114 . 場理論・QED

2017年2月 4日 (土)

赤外発散の論文(1961)付録(A1の1)

赤外発散論文の付録'Appendixの詳細です。


 §付録A:行列要素からの赤外因子の抽出
 

(Extraction of the infrared factots from the matrix element)
 

付録のこの節では,任意の1つの光子(実光子または仮想光子)

と関わる赤外発散がどのように図式化されるか?を示すため,

任意過程での行列要素を調べます。
 

与えられた光子に対する赤外因子の抜出しには,他の光子と

比較して赤外発散が増加することには帰着しないことを証明

するため,非常に注意深く重複発散を調べることが必要です。
 

この目的のために,次のように特別な記号を導入するのが便利

であるとわかります。

  すなわち,ある光子運動量に対しては
赤外発散せず,残りの

光子運動量に対しては正常よりも悪くない(つまり対数発散

より悪くない)項を示す記号を導入します。
 

その記号を,K(i,j,..)で与えます。
 

ただし,陽に現われる引数:kたちは,これで積分しても赤外発散

を起こさないものである。。ことを意味します。
 

この記号は,次数(オーダー)を意味する記号に似ています。

これはある性質を表わすもので,個々の関数形を意味するもの

ではありません。
 

(1-1):オーダーを示すLandauの記号では,例えばα2と同じ

オーダーであることを(α2),またはo(α2)と表現します。


  同じように赤外レベル(k~0)
でkのオ-ダーであって

発散しないのをKk))表現するわけです。(注1-1終わり※)
 

こうした項は§2と§4で与えた種々のβi(j)(i≠0)と同等で

あるとみることもできます。

 
赤外発散因子を抜き出すのに用いる手法は,基本的に,実光子

放出の扱いに対して以前の論文(文献:14)に与えたのと同じ方法

です。

 
これをより直接的にゲージ不変性と関連付けることによって

簡略化し,また仮想光子の扱いにも拡張します。

 
§2と付録Bの論議を見れば,識別できる限りあらゆる光子

を処理し,種々のFeynmanグラフにあらゆる可能な方法で,

それらを挿入できます。

それ故,寄与の数え過ぎは,積分に結合因子を掛けることに

より自動的に補正されます。
 

そこで,ある過程に対してのFeynmanグラフをGとします。
 

考察すべき対象のグラフの集合はGにあらゆる方法で(,

または仮想の)光子を付加することで得られます。
 

少しの間,閉じた荷電粒子のループのない開いたグラフのみ

を考察します。
 

閉ループがあるケースへの一般化は,この付録の最後の部分

で論じる予定です。
 

さて,グラフの集合を,いくつかの部分集合に分割し2つの

異なったケースについて詳細に考察します。
 

ケース(),光子線の1端のみが,あらゆる可能な方法で

与えられた荷電粒子線上に接続していて,その光子の他端は

外部にあるか,異なる荷電粒子線に接続し固定されている

ようなグラフの部分集合から成るとします。
 

一方,ケース()は仮想光子の両端が同じ荷電粒子線に接続

しているグラフの部分集合から成るとします。
 

こうした2つのケースに対する結果を得た後に,それらから

如何にして完全な結果が構成されるか

,直ちに明らかになります。
 

§A-1:

ケース() 

明確さのため,荷電粒子線は電子線とし,光子は仮想光子である

とします。得られた結果は,後で他の場合に容易に変更できます。
 

元の電子線は図1に示されています。斜線領域は電子のあらゆる

可能な相互作用を表現しています。


 

'(図1)あらゆる可能なポテンシャル相互作用と実光子

のセット,および,(n^1)個のk層光子を含む基本グラフ

のセットの表現(= Gの代表元)


  すなわち。
ポテンシャル相互作用,光子が他の電子たちと交換

されているもの実光子の放出や吸収,そして仮想光子が同一の

電子線から放出され再吸収されているもの.等々です。
 

これに追加される光子線は,あらゆる可能な方法でその電子線

に接続します。

  
我々の当面の目的は,こうした寄与の総和が次の形となること

を示すことです。
 

すなわち,図1に表わされた寄与の赤外因子倍,にプラス,

付加光子に対しては全く赤外発散を持たず,それ故,元の光子

たちについても,正常より悪くはならないような残りの部分

です。
 

iを電子線のi番目の頂点での4元運動量遷移とします。 

(ここで頂点は電子線の矢印の向き(右から左=時間も向き)

に順序付けされているとします。)
 

付加光子が挿入される前のGに対応する行列要素は次の形

の因子を含むとします。

すなわち,u~p'Γ(,i)p ..(-1) です。 

(※訳注:この頂点でのp,p',iの関係はp’=p+qi です。)
 

ただし,p'=p+Σiiが,この電子線の4元運動量に対応して

います。
 

そして,この因子はグラフの他の行列要素に由来する因子を

掛けられp'が固定された条件下でqiたちにわたって積分

されます。
 

まず,p'が,ほとんどpに平行な単純なケースを考えます。

(p'~pのケース) ただし,この制限は後には除去されます。
 

中間状態(内線)の電子伝播関数の4元運動量が(伝播関数

の後のp'とqiに依るよりも,むしろ)pと伝播関数の前の

電子線内で遷移するqiに依って与えられる。という規約

を採用します。
 

付加光子は電子線から4元運動量:kを持ち去ると仮定

します。そうすれば,グラフGにおいてqiたちが僅かに

修正される必要があります。

  新しい値:q~iは古いqi
オーダーkだけ異なっており,

次の関係を満たします。

すなわち,p'=p+Σi ~i-k..(-2) です。
 

付加光子は,あらゆるやり方で挿入されますが,その間は

~iは固定されているとします。もしも,この付加光子が

実光子ならエネルギー保存のためにp'が修正される必要

があるのですが。。
 

さて,まず,あらゆる他の相互作用が生じる前に付加光子

を挿入することで得られる寄与(図3())を考えます。


 

(図3) 図1の基本グラフに1つの追加光子を挿入する

可能な方法の表現

(※注1-2):3は§2で元々は実光子が付加されるケース

に対して与えられたものでしたが,ここでは付加するのは

仮想光子です。 (注1-2終わり※)
 

行列要素に寄与する結果的な因子は,

~p'Γ(p-k,~i)(―m)-1γμp  

=u~p'Γ(p-k,~i)p(2μ-kμ)/(22kp) 

-u~p'Γ(p-k,~i)p(1/2)[,γμ]/(22kp)

..(-3)  (※訳注:=γνν,k=γννです。)
 

(1-31):pは外線運動量(質量mの実電子のそれ)なので 

2=m2より,

(―m)-1γμ(+m)γμ/{(p-k)2-m2} 

{(2μγμ)-γμ(―m)}/(22kp) です。
 

そこで,(-m)p0 より, 

 (―m)-1γμp 

{(2μ-kμ)(1/2)[,γμ]}p/(22kp)

を得ます。
 

何故なら,γμ+γμ2μ,,γμ-γμ[,γμ] 

ですから,これらを辺々加えて2で割ると

,γμ=kμ(1/2)[,γμ] となります。 (注1-3終わり※)
 

(-3)の右辺第1項の

~p’Γ(p-k,~i)p(2μ-kμ)/(22kp) 

におけるオーダー:(1/)の特異性は,他の因子と相まって

赤外発散へと導きます。
 

§2で論じたように,この項の形は後の赤外因子にわたる積分

において自然な(紫外発散の)高エネルギー切断を生み出す

ような方法で大きいkに拡張されました。
 

これはまた,分離される赤外因子がゲージ不変なことを保証

する構造を持っています。
 

(-3)の右辺第2項の 

 -u~p’Γ(p-k,~i)p(1/2)[,γμ]/(22kp)

,磁気モーメント相互作用の形をしていますが,これはk積分

において赤外発散に寄与することはなく,他の変数の中で初期

にあるよりも,さらなる赤外発散を起こさせることもありません。
 

したがって,これはK()のうちにあります。
 

一方,1項の方は行列:Γの中でkをゼロにすることで近似

すると,次の形になります。すなわち,  

~p'{(2μ-kμ)/(22kp)}Γ(,~i)p ..(-4)

 です。
 

第1項に,この近似をしたとき得られる行列要素の(-3)

からの差は, 

~p'{(2μ-kμ)/(22kp)}{Γ(p―k,~i)

-Γ(,~i)}p .(-5)ですが,

この式の{Γ(p―k,~i)-Γ(,~i)} ,k→0 

に対して消えます。
 

そこで,この(-5),kについて赤外発散を持たず,()

の一部と考えるべきです。
 

実際,この差は重複赤外発散のため,とても注意深い扱いを

要します。これは各項が分離されたときと,同じくらい発散的

なことが有り得ます。
 

しかし,Feynmanのゲージ不変性の取扱い(文献(26))に示唆

された,この(-5)を解釈する簡単な方法があります。
 

Λμ(,~i,)を図3()のような電子の内線部分から

の付加仮想光子の放出に対する行列要素とします。
 

Feynman,次の自明な演算子等式: 

(-m)-1((-m)-1

(+K--m)-1(-m)-1 を用いて,

もしも電子線から偏極kμ(縦波)光子が放出されるなら, 

行列要素への全体としての寄与はゼロであることを

示しました。
 

(1-4):つまり,全エネルギー・運動量空間での積分後,右辺

の2項がそれぞれ収束して有限となるなら,それらは一致する

ため寄与はゼロです。(注1-4終わり※)
 

この結果は,今の場合,次の行列恒等式に相当します。 

μΛμ(,~i,)=Γ(p―k,~i)-Γ(,~i) ..(-6)

です。
 

これから,(-5)とあらゆる内線光子放出からの寄与の結合は

次の単一の表現に含まれることになります。 

~p'[Λμ{(2μ-kμ)/(22kp)}λΛλ]p .

.(-7) です。

これは頂点γμの"放出演算子として次のgμへの置換に

相当します。 

γμ → γμ{(2μ-kμ)/(22kp)}=gμ..(-8)

です。
 

(1-5):(-7)のΛμをγμに置き換えれば(-8)を得ます。 

つまり,単純な頂点の電磁カレントが実光子の放出で, 

~pγμp →u~pμpと補正されることを意味するわけです。 

(注1-5終わり※)
 

この新しい放出演算子gμがゲージ不変である:つまり,

μμ0 であるのは興味深いことです。 

(※↑実際にkμμ(-8)を代入すればkμμ0は自明です。)

 

,Qを考えている電子線(光子付加)の前のqiの和であると

したとき,p+Qを4元運動量とするような電子線への光子

の挿入に由来する(-7)への特殊な寄与を考えます。
 

この光子挿入は電子の内線伝播関数に,次の修正を与えます。 

(-m)-1 (~-m)-1 

×[γμ{(2μ-kμ)/(22kp)}](~-m)-.(-9)
 

また,これより後ろの電子線のpは,代入:p→(p-k)

よって修正されます。この形では,kに対する赤外因子の

抜き取りによって,何故積分における特異性が増加するか?

を見ることができます。
 

~とkが同時的に小さいときには,Γにおける単一の微小

分母が(-7)において2つの微小分母に置き換えられます。
 

幸いなことに,さらなる特異性は(-8)の代入によって

2つの寄与を結合させる結果として相殺します。
 

(-9)の第一因子:(~-m)-1を有理化すれば 

{(~-k)22(~-k)}-1(~+m)なので,

(-9){(~-k)22(~-k)}-1(~+m) 

[γμ{(2μ-kμ)/(22kp)}](~-m)-1

となります。
 

したがって,これは,{(~-k)22(~-k)}-1 

×({γμ(2μ-kμ)/(22kp)}(~-m) 

2(~μ(2μ-kμ)(~)/(22kp)(1/2)[,γμ]) 

×(~-m)-1 ..(-10) です。
 

(1-6):μ(2μ-kμ)/(22kp)とおくと, 

(~+m)(γμ+Aμ) 

(2μ-kμ2~μ)-γμ(~-m)(1/2)[,γμ] 

+Aμ(2kp+2kQ~-k2)-Aμ(~-m)
 

=-(γμ+Aμ)(~-m)(1/2)[,γμ] 

2(~μ+Aμ~)2μ-kμ+Aμ(2kp-k2) 

=-(γμ+Aμ)(~-m)2(~μ+Aμ~)

(1/2)[,γμ] (注1-6終わり※)
 

(-10)の右辺の{ }の因子の中3つの項のどれもQ~が微小な

ときに如何なる困難も生じせしめません。また,この第1項から

は因子:(~-m)(~-m)-1と相殺して消えます。

2項の分子はQ~0 のとき消えます。
 

第3項が何の面倒も起こさないことを見るため,括弧の

前の因子で~0とおくとk積分はk=0で完全に収束します。
 

すなわち,~0で実際に特異でないことがわかります。
 

(-4)はあらゆる他の相互作用の後で,光子が放出される

グラフの寄与を加えると次の表現を得ます。
 

~p'{(2μ-kμ)/(22kp)(2p'μ+kμ)/(22kp')} 

×Γ(,~i)p ..(-11) です。
 

これがp'~ p の状況に特殊化された,ケース()に対する議論 

の主要な結果です。
 

スピノル行列要素においてはq~iをqiで置き換えてもいいです。 

この補正は,再び,非赤外のK()に入るからです。
 

電子線内でのGが,外線上に自己エネルギー部分を含むならば

特別な注意が必要です。このとき,Qたちのうちのいくつかは

ゼロでしょう。

 
こうした部分が最終結果(-11)で元の行列要素と同じ

波動関数のくりこみを生じることを示すのは難しいことでは

ないですが,この証明の詳細はスキップします。

(※↑これは紫外発散の問題です。)
 

さて,今や,我々はどのようにして,ここまでのエネルギー・運動量

遷移が微小という制限(p'~p)を除去できるか?について論じる

べきところに来ました。
 

もしも,微小でない比較的大きい遷移があるなら,iたち

のうち少なくとも1つは大きいと仮定することになります、
 

こうした"硬い"運動量遷移がある場合,この電子線部分に

向かって,両端から攻めるのが便利です。
 

(過去)から最初の硬い相互作用をする前の電子線は,

外線pと与えられた点までに遷移されるqiたちでラベル

付けされる集合であり,一方,最後の硬い相互作用の後の

電子線は,外線pとその点の後で遷移されるqiたちで

ラベル付けられる集合です。
 

付加光子が最初の外線に追加されるなら,この光子の運動量k

は最初の硬い相互作用の前の電子線の集合の内にのみ出現

します。硬い相互作用は,如何なる発散も導入することなく

kの変化を吸収します。
 

もしも,こうした集合でkをゼロに等しいとおけば,やはり

(-4)のような結果を得ます。そこで,もし最初の硬い相互作用

の前に付加光子を挿入するあらゆるやり方を考慮すれば,この

誤差は如何なる新たな赤外発散を導入することもありません。
 

また,最後の相互作用の後にあらゆるやり方で付加の軟光子

を挿入するのも同様に扱うことができるため,再び(-11)

を得ます。
 

我々の結果は次のように要約できます。 
 

もし,付加仮想光子の一端を,あらゆる可能なやり方で開いた

電子線に挿入するなら,2つの型の寄与を見出します。
 

第1の型は行列要素中で元の因子に次の因子を掛けた,ものです。 

μ(,p',) 

(2μ-kμ)/(22kp)(2p'μ+kμ)/(22kp')

..(-12) です。

これはゲージ不変になっています。すなわち,μμ0..

(-13)です。
 

また,大きいkについては自然な(紫外)切断を与えられる

ようにもなっています。
 

一方,実光子放出に対する結果も,同じ論拠をたどること

によって得られます。
 

このケースには,行列要素への赤外寄与は元の因子に次の因子

を掛けたもので与えられるとわかります。
 

~μ(,p',)=p'μ/(kp')+pμ/(kp)..(-14)  

です。
 

実光子は,20であるが故に,ゲ―ジ不変性のため分子にk

をキープしておく必要はありません。
 

これは形式K()の項の中に組み込まれているでしょう。 

同時に分母の(2-λ2)を無視します。何故なら,それはまた

()の内の変化を与えるに過ぎないからです。
 

(-12),(-14)に与えられた結果は,電子だけでなく任意の

荷電粒子に当てはまります。
 

例えば,スピンがゼロの荷電粒子については,単一,または二重

の光子のそれぞれ放出,吸収に対応する2つの型の電磁頂点が

あります。

 
こうして,付加光子は,元のグラフのこのB0se粒子の伝播関数

(内線)の1つにつながるか,または,その内線の2つの光子に

転化する単一の頂点の1つにつながるか,のいずれかです。
 

後者の型の接続は,k ~ 0でゼロに成り得る分母の因子数

を増加させないので形式:()のうちにあります。
 

また,前者の光子が非常に平行に単一の頂点につながケース

の論旨,ここまでの(Fermi粒子である)電子線との

光子相互作用のそれとほぼ同じであり,ただ,より単純な頂点

であるだけの違いです。
 

例えば,(-3):

~p'Γ(p-k,~i)(―m)-1γμp  

=u~p'Γ(p-k,~i)p(2μ-kμ)/(22kp) 

-u~p’Γ(p-k,~i)p(1/2)[,γμ]/(22kp) 

の右辺第2項に対応する寄与がなく,(Bosonは交換対称)
 

(-9):.(-m)-1 (~-m)-1 

×[γμ{(2μ-kμ)/(22kp)}](~-m)-1.. 

の第一因子の分母を有理化した式の


(-10):
 {(~-k)22(~-k)}-1 

({γμ(2μ-kμ)/(22kp)}(~-m) 

2(~μ(2μ-kμ)(~)/(22kp)(1/2)[,γμ]) 

×(~-m)-1 の右辺の中央の括弧因子の中の第1項,

第3項の主要項に対応する寄与もないだけの差異です。
 

そして,実光子生成を考えるなら,任意の開いた荷電粒子線

では,行列要素に(-14)のR~μ因子の寄与をします。

この因子は外線にのみに依存し,Gの特別な形には依りません。
 

それ故,他の外線が固定されたままで,1つの付加光子

の放出(または吸収)に対する行列要素は次の形で与えられる

という結果になります。
 

{2(2π)30}-1/2eΣj~μ(j,p'j,)M+K()...(-15)

です。
 

ここにMは,あらゆる仮想光子とポテンシャル相互作用を含む

元の過程に対する行列要素であり,~μ(j,p'j,)はj番目

の実光子の放出演算子です。
 

始状態,または終状態の2つ以上の粒子が同種なら(-15)

全光子放出演算子は,それらの変数については対称で,

新行列要素の全体としての対称性は元のそれと同じはずです。
 

すなわち,交換グラフが,Mに一緒に加えられたとき生じる

粒子変数の交換に対して,個々のR~μは不変ではないけれど,

それらの総和は不変です。
 

付加光子が仮想光子で,それが2つの異なる電子線につながって

いるなら我々の解析は各電子線に対して別々に実行できて,結果

(-12)の2つの因子の積となります。
 

ただし,2つの因子ではkの符号は逆です。これは運動量が

一方の電子線からは奪い取られ,それが他の線に加えられる

ことを意味します。

  
交換グラフ存在の可能性の故,各グラフG上で別々に効果を

考える必要があります。2つの異なる荷電粒子線と関わる

運動量kの1つの仮想光子を付加することによって得られる

補正はGに対する元の行列要素に次の因子を掛けることです。
 

すなわち,(1/2){(2π)-4i2/(2-λ2)} 

Σij{μ(ji,p'i,)μ(j,p'j,-k)}..(-16)

です。
 

(1-7):光子の伝播関数には,iμν/2ではなくて,

iμν/2を用い,上記の係数は,(

1/2!)(i)2(i)(1/2)i2を用いているらしい?? 

(注1-7終わり※)
 

次のケース()をも調べた後で,最終的で完全な表現が対称

であることがわかるでしょう。     (つづく)

ス超

PS:2月5日(日)の早朝」TV朝不みてたらなつかしい

篠原ともえがでている。

  彼女を見るとなぜは順天堂病院の新舘病棟の14Fにいた

看護師のA立さんを思い出してしまいます。

第一印象のしゃべり方がとても似ていたので。。

| | コメント (0) | トラックバック (0)

赤外発散の論文(1961)の詳解(5)

 赤外発散論文詳解の続きです。
 

§2.電子散乱への輻射補正の具体的な散乱例についてB+B~

が実際に有限になることを示すという項目に入ります。

()赤外因子の詳細(Setails of Infrared factors) 

既に見たように,仮想光子によるBは図2の(),(),()

から生じ,実光子放出によるB~は図3の(),()

から生じます。

(図1).あらゆる可能なポテンシャル相互作用と実光子

セット,および,(nー1)個のk層光子を含む基本グラフ

のセットの表現 


 

(図2).図1のグラフに1つの仮想光子を挿入する

可能なやり方


    この図2は,種々の基本グラフ(図1)にn番目の1光子

挿入できる可能なやり方を表わしています.

(図3) 図1の基本グラフに1つの追加実光子を挿入する

可能な方法の表現

うしたグラフはB,またはB~に寄与する光子が荷電粒子

外線につながっていてグラフの内線の詳細には独立で

あるという特別な性質を有しています。
 

 付録Aに従って,BとB~はゲージ不変な表現によって

示すことできます。
 

B={i/(2π)3}∫d4/(2-λ2) 

×{(2p'μ-kμ)/(2p'k-k2)(2μ-kμ)/( 2pk-k2)}2 

.(2.23)であり,
 

~{1/(8π2)}∫d3/(2+λ2)1/2  

×{p'μ/(kp')-pμ/(kp)}2..(2.24) です。
 

上記の(2.24)においては,(2pk-λ2)を2pk,(2μ-kμ)

2μしました。何故なら,λ2やkμはλ→0 のとき,

消えるからです。
 

計算すると,Bにおける赤外寄与は次式における分母の極から

生じることが明らかになります。
 

すなわち,1/(2-λ2)iε)(1/(2-λ2)の主値積分の形

,これは iπδ(2-λ2).(2.25)です。

※(注5-1): 2009年7/4の過去記事「Cauchyの主値(主知積分」から,

 余談を除くほぼ全文を引用します。

  Cauchyの主値(主値積分)というのは,実数の区間

[a,b]定義された関数f(x)がa<c<bなるある点

で不連続なとき,主値の記号Pを,P∫af(x)dx

 ≡limε→+0[∫ac-εf(x)dx+∫c+εbf(x)dx]

 と定義し,これを主値(積分)(principal value)と呼ぶ

 ことをいいます。

 

 これは,区間[a,b]が無限区間(-∞,∞)で被積分関数が

 f(x)/x (f(x):連続関数)の場合には,

 P∫-∞{f(x)/x}dx

 =limε→+0[∫|x|≧ε{f(x)/x}dx]です。

 

 複素平面上の実軸を含む領域でf(z)が正則なとき,

 主値P∫-∞{f(x)/x}dxを,複素z平面上のある経路C

 における線積分∫C{f(z)/z}dzで近似することを考えます。

 

 Cとしては,実軸上の-∞から-εまで真っ直ぐ進み,原点Oを回避

 するために,Oを中心として半径εの小円で点-εから点εまで時計

 回り(負の向き)にπだけ回る半円経路を加え,さらにεから∞までの

 直線経路を考えたものとします。

 

つまり,小半円の経路をγ-とすると,全経路は,

C=(-∞,-ε)∪γ-∪(ε,∞)です。

すると,∫C{f(z)/z}dz

=P∫-∞{f(x)/x}dx+∫γ-{f(z)/z}dz

と書けます。

 

ところが,明らかに,

γ-{f(z)/z}dz=i∫π0f(εexp(iθ))dθ

=-iπf(0)です。

 

それ故,∫C{f(z)/z}dz

=P∫-∞{f(x)/x}dx-iπf(0)

なることがわかります。

被積分関数f(z)/zに対し,その特異点であるz=0 付近で

 上半平面方向に歪めた経路C=(-∞,-ε)∪γ-∪(ε,∞)

 を取る代わりに,

 

 通常の(-∞,∞)の経路のまま,被積分関数の方を

 f(z)/zからf(z)/(z+iε)に微修正して,特異点を

 z=0 から下半面の=-iεに移すのは,事実上,同等な

 操作であり,同じ積分値を与えるはずです。

 すなわち,∫-∞{f(x)/(x+iε)}dx

 =∫C{f(z)/z}dz

 =P∫-∞{f(x)/x}dx-iπf(0) です。

 

 同様な考察から∫-∞{f(x)/(x-iε)}dx

 =∫C{f(z)/z}dz

=P∫-∞{f(x)/x}dx+iπf(0) も得られます。

 

 これらの公式を,形式的に,

 1/(x+iε)=P(1/x)-iπδ(x), 1/(x-iε)

 =P(1/x)+iπδ(x) と書きます。

 

 主値積分については,Cauchyの積分定理を意識して,

 上半平面や下半平面で,半径が∞の半円周を加えた閉じた

 経路を積分経路Cとする説明をよく見かけますが,それは

 半径が∞の半円周上で積分がゼロになるような特別な

 被積分関数形を要求します。

 

 留数などを考慮する必要がある場合なら,その方がいい

 でしょうが,上の考察では,関数f(z)がz→ ∞でゼロに

 急減衰すべきであるとかの条件は全く必要ないのがミソ

 です。(※注5-1終わり)

 そこで,Bにおける仮想光子は,事実上(2=λ20)

 実光子と同じです。

  
Bにおけるこうした極の寄与は次のようになります。 

{1/(8π2)}∫d3/(2+λ2)1/2{(2p'μ-kμ)/(2p'k-λ2)

(2μ-kμ)/( 2pk-λ2)}2.(2.26) です。
 

(5-2): ((2.26)の証明) B={i/(8π3)}-dk0 

∫d3{{0(2+λ2)1/2iε}-1{0(2+λ2)1/2iε}-1 

{(2p'μ-kμ)/(2p'k-k2)(2μ-kμ)/(2pk-k2)}2
 

{i/(8π3)}(-2πi)-1∫d3{2(2+λ2)-1/2 

[{(2p'μ-kμ)/(2p'k-k2)(2μ-kμ)/(2pk-k2)}2]

0(2+λ2)1/2
 

{1/(8π2)}∫d3{(2+λ2)-1/2 

[{(2p'μ-kμ)/(2p'k-λ2)(2μ-kμ)/(2pk-λ2)}2]

0(2+λ2)1/2    

(証明終わり)    (5-2終わり※)
 

k→0 のとき,(2.26のBでの発散する被積分関数と
 

~{1/(8π2)}∫d3/(2+λ2)1/2 

×{μ/(kp’)-pμ/(kp)}2..(2.24)のB~

の被積分関数とは相殺します。
 

電子の伝播関数:(2pk-k2)-1(2k-k2)-1における極

からの寄与は今のケースではλ20 のとき有,限です。
 

(※しかし,§4()ではこうした寄与が発散するケースを論じる

予定です。)
 

p'~pのとき.加速されない粒子は全くエネルギーを輻射しない

という古典的結果に良く適合してB~は確かに消えます。
 

同様に,p'→pのときBが消えるのは波動関数の相殺と物理的

電荷の一意性を保証する電磁頂点のくりこみを反映しています。


    
我々のBの表現での積分では,また,2→∞で収束する

ようにもなっていて,それ故,Bは紫外発散の切断を要求

しません。


   
高エネルギーと微小なiεで,BとB~,次のような近似形

を取ります。 (付録C参照)
 

(λ){1/(2π)} 

[ln(2pp'/2){ln(λ2/2)(1/2)ln(pp'/2)1/2}

ln(λ2/2)]. (2.27)
 

~(λ){1/(2π)} 

[ln(2pp'/2){ln(λ2/2)

(1/2)ln(pp'/2)ln(EE'/2)}ln(λ2/2)

ln(EE'/2)]..(2.28)
 

もしも光子質量:λ2の代わりに,最小光子運動量:minを用いる

ならこれらは,


  B(min){1/(2π)}
 

[ln(2pp'/2){ln(EE'/min2)1/2}

ln(EE'/min2)].(2.29)

  
~(min){1/(2π)}{ln(2pp'/2)1}ln(2/min2)

..(2.30) です。
 

(※これらについては付録CにB~(min)計算があるので,後に

詳細計算も記述する予定です。※)
 

いずれにしろ, (λ),~(λ)と B(min) ,~(min)は同等

であり,


  
2α(B+B~)=-(αA/2)ln(EE'/2)

{α/(2π)}ln(2pp'/2)..(2.31)

αA=-{2α/(4π2)}∫dΩ{p'μ/(p'k)-pμ/(pk)} 

2α/π{ ln(2pp'/2)1}..(2.32) です。
 

(.(2.31)は不正確な表現:2α{(λ)+B~(min)}と同じに

見えますが,そうではないことは容易にわかります。)
 

 B+B~はまた,小運動量遷移の極限で次の簡単な形に

なります。

 
つまり,|2||(-p)2|<<m2.(2.33) のとき 

α(B+B~){2αq2/(3πm)2}ln(/ε)..(2.34)

です。εは??

(5-3):(2.32)  

αA=-{2α/(4π2)}∫dΩ{p'μ/(p'k)-pμ/(pk)}2 

~ 2α/π{ ln(2pp'/2)1}..の証明を与えます。
 

A=-{2/(4π2)}∫dΩ{p'μ/(p'k)-pμ/(pk)}2 

=-{2/(4π2)}∫dΩ 

[p'2/(p'k)2+p2/(pk)22p'p/{(pk)(p'k)}]

です。
 

付録(-1)より, 

~ij=∫013(2+λ2)-1/2{(pk)(p'k)}-1 

=∫012dk(2+λ2)-1/2∫dΩ{(pk)(p'k)}-1 

2π∫-11dx∫012dk(2+λ2)-1/2(ω2E-k2x2)-1
 

ここで,2x(1+x)p'+(1-x)pです。
 

※※これは,次のFeynman積分の公式: 

1/(12..n)

(n-1)!0dz1dz2..dznδ(1-Σii)/(Σjjj)n 

をn=2に適用して,
 

1/(ab)=∫0dz1dz2δ(1-z1-z2)/(az+bz2)2 

つまり,1/(ab)=∫01dz/{az+b(1-z)}2 

ですが,

 
これからさらにx=(2z-1)と変数置換すると
 

dz=dx/2より
 

1/(ab)2-11dx/{(1+x)+b(1-x)}2

とも書けます。
 

今の場合のa=pk,b=p'kなら 

(1+x)+b(1-x){(1+x)(1-x)}

です。
 

そこで,2(1+x)p'+(1-x)pとおけば,  

(1+x)+b(1-x)2kp2(ωExkp) なので 

1/(ab)=∫-11dx/{(1+x)+b(1-x)}2,
 

1/{(pk)(p'k)}(1/2)-11dx/(ωExkp)2 

∫dΩ/(ωExkp)2 

2π∫-11cosθ/(ωEx-kpcosθ)2

4π/(ω2x222)  です。
 

それ故,012dk(2+λ2)-1/2∫dΩ{(pk)()}-1 

2π∫-11dx∫012dk(2+λ2)-1/2(ω2E-k2x2)-1 

と書けます。これが付録の式:(-1)です。※※
 

そして,ω=(2+λ2)1/2ですからλ→0 ならω2=k2です。 

故に,このときは, 2∫dΩ/(pk)(p'k)} 

2π2-11dx/(ω2E-k2x2)

2π-11dx/(E-px2) 2π-11dx/2 です。
 

そこで, 2∫dΩ/(pk)2==2π-11dx/2 

,かつ,2∫dΩ/(p'k)22π-11dx/p'2
 

したがって, A=-{2/(4π2)}∫dΩ 

[p'2/(pk)2+p2/(pk)22p'p/{(pk)(p'k)}] 

=-2/π+(pp'/π)-11dx/2
 

一方,付録:(-22)から, -11dx/2

 {2/(pp')}ln(2pp'/2) です。
 

以上から,αA~(2α/π){ln(2pp’/2)1}を得ます。

(5-3終わり※)
 

付録A,および,ここまでお論議はまた,荷電粒子が電子の

ようなFermi粒子の散乱過程だけでなく,荷電Bose粒子の

ポテンシャル散乱にも当てはまりますが,これは別に驚く

べきことではありません。
 

というのは,赤外因子はFermo粒子とBose粒子の区別のない

古典的な因子でもあるからです。

  B,およびB~に対する陽な式(2.23),および,(2.24)
 

は容易に荷電カレントの効果の表現と考えられ,それは散乱粒子

のスピンには依らないからです。

  
それ故,こうした式から,(2.25)(2.34)と同様なことが

Bose粒子についても成立します。

  
最後に,因子ln(2pp'/2)の存在のために,exp|2α(B+B~)}

の輻射補正効果は,現在の実験エネルギーレベルでは.重い粒子

よりも電子のような軽粒子にとってより重要な効果を与えます。
 

さて,次は,()非赤外仮想光子項の詳細 

(Details of Noninfrared Virtual Photon Terms)という

項目に入るので,いつもより短かいですが,ここで一旦

終わります。
 

その代わりに,ここで証明せずスルーした式を得る

具体的計算を与える付録A~Cのうち,BとB~を評価する

,付録Aの部分,このすぐ後に続けてアップします。
 

実は,この間,これらの草稿も並行して作っていたので

アップが遅れたのでした。

| | コメント (0) | トラックバック (0)

2017年1月18日 (水)

赤外発散の論文(1961)の詳解(4)

赤外発散論文詳解の続きです。
 

§2.電子散乱への輻射補正の()実光子輻射補正 

(Real photon-radiative corrections)

からです。
 

さて,完全な散乱行列要素:M=M(,')

(2.3):M=exp(αB)Σn=0nを満たすことを示しましたが,

これは,この過程の断面積がexp(2αB)に比例することを意味

します。

 
そこで,全エネルギーεを持つ検知されないn個の実光子の

放出に関わる微分断面積は,実光子について対称化すると次の

形になります。

すなわち, 

dσn/dε=exp(2αB)(1/!)∫Πm=1n3m(m2+λ2)-1/2

δ(ε-Σi=1ni)ρ~n(,':1,..,n)..(2.13)  

(※ただし,ki|i|) です。
 

仮想光子の処理でのρnに類似した役割を果たす量:ρ~n,, 

M=exp(αB)Σr=0rにおける因子Σr=0rの絶対値の

2乗,で与えられます。

 
つまり, ρ~n(,';1,..,n)|Σr=0r|2 です。
 

(訳注4-1):σn(ε),このn実光子が放出さっる過程での

全実光子のエネルギーが,0 ~εの範囲にある断面積(確率)

を表わし,dσn/dεは,この確率:dσn=σn(ε+dε)-σn(ε)

(dσn/dε)dεを与えるという意味の確率密度(微分断面積)

です。(訳注4-1終わり※)
 

ρ~,E'=E-εに一致する必要のない任意のE'=E-Σk

に対して定義されています。

しかし,δ関数:δ(ε-Σi=1ni)を通してE'=E-εのときに

のみ寄与することが保証されます。
 

あらゆる可能な非検知光子にわたる総和は,完全な微分断面積

を与えます。dσn/dε=limλ→0Σn=0(dσn/dε)..(2.14)

です。

  
赤外項は,前にρnに対して用いたのと同じ方法:

  つまり,
(2.5) ρn(1,..,n)

=S(n)ρn-1(1,..,n-1)+βn(1)( 1,..,n-1;kn)

 から,(2.9) ρn(1,..,n)

 =ΣpermΣr=0n[1/{!(n―r)!}]Πi=1(i)β-r(r+1,..n) 

 に到ったのと同じ方法によって~nから因子化されます。

  
何故なら,ρ~nは実光子について対称であり,重複赤外発散

は実光子,仮想光子の両方に対して,それぞれ同じように相殺

されるからです。

  
重複発散が相殺されて無くなると,赤外項に寄与するため
 

 には荷電粒子外線上で光子は独立につながらなければ 

 なりません。

   これは下の図3のうち,().()で表わされるグラフ
 

 の寄与です。
 

(図3:↑) 図1の基本グラフに1つの追加光子が挿入される

 可能な方法の表現

  

そこで,(2.8) ρn(1,..,n)=S(1)..(n)β0 

+Σi=1n(1)..(i-1)(i+1)β1(i) 

..+Σi=1n(i)βn-1( 1,..,i-1,i+1,..n) 

+βn( 1,..,n) に類似した次の関係式

が得られます。
 

ρ~n(1,..,n)=S~(1)..~(n)β~0 

+Σi=1n~(1)..~(i-1)~(i+1)β~1(i) 

..+Σi=1n~(i)β~n-1( 1,..,i-1,i+1,..n) 

+β~n(1,..,n)..(2.15) です。

  
前の仮想光子の考察でのS(i),および,βjと同じく,
  
~(i)は図3の().()に対応して,赤外寄与を
  全て
含み,他方,β~jは赤外発散の寄与を含みません。

  ※
(訳注4-2):ただし,ρ,(i),βjは行列要素の因子でしたが,

ρ~,~(i),β~は行列要素の絶対値の2乗に比例する

断面積の因子であることに注意!! (注4-2終わり※)

   
そうして,~(i),=E-εで評価されなければ

なりません。

一方,断面積:β~j(..m,..)は.エネルギー殻:=E-Σk

nの上で定義されています。

 
 すなわち,β~0,=Eでのみ定義され,β~1(1)

E'=E-kiで定義されているわけです。

   
もちろん,(2.13):dσn/dε=exp(2αB)(1/!) 

×∫Πr=1n3r(r2+λ2)-1/2δ(ε-Σi=1ni) 

ρ~n(,1,..,n)

における因子:δ(ε-Σi=1ni)のため,


  
(2.15)から得られる(2.9)に類似した表現式: 

ρ~n(1,..,n)=ΣpermΣr=0n[1/{!(n―r)!}] 

×Πi=1~(i)β~-r(r+1,..n) の因子: 

Πi~(i)β~jn-i(..m,..),

ε=Σki+Σkmのときにのみ,(2.13)の断面積dσn/dε

に寄与します。

   
そこで,(2.13)式に, 

δ(ε-Σi1ni)

{1/(2π)}-dy exp{i(ε-Σi1ni)}..(2.16) 

なる表現式を代入し,

さらに(2.14):dσn/dε=limλ→0Σn=0(dσn/dε) 

に代入すると次式が得られます。

 
dσ/dε=limλ→0Σn=0{1/(2π)}-dy exp(2αB) 

exp{i(ε-Σi1ni)}

Σn=0(1/!)∫Πm=1n3m(m2+λ2)-1/2 

ΣpermΣr=0n[1/{!(n―r)!}]Πi=1~(i)β~-r(r+1,..n) 

です。

  
これから,さらに,光子運動量kiの交換対称性を利用し, 

そして,~()をS~(,’;)と表現し直して, 

dσ/dε=limλ→0Σn=0{1/(2π)}

-dy exp(2αB)exp(iyε)Σr=0(1/!){

∫d3~(,’;)exp(iyk)/(2+λ2)1/2}r 

×[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

β~m(1,..n))/m )/m]

dσ/dε=limλ→0 exp(2αB){1/(2π)}-dyexp(iyε) 

 ×exp[k≦ε3~(,’;)exp(iyk)/(2+λ2)1/2] 

×[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

β~m(1,..n)/m] ..(2.17) を得ます。
 

(2.17),恐らく見掛けほど複雑ではありません。
 

右辺の第1番目の指数関数:exp(2αB),仮想赤外光子に

わたる総和の寄与を表現しており,第3番目のS~を含む

指数関数:exp[ ],実赤外光子にわたる同様な総和を

表わしています。

   
そして最後のnにわたる総和については,添字nが陽に

非赤外実光子の個数を指し,β~は同様な非赤外仮想光子

にわたる総和を陰に含む因子です。

(2.17)の右辺の第3番目の指数関数:exp[ ][ ]の中には

実赤外光子のΣi1ni)=εなるエネルギー等式を保証する

ために因子exp(iyk)によって,他の実光子と力学的に関連

しています。

   ここで,
赤外光子を力学的に独立させるために,次のように書く

ことにします。

  すなわち,
k≦ε3~ exp(iyk)/(2+λ2)1/2

2αB~+D..(2.18)です。

  
ここに,2αB~2αB~(,'ε))

=∫k≦ε3~/(2+λ2)1/2..(2.19)
  
D=D(,p'(ε),)

=∫k≦ε3~{exp(iyk)-1}/..(2.20)です。


  
:2αB~,yには依存しないので,exp(2αB~)-y積分:

dyの外に因子として出せます。

  
一方,Dの方はyに依存しますが,kによる積分∫d3

被積分関数:~{exp(iyk)-1}/kはk→0の極限で

良い挙動をします。


  
この定義では,exp(2αB~)は条件Σk=εを破りますが,

exp(),この条件を保持すると考えられるのでエネルギー

保存は維持されます。

  
(2.18),再掲載の(2.17):

dσ/dε=limλ→0 exp(2αB){1/(2π)}-dyexp(iyε) 

 ×exp[k≦].ε3~(,’;)exp(iyk)/(2+λ2)1/2] 

×[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

β~m(1,..n)/m]  に代入すると.

  
dσ/dε=limλ→0 exp(2αB) 

{1/(2π)}-dyexp(iyε+2αB~+D) 

 ×[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

 β~m(1,..n)/m]  です。

 
ここで,dσ/dεの赤外部分:dσ^/dεを次式で定義

します。

 
dσ^/dε={1/(2π)}-dyexp(iyε+D) 

 ×[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

β~m(1,..n)/m]..(2.21) です。

  
すると,(2.17)は,

 dσ/dε=exp[2α(B+B~)](dσ^/dε)..(2.22) 

 と書けます。

  非赤外因子:
(dσ^/dε),軟光子の極限(k→ 0 )には

 無関係な因子です。それ故,λ=0としても,これはk→ 0

有限です。
 

一方,BとB~は,最低次の輻射補正計算による既知の赤外

寄与を表わしています。

 こうして,あらゆる次数までの赤外項の相殺は,既に種々

の文献でよく知られた最低次での相殺(文献5~13)により

保証される。ことになります。

   
そこで,またあらゆる次数までの最小光子運動量を巻き込む

扱いが,光子質量λを持つという計算と同等であることも,

よく知られた最低次でのその同等性から従うことに

なります。
 

 (訳注4-3):結局,軟光子の極限(k→ 0 ),仮想光子の寄与

:Bも実光子の寄与:~も共に∞に発散して,

|B|→∞,かつ|B~|→ ∞となりますが, 

これらが相殺してB+B~は有限値となり,

その結果:断面積:dσ/dε=exp[2α(B+B~)](dσ^/dε)

.は有限になる。。というのが赤外発散特有の論点です。

 

短かいですが切りがいいので今日はこれで終わります。

 

,次回は具体的な散乱例についてB+B~が有限になること

を示すため,

(c)赤外因子の詳細(Details of Infrared factors)

から始める予定です。

| | コメント (0) | トラックバック (0)

2017年1月11日 (水)

赤外発散の論文(1961)の詳解(3)

赤外発散論文詳解の続きです。
 

 前回のアップが12月15日で暮れから正月にかけて,頭もお休み

してましたが,ほぼ1カ月ぶりに思考力が回復しました。

§2.電子散乱への輻射補正 

(Radiative corrections to electron scattering)
 

本節では,電子ポテンシャル散乱への仮想光子,実光子補正を

扱います。
 

赤外寄与を陽に因子化して,Feynman-ダイアグラムの

well-defined(無矛盾)なセットとして確認し,これを詳細に

論じます。
 

最初,散乱中心はエネルギーを持たない運動量のみの存在で

あり,その結果,総エネルギーが丁度,その散乱中心に入射して

散乱されるまでの散乱される電子のエネルギー損失に等しい

ような検知されない実光子が生成され放出されるという

プロセスを仮定します。
 

そうして,この際の総運動量,0||≦εの領域に限定

されていると仮定します。
 

こうした仮定に従う電子散乱は実験として興味深く,論じる

には比較的簡単ですが,後節ではより複雑な問題へと一般化

する予定です。
 

()仮想光子輻射補正(Virtual photon-radiative corrections) 


   運動量がの状態から'の状態へと電子が散乱される間に,

いくつかの光子が生成される過程を考えます。

   終状態を固定したままで最低次の行列
要素への輻射補正を

考察します。

   
n(,')をn個の仮想光子を含む全てのダイアグラム

に対応する行列要素の寄与とします。
 

これは,(仮想光子の個数nがゼロの)ポテンシャル散乱は,

0 と表現され,n≧1の仮想光子を含む散乱は.

このポテンシャル散乱(n=0)とは区別されることを意味

します。ただし,実光子に関わる変数は省略しています。
 

すると,完全な散乱の行列要素:M(,')は次のように

書けます。


   
(,')=Σn=0n(,')..(2.1) です。

nは,n個の仮想()光子を持つのでn次の赤外発散を有する

と予想されます。

実際,これは赤外切断の対数のn次多項式となることは直感的

に明らかです。
 

ここでの我々の仮想光子の論議の目的は,nが次の構造を持つ

ことを示すことです。

すなわち,0=m0 ..(2.2) 

1=m0αB+m1 ..(2.2) 

2=m0(αB)2/2!+m1αB+m2 ..(2.2) 

n=Σr=0n-r(αB)/! ..(2.2) です。
 

ただし,j(j≧1),赤外発散がない(nn=0の)

行列要素:0=m0 に対して,αのオーダーの

(仮想光子数nに独立な)関数です。


    そして,因子αBの方は,
1つ の仮想光子当たりの

赤外寄与を含んだ量です。
 

2.1) と(2.2)から直ちに,指数関数の中に赤外項が

現われる式:M=exp(αB)Σn=0n ..(2.3

が導かれます。
 

(): 何故なら,

M=Σn=0n=Σn=0Σr=0{n-r(αB)/!} 

=m0{Σn=0αB)/!}+m1{Σn=1αB)-1/(-1)!} 

+m2{Σn=2αB)-2/(-2)!}.. exp(αB)Σn=0n 

となるからです。(注終わり※)
 

さて,(2.2)式の成立を厳密に証明するため,先に, 

「n個の仮想光子を含む全てのダイアグラムに対応する

行列要素の寄与」という曖昧な表現で与えたMnの明確な定義

を与えることから始めます。
 

n(1/n!)..∫Πj=1n{4j/(2-λ2)}

ρn(1,..,n)..(2.4)と定義します。

ここで光子質量としてλを導入しました。
 

この扱いが.光子運動量の最低限界値を与えるのと同等である

ことは後で示します。
 

※今のところ,n個の仮想光子:1,..,nによる内線の伝播関数

以外の寄与:ρn(1,..,n)の明確な定義が示されていないので

これは定義といっても,未知の量Mnを別の未知量:ρnへと転嫁

しただけです。※
 

係数:(1/n!),ρnがn個の仮想光子k1,..,nについて

対称化されたものであることを示すための因子です。

この対称化は(2.2)式を得るのに本質的な役割を果たすこと

がわかります。
 

さて,これらk1,..,nの関数としてのρnのグラフで考察

します。

図1.あらゆる可能なポテンシャル相互作用と実光子

セット,および,(nー1)個のk層光子を含む基本グラフ

のセットの表現 

上の図1は,最初の(n-1)個の仮想光子,および,

任意個数ポテンシャル相互作用と関わる基本の

Feymanグラフを表わしています。


 

図2.図1のグラフに1つの仮想光子を挿入する可能なやり方

また,次の図2は,種々の基本グラフにn番目の1光子が挿入

できる可能なやり方を表わしています。

    n番目の仮想光子の両端が荷電粒子外線
上につながるグラフ

(2(),(),())の寄与は,他のあらゆる光子の運動量が

ゼロでないなら,kn 0 のとき有限です。
 

一方,kn 0 とkj 0 (j<n)が同時的に生じるときにはkn

 とkjでの重複発散が生じます。
 

しかし.後の付録Aでゲージ不変でない項とゲージ不変な項

,独立にゲージ不変な表現と結合させると,こうした全ての

重複発散も相殺して)消えることが示されます。
 

故に.残る唯一の発散は,基本グラフでkn 0としたときの

図2(),(),()に対応するものです。
 

この論議は,ρを次のように分離形で書くことを許します。
 

ρn(1,..,n) 

=S(n)ρn-1(1,..,n-1)+βn(1)( 1,..,n-1;kn)

..(2.5) です。

 

ここで,(n)は図2からのknの赤外寄与を含む因子であり,

残りの項はknの赤外発散を含まない寄与部分です。
 

それ故,他のk1,..,n-1による赤外発散は,この分離の影響

を受けることはありません。
 

以下では,β項はknについて非赤外であるという言葉を

しばしば使用します。
 

漸化式(2.5)の反復から,まず,次のように書けます。
 

ρn(1,..,n) 

=S(n)(n-1)ρn-2(1,..,n-2)

+S(n)βn-1(1)( 1,..,n-2;kn-1) 

+S(n-1)βn-1(1)( 1,..,n-2;kn) 

{-S(n-1)βn-1(1)( 1,..,n-2;kn)

+βn(1)( 1,..,n-1;kn)}..(2.6) 
 

この式でρnにおけるk1nとkn-1の対称性から左辺と,

右辺最初の3項はknとkn-1の交換に対して不変です

から,最後の{ }の中の量もnとkn-1の交換に対して

不変であるはずです。
 

しかも,この{ }の中の量:

-S(n-1)βn-1(1)( 1,..,n-2;kn)

+βn(1)( 1,..,n-1;kn) は赤外因子:(n-1)がknに依存

しないため,nについては非赤外であると言えます。

これをβn(2)( 1,..,n-1;kn)と定義します。

    すなわち,
βn(2)( 1,..,n-1;kn) 

=-S(n-1)βn-1(1)( 1,..,n-2;kn)

+βn(1)( 1,..,n-1;kn)..(2.7) です。
 

(2.6),(2.7)から,ρn(1,..,n) 

=S(n)(n-1)ρn-2(1,..,n-2)

+S(n)βn-1(1)( 1,..,n-2;kn-1) 

+S(n-1)βn-1(1)( 1,..,n-2;kn)

+βn(2)( 1,..,n-1;kn)となり

nとkn-1の両方について赤外寄与因子と非赤外部分

を分離できます。
 

この形は,我々の長波長光子の議論から予期される特性を

示しています。
 

漸化式(2.5)の適用を繰り返し,ρnのkに関する対称性を

活用すれば,
 

ρn(1,..,n) 

=S(1)..(n)β0

+Σi=1n(1)..(i-1)(i+1)β1(i) 

..+Σi=1n(i)βn-1( 1,..,i-1,i+1,..n) 

+βn( 1,..,n)..(2.8) が得られます。
 

ただし,β1は単に上添字をはずしたβi(j)を意味します。
 

この(2.8)はkkのあらゆる置換(Permutation)の総和と

して表現できます。
 

すなわち,ρn(1,..,n) 

=ΣpermΣr=0n[1/{!(n―r)!}]Πi=1(i)

β-r(r+1,..n)..(2.9)です。

    そして,β-rは全て非赤外です。
 
 

これを,n(1/n!)..∫Πj=1n{4j/(2-λ2)}

ρn(1,..,n)..(2.4) に代入すると,
 

n=Σr=0n[1/{!(n―r)!}]{∫d4kS()/(2-λ2)}r 

Πi=1n-r{∫d4iβ-r(1,..n-r)/i2}..(2.10) 

となります。
 

ここで赤外発散を避ける必要のない項では仮想質量λを

略しました。
 

最後に,定義: 

αB(,'(ε))≡∫d4kS()/(2-λ2)..(2.11),

および, r(,'(ε))

(1/!)Πi=1r{∫d4iβ-r(1,..r)/i2}..(2.12) 

を与えます。,
 

すると,(2.10):

n=Σr=0n[1/{!(n―r)!}]{∫d4kS()/(2-λ2)}r 

Πi=1n-r{∫d4iβ-r(1,..n-r)/i2}

,n=Σr=0n{(αB)r/!}n-rとなり,
 

結局,先の行列要素の(2.2)式の一般形:

n=Σr=0n-r(αB)/! ..(2.2)と完全に一致し

当面の目的は達成されました。
 

ここで,Bとmrはエネルギー保存の関係:E'=E-εを

通して,遷移エネルギーεに依存することに注意してこの項目: 

()仮想光子輻射補正(Virtual photon-radiative corrections) 

を終わります。
 

次回は,()実光子輻射補正(Real photon-radiative corrections)

に入ることを予定して,いつもよりやや短かいですが終わります。

PS:今日も寒いので気分が暖かくなりそうな春の映像を送ります。

:

| | コメント (0) | トラックバック (0)

2016年12月 5日 (月)

赤外発散の論文(1961)の詳解(2)

赤外発散論文詳解の続きです。


   
赤外発散問題の完全な量子力学的扱いは,古典的扱いよりも

いくらか難しいです。

   
実光子と仮想光子のαの低次での赤外発散の相殺は,特殊な

プロセス(Coulomb散乱とか聖堂輻射など)について多くの計算で

証明されてきています。

   
文献におけるいくつかの例は次のようなプロセスへの輻射

補正です。

  
すなわち,ポテンシャル中の低次のCoulomb散乱(5),

Compton散乱(6),ポテンシャル中での2次のCoulomb散乱(7,8),

電子―電子散乱(9,10),広角対生成(11),

および,制動輻射  (Bremsstrahlung)(12,13)です。


  摂動の全ての次数までの相殺の一般的証明はJauch

Roelich(2)よって与えられました。

   
本論文は,ある意味で彼らの仕事の精密化です。
 

このタイプの発散相殺の証明の主な要素を以下,手短に述べて

おきます。

   
まず,赤外発散は,荷電粒子外線から放出,吸収される実,

または仮想の軟光子に関連することを示します。

これは物理的に,もっともらしいことです。
 

何故なら,長波長光子は荷電カレント(電流)の分布の大規模

な特徴のみを感知するのに対して,粒子内線からの放出は,

空間の小領域でのカレントからの小規模な放出に対応する

からです。 

(↑※エネルギーゼロの長波長の軟光子は有限個では寄与せず

無限個数の寄与の総体が発散るので元々大規模なのです。)
 

それ故,軟光子の放出に対する行列要素は,単に古典表現

(1.1) ,基本過程を記述する行列要素に掛けたもので

与えられる,ということは,驚くべきことではありません。

(※再掲(1.1):{(εp'/kp')(εp/kp)} )
 

そこで,実軟光子放出の断面積は,基本過程の行列に(1.2)

を掛けたもので与えられます。
 

(※再掲(1.2)(1.1)の平方: 

()3k ~{α/(2π)3}{(εp'/kp')(εp/kp)}2 

×dΩdk/k )
 

同様に仮想軟光子放出と再吸収に対する行列要素は,近似的

,基本行列要素に外線にのみ依存する簡単な因子を掛けた

もので与えられます。
 

これが軟光子の寄与の完全な扱いを許す赤外発散の抜粋で

あり,特に赤外発散の完全な相殺を明らかにすることを許す

ものです。

    
最後の相殺を示す前には,ある種の赤外切断を用いる必要

がありますが,これは慣習的には微小な光子質量か?

最小エネルギーを仮定するかのいずれかです。


     本論文では光子質量の方を採用しています。
 

今回のアプローチが参考文献(2)の改良,精密化になっていると

信ずる2つの事由があります。
 

第1の改良は,赤外発散因子の抜き出しについてのより良い論拠

です。そこでは重なり合う赤外発散も無視されません。 

この新論旨は,恐らく証明と考えられるほど十分強いもの

ではないですが,赤外発散の因子化についてのあらゆる理論的

疑念を除去すると期待されます。

   
この論旨は,より平明なことを除いて,以前にYennieSuura

より,文献(14)で与えられたものと同等です。
 

第2の改良は,実際に摂動展開の意味での非赤外寄与の系統的

扱いを与える文献(2)のそれの拡張です。


   そしてまた,なされる
個々の赤外因子分離が,実光子,仮想光子

の両方についてゲージ不変であることも注目さるべきです。
 

仮想光子については.その手法はまた(赤外切断に光子質量

採用するなら)(相対論的に)共変です。
 

さらに赤外因子は,残りの摂動展開のくり込みが通常の方法

で進むよう,完全にくり込まれています。
 

赤外発散の相殺の別の扱いは,Nakanishi(中西)の文献(5)

によって与えらえました。


   この扱いは今回の本論文の扱い
よりも厳密に見えます。

 しかし,それは全断面積のトピックに制限されていて,

エネルギー解像度を持つ微分断面積については言及されて

いません。
 

本論文での主要な目的は,たった今輪郭を与えた一般的

アプローチに従って現代的なQECの枠組みの中で,赤外発散現象

の完全な取扱いを与えることです。
 

最終的結果が,任意の過程について赤外因子が荷電粒子外線

の4元運動量のみを含むもので与えられ,詳細な内部構造を

含まないような計算方法の提供です。

   
この最終的結果には,もはや赤外切断も現われていない

はずです。他方,残りの摂動展開では赤外発散は全く生じず,

赤外切断が不要な積分で与えられます。
 

本論文で我々が強調するのは,手法の一般性と完全性について

ではありますが,実際的問題での具体的計算値という結果も

得られます。

   
多くの実際的問題においては,輻射補正の必要性はエネルギー

の分母が小さい領域に由来しています。

    
結局,全てのプロセスへの輻射補正の偏り全体を評価する

のに,我々が得た結果を用いることができます。
 

これらは,一般的に,αln(/)ln(ΔE/ε)とか,

α{ln(/)}2の基本断面積というような"二重対数項"の

因子を含みます。



       
こうした項の寄与は,実験配列にとても敏感で有り得ます。
 

実際の実験条件の非常に注意深い扱いが,とても重要です。
 

そうした計算の例が文献(10..11)に与えられています。

一方,実験状況を認識していないが故に,容易には実験に

適用できると思えない計算例が文献(6.9)に含まれています。
 

赤外寄与が,(紫外寄与の)高エネルギーでの輻射補正を

支配している,といえば,これは逆説的に聞こえるかも

しれません。

       
例えば,1つのポテンシャルによる高エネルギー荷電粒子

の散乱においてはLorentz収縮した粒子を囲む場は,非常

に短時間のうちに,粒子から大きな距離まで変化する必要

があります。


        しかし,全電磁場
,そうしたように急激には変化できない

ので,補償するための輻射場が生成されます。これらの場

の生成は実光子の放出に対応します。

光子放出のない散乱は不可能なので,仮想光子と関わる

負の輻射反応が必要です。


        これは始状態と終状態のLorentz収縮した粒子場の間
 

の適切な重なりの欠如によって生じます。


         かくして,実光子と仮想光子
の両方がk値のある領域に

ついて(dk/)なる形のスペクトルで支配されます。
 

このスペクトルは主要な屈折が生じるか(ka~1),粒子

の量子力学的性質が重要になるような領域(k~E)の長さ

を比較してできるほど波長が小さくなるとき,除去される

必要があります。

         
ただし,この領域の規模aはポテンシャルのレンジである

必要はないことが指摘さるべきです。
 

例えばCoulombポテンシャル(レンジは無限大)による

広角散乱では主要な屈折は非常に小さい距離で生じます。

(dk/)のスペクトルを保持した下での条件の量子力学

的議論に対して,Londonの論文(4)を参照してください。


     彼はk<<Eに対して,これが良い近似であるという

結論に到達しています。

     
オーダーαまでの完全ん亜輻射補正は,かくして近似的

にαAln(ΔE/)で与えられます。


     Aの方は,粒子場の強いLorentz収縮を反映して.

わたる角度積分の強いピークによる対数を含みます。
 

因子:ln(ΔE/),(dk/)の積分に由来しますが,

ΔEよりも小さいエネルギーの実光子と仮想光子の寄与

は互いに相殺すること,そしてまた,仮想光子のスペクトル

,とにかく.k>>Eについて切断されねばならないことを,

取り入れています。

     こうして,赤外項は,2つの対数項に寄与し,それ故,輻射

補正を支配します。高エネルギー極限での,赤外項のより

精密化された扱いを使用すると,輻射補正へのいくつかの

単一の対数因子の寄与もまた得られます。
 

ここでの評価では論じる予定にない,ある磁気項と相まって

これらは対数オーダーのあらゆる寄与を与えると思われます。
 

したがって,全てのプロセスにおいての輻射補正の良い評価

を与えます。

     
赤外因子を抜き出すことに関連する論旨は.付録

(Appendix)に含まれています。


     完全に厳密とされる試みは実行しませんが,二重の

赤外発散の正しい処理の重要性を強調しておきます。
 

そして,赤外因子が抜き出されると.残りの計算因子は

全く病的な性質を持たないということがもっともらしい

こと,が示されます。

     
§2では外部ポテンシャル中の電子散乱について,全て

の議論が与えられます。§3では,他のいくつかの例がより

手短なやり方で扱われます。§4は赤外問題の一般的取扱い

に入る種々の考察の議論を含みます。
 

赤外発散の一般的証明が与えられ,そして,いくつかの

さらなる例が簡単に論じられます。§5では,いくつかの

純粋に理論的な赤外発散現象の含意が論じられます。
 

ここでは,あらゆるオーダーでの赤外因子の知見が

高エネルギー極限での理論的問題へのいくつかの限られた

洞察を与えます。この極限では赤外因子は特に大きくなり,

そして他の全ての寄与よりも赤外因子についてのはるかに

詳細な情報を得ることになります。

     
最後に§6は議論の要約(まとめ)を与えます。
 

 専門用語についての少しの言葉が補助になるかも

しれません。


     
本論文では行列要素(または断面積)「赤外の」

というのは赤外依存が特殊なやり方で因子化される

ような部分を意味します。


    
そして,「非赤外の」というのは,その残りの依存性の

ことです。
 

「赤外光子」とは「軟光子」と同義語ではありません。 

赤外寄与が,その挙動に良い近似を与えるならその光子

を「軟らかい(soft)と定義します。
 

付録Aの最後での議論によれば,運動量がその過程の典型的

な遷移運動量と比べて小さいなら「軟らかい」といいます。


     そして,高エネルギーでの
広角電子散乱では,それは電子

のエネルギーの数パーセントを除去しても光子は「軟光子」

です。

    
しかし,小角散乱では,その運動量が遷移運動量;

(2sinθ/2∝pθ)比較できる大きさで「硬光子」

になります。

     
これでやっと文章が中心の序文が終わりました。 

序文はまとめと同じく本論の全内容を紹介するもので

すから,これだけでは,よくわからない部分もあります。
 

そうしたことの詳細は次回からの記述予定の§2から

の本論で具体的に理解できるはずです。

    今日はここで終わります。

| | コメント (0) | トラックバック (0)

赤外発散の論文(1961)の詳解(1)

※ 10月初めに引っ越してから丁度2か月,

もう年の瀬となってしまいました
 

この間.本やノート類も大量にあった引っ越し荷物の整理にかまけて

通常の日記的ブログは書いても科学記事は敬遠してきました。

 しかし,
 そろそろ落ち着いてきたので,これも再開して元のペース

に戻ろうと思います。こういうこともやらないと,つい楽をして寝

たきりでもなりそうですし。。
 

実は,前の部屋の立ち退き話もまだ知らなかった7月頃に構想して,

9月くらいには少しずつ書いていた比較的新しいテーマ「赤外発散」

についての草稿があったので少し手直ししてこれからアップします。

相変わらず,素粒子論ネタですが。。※
 

さて,常識的には,実体がないのと同等で無意味と見えるにも関

わらす,素粒子の散乱振幅等の計算の上では無限大に発散する

著しい寄与を示す,エネルギーゼロ(振動数ゼロ,波長無限大)

光子の起こす困難を,赤外破局(Infrared Catastroph),または,

赤外発散と呼びます。

 恐らく,エネルギーが無限大(振動数無限大,波長ゼロ)の極限

での発散の困難を紫外発散(Ultraviolet Divergence)と呼ぶの

に対照して命名されたのでしょう。

 紫外発散の困難の方は.これを克服するために 1948年頃

から「くり込み理論(Renormalization)」と呼ばれる壮大な体系

が発展し,これは一応の解決を見ました。

(↑※Feynman,朝永,Schwinger、Dysonなどの仕事です。。)
 

これに対し,赤外発散の困難は,ある意味,こうした実体のない

光子などは元々存在しない。としてカットするのが,紫外発散

の高エネルギー光子をカット(切断)するという手法より感覚的

に容易なことと考えられたためか?,問題発見の当初から,

さほど深刻な問題と取られなかった節があります。
 

こうした赤外発散の困難については,本ブログでは,まず,

200612/16記事:「赤外発散の問題(エネルギーゼロの光子)

で紹介しました。

 
次に,この記事において紹介した1937年の初期の代表的論文; 

 F.Bloch A.Nordsieck

"Note on the Radiation Field of the Electron"について,

本ブログの201010/30,11/4,11/8の「赤外発散の初期論文」 

(1),(2),(3)においてで紹介し,解説しました。
 

この論文は,学生の頃から所持していて,ときどき,その読解に

挑戦していましたが,古い論文は,Notationも古典的で,現在では

普通に使用されている近代的な計算手法もまだ使われていなか

ったなどの理由もあり,何回読んでも途中で私には解読不能な箇所

に遭遇して,何度も挫折していました。
 

しかし,それ以前に中西㐮著「場の量子論」(培風館)など日本語

でのより読みやすい解説書などを読んで,摂動の低次まででは

赤外発散は計算上は相殺して,結果は有限値になって解消される

ことを理解していたこともあり,まあ,これが解読できなくても

仕方がないな,程度に軽く考えていました。

 
しかし,その後,2010年に,少しヒマがあってブログで紹介したい

という気持ちが生じて,本腰を入れて読んだので,ブログ記事

では何とか形になりましたが,未だにややスッキリしない感も

あります。
 

一方,同じ過去記事「赤外発散の問題(エネルギーゼロの光子)

において,赤外発散解決の決定板である,と書いた

Yenie,Frauti,Suura1961年の74ページに及ぶ論文の方は,

ブログを開始する3年前の20031/4から3/19までの2ヶ月余り

,根をつめて読了したときにまとめたノートがあります。
 

(※私のまとめたノートは,A4,本文84ページ+付録34ぺージに

なっていますから,元の英文より約5割増しですね。

どうしても翻訳すると元の英文より日本語文の方が長くなるし,

さらに行間を埋める自己流の注釈が一杯追加されていますからね。
 

.ある時期から,後で元文献を参照しなくてもノートだけで事

が足りるようにノートを作る習慣になっていました。

 今は眼が悪くなって,種となる本や論文
の字は小さく読みにくい

けど,ノートの自分の字は何とか見えるので,この習慣は今と

なっては正解でした。
 

本が紛失したとしても,お金さえあればまた入手可能なモノ

なので,さほどショックはない,と思うけれど,大事なノートが

無くなったら泣いちゃうかも。。※)
 

この論文の内容は,図で説明すべきことが多いのでここまで敬遠

していましたが,以前と違って,私も若干,自力で図を描くスキル

ができてきたので,このノートの内容もブログで紹介してみたい

と思ったわけです。
 

さて,正式なこの論文の表題は, 

”The Infrared Divergence and High Energy Processes” 

(赤外発散と高エネルギー過程) です。
 

著者は,D.R.Yennie,S.C.Frauchi,H.Suura  

出典は,Annuals of Physics Vol.13 pp279-452(1961)です。
 

以下は本文です。
 

※前文(Preface)
 

QED(量子電磁力学)における赤外発散の問題の一般的扱いを

与えます。

  
この本論文の扱いの主な特徴は,赤外発散の寄与を,摂動の全て

の次数までの寄与の掛け算因子と,赤外発散を持たない因子へ

残りの収束する摂動展開の寄与に分離することにあります。
 

その結果,赤外切断のような,処方,規約としてカットして

捨てるというような操作は無用となることがわかります。
 

赤外因子については,それは指数関数形を取りますが,実光子

と仮想光子から生じる指数発散が通常の意味で相殺します。
 

それ故,これらの因子は単に始状態,終状態の荷電粒子の運動量

,検知されない光子に用いられる位相空間領域にわたる積分

によって表現されます。

  
そして,これらは個々の相互作用の詳細に依存しません。
 

特に,扱いやすい静電ポテンシャルによる電子散乱については,

詳細に論じ,他の具体例については手短かに論じます。
 

 一般的扱いの重要な副産物として,赤外寄与を特殊な手法で分離

したとき,それらは高エネルギーの輻射補正と,ある”磁気項”を

支配し,真空偏極補正log(E/)に比例する,あらゆる寄与を

与えるように見えます。
 

 そして,こうした補正の全ては,(大抵の場合,)単に荷電粒子の

外線運動量の知識だけから容易に評価できます。
 

そこで,これは非常に強力で正確な高エネルギー過程の輻射補正

を評価する方法を提供します。
 

§1.序文(Introduction)
 

赤外発散問題を理解するための本質的考察は,20余年前に出版

されたBlochNordseekの有名な論文によって,初めてもたら

されました。

  
この論文での考察は,端的に言えば,荷電粒子を含むどの

ような実際の実験においても,系の終状態を完全に指定すること

は不可能であるということです。
 

個々の光子は,くらでも小さい任意のエネルギ-を持って放出

され得るので,(検出装置の精度限界もあるため)いくつかの光子

は検知を逃れる可能性が常にあります。
 

実際,この著者は有限個の光子が検知されない確率は厳密にゼロ

であることを示しました。

  これは,軟らかい仮想光子(soft virtual-photon)に関わる
赤外

発散のせいです。

(soft-photon(軟光子)とは,振動数が小さいエネルギーがほぼ

ゼロの光子を意味します。)

  
他方,非検知光子の可能性をも含む比較可能な全ての終状態に

わたる微分断面積の総和を取ると,これは消えない結果を与える

ことになります。

  
実際,彼らは観測される微分断面積は,あらゆる輻射補正を無視

したときに得られる断面積に非常に近い,ことを示しました。

これは,実光子の赤外発散と仮想光子のそれの間の相殺としてよく

知られています。
 

赤外発散現象の現代的な場理論による取扱いを与えることが

本論文の趣旨です。
 

ただし,完全な,歴史的なレビューを与える試みなどは全くしない

予定です。そうした過去のレビューや参考文献については,

Jauch-Roelich優れた論文(文献(2))を参照してください。
 

さて,以下の論理の方向を定める目的で,赤外発散現象を予言する 

準古典的議論を手短かに想起します。
 

例えば,運動中の電子がポテンシャルとの相互作用で進路を 

逸らされる。と仮定します。
 

電子に付随するLorentz収縮した場は衝突によって変化し,

その場の変化は電磁輻射として放出されます。十分長波長の

輻射については輻射の効果は散乱領域の詳細な知識がなくても

計算可能です。
 

それは,単に電子の始状態,終状態の運動量と,輻射が観測される

方向にのみ依存します。

(電子の散乱域で時間の遅れはないと仮定します。
 

よく知られているように,この長波長の極限では単位振動数

当たりに放出されるエネルギーは振動数に依存しません。
 

光子による記述に翻訳すれば,単位振動数当たりに放出される光子 

の数は振動数に反比例することが明らかです。

すなわち,光子スペクトルはdk/kの形をしているため,k→ 0では

発散します。
 

これが実光子による赤外発散現象です。
 

角分布もまた,準古典的論拠によって理解できます。

超相対論的極限では場は電荷の運動方向に垂直な平面の近傍の

小さな領域内にLorentz収縮して電荷に沿って動くと思われます。
 

これは運動電荷の入射()方向か,終方向のどちらかに平行な輻射

強いピークを示す,ということにつながります。
 

こうした特徴は,{(εp'/kp')(εp/kp)}..(1.1) 

となる式に比例する輻射放出の古典振幅,の中に現われています。
 

 これは,それぞれ,始状態,終状態の運動量p'のどちらかに

平行なについて,強いピークを示します。

  散乱が生じたと仮定するとき,運動量
の光子が放出される確率は

(1.1)を平方してそれに[(2π)32]-1を掛けることで得られます。
 

すなわち,k~k+dkの範囲の光子が放出される確率:

()3,

()3k ~{α/(2π)3}{(εp'/kp')(εp/kp)}2 

×dΩdk/..(1.2)なる形で与えられます。
 

この式は,k→ 0での典型的な赤外発散の挙動が(dk/)なる

因子として出現し,入射電子運動量:と散乱電子運動量:p'

方向のまわりで強い角度依存性のピ-クを作ることを示して

います。

   
光子の方向にわたって積分したエネルギーレンジ:dkへの

光子放出の確率は,2dk∫P()dΩ=dAdk/..(1.3)

です。

   
ここで,Aは,

A ~ (2/π)[ln{2(2pp’)/2}1] ..(1.4) 

で与えられる量です。
 

かくして,光子放出の確率はエネルギーEの増大と共に対数的

に増加します。これはまた,散乱角が大きいほど重要です。
 

このことは古典的論拠からも予期されることです。
 

何故なら,電子に付随する場は,小さい角度のずれの遷移に対し

より容易に調整することができるからです。
 

この問題についての正しい量子力学的扱いは,準古典的議論から

予測されるのと同じ定性的な特徴へと誘導されると予想する

のが理にかなっています。

    
非常に長い波長の極限に関心があるのですが,このプロセス

は空間の大きい領域での散乱粒子の挙動によって支配されます。 

(※運動量kのk~ 0の小空間は座標空間ではx~ ∞の大空間

に対応します。)
 

この波長の長い軟光子の放出,吸収は,目立つほどには荷電粒子

の運動を乱すことはありません。


   これは軟光子は独立に放出,吸収され,実光子,仮想光子の

双方について個数分布がPoisson分布に従うことを

意味します。
 

このことは何人かの著者が,散乱粒子の電流(カレント)

純粋に古典的に扱われる近似に基づいて赤外発散を扱うこと

につながりました。
 

これらの方法では輻射補正の無い粒子の運動が計算され,

輻射補正の動力学的効果は無視されています。

こうしたタイプの最も精密な扱いはLondonその共著者により,

文献()で与えられています。
 

彼らは硬光子による輻射補正の力学的効果も含めた定式化

を展開しました。
 

こうした準古典的方法では,常に硬光子と軟光子の間の

任意の手法の分離があります。軟光子の寄与は粒子運動への

力学的補正を無視して,全てのオーダーまで正確に扱われます

,一方,例えばLondonの扱いでは硬光子の効果は基本的な

断面積の計算に組み込まれ,摂動論のあるオーダーまで 

の近似計算です。

    
そこで,硬光子と軟光子の分離が生じる場所は,これに

よって生じる誤差を最小にするように選択されます。


     このアプローチの典型的な
結果として,notation

いくつかの違いはありますが,

Londonを引用すると,エネルギーがEの光子による断面積

σの形式は, 

σ(ΔE,,θ~(ΔE/εC)αAσn(ε,,θ)..(1.5)

です。
 

ただし,εは上記の分離する場所のエネルギー,ΔEは

検知器のエネルギー解像度, σnは光子エネルギーの

下切をεとする摂動のn次までの断面積,

CはEuler定数,θは散乱角です。
 

彼らは(1.5)式において,実際の状況では極めて1に近い

因子F(α,)を除外しています。

    
この因子は次節の(2.45)式で与える予定ですが,これは

最初,LondonShawより単純な関数で評価されました。
 

この評価計算は§2で再現します。(つづく)
 

§1の序文はまだ続くのですが,長くなったのでここで2つに

分けました。
 

なお,論文の一番最後の付録のそのまた後にまとめて,記載

されているReference(参考文献)を予めアップしておきます。
 

ここで一旦終わりますが原稿はできているので,すぐに続き

もアップします。
 

参考文献:
 

1.F.Blocn amd A.Nordsieck,Phys.Rev.vol.52,p54(1957) 

2.J.M.Jauch and F.Roelich.Helv.Phys.Arla,vol.27,p613

(1954);J.M.Jauch and F.Roelich. 

"Theory of Photons and Electrons"p360

(Addison Wesley Publishing,Co,Inc,Cambridge,

(1955) 

3.H.J.Glaubes.Phys.Rev.vol.84,p395(1951) 

W.Thirring and H.Touschek.Phyl.Mag.7、」vol.42,

p244(1951) 

4.E.L.London Nuclear Physics.vol.1,p101(1956) 

E.L.London Phys.Rev.vol.113,p726(1959) 

5.J.Schwinger.Phys.Rev.vol.76,p760(1949)

6.I.M.Brown and R.P.Feynman,Phys.Rev.vol.85,p231(1952) 

.M.R.Shafroth Helv.Physics.Arla.Vol.22,p501(1949)  

and Vol.23,p542(1950) 

7.R.G.Newton, Phys.Rev.vol.97,p1162(1955) 

M.Chretien, Phys.Rev.vol.98,p1515(1955) 

8.H.G.Suura, Phys.Rev.vol.99,p1020(1955): 

9.R.G.Newton, Phys.Rev.vol.97,p1162(1955): 

M.I.G.Redhead, Proc.Roy.Soc.A230,p219(1953): 

R.V.Polovin, J.Exptl.Theoret.Phys(U.S.S.R.)

vol.34,p440(1956):Soviet.Phys.JETP,Vol.4.p385(1957) 

G.Furlan and G.Peressutti,Nuovo ciment,

[10],Vol.15,p817(1960) 

10.Y.S.Tsai,Phys.Rev.(in press)

11.J.D.Bjorken,S.D.Drell,and.C.Frauchi,Phys.Rev.

vol.112,p1409(1958) 

12.P.I.Fomin,J.Exptl.Theoret.Phys.(U.S.S.R.)

vol.34,p1409(1958)

and vol.85,p707(1958);Soviet.Phys.JETP,Vol.156.p385

(1958) and vol.35,p491(1959) 

13.A.N.Mitra,P.Narayanaswamy.and .L.K.Pand

,Nucl.Phys.Vol.10,p629(1959) 

14.D.R.Yennie and.H.Suura,Phys.Rev.Vol.105,p1378(1957) 

15.N.Nakanishi,Progress Theoet.phys.Japan.Vol.19,
        p159(1958)

16.F.Low,Phys.Rev,Vol.110,p974(1958) 

17.A.Sommerfeld,"Atombau und undSpektrallijnien"

Babd.p.565F.Vieweg und Sohn Braunschweig,1939 

18.S.N.Gupta,Phys.Rev.Vol.98,p1502(1955)

and Vol.99,p1015(1955) 

19.H.Frauchi and D.R.Yennie,submitted to Nuclear Phys. 

20.G.RacaH,Nuovo ciment.Vol.11,p461(1934)

21.L.I.Schiff.Low,Phys.Rev,Vol.87,p760(1952) 

22.L.L.Foldy,K.W.Enau,and.R.Yennie,Phys.Rev,

Vol.113,p1147(1959) 

23.R.H.Dalitz,Proc.Pfys.Soc.A306,p600(1951) 

24.C.Kacser,Nupvo ciment,Vol.13,p303(1959) 

25.G.Kallen,Kpl.Dunske,Viedenskab.Selakab,

Mat-fys.Medd.27,No.12(1954) 

26.S.G.Dasiorowicz,D.R.Yennie,and .Suura,

Phys.Rev,Lett.Vol.2,p513(1950) 

27.K.Johnson,Phys.Rev,Vol.112,p1367(1958) 

28.G.Kallen,Zentr.Math,Vol.83,p225(1960) 

29.K.Johnson,and B.Sumino,Phys.Rev,Lett.

Vol.3,p351(1951:B.Zumino(peprint)) 

30.G.Kallen,In Proceding of the CERN.Symposium

on High-Energy Accelarators and Pion Physics Vol.,

p187,Europian Organization of Nuclear Research,Geneva

1956

31.S.Kamefuchi,Kgl Dunske Viedenskab.Selakab, 

Mat,fys. Medd.Vol.31,No.6(1957) 

32.J.C.Ward,Phys.Rev,Vol.77,p293(1950),Vol.78,p182(1950) 33.H.M.Fried,and D.R.Yennie,Phys.Rev,Vol.112,p1391(1958) 

34.A.A.Arrikosiv,J,Exptl,Theoret.Phys.(U.S.S.R.)

Vol.30,p96(1956),Soviet.Phys.JETP,Vol.3,p71(1956) 

I.P.Gorkov,J,Exptl,Theoret.Phys.(U.S.S.R.)

Vol.30,p790(1956),Soviet.Phys.JETP,Vol.3,p762(1956) 

R.V.Tevikian,J,Exptl,Theoret.Phys.(U.S.S.R.)

Vol.32,p1575(1957),Soviet.Phys.JETP,Vol.5,p1284(1957)
 

35.I.D.Landau and I.M.Kharatnikov,Theoret.Phys.

(U.S.S.R.) Vol.29,p89(1955),Soviet.Phys.JETP,

Vol.3,p762(1956)

36.R\P\Feynman,Phys.Rev.Vol.76,P769(1950) 

以上です。

| | コメント (0) | トラックバック (0)

2016年9月25日 (日)

場の量子論第Ⅱ部)(7)

  場の量子論第Ⅱ部の続きです。
 

 前回は,Dirac:ψ^とと光子場(電磁場):^が共存して

 相互作用する系を考えたとき.それらの場を正準定式化した理論

 が.座標系のLorentz変換に対して不変という,対称性を持つこと,

 の証明を試みました。

 
 まず,一般の粒子場:{φr^}r=1,.Nから成る系で.理論がLorentz

 変換対称性を持つには、Noether保存量として角運動量演算子:

 μν^が存在して, 

 i[μν^,φr^(,)](μν-xνμ)φr^(,) 

+Ξμνrsφs^(,) なる交換関係を満たすことが必要である

ことがわかりました。

 
(※ただし,前回記事同様,添字:μ,νだけでなくr,sについても,

総和記号:Σを省略する記法を用いました。)
 

粒子場:{φr^}r=1,.N,

具体的なDirac:ψ^[ψα^]α=1,2,3,4光子場(電磁場):

^[k] k=1,2,3 であり,Lagrabgian密度:^. 

 L^ψ~^{iγμμ-e0γμμ^-m0}ψ^

 (1/4)μν^μν^ で与えられる電磁相互作用系では,
 

 相対論的不変性のために満たされるべき,上記交換関係は, 

 i[μν^,ψ^()]=xμνψ^-xνμψ^ 

 +(1/4)[γμ,γν]ψ^(), および, 

 i[μν^,r^()]=xμνr^-xνμr^ 

 +(μνs-gνμs)s^()  

 なる条件式を意味します。.
 

 そして,結局,演算子:μν^,

μν^=∫d30μν^(), 

0μν^()=μ0ν-xν0μ(i/4)ψ^μ,γν]ψ^ 

(μνs-gνμs)Ard^s^ 

と表わされるため,

 
すぐ前に,成立することを確認した平行移動対称性に関する

関係:i[μ^,ψ^()]=i∫d3[0μ^(),ψ^()]

=∂μψ^ ,および,

i[μ^,^()]=i∫d3[0μ(),^ ()]=∂μ^ 

を用いると,チェックすべき角運動量の交換関係については,

再び詳細な具体的で冗長な計算をすること無しに,ほぼ自動的

に成立することがわかる. と述べました。

  
しかし,実はこれには落とし穴がありました。

それは光子場(電磁場)^のゲージ条件に関わる問題です。

 特に,ここで理論定式化のためにに採用したCoulombゲージ:

^0 ,明らかにLorentz変換に対して不変ではなく,
 座標変換すると,この場が横波であるべき.という条件は満た

されなくなります。

  
この問題には,自由光子場の項でも遭遇したことを

思い出しました。というところで、前記事は終わりました。

 
さて,今回,その続きですが,ψについては,先述の論議手順

問題無しで,また,電磁場の空間ベクトル成分:^ or r^

(r=1,2.3)について,もしもLorentz変換を3次元の空間回転

限定するなら,∇A^0 は空間回転不変な性質なので問題無い

はずです。

 
しかし,そもそも独立なAr^(r=1,2.3)だけでなく,0^=Φ^

含めて4元ベクトルをなすことが,相対性理論と上記の交換関係

にとって必要ですから,光子場については修正を余儀なくされます。

 ここで,まず,以前,自由光子場で,この同じ問題に遭遇したとき,

どのように処理したかを見るため, 201211/2612/05アップ

した場の量子論第Ⅰ部の過去記事:

相対論的場の量子論(正準定式化)(34),(34-2)の必要部分

以下に再掲載したいと思います。

 
※余談ですが,これらの記事をアップしたのは,丁度,

帝京大学病院に右眼の手術のため入院した前後でした。

 
2011年春,東北大地震の後に,帝京大学病院で左眼の

糖尿性網膜症(眼底出血),,白内障の手術を受けたのに

続いて.2012年春,福島会津若松にボランティアに行った直後

今度は右眼も同じ手術を受けました。

 
それにも関わらず,秋になって再び,右眼の眼底出血を起こして,

11月末に同じ帝京大学病院眼科に入院することになったのでした。

 
しかし,眼科は手術が終われば,すぐに退院なので,12月初めには

もう退院していました。この頃は,足ではなく眼の疾患で入院を

繰り返していましたね。
 

その後,インスリン投与のため,高血糖で眼底出血するより,低血糖

での脳からの血液の網膜の酸素欠乏で,一時的に眼が見えなくなる

方が多くなり,最近では眼の外科治療は受けていません。

  今は,足と心臓の治療で,もっぱらお茶の水の順天堂大学付属医院

でお世話になっています。※
 

さて,光子の場:A^Dirac:ψ^と共存して,電磁相互作用する

場合,電磁場単独の自由光子場の論議との唯一の違いは,

∇E^=-∇2Φ^0 ではなく,∇E^=-∇2Φ^=ρ^

=e0ψ^ψ^0 なので,0^=Φ^=0 とすることはできない

ことです。


 
Coulombゲージ:^0 は,そのままですが. 

Φ^(,){0/(4π)}∫d3

[ψ^(,)ψ^(,)/|y-x|]であり, ^0 ,

かつ,A0^=Φ^=0,の輻射ゲージではなくなるのが,

大きな違いです。

  
しかしながら,0^=Φ^は相変わらず,光子場:^

とは常に交換するため,光子場の観点から見ると,単なる

-数と見なせて,やはり,,[μν^,0^()]0

成立します。
 

 その他には,当然;□Aμ^=jμ=eψμψ^とか,

運動方程式が場のそれ:;□Aμ^=0 とは異なるのは,

もちろんですが,過去の記事でかなり詳細に論じられている

ので,まず,それを見て,こうした違いの部分だけを注意して

修正すれば,いいと思ったわけです。

 
(※ ↓ 以下は,再掲載記事です。)

 「
相対論的場の量子論(正準定式化)(34)」(201211/26)
 

 まず,前回,(33)の最後の部分を補足しながら再掲します。
 

μ^()が4元ベクトルの変換性を持つと仮定したとき, 

相対的に運動している2つの慣性座標系間の変換の生成子: 

0k^=-0k^, 0k^

∫d3:πr^(0k-xk0)^+Ξ0krsπr^s^+xk^ 

∫d3:πr^(0k-xk0)^(δ0δsk-δrkδs0)πr^s

^+xk^で与えられます。
 

※※(34-1):場のLorentz変換の生成子:μν^, 

μν^∫d3 0μν^ ; 

0μν^=∑r{πr^(μν-xνμ)φr^} 

(μη0ν-νη0μ)^r,s Ξμνrsπr^φs^ なる表式で

与えられます。

 
このφr^(x)が電磁場μ^(),これが4元ベクトルとして

変換する場合には,上式でφr^λ^に変えると, 

0μν^=πλ^(μν-xνμ)λ^+Ξμνλρπλ^ρ^ 

(μη0ν-νη0μ)^  と書けます。 

(※ただし,ημν,空間が平坦なMinkowski空間の場合の

Riemann計量テンソル成分:μνを意味します。)

 
この場合,Ξμνλσ=δλμδσν-δλνδσμ なので, 

μν^∫d3[πλ^(μν-xνμ)λ^+Ξμνλρπλ^ρ^] 

-∫d3{(μη0ν-xνη0μ)^} となります。

 
これに,今の輻射ゲージ:∇A=0,0^=π0^=A0^0  

も成立すると仮定して正規順序を取れば,上記表現: 

0k^

∫d3:πr^(0k-xk0)^+Ξ0krsπr^s^+xk^ 

∫d3:πr^(0k-xk0)^(δ0δsk-δrkδs0)πr^s^

+xk^: が確かに得られます。

 
※添字の上げ下げが気になるかもしれませんが,相対論では時空

座標をμ(0,1,2,3)(,)としたとき,共変(covariant)

ベクトルとは,座標系の変換に対して,その成分が時空座標による

微分係数:μ(0,1,2,3,)(/∂x0,/∂x1,/∂x2, /∂x0,)(/∂t,) の成分と同じように変換されるベクトル

のことです。

 
これに対して元の時空座標と同じ変換性のベクトルを反変ベクトル 

と呼びます。

  反変ベクトルは上添字,共変ベクトルは下添字で表わし,

ギリシャ文字μ,ν,λ、・・は4元ベクトル添字の0,1,2,3,;

ラテン文字ijklm,;;p,q,r,sは,空間ベクトル添字

の1,2,3を表わすのが慣例です。

 
そこで,πλ^≡∂^/(∂Aλ^/∂t)のように,スカラーを 

反変ベクトルで微分したものは共変ベクトルとなって,添字

が上下逆転します。

 
今の場合は,空間成分は,単にπr^=-πr^(r=1,2,3)

なので,0k^

=-∫d3:πr^(0k-xk0)^+Ξ0krsπr^s^+xk^ 

=-∫d3:πr^(0k-xk0)^

(δ0δsk-δrkδs0)πr^s^-xk^と書けます。

この表現なら角運動量として違和感はないでしょう。

 
さらに余談を続けると.同じ量;Aの反変ベクトルとしての

成分:μと共変ベクトルとしての成分Aμ,Riemann

metric tensor(計量テンソル):μνによって,

μ=gμννなる関係式で結び付けられています。

 
座標変換の不変量=スカラーを与えるベクトルの内積は見掛け

の上で反変ベクトルと共変ベクトルの積の形:(,)≡Aμμ

=gμνμμで定義されます。

 
そして,特に行列(μν)の逆行列:(μν)-1(μ,ν)成分を

μνと書きます。すると,μ=gμνν(,)=Aμμ

=gμνμν とも書けます。

 
しかし,特殊相対論の慣性系の間の座標変換であるLorentz変換

を問題とするケースでは,時空は曲がったRiemann空間ではなく,

計量は平坦なMinkowski-metricであってgμν=ημνなので,

反変,共変の区別や添字の上げ下げは煩雑なだけ,添字の上下

も符号が変わるだけで,さほど重要な意味はありません。

 
事実,Landauや西島などは,謂わゆるPaulimetric:つまり

反変,共変を区別せず,時空座標はxμ(1,2,3,4)

(,i)であるとして時間変数のみを純虚数とし,一般の

4元ベクトルでも第4変数は純虚数として,

  
内積も
普通に(,)≡Aμμと定義して,Euclid空間

のような扱いをしています。

  
しかし,基礎物理学や光速cが効くようなスケール,または

時空の性質がオ-ダー的に影響し得る分野の多くのテキスト

では,理論が,いずれは特殊相対論から一般相対論の定式化へ

と発展するであろうという認識から共変と反変を区別し,添字

の上げ下げが用いられているようです。 

 
(34-1終わり※※)

 
さて,自由電磁場のLagrangian密度の陽な形は. 

^=-(1/4):Fμν^μν^:=(1/2)2^2

ですが,

 
π^^=-∂^/∂t=-d^.or πr^=-πr^rd^,

^=∇×^を代入すれば, ^(1/2){d^2(∇×^^)2}

(1/2){π^2(∇×^^)2} と書けます。

 
したがって,Lorentz回転の生成子:0k^=-0k^ 

0k^∫d3:x0r d^kr^-xkd^2

(1/2)k{d^2(∇×^)2}

∫d3:x0r d^kr^(1/2)k{d^2(∇×^^)2} 

=-∫d3:x0πr ^kr^(1/2)k{π^2(∇×^)2} 

とも表現されます。

 
しかし,現実には,Lorentz変換の下で,μ^は単純に4元ベクトル 

としては変換せず,追加のゲージ変換をも受けるとして,

新座標系でも輻射ゲージが保持されるように補償されなければ,

新しく変換された座標系で同じ電磁場の量子論を展開すること

ができません。

 
実際,0^(,)輻射ゲージでは恒等的にゼロなので,

明らかに恒等的に,i[0k^,0^(,)]0 ですが,上記の

4元ベクトルを仮定した定義から,

 
μν
^生成子なら,

i[μν^,λ^()](μν-xνμ)λ^()

+Ξij λρρ^()となるべきですから, 

特にi[0k^,0^(,)](0k-xk0)0^(,) 

(δ00δsk-δ0kδs0)s^(,)k^(,)

となるべきです。

 
しかしながら,i[0k^,0^(,)]0 ,かつ, 

i[0k^,0^(,)= Ak^(,) 0 となることはない

ので,これは,既に矛盾です。

 
前回(33)の最後はここまででした。※
 

既に上では,前回の補足のため,()を1つ入れましたが,今日

の記事は,さらに上記の最後の式を裏付けるための次の()

から入ります。

 
※※(34-2):まず,0^(,)0ですから,明らかに 

 i[0k^,0^(,)]0 というのは問題ないです。
 

一方,:φr^()に対するLorentz変換の生成子:μν^

満たすべき式は,

i[μν^,φr^()]=xμ(∂φr^/∂xν)

-xν(∂φr^/∂xμ)+Ξμν rsφs^() です。

  
よって,仮に,μ^(,)が4元ベクトルとして変換される

なら,それから構成される生成子 Mμν^Boost部分 M0^

とA0^(,)の交換関係は,

i[0^,0^(,)](0k-xν0)0^(,)

(δ00δrk-δ0kδr0)r^(,)

満たすはずです。

 
そして,(δ00δrk-δ0kδr0)(,)s^(,)k^(,)

ですから,上記の満たすべき交換関係式の右辺に,

0^(,)0 を代入すると,これは,

i[0,0^(,)]=Ak^(,) となります。

 
(34-2終わり※※)

 
また,同じく,0k^∫d3:x0r d^kr^-xkd^2

(1/2)k{d^2(∇×^)2} 

=-∫d3:x0πr ^kr^(1/2)k{π^2(∇×^)2} 

を実際に,j^(,)との交換関係:i[0k^,j^(,)]

代入すれば,

[πr ^(,),j^(,)]iδtrrj()により, 

i[0k^,j^(,)](0k-xk0)j^(,) 

+∫d∫d(2π)-3[{ d^(,)qqr/2}

×ykexp{i()}] となります。
 

※※(34-3):何故なら, 

まず,交換関係:i[0k^,j^(,)],

0k^∫d3:y0r d^(,)ykr^(,) 

(1/2)k{d^2(,)(y×^(,))2} 

=-∫d3:y0πr ^(,)ykr^(,) 

(1/2)k[π^2(,){y×^(,)}2] 

を代入します。
 

これについて,唯一ゼロでない修正された正準交換関係 

[πr ^(,),j^(,)]iδtrrj()を考慮します。
 

ただし,δtrrj()≡∫d3^(2π)-3 

{δrj(rj/2)} exp{i()} 

=δ3()∫d3^(2π)-3(rj/2) exp{i()} 

です。

 
故に,同時刻:0=x0=tを想定して, 

i[0k^,j^(,)] 

=∫d3[0δtrrj()ykr^(,)

kδtrrj()πr^(,)

=x0kj^(,)+xkπj^(,)

-t∫d3∫d3^(2π)-3{yk^(,)j/2}}

exp{i()}

-∫d3∫d3^(2π)-3{kπ^(,)j/2}

exp{i()} となります。

ところが,前に見たように,^(,)が∇y^(,)0

を満たすなら

∫d3∫d3(2π)-3[y,k^(,)j exp{i()}/2]

0 ですから,π^=∂0^-∂^/∂t=d^を考慮すると,
 

i[0k^,j^(,)](0k-xk0)j^(,) 

  +∫d3∫d3^(2π)-3{kd^(,)j/2}

 exp{i()} が得られます。 

 (34-3終わり※※)

 
さて,「相対論的量子論(正準量子)(9)」で見たように, 

座標変換:~=ax+b or ~μ=aμνν+bμ

に対して,古典的には,場が,φ~r(~)=Srs()φs()

と変換される場合,

 
量子論では,ユニタリ演算子:^(,)が存在して, 

^(,)φr^()^(,)-1=S-1rs()φs^(~)

となります。

 
無限小Lorents変換:~μ=xμ+εμνν; ενμ=-εμν

では,^(1+ε,0),^(ε)=U^(εμν)

1(i/2)εμν(μν^ (μν^Hermite演算子)と書き,

μν^Lie代数とか,変換の生成子(generator)と呼びます。

 
すると,φr^()がベクトル:λ^()のときには, 

μ^(~)=Aμ^()+εμνν^(),なので, 

-1rs(1+ε)φs^(~),μ^(~)-εμνν^(), 

or μ^(~)-εμνν^() となります。

 
故に, φr^() → Aλ^(),

^(1+ε,0) → U^(εμν) 1(i/2)εμνμν^について,

^(1+ε,0)φr^()^(1+ε,0)-1=S-1rs(1+ε)φs^(~)

,^(ε)μ^()^-1(ε)

=Aμ^()(i/2)εμν[μν^,λ^()]

=Aμ^(~)-εμρρ^(~)  を意味します。

 
特に,ε0=-ε0のみゼロでない回転を伴わな慣性系間

Boost変換でのA0^()の変換では,

^(ε)0^()^-1(ε) 

=A0^()(i/2)ε0k[0k^,0^()]

(i/2)ε0k[k0^,0^()]

=A0^()iε0k[0k^,0^()]

0^(~)-ε0kk^(~) のはずです。

 
しかし,0^()0 の輻射ゲ^ジを変換後も保持する

には,^(ε)0^(~)^-1(ε)=A0^()0であるべき

なので,実際の変換性は,

^(ε)0^(~)^-1(ε)=A0^() 

{0^(~)-ε0kk^(~)}+ε0kk^(~)

となります。,

 
また,同じBoost変換に対してAj^()の変換は 

^(ε)j^(~)^-1(ε) 

=Aj^()(i/2)ε0k[0k^,j^()]

(i/2)εk0[0k0^,j^()]

=Aj^()iε0k[0k^,j^()]

=Aj^(~)-εj00^(~)=Aj^(~)

のはずです。

 
しかし,実際は,

i[0k^,j^(,)]=-i[k0^,j^(,)] 

(0k-xk0)j^(,) 

+∫d3∫d3^(2π)-3{kd^(,)j/2}

exp{i()} なので,

 
^(ε)j^(~)^-1(ε)=Aj^()iε0k[0k^,j^()] 

=Aj^()+ε0k(0k-xk0)j^(,) 

-ε0k∫d3∫d3^(2π)-3{kd^(,)j/2}

exp{i()} 

=Aj^(~) -ε0k∫d3∫d3^(2π)-3

{kd^(,)j/2}exp{i()} です。

 
ここで, 1/(4π||)

=∫3^(2π)-3(1/2)exp{i()} なる公式から,

kd^(,)/(4π||) 

∫d3(2π)-3{kd^(,)/2}exp{i()}

です。

 
しかし,Coulombゲージ条件:∇A^0 から, 

0=∫d3y{kd^(,)/(4π||)} 

∫d3∫d3(2π)-3{ikd^(,)/2}exp{i()} 

jδjk∫d3∫d3(2π)-3{d^(,)/2}exp{i()} 

∫d3∫d3{yd^(,)/2}exp{i()} なので,
 

i∫d3∫d3(2π)-3{kd^(,)/2}exp{i()} 

∫d3∫d3(2π)-3{k d^(,)/2}exp{i()}

0 であり,
 

故に,∫d3∫d3(2π)-3

{kd^(,)j/2}exp{i()}

=-i(/∂xj)∫d3∫d3(2π)-3

{kd^(,)j/2}exp{i()} 

(/∂xj)∫d3∫d3(2π)-3

{k d^(,)/2}exp{i()} 

=-(/∂xj)∫d3{k d^(,)/(4π||)}

です。

よって,^(ε)j^(~)^-1(ε) 

=Aj^(~)-εj00^(~)} 

-εk0j[∫d3{k d^(,)/(4π||)}] 

が得られます。
 

一方,Gaussの積分定理から, 

k^(,)=-∫d3{y2k^(,) }/(4π||))

 であり,□Ak^(2-∂2/∂t2)k^0 より,

 2k^=∂2k^/∂t2なので,
 

k^(,)

=-(/∂t)∫d3{y2k d^(,) }/(4π||)) 

です。

 
よって,^(ε)0^(~)^-1(ε) 

{0^(~)-ε0kk^(~)}+ε0kk^(~) 

{0^(~)-ε0kk^(~)} 

-ε0k0[∫d3{y2k d^(,) }/(4π||)]]  

を得ます。

  
以上から,

Λ^(,ε)=∫d3{y2k d^(,) }/(4π||)) 

とおけば,^(ε)λ^()^-1(ε)

=Aλ^()(i/2)εμν[μν^,λ^(,)] 

=Aλ^(~)-ελρρ^()-ελρρΛ^ (,ε)

が得られます。

 
ただし,ελρが空間回転:εijのみの場合,Λ(,ε)はゼロ.

または定数であり,ρΛ^ (,ε)0 です。

 
したがって,このΛ^(,ε),この変換に伴うゲージ変換の

ゲージ関数を与えることがわかります。

 
入院のための準備もあるので,ここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken S.D.Drell  

Relativistic Quantum Fields” (McGrawHill)

 
2012年11月26日アップの記事の再掲載はここで終わり,

 ここからは,次の記事である, 

「相対論的場の量子論(正準量子化)(342)(34の補遺) 

に続くのですが,

長くなるので,ここで一旦切って2つ
 に分けることにします

(つづく)

| | コメント (0) | トラックバック (0)

2016年9月22日 (木)

場の量子論(第Ⅱ部)(6)

 場の量子論第Ⅱ部の続きです。
 

Lorentz不変性(Lorentz Invariance)の論議に向かいます。
 

すぐ前の場の量子論第Ⅰ部の関連部分をまとめた記事: 

「場の量子論第Ⅱ部(4)」によれば,
 

N個の独立な古典的場:φr()(r=1,2,)がある系のケース

では,座標系の無限小変換;μ → x~μに対して,これらの場が, 

φr() → φ~r(~)と変換されるとすれば,

系のLagrangian密度:[φr(),μφr()],

~[φ~r(~),μφ~r(~)]に変換されるのですが,
 

もしも,このx → x~,φr() → φ~r(~)に対して,

理論が不変,場の従う基本方程式(Euler-Lagrabge方程式)

の形が不変という対称性がある場合,Lagrangian密度の関数形

も不変(~=L)と仮定しtて, 

[φ~r(~),μφ~r(~)][φr(),μφr()]

とします。

 (
※ このLagrangian密度不変は,必要条件ではなく,単に

十分条件過ぎませんが,Noetherの処方は,こう仮定して

保存量を導きます。)

このとき,

δ[φr(~),μφr(~)](φr(),μφr()) 

とおけば,

δ[φr(~),μφr(~)][φ~r(~),μφ~r(~)] 

でもあります。
 

よって,,δ,同じx~における関数の差(変分):

δφr=φr(~)-φ~r(~) に対する,の変分です。
 

平行移動;μ → x~μ=xμ+εμのときは,

φ~r(~)=φr()なので,

δφr=φr(~)-φr()=εμ(μφr) でした。
 

一方,無限小LorentzZ変換:μ → x~μ=xμ+εμνν; 

ενμ=-εμνに対して,Lagrangian密度が不変のときは, 

 → x~,に対してφr() → φ~r(~)=Srsφs()

と変換されるとすると,逆に,φr()=S-1rsφ~s(~)

です。
 

そこで, Lagrangian密度のLoentz不変性の要求: 

[φr(),μφr()][φ~r(~),μφ~r(~)] 

,[S-1rsφ~s(~),~μ-1rsφ~s(~)]

[φ~r(~),~μφ~r(~)] を意味します。
 

この場合,δφr=φr(~)-φ~r(~)

=φr(~)-Srsφs()=-{φ~r()-φr()}

=-{φ~r()-S-1rsφ~s()} ですが,
 

無限小変換なので,rs=Srs(ε)と書くと, 

rs(ε)=δrs(1/2)Ξμν rsεμνと表現され,  

逆に,-1rs(ε)=δrs(1/2)Ξμν rsεμν 

となります。
 

したがって,

δφr=φr(~)(δrs(1/2)Ξμν rsεμν)φs() 

=φr(~)-φr()(1/2)Ξμν rsεμνφs() であり,

 
結局,δφr=εμνν(∂φr/∂xμ)

(1/2)Ξμν rsεμνφs() です。
 

このLorentz不変性からNoetherの処方により,連続の方程式: 

μνλ/∂xμ0 を満たす,角運動量密度テンソル: 

μνλ{(/μφr)(νλφr-xλνφr+Ξνλrsφs)} 

(νμλ-λμν)L が導かれます。
 

これにより Mνλ=∫0νλ()3と定義すると, 

このMνλ,dMνλ/dt=0 を満たす運動の常数となり, 

これは,古典的な角運動量と同定されます。
 

これを,対応原理に基づき量子化された演算子として 

演算子記号:^を付加すると,νλ^=∫0νλ^()3  

であり,μνλ^

{(^/μφr^)(νλφr^-xλνφr^+Ξνλrsφs^)} 

(νμλ-λμν)^  です。
 

 ただし,添字:μ,νだけでなくr,sについても総和記号: 

Σを省略しました。
 

(6-1);ここで,「場の量子論第Ⅱ部)(4)」にまとめた

2012年の場の量子論第Ⅰ部の過去記事:

相対論的場の量子論(正準定式化)(6),(7),(8) 

を参照するだけでは,以下の論議には足りないので,

 それらに続く,20123/23
記事: 

「相対論的場の量子論(正準定式化)(9)」をも以下

に再掲載します。
 

(※※ ↓ 以下,再掲載記事です。)
 

前記事では,Poicare'群に属する座標変換:

x'μ=aμνν+bμよって関係付けられる別のLorentz

座標系S(の観測者にとっては,
 

あるユニタリ(unitary)演算子;^(,)が存在して, 

2つのLorentz系で対応する状態ベクトルの間に. 

|Φ'α>=U^(,)|Φα>なるユニタリ変換が

なされることで望ましい変換が得られると仮定しました。
 

これを期待値について古典論との対応原理を示す式: 

<Φ'α|φ^r(x')|Φ'β>=Srs()<Φα|φ^s()|Φβ 

に代入すると, 

<Φ'α|-1rs()φ^s(x')|Φ'β>=<Φα|Uφ^r() -1|Φβ 

です、
 

これから,^(,)φ^r() ^(,)-1

=S-1