TOSHIの宇宙

赤星選手,引退他

TOSHI — 2009-12-21T13:13:56+09:00

　まだ33歳,これからを期待していた阪神タイガースの星,赤星憲弘選手が引退されました。。。無念です。http://www.redstar53.com/

　(↑将棋の谷川17世名人の。「光速ノート」が情報源です。)

(私は現在は日本の特定球団のファンではありませんが。。)

　自民元幹事長の野中広務さん。。って何か大きな人みたいですね。http://www.fnn-news.com/news/headlines/articles/CONN00168797.html

もういくつ寝ると？

TOSHI — 2009-12-17T18:02:06+09:00

　いや自己のライフワークをやるにも貧乏なので結構困っています。

　参考書とすべき書斎(＝実は単なる本の山)の専門書,啓蒙書がかなり生活費(ん？飲み代)に化けて半減しているため,当座必要とする知見が所蔵本の中にあるはずだとか予想して探しても見つからず,在宅ではなかなか必要知識が入手できません。

　(↑泥棒詩人のヴィヨンか？)

　この寒さでは物理的,心臓的(心不全は気候に敏感みたい？)に遠出は無理ですし,交通費さえ不足しているので本屋や図書館まで出かける気力も体力もないし本屋は行っても買えないので立ち読みです。　

(屋外では300～400ｍ歩くごとに立ち止まって前屈して息を整え足の疲れを癒してるなんてまるで酔っ払いが足に来てるような状態です。

　実際,貧血でかつ低血圧なので,よくふらついてるし,本当は肩でも貸してほしいと思ったりするのですが,逆に酔っ払いか危ない奴と思われてよけて通られます。(^^;))

　ネットでの検索知識は玉石混淆(ぎょくせきこんこう:漢字脳力テストか？)です。ほとんどはつぎはぎだらけなのです。

　そもそも理科年表はあるけど,理化学辞典や数学辞典,広辞苑も売っぱらっちゃったし。。まあ,広辞苑は電子辞書にも入ってるけど。。

　例えば現在３,４日ほどずっと考え中の温室効果に関する光の散乱効果にしても,既に２年くらい前に手離したボルン・ウォルフ著の「光学の原理」(全３巻)くらいは立ち読みでなくじっくりと参照したいです。

(12/17(木)午後。寒いのでひきこもり中です。)

PS:インスタントコーヒー切れたし,面倒だけど仕方なく好物のマンデリンの残りを豆からミルで引いてドリップで飲んでます。こっちのほうがゼイタクかな？(12/18(金)午前10時頃)

　昨夜は一週間くらい冷蔵庫に置いてあったもやしとキャベツで肉(ほんの少しの)野菜炒めを作ったら,ちゃんと塩,胡椒と醤油で味付けしたのにえらく酸っぱく,もったいないから全部食べたけど苦労しました。

　調べてみると,もやしも置いておくと酸っぱくなるとのことです。失敗したなあ。でもひとつ勉強になりました。

PS2：経済危機のような有事？の際にも政策論議より党利を優先させていると,かつての"社会党(村山)→ 社民党"のように自民党も事実上消えてしまうのではないか？と危惧しています。

　それが運命？(いや小沢氏の意図＝民主党の党利党略？)

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超弦理論(25)(2-14)

TOSHI — 2009-12-13T17:24:35+09:00

　ずいぶん間があきましたが超弦理論(superstring theory)の続きです。

実は記事にも書いたように2009年６/１に最後の投稿をした後,６/８にＰＣがクラッシュしてしまいました。

そこで「超弦理論(25)」の原稿は途中まで出来上がっていましたが,それを含めてマシン上に保存してある(23),(24)の草稿も失いました。

幸いにして(23),(24)は既に投稿済みだったので原稿がブログに残りました。

しかし,(23),(24),(25)はボソン弦の背景空間の次元Ｄが26であるべきことを示すという佳境の部分でもあったので,このクラッシュで何故か続きを書く気力が失せてしまっていました。

まあ,ワープロでなく手書きの元のノートはあるので,久しぶりに弦理論について書きます。ほぼ半年ぶりですね。

古典的レベルでは共変的議論と光錐(光円錐)ゲージ(light-cone gauge)の関係は全く明瞭です。光錐ゲージは共形(conformal)なゲージ選択を十分に指定することで得られます。

しかし,量子的レベルでは２つの定式化の間の関連は明瞭さとは程遠いものです。これを明確にすることが以下の仕事です。

元の共変量子化については本シリーズ記事の「超弦理論(17)(2-6)」から「超弦理論(21)(2-10)」で展開しましたが,そこでは物理的状態が従うべきヴィラソロ条件(Virasoro condition)を定式化しました。

しかし,そのときはこうした条件に従う状態の一般的記述を与えることはできませんでした。

今想定しているゴールは,このギャップを埋めて全ての物理的励起状態を陽に構成することです。

特に,共変定式化が光錐ゲージ定式化と同等であることを明らかにします。既にこれまでの論議で光錐ゲージ定式化はある条件の下でゴースト・フリーであることが示されたので,この定式化の同等性を通して共変定式化に対しての「ゴースト非存在の定理(no-ghost theorem)」の証明が可能になります。

こうしたアプローチは,Del.Giadice,Di Veccia,Fubini(通称:ＤＤＦ)によって開拓されました。

彼らは,ヴィラソロ演算子と交換し基底状態に続けて作用させることであらゆる可能な物理的状態を与えることができる演算子のセットを構成しました。これを「ＤＤＦの構成」と呼びます。

ＤＤＦの構成については以下で詳細に記述する予定ですが,これはスペクトルが生成する演算子のセット:{Ａ_mⁱ}で与えられます。ここで上添字ｉは(Ｄ－2)個の横波添字にわたり下添字ｎは任意の整数です。

こうした演算子はα_m^μの横波成分と１対１対応にあり,弦の横波モードを記述します。

ヴィラソロの拘束は各ｎの値に対して１つの制限を与えます。そこでスペクトルが生成する代数が各ｎの値に対して(Ｄ－1)個の演算子を含む必要があると予期されます。

それ故,失なわれていた縦波演算子Ａ_m^－も理論に入ってきます。

まず,｜0;ｐ₀＞によって運動量ｐ₀^μを持つ開弦のスペクトルのタキオン基底状態を記述します。これはａ＝1と取るとｐ₀²＝－2の状態を意味します。

なぜなら,ヴィラソロ演算子の１つはＬ₀＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_n＝－α'ｐ²－Σ_n=1^∞α_-nα_nですが,ｐ²|0;ｐ₀＞＝ｐ₀²,かつα_n|0;ｐ₀＞＝0により質量殻条件(mass-shell condition):(Ｌ₀－ａ)|0;ｐ₀＞＝0,またはＬ₀＝ａはα'ｐ₀²＝－ａを意味するからです。α'＝1/2です。

このタキオンはｐ₀^＋＝1,ｐ₀^－＝－1,ｐ₀ⁱ＝0 で記述される特別な運動状態にあると仮定します。これは確かにｐ₀²＝2ｐ₀^＋ｐ₀^－－Σ_i=1^D-2ｐ₀ⁱｐ₀ⁱ ＝－2を満足しています。

便宜上,１つのヌルベクトル(null vector)ｋ₀^μをｋ₀^－＝－1,ｋ₀^＋＝ｋ₀ⁱ＝0 で導入します。明らかにｋ₀²＝2ｋ₀^＋ｋ₀^－－Σ_i=1^D-2ｋ₀ⁱｋ₀ⁱ ＝0 を満たしノルムがゼロ(null)なので確かにヌルベクトルです。

そして,ｋ₀ｐ₀＝ｋ₀⁺ｐ₀^-＋ｋ₀^-ｐ₀^＋－Σ_i=1^D-2ｋ₀ⁱｐ₀ⁱ ＝－1です。

Ｍ²≡ｐ²,Ｎ≡Σ_n=1^∞α_-nα_nと置けば,Ｌ₀＝－α'ｐ²－Σ_n=1^∞α_-nα_n＝－α'Ｍ²－Ｎ＝ａ＝1なので,質量Ｍがこれに従ってα'Ｍ²＝Ｎ－1で与えられる場合,その運動量がｐ^μ＝ｐ₀^μ－Ｎｋ₀^μで与えられる状態のみを調べてみます。

ｐ₀^＋＝1,ｐ₀^－＝ｋ₀^―＝－1,ｐ₀ⁱ＝ｋ₀ⁱ＝ｋ₀^＋＝0 なのでｐⁱ＝ｐ₀ⁱ－Ｎｋ₀ⁱ＝0,ｐ^＋＝ｐ₀^＋－Ｎｋ₀^＋＝1,ｐ^－＝ｐ₀^－－Ｎｋ₀^－＝Ｎ－１ですから,ｐ²＝2ｐ^＋ｐ^－＝2(Ｎ－1)です。

それ故,α'＝1/2,Ｍ²＝ｐ²ならｐ^μ＝ｐ₀^μ－Ｎｋ₀^μの粒子状態の質量Ｍは確かにα'Ｍ²＝Ｎ－1を満たします。

そして,ｐ^μ＝0 を除く任意の物理的粒子の運動量状態は条件:ｐ₀^＋＝1,ｐ₀ⁱ＝0 に従う状態へとローレンツ変換され得ます。

すなわち,この条件はｐ₀ⁱ＝0 でかつ,ｐ₀^＋＝(ｐ₀⁰＋ｐ₀^D-1)/2^1/2＝1,ｐ₀^－＝(ｐ₀⁰－ｐ₀^D-1)/2^1/2＝Ｎ－1ですが,後者はｐ₀⁰＝2^-1/2Ｎ,ｐ₀^D-1＝2^-1/2(2－Ｎ)を意味します。

これはエネルギーがゼロでなく,横成分はゼロの粒子という意味ですが４次元空間なら単に粒子の進行方向を３軸とする座標系を取るという意味に過ぎません。エネルギーゼロの状態でない限りこうした座標系選択は常に可能です。

「超弦理論(21)(2-10)」で与えたように,質量がゼロの開弦の頂点演算子:Ｖ_ξ(ｋ,τ)はＶ_ξ(ｋ,τ)≡－ξ_μ(ｄＸ^μ/ｄτ)exp(－iｋＸ)＝－ξＸ^dexp(－iｋＸ)で定義されますがこれはスペクトルが生成する代数の構成に決定的役割を果たします。

この頂点演算子はＸ^μ(0,τ)のモード展開におけるｐ^μτから生じる因子exp(－iｋｐτ)を除けば周期が2πのτの周期関数です。

もし整数ｎに対してｋ^μ＝ｎｋ₀^μを持つ質量ゼロのベクトル頂点のみを扱うなら,許される状態に作用するときには－ｋｐが整数なのでexp(－iｋｐτ)もまた周期が2πのτの周期関数になります。

そうした状況では横偏極に対応する頂点演算子はＶⁱ(ｎｋ₀,τ)＝Ｘ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}(ｉ＝1.2,..Ｄ－2)です。ただしＸ^μ(τ)はＸ^μ(0,τ)の略記でありＸ^id(τ)≡ｄＸⁱ(τ)/ｄτです。

これはヒルベルト空間Ｈの許された部分空間(つまり,{|Ｍ＝0(Ｊ＝1);ｋ,ξ＞:ｋ^μ＝ｎｋ₀^μ}⊂Ｈ)の上ではτについて周期的なので,その部分空間の上では明確にフーリエ(Fourier)成分が定義できます。

すなわち,Ａ_nⁱ≡(2π)^-1∫₀^2πＶⁱ(ｎｋ₀,τ)ｄτ＝(2π)^-1∫₀^2πＸ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτと定義してこれを「ＤＤＦオペレータ(演算子)」と呼びます。

※(訳注57):特に,光錐ゲージではＸ^＋(τ)＝Ｘ^＋(0,τ)＝Ｘ^＋(σ,τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τで今の場合ｐ^＋＝ｐ₀^＋－Ｎｋ₀^＋＝1 なので,Ｘ^id(τ)＝ｐⁱ＋Σ_m≠0α_mⁱexp(－iｍτ)によりＡ_nⁱ＝(2π)^-1exp(iｎｘ^＋)∫₀^2πＸ^id(τ)exp(iｎτ)＝exp(iｎｘ^＋)α_nⁱです。(α₀ⁱ＝ｐⁱ)

それ故,ＤＤＦの定義したＡ_nⁱは光錐ゲージでＶⁱ(τ)＝Σ_-∞^∞α_nⁱ exp(－iｎτ)とフーリエ展開したときの係数＝フーリエ成分の共変ゲージでのアナロジーになっています。※

ＤＤＦオペレータは２つの重要な性質を持ちます。それらは第１にはＬ_nと交換するという性質です。そして,もう１つ以下に述べるような単純な代数に従います。

「超弦理論(20)」で紹介した共形次元の定義によれば,任意の演算子Ａ(τ)が次元Ｊを持つための条件は[Ｌ_m,Ａ(τ)]＝exp(iｍτ){－i(ｄ/ｄτ)＋ｍＪ}Ａ(τ)が成立することです。

そこで,Ｖ(τ)がＪ＝1を持てば[Ｌ_m,Ｖ(τ)]＝(－i)(ｄ/ｄτ){exp(iｍτ)Ｖ(τ)}が成立します。

したがって,Ａ_nⁱ≡(2π)^-1∫₀^2πＶⁱ(ｎｋ₀,τ)ｄτの被積分関数が周期的であるような制限下では[Ｌ_m,Ａ_nⁱ]＝－i(2π)^-1∫₀^2π[ｄ/ｄτ{exp(iｍτ)Ｖⁱ(ｎｋ₀,τ)}]ｄτ＝－i(2π)^-1[exp(iｍτ)Ｖⁱ(ｎｋ₀,τ)]₀^2πからＡ_nⁱは第１の条件[Ｌ_m,Ａ_nⁱ]＝0 を満たします。

特に,これのＬ₀条件から得られる系は[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝－ｎＡ_nⁱです。

※(訳注58)[Ｌ₀,Ａ_nⁱ]＝0 ですがＬ₀＝－ｐ²/2＋Σ_n=1^∞α_-nα_n＝－ｐ²/2＋Ｎ＝－ｐ^＋ｐ^－＋ｐⁱｐⁱ/2＋Ｎですから,0＝[Ｌ₀,Ａ_nⁱ]＝[Ｎ,Ａ_nⁱ]－ｐ^＋[ｐ^－,Ａ_nⁱ],つまり[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝ｐ^＋[ｐ^－,Ａ_nⁱ]です。

　そして,既に見たようにｐ^－＝α₀^－＝(1/ｐ^＋){(1/2)Σ_m=-∞^∞:α_mⁱα_-mⁱ:－ａ}でかつＸ^id(τ)＝ｐⁱ＋Σ_n≠0α_nⁱexp(－iｎτ)ですから,[ｐ^－,Ｘ^id(τ)]＝(1/ｐ^＋)[(1/2)Σ_m,n[α_m^jα_-m^j,α_nⁱ]exp(－iｎτ)＝(－1/ｐ^＋)Σ_m≠0ｍα_mⁱexp(－iｍτ)＝(－i/ｐ^＋)ｄＸ^id(τ)/ｄτを得ます。

　Ａ_nⁱ＝(2π)^-1∫₀^2πＸ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτですから,ｐ^＋[ｐ^－,Ａ_nⁱ]＝－i(2π)^-1∫₀^2π{ｄＸ^id(τ)/ｄτ}exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτ＝－ｎ(2π)^-1∫₀^2πＸ^id(τ)exp{iｎＸ^＋(τ)}ｄτ＝－ｎＡ_nⁱです。

　それ故,[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝－ｎＡ_nⁱなる式が得られます。※

これらの条件:[Ｌ_m,Ａ_nⁱ]＝0,[Ｎ,Ａ_nⁱ]＝－ｎＡ_nⁱから,|ψ＞≡Ａ_-n1ⁱ¹Ａ_-n2ⁱ²..Ａ_-nk^ik|0,ｐ₀＞の形の任意の状態は,ヴィラソロ条件(Ｌ_m－ａδ_m0)|ψ＞＝0 を満たしＮ＝Σ_j=1^kｎ_jを有することがわかります。

Ａ_nⁱの代数を決定するためには非同時のτにおけるＸ^id(τ)の交換子が要求されます。

これについては,モード展開Ｘ^id(τ)=＝ｐⁱ＋Σ_m≠0α_mⁱexp(－iｍτ)＝Σ_-∞^∞α_mⁱexp(－iｍτ)を考えることにより,[Ｘ^id(τ₁),Ｘ^jd(τ₂)]＝2πiδ^ijδ'(τ₁－τ₂)が見出されます。

なぜなら,[Ｘ^id(τ₁),Ｘ^jd(τ₂)]＝δ^ijΣ_-∞^∞[ｍ・exp{iｍ(τ₁－τ₂)}＝iδ^ij[ｄ/ｄτ{Σ_-∞^∞exp(－iｍτ)}_τ=(τ1-τ2)であり,ｎ→∞に対しΣ_ｍ=-nⁿexp(－iｍτ)＝sin{(ｎ＋1)τ/2}]/sin(τ/2)→ 2πδ(τ)となるからです。

そこで,非同時刻でもＸ^＋はそれ自身やＸⁱと交換することに着目すると,容易にＡ_nⁱの交換子を計算できます。

すなわち,[Ａ_mⁱ,Ａ_n^j]＝(2π)^-2∫₀^2π[Ｘ^id(τ₁),Ｘ^jd(τ₂)]exp{iｍＸ^＋(τ₁)＋iｎＸ^＋(τ₂)}ｄτ₁ｄτ₂＝(ｍ/2π)δ^ij[∫₀^2πｄτ[Ｘ^＋d(τ)exp{i(ｍ＋ｎ)Ｘ^＋(τ))＝ｍδ^ijδ_m+nを得ます。

ここでＸ^＋(τ)＝ｘ^＋＋ｐ^＋τ,ｐ^＋＝1 を用いました。

この,[Ａ_mⁱ,Ａ_n^j]＝ｍδ^ijδ_m+nを見ると,Ａ_mⁱの代数は丁度横波振動子α_mⁱのそれと同じであることがわかります。

((訳注57)で光錐ゲージではＡ_mⁱ＝－exp(iｍｘ^＋)α_mⁱとなることを示しました。そこでゲージ不変な理論であれば,Ａ_mⁱの交換関係とα_mⁱのそれ:[α_mⁱ,α_n^j]＝ｍδ^ijδ_m+nが一致するのは当然です。)

Ａ_nⁱはまた実数性Ａ_n^i＋＝Ａ_nⁱ,およびｎ＞0 に対してＡ_nⁱ｜0；ｐ0＞＝0 なる性質＝横波振動子α_nⁱと同一の性質を持ちます。

これらの事実はＤＤＦオペレータを基底状態に作用させることによって得られる物理的状態:Ａ_-n1ⁱ¹Ａ_-n2ⁱ²..Ａ_-nk^ik|0,ｐ₀＞が全て正計量(正のノルム)を持ち,光錐ゲージにおいてタキオン状態に横波振動子を作用させろことから得られる状態と一致することを保証します。

こうしたＡ_-n1ⁱ¹Ａ_-n2ⁱ²..Ａ_-nk^ik|0,ｐ₀＞なる形で与えられる状態を「ＤＤＦ状態」と呼びます。

我々は,既にＤ＞26に対する物理的部分空間にはゴ－ストが存在することを知っています。そこで一般の次元Ｄに対してはＡ_nⁱは物理的状態以外の全てのスペクトルを生成するわけではないはずです。

今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

PS:スパコン,スパコンとか騒いでいるけど,いくら演算スピードが速くても例えば天気予報とか地震予測とかカオス関係の数値シミュレーションの結果は,所詮,そのモデル(模型),つまり計算式や数値計算のアルゴリズムの優劣次第で決まります。

　乱流やカオスの予測の明確な計算法は未だ確立されてないはずです。

　極端な話,間違った方程式や解法で計算すれば,いくら演算速度が速かろうと意味ないです。

　円周率の計算にしたって,これはカオスじゃないので計算式自体が誤りということはありませんが,アルゴリズムや式の選択次第で計算速度は全く違います。

　ソフトがちゃんとしてなければハードがいくら速くても無意味なことが多いですね。

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本年最初の忘年会

TOSHI — 2009-12-13T09:49:21+09:00

　昨日(12/12)は新宿アルタ前に17時集合で歌舞伎町の個室居酒屋で旧ニフティ・サーブ(パソコン通信)時代のＦＳＨＯＧＩ(将棋フォーラム)のメンバーと再開しての忘年会がありました。

　出席は旧ハンドルでＥｃＱ,ナンボク,りょうま,文陽寛(矢澤),柿木義一さんに飛び入り？でUnknownさん。それに私TOSHIの７人でした。ＥｃＱさんの現ハンドルはとだっちです。

　柿木さんは毎年の将棋オフで会っていますが,他のメンバーはニフティのフォーラムが無くなって現将棋チェスネットに移行したときに袂を分かったせいか音信不通だったのを私がmixiで見つけたのがきっかけで今回の飲み会になったということらしいのでほぼ10年ぶりくらいの再開で懐かしかったです。

　私は40歳(1990年)の頃に全国の知らない人ともリアルタイムに将棋指すことが目的でパソコン通信に入ったのですが当時はパソコンでネット通信をやるというのは全国で最大がPC-VAN(NEC)の会員約20万人,ニフティ(日商岩井・富士通)が第２位で会員約２万人でというマイナーな時代でした。

　そもそも,当時はPC(パソコン)自体をやってる人口が少なく,パソコンのOSはMACは別にして,まだDOSがメインの時代でした。本格的にWindowsになるのは1995年のWindows95以後です。

　それから現在のように携帯も含めネットの通信が全盛の時代になったのですから,その頃比較的マイナーだった通信の世界に入ったのは今思うと先見の明があったのかな？と感じたりします。

　しかし,そこでヤフーや楽天,ライブドアのようにビジネスチャンスとして通信に着目していれば早いもの勝ちでＩＴ産業でも起こしてひと儲けできたのでしょうね。私は,幸か不幸か来年２月の還暦まで20年間もネットがないと生活できないようなネット中毒？になっただけです。

　将棋が目的のＦＳＨＯＧＩからＦＳＣＩ(科学フォーラム)にも入り,ＦＰＨＹＳ(物理フォーラム)もできて現在のように自然科学が趣味になっているのですからＦＳＨＯＧＩは今の一人暮らしでの精神生活のルーツかもしれません。

　当時もパソコンやその通信の平均年齢は私の40歳よりもやや下でしたから久しぶりに会ったメンバーも私と同年代かやや下ではないかと思います。

　将棋をやるだけなら道場などに仲間はゴロゴロいたのですが「将棋＋パソコン(通信)」というので結構ユニークな集まりでした。

　昨日は知人に昼飯を誘われて巣鴨駅の近くで昼からお酒を飲んでいたので集合時には半分出来上がっていましたから,結局２次会も含めて新宿で解散した夜10時頃には久しぶりに足に来ていました。

　最後に電車で巣鴨駅まで送っていただいたナンボクさんありがとうございました。無事帰り着いてそのまま寝た後目覚めてこのブログを書いています。

PS：本年最初の忘年会というタイトルですが昔のようではないので最初で最後かもしれません。まあ単なる儀式ですから年末でなくても適当に飲み会をやればいいだけですが。。。

　歳取って寂しくなったせいか私昔より数倍もオシャベリになっていて面食らわれたかもしれませんね。

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震源の探知(大森公式等)

TOSHI — 2009-12-10T22:15:30+09:00

　今日は,ちょっと手抜きのツナギで2006年11/14の記事「結晶内での弾性波（地震波）」の続きとして,中学か高校の地学で習った簡単な知識を披瀝してお茶をにごします。

　年末,体調はよくも悪くもないですがヒマ人なりに予定がこみ合っていて貧乏なこともありフリ－マンをエンジョイというわけにはいきません。

　ではまず,記事の再掲から始めます。

　(※再掲)

　今日は等方的とは限らない一般の結晶内での弾性波,特に地震波について考察してみます。

弾性体の密度をρ,応力テンソルを{σ_jk},それを構成する部分の局所的速度をｕ＝{ｕ_j}とすると,この弾性体が従うべき運動方程式は流体方程式と同じくρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝∂σ_jk/∂ｘ_kで表与えられます。

そして,歪み速度テンソル{ｕ_jk}をｕ_jk≡(∂ｕ_j/∂ｘ_k＋∂ｕ_k/∂ｘ_j)/2で定義すれば,これは{σ_jk}と同じく反対称の単なる回転を除いた対称テンソルです。これは６個の独立成分を持ちます。

線形弾性体近似では,フック(Hooke)の法則:σ_jk＝Ｃ_jklmｕ_lmが成立するため,先の運動方程式はρｄ²ｕ_j/ｄｔ²＝Ｃ_jklm(∂²ｕ_m/∂ｘ_k∂ｘ_l)となります。

Ｃ_jklmは,一般に81個の成分を持ちますが,{σ_jk}も{ｕ_jk}も対称テンソルなのでｊとｋ,ｌとｍについて対称ですから,独立成分は６×６＝36個となります。

また,歪みエネルギーＷはΔＷ＝σ_jkΔｕ_jkから求まり,対称２次形式Ｗ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmになるので,Ｃ_jklmはｊ,ｋとｌ,ｍの交換についても対称であり,結局,その独立成分は(30/2)＋6＝21個となります。

この方程式の平面波の解をｕ_j＝ｕ_0jexp[i(ｋｒ－ωｔ)]として代入すると,ρω²ｕ_j＝Ｃ_jklmｋ_kｋ_lｕ_mとなります。これを書き直すと(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)ｕ_m＝0 となります。

この１次方程式が自明でない解を持つためには,３行３列の行列係数:(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l) (ｊ,ｍ＝1,2,3)の行列式がゼロ,すなわち,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 が成立する必要があります。

そして,ω²を未知数としてこの方程式を解けば,ω²の３個の解が得られ,それらはｋの関数となります。

ところで,もしも結晶が等方性弾性体であれば,歪みエネルギーＷ＝(1/2)Ｃ_jklmｕ_jkｕ_lmは座標系の回転に対して不変なスカラーであるはずですが,ｕ_jkの２次形式の形で得られる独立な不変スカラーはｕ_kk²とｕ_jkｕ_jkのみです。

そこで,適当な係数λ,μを選んでＷ＝(1/2)λｕ_kk²＋μｕ_jkｕ_jkと書けるはずです。そこで,応力テンソル{σ_jk}＝{Ｃ_jklmｕ_lm}はσ_jk＝λｕ_llδjk＋2μｕ_jkと書けます。ここに弾性定数λ,μはラメ(Lame)の定数と呼ばれています。

このときには運動方程式もρｄ²ｕ/ｄｔ²＝(λ＋μ)∇(∇ｕ)＋μ∇²ｕと,簡単になります。

先に挙げた１次方程式の係数の行列要素はρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l＝(ρω²－μｋ²)δ_jm－(λ＋μ)ｋ_jｋ_mとなります。

ｋの向きをｘ軸の正の向きに取ると,ｋ₁＝ｋ＝|ｋ|,ｋ₂＝ｋ₃＝0 ですから,行列[(ρω²－μｋ²)δ_jm＋(λ＋μ)ｋ_jｋ_m]は対角成分が[ρω²－(λ＋2μ)ｋ²]と２つの(ρω²－μｋ²)の対角行列になります。

したがって,det(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝0 の解はＶ_P²≡(ω_P/ｋ)²＝(λ＋2μ)/ρ,Ｖ_S²≡(ω_S/ｋ)²＝μ/ρとなります。

それぞれの速度に対応する平面波は,速度Ｖ_Pで波の伝播方向への振動である"縦波＝Ｐ波"と,速度Ｖ_Sで波の伝播方向に垂直な方向の振動である"横波＝Ｓ波"です。

しかし,もしも異方性の弾性体の場合ならω＞0 の３つの解ω(ｋ)はｋの関数として１次の同次式ではあっても,単なる１次関数になるとは限らず,弾性波は一般に分散性の波でもあると思われます。

そこで,伝播速度は"単一波の速度＝位相速度"ではなく,群速度Ｖ＝∂ω/∂ｋで与えられると考えられます。

ところで,σ_jkやｕ_jkを[σ]＝^t(σ₁₁,σ₂₂,σ₃₃,σ₂₃,σ₃₁,σ₁₂)のように６次元の列ベクトルで表わすボイト(Vogit)の表記という表記法があります。

この表記で表現すると,フックの法則は[σ]＝Ｃ[ｕ]と簡単になります。ここでＣは６行６列のテンソル行列です。

また,このとき,特に結晶が等方性弾性体ならＣの成分のうちで独立なのはやはり２つだけで,先に述べたラメの定数はλ＝Ｃ₁₂,μ＝Ｃ₄₄＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2と表わされます。

例えば結晶が立方体構造をしている立方晶系では独立成分は３つです。つまり,Ｃ₁₁＝Ｃ₂₂＝Ｃ₃₃,Ｃ₁₂＝Ｃ₂₃＝Ｃ₃₁,かつ４～６行の成分は４～６列しか成分のない対角行列であってＣ₄₄＝Ｃ₅₅＝Ｃ₆₆であり,結局,この結晶構造を示すにはＣ₁₁とＣ₁₂とＣ₄₄の３つだけあれば十分である,ということになります。

この条件ではｘ軸をｋの向きに取り,先のdet(ρω²δ_jm－Ｃ_jklmｋ_kｋ_l)＝ 0 でのＣ_jklmをボイトの表記でＣを表わせば,ξ＝(ω/ｋ)²,ａ＝Ｃ₁₁/ρ,ｂ＝Ｃ₄₄/ρ,c＝Ｃ₁₂/ρとして(ξ－ａ)(ξ－ｂ)²＝0 ですから,解はξ＝ａ,ｂとなります。

つまり速度をＶ_P,Ｖ_Sとすると,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρとＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρの２つの速度が得られます。これは等方性弾性体でのＣ₄₄＝μ,Ｃ₁₁＝λ＋2μのケースと一致しています。

一方,六方晶系ではＣ₁₁＝Ｃ₂₂で,Ｃ₁₃＝Ｃ₂₃,また４～６は対角行列でＣ₄₄＝Ｃ₅₅,Ｃ₆₆＝(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/2ですから,結局のところＣ₁₁,Ｃ₁₂,Ｃ₁₃,Ｃ₃₃,Ｃ₄₄の５つだけがあれば十分となります。

結果だけ書くと,Ｖ_P²＝Ｃ₁₁/ρ,およびＶ_S²＝Ｃ₄₄/ρ,(Ｃ₁₁－Ｃ₁₂)/(2ρ)となり,"横波＝Ｓ波"には２つの速度があるので地震の観測ではＳ波のほうに２重の波が観測されると予測されます。

ただし,異方性の結晶では一般に波は完全にＳ波とＰ波になるように行列が対角形になるとは限らないので,これらの計算においては偶々波の進行方向が結晶の対称軸と一致したり直交していたりする特別なケースだけしか扱っていません。

一般的な扱いについては,暇があってその気になればまた記事にするかもしれません。

参考文献；ランダウ＝リフシッツ著「弾性理論」(東京図書),角谷典彦著「連続体力学」(共立出版)

(再掲終了※)

　と書きましたが,ここからもっと身近な地震の話題へとつなげます。

等方性媒質を仮定すると,Ｖ_P＝{(λ＋2μ)/ρ}^1/2,Ｖ_S＝(μ/ρ)^1/2ですからＶ_P＞Ｖ_Sです。

そこで,震源Ｏから地震を感知する場所:ＡまでＰ波,およびＳ波が到着するまでの時間を,それぞれｔ_P,およびｔ_Sと書けばｔ_P＝∫_O^A(1/Ｖ_P)ｄｓ,ｔ_S＝∫_O^A(1/Ｖ_S)ｄｓです。Ｖ_P＞Ｖ_Sですからｔ_S＞ｔ_Pとなります。

つまり,まず縦揺れのＰ波だけが到着しその後に横揺れＳ波も到着して両方が重ね合わされた大きいゆれが始まるのですね。

特にＯＡ間の到るところで媒質が同じ均等な弾性体であれば,この区間でＶ_P,Ｖ_Sが一定です。

そこで,このときにはＯＡ間の波の進行距離(直線距離でなくてもよい)をｄ_A≡∫_O^Aｄｓとするとｔ_P＝ｄ_A/Ｖ_P,ｔ_S＝ｄ_A/Ｖ_Sです。

これから,引き算するとｔ_S－ｔ_P＝(ｄ_A/Ｖ_S－ｄ_A/Ｖ_P)＝ｄ_A(1/Ｖ_S－1/Ｖ_P)です。

それ故,Ｔ_A≡ｔ_S－ｔ_P,ｋ≡(1/Ｖ_S－1/Ｖ_P)^-1＝Ｖ_PＶ_S/(Ｖ_P－Ｖ_S)と定義すればｄ_A＝ｋＴ_Aという比例関係の公式を得ます。

　この式は発見者の大森房吉氏(1918)の名前を取って,大森公式(Ohmori's law)と呼ばれます。

こうした等方的で均質な媒質を伝わる場合,弱いＰ波だけが来て「あ,ひょっとして地震かな？」と思ってから本格的で大きな揺れがくるまでの初期微動の時間をＴ_Aとするとその地点Ａから震源Ｏまでの距離ｄ_AはＴ_Aに比例します。

初期微動時間が長いほど震源までの距離(地理的な距離だけでなく震源深さまでも含めた距離)が長いということが言えます。もしも震源が直下にあれば縦揺れは上下震動,横揺れは左右震動になります。

さて,標高ｈが違う３地点Ａ,Ｂ,Ｃがありその座標がそれぞれ(ｘ_A,ｙ_A,ｈ_A),(ｘ_B,ｙ_B,ｈ_B) (ｘ_C,ｙ_C,ｈ_C)であるとき,上記のような公式に基づいて初期震動時間の観測から観測点から震源までの距離ｄ_A,ｄ_B,ｄ_Cが全てわかったとします。

このとき,未知の震源Ｏの座標を(ｘ_O,ｙ_O,ｈ_O)と仮定すれば地震波が全て直進ならｄ_A²＝(ｘ_A－ｘ_O)²＋(ｙ_A－ｙ_O)²＋(ｈ_A－ｈ_O)²,ｄ_B²＝(ｘ_B－ｘ_O)²＋(ｙ_B－ｙ_O)²＋(ｈ_B－ｈ_O)²,ｄ_C²＝(ｘ_C－ｘ_O)²＋(ｙ_C－ｙ_O)²＋(ｈ_C－ｈ_O)²が成立します。

これは３つの未知数ｘ_O,ｙ_O,ｈ_Oに対する３つの連立２次方程式ですから解くことが可能です。つまり,正確に震源までの距離を観測できる点が３個あれば原理的には震源の位置がわかります。これは３点法と呼ばれるものですね。

普通,震源の高さｈ_Oは海抜で測って負の数であり震源は地中または海中にあります。

大森公式ｄ_A＝ｋＴ_Aは地震に対する公式で大森係数と呼ばれるｋ＝Ｖ_PＶ_S/(Ｖ_P－Ｖ_S)は8(ｋｍ/ｓ)程度の値ですが,この式は雷における音と光の２つのように速さの異なる２つの信号が届く現象では全く同じ公式が成立します。

ただし,雷の場合は光速がｃ～30万km/ｓ,空気中の音速がｖ～340ｍ/ｓでｃ＞＞ｖなのでｋ＝ｃｖ/(ｃ－ｖ)～ｃｖ/ｃ＝ｖですから,事実上ｄ_A～ｖＴ_Aなのでほとんど光速は関係無しです。

例えば,ピカッと光ってから雷の音が聴こえるまでの時間が１秒なら,自分から340ｍ程度離れたところ(空中かもしれません)で"放電＝落雷"があったと推測されます。

PS：＞私のマノン・レスコーたちへ　

　病気とか事故に会っていなければどこで誰と遊んでいてもいいけれど,連絡つかない状況だととにかく心配です。大丈夫かなあ。。。。)

　("マゾ, ロリコン, 準デブ専, メガネフェチ＝変態"のＴＯＳＨＩより。。)

(Ｔ.ウッズも聖人君子ではなく適当にストレスを解消しているらしいので安心しました。あれだけの収入を得る能力があれば大勢の家族を養えますね。

　性欲のある健康な男だし,大有名人で品行方正キャラが売り物なら日本だと風俗通いもままならないので女遊びは囲い込むしか仕方ないとして,もしもプロテスタントならマドンナの養子のように大勢を扶養するのはむしろ義務かな？)

PS2:ドクちゃんって日本が好きなんだ。。？？

　国ではなくて故郷(くに)が好きなんでしょ？

　http://news.aimu-net.com/read.cgi/wildplus/1257045443/

PS3:「陳情政治」からいきなり「非陳情政治」へと革命的に移行するのではなく,途中で１人(小沢さん)に権力が集中するシステムを経る。。

　共産革命でも過渡期ではプロレタリア独裁(現実には中国では毛沢東,ロシアではレーニンの１人独裁)です。それはそれでマヌーバとしてありなのでしょうが独裁者がプラトン的(プラトニック)に正しい哲人でいるうちはいいけど,うまく移行できないと"元の木阿弥"か,もっと悪くなります。

　小沢氏が中国に大挙して出かけていって米国にブラフかけて「ポッポ政権」を裏で後押ししてるのかも知れないけど,うまくいくのかねえ。基地問題。。

　朝っぱらから女子アナが「吉宗は何将軍？」と聞かれて「暴れん坊将軍？」と答えていました。それでもいいんだろうけど,ニュース番組なので一応「米(コメ)将軍だろ？」とツッコミたくなりました。。。アハハ

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ブログ記事の目次を作りました。

TOSHI — 2009-12-06T16:00:21+09:00

　先ほど約１ヶ月くらいかかって,気分的にヒマなときだけの作業で,色々と試行錯誤の末に,2006年３/20から今日までの全記事バックナンバー(ただし本記事は除く)のうち,求人公告と目次の計20記事を除く現時点での全748個の記事をカテゴリー別に分けて題名索引できるような目次が完成しました。

　これをもって従来のテンプレート付属のカテゴリー分類は不要と思われるので,無用の混乱を避けるために,非表示にしました。

　一応,左側のブログバナー　　

の下の部分に,目次(日記関係)（272)　,および目次(自然科学)（476)という２つの文系と理系の目次リンクを張りました。

　ただし,(　)内の数字は現時点での参照可能な記事数です。

　今のところ,目次(日記関係)（272)をクリックすると,

　日記関係 (記事数:272)

日記１(113)　・・・①日記・つぶやき　

日記２(24)　　・・・②回想　

日記３(33)　　・・・③思想・哲学(心・体)　

日記４(52)　　・・・④経済・政治・社会(時事問題)

日記５(14)　　・・・⑤将棋⑥スポーツ⑦募金・ボランティア　　　

日記６(36)　　・・・⑧文学・音楽・映画 ⑨演劇・芸能・他

　という構成が表示されます。

　一方,目次(自然科学)（476)をクリックすれば,

　自然科学関係(記事数:476)

　　(1)数学(＋数理物理)(151)

　　(2)物理学(325)

　とさらに２つの大分類があり,(1)数学(＋数理物理)は,

　(1)数学(記事数:151)　

　数学１(46)　　①数学全般　②論理学・数学基礎論

　　　　　　　　　③代数学・数論

　数学２(52)　　④解析学,複素関数論,関数解析・超関数⑤確率・統計

　　　　　　　　　⑥常微分方程式(存在,一意性)⑦常微分方程式とフックス関数　　

　数学３(30)　　⑧ブラウン運動と確率過程⑨数値計算・コンピュータ

　　　　　　　　　⑩その他

　　数理物理学(23)　シリーズ相対論の幾何学

　に

　(2)物理学は

　(2)物理学(記事数:325)

物理１(56)　①物理学入門,および自然科学の基礎②力学・解析力学

　　　　　③熱力学・統計力学　　　

物理２(76)　④電磁気学(古典論)⑤相対性理論(特殊,一般)

　　　　　⑥(続)相対性理論(宇宙物理学)　

物理３(100)　⑦量子論Ⅰ(基礎理論)　⑧量子論Ⅱ(ＱＥＤ,場理論)

　　　　　⑨観測問題・量子もつれ(エンタングルメント)

　　　　　⑩物性理論Ⅰ(多体問題・フォノン,電気伝導(回路)・超伝導)

　　　　　⑪物性理論Ⅱ(原子・分子.)

物理４(38)　⑫光学(古典論,量子論)　

　　　　　⑬流体力学(層流から乱流(非線型波・ソリトン)へ)

　　　　　⑭弾性理論,特に地震理論

物理５(55)　⑮素粒子論全般

　　　　　⑯S行列とレッジェ理論＝前期弦理論？

　　　　　⑰束縛状態とベーテ・サルピーター方程式　⑱超弦理論　

　に分類リンクしています。

　ただし,全てのリンク先をチェックする予定ですが,今のところはその作業がまだ完了してないので思わぬリンク違いがあるかもしれません。。

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実習のウラ話

TOSHI — 2009-12-04T06:46:44+09:00

　11月の終わりに受けた特養(特別養護老人ホーム)での３日の実習(最終日はデイ・サービス)は,実は認知症の方との交流がとても興味深かったです。

　以下のような程度の裏話はホーム名も匿名だし,個人的経験談として守秘義務には反しないと思います。

　例えば,ほとんど独り言で話の内容が不可解な90歳前後のＡさんという女性は失語症らしかったので私はまだ五十代ですがと話を向けると,「あなた軽いのねえ」と言うので,ははあ,これは「若い」という言葉を「軽い」と混同されてるのではないか？と解釈しました。

　そして,お風呂から帰ってきた車椅子の男性に私と隣の人が「おかえり」と声をかけると,彼女は「ただいまじゃないの？」とブツブツ言っています。

　これも,「おかえり⇔ただいま」と言葉が逆転しているのかなあ？と思ったり,これらはたった２日のお相手では興味があっても解決がつかない話で,別の２週間くらいもいる女子大生の実習生に尋ねてみましたが,そういうのは気付かなかったと言ってました。

　その他,「息子夫婦に家屋敷を取られて帰れないから帰りたいけど歩けない」と言って,しきりに立ち上がって歩く練習をしたがって転倒が危ないＩという女性もいました。

　これは精神科の病院を舞台にした外国映画で同じようなシチュエイションがあったのを思い出して,ひょっとして本当の話では？と聞き耳を立てましたがどうもツジツマが合いません。。。

　また,デイ・サービスでは大学の建築科教授を引退した先生ではないか？というような博学のＹという80歳代後半の男性がいて足も丈夫で後で一緒に近くの公園まで散歩もしましたが,どこが悪いの？どこが認知症？と初めのうちは全くわからなかったです。

　しかし,20分くらいお話をしていると,建築設計関連の同じ話の繰り返しになりましたので,これをもって家族が認知症と判断したのかな？とわかりました。

　繰り返し話の相手なら,飲み屋で隣に座った酔っ払い相手で昔から数え切れないほど経験していますから,ある意味では慣れて？います。

　しかし,施設のアコーディオン・カーテンに目がとまったので,これのできた起源とか火災防止との関連から防火扉の発明や歴史などの話に水を向けたり,建築関連の興味深いトピックに脱線させたりしていると,繰り返し話は各回でかなり変化してゆき,インターバルも長くなって,これはこれで面白かったです。

(かつて,ウン十年も前にＫ電気工事の酔っ払いの繰り返し話を聞いていて,彼の青森弁の解読を試みたことを思い出しました。)

　歌についても,他の若い世話人たちはせいぜい童謡しかついていけないようでしたが,私は戦前,戦中の流行歌をどのくらい知っていて唄えるか？に挑戦したりして楽しい時間でした。(←こんなこと自慢してどうする？）

　デイではなく施設ですが,テレビで一緒にドラマを見ても,俳優の名前が思い出せず,認知症？の方々と「アレは誰だっけ？」というので盛り上がったりもしました。

　私個人としては色々とおタク趣味的な新発見がありましたね。。。

　まあ,たった１日や２日で仕事でもない実習生のヒマ人だったので面白かったのかもしれませんが。。。

(訪問介護も帰り道を自転車で30分以上も間違えたおかげで,そのあたりの地理が少しだけ詳しくなりました。。)

ＰＳ：＞鳩山君へ。。

　とにかく,トップに立ったのだから私財は全部捨てなさいよ。。

　あるいは寄付するなりして浄財に変えるなら,たとえ法律に反するような処分の仕方だろうと,ほめられこそすれ,誰からもケチをつけられるはずはないだろうと私は思います。。。。まあ,所詮無理だろうとは思いつつ

(↑ もちろん,万が一私がトップになって同じくらいの金があったとしてもできません。一応,人間であって神でも仙人でもないですから。。。当たり前だ。。禅問答のような(笑)。。。)

PS2:飲み屋でお酒飲んでいてもめっちゃ寂しい。最初は良くても周りにいるみんなが引いていくんだよ。僕に似た生き物,僕の種なんていないらしいんだ。。

(酒のせいでつい忘れてた。。「ウラオモテがないようにすべき」といっても100％出すのじゃなく,ほどほどに仮面をかぶって自己を韜晦しなければ心の病気になってしまう。。という過去の教訓があるのでした。。。)　　

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定量的地震学６

TOSHI — 2009-11-30T17:09:17+09:00

　つなぎで地震学の続きを書きます。

前回は内部面上での応力,または変位(歪み)の不連続性で表現される地震源(面源)の体源による等価物の存在を証明しました。

そして,断層面を横切る剪断作用に対する体積力の等価物として次のような表現が得られるという結論で終わりました。

まず,応力の不連続性[Ｔ]がゼロでない場合には,その寄与－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣ_ξは,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V(∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξ}Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0))ｄＶ_ηで表現できます。

それ故,Σ上の応力不連続性の体積力等価物はｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξで与えられます。

一方,変位の不連続性による寄与∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}は,－∫_-∞^∞ｄτ∫_V (∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξ)Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)ｄＶ_ηで表現されます。

そこで,Σ上の変位不連続性の体積力等価物はｆ_p^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξで与えられると考えられます。

ただし,鍵括弧[ ]の量はΣ上の各点での不連続性を表わす量です。

すなわち,[Ｔ(ξ,τ)]≡Ｔ(ξ,τ)|_Σ+－Ｔ(ξ,τ)|_Σ-,かつ[ｕ_i(ξ,τ)]≡ｕ_i(ξ,τ)|_Σ+－ｕ_i(ξ,τ)|_Σ-etc.と定義されています。

という内容のことを書きました。

こうすれば応力,および変位の不連続性はそれぞれ－∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]Ｇ_np(ξ,ｔ－τ;ｘ,0)}ｄΣ_ξ＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p^[T](η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_η,および∫_-∞^∞ｄτ∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂Ｇ_np(ξ,τ－ｔ;ｘ,0)/∂ξ_q}＝∫_-∞^∞ｄτ∫_V[ｆ_p^[ｕ](η,τ)Ｇ_np(ｘ,ｔ－τ;η,0)]ｄＶ_ηと体源で表現できるわけです。

まず,これらについて前回,少し書き残したことを補足することから始めます。

　上記,変位不連続性の表現の被積分関数は,各ｐに対して,添字ｉ,ｊ,ｑのそれぞれが異なる27個の項を含んでいますが,以下では媒質に対称性があって２個か３個を除く全ての項がゼロであるような重要な例を取り上げる予定です。

　しかし,取り合えず上記の恒等式自体は一般的な非均質,非等方媒質に対して成立する式です。

　これらはＶ内の各点における体源応力が断層面の上の弾性媒質の性質のみに依存する表現になっていることは注目すべきことです。

そして,Ｖ内の断層運動は内部プロセス(内力のみの系)なので,全運動量と全角運動量は保存されなければなりません。

すなわち,全てのτに対し∫_Vｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝0,かつ全てのτとη₀に対し∫_V[(η－η₀)×ｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝0 であるべきです。

実際,ｆ_p^[ｕ](η,τ)≡－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξですから,ガウスの積分定理によって∫_Vｆ_p^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝－∫_VｄＶ_η∫_ΣｄΣ_ξ{[([ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}＝∫_ΣｄΣ_ξ∫_ＳextｄＳ_η[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_jδ³(η－ξ)です。

ところがＳ_extとΣは全く共通点がないので,決してη＝ξとは成り得ず,最右辺は確かに消えます。

一方,∫_V[(η－η₀)×ｆ^[ｕ](η,τ)ｄＶ_ηの第ｍ成分は∫_Vε_mnp(η_n－η_0n)ｆ_p^[ｕ](η,τ)ｄＶ_η＝－∫_ΣｄΣ_ξ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j∫_VｄＶ_η(ε_mnp(η_n－η_0n){∂δ³(η－ξ)/∂η_q})＝∫_Σ(ε_mqpＣ_ijpq(ξ)ν_j[ｕ_i(ξ,τ)])ｄΣ_ξで与えられます。

ところがＣ_ijpq(ξ)＝Ｃ_ijqp(ξ),かつε_mqp＝ε_mqpなので,これの右辺もゼロになります。

こうして体積力の表現が内力である条件を満たす合理的なものであることを示すことができました。これが前回書き残した補足事項です。

さて,野外の不連続性に等価な体積力の簡単な例として,丁度１点と１方向に加えられた体積力のケースを考えます。

以前の記事「定量的地震学１,３」では次のように瞬間体積力を与えました。

“ｘ＝ξに対する１つの個別粒子に時刻ｔ＝τにｎ方向に瞬時的に加えられる１つの体積力ｆ(ｘ,ｔ)があれば,その成分ｆ_i(ｘ,ｔ)は空間位置を与えるのに３次元のディラック(Dirac)のデルタ関数,衝撃の時刻を与えるのに１次元のデルタ関数に比例してｆ_i(ｘ,ｔ)＝Ａδ³(ｘ－ξ)δ(ｔ－τ)δ_inと表現されます。

ただしＡは衝撃の強さを与える定数です。ｆ_i,δ³(ｘ－ξ),δ(ｔ－τ)の次元がそれぞれ[力/体積]＝ＭＬＴ^-2/Ｌ³,1/Ｌ³,1/Ｔであることに着目するとδ_inは無次元なので,衝撃の強さＡは正しく,”衝撃＝力積”の物理的次元を有することがわかります。”

これは,応力成分の不連続性とみなすこともできます。

ここでは,体積力の応力の不連続性との等価性を見るために,ｘ₃を深さ方向とし,ｘ₃＝ｈの１点(0,0,ｈ)に加わる体積力ですがδ(ｔ－τ)に比例する瞬時的な力ではなく,τ＝0から定常的にｘ₃＝ｈの１点(0,0,ｈ)にＦの大きさの体積力とします。

すなわち,ｆ(η,τ)＝Ｆδ(η₁)δ(η₂)δ(η₃－ｈ)θ(τ),Ｆ≡(0,0,Ｆ)とします。ここでθ(τ)はHeaviside関数(階段関数)です。

これは,平面ξ₃＝ｈ上の１点を横切る応力の不連続性:[Ｔ(ξ,τ)]＝Ｔ(ξ,τ)|_{(ξ1,ξ2,ｈ+)}－Ｔ(ξ,τ)|_{(ξ1,ξ2,ｈ-)}＝－Ｆδ(ξ₁)δ(ξ₂)θ(τ)と同一視できることがわかります。

これは,先に得られた表現:ｆ^[T](η,τ)≡－∫_Σ{[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]δ³(η－ξ)ｄΣ_ξの右辺において,平面ξ₃＝ｈをΣとして,[Ｔ_p(ｕ(ξ,τ),ν)]＝－Ｆδ(ξ₁)δ(ξ₂)θ(τ)を代入すれば,ｆ^[T](η,τ)＝Ｆδ(η₁)δ(η₂)δ(η₃－ｈ)θ(τ)が確かに得られることからわかります。

断層スリップ(地滑り)によって引き起こされる地震波は,モーメントを帳消しにするようなある断層上の力の分布によって引き起こされる地震波と同じです。

問題としている断層スリップに対し,この力の分布は一意的ではありませんが,等方的な媒質内ではそれを常に複数の偶力源の表面分布として選択可能です。

この結論は,地震が単一の偶力源か複数の偶力源のいずれによってモデル化されるかという疑問に関連して長期間論じられた論争の見地からは皮肉な結論です。

単一の偶力源を擁護する人々は地震は断層上のスリップが原因であると強く信じていました。そして彼らは,これが単一の偶力源,すなわち断層の相対する側の運動に対応する２つの力に等価であると直線的に信じました。

しかし,弾性力学では経験上直線的アプローチは危険なことが多いようです。

複数の偶力源を擁護する人々のあるものは,地震が既存の剪断応力下での体積的崩壊であるに違いないと思っていました。

今や,複数の偶力源に等価であると認識されている近年の断層理論は,莫大な距離で観測された放射パターンによる支持のみならず,震源に非常に近いところで得られたデータによる強い支持を得ています。

断層Σは平面ξ₃＝0 上にあるものとします。すると,スリップ[ｕ]はξ₃方向には成分を持たず,ベクトル[ｕ]は平面Σに平行と考えられます。

さらに,平面ξ₃＝0 上でのスリップ[ｕ]の方向をξ₁方向とします。すると,[ｕ₂]＝[ｕ₃]＝0 でありν₁＝ν₂＝0 ,ν₃＝1 です。

そこで,等価体積力の表現:ｆ_p^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σ[ｕ_i(ξ,τ)]Ｃ_ijpq(ξ)ν_j{∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄΣ_ξは,ｆ_p^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σ[ｕ₁(ξ,τ)]Ｃ_13pq(ξ){∂δ³(η－ξ)/∂η_q}ｄξ₁ｄξ₂となります。　

既述のように,不均質でも等方的な物質では弾性係数Ｃ_ijpqはＣ_ijpq＝λδ_ijδ_pq＋μ(δ_ipδ_jq＋δ_iqδ_jp)なる形をしています。独立定数λ,μはLame(ラメ)の定数と呼ばれます。

よって,今の場合の被積分関数のＣ_13pq(ξ)は,Ｃ₁₃₁₃(ξ)＝Ｃ₁₃₃₁(ξ)＝μ(ξ)を除いて全てゼロです。

それ故,ｆ₁^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]δ(η₁－ξ₁)δ(η₂－ξ₂){∂δ(η₃)/∂η₃}ｄξ₁ｄξ₂,ｆ₂^[ｕ](η,τ)＝0,ｆ₃^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]{∂δ(η₁－ξ₁)/∂η₁}δ(η₂－ξ₂)δ(η₃)ｄξ₁ｄξ₂となります。

まず,ｆ₁^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]δ(η₁－ξ₁)δ(η₂－ξ₂){∂δ(η₃)/∂η₃}ｄξ₁ｄξ₂を見ると,これは±η₁方向内の力でη₂方向に腕がありη₃方向にモーメントを持つΣにわたる単偶力源を示しているとわかります。

実際,積分を実行すると,ｆ₁^[ｕ](η,τ)＝－μ(η)[ｕ₁(η,τ)]{∂δ(η₃)/∂η₃}です。

これは平面η₃＝0⁺上に寄与する点力とη₃＝0^-上に寄与する反対向きの点力のペアであると考えられ,補足事項の最初の式で示したように,内力なのでｆ₁^[ｕ](η,τ)の合力成分は消えます。

一方,力のモーメントはこの力の成分だけでは消えず,この成分によるη₂軸の回りのモーメントは∫_Vη₃ｆ₁^[ｕ]ｄＶ＝－∫_Vη₃μ(η)[ｕ₁(η,τ)]{∂δ(η₃)/∂η₃}ｄη₁ｄη₂ｄη₃＝∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξとなります。

Σにわたるスリップを平均すると,＜ｕ(τ)＞≡∫_Σ[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξ/Ｓです。ただし,Ｓ≡∫_ΣｄΣ_ξは断層の全面積です。

そこで,もしも断層域が均質,つまりΣの上でμ(ξ)＝μ(一定)なら,η₂軸の回りのｆ₁^[ｕ](η,τ)による全モーメントは,単にη₂軸の正の向きに∫_Vη₃ｆ₁^[ｕ]ｄＶ＝∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξ＝μＳ＜ｕ(τ)＞で与えられます。

体積力には,また３軸成分:ｆ₃^[ｕ](η,τ)＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]{∂δ(η₁－ξ₁)/∂η₁}δ(η₂－ξ₂)δ(η₃)ｄξ₁ｄξ₂＝－∂{μ(η)[ｕ₁(η,τ)]/∂η₁}δ(η₃)があります。

この成分によるη₂軸の回りの力のモーメントは－∫_Vη₁ｆ₃^[ｕ]ｄＶ＝∫_Vη₁∂{μ(η)[ｕ₁(η,τ)]/∂η₁}δ(η₃)ｄη₁ｄη₂ｄη₃＝－∫_Σμ(ξ)[ｕ₁(ξ,τ)]ｄΣ_ξです。

これについても,もしも媒質が均質でΣの上でμ(ξ)＝μ(一定)なら,－μＳ＜ｕ(τ)＞です。

よって,均質,不均質いずれにしても全モーメントはゼロです。これも既に,補足事項として一般的な形で証明した事実に一致しています。

途中ですが今日はここで終わります。

参考文献:K.Aki,& P.G.Richards 「Quantitative Seismology(Theory and Method)」

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