記事リバイナル⑥「ブラウン運動とフラクタル次元」

※今年もまだ本調子じゃないので過去記事のおさらいからです。2006年5/26の過去記事「ブラウン運動とフラクタル次元」の再掲載です。※

　今日はブラウン運動と確率微分などについて少しの知見を書いてみようと思います。

　そもそもこういう話を最初に紹介してくれたのは,今は無きおｙ茶の水の現役高校生の予備校「明聖アカデミー」で知りあったS田先生です。彼はもともと宇宙航空関係の仕事をしていたらしいのですが,本当の専門はやはり私と同じく素粒子論だということでした。

　ただし,私より様々な自然科学分野の興味が広いらしいので教えてもらったことも多いですね。

　ただ,自然科学以外に興味を持たないのが彼の若干の欠点かもしれません。それでよく子供ができたものだと思います。（大きなお世話か？）

　彼の紹介してくれた話は,自然科学におけるブラウン運動は確率過程の一種であり,マルチンゲールと関わる株価変動の過程と非常に類似しているという内容のことです。

　確率微分方程式つまり,通常の微分ではなくて確定値をもたない確率変数による微分で積分を定義する伊藤積分を使用することにより,例えば確率分布を対数正規分布と仮定して株価を予測するブラック・ショールズ方程式(Black-Scholes)などを構成できるというものです。

　マルチンゲール(Martingale)というのは現在の時点で将来の期待値を予測計算すると,それは現在の値に等しいという性質のことで,何のことはない,将来を予測しても平均すると今と同じにしかならないということです。

　(ゼロ・サム(zero-sum)という意味でしょう。)

　マルチンゲールは,上に述べたように株価変動のような確率過程(stochastic process)は時間が経過していっても,結局,基本的には何も儲かることはない,というのが原点の話のようです。

　何か,株価を左右する作用因となるモデルを挿入しない限り,株価を予想することはできない,ということになる当たり前の話です。

　ブラック・ショールズのモデル式も理論的には「ノーベル経済学賞」をもらったほどの優秀な理論ですが,実用的意味で株価予測モデルとして使えるかどうかは,疑問です。

　実は,私も以前,保江邦夫氏の書いたブルーバックスを参照して,ブラック・ショールズモデルによる株価予測プログラムをエクセル(MS-Excel)で作ったことがあります。

　しかし,そのときの作用因は「月齢」というまったく非科学的で根拠のないものです。まあ,お遊びですから,月の満ち欠け次第で,株価が上がったり下がったりするというようなプログラムを作ってみただけです。

　一方,ブラウン運動の経路というのは,いたるところ微分不可能であるようなジグザグ曲線で,有限な領域を運動しているにも関わらず,その経路の長さは無限大になります。

　しかし,実は当然のことでブラウン運動の経路は曲線であるにも関わらず,ハウスドルフ次元(Hausdorff dimension)が１次元ではなくて２次元なのです。

　つまり,ブラウン運動の描くのは,見た目では曲線であるものの,ある意味で面を塗り潰しているようなものです。

　それは面積としてはいくら小さくても,その面積を全部,線の長さに変えてしまうと,長さとしては無限大になるというわけです。

　有名なところでは,ペアノ曲線(Peano Curve)というのがあります。これは平面や立体などを全部,曲線で覆うことができるというもので,ペアノの発見した驚くべき話です。

　一般に,トポロジー(topology:位相幾何学)の見方では,次元というのは写像に関しての不変量です。つまり,「集合をある連続写像で別の集合に写したときには,元の集合と写された集合の次元は全く同じでなければならない,のが当然である。」というわけです。

　したがって,トポロジー的(位相的)には「１次元の写像である曲線で２次元の面を覆う。」などというのは,"トンデモない話"であるわけです。

　このトポロジーでの,われわれが通常用いている空間３次元,平面２次元などの次元のことは位相次元といいます。

　では,なぜペアノ曲線などが有り得るのか？というと,それは次のような理由になります。

　トポロジーによると,２つの集合ＡとＢの間に「連続写像で,かつその逆写像も存在して連続である。」という同相写像の存在条件が満たされていることがＡとＢが同相(homeomorhic:位相同型)であるための必要十分条件です。

　そして,先の命題は,「同相な多様体(空間,集合)では,その次元も同じである。」ということを述べているに過ぎないわけです。

　したがって,花粉の運動から発見されたブラウン運動などは連続な曲線を描くのですが,いたるところ微分不可能な曲線である。ということは,「逆写像が存在して連続である。」というわけではないということになります。

　このブラウン運動の描く軌道曲線の写像は,当然ながら,トポロジーの意味で同相写像ではないということですね。

　ブラウン運動の曲線長さは有界変動ではないので,これを積分の測度として解析学などで普通に積分として使用されているルベーグ－スティルチェス積分(Lebesgue-Stieltjes integral)の線積分を定義しようとしても定義できません。

　そこで,有界変動でないものについても積分を定義できる方法を第２次大戦中だったか,その直後だったかに考え出したのが,日本の伊藤清氏です。

　彼の考案した確率積分を伊藤積分と呼びます。これはマルチンゲールの性質を満たしています。

　こうした特殊な積分では,積分和を作るのに微小積分区間の先頭の値を取るか,中央の値を取るか,後ろの値を取るか,によって極限値としての積分が異なるのですが,伊藤積分は先頭値を取ることによりマルチンゲールが成立するようになっています。

　中央値を取る積分はストラトノヴィッチ積分(Stratonovich integral)と呼ばれます。例えば量子力学での経路積分(path-integral)は,通常は中央値を用いて定義されるので,ストラトノヴィッチ積分に相当するものです。

  最近フラクタル(fractale)という話もよく聞きますが,フラクタル次元というのはハウスドルフ次元と同じような意味で使います。

　例えば,日本の国のある島の面積の値なら確かに測定することにより決めることができますが,その島の周りの長さというものは,いくら測定しても事実上決定することはできません。

　つまり,「島の周りの長さを測る物差しのサイズが小さければ小さいほど,その長さが大きい値に測定されてしまう。」ということが起こるからです。

　フラクタルというのは,三陸やフィヨルド(fjord)にあるような「リアス式海岸」の形に似ていて,図形の各部分が元の図形と相似である,つまり,図形の輪郭の細部を顕微鏡で見ると大きさは小さいが形は全体と全く同じ,というものです。

　こうしたフラクタル図形の周囲の長さを,非常に短い物差しで測ると,測り切れなくて,長さの総和は物差しのサイズがゼロの極限では無限大になってしまうことになります。

　厳密には,ハウスドルフ次元が,位相次元を超えるものが「フラクタル」と呼ばれるものです。

　長さというのは,位相次元が１の量なのに,それで測って無限大の長さになるということは,ハウスドルフ次元が"位相次元＝１"より大きいということです。

  ハウスドルフ次元の定義というのは,説明が結構むずかしいです。

　参考書によれば,

"ある図形を一辺の長さが高々δであるような位相次元ｓの微小部分のN 個の集まりとしたとき,H (ｓ)≡N・δ^s (δ→ 0, N→ ∞ )の値が,ｓ＜ｍなら無限大に, ｓ＞ｍではゼロとなるとき,その境界の ｍ をこの図形のハウスドルフ次元と呼ぶ。"

とあります。

　例えば,位相次元が２の正方形の各辺を等分すると,次元 ２の微小な正方形の集まりとなります。それを全部加えると,どんなに細分しても合計の面積は有限で同じ値になります。

　ところが,その面積を次元１の微小な線分の集まりとすると,通常はその全ての線分の長さの合計は無限大になります。

　一方,次元が３の立方体の集まりと考えると,体積としては常に高さがゼロなので総体積はゼロです。

　したがって,無限大とゼロの境界の次元２がハウスドルフ次元となると解釈されます。

　フラクタルとか,ブラウン運動とかではない通常の図形の場合なら,ハウスドルフ次元は位相次元と一致するわけですね。

生態系とロトカ・ヴォルテラ方程式

地震でゴタゴタしていますが,ちょっと気分転換？の科学記事として

生態系のモデル,あるいは"”食物連鎖＝弱肉強食の生存競争"の推移

を表わす数理生物学のモデルを紹介してみます。

以前,カオス(chaos)をもたらす非線型方程式の１つである

ロジスティック方程式(logistic equation)を紹介しました。

それは2006年７/20の記事「人口増加とロジスティック曲線」

ですが,これは人口の増加曲線がロジスティック方程式の解で

近似できると考えたものです。

以下では人口などの１つだけの個体数を対象としたロジスティック

方程式を複数の個体の増減を記述できるものに拡張した競争モデル

:ロトカ・ヴォルテラ(Lotka-Volterra)方程式を紹介します。

まず,過去のブログ記事「人口増加とロジスティック曲線」の必要

部分を再掲します。

※(再掲開始)

まず,全世界,または比較的出入りの少ない閉じた地域の現在の

人口をＮ人とし,Δｔ年間にＮ人とΔｔに比例して,ｋＮΔｔ人

だけ人口が増加するとします。

今の時刻(年)をｔとして,年間の人口増加率ｋがｋ＝ｂ－ｄ(ただし,

ｂは出生率,ｄは死亡率)で与えられる単純なモデルを想定するわけ

です。

ｋが一定であると仮定すると,(ｔ＋Δｔ)年の人口:Ｎ₁＝Ｎ＋ΔＮ

はΔＮ＝ｋＮΔｔによりＮ(1＋ｋΔｔ)となります。

同様に,さらにΔｔ年後の(ｔ＋2Δｔ)年の人口Ｎ₂は,

Ｎ₂＝Ｎ₁＋ｋＮ₁Δｔ＝Ｎ₁(1＋ｋΔｔ)＝Ｎ(1＋ｋΔｔ)²

です。

結局,時刻(ｔ＋ｎΔｔ)年の人口Ｎ_n人はＮ(1＋ｋΔｔ)ⁿになる

と予測されます。

ｋ＞0 であれば,正に人口はネズミ算的に増えてゆきますね。

Δｔが無限小:ｄｔならΔＮ/Ｎ＝ｋΔｔは,ｄＮ/ｄｔ＝ｋＮ

を意味します。

この微分方程式を解けばｔ＝0 での人口をＮ(ｔ＝0)＝Ｎ₀として

時刻ｔにおける人口は,Ｎ＝Ｎ(ｔ)＝Ｎ₀exp(ｋｔ)で与えられる

ということになります。

これを見るとｋ＞0 ならｔ→ ∞ではＮ→ ∞ですが,逆にｋ＜0

ならＮ→ 0 なのでやがて絶滅してしまいます。

しかし実際にはΔｔの間にはいろいろな災害や環境の変化など

があって,人口増加率ｋは一定でなくかなりの変化を受けると

考えられます。

一般に人間をも含む生物個体の増加は個体数Ｎが増えれば増える

ほど妨げられる傾向がありますから,

それは増加率がｋ＝(一定)からｋ(1－αＮ)(α＞0)になるような

効果で表わすことができます。

このモデルはロジスティックモデル(logistic model)と呼ばれます。

例えば島のような限られた地域に単一の装飾動物のみが生息

していて,そこにある植物を食べることだけで生きているなら,

その生物の数が増加し過ぎると食料が不足し,結果,個体の増加

が抑制されるでしょう。

実は地球全体も食料の限られた領域と考えることができます。

そして,このモデルによると,増加率:ｋ(1－αＮ)(α＞0)において

αＮ＞1なら人口(個体総数)Ｎは増加し,逆ならＮは減少しますね。

これは,Ｎに対する微分方程式の形では,ｄＮ/ｄｔ＝ｋＮ(1－αＮ)

という非線型微分方程式になります。

これを解くと,Ｎ＝Ｎ(ｔ)＝Ｎ₀/[αＮ₀{1－exp(αｔ)}＋exp(αｔ)],

あるいは,N(ｔ)＝(1/α)/[1＋{1/(αＮ₀)－1}exp(－ｋｔ)]です。

　これの描く(Ｎ-ｔ)曲線をロジスティック曲線(logistic-curve)と

　呼びます。

　(下にその曲線を図示します。:

　他のホームページから借用した図なので縦軸は世界人口と特定されて

　いますが,単一の生物の個体数で置き換えることもできます。)

これを見ると,ｔ → ∞ の極限では,Ｎ → １/αとなり人口

(個体総数)Ｎは,ある一定の極限値に到達します。

そして,それ以上は増加も減少もしません。

この,ロジスティックモデルは実際に生態学(ecology)において

個体の増加減少の履歴と一致する例が多々あり,人口にも適用で

きると考えられています。

これは,正に「増え過ぎた生物は抑制される」という自然の摂理

(＝神の摂理)を体現するモデルの一つになっています。

人類は,自然界に天敵がいないことや医学の進歩,軍縮などによる

戦争の減少？etc.によって,この摂理を次第に破壊し結果的に生態

系を破壊しつつあると思われます。

やがては,この神の摂理の破壊の報いを受けるかも知れません。

ところで,ロジスティック微分方程式のｄｔ＝Δｔの刻みを調節

し中心差分の差分方程式として離散化すると,ｋの値によっては

ｔが大きいところで解が不安定な人口増減振動をするカオス現象

を起こすことが知られています。

この不安定性は数値解析の目的で"離散化＝差分化"を行なったた

めに生じたものですが,現実の現象のモデルとしては時間刻みが

無限小の微分方程式よりも時間刻み有限の差分方程式の方が適切

かも知れません。

カオス(chaos)の例としては上記のロジスティック模型:

ｘ_n+1＝ａｘ_n (1－ｘ_n)は典型的なものです。

(※注:上記ロジスティックモデル式の差分形は,

ΔＮ/Δｔ＝ｋＮ(1－αＮ)ですが,この差分方程式の

関数方程式(＝数列の漸化式)としての形は,明らかに,

Ｎ_n+1＝Ｎ_n＋ｋＮ_n(1－αＮ_n)Δｔ

＝Ｎ_n(1＋ｋΔｔ－αｋＮ_nΔｔ)　です。

そこで,ａ＝1＋ｋΔｔ,ｘ_n ＝αｋＮ_n/(1＋ｋΔｔ)とおいて,

Ｎ_n+1＝Ｎ_n(1＋ｋΔｔ－αｋＮ_nΔｔ)の両辺に,

αｋ/(1＋ｋΔｔ)を掛けることにより,直ちに

ｘ_n+1＝ａｘ_n (1－ｘ_n)の形になります。(注終わり※)

ｘ_n+1＝ａｘ_n (1－ｘ_n)は,時間刻みΔｔの選択に相当する

ａ＝1＋ｋΔｔ,の値の選択によっては,

「リー・ヨーク(Li-Yorke)の定理」にあるカオス発生条件

を満たします。

参考文献:山口昌也 著「カオス入門」(朝倉書店),山口昌也 編著「数値解析と非線型現象」(日本評論社)

(再掲終了)※

　さて,本日の新記事としては,上記「ロジスティックモデル」

　の内容を要約することから始めます。

　まず,全世界,あるいは外部から流出入のない閉じた地域の

　個体数(人口)をＮとします。

　１年当たりの出生率をｂ,死亡率をｄとして個体の増加率:

　ｋ＝ｂ－ｄが一定であるとすると,

　Δｔ年間にＮに比例して,

　ΔＮ＝(ｋΔｔ)Ｎだけ増加するという単純なモデル:

　ｄＮ/ｄｔ＝ｋＮを考えることができて,これの解は

　Ｎ＝Ｎexp(ｋｔ)となります。

　これから,ｋ＝ｂ－ｄ＞0 :(出生率)＞(死亡率)なら,

　個体はネズミ算的に増加し,逆にｋ＜0:(出生率)＜(死亡率)

　なら絶滅するという単純指数モデルを得ます。

　しかし,実際には自然界の外部環境:空気,水,土地や気候などは,

　個体数に依らず一定であっても,個体数が増えすぎると食料不足

　など他に増加を妨げる環境要素が存在して,現実のｋ＝ｂ－ｄ

　＝(出生率)－(死亡率)は一定ではありません。

　この効果を増加率が個体数Ｎに比例して減少するとして,

　ｂ－ｄ＝ｋ(1－αＮ)(α＞0)で表現したものが,

　ロジスティック方程式ｄＮ/ｄｔ＝ｋＮ(1－αＮ)です。

　例えば,人間のように天敵がいない(※実はウィルスなどバクテリア

　まで考えると天敵はいます)とか,肉食動物が侵入しないごく小さな

　閉じた地域に１種類の草食動物しかいないというような場合にこの

　モデルはかなりうまく適合するようです。

　しかし,今まで１種類の"個体＝草食動物"しかいなかった地域

　に別地域からこの動物を捕えて食料とする個体＝肉食動物が

　侵入した場合を想定すると事態は変わってきます。

　この場合の個体数の増減を記述するために,

　"元々いた個体＝草食動物"に番号１を付け"他から侵入して

　これを捕食する個体＝肉小動物"に２を付けて区別して,

　各々の個体数をそれぞれＮ₁,Ｎ₂で記述することにします。

　ロジスティックモデルでは個体１の数Ｎ₁はΔｔ年間に,

　ｋ₁Ｎ₁(1－α₁Ｎ₁)Δｔだけ増加するとしたのですが,

　これを食べる個体２が存在する場合,この増加率ｋ₁(1－α₁Ｎ₁)

　がｋ₁(1－α₁Ｎ₁－β₁₂Ｎ₂/ｋ₁)に変わるというモデルを考えます。

　すなわち,Δｔ年間の個体１の増加分ΔＮ₁はＮ₂＝0であった頃は

　ΔＮ₁＝ｋ₁Ｎ₁(1－α₁Ｎ₁)Δｔでしたが,

　個体２の存在:Ｎ₂＞0 により,これに加えてさらにＮ₁,Ｎ₂の双方に

　比例するβ₁₂Ｎ₁Ｎ₂Δｔだけの個体１の数Ｎ₁の減少があると考え,

　ΔＮ₁＝ｋ₁Ｎ₁(1－α₁Ｎ₁)Δｔ－β₁₂Ｎ₁Ｎ₂Δｔ

　＝ｋ₁Ｎ₁(1－α₁Ｎ₁－β₁₂Ｎ₂/ｋ₁)Δｔ

　とするわけです。

　こうするとＮ₁に対する時間発展はΔｔを無限小のｄｔとした

　微分方程式形では,ｄＮ₁/ｄｔ＝ｋ₁Ｎ₁(1－α₁Ｎ₁－β₁₂Ｎ₂/ｋ₁)

　となります。

　逆に,個体２の方はロジスティックモデルでは増加分が

　ΔＮ₂＝ｋ₂Ｎ₂(1－α₁Ｎ₂)Δｔですが,

　これに,捕食による増加の効果β₂₁Ｎ₂Ｎ₁Δｔを加えて,

　ｄＮ₂/ｄｔ＝ｋ₂Ｎ₂(1－α₂Ｎ₂＋β₂₁Ｎ₁/ｋ₂)とします。

　今のところは,ｋ₁＞0,ｋ₂＞0,β₁₂＞0,β₂₁＞0

　と仮定しています。

　こうして個体１,２の増減を示すモデルとして,

　非線型な連立微分方程式:

　ｄＮ₁/ｄｔ＝ｋ₁Ｎ₁(1－α₁Ｎ₁－β₁₂Ｎ₂/ｋ₁)..(1),

　ｄＮ₂/ｄｔ＝ｋ₂Ｎ₂(1－α₂Ｎ₂＋β₂₁Ｎ₁/ｋ₂)..(2)

　が得られました。

　次に,これを解くことを考えます。

　まず,(1)×β₂₁と(2)×β₁₂を加えると,

　β₂₁(ｄＮ₁/ｄｔ)＋β₁₂(ｄＮ₂/ｄｔ)

　＝ｋ₁β₂₁Ｎ₁(1－α₁Ｎ₁)＋ｋ₂β₁₂Ｎ₂(1－α₁Ｎ₂)

　となります。

　つまり,ｄ(β₂₁Ｎ₁＋β₁₂Ｎ₂)/ｄｔ

　＝(ｋ₁β₂₁Ｎ₁＋ｋ₂β₁₂Ｎ₂)－(ｋ₁β₂₁α₁Ｎ₁²－ｋ₂β₁₂α₂Ｎ₂²)..(3)

　です。

　一方,(1)×(ｋ₂/Ｎ₁)－(2)×(ｋ₁/Ｎ₂)から,

　(ｋ₂/Ｎ₁)(ｄＮ₁/ｄｔ)－(ｋ₁/Ｎ₂)(ｄＮ₂/ｄｔ)

　＝ｋ₁ｋ₂(1－α₁Ｎ₁－β₁₂Ｎ₂/ｋ₁)－ｋ₁ｋ₂(1－α₂Ｎ₂＋β₂₁Ｎ₁/ｋ₂)

　＝－(ｋ₁β₂₁Ｎ₁＋ｋ₂β₁₂Ｎ₂)－ｋ₁ｋ₂(α₁Ｎ₁－α₂Ｎ₂)

　が得られます。

　つまり,ｄ(ｋ₂logＮ₁＋ｋ₁logＮ₂)/ｄｔ

　＝－(ｋ₁β₂₁Ｎ₁＋ｋ₂β₁₂Ｎ₂)－ｋ₁ｋ₂(α₁Ｎ₁－α₂Ｎ₂)..(4)

　です。

　(3)と(4)を加えると,

　(ｄ/ｄｔ)(β₂₁Ｎ₁＋β₁₂Ｎ₂＋ｋ₂logＮ₁＋ｋ₁logＮ₂)

　＝－ｋ₁ｋ₂(α₁Ｎ₁－α₂Ｎ₂－(β₂₁ｋ₁α₁Ｎ₁²－β₁₂ｋ₂α₂Ｎ₂²)..(5)

　となります。

　一般には,これ以上解析的に解くのは困難です。

　しかし,基本方程式系:

　ｄＮ₁/ｄｔ＝ｋ₁Ｎ₁(1－α₁Ｎ₁－β₁₂Ｎ₂/ｋ₁)(1),

　ｄＮ₂/ｄｔ＝ｋ₂Ｎ₂(1－α₂Ｎ₂＋β₂₁Ｎ₁/ｋ₂)(2)

　の右辺の増加率において,

　Ｎ₁,Ｎ₂による２次の効果のうち他の動物による以外の環境による

　減衰項:－ｋ₁α₁Ｎ₁²,－ｋ₂α_２Ｎ₁²が,被食捕食関係の効果:

　－β₁₂Ｎ₁Ｎ₂,β₂₁Ｎ₁Ｎ₂に比べて無視できるほど小さい場合なら,

　α₁＝α₂＝0 の近似で解析的方法で解くこともできます。

　すなわち,基本方程式(1),(2)は,それぞれ,

　ｄＮ₁/ｄｔ＝ｋ₁Ｎ₁(1－β₁₂Ｎ₂/ｋ₁)..(1)',

　ｄＮ₂/ｄｔ＝ｋ₂Ｎ₂(1＋β₂₁Ｎ₁/ｋ₂)..(2)'

　に変わります。

　これはロトカ・ヴォルテラ(Lotka-Volterra)方程式と呼ばれます。

　これは,例えば草食動物が食べる草は無尽蔵にあって２種の動物

　以外には増加率(生死)に影響を与える外部環境はないとするもの

　です。

　この方程式系では式(5):

　(ｄ/ｄｔ)(β₂₁Ｎ₁＋β₁₂Ｎ₂＋ｋ₂logＮ₁＋ｋ₁logＮ₂

_＝－ｋ₁ｋ₂(α₁Ｎ₁－α₂Ｎ₂)－(β₂₁ｋ₁α₁Ｎ₁²－β₁₂ｋ₂α₂Ｎ₂²)

　は,右辺でα₁＝α₂＝0 なので,

　Ｈ≡β₂₁Ｎ₁＋β₁₂Ｎ₂＋ｋ₂logＮ₁＋ｋ₁logＮ₂と置けば

　ｄＨ/ｄｔ＝0 になります。

　すなわち,Ｈ＝β₂₁Ｎ₁＋β₁₂Ｎ₂＋ｋ₂logＮ₁＋ｋ₁logＮ₂は,

　力学などでのエネルギーのように時間的に一定な保存量

　(constant)です。

　あるいは,Ｈ＝log[exp(β₂₁Ｎ₁＋β₁₂Ｎ₂)]＋ｋ₂logＮ₁＋ｋ₁logＮ₂

＝log[Ｎ₁^k2Ｎ₂^k1exp(β₂₁Ｎ₁＋β₁₂Ｎ₂)]なので,

　Ａ≡Ｎ₁^k2Ｎ₂^k1exp(β₂₁Ｎ₁＋β₁₂Ｎ₂)が保存量であるということも

　できます。

　(β₂₁Ｎ₁＋ｋ₂logＮ₁)＋(β₁₂Ｎ₂＋ｋ₁logＮ₂)＝Ｃ₁(一定),

　あるいはＮ₁^k2exp(β₂₁Ｎ₁)×Ｎ₂^k1exp(β₂₁Ｎ₁)＝Ｃ₂(一定)

　(ｋ₁＞0,ｋ₂＞0,β₁₂＞0,β₂₁＞0)ですから,

　通常はＮ₁が増えればＮ₂が減少しＮ₂が増えればＮ₁が減少する

　という関係にｂなっています。

　しかし,Ｎ₁が減少し過ぎるとそれを食べるＮ₂の食料が不足になり,

　その増加にブレーキがかかり,その結果Ｎ₁が増加に転じます。

　これは自然界の関係をうまく表現していると思います。

　実際に被食捕食関係にある２個体数の年ごとの変動を示す履歴

　データがあれば,それとこのモデル式を比較して,例えば,

　非線型最小二乗法によりｋ,βなどのパラメータフィッティング

　を行なえばかなり合理的な予測曲線が得られると期待できます。

　さて,ここで外部環境の影響も無視しない一般的な

　２個体の基本方程式系:

　ｄＮ₁/ｄｔ＝ｋ₁Ｎ₁(1－α₁Ｎ₁－β₁₂Ｎ₂/ｋ₁)..(1),

　ｄＮ₂/ｄｔ＝ｋ₂Ｎ₂(1－α₂Ｎ₂＋β₂₁Ｎ₁/ｋ₂)..(2)

　(ｋ₁＞0,ｋ₂＞0,β₁₂＞0,β₂₁＞0)

　に戻ります。

　これはパラメータβ₁₂,β₂₁の符号にこだわらず,

　(2)式でのβ₂₁＞0を－β₂₁＞0 と定義し直せば

　ｄＮ₁/ｄｔ＝ｋ₁Ｎ₁(1－α₁Ｎ₁－β₁₂Ｎ₂/ｋ₁),

　ｄＮ₂/ｄｔ＝ｋ₂Ｎ₂(1－α₂Ｎ₂－β₂₁Ｎ₁/ｋ₂)となり,

　個体１と２の方程式形が同じ(対等な形)になります。

　そこで,３個体なら方程式系を,

　ｄＮ₁/ｄｔ＝ｋ₁Ｎ₁{1－α₁Ｎ₁－(β₁₂Ｎ₂＋β₁₃Ｎ₃)/ｋ₁},

　ｄＮ₂/ｄｔ＝ｋ₂Ｎ₂{1－α₂Ｎ₂－(β₂₁Ｎ₁＋β₂₃Ｎ₃)/ｋ₂},

　ｄＮ₃/ｄｔ＝ｋ₃Ｎ₃{1－α₃Ｎ₃－(β₃₁Ｎ₂＋β₃₂Ｎ₂)/ｋ₃}

　と拡張すできると考えられます。

　さらに,一般にｎ個体に対する方程式系としては,

　ｄＮ_j/ｄｔ＝ｋ_jＮ_j{1－α_jＮ_j－(Σ_k=1ⁿβ_jkＮ_k)/ｋ_j}

　;ｊ＝1,2,..、ｎ,ただしβ_jj＝0 ..(6)

　と一般化できます。

　しかしながら,もしもバクテリア,プランクトンをも含む植物,動物

　の全生物を対象とするなら生物の種類ｎは膨大な数になりますが,

　自分以外に全く他の生物と無関係な外部パラメータなどは存在し

　得ないので全てのα_jをゼロと考えることができます。

　すると,全ｎ個体数に対する方程式系:

　ｄＮ_j/ｄｔ＝ｋ_jＮ_j{1－α_jＮ_j－(Σ_k=1ⁿβ_jkＮ_k)/ｋ_j}

　(ｊ＝1,2,..、ｎ)..(6)

　は,ｄＮ_j/ｄｔ＝ｋ_jＮ_j[1－(Σ_k=1ⁿβ_jkＮ_k)/ｋ_j]

　＝Ｎ_j(ｋ_j－Σ_k=1ⁿβ_jkＮ_k)(ｊ＝1,2,..、ｎ)

　となります。

ここで,Ｎ₁,Ｎ₂,..,Ｎ_nを未知数とする定数係数の連立１次方程式:

ｋ_j－Σ_k=1ⁿβ_jkＮ_k＝0,つまりΣ_k=1ⁿβ_jkＮ_k＝ｋ_j(ｊ＝1,2,..、ｎ)

が解Ｎ₁⁰,Ｎ₂⁰,..,Ｎ_n⁰を持つとします。

さらにｘ_j≡log(Ｎ_j/Ｎ_j⁰)と置いてｔで微分すると.

ｄｘ_j/ｄｔ＝(1/Ｎ_j)(ｄＮ_j/ｄｔ)＝ｋ_j－Σ_k=1ⁿβ_jkＮ_k

＝Σ_k=1ⁿβ_jk(Ｎ_k⁰－Ｎ_k)＝Σ_k=1ⁿβ_jkＮ_k⁰(1－Ｎ_k/Ｎ_k⁰)

＝Σ_k=1ⁿβ_jkＮ_k⁰{1－exp(ｘ_k)}＝ｋ_j－Σ_k=1ⁿβ_jkＮ_k⁰exp(ｘ_k)

です。

一方,ｄ{exp(ｘ_j)}/ｄｔ＝exp(ｘ_j)(ｄｘ_j/ｄｔ)ですから,

ｄ{ｘ_j－exp(ｘ_j)}/ｄｔ＝ｄｘ_j/ｄｔ－ｄexp(ｘ_j)/ｄｔ

＝Σ_k=1ⁿβ_jkＮ_k⁰{1－exp(ｘ_j)}{1－exp(ｘ_k)}　です。

それ故,Ｇ≡Σ_j=1ⁿＮ_j⁰{ｘ_j－exp(ｘ_j)}と置けば,

ｄＧ/ｄｔ＝Σ_j=1ⁿΣ_k=1ⁿ[β_jkＮ_j⁰Ｎ_k⁰{1－exp(ｘ_j)}{1－exp(ｘ_k)}]

＝0 を得ます。

なぜなら,右辺を,Σ_j=1ⁿΣ_k=1ⁿＱ_jk ;

Ｑ_jk≡β_jkＮ_j⁰Ｎ_k⁰{1－exp(ｘ_j)}{1－exp(ｘ_k)}と書けば,

単なる添字ｊ,ｋの交換に対して総和は不変なのに,

Ｑ_kj≡－Ｑ_jkによって符号を変えるからです。

よってＧ＝Σ_j=1ⁿＮ_j⁰{ｘ_j－exp(ｘ_j)}は保存量です。

私が思うに,これは例えばアメリカ大陸西海岸で起きたの地震が

タイムラグもなく瞬時に日本の太平洋岸に津波をもたらすと考

えるような伝播速度を無限大とする拡散型方程式です。

それ故,これは古典力学なら,伝播速度を無限大とするニュートン

力学に相当し伝播速度有限の相対論は考慮されてないようなもの

です。

話は変わりますが,かつてのヨーロッパで論じられていた古典

経済学でも,世界はイギリスやドイツが中心のヨ－ロッパだけ

で閉じていました。

交通,通信手段による伝播は瞬時でタイムラグによる資本主義

の不均等発展の結果としての発展途上国の存在,

今のように自国の矛盾をそうした他国にしわ寄せして生きのびる

という面を無視したものでしたネ。

今,問題としている生態系モデルも,はるか遠方の個体の増減が

当該地域に伝播するまでの速度やタイムラグをパラメータの中

に考慮できるほどの精度はまだないと思います。

また,地球上には金属や鉱石など無機物を食料とするような生命体

は存在しないと思っています。

機械,ロボットの存在が生物に影響を及ぼしても空気や水と同じく

その効果は個々の個体の数には依存しないはずです。

植物も動物の排泄した糞尿など有機肥料のみを糧とするような

自然な生態系では,それは地球自体の経年変化以上には変化しない

はずなのですが,食物連鎖の中に人間が手を加えた化学合成の肥料

などが入るというのはどうなんでしょうかね？

ゴミであっても合成されたものではない糞尿や果物の種,皮,料理

に用いた野菜の残りなど有機ゴミであれば道端に投棄しても自然

に風化して自然に帰るはずなんですが,都会の道端にはもはや土は

なく舗装されてコンクリートばかりだったりします。

参考文献:戸田盛和 著「非線型問題30講」(岩波書店)

PS:３月18日(金)の朝です。

昨年８月に引っ越してから半年余りが経ちました。

部屋の中の物の配置が引越し時のままで別に何も考えていません

でしたが地震を機会に整理をしようと思い付きました。

疲れやすい体で重いものを運ぶのは無理でも１日30分でも１時間

でもコツコツと大きいものも少しずつ動かして自分自身が生活し

やすい空間にしたいと,昨日(17日)から模様替えを始めました。

ついでにブログでの過去記事の整理で訃報や芸能人関連を中心に

使用可能な顔写真の挿入作業も始めました。

PS2：私は,有機物と無機物の区別については,生物が関連する物質を有機物,それ以外を無機物という程度の認識しかありませんでした。

　これでは,本文の"また,地球上には金属や鉱石など無機物を食料とするような生命体は存在しないと思っています。"という内容は単に同義語反復の意味でのトートロジーであり無意味でしたね。

　なお,化学大事典によれば以下の通りらしいです。これ,定義というにはかなり曖昧ですが,この程度でいいのでしょうか？

(PDF:http://www.prtr.nite.go.jp/prtr/pdf/clasexp.pdf より)

１.無機化合物

　比較的小数の簡単な炭素化合物（炭素の酸化物、シアンなど）以外の炭素化合物,すなわち一般に有機化合物と通称している化合物を除いた全ての化合物を言う。

　炭素以外の元素のみを含む化合物,及び炭素化合物でも比較的簡単な化合物,例えば酸化物(ＣＯ₂,ＣＯ,Ｃ₃Ｏ₂など),シアン(ＣＮ)及びシアン化物(Ｃ₂Ｎ₂,ＫＣＮ,Ｎａ₃Ｆｅ(ＣＮ)₆など),チオシアン酸塩(ＮａＳＣＮなど),炭酸塩(Ｋ₂ＣＯ₃,ＫＨＣＯ₂など)などを総称して言う。

　ただし,簡単な炭素化合物といっても塩化物(ＣＣｌ₄など),硫化物(ＣＳ₂など)などでは,いわゆる有機物としての性質が強く,有機化合物に分類されることが多い。

　また,シュウ酸塩や酢酸塩のようにいずれにも分類しうるものもある。[化学大事典(共立出版株式会社)より抜粋]

２.有機化合物

　有機化合物の定義は歴史的な変遷があり,現在では大体炭素化合物と同意語のように慣用されている。

　無数といって良いほどの有機化合物も構成している元素の種類は非常に少なく,Ｃ,Ｈの２元素から成るもの,Ｃ,Ｈ,ＯあるいはＣ,Ｈ,Ｎの３元素から成るもの,及びＣ,Ｈ,Ｎ,Ｏの４元素から成るものが圧倒的に多い。

　これら４元素の他に,Ｓ,Ｐ,ハロゲン(Ｆ,Ｃｌ,Ｂｒ,Ｉ)を含むものも多く,Ｂ,Ｓｉ等を含むもの,各種金属を含む有機金属化合物も知られている。

　現在の慣用では炭素化合物の全てを有機化合物とは言わない。一酸化炭素,二酸化炭素,炭酸及びその塩類などは無機化合物として扱われている。

　炭素化合物の内Ｃ-Ｈ結合を含むものを有機化合物とするという定義もあるが,これも厳密なものではなく,例えばシュウ酸はＣ-Ｈ結合を含まないが有機化合物として取り扱われる。

　四塩化炭素,ホスゲン,シアンなどは中間的なもので有機化合物として取り扱うこともあり,無機化合物として取り扱うこともある。[化学大事典(共立出版株式会社)より抜粋]

量子テレポーテーション(ネルソン方程式:テスト）

　　エクセル　「量子テレポーテーション」　テストです。。。

　エクセル・ファイルと図が出たらF９を押してみてください。

　マクロ(Macro)を使っているので,エクセル(MS-Excel)がインストールされていて"マクロを使用する"というオプションになっていれば,テレポートします。

　つまり,量子論を確率過程と見なす,ネルソン(Nelson)方程式を模式化してExcelプログラミングとして,入力しているので,時間軸に沿う軌道が,突然,確率的に変動してテレポートするように見えます。

　最後に,×印をクリックしてファイルを閉じるときは,「変更を保存しますか？」というメッセージボックスが出ます。

　"保存する＝はい。"を押しても別に何も不都合は起きませんが,ファイルが閉じず,メッセージボックスも閉じないと思われるので,最後には"変更を保存しない(変更を破棄する)"＝"いいえ"を押してください。

　このファイル壊れたり無くなったりしても元があるのでかまいませんが。。

　あまり変節すると,この記事の意図するところが伝わらなくなるので。。。

参考文献:保江 邦夫 著「Excelで学ぶ量子力学－量子の世界を覗き見る確率力学入門(ブルーバックス)」(講談社),長澤 正雄 著「シュレーディンガーのジレンマと夢」(森北出版),

　保江邦夫 著「量子の道草－方程式のある風景」(日本評論社),保江 邦夫 著「Excelで学ぶ金融市場予測の科学(ブルーバックス)」(講談社)

空気分子の大きさ(アインシュタインとブラウン運動)

　地球大気の温室効果について段階的に論じていこうと思います。

　まずは,私自身が"自己満足"して納得するため,2006年11/21の記事「地球の平均気温とステファン・ボルツマンの法則」において,温室効果を無視した地球平均気温(＝約－18℃)という定量的評価のための材料とした「太陽からの輻射に対するアルベド(albedo:反射率)が30～31％であること」の理論的根拠などから論じてゆきます。

　今日は,まず太陽から地球に放射される光が地球表面で散乱され減衰することと関連して,大気圏での主要な散乱体である"主に窒素と酸素から構成された空気分子"の大きさを評価することから始めます。

　そのための方法として植物学者ブラウン(Brown)の「花粉の水中運動の永久性＝ブラウン運動"の発見(1829)」に対する「アインシュタイン(Einstein)の解明(1905)」の話から始めようと思います。

　媒質中のブラウン粒子の運動を位置座標のｘ成分の軌道で代表させると,その運動方程式はｕ≡ｄｘ/ｄｔとしてｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝Ｘ(ｔ)－ｕ/μで与えられると考えられます。

ここにｍは対象粒子の質量,Ｘ(ｔ)は媒質からその粒子にかかる力のｘ成分,μは易動度と呼ばれる量で,ｕ/μが媒質の速度に比例する摩擦力となるようなケースでの比例係数の逆数です。

ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝Ｘ(ｔ)－ｕ/μの左辺がゼロの定常状態に達した場合ならｕ＝μＸですが,これが易動度という言葉の意味ですね。

流体力学のストークス(Stokes)の抵抗法則によれば,ブラウン粒子を半径ａの球と仮定しηを媒質の粘性率とすると,この程度のレイノルズ数では 1/μ＝6πηａと書けるはずです。

ストークスの法則の詳細は,2007年７/27の「遅い粘性流(1)(Stokes近似）」,および2007年７/28の記事「遅い粘性流(2)(Stokes近似） 」

そして,それに続く2007年７/31の記事「遅い粘性流(5)(Stokes近似）」を参照してください。

ブラウン運動の方程式:ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝Ｘ(ｔ)－ｕ/μはランジュバン(Langevin)方程式:ｄｕ/ｄｔ＝－γｕ－Ｒ(ｔ)/ｍ (Ｒ(ｔ)は"ゆらぎ＝揺動",または雑音の影響を表わす量)と同じものです。

ランジュバン方程式については非平衡統計力学の線型応答理論に関連した2007年７/20の記事「揺動散逸定理 」を参照してください。

運動方程式:ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝Ｘ(ｔ)－ｕ/μ (ｕ＝ｄｘ/ｄｔ)の両辺にｘ＝ｘ(ｔ)を掛けてｔについて0からｔまで積分すると,左辺はｍ∫₀^t(ｘｄｕ/ｄｔ)ｄｔ＝ｍ∫₀^t(ｘｄ²ｘ/ｄｔ²)ｄｔ＝[ｍｘｄｘ/ｄｔ]₀^t－ｍ∫₀^t(ｄｘ/ｄｔ)²ｄｔです。

一方,右辺は∫₀^tＸｘｄｔ－(1/μ)∫₀^t(ｘｄｘ/ｄｔ)ｄｔ＝∫₀^tＸｘｄｔ－(1/μ)∫₀^t[ｄ/ｄｔ{ｘ²/2}]ｄｔ＝∫₀^tＸｘｄｔ－(1/μ)[ｘ²/2]₀^tとなります。

したがって,[ｍｘｕ]₀^t－ｍ∫₀^tｕ²ｄｔ＝∫₀^tＸｘｄｔ－(1/μ)[ｘ²/2]₀^tを得ます。

ところが,ｔが十分長ければ右辺第１項∫₀^tＸｘｄｔはＸ(ｔ)が正負の全くランダムな値を取るために消えるはずです。

そして,統計力学のエネルギー等分配の法則により長時間平均の意味でｍ∫₀^tｕ²ｄｔ＝(ｔ＜ｍｕ²＞)_t→∞＝ｋ_BＴｔとなります。ここにｋ_Bはボルツマン(Boltzmann)定数,Ｔは絶対温度です。

そこで,ｔ→ ∞では[ｍｘｕ]₀^t－ｋ_BＴｔ＝－(1/μ)[ｘ²/2]₀^tです。それ故,大きいｔで[ｍｘｕ]₀^tが省略できる場合には＜ｘ²＞_AV≡([ｘ²]₀^t)_t→∞＝2μｋ_BＴｔとなります。

こちらの＜ｘ²＞_AVは,前の＜ｍｕ²＞のような長時間平均ではなく時刻ｔにおける相空間平均(確率平均)です。

実際,＜ｕ²＞^1/2～ (ｋ_BＴ/ｍ)^1/2ですがエルゴード性により時刻ｔにおける空間平均という意味でもｕ～ (ｋ_BＴ/ｍ)^1/2ですから,ｘ ～(2μｋ_BＴｔ)^1/2であれば,＜ｍｘｕ＞_AV＝[ｍｘｕ]₀^t～ｋ_BＴ(2ｍμｔ)^1/2となります。

そこで,[ｍｘｕ]₀^tの値は大きいｔに対してｔ^1/2のオーダーですからｔと比較して省略できることがわかります。

一方,ブラウン運動を時間τごとに微小長さを進む酔歩の問題と考えると次のように考察されます。

これは私のブログでは既にずいぶん前に考察済みです。

2006年９/14のブログ記事「酔歩(ランダム・ウォーク) 」から該当部分を多少修正して再掲します。

※(再掲開始)

１次元ではｘ軸の上で左右どちらにも１歩ずつ動くことができて１歩の長さが一定値λであるとします。そして左右どちらかに進む確率は両側共に1/2であるとします。

ｘ軸の原点から出発しててＮ歩の後にｘ＝ｎλ(－Ｎ≦ｎ≦Ｎ)の位置にいる確率をＰ(ｎ,Ｎ)とすると,正の向きにＮ⁺,負の向きにＮ^-歩いてｘに到達するとした場合の数がＮ!/(Ｎ⁺!Ｎ^-!)ですから,Ｐ(ｎ,Ｎ)＝{Ｎ!/(Ｎ⁺!Ｎ^-!)}(1/2)^Nとなるはずです。

ただし,Ｎ⁺＋Ｎ^-＝Ｎ,Ｎ⁺－Ｎ^-＝ｎなので単純に計算するとＮ⁺＝(Ｎ＋ｎ)/2,Ｎ^-＝(Ｎ－ｎ)/2ですが,Ｎ＋ｎとＮ－ｎは一方が奇数なら他方も奇数,一方が偶数なら他方も偶数です。これらが偶数でなければ負でない整数なることが必要なＮ⁺もＮ^-も存在しません。 

したがって,Ｎ－ｎが偶数のときにはＰ(ｎ,Ｎ)＝{Ｎ!/(Ｎ⁺!Ｎ^-!)}(1/2)^N(Ｎ⁺＝(Ｎ＋ｎ)/2,Ｎ^-＝(Ｎ－ｎ)/2)ですが,Ｎ－ｎが奇数のときにはＰ(ｎ,Ｎ)＝0 です。

ここで,ｎが非常に大きいときのスタ－リングの公式:ｎ!～(2π)^1/2exp(－ｎ)ｎ^(ｎ+1/2),あるいはlog(ｎ!)～(1/2)log(2π)＋(ｎ＋1/2)log(ｎ)－ｎを使用します。

Ｎ－ｎが偶数でＮが非常に大きいとすれば,Ｎ⁺＝(Ｎ＋ｎ)/2,Ｎ^-＝(Ｎ－ｎ)/2も非常に大きいことになってlog{Ｐ(ｎ,Ｎ)}～ －Ｎlog2＋ＮlogＮ－Ｎ⁺logＮ⁺－Ｎ^-logＮ^-＋(1/2)log(2π)＋(1/2)(logＮ－logＮ⁺－logＮ^-)＝(1/2)log{2/(πＮ)}－(Ｎ/2)[{1＋(ｎ＋1)/Ｎ}log{1＋(ｎ/Ｎ)}＋{1＋(1－ｎ)/Ｎ}log{1－(ｎ/Ｎ)}]です。

ここで,ｎ＜＜Ｎと考えて上のα＝ｎ/Ｎの対数関数において,αの２次までの近似展開:log(1－α)～ －α－α²/2,log(1＋α)～ α－α²/2を利用します。

すると,log{Ｐ(ｎ,Ｎ)}～(1/2)log{2/πＮ)}－(Ｎ/2)(ｎ/Ｎ)²よりＰ(ｎ,Ｎ) ～{2/(πＮ)}^1/2exp{－ｎ²/(2Ｎ)}です。

ここで,ｘ＝ｎλ(－Ｎ≦ｎ≦Ｎ)の酔歩の１歩の長さλは非常に小さいとしてＮ－ｎが偶数と奇数の両方の場合を考慮すれば,ｘがｘとｘ＋ｄｘの間にある確率はＰ(ｘ,Ｎ)ｄｘ＝(1/2){2/(πＮ)}^1/2exp{－ｘ²/(2Ｎλ²)}(ｄｘ/λ)＝(2πＮλ²)^-1/2exp{－ｘ²/(2Ｎλ²)}ｄｘです。

これは,Ｎλ→ ∞,λ→ 0,かつＮλ²→σ²(有限)の条件で,ｘについて積分すると１になるので,確かに確率密度の条件を満たしています。

　一方,２次元での確率密度は,モデルが等方的なので単純に上の１次元の式でｘ²をｒ²≡ｘ²＋ｙ²で置き換えるだけでいいと考えられるところですが,実は１歩の各方向への成分Δｘ,ΔｙがΔｘ²＋Δｙ²＝λ²を満たす必要があるので修正が必要です。

ｘ方向とｙ方向を対等に扱うと,Δｘ²＝Δｙ²＝λ²/2なのでＮ歩で位置ｒ＝(ｘ,ｙ)に到達する確率密度は,全平面で１になるように規格化してＰ(ｘ,ｙ,Ｎ)ｄｘｄｙ＝(πＮλ²)^-1exp{－ｘ²/(Ｎλ²)}exp{－ｙ²/(Ｎλ²)}ｄｘｄｙ＝(πＮλ²)^-1exp{－ｒ²/(Ｎλ²)}ｄ²ｒになります。 

同様に,３次元ではｒ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²としてΔｘ²＝Δｙ²＝Δｚ²＝λ²/3により,位置ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)に到達する確率はＰ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)ｄｘｄｙｄｚ＝{(2/3)πＮλ²}^-3/2exp[－ｒ²/{(2/3)Ｎλ²}]ｄ³ｒになると考えられます。 

  特に,３次元の一般式でｔ＝Ｎτ,Ｄ＝λ²/(6τ)と置けば,4Ｄｔ＝(2/3)Ｎλ²となるため,時刻ｔに位置ｒに存在する確率はＰ(ｒ,ｔ)＝Ｐ(ｘ,ｙ,ｚ,Ｎ)＝(4πＤｔ)^-3/2exp{－ｒ²/(4Ｄｔ)}と書けます。

これは,丁度拡散係数がＤの拡散方程式∂Ｐ/∂ｔ＝Ｄ∇²Ｐにおいて初期時刻ｔ＝0 に確率密度が原点に集中しているときの解,すなわち,初期値がＰ(ｒ,0)＝δ³(ｒ)のときのＰ(ｒ,ｔ)の一意解に一致しています。(再掲終わり)※

そこで,この確率密度Ｐ(ｒ,ｔ)に基づいて計算すれば,ｘ方向の"ゆらぎ＝揺動",つまりｔ＝0 に確率１で原点ｒ＝0 にあった場合の時刻ｔでの平均位置(ｒ＝0)からのずれｘの２乗平均値は,＜ｘ²＞_AV＝∫_-∞^∞[ｘ²Ｐ(ｒ,ｔ)]ｄ³ｒ＝(4πＤｔ)^-1/2∫_-∞^∞[ｘ²exp{－ｘ²/(4Ｄｔ)}ｄｘ＝2Ｄｔとなります。

これを,先にブラウン運動の１次元方程式から求めたｘのゆらぎの表現:＜ｘ²＞_AV＝([ｘ²]₀^t)_t→∞＝2μｋ_BＴｔと比較すれば,Ｄ＝μｋ_BＴ(アインシュタインの関係式)が得られます。

今,媒質の粘性率をηとし拡散粒子の半径をａとすれば,先に求めた易動度μに対するストークスの式:1/μ＝6πηａから,Ｄ＝ｋ_BＴ/(6πηａ)なる等式が得られます。これをアインシュタイン・ストークスの関係式と呼びます。

ここで理科年表によると,空気の粘性率は温度が常温25℃＝298Ｋでη＝18.2×10^-3Ｎs/ｍ²,またｋ_B＝Ｒ/Ｎ_A＝1.38×10^-23Ｊ/Ｋです。Ｒ～8.31Ｊ/(Ｋmol)は気体定数,Ｎ_A～6.02×10^-23/molはアヴォガドロ数(ロシュミット数)です。　

また,質量がｍの気体分子の速度をｖとすると,統計力学によって平衡状態での２乗平均の速度は(＜ｖ²＞_AV)^1/2＝(3ｋ_BＴ/ｍ)^1/2です。一方,速度の絶対値|ｖ|の平均は＜|ｖ|＞_AV＝{8ｋ_BＴ/(πｍ)}^1/2です。

空気をＯ₂とＮ₂の1:4の混合気体とみると分子質量はｍ＝28.8/Ｎ_A(ｇ)～ 4.78×10^-26(ｋｇ)ですから,常温Ｔ＝298Ｋでの２乗平均速度は＜ｖ²＞^1/2 ～ (3ｋ_BＴ/ｍ)^1/2～ 約508(ｍ/s)です。

一方,絶対値平均速度で見ると,＜|ｖ|＞_AV＝{8ｋ_BＴ/(πｍ)}^1/2～ 約468(ｍ/s),ですです。

さて,気体分子を直径がｄの剛体球とモデル化すると,２つの気体分子の中心間距離がｄになるときにこれらは衝突します。

そして,１つの分子が衝突するまでに分子が移動する平均の距離を平均自由行程と呼びます。これは先に述べた酔歩の１歩に相当するので同じ記号λで表わすことにします。

１つの気体分子から見るとその中心を底面中心として体積がπｄ²λの円筒内に他の分子が１個入るという勘定になります。

したがって,気体分子数密度をｎとするとπｄ²λｎ＝1ですから平均自由行程はλ＝1/(πｄ²ｎ)と評価されます。

さて,速度ｖ＝(ｕ,ｖ,ｗ)＝(ｖ_x,ｖ_y,ｖ_z)の各成分がｖ_x～ｖ_x＋ｄｖ_x,ｖ_y～ｖ_y＋ｄｖ_y,ｖ_z～ｖ_z＋ｄｖ_zの間にある分子数をｆ(ｖ_x,ｖ_y,ｖ_z)ｄｖ_xｄｖ_yｄｖ_z＝ｆ(ｖ)ｄ³ｖとします。

全分子数をＮとするとｆ(ｖ)は全速度空間で積分して∫ｆ(ｖ)ｄ³ｖ＝Ｎとなるように規格化されています。このように定義されるｆ(ｖ)＝ｆ(ｖ_x,ｖ_y,ｖ_z)を速度の分布関数と呼びます。

そして,絶対温度がＴの熱平衡状態では,ｆ(ｖ)がマクスウェル(Maxwell)分布:ｆ(ｖ)＝Ｎ{ｍ/(2πｋ_BＴ)}^3/2exp{－ｍｖ²/(2ｋ_BＴ)}で与えられることがわかっています。

分子数密度がｎ＝Ｎ/Ｖの熱平衡状態を仮定します。

通常のｘｙｚ空間のｚ＝0 の面の単位面積を通って単位時間にｚ＞0 の側からｚ＜0 の側に移動する分子数をＩ₊とすると,Ｉ₊＝ｎ{ｍ/(2πｋ_BＴ)}^3/2∫_-∞^∞ｄｖ_x∫_-∞^∞ｄｖ_y∫₀^∞ｄｖ_zｖ_zexp{－ｍｖ²/(2ｋ_BＴ)}＝(ｎ/4){8ｋ_BＴ/(πｍ)}^1/2と計算されます。

ところが,先述したように＜|ｖ|＞_AV＝{8ｋ_BＴ/(πｍ)}^1/2です。また,対称性からｚ＝0 の単位面積を通ってｚ＜0 の側からｚ＞0 の側に移動する単位時間当たりの分子数をＩ_-にとすると,これはＩ₊は等しいのでＩ₊＝Ｉ_-＝(ｎ/4)＜|ｖ|＞_AVと書けます。

そして,巨視的な粘性率を微視的な分子から統計的平均量として見積もるために,ｚ＝0 の面を通して下方から上方へと輸送されるｘ方向の運動量を評価してみます。

これは,ｚ＝0 の面から平均自由行程程度の下方の運動量が上方に運ばれ,これから下方に運ばれる平均自由行程程度の上方の運動量を引いた差で与えられると考えられます。

その平均自由行程程度のｚ座標を±αλ(0＜α＜1)とします。

まず,ｚ＝－αλから入ってくる運動量のｘ成分はｘ方向の速度成分をｚだけの関数としてｕ(ｚ)と表わせばＩ₊ｍｕ(－αλ)＝(ｍｎ/4)＜|ｖ|＞_AV{ｕ(0)－αλ(∂ｕ/∂ｚ)}と見積もられます。

同様にｚ＝0 の面を通って上方から下方へと輸送されるｘ方向の運動量はＩ_-ｍｕ(αλ)＝(ｍｎ/4)＜|ｖ|＞_AV{ｕ(0)＋αλ(∂ｕ/∂ｚ)}と見積もられます。

結局,ｚ＝0 の面を通って下方から上方へと輸送される正味の運動量のｘ成分は,Ｉ₊ｍｕ(－αλ)－Ｉ_-ｍｕ(αλ)＝－(αλρ/2)＜|ｖ|＞_AV(∂ｕ/∂ｚ)となります。ただし,ρ≡ｍｎは媒質の気体の密度です。

得られた単位時間当たりの輸送量－(αλρ/2)＜|ｖ|＞_AV(∂ｕ/∂ｚ)が,流体力学における現象論的粘性応力:－η(∂ｕ/∂ｚ)に一致すると考えられるので,粘性率ηに対してη＝(αλｍｎ/2){8ｋ_BＴ/(πｍ)}^1/2なる評価式が得られました。

　これにλ＝1/(πｄ²ｎ)を代入するとη＝(α/ｄ²)(2πｍｋ_BＴ)^1/2となります。それ故,Ｄ＝ｋ_BＴ/(6πηａ)＝{ｋ_BＴｄ²/(6πａα)}(2πｍｋ_BＴ)^-1/2＝(2π)^-3/2(ｋ_BＴｄ⁴/ｍ)^1/2/(3ａα)が得られます。

この式によれば,αがわかれば半径ａが既知のブラウン粒子の空気中での分子拡散係数Ｄを測定すれば,空気分子の平均直径ｄを計算により評価できることがわかります。

実験等から得られる空気分子の径の評価値は0.4～0.8μｍで可視光線の波長と同程度だそうです。

今日はここで終わります。

次回は電離層などプラズマの影響,大気層における空気分子や雲(水滴)によるレイリー散乱,ミイ散乱なども考慮して,地球面頂上でのフレネル反射や吸収の寄与による"太陽輻射(太陽定数)の減衰＝アルベド(albed)"の定量的評価を論じることを予定しています。

参考文献:中村 伝 著「統計力学」(岩波書店),北原和夫 著「非平衡統計力学」(岩波書店),クドリャフツェフ 著(豊田博慈 訳)「熱と分子の物理学」(東京図書)

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揺動散逸定理

　非平衡統計熱力学の１過程としてブラウン運動などに関わる揺動散逸定理(fluctuation dissipation theorem)について述べてみます。

　この定理は誰が起源なのかよく知らないのですが,日本では線型応答理論の一環として統計物理学の重鎮であった久保亮五先生などが関わっていたと記憶しています。

　一般に,ある物理量(示量変数の組):ａ＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)があって,エントロピーＳがａの関数であるとき,系の時間発展はａに対する１階微分方程式で表現されて,それはｄａ_i/ｄｔ＝(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＋(ｄａ_i/ｄｔ)_irrのように,可逆な部分(ｄａ_i/ｄｔ)_revと不可逆な部分(ｄａ_i/ｄｔ)_irrの和として与えられます。

　そして,可逆部分はさらに,(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＝Σ_j{ａ_i,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)という構造を持つとします。

　ここで,{Ｘ,Ｙ}はポアソン括弧のように,{Ｙ,Ｘ}＝－{Ｘ,Ｙ}という反対称性を持ち,{Ｘ,ｆ}＝Σ_j{Ｘ,ａ_j}(∂ｆ/∂ａ_j)という性質で規定される量であるとします。

こう定義すると,(ｄＳ/ｄｔ)_rev＝Σ_i(∂Ｓ/∂ａ_i)(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＝Σ_iΣ_j(∂Ｓ/∂ａ_i){ａ_i,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＝{Ｓ,Ｓ}＝0 となって,可逆過程ではエントロピーは生成されないことになります。

実際には,断熱可逆変化か,あるいは可逆であって,かつサイクルである場合以外なら,可逆過程でもエントロピーの変化はありますから,これはどう解釈すべきなんでしょうか？

ｄａ_i/ｄｔ＝(ｄａ_i/ｄｔ)_rev＋(ｄａ_i/ｄｔ)_irrは"可逆な部分と不可逆な部分の和である。"というよりもむしろ,"エントロピー非生成部分とエントロピー生成部分の和である。"と事実のままを述べた方がいいのかもしれません。

一方,不可逆部分については現象論的に(ｄａ_i/ｄｔ)_irr＝Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)と表わすことにします。

というのは,ａ_jが示量変数のとき∂Ｓ/∂ａ_jは示強パラメータであり,平衡の近傍では不可逆部分は示強パラメータ,あるいはその空間勾配に比例して進行するからです。

実際,問題としている系を局所平衡状態にある部分系の集まりと考えると,それぞれの部分系の物質密度をρ,単位質量当たりのエントロピーをｓとしたとき,エントロピー密度(ρｓ)の変化は,一般に熱力学の関係式により示強パラメータＦ_iと示量変数ａ_iによって,ｄ(ρｓ)＝Σ_iＦ_iｄａ_iと表わされます。

この表式では確かに示強パラメータは,Ｆ_i＝(∂Ｓ/∂ａ_j)/Ｖと表わされています。

そして今,対象としている系が隣り合う２つの部分系Ａ,Ｂだけから成るとし,Ａ,Ｂが等しい体積Ｖを持つとするとき,各部分系のエントロピーＳ＝Ｖρｓは,Ｘ_i＝Ｖａ_iの関数であると考えられます。

今,Ａ,Ｂのエントロピーを,それぞれＳ^A,Ｓ^Bとし,Ｘ_iがＡからＢにΔＸ_i＝ＶΔａ_iだけ移動するとします。

Ｘ_iが系全体では保存する量であって,初めＡにはＸ_iがＸ_i^AだけＢにはＸ_i^Bだけあったとすると,ＡからＢへのΔＸ_i＝ＶΔａ_iの移動による系全体のエントロピーＳの増分は,ΔＳ＝Ｓ^A(Ｘ_i^A－ΔＸ_i)＋Ｓ^B(Ｘ_i^B＋ΔＸ_i)－[Ｓ^A(Ｘ_i^A)＋Ｓ^B(Ｘ_i^B)]～Σ_i(－∂Ｓ/∂Ｘ_i^A＋∂Ｓ/∂Ｘ_i^B)ΔＸ_i＝Σ_i(－Ｆ^A_i＋Ｆ^B_i)ΔＸ_iとなります。

ここでＦ^A_i,Ｆ^B_iはそれぞれ部分系Ａ,ＢにおけるＦ_iの値を表わしています。

系全体を孤立系と考えると熱力学第二法則によって,ΔＳ＞0 でなければならないので,１つの示量変数Ｘ_i＝Ｖａ_iのみに着目してＡからＢへと微小量ΔＸ_i＞0 の移動が起こるためには,示強パラメータＦ_iについてはＦ^B_i＞Ｆ^A_iであることが必要になります。

このことから,示量変数Ｘ_i＝Ｖａ_iが保存量のときはＸ_iの輸送を引き起こす駆動力となるのは示強パラメータＦ_iの空間勾配であると考えられます。

また,示量変数Ｘ_i＝Ｖａ_iが非保存量のときはΔＳ＝Σ_iＦ_iΔＸ_iにおいてＦ_i＝(∂Ｓ/∂ａ_i)/Ｖ＞0 ならば,ΔＸ_i＝ＶΔａ_i；Δａ_i＞0 なる変化が不可逆過程として進行し得ます。

つまり,一般にｄＳ＝Σ_iＦ_iｄａ_i,Ｆ_i＝(∂Ｓ/∂ａ_i)と書けますが,量ａ_kが保存量のとき,その保存方程式は∂ａ_k/∂ｔ＋∇Ｊ_k＝0 であり,その流れＪ_kは一般にＪ_k＝Σ_jＬ_kj∇Ｆ_jと,示強的な量Ｆ_j＝(∂Ｓ/∂ａ_j)の勾配を駆動力とする形に表わされます。

そこで,ａ_k'≡ａ_kｒとおくと,Ｊ_k＝ａ_kｖ＝ａ_k(ｄｒ/ｄｔ)ですから,ｄａ_k'/ｄｔ＝ｄ(ａ_kｒ)/ｄｔ～Ｊ_k＝Σ_jＬ_kj∇Ｆ_j＝Σ_jＬ_kj∇(∂Ｓ/∂ａ_j)です。

そこで,もしもＳがａ_jの１次関数なら,∇(∂Ｓ/∂ａ_j)～∂Ｓ/∂ａ_j'となり,示量変数ａ_k'の求める時間発展の形式ｄａ_k'/ｄｔ＝Σ_jＬ_kj(∂Ｓ/∂ａ_j')が得られます。しかし正直なところかなり苦しいです。

こうして,はっきりと証明されたわけではないのですが,現象論的発展方程式はｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)と表わされるとします。

これは非平衡な初期条件から平衡状態への緩和を表わしています。

そこでａ(ｔ)の時間発展は初期条件ａ(0)＝ａに対してａ_i(ｔ)＝ａ_i＋ｔ[{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)]＋..で与えられます。

平衡状態においても,一般に巨視的な物理量ａ＝(ａ₁,ａ₂,..,ａ_n)はゆらいでいます。たまたま,ある時刻にａ(ｔ)がａ(ｔ₀)＝ａという値をとったとして,その後の時間発展を観測します。

ａ(ｔ₀＋ｔ)は初期時刻ｔ₀によってさまざまな値を取りますが,それらの平均を取ったものも現象論的発展と同じになるとします。

すなわち,初期条件ａ(ｔ₀)＝ａが与えられると短い時間では平均的に＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)＞_{ａ(ｔ0)=ａ}＝ａ_i＋ｔ[{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)]となると仮定します。これを線型減衰の仮定と呼びます。

平衡状態におけるゆらぎの時間相関関数＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞を求めるには＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)＞_{ａ(ｔ0)＝ａ}に初期値ａ_k(ｔ₀)＝ａ_kを掛けてａ_kの分布について平均すればいいので,ｔ≧0 に対して＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)＞_{ａ(ｔ0)=ａ}ａ_k＞_eq ＝＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＋Σ_jＬ_ij＜(∂Ｓ/∂ａ_j)ａ_k＞_eq]となります。

平衡状態におけるゆらぎに対するボルツマン・アインシュタインの原理,つまり,ボルツマンの原理Ｓ＝k_BlnＷから,逆に微視的状態数ＷがＷ(ａ)＝exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]と書ける,ことを用います。

全状態数をＷとしたときにＷ(ａ)/Ｗが変数ａの状態が実現する確率となりますから,平衡状態での関数ｆ(ａ)の平均値は＜ｆ(ａ)＞_eq＝(1/Ｗ)∫ｄａ₁..ｄａ_nｆ(ａ)exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]で与えられます。

そこで,＜(∂Ｓ/∂ａ_j)ａ_k＞_eq＝∫ｄａ₁..ｄａ_n(∂Ｓ/∂ａ_j)ａ_kexp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]＝－ｋ_Bδ_kjとなります。

したがって,＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq－ｋ_BＬ_ik]となりますが,右辺の{ａ_i,Ｓ}はｄａ_i/ｄｔの可逆部分です。

ところが,平衡状態では物理量の任意の関数は可逆変化では変化しないので,＜{ｆ(ａ),Ｓ}＞_eq＝0 です。もっともこれはその現象論の範囲で厳密に証明できるわけではないので仮説として導入するわけです。

そして,この式でｆ(ａ)＝ａ_iａ_kを代入すると,＜ａ_j{ａ_iδ_jk,Ｓ}＋ａ_j{ａ_iδ_ijａ_k,Ｓ}＞_eq＝0 :すなわち＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝－＜ａ_i{ａ_k,Ｓ}＞_eqが得られます。

そこで、物理変数ａ_i,ａ_kの時間反転対称性に関して次の２つの場合を考えます。：

(Ⅰ)変数ａ_i,ａ_kが共に時間反転に対して対称である場合

このときは＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_i(ｔ₀－ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eqです。さらに平衡状態の定常性から物理量の時間相関は時間差のみに依存しｔ₀には依存しないので＜ａ_i(ｔ₀－ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_i(ｔ₀)ａ_k(ｔ₀＋ｔ)＞_eqです。

以上から,＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝＜ａ_i(ｔ₀)ａ_k(ｔ₀＋ｔ)＞_eqが得られます。

そこで両辺に線型減衰の仮定を適用すると,＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq－ｋ_BＬ_ik]＝＜ａ_iａ_k＞_eq＋[＜{ａ_k,Ｓ}ａ_i＞_eq－ｋ_BＬ_ki]となるはずです。

これが実際に成り立つためには,＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eqかつＬ_ik＝Ｌ_kiが満たされなければなりません。

前者は＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝－＜ａ_i{ａ_k,Ｓ}＞_eqと組み合わせると＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq＝0 となります。要するに,ａ_i,ａ_kが共に時間反転に対して対称ならば,その時間微分{ａ_k,Ｓ},{ａ_i,Ｓ}は明らかに時間反転に対して反対称となりますから,時間反転対称なａ_iやａ_kとの積は平衡状態ではゼロとなることを表現しています。

(Ⅱ) 時間反転に対して変数ａ_iが反対称でａ_kが対称の場合

このときは＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝－＜ａ_i(ｔ₀－ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eqです。そこで(Ⅰ)と同様に考えて＜ａ_i(ｔ₀＋ｔ)ａ_k(ｔ₀)＞_eq＝－＜ａ_i(ｔ₀)ａ_k(ｔ₀＋ｔ)＞_eqとなります。

したがって線型減衰の式から＜ａ_iａ_k＞_eq＋ｔ[＜{ａ_i,Ｓ}ａ_k＞_eq－ｋ_BＬ_ik]＝－＜ａ_iａ_k＞_eq－ｔ[＜{ａ_k,Ｓ}ａ_i＞_eq－ｋ_BＬ_ki](ｔ≧0)ですが,これが成り立つためには＜ａ_iａ_k＞＝0 でかつＬ_ik＝－Ｌ_kiが満たされなければなりません。

かくして,変数ａ_i,ａ_kが同じ時間対称性を持つときにはＬ_ik＝Ｌ_ki, 反対の時間対称性を持つときにはＬ_ik＝－Ｌ_kiとなります。

さらに係数Ｌ_ikが時間反転に対して反対称な外部パラメータＡ(Ａは例えば磁場Ｂや速度ｖ)に依存するときには,それぞれＬ_ik(Ａ)＝Ｌ_ki(－Ａ),Ｌ_ik(Ａ)＝－Ｌ_ki(－Ａ)となります。

発展方程式の不可逆部分を熱力学的力∂Ｓ/∂ａで表現する輸送係数Ｌ_ijについての上述の対称性をオンサーガーの相反定理と呼び,この係数Ｌ_ikをオンサーガー係数と呼びます。

さらに発展方程式の不可逆部分はエントロピー生成をするという熱力学第二法則の要請から係数行列(Ｌ_ij)は正値行列です。

なぜなら,ｄＳ/ｄｔ＝(ｄＳ/ｄｔ)_irr＝Σ_i(∂Ｓ/∂ａ_i)(ｄａ_i/ｄｔ)_irr＝Σ_iΣ_j(∂Ｓ/∂ａ_i)Ｌ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＞0 となるべきことが要求されますが,(∂Ｓ/∂ａ_i)はベクトルとして任意の値を取ると考えてよいからです。

平衡状態での巨視的変数の現象論的な発展方程式がｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)で与えられるので,必然的に存在する"ゆらぎ＝揺動あるいは雑音"Ｒ_i(ｔ)の存在を考慮すると,ａの時間発展は一般的な確率微分方程式ｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｒ_i(ｔ)で表わされると考えられます。

ここで通常はゆらぎＲ_i(ｔ)は完全にランダムであり＜Ｒ_i(ｔ)＞＝0 ,＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞_eq＝2Ｄ_ijδ(ｔ－ｔ')なる白色雑音(white noise)で与えられます。

こうすると,時刻ｔにおいて状態ａが実現する確率Ｐ(ａ,ｔ)に対して,次のフォッカー・プランク方程式(Fokker-Planck)が得られます。

∂Ｐ(ａ,ｔ)/∂ｔ＝－Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}Ｐ(ａ,ｔ)＋Σ_iΣ_j(∂/∂ａ_i)[－Ｌ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｄ_ij(∂/∂ａ_j)]Ｐ(ａ,ｔ)です。

一般に,１次元で考えたとき外力Ｆがないときのゆらぎも含めた粒子の運動は,その速度をｕとするとき,次の"運動方程式＝ランジュバン方程式(Langevin)"ｄｕ/ｄｔ＝－γｕ＋Ｒ(ｔ)/ｍ に従います。

そして,ここでもゆらぎＲ(ｔ)は白色雑音,つまり＜Ｒ(ｔ)＞＝0 ,＜Ｒ(ｔ)Ｒ(ｔ')＞＝2Ｄ_uδ(ｔ－ｔ')を満たしているとします。

このとき,時刻ｔ₁に速度ｕ₁を持っていた粒子が時刻ｔに速度ｕを持つ条件付の確率分布Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)は,(∂/∂ｔ)Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)＝γ(∂/∂ｕ)[ｕ＋(ｋ_BＴ/ｍ)∂/∂ｕ＋(Ｄ_u/ｍ²)∂²/∂ｕ²]Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)という方程式に従うことがわかります。

確率分布が従うこの方程式を,フォッカー・プランク方程式と呼ぶわけですね。

そして,先のａについての運動方程式ｄａ_i/ｄｔ＝{ａ_i,Ｓ}＋Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｒ_i(ｔ)を上の１次元速度ｕに対するランジュバン方程式におきかえ,時刻ｔに状態ａが実現する確率分布Ｐ(ａ,ｔ)を上の確率分布Ｔ(ｕ,ｔ|ｕ₁,ｔ₁)におきかえれば,先述のＰ(ａ,ｔ)に対するフォッカー・プランク方程式が得られます。

これが定常解として平衡分布Ｐ_eq(ａ)＝exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B](あるいはこの定数倍)を持つためにはｋ_BＬ_ij＝Ｄ_ijとなることが必要条件になります。

つまり,∂Ｐ_eq(ａ)/∂ａ_j＝(1/ｋ_B)(∂Ｓ/∂ａ_j)Ｐ_eq(ａ)なので∂Ｐ(ａ,ｔ)/∂ｔ＝－Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}Ｐ(ａ,ｔ)＋Σ_iΣ_j(∂/∂ａ_i)[－Ｌ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｄ_ij(∂/∂ａ_j)]Ｐ(ａ,ｔ)においてＰ(ａ,ｔ)＝Ｐ_eq(ａ)とおくと,ｋ_BＬ_ij＝Ｄ_ijが満たされる場合には右辺の第２項はゼロになります。

一方,第１項はΣ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}Ｐ_eq(ａ)＝Ｐ_eq(ａ)[Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＋(1/ｋ_B)Σ_i(∂Ｓ/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}]となりますが,定義によってΣ_i(∂Ｓ/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＝{Ｓ,Ｓ}＝0 です。

これほど自明ではありませんが,Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＝0 も成立します。

実際,Σ_i(∂/∂ａ_i){ａ_i,Ｓ}＝Σ_i[{1,Ｓ}＋{ａ_i,∂Ｓ/∂ａ_i}]＝Σ_iΣ_i[{1,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＋{ａ_i,ａ_j}(∂²Ｓ/∂ａ_i∂ａ_j)]＝Σ_iΣ_i{1,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＝－Σ_iΣ_i,k(∂１/∂ａ_k){ａ_k,ａ_j}(∂Ｓ/∂ａ_j)＝0 となります。１という関数はδ-関数であり,∂１/∂ａ_kは汎関数微分ですね。

そこで,ｋ_BＬ_ij＝Ｄ_ijはＰ_eq(ａ)＝exp[Ｓ(ａ)/ｋ_B]が解になるための必要十分条件であることがわかりました。

それ故,"揺動力＝ゆらぎ"の時間相関関数＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞(白色雑音の2Ｄは揺動力の強さと呼ばれる)と,輸送係数:Ｌ_ijの間には＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞＝2ｋ_BＬ_ijδ(ｔ－ｔ')という関係が成り立ちます。

これはさらに∫₀^∞ｄ(ｔ－ｔ')＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ')＞＝ｋ_BＬ_ij：すなわち∫₀^∞ｄτ＜Ｒ_i(ｔ)Ｒ_j(ｔ＋τ)＞＝ｋ_BＬ_ijと書き直すことができます。

つまり,輸送係数あるいはオンサーガー係数:Ｌ_ijはゆらぎの時間相関関数で与えられます。この法則を揺動散逸定理と呼びます。

こうして,数式的に表現された形の定理が示されても,これが実際の自然現象において物理的にどのような意味を持つのかを理解しなければ,こうした定理の重要性を認識することはできません。

そこで,１例として熱伝導に適用してみます。

平均流速ｖがゼロの１成分流体中の熱伝導方程式はｅを単位質量当たりの内部エネルギーとして∂(ρｅ)/∂ｔ＋∇Ｊ_q＝0 で与えられます。

ここでＪ_qは熱流であり熱拡散の線形近似モデルではＪ_q＝λ∇(1/Ｔ)＝－κ∇Ｔと表わされます。κ＝λ/Ｔ²は熱伝導率と呼ばれています。

この現象論的方程式に対して,これのランジュバン方程式は∂(ρｅ)/∂ｔ＋∇Ｊ_q＝－∇ｑ(ｒ,ｔ)となります。ただしｑ(ｒ,ｔ)は熱流Ｊ_qのゆらぎです。

Ｊ_qは熱流ですから,流体の局所流速をｖ(ｒ,ｔ)とすると,Ｊ_q＝ρｅｖ＝ρｅ(ｄｒ/ｄｔ)です。

示量変数の１つとしてａ＝ρｅｒとすると,ａの不可逆変化部分に対する表式ｄａ_i/ｄｔ＝Σ_jＬ_ij(∂Ｓ/∂ａ_j)＋Ｒ_i(ｔ)は,ｄａ_i/ｄｔ＝ｄ(ρｅｒ_i)/ｄｔ～(Ｊ_q)_i＝Σ_jＬ_ij[∂Ｓ/∂(ρｅｒ_j)] ＋Ｒ_i(ｔ)と書けますが,平衡状態ではρＶｄｅ＝ＴｄＳ－ＰｄＶなので体積一定(ｄＶ＝0 )ならＳ＝ρｅＶ/Ｔ＋(定数)です。

それ故,結局(Ｊ_q)_i～Σ_jＬ_ijＶ(∂/∂ｒ_j)(1/Ｔ)となります。これをＪ_q＝λ∇(1/Ｔ)：すなわち(Ｊ_q)_i＝λ(∂/∂ｒ_j)(1/Ｔ)と比較すると,輸送係数＝オンサーガー係数についてＬ_ij＝(λ/Ｖ)δ_ijという表式が得られます。

そこで揺動散逸定理によると,λは平衡状態における揺動熱流ｑ(ｒ,ｔ)の時間相関関数によって表現されることになります。すなわち,揺動熱流ｑ(ｒ,ｔ)の時間相関関数は,∫₀^∞ｄｔ＜ｑ_α(ｒ,ｔ)ｑ_β(ｒ',0)＞_eq＝ｋ_B(λ/Ｖ)δ_αβδ(ｒ－ｒ')と書けます。

そして,熱流Ｊ_q(ｒ,ｔ)のゆらぎｑ(ｒ,ｔ)を体積Ｖの対象領域全体で空間積分したｑ(ｔ)＝∫ｄｒｑ(ｒ,ｔ)という量を定義して,これを時刻ｔでの"熱流のゆらぎ"と呼ぶことにすれば,熱伝導に対する揺動散逸定理の表現は∫₀^∞ｄｔ＜ｑ_α(ｔ)ｑ_β(0)＞_eq＝ｋ_Bλδ_αβと書くことができます。

今は,平均流速がゼロの流体を考えており,平衡状態では＜Ｊ_q(ｒ,ｔ)＞_eq＝0 なので,熱流のゆらぎｑ(ｒ,ｔ)がエネルギー流そのものになります。そこで対流がない流体においての平衡状態ではｑ(ｔ)はエネルギー流を空間全体で積分したもののゆらぎとなります。

この例では,輸送係数＝オンサーガー係数の一種である熱伝導率がミクロな流れｑ(ｔ)の時間相関関数で与えられるということが揺動散逸定理からの重要な帰結と言えます。

19日木曜日夜から風邪気味で,症状自体は軽いのですがあまり筆が進みません。

北原和夫 著「非平衡系の統計力学」(岩波書店)

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    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(10)

　確率積分の話題の続きです。前回はこれを定義しただけですが今回はこれの性質,特に伊藤の公式について説明します。 

次の不等式は,シュヴァルツ(Schwartz)の不等式の一般化です。

(補題9.1):(国田・渡辺の不等式)

  Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,cとする。

  φ(ｓ,ω),ψ(ｓ,ω)は発展的可測で∀ｔ＞0 に対して,∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞,∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s＜∞ とする。

このとき,∀ｔ＞0 に対して,|∫₀^tφ(ｓ,ω)ψ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦(∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 (ａ.ｓ)である。 (ａ.ｓ.はalmost surely＝"ほとんど確実に"です。)

(証明)＜Ｍ,Ｎ＞の定義:＜Ｍ,Ｎ＞≡(1/4)(＜Ｍ＋Ｎ＞－＜Ｍ－Ｎ＞)と,その性質：＜ａＭ,Ｎ＞＝ａ＜Ｍ,Ｎ＞によって,＜Ｍ＞＝＜Ｍ,Ｍ＞,＜Ｎ＞＝＜Ｎ,Ｎ＞であり,∀ｒ∈Ｒに対して＜Ｍ＋ｒＮ＞＝＜Ｍ＞＋2ｒ＜Ｍ,Ｎ＞＋ｒ²＜Ｎ＞となります。

したがって,0≦∫_s1^s2ｄ＜Ｍ＋ｒＮ＞_s＝∫_s1^s2ｄ＜Ｍ＞_s＋2ｒ∫_s1^s2ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＋ｒ²∫_s1^s2ｄ＜Ｎ＞_s ａ.ｓ が全ての実数ｒに対して成立するようにできます。

よって,実数ｒの２次式が常に非負でｒ²の係数が正なので,その判別式は(判別式)≦0 を満足しなければならないことから,不等式|∫_s1^s2ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|²≦(∫_s1^s2ｄ＜Ｍ＞_s)(∫_s1^s2ｄ＜Ｎ＞_s)が得られます。

それ故,φ(ｓ,ω)≡Σ_iφ_i(ω)1_(ti,ti+1),ψ(ｓ,ω)≡Σ_iψ_i(ω)1_(ti,ti+1)∈Ｌ₀に対して,|∫∫₀^tφ(ｓ,ω)ψ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|＝|Σ_iφ_i(ω)ψ_i(ω)∫_ti^ti+1ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦Σ_i|φ_i(ω)||ψ_i(ω)|(∫₀^tｄ＜Ｍ＞_s) ^1/2(∫₀^tｄ＜Ｎ＞_s)^1/2≦(Σ_i|φ_i|²∫_ti^ti+1ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(Σ_i|ψ_i|²∫_ti^ti+1ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2＝(∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 (ａ.ｓ)となります。

有界なφ(ｓ,ω),ψ(ｓ,ω)については,再掲(補題：8.3):"Ｌ₀はＬ₂(＜Ｍ＞)内で稠密である"によって,上のようなＬ₀の元で近似することができます。

一般のφ,ψについてはまず有界なもので近似してＬ₀の元で近似すると極限で命題が成立します。

(証明終わり)

(定理9.2)　

(ⅰ) Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,c,ｆ(ｓ,ω)∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)のとき,Ｘ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sとすると,＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_sであり,かつ任意のＮ∈Ｍ_2,cに対して＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_sを満たすＸ∈Ｍ_2,cでＸ₀＝0 なるものはＸ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sに限る。

(ⅱ)Ｉ(ｆ)＝Ｘ_T＝∫₀^Ｔｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s：Ｌ₂(0,Ｔ；＜Ｍ＞)→Ｍ_2,c(0,Ｔ)は∀Ｔに対して等距離写像(isometric mapping)である。：すなわちＥ[|Ｘ_T|²]＝Ｅ[∫₀^Ｔ|ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]である。

(証明)(ⅰ)ｆ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対してｆ_n∈Ｌ₀でＥ[∫₀^t|ｆ_n(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0  as ｎ→ ∞なるものを取ります。

Ｘⁿ_t＝∫₀^tｆ_n(ｓ,ω)ｄＭ_sとおくと,再掲(補題8.7):"Ｅ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]＝Ｅ[∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]である。"によって,Ｅ[＜Ｘⁿ－Ｘ＞_t]＝Ｅ[∫₀^t|ｆ_n(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s] → 0  as ｎ→ ∞,∀ｔです。

一方,|∫ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦|∫ｄ＜Ｍ＞_s|^1/2|∫ｄ＜Ｎ＞_s|^1/2ですが,Ｅ[|＜Ｍ,Ｎ＞_t|]＝Ｅ[|∫₀^tｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|]，Ｅ[|＜Ｍ＞_t|]＝Ｅ[|∫₀^tｄ＜Ｍ＞_s|]，Ｅ[|＜Ｎ＞_t|]＝Ｅ[|∫₀^tｄ＜Ｎ＞_s|]より,一般にＥ[|＜Ｍ,Ｎ＞_t|]≦Ｅ[|＜Ｍ＞_t|]^1/2Ｅ[|＜Ｎ＞_t|]^1/2です。

したがって,Ｅ[|＜Ｘⁿ,Ｎ＞_t－＜Ｘ,Ｎ＞_t|]＝Ｅ[|＜Ｘⁿ－Ｘ,Ｎ＞_t|]≦Ｅ[|＜Ｘⁿ－Ｘ＞_t|]^1/2Ｅ[|＜Ｎ＞_t|]^1/2 → 0  as ｎ →∞ ,∀ｔが得られます。

また,＜Ｘⁿ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ_n(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_sがｆ_n(ｓ,ω)∈Ｌ₀を具体的に書き下すことによって(補題8.5)の証明と同じようにして言えるので,結局＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s ａ.ｓであることがわかります。

　後半の,一意性については,＜Ｘ~,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s ａ.ｓ ∀Ｎ∈Ｍ_2,cとすると,＜Ｘ－Ｘ~,Ｎ＞_t＝0 ａ.ｓですから,特にＮ＝Ｘ－Ｘ~とすると＜Ｘ－Ｘ~＞_t＝0 ａ.ｓ,あるいはＥ[|Ｘ_t－Ｘ~_t|²]＝0 よりＸ_t＝Ｘ~_t ａ.ｓとなることから示されます。

(ⅱ)(ⅰ)よりＸ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sとおけば,＜Ｘ＞_T＝＜Ｘ,Ｘ＞_T＝∫₀^Tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｘ＞_sであり,＜Ｍ,Ｘ＞_s＝∫₀^sｆ(ｕ,ω)ｄ＜Ｍ＞_uですからｄ＜Ｍ,Ｘ＞_s＝ｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_sなので,＜Ｘ＞_T＝∫₀^Tｆ(ｓ,ω) ²ｄ＜Ｍ＞_s＝∫₀^T|ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_sとなります。

　これとＥ[|Ｘ_T|²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]を合わせると,Ｅ[|Ｘ_T|²]＝Ｅ[∫₀^T|ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]が得られます。(証明終わり)

(系9.3)(ⅰ)Ｍ∈Ｍ_2,c,ｆ,ｇ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞),ａ,ｂ∈Ｒに対して∫₀^t{ａｆ(ｓ,ω)＋ｂｇ(ｓ,ω)}ｄＭ_s＝ａ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＋ｂ∫₀^tｇ(ｓ,ω)ｄＭ_s,∀ｔである。

(ⅱ)Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,c,ｆ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)∩Ｌ₂(＜Ｎ＞),ａ,ｂ∈Ｒに対してｆ∈Ｌ₂(＜ａＭ＋ｂＮ＞)で∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ(ａＭ＋ｂＮ)_s＝ａ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＋ｂ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＮ_s ,∀ｔである。

(証明) (ⅰ)Ｎ∈Ｍ_2,cのとき,(定理9.2)と二次変分の性質(命題7.8)より,＜∫₀^t(ａｆ＋ｂｇ)ｄＭ_s,Ｎ＞＝∫₀^t(ａｆ＋ｂｇ)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＝ａ∫₀^tｆｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＋ｂ∫₀^tｇｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＝＜ａ∫₀^tｆｄＭ_s,Ｎ＞＋＜ｂ∫₀^tｇｄＭ_s,Ｎ＞です。

　そしてＮは任意なので,例えばＮ＝∫₀^t(ａｆ＋ｂｇ)ｄＭ_s－ａ∫₀^tｆｄＭ_s－ｂ∫₀^tｇｄＭ_sと取ることによって,∫₀^t{ａｆ(ｓ,ω)＋ｂｇ(ｓ,ω)}ｄＭ_s＝ａ∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＋ｂ∫₀^tｇ(ｓ,ω)ｄＭ_s ,∀ｔが得られます。

(ⅱ)ｆ∈Ｌ₂(＜ａＭ＋ｂＮ＞)なることについては,再掲(補題9.1):"Ｍ,Ｎ∈Ｍ_2,cとしφ(ｓ,ω),ψ(ｓ,ω)は発展的可測で,∀ｔ＞0 に対して∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞,∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s＜∞ とする。このとき∀ｔ＞0 に対し|∫₀^tφ(ｓ,ω)ψ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦(∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tψ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 ａ.ｓである。"と二次変分の性質からいえます。

すなわち,(補題9.1)でφ＝ψ＝ｆとおくと,不等式|∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s|≦(∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s)^1/2(∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｎ＞_s)^1/2 ａ.ｓが得られます。

　これと等式ｄ＜ａＭ＋ｂＮ＞_s＝ａ²ｄ＜Ｍ＞_s＋2ａｂｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s＋ｂ²ｄ＜Ｎ＞_sから,ｆ∈Ｌ₂(＜ａＭ＋ｂＮ＞)なることは自明です。

　そして(定理9.2)と(命題7.8)によれば,∀Ｌ∈Ｍ_2,ｃに対して＜∫₀^tｆｄ(ａＭ＋ｂＮ)_s,Ｌ＞＝∫₀^tｆｄ＜(ａＭ＋ｂＮ),Ｌ＞_s＝ａ∫₀^tｆｄ＜Ｍ,Ｌ＞_s＋ｂ∫₀^tｆｄ＜Ｎ,Ｌ＞_s＝＜ａ∫₀^tｆｄＭ＋ｂ∫₀^tｆｄＮ,Ｌ＞が成立するので命題が成り立つことは明らかです。

　(証明終わり)

　次に,局所マルチンゲールに対して確率積分を定義します。 

(定義10.1)：(局所マルチンゲールに対する確率積分)

Ｍ∈Ｍ_ｃ,locとし,Ｍに対しＰ(∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞)＝1,∀Ｔを満たす発展的可測過程ｆ(ｓ,ω)について確率積分を定義する。

Ｍ∈Ｍ_ｃ,locよりσ_n↑∞ ａ.ｓとなる停止時刻の列{σ_n}が存在して,Ｍ_t∧σn∈Ｍ_2,ｃが成立する。そしてτ_n(ω)≡ｎ∧inf{ｔ≧0：∫₀^tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s≧ｎ}とおけばτ_n↑∞ ａ.ｓである。

　そこでρ_n≡τ_n∧σ_nとしＭⁿ_t≡Ｍ_t∧ρn,ｆⁿ(ｔ,ω)≡ｆ(ｔ,ω)1_{t≦ρn}とおけば,Ｍⁿ_t∈Ｍ_2,ｃ,ｆⁿ(ｔ,ω)∈Ｌ₂(＜Ｍⁿ＞)なので確率積分Ｉ(ｆⁿ)がＩ(ｆⁿ)(ｔ,ω)＝∫₀^tｆⁿ(ｓ,ω)ｄＭⁿ_sと定義できる。

　これはＩ(ｆⁿ)(ｔ,ω)＝Ｉ(ｆ^m)(ｔ,ω),0≦ｔ≦ρ_n,ｎ≦ｍとなることがわかる。

　そして,ｎ→ ∞ に対してσ_n → ∞ なので,Ｉ(ｆ)(ｔ,ω)≡Ｉ(ｆⁿ)(ｔ,ω), 0≦ｔ≦ρ_nとすれば,ｎ→ ∞ の極限で∀ｔについてＩ(ｆ)が定義できる。

　このＩ(ｆ)をｆの確率積分という。

(定理9.2)を局所マルチンゲールに対して書き直したものはＭ∈Ｍ_ｃ,loc ,ｆ(ｓ,ω)をＰ(∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s＜∞)＝1,∀Ｔを満たす発展的可測過程とする。

　このときＸ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s,Ｍ∈Ｍ_ｃ,locはＸ₀＝0 で＜Ｘ,Ｎ＞_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ,Ｎ＞_s∀ｔ ａ.ｓを満たす唯１の元である。

　となります。

　これの証明は,ｔをｔ∧ρ_nにおきかえると,(定理9.2)の証明と同じなので省略します。

次に,確率積分が普通の積分と同様な概念を表現するものであるということを示す重要な性質を証明します。

　"ｆ(ｓ,ω)がＦ_tに適合して左連続であるとする。このとき,分割Δ:0＝ｓ₀＜ｓ₁＜..＜ｓ_nをとれば,∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_s＝Ｐ-lim_|Δ|→0Σ_iｆ(ｓ_i)(Ｍ_si+1－Ｍ_si)となる。ただし,Ｐ-lim は確率収束極限の意味である。という命題を証明します。

(証明)ｆが有界でｆ∈Ｍ_2,ｃのとき,分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_nに対してｆ^Δ(ｓ,ω)≡Σ_iｆ(ｔ_i,ω)1_(ti,ti+1)(ｓ),ｆ^Δ(0,ω)≡ｆ(0,ω)とおくと,左連続性によってｆ^Δ(ｓ,ω)→ ｆ(ｓ,ω) as Δ→ 0,∀ｓ,ωです。

Ｘ^Δ_t＝∫₀^tｆ^Δ(ｓ,ω)ｄＭ_s＝Σ_iｆ(ｔ_i,ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)であり,Ｅ[∫₀^t|ｆ^Δ(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0 よりＥ[|Ｘ^Δ_t－Ｘ_t|²] → 0 as Δ→ 0,∀ｔです。

一般の局所マルチンゲールの場合は(定義10.1)のτ_nを使って局所化すればいいだけです。

(証明終わり)

ここで微積分学における合成関数の微分法則(連鎖公式)の確率解析版とされる伊藤の公式を示すことにします。

その応用は極めて広いものです。

(定義11.1)確率過程Ｘ＝{Ｘ_t}がＸ_t＝Ｘ₀＋Ｍ_t＋Ａ_t,Ｍ∈Ｍ_loc,Ａ∈Ａ(増加過程:Ａ_＋に属する元の差で表わされる過程)で,Ｘ₀はＦ₀-可測関数,ただし,Ｍ₀＝0 ａ.ｓ,Ａ₀＝0 ａ.ｓと表わされるとき,{Ｘ_t}は半マルチンゲールであるという。

また,Ｒ^N値確率過程が半マルチンゲールであるとは,各成分が半マルチンゲールのときをいう。

さらに,Ｍ_t,Ａ_tが連続確率過程であれば{Ｘ_t}は連続な半マルチンゲールであるという。

(定理11.2)(伊藤の公式)

Ｘ_t＝(Ｘ¹_t,Ｘ²_t,..,Ｘ^N_t)を連続な半マルチンゲールとする。すなわち,Ｘⁱ_t＝Ｘⁱ₀＋Ｍⁱ_t＋Ａⁱ_t (ｉ＝1,2,..,Ｎ)とする。

ｆ∈Ｃ²(Ｒ^N)のとき,ｆ(Ｘ_t)は連続な半マルチンゲールであり,ｆ(Ｘ_t)－ｆ(Ｘ₀)＝Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＭⁱ_s＋Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＡ_sⁱ＋(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ,Ｍ^j＞_sと書くことができる。

ただし,Ｄ_iｆ≡∂ｆ/∂ｘ_i,Ｄ_ijｆ≡∂²ｆ/∂ｘ_i∂ｘ_j(ｉ,j＝1,2,．．Ｎ)である。

(証明)τ_n＝inf{ｔ≧0：|Ｘ₀|＞ｎ,or|Ｍ_t|＞ｎ,|Ａ_t|＞ｎ}({　}≠φのとき),τ_n＝∞ ({　}＝φのとき);とおきます。このとき,ｎ→ ∞ に対してτ_n→ ∞ ａ.ｓなので,Ｘ_t∧τn について,この等式を証明すれば十分です。

したがって,Ｘ₀,Ｍ_t,Ａ_tは全て有界,ｆ,Ｄ_iｆ,Ｄ_ijｆも全て有界,かつ一様連続であるとしてかまいません。それ故,ある定数Ｋがあって|ｆ|＋Σ_i|Ｄ_iｆ|＋Σ_i,j |Ｄ_ijｆ|≦Ｋと書くことができます。

Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_n＝ｔを [0,ｔ]の分割とします。

このとき,テイラー展開の定理により,ｆ(Ｘ_t)－ｆ(Ｘ₀)＝Σ_k=1^n-1(ｆ(Ｘ_tk+1)－ｆ(Ｘ_tk))＝Σ_k=1^n-1Σ_i=1^NＤ_iｆ(Ｘ_tk)(Ｘⁱ_tk+1－Ｘⁱ_tk)＋(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ｘⁱ_tk+1－Ｘⁱ_tk)(Ｘ^j_tk+1－Ｘ^j_tk),ξ_k＝Ｘ_tk＋θ_k(Ｘ_tk+1－Ｘ_tk), 0≦θ_k≦1と表現できます。

右辺の第１項は|Δ|→0 のとき,確率積分の定義により,Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＭⁱ_{s s}＋Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＡ_sⁱに確率収束します。

一方,右辺の第２項は,(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk)＋Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ａ^j_tk+1－Ａ^j_tk)＋(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(ξ_k)(Ａⁱ_tk+1－Ａⁱ_tk)(Ａ^j_tk+1－Ａ^j_tk)≡Ｉ₁＋Ｉ₂＋Ｉ₃となります。

Ａ∈Ａより,Ａ≡Ａ^＋－Ａ^－,Ａ^＋,Ａ^－∈Ａ_＋,cとすると,|Σ_k=1^n-1(Ａ_tk+1－Ａ_tk)|≦|Ａ^＋_t|＋|Ａ^－_t|で,sup|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|→ 0,sup|Ａ_tk+1－Ａ_tk|→ 0 なので,|Ｉ₂|≦Ｋsup _k|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|(|Ａ^＋_t|＋|Ａ^－_t|)→ 0 as　|Δ|→ 0 ａ.ｓ,かつ|Ｉ₃|≦Ｋsup|Ａ_tk+1－Ａ_tk|(|Ａ^＋_t|＋|Ａ^－_t|→ 0 as　|Δ|→ 0 ａ.ｓです。

よって,後はＩ₁→(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ,Ｍ^j＞ as　|Δ|→ 0 ａ.ｓを示すことができればいいことになります。

通常の積分と微分との関係では２次の微小量を総和して積分しても１次の微小量になるだけで,|Δ|→ 0 では消えてしまうのでこうした２階導関数の項は出現しません。

実際,上に示したように有界変動の関数ＡはＡ＝Ａ^＋－Ａ^－と有界な単調増加関数の差で表わせるので,その２次の量を積分するとき,その寄与はゼロになります。

しかし,Ｍがブラウン運動のような過程である場合には有界変動の関数ではなくて,その長さが確率１で無限大になることは,ずいぶん前の記事で述べましたが,その場合のＭの２次の量を積分するとき,その寄与はゼロではなくて有限です。

Ｉ₁'＝(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(Ｘ_tk)(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk)とおくと,|Ｉ₁－Ｉ₁'|≦(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^N|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)||Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk||Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk|≦(1/2)sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|[Σ_n,mＱ_t(Ｍⁿ,Δ)^1/2Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)^1/2]です。

よって,Ｅ[|Ｉ₁－Ｉ₁'|]≦(1/2)Σ_n,m=1^NＥ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|Ｑ_t(Ｍⁿ,Δ)^1/2Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)^1/2]≦(1/2)Σ_n,m=1^NＥ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|²]^1/2(Ｅ[Ｑ_t(Ｍⁿ,Δ)Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)])^1/2≦(1/2)Ｅ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|²]^1/2(Σ_n,m=1^NＥ[Ｑ_t(Ｍⁿ,Δ)²]^1/4Ｅ[Ｑ_t(Ｍ^m,Δ)²]^1/4)です。

再掲(補題７.3):"Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃとするとき分割Δに依らない定数ｃが存在してＥ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦ｃが成り立つ。"とＥ[sup_k|Ｄ_ijｆ(ξ_k)－Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)|²]^1/2→ 0 as　|Δ|→ 0 によって,右辺→ 0 as |Δ|→ 0 が得られます。

また,Ｉ₁"＝(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(Ｘ_tk)(＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk)とおくとＥ[|Ｉ₁'－Ｉ₁"|²]＝(1/4)Σ_k=1 ^n-1Ｅ[|Σ_i,j=1^NＤ_ijｆ(Ｘ_tk){(Ｍⁱ_tk+1－Ｍⁱ_tk)(Ｍ^j_tk+1－Ｍ^j_tk)－∫_tk^tk+1ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s|²]≦Σ_k=1 ^n-1(Ｋ²/4)Ｅ[|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|⁴＋Σ_i,j=1^N(＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk)²]≦(Ｋ²/4)Ｅ[sup_k|Ｍ_tk+1－Ｍ_tk|²Σ_i=1^NＱ_t(Ｍⁱ,Δ)]＋(Ｋ²/4)Σ_i,j=1^NＥ[sup_k|＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk|(＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk+1－＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_tk)] → 0 as |Δ|→ 0 です。

すなわち,Ｅ[|Ｉ₁'－Ｉ₁"|²]→ 0 as　|Δ|→ 0 が得られます。

一方,Ｉ₁"＝(1/2)Σ_k=1^n-1Σ_i,j=1^N∫_tk^tk+1Ｄ_ijｆ(Ｘ_tk)ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s→(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s as　|Δ|→ 0 ですから,結局,Ｉ₁→(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ.Ｍ^j＞_s in Ｌ(Ω) as　|Δ|→ 0 です。

以上から,∀ｔに対して,ほとんどいたるところで,ｆ(Ｘ_t)－ｆ(Ｘ₀)＝Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＭⁱ_s＋Σ_i=1^N∫₀^tＤ_iｆ(Ｘ_s)ｄＡ_sⁱ＋(1/2)Σ_i,j=1^N∫₀^tＤ_ijｆ(Ｘ_s)ｄ＜Ｍⁱ,Ｍ^j＞_sが成立し,両辺はｔについて連続なので,この等式は確率１で∀ｔに対して成立します。

(証明終わり)

例として原点から出発する１次元ブラウン運動をＸ_t＝Ｂ_tとし,ｆ(ｘ)＝ｘⁿとすると,伊藤の公式から,Ｂ_tⁿ＝ｎ∫₀^tＢ_s^n-1ｄＢ_s＋{ｎ(ｎ－1)/2}∫₀^tＢ_s^n-2ｄｓです。

特にｎ＝2とすれば,Ｂ_t²＝2∫₀^tＢ_sｄＢ_s＋ｔです。

このことはＢ_t²－ｔがマルチンゲールであることを示しています。これは,マルチンゲールの確率積分が,その定義によって常にマルチンゲールであるからです。

こうして,１次元ブラウン運動の確率積分が通常の関数についての積分公式ｔ²＝2∫₀^tｘｄｘとは食い違うことが明確にわかります。

　次の例として,Ａ_t＝－ｔ/2としＸ_t＝Ｂ_t＋Ａ_t＝,ｆ(ｘ)＝exp(ｘ)とするとき,伊藤の公式から,exp(Ｘ_t)－exp(Ｘ₀)＝exp(Ｂ_t－ｔ/2)－exp(Ｂ₀)＝∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄＢ_s＋∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄ(－ｓ/2)＋(1/2)∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄｓです。

したがって,exp(Ｂ_t－ｔ/2)＝1＋∫₀^t exp(Ｂ_s－ｓ/2)ｄＢ_sです。

Ｂ_tはマルチンゲールなので,もちろんその確率積分exp(Ｂ_t－ｔ/2)もマルチンゲールです。

また,Ｅ[exp{iξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}]＝exp{－(ｔ－ｓ)ξ²/2}より,ｓ＝0 ,ξ＝－2ｉとおいて,Ｅ[exp(2Ｂ_t)]＝exp(2ｔ),すなわち,Ｅ[exp(2Ｂ_t－ｔ)]＝exp(ｔ)です。

それ故,exp(Ｂ_t－ｔ/2)は２乗可積分マルチンゲールです。

さらにＢ_t＝(Ｂ¹_t,Ｂ²_t,..,Ｂ^N_t)をＮ次元ブラウン運動とし,ｆ(ｘ)＝{(ｘ¹)²＋(ｘ²)²＋..＋(ｘ^N)²}^ｍ/2とするとき,ｍ≧2ならｆ(Ｂ_t)－ｆ(Ｂ₀)＝ｍΣ_i=1^N∫₀^tＢⁱ_s|Ｂ_s|^ｍ-2ｄＢⁱ_s＋(1/2)∫₀^t{Ｎｍ＋ｍ(ｍ－2)}|Ｂ_s|^ｍ-2ｄｓです。

また,Ｎ≧3でｍ＝2－Ｎ,σ_n＝inf{ｔ:|Ｂ_t|≦1/ｎ}とするとき,ｆ(Ｂ_t∧σn)－ｆ(Ｂ₀)＝(2－Ｎ)Σ_i=1^N∫₀^t∧σnＢⁱ_s|Ｂ_s|^-NｄＢⁱ_sですから,Ｂ_tの出発点が 0 でないとき:Ｐ(Ｂ_t＝ｘ₀)＝1,ｘ₀≠0 なるときも含めて,Ｐ(σ_n↑∞　as ｎ→∞)＝1 なので,ｆ(Ｂ_t)－ｆ(Ｂ₀)は局所マルチンゲールです。

今日はここまでにします。 

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

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    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(９)

　次のステップとして確率積分という主題に移ります。 

以下では,フィルター付確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_t)はＦ_tが右連続であり,かつ次の条件を満たしているものとします。すなわち,Ｎ≡{Ａ∈Ω｜∃Ｂ∈Ｆ：Ａ⊂Ｂ,Ｐ(Ｂ)＝0}⊂Ｆ₀ であるとします。

Ｍ₂(0,Ｔ)≡{Ｍ：Ｅ[|Ｍ_T|²]＜∞;{Ｍ_t}_t∈[0,T]は右連続マルチンゲール},Ｍ_2,c(0,Ｔ)≡{Ｍ∈Ｍ₂(0,Ｔ)：{Ｍ_t}_t∈[0,T]は連続}と置きます。

また,特にσ-加法族の増大系Ｆ_tを強調する場合には,Ｍ₂(0,Ｔ;Ｆ_t),Ｍ₂(Ｆ_t),Ｍ_2,c(0,Ｔ;Ｆ_t),Ｍ_2,c(Ｆ_t)のように表わします。

(系7.6)によれば,∀Ｍ∈Ｍ_2,cに対し,ある＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cがあって,Ｍ_t²－＜Ｍ＞_tはマルチンゲールになっています。

Ｍ∈Ｍ_2,cに対してＬ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)≡{φ:φは発展的可測でＥ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞},Ｌ₂(＜Ｍ＞)≡{φ:φは発展的可測でＥ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞,∀Ｔ}とおきます。

２乗可積分(連続)マルチンゲール全体の空間のヒルベルト構造に関する次の補題は,確率積分の定義において重要な役割を果たします。

(補題8.1):(ⅰ)Ｍ₂(0,Ｔ),Ｍ_2,c(0,Ｔ)は|Ｍ|_T≡Ｅ[|Ｍ_T|²]^1/2をノルムとするヒルべルト空間である。(ⅱ) Ｍ₂,Ｍ_2,cは,その２つの元Ｍ,Ｎに対してｄ(Ｍ,Ｎ)≡Σ_n=0^∞(|Ｍ－Ｎ|_n∧1)/2ⁿを距離とする完備距離空間である。

(証明)(ⅰ) {Ｍⁿ_T}_n=1,2,..をＭ₂(0,Ｔ),またはＭ_2,c(0,Ｔ)に属するＬ²(Ω,Ｆ,Ｐ)のコーシー列とします。

再掲(定理6.1):"{Ｘ_t}_t∈Tを右連続非負劣マルチンゲールとしＸ_T^*≡sup_0≦t≦T|Ｘ_t|とおくと,(ⅰ)λ^pＰ(Ｘ_T^*≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1 (ⅱ) Ｅ[|Ｘ_T^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が成り立つ。"

により,Ｅ[sup_0≦t≦T|Ｍⁿ_t－Ｍ^m_t|²]≦4Ｅ[|Ｍⁿ_T－Ｍ^m_T|²]です。

再掲(補題７.4):"{Ｙ_sⁿ}をＦ_tに適合した連続確率過程でlim_n,m→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_sⁿ－Ｙ_s^m|²]＝0 なるものとする。

このとき連続確率過程{Ｙ_s}でＦ_tに適合したものがあり{Ｙ_sⁿ}の適当な部分列{Ｙ_s^nk}を取れば,Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|→ 0 as ｋ→ ∞)＝1であり,lim_k→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|²]＝0 となる。"

によって,連続確率過程:Ｍ＝{Ｍ_t}_t∈[0,T]が存在して,ｎ→∞のとき確率１で[0,T]上一様にＭⁿ_t－Ｍ_t→ 0 となることがわかります。

このとき,もちろんＥ[sup_0≦t≦T|Ｍⁿ_t－Ｍ_t|²]→ 0 as ｎ→∞ です。

それ故,∀Ａ∈Ｆ_sについてＥ[(Ｍⁿ_s－Ｍ_s),Ａ]→ 0,Ｅ[(Ｍⁿ_t－Ｍ_t),Ａ]→ 0 です。

　Ｍⁿのマルチンゲール性:Ｅ[Ｍⁿ_t,Ａ]＝Ｅ[Ｍⁿ_s,Ａ],∀Ａ∈Ｆ_sと合わせると,Ｅ[Ｍ_t,Ａ]＝Ｅ[Ｍ_s,Ａ],∀Ａ∈Ｆ_sです。すなわち,Ｍ＝{Ｍ_t}_t∈[0,T]もマルチンゲールです。

よって,Ｍ＝{Ｍ_t}_t∈[0,T]も{Ｍⁿ_T}_n=1,2,..と同じく,Ｍ₂(0,Ｔ)またはＭ_2,c(0,Ｔ)に属することがわかりますから,Ｍ₂(0,Ｔ),Ｍ_2,c(0,Ｔ)はＬ²空間として完備なノルム空間であることがわかりました。

もちろん,このノルム空間において,|Ｍ|_T≡Ｅ[|Ｍ_T|²]^1/2がノルムになっていることは自明です。

そして,Ｍ,Ｎの内積(Ｍ,Ｎ)を(Ｍ,Ｎ)≡(1/4)[|Ｍ＋Ｎ|²_T－|Ｍ－Ｎ|²_T]＝Ｅ[Ｍ_TＮ_T]で定義することにより,Ｍ₂(0,Ｔ),Ｍ_2,c(0,Ｔ)をヒルベルト空間とすることができます。

(ⅱ){Ｍⁿ}_n=1,2,..⊂Ｍ₂をｎ,ｍ →∞ のときｄ(Ｍⁿ,Ｍ^m)→ 0 となるような列とします。

このとき,∀Ｔについて{Ｍⁿ_t}_t≦TはＭ₂(0,Ｔ)のコーシー列になるので,(ⅰ)よりＭ^T＝{Ｍ^T_t}_t≦T∈Ｍ₂(0,Ｔ)が存在して|Ｍⁿ－Ｍ^T|_T→ 0 as ｎ →∞ となります。

ところで,Ｔ₁≧Ｔとすると極限の一意性によって,0≦∀ｔ≦ＴについてＭ^T1_t＝Ｍ^T_tですからＭ^T1_Ｔ＝Ｍ^T_Ｔが成立しています。

それ故,0≦∀ｔ≦∞ に対してＭ_t≡Ｍ^t_tと置くことによって,Ｍ_t＝lim_T→∞Ｍ^T_tを定義することができて,Ｍ＝{Ｍ_t}_t≦∞とすると,ｄ(Ｍⁿ,Ｍ) → 0 as ｎ→ ∞ となりＭ＝{Ｍ_t}∈Ｍ₂です。

したがって,Ｍ₂はその２つの元Ｍ,Ｎに対して,ｄ(Ｍ,Ｎ)≡Σ_n=0^∞(|Ｍ－Ｎ|_n∧1)/2ⁿを距離とする完備距離空間です。

さらにＭ_2,cはＭ₂の閉部分空間なので,Ｍ_2,cも同じ距離について完備距離空間です。

(証明終わり)

(補題8.2):(ⅰ)Ｌ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)は∀φ∈Ｌ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)に対して|φ|_T≡Ｅ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞]^1/2をノルムとするヒルべルト空間である。

(ⅱ) Ｌ₂(＜Ｍ＞)は∀φ₁,φ₂∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対してρ(φ₁,φ₂)≡Σ_n=1^∞(|φ₁－φ₂|_n∧1)/2ⁿを距離とする完備距離空間である。

(証明)(詳細は略して概略のみ記述します。)

(ⅰ)ｍ(Ａ)≡Ｅ[∫₀^T1_A(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_s]^1/2,Ａ∈Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_tによって([0,Ｔ])×Ω,Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_t)の上での測度を定義すればＬ²([0,Ｔ])×Ω,Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_t,ｄｍ)はｍ＝|・|_Tをノルムとしたヒルベルト空間です。

Ｌ₂(0,Ｔ;＜Ｍ＞)はＬ²([0,Ｔ])×Ω,Ｂ([0,Ｔ])×Ｆ_t,ｄｍ)の閉部分空間ですから命題が成立します。

(ⅱ)(ⅰ)から明らかです。

（証明終わり） 

※     φ(ｔ,ω)＝Σ_i=0^kξ_i(ω)１_(ti,ti+1)(ｔ)；0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_k+1,ｋ＝1,2,..で各ξ_iはＦ_ti-可測で有界なもの,で与えられるφを初等確率過程と呼びます。そして初等確率過程の全体をＬ₀で表わすことにします。

(補題：8.3):Ｌ₀はＬ₂(＜Ｍ＞)内で稠密である。

（証明)∀φ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対してlim_n→∞φ_n＝φ ａ.ｓ inＬ²,つまりlim_n→∞Ｅ[∫₀^T|φ_n(ｓ,ω)－φ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 を満たす関数列{φ_n}_n=1,2,..⊂Ｌ₀ が存在することを示せばいいです。

そこで,φ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)とすると,Ｅ[∫₀^Tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]＜∞,∀Ｔですが,φは有界であるとしｓの近傍でのφの平均値としてφ_nをφ_n(ｓ,ω)≡∫_(ｓ－1/n)+^sφ(ｕ,ω)ｄ＜Ｍ＞_u/[＜Ｍ＞_s－＜Ｍ＞_(s-1/n)+]で定義します。ただしａ+≡ａ∨0 です。

そして,さらにφ~(ｓ,ω)≡limsup_n→∞φ_n(ｓ,ω)と置きます。

　このとき上極限の定義によって,ｄ＜Ｍ＞_s,∀ｓ∈[0,Ｔ]のほとんど到るところで部分列が存在してlim_n→∞φ_n(ｓ,ω)＝φ~(ｓ,ω)であり,定義から∫₀^Tφ~(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_s＝∫₀^Tφ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_sが成り立っています。

　また,φが発展的可測なので,φ_n(ｓ,ω)はＦ_tに適合しています。

　分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_k+1に対し,φ_n^(Δ)(ｓ,ω)≡Σ_i=0^kφ_n(ｔ_i,ω)１_(ti,ti+1)(ｓ)とおけば,φ_n^(Δ)∈Ｌ₀でありφ_nは左連続ですから,lim_|Δ|→0φ_n^(Δ)(ｓ,ω)＝φ_n(ｓ,ω)∀(ｓ,ω)です。

　したがって,Ｅ[∫₀^T|φ_n^(Δ)(ｓ,ω)－φ_n(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0 as |Δ|→ 0 となります。

　また,lim_n→∞φ_n(ｓ,ω)＝φ~(ｓ,ω)より,lim_n→∞∫₀^T|φ_n(ｓ,ω)－φ~(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ですから,lim _{n→∞,|Δ|→0}Ｅ[∫₀^T|φ_n^(Δ)(ｓ,ω)－φ~(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 を得ます。

　ところが,∫₀^Tφ~(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_s＝∫₀^Tφ(ｓ,ω)ｄ＜Ｍ＞_sですから,lim _{n→∞,|Δ|→0}Ｅ[∫₀^T|φ_n^(Δ)(ｓ,ω)－φ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 です。

　以上からＬ₀はＬ₂(＜Ｍ＞)内で稠密であることが証明されました。

　(証明終わり)

(定義8.4):(初等確率過程に対する確率積分の定義)

　φ(ｓ,ω)＝Σ_i=0^kξ_i(ω)１_(ti,ti+1)(ｓ)∈Ｌ₀に対して確率積分Ｉ(φ)をＩ(φ)(ｔ,ω)≡Σ_ti+1＜tξ_i(ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)＋ξ_l(ω)(Ｍ_t－Ｍ_tl),ｔ_l≦ｔ≦ｔ_l+1と定義する。そして,これをＩ(φ)(ｔ,ω)＝∫₀^tφ(ｓ,ω)ｄＭ_sと表わす。

ここでξ_i(ω)がＦ_ti-可測であることに注意されたい。

つまり積分和の係数である確率変数の値として分割の分点の左側の値を取っていることが確率積分の特徴です。後述するように,この取り方のおかげで確率積分はマルチンゲールになります。

さらに,初等確率過程に対する確率積分Ｉ(φ)の性質として次の補題を証明しておきます。

(補題8.5):Ｉ(φ)∈Ｍ_2,cで,(ⅰ)＜Ｉ(φ)＞_t＝∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sである。(ⅱ)Ｅ[Ｉ(φ)_t²]＝Ｅ[∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]である。

(証明)ｓ≦ｔのときＥ[Ｉ(φ)_t|Ｆ_s]＝Ｅ[Σ_ti+1＜tξ_i(ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_l(ω)(Ｍ_t－Ｍ_tl)|Ｆ_s]＝Σ_ti+1＜sξ_i(ω)(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)＋ξ_p(ω)(Ｍ_s－Ｍ_tp)＝Ｉ(φ)_sより,確かにＩ(φ)(ｔ,ω)はマルチンゲールです。

　さらに,Ｍ∈Ｍ_2,cよりＩ(φ)∈Ｍ_2,cです。

(ⅰ)ｔ_m≦ｓ≦ｔ_m+1≦ｔ_l≦ｔ≦ｔ_l+1とします。

　Ｍのマルチンゲール性から,Ｅ[{Ｉ(φ)(ｔ)－Ｉ(φ)(ｓ)}²|Ｆ_s]＝Ｅ[{Σ_i=m+1^l-1ξ_i(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)＋ξ_l(Ｍ_t－Ｍ_tl)＋ξ_m(Ｍ_tm+1－Ｍ_s)}²|Ｆ_s]＝Σ_i=m+1^l-1Ｅ[ξ_i²(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_l²(Ｍ_t－Ｍ_tl)²|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_m²(Ｍ_tm+1－Ｍ_s)²|Ｆ_s]＝Σ_i=m+1^l-1Ｅ[ξ_i²(＜Ｍ_ti+1＞－＜Ｍ_ti＞)|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_l²(＜Ｍ_t＞－＜Ｍ_tl＞)|Ｆ_s]＋Ｅ[ξ_m²(＜Ｍ_tm＞－＜Ｍ_s＞|Ｆ_s]です。

　すなわち,Ｅ[{Ｉ(φ)(ｔ)－Ｉ(φ)(ｓ)}²|Ｆ_s]＝Ｅ[∫_s^tφ(ｕ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_u|Ｆ_s]となります。

　また,Ｉ(φ)のマルチンゲール性から,Ｅ[{Ｉ(φ)(ｔ)－Ｉ(φ)(ｓ)}²|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｉ(φ)(ｔ)²－Ｉ(φ)(ｓ)²|Ｆ_s]ですから,結局,Ｅ[Ｉ(φ)(ｔ)²－∫₀^tφ(ｕ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_u|Ｆ_s]＝Ｉ(φ)(ｓ)²－∫₀^sφ(ｕ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_uとなり,Ｉ(φ)_t²－∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sがマルチンゲールとなることがわかりました。

Ｉ(φ)∈Ｍ_2,cですから,(系7.6)の二次変分の一意性によって,＜Ｉ(φ)＞_t＝∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sです。

(ⅱ)Ｉ(φ)(0)＝0 なので,(系7.6)(ⅲ)より直ちにＥ[Ｉ(φ)_t²]＝Ｅ[∫₀^tφ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s] を得ます。(証明終わり)

(定義8.6):(確率積分の定義)

　一般のｆ∈Ｌ₂(＜Ｍ＞)に対して確率積分を定義する。

　(補題8.3)により,ｆ_n∈Ｌ₀でlim_n→∞Ｅ[∫₀^T|ｆ_n(ｓ,ω)－ｆ(ｓ,ω)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ∀Ｔを満たすものを取ることができる。

　そして,Ｘⁿ_t≡I(ｆ_n)＝∫₀^tｆ_n(ｓ,ω)ｄＭ_sと置くと,(補題8.5)によってｎ,ｍ→∞ のときＥ[|Ｘⁿ_t－Ｘ^m_t|²]＝Ｅ[∫₀^t|Ｘⁿ_s－Ｘ^m_s|²ｄ＜Ｍ＞_s]→ 0 ∀ｔである。

　またＥ[sup_s≦t|Ｘⁿ_s－Ｘ^m_s|²]＝4Ｅ[|Ｘⁿ_t－Ｘ^m_t|²]ですから,{Ｘⁿ_t}_n=1,2,..のある収束する部分列{Ｘ^nk_t}_k=1,2,..があって,その極限値をＸ_tと置けばＸ＝{Ｘ_t}∈Ｍ_2,cでlim_k→∞ｄ(Ｘ^nk,Ｘ)＝0 かつＰ(Ｘ^nk_t→Ｘ_t,ｋ→∞,広義一様収束)＝１となる。

このＸ＝{Ｘ_t}はｆ_n∈Ｌ₀の取り方によらない。

実際,ｆ_n,ｆ~_n∈Ｌ₀でlim_n→∞Ｅ[∫₀^T|ｆ_n(ｓ)－ｆ(ｓ)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ,lim_n→∞Ｅ[∫₀^T|ｆ~_n(ｓ)－ｆ(ｓ)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 を満たすものを取ります。

上のやり方で連続マルチンゲールＸ_tとＸ~_tが決められたとすると,Ｅ[sup_s≦t|Ｘ_s－Ｘ~_s|²]＝4Ｅ[|Ｘ_t－Ｘ~_t|²]＝lim_n,m→∞4Ｅ[|Ｘⁿ_t－Ｘ^m_t|²]＝lim_n,m→∞4Ｅ[∫₀^t|ｆ_n(ｓ)－ｆ_m(ｓ)|²ｄ＜Ｍ＞_s]＝0 ∀ｔなので,Ｘ_t＝Ｘ~_t ａ.ｓ が結論され,Ｘ＝{Ｘ_t}はｆ_n∈Ｌ₀の取り方によらず一意的に決まります。

こうして決まるＸ＝{Ｘ_t}をｆのＭによる確率積分といい,Ｘ_t＝∫₀^tｆ(ｓ,ω)ｄＭ_sと表わす。

ここで,確率積分Ｘ＝{Ｘ_t}の二次変分はどのように与えられるか？について言及しておきます。

(補題8.7):Ｅ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]＝Ｅ[∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]なる等式が成り立つ。

(証明)(補題8.5)から＜Ｘⁿ＞_Ｔ＝∫₀^Tｆ_n(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_sです。

　＜Ｘⁿ＞_Ｔのｎ→∞の極限で＜Ｘ＞_Ｔ＝∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s ａ.ｓ です。Ｘ＝{Ｘ_t}∈Ｍ_2,ｃより(系7.6)(ⅲ)からＥ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[＜Ｘ＞_T]＝Ｅ[∫₀^Tｆ(ｓ,ω)²ｄ＜Ｍ＞_s]が成立します。

(証明終わり)

特に,Ｂ_tを原点から出発するブラウン運動とすると,Ｂ_t²－ｔのマルチンゲール性によって,＜Ｂ_t＞＝ｔです。

既に示したように,自然数ｎについてＥ[|Ｂ_t－Ｂ_s|²ⁿ]＝ｃ_n(ｔ－ｓ)ⁿ,ｃ_n=2^-n(2ｎ)!/ｎ!です。すなわち,Ｅ[Ｂ_t²ⁿ]＝ｃ_nｔⁿですから,Ｅ[∫₀^TＢ_t²ⁿｄｔ]＜∞です。

そこで,確率積分Ｘ_Ｔ＝∫₀^TＢ_t²ⁿｄＢ_tが定義できて,Ｅ[Ｘ_Ｔ²]＝Ｅ[∫₀^TＢ_t²ⁿｄ＜Ｂ_t＞]＝Ｅ[∫₀^TＢ_t²ⁿｄｔ]＝ｃ_n∫₀^Tｔⁿｄｔ＝ｃ_nＴⁿ⁺¹/(ｎ＋1)となります。

ブラウン運動のような確率過程では(Ｂ_t－Ｂ_s)²～(ｔ－ｓ)より,(ｄＢ_t)² ～ｄｔ,すなわち,ｄＢ_t ～ (ｄｔ)^1/2なので(ｄＢ_t)²は２次の微小量ではなく１次の微小量です。

そこで積分法や微分法において,これをｄｔと比較して無視することができません。こうした事情が確率積分をむずかしくしている原因であろうと思われます。

切りがいいので今日はここまでにします。 

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

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    物理学

ブラウン運動と伊藤積分(８)

: 前回の記事では二次変分という量の説明が中途になりましたが,今回はその説明を完成させます。

　まず(定理7.2)の証明から始めます。

(定理7.2の証明)

まず,Ｍ_tに対して二次変分Ａ_t≡＜Ｍ＞_tが存在することをを仮定してその一意性の方から証明します。

すなわち,Ｍ_t²－Ａ_tとＭ_t²－Ａ~_tは共にマルチンゲールでＡ,Ａ~∈Ａ_＋,c,かつＡ₀＝Ａ~₀＝0 を満たすとすると,Ａ_t－Ａ~_t＝(Ｍ_t²－Ａ~_t)－(Ｍ_t²－Ａ_t)もマルチンゲールで,Ａ－Ａ~∈Ａです。

そこで,(補題7.1)によってＡ_t－Ａ~_t＝Ａ₀－Ａ~₀＝0 ∀ｔ ａ.ｓが成立しますから,Ａ＝＜Ｍ＞が存在すれば,それは唯１つであることがわかります。

　 次に,存在を証明します。

まず,分割Δを取って|Δ|→ 0 とすると,Ｑ_t(Ｍ_t;Δ)がＬ²(Ω)においてコーシー列を作ることを示します。

　Δ：0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n＜ｔ_n+1＜..で,ｔ_n＜ｔ＜ｔ_n+1なる分割を取ります。

ｔ_k＜ｓ＜ｔ_k+1とすると,Ｍ_tのマルチンゲール性により,Ｅ[Ｍ_tk+1Ｍ_tk|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_tk+1|Ｆ_s]Ｍ_tk＝Ｍ_sＭ_tk,およびＥ[Ｍ_tk+1²|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_tk+1|Ｆ_s]Ｍ_tk+1＝Ｍ_sＭ_tk+1です。

また,仮定により,Ｍ_tはＦ_ｔに適合している,つまりＦ_t-可測です。そしてｔ_k＜ｓより,Ｆ_ｔk⊂Ｆ_sですから,Ｍ_tkはＦ_s-可測になります。

そこで,"ＸがＧ-可測で積ＸＹが可積分ならＥ[ＸＹ|Ｇ ]＝ＸＥ[Ｙ|Ｇ ] (ａ.ｓ),特にＥ[Ｘ|Ｇ ]＝Ｘ (ａ.ｓ)である。"という条件付期待値の性質からＥ[Ｍ_tk|Ｆ_s]＝Ｍ_tkです。

つまり,これは"時刻ｓでの情報が既にわかっているという条件下では,ｓより前の時刻ｔ_kにおける確率変数Ｍ_tk(ω)(∀ω∈Ω)の値は完全に確定している。"という当然の性質ですが,これを用いるとＥ[Ｍ_tk²|Ｆ_s]＝Ｍ_tk²が得られます。

したがって,マルチンゲールＭに対しては,Ｅ[(Ｍ_tk+1－Ｍ_tk)²|Ｆ_s]＝Ｅ[(Ｍ_tk+1²＋Ｍ_tk²－2Ｍ_tk+1Ｍ_tk)|Ｆ_s]＝Ｅ[(Ｍ_tk+1²＋Ｍ_s²－2Ｍ_tk+1Ｍ_s|Ｆ_s] ＋Ｍ_tk²＋Ｍ_s²－2Ｍ_sＭ_tkです。

すなわち,Ｅ[(Ｍ_tk+1－Ｍ_tk)²|Ｆ_s]＝Ｅ[(Ｍ_tk+1－Ｍ_s)²|Ｆ_s]＋(Ｍ_s－Ｍ_tk)²なる等式を得ます。

そして,0≦ｌ≦ｋ－1では,ｔ_l,ｔ_l+1＜ｓなので,もちろんＥ[(Ｍ_tl+1－Ｍ_tl)²|Ｆ_s]＝(Ｍ_tl+1－Ｍ_tl)²であり,またＥ[(Ｍ_s－Ｍ_tk)²|Ｆ_s]＝(Ｍ_s－Ｍ_tk)²です。

そこで,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)|Ｆ_s]＝Σ_l=0 ^k-1(Ｍ_tl+1－Ｍ_tl)²＋(Ｍ_s－Ｍ_tk)²＋Ｅ[{(Ｍ_tk+1－Ｍ_s)²＋Σ_i=k+1 ^n-1(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²＋(Ｍ_t－Ｍ_tn)²}|Ｆ_s]です。

すなわち,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)|Ｆ_s]＝Σ_l=0 ^k-1(Ｍ_tl+1－Ｍ_tl)²＋(Ｍ_s－Ｍ_tk)²＋Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_s²|Ｆ_s]＝Ｑ_s(Ｍ;Δ)＋Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_s²|Ｆ_s]という表式が得られます。

したがって,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_s(Ｍ;Δ)|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_s²|Ｆ_s],つまりＥ[Ｍ_t²－Ｑ_t(Ｍ;Δ)|Ｆ_s]＝Ｍ_s²－Ｑ_s(Ｍ;Δ)となります。

結局,Ｍ＝{Ｍ_t}がマルチンゲールなら,{Ｍ_t²－Ｑ_t(Ｍ;Δ)}もマルチンゲールであることがわかりました。

次に,Δ'を別の分割とすれば,{Ｍ_t²－Ｑ_t(Ｍ;Δ')}もマルチンゲールですから,Ｌ_t≡Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ')とおくと,Ｌ＝{Ｌ_t}もマルチンゲールです。そして,Ｍ_t∈Ｍ_4,ｃなのでＬ_tもＬ²(Ω)に属します。

そこで,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_s(Ｍ;Δ)|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_s²|Ｆ_s]において,Ｍ_tをＬ_tに,ΔをΔ∪Δ'に,Ｆ_sをＦ₀に,それぞれ読み換えることにより,Ｅ[Ｑ_t(Ｌ;Δ∪Δ')－Ｑ₀(Ｌ;Δ∪Δ')|Ｆ₀]＝Ｅ[Ｌ_t²－Ｌ₀²|Ｆ₀]を得ます。

さらに,Ｑ₀＝0,Ｌ₀＝0 であり,Ｑ_t,Ｌ_t²はＦ₀と独立なので,これはＥ[Ｑ_t(Ｌ;Δ∪Δ')]＝Ｅ[Ｌ_t²]となります。

つまり,Ｅ[Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ');Δ∪Δ')]＝Ｅ[(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ')²]です。

そして,一般に成り立つ不等式(Ａ－Ｂ)²＝Ａ²－2ＡＢ＋Ｂ²≦2Ａ²＋2Ｂ²を用いれば,Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ');Δ∪Δ')≦2Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ);Δ∪Δ')＋2Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ');Δ∪Δ')が得られます。

一方,分割Δ∪Δ'をΔ∪Δ':0＝ｓ₀＜ｓ₁＜..＜ｓ_ｌ＜ｓ_l+1＜..,;ただし,ｓ_l＜ｔ＜ｓ_l+1としｔ_j≦ｓ_k＜ｓ_k+1≦ｔ_j+1とします。

Ｑ_sk+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sk(Ｍ;Δ)＝(Ｍ_sk+1－Ｍ_tj)²－(Ｍ_sk－Ｍ_tj)²＝(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)(Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj)ですから,Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ);Δ∪Δ')＝Σ_k(Ｑ_sk+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sk(Ｍ;Δ))²＋(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sl(Ｍ;Δ))²＝Σ_k(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)²(Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj)²＋(Ｍ_t－Ｍ_sl)²(Ｍ_t＋Ｍ_sk－2Ｍ_tn)²です。

したがって,Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ);Δ∪Δ')≦sup_k|Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj|²Ｑ_t(Ｍ;Δ∪Δ')が成立します。

故に,Ｅ[(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ'))²]≦2Ｅ[Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ);Δ∪Δ')]＋2Ｅ[Ｑ_t(Ｑ_t(Ｍ;Δ');Δ∪Δ')]≦2Ｅ[sup_k|Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj|⁴]^1/2Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ∪Δ')²]^1/2＋2Ｅ[sup_k|Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj'|⁴]^1/2Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ∪Δ')²]^1/2となります。

ここで,sup_k|Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj|⁴≦4(Ｍ^*_t)⁴, Ｍ^*_t≡sup_s≦t|Ｍ_s|でＭ_t∈Ｍ_4,ｃですから,これは有界です。

そこで,"ルベーグの収束定理＝定積分の存在定理"によって,lim_{|Δ|,|Δ'|→0}Ｅ[sup_k|Ｍ_sk+1＋Ｍ_sk－2Ｍ_tj|⁴]＝0 です。

そして,(補題7.3)によれば,Ｍ_t∈Ｍ_4,ｃなるＭに対してＥ[Ｑ_t(Ｍ;Δ∪Δ')²]＜∞ですから,結局lim_{|Δ|,|Δ'|→0}Ｅ[(Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_t(Ｍ;Δ'))²]＝0 となることがわかりました。

ここで,∀ｔ＞0 に対して,分割列Δ_nをｎ→ ∞で|Δ_n|→ 0 となるように取ります。

Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－Ｑ_s(Ｍ;Δ_m),ｓ≦ｔはマルチンゲールなので,たった今示したことによって,|Δ_n|,|Δ_m|→ 0 のとき,Ｅ[sup_s≦t|Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－Ｑ_s(Ｍ;Δ_m)|²] → 0 です。

Ｑ_t(Ｍ;Δ_n)は t について連続なので,(補題7.4)によれば連続確率過程＜Ｍ＞_s∈Ｌ²が存在して,Ｐ(|Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－＜Ｍ＞_s|→ 0 as ｎ→ ∞,ｓ∈[0,t]について一様収束)＝1,かつＥ[|Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－＜Ｍ＞_s|²] → 0 as ｎ→ ∞,∀ｓ＜ｔが成立します。

また,予め∪_n=1^∞Δ_nが[0,t]で稠密でΔ_n⊂Δ_n+1∀ｎとなるように分割列{Δ_n}を取っておくことにしておけばｓ₁＜ｓ₂,ｓ₁,ｓ₂∈Δ_nならＱ_s1(Ｍ;Δ_n)≦Ｑ_s2(Ｍ;Δ_n)なので,＜Ｍ＞_sも∪_n=1^∞Δ_nで単調非減少であり,＜Ｍ＞_s∈Ａ_＋,cとなります。

もちろん,＜Ｍ＞_tはＦ_tに適合しています。

そして{Ｍ_t²－Ｑ_t(Ｍ;Δ_n)}はマルチンゲールですから,ｎ→∞ の極限をとれば,{Ｍ_t²－＜Ｍ＞_t}もマルチンゲールです。

以上から,ブラウン運動{Ｂ_t}に対するマルチンゲール{Ｂ_t²－ｔ}における分散ｔに対応して,{Ｍ_t}に対する二次変分＜Ｍ＞_tが存在して一意的であることが示されました。

(定理7.2の証明終わり)

次に,Ｍ＝{Ｍ_t}を１つの右連続マルチンゲール,τを停止時刻としてＭ^τ_t≡Ｍ_τ∧tとすると,Ｍ^τはマルチンゲールであること,そしてさらにＭ∈Ｍ_4,ｃとすると＜Ｍ^τ＞_t＝＜Ｍ＞_τ∧tとなることを証明します。

(証明)(定理6.2)により,Ｅ[Ｍ_τ∧t|Ｆ_s]＝Ｍ_τ∧ｓです。

なぜなら,ｓ≦ｔとすると,τ∧ｔ＝ｔならＥ[Ｍ_τ∧t|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_t|Ｆ_s]＝Ｍ_ｓ＝Ｍ_τ∧ｓとなり,τ∧ｔ＝τならＥ[Ｍ_τ∧t|Ｆ_s]＝Ｅ[Ｍ_τ|Ｆ_s]＝Ｍ_τ∧ｓとなるからです。

よって,Ｍ^τ＝{Ｍ^τ}_t＝{Ｍ_τ∧t}はマルチンゲールです。

　Ｍ∈Ｍ_4,ｃのときには,Ｎ_t≡Ｍ_t²－＜Ｍ＞_tは２乗可積分マルチンゲールで,Ｎ^τ_t≡(Ｍ^τ_t)²－＜Ｍ＞_τ∧t＝(Ｍ_τ∧t)²－＜Ｍ＞_τ∧t＝Ｎ_τ∧tはマルチンゲールであり,Ａ_t≡＜Ｍ＞_τ∧t∈Ａ_＋,cです。

(定理7.2)よりＡ_t＝＜Ｍ＞_tの一意性によって,＜Ｍ^τ＞_t＝＜Ｍ＞_τ∧tであることがわかります。(証明終わり)

さて,ここで局所マルチンゲールの定義を与えます。

(定義7.5):Ｆ_tに適合した右連続確率過程{Ｘ_t}に対して停止時刻の列{τ_n}があって,τ_n≦τ_n+1,∀ｎ,lim_n→∞τ_n＝∞ (ただし0≦ｔ≦Ｔで考えるときは,lim_n→∞τ_n＝Ｔ)を満たし,各ｎに対して{Ｘ^τn _t}≡{Ｘ_{τn ∧t}}がマルチンゲールになるとき,元の確率過程:{Ｘ_t}は局所マルチンゲールであると言う。

　そして,局所マルチンゲール全体の空間をＭ_loc,連続局所マルチンゲール全体の空間をＭ_c,locと表わす。

(系7.6):Ｍ∈Ｍ_c,_locとするとき,

(ⅰ)＜Ｍ＞₀＝0 なる＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cがあって,Ｍ²－＜Ｍ＞は連続な局所マルチンゲールとなる。

(ⅱ)∀ｔ＞0 に対して[0,ｔ]の分割の列{Δ_n}を取ると,lim_|Δn|→0Ｐ(sup_s≦t|Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－＜Ｍ＞_s|＞ε)＝0 for ∀ε＞0 となる。

(ⅲ)Ｍ₀＝0 のときＭ∈Ｍ_2,ｃなることはＥ[＜Ｍ＞_t]＜∞,∀ｔと同値であり,さらにＥ[Ｍ_t ²]＝Ｅ[＜Ｍ＞_t]である。

(証明)(ⅰ)仮定より,ある停止時刻の列:{τ_n}があって,Ｍ^τnはマルチンゲールとなります。

　σ_n≡inf{ｔ：|Ｍ_t |≧ｎ}とおくと,σ_n↑∞であり,Ｍⁿ≡Ｍ^σn∧τnは有界マルチンゲールとなります。

なぜなら,ｍ≧ｎのときσ_n＞σ_mであると仮定すると,σ_n＞∃ｔ＞σ_m:ｍ＞|Ｍ_t |≧ｎですから,σ_n＝inf{ｔ:|Ｍ_t |≧ｎ}に矛盾します。それ故,ｍ≧ｎならσ_m≧σ_nであり,σ_n↑∞となります。

また,|Ｍ_t|≧ｎなるｔの集合は閉集合なので,σ_nは停止時刻ですから,Ｍⁿは確かにマルチンゲールです。

そして,ｔ≦σ_nなら|Ｍ_t|≦ｎですが,Ｍⁿ_t＝Ｍ_{σn∧τn∧t}なので∀ｔに対して|Ｍⁿ_t|≦ｎ,つまりＭⁿは有界なマルチンゲールです。

ここで,(定理7.2)により(Ｍⁿ∈Ｍ_4,ｃという仮定の下で∀ｎについてＡⁿ∈Ａ_＋,cが存在して(Ｍⁿ)²－Ａⁿはマルチンゲールになります。

ところが,ρ_n≡σ_n∧τ_nとおくと,ρ_n≦ρ_n+1でありＭⁿ_t＝Ｍ_ρn∧tですから,Ｍⁿ⁺¹_ρn＝Ｍ_ρn+1∧ρn＝Ｍ_ρn＝Ｍⁿ_ρnです。

すなわち,(Ｍⁿ⁺¹_ρn)²－Ａⁿ⁺¹_ρn＝(Ｍⁿ_ρn)²－Ａⁿ⁺¹_ρnです。

そこで,Ａⁿの一意性から,Ａⁿ⁺¹_ρn＝Ａⁿ_ρnとなります。

そこで,∀ｔ＞0 に対して＜Ｍ＞_t≡lim_n→∞Ａⁿ_tとおけば,(Ｍⁿ_t)²－Ａⁿ_t＝(Ｍ_ρn∧t)²－＜Ｍ＞_ρn∧tであり,これがマルチンゲールですからＭに対して一意的な＜Ｍ＞が存在して,Ｍが局所マルチンゲールとなることが証明されました。

(ⅱ)ρ_n↑∞なので,∀δ＞0 に対してＰ(ρ_m≦ｔ)＜δとなるｍ＝ｍ(δ)が存在します。

　また,Ｍ^m＝Ｍ^ρmは有界マルチンゲールで,ｓ≦ρ_mならＭ^ρm_s＝Ｍ_ρm∧s＝Ｍ_sですから,Ｑ_s(Ｍ;Δ)＝Ｑ_s(Ｍ^ρm,Δ),かつ＜Ｍ＞_s＝＜Ｍ^ρm＞_sです。

　よって,ｓ≦ρ_mならＱ_s(Ｍ;Δ)－＜Ｍ＞_s＝Ｑ_s(Ｍ^ρm;Δ)－＜Ｍ^ρm＞_sですから,0≦ｓ≦ｔのとき∀ε＞0 に対し|Ｑ_s(Ｍ;Δ)－＜Ｍ＞_s|＞εとなる確率はｍがＰ(ρ_m≦ｔ)＜δを満たしｓ≦ρ_mで|Ｑ_s(Ｍ^ρm;Δ)－＜Ｍ^ρm＞_s|＞εとなる確率より小さいはずです。

　つまり,Ｐ(sup_0≦s≦t|Ｑ_s(Ｍ;Δ)－＜Ｍ＞_s|＞ε)≦Ｐ(ρ_m≦ｔ)＋Ｐ(sup_0≦s≦t|Ｑ_s(Ｍ^ρm;Δ)－＜Ｍ^ρm＞_s|＞ε) です。

そして,Ｍが局所マルチンゲールですから,|Δ|→0 に対してＱ_s(Ｍ^ρm;Δ)→＜Ｍ^ρm＞_sです。それゆえ,結局limsup_|Δ|→0Ｐ(sup_0≦s≦t|Ｑ_s(Ｍ;Δ)－＜Ｍ＞_s|＞ε)≦δという結論が得られます。

つまり,∀ｔ＞0 に対して[0,ｔ]の分割の列 {Δ_n}を取るとき,lim_|Δn|→0Ｐ(sup_s≦t|Ｑ_s(Ｍ;Δ_n)－＜Ｍ＞_s|＞ε)＝0 for ∀ε＞0 となる。ことが示されたわけです。

(ⅲ)Ｍ∈Ｍ_2,ｃ,Ｍ₀＝0 とします。

　Ｍ∈Ｍ_2,ｃよりＭ∈Ｍ_4,ｃですから,Ｅ[(Ｍ^ρn_t)²－＜Ｍ^ρn＞_t]＝0 となります。

　したがって,Ｅ[＜Ｍ＞_t]＝lim_n→∞Ｅ[＜Ｍ^ρn＞_t]＝lim_n→∞Ｅ[(Ｍ^ρn_t)²]≦Ｅ[Ｍ_t ²]です。

　逆にＥ[Ｍ_t ²]≦liminf_n→∞Ｅ[(Ｍ^ρn_t)²]＝liminf_n→∞Ｅ[＜Ｍ^ρn＞_t]≦Ｅ[＜Ｍ＞_tとなります。

(証明終わり)

(注意):この系によりＭ∈Ｍ_2,ｃ,Ｍ₀＝0 なるＭに対しても＜Ｍ＞∈Ａ_＋,c,＜Ｍ＞₀＝0 でＭ²－＜Ｍ＞がマルチンゲールとなるものが一意的に存在すること,がわかります。

(系7.7):Ｍ,Ｎを連続な局所マルチンゲールとする。

　このとき＜Ｍ,Ｎ＞₀＝0 なる＜Ｍ,Ｎ＞∈Ａ_cが一意的に存在して,

(ⅰ)ＭＮ－＜Ｍ,Ｎ＞は連続な局所マルチンゲールである。

(ⅱ)∀ｔ＞0 に対して[0,ｔ]の分割の列{Δ_n}を取ると,lim_|Δn|→0Ｐ(sup_s≦t|Ｑ_s(Ｍ,Ｎ;Δ_n)－＜Ｍ,Ｎ＞_s|＞ε)＝0 for∀ε＞0 となる。

　ただし,Ｑ_s(Ｍ,Ｎ;Δ_n)≡Σ_ti+1＜s(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)(Ｎ_ti+1－Ｎ_ti)＋..＋(Ｍ_s－Ｍ_tn)(Ｎ_s－Ｎ_tn),Δ:ｔ₀＜ｔ₁＜..＜ｔ_n＜..である。

(証明)(ⅰ)＜Ｍ,Ｎ＞≡(1/4)(＜Ｍ＋Ｎ＞－＜Ｍ－Ｎ＞)とおくと,(系7.6)より(Ｍ＋Ｎ)²－＜Ｍ＋Ｎ＞,(Ｍ－Ｎ)²－＜Ｍ－Ｎ＞は＜Ｍ＋Ｎ＞₀＝0,＜Ｍ－Ｎ＞₀＝0 を満たす連続な局所マルチンゲールであって＜Ｍ＋Ｎ＞,＜Ｍ－Ｎ＞∈Ａ_＋,cが成立します。

　そして,(1/4)[(Ｍ＋Ｎ)²－(Ｍ－Ｎ)²]＝ＭＮですから,＜Ｍ,Ｎ＞₀＝0,＜Ｍ,Ｎ＞∈Ａ_cであって,ＭＮ－＜Ｍ,Ｎ＞は連続な局所マルチンゲールです。

(ⅱ)(系7.6)(ⅱ)より,lim_|Δn|→0Ｐ(sup_s≦t|Ｑ_s(Ｍ±Ｎ;Δ_n)－＜Ｍ±Ｎ＞_s|＞ε)＝0 for ∀ε＞0が成立します。

　これとＱ_s(Ｍ,Ｎ;Δ_n)＝1/4[Ｑ_s(Ｍ＋Ｎ;Δ_n)－Ｑ_s(Ｍ－Ｎ;Δ_n)]からこの(系7.7)(ⅱ)が成立します。

(証明終わり)

ここで以前の記事でのブラウン運動の性質:再掲(補題4.9);"Ｎ次元Ｆ_t-ブラウン運動{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,．．,Ｂ_t^N)}について,∀ｔ≧ｓ＞0 に対して,(ⅰ)Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱ;ｉ＝1,2,..,Ｎ (ⅱ)Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)である。"

という命題によって,{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,..,Ｂ_t^N)}をＮ次元Ｆ_t-ブラウン運動とすると,＜Ｂⁱ,Ｂ^j＞_t＝δ_ijｔとなることがわかります。

(命題7.8):Ｍ,Ｎ,Ｌを連続な局所マルチンゲールとすると,次の(ⅰ)～(ⅳ)が成立する。

(ⅰ)＜Ｍ,Ｎ＞＝＜Ｎ,Ｍ＞

(ⅱ)＜Ｍ＋Ｎ,Ｌ＞＝＜Ｍ,Ｌ＞＋＜Ｎ,Ｌ＞

(ⅲ)任意の定数ａに対して＜ａＭ,Ｎ＞＝ａ＜Ｍ,Ｎ＞

(ⅳ)τを停止時刻とすると,＜Ｍ^τ,Ｎ^τ＞_t＝＜Ｍ^τ,Ｎ＞_t＝＜Ｍ,Ｎ＞_τ∧tである。

　これらの証明はきわめてやさしく,命題が成り立つことはほぼ自明なので省略します。

※先の(定理7.2),または(系7.6)では連続な(局所)マルチンゲールに対して,その二次変分の存在を直接示しましたが,通常はDoob-Meyer分解と呼ばれる以下の定理を用いて二次変分の存在が示されます。

Ｘ_tを２乗可積分なマルチンゲールとすれば,Ｘ_t²は劣マルチンゲールですから,一般に非負劣マルチンゲールＹ_tをマルチンゲールＭ_tと増加過程Ａ_tの和としてＹ_t＝Ｍ_t＋Ａ_tと分解できれば,Ｙ_t≡Ｘ_t²とおいて,対応する増加過程Ａ_t＝Ｘ_t²－Ｍ_tをＸ_tの二次変分＜Ｘ＞_tとして定義することができます。

　ここでは,上のＹ_t＝Ｍ_t＋Ａ_tの分解が可能であるという内容のDoob-Meyerの分解定理を証明なしに掲載しておくことにして今日の記事を終わりにしたいと思います。

　まず,準備として１つの定義を述べておきます。

(命題7.9):右連続な劣マルチンゲールＸ_tがクラス(Ｄ)に属するとは,{Ｘ_σ:σは有限値の停止時刻}が一様可積分なるときをいい,クラス(ＤＬ)に属するとは,∀ａ＞0 に対してＸ_t∧aがクラス(Ｄ)に属するときをいう。

(命題7.10):(Doob-Meyerの分解定理)

　Ｆ_tが右連続でＮ≡{Ａ∈Ω｜∃Ｂ∈Ｆ：Ａ⊂Ｂ,Ｐ(Ｂ)＝0}⊂Ｆ₀を満たすとし,Ｆ_tに適合した右連続劣マルチンゲールＹ_tがクラス(ＤＬ)に属するならば,右連続マルチンゲールＭ_tと増加過程Ａ_tが存在してＹ_t＝Ｍ_t＋Ａ_tを満たす。

　ここで,Ａ_tは自然増加過程とされる。さらに,Ａ_tを自然増加過程にとるとき,このような分解は一意的である。

※     Ａ_tが自然増加過程であるとは,任意の有界右連続マルチンゲールＭ_tに対しＥ[∫₀^tＭ_sｄＡ_s]＝Ｅ[∫₀^tＭ_s-ｄＡ_s]なるときをいいます。

次回はいよいよ確率積分に入る予定です。

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

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ブラウン運動と伊藤積分(７)

続きです。今日は確率積分を定義して導入する準備として二次変分という量の説明をします。 

以下,フィルター付確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_t)はＦ_tが右連続であり,かつ次の条件を満たしているものとします。

すなわち,Ｎ≡{Ａ∈Ω｜∃Ｂ∈Ｆ：Ａ⊂Ｂ,Ｐ(Ｂ)＝0}⊂Ｆ₀ (これは確率測度がゼロの全ての集合がＦ₀ に,それ故全てのｔに対するＦ_tに含まれることを意味します。)

右連続な確率過程Ａ_t(ω):[0,∞)×Ω→[0,∞)であって,Ｆ_tに適合しており,ｔ₁＜ｔ₂ならＡ_t1≦Ａ_t2＜∞ ａ.ｓを満たすものを増加過程といい,増加過程全体をＡ_＋で表わします。

そして,Ａ_＋によって２つの確率過程の族Ａ,およびＡ_＋,cを,次のように定義します。

Ａ≡{Ａ₁－Ａ₂:Ａ₁,Ａ₂∈Ａ_＋},およびＡ_＋,c≡{Ａ＝{Ａ_t}∈Ａ_＋:Ａ_tは連続}です。さらにＡ_c≡{Ａ＝{Ａ_t}∈Ａ:Ａ_tは連続}と定義します。

一方,∀ｐ≧1に対してマルチンゲールの族Ｍ_p,およびＭ_p,cを,Ｍ_p≡{Ｍ＝{Ｍ_t}:ＭはマルチンゲールでＥ[|Ｍ_t|^p]＜∞,∀ｔ},およびＭ_p,c≡{Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_p:Ｍ_tは連続}によって定義します。

以下では,連続な局所マルチンゲールＭ(後述：定義7.5)に対して,Ｍ²－＜Ｍ＞がまた局所マルチンゲールとなるような連続増加過程＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cが一意的に存在して,この連続増加過程が二次変分という意味を持つことを示します。

そして,この事実は後に確率積分を定義する基礎となります。

ここで展開する解析は伊藤の公式を証明する際に有効に働きます。

まず,いくつかの補題や定理を与えます。 

(補題７.1):{Ｍ_t}を連続マルチンゲールとする。このとき,Ｍ∈Ａならば Ｍ_t＝Ｍ₀ ∀ｔ ａ.ｓ である。

(証明) Ｍ₀＝0として分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n＝ｔを取り,|Δ|≡max_0≦i≦n-1|ｔ_i+1－ｔ_i|とおきます。

Ｍ₀＝0 なので有界なマルチンゲールＭ_tに対して,Ｅ[Ｍ_t²]＝Σ_i=0^n-1Ｅ[Ｍ_ti+1²－Ｍ_ti²]＝Σ_i=0^n-1Ｅ[(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²]≦Ｅ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ_ti+1－Ｍ_ti|Σ_i=0 ^n-1 |Ｍ_ti+1－Ｍ_ti|]です。

なぜなら,Ｍ_t のマルチンゲール性によりＥ[Ｍ_ti+1|Ｆ_ti]＝Ｍ_tiなので,Ｅ[Ｍ_ti+1Ｍ_ti|Ｆ_ti]＝Ｅ[Ｍ_ti+1|Ｆ_ti]Ｍ_ti＝Ｍ_ti²です。

つまりＥ[Ｍ_ti+1Ｍ_ti]＝Ｅ[Ｍ_ti²]なので,Ｅ[(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²]＝Ｅ[(Ｍ_ti+1²＋Ｍ_ti²－2Ｍ_ti+1Ｍ_ti)]＝Ｅ[Ｍ_ti+1²－Ｍ_ti²]だからです。

Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ａ でＭ₀＝0 なので,Ａ¹₀＝Ａ²₀＝0 なる増加過程Ａ¹,Ａ²が存在して,Ｍ＝Ａ¹－Ａ² (Ｍ_t＝Ａ¹_t－Ａ²_t),{Ａ¹_t},{Ａ²_t}∈Ａ_＋と書くことができます。

　そして,τ_k≡inf{ｔ：Ａ¹_t＋Ａ²_t＞ｋ}({　}≠φのとき),∞ ({　}＝φのとき)なる量を定義して,Ｍ^k_t≡Ｍ_t∧τkとおけば,(定理6.2)によりＭ^k_tは有界な連続マルチンゲールです。

そこで,Ｅ[Ｍ^k_t²]≦Ｅ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|Σ_i=0 ^n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|]です。

Σ_i=0 ^n-1|Ｍ_ti+1－Ｍ_ti|＝Σ_i=0 ^n-1|ΔＭ_i|＝Σ_i=0 ^n-1|ΔＡ¹_i－ΔＡ²_i|≦Σ_i=0 ^n-1(ΔＡ¹_i＋ΔＡ²_i)＝Ａ¹_tn＋Ａ²_tn＝Ａ¹_t＋Ａ²_t でＭ^k_t＝Ｍ_t∧τkにおいてはＡ¹_t＋Ａ²_t≦ｋですから,Ｅ[Ｍ^k_t²]≦ｋＥ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|]となります。

lim_|Δ|→0Ｅ[sup_0≦i≦n-1|Ｍ^k_ti+1－Ｍ^k_ti|]＝0 なので,lim_|Δ|→0Ｅ[Ｍ^k_t²]＝0 ,つまりＭ^k_t＝0 ａ.ｓです。

それ故,Ｍ_t＝0＝Ｍ₀  ａ.ｓです。Ｍ₀＝0 という仮定は一般性を失わない仮定なので補題は証明されました。

(証明終わり)

次に分割Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜ｔ_n＜ｔ_n+1＜..(ｔ_n＜ｔ＜ｔ_n+1)に対して,Ｑ_t(Ｍ;Δ)≡Σ_i=0^n-1(Ｍ_ti+1－Ｍ_ti)²＋(Ｍ_t－Ｍ_tn)²,Ｑ₀(Ｍ；Δ)≡0 と置きます。

以前の記事でブラウン運動{Ｂ_t}に関するものとして,再掲(定理2.3):"{Ｂ_t}_t∈TをＮ次元ブラウン運動とする。ｔ＞0 に対して分割 Δ:0＝ｔ₀＜ｔ₁＜ｔ₂＜..＜t_n＜ｔ＜ｔ_n+1を取り,|Δ|≡max_i|ｔ_i+1－ｔ_i |→ 0 とすると,各ｔに対してＥ[(∑_i=0^n-11Ｂ_ti+1－Ｂ_ti|²＋1Ｂ_t－Ｂ_n|²－Ｎｔ)²] → 0 となる。"という命題,

および"{Ｂ_t}を１次元ブラウン運動とすると,Ｂ_t, Ｂ_t²－ｔはそれぞれマルチンゲールである。"という命題が証明されています。

そこで,１次元ブラウン運動{Ｂ_t}に関し,|Δ|→ 0 のとき,Ｑ_t(Ｂ；Δ) → ｔ in Ｌ²(Ω)(Ｌ²は２乗可積分の空間＝"収束する"ことが差の絶対値の２乗がゼロに収束することを意味する空間)なること,またＢ_t²－ｔがマルチンゲールとなることが既にわかっています。

ここでは,これを任意のＭ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃに対して一般化します。

(定理７.2):Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃとする。

このとき＜Ｍ＞₀＝0 を満たす＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cが存在して,|Δ|→ 0 のときＱ_t(Ｍ；Δ)→＜Ｍ＞_t in Ｌ²(Ω) ∀ｔとなり,Ｍ²－＜Ｍ＞がマルチンゲールとなる。

そして,Ｍ²－＜Ｍ＞がマルチンゲールとなるような＜Ｍ＞∈Ａ_＋,cで＜Ｍ＞₀＝0 を満たすものは唯１つである。

この定理を証明する前に準備として２つの補題を与え,証明します。 

(補題７.3):Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃとするとき,分割Δに依らない定数ｃが存在してＥ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦ｃが成り立つ。

(補題7.3の証明)まず,ある定数Ｋ≧0 が存在して,|Ｍ_t|≦Ｋの場合に示します。

Δ:ｓ₀＝0＜ｓ₁＜．．＜ｓ_l＜ｔ＜..とします。

ｓ_l+1＝ｔとおくと,Ｑ_t(Ｍ;Δ)²＝{Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)²}²＝Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)⁴＋2Σ_j<k(Ｍ_sj+1－Ｍ_sj)²(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)²＝Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)⁴＋2Σ_j(Ｍ_sj+1－Ｍ_sj)²{Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}＝Σ_k=0^l(Ｍ_sk+1－Ｍ_sk)⁴＋2Σ_j{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}{Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}となります。

　ここで,Ｅ[{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}{Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}]＝Ｅ[{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}(Ｍ_t－Ｍ_sj+1)²]です。

なぜなら,(補題7.1)の証明の中でＭ_tのマルチンゲール性を用いてＭ₀＝0 の場合のＥ[Ｍ_t²]の表現式を与えましたが,一般のＭ₀の場合にはＥ[Ｍ_t²－Ｍ₀²]＝Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)]が得られます。

よって,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)}＝Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ_sj+1²]＝Ｅ[(Ｍ_t－Ｍ_sj+1)²]となるからです。

ここで,条件付期待値の性質:ＸがＧ-可測で積ＸＹが可積分ならＥ[ＸＹ|Ｇ ]＝ＸＥ[Ｙ|Ｇ ] (ａ.ｓ),およびＥ｢Ｅ[Ｘ|Ｇ]｣＝Ｅ[Ｘ] (ａ.ｓ)が成り立つことから,一般にＥ[ＸＹ]＝Ｅ[ＸＥ[Ｙ]]と書けることを用いました。 

そこで,結局,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]＝Ｅ[Σ_j=0^l(Ｍ_sj+1－Ｍ_sj)⁴]＋2Σ_jＥ[{Ｑ_sj+1(Ｍ;Δ)－Ｑ_sj(Ｍ;Δ)}(Ｍ_t－Ｍ_sj+1)²]≦Ｅ[(sup_j|Ｍ_sj+1－Ｍ_sj|²＋2sup_j|Ｍ_t－Ｍ_sj+1|²)Ｑ_t(Ｍ;Δ)]≦12Ｋ²Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)]が得られます。

ここで,再びＭ_tのマルチンゲール性から,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)]＝Ｅ[Ｍ_t²－Ｍ₀²]≦Ｋ²なる,ことを用いるとＥ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]≦12Ｋ⁴＜∞です。

以上で,ある定数Ｋ≧0 が存在して|Ｍ_t|≦Ｋの場合に,補題が証明されました。

一般の場合はＭ^*_t≡sup_s≦t|Ｍ_s|とおいて,sup_j|Ｍ_sj+1－Ｍ_sj|²≦4(Ｍ^*_t)²と評価すれば,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]≦Ｅ[12(Ｍ^*_t)²Ｑ_t(Ｍ;Δ)]≦Ｅ[12²(Ｍ^*_t)⁴]^1/2Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]^1/2です。(シュヴァルツの不等式)

そこで,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦Ｅ[12²(Ｍ^*_t)⁴]が得られます。

前記事で示した定理;再掲(定理6.1)"{Ｘ_t}_t∈Tを右連続非負劣マルチンゲールとし,Ｘ^*_T≡sup_0≦t≦T|Ｘ_t|とおくと(ⅰ)λ^pＰ(Ｘ^*_T≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1 (ⅱ) Ｅ[|Ｘ^*_T|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が成り立つ。"を用いると,Ｅ[(Ｍ^*_t)⁴]≦(4/3)⁴Ｅ[|Ｍ_t|⁴]です。

そこで,不等式Ｅ[Ｑ_t(Ｍ；Δ)²]≦12²(4/3)⁴Ｅ[|Ｍ_t|⁴]を得ます。

Ｍ＝{Ｍ_t}∈Ｍ_4,ｃなので,定義によってＥ[|Ｍ_t|⁴]＜∞ですから,Ｅ[Ｑ_t(Ｍ;Δ)²]＜∞と結論されます。(補題7.3の証明終わり)

(補題７.4):{Ｙ_sⁿ}をＦ_tに適合した連続確率過程でlim_n,m→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_sⁿ－Ｙ_s^m|²]＝0 なるものとする。

このとき,連続確率過程{Ｙ_s}でＦ_tに適合したものがあり{Ｙ_sⁿ}の適当な部分列{Ｙ_s^nk}を取れば,Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s| → 0 as ｋ→ ∞)＝1であり,lim_k→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|²]＝0 となる。

(補題7.4の証明) ｎ_kをｎ_k≧ｎ_k-1,Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_sⁿ－Ｙ_s^m|²]≦1/2^3k；ｎ,ｍ≧ｎ_kなるように取ります。

このとき,チェビシェフの不等式によって,Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|＞1/2^k)≦2^2kＥ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|²] ≦1/2^k ですから,Σ_k=1^∞Ｐ(sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|＞1/2^k)＜∞です。

それ故,再掲,ボレル・カンテリの補題:

"{Ａ_n}_n=1,2,..を集合列としＡをこれらの集合の無限個の共通に含まれる要素の集合,Ｐを確率測度とする。このとき,(ａ)ΣＰ(Ａ_n)＜∞ならＰ(Ａ)＝0 (ｂ)ΣＰ(Ａ_n)＝∞ で事象Ａ_nが独立ならばＰ(Ａ)＝1 である。"

からＰ(∩_m=1^∞∪_k=m^∞{sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|＞1/2^k})＝0 です。

すなわち,Ω₀≡∪_m=1^∞∩_k=m^∞{sup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|≦1/2^k}とおけば,Ｐ(Ω₀)＝1 です。

ω∈Ω₀に対して,あるｍが存在してｋ≧ｍなる∀ｋに対してsup_s≦t|Ｙ_s^nk+1－Ｙ_s^nk|≦1/2^kですから,j≧i≧ｍに対してsup_s≦t|Ｙ_sⁿⁱ－Ｙ_s^nj|≦Σ_l=i^j-11/2^l≦1/2^i-1となります。

つまり,{Ｙ_s^nk}はＣ([0,ｔ](ｓ∈[0,ｔ]についての連続関数の集合に属するコーシー列) (ａ.ｓ)ですから,ある連続確率過程Ｙ_sがあって,sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|→ 0 as ｋ→ ∞ ａ.ｓです。

また,lim_k→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s|²]＝lim_k→∞lim_j→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s^nj|²]≦lim_k→∞liminf_j→∞Ｅ[sup_s≦t|Ｙ_s^nk－Ｙ_s^nj|²]＝0 が得られます。

(補題7.4の証明終わり)

　途中ですが,長くなったので,(定理7.2)を証明する準備ができたところで一旦終わります。

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ブラウン運動と伊藤積分(６)

ブラウン運動と確率積分関連の記事の続きです。まず離散時間と連続時間のマルチンゲール(martingale)について説明します。

まず,マルチンゲールの定義を与えます。 

(定義5.1):Ｒ¹上の確率過程{Ｘ_t}_t∈Tが以下の条件を満たすとき,この確率過程を劣マルチンゲールである,という。

(ⅰ) {Ｘ_t}はＦ_tに適合している。(つまりＦ_t-可測である:すなわちＲ¹上の任意の開集合Ａに対し,{ω∈Ω｜Ｘ_t(ω)∈Ａ}∈Ｆ_t≡σ(Ｘ_s；ｓ≦ｔ)である。)

(ⅱ)Ｅ[|Ｘ_t|]＜∞ 　

(ⅲ) Ｅ[Ｘ_t|Ｆ_s]≧Ｘ_s (ａ.ｓ) ∀ｔ≧ｓ；ｔ,ｓ∈Ｔ

また,{－Ｘ_t}_t∈T が劣マルチンゲールであるとき,{Ｘ_t}_t∈Tを優マルチンゲールであるという。

{Ｘ_t}_t∈Tと{－Ｘ_t}_t∈Tが共に劣マルチンゲールであるとき,言い換えると,{Ｘ_t}_t∈Tが劣マルチンゲール,かつ優マルチンゲールであるとき,確率過程{Ｘ_t}_t∈Tはマルチンゲールであると言う。

マルチンゲールの性質をいくつか述べます。 

まず,{Ｘ_t}_t∈Tは劣マルチンゲールであるとし,ｆ(ｘ)を単調非減少凸関数とする。(ｆ(ｘ)は非減少で,ｆ(λｘ＋(1－λ)ｙ)≦λｆ(ｘ)＋(1－λ)ｆ(ｙ),∀ｘ,ｙ∈Ｒ¹,0≦∀λ≦1とする。)

ｆ(Ｘ_t)が可積分なら,{f(Ｘ_t)}_t∈T も劣マルチンゲールである。

特に,{Ｘ_t}_t∈Tがマルチンゲールなら,ｆの単調性の仮定を省いても同じ結論が得られる。

これを証明します。

(証明)ｆ(ｘ)が凸関数なので,∫ｆ(ｘ)ｄｐ(ｘ)≧ｆ(∫ｘｄｐ(ｘ))です。なぜなら,凸関数性はｆ(Σ_iξ_iΔｐ_i)≦Σ_iΔｐ_iｆ(ξ_i)とも表わすことができるからです。

そして,∫ｆ(ｘ)ｄｐ(ｘ)≧ｆ(∫ｘｄｐ(ｘ))はＥ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s]≧ｆ(Ｅ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s]を意味します。

{Ｘ_t}_t∈Tの"劣マルチンゲール性"Ｅ[Ｘ_t|Ｆ_s]≧Ｘ_sと,ｆ(ｘ)を単調非減少性から,ｆ(Ｅ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s] ≧ｆ(Ｘ_s)です。

以上から,Ｅ[ｆ(Ｘ_t)|Ｆ_s]≧ｆ(Ｘ_s)を得ます。後半は明らかです。

(証明終わり)

次にパラメータ集合がＴ＝Ｚ+である場合を考えます。

(１){Ｙ_n}_n∈Z+を確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された独立同分布確率変数列であるとし,Ｅ[Ｙ₁]＝0 とする。

Ｘ_n≡Σ_i=1ⁿＹ_i,Ｆ_n≡σ(Ｙ_i;ｉ＝1,2,..,ｎ)と定義すると,{Ｘ_n}_n∈Z+はマルチンゲールである。

(２) {Ｙ_n}_n∈Z+を確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ)で定義された独立同分布非負確率変数列であるとし,Ｅ[Ｙ₁]＝1 とする。

このとき,Ｘ_n≡Π_i=1ⁿＹ_i,Ｆ_n≡σ(Ｙ_i;ｉ＝1,2,..,ｎ)と定義すると{Ｘ_n}_n∈Z+はマルチンゲールである。

ことを証明します。

連続時間でこの２つの例に相当するのはブラウン運動であり,ブラウン運動の指数関数から決まる指数マルチンゲールです。 

(証明) (１)独立同分布確率変数列でＥ[Ｙ₁]＝0 なので,Ｅ[Ｙ_i]＝0 (ｉ＝1,2,..,ｎ)です。

また,Ｅ[Ｘ_n|Ｆ_n-1]＝Ｅ[Σ_i=1ⁿＹ_i|Ｙ₁,Ｙ₂,..,Ｙ_n-1指定]＝Σ_i=1^n-1Ｙ_i＋Ｅ[Ｙ_n]＝Σ_i=1^n-1Ｙ_i＝Ｘ_n-1となります。

(２)については対数を取ると(１)に帰着するので自明です。

(証明終わり)

以下ではパラメータ集合Ｔ＝Ｚ+の場合に,マルチンゲールに関する諸定理を準備します。

そしてしばらくの間はフィルター付き確率空間(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_n)_n∈Z+で定義された劣マルチンゲール{Ｘ_n}_n∈Z+を考えていきます。

そして,Ｚ+∪{∞}に値をとる停止時刻τ(ω)を考えます。τ(ω)は{τ≦ｎ}∈Ｆ_n) ∀ｎなる確率変数です。

(定理5.2):(任意抽出定理)

τ₁,τ₂を有界な停止時刻で,τ₁≦τ₂ ａ.ｓ なるものとする。

このとき,劣マルチンゲールIＸ_n}に対して,Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]≧Ｘ_τ1 ａ.ｓ が成り立つ。

したがって,Ｅ[Ｘ_τ2]≧Ｅ[Ｘ_τ1]である。またＸ_nが一様可積分,つまり,"lim_c→∞sup_nＥ[|Ｘ_n|;|Ｘ_n|＞ｃ]＝0 "なら任意のτ₁≦τ₂＜∞ ａ.ｓ なる停止時刻に対して上が成立する。

(証明)まず,条件付期待値の性質:Ｈ⊂ＧならＥ｢Ｅ｢Ｘ|Ｇ｣|Ｈ｣＝Ｅ[Ｘ|Ｈ]において,Ｈ≡{φ,Ω}と置けばＥ｢Ｅ｢Ｘ|Ｇ｣｣＝Ｅ[Ｘ]となることがわかります。

そこで,Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]≧Ｘ_τ1が証明されさえすれば,Ｅ[Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]]＝Ｅ[Ｘ_τ2]≧≧Ｅ[Ｘ_τ1]が従うことが予め確認されました。

そして,条件付期待値の定義から,Ｅ[Ｘ_τ2|Ｆ_τ1]≧Ｘ_τ1を証明するにはＥ[Ｘ_τ2,Ａ]≧Ｅ[Ｘ_τ1,Ａ] ∀Ａ∈Ｆ_τ1を示せばいいです。

そのためには,∀ｎに対してＥ[Ｘ_τ2,Ａ∩{τ₁＝ｎ}]≧Ｅ[Ｘ_τ1,Ａ∩{τ₁＝ｎ}]なることを見ればいいです。

Ｂ≡Ａ∩{τ₁＝ｎ}∈Ｆ_n ,{τ₂≧ｎ＋1}∈Ｆ_nです。

(なぜなら,{τ₂≦ｎ}∈Ｆ_n )

τ₂≧τ₁＝ｎなる条件下では,Ｅ[Ｘ_τ1,Ａ∩{τ₁＝ｎ}]＝Ｅ[Ｘ_τ1,Ｂ]＝Ｅ[Ｘ_n,{τ₂≧ｎ}∩Ｂ]＝Ｅ[Ｘ_n,{τ₂＝ｎ}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_n,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]≦Ｅ[Ｘ_τ2,{τ₂＝ｎ}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_n+1,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]＝Ｅ[Ｘ_τ2,{ｎ≦τ₂≦ｎ＋1}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_n+1,{τ₂≧ｎ＋2}∩Ｂ]≦Ｅ[Ｘ_τ2,{ｎ≦τ₂≦ｍ}∩Ｂ]＋Ｅ[Ｘ_m,{τ₂＞ｍ}∩Ｂ]が成立します。

ここで,{τ₂＝ｎ＋1}∩Ｂ∈Ｆ_nより,劣マルチンゲール性Ｅ[Ｘ_n+1|Ｆ_n ]≧Ｘ_nから,Ｅ[Ｘ_n+1,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]≧Ｅ[Ｘ_n,{τ₂≧ｎ＋1}∩Ｂ]が成り立つことなどを用いました。

この不等式でｍを十分大きく取ればτ₂は有界ですから,{ｎ≦τ₂≦ｍ}∩Ｂ＝Ｂ,{τ₂＞ｍ}∩Ｂ＝φとなり,Ｅ[Ｘ_τ1,Ｂ]≦Ｅ[Ｘ_τ2,Ｂ]が得られます。

これで前半は証明されました。

後半は私自身が前半と何が異なるのかについて題意を理解できないので証明もわかりません。

もしかしたら,非負整数の各ｎについてＸ_nが一様可積分ならτ₁≦τ₂＜∞であればτ₁,τ₂が非負整数でなくても定理が成立するということかもしれません。

それなら,Ｘ_τi(ｉ＝1、2)が可積分であることさえ示せれば後は前半と同じです。

(証明終わり)

(定理5.3):(Doobの不等式)

{Ｘ_n}を非負劣マルチンゲールとする。Ｘ_n^*≡max_0≦j≦n|Ｘ_j|と置くと各ε＞0,ｎ≧0 に対しＰ(Ｘ_n^*≧ε)≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n]である。

Ｅ[(Ｘ_n^*)^p]^1/p≦[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[(|Ｘ_n|^p]^1/p for ｐ＞1である。

(証明)τ_n≡min{ｊ≦ｎ;Ｘ_j^*≧ε}(if {ｊ≦ｎ；Ｘ_j^*≧ε}≠φ),ｎ(if {ｊ≦ｎ；Ｘ_j^*≧ε}＝φ)と置きます。

つまり,Ｘ_n^*≧εならτ_n≦ｎ,Ｘ_n^*＜εならτ_n＝ｎです。

{τ_n≦ｎ}＝{ω：Ｘ_n^*≧ε}∪{ω：Ｘ_n^*＜ε}＝Ω∈Ｆ_nより,τ_nは停止時刻です。

したがって,{Ｘ_n}が劣マルチンゲールでτ_n≦ｎですから,先の(定理5.2)によって,Ｅ[Ｘ_ｎ]≧Ｅ[Ｘ_τn]です。

そこで,Ｅ[Ｘ_n]＝Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]＋Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*＜ε]≧Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*≧ε]＋Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*＜ε]＝Ｅ[Ｘ_τn]です。

Ｘ_n^*＜εならτ_n＝ｎより,Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*＜ε]＝Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*＜ε]ですから,不等式Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≧Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*≧ε]が得られます。

一方,Ｘ_nは非負:|Ｘ_n|＝Ｘ_nですから,Ｐ(Ｘ_n^*≧ε)＝Ｐ(max_0≦j≦nＸ_j≧ε)＝Ｐ(Ｘ_τn≧ε)です。

したがって,チェビシェフの不等式(Chebyshev)によって不等式Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_n^*≧ε]＝Ｅ[Ｘ_τn,Ｘ_τn≧ε]≧εＰ(Ｘ_τn≧ε)＝εＰ(Ｘ_n^*≧ε)も得られます。

結局,得られた２つの不等式からεＰ(Ｘ_n^*≧ε)≦Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]が成り立つことがわかります。

そしてＸ_nは非負故,Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≦Ｅ[Ｘ_n]ですから,Ｐ(Ｘ_n^*≧ε)≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ε]≦(1/ε)Ｅ[Ｘ_n]となります。

次にｐ＞1,Ｅ[|Ｘ_n^*|^p]＜∞とします。

Ｅ[|Ｘ_n^*|^p]＝∫ｔ^pｄｐ＝∫ｔ^p{Ｐ(Ｘ_n^*≦ｔ＋ｄｐ)－Ｐ(Ｘ_n^*≦ｔ)}＝∫₀^∞{－ｔ^p(ｄＰ/ｄｔ)}＝lim_t→∞[ｔ^pＰ(Ｘ_n^*≧ｔ)]＋ｐ∫₀^∞ｔ^p-1(Ｐ(Ｘ_n^*≧ｔ)＝ｐ∫₀^∞ｔ^p-1(Ｐ(Ｘ_n^*≧ｔ)≦ｐ∫₀^∞ｔ^p-2Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ｔ]です。(Cauchy-Scwartzの不等式)

さらに,ｐ∫₀^∞ｔ^p-2Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n^*≧ｔ]ｄｔ＝ｐＥ[Ｘ_n∫₀^Ｘn*ｔ^p-2ｄｔ]＝[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[Ｘ_n(Ｘ_n^*)^p-1]≦[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[|Ｘ_n|^p]^1/pＥ[(Ｘ_n^*)^p]^p-1/pです。(Hoelderの不等式)

そこで,Ｅ[(Ｘ_n^*)^p]^1/p≦[ｐ/(ｐ－1)]Ｅ[|Ｘ_n|^p]^1/pが成立します。

Ｅ[|Ｘ_n^*|^p]＝∞のときは,上述の証明でＸ_n^*をＸ_n^*∧Ｋ(Ｋは定数)で置き換えれば,Ｅ[(Ｘ_n^*∧Ｋ)^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_n|^p]となります。

そしてこの式においてＫ→ ∞ に移行すれば命題の式が得られます。(証明終わり)

ここで,次のような停止時刻の列を考えます。

ａ＜ｂに対してτ₀＝0 ,τ_2m-1＝min{ｎ＞τ_2m-2;Ｘ_n≦ａ},τ_2m＝min{ｎ＞τ_2m-1;Ｘ_n≧ｂ},ｍ=1,2,..,ただし{　}＝φのときはτ_k＝∞と約束します。

そしてＸ_nの[ａ,ｂ]-上向き横断回数Ｕ_n(ａ,ｂ)をＵ_n(ａ,ｂ)≡0 (τ₂＞ｎのとき),max{ｍ；τ_2m≦ｎ}(τ₂≦ｎのとき)で定義します。

(定理5.4):(横断数定理)

任意のｎに対し{Ｘ_n}を劣マルチンゲール,(Ｘ_n－ａ)+≡(Ｘ_n－ａ)∨ 0 とするとＥ[Ｕ_n(ａ,ｂ)]≦[1/(ｂ－ａ)]Ｅ[(Ｘ_n－ａ)+]である。

(証明) Ｘ_nが劣マルチンゲールで(Ｘ_n－ａ)+≡(Ｘ_n－ａ)∨ 0 はＸ_nの単調非減少凸関数ですから,(Ｘ_n－ａ)+も劣マルチンゲールです。

Ｘ_nの[ａ,ｂ]-上向き横断回数Ｕ_n(ａ,ｂ)は(Ｘ_n－ａ)+の[0,ｂ－ａ]-上向き横断回数に等しいことがわかります。

なぜなら,Ｘ_n≦ａは(Ｘ_n－ａ)∨ 0 ≦0 と同値でＸ_n≧ｂは(Ｘ_n－ａ)∨ 0 ≧ｂ－ａ と同値です。

そこでＸ_n≧0 としてＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦(1/ｂ)Ｅ[Ｘ_n]を示せばよいことになります。

φ_i(Ｘ_i)をφ_i(Ｘ_i)≡1 (τ_m＜ｉ＜τ_m+1＜,∃ｍ：奇数),0 (τ_m＜ｉ＜τ_m+1＜,∃ｍ：偶数)と定義すれば,φ_i(Ｘ_i)＝1 ならＸ_i≧ｂ,Ｘ_i-1＜ｂ(ｍ＋1：偶数);Ｘ_i-2＜ｂ,..,Ｘ_i-k＜0 なので,Σ_j=i-k+1ⁱφ_i(Ｘ_j－Ｘ_j-1)≦(Ｘ_i－Ｘ_j-k)≦ｂです。

そして,この横断数がＵ_n(0,ｂ)なので,ｂＵ_n(0,ｂ)≦Σ_i=1ⁿφ_i(Ｘ_i－Ｘ_i-1),故に,ｂＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦Σ_i=1ⁿφ_i(Ｅ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1])です。

ここで,Ｘ_nが非負劣マルチンゲールなのでＥ[Ｘ_i]≧Ｅ[Ｘ_i-1],つまりＥ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1]≧0 です。

それ故,ｂＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦Σ_i=1ⁿφ_i(Ｅ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1])≦Σ_i=1ⁿ(Ｅ[Ｘ_i]－Ｅ[Ｘ_i-1])＝Ｅ[Ｘ_n]－Ｅ[Ｘ₀]≦Ｅ[Ｘ_n]です。

以上からＥ[Ｕ_n(0,ｂ)]≦(1/ｂ)Ｅ[Ｘ_n]が示されました。

(証明終わり)

(定理5.5):(マルチンゲールの収束定理)

{Ｘ_n}は劣マルチンゲールでsup_nＥ[|Ｘ_n|]＜∞なるものとする。

このとき,Ｘ_∞∈Ｌ¹(Ω)があって,lim_n→∞Ｘ_n(ω)＝Ｘ_∞(ω) ａ.ｓである。

さらに,Ｘ_nが一様可積分:lim_c→∞sup_nＥ[|Ｘ_n|；|Ｘ_n|＞ｃ]＝0 ならＥ[|Ｘ_n－Ｘ_∞|]→ 0 as ｎ→∞であり,Ｘ_∞まで含めて劣マルチンゲールとなる。

(証明)今,Ｐ(limsup_n→∞Ｘ_n(ω)＞liminf _n→∞Ｘ_n(ω))＞0 と仮定します。

このとき,{limsup_n→∞Ｘ_n＞liminf _n→∞Ｘ_n}＝∪_a＜b,b∈Q+{limsup_n→∞Ｘ_n＞ｂ＞ａ＞liminf _n→∞Ｘ_n}ですから,ある正の有理数(positive rational)の組ａ＜ｂ∈Ｑ+があって,Ｐ(limsup_n→∞Ｘ_n＞ｂ＞ａ＞liminf _n→∞Ｘ_n)＞0 です。

このとき(定理5.4):(横断数定理)によって,Ｅ[Ｕ_n(ａ,ｂ)]≦[1/(ｂ－ａ)]Ｅ[(Ｘ_n－ａ)+]≦[1/(ｂ－ａ)](Ｅ[Ｘ_n+]＋|ａ|)です。

したがって,Ｅ[Ｕ_∞(ａ,ｂ)]＝lim _n→∞Ｅ[Ｕ_n(ａ,ｂ)]≦[1/(ｂ－ａ)](sup_nＥ[Ｘ_n+]＋|ａ|)です。

ところが,sup_nＥ[Ｘ_n+]≦sup_nＥ[|Ｘ_n|]＜∞ですからＥ[Ｕ_∞(ａ,ｂ)]＜∞となってしまいます。

しかし可算無限個の有理数の組ａ＜ｂ∈Ｑ+があって,各々のａ,ｂについてＰ(limsup_n→∞Ｘ_n＞ｂ＞ａ＞liminf _n→∞Ｘ_n)＞0 なので,横断数は無限大ですからＥ[Ｕ_∞(ａ,ｂ)]＝∞のはずです。

これは矛盾です。それ故,Ｐ(limsup_n→∞Ｘ_n(ω)＞liminf _n→∞Ｘ_n(ω))＝0 でなければなりません。

すなわち,Ｘ_∞(ω)≡limsup_n→∞Ｘ_n(ω)＝liminf _n→∞Ｘ_n(ω) ａ.ｓと置くことができてＥ[|Ｘ_∞|]＝Ｅ[lim_n→∞|Ｘ_n|]≦liminf _n→∞Ｅ[|Ｘ_n|]≦limsup _n→∞Ｅ[|Ｘ_n|]＜∞です。

また,Ｘ_nが一様可積分なら積分論の収束定理によってＬ¹で収束すること：つまりＥ[|Ｘ_n－Ｘ_∞|]→ 0 as　ｎ→ ∞ となることがわかるので,Ｅ[Ｘ_∞|Ｆ_n]＝lim_n→∞Ｅ[Ｘ_n|Ｆ_n]≧Ｘn,つまりＸ_∞まで含めて劣マルチンゲールです。

(証明終わり)

(注意):(ⅰ){Ｘ_n}_n∈Z+がＸ_n≦ｃ(ｃ:定数)を満たす劣マルチンゲールなら,ｃ≧Ｅ[Ｘ_n]≧Ｅ[Ｘ₀]なので{Ｘ_n}_n∈Z+は(定理5.5)の仮定を満たし,∃lim_n→∞Ｘ_n∈Ｌ¹ ａ.ｓです。

(ⅱ) {Ｘ_n}_n∈Z+を後ろ向き劣マルチンゲールとします。すなわちＦ_m⊂Ｆ_n,ｎ＜ｍ,Ｅ[Ｘ_n|Ｆ_m]＝Ｘ_m,Ｘ_n∈Ｌ¹とします。

このとき,inf _nＥ[Ｘ_n]＞－∞ならば{Ｘ_n}は一様可積分であり、それゆえsup _nＥ[|Ｘ_n|]＜∞です。

実際,ε＞0 を任意に与えたとき,それに対しＥ[Ｘ_k]－liminf _n→∞Ｅ[Ｘ_n]＜εを満たすｋを取ってｎ≧ｋとすると,Ｅ[|Ｘ_n|,|Ｘ_n|＞ｃ]＝Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n＞ｃ]＋Ｅ[Ｘ_n,Ｘ_n≧－ｃ]－Ｅ[Ｘ_n]≦Ｅ[Ｘ_k,Ｘ_n＞ｃ]＋Ｅ[Ｘ_k,Ｘ_n≧－ｃ]－Ｅ[Ｘ_k]＋ε≦Ｅ[|Ｘ_k|,|Ｘ_n|＞ｃ]＋εです。

またＰ(|Ｘ_n|＞ｃ)≦(1/ｃ)Ｅ[|Ｘ_n|]＝(1/ｃ)(2Ｅ[Ｘ_n+]－Ｅ[Ｘ_n])≦(1/ｃ)(2Ｅ[Ｘ₀+]－Ｅ[Ｘ_n])ですからｃ→ ∞ のときsup _n≧kＰ(|Ｘ_n|＞ｃ) → 0 です。

よってlimsup _{c→∞,n≧k}Ｅ[|Ｘ_n|,|Ｘ_n|＞ｃ]≦limsup _{c→∞,n≧k}Ｅ[|Ｘ_k|,|Ｘ_n|＞ｃ]＋ε＝εとなりますから。sup _nＥ[|Ｘ_n|]＜∞となることがわかります。

さて次に連続時間パラメータのマルチンゲールに入ります。

パラメータ空間Ｔを区間Ｔ⊂[0,∞)であるとして確率空間の族(Ω,Ｆ,Ｐ;Ｆ_t)_t∈Tが与えられているとします。

ＤをＤ⊂Ｔなる可算稠密集合とし,Ｄ＝∪_n=1^∞Ｄ_n,ｎ＝1,2,..となる有限集合Ｄ_nを取ります。

これまでの離散マルチンゲールに関する諸定理はパラメータ集合をＤ_nに限定した場合の各Ｄ_nについての劣マルチンゲールに対して成立しています。

(定理6.1):{Ｘ_t}_t∈Tを右連続非負劣マルチンゲールとしＸ_T^*をＸ_T^*≡sup_0≦t≦T|Ｘ_t|で定義すると,(ⅰ)λ^pＰ(Ｘ_T^*≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1 (ⅱ) Ｅ[|Ｘ_T^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が成り立つ。

(証明)右辺が有限のときについて示せば十分です。

Ｔ∈Ｄ_n∀nとしてよいのでそのように仮定します。

そしてＸ_n^*≡sup_t∈Dn|Ｘ_t|と置きます。Ｘ_tは非負劣マルチンゲールですからｐ≧1 のときには|Ｘ_t|^pも非負劣マルチンゲールです。

したがって,(定理5.3)により,λ＞0 に対してλ^pＰ(Ｘ_n^*≧λ)≦λ^pＰ[|Ｘ_n^*|^p≧λ^p]≦Ｅ[|Ｘ_n|^p]です。

それ故,λ^pＰ(sup_t∈DＸ_t^*≧λ)≦Ｅ[|Ｘ_T|^p],ｐ≧1が得られます。

同様にして(定理5.3)によりＥ[|Ｘ_n^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1から,(ⅱ) Ｅ[|Ｘ_T^*|^p]≦[ｐ/(ｐ－1)]^pＥ[|Ｘ_T|^p],ｐ＞1 が得られます。

(注意):(ⅰ)Ｍ_tがマルチンゲールのときは|Ｍ_t|が非負劣マルチンゲールとなるので,|Ｍ_t|に対して上述の(定理6.1)が適用できます。

　(ｆ(ｘ)=|ｘ|は単調凸関数ではありませんが,明らかに∫ｆ(ｘ)ｄｐ≧ｆ(∫ｘｄｐ),つまり∫|ｘ|ｄｐ≧|∫ｘｄｐ|より,Ｅ[|Ｍ_t|Ｆ_s]≧|Ｍ_s|が成立します。)

(ⅱ)離散時間パラメータの場合と違って連続時間パラメータの場合は停止時刻:σに対してＸ_σがＦ_σ-可測であることは自明ではありません。

　Ｘ_σ|_{σ≦t}がＦ_t-可測であることを言えばよいのですが,σが停止時刻であることから,σ:{ω:σ≦ｔ}→｢0,ｔ｣は{σ≦ｔ}∩Ｆ_t/Ｂ(｢0,ｔ｣)-可測です。

したがって,ω→(σ(ω),ω)は写像:Ω→[0,ｔ]×ΩとしてＦ_t/Ｂ(｢0､ｔ｣)×Ｆ_t-可測ですから,Ｘ_σは発展的可測過程;Ｘ_s(ω):[0,ｔ]×Ω→Ｘ_s(ω)です。

すなわち,Ｂ(｢0,ｔ｣)×Ｆ_t-可測な写像と写像Ω→[0,ｔ]×Ω:ω→(σ(ω),ω)の合成として可測です。

(定理6.2):{Ｘ_t}_t∈Tを右連続劣マルチンゲールとする。

　σ,τをσ≦τなる有界な停止時刻とするとＥ[Ｘ_τ|Ｆ_σ]≧Ｘ_σである。さらにＸ_tが一様可積分のときはσ≦τ＜∞ａ.ｓなる任意の停止時刻に対して上記が成立する。

(証明)σ_n(ω)≡ｋ/2ⁿ ((ｋ－1)/2ⁿ≦σ＜ｋ/2ⁿのとき)と置きます。

　τに対しても同様にτ_nを定義すると明らかにσ_n≦τ_nです。

　また,σ_n≦τ_nは停止時刻になっています。

　このときσ_n≧σ_n+1≧..≧σとなりＥ｢Ｘ_σn|Ｆ_σn｣≧Ｘ_σm ,ｎ＜ｍです。またＥ｢Ｘ_τn|Ｆ_σn｣≧Ｘ_σnです。したがってＡ∈Ｆ_σ⊂Ｆ_σｎに対してＥ[Ｘ_τn,Ａ]≧Ｅ[Ｘ_σn,Ａ]と書けます。

　Ｘ_σm,Ｘ_τm は後向き劣マルチンゲールでinf_nＥ[Ｘ_σn]≧Ｅ[Ｘ₀]＞－∞です。

　Ｘ_tの右連続性により,lim_n→∞Ｘ_σn＝Ｘ_σですが,(定理5.5)の後で記述した(注意)によって,この収束はＬ¹の意味にもなっています。

　同様にlim_n→∞Ｘ_τn＝Ｘ_τ∈Ｌ¹(Ω)です。したがってＥ[Ｘ_τ,Ａ]≧Ｅ[Ｘ_σ,Ａ],Ａ∈Ｆ_σ が得られます。

　(証明終わり)

最後に"(ⅰ){Ｂ_t}を１次元ブラウン運動とすると,{Ｂ_t},および{Ｂ_t²－ｔ}はそれぞれマルチンゲールである。(ⅱ){Ｂ_t}を１次元Ｆ_t-ブラウン運動とするとき,{exp(Ｂ_t－ｔ/2)}はマルチンゲールである。"ことを示します。

(証明)(ⅰ)再掲:(補題4.9):Ｎ次元Ｆ_t-ブラウン運動:{Ｂ_t}＝{(Ｂ_t¹,Ｂ_t²,..,Ｂ_t^N)}について,∀ｔ≧ｓ＞0 に対して(ⅰ)Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱ：ｉ＝1,2,..,Ｎ(ⅱ) Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)である。

によれば,Ｅ[Ｂ_tⁱ|Ｆ_s]＝Ｂ_sⁱはＮ＝1ではＥ[Ｂ_t|Ｆ_s]＝Ｂ_sです。

また,Ｅ[(Ｂ_tⁱ－Ｂ_sⁱ)(Ｂ_t^j－Ｂ_s^j)|Ｆ_s]＝δ_ij(ｔ－ｓ)はＮ＝１,ｉ＝ｊ＝1とすると,Ｅ[(Ｂ_t²－Ｂ_s²)|Ｆ_s]＝ｔ－ｓです。

これは,Ｅ[(Ｂ_t²－ｔ)|Ｆ_s]＝Ｂ_s²－ｓを意味します。

(ⅱ) {Ｂ_t}がＮ次元Ｆ_t-ブラウン運動であることと同値な関係式：Ｅ[exp{i^tξ(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{－|ξ|²(ｔ－ｓ)/2}において,Ｎ＝１としてξ＝－iを代入するとＥ[exp{(Ｂ_t－Ｂ_s)}|Ｆ_s]＝exp{(ｔ－ｓ)/2}：すなわちＥ[exp(Ｂ_t－ｔ/2)|Ｆ_s]＝exp(Ｂ_s－ｓ/2)です。

(証明終わり)

参考文献：長井英生 著「確率微分方程式」(共立出版)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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