114 . 場理論・QED

2018年2月20日 (火)

ゲージ場の量子論(30)

「ゲージ場の量子論(29)」からの続き: 

§5.8 物理的S行列のユニタリ性の続きです。
 

※ 摂動論における漸近場のBRS変換 

Green関数のWT恒等式: 

0=<0|[iεQ,exp(ii・Φi)]|0 

=<0|{(iiεδΦi)exp(ii・Φi)}|0>から,質量殻上 

S行列のWT恒等式: 

:K:<0|{(iεaijΦj)exp(ii・Φi)}|0|j=0 0 

を導いた手続きが, 

前節に,摂動レベルでの4点Green関数のWT恒等式 

-<0|(ψα()ψ~β()iν()i()|0 

=<0|(igc()ψα()ψ~β()ν()~()|0 

-<0|(ψα()igψ~β()b()()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()~()|0 

に対して, 

LSZ公式<1..mout|1..nin  

=Πi=1m「[{i∫d4ii*m(i)i}Πj=1

[{i∫d4ii(j)j} 

0|(φ(x1..φ()|φ(1.).φ(n))|0 }] 

(x=□+μ2)によるS行列を対象とした議論の一般化に 

相当している,という注意に関連して,
 

形式的摂動論に現われる漸近場: 

0→±∞のとき,μ()→Z31/2asμ(), 

(ψ(),ψ~()) →Z21/2(ψas(),ψ~as()), 

((),~()) →Z~31/2(as(),~as()) 

のBRS変換を上記の方法で決定します。
 

これらがS行列WT恒等式から,ただちに導かれること 

を示します。
 

3,~3,.. 0|{μ()ν()}|0 

(1/i)δab[(μν-pμν/2){1/{2(2)} 

+α(μν/4)}, 

.. 0|{()~()}|0 

(1/i)δab[(i)/{2(2)}} 

のF-1(2),-1(2)をp2­0 

のまわりでTaylor展開した, 

-1(2)=Z3{1+Kp2+O(4)}, 

-1(2)=Z^3+O(2)} 

で定義される定数でした。
 

また,2,.. 0|{ψ()ψ~()}|0|離散的極部分 

i2 /(-m)で与えられるものでした。
 

くり込まれていないHeisenberg場のBRS変換は定義により, 

[iλQ,μ()]=λDμ() 

 [iλQ,ψ()]=-igλc()ψ(). 

[iλQ,ψ~()]=-igλc()ψ~(). 

[iλQ,()](/2)λ|()×()} 

[iλQ,~()]iλB(), 

[iλQ,()]0 で与えられます。 

(λはGrassmann数パラメータ)
 

これらの式から、漸近場のBRS変換則を得るには,左右 

両辺,特に右辺の"複合Heisenberg場"の漸近的極限, 

すなわち,離散的極部分を調べればいいです。
 

摂動論では展開の任意の(有限)次数において,結合状態 

(bound state)は現われず,
 

また,漸近場は,0→±∞のとき,μ()→Z31/2asμ(), 

(ψ(),ψ~()) → Z21/2(ψas(),ψ~as()), 

((),~()) → Z~31/2(as(),~as())で与えた 

asμ(),ψas(),ψ~as() as(),~as() 

が全てです。
 

そこで, [iλQ,ψ()]=-igλc()ψ(). 

[iλQ,ψ~()]=-igλc()ψ~()の右辺 

の"複合Heisenberg場" 

()ψ(),()ψ~()はFPゴースト 

:FP=+1Fermion:±1を同時に持つ演算子 

を意味しますが,そのようなチャネルには1粒子の 

「漸近場=離散的極部分」は存在せず, 

,結局,0→±∞で,()ψ() 0, 

()ψ~() 0 が結論されるため, 

[iλQ,ψas()]0, [iλQ,ψ~as()]0 を得ます。
 

よってDirac粒子の漸近場はBRS不変です。
 

同様に,(()×())a=fabc()()のチャネル 

はFPゴースト数:FP=+2の量子数を持ち,対応する1粒子 

漸近場が存在しないので,[iλQ,s()] 0 が従います。
 

また,[iλQ,μ()]=λDμ()の右辺の演算子; 

μ()=∂c()-g{μ()×()},Lorentz 

不変な4元ベクトルで,FPゴースト数:FP=+1の量子数 

を運びますが,FP=+1の漸近場はLorentzスカラーの  

as()のみですから, 

0→±∞で,Dμ() → Y1/2μas() 

1/2=Z~31/2{1+ω(0)}の形を取ります。

くり込み定数:1/2のうち,~31/2はDμas(のうちの∂μas 

部分のみの寄与です。残りのω~(0)=Z~31/2ω(0)の部分は留数 

()=A()|2=m2付近の説明から理解されるように,5.17 

Feynmanグラフ(側のゴースト2点関数の足を切ったもの) 

の寄与ω~(2)のゴースト極:20での値として計算される 

ものです。


 

ところが,実はこの複雑なくりこみ定数:1/2はFPゴースト 

場のくりこみ定数:3~1/2の逆数であることが, 

「ゲージ場の量子論(24)」で与えた次のWT恒等式 

から従います。
 

すなわち,..0|{μ()~()}|0 

=F..(i)0|{μ()()}|0 

iδabμ/2 です。よって,最右辺の極:20を持つ 

項が,重み1で出現しており,最左辺のc~() 

3~1/2~as()なる漸近形を持つくり込まれたHeisenberg 

場なのでDμ() → Y1/2μas(),1/23~1/21 

を意味するからです。
 

同じ,WT恒等式からNL場:()のくり込み定数:1/2 

.ゲージ場:μ()のくり込み定数:31/2の逆数であった 

という論議を思い起こさせます。
 

そこで,μ(),()の漸近形は,0 → ±∞で 

μ() → Z3~-1/2μs(),() → Z3-1/2s() 

となり,[iλQ,sμ()](33~)-1/2λ∂μs(), 

[iλQ,~s()](33~)-1/2iλBs() 

を得ます。
 

WT恒等式のおかげで右辺のくりこみ因子が(33~)-1/2 

と共通になっています。この定数因子は(33~)1/2 

新たにQと定義すれば吸収できます。
 

または,FPゴースト場のスケール変換不変性から 

c'asexp(ρ)as,~'asexp(-ρ)~as, 

exp(ρ)(33~)-1/2とした,c' as,c~' as 

を改めて漸近場:c as,c~ asに取っても吸収できます。
 

とにかく,どちらかを採用して,以後定数因子:(33~)-1/2 

は落とします。
 

かくして摂動論における漸近場のBRS変換が全て 

決まりました。[iλQ,sμ()]=λ∂μs() 

 [iλQ,ψs()][iλQ,ψ~s ()]0. 

[iλQ,s()][iλQ,s()]0 

[iλQ,~s()]iλBs() です。
 

これを,各モードの生成・消滅演算子に対する変換則 

に直しておきます。 

まず,[iλQ,sμ()]=λ∂μs()の右辺の 

μs()がスカラー波の微分で本質的に縦波ベクトル: 

iμexp(±ikx)のモードしか含んでないことから,左辺:  

sμ()の中のε(σ)μ(),ε(σ)μ()の係数:(,σ), 

(,σ),について 

2つの横波モード,スカラーモードはBRS変換で 

右辺には現われません。つまり,これらはBRS不変です。
 

[,(,±)]0, [,(,)]0 です。
 

残りの縦波モード:(,),その偏極平面波:()k,μ() 

,スカラー場平面波:k()の微分:μk()と一致する 

ように規格化され作られていたことでc(),()μ() 

展開式から,[i,(,)]=c()となることが 

わかります。
 

また,as()=-∂μasμ()(Feynmanゲージ:α1) 

のモード展開式に注意すれば, 

[,~()]=B()=-a(,)を得ます。
 

さらに,[iλQ,ψs()][iλQ,ψ~s ()]0

から,{,(,)}{,(,)}0, 

[iλQ,s()]0より,{,()}0 です。
 

(,),(,)Dirac粒子,反粒子の消滅演算子 

です。
 

ここで与えたのは消滅演算子に対するBRS変換ですが, 

生成演算子に対するBRS変換は,Hermire共役を取れば 

得られます。
 

これら変換則を眺めると,摂動論で現われる粒子モードは,, 

結局,BRS変換で非自明な変換をする系列: 

(,) → -i() 0 ,(,) i() 0 , 

~() → -a(,) 0 ,(,) → -a(,) 0 

のモードと,自明なBRS変換をする,すなわち,BRS不変なモード: 

(,±),(,) (,) 0, 

(,±),(,) (,) 0 とに分離している 

ことがわかります。
 

一旦,漸近場のモードのBRS変換則を見出せば,あらゆる 

S行列WT恒等式は,ほとんど自明な形で導くことができます。
 

自明なBRS変換をするモード,つまりゲージ場の横波モード 

Ditac粒子,反粒子モードは正定値計量を持ちますが, 

これらのモードのみで構成される状態; 

|α>=a(1,±)..(i,±)(1,1)..(m,m) 

(1,1)..(,n)|0>は明らかに,全てのモード 

がQと可換でQ|0>=0 ですから,|α>=0 を満たす 

ため,常に物理的状態であり,|α>∈physです。
 

それ故,この状態;|α>を与えるモードを物理的モード  

と呼びます。ここまでは,漸近場の生成・消滅演算子に一切  

as or in,outの添字を省略していましたが,もちろん, inout 

の2種類があり,どちらも同じ形のBRS変換性(および,BRS  

とは異なる,あらゆる保存電荷の変換性)を満たします。
 

Incoming場の生成演算子で作られた物理的状態: 

|α;in>=ain(1,±)..in(i,±)

in(1,1)..in(m,m) 

in(1,1)..in(,n)|0> からoutgoing場のそれ, 

|β;out>=aout(1',±)..out(',±) 

out(1',1')..out(m',m') 

out(1',1')..out(',n')|0> へのS行列要素: 

<βout|αin>に関しては,それらの物理的モードがBRS不変 

なので,何の制限もありません。
 

しかし,非自明なBRS変換をするモード,つまりゲージ場の 

縦波,スカラー波,および,FPゴースト,反ゴーストの4つの

モードの関与するS行列に対しては,BRS不変性が 

S行列WT恒等式の形で強い制限を与えます。
 

この4つのモードが,正に問題の不定計量をもたらす厄介者 

の非物理的モードである,ことを思い起こします。
 

しかしながら,丁度,この非物理的モードの挙動だけをBRS 

不変性がうまくコントロールします。
 

実際, |α;in,|β;out>が先に示したように物理的な 

in,outモードだけで作られた任意の状態とすれば, 

|α;in>=<β;out|0 なので,明らかに, 

0=<β;out|{,Φ1,out(1)..Φ,out() 

Φ1in(1)..Φ,in()}}|α;in 

の恒等式が任意の非物理的モードの漸近場の消滅演算子 

Φi,as()=aas(,),as(,),as(), ~as(), 

および,生成演算子: 

Φi,as()=aas(,),as(,),as(),~as() 

に対して成立します。
 

この恒等式は,あらゆるS行列WT恒等式をGreen関数を 

経由しないで直接与えるものです。例えばm=2,n=0, 

Φi(1)=c~(1),Φ2(2)=a(2,)と取れば, 

0=<β;out|{,~out(1)out(2,)}|α;in 

=<β;out|{,~out(1)}out(2,)|α;in 

-<β;out|~out(1){,out(2,)}|α;in 

=<β;out|[-aout(1,)out(2,) 

i~out(1)out(2)]|α;in>を得ます。
 

これは確かに,「ゲージ場の量子論(28)」で与えた 

WT恒等式: 0|(1,)(2,)|α> 

i0|c~(1)(2)|α> 

の一般化になっています。
 

本節はこれで終わりです。切りもいいので,今回は 

ここまでにします。


(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年2月18日 (日)

ゲージ場の量子論(29)

「ゲージ場の量子論(29)」からの続きです。

新しい節に入ります。

§5.8 物理的S行列のユニタリ性

本節,および,次節で物理的S行列:Sphysがユニタリ 

(unitary)であることを証明します。

以下は,そのために必要な定理です。

[定理]:理論が次の3つの条件を満たすとする。

)全状態空間:で定義されたS行列演算子: 

はユニタリ(unitary)である。 

すなわち,S=SS=1 である。
 

)の中の物理的部分空間:phys={|Phys} 

,時間発展の下で不変である。 

それ故,特にS行列演算子の下で不変である。 

phys=Sphysphysである。
 

) physは半正定値計量 

(positive semi-definite metric)  

である。 

すなわち, |Phys>∈phys に対して, 

Phys|Phys>≧0 である。
 

このとき,物理的S行列:physは正定値計量を 

持つ商空間;physphys/0 (0phys 

零ノルム部分空間)の上で矛盾なく定義され, 

ユニタリ性を満たす。 

すなわち,physphys=Sphysphys=1 である。
 

(※この定理の中で商空間(quotient space)の意味 

,零ノルム部分空間:0については証明の中で 

詳しく説明します。)
 

[証明]physの中でノルムがゼロである状態の全体 

0と定義します。 

0{|χ>∈phys |<χ|χ>=0 } です。
 

このとき,0の元|χ>はどれも,phys 

任意の元|f>と直交します。<χ|f>=0です。 

何故なら,任意のz∈に対して 

|χ>+|f>∈physであるからです。

つまり,(<χ|+<f|)(|χ>+|f>) 

=<f|f>+2Re(<χ|f>)0 

が任意のzについて満たされる必要がある 

というこよは,zが実数でz→-∞でも 

そうでなければならず,結局,<χ|f>=0 

でなければならないからです。
 

零ノツム空間:0のこの性質は物理的部分空間 

physの中の1つの状態:|f>と零ノルム状態: 

|χ>∈0だけ異なる別の状態:|f>+|χ> 

とはphysの中で物理的に決して見分けることが 

できないことを意味しています。
 

それ故,ある状態:|f>∈physと零ノルム状態; 

|χ>∈0だけの差しかない状態全体の集合を,

|^>={|f'>∈phys |(|f'>-|f>)0 } 

と定義して,これを|f>を代表元とする同値類(class) 

と呼ぶことにします。
 

そして,この類の1つ1つを元とする集合を商空間と呼び, 

phys/0で表わします。これをHphysと書きます。

|χ>∈0 なら<χ|f>=0 という性質から,|^ 

に属する状態:|f>と,|^>に属する状態:|g>との 

内積:<f|g>は代表元:|f>,|g>の選び方に依らず 

同一です。
 

そこで,physとの元としての|^>と,|^>の内積を, 

<f^|^>=<f|g>;|f>∈|^,|g>∈|^ 

によって矛盾なく定義できます。
 

この内積を付与されたHphysでは<f^|^>=0なら, 

|^>=|0^>={|χ>∈phys |(|χ>-0 )0 } 

0が成立します。
 

したがって,physは正定値計量空間となるため,これを 

(0を零元とする)物理的Hilbert空間と呼びます。
 

)の仮定からphyはS行列演算子:,および,の下 

で不変ですから,その零ノルム部分空間0もS, 

下で不変です。
 

実際,任意の|f>∈phyに対して,|f'>=S|f>と 

すれば,|f'>∈phyなので,|χ>∈0なら 

<f||χ>=<f'|χ>=0 ですからS|χ>∈0 

です。同様に,|χ>∈0もいえます。
 

したがって,physにおけるて物理的S行列演算子:phys 

,元のにおけるS行列演算子:Sから,|^>∈Hphys 

に対して,phys|^>=|(Sf)^>で定義すれば, 

この定義は無矛盾(well-defined)です。
 

このとき,()のSのユニタリ性の仮定から, 

任意の|^,|^>∈Hphysに対して 

<f^|physphys|^>=<(Sf)^|(Sg)^ 

=<Sf|Sg>=<f||g>=<f|g> 

=<f^|^> が成立します。
 

それ故,physphys1です。同様に,physphys1 

も明らかなのでSphysはユニタリと結論されます。 

[証明終わり] 
 

さて,ここまで展開してきた非可換ゲージ理論の場合 

を考えます。
 

FPゴースト場;,~を正しくHermite演算子の場 

に取っておけば,Lagrangian密度:~,故にHamiltonian: 

HがHermiteとなるので,時間発展演算子:exp(iHt) 

がユニタリとなり,(,0)exp(iHt)exp(iHt0) 

もユニタリなのでS=U(,-∞)はユニタリです。
 

そこで,まず,上の定理の()仮定であるSのユニタリ性:: 

S=SS1は満たされています。
 

そして,物理的部分空間:physはBRS電荷:を用いて, 

|Phys>0 |Phys>physで定義されていますが, 

が保存量で,かつ,Lorentzスカラーなので,phys 

明らかに時間発展で不変(かつ,Lorentz不変)です。
 

したがって,定理の()の仮定も満足されています。
 

自明でないのは,()の仮定です。 

つまり,phyが半正定値計量を持つかどうか?です。
 

前節の具体的摂動計算では負ノルム状態を作る危険性 

のある非物理的モード:すなわち,ゲージ場の縦波・, 

スカラー波モードとFPゴースト・反ゴーストモード 

が摂動のg2のオーダーまでは,うまい具合に零ノルム 

状態でしか現われないことを示したわけで,phyの一部 

(Dirac粒子^反粒子ペア初期状態から散乱後に作られる 

ゲージ場,またはFPゴースト2粒子セクター)について 

半正定値性を示したことになります。
 

以下では,phyの半正定値性を,もっと系統的,かつ一般的な方法 

で示します。そのためにはWT恒等式のより本質的表現である 

BRS電荷:について考察する必要があります。
 

※保存電荷の漸近場による表現 

まず, BRS電荷:に限らず,一般に保存する電荷演算子 

Qがあれば漸近的完全性の仮定の下で,それを漸近場:Φas 

(asout,in)で表わすと,必ず双1次形(bi-linear form) 

なることを示します。
 

いいかえると,QがΦasiの上に起こす変換は必ず線形です。 

つまり,[iεQ,Φasi()]=-εajjΦasj()という主張です。 

(※ただし,εは無限小パラメータです。QがQのように 

Fermi的電荷の場合には,それはGrassmann数なので,Φasi 

によっては交換子は反交換子に置き換えられます。)
 

この主張に対する素朴な証明は,次のようなものです。 

すなわち,Qが漸近場;Φasiに起こす変換を一般に, 

[iεQ,Φasi()]=εδΦasi()と表わし,両辺に 

Klein-Gordon演算子:+μ2(または,Dirac演算子: 

(iγμxμ-mi))を掛けると,左辺は漸近場;Φasi 

自由場の方程式:(+μi2)Φasi()0を満たす 

ので消えるため,右辺=(+μi2)δΦasi0  

なければなりません。
 

これは,δΦasi,Φasiの質量μiと縮退した質量を持つ 

全ての漸近場:Φasi(μj=μii)の線形結合で書けること 

を意味し,[iεQ,Φasi()]=-εajjΦasj()が結論 

されます。
 

この証明は簡明でいいのですが,けちをつけるなら難点があります。 

例えば,Φinj()の変換:δΦini(+μi2)δΦini0を満たす 

からといって,果たしてδΦini,incoming:Φnsiのみの線形結合 

で表わせるのか?なぜ.同じ方程式を満たすΦnoutiが混じっては 

いけないのか?という問題があります。
 

そこで,もう少ししっかりした証明を与えることにします。 

完全系をなす漸近場:ΦasiDirac場でも本質的に同様 

なので,簡単のため,スカラー場,またはベクトル場のモード 

成分として扱うことにします。
 

ただし,ベクトル場の場合の縦波とスカラー波の間や 

Pゴースト,反ゴーストの間に見られる反対角計量 

(不定計量)の場合も扱えるよう,Φasiの4次元 

()交換関係を一般の計量:ηijを持つ, 

[Φasi(),Φasj()]=ηijΔ(x-y,μi)の形に  

しておきます。
 

もちろん,計量は同じ質量の漸近展開でのみゼロ  

でないのでμiηij=ηijμです。
 

完全系をなす漸近場:Φasiに対応する.くり込まれた 

Heisenberg場をΦiとします。すると,0→±∞のとき, 

Φi() → Φasi(),(asIn,またはout)です。
 

これらのHeisenberg:Φi()のQによる変換, 

[iεQ,Φi()]=εδΦi(),BRS変換: 

Q=Q.δ=δでもそうですが,δΦiは一般に場: 

Φiに関して非線形な多項式です。
 

0→±∞のとき,Φi() → Φasi() という仮定は, 

.T <0|(Φi() Φi())|0|離散的極部分 

iηij/(2-μi2) 

=F.T <0|(Φasi() Φasi())|0>  

を意味します。
 

,多項式場;δΦi()とΦi()の2点関数を計算し, 

その離散的極部分を取り出して, 

.T <0|(δΦi()Φi())|0|離散的極部分 

=-iik()ηkj/(2-μj2) 

=F. {-aik(i)}0|(Φasi()Φasi())|0 

となった,とします。(T積はT積を意味します。)
 

もちろん,極の留数部;ik()の中のpは全てLorentz 

の足:μがついたもので縮約されたp2を含みません。
 

.T <0|(Φi()Φi())|0|離散的極部分は図5.15 

に示したFeynman図で計算されます。
 

図の右側のΦjには必ず,相互作用を全て含めたfull 

伝播関数<0|(ΦiΦi)|0>が含まれており,それを除く 

因子部分のFeynman:5.16の寄与をAik()で記せば 

留数aik(),k()=Aik()|2=μj2で与えられます。
 

これは留数:ik()の具体的計算法を与えています。
 

ところが,先の2点関数の仮定から, 

k()=Aik()|2=μj2,0→±∞ のとき, 

δΦi() → -aijΦasj() を意味します。 

ただし,ij(i)をaikjと書きました。
 

そこで,[iεQ,Φi()]=εδΦi()においてx0→±∞ 

の極限を取れば,[iεQ,Φasi()]=-εajjΦasj() 

が結論されます。
 

念のため,このような漸近場の線形変換が,果たして実際に 

元のHeisenberg;Φiの非線型な変換: 

[iεQ,Φi()]=εδΦi()を実現するのだろうか? 

という問いに答えておきます。
 

そのために,Heisenbwrg場の演算子を漸近場で展開した表現 

を与えるHaag-LSZ公式を思い起こします。
 

S=;:<0|exp{i(j・Φj){|0|J=0 , 

SΦ()=;:<0|[Φ()exp{i(j・Φj){|0|J=0  

です。(※ドット・は∫d4xの省略記号です。)
 

ここで演算子::は,漸近場:Φasi()が計量: 

[Φasi(),Φasj()]=ηijΔ(x-y,μi)を持つため, 

:=:exp{Φasiη-1ijjδ/δJj} 

(j=□+μj2)で与えられます。
 

ただし,SとSΦ()の右辺の表式で演算子 

であるのは,:=の中に現われる漸近場:  

Φasiのみなので,[iεQ,Φasi()]=-εajjΦasj() 

により, 

[iεQ,]=;[iεQ,Φasi()]η-1ijjδ/δJj} 

0|[exp{i(j・Φj){|0|J=0  

=:-εajmΦasm():η-1ijj 

0|[iΦj exp{i(j・Φj){|0|J=0 および,

[iεQ,SΦ()] 

=;[iεQ,Φasi()]η-1ijjδ/δJj} 

0|[iΦexp{i(j・Φj){|0|J=0  

:εajmΦasm();η-1ijj 

0|[iΦjΦ()exp{i(j・Φj){|0|J=0  

です。
 

これらの表式から求める結果を得るには,Green関数 

の生成汎関数に対するWT恒等式が必要です。
 

Qは「自発的に破れていない」対称性の電荷演算子 

ですから,真空はQで不変です。つまり,|0>=0です。 

[iεQ,Φi()]=εδΦi()により, 

0=<0|[iεQ,exp(ii・Φi)]|0 

=<0|[(iiεδΦi)exp(ii・Φi)]|0 

なるWT恒等式を得ます。
 

さらに,これをJk()で微分すれば 

0=<0|[{εδΦk()iΦk()iεδΦi}exp(ii・Φi)]|0 

なる恒等式を得ます。
 

この恒等式に::を施せば,外場;i()は全て 

,Φasjη-1ijjで置き換えられます。 

このとき,Φasj()は質量殻:2=μi2上の関数で 

Klein-Gordon演算子:jは伝播関数の逆;(-p2+μj2) 

(-p2+μi2)ですから,この演算子の下ではJj 

掛かっている複合Heisebnberg演算子:δΦjには, 

そのチャネルでΦiの質量:μiと同じ質量の1粒子 

の極部分しか効きません。
 

それ故,.T <0|(Φi() Φi())|0|離散的極部分 

iηij/(2-μi2),および, 

.T <0|(δΦi()Φi())|0|離散的極部分 

=-iik()ηkj/(2-μj2) 

を考慮すると,
 

質量殻上(2=μj2),δΦj() → -aijΦj() 

の置き換えができます。
 

よって,Green関数のWT恒等式:  

0|[(iiεδΦi)exp(ii・Φi)]|0>=0. 

0|[{εδΦk()iΦk()iεδΦi}exp(ii・Φi)]|0 

0 ,次の質量殻上のS行列WT恒等式に帰着します。
 

0|[(iiεaijΦj)exp(ii・Φi)]|0|J=00

:<0|[{εδΦk()

iiεaijΦjΦk()}exp(ii・Φi)]|0|J=0 0 です。
 

ここで係数行列:ijはμi=μjのときのみゼロでないことは 

明らかなので,iij=aijjが成立します。
 

そこで,jΦasmη-1mijに置換して 

Φasm:η-1miεaijj 

0|[iΦjexp(ii・Φi)]|0|J=00 , および, 

:<0|[εδΦk()exp(ii・Φi)]|0|J=0 

Φasm;η-1miεaijj 

0|[{iΦjΦk()}exp(ii・Φi)]|0|J=0 

0 です。
 

ここで.Jacobi多項式;[iεQ,[Φasi(),Φasj()]] 

[[iεQ,Φasi()],Φasj()][Φasi(),[iεQ,Φasj()]] 

が成立しますが,[Φasi(),Φasj()]c-数ですから, 

左辺はゼロなので,[iεQ,Φasi]=-εaijΦajより 

εajk[Φask(),Φasj()]

()1|i||ε|εajk[Φasi(),Φask()]  

を得ます。
 

そこで.[Φasi(),Φasj()]iηijΔ(x-y)から,  

εajkηkjΔ(x-y)()1|i||ε|εajkηilΔ(x-y)  

η-1miεajk()1|i||ε|εajmη-1jk, 

故に,Φasmη-1miεajk()1|i||ε|Φasmεajmη-1jk, 

=-εajmΦasmη-1jjが成立するので
 

0Φasm:η-1miεaijj 

0|[iΦjexp(ii・Φi)]|0|J=0 

=-[iεQ,],および, 

0=::<0|[εδΦk()exp(ii・Φi)]|0|J=0 

[iεQ,Φk()] を得ます。
 

したがって, [iεQ,]0 ,および, 

[iεQ,Φi()] 

=::<0|[εδΦk()exp(ii・Φi)]|0|J=0 

=SεδΦi() が結論されます。
 

[iεQ,]0 はS演算子が保存量:Qの下で不変であること, 

を一般的に証明したこと,を意味します。 

つまり,保存電荷:Qを生み出す(ゲージ)対称性変換の下では, 

S行列は常に不変であること,を示しました。
 

一方,[iεQ,SΦi()]=SεδΦi(),求める漸近場に 

対するQの線形変換が,Heisenberg場に対する元の一般には 

非線形な変換を再現することを示しています。
 

今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年2月15日 (木)

ゲージ場の量子論(28)」

「ゲージ場の量子論(27)」からの続き: 

§5-7 摂動論のFeynman則と簡単な計算 

の続きです。
 

※行列要素関係式とGren関数WT恒等式 

前回は.非常に具体的な計算を行なって摂動のg2 

のオーダーまでの範囲で,S行列要素の関係式: 

0|(1,)(2,±)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α> 

i0|c~(1)(2)S|α> 

を見出しました。
 

特に,(2)のWT恒等式:5.3,5.9を駆使して 

計算しましたが,実は,最後の結果である上記のS行列 

要素の関係式自体は,直接,4点Green関数に対する 

WT恒等式から従うものです。
 

すなわち, 一般的WT恒等式:, 

0=<0|{i,(1(1)2(2)..n())}|0 

=Σk1n()k0|(1(1)2(2).δ(k).m()|0 

において,n=4として,

1=ψα,2=ψ~β,3=Aν,4=c~とすると, 

0=<0|{i,(ψα()ψ~()ν()~())}|0 

=<0|(δψβ()ψ~()~()|0 

-<0|(ψα()δψ~β()ν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()δν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()δ~()|0 

すなわち, 

0|(igc()ψα()ψ~β()ν()~()|0 

-<0|(ψα()igψ~β()()ν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()iν()i()|0>=0

あるいは,, 

-<0|(ψα()ψ~β()iAAν()i()|0 

=<0|(igc()ψα()ψ~β()ν()~()|0 

-<0|(ψα()igψ~β()b()()~()|0 

+<0|(ψα()ψ~β()ν()~()|0 

なる4点Greem関数のWT恒等式です。
 

これはFeynman図では下の図5.13で表わされます。
 

図の中での中央blob,あらゆる可能なFeynmanグラフの 

総和を示すものです。
 

,簡単のため,このWT恒等式:5.13を摂動の最低次; 

(2)で考えることにし,この両辺で第3章S行列の項 

で与えた次のLSZ簡約公式(reduction-formula)を適用 

します。 

1..m-1mout|1..nin  

-<1..m-1out|(m)1..nin >=i∫d4 

{m()x1..m-1out|φ()|1..nin }より, 

1..mout|1..nin  

=Πi=1{i∫d4ii*m(i)i}Πj=1[{i∫d4ii(j)j} 

0|(φ(x1..φ()|φ(1.)..φ(n))|0 }] です。

(※ただし,散乱粒子場:φ(),全て質量μのKlein-Gordon 

方程式に従うスカラー場であるとし,x=□+μ2と定義して. 

演算子:(+μ2)に代えて記号:xを用いました。)
 

ixi(+μ2)は運動量kのk空間では-i(2-μ2)を意味 

,これは丁度,場の伝播関数=2Green関数:i/(2-μ2iε) 

を相殺する逆数になっています。
 

S行列要素の散乱粒子場が質量mのDirac:ψ()なら 

xi(+μ2)の代わりに,xi(γμxμ―m)が挿入 

されますが,これは運動量pのp空間では(―m)を意味 

します。 Dirac場のLSZ公式ではix=が(ix) 

置き換えられるため,やはり,伝播関数:i/(-m+iε) 

の逆数です。
 

したがって、運動量空間に変換した4点Green関数の 

つの外線の足に,(i)(―m),または,質量ゼロの 

ゲージ場の(i2)を掛けた後,各運動量を質量殻の上: 

=m,または,20 に置き,外線波動関数:(-v~), 

,または,ε(σ)*μを掛ければ,
 

5.13の左辺は.Dirac粒子-反粒子ペアの初期状態から 

番目のチャネルが縦波ゲージ場となる2粒子状態への 

散乱振幅となります。
 

ところが,5.13の右辺は3番目のグラフ以外は,1,2,3 

どれかのチャネルにゴーストを伴う2粒子状態になっている 

ため,1粒子極を含まず,(i)(―m)(i2)を掛けても 

分母と分子が相殺されず,質量殻上:=m,やk20 に置く 

とき,これらのグラフの寄与はゼロとなります。
 

唯一,この過程で番目のグラフは生き残りますが,.2 

規則により,これはチャネル3の運動量:νに比例します。
 

そこで,3の足のゲージ粒子の波動関数:ε(σ)*ν(2)との 

縮約で{-k2ε(σ*(2)}の因子をつくります。
 

この因子を除けば,丁度,FPゴースト-反ゴーストの 

ペアへの散乱振幅を与えるので,結局,5.13の等式は, 

前述の関係式: 

[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε(±)μ(2)]0,, 

[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε()μ(2)]0  

および,[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε()μ(2)] 

i[(1)+v~(2)→c(1)+c~(2)]  

を再現することになります。
 

ここで与えた議論は,容易に摂動の全次数に拡張できます。
 

しかし,全次数の議論では,5.13の第4項は図5.14 

示すタイプのグラフがFPゴースト1粒子の極を作る 

ようになるため,もはや落とせなくなります。
 

しかし,同時にLSZ公式で正しい散乱振幅を得るには, 

くり込まれたHeisenberg:-1/2μ,1/2,~3-1/2, 

~3-1/2~Green関数を用いなければならない, 

(摂動の最低次ではZ=1です。)ということも考慮する 

必要があります。
 

この2つの点に留意すれば,前述のつの関係式は摂動 

の全次数でも(tad-poleを除いて)変更なく成立すること 

が示せます。これについては次節で,より一般的,かつ, 

系統的な方法を展開する予定なので,ここでは,これ以上 

深入りしません。
 

同様にして,種々な多点Green関数のWT恒等式から出発 

して外線に伝播関数の逆数を掛けて質量殻上に載せる 

という手続きで,摂動の任意次数で成立する無限に多くの 

S行列要素間の関係式:つまりS行列WT恒等式を得る 

ことができます。
 

そして,そのようなS行列WT恒等式の全体が,物理的S行列­: 

Physがユニタリであることを保証することがわかります。
 

例えば,先に得たS行列WT恒等式: 

0|(1,)(2,±)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α>=0 は, 

添字:,bを省略した表現で, 

Dirac粒子-反粒子ペア状態:|α>の散乱状態: 

|α>の中にa(1,)(2,±){0>や 

(1,)(2,){0>のような 

縦波ベクトルを含む状態が現われないことを 

示しています。

(※何故なら,ゲージ粒子の1粒子完全性は, 

∫d3(,σ)|0>η~στ0|(,τ)1であり, 

S行列要素:<β||α>のユニタリ性は S|α>が 

縦波とスカラー波の逆転的展開式: 

|α>=∫d3 

[..(,)|..><..|(2,)|α> 

+a(,)|..><..|(2,)|α>] 

で与えられるからです。)
 

一方,スカラー波とベクトル粒子を含む, 

(1,)(2,±){0>や 

(1,)(2,){0>の状態 

に対応するS行列WT恒等式の制限は存在 

しないので,これらの状態は散乱状態:|α> 

の中に一般に現われます。
 

縦波同様,スカラー波も非物理的モードのはず 

なのに,これらは現われると考えられます。
 

しかし,ここで,交換関係:[(,),(,)]0, 

[(,),(,)][(,),(,)] 

=δ3()を思い起こすと,スカラーモード同士は 

可換で,スカラーモードは縦波モードとのみ非可換です。
 

このため, ,スカラー波を含むa(1,)(2,±){0 

やa(1,)(2,){0>の状態がいくら現われても 

スカラーモードの可換性から.これらは零ノルムの状態 

なので,観測にはかかりません。
 

このとき,縦波モードの状態:(1,)(2,±){0 

,(1,)(2,){0>が禁止されていることが 

重要です。
 

何故なら,(1,)(2,±){0 

やa(1,)(2,){0>の状態がゼロでない内積を 

持ち得る相棒状態が,(1,)(2,±){0 

,(1,)(2,){0>のみなので,もしも同時に 

現われるなら,それらの線形結合がゼロでないノルムを持ち, 

そのノルムに比例する確率で観測されてしまうからです。
 

さらに,線形結合の相対的重みによっては負ノルム状態も 

存在できることになり,物理的解釈不可能になりますから 

縦波モード状態が禁止されて存在しないのは本質的 

なことです。
 

もう1つの,S行列WT恒等式: 

0|(1,)(2,)|α> 

i0|c~(1)(2)S|α> 

の意味するところはより興味深いです。
 

これは,縦波とスカラー波のモードが1つずつの 

ゲージ場の粒子状態も,FPゴースト-反ゴースト 

のペア状態も禁止されず,,単にそれらが係数iを 

除いて同じ重みで出現することを主張しています。
 

すなわち,対応: 

<β|(,)|α> → ε()*μ() 

<β|(,)|α> → ε()*μ(), 

および,展開式:|α>=∫d3 

[..(,)|..><..|(2,)|α> 

+a(,)|..><..|(2,)|α>] 

によって,
 

それらの状態は,|α>の中で常に, 

[(1,)(2,)i~(2)(1)]|0 

という形の線形結合で現われると考えられます。
 

ところが,この形の状態間の内積は, 

[(,),(,)][(,),(,)] 

=δ3(),および, 

{(),~()}=-{~(),()} 

=δ3() から,
 

0|(1,)(2,)(1,)(2,)|0 

=δ3(21)δ3(12) 

 0|i(1)~(2)(i)~(2)(1)|0 

=-δ3(21)δ3(12)となります
 

ゲージ粒子のL-S状態がゼロでない内積を 

持ち得る相棒の状態はL-S状態のみであり, 

FPゴースト-反ゴーストのc-~状態の 

相棒もc-~状態のみですから,これら非物理的状態 

が上記の線形結合の組み合わせでしか現われないなら 

内積が相殺して零ノルムとなり,観測にかからないこと 

になります。
 

このような議論を,非理的モード:つまり,縦波, 

スカラー波,,FPゴースト,反ゴーストの関わる 

任意のS行列要素に対して,零ノルムの 

組み合わせでしか現われないということを証明 

する必要がありますが,これは膨大な作業です。
 

すなわち,色々なGreen関数のWT恒等式を 

手当たり次第に書き下し,それから外線を質量殻上 

に載せる操作で,S行列WT恒等式が,たとえ得られた 

としても,それらのS行列要素間の関係式は多粒子状態 

になると飛躍的に複雑なものとなり,果たして非物理的 

モードが全て零ノルム状態で出ることを保証できるか? 

わからなくなります。
 

それ故,実際に証明を実行するにはS行列WT恒等式 

の本質を捉えた,より強力な方法が必要とされます。
 

それは次節と次々節で与える予定です。
 

本節は,これで終わりなので今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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ゲージ場の量子論(27)

「ゲージ場の量子論(26)」からの続きです。
 

§5-7 摂動論のFeynman則と簡単な計算 

補助条件:|Phys>=0 で指定される物理的部分空間: 

phys{|Phys}に限ったS行列;physがユニタリである 

ことを次節,および,次々節で,摂動論には依らず,かなり 

一般的に証明する予定です。
 

しかし,そのような一般論に入る前に,本節では摂動論の 

Feynman則を与え,少し具体的な振幅の計算をします。 

それはFeynmanグラフに慣れると同時に非可換ゲージ理論 

Fock空間の計量構造やWT恒等式の意味を理解する上で 

役に立つと思われます。
 

Feynman 

話を露わにすべく,既に考察した全系のLagrangian密度で, 

物質場の部分をDirac:ψにとって, 

~=-(1/4)μνaμν+ψ~{iγμ(μigAμ)―m}ψ 

(μ)μ(α/2)i(μ~)μ 

を以下で考察する対象の全系のLagrangian密度とします。
 

ゲージ固定項とFPゴースト項を既に含むこの~を「古典論」 

Lagrangian密度と見なして出発すれば,自明な第2類拘束条件: 

φ1=π0  0,φ2=π+A0 0しか出てきません。
 

それ故,遷移振幅;Tの位相空間経路積分表式は, 

T=∫ππψψππ~~ 

×Ψ~ΨΠ,[δ(π0)δ(π+A0)]exp[i∫d4 

{πaμμd+πdiψψd+πd

+π~~d}] 

となります。
 

ただし,det1/2|[φ1,φ2]P.B|因子は本質的には1に等しいこと 

を用いて落としました。
 

ここで,π0,πの積分を実行して,δ関数を落とし. 

さらにπ,π,π~積分も実行すれば, 

expの肩の被積分関数は丁度~になります。
 

したがって,Green関数の生成汎関数は 

[]=∫ψψ~~  

exp[i∫d4{~(,,ψ,ψ,,~)Φ}] 

と書けます。
 

ただし,Φ,Φ=Jaμμ+J+η~ψ 

+ηψ~+J~+J~c~a で与えられ,Fadeev-Popov 

の方法で求めた経路積分表式を再現します。
 

この表式により,直ちに第4章で行なったのと同様にして, 

摂動論のFeynman則を導くことができます。
 

利用の便宜のために,この非可換ゲージ理論における 

(運動量表示の)Feynman,特にFeynman伝播関数と 

頂点関数のグラフを表1にまとめておきます。


表1の頂点の最後のグラフの寄与は, 

2[eabecd(αγβδ-gαδβγ) 

+feacebd(αβγδ-gαδγβ) 

+feadebc(αβδγ-gαγδβ)] です。

1において,Dirac場やFPゴースト場につけてある  

矢印はψ~からψへc~からcへの方向を示し,運動量  

の向きとは無関係です。
 

ゲージ場の伝播関数の中のα,くり込まれたゲージ 

パラメータで,実際計算では,もっぱらFeynmanゲージ: 

α1を取ります。
 

(※事実.頂点関数の第1図,第2図でゲージ場の交換関係は 

Feynmanゲージで計算しているようです。)
 

また,頂点関数では運動量の向きは全て頂点から流出する 

方向に取りました。この場合,運動量がkの場のx依存性は 

exp(ikx),~の中の微分:μ(iμ)に同定されます。
 

外線に関しては,運動量表示のGreen関数:~(n)を計算 

するときは,表1の伝播関数を付与し,不変振幅:βα 

計算のときにはスカラー場には,{(2π)320}-1/2, 

Dirac場には,始状態には(2π)-3/2(/0)1/2(,), 

終状態には(2π)-3/2(/0)1/2~(,)etc., 

ベクトル場には{(2π)320}-1/ε(±)μ(), 

{(2π)320}-1/ε(±)μ()etc.を付与します。 

その他,ループ積分∫d4(2π)-4など,§4-6 

与えた規則を適用します。
 

ここで,ベクトル場:μの偏極状態の散乱振幅に関して, 

少し紛らわしい点の注意を与えておきます。
 

それはベクトル場の偏極ベクトル:ε(σ)μ()(σ=±,,) 

の間の内積η~στを与えたときに,縦波()-スカラー波() 

のセクターで反対角になっていることに由来するものです。
 

すなわち,このために,漸近場の消滅演算子:as(,σ) 

漸近場:asμ()から取り出す公式は, 

as(,σ)=η~στ(i)∫d3[(τ)μ()0asμ()] 

 =η~στ(i)∫d3[ε(τ)*μ(){exp(ikx)0asμ()} 

 ×{(2π)320}-1/2]となり,
 

したがって,LSZ公式は, 

<αout|out(,σ)|βin>-<αout|in(,σ)|βin 

=η~στ∫d4[(τ)μ() 

(i)<αout |-1/2μ()|βin] 

で与えられます。
 

これは,ket状態が<αout|out(,σ)で与えられる 

散乱過程の不変振幅;の計算でaout(,σ)粒子に相当 

する外線は,係数:{(2π)320}-1/2を除けば波動関数: 

η~στ(i)ε(τ)μ()を付与すべきことを意味します。
 

0||は ゲージ粒子のエネルギーで,ωとも書かれます。
 

特に,η~στはL-Sセクターで反対角になっているため, 

S行列要素との計算との間には見かけ上, 

<α|(,)|β> → ε()μ(), 

<α|(,)|β> → ε()μ()のような逆転 

が起こることになります。
 

にも関わらず,波動関数:ε()μ()で計算される, 

縦波()が出る散乱振幅, 

ε()μ()で計算されるものは,スカラー波()が出る 

散乱振幅と呼ぶことにします。
 

その理由は,不定計量の空間でのユニタリ性は行列で書くと, 

1粒子状態完全性として, 

∫d3(,σ)|0>η~στ0|(,τ)1 

のように,η~στを含むので, 

|0>を含む全ての状態:|..>を挟んだ完全性=ユニタリ性 

の表現で,初期状態が|β>の散乱状態:|β>の展開は 

|β>=∫d3[..+a(,)|..><..|(,)|β> 

+a(,)|..><..|(,)|β>+..]  

と書けるからです。
 

つまり,外線の1つがε()μ()で計算されるS行列 

要素;..|(,)|β>は,確かに縦波を含む 

終状態:(,)|..>になる散乱振幅を与えます。
 

FPゴースト,反ゴーストの場合も,上のような計量 

が示す反対角性と同様,見かけ上の逆転が生じます。 

|β>=∫d3[..+c()|..i..|~()|β> 

+c~()|..i..|()|β>+..] です。
 

※簡単な計算例 

さて1つの簡単な具体例として初期状態がDirac粒子と 

反粒子1個ずつの2体状態で,終状態がゲージ粒子の2体 

状態となる散乱過程を考えます。
 

この過程に効く最低次のFeynmanグラフは図5.2 

,,Cに示した3つです。
 

初期状態のDirac粒子と反粒子のスピノルを 

(1,1)=u,v~(2,2)=v~とし,終状態ゲージ場 

2粒子の偏極ベクトルを,ε(σ1)μ(1)=ε1μ, 

ε(σ2)μ(2)=ε2μと記し,表1のFeynman規則を適用すれば 

不変振幅:に対する図5.2のA,,Cの寄与は,それぞれ, 

次のようになります、
 

=ε1*με2*ν{(2π)-3{(2ω1)(2ω2)}-1/2(2π)-3{2/(21)1/2 

[~gTγν(11―m)-1gTγμ] 

=ε1*με2*ν{(2π)-3{(2ω1)(2ω2)}-1/2(2π)-3{2/(21)1/2 

[~gTγμ(12―m)-1gTγν] 

=ε1*με2*ν{(2π)-3{(2ω1)(2ω2)}-1/2(2π)-3{2/(21)1/2 

[gfabc{μν(1-k2)ρ+gνρ(122)μ 

+gρμ(21-k2)ν}(i)/(1+k2)2)(~gTcγρ)}] 

です。ただし,Feynmanゲージ;α1を取り,伝播関数中のiε 

を省略しました。なお,ωはゲージ粒子のエネルギー,EはFermi 

粒子のエネルギーです。
 

終状態ゲージ場が(物理的)横波状態の場合,これらの振幅の 

表式はこれ以上簡単にはなりません。
 

しかし,ここで,ε1*μが縦波状態:ε1*μ=ε()*μ(1)i1μ 

である場合を考えます。
 

まず,次の恒等式が成立することに注意します。 

(―m)-1(-m) -1(―m)-1(-m)-1 

この両辺に,右から(-m)(,)を掛け,その後pμを質量殻 

上にのせます。p2=m2であり(-m)(,)0 です。 

(―m)-1(,) =-u(,)を得ます。
 

同様に 

(―m)-1(-m)-1(―m)-1(k-p-m)-1 

の両辺に,左からv~(,)(-m)を掛け,その後 

-pμを質量殻上にのせます。v~(,)(-m)0 より,  

~(,)(-m)-1=v~(,)を得ます。
 

そこで,,および,の表式でε1*μi1μを代入すると, 

ε1*μγμiとなるので,係数: 

{(2π)-3{(2ω1)(2ω2)}-1/2(2π)-3{2/(21)1/2を省略 

すれば,それぞれ, 

~ -i2ε2*ν[~γν] および, 

B  i2ε2*ν[~γν] を得ます。
 

についても簡単化できますが,その前に,少し寄り道をして, 

これらの,の等式が,実は摂動最低次のWT恒等式の1つ 

になっていることに注意しておきます。
 

「ゲージ場の量子論(24)」では,WT恒等式が, 

0=<0|{i,(1(1)2(2).n())}|0 

=Σk1n()k0|(1(1)2(2),.δ(k).m()|0 

(=Σi=1-1||です。( ||はOの統計指数))  

なる恒等式で与えられることを見ました。
 

この式でn=3としO1=ψ,2=ψ~,3=c~とすると, 

0=<0|{i,(ψ()ψ~()~())}|0 

=<0|(δψ()ψ~()~()|0 

-<0|(ψ()δψ~()~()|0 

+<0|(ψ()ψ~()δ~()|0>です。
 

すなわち,0|(igcb()ψ()ψ~()~()|0 

-<0|(ψ()igψ~()b()~()|0 

+<0|(ψ()ψ~()i()|0>=0 

あるいは, 

0|(ψ()ψ~()i()|0 

=-<0|(b()(igT)ψ()ψ~()~()|0 

+<0|(ψ()ψ~()b()(igT)~()|0) 

なるWT恒等式になります。
 

ところが,この恒等式は,結合定数gに依らず成立するので 

gの各次数ごとに成立します。 

特にgの1次で両辺のGreen関数に効くFeynmanグラフ 

,5-3に示すものです。
 

これは,次のように読み取れます。 

i(iμ){(iμν)/2}i(―m)-1 

(igTγν)i(―m)-1 

=-{(1)/2}[(igT)i(―m)-1 

i(―m)-1(igT)] です。
 

(igT)を消去すると 

{(iν)/2}(―m)-1γν(―m)-1 

=-{(i)/2}[(―m)-1(―m)-1] 

となります。
 

これが前の恒等式: 

(―m)-1(-m)-1(―m)-1(-m)-1 

と同値なのは明らかです。
 

ここでGreen関数の内線,外線に伝播関数を用い, 

式B=-∂μμ (α1)を使いました。 

さらにBRS変換は,δψ=-igcψ,

δψ~=-igcψ~, 

δ~ψ=iとし,{i,Φ}δΦを用いました。
 

i(iμ){(iμν)/2}i(―m)-1(igTγν)i(―m)-1 

=-{(1)/2}[(igT)i(―m)-1i(―m)-1(igT)] 

で両辺に共通な伝播関数因子(1/2)を外に出したWT恒等式は, 

5.4のように描かれます。
 

そうすれば,~ -i2ε2*ν[~γν] , 

B  i2ε2*ν[~γν] のような片方のFerni粒子線 

が質量殻上の外線になっている場合のWT恒等式は,上図5.4の恒等式 

,(i)(-m)()などを掛けることによって得られ, 

5.5のA,Bのように表わせます。
 

この図5.5Feynmanグラフで表わしたWT恒等式を,直接, 

5.2のA,BのFeynmanグラフにおいて,ε*μi1μのときに 

適用すれば図5.6となります。
 

この図の右辺が,を直接.与えています。
 

これらの知見を得た後にを簡単化するのは容易です。 

すなわち,0=<0|{i,(1(1)2(2)..n())}|0 

=Σk1n()k0|(1(1)2(2).δ(k),.m()|0 

の一般的WT恒等式において,
 

n=3とし,1=Aν,2=Aρ,3=c~とした恒等式は 

0=<0|{i,(ν()ρ()~())}|0 

=<0|(ν()ρ()~()|0 

+<0|(ν()ρ()~()|0 

+<0|(ν()ρ()i()|0> となります。
 

つまり, -<0|(ν()ρ()i()|0 

=<0|(ν()ρ()~()|0 

+<0|(ν()ρ()~()|0> です。
 

これの.摂動の最低次:(1)Feynmanグラフは図5.7 

与えられます。
 

式に書き下すと, 

(i)(iμ){(i)/2}gfabc[μν(2k-p)ρ+gνρ(2p-k)μ 

+gρμ(-p-k)ν]{(1)/2}[i(p-k)ν{(1)/(p-k)2} 

(igfacb)(p-k)ν{(i)/2}(-gfbca)νρ{(i)/2} 

{(i)/(p-k)2}(igfbac)(-p)ν{(1)/2} 

{(i)/ (p-k)2}(-gfcba)ρν] です。
 

ただし,上では,表2に示す規則を使いました。


 

表2には,WT恒等式に現われるBRS変換により,生じる頂点,端点 

に成立するFeynman則をまとめておきました。
 

さらに,ゴースト伝播関数因子:(1/2を外し,左からε*νi(p-k)2 

を掛け,その後,(p-k)を質量殻上(p-k)20 に取れば,5.7 

極を持たない右辺第2項は落ちて,5.8を得ます。
 

この図5.8の恒等式を直接,ε1*μi1μのときのFeynman図である 

5.2のCに適用すれば,は図5.9のように表わされます。
 

すなわち,式で表わすと,1,2の規則を用いて, 

[(-ε22)gfcab2ρ{(1)/(1+k2)2} 

+ε2*ν(i)bac(-k1-k2)ν{(1)/(1+k2)2}i(1+k2)ρ 

+ε2*ν(-gfcba)ρν(1)]~gTγρuとなります。
 

ところが,5.9,または,上の表式の右辺第2項は,外線波動 

関数:,vのDirac方程式によってゼロになります。
 

(※何故なら,保存則:1-p2=k1+k2 より, 

(1+k2)ρ~γρ 

=v~(2+m)+v~(1-m)u=0 です。)
 

ここで重要な注意をしておきます。 

この式=カレント保存則は,実は図5.3のWT恒等式 

そのものです。(その2つのDirac場外線を両方共に 

質量殻上の波動関数にしたものです。)
 

このことは図5.9の第2項のゴースト端点因子が, 

.2からわかるように縦波ゲ―ジ場の波動関数と 

一致しているという重要な事実に基づきます。
 

この等式のために例えば図5.3右辺第2項Dirac場の線が 

たとえ質量殻上の波動関数でなく,内線の伝播関数として 

より大きなFeynmanグラフに含まれる場合でも図5.10 

ように,さらに続けてFeynmanグラフのWT恒等式を用いて 

変形できます。
 

これをさらに徹底すれば, Feynmanグラフの図形変形という 

手法だけで,より高次のWT恒等式を全て導くことも可能です。
 

このような図形的手法を「diagramの方法」と呼びます。
 

5.9に戻り,の右辺第2項が消えた後,右辺第3項も実は 

5.6で表わされる()と相殺して消えることが 

わかります。
 

これは生成子の表現行列:の満たすLie代数: 

[.]iabcのせいでFeynmanグラフで表示すると 

5.11の等式が成り立つからです。
 

したがって,結局,偏極ベクトル:ε1*μが縦波ベクトル: 

ε()*μ(1)i1μの場合,不変散乱振幅: 

,5.3の第1項のみとなり, 

=gfabc2ρ(ε22){1/(1+k2)2}~gTγρ 

で与えられることになります。
 

表2の最後に書いたように,ここで定義されている偏極ベクトル: 

ε(σ)μ()(σ=±L,),με(σ)μ()=δσSを満たすため, 

2番目のゲージ粒子が横波でも縦波でもこの振幅はゼロになる 

ことがわかります。
 

[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε(±)μ(2)]0 , 

[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε()μ(2)]0 です。
 

そして,唯一残るスカラー波:ε2μ=ε()μ(2)の場合 

因子:(ε22)(i)になり,上記振幅Mは図5.9右辺第1項 

のグラフからもわかるように,丁度,下5.12に示すように 

終状態がFPゴースト-反ゴーストのペアとなる過程の散乱振幅 

は規格化定数の係数を除いて, 

cc~=-igfabc2ρ{(i)/(1+k2)2}~gTγρ 

=-gfabc2ρ{1/(1+k2)2}~gTγρ 

i倍に等しいことがわかります。


 

よって,[(1)+v~(2)→ε()μ(1)+ε()μ(2)] 

i[(1)+v~(2)→c(1)+c~(2)]  

という散乱振幅の等式を得ます。
 

-Sセクターの反対角計量:η~στによる逆転現象に注意 

すると,これらの等式は次のようなS行列要素の関係式に 

書き直せます。
 

0|(1,)(2,±)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α>=0 

0|(1,)(2,)|α> 

i0|c~(1)(2)S|α>
 

ここで,Dirac粒子-反粒子ペアの初期状態を|α> 

と書きました。
 

途中ですが,今回はここで終わります。


(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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ゲージ場の量子論(26)

「ゲージ場の量子論(25)」からの続きです。 

※形式的摂動論における漸近場 

前記事で触れたように,先に与えた自由場のLagrangian:~0 

Yang-Mills理論の摂動論におけるくり込まれたHeisenberg 

場の漸近場の挙動を記述しています。
 

このことを,ここで証明しておきます。
 

相互作用の入ったHeisenberg;μ(),(),~() 

2Green関数は,一般にLorentz不変性とカラ-

(大局的ゲージ変換)不変性から, 

.. 0|{μ()ν()}|0 

(1/i)δab[(μν-pμν/2){1/{2(2)} 

+α(μν/4)}, 

.. 0|{()~()}|0 

(1/i)δab[(i)/{2(2)}} 

の形になります。
 

(26-1)上の証明です。 

まず,μ0|{μ()ν()}|0 

=δ(0-y0)0|[μ(),ν()]0=0|0 

+<0|{μμ()ν()}|0 

=-α<0|{()ν()}|0> です。
 

ところが,以前の記事「ゲージ場の量子論(24)」で 

..0|{μ()()}|0>=-δabμ/2 

となるということを述べました。
 

したがって, 

..μ0|{μ()ν()}|0 

=-αδab(ν/2) です。
 

それ故, 0|{μ()ν()}|0 

=Π(1)abμν(,)+Π(1)abμν(,) とおくことが 

できます。
 

ただし,..μΠ(2)abμν(,)=-αδab(ν/2), 

であり,Π(1)abμνμΠ(1)abμν(,)0 を満たす 

付加項です。
 

..μΠ(2)abμν(,)=-αδab(ν/2)であり, 

..μ=-iμ なので, 

..Π(2)abμν(,)=-iαδab(μν/2) 

 と書けると考えられます。
 

一方,μΠ(1)abμν(,)0 から 

μ=-iμ および,直交性とLorentz共変性により 

..Π(1)abμν(,) 

=-iδab(μν-pμν/2)(2)と書けます。
 

Feynmanゲージ(α=1)では 

.. 0|{μ()ν()}|0 

∝ δabμν/2  となるはずですから 

α=1ならf(2)1/2となるべきです。
 

そこで,電磁場の真空偏極のアナロジーで, 

1/(2)=p2{1+Π(2)} =p2(2)と書きます。 

-1(2)1+Kp2+O(4)Taylor展開できます。
 

以上から, .. 0|{μ()ν()}|0 

(i)δab[(μν―pμν/2){1/{2(2)} 

+α(μν/4)} を得ます。
 

次に,同じく記事「ゲージ場の量子論(24)」で述べたように, 

..0|{μ()~()}|0>=iδabμ/2です。
 

xμ0|{()~()}|0 

-gfacd0|{μ()()~()}|0 

=δ(0-y0)0|{(),~()}0=0|0 

+<0|{μ()~()}|0 

=δabδ4(x-y)+<0|{μ()~()}|0
 

ここで;さらに∂μをを掛けると. 

0|{()~()}|0 

-gfacdxμ0|{μ()()~()}|0 

=∂xμ0|{μ()~()}|0> です。
 

ところが, 

μ0|{μ()()~()}|0 

=δ(0-y0)0|{μ()(),~()}|0 

-α<0|{()()~()}|0 

+<0|{μ()μ()~()}|0 

=<0|{-αB+Aμ()μ()~()}|0 

ですが,これは,明らかにLorentzスカラーです。
 

そこで,これをFourier変換してもスカラーです。
 

それ故, 

..gfacdxμ0|{μ()()~()}|0 

=δabΠ(2) と置きます。
 

以上から,.. 0|{()~()}|0 

=δab{1+Π(2)}] =δab/(2) 

と書けます。ここで,1/(2)1+Π(2)としました。
 

したがって,.. =-p2 より, 

.. 0|{()~()}|0 

=-δab/{2(2)} を得ます。
 

(26-1終わり※)
 

(※他の組合わせ:0|{μ()~()}|0>などは, 

ゴースト数の保存則から全てゼロです。)
 

(2),(2),粒子の動力学によるスカラー関数で,摂動 

0次の自由場段階ではF(2)=G(2)1 です。
 

.. 0|{μ()ν()}|0 

(1/i)δab[(μν-pμν/2){1/{2(2)} 

+α(μν/4)},において,(μν/4)に比例する項が, 

α(μν/4)の形に決まっているのは, 

両辺に∂ν=∂/∂yνを演算したとき,μとAνの同時刻 

可換性により,.. 0|{μ()νν()}|0 

iν(1/i)αδab(μν/2)となって,これが運動方程式: 

νν(=-αBの関係から,先の恒等式: 

..0|{μ()()}|0>=-δabμ/2 

(-α)倍を再現しなければならない,からです。
 

したがって,,これらの式のαは裸のゲ-ジパラメータです。
 

摂動論では,(2),(2)の自由場のときの値:1からのずれは, 

極く小さいと考えるので,..0|{μ()ν()}|0 

や,F.. 0|{()~()}|0>の表式でのp2­0 の極 

(1/2,および,dipole:1/4),留数の微小な変化を別にして, 

極として存在し続けることになります。
 

以前に表式: 

∫d4exp(ikx)0|{φ()φ(0)}|01粒子極部分 

i/(2-m2iε) 

=∫d4exp(ikx)0|{1/2φas)1/2φas(0)}|0 

を得たときに注意したように,漸近場の2点関数は 

Heisenberg場の2点関数の1粒子極部分で与えられます。

それ故,規格化していないHeisenberg:φ()の漸近場:  

φ^as(),0→±∞でAμ() → A^asμ(),  

() → c^as(), ~() → c~^as()  

(asout,or in) で定義したとき,

(※群の添字:aは,しばらく省略します。)  
 

2­0 1粒子極部分を取り出して

.. 0|{^s()^asν()}|0 

(1/i)3[(μν-pμν/2)(1/2) 

-K(μν/2)+α(μν/4)}
 

そして、F.. 0|{^as()~^as()}|0 

(1/i)^3{(i)/2)} を得ます。
 

ここで,3,, ^3,-1(2),-1(2)をp2­0 

のまわりでTaylor展開した, 

-1(2)=Z3{1+Kp2+O(4)}, 

-1(2)=Z^3+O(2)} 

で定義される定数です。
 

そしてαは"裸の"パラメータαと,α=Z3αの関係 

で結び付いています。
 

実際に,摂動のループグラフを評価すると,(2)やG(2) 

(ln2)のような項を含み,3=F-1(0)や Z^3=G-1(0) 

無限大の発散量となります。
 

これは通常の場の理論の発散の紫外発散(ultraviolet divergence)  

をくり込みで除いた後に残る,零質量粒子の存在に起因する発散で, 

赤外発散(infrared divergence)と呼ばれています。

ここでは,赤外発散を避ける何らかのゲージ不変な正則化

の処方を取っていると仮定し,形式的な議論を続けること

にします。

.. 0|{^sμ()^asν()}|0 

(1/i)3[(μν-pμν/2)(1/2) 

-K(μν/2)+α(μν/4)}における(1/4)dipole 

(2重極),(α1)(μν/4)の形で現われているので,前述 

したように,くり込まれたゲージパラメータα1とするFeynman 

ゲージを取れば確かに消えます。
 

そこで,以後はFeynmanゲージ:α1を採用することにし, 

くり込まれた漸近場を,^asμ=Z31/2asμ,^as=Z^31/2as, 

~^asμ=Z31/2~asによってAasμ,as,~asで定義すれば, 

問題のHeisenberg場の,くり込まれた漸近場の2点関数は, 

0|{sμ()asν()}|0 

(i)[(μν-K∂μν)(x-y),および, 

0|{as()~as()}|0>=-D(x-y) 

となります。
 

漸近場:sμ,as,~asは全て自由場なのでD→ Dに 

よって4次元()交換関係として, 

[sμ(),asν()] 

(i)[(μν-K∂μν)(x-y),および, 

{as(),~as()}=-D(x-y)を得ます。
 

次に、Heisenberg場の方程式:μμ+αB=0 , 

くり込まれた漸近場と,くり込まれたゲージパラメータ: 

α=Z3-1αで書いても,μasμ+αas0となる 

ように,NL場:()の漸近場:as(), 

0 → ±∞で,() → Z3-1/2as()で定義します。
 

このとき,.. 0|{()sν()}|0 

=-δabν/2,および,0|{()s()}|0 

=<0|{,{()~s()}|0>=0 は漸近場に 

対しても同じになるので,
 

[asμ(),as()]=-∂xμ(x-y), 

[as(),as()]0です。
 

これによりBas()同士は可換ですからAasμを∂μas 

比例した項だけシフトしてA'asμ=Aasμ(/2)μas 

と定義し直しても[asμ(),as()]=-∂xμ(x-y) 

は不変のままです。
 

つまり,[A'asμ(),as()]=-∂xμ(x-y)です。
 

そこで,シフトで定義をしたゲージ場で, 

[sμ(),asν()](i)(μν-K∂μν)(x-y) 

,[A'sμ(),A'asν()]=-iμν(x-y) 

と簡単になります。
 

Yang-Mills漸近場:A'sμの上記の4次元交換関係と 

FPゴースト漸近場のそれ:{as(),~as()}=-D(x-y) 

は群の添字:aを復活させれば,以前の自由場のLagrangian:~0 

から求めた4次元交換関係と丁度一致し,したがって,運動方程式 

も□A'sμ=□cs=□c~s0 (□Bas=□Asμ0でもある) 

が従います。
 

これらは∂μsμ+αas0 と共に,~0から出る 

μμ+αBa0,,□c=□c~0,および, 

(α1のときの)□Aaμ(1-α)μa.□Ba0 

を再現しています。
 

以上で漸近場の系が~0で記述される自由場の系と同等である 

ことの証明が終わりました。
 

(※以下,普通,漸近場というときにはA'asμではなく, 

μ → Z31/2asμで定義されるAasμを指すことにします。)
 

本節はこれで終わり,切りもいいので,今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年2月 2日 (金)

ゲージ場の量子論(25)

「ゲージ場の量子論(24)」からの続きです。
 

 自由場の量子化 

これまで,ベクトル場やFermi統計に従うスカラー場の量子化 

,議論していなかったので,ここでその議論を与え,それらの 

粒子のFock空間の計量構造を明らかにしておきます。
 

まず,Lagrangian密度から相互作用を落とした自由場の部分: 

~0を見てみます。
 

~0=-(1/4)(μν-∂νμ)( μaν-∂νaμ) 

-∂μμ(α/2)(μ~)(μ)
 

通常は,μν=∂μν-∂νμ-gfabcμμ 

ですが,b=a,c=aでないなら.gfabcμμ, 

相互作用になり,自由場ということで,-gfabcμμ 

の付加項は落としました。また,物質場の部分も,ここでは 

論じないので落としました。
 

以下で説明するように,このLagrangian:~0,摂動論に 

おける,くり込まれたHeisenberg場の漸近場の挙動 

(運動方程式と交換関係)を記述するLagrangianでもあります。
 

そのとき,αはくり込まれたゲージパラメータで,これは 

初めの「裸のパラメータα:」とは異なろものです。
 

この~0で記述される自由場の運動方程式は, 

まず,~0/∂Aaμ-∂ν{~0/(νaμ)}0 

より,□Aμ-∂μ(νν)=∂μ,
 

~0/∂B-∂μ{~0/(μ)}0 より, 

μμ+α0 です。
 

~0/∂c-∂μ{~0/(μ)}0 ,および, 

~0/∂c~-∂μ{~0/(μ~)}0 より, 

□c=□c~0 です。
 

共役を取ると, 

πaμ=∂~0/(μ)d=Faμ0=-(aμ)d+∂μa0, 

π00より,の共役運動量変数はπak(k=1,2,3)のみです。
 

π=∂~0/∂Bd=-A,π=∂~0/∂cd=-i~d, 

π~=∂~0/∂c~did,です。
 

正準交換関係, 

[,πbk]iδabδjkδ3()(j,k=1,2,3 

[0,]iδabδ3(), 

{,π}{~,π~}iδabδ3()から. 

同時刻交換関係を得ます。
 

[(,),d(,)]iδabδjkδ3()(j,k=1,2,3 

[0(,),(,)]iδabδ3(), 

{(,),~(,)}{~(,),(,)} 

=δabδ3() です。
 

次に,運動方程式:□Aμ-∂μ(νν)=∂μ,  

および,μμ+α0 から 

□Aμ-=(1-α)μ,および,□B0 を得ます。
 

これは,α1ではAμが零質量のKlein-Gordon方程式: 

□Aμ0 を満たさず,□を2回演算して,初めて□2μ0 

を満たすことを示しています。
 

一般に,□Φ≠0で□2φ=0 を満たす場:φをdipole 

(ダイポール)場と呼びます。
 

また,α1のゲージをFeynmanゲージ,α0のゲージを 

Landauゲージといいます。したがって,Feynmanゲージ以外では, 

ゲージ場:μdipole成分が現われます。
 

dipoleが現われる場合(特にLandauゲ―ジは理論的には美しい) 

にも以下の分析は少し複雑にはなりますが,本質的には,同様に 

やれるので,ここでは簡単のため,以下. Feynmanゲージ:α1 

の場合に話を限ります。
 

Feynmanゲージでは,全ての場が単純な零質量場となります。
 

すなわち,□Aμ=□c=□c~0 です、 

ゲージ条件はB=-∂μμです。
 

このとき, =-∂μμから, 

[0(,),(,)]iδabδ3(), 

[0(,),-∂μμ(,)]iδabδ3() 

になりますが, [0(,),(,)]0ですから. 

これは,[0(,),00(,)]=-iδabδ3() 

を意味します。
 

そこで,[(,),d(,)]iδabδjkδ3() 

と一緒にして, 

[μ(,),νd(,)]=-iδabμνδ3() 

Feynmanゲージでの交換関係となります。
 

こうして Aμ,もc~も単に零質量のスカラー場と同じ 

運動方程式,(反)交換関係を満たすので,以前の自由スカラー場や 

電磁場の量子化で述べたように,これらは, 

μ()=∫d3{μ()()+a+aμ()()}, 

()=∫d3{()()+c+a()()}, 

~()=∫d3{~()()+c~+a()()},
 

(){(2π)320}-1/2exp(ikx), (0||) 

と展開できます。
 

展開係数は,生成・消滅演算子の()交換関係を満たします。 

[μ(),+bν()]=-δabμνδ3()  

{(),~+b()}=-{~(),+b()} 

iδabδ3() です。
 

そこで,同時刻と限らない一般の4次元交換関係やFeynman 

の伝播関数は,  

[μ(),νd()]=-iδabμν(-y), 

{(),~()}=-δab(-y) 

<0|[μ()ν()]|0>=-iδabμν(-y) 

 <0|[()~()]|0>=-δab(-y) 

となります。
 

ただし,零質量のデルタ関数:Δ,Δを特に,, 

記しました。 

()=Δ(,m=0), 

()=Δ(,m=0) 

=∫d4(2π)-4{exp(-ikx)/(2iε)} です。
 

生成・消滅演算子:μ(),+aμ()の交換関係: 

[μ(),+bν()]=-δabμνδ3()  

,以前,既に引用したものですが,後の物理的モード, 

非物理的モードの議論の際には,Lorentz添字:μ,νを直接 

使うより,横波,縦波,スカラー波という偏極成分に分解した 

方がいいと思われます。


まず,波の進行方向:に直交する平面に偏極している横波の 

独立な2つの偏極ベクトル:ε(±)μ()として,ヘリシティ 

(helicity):Jk/||の固有値:±1の固有ベクトルをとります。
I※ 左回転(),右回転()の円偏光,もう1つは固有値がゼロ  

の縦波があります。)

次元ベクトル:ε(±)()を用いて,  

ε(±)μ()[0,ε(±)()] と表わすと,kε(±)()0   

ε()() ε()()ε()()ε()()1,  

ε()()ε()()ε()()ε()()0 です。

この3次元ベクトル:ε(±)()の陽な表式は,例えばkが 

z軸(3)に平行://3とすると次式で与えられます。 

ε()()(1/2)[1,i,0], ε()()(1/2)[1,i,0], 

です。
 

残る独立な2つの偏極4元ベクトルを, 

ε()μ() =-iμ=-i[||,],  

ε()μ()=k~μ/(2||2)i[||,]/(2||2) 

と選択し,これらをそれぞれ,縦波モード(longitudinal mode) 

スカラーモード(scalar mode)と呼ぶことにします。
 

これら,4つの偏極ベクトル:ε(σ)μ()(σ=±,,) 

は次のような直交性,完全性を示します。 

すなわち,ε(σ)μ()ε(τ)μ()=-η~στ, 

Σσ,τε(σ)μ()η~στε(τ)ν()=-gμν です。
 

ただし,η~στ,η~++=η~- -1,η~LG=η~-SL1  

以外の要素は全てゼロの4×4行列の要素です。 

それ故,η~στ(η~-1) στ です。
 

この偏極ベクトルを用いてゲージ場の展開を書き直すと, 

μ()=∫d3Σσ=±,, 

{(,σ)(σ),μ()+a+a(,σ)(σ),μ()}

となります。 

ただし,(σ),μ(){(2π)320}-1/2ε(σ)μ()exp(ikx),  

(0||)です。
 

これによって,各モードの生成・消滅演算子:+a(,σ),

(,σ)を定義します。 

すると,これらに対する交換関係は,簡単な計算により 

[(,σ) +b(,τ)]=η~στδabδ3() 

となることがわかります。
 

これにより,先に導入したη~στ,1粒子状態の計量を与える 

ことがわかります。
 

よって横波状態:a+(,±)|0>は,正の計量を持ち.縦波モード, 

スカラーモードの状態は反対角な計量を持っています。
 

FPゴーストの生成・消滅演算子の反交換関係: 

{(),~+b()}=-{~(),+b()}iδabδ3() 

も反対角な計量構造を持っており,このような反対角な計量は負ノルム 

や零ノルムの状態を含むことを意味しています。
 

例えば,群の添字:aを略して, 

|LS()>=[(,)-a(,)]|0, 

|FP()>=[()i~()]|0>などは負ノルムの状態: 

<LS()|LS()>=<FP()|FP()>=-2δ3() 

です。
 

また,縦波,スカラー状態:(,)|0,(,)|0,ゴースト 

状態:() 0,~()|0>は全て,それぞれ,零ノルムで状態です
 

それ故,系のFock空間は不定計量空間(indefinite metric space) 

となります。
 

後で見るように, 

「正定値計量を持つ横波モード以外,すなわち,縦波,スカラーモード, 

および,FPゴーストモードは全て,非物理的モードで,これらは, 

|phys>=0 で指定される物理的部分空間:Physに本質的 

には現われない。」ことを証明する予定です。
 

また,偏極平面波関数: (σ),μ(),(),μ()=∂μ(), 

μ(σ),μ()=δσS()を満たすよう構成されています。
 

そのため,例えば, μ()=∫d3Σσ=±,, 

{(,σ)(σ),μ()+a+a(,σ)(σ),μ()} の両辺に 

μを作用させれば,-B()=∂μμ()=∫d3Σσ=±,, 

{(,)()+a+a(,)()}という簡単な表式が 

得られ,スカラーモードの生成・消滅演算子:+a(,),(,) 

,その名の通り,スカラーNL場:の生成・消滅演算子:a+(), 

()のマイナスに一致していることになります。 

(,)=-B()です。
 

短いですが,今日はここで終わります。


(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年1月31日 (水)

ゲージ場の量子論(24)

「ゲージ場の量子論(23)」からの続きです。
 

※ 将来のために計画を立て我慢したり,節約して蓄えろ,とか, 

将来などないと思っている高齢の障害者ジジイには,もはや 

聞こえない話です。
 

新約聖書には「愚か者よ。お前は今夜召される。」 

と主が叱咤した話があります。私にもイエスの言葉が聞こえそうです。
 

「朝に道をきかば夕に死すとも可なり」(孔子?) とか。。  

「柔肌の熱き血潮に触れもみで淋しからずや,道を説く君」

(与謝野晶子) とか。。。

 FP共役変換と反BRS対称性 

ゲージ固定条件:∂μμ+αB0Landauゲージ: 

α=0を採用した場合,μμ 0ですから,FPゴーストと 

反ゴーストの運動方程式:μμ=Dμμ~0 は同じ 

:μμ=∂μμ~0 になります。
 

(※何故なら,μμ 0 なので,

μ~=∂μ~-gfabcμ~ 

より,μμ~=∂μμ~-gfabcμμ~ 

=Dμμ~となり.μとDμが交換するからです。)
 

そこで,とc~の入れ換えに対する対称性があると予想 

されます。
 

実際α=0の場合,GFFP  

=-∂μμi(μ~)μa  

=∂μ~μi(μ)μ~a  と書けます。
 

ここでB~はB+B~=-i(c×c)で定義されます。
 

それ故,LandauゲージのLagrangian, 

FP:→ c~,~→ c,→ B~ 

という変換に対して明らかに不変です。ただし,ゲージ場: 

μと物質場:φlは,変換されないとします。 

この変換をFP共役変換と呼びます。
 

そしてBRS電荷:QのFP共役変換:FPFP-1 

~と記し,反BRS電荷と呼びます。
 

~の引き起こす変換を,[iλQ~,Φ]=λδ~Φとすると, 

[iλQ~,μ]FP[iλQ,μ]FP-1 

=λFP(μ)FP-1=λDμ~=λδ~μ 

と書けます。そして,このδ~を反BRS変換と呼びます。
 

δ~μ=Dμ~,δ~φi=-igc~()ijφj , 

δ~i~, δ~~(/2)(~×c~)a  

となります。δ~~0 も明らかです。
 

Landauゲージの場合,この反BRS変換がLagrangian: 

~の不変性を与えることは明らかです。
 

Landauゲージ(α=0)GFFP  

=-(μ)μi(μ~)(μ)  

,GFFPδδ~{(i/2)aμμ} 

とも書けます。
 

(24-1):何故なら, 

まず,δ~{(i/2)aμμ}i(μ~)μ 

i{(μ~)μ-gfabcbμμ} 

i(μ~)μ  です。
 

故に, δδ~{(i/2)aμμ}iδ{(μ~)μ} 

i{(iμ)μ}i(μ~)(μ) 

=-(μ)μi(μ~)(μ) 

(GFFP)α=0 を得ます。(24-1終わり※)
 

しかしながら,大変興味深いことに,実はLandauゲージ 

でなくても任意のαで,^の反BRS不変性が成立する

ことがわかります。これを示しましょう。
 

まず,δ~=-g(×~)a です。
 

(24-2):証明です。 

まず,+B~a =-i(×~)a ですから, 

δ~=-{δ~~a iδ~(×~)} 

=-i{(δ~×~) (×δ~~)} 

=-i[(i~×~) {×(/2)(~×c~)}] 

=g[{-B-i(c×c~)}×~]

i{×(/2)(~×c~)} 

=-g(B×~) 

i[{(c×c~)×~}(/2){×(~×c~)}]
 

ところが,{(c×c~)×~}=fabc(c×c~)~ 

=fabcbde~~c です。
 

他方, {×(~×c~)}=fabc(~×c~) 

=fabccde~~e   

=fadbbec~~c です。
 

結局, {×(~×c~)}2abcbde~~
 

以上から, δ~=-g(B×~)を得ます。
 

(24-2終わり※):
 

したがって,δ~()=-g(B×~)+B(i~) 

=-gBa(c×~)i{-Bi(c×c~){ 

つまり,δ~()=-ia または, 

a iδ~() が得られます。
 

そこで,(α/2)δ~({(αi/2)}であり 

ベキ零性:(δ~)20 が成立するため,δ~({(α/2)} 

0 となり,項(α/2)が反BRS不変ですから,αがゼロ 

でなく任意でもα=0 と同じく^が不変であるとわかります。
 

δ~のベキ零性は, 

[iλ1~,[ iλ2~,Φ]]=λ1λ2 (δ~)2Φ 

FP[iλ1,[ iλ2,Φ]]FP-1FPλ1λ2 δ2Φ—1 

0 から従います。
 

反BRS変換まで含めた拡大BRS代数は, 

{,}220, {~,~}2~20, 

{,~}0, 

また,[i,]=-Q,[i,~]=-Q~, 

[,Bc]0  です。
 

{,~}0,はBRS変換と反BRS変換の反可換性: 

δδ~=-δ~δと等価です。 

これは直接確認することもできます。
 

本質的議論では,BRS変換か反BRS変換の一方だけ 

で十分です。それ故,これ以降では,もっぱらBRS変換 

のみを考えて議論を進めます。
 

§5-6 Ward-高橋恒等式。および,自由場の量子化と漸近場 

ゲージ理論において,どのような漸近場が現われるのか.摂動論 

的仮定の下で調べます。そのため,まずゲージ(BRS)不変性 

から従う摂動から任意次数で成立する,Ward-高橋恒等式から

始めます。
 

 Ward-高橋恒等式 

一般にゲージ不変性に限らず,ある対称性が存在すると,種々 

Green関数,頂点関数等の間に,いろいろな関係式が成立 

します。このような関係式を一般にWard-高橋恒等式, 

略してWT恒等式と呼びます。
 

ゲージ不変性に関わるGreen関数に関わるWT恒等式は, 

全てBRS演算子:を用いて,次のように簡単に与える 

ことができます。
 

すなわち,k()を任意の場(または,その多項式)の演算子 

として,真空のBRS不変性: {0>=0を用いると, 

0=<0|{,(k(1),k(2),..,m())}|0 

=Σk1n()k

0|(k(1),k(2),..δ(k),..m()|0 

なる恒等式を得ます。
 

ただし,=Σi=1-1||です。( ||はOの統計指数)
 

1粒子既約な(1PI)頂点関数,または,その生成汎関数 

に対するWT恒等式を得るには,次のようにします。
 

まず,全ての場:ΦとそのBRS変換;δΦ(に対して 

外場(external source)を導入します。
 

[,]=∫d4[aμμ+Jiφi+J~+J~~ 

+J+Kaμμii()ijφj 

(1/2)(×)] です。
 

ここで,場は全てHeisenberg場であり,~,~,aμ 

Grassmann,aμ,i,は普通の数です。 

物質場についてはφiBose粒子場なら,iGrassmann, 

iは普通の数で,φifermi粒子場なら逆です。
 

BRS変換された量:δΦLは既にBRS不変なので. 

{i,μ}{i,()ijφj} 

{i,(×)}0 です。
 

そこで,0=<0|{i, expi[,]|0 

i∫d4x<0|[aμμ()||i()ijφj 

(1/2)~(×)i~]expi[,]|0 

が成立します、||(iの統計指数)(Φiの統計指数)です。
 

摂動論の項目では,外場:Jを与えてGteem関数の生成汎関数を 

[]とし,[]exp(i[])によって得られる,連結Green 

関数の生成汎関数:[,],および頂点関数に対する生成汎関数 

Γ[Φ,]を考察しましたが,同様に,,
 

exp(i[,]=<0|expi[,]|0, 

Γ[Φ,]=W[,]-JI・ΦI, 

ΦI()=(δ/δJI())[,] 

=<0|{ΦI()expi[,]}|0/0|expi[,]|0, 

によって.これらを定義します。
 

ただし,ここでは JI,aμ,i, ~,~,の全て 

を意味します。
 

一般的記号として,ΦI(x) 

=<0|{ΦI()expi[,]}|0/0|expi[,]|0 

で定義されるΓの引数:Φ,-(期待値)であり,対応する 

Heusenberg:Φ=Aμ,φi, ,~,と同じ記号で 

表わしますが.混同しないよう注意を要します。
 

上のΓ[Φ,]=W[,]-JI・ΦIの右辺,および,以下に 

おいてドット(dot)・は,積分記号:∫d4xの省略とします。
 

そうすれば,恒等式: 0=<0|{i,expi[,]|0 

i∫d4x<0|[aμμ()||i()ijφj 

(1/2)~(×)i~]expi[,]|0 

, [aμ({δ/δKaμ)(){{l(δ/δKi) 

-J~(δ/δK)-J~(δ/δJ)}[,]0 

と書き直せます。
 

Γ[Φ,]=W[,]-JI・ΦI,Legendre変換から.従う, 

ΦI()=(δ/δJI())[,] 

=<0|{ΦI()expi[,]}|0/0|expi[,]|0, 

に双対な関係式:(δ/δΦI())Γ[Φ,]=-()||I(), 

および,(δ/δKI())ΓW[Φ,](δ/δKI())Γ[Φ,] 

を用いると,先の恒等式は,次のように書き直されます。
 

すなわち, 

(δΓ/δAμ)(δΓ/δKaμ)(δΓ/δφi)(δΓ/δKi) 

(δΓ/δc)(δΓ/δK)i(δΓ/δc~)0 

と書けます。
 

これが,(1PI)頂点関数の生成汎関数:Γに対するWT恒等式 

です。tだし,Grassmann数による微分は全て左微分です。
 

ΓのNL場:や反ゴースト場:~への依存性は,特殊で 

運動方程式:μμ+αB0,μμ=Dμμ~0 

より従う次の恒等式を満たします。
 

δΓ/δB=∂μμ+αB, 

μ(δΓ/δKaμ)iδΓ/δc~0
 

(24-4):上記の証明です。 

まず,証明すべき式のAμ,, ~etc.は場の演算子 

ではなく,-数であることに注意します。
 

[,[,]]0なら,[,exp(i)][,]exp(i) 

なので,μ0|{μ()expi[,]}|0 

i∫d4yδ(0-y0) 

×<0{[0(),()()]expi[,]}|0 

+<0|{μμ()expi[,]}|0 

=<0|{-J()+∂μμ()expi[,]}|0 

です。両辺に,0|{αB()expi[,]}|0 

を加えて,0|{expi[,]}|0>で割ると, 

0|{expi[,]}|0>は∂μで微分してもゼロなので 

期待値の意味で∂μμ+αB=-J()を得ます。
 

そして,()=-δΓ/δBより 

δΓ/δB=∂μμ+αBです。
 

次に, μ0|{μ()expi[,]}|0 

i∫d4yδ(0-y0) 

×<0{[0(),[,]]expi[,]}|0 

+<0|{μμexpi[,]}|0>です。
 

i0=π~よりD0=-iπ~ですから,0 

同時刻に()交換しないのは外場項の中ではc~のみで, 

{0(,),~(,)}=δabδ3()です。
 

~に対応する外場J~Grassmann数なので, 

μ0|{μ()expi[,]}|0 

i∫d4yδ(0-y0) 

×<0{[0(),~ ~()]expi[,]}|0 

+<0|{μμexpi[,]}|0 

=<0|{-J~()+∂μμexpi[,]}|0
 

故に,両辺を<0|{expi[,]}|0>で割って期待値の 

意味で,-∂μ(δW/δKaμ)=-J~()です。(左辺は右微分)
 

 μ(δΓ/δKaμ)=-iδΓ/δc~ (左辺は左微分) 

すなわち, μ(δΓ/δKaμ)iδΓ/δc~0 

を得ます。
 

(24-4終わり※)
 

Γに対するWT恒等式,と上記2つの恒等式は,後のゲージ理論 

のくり込み可能性の議論において特に重要な役割を果たします。
 

ユニタリ性(unitarity)に関連して大切なGreen関数の 

WT恒等式は,δ(~)=Bδ~)i()より, 

{,~}=B.,つまり, 

0|[()()]|0>=<0|{,[()()]}|0 

0 です。
 

また,δ(μ~)iμ(μ)~より 

{,[μ()()]} 

=T[μ()()]i[(μ())~()]
 

0|[μ()()]|0 

i0|[(μ())~()]|0> です。
 

一方,運動方程式∂μμ0、および,反交換関係 

{0(,),~(,)}=δabδ3() から,
 

μ0|[μ()~()]|0 

=δ(0-y0)0|{0(,),~(,)}|0 

+<0{[μμ()~()]0 

=δabδ4(x-y) を得ます。
 

したがって,先にで求めた恒等式: 

0|[μ()()]|0 

i0|[(μ())~()]|0>と合わせて,
 

..0|{μ()c~()}|0>=iδabμ/2 

..0|{μ()()}|0>=-δabμ/2 

が得られます。
 

ただしF..Fourier変換;∫d4exp{i(x-y)} 

を演算することを意味します。 

例えば∂μは 部分積分により,(iμ)となるからです。
 

これらはゲージ理論に,どんな物質場が温まれていようと常に 

成立する厳密な恒等式であり,μ,,μ.~ 

チャネルには,必ず,零質量の粒子(漸近場)が存在することを 

表わしています。
 

今日はここまでにします。


(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年1月29日 (月)

ゲージ場の量子論(23)

「「ゲージ場の量子論(22)」からの続きです。
 

条件:|Phys>=0 ⇔ |Pys>∈Physは実際,可換群 

の場合にNL場:()(正確には∫d3Λ()0() 

□Λ()0)がゲージ変換の生成子であったことを想起 

すれば,GB-NL条件:()()|Phys>=0とQ|Phys>=0  

に類似しています。
 

(23-1):電磁場のNL定式化のLagrangian密度, 

~=-(1/4)μνμνmatter(φ,μφ)GF,  

GF=B(μμ)(α/2)2,μ=∂μieAμ 

で与えられますが,これが可換ゲージ群U(1)の対称性 

を持つ代表的な系のLagrangian密度です。
 

~に対するEuler-Lagrangeの方程式から, 

μについては,運動方程式Dννμ-ejμ=∂μBが 

導かれます。ただし,ejμ=-∂/∂Aμi/(μφ)φ 

です。一方,Bについては,ゲージ固定式:μμ+αB=0  

が導かれます。
 

これで,通常の意味では,ゲージ固定されているのですが, 

変換:μ→Aμ+∂μΛにより,μμ+αB  

→ ∂μμ+□Λ+αB なので.もしも,Λ()が□Λ=0 

の解なら,なお,~はゲージ不変です。
 

そこで,□Λ()0を満たすΛ()に対し,εを微小 

として,φi  exp(iεeΛ)φi(1iεeΛ)φi,or  

δφiiεeΛφi,μ→Aμ+εe∂μΛ(Bは不変) 

なる局所ゲージ変換に対しては,なお,δ~0です。
 

それ故,パラメーターεはxには依存しない大局的変換 

である,という意味で,Noetherの定理が適用できて,保存 

カレント:(NL)μ=-{∂L/(μν)}(νΛ) 

{∂L/(μAφi)}(iΛφi)が存在します。
 

(NL)μ=Fμν(νΛ)-ejμΛ-B(μΛ) 

これは,(NL)μ==Fμν(νΛ)(ννμ)Λ 

(μ)Λ-B(μΛ) 

(μ)Λ-B(μΛ)+∂ν(μνΛ) 

と書けます。
 

したがって,これから得られる保存チャージは 

(NL)=∫d3{(0)Λ-B(0Λ)} 

=∫d3Λ()0()であり, Noether定理 

からこのQ(NL),量子化後の演算子のとして. 

交換関係:[iεQ(NL),μ]=εe∂μΛ,および, 

[iεQ(NL),φi]=εeΛφi,によって先の微小変換を 

生ぜしめる生成子となるわkrです、  

(23-1終わり※)
 

実は,とB()は単に位ているだけではなく,可換群: 

(1)の特殊事情の下では,補助条件:|Phys>=0 

GBNL条件:()()|Phys>=0を再現すろことを示す 

ことができます。
 

ここでの定式化は,もちろん,ゲージ群がU(1)であるとして 

もよく,この定式化ではFPゴーストが入ってきますが,その 

運動方程式:μμc=Dμμ~0,abc0 なので 

独立な自由場の方程式:□c()0, □c~()0  

となります。
 

しかも,BRS電荷の表式は,  

=∫d3{a(0) (0) 

(i/2)gfabc0~a}ですが, 

これも,この場合は非常に簡単になります。 

=∫d3()0()です。
 

これは運動量表示では, 

==i∫d3{()()-c()()}です。
 

(),(),それぞれB場の生成,消滅演算子で 

()も□c()0 の解なので,(),() 

もB場と同じく,それぞれゴ^スト場-cの生成,消滅 

演算子です。
 

さらに,FPゴースト場;(),~()が自由場である 

ことは,最初ゴースト粒子が存在しない状態から出発 

すれば,ゴーストは永久に生成されないことを意味します。
 

(23-2):FPゴーストが存在しない状態を,|0FPとd 

するとc,~が自由場の場合,Hamiltonian;Hにはc,~ 

と他の粒子場との相互作用項がありません。
 

そこで,ゴースト以外の任意の粒子の時間発展を示すFeynman 

グラフでは,真空偏極グラフにさえ中間状態としてc,cを含む 

部分は出現しないので.時間発展でexp(iHt)|0FP|0FP 

となるはずです。 (23-2終わり※) 
 

それ故,系の状態空間をゴーストを含まない空間:V '×|0FP 

に限定しても時間発展とは矛盾しません。 

ただし,'は通常のGB-NL定式化で扱われるFPゴースト 

以外の粒子で張られる空間で,|0FPはFPゴーストセクター 

の真空状態です。
 

したがって,GB-NL定式化での物理的状態:|Phys>は,今の定式化  

では,|Phys>×|0FPに対応します。
 

これに対しては補助条件:|Phys>=0 , 

(|Phys>×|0FP)0 を意味しますが,  

i∫d3{()()-c()()より,  

これはi∫d3{()()|Phys>×c()|0FP 

0 という条件に帰着します。

しかし,これは座標空間へのFourier変換によって, 

()()|Phys>=0 に一致します。
 

可換群の場合は1個の補助条件:|Phys>=0 が∀xに対する 

無限個の補助条件:()()|Phys>=0 を再現したのは,もちろん, 

ゴーストの存在しない状態に限ったからです。
 

しかし,実のところは可換群,非可換群を問わず,補助条件は, 

|Phys>=0 の1個だけでよく,それ以上にFPゴースト 

がどういう状態にあるか?を指定する必要はありません。 

このことは§5-8で一般的に証明します。
 

前節の最後に触れたゲージ固定項+FPゴースト項が, 

GF+FPδ()の形を持つことの1つの重要な側面と 

いうのは今や明らかです。それは,BRS電荷を用いて, 

GF+FP=が,GF+FP{i,}なる形に掛けるので, 

これは,|Phys>=0 を満たす部分空間では実質的には 

零演算子であることです。 

(GF+FP{i,}より,Phys|GF+FP|Phys>=0 

ですが,Phys|は部分空間:physの双対ket空間の完全系 

をなすのでphysではGF+FP|Phys>=0 を意味します。)
 

この事実が,後に 

「物理的S行列がゲージ固定の仕方に依存しない。」ということ 

を証明する際に本質的な役割を果たします。
 

Maxwell方程式 

ゲージ場:μと物質場:φlに対して,元の局所ゲージ変換の 

パラメータ:θ()をxに依らない定数:θに置き換えた変換 

をし,NL場:,FPゴースト場:,~については随伴表現 

として変換させる大局的変換を大局的ゲ^―ジ変換 

(global gauge transformation),またはカラー回転 

(color rotatopn)と呼びます。
 

再掲Lagrangian:~=-(1/4)μνaμν 

matter(φ,μφ)GFFP , 

GF=-∂μμ(α/2), 

FP=- i(μ~)μa  

,この変換に対する対称性を持ちます。
 

(23-3):~の不変性を証明します。 

大局的変換:φi  exp(-igTθa)φi 

~ φi+δφi{1-igTθa)φi,μθ0より 

μ→ Aμ+δAμ=Aμgfabcμθ 

に対して,(1/4)μνaμνmatter(φ,μφ) 

が不変なのは明白です。
 

一方,GF+FP=Bμμ(α/2) 

i~μμa において 

さらに, exp{-iAd()θa} 

=B+δB=B-gfabcθ 

=c+δc=c-gfabcθ 

~=c~+δc~=c~-gfabc~θ 

が加えられる変換に対し,
 

δGF+FP(-gfabcθ)(μμ) 

+Bμ(-gfabcμθ)+α(-gfabcθ) 

igfabcθ~μμ

igfabcθ~μμ 

ですが,これも明らかにゼロです。
 

したがって,このカラー回転に対してδ~0です。 

(23-3終わり※)
 

そこで,Noether定理による保存カレントJは, 

gθμ{∂L~/(μν)}(-gfabcμθ) 

{∂L~/(μφi)}{-igθ(φ)i} 

{∂L~/(μ)}(-gfabcθ) 

{∂L~/(μ)}(-gfabcθ) 

{∂L~/(μ~)}(-gfabc~θ) 

=Fμν(gfabcbνθ)+gjμθ 

-B(gfabcθ)igfabcμ~θ 

igfabcμ~θより,
 

 μ=fabcbμνμ+jμ+fabcμ 

iabc~(μ)iabc(μ~)です。 

つまり, μ(ν×Fνμ)+jμ(μ×B) 

i{~×(μ)}i{(μ~) ×c}a です。
 

対応する電荷:=∫d30,カラー電荷と呼ばれ, 

大局的ゲージ変換(カラー回転)の生成子になります。
 

[iθ,Φ()]{θ×Φ()}, (Φμ,,,~) 

[iθ,φi()]=-iθ()ijφj() です。
 

この大局的ゲージ変換のカレントを用いるとゲージ場の 

運動方程式;ννμ-gjμ=∂μigfabcμ^ 

が次のような注目すべき形に書き換えられます。
 

すなわち,ννμ-gJμ{,μ~} です。
 

(23-4):運動方程式から,gjμ=Dννμ-∂μ 

igfabcμ^=∂ννμ-gfabcbννμ 

-∂μ-gfabcμ^c です。これを, 

gJμ=gfabcbμνμ+gjμ+gfabcμ 

igfabc~(μ)igfabc(μ~) 

の右辺に代入します。
 

すると,gJμ=∂ννμ-∂μ+gfabcμ 

igfabc~(μ) 

=∂ννμ-Dμacigfabc~(μ) 

となります。
 

一方,.{,μ~}=-iδμ~ 

=-Dμ(iδ~)igfabc(δμ)~ 

=Dμigfabc~(μ) です。
 

したがって,ννμ-gJμ{,μ~} 

を得ます。  (23-4終わり※)
 

この形から、補助条件:|1>=0,|2>=0,を満たす 

任意の物理的状態:|1,|2>∈Phys に対して, 

<f1|(ννμ-gJμ)|1>=0 が成立します。
 

すなわち,物理的状態部分空間のPhys 上では行列要素, 

あるいは期待値の意味で,ννμ=gJμ です。
 

これは,電磁気学のMaxwell方程式:ννμ=ejμ 

によく似ていることいから, 

ννμ-gJμ{,μ~} Maxwell方程式 

と呼ぶことにします。
 

このMaxwell方程式は,後章で論じる大局的ゲージ不変性 

の自発的破れ,カラー閉じ込めの関係や,Weinberg-Salam 

電弱模型での電荷の普遍性の証明などにおいて重要な 

役割を果たします。
 

大局的ゲ^ジ不変性の他にも,~は物質場:matter(φ,μφ) 

も同じ対称性を持てば,基本的離散対称性:,,を持って 

います。
 

ここでは,CPT対称性のみに触れておきます。
 

物質場:φiによるmatter(を不変にするCPT変換: 

CPTφ()-1-1-1=φCPT() に加えて, 

(μ) CPT()=-Aμ(-x),() CPT()=B(-x), 

() CPT()=-c(-x),(~) CPT()=c~(-x), 

を行えば,~は不変となります、
 

このときQCPT=Q,CPT=Q,() CPT=Q 

変換することにも注意しておきます。
 

途中ですが今日はここまでにします。


(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年1月28日 (日)

ゲージ場の量子論(22)

「ゲージ場の量子論(21)」からの続きです。
 

※BRS電荷 

まず.全系のLagrangian: ~を再掲します。これは. 

~=-(1/4)μνaμνmatter(φ,μφ) 

GFFP で与えられます。 

ただし.GF=-∂μμ(α/2), 

FP=- i(μ~)μa です。
 

既に述べたように,このLagrangian:~,BRS不変です。 

BRS変換:は変換パラメータがxμに依存しないGrassmann: 

λであったので,1つの大局的変換です。
 

よって,Noetherの定理によって,対応する保存カレント:μ 

と電荷(チャージ):=∫d30()が存在します。
 

Noetherカレント:μ,δ0 なので 

λJμ{~/(μν)}δν{~/(μφi)}δφ 

{~/(μ)}δ{~/(μ~ν)}δ~ 

で与えられます。ただし,δ=λδです。
 

つまり,λJμ{~/(μν)}(λDν) 

{~/(μφi)}{igλc(φ)i} 

{~/(μ)}{(λ/2)gfabc} 

{~/(μ~ν)}(iλB) です。
 

ここで変換パラメータλはGrassmann数で,符号に注意する 

ため,一時的にλを陽に書きました。
 

物質場のカレントの定義:μ=-g-1(matter/∂Aaμ) 

=-i{matter/(μφi)}(φ)i,運動方程式: 

ννμ-gjμ=∂μigfabcμ 

用いて上式の左側からλをはずします。
 

μ=-Fμν(ν-gfabcbν)+gjμ 

(μ-gfabcμ)a 

(i/2)gfabcμ~a, 

ここで,gjμ=-(νμν^-gfabcbνμν)-∂μ 

igfabcμc ですから, 

gjμ=-(νμν)(μ)より. 

μ=-Fμν(ν)(νμν) 

(μ)(μ)a(i/2)gfabcμ~a

です。
 

結局,μ==Ba(μ) (μ) 

(i/2)(μ~a)(c×c)-∂ν(μν) 

という簡単な表式を得ます。
 

ただし群の添字;aを持つ量:,に対して, 

(F×G)=fabcなる表現を用いました。
 

-∂(0ν)は表面積分で消えるため,この 

大局的対称性変換の保存電荷: , 

=∫d3{a(0) (0) 

(i/2)gfabc0~a}で与えられます。
/
 

この保存チャージはNoetherの定理の帰結で, 

Lagrangianを不変に保つ対称性変換の生成子に 

なります。
 

すなわち,[iλQ,Φ()]=λδΦ()です。 

ただし,ΦはAμ,φi,,~,のどれかを 

意味しδΦ,前節で与えたλを省いた全ての 

BRS変換を意味します。(※λはGrassmann;奇の数 

なので,Φ(によっては,λをはずずと左辺の交感子は 

反交換子になります。)
 

はBRS電荷,または,BRS演算子と呼ばれます。
 

一方,先に触れたFPゴースト数;FPもこの系の保存量です。 

ただ,普通のFermion数とは異なり,対応するのは~の位相 

変換ではばく,次のスケール変換の下での不変量です。 

() exp(ρ)(), 

~() exp(-ρ)~()(ρは実数パラメータ)
 

これはゴースト場:,~Hermite()であり, 

位相という概念は有り得ないからです。
 

この変換のNoetherカレントは, 

μ{~/(μ)} exp(ρ)

{∂L~/(μ~)}exp(-ρ) 

=-i(μ~)i~μ 

i{~μ(μ~)}であり,
 

保存電荷は,i∫d3{~0(0~)} 

です。これをFPゴースト電荷と呼ぶことにします。
 

これは確かに上記スケール変換の生成子になっています。 

[i,()]=c(),[l,~()]=-c~() 

これは自明です。
 

この交換関係からFPゴースト数演算子;FP, 

,のi倍と同定されます。NFPiです。 

興味深いことは, FPゴースト電荷:はBRS電荷:  

と同じくHermite()演算子であることです。 

=Q,および.=Qです。
 

それ故, FPゴースト数演算子:FPi,Hermite 

(純虚数)演算子であるにも関わらず,実数の固有値:が+1, 

~が-1,を持つ,ことを意味します。
 

このように奇妙なことが起こるのは,後で陽に示すように, 

FPゴーストの状態空間が,不定計量を持つからです。
 

=∫d3{a(0) (0) 

(i/2)gfabc0~a}であり, 

i∫d3{~0(0~)} 

ですから,これらは次のような簡単な代数を満たします。 

これはBRS代数と呼ばれます。
 

まず,.(1/2){, }=20 です。 

故に,Grassmann 奇です。 

また,[i,]=Q,[,]0, です。 

故に,Grassmann 偶です。
 

ΦがBose場のとき, 

δ2Φ={i.[i,Φ]} 

=-Q(Φ-ΦQ)(Φ-ΦQ) 

=-[2,Φ] であり,
 

ΦがFermi場のとき, 

δ2Φ=[i.{i,Φ}] 

=-Q(Φ+ΦQ)(Φ+ΦQ) 

=-[2,Φ]です。
 

そこで,いずれにしても,20,NRS変換の 

ベキ零性:δ20 を意味します。
 

このQ20 ,=∫d3{a(0) (0) 

(i/2)gfabc0~a}なる表式から直接示すこと 

もできます。
 

すなわち,2i2 

{i,∫d3[a(0)(0) 

(i/2)gfabc0~a]} 

=∫d3[a(δ0)(0)δ 

-∂0(δ~a)(i/2)(c×c)] です。
 

0δ0,δ20からδ00 です。
 

故に,.2i2=-∫d3[(0)δ 

+∂0(δ~a)(i/2)(c×c)] 

ところが,=-iδ~なので, 

(0)δ-i0 (δ~)(δ)です。
 

一方,(1/2)(c×c)δなので 

0(δ~a)(i/2)(c×c)i0(δ~a)(δ),
 

したがって,20 を得ました。
 

交換関係:[i,]=Q,および,[,]0,, 

単に電荷演算子: ,,FPゴースト数:FP 

値として,それぞれ+1,0を持つことを示しています。
 

最後にBRS変換のパラメータλが純虚数のGrassman 

であること:λ=-λであること,を注意しておきます。
 

実際,任意の演算子;OとGrassman:λの積:λOのHemite 

共役は,(λO)=Oλですから,λ=-λなら全ての場; 

ΦのHermite性が,BRS変換後のΦ'=Φ+λδΦに 

なっても保持されることが保証されます。
 

例えば,(λδμ)(λDμ)(μ)λ 

=-λμですから,-λ=λならλδμもAμ同様 

Hermiteになります。
 

※物理的状態を選ぶ補助条件 

一般に,ゲージ理論を共変ゲージで扱うと必ず,負ノルム 

を持つ粒子が現われます。例えば次節で説明しますが 

Feynmanゲージ(α=1)でのゲージ場:μ)の自由場 

(または漸近場)の生成・消滅演算子:a+μ().(), 

交換関係:[μ(),b+ν()]=-gμνδabδ3() 

を満たします。
 

Lorentz不変性から,右辺にMinkowski計量:μν 

diag(1.1,1,1)が出現しますが,これは時間成分 

(0成分)のゲージ粒子=添字aを省略した局所化形で 

0()|0>=∫d3()0()|0>で与えられる 

粒子状態が,負ノオルムを持つことを意味します。
 

すなわち,0|0()0()|0 

=∫d33()() 0|0()0()|0 

=-∫d3|()|0 となります。
 

さらに,今の非可換ゲージ理論ではFPゴーストが存在し, 

それらも負ノルムを含み,「スピンと統計の関係」を破る 

奇妙な粒子です。
 

これらの明らかに非物理的な粒子の出現することを禁止し, 

謂わゆる負の確率という困難が生じない,物理的に意味の 

ある理論を得るためには,全状態空間:の中から物理的状態: 

|Phys>をうまく選び出してやる必要があります。
 

可換群:(1)に基づくQEDの場合(Lagrangian,~で添字: 

を消し,abcをゼロとしてFPゴースト項も落としたもの 

で与えられる。)には,その昔,Gupta-Bleuler,Feynman 

ゲージのとき,補助条件:(μμ)()()|Phys>=0  

を置いて,物理的部分空間:Phys{|Phys}を定義し,全て 

うまくいくことを示しました。
 

ただし,(μμ)の肩の添字:(),μμの正振動数部分, 

つまり,消滅演算子部分を表わしています。
 

一方,中西とLautrap, Gupta-Bleuler条件: 

(μμ)()()|Phys>=0 ,()()|Phys>=0 という 

補助条件に置き換えるFeynmanゲージ以外でもうまくいくよう 

一般化しました。

NL場:()の満たす運動方程式:μμ+αB=0 

の関係からα=0Landauゲージ以外では,上記中西-Lautrap 

条件がGupta-Bleuler条件に等価であることがわかります。
 

しかしながら,:これらGB条件やNL条件は可換群の場合に 

しかうまくいきません。そもそも正振動数(消滅演算子)部分, 

負振動数(生成演算子)部分の分離というものは自由場の場合 

しかうまく定義できません。
 

一般の群の場合, ()の満たす運動方程式は, 

ννμ-gjμ=∂μigfabcμ 

および,μμ=Dμμ~0 から, 

μμigfabcμμ0 となります。
 

(22-1):μννμ0 は,νμのν,μについて 

の反対称性から明らかです。
 

また,jμ=-i(Dμφφ-φμφ)ですから 

μjμ0,かつ,μjμ0 です。
 

そこで計算によって直ちに, 

μμigfabcμμ0 が成立すること 

がわかります。
 

μjμ0,Noetherの定理により当然成立しなければ 

なりません。 

そして,局所ゲージ不変性が成立し,平坦な空間の微分が∂μ→ Dμ 

のように,多様体上の共変微分に変わっても.この保存するという 

性質は不変と思われますから,μjμ0,の成立は当然でしょう。 

(22-1終わり※)
 

(1)群の場合,abc0 でかつ添字:aがないので自由場 

の方程式は,□B()0 に帰着します。そのため正負振動数 

部分への分離が次のようにできます。
 

すなわち,()()=∫d3()(), 

()()=∫d3()() です。 

ただし,()B=exp(ikx)/{(2π)30}1/2,0=|| 

です。
 

しかし,一般の非可換群の場合には,(), 

μμigfabcμμ0 のように,複雑な 

相互作用の影響があり,上のような分離はできません。
 

それに,たとえ何らかの方法で正,負振動数部分を定義できた 

,としても,ある時刻で補助条件:()()|Phys>=0を設定 

したとき,続く時刻でもそれが成立していることが示せません。
 

すなわち,GB条件やNL条件は可換群以外の場合,時間発展 

とは整合しません。

しかし,驚くべきことに,一般の非可換ゲージ理論の場合にも  

物理的部分空間:Physを定義する補助条件を見出すことが  

できます。 

しかも,ある意味では可換群のそれより簡単な条件です。
 

それは,先に導入したBRS電荷:を用いて, 

|Phys>=0 ⇔ |Pys>∈Physとするわけです。
 

※これは九後・小嶋(1977)によって初めて提唱されました。 

T/Kugo,and I.Ojima Phys.Lett.Vol73B (1978)p.459 )
 

この条件はQがBRS変換の生成子であり,BRS変換が 

「量子的ゲージ変換」であることから,直観的に「物理的状態 

はゲージ不変である。」ことを意味しています。
 

途中ですが,続く話が長くなりそうなので, 

今日はここまでにします。

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅰ」(培風館)

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2018年1月26日 (金)

ゲージ場の量子論(21)

「ゲージ場の量子論(20)」からの続きです。
 

※あと数日(21)68歳を迎えますが,今,スラスラと科学記事 

のブログ書いている心境は,まあ,20歳も年を取りジジイとなってる 

のを別にすると約20年前,48,平成10年頃の精神状態に似ています、
 

巣鴨のワンルームに蟄居して,非常勤の予備校講師,専門学校講師 

で食いつなぎながら,就活していたけれど一向に定職に付けず, 

それでも,「どうにかなるさ」と,生来の脳天気で,その分金無し 

ヒマありで他にやることもなく,ノンキに読書三昧で,こうした 

テーマのノート作りがとてもはかどっていた時期でした。
 

もっと,アウトドアで生命力が強く生活的にも貪欲で建設的な 

精神ならよかったかも。。と思ったりもしますネ,
 

ITとかも趣味ではなく,就活ではなく,自分で借金しても事業 

を始めてみるとかで,今さらですが,歴史は変わっていたかも。。
 

しかし,仮面ウツ病は続いてたし途中で人生投げ出さずに生きて 

きただけでもマシか??。。。

結局,妻も子もなく寂しさを犠牲にして自分のためダケにしか

生きてこなかったのですが。。
 

自分が守ってあげる対象とか,生きる動機(motivation)が無いと 

後が少ない余生は精神的に辛いようです。
 

(※§52ゲージ場の量子化(経路積分型式)から始まる,この参照 

ノートの作成開始日付も,まさに48歳の終わり頃,199812/26() 

となってました。)
 

§5-5 ゲージ場の正準量子化;共変的な演算子形式 

※正準量子化(相対論的に共変なゲージで演算子形式 

(operator formalism)での場の量子化)
 

ゲージ固定関数として, =∂μμ(α/2) 

を取ります。そうすると,全系のLagrangian 

~=-(1/4)μνaμνmatter(φ,μφ) 

GFFP で与えられます。 

ただし.GF=-∂μμ(α/2), 

FP=- i(μ~)μa です。
 

また,便宜上,GFFP の部分は,前節の表式から, 

部分積分した形に書き直しておきました。
 

まず,正準()交換関係を設定するために,共役運動量 

変数を計算します。
 

πaμ=∂~/∂Aμd=Faμ0  

πB=∂~/∂Bd=-A0  

πiφ=∂~/∂φid , 

π=∂~/∂cd =-i~d, 

π~=∂~/∂c~d i(d-gfabc0 

です。
 

ここでは(0,)セクターのみが特異で1次拘束条件: 

φ1=π00,φ2=πB+A00 を与えますが,他は 

全て普通(正則)です。
 

ゲージ固定条件が無かった以前の拘束条件とは異なり, 

今の場合,Poissom括弧は, 

[φ1(),φ2()]P.B.=-δabδ3()0 

あり,φ=[φ1φ2,]は第2類の拘束条件です。
 

したがって,これらの拘束条件の時間発展の無矛盾性の 

要求は,φd() [φb1(),]P.B.+∫d3 

[φd(),φ1()λ1()+φ2()λ2()] P.B 0 

(k=1,2)で,単に未定係数:λ1(),λ2()を決める 

非特異な方程式に過ぎず,さらに,これ以上の拘束条件 

は現われません。
 

すなわち,1類拘束条件は出現せず,ゲージはうまく 

固定されています。
 

そこで,Dirax括弧の定義:[,] D [,]P.B. 

[,φα]P.B(-1)αβ[φα,]P.B. 

(ただし,αβ[φα,φβ]P.B. ) 

に基づいて(0,)セクターのDirax括弧を計算 

すると,
 

[(,),-A0(,)]D [(,),πB(,)]D 

~ -δabδ3(),  

[0(,),0(,)]D [(,),(,)]D 

0 となります。
 

(21-1); Dirax括弧計算結果の証明です。 

まず,[φ1(),φ2()]P.B.=-δabδ3()なので, 

α=(,),β=(,)(,l=1,2)とするとき, 

(-1)αβ=Cαβです。したがって,[,] D [,]P.B. 

[,φα]P.Bαβ[φα,]P.B. Dirax括弧が計算 

できます。
 

まず,[,-A0] D [,-A0]P.B. 

[,π0]P.Bδcdδ3()[πB+A0,-A0]P.B.  

[,π0+A0]P.Bδcdδ3()[π0,-A0]P.B. 

です。
 

ところが, [,-A0]P.B.~0, [,π0]P.B.  0, 

 [πB+A