重力崩壊とブラックホール(2)

星の重力崩壊の話題の続きです。

遠方の観測者から見た重力崩壊と観測者の時間の関係を考えます。

圧力Ｐがゼロの場合の星の表面の運動はシュヴァルツシルト時空における自由落下運動と同じです。特に動径方向の運動を考えれば十分だと思われます。

シュヴァルツシルト時空の計量はｄｓ²＝(1－2ｍ/ｒ)ｄｔ²－ｄｒ²/(1－2ｍ/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)ですが,この時空では計量テンソルの成分ｇ_μνでゼロでないものは,ｇ₀₀＝1－2ｍ/ｒ,ｇ₁₁＝－(1－2ｍ/ｒ)^-1,ｇ₂₂＝－ｒ²,ｇ₃₃＝－ｒ²sin²θのみです。

この重力場の中での粒子の運動方程式,すなわち測地線の方程式はｄ²ｘ^ρ/ｄλ²＋Γ^ρ_σν(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 で与えられます。

ここでΓ^ρ_μνは接続係数と呼ばれるもので,Γ^σ_μν＝(ｇ^σρ/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν；ρ)です。陽な形に書かれた接続係数をクリストッフェルの記号とも言います。(捩率ゼロの接続の場合)

この方程式ｄ²ｘ^ρ/ｄλ²＋Γ^ρ_σν(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 において,光ではない質量のある物質の運動を想定してμ＝0,λ＝ｓとし,θ,φが一定の動径ｒ方向の軌道のみが問題になる場合を考えると,ｄ²ｔ/ｄｓ²＋Γ⁰₀₀(ｄｔ/ｄｓ)²＋(Γ⁰₀₁＋Γ⁰₁₀)(ｄｔ/ｄｓ)(ｄｒ/ｄｓ)＋Γ⁰₁₁(ｄｒ/ｄｓ)²＝0 となります。

ここで,以前のｇ₀₀＝exp(2ψ),ｇ₁₁＝－exp(λ)なる表現では接続係数はΓ⁰₀₀＝ψ^d, Γ⁰₀₁＝Γ⁰₁₀＝ψ',Γ⁰₁₁＝λ^dexp(λ－2ψ)/2でした。

ただし,ψ^d≡∂ψ/∂ｔ,ψ’≡∂ψ/∂ｒ,λ^d≡∂λ/∂ｔ etc.なる記法を用いています。

今の場合には,exp(2ψ)＝1－2ｍ/ｒ,exp(λ)＝(1－2ｍ/ｒ)^-1で,ψ^d＝λ^d＝0 であって,ｍは時間によらず,ｒにも独立な積分定数です。

　故に,Γ⁰₀₀＝Γ⁰₁₁＝0 ,Γ⁰₀₁＋Γ⁰₁₀)＝2ψ'＝ｄ{ln(ｒ－2ｍ)－ln(ｒ)}/ｄｒ＝2ｍ/{ｒ(ｒ－2ｍ)}＝(ｒ_g/ｒ²)/(1－ｒ_g/ｒ)です。

ここで,最後の式で,シュヴァルツシルト半径という意味でｒ_g≡2ｍ (2Ｇｍ/ｃ²)としました。

そこで,ｄ²ｔ/ｄｓ²＋(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)^-1(ｄｔ/ｄｓ)(ｄｒ/ｄｓ)＝0 です。

Ｔ≡ｄｔ/ｄｓとおけば,ｄＴ/ｄｓ＝－(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)^-1Ｔ(ｄｒ/ｄｓ),or ∫ｄＴ/Ｔ＝－∫ｄｒ(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)^-1です。

すなわち,lnＴ＝lnｒ－ln(ｒ－ｒ_g)＋const.です。そこでｄｔ/ｄｓ＝Ｔ＝ｋ(1－ｒ_g/ｒ)^-1です。

一方,μ＝1の測地線はｄ²ｒ/ｄｓ²＋Γ¹₀₀(ｄｔ/ｄｓ)²＋(Γ¹₀₁＋Γ¹₁₀)(ｄｔ/ｄｓ)(ｄｒ/ｄｓ)＋Γ¹₁₁(ｄｒ/ｄｓ)²＝0 です。

そしてΓ¹₀₀＝ψ'exp(2ψ－λ),Γ¹₀₁＝Γ¹₁₀＝λ^d/2,Γ¹₁₁＝λ'/2より,Γ¹₀₀＝(1/2){exp(2ψ)}'exp(－λ)＝(1/2)(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ),Γ¹₀₁＋Γ¹₁₀＝0 ,Γ¹₁₁＝λ'/2＝(ｄ/ｄｒ){(－1/2)ln(1－ｒ_g/ｒ)}＝(－1/2)(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)^-1です。

それ故,ｄ²ｒ/ｄｓ²＋ (1/2)(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)(ｄｔ/ｄｓ)²－(1/2)(ｒ_g/ｒ²)(1－ｒ_g/ｒ)^-1(ｄｒ/ｄｓ)²＝0 となります。

これに,ｄｔ/ｄｓ＝ｋ(1－ｒ_g/ｒ)^-1を代入してｄｒ/ｄｓを解けば解軌道が得られますが,計量の表現ｄｓ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｄｔ²－(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒ²を用いて直接求める方が簡単です。

すなわち,1＝(1－ｒ_g/ｒ)(ｄｔ/ｄｓ)²－(1－ｒ_g/ｒ)^-1(ｄｒ/ｄｓ)²から,(ｄｒ/ｄｓ)²＝ｋ²－(1－ｒ_g/ｒ)＝ｒ_g{1/ｒ－1/ｒ(0)}が得られます。

ただし,ｒ(0)はｄｒ/ｄｓ＝0 のときのｒの値でｒ(0)≡ｒ_g/(1－ｋ²),またはｋ²≡1－ｒ_g/ｒ(0)で定義されます。

ｓの代わりに軌道のパラメータを遠方の観測者にとっての固有時間ｔで表わせば,(ｄｒ/ｄｔ)²＝(ｄｒ/ｄｓ)²(ｄｓ/ｄｔ)²＝ｒ_g{1/ｒ－1/ｒ(0)}ｋ^-2(1－ｒ_g/ｒ)²＝(1－ｒ_g/ｒ)²[1－(1－ｒ_g/ｒ)/{1－ｒ_g/ｒ(0)}]となります。

今の場合は,ｄｒ/ｄｔ＜0 に対応する自由落下を考察しているので,動径ｒ方向の運動はｄｒ/ｄｔ＝－(1－ｒ_g/ｒ)[1－(1－ｒ_g/ｒ)/{1－ｒ_g/ｒ(0)}]^1/2で与えられます。

ここで,ｒ(0)＝∞,つまりｒ→ ∞でｄｒ/ｄｓ→ 0 ,or ｄｒ/ｄｔ→ 0 ,ｋ²→ 1 (ｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²)とすれば,ｄｒ/ｄｔ＝－(ｒ_g/ｒ)^1/2(1－ｒ_g/ｒ),または－∫ｄｔ＝∫ｄｒ(ｒ/ｒ_g)^3/2(ｒ/ｒ_g－1)^-1です。

ξ≡(ｒ/ｒ_g)^1/2と変数置換すれば,右辺＝2ｒ_g[ξ³/3＋ξ＋(1/2)ln{(ξ－1)/(ξ＋1)}＋const.]となります。

したがって,ｃｔ/ｒ_g＝－(2/3)(ｒ/ｒ_g)^3/2－2(ｒ/ｒ_g)^1/2－ln[{(ｒ/ｒ_g)^1/2－1}/{(ｒ/ｒ_g)^1/2＋1}]＋const.です。

これにより,今の場合の自由落下ならｒ→ｒ_gでｔ→ ∞ となり,事象の地平面に到達するのに無限大の座標時間がかかります。

逆にｄｒ/ｄｔ＞0 の場合,つまり落下とは逆で星の表面から物体を発する放物運動を考察しているのであれば,∫ｄｔ＝∫ｄｒ(ｒ/ｒ_g)^3/2(ｒ/ｒ_g－1)^-1＝2ｒ_g[ξ³/3＋ξ＋(1/2)ln{(ξ－1)/(ξ＋1)}＋const.]なので,ｃｔ/ｒ_g＝(2/3)(ｒ/ｒ_g)^3/2＋2(ｒ/ｒ_g)^1/2＋ln[{(ｒ/ｒ_g)^1/2－1}/{(ｒ/ｒ_g)^1/2＋1}]＋const.となります。

そこで,面の内側から事象の地平面に到達するにも無限大の時間がかかります。これは内部から脱出不可能であることを意味しています。

光の道筋を求める場合は,ｄｓ＝0 なので, 0＝ｄｓ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｄｔ²－(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒ²により,ｄｔ＝(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒとなりますから,動径がｒのところから出た光が観測者の位置の動径ｒ_obまで到達するのに要する時間をＴとすると,Ｔ＝∫_r^ｒobｄｒ(1－ｒ_g/ｒ)^-1＝ｒ_ob－ｒ＋ｒ_gln{(ｒ_ob－ｒ_g)/(ｒ－ｒ_g)}となるはずです。

そこでｒ→ｒ_gならＴ→ ∞ となります。これによって,星の重力崩壊の際に表面から出た光が観測者に到達するには無限大の時間がかかることがわかり,観測者はあたかも星の収縮が止まったように観測すると思われます。

表面から光を放出する物質の固有時間ｄτと世界時間ｄｔとの関係は,近似的にｃｄτ＝{(1－ｒ_g/ｒ)－(1－ｒ_g/ｒ)^-1(ｄｒ/ｄｔ)²}^1/2ｄｔ～ (1－ｒ_g/ｒ)ｄｔと表現されます。

ここでｄｒ/ｄｔ＝－(1－ｒ_g/ｒ)[1－(1－ｒ_g/ｒ)/{1－ｒ_g/ｒ(0)}]^1/2,かつ(ｒ_g/ｒ)＜＜0 によりｄｒ/ｄｔ～－(ｒ_g/ｒ)^1/2(1－ｒ_g/ｒ)と書けることを用いました。

さらにＴ＝∫_r^robｄｒ(1－ｒ_g/ｒ)^-1＝ｒ_ob－ｒ＋ｒ_gln{(ｒ_ob－ｒ_g)/(ｒ－ｒ_g)}により,ｒ→ｒ_gのときの世界時間ｔとｒの関係はｒ_ob－ｒ＋ｒ_gln(ｒ_ob－ｒ_g)に比べて－ｒ_gln(ｒ－ｒ_g)が支配的になるのでｔ～ －ｒ_gln(ｒ－ｒ_g)＋const. or (ｒ－ｒ_g) ∝ exp(－ｔ/ｒ_g)です。

そこでｒ→ｒ_gのとき,光の振動数ν ∝ (1/Δｔ)の時間変化は(1/Δｔ)∝(ｒ－ｒ_g)/ｒ_gなので,(ν/ν₀)∝ exp(－ｔ/ｒ_g),あるいはν∝ν₀ exp(－ｔ/ｒ_g)なる式で与えられます。

ただしν₀は(ｒ－ｒ_g)/ｒ_g＞＞1の遠方の自由空間位置での光の振動数です。

これらを評価する際の実際の時間スケールはｒ_g/ｃ～ 10^-5(ｍ/Ｍ_◎)sec程度です。(ｍは対象とする星の質量Ｍ_◎は太陽の質量です。)

動径方向以外に出る光をも考慮して,詳細な計算を実行し星のエネルギーを星の明るさＬによって表現すると,明るさＬはｒ→ｒ_gで,Ｌ∝Ｌ₀ exp{－4ｔ/(3^3/2ｒ_g))のように減衰していくことがわかります。

遠方の観測者にとって星の重力崩壊が止まっているように見える場合でも,星の明るさの方は急激に減衰して,星はまたたくまに暗くなってゆくのが観測されるはずです。

座標時間＝世界時間は重力落下につれて,ｔ～ －ｒ_gln(ｒ－ｒ_g)＋const.なる傾向を示すのに対し,固有時間τはｄｒ/ｄτ～ －(ｒ/ｒ_g)^1/2,ｒ～(3/2)^2/3ｒ_g^1/3(τ₀(ｒ)－τ)^2/3のような緩やかな関係を示すことを強調しておきます。

ここでτ₀(ｒ)はｒから出発して星の中心＝原点(origin:ｒ＝0)に到達したときのτの値です。

球対称のシュヴァルツシルト解では,計量がｄｓ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｄｔ²－ｄｒ²/(1－ｒ_g/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)なので,ｒ＝ｒ_gにおいてｇ₀₀＝0 ,ｇ₁₁＝－∞ となります。

そこでｒ＝ｒ_gでは計量としての意味が失われるため,これは時空の特異点であるように見えますが,これは見掛けの上のことであって,ｒ＝ｒ_gは真の特異点ではありません。

実際,スカラー曲率の平方はＲ²＝Ｒ^μνσρＲ_μνσρ＝12(ｒ_g)²/ｒ⁶と計算されますから,これはｒ＝ｒ_gなる面が何の特異性も示さず,真の特異点はｒ＝0 のみであることを示しています。

ｒ＝ｒ_gが特異面にならないような座標系としてはｄｓ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｄｔ²－ｄｒ²/(1－ｒ_g/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)なる計量の(ｔ,ｒ,θ,φ)から,新座標(ｔ',ｒ',θ',φ')をｔ＝ｔ'± ｒ_gln(ｒ'/ｒ_g－1)(ｒ＞ｒ_g),ｔ＝ｔ'± ｒ_gln(1－ｒ'/ｒ_g)(ｒ＞ｒ_g),ｒ＝ｒ',θ＝θ',φ＝φ'なる変換によって与えるエディントン・フィンケルシュタイン座標(Eddington-Finkelstein coordinate),

変数(ｔ,ｒ)をｕ＝±(ｒ/ｒ_g－1)^-1/2exp{ｒ/(2ｒ_g)}cosh{ｔ/(2ｒ_g)},ｖ＝±(ｒ/ｒ_g－1)^-1/2exp{ｒ/(2ｒ_g)}sinh{ｔ/(2ｒ_g)}でｕ,ｖの符号に合わせて符号±を取るような座標変数(ｕ,ｖ)に変換するクルスカル座標(Kruskal coordinate)などがあります。

しかし,物理的に見ると,ｒ＝ｒ_gの球面には,やはり特異な性質があるようです。

その主なものは,この面内に入った粒子は再び外へ出てくることができないということです。このｒ＝ｒ_g＝2Ｇｍ/ｃ²の球面をシュヴァルツシルト面と言います。

シュヴァルツシルト時空で,(ｒ,θ,φ)が一定の質点を考えると,これの描く世界線はｄｓ²＝(1－ｒ_g/ｒ)ｄｔ²です。

そしてｒ＞ｒ_gならｄｓ²＞0 で時間的(time-like)ですから,ｄｓ²＝ｃｄＴ²－ｄＸ²－ｄＹ²－ｄＺ²なる局所ローレンツ系の表現でｄＸ＝ｄＹ＝ｄＺ＝0 として質点がその位置に留まることができます。

しかし,ｒ＜ｒ_gのシュヴァルツシルト面の内側なら(ｒ,θ,φ)が一定ｄｒ＝ｄθ＝ｄφ＝0 というのは,ｄｓ²＜0 を意味し空間的(space-like)です。

これは局所ローレンツ座標(ｃＴ,Ｒ)では|ｄＲ|＝(ｄＸ²＋ｄＹ²＋ｄＺ²)^1/2＞ｃ|ｄＴ|を意味しますから,物質がこのような世界線を取ることは不可能です。

そこでｄｒ,ｄθ,ｄφがゼロではないとすることによってｄｓ²＞0 と運動を表わす時間的なものにするためには,物質は静止状態ではなく動かざるを得ません。

光の道筋はｄｒ/ｄｔ＝±(1－ｒ_g/ｒ)ですが,この境界である光円錐の向きを考えれば,ｄｓ²＞0 はｒ＞ｒ_gなら－(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒ＜ｄｔ＜(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒで,ｒ＜ｒ_gならｄｔ＜(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒ,ｄｔ＞－(1－ｒ_g/ｒ)^-1ｄｒであること意味します。

ｒ＜ｒ_gのときには動径ｒが時間軸の役割を果たすように見えます。

古典論では,ｒ＞ｒ_gの観測者はｒ＜ｒ_gに入った粒子から情報を得のることはできません。

ｒ＜ｒ_gの領域をブラックホールといい,ｒ＝ｒ_gをのシュヴァルツシルト面を事象の地平面ともいいます。

ここまでは,私が所持している通常のいくつかの書物に書かれている内容について,それらの行間を埋めてブログで平易に解説できるようにまとめたものですが,以下では持論をも書いてみます。

すなわち,2008年６/19の記事「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」で書いている内容ですが,

これは重力崩壊の途中での事象の地平面ｒ＝ｒ_g＝2Ｇｍ/ｃ²の球面を与えるｍは落下している星の表面の動径位置がｒのときに,半径ｒの内部の質量ｍ(ｒ)を意味しており,それゆえｒ_g＝2Ｇｍ(ｒ)/ｃ²と書けば,落下に伴なって変化するｒと共にｍ(ｒ),したがってｒ_gも変わってゆくというものです。

そこで,遠方の観測者にとっての固有時間ｔで表わした星の表面の自由落下の動径ｒ方向の運動方程式であるｄｒ/ｄｔ＝－(1－ｒ_g/ｒ)[1－(1－ｒ_g/ｒ)/{1－ｒ_g/ｒ(0)}]^1/2において,ｒ(0)＝∞,つまりｒ→ ∞でｄｒ/ｄｓ→ 0 or ｄｒ/ｄｔ→ 0 ,ｋ²→ 1 (ｄｓ²＝ｃ²ｄｔ²)であるとして,ｄｒ/ｄｔ＝－(ｒ_g/ｒ)^1/2(1－ｒ_g/ｒ)なるものを考察しますが,

右辺のｒ_g＝2Ｇｍ/ｃ²の表現ではｍを固定された星の質量と考えるのではなく,ｒより内側に既に崩落し累積している部分の物質の総質量ｍ＝ｍ(ｒ)と考えます。

今の場合は星の表面が自由落下し重力崩壊をしている最中なので,動径ｒ_gが示す球面は,重力崩壊中ではない安定した星の固定された事象の地平面を意味するのではなくて,ｒ_gもｍ(ｒ)と共に変動するｒの関数であると考えるわけです。

そして,例えば星の構成物質の密度ρが一様でｍ＝ｍ(ｒ)＝4πρｒ³/3と書ける場合なら,ｒ_g/ｒ＝2ｍ/ｒ＝8πＧρｒ²/(3ｃ²)によって,ｄｒ/ｄｔ＝－{8πＧρｒ²/(3ｃ²)}^1/2{1－8πＧρｒ²/(3ｃ²)}＝－{8πＧρ/(3ｃ²)}^1/2ｒ{1－8πＧρｒ²/(3ｃ²)}となります。

これは初等的に積分できて,ｔ＝－{8πＧρ/(3ｃ²)}^1/2lnｒ＋(1/2)[ln|ｒ＋{3ｃ²/(8πＧρ)^1/2}|＋ln|ｒ－{3ｃ²/(8πＧρ)^1/2}|＋constとなります。

例えば太陽程度の密度ρ～１kg/ｍ³ を仮定すれば{3ｃ²/(8πＧρ)^1/2} ～ 10¹¹kmです。

したがって,重力崩壊中の星の表面の半径ｒについては,崩壊の最初から星の落下物質の位置の動径はｒ＜{3ｃ²/(8πＧρ)}^1/2(≒10¹¹km)を満たすはずですから,解はｔ＝－{8πＧρ/(3ｃ²)}^1/2lnｒ＋(1/2)ln{3ｃ²/(8πＧρ)－ｒ²}＋constです。

星の中心ｒ＝0 に向かって崩落してゆく過程では,最終到達点である中心:ｒ＝0 以外には全く特異点はなく,世界時間で見ても重力崩壊は有限な短時間で終了し,決して無限大時間を要することなど有り得ないと結論されます。

(太陽なら,ｔ＝－{8πＧρ/(3ｃ²)}^1/2lnｒ＋(1/2)ln{3ｃ²/(8πＧρ)－ｒ²}＋const.にｒ＝ｒ_g≒３ｋｍ＝3000ｍを代入したものから,太陽半径ｒ＝Ｒ_S≒７×10⁸ｍを代入したものを引いた時間です。)

一様密度の星という特殊なモデルで考察しましたが,遠方の観測者にとってもブラックホールの形成時間が有限になるという結論は一般的に成立すると考えられ,モデルの選択には依らないと思われます。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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重力崩壊とブラックホール(1)

　今日は,すぐ前に記述した重力場の球対称時空解の続きとして,星の重力崩壊の初等的モデルについて計算をしてみます。

なお,一般相対論とは直接関係しない星の構造や進化については,2006年11/29「星の重力平衡とエネルギーの流れ」から,続く11/30の「星の構造(ポリトロープガス球とエムデン解)」,12/1「星の進化とチャンドラセカール質量」のシリーズで書いたことがあります。

　これらは,2006年11/25,26の「高密度状態での陽子の中性子化(1)」,「高密度状態での陽子の中性子化(2)」から続いて,11/27「電離平衡のサハの式」,「高温状態での電子対発生」というプラズマ状態での核反応など,どちらかというと微視的メカニズムに主眼を置いていたシリーズの続きとして書いたものです。

　巨視的現象である重力崩壊についての記事は2006年８/25の「ブラックホールの形成時間」や,2008年６/19の「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」程度であまり詳細な計算を記述していませんでした。

　そこで,今回は重力崩壊について,より詳細に考察,計算してみます。

　まず,後の便宜上,一般相対論での固有長さ,固有時,固有体積の概念を共動座標系に伴なう量として明確に定義しておきます。

　一般に,任意の準拠系:Ｒにおける準拠点の座標をｘ^μとし,同じ点の局所慣性系:Ｉにおける座標をＸ^μとすると,ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν＝η_μνｄＸ^μｄＸ^νであり,ｄＸ^μ＝(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)ｄｘ^νです。

　そこで,計量テンソルについて,ｇ_μν＝(∂Ｘ^ρ/∂ｘ^μ)(∂Ｘ^σ/∂ｘ^ν)η_ρσなる変換式が成立します。

　また,Ｒにおける準拠点の局所慣性系:Ｉにおける速度をｖとすると,ｖ^k/ｃ＝ｄＸ^k/ｄＸ⁰＝(∂Ｘ^k/∂ｘ⁰)/(∂Ｘ⁰/∂ｘ⁰)と書けます。(Ｒに固定された準拠点なのでｄｘ^k＝0 )

Ｒにおいて空間的に近接した任意の準拠点Ａ,Ｂを取り,その空間座標をそれぞれ,ｘ^k,ｘ^k＋ｄｘ^kとします。

そして,Ａが静止しＢも近似的に静止している局所慣性系Ｉ⁰を取って,そこでのＡの局所座標をＸ^μとします。

このとき,Ｉ⁰におけるＡの速度ｖについてはｖ^k/ｃ＝0 なので,∂Ｘ^k/∂ｘ⁰＝0 が成立しています。

そこで,Ｉ⁰でのある測定時刻におけるＡ,Ｂの同時的な空間距離は,ｄＸ^k＝(∂Ｘ^k/∂ｘ^ν)ｄｘ^ν＝(∂Ｘ^k/∂ｘ^l)ｄｘ^lで与えられます。

そこで,この同時刻での３次元ベクトル(ｄＸ^k)の空間的な長さをｄσと書いて固有長さと呼びます。

つまり,ｄσ²≡Σ_k=1³(ｄＸ^k)²＝γ_ijｄｘⁱｄｘ^j,γ_ij≡(∂Ｘ^k/∂ｘⁱ)(∂Ｘ^k/∂ｘ^j)＝(∂Ｘ⁰/∂ｘⁱ)(∂Ｘ⁰/∂ｘ^j)－ｇ_ijと定義します。

係数,γ_ijは空間計量テンソルと呼ばれます。

ところで,ｇ_μ0＝(∂Ｘ⁰/∂ｘ^μ)(∂Ｘ⁰/∂ｘ⁰)－(∂Ｘ^k/∂ｘ^μ)(∂Ｘ^k/∂ｘ⁰)＝(∂Ｘ⁰/∂ｘ^μ)(∂Ｘ⁰/∂ｘ⁰)より,ｇ_i0＝(∂Ｘ⁰/∂ｘⁱ)(∂Ｘ⁰/∂ｘ⁰),(∂Ｘ⁰/∂ｘ⁰)＝(ｇ₀₀)^1/2です。

それ故,γ_i≡(∂Ｘ⁰/∂ｘⁱ)＝ｇ_i0/(ｇ₀₀)^1/2と定義すれば,γ_ij＝－ｇ_ij＋γ_iγ_j＝－ｇ_ij＋ｇ_i0ｇ_j0/ｇ₀₀と書けます。

よって,一般に－γ_ijは計量テンソルｇ_μνの空間部分ｇ_ijに等しくはなくて,－γ_ij＝ｇ_ijが成立するのはｇ_i0＝0,あるいはγ_i＝0 (ｉ＝1,2,3)の場合のみです。

そして,準拠系内に与えられた準拠点Ａに静止する標準時計Ｃにおいては,ｄｘ^k＝0 なので,その描く世界線はｄｓ²＝ｇ₀₀(ｄｘ⁰)²で与えられます。

ｔ＝ｘ⁰/ｃはＡに置いた座標時計の示す時間ですが,Ｃの示す時間変動はｄｓ²＝ｃ²ｄτ²を満たす固有時τで与えられます。

これはＣに対して瞬間静止する慣性系Ｉ⁰での時空座標をＸ^(0)μで表現するとき,ｄｓ²はＲとＩ⁰のどちらの座標系から見ても不変であり,ｄＸ^(0)k＝0,ｄＸ⁽⁰⁾⁰＝ｃＴ⁽⁰⁾なので,ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝ｃ²(ｄＴ⁽⁰⁾)²ですからｄＴ⁽⁰⁾＝ｄτですが,時間Ｔ⁽⁰⁾はＩ⁰中に静止して時を刻む標準時計の時間だからです。

そして,ｄｓ²＝ｇ₀₀(ｄｘ⁰)²はｄτ＝(ｇ₀₀)^1/2ｄｔを意味するので,(ｇ₀₀)^1/2は標準時計Ｃ(共動座標系)と座標時計の時間の進む速さの比を示しています。

さらに,γ≡det(γ_ij)とすると,ｇ_ij＝－γ_ij＋ｇ_i0ｇ_j0/ｇ₀₀によって,γ＝－ｇ/ｇ₀₀;ｇ≡det(ｇ_μν)が得られます。

共動座標系での４次元不変体積を示す等式ｄΣ＝ｃｄＴｄＸｄＹｄＺ＝det(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)(Π_ν＝0³ｄｘ^ν)＝(－ｇ)^1/2(Π_ν＝0³ｄｘ^ν)を,固有時間ｃｄτ＝(ｇ₀₀)^1/2ｄｘ⁰＝ｃｄＴで割ったものを３次元の固有体積と呼び,ｄＶ_p＝γ^1/2ｄｘ¹ｄｘ²ｄｘ³と書きます。

これらを用いて,さらに,星の質量と関連した重力質量と固有質量の概念を述べておきましょう。

共動座標系で星の中心を原点とする球対称時空の計量はｃ＝Ｇ＝1の自然単位ではｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)です。

上述の固有体積の表現におけるγ^1/2はγ^1/2＝exp(λ/2)ｒ²sinθで与えられるので動径ｒとｒ＋ｄｒに挟まれた球殻の固有体積は,ｄＶ_p＝exp(λ/2)ｒ²ｄｒ∫sinθｄθｄΦ＝4πｒ²exp(λ/2)ｄｒです。

そこで,星の中の動径ｒの位置での核子の数密度をｎ_N(ｒ)とすると,全核子数は共動座標系では固有体積で積分して,Ｎ_N＝4π∫₀^Rｎ_N(ｒ)exp(λ/2)ｒ²ｄｒ＝4π∫₀^Rｎ_N(ｒ){1－2ｍ(ｒ)/ｒ}^-1/2ｒ²ｄｒです。

そこで核子の質量をｍ_Nとし,それ以外の微小質量の電子などの質量を無視すれば,星の密度はρ_m(ｒ)＝ｍ_Nｎ_N(ｒ)で与えられ,密度と固有体積の積の積分で与えられる星の質量をＭ_m＝∫₀^Rρ_m(ｒ)ｄＶ_p＝4π∫₀^Rρ_m(ｒ){1－2ｍ(ｒ)/ｒ}^-1/2ｒ²ｄｒと書いて,これを星の静止固有質量と呼びます。

　さらに,(静止エネルギー)＋(運動エネルギー＋相互作用エネルギー)の全エネルギーによる密度をρ(ｒ)≡ρ_m(ｒ)＋ρ_I(ｒ)と書けば,ρ_m(ｒ)のみの寄与による質量Ｍ_mは,ρ_I(ｒ)をも加えた効果を加えた質量Ｍ_p＝∫₀^Rρ(ｒ)ｄＶ_p＝4π∫₀^Rρ(ｒ){1－2ｍ(ｒ)/ｒ}^-1/2ｒ²ｄｒに変わります。

　このＭ_pを星の固有質量と呼びます。これに対し,密度と座標系に依存する通常の体積の積の積分で与えられる質量Ｍ≡4π∫₀^Rρ(ｒ)ｒ²ｄｒ＝ｍ(Ｒ)を重力質量といいます。

　ニュートンの万有引力の近似では,普通の単位でｍ(ｒ)/ｒ→Ｇｍ(ｒ)/(ｃ²ｒ)＜＜1,ρ_m(ｒ)＞＞ρ_I(ｒ)なので,Ｍ≡4π∫₀^Rρ(ｒ)ｒ²ｄｒ＝∫₀^R{ρ_m(ｒ)＋ρ_I(ｒ)}exp(－λ/2)ｄＶ_p＝∫₀^R{ρ_m(ｒ)＋ρ_I(ｒ)}{1－2ｍ(ｒ)/ｒ}^1/2ｄＶ_p～∫₀^Rρ_m(ｒ)ｄＶ_p＋∫₀^Rρ_I(ｒ)ｄＶ_p－∫₀^R{ρ_m(ｒ)ｍ(ｒ)/ｒ}ｄＶ_p＝Ｍ_m＋(Ｕ_I－Ω)です。

　ここにΩ≡∫₀^R{ρ_m(ｒ)ｍ(ｒ)/ｒ}ｄＶ_pは万有引力による結合エネルギー,Ｕ_I≡∫₀^Rρ_I(ｒ)ｄＶ_pは内部エネルギーです。通常の単位ならＭ＝Ｍ_m＋(Ｕ_I－Ω)/ｃ²,Ω≡Ｇ∫₀^R{ρ_m(ｒ)ｍ(ｒ)/ｒ}ｄＶ_p,Ｕ_I≡ｃ²∫₀^Rρ_I(ｒ)ｄＶ_pです。

　一方,Ｍ_p＝∫₀^Rρ(ｒ)ｄＶ_p＝Ｍ_m＋Ｕ_I/ｃ²ですから,重力結合による質量欠損はΔＭ＝Ｍ_p－Ｍ＝Ω/ｃ²です。

　中性子星のモデルで計算すると,多くの場合Ｍ_p＞Ｍ_m＞Ｍですが,重力Ωが十分大きいとＭ_p＞Ｍ＞Ｍ_mとなります。

　これはΩ＞Ｕ_Iが実現したためであろうと解釈されますから,重力だけでなく,内部エネルギーＵ_Iもまた現実に星の質量に寄与していることがわかります。

特に圧力:Ｐ＝0 の物質をダスト物質と呼びますが,以下では星が球状のダスト物質でできている場合の重力崩壊を考察します。

また,時空の計量はｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)ですが,Ｒ＝ｒと置けるとは限らない一般の場合を考えます。

さて,以前の記事で既述したことを用いれば次のようになります。

共動座標系に乗った観測者の固有時間τはｄτ²＝exp(2ψ)ｄｔ²,つまりｄτ＝exp(ψ)ｄｔで与えられ,それ故τによる偏微分をＤ_τなる記号で表わすことにすれば,例えばＲ＝Ｒ(ｒ,ｔ)のτによる偏微分はＤ_τＲと書けますが,さらにＤ_τＲをＵと表記すると,Ｕ≡Ｄ_τＲ≡∂Ｒ/∂τ＝exp(－ψ)Ｒ^dです。

ただし時間微分をＲ^d≡∂Ｒ/∂ｔとしています。

そして,Ｕをさらにｒで偏微分するとＵ'＝exp(－ψ)(Ｒ'^d－ψ'Ｒ^d)＝exp(－ψ)Ｒ'^d－ψ'Ｕとなります。

ただし動径微分をＲ'≡∂Ｒ/∂ｒetc.と表記しています。

そして,Ｄ_τlnＲ'＝ exp(－ψ)Ｒ'^d/Ｒ'＝Ｕ'/Ｒ'＋Ｕψ'/Ｒ'によってＤ_τlnＲ'＝(∂Ｕ/∂Ｒ )_t＋Ｕ(∂ψ/∂Ｒ )_tです。

exp(λ/2)＝Ｒ'(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^-1/2より,λ/2＝lnＲ '－(1/2)ln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ ),Ｄ_τλ＝2Ｄ_τlnＲ'－Ｄ_τln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ ),またＤ_τλ＝2Ｕ'/Ｒ'＝2(∂Ｕ/∂Ｒ )_tです。

故に,2(∂Ｕ/∂Ｒ )_t＝2(∂Ｕ/∂Ｒ )_t＋2Ｕ(∂ψ/∂Ｒ )_t－Ｄ_τln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )となります。すなわち,Ｄ_τln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )＝2Ｕ(∂ψ/∂Ｒ )_tです。

そこで,エネルギー運動量テンソルの保存則を示す条件式Ｔ_μ^ν_;ν＝0 の１つ(∂ψ/∂ｒ)_t＝－(∂Ｐ/∂ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)を代入することにより,実際に解ける形の運動方程式Ｄ_τln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^1/2＝Ｕ(∂ψ/∂Ｒ)_t＝－Ｕ(∂Ｐ/∂Ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)が得られます。

今は星がダスト球であって,Ｐ＝0 なので,1＋Ｕ²－2ｍ(ｒ,ｔ)/Ｒ ＝(時間的に一定)となり,また(∂ψ/∂ｒ)_t＝0 なのでψは空間座標ｒに依存しません。

ψがｔだけの関数なので,共動座標系の固有時間:ｄτ＝exp(ψ)ｄｔで与えられるτを改めて座標時間ｔと考えます。

すると,Ｄ_τはＤ_t＝∂/∂ｔを意味するので,上述のＵ＝Ｄ_τＲ ＝exp(－ψ)Ｒ^dはＵ＝Ｒ^dと書けます。

そこで,1＋Ｕ²－2ｍ(ｒ,ｔ)/Ｒ ＝(時間的に一定)の左辺のｍ(ｒ,ｔ)が時間ｔに独立∂ｍ/∂ｔ＝0 でｍ(ｒ,ｔ)＝ｍ(ｒ)と表現できるなら,(1/2)(Ｒ ^d)²－ｍ(ｒ)/Ｒ＝(一定)となって,これはニュートン力学の万有引力の中での自由落下の際の(力学的エネルギー)＝(運動エネルギー＋位置エネルギー)の保存の式と同じになります。

そして,実際にＤ_tｍ＝∂ｍ/∂ｔ＝0 を示すこともできます。

まず,Ｄ_tln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)^1/2＝－Ｕ(∂Ｐ/∂Ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)から,(1/2)Ｄ_tln(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)＝(ＵＤ_tＵ＋ｍＤ_tＲ/Ｒ²－Ｄ_tｍ/Ｒ)/(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)＝－Ｕ(∂Ｐ/∂Ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)です。

これに,以前の記事で得られた運動方程式Ｄ_tＵ＝－{(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)/(ρ＋Ｐ)}(∂Ｐ/∂Ｒ)_t－(ｍ＋4πＲ³Ｐ)/Ｒ²}を代入すると,－Ｕ(∂Ｐ/∂Ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)＋(ｍＤ_tＲ/Ｒ²－ｍＵ/Ｒ²－4πＲＰＵ－Ｄ_tｍ/Ｒ)/(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)＝－Ｕ(∂Ｐ/∂Ｒ)_t/(ρ＋Ｐ)を得ます。

したがって,Ｄ_tｍ＝－4πＲ²ＰＵですから,Ｐ＝0 のときは確かに,Ｄ_tｍ＝∂ｍ/∂ｔ＝0 が成立します。

　さて,運動方程式(1/2)(Ｒ^d)²－ｍ(ｒ)/Ｒ＝(一定)の右辺の一定値を{Γ(ｒ)²－1}/2 と書いて,(Ｒ^d)²－2ｍ(ｒ)/Ｒ＝Γ(ｒ)²－1とします。

　するとexp(λ/2)＝(∂Ｒ/∂ｒ)(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ)^-1/2,およびＵ＝Ｒ^dから,exp(λ)＝(∂Ｒ/∂ｒ)²/Γ(ｒ)²と書けます。

　これによって,Γ(ｒ)²＞0 なる条件が得られます。

　そして,時空計量はｄｓ²＝ｄｔ²－{Ｒ'/Γ(ｒ)}²ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と表わされます。

方程式(Ｒ^d)²－2ｍ(ｒ)/Ｒ＝Γ(ｒ)²－1の重力崩壊:Ｒ^d＜0 に対応する解は各ｒに対して,∫ｄＲ[Ｒ/{2ｍ＋(Γ²－1)Ｒ}]^1/2＝－∫ｄｔで与えられます。

ここでｒ＝(一定)では,Ｒ^d＝(∂Ｒ/∂ｔ)_rであり,ｍ(ｒ)もΓ(ｒ)も時間的に一定の定数と考えることができるとしています。

そこで,Γ²－1＞0 の場合はＲ＝0 になる時刻をｔ＝ｔ₀ とおけば,(Γ²－1)^-1/2∫₀^ＲｄＲ[Ｒ/{Ｒ＋2ｍ/(Γ²－1)}]^1/2＝ｔ－ｔ₀です。

積分を実行すると,最終的な形としてｔ₀(ｒ)－ｔ＝(Γ²－1)^-1{2ｍＲ＋(Γ²－1)Ｒ²}^1/2－2ｍ(Γ²－1)^-3/2sinh^-1[{(Γ²－1)Ｒ/(2ｍ)}^1/2],sinh^-1(ｘ)＝ln{ｘ＋(ｘ－1)^1/2}が得られます。

そこで,Ｒ → 0 のとき,{2ｍＲ＋(Γ²－1)Ｒ²}^1/2 ～ (2ｍＲ)^1/2＋(1/2)(2ｍＲ)^1/2(Γ²－1)Ｒ/(2ｍ),すなわちｔ₀(ｒ)－ｔ～ (2/3)(2ｍ)^1/2Ｒ^3/2となることがわかります。

また,Γ²－1＜0 の場合はｔ₀(ｒ)－ｔ＝(1－Γ²)^-1{2ｍＲ＋(1－Γ²)Ｒ²}^1/2＋2ｍ(1－Γ²)^-3/2sin^-1[{(1－Γ²)Ｒ/(2ｍ)}^1/2]です。

このときもＲ → 0で,ｔ₀(ｒ)－ｔ～ (2/3)(2ｍ)^1/2Ｒ^3/2です。

そしてΓ²－1＝0 の場合には,Ｒ^d＝－(2ｍ/Ｒ)^1/2よりＲ＝(3/2)^2/3(2ｍ)^1/3{ｔ₀(ｒ)－ｔ}^2/3が得られます。

以上から,ｔ→ｔ₀(ｒ)(Ｒ → 0)の極限では,Γ²の値に関わらず,Ｒ ～(3/2)^2/3(2ｍ)^1/3{ｔ₀(ｒ)－ｔ}^2/3となることがわかります。

この最後の表式から,ｔ→ｔ₀(ｒ)においてexp(λ/2)＝(∂Ｒ/∂ｒ)Γ^-1 ～ 6^-1/3ｍ'ｍ^-2/3Γ^-1(ｔ₀－ｔ)^2/3＋(2/3)^1/3(2ｍ)^1/3ｔ₀'Γ^-1(ｔ₀－ｔ)^-1/3により,exp(λ/2) ～ (2/3)^1/3(2ｍ)^1/3ｔ₀'Γ^-1(ｔ₀－ｔ)^-1/3となります。

そこで,exp(λ/2)ｄｒに比例した動径方向の固有距離は,ｔ→ｔ₀(ｒ)では無限大に発散し,一方,固有体積はＶ_p∝∫Ｒ²exp(λ/2)ｄｒ∝∫{ｔ₀(ｒ)－ｔ}ｄｒなので,ゼロに近づきます。

また,(∂ｍ/∂Ｒ)_t＝4πＲ²ρよりρ＝ｍ'/(4πＲ²Ｒ')ですが,ｔ→ｔ₀(ｒ)では,Ｒ ～ (3/2)^2/3(2ｍ)^1/3{ｔ₀(ｒ)－ｔ}^2/3なので,結局ρはρ∝ (ｍ'/ｍ){ｔ₀(ｒ)－ｔ}^-1のように挙動します。

そして,ｍ＝ｍ(ｒ)により,(∂ｍ/∂Ｒ)_t＝4πＲ²ρはｄｍ/ｄｒ＝4πＲ²ρ(∂Ｒ/∂ｒ)_tと書けます。

もしも一様密度の星ならρ＝ρ(ｔ),かつＰ＝0 なので,重力場の方程式Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝8πＴ_μ^νの右辺:8πＴ_μ^νは全てｔだけの関数になるためＲ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｇ(ｒ)と変数分離が可能で,特にｇ(ｒ)≡ｒ,すなわちＲ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｒなる解も可能です。

実際,重力場の方程式の成分で自明でないものは{λ^dＲ^d/Ｒ＋(Ｒ^d/Ｒ)²}exp(－2ψ)＋{－2Ｒ"/Ｒ－(Ｒ'/Ｒ)²＋λ'Ｒ'/Ｒ}exp(－λ)＋1/Ｒ²＝8πρ,{2Ｒ^'d/Ｒ－λ^dＲ'/Ｒ－2ψ'Ｒ^d/Ｒ}exp(－λ)＝0 ,{2Ｒ^2d/Ｒ＋(Ｒ^d/Ｒ)²－2ψ^dＲ^d/Ｒ}exp(－2ψ)＋{－(Ｒ'/Ｒ)²－2ψ'Ｒ'/Ｒ}exp(－λ)＋1/Ｒ²＝－8πＰ,{λ^2d/2＋(λ^d/2)²＋Ｒ^2d/Ｒ－λ^dψ^d/2－ψ^dＲ^d/Ｒ＋λ^dＲ^d/(2Ｒ)}exp(－2ψ)＋{－ψ"－ψ'²－Ｒ"/Ｒ－ψ'(Ｒ'/Ｒ－λ'/2)＋λ'Ｒ'/(2Ｒ)}exp(－λ)＝－8πＰの４つだけです。

これは,今の場合,Ｐ＝0,ρ＝ρ(ｔ),ψ≡0 なので,これらを代入すれば{λ^dＲ^d/Ｒ＋(Ｒ^d/Ｒ)²}＋{－2Ｒ"/Ｒ－(Ｒ'/Ｒ)²＋λ'Ｒ'/Ｒ}exp(－λ)＋1/Ｒ²＝8πρ,{2Ｒ'^d/Ｒ－λ^dＲ'/Ｒ}exp(－λ)＝0 ,{2Ｒ^2d/Ｒ＋(Ｒ^d/Ｒ)²}－(Ｒ'/Ｒ)²exp(－λ)＋1/Ｒ²＝0 ,{λ^2d/2＋(λ^d/2)²＋Ｒ^2d/Ｒ＋λ^dＲ^d/(2Ｒ)}＋{－Ｒ"/Ｒ＋λ'Ｒ'/(2Ｒ)}exp(－λ)＝0 と書けます。

そこでＲ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｇ(ｒ)と置くことができれば,これらはλ^dａ^d/ａ＋(ａ^d/ａ)²＋{－2ｇ"/ｇ－(ｇ'/ｇ)²＋λ'ｇ'/ｇ}exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝8πρ(ｔ),{2ａ^dｇ'/(ａｇ)－λ^dｇ'/ｇ}exp(－λ)＝0 ,2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²－(ｇ'/ｇ)²exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝0 ,λ^2d/2＋(λ^d/2)²＋ａ^2d/ａ＋λ^dａ^d/(2ａ)＋{－ｇ"/ｇ＋λ'ｇ'/(2ｇ)}exp(－λ)＝0 なる連立方程式になります。

２番目の方程式{2ａ^dｇ'/(ａｇ)－λ^dｇ'/ｇ}exp(－λ)＝0 からｇ'≠0 ならλ^d＝2ａ^d/ａとなります。

そこでλ^2d＝2ａ^2d/ａ－2(ａ^d/ａ)²です。

これらを残りの式に代入すると,3(ａ^d/ａ)²＋{－2ｇ"/ｇ－(ｇ'/ｇ)²＋λ'ｇ'/ｇ}exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝8πρ(ｔ),2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²－(ｇ'/ｇ)²exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝0 ,2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²＋{－ｇ"/ｇ＋λ'ｇ'/(2ｇ)}exp(－λ)＝0 となります。

得られた３つのうちの２番目の式 2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²－(ｇ'/ｇ)²exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝0 から１番目の式 3(ａ^d/ａ)²＋{－2ｇ"/ｇ－(ｇ'/ｇ)²＋λ'ｇ'/ｇ}exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝8πρを引いて２で割ると,ａ^2d/ａ－(ａ^d/ａ)²＋{ｇ"/ｇ－λ'ｇ'/(2ｇ)}exp(－λ)＝－4πρです。

また,３番目の式は,2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²－{ｇ"/ｇ－λ'ｇ'/(2ｇ)}exp(－λ)＝0 です。

これらを辺々加えると,3ａ^2d/ａ＝－4πρ,あるいはａ^2d＝－4πρａ/3となります。

よって,ｄ/ｄｔ{(ａ^d)²＋4πρａ²/3}＝0 ,すなわち(ａ^d)²＋4πρａ²/3＝const.が得られます。

そこで,ρ＝ρ(ｔ)の場合には,実際にＲ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｇ(ｒ)なる仮定からｇ(ｒ)とは独立にａ(ｔ)を解くことができます。

またｇ'≡0 の場合には,Ｒ(ｒ,ｔ)はａ(ｔ)の定数倍ですから明らかに変数分離可能です。

したがって,いずれにしても一様密度の星ρ＝ρ(ｔ)の場合にはＲ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｇ(ｒ)なる変数分離解が可能なことが示されました。

しかし,(ａ^d)²＋4πρａ²/3＝(定数)なる表式では,両辺にｇ(ｒ)²を掛けたとき,(Ｒ^d)²＋ｍ(ｒ)/Ｒ＝(定数)ｇ(ｒ)²となり,先の一般的に成立する式(Ｒ^d)²－2ｍ(ｒ)/Ｒ＝Γ(ｒ)²－1とは係数や符号が微妙に合致しないような気がするので,どこかに間違いがあるかもしれません。

特に,ｇ(ｒ)≡ｒの特別な場合を仮定しても,ａ^2d＝－4πρａ/3,(ａ^d)²＋4πρａ²/3＝(定数)が成立することに変わりはなく,例えば2ａ^2d/ａ＋(ａ^d/ａ)²－(ｇ'/ｇ)²exp(－λ)＋1/(ａ²ｇ²)＝0 は(ｇ'/ｇ)²exp(－λ)－1/(ａ²ｇ²)＝－4πρ(ｔ)を意味します。

これにｇ＝ｒ,ｇ'＝1を代入すると(1/ｒ²){exp(－λ)－1/ａ²}＝－4πρ(ｔ)となり,これとａ^2d＝－4πρａ/3,λ^d＝2ａ^d/ａを連立させたａ＝ａ(ｔ)を未知関数とする方程式は確かに解を持ちますから,Ｒ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｒなる形の解も可能です。

Ｒ(ｒ,ｔ)≡ａ(ｔ)ｒなる形で,ａ(0)＝1,つまりＲ(ｒ,0)＝ｒの解では,ｍの定義ｍ(ｒ,ｔ)＝∫₀^Ｒ 4πρξ²ｄξにおいて,一様密度ρ＝ρ(ｔ)により,ｍ(ｒ,ｔ)＝4πρＲ³/3＝4πρ(ｔ)ａ(ｔ)³ｒ³/3ですが,左辺は時間に無関係であって,ｍ(ｒ,ｔ)＝ｍ(ｒ)と書けますから,ρ(ｔ)ａ(ｔ)³＝ρ(0)(一定)となります。

このとき,一般的な運動方程式(Ｒ^d)²－2ｍ(ｒ)/Ｒ＝Γ(ｒ)²－1から,Γ(ｒ)²＝1＋(ａ^d)²ｒ²－8πρ(0)ｒ²/(3ａ)＝1＋ｒ²{(ａ^d)²－8πρ(0)/(3ａ)}となりますが,∂Γ(ｒ)²/∂ｔ＝0 なので,(ａ^d)²－8πρ(0)/(3ａ)＝－ｋ＝一定,Γ(ｒ)²＝1－ｋｒ²と書くことができます。

それ故,計量ｄｓ²＝ｄｔ²－{Ｒ '/Γ(ｒ)}²ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)はｄｓ²＝ｄｔ²－ａ(ｔ)²{ｄｒ²/(1－ｋｒ²)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)}となって,一様等方宇宙モデルのロバートソン・ウォーカー計量(Robertson-Walker metric)と同じ形をしています。

しかし,ロバートソン・ウォーカー計量ではａ(ｔ)は宇宙の空間的規模を示すパラメータで,膨張宇宙の初期条件ａ(0)＝0 と,膨張の境界条件ａ^d＞0 を持つ場合の解であり,ｒの変域も違っています。

一方,今の場合,ａ(ｔ)は星の半径Ｒに対しＲ＝ａ(ｔ)ｒで与えられるパラメータであって,重力崩壊の初期条件ａ(0)＝1と収縮の境界条件ａ^d＜0 に対応しています。

そして,(ａ^d)²－8πρ(0)/(3ａ)＝－ｋは初等的に解けます。ａ^d(0)＝0 なる初期条件を与えると,これはｋ＝8πρ(0)/3を意味します。

そして重力崩壊の初期条件ａ(0)＝1,ａ^d(0)＝0と収縮の境界条件ａ^d＜0 を満たす解はａ^d＝－{ｋ(1/ａ－1)}^1/2より,∫ｄａ[ａ/{ｋ(1－ａ)}]^1/2＝－∫ｄｔです。

変数置換によって積分を実行すると,解は結局ｔ＝(η＋sinη)/(2ｋ^1/2),ａ＝(1/2)(1＋cosη)＝cos²(η/2)となります。

これはｔ＝0 でη＝0 によってａ(0)＝1を満足していて,η＝πではａ(0)＝0 となるので,η＝πに対応する時刻をｔ＝ＴとするとＴ＝π/(2ｋ^1/2)＝(π/2)[3/{8πρ(0)}]^1/2です。

つまり,ｔ＝0 で静止していた球状の一様密度のガス球が,有限時間Ｔの後には中心の１点に崩壊することを示していると思われます。

今日は一応,これで中断します。

ここまでの話は,星の内部各点に固定された"共動座標の時間＝固有時間"をｔとして,これを中心とした見方をしてきましたが,次回は遠方の観測者から見た重力崩壊現象と,その観測者の座標系の時間などについて考察する予定です。

例えば光子に固定した質量のない仮想標準時計は,その光子と共にたとえ50光年離れた星で反射されて100年後に帰ってきても,全く時を刻まないはずですから,ある意味で高速物体に固定された"共動座標の時間＝固有時間"など実際の観測さえむずかしいような量には,物理としてどの程度興味を覚えるかは私自身も疑問ですね。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店),メラー著「相対性理論」(みすず書房)

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球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(4)

　球対称時空解の続きです。

　具体的に,真空中の重力場の方程式の球対称解を求めます。

再び,一般的な球対称時空の計量(metric):ｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)に戻ります。

Ｒ＝Ｒ(ｒ,ｔ)なので,ｄＲ＝(∂Ｒ /∂ｔ)ｄｔ＋(∂Ｒ /∂ｒ)ｄｒ＝Ｒ^dｄｔ＋Ｒ'ｄｒですが,特に,物質非存在の真空を対象とするような共動座標など考える必要のない静的な場合や,物質が存在しても定常な場合では,Ｒ^d＝∂Ｒ /∂ｔ＝0 です。

そこで,このときにはＲ＝Ｒ (ｒ),Ｒ'＝ｄＲ /ｄｒであってｄｒ＝Ｒ'^-1ｄＲとなりますから,これを代入すれば計量はｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－Ｒ'^-2exp(λ)ｄＲ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)となります。

そして,Ｒ'^-2exp(λ)を改めてexp(λ)と定義し直し,Ｒを単にｒと書くなら(あるいは,単にＲ＝Ｒ(ｒ)≡ｒとしてＲ'＝ｄＲ /ｄｒ＝1とするなら),さらにｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と簡単になります。

これは,これまで得られた重力場の方程式でＲ＝ｒとし,Ｒ'＝1,Ｒ"＝0 ,Ｒ^d＝Ｒ^2d＝0 とすることを意味します。

今,空間原点ｒ＝0 には物質やエネルギーの重力源が集中して存在しても,その点を除く位置(ｒ≠0 の領域)は物質のない真空であって,密度がρ＝0 ,圧力がＰ＝0 であり,それ故,そこではエネルギー運動量テンソルＴ^μν＝(Ｐ＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μνが全てゼロであるような場合を考えます。

このとき,ｒ≠0 のＴ^μν＝0 の領域での重力場の方程式は,Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝0 となります。

この方程式で,さらに定常:Ｒ^d＝λ^d＝ψ^d＝0 であって,Ｒ＝ｒとしてよい場合を考えると,先のゼロでない４つの成分に対する方程式:Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₁¹－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₂²－(1/2)Ｒ＝0 は,２つめの式が 0＝0 と自明な恒等式となって無意味です。

残りの３つには意味があって,(－1/ｒ²＋λ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 ,(－1/ｒ²－2ψ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 ,{－ψ"－ψ'²－ψ'(1/ｒ－λ'/2)＋λ'/(2ｒ)}exp(－λ)＝0 と簡単化された式になります。

前の２つの方程式からλ'＋2ψ'＝0 となりますが,これはλ＋2ψ＝(定数)を意味します。

そして,ｒ→ ∞では時空は平坦なはずなのでｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)における２つの係数は,exp(2ψ),exp(λ)→１,つまり,ψ,λ→ 0 となります。

それ故,λ＋2ψ→ 0となるのでλ＋2ψ＝(定数)の定数はゼロに等しく,λ＋2ψ＝0 が成立するはずです。

一方,(－1/ｒ²＋λ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 より,(1－ｒλ')exp(－λ)＝1,すなわちｄ(ｒexp(－λ))/ｄｒ＝1です。

そこで,Ｃを積分定数としてexp(－λ)＝1＋Ｃ/ｒ＝exp(2ψ)です。

ここで,前記事での等式exp(－λ)＝(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(Ｒ')²からの類推から,Ｃ＝－2ｍとおくと,結局exp(－λ)＝1－2ｍ/ｒ＝exp(2ψ)と書けます。

λ＝－ln(1－2ｍ/ｒ)＝ln(ｒ)－ln(ｒ－2ｍ)ですから,ｒで微分するとλ'＝1/ｒ－1/(ｒ－2ｍ)＝－2ψ',λ"＝－1/ｒ²＋1/(ｒ－2ｍ)²＝－2ψ"です。

λ＋2ψ＝0 より,重力場の３番目の方程式－ψ"－ψ'²－ψ'(1/ｒ －λ'/2)＋λ'/(2ｒ)＝0 で,ψ＝－λ/2を代入すれば,λ"－λ'²＋2λ'/ｒ＝0 が得られます。

左辺に,上で求めたλ'＝1/ｒ－1/(ｒ－2ｍ),λ"＝－1/ｒ²＋1/(ｒ－2ｍ)²を代入すると,これは確かにゼロになるので,１,２番目の連立方程式の解は３番目の方程式を満足します。

以上から,重力場の球対称な真空定常解を表現する解は,exp(－λ)＝1－2ｍ/ｒ＝exp(2ψ)によって与えられると考えられます。

これは元々の計量:ｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)が,ｄｓ²＝(1－2ｍ/ｒ)ｄｔ²－ｄｒ²/(1－2ｍ/ｒ)－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と表わされることを意味します。

この表現の解は,シュヴァルツシルトの(外部)解としてよく知られているものです。この計量が表わす時空をシュヴァルツシルト時空と呼びます。

次に動径Ｒ についてはＲ ＝ｒとしてＲ'＝1,Ｒ"＝0 ,Ｒ^d＝Ｒ^2d＝0 とすることができるけれど,Ｒ以外の変数の時間変化:λ^d,ψ^d etc.については,必ずしもゼロではない非定常な球対称真空解を求めることを考えてみます。

この場合,ゼロでない４つの方程式Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₁¹－(1/2)Ｒ＝0 ,Ｒ₂²－(1/2)Ｒ＝0 は,次のようになります。

(－1/ｒ²＋λ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 ,(－λ^d/ｒ) exp(－λ)＝0 ,{(－1/ｒ²－2ψ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 ,(λ^2d/2＋(λ^d/2)²－λ^dψ^d/2)exp(－2ψ)＋{－ψ"－ψ'²－ψ'(1/ｒ－λ'/2)＋λ'/(2ｒ)}exp(－λ)＝0 の４つです。

そして２番目の方程式(－λ^d/ｒ)exp(－λ)＝0 から,λ^d＝0 であることがわかります。

これを最後の４番目の方程式に代入すると,{－ψ"－ψ'²－ψ'(1/ｒ－λ'/2)＋λ'/(2ｒ)}exp(－λ)＝0 となります。

その結果,２番目以外の残る３つの方程式系は前の定常性を仮定した方程式系と全く一致します。

これは非定常真空解も,定常解である同じシュヴァルツシルト時空であることを意味しています。

これはバーコフの定理(Birkhoff's theorem)として,よく知られている事実です。

バーコフの定理は,"球対称の真空解は常に定常解であること,あるいは球対称に分布した物質が,たとえ動径方向に時間的に変化しても,球対称性を破ることがなくて星の総質量ｍが不変であれば,外場としての時空は定常なシュヴァルシルト時空であること,

そして,内部の時間変動によって重力波が発生したりすることなどはないこと”を意味しています。

なお,シュヴァルツシルトの(外部)解を自然単位から通常の単位に戻すのは,単に2ｍを2Ｇｍ/ｃ²とするだけですから,通常の単位での,シュヴァルツシルトの計量はｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝{1－2Ｇｍ/(ｃ²ｒ)}ｄｔ²－ｄｒ²/{1－2Ｇｍ/(ｃ²ｒ)}－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)となります。

続いて,球状の星の内側の場を表わす,定常な球対称内部解を求めることを考えます。

密度ρが一様であるような星を考えます。ρ＝一定なので,ｍ(ｒ)＝∫₀^r4πｒ²ρｄｒ＝4πρｒ³/3です。

そこで,exp(－λ)＝1－2ｍ/ｒ＝1－8πρｒ²/3,あるいは exp(λ)＝(1－2ｍ/ｒ)^-1＝(1－8πρｒ²/3)^-1ですね。

星の内部は真空ではなく,物質が存在するので,先に求めた真空の外部解に対応する表式:exp(－λ)＝1－2ｍ/ｒを星の内部に流用するのは適切ではないような気がします。

しかし,ｒよりも外側の物質質量の,半径ｒの位置での重力への寄与は,ニュートンの万有引力の場合と同様,球対称性の故に完全に相殺されてゼロとなり,この位置の重力への全ての寄与は外部が真空であるか否かに関わりなく,ｒの内部の質量ｍ(ｒ)のみであると考えられます。

そこで,依然として,シュヴァルツシルトの外部解の式が有効でありexp(－λ)＝1－2ｍ/ｒ＝1－8πρｒ²/3としてよいと思います。

もっとも,一般的な重力場の方程式は線型ではなく,もはや重ね合わせの原理は成立しないので,"全体の重力は,それを構成する部分の寄与の単純和で与えられる"という論理が,この場合にも適用可能かどうか,いささか自信がありませんが。。。

※ＰＳ:非線型で重ね合わせの原理が成立しないということは,グリーン関数が使えない,つまり,量子論だとファインマン・ダイアグラムの基になるファインマン伝播関数＝プロパゲータも使えなけりゃ,スペクトル展開もできません。。

もっとも普通の意味の摂動論からして成立しないでしょう。非線形だから級数展開が意味を持たないのはとても困ります。

数値計算に頼る他ない流体力学のナビエ・ストークス方程式などと同様,"重力場恐るべし"ということを再確認しましたね。。

今の球対称重力場の特別な場合は,ゼロでない４つの重力場の方程式のうち,最後の方程式以外は線型になっていて,シュヴァルツシルト外部解は線型方程式だけから導出されるのですが,それが最後の非線形な式λ"－λ'²＋2λ'/ｒ＝0 を満たすかどうかで解になるかどうかがテストされるわけです。

これ以外の方程式はλとexp(－λ)の両方について線型ですが,λ＝λ₁,λ＝λ₂が共にλ'の２次式であるλ"－λ'²＋2λ'/ｒ＝0 を満たすときに,λ≡λ₁＋λ₂も解であるならλ₁'λ₂'＝0 であるべきことがわかります。

ｒ→ ∞でexp(λ)→１すなわちλ→ 0 なる境界条件を無視すれば,λ₁'＝1/ｒ－1/(ｒ－2ｍ₁),λ₂'＝1/ｒ－1/(ｒ－2ｍ₂)より,？？？ ← 方程式が線型でないので当たり前ですね。

結局,非線形方程式を重ね合わせで説明するのは誤りで,導出の経過はどうあれ最終的に求められたものが解であるかどうかは方程式に代入してみて,それらの式が確かに満足されるかどうかだけで決まります。

球対称内部解が確かに解であることを確かめればいいのです。

とはいえ,ｍを定数と考える限り外部解が解であることは既にわかっていて,それはｍが定数なら一般解exp(－λ)＝1＋Ｃ/ｒ＝exp(2ψ)での積分定数ＣがＣ＝2ｍと置けることを保証しています。

しかし,ｍ ∝ｒ³の場合,exp(－λ)＝1－2ｍ/ｒ＝1－8πρｒ²/3の場合には真空中の定常解についての方程式(－1/ｒ²＋λ'/ｒ)exp(－λ)＋1/ｒ²＝0 ,すなわち1/ｒ²[1－(ｄ/ｄｒ){ｒexp(－λ)}]＝0 に対してλの一般解がexp(－λ)＝1＋Ｃ/ｒ＝exp(2ψ)で与えられるべきであるという真空解の条件が満足されません。

しかし,解の導出の途中過程で真空中の外部解に基づく考察がなされていても,最終的な球対称内部解は外部解が満たす真空中の方程式 1/ｒ²[1－(ｄ/ｄｒ){ｒexp(－λ)}]＝0 ではなく,もっと一般的なゼロでない密度ρに対する方程式 1/ｒ²[1－(ｄ/ｄｒ){ｒexp(－λ)}]＝8πρと等価なＴＯＶ方程式を満たすことがわかるので,これは解である要件を満足しています。(ＰＳ終わり)※

一方,以前,定常の場合,Ｄ_τＵ＝0 ,Ｕ＝Ｄ_τＲ ＝0 の場合には,一般的な運動方程式から,ＴＯＶ方程式(Tolman-Oppenheimer-Volkoff's equation):(∂Ｐ/∂Ｒ )_t＝－(ρ＋Ｐ)(ｍ＋4πＲ ³Ｐ)/{Ｒ ²(1－2ｍ/Ｒ )}が成立することを述べました。

これは今の場合には,－ｄＰ/ｄｒ＝4πｒ³(ρ/3＋Ｐ)(ρ＋Ｐ)/{ｒ²(1－8πρｒ²/3)},すなわち－ｄＰ/{(Ｐ＋ρ)(Ｐ＋ρ/3)}＝4πｒｄｒ/(1－8πρｒ²/3)の成立を意味します。

そこで,両辺を積分すると,{3/(2ρ)}ln{(Ｐ＋ρ)/(Ｐ＋ρ/3)}＝－{3/(4ρ)}ln(1－8πρｒ²/3)＋定数より(Ｐ＋ρ)/(3Ｐ＋ρ)＝Ａ/(1－8πρｒ²/3)^1/2となります。

これはｒ＝Ｒ_S(星の表面;Ｒ_Sは星の半径)で,圧力がゼロ(Ｐ＝0)という境界条件を与えると,Ａ＝(1－8πρＲ_S²/3)^1/2,or (Ｐ(ｒ)＋ρ)/(3Ｐ(ｒ)＋ρ)＝(1－8πρＲ_S²/3)^1/2/(1－8πρｒ²/3)^1/2となります。

そこで,この星の質量をＭとするとＭ＝ｍ(Ｒ_S)＝4πρＲ_S³/3なので,逆にρ＝3Ｍ/(4πＲ_S³)です。

したがって,Ｐ(ｒ)＝{3Ｍ/(4πＲ_S³)}[{(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2－(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2}/{(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2－3(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2}]を得ます。

ところで,ＴＯＶ方程式は,前の記事で時空連続体を完全流体と仮定し,一般の重力場の方程式Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝8πＴ_μ^νの右辺のエネルギー運動量テンソルＴ_μ^νが自然単位でＴ^μν＝(Ｐ＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μν (ｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄτ)なる形に表現される場合,

しかも,球対称である条件ｕ⁰＝ｄｘ⁰/ｄτ＝ｄｔ/ｄτ＝exp(－ψ),ｕ^k＝ｄｘ^k/ｄτ＝0 が満たされる場合の定常状態での解に対して得られたものです。

そして,一般にエネルギー運動量テンソルの保存則を示す条件式Ｔ_μ^ν_;ν＝0 は,Ｔ_μ^ν_;ν＝(－ｇ)^-1/2[∂{(－ｇ)^1/2Ｔ_μ^ν}/∂ｘ^ν]－(1/2)(∂ｇ_νλ/∂ｘ^μ)Ｔ^νλ＝0 と変形できます。

Ｔ₀⁰＝ρ,Ｔ₁¹＝Ｔ₂²＝Ｔ₃³＝－Ｐなので,それらは∂ρ/∂ｔ＋(ρ＋Ｐ)(λ^d/2＋2Ｒ ^d/Ｒ )＝0 ,∂ψ/∂ｒ＝－(∂Ｐ/∂ｒ)/(ρ＋Ｐ),∂Ｐ/∂θ＝∂Ｐ/∂φ＝0 の４つの式に帰することは既に見ました。

定常な星の内部解を求めている今の場合は,Ｐ＝Ｐ(ｒ)ですから,∂Ｐ/∂θ＝∂Ｐ/∂φ＝0 は最初から満たされていて,ρ＝一定であり,λ^d/2＝Ｒ ^d＝0 です。

そこで,∂ρ/∂ｔ＋(ρ＋Ｐ)(λ^d/2＋2Ｒ ^d/Ｒ )＝0 も自明ですから,意味のある式は,∂ψ/∂ｒ＝－(∂Ｐ/∂ｒ)/(ρ＋Ｐ)のみですが,これは今の場合にはｄψ/ｄｒ＝－(ｄＰ/ｄｒ)/(ρ＋Ｐ)です。

右辺にＴＯＶ方程式:－ｄＰ/ｄｒ＝4πｒ³(ρ/3＋Ｐ)(ρ＋Ｐ)/{ｒ²(1－8πρｒ²/3)}を代入すると,ｄψ/ｄｒ＝4πｒ(ρ/3＋Ｐ)/(1－8πρｒ²/3)ですから,ψ(ｒ)＝∫[4πｒ(ρ/3＋Ｐ)/(1－8πρｒ²/3)]ｄｒ＝4π∫ｒｄｒ(Ｐ＋ρ/3)/(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)]を得ます。

そこで,ｕ≡(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2,{Ｒ_S³/(2Ｍ)}ｕｄｕ＝－ｒｄｒと変数ｒをｕに置換し,(Ｐ＋ρ)/(3Ｐ＋ρ)＝Ａ/(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2,Ａ＝(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2から,(Ｐ＋ρ)/(3Ｐ＋ρ)＝1/3＋(2ρ/9)/(Ｐ＋ρ/3)＝Ａ/ｕによってＰ＋ρ/3＝(2ρ/3){ｕ/(3Ａ－ｕ)}とします。

ρ＝3Ｍ/(4πＲ_S³)より,ψ(ｒ)＝4π∫ｒｄｒ(Ｐ＋ρ/3)/(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)＝∫ｄｕ/(ｕ－3Ａ)＝ln|ｕ－3Ａ|＋定数と積分されます。

したがって,exp(2ψ)＝Ｂ[3(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2－(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2]²(Ｂは積分定数)ですが,ｒ＝Ｒ_Sでシュヴァルツシルトの外部解exp(2ψ)＝1－2Ｍ/Ｒ_Sに一致することを要求すれば,Ｂ＝1/4を得ます。

すなわち,exp(2ψ)＝(1/4)[3(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2－(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2]²＝exp(－λ)です。

こうして,exp(2ψ),exp(λ)の１つの解が得られましたが,これをシュヴァルツシルトの内部解と呼びます。

しかし,これが物理的に意味を持つ解であるためには,星の総質量Ｍと半径Ｒ_Sには,ある制限が付きます。

以下,これを説明します。

Ｐ(ｒ)＝{3Ｍ/(4πＲ_S³)}[{(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2－(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2}/{(1－2Ｍｒ²/Ｒ_S³)^1/2－3(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2}]において,ｒ＝0 として星の中心の圧力Ｐ(0)を求めると,Ｐ(0)＝{3Ｍ/(4πＲ_S³)}[{(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2－1}/{1－3(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2}]となります。

ここで,Ａ＝(1－2Ｍ/Ｒ_S)^1/2とおけば,これはＰ(0)＝{3Ｍ/(4πＲ_S³)}{(Ａ－1)/(1－3Ａ)}と書けます。

Ａの定義から明らかに,Ａ－1＜0 ですから,中心圧力Ｐ(0)が正の値であるためには,1－3Ａ＜0 が必要です。

つまり,合理的な中心圧力を得るには,9Ａ²＞1,すなわち 9Ｍ/4＜Ｒ_Sが必要になりますが,Ｍを通常単位のＧＭ/ｃ²に戻すと,これは 9ＧＭ/(4ｃ²)＜Ｒ_Sを意味します。

これがシュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つ解であるための条件であると考えられます。

これが満足されないなら,半径Ｍが連続的に増加してゆく途中で,ｒ＝0での星の中心圧力Ｐ(0)がどこかで∞になってしまうような非物理的閾値を通過すると思われるからです。

ところで,シュヴァルツシルト(外部)解:ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝{1－2Ｇｍ/(ｃ²ｒ)}ｄｔ²－ｄｒ²/{1－2Ｇｍ/(ｃ²ｒ)}－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)でｍを星の質量Ｍにすると,ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝{1－2ＧＭ/(ｃ²ｒ)}ｄｔ²－ｄｒ²/{1－2ＧＭ/(ｃ²ｒ)}－ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と書けます。

この表現では,1－2ＧＭ/(ｃ²ｒ)＝0 となる半径ｒ＝ｒ_g≡2ＧＭ/ｃ²に計量の分母がゼロになる特異点があるように見えます。このｒ_g≡2ＧＭ/ｃ²はシュヴァルツシルト半径と呼ばれています。

そこで,もし質量Ｍの星の半径Ｒ_Sがシュヴァルツシルト半径ｒ_gよりも小さい:Ｒ_S＜ｒ_gなら,星の外部の真空領域,半径がｒ＞Ｒ_Sの領域にｒ＜ｒ_gなるシュヴァルツシルト半径の内側が存在することになります。

このような星はブラックホールと呼ばれていて,シュヴァルツシルト半径ｒ＝ｒ_gにおける球面は光も脱出できない面なので事象の地平面と呼ばれます。

そして,星がブラックホールであるための条件は,Ｒ_S＜ｒ_g＝2ＧＭ/ｃ²,またはＭ＞ｃ²Ｒ_S/(2Ｇ)と書くことができます。

逆に半径Ｒ_Sが固定されているときの限界質量:ｃ²Ｒ_S/(2Ｇ)をＭ_gと書けば,同じブラックホールの条件は質量表現でＭ＞Ｍ_gと書けます。

一方,先に求めたシュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つ条件 9ＧＭ/(4ｃ²)＜Ｒ_Sは,ｒ_g,またはＭ_gを用いるとＲ_S＞(9/8)ｒ_g,またはＭ＜(8/9)Ｍ_gと書けます。

これらは,シュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つなら,この球対称星はブラックホールであるための条件を決して満足しないことを意味します。

こうしたシュヴァルツシルトの内部解が存在するための条件については,以前の2006年８/25の記事「ブラックホールの形成時間」にも証明抜きで書いています。

しかし,そもそもシュヴァルツシルトの内部解は,球対称な星で密度が一様であるとの理想化から求めた単なる１つの模型です。

上に述べたことが,実際に完全には球状でなく密度が一様でもない星を重力源とするような現実のブラックホールの存在を否定するわけではないと思います。

一応,今回のテーマについては,これで終わりにします。

続く記事の予定として,このテーマを自然に引き継ぐものとして,2006年８/25の「ブラックホールの形成時間」や2008年６/19の「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」の記事とも深く関連した重力崩壊についての初歩的な部分の計算,数値計算に頼らずともできる部分の考察に移行するか,

あるいは,自分でも完全には釈然としない一般相対論の時空多様体の幾何学の意味を通常の空間曲線や曲面の直感的で平易な概念と結びつけて物理的に解釈したり,

または擬リーマン多様体の微分幾何学を数学的に追求して,さらに接続概念やゲージ概念との関連を深めてゆくか？

今のところ迷っていますが,順番はどうあれ何も無ければ結局,全てをやることになりそうです。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(3)

　さて,準備が整ったので,アインシュタインの重力場の方程式:Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μν,κ＝8πＧ/ｃ⁴を解く作業に取り掛かります。

　この方程式に対して,Ｒ_μν≡0 のような自明な解ではなく,何か中心に星のような単一の重力源があると想定される場合の,実際に重要な意味のある球対称な解を求めます。

３次元空間の座標として極座標(ｒ,θ,φ)を用いることにします。ここでは,特に定常な時空を仮定せず,その場合も含んだ一般的な時間変化を許す球対称な時空を仮定します。

ただし,以下では簡単のために自然単位系ｃ＝Ｇ＝1を用いて計算し,解が得られてから,必要なら次元解析で元の単位に戻します。

このとき,自然単位系での球対称な時空の計量(metric)には,空間的に非対称なｄｒ,ｄθ,ｄφの積の項は現われず,また,時間微分ｄｔと空間の極座標の微分のクロス項としてはｄｔｄｒ項のみが存在すると想定されます。

したがって,初めからｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²＋2ａｄｔｄｒ－exp(λ)ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)なる形の計量を仮定します。ここに,ψ,ａ,λ,Ｒ はｒとｔのみの関数です。

(※(注)：動径を表わす文字としてはＲを使用したかったのですが,そうするとリッチテンソルＲ_μνやスカラー曲率Ｒなどと混同してしまいそうなので,ここではイタリック文字Ｒ を採用しました。太字なのでベクトルを表現していると思われるかも知れませんが,ベクトルを意味するものではありません。)

そして,さらにｄｔ'≡η{exp(2ψ)ｄｔ＋ａｄｒ}と置けば,これから{exp(2ψ)ｄｔ＋2ａｄｒ}ｄｔ＝exp(－2ψ)(η^-1ｄｔ'＋ａｄｒ)(η^-1ｄｔ'－ａｄｒ)＝η^-2exp(－2ψ)ｄｔ'²－ａ²exp(－2ψ)ｄｒ²となることがわかります。

そこで,ｄｓ²＝η^-2exp(－2ψ)ｄｔ'²－{ａ²exp(－2ψ)＋exp(λ)}ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と書けて,ｔとｒの非対角項であるｄｔとｄｒの積の項は除去されます。

それ故,改めてη^-2exp(－2ψ)をexp(2ψ)に,ｄｔ'をｄｔに,ａ²exp(－2ψ)＋exp(λ)をexp(λ)に定義し直すと,ｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)と簡単になります。

この最後の表現での計量テンソルｇ_μνのゼロでない成分は,ｇ₀₀＝exp(2ψ),ｇ₁₁＝－exp(λ),ｇ₂₂＝－Ｒ²,ｇ₃₃＝－Ｒ²sin²θのみです。

これから,ｇ_μνの逆行列である反変計量テンソルｇ^μνのゼロでない成分も,ｇ⁰⁰＝exp(－2ψ),ｇ¹¹＝－exp(－λ),ｇ²²＝－Ｒ^-2,ｇ³³＝－Ｒ^-2sin^-2θのみであることがわかります。

次にゼロでない接続係数Γを求めます。クリストッフェルの記号によるΓが,Γ^σ_μν＝(1/2)ｇ^σρ(ｇ_ρμ,ν＋ｇ_ρν,μ－ｇ_μν,ρ)で与えられることから,まず,Γ⁰₀₀＝(1/2)ｇ^0ρ(ｇ_ρ0,0＋ｇ_ρ0,0－ｇ_00,ρ)＝(1/2)ｇ⁰⁰ｇ_00,0＝(1/2)exp(－2ψ)2ψ^dexp(2ψ)＝ψ^dです。

ここで,時間ｔによる微分をψ^d≡ψ^dot≡∂ψ/∂ｔと表記しました。

以下,時間微分についてはψ^2d≡∂ψ^d/∂ｔ＝∂²ψ/∂ｔ² etc.と表記します。

また,Γ^k₀₀＝(1/2)ｇ^kρ(ｇ_ρ0,0＋ｇ_ρ0,0－ｇ_00,ρ)＝－(1/2)ｇ^kkｇ_00,kです。(ｋについて和を取りません。以下では特に断りませんので状況で判断してください。)

ｇ₀₀＝exp(2ψ)はｒとｔのみの関数なので,ｇ_00,kはｋ＝1以外ではゼロです。それ故,ゼロでないΓ^k₀₀はｋ＝1のΓ¹₀₀＝(1/2)exp(－λ){2ψ'exp(2ψ)}＝ψ'exp(2ψ－λ)のみです。

ここで,動径ｒによる微分をψ'≡∂ψ/∂ｒと表記しました。

以下,動径微分についてはψ^"≡∂ψ'/∂ｒ＝∂²ψ/∂ｒ² etc.と表記します。

Γ⁰_0k＝(1/2)ｇ⁰⁰ｇ_00,kより,この型でゼロでないのは,ｋ＝1のみでΓ⁰₀₁＝ψ'＝Γ⁰₁₀です。

また,Γ^l_0k＝(1/2)ｇ^llｇ_lk,0より,これはｌ＝ｋのときのみゼロではなくて,Γ^k_0k＝(1/2)ｇ^kkｇ_kk,0です。

具体的には,Γ¹₀₁＝λ^d/2＝Γ¹₁₀,Γ²₀₂＝Ｒ^d/Ｒ ＝Γ²₂₀,Γ³₀₃＝Ｒ^d/Ｒ ＝Γ³₃₀です。

Γ⁰_kl＝－(1/2)ｇ⁰⁰ｇ_kl,0より,この型もｌ＝ｋのときのみゼロでなくて,Γ⁰_kk＝－(1/2)ｇ⁰⁰ｇ_kk,0より,Γ⁰₁₁＝λ^dexp(λ－2ψ)/2,Γ⁰₂₂＝ＲＲ^dexp(－2ψ)/2,Γ⁰₃₃＝ＲＲ^dsin²θexp(－2ψ)/2です。

また,Γ^m_kl＝(1/2)ｇ^mm(ｇ_mk,l＋ｇ_ml,k－ｇ_kl,m)より,Γ¹_kl＝(1/2)ｇ¹¹(ｇ_1k,l＋ｇ_1l,k－ｇ_kl,1)ですが,この型でゼロでないのはΓ¹₁₁＝(1/2)ｇ¹¹ｇ_11,l＝λ'/2,Γ¹₂₂＝－(1/2)ｇ¹¹ｇ_22,l＝－ＲＲ'exp(－λ),Γ¹₃₃＝－(1/2)ｇ¹¹ｇ_33,l＝－ＲＲ'sin²θexp(－λ)です。

ｍ＝2,3についてゼロでないものは,Γ²₁₂＝(1/2)ｇ²²ｇ_22,1＝Ｒ'/Ｒ ＝Γ²₂₁,Γ³₁₃＝(1/2)ｇ³³ｇ_33,1＝Ｒ'/Ｒ ＝Γ³₃₁,Γ²₃₃＝－(1/2)ｇ²²ｇ_33,2＝－sinθcosθ,Γ³₂₃＝(1/2)ｇ³³ｇ_33,2＝cosθ/sinθ＝Γ³₃₂だけです。

以上から,リッチテンソルの成分Ｒ_μν＝Ｒ^ρ_μνρ＝∂Γ^ρ_μν/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_μρ/∂ｘ^ν＋Γ^λ_μνΓ^ρ_λρ－Γ^λ_μρΓ^ρ_λνが具体的に計算できます。

対角成分は,Ｒ₀₀＝∂Γ^ρ₀₀/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_0ρ/∂ｘ⁰＋Γ^λ₀₀Γ^ρ_λρ－Γ^λ_0ρΓ^ρ_λ0より,Ｒ₀₀＝(ψ"＋2ψ'²－ψ'λ')exp(2ψ－λ)－λ^2d/2－2Ｒ^2d/Ｒ ＋2(Ｒ^d/Ｒ )²＋ψ^dλ^d/2＋2ψ^dＲ^d/Ｒ ＋(－ψ'²＋ψ'λ'/2＋2ψ'Ｒ'/Ｒ )exp(2ψ－λ)－(λ^d/2)²－2(Ｒ^d/Ｒ )²＝－λ^2d/2－2Ｒ^2d/Ｒ －(λ^d/2)²＋ψ^dλ^d/2＋2ψ^dＲ^d/Ｒ ＋(ψ"＋ψ'²－ψ'λ'/2＋2ψ'Ｒ'/Ｒ )exp(2ψ－λ)です。

一方,Ｒ_kk＝∂Γ^ρ_kk/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_kρ/∂ｘ^k＋Γ^λ_kkΓ^ρ_λρ－Γ^λ_kρΓ^ρ_λkより,まずＲ₁₁＝{λ^2d/2＋(λ^d/2)²－ψ^dλ^d/2＋λ^dＲ^d/Ｒ }exp(λ－2ψ)－ψ"－ψ'²－2Ｒ"/Ｒ ＋ψ'λ'/2＋λ'Ｒ'/Ｒ となります。

そして,Ｒ₂₂＝{ＲＲ^2d＋(Ｒ^d)²＋ＲＲ^dλ^d/2－ＲＲ^dψ^d}exp(－2ψ)－(Ｒ'²＋ＲＲ"－Ｒ'λ'/2＋ＲＲ'ψ')exp(－λ)－1,Ｒ₃₃＝{ＲＲ^2d＋(Ｒ ^d)²＋ＲＲ^dλ^d/2－ＲＲ^dψ^d}sin²θexp(－2ψ)－(Ｒ'²＋ＲＲ"－ＲＲ'λ'/2＋ＲＲ'ψ')sin²θexp(－λ)－sin²θ＝sin²θＲ₂₂です。

非対角成分でゼロでないのは,Ｒ₀₁＝∂Γ^ρ₀₁/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_0ρ/∂ｘ¹＋Γ^λ₀₁Γ^ρ_λρ－Γ^λ_0ρΓ^ρ_λ1＝Ｒ₁₀のみで,Ｒ₀₁＝Ｒ₁₀＝－2Ｒ'^d/Ｒ ＋λ^dＲ'/Ｒ ＋2ψ'Ｒ^d/Ｒ です。

具体的な考察と計算から,その他の非対角成分は全てゼロであることがわかります。

また,スカラー曲率はＲ＝ｇ^μνＲ_μν＝{－λ^2d－(λ^d)²/2－4Ｒ^2d/Ｒ ＋2(Ｒ^d/Ｒ )²＋4ψ^dＲ^d/Ｒ －2Ｒ^dλ^d/Ｒ ＋ψ^dλ^d}exp(－2ψ)＋{2ψ"＋2ψ'²＋4Ｒ"/Ｒ ＋2(Ｒ'/Ｒ )²＋4ψ'Ｒ'/Ｒ －2Ｒ'λ'/Ｒ －ψ'λ'}exp(－λ)－2/Ｒ²と書けます。

ｃ＝Ｇ＝1の自然単位系での重力場の方程式:Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝8πＴ_μνを,第２項の係数ｇ_μνがクロネッカーのデルタになる便利な混合テンソル表式で書くと,Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝ｇ^νλＲ_μλ－(1/2)δ_μ^νＲ＝8πＴ_μ^νとなります。

具体的には,まずＲ₀⁰－(1/2)Ｒ＝exp(－2ψ)Ｒ₀₀－(1/2)Ｒ＝{－λ^2d/2－2Ｒ^2d/Ｒ －(λ^d/2)²＋ψ^dλ^d/2＋2ψ^dＲ^d/Ｒ }exp(－2ψ)＋(ψ"＋ψ'²－ψ'λ'/2＋2ψ'Ｒ'/Ｒ )exp(－λ)－{－λ^2d/2－(λ^d/2)²－2Ｒ^2d/Ｒ ＋(Ｒ^d/Ｒ )²＋2ψ^dＲ^d/Ｒ －λ^dＲ^d/Ｒ ＋ψ^dλ^d/2}exp(－2ψ)－{ψ"＋ψ'²＋2Ｒ"/Ｒ ＋(Ｒ'/Ｒ )²＋2ψ'Ｒ'/Ｒ －λ'Ｒ'/Ｒ －ψ'λ'/2}exp(－λ)＋1/Ｒ²＝{λ^dＲ^d/Ｒ ＋(Ｒ^d/Ｒ )²}exp(－2ψ)＋{－2Ｒ"/Ｒ －(Ｒ'/Ｒ )²＋λ'Ｒ'/Ｒ }exp(－λ)＋1/Ｒ²です。

同様に,Ｒ₀¹－(1/2)δ₀¹Ｒ＝Ｒ₀¹＝－exp(－λ)Ｒ₀₁＝{2Ｒ'^d/Ｒ －λ^dＲ'/Ｒ －2ψ'Ｒ^d/Ｒ }exp(－λ)です。

Ｒ₁¹－(1/2)Ｒ＝－exp(－λ)Ｒ₁₁－(1/2)Ｒ＝{2Ｒ^2d/Ｒ ＋(Ｒ^d/Ｒ )²－2ψ^dＲ^d/Ｒ }exp(－2ψ)＋{－(Ｒ'/Ｒ )²－2ψ'Ｒ'/Ｒ }exp(－λ)＋1/Ｒ²,さらに,Ｒ₃₃＝sin²θＲ₂₂なのでＲ₂²－(1/2)Ｒ＝－Ｒ^-2Ｒ₂₂－(1/2)Ｒ＝Ｒ₃³－(1/2)Ｒ＝－Ｒ^-2sin^-2θＲ₃₃－(1/2)Ｒ＝{λ^2d/2＋(λ^d/2)²＋2Ｒ ^2d/Ｒ －λ^dψ^d/2－ψ^dＲ^d/Ｒ ＋λ^dＲ^d/(2Ｒ )}exp(－2ψ)＋{－ψ"－ψ'²－Ｒ"/Ｒ －ψ'(Ｒ'/Ｒ －λ'/2)＋λ'Ｒ'/(2Ｒ )}exp(－λ)です。

これ以外のＲ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲは全てゼロです。

よって,重力場の方程式:Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝8πＴ_μ^νの自明でない成分は,Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀⁰,Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀¹ (Ｒ₁⁰－(1/2)Ｒ＝8πＴ₁⁰),Ｒ₁¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₁¹,Ｒ₂²－(1/2)Ｒ＝8πＴ₂²,Ｒ₃³－(1/2)Ｒ＝8πＴ₃³です。

ただし,球対称解ではＲ₂²－(1/2)Ｒ＝Ｒ₃³－(1/2)ＲなのでＴ₂²＝Ｔ₃³であることが必要です。そして最後の２式は同じ１つの方程式になるはずです。

そこで,Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ＝8πＴ_μ^νの右辺のエネルギー運動量テンソルＴ_μ^νの具体的な形は,時空を連続体としたときの一般的な自然単位での完全流体の表現:Ｔ^μν＝(Ｐ＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μν (ｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄτ)であると仮定します。

計量がｄｓ²＝exp(2ψ)ｄｔ²－exp(λ)ｄｒ²－Ｒ²(ｄθ²＋sin²θｄφ²)で与えられる時空で,重力源のエネルギー運動量テンソルＴ_μ^νを与えるものとしての"宇宙の構成物体＝完全流体"が静止しているような座標系を想定します。

そうした準拠系ではｄｒ＝ｄθ＝ｄφ＝0 であり,自然単位ではｃ＝1よりｄτ＝ｄｓ＝exp(ψ)ｄｔなので,ｕ⁰＝ｄｘ⁰/ｄτ＝ｄｔ/ｄτ＝exp(－ψ),ｕ^k＝0 です。

そこで,この系ではｕ^k＝0 によって,エネルギー運動量テンソルＴ^μνの非対角成分は全てゼロです。対角成分はＴ⁰⁰＝ρexp(－2ψ),Ｔ¹¹＝Ｐexp(－λ),Ｔ²²＝ＰＲ^-2,Ｔ³³＝ＰＲ^-2sin^-2θで与えられます。

これからＴ₀⁰＝ρ,Ｔ₁¹＝Ｔ₂²＝Ｔ₃³＝－Ｐが得られます。そこで球対称時空解の必要条件であるＴ₂²＝Ｔ₃³は確かに満たされています。

そして,これらがエネルギー運動量テンソルの保存則を満たすべきである,という共変微分による条件式Ｔ_μ^ν_;ν＝0 は,Ｔ_μ^ν_;ν＝(－ｇ)^-1/2[∂{(－ｇ)^1/2Ｔ_μ^ν}/∂ｘ^ν]－(1/2)(∂ｇ_νλ/∂ｘ^μ)Ｔ^νλ＝0 と書き直せます。

ここで,ｇは行列式:ｇ＝det(ｇ_μν)で,今の場合は(－ｇ)^1/2＝exp(ψ＋λ/2)Ｒ²sinθです。

そこで,まず,μ＝0 に対してはＴ₀^ν_;ν＝exp(－ψ－λ/2)Ｒ^-2sin^-1θ[∂{ρexp(ψ＋λ/2)Ｒ²sinθ}/∂ｔ]－(1/2)(∂ｇ₀₀/∂ｘ⁰)Ｔ⁰⁰－(1/2)(∂ｇ₁₁/∂ｘ⁰)Ｔ¹¹－(1/2)(∂ｇ₂₂/∂ｘ⁰)Ｔ²²－(1/2)(∂ｇ₃₃/∂ｘ⁰)Ｔ³³＝0 です。

ｇ₀₀＝exp(2ψ),ｇ₁₁＝－exp(λ),ｇ₂₂＝－Ｒ²,ｇ₃₃＝－Ｒ²sin²θにより,これは∂ρ/∂ｔ＋(ρ＋Ｐ)(λ^d/2＋2Ｒ^d/Ｒ )＝0 を意味します。

以下,詳細は省略しますが,Ｔ₁^ν_;ν＝0 (μ＝1)より∂Ｐ/∂ｒ＋(ρ＋Ｐ)(∂ψ/∂ｒ)＝0 ,または∂ψ/∂ｒ＝－(∂Ｐ/∂ｒ)/(ρ＋Ｐ)が成立します。

また,Ｔ₂^ν_;ν＝0 (μ＝2)からは∂Ｐ/∂θ＝0 ,Ｔ₃^ν_;ν＝0 (μ＝3)からは∂Ｐ/∂φ＝0 が得られます。

これら∂Ｐ/∂θ＝0 ,∂Ｐ/∂φ＝0 は,圧力Ｐが球対称でｒ,ｔのみの関数であることを意味しており,∂ρ/∂ｔ＋(ρ＋Ｐ)(λ^d/2＋2Ｒ^d/Ｒ )＝0 ,および∂ψ/∂ｒ＝－(∂Ｐ/∂ｒ)/(ρ＋Ｐ)から,ρもまたｒ,ｔのみの関数であることがわかります。

さらに,ここでは時空を連続体,それも巨視的な流体と見たエネルギー運動量テンソルを論じており,密度ρや圧力Ｐなどの量は時空を構成する莫大な個数の原子や分子などの微視的粒子の集まりの巨視的な統計的平均値で与えられます。

一般に重力とは別の理由で,ρとＰは独立ではなく,Ｐ＝ｆ(ρ,Ｔ)なる形のＰとρを関係付ける状態方程式があると考えられます。

ここで,Ｔは絶対温度です。例えば分子量がＭの理想気体なら状態方程式は,Ｐ＝ρＲＴ/Ｍです。しかし,より正確には状態方程式は,Ｐ＝ｆ(ρ,Ｔ)という単純な形ではなく右辺の関数はρ,Ｔ以外の引数をも含むと思われます。

保存則Ｔ_μ^ν_;ν＝0 は,重力場が(Ｒ_μ^ν－(1/2)δ_μ^νＲ)_;ν＝0 を満たすことを要求するので,先に求めた連立方程式の４つ:Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀⁰,Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀¹,Ｒ₁¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₁¹,Ｒ₂²－(1/2)Ｒ＝8πＴ₂²も,全てが独立ではないと考えられます。

また,状態方程式も重力場を規定すると思われます。

今,考えている局所的な時空の領域で重力源となる主要なエネルギー運動量テンソルを与える流体が静止しているとしましたが,そもそもテンソル方程式は座標系の取り方に依存しないはずなので,流体が運動していると見える場合にも流体と共に運動する座標系を取れば,この系では常に流体は静止していてエネルギー運動量テンソルはやはり対角成分のみとなります。

このような座標系は共動座標系と呼ばれています。したがって,球対称な時空を考えている今の問題では流体物質の運動も球対称なので座標ｒ,θ,φは共動座標系のそれとみなしてよいと考えられます。

共動座標系に乗った観測者の固有時間τはｄτ²＝exp(2ψ)ｄｔ²によって,ｄτ＝exp(ψ)ｄｔで与えられます。

特にτによる偏微分をＤ_τなる記号で表わすことにします。

例えばＲ＝Ｒ (ｒ,ｔ)のτによる偏微分はＤ_τＲ ですが,これは動径の速度に相当するので,これを記号Ｕで表現すると,Ｕ≡Ｄ_τＲ ≡∂Ｒ /∂τ＝exp(－ψ)Ｒ^dです。このＵをさらにｒで偏微分すると,Ｕ'＝exp(－ψ)(Ｒ'^d－ψ'Ｒ^d)となります。

ここで,唯一の非対角部分の方程式:Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀¹に着目すると,これの陽な形は 2Ｒ'^d/Ｒ －λ^dＲ'/Ｒ －2ψ'Ｒ^d/Ｒ ＝0 です。

これをλ^dについて解くと,λ^d＝2(Ｒ'^d－ψ'Ｒ^d)/Ｒ'となりますが,さらに両辺にexp(－ψ)を掛けるとexp(－ψ)λ^d＝Ｄ_τλ＝∂λ/∂τ＝2exp(－ψ)(Ｒ'^d－ψ'Ｒ^d)/Ｒ'＝2Ｕ'/Ｒ'なる表式が得られます。

さらに,Ｕ'/Ｒ'はＵ'/Ｒ'＝(∂Ｕ/∂ｒ)/(∂Ｒ /∂ｒ)＝(∂Ｕ/∂Ｒ )_tと変形できますから,結局,方程式Ｒ₀¹－(1/2)Ｒ＝8πＴ₀¹は,Ｄ_τλ＝2(∂Ｕ/∂Ｒ )_tなる関係式を意味することがわかります。

一方,8πＴ₀⁰＝Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒは,8πρ＝{λ^dＲ^d/Ｒ ＋(Ｒ^d/Ｒ )²}exp(－2ψ)＋{－2Ｒ"/Ｒ －(Ｒ'/Ｒ )²＋λ'Ｒ'/Ｒ }exp(－λ)＋1/Ｒ ²と書けます。

ところが,λ^dＲ^dexp(－2ψ)＝exp(－ψ)Ｒ^dexp(－ψ)λ^d＝Ｄ_τＲ Ｄ_τλ＝2Ｕ(∂Ｕ/∂Ｒ )＝∂Ｕ²/∂Ｒ ですから,これは8πρＲ ²＝1＋Ｕ²＋Ｒ (∂Ｕ²/∂Ｒ )－{2ＲＲ"＋(Ｒ')²}exp(－λ)－ＲＲ'{exp(－λ)}'となります。

この式はexp(－λ)を未知関数とする１階線型微分方程式と見ることができます。

そして,ｒ＝0 空間原点近傍でも局所的に平坦であると見なせるので,原点を回る円周の長さを2πΔＲ とすると,この円の動径はΔＲ ＝(∂Ｒ /∂ｒ)Δｒ＝(－ｇ₁₁)^1/2Δｒ＝exp(λ/2)Δｒで与えられますから,ｒ→ 0 ではexp(λ)＝(∂Ｒ /∂ｒ)²と考えられます。

そこで,exp(λ)≡(∂Ｒ /∂ｒ)²[1/{1＋ｆ(ｒ,ｔ)}]＝(Ｒ')²/(1＋ｆ)と置くと exp(－λ)＝(Ｒ')^-2(1＋ｆ),{exp(－λ)}'＝－2Ｒ"(Ｒ')^-3(1＋ｆ)＋(Ｒ')^-2ｆ'となります。

8πρＲ²＝1＋Ｕ²＋Ｒ (∂Ｕ²/∂Ｒ )－{2ＲＲ"＋(Ｒ')²}exp(－λ)－ＲＲ'{exp(－λ)}'に,これらを代入すると,8πρＲ²＝1＋Ｕ²＋Ｒ(∂Ｕ²/∂Ｒ )－{2ＲＲ"/(Ｒ')²＋1}(1＋ｆ)＋{2ＲＲ"/(Ｒ')²}(1＋ｆ)－Ｒ ｆ'/Ｒ'＝Ｕ²＋Ｒ (∂Ｕ²/∂Ｒ )－{ｆ＋Ｒ (∂ｆ/∂Ｒ )}＝∂(Ｒ Ｕ²－Ｒ ｆ)/∂Ｒ となります。

そこで,結局,8πＴ₀⁰＝Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒは,8πＲ²ρ＝∂{Ｒ (Ｕ²－ｆ)}/∂Ｒ ,あるいはＲ (Ｕ²－ｆ)＝2∫₀^Ｒ 4πρξ²ｄξなる等式を意味することになります。

この定積分表示は,左辺がＲ ＝0 でゼロなので成立するわけです。

そして,動径Ｒ はｒ,ｔのみの関数:Ｒ＝Ｒ (ｒ,ｔ)なので,ｍ≡∫₀^Ｒ 4πρξ ²ｄξと定義すると,ｍもｒ,ｔの関数:ｍ＝ｍ(ｒ,ｔ)であることがわかり,結局,Ｒ (Ｕ²－ｆ)＝2ｍ,よりｆ＝Ｕ²－2ｍ/Ｒ が得られてｆの形が決まります。

そして,ｍ＝∫₀^Ｒ 4πρξ²ｄξなる表式はｍ|_{Ｒ =0} ,かつ(∂ｍ/∂Ｒ )_t＝4πＲ²ρと表現することもできます。

こうして,exp(λ)＝(Ｒ')²/(1＋ｆ)で定義されたｆが決まったので,代入するとexp(λ)＝(Ｒ')²/(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ ),あるいはexp(－λ)＝(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(Ｒ')²が得られます。

さらに,8πＴ₀⁰＝Ｒ₀⁰－(1/2)Ｒより,8πＲ²ρ＝{Ｒ λ^dＲ^d ＋(Ｒ^d)²}exp(－2ψ)＋{－2ＲＲ"－(Ｒ')²＋ＲＲ'λ'}exp(－λ)＋1,および8πＴ₁¹＝Ｒ₁¹－(1/2)Ｒより,8πＲ²Ｐ＝{2ＲＲ^2d＋(Ｒ^d)²－2ＲＲ^dψ^d}exp(－2ψ)＋{－(Ｒ')²－2ＲＲ'ψ'}exp(－λ)＋1,が成立します。

これらを,辺々加えて２で割れば,4πＲ²(ρ－Ｐ)＝{(Ｒ^d)²＋Ｒλ^dＲ^d /2＋ＲＲ^2d－ＲＲ^dψ^d}＋exp(－2ψ)－{(Ｒ')²＋ＲＲ"－ＲＲ'λ'/2＋ＲＲ'ψ'}exp(－λ)＋1＝1＋Ｕ²＋Ｒ(∂Ｕ²/∂Ｒ )/2＋Ｒ exp(－ψ)[∂{exp(－ψ)Ｒ ^d}/∂τ]－exp(－λ/2)[∂{exp(－λ/2)ＲＲ'}/∂ｒ]－exp(－λ)ＲＲ'ψ'を得ます。

ところが既に示したように,exp(－λ)＝(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(Ｒ')²ですから,exp(λ/2)＝(∂Ｒ /∂ｒ)(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^-1/2です。

つまり,exp(λ/2)ｄｒ＝ｄＲ (1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^-1/2と書けるので,exp(－λ/2)(∂/∂ｒ)＝(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^1/2(∂/∂Ｒ ),あるいはexp(－λ/2)Ｒ ^'＝(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^1/2です。

また,ψ'＝∂ψ/∂ｒ＝－(∂Ｐ/∂ｒ)/(ρ＋Ｐ),そしてＤ_τＵ＝exp(－ψ)Ｕ^d＝exp(－ψ)[∂{exp(－ψ)Ｒ ^d}/∂τ]です。

したがって,先の方程式は4πＲ²(ρ－Ｐ)＝1＋Ｕ²＋(1/2)Ｒ(∂Ｕ²/∂Ｒ )＋ＲＤ_τＵ－(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^1/2(∂/∂Ｒ){Ｒ(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )^1/2}＋{Ｒ (1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(ρ＋Ｐ)}(∂Ｐ/∂Ｒ )_t＝ＲＤ_τＵ＋{Ｒ (1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(ρ＋Ｐ)}(∂Ｐ/∂Ｒ ) _t＋1＋Ｕ²＋Ｒ(∂Ｕ²/∂Ｒ )/2－(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )－(1/2)Ｒ{(∂Ｕ²/∂Ｒ )＋2ｍ/Ｒ ²－8πＲ ρ}と簡単になります。

結局,最終的な方程式として,Ｄ_τＵ＝－{(1＋Ｕ²－2ｍ/Ｒ )/(ρ＋Ｐ)}(∂Ｐ/∂Ｒ )_t－(ｍ＋4πＲ³Ｐ)/Ｒ²}なる式を得ます。

これは,一般相対論における球対称時空での完全流体の運動方程式を表わしていると考えられます。

実際,この方程式においてＵ²＜＜1,2ｍ/Ｒ ＜＜1,Ｐ＜＜ρの極限を取れば,∂ｕ/∂ｔ＝－(1/ρ)(∂Ｐ/∂Ｒ )－ｍ/Ｒ²が得られます。

これはｃ＝Ｇ＝1の自然単位から通常の単位に戻せば,∂ｕ/∂ｔ＝－∇Ｐ/ρ－Ｇｍ/ｒ ²となります。

つまり,この近似では方程式は,原点に大きさｍの質量がある場合のニュートンの万有引力の場の中での密度ρの完全流体の運動方程式であるオイラーの方程式に一致しています。

なお,定常の場合,すなわち,Ｄ_τＵ＝0 ,Ｕ＝Ｄ_τＲ ＝0 の場合には,一般的な運動方程式から,(∂Ｐ/∂Ｒ )_t＝－(ρ＋Ｐ)(ｍ＋4πＲ³Ｐ)/{Ｒ ²(1－2ｍ/Ｒ )}なる式を得ます。

これをＴＯＶ方程式(Tolman-Oppenheimer-Volkoff's equation)と呼びます。

ＴＯＶ方程式は,通常の単位では(∂Ｐ/∂Ｒ )_t＝－(ρ＋Ｐ/ｃ²)(Ｇｍ＋4πＧＲ³Ｐ/ｃ²)/{Ｒ²(1－2Ｇｍ/ｃ²Ｒ )}と書けます。

これは後で内部解を求めるときにも使用する予定です。

今日はここまでにします。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(2)

　前回は,捩率がゼロのＬｅｖｉ－Ｃｉｖｉｔａ接続の接続係数Γをクリストッフェル記号(Christoffelの記号)として表現したところで終わりました。

今回はまず,これらの接続係数によって,リーマンの曲率テンソル(Riemannian curvature)を定義します。

クリストッフェル記号から１つの(1,3)型の混合テンソル:Ｒ^ρ_σμν≡∂Γ^ρ_σμ/∂ｘ^ν－∂Γ^ρ_σν/∂ｘ^μ＋Γ^λ_σμΓ^ρ_λν－Γ^λ_σνΓ^ρ_λμを作ります。

これを.リーマンの曲率テンソルと呼びます。

この曲率テンソルは,Ｒ_λμνρ≡ｇ_λσＲ^σ_μνρなる共変表現では,対称テンソル,および反対称テンソルの性質:Ｒ_λμνρ＝Ｒ_νρλμ,およびＲ_λμνρ＝－Ｒ_μλνρ＝－Ｒ_λμρν＝Ｒ_μλρνを有します。

また,Ｒ_λμνρ＋Ｒ_λρμν＋Ｒ_λνρμ＝0 なる巡回対称性を持っています。

さらに共変微分と関連した性質として,ビアンキ(Bianki)の恒等式と呼ばれる恒等式:Ｒ^α_βμν;λ＋Ｒ^α_βνλ;μ＋Ｒ^α_βλμ;ν＝0 を満足します。

時空多様体上の任意の点Ｐを起点とする微小な四辺形ＰＱＲＳの頂点Ｐ,Ｑ,Ｒ,Ｓの座標をそれぞれｘ^μ,ｘ^μ＋ｄｘ^μ,ｘ^μ＋ｄｘ^μ＋Δｘ^μ,ｘ^μ＋Δｘ^μとします。

点Ｐから四辺形ＰＱＲＳの辺に沿って,Ｐ→Ｑ→Ｒ,およびＰ→Ｓ→Ｒの異なる２つの道筋で移動するとき,任意の微分可能なベクトル場Ａ_μ(ｘ)のＡ_μ(Ｐ)からの変化分を,それぞれΔＡ_μ(ＰＱＲ),およびΔＡ_μ(ＰＳＲ)と書いて,それらの差を計算します。

これは,ΔＡ_μ(ＰＱＲ)－ΔＡ_μ(ＰＳＲ)＝(∂Γ^ρ_σμ/∂ｘ^ν－∂Γ^ρ_σν/∂ｘ^μ＋Γ^λ_σμΓ^ρ_λν－Γ^λ_σνΓ^ρ_λμ)Ａ_ρｄｘ^μΔｘ^ν＝Ｒ^ρ_σμνＡ_ρｄｘ^μΔｘ^νとなります。 

例えば,Ａ_μ(Ｑ)＝Ａ_μ(Ｐ)＋Γ^ρ_μν(Ｐ)Ａ_ρ(Ｐ)ｄｘ^νなので,ΔＡ_μ(ＰＱＲ)＝Γ^ρ_μλ(Ｐ)Ａ_ρ(Ｐ)ｄｘ^λ＋Γ^ρ_μν(Ｑ)Ａ_ρ(Ｑ)Δｘ^ν＝Γ^ρ_μλ(Ｐ)Ａ_ρ(Ｐ)ｄｘ^λ＋{Γ^ρ_μν(Ｐ)＋(∂Γ^ρ_μν/∂ｘ^λ)ｄｘ^λ}{Ａ_ρ(Ｐ)＋Γ^σ_ρλ(Ｐ)Ａ_σ(Ｐ)ｄｘ^λ}Δｘ^νです。

そこで,曲率テンソルＲ^ρ_σμνというのは,"閉曲線＝微小四辺形"の囲む面積がゼロの極限での,上記のＡ_μの経路による差の比率を{ΔＡ_μ(ＰＱＲ)－ΔＡ_μ(ＰＳＲ)}/(ｄｘ^μΔｘ^ν)＝Ｒ^ρ_σμνＡ_ρによって表現する際の係数と解釈されます。 

※(注):ここでは,"重力場の方程式を解く"という本題の説明を急ぐため,曲率の意味などの説明を最小限に留めました。

しかし,ここで述べた接続や曲率等の２次元や３次元での初等幾何学における直感的な概念との関連や,多様体の上の微分幾何学でのアファイン接続(アフィン接続)との関連の話などは後に独立なブログ記事として詳述する予定です。※

そして,曲率テンソルを縮約して得られる２階共変テンソルＲ_μν≡Ｒ^ρ_μνρ＝－Ｒ^ρ_μρν＝∂Γ^ρ_μν/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_μρ/∂ｘ^ν＋Γ^λ_μνΓ^ρ_λρ－Γ^λ_μρΓ^ρ_λνをリッチテンソル(Ricci tensor)と呼びます。

これの右辺の第１,２項は,∂Γ^ρ_μρ/∂ｘ^ν＝(1/2)∂_ν(ｇ^λρ∂_μｇ_λρ)＝∂_μ∂_νln{(－ｇ)^1/2}(ｇ＝det(ｇ_μν))と表わせるので,Ｒ_νμ＝Ｒ_μνが成立します。すなわち,Ｒ_μνは対称テンソルです。

また,Ｒ_μνをさらに縮約したＲ＝ｇ^μνＲ_μνをスカラー曲率と呼びます。

次に,重力場ｇ_μνの下での粒子の運動方程式を求めます。

粒子に働く力が重力だけの場合には,重力に従って自由落下する系として局所ローレンツ系(局所慣性系)を取ることができます。

この系では,どんな自由粒子も系と共に自由落下するわけですから,この系を基準にすると,無重力の慣性運動です。

粒子の時空座標をｘ^μとして,対応する局所ローレンツ系(局所慣性系)での同じ位置の座標をＸ^μとすると,λを任意パラメータとして粒子の軌道はｘ^μ＝ｘ^μ(λ),あるいはＸ^μ＝Ｘ^μ(λ)で表現されます。

そうした軌道を解として与える運動方程式は,局所慣性系では無重力故,ｄ²Ｘ^μ/ｄλ²＝0 と書けます。

この方程式に,粒子の質量パラメータｍが入ってないことは,"自由重力運動は(慣性)質量には無関係である"というガリレイ以来の等価原理を示しています。

さて,Ｘ^μはｘ^μの関数であること,つまりＸ^μ＝ｆ^μ(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)なる形式で表わされることを考えると,ｄＸ^μ/ｄλ＝(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)(ｄｘ^ν/ｄλ)となります。

それ故,ｄ²Ｘ^μ/ｄλ²＝0 は(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)(ｄ²ｘ^ν/ｄλ²)＋(∂²Ｘ^μ/∂ｘ^σ∂ｘ^ν)(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 に帰着します。

さらに両辺に(∂ｘ^ρ/∂Ｘ^μ)を掛けてμで縮約すると,結局ｄ²ｘ^ρ/ｄλ²＋(∂ｘ^ρ/∂Ｘ^μ)(∂²Ｘ^μ/∂ｘ^σ∂ｘ^ν)(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 なる方程式が得られます。

ところが,前に記述したように,座標変換に際して接続係数Γは等式Γ'^δ_μν＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ)(∂ｘ^σ/∂ｘ'^ν)(∂ｘ'^δ/∂ｘ^ε)Γ^ε_ρσ＋(∂ｘ'^δ/∂ｘ^ρ)(∂²ｘ^ρ/∂ｘ'^μ∂ｘ'^ν)を満たします。

この式で,ｘをＸに置き換えると,局所ローレンツ系では無重力故Γ＝0 ですから,Γ'^δ_μν＝(∂ｘ'^δ/∂Ｘ^ρ)(∂²Ｘ^ρ/∂ｘ'^μ∂ｘ'^ν)となります。

さらに,ｘ',Γ'をそれぞれｘ,Γに書き直せば,Γ^δ_μν＝(∂ｘ^δ/∂Ｘ^ρ)(∂²Ｘ^ρ/∂ｘ^μ∂ｘ^ν)となって,局所ローレンツ系の座標を用いた接続係数の表現を得ます。

そこで,(∂ｘ^ρ/∂Ｘ^μ)(∂²Ｘ^μ/∂ｘ^σ∂ｘ^ν)＝Γ^ρ_σνなる式を用いれば,上記のｘ^μ＝ｘ^μ(λ)に対する方程式がｄ²ｘ^ρ/ｄλ²＋Γ^ρ_σν(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 となることがわかります。

以上の変形の途中では,ｄ²Ｘ^μ/ｄλ²＝0 の左辺が反変ベクトルであるという性質が常に保持されていますから,この方程式は確かに相対性原理から要求されるテンソル方程式の形をしています。

直感的な見方では,局所系Ｘ^μ＝Ｘ^μ(λ)は粒子に固定されて共に自由落下する座標系であるため,粒子は無重力と感じて慣性の法則ｄ²Ｘ^μ/ｄλ²＝0 を満たいますが,一般の加速系ｘ^μ＝ｘ^μ(λ)から見ると,ｄ²ｘ^ρ/ｄλ²＋Γ^ρ_σν(ｄｘ^ν/ｄλ)(ｄｘ^σ/ｄλ)＝0 の左辺第２項に見られるような見かけの重力(＝慣性力)が出現したと解釈されます。

仮に"接続係数＝クリストッフェル記号":Γがテンソルであったなら,ある座標系で恒等的にΓ≡0 であるという無重力の性質は,一般座標変換でどのような座標系から見ても保持されるわけです。

そうであれば,何らかの加速系に移ってもゼロと異なる重力が出現することは有り得ないわけですが,実は"Γがテンソルでないおかげで"ゼロでない重力が出現したと見ることができます。

余談ですが,かつて15年以上も前に,ニフティのパソコン通信のフォーラムで,"永久重力(Ｒ≠0)も非永久重力(Ｒ＝0 の慣性力)も共に一般相対性理論の対象であり,特別に区別する必要はない"という内容の私を含む数人の主張と次の主張が対立したことがありました。

"一般相対性理論というのは曲率Ｒがゼロでない,いわゆる永久重力場についてのみ論じるべきものである。

曲率Ｒがゼロであって局所的ではなく大域的にも重力を消せるような非永久重力場,つまり見かけの重力場などは座標系をうまく選べば,重力が消せるのだから,別に一般相対性理論の対象ではなく特殊相対性理論の対象であり,明確に区別されるべきだ。

例えばリンドラー時空などは,実は時空としての構造は特殊相対論の時空と同じなのでミンコフスキー時空と呼ぶべきである。"

というものです。結局は平行線をたどったものでした。

もっとも,リンドラー時空をミンコフスキー時空と呼ぶべきであるという主張については,言葉の定義の問題なので意見は割れましたが。。

相対論関連では,このテーマは"双子のパラドックス"と並んで,何度も現われたトピックスでした。

その頃,私が主張したかったのは,

"曲率Ｒがゼロか否かというのは時空を平坦と見なせるのが,大域的であるかそれとも局所的であるかということ(あるいは潮汐力の有無)と関わっているだけで,理論に付随した１つの重要な幾何学的性質であることは間違いないが,一般相対論にとっては何ら本質的なことではない。

むしろ,歴史的に見ても平坦な時空から加速系に移ったときに現われる"見掛けの重力＝慣性力"を見掛けではなく,"永久重力＝真の重力"と同一視して区別しないことこそが本質的で,これは等価原理の発想そのものである。

逆に,一般相対論の思想のエッセンスである。"

という内容のことでした。

議論すればするほど,双方の認識に大した差はないことがわかって,私自身の理解も深まってゆきました。

すれ違いの原因は,何を本質的と考えるのか？という水掛け論だったのかもしれません。

ちょっと脱線しましたが本題に戻ります。

粒子の軌道:ｘ^μ＝ｘ^μ(λ)の接ベクトルはｕ^μ＝ｄｘ^μ/ｄλですが,一般にはｕ^μをＰ(ｘ^μ)からＱ(ｘ^μ＋ｄｘ^μ)まで平行移動しても,それはＱ点での接ベクトルと一致しません。

しかし,特に移動に伴なって接ベクトルが一致するような道筋を測地線といいます。

Ａ^μの共変微分による平行移動はＤＡ^μ＝(∂Ａ^μ/∂ｘ^ν＋Γ^μ_σνＡ^σ)ｄｘ^ν＝ｄＡ^μ－δＡ^μ,δＡ^μ＝－Γ^μ_σνＡ^σｄｘ^νと表現できますが,この式でＡ^μをｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄλに置き換えれば,δｕ^μ＝δ(ｄｘ^μ/ｄλ)＝－Γ^μ_σν(ｄｘ^σ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)ｄλとなります。

測地線の定義によれば,測地線に沿った平行移動ではδｕ^μがｄｕ^μ＝ｄ(ｄｘ^μ/ｄλ)＝(ｄ²ｘ^μ/ｄλ²)ｄλと一致して,Ｄｕ^μ＝ｄｕ^μ－δｕ^μ＝Ｄ(ｄｘ^μ/ｄλ)＝0 となります。

すなわち,ｄ²ｘ^μ/ｄλ²＋Γ^μ_σν(ｄｘ^σ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)＝0 なる方程式の解が測地線を与えることになります。

これは時空の２点間の距離が極値となる道筋,つまりδ∫_P^Qｄｓ＝0 となるＰ→Ｑの道筋を与えるものです。

そして,この方程式は先に与えた粒子の運動方程式と完全に一致していますから,通常,重力場の中での粒子の自由運動の軌跡を測地線と呼びます。

ところで,固有時間τをｃ²ｄτ＝ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν＝η_μνｄＸ^μｄＸ^νで定義します。

軌道対象の粒子が光子のように光速ｃで運動する質量ゼロの粒子でないなら,その運動に伴なう座標の変動ｄｘ^μはヌル(null:ｄｓ²＝ｃ²ｄτ²＝0)ではないので,軌道ｘ^μ＝ｘ^μ(λ)のパラメータλをτに取ってｘ^μ＝ｘ^μ(τ)と表わすことができます。

この場合には,接ベクトルｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄλは４元速度に一致しｕ^μ＝ｄｘ^μ/ｄτとなります。そして,測地線の方程式もｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ^μ_σν(ｄｘ^σ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝0 となります。

しかし,光のように質量がゼロの粒子では,ｄｘ^μがヌルベクトルでｄτ＝0 ですからτは定数でτをパラメータとすることはできません。

そこで,光の軌跡,測地線の方程式はλをτ以外の任意パラメータのまま残して,ｄ²ｘ^μ/ｄλ²＋Γ^μ_σν(ｄｘ^σ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)＝0 とし,拘束条件としてヌル条件ｇ_μν(ｄｘ^σ/ｄλ)(ｄｘ^ν/ｄλ)＝0 を追加したものになります。

運動が非相対論的で,かつ弱い重力場の場合には,ｇ_μν≡η_μν＋ｈ_μνで|ｈ_μν|＜＜1とすると,|ｄｘ^k/ｄτ|～|ｄｘ^k/ｄｔ|/ｃ～|ｖ^k/ｃ|＜＜1 (ｖ^k≡ｄｘ^k/ｄｔ;ｋ＝1,2,3)で,|ｄｘ⁰/ｄτ|～１なので,測地線の方程式:ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＋Γ^μ_σν(ｄｘ^σ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝0 は近似的に空間軌道を示す方程式:(1/ｃ²)(ｄ²ｘ^ｋ/ｄｔ²)＋Γ^k₀₀＝0 になります。

そして,Γの定義から,弱い重力場では,Γ^k₀₀＝(1/2)ｇ^kν(2∂₀ｇ_ν0－∂_νｇ₀₀)～(1/2)η^kν(2∂₀ｇ_ν0－∂_νｇ₀₀)～(1/2)∂_kｈ₀₀ なる近似が可能です。

それ故,結局粒子の従う方程式としてｄ²ｘ^ｋ/ｄｔ²＝－(ｃ²/2)∂_kｈ₀₀なる非相対論近似の式が得られます。

そこで,ｈ₀₀＝2Φ_N/ｃ²と置けば,これはΦ_Nを非相対論での万有引力ポテンシャルとしたニュートンの運動方程式ｄ²ｘ/ｄｔ²＝－∇Φ_Nに一致します。

そしてニュートンの重力場の方程式はρを質量密度として,∇²Φ_N＝4πＧρと表わされます。

弱い重力場の近似では,ｇ₀₀＝1＋ｈ₀₀ ～１＋2Φ_N/ｃ²なので,ニュートンの重力場の方程式は,∇²ｇ₀₀＝8πＧρ/ｃ²と同等であることがわかりました。

さて,エネルギー運動量テンソルをＴ^μνとすると,これは時空を構成する物質を理想流体として時空の各点での物質の４元速度をｕ^μ＝ｄｘ^μ/ｄτ,密度をρ,圧力をＰとすれば特殊相対論ではＴ^μν＝(Ｐ/ｃ²＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐη^μνと表わされます。

そして,その保存則は∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 と表現されます。

これを自然に一般相対論に拡張すれば,Ｔ^μν＝(Ｐ/ｃ²＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μνとなり,保存則も微分を共変微分で置き換えることで,Ｔ^μν_;ν＝Ｔ_μν^;ν＝0 と書けます。

そして,Ｐ＝0 のときには,Ｔ₀₀＝Ｔ⁰⁰＝ρｃ²ですから,ニュートンの重力場の方程式:∇²Φ_N＝4πＧρは,∇²ｇ₀₀＝(8πＧ/ｃ⁴)Ｔ₀₀の弱い重力場の近似式に相当すると考えられます。

これの拡張として,相対性原理を満たす重力場の方程式としてＧ_μν＝κＴ_μνなる形の方程式を想定します。

ただしＴ_μν＝(Ｐ/ｃ²＋ρ)ｕ_μｕ_ν－Ｐｇ_μνです。

ｇ_μνから得られる２階共変テンソルＧ_μνの最も一般的な形として,Ｇ_μν≡αＲ_μν＋βｇ_μνＲ＋γｇ_μνなる形式を考えます。

このとき,保存則Ｔ^μν_;ν＝Ｔ_μν^;ν＝0 から,Ｇ_μνの満たすべき条件としてＧ^μν_;ν＝Ｇ_μν^;ν＝0 が得られます。

一方,ビアンキの恒等式Ｒ^ρ_λμν;τ＋Ｒ^ρ_λτμ;ν＋Ｒ^ρ_λντ;μ＝0 から,νをρに変えて縮約するとＲ_λμ;τ＋Ｒ^ρ_λτμ;ρ－Ｒ_λτ;μ＝0 ですが,さらにｇ^λμを掛けて縮約するとＲ_;τ－Ｒ^ρ_τ;ρ－Ｒ^μ_τ;μ＝0 が得られます。

最後の式はＲ_;τ－2Ｒ^μ_τ;μ＝0 であり,結局,{Ｒ^μ_τ－(1/2)δ^μ_τＲ}_;μ＝0 ,あるいは{Ｒ_μτ－(1/2)ｇ_μτＲ}^;μ＝0 と書けます。

それ故,Ｇ_μν≡Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲと置けば,Ｇ_μν^;ν＝0 が満たされることになります。

そこで,Ｇ_μνをこのように定義すれば,Ｇ_μν＝κＴ_μνから共変な重力場の方程式として,Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μνが得られます。

さらに上式の両辺にｇ^μνを掛けて縮約すると,Ｒ－2Ｒ＝κＴ,ただしＴ≡ｇ^μνＴ_μνですから,Ｒ＝－κＴを得ます。それ故,重力場の方程式はＲ_μν＝κ{Ｔ_μν－(1/2)ｇ_μνＴ}とも書けます。

ところで,Ｔ^μν＝(Ｐ/ｃ²＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μνにおいて,ρｃ²＞＞Ｐ,(ｖ/ｃ)²＜＜1の場合には,上に求めた相対論での重力場の方程式は近似的に,Ｒ₀₀＝κＴ₀₀/2＝κρｃ²/2となります。

そして,ｇ_μν＝η_μν＋ｈ_μν,|ｈ_μν|＜＜１と書ける場合にはＲ_μν＝∂Γ^ρ_μν/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_μρ/∂ｘ^ν＋Γ^λ_μνΓ^ρ_λρ－Γ^λ_μρΓ^ρ_λνより,Ｒ₀₀＝∂Γ^ρ₀₀/∂ｘ^ρ－∂Γ^ρ_0ρ/∂ｘ⁰＋Γ^λ₀₀Γ^ρ_λρ－Γ^λ_0ρΓ^ρ_λ0です。

時間変動がほとんどないとすれば,意味を持つのはΓ^k₀₀のｘ^kによる微分だけですから,結局,Ｒ₀₀ ～　∂_kΓ^k₀₀です。

さらに,既に前記事で述べたように,Γ^k₀₀＝(1/2)ｇ^kν(2∂₀ｇ_ν0－∂_νｇ₀₀)～(1/2)η^kν(2∂₀ｇ_ν0－∂_νｇ₀₀)～－(1/2)η^kl∂_lｈ₀₀なので,∂_kΓ^k₀₀ ～ －(1/2)η^kl∂_k∂_lｈ₀₀＝(1/2)∇²ｈ₀₀＝(1/2)∇²ｇ₀₀となります。

結局,弱重力近似ではＲ₀₀～(1/2)∇²ｇ₀₀となることがわかります。

したがってＲ₀₀＝κＴ₀₀/2＝κρｃ²/2 は,近似的に∇²ｇ₀₀＝κρｃ²となりますが,これと先に別の考察から求めたニュートンの重力場の方程式に同等な方程式:∇²ｇ₀₀＝8πＧρ/ｃ²とを比較して等置すると,定数κが8πＧ/ｃ⁴に一致すべきことがわかります。

以上から重力場の方程式:Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μν,あるいはＲ_μν＝κ{Ｔ_μν－(1/2)ｇ_μνＴ}において,係数κの値がκ＝8πＧ/ｃ⁴と明確に定められました。

なお,Ｇ_μν＝Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲの右辺に－Λｇ_μνなる項を加えてもｇ_μν^;λ＝0 故,保存則Ｇ_μν^;ν＝0 は保持されます。

そこで,最も一般的な重力場の方程式は,Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ－Λｇ_μν＝κＴ_μν,κ＝8πＧ/ｃ⁴となるはずです。

Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ－Λｇ_μν＝κＴ_μνの左辺の－Λｇ_μν,またはこれを右辺に移項した式Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μν＋Λｇ_μνのΛｇ_μνを宇宙項と呼びます。

これはΛ＞0 なら距離に比例した斥力を与えます。

通常は,Λ＝0 とした宇宙項のないもの:Ｒ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μν,κ＝8πＧ/ｃ⁴を重力場の方程式,またはアインシュタインの方程式と呼びます。

そして,本題の球対称時空解は,この宇宙項がないと仮定した方程式の解の１つです。

今日はここまでにします。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

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球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(1)

　覚書きとして,アインシュタインの重力場の方程式の真空中での球対称解であるシュヴァルツシルト解を具体的に導出する過程もブログに残しておきたいと思ったので記事にします。(検索でヒットしやすいように,日本語表記ではシュワルツシルト解,あるいはシュバルツシルト解(schwartzschild))とも言われることを補記しておきます。) 

　まずは,重力場の方程式を解くために最低限必要と思われる一般相対性理論の基本的知見をまとめておくことから始めます。

時空上の各点Ｐ(ｘ);ｘ＝ｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ)＝(ｃｔ,ｘ,ｙ,ｚ)において,これと近接した点Ｑ(ｘ＋ｄｘ)；ｘ＋ｄｘ＝ｘ^μ＋ｄｘ^μ＝(ｘ⁰＋ｄｘ⁰,ｘ＋ｄｘ)との間の"４次元的距離ＰＱ＝計量"の平方ｄｓ²をｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νによって与えるｄｘ^μｄｘ^νの係数２階対称共変テンソルｇ_μνを計量テンソルと呼びます。

ここで,無限小の４次元的距離,すなわち計量とは時空点(事象)Ｐの局所近傍を平坦なミンコフスキー計量(Minkowski metric)で表わしたときの座標をＸ^μ＝(Ｘ⁰,Ｘ)＝(ｃＴ,Ｘ,Ｙ,Ｚ)とするとき,ｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^ν＝η_μνｄＸ^μｄＸ^ν＝(ｄＸ⁰)²－ｄＸ²＝ｃ²ｄＴ²－ｄＸ²－ｄＹ²－ｄＺ²で与えられるスカラー量のことです。

なお,η_μνはη₀₀＝－η₁₁＝－η₂₂＝－η₃₃＝1 以外の非対角成分が全てゼロのミンコフスキー計量テンソルです。また縮約に際してはアインシュタインの規約を使用しています。

特に,ｄｓ²＜0 のときには,座標系の取り方次第で,対象とする２点がｄＴ＝0 の事象,つまり同時刻になることが可能なので,この２点は空間的(space-like)に離れていると言われます。

他方,ｄｓ²＞0 のときには,座標系の取り方次第でｄＸ＝0 (空間的に同じ点)になることが可能なので時間的(time-like)に離れていると言われます。

また,特にｄｓ²＝0 なら光的(light-like)であると言われます。

物理量は一般にテンソル量で与えられますが,以下ではまずテンソルとは何かについて述べます。

ある座標系での４次元座標がｘ^μで与えられる時空点が,別の座標系ではｘ'^μなる４次元座標に変わるというような座標系の一般座標変換は,ｄｘ^μ＝(∂ｘ^μ/∂ｘ'^ν)ｄｘ'^νによって表現することができますが,この時空座標ｘ^μと同じように,Ａ^μ＝(∂ｘ^μ/∂ｘ'^ν)Ａ'^νで変換される量Ａ^μを反変ベクトルと呼び,上添字で表現します。

一方,座標変換に対して全く不変な量をスカラーと呼びます。

例えば,１つのスカラー量をφとすれば上記の一般座標変換に対する変換性は∂φ/∂ｘ^μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)(∂φ/∂ｘ'^ν)と書けます。スカラー量の時空座標による微分(∂φ/∂ｘ^μ)と同じように,Ａ_μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)Ａ'_νと変換される量(Ａ_μ)を共変ベクトルと呼び下添字で表現します。

そしてテンソルとはＡ_ρτ..^μν.. (ただし,μ,ν,..,ρ,τ,..＝0,1,2,3)なる共変添字と反変添字を持ち,次のような変換性を持つ数全体のことです。

つまり一般座標変換に対してＡ_ρτ..^μνκ..＝(∂ｘ^μ/∂ｘ'^α)(∂ｘ^ν/∂ｘ'^β)(∂ｘ^κ/∂ｘ'^γ)..(∂ｘ'^δ/∂ｘ^ρ)(∂ｘ'^ε/∂ｘ^τ)..Ａ'_δε..^αβγ..なる変換性を持つ数の集合のことです。

スカラー,ベクトルというのは添字が 0 個,１個の特別なテンソルのことです。個々のベクトルは"長さと向きという関係で類別された同値類と呼ばれる集合です。

この集合は,その代表元が高校で初めて学んで以来の我々に馴染み深いベクトル概念と同じく１つの矢印で描写されます。

こうしたベクトルやテンソルが一種の集合であるという描像は,違う座標系から見ると成分は違って見えても,実は成分には関係ない幾何学的実体を指していて,個々の数成分Ａ_ρτ..^μν..は実体を投影した単なるラベルに過ぎない,と考えれば,受け入れやすい概念ではないかと思います。

さらに言えば,普通の空間ベクトルａ,ｂに対して内積(スカラー積)を(ａ,ｂ)と書くと,ａを固定してｂを変数ベクトルｘに変更して,内積を取るという操作をａ(ｘ)≡(ａ,ｘ)なる３次元空間Ｒ³から実数空間Ｒへの写像と考えれば,これは線型写像なのでベクトルａを1つの線型写像と同一視できます。

したがって,個々のベクトルは３次元空間Ｒ³から実数空間Ｒへの線型写像と１対１に対応しており,結局,Ｒ³からＲへの線型写像の全体と同一視することができます。

この３次元空間のベクトルｘに対する線型写像全体は明らかに元々の空間Ｒと同相ですが,これを区別してｘの属する空間Ｒ に双対な空間(dual space)といいます。

そこで,数学的には２階共変テンソルＡ＝(Ａ_μν)をＡ(ｘ,ｙ)≡Ａ^μνｘ^μｙ^νによってＲ^(3,1)×Ｒ^(3,1)から実数空間Ｒへの双線型写像を与える幾何学的実体として定義できます。

したがって,テンソルというのは多様体の上での多重線型写像全体で構成される双対空間の直積空間の元と考えることもできるでしょう。

さて,テンソルのうちで成分が上添字しか持たないものを反変テンソル,下添字しか持たないものを共変テンソルと呼びます。

そして元々の定義の一般のテンソルは混合テンソルとも呼びます。

計量テンソルｇ_μνは先にも述べたように共変テンソルですが,ｇ_μνを４×４正方行列Ｇの成分と見たときの逆行列Ｇ^-1は反変テンソルとなります。

そこで,Ｇ^-1の成分をｇ^μνと書いて反変計量テンソルと呼びます。すなわち,ｇ_μλｇ^λν＝δ_μ^νです。

そして反変ベクトルＡ^μに対してＡ^μ＝ｇ^μλＢ_λを与える共変ベクトルＢ_μを特にＡ_μと表記してＡ^μ＝ｇ^μλＡ_λと書けば,Ａ_μ＝ｇ_μλＡ^λが成立します。

Ａ_μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)Ａ'_νにより,∂Ａ_μ/∂ｘ^ρ＝(∂²ｘ'^ν/∂ｘ^ρ∂ｘ^μ)Ａ'_ν＋(∂ｘ'^κ/∂ｘ^ρ)(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)(∂Ａ'_ν/∂ｘ'^κ)ですから,∂Ａ_μ/∂ｘ^νは２階共変テンソルではありません。

これはｘ^μ→ｘ^μ＋ｄｘ^μに対してｄＡ_μ＝(∂Ａ_μ/∂ｘ^ν)ｄｘ^νが共変ベクトルにならないことと同値です。

そこで,ＤＡ_μ≡(∂Ａ_μ/∂ｘ^ν－Γ^ρ_μνＡ_ρ)ｄｘ^νと形式的に定義してＤＡ_μが共変ベクトルになる,つまりＤＡ_μ＝(∂ｘ'^ν/∂ｘ^μ)ＤＡ'_νが成立するようにΓ^ρ_μνなる係数を決めることができれば,共変でない量であるｄＡ_μの代わりに相対論にとって好都合な共変ベクトル量ＤＡ_μが得られます。

これは,平行移動ｘ^μ→ｘ^μ＋ｄｘ^μに対して,Ａ^μ(ｘ)はＡ^μ(ｘ)→Ａ^μ(ｘ＋ｄｘ)＝Ａ^μ(ｘ)＋ｄＡ_μ,ｄＡ_μ＝(∂Ａ_μ/∂ｘ^ν)ｄｘ^νと変化を受けますが,一般に時空座標のμ軸は曲がっているので,新しい座標点ｘ＋ｄｘにおける新しいμ軸に対するベクトル場Ａ^μの成分は単純にＡ^μ(ｘ)のｘをｘ＋ｄｘに変えたもの,Ａ^μ(ｘ＋ｄｘ)＝Ａ^μ(ｘ)＋ｄＡ_μではないからです。

そこで,共変ベクトル量ＤＡ_μはｘ＋ｄｘにおけるＡ^μの真ののμ軸成分がＡ^μに比例したｄｘの１次の補正を受けたＡ'^μ(ｘ＋ｄｘ)≡Ａ^μ(ｘ)＋ＤＡ_μ＝Ａ^μ(ｘ＋ｄｘ)－Γ^ρ_μνＡ_ρｄｘ^νになるとして定義したものです。

そして,このときの∂Ａ_μ/∂ｘ^ν－Γ^ρ_μνＡ_ρを共変ベクトルＡ_μの共変微分と呼びＡ_μ；νと書きます。つまりＡ_μ；ν≡∂Ａ_μ/∂ｘ^ν－Γ^ρ_μνＡ_ρです。

Ａ_μ；νはテンソルですが,∂Ａ_μ/∂ｘ^νはテンソルではないですから,Γ^ρ_μνＡ_ρもテンソルではありません。

したがって,まだ具体的な正体が不明な係数:Γ^ρ_μνもテンソルではないことがわかります。この係数Γを接続係数と呼びます。

一方,スカラー量Ａ_μＢ^μの座標変換による変化を考えると,これについてはｄ(Ａ_μＢ^μ)＝{∂(Ａ_μＢ^μ)/∂ｘ^ν}ｄｘ^ν＝Ｄ(Ａ_μＢ^μ)と考えることができます。

そこで(ＤＡ_μ)Ｂ^μ＋Ａ_μ(ＤＢ^μ)＝{(∂Ａ_μ/∂ｘ^ν)Ｂ^μ＋Ａ_μ(∂Ｂ^μ/∂ｘ^ν)}ｄｘ^νなる等式からＡ_μ(ＤＢ^μ)＝{Ａ_μ(∂Ｂ^μ/∂ｘ^ν)＋Γ^ρ_μνＡ_ρＢ^μ}ｄｘ^νを得ます。

よって,反変ベクトルＢ^μの共変微分はＤＢ^μ≡(∂Ｂ^μ/∂ｘ^ν＋Γ^μ_ρνＢ^ρ)ｄｘ^ν,およびＢ^μ_；ν≡∂Ｂ^μ/∂ｘ^ν＋Γ^μ_ρνＢ^ρによって定義すればよいことがわかります。

そして,Ａ_μ；νが実際に２階共変テンソルであるためには,Ａ'_μ；ν＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ) (∂ｘ^σ/∂ｘ'^ν)Ａ_ρ；σ,

つまり∂Ａ'_μ/∂ｘ'^ν－Γ'^δ_μνＡ’_δ＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ)(∂ｘ^σ/∂ｘ'^ν)(∂Ａ_ρ/∂ｘ^σ－Γ^ε_ρσＡ_ε)が成立する必要があります。

これから途中計算を省略すると,必要な条件としてΓ'^δ_μν＝(∂ｘ^ρ/∂ｘ'^μ)(∂ｘ^σ/∂ｘ'^ν)(∂ｘ'^δ/∂ｘ^ε)Γ^ε_ρσ＋(∂ｘ'^δ/∂ｘ^ρ)(∂²ｘ^ρ/∂ｘ'^μ∂ｘ'^ν)が得られます。

これは接続係数Γ^ρ_μνがテンソルでないことを陽に示しています。

さらにＡ_μ；νがテンソルなら,Ａ^μ_；ν＝∂Ａ^μ/∂ｘ^ν＋Γ^μ_ρνＡ^ρもテンソルです。

よって反変テンソルと共変テンソルの関係からＡ_μ；ν＝ｇ_μλＡ^λ_；νですから,結局Ａ_μ；ν＝(ｇ_μλＡ^λ)_；ν＝ｇ_μλ；νＡ^λ＋ｇ_μλＡ^λ_；ν＝ｇ_μλ；νＡ^λ＋Ａ_μ；νと書けます。

そこで,ｇ_μλ；νＡ^λ＝0 が任意のベクトルＡ^μに対して常に成立するため,時空のあらゆる点で常にｇ_μλ；ν＝0 が成立することがわかります。

そして,Ｔ^μν≡Ａ^μＢ^νとおくと,Ｔ^μν_;ρ＝Ａ^μ_;ρＢ^ν＋Ａ^μＢ^ν_;ρ,であり,Ｔ_μν≡Ａ_μＢ_νとおくとＴ_μν;ρ＝Ａ_μ;ρＢ_ν＋Ａ_μＢ_ν;ρが成立するので,一般に２階テンソルの共変微分はＴ^μν_;ρ＝Ｔ^μν_,ρ＋Γ^μ_λρＴ^λν＋Γ^ν_λρＴ^μλ,およびＴ_μν;ρ＝Ｔ_μν,ρ－Γ^λ_μρＴ_λν－Γ^λ_νρＴ_μλとなることがわかります。

ただし,簡単のためにＴ^μν_,ρ≡∂Ｔ^μν/∂ｘ^ρ,Ｔ_μν,ρ≡∂Ｔ_μν/∂ｘ^ρなる通常の微分表記を使用しました。

ｇ_μν；ρ＝0 はｇ_μν；ρ＝ｇ_μν,ρ－Γ^σ_μρｇ_σν－Γ^σ_νρｇ_μσ＝0 を意味しますが,これはΓ_ν|μρ≡ｇ_σνΓ^σ_μρと定義して新しい記号を導入すれば,ｇ_μν；ρ＝ｇ_μν,ρ－Γ_ν|μρ－Γ_μ|νρ＝0 とも書けます。

したがって,Γ_ν|μρ＋Γ_μ|νρ＝ｇ_μν,ρですが,この等式の添字に置換を施すとΓ_ρ|νμ＋Γ_ν|ρμ＝ｇ_ρμ,ν,Γ_μ|ρν＋Γ_ρ|μν＝ｇ_ρν,μも得られます。

そこで,Γ_ν|αβ＝Γ_ν|βαなる対称性を仮定すると,Γ_ρ|νμ＝(1/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν,ρ),あるいはΓ^σ_μν＝(ｇ^σρ/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν,ρ)が得られ,これは確かにΓ_ν|αβ＝Γ_ν|βαを満たしています。

こうした,Γ_ν|αβ＝Γ_ν|βαという対称性を持つ特別な接続をレヴィ・チヴィタ(Levi-Civita)接続といい,上のように計量の陽な形に書ける接続係数Γをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)と呼びます。

今日はここまでにします。

参考文献：佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

ＰＳ：最近,他の掲示板やブログで重力場の中の物体やブラックホールなどの話に関連して,ランダウ著の「場の古典論」からの参照,引用が見られ,その本は私も持っているので読んでみましたが,何故かページ数が合わないだけではなく,そもそも宇宙論関係に切り込んだ内容がほとんど書かれていません。

(ＰＳ:宇宙論といっても,せいぜい膨張宇宙モデル程度の話です。)

しかし,先日久しぶりに本屋街に行くと,この本の新版らしい第６版というのがあったので立ち読みしたところ,前半の９章まではほぼ同じでしたが,後半の内容が私の蔵書のそれとは大幅に違っていることに気づきました。

そうです,私の持っているのは旧ソ連でランダウが事故に会って事実上学者生命が終わった以前に出版されたものの翻訳で,贈訂新版となっていてかなり古いものです。

私もその後改訂版が出ていたのは知っていましたが,どうせ大して変わっていないだろうと勝手に思い込んでいました。リフシッツによるところが大きいのでしょうが,仕方ないのでこれも買って同じタイトルが２冊になりました。

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重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察

好評発売中の「趣味で物理学」に続き,最近「趣味で相対論」が新発売となったばかりの著書でも有名なEMANさんのホームページ「EMANの物理学(談話室)」でのトピック「連続的な重力収縮」のツリーに関連した記事を書きました。

重力崩壊(重力収縮)によるブラックホールの形成過程では,重力崩壊も質量を持つ物体の重力による自由落下のプロセスには違いないので,遠方の観測者である我々にとってはいわゆる星の外核質量が臨界面を通過して崩落する際に見かけの特異面である事象の地平面まで到達するのに無限大の外部時間がかかるのではないかという疑問があります。

これに関連して派生した話題で,重力場の方程式の球対称な解であるシュヴァルツシルト解(シュワルツシルト解,シュバルツシルト解)は,中心にある重力源が質点である場合のみの特殊な解ではないか？という発言に対して次のようなコメントがありました。

　＞シュヴァルツシルト解は球対称を仮定したのと,あとはニュートン近似に合うように調整しただけなので,質量が全て中心の一点に集中していない場合であっても適用していいと考えています。

以下は,私が最初はこのコメントをフォローする意図で書いた文章と,それに続いて,幾分脱線気味ですが,このトピックの全体像に対しても発言をしたものを本ブログ用にまとめたものです。

　ニュートンの万有引力の法則を考えても,質量Ｍで半径Ｒの太陽が中心にあるだけとした太陽系の太陽半径の外側ｒ＞Ｒの重力場を表わす際に,場の中心の太陽を質点近似せず,普通に太陽は有限な半径Ｒを持った体積有限の球であるとしても,重力場の万有引力ポテンシャルＵが太陽中心の１点に全質量Ｍが集中しているとした質点に対するポテンシャルＵ＝－ＧＭ/ｒと全く同じであることが簡単な計算からわかります。

　そこで,ニュートンの万有引力の法則が球対称シュヴァルツシルト解の重力が弱い場合の正しい近似であるという事実から,シュヴァルツシルト解に対する上のコメントでの指摘も全くその通りだと思います。

　また,ブラックホールを語るのに,必ずしも球対称でそれゆえ定常解となるシュバルツシルト解だけでなく,角運動量のある場合に相当するカー解(Kerr解)なども含めた一般の軸対称解などをも考慮すべきだとのご意見もありました。

　しかし,私は古典論でブラックホールを考える際には,現実のわれわれの太陽を中心とした惑星の公転などの２体問題に用いても,ニュートン力学の万有引力に対する解と同じく,近似的に正しい公転軌道である楕円軌道を与え,また水星の近日点の移動も十分な精度で表現できる球対称シュヴァルツシルト解(Ｓ波)のみで考えても十分であると思います。

　なお,シュヴァルツシルト時空における"測地線＝自由落下軌道"として大げさな方法で惑星の公転軌道を導いたものとして,2007年４/27の記事「シュヴァルツシルト時空内の測地線(惑星の公転軌道）」があります。

　また,これを応用して水星の近日点の移動を計算したものが2007年４/29の記事「惑星の近日点の移動」にあります。　

　よかったらご覧ください。

　また,以前,2006年８/25の記事「ブラックホールの形成時間」では簡単な考察を述べただけで,ブラックホール形成の明確な具体的な描像を与えることをしませんでした。

　しかし,今回は急に真面目な考察をする気になったので,一応,一般相対論を駆使するようなむずかしい計算に頼ることなく,近似的な話としてこれの簡単な説明をしてみます。

まず,重力崩壊をするはずの星の半径をＲ,星の全質量をＭとします。

特に現状の重力崩壊前ではＲ＝Ｒ₀＝一定とします。

そしてＭが星の中心に集中しているとした場合の,シュヴァルツシルト時空のシュヴァルツシルト半径をＲ_sとすると,ｃを光速としてＲ_s＝2ＧＭ/ｃ²となります。

これは星が太陽の場合の質量Ｍに対しては,約３ｋｍであり,もちろん,この場合はＲ_s＜＜Ｒ₀ですから,現状では太陽はブラックホールではなく半径の外に事象の地平面が現われることもありません。

　ちなみに,たとえ太陽がブラックホール化したとしても,太陽質量Ｍが今と同じままなら,我々の生命の源泉である太陽からの光,あるいは熱エネルギーが途絶えてしまうというような重力以外の効果を抜きにすれば,太陽系の中心にある"太陽＝ブラックホール"の半径約３ｋｍの事象地平面から外の領域で,はるか遠方にある地球に及ぼす太陽の重力は以前と変わりがあるわけではなく,地球は従来通りの公転軌道を描くはずです。

　そして,星の密度が均質であるという一見バカげていますが,それほど見当違いでもない理想化をすれば,"星の半径Ｒより内側＝星の内部＝中心からの半径ｒ＜Ｒの位置"で物体に働く重力Ｆは,それが球対称な引力で中心力であることを考慮し,さらにガウスの定理を用いると,大きさＦがｒに比例することがわかります。

単位質量の物体に働く力で考えると,ｒ＜Ｒでのｒに比例した大きさを持つ引力Ｆがｒ＝Ｒでｒ≧Ｒでの万有引力Ｆ＝－ＧＭｒ/ｒ³に連続的につながり,ＦをＦ＝―∇Ｕで与えるポテンシャルＵもｒ＝Ｒで連続でｒ≧ＲでのＵ＝－ＧＭ/ｒになるとすれば,星の内部ｒ≦ＲではＦ＝－ＧｍＭｒ/Ｒ³,Ｕ＝－3ＧＭ/(2Ｒ)＋ＧＭｒ²/(2Ｒ³)となるはずです。

星の内部での引力を与える重力場はシュヴァルツシルトの外部解で与えられるものではないのは明らかです。

そこで,相対性理論で考えても,星の質量Ｍが不変に固定された場合の仮想的な事象地平面(半径Ｒ_sの球面)よりも外側のＲ_s＜ｒ≦Ｒにある部分質量が重力崩壊という名の自由落下で,固定地平面ｒ＝Ｒ_sまで到達するまでの外部時間は有限であって,決して無限大ということはないと考えられます。 

　しかも重力崩壊の過程において,落下していく際の目標である仮想地平面がシュヴァルツシルト半径ｒ＝Ｒ_sの固定地平面であると考える必要もありません。 

現状の太陽のように重力崩壊が無視できて,Ｒ＝Ｒ₀＝一定である状態では,密度が均質の仮定の下でｒ≦Ｒを満たす任意のｒに対して,半径ｒの球の内部の質量はｍ＝Ｍ(ｒ/Ｒ)³です。

このｍに対するシュヴァルツシルト半径を考えて,それを,ｒ_s(ｍ)≡2Ｇｍ/ｃ²＝Ｒ_s(ｒ/Ｒ)³と書けば,ｒ_s(ｍ)＜Ｒ_sです。

それ故,太陽の場合ならｍ＜Ｍに対するｒ_s(ｍ)はＭに対する仮想半径Ｒ_s＝約３ｋｍよりも,さらに小さいわけです。

そして,現実にはｒ＞ｒ_s(ｍ)を満たすｒの位置にある部分の質量がｒ_s(ｍ)＜Ｒ_sを満たす半径ｒ_s(ｍ)の仮想地平面を目指して落下していくわけです。

固定面Ｒ_sに落下する質量について,上でも述べたように,ｒ_s(ｍ)へと落下していく質量が存在する位置のｒに対し,"宇宙空間＝星の構成物質の質量がゼロの空間"との境界で定義される星の表面を示すその時点での星の半径Ｒはもちろんｒ≦Ｒを満たしています。

それ故,ｒ_s(ｍ)＜Ｒなので落下運動はシュヴァルツシルト時空に支配されるわけではないため,落下してｒ＝ｒ_s(ｍ)に"張り付く"までの外部時間は有限なはずです。 

そして崩壊(収縮)が進んで星を形成する質量やエネルギーが次第に中心部に集中してゆき,中心部の質量ｍがｍ→ Ｍと大きくなると,ブラックホールができる前の段階では中心部のみの質量ｍによる仮想地平面の半径ｒ_s(ｍ)＝2Ｇｍ/ｃ²も,ｍ→Ｍに連れて大きく膨らんでいきます。

一方,星の半径の方は逆にＲ→小と痩せていくわけですが,仮想地平面が星の内部にあってｒ_s(ｍ)＜Ｒである限り,現実に星の外に事象の地平面があるブラックホールではないので,質量が重力によって自由落下して中心部が質量的に太る重力崩壊の過程で,無限大の外部時間がかかるわけではなく有限時間で終了します。

　結局,質量の自由落下ｍ→Ｍに連動したｒ_s(ｍ)→ 大,かつＲ→小の末にはｒ_s(ｍ)＝Ｒとなって,仮想地平面が星の表面に全く一致した状態になりますが,これはｒ＝Ｒでのｒ_s＝2Ｇｍ/ｃ²＝Ｒ_s(ｒ/Ｒ)³がＲに一致すること,つまりｒ_s(ｍ)＝Ｒ＝Ｒ_sとなることを意味します。 

そしてまた,これは星の内部質量がｍ＝Ｍとなった状態,すなわち,全質量Ｍが中心部に崩壊落下した結果,膨らんでいきつつあった仮想地平面の半径ｒ_s(ｍ)がついにはＲ_s＝ｒ_s(Ｍ)と一致し,仮想地平面が星の表面まで達したため,仮想から現実の地平面になる瞬間を示しているわけです。

そして,この瞬間までの重力崩壊の間,実質上のシュヴァルツシルト半径であるｒ_s(ｍ)は崩壊中の時々刻々の星の半径Ｒより常に小さくて,星の内部にあるため,ｒ＝ｒ_s(ｍ)の球面は,まだブラックホールの事象地平面としての意味を持たず,この状態に到達するまでの外部時間は無限大ではなくて有限です。

すなわち,重力崩壊において星を構成する外核物体が落下して,いわゆる事象の地平面に"張り付く"までの時間は,落下物体の固有時間だけではなく,外部観測者にとっての時間でも決して無限大ではなく,有限であることが明確に示されたと思います。

　さらに,Ｒ＝Ｒ_sとなった瞬間から後にも更なる質量の中心への集中過程で,Ｒ＜Ｒ_sとなって星の半径はシュヴァルツシルト半径よりも小さくなっていく,言い換えると相対的に事象の地平面が星の外部にせり出して本格的にブラックホールが形成されていくわけです。

　こうした更なる質量集中のプロセスは,事象地平面の内部の力学に支配されると考えられるので,これについて無限大の時間がかかるという類の困難はもはや存在しないと思います。

　以上の考察に大きな誤りがないなら,

　星の半径Ｒについての時間,つまり"(Ｒ＝Ｒ_sとなって地平面に張り付くまでの時間)＋(Ｒ＝Ｒ_sからＲ＜Ｒ_sとなるまでの時間)＝(ブラックホールの形成時間)"が外部観測者にとっては無限大になる。

　そして,一方,宇宙開闢から現在までの時間は誰にとっても有限なため,真のブラックホールが存在するとしても,それは重力崩壊によって形成されたものではない。重力崩壊だけで形成されるブラックホールは現在も将来も存在し得ないのではないか？"

　という疑問に関しては,否定的に解決されたと思います。

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