114 . 場理論・QED

2019年4月25日 (木)

くりこみ理論(次元正則化)(5)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

 

※平成最後かな?きわどい時期に女子陸上の

小出義雄監督が亡くなられましたが,

私は何とか,昭和,平成,令和の3代を生きられ

そうです。

 

※3点頂点関数

粒子の自己エネルギー,2点Green関数(伝播関数)

を評価したのに続いて,FermionとBosonの3点

頂点関数:Γψ~ψφ(3)を計算してみます。

 

これは,1-loopまでの近似で

Γjψ~ψφ(3)(p2.p1)=-gτj+Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

+O(hc2)..(29) と書けます。

これの右辺第1項はtreeレベルの寄与であり,第2項

は,下図7.5の1-loppグラフの寄与です。

 

そして,この1-loopの寄与を書き下すと,

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=∫dnk(2π)-n[(-igτj)i{(2)-m}-1

(-igτi)i{(1)-m}-1(-igτj)

i(k2-μ2)-1]..(30) となります。

 

これに,Feynmanパラメータ公式:1/(a12..an)

=(n-1)!∫01dx101dx2..∫01dxn

δ(1-x1-x2-..-xn)

×[1/(a11+a22+..+ann)]

を適用します。

 

※(注5-1):

上記Feynmanパラメータ公式を証明します。

(証明):まず,1/A=∫0dxexo(-Ax)

が成立するので.明らかに,n項の積では,

1/(a12..an)=∫0dy10dy2..∫0dyn

{exp(-a11-a22-..-ann)} 書けます。

 

さらに,1=∫0dtδ(t-y1-y2-..-yn)を

挿入すると,1/(a12..an)

=∫0dt∫0dy10dy2..∫0dyn

δ(t-y1-y2-..-yn)

×{exp({-(a11-a22-..-ann)} です。

 

ここで,yj=txj(j=1,2,..,n)と積分変数を

置換すれば,1/(a12..an)

=∫0dt∫0dx10dx2..∫0dxn

×δ(t(1-A)

{exp({-t(a11-a22-..-ann)}

となります。

ただし,A=x1+x2+..+xn=Σi=1ni

と置きました。:

さらに,B=ax1+ax2+..+ann=Σi=1nii

と置くと,1/(a12..an)

=∫0dx10dx2..∫0dxn

×∫0dt[δ[t(1-A)]texp(-tB)]

です。

 

右辺の最後のt積分の因子のみ着目すれば,

0dt[δ[t(1-A)]texp(-tB)]

=δ(1-A)∫0dt[tn-1exp(-tB)]

=δ(1-A)Γ(n)B-n を得ます。

 

したがって,1/(a12..an)

=∫0dx10dx2..∫0dxnδ(1-A)Γ(n)B-n,

つまり,1/(a12..an)

=∫01dx101dx2..∫01dxn[(n-1)!

δ(1-x1-x2-..-xn)

×[1/(ax1+ax2+..+ann)]

が得られました。(証明終わり)

※※この公式は帰納法でも簡単に示せますが,演繹法

で証明した方が美しいですね。

なお,昔,nifty物理フォーラムで懐かしい,あもんさん

の「あもんノート」を見つけて参照させてもらいました。

(注5-1終わり※)

※(注5-2):

既に,前記事で,n=2の場合の公式:1/(ab)

=∫01dx101dx2{δ(1-x1-x2)/(ax1+bx2)2]

=∫01dx[1/{ax+b(1-x)}2]を使用しています。

この両辺を,さらにパラメータaで微分すれば,

1/(a2b)=∫01dx(2x)/{ax+b(1-x)}3]

が得られます。

 

それ故,1/[{ax+b(1-x)}2c]

=∫01dy(2y)/[{ax+b(1-x)}y+c(1-y)]3]

より,1/(abc)=∫01dx∫01dy

(2y)/[{ax+b(1-x)}y+c(1-y)]3]

が成立することがいえます。

 

また,1/(ab)の表式をaで微分して得た上記,

1/(a2b)=∫01(2x)dx/{ax+b(1-x)}3]

を,さらにbで微分すると,1/(a22)

=∫01{6x(1-x)}dx/{ax+b(1-x)}4]

も得られます。

そこで,1/(aαβ)

={Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)}∫01dx

{xα-1(1-x)β-1}/{ax+b(1-x)}(α+β)]

=Β(α,β)(α,β=1,2,..)なる一般公式

が帰納的に得られます。

 

ここで.係数:Β(α,β)はベータ関数で,

Β(α,β)=∫01dt{tα-1(1-t)β-1}

で定義されます。

これは,Gaussのガンマ関数によって,Β(α,β)

=Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)=Β(β,α)

とも表わされます。

 

:先に証明した,

一般的Feynmanパラメータ公式:

1/(a12..an)

=∫01dx101dx2..∫01dxn

[(n-1)!δ(1-x1-x2-..-xn)

/(ax1+ax2+..+ann)] についても,

これをパラメータaiで複数回偏微分する

ことで,1/(a1α12α2..anαn)

に対する積分表式を得ることができます。

そして,1/[{ax+b(1-x)}2c]

=∫01dy(2y)

[1/{ax+b(1-x)}y+c(1-y)]3]

から,1/(abc)=∫01dx∫01dy

(2y)/[{ax+b(1-x)}y+c(1-y)]3]

を得たのと同様にして

 

一般化された別表現の公式:1/(a12..an)

=∫01dx101dx2..∫01dxn-1

[(n-1)!x232..xn-1(n-2

)/{(a1-a2)x12..xn-1+(a2-a3)x2..xn-1

+..(an-1-an)xn+an}]

をも示すことができます。(注5-2終わり※)

 

※(注5-3):余談ですがベータ関数:

Β(x,y)=∫01dt{tx-1(1-t)y-1}

=Β(y,x)を見るとき,

伝統的場理論では別のグラフとしてカウント

される散乱のsチャネルとtチャネルの過程;,

これは例えばQEDなら電子(e)と陽電子(e)

の電磁相互作用(光子の交換)による散乱グラフを,

sチャネルとすると,eとeが対消滅して光子

(γ)になり,再び対生成してeとeの対になる

過程が,tチャネルであり,これらはeとe

散乱振幅には独立な和として寄与します。

 

ところが,ハドロンの強い相互作用による散乱

ではsチャネルとtチャネルの過程は実は同一の

過程で別扱いをして和の寄与があるとすると重複

でダブルカウントになる.という性質:双対性

(そうついせい:duality)が存在することが観測

されていました。そして,この性質を体現する

Venetsiano(ベネツィアノ)模型というものが提議

され,これは上記ベータ関数の性質を利用したもの

であった,という歴史的経緯を想起したわけです。

 

この模型はハドロン散乱でsとtの関数としての

散乱振幅Aが,A(s,t)

=Γ(-α(s))Γ(-α(t))/Γ(-α(s)-α(t))

=Β(-α(s)x,^-α(t)) の形である

というもので.こう仮定すれば,確かに双対性:

A(t,s)=A(s,t)が成立するわけです。

ただし,αはRegge軌跡における極の粒子の

角運動量を意味します。

 

そして,双対共鳴模型は強い相互作用では,あまり

評価されませんでしたが,これを強い相互作用で

なく素粒子の2次元のヒモ:超弦模型の基礎式と

して量子化すればBose弦のみ存在する場合は,

背景時空が26次元,Fermi弦の存在する場合は10

次元のときにのみ,負のノルム(負の確率)のゴースト

が出現しない。という,

弦理論では有名な「no-ghost定理」

が示されたことなども思い出されます。

(以上,余談終わり)(注5-3終わり※)

 

さて, 3点頂点関数:の(29)式

Γjψ~ψφ(3)(p2.p1)

=-gτj+Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)+O(hc2)

において,右辺第2項の1-loopの寄与:,,

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=∫dnk(2π)-n[(-igτj)i{(2)-m}-1

(-igτi)i{(1)-m}-1

(-igτj)i(k2-μ2)-1]

を評価するという主題に戻ります。

 

n=3のFeynmanパラメータ公式;

1/(abc)=∫01dx∫01dy(2y)

/[{ax+b(1-x)}y+c(1-y)]3]

を用いることにより,

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=-∫01dx∫01dy∫dnk(2π)-n(2y)

(g2(gτj){(2)+m}{(1)+m}

[k2-2y{(1-x)(p1k)+x(p2k)}

+y{(1-x)p12+xp22}-m2y-μ2(1-y)]-3

と書けます。

 

ここで,p~=(1-x)p1+xp2,かつ,

q=p2-p1と置くと,p~2=(1-x)212

222+2x(1-x)(p12),q2=p22+p12

-2(p12) なのでp~2+q2x(1-x)

=(1-x)p12+xp22より

2-2y{(1-x)(p1k)+x(p2k)}

+y{(1-x)p12+xp22}-m2y-μ2(1-y)

=k2-2y(p~k)+y{p~2+q2x(1-x)}

-m2y-μ2(1-y) となります。

 

これから,D(x,y)

=(1-y)μ2+y{m2-q2(1-x)}

-y(1-y)p~2と置けば,

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=∫01dx∫01dy

{2yg2(gτj)(4π)-n/2/Γ(3)}

{(2+m)(1+m)

-y{~(1+m)+(1+m)~}Γ(3-n/2)

D(x,y)-(3-n/2)+∫01dx∫01(2y)dy

[{g2(gτj)(4π)-n/2/Γ(2)}

×{Γ(3-n/2)p~23D(x,y)-(3-n/2)

-Γ(2-n/2)(n/2)yD(x,y)-(2-n/2)}]

を得ます。

 

時空の次元nが,n=4-2ε(ε=+0)の場合,

発散はΓ(2-n/2)(n/2)D(x,y)-(2-n/2)

=(1/ε-γ)(2-ε)(1-εlnD)

=2(1/ε-γ-lnD)-1のみから生じると

考えられます。

 

ε~-1=1/ε-γ+ln(4π).および,

01dx=1,∫01ydy=1/2を用いて

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=-gτi{g2/(16π2)}

[-ε~-1+1/2+2∫01dx∫01ydylnD(x,y)

+∫01dx∫01dy

{(p2+m-yp~)(p1+m-yp~)D(x,y)-1}

…(31) が得られます。

 

※(注5-4):何故なら,前記事では

∫dk(2π)-n[1/{k2-2(pk)-m2+iε}α]

=∫dk(2π)-n[1/{(k-p)2-(p2+m2)}α]

={(-1)α+1/2(4π)-n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×{1/(p2+m2)(α-n/2) なる表式を得ました。

 

この被積分関数において,p→ (yp~),

2 → y{m2-q2x(1-x)}-y(1-y)p~2

+μ2(1-y) という置き換えを実行すれば,

2-2(pk)-m2=(k-p)2-(p2+m2)が

(k-2yp~)2-[y2p~2-y{m2-q2x(1-x)}

+y(1-y)p~2+μ2(1-y)]

=(k-yp~)2-D(x,y) 

に置き換わまりす。ただし,Dは前に与えた関数

でD(x,y)=(1-y)μ2+y{m2-q2(1-x)}

-y(1-y)p~2 です。

 

それ故,∫dk(2π)-n

{(k-p)2-(p2+m2)+iε}-α

={(-1)α+1/2(4π)-n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×(p2+m2)-(α-n/2) という表式から,

∫dk(2π)-n[k2-2y{(1-x)(p1k)

+x(p2k)}+y{(1-x)p12+xp22}

-m2y-μ2(1-y)]-α

=∫dk(2π)-n{(k-yp~)2-D(x,y)]-α

={(-1)1/2(4π)-n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)}

D(xy)-(α-n/2) を得ます。

 

これを(∂/∂p~μ)で微分すると

∫dk(2π)-n){(2kμ-2yp~μ)(-α)}

{(k-yp~)2-D(x,y)]-(α+1)

=(-1)1/2(4π)-n/2{Γ(α+1-n/2)/Γ(α)}

(-2y(1-y)p~μ)D(xy)-(α+1-n/2) です。

それ故,∫dk(2π)-n

[kμ{(k-yp~)2-D(x,y)}-(α+1)]

=-(-1)1/2(4π)-n/

{Γ(α+1-n/2)/Γ(α+1)}

yp~μD(xy)-(α+1-n/2)  です。

 

これを,さらに,(∂/∂p~ν)で微分すると.

-∫dk(2π)-n)

{kμ(2kν-2ypν)(α+1)}

{(k-yp~)2-D(x,y)]-(α+2)

=(-1)1/2(4π)-n/2Γ(α+2-n/2)/Γ(α)}

(-yp~μ2y(1-y)p~ν)D(x,y)-(α+1-n/2)

-(-1)1/2(4π)-n/2Γ(α+1-n/2)/Γ(α)}

ygμνD(xy)-(α+1-n/2) なので,

 

∫dk(2π)-n

[(kμν){(k-yp~)2-D(x,y)}-(α-2)]

=(-1)1/2(4π)-n/2Γ(α+2-n/2)/Γ(α+2)}

(y2p~μp~ν)D(x,y)-(α+2-n/2)

-(-1)1/2(4π)-n/2Γ(α+1-n/2)/Γ(α+2)}

ygμνD(x.y)-(α+1-n/2)  です。

 

したがって,iΓjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=-∫01dx∫01dy∫dnk(2π)-n

(2yg2(gτj){(2)+m}{(1)+m}

{(k-yp~)2-D(x,y)] -3 

の右辺を,次のように書き下します。

,

まず.-∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

∫dnk(2π)-n{(2+m)(1+m)}

{(k-yp~)2-D(x,y)] -3

=-∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

(2+m)(1+m)(-1)1/2(4π)-n/2

{Γ(3-n/2)/Γ(3)}D(xy)-(3-n/2)

 

次に,+∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

∫dnk(2π)-n((1+m)(2+m))

{(k-yp~)2-D(x,y)] -3

=∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

{yp~(1+m)+(2+m)yp~}(-1)1/2(4π)-n/2

{Γ(3-n/2)/Γ(2)}D(x,y)-(3-n/2) 

 

さらに,∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

-∫dnk(2π)-n2{(k-yp~)2-D(x,y)] -3

=-∫01dx∫01dy{2yg2(gτj)}

(-1)1/2(4π)-n/2{[Γ(3-n/2)y2p~2D(xy)-(3-n/2) 

-Γ(2-n/2) (n/2)yD(xy)-(2-n/2)]

と書けるからです。

ここでΓ(3)=2,Γ(2)=Γ(1)=1.を用いました。

(注5-4終わり※)

 

3点頂点関数を発散部分と有限部分の和で表わした

再表示(31)式:Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=-gτi{g2/(16π2)}

[-ε~-1+1/2+2∫01dx∫01ydylnD(x,y)

+∫01dx∫01dy

{(p2+m-yp~)(p1+m-yp~)D(x,y)-1} 

は今の場合,

Γjψ~ψφ(1-loop)(p2.p1)

=∫dnk(2π)-n[(-igτj)i{(2)-m}-1

(-igτi)i{(1)-m}-1

(-igτj)i(k2-μ2)-1]

のdk(n~4)積分をする被積分関数がkの(-4)

次なので対数発散であり,外線運動量p1かp2で微分

すると収束するので,発散はこれらに依存しない定数

項にのみ現われています。

 

一般に3点頂点関数の量子補正項:

Γψ~ψφ(補正)(p2.p1)を,関与する3粒子の質量殻:

12=m,q2=(p2-p1)2=μ2のまわりで,展開

したとき,Γψ~ψφ(補正)(p2.p1)

=τ[c+O(1-m,2-m,q2-μ2)]

の形をとります。

初項の定数項cがゼロでない値を取ったとすると,

これからΓψ~ψφ,~ -(g-c)τとなるため,

物理的な質量殻上のFermionとBosonの湯川結合定数

が量子補正で,gから(g-c)に変化することを意味

します。

 

物理的に観測される湯川結合定数はgでなく(g-c)

というのが真なのです。湯川結合定数に限らず,φ4

頂点の結合定数λなど,一般に結合定数は質量や場

の規格化定数と同様,相互作用の影響でずれます。

 

途中ですが長くなったので今回はここで終わります。

 

※参考文献:

九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)

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2019年4月14日 (日)

くりこみ理論(次元正則化(4))

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

 

※Bosonの自己エネルギー

前回はFermionの自己エネルギー:Σ(p))を考察しました。

Bosonφの自己エネルギーをΠ(p2)とすると2点関数は,

Fij(p2)=iδij{p2-μ2-Π(p2)}-1

=i[Γφ(2)(p2)]-1..(22)

 

※(注4-1):Fermionの場合の1粒子既約な自己エネルギー

部分:-iΣ(p)と同じくBosonのそれを-iΠ(p2)と

書くと,iΔF’(p2)は初項がa=i(p2-μ2)-1,公比が

r=(p2-μ2)-1Π(p2)の等比級数なので和として,

F’(p2)=a/(1-r)=i{p2-μ2-Π(p2)}-1

を得ます。  (注4-1終わり※)

 

これに効く1PIグラフは図7.4の(a),(b),および,Lcountfree

の相殺項からの寄与です。

したがって,最低次のオーダーで.

Π(1)(p2)=Π(-loop1)(p2)+-Πcount(1)(p2..)

ただし,

-iδijΠ(-loop1)(p2)

=∫dnk(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m{-1]  …(23-a)

+∫dnk(2π)-4(-iλ/8)4×3+8)δiji/(k2-μ2)(23-b)

-iΠcount(1)(p2)=i{Z3(1)(p2-μ2)+δμ2(1)} ..(23-c)

 

※(注4-2):(23-b)は,項:λφ4/8のtadpoleの寄与ですが,

φ2=(φ12+φ22+φ32) より

φ4=φ14+φ24+φ34+2φ12φ22+2φ22φ32+2φ32φ12

となります。

アイソスピンの保存によりこのtadpoleに入って出て行く

2本の内線i,jではi=jでなければなりません。

仮にi=j=1なら寄与するのはφ14, 2φ12φ22,2φ32φ12

のみです。

φ14については統計因子(対称性因子)は42=4×3です。

残る2つについては因子は2ですから合計8です。

(注4-2終わり※)

 

Tr(τiτj)=2δij,Tr[(+m){()+m}]

=4k(k-p)+4m2 より,式(23)の

-iδijΠ(-loop1)(p2)

=∫dnk(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m{-1] 

+∫dnk(2π)-4(-iλ/8)4×3+8)δiji/(k2-μ2)

において,

第1項=∫01dx∫dnk(2π)-4(-)2・4g2δij

[{k(k-p)+m2}/{k2-2x(pk)-x22+m2)}2]

=(-i)2・4g2δij(4π)-n/2

01dx[{Γ(2-n/2)|(x2-x)p2+m2}

/{m2-x(1-x)p2}(2-n/2)-Γ(1-n/2)(1/2)gμμ}

/{m2-x(1-x)p2}(1-n/2)]

 

=(-i)2・4g2δij(4π)-n/201dx

[{Γ(2-n/2)-Γ(1-n/2)(n/2)}

/{m2-x(1-x)p2}(1-n/2)] です。

 

そして,,Γ(2-n/2)=Γ(ε)=1/ε-γ+O(ε)

Γ(1-n/2)=Γ(ε-1)=Γ(ε)/(ε-1)

=-Γ(ε){1-ε+O(ε2)}

=-1/ε-γ-1+O(ε).:ただし,ε=(4-n)/2

故に,Γ(2-n/2)-Γ(1-n/2)(n/2)

=3(1/ε-γ)+1+O(ε) です。

 

他方,{1/m2-x(1-x)p2}(1-n/2)

={m2-x(1-x)p2}-(ε-1)

={m2-x(1-x)p2}{m2-x(1-x)p2}-ε

={m2-x(1-x)p21}[1-εln{m2-x(1-x)p2}]

01{m2-x(1-x)p21}dx=m2-p2/6

 

よって,与式={(-i)2・4g2/(16π2)}

[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)

-3∫01dx{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}],

また,∫dnk(2π)-n(k2-μ2)-1

=-i(4π)-n/2Γ(1-n/2)μ-(1-n/2)

=-i(4π)-n/2(-ε-1+γ-1)(1-εlnμ22

={-iμ2/(16π2)}(-ε~-1-1+lnμ2) です。

ただし,ε~-1=ε-1-γ+ln(4π) です。

 

それ故,

-iΠ(1-loop)(p2)={(-i)2・4g2/(16π2)}

×[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)-3∫01dx

{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{-5λ/(32π2)}μ2(-ε~-1-1+lnμ2)..(24)

を得ます。

 

ここでも,次元正則化の代わりにPaulli^Villers正則化

を用いるとどうなるか?を見ておきます。

 

この場合,図7-4(a)の寄与をg(m2)と書くとき,これに

1回引き算をしてg(m2)-g(Λ2)としたものは,まだ

有限にはなりません。そこで,さらに引き算して,

{g(m2)-g(Λ2)}-{g(Λ2+m2)-g(2Λ2)}

とします。

 

同様に,図7-4(b)の寄与:f(μ2)に対しても,

{f(μ2)-f(Λ2)}-{f(Λ2+μ2)-f(2Λ2)}

とします。

 

次元正則化の上の式(24)の結果:

-iΠ(1-loop)(p2)={(-i)2・4g2/(16π2)}

×[(3ε~-1+1)(m2-p2/6)-3∫01dx

{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{-5λ/(32π2)}μ2(-ε~-1-1+lnμ2)

において,この引き算の操作を行えば,

 

消える項を除いて,Π(1-loop)(p2)

={3g2/(2π2)}[{-(2ln2)Λ2+m2(lnΛ2+1)

-(p2/6)(lnΛ2-ln2)}

-∫01dx{m2-x(1-x)p21}ln{m2-x(1-x)p2}]

+{5λ/(32π2)}(2ln2)Λ2-μ2(lnΛ2+1-lnμ2)}.(25)

を得ます。

(※↑詳細なチェックは省略して結果を信用します。)

この形には明らかに,Λ2に比例するΛの2次発散の項と

(m22,p2)×lnΛ2に比例する対数発散の項があること

がわかります。

 

この場合,これは自己エネルギー部分の式(23)

の再掲(ただし,n=4):-iδijΠ(-loop1)(p2)

=∫d4k(2π)-4(-)Tr[(―igτi)i(-m)-1

(-igτj)i{(k-)-m{-1]

+∫d4k(2π)-4(-iλ/8)4×3+8)δiji/(k2-μ2)

において,

被積分関数がkの(-2)次で,積分が∫d4kの4次である

こと,および, (m22,p2)の次元2を持った量で展開

すると,発散の次数が2ずつ下がることから理解できます。

 

いずれにしても, Π(-loop1)(p2)は外線運動量:p2の関数

として,p2の0次と1次の項しか含まず,それ故,丁度,

相殺項(23-c):-iΠcount(1)(p2)

=i{Z3(1)(p2-μ2)+δμ2(1)}で相殺できる形です。

 

特に, δμ2(1)=Π(-loop1)(p2=μ2)

=Λ2{5λ/(16π2)-3g22}ln2

+[{3g2/(2π2)}(m2-μ2/6)-5λμ2/(32π2)]

×(ε~-1 or lnΛ2)+(有限定数)//(26),

3(1)=[∂Π(-loop1)/∂p2]p2=μ2

={g2/(4π2)}×(ε~-1 or lnΛ2)+(有限定数).(27)

とおけばΠ(-loop1)+Πcount(1)は有限で,(p2-μ2)

の2次以上の項は無くなり,伝播関数は,p2=μ2

近傍で,iΔFij(p2)=iδij/(p2-μ2)..(28) の形

を物理的質量である,という要請が確かに満たされる

ことになります。

 

途中ですが,今回はこれで終わります。

次回は3点頂点関数から記述する予定です。

 

※参考文献:九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)

 

 

 

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2019年3月10日 (日)

くりこみ理論(次元正則化)(3)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

※ブログ草稿を書いていて思ったのですが,外国語の 

テキストなら,直訳的翻訳でも自分のオリジナルな文章 

を書いている,という思いを感じますが,今回のように 

九後さんの日本語のテキストを自分で学習した履歴の 

ノートを,写経していると,もはや弱視力のため種本の 

詳しい参照もむずかしいのですが,自分なりに行間を 

埋めた箇所を除けば,参考の文献とは書きながら,実は

丸写しに近いというような感が否めません。

例の理研のOさんの博士論文での一部盗用疑惑事件。。 

昔なら文章を丸々コピペする技術など困難で,マニュアル 

で写し取るのも大変でしたから,多少の違いは自然に生じ 

ますから単に引用であると主張できます。

もっとも参考文献であるとして引用先を明示しておけば 

丸写しでも盗用じゃなく引用でしょうが。。。

まあブログ草稿書きは2度目の写経のようなものです。 

「門前の小僧,習わぬ経を覚える。」というようなもので 

私にとってこの勉強法は確認作業です。

オリジナルな発見,発明以外は如何に高邁なものでも所詮 

パクりですからと開き直り。。 

「三つ子の魂百まで」ではないが,10代の後半に受けた物理学 

の洗礼。。幸か不幸か?プロの教師でも研究者でもないのに 

70歳にならんとするまで取り憑かれているのです。 

スポーツじゃないから肉体的障害あっても体力は関係ないし実験

じゃないからお金もかからない道楽ですね。余談でした。※

※さて本題です。,先の第4章摂動論の記事注釈で見たように, 

一般にn点Green関数()1PIのm点頂点関数Γ(m)(m=n) 

表わされるので,全ての Γ(n)を有限にすることができれば 

()は有限になるはずです。 

それ故.今後くりこみの議論においては,もっぱら1粒子既約 

(1PI)な頂点関数Γ(n)のみを考察することにします。

特に,2点関数:Γ(2)treeグラフ以外の寄与を一般に自己

エネルギー(self-energy)部分と呼びます。

Fermionの自己エネルギー部分(iΣ())に寄与するグラフ 

は今の湯川相互作用のみの場合,先の図7.1で与えられるので,

ここで,その最初のグラフに対応する最低次loop)の寄与: 

(iΣ(1-loop)())を評価してみます。

iΣ(1-loop)()=∫4(2π)4(igτi){i/(-m)} 

(igτj)[iδij/{(p-k)2-μ2}]..(3) です。

この1-loop∫積分は被積分関数がkの(-3)次で積分d4kが

kの4次なので,明らかに(4-3)=1次発散量になります。 

(※実際には,すぐ後でわかる運動学的理由から1次 

下がった対数発散となります。※)

そして,Feynmanパラメータ公式:

1(ab)01dx[1/{ax-b(1-x)}2] より 

iΣ(1-loop)()3201dx∫d(2π)-n 

[(+m)/{22(pk)+x(2-μ2)(1-x)2}2] 

となるため,結局,
  iΣ(1-loop)()(1)1/232Γ(2-n/2)(4π)n01dx 

[(+m)/{(1-x)2+xμ2x(1-x)2}2-n/2]
  が得られます。

(3-1):何故なら,「くりこみ理論(次元正則化)(1) 

の最後で得た公式(13): 

∫dn(2π)-n[/(22kp-m2iε)α] 

{(1)α+1/2(4π)n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)}

×(2+m2)(α-n/2)

において,両辺をpμで微分すると

(-α)∫d(2π)-n[-kμ/(22kp-m2iε)α+1] 

(1)α+1/2(4π)n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×(2μ)(2+m2)(α-n/21)  となります。故に,  

∫d(2π)-n[μ/(22kp-m2iε)α+1]

{(1)α+1/2(4π)n/2Γ(α-n/2)/Γ(α+1)} 

×(2μ)/(2+m2)(α-n/21)です。

そこで,p→(xp),2 (1-x)2-x(2-μ2)

α→2 という置き換えを実行すれば, 

∫d(2π)-n 

[/{22(pk)(2-μ2)(1-x)2}2] 

{(1)1/2(4π)n/2Γ(2-n/2)/Γ(3)}()  

/{(1-x)2+xμ2x(1-x)2}2-n/2]です。

また,∫dn(2π)-n 

[/{22(pk)+x(2-μ2)(1-x)2}2]

{(1)1/2(4π)n/2Γ(2-n/2)/Γ(2)}

となるからです。  (3-1終わり※)

一方,∫dn(2π)-n[/(22kp-m2iε)α] 

{(1)α+1/2(4π)n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)}  

×(2+m2)(α-n/2) ..(13)なる一般式は, 

I=∫dn(2π)-n[/(22iε)α] 

{(i)α+1/2(4π)n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×(2iε)(α-n/2) …(8)において,  

k→(k-p),2(2+p2)と置換したものです。

α=2,ε=(4-n)/2=α-n/2と置くと 

Γ(ε)1/ε-γ+O(ε)から, 

∫dn(2π)-n[/(22kp-m2iε)α] 

{(1)α+1/2(4π)n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×(2+m2)(α-n/2)

{(1)α+1/2(4π)-2

[2/(4-n)-γ+ln(4π)ln(2+m2)+O(4-n)] 

{(1)α+1/2(4π)-2[ε~-1ln(2+m2)]+O(4-n) 

となることが前々記事で導かれました。 

ただし,ε~-12/(4-n)-γ+ln(4π),無限大部分です。

同様な手順で,iΣ(1-loop)(),n=4の極部分を 

分離すると,次式を得ます。

すなわち, 

iΣ(1-loop)(){(1)1/232/(16π2)}ε~-1{(1/2)+m}

iΣ(有限)(1-loop)()+O(4-n).(6-1):ただし, 

iΣ(有限)(1-loop)()]{(1)1/232/(16π2)}01dx

[(+m)ln{(1-x)2+xμ2x(1-x)2}].(6-2) 

です。

もしも次元正則化の代わりに,Pauli-Villers正則化を用いて, 

時空次元は4のままで,φの伝播関数:iδij(2-μ2)-1, 

iδij{(2-μ2)-1(2-Λ2)-1]としたとすれば, 

その答は上記の(6)でμ2→Λ2としたものを(6)から引く 

だけで得られます。

結果的に極のε~-1に比例した無限大部分は次のように 

置き換えられます。, 

すなわち.{(1)1/232/(16π2)}ε~-1{(1/2)+m} 

{(1)1/232/(16π2)}01dx 

[(+m)ln{(1-x)2+xΛ2x(1-x)2} 

{(1)1/232/(16π2)}

×{(lnΛ21)(/2)(lnΛ21/2)} 

+O[2/Λ2(2/Λ2)ln(2/Λ2)]..(7)

(※実際の地道なPauli-Villers正則化計算結果との比較 

から係数:(1)1/2iと同定できます。※)

前にも述べたと思いますが,このΛ→∞のとき発散する部分 

である()式には切断:Λの1次以上の発散項は出現せず, 

lnΛ2に比例する対数発散項しかありいません。

その理由は,loop積分の結果が必ず(次元1を持つ)やm 

に比例した形になるため,結果的に次元が1だけ下がる 

からです。

γμには比例せず,単位行列1に比例した部分が因子:mを 

少なくとも1つ含むのは,m=0の場合には,カイラル対称性 

が存在すべきで,そうした(単位行列1に比例した)項は出現 

しないからです。

一般に1-loopでなくてもFermionの自己エネルギー部分は

Σ()(2)+mb(2) 

(-m)(2)+m~(2)

~(2)=a(2)+b(2)…(8) の形をとります。

(2),(2),~(2)はp2の関数であり,これら

2=m2のまわりでTaylor展開すれば,,

自己エネルギーは.Σ()(-m)a+mb~ 

(2-m2){(-m)’(2)+mb~’(2)} 

(ただし,a=a(2=m2),~=b~(2=m2))…(9) 

と書き換えることができます。

前述のΣ(1-loop)の計算では,次元正則化による式(6)

または,Pauli-Villers正則化による式(7), 

Σ()(-m)a+mb~ 

(2-m2){(-m)’(2)+mb~’(2)} 

の展開の係数a,~にのみ発散量が出現します。

すなわち, 

(1{32/(16π2)}(1/2)ε~-1(有限定数) ,or 

(1{32/(16π2)}(1/2)lnΛ2(有限定数) 

~(1{32/(16π2)}(3/2)ε~-1(有限定数) ,or 

~(1{32/(16π2)}(3/2)lnΛ2(有限定数)…(10)

です。

そして,残りのa’(2),~’(2)は有限なp2の関数である

ことが示されます。この点は特に重要です。

この事実は.このオーダーでは当然で,そもそも1-loop積分を 

行なう前の式;(3):iΣ(1-loop)()∫d4(2π)4

(igτi){i/(}(igτj)[iδij/{(p-k)2-μ2}] 

において,被積分関数を次元1を持つ外線運動量:μに関して 

Taylor展開すれば,μの次数が上がるごとに,1次ずつkの 

loop積分の収束性が良くなるからです。 

(※Σ()(-m)(2)+mb~(2)のようにΣ() 

を不変振幅:(2),~(2)に分解して,2の関数として 

Taylor展開すれば収束性は2次ずつ良くなります。※)

問題はa.~に現われる無限大をどう処理するか?です。

,~の物理的意味を見るため,以前の式: 

iF’()i{-m-Σ()}-1i{Γψ(2)()}-1. 

戻って考えます。

これにΣ()(-m)a+mb~を代入すると,

iF’()i{-m-(-m)a-mb~}-1 

i(1-a)-1[{1+b~/(1-a)}]-1..(11)

となります。

これは相互作用の効果によって,~<<1のとき,

Fermionの質量がmから,{1+b~/(1-a)}にずれる 

こと.および,:ψの規格化因子:21から(1-a)-1 

に変化することを表わしています。

現状の摂動論では,,~は無限大に計算されるので, 

~<<1などの条件には程遠いのですが,たとえ発散する 

理論の場合でも,「相互作用が存在すれば質量:mと規格化

因子:2をずらす効果を有する。」ということが重要です。

そこで,この効果を予め考慮して,出発点の裸のLagrangian 

0の自由項部分は元の(1)(1/2)(μφμφ-μ2φ2)

ψ~(γμμ-m-gφτ)ψ(λ/8)(φ2)2のそれとは異なり, 

0freeψ0~(γμμ-m0)ψ0(1/2)(μφ0μφ0-μ02φ02) 

(12)であるとします。

相互作用の効果を全て取り込んだ後の正しく規格化された場 

を改めてψ,φとし,正しい質量をm,μと呼び,(これらが12) 

に現われる裸の量と,ψ0=Z21/2ψ,φ0=Z31/2φ,.(13).および, 

0=m-δm,μ02=μ2-δμ2..(14)なる関係でつながって 

いるものとします。

そうすれば,0freefreecountfree..(15) 

freeψ~(γμμ-m)ψ(1/2)(μφμφ-μ2φ2)(16) 

countfree(21)ψ~(γμμ-m)ψ+Z2δmψ~ψ 

(1/2)(31)(μφμφ-μ2φ2)(1/2)3δμ2 (17) 

のように,0freeは2つの部分:free,countfree.分けられます。

そして,前者のfreeが先のの摂動第0次の自由場部分 

であったと考えます。

先述したように,添字:0のついたψ0,φ0を裸の場,0,μ0 

裸の質量と呼び,対応するψ,φをくりこまれた場,,μ 

をくりこまれた質量(または,観測される物理的質量)と呼びます。

また,countfree.の各項は相殺項(couter-term)と呼ばれますが,

その理由は次のようにしてわかります。

一般に2,3やZ2δm,3δμ2 

21c2(1)c22(2).. 

31+hc3(1)c23(2).. 

2δm=0+hcδm(1)c2δm2(2).. 

3δμ201+hcδμ2(1)c2δμ2(2)..(18) 

,Plank定数:c=n/(2π)のベキで摂動展開され,

それ故,countfreeが存在すればFermionの自己エネルギー 

に対して.cの1次では,既に評価した:Σ(1-loop)以外に 

Σcount=-Z2(1)(-m)-δm(1),,(19)の寄与がある

ことになります。 

つまり,countfreeのhcの1次の項 

2(1)ψ~(γμμ-m)ψ

を相互作用項として用いた図7.3のグラフの寄与です。


  この寄与を加えれば式(9)で定義したa,~

1-loop:(c)のオーダーまでの近似で, 

a=(1)-Z2(1),mb~=mb~(1)-δm(1) (20)

となります。(※a(1),~(1)は先の1-loop計算:Σ(1-loop)から 

の寄与です。)

ところが,ψが正しく規格化された場,mが物理的質量になる 

よう,予め波動関数(),質量にくりこみを行ったのですから 

.~はくりこまれて,ゼロでなければなりません。

実際,a=b~0であれば.(11)の表式: 

iF’()i{-m-(-m)a-mb~}-1 

i(1-a)-1[-m{1+b~/(1-a)}]-1によって, 

iF’()i/(-m)となり, 

ψの2点関数(伝播関数)=mに極を持ち留数は正しく

iになります。

したがって,2(1),δm(1),2(1)(1),δm(1)=mb~(1) 

(21)ととるべきであることがわかります。

すなわち,この操作でΣ()1-loopの計算に現われた発散: 

(1),~(1countfree2(1),δm(1)の寄与で相殺される必要 

があるのです。

途中ですが今回はこれで終わります。

※参考文献:九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館)

PS:また,桜の開花が近づいています。

私はいつまで生きられるのだろう。映像じゃなく満開の桜を

見に行きたいものです。

なぜか,誤嚥性の隠れ肺炎のような状態で,ときどきセキと痰 

が止まらず,酒の席でも他人に迷惑かかりそうで,なかなか,

そうした場に一人で外出できません。

   花見宴会ばかりではなく,桜に囲まれると花イキレというか? 

異様な高揚感があったことがあるのを記憶しています。

坂口安吾の「桜の森の満開の下」で背中にしがみついた女妖怪

,梶井基次郎の「桜の木の下には屍体が埋まっている」という 

ような妖しい想像など思い出されます。

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2019年2月25日 (月)

くりこみ理論(次元正則化)(2)

くりこみ理論(次元正則化)の 続きです。
 

4次元時空のテンソル添字で縮約されず残っているものは, 

そのまま.抽象的にn次元時空の添字とみなしておきます。
 

計量テンソルgμνもそうです。縮約された場合はn次元の 

内積となり,特にgμμ=n..(14) です。
 

ただし,完全反対称テンソルは添字の個数が次元数nに等しい 

場合だけ定義できるものなので,一般の複素数nに自然に拡張 

することはできません。そこで4次元のεμνλσはn次元時空 

でも添字(μ,ν,λ.ρ)(0,1.2,3)の置換:σになってるとき 

のみゼロでなく,sgnσの値をとる定数テンソルであると定義 

しておきます。
 

Diracスピノルの複素n次元への拡張にはかなり任意性が 

ありますがここでは任意の偶数次元n=2kの場合に拡張し 

2n/2成分の既約SO(1.n-1)スピノルを考えます。
 

(※n=2kのとき,SO()はk個の2次元スピノル空間に 

分解されます。全体は2次元空間の直積です。例えばn=6 

k=3での基底は,[1.0]t×[1.0]t×[1.0]t etc.であり,合計 

で8=23個です。※)
 

このスピノルで定義されたガンマ行列は, 

{γμ,γν}2μν.(15)を満たす抽象的代数量であり,その 

トレース(対角和)Tr(γμγν)μνTr(1)=gμν2/2(16) 

という規約になります。
 

(※このTr(1)2/2という式について深く考える必要はなく 

n=4のときTr(1)4となるようなnの連続関数であれば 

いいです。※)
 

ここで,唯一の問題となるのは偶数n=2k次元のγ5=γ5 

行列です。これは,Γ5ik-1γ0γ1..γn-1 

{ik-1()n-1/!}εμ1μ2..μnγμ1γμ2..γμn(17)であり, 

完全反対称テンソルεμ1μ2..μnと同様 .複素n次元に拡張する 

ことはできません。そこで4次元のεμνλρの場合と同じく, 

γ5iγ0γ1γ2γ3.{(i)/4!}εμνλργμγνγλγρ(18) 

定義される決まった行列と考えることにします。
 

こうするとγ5はγ0,γ1,γ2,γ3とは反可換ですが他のγμとは 

可換という面倒な性質を持つことになります。
 

γ5やεμνλρを複素n次元に自然に拡張できないので,もしも 

ゲージ変換がγ5やεμνλρを含む場合,次元正則化でもゲージ 

不変性を壊します。これが後述するようなアノマリー(量子異常) 

に関係しています。
 

§7.2 1-loop計算と乗法的くりこみ 

本節では紫外発散がどのように現われるか?を見るため,具体的 

に1つの簡単な模型をとって1^loop計算を実行します。 

合わせて,現われる発散をどう処理するか? 謂わゆる乗法的 

くりこみ(multiplicative renormalization)の手続きについて 

説明します。
 

簡単な模型として,アイソスピンが1のスカラー場: 

φ(φ1,φ2,φ3)T,アイソスピンが1/2Dirac: 

ψ(ψ1,ψ2)Tから成る湯川相互作用系:Lagrangian密度 

がL=(1/2)(μφμφ-μ2φ2) 

ψ~(γμμ-m-gφτ)ψ(λ/8)(φ2)2 

で与えられるものを考えることにします。
 

Feynmanグラフにおいて,φの伝播関数は点線でψの伝播関数は 

矢印付きの実線で表わすことにします。
 

※下の図7.1,7.2Fermion(Dirac)の自己エネルギー 

のグラフです。


    図7.2では,左辺のFermionの2点Green関数(伝播関数): 

 iF'()=<0|[ψ()ψ(0)]|0>には図で灰色のblobで  

示した1PI(1粒子既約)なグラフ全体が図7.2右辺のように  

繰り返しの形で効きます。

しかし,運動量表示での左辺の総和:iF'(),7.1の左辺 

では,上述の自己エネルギーを図7.2と同じく灰色blob 

示していますが,これをiΣ()と記せば,7.2が簡単に 

表現されて,iF'()i(p-m)-1 

{i(p-m)-1}{iΣ()}{i(p-m)-1} 

{i(p-m)-1}{iΣ()} {i(p-m)-1}{iΣ()}

{i(p-m)-1}..i{p-m-Σ()}-1i{Γψ(2)()}-1

となります。
 

(2-1):最右辺のΓψ(2)()はψによる2点1PI頂点関数を 

示す記号です。頂点関数は2点の場合,特別に2点Green関数の 

逆数に一致します。 

つまり.Γψ(2)()=-{iF()}-1{iΣ()} 

i{p-m-Σ()} 

です。
 

久しぶりの記事で,これらの意味を再認識するために, 

少々長たらしいですが2017年9/7の過去記事: 

「対称性の自発的破れと南部-Goldston粒子(3)」から 

「ゲージ場の量子論」の第4章摂動論(経路積分) 

有効作用・有効ポテンシャルと頂点関数の定義や, 

それらの関係について記した(3-1)を再掲します。
 

(※以下再掲載記事開始)
 

(3-1):有効ポテンシャルの定義,意味については, 

本ブログの20149/21から20154/21までにアップした 

記事:「ゲージ場の量子論から(その1)(経路積分と摂動論) 

(1)(12)において摂動論を記述した後,有効作用,およ, 

有効ポテンシャルの項に入る予定でしたが,その直前で中断 

して,このシリーズ再開後は間の項目を飛ばして 

「ゲージ場の量子論から(その1)(経路積分と摂動論)(15) 

に進んでいました。
 

そこで,この記事シリーズから,適宜,必要事項を引用し,これに 

追加して説明します。
 

便宜上,(12)Grassmann 代数の知見と面倒な考察を要する 

Fermion場の話は考慮せず,(1) (11)Boson場のみから成る 

系で考えます。
 

まず,時間tを含むHeisenberg表示の初期()状態,終状態を, 

それぞれ,|φ,,|φ,|>として,その遷移振幅を, 

位相空間の積分:∫∫DπDφによる経路積分で表わすと, 

<φ,|φ,

=∫∫φ(,tI)=φI()φ(,tF)=φF()DπDφ 

×exp(i∫tItF[π()φ()(π(),φ())]) 

となります。
 

この式の右辺から,先に∫Dπだけを実行して,配位空間の積分: 

Dφのみによる積分表式にしたものは,Nを比例定数として, 

<φ,|φ, 

=N∫φ(,tI)φ()φ(,tF)φ()Dφ 

×exp[i∫tItF(φ,∂φ)] です。
 

次に,特にGreen関数の経路積分を考えます。
 

必ずしもφの固有状態ではない一般の状態を想定し初期状態 

|Ψ,,終状態を,|:Ψ,F>として, 

一般化されたN点Green関数を, 

()(,..,; Ψ,;Ψ,F) 

≡<Ψ,F|[φ()..φ()]|Ψ, 

/<Ψ,F|Ψ, 

=<Ψ,|exp(iF)[φ().φ()exp(i)]|Ψ 

/<Ψ|exp{i(F-t)}|Ψ> によって,定義します。
 

これを変形して,最終的にGreen関数の経路積分式として. 

()(,..,;Ψ,;Ψ,F) 

=NFIDφΨ[φ()] Ψ[φ()]φ()..φ() 

×exp[i∫tItF(φ,∂φ)] を得ます。
 

ここで,一般化されたGreen関数の生成汎関数:FI[]なるもの 

を次のように定義して導入します。
 

すなわち,FI[] 

=<Ψ,F||exp{i∫dxJ()φ()}| Ψ, 

/<Ψ,F|Ψ,> です。
 

FI[]をJでN階微分してJ=0 と置いたものが一般化された 

N点Green関数になります。 

つまり,[δFI[]/δJ()..δJ()]jJ(x1)..(xN)0 

=G()(,..,; Ψ,;Ψ,F) です。
 

実は,これが,FI[]がG()(,..,; Ψ,;Ψ,F) 

の生成汎関数である,という意味です。
 

そして,一般化されたGreen関数は,特に初期状態:|Ψ, 

終状態:|Ψ>が共に系の真空状態 |0>であるとしたとき, 

通常の意味のN点Green関数; 

()(,..,)=<0|(φ()..φ())0 

に一致します。
 

さて,話は重複するかもしれませんが, 

相互作用:int(φ)が存在して,Lagrangian密度, 

(φ,φ)(1/2)μφμφ(1/2)μ2φ2()int(φ) 

で与えられる実スカラー粒子の場:φ()を想定します。
 

この相互作用しているスカラー粒子のN点Green関数G(), 

()(1,..,N)=<0|(φ(1)φ(2)..φ()|0 

で与えられますが,これの生成汎関数を特にZ[]とします。
 

[],配位空間の経路積分によって 

[]=N∫Dφ exp[i∫d{(1/2)φ(□+μ2)φ+int(φ)

+Jφ}] 

=N∫Dφ exp[i{(1/2)φ*(□+μ2)φ+J*φ}]と書けます。
 

右辺の最後の式では,煩わしい∫dxという表現を省略するため, 

時空座標xの任意関数φI),ψ()に対して,内積とよばれる 

演算:φ*ψを,φ*ψ=∫dxφ()ψ()=ψ*φによって定義 

導入しました。
 

[],結局,[]=<exp[i∫d{int(φ)+J*φ}]0 

/exp[i∫d{int(φ)}0 なる式に表わせることが 

わかります。
 

ただし,任意のφの汎関数F(φ)について, 

(φ)0(exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ*(δ/δφ)}*(φ))φ=0 

と定義しました。
 

(φ)0の意味はF(φ)に左から微分演算子: 

exp{(1/2)(δ/δφ)*iΔ*(δ/δφ)} 

=Σk=0(1/k!)(1/2)k(δ/δφ)*iΔ*(δ/δφ)}を作用させ 

最後にφをゼロと置く操作です。
 

これは,exp[i∫d{int(φ)+J*φ}]0では, 

級数展開Σk=0(1/k!) )1/2)(δ/δφ)*iΔ*(δ/δφ)} 

1次ごとにexp[i∫d{int(φ)}]からφ()φ()のような 

φの対を1つ取り除き,代わりに自由場のFeynman伝播関数: 

iΔ(x-y)=<0|(φin()φin()|0> で置き換える 

という操作を示しています。
 

そして,係数(1/2)はxとyの交換の自由度2で割ることを意味  

します。また,自由場のFeynman伝播関数は,Fourier積分の形で  

Δ(x-y)=∫d4(2π)-4[exp{i(x―y)} 

/(2-m2iε)] なるものです。
 

生成関数における指数関数の級数展開は,  

[]=<exp[i∫{int(φ)+J*φ}]0  

/exp[i∫{int(φ)}0

=Σ=0(1/m!)∫d41..  

iint(1).. iint()exp(i*φ)0/(分母) 

となります。
 

右辺の級数展開は相互作用intに比べて,微小な摂動で 

あると考えたときの摂動展開級数そのものです。
 

(分母)=<exp[i∫{int(φ)}0の効果については,遷移 

要素の摂動計算に考慮すべきでないと考えられる真空泡グラフを 

(分子)から相殺して除去する操作に関わるものなので,本質的寄与 

をする(分子)の各項について具体的計算方法を考えます。
 

具体的には,< >0.まず.φの2個の積の場合,明らかに, 

φ(1)φ(2)0iΔ(1-x2)[φin(1in(2)]  

です。便宜上,iΔ(1-x2),Symbolic[φin(1in(2)] 

なる記号で表現しました。このように,φ(1),φ(2)の組を 

Feynman伝播関数 iΔ(1-x2)で置き換える操作を縮約 

(contraction)と呼びます。
 

以下.具体的に,経路積分による定式化を整理すれば,Feynman 

グラフによる通常の伝統的摂動論の計算法に一致することが 

示せることを記述しています。
 

Fermionへの一般化もできますが,今回これは省略します。
 

ここまでは既に記述した過去シリーズ記事の(1)(11) 

内容です。
 

ここから今回本題の「有効作用と有効ポテンシャル,」の 

話を追加します。
 

まず,Green関数の生成汎関数は, 

[]=<0|exp(iJ*φ)]|0 

=<exp[i∫{int(φ)+J*φ}]0 

/exp[i∫{int(φ)}0 

­­=N∫φexp[i{[φ]Jφ}]  

と表現されます。
 

このとき,[]exp{i[]}によって,[]を定義します。
 

proper連結グラフ(固有連結グラフ)とすると, 

[]expと表わせるので,i[]は連結固有Green関数 

の生成汎関数です。
 

一方,[]=S[φ]+Jφと表わしていますが,具体的には, 

Jφ=∫d4xΣiiφi(),であり,[φ]は作用積分の形で 

[φ]=∫d4(φ(),φ()) です。
 

ここで,有効作用;Γ[φ]をW[]から.汎関数のLegebdre変換: 

Γ[φ]=W[]Jφ によっ定義します。
 

ところで,δZ/δi 

(iδW/δi)Z=i0|φi()exp(iJ*φ)]|0>より, 

φ~i()(δW/δJi) 

0|φ()exp(iJ*φ)]|0/Zとおくと, 

φ~i(x)(δW/δi),()という外場が存在する 

ときの場:φ()の期待値を意味することがわかります。
 

Γ[φ]をJ()でなく,上記の期待値:φ~i()の関数: 

Γ[φ~]と考えると,()=δΓ[φ~]/δφ~i()です。
 

(※注:何故なら.WはJの関数と見ると,Wのφ~iによる微分は

δW/δφ~i=Σk(δJ/δφ~i)(δW/δJ) 

=Σk (δJ/δφ~i)φ~k であり, 

一方,δ(Jφ)/δφ~i(δJ/δφ~i)φ~+Jなので, 

δΓ/δφiδW/δφ~i-δ(Jφ)/δφ~i=-Ji 

となるからです。(注終わり※)
 

有効作用:Γ[φ~]が重要な理由の1つは,これが1PI 

(1粒子既約)な頂点関数:Γ()の生成汎関数になっている点: 

つまり,Γ[φ~]=Σn=0(1/!)∫d41..4n 

φ~i1(1)..φ~in(n)Γ()i1..in(1,..n) 

となっている点です。
 

ここで,[]に効くグラフで伝播関数の線を1本切ってグラフ 

が2つの部分に分離できるとき,その線を関節線と呼びます。 

伝播関数の線が外線のそれであれば常に関節線ですが,外線以外 

に関節線を持たないグラフを1PI(1粒子既約)なグラフ,内線 

にも関節線があるそれを1粒子可約なグラフと呼びます。
 

結局,Γ[φ~]は量子効果であるループグラフを除く単純な 

Treeレベルでは,cPlanck定数としたO(c)を除く近似 

で古典的作用積分:[φ~]=∫d4(φ~,∂φ~)に一致します。
 

この有効作用の物理歴意味をさらによく理解すべく,より特殊な 

場合を考えます。
 

外場Jと期待値φ~が共に時間x0=tに依存しない場合を 

考えると,この場合.時間並進不変性があるのでW[],Γ[φ~] 

の∫d4x表現から,無限大の時間因子:  

T=∫dx0がくくり出せます。
 

すなわち,[()=J()] =-w[()]∫dx0, 

Γ[φ~()=φ~()]=-E[φ~()]∫dx0  です。
 

さらに,Jとφ~が時空座標xに完全に依存しない定数の場合. 

[()=J]= =-w[]∫d4, 

Γ[φ~()=φ~]=-V[φ~]∫d4 です。
 

最後の,[φ~]はφ~の関数であり,有効ポテンシャルと 

呼ばれます。
 

3次元空間のの関数:φ~()の汎関数:[φ~()]には 

決まった名称はありませんが,[φ~]にならって 

有効エネルギーと呼んでおきます。
 

Jとφ~がt=x0に依存しないときを考えると, 

[]exp{i[]}exp{i[]} 

=<0| exp{i[]}0,ただし,[] 

-∫d3()φ~(), 

Hはエネルギーを意味するHamiltonianです。
 

つまり,期待値の関数としては, 

=∫d3{π~φ~(φ~,∂φ~)}, 

=-∫d3(φ~,∂φ~)=-Lです。
 

何故なら,φ~がt=x0に依存しないため, 

共役:π~=∂L/(0φ~)=∂0φ~ 

がゼロだからです。
 

そして,真空:|0>はエネルギーHの最低固有値状態 

(基底状態)でしたが,ここでも-iε処法を採用していると 

すれば,T=∫dx0=∞ の極限では,事実上, 

[]-∫d3()φ~()の基底状態:|0 

のみがexp{i[]}=<0| exp{i[]}0 

|0>に効きます。
 

それ故,T → ∞ではw[][]の基底状態の 

エネルギー固有値です。 

つまり,[] |0>=w[] |0>です。
 

他方,この)固有値問題は,量子力学の変分原理の問題と同じく, 

<Ψ|Ψ>=1,<Ψ|φ()|Ψ>=φ~()の下で,<Ψ||Ψ> 

を停留値にする停留解:|Ψ>を求める停留問題とみなすことが 

できます。すなわち,この,|Ψ>=E|Ψ>の解が, 

|Ψ>=|0,E=w[]を与えます。
 

したがって,場の理論で真空を探す問題では,予め並進不変性を 

考慮して,[φ()]に依存しないφ~の関数である有効 

ポテンシャル[φi~]の停留点を∂V[φ~]/∂φi~から 

求めればいいです。
 

結局,有効ポテンシャル:[φ~],場φi()の期待値がφi~ 

(定数)である条件下での基底状態のエネルギー密度と解釈され 

その最低の固有値に対応する状態が真空です。
 

※※  

有効作用:Γ[φ~]1粒子既約な頂点関数:Γ()の生成汎関数で 

あったことから従う有効ポテンシャル:[φ~]のもう1つの側面 

に注意します。
 

頂点関数:Γ()の運動量表示Γ~()を運動量保存のδ関数を外して 

定義します。 

∫d41..4n exp{i11..inn}

Γ()i1/..in(1,..,n) 

=Γ~() i1..in( (1,..,n)(2π)4δ4(1..+pn)

です。
 

Γ[φ]=Σn=0(1/!)∫d41..4nφi1(1)..φin(n) 

Γ()i1..in(1,..n)において, 

φi()=φ~i(定数)とし,[Φ]の定義式,および, 

(2π)4δ4(p=0)=∫d4 exp(ipx)|p=0を考慮して 

[φ~]=-Σn=0(1/!)φ~i1..φ~inΓ~()i1..in(0...,0) 

を得ます。
 

すなわち,有効ポテンシャル:[φ~]は運動量pi 

が全てゼロのときのn点頂点関数の生成関数 

という意味を持っています。
 

[]の経路積分表式: 

[]exp(i[])­­=N∫φexp[i{[φ]Jφ}] 

,Γ[φ~]=W[])­­Jφ=に代入して,自然単位にPlanck定数: 

cを復活させると, 

Γ[φ~](ic)ln[φexp{(i/c){[φ](φφ~)}] 

経路積分φの積分変数をφ → φ+φ~と変数置換し, 

-Ji()=δΓ/δφiを代入すれば,Γ[φ~] 

(ic)ln[φexp{(i/c){∫d4 

([φφ~](δΓ/δφ)φ)}] です。
 

ここで,[φφ~]をc-: φ~のまわりで量子場:φ() 

で展開すると,[φφ~][φ~](/∂φi)φi 

(1/2)φi|(iF)-1φ~}ijφjint[φ;φ~] です。
 

ここに,|(iF)-1φ~}ij,|(iF)-1φ~}ij 

(2[φφ~]/∂φi∂φj)|φ=0(2[φ~]/∂φ~i∂φ~j) 

で与えられます。
 

これは場:φの期待値がφ~であるような真空の上でのFeynman 

伝播関数の逆数であり,int[φ;φ~]φについて3次以上の 

φ~における相互作用項です
 

この[φφ~]の展開をΓ[φ~]の表式に代入すると, 

Γ[φ~]=∫d4[φ~]+Γ~[φ~] : 

Γ~[φ~](ic)lnφexp[(i/c){∫d4 

[(1/2)φi|(iF)-1φ~}ijφjint[φ;φ~](δΓ/δφ)φ}] 

です。
 

これで,うまい具合に有効作用Γ[φ~]から,古典的作用積分: 

[φ~]=∫d4[φ~]が分離されました。※※
 

(3-1終わり※)
 

(以上再掲載終了※)(2-1終わり※)
 

最初の予定外の過去記事を参照した注釈を書いたため,1記事  

としては長くなり過ぎたので,ほとんど過去の再掲載ですが  

今回はここまでにします。 

(参考文献)九後太一郎著「ゲージ場の量子論Ⅰ,Ⅱ」

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2019年2月 7日 (木)

くりこみ理論(次元正則化)(1)

※昨年は,私の勉強ノートからの覚書きシリーズ記事として 

「自発的対称性の破れと南部-Goldston粒子(20)」を入院中の病院 

からアップしたのを最後に,1990年代に九後汰一郎著(培風館) 

「ゲージ場の量子論」を詳読した内容の紹介・解説記事を中断し 

てましたが,新年(2019)に入り,9月の退院後に壊れたため新調 

してた中古PCで記事を作るツールのMS-Wordの環境が復活 

したので,これの続きを終えてから棺桶に入らないと永眠 

するにも寝覚めが悪そうです。
 

そこで,この書の第7章「くりこみ」の項目から記事を再開 

します。今回のノートは開始日が1997年3月20(47) 

なっています。以下,本文です。※ 

 

7章くりこみ(Renormalization) 

これまでは量子補正,すなわち,loopグラフの計算を行なわず, 

理論が整合的に存在するものとして議論を進めてきました。

 

しかし具体的にloopグラフを計算すると,とたんに紫外発散 

(ultraviolet-divergence)という問題が生じます。 

つまり,loop運動量の大きいところでの積分が発散するという困難 

に遭遇します。

 

この問題を処理するには,まず無限大というモノは直接扱う 

ことができないので,正則化(regularization)という手続きで, 

とにかくFeynmanグラフの積分が収束してwell-defined(無矛盾) 

になるようにします。

 

その次には,諸量を物理的粒子の質量や結合定数で書き直すという 

操作:くりこみ(renormarization)を行ない,くりこんだ後の量が 

正則化をはずした極限でも有限で無矛盾な量になること。。 

を証明します。
 

まず,正則化,特に次元正則化(dimensional-rgurarization)を 

説明します。
 

Pauli-Villar正則化  

Feynmanグラフのloop積分を有限にする方法としてわかりやすい

1つの例は被積分関数中の伝播関数(propagator)を次のように置き 

換えるものです。
 

すなわち,質量がmのBose(運動量k)については 

i/(2-m2iε)i/(2-m2iε)i/(2-Λ2iε)  

i(2-Λ2)/{(2-m2iε)(2-Λ2iε)} … () 

とします。ただしΛ2は十分大きくとっておきます。

 

これを行なうと伝播関数は,2>>Λ21/4のように挙動し, 

元の~1/2より急激に落ちるので積分の収束性が良くなります。

 

(1) の第2項の引き算項は,丁度質量Λを持った負計量粒子の 

伝播関数と見ることもできて,そのように見たときこの粒子 

の場をregulatorと呼びます。regulatorの質量Λは切断(cutoff) 

パラメータとも呼ばれます。

 

(1) の操作でも収束性が足りないときは,さらにregulatorを入れて 

2→∞でもっと速く落ちるようにします。

 

Fermionの場に対しても同様にやれます。 

このような正則化をPauli-Viller正則化といいます。

 

Guptaはこれを改良して可換ゲージ理論の場合のゲージ不変性を 

保つべく、荷電フェルミオンの質量mをloop内で一斉にΛに置き 

換えたモノを引くという方法を提案しました。 

これは「Bose統計に従うスピノルregulator」を導入することに 

相当します。

 

※次元正則化 

Pauli-Viller-Gupta正則化は直観的で計算も簡単でいいのですが 

難点は,非可換ゲージ理論のベクトル場に適用したとき,それ 

がゲージ不変性を壊すことにあります。
 

そこで,ここでは’tHooftVolteraにより提案された次元正則化 

を採用することにし,これを説明します。
 

次元正則化は時空の次元をnとし,解析接続によりこれを複素数に 

拡張します。この正則化の利点はゲージ不変性が次元に依らず 

成立するため,ゲージ不変性を壊さないことです。しかも被積分 

関数の伝播関数の数を増やさず,一般的な積分公式が得られるので 

具体的計算法としても有用なものです。

 

一般にFeynmanグラフの任意のloop積分は,通常の相互作用の場合 

1- loopで頂点(vertex)と伝播関数の数は同じで,それぞれ,(±i)

iが因子なので(±1)が掛かり,Fermionループなら全体として  

(-1)が掛かり,結局Feynmanパラメータ公式を適用すれば,  

∫dn(2π)-n[(μ,μν,..)/(22kp-m2iε)α](2)  

という形のものに帰着させることができます。
 

そこで,まず,最も簡単な式である

I=∫dn(2π)-n[/2-m2iε)α]..(3) 

を評価することから始めます。
 

ガンマ関数の積分表示: 

Γ(α)-α0exp(-st)α-1dt..(4) 

を用います。(0Reα<1

 

(※注1-1);ガンマ関数の定義はReα>0なるαに対して 

Γ(α)=∫0exp(-t)α-1dtです。そこで積分変数を 

t→t=stと置換すれば(4)が得られます。

 

ただしRes>0です。また,0Reα<1でなければならない 

のは,exp(-st)α-1exp{(Re)t} 

×tα-1[cos{(Im)t}isin{(Im)t}の∫0dtの積分が 

収束するために必要です。(1-1終わり※)
 

この(4)の表示自体は,Res>0,かつ,0Reα<1でのみ妥当な式 

ですが,この値域でさらにIms>0ならばtの積分路を複素平面上 

で時計回りに90度回転して虚軸に持っていくことができて, 

-α{iα/Γ(α)}0exp(ist)α-1dt..(5) 

と書き直せます。この表式になればRes>0の必要はなく 

Ims<0,Reα>0の領域で妥当な式となります。

 

そこでs=2-k2iεとおけば,Ims=-ε<0 の条件 

が成立するので,  

I=∫dn(2π)-n[/(22iε)α] 

∫dn(2π)-n(-s)-α 

{(i)α/Γ(α)}0dt 

[α-1∫dn(2π)-nexp{i(2-k2iε)}](6)  

です。
 

以前の第4章経路積分の項で用いたGaiss-Fresnelの積分公式: 

-∞dxexp(iax2/2){2π/(i)}1/2から, 

∫dkexp(itkj2){π/(i)}1/2, 

∫d0exp(itk02){π/(i)}1/2{π/(i)}1/2より 

∫dn(2π) -nexp(itk2)(1)1/2n/2(4πi)n/2です。
 

故に,{(i)α(1)1/2(4πi)n/2/Γ(α)} 

×∫dt[(α-n/21) exp{i(2iε)}]..(7)より, 

結局,I={(i)α+1/2(4π)n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×(2iε)(α-n/2) …(8)  を得ます。
 

ただし,収束にはRe(α-n/2)0が必要です。 

しかし,一旦(8)の表式が得られれば,これはnについての解析関数 

なので,任意の複素数次元nに拡張できる形です。
 

このとき元の運動量積分が発散していたという事情が解析接続(8) 

においては,次元nに関する極として表現されます。 

これが次元正則化の特徴です。
 

実際,ガンマ関数:Γ()はz=0,1,2,..に極を持ち, 

Γ()=Γ(z+1)/z …(9)ですから, 

Γ(ε)1/ε-γ+O(ε)(γはEuler定数~0.5772..)(10) 

が成立します。
 

(1-2):(10)式を証明します。 

まず,Γ(z+1)=Γ(1){Γ’()}w=1z+O(2) 

=zΓ()であり,Γ(1)1です。

 

そして,Γ()=∫0{exp(-t)z1}dtより、 

Γ’()0{exp(-t)w-1(ln)}dtですから, 

{Γ’()}w=1=∫0{exp(-t)(ln)}dt=-γです。
 

何故なら,本ブログの2003年の過去記事: 

「ガンマ関数とスターリングの公式」でも示したように, 

ガウスの公式: 

Γ()limn→∞[!/{(z+1)..(z+n)}] 

limn→∞[!/{Πk=0(z+k)}]が成立します。
 

そこで,lnΓ() 

limn→∞[lnn-ln(!)Σk=0ln(z+k)]です。
 

それ故,{lnΓ()}/dz=Γ’()/Γ() 

limn→∞[lnn-Σ{1/(z+k)}]と書けます。

 

それ故,Γ’()=∫0exp(-t)z-1(ln)dt 

limn→∞[lnn-Σk=0{1/(z+k){]Γ() 

ですから,{Γ’()}z=1=∫0exp(-t)(ln)dt 

limn→∞[11/21/3+・・+1/nln]を得ます。
 

ところが,limn→∞[11/21/3+・・+1/nln] 

は有限値に収束して,その極限値がオイラー(Eule)rの定数: 

γであることは,よく知られていますから上式の右辺は丁度 

(-γ)に一致するからです。
 

したがって,Γ(1+ε)=εΓ(ε)1-γε+O(ε2) 

であり,故に,Γ(ε)1/ε-γ+O(ε)が得られます。 

(証明終わり)(注1-2終わり※)
 

例えば,I=∫dn(2π)-n[/2-m2iε)α] 

がα=2のときn=4の次元では対数発散するという事情に 

対しα=2ですが時空の次元はn=42δ,δ=α-n/20 

であると仮定すれば, 

(8)の表式:{(i)α+1/2(4π)n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×(2iε)(α-n/2) において,Γ(α)=Γ(2)1であり, 

Γα-n/2)=Γ(δ)1/δ-γ+O(δ) 

2/(4-n) -γ+O(4-n) ですから, 

Γ(α-n/2)/Γ(α)2/(4-n) -γ+O(4-n)です。
 

さらに,εexp(εln)1+εln+O(ε2)より, 

(2iε)(α-n/2) (2iε)-δ  

1{(4-n)/2}ln(2-ε)+O(δ2) 

また,(4π)n/2(4π)2(4π)-δ 

(4π)2[1{(4-n)/2}ln(4π)+O(δ2)} 

と書けます。
 

よって,(8),I=(i)α+1/2(4π)2{1/δ-γ+O(δ)} 

{1-δln(4π)+O(δ2)}{1-δln(2-ε)+O(δ2) 

(i)α+1/2(4π)2{1/δ-γ+ln(4π)ln(2-ε)+O(δ)} 

を意味します。
 

結局,時空の次元がnで,α=2の場合には, 

I=(i)α+1/2(4π)2 

{2/(4-n)-γ+ln(4π)ln(2-ε)+O(n-4)}(11) 

なる評価式を得ます。
 

これは,(,α),n=42αに1/(4-n)の型の極を持つ 

ことを示していますが,γやln(4π)の定数は常に.この極の部分 

に付随して現われるため,ε~-12/(4-n)-γ+ln(4π).(12) 

として,この全体を無限大部分とみなすのが便利です。
 

※上はα=2を例として計算した結果ですが,くりこみ可能な 

積分式はゲージ対称性を考慮すると,結局,発散が高々対数発散 

である場合なのがわかっているため,次元正則化で現われる 

おける無限大は,すべてこの形で出現します。※
 

さて,(3),(8)のI=∫dn(2π)-n[/(2-m2iε)α] 

{(i)α+1/2(4π)n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×(2iε)(α-n/2) なる表現式において,

 

積分変数:kを(k-p)に置換し,かつ,2(2+m2) 

変更すると,(2-m2iε){(k-p)2(2+m2)iε} 

(22kp+m2iε)となります。
 

したがって,伝播関数分母の無限小虚部iεを略して 

∫dn(2π)-n[/(22kp-m2iε)α] 

{(i)α+1/2(4π)n/2Γ(α-n/2)/Γ(α)} 

×(2+m2)(α-n/2)..(13) 

という,より一般的な式が得られます。
 

この(13)の両辺を(/∂pμ)微分することにより(2) 

∫dn(2π)-n[(μ,μν,..)/(22kp-m2iε)α] 

なる形の積分の公式を得ることができます。
 

途中ですが,新項目記事の導入部ということで今回は 

ここまでにします。

  ブログのテンプレートへのオン書きでない文書を投稿 

するのは久しぶりなので,うまくアップできるかな?
 

(参考文献)九後太一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

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2018年5月28日 (月)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(20)

※16日から入院中ですが,ネットにアクセスが可能で,この 

項目はこれで終わる予定だったため,予め,病院まで 

持参していた参考ノートから原稿書きをしました。
 

さて,「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(19) 

から§6.7 Weinberg-Salam模型の続きです。
 

前回の最後では,小林・益川がクォーク2世代だけでは,模型に 

CPの破れを導入できないことに注目し,Ffが複素数となる 

自由度を得るために第3世代クォークの必要性を指摘した。 

というところで終わりました。
 

一般にクォークがn世代のときはqとq2n個あるため 

n×n複素行列:Ffのn2個の実パラメータ(22からn2個の 

ユニタリ条件:ΣFfFf=δffのn2を引いてn2) 

のうち,(2n-1)(とq2n個から全体の位相1を引く) 

は吸収できて,(22n+1)=(n-1)2個が残ります。
 

一方, n×n行列:Ffが実行列であれば,ユニタリ行列は回転の 

直交行列を意味し,その条件はΣFfFf=δff,これは 

{n+n(n-1)/2}個の独立条件なので,独立パラメータは

(n-1)/2個です。
 

以上から,n×n混合行列行列:Ffはn(n-1)/2の実回転角: 

θi(一般化Cabbibo)(n―1)(n-2)/2個の位相因子:δi 

(小林・益川位相)を含むことがわかります。
 

後者の位相因子:δirxp(iδj)が問題のCPを破る位相因子で, 

果たして,その個数はn=1,2ではゼロでn=33世代で初めて 

1個現われることになります。
 

小林・益川自身はCPの破れの起源として,このn×n混合行列 

の位相以外にも,例えばHiggs2重項を2種以上導入して,その間 

の相互作用項に位相を与える可能性も指摘しています。
 

※アノマリーの相殺

古典論の段階で存在するカレントの保存が量子論(loopグラフ) 

段階で成立しないことがあり,その現象を一般にアノマリー

(anomaly)(量子異常)と呼びます。
 

これは,くり込みなどの項目を論じた後の章で一般論として詳論 

する予定ですが,Weinberg-Salam模型に関わる部分だけを簡単に 

述べます。
 

Fermion場がカイラル(左手型,or 右手型)の場合には 

6.14に示した三角形のloopグラフがカイラルアノマリー 

を引き起こします。
 

ゲージ理論においては,ゲージ場の結合するカレントに,この 

アノマリーが存在すれば,ゲージ対称性,それ故,BRS対称性 

が壊され,S行列のユニタリ性,引いては理論のくり込み可能性 

まで成立しなくなります。
 

Weinberg-Salam模型は,正にカイラルFermionに結合するゲージ 

理論ですから,このアノマリーの危険性を孕んでいますが,実は, 

大変うまい具合にアノマリーへのレプトンの寄与とカラー 

3自由度のクォークの寄与が相殺します。
 

これを以下で説明します。
 

後章で示すように,一般に群Gのゲージ場Aμが表現T

属する左手型Fermion:Lと表現Tに属する右手型Fermin:

とに,int=Aμ(~γμL+R~γμ),結合

しているとき,ゲージ場:μ,ν,ρの3点頂点に対する

6.14のアノマリー,

abc=Tr[{,}]-Tr[{,}] 

=Tr(L-R)[{,}]に比例することがわかります。


 

今のWeinberg-Salam模型の場合,ゲージ場はSU(2)×U(1) 

(μ,μ)であり,AAA,AA,BB,BBBの4つの 

タイプのアノマリーを調べる必要があります。
 

μの結合する行列:は弱アイソスピンで,これは左手型の 

SU(2)-2重項の場合は(τ/2),右手型Fermionではゼロ 

です。また,μが結合するのは,弱超電荷:Yです。
 

そこで,AAAアノマリーはSU(2)×2重項ごとに. 

r[{τi,τ}τ]2δijr(τ)0に比例するので存在 

しません。
 

ABBタイプもTr(τ)0でTrもゼロですから 

r[YYτ]=Y2r(τ)0です。
 

AABアノマリーはTr(L-R)[{,}] 

(1/)r[{τi,τj}](δij/2)r() 

(δij/2)r( (Q-τ/2) (δij/2)r( ()
 

それ故,AABアノマリーは左手型Fermionの電荷の総和に 

比例します。
 

最後のBBBアノマリーは, 

r(L―R)(YYY)=Tr(L―R)[(Q-T)3] 

=Tr(L―R)()(3/4)r(Qττ)に比例します。
 

ところがTr(L―R)()は左手型Fermionと右手型Fermionの差 

,電荷は同じQについて左手型Fermionと右手型Fermion 

必ず,対で存在するので,相殺してゼロです。
 

そこでBBアノマリーもまた左手型Fermionの電荷の総和に 

比例します。
 

ここでレプトンの電荷は各世代ごとに 

(νe)+Q()=Q(νμ)+Q(μ)=Q(ντ)+Q(τ)=-1 

です。
 

一方,カラークォークの電荷は各世代ごとに 

3×{()+Q()}3×{()+Q()}

3×{()+Q()}3×(2/31/3)=+1です。
 

したがって,レプトンとクォークの寄与が相殺して.アノマリーは 

現われないことになります。
 

この相殺のために,クォークとレプトンの対応が常に成立している 

必要があります。発見されていないtクォークはこのためにも存在 

しなければなりません。(※実は,1995年に発見されました。)
 

このクォークとレプトンの対応やアノマリーの相殺は

Weinberg-Salam模型では全く偶然的なことに過ぎませんが,

クォークとレプトンの間により深い関係だあることを示唆

しています。このことがSU(5)SO(10)などのゲージ群

に基づく大統一理論(grand unified theory)への1つの大きな

動機になったのです。
 

※電荷の普遍性
 

Weinberg-Salam模型での電荷の普遍性(charge universality)

の問題に,こで触れておきます。
 

電荷の普遍性とは光子の荷電粒子との質量殻上での合定数が,

厳密に普遍的であるかどうか?いうことです。
 

例えば電子(またはμ粒子)の電荷は陽子の電荷=結合定数と

非常な高精度(逆符号で)一致していることが知られています。
 

この問題はU(1)群に基づくQEDの場合は,ほとんど自明でした。 

(1)群の場合はWT恒等式が非常に簡単で,それから直ちに,

荷電粒子:φiの裸の結合定数:i0(つまり,Lagtrangian

現われる結合定数)観測される質量殻上の結合定数:iとが

比例するという関係が容易に導かれます。
 

先に述べたWT恒等式: 

-<0|[ψi()ψ~j()i()]|0 

=<0|[(i)()()ikψ()ψ~j()~()|0 

+<0|[ψi()igψ()()()j~()|0
 

ここで,(1)ゲージの場合はg=e0,=Qなので, 

[,ψi]=-()ijψ=-qiψi,つまり()ijψ=qiψi
 

そこで,-<0|[ψi()ψ~j()i()]|0 

=-i0i0|[()ψi()ψ~j()~()|0 

i0i0|[ψi()ψ()()~()|0
 

これは,ψi,ψjの同次式ですから,これらは既にくり込まれた 

Heisenberg場としていいです。
 

さらに,BはF.T<0|[()μ()]|0>=kμ/2のみを

ゼロでない連結Green関数として持ち,

μ=Z31/2renμ ⇔ Arenμ=Z1-1/2μ 

より,左辺=(i3-1/2μ/2)i'(p-k)

(iΓrenμi)i'() 

となります。
 

一方,,~QEDでは自由場ですから, 

.T<0|[()~()]|0>=-1/2です。
 

故に,右辺=i0i(-1/2){i'()i'(p-k)}
 

よって, 

3-1/2μΓrenμi=e0i{i'-1()i'-1(p-k)} 

これと,光子の質量殻近傍ではS'-1()-m, 

Γrenμ ~ γμから,i=Z31/20iを得ます。 

(証明終わり)
 

つまり,i=Z31/2i0=Z31/20iです。
 

ここで,3は光子場のくり込み定数で,iは裸の結合定数: 

ei0ei0e0iで与えられる荷電粒子の生成演算子φ 

運ぶ電荷演算子Qの量子数です。 

すなわち,[,φ]=qiφです。
 

3,30は荷電粒子φiと無関係な定数なので 

i=Z31/20iは電荷の普遍性を証明しています。
 

すなわち,質量殻上の結合定数eiは量子数qiに普遍的 

比例定数で比例していること,特に量子数qiの荷電粒子 

は等しい質量殻上の結合定数を持つことを示しています。
 

ところが,Weinberg-Salam模型では,WT恒等式はかなり 

複雑になり,それを直接用いることによって,求めるべき 

比例関係:i(定数)×ei0(定数)×e0iを導く 

のは容易なことではありません。
 

事実,Landauゲージ(α=0)以外では,この方法での証明 

は過去に与えられていないようです。
 

そこで,ここでは"Maxwell方程式"を用いたより強力な 

証明法を紹介します。
 

この方法では,Weinberg-Salam模型のSU(2)×U(1) 

の大局的不変性を尊重する任意の共変的ゲージ: 

GF=-(μ)μ+(1/2)α0の下で 

i(定数)×ei0(定数)×e0iが証明できます。
 

ここで群の添字:aはU(1)に対応する0から, 

SU(2)に対応する1,2,3まで走るものとします。
 

したがって,0μ,Lゲージ場(1/4)(μν-∂νμ)2 

(1/4)(μν-∂νμ)2,μと記したU(1) 

ゲージ場を表わすとします。
 

ここで以前に与えた"Maxwell方程式"により, 

ννμ=gJμ{,μ~}(a=1,2,3) 

ν0νμ=g0μ{,μ~0}です。
 

SU(2)×U(1)対称性はU(1)EMへと自発的に 

破れているので最終的には唯一の電荷演算子, 

つまり電磁的電荷演算子:Qのみが無矛盾となります。
 

量子数の関係式:Q=T3+Y(※これは正確には粒子φiごと 

の量子数間の関係式:qi=τ3+yiであり,場の理論の 

演算子:,3,Yの関係式ではないことに注意,実際, 

自発的対称性の破れのために, 3,やYなどは無矛盾 

な演算子としては存在しないことに注意されたい。)
 

そうして,"Maxwell方程式"のa=3成分と0成分の 

次の線形結合を考えます。 

ννμ=e0(3μ+J0μ){,μ^μ}, 

νμ('3νμ+gF0νμ)/(2+g'2)1/2, 

^μ('μ~3+gDμ~0)/(2+g'2)1/2 

です。
 

ここでe0=gg'/(2+g'2)1/2は先には電磁結合定数: 

eと定義したものと同じですが,に現われる裸の結合定数 

であることを強調するためe0と記しました。
 

この線形結合: 

ννμ=e0(3μ+J0μ){,μ^μ}では 

実際,νμ,場についての線形な部分が, 

丁度,先にZμと同時に与えた電磁場: 

μ(gA3μ+g'0μ)/(2+g'2)1/2 

νA-∂μνに一致しており, (3μ+J0μ)は例えば 

物質場部分の電磁相互作用カレント(leptonμ+jquarkμ) 

に一致しています。
 

すなわち,形式的電荷演算子;∫d3(30+J00) 

正準交換関係を用いて,正しく電磁的電荷量子数:i 

をカウントする[,φ]=qiφを再現します。
 

しかしながら,既に詳述したように(30+J00)には, 

素4重項メンバーβ(a=3,0)のある線形結合βの 

零質量1粒子項:μβの寄与が存在するので,3次元 

積分の収束する無矛盾な電荷演算子Qとしては, 

Q=∫d3[(30+J00)-ω∂kk0] 

∫d3xJEM0としなければなりません。
 

k0はFνμ(,0)成分で,零質量電磁場:Aμを含んで 

いるので∂ννμ,上の零質量素4重項の1粒子状態; 

μβをある重みで含み,係数ωは(30+J00)の含む 

μβを丁度相殺するように選択されます。
 

(※このとき,ννμの含むβが,(30+J00)の含むβ3 

とβ0の線形結合:βと一致していることは,とにかく, 

電磁的量子数qiに対応するU(1)EM対称性が自発的破れ 

を起こさず残っているという仮定:つまり, 

Q=∫d3[(30+J00)-ω∂kk0] ∫d3xJEM0 

の形の(30+J00)を含む電荷が無矛盾なものとして存在 

するという仮定,から従う1つの必要条件です。)
 

ここでQ=∫d3xJEM0で定義されたカレント: 

EMμ(3μ+J0μ)-ω∂ννμを用いればMaxwell 

方程式は次の形になります。
 

すなわち,(1-e0ω)ννμ=e0EMμ|,^μ} 

です。この式を2つの任意の物理的1粒子状態:|i> 

|f>(phys)で挟めば, 

(1-e0ω)<f|ννμ()|i> 

=e0<f|EMμ()|i>を得ます。
 

ただし,|i>,|f>∈phys)より, 

<f||,^μ}|i>=0なることを用いました。
 

(1-e0ω)<f|ννμ()|i> 

=e0J<f|EMμ()|i>の両辺に∫d3exp(ikx) 

を掛けて計算し,μ0の極限を取ることを考えます。
 

NGボソンの低エネルギー定理と同様,μ0の極限で 

残るのはFνμチャネルの零質量1粒子,つまり,光子の 

つくる極部分だけです。
 

Heisenberg:νμ()に含まれる,くり込まれた光子の 

漸近場:asμ()の重みをYとすると,0→±∞で 

νμ()→Y{νasμ()-∂μasν()}.. 

です。ここでは無関係な質量を持つ粒子の漸近場の 

寄与である係数Yは, 

例えば2点関数:0|[νμ()ρσ()]|0>の 

20の留数から読み取れます。
 

νμ()→Y{νasμ()-∂μasν()}. 

,∫d4exp(ikx)0|[νμ()asρ()]|0 

=-Y(νμρ-kμνρ)/2を意味していること 

に注意すれば, 

limk→0∫d4x<f|ννμ()|i>(1-e0ω) 

=Y(1-e0ω)limf→pi(2π)4δ4(f-pi)fi(i+pf)ρ 

なることがわかります。ただし,くり込まれた光子とi, 

3点頂点:Γ(3)μfiが質量殻k20の近傍では, 

ifi(i+pf)μの形を取ることを用いました。

このefi,|i>,|f>が不変規格化された状態のとき, 

質量殻上光子の物理的結合定数です。
 

一方,右辺はμ=0成分を考えると,無矛盾な電荷演算子 

Qが,Q=∫d3[(30+J00)-ω∂kk0] ∫d3xJEM0 

で与えられること,および,Qが電荷量子数qをカウント 

することを用いて次式を導きます。
 

limk→0∫d4exp(i00)exp(ikx)0<f|EM0()|i> 

=∫dx00<f||i> 

=e0iδfilimf→pi (2π)4δ4(f-pi)2i0です。
 

ただし,i|i>の電荷量子数であり,不変規格化条件: 

<f|i>=(2π)32i0δ3(fi) 

(※ただし,∫dx02πδ(f0-pi0))を用いました。
 

limk→0∫d4exp(i00)exp(ikx)0<f|EM0()|i> 

=∫dx00<f||i> 

=e0iδfilimf→pi (2π)4δ4(f-pi)2pi0 

のμ=0成分と比較して,fi{(1-0ω)}-1δfi0i 

を得ます。
 

この式は質量殻上の光子の結合定数efiが荷電粒子の種類 

に関して対角的であると同時にY,ωやe0が明らかにiやf 

に依存しない定数なので,これは, 

求める電荷の普遍性:i(定数)×ei0(定数)×e0i 

証明しています。
 

この証明法のいいところは物理的粒子:|i>,|f>が上でQ 

が消えることを用いたステップです。
 

<f||,^μ}|i>=0は複雑なWT恒等式に埋もれた 

必要な情報を非常に簡潔に取り出していることに相当します。
 

また,QEDの場合でも,もちろん上の証明が成立しています。
 

その場合は,単にSU(2)部分を消去し,(1)部分を残せば 

いいです。(※つまり,g=0,=1,2,3μ0,かつ, 

→e0,0μ→jμ=ψ~γμψとすればいいです。)
 

そうすれば, 

ννμ=e0(3μ+J0μ){,μ^μ},通常の 

QEDMaxwell方程式:ννμ=e0μ+∂μ, 

(νμ=∂νμ-∂μμ,B={,~})となり,この場合, 

上で問題にした零質量粒子βはNL場:Bです。
 

容易にわかるように∂ννμはBをZ3μ,だけ含むため,

 

0μはBを(31)μBだけ含み,したがってからωを 

求めることができます。 

すなわち,QEDの場合,(1-e0ω)31,0ω=1-Z3-1 

です。このQEDの場合には,次の漸近式: 

νμ()→Y{νasμ()-∂μasν()}.. 

において,Y=Z31/2なので, 

fi{(1-0ω)}-1δfi0iはefi=qiδfi31/20 

となるわけです。
 

最後に,上の証明は荷電粒子:|i>,|f>がLagrangian 

に現われる素な場である,ということを全く仮定してない点に

注意します。
 

それ故,|i>や|f>は,クォーク3体結合状態である陽子 

でもよく,その光子結合定数e陽子|電子|と一致すること 

を証明しています。第6章の「対称性の自発的破れ」の項目 

はこれで終わりです。
 

そこで,今回はここまでです。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論() 

(培風館) 

 

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2018年4月28日 (土)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(19)

「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(18) 

から§6.7 Weinberg-Salam模型の続きです。
 

※クォークの結合 

何百と存在するハドロン(Hadron=バリオン(Baryon:重粒子) 

とメソン(Meson:中間子))に関しては,それらをqqqやqq~ 

の結合状態として実現している基本構成子:クォーク(quark) 

:()を用いてLagrangian密度を書きます。
 

クォーク場:(),強い相互作用(QCD:量子色力学: 

:Quantum Color Dynamics)のカラーSU(3)以外にそれと 

直交する自由度:フレイバー(Flavor)の添字fを持っています。
 

以下では,カラー添字は省略します。
 

クォークのフレイバーの種類として,質量の順に軽い方から, 

(up),(down),(dtrange),(charm),(bottom)の5種 

が既に観測されており,後にわかる理由によって,もう1つ 

(top)があると考えられています。
 

これら6種のクォークの電荷は,eを単位として, 

,,tのq(F=1,2,3),Q=2/3,,,bのq 

(f=1,2,3)が Q=-1/3を与えられ,Q=2/3 

Q=-1/3の2系列に分けられます。
 

Q=2/3の系列を上系列(upper quarks)と呼んでq 

で表わし.Q=-1/3の系列を下系列(lower quarks) 

と呼んでqで表わすことにします。
 

これらのクォークの左手型成分はSU(2)-2重項, 

右手型成分はSU(2)-1重項とし,弱超電荷Yは,公式: 

Q=T3+Yで決めてSU(2)×U(1)の多重項を得ます。
 

[,d'],[,s'], [,b'] 

(Y=1/6),=u,=c,=t(Y=2/3), 

=d,=s,=b(Y=-1/3)です。
 

そこで,クォークもレプトンと同じく3世代構造 

になります。
 

レプトンと異なるのはSU(2)-2重項,の下成分;  

'=(d',s',b')(F=1,2,3),質量固有状態:  

(,,)(f=1,2,3),必ずしも一致せず, 

一般にユニタリ回転を受けてq'=Σf=13Ff 

となる点です。

このユニタリ回転Uの存在は.まだ3種のクォークu,, 

しか知られていなかった1960年代にまずCabbiboが導入 

したもので,続いて1970年に, 

Glashow-Illiopoulpus-Miani(GIM)が第4のクォ-クcを 

導入しクォーク2世代を完結させて

 と書きました。
 

回転角θCabbibo(Cabbibo angle)と呼ばれ,実験値 

ではsinθ0.22 です。
 

(※私が大学院に入学した1974年には(J/ψ)と呼ばれる新粒子 

が発見されましたが,当時は,正体が不明の未知の粒子でした。 

後にこれが,(charmクォークを含むメソンであると判明した 

のでした。私の論文では,8重項グルノンの1つか?という予想

がありました。。)
 

さらに1973,小林-益川はCP不変性の破れを説明する 

ために第3世代:,bの存在を予言し,上の2×2行列の 

Uを3×3行列としたユニタリ回転に拡張しました。
 

この3×3行列:Uは小林-益川混合行列と呼ばれ, 

その1つのパラメータの取り方は.次で与えられます。
 

ただし,icosθi,isinθi(i=1,2,3)です。
 

この行列は実験的には対角成分が支配的です。
 

[,'],[,'], [,'] 

のSU(2)-2重項においては, SU(2)-2重項,の上成分 

(3=1/2)が丁度上系列クォーク(質量固有状態):,, 

となるように取りましたが,この3つの線形結合に 

取り直せば下成分(3=1/2)が丁度下系列クォーク: 

,,bに一致するようにもできます。
 

[,']=UFf]=UFf[fF'F',] 

=UFfと書けて,は下系列対角なSU(2)-2重項です。
 

さて, 

[,'],[,'], [,'] 

=u,=c,=t,=d,=s,=b 

を用いて,クォーク部分のLagrangianを書くと. 

kinquark=ΣF[~iγμ{μ(i/6)'μ 

(i/2)(τAμ)]+ΣF{~iγμ{μ(2i/3)'μ}} 

+Σ[~iγμ{μ(i/3)'μ}].
 

nmassquark=-Σ{(~Φ)+R~(Φ)} 

 -Σ{(~Φ~)+R~(Φ~)} 

となります。
 

ただし,Fは上系列クォーク:,,tを,fは下系列クォーク: 

,,bを表わしています。
 

また,μQCDのグルオン(guluon:膠粒子):μを用いた 

カラーSU(3)の共変微分: 

つまり,μq={μicμ(λ/2)}qです。
 

nmassquarkの右辺第2項に現われるΦ~,レプトン部分の質量項: 

nmasslepton=Σj=e,μ,τ(-fj){(~Φ)+R~(Φ)} 

でのHiggs:Φに対して,Φ~iτ2Φで与えられ,真空期待値は 

0|Φ|0>=[0,/2,0]に対して,0|Φ~|0>=[/2,0] 

です。これは上系列クォークに質量を与えるためです。
 

ここでも,レプトンの場合と同じ関係式:=√2/ 

=gm/(2)が成立し、Higgs場との湯川結合定数:, 

はクォークの質量:,に比例します。
 

ゲージ場との相互作用項も,レプトンの場合と同じく 

int=-{/(22)}(μμ+Wμμ+) 

-eAμemμ(/cosθ)μμ で与えられます。
 

ここでの荷電カレント:μはクォーク部分を意味し, 

μ=Jquarkμ=Σ,~Ffγμ(1-γ5)f です。
 

また,電磁相互作用カレント:emμ, 

emμ=Jquarkemμ(2/3)(~γμu+c~γμc+t~γμ) 

(1/3) (~γμd+s~γμs+b~γμ)です。
 

Zボソンの結合する中性カレント:μ, 

ZμquqrkZμ(3) quqrkμsin2θquarkemμであり 

(3) quqrkμ=Σ{~γμ(τ3/2)} 

=Σ(1/4)[~γμ(1-γ5) 

-Σ,Ff{~fFγμ(1-γ5)Ff'}] 

(1/4){Σ~γμ(1-γ5)-Σ~γμ(1-γ5)} 

です。
 

GIM機構 

荷電カレント:quarkμ=Σ,~Ffγμ(1-γ5)f  

おいては,SU(2)-2重項にクォーク混合(mixing)がある反映 

として混合行列UFfが現われています。
 

話を簡単かつ明確にするため,混合行列が次 

で与えられるクォーク2世代しかない場合,を考える 

ことにすれば
 

(2世代)μ(~cosθ+s~sinθ)γμ(1-γ5) 

(-d~sinθ+s~cosθ)γμ(1-γ5)c となります。
 

混合行列は対角成分が支配的(cosθ>>sinθ)ですから, 

同一世代的遷移(Cabbibo favered process):u⇔d,c⇔s 

が主で,世代間遷移(Cabbibo suppressed process):u⇔s, 

c⇔dは相対的に少ないです。
 

しかし,たとえ因子sinθが微小とはいえ,世代間遷移が 

存在することが重要です。例えば(us~)結合状態である 

中間子は,-d~sinθγμ(1-γ5)cの項を通してのみ 

崩壊できるのです。
 

これに対し,中性カレント:Zμでは,クォ-ク混合の効果は 

消えて,フレイバーについて対角的なことが重要です。 

つまり,(2世代)Zμ(3) (2世代)μsin2θ(2世代)emμ 

(3)(2世代)μ(1/4){Σ~γμ(1-γ5) 

-Σ~γμ(1-γ5)} 

(2世代)emμ(2/3)(~γμu+c~γμ) 

(1/3)(~γμd+s~γμ)です。
 

これは,混合行列の積:ΣfFFf,Uのユニタリ性から 

δff'になるからです。
 

ところが,もしもクォークがu,,sの3種しかなかったらどう 

でしょうか? 
 

その場合は,cがないのでSU(2)-2重項はLしか無く, 

そこで,ΣfFFfのFはF=uのみなので,δff'には 

なりません。
 

すなわち,(3) (2世代)μ=Σ{~γμ(τ3/2)}  

(1/4)[~γμ(1-γ5)(~cosθ+s~sinθ) 

γμ(1-γ5)(cosθ+ssinθ) となり,特に, 

(1/4)cosθsinθ{~γμ(1-γ5)+h.} 

項はフレイバーについて対角的ではなく,フレイバーを 

変える中性カレント(Flavor changing neutral current) 

略してFCNC呼ばれます。
 

このようなFCNCがあれば,例えば(ds~-sd~)結合状態の  

 0中間子の崩壊過程K:0 → μ++μ-が,主崩壊モードである 

0 → π+e+ν, 0 → π+μ+νμと同程度  

の確率で起こるはずです。
 

しかし.実験によると,この崩壊過程の分岐比(branching ratio:  

全崩壊確率中に占める割合)の値は,(0 → μ+μ)  

(7.3±0.4)×10-9と極めて小さいです。
 

したがって.このようなFCNCtreeレベルでは存在禁止で 

あるはずです。
 

このため,GIM,当時未発見のcクォークを導入して,  

2世代分のSU(2)-2重項を作り,それぞれ'FCNCの寄与が  

相殺するようにしたのです。すなわち,f≠fに対しては  

ΣfFFf'0 となるようにしました。
 

このような相殺の機構をGIM機構と呼びます。
 

この機構は,クォークが何世代存在しても同様ですから,3世代目 

の下系列のbクォークが発見された今は,bの関係するFCNC 

相殺するため,(この参考文献著書発行当時は未発見だった)上系列  

のtクォークの存在が必要とされるわけです。
 

0 → μ+μの分岐比が完全にゼロではなく, 

B=(7.3±0.4)×10-9の値を取るということは,GIM機構  

を持つゲージ理論を支持する証拠になっています。
 

つまり,0 → μ+μの過程はtreeレベルでなく,6.13  

のような1-ループ(1-loop)グラフが寄与しています。
 

uを媒介とするs~u~u~dには係数sinθcosθ,cの媒介  

では,~c~c~dで係数は-cosθsinθ,符号が違うので  

uとcの質量の2乗差が効いてきます。
 

すなわち,その過程の振幅:,大雑把に計算して, 

{4/2}{(22)/ 2}sinθcosθ 

~α(2/ 2)sinθ×Gとなりますが,これは主崩壊モード  

の通常の振幅:sinθに比べて,因子α(2/ 2)  

(1/137)(2/ 2)0.3×10-4だけ小さく,確率はその2 

10-9に比例するので,分岐比:B=(7.3±0.4)×10-9をうまく  

再現しているからです。
 

CPの破れ  

弱い相互作用は,例えば荷電カレントがV-A型なのでパリティ 

を最大限に破っています。
 

このの破れは,Weinberg-Salam模型ではFermi粒子のカイラル  

(左手型,右手型)成分を基本的な場として扱っているため,うまく  

取り入れられています。
 

ところが,弱い相互作用では,さらにCP不変性も破れています。
 

例えば,CP=-1の長寿命モードK0中間子:0 CP=+1 

2π状態にも崩壊します。
 

0の添字Lはlongtime(長寿命)のLですが,=-1,

=+1です。 

一方,2πはπ+πでもπ0+π0でも=+1,内部パリティは  

(1)2=+1ですが,0 のスピンはゼロなので,その崩壊  

過程では2πはl=0 の軌道s状態にあるはずですから,結果  

CP=+1となりCPは破れています。
 

CPの破れが,Weinberg-Salam模型で起こるためには,  

そのLagrangianの結合定数のどれかが実数ではなく,複素数 

である必要があります。
 

ゲージ場部分やHiggs場の自己相互作用部分(Higgs2重項が  

1種類だけならHermite性からこれは起こり得ません。
 

Higgs場とクォークやレプトンとの湯川相互作用部分もFermion  

場の定義を取り直せば結合定数:,f,を全て実数()  

に取れるので.CPは破れません。
 

nmasslepton=Σj=e,μ,τ(-fj){(~Φ)+R~(Φ)} 

,nmassquark=-Σ{(~Φ)+R~(Φ)} 

 -Σ{(~Φ~)+R~(Φ~)}では,既にこうした 

操作を実行して湯川結合定数を,Fermionの種類について対角的な 

実数,かつ,正の量にした形を与えたので,実は常にそうできること 

,ここで示しておきます。
 

(証明):クォーク・セクター:nmassquarkに限定して話をすると,  

SU(2)-2重項の左手型クォーク場:i,SU(2)-1重項の  

右手型上系列クォーク場:Iと右手型下系列クォーク場:i  

とが,n世代分(i=1,..,)存在する場合,そのHiggs-2重項  

Φとの湯川相互作用項の最も一般的な形は  

= -Σi,j=1{ij(~iΦ)j+gij(~iΦ~)j 

+h.} です。ただし,ij,およびgijは一般に複素数の 

湯川結合定数であり,それぞれ,2個あります。
 

まず,任意のn次複素行列:Mはユニタリ行列U,Vを用いて対角化 

できる。つまり,UMVが対角成分:λ1,..,λが全て実数,かつ 

正の対角行列になるようにできる。という 

「特異値標準形の定理」の成立することが知られています。
 

そこで,湯川結合定数:(ij),および,(ij),それぞれ,n次  

の複素行列とみなせば,それぞれ2個のユニタリ行列で対角化

できます。つまり,Σijiijj=fδFF',および,  

Σijiijjf'=fδffとできるユニタリ行列:  

,,,が存在します。f,は正の実数です。
 

初めのクォーク場:i,I,iの代わりにそれらをユニタリ変換  

した次の場,=ΣUii,=ΣUii, =ΣVii

=ΣViiを用いれば,  

= -Σi,j=1{ij(~iΦ)j 

+gij(~iΦ~)j+h.},標準形である 

nmassquark=-Σ{(~Φ)+R~(Φ)}  

 -Σ{(~Φ~)+R~(Φ~)}に帰着します。  

(証明終わり)
 

,,,をL=UFfのUFfと比較すれば  

Ff(下+)Ff

と書けて,小林・益川行列:UFfは,

湯川結合定数行列をそれぞれ対角化する上系列

ユニタリ行列と下系列ユニタリ行列のずれから

生ずることが明らかです。
 

一旦,nmassquarkのような標準形に書けば,湯川相互作用が 

CP不変性破らないことは直ちにわかります。

実際, Higgs場Φのt’Hooftパラメトリゼーション: 

Φ()(1/2){v+ψ()iχ()τ}[0,1] 

(1/2)[-χ2()-iχ1(),v+ψ()+iχ3()] 

(ψ,χ[χ1,χ2,χ3]は実スカラー場)において, 

χ()0に取るユニタリ・ゲージでは,(※このゲージ以外では 

非物理的Higgs:χが残っており,χの関わる湯川相互作用 

,Ffが複素数のとき,CPを破ります。しかし,これは次に 

論じる荷電カレント相互作用と本質的に一体の効果です。)
 

ΦはΦ()(1/2) [01,v+ψ()]となり, 

これを代入すれば,標準形の湯川相互作用は, 

nmassquark=-{Σ(+fψ/2)~}(f → F) 

となります。(j=f/2)
 

これは,クォーク質量項と実結合定数の湯川相互作用:~qψ 

を与え,明らかにCP不変です。
 

それ故,Weinberg-Salam模型でCP不変性の破れを起こす唯一の 

可能性はクォーク場の荷電カレント相互作用部分: 

(/22){μ~γμ(1-γ5)Ff+h.}の結合定数: 

gUFfが複素数,つまり,混合行列UFfが複素数になることです。
 

(19-1):まず,CPμ(,)-1-1=Wμ(-x,)です。 

CP(,)-1-1=C(γ0)~(-x,)=Cq+T(-x,) 

故に,CP(,)-1-1=q(-x,)
 

そこで,CP{~γμ(1-γ5)(,)}-1-1 

=qγ0γμ(1-γ5)Cq(,) 

=-q~γμ(1-γ5)Cq(,) 

何故ならFermionについては,荷電共役行列:Cが 

あって,γμC=C-1γμC=-γμ,γ5C=γ5=γ5 

を満たします。そして,γ0γμγ0=γμです。
 

よって,{μ~γμ(1-γ5)Ff+h.}の第1項は 

CP変換でWμ~γμ(1-γ5)Ff(,) 

変わりますが,一方,2:.cの-,tでの式は, 

μ~γμ(1-γ5)Ff(,)ですから, 

(,).Ffが実でないなら,CP変換で(,) 

に変わらないため,CPが破れることになります。 

(19-1終わり※)
 

ところが,定義が示すように混合行列:Ffは左手型クォークの 

上系列場qのSU(2)-2重項の相棒(下成分)の下系列場 

との相対的関係を与えるものですから,場の位相と(従って 

F'も共通に)場の位相を取り直す自由度を使えば行列要素; 

Ffの位相も変えることができます。
 

例えば,クォークが2世代のときは.Ffは2×2ユニタリ行列 

で元来4つの複素数要素=8自由度から4つのユニタリ性条件 

で4実パラメータの自由度なので,,,,sの4つの位相を 

使えば413個を吸収できます。(1を引くのは全体にかかる 

共通位相を除外したからです。)
 

そこで,残る1実パラメータをCabbibo角θとして,Ffを実数 

に取れて2世代では,CPの破れを導入できません。
 

小林-益川は,このことに初めて注目し,Ffが複素数と 

なる自由度を得るために第3世代クォークの必要性を 

指摘したのです。
 

途中ですが,今回はここまでにします。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論() 

(培風館)


PS:小林・益川は2008年南部先生と共にノーベル物理学賞

を受けました。私,1975年か1976年に小林先生の集中講義

を受けた記憶ありますが,当時は浅学のため,内容は理解

できていませんでしたね。(猫にコンバンワ!です。)

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2018年4月21日 (土)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(18)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(17) 

から§6.7 Weinberg-Salam模型の続きです。
 

※レプトンとの結合 

弱い相互作用の電荷の変化する部分に関しては(V-A) 

の相互作用であることから,レプトン場は左手型成分: 

ψ((1-γ5)/2}ψのみがSU(2)-2重項で,右手型成分: 

ψ((1+γ5)/2}ψはSU(2)-1重項を取らねばなりません。
 

現在ではe.μ以外に,より重いレプトン:τ粒子の存在が 

知られているので, 

[ν,], μ[νμ,μ],τ[ντ,τ] 

(Y=-1/2),=e. μ=μ. τ=τ(Y=-1) 

と定義します。ここで超弱電荷:Yの値は,Q=T3+Yによって 

決まるものです。
 

こうすれば,. μ.τに対応するニュートリノ:ν.νμ.ντ 

の右手型成分が現われない,ことは注目に値します。
 

零質量?のニュートリノは謂わゆるWeyl場であり 右手型成分 

は元々無いからです。
 

τ粒子の存在が未知であった昔から,質量の違いを除けば全く 

同一の性質を持つ,電子eとμ粒子が何故,存在するのか?という 

ことが謎であり,これは「e-μパズル」と呼ばれていました。
 

現在では,τ粒子まで加わっているため,「e-μパズル」は 

「自然は,何故3度も同じことを繰り返すのか?」という問い 

に直されます。
 

今では,[ν,], μ[νμ,μ],τ[ντ,τ] 

(Y=-1/2),=e. μ=μ. τ=τ(Y=-1) 

に現われる,,μ,τの多重項の繰り返しを.3世代構造 

(3-generation structure)と呼んでいます。
 

これらを用いてレプトン部分のLagrangian:では, 

-2重項がY=-1/2,-1重項がY=-1に対応して,演算子 

Yを,それぞれの固有値に置き換えます。また,(j=e,μ,τ) 

については,1重項なのでT=0です。
 

そこで,Dirac運動項は 

kinlepton=Σj=e,μ,τ[~iγμ{μ(i/2)g'Bμ 

(i/2)(τAμ)}L+R~iγμ(μig'Bμ)], 

nmasslepton=Σj=e,μ,τ(-fj){(~Φ)+R~(Φ)} 

と書けるはずです。
 

(18-1):何故なら、仮にRjもニュートリノを上成分に持つ 

2重項と仮定すれば, 

Dirac質量項=-Σj=e,μ,τ{(~+R~)ij(+R)} 

ですが,~,~に比例する項は恒等的にゼロなので, 

Dirac質量項=-Σj=e,μ,τ{(~ij)+R~ij} 

なります。
 

そして,質量行列:ijはMij=-fiδijと書くことができ,しかも 

この質量も2重項場(Higgs)Φに起因するとして,jを1重項 

に戻し,Hermite性を保持しながら,湯川型を仮定すると, 

質量項=Σj=e,μ,τ(-fj){(~Φ)+R~(Φ)} 

と書けます。  (18-1終わり※)
 

レプトンのDirac質量項は,Higgs-2重項Φとの湯川相互作用 

から,真空期待値:0|Φ()|0>=[0,/2]を得た後に 

初めて現われます。
 

例えば,電子項;j=eの部分は, 

-f{[ν~,~][0,/2]+h,} 

=-(/2)~e=-m~e と解釈されます。 

(※mは電子質量,.cはHermite共役項の意です。)
 

したがって,レプトンの,Higgs-2重項の湯川結合定数: 

,treeレベルで,それぞれの質量に比例し,v=2/gと 

いう以前の評価から,=√2/v=gm/(2) 

書けることになります。
 

そこで,湯川結合定数f,通常,(/)~ m/(2) 

<<1なので,SU(2)の結合定数gに比べてかなり小さい 

ことがわかります。
 

次に,kinlepton=Σj=e,μ,τ[~iγμ{μ(i/2)g'Bμ 

(i/2)(τAμ)}+R~iγμ(μig'Bμ)]μ, 

μ,μ,μ,μ,μに書き換えます。
 

結果,int=-{/(22)}(μμ+Wμμ+) 

-eAμemμ(/cosθ)μμ が得られます。
 

ただし,μ4-Fermi相互作用の荷電カレントのレプトン  

部分:leptonμ2(1i2)leptonμであり  

leptonμ=e~γμ(1-γ5)ν+μ~γμ(1-γ5)νμ 

+τ~γμ(1-γ5)ντ で与えられます。
 

emμは電磁相互作用カレントで,これは  

leptonemμ=-(~γμe+μ~γμμ+τ~γμτ)の意味です。
 

また,μはZボソンの結合する中性カレントで 

Zμ(3)leptonμsin2θleptonemμであり 

(3)leptonμ=Σj=e,μ,τ{~γμ(τ3/2)}です。
 

(18-2):Dirac相互作用における電子項;j=eの部分のみ 

に着目し,1μ(1/2)(μ+Wμ),

2μ(i/2)(μ-Wμ), 

3μcosθμsinθμ,

μ=-sinθμcosθμ を代入します。

特に,τAμ=τ11μ+τ22μ+τ33μ 

(1/2){(τ1iτ2)μ(τ1iτ2)+μ} 

τ3(cosθμsinθμ) です。
 

~iγμ{μ(i/2)g'Bμ(i/2)(τAμ)} 

+R~iγμ(μig'Bμ) 

=e~iγμμe+νeL~iγμμνeL 

(g'/2)(~γμ+e~γμ+νeL~γμνeL) 

(sinθμcpsθμ) 

(/2)}[νeL~,~]γμ 

×[(1/2){(τ1iτ2)μ(τ1iτ2)+μ} 

+τ3(cosθμsinθμ)][νeL,]
 

=e~iγμμe+νeL~iγμμνeL(~γμ)(eAμ) 

(~γμ)(’sinθμ) 

+(1/2)(~γμ-νeL~γμνeL)gZμ/cosθ 

(/2)}(νeL~γμ )μ(νe~γμνeL )+μ} 
 

(※※ここで,紛らわしいのですが,(eAμ)の係数eは素電荷 

でe=gsinθ=g’cosθW 0 であり, 

cosθ=g/(2+g'2)1/2,sinθ=g'/(2+g'2)1/2 

より,g'sinθW +gcosθW (2+g'2)/(2+g'2)1/2 

(2+g'2)1/2=g/cosθ,っです。それ故 

g'sinθμ=g'2μ/(2+g'2)1/2 

=gsin2θμ/cosθを用いました。)
 

μ粒子部分,τ粒子部分についても同様です。
 

(18-2終わり※)
 

電磁相互作用項:-eAμemμ,丁度,荷電レプトンの 

運動項:Σj=e,μ,τψ~iγμμψの∂μを共変微分の形の 

極小相互作:iμ(iμ-eAμ),or μ(μieAμ) 

にすることに相当しています。
 

Wボソンの荷電カレントのレプトン項: 

{/(22)}(μμ+Wμμ+)を用いて前掲の図6.12 

の型no]Feynmanグラフの寄与を計算すれば,Wボソンの質量 

に比して低エネルギーの領域(2<<M2)では実質上 

4-Fermi相互作用:Fermi=-(/2)μμ を再現します。
 

つまり,2<<M2)では,(2-M2)~ -M2より, 

{i/(22)}2μ(iμν)(2-M2)-1μ  

~-i(/2)μμ  なる対応です。
 

よって./2=g2/(82)より,Wの質量は, 

{22/(8)}1/2{22/(8sin2θ)}1/2 

(37.3/|sinθ|)GeVと評価されます。
 

2(2+g'2)2/4=M2/cos2θを用いると 

=M/|cosθ|~(74.6/|sinθ|)GeV, 

/2=√2/g={2/(4)}1/2 174 GeV,
 

こうして, /2がパラメータ無しで決まったことに 

着目します。これはSU(2)×U(1)→ U(1). 

自発的破れの特徴的スケ-ルが100 GeV程度であること 

を示しています。
 

さらに電荷を持たないZボソンと中性カレントJμ 

相互作用項があり,Zボソンを媒介とする図6.12,旧来 

4-Fermi相互作用では知られてなかった,中性カレント 

相互作用:(1/2!)(/cosθ)2Zμ(μν)(2-M2)-1μ  

~ -(4/2) Zμμ が存在することを予言します。
 

これの存在は,実際,()ニュートリノと電子(陽子)の弾性散乱 

ν~e→ν~, νμ~e→νμ~,νμe→νμ, 

ν~p→ν~, νp→ν..などで観測され,それらの 

データからWeinberg角因子:sin2θが決定されました。
 

最近の値は,sin2θ0.2325±0.0008です。
 

これを用いれば,,Zボソンの質量は, 

77.GeV, 88.3GeVと予言されます。
 

果たして1968,CERNRubbiaらによって,遂に発見 

されたW,Zボソンはその質量の観測値が 

(80.26±0.026)GeV,(91.17±0.02)GeVでした。
 

上述の予言値は,これとよく一致していますが,ループグラフ 

の補正計算では,予言値が23%大きい方に修正されて 

80GeV, 91GeVとなり,理論と実験の一致は驚く 

ほど良いです。
 

※ここまで得た結果と,まだ詳しく考察してない部分を

要約します。 

前回記事では,ゲージ場とHiggs場のLagrangian 

ゲージ場Higgsと書くと, 

ゲージ場=-(1/4){μν-∂νμ-g(μ×ν)}2 

(1/4)(μν-∂νμ)2 

=-(1/4)μνAμν(1/4)μνZμν 

(1/2)(μννμ)(μννμ) 

i(||μν+gcosθZμν)μ+ν 

(2/2){|μμ|2(μμ)2}であり,
 

Higgs|μΦ|2+μ2ΦΦ-(λ/2)(ΦΦ)2, 

μ=∂μ(i/2)μ(i/2)(τAμ) 

であることを見ました。
 

今回,レプトンのDirac運動項: 

kinlepton=Σj=e,μ,τ[~iγμ{μ(i/2)g'Bμ 

(i/2)(τAμ)+R~iγμ(μig'Bμ)], 

の計算から,
 

kinlepton=Σj=e,μ,τ[~iγμμ+R~iγμμ] 

intであってレプトンとゲージ場の相互作用項:int 

,int=-{/(22)}(μμ+Wμμ+) 

-eAμemμ(/cosθ)μμ で与えられる 

こと,そして,
 

また,レプトンのDirac質量項は, 

nmasslepton==-Σj=e,μ,τ{(~ij)+R~ij} 

=Σj=e,μ,τ(-fj){(~Φ)+R~(Φ)} 

で与えられることを見ました。
 

残るHiggs2重項場:ΦのセクターのLagrangian, 

Higgs|μΦ|2+μ2ΦΦ-(λ/2)(ΦΦ)2 ですが, 

Higgs|{μ(i/2)g'Bμ(i/2)(τAμ)}Φ|2 

+μ2ΦΦ-(λ/2)(ΦΦ)2 ,g'→ 0 の極限で 

Higgs-Kibble模型と同じものに帰着する,と書きました。
 

SU(2)Higgs-Kibble模型での考察と同じく, 

Higgs2重項Φは,Φ()[φ1,φ2] 

(1/2){v+ψ()iχ()τ}[0,1] 

(1/2)[-χ2()-iχ1(),v+ψ()iχ3()] 

(ψ,χ[χ1,χ2,χ3]は実スカラー場) 

で与えられる,とします。
 

SU(2)対称性が破れる原因となる真空期待値は, 

0|Φ()|0>=[0,/2]であり, 

0|ψ()|0>=<0|χ()|0>=0 です。
 

明らかに,対称性の破れにより生じた零質量のNG 

ボソンがχ[χ1,χ2 ,χ3]ですが,粒子の電荷Qは, 

Q=T3+Yを満たします。
 

Φの弱超電荷をY=1/2として,Φ()[φ1,φ2] 

(1/2)[-χ2()iχ1(),v+ψ()iχ3()] 

Φの下成分(3=-1/2)の電荷がQ=0となるように 

このYを設定したのでした。
 

したがって,上成分(31/2),電荷Q=+1を持つはず 

です。
 

まず,χ[χ1,χ2 ,χ3],SU(2)のベクトルなので 

T=1であり,ψはスカラーなのでT=0です。 

これらは,3|χ3>=|χ3,|χ3>=χ3|0,3|ψ>=0, 

|ψ>=ψ|0>より,[3,χ3]=χ3,[3,ψ]0 

意味します。
 

故に,[3,φ2][3,ψiχ3]iχ3です。 

そこで, [,φ2][,ψiχ3}[3+Y,ψiχ3] 

0 であれば,[,ψiχ3]=-iχ3 

でなければなりません。
 

そこで,ψについての弱超電荷はY=0 [,ψ]0 

と仮定すれば,[, χ3]=-χ3となることが必要です。
 

それ故,NGボソン:χ[χ1,χ2 ,χ3]の弱超電荷は 

Y=-1,[,χa+]=-χa+(a=1,2,3)であると 

します。
 

こうすれば,Φ()[φ1,φ2]において, 

[,φ2}0,[,φ1}=φ1となり,上述したように 

Φの下成分がQ=0,上成分がQ=+1を持ち,質量mの 

Higgs粒子ψは如何なる量子数も持たない,ということで 

全て辻褄が合います。
 

Higgs-Kibble模型の共変微分は,Weinberg-Salam模型の 

μΦ={μ(i/2)g'Bμ(i/2)(τAμ)}Φ 

において,g'=0としたDμΦ={μ(i/2)(τAμ)}Φ 

です。
 

Higgs-Kibble模型においては, 

|μΦ|2(μΦ)μΦ=(1/2)(μψ)2 

(/2)μ{χ(μψ)-ψ(μχ)χ×(μχ)} 

(1/2)(μχ-Mμ)2(/2)MAμ2ψ 

(2/8)μ2ψ2(2/8)μ2χ2でした。
 

μの獲得する質量はM=gv/2|μ|(2/2λ)1/2 

でした。
 

これはWeinberg-Salam模型では, 

|μΦ|2|{μ(i/2)g'Bμ(i/2)(τAμ)}Φ|2 

であり,このうちゲージ場の質量項は(ゲージ場質量項) 

|(i/2){g'Bμ+g(τμ)}[0,/2]|2 

(22/8){(1μ)2(2μ)2} 

(2/8)(μ-gA3μ)2
 

=M2μμ(1/2) 2μμ 

で与えられることを見ました。
 

Higgs機構により,元々零質量のゲージ場:μ,μが獲得 

する質量M,,2=g22/4,2(2+g'2)2/4 

=M2/cos2θW です。
 

g'に無関係な項は,Higgs-Kibble模型と同じで, 

μ2ΦΦ-(λ/2)(ΦΦ)2  

=-(1/2)2ψ2+V0[/2)] (λ/8)(ψ+χ2)2 

(1/2)m√λ)ψ(ψ+χ2) です。
 

ただし,ψの獲得する質量mは,22μ2,/2(μ2/λ)1/2 

で与えられ,-V0[/2](1/2)μ22(λ/8)4です。
 

今回はここまでにし次回からはハドロン(クォーク)との 

結合等について考察します。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論() 

(培風館)

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2018年4月12日 (木)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(17)

「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(16) 

からの続きです。
 

有名な弱・電磁相互誤差用の模型を解説します。
 

§6.7 Weinberg-Salam模型 

対称性の自発的破れたゲージ理論は,弱・電磁相互作用 

(weak-electromagnetic interaction)を記述するのに 

適用され非常な成功を収めました。ここでは,今日, 

Weinberg-Salam模型,あるいは,標準模型(standard-midel) 

と呼ばれる模型の基本的部分を紹介します。
 

※ゲージ群;SU(2)×U(1) 

多くの実験的,理論的研究を経て,1960年代半ばには,弱い 

相互作用に関して,次のことが明らかにされていました。
 

弱い相互作用(の電荷の変化する過程に関する部分), 

Fermi=-(/2)μμ なる4-Fermi相互作用で 

記述できて,荷電(Charged)カレント:μはレプトン部分 

とハドロン部分から成り:μ=Jμ(lepton)+Jμ(hadron),
 

この両者とも,謂わゆる(V-A)型カレント,つまり, 

(ベクトルカレント:μ)-軸性ベクトルカレント:μ) 

で与えられます。
 

例えば,μ(lepton),電子:eと電子ニュートリノ:ν, 

μ粒子;μとμ-ニュートリノ:νν,を用いて, 

μ(lepton)=e~γμ(1-γ5)ν+μ~γμ(1-γ5)νμ 

で与えられます。ここでe, νetc.,対応する粒子の 

Dirac場を示しています。
 

カレントJ μ(lepton),左手型レプトンのSU(2)-2重項: 

[ν.] {(1-γ5)/2}[ν.],および, 

μ[νμ.μ] {(1-γ5)/2}[νμ.μ]T を定義して,
 

それらのSU(2)カレント: μ(a=1,2,3) 

μ=L~γμ(τ/2)+Lμ~γμ(τ/2)μ, 

(τPauli行列)によって導入すれば,  

μ(lepton)2(1μi2μ)2(1i2)μ, 

μ(lepton) 2(1μi2μ)2(1i2)μと書けます。
 

SU(2)カレント:μ;[τ/2,τ/2]iεabc(τ/2) 

より,明らかに, 

∫d3[0(,),μ(,)]iεabcμ() 

のSU(2)代数を満たしており,弱い相互作用に現われる 

荷電レプトンカレント: μ(lepton) ,μ(lepton),その(1±i2) 

成分であるということです。
 

ハドロン部分; μ(hadron) ,μ(hadron)も全く同様で.全体の 

μ=Jμ(lepton)+J μ(hadron) も同じSU(2)代数構造を持つ 

ことが知られています。このSU(2)を「弱アイソスピン」 

(weak isotopic spin)と呼び,SU(2)と記します。
 

Fermi=-(/2)μμ Fermi結合定数:Gの大きさ 

,μ粒子の崩壊(μ→e+ν~+νμ)の確率などから, 

を陽子質量として,G ~ 1.01×105-2  

1.166×105(GeV-2)で与えられることが知られています。
 

以上の現象論的事実から,弱い相互作用を(対称性の自発的に 

破れた)ゲージ理論で記述するには,ゲージ群として少なくとも 

上の弱アイソスピン:SU(2)を含まなければならないことが 

わかります。
 

すなわち, SU(2)のカレント:μに結合する質量がMの 

Yang-Mills場が存在すれば,6.12に示すfeynmanブラフに 

より,低エネルギー領域:2<<M2, 

Fermi=-(/2)μμのカレント・カレント型の 

4-Fermi相互作用が誘起されるからです。
 

このSU(2)の生成子をT(a=1,2,3)とし,その大きさ 

をTとします。
 

ところが,先に,[ν.] {(1-γ5)/2}[ν.], 

μ[νμ.μ] {(1-γ5)/2}[νμ.μ]T で与えた 

レプトンのSU(2)-2重項(=1/2),31/2の主成分: 

νやνμは電荷Qがゼロ,3=-1/2の下成分eやμは, 

電荷Qが(1)であり,SU(2)群が電磁相互作用の群: 

(1)EMと直交していないことを示しています。
 

つまり,もしU(1)EMがSU(2)と直交した群であったら, 

SU(2)2重項:[ν.] ,μ[νμ.μ] , 

上成分も下成分も同じ電荷を持って弱い相互作用と電磁 

相互作用が独立にゲージ化できたのですが,実際にはそう 

ではありません。(※言い換えると.[ν.] , 

μ[νμ.μ] ,SU(2)2重項として, 

exp(iθ)∈SU(2)に対して2次元回転を 

受けますが,EMexp(iQθ)∈U(1)EMに対して, 

[ν.] →UEM[ν.] [EMν. EM]  

[ν.] とはならないのでSU(2)群がU(1)EM 

と直交していないのです。)

ここに,弱・電磁相互作用を同時に絡めて考えざるを得ない 

必然性があります。すなわち,統一せざるを得ないのです。
 

そこで,SU(2)に直交したU(1)群を導入して,(1) 

記し,その電荷(生成子)を弱超電荷(weak-supercharge) 

呼び,Yとします。レプトンSU(2)2重項:,μ, 

弱超電荷:Y=-1/2を付与することにすれば,電磁相互作用 

の電荷Qは.Q=T3+Yで与えられることになります。
 

この関係式:Q=T3+Yでは電磁道後作用U(1)EMの生成子Q 

,(1)の生成子YとSU(2)の第3成分の生成子T3 

与えた代数の間の関係式であり,単に上のレプトン2重項のみ 

ならず,任意の多重項の上で成立すべきものです。
 

したがって,出発点で採用すべきゲージ群Gは, 

G=SU(2)×U(1)であり,電荷Qに結合する電磁場は, 

Q=T3+Yにより,SU(2)のゲージ場の第3成分とU(1) 

のゲージ場の線形結合で与えられることがわかります。
 

このとき,最終的な零質量ゲージ粒子は光子のみでなければ 

ならないので,Q=T3+Yのみを残し,他の対称性は全て 

自発的に破れなければなりません。 

すなわち,G=SU(2)×U(1)から,(1)EMへと破れます。
 

※ゲージ場とHiggs場の部分 

ゲージ群:SU(2)×U(1)に対応して,SU(2)のゲージ場 

:μ=[1μ,2μ,3μ]とU(1)のゲージ場;μを導入します。 

そのLagrangian,次のゲージ場で与えられます。
 

ゲージ場=-(1/4){μν-∂νμ-g(μ×ν)}2 

(1/4)(μν-∂νμ)2です。
 

gはSU(2)の結合定数です。一方,以下で現われるU(1) 

の結合定数はg'とします。(g>0,g'>0)
 

G=SU(2)×U(1)→ U(1).M の自発的破れを起こす 

べく,前のHiggs-Kibble模型と同様なSU(2)-2重項の複素 

スカラー場:Φ(Higgs)を導入し,以前と同じ真空期待値を 

持つようにします。<0|Φ|0>=(1/2)[0,]です。
 

このとき, (1).の対称性:Qを壊さないためには,真空 

期待値を持つ2重項場:Φの下成分(3=-1/2),Q=0の場 

でなければなりません。
 

それ故,Higgs2重項場:Φには,弱超電荷:Y=1/2を付与します。 

それに対応した共変微分を用いて, 

Higgs2重項場:ΦのセクターのLagrangian, 

Higgs|{μ(i/2)g'Bμ(i/2)(τAμ)}Φ|2 

+μ2ΦΦ-(λ/2)(ΦΦ)2 で与えられます。
 

これは,g'→ 0の極限でHiggs-Kibble模型と同じものに 

帰着します。
 

真空期待値:0|Φ|0>=(1/2)[0,]を実現する破れた 

真空の上で,ゲージ場:μ,μの質量項は,treeレベルで 

運動項:|μΦ|2において,Φを[0,/2]なる値に置換 

した項から生じます。

つまり, 

(ゲージ場質量項)|(i/2){g'Bμ+g(τμ)}[0,/2]|2 

(22/8){(1μ)2(2μ)2}(2/8)(g'Bμ-gA3μ)2 

です。
 

したがって,ゲージ場を組みかえて,μ=(1/2)(1μi2μ), 

μ=(1/2)(1μi2μ), 

そして,[μ,μ][gA3μ-g'Bμ,gA3μ+g'Bμ]  

/(2+g'2)1/2exp(iτ3θ)[3μ,μ]T  

と定義し直します。
 

ここに,osθ=g/(2+g'2)1/2 , 

sinθ=g'/(2+g'2)1/2であり,exp(iτ3θ) 

は3軸の回りの角度θの回転を意味します。 

このθWeinberg角と呼ばれます。
 

すると, ゲージ場質量項は,対角化されて 

(ゲージ場質量項)=M2μμ(1/2) 2μμ 

を得ます。ただし.2=g22/4,  

2(2+g'2)2/4=M2os2θです。
 

ゲージ場とHiggs場のLagrangianゲージ場Higgs 

と書くと,これは, 

ゲージ場=-(1/4){μν-∂νμ-g(μ×ν)}2 

(1/4)(μν-∂νμ)2,であり 

Higgs|μΦ|2+μ2ΦΦ-(λ/2)(ΦΦ)2, 

μ=∂μ(i/2)μ(i/2)(τAμ) 

でした。
 

これに,以下の逆変換;を代入してA1μ,2μ,3μ,μ 

を消去します。。すなわち,1μ(1/2)(μ+Wμ), 

2μ(i/2)(μ-Wμ),3μcosθμsinθμ, 

μ=-sinθμcosθμ,および,
 

[μ,μ][gA3μ-g'Bμ,gA3μ+g'Bμ]  

/(2+g'2)1/2exp(iτ3θ)[3μ,μ] 

を代入するわけです。
 

すると, 

ゲージ場=-(1/4)μνAμν(1/4)μνZμν 

(1/2)(μννμ)(μννμ) 

i(||μν+gcosθZμν)μ+ν 

(2/2){|μμ|2(μμ)2} 

となります。
 

ここで,同一の点において,1,2,3,Bは全て交換可能なBoson 

であり,,,,Aもまたそうです。
 

そして,μν,μν,χμν=∂μχν-∂νχμ(χ=A,) 

を意味します。また,2=g22/(2+g'2), 

||=g'cosθ=gsinθW です。
 

νの共変微分μν,gA3μ 

(gg'Aμ+g2μ)/(2+g'2)1/2 

||μ+gcosθμを用いて 

μν(μigA3μ)ν 

=(∂μ+i|e|Aμicosθμ)νで与えられます。
 

電磁相互作用:(1).に関しては,この荷電ベクトル場: 

νに対する共変微分は(μi||μ)(μieAμ) 

となっていて,e<0が電磁相互作用の結合定数を与える 

ことがわかります。
 

(17-1):上の結果を具体的で地道な計算で示します。 

μ1ν-∂ν1μ-g(2μ3ν-A3μ2ν) 

(1/2)(μ1ν-∂ν1μ)(1/2)(μ1ν-∂ν1μ) 

-g(i/2)(μ-Wμ)(cosθνsinθν) 

+g(i/2)(ν-Wν)(cosθμsinθμ) 

(1/2){(μ1ν-∂ν1μ)

i(cosθνsinθν)μ 

i(cosθμsinθμ)ν} 

(1/2){(μ1ν-∂ν1μ)

i(cosθνsinθν)μ 

i(cosθμsinθμ)ν}
 

同様に,μ2ν-∂ν2μ-g(3μ1ν-A1μ3ν) 

(1/2){(μ1ν-∂ν1μ)

i(cosθνsinθν)μ 

i(cosθμsinθμ)ν} 

(1/2){(μ1ν-∂ν1μ)

i(cosθνsinθν)μ 

i(cosθμsinθμ)ν}
 

後は計算結果だけ書きます。 

μ3ν-∂ν3μ-g(1μ2ν-A2μ1ν) 

cosθμνsinθμνi(μν-Wμν),
 

μν-∂νμ=-sinθμνcosθμνです。
 

それ故,これらを

ゲージ場 =-(1/4){μν-∂νμ-g(μ×ν)}2 

(1/4)(μν-∂νμ)2

に代入すれば得られます。 (17-1終わり※)
 

途中ですが,今回はここまでにし,レプトンとゲージ場 

の結合や物質場(Higgs)についての項は次回に回します。
 

(参考文献):九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論() 

(培風館)

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2018年4月 1日 (日)

対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(16)

「対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子(15) 

からの続きです。 

Higgs現象の項の続きです。 

カラー閉じ込めの論議に入ります。
 

※カラー閉じ込め
 

既述のようにQCDにおいて,クォークやグルオンなど全て 

カラーを持った粒子(大局的ゲージ対称性群Gの1重項で 

ないもの)は最終的には物理的粒子として現われないと 

予想されており,これを「カラー閉じ込め」と呼びました。
 

既述のHiggs現象逆定理でおいた条件det(+u)0 

が成立しない場合,つまり,det(+u)0の場合,という 

のは,実は大変重要な場合で.正にこのカラー閉じ込めを 

実現する1つの十分条件を与えます。
 

以下,簡単のため,∝ δの場合のみを考えると, 

次の定理が成立します。 

(※この場合,det(+u)0,=-δと同値)
 

[定理]:u=-,つまり,=-δが成立するならば, 

カラー対称性は自発的に破れておらず,かつ,カラー閉じ込め 

が実現している。
 

すなわち,物理的粒子(BRS1重項)は全てカラー1重項で 

あり,カラーを持つ粒子は全てBRS4重項表現に属する。
 

(証明):ここまでの論議から,大局的カラー対称性変換の 

Noeter保存カレント:μ()について,Maxwell方程式; 

gJμ()=∂ννμ(){,μ~()} 

が成立し, そして,0 → ±∞の極限において 

μ() → vμβ().., 

μ~() (+u)μγ~().., 

ννμ() → wμβ()..  

なる漸近的性質があることがわかっています。
 

ここで.BRS4重項漸近場として, 

{i,γ~()}iβ()が成立するため, 

{,μ~} (+u)μβ()..  

ですから,Maxwell方程式は,gv=w-(+u) 

を意味します。
 

そこで,+u=0なら,gv=wb です。 

b==vδ,=wδと書けば,gv=wです。
 

修正NoetherカレントをJμ()-ω∂ννμ(), 

ω=v/w=g-1という組み合わせで作ると,これは 

危険な零質量1粒子項:μβa()を含まないので 

カラー電荷:=∫d3{0()-g-10()} 

は無矛盾(Well-defined)な演算子となります。
 

よって,カレントが零質量1粒子状態を含まないので, 

カラー対称性は全チャネルで自発的に破れていません。

ところが,gJμ()=∂ννμ(){,μ~()} 

ですから,0()-g-10()=-g-1{,0~} 

より,=-g-1∫d3{,0~()}です。
 

それ故,任意の物理的状態:|f>,|g>∈physに対して,  

|f>=0, |g>=0より,<f||g>=0  

得ます。
 

特に,|f>,|g>∈physをBRS1重項の任意の物理的 

粒子状態:i|0,i|0>に取れば, 

0|ij|0>=0 ですが,これらがカラー対称性の 

生成子:の表現行列:(a)ijの表現空間に属する基底 

を成す粒子状態であれば,[,i](a)jiiです。
 

(※ 何故なら,[,i]=-(a)ijj,であり,カラー電荷 

Hermite(実数)なので,aHermite行列です。 

すなわち,(a)ji(a)ijだからです。)

  ここで,[i,j]=δijを用いれば.  

<0|ij|0>=<0|i[,]|0 

<0|i(a)kj|0>=(a)jiですから,結局,  

(a)ji0 を得ます。

この,全てのaについて表現行列がゼロということは, 

BRS1重項粒子:k|0>は全て,カラー1重項状態 

でもあることを意味します。 (証明終わり) ※)
 

ここで,いくつかのコメントを与えておきます。
 

()u=-1の条件は上述のようにカラー閉じ込めの1つの 

十分条件です。しかし,この条件が必要条件でもある?という 

ことについての論議もいくつかあります。
 

つまり,「カラー対称性が自発的破れを起こしていなければ 

u=-1である。」という命題ですが,これは未だ証明 

されていません。
 

() u=-のとき,もしクォーク場:ψi(),ゲージ場: 

μ()に漸近場が存在したとすると,それらはカラーを持つ 

ので,それらはBRS4重項でなければなりません。
 

例えばψi()のBRS変換は,[iλQ,ψi()] 

=-iλgc()()ijψ()ですが, 

これはクォーク場:ψi()が漸近場:ψasi()を持てば,必ず, 

右辺のクォ-クとFPゴーストの複合Heisenberg:  

()()ijψ(),結合状態(共鳴状態,または 

束縛状態):asψi()が形成されて, 

[iλQ,ψasi()]=-iλCasψi()を満たすBRS 

2重項:(ψasi,asψi)となる必要があることを意味します。
 

ゲージ場の場合も,[iλQ,μ()]=λDμ() 

より,μにベクトル漸近場が存在すれば,右辺の