TOSHIの宇宙

ブログ編集作業終了

TOSHI — 2009-07-13T17:59:56+09:00

　５月13日の記事「私信」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/05/post-4e51.html で書いた通り,このところ毎日のように2006年３月20日以来の本ブログの全記事を読みやすいように編集してきましたが,丁度２ヶ月で先ほど終了しました。

　この記事が丁度700個目の記事で,ワードのページ数にするとＡ４で2000ページをはるかに超える全文章をチェックするのは楽しくも苦しい作業でした。

　自分の文章や数式とはいえ,校正,編集という作業は取り憑かれると寝食を忘れて没頭してしまう麻薬のようなものですね。。。

　こういうのは締め切りがあれば妥協するかもしれませんが,全く時間の制約がないと修正しても修正しても見るたびに何かが目について気にするとキリがありません。

　まあ,編集の終了宣言,あるいは完了宣言をしたといっても,直す気になればいつでも直せるブログですから,こだわる必要はないし,最初に書いたものの内容まで完全に改変しては,当時書いた日記という意味が失なわれるのでそこまではやりません。

　この作業を行なうことと,６月初期のＰＣクラッシュによって書き溜めていた種々のテーマの草稿を幾つか失なったことが相俟って,このところ新規記事が滞りがちですが,徐々に元のペースに戻りたいと思っています。

PS:あと,ほんの一部の修正:2006年３月末の記事シリーズ:連載「サルにもわかる相対性理論④～⑥」 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/03/post_1d17.html のフォント訂正など残っています。

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電磁場の共変的量子化(補遺)

TOSHI — 2009-07-08T01:08:51+09:00

さて,すぐ前に「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書きましたが,こうした唐突な主題の記事を全く何の脈絡もなく書くはずもなく,実は電磁場の共変的量子化におけるＥ関数の意味を明確にするための公式を得るという目的がありました。

電磁場の共変的量子化では,４次元交換関係などを表現するために,不変デルタ関数としてＤ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)},およびＥ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}を与えました。

このうち,Ｄ関数Ｄ(ｘ)はダランベール方程式□Ｄ＝0 の解であり,右辺のフーリエ因子のδ(ｐ²)は有限な関数ｆ(ｐ²)との積として非特異な関数としての意味を持ちます。

しかし,Ｅ関数Ｅ(ｘ)のフーリエ因子(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)は有限な関数ｆ(ｐ²)との積としてはなお特異な関数です。ただ,ｐ²ｆ(ｐ²)のような関数との積としては,意味を持つ超関数です。

ところで,中西さんの教科書「場の量子論」で与えられているＥ関数の定義は,私が直感的考察で与えた表現:Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}とは若干異なる形をしています。

すなわち,Δ(ｘ,ｍ²)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²－ｍ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}に対して,Ｅ(ｘ)≡－[∂Δ(ｘ,ｍ²)/∂ｍ²]_m=0＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ'(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}で定義されています。

これら２つのＥ(ｘ)の表現が実は等価であることを見るために,先の「コーシーの主値(主値積分)」という記事を書いたのです。

この記事では,1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ)なる公式を得ましたが,これにｘ＝ｐ²を代入すると1/(ｐ²＋iε)＝Ｐ(1/ｐ²)－iπδ(ｐ²)となります。

移項すると,積分核としてのデルタ関数の別の表現として,iπδ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)－1/(ｐ²＋iε)なる等式を得ます。

両辺を(ｐ²＋iε)で割ると,iπ(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)/(ｐ²＋iε)－1/(ｐ²＋iε)²となります。

一方, iπδ(ｐ²)＝Ｐ(1/ｐ²)－1/(ｐ²＋iε)の両辺をｐ²で微分すると,iπδ'(ｐ²)＝－Ｐ{1/(ｐ²)²}＋1/(ｐ²＋iε)²となります。

そこで,ε→＋0 の極限では,超関数の意味で,(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²)＝－δ'(ｐ²)なる等式が成立することがわかります。

　したがって,超関数の意味でＥ関数の表現:Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}と,Ｅ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ'(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}が等価であることが示されました。(以上)

参考文献:中西襄著「場の量子論」(培風館)

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コーシーの主値(主値積分)

TOSHI — 2009-07-04T02:05:24+09:00

　　コーヒー・ブレイクとして,数学のショートトピックを考察してみます。

　ちょっと思い付きで,コーシー(Cauchy)の主値,あるいは主値積分と呼ばれているものを考えます。

　コーシーの主値というのは,実数の区間[ａ,ｂ]で定義された関数ｆ(ｘ)がａ＜ｃ＜ｂなるある点ｃで不連続なとき,Ｐ∫_a^ｂｆ(ｘ)ｄｘ≡lim_ε→+0[∫_a^c-εｆ(ｘ)ｄｘ＋∫_c+ε^bｆ(ｘ)ｄｘ]と定義して,これを主値(積分)(principal value)と呼ぶことを指します。

　これは,区間[ａ,ｂ]が無限区間(－∞,∞)で被積分関数がｆ(ｘ)/ｘ (ｆ(ｘ):連続関数)の場合には,Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＝lim_ε→+0[∫_|x|≧ε{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ]です。

　複素平面上の実軸を含む領域でｆ(ｚ)が正則なとき,主値Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘを,複素ｚ平面上のある経路Ｃにおける線積分∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚで近似することを考えます。

Ｃとしては,実軸上の－∞から－εまで真っ直ぐ進み,原点Ｏを回避するために,Ｏを中心として半径εの小円で点－εから点εまで時計回り(負の向き)にπだけ回る半円経路を加え,さらにεから∞までの直線経路を考えたものとします。

つまり,小半円の経路をγ^-とすると,全経路はＣ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)です。

すると,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚと書けます。

ところが,明らかに∫_γ-{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝i∫_π⁰ｆ(εexp(iθ))ｄθ＝－iπｆ(0)です。

　それ故,∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0) なることがわかります。

　被積分関数ｆ(ｚ)/ｚに対し,その特異点であるｚ＝0 付近で上半平面方向に歪めた経路Ｃ＝(－∞,－ε)∪γ^-∪(ε,∞)を取る代わりに,通常の(－∞,∞)の経路のまま,被積分関数の方をｆ(ｚ)/ｚからｆ(ｚ)/(ｚ＋iε)に微修正して,特異点をｚ＝0 から下半平面のｚ＝－iεに移すのは,事実上,同等な操作であり,同じ積分値を与えるはずです。

　すなわち,∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ＋iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ－iπｆ(0)です。

　同様な考察から∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/(ｘ－iε)}ｄｘ＝∫_C{ｆ(ｚ)/ｚ}ｄｚ＝Ｐ∫_-∞^∞{ｆ(ｘ)/ｘ}ｄｘ＋iπｆ(0)も得られます。

　これらの公式を,形式的に1/(ｘ＋iε)＝Ｐ(1/ｘ)－iπδ(ｘ), 1/(ｘ－iε)＝Ｐ(1/ｘ)＋iπδ(ｘ)と書きます。

　主値積分については,コーシーの積分定理を意識して,上半平面や下半平面で,半径が∞の半円周を加えた閉じた経路を積分経路Ｃとする説明をよく見かけますが,それは半径が∞の半円周上で積分がゼロになるような特別な被積分関数形を要求します。

　留数などを考慮する必要がある場合なら,その方がいいでしょうが,上の考察では,関数ｆ(ｚ)がｚ→ ∞でゼロに急減衰すべきであるとかの条件は全く必要ないのがミソです。

　今日は記憶に頼った短かい覚え書きなので参考文献はありません。

ＰＳ:２ヶ月ぶりに帝京大病院に診察を受けに行きました。

　これまでは内科診療は心臓や血管が専門の主治医Ｉ先生だけでしたが持病の糖尿病がかなり悪化しているというので今回からＭという糖尿病が専門の女の先生の診療も受けることになりました。

　ところが,先に診察を受けた糖尿病の方で,12時直前に受けた診察で,朝９時半に検査した結果の糖尿病の指標であるヘモグロビン(HbA1C;正常値4.3～5.8）が,前回(５月８日)まで,11くらいもあったのに,8.6と劇的に軽減されていたので,当然インシュリン注射の指導をする予定だったらしい女医が,これまで通りの投薬で様子を見るということになりました。

　空腹時血糖値は200丁度でしたが,これも前回は確か250くらいだったので減っていたし,今日は朝８時頃おにぎりを食べてきたので完全に空腹というわけではありませんでしたた。

　別に何をしたというわけもなく,このところ金がなくて空腹続きだったのが良かったのでしょうか？

　最近,何かしましたか？生活が変わりましたか？等聞かれましたが,相変わらず薬はよく忘れて半分くらいは残っているし,別に,貧乏で肉類が少なく空腹だったくらいです。

　そういえば,先月初め,知り合いに紹介されて面接した秋葉原の「コタラヒムジャパン」http://kothalahim.blog110.fc2.com/blog-entry-9.html という会社が,偶然にも和名「コタラヒム」という名前の糖尿病に効くらしいスリランカの薬草を販売している会社でした。

　そのとき,対面したＳ会長に自分も長年糖尿病である旨を伝えたら,サンプル試供品の「コタラヒム」を20粒程度頂きました。これを思いついたときには食前２錠ずつ飲んでいたのを思い出しました。

　まだ,数粒残っているので,毎日飲んだわけではないようです。

　このことを言ったら,後で診察を受けた糖尿が専門ではない心臓病の主治医は少し興味を持ったようでしたが,糖尿病が専門の医者には「毒かもしれないから,変なものは飲まないように」と言われました。

　私のデータが改善された理由は,十分な比較サンプルもないので,もちろん何の効果かははっきりしないのでしょうが,そもそもインシュリン投与の対症療法しかない糖尿病だし,専門の立場からはイカガわしいもが多いという気持ちはわかりますが,別に私はその会社の回し者ではないので調べるくらいしてもいいのにと思いました。

　(理由は,何でも薬は効きさえすればいいのだと思う。。大きな副作用があれば別ですが。。)

　心臓,血管関係では,２年前のバイパス手術退院当時,上が85～90だった血圧が120と正常になってました。また,退院時52キロだった体重も61キロと戻ってきました。

　しかし,身長が176センチなので,まだまだやせていて太りたいのですが,ここ数年来摂取カロリーが成人標準の半分程度なので,やせるのも仕方ないでしょう。

　だからこそ,食事療法などは無駄だから,インシュリンを投与しろということらしかったのですが。。。

　また,これまで,フラフラして転びやすいのは,主に低血圧のせいと思っていたら,赤血球も正常下限値の８割しかなくて貧血もあるようでした。その他は腎臓が蛋白＋２で少し悪い以外は全て正常値でした。

　念のため,次回はほぼ全部の内臓の超音波(エコー)検査をすることになりました。

　また,４月末にやった両足首の動脈の検査結果から,足の動脈硬化らしいので薬ももらいましたが,来週下半身のＭＲＩ検査をして,場合によっては足の動脈のカテーテルか,バイパス手術もあるらしいです。

　そうだとしても,今度は心臓ではなく足なので危険度ははるかに少ないでしょう。

　糖尿病状態の急激な変化は,たとえ軽癒の場合でも眼底によくないとのことで,同じ日に久しぶりに眼科の診察も受けることになりました。

　こうした検査は人間ドック以上にお金がかかるだろうとはいえ,これまで定期的に受けてきた診察では何もなかったのに５月に病院の建物や施設が新しくなったとたんに,こう色々と出てくるのでは今までは一体何だったんだろう？と思ってしまいます。

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自分のブログにアクセスできませんでした。

TOSHI — 2009-07-01T05:56:37+09:00

　昨日,ココログ(@niftyの全ブログ)のメンテナンスが終わってもココログ・フリーのエラーが出て管理画面へ行けというメッセージが出るけど,どうしても管理画面も表示されなくてイライラしていました。

　実は６月最後の記事書く予定だったのに,どうしようもありませんでした。

　今朝になって,解決策をネット検索していると,前回にもあったとのことで,インターネット・オプションのセキュリティから,cookiesファイルを削除すれば解決されるとのこと。。やってみました。。

　おお,確かに管理画面が出ました。。

　しかし,以前とトップ画面が変わっている？そして,ｎｉｆｔｙのＩＤを入れろと出ているので,@niftyのIDを入れてログインすると,「このIDはブログに登録されていません。」と出ます。

　ウーン。。私は@nifty会員でもあるけれど,そもそもココログ・フリーは@nifty以外の会員が利用できて無料のはず。。

　いつ@nifty会員をやめてもいいように,フリーの方でブログやってるのでした。

　ははあ,@niftyのIDではなくて,今まで通り,ブログ会員のIDかなと入れてみたら通りました。。バカヤローって,やっぱ俺の方が馬鹿なのかな？。。。

PS:保育士の資格を取ろうと思って勉強していたのですが,どうも年齢制限があって,せいぜい29歳くらいまでということらしく,全く無理だとわかりました。

　しかし,発達心理学などには少し興味を感じたし.子供のケガ,病気に関する知識も僅かですが得られたので無駄ではないし,資格に関係なくこれからも続けようと思っています。

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ＴＶ朝日「朝まで生テレビ」の感想

TOSHI — 2009-06-27T05:28:50+09:00

　今日(６/26(金))のＴＶ朝日の月イチの深夜番組「朝まで生テレビ(朝までナメてれば？)」は,失業,貧困がテーマでしたが,比較的政治を含むパフォーマンスも少なく,敵味方も満遍なく揃っていて,それほど興奮して極端な無茶を言う登場人物もいなくて(それはそれで別の意味で面白いこともあるけど),まともに面白かったので,久しぶりに,途中でチャンネルを変えることもなく最後まで冷静に見てしまいました。

　しかし,いつも思うのですが,あの金さんて方(在日台湾人？)は,暖かそうな顔をしてるのに,いわゆる弱者である障害者や現に貧困な人々に対して何故あんなに冷たいピントはずれな意見を述べるのだろう？

　恐らく,余りにも衣食足りていることが当たり前の世界にいるので,自分では冷たいことに気付いてないだけなんだろうとは思いますが。。

　取り合えず,お金の借りられる友人や身内はいないの？そしてそういう困ったときに助けてくれる人がいないのも自分のせいじゃないかとかのご意見でした。

　それじゃ,"パンをよこせ"という民衆に"パンが無ければケーキ(お菓子)を食べればいいじゃないか？"と言ったというマリー・アントアネットと同じじゃないですか。

　イヤー,金さんって,そこまで生まれも育ちもいいのでしょうか。。。

　もっとも,マリー・アントアネットがそんなことを言ったという史実はないらしく,彼女を断頭台に送った正当な理由付けのために後世で創作された話らしいですが。。。

　まあ,勧善懲悪の時代劇でも,最後に正義が悪人をブッタ斬る(死刑？だよね)という設定を正当化するために,ブッタ斬る予定の相手にワザワザ必要の無い人殺しなどをさせるという理由付けをしますよね。。

　別のお金持ちの方(カツラの似合う堀さん)は,たかが６千円がないからとか,またギリギリになってセーフティネットに頼ってきたらしいけど,それまでネット・カフェで暮らしてる余裕があった間に,つまり何故もっと早く手遅れになる前にセーフティネットや,他の誰かに頼るような道を模索しなかったのか？という内容のことを述べておられました。

　ここは,さすがにチョッと腹が立ちました。

　イジめられてギリギリになって自殺した,または自殺未遂の中学生に対して,"何故もっと早くなんとかしなかったのか？"とか"死ぬ気になれば何でもできるのに"とか抜かしてるのと同じです。何もできない大人と同じことを言ってるのですよ。

　お二人とも,困ったときにどうすればいいか？という知恵が働かないような人間を作った教育が悪い,あるいは,現代は困ったときは助け合いという昔ながらの向こう三軒両隣的な大家族時代の人情が少ない,生活に困ったときのノウハウがわからないという意味で,頭が悪いのも原因だ。。みたいなご意見でした。

　これも,もちろん要因の１つでしょうが,頭を使えば何とかなるという貧困のレベルかどうかをご理解されてないようです。

　貧乏人の側の,そもそもお金を借りるとか,金がからむ関係になると,友人関係さえ壊れるという意見が理解できないはずはないでしょう。。

　それに対して,それは本当の友人じゃない。困ったときに助け合えるのが友人というものだ。というご意見でした。

　イヤー私なら両方共もっともなご意見で,実はほとんど同じことを別表現で述べているに過ぎないと思えます。

　それに対して,ファニー・フェースでコメディアンが合うとも見える自民党の大村さんが,この件に限っては意外と,まともだと思いました。。(ひょっとして選挙前だけのお得意のポーズ？)

　まあ,必ずしも政治のせいだけではないので,弁解する必要はないのに,結果的には片山氏も含めて,本題である将来の対策よりもむしろ,現行の党や政府の政策の弁解に終始してました。立場上仕方ないのでしょうかね。

　小池という共産党の医者？も,この件については意外とまともでしたが,民主党のお二人は真面目には見えるけどアガっていたのかな？。。

　とにかく身につまされる話なので,最近の国内外のデータを交えた話だけはずい分参考になりました。

ＰＳ：いくら有名になって大金持ちになっても,白人コンプレックスだけはどうしても消せなくて,そういう意味ではマイケル・ジャクソンも不幸でした。

　白人に対するコンプレックスさえなければ。。(これの原因は人種差別なんでしょうけどね)

　ファラ・フォーセットが亡くなったニュースもかすみましたね。。

　肛門ガンというのも,エイズで友人にも見放されて最後は不遇のうちに亡くなったロック・ハドソンと同様,スターにとっては,不名誉な病名で可哀想ですね。

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水の波(5)(群速度,波のエネルギー)」

TOSHI — 2009-06-25T22:56:02+09:00

　ちょっと間があきましたが,水の波の続きです。

　群速度が波群の進行速度を表わすことは既に述べましたが,ここでは波群の運動学の立場から群速度を概観してみます。

　一般に分散性媒質中では,任意の初期状態から出発した波の場は時間が経つにつれて分散が進み,長時間の後には,局所的には１つの波数と振動数の単色波になるという状態が実現します。

　こうした状態においては,波の場の振動的構造を無視して,場全体を波数,振動数,振幅などの特性量の場として大局的に記述することが可能になります。

　これは波の場を波群の運動学として記述するもので,いわば波動光学に対する幾何光学に対応しています。

　局所的に単色波である波の場では,もはや波の分裂や合体は起こらないので,波数,および振動数の保存則が成り立つと考えられます。

　今,ｘ軸の方向に長さδｘを取り,δｘは波数ｋの空間的変化の尺度に比べればきわめて小さいが,その中には多数の波を含むとします。

　同様に,時間間隔δｔを取り,δｔは振動数ωの時間的変化の尺度に比べれば十分短かいが,中に多数の振動を含むとします。

　ｘ軸の正の向きに進む水の波を考えると,δｔ内にｘ,およびｘ＋δｘを通過する波の数は,それぞれω(ｘ,ｔ)δｔ,およびω(ｘ＋δｘ,ｔ)δｔです。

そこで,区間(ｘ,ｘ＋δｘ)内には,差し引きω(ｘ,ｔ)δｔ－ω(ｘ＋δｘ,ｔ)δｔ＝－(∂ω/∂ｘ)δｘδｔだけの波が残ります。

ところが波数の保存側によって,これはこの区間δｘ内において,時間δｔ内における波数の増加(∂ｋ/∂ｔ)δｘδｔに等しくなければなりません。

したがって,∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 です。位相速度ｃ＝ω/ｋを代入すると∂ｋ/∂ｔ＋∂(ｃｋ)/∂ｘ＝0 と書けますが,これは明らかに波数ｋに対する連続の方程式を表わしています。

この記述では,波の位相速度ｃが波数ｋの伝播速度を与えることを示しています。

他方,群速度がｃ_g＝ｄω/ｄｋで与えられることから,∂ω/∂ｘ＝(ｄω/ｄｋ)(∂ｋ/∂ｘ)なので,波数の保存式∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 は∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ＝0 なることを意味します。

あるいは,∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘ＝0 です。ωはｋを通じてｘ,ｔに依存しているとしています。

そして,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gならｄｋ/ｄｔ＝∂ｋ/∂ｔ＋(∂ｋ/∂ｘ)(ｄｘ/ｄｔ)＝∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ,かつｄω/ｄｔ＝∂ω/∂ｔ＋(∂ω/∂ｘ)(ｄｘ/ｄｔ)＝∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘです。

それ故,波数の保存式∂ｋ/∂ｔ＋∂ω/∂ｘ＝0 は,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gなる道筋に沿って波数ｋと振動数ωが一定なることを示しています。

つまり,波の群速度ｃ_gは,波数ｋ,または振動数ωが一定である点の移動速度を与えます。

ωはｋのみの関数で,ｃ_gもまたｋのみの関数と考えることができるのでｋ＝一定の道筋の上では,ｄｘ/ｄｔ＝ｃ_gの解は,ｘ－ｃ_gｔ＝一定なる直線,つまり等速運動になります。

そこで,一定の波数,または振動数の波群は,一定の群速度で進行することがわかります。

媒質が不均一である場合には,ωはｋだけでなくｘにも依存するため,∂ｋ/∂ｔ＋ｃ_g∂ｋ/∂ｘ＝0 または∂ω/∂ｔ＋ｃ_g∂ω/∂ｘ＝0 は成立しません。

しかし,この場合も局所的な群速度を,ｘを固定した偏微分で,ｃ_g≡(∂ω/∂ｋ)_xで定義します。

(∂ω/∂ｋ)_x(∂ｋ/∂ｔ)_x＝(∂ω/∂ｔ)_xを考慮すれば,再びωに対する方程式:(∂ω/∂ｔ)_x＋ｃ_g(∂ω/∂ｘ)_x＝0 が得られます。

したがって,不均一な媒質においても一定振動数の波群は群速度ｃ_gで進行します。

ただし,この場合,群速度ｃ_gは一定ではなく,道筋もまた直線的(等速運動)ではありませんが,ｃ_gはωとｘの関数であり,ωは道筋に沿って一定ですから,ｃ_gはｘのみの関数となります。

次に波のエネルギーを考察します。

ｘ軸とそれに直角なｙ軸方向にそれぞれ単位長さの幅を持ち,鉛直ｚ方向には水底ｚ＝－ｈから水面ｚ＝ηまでの立体Ｖを取り,Ｖの中の水のエネルギーを考えます。

水の密度をρ＝一定とすると,渦なしの流れの場合,水の速度ｕは速度ポテンシャルΦによってｕ＝∇Φと表わされるので,運動エネルギーＫはＫ＝∫_V(ρｕ²/2)ｄＶ＝(ρ/2)∫_V|∇Φ|²ｄＶで与えられます。

一方,位置エネルギーＰはＰ＝ρｇ∫_VｚｄＶです。

したがって,全エネルギーはＥ＝Ｋ＋Ｐ＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ}ｄＶで与えられます。

これを微小振幅波について具体的に計算してみます。

体積Ｖとしてｙ方向の幅は単位長さとしていますが,ｘ方向の長さをδｘを考えると,まず運動エネルギーはＫδｘ＝(ρ/2)∫₀^δxｄｘ∫_-h⁰ｄｚ{(∂Φ/∂ｘ)²＋(∂Φ/∂ｚ)²}と表わされます。ここでｚ積分の上限は線形近似でη＝0 としました。

既に求めたように微小振幅波の速度ポテンシャルはΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)です。

これを,Ｋδｘの表現に代入し位相速度がｃ＝ｃ(ｋ)＝ｋ/ω＝ｆλ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2を用います。

すると,Ｋδｘ＝(ρ/2){Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}²∫₀^δxｄｘ∫_-h⁰ｄｚ[sin²(ｋｘ－ωｔ)＋sinh²{ｋ(ｚ＋ｈ)}]＝(ρ/2){(ｇＡ²ｋ)tanh(ｋｈ)/sinh²(ｋｈ)}}δｘ[ｈ/2＋{sinh(2ｋｈ)/(2ｋ)－ｈ}/2]＝ρｇＡ²δｘ/4,すなわち,Ｋ＝ρｇＡ²/4を得ます。

また,位置エネルギーは水面の高さが意味を持つので,ηを復活させてη＝η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)とすると,Ｐδｘ＝ρｇ∫₀^δxｄｘ∫_-h^ηｚｄｚ＝(ρｇ/2)∫₀^δx(η²－ｈ²)ｄｘ＝(ρｇ/2)∫₀^δx{Ａ²sin² (ｋｘ－ωｔ)－ｈ²}ｄｘ＝(ρｇδｘ/2)(Ａ²/2－ｈ²)です。

よってＰ＝ρｇＡ²/4－ｈ²/2です。

したがって,全エネルギーはＥ＝Ｋ＋Ｐ＝ρｇＡ²/2－ｈ²/2です。

ところが右辺の定数項:－ｈ²/2はＡ＝0 で波がなく静止しているときにも存在する水の位置エネルギーですから,これを基準としたエネルギーを改めて波のエネルギーとしてＫ_w,Ｐ_w,Ｅ_w＝Ｋ_w＋Ｐ_wを定義すれば,Ｋ_w＝Ｐ_w＝ρｇＡ²/4,Ｅ_w＝ρｇＡ²/2となります。

これらのエネルギーは,いずれも波数や振動数に無関係であり,水面波ηの振幅Ａだけで決まる量です。そして,今の場合,運動エネルギーと位置エネルギーの等分配則が成立しています。

一般的には,波のエネルギーはＥ＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ}ｄＶから,水の静止エネルギー∫_V0ρｇｚｄＶを引いたＥ_w＝∫_V{ρ|∇Φ|²/2]ｄＶ＋∫_VρｇｚｄＶ－∫_V0ρｇｚｄＶで定義できます。

ただし,Ｖ₀は水面波ηがない場合の立体体積です。

次に,波のエネルギーの時間変化ｄＥ_w/ｄｔ＝ｄＥ/ｄｔを考えます。特にエネルギー密度をε≡ ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚとおけば,Ｅ＝∫_VεｄＶであり,ｄＥ/ｄｔ＝∫_V(∂ε/∂ｔ)ｄＶ＋∫_S(εｖ_n)ｄＳです。

ここで,ＳはＶの表面を表わし,ｖ_nはＳの面要素ｄＳの動く速度ｖの外向き法線成分を表わします。

ここで,圧力方程式∂Φ/∂ｔ＋Ｐ/ρ＋|∇Φ|²/2＋ｇｚ＝ｆ(ｔ)≡Ｐ₀/ρ(広義のベルヌーイの定理)を考慮すると,ε＝ρ|∇Φ|²/2＋ρｇｚ＝－ρ(∂Φ/∂ｔ)－(Ｐ－Ｐ₀)と表現できます。

そこでｄＥ/ｄｔ＝ρ∫_V[∇Φ∇(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ－∫_S[{ρ(∂Φ/∂ｔ)＋(Ｐ－Ｐ₀)}ｖ_n]ｄＳと書けます。

ところが,∇²Φ＝0 ですから,∫_V[∇Φ∇(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ＝∫_V[∇{∇Φ(∂Φ/∂ｔ)}－∇²Φ(∂Φ/∂ｔ)]ｄＶ＝∫_V[∇{∇Φ(∂Φ/∂ｔ)}ｄＶ＝∫_S(∂Φ/∂ｎ)(∂Φ/∂ｔ)ｄＳです。

したがって,ｄＥ/ｄｔ＝∫_S{ρ(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ－ｖ_n)＋(Ｐ－Ｐ₀)ｖ_n}ｄＳと書けます。

ところでＶの表面Ｓは４つの鉛直な側面と水面,水底面から成りますが,水面では∂Φ/∂ｎ－ｖ_n＝0,かつＰ－Ｐ₀＝0 です。

そしてｘ軸に平行な一対の側面では∂Φ/∂ｎ＝ｖ_n＝0です。またｘ軸に垂直な一対の側面ではｖ_n＝0 ですが,一般に∂Φ/∂ｎ≠0 です。

それ故,ｘ軸に垂直な側面をＳ_nとすると,ｄＥ/ｄｔ＝ρ∫_Sn(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)ｄＳなる式が得られます。これは波のエネルギー保存則を意味します。

ところで,Ｓ_n上でｕ_n≡∂Φ/∂ｎと定義し,エネルギー密度の表現:ε＝－ρ(∂Φ/∂ｔ)－(Ｐ－Ｐ₀)を用いると,上式はｄＥ/ｄｔ＝－ρ∫_Sn(εｕ_n)ｄＳ－∫_Sn{(Ｐ－Ｐ₀)ｕ_n}ｄＳと書けます。

これは,右辺第１項が体積Ｖ内へのエネルギーの流入率,第２項が大気と流体の圧力差によってＶ内の流体が受ける仕事率を表わすというエネルギー保存の典型的な形式になっています。

ここで,体積Ｖとしてｘ軸方向に長さδｘを有するものを取り,座標ｘ,ｘ＋δｘにおける境界面Ｓ_nを,それぞれＳ(ｘ),Ｓ(ｘ＋δｘ)と書けば,エネルギー保存式は,(ｄＥ/ｄｔ)δｘ＝ρ[∫_S(x+δx)－∫_S(x)][(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)]ｄＳとなります。

そこで,ｄＥ/ｄｔ＝ρ(∂/∂ｘ){∫_S(x)(∂Φ/∂ｔ)(∂Φ/∂ｎ)ｄＳ}となります。これは波のエネルギー保存則の微分形で,波のエネルギー方程式を与えるものとなっています。

とりあえず,今日はここまでにします。

参考文献:巽友正著「流体力学」(培風館)　

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電磁場の共変的量子化(3)(中西-Lautrap理論)

TOSHI — 2009-06-19T23:18:14+09:00

　電磁場の共変的量子化(3)(中西-Lautrap理論)」の続きです。

　前回は,共変ゲージでの電磁場Ａ_μ(ｘ),補助場Ｂ(ｘ)の一般的４次元交換関係が[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝0,[Ａ_μ(ｘ),Ａ_ν(ｙ)]＝－iη_μνＤ(ｘ－ｙ)＋i(1－α)∂^x_μ∂^x_νＥ(ｘ－ｙ)で与えられるというところまで書きました。

　これは,Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ), Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)]なる表現に基づくものです。

　忘れていましたが,４次元交換関係[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]をまだ計算していませんでした。

これも,Ｂ(ｙ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ)を代入した式,[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z₀^⇔[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｚ)]を利用すれば計算できます。

右辺の被積分関数はｚ⁰に依存しないので,ｚ⁰＝ｘ⁰とおけば,これは[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｚ)]と[Ａ_μ(ｘ), ∂^z₀Ｂ(ｚ)]の同時刻交換関係から計算できます。

まず,μ＝ｉなら,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 によって[Ａ_i(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝－∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)[Ａ_i(ｘ),∂^z₀Ｂ(ｚ)]と書けます。

ところが,∂_μＢ＝□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^νですから,∂₀Ｂ＝□Ａ₀－∂₀∂_νＡ^ν＝Σ_k∂_k(∂₀Ａ^k)－∇²Ａ₀です。

そして,同時刻では,[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),Ａ_ν(ｘ⁰,ｙ)]＝0 ですから[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∇_y²Ａ₀(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

また,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝－iδ_i^kδ³(ｘ－ｙ)より,[Ａ_j(ｘ⁰,ｘ),Σ_k∂^y_k(∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ))＝－iΣ_k∂^y_kδ_i^kδ³(ｘ－ｙ)＝－i∂^y_iδ³(ｘ－ｙ)なので,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝－i∂^y_iδ³(ｘ－ｙ)を得ます。

それ故,[Ａ_i(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝i∫ｄ³ｚＤ(ｙ－ｚ)∂^z_iδ³(ｘ－ｚ)＝－i∂^x_iＤ(ｙ－ｘ)＝i∂^x_iＤ(ｘ－ｙ)となります。

(なぜなら,Ｄ(ｙ－ｘ)＝－Ｄ(ｘ－ｙ)です。)

一方,同時刻で[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),∇_y²Ａ₀(ｘ⁰,ｙ)]＝0 なることは明らかです。また,[Ａ_μ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ａ_k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 ですから,[Ａ_i(ｘ⁰,ｘ), Σ_k∂^y_k(∂₀Ａ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 です。

よって,[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ^k(ｘ⁰,ｙ)]＝0 が得られます。

一方,[Ａ₀(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝－iδ³(ｘ－ｙ)ですから,[Ａ₀(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝－i∫ｄ³ｚ∂^z₀Ｄ(ｙ－ｚ)δ³(ｘ－ｚ)＝－i∂^x₀Ｄ(ｙ－ｘ)＝i∂^x₀Ｄ(ｘ－ｙ)です。

　以上から,４次元の共変的交換関係:[Ａ_μ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝i∂^x_μＤ(ｘ－ｙ)も得られました。

　補助場Ｂ(ｘ)はダランベール方程式:□Ｂ＝0 の解なので,運動量表示は,Ｂ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｐ(2|ｐ|)^-1/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ｂ^(ｐ)exp(－i|ｐ|ｔ＋iｐｘ)＋ｂ^^＋(ｐ)exp(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)}},

　あるいは,Ｂ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ｂ^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ｂ^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}と,よく知られた形に表現して何の問題もありません。

　そして,これらの逆変換としてｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2(2|ｐ|)^-1/2∫ｄ³ｘ[(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)]]∂₀^⇔Ｂ(ｘ)],あるいはｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]を得ます。

　ｂ^(ｐ)＝θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)(2|ｐ|)^1/2ｂ^(ｐ)です。

　しかし,□Ａ^μ＝0 ではないので,Ａ^μ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｐ(2|ｐ|)^-1/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ａ^μ^(ｐ)exp(－i|ｐ|ｔ＋iｐｘ)＋ａ^μ^^＋(ｐ)exp(i|ｐ|ｔ－iｐｘ)}}＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ａ^μ^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ａ^μ^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)と書くことはできません。

　これが,この問題のネックなのです。

Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ),およびＡ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)]なるキルヒホッフの表示式,

そして,Ｄ(ｘ)＝－i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)},Ｅ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)(ｐ²＋iε)^-1δ(ｐ²){exp(－iｐｘ)－exp(iｐｘ)}なる表現式,

ｂ^(ｐ)＝－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]なる逆表現から類推して,ａ^μ^(ｐ)≡－i(2π)^-3/2θ(ｐ⁰)δ(ｐ²)[∫ｄ³ｘ[exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ａ^μ(ｘ)－(1－α)(ｐ＋iε)^-2exp(iｐｘ)∂₀^⇔Ｂ(ｘ)]と定義してみます。

Ｂ(ｘ)の正振動数部分をＢ^＋(ｘ)と書けば,Ｂ^＋(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²){ｂ^(ｐ)exp(－iｐｘ)です。

同様に,Ａ^μ(ｘ)の正振動数部分をＡ^μ＋(ｘ)と書けばＡ^μ＋(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰)δ(ｐ²)ａ^μ^(ｐ)exp(－iｐｘ)です。

こうすれば,運動方程式,□Ｂ＝0 ,□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝0 ,∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 は,それぞれｐ²ｂ^(ｐ)＝0 ,ｐ²ａ^μ^(ｐ)＝i(1－α)ｐ^μｂ(ｐ),ｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ)となります。

また,交換関係は[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0,[ａ^μ^(ｐ),ａ^ν＋(ｑ)]＝δ⁴(ｐ－ｑ)[－η^μνδ(ｐ²)＋(1－α)ｐ^μｐ^νｐ^-2δ(ｐ²)],[ａ^μ^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)ｐ^μδ(ｐ²)です。

グプタ・ブロイラーの方法では,物理的状態を|phys＞と表記すると,その条件は,∂_μＡ^μ＋(ｘ)|phys＞＝0 とされています。これはα＝0 のランダウゲージ以外では,ｂ(ｐ)|phys＞＝0 と同値です。

そこで,逆に物理的状態であるための条件をｂ(ｐ)|phys＞＝0 であることと定義します。

さて,運動量がｐ^μの１光子状態は,ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞とｂ^^＋(ｐ)|0＞であるとします。ただし,ｐ_μａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－iαｂ^＋(ｐ)|0＞なる条件がありますから,このうち独立な偏光成分は４つだけです。

これら１光子状態は,ｐ²ｂ^(ｐ)＝0 より,ｐ²ｂ^^＋(ｐ)|0＞＝0 を満たし,ｐ²ａ^μ^(ｐ)＝i(1－α)ｐ^μｂ(ｐ)より,ｐ²ａ^μ^^＋(ｐ)|0＞＝－i(1－α)ｐ^μｂ^^＋(ｐ)|0＞を満たすことがわかります。

ここで,簡単のために,ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝(Ｅ,0,0,Ｅ)(Ｅ≠0)なる座標系を取ります。これは,光子の運動方向をｚ軸方向に取るというだけの意味ですから,決して一般性を失なうものではありません。

このとき,ｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ)は,１光子としては,Ｅ(ａ⁰^^＋(ｐ)－ａ^3＋(ｐ)|0＞＝iαｂ^＋(ｐ)|0＞なることを意味します。

そこで,スカラー光子|ｐ,Ｓ＞と横波光子|ｐ,Ｔ^j＞は固有値ｐ²＝0 に属するｐ²の固有状態ですから,これらは質量がゼロの粒子状態を表わしています。

しかし,縦波光子|ｐ,Ｌ＞はα＝1の場合を除いて,ｐ²の固有状態ではありません。しかし,(ｐ²)²|ｐ,Ｌ＞＝0 を満たすので,いわゆる双極ゴースト(dipole ghost)です。

さらに,[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0 により,＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｓ＞＝0 です。また,[ａ^μ^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)ｐ^μδ(ｐ²)により,＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｔ^j＞＝0,＜ｑ,Ｓ|ｐ,Ｌ＞＝－δ⁴(ｑ－ｐ)Ｅδ(ｐ²)です。

そして,[ａ^μ^(ｐ), ａ^ν＋(ｑ)]＝δ⁴(ｐ－ｑ)[－η^μνδ(ｐ²)＋(1－α)ｐ^μｐ^νｐ^-2δ(ｐ²)]により,＜ｑ,Ｌ|ｐ,Ｌ＞＝δ⁴(ｐ－ｑ)δ(ｐ²)＋(1－α)Ｅ²ｐ^-2δ(ｐ²)]です。

さらに,＜ｑ,Ｔ^j|ｐ,Ｌ＞＝0,＜ｑ,Ｔ^k|ｐ,Ｔ^j＞＝δ^kjδ(ｐ²)δ⁴(ｐ－ｑ)であることもわかります。

また,再び[ｂ^(ｐ),ｂ^^＋(ｑ)]＝0 により,ｂ^(ｑ)|ｐ,Ｓ＞＝0 です。そして,[ａ^j^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝0 (ｊ＝1.2)によって,ｂ^(ｑ)|ｐ,Ｔ^j＞＝0 です。

一方,[ａ³^(ｐ),ｂ(ｑ)]＝－δ⁴(ｐ－ｑ)Ｅδ(ｐ²)なので,ｐ²＝0,かつｑ＝ｐなら|ｂ(ｑ)|ｐ,Ｌ＞≠0 です。

そこで,双極ゴースト粒子の縦波光子は非物理的状態であり,観測可能な状態ではないことがわかります。

したがって,スカラー光子と横波光子のみが物理的状態となる条件を満たす物理的粒子です。

ただし,スカラー光子のノルム＜ｐ,Ｓ|ｐ,Ｓ＞は常にゼロです。

それ故,スカラー光子は,確かに質量がゼロの物理的粒子ですが,観測される確率はゼロという意味で閉じ込められるため,実光子ではなく仮想光子と呼ばれます。

さて,自由場を離れて相互作用(４元電流密度)がある場合には,運動方程式は,□Ａ_μ－∂_μ∂_νＡ^ν－∂_μＢ＝□Ａ_μ－(1－α)∂_μＢ＝－j_μ(ｘ)となります。

特に静電場なら,j₀(ｘ)＝j₀(ｘ,ｔ)＝ρ(ｘ)(電荷密度)だけがゼロでない成分で,時間変動はありませんから,∂₀＝∂/∂ｔ＝0 を代入すると,－∇²Ａ₀＝ρ,∇²Ａ_k＝－(1－α)∂_kＢとなります。

－∇²Ａ₀＝ρは,Ａ₀をφと書けば∇²φ＝－ρです,

これから,静電ポテンシャルはφ(ｘ)＝－∫ｄ³ｙ[ρ(ｙ)/(4π|ｘ－ｙ|)]で,静電場はＥ(ｘ)＝－∇φ(ｘ)で与えられます。

そこで補助場Ｂ(ｘ)の存在に関係なく,静電場のクーロンの法則は確かに成立します。補助場Ｂ(ｘ)は単にゲージ変換と同等な意味しか持たないわけです。

そして,－∇²Ａ₀＝ρは,運動量表示では,ｐ²ａ⁰^(ｐ)＝ρ^(ｐ)と同等です。同じく,∇²Ａ_k＝－(1－α)∂_kＢはｐ²ａ^k^(ｐ)＝－i(1－α)ｐ^kｂ^(ｐ)です。

∂_μＡ^μ＋αＢ＝0 よりｐ_μａ^μ^(ｐ)＝－iαｂ(ｐ),あるいはｐ²＝0でｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝(Ｅ,0,0,Ｅ)(Ｅ≠0)なら,ｐ²＝Ｅ²でＥ{ａ⁰^(ｐ)－ａ³^(ｐ)}＝－iαｂ^(ｐ)です。

そしてＥ²ａ³^(ｐ)＝－i(1－α)Ｅｂ^(ｐ)です。これらの式から,ａ³^(ｐ)を消去すると,ａ⁰^(ｐ)＝iｂ^(ｐ)/Ｅを得ます。同様にａ⁰^^＋(ｐ)＝－iｂ^^＋(ｐ)/Ｅとなります。

そこで,φ(ｘ)＝i(2π)^-3/2∫ｄ⁴ｐθ(ｐ⁰){δ(ｐ²)＋(ｐ＋iε)^-2δ(ｐ²)}{ａ⁰^(ｐ)exp(－iｐｘ)＋ａ⁰^^＋(ｐ)exp(iｐｘ)}のａ⁰^(ｐ),ａ⁰^^＋(ｐ)を,それぞれiｂ^(ｐ)/Ｅ,－iｂ^^＋(ｐ)/Ｅに置き換えたものが静電場のクーロンポテンシャルに相当することがわかります。

それ故,クーロン相互作用は,閉じ込められていて観測されない質量ゼロのスカラー光子の媒介によるという描像が得られました。

ちょっと,詳細を省いていますが,理論の概略としてはこの程度です。

今日はここで終わります。

参考文献:J.D.Bjorken,S.D.Drell「Relativistic Quantum Fields」(McGraw-Hill),中西襄著「場の量子論」(培風館)

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電磁場の共変的量子化(2)(中西理論;不変デルタ関数)

TOSHI — 2009-06-14T21:06:37+09:00

「電磁場の共変的量子化(中西-Lautrap理論)」の続きです。ＰＣトラブルで,ちょっと間があきました。

今日は,一般的な不変デルタ関数を考察します。

無用な煩雑さを避けるため,素朴な質量ｍのクライン・ゴルドン方程式に従う１成分の自由な中性スカラー場φ(ｘ)の考察から始めます。

(簡単のため,ｃ＝ｈ/(2π)＝1の自然単位を採用します。)

自由な中性スカラー場φ(ｘ)のラグランジアン密度Ｌ₀はＬ₀(φ,∂_μφ)＝(1/2)(∂_μφ∂^μφ－ｍ²φ)で与えられます。

(ただし,∂_μφ≡∂φ/∂ｘ^μetc.です。)

φの変分δφに対して,作用Ｓ＝∫Ｌ₀(φ,∂_μφ)ｄ⁴ｘの変分δＳが停留値を取るべきであるという作用原理から,場の運動方程式はオイラー・ラグランジュ方程式∂_μ{∂Ｌ₀/∂(∂_μφ)}－∂Ｌ₀/∂φ＝0 で与えられます。

当然ながら,これは素朴なクライン・ゴルドン方程式(□＋ｍ²)φ(ｘ)＝0 に一致します。ここに□≡∂_μ∂^μ＝∂²/∂ｔ²－∇²で,これはダランベルシャン(d'Alembertian)と呼ばれる微分演算子です。∇²はラプラス演算子(Laplacian)です。

正準共役な運動量密度演算子はπ(ｘ)＝∂Ｌ₀/∂(∂₀φ)＝∂⁰φ＝∂₀φで与えられます。

そこで,同時刻の正準交換関係は,[π(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝－iδ³(ｘ－ｙ),および[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝[π(ｘ),π(ｙ)]|_x0=y0＝0 となります。

そして,φ(ｘ)の自由平面波によるフーリエ(Fourier)展開式はφ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1/2{ａ^(ｋ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ)exp(iｋｘ)}と書けます。

ただし,ω_k≡(ｋ²＋ｍ²)^1/2＞0 であり,exp(－iｋｘ)＝exp(－iω_kｔ＋iｋｘ),exp(iｋｘ)＝exp(iω_kｔ－iｋｘ)です。また,ａ^^＋(ｋ)はａ^(ｋ)のエルミート共役です。

同時刻の正準交換関係[π(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝－iδ³(ｘ－ｙ),[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝[π(ｘ),π(ｙ)]|_x0=y0＝0 から,ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ)の交換関係[ａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]＝δ³(ｋ－ｋ'),[ａ^(ｋ),ａ^(ｋ')]＝[ａ^^＋(ｋ),ａ^^＋(ｋ')]＝0 が得られます。

これらａ^(ｋ),ａ^^＋(ｋ)の交換関係から,同時刻とは限らない一般の場の交換関係のフーリエ積分表示として,[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}＋exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]を得ます。

これをiΔ(ｘ－ｙ)と定義します。

特に,質量ｍの関数であることを強調したいときには,Δ(ｘ)の代わりにΔ(ｘ,ｍ²)と表記します。Δ(ｘ),またはΔ(ｘ,ｍ²)は座標ｘ^μのローレンツ変換に対して不変なので,不変デルタ関数と呼ばれます。

　そして,iΔ(ｘ－ｙ)＝[φ(ｘ),φ(ｙ)]ですから,Δ(ｙ－ｘ)＝－Δ(ｘ－ｙ)であり,また,(□＋ｍ²)φ(ｘ)＝0 ですから,(□＋ｍ²)Δ(ｘ)＝0 を満たします。

　前記事の電磁場について,不変デルタ関数として与えたＤ(ｘ)は－Δ(ｘ,0)であり,□Ｄ(ｘ)＝0 の解です。

不変デルタ関数は,交換子[φ(ｘ),φ(ｙ)]で与えられる上記の関数だけではなく,(□＋ｍ²)Δ(ｘ)＝0 ,または(□＋ｍ²)Δ(ｘ)＝±δ⁴(ｘ)を満たすローレンツ不変な関数Δ(ｘ)は全て,クライン・ゴルドン演算子(□＋ｍ²)に対する不変デルタ関数と呼ばれるようです。

　同時刻交換関係[π(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝[∂₀φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝－iδ³(ｘ－ｙ)から,このΔ(ｘ)は∂₀Δ(ｘ)|_x0=0＝－δ³(ｘ)を満たします。

　そして,[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝0 から,ｘとｙが空間的(space-like)に離れているとき,すなわち(ｘ－ｙ)²＜0なら[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝iΔ(ｘ－ｙ)＝0 が得られます。

　空間的(ｘ－ｙ)²＝(ｘ⁰－ｙ⁰)²－(ｘ－ｙ)²＜0 の場合,適当なローレンツ変換によって,２つの事象ｘ,ｙが同時刻:ｘ⁰＝ｙ⁰となるような座標系を取ることが可能です。

　その座標系では同時刻なので[φ(ｘ),φ(ｙ)]|_x0=y0＝0 ですが,これはローレンツ変換に対して不変な関係ですから,[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝iΔ(ｘ－ｙ)＝0 と結論されます。

　そういうわけで,(ｘ－ｙ)²＜0 (空間的)なら[φ(ｘ),φ(ｙ)]＝0 が成立します。これは理論が相対論的な微視的因果律を満たす十分条件になっています。

　さて,簡単な計算によって,ω_k≡(ｋ²＋ｍ²)^1/2＞0とｋの任意関数ｆ(ω_k,ｋ)に対し,公式∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1ｆ(ω_k,ｋ)＝∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)ｆ(ｋ⁰,ｋ)が成立することがわかります。

ただし,θ(τ)はヘヴィサイド関数(階段関数)でθ(τ)≡1(τ＞0),0(τ＞0)によって定義され,常にθ(τ)＋θ(－τ)＝1を満たします。

　これを用いると,iΔ(ｘ)＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1[exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)]より,Δ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)θ(ｋ⁰)[exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²－ｍ²)ε(ｋ⁰)exp(－iｋｘ)と書けます。

　ここで,ε(τ)はε(τ)≡1(τ＞0),－1(τ＞0)でθ(τ)＝(1/2){ε(τ)＋1}で定義される符号関数です。

　一方,(□＋ｍ²)Δ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)を満たすグリーン関数として,よく知られた伝播関数(propagator)Δ_F(ｘ)があります。

　φ(ｘ)＝(2π)^-3/2∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1/2{ａ^(ｋ)exp(－iｋｘ)＋ａ^^＋(ｋ)exp(iｋｘ)}を代入すると,＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1exp{－iｋ(ｘ―ｙ)},＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1exp{iｋ(ｘ―ｙ)}です。

この＜0|φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞,＜0|φ(ｙ)φ(ｘ)|0＞を示す関数を,それぞれΔ_＋(ｘ－ｙ),Δ_－(ｘ－ｙ)と書けば,iΔ_F(ｘ)＝θ(ｘ⁰)Δ_＋(ｘ)＋θ(－ｘ⁰)Δ_－(ｘ)と書けます。

一般に,Δ_ret(ｘ)≡θ(ｘ⁰)Δ_＋(ｘ)は遅延グリーン関数と呼ばれ,Δ_adv(ｘ)≡－θ(－ｘ⁰)Δ_－(ｘ)は先進グリーン関数と呼ばれます。

そこで,伝播関数iΔ_F(ｘ)は,iΔ_F(ｘ)＝Δ_ret(ｘ)－Δ_adv(ｘ)とも表現されます。

Δ_ret(ｘ)≡θ(ｘ⁰)Δ_＋(ｘ),およびΔ_adv(ｘ)≡－θ(－ｘ⁰)Δ_－(ｘ),用いると,iΔ(ｘ)もiΔ(ｘ)＝θ(ｘ⁰)Δ_ret(ｘ)＋θ(－ｘ⁰)Δ_adv(ｘ)と表現することができます。

いずれにしても,ｘ⁰＞0 の未来では,iΔ(ｘ)＝iΔ_F(ｘ)＝Δ_ret(ｘ)＝Δ_＋(ｘ)となりますから,iΔ(ｘ)もiΔ_F(ｘ)も遅延グリーン関数として同じ意味を持ちます。

したがって,Δ(ｘ)を用いてもΔ_F(ｘ)を用いても,全く同じように初期値問題のキルヒホッフ表示が可能です。

なお,(□＋ｍ²)Δ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)から,Δ_F(ｘ)のフーリエ変換をΔ_F(ｘ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｋΔ~_F(ｋ)exp(－iｋｘ)と書けば,(ｋ²－ｍ²)Δ~_F(ｋ)＝1となります。

そこで,iΔ_F(ｘ)＝(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2ω_k)^-1[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｋ(ｘ－ｙ)}]は,別の表示として(2π)^-4∫ｄ⁴ｋ[exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²－ｍ²＋iε)]を持ちます。

これは,ヘヴィサイド関数θ(τ)がθ(τ)＝{－/(2πi)}∫_-∞^∞ｄω[exp(－iωτ)(ω＋iε)^-1]と表わせることからも簡単に示せます。

Δ(ｘ),Δ_F(ｘ)を,それぞれΔ(ｘ,ｍ²),Δ_F(ｘ,ｍ²)と表記して質量ｍがゼロの場合のΔ(ｘ,ｍ²),Δ_F(ｘ,ｍ²)を,それぞれＤ(ｘ)≡Δ(ｘ,0),Ｄ_F(ｘ)≡Δ_F(ｘ,0)と定義します。

(□＋ｍ²)Δ(ｘ,ｍ²)＝0,(□＋ｍ²)Δ_F(ｘ,ｍ²)＝－δ⁴(ｘ)でしたから,□Ｄ(ｘ)＝0,□Ｄ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)です。

Ｄ(ｘ)のフーリエ積分表示は,Ｄ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[exp(－iｋｘ)＋exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)θ(ｋ⁰)[exp(－iｋｘ)－exp(iｋｘ)]＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)ε(ｋ⁰)exp(－iｋｘ)であり,∂₀Ｄ(ｘ)|_x0=0＝－δ³(ｘ)です。

また,ｘが空間的:ｘ²＜0ならＤ(ｘ)＝0です。

一方,Ｄ_F(ｘ)のフーリエ積分表示は,Ｄ_F(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ³ｋ(2|ｋ|)^-1[θ(ｘ⁰－ｙ⁰)exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}＋θ(ｙ⁰－ｘ⁰)exp{iｋ(ｘ―ｙ)}]＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｋ[exp{－iｋ(ｘ―ｙ)}/(ｋ²＋iε)]です。

さらに,Ｅ関数は□Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)を満たす関数であるとすると,□²Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)です。

Ｄ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)ε(ｋ⁰)exp(－iｋｘ)でしたから,形式上はＥ(ｘ)＝(－i)(2π)^-3∫ｄ⁴ｋδ(ｋ²)ε(ｋ⁰)ｋ^-2exp(－iｋｘ)です。

しかし,被積分関数がｋ²＝0 に特異性を持つので何らかの特異点を避ける処理が必要です。ｋ²をｋ²＋iεで置き換えて,積分後にε→＋0 の極限を取ることにします。

細かいことは後にして,,電磁場の共変的量子化を考えます。

すぐ前の記事では,Ｄ(ｘ)は∂₀Ｄ(ｘ)|_x0=0＝δ³(ｘ)を満たすと書いていることからもわかるように,前記事でのＤ(ｘ)は－Δ(ｘ,0)を意味していました。

そこでは,補助場Ｂ(ｘ)がダランベール方程式□Ｂ(ｘ)＝0 を満たすので,キルヒホッフの積分表示がＢ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｘ⁰}Ｂ(ｚ)＋Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ⁰]で与えられるとしていました。

しかし,ここではＤ(ｘ)＝Δ(ｘ,0)としているので,キルヒホッフの表示式はＢ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ[{∂Ｄ(ｘ－ｚ)/∂ｚ⁰}Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ⁰]となります。

ここで,記号∂₀^⇔をｆ∂₀^⇔ｇ≡{∂ｆ(ｘ)/∂ｘ⁰}ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)∂ｇ(ｘ)/∂ｘ⁰によって定義すると,Ｂ(ｘ)の積分表示は,Ｂ(ｘ)＝∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ)と簡単になります。

右辺の積分式はｚ⁰に依存するように見えますが,左辺のＢ(ｘ)がｚ⁰に依存しないので,右辺をｚ⁰で偏微分してもゼロのはずです。

実際,□Ｂ＝0 を用いると確かに∂[∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ｂ(ｚ)]/∂ｚ⁰＝∫ｄ³ｚ[∇²Ｄ(ｘ－ｚ)Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀²Ｂ(ｚ)]＝0 となります。

４次元交換関係[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]にＢ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{∂^z₀Ｄ(ｘ－ｚ)Ｂ(ｚ)－Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀Ｂ(ｚ)}を代入すると,[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝∫ｄ³ｚ{∂^z₀Ｄ(ｘ－ｚ)[Ｂ(ｚ),Ｂ(ｙ)]－Ｄ(ｘ－ｚ)[∂^z₀Ｂ(ｚ),Ｂ(ｙ)]}が得られます。

右辺のｚ⁰は何でもいいので,ｚ⁰＝ｙ⁰とおくと,既知の同時刻交換関係[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0,[Ｂ(ｘ⁰,ｘ),∂₀Ｂ(ｘ⁰,ｙ)]＝0 から,[Ｂ(ｘ),Ｂ(ｙ)]＝0 が得られます。

一方,運動方程式:□Ａ_μ＝(1－α)∂_μＢ＝0 から,前記事では,Ａ_μ(ｘ)＝Ｃ_μ(ｘ)＋(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ^μ},□Ｃ_μ＝0 なる表現ができるはずと書きました。

特に,□Ｃ_μ＝0 を満たすＣ_μ(ｘ)を,Ｃ_μ(ｘ)≡∫ｄ³ｚ{∂^z₀Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)}とします。

残りの非同次の部分:(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ){∂Ｂ(ｚ)/∂ｚ^μ}は,前記事ではＤ(ｘ)の符号が違うので,これを－Ｄ(ｘ)に変更します。

すると,Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)}－(1－α)∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ)∂^z_μＢ(ｚ)となります。

さらに,□∂_μＢ＝0 ですから,∂_μＢ＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)}とキルヒホッフ表示式で表現できます。

そこで,Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ){∂－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)}－(1－α)∫ｄ⁴ｙ∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｙ)Ｄ(ｙ－ｚ)∂^z_μＢ(ｚ)となります。

ところが,□Ｅ(ｘ)＝Ｄ(ｘ)から,Ｅ(ｘ)はＥ(ｘ)＝－∫ｄ⁴ｚＤ(ｘ－ｚ)Ｄ(ｚ)なる表現を持ちますから,∫ｄ⁴ｙ∫ｄ³ｚＤ(ｘ－ｙ)Ｄ(ｙ－ｚ)＝Ｅ(ｘ－ｚ)と書けます。

したがって,結局Ａ_μ(ｘ)＝∫ｄ³ｚ{Ｄ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔Ａ_μ(ｚ)＋(1－α)Ｅ(ｘ－ｚ)∂^z₀^⇔∂^z_μＢ(ｚ)}なる表現を得ます。

これから,[Ａ_μ(ｘ),Ａ_ν(ｙ)]＝－iη_μνＤ(ｘ－ｙ)＋i(1－α)∂^x_μ∂^x_νＥ(ｘ－ｙ)なる４次元交換関係の表現が得られます。

最後の部分の詳細についてはは次回にして今日はここで終わります。

参考文献：J.D.Bjorken,S.D.Drell「Relativistic Quantum Fields」McGraw-Hill,中西襄著「場の量子論」(培風館)

ＰＳ：(6/17(水)早朝記す。) 何？「大政奉還すべきだ。」という主張の意味がわからない？だって。。発想が貧困だなあ。。

「別に政権を朝廷に返せ」などというアナクロな意味じゃないよ。。

これは,「政治を本来の主人＝主権者に返還するべきだ。」という意味だろう？

いつまでも姑息な延命をはかるんじゃなくて,早く主権者に返して少なくとも審判を仰げ。。という素朴な意味だぜ。。

ＰＳ２:どうも,この記事はCatFalconさんのブログの記事「不変デルタ関数」http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/29567993.html とほぼ,かぶっているようです。

CatFalconさんの方が,時期的に少し前で,かなり似ているようですが参考文献が同じ中西さんの本なのでそうなりますね。。

ヒョッとしたら,記事を見かけてブログネタとして参考にしたかもしれませんが,内容をコピーしたわけではありません。

悪気はないので,よろしくです。。＞CatFalconさん

なお,「電磁場の共変的量子化(2)」の続きは今執筆中です。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　TOSHI

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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(Dellの100円パソコン(Mini9)↓私も注文しました。)

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