ｘ,ｔ)＝η(ξ,τ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}

を代入して,ｚ＝0 で両辺の同じεのベキの係数を等置します。

　ηはΦよりε^1/2のオーダーだけ小さい量であると仮定した

展開ですから,ｚ＝0 でε^1/2の係数としては,

∂Φ⁽¹⁾/∂ｚ＝0 です。
 

そこで,ε^3/2の係数として∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ),

ε^5/2の係数として∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＋η⁽¹⁾(∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²)

＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

,..を得ます。

　一方,ｚ＝ηでのもう１つの動的境界条件:

∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0

は,－ｃ₀ε^1/2(∂Φ/∂ξ)＋ε^3/2(∂Φ/∂τ)

＋{ε(∂Φ/∂ξ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0 　です。

　　これもｚ＝0 の近傍での展開:

Φ(ξ,ｚ,τ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},

η(ｘ,ｔ)＝η(ξ,τ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}

を代入して,εのベキの係数を等置します。

ｚ＝0では∂Φ⁽¹⁾/∂ｚ＝0なので,εの係数として,

－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0,ε²の係数として

∂Φ⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂Φ⁽²⁾/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²

＋ｇη⁽²⁾＝0 です。

　これらの関係式に,前記事で求めた境界条件を満たす

解の具体的形:

Φ⁽¹⁾＝Φ⁽¹⁾(ξ,τ),

Φ⁽²⁾＝(－1/2)(ｚ＋ｈ)²{∂²Φ⁽¹⁾(ξ,τ)/∂ξ²}＋ｆ₁(ξ,τ),

Φ⁽³⁾＝(1/24)(ｚ＋ｈ)⁴(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)

－(1/2)(ｚ＋ｈ)²(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｆ₂(ξ,τ),..

を代入して高次の項を消去します。

　結局,水面波形の第１近似η⁽¹⁾(ξ,τ)に対する方程式

として,

∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)　が得られます。

　同じ方程式は,水平速度の第１近似∂Φ⁽¹⁾/∂ξに対しても成立

します。

　こうして,第１近似解が得られれば,高次の近似解は機械的に

得られます。

  ※(注7-1):(証明)∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－(ｚ＋ｈ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²),

∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²＝－∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²,

∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＝(1/6)(ｚ＋ｈ)³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)

－(ｚ＋ｈ)(∂²ｆ₁/∂ξ²)　　です。

　　これにｚ＝0 を代入すると,

∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²),

∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²＝－∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²,

∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＝(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)

です。

　よって,∂Φ⁽²⁾/∂ｚ＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,

① －ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

となります。
 

また,∂Φ⁽³⁾/∂ｚ＋η⁽¹⁾(∂²Φ⁽²⁾/∂ｚ²)

＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)

＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,

　②(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)

－η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)

＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

　と書けます。

　一方,

③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0 はそのままで,

∂Φ⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂Φ⁽²⁾/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²

＋ｇη⁽²⁾＝0 の方は,Φ⁽²⁾＝(－1/2)ｈ²(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＋ｆ₁

より,

  ④∂Φ⁽¹⁾/∂τ＋(1/2)ｃ₀ｈ² (∂³Φ⁽¹⁾/∂ξ³)

－ｃ₀(∂ｆ₁/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0

です。

　　ｃ₀²＝ｇｈなので,

①－ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝－ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂ξ)は,

③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0

をξで微分すれば得られます。

　　他方,

④∂Φ⁽¹⁾/∂τ＋(1/2)ｃ₀ｈ²(∂³Φ⁽¹⁾/∂ξ³)

－ｃ₀(∂ｆ₁/∂ξ)＋(1/2)(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)²＋ｇη⁽²⁾＝0

をξで微分してｈを掛けると,

ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂τ∂ξ)＋(1/2)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)

－ｃ₀ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｈ(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)

＋ｇｈ(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝0  となります。

　　左辺の最後の項ｇｈ(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝ｃ₀²(∂η⁽²⁾/∂ξ)

に,②(1/6)ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)－ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)

－η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝∂η⁽¹⁾/∂τ－ｃ₀(∂η⁽²⁾/∂ξ)

＋(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ) より得られる,

ｃ₀²(∂η⁽²⁾/∂ξ)＝ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)

＋ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

－(1/6)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)＋ｃ₀ｈ(∂²ｆ₁/∂ξ²)

＋ｃ₀η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²) 
　を代入します。

　すると,

ｈ(∂²Φ⁽¹⁾/∂τ∂ξ)＋(1/3)ｃ₀ｈ³(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)

＋ｈ(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＋ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)

＋ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

＋ｃ₀η⁽¹⁾(∂²Φ⁽¹⁾/∂ξ²)＝0 　　　となります。

　最後に,③－ｃ₀(∂Φ⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇη⁽¹⁾＝0 より,

∂Φ⁽¹⁾/∂ξ＝ｇη⁽¹⁾/ｃ₀として,Φ⁽¹⁾を消去します。
 

すると,ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋(1/3)ｇｈ³(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)

＋(ｇ²ｈ/ｃ₀²)η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ²) ＋ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)

＋ｇｈη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＋ｇｈη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝0

です。

　したがって,2ｃ₀(∂η⁽¹⁾/∂τ)＋(1/3)ｃ₀²ｈ²(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)

＋3ｇη⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)＝0,

　つまり,∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)　が得られます。
 

∂Φ⁽¹⁾/∂ξ＝ｇη⁽¹⁾/ｃ₀なので,η⁽¹の代わりに∂Φ⁽¹⁾/∂ξ

を代入しても同じ非線形方程式を満たします。(証明終わり)

(注7-1終わり)※

　　たった今得られた有限振幅の非線形波に対する方程式:

　∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

　＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)

　　これは,既に19世紀末(1895)に,KortweigとdeVriesによって

上記とは別の方法で導かれており,これをKortweig-deVries方程式,

または,略してＫ-ｄＶ方程式と呼びます。

　Ｋ-ｄＶ方程式:

∂η⁽¹⁾/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}η⁽¹⁾(∂η⁽¹⁾/∂ξ)

＝(－ｃ₀ｈ²/6)(∂³η⁽¹⁾/∂ξ³)は,適当な尺度(単位)

の取り方によって,

∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0

なる形に書くことができます。
 

係数μは正,負どちらでもいい形ですが,

変換:ｕ→－ｕ,ｘ→－ｘ,ｔ→ｔによって,

この方程式におけるμは,μ→ －μと変換されるので,

一般性を失なうことなく.μ＞0 とします。

　　さて,このＫ-ｄＶ方程式:

∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0

の解として,波形を変えず一定速度で伝播する定常波

が存在すると仮定し,以下,それを求めてみます。

　そのために,σを速度を表わす定数として

ｕ(ｘ,ｔ)＝ｕ(ζ),ζ≡ｘ－σｔ　とします。

　こうすると,

∂ｕ/∂ｔ＝－σ(ｄｕ/ｄζ),∂ｕ/∂ｘ＝ｄｕ/ｄζ

です。

　そこで,∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0

は,次の３階常微分方程式:

－σ(ｄｕ/ｄζ)＋ｕ(ｄｕ/ｄζ)＋μ(ｄ³ｕ/ｄζ³)＝0

に帰着します。

　これは,ζで１回積分すると,

μ(ｄ²ｕ/ｄζ²)＝－ｕ²/2＋σｕ＋2Ａ (Ａは積分定数)

となります。
 

さらに両辺にｄｕ/ｄζを掛けて,もう１度積分すると,

(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ

(Ａ,Ｂは積分定数)　です。
 

そこで,μＶ(ｕ)≡Ｅ－(－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ)と

置くと,これは,(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＋μＶ(ｕ)＝Ｅ

となります。

　それ故,ｕを質量μを持つ質点の位置座標,Ｖ(ｕ)をそれ

に働く力のポテンシャルと考えることができます。
 

もしも,ｕが位相速度一定の線形波の典型的な形である

正弦波であるとしたら,それは,ｕ＝Ｃsin(ωｔ－ｋｘ)

＝－Ｃsin(ｋζ),ζ≡ｘ－σｔ;σ≡ω/ｋ　

与えられます。
 

これについては,ｄｕ/ｄζ＝－ｋＣcos(ｋζ),

ｄ²ｕ/ｄζ²＝ｋ²Ｃsin(ｋζ)なので,

ｕ＝ｕ(ζ)が満たす方程式は,よく知られた形:

ｄ²ｕ/ｄζ²＝－ｋ²ｕ,ｋ^-2(ｄｕ/ｄζ)²＝－ｕ²＋Ｃ²

です。
 

これは,

(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＝－(1/2)μｋ²ｕ²＋(1/2)μｋ²Ｃ²

と変形されますから,Ｖ(ｕ)＝(1/2)ｋ²ｕ²と置けば,

(μ/2)(ｄｕ/ｄζ)²＋μＶ(ｕ)＝Ｅ (Ｅ≡(1/2)μｋ²Ｃ²)

となります。Ｖ(ｕ)はよく知られた線形調和振動子の

ポテンシャルですね
 

一方,非線形なＫｄＶ方程式のポテンシャル

(非調和振動子ポテンシャル)は,

μＶ(ｕ)≡Ｅ－(－ｕ³/6＋σｕ²/2＋Ａｕ＋Ｂ)

で与えられます。

　これが,線形調和振動子のそれ:μＶ(ｕ)＝(1/2)μｋ²ｕ²

と決定的に違うのは,非線型調和振動子のポテンシャル

は,ｕの３次以上の項を含むことです。
 

定数項の差は,エネルギーの基準点の取り方の違いだけだし,

ｕの１次の項の差は完全平方によって２次の項に含めること

ができるので,これらは本質的な違いではぁりません。

　今日はここまでにします。

(参考文献):巽友正著「流体力学」(培風館)

ＰＳ:明日は毎年夏恒例の一泊二日の「将棋チェスネット」

主催の「関東お泊りオフ」別名「将棋合宿」に

行ってきます。今年は隔年の湯河原の杉の宿で開催の年

です。

　去年,2008年８/11の「将棋合宿」と同じく,何もなければ,

まず,明日朝,たいとさんが私の家に来られてて次に北島プロ,

柿木さんを拾って直接現地に向かう予定です。

１年に１回の道楽なので前から何もなければ生きているうちは

毎年参加することにしています。今年は女流プロは休場中の

バンカナと藤田綾初段が見えるそうですね。

(15年以上も前から,ときたま日程の都合で行けない場合を

除いて参加していたのですが,最近は2006,2007年病気入院

もあって参加できず,昨年復帰しました。

将棋は弱いくせに威張っています。)

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水の波(6)(有限振幅の波:非線形波１)

 水の波の続きです。

　かなり間が開きました。早く非線形波,ソリトンへと進んでいこうと思います。 

前回の最後では,ｘ軸とそれに直角なｙ方向に単位長さ,そして

鉛直ｚ方向には水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)から水面η～ 0までの立体

Ｖを取り,Ｖの中の水のエネルギーをＥ,波のエネルギーをＥ_wと

して,波のエネルギーの時間変化について書きました。

　そして,εを水のエネルギー密度とすると,

ｄＥ_w/ｄｔ＝ｄＥ/ｄｔ＝∫_V(∂ε/∂ｔ)ｄＶ＋∫_S(εｖ_n)ｄＳ,

ε＝ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚと書けることから,

"波のエネルギー保存則の微分形＝波のエネルギー方程式":

ｄＥ_w/ｄｔ＝ｄＥ/ｄｔ

＝ρ(∂/∂ｘ){∫_S(ｘ)(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｘ)ｄＳ}

を得ました。

　今日は,まず,微小振幅の線形波に対して,具体的に,この波

のエネルギー方程式を計算します。

　微小振幅波の速度ポテンシャルは,

Φ(ｘ,ｚ,ｔ)

＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)

と書けることを既に見ました。

ただし,ｃは位相速度で,ｃ＝ω/ｋ＝{ｇtanh(ｋｈ)/ｋ}^1/2

です。

　前と同じように,時間間隔δｔを取ります。

δｔは波群の時間的変化の尺度に比べれば十分短かいけれど,

その中には多数の振動を含むとします。

　波のエネルギーＥ_wや水のエネルギーＥは,実際にはｔだけ

でなくｘの関数でもあるので,

ｄＥ/ｄｔを∂Ｅ/∂ｔと書き,エネルギー方程式を

∂Ｅ/∂ｔ

＝∂ρ(∂/∂ｘ){∫_S(ｘ)(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｘ)ｄＳ}

と書き直します。

　　これに,上記の具体的な微小振幅波の速度ポテンシャル

を代入して,(∂Ｅ/∂ｔ)δｔ

＝ρ∫₀^δtｄｔ[(∂/∂ｘ){∫_-h⁰(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｘ)ｄｚ}]

を計算します。

　すると,(∂Ｅ/∂ｔ)δｔ

＝ρ(∂/∂ｘ)[{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}²(－ｋω)∫₀^δtｄｔ

∫_-h⁰ｄｚ cosh²{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin²(ｋｘ－ωｔ)]

＝－ρ(∂/∂ｘ)[{Ａ²ｃ/sinh²(ｋｈ)}ｇｋtanh(ｋｈ)

{ｈ/2＋sinh(2ｋｈ)/(4ｋ)}]δｔ/2

＝－δｔ(∂/∂ｘ)[(ρｇＡ²ｃ/2){1/2＋ｋｈsinh^-1(2ｋｈ)}]

となります。

　　すなわち,

∂Ｅ/∂ｔ＝－(∂/∂ｘ)[(ρｇＡ²ｃ/2){1/2＋ｋｈsinh^-1(2ｋｈ)}]

です

また,微小振幅線形波のエネルギーの表式は,Ｅ_w＝ρｇＡ²/2

です。

　そして,以前に書いた「水の波(4)」で与えたように,

微小線形波の群速度の一般的な表式は,

ｃ_g＝ｄω/ｄｋ

＝ｃ[1－(1/2){1－(γｋ²)/(ρｇ)}{1＋(γｋ²)/(ρｇ)}

＋ｋｈcosech(2ｋｈ)]　です。

　この式で,表面張力γを無視してこれをゼロと置くと,

ｃ_g＝ｃ{1/2＋ｋｈsinh^-1(2ｋｈ)}　となります。

　これを用いると,波のエネルギー方程式は,

∂Ｅ_w/∂ｔ＋∂(ｃ_gＥ_w)/∂ｘ＝0 　となります。
 

この形は,３次元の流れ(波)では∂Ｅ_w/∂ｔ＋div(ｃ_gＥ_w)＝0

なる連続の方程式に相当します。このことは波の群速度ｃ_gが

波群のエネルギーの伝播速度を与えることを示しています。

　さて,もしも波の振幅が微小ではなく,有限な大きさであると

すると,この波は本記事の「水の波(1)」で書いたように,

∇²Φ＝0 を満たす速度ポテンシャルΦ＝Φ(ｒ,ｔ)から

得られる水面の高さη＝η(ｘ,ｙ.ｔ)を表わす式:

η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²

で記述されます。　

　ただし,右辺のΦ(ｒ,ｔ)では微分計算の後にｚ＝ηとします。

　境界条件は,水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で∂Φ/∂ｎ＝0,

および,水面ｚ＝ηでは,

∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)

＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)　です。

　水面の高さηが小さい微小振幅波であるという仮定の下では,

Φとηに関する２次の項を無視して,

η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²はη＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)

とし,また,ｚ＝ηでの境界条件:

∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)

＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)は,

∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔで近似します。

　これらの式からηを消去すれば,

ｚ＝ηで∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 　となります。

　このときには,速度ポテンシャルをｚ＝0 の周りで展開すると,

Φ(ｒ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)

＝Φ(ｘ,ｙ,0,ｔ)＋(∂Φ/∂ｚ)_z=0η＋Ｏ(Φη²)

ですから,Φとηに関して２次以上の微小量を無視する近似

では.Φ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,0,ｔ)　としても同じです。

　結局,微小振幅近似では,

ｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0,および,

ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で∂Φ/∂ｎ＝0 の境界条件の下で,

ラプラス方程式:∇²Φ＝0 を解くという問題に帰着する

ことがわかりました。

　有限振幅波では,渦無しの流れでは速度ポテンシャルΦは

線形なラプラス方程式の解ですが,微小振幅近似をする前

のｚ＝ηでの境界条件:

∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/)∂ｘ)

＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)　や,

η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²は非線形です。

　こうした非線形性のために,重ね合わせなどを利用した

線形方程式の一般解法は,全く適用できなくなります。

　このため,有限振幅のいわゆる非線形波は,微小振幅の線形波

に比べて,その取り扱いはきわめて難しく研究も立ち遅れて

いました。

　有限振幅波を表わす厳密解として知られている唯一の解は

19世紀初頭に得られた,Gerstnerのトロコイド波(Gerstner

(1962))です。

　これが深水波の円形軌道から出発してラグランジュの式の

記述による基礎方程式を厳密に解いて圧力場と波形を求めた

ものであり,波形がトコロイド曲線であることから,この名

があります。

　しかし,この波に伴なう水の運動は渦無しではなく,深さと

共に指数関数的に減少する渦度を持ちます。

　このため,この波は静止状態から保存力によって作り出す

ことはできませんが,初期に水面付近に風による吹送流が

あったと考えれば十分実現可能です。

　有限振幅波に関するもう１つの注目すべき研究は,Kortweg

とdeVries(1895)による非線形長波の研究です。

(※ＫｄＶ方程式の研究です。)

　彼らは,弱い有限振幅の長波について,波形の突っ立ちと分散効果

とが釣り合う結果,定常波が形成されることを見出し,波列,および

孤立波を表わす解を求めました。

　非線形波動の研究は,その後あまり著しい発展を見ませんでした

が,ZabuskyとKruskal(1965)が数値実験によって,有限振幅の孤立波

がきわめて安定であり,あたかも１個の粒子のように挙動すること

を見出し,これをソリトン(soliton)と名づけたのを契機として,

新しい,そして目覚しい展開を見せるに至りました。

　以下,その発端となった非線形分散波を中心に有限振幅の水の波

について概観してみます。

　簡単のため,水の深さｈは一定で,かつ波はｘ軸方向にのみ変化

する１次元の波であるとします。

　まず,波を支配するラプラス方程式∇²Φ＝0 は,

∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0  となります。

　また,境界条件のうち,水底で∂Φ/∂ｎ＝0 はｚ＝－ｈで

∂Φ/∂ｚ＝0 です。

　ｚ＝ηでの境界条件:

∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋

(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)は,ｙ方向には無関係なので.

∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/)∂ｘ)

となります。

　η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²も,

∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0

となります。

　結局,有限振幅波の問題は,境界条件:ｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0,

ｚ＝ηで∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ),

および,∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0

の下で,方程式∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 を解く問題に帰着

します。

　微小振幅の場合は,非線形境界条件:

ｚ＝ηで∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ),

および,∂Φ/∂ｔ＋{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}/2＋ｇη＝0

が,ηを消去してｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0

の線形条件になります。

　これの一定振動数ωの解は,既に見たように

Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)で

η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ) です。

　ただし,Ａ≡－－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ))で,分散関係は

ｃ＝ω/ｋ＝{ｇtanh(ｋｈ)/ｋ}^1/2です。

　これは,浅水長波ｋｈ＜＜1の場合には,

tanh(ｋｈ)～ｋｈ－(ｋｈ)³/3＋2(ｋｈ)⁵/15－..

＝ｋｈ{1－(ｋｈ)²/3＋Ｏ[(ｋｈ)⁴]}　より,

ｃ＝ω/ｋ～ｃ₀{1－ｈ²ｋ²/6＋Ｏ(ｋ⁴)}

　ただし,ｃ₀≡√ｇｈ)と近似展開されます。

　波がいくつかの正弦波から構成される場合,

波の分散はそれぞれの正弦波が異なる速度で進むため波形

の変化を引き起こします。

　そして分散の強さは,浅水長波の場合:

ｃ＝ω/ｋ～ｃ₀{1－ｈ²ｋ²/6＋Ｏ(ｋ⁴)の右辺第２項の大きさ

ε≡ｈ²ｋ²＜＜1で表現されます。 

(※ここではεはエネルギー密度ではなく速度ｃの分散です。)

　一方,有限振幅波においては,波を構成する各正弦波が独立

ではなく,その間に非線形相互作用が働くため,線形の分散効果

と釣り合った場合には波形の変化が止まり,一定波形の定常波

が出現することが期待されます。

　そうした期待の下に,分散の強さεと同程度の大きさの振幅

を持つ弱い非線形波を仮定します。

　そして,線形近似の分散関係:ｃ＝ω/ｋ＝ｃ₀(1－ｈ²ｋ²/6)

(ｃ₀≡√ｇｈ)の下では,波の位相は

ｋｘ－ωｔ＝ｋ(ｘ－ｃ₀ｔ)＋ｃ₀ｈ²ｋ³ｔ/6　

となります。

　ｈｋ＝ε^1/2の小さい値に対して,波の時間的空間的変化を

正しく記述するには,

ｋｘ－ωｔ＝ｋ(ｘ－ｃ₀ｔ)＋ｃ₀ｈ²ｋ³/6

の右辺の各項が,それぞれ１程度になるような変換：

ξ≡ε^1/2(ｘ－ｃ₀ｔ),τ≡ε^3/2ｔを施せばいいことが

わかります。

　こうすれば,ｋ(ｘ－ｃ₀ｔ)＝ｋε^-1/2ξ＝ξ/ｈ,

ｃ₀ｈ²ｋ³ｔ/6＝ｃ₀ｈ²ｋ³ε^-3/2τ/6＝ｃ₀τ/(6ｈ)

と書けます。

　この変換は正方向に位相速度ｃ₀で動く座標系に乗ったこと

に相当しており,正方向の進行波を記述するのに適しています。
 

また,εに比例する小因子によって,ｘ座標と時間ｔが縮小

されていることは,ｘ軸方向,および時間方向にきわめて

ゆるやかな変化を扱うことに相当しています。

　例えば,1/Δτに対して,

1/Δｔ＝(1/Δτ)(Δτ/Δｔ)＝(1/Δτ)ε^3/2ｔ＜＜1/Δτ

です。

　波の振幅についてはεと同程度の弱い非線形波を考えています。

　η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²より,

η～ －ωｇ^-1Φ＝－(ｈ/ｇ)^1/2ｋΦ～ －ε^1/2Φ　です。

　Φ,およびηは,それぞれεのベキ級数:

Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝ε^1/2{Φ⁽¹⁾(ξ,ｚ,τ)＋εΦ⁽²⁾(ξ,ｚ,τ)＋..},

およびη(ｘ,ｔ)＝ε{η⁽¹⁾(ξ,τ)＋εη⁽²⁾(ξ,τ)＋..}

の形に書けるものとします。

　∂²Φ/∂ｘ²＝ε(∂²Φ/∂ξ²)ですから,上のΦのベキ展開式

を∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 の左辺に代入して,εの各ベキ

の係数をゼロと置けば,
　∂²Φ⁽¹⁾/∂ｚ²＝0,∂²Φ⁽ⁿ⁾/∂ｚ²＋∂²Φ^(n-1)/∂ξ²＝0(ｎ≧2)

が得られます。

　また,境界条件ｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0 は,

ｚ＝－ｈで∂Φ⁽ⁿ⁾/∂ｚ＝0(ｎ≧1)　です。

　そこで,境界条件を満たす解は,

Φ⁽¹⁾＝Φ⁽¹⁾(ξ,τ),

Φ⁽²⁾＝(－1/2)(ｚ＋ｈ)²{∂²Φ⁽¹⁾(ξ,τ)/∂ξ²}＋ｆ₁(ξ,τ),

Φ⁽³⁾＝(1/24)(ｚ＋ｈ)⁴(∂⁴Φ⁽¹⁾/∂ξ⁴)

－(1/2)(ｚ＋ｈ)²(∂²ｆ₁/∂ξ²)＋ｆ₂(ξ,τ),..,

と表現されます。

　ただし,ｆ₁,ｆ₂,..はξとτの任意関数です。

　途中ですが今日はここまでにします。

(参考文献):巽友正著「流体力学」(培風館)

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