106. 星・ブラックホール・一般相対性

2008年7月17日 (木)

重力崩壊とブラックホール(2)

の重力崩壊の話題の続きです。

 

遠方の観測者から見た重力崩壊と観測者の時間の関係を考えます。

圧力Pがゼロの場合の星の表面の運動はシュヴァルツシルト時空における自由落下運動と同じです。特に動径方向の運動を考えれば十分だと思われます。

シュヴァルツシルト時空の計量はds2(1-2m/r)dt2-dr2/(1-2m/r)-r2(dθ2sin2θdφ2)ですが,この時空では計量テンソルの成分gμνでゼロでないものは,g001-2m/r,g11=-(1-2m/r)-1,g22=-r2,g33=-r2sin2θのみです。

この重力場の中での粒子の運動方程式,すなわち測地線の方程式はd2ρ/dλ2+Γρσν(dxν/dλ)(dxσ/dλ)=0 で与えられます。

 

ここでΓρμνは接続係数と呼ばれるもので,Γσμν=(gσρ/2)(gρν,μ+gρμ,ν-gμν;ρ)です。陽な形に書かれた接続係数をクリストッフェルの記号とも言います。(捩率ゼロの接続の場合)

この方程式d2ρ/dλ2+Γρσν(dxν/dλ)(dxσ/dλ)=0 において,光ではない質量のある物質の運動を想定してμ=0,λ=sとし,θ,φが一定の動径r方向の軌道のみが問題になる場合を考えると,d2t/ds2+Γ000(dt/ds)2+(Γ001+Γ010)(dt/ds)(dr/ds)+Γ011(dr/ds)2=0 となります。

ここで,以前の00exp(2ψ),g11=-exp(λ)なる表現では接続係数はΓ000=ψd, Γ001=Γ010=ψ',Γ011λdexp(λ-2ψ)/2でした。

 

ただし,ψd≡∂ψ/∂t,ψ’≡∂ψ/∂r,λd≡∂λ/∂t etc.なる記法を用いています。

 

今の場合には,exp(2ψ)=1-2m/r,exp(λ)=(1-2m/r)-1,ψd=λd=0 であって,mは時間によらず,rにも独立な積分定数です。

 

 故に,Γ000=Γ011=0 ,Γ001+Γ010)=2ψ'=d{ln(r-2m)-ln(r)}/dr=2m/{r(r-2m)}=(rg/r2)/(1-rg/r)です。

 

ここで,最後の式で,シュヴァルツシルト半径という意味でrg2m (2Gm/c2)としました。

そこで,d2/ds2(rg/r2)(1-rg/r)-1(dt/ds)(dr/ds)=0 です。

 

T≡dt/dsとおけば,dT/ds=-(rg/r2)(1-rg/r)-1(dr/ds),or ∫dT/T=-∫dr(rg/r2)(1-rg/r)-1です。

 

すなわち,lnT=lnr-ln(r-g)+const.です。そこでdt/ds=T=k(1-rg/r)-1です。

一方,μ=1の測地線は2/ds2+Γ100(dt/ds)2+(Γ101+Γ110)(dt/ds)(dr/ds)+Γ111(dr/ds)2=0 です。

 

そしてΓ100=ψ'exp(2ψ-λ),Γ101=Γ110=λd/2,Γ111=λ'/2より,Γ100=(1/2){exp(2ψ)}'exp(-λ)=(1/2)(rg/r2)(1-rg/r)101+Γ110=0 ,Γ111=λ'/2=(d/dr){(-1/2)ln(1-rg/r)}=(-1/2)(rg/r2)(1-rg/r)-1です。

 

それ故,d2r/ds2+ (1/2)(rg/r2)(1-rg/r)(dt/ds)2-(1/2)(rg/r2)(1-rg/r)-1(dr/ds)2=0 となります。

これに,dt/ds=k(1-rg/r)-1を代入してdr/dsを解けば解軌道が得られますが,計量の表現ds2(1-rg/r)dt2(1-rg/r)-1dr2を用いて直接求める方が簡単です。

 

すなわち,1=(1-rg/r)(dt/ds)2(1-rg/r)-1(dr/ds)2から,(dr/ds)2=k2(1-rg/r)=rg{1/r-1/r(0)}が得られます。

 

ただし,r(0)はdr/ds=0 のときのrの値でr(0)≡rg/(1-k2),またはk21-rg/r(0)で定義されます。

sの代わりに軌道のパラメータを遠方の観測者にとっての固有時間tで表わせば,(dr/dt)2(dr/ds)2(ds/dt)2=rg{1/r-1/r(0)}-2(1-rg/r)2(1-rg/r)2[1-(1-rg/r)/{1-rg/r(0)}]となります。

 

今の場合は,dr/dt<0 に対応する自由落下を考察しているので,動径r方向の運動はdr/dt=-(1-rg/r)[1-(1-rg/r)/{1-rg/r(0)}]1/2で与えられます。

ここで,r(0)=∞,つまりr→ ∞でdr/ds→ 0 ,or dr/dt→ 0 ,k2 1 (ds2=c2dt2)とすれば,dr/dt=-(rg/r)1/2(1-rg/r),または-∫dt=∫dr(r/rg)3/2(r/rg1)-1です。

 

ξ≡(r/rg)1/2と変数置換すれば,右辺=2g3/3+ξ+(1/2)ln{(ξ-1)/(ξ+1)}+const.]となります。

したがって,ct/rg=-(2/3)(r/rg)3/22(r/rg)1/2ln[{(r/rg)1/21}/{(r/rg)1/21}]+const.です。

 

これにより,今の場合の自由落下ならr→rgでt→ ∞ となり,事象の地平面に到達するのに無限大の座標時間がかかります。

逆にdr/dt>0 の場合,つまり落下とは逆で星の表面から物体を発する放物運動を考察しているのであれば,∫dt=∫dr(r/rg)3/2(r/rg1)-12g3/3+ξ+(1/2)ln{(ξ-1)/(ξ+1)}+const.]なので,ct/rg(2/3)(r/rg)3/22(r/rg)1/2ln[{(r/rg)1/21}/{(r/rg)1/21}]+const.となります。

 

そこで,面の内側から事象の地平面に到達するにも無限大の時間がかかります。これは内部から脱出不可能であることを意味しています。

光の道筋を求める場合は,ds=0 なので, 0=ds2(1-rg/r)dt2(1-rg/r)-1dr2により,dt=(1-rg/r)-1drとなりますから,動径がrのところから出た光が観測者の位置の動径robまで到達するのに要する時間をTとすると,T=∫robdr(1-rg/r)-1=rob-r+rgln{(rob-rg)/(r-rg)}となるはずです。

 

そこでr→rgならT→ ∞ となります。これによって,星の重力崩壊の際に表面から出た光が観測者に到達するには無限大の時間がかかることがわかり,観測者はあたかも星の収縮が止まったように観測すると思われます。

表面から光を放出する物質の固有時間dτと世界時間dtとの関係は,近似的にcdτ={(1-rg/r)-(1-rg/r)-1(dr/dt)2}1/2dt~ (1-rg/r)dtと表現されます。

 

ここでdr/dt=-(1-rg/r)[1-(1-rg/r)/{1-rg/r(0)}]1/2,かつ(rg/r)<<0 によりdr/dt~-(rg/r)1/2(1-rg/r)と書けることを用いました。

さらにT=∫rrobdr(1-rg/r)-1=rob-r+rgln{(rob-rg)/(r-rg)}により,r→rgのときの世界時間tとrの関係はrob-r+rgln(rob-rg)に比べて-rgln(r-rg)が支配的になるのでt~ -rgln(r-rg)+const. or (r-rg) ∝ exp(-t/rg)です。

 

そこでr→rgのとき,光の振動数ν ∝ (1/Δt)の時間変化は(1/Δt)∝(r-rg)/rgなので,(ν/ν0)∝ exp(-t/rg),あるいはν∝ν0 exp(-t/rg)なる式で与えられます。

 

ただしν0(r-rg)/rg>>1の遠方の自由空間位置での光の振動数です。

これらを評価する際の実際の時間スケールはrg/c~ 10-5(m/M)sec程度です。(mは対象とする星の質量Mは太陽の質量です。)

 

動径方向以外に出る光をも考慮して,詳細な計算を実行し星のエネルギーを星の明るさLによって表現すると,明るさLはr→rgで,L∝L0 exp{-4t/(33/2g))のように減衰していくことがわかります。

 

遠方の観測者にとって星の重力崩壊が止まっているように見える場合でも,星の明るさの方は急激に減衰して,星はまたたくまに暗くなってゆくのが観測されるはずです。

座標時間=世界時間は重力落下につれて,t~ -rgln(r-rg)+const.なる傾向を示すのに対し,固有時間τはdr/dτ~ -(r/rg)1/2,r~(3/2)2/3g1/30(r)-τ)2/3のような緩やかな関係を示すことを強調しておきます。

 

ここでτ0(r)はrから出発して星の中心=原点(origin:r=0)に到達したときのτの値です。

球対称のシュヴァルツシルト解では,計量がds2(1-rg/r)dt2-dr2/(1-rg/r)-r2(dθ2sin2θdφ2)なので,r=rgにおいてg000 ,g11=-∞ となります。

 

そこでr=rgでは計量としての意味が失われるため,これは時空の特異点であるように見えますが,これは見掛けの上のことであって,r=rgは真の特異点ではありません。

実際,スカラー曲率の平方はR2=Rμνσρμνσρ12(rg)2/r6と計算されますから,これはr=rgなる面が何の特異性も示さず,真の特異点はr=0 のみであることを示しています。

r=rgが特異面にならないような座標系としてはds2(1-rg/r)dt2-dr2/(1-rg/r)-r2(dθ2sin2θdφ2)なる計量の(t,r,θ,φ)から,新座標(t',r',θ',φ')をt=t'± rgln(r'/rg1)(r>rg),t=t'± rgln(1-r'/rg)(r>rg),r=r',θ=θ',φ=φ'なる変換によって与えるエディントン・フィンケルシュタイン座標(Eddington-Finkelstein coordinate),

 

変数(t,r)をu=±(r/rg1)-1/2exp{r/(2rg)}cosh{t/(2rg)},v=±(r/rg1)-1/2exp{r/(2rg)}sinh{t/(2rg)}でu,vの符号に合わせて符号±を取るような座標変数(u,v)に変換するクルスカル座標(Kruskal coordinate)などがあります。

しかし,物理的に見ると,r=rgの球面には,やはり特異な性質があるようです。

 

その主なものは,この面内に入った粒子は再び外へ出てくることができないということです。このr=rg2Gm/c2の球面をシュヴァルツシルト面と言います。

シュヴァルツシルト時空で,(r,θ,φ)が一定の質点を考えると,これの描く世界線はds2(1-rg/r)dt2です。

 

そしてr>rgならds20 で時間的(time-like)ですから,ds2=cdT2-dX2-dY2-dZ2なる局所ローレンツ系の表現でdX=dY=dZ=0 として質点がその位置に留まることができます。

 

しかし,r<rgのシュヴァルツシルト面の内側なら(r,θ,φ)が一定dr=dθ=dφ=0 というのは,ds20 を意味し空間的(space-like)です。

 

これは局所ローレンツ座標(cT,)では|d|=(dX2+dY2+dZ2)1/2>c|dT|を意味しますから,物質がこのような世界線を取ることは不可能です。

 

そこでdr,dθ,dφがゼロではないとすることによってds20 と運動を表わす時間的なものにするためには,物質は静止状態ではなく動かざるを得ません。

光の道筋はdr/dt=±(1-rg/r)ですが,この境界である光円錐の向きを考えれば,ds20 はr>rgなら-(1-rg/r)-1dr<dt<(1-rg/r)-1drで,r<rgならdt<(1-rg/r)-1dr,dt>-(1-rg/r)-1drであること意味します。

 

r<rgのときには動径rが時間軸の役割を果たすように見えます。

古典論では,r>rgの観測者はr<rgに入った粒子から情報を得のることはできません。

 

r<rgの領域をブラックホールといい,r=rgをのシュヴァルツシルト面を事象の地平面ともいいます。

ここまでは,私が所持している通常のいくつかの書物に書かれている内容について,それらの行間を埋めてブログで平易に解説できるようにまとめたものですが,以下では持論をも書いてみます。

すなわち,2008年6/19の記事「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」で書いている内容ですが,

 

これは重力崩壊の途中での事象の地平面r=rg2Gm/c2の球面を与えるmは落下している星の表面の動径位置がrのときに,半径rの内部の質量m(r)を意味しており,それゆえrg2Gm(r)/c2と書けば,落下に伴なって変化するrと共に(r),したがってrgも変わってゆくというものです。

そこで,遠方の観測者にとっての固有時間tで表わした星の表面の自由落下の動径r方向の運動方程式であるdr/dt=-(1-rg/r)[1-(1-rg/r)/{1-rg/r(0)}]1/2において,r(0)=∞,つまりr→ ∞でdr/ds→ 0 or dr/dt→ 0 ,k2 1 (ds2=c2dt2)であるとして,dr/dt=-(rg/r)1/2(1-rg/r)なるものを考察しますが,

 

右辺のrg2Gm/c2の表現ではmを固定された星の質量と考えるのではなく,rより内側に既に崩落し累積している部分の物質の総質量m=m(r)と考えます。

今の場合は星の表面が自由落下し重力崩壊をしている最中なので,動径gが示す球面は,重力崩壊中ではない安定した星の固定された事象の地平面を意味するのではなくて,rgもm(r)と共に変動するrの関数であると考えるわけです。

そして,例えば星の構成物質の密度ρが一様でm=m(r)=4πρr3/3と書ける場合なら,g/r=2m/r=8πGρr2/(3c2)によって,dr/dt=-{8πGρr2/(3c2)}1/2{1-8πGρr2/(3c2)}=-{8πGρ/(3c2)}1/2{1-8πGρr2/(3c2)}となります。

これは初等的に積分できて,t=-{8πGρ/(3c2)}1/2lnr+(1/2)[ln|r+{3c2/(8πGρ)1/2}|+ln|r-{3c2/(8πGρ)1/2}|+constとなります。

 

例えば太陽程度の密度ρ~1kg/m3 を仮定すれば{3c2/(8πGρ)1/2} ~ 1011kmです。

したがって,重力崩壊中の星の表面の半径rについては,崩壊の最初から星の落下物質の位置の動径はr<{3c2/(8πGρ)}1/2(≒1011km)を満たすはずですから,解はt=-{8πGρ/(3c2)}1/2lnr+(1/2)ln{3c2/(8πGρ)-r2}+constです。

 

星の中心r=0 に向かって崩落してゆく過程では,最終到達点である中心:r=0 以外には全く特異点はなく,世界時間で見ても重力崩壊は有限な短時間で終了し,決して無限大時間を要することなど有り得ないと結論されます。

  

(太陽なら,t=-{8πGρ/(3c2)}1/2lnr+(1/2)ln{3c2/(8πGρ)-r2}+const.にr=rg≒3km=3000mを代入したものから,太陽半径r=RS≒7×108mを代入したものを引いた時間です。)

 

一様密度の星という特殊なモデルで考察しましたが,遠方の観測者にとってもブラックホールの形成時間が有限になるという結論は一般的に成立すると考えられ,モデルの選択には依らないと思われます。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

 

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2008年7月13日 (日)

重力崩壊とブラックホール(1)

 今日は,すぐ前に記述した重力場の球対称時空解の続きとして,星の重力崩壊の初等的モデルについて計算をしてみます。

なお,一般相対論とは直接関係しない星の構造や進化については,2006年11/29「星の重力平衡とエネルギーの流れ」から,続く11/30の「星の構造(ポリトロープガス球とエムデン解)」,12/1「星の進化とチャンドラセカール質量」のシリーズで書いたことがあります。

 これらは,2006年11/25,26の「高密度状態での陽子の中性子化(1)」,「高密度状態での陽子の中性子化(2)」から続いて,11/27「電離平衡のサハの式」,「高温状態での電子対発生」というプラズマ状態での核反応など,どちらかというと微視的メカニズムに主眼を置いていたシリーズの続きとして書いたものです。

 

 巨視的現象である重力崩壊についての記事は2006年8/25の「ブラックホールの形成時間」や,2008年6/19の「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」程度であまり詳細な計算を記述していませんでした。

 そこで,今回は重力崩壊について,より詳細に考察,計算してみます。

 まず,後の便宜上,一般相対論での固有長さ,固有時,固有体積の概念を共動座標系に伴なう量として明確に定義しておきます。

 一般に,任意の準拠系:Rにおける準拠点の座標をxμとし,同じ点の局所慣性系:Iにおける座標をXμとすると,ds2=gμνdxμdxν=ημνdXμdXνであり,dXμ(∂Xμ/∂xν)dxνです。

 

 そこで,計量テンソルについて,μν(∂Xρ/∂xμ)(∂Xσ/∂xνρσなる変換式が成立します。

 

 また,Rにおける準拠点の局所慣性系:Iにおける速度をとすると,vk/c=dXk/dX0(∂Xk/∂x0)/(∂X0/∂x0)と書けます。(Rに固定された準拠点なのでdxk=0 )

Rにおいて空間的に近接した任意の準拠点A,Bを取り,その空間座標をそれぞれ,xk,xk+dxkとします。

 

そして,Aが静止しBも近似的に静止している局所慣性系I0を取って,そこでのAの局所座標をXμとします。

 

このとき,I0におけるAの速度についてはvk/c=0 なので,∂Xk/∂x00 が成立しています。

そこで,I0でのある測定時刻におけるA,Bの同時的な空間距離は,dXk(∂Xk/∂xν)dxν(∂Xk/∂xl)dxlで与えられます。

 

そこで,この同時刻での3次元ベクトル(dXk)の空間的な長さをdσと書いて固有長さと呼びます。

 

つまり,dσ2≡Σk=13(dXk)2=γijdxidxjij(∂Xk/∂xi)(∂Xk/∂xj)=(∂X0/∂xi)(∂X0/∂xj)-gijと定義します。

 

係数,γijは空間計量テンソルと呼ばれます。

ところで,gμ0(∂X0/∂xμ)(∂X0/∂x0)-(∂Xk/∂xμ)(∂Xk/∂x0)=(∂X0/∂xμ)(∂X0/∂x0)より,gi0(∂X0/∂xi)(∂X0/∂x0),(∂X0/∂x0)=(g00)1/2です。

 

それ故,γi(∂X0/∂xi)=gi0/(g00)1/2と定義すればij=-gij+γiγj=-gij+gi0j0/g00と書けます。

 

よって,一般に-γijは計量テンソルgμνの空間部分gijに等しくはなくて,-γij=gijが成立するのはgi00,あるいはγi0 (i=1,2,3)の場合のみです。

そして,準拠系内に与えられた準拠点Aに静止する標準時計Cにおいては,dxk0 なので,その描く世界線はds2=g00(dx0)2で与えられます。

t=x0/cはAに置いた座標時計の示す時間ですが,Cの示す時間変動はds2=c2dτ2を満たす固有時τで与えられます。

 

これはCに対して瞬間静止する慣性系I0での時空座標をX(0)μ表現するとき,ds2はRとI0のどちらの座標系から見ても不変であり,dX(0)k0,dX(0)0=cT(0)なので,ds2=c2dτ2=c2(dT(0))2ですからdT(0)=dτですが,時間T(0)0中に静止して時を刻む標準時計の時間だからです。

そして,ds2=g00(dx0)2dτ=(g00)1/2dtを意味するので,(g00)1/2は標準時計C(共動座標系)と座標時計の時間の進む速さの比を示しています。

さらに,γ≡det(γij)とすると,gij=-γij+gi0j0/g00によって,γ=-g/g00;g≡det(gμν)が得られます。

 

共動座標系での4次元不変体積を示す等式dΣ=cdTdXdYdZdet(∂Xμ/∂xν)(Πν=03dxν)=(-g)1/2ν=03dxν)を,固有時間cdτ=(g00)1/2dx0=cdTで割ったものを3次元の固有体積と呼び,dVp=γ1/2dx1dx2dx3と書きます。

これらを用いて,さらに,星の質量と関連した重力質量と固有質量の概念を述べておきましょう。

 

共動座標系で星の中心を原点とする球対称時空の計量はc=G=1の自然単位ではds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)です。

 

上述の固有体積の表現におけるγ1/2はγ1/2exp(λ/2)r2sinθで与えられるので動径rとr+drに挟まれた球殻の固有体積は,dVpexp(λ/2)r2dr∫sinθdθdΦ4πr2exp(λ/2)drです。

そこで,星の中の動径rの位置での核子の数密度をnN(r)とすると,全核子数は共動座標系では固有体積で積分して,NN4π∫0RN(r)exp(λ/2)r2dr=4π∫0RN(r){1-2m(r)/r}-1/22drです。

 

そこで核子の質量をmNとし,それ以外の微小質量の電子などの質量を無視すれば,星の密度はρm(r)=mNN(r)で与えられ,密度と固有体積の積の積分で与えられる星の質量をMm=∫0Rρm(r)dVp4π∫0Rρm(r){1-2m(r)/r}-1/22drと書いて,これを星の静止固有質量と呼びます。

 さらに,(静止エネルギー)+(運動エネルギー+相互作用エネルギー)の全エネルギーによる密度をρ(r)≡ρm(r)+ρI(r)と書けば,ρm(r)のみの寄与による質量Mmは,ρI(r)をも加えた効果を加えた質量Mp=∫0Rρ(r)dVp4π∫0Rρ(r){1-2m(r)/r}-1/22drに変わります。

 

 このMpを星の固有質量と呼びます。これに対し,密度と座標系に依存する通常の体積の積の積分で与えられる質量M≡4π∫0Rρ(r)r2dr=m(R)を重力質量といいます。

 ニュートンの万有引力の近似では,普通の単位でm(r)/r→Gm(r)/(c2)<<1,ρm(r)>>ρI(r)なので,M≡4π∫0Rρ(r)r2dr=∫0Rm(r)+ρI(r)}exp(-λ/2)dVp=∫0Rm(r)+ρI(r)}{1-2m(r)/r}1/2dVp~∫0Rρm(r)dVp+∫0RρI(r)dVp-∫0Rm(r)m(r)/r}dVp=Mm(UI-Ω)です。

 

 ここにΩ≡∫0Rm(r)m(r)/r}dVpは万有引力による結合エネルギー,I≡∫0RρI(r)dVpは内部エネルギーです。通常の単位ならM=Mm(UI-Ω)/c2,Ω≡G∫0Rm(r)m(r)/r}dVp,UI≡c20RρI(r)dVpです。

  

 一方,p=∫0Rρ(r)dVp=Mm+UI/c2ですから,重力結合による質量欠損はΔM=Mp-M=Ω/c2です。

 

 中性子星のモデルで計算すると,多くの場合Mp>Mm>Mですが,重力Ωが十分大きいとMp>M>Mmとなります。

 

 これはΩ>UIが実現したためであろうと解釈されますから,重力だけでなく,内部エネルギーUIもまた現実に星の質量に寄与していることがわかります。

特に圧力:P=0 の物質をダスト物質と呼びますが,以下では星が球状のダスト物質でできている場合の重力崩壊を考察します。

 

また,時空の計量はds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)ですが,=rと置けるとは限らない一般の場合を考えます。

さて,以前の記事で既述したことを用いれば次のようになります。

共動座標系に乗った観測者の固有時間τはdτ2=exp(2ψ)dt2,つまりdτ=exp(ψ)dtで与えられ,それ故τによる偏微分をDτなる記号で表わすことにすれば,例えば(r,t)のτによる偏微分はDτと書けますが,さらにDτをUと表記すると,U≡Dτ≡∂/∂τ=exp(-ψ)dです。

 

ただし時間微分d≡∂/∂tとしています。

 

そして,Uをさらにrで偏微分するとU'=exp(-ψ)('d-ψ'd)exp(-ψ)'d-ψ'Uとなります。

 

ただし動径微分を'≡∂/∂retc.と表記しています。

そして,Dτln'= exp(-ψ)'d/'=U'/'+Uψ'/'によってτln'=(∂U/∂ )t+U(∂ψ/∂ )tです。

 

exp(λ/2)='(1+22m/ )-1/2より,λ/2=ln '-(1/2)ln(1+22m/ ),Dτλ=2τln'-τln(1+22m/ ),またDτλ=2U'/'=2(∂U/∂ )tです。

 

故に,2(∂U/∂ )t2(∂U/∂ )t2U(∂ψ/∂ )tτln(1+22m/ )となります。すなわち,Dτln(1+22m/ )=2U(∂ψ/∂ )tです。

 

そこで,エネルギー運動量テンソルの保存則を示す条件式μν0 の1つ(∂ψ/∂r)t=-(∂P/∂r)t/(ρ+P)を代入することにより,実際に解ける形の運動方程式Dτln(1+22m/ )1/2(∂ψ/∂)t=-U(∂P/∂)t/(ρ+P)が得られます。

今は星がダスト球であって,P=0 なので,1+22m(r,t)/ =(時間的に一定)となり,また(∂ψ/∂r)t=0 なのでψは空間座標rに依存しません。

 

ψがtだけの関数なので,共動座標系の固有時間:dτ=exp(ψ)dtで与えられるτを改めて座標時間tと考えます。

 

すると,Dτt=∂/∂tを意味するので,上述のU=Dτ exp(-ψ)dはU=dと書けます。

そこで,1+22m(r,t)/ =(時間的に一定)の左辺の(r,t)が時間tに独立∂m/∂t=0 でm(r,t)=m(r)と表現できるなら,(1/2)( d)2-m(r)/=(一定)となって,これはニュートン力学の万有引力の中での自由落下の際の(力学的エネルギー)=(運動エネルギー+位置エネルギー)の保存の式と同じになります。

そして,実際にtm=∂m/∂t=0 を示すこともできます。

 

まず,tln(1+22m/)1/2=-U(∂P/∂)t/(ρ+P)から,(1/2)Dtln(1+22m/)=(UDtU+mt/2-Dt/)/(1+22m/)=-U(∂P/∂)t/(ρ+P)です。

これに,以前の記事で得られた運動方程式tU=-{(1+22m/)/(ρ+P)}(∂P/∂)t-(m+4π3)/2}を代入すると,-U(∂P/∂)t/(ρ+P)+(t/2-mU/24πPU-Dt/)/(1+22m/)=-U(∂P/∂)t/(ρ+P)を得ます。

 

したがって,Dtm=-4π2PUですから,P=0 のときは確かに,Dtm=∂m/∂t=0 が成立します。

 さて,運動方程式(1/2)(d)2-m(r)/=(一定)の右辺の一定値を{Γ(r)21}/2 と書いて,(d)22m(r)/=Γ(r)21とします。

 

 するとexp(λ/2)=(∂/∂r)(1+22m/)-1/2,およびU=dから,exp(λ)=(∂/∂r)2/Γ(r)2と書けます。

 

 これによって,Γ(r)20 なる条件が得られます。

 

 そして,時空計量はds2=dt2{'/Γ(r)}2dr22(dθ2sin2θdφ2)と表わされます。

方程式(d)22m(r)/=Γ(r)21の重力崩壊:d0 に対応する解は各rに対して,∫d[/{2m+(Γ21)}]1/2=-∫dtで与えられます。

ここでr=(一定)では,d(∂/∂t)rであり,m(r)もΓ(r)も時間的に一定の定数と考えることができるとしています。

そこで21>0 の場合は=0 になる時刻をt=t0 とおけば,(Γ21)-1/20[/{+2m/(Γ21)}]1/2=t-t0です。

 

積分を実行すると,最終的な形として0(r)-t21)-1{2m+(Γ21)2}1/22m(Γ21)-3/2sinh-1[{(Γ21)/(2m)}1/2],sinh-1(x)=ln{x+(x-1)1/2}が得られます。

 

そこで,→ 0 のとき,{2m+(Γ21)2}1/2 (2m)1/2(1/2)(2m)1/221)/(2m),すなわちt0(r)-t (2/3)(2m)1/23/2となることがわかります。

また21<0 の場合はt0(r)-t(1-Γ2)-1{2m+(1-Γ2)2}1/22m(1-Γ2)-3/2sin-1[{(1-Γ2)/(2m)}1/2]です。

 

このときも→ 0で,t0(r)-t (2/3)(2m)1/23/2です。

 

そしてΓ21=0 の場合には,d=-(2m/)1/2より=(3/2)2/3(2m)1/3{t0(r)-t}2/3が得られます。

以上から,t→0(r)(→ 0)の極限では,Γ2の値に関わらず,~(3/2)2/3(2m)1/3{t0(r)-t}2/3となることがわかります。

この最後の表式から,t→0(r)においてexp(λ/2)=(∂/∂r)Γ-1 6-1/3'm-2/3Γ-1(t0-t)2/3(2/3)1/3(2m)1/30-1(t0-t)-1/3により,exp(λ/2) ~ (2/3)1/3(2m)1/30-1(t0-t)-1/3となります。

 

そこで,exp(λ/2)drに比例した動径方向の固有距離は,t→0(r)では無限大に発散し,一方,固有体積はVp∝∫2exp(λ/2)dr∝∫{t0(r)-t}drなので,ゼロに近づきます。

 

また,(∂m/∂)t2ρよりρ='/(2')ですが,t→0(r)では,  (3/2)2/3(2m)1/3{t0(r)-t}2/3なので,結局ρはρ∝ ('/m){t0(r)-t}-1のように挙動します。

そして,m=m(r)により,(∂m/∂)t2ρはd/dr=2ρ(∂/∂r)tと書けます。

 

もしも一様密度の星ならρ=ρ(t),かつP=0 なので,重力場の方程式μν(1/2)δμνR=8πTμνの右辺:8πTμνは全てtだけの関数になるため(r,t)≡a(t)g(r)と変数分離が可能で,特にg(r)≡r,すなわち(r,t)≡a(t)rなる解も可能です。

実際,重力場の方程式の成分で自明でないものは{λdd/(d/)2}exp(-2ψ)+{-2"/('/)2+λ''/}exp(-λ)+1/28πρ,{2'd/-λd'/2ψ'd/}exp(-λ)0 ,{22d/(d/)2dd/}exp(-2ψ)+{-('/)22ψ''/}exp(-λ)+1/2=-8πP,{λ2d/2d/2)22d/-λdψd/2-ψdd/+λdd/(2)}exp(-2ψ)+{-ψ"-ψ'2"/-ψ'('/-λ'/2)+λ''/(2)}exp(-λ)=-8πPの4つだけです。

これは,今の場合,P=0,ρ=ρ(t),ψ≡0 なので,これらを代入すれば{λdd/(d/)2}+{-2"/('/)2+λ''/}exp(-λ)+1/28πρ,{2'd/-λd'/}exp(-λ)0 ,{22d/(d/)2}-('/)2exp(-λ)+1/2=0 ,{λ2d/2d/2)22d/+λdd/(2)}+{"/+λ''/(2)}exp(-λ)=0 と書けます。

そこで(r,t)≡a(t)g(r)と置くことができれば,これらはλdd/a(ad/a)2+{-2g"/g(g'/g)2+λ'g'/g}exp(-λ)+1/(a22)=8πρ(t),{2d'/(ag)-λd'/g}exp(-λ)=0 ,2a2d/a(ad/a)2-(g'/g)2exp(-λ)+1/(a22)=0 ,λ2d/2d/2)22d/a+λdd/(2a){-g"/g+λ'g'/(2g)}exp(-λ)=0 なる連立方程式になります。

2番目の方程式{2d'/(ag)-λd'/g}exp(-λ)=0 からg'≠0 ならλd=2d/aとなります。

 

そこでλ2d=22d/a-2(ad/a)2です。

 

これらを残りの式に代入すると,3(ad/a)2+{-2g"/g(g'/g)2+λ''/g}exp(-λ)+1/(a22)=8πρ(t),2a2d/a(ad/a)2-(g'/g)2exp(-λ)+1/(a22)=0 ,2a2d/a+(ad/a)2+{-g"/g+λ''/(2g)}exp(-λ)=0 となります。

 

得られた3つのうちの2番目の式 2a2d/a(ad/a)2-(g'/g)2exp(-λ)+1/(a22)=0 から1番目の式 3(ad/a)2+{-2g"/g(g'/g)2+λ''/g}exp(-λ)+1/(a22)=8πρを引いて2で割ると,2d/a-(ad/a)2+{g"/g-λ''/(2g)}exp(-λ)=-4πρです。

 

また,3番目の式は,2a2d/a(ad/a)2{g"/g-λ''/(2g)}exp(-λ)=0 です。

 

これらを辺々加えると,3a2d/a-4πρ,あるいはa2d=-4πρa/3となります。

 

よって,d/dt{(ad)2+4πρa2/3}=0 ,すなわち(ad)2+4πρa2/3=const.が得られます。

 

そこで,ρ=ρ(t)の場合には,実際に(r,t)≡a(t)g(r)なる仮定からg(r)とは独立にa(t)を解くことができます。

 

またg'≡0 の場合には,(r,t)はa(t)の定数倍ですから明らかに変数分離可能です。

 

したがって,いずれにしても一様密度の星ρ=ρ(t)の場合には(r,t)≡a(t)g(r)なる変数分離解が可能なことが示されました。

 

しかし,(ad)2+4πρa2/3=(定数)なる表式では,両辺にg(r)2を掛けたとき,(d)2m(r)/=(定数)g(r)2となり,先の一般的に成立する式(d)22m(r)/=Γ(r)21とは係数や符号が微妙に合致しないような気がするので,どこかに間違いがあるかもしれません。

 

特に,g(r)≡rの特別な場合を仮定しても,a2d=-4πρa/3,(ad)2+4πρa2/3=(定数)が成立することに変わりはなく,例えば2a2d/a(ad/a)2-(g'/g)2exp(-λ)+1/(a22)=0 は(g'/g)2exp(-λ)-1/(a22)=-4πρ(t)を意味します。

 

これにg=r,g'=1を代入すると(1/r2){exp(-λ)-1/a2}=-4πρ(t)となり,これとa2d=-4πρa/3,λd=2d/aを連立させたa=a(t)を未知関数とする方程式は確かに解を持ちますから,(r,t)≡a(t)rなる形の解も可能です。

 

(r,t)≡a(t)rなる形で,a(0)=1,つまり(r,0)=rの解では,mの定義(r,t)=∫0 4πρξ2dξにおいて,一様密度ρ=ρ(t)により,m(r,t)=4πρ3/3=4πρ(t)a(t)33/3ですが,左辺は時間に無関係であって,m(r,t)=m(r)と書けますから,ρ(t)a(t)3ρ(0)(一定)となります。

このとき,一般的な運動方程式(d)22m(r)/=Γ(r)21から,Γ(r)21+(ad)228πρ(0)r2/(3a)=1+r2{(ad)28πρ(0)/(3a)}となりますが,∂Γ(r)2/∂t=0 なので,(ad)28πρ(0)/(3a)=-k=一定,Γ(r)21-kr2と書くことができます。

それ故,計量ds2=dt2{ '/Γ(r)}2dr22(dθ2sin2θdφ2)はds2=dt2-a(t)2{dr2/(1-kr2)-r2(dθ2sin2θdφ2)}となって,一様等方宇宙モデルのロバートソン・ウォーカー計量(Robertson-Walker metric)と同じ形をしています。

しかし,ロバートソン・ウォーカー計量ではa(t)は宇宙の空間的規模を示すパラメータで,膨張宇宙の初期条件a(0)=0 と,膨張の境界条件ad0 を持つ場合の解であり,rの変域も違っています。

  

一方,今の場合,a(t)は星の半径に対し=a(t)rで与えられるパラメータであって,重力崩壊の初期条件a(0)=1と収縮の境界条件ad0 に対応しています。

そして,(ad)28πρ(0)/(3a)=-kは初等的に解けます。ad(0)=0 なる初期条件を与えると,これはk=8πρ(0)/3を意味します。

 

そして重力崩壊の初期条件a(0)=1,ad(0)=0と収縮の境界条件ad0 を満たす解はad=-{k(1/a-1)}1/2より,∫da[a/{k(1-a)}]1/2=-∫dtです。

変数置換によって積分を実行すると,解は結局t=(η+sinη)/(2k1/2),a=(1/2)(1+cosη)=cos2(η/2)となります。

 

これはt=0 でη=0 によってa(0)=1を満足していて,η=πではa(0)=0 となるので,η=πに対応する時刻をt=TとするとT=π/(2k1/2)=(π/2)[3/{8πρ(0)}]1/2です。

 

つまり,t=0 で静止していた球状の一様密度のガス球が,有限時間Tの後には中心の1点に崩壊することを示していると思われます。

今日は一応,これで中断します。

 

ここまでの話は,星の内部各点に固定された"共動座標の時間=固有時間"をtとして,これを中心とした見方をしてきましたが,次回は遠方の観測者から見た重力崩壊現象と,その観測者の座標系の時間などについて考察する予定です。

 

例えば光子に固定した質量のない仮想標準時計は,その光子と共にたとえ50光年離れた星で反射されて100年後に帰ってきても,全く時を刻まないはずですから,ある意味で高速物体に固定された"共動座標の時間=固有時間"など実際の観測さえむずかしいような量には,物理としてどの程度興味を覚えるかは私自身も疑問ですね。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店),メラー著「相対性理論」(みすず書房)

 

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2008年7月 9日 (水)

球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(4)

 球対称時空解の続きです。

 

 具体的に,真空中の重力場の方程式の球対称解を求めます。

再び,一般的な球対称時空の計量(metric):ds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)に戻ります。

 

(r,t)なので,d=(∂ /∂t)dt+(∂ /∂r)dr=ddt+'drですが,特に,物質非存在の真空を対象とするような共動座標など考える必要のない静的な場合や,物質が存在しても定常な場合では,d=∂ /∂t=0 です。

そこで,このときには (r),'=d /drであってdr='-1となりますから,これを代入すれば計量はds2exp(2ψ)dt2'-2exp(λ)d22(dθ2sin2θdφ2)となります。

 

そして,'-2exp(λ)を改めてexp(λ)と定義し直し,を単にrと書くなら(あるいは,単に(r)≡rとして'=d /dr=1とするなら),さらにds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)と簡単になります。

これは,これまで得られた重力場の方程式で=rとし,'=1,"=0 ,d2d0 とすることを意味します。

,空間原点r=0 には物質やエネルギーの重力源が集中して存在しても,その点を除く位置(r≠0 の領域)は物質のない真空であって,密度がρ=0 ,圧力がP=0 であり,それ故,そこではエネルギー運動量テンソルμν(P+ρ)uμν-Pgμνが全てゼロであるような場合を考えます。

このとき,r≠0 のμν=0 の領域での重力場の方程式は,μν(1/2)δμν0 となります。

 

この方程式で,さらに定常:d=λd=ψd0 であって,=rとしてよい場合を考えると,先のゼロでない4つの成分に対する方程式:00(1/2)R=0 ,R01-(1/2)R=0 ,R11-(1/2)R=0 ,R22-(1/2)R=0 は,2つめの式が 0=0 と自明な恒等式となって無意味です。

 

残りの3つには意味があって,(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,(-1/r22ψ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,{-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r-λ'/2)+λ'/(2r)}exp(-λ)0 と簡単化された式になります。

前の2つの方程式からλ'+2ψ'=0 となりますが,これはλ+2ψ=(定数)を意味します。

 

そして,r→ ∞では時空は平坦なはずなのでds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)における2つの係数は,exp(2ψ),exp(λ)→1,つまり,ψ,λ→ 0 となります。

 

それ故,λ+2ψ→ 0となるのでλ+2ψ=(定数)の定数はゼロに等しく,λ+2ψ=0 が成立するはずです。

一方,(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 より,(1-rλ')exp(-λ)=1,すなわちd(rexp(-λ))/dr=1です。

 

そこで,Cを積分定数としてexp(-λ)=1+C/r=exp(2ψ)です。

 

ここで,前記事での等式exp(-λ)=(1+22m/ )/(')2からの類推から,C=-2mとおくと,結局exp(-λ)=1-2m/r=exp(2ψ)と書けます。

λ=-ln(1-2m/r)=ln(r)-ln(r-2m)ですから,rで微分するとλ'=1/r-1/(r-2m)=-2ψ',λ"=-1/r2+1/(r-2m)2=-2ψ"です。

λ+2ψ=0 より,重力場の3番目の方程式-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r -λ'/2)+λ'/(2r)0 で,ψ=-λ/2を代入すれば,λ"-λ'22λ'/r=0 が得られます。

 

左辺に,上で求めたλ'=1/r-1/(r-2m),λ"=-1/r2+1/(r-2m)2を代入すると,これは確かにゼロになるので,1,2番目の連立方程式の解は3番目の方程式を満足します。

以上から,重力場の球対称な真空定常解を表現する解は,exp(-λ)=1-2m/r=exp(2ψ)によって与えられると考えられます。

これは元々の計量:ds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr2-r2(dθ2sin2θdφ2)が,ds2(1-2m/r)dt2-dr2/(1-2m/r)-r2(dθ2sin2θdφ2)と表わされることを意味します。

 

この表現の解は,シュヴァルツシルトの(外部)解としてよく知られているものです。この計量が表わす時空をシュヴァルツシルト時空と呼びます。

次に動径 については =rとして'=1,"=0 ,d2d0 とすることができるけれど,以外の変数の時間変化:λdd etc.については,必ずしもゼロではない非定常な球対称真空解を求めることを考えてみます。

この場合,ゼロでない4つの方程式00(1/2)R=0 ,R01-(1/2)R=0 ,R11-(1/2)R=0 ,R22-(1/2)R=0 は,次のようになります。

 

(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,(-λd/r) exp(-λ)0 ,{(-1/r22ψ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,(λ2d/2d/2)2-λdψd/2)exp(-2ψ)+{-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r-λ'/2)+λ'/(2r)}exp(-λ)0 の4つです。

そして2番目の方程式(-λd/r)exp(-λ)0 から,λd0 であることがわかります。

 

これを最後の4番目の方程式に代入すると,{-ψ"-ψ'2-ψ'(1/r-λ'/2)+λ'/(2r)}exp(-λ)0 となります。

 

その結果,2番目以外の残る3つの方程式系は前の定常性を仮定した方程式系と全く一致します。

 

これは非定常真空解も,定常解である同じシュヴァルツシルト時空であることを意味しています。

 

これはバーコフの定理(Birkhoff's theorem)として,よく知られている事実です。

バーコフの定理は,"球対称の真空解は常に定常解であること,あるいは球対称に分布した物質が,たとえ動径方向に時間的に変化しても,球対称性を破ることがなくて星の総質量mが不変であれば,外場としての時空は定常なシュヴァルシルト時空であること,

 

そして,内部の時間変動によって重力波が発生したりすることなどはないこと”を意味しています。

なお,シュヴァルツシルトの(外部)解を自然単位から通常の単位に戻すのは,単に2mを2Gm/c2とするだけですから,通常の単位での,シュヴァルツシルトの計量はds2=c2dτ2{1-2/(2)}dt2-dr2/{1-2/(2)}-r2(dθ2sin2θdφ2)となります。

続いて,球状の星の内側の場を表わす,定常な球対称内部解を求めることを考えます。

密度ρが一様であるような星を考えます。ρ=一定なので,m(r)=∫0r4πr2ρdr=4πρr3/3です。

 

そこで,exp(-λ)=1-2m/r=1-8πρr2/3,あるいは exp(λ)=(1-2m/r)-1(1-8πρr2/3)-1ですね。

星の内部は真空ではなく,物質が存在するので,先に求めた真空の外部解に対応する表式:exp(-λ)=1-2m/rを星の内部に流用するのは適切ではないような気がします。

 

しかし,rよりも外側の物質質量の,半径rの位置での重力への寄与は,ニュートンの万有引力の場合と同様,球対称性の故に完全に相殺されてゼロとなり,この位置の重力への全ての寄与は外部が真空であるか否かに関わりなく,rの内部の質量m(r)のみであると考えられます。

 

そこで,依然として,シュヴァルツシルトの外部解の式が有効でありexp(-λ)=1-2m/r=1-8πρr2/3としてよいと思います。

  

もっとも,一般的な重力場の方程式は線型ではなく,もはや重ね合わせの原理は成立しないので,"全体の重力は,それを構成する部分の寄与の単純和で与えられる"という論理が,この場合にも適用可能かどうか,いささか自信がありませんが。。。

 

※PS:非線型で重ね合わせの原理が成立しないということは,グリーン関数が使えない,つまり,量子論だとファインマン・ダイアグラムの基になるファインマン伝播関数=プロパゲータも使えなけりゃ,スペクトル展開もできません。。

 

もっとも普通の意味の摂動論からして成立しないでしょう。非線形だから級数展開が意味を持たないのはとても困ります。

 

数値計算に頼る他ない流体力学のナビエ・ストークス方程式などと同様,"重力場恐るべし"ということを再確認しましたね。。

 

今の球対称重力場の特別な場合は,ゼロでない4つの重力場の方程式のうち,最後の方程式以外は線型になっていて,シュヴァルツシルト外部解は線型方程式だけから導出されるのですが,それが最後の非線形な式λ"-λ'22λ'/r=0 を満たすかどうかで解になるかどうかがテストされるわけです。

 

これ以外の方程式はλとexp(-λ)の両方について線型ですが,λ=λ1,λ=λ2が共にλ'の2次式であるλ"-λ'22λ'/r=0 を満たすときに,λ≡λ1+λ2も解であるならλ12'=0 であるべきことがわかります。

 

r→ ∞でexp(λ)→1すなわちλ→ 0 なる境界条件を無視すれば,λ1'=1/r-1/(r-2m1),λ2'=1/r-1/(r-2m2)より,??? ← 方程式が線型でないので当たり前ですね。

 

結局,非線形方程式を重ね合わせで説明するのは誤りで,導出の経過はどうあれ最終的に求められたものが解であるかどうかは方程式に代入してみて,それらの式が確かに満足されるかどうかだけで決まります。

 

球対称内部解が確かに解であることを確かめればいいのです。

 

とはいえ,mを定数と考える限り外部解が解であることは既にわかっていて,それはmが定数なら一般解exp(-λ)=1+C/r=exp(2ψ)での積分定数Cが=2mと置けることを保証しています。

 

しかし,m ∝r3の場合,exp(-λ)=1-2m/r=1-8πρr2/3の場合には真空中の定常解についての方程式(-1/r2+λ'/r)exp(-λ)+1/r20 ,すなわち1/r2[1-(d/dr){rexp(-λ)}]=0 に対してλの一般解がexp(-λ)=1+C/r=exp(2ψ)で与えられるべきであるという真空解の条件が満足されません。

 

しかし,解の導出の途中過程で真空中の外部解に基づく考察がなされていても,最終的な球対称内部解は外部解が満たす真空中の方程式 1/r2[1-(d/dr){rexp(-λ)}]=0 ではなく,もっと一般的なゼロでない密度ρに対する方程式 1/r2[1-(d/dr){rexp(-λ)}]=8πρと等価なTOV方程式を満たすことがわかるので,これは解である要件を満足しています。(PS終わり)※

 

一方,以前,定常の場合,τU=0 ,U=τ 0 の場合には,一般的な運動方程式から,TOV方程式(Tolman-Oppenheimer-Volkoff's equation):(∂P/∂ )t=-(ρ+P)(m+4π 3)/{ 2(12m/ )}が成立することを述べました。

 

これは今の場合には,-dP/dr=4πr3(ρ/3)(ρ+P)/{r2(1-8πρr2/3)},すなわち-dP/{(P+ρ)(P+ρ/3)}=4πrdr/(1-8πρr2/3)の成立を意味します

そこで,両辺を積分すると,{3/(2ρ)}ln{(P+ρ)/(P+ρ/3)}=-{3/(4ρ)}ln(1-8πρr2/3)+定数より(P+ρ)/(3P+ρ)=A/(1-8πρr2/3)1/2となります。

 

これはr=RS(星の表面;RSは星の半径)で,圧力がゼロ(P=0)という境界条件を与えると,A=(1-8πρRS2/3)1/2,or (P(r)+ρ)/(3P(r)+ρ)=(1-8πρRS2/3)1/2/(1-8πρr2/3)1/2となります。

そこで,この星の質量をMとするとM=m(RS)=4πρRS3/3なので,逆にρ=3M/(4πRS3)です。

 

したがって,(r)={3M/(4πRS3)}[{(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2}/{(1-2Mr2/RS3)1/23(1-2M/RS)1/2}]を得ます。

ところで,TOV方程式は,前の記事で時空連続体を完全流体と仮定し,一般の重力場の方程式μν(1/2)δμνR=8πTμν右辺のエネルギー運動量テンソルμνが自然単位でμν(P+ρ)uμν-Pgμν (uμ≡dxμ/dτ)なる形に表現される場合,

 

しかも,球対称である条件u0=dx0/dτ=dt/dτ=exp(-ψ),ukdxk/dτ=0 が満たされる場合の定常状態での解に対して得られたものです。

そして,一般にエネルギー運動量テンソルの保存則を示す条件式μν0 は,μν(-g)-1/2[∂{(-g)1/2μν}/∂xν]-(1/2)(∂gνλ/∂xμ)Tνλ0 と変形できます。

 

00ρ,T112233=-Pなので,それらは∂ρ/∂t+(ρ+P)(λd/2+2 d/ )=0 ,∂ψ/∂r=-(∂P/∂r)/(ρ+P),∂P/∂θ=∂P/∂φ=0 の4つの式に帰することは既に見ました。

定常な星の内部解を求めている今の場合は,P=P(r)ですから,∂P/∂θ=∂P/∂φ=0 は最初から満たされていて,ρ=一定であり,λd/2= d0 です。

 

そこで,∂ρ/∂t+(ρ+P)(λd/2+2 d/ )=0 も自明ですから,意味のある式は,∂ψ/∂r=-(∂P/∂r)/(ρ+P)のみですが,これは今の場合にはdψ/dr=-(dP/dr)/(ρ+P)です。

右辺にTOV方程式:-dP/dr=4πr3(ρ/3)(ρ+P)/{r2(1-8πρr2/3)}を代入すると,dψ/dr=4πr(ρ/3)/(1-8πρr2/3)ですから,ψ(r)=∫[4πr(ρ/3)/(1-8πρr2/3)]dr=4π∫rdr(P+ρ/3)/(1-2Mr2/RS3)]を得ます。

そこで,u≡(1-2Mr2/RS3)1/2,{S3/(2M)}udu=-rdrと変数rをuに置換し,(P+ρ)/(3P+ρ)=A/(1-2Mr2/RS3)1/2,A=(1-2M/RS)1/2から,(P+ρ)/(3P+ρ)=1/3+(2ρ/9)/(P+ρ/3)=A/uによってP+ρ/3=(2ρ/3){u/(3A-u)}とします。

 

ρ=3M/(4πRS3)より,ψ(r)=4π∫rdr(P+ρ/3)/(1-2Mr2/RS3)=∫du/(u-3A)=ln|u-3A|+定数と積分されます。

したがって,exp(2ψ)=B[3(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2]2(Bは積分定数)ですが,r=RSでシュヴァルツシルトの外部解exp(2ψ)=1-2M/RSに一致することを要求すれば,B=1/4を得ます。

 

すなわち,exp(2ψ)=(1/4)[3(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2]2exp(-λ)です。

 

こうして,exp(2ψ),exp(λ)の1つの解が得られましたが,これをシュヴァルツシルトの内部解と呼びます。

しかし,これが物理的に意味を持つ解であるためには,星の総質量Mと半径RSには,ある制限が付きます。

 

以下,これを説明します。

 

(r)={3M/(4πRS3)}[{(1-2M/RS)1/2(1-2Mr2/RS3)1/2}/{(1-2Mr2/RS3)1/23(1-2M/RS)1/2}]において,r=0 として星の中心の圧力P(0)を求めると,P(0)={3M/(4πRS3)}[{(1-2M/RS)1/21}/{1-3(1-2M/RS)1/2}]となります。

 

ここで,A=(1-2M/RS)1/2とおけば,これは(0)={3M/(4πRS3)}{(A-1)/(1-3A)}と書けます。

 

Aの定義から明らかに,A-1<0 ですから,中心圧力(0)が正の値であるためには,1-3A<0 が必要です。

つまり,合理的な中心圧力を得るには,9A21,すなわち 9M/4<RSが必要になりますが,Mを通常単位のGM/c2に戻すと,これは 9GM/(4c2)<RSを意味します。

  

これがシュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つ解であるための条件であると考えられます。

 

これが満足されないなら,半径Mが連続的に増加してゆく途中で,r=0での星の中心圧力(0)がどこかで∞になってしまうような非物理的閾値を通過すると思われるからです。

ところで,シュヴァルツシルト(外部)解:ds2=c2dτ2{1-2/(2)}dt2-dr2/{1-2/(2)}-r2(dθ2sin2θdφ2)でmを星の質量Mにすると,ds2=c2dτ2{1-2GM/(2)}dt2-dr2/{1-2GM/(2)}-r2(dθ2sin2θdφ2)と書けます。

 

この表現では,1-2GM/(2)0 となる半径r=rg≡2GM/c2に計量の分母がゼロになる特異点があるように見えます。このrg≡2GM/c2はシュヴァルツシルト半径と呼ばれています。

そこで,もし質量Mの星の半径RSがシュヴァルツシルト半径rgよりも小さい:RS<rgなら,星の外部の真空領域,半径がr>RSの領域にr<rgなるシュヴァルツシルト半径の内側が存在することになります。

 

このような星はブラックホールと呼ばれていて,シュヴァルツシルト半径r=rgにおける球面は光も脱出できない面なので事象の地平面と呼ばれます。

 

そして,星がブラックホールであるための条件は,RS<rg=2GM/c2,またはM>2S/(2G)と書くことができます。

 

逆に半径Sが固定されているときの限界質量:2S/(2G)をMgと書けば,同じブラックホールの条件は質量表現でM>gと書けます。

一方,先に求めたシュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つ条件 9GM/(4c2)<RSは,rg,またはMgを用いるとRS(9/8)rg,またはM<(8/9)Mgと書けます。

 

これらは,シュヴァルツシルトの内部解が物理的に意味を持つなら,この球対称星はブラックホールであるための条件を決して満足しないことを意味します。

 

こうしたシュヴァルツシルトの内部解が存在するための条件については,以前の2006年8/25の記事「ブラックホールの形成時間」にも証明抜きで書いています。

しかし,そもそもシュヴァルツシルトの内部解は,球対称な星で密度が一様であるとの理想化から求めた単なる1つの模型です。

 

上に述べたことが,実際に完全には球状でなく密度が一様でもない星を重力源とするような現実のブラックホールの存在を否定するわけではないと思います。

一応,今回のテーマについては,これで終わりにします。

 

続く記事の予定として,このテーマを自然に引き継ぐものとして,2006年8/25の「ブラックホールの形成時間」や2008年6/19の「重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察」の記事とも深く関連した重力崩壊についての初歩的な部分の計算,数値計算に頼らずともできる部分の考察に移行するか,

 

あるいは,自分でも完全には釈然としない一般相対論の時空多様体の幾何学の意味を通常の空間曲線や曲面の直感的で平易な概念と結びつけて物理的に解釈したり,

 

または擬リーマン多様体の微分幾何学を数学的に追求して,さらに接続概念やゲージ概念との関連を深めてゆくか?

 

今のところ迷っていますが,順番はどうあれ何も無ければ結局,全てをやることになりそうです。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

  

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2008年7月 7日 (月)

球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(3)

 さて,準備が整ったので,アインシュタインの重力場の方程式:μν(1/2)gμνR=κTμν,κ=8πG/c4を解く作業に取り掛かります。

 この方程式に対して,μν≡0 のような自明な解ではなく,何か中心に星のような単一の重力源があると想定される場合の,実際に重要な意味のある球対称な解を求めます。

3次元空間の座標として極座標(r,θ,φ)を用いることにします。ここでは,特に定常な時空を仮定せず,その場合も含んだ一般的な時間変化を許す球対称な時空を仮定します。

 

ただし,以下では簡単のために自然単位系c=G=1を用いて計算し,解が得られてから,必要なら次元解析で元の単位に戻します。

このとき,自然単位系での球対称な時空の計量(metric)には,空間的に非対称なdr,dθ,dφの積の項は現われず,また,時間微分dtと空間の極座標の微分のクロス項としてはdtdr項のみが存在すると想定されます。

 

したがって,初めからds2exp(2ψ)dt22adtdr-exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)なる形の計量を仮定します。ここに,ψ,a,λ, はrとtのみの関数です。

  

(※(注):動径を表わす文字としてはRを使用したかったのですが,そうするとリッチテンソルRμνやスカラー曲率Rなどと混同してしまいそうなので,ここではイタリック文字 を採用しました。太字なのでベクトルを表現していると思われるかも知れませんが,ベクトルを意味するものではありません。)

 

そして,さらにdt'≡η{exp(2ψ)dt+adr}と置けば,これから{exp(2ψ)dt+2adr}dt=exp(-2ψ)(η-1dt'+adr)(η-1dt'-adr)=η-2exp(-2ψ)dt'2-a2exp(-2ψ)dr2となることがわかります。

 

そこで,ds2=η-2exp(-2ψ)dt'2{a2exp(-2ψ)+exp(λ)}dr22(dθ2sin2θdφ2)と書けて,tとrの非対角項であるdtとdrの積の項は除去されます。

それ故,改めてη-2exp(-2ψ)をexp(2ψ)に,dt'をdtに,a2exp(-2ψ)+exp(λ)をexp(λ)に定義し直すと,ds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)と簡単になります。

 

この最後の表現での計量テンソルgμνのゼロでない成分は,g00exp(2ψ),g11=-exp(λ),g22=-2,g33=-2sin2θのみです。

 

これから,gμνの逆行列である反変計量テンソルgμνのゼロでない成分も,g00exp(-2ψ),g11=-exp(-λ),g22=--2,g33=--2sin-2θのみであることがわかります。

次にゼロでない接続係数Γを求めます。クリストッフェルの記号によるΓが,Γσμν(1/2)gσρ(gρμ+gρν-gμν)で与えられることから,まず,Γ000(1/2)g(gρ0,0+gρ0,0-g00,ρ)=(1/2)g0000,0(1/2)exp(-2ψ)2ψdexp(2ψ)=ψdです。

 

ここで,時間tによる微分をψdψdot≡∂ψ/∂tと表記しました。

 

以下,時間微分についてはψ2d≡∂ψd/∂t=∂2ψ/∂t2 etc.と表記します。

また,Γk00(1/2)g(gρ0,0+gρ0,0-g00,ρ)=-(1/2)gkk00,kです。(kについて和を取りません。以下では特に断りませんので状況で判断してください。)

 

00exp(2ψ)はrとtのみの関数なので,g00,kはk=1以外ではゼロです。それ故,ゼロでないΓk00はk=1のΓ100(1/2)exp(-λ){2ψ'exp(2ψ)}=ψ'exp(2ψ-λ)のみです。

 

ここで,動径rによる微分をψ'≡∂ψ/∂rと表記しました。

 

以下,動径微分についてはψ"≡∂ψ'/∂r=∂2ψ/∂r2 etc.と表記します。

Γ00k(1/2)g0000,kより,この型でゼロでないのは,k=1のみでΓ001=ψ'=Γ010です。

 

また,Γl0k(1/2)glllk,0より,これはl=kのときのみゼロではなくて,Γk0k(1/2)gkkkk,0です。

 

具体的には,Γ101=λd/2=Γ110202d/ =Γ220303d/ =Γ330です。

Γ0kl=-(1/2)g00kl,0より,この型もl=kのときのみゼロでなくて,Γ0kk=-(1/2)g00kk,0より,Γ011=λdexp(λ-2ψ)/2022RRdexp(-2ψ)/2033RRdsin2θexp(-2ψ)/2です。

また,Γmkl(1/2)gmm(gmk,l+gml,k-gkl,m)より1kl(1/2)g11(g1k,l+g1l,k-gkl,1)ですが,この型でゼロでないのはΓ111(1/2)g1111,l=λ'/2,Γ122=-(1/2)g1122,l=-RR'exp(-λ),Γ133=-(1/2)g1133,l=-RR'sin2θexp(-λ)です。

 

m=2,3についてゼロでないものは,Γ212(1/2)g2222,1'/ Γ221313(1/2)g3333,1'/ Γ331233=-(1/2)g2233,2=-sinθcosθ323(1/2)g3333,2cosθ/sinθ=Γ332だけです。

以上から,リッチテンソルの成分Rμν=Rρμνρ=∂Γρμν/∂xρ-∂Γρμρ/∂xν+ΓλμνΓρλρ-ΓλμρΓρλνが具体的に計算できます。

対角成分は,00=∂Γρ00/∂xρ-∂Γρ/∂x0+Γλ00Γρλρ-ΓλΓρλ0より,00(ψ"+2ψ'2-ψ'λ')exp(2ψ-λ)-λ2d/2-22d/ 2(d/ )2+ψdλd/2+2ψdd/ (-ψ'2ψ'λ'/2+2ψ''/ )exp(2ψ-λ)-(λd/2)22(d/ )2=-λ2d/2-22d/ d/2)2+ψdλd/2+2ψdd/ (ψ"+ψ'2-ψ'λ'/2+2ψ''/ )exp(2ψ-λ)です。

 

一方,Rkk=∂Γρkk/∂xρ-∂Γρ/∂xk+ΓλkkΓρλρ-ΓλΓρλkより,まず112d/2+(λd/2)2-ψdλd/2+λdd/ }exp(λ-2ψ)-ψ"-ψ'22"/ +ψ'λ'/2+λ''/ となります。

そして,R22{RR2d(d)2RRdλd/2-RRdψd}exp(-2ψ)-('2RR"'λ'/2+RR'ψ')exp(-λ)-1,R33{RR2d( d)2RRdλd/2-RRdψd}sin2θexp(-2ψ)-('2RR"RR'/2+RR'ψ')sin2θexp(-λ)-sin2θ=sin2θR22です。

非対角成分でゼロでないのは,R01=∂Γρ01/∂xρ-∂Γρ/∂x1+Γλ01Γρλρ-ΓλΓρλ1=R10のみで,R01=R10=-2'd/ +λd'/ 2ψ'd/ です。

 

具体的な考察と計算から,その他の非対角成分は全てゼロであることがわかります。

また,スカラー曲率はR=gμνμν{-λ2dd)2/2-42d/ 2(d/ )2dd/ 2dλd/ +ψdλd}exp(-2ψ)+{2ψ"+2ψ'24"/ 2('/ )24ψ''/ 2'λ'/ -ψ'λ'}exp(-λ)-2/2と書けます。

c=G=1の自然単位系での重力場の方程式:μν(1/2)gμνR=8πTμνを,第2項の係数gμνがクロネッカーのデルタになる便利な混合テンソル表式で書くと,Rμν-(1/2)δμνR=gνλμλ-(1/2)δμνR=8πTμνとなります。

具体的には,まずR00-(1/2)R=exp(-2ψ)R00-(1/2)R={-λ2d/2-22d/ d/2)2+ψdλd/2+2ψdd/ }exp(-2ψ)(ψ"+ψ'2-ψ'λ'/2+2ψ''/ )exp(-λ){-λ2d/2d/2)222d/ (d/ )2dd/ -λdd/ +ψdλd/2}exp(-2ψ)-{ψ"+ψ'22"/ ('/ )22ψ''/ -λ''/ -ψ'λ'/2}exp(-λ)+1/2{λdd/ (d/ )2}exp(-2ψ)+{-2"/ ('/ )2+λ''/ }exp(-λ)+1/2です。

 

同様に,01(1/2)δ01R=R01=-exp(-λ)01{2'd/ -λd'/ 2ψ'd/ }exp(-λ)です。

11(1/2)R=-exp(-λ)11(1/2)R{22d/ (d/ )2dd/ }exp(-2ψ)+{-('/ )22ψ''/ }exp(-λ)+1/2,さらに,33sin2θ22なので22(1/2)R=-222(1/2)R33(1/2)R=-2sin-2θ33(1/2)R{λ2d/2d/2)22 2d/ -λdψd/2-ψdd/ +λdd/(2 )}exp(-2ψ)+{-ψ"-ψ'2"/ -ψ'('/ -λ'/2)+λ''/(2 )}exp(-λ)です。

 

これ以外のμν(1/2)δμνRは全てゼロです。

よって,重力場の方程式:μν(1/2)δμνR=8πTμνの自明でない成分は,00(1/2)R=8πT00,R01-(1/2)R=8πT01 (R10-(1/2)R=8πT10),R11-(1/2)R=8πT11,R22-(1/2)R=8πT22,R33-(1/2)R=8πT33です。

 

ただし,球対称解ではR22-(1/2)R=R33-(1/2)RなのでT22=T33であることが必要です。そして最後の2式は同じ1つの方程式になるはずです。

そこで,Rμν-(1/2)δμνR=8πTμν右辺のエネルギー運動量テンソルμνの具体的な形は,時空を連続体としたときの一般的な自然単位での完全流体の表現:μν(P+ρ)uμν-Pgμν (uμ≡dxμ/dτ)であると仮定します。

計量がds2exp(2ψ)dt2exp(λ)dr22(dθ2sin2θdφ2)で与えられる時空で,重力源のエネルギー運動量テンソルTμνを与えるものとしての"宇宙の構成物体=完全流体"が静止しているような座標系を想定します。

 

そうした準拠系ではdr=dθ=dφ=0 であり,自然単位ではc=1よりdτ=ds=exp(ψ)dtなので,0=dx0/dτ=dt/dτ=exp(-ψ),uk0 です。

そこで,この系ではuk0 によって,エネルギー運動量テンソルTμν非対角成分は全てゼロです。対角成分は00ρexp(-2ψ),11exp(-λ),22-2,33-2sin-2θで与えられます。

 

これから00ρ,T112233=-Pが得られます。そこで球対称時空解の必要条件であるT22=T33は確かに満たされています。

そして,これらがエネルギー運動量テンソルの保存則を満たすべきである,という共変微分による条件式μν0 は,μν(-g)-1/2[∂{(-g)1/2μν}/∂xν]-(1/2)(∂gνλ/∂xμ)Tνλ0 と書き直せます。

 

ここで,gは行列式:g=det(gμν)で,今の場合は(-g)1/2exp(ψ+λ/2)R2sinθです。

そこで,まず,μ=0 に対しては0νexp(-ψ-λ/2)-2sin-1θ[∂{ρexp(ψ+λ/2)2sinθ}/∂t]-(1/2)(∂g00/∂x0)T00(1/2)(∂g11/∂x0)T11(1/2)(∂g22/∂x0)T22(1/2)(∂g33/∂x0)T330 です。

 

00exp(2ψ),g11=-exp(λ),g22=-2,g33=-2sin2θにより,これは∂ρ/∂t+(ρ+P)(λd/2+2d/ )=0 を意味します。

以下,詳細は省略しますが,1ν0 (μ=1)より∂P/∂r+(ρ+P)(∂ψ/∂r)=0 ,または∂ψ/∂r=-(∂P/∂r)/(ρ+P)が成立します。

 

また,T2ν0 (μ=2)からは∂P/∂θ=0 ,T3ν0 (μ=3)からは∂P/∂φ=0 が得られます。

 

これら∂P/∂θ=0 ,∂P/∂φ=0 は,圧力Pが球対称でr,tのみの関数であることを意味しており,∂ρ/∂t+(ρ+P)(λd/2+2d/ )=0 ,および∂ψ/∂r=-(∂P/∂r)/(ρ+P)から,ρもまたr,tのみの関数であることがわかります。

さらに,ここでは時空を連続体,それも巨視的な流体と見たエネルギー運動量テンソルを論じており,密度ρや圧力Pなどの量は時空を構成する莫大な個数の原子や分子などの微視的粒子の集まりの巨視的な統計的平均値で与えられます。

 

一般に重力とは別の理由で,ρとPは独立ではなく,P=f(ρ,T)なる形のPとρを関係付ける状態方程式があると考えられます。

 

ここで,Tは絶対温度です。例えば分子量がMの理想気体なら状態方程式は,P=ρRT/Mです。しかし,より正確には状態方程式は,P=f(ρ,T)という単純な形ではなく右辺の関数はρ,T以外の引数をも含むと思われます。

保存則Tμν0 は,重力場が(μν(1/2)δμνR)0 を満たすことを要求するので,先に求めた連立方程式の4つ:00(1/2)R=8πT00,R01-(1/2)R=8πT01,R11-(1/2)R=8πT11,R22-(1/2)R=8πT22も,全てが独立ではないと考えられます。

 

また,状態方程式も重力場を規定すると思われます。

今,考えている局所的な時空の領域で重力源となる主要なエネルギー運動量テンソルを与える流体が静止しているとしましたが,そもそもテンソル方程式は座標系の取り方に依存しないはずなので,流体が運動していると見える場合にも流体と共に運動する座標系を取れば,この系では常に流体は静止していてエネルギー運動量テンソルはやはり対角成分のみとなります。

このような座標系は共動座標系と呼ばれています。したがって,球対称な時空を考えている今の問題では流体物質の運動も球対称なので座標r,θ,φは共動座標系のそれとみなしてよいと考えられます。

共動座標系に乗った観測者の固有時間τはdτ2=exp(2ψ)dt2によって,dτ=exp(ψ)dtで与えられます。

 

特にτによる偏微分をDτなる記号で表わすことにします。

 

例えば (r,t)のτによる偏微分はDτ ですが,これは動径の速度に相当するので,これを記号Uで表現すると,U≡Dτ ≡∂ /∂τ=exp(-ψ)dです。このUをさらにrで偏微分すると,U'=exp(-ψ)('d-ψ'd)となります。

ここで,唯一の非対角部分の方程式:R01-(1/2)R=8πT01に着目すると,これの陽な形は 2'd/ -λd'/ 2ψ'd/ 0 です。

 

これをλdについて解くと,λd2('d-ψ'd)/'となりますが,さらに両辺にexp(-ψ)を掛けるとexp(-ψ)λdτλ=∂λ/∂τ=2exp(-ψ)('d-ψ'd)/'=2U'/'なる表式が得られます。

 

さらに,U'/'U'/'=(∂U/∂r)/(∂ /∂r)=(∂U/∂ )tと変形できますから,結局,方程式01(1/2)R=8πT01は,Dτλ=2(∂U/∂ )tなる関係式を意味することがわかります。

一方,8πT00=R00-(1/2)Rは,8πρ={λdd/ (d/ )2}exp(-2ψ)+{-2"/ ('/ )2+λ''/ }exp(-λ)+1/ 2と書けます。

 

ところがddexp(-2ψ)=exp(-ψ)dexp(-ψ)λdτ τλ=2U(∂U/∂ )=∂U2/∂ ですから,これは8πρ 21+U2 (∂U2/∂ )-{2RR"+(')2}exp(-λ)-'{exp(-λ)}'となります。

 

この式はexp(-λ)を未知関数とする1階線型微分方程式と見ることができます。

そして,r=0 空間原点近傍でも局所的に平坦であると見なせるので,原点を回る円周の長さを2πΔ とすると,この円の動径はΔ (∂ /∂r)Δr=(-g11)1/2Δr=exp(λ/2)Δrで与えられますから,r→ 0 ではexp(λ)=(∂ /∂r)2と考えられます。

そこで,exp(λ)≡(∂ /∂r)2[1/{1+f(r,t)}]=(')2/(1+f)と置くと exp(-λ)=(')-2(1+f),{exp(-λ)}'=-2"(')-3(1+f)+(')-2f'となります。

 

8πρ21+U2 (∂U2/∂ )-{2RR"+(')2}exp(-λ)-'{exp(-λ)}'に,これらを代入すると,8πρ21+U2+R(∂U2/∂ )-{2RR"/(')21}(1+f)+{2RR"/(')2}(1+f)- f'/'=U2 (∂U2/∂ )-{f+ (∂f/∂ )}=∂( 2 )/∂ となります。

そこで,結局,8πT00=R00-(1/2)Rは,8π2ρ=∂{ (U2-f)}/∂ ,あるいは (U2-f)=2∫0 4πρξ2dξなる等式を意味することになります。

 

この定積分表示は,左辺が 0 でゼロなので成立するわけです。

 

そして,動径 はr,tのみの関数: (r,t)なので,m≡∫0 4πρξ 2dξと定義すると,mもr,tの関数:m=m(r,t)であることがわかり,結局, (U2-f)=2m,よりf=U22m/ が得られてfの形が決まります。

そして,m=∫0 4πρξ2dξなる表式はm| =0 ,かつ(∂m/∂ )t2ρと表現することもできます。

 

こうして,exp(λ)(')2/(1+f)で定義されたfが決まったので,代入するとexp(λ)(')2/(1+22m/ ),あるいはexp(-λ)=(1+22m/ )/(')2が得られます。

さらに,8πT00=R00-(1/2)Rより,8π2ρ={ λdd (d)2}exp(-2ψ)+{-2RR"-(')2RR'λ'}exp(-λ)+1,および8πT11=R11-(1/2)Rより,8π2P={2RR2d(d)22RRdψd}exp(-2ψ)+{-(')22RR'ψ'}exp(-λ)+1,が成立します。

 

これらを,辺々加えて2で割れば,2(ρ-P)={(d)2λdd /2+RR2dRRdψd}+exp(-2ψ)-{(')2RR"RR'λ'/2+RR'ψ'}exp(-λ)+1=1+U2(∂U2/∂ )/2+ exp(-ψ)[∂{exp(-ψ) d}/∂τ]-exp(-λ/2)[∂{exp(-λ/2)RR'}/∂r]-exp(-λ)RR'ψ'を得ます。

ところが既に示したように,exp(-λ)=(1+22m/ )/(')2ですから,exp(λ/2)=(∂ /∂r)(1+22m/ )-1/2です。

 

つまり,exp(λ/2)dr=d (1+22m/ )-1/2と書けるので,exp(-λ/2)(∂/∂r)=(1+22m/ )1/2(∂/∂ ),あるいはexp(-λ/2) '(1+22m/ )1/2です。

 

また,ψ'=∂ψ/∂r=(∂P/∂r)/(ρ+P),そしてDτU=exp(-ψ)Udexp(-ψ)[∂{exp(-ψ) d}/∂τ]です。

したがって,先の方程式は2(ρ-P)=1+U2(1/2)(∂U2/∂ )+τU-(1+22m/ )1/2(∂/∂R){(1+22m/ )1/2}+{ (1+22m/ )/(ρ+P)}(∂P/∂ )tτU+{ (1+22m/ )/(ρ+P)}(∂P/∂ ) t1+U2(∂U2/∂ )/2-(1+22m/ )-(1/2){(∂U2/∂ )+2m/ 28π ρ}と簡単になります。

結局,最終的な方程式として,DτU=-{(1+22m/ )/(ρ+P)}(∂P/∂ )t-(m+4π3)/2}なる式を得ます。

 

これは,一般相対論における球対称時空での完全流体の運動方程式を表わしていると考えられます。

実際,この方程式において2<<1,2m/ <<1,P<<ρの極限を取れば,∂u/∂t=-(1/ρ)(∂P/∂ )-/2が得られます。

 

これはc=G=1の自然単位から通常の単位に戻せば,∂/∂t=-∇P/ρ-G/r 2となります。

 

つまり,この近似では方程式は,原点に大きさmの質量がある場合のニュートンの万有引力の場の中での密度ρの完全流体の運動方程式であるオイラーの方程式に一致しています。

なお,定常の場合,すなわち,τU=0 ,U=τ 0 の場合には,一般的な運動方程式から,(∂P/∂ )t=-(ρ+P)(m+4π3)/{ 2(12m/ )}なる式を得ます。

 

これをTOV方程式(Tolman-Oppenheimer-Volkoff's equation)と呼びます。

 

TOV方程式は,通常の単位では(∂P/∂ )t=-(ρ+P/c2)(Gm+4π3/c2)/{2(12Gm/2 )}と書けます。

 

これは後で内部解を求めるときにも使用する予定です。

今日はここまでにします。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

  

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2008年7月 5日 (土)

球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(2)

 前回は,捩率がゼロのLevi-Civita接続の接続係数Γをクリストッフェル記号(Christoffelの記号)として表現したところで終わりました。

今回はまず,これらの接続係数によって,リーマンの曲率テンソル(Riemannian curvature)を定義します。

 

クリストッフェル記号から1つの(1,3)型の混合テンソル:Rρσμν≡∂Γρσμ/∂xν-∂Γρσν/∂xμ+ΓλσμΓρλν-ΓλσνΓρλμを作ります。

 

これを.リーマンの曲率テンソルと呼びます。

 

この曲率テンソルは,Rλμνρ≡gλσσμνρなる共変表現では,対称テンソル,および反対称テンソルの性質:λμνρ=Rνρλμ,およびRλμνρ=-Rμλνρ=-Rλμρν=Rμλρνを有します。

 

また,λμνρ+Rλρμν+Rλνρμ0 なる巡回対称性を持っています。

 

さらに共変微分と関連した性質として,ビアンキ(Bianki)の恒等式と呼ばれる恒等式:Rαβμν;λ+Rαβνλ;μ+Rαβλμ;ν=0 を満足します。

時空多様体上の任意の点Pを起点とする微小な四辺形PQRSの頂点P,Q,R,Sの座標をそれぞれxμ,xμ+dxμ,xμ+dxμ+Δxμ,xμ+Δxμとします。

 

点Pから四辺形PQRSの辺に沿って,P→Q→R,およびP→S→Rの異なる2つの道筋で移動するとき,任意の微分可能なベクトル場Aμ(x)のAμ(P)からの変化分を,それぞれΔAμ(PQR),およびΔAμ(PSR)と書いて,それらの差を計算します。

  

これは,ΔAμ(PQR)-ΔAμ(PSR)=(∂Γρσμ/∂xν-∂Γρσν/∂xμ+ΓλσμΓρλν-ΓλσνΓρλμ)ρdxμΔxν=RρσμνρdxμΔxνとなります。 

例えば,Aμ(Q)=Aμ(P)+Γρμν(P)Aρ(P)dxνなので,ΔAμ(PQR)=Γρμλ(P)Aρ(P)dxλΓρμν(Q)Aρ(Q)ΔxνΓρμλ(P)Aρ(P)dxλ{Γρμν(P)+(∂Γρμν/∂xλ)dxλ}{Aρ(P)+Γσρλ(P)Aσ(P)dxλ}Δxνです。

そこで,曲率テンソルRρσμνというのは,"閉曲線=微小四辺形"の囲む面積がゼロの極限での,上記のAμの経路による差の比率を{ΔAμ(PQR)-ΔAμ(PSR)}/(dxμΔxν)=Rρσμνρによって表現する際の係数と解釈されます。 

 

※(注):ここでは,"重力場の方程式を解く"という本題の説明を急ぐため,曲率の意味などの説明を最小限に留めました。

 

しかし,ここで述べた接続や曲率等の2次元や3次元での初等幾何学における直感的な概念との関連や,多様体の上の微分幾何学でのアファイン接続(アフィン接続)との関連の話などは後に独立なブログ記事として詳述する予定です。※

そして,曲率テンソルを縮約して得られる2階共変テンソルRμν≡Rρμνρ=-RρμρνΓρμν/∂xρ-∂Γρμρ/∂xν+ΓλμνΓρλρ-ΓλμρΓρλνをリッチテンソル(Ricci tensor)と呼びます。

 

これの右辺の第1,2項は,∂Γρμρ/∂xν=(1/2)∂ν(gλρμλρ)=∂μνln{(-g)1/2}(g=det(gμν))と表わせるので,νμ=Rμνが成立します。すなわち,μνは対称テンソルです

 

また,μνをさらに縮約したR=gμνμνをスカラー曲率と呼びます。

次に,重力場μνの下での粒子の運動方程式を求めます。

 

粒子に働く力が重力だけの場合には,重力に従って自由落下する系として局所ローレンツ系(局所慣性系)を取ることができます。

 

この系では,どんな自由粒子も系と共に自由落下するわけですから,この系を基準にすると,無重力の慣性運動です。

粒子の時空座標をxμとして,対応する局所ローレンツ系(局所慣性系)での同じ位置の座標をμとすると,λを任意パラメータとして粒子の軌道はxμ=xμ(λ),あるいはXμ=Xμ(λ)で表現されます。

 

そうした軌道を解として与える運動方程式は,局所慣性系では無重力故,d2μ/dλ2=0 と書けます。

 

この方程式に,粒子の質量パラメータmが入ってないことは,"自由重力運動は(慣性)質量には無関係である"というガリレイ以来の等価原理を示しています。

さて,Xμμの関数であること,つまりXμ=fμ(x0,x1,x2,x3)なる形式で表わされることを考えると,dXμ/dλ=(∂Xμ/∂xν)(dxν/dλ)となります。

 

それ故,d2μ/dλ2=0 は(∂Xμ/∂xν)(d2ν/dλ2)+(∂2μ/∂xσ∂xν)(dxν/dλ)(dxσ/dλ)=0 に帰着します。

 

さらに両辺に(∂ρ/∂Xμ)を掛けてμで縮約すると,結局d2ρ/dλ2+(∂ρ/∂Xμ)(∂2μ/∂xσ∂xν)(dxν/dλ)(dxσ/dλ)=0 なる方程式が得られます。

ところが,前に記述したように,座標変換に際して接続係数Γは等式Γ'δμν=(∂ρ/∂x'μ)(∂σ/∂x'ν)(∂'δ/∂xεερσ+(∂'δ/∂xρ)(∂2ρ/∂x'μ∂x'ν)を満たします。

 

この式で,xをXに置き換えると,局所ローレンツ系では無重力故Γ=0 ですから,Γ'δμν=(∂'δ/∂Xρ)(∂2ρ/∂x'μ∂x'ν)となります

 

さらに,x',Γ'をそれぞれx,Γに書き直せば,Γδμν=(∂δ/∂Xρ)(∂2ρ/∂xμ∂xν)となって,局所ローレンツ系の座標を用いた接続係数の表現を得ます。

そこで,(∂ρ/∂Xμ)(∂2μ/∂xσ∂xν)=Γρσνなる式を用いれば,上記のxμ=xμ(λ)に対する方程式がd2ρ/dλ2+Γρσν(dxν/dλ)(dxσ/dλ)=0 となることがわかります。

 

以上の変形の途中では,d2μ/dλ2=0 の左辺が反変ベクトルであるという性質が常に保持されていますから,この方程式は確かに相対性原理から要求されるテンソル方程式の形をしています。

 

直感的な見方では,局所系Xμ=Xμ(λ)は粒子に固定されて共に自由落下する座標系であるため,粒子は無重力と感じて慣性の法則d2μ/dλ2=0 を満たいますが,一般の加速系xμ=xμ(λ)から見ると,d2ρ/dλ2+Γρσν(dxν/dλ)(dxσ/dλ)=0 の左辺第2項に見られるような見かけの重力(=慣性力)が出現したと解釈されます。

 

仮に"接続係数=クリストッフェル記号":Γがテンソルであったなら,ある座標系で恒等的にΓ≡0 であるという無重力の性質は,一般座標変換でどのような座標系から見ても保持されるわけです。

 

そうであれば,何らかの加速系に移ってもゼロと異なる重力が出現することは有り得ないわけですが,実は"Γがテンソルでないおかげで"ゼロでない重力が出現したと見ることができます。

 

余談ですが,かつて15年以上も前に,ニフティのパソコン通信のフォーラムで,"永久重力(R≠0)も非永久重力(R=0 の慣性力)も共に一般相対性理論の対象であり,特別に区別する必要はない"という内容の私を含む数人の主張と次の主張が対立したことがありました。

 

"一般相対性理論というのは曲率Rがゼロでない,いわゆる永久重力場についてのみ論じるべきものである。

 

曲率Rがゼロであって局所的ではなく大域的にも重力を消せるような非永久重力場,つまり見かけの重力場などは座標系をうまく選べば,重力が消せるのだから,別に一般相対性理論の対象ではなく特殊相対性理論の対象であり,明確に区別されるべきだ。

 

例えばリンドラー時空などは,実は時空としての構造は特殊相対論の時空と同じなのでミンコフスキー時空と呼ぶべきである。"

 

というものです。結局は平行線をたどったものでした。

 

もっとも,リンドラー時空をミンコフスキー時空と呼ぶべきであるという主張については,言葉の定義の問題なので意見は割れましたが。。

 

相対論関連では,このテーマは"双子のパラドックス"と並んで,何度も現われたトピックスでした。

 

その頃,私が主張したかったのは,

 

"曲率Rがゼロか否かというのは時空を平坦と見なせるのが,大域的であるかそれとも局所的であるかということ(あるいは潮汐力の有無)と関わっているだけで,理論に付随した1つの重要な幾何学的性質であることは間違いないが,一般相対論にとっては何ら本質的なことではない。

  

むしろ,歴史的に見ても平坦な時空から加速系に移ったときに現われる"見掛けの重力=慣性力"を見掛けではなく,"永久重力=真の重力"と同一視して区別しないことこそが本質的で,これは等価原理の発想そのものである。

 

逆に,一般相対論の思想のエッセンスである。"

 

という内容のことでした。

  

議論すればするほど,双方の認識に大した差はないことがわかって,私自身の理解も深まってゆきました。

 

すれ違いの原因は,何を本質的と考えるのか?という水掛け論だったのかもしれません。

ちょっと脱線しましたが本題に戻ります。

 

粒子の軌道:xμ=xμ(λ)の接ベクトルはuμ=dxμ/dλですが,一般にはuμをP(xμ)からQ(xμ+dxμ)まで平行移動しても,それはQ点での接ベクトルと一致しません。

 

しかし,特に移動に伴なって接ベクトルが一致するような道筋を測地線といいます。

μの共変微分による平行移動はDAμ(∂Aμ/∂xν+Γμσνσ)dxν=dAμ-δAμ,δAμ=-Γμσνσdxνと表現できますが,この式でAμをuμ≡dxμ/dλに置き換えれば,δuμ=δ(dxμ/dλ)=-Γμσν(dxσ/dλ)(dxν/dλ)dλとなります。

測地線の定義によれば,測地線に沿った平行移動ではδuμがduμ=d(dxμ/dλ)=(d2μ/dλ2)dλと一致して,Duμ=duμ-δuμ=D(dxμ/dλ)=0 となります。

 

すなわち,d2μ/dλ2+Γμσν(dxσ/dλ)(dxν/dλ)=0 なる方程式の解が測地線を与えることになります。

  

これは時空の2点間の距離が極値となる道筋,つまりδ∫PQds=0 となるP→Qの道筋を与えるものです。

 

そして,この方程式は先に与えた粒子の運動方程式と完全に一致していますから,通常,重力場の中での粒子の自由運動の軌跡を測地線と呼びます。

ところで,固有時間τをc2dτ=ds2=gμνdxμdxν=ημνdXμdXνで定義します。

 

軌道対象の粒子が光子のように光速cで運動する質量ゼロの粒子でないなら,その運動に伴なう座標の変動dμヌル(null:ds2=c2dτ2=0)ではないので,軌道xμ=xμ(λ)のパラメータλをτに取ってxμ=xμ(τ)と表わすことができます。

この場合には,接ベクトルuμ≡dxμ/dλは4元速度に一致しuμ=dxμ/dτとなります。そして,測地線の方程式もd2μ/dτ2+Γμσν(dxσ/dτ)(dxν/dτ)=0 となります。

 

しかし,光のように質量がゼロの粒子では,dμヌルベクトルでdτ=0 ですからτは定数でτをパラメータとすることはできません。

 

そこで,光の軌跡,測地線の方程式はλをτ以外の任意パラメータのまま残して,d2μ/dλ2+Γμσν(dxσ/dλ)(dxν/dλ)=0 とし,拘束条件としてヌル条件μν(dxσ/dλ)(dxν/dλ)=0 を追加したものになります。

運動が非相対論的で,かつ弱い重力場の場合には,gμν≡ημν+hμνで|hμν|<<1とすると,|dxk/dτ|~|dxk/dt|/c~|vk/c|<<1 (vk≡dxk/dt;k=1,2,3)で,|dx0/dτ|~1なので,測地線の方程式:d2μ/dτ2+Γμσν(dxσ/dτ)(dxν/dτ)=0 は近似的に空間軌道を示す方程式:(1/c2)(d2/dt2)+Γk00=0 になります。

そして,Γの定義から,弱い重力場では,Γk00=(1/2)g(2∂0ν0-∂ν00)~(1/2)η(2∂0ν0-∂ν00)~(1/2)∂k00 なる近似が可能です。

 

それ故,結局粒子の従う方程式としてd2/dt2=-(c2/2)∂k00なる非相対論近似の式が得られます。

 

そこで,h00=2ΦN/c2と置けば,これはΦNを非相対論での万有引力ポテンシャルとしたニュートンの運動方程式d2/dt2=-∇ΦNに一致します。

そしてニュートンの重力場の方程式はρを質量密度として,∇2ΦN=4πGρと表わされます。

 

弱い重力場の近似では,g00=1+h00 ~1+2ΦN/c2なので,ニュートンの重力場の方程式は,∇200=8πGρ/c2と同等であることがわかりました。

さて,エネルギー運動量テンソルをTμνとすると,これは時空を構成する物質を理想流体として時空の各点での物質の4元速度をuμ=dxμ/dτ,密度をρ,圧力をPとすれば特殊相対論ではTμν=(P/c2+ρ)uμν-Pημνと表わされます。

 

そして,その保存則は∂Tμν/∂xν=0 と表現されます。

 

これを自然に一般相対論に拡張すれば,Tμν=(P/c2+ρ)uμν-Pgμνとなり,保存則も微分を共変微分で置き換えることで,Tμν=Tμν=0 と書けます。

そして,P=0 のときには,T00=T00=ρc2ですから,ニュートンの重力場の方程式:∇2ΦN=4πGρは,∇200=(8πG/c4)T00の弱い重力場の近似式に相当すると考えられます。

 

これの拡張として,相対性原理を満たす重力場の方程式としてGμν=κTμνなる形の方程式を想定します。

 

ただしTμν=(P/c2+ρ)uμν-Pgμνです。

 

μνから得られる2階共変テンソルGμνの最も一般的な形として,Gμν≡αRμν+βgμνR+γgμνなる形式を考えます。

このとき,保存則Tμν=Tμν=0 から,Gμνの満たすべき条件としてGμν=Gμν=0 が得られます。

 

一方,ビアンキの恒等式Rρλμν;τ+Rρλτμ;ν+Rρλντ;μ=0 から,νをρに変えて縮約するとRλμ;τ+Rρλτμ;ρ-Rλτ;μ=0 ですが,さらにgλμを掛けて縮約するとR-Rρτ;ρ-Rμτ;μ=0 が得られます。

最後の式はR2Rμτ;μ=0 であり,結局,{Rμτ-(1/2)δμτR}=0 ,あるいは{Rμτ-(1/2)gμτR}=0 と書けます。

それ故,Gμν≡Rμν-(1/2)gμνRと置けば,Gμν=0 が満たされることになります。

 

そこで,Gμνをこのように定義すれば,Gμν=κTμνから共変な重力場の方程式として,Rμν-(1/2)gμνR=κTμνが得られます。

さらに上式の両辺にgμνを掛けて縮約すると,R-2R=κT,ただしT≡gμνμνですから,R=-κTを得ます。それ故,重力場の方程式はRμν=κ{Tμν-(1/2)gμνT}とも書けます。

ところで,Tμν(P/c2+ρ)uμνPgμνにおいて,ρc2>>P,(/c)2<<1の場合には,上に求めた相対論での重力場の方程式は近似的に,R00=κT00/2=κρc2/2となります。

 

そして,gμν=ημν+hμν,|hμν|<<1と書ける場合にはμνΓρμν/∂xρ-∂Γρμρ/∂xν+ΓλμνΓρλρ-ΓλμρΓρλνより,R00Γρ00/∂xρ-∂Γρ/∂x0+Γλ00Γρλρ-ΓλΓρλ0です。

 

時間変動がほとんどないとすれば,意味を持つのはΓk00のxkによる微分だけですから,結局,R00 ~ ∂kΓk00です。

 

さらに,既に前記事で述べたように,Γk00=(1/2)g(2∂0ν0-∂ν00)~(1/2)η(2∂0ν0-∂ν00)~-(1/2)ηkll00なので,∂kΓk00 ~ -(1/2)ηklkl00=(1/2)∇200=(1/2)∇200となります。

 

結局,弱重力近似ではR00~(1/2)∇200となることがわかります。

したがって00=κT00/2=κρc2/2 は,近似的に∇200=κρc2となりますが,これと先に別の考察から求めたニュートンの重力場の方程式に同等な方程式:∇200=8πGρ/c2とを比較して等置すると,定数κが8πG/c4に一致すべきことがわかります。

 

以上から重力場の方程式:μν-(1/2)gμνR=κTμν,あるいはRμν=κ{Tμν-(1/2)gμνT}において,係数κの値がκ=8πG/c4と明確に定められました。

なお,Gμν=Rμν-(1/2)gμνRの右辺に-Λgμνなる項を加えてもgμν=0 故,保存則Gμν=0 は保持されます。

 

そこで,最も一般的な重力場の方程式は,Rμν-(1/2)gμνR-Λgμν=κTμν,κ=8πG/c4となるはずです。

 

μν-(1/2)gμνR-Λgμν=κTμνの左辺の-Λgμν,またはこれを右辺に移項した式Rμν-(1/2)gμνR=κTμν+ΛgμνのΛgμνを宇宙項と呼びます。

 

これはΛ>0 なら距離に比例した斥力を与えます。

 

通常は,Λ=0 とした宇宙項のないもの:Rμν-(1/2)gμνR=κTμν,κ=8πG/c4を重力場の方程式,またはアインシュタインの方程式と呼びます。

 

そして,本題の球対称時空解は,この宇宙項がないと仮定した方程式の解の1つです。

今日はここまでにします。

   

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2008年7月 2日 (水)

球対称時空解(シュヴァルツシルト解)の導出(1)

 覚書きとして,アインシュタインの重力場の方程式の真空中での球対称解であるシュヴァルツシルト解を具体的に導出する過程もブログに残しておきたいと思ったので記事にします。(検索でヒットしやすいように,日本語表記ではシュワルツシルト解,あるいはシュバルツシルト解(schwartzschild))とも言われることを補記しておきます。) 

 まずは,重力場の方程式を解くために最低限必要と思われる一般相対性理論の基本的知見をまとめておくことから始めます。

時空上の各点P(x);x=xμ(x0,)=(ct,x,y,z)において,これと近接した点Q(x+dx);x+dx=xμ+dxμ(x0+dx0,+d)との間の"4次元的距離PQ=計量"の平方ds2をds2=gμνdxμdxνによって与えるdxμdxν係数2階対称共変テンソルμνを計量テンソルと呼びます。

ここで,無限小の4次元的距離,すなわち計量とは時空点(事象)Pの局所近傍を平坦なミンコフスキー計量(Minkowski metric)で表わしたときの座標をXμ(X0,)=(cT,X,Y,Z)とするとき,ds2=gμνdxμdxν=ημνdXμdXν(dX0)2-d2=c2dT2-dX2-dY2-dZ2で与えられるスカラー量のことです。

 

なお,ημνはη00=-η11=-η22-η33=1 以外の非対角成分が全てゼロのミンコフスキー計量テンソルです。また縮約に際してはアインシュタインの規約を使用しています。

特に,ds20 のときには,座標系の取り方次第で,対象とする2点がdT=0 の事象,つまり同時刻になることが可能なので,この2点は空間的(space-like)に離れていると言われます。

 

他方,ds20 のときには,座標系の取り方次第でd=0 (空間的に同じ点)になることが可能なので時間的(time-like)に離れていると言われます。

 

また,特にds20 なら光的(light-like)であると言われます。

物理量は一般にテンソル量で与えられますが,以下ではまずテンソルとは何かについて述べます。

ある座標系での4次元座標がxμで与えられる時空点が,別の座標系ではx'μなる4次元座標に変わるというような座標系の一般座標変換は,dμ(∂xμ/∂x'ν)dx'νによって表現することができますが,この時空座標xμと同じように,Aμ(∂xμ/∂x'ν)A'νで変換される量Aμを反変ベクトルと呼び,上添字で表現します。

一方,座標変換に対して全く不変な量をスカラーと呼びます。

 

例えば,1つのスカラー量をφとすれば上記の一般座標変換に対する変換性は∂φ/∂xμ(∂x'ν/∂xμ)(∂φ/∂x'ν)と書けます。スカラー量の時空座標による微分(∂φ/∂xμ)と同じように,Aμ(∂x'ν/∂xμ)A'νと変換される量(Aμ)を共変ベクトルと呼び下添字で表現します。

そしてテンソルとはAρτ..μν.. (ただし,μ,ν,..,ρ,τ,..=0,1,2,3)なる共変添字と反変添字を持ち,次のような変換性を持つ数全体のことです。

 

つまり一般座標変換に対してρτ..μνκ..(∂xμ/∂x'α)(∂xν/∂x'β)(∂xκ/∂x'γ)..(∂x'δ/∂xρ)(∂x'ε/∂xτ)..A'δε..αβγ..なる変換性を持つ数の集合のことです。

スカラー,ベクトルというのは添字が 0 個,1個の特別なテンソルのことです。個々のベクトルは"長さと向きという関係で類別された同値類と呼ばれる集合です。

 

この集合は,その代表元が高校で初めて学んで以来の我々に馴染み深いベクトル概念と同じく1つの矢印で描写されます。

 

こうしたベクトルやテンソルが一種の集合であるという描像は,違う座標系から見ると成分は違って見えても,実は成分には関係ない幾何学的実体を指していて,個々の数成分ρτ..μν..は実体を投影した単なるラベルに過ぎない,と考えれば,受け入れやすい概念ではないかと思います。

さらに言えば,普通の空間ベクトル,に対して内積(スカラー積)を(,)と書くと,を固定してを変数ベクトルに変更して,内積を取るという操作を()≡(,)なる3次元空間3から実数空間への写像と考えれば,これは線型写像なのでベクトルを1つの線型写像と同一視できます。

 

したがって,個々のベクトルは3次元空間3から実数空間への線型写像と1対1に対応しており,結局,3からへの線型写像の全体と同一視することができます。

 

この3次元空間のベクトルに対する線型写像全体は明らかに元々の空間と同相ですが,これを区別しての属する空間 に双対な空間(dual space)といいます。

そこで,数学的には2階共変テンソルA=(μν)を(x,y)≡μνμνによって(3,1)×(3,1)から実数空間への双線型写像を与える幾何学的実体として定義できます。

 

したがって,テンソルというのは多様体の上での多重線型写像全体で構成される双対空間の直積空間の元と考えることもできるでしょう。

さて,テンソルのうちで成分が上添字しか持たないものを反変テンソル,下添字しか持たないものを共変テンソルと呼びます。

 

そして元々の定義の一般のテンソルは混合テンソルとも呼びます。

計量テンソルμνは先にも述べたように共変テンソルですが,gμνを4×4正方行列Gの成分と見たときの逆行列G-1反変テンソルとなります。

 

そこで,-1の成分をgμνと書いて反変計量テンソルと呼びます。すなわち,gμλλν=δμνです。

 

そして反変ベクトルAμに対してAμμλλを与える共変ベクトルBμを特にAμと表記してAμμλλと書けば,Aμμλλが成立します。

μ(∂x'ν/∂xμ)A'νにより,∂μ/∂xρ=(∂2x'ν/∂xρ∂xμ)A'ν(∂x'κ/∂xρ)(∂x'ν/∂xμ)(∂A'ν/∂x'κ)ですから,∂μ/∂xνは2階共変テンソルではありません。

 

これはxμ→xμ+dxμに対してdAμ=(∂μ/∂xν)dxνが共変ベクトルにならないことと同値です。

そこで,Dμ(∂μ/∂xν-Γρμνρ)dxνと形式的に定義してDμが共変ベクトルになる,つまりDμ(∂x'ν/∂xμ)DA'νが成立するようにΓρμνなる係数を決めることができれば,共変でない量であるdAμの代わりに相対論にとって好都合な共変ベクトル量Dμが得られます。

これは,平行移動xμ→xμ+dxμに対して,Aμ(x)はAμ(x)→Aμ(x+dx)=Aμ(x)+dAμ,dAμ=(∂μ/∂xν)dxνと変化を受けますが,一般に時空座標のμ軸は曲がっているので,新しい座標点x+dxにおける新しいμ軸に対するベクトル場Aμの成分は単純にAμ(x)のxをx+dxに変えたもの,Aμ(x+dx)=Aμ(x)+dAμではないからです。

 

そこで,共変ベクトル量Dμはx+dxにおけるAμの真ののμ軸成分がAμに比例したdxの1次の補正を受けたA'μ(x+dx)≡Aμ(x)+DAμ=Aμ(x+dx)-Γρμνρdxνになるとして定義したものです。

そして,このときの∂μ/∂xν-Γρμνρを共変ベクトルμの共変微分と呼びμ;νと書きます。つまりμ;ν≡∂μ/∂xν-Γρμνρです。

 

μ;νはテンソルですが,∂μ/∂xνはテンソルではないですから,Γρμνρもテンソルではありません。

 

したがって,まだ具体的な正体が不明な係数:Γρμνもテンソルではないことがわかります。この係数Γを接続係数と呼びます。

一方,スカラー量μμの座標変換による変化を考えると,これについてはd(μμ)={∂(μμ)/∂xν}dxν=D(μμ)と考えることができます。

 

そこで(Dμ)μμ(DBμ)={(∂μ/∂xν)μμ(∂μ/∂xν)}dxνなる等式からμ(DBμ)={μ(∂μ/∂xν)+Γρμνρμ}dxνを得ます。

 

よって,反変ベクトルμの共変微分はDBμ(∂μ/∂xν+Γμρνρ)dxν,およびμ;ν≡∂μ/∂xν+Γμρνρによって定義すればよいことがわかります。

そして,μ;νが実際に2階共変テンソルであるためには,A'μ;ν(∂ρ/∂x'μ) (∂σ/∂x'ν)ρ;σ,

  

つまり∂A'μ/∂x'ν-Γ'δμνδ(∂ρ/∂x'μ)(∂σ/∂x'ν)(∂ρ/∂xσ-Γερσε)が成立する必要があります。

  

これから途中計算を省略すると,必要な条件としてΓ'δμν(∂ρ/∂x'μ)(∂σ/∂x'ν)(∂x'δ/∂xεερσ+(∂x'δ/∂xρ)(∂2ρ/∂x'μ∂x'ν)が得られます。

 

これは接続係数Γρμνがテンソルでないことを陽に示しています。

さらにμ;νがテンソルなら,Aμ;ν=∂Aμ/∂xν+Γμρνρもテンソルです。

 

よって反変テンソルと共変テンソルの関係からμ;ν=gμλλ;νですから,結局Aμ;ν(gμλλ);ν=gμλ;νλ+gμλλ;ν=gμλ;νλμ;νと書けます。

 

そこで,gμλ;νλ0 が任意のベクトルAμに対して常に成立するため,時空のあらゆる点で常にgμλ;ν=0 が成立することがわかります。

そして,Tμν≡Aμνとおくと,Tμν=Aμν+Aμν,であり,Tμν≡AμνとおくとTμν;ρ=Aμ;ρν+Aμν;ρが成立するので,一般に2階テンソルの共変微分はTμν=Tμν+Γμλρλν+Γνλρμλ,およびTμν;ρ=Tμν,ρ-Γλμρλν-Γλνρμλとなることがわかります。

 

ただし,簡単のためにTμν≡∂Tμν/∂xρ,Tμν,ρ≡∂Tμν/∂xρなる通常の微分表記を使用しました。

 

μν;ρ=0 はgμν;ρ=gμν,ρ-Γσμρσν-Γσνρμσ=0 を意味しますが,これはΓν|μρ≡gσνΓσμρと定義して新しい記号を導入すれば,gμν;ρ=gμν,ρ-Γν|μρ-Γμ|νρ=0 とも書けます。

したがってν|μρ+Γμ|νρ=gμν,ρですが,この等式の添字に置換を施すとΓρ|νμ+Γν|ρμ=gρμ,νμ|ρν+Γρ|μν=gρν,μも得られます。

 

そこでν|αβ=Γν|βαなる対称性を仮定すると,Γρ|νμ=(1/2)(gρν,μ+gρμ,ν-gμν,ρ),あるいはΓσμν=(gσρ/2)(gρν,μ+gρμ,ν-gμν,ρ)が得られ,これは確かにΓν|αβ=Γν|βαを満たしています。

 

こうした,Γν|αβ=Γν|βαという対称性を持つ特別な接続をレヴィ・チヴィタ(Levi-Civita)接続といい,上のように計量の陽な形に書ける接続係数Γをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)と呼びます。

今日はここまでにします。

参考文献:佐藤文隆,原 哲也 著「宇宙物理学」(朝倉書店)

PS:最近,他の掲示板やブログで重力場の中の物体やブラックホールなどの話に関連して,ランダウ著の「場の古典論」からの参照,引用が見られ,その本は私も持っているので読んでみましたが,何故かページ数が合わないだけではなく,そもそも宇宙論関係に切り込んだ内容がほとんど書かれていません。

 

(PS:宇宙論といっても,せいぜい膨張宇宙モデル程度の話です。)

 

しかし,先日久しぶりに本屋街に行くと,この本の新版らしい第6版というのがあったので立ち読みしたところ,前半の9章まではほぼ同じでしたが,後半の内容が私の蔵書のそれとは大幅に違っていることに気づきました。

 

そうです,私の持っているのは旧ソ連でランダウが事故に会って事実上学者生命が終わった以前に出版されたものの翻訳で,贈訂新版となっていてかなり古いものです。

 

私もその後改訂版が出ていたのは知っていましたが,どうせ大して変わっていないだろうと勝手に思い込んでいました。リフシッツによるところが大きいのでしょうが,仕方ないのでこれも買って同じタイトルが2冊になりました。

  

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2008年6月19日 (木)

重力崩壊によるブラックホール形成についての小考察

好評発売中の「趣味で物理学」に続き,最近「趣味で相対論」が新発売となったばかりの著書でも有名なEMANさんのホームページ「EMANの物理学(談話室)」でのトピック「連続的な重力収縮」のツリーに関連した記事を書きました。

重力崩壊(重力収縮)によるブラックホールの形成過程では,重力崩壊も質量を持つ物体の重力による自由落下のプロセスには違いないので,遠方の観測者である我々にとってはいわゆる星の外核質量が臨界面を通過して崩落する際に見かけの特異面である事象の地平面まで到達するのに無限大の外部時間がかかるのではないかという疑問があります。

これに関連して派生した話題で,重力場の方程式の球対称な解であるシュヴァルツシルト解(シュワルツシルト解,シュバルツシルト解)は,中心にある重力源が質点である場合のみの特殊な解ではないか?という発言に対して次のようなコメントがありました。

 >シュヴァルツシルト解は球対称を仮定したのと,あとはニュートン近似に合うように調整しただけなので,質量が全て中心の一点に集中していない場合であっても適用していいと考えています。

以下は,私が最初はこのコメントをフォローする意図で書いた文章と,それに続いて,幾分脱線気味ですが,このトピックの全体像に対しても発言をしたものを本ブログ用にまとめたものです。

 ニュートンの万有引力の法則を考えても,質量Mで半径Rの太陽が中心にあるだけとした太陽系の太陽半径の外側r>Rの重力場を表わす際に,場の中心の太陽を質点近似せず,普通に太陽は有限な半径Rを持った体積有限の球であるとしても,重力場の万有引力ポテンシャルUが太陽中心の1点に全質量Mが集中しているとした質点に対するポテンシャルU=-GM/rと全く同じであることが簡単な計算からわかります。

 そこで,ニュートンの万有引力の法則が球対称シュヴァルツシルト解の重力が弱い場合の正しい近似であるという事実から,シュヴァルツシルト解に対する上のコメントでの指摘も全くその通りだと思います。

 また,ブラックホールを語るのに,必ずしも球対称でそれゆえ定常解となるシュバルツシルト解だけでなく,角運動量のある場合に相当するカー解(Kerr解)なども含めた一般の軸対称解などをも考慮すべきだとのご意見もありました。

 

 しかし,私は古典論でブラックホールを考える際には,現実のわれわれの太陽を中心とした惑星の公転などの2体問題に用いても,ニュートン力学の万有引力に対する解と同じく,近似的に正しい公転軌道である楕円軌道を与え,また水星の近日点の移動も十分な精度で表現できる球対称シュヴァルツシルト解(S波)のみで考えても十分であると思います。

 

 なお,シュヴァルツシルト時空における"測地線=自由落下軌道"として大げさな方法で惑星の公転軌道を導いたものとして,2007年4/27の記事「シュヴァルツシルト時空内の測地線(惑星の公転軌道)」があります。

 

 また,これを応用して水星の近日点の移動を計算したものが2007年4/29の記事「惑星の近日点の移動」にあります。 

 

 よかったらご覧ください。

 

 また,以前,2006年8/25の記事「ブラックホールの形成時間」では簡単な考察を述べただけで,ブラックホール形成の明確な具体的な描像を与えることをしませんでした。

 

 しかし,今回は急に真面目な考察をする気になったので,一応,一般相対論を駆使するようなむずかしい計算に頼ることなく,近似的な話としてこれの簡単な説明をしてみます。

まず,重力崩壊をするはずの星の半径をR,星の全質量をMとします。

 

特に現状の重力崩壊前ではR=R0=一定とします。

 

そしてMが星の中心に集中しているとした場合の,シュヴァルツシルト時空のシュヴァルツシルト半径をRsとすると,cを光速としてRs2GM/c2となります。

 

これは星が太陽の場合の質量Mに対しては,約3kmであり,もちろん,この場合はRs<<R0ですから,現状では太陽はブラックホールではなく半径の外に事象の地平面が現われることもありません。

 ちなみに,たとえ太陽がブラックホール化したとしても,太陽質量Mが今と同じままなら,我々の生命の源泉である太陽からの光,あるいは熱エネルギーが途絶えてしまうというような重力以外の効果を抜きにすれば,太陽系の中心にある"太陽=ブラックホール"の半径約3kmの事象地平面から外の領域で,はるか遠方にある地球に及ぼす太陽の重力は以前と変わりがあるわけではなく,地球は従来通りの公転軌道を描くはずです。

 そして,星の密度が均質であるという一見バカげていますが,それほど見当違いでもない理想化をすれば,"星の半径Rより内側=星の内部=中心からの半径r<Rの位置"で物体に働く重力は,それが球対称な引力で中心力であることを考慮し,さらにガウスの定理を用いると,大きさFがrに比例することがわかります。

単位質量の物体に働く力で考えると,r<Rでのrに比例した大きさを持つ引力がr=Rでr≧Rでの万有引力=-GM/r3に連続的につながり,=―∇Uで与えるポテンシャルUもr=Rで連続でr≧RでのU=-GM/rになるとすれば,星の内部r≦Rでは=-GmM/R3,U=-3GM/(2R)+GMr2/(2R3)となるはずです。

星の内部での引力を与える重力場はシュヴァルツシルトの外部解で与えられるものではないのは明らかです。

 

そこで,相対性理論で考えても,星の質量Mが不変に固定された場合の仮想的な事象地平面(半径Rsの球面)よりも外側のRs<r≦Rにある部分質量が重力崩壊という名の自由落下で,固定地平面r=Rsまで到達するまでの外部時間は有限であって,決して無限大ということはないと考えられます。 

 しかも重力崩壊の過程において,落下していく際の目標である仮想地平面がシュヴァルツシルト半径r=Rsの固定地平面であると考える必要もありません。 

現状の太陽のように重力崩壊が無視できて,R=R0=一定である状態では,密度が均質の仮定の下でr≦Rを満たす任意のrに対して,半径rの球の内部の質量はm=M(r/R)3です。

 

このmに対するシュヴァルツシルト半径を考えて,それを,rs(m)≡2Gm/c2=Rs(r/R)3と書けば,rs(m)<Rsです。

 

それ故,太陽の場合ならm<Mに対するrs(m)はMに対する仮想半径Rs=約3kmよりも,さらに小さいわけです。

 

そして,現実にはr>rs(m)を満たすrの位置にある部分の質量がrs(m)<Rsを満たす半径rs(m)の仮想地平面を目指して落下していくわけです。

 

固定面Rsに落下する質量について,上でも述べたように,rs(m)へと落下していく質量が存在する位置のrに対し,"宇宙空間=星の構成物質の質量がゼロの空間"との境界で定義される星の表面を示すその時点での星の半径Rはもちろんr≦Rを満たしています。

 

それ故,rs(m)<Rなので落下運動はシュヴァルツシルト時空に支配されるわけではないため,落下してr=rs(m)に"張り付く"までの外部時間は有限なはずです。 

そして崩壊(収縮)が進んで星を形成する質量やエネルギーが次第に中心部に集中してゆき,中心部の質量mがm→ Mと大きくなると,ブラックホールができる前の段階では中心部のみの質量mによる仮想地平面の半径rs(m)=2Gm/c2,m→Mに連れて大きく膨らんでいきます。

一方,星の半径の方は逆にR→小と痩せていくわけですが,仮想地平面が星の内部にあってrs(m)<Rである限り,現実に星の外に事象の地平面があるブラックホールではないので,質量が重力によって自由落下して中心部が質量的に太る重力崩壊の過程で,無限大の外部時間がかかるわけではなく有限時間で終了します。

 結局,質量の自由落下m→Mに連動したrs(m)→ 大,かつR→小の末にはrs(m)=Rとなって,仮想地平面が星の表面に全く一致した状態になりますが,これはr=Rでのrs2Gm/c2=Rs(r/R)3がRに一致すること,つまりrs(m)=R=Rsとなることを意味します。 

そしてまた,これは星の内部質量がm=Mとなった状態,すなわち,全質量Mが中心部に崩壊落下した結果,膨らんでいきつつあった仮想地平面の半径rs(m)がついにはRs=rs(M)と一致し,仮想地平面が星の表面まで達したため,仮想から現実の地平面になる瞬間を示しているわけです。

そして,この瞬間までの重力崩壊の間,実質上のシュヴァルツシルト半径であるrs(m)は崩壊中の時々刻々の星の半径Rより常に小さくて,星の内部にあるため,r=rs(m)の球面は,まだブラックホールの事象地平面としての意味を持たず,この状態に到達するまでの外部時間は無限大ではなくて有限です。

 

すなわち,重力崩壊において星を構成する外核物体が落下して,いわゆる事象の地平面に"張り付く"までの時間は,落下物体の固有時間だけではなく,外部観測者にとっての時間でも決して無限大ではなく,有限であることが明確に示されたと思います。

 さらに,R=Rsとなった瞬間から後にも更なる質量の中心への集中過程で,R<Rsとなって星の半径はシュヴァルツシルト半径よりも小さくなっていく,言い換えると相対的に事象の地平面が星の外部にせり出して本格的にブラックホールが形成されていくわけです。

 

 こうした更なる質量集中のプロセスは,事象地平面の内部の力学に支配されると考えられるので,これについて無限大の時間がかかるという類の困難はもはや存在しないと思います。

  

 以上の考察に大きな誤りがないなら,

 

 星の半径Rについての時間,つまり"(R=Rsとなって地平面に張り付くまでの時間)+(R=RsからR<Rsとなるまでの時間)=(ブラックホールの形成時間)"が外部観測者にとっては無限大になる。

 

 そして,一方,宇宙開闢から現在までの時間は誰にとっても有限なため,真のブラックホールが存在するとしても,それは重力崩壊によって形成されたものではない。重力崩壊だけで形成されるブラックホールは現在も将来も存在し得ないのではないか?"

 

 という疑問に関しては,否定的に解決されたと思います。

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