114 . 場理論・QED

2017年7月20日 (木)

摂動論のアノマリー(14)

  摂動論のアノマリーの続きです。
 

4. Absence of Radiative Correction 

(輻射補正の欠如).

今からは,前章-前節の最後で持ち上がった問題: 

「三角グラフヘの輻射補正はアノマリーのある

軸性ベクトルの発散方程式を,修正させるか否か?」 

ということを取り扱います。

   
すなわち,.(100):μ5μ()2i05 

{α0/(4π)}(1+C)ξσ()τρ()εξστρ  

における定数Cの値は何か? 

   そして式(110):(0)2α0/π.
および,(0)=-2α0/π

の「低エネルギー定理」は,どのように修正を受けるか?

ということを論じます。

   
そして,結局,C=0 であり,(110)は摂動論のあらゆる 

オーダーで正確である,という著しい結果を見出します。
 

この結論は,基本的な三角グラフへの輻射補正は,

少なくとも5つの軸性頂点を持つ軸性ベクトルループ

を含み,それは最低次の軸性ベクトルの三角グラフに類似

せず,通常の,アノマリーのない軸性ベクトルWard恒等式

を真に満足する,ということに気付くことによって発見的

に理解できます。
 

そこで,仮想光子の運動量が固定されているとき,複雑な

輻射補正のグラフは,発散アノマリーを持ちません。
 

仮想光子の4元運動量は,基本的にこれらWard恒等式の

両辺にパラメータとして現われるので,仮想光子積分が,

あまりにもひどい発散をしない限り,Ward恒等式はこの

積分が実行された後でさえ成立し続けます。
 

本章の目的は,この発見的論旨を,より詳細な計算で

裏付け,三角グラフの輻射補正における通常のくり込み

可能な無限大によって何の問題も生じない,ことを示す

ことです。
 

§4.1.General Augument(一般的論旨)
 

最低次のアノマリーを持つ,軸性ベクトルの発散の式(68): 

μ5μ()2i05 

{α0/(4π)}ξσ()τρ()εξστρ  

および, 

「低エネルギ0定理」(110):

(0)2α0/π,(0)=-2α0/π は厳密に

正しいことを,以下に示します。

   
すなわち,これらは摂動論の,最低次だけでなく任意

のオーダーまで正しい式であること,が示されます。

一般的議論から始めます。

基本的な考え方は次の通りです。
 

前章で見たように掛け算因子:Z2(これは(68)右辺の素朴な

発散項の行列要素を有限にするくりこみ定数),(68)左辺

の軸性ベクトルカレントの行列要素からは,

発散を除去できません。
 

そこで,(68)の全ての項を同時的に有限にする単純な再計量 

というものは存在しません。

  
それ故,くり込まれていない(故に発散する)場と質量,

結合定数を含んではいても,(68)を直接,扱うのが最も

簡単です。
 

これらの発散量の道具を,well-defined(無矛盾的定義)

にするため,質量:Λの光子のregulator場(正規子の場)

を導入することによって,QEDの切断版をつくります。
 

切断処法は,通常のくりこみプログラムが実行される

ことを許します。

  
電子の裸の質量:m0と波動関数のくり込み定数:Z2,

および,軸性ベクトル頂点のくり込み定数;,

くり込まれた電荷と質量,および,切断Λの確立した

関数となります。
 

切断の場の理論において,くり込まれていない量に

対する(68)の正当性を証明するのは直線的で簡単

です。
 

それから,なお,切断が存在するときの行列要素:

2γ|205|0に対する「低エネルギー定理」を

導出し,最後に素朴な発散のくり込まれた行列要素に

対する「低エネルギー定理」を得るために切断Λを

無限大に近づけます。
 

さて,第1章で述べたQEDの通常のFeynmanルールを修正

することによって,切断を導入します。
 

新しいルールは,次のように読めます。
 

()運動量がpの電子内線に対して因子:

i(-m0iε)-1付与し,各頂点には,(i0γμ)

を付与する。

  
運動量がqの各光子内線に対しては,通常付与する

伝播関数:(iμν)/(2iε),切断regulator

の寄与を含めたもの;:

(iμν){1/(2iε)1/(2―Λ2iε)} 

(iμν)(-Λ2)/{(2iε)(2―Λ2iε)}..(112) 

で置き換える。(光子伝播関数の正規化)
 

()下図の2頂点の真空偏極(vaccum polarization)ループ

対する寄与を次式で与える。

すなわち,Πμν(2)()(i)∫d4(2π)-4 

[r|γμ(-m0iε)-1γν(-m0iε)-1}]

(113) です。
 

このΠμν(2)()が出現すれば,いつでもゲージ不変の

引き算項を用いることができます。

  すなわち,
 

Πμν(2)()=(-q2μνqμqν){Π(2)(2)-Π(2)(0)}

(114) です。
 

(14-1:上記の式(114)の説明です。

  以前,既に「摂動論のアノマリ-(1)」で詳述した
ように,

真空偏極の2次の固有グラフの寄与;Π(2)μν()を単に

全てのオーダーの寄与を示すのと同じ記号でΠμν()

と書けば,ゲージ不変性条件により,qμΠμν()0,

かつ,νΠμν()0 です。
 

それ故,Πμν()(μqν―q2μν)Π(2) 
  と書けます。
 Πμν()は2次発散しますがΠ(2)

高々,対数発散です。
,

光子伝播関数;iFμν()(iμν/2)の内線に

真空偏極グラフを挿入したあらゆるオーダーの寄与を

総和した級数和が,真の伝播関数: iF'μν()である

というのを図示すれば,

ですが,これの自己エネルギー固有部分を2次の真空

偏極の寄与.Πμν()}(に限定して,式に書き下せば,
 

iF'μν()(iμν/2)

(i02/2){iΠμν()}(i/2) 

(i02/2){iΠμλ()}(i/2){iΠλν()}

×(i/2)+.... 


  です。
 

実際には寄与しないスカラー光子や縦波光子を無視

すると,F'μν()

(-gμν/2){(02/2)Πμλ()F'λν(),

 
故に, {2μλ-e02Πμλ()}F'λν()

=-gμν です。


  これに,
Πμν()(―q2μν+qμqν)Π(2)

を代入すると,

{2μλ(-q2μλ+qμλ)02Π(2)}

F'λν()=-gμν  です。

   
したがって,

 F'μν()=-gμν/[2{1+e0Π(2)}]

 +qμλ0Π(2)/[2{1+e0Π(2)}]

 F'λν() 

 より.

   
F'μν()=―gμν/[2{1+e0Π(2)}]
  +
(μνに比例する項)という形を得ます。

 
右辺最後の縦波光子項は,計算には寄与しないので

 無視して,

 F'μν()=―gμν/[2{1+e0Π(2)}] 

   です。

   
対数発散するΠ(2)から,2をシフトしたものを

引けば有限になるので,Π~(2)=Π(2)-Π)(0)

 とすれば,これは有限です。

   
くり込んだ光子伝播関数DF'~μν(),右辺で

  Π(2)代わりに,Π~(2)で置き換えたもので

  与えて,F'~μν()

 =―gμν/[2{1+e0Π~(2)}] 

 とします。   (14-1終わり※)
 

 さて,次図のような4つ以上の頂点を持つ真空偏極ループ

  は,カレントの保存条件を課して計算されます。

    既に見たように,さらなる引き算の必要なく,

 これらを有限にできます。

   
(14-2);「摂動論のアノマリー(2)」で示した

  ように.発散次数をDとすると,これは,まず,内線

  により,b=光子の内線の個数,f=電子の内線の

  個数,k=内線運動量積分の個数として,
   
=4k-2b―fと書けます。

   
さらに,この同じDは,n=頂点の個数,B=boson

 外線の個数,F=fermion外線の個数とすると内線

   にも頂点nにも関係なく,D=43/2-B

   となります。これが次数勘定定理でした。

    そ
こで,上の2つのグラフでは,光子外線

 がB=B=6fermion外線は共に,F=0

 なので,D0,D=-2 です。
  
 
いずれにしろ,カレント保存条件(=ゲージ不変性条件)

 から,少なくとも次数2が消費されて減るので実質的な

発散次数をDeffとすると,eff≦D-2となりDは負と

なる のでこれ以上の引き算などの操作はしなくても,

収束します。   (14-2終わり※)

   
()いつものように,各内線積分としてループ変数:lにわたる 

 因子:∫d4(2π)-4が存在し,Fermionループであればさらに,

 因子:(1)が加わる。
 

 ()結合定数:0^,電子の裸の質量:0,波動関数のくり込み

 因子:2,くり込まれた量である電荷:,質量:,および

 切断:Λの関数として固定するため,1章で概説した標準的

 反復くり込み手法を用いる。

  このとき,有限なΛに対しては,:0^,0,2,全て

 有限となる。その理由は,光子伝播関数の正規化(および,

 ゲージ不変性),あらゆる頂点,伝播関数の自己

  エネルギー部分:たとえば次図のようなΠμν(2)()以外

 の全ての光子自己エネルギー部分を有限にするからです。
  そして1
,自己エネルギー:Πμν(2)()2)自身も,既に

 陽な引き算で有限化されています。

    ここで
^0はe0と同じではなく,これらは次式で関係

 付けられていることに注意します。

 0^2=e02/{1+e0Π(0)}..(115) です。

  
つまり,0^,謂わゆる中間くり込み電荷で,裸の電荷

 の最低次の真空偏極とその反復に関わる発散のみを除去

 することにより得られるものです。
 

(14-3): 私の学んだBjorken-DrellVol.1のテキスト 

では発散回避については,最低次の真空偏極のみのくり込み

だけという趣旨で,光子のくり込み定数をZ3として,

中間くり込みでなく最終くり込みの物理的電荷をeが,

 e=Z31/20,という形になるとされていました。

   
光子伝播関数;

F'μν()(-gμν)/[2{1+e0Π(2)}] 

,2 0 では,
 DFμν()
(-gμν)/[2{1+e0Π(0)}] 

=Z3Fμν()=Z3F'~μν()

に一致するというのがZ3の満たすべき条件でした。

 
これは,31/{1+e0Π(0)}を意味します。
 

31/{1+e0Π(0)}=e2/02 より,

2=e02/{1+e0Π(0)}を得ます。

の場合は,このeがe0^と定義されている

ようです。 (14-3終わり※)
 

()各電子外線と各光子外線にそれぞれ,波動関数のくり込み

因子:21/2,31/2=e/0を付与する。
 

このルール:()()の単純なセットは,通常のQEDの行列要素 

を有限にします。
 

これらのルールを,それらに次の正規化されたLagrangian密度 

(Regulated Lagrangian density):に対するFeynmanルール 

であることに着目ことにより,コンパクトに要約できます。
 

すなわち,L()0()() 

0()=ψ~()(iγμμ-m0)ψ()

(1/4)μν()μν()(1/4)μν()Rμν()

(1/2)Λ2μ()Rμ().

()=-e0^ψ~()(iγμψ(){μ()+ARμ()}  

+C(2){μν()+Fμν()}{μν()+FRμν()}(116) 

です。

  ここでAν(),質量:Λの正規化ベクトルメソン場であり
 

μν()=∂νν()-∂μν()は正規化場の強さ

のテンソルです。
 

(14-4):ψに対するEuler-Lagrange方程式, 

μ{/(μψα)}-∂/∂ψα0 から 

μ(ψ~iγμ)α+m0ψ~α

+e^0(ψ~γμ)α{μ()+ARμ()}0 


 整理すると,
 

[iγμμ-m0-e^0γμ{μ()+ARμ()}]

ψ()0 です。
 

一方,λに対するEuler-Lagrange方程式は. 

μ{/(μλ)}-∂/∂Aλ0 

ですが,
 

(1/4)μν()μν() 

(1/4)μανβ()(βα-∂αβ)

(νμ-∂μν)なので,

μ{/(μλ)}=∂μμλ()

です。

 
μμλ()+e^0ψ~()γλψ() 

4(2)μ{μλ()+Fμλ()}0 

ここで,μμλ()=-□Aλ+∂μλμ

を用います。
 

Feynmanゲージ;μμ0,μμ0

を取ると,μμλ()=-□Aλ,また,

μμλ()=-□Aλ 

結局,□Aμ()4(2) {μ()+Aμ()} 

=e^0ψ~()γμψ()=e^0μ() 

を得ます。
 

最後に,Rλに対するEuler-Lagrange方程式,: 

μ{/(μRλ)}-∂/∂ARλ0 より, 

(□+Λ2)μ()4(2) {μ()+Aμ()} 

=e^0ψ~()γμψ()です。

(()1/2(νν)2加えると,付帯条件として

の∂νν0 も得られます。)  (14-4終わり※)

 

(2)∝Π(2)(0)を含む項は,,(114):Πμν(2)() 

(-q2μνqμqν){Π(2)(2)-Π(2)(0)}2

の真空偏極ループの陽な引き算を実行する,対数的に

無限大のcounterter-term(相殺項)です。
 

:(116)は,正規子(regulator)の自由場のLagrangian密度

通常とは反対の符号で構成されています。
 

それ故, 正常共役運動量の儒号が反対で 

[μ(,), ∂Aν(,)/∂t]iμνδ3()

(117)ですが,これはAμに対して与えた正準交換関係:

(5):[μ(,),∂Aν(,)/∂t]

=-iμνδ() とは符号が反対です。
 

伝播関数の符号が交換関係の符号から直接導かれるので, 

正規子の裸の伝播関数は式(112): 

(iμν){1/(2iε)1/(2―Λ2iε)} 

(iμν)(-Λ2)/{(2iε)(2―Λ2iε)}. 

で要求されるように光子の裸の伝播関数と符号が反対

です。
 

我々の切断手法を明白にするには,次には軸性ベクトル

カレント:5μ()と擬スカラーカレント:5()

導入し,それらの性質を調べる段階です。

  まず,1にこうしたカレントの全ての
行列要素が,

切断理論の計算で有限になるかどうか?をチェック 

する必要があります。

 

そして,この疑問の答えはyesです。すなわち,それら

行列要素は有限となり,1つの軸性ベクトル,または

1つの擬スカラーの頂点を含む基礎Fermionループの

全てが,陽な引き算の必要なく光子頂点へゲージ不変性

を課すことによって,有限になる.という事実から,直ち

に導かれます。
 

途中ですが長くなったので.今日はここまで終わります。
 

(参考文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory(1970 Brandeis University

SummerInstitute in Theoretical Physics) Volume

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2017年7月15日 (土)

摂動論のアノマリー(13)

摂動論のアノマリーの続きです。

 
§3.4 Low Energy Theorem for 2i05()

(2i05()に対する低エネルギー定理)

 本章の最後に,アノマリ-のある軸性ベクトル発散の式 

(68):μ5μ()2i05 

{α0/(4π)}ξσ()τρ()εξστρ , 

真空から2光子の,素朴な発散:2i05の行列要素に

対する興味深い「低エネルギー定理」に誘導すること

を示します。

 
まず,第1に,上の式(68)は輻射補正のない三角グラフを

想定し,下図に示すようなグラフの寄与を考慮せずに導出

されたこと,に着目します。


 次数を勘定すると,これらのグラフもまた外線の本数

は同じ,単純な最低次の三角グラフと同じく.運動量

の1発散します。
 (※ ↑ 部分グラフの自己エネルギー
部分をくりこんて,

0 → m,e0 → eなどとした後も全体の三角グラフ

の1次発散は残ります。)

 
それ故,これら自身も軸性ベクトルカレントの発散に

おけるアノマリーに寄与しす。

 そうした
アノマリー項は,§2.2で,可能な引き算項に

ついて挙げたつの条件を満足するLorentz擬スカラー

でなければなりません。

 
そこで,これらも式(68)における右辺の最低次の三角

アノマリーと同一の形を持つ必要があることが容易に

わかる,と思います。

 そこで式(68)を次式に置き換えることによって三角

グラフの輻射補正に由来する三角アノマリーの可能性

を考慮に入れます。

 
すなわち,μ5μ()2i05

{α0/(4π)}(1+C)ξσ()τρ()εξστρ (100)

とします。

 
以下,上記の式(100)を「低エネルギー定理」の基礎となる

として用います。

 
先に進むため,真空:|0>と2光子状態:

|γ(1,ε1)γ(2,ε2)による(68)の行列要素を取ります。

 2
光子のKetベクトル:<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|の持つ

4元運動量k1,2偏光:ε12から形成できる唯一

の擬スカラーは1ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρですから,

 (68),
または
(100)の各項の行列要素は全て,この表現形

因子として含むはずです。

 
そこで,<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|μ5μ|0

(41020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ(1,2) (101)

<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|2i05|0

(41020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ(1,2) (101)

<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|{α0/(4π)}ξστρεξστρ|0

(41020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ(1,2).(101)

と書くことができます。

 ここで,(1,2),(1,2),(1,2)はスカラー:

(1)2,(2)2,(12)の関数ですが,光子は共に実光子

なので,(1)2(2)20であり,結局,(12)のみの

関数です。

 等式
(100)の行列要素としての形は,,,Hによって

次のように単純な等式に書き直せます。

 
(1,2)=G(1,2)(1+C)Hk1,2) .(102)

です。

 この
(102)から[]亭エネルギー定理」を導出するため.,

次に定義する行列要素:

μ(41020)-1/2<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|5μ|0

についての注目すべき運動学的性質を用います。

 
前節で着目したように,Lorentz不変性,ゲージ不変性, 

Bose統計の要請は,μ次の一般形をとることを要求

します。

  これについては
「摂動論のアノマリー(6)」でのσρμ

 についての考察を参照します。


  
以下,煩雑さを避けるため,μを表現する係数を前に

σρμを表わすのに用いたのと,全く同じj(1,26)

で表わしますが,ここでは当然,前とは異なるものを

意味します。
 

μ=ε1σ*ε2ρ*[11τετσρμ+A22τετσρμ 

+A31ρ1ξ2τεξτσμ+A42ρ1ξ2τεξτσμ 

+A42ρ1ξ2τεξτσμ+A51σ1ξ2τεξτρμ 

+A62σ1ξ2τεξτρμ] .(103) 

と書くことができて

 
1(12)3(2)24,

2(1)25(12)6 であり,

3(k1,2=-6(k2,1,

4(1,2)=-A5(2,1) ,.(104)

です。

   
軸性カレントの発散の行列要素は,(1+k2)μμ

比例します。

  
ここで6つの4元ベクトル:,,,,,fによって

満足される恒等式を用います。

  すなわち,
(af)|bcde|(bf)|cdea|

(cf)|deab|(df)|eabc|

(ef)|abcd|=0 .(105) です。

ただし,(af)=a・f(aとfのスカラー積)

あり,|abcd|=aξτσηεξτση etc.

です。

  
※注13-1) (105)を証明します。
 

まず,|abcd|=aξτσρεξτσρ etc. 

明らかに4元ベクト:,,,dを列ベクトルとする

4×4行列の行列式に等しいです。

  
さらに,,,,,eを列ベクトルとする4×5行列

に,1(μ,μ,μ,μ,μ)を上に追加して5×5行列

つくり,その行列式を展開すると,  

μ|bcde|+bμ|cdea|+cμ|deab| 

+dμ|eabc|+eμ|abcd|を得ます。

  
この展開前の5×5行列式は.μが,0,1,2,3のどれでも

行が一致するので,ゼロです。

  
そこで両辺にfμを掛けてμで総和縮約すれば,

(af)|bcde|(bf)|cdea|(cf)|deab| 

(df)|eabc|+(ef)|abcd|=0 

が得られます。 (13-1終わり※),

  
さて,(af)|bcde|(bf)|cdea|

(cf)|deab|(df)|eabc|

(ef)abcd|=0 においてa=f=k1,b=k2,

c=k1+k2.d=ε1,e=ε2と置くことにより,
 

(1+k2)μμ

(3-A6)(12)1ξ2τε1*σε2*ρεξτσρ(106)

を得ます。(※ここは本文をそのまま直訳しただけです。) 

(13-2):上の式(106)を証明します。

  
(103)μを表わす式の両辺に(1+k2)μを掛けて, 

実光子条件:(1)2(1)20, および,光子の横波条件: 

1ε1=k2ε20 を適用します。

  
このとき,例えばk1τ1σετσρμのように,ετσρμ

同じ1が2個以上掛かった因子などはゼロと消えるため,
 

(1+k2)μμ 

(1+k2)μ[ε1σ*ε2ρ*{11τετσρμ

+A22τετσρμ+A31ρ1ξ2τεξτσμ

+A42ρ1ξ2τεξτσμ+A42ρ1ξ2τεξτσμ

+A51σ1ξ2τεξτρμ}]

  
=A1|1ε1ε2(1+k2)|+A2|2ε1ε2(1+k2)|

=A1|1ε1ε22|+A2|2ε1ε21| 

(1-A2)|1ε1ε22| となります。

  
そして,1(12)3(2)24(12)3, 

2(1)25(12)6(12)6 ですから 

(1+k2)μμ(3-A6) (12)|1ε1ε22| 

を得ます。

  
そして,|1ε1ε22|=ε1τ*ε2σ*1ξ2ρεξτσρ 

=ε1τ*ε2σ*1ξ2ρεξτσρ

=k1ξ2τε1*σε2*ρεξσρτ 

=k1ξ2τε1*σε2*ρεξτσρですから,結局,

(106)が得られました。

  
どうも,本文に反して(106)を証明するだけなら,恒等式

(105)を使う必要はなかったようです。

   
しかし,ちなみに,一応,a=f=k1b=k2,

c=k1+k2.d=ε1,e=ε2を式(105)に代入して

みると.(1)2|2(1+k2)ε1ε2|

(21)|(1+k2)ε1ε21|

{(1+k2)1}|ε2ε112|

(ε11)|ε212(1+k2)|

(ε21)|k12(1+k2)ε1|0 

です。

  
(1)2(1)20, 1ε1=k2ε20 を用いると 

(21)(|2ε1ε21||2ε1ε21|

|ε2ε112|)0 です。


  
つまり,|2ε1ε21||2ε1ε21|

 |ε2ε112|を得ます。  (13-2終わり※)

  
さて,軸性ベクトルj5μ(真空 → 2光子)

行列要素:μ,

μ(41020)-1/2<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|5μ|0 

と定義されているので,

  
たった今証明した式(106):
 (1+k2)μμ

(3-A6)(12)1ξ2τε1*σε2*ρεξτσρ

,(1+k2)μ<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|5μ|0 

(3-A6)(12)1ξ2τε1*σε2*ρεξτσρ 

を意味します。

  
一方,(101):<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|μ5μ|0 

(41020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ(1,2) 

の左辺:<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|μ5μ|0>は, 

明らかに,上記の,

(1+k2)μ<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|5μ|0 

の定数倍です。

  
つまり,

(41020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ(1,2) 

(3-A6)(12)1ξ2τε1*σε2*ρεξτσρ 

です。

  そして,
 (1,2)(12)のみの関数なので,

これをF(12)と書けば,(12) (12)

と結論されます。

   
故に,(0)0..(108) です。

   
これは,素朴な発散の(真空 → 2光子)の行列要素: 

(101): <γ(1,ε1)γ(2,ε2)|2i05|0 

(41020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ(1,2) 

のG(1,2),
 

演算子:{α0/(4π)}ξστρεξστρの行列要素, 

つまり,(101): 

<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|{α0/(4π)}ξστρεξστρ|0 

(41020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ(1,2) 

のH(1,2)に関係付ける「低エネルギー定理」

を与えます。

   
すなわち,先の(102):

(1,2)=G(1,2)(1+C)Hk1,2) 

が成立しますが,これを,

(12)=G(12)(1+C)Hk12) 

と書けば,0=F(0)=G(0)(1+C)(0) 

が得られます。

  
したがって,(0)=-(1+C)(0) ..(109) です。
 

摂動論のゼロでない最低次では,Cは無視されます。 

(※何故ならCは三角グラフの高次補正の輻射補正係数です。)
 

(0)「摂動論のアノマリー(8)」で与えた,5μ,05,および

{α0/(4π)}ξστρεξστρに対するFeynmanルール: 

5μ() p←p' ⇔ γμγ5 

5()  p←p'  γ5 

{α0/(4π)}ξστρεξστρ  1,σ←k2,ρ  

⇔ (2α0/π)1ξ2τεξστρ 

から評価することができて,

(0)2α0/πです。故にG(0)=-2α0/π..(110)

です。

  ※
(注13-3:何故なら,1,2 0 の低エネルギー2光子

の極限上記のFeynmanルールから,

<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|{α0/(4π)}ξστρεξστρ|0 

(41020)-1/2(2α0/π)1ξ2τεξστρ 

(41020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ(0)

と掛けるので,(0)2α0/π を得ます。

  
そして,(0)=-(1+C)(0)であり,1,2 0

低エネルギー2光子の極限では,C=0 ですから,

(0)=-2α0/π です。 (13-3終わり※)

(0)に対するこの結果は,もちろん,大した面倒も

なく,直接,式(61):σρ=k1ξ2τεξτσρ1,

1,8π2000(1,2) に与えられたGに対する

最低次の表現から導出できます。

  
すなわち,(0)

[iε1*σε2*ρ(i02)(2π)-4(20σρ)

/1ξ2τε1*σε2*ρεξτσρ]k1,k2 0

=e02(2π)-4(201) k1,k2 0

=-e02/(2π2)=-2α0/π.. (111)
 

となることがわかります。
 

(13-4):何故なら, 

<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|2i05|0 

(41020)-1/21ξ2τε1σ*ε2ρ*εξτσρ(12) 

,1,2 0 の低エネルギー極限では,
 

この最低次の寄与の表現:

(41020)-1/2iε1σ*ε2ρ*(i02)(2π)-4(20σρ) 

に等しいからです。  (13-4終わり※)
 

しかしながら,次節で詳細に見るように,「低エネルギー定理」 

の本当の重要性は,(0)に対する式(110)は.あらゆる輻射補正 

を注意深く考慮に入れても,なお",正確に正しい"ということ

です。(※ただし,(0)=-2α0/πではなく(0)=-2α/π

が正しいのですが。。)

  
これで第3章が終わったので,今日はここまでです。

  
参照ノートの日付は19951/26()です。2/1私の

45歳の誕生日直前です。

  お金になる研究者などの
仕事のためとかならともかく,

もっと人生イロイロあるのに,いい年をして何を真面目

に勉強してたんだか? 。まったく。。。
 
(※ 柔肌の熱き血潮に触れも見で,さみしからずや,

道を説く君(与謝野晶子)。。。)

 
さて,次回は,第4章,Absence of Radiative Corrections

(輻射補正の欠如)に入る予定です。

 
(参考文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory

(1970) Brandeis University SummerInstitute in

Theoretical Physics) Volume

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2017年7月12日 (水)

摂動論のアノマリー(12)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

※余談ですが,私の現在の満身創痍状態は,70近い高齢に

加え30年前から持病の糖尿病で今は血管がボロボロに

なってるせいだと思います。
 

最近,健康番組を見ていると,糖尿病は身体にとっては諸悪

根源で,認知症の引き金になりやすく,また,高齢とともに

海馬が委縮して,記憶もまばらになっていくといわれますが,

 なぜか
私は幸か不幸か,脳だけは以前に増してよく働いて

くれてるようです。

 線香花火が落ちて消える直前の輝き
なのか?,はたまた

狂い咲きなのか?三振前の大当たりなのか? という

ところでしょうが。。。

 
ただし,残念なことに身体は動きませんし,さびしい

ことに五欲,煩悩は弱いです。※)
 

§3.3 Connection between γ5 -Invaliance and a Conserved 

Axialvectot current in massless Electrodynamics 

(γ5 不変性と質量ゼロの電磁力学における軸性ベクトル 

カレントの保存の間の関係)
 

さて,質量がゼロのスピノル電磁力学,すなわち,Lagrangian密度

,()=ψ~()(iγ∇―m0)ψ()(1//4μν()μν() 

-e0μ()...(1) で与えられる標準的なQED,

 荷電Fermion の質量がゼロ;00と仮定したケースにおいて,

軸性ベクトルの摂動三角グラフの効果を考察します。
 

この考察では,三角グラフがLagrangianの対称性と

保存カレ)ントの間の通常の理論的関係を破るという結論

に導く,ことが見出されます。
 

以前の議論におけるように,特異な現象がないとき成立する 

標準理論から始めます。
 

{Φ()}{Φ1(),φ2(),..}と∂λΦ},それぞれ,

正準場,その時空座標による微分係数とし,場の理論

次のLagrangian密度で記述されるとします。
 

すなわち,()({Φ},{λΦ}) .(88) です。
 

の不変性と保存カレントの関係を確立するために,

場に対して,次の無限小局所ゲージ変換を施します。
 

パラメータ:v(x)をv(x)~ 0(無限小)として,

Φj() → Φj()+v()j({Φ()})..(89)です。
 

これに対応するカレント:αをjα=-δL/δ(α) (90) 

で定義します。
 

このとき,場の運動を記述するEuler-Lagrange方程式 

を用いることによって.このカレントの4次元発散が, 

αα=-δL/δv ..(91) で与えられることが 

容易にわかります。
 

(12-1): (91)式を証明します。 

まず,Φj'=Φj+v()j({Φ})と置いて, 

Φjの変分をδΦj=Φj'-Φj=v()j({Φ}) 

と書きます。
 

すると,λΦj'=∂λΦj+∂λV・Gj+V・∂λj 

より,δ(λΦj)=∂λ(δΦj)=∂λV・Gj+V・∂λj 

です。
 

それ故,Φjの変分に対するの変分は, 

δ=({Φ’},{λΦ’})({Φ},{λΦ}) 

(/∂Φj)δΦj{/(λΦ)}δ(λΦj) 

(/∂Φj)v・Gj({Φ}) 

{/(λΦ)}(λv・Gj+v・∂λj) 

で与えられます。
 

一方,δ/δV={(v+δv)()}/δv 

(/∂Φj)j{/(λΦj)}(λj) 

です。
 

そして,カレントの定義により, 

α=-δ/δ(α)=-{/(αΦ)}jですから, 

αα=-∂α {/(αΦ)}j{/(αΦ)}αj 

です。
 

ここで.Euler-Lagrange方程式: 

α{/(αΦj)}(/∂Φj)0 を用いると, 

αα=-(/∂Φ)j{/(αΦj)}αj 

を得ます。
 

この最右辺は,確かに,上記の(-δ/δv)に一致

していることがわかります。 (12-1終わり※)
 

特に(89):Φj() → Φj()+v()j({Φ()}) 

のゲージ変換でv()=v(一定)であるとき∂αv=0 

,これは局所ゲージ変換(local gauge transformation) 

ではなく大域ゲージ変換(global transformation)です。
 

特に,大域ゲージ変換に対してが不変で,δ/δv=0 

のとき,カレントは,α=-{/(αΦ)}jで与えられ 

αα0 が成立します。(Noetherの定理)
 

そこで,Lagrangiian:を不変に保つ任意の連続変換に, 

1つの保存カレントが対応します。
 

そして,容易に証明できるように,カレントjαと関わる 

チャージをQ()=∫d30(,)とすると,

これは次の性質を持ちます。
 

すなわち,dQ()/dt=0。。(92a),および, 

[,Φj()]iGj()..(92) です。 

チャージ:Qは運動の恒量(constant)です。
 

(12-2) αα0 は,3次元空間のベクトル解析表現 

では,謂わゆる連続の方程式;∂j0/∂t+div0 を意味 

します。

  
故に,dQ/dt=(/dt)∫d30(,) 

=-∫d3(div)=-∫S=∞0 が

得られます。

  
次に,0=-{/(0Φj)}jですが, 

正準理論では,πj=∂/(0Φ)jはΦj

正準共役運動量(Canonical conjugate momentum) 

であり,正準量子化は,これらが同時刻正準交換関係: 

[πj(,),Φk(,)]=-iδjkδ3()

を満たすという,量子条件を課すことでなされます。
 

そこで,0()=-πj()j()ですから, 

[0(,),Φj(,)]ij(,)δ3()

です。

  
したがって,

[,Φj(,)]=∫d3[0(,),Φj(,)] 

i(,), つまり ,[,Φj()]i()

が成立します。 (12-2終わり※)
 

(12-3):変換の無限小パラメータ:vが一定の大域

ゲージ変換は第1種ゲージ変換,vが時空点xの関数である

v=v()ときの局所ゲージ変換は第2種ゲージ変換と

呼ばれる,ことがあります。

  
普通に,^―ジ変換に対して不変というと第2種ゲージ変換

対する不変性を指すことが多く,この変換に対して

不変なとき,系はゲージ対称性を持つといいます。

  
しかし,Noether定理が成立してカレントの保存則を得る

には,1種ゲージ変換に対してLが不変であれば十分です。
 

もっとも,2種ゲージ変換に対してLが不変であれば, 

特別な場合として,1種ゲージ変換に対してLが不変な 

ことは明らかですから,2種ゲージ変換に対してLが不変 

なら,同じカレント:jについて保存則が成立し運動の恒量 

としてチャージ:Qが存在します。
 

しかし,逆は成立しません。第1種ゲージ変換に対して系が

不変(が不変)であるとしても,2種ゲージ変換に対して

系が不変であるとは限りません。
 

例えば,大域的な座標原点の平行移動(時空点の平行移動)

に対して系が不変(が不変)な場合,保存チャージとして

場の4元運動量;μ=(0,)を得ます。
 

しかし,一般に,局所的平行移動については,この系は不変性

保てないではない,ことが多いです。
 

通常は,一様な平行移動不変性=空間の一様性(=座標原点

位置の取り方の自由)から運動の恒量として運動量;μ

,回転(ブースト)対称性=空間の等方性(座標軸の向き

の取り方の自由)から角運動量:μνが得られます。
 

しかし,余談ですが,巨大個数の気体分子が容器の中に密閉

されていて.内部で衝突を繰り返して熱平衡にあるような

熱力学,統計力学の対象となるような系では,空間の一様性

も等方性も満たされず,ただ.時間の一様性のみ存在して,

運動の恒量としては,系のエネルギ-:E=P0だけが存在

します。

  
そこで,統計力学を規定するのには,系の運動量Pも角運動量

も寄与せず,関係するのはEのみです。 

  (12-3終わり※)

 

さて,本文の最後の式;[,Φj()]i()..(92)

はQが,v=一定のゲ-ジ変換の生成子(generator)をなす

ことを示しています。

(12-4):任意の状態ベクトル:|α>に対して,ゲ-ジ変換 

を与えるユニタリ変換をパラメータ:vの関数としてU() 

とすると,この変換は,状態空間では,|α> → U()|α>

なることを意味します。
 

任意の|α>,|β>に対して,場Φjの行列要素は 

<α|Φj()|β> → <α|()Φj()()|β> 

と変換されます。
 

これが,古典物理との対応原理を満たします。
 

すなわち,vが無限小のとき,

<α|Φj()|β> → <α|()Φj()()|β> 

=<α|Φj()+vGj({Φ()})|β> です。
 

|α>,|β>は任意なので,

()Φj()()=Φj()+vGj({Φ()})ですが,

[,Φj()]i()を代入すると, 

Φj()i[,Φj()](1ivQ)Φj()(1ivQ)

です。

  
したがって,v~ 0では,()1ivQ ~ exp(ivQ)

です。vが無限小でないときは,()exp(ivQ),

このQを数学では,Lie群の元であるユニタリ変換:()

Lie代数といい,物理学では,ゲージ変換の生成子

(generator)といいます。
 

()がユニタリ(Unitary)演算子:, 

つまり,()exp(ivQ)=U-1()exp(ivQ) 

なので,Q=Qとなり,Qはエルミート(Hermite)演算子です。
 

これはQの期待値が実数であることを意味します。
 

(12-4終わり※)

  
次に,質量ゼロの電磁力学のケースに特殊化し,
  
変換;(89):Φj() → Φj()+v()j({Φ()}) 

 が,スピノル場:ψ()に対するゲージ変換;

 ψ() {1iγ5()}ψ()>..(93)である場合

 を考えます。

  
この変換はQEDLagrangian(1):

 ()=ψ~()(iγ∇―m0)ψ()(1//4μν()μν() 

 -e0μ(),00としたものを,vが定数のとき不変に

 保ちます。

  
そこでカレントを計算すると,α=-δ/δ(α)

 =-{/(αψ)}γ5ψ=ψ~γαγ5ψ..(94)です。

  
これは,既に論じてきた軸性ベクトルカレント:5α

 一致するので,:(68):μ5μ()2i05()

 {α0/(4π)}ξσ()τρ()εξστρ に従えば,
 
 

αα{α0/(4π)}ξσ()τρ()εξστρ..(95) 

を満たすはずです。
 

それ故,正準定式化と運動方程式を用いて得られた式(91): 

αα=-δL/δv が,この場合には破れています。
 

つまり,軸性ベクトルの三角グラフの存在のために,たとえ

質量ゼロの電磁力学のLagrangian(そして摂動論のあらゆる

次数)不変であろうと,γ5-変換(=Chiral変換)と関わる

軸性ベクトルカレントは保存しないことがわかります。
 

しかしながら,γ5-変換に対応するNoetherの保存カレント

が存在しないときでさえ,なお,(92):dQ/dt=0,

[,Φj()]i()の性質を持つ,変換の生成子:

Q=Q~5が存在する,ことがわかります。

これは興味深いことです。
 

このことを見るために,修正カレント:~5μを次のように 

定義します。

  
すなわち,

~5μ()=j5μ()(α0/π)ξ(ρτ)εξμτρ.(96)

です。

  
これは,

(95):μ5μ{α0/(4π)}ξσ()τρ()εξστρ 

を用いると,保存条件:μ~5μ()0..(97) 

を満足することがわかります。

  この
~5μ()は保存しますが,これは明らかに電磁場

のゲージの取り方に依存するため,観測可能なカレント

演算子ではありません。
  (※電場,磁場など,電磁力学で
実際に観測される量は

ゲージ不変であることが必要です。※)

 
(12-5)

~5μ()=j5μ()(α0/π)ξ(ρτ)εξμτρ 

なので,ゲージ変換:

ξ() → A'ξ()=Aξ()+∂ξΛ, 

かつ,ψ() → ψ'()exp{i0Λ()}ψ()

を考えると,

  ま
,ψ~() → ψ'~()=ψ~()exp{i0Λ()}

です。

  
それ故,ψ~γμγ5ψ → ψ'~γμγ5ψ'= ψ~γμγ5ψ, 

つまり,5μ ← j'5μ=j5μですから,5μはゲージ不変 

です。また,よく知られているように,場の強さは, 

τρ → F'τρ=Fτρを満たします。
 

しかし,ξ(ρτ)εξμτρ(1/2)ξτρεξμτρですが 

ξτρ → A'ξτρ≠Aξτρであり,これはゲージ不変 

ではありません。  (12-5終わり※)
 

それでも,~5μに関連するチャージを,

~5=∫d3~50()とすると,これは,

~5=∫d3{ψγ5ψ+(α0/π)(∇×)} 

と書けて,ゲージ不変であり,それ故観測可能量(observable)

です。
 

(12-6):~50=ψγ5ψ-(α0/π)ξ(ρτ)εξ0τρ 

=ψγ5ψ+(α0/π)εijki(k) 

=ψγ5ψ+(α0/π)(∇×) です。
 

そして,=∇×は磁場であり明らかにゲージ不変です。
 

また,+∇Λに対して,(∇×)AB  

(+∇Λ)AB(∇Λ)AB+∇(Λ)-∇ 

ですが,0,かつ,∫d3(Λ)0 より 

∫d3xA(∇×)はゲージ不変です。 

 (12-6終わり※)

 

Q~5については,(97):μ~5μ()0.により

dQ~5/dt=0 が成立し,また,生成子の条件:[

~5,ψ()]=-γ5ψ() が満たされます。
 

これは,スピノル場の同時刻正準反交換関係: 

{ψα(,),ψβ(,)}=δαβδ3()

を用いて容易にチェックできます。
 

切りがいいし,今日はここで終わります。
 

次回は,3章の最終節である,§3.4 Low Energy Theorem  

for 2i05()(低エネルギー定理)に入ります。
 

(参考文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory

(1970 Brandeis University SummerInstitute in

Theoretical Physics) Volume

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2017年7月 8日 (土)

摂動論のアノマリー(11)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

§3.2.Radiative Correction to νl scattering 

(νll散乱への輻射補正)
 

(81):2Γ5μ(,p') 

=γμγ5{1(3/4)(α0/π)2 ln(Λ2/02)}+α0×(有限値) 

+α02×(有限値)+O(α03)

の応用として.

 
νll散乱(lはlepoton(軽粒子;μまたはe)の輻射補正 

を考えます。

(40):で見たように,Fielz変換の後では,νll散乱を

記述する局所カレントーカレントLagrangianは,

次のようになります。 

(/2){μ~γλ(1-γ5)μνμ~γλ(1-γ5)νμ 

+e~γλ(1-γ5)eνe~γλ(1-γ5)ν} ..(83)

これの輻射補正は,ニュートリノカレントには触れず,

単に荷電レプトンのカレント:μ~γλ(1-γ5)μと,

~γλ(1-γ5)の輻射補正を計算することで

得られます。

  
これら,略記した,μとeのV-Aカレントを,改めて 

(μ)~γλ(1-γ5)(μ), ()~γλ(1-γ5)() 

と詳細形で表わすと,


 
輻射補正することは,これらのカレントを 

(μ)~2(μ)[Γ(μ)λ-Γ(μ)5λ)(μ) ,および, 

()~2()[Γ()λ-Γ()5λ)()   .(84) 

に置き換えることに相当します。
 

これを見るため,まず,「摂動論のアノマリー(1)」において,

列挙したFeymanルールの項目():を再掲載すると,

各光子の外線に因子:εμ√Z3を対応付ける。

ここにεμは光子の偏極4元ベクトルであり,3は光子波動関数

のくり込み定数である。

 
各電子外線にはグラフに入ってくるものに,√Z2(p,s), 

それから出ていくものに,√Z2~(,)を対応させる。
 

陽電子の外線はuの代わりにvを用いるだけの違いである。
 

2は電子波動関数のくり込み定数である。
 

非連結泡グラフの挿入や,外線の電子線や光子線への自己

エネルギーの挿入は除く。


 です,

 (84)は,
これに由来する波動関数のくり込み定数Z2(μ,)2

 Properな頂点:Γ(μ,)λ,Γ(μ,)5λを伴なう形式です。
 

既に,通常のベクトルカレントのWard恒等式から,

2(μ)Γ(μ)λ,2()Γ()λは有限であることを知って

います。

 
一方,(81)によれば,2(μ,)Γ(μ,)5λ

=γλγ5[1(3/4)(α0/π)2ln(Λ2/02)]+α0×(有限値)

+α02×(有限値)+O(α03)  .(85)であり,

 
これは軸性ベクトルの三角グラフの存在のために,
νeと

νμμの散乱への輻射補正が摂動論の4次で発散することを

意味します。

 
この結果は,μ崩壊やν+e,νμ+μの散乱への輻射補正

摂動のあらゆるオーダーで有限である,という事実とは,

際立って対照的になっています。
 

2つのケース(同値変形であるFielz変換前後の形式)の決定的

な違いは,もちろん,

 
μ-(=Nμ+Nνμ)
とe-(=N+Nνe)の別々に保存する

ため,,カレント;μ~λ(1-γ5)μと,~γλ(1-γ5)eとは異なり

カレント:μ~γλ(1-γ5),閉電子ループや閉μ-粒子ル-プ

coupleできず,

 
それ故,
面倒な三角グラフは存在しないということです。
 

νl+lの散乱における輻射補正,に対して,2つの観方を

取ることができます。
 

1つの観点は,既知のことですが,とにかく,レプトン的 

弱い相互作用の局所カレント-カレント理論が正しい

はずがない,ということです。

  何故なら,この理論は
高エネルギーでユニタリでない

行列要素に導くこと,そして,そのことから高次の弱い

相互作用の効果として,発散する結果を得るからです。
 

そこで,満足できる弱い相互作用の理論を与えるのために,

(83):(/2){μ~γλ(1-γ5)μνμ~γλ(1-γ5)νμ 

+e~γλ(1-γ5)eνe~γλ(1-γ5)ν} 

における必要な修正がνll散乱の無限輻射補正の欠陥を 

救うことが完全に可能となります。
 

これは上記の(83)が次式に置き換わるよう有効Lagrangian

散乱項:νμ,νμeを導入することができれば可能です。
 

すなわち,(/2){μ~γλ(1-γ5)μ-e~γλ(1-γ5)} 

{νμ~γλ(1-γ5)νμ-νe~γλ(1-γ5)ν}..(86) です。
 

これは,(68)での面倒で余計なアノマリー項が,裸の質量m0 

には独立であり,それ故,上記(86)においてμ粒子と電子の項 

の間で,それらアノマリーが相殺して消えるように作用します。
 

つまり,軸性カレントの4次元発散のWard恒等式は, 

λ{μ~γλγ5μ-e~γλγ5} 

2i0(μ)μ~γ5μ-2i0()~γ5..(87) 

となります。
 

(76)(79)のアノマリーのない場合の論議を

上の(87)に適用すれば,この輻射補正が有限であること

が示されます。
 

これで何が生じるのか?というと,全νe散乱振幅に

おいて,-三角グラフとμ-三角グラフが,互いに逆符号

として寄与するため,アノマリーは正規化されて消える

という主張です。

 
実験的に,νeの弾性散乱を調べることによって,(86)

と式(87)区別して,どちらが現実に近いか?を見ることは

可能です。

しかし,現在の実験の限界上では,なお,結果は(86)と矛盾

しないものですが,非常に限定的になりつつあります。
 

(11-1):現在では,ニュートリノ以外の荷電レプトンは

μ粒子,(電子)の他に,τ粒子が存在することがわかって

います。

 
これらの粒子の電荷は,素電荷eを単位として全て(-1)です。
 

一方,軸性カレントの三角アノマリーは,ループをつくる粒子

の電荷に比例しており,その相殺はレプトンの寄与だけでは

不可能と考えられています。

 
そこで,ハドロンを構成する3世代のクォークを考慮に入れます。

それは,(,)(アップ,ダウン)(,)(チャーム,ストレンジ),

(,)(トップ,ボトム)です。

これらは,それぞれ,(2/3,1/3)の電荷持って います。

 
そして,現実にはカラー自由度の3があるので,電荷の総和

は(3)です。
 

これらに,レプトンの3世代:(,ν),(μ,νμ) (τ,ντ)

が対応していて,電荷はそれぞれ,(1,0)で総和は(-3)です。
 

また,それぞれの粒子には電荷が反対符号の反粒子も存在します。
 

いずれにしろ.全ての三角グラフのアノマリーの寄与は,

トータルでは,相殺され消えます。

この相殺は,クォークにカラー自由度が無かったり,レプトン

に3世代が無いなら,成立しません。

そして,例えばνe散乱でアノマリーが寄与しない理由は,

その散乱振幅に,摂動の中間状態としてeやνだけでなく,

あらゆる可能な素粒子の三角ループが介在するFeymanグラフ

の寄与が総和されてゼロになることである,と考えられます。
 

こうしたことを最初に指摘したのは,確かt'Hooftであった 

と記憶しています。

 
こんなことは,ネットででも,チョッと調べればわかること 

でしょうが,最近,歳のせいか,認知症や老人性のウツ病のケ

あるのか?ブログ原稿書きのときには,自分の参照中の

ノート以外の記憶にあることを調べるのも億劫で面倒くさい。

という心境です。もう先は長くないかも??   

 (11-1終わり※)

 
まだ,いつもより短かいですが,次の項目: 

§3.3 Connection between γ5 -Invaliance and a Conserved 

Axial-vectot current in massless Electrodynamics 

(γ5 不変性と質量ゼロの電磁力学における軸性ベクトル 

カレントの保存の間の関係)
 

,これまでとは,一見,全く別とも思われる論題を考察する 

ので今日はここで終わります。

 次回は§3.3に入る予定です。
 

(参考文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory


 
(1970 Brandeis University SummerInstitute in

Theoretical Physics) Volume

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2017年7月 2日 (日)

摂動論のアノマリー(10)

摂動論のアノマリーの続きです。第3章に入ります。
 

3.Consequence of the Triangle Anomaly 

(三角グラフアノマリーからの帰結)
 

これまでの節で見出された,軸性ベクトルの4次元発散 

におけるアノマリーからのいくつかの帰結を調べます。
 

このアノマリーの存在が軸性ベクトル頂点のくり込みと,

γ5-対称性 を取り扱うべき標準的結果において,変化を

生ぜしめることを見るつもりです。
 

そしてまた,(68):μ5μ()2i05() 

{α0/(4π)}ξσ()τρ()εξστρ 

から,その一般化が,π0崩壊の興味深い物理的暗示

を与える,真空から2光子への行列要素である,素朴な

発散の2i05に対する1つの「低エネルギー定理」

が導かれることを見出すつもりです。
 

§3.1.Renormalization of Axial-Vector Vertex 

(軸性ゲクトル頂点のくり込み)
 

まず,くり込みの下での軸性ベクトル頂点の挙動の解析から 

始めます。
 

思い起こすと, 

(30):Γμ5(,p')=Z-1Γ~μ5(,p'),および, 

Γ5(,p')=Z-1Γ~5(,p')  

によって,軸性ベクトル頂点と擬スカラー頂点の両方は

,掛け算的にくり込み可能で、それぞれのくり込み定数:

とZを有します。

 
ここで,これらのくり込み定数が電子波動関数のくり込み

定数:2と同じか,あるいは簡単に関連付けられるか否か?

を検討します。
 

まず,第一に,(44):(p-p')μΓ5μ(,p')

20Γ5(,p')+SF'-1(p) γ5+γ5F'-1(p')

 の素朴なWard恒等式から導かれる解答を見出し,


  
それから,(70):
(p-p')μΓ5μ(,p')

20Γ5(,p')+SF'-1(p)γ5+γ5F' -1(p')

i{α0/(4π)}~(.p') 

におけろように,アノマリーを考慮すると,その解答が,

どのように変化するか?を見ることにします。
 

無限大のくり込み定数:0,2,,について,厳密な

方法で論じるために,Feyman規則に切断:Λを導入する

標準的な手法に従うことにします。
 

そこで,くり込み定数は,最後にΛ→∞へと発散させる

Λの有限関数となります。
 

これをなすべき切断を導入する多くの異なる手法があります。
 

1つの特殊な方法は次節で詳細に叙述します。
 

外線運動量が切断に比して小さいままであるような, 

低エネルギー定理のタイプの問題のみを扱う限り,

どのように切断が導入されるか?という手法の詳細

には無関係に論じることができます。
 

特に,外線運動量がゼロに近づき,他方,切断Λが∞

なるという計算では,極限の順序の不明確さは,

全く関係ありません。
 

一方,外線運動量が∞に近づくようなBjorken極限

の計算においては.外線運動量は切断より.はるかに

小さいままか,切断よりはるかに大きくなるか?

なります。
 

先に進むために,まず,上述の素朴な軸性ベクトル

Ward恒等式(44):において,p'=pと置くことから

始めます。このとき,左辺の軸性ベクトル頂点項は

消えます。
 

すなわち,020Γ5(,)+SF'-1(p)γ5

+γ5F'-1(p)ですが,この両辺に電子波動関数の

くり込み定数:Z2を掛けます。
 

202Γ5(,)

=-{2F'-1(p)γ5+Zγ'-()} 

=-{F'~-1(p)γ5+γ5S''~-()} ..(76)
 

(※ 何故なら,F'(p)=Z2F'~(p)なので  

,F'~-1(p)=Z2 F' -1(p)です。)
 

(76)の右辺の,{F'~ -1(p)γ5+γ5F'~ -()}

,くり込まれた伝播関数SF'~(p)の定義から,大きい

Λの極限で,切断Λに無関係に有限であるとされる量

なので,左辺の202Γ5(,)もまた,有限です。
 

一方,1章で見たように,一般のp,p'に対する

Γ5(,p'),くり込み定数Zを掛けることにより,

Γ5(,p')が有限になります。
 

故に,2,有限因子を除いて同一と

結論できます。202/=有限値  ..(77)
 

次に,くり込まれた電子伝播関数,(光子伝播関数,

ベクトル頂点)の表現式(16)::

F'(p)=Z2 F'~(p),

Fμν()=Z3F'~μν(), '

Γμ(,p')=Z1 Γμ~(,p'),

0=Z1/231/2  および,


軸性ベクトル頂点,
擬スカラー頂点の表現式(30): 

Γμ5(,p')=Z-1Γ~μ5(,p'), 

Γ5(,p')=Z-1Γ~5(,p')

素朴な軸性ベクトルWard恒等式: 

(p-p')μΓ5μ(,p')20Γ5(,p') 

+SF'-1(p) γ5+γ5F'-1(p')に代入して,

両辺にを掛けます。
 

すると, 

(p-p')μΓ~5μ(,p') 

(/2){(202/)Γ~5(,p') 

+SF'~-1(p)γ5+γ5F'~-1(p')}..(78) 

を得ます。
 

これを切断Λで偏微分してみます。
 

くり込まれた量を,チルダ()の付いた関数で表現

しているので,,れらは大きいΛの極限で,切断Λに

独立に有限であり,これらをΛで微分するとゼロです。
 

それ故,0 (/∂Λ)[(/2){(202/)Γ~5(,p') 

+SF'~-1(p)γ5+γ5F'~-1(p')}]..(79) 

を得ます。
 

(77):202/=有限値 を用いると, 

(/∂Λ) {(202/)Γ~5(,p')

+SF'~-1(p)γ5+γ5F'~-1(p')}0

ですから,

  
結局,(/∂Λ)(/2)0 ...(80)

つまり, 2/=有限値 です。
 

軸性頂点のくり込み因子Z,および,,および,有限な

因子除いて,それぞれ,2,および,202に等しいこと

になります。
 

ここで,厳密には正しくない,素朴なWard-恒等式(44) 

(p-p')μΓ5μ(,p')20Γ5(,p') 

+SF'-1(p) γ5+γ5F'-1(p')

補正された正しいWard-恒等式:(70):

(p-p')μΓ5μ(,p')20Γ5(,p') 

+SF'-1(p)γ5+γ5F' -1(p')

i{α0/(4π)}~(.p')に置き換えると,ここまで

のくり込み定数についての結論も 部分的に修正される

べきです。
 

最後の頂点のアノマリー項:ξστρεξσρτに対する 

Feynman規則を蒸し返すと,運動量遷移がゼロ,

つまり,k1=-k2のとき,交換反対称の運動量遷移項:

1ξk2τεξσρτεは消えます。

そこでp'=p のときは付加項:~(.p')が消えます。
 

その結果,p'=pのときの素朴なWard恒等式による式

(76) :202Γ5(,)

=-{2F'-1(p)γ5+Zγ5'-()} 

=-{F'~-1(p)γ5+γ5F'~-()} 

および,(76)からの帰結である(77)

:202/=有限値

,なお正しい式です。
 

よって,アノマリーが存在するときでも,

202Γ5(,)は有限です。
 

一方,前のΛで微分した式(79): 

 0 (/∂Λ)[(/2){(202/)Γ~5(,p') 

+SF'~-1(p)γ5+γ5F'~-1(p')}] 

,(79)と番号を付け直し,
 

これの修正を, 

0 (/∂Λ)[(/2){(202/)Γ~5(,p') 

+SF'~-1(p) γ5+γ5F'~-1(p')}] 

(/∂Λ)[{iα0/(4π)}~(.p')].(79) 

とすることができます。
 

~に比例する余分な項の存在は,(80):

(∂/∂Λ)(/2)0 による前の結論の,(/2)

とZ2Γ5μ(,p')が有限であるということ,を引き出す

ための妨げとなります。
 

我々はZ2を掛けた後でさえ,なお,軸性ベクトル頂点:

Γ5μ(,p')には発散する項が残ることを予想します。
 

そうした項は,摂動論のα02のオーダーで,上図の

三角グラフの結果として,最初に現われます。
 

これは,(64)を用いて,容易に対数発散することが

わかります。
 

(10-1):「摂動論のアノマリー(7)」においては, 

,,Wは任意としてk1=ξU,2=ξU+ξV+Wと 

置いて,ξ→∞とするときのRσρμの挙動に対する必要条件 

を述べました。
 

そして,特に,将来の参照のため,V=0 のときに 

(k1+k2=有限=p'-pの下で, 

ξ→∞ のときの,σρμを評価すると, 

σρμ(1=ξU,2=-ξU+(p-p') 

→ -8π2ξUτετσρμ+O(lnξ)..(64)  

となることに着目しておきます。
 

と書きました。
 

実際,三角グラフを含むe0の4次の頂点の寄与は, 

∫d41(2π)-4(i0γσ)(i)(12iε)-1(i02)

(2π)-4 σρμ(1,2)(i)(22iε)-1(i0γρ)

(2-m0iε)-1
 

(2π)-8(8π204)ετσρμγσγρ 

∫d41[(12iε)-11τ{(-k1+p-p)2iε}-1 

(2+m0iε)/{(p-k2)2-m02iε}] 

となり
 

光子伝播関数において,紫外切断:Λを

(2iε)-1(2iε)-1(2-Λ2iε)-1 

によって導入すると,

 
上記のk=k1についての積分では,

1→∞のとき,(分母)~ k16,(分子) ~k12であり,

これに∫d41が掛かる際,発散次数:Dは,トータル

,D=0 となるので,積分結果はO[ln(Λ2/02)]

対数発散と結論されます。  

(10-1終わり※)

 

発見的味方では,この発散はZ2を掛けることによっては

除去されないと見えます。何故なら,2はベクトルカレント

のみ保存する理論から得られるもぼであり,軸性ベクトルの

三角アノマリーの存在については,その理論では"未知"である

からです。
 

光子の伝播関数:(iμν)/(2iε), 

(iμν){1/(2iε)1/(2-Λ2iε)}

置き換えることによって,切断を導入すると,

次式を見出します。
 

2Γ5μ(,p')=γμγ5{1(3/4)(α0/π)2ln(Λ2/02)} 

+α0×(有限値)+α02×(有限値)+O(α03)..(81)

です。
 

(10-2):上の(81)を証明します。
:
 

アノマリーが無い場合,α0の1次,2次(=e0の2次,4次) 

の輻射補正は,下図の通りであり,


 
これの計算結果は,
Γ5μ(,p')=γμγ5+α0×(有限値)

+α02×(有限値)+O(α03)(2-11)γμγ5 つまり, 

2Γ5μ(,p')=γμγ5+α0×(有限値)+α02×(有限値)

+O(α03)で与えられます。
 

これに,先のα0次の(有限項)+無限大(切断Λの関数)

三角グラフの寄与が加わります。
 

この寄与は,{-α02/(2π4)}ετσρμγσγρ 

∫d41[(12iε)-11τ{(1-p+p)2iε}-1 

(2+m0)/{(p-k2)2-m02iε}] 

で与えられます。,
 

そして,積分項=2!∫dxdydz∫d41  

δ(1-x-y-z)1τ(2+m0)  

/[(12-λ2)x+{(1-p'+p)2-λ2} 

{(p-k2)2-m02}z+iε]3 

とFeynman積分で表現されます。
 

 これをまず,zで積分すると,z=1-x-yであり, 

分母の[ ]の中は. 

1221{py-p'(1-x)}+p'2(1-x) 

(22pp')-m02(1-x-y)-λ2(x+y) 

となります。
 

これは,積分変数をl=k1{py-p’(1-x)}に

変数置換すると, 

2+p2(1-x)+p2(1-y)2ppxy 

-m02(1-x-y)-λ2(x+y) となります。
 

一方,分子の因子は,k1τ=lτ{τy-p'τ(1-x)} 

2+m0=-y+'x+m0となります。
 

結局,積分項=2!∫dxdy∫d4

[τ{τy-p'τ(1-x)}(y+p'x+m0)

/[2+・・-m02(1-x-y)-λ2(x+y)]3ですが,

発散(D=0の対数発散)に寄与するのは,分子の項のうち,

τl-=-τζγζのに比例する項のみです。
 

既に光子伝播関数に赤外切断:λを導入した,

1/[2+・・-m02(1-x-y)-λ2(x+y)]3  

の因子を,さらに紫外切断:Λをも導入した, 

1/[2+・・-m02(1-x-y)-λ2(x+y)]3  

1/[2+・・-m02(1-x-y)-Λ2(x+y)]32-・・・]3 

に置き換えると.

 
Λ→∞のときに対数発散する,

 {-α02/(2π4)}ετσρμγσγρ 

∫d41[(12iε)-11τ{(1-p+p)2iε}-1 

(2+m0)/{(p-k2)2-m02iε}]の部分は,
 

{iα02/(4π2)}ετσρμγσγργτ01dxdy 

l(ln[2+・・-m02(1-x-y)-λ2(x+y)] 

ln[2+・・-m02(1-x-y)-Λ2(x+y)]) 

{iα02/(4π2)}ετσρμγτγσγρ(1/2)ln(02/Λ2)
 

=-{3α02/(4π2)}γμγ5ln(Λ2/02) 

となるこという結論が得られます。
 

したがって,Γ5μ(,p')=γμγ5+α0×(有限値)

+α02×(有限値)+O(α03)(2-11)γμγ5

{3α02/(4π2)}γμγ5ln(Λ2/02) です。
 

故に,2Γ5μ(,’)(γμ+Λ~μ)γ5

{3α02/(4π2)}γμγ5ln(Λ2/02) 

=γμγ5[1{3α02/(4π2)}ln(Λ2/02)]

+α0×(有限値)+α02×(有限値)+O(α03)

が得られました。 

(10-2終わり※)

 

(上日証明した式'81)と同じことですが, 

=Z2[1(3/4)(α0/π)2ln(Λ2/02)+O(α03)]..(82) 

です。

 (※つまり,[2/{1(3/4)(α0/π)2ln(Λ2/02)

+O(α03)}]Γ×5μ(,p')=ZΓ5μ(,p')

 予想
通り,アノマリーがあると,

Λ→∞で.(/Z2)→∞という計算結果でした。
 

今日はここで終わります。

次は§3.2のレプトンの散乱の評価に入ります。

 (参考文献):Lectures on Elementary Particles 

and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute

in Theoretical Physics) Volume

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2017年6月26日 (月)

摂動論のアノマリー(9)

 摂動論のアノマリーの続きです。
 

§2.4 Coordinate Space Calculation(座標空間の計算) 

これまでは,専ら,運動量空間での扱いでした。
 

しかし,前回で述べた(68):μ5μ()2i05() 

{α0/(4π)}ξσ()τρ()εξστρ 

によって,座標空間でもWard恒等式のアノマリーが

単純な形で表わされ得る,ことが示されました。
 

この事実は,座標空間でもアノマリーの導出と,その解釈

が可能であるべきことを,示唆しています。
 

座標空間での論議を進めるに当たって,光子については

量子化されていないc-数の電磁場:Aに話を限り,

性ベクトルカレント:5μspinor:ψ~とψが離れた

時空点にある場の積とする近距離の"非局所カレント"

(bilocal current)の,局所極限とみなす,ことにします。
 

つまり,5μ()limε→05μ(x,ε).. (71)

ただし,5μ(,ε)=ψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2) 

×exp{i0-ε/2x++/2dξA(ξ)}   ..(71)
 

ここで,(71)の∫-ε/2x++/2dξA(ξ).線積分: 

-ε/2x++/2dξλλ(ξ)を意味します。
 

exp{i0-ε/2x++/2dξA(ξ)},ゲージ変換: 

ψ() exp{i0Λ()}ψ(),かつ, 

μ()→Aμ()+∂μΛ() (72)

の下での5μの不変性を保証するために必要な因子です。
 

この指数関数因子を,微小な正の数εの1次のオーダー 

まで展開し,さらに,運動方程式を用いてj5μ4次元発散 

を計算します。
 

まず,5μ(x,ε)=ψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2) 

×{1i0ελλ()}(εの2次以上の微小項)となり,
 

μ5μ(,ε)=ψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2) 

[i0ελμλ()

i0{μ(x+ε/2)-μx-ε/2)} 

2i05(,ε)(εの2次以上の微小項)
 

すなわち,μ5μ(x,ε)

=j5μ(,ε)i0ελμλ() 

2i05(,ε)(εの2次以上の微小項).(73) 

を得ます。
 

(9-1):この結果は,電磁場Aμ()が線積分において,

経路依存であるから得られるのであって,しかも積分路が

直線分であることが本質的です。
 

以下に厳密に書き下します。
 

μ5μ(x,ε){μψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2) 

+ψ~(x+ε/2)γμγ5μψ(x-ε/2)} 

×exp{i0-ε/2x++/2dξA(ξ)} 

+ψ~(x+ε/2)γ5γμψ(x-ε/2) 

μexp{i0-ε/2x++/2dξA(ξ)} です。
 

Dirac方程式:(iγμμ-e0γμμ-m0)ψ()0 より,
  
γμμψ()=-i0ψ()i0γμμ()ψ() 

μψ~()γμi0ψ~()i0ψ~()γμμ() 


  故に, μψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2)
 

i0ψ~(x+ε/2)γ5ψ(x-ε/2) 

i0ψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2)μ(x+ε/2), 

かつ,ψ~(x+ε/2)γμγ5μψ(x-ε/2) 

i0ψ~(x+ε/2)γ5ψ(x-ε/2) 

i0ψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2)μ(x-ε/2) 

です。
 

そこでj5(,ε)=ψ~(x+ε/2)γ5ψ(x-ε/2) 

×exp{i0-ε/2x++/2dξA(ξ)} と置けば,


  
μ5μ(x,ε)2i05(x,ε) 

i0ψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2) 

{μ(x+ε/2)-Aμ(x-ε/2)

-∂μ-ε/2x++/2dξA(ξ)} です。
 

ここで,もしも∫-ε/2x++/2dξA(ξ)が積分経路に

独立な関数なら,最後の{ }因子はゼロとなることを

示します。

  
何故なら,μ-ε/2x++/2dξA(ξ) 

limh→0{x+gλμh-ελ/2-ε/2x+gλμh+ελ/2

-∫x-ε/2x++/2}dξA(ξ)]/ 

=Aμ(x+ε/2)-Aμ(x-ε/2) です。
 

そこで,もし∫-ε/2x++/2dξA(ξ)が積分経路に

独立な関数なら.正確に,

μ5μ(x,ε)2i05(x,ε) が成立します。
 

これは,ベクトル解析のStokesの定理によれば,

μの4次元rotation(回転::

rotν(μ)=∂νμ-∂μν全てゼロの渦なし

ポテンシャル場(保存力場),スカラー場:φが存在

してAμ=-∂μφと表現できる場合です。
 

しかし,よく知られているように静電場でなければ, 

ゼロでない,rotν(μ)=Fμνが存在して,それが

電場,磁場を表わしています。

そこで,経路依存線積分の積分路を直線分:

α{α(τ){α(τ)=lα(0)+εατ,

α(0)=xα-εα/2,(0≦τ≦1)}と選択すると,

x-ε/2 x+ε/2dξA(ξ)=εν01dτAν((τ))
 

また,積分路を直線分:

α{α(τ)|α(τ)=Lα(0)+εατ,

α(0)=xα-δαμΔx+-εα/2,(0≦τ≦1)} 

 と選択すると.

x+Δx-ε/2x+Δx+ε/2dξA(ξ)

=εν01dτAν((τ)) です。
 

μ-ε/2x++/2dξA(ξ) 

limΔx→0(εν/Δx)

[01dτAν((τ))-∫01dτAν((τ))] 

limΔx→0(εν[01dτ[{ν((τ))-Aν((τ))

/{(τ)-l(τ)}] 

=ενμν+εν(ε),
 

一方,μ(x+ε/2)-Aμ(x-ε/2)

=εννμ+O(ε),

  故に,
 μ(x+ε/2)-Aμ(x-ε/2)

-∂μ-ε/2x++/2dξA(ξ) 

=εν{νμ()-∂μν()}+εν(ε)
 

以上から,(73): 

μ5μ(x,ε)=j5μ(x,ε)i0ελμλ()

2i05(x,ε)+O(ε2) 

を得ました。  (9-1終わり※)
 

(73)の真空期待値をとると,単一の閉ループを通して,

軸性ベクトルカレントが,-数の任意個の光子外場

coupleする相互作用を記述する生成汎関数の発散

方程式を得ます。
 

すなわち,μ0|5μ(x,ε)|0 

i00|5μ(x,ε)ελ|0>Fμλ()

2i00|5(x,ε)|0+O(ε2).. .(74) 

です。
 

この右辺の第1項は,形式的にはεのオーダーであり,

前の「摂動論のアノマリー4」において,

μ5μ()=ψ~(){i0i0γμμ()}γ5ψ() 

+ψ~()γ5{i0i0γμμ()}ψ()

2i05()...(41), 

5()≡ψ~()γ5ψ()  ..(42) 


 として.
素朴にWard恒等式を導出したときには無視される

べきものでした。
 

しかし,摂動グラフとしての注意深い計算によれば,

0|5μ(x,ε)|0,ε → +0 のとき,ε-1のオーダー

で発散し,それ故,実際には右辺の第1項の

0|5μ(x,ε)ελ|0>因子は,有限な寄与をします。
 

詳細計算を実行すると, 

i00|5μ(x,ε)ελ|0>Fμλ() 

{α0/(4π)}εμλξημλ() ξτ()+O(ε)..(75 

となって,(68)の真空期待値に一致します。
 

こうしてアノマリーは運動方程式からのアプロ-チに

よっても得られることがわかります。
 

これは軸性ベクトルカレントに現われる特異な演算子積

を注意深く扱えばいえることです。
 

(9-2):5μ(,ε),外場との相互作用があるので

真空期待値はゼロではなく,0|5μ(,ε)ελ|0 

=<0|ψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2)ελ|0 

×exp{-∫x-ε/2 x+ε/2dξA(ξ)} ですが,

これのεの2次以上のオーダーを無視します。
 

0|ψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2)|0 

(γμγ5)αβ0|ψ~α(x+ε/2)ψβ(x-ε/2)|0 

=-(γμγ5)αβ0|[ψβ(x-ε/2)ψ~α(x+ε/2)|0 

=-Tr{γμγ5iF'(-ε)}
 

Fermion伝播関数:F'(x-y)を外場:μ()で展開

すると,自由Fermion伝播関数:F(x-y)がベキで出現

します。

  
まず,φ(),Klein-Gordon方程式(□+m02)φ()0

を満たす自由複素スカラー場とすると,

その自由Feynman伝播関数ΔF()は,
 

iΔF()=<0|T{φ()φ(0)}|0

=<0|θ(0)φ()φ(0)+θ(-x0)φ(0)φ()|0 

=θ(0)∫d3(2π)-3(2ωk)-1exp(ikx) 

+θ(-x0)∫d3(2π)-3(2ωk)-1exp(ikx)

(ただし,ωk(2+m02)1/2) で与えられます。
 

そして,F(),ΔF()から

F()(iγμμ+m0)ΔF()と表わすこともできます。 

(Green関数としては,(□+m02)ΔF()=-δ4()

ですから,(iγμμ-m0)F()=δ4()です。)
 

iΔ()()=∫d3(2π)-3(2ωk)-1exp(ikx) 

と置くと,

iΔ()()(2π)-20dk[{2(2ωk)-1exp(iωk0)} 

×∫-11(cosθ)exp(ikrcosθ) 

(2πi)-1(4πr)-10dk[exp(iωk0) 

×{exp(ikr)exp(ikr)}/ωk]
 

(2πi)-1(4πr)-1-dk[exp{i(ωk0+kr)}/ωk] 

=-(4πr)-1

(/∂r)[(2π)-1-dk[exp{i(ωk0+kr)}/ωk] 

と書けます。
 

同様に,iΔ()()=∫d3(2π)-3(2ωk)-1exp(ikx) 

と置くと,

iΔ()()=-(4πr)-1(/∂r) 

[(2π)-1-dk[exp{i(ωk0+kr)}/ωk] 

です。
 

ところで,()f(0,) 

(2π)-1-dk[exp{i(ωk0+kr)}/ωk] とすると,
 

右辺=(2π)-1

-dk[exp{i(ωk0+kr)}/(2+m02)1/2] 

であり,

  
k=m0sinhφと置けば,dk=m0coshφdφ

,(2+m02)1/2=m0coshφであり,:-∞ → ∞

,φ:-∞ → ∞に対応するため,
 

()(2π)-1

-dφ exp{i0(0coshφ+rsinhφ) 

となります。
 

ここで,さらに,λ=x2(0)2-r2 と置きます。
 

() 00 かつ,0>rのとき, 

λ>0 なので,0=λ1/2coshφ0,r=λ1/2sinhφ0と置くこと 

ができて,

()(2π)-1-dφexp{i0λ1/2cos(φ+φ0)} 

=π-10dφ exp(i0λ1/2coshφ) です。
 

故に. ()(i/2)0[0λ1/2]

(i/2){0[0λ1/2]i0[0λ1/2]} です。 

(※ J00Bessel関数,00次HNeumann関数, 

00Hankel関数です。)
 

() 00 かつ,0<rのとき, 

λ<0 なので,0(-λ)1/2sinhφ0,r=(-λ)1/2coshφ0

と置くことができて,

()(2π)-1-dφexp{i0(-λ)1/2sin(φ+φ0)} 

故に. ()(1/π)0[(0(-λ)1/2] 

(i/2)0[(0(-λ)1/2] 

(i/2){0([0(-λ)1/2]i0[(0(-λ)1/2]} です。 

(※ K0は,0次の第2種変形Bessel関数です。)
 

() 00 かつ,|0|>rのとき, 

()(i/2)0[0λ1/2]

(i/2){0[0λ1/2]i0[0λ1/2]}
 

() 00 かつ,|0|<rのとき, 

()(1/π)0[(0(-λ)1/2]  です。

  
結局, λ=(0)2-r20 なら 

()(1/2)0[0λ1/2](i/2)ε(0)0[0λ1/2] 

λ<0 なら,()(1/π)0[(0(-λ)1/2] 

です。

   
したがってiΔ()()=-(4πr)-1(∂f/∂r)

(2π)-1(∂f/∂λ) 

{i/(4π)}ε(0)δ(λ)+θ(λ){0/(8πλ1/2)} 

{1[0λ1/2]iε(0)1[0λ1/2]} 

+θ(-λ){0/(4π2(-λ)1/2)}{1[0λ1/2]}
 

同様に,iΔ()()

{i/(4π)}ε(0)δ(λ)+θ(λ){0/(8πλ1/2)} 

{1[0λ1/2]iε(0)1[0λ1/2]} 

+θ(-λ){0/(4π2(-λ)1/2)}{1[0λ1/2]}
 

故に,iΔF()=<0|{φ()φ(0)|0 

=θ(0)iΔ()()+θ(-x0)iΔ()()なので,
 

iΔF()=={i/(4π)}δ(λ) +θ(λ){0/(8πλ1/2)} 

{1[0λ1/2]iε(0)1[0λ1/2]} 

+θ(-λ){0/(4π2(-λ)1/2)}{1[0λ1/2]} 

を得ます。
 

数学公式によれば,1[]=z/21/2)(/2)3+O(5) 

1[]=-1/(4πz){/π-(1/π)(/2)3}ln(/2) 

(/π){z-(/2)3}+O(5 ln)+O(5) 

1[]{z+(1/2)(/2)3}ln(/2)(/2){z-(/2)3} 

1/(4)+O(5)です。

  これから,
 

iΔF()=={i/(4π)}δ(λ)1/(4π2λ)

{i02/(16π)}θ(λ){02/(8π2)

{02/(8π2)}ln(0|λ|1/2/2)+O(|λ|1/2ln|λ|)
 

よって,SF()(iγμμ+m0)ΔF() 

2iγμμ[{1/(4π)}δ’(λ)1/(4π2iλ2)

{02/(16π)}δ(λ){i02/(16π2λ)}

+O(|λ|-1/2ln|λ|)]

+m0{1/(4π)}δ(λ)1/(4π2iλ){02/(16π)}θ(λ) 

{02/(8π2){i02/(8π2)}ln(0|λ|1/2/2)

+O(|λ|1/2ln|λ|) です。

以上から, F()はxμ 0 のとき, 

μ(1/λ2) 1/x3のように挙動することが,

わかりました。
 

普通に光子の外場Aμ()とだけ相互作用する

iF'()を,μ()iF()で摂動展開すると,
 

 iF'(x-ε/2,x+ε/2)iF'(-ε) 

iF(―ε) 

(i0)∫d4[iF(x―ε/2―y)γαiF(y-x―ε/2)

α()](i0)2∫d4yd4[iF(x―ε/2―y)γα

iF(y-z)γβF(z―ε/2)α()β()]

+O(lnε)
 

上述のように,F(x―ε/2,x+ε/2)=SF(―ε)

がεμ{(-ε)2}2の陽に挙動することから,kを積分の

個数,fをFermion伝播関数の個数とするとき,次数勘定定理

に寄与する発散時数Dは,D=4k-3fとなります。

これは,D>0ならεμ 0 のとき収束し,D=0 ならlnε

のように発散し,D=-1,-2,3.なら,それぞれ,ε-1-2,

ε-3..と挙動するのを意味するのは明らかです。
 

ただし,0|ψ~(x+ε/2)γμγ5ψ(x-ε/2)|0 

=-Tr{γμγ5iF'(-ε)} ですが,

左辺=<0|5μ(,ε)|0 

(1/2)0|[ψ~(x+ε/2),γμγ5ψ(x-ε/2)]|0>で

この右辺の真空:|0>で挟んだ場の交換子は,最低次

では,正規積(normal-producy)を取る定義となっていて

その寄与はゼロになり,


  
それ故,摂動
展開の第1項のSF(-ε),すなわち,ε→0

でのtadpoleは,<0|5μ(,ε)|0>には寄与しません。
 

あるいは,実際に計算しても, 

F(-ε)=∫d4(2π)-4 exp(ipε)/(-m0)ですが 

r{γμγ5/(-m0)}0より,

-Tr{γμγ5iF(-ε)}0 なの,明らかに,

-Tr{γμγ5iF'(-ε)}には寄与しません。
 

また,(lnε)も,<0|5μ(,ε)ελ|0>因子では,

ε→0で,ελ(lnε) 0 なので消えます。
 

さらに,第3項

(i0)2∫d4yd4[iF(x―ε/2―y)γαiF(y-z) 

γβF(z―ε/2)α()β()]ですが,

0|5μ(x,ε)ελ|0>Fμλ()全体の荷電共役不変性から,

この項は寄与しないとわかります。
 

具体的にはj5μ(x,ε)は荷電共役変換C^に対して偶で,

一方,外電磁場:μ()は荷電共役に対して奇etc.ですが

ここでは,詳細を省略します。

  
残るのは,第2項=(i0)∫d4 

[iF(x―ε/2―y)()iF(y-x―ε/2)α()] 

i0 ∫d4pd4(2π)-8 [exp(ipε)exp(iqx) 

×{(/2-m0)-1()(/2-m0) -1}] 

です。
 

それ故,0|5μ(,ε)ελ|0 

=-Tr{ελγμγ5iF'(-ε)} 

(i0)r[ελγμγ5

∫d4pd4(2π)-8 exp(ipε)exp(iqx) 

(/2-m0)-1()(/2-m0) -1]

+O(εlnε)
 

=e0r[γμγ5∫d4pd4(2π)-8 exp(ipε)exp(iqx)  

(/∂pλ){(/2-m0)-1()(/2-m0) -1}] 

+O(εlnε) です。
 

したがって,limε→00|5μ(,ε)ελ|0 

=e0∫d4pd4(2π)- 3exp(ipε)exp(iqx) 

(/∂pλ)r[γμγ5(/2+m0)()(/2+m0) 

 {(p+q/2)2-m02}-1{(/2)2-m02}-1]
 

4i0 εαβγδαμ∫d4(2π)- 4exp(iqx)δγ() 

∫d4(2π)- 4(/∂pλ)

[β(p+q/2)2-m02}-1{(/2)2-m02}-1] 

が得られます。
 

ところで,∫d4{∂f()/∂pλ}, 

もしもpμ(0,1,2,3)を,p0i4として,

μ(1,2,3,4)と書いてEuclid化し,4次元

Gauss積分定理を適用すると,積分領域を半径Rの

4次元球の内部として,∫d4{∂f()/∂pλ}

=(i2π22){λ<f()}||=Rを得ます。
 

ただし,||=Rは,Minkowski空間では,p2=-R2

を意味し,<f()>は半径Rの球面上のf()

平均値を意味します。
 

故に,∫d4(2π)- 4 

(/∂pλ)[β{(p+q/2)2-m02}-1{(/2)2-m02}-1] 

limR→∞[(i2π22)λβ(-R2-m02)-2](2π)- 4 

iλβ/(32π2) を得ます。


  
(※ ここで,対称性からlimR→∞(μν/2)(1/4)μν

となることを用いました。 )

  
一方,∫d4(2π)- 4exp(iqx)δγ()iδγ()

です。

  
したがって,limε→00|5μ(,ε)ελ|0 

 =-i0εμλγδ{δγ()}/(8π2)

 =-i0 εμλξηξη/(16π2) と書けます。

  
以上から, limε→00|μ5μ(,ε)|0

 2i0 limε→00|5(,ε)|0

 +{02/(16π2)}εμλξημλξη

 2i0 limε→00|5(,ε)|0

 +{α0/(4π)}εμλξημλξηとなり,

  
先の(74):μ0|5μ(x,ε)|0

 i00|5μ(x,ε)ελ|0>Fμλ()

 2i00|5(x,ε)|0+O(ε2).
 
 

 および,(75):i00|5μ(x,ε)ελ|0>Fμλ()  

 ={α0/(4π)}εμλξημλ() ξτ()+O(ε) 

 が確かに証明されました。  (9-2終わり※)
 

今から,約40年前の19751976年当時のノートは,ここで

終わっています。

  
本当はこれからが本題で当時もノートをつくる時間

なくても.結論まで読んで,内容の理解はしていたはずです。
 

長くなったし,切りがいいので,今日はここで終わります。 

次からは,第3章で,1995年のノートに移ります。
 

(参考文献):Lectures on Elementary Particles

 and Quantum Field Theory
  
(1970 Brandeis University SummerInstitute

in Theoretical Physics) Volume


 PS:他人事ではなく,いつ突然命が終わって,このブログも

最後の更新になるかもしれません。

 できるだけ,心残りが無いようにということで,他人様に

見せようというより日記として.残せるだけの懐古的記録

を自己満足的につづる綴るのが惰性となっています。


 昨年の6月に入院したとき,6/16日に右足の膝から下を切断

する手術をする。というのを断って10日ごろ退院してから

入院せずに,1年が経ちました。


  医者は糖尿病で足を切断した人の平均余命は1年くらい

言っていたので,切断しなければ,どのくらい?と

聞いたら私の場合は同じくらいでしょ。

と言っていたけど。。

 もう1年経ったぞ。。まったくぅ。。。

 そういえば明日は外来で病院に行く日だった。

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2017年6月 8日 (木)

摂動論のアノマリー(7)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回は,軸性カレントのWardの恒等式(46); 

(p-p')μΛ5μ(,p') 

20Λ5(,p')-Σ()γ5-γ5Σ(p') 

,三角グラフにおいても成立するなら, 

(62):(1+k2)μσρμ20σρとなる 

べきなのに,
 

実際に,計算を実行すると, 

(63):(1+k2)μσρμ20σρ8π21ξ2τεξτσρ 

となり,三角グラフの場合には,軸性カレントのWardの恒等式 

は成立せず,破れ(アノマリー)が存在することがわかりました。
 

しかし,(63)式を示す訳注を追加するには長くなり過ぎるため, 

ここで終わり次回に回します。
 

と書いて終わりました。
 

そこで,今回は(63)を証明する訳注(7-1)から始めます。
 

(7-1):σρμ(1,2) 

16π2 [{(12)11(2)2(20-I10)}1τετσρμ 

{(12)11(1)2(02-I01)}2τετσρμ 

-I111ρ1ξ2τεξτσμ(20-I10)2ρ1ξ2τεξτσμ 

(02-I01)}1σ1ξ2τεξτρμ+I112σ1ξ2τεξτρμ]
 

故に,(1+k2)μσρμ(1,2) 

=-16π2 [{(12)11(2)2(20-I10)}1τ2μετσρμ 

{(12)11(1)2(02-I01)}1μ2τετσρμ 

{2(12)11(2)2(20-I10)(1)2(02-I01)} 

×k1ξ2τεξτσρ  です。
 

よって,(1+k2)μσρμ(1,2)16π2 

{2(12)11(2)2(20-I10)(1)2(02-I01)}

×1ξ2τεξτσρ  です。
 

ところが,

2(12)11(2)2(20-I10)(1)2(02-I01)} 

=∫01dx∫01-xdy

{(1-y)(1)2+x(1-x)(2)2

2xyk12)} /{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)2

2xy(12)-m02}]
 

=∫01dx∫01-xdy 

[1+m02/{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)2

2xy(12)-m02}]1/2+m0200(12) 

です。
 

したがって,(1+k2)μσρμ(1,2) 

8π21ξ2τεξτσρ16π20200(12)1ξ2τεξτσρ 

が得られました。  (7-1終わり※)
 

§2.2 Impossibility of Eliminating the Anomaly by subtraction 

(引き算によってアノマリーを除去することが不可能なこと)
 

今度は,引き算(切断など),別の方法でRσρμを再定義して 

(63)式のWard恒等式のアノマリーを削除したり、回避したり 

することが可能か否か?という問いが直ちに生じます。
 

(※このアノマリーの存在は,本質的なのか?,それとも 

見掛け上に過ぎないのか?という疑問が生じます。※)
 

もちろん,この方法を実行した際,新たなタイプのアノマラス 

なモノ(異常項)を持ちこんでは意味がないことは,明らかです。
 

σρμのあるべき性質を保持するためには,引き算項は, 

次の性質を持つ必要があります。,
 

()成分が3つの共変添字を持つ,軸性テンソルでなければ

ならない。
 

()光子変数:1σ,2ρの交換に対して対称でなければ

ならない。
 

()運動量変数:1,2の多項式でなければならない。
 

この要請は,一般化されたユニタリ性(質量殻の外でもS演算子 

はユニタリであること)から導かれます。

 それによると,
σρμの外線変数に関する不連続性は

「Cutkoskyの法則」によって,中間状態に対する

Feynman振幅と関係付けられます。

 (※ 中西襄 著(培風館)「n場の量子論」p236~237
 

 によると,

 
Cutkoskyの法則」とは,

特異点のまわりの不連続性は,運動量示のFeynman 

積分において,縮約図(reduced-graph)の内線に対応する 

Feynman伝播関数を,それぞれそのまま,分母のデルタ関数 

の(2πi)倍に置き変えた得られる積分によって与えられる。」
 

という規則です。

 これは,外線変数が
全て実数であるときは正しいことが,
 

homology論を用いて示されていますが.複素数の場合は 

運動量積分をどう解釈するか?がまだ不明確です。※)
 

結局,(54)feynman積分は不連続性を除くと,収束するので 

σρμの不連続性吸収部分虚数部分はアノマリーを持たない 

ことがわかります。
 

(7-2):(54)のRσρμを示すFeynman積分式で,これを

複素数:q2複素関数と考え,複素q2平面の実軸より上の

領域が物理的領域であるとした式を,

(i02)(2π)-4σρμ(2iε) 

2∫d4(2π)-4(1)r[{i/(1-m0)}(i0γσ) 

{i/(-m0)}(i0γρ){i/(2-m0)}(γμγ5)iε]

と書きます。

よって,σρμ(2iε) 2∫d4

(r{(1+m0)γσ(+m0)γρ(2+m0)γμγ5} 

/[{(r+k1)2-m02}(2-m02){(r-k2)2-m02}iε]) 

です。
 

この複素共役を取ると,

σρμ(2iε)=Rσρμ(2iε)2∫d4

(r{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)γμγ5} 

/[{(r+k1)2-m02}(2-m02){(r-k2)2-m02}iε]) 

です。

 (+iε)の付加は,外向き散乱状態(out-states)の境界条件 

を持つ伝播関数である遅延(Retarded)Green関数に対応し,
 

(-iε)は,内向き散乱状態(in-states)の境界条件を持つ 

伝播関数である先進(Advancsd)Green関数に対応します。

ところが, 前に見たように,,

r{(1+m0)γσ(+m0)}γρ(2+m0)(γμγ5)} 

は展開すると,4iεασρμを係数とするような純虚数なので 

r{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)(γμγ5)} 

=-Tr{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)(γμγ5)} 

です。
 

故に,σρμ(2iε)=Rσρμ(2iε) 

=-2∫d4

(r{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)(γμγ5)} 

/[{(r+k1)2-m02}(2-m02){(r-k2)2-m02}iε] 

です。
 

したがって, 

<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)out|5μ(0)|0  

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ε1ρε2σ

σρμ(2iε) と書くと,
 

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ε1ρε2σ

σρμ(2iε)

=-<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)in|5μ(0)|0  

となります。
 

これらを,辺々加えると,

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ερεσ 

×{σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)} 

=<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)out|5μ(0)|0 > 

-<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)in|5μ(0)|0 >
 

一方, σρμ(2iε)401dx∫01-xdy∫d4

[r(・・・)/{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}3]
 

σρμ(2iε)

=- 401dx∫01-xdy∫d4[r(・・・) 

/{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}3]
 

σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε) 

4σρμ(2iε)2im[σρμ(2iε)] 

401dx∫01-xdy∫d4lTr(・・・) 

×[{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}-3 

{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}^-3]
 

不連続性は,対数発散する項(多価関数性)によるため, 

そうした項の寄与を計算すると. 

∫d4[2/{2+f(x,,1,2)iε}3 

+l2/{2+f(x,,1,2)iε}3] 

=∫d4[1/{2+f(x,,1,2)iε}2 

1/{2+f(x,,1,2)iε}2](収束する項) 


となります。

 

そして, ∫d4[1/{2+f(x,,1,2)iε}2 

 1/{2+f(x,,1,2)iε}2] 

=-∫(x,,1,2)dc(/∂c) 

∫d4[{1/(2+c+iε)21/(2+c―iε)2}] 

2(x,,1,2)dc 

∫d4[{1/(2+c+iε)31/(2+c―iε)3}] 

=-2(x,,1,2)dc

[π2/{2i(c+iε)}-π2/{2i(c-iε)}] 

2επ2(x,,1,2)dc{(1/(2+ε2))(ε→ +0 )
 

これは明らかに収束します。つまり.σρμ(2iε)

複素q2平面の実軸上の不連続性は有限値に収束します。
 

有限値に収束する積分においては,これに,(1+k2)μ

を掛けて∫d4r積分を実行する際,rの原点を有限値だけ,

ずらしても,結果は不変なはずです。
 

したがって, (1+k2)μm[σρμ(2iε)] 

20m[ρσ(2iε)] が成立します。

 

すなわち,この有限な不連続性はアノマリーを持ちません。
 

このことから,適切な引き算項をSσρμ(2iε)と置くと, 

(1+k2)μ[σρμ(2iε)-Sσρμ(2iε)] 

20ρσ(2iε)  ですから,  

(1+k2)μm[σρμ(2iε)]0

が得られます。
 

また,Cutkoskiルールが信頼できるとすれば, 

次図のグラフの内線でreducedグラフを作ると考えて,

1/{(r+k1)2-m02}

2πiθ(-r0-k10)δ((r+k1)2-m02) 
 

1/{(r-k2)2-m02}

  2πiθ(0-k20)δ((r-k2)2-m02) 

です。
 

この置き換えで不連続性は, 

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ε1ρε2σ 

×[σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)] 

(i02)(2π)-4×2∫d4

[θ(0+k10)δ((r+k1)2-m02)θ(-r0+k20)

δ((r-k2)2-m02)(2πi)2{1/(2-m02)} 

×Tr{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2―m0)(γμγ5)}]
 

(i02)(2π)-4(-1)(2π)2×2∫d4142

θ(10)δ(12-m02)θ(20)δ(22-m02) 

δ4(1+p2+k1+k1){(1+k1)2-m02)}-1 

×Tr{(1+m0) γσ(11+m0)γρ(2-m0)(γμγ5)}]
 

(i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)(20)-2 

r{(1+m0)γσ(11+m0)-1γρ(2-m0)(γμγ5)}]
 

です。
 

 一方, σρμ,それ自身のみでユニタリ性を満たすとすれば, 

ε1σε2ρ(i02)(2π)-4

[σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)] 

=<γ(.1,ε1), γ(.2,ε2)out|5μ(0)|0 > 

-<γ(.1,ε1), γ(.2,ε2)in|5μ(0)|0 >
 

=Σ±s1,±s2∫d4142 

{<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)out|(1,1)(2,2)out> 

-<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)in|(1,1)(2,2)out>}

×<e(1,1)(2,2)out|5μ(0)|0 >
 

=-iΣ±s1,±s2∫d3132(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)

<e(1,1)(2,2)out|^|γ(.1,ε1),

γ(.2,ε2)out>

×<e(1,1)(2,2)out|5μ(0)|0 >
 

故に, 

(i02)(2π)-4[σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)] 

(i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)Σ±s1,±s2 

~(2,2)iγσ(i)(11-m0)γρ(1,1) 

~(1,1)γμγ5 (2,2) 

(i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)(20)-2 

×Tr{(2-m0) γσ(11-m0)-1γρ(1+m0)(γμγ5)}]
 

 (i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)(20)-2 

×Tr{(1+m0) γσ(11-m0)-1γρ(2―m0)(γμγ5)}]
 

です。
 

こうして2つの方法で求めたRσρμの不連続性が完全に 

一致しました。
 

そこで,σρμはSσρμを差し引くことなく一般化された

ユニタリ性を満たします。これと,

(1+k2)μm[σρμ(2iε)]0 から,

m[σρμ(2iε)]0

と考えてよいと思われます。
 

以上から, σρμは複素q2平面,および,複素k12平面,

複素k22平面での整関数(entire function:複素平面上の任意

の点で正則な関数)であることがわかります。
 

したがって,無限遠点での真性特異性を除外すれば,

σρμ多項式となる必要があります。
 

(※zの多項式は無限遠点z=∞にのみ特異点()を持つ

整関数:収束半径が∞の無限ベキ展開可能な関数exp(az)

sin()なども整関数ではありますが。。)  


(7-3終わり※)
 
 

条件():もし,,,Wは任意として 

1=ξU,2=ξU+ξV+Wと置いて,ξ→∞とするとき, 

引き算項:σρμは悪くても(lnξ)のベキ乗のξ倍で発散

しなければなりません。
 

この要求はWeinbergの定理から導かれます。
 

すなわち,Feynman-diagramの外線運動量が上述のような形で 

∞に近づくとき,最大ベキは,ξmaxでありDmax,そのdiagram 

とその全ての部分diagramsの表面的発散が最大の次数です。
 

そして,この三角グラフでは,max1です。
 

σρμ,既にWeinbergの定理と無矛盾な漸近的挙動を持って 

いるのでSσρμもまた,そうでなければなりません。
 

(7-4):σρμ(1,2) 

=A11τετσρμ+A22τετσρμ 

+A31ρ1ξ2τεξτσμ+A42ρ1ξ2τεξτσμ 

+A42ρ1ξ2τεξτσμ+A51σ1ξ2τεξτρμ 

+A62σ1ξ2τεξτρμであり,
 

1(1,2)=-A2(2,1),3(1,2)=-A6(2,1), 

4(1,2)=-A5(2,1), 

1(12)3(2)24,2(1)25(12)6
 

そこでk1=ξU,2=ξU+ξV+Wと置いて, 

ξ→∞とするとき, 

(σρμ)=O(ξ33) or (ξ34)であり. 

3=-16π211(1,2) 

=-16π201dx∫01-xdy 

[xy/{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)2

2xy(12)-m02}3 なので.

(3)=O(ξ-2lnξ)です。
 

したがって,(σρμ)=O(ξlnξ) (7-4終わり※)
 

将来参照するため,V=0で1+k2は有限, 

ξ→∞のときの, σρμを評価すると,
 

σρμ(1=ξU,2=-ξU+(p-p')) 

→ -8π2ξUτετσρμ+O(lnξ)..(64)

となることに着目しておきます。
 

(7-5): 何故なら, 

(1+k2)μσρμ20σρ8π21η2τεητσρ
 

W=k1+k2(p-p’), 

-Wμσρμ8π2(ξU)η(-ξU+W)τεητσρ 

16π202ξU)η(-ξU+W)τεητσρ00(1,2)
 

-Wμσρμ8π2ητξεητσρ+O(lnξ)
 

特に,μ=―gμλと置けば,  

σρλ=-8π2ηξεηλσρ+O(lnξ) 
 

すなわち,σρμ=-8π2ηξεημσρ+O(lnξ) 

を得ます。   (7-5終わり※)
 

()引き算項は,質量と同じ次元(単位)を持つ

必要があります。 

(※k1,2の次元が質量Mなので,[σρμ]=M3[11] 

=M3-2=M です。)
 

()引き算項はベクトルカレントの保存を満足する

必要があります。 

(※k1σρμ=k2ρρμ0 → k1σσρμ=k2ρσρμ0 )
 

しかし,実際に,これら6つの条件の全てを満足する引き算項

を見出すのは不可能であることがわかります。

これを見るのは容易です。
 

最初の5つの条件は,(1-k2)τετσρμに比例する項

によってのみ満足されます。

しかしながら,この項は条件()を満足しません。

つまり,R'σρμ=Rσρμ4π2(1-k2)τετσρμ

と置けば,軸性カレントのアノマリー(異常項)のない

次のWardの恒等式を満たすもの:R'σρμを定義できます。
 

(1+k2)μR'σρμ20σρ..(65) 

しかし,これは,ベクトルカレントの保存を破ります。
 

1σR'σρμ=-4π21σ2τετσρμ 

2ρR'σρμ=π22ρ1τετσρμ  ..(66) 

です。
 

σρμ=-4π2(1-k2)τと置けば,カレントの保存

は破るが,アノマリーのないWardの恒等式をなすことに

成功した全ての理由は,,一方の発散アノマリー:

1μσρμがもう1つのそれ,-k2μσρμに置き換

わることです。
 

同様に,射影演算子を次のように導入して, 

R"σρμ

(μν-qμν/2)νσρ(μ/2)20σρ 

(q=-(1+k2) 

(3)σρμ

(σξ-k1σ1ξ/12)(ρη-k2ρ2η/22)ξησρ 

(67) と定義すれば 
 

σρ=-8π201ξ2τ00 εττσρ より 

μR"σρμ20σρ,

(1+k2) (3)σρμ20σρ が満たされ, 

1σR"σρμ=k2ρR"σρμ0,  

1σ(3)σρμ=k2ρ(3)σρμ0,も成立する

のですが,(1/2),(1/12)) (1/22)の導入により,

疑似運動学的特異性が導かれ,()多項式性(整関数性)

が破れます。
 

結局,アノマリーは,(63):(1+k2)μσρμ 

20σρ8π21ξ2τεξτσρ,それだけから,

存在するのではなく,上述の6つの要請の全てを同時的

に満足する再定義での三角グラフの寄与を見出すこと

が不可能であるという事実から,確かに存在するわけ

です。
 

アノマリーのカメレオン的性質を正しく評価する

ことに失敗すると,いくつかの文献におけるように,

アノマリーは除去できる.という誤った主張に帰着

します。
 

アノマリーは簡単に引き算で除去できるものでなく,

本質的存在であるという結論を得ました。
 

切りがいいので,今日はここで終わります。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics) Volume

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2017年6月 4日 (日)

摂動論のアノマリー(6)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回は,アノマリーの可能性を持つ三角グラフと,

その2光子入れ換えグラフの和が,次のRosenberg

の表現: (i02)(2π)-4σρμ 

2∫d4(2π)-4(1)r[{i/(1-m0)}(i0γσ) 

{i/(-m0)}(i0γρ){i/(2-m0)}(γμγ5)].

(54) で与えられること。
 

そして,これは,見かけ上1次発散しますが,

カレント保存の要請から,光子の場の強さ(電場,磁場)

のテンソル:(2ξε2ρ-k2ρε2ξ),(1ηε2σ-k2σε1η)

を通してcoupleすることを考慮すると,

  
運動量