くりこみ理論第２部(1)

今日は11月11日です。

長い記事を一気にアップします。

「くりこみ理論(次元正則化)」シリーズは,2020年

８月に記事:(1)～(16)をアップして終了しました。

それらは,参考テキスト「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(九後汰一論著)の「第7章くりこみ」を.私が49歳

の1999年３/20から1999年5/7に,詳読したときの

行間埋め覚え書きの履歴のノートの内容でした。

20年以上前のノートの反芻は,老化した70歳の自分

の頭脳には,温故知新で新鮮な刺激となっています。

続いて「第８章くりこみ群と演算子積展開」から,

くりこみ理論の補遺として記事をアップします。

参照ノートの開始日は,前章の終了日と同じ1999年

の５/７でした。

(※余談):この1999年の頃は「1999-７の月に

ハルマゲドンで人類は滅びる。」という五島勉氏著の

ベストセラー「ノストラダムスの大予言」がはやって

いて,7月にはこの世の終わりがくるのか?とかを,半分

本気で心配していましたね。

幽霊やＵＦＯ,超能力など現時点では,まだ,ちゃんと

した存在証明も不存在証明もできていない,と思っている

超常現象など,自分では見たりしたとかの経験もない物事

については,頭から否定するわけでもなく.とにかく昔も

今も半信半疑状態です。

自分は現代の自然科学のレベルはまだ低いと思って

いて,これに全面的信頼を持つほど単純ではないですから,

何の文明的なモノも避難場所もない荒野のようなところ

に,一人で闇夜に放り出されたとしたら,文明世界しか

知らない自分は,魑魅魍魎が出てくるかも？と本能的な

恐怖におののくことでしょうね。

増え続ける人類は,「あらゆる生物種は自らの増加が

食料不足をもたらして減少する。」という食物連鎖

の輪廻の「神の摂理」から離れて,人類には共食い

という戦争もなくなり医学の進歩により疫病を予防

しても,結局,新しいウィルスという天敵が現われ自殺

やＬGBTなどの少子化文化でも追い付かず,環境破壊

などによる災害,そして科学文明が反逆するという滅び

の道が現在のハルマゲドンとして避けられないのでは

ないか？と思います。(余談終わり※)

※以下は,本文です。

第8章の「繰り込み群と演算子積展開」という新しい

項目に入るに当たり,テーマの説明と機付けとして

この間「物理学の哲学」というシリーズ記事を

書きました。ここからは,新しく第2部とします。

• 8-1:(複合演算子のくりこみと演算子積展開)

場の理論の種々の現象論的応用において,しばしば,

場の局所的演算子(一般には複合演算子)Ａ(ｘ),Ｂ(ｙ)

の積:Ａ(ｘ)Ｂ(ｙ)が２点ｘとｙを同一点(ｘ＝ｙ)

(または光円錐:(ｘ－ｙ)²＝0)の近傍に近づけたとき,

どのように挙動するか？を知る必要が生じます。

Wilsonは,この問題に対して,直観的に,ある種の

局所演算子の完全系:{Ｏ_i(ｘ)}が存在して;

一般に,Ａ(ｘ)Ｂ(ｘ)

＝lim_ｘ→ｙ[Σ_iＣ_i(ｘ―ｙ)Ｏ_i((ｘ＋ｙ)/2)],(1)

(Ｃ_iはc-数関数)と展開できることを主張し,

その意味と応用について議論しました。

Wilson自身は上記の展開式(1)を,必ずしも摂動論

の枠内に限らず成立する,演算子間の等式として提唱

したもので,今日,(1)はWilsonの「演算子積展開」

(operator-product expansion),略してＯＰＥと

呼ばれています。

演算子Ａ,Ｂ,Ｏiの次元をｄ_Ａ,ｄ_Ｂ,ｄ_iとすると

ｚ＝ｘ－ｙの関数としての展開係数Ｃ_iは,Ｃ_i(ｚ)

～(1/ｚ)^{(ｄＡ＋ｄＢ－ｄi)}のように挙動すると考えられる

ので,短距離のｚ＝(ｘ－ｙ)～ 0の同一点の極限では

展開(1)の無限個の項のうち,次元ｄ_iが低い初めの方

の数項だけを分析すれば十分なはずです。

そして,摂動論の枠内で初めて(1)の展開を厳密に

証明したのはZimmermannでした。

本節では,彼に従って,摂動論において(1)の展開式

を導きます。以下では,簡単のため,もっぱらλφ⁴

理論で話をしますが,他の場合でも本質的には同様

です。

まず,複合演算子の厳密な定義からです。

展開式(1)の右辺にある演算子Ｏ_iは,一般に

φ^ｎ(ｘ),φ^ｎ(ｘ)∂_μφ(ｘ)などのような場の

同一時空点の積であって,局所演算子積,

(lobal operation product),または,単に複合

演算子(composite operator)と呼ばれるものです。

しかし,こうした局所積は場の理論では特異性を

持っているので,そのままではWell-defimed(無矛盾)

ではなく,(1)の展開,つまりＯＰＥを証明するには,

まず,そうした局所積を正確に定義するところから

始める必要があります。

複合演算子:Ｏを直接,演算子として定義する代わり

に,Zimmermannに従って,正規積(normal product)と

呼ばれる演算子:[Ｏ]_d(またはＮ_ｄ(Ｏ))を機能的に定義

します。

すなわち,[Ｏ]_ｄを含む全てのGreen関数を定義

することによって,逆に,演算子:[Ｏ]_ｄを定義します。

Ｏはφ^ｎ,∂_μφ∂^μφ,φ(∂_μφ∂_νφ)などの

ように,一般の場φと,その微分から構成される

単項式であり,Ｏ＝Ｏ(φ)を含むGreen関数は,

Ｇ_Ｏ^(ｎ)(ｘ₁,ｘ₂..ｘ_n)

＝＜ＴＯ(φ)φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)..φ(ｘ_n)＞

＝∫Ｄφ{Ｏ(φ)φ(ｘ₁)φ(ｘ₂)..φ(ｘ_n)

×expi{∫ｄ⁴ｘＬ}.(2)で定義されます。

ただし,Lagrangian密度Ｌは相殺項なしの有限な

Ｌ＝(1/2)(∂_μφ∂^μφ－μ²φ²)－(λ/4)φ⁴.(3)

であり,これはＢＰＨＺの枠内で有効Lagrangian

と呼ばれるものです。

このとき,先の乗法的くりこみの場合の相殺項に

相当するものはＬに陽に加えないで,ＢＰＨＺの

Taylor演算:(－ｔ^γ)で機能的に行なうものです。

(※Tayllor演算:(－ｔ^γ)で自動的に満足される,

「ｐ＝0での(中間的)くりこみ条件」以外の

くりこみ条件を設定したいときには,(3)式のＬに,

さらに有限係数の(ｈ_cのベキ級数を係数とする)

相殺項を加えたものを,改めて有効lagrangian

とする,わけです。)

もう1つ,第４章「経路積分と摂動論」で述べた

ように,定義(2)で用いているＴ積(時間順序積)は

Ｔ^*積の意味です。本節で用いるＴ積は全てＴ＊積

を意味することに注意しておきます。(※つまり,

Ｔ積への左からの演算は,Ｔを飛び越えて内部への

直接演算を意味するわけです。)。

以下,Green関数:Ｇ_Ｏ^(ｎ)を議論する代わりに,その

1粒子既約な(1PI)グラフのみの寄与で,かつ,ｎ点

ｘ₁..ｘ_ｎの各脚から出る伝播関数iΔ_Ｆを取り去って

得られるｎ点頂点関数:Γ_Ｏ^(ｎ)を議論します。

すなわち,＜ＴＯ(φ)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n)＞^1PI

＝[Π_i=1ⁿ{∫ｄ⁴ｙ_iiΔ_Ｆ(ｘ_i－ｙ_i)}]Γ_Ｏ^(ｎ)(ｙ₁..ｙ_n).(4)

と書けるとします。

Γ_Ｏ^(ｎ)を論じるには,まず,再び,第５章§5-6で

したように,φ,Ｏの外場J,Ｋを導入して,頂点関数

の生成汎関数をexpiＷ[Ｊ,Ｋ]

＝∫Ｄφ[expi{∫ｄ⁴ｘＬ＋Ｊ・φ＋Ｋ・Ｏ(φ)}] (5)

で定義し:Ｗ[Ｊ,Ｋ]を,外場Ｊについてのみ,Legendre

変換して,Γ[φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ・φを,定義

します。するとｎ頂点関数は,Γ_Ｏ(ｘ)^(ｎ)(ｘ₁,.ｘ_n)

＝δ^(ｎ＋1)Γ[φ,Ｋ]

/{δＫ(ｘ)δφ(ｘ₁)..δφ(ｘ_ｎ)}|_φ＝Ｋ＝0.(6)

としても,得られる量です。

※(注1-1):つまり,生成汎関数の定義から,

expiＷ[Ｊ,Ｋ]­＝Σ_ｎ{(1/ｎ!)Γ_Ｏ⁽ⁿ⁾(ｘ₁..ｘ_n)

φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n)}です。

そして,δ(expiＷ[Ｊ,Ｋ])/δＫ

＝(δＷ[Ｊ,Ｋ]/δＫ)expiＷ[Ｊ,Ｋ]ですから

δＷ/δＫ＝ＮΣ_ｎ{(1/ｎ!)Γ_Ｏ⁽ⁿ⁾(ｘ₁..ｘ_n)

×φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n)}(Ｎは規格化定数)と

なりますが,(δΓ[φ,Ｋ]/δＫ)_φ

＝(δＷ[Ｊ.Ｋ]/δＫ)_φ,かつ,

(δΓ[φ,Ｋ]/δφ)_Ｋ＝－Ｊですから,

δΓ[φ,Ｋ]/δＫ＝ＮΣ_ｎ{(1/ｎ!)

Γ_Ｏ⁽ⁿ⁾(ｘ₁..ｘ_n)φ(ｘ₁)..φ(ｘ_n)}です。

それ故,Ｎ～1として(6)式の,

Γ_Ｏ(ｘ)^(ｎ)(ｘ₁,.ｘ_n)＝δ^(ｎ＋1)Γ[φ,Ｋ]

/{δＫ(ｘ)δφ(ｘ₁)..δφ(ｘ_ｎ)}|_φ＝Ｋ＝0.

と,(δΓ/δＫ)の展開係数:Γ_Ｏ^(ｎ)(ｘ₁.ｘ_n)

は同じものであるとわかります。

(注1-1終わり※)

Γ_Ｏ^(ｎ)を,Ｏが挿入された頂点関数

(Ｏ-inserted vertex function)と呼びます。

Ｏの正規積:[Ｏ]_ｄの頂点関数Γ_[Ｏ]d^(ｎ)は,

Γ_Ｏ^(ｎ)に効くグラフＧの各々に対して,その

Feynmanの被積分関数Ｉ_Ｇ(Γ_Ｏ^(ｎ))を,それに

Ｒ演算を施した,Ｒ_Ｇ(Γ_[Ｏ]d^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_Ｏ^(ｎ))(7)

で置き換えて得られる量として定義します。

ただし,このグラフＧのくりこみ部分γとしては,

Ｏの頂点を囲むものも含みます。その場合,演算子

[Ｏ]_dは,実際の次元(※例えば,Ｏ＝(∂_μφ∂^μφ)

なら次元は4)には関係なく,次元ｄを持つ演算子

と見なします。すなわち,[Ｏ]_d頂点には,指標:

(ｄ－4)を付与するか,または,見かけの発散次数

の公式§7-3の(7)に従って,[Ｏ]_d頂点を含む部分

グラフγは見かけの発散次数:ω(γ)

＝4－ｎ_γ＋(ｄ－4)＝ｄ－ｎ_γ≧0.(8)(ｎ_γはγの

外線数)(8)のとき,くりこみ部分と見なし,ｔ^γは

ω(γ)のTaylor演算子とします。

このようにして得られるΓ_[Ｏ]d^(ｎ)は,ｄがＯの

本当の次元ｄ_Ｏ以上であれば,有限な無矛盾なもの

となります。

何故なら,Ｇ_Ｏの生成汎関数を(5)のexpiＷ[Ｊ,Ｋ]

＝∫Ｄφ[expi{∫ｄ⁴ｘＬ＋Ｊ・φ＋Ｋ・Ｏ(φ)}]

のように書けば,{Ｌ＋ＫＯ(φ)}全体を系の有効

Lagranguanと見なすことができて,その場合,

Ｏ頂点を含むグラフも普通のグラフであって,普通

のＢＰＨＺくりこみで有限になるからです。

(※収束定理を参照)

もちろん,このときにはＯ頂点を囲む部分グラフ

の見かけの発散では,Ｏの本当の次元ｄ_Ｏを勘定し,

ｔ^γもそれに見合ったものですから,上のように

して得られる量は,ｄ＝ｄ_Ｏとした正規積:[Ｏ]_dO

の場合の頂点関数Γ_[Ｏ]dO^(ｎ)です。

ｄ＞ｄ_Ｏの[Ｏ]_dの場合は,必要以上の引き算を

しますが,ともかく有限ではあります。

そして,ｄ＞ｄ_Ｏの場合の[Ｏ]_ｄを引き過ぎ

演算子(oversubtracted operator)」と呼び,

ｄ＝ｄ_Ｏの正しい次元を付与した正規積を,

通常の正規積と呼びます。

引き過ぎ演算子:[Ｏ]_d(ｄ＞ｄ_Ｏ)は,実は次元

がｄ以下の.通常の正規積演算子:[Ｏ^]_dＯの線形

和で表わすことができます。

これを.[φ²]_dを例に取って説明します。

この場合,示すべきは,α,β,γを定数として,

[φ²]₄＝[φ₂]²＋α[φ⁴]₄＋β[∂_μφ∂^μφ]₄

＋γ[φ□φ]₄.(9)の式です。

一般に,[Ｏ]_dと同じ形の[Ｏ]_dOは,係数1で

現われ,それに混じる他の演算子は,全てＯと

同じLorentz変換性.および,内部対称性を

持ちます。

頂点関数:Γ_[Ｏ]d^(ｎ)は,Γ_Ｏ^(ｎ)に効くグラフ

のFeynman積分の被積分間数をＲ演算を

用いて,Ｒ_Ｇ(Γ_[Ｏ]d^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_Ｏ^(ｎ))(7)

に置き換えて得られる量であると,先に定義

しました。

そこで,Γ_[φ2]4^(ｎ)については,φ²頂点を,

次元4と見なしたTaylor演算子をｔ₍₄₎^γと

記すと,その寄与はＲ_Ｇ(Γ_[φ2]4^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_φ2^(ｎ))

(10)の積分で与えられます。

φ²頂点を含むγに対して,ｔ₍₄₎^γはφ²に

正しい次元2を付与する通常のｔ^γ＝ｔ₍₂₎^γ

より,２次だけ余計に取り出すので,ｔ₍₄₎^γ

＝ｔ₍₂₎^γ＋ｔ^^γ.(11)と書けます。

ところで,一般に順序付けられた積:

Π_i=1^ｎ(ｘ_i＋ｙ_i)＝(ｘ_n＋ｙ_n)(ｘ_n-1＋ｙ_n-1)

..(ｘ₁＋ｙ₁)に対して,その展開の各単項式

の中に含まれるｙ_lのうち,最小添字を持つ

ものに着目して,項をまとめると,

Π_i=1^ｎ(ｘ_i＋ｙ_i)＝Π_i=1ⁿｘ_i＋ｙ_n(Π_i=1^n-1ｘ_i)

＋(ｘ_n＋ｙ_n)ｙ_n-1(Π_i=1^n-2ｘ_i)

＋(ｘ_n＋ｙ_n)(ｘ_n-1＋ｙ_n-1)ｙ_n-2(Π_i=1^n-3)＋..

＋{Π_i=2ⁿ(ｘ_i＋ｙ_i)}ｙ_1.(12)の形の等式

を得ます。

それ故,(10)の表式:Ｒ_Ｇ(Γ_[φ2]4^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_φ2^(ｎ)

の中のグラフＧの森:Ｕのそれぞれの中で,

φ²を含むくりこみ部分γ₁,..γ_ｎは小さい

ものから.大きいものへと,右から順に並んで

いるとし,対応するΠ_i=1ⁿ(－ｔ₍₄)^γi)

＝Π_i=1ⁿ(－ｔ₍₂₎)^γi－ｔ^^γi)に,(12)の形の等式

を適用すれば(10)におけるTaylor演算子の積

のあらゆる可能な森Ｕにわたる和が次のように

書き直せます。

すなわち,Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₂₎^γ)

＋Σ_τ∈Ｔ[Σ_{Ｕ1∈Ｆ(Ｇ/τ)}Π_γ∈Ｕ1(－ｔ₍₄₎^γ)(－ｔ^^γ)

{Σ_{Ｕ2∈Ｆ(τ)}Π_γ∈Ｕ2(－ｔ₍₂₎^γ)}].(13)です。

ただし,Ｔは,フラフＧのφ²頂点を含む,

くり込み部分:τの全ての集合,Ｆ(Ｇ/τ)は

τを1点に縮約したグラフ:(Ｇ/τ)のあらゆる

森:Ｕ₁の集合,Ｆ(τ)は,あらゆるτ森:Ｕ₂の

集合です。

公式(12)から,元々,Ｕ₂がτの正規な森(τ

自身を含まない森)に限られる式も得られるの

ですが,満杯の森の場合には,必ず含まれるｔ₍₂₎^τ

はτの外線運動量のω(τ)＝(2－ｎ_τ)次元以下

の多項式を与えるため,(4－ｎ_τ)次項を取り出す

(－ｔ^^τ)演算子の後ろでは,効きません,

つまり,ｔ^^τｔ₍₂₎^τ＝0なので,このゼロ寄与も

加えたあらゆるτ森にわたる和としてもいい

のです。

さて,再掲(13):Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₂₎^γ)

＋Σ_τ∈Ｔ[Σ_{Ｕ1∈Ｆ(Ｇ/τ)}Π_γ∈Ｕ1(－ｔ₍₄₎^γ)(－ｔ^^γ)

{Σ_{Ｕ2∈Ｆ(τ)}Π_γ∈Ｕ2(－ｔ₍₂₎^γ)}].の右辺の演算を

φ²を含むグラフＧのFeynman被積分関数:

Ｉ_Ｇ(Γ_φ2^(ｎ))に,左から演算します。

このとき,(13)の右辺第2項を演算する場合

には,Ｉ_Ｇ＝Ｉ_Ｇ/τ・Ｉ_τの積の形に書けること

を用います。

さらに,[φ²]₄頂点を含むくりこみ部分τは,

公式(8)より:ω(τ)＝4－ｎ_τ≧0.

(ｎ_τはτの外線数)に従ってω(τ)で,4－ｎ_τ≧0

のときが,くりこみ部分ですが,これは,τの外線数:

ｎ_τが2,または4の場合のみです。

その場合,ｔ^^τ＝ｔ₍₄₎^τ－ｔ₍₂)^τは,ｎ_τ＝2のときは,

τの外線運動量に関してｔ₍₄₎^τは(４－ｎ_τ)＝2次

まで,ｔ₍₂₎^τは(2－ｎ_τ)＝0次までのTaylor演算子

ですから2次の部分のみを,ｎ_τ­＝4のときは,

ｔ₍₂₎^γ＝0なので0次の部分のみを,それぞれ,引き算

する演算であること注意します。

(※ 何故なら,1次の部分はLorentz不変性ゆえ,

出てきません。つまり,外線ｎ_τ＝2なら2つのφ

に対し1次で効くのは∂_μφとφから成る運動量

表示でｐ^μに比例する部分ですから,それにかかる,

Taylor演算のｐ²＝0での定数係数Ａ_μを考えると,

これは4元ベクトルで,かつ,定数ということなので

不可能です。※)

こうして(13)の両辺をＩ_Ｇに演算して次の(14)

が得られます。

すなわち,(10)の表式:Ｒ_Ｇ(Γ_[φ2]4^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_φ2^(ｎ))

において,(13)のΣ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₄₎^γ)

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}Π_γ∈Ｕ(－ｔ₍₂₎^γ)

＋Σ_τ∈Ｔ[Σ_{Ｕ1∈Ｆ(Ｇ/τ)}Π_γ∈Ｕ1(－ｔ₍₄₎^γ)(－ｔ^^γ)

{Σ_{Ｕ2∈Ｆ(τ)}Π_γ∈Ｕ2(－ｔ₍₂₎^γ)}].を代入すれば,:

Ｒ_Ｇ(Γ_[φ2]4^(ｎ))＝Ｒ_Ｇ(Γ_[φ2]2^(ｎ))

－Σ_τ∈Ｔ4Ｒ_Ｇ/τ(Γ_[φ4]4^(ｎ))Ｒ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾)|_ｐ=0

－Σ_τ∈Ｔ2[Ｒ_Ｇ/τ(Γ_{[∂μφ∂νφ]4}^(ｎ))

{(i²/2)(∂²/∂ｐ₁^μ∂ｐ₂^ν)Ｒ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾)|_ｐ=0}

＋Ｒ_Ｇ/τ(Γ_{[∂μ∂νφ・Φ]4}^(ｎ))

×{(i²/2)(∂²/∂ｐ₁^μ∂ｐ₁^ν)Ｒ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾))|_ｐ=0]

＋Ｒ_Ｇ/τ(Γ_{[φ(∂μ∂νφ)]4}^(ｎ))

×{(i²/2)(∂²/∂ｐ₂^μ∂ｐ₂^ν)Ｒ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾))|_ｐ=0]]

(14)を得ます。

ただし,Ｔ₂,Ｔ₄は,それぞれ外線数ｎ_τが2,4の

φ²項を含むくりこみ部分でｐ₁,ｐ₂はτ∈Ｔ₂の2本

の外線運動量であり(..)|_ｐ­=0はτの外線運動量が

全てゼロであることを意味します。

(※∂^μφ∂^νφの相互作用頂点からは,(Ｇ/τ)の

グラフとして,(－iｐ₁^μ)(－iｐ₂^ν)の因子を含むと

考えられます。)

ここでＲ_τ(..)|_p=0etc.は,外線運動量ｐに依らない

定数係数です。それ故,(14)をloop積分し,あらゆる

Ｇ,および,τについて和を取れば,

Γ_[φ2]4^(ｎ)＝Γ_[φ2]2^(ｎ)＋αΓ_[φ4]4^(ｎ)

＋βΓ_{[∂μφ∂μφ]4}^(ｎ)＋γΓ_[φ□φ]4^(ｎ)。(15)

となります。

ただし,Lorentz不変性により

(∂²/∂ｐ₁^μ∂ｐ₂^ν)Ｒ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾)|_ｐ=0}∝ｇ_μν

となること,および,[φ□φ]₄＝[(□φ)φ]₄

であることを用いました。

そして,定係数α,β,γは

α＝Σ_∀ＧＲ_τ(Γ_[φ2]2⁽⁴⁾)|_ｐ=0}.(6).,etc.

で与えられます。

こうして,(15)が任意のｎ点頂点関数について

成立するので,結局,求める,引き過ぎ演算子[φ₂]₄

が通常の正規積の線形和で書ける,という式(9):

[φ²]₄＝[φ₂]²＋α[φ⁴]₄＋β[∂_μφ∂^μφ]₄

＋γ[φ□φ]₄.(α,β,γは定数)が証明された

わけです。

※(注1-2):そもそも,局所演算子積や複合演算子

を考える必要が何故あるのか？の動機付けを述べて

おきます。

私が現役の院生の頃,素粒子論では,カレント代数

という分野がありました。いまもあるのかは

知りません。

Fermionカレントはスピノルの双1次形式,

つまりスピノル場の演算子の局所積で与えられ

ますが,これを一般の物理屋は同一点の積の

特異性を深く考えずに考察していました。

例えばカイラル軸性カレントは

ｊ^5μ(ｘ)＝ψ~(ⅹ)γ⁵γ^μψ(ｘ)

であり複合演算子(局所演算[子積]です。

特異性を意識してεだけ離した

Bilocal　currentでは,

ｊ^5μ(ｘ,ε)

＝ψ~(ⅹ－ε/2)γ⁵γ^μψ(ｘ＋ε/2)

×{∫_ｘ－ε/2^ｘ＋ε/2Ａ_μ(ｙ)ｄｙ^μ}です。

そこで,当時,私が専門に研究していた

のはQEDにおける三角アノマリー

(Adler-Jackew anomaly)というテーマ

でした,この不思議な現象を解析すれば,

紫外発散を除去するくりこみという操作

の理論的メカニズムが明快に理解できる

のでは？と期待したからです。

しかし,このテーマは当時,素粒子論の

端緒を齧った程度の身で,一人でやるには

壮大過ぎて,結局,卒業(終了)には間に合わず,

仕方なく1974年(24歳)のとき発見された

(Ｊ/ψ)新粒子(後にcharmクォークを含む

重中間子と同定)に関連してカラー一重項

の粒子-反粒子対(中間子)と３体クォーク

(重粒子)のみが観測されて,例えばカラー

多重項や４体以上のexotic 粒子が観測され

ない理由について考察した「三重三元

クォーク模型の束縛ポテンシャル」という

卒業論文しか書けませんでした。

一方,量子アノマリーは,私のその後の普通

の社会人に就職した後もアマチュアとして

細々と考察していたのを嘲笑うかのように

世界的には解明され,例えば、本参考書の

第９章「アノマリー」であるようにゲージ

不変な次元正則化を行なうときγ₅を含む

軸性カレントの存在がネックとなって出現

する余分な項である,とか,経路積分で変数

置換する際,γ₅の存在のためにヤコービ行列

に現われる異常項である,という意味で解決

されました。まあ,自分が解決できなくても

理解できればいいというスタンスですから

それで満足ですが,実験観測データを説明

できる偉大な対症療法である「くりこみ理論」

を原因両方に変えたい,という構想と

アノマリーに大した関係がないという意味

で,40第の頃,がっかりしたのでした。

VVA三角アノマーに興味持ったのは,電荷を

持たない中性中間子であるπ⁰の電磁崩壊

π⁰→γ＋γの崩壊に興味を持ったからでした。

電荷を持たないので摂動の1次では光子

(電磁場)と相互作用はできないので

π⁰→ｅ^－＋ｅ^＋→2γのように弱い相互作用

のV-Aカレントを経る2次の過程のはずです。

電子ｅのようなレプトンカレントの必要はなく

ｐ－ｐ~(陽子反陽子対) π⁰→ｐ＋ｐ~→2γ

でもいいのです。当時は自分にクォークを想定

する習慣ないので実荷電粒子の陽子を挟みました

がｎクオークでも1/3の電荷があるので,可能です。

そして,ｅ~(1－γ₅)γ^μｅのようなV-Aカレント

の頂点:(1－γ₅)γ^μがｅとｅに分かれて

それから,それぞれγ^ν.γ^σの電磁頂点

から光子が出ていくというfeynmanグラフ

の三角グラフを考えます。そもそも純粋は

QFDだけではこういうのはありません。

しかもFurryの定理によりVVVグラフの寄与

はゼロなのでVVAだけ残ります。

ここまで書きましたが,ここからの話は,結局，

途中で追加したシリーズ記事「物理学の哲学」

の重複になるもで割愛します。(注1-2終わり※)

※次に(複合演算子の乗法的くりこみ解釈)

という項に入ります。

演算子挿入がない通常の場合のBPHZくりこみ

が裸のLagrangianを組み変えて相殺項を用意する

乗法的くりこみと解釈できることは,既に記述した

通りですが,今の演算子挿入で定義される複合演算子

の場合も乗法的くりこみで理解できます。

BPHZ流にくり込こんだΓ_[Ｏ]d^(ｎ)のFeynman積分の

被積分関数の定義式(7):Ｒ_Ｇ(Γ_[Ｏ]d^(ｎ))

＝Σ_{Ｕ∈Ｆ(Ｇ)}{Π_γ∈Ｕ(－ｔ^γ)}Ｉ_Ｇ(Γ_Ｏ^(ｎ))において，

Taylor演算子:(－ｔ^γ)は,γが[Ｏ]_d頂点を囲まない

場合は,通常のLagrangianからの相殺項の寄与を引く

のと同等でしたが,γが[Ｏ]_d頂点を囲む場合は,新しい

相殺項を引くことに相当します。

この相殺項の演算子Ｏ^はTaylor演算子ｔ^γの次数

がω(γ)＝(ｄ－ｎ_γ)ですから,高々ω(γ)階微分

を持った場:φについてｎ_γ次の局所演算子:

Ｏ^＝(∂)^ｋ(φ(ｘ))^ｎγ （17）

,(ｋ＝0,1,2,..ω(γ)＝(ｄ－ｎ_γ)の形を持って

います。このＯ＾は,次元がｋ＋ｎ_γ≦ｄです。

特に正しい次元:ｄ＝ｄ_Ｏを付与された正規積:

[Ｏ]_dOのみを考えることにして,それをくりこんだ

複合演算子:Ｏ^renと呼ぶことにします。

そうすれば,BPHZくりこみは,結局,ある次元;ｄ_iの

演算子Ｏ_i^renを,その次元以下の裸の演算子の完全系:

{Ｏ⁰_j}を用いて,次のように,Ｏ_i^ren＝Σ_dj≦diＺ_ijＯ⁰_j,

Ｚ_ij＝δ_ij＋ｈ_cＺ_ij⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ_ij⁽²⁾＋..(18)として,

乗法的くりこみを行なったのと等価であることが

わかります。

つまり,左辺の展開のｈ_c^ｎＺ_ij^(ｎ)Ｏ⁰_j(ｎ≧1)の

寄与がBPJZのTaylor演算(－ｔ^γ)に,対応した乗法

くりこみの相殺項として働きます。

ただ,この場合,乗法的くりこみ因子:Ｚ_ijは,単に

定数ではなく,行列(要素)となっていることが,従前の

乗法的くりこみと少し異なります。

BPJZ処方でくりこまれたＯ_i^ren＝[Ｏ_i]_diの場合は,

外線運動量がゼロの点での「(中間的)くりこみ条件」

を満たしています。

例えば,Ｏ＝φ⁴の場合,Ｏ点に入る運動量をｑとして,

Γ_[φ4]4⁽⁴⁾(ｑ＝0,Ｐ＝0)＝4!,Γ_[φ4]4⁽²⁾(ｑ＝0,Ｐ＝0)

＝0.∂_ｐi^μ∂Γ_[φ4]4⁽²⁾(ｑ＝0,Ｐ＝0)＝0.

∂_ｐj^μ∂ｐ_j^νΓ_[φ4]4⁽²⁾(ｑ＝0,Ｐ＝0)＝0

(18)なる条件です。

ただし,Ｐ＝(ｐ₁,ｐ₂,ｐ₃,ｐ₄)です。

もちろん,このタイプ以外のくりこみ条件で

くりこまれた複合演算子{Ｏ^_j^ren}も定義できて

{Ｏj^ren}とは,(18)と同じ下三角行列による有限

くりこみの関係でつながります。

すなわち,Ｏ^_i^ren＝Σ_ｄj≦ｄi ｚ_ijＯ_j^ren.(20)です。

途中ですが,今日はこれで長い記事を終わります、

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)16）

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

§7-5:(質量に依らない対称なくりこみ)

の続きからです。以下,本論です。

※(有効作用のくりこみ)の項です。

前記事の「質量に依らないくりこみ」

により得られる有効作用Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]

を考えます。(※φ_i~はスカラー場:φ_iの

期待値を表わしています。)

今は,φの脚のない真空泡グラフは,考慮

していないので,Γ⁽⁰⁾については,省くと

,Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]

＝Σ_n=2^∞(1/ｎ!)∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ₁.∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ_n

[Γ^(ｎ)_i1i2..in(Ｐ,ｍ²,λ；μ²)(2π)⁴δ(Σ_ｊｐ_j)

×φ_i1~(－ｐ₁)φ_i2~(－ｐ₂)..φ_in~(－ｐ_n)].(18)

と展開され,係数としてのｎ点頂点関数:Γ^(ｎ)

が,Ｐとｍ²の有限な関数として計算されます。

展開:(18)は,φ_i~＝0の対称な真空のまわり

の展開ですから,各頂点関数Γ^(ｎ)は,対称な

真空の上の頂点関数に対応しています。

しかしながら,上記くりこみ操作を各Γ^(ｎ)の

個々の頂点関数のくりこみと,摂動論的に考える

ことなく,むしろ有効作用Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]

という１つの量に対するくりこみと見なすこと

もできます。

この観点を取れば,Γ自体は,Γ⁽⁰⁾＝Ｓがλφ⁴

の項を含むため,4次発散の量ですが,それを次元

1を持つ引数φ_i~(ｐ)で展開すれば,発散が１次

ずつ下がるので,展開で考えるとΓ⁽⁰⁾,Γ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾

までが発散し,これらはそれぞれ,4次,2次,対数

の発散量となりますが,真空泡グラフの寄与Γ⁽⁰⁾

は考慮する必要がないので,無視します。

さらに,Γ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾を引数ｐ²とｍ²で展開し,

その初めの展開でΓ⁽²⁾の定数項:Γ⁽²⁾|_{ｐ2＝ｍ2＝0},

ｐ²の係数:(∂Γ⁽²⁾/∂ｐ²)|_{ｐ2＝0.2ｍ2＝μ2},

(ｍ²－μ²)の係数:(∂Γ⁽²⁾/∂ｍ²)|_{ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}.

Γ(⁴⁾の定数項Γ⁽⁴⁾|_{ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}.(19)の4つの

量だけが発散するので,これらに対して.先の

(2)～(5)のくりこみ条件下で指定される引き算

操作をしたものが,有効作用Γのくりこみ操作

であると,考えることができます。

こうした立場では,有効作用Γを,φ_i~の汎関数,

かつ,ｍ²の関数として丸ごと有限化したのであり.

展開:(18)のように,対称な真空:φ_i~＝0 の上の

ｎ点頂点関数:Γ(^ｎ)のそれぞれを有限にしたもの

ではない,という点が重要です。

つまり,Γを有限にするのに,そのφ_i~による,

φ_i~＝0のまわりのTaylor展開で,初めの発散する

係数を持つ4項だけを(19)の指定により,引き算操作

しただけであり,決して,それ以降の収束する項まで,

φ_i~＝0のまわりのTaylor展開と見る必要はない,

ということです。

このことは,通常のＢＰＨＺくりこみにおいて

発散するFeynman積分の被積分関数に対して,その

外線運動量ｐに関してTaylor展開した初めの数項

を引き算した手続きと丁度,同じで,その場合も.

決して,被積分関数をｐ＝0のまわりに無限次まで

展開したわけではなく,初めの数項を引き算した

残りの積分は,展開などせず,単に有限な関数である

としたのと同様な見方ができます。

それ故,(19)の４項を引き算することで,有効作用

Γは,φ~の有限な汎関数,かつｍ²の有限な関数と

なるわけです。

このような単に見かけの違いに過ぎないような

「有効作用のくりこみ］という立場を強調する

のは。次の理由からです。

実際のところ,対称性が自発的に破れる場合,

特に,質量パラメータｍ²がある負の値(－Ｍ²)を

取る場合に興味があります。

この場合にはφ~_i＝0の対称な真空は不安定で

あり,Feynman伝播関数にタキオン(tachyon)の極

(ｐ²＜0の領域の極)が出てくるので,φ~＝0のまわり

の展開(18)の係数で与えられる真空上のｎ点頂点関数

Γ^(ｎ)は無矛盾(well-defined)な量でなくなります。

(※つまり,この不合理なタキオンの極をどのように

避けるのか?がまだ指定されていません。)

しかし,Γ[φ~,ｍ²,λ；μ²]自体は,ｍ²＜0の

領域でも無矛盾です。

ｍ²＝－Ｍ²＜0の場合には,まず,有効作用Γの

引数:φ_i~(ｘ)を定数φ_i~(※これは運動量表示の

φ_i~(ｐ)では,φ_i~(ｐ)＝∫ｄ⁴ｘexp(iｐｘ)φ_i~(ｘ)

なので,φ_i~の(2π)⁴δ⁴(ｐ)倍に相当)に置いて

得た有効ポテンシャル:Ｖ[φ_i~,－Ｍ²,λ；μ²]

＝Γ[φ_i~(ｘ)＝φ_i~,－Ｍ²,λ：μ²]/∫ｄ⁴ｘ.

(20)の停留条件:∂Ｖ/∂φ_i~＝0を満たす安定な

真空解:Φ_i~＝v_iを求めます。

次に,有効作用Γをφ_i~(ｐ)＝ｖ_i(2π)⁴δ⁴(ｐ)

のまわりで,汎関数Taylor展開を実施すれば.

Γ[φ_i~,－Ｍ²,λ：μ²]

＝Σ_ｎ(1/ｎ!)∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ₁.∫(2π)^-4ｄ⁴ｐ_n

[Γ_v^(ｎ)_i1i2..in(Ｐ,ｍ²,λ；μ²)(2π)⁴δ(Σ_ｊｐ_j)

×φ_i1^(－ｐ₁)φ_i2^(－ｐ₂)..φ_in^(－ｐ_n)].

ただし,φ_i＾(ｐ)＝φ_i~(ｐ)－ｖ_i(2π)⁴δ⁴(ｐ)

(21)と書けます。

このとき,係数Γ_v^(ｎ)が,その安定な真空上の

期待値:ｖ_i＝＜φ_i~(ⅹ)＞上でのｎ点頂点関数

を与えます。この場合，もちろん,φ_i~＝ｖ_iには

タキオンはなくΓ_v^(ｎ)はWell－definedです。

この手続きでは,(20)の有効ポテンシャルＶも

(21)の有効作用Γも同じく,既に有限になっている

量と見ることができて,ｍ²を負の値に取ったから

といって,新たにくりこみをやり直す必要など

ないとわかります。

結局,ｍ²＝－Ｍ²＜0の対称性の自発的破れのある

理論も「対称な理論の相殺項」でもって,くりこむ

ことができるわけです。

何故なら,ここで用いた有効作用に対する引き算

項は(19)に与えた4項で,それらは質量パラメータ

ｍ²がゼロ,または.μ²＞0の対称な理論の相殺項

であったからです(※もう少し正確には対称な理論

のくりこみ因子Ｚと言うべきです。実際の相殺項は

Ｚ_mｍ²φ²のようにｍ²に陽に依存しています。)

※(注16-1):私的解釈では,有効作用Γを複素数ｍ²

の複素関数と見て,ｍ²＝0,ｍ²=μ²の物理的領域から

ｍ²が負の領域まで特異点を避けて解析接続できる

とすれば,実際には発散する関数という解析関数

としては有り得ない量を考察しているという点で,

数学的には問題あり,ですが,これを除けば物理的

には理解できます。(Diracの超関数の例なと同様)

発散する裸の量でなく相殺項を引いて,くりこんだ

Γを質量ｍ2について解析接続するなら数学的にも

問題ないことに後で気づきました。　

(注16-1終わり※),

このような「有効作用のくりこみ」という観点

に立ち,質量に依らないくりこみ処法を用いて,対称性

が破れている理論,を対称な理論の相殺項でくりこむ

方法を「質量に依らない対称なくりこみ」

(Symmetric mass-independent renormalization)

略して,「ＳＭＩくりこみ」と呼びます。

以上のことから前節のゲージ理論のスカラー場の

部分に,このＳＭＩくりこみを適用すれば,対称性が

自発的に破れてHiggs現象が起こっているような

場合でも,くりこみ可能であることが,対称な場合

のくりこみ可能性から従うことが理解されます。

さて,次は,※(ゲージ場の質量項による赤外正則化)

の項です。

ここで,少し話題が変わりますが,質量に依らない

くりこみの１つの応用として,ゲージ場の質量項

(1/2)ｍ²Ａμ²を付加することにより,対称性の自発的

破れのないゲージ理論における赤外発散を正則化する

方法について考察してみます。

赤外発散は,例えばQCD(quantum chrono-dynamics

量子色力学)において,零質量のグルオンというゲージ

粒子のみが回るloop積分:∫(2π)^-4ｄ⁴ｌで,被積分

関数が,運動量ｌに関して4次以下であれば外線運動量

を全てゼロにしたとき,ｌ～0の赤外側で,積分が発散

するという問題のことです。

したがって,これは外線運動量:ｐ＝0のまわりでの

Taylor展開で紫外発散を引くという元々のＢＰＨＺ

くりこみをゲージ理論に適用しようとするときにも,

起こる問題であり,零質量粒子のみから成るloopの

グラフの対数発散項は赤外でも発散し元のＢＰＨＺ

の手続きが使えなくなります。

もちろん,外線運動量ｐをゼロ以外の点におけば

積分は問題ないのですが,ｐはLorentzスカラーでは

ないので,ｐ＝0以外の点を選ぶと,かなり面倒なこと

になります。

そこで,ゲージ場に.仮にゼロでないし質量ｍを与え,

ｐ＝0でも赤外発散が生じないようにするのが,この

赤外正則化の方法です。,

実際に求めたいものは,ｍ＝0の理論ですが,まず,

ゲージ場が一般の質量ｍを持つ場合に枠を広げた後

に「質量に依らないくりこみ法」を適用してｍ²が

あるくりこみ点:μ²(＞0)の(ｐ＝0でも赤外発散の

ない)ところでの相殺項によって任意のｍを持つ理論

を全て有限にするわけです。

ゲージ理論のＢＲＳ不変なLagrangianにゲージ場

の質量項:(1/2)ｍ²Ａ_μ²を付け加えても(他の次元2

のスカラー場の質量項が少し変化を受ける点以外

には)そのまま,くりこみ可能であることは以前の

命題１とSymmanzikの定理から,ほぼ明らかです。

しかし,今の場合,線形でもなくＢＲＳ対称性を

破る項を付加する点や,対数発散の相殺項は全て

ＢＲＳ不変でないｍ²＝μ²の理論のものを用いる

点から,若干,不安をおぼえるかもしれないので,

念のため,以前のＷＴ恒等式を用いた議論を質量項:

ｍ²Ａ^ａ_μ²/2がある場合に拡張して,これらのこと

を,以下で直接証明することにします。

まず,ゲージ場の質量項:ｍ²Ａ^ａ_μ²/2がある場合の

ＷＴ恒等式を導きます。

前節で与えたＢＲＳ不変な作用積分Ｓに.この質量項

と,ＢＲＳ変換の外場項を加えた作用積分をＩとします。

すなわち,Ｉ＝Ｓ＋∫ｄ⁴ｘ{ｍ²Ａ_μ²/2＋Ｍδ_Ｂ(Ａ^ａ_μ²/2)}

(22)です。

(※Ｓ＝∫ｄ⁴ｘ{Ｌ(Φ_I)＋Ｋ_I(δ_ＢΦ_I})

＋Ｋ_ｃ(δ_Ｂｃ)}です。)

ここで,δ_Ｂ(Ａ^ａ_μ²/2)＝Ａ^ａ_μ(Ｄ^μｃ^ａ)

＝Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ(23)です。

また,外場:Ｍは次元が1,ＦＰゴースト数が

Ｎ_ＦＰ＝－1の量です。

系の作用積分Ｉに対応する有効作用Γに

対するＷＴ恒等式は,前の§5-6と同様にして,

(δΓ/δΦ_I)(δΓ/δＫ_I)

＋(δΓ/δｃ^ａ)(δΓ/δＫ_ｃ^ａ)

＋i(δΓ/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝ｍ²(δΓ/δＭ).(24)

となります。

※(注16-2):上記(24)を第5章のＢＲＳ対称性

を持つ系のＷＴ恒等式の基本に戻って証明します。

[証明]:作用積分を,引数を陽に書いてＩ[Φ,Ｋ,Ｍ]

とすれば,連結Green関数の生成汎関数:

Ｗ(Ｊ,Ｋ,Ｍ)＝Ｉ(Φ,Ｋ,Ｍ)＋Ｊ・Φは.

exp{iＷ(Ｊ,Ｋ,Ｍ)}

＝∫ＤΦ[expi{Ｉ(Φ,Ｋ,Ｍ)＋Ｊ・Φ},

なる等式を満たします。ただし,J・Φ

＝∫ｄ⁴ｘ{Ｊ_IΦ_I＋Ｊ~_ｃｃ＋Ｊ_ｃｃ~＋Ｊ_ＢＢ})

です。

この式で,汎関数積分(配位空間経路積分)

の内部にＢＲＳ変換を行なえば,ＢＲＳ不変で

ないのはＩの中の(ｍ²Ａ^ａ_μ²/2)項とＪ・Φのみ

であり,一方,真空はＢＲＳ不変:Ｑ_Ｂ|0＞＝0

なので,左辺＝exp(iＷ)＝exp{i(Ｉ＋Ｊ・Φ)}

のＢＲＳ変換

＝＜0|[iＱ_Ｂ,Ｔexpi(Ｉ＋Ｊ・Φ)}|0＞＝0

という恒等式が成立します。

そこで∫ＤΦ [ｍ²{(δ_Ｂ(Ａ^ａ_μ²/2)＋Ｊ_I(δ_ＢΦ_I)

－Ｊ ~ ｃ_~^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)－iＪ_ｃ^aＢ^ａ}exp(iＷ(Ｊ,Ｋ,Ｍ)]

＝0, つまり,[ｍ²(δ/δＭ)＋Ｊ_I(δ/δＫ_I)

－Ｊ~_ｃ~^ａ(δ/δＫ_c^ａ)－iＪ_ｃ^ａ(δ/δＪ_Ｂ^ａ)]

×Ｗ(Ｊ,Ｋ.Ｍ)＝0　なる恒等式を得ます。

そこで,Legendre変換:Γ[Φ,Ｋ,Ｍ]

＝Ｗ[Ｊ,Ｋ,Ｍ]－Ｊ・φによって,有効作用:Γ

を定義すれば,－(－)^|I|Ｊ_I＝(δΓ/δΦ_I),であり

,ＷのＫ,Ｍによる左微分は,Γのそれに等しいので.

左微分:(δ/δＫ_I)Ｗ＝(δ/δＫ_I)Γ,および,

(δ/δＭ)Ｗ＝(δ/δ)Γを,それぞれ,単に

δΓ/δＫ_I,および,δΓ/δＭと書けば,

ＷＴ恒等式として,

ｍ²(δΓ/δＭ)－((δΓ/δΦ_I))(δΓ/δＫ_I)

－(δΓ/δｃ^ａ)(δΓ/δＫ_c^ａ)

－i(δΓ/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝0(24)が得られます。

[証明終わり]　(注16-2終わり※)

他のＮＬ場,反ゴースト場の運動方程式

から従う§7－4で論じた後２つのＷＴ恒等式:

δΓ/δＢ^ａ＝ｆ^ａ_IΦ_I＋ｗ^ａ＋αＢ^ａ.および,

ｆ^ａ_I(δΓ/δＫ_I)＋i(δΓ/δｃ~^ａ)＝0は,

ゲージ場の質量項の付加で変更を受けません。

そこで,以前の§7-4でやったように作用Ｉ

と有効作用ΓからＢ^ａ依存部分を除いた,Ｉ~,

Γ~を定義し,また,外場Ｋ_Iの代わりに,変数

Ｋ~_Ｉ＝Ｋ_I＋iｃ~^ａｆ^ａ_Iを用いれば,ｃ~^ａへの

依存性も消えます。

こうすれば,後の２つのＷＴ恒等式は不要

となり,残るＷＴ恒等式:(24)は＊演算を用いて

Γ~*Γ~＝ｍ²(δΓ~/δＭ).(25)と,書き直す

ことができます。

この恒等式(24),方程式(25)は,実は元々,

Φ_I0,Ｋ~_I0,Ｍ₀等の裸の量を引数とする,裸の

有効作用Γ~₀に対して成立している裸の式

ですが,これをくりこんでも同じ形になる

ように§7-4の(15):Ａ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,

φ_0i＝Ｚ_i^1/2(φ_i,＋ｖ_i)＝Ｚ_i^1/2φ~_i,

(ｃ₀^ａ,ｃ₀~^ａ)＝Ｚ~₃^1/2(ｃ^ａ,ｃ~^ａ),(18):

Ｋ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^-1/2Ｋ^ａ_μ,および,

Ｋ_0i＝(Ｚ~₃^1/2Ｚ₃^1/2/Ｚ_i^1/2)Ｋ_i,

さらに,(19):Ｋ_0ｃ^ａ＝Ｚ₃^1/2Ｋ_ｃ^ａ,

そして,(20):ｇ₀＝Ｚ_iＺ₃^-3/2ｇ.を

考慮します。

そして,ゲージ場Ａ^ａ_μの2乗質量ｍ₀²と

外場:Ｍ₀についても,ｍ₀²＝Ｚ^Ａ_ｍｍ²,

Ｍ₀＝Ｚ^Ａ_ｍＺ₃^1/2Ｚ~₃^1/2Ｍ.(26)として,

くりこみを行ないます。

すると,(24)は元々,Γ~₀を含め全ての量

に添字0を付けた裸の量で成立する恒等式

ですが,これが,くりこんだ量:Γ~と,Φ_I,Ｋ~_I,

ｃ^ａ,Ｋ_ｃ^ａ.ｍ²,Ｍで書かれた恒等式となり,

共通因数の(Ｚ₃^1/2Ｚ~₃^1/2)をはずすと,裸の式と

同じ形になります。

ゲージ場の2乗質量ｍ²に関しては,

「質量に依らないくりこみ」をしていますが,

(26)のｍ₀²＝Ｚ^Ａ_ｍｍ²で,ゲージ場の裸の質量

はｍ²に比例する部分しかない,と暗に述べて

います。これはゲージ対称性(ＢＲＳ対称性)に

より,ｍ²＝0なら,裸の2乗質量は,(ｍ₀²－δｍ₀²)

ではなくて,ｍ₀²であり,これもゼロであることが

保証されているからです。

前と同様,数学的帰納法により,ｈ_c^ｎのオーダー

まで有限にくりこめた,と仮定すると,ｈ_c^(ｎ＋1)の

オーダーで現われる発散Γ_div^(ｎ＋1)は,ＷＴ恒等式

(24)を書き直した(25)Γ~*Γ~＝ｍ²(δΓ~/δＭ)

より,Γ~⁽⁰⁾＝Ｉ~であり,

Ｉ~*Γd_iv^(ｎ＋1)＝ｍ²(δΓ_div^(ｎ＋1)/δＭ)なる

方程式を満たすことが従います。

それ故,今度の場合は前のＳ~＊Ｘ＝0と

違って,Ｉ~＊Ｘ＝ｍ2(δＸ/δＭ.(27)という

くりこみ方程式の解:Ｘの一般形を求めればよい,

ということになります。

まず,Ｘは次元が4以下であるとして,次元2

を担うｍ²の高々１次関数として,Ｘ＝Ｘ₀＋ｍ²Ｘ₁

(28)(Ｘ₀,Ｘ₁はｍ²に独立な量)と書いてよい

ことになります。

(※次元4のｍ⁴の項は場によらないので,今の

真空泡グラフを考えない場合,落とします。)

また,作用積分:Ｉ~でも,ｍ²部分を分離して

Ｉ~＝Ｉ~₀＋ｍ²Ｉ~₁.(29)とします。

このとき,I~₀＝Ｓ~＋∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)},

Ｉ₁＝∫ｄ⁴ｘ(ｍ2Ａ^ａ_μ²/2)＋ＭＡａμ　(30)です。

すると,(27)のI~＊Ｘ＝ｍ²(δＸ/δＭ)は,

(I~₀＋ｍ²Ｉ~₁)＊(Ｘ₀＋ｍ²Ｘ₁)＝ｍ²(∂Ｘ₀/δＭ)

＋ｍ⁴(δＸ_1/δＭ)となり,これはｍ²の多項式と

して恒等式なので,両辺の同じｍ²べきの係数

を等置して,方程式:I~₀＊Ｘ₀＝0.(31),

Ｉ~₁＊Ｘ₀－(δＸ₀/δＭ)＝－Ｉ~₀＊Ｘ₁.(32)

Ｉ~₁＊Ｘ₁－(δＸ₁/δＭ)＝0.(33)を得ます。

これを,(33),(32),(31)の順に解きます

そこで,まず,Ｉ~₁－(δＸ₁/δＭ)＝0ですが,

Ｘ＝Ｘ₀＋ｍ²Ｘ₁より,Ｘ₁は次元2以下の量です。

これが,大局的ゲージ不変性とＦＰゴースト数

Ｎ_ＦＰ＝0を満たす,という要求を考慮すると,

その一般形は次式で与えられることが

わかります。

すなわち,Ｘ₁＝∫ｄ⁴ｘ{ａＡ^a_μ²/2＋ｂ|φ_i|²}

(34)(ａ,ｂは定数)です。

ゲージ群がＵ(1),またはＵ(1)因子群を含む

場合は,Ｍｃ^ａの項も要求を満たすように見えます

が,ｃ^ａ(―ｘ)→ ―ｃ(ｘ),Ｍ(―ｘ)→ Ｍ(ｘ)

なので.ＣＰＴ不変性からこの項は(34)から排除

されます。とにかく,ｃの奇数次の項などは存在

し得ません。

一方,Ｉ~₁＝∫ｄ⁴ｘ{Ａ^ａ_μ²/2}(30)なる陽な

表式と.§7-4の演算＊の定義から,任意のＸに

対して.Ｉ~₁＊Ｘ＝Ａ^ａ_μ(δＸ/δＫ~^ａ_μ).(35)

です。そこで,(34)のＸ₁は,任意のａ,ｂについて,

Ｉ₁＊Ｘ₁－(δＸ₁/δＭ)＝0.(33)の方程式を満たす

ことがわかります。

(※何故なら,δＸ₁/δＫ~^ａ_μ＝0,かつ,δＸ₁/δＭ＝0

であるからです。)

この(33)の解である(34)のＸ₁を,(32)の方程式

Ｉ~₁＊Ｘ₀－(δＸ₀/δＭ)＝－Ｉ~₀＊Ｘ₁の右辺に

代入すると.{Ａ^ａ_μ(δ/δＫ~^ａ_μ)－(δ/δＭ)}Ｘ₀

＝－ａＡ_ａ^μ(∂_μｃ^ａ).(36)　を得ます。

(※何故なら.Ｉ~⁰＊Ｘ₁においては,φ_iに関わる

項:(δＩ~₀/δＫ_i)(δＸ₁/δφ_ｉ)

と(δＩ~₀/δＫ_i^＋)(δＸ₁/δφ_ｉ^＋)が,相殺して

消えて,Ａ^ａ_μに関する項だけが寄与するからです。)

ここで.Ｘ₀＝ａＭＡ_ａμ∂(∂^μｃ^ａ)が(36)の特解

になるのは,明らかです。

斉次(同次)方程式:{Ａ^ａ_μ(δ/δＫ~^ａ_μ)

－(δ/δＭ)}Ｘ₀＝0の一般解を求めるため,

Ｋ^^ａ_μ­＝Ｋ~^ａ_μ＋ＭＡ^ａ_μ.(37)と置けば,

δＸ₀/δＫ~^a_μ＝δＸ₀/δＫ^^ａ_μ,および,

δＸ₀/δＭ＝Ａ^ａ_μ(δＸ₀/δＫ^^ａ_μ)

(※Ｘ₀はＫ^_ａμを通してのみＭに依存)

となります。

故に,同次方程式は左辺＝δＸ₀/δＫ^^ａ_μ

＝0,つまり,これの一般解はＫ^^ａ_μに独立な

任意の汎関数です。

よって,このＸ₀の同次解をＸ~₀と書けば,

(36)の一般解は,Ｘ₀＝Ｘ~₀

＋∫ｄ⁴ｘ{ａＭＡ_ａμ(∂^μｃ^ａ)}(38)と書けます。

以後,変数として,Φ_Ｉ,ｃ^ａ,Ｋ~_i,Ｋ_ｃ^ａの他に

(37)のＫ^^ａ_μを採ることにすれば,Ｘ~₀はＫ^^ａ_μに

独立なので,Ｍに依存しない汎関数です。

最後に,方程式:(31)Ｉ~₀＊Ｘ₀＝0に.

上の(38)のＸ₀を代入します。

すると,I~₀＝Ｓ~＋∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}

ですから,Ｓ~＊Ｘ~₀

＋Ｍ∫ｄ⁴ｘ[∂^μｃ^ａ(δ/δＫ^^ａ_μ)

－Ａ^ａ_μ∂^μ(δ/δＫ_ｃ^ａ)]Ｘ~⁰＝0.(39)

が得られます。

※(注16-3):何故なら,まず,Ｓ~＊{ＭＡ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ)}

＝(δＳ~/δＫ^^ａ_μ)(δ/δＡ^ａ_μ){ＭＡ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ)}

＝(δ_ＢＡ^ａ_μ)(δ/δＡ^ａ_μ){(δ_Ｂ(－ＭＡ^ａ_μ²/2)}

＝δ_Ｂ[δ_Ｂ(－ＭＡ^ａ_μ²/2)]＝0を用いると,

Ｓ~*Ｘ₀＝Ｓ~*Ｘ~₀が導かれます。

Ｍの項は,[∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}＊Ｘ~₀

＝Ｍ∫ｄ⁴ｘ(∂^μｃ^ａ)(δＸ~₀/δＫ^^ａ_μ),

－ＭＡ^ａ_μ∂^μ(δＸ~₀/δＫ_ｃ^ａ)です。

そして,Ｍ²の項は同じものの＊積なのでゼロ

です。つまり,[∫ｄ⁴ｘ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}＊

[∫ｄ⁴ｙ{Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}]＝0　です。　

(注16-3終わり※)

そして,(39)の第1項はＭに依存しないので,

第1項と第2項は,それぞれ独立にゼロです。

すなわち,Ｓ~*Ｘ~₀＝0,かつ,

Ｍ∫ｄ⁴ｘ[∂^μｃ^ａ(δ/δＫ^^ａ_μ)

－Ａ^ａ_μ∂^μ(δ/δＫ_ｃ^ａ)]Ｘ~₀＝0.　です。

ところが,Ｓ~＊Ｘ~₀＝0の解は,前節で,

方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0を解いた一般解Ｘと

同じ形で与えられます。

つまり,Ｓ~＊Ｘ＝0の一般解:Ｘは,

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j

{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].(63)

でしたが,この右辺の表式で,Ｋ~^ａ_μを,

Ｋ^^ａ_μ＝Ｋ~^ａ_μ＋ＭＡ^ａ_μに,置き換えたもの

が.今のＳ~＊Ｘ~₀＝0の一般解:Ｘ~₀を

与えます。

特に,Ｘ~₀の,Ｋ＾^ａ_μ,Ｋ_ｃ^ａ依存部分を

Ｘ~₀^Ｋと書ヶば,Ｘ~₀^K＝Ｋ^^ａ_μ{γ_Ａ(∂^μｃ^ａ)

－β_Ａｇ(Ａ^μ×ｃ)^ａ}

＋Ｋ_ｃ^ａ{β_Ａ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ}(40)である

ことがわかります。

ところが,このＸ~₀^Kは,(39)の第2項の

Ｍ∫ｄ⁴ｘ[(∂^μｃ^ａ)(δ/δＫ^^ａ_μ)

－Ａ^ａ_μ∂^μ(δ/δＫ_ｃ^ａ)]Ｘ~₀^Ｋ＝0を自動的

に満たします。(※証明は省略)

それ故,これ以外のＫ^^ａ_μもＫ_ｃ^ａも含まない

部分を加えた全体のＸ~₀をＸ₀^Ｋに置換しても,

これが満足され,結局,このＸ~₀が(31):I~₀＊Ｘ~₀＝0

の一般解を与えることがわかります。

　以上から,解:Ｘ＝Ｘ⁰＋ｍ²Ｘ₁は(34),(38)により,

Ｘ＝{Ｘ~₀－γ_ＡＭＡ^a_μ(∂^μｃ^ａ)}

＋∫ｄ⁴ｘ[(ａ₀＋γ_Ａ)ＭＡ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ)

＋ａｍ²Ａ^ａ_μ²/2＋ｂｍ²|φi|²](41)

で与えられることになります。

このうち,|Ｘ~₀－γ_ＡＭＡ^a_μ(∂^μｃ^ａ)}は,

前節の(63)の一般式に一致し.既にＢＲＳ不変な

作用Ｓ~のＺ因子やｖ_iをずらして得られる相殺項

で相殺できる,ことを示しました。

今度の作用積分Ｉで新たに加えられた部分:

(Ｉ~－Ｓ~)＝∫ｄ⁴ｘ{ｍ²Ａ^ａ_μ²/2＋Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}

において,くりこみ操作を実施すれば,

裸の,(Ｉ~－Ｓ~)₀

＝∫ｄ⁴ｘ{Ｚ^Ａ_ｍＺ₃ｍ²Ａ^ａ_μ²/2

＋Ｚ^Ａ_ｍＺ₃ｍＺ~₃Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}(42)

となるため,Ｚ因子をずらすと,Δ(Ｉ－Ｓ)

＝∫ｄ⁴ｘ{(δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃)ｍ²Ａ^ａ_μ²/2

＋(δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃ｍ＋δＺ~₃)Ｍ(Ａ^ａ_μ∂^μｃ^ａ)}

(43)を得ます。

それ故,前節のδＺ₃＝－(α_Ａ＋2β_Ａ－2γ_Ａ),

δＺ~₃＝－γ_Ａに加えて,ａ＋δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃＝0,

(ａ₀＋γ_Ａ)＋δＺ^Ａ_ｍ＋δＺ₃＋δＺ~₃＝0δを

要請して.δＺ^Ａ_ｍ＝－ａ＋(α_Ａ＋2β_Ａ－2γ_Ａ)(44)

とすると,(43)の2つの項が,丁度,(41)の第1項

と第2項を相殺します。

残る(41)の最後の項:(－ｂｍ²|φ_i|²)については,

(63)のμ²に比例する発散項(－α_ｍμ²|φ_i|²)と一緒

にして,スカラー場の裸の質量項を,

－(Ｚ_ｍ1μ²＋Ｚ_ｍ2ｂｍ²)Ｚ_i|φ_i|^2.(45)と分離して

おけば,2つの相殺項を用意することができます。

以上で,ゲージ場の質量項を加えても,スカラー場

の質量項が少しの変更を受けるだけで,ゲージ理論は,

くりこみ可能に留まるという予想を証明すること

ができました。

しかし,これは,あくまで,赤外正則化の暫定的

方法であることに注意すべきです。

何故なら,そもそもゲージ場の質量がゼロでない

理論は,有限にはできても,ＢＲＳ不変性を持たず,

故にＢＲＳ電荷:Ｑ_Ｂは保存されないし，ベキ零性

δ_Ｂ²＝0も成立しないから,物理的解釈のできる

理論とはならないからです。

例えば,Paulli-Villers正則化では,ゲージ粒子

の作るloop積分の対数発散部分はln(Λ²/ｍ²)の

形となり,Λ²→∞で紫外発散,ｍ²→0で赤外発散

しますが,とりあえず両者とも相殺項で有限に

できることは示しました。

そこで赤外発散については正則化の後にｍ²→0

の極限を取ったとき,無矛盾に留まればいいです。

(※QEDでは、エネルギーがゼロの無数の実光子の

寄与が,無数の仮想光子の寄与で相殺される,という

方法で赤外破局(Infrared catastrophe)は解決され

ました。)

 これで,第7章が終わったので,ここで,この記事

シリーズを一旦,終わります。

(「くりこみ理論(第２部)」につづく)

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(15)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

「くりこみ理論(次元正則化)(10)」の最後の方

から始まった,「ゲージ理論のくりこみ可能性」

を証明するという課題は,記事(11),(12),(13)を

経て前回の記事(14)でやっと完了しました。

６月に入りました。

今回は第7章の新しい節である:

§7-5:(質量に依らない対称なくりこみ)からです。

以下,本論です。

前節のゲージ理論のくりこみ可能性の議論

では,「対称性の自発的破れ」がないと仮定し,

大局的ゲージ不変性の要請を,多くのところで

用いました。しかしながら,対称性が自発的に

破れて,Higgs現象が起きているような場合でも

ゲージ理論は依然として,くりこみ可能である

ことを示すことができます。

実際,前節では,既に対称性が自発的に破れて

いる場合も含めて考えていました。

つまり,対称性を陽に破るパラメータ:ｆ^ａ_iを

含む一般線形ゲージの場合を論じたのでスカラー

場:φ_iは真空期待値:ｖ_iを持ち,自発的破れのある

場合と本質的に同値な状況を既に考えたことになる,

わけです。

すなわち,対称性の自発的破れがある場合には,

スカラー場:φ_iはtreeレベルでゼロでない真空

期待値:ｖ_i⁽⁰⁾を持つのですが,そのパラメータｖ_i(⁰⁾

(≠0)をゲージ固定項のパラメータ:ｆ^ａ_iと同様,

大局的ゲージ変換の下で,その添字に応じて変換

する共変量と見なすことにすれば,依然として

大局的ゲージ不変性の要求を満たす理論に対する

場合と同じ議論が可能となります。

そうすれば,前節の議論で大局的ゲージ不変性を

用いたところで,新たにｖ_i⁽⁰⁾がφ_iと同じ変換をする

次元1の量として加わるという点のみを考え直せば

結局,前と同じく,くりこみ因子Ｚや真空期待値ｖ_i

をシフトすることによって発散を全てくりこむこと

ができます。

本節では,これを陽に行なうことはせず,むしろ

対称性が自発的に破れた理論のくりこみを,自発的

破れを起こしていない対称な理論のくりこみに帰着

させる,という方法について述べます。

この方法の基本的考え方は次の通りです。

摂動論の範囲内では,対称性の自発的破れを

起こしている場合と破れを起こしていない場合

の違いは,単にスカラー場:φの質量項:－μ²|φ|²

のμ²の符号の違いだけです。

※(注15-1):質量項を－μ²|φ|²とすると,

有効ポテンシャルＶは,

Ｖ[φ~]－(λ/2)|φ~|⁴－μ²|φ~|²

＝－(λ/2)(|φ~|²＋μ²/λ)²－μ⁴/(2λ)

であり,{φ~{²≧0なので,普通にμ²＞0なら

Ｖの最小値を与えるφの期待値φ~は確かに

φ~＝0であり,そのときＶ_min＝0ですから,

この場合は対称性は破れていません。

しかし,もしも質量が,異常なμ²＜0の

パラメータなら,Ｖ[φ~]＝－(λ/2)|φ~|⁴

－|μ²||φ~|²＝－(λ/2)(|φ~|²－|μ|²/λ)²

＋μ⁴/(2λ)なので,Ｖが最小になるのは|φ~|²

＝|μ|²/λ＝－μ²/λ＞0のときであり,この

とき,Ｖ_min＝μ⁴/(2λ)＞0ですから,対称性が

破れています。

これは,第６章「対称性の自発的破れ」で紹介

した単純なGoldstone模型です。

(注15-1終わり※)

ところが,くりこみの一般論の第７章の命題

からもわかるように,このような次元2の質量項

の違いはゲージ理論のくりこみの本質的な部分

である次元が4,または3の演算子(発散部分)の

くりこみには影響しません。

このことを反映して,実際,任意の理論において

そこに現われる場の質量パラメータに依存しない

形で,くりこみができること,それ故,質量

パラメータを変数とする(連続無限個の)理論の組

が一度に有限となることを示すことができます。

このくりこみの方法を「質量に依らないくりこみ

(mass-independent renormalization)」と呼びます。

これを利用して,対称な理論で一たび,くりこみが

できる,ことがわかれば,(ゲージ理論であれ何であれ)

理論は質量パラメータμ²の値の如何に依らず一挙に

有限にできることになるので,このLagrangianでμ²＜0

の対称性の自発的に破れた理論も有限であるといえます。

さて,※(質量に依らないくりこみ)の項の本論です。

このくりこみ法は,元々はt’HooftとWeinberg

によって提唱されたのですが,ここではCallanに従って

最も簡単なスカラー理論の場合で説明します。

例として,Ｏ(Ｎ)対称性を持つλφ⁴理論を採用すれば

その摂動の第0次のLagrangian密度は,スカラー場を

φ＝φ₁,φ₂,..φ_Ｎ)として,Ｌ＝(∂_μφ)²

－(ｍ²/2)φ²－(λ/8)(φ²)².(1)で与えられます。

ここで,φ²＝Σ_j=1^Nφ_j²であり,ｍ²は質量の２乗

パラメータですが,これは非負とは限らないとします。

(※通常のスカラー粒子の2乗質量に用いるμ²は後

でくりこみ点に用いる予定なので,ここでは使わずに,

残しておきます。)

この(1)のＬに対する有効作用:Γを有限にする

ためには,２次発散する2点頂点関数Γ⁽²⁾と対数

発散する4点頂点関数Γ⁽⁴⁾を考えれば十分です。

これらに対して,適切なくりこみ条件の本質的な

点は,ｎ点頂点関数Γ^(ｎ)を質量をパラメータｍ²の

関数と見て有限化することです。

それ故,ｍ²をΓ^(ｎ)の運動量変数:ｐの2乗:ｐ²など

と同等に扱います。

例えば,次のようなくりこみ条件を設定します。

すなわち,Γ⁽²⁾_ij(Ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝=0＝0.(2),

(∂/∂ｍ²)Γ⁽²⁾_ij(Ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2＝－δ_ij(3),

(∂/∂ｐ²)Γ⁽²⁾_ij(Ｐ²,ｍ²,λ;μ²)|_{Ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}＝＋δ_ij.

(4)です。

そして,Γ⁽⁴⁾_ijkl(Ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2

＝－λδ_ij._kl(5)です。

ただし,Ｐは,一般のｎ点関数のとき,

Ｐ＝(ｐ₁,ｐ₂。..ｐ_ｎ-1)｜_{ｐn＝－(ｐ1＋ｐ2＋..ｐn-1)}を

表わし,また,δi_j,,kl＝δ_ijδ_kl＋δ_ikδ_jl＋δ_ilδ_jk

(6)です

2点関数ではΓ⁽²⁾は２次発散なので(次元2の)引数:

ｍ²,および,Ｐ²でTaylot展開すれば発散次元は２

ずつ下がり,初項が2次発散し.次の１階微分の2項

(∂Γ⁽²⁾/∂ｍ²)と(∂Γ⁽²⁾/∂ｐ²)が対数発散します。

そして,それ以降は収束ということになります。

上記の(2),(3),(4)のくりこみ条件は,この発散

する初めの3項に対する条件で,(2)は質量

パラメータｍ²がゼロのときは,粒子が本当に零質量

なるべし.(3).(4)は,ｍ²があるべき項μ²(＞0)のとき

ｐ²がゼロでのΓ⁽²)の(ｐ²－ｍ²)に関する数係数が,

treeレベルのΓ⁽²⁾＝δ_ij(ｐ²－ｍ²)の満たす値から

ずれてはならない。という要請です。

これに対して,４点関数:Γ⁽⁴⁾は対数発散なので.

(ｍ²,ｐ²)平面のどこか１点の値を指定すればいい

です。(5)の条件は,ｍ²=μ²のとき,ｐ＝0のΓ⁽⁴⁾

がtreeレベルの－λδ_ij.klから,ずれないという

条件です。

(2)の条件がｍ²＝0で与えられているのに対し

(3)～,(5)の条件がｍ²＝μ²＞0で与えられている

のは,(3)～(5)の量は対数発散なので,ｍもｐも皆,

ゼロにすると赤外発散の困難に遭うからです。

(※理解しやすいように,Paulli－Villersの正則化

で見ると,対数発散量は切断パラメータをΛ²として

lnΛ²に比例して発散することを意味しますが,Λ²は

次元を持っており,これの対数関数というのは物理的

には有り得ず,必ず,無次元量として,ln{Λ²/(ａｐ²＋ｂｍ²)}

の形で現われるため,ｐ²＝0としたとき,ｍ²＝0とすると

赤外発散を生じるからです。)

くりこみ条件を与えたｍ²の値:μ²を

「くりこみ点(renormalization point)」と呼びます。

このことから,くりこまれたΓ^(ｎ)は

くりこみ点:μ²にも依存するようになるので,

(2)～(5)でΓ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾の引数としてμ²を陽に書いた

のでした。

こうした,くりこみ条件を実現するためには

次の相殺項が必要となります。

すなわち,Ｌ_count＝(Ａ/2)(∂_μφ)²－(Ｂ/2)ｍ²φ²

＋(1/2)δｍ²φ²－(Ｃλ/8)(φ²)².(7)です。

つまり,摂動論(例えばｈ_c展開)の各オーダーごとに

相殺項の係数:Ａ,Ｂ,δｍ²,Ｃを決めてゆきます。

くりこみ条件の(2)はδｍ²の,(3)はＢの,(4)はＡの,

(5)はＣの,自由度を用いて,それぞれが満たされるように

できます。この相殺項を加えるということは,系の裸の

Lagrangian:Ｌ₀がＬ₀＝(1/2)(∂_μφ₀)²

－(1/2)(ｍ₀²－δｍ₀²)φ₀²－(λ₀/8)(φ₀²)²＝Ｌ＋Ｌ_count(8)

と書けることを意味し,φ₀＝Ｚ_φ^1/2φ,より,1＋Ａ＝Ｚ_φ.(9),

ｍ₀²＝Ｚ_ｍｍ²,δｍ₀²＝Ｚ_φ^-1δｍ²より,1＋Ｂ＝Ｚ_ｍＺ_φ.(10),

λ₀＝Ｚ_λλより,1＋Ｃ＝Ｚ_λＺ_φ².(11)を満たす係数Ａ,Ｂ,

δｍ²,Ｃを持つ相殺項:Ｌ_countを採ればいいことを意味します。

与えられた1つの質量の理論をくりこむ通常の場合と少し

異なっているのは,裸の質量が,(ｍ₀²－δｍ₀²)のように２つ

に分離しているところです。

今の場合,ｍ²はｐ²と同様な変数であり,(10)を導いた式:

{(1＋Ｂ)ｍ²－δｍ²}φ²/2＝(ｍ₀²－δｍ₀²)φ₀²/2

＝(Ｚ_ｍＺ_φｍ²－δｍ²)φ²/2から,わかるようにｍ₀²はｍ²に

比例する線形項ですが,δｍ₀²はｍ²に依らない定数項に対応

しています。

(※なお,Dirac Fermionの場合は,同様にｍに

比例する部分:ｍ₀＝Ｚ_ｍｍと,定数部分δｍ₀に

分けると.実は,δｍ₀は自動的にゼロになります。

これは,カイラル対称性のせいで,くりこまれた質量

(treeレベルの質量)がゼロであると裸の質量も

ゼロになるからです。(※※つまりカイラル対称性

を持つは質量項のないDirac粒子の場合です。

そこで,くりこんだ結果:δｍψ~ψ＝0なら

裸の質量:ｍ₀－δｍ₀におけるδｍに関わる

部分のδｍ₀＝0なのです。)

スカラー理論でも,次元正則化を用いるなら定数部分

δｍ₀²は自動的にゼロとなります。)

いずれにしろ,以上のくりこみ手続きでΓ⁽²⁾,Γ⁽⁴⁾,それ故

Γ^(ｎ)が,摂動の各次数ごとに運動量ｐと質量パラメータｍ²

の関数として有限にできるということがわかりました。

このとき,対数発散項の相殺にあずかる因子:

Ｚφ,Ｚ_ｍ,Ｚ_λは,くりこみ条件(3)～(5)がｍ²＝μ²の

ところで与えられているので,切断パラメータをΛ

として,Ｚ_i＝Ｚ_i(λ₀,Λ/μ)　(i＝φ,ｍ,λ).(12)

の形で決まります。

こうしてＺiは,変数としての質量パラメータｍ²

には依存していないということが重要な点で,

「質量に依らないくりこみ」という名称は,これ

に由来しています。

もう１つの重要な注目点は,裸のLagrangian

(故に裸の有効作用)に現われるδｍ₀²が,ｍ²にも

δｍ²にも依存しないという事実です。

すなわち,δｍ₀²＝Λ²ｆ₀(λ₀)(13)と書けます。

このことは,過去記事；「くりこみ理論(6)」で

与えた関係式を,μ²をｍ²に置き換え,くりこみ

点を表示して書き直した,

Γ^(ｎ)(ｐ,ｍ²,λ;μ²)

＝Ｚ_φ^ｎ/2Γ₀^(ｎ)(ｏ,ｍ₀²,λ₀;Λ²),(14)

を思い出せば,裸の,Γ₀^(ｎ)は,くりこまれた

それ:Γ^(ｎ)と比例関係にあることから,

Γ⁽²⁾に対するくりこみ条件(2)を裸の

Γ₀⁽²⁾に対するように書き換えると,

Γ₀⁽²⁾_ij(ｐ²＝0,ｍ₀²＝0,δｍ₀²,λ₀；Λ²)＝0.

(15)となることがわかります。

これはδｍ₀²を決める関係式になっており,

ゼロでなくて次元を持つ量は,δｍ₀²の他には

Λ²のみを含んでいます。

そこで,次元解析を利用して(14)の解:δｍ₀²

が,δｍ₀²＝Λ²ｆ₀(λ₀)(13)の形に書けることが

わかります。この形式は,後に斉次くりこみ群

方程式を導くときに重要になります。

これを得るためには質量に依らないくりこみ

では,くりこみ条件(2)は必要不可欠です。

しかし,他の条件(3)～(5)は,いろいろとある

中の１つの選択肢で,他の条件も有り得ます。

例えば,(3),(5)を,それぞれ,

Γ⁽²⁾_ij(ｐ²＝μ²,ｍ²＝μ²,λ：μ²)＝0.(16-1),

Γ⁽⁴⁾_ijkl(ｐ,ｍ²＝μ²,λ：μ²)|_{ｐiｐj＝(１－δij)/2}

＝－λδ_ij,kl.(16-2)に置き換えてもいいです。

ここで,t’Hooftにより始められた,次元正則化

に基づく,質量に依らないくりこみ法について少し

コメントします。

この方法も本質的には上記のPaulli-Villers

正則化のそれと同じですが,ゲージ不変性を尊重

するという点で便利です。

まず,時空ｄ次元では,dimφ＝(ｄ－2)/2,

dim(Ｌ)＝ｄですから,裸の結合定数λ₀が(4－ｄ)

の次元を持ちます。しかし,くりこまれた結合定数

λ,および,くりこみ定数:Ｚ_λが常に無次元になる

ように.(11)のλ₀＝Ｚ_λλ,の代わりに,

λ₀＝Ｚ_λ(λμ^(4-－ｄ))

＝(1＋ｈ_cＺ_λ(¹⁾＋ｈ_c²Ｚ_λ⁽²⁾＋..)(λμ^(4－ｄ))(17)

の形でくりこみを行ないます。

ただし,μはくりこみ点に相当する次元１の

パラメータです。

こうすれば,次元正則化による摂動計算において,

結合定数は常に(λμ^(4－ｄ))の形で出てきます。

したがって,loop積分結果のｄ＝4の極の近傍の

展開に現われる対数関数は,ln{(ｐ²＋ｍ²)/μ²}の

ように,常に正しく引数が無次元の量となります。

次元正則化のこの方法では次元を持つ切断

パラメータΛは導入されないので.先の2次発散

のΓ⁽²⁾に対する,くりこみ条件(2):

Γ⁽²⁾_ij(ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝0＝0.は,自動的に

満たされます。(μ²はｄ→4では対数の引数には

出てきません。)

よって,条件(2)が陽に言及されることはないです。

他の対数発散部分に対してはは（17）の

λ₀＝Ｚ_λ(λμ^(4-－ｄ))

＝(1＋ｈ_cＺ_λ(¹⁾＋ｈ_c²Ｚ_λ⁽²⁾＋..)(λμ^(4－ｄ))

および,ｍ₀²＝Ｚ_ｍｍ²,φ₀＝Ｚ_φ^1/2φとして,

例えば,先の条件(3),(4),(5)(ただし(5)では

右辺のλをλμ^(4－ｄ)に置換)のくりこみ条件:

つまり

(∂/∂ｍ²)Γ⁽²⁾_ij(ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2

＝－δ_ij(3),

(∂/∂ｐ²)Γ⁽²⁾_ij(ｐ²,ｍ²,λ;μ²)|_{ｐ2＝0,ｍ2＝μ2}

＝δ_ij.(4),Γ⁽⁴⁾_ijkl(ｐ²＝0,ｍ²,λ;μ²)|_ｍ2＝μ2

＝－λμ^(４－ｄ)δ_ij._kl(.(5)’

を設定して,くりこみを実施します。

または,くりこみ条件に言及せず,

単に1/(ｄ－4)の極の部分ε~^-1だけを除きます。

そうすれば,次元をもたないＺi(ｉ＝φ,ｍ.λ)は,

(Λが存在しないので)μに陽には依存せず,

Ｚi(λ,ｄ)＝1＋ａ1(λ)/(ｄ－4)＋ａ2(λ)/(ｄ－4)2

＋..の形になり,明白な質量に依らないくりこみと

なります。

このとき,Ｚiのくりこみ点:μへの依存性は

くりこまれた結合定数λを通してのみ依存します。

くりこまれたλは裸のλ0がμに独立なので,(17)から

μ依存性が決まります。

※(注15-2):「くりこみ理論(4)」,または,その

「要約(4)」の必要部分の再掲載を兼ねた,本論

の補足説明を注釈します。

まず,系の裸のLagrangianをＬ₀＝Ｌ＋Ｌ_countと

するとき,裸の質量がμ₀のBosonの２点Green

関数(Feynman伝播関数)iΔ_F’(ｐ²)への

1粒子既約な自己エネルギーグラフの寄与

が裸の量で－iΠ₀(ｐ²)であるとすると,

その２点Green関数は

iΔ_F’_ij(ｐ²)＝iδ_ij{ｐ²－μ₀²－Π₀(ｐ²)}^-1

＝i[Γ₀⁽²⁾(ｐ²)]^-1で与えられます。

そして,iΔ_F’(ｐ²)を,くり込んだものを

iΔ_F~(ｐ²)と書き,iΔ_F’(ｐ²)

＝i/{ｐ²－μ₀²－Π₀(ｐ²)}＝iＺ₃/(ｐ^２－μ²)

＝Ｚ₃iΔ_F~(ｐ²)になると考えると,

Π₀(ｐ²)＝(Ｚ₃－1)(ｐ²－μ²)＋δμ²を得ます。

ただし,δμ²＝μ²－μ₀²としています。

系の裸のLagrangianがＬ₀＝Ｌ＋Ｌ_contと

表わされるのに倣って,裸のΠ₀もくりこまれた

Πと相殺項:Π_countの和として,

Π₀(ｐ²)＝Π(ｐ²)＋Π_count(ｐ²)と書くと

Π(ｐ²)＋Π_count(ｐ²)＝(Ｚ₃－1)(ｐ²－μ²)

＋δμ²です。

特に,最低次のオーダーでは,

Π^(1-loop1)(ｐ²)＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)＝Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)

＋(δμ²)⁽¹⁾となるべきことを意味します。

このくりこみの結果,μが実際に観測される

物理的質量という意味を持つための条件として

ｐ²＝μ²の近傍では,Δ~_F(ｐ²)_ij＝δ_ij/(ｐ²－μ²),

または,Γ~⁽²⁾(ｐ²)＝ｐ²－μ²となることが要求

されます。

くりこみ条件(2)はｐ＝0,μ＝0でΓ(2)＝0

でした。

この条件はΠ(ｐ²)＋Π_conht(ｐ²)

＝(Ｚ₃－1)(ｐ²－μ²)＋δμ²の上では,ｐ＝0,

μ＝0で,Π(0)＋Πcount(1)(0)＝(δμ²なること

に相当しています。

これらは,質量をパラメータ:ｍとしてくりこみ

点を,ｍ²＝μ²とした頂点関数Γで考えるとｐ²＝ｍ²

＝μ²の近傍では,Γ⁽²⁾(ｐ²)＝ｐ²－ｍ²となるべき

ことを意味します。

そして,これは,Γ(ｐ²,ｍ²)＝Γ(0,0)＋ｐ²(∂Γ/∂ｐ²)

＋ｍ²(∂Γ/∂ｍ²）＋..のベキ展開においては,

Γ(0,0)＝0,(2) (∂Γ/∂ｐ²)＝1,(3),(∂Γ/∂ｍ⁾＝－1.

(4）の３条件です。

そして特に,最低次のオーダーでは,Π^(1-loop1)(ｐ²)

＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)＝Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)＋(δμ²)⁽¹⁾です。

そこで,Π^(1-loop1)(ｐ²,ｍ²)＋Π_conht⁽¹⁾(ｐ²,ｍ²)

＝Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－ｍ²)＋(δｍ²)⁽¹⁾であり,条件(2)は,

最低次ではΠ^(1-loop1)(0,0)＋Πcount(1)(ｐ²)

＝(δｍ²)⁽¹⁾です。

さてBoson質量をμに戻して,くりこまれた量で

最低次の1粒子既約の自己エネルギーを計算すれば,

－iδ^ijΠ^(1-loop)(ｐ²)

＝∫ｄ^dｋ(2π)^-4(－)Tr[(―iｇτⁱ)i(ｋ－ｍ_F)^-1

(－iｇτ^j)i{(ｋ－ｐ)－ｍ_F}^-1]＋∫ｄ^dｋ(2π)^-4

(－iλ/8)4×3＋8)δ^iji/(ｋ²－μ²)－iΠ_count⁽¹⁾(ｐ²)

となります。ただし,ｍ_FはBosonが真空偏極する

グラフでloop積分すべき内線運動量ｋを持った

仮想Fermionの質量です。

次元正則化で,最後にd→4の極限をとる前の

自己エネルギー部分の計算結果は,

－iΠ^(1-loop)(ｐ²)

＝{(－i)2・4ｇ²/(16π²)}[(3ε~^-1＋1)

×(ｍ_F²－ｐ²/6)－3∫₀¹ｄｘ{ｍ_F²－ｘ(1－ｘ)ｐ²

×ln{ｍ_F²－ｘ(1－ｘ)ｐ²}]

＋{－5λ/(32π²)}μ²{－ε~^-1－1＋ln(μ²)}

となります。

ただし,ε~^-1は,ｄ→4で発散する部分で,

ε^-1＝2/(4－ｄ)および,ε~^-1＝ε^-1－γ＋ln(4π)

で定義されています。

それ故,－iΠ^(1-loop)(ｐ²)の発散部分は,

ε~^－1を含む部分だけで,これを含む相殺項を.

－iΠ^c_ount⁽¹⁾(ｐ²)として,差し引くことで,有限

にする操作が,次元正則化のくりこみ手続きです。

したがって,1PIの自己エネルギーグラフの

最低次のくりこまれたネットの寄与は,

Π^(1-loop)(ｐ²)＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)ですが,これが,

ｐ＝0,μ＝0で(δμ²)⁽¹⁾に一致するべし,と

いうのが,最低次でのくりこみ条件(2)の

意味するところです。

それ故,Π^(1-loop)(0)|_ｐ2＝0,_μ2＝0

＝{ｇ²/(2π²)}{(3ε~^-1＋1)ｍ_F²－3ｍ_F²ln(ｍ_F²)}

を得ますが,相殺項:Π_count⁽¹⁾(0)をε~^-1を因子と

する発散部分:{3ｇ²/(2π²)}ε~^-1に有限限部分

の一部を加えて(－)符号を付けたものとして

これに加えると,(δμ²)⁽¹⁾が(有限部分)

＋Π^(1-loop)(0)|_{ｐ2＝0.μ2＝0}で与えられることがくりこみ

条件(2)が満たされることに同値となります。

すなわち,Paulli-Villersの場合なら∫ｄ^ｄｋ

が∫ｄ⁴ｋで,自己エネルギー部分の計算結果は,

－iδ^ijΠ^(1-loop)(ｐ²)

＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4(－)Ｔr[(―iｇτⁱ)i(ｋ－ｍ_F)^-1

(－iｇτ^j)i{(ｋ－ｐ)－ｍ_F}^-1]

＋∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4(－iλ/8)4×3＋8)δ^iji/(ｋ²－μ²)

となり,被積分関数はｋの(－2)次で,積分が∫ｄ⁴ｋ

の4次であること,および,(ｍ_F²,μ²,ｐ²)の次元2を

持った量で展開すると,発散の次数が2ずつ下がること

から,これを理解できます。

いずれにしろ,Π^(1-loop)(ｐ²)は,外線運動量:ｐ²の関数

として,ｐ²の0次と１次の項しか含まず,それ故,丁度,

相殺項:－iΠ_count⁽¹⁾(ｐ²)＝i{Ｚ₃⁽¹⁾(ｐ²－μ²)＋δμ²⁽¹⁾}

で相殺できる形になります。

つまり,Paulli-Villers正則化では,δμ²⁽¹⁾

＝Π^(1-loop)(ｐ²＝μ²)＝(有限定数)

＋{5λ/(16π²)－3ｇ²/π²}Λ²ln2

＋[{3ｇ²/(2π²)}(ｍ_F²－μ²/6)－5λμ²/(32π²)]

×ln(Λ²/μ²)(発散量),

かつ,Ｚ₃⁽¹⁾＝[∂Π^(-loop1)/∂ｐ²]_ｐ2＝μ2

＝(有限定数)＋{ｇ²/(4π²)}ln(Λ²/μ²)(発散量)

と置き,一方,次元正則化では,

δμ²⁽¹⁾＝Π^(1-loop)(ｐ²＝μ²)

＝(有限定数)

＋[{3ｇ²/(2π²)(ｍ_F²－μ²/6)－5λμ²/(32π²)}ε~^-1

(発散量),かつ,Ｚ₃⁽¹⁾＝[∂Π^(-loop1)/∂ｐ²]_ｐ2＝μ2

＝(有限定数)＋{ｇ²/(4π²)}ε~^-1(発散量)と置くと

いずれの正則化でも,Π^(1-loop1)＋Π_count⁽¹⁾は有限になり

(ｐ²－μ²)の2次以上の項はなくなって,

伝播関数はｐ²＝μ²の近傍では,iΔ_j(ｐ²)_ij

＝iδ_ij/(ｐ²－μ²)の形になり,μがBosonの物理的

質量である,という要請が確かに満足されます。

(再掲部分関連終了※)

質量に依らないくりこみでは,裸の2乗質量

がμ₀²ではなくて,(ｍ₀²－δｍ₀²),くりこまれた

質量がμ²でなくｍ²なので,上のδμ²＝μ²－μ₀²

に相当するのは,ｍ²－(ｍ₀²－δｍ₀²)＝δｍ²＋δｍ₀²

です。先に述べたようにδｍ₀²はｍ²に依存しない

定数ですから,このパラメータはどう取ろうが自由

です。

自己エネルギーについては.

Π(ｐ²)＋Π_count⁽¹⁾(ｐ²)＝{Ｚ₃－1)(ｐ²－ｍ²)

＋(δｍ^2-＋δｍ₀²)が満たされるべき条件です。

故に,くりこみ条件(2)はΠ(0)＋Π_count⁽¹⁾(²)

＝δｍ^2-＋δｍ₀²ですが,δｍ₀²が何でもよい

なら;この条件は不要だと思うのですが。

(注15-2終わり※)

途中すが長くなったので今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(14)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前々回まででは,大局的ゲージ不変性と

いう対称性を持った系の有効作用Γを示す

Feynmanグラフがくりこみ可能であること

を証明するために,この有効作用Γ(orΓ~)

を,Γ＝Γ⁽⁰)＋ｈ_cΓ⁽¹⁾＋..＋ｈ_ｃ^ｎΓ^(ｎ)

＋ｈ_c^(ｎ＋１)Γ^(ｎ＋1)＋,,と摂動展開し,初項

Γ⁽⁰⁾は作用Ｓ(orＳ~)に等しく有限なので

続くΓ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾.Γ^(ｎ)がくりこみで全て有限

にできたと仮定してΓ^(ｎ＋1)も有限になると

いうことを示す,という帰納法に頼りました。

結局,この証明はΓ^(ｎ＋１)の発散部分Γ_div^(ｎ＋1)

を取り出すと,それが謂わゆるくりこみ方程式:

Ｓ~＊Γ_div^(ｎ＋1)＝0を満たすことを示すことに

帰着することが導かれました。

そして,このくりこみ方程式に対しては,次の

命題が成立します。

これは,「大局が的ゲージ不変でＦＰゴースト

数ゼロ,次元が4以下の局所項から成る,Φ_I,ｃ^ａ,

Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｘがくりこみ方程式:

Ｓ~＊­Ｘ＝0を満たすとする。このとき解Ｘは

裸の作用積分:Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,.,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]において,Ｚやｖ_iをずらせて

得られる変化分:ΔＳ

＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖ_i(Δ_ｖiＳ)

＝δＺ[∂Ｓ~/∂Ｚ] _Z=1Vi=0＋δｖi[∂Ｓ/∂ｖ_i]_Z=1Vi=0

(41)の形で与えられる。」　という命題です。

これが証明されればΓ^(ｎ＋1)が有限になること

を示すことができて帰納法の証明が完結します。

そこで,この命題証明すればいいのですが,

これに関して.次の定理の成立が知られています。

[定理]:「Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａのＦＰゴースト数

がゼロの局所多項式から成る汎関数Ｘでくりこみ

方程式Ｓ~＊­Ｘ＝0.を満たすものは,必ず,

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

の形に書ける。

ここで.Ｆ_{ゲージ不変}はΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のみで

書かれたゲージ不変な関数であり,一方,Ｍは

ＦＰゴースト数が(－1)の任意の汎関数である。」

という定理です。

そして,この形で書かれる汎関数Ｘが.くりこみ

方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0を満たすこと(解の十分性)の

成立はほぼ自明で,実際,容易に証明できました。 

しかし,証明が自明でないのは,逆の解となる

ための必要性の方でした。

このＸがＳ~＊Ｘ＝0の解となるための必要性

　　の一般的証明は,かなり面倒なので割愛する,と

述べました。ここまでが前々回の記事です。

前回は,当面必要なＸが,次元4以下の局所項

から成る大局的ゲージ不変という特別な場合に

限れば必要性が証明できるというので,これを示す

途中での中断でした。結局,くりこみ方程式:

Ｓ~＊Ｘ＝0の解Ｘは­Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].

(63)と書けます。ただし,次元が4以下である

という条件からｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)の一般形は,

ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＝α_Ａ{(－1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν}

＋α_φ{(Ｄ_μφ_i)^＋Ｄ^μφi}－α_ｍ(μ²φ_i^＋φ_i)

－α_λ{(λ/2)(φ_i^＋φ_i)²}.(62)なる形で

与えられます。と書いたところで,前回記事

を終えました。

さて,今回はその続きです。

既述のように,作用Ｓ~は,(47)で与えた

Ｓ~＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)].の形をしています。

ただし,δ_ＢΦ_I＝Ｄ^ａ_Iｃ^ａであり,

δ_Ｂｃ^ａ＝(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａです。

また,＊演算は定義(31)によれば任意

　　のΦ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｆ.Ｇに

対して,Ｆ*Ｇ＝(δＦ/δΦ_I)(δＧ/δＫ~_Ｉ)

＋(δＦ/δｃ^ａ)(δＧ/δＫ_ｃ^ａ)

＋(－)^|Ｆ|{(δＦ/δＫ~_I)(δＧ/δΦ_Ｉ)

＋(δＦ/δＫ_ｃ^ａ)(δＧ/δｃ^ａ)

ですから,Ｓ~＊(Ｋ~^ａ_μＡ^ａ_μ)

＝(δＳ~/δＡ^ａ_μ)Ａ^ａ_μ＋(δ_ＢＡ^ａ_μ)Ｋ~^ａ_μ

＝(Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ_μ)

＋Ｋ~^ａ_μ{∂(Ｄ_μｃ^ａ)/∂Ａ^ａ_μ}

＋(Ｄ_μｃ^a)Ｋ~^ａ_μです。

故に,証明に必要な第１式:

Ｓ~＊(Ｋ~^ａ_μＡ^ａ_μ)＝Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ_μ)

－Ｋ^ａ_μ(∂^μｃ^ａ).(64)を得ます。

次に,Ｓ~＊(Ｋ_ｃ^ａｃ^ａ)

＝(δＳ~/δｃ^ａ)ｃ^ａ＋(δ_Ｂｃ^ａ)Ｋ_ｃ^ａ

＝－ｃ^ａ(δＳ~/δｃ^ａ) ＋Ｋ_ｃ^ａ(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)

(65)です。

ところが,場(粒子)のＦＰゴースト数をＮ_ＦＰ

　　とすると,Ｓ~はＮ_ＦＰ＝0,ｃはＮ_ＦＰ＝1,Ｋ~_Iは

Ｎ_ＦＰ＝－1,Ｋ_ｃ^ａはＮ_ＦＰ＝－2のゴースト数を

持つため.{ｃ^ａ(δ/δｃ^ａ)－Ｋ~_I(δ/δＫ~_I)

－２Ｋ_ｃ^ａ(δ/δＫ_ｃ^ａ)}Ｓ~＝0(.66)

が成立します。

※(注14-1):何故なら,まず,Ｓ~をｃ^ａ,Ｋ~_I

Ｋ_ｃ^ａの関数と見て,ベキ級数展開したもの

を,Ｓ~＝Σ_ν1,v2,ν3{ａ(ν₁,ν₂,ν₃)

×ｃ^ν1(Ｋ~_I)^ν2×(Ｋ_ｃ^ａ)^ν3}と表わすと,

{ｃ^ａ(δ/δｃ^ａ)－Ｋ~_I(δ/δＫ~_I)

－２Ｋ_ｃ^ａ(δ/δＫ_ｃ^ａ)}Ｓ~

＝Σ_ν1,v2,ν3{(ν₁－ν₂－2ν₃)ａ(ν₁,ν₂,ν₃)

×ｃ^ν1(Ｋ~_I)^ν2(Ｋ_ｃ^ａ)^ν3}　となります。

元のＳ~の展開の各項のベキ次数ν₁,ν₂,ν₃

は,それぞれ,ゴースト場ｃ^ａ;外場Ｋ~^I,Ｋ_ｃ^ａ

に対応する粒子の個数を示しています。

故に,(ν₁－ν₂－2ν₃)は項のＦＰゴースト

　　数を意味します。

一方,左辺のＳ~のゴースト数はＮ_ＦＰ＝0

ですが,これは右辺の展開の各項で満たされる

べきと考えられるので,全ての項において

ν₁－ν₂－2ν₃＝0が成立すべきで,その結果

としてl{ｃ^ａ(δ/δｃ^ａ)－Ｋ~_I(δ/δＫ~_I)

－２Ｋ_ｃ^ａ(δ/δＫ_ｃ^ａ)}Ｓ~＝0が得られます。

(注14-1終わり※)

したがって,(65)のＳ~＊(Ｋ_ｃ^ａｃ^ａ)

－ｃ^ａ(δＳ~/δｃ^ａ) ＋Ｋ_ｃ^ａ(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)

は,Ｓ~＊(Ｋ_ｃ^ａｃ^ａ)＝－Ｋ~_I(δＳ~/δＫ~_I)

－Ｋ_ｃ^ａ(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)　と書き直せます。

故に,必要な第２式として,

Ｓ~＊(Ｋ_ｃ^ａｃ^ａ)

＝－Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I) －Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ).(67)

を得ました。

最後に,Ｓ~＊Ｋ~_i＝δＳ~/δφ_i

＝δ{(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_ｊ(δ_Ｂφ_j))/δφ_iです。

以上から,再掲(63)式:

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ【Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j

{δ(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_jδ_Ｂφ_j)/δφ_j}](63)

の被積分関数は,ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

－β_ＡＳ~＊(Ｋ_ｃ^ａｃ^ａ)＋

(β_Ａ－γ_Ａ)Ｓ~＊Ｋ^ａ_μＡ_ａμ)

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_jＳ~＊Ｋ~_j]と書けます。

すなわち,Ｘは,Ｘ＝∫ｄ1ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋Ｓ~＊{(β_Ａ－γ_Ａ)Ｋ^ａ_μＡ_ａμ －β_ＡＫ_ｃ^ａｃ^ａ

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_jＫ~_j}].(68)の形となり,

これは,定理が主張する(44)の形の解:

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

に合致する,ことがわかり定理の必要性が証明

されました。つまり,これで.次元4以下で大局的

ゲージ不変な場合に,先の定理が証明されたわけ

です。(※大局的ゲージ不変性について,Ｓ~の

Ｋ~_i(δ_Ｂφ_i),ＸのＫ~_i(δ~_Ｂφ_i)の部分は疑問

ですが,これは議論の本質には無関係のようです。

要するに,追加の外場Ｋ~_iの問題なので？※)

さて,まだ,直接,必要とされる先の命題の

結論となる形に書けること,つまり,解Ｘが作用

積分:Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]で,Ｚやｖ_iをずらせて得られる

変化分:δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)(41)の形

で与えられる。ということを透明する仕事が

残っています。

これを証明するにはＸの表式:(63)(再々掲)

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].

を出発点とする方が早道です。

まず,唐突ですが,次式:

{Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)－ｇ(∂/∂ｇ)}Ｌ_ＧＩ(Φ_I)

＝2{(－1/4)Ｆ^ａ_μν²}.(69)が成立することに

注意します。(※ただし,(－1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν

を,(－1/4)Ｆ^ａ_μν²と略記しました。※)

これは,Ｌ_ＧＩ(Φ_Ｉ)で(ｇＡ^ａ_μ）をＡ^ａ_μに

変数変換すれば,物質場:Φ_IのLagrangianの部分

は,ｇに依らなくなる。ということから従います。

※(注14-2):実際,(ｇＡ^ａ_μ)の１次の項は,

Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)の作用で(ｇＡ^ａ_μ)となり,

ｇ(∂/∂ｇ)に対しても同じ(ｇＡ_ａμ)になる

ため,これに比例した項は演算の結果として

消えます。すなわち,

{Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)－ｇ(∂/∂ｇ)}Ｌ_ＧＩ(Φ_I)

{(ｇ,Ａに独立な比例係数)(ｇＡ^ａ_μ)}＝0です

。残るのはＦ^ａ_μν内の(ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＡ^ｃ_ν)

のように,Ａ^ａ_μの２次以上の項の場合で,

{Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)－ｇ(∂/∂ｇ)}

(ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＡ^ｃ_ν)

＝ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＡ^ｃ_νですから.Ｆ^ａ_μν2

への演算の場合,この項から因子2が出ます。

ｇを含まないＡのみの項ではＡ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)

の作用は,各項で時空微分に関係なく元の項の

Ａの次数倍を与えるので,(∂_μＡ^ａ_ν－∂_νＡ^ａ_μ)²

に作用させると,2((∂_μＡ^ａ_ν－∂_νＡ^ａ_μ)²です。

結局,{Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)－ｇ(∂/∂ｇ)}

(Ｆ^ａ_μν²)＝2Ｆ^ａ_μν²)が得られます。

(注14-2終わり※)

次に,Ｋ~_Ｉ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)では,

Ｋ~_Ｉ(δ_ＢΦ_I)＝(Ｄ_μｃ^ａ)の中の項:

Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)が,ｇの0次項である以外,

全てｇの１次の項ばかりなので,

{ｇ(∂/∂ｇ)－1}{Ｋ~_Ｉ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＝－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ).(70)となります。

これと先の(69)の

{Ａ^ａ_μ(∂/∂Ａ^ａ_μ)－ｇ(∂/∂ｇ)}Ｌ_ＧＩ(Φ_I)

＝2{(－1/4)Ｆ^ａ_μν²}から

∫ｄ⁴ｘ{Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＝ｇδＳ~/δｇ)＋∫ｄ⁴ｘ[2{(－1/4)Ｆ^ａ_μν²}

－{Ｋ~_Ｉ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}].(71)です。

そこで,これらを(63)に代入します。ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

については,(62)の具体的で陽な表式を代入すると,,

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[(α_Ａ＋2β_Ａ－2γ_Ａ){(－1/4)Ｆ^ａ_μν²}

＋α_φ|Ｄ_μφ_i|²－α_ｍμ²|φ_i|²－α_λ{(λ/2)|φ_i|⁴}

＋γ_Ａ{Ｋ~_Ｉ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}]

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j(δＳ~/δφ_j)

＋(β_Ａ－γ_Ａ)ｇ(δＳ~/δｇ)].(72)という

解Ｘの表式を得ます。

一方,作用積分Ｓ~の引数の物質場,外場に,

Ａ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,φ_0i＝Ｚ_i^1/2(φ_i,＋ｖ_i)

＝Ｚ_i^1/2φ~_i,(ｃ₀^ａ,ｃ₀~^ａ)＝Ｚ~₃^1/2(ｃ^ａ,ｃ~^ａ)

(15),Ｋ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^-1/2Ｋ^ａ_μ,

Ｋ_0i＝(Ｚ~₃^1/2Ｚ₃^1/2/Ｚ_i^1/2)Ｋ_i(18)

Ｋ_0ｃ^ａ＝Ｚ₃^1/2Ｋ_ｃ^ａ(19),ｇ₀＝Ｚ_iＺ₃^-3/2ｇ.(20)

で指定されるＺ,やｖ_iを含んだ裸の量:Φ_0II,Ｋ_0I,

Ｋ_0ｃ^ａ,ｇ₀を入れたものを求めると,次のように

なります。

Ｓ~[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..Ｚ₃^-1/2Ｋ^ａ_μ,..Ｚ_iＺ₃^-3/2ｇ...]

＝∫ｄ⁴ｘ[Ｚ₃(－1/4){∂_μＡ^ａ_ν－∂_νＡ^ａ_μ

－Ｚ₁Ｚ₃^-1ｇ(Ａ_μ×Ａ_ν)}²

＋Ｚ_i|∂_μφ~_i＋Ｚ₁Ｚ₃^－1ｇ(Ｔ^ａ)_ijＡ^ａ_μφ~_j|²

－Ｚ_ｍＺ_iμ²|φi|²－Ｚ_λＺ_i²(λ/2)|φ~_i|⁴

＋Ｚ~₃Ｋ^ａ_μ{∂_μｃ^ａ－Ｚ₁Ｚ^-1ｇ(Ａ_μ×ｃ)^ａ}

－Ｚ₃Ｋ~_iiＺＺ₃^-1ｇ(Ｔ^ａ)_ijｃ^ａφ~_j

＋Ｚ~₃Ｋ_ｃ^ａ(Ｚ_iＺ₃^-1ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ].(73)

ただしＺ_ｍとＺ_λは,今,陽に考えている物質場

の質量と,λφ⁴相互作用の結合定数λのくりこみ

因子として定義されています。

つまり,μ₀²＝Ｚ_ｍμ²,λ₀＝Ｚ_λλ.(74)です。

さて,Ｚ因子やｖをずらしたときのＳ~の

変化分は,(73)のＳ~の表式を微分して,

ΔＳ~＝δＺ(Δ_ＺＳ~)＋δｖ_i(Δ_ｖＳ~)

＝∫ｄ⁴ｘ[(－1/4){δＺ₃(Ｆ~_μν⁽⁰⁾)²

－Ｚ₃⁽⁰⁾(2δｇ~)(Ａ_μ×Ａ_ν)Ｆ_μν⁽⁰⁾

＋δＺ_i|Ｄ~_μφ~_i⁽⁰⁾|²

＋Ｚ_i⁽⁰⁾(2iδｇ~)(Ｔ^ａ)_ijＡ^ａ_μφ~_jＤ~^μφ~_i⁽⁰⁾

＋2(δｖ_i)Ｚ_i⁽⁰⁾(iｇ⁽⁰⁾)(Ｔ^ａ)_ijＡ^a_μＤ~^μφ~_i⁽⁰⁾

－{(δＺ_ｍ)Ｚ_i⁽⁰⁾＋Ｚ_ｍ⁰⁾(δＺ_i)}μ²|φ~_i|²

－Ｚ_ｍ⁽⁰⁾Ｚ_i⁽⁰⁾(δｖ_i)(∂/∂φ~_i)(λμ²|φ~_i|²)

－{(δＺ_λ)Ｚ_i⁽⁰⁾²＋Ｚ_λ⁰⁾(2δＺ_i)}(λ/2)|φ~_i|⁴

－Ｚ_λ⁽⁰⁾Ｚ_i⁽⁰⁾²(δｖ_i)(∂/∂φ~_i)(λ|φ~_i|⁴/2)

＋Ｋ~^ａ_μ{(δＺ~₃)(Ｄ_μｃ^ａ(0))}

＋Ｚ~₃⁽⁰⁾(δｇ~)(Ａ_μ×ｃ)^ａ}

－{(δＺ~₃)ｇ~⁽⁰)＋Ｚ~₃⁽⁰⁾(δｇ~)}

×Ｋ~_ii(Ｔ^ａ)_ijｃ_ａφ~_j⁽⁰⁾

－Ｚ~₃⁽⁰⁾Ｋ~_iiｇ~⁽⁰⁾(Ｔ^ａ)_ijｃ^ａ(δｖ_l)

＋(i/2)Ｋ_ｃａ{(δＺ~₃)ｇ~⁽⁰)＋Ｚ~₃⁽⁰⁾(δｇ~)}

(ｃ×ｃ)^ａ]　と書けます。

ただし,0次近似では,Ｚ⁽⁰⁾は全て1,ｖ_i(⁰⁾,

ｖ_j⁽⁰⁾は.全て0,ｇ~⁽⁰⁾＝ｇとします。

また,Ｆ~_μμ＝∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ

－Ｚ₁Ｚ₃^-1(Ａ_μ×Ａ_ν),ｇ~＝Ｚ₁Ｚ₃^-1ｇ,

Ｄ~_μφ~_i＝∂_μφ~_i－iｇ~(Ｔ^ａ)_ijＡ^ａ_μφ~_j.

Ｄ~_μｃ＝∂_μｃ－ｇ~(Ａ_μ×ｃ)としています。

そして,δＺ,δｖはＺ⁽⁰⁾＝1,ｖ⁽⁰⁾＝0から

　　の変化分と考えます。

それ故,結局,δＺ(Δ_ＺＳ~)＋δｖ_i(Δ_ｖＳ~)

＝∫ｄ⁴ｘ[δＺ₃{(-1.4)Ｆ_μν²}＋δＺ_i|Ｄ_μφ_i|²

－(δＺ_ｍ＋δＺ_i)μ²|φ_i|²

－(δＺ_ｍ＋δＺ_λ)(λ/2)|φ_i|⁴

＋δＺ~₃{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)}]

＋δｖ_i(δＳ~/δφ_i)

＋(δＺ₁－δＺ₃)ｇ(δＳ~/δｇ)(75)

となります。

この形は,丁度,(72)で与えたくりこみ方程式

　　の一般解:Ｘの表式にピッタリ一致します。

すなわち,くりこみ因子のずれ:δＺ,δｖは

(72)のパラメータ:α,β,γから次のように

決まります。

δＺ₃＝－(α_Ａ＋2β_Ａ－2γ_Ａ),δZ~₃＝γ_Ａ,

δＺ_i＝－α_φ,δＺ_ｍ＝－α_ｍ＋α_φ,

δＺ_λ＝－α_λ＋2α_φ,δｖ_i＝γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j,

δＺ₁＝－(α_Ａ＋3β_Ａ－3γ_Ａ).(76)です。

(※符号が逆になっているのが多いのは,Ｘの

表式をΓの発散項としたとき,それがＳ~の

変化分で相殺されると考えるからです。※)

以上で,命題の証明,すなわち,ゲージ理論

のくりこみ可能性の証明が完了しました。

※(注14-3):ここまで,一貫して,大局的ゲージ

不変な理論がくりこみ可能であることを示して

きたわけですが,そもそも局所ゲージ不変理論

(第２種のゲージ変換)に対して不)な理論)なら,

時空点ごとに異なるゲージ変換のパラメータ

(位相)を,全ての時空点で同じ定数とした特別

な場合でも不変性は維持されるので,局所的

ゲージ不変なら,必ず,大局的ゲージ不変

(第１種ゲージ変換に対して不変)なので,

局所ゲージ不変な理論もくりこみ可能で

あることが示されたわけです。

逆の大局的ゲージ不変なら局所ゲージ不変

というのは必ずしも成り立ちませんがね。

(注14-3終わり※)

• 7-4の目的であったゲージ理論のくりこみ

可能性の証明問題が完了して一段落です。

今日,これのアップは2020年5/31ですが,実際に

この原稿をつｊ作ったのは10日くらい前で,既に

新しい項の原稿(15)を書いている途中です。

米印参照ノートは「ゲージ場の量子論（5）」と題名

の付いたノートで,日付けがあるのは1ページ目の

(通算467ページ目)の1997年３/20(47歳)と最後

の通算573ページ目の1999年5/24(49歳)のみで

今日の原稿の内容を書いたのは,その間であろう

としか,わかりません。

そして,この題名のノートの全ては,今部屋の

どこにあるのかは真剣に探してみないと不明

ですが,確か,「ゲージ場の量子論(6)」が最後

で,2000年２/1(50歳)の前には読了して終了

したはずです。※

いずれにしろ,今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くり込み理論(次元正則化)(13)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前回は,大局的ゲージ不変という対称性を

持った系の作用積分Ｓと,その有効作用Γを

裸の場を変数として構成した裸のＳ₀とΓ₀

において変数の裸の場を,くりこんだ場と

くりこみ定数Ｚ,ｖ_iで表わしたものに置換

する,という操作によって,くりこんだ有効

作用Γが有限になる,という手法で理論が

ゲージ不変性を保持したままの正則化に

よって,くりこみ可能となることの証明を

志向しました。

以下,これまでの手順の要約を記述します。

まず,上記の証明ため,Γ₀の変数の裸の量に,

くりこんだ量による表式を代入して,計算

すべきΓを,Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹)＋ｈ_c²Γ⁽²)

＋...＋ｈ_c^ｎΓ^(ｎ)＋ｈ_c^(ｎ＋1)Γ^(ｎ＋1)＋...と

摂動展開します。

初項のΓ⁽⁰⁾はΓ⁽⁰⁾＝Ｓにより明らかに有限

なので,以下のΓ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾,..,Γ^(ｎ)が全て有限

にできた,という仮定の下で次のΓ^(ｎ＋1)も有限

になることを示す,という帰納法に頼って証明

する手法を取りました。　

Ｓ,Γには有限な寄与が自明なＮＬ場:Ｂ^ａと

反ゴーストｃ~^ａを含む項があり.これらを除き

Ｓ~.Γ~とすると,満たされるべき基本的なＷＴ

恒等式はΓ~＊Γ~＝0という式で与えられる

ことがわかりました。

ＳとＳ~.ΓとΓ~は,今の証明では本質的に

同じなので同一視してもよく Γ~の代わりに

Γの展開式:Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹)＋ｈ_c²Γ⁽²⁾＋..

＋ｈ_c^ｎΓ^(ｎ)＋ｈ_c^(ｎ＋1)Γ^(ｎ＋1)＋..をΓ~＊Γ~

＝0に代入して,Γ^(ｎ＋１)の発散部分:Γ_div^(ｎ＋1)

を取り出すと,くりこみ方程式:Ｓ~＊Γ_div^(ｎ＋1)

＝0に帰着することが導かれました。

そして,このくりこみ方程式に対しては,

次の命題が成立することが証明できます。

※[命題]:「大局が的ゲージ不変でＦＰ

ゴースト数がゼロ,次元が4以下の局所項から

成る,Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｘが

くりこみ方程式:Ｓ~＊­Ｘ＝0.を満たすとする。

このときＸは,裸の作用積分:

Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]で,Ｚやｖ_iをずらせて得られる

変化分ΔＳ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)

＝δＺ[∂Ｓ/∂Ｚ] _Z=1Vi=0＋δｖi[∂Ｓ/∂ｖ_i]_Z=1Vi=0

の形で与えられる。」

仮に,この命題が証明されたとすると,Ｘが

Ｓ~＊Γ_div(^ｎ＋1)＝0を満たすΓ_div(^ｎ＋1)である場合,

この発散が適切な相殺項で吸収され,有効作用Γ

がｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーのΓ^(n＋1)まで有限となり,

帰納法によるくりこみ可能性の証明が完結する

ことになります。

実際の[命題の証明]においては,結局,

くりこみ可能性の証明はＳ~＊Ｘ＝0の一般解

Ｘが,Ｘ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)の形で

与えられる,という純粋に代数的な命題の証明

に帰着することがわかりました。

そうして,くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解

　　Ｘに関して.次の定理が成立することが

知られています。

※[定理] 「Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａのＦＰゴースト数

がゼロの局所多項式から成る汎関数Ｘで,くりこみ

方程式Ｓ~＊­Ｘ＝0.を満たすものは,必ず,

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

の形に書ける。

ここで,Ｆ_{ゲージ不変}はΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のみで

書かれたゲージ不変な関数で,ＭはＦＰゴースト

数が(－1)の任意の汎関数である。」

この形で書かれる汎関数Ｘがくりこみ方程式:

Ｓ~＊Ｘ＝0を満たすこと(解の十分条件)の証明

は,Ｓ~のＢＲＳ不変性,Ｓ~＊Ｓ~＝0,および,

Jacobi恒等式から従う,演算:(Ｓ~＊)のベキ零性:

つまり,∀Ｘに対しＳ~＊(Ｓ~＊Ｘ)

＝－((1/2)Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ^)＝0.から,容易に

証明できました。 

しかし,証明が自明でない,のは,逆の解と

なるための必要性の方です。

この定理は大変有用なものですが,一般的証明

　　は,かなり面倒なので,この必要性の詳細証明は,

既存の文献に譲って,ここでの記述は割愛します。

と書いて,前回までの記事は終わりました。

さて,ここからは,今回のその続きです。

ＸがＳ~＊Ｘ＝0の解となるための必要要性の

一般的証明は,かなり面倒なので割愛する,と述べ

ましたが,今,必要なのはＸが,次元4以下の局所

項から成る大局的ゲージ不変な場合で,この場合

に限れば,次のようにして,解の必要性も容易に

証明できます。以下は,この証明手順です。

※[必要性の証明]:話を明確にするために物質場

φ_iとしては,ゲージ群:Ｇのある既約表現に属する

スカラー場のみが存在する系の場合を考えます。

(※もっとも,可約表現の場合や,スピノル場が存在

する場合でも本質的には同じように証明可能です。)

系のゲージ不変なLagrangian密度Ｌ_ＧＩが,

Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＝－（1/4）Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν

＋(Ｄ_μφi)^＋Ｄ^μφ_i－μ^２φ_i^＋φ_i－(λ/2)(φ_i^＋φ_i)².

(46)で与えられる場合を考察します。

このとき,外場を付加した作用積分:Ｓ~は,Ｓ~

＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)]

(47)という形に書くことができます。

,ただし,δ_ＢΦ_I＝Ｄ_I^ａｃ^ａ,δ_Ｂｃ^ａ＝(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ

です。一方,問題のＸは,次元が4以下の局所項から成る

ＦＰゴースト数:Ｎ_ＦＰが0の大局的ゲージ不変な汎関数

である,と仮定されています。

ところで,外場Ｋ:~_Iは,Ｎ_ＦＰ＝－1で次元は２,

外場:Ｋ_ｃ^aは,Ｎ_ＦＰ＝－2で次元は２です。

(※何故なら,dim(Ｌ)＝4ですが,dim­(ｃ^ａ)＝1,

dim(ｇ)＝0なので,dim(δ_ＢΦ_I)＝dim(Ｄ_Iｃ^ａ)

＝2であり,dim(δ_Ｂｃ^ａ)＝dim{(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ}

＝2でぁるからです。

また,一般線形ゲージ中の係数ｆ^ａ_IはＮ_ＦＰ＝0

　　で次元が1の量であることから,ＢＲＳ変換:δ_Ｂ

に似たＧ群に属する変換の演算子δ~_Ｂを導入して

Ｓ~と同様,Ｘが次のように書けるとします。

つまり,Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)],(48)とします。

未知の演算子δ~_Ｂは,δ~_ＢΦ_Iが,δ~_ＢＡ^ａ_μ

＝∂_μｃ^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ

－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ,(49-1),および,δ~_Ｂφ_i

＝－β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－γ_φ(iｇ)ｃ^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j(49－2)

の組で与えられ,ゴースト項の変換がδ~_Ｂｃ^ａ

＝β_ｃ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ＝β_ｃ(ｇ/2)ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^c.

(49-3)と書ける一般形で与えられる,とします。

一見,δ~_Ｂφ_iには,δ^ａiｃ^ａのような項が

あってもよいように見えますが,系がφ_i→ －φ_i,

ｆ^a_i→ －ｆ^a_iなる変換の下での不変性を持つので,

こうした項の存在は許されません。

(※つまりδ~_Ｂ(－φ_i)＝－δ_Ｂ~φ_iが成り立つ必要

があるので,δ^ａｉｃ^ａのような項は存在不可能です。)

ここで,Ｌ~(Φ_I)は,Φ_I＝(Ａ^ａ_μ,φi)のみの次元

が4以下の関数,γ_Ａ,γ_d,γ_φ,β_Ａ,β_φ,β_ｃは任意の

係数,ｄ_ａｂｃはＴr(Ｔ^ａＴ^ｂＴ^ｃ)に比例する対称不変

テンソル,(ｄ^ａｂ)_ijは,φ_iの表現行列:(Ｔ^ａ)_ijや

ｄ_ａｂｃなどのゲージ群Ｇの不変テンソルで構成

される(存在すれば)添字が(^ａｂ_ij)の不変テンソル

です。

そしてＸがくりこみ方程式：Ｓ~＊Ｘ＝0を

満たすべき,という要請は,先に(49)で場に対する

変換性を具体的に示したＢＲＳ変換に類似した

変換::δ~_Ｂを,(δＸ/δＫ~_I)(δ/δΦ_I)

＋(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)(δ/δｃ^ａ)

＝(δ~_ＢΦ_I)(δ/δΦ_I)＋(δ~_Ｂｃ^ａ)(δ/δｃ^ａ)

＝δ~_Ｂ.(50)を満たす演算子と見れば,

ＸとＳ~がδ_ＢＸ＋δ~_ＢＳ~＝0,なる式を

満たすべき,ことを意味するとわかります。

※(注13-1):何故なら「くりこみ理論11)」での

任意のＦ,Ｇに対するＦ＊Ｇの定義:(31):

Ｆ＊Ｇ＝(δＦ/δΦ_I)(δＧ/δＫ~_I)

＋(δＦ/δｃ^ａ)(δＧ/δＫ_ｃ^ａ)

＋(－)^|Ｆ|{(δＦ/δＫ~_I)(δＧ/δΦ_I)

＋(δＦ/δＫ_ｃ^ａ)(δＧ/δｃ^ａ)}により,

Ｓ~＊Ｘ＝,(δＳ~/δΦ_I)(δＸ/δＫ~_I)

＋(δＳ~/δｃ^ａ)(δＸ/δＫ_c^ａ)

＋(－)^|Ｓ~|{(δＳ~/δＫ~_I)(δＸ/δΦ_I)

＋(δＳ/δＫ_ｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)}です。

ところが,Ｘはゴースト数:Ｎ_ＦＰがゼロ

なので,Grassman偶であり,Ｓ~もそうです。

さらに,Φ_IもGrassmann偶です。

しかし,ｃ^ａはGrassman奇で外場Ｋ~_Iも

Ｎ_ＦＰ＝－1なのでGrassman奇です。

最後に外場Ｋ_ｃ^ａは,Ｎ_ＦＰ＝－2で,Grassman

　　偶です。そして,Grassman数の微分は,右微分

か左微分かの違いがあるため,どちらかに統一

する必要がありますが,偶を奇で微分したり,

奇を偶で微分すると奇で,それ以外の量間で

の微分は偶です。そして奇と奇が反可換で

ある以外は,全て可換です。

それ故,(δＳ~/δφ_I)(δＸ/δＫ~_I)

＋(δＳ~/δｃ^ａ)(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)

＝(δＸ/Ｋ~_I)(δＳ~/δＫ~_I)

＋(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)(δＳ~/δＫ^ｃａ)

＝(δ~_ＢΦ_I)(δＳ~/δΦ^I)

＋(δ~_Ｂｃ^ａ)(δＳ~/δｃ^ａ)＝δ~_ＢＳ~

が,Grassman数に対する式として

成立します。

また,(－)^|Ｓ~|{(δＳ~/δＫ~_I)(δＸ/δΦ_I)

＋(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)}

＝(δ_ＢΦ_I)(δＸ/δΦ_I)＋(δ_Ｂｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)

＝δ_ＢＸ　となりまず。

以上から,Ｓ＊Ｘ＝δ~_ＢＳ~＋δ_ＢＸであり,

Ｓ＊Ｘ＝0は,δ~_ＢＳ~＋δ_ＢＸ＝0と同値

であることがわかりました。

(注13-1終わり※)

このδ_ＢＸ＋δ~_ＢＳ~＝0に,Ｓ~の表式:

Ｓ~＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)],(47),および，Ｘの表式:

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)],(48)を代入すれば,

次の方程式を得ます。

すなわち,δ_ＢＬ~(Φ_I)－Ｋ~_Iδ_Ｂ(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_c^aδ_Ｂ(δ~_Ｂｃ^ａ)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)

－Ｋ~_Iδ~_Ｂ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_c^aδ~_Ｂ(δ_Ｂｃ^ａ)

＝0.(51)です。

この方程式は,任意のＫ~_I,Ｋ_c^aについて

成立しなければならない恒等式なので,

δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0,(52)

δ_Ｂδ~_Ｂ＋δ~_Ｂδ_Ｂ＝{δ_Ｂ,δ~_Ｂ}_＋＝0.(53)

なる２つの独立な等式が従います。

(53)は,ＢＲＳ変換δ_Ｂと(47)で定義された

ＢＲＳの類似変換δ~_Ｂが反可換であるという

要請ですが,これはｃ^ａの上では(49-3)の

δ~_Ｂｃ^ａ＝β_ｃ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａと.δ_Ｂｃ^ａ

＝(g/2)(ｃ×ｃ)^ａから,δ~_Ｂ＝β_ｃδ_Ｂとなり,

δ_Ｂδ~_Ｂ＝δ~_Ｂδ_Ｂ＝β_cδ_Ｂ²＝0となるため,

自動的に満足されます。

しかし,Ａ^ａ_μの上では,δ~_ＢＡ^ａ_μ＝∂_μｃ^ａ

－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ,

(49-1)であり,δ_ＢＡ^ａ_μ＝Ｄ_μｃ^ａ＝∂_μｃ^ａ

－ｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃなので,

δ_Ｂδ~_ＢＡ^ａ_μ＝δ_Ｂ(∂_μｃ^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ

－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ)

＝(ｇ/2)∂_μ(ｃ×ｃ)^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃ{(Ｄ_μｃ^ｂ)ｃ^ｃ

＋(ｇ/2)Ａ^ｂ_μ(ｃ×ｃ)^ｃ}－γ_ｄｇｄ_ａｂｃ{Ｄ_μｃ^ｂ}ｃ^ｃ

＋(ｇ/2)Ａ^ｂ_μ(ｃ×ｃ)^ｃ}であり,

一方では,δ~_Ｂδ_ＢＡ^ａ_μ＝δ~_Ｂ(Ｄ_μｃ^ａ)

＝β_c(ｇ/2)Ｄ_μ(ｃ×ｃ)^ａですから,反可換で

要求される,δ_Ｂδ~_ＢＡ^ａ_μ＋δ~_Ｂδ_ＢＡ^ａ_μ＝0.

を満たすには,β_Ａ＝β_c,0,かつ,γ_ｄ＝0.(54)

が必要十分です。

さらに,スカラー場:φ_lの上で成立するため

には,β_φ＝β_ｃ(55)の条件の他,不変テンソル:

(ｄ^ａｂ)_ijが,(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk＝(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jk.(56)を満たすことが必要

となります。

※(注13-2):何故なら,(49-2)から,

δ~_Ｂφ_i＝－β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－γ_φ(iｇ)ｃ^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j　であり,

一方,δ_Ｂφ_i＝－(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_jです。

そして,δ_Ｂ,δ~_Ｂは,ゴースト場:ｃとは

反可換である,と考えられるので,

δ_Ｂ(ｃ^ａφ_i)＝(δ_Ｂｃ^ａ)φ_ｊ－ｃ^ａδ_Ｂφ_j,

δ~_Ｂ(ｃ^ａφ_i)＝(δ~_Ｂｃ^ａ)φ_ｊ－ｃ^ａδ~_Ｂφ_j

です。それ故,δ_Ｂδ~_Ｂφ_l

＝－β_φ(iｇ)(δ_Ｂｃ^ａ)(Ｔ^ａ)_ijφ_j

＋β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(δ_Ｂφ_j)

－γ_φ(iｇ)(δ_Ｂｃ^ａ)(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

＝(－iｇ²/2)β_φ(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－(iｇ)²β_φｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(Ｔ^ｂ)_jkφ_k

－(iｇ²/2)γ_φ(ｃ×ｃ)^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

他方,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i

＝δ~_Ｂ|(－iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j}

＝－iｇ{(δ~_Ｂｃ^ａ)(Ｔ^ａ)_ijφ_j－ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij

×(δ~_Ｂφ_j)

＝－(iｇ²/2)β_c(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－(iｇ)²β_φｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(Ｔ^ｂ)_jkφ_k

－γ_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jkｆ^ｄ_k)

ですから,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i＋δ_Ｂδ~_Ｂφ_i＝0

となるには,ｃがＦＰゴーストで,スピンゼロ

なのにFermionという,奇妙な反交換する場

で,ｃ^ｂｃ^ａ＝－ｃ^ａｃ^ｂであることを考慮

すると,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i＋δ_Ｂδ~_Ｂφ_i

＝(－iｇ²/2)(β_c＋β_φ)(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－β_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ[Ｔ^ａ.Ｔ^ｂ]_ijφ_j

－(iｇ²/2)γ_φ(ｃ×ｃ)^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

－(iｇ)²γ_φｃ^ａｃ^ｂ((Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jkｆ^ｄ_k

と書けます。

ところが.[Ｔ^ａ,Ｔ^ｂ]＝iｆ_ａｂｃＴ^cであり,

定義により,(ｃ×ｃ)^ａ＝ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^ｃなので,

ｃ^ａｃ^ｂ[Ｔ^ａ，Ｔ^ｂ]_ijφ_j

＝iｆ_ａｂｃｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ｃ)_ijφ_j

＝i(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^a)_ijφ_jです。

故に,β_ｃ＝β_φであれば,右辺の第１項と

第２項は相殺して消えます。

第３項については,

γ_φ(－iｇ²/2]ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^ｃ(ｄ^ａｄ)_ikｆ^ｄ_j

－γ_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｃｄ)_jkｆ^ｄ_k}

＝－(γ_φｇ²)[(i/2)ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_ik

－(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk](ｃ^ａｃ^ｂｆ^ｄ_k)＝0

であればいいのですが,(ｃ^ａｃ^ｂｆ^ｄ_k)

がｆ_ａｂｃと同じくａ,ｂの交換について

反対称なのでこれらは独立でなく恒等式

の未定係数法を使うため,１つの独立な組

(ａ,ｂ)の係数を取ってゼロとして,

{(i/2)ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_ik－(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk]

－{(i/2)ｆ_ｂａｃ(ｄ^ｃｄ)_ik－(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk]

＝0　が得られます。

結局,(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk －(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝,iｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jkとなるべきであること

がわかりました。

しかし,この結論は,

(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk＝(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jk.(56)を,満たす必要がある,

とされていた,参考文献の内容と違います。(？)

(注13-2終わり※)

いずれにしろ,(ｄ^ａｂ)_ijは,さらに分解されて

(ｄ^ａｂ)_ik＝(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jk.(57)のようにできる

ことが示唆されています。(※ここで,同じ記号

ｄを使いましたが(57)両辺のｄは別定義です。)

こうして,得られた(56),(57)および,β_φ＝β_ｃ

＝β_Ａ,かつγ_ｄ＝0が,δ_Ｂとδ~_Ｂが反可換で

あることから得られたδ~_Ｂの表現係数に関する

全情報です。

次に,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0,(52)を

　　解いて.Ｌ~(Φ_I)の形を決める必要があります。

まず,(49)で具体的に与えたδ~_Ｂの変換は,元

のＢＲＳ変換:δ_Ｂに係数;β_Ａ＝β_ｃ＝β_φで比例

する部分を抜き出して.その他との和に分割すると,

δ~_Ｂ＝β_Ａδ_Ｂ＋(γ_Ａ－β_Ａ)(∂_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ)

－γ_φ{iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_ｋ}(δ/δφ_i)

(58)となります。

そして,これの右辺第2項,第３項の微分演算

　　は(∂_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ)

＝[(Ｄ_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ),Ａ^ｄ_ν(δ/δＡ^ｄ_ν)]

＝[δ_Ｂ,Ａ^ｓ_μ(δ/δＡ^ａ_μ)].(59-1)

{iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_ｋ}(δ/δφ_i)

＝[iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j(δ/δφ_i).

(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_k(δ/δφ_i)]

＝[δ_Ｂ,(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j(δ/δφ_i)].(59-2)

のように,ＢＲＳ変換:δ_Ｂと何らかの交換関係

の形に書けます。

それ故,δ~_Ｂ＝β_Ａδ_Ｂ

　　＋[δ_Ｂ,(γ_Ａ－β_Ａ)Ａ^ｓ_μ(δ/δＡ^ａ_μ)

－γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j(δ/δφ_i)]　となります。

したがって,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)

＝0は,δ_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0なので,δ_ＢＬ~(Φ_I)

＝δ_Ｂ{(β_Ａ－γ_Ａ)Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j}(∂Ｌ_ＧＩ/∂φ_i)}.(60)

を意味します。

それ故,明らかに。右辺の括弧:{ }の中は(52)

を満たすＬ~(Φ_I)を与える１つの特殊解です。

(52)に対するＬ~(Φ_I)の一般解を得るには,

斉次(同次)方程式δ_ＢＬ~(Φ_I)＝0の一般解を得る

必要がありますが.δ_Ｂが,Φ_I＝(Ａ^ａ_μ,φi)の上

ではゲージ変換に過ぎないので,同次方程式の

一般解はゲージ不変な一般関数です。

結局,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0(52)を

満たすＬ~(Φ_I)の一般解は,Ｌ~(Φ_I)

＝ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)＋β_Ａ－γ_Ａ)Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

＋γ_φ(ｄ^ａ)_jkｆ^ａ_ｋ}(∂Ｌ_ＧＩ/∂φ_i).(61)

で与えられる,ことがわかります。

ところで,Ｌ~(Φ_I)には次元が4以下である,

という条件があったのでｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)の一般形

は,ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)＝α_Ａ{(－1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν}

＋α_φ{(Ｄ_μφ_i)^＋Ｄ^μφi}－α_ｍ(μ²φ_i^＋φ_i)

－α_λ{(λ/2)(φ_i^＋φ_i)²}.(62)で与えられます。

結局,くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解Ｘは,

­Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)](48)である,としていたので,

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].

(63)　と書けることがわかりました。

途中ですが長くなったので,今回はここで

終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(13)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前回は,大局的ゲージ不変という対称性を

持った系の作用積分Ｓと,その有効作用Γを

裸の場を変数として構成した裸のＳ₀とΓ₀

において変数の裸の場を,くりこんだ場と

くりこみ定数Ｚ,ｖ_iで表わしたものに置換

する,という操作によって,くりこんだ有効

作用Γが有限になる,という手法で理論が

ゲージ不変性を保持したままの正則化に

よって,くりこみ可能となることの証明を

志向しました。

以下,これまでの手順の要約を記述します。

まず,上記の証明ため,Γ₀の変数の裸の量に,

くりこんだ量による表式を代入して,計算

すべきΓを,Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹)＋ｈ_c²Γ⁽²)

＋...＋ｈ_c^ｎΓ^(ｎ)＋ｈ_c^(ｎ＋1)Γ^(ｎ＋1)＋...と

摂動展開します。

初項のΓ⁽⁰⁾はΓ⁽⁰⁾＝Ｓにより明らかに有限

なので,以下のΓ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾,..,Γ^(ｎ)が全て有限

にできた,という仮定の下で次のΓ^(ｎ＋1)も有限

になることを示す,という帰納法に頼って証明

する手法を取りました。　

Ｓ,Γには有限な寄与が自明なＮＬ場:Ｂ^ａと

反ゴーストｃ~^ａを含む項があり.これらを除き

Ｓ~.Γ~とすると,満たされるべき基本的なＷＴ

恒等式はΓ~＊Γ~＝0という式で与えられる

ことがわかりました。

ＳとＳ~.ΓとΓ~は,今の証明では本質的に

同じなので同一視してもよく Γ~の代わりに

Γの展開式:Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹)＋ｈ_c²Γ⁽²⁾＋..

＋ｈ_c^ｎΓ^(ｎ)＋ｈ_c^(ｎ＋1)Γ^(ｎ＋1)＋..をΓ~＊Γ~

＝0に代入して,Γ^(ｎ＋１)の発散部分:Γ_div^(ｎ＊1)

を取り出すと,くりこみ方程式:Ｓ~＊Γ_div^(ｎ＊1)

＝0に帰着することが導かれました。

そして,このくりこみ方程式に対しては,

次の命題が成立することが証明できます。

※[命題]:「大局が的ゲージ不変でＦＰ

ゴースト数がゼロ,次元が4以下の局所項から

成る,Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｘが

くりこみ方程式:Ｓ~＊­Ｘ＝0.を満たすとする。

このときＸは,裸の作用積分:

Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]で,Ｚやｖ_iをずらせて得られる

変化分ΔＳ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)

＝δＺ[∂Ｓ/∂Ｚ] _Z=1Vi=0＋δｖi[∂Ｓ/∂ｖ_i]_Z=1Vi=0

の形で与えられる。」

仮に,この命題が証明されたとすると,Ｘが

Ｓ~＊Γ_div(^ｎ＋1)＝0を満たすΓ_div(^ｎ＋1)である場合,

この発散が適切な相殺項で吸収され,有効作用Γ

がｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーのΓ^(n＋1)まで有限となり,

帰納法によるくりこみ可能性の証明が完結する

ことになります。

実際の[命題の証明]においては,結局,

くりこみ可能性の証明はＳ~＊Ｘ＝0の一般解

Ｘが,Ｘ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)の形で

与えられる,という純粋に代数的な命題の証明

に帰着することがわかりました。

そうして,くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解

　　Ｘに関して.次の定理が成立することが

知られています。

※[定理] 「Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａのＦＰゴースト数

がゼロの局所多項式から成る汎関数Ｘで,くりこみ

方程式Ｓ~＊­Ｘ＝0.を満たすものは,必ず,

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

の形に書ける。

ここで,Ｆ_{ゲージ不変}はΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のみで

書かれたゲージ不変な関数で,ＭはＦＰゴースト

数が(－1)の任意の汎関数である。」

この形で書かれる汎関数Ｘがくりこみ方程式:

Ｓ~＊Ｘ＝0を満たすこと(解の十分条件)の証明

は,Ｓ~のＢＲＳ不変性,Ｓ~＊Ｓ~＝0,および,

Jacobi恒等式から従う,演算:(Ｓ~＊)のベキ零性:

つまり,∀Ｘに対しＳ~＊(Ｓ~＊Ｘ)

＝－((1/2)Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ^)＝0.から,容易に

証明できました。 

しかし,証明が自明でない,のは,逆の解と

なるための必要性の方です。

この定理は大変有用なものですが,一般的証明

　　は,かなり面倒なので,この必要性の詳細証明は,

既存の文献に譲って,ここでの記述は割愛します。

と書いて,前回までの記事は終わりました。

さて,ここからは,今回のその続きです。

ＸがＳ~＊Ｘ＝0の解となるための必要要性の

一般的証明は,かなり面倒なので割愛する,と述べ

ましたが,今,必要なのはＸが,次元4以下の局所

項から成る大局的ゲージ不変な場合で,この場合

に限れば,次のようにして,解の必要性も容易に

証明できます。以下は,この証明手順です。

※[必要性の証明]:話を明確にするために物質場

φ_iとしては,ゲージ群:Ｇのある既約表現に属する

スカラー場のみが存在する系の場合を考えます。

(※もっとも,可約表現の場合や,スピノル場が存在

する場合でも本質的には同じように証明可能です。)

系のゲージ不変なLagrangian密度Ｌ_ＧＩが,

Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＝－（1/4）Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν

＋(Ｄ_μφi)^＋Ｄ^μφ_i－μ^２φ_i^＋φ_i－(λ/2)(φ_i^＋φ_i)².

(46)で与えられる場合を考察します。

このとき,外場を付加した作用積分:Ｓ~は,Ｓ~

＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)]

(47)という形に書くことができます。

,ただし,δ_ＢΦ_I＝Ｄ_I^ａｃ^ａ,δ_Ｂｃ^ａ＝(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ

です。一方,問題のＸは,次元が4以下の局所項から成る

ＦＰゴースト数:Ｎ_ＦＰが0の大局的ゲージ不変な汎関数

である,と仮定されています。

ところで,外場Ｋ:~_Iは,Ｎ_ＦＰ＝－1で次元は２,

外場:Ｋ_ｃ^aは,Ｎ_ＦＰ＝－2で次元は２です。

(※何故なら,dim(Ｌ)＝4ですが,dim­(ｃ^ａ)＝1,

dim(ｇ)＝0なので,dim(δ_ＢΦ_I)＝dim(Ｄ_Iｃ^ａ)

＝2であり,dim(δ_Ｂｃ^ａ)＝dim{(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ}

＝2でぁるからです。

また,一般線形ゲージ中の係数ｆ^ａ_IはＮ_ＦＰ＝0

　　で次元が1の量であることから,ＢＲＳ変換:δ_Ｂ

に似たＧ群に属する変換の演算子δ~_Ｂを導入して

Ｓ~と同様,Ｘが次のように書けるとします。

つまり,Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)],(48)とします。

未知の演算子δ~_Ｂは,δ~_ＢΦ_Iが,δ~_ＢＡ^ａ_μ

＝∂_μｃ^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ

－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ,(49-1),および,δ~_Ｂφ_i

＝－β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－γ_φ(iｇ)ｃ^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j(49－2)

の組で与えられ,ゴースト項の変換がδ~_Ｂｃ^ａ

＝β_ｃ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ＝β_ｃ(ｇ/2)ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^c.

(49-3)と書ける一般形で与えられる,とします。

一見,δ~_Ｂφ_iには,δ^ａiｃ^ａのような項が

あってもよいように見えますが,系がφ_i→ －φ_i,

ｆ^a_i→ －ｆ^a_iなる変換の下での不変性を持つので,

こうした項の存在は許されません。

(※つまりδ~_Ｂ(－φ_i)＝－δ_Ｂ~φ_iが成り立つ必要

があるので,δ^ａｉｃ^ａのような項は存在不可能です。)

ここで,Ｌ~(Φ_I)は,Φ_I＝(Ａ^ａ_μ,φi)のみの次元

が4以下の関数,γ_Ａ,γ_d,γ_φ,β_Ａ,β_φ,β_ｃは任意の

係数,ｄ_ａｂｃはＴr(Ｔ^ａＴ^ｂＴ^ｃ)に比例する対称不変

テンソル,(ｄ^ａｂ)_ijは,φ_iの表現行列:(Ｔ^ａ)_ijや

ｄ_ａｂｃなどのゲージ群Ｇの不変テンソルで構成

される(存在すれば)添字が(^ａｂ_ij)の不変テンソル

です。

そしてＸがくりこみ方程式：Ｓ~＊Ｘ＝0を

満たすべき,という要請は,先に(49)で場に対する

変換性を具体的に示したＢＲＳ変換に類似した

変換::δ~_Ｂを,(δＸ/δＫ~_I)(δ/δΦ_I)

＋(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)(δ/δｃ^ａ)

＝(δ~_ＢΦ_I)(δ/δΦ_I)＋(δ~_Ｂｃ^ａ)(δ/δｃ^ａ)

＝δ~_Ｂ.(50)を満たす演算子と見れば,

ＸとＳ~がδ_ＢＸ＋δ~_ＢＳ~＝0,なる式を

満たすべき,ことを意味するとわかります。

※(注13-1):何故なら「くりこみ理論11)」での

任意のＦ,Ｇに対するＦ＊Ｇの定義:(31):

Ｆ＊Ｇ＝(δＦ/δΦ_I)(δＧ/δＫ~_I)

＋(δＦ/δｃ^ａ)(δＧ/δＫ_ｃ^ａ)

＋(－)^|Ｆ|{(δＦ/δＫ~_I)(δＧ/δΦ_I)

＋(δＦ/δＫ_ｃ^ａ)(δＧ/δｃ^ａ)}により,

Ｓ~＊Ｘ＝,(δＳ~/δΦ_I)(δＸ/δＫ~_I)

＋(δＳ~/δｃ^ａ)(δＸ/δＫ_c^ａ)

＋(－)^|Ｓ~|{(δＳ~/δＫ~_I)(δＸ/δΦ_I)

＋(δＳ/δＫ_ｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)}です。

ところが,Ｘはゴースト数:Ｎ_ＦＰがゼロ

なので,Grassman偶であり,Ｓ~もそうです。

さらに,Φ_IもGrassmann偶です。

しかし,ｃ^ａはGrassman奇で外場Ｋ~_Iも

Ｎ_ＦＰ＝－1なのでGrassman奇です。

最後に外場Ｋ_ｃ^ａは,Ｎ_ＦＰ＝－2で,Grassman

　　偶です。そして,Grassman数の微分は,右微分

か左微分かの違いがあるため,どちらかに統一

する必要がありますが,偶を奇で微分したり,

奇を偶で微分すると奇で,それ以外の量間で

の微分は偶です。そして奇と奇が反可換で

ある以外は,全て可換です。

それ故,(δＳ~/δφ_I)(δＸ/δＫ~_I)

＋(δＳ~/δｃ^ａ)(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)

＝(δＸ/Ｋ~_I)(δＳ~/δＫ~_I)

＋(δＸ/δＫ_ｃ^ａ)(δＳ~/δＫ^ｃａ)

＝(δ~_ＢΦ_I)(δＳ~/δΦ^I)

＋(δ~_Ｂｃ^ａ)(δＳ~/δｃ^ａ)＝δ~_ＢＳ~

が,Grassman数に対する式として

成立します。

また,(－)^|Ｓ~|{(δＳ~/δＫ~_I)(δＸ/δΦ_I)

＋(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)}

＝(δ_ＢΦ_I)(δＸ/δΦ_I)＋(δ_Ｂｃ^ａ)(δＸ/δｃ^ａ)

＝δ_ＢＸ　となりまず。

以上から,Ｓ＊Ｘ＝δ~_ＢＳ~＋δ_ＢＸであり,

Ｓ＊Ｘ＝0は,δ~_ＢＳ~＋δ_ＢＸ＝0と同値

であることがわかりました。

(注13-1終わり※)

このδ_ＢＸ＋δ~_ＢＳ~＝0に,Ｓ~の表式:

Ｓ~＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ_Ｂｃ^ａ)],(47),および，Ｘの表式:

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)],(48)を代入すれば,

次の方程式を得ます。

すなわち,δ_ＢＬ~(Φ_I)－Ｋ~_Iδ_Ｂ(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_c^aδ_Ｂ(δ~_Ｂｃ^ａ)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)

－Ｋ~_Iδ~_Ｂ(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_c^aδ~_Ｂ(δ_Ｂｃ^ａ)

＝0.(51)です。

この方程式は,任意のＫ~_I,Ｋ_c^aについて

成立しなければならない恒等式なので,

δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0,(52)

δ_Ｂδ~_Ｂ＋δ~_Ｂδ_Ｂ＝{δ_Ｂ,δ~_Ｂ}_＋＝0.(53)

なる２つの独立な等式が従います。

(53)は,ＢＲＳ変換δ_Ｂと(47)で定義された

ＢＲＳの類似変換δ~_Ｂが反可換であるという

要請ですが,これはｃ^ａの上では(49-3)の

δ~_Ｂｃ^ａ＝β_ｃ(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａと.δ_Ｂｃ^ａ

＝(g/2)(ｃ×ｃ)^ａから,δ~_Ｂ＝β_ｃδ_Ｂとなり,

δ_Ｂδ~_Ｂ＝δ~_Ｂδ_Ｂ＝β_cδ_Ｂ²＝0となるため,

自動的に満足されます。

しかし,Ａ^ａ_μの上では,δ~_ＢＡ^ａ_μ＝∂_μｃ^ａ

－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ,

(49-1)であり,δ_ＢＡ^ａ_μ＝Ｄ_μｃ^ａ＝∂_μｃ^ａ

－ｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃなので,

δ_Ｂδ~_ＢＡ^ａ_μ＝δ_Ｂ(∂_μｃ^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ

－γ_ｄｇｄ_ａｂｃＡ^ｂ_μｃ^ｃ)

＝(ｇ/2)∂_μ(ｃ×ｃ)^ａ－β_Ａｆ_ａｂｃ{(Ｄ_μｃ^ｂ)ｃ^ｃ

＋(ｇ/2)Ａ^ｂ_μ(ｃ×ｃ)^ｃ}－γ_ｄｇｄ_ａｂｃ{Ｄ_μｃ^ｂ}ｃ^ｃ

＋(ｇ/2)Ａ^ｂ_μ(ｃ×ｃ)^ｃ}であり,

一方では,δ~_Ｂδ_ＢＡ^ａ_μ＝δ~_Ｂ(Ｄ_μｃ^ａ)

＝β_c(ｇ/2)Ｄ_μ(ｃ×ｃ)^ａですから,反可換で

要求される,δ_Ｂδ~_ＢＡ^ａ_μ＋δ~_Ｂδ_ＢＡ^ａ_μ＝0.

を満たすには,β_Ａ＝β_c,0,かつ,γ_ｄ＝0.(54)

が必要十分です。

さらに,スカラー場:φ_lの上で成立するため

には,β_φ＝β_ｃ(55)の条件の他,不変テンソル:

(ｄ^ａｂ)_ijが,(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk＝(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jk.(56)を満たすことが必要

となります。

※(注13-2):何故なら,(49-2)から,

δ~_Ｂφ_i＝－β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－γ_φ(iｇ)ｃ^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j　であり,

一方,δ_Ｂφ_i＝－(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_jです。

そして,δ_Ｂ,δ~_Ｂは,ゴースト場:ｃとは

反可換である,と考えられるので,

δ_Ｂ(ｃ^ａφ_i)＝(δ_Ｂｃ^ａ)φ_ｊ－ｃ^ａδ_Ｂφ_j,

δ~_Ｂ(ｃ^ａφ_i)＝(δ~_Ｂｃ^ａ)φ_ｊ－ｃ^ａδ~_Ｂφ_j

です。それ故,δ_Ｂδ~_Ｂφ_l

＝－β_φ(iｇ)(δ_Ｂｃ^ａ)(Ｔ^ａ)_ijφ_j

＋β_φ(iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(δ_Ｂφ_j)

－γ_φ(iｇ)(δ_Ｂｃ^ａ)(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

＝(－iｇ²/2)β_φ(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－(iｇ)²β_φｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(Ｔ^ｂ)_jkφ_k

－(iｇ²/2)γ_φ(ｃ×ｃ)^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

他方,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i

＝δ~_Ｂ|(－iｇ)ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j}

＝－iｇ{(δ~_Ｂｃ^ａ)(Ｔ^ａ)_ijφ_j－ｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij

×(δ~_Ｂφ_j)

＝－(iｇ²/2)β_c(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－(iｇ)²β_φｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(Ｔ^ｂ)_jkφ_k

－γ_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jkｆ^ｄ_k)

ですから,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i＋δ_Ｂδ~_Ｂφ_i＝0

となるには,ｃがＦＰゴーストで,スピンゼロ

なのにFermionという,奇妙な反交換する場

で,ｃ^ｂｃ^ａ＝－ｃ^ａｃ^ｂであることを考慮

すると,δ~_Ｂδ_Ｂφ_i＋δ_Ｂδ~_Ｂφ_i

＝(－iｇ²/2)(β_c＋β_φ)(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－β_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ[Ｔ^ａ.Ｔ^ｂ]_ijφ_j

－(iｇ²/2)γ_φ(ｃ×ｃ)^ａ(ｄ^ａｂ)_ijｆ^ｂ_j

－(iｇ)²γ_φｃ^ａｃ^ｂ((Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jkｆ^ｄ_k

と書けます。

ところが.[Ｔ^ａ,Ｔ^ｂ]＝iｆ_ａｂｃＴ^cであり,

定義により,(ｃ×ｃ)^ａ＝ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^ｃなので,

ｃ^ａｃ^ｂ[Ｔ^ａ，Ｔ^ｂ]_ijφ_j

＝iｆ_ａｂｃｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ｃ)_ijφ_j

＝i(ｃ×ｃ)^ａ(Ｔ^a)_ijφ_jです。

故に,β_ｃ＝β_φであれば,右辺の第１項と

第２項は相殺して消えます。

第３項については,

γ_φ(－iｇ²/2]ｆ_ａｂｃｃ^ｂｃ^ｃ(ｄ^ａｄ)_ikｆ^ｄ_j

－γ_φ(iｇ)²ｃ^ａｃ^ｂ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｃｄ)_jkｆ^ｄ_k}

＝－(γ_φｇ²)[(i/2)ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_ik

－(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk](ｃ^ａｃ^ｂｆ^ｄ_k)＝0

であればいいのですが,(ｃ^ａｃ^ｂｆ^ｄ_k)

がｆ_ａｂｃと同じくａ,ｂの交換について

反対称なのでこれらは独立でなく恒等式

の未定係数法を使うため,１つの独立な組

(ａ,ｂ)の係数を取ってゼロとして,

{(i/2)ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_ik－(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk]

－{(i/2)ｆ_ｂａｃ(ｄ^ｃｄ)_ik－(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk]

＝0　が得られます。

結局,(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk －(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝,iｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jkとなるべきであること

がわかりました。

しかし,この結論は,

(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂｄ)_jk＝(Ｔ^ｂ)_ij(ｄ^ａｄ)_jk

＝ｆ_ａｂｃ(ｄ^ｃｄ)_jk.(56)を,満たす必要がある,

とされていた,参考文献の内容と違います。(？)

(注13-2終わり※)

いずれにしろ,(ｄ^ａｂ)_ijは,さらに分解されて

(ｄ^ａｂ)_ik＝(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jk.(57)のようにできる

ことが示唆されています。(※ここで,同じ記号

ｄを使いましたが(57)両辺のｄは別定義です。)

こうして,得られた(56),(57)および,β_φ＝β_ｃ

＝β_Ａ,かつγ_ｄ＝0が,δ_Ｂとδ~_Ｂが反可換で

あることから得られたδ~_Ｂの表現係数に関する

全情報です。

次に,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0,(52)を

　　解いて.Ｌ~(Φ_I)の形を決める必要があります。

まず,(49)で具体的に与えたδ~_Ｂの変換は,元

のＢＲＳ変換:δ_Ｂに係数;β_Ａ＝β_ｃ＝β_φで比例

する部分を抜き出して.その他との和に分割すると,

δ~_Ｂ＝β_Ａδ_Ｂ＋(γ_Ａ－β_Ａ)(∂_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ)

－γ_φ{iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_ｋ}(δ/δφ_i)

(58)となります。

そして,これの右辺第2項,第３項の微分演算

　　は(∂_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ)

＝[(Ｄ_μｃ^ａ)(δ/δＡ^ａ_μ),Ａ^ｄ_ν(δ/δＡ^ｄ_ν)]

＝[δ_Ｂ,Ａ^ｓ_μ(δ/δＡ^ａ_μ)].(59-1)

{iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ij(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_ｋ}(δ/δφ_i)

＝[iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j(δ/δφ_i).

(ｄ^ｂ)_jkｆ^ｂ_k(δ/δφ_i)]

＝[δ_Ｂ,(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j(δ/δφ_i)].(59-2)

のように,ＢＲＳ変換:δ_Ｂと何らかの交換関係

の形に書けます。

それ故,δ~_Ｂ＝β_Ａδ_Ｂ

　　＋[δ_Ｂ,(γ_Ａ－β_Ａ)Ａ^ｓ_μ(δ/δＡ^ａ_μ)

－γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j(δ/δφ_i)]　となります。

したがって,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)

＝0は,δ_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0なので,δ_ＢＬ~(Φ_I)

＝δ_Ｂ{(β_Ａ－γ_Ａ)Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j}(∂Ｌ_ＧＩ/∂φ_i)}.(60)

を意味します。

それ故,明らかに。右辺の括弧:{ }の中は(52)

を満たすＬ~(Φ_I)を与える１つの特殊解です。

(52)に対するＬ~(Φ_I)の一般解を得るには,

斉次(同次)方程式δ_ＢＬ~(Φ_I)＝0の一般解を得る

必要がありますが.δ_Ｂが,Φ_I＝(Ａ^ａ_μ,φi)の上

ではゲージ変換に過ぎないので,同次方程式の

一般解はゲージ不変な一般関数です。

結局,δ_ＢＬ~(Φ_I)＋δ~_ＢＬ_ＧＩ(Φ_I)＝0(52)を

満たすＬ~(Φ_I)の一般解は,Ｌ~(Φ_I)

＝ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)＋β_Ａ－γ_Ａ)Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

＋γ_φ(ｄ^ａ)_jkｆ^ａ_ｋ}(∂Ｌ_ＧＩ/∂φ_i).(61)

で与えられる,ことがわかります。

ところで,Ｌ~(Φ_I)には次元が4以下である,

という条件があったのでｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)の一般形

は,ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)＝α_Ａ{(－1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν}

＋α_φ{(Ｄ_μφ_i)^＋Ｄ^μφi}－α_ｍ(μ²φ_i^＋φ_i)

－α_λ{(λ/2)(φ_i^＋φ_i)²}.(62)で与えられます。

結局,くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解Ｘは,

­Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ~(Φ_I)＋Ｋ~_I(δ~_ＢΦ_I)

＋Ｋ_ｃ^ａ(δ~_Ｂｃ^ａ)](48)である,としていたので,

Ｘ＝∫ｄ⁴ｘ[ｆ_{ゲージ不変}(Φ_I)

＋β_Ａ{Ｋ~_I(δ_ＢΦ_I)＋Ｋ_ｃａ(δ_Ｂｃ^ａ)}

＋(β_Ａ－γ_Ａ){Ａ^ａ_μ(∂Ｌ_ＧＩ/∂Ａ^ａ_μ)

－Ｋ~^ａ_μ(∂_μｃ^ａ)}

＋γ_φ(ｄ^ａ)_ijｆ^ａ_j{∂(Ｌ_ＧＩ＋Ｋ~_iδ_Ｂφ_i)/∂φ_j}].

(63)　と書けることがわかりました。

途中ですが長くなったので,今回はここで

終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(12)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前回は,第７章ＢＰＨＺくりこみで,

(対称性とくりこみ)の項において,大局的

ゲージ不変性を有する理論が,その対称性

を保持したまま,次元正則化で,くりこみ

可能であることを示すことを目的に考察

しました。

そのため,系のLagrangianに外場を付加

した作用積分Ｓとその有効作用Γを裸の場で

構成した裸の作用:Ｓ₀と裸の有効作用Γ₀に

おける.裸の場をくりこんだ場とくりこみ定数

Ｚとｖiで表わしたものを代入して置き換える,

という操作で,これらが,くりこまれた有限なＳ

とΓに帰着する.ことを摂動論的に証明するため

に導入したPoisson括弧に類似した演算＊を

用いて,有効作用ΓからＢ^ａとｃ~^ａへの自明な

依存性を除いた部分:Γ~が満足すべき基本的

ＷＴ方程式が.Γ~＊Γ~＝0.(34)という式の形

で与えられることを見たところで,記事を

終えました。

今回は,その続きです。

前回で準備が整ったので,以下,本題の

有効作用Γ(実は,裸のΓ₀ に同じ)のｈ_cによる

摂動ベキ展開:Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹⁾＋ｈ_c²Γ⁽²⁾＋.

(25)の各項:ｈ_c^ｎΓ^（ｎ）が有限になる,ということ

を,先のＷＴ恒等式:Γ~＊Γ~＝0(34)に基づいて,

帰納法で証明します。

(ⅰ)まず,ｎ＝0のtreeレベルでの有効作用

Γ⁽⁰⁾ですが,これは,Planck定数ｈ_cを含む量子

効果が全くない古典的な作用積分の

Ｓ⁽⁰⁾＝Ｓ[Φ~,Ｋ；ｇ_,ｆ_,α]＝Ｓ.(24)に等しく,

それ故,明らかに有限です。

しかも,ΓとΓ~の違いは,(27)のΓ＝Γ~

＋∫ｄ⁴ｘ[Ｂ^ａｆ^ａ_ＩΦ_Ｉ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ]という

Γ~の定義式にあるように,treeレベルの寄与を

与える項のみですから,初項Γ(⁰⁾ではΓ~をΓ

の代わりに用いて論じてもよいということに

なります。さらに,Γ⁽⁰⁾＝Ｓ⁽⁰⁾＝Ｓ,Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ~

より,Γ－Γ~＝Γ⁽⁰⁾－Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ－Ｓ~であり,

この差はtreeレベルと考えられるので.ｎ≧1

のloop積分を含む項ではΓ~^(ｎ)＝Γ^(ｎ)です。　

(ⅱ)次に,ｎ≧1のｈ_c^ｎのオーダーまで,

くりこみ定数Ｚ,および,ｖ_iを,それらをベキ

展開した.(Ｚ)_n＝1＋ｈ_cＺ⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ⁽²⁾ ＋..

＋ｈ_c^ｎＺ^(ｎ),および,(ｖ_i)_ｎ＝0＋ｈ_cｖ_i⁽¹⁾＋

ｈ_c²ｖ_i⁽²⁾ ＋..＋ｈ_c^ｎｖi^(ｎ).(35)に置き換えて

Γ⁽⁰⁾,Γ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾,..Γ^(ｎ)が全て有限にできた,

と仮定します。そこで.Ｚやｖ_iに,上記の(35)

式,つまり,((ｎ＋1)次以降のＺ^(ｎ＋ｋ),ｖ_i^(ｎ＋ｋ)

(ｋ≧1)を全てゼロとしたもの.に置換して

(23)のＳ₀＝Ｓ[Φ₀~,Ｋ₀；ｇ_0,ｆ_0,α₀]

＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]

に,Ｚとして(Ｚ)_ｎを.ｖ_iとして(ｖ_i)_ｎを代入

した作用積分:(Ｓ₀)_ｎ＝Ｓ[(Ｚ₃)_ｎ^1/Ａ^ａ_μ,....,

(Ｚ~₃)_ｎ^1/2Ｋ^ａ_μ；(Ｚ₁)_ｎ(Ｚ₃)_ｎ^-3/2ｇ_,.]

＝Ｓ⁽⁰⁾＋ｈ_cＳ⁽¹⁾＋..＋ｈ_c^ｎＳ^(ｎ)

＋ｈ_c^(ｎ＋1)(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ＋ｈ_c^(ｎ＋2)(Ｓ(^(ｎ＋2))_ｎ

＋…　(36)に基づき,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーの

有効作用Γ^(ｎ＋1)を計算します。

(※上記の(36)の展開において,ｈ_ｃの(ｎ次以下

のＳ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)を.(Ｓ^(ｍ))_ｎとしなかった理由

は,Ｚやｖ_iの(ｎ＋1)次以降の値:Ｚ(^ｎ＋ｋ)や

ｖ_i^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)を,どう取っても,それらに影響

しないからです。※)

　一方,(ｎ＋1)次以降のＳ^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)は,

それらＺ^(ｎ＋ｋ),ｖ_i^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)に依存します。

しかし,(Ｓ^(ｎ＋ｋ))_ｎ(ｋ≧1)の方は,Ｚ^(ｎ＋ｋ)＝0,

ｖ_i^(ｎ＋ｋ)＝0(ｋ≧1)と取ったときの相殺項に相当

するものです。

特に,(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎはｈ_cのｎ次以下のＺ^(ｍ),ｖi^(ｍ)

(ｍ≦ｎ)の積で表わされる,ｈ_cの(ｎ＋1)次の相殺項

となるもの.を意味します。

(※例えば,Ａ_μの4次項:－(1/4)ｇ₀²(Ａ_0μ×Ａ_0ν)²

＝－(1/4)Ｚ₁²Ｚ₃^-1ｇ²(Ａ_μ×Ａ_ν)²からは,

Ｚ₁^(ｍ)Ｚ_i^(ｋ)(Ｚ₃(^ｌ))^ｐ(ただし,ｍ＋ｋ＋ｐｌ

＝ｎ＋１,0≦ｍ,ｋ,ｌ,ｐ≦ｎ）の係数を持つ,,,

(ｎ＋1)次の相殺項が現われます。

何故なら,例えばＺ₃^-1＝(1＋ｈ_cＺ₃⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ₃⁽²⁾

＋..)^-1＝1－ｈ_cＺ₃⁽¹⁾＋(ｈc²/2)Ｚ₃⁽²⁾－.etc.

です。※)

さて,Γ^(ｎ＋1)の計算は,帰納法の仮定により,

Γ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)が全て有限ですから,それらに効く

各々のFeynmanグラフにおいて全ての内部グラフ

は既に有限になっており,出現する可能な発散は,

最後の一番外側のloop積分を実行したとき初めて

現われるもの,つまり,「overallの発散」のみで

ある,と,考えられます。

そして,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーでoverallの発散

が現われるグラフは,もちろん,loop積分が１個

以上はあるので,その内部にはｎ次以下の相殺項

のＳ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)しか,含むことはできず,そこで

Ｚやｖ_iの(ｎ＋1)次以上の項;Ｚ^(ｎ＋ｋ)やｖ_i^(ｎ＋ｋ)

(ｋ≧1)の取り方には依存しません。

それ故,このoverallの寄与の総和を

Γ_overall^(ｎ＋1)[Σ_m=0ⁿＳ^(ｍ)]と記すことにすれば,

ｎ次の作用積分:(Ｓ₀)_ｎ＝Ｓ[(Ｚ₃)_ｎ^1/Ａ^ａ_μ,

....,(Ｚ~₃)_ｎ^1/2Ｋ^ａ_μ；(Ｚ₁)_ｎ(Ｚ₃)_ｎ^-3/2ｇ_,.]

に基づく(ｎ＋1)次のΓ^(ｎ＋1)項の発散部分

は,Γ_div^(ｎ＋1)＝ Γ_overall^(ｎ＋1)[Σ_m=0ⁿＳ^(ｍ)]

＋(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ(37)と表わせます。

ただし,右辺の(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎは,ｎ次以下の,

Ｚ^(ｍ),ｖ_i^(ｍ)(ｍ≦ｎ)の積のみで作られる

(ｎ＋1)次の相殺項です。

ここで,重要な点はoverallの発散:

Γ_div^(ｎ＋1)は,以前「ＢＰＨＺくりこみ」の

項で述べたように,外線運動量に関して有限次

までで,場の次元数を数えると,4次以下の局所

的項しか現われない。ということです。

※(注12-1):過去記事「くりこみ理論(7)では,

クラフ:Γの見掛けの発散次数ω(Γ)を与える

公式:ω(Γ)＝4－Ｅ_Ｂ－(3/2)Ｅ_Ｆ＋Σｎ_iδ_i(7)

により,ω(Γ)≧0となって発散するグラフΓ

は,Ｅ_Ｂ＋(3/2)Ｅ_Ｆ(外線場の次元)≦4.(8)の

場合のみです。と記述しました。

それ故,今のdim(Ｌ_i^int)≦4の場合にω(Γ)≧0

で発散する条件は,Ｅ_Ｂ＋(3/2)Ｅ_Ｆ≦4です。

(注12-1終わり※)

さて,(37)の(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎも,もちろん相殺項で

発散項ですから,系の裸のLagrangianの作用積分:

Ｓ₀と同様,上記の性質を持つので,(37)のΓ_div^(ｎ＋1)

も次元4以下の局所的項のみから成っています。

このような局所的項の積分形で与えられる

汎関数を一般に,局所的汎関数と呼びます。

一方,ＷＴ恒等式:Γ~＊Γ~＝0 (34)は,ｈ_cの値

に依らず(Ｚやｖiの値にも依らず)成立する式です。

つまり,これはｈ_cについての恒等式ですから,Γ~を

ｈ_cのベキで摂動展開して,左辺のΓ~＊Γ~に代入し

ｈ_c^(ｎ＋1)の項を取り出すとき,その係数はゼロです。

つまり,Γ~⁽⁰⁾＊Γ~^(ｎ＋1)＋Γ~(¹⁾＊Γ~^(ｎ)

＋Γ~⁽²⁾＊Γ~^(ｎ－1)＋..＝0.(38) が成立します。

先述のようにΓ~^(ｍ)＝Γ(ｍ)(ｍ≧1)であり,

そして,左辺の第２項以下は,帰納法の仮定により

有限です。したがって,この式の発散部分のみを

取り出せば,それは左辺のΓ~⁽⁰⁾＊Γ_div^(ｎ＋1)であり

右辺の0の中には,もちろん発散部分はありません。

(※この発散部分は,今の次元正則化の場合,

時空の次元をｄとすると,(ｄ－4)^-ｋ(ｋ≧1)の形

の極の項であり,１つのloop積分で1/(ｄ－4)の

特異性は１次ずつしか出ないのでΓ^(ｎ＋1)の特異性

は1/(ｄ－4),1/(ｄ－4)²,..1/(ｄ－4)^(ｎ＋1)まで

です。※)

そして,Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ~⁽⁰)＝Ｓ~ですから,結局,

Ｓ~＊Γ_div^(ｎ＋1)＝0.(39)なる式を得ます。

この式は,Γ^(ｎ＋1)にどのような発散が現われ

得るか？を規定する方程式であり,一般に,

「くりこみ方程式(renormalization equation)」

と呼ばれています。

このくりこみ方程式に対しては,次の命題が

成立することを証明できます。

※[命題]:「大局的ゲージ不変でＦＰゴースト数が

ゼロ,次元が4以下の局所項から成る,Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,

Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｘがくりこみ方程式:Ｓ~＊­Ｘ＝0.

(40)を満たすとする。このときＸは,(23) の裸の

作用積分:Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]で,Ｚやｖ_iをずらせて得られる

変化分;ΔＳ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)

＝δＺ[∂Ｓ/∂Ｚ] _Z=1Vi=0＋δｖi[∂Ｓ/∂ｖ_i]_Z=1Vi=0

(41)の形で与えられる。

ただし,ＳとＳ~の差はtreeレベルで,その

差は,Ｚやｖ_iには依らないので上記の(41)では

ＳをＳ~に置き換えて同一視してもよい。」

そして,仮に,この命題が証明されたとすると

今のＸが,Ｓ~＊Γ_div(^ｎ＋1)＝0を満たすΓ_div(^ｎ＋1)

である場合,これがΓ_div(^ｎ＋1)＝α_Ｚ^(ｎ＋1)(Δ_ｚＳ)

＋β_i^(ｎ＋1)(Δ_ｖiＳ)の形に書けることを意味します。

ところが,この形の発散項は,Ｚやｖ_iを(35)

のｎ次までの(Ｚ)_ｎや,(ｖ_i)_ｎから次に定義する値:

(Ｚ)_ｎ＋1＝(Ｚ)_ｎ＋ｈ_c^(ｎ＋1)Ｚ^(ｎ＋1),および,(ｖ_i)_ｎ+1

＝(vi)_ｎ,＋ｈ_c^(ｎ＋1)ｖ_i(^ｎ＋1).(42)へとずらした

ときに生じるｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーの新たな相殺項:

Ｓ^(ｎ＋1)－(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ＝Ｚ^(ｎ＋1)(Δ_ＺＳ)

＋ｖ_i^(ｎ＋1)(Δ_viＳ)(43)により,Ｚ^(ｎ＋1)＝－α_Ｚ^(ｎ＋1),

かつ,ｖ_i^(ｎ＋1)＝－β_i^(ｎ＋1)と選べば,丁度. Γ_div(^ｎ＋1)

が吸収されます。

それ故,(42)の(Ｚ)_ｎ＋1,および,(ｖ_i)_ｎ+1を(23)

の作用:Ｓ₀に代入した作用:(Ｓ₀)_ｎ＋1に基づいた

有効作用Γは,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーのΓ^(n＋1)まで

有限となり,帰納法によるくりこみ可能性の証明

が完結したことになります。

では,以下,実際に[命題の証明]です。

[証明]:結局,くりこみ可能性の証明は

くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0(40)の一般解Ｘ

が,Ｘ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)(41),

の形で与えられる,という純粋に代数的な命題

の証明に帰着することがわかりました。

くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解Ｘに関しては.

次元が4以下,大局的ゲージ不変という制限の

ない,次の定理が成立することが知られています。

[定理] 「Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａのＦＰゴースト数

がゼロの局所多項式から成る汎関数Ｘで,くりこみ

方程式Ｓ~＊­Ｘ＝0.(40)を満たすものは,必ず,

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

(44)の形に書ける。

ここで,Ｆ_{ゲージ不変}はΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のみで書かれた

ゲージ不変な関数で,ＭはＦＰゴースト数が(－1)

の任意の汎関数である。

(44)の形で書かれる汎関数Ｘがくりこみ方程式:

Ｓ~＊Ｘ＝0を満たすこと(解の十分条件)は,Ｓ~の

ＢＲＳ不変性,Ｓ~＊Ｓ~＝0,および,Jacobi恒等式

から従う,演算:(Ｓ~＊)のベキ零性:つまり,

∀Ｘに対しＳ~＊(Ｓ~＊Ｘ)＝－((1/2)Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ^)

＝0.(45)から,自明です。

すなわち,∀Ｆ,ＧについてＦ＊Ｇ~

＝(－)^{(|Ｆ｜＋1)}Ｇ＊Ｆという＊演算の対称性から,

ＧがＦに等しいならＦ＊Ｆ＝－Ｆ＊Ｆとなり,,

Ｆ＊Ｆ＝0が成立するので,Ｓ~＊Ｓ~＝0は自明

です。

一方,Jacobi恒等式から,Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｘ)

＋(－)^|Ｘ|Ｓ~(Ｘ＊Ｓ~)

＋(－)^{2(｜Ｘ｜＋１)}Ｘ＊(Ｓ~*Ｓ~)＝0ですが,

Ｓ~はGrassmann偶なので,Ｘ*Ｓ~＝－Ｓ~＊Ｘであり,

ＸはＦＰゴースト数－1)でGrassman奇ですから,

2Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｘ)＝－Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ~)＝0

が得られます。

それ故,特にＳ~＊(Ｓ~＊Ｍ)＝0です。

また,ＦがΦ_Iのみの関数であれば,

Ｓ~＊Ｆ＝(δＳ~/δＫ~_I)(δＦ/δΦ_I)

＋(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)(δＦ/δｃ^ａ)

＋(－)^|Ｓ~|{(δＦ/δＫ~_I)(δＳ~/δΦ_I)

＋(δＦ/δＫ_ｃ^ａ)(δＳ~/δｃ^ａ)}

＝(δ_ＢΦ_I)(δＦ/δΦ_I)＝δ_ＢＦです。

そこで,Ｆがゲージ不変な関数:Ｆ_{ゲージ不変}

なら,それは,ＢＲＳ不変なので右辺はゼロです。

つまり,Ｓ~＊Ｆ_{ゲージ不変}＝0です。

したがって,Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}＋Ｓ~＊Ｍの形なら,

Ｓ~＊Ｘ＝Ｓ~＊Ｆ_{ゲージ不変}＋Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｍ)＝0

となります。

以上から,(44)の形のＸがくりこみ方程式

Ｓ~＊Ｘ＝0の解となるための十分条件を満たす

ことが証明されました。

しかし,証明が自明でない,のは逆の解となる

ための必要条件の方です。

この定理は過去記事「ゲージ場の理論(33)」

で記述した,第５章の§5-10で述べた観測可能量

の一般形に関する定理:§5－10(23)を,外場項:Ｋ~_I,

Ｋ_ｃ^ａを含む場合に拡張したものに相当し,大変有用

なものですが,一般的証明はかなり面倒なので,この

必要性の詳細証明は,観測可能量の定理の場合と同様,

既存の文献に譲って,ここでの記述は割愛します。

(※(注12-2):載)過去記事「ゲージ場の量子論(33)」

から,必要参照部分を抜粋して再掲します。

(※再掲開始)[定理]:「Heisenberg場の多項式で

与えられる局所的観測可能量＝ＢＲＳ不変な局所

演算子:Ａは次の形を持つ。

(ⅰ)Ａの持つＦＰゴースト数:Ｎ_ＦＰが負ならば,

Ａは零演算子である。すなわち,このとき,ある

演算子Ｍにより.Ａ＝[Ｑ_Ｂ,Ｍ]と書ける。

(ⅱ)Ａの持つＦＰゴースト数がゼロならば,

Ａ＝Ｆ_{ゲージ不変}(Ａ^ａ_μ, φ_i)＋[Ｑ_Ｂ,Ｍ]と書ける。

ただし,Ｆ_{ゲージ不変}は,ゲージ場;Ａ^ａ_μと物質場:φ_i

のみから成る局所ゲージ不変な多項式である。

(ⅲ)Ａの持つ.ＦＰゴースト数が正ならば,

Ａ＝Ｐ[Ｉ_i(ｃ);Ｆ_{ゲージ不変}[Ａ^ａ_μ, φ_i]＋[Ｑ_Ｂ,Ｍ]

と書ける。ただし,Ｐは.局所ゲージ不変関数:

Ｆ_{ゲージ不変}を係数とするＩ_i(ｃ)の多項式である。

そして,Ｉ_i(ｃ)は同一時空点上のゴースト場:

ｃ^ａのみの,微分を含まない,カラー1重項の多項式

であり,各時空点ごとに有限個しかない。」

という,今の有効作用:Γ_div^(ｎ＋+１)＝Ｘの一般形に

関する定理に,類似した観測可能量:Ａの一般形に

課する定理が.証明抜きで与えられています。

(再掲終了子※)(注12-2終わり※)

さて,途中ですが,長くなったので今回は,ここで

一旦終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(12)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前回は,第７章ＢＰＨＺくりこみで,

(対称性とくりこみ)の項において,大局的

ゲージ不変性を有する理論が,その対称性

を保持したまま,次元正則化で,くりこみ

可能であることを示すことを目的に考察

しました。

そのため,系のLagrangianに外場を付加

した作用積分Ｓとその有効作用Γを裸の場で

構成した裸の作用:Ｓ₀と裸の有効作用Γ₀に

おける.裸の場をくりこんだ場とくりこみ定数

Ｚ,ｖで表わしたものを代入して置き換える,

という操作で,これらが,くりこまれた有限なＳ

とΓに帰着する.ことを摂動論的に証明するため

に導入したPoisson括弧に類似した演算＊を

用いて,有効作用ΓからＢ^ａとｃ~^ａへの自明な

依存性を除いた部分:Γ~が満足すべき基本的

ＷＴ方程式が.Γ~＊Γ~＝0.(34)という式の形

で与えられることを見たところで,記事を

終えました。

今回は,その続きです。

前回で準備が整ったので,以下,本題の

有効作用Γ(実は,裸のΓ₀ に同じ)のｈ_cによる

摂動ベキ展開:Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ⁽¹⁾＋ｈ_c²Γ⁽²⁾＋.

(25)の各項:ｈ_c^ｎΓ^（ｎ）が有限になる,ということ

を,先のＷＴ恒等式:Γ~＊Γ~＝0(34)に基づいて,

帰納法で証明します。

(ⅰ)まず,ｎ＝0のtreeレベルでの有効作用

Γ⁽⁰⁾ですが,これは,Planck定数ｈ_cを含む量子

効果が全くない古典的な作用積分の

Ｓ⁽⁰⁾＝Ｓ[Φ~,Ｋ；ｇ_,ｆ_,α]＝Ｓ.(24)に等しく,

それ故,明らかに有限です。

しかも,ΓとΓ~の違いは,(27)のΓ＝Γ~

＋∫ｄ⁴ｘ[Ｂ^ａｆ^ａ_ＩΦ_Ｉ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ]という

Γ~の定義式にあるように,treeレベルの寄与を

与える項のみですから,初項Γ(⁰⁾ではΓ~をΓ

の代わりに用いて論じてもよいということに

なります。さらに,Γ⁽⁰⁾＝Ｓ⁽⁰⁾＝Ｓ,Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ~

より,Γ－Γ~＝Γ⁽⁰⁾－Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ－Ｓ~であり,

この差はtreeレベルと考えられるので.ｎ≧1

のloop積分を含む項ではΓ~^(ｎ)＝Γ^(ｎ)です。　

(ⅱ)次に,ｎ≧1のｈ_c^ｎのオーダーまで,

くりこみ定数Ｚ,および,ｖ_iを,それらをベキ

展開した.(Ｚ)_n＝1＋ｈ_cＺ⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ⁽²⁾ ＋..

＋ｈ_c^ｎＺ^(ｎ),および,(ｖ_i)_ｎ＝0＋ｈ_cｖ_i⁽¹⁾＋

ｈ_c²ｖ_i⁽²⁾ ＋..＋ｈ_c^ｎｖi^(ｎ).(35)に置き換えて

Γ⁽⁰⁾,Γ⁽¹⁾,Γ⁽²⁾,..Γ^(ｎ)が全て有限にできた,

と仮定します。そこで.Ｚやｖ_iに,上記の(35)

式,つまり,((ｎ＋1)次以降のＺ^(ｎ＋ｋ),ｖ_i^(ｎ＋ｋ)

(ｋ≧1)を全てゼロとしたもの.に置換して

(23)のＳ₀＝Ｓ[Φ₀~,Ｋ₀；ｇ_0,ｆ_0,α₀]

＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]

に,Ｚとして(Ｚ)_ｎを.ｖ_iとして(ｖ_i)_ｎを代入

した作用積分:(Ｓ₀)_ｎ＝Ｓ[(Ｚ₃)_ｎ^1/Ａ^ａ_μ,....,

(Ｚ~₃)_ｎ^1/2Ｋ^ａ_μ；(Ｚ₁)_ｎ(Ｚ₃)_ｎ^-3/2ｇ_,.]

＝Ｓ⁽⁰⁾＋ｈ_cＳ⁽¹⁾＋..＋ｈ_c^ｎＳ^(ｎ)

＋ｈ_c^(ｎ＋1)(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ＋ｈ_c^(ｎ＋2)(Ｓ(^(ｎ＋2))_ｎ

＋…　(36)に基づき,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーの

有効作用Γ^(ｎ＋1)を計算します。

(※上記の(36)の展開において,ｈ_ｃの(ｎ次以下

のＳ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)を.(Ｓ^(ｍ))_ｎとしなかった理由

は,Ｚやｖ_iの(ｎ＋1)次以降の値:Ｚ(^ｎ＋ｋ)や

ｖ_i^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)を,どう取っても,それらに影響

しないからです。※)

　一方,(ｎ＋1)次以降のＳ^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)は,

それらＺ^(ｎ＋ｋ),ｖ_i^(ｎ＋ｋ)(ｋ≧1)に依存します。

しかし,(Ｓ^(ｎ＋ｋ))_ｎ(ｋ≧1)の方は,Ｚ^(ｎ＋ｋ)＝0,

ｖ_i^(ｎ＋ｋ)＝0(ｋ≧1)と取ったときの相殺項に相当

するものです。

特に,(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎはｈ_cのｎ次以下のＺ^(ｍ),ｖi^(ｍ)

(ｍ≦ｎ)の積で表わされる,ｈ_cの(ｎ＋1)次の相殺項

となるもの.を意味します。

(※例えば,Ａ_μの4次項:－(1/4)ｇ₀²(Ａ_0μ×Ａ_0ν)²

＝－(1/4)Ｚ₁²Ｚ₃^-1ｇ²(Ａ_μ×Ａ_ν)²からは,

Ｚ₁^(ｍ)Ｚ_i^(ｋ)(Ｚ₃(^ｌ))^ｐ(ただし,ｍ＋ｋ＋ｐｌ

＝ｎ＋１,0≦ｍ,ｋ,ｌ,ｐ≦ｎ）の係数を持つ,,,

(ｎ＋1)次の相殺項が現われます。

何故なら,例えばＺ₃^-1＝(1＋ｈ_cＺ₃⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ₃⁽²⁾

＋..)^-1＝1－ｈ_cＺ₃⁽¹⁾＋(ｈc²/2)Ｚ₃⁽²⁾－.etc.

です。※)

さて,Γ^(ｎ＋1)の計算は,帰納法の仮定により,

Γ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)が全て有限ですから,それらに効く

各々のFeynmanグラフにおいて全ての内部グラフ

は既に有限になっており,出現する可能な発散は,

最後の一番外側のloop積分を実行したとき初めて

現われるもの,つまり,「overallの発散」のみで

ある,と,考えられます。

そして,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーでoverallの発散

が現われるグラフは,もちろん,loop積分が１個

以上はあるので,その内部にはｎ次以下の相殺項

のＳ^(ｍ)(ｍ≦ｎ)しか,含むことはできず,そこで

Ｚやｖ_iの(ｎ＋1)次以上の項;Ｚ^(ｎ＋ｋ)やｖ_i^(ｎ＋ｋ)

(ｋ≧1)の取り方には依存しません。

それ故,このoverallの寄与の総和を

Γ_overall^(ｎ＋1)[Σ_m=0ⁿＳ^(ｍ)]と記すことにすれば,

ｎ次の作用積分:(Ｓ₀)_ｎ＝Ｓ[(Ｚ₃)_ｎ^1/Ａ^ａ_μ,

....,(Ｚ~₃)_ｎ^1/2Ｋ^ａ_μ；(Ｚ₁)_ｎ(Ｚ₃)_ｎ^-3/2ｇ_,.]

に基づく(ｎ＋1)次のΓ^(ｎ＋1)項の発散部分

は,Γ_div^(ｎ＋1)＝ Γ_overall^(ｎ＋1)[Σ_m=0ⁿＳ^(ｍ)]

＋(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ(37)と表わせます。

ただし,右辺の(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎは,ｎ次以下の,

Ｚ^(ｍ),ｖ_i^(ｍ)(ｍ≦ｎ)の積のみで作られる

(ｎ＋1)次の相殺項です。

ここで,重要な点はoverallの発散:

Γ_div^(ｎ＋1)は,以前「ＢＰＨＺくりこみ」の

項で述べたように,外線運動量に関して有限次

までで,場の次元数を数えると,4次以下の局所

的項しか現われない。ということです。

※(注12-1):過去記事「くりこみ理論(7)では,

クラフ:Γの見掛けの発散次数ω(Γ)を与える

公式:ω(Γ)＝4－Ｅ_Ｂ－(3/2)Ｅ_Ｆ＋Σｎ_iδ_i(7)

により,ω(Γ)≧0となって発散するグラフΓ

は,Ｅ_Ｂ＋(3/2)Ｅ_Ｆ(外線場の次元)≦4.(8)の

場合のみです。と記述しました。

それ故,今のdim(Ｌ_i^int)≦4の場合にω(Γ)≧0

で発散する条件は,Ｅ_Ｂ＋(3/2)Ｅ_Ｆ≦4です。

(注12-1終わり※)

さて,(37)の(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎも,もちろん相殺項で

発散項ですから,系の裸のLagrangianの作用積分:

Ｓ₀と同様,上記の性質を持つので,(37)のΓ_div^(ｎ＋1)

も次元4以下の局所的項のみから成っています。

このような局所的項の積分形で与えられる

汎関数を一般に,局所的汎関数と呼びます。

一方,ＷＴ恒等式:Γ~＊Γ~＝0 (34)は,ｈ_cの値

に依らず(Ｚやｖiの値にも依らず)成立する式です。

つまり,これはｈ_cについての恒等式ですから,Γ~を

ｈ_cのベキで摂動展開して,左辺のΓ~＊Γ~に代入し

ｈ_c^(ｎ＋1)の項を取り出すとき,その係数はゼロです。

つまり,Γ~⁽⁰⁾＊Γ~^(ｎ＋1)＋Γ~(¹⁾＊Γ~^(ｎ)

＋Γ~⁽²⁾＊Γ~^(ｎ－1)＋..＝0.(38) が成立します。

先述のようにΓ~^(ｍ)＝Γ(ｍ)(ｍ≧1)であり,

そして,左辺の第２項以下は,帰納法の仮定により

有限です。したがって,この式の発散部分のみを

取り出せば,それは左辺のΓ~⁽⁰⁾＊Γ_div^(ｎ＋1)であり

右辺の0の中には,もちろん発散部分はありません。

(※この発散部分は,今の次元正則化の場合,

時空の次元をｄとすると,(ｄ－4)^-ｋ(ｋ≧1)の形

の極の項であり,１つのloop積分で1/(ｄ－4)の

特異性は１次ずつしか出ないのでΓ^(ｎ＋1)の特異性

は1/(ｄ－4),1/(ｄ－4)²,..1/(ｄ－4)^(ｎ＋1)まで

です。※)

そして,Γ~⁽⁰⁾＝Ｓ~⁽⁰)＝Ｓ~ですから,結局,

Ｓ~＊Γ_div^(ｎ＋1)＝0.(39)なる式を得ます。

この式は,Γ^(ｎ＋1)にどのような発散が現われ

得るか？を規定する方程式であり,一般に,

「くりこみ方程式(renormalization equation)」

と呼ばれています。

このくりこみ方程式に対しては,次の命題が

成立することを証明できます。

※[命題]:「大局的ゲージ不変でＦＰゴースト数が

ゼロ,次元が4以下の局所項から成る,Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,

Ｋ_ｃ^ａの汎関数:Ｘがくりこみ方程式:Ｓ~＊­Ｘ＝0.

(40)を満たすとする。このときＸは,(23) の裸の

作用積分:Ｓ₀＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ；

Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]で,Ｚやｖ_iをずらせて得られる

変化分;ΔＳ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)

＝δＺ[∂Ｓ/∂Ｚ] _Z=1Vi=0＋δｖi[∂Ｓ/∂ｖ_i]_Z=1Vi=0

(41)の形で与えられる。

ただし,ＳとＳ~の差はtreeレベルで,その

差は,Ｚやｖ_iには依らないので上記の(41)では

ＳをＳ~に置き換えて同一視してもよい。」

そして,仮に,この命題が証明されたとすると

今のＸが,Ｓ~＊Γ_div(^ｎ＋1)＝0を満たすΓ_div(^ｎ＋1)

である場合,これがΓ_div(^ｎ＋1)＝α_Ｚ^(ｎ＋1)(Δ_ｚＳ)

＋β_i^(ｎ＋1)(Δ_ｖiＳ)の形に書けることを意味します。

ところが,この形の発散項は,Ｚやｖ_iを(35)

のｎ次までの(Ｚ)_ｎや,(ｖ_i)_ｎから次に定義する値:

(Ｚ)_ｎ＋1＝(Ｚ)_ｎ＋ｈ_c^(ｎ＋1)Ｚ^(ｎ＋1),および,(ｖ_i)_ｎ+1

＝(vi)_ｎ,＋ｈ_c^(ｎ＋1)ｖ_i(^ｎ＋1).(42)へとずらした

ときに生じるｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーの新たな相殺項:

Ｓ^(ｎ＋1)－(Ｓ^(ｎ＋1))_ｎ＝Ｚ^(ｎ＋1)(Δ_ＺＳ)

＋ｖ_i^(ｎ＋1)(Δ_viＳ)(43)により,Ｚ^(ｎ＋1)＝－α_Ｚ^(ｎ＋1),

かつ,ｖ_i^(ｎ＋1)＝－β_i^(ｎ＋1)と選べば,丁度. Γ_div(^ｎ＋1)

が吸収されます。

それ故,(42)の(Ｚ)_ｎ＋1,および,(ｖ_i)_ｎ+1を(23)

の作用:Ｓ₀に代入した作用:(Ｓ₀)_ｎ＋1に基づいた

有効作用Γは,ｈ_c^(ｎ＋1)のオーダーのΓ^(n＋1)まで

有限となり,帰納法によるくりこみ可能性の証明

が完結したことになります。

では,以下,実際に[命題の証明]です。

[証明]:結局,くりこみ可能性の証明は

くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0(40)の一般解Ｘ

が,Ｘ＝δＺ(Δ_ｚＳ)＋δｖi(Δ_ｖiＳ)(41),

の形で与えられる,という純粋に代数的な命題

の証明に帰着することがわかりました。

くりこみ方程式:Ｓ~＊Ｘ＝0の解Ｘに関しては.

次元が4以下,大局的ゲージ不変という制限の

ない,次の定理が成立することが知られています。

[定理] 「Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａのＦＰゴースト数

がゼロの局所多項式から成る汎関数Ｘで,くりこみ

方程式Ｓ~＊­Ｘ＝0.(40)を満たすものは,必ず,

Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}[ΦI＋Ｓ~＊Ｍ[Φ_I,ｃ^ａ,Ｋ~_I,Ｋ_ｃ^ａ]

(44)の形に書ける。

ここで,Ｆ_{ゲージ不変}はΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のみで書かれた

ゲージ不変な関数で,ＭはＦＰゴースト数が(－1)

の任意の汎関数である。

(44)の形で書かれる汎関数Ｘがくりこみ方程式:

Ｓ~＊Ｘ＝0を満たすこと(解の十分条件)は,Ｓ~の

ＢＲＳ不変性,Ｓ~＊Ｓ~＝0,および,Jacobi恒等式

から従う,演算:(Ｓ~＊)のベキ零性:つまり,

∀Ｘに対しＳ~＊(Ｓ~＊Ｘ)＝－((1/2)Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ^)

＝0.(45)から,自明です。

すなわち,∀Ｆ,ＧについてＦ＊Ｇ~

＝(－)^{(|Ｆ｜＋1)}Ｇ＊Ｆという＊演算の対称性から,

ＧがＦに等しいならＦ＊Ｆ＝－Ｆ＊Ｆとなり,,

Ｆ＊Ｆ＝0が成立するので,Ｓ~＊Ｓ~＝0は自明

です。

一方,Jacobi恒等式から,Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｘ)

＋(－)^|Ｘ|Ｓ~(Ｘ＊Ｓ~)

＋(－)^{2(｜Ｘ｜＋１)}Ｘ＊(Ｓ~*Ｓ~)＝0ですが,

Ｓ~はGrassmann偶なので,Ｘ*Ｓ~＝－Ｓ~＊Ｘであり,

ＸはＦＰゴースト数－1)でGrassman奇ですから,

2Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｘ)＝－Ｘ＊(Ｓ~＊Ｓ~)＝0

が得られます。

それ故,特にＳ~＊(Ｓ~＊Ｍ)＝0です。

また,ＦがΦ_Iのみの関数であれば,

Ｓ~＊Ｆ＝(δＳ~/δＫ~_I)(δＦ/δΦ_I)

＋(δＳ~/δＫ_ｃ^ａ)(δＦ/δｃ^ａ)

＋(－)^|Ｓ~|{(δＦ/δＫ~_I)(δＳ~/δΦ_I)

＋(δＦ/δＫ_ｃ^ａ)(δＳ~/δｃ^ａ)}

＝(δ_ＢΦ_I)(δＦ/δΦ_I)＝δ_ＢＦです。

そこで,Ｆがゲージ不変な関数:Ｆ_{ゲージ不変}

なら,それは,ＢＲＳ不変なので右辺はゼロです。

つまり,Ｓ~＊Ｆ_{ゲージ不変}＝0です。

したがって,Ｘ＝Ｆ_{ゲージ不変}＋Ｓ~＊Ｍの形なら,

Ｓ~＊Ｘ＝Ｓ~＊Ｆ_{ゲージ不変}＋Ｓ~＊(Ｓ~＊Ｍ)＝0

となります。

以上から,(44)の形のＸがくりこみ方程式

Ｓ~＊Ｘ＝0の解となるための十分条件を満たす

ことが証明されました。

しかし,証明が自明でない,のは逆の解となる

ための必要条件の方です。

この定理は過去記事「ゲージ場の理論(33)」

で記述した,第５章の§5-10で述べた観測可能量

の一般形に関する定理:§5－10(23)を,外場項:Ｋ~_I,

Ｋ_ｃ^ａを含む場合に拡張したものに相当し,大変有用

なものですが,一般的証明はかなり面倒なので,この

必要性の詳細証明は,観測可能量の定理の場合と同様,

既存の文献に譲って,ここでの記述は割愛します。

(※(注12-2):載)過去記事「ゲージ場の量子論(33)」

から,必要参照部分を抜粋して再掲します。

(※再掲開始)[定理]:「Heisenberg場の多項式で

与えられる局所的観測可能量＝ＢＲＳ不変な局所

演算子:Ａは次の形を持つ。

(ⅰ)Ａの持つＦＰゴースト数:Ｎ_ＦＰが負ならば,

Ａは零演算子である。すなわち,このとき,ある

演算子Ｍにより.Ａ＝[Ｑ_Ｂ,Ｍ]と書ける。

(ⅱ)Ａの持つＦＰゴースト数がゼロならば,

Ａ＝Ｆ_{ゲージ不変}(Ａ^ａ_μ, φ_i)＋[Ｑ_Ｂ,Ｍ]と書ける。

ただし,Ｆ_{ゲージ不変}は,ゲージ場;Ａ^ａ_μと物質場:φ_i

のみから成る局所ゲージ不変な多項式である。

(ⅲ)Ａの持つ.ＦＰゴースト数が正ならば,

Ａ＝Ｐ[Ｉ_i(ｃ);Ｆ_{ゲージ不変}[Ａ^ａ_μ, φ_i]＋[Ｑ_Ｂ,Ｍ]

と書ける。ただし,Ｐは.局所ゲージ不変関数:

Ｆ_{ゲージ不変}を係数とするＩ_i(ｃ)の多項式である。

そして,Ｉ_i(ｃ)は同一時空点上のゴースト場:

ｃ^ａのみの,微分を含まない,カラー1重項の多項式

であり,各時空点ごとに有限個しかない。」

という,今の有効作用:Γ_div^(ｎ＋+１)＝Ｘの一般形に

関する定理に,類似した観測可能量:Ａの一般形に

課する定理が.証明抜きで与えられています。

(再掲終了子※)(注12-2終わり※)

さて,途中ですが,長くなったので今回は,ここで

一旦終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(11)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

前回は,第７章の「ＢＰＨＺくりこみ」

の(対称性とくりこみ)の項目に入り,まず,

ＢＰＨＺくりこみと,その収束定理から

従ういくつかの重要な命題を与え説明しました。

　系のLagrangianは,種々の内部対称性を持って

いますが,通常の線形で「明白な」対称性は全て

ＢＰＨＺ手続きの各段階で保持されます。

それらは対称性を満たす制限された相殺項を

追加することでくりこみ可能です。

対称性が自発的に破れた真空の上で摂動計算

を行なう場合は,場の変換が非線形になり

「明白な」対称性ではなくなりますが,非線形

の「明白でない」対称性であっても,多くの場合,

Lagrangianを対称性を満たすものに限っても,

くりこみ可能です。

ただし,それら非自明な個々の場合に,それぞれ

くりこみ可能なことを証明する必要があります。

ゲージ理論のくりこみの問題も,基本的なＢＲＳ

対称性が非線形であり,この範疇の問題の１つです。

一般的なゲージ理論の系で,ゲージ不変性を保持

したままでの,くりこみ可能性を示すことが当面の

目的です。

そのため,まず,ゲージ理論の系で,ゲージを固定

したLagrangianに外場Ｋを付加した作用Ｓと

有効作用Γについて,裸の場に対する議論を考察

しました。

裸の量は一般に発散量なので,これらが意味を

持つためには,何らかの正則化が必要です。

ゲージ不変な正則化が存在し,これが次元正則化

で満たされることを主張します。裸の量で書かれた

有効作用:Γ₀を,くりこまれた量で書き直せば,有限

な汎関数:Γになる,という主張です。

裸の場や外場をくり込み因子Ｚ＝(Ｚ₁,Ｚ₃,Ｚ~₃,Ｚ_i),

および,場φのシフトｖ_lを与えて,くりこまれた場に

より定義して,Ｚやｖ_iの値の選び方如何に依らず,

常に基本的なWard-高橋恒等式(ＷＴ恒等式)が,裸

の量だけでなく,くりこまれた量でも同じ形で成立

することを要求します。

結局,くりこみ可能性の主張である,

Γ₀[Φ~₀,Ｋ⁰；ｇ_0,ｆ₀,α₀]＝Γ[Φ~,Ｋ；ｇ,ｆ,α].

は,パラメータ:Ｚやｖ_iを「正しく選んだとき」,

くりこまれた有効作用:ΓがΦ~,Ｋ；ｇ,ｆ,αの

有限な汎関数になることを意味します。

それ故.これを示すのが目的です。などと書いた

ところて終わりました。

今回はその続きから始めます。

さて,実際に有効作用:Γを計算するには,loop

展開.つまり,自然単位なので1として意識して

いないですが,実はPlanck定数:ｈ_cのベキ展開に

よる摂動で行なうので,Ｚやｖ_iもｈ_ｃ摂動でベキ

展開します。

すなわち,Ｚ＝1＋ｈ_cＺ⁽¹⁾＋ｈ_c²Ｚ⁽²⁾＋,,,(21),

および,ｖ_i＝0＋ｈ_cｖ_i⁽¹⁾＋ｈ_c²ｖ_i⁽²⁾＋,,,.(22)

です。これらを,(9)の裸の作用積分:

Ｓ₀＝Ｓ[Φ₀~,Ｋ₀]＝∫ｄ⁴ｘ

[Ｌ_0ＧＩ＋Ｌ_{0(ＧＦ＋ＦＰ)}＋Ｋ_I0Ｄ^ａ_Iｃ₀^ａ

＋(ｇ₀/2)Ｋ₀^ａ_c(ｃ₀×ｃ₀)^ａ]に代入して,摂動ベキ

に展開します。

つまり,Ｓ₀＝Ｓ[Φ₀~,Ｋ₀；ｇ_0,ｆ_0,α₀]

＝Ｓ[Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,..,Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａμ；Ｚ₁Ｚ₃^-3/2ｇ_,..]

＝Ｓ⁽⁰⁾＋ｈ_cＳ(¹⁾＋ｈ_c²Ｓ⁽²)＋…　(23)です。

ただし,初項のＳ⁽⁰⁾は.くりこまれた有限な作用

Ｓです。つまり,Ｓ⁽⁰⁾＝Ｓ[Φ~,Ｋ；ｇ_,ｆ_,α]＝Ｓ

(24)です。初項:Ｓ⁽⁰⁾＝Ｓを摂動の第0次の作用,

第２項以降のＳ^(ｎ)を(ｎ≧1)相殺項として用いて

全ての1PIグラフを計算します。

そうすれば,有効作用Γも,ｈ_cの各次数で逐次

得られます。Γ＝Γ⁽⁰⁾＋ｈ_cΓ(¹⁾＋ｈ_c²Γ⁽²)＋…　

(25)です。

本節では,大局的ゲージ対称性が自発的に破れない

場合を考察することにしているので,(22)のｖ_iの

展開では,初項ｖ_i⁽⁰⁾は0であるとして,おきました。

(4)の一般的線形ゲージの場合,ｆ^ａ_iφ_iの項の

存在が大局的ゲージ不変性を破ることは,既に

述べました。しかし,係数ｆ^ａ_iを添字に応じて共変的

に変換する量と見なせば形式的に,この不変性は保持

される,と考えることができます。

以下,大局的ゲージ不変量というときには上記の

ことを了解済みのことしておきます。

※「くりこみ可能性の証明」

以下では,Ｚやｖ_iを摂動のｈ_cのベキの各次数で

次々に適切に選んでゆけば,くりこまれたΓも展開

の任意の次数まで有限にできることを示します。

　まず,ＮＬ場:Ｂａへの依存性は自明であることに

注意します。

すなわち,恒等式(12)の裸の式である(16)式の

δΓ₀/δＢ₀^ａ＝∂^μＡ₀^ａ_μｆ₀^ａ_iφ_0i＋ｗ^ａ＋α₀Ｂ₀^ａ.

または,くりこんだ量での(12)の表式,そのものの

δΓ/δＢ^ａ,＝ｆ^ａ_IΦ_I＋ｗ^ａ＋αＢ^ａ)においてｗ^ａ

をゼロとしたものから,ΓのＢ^ａへの依存性が陽に

決まります。すなわち,(16)から,Γ＝Γ~

＋∫ｄ⁴ｘ[Ｂ₀^ａ(ｆ₀^ａ_iφ_i0＋ｗ^ａ)＋(α₀/2)Ｂ₀^ａＢ₀^ａ]

(26)(裸の式でΓ＝Γ₀としたもの),および

Γ＝Γ~＋∫ｄ⁴ｘ[Ｂ^ａｆ^ａ_ＩΦ_Ｉ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ](27)

です。ここで,残りの項として定義したΓ~はＢ^ａには

全く依存しない量です。しかも,上記のくりこみ方法

から,裸の(26)と,くりこまれた(27)は全く等しいので,

Ｚやｖ_iを,以下でどのように決めようと,Ｂ^ａ依存部分

は,くりこんだ量で書いて有限な式になっています。

※(注11-1):何故なら,前記事で書いた通り,,

Φ_IはΦ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_i)のセットを意味します。

そして,Ａ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,φ_0i＝Ｚ_i^1/2(φ_i＋ｖ_i),

かつ,Ｂ₀^ａ＝Ｚ₃^-1/2Ｂ^ａ,ｆ₀^ａ_i＝Ｚ₃^1/2Ｚ_i^-1/2ｆ^ａ_i

とし,さらにα₀＝Ｚ₃α,ｗ^ａ＝－Ｚ₃^1/2ｆ^ａ_iｖ_i

として裸の量を全てくりこんだ量で表わして

代入するのが我々のくりこみ手法です。

そこで,(26)の裸の被積分関数に,これらの

関係式を代入すると,Ｂ₀^ａ(ｆ₀^ａ_iφ_i0＋ｗ^ａ)

＋(α₀/2)Ｂ₀^ａＢ₀^ａ＝Ｚ₃^-1/2Ｂ^ａ[(Ｚ₃^1/2Ｚ_i^-1/2ｆ^ａ_i)

×{Ｚ_i^1/2(φ_i＋ｖ_i)－Ｚ₃^1/2ｆ^ａ_iｖ_i,}

＋(Ｚ₃α/2)Ｚ₃^-1Ｂ^ａＢ^ａ

＝Ｂ^ａｆ^ａ_ＩΦ_Ｉ＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ]となって,

これは,(27)のくりこまれた式の被積分関数

に一致します。

くりこまれた場は有限と,仮定されているため

(26)のＢ₀^ａ依存部分も,(27)のＢ^ａ依存部分と一致

して有限である,と結論されます。(注10-1終わり※)

したがって,以下ではＢ^ａを忘れて,Γ~部分のみ

を考えればよい,ということになります。

さらに,反ゴースト場ｃ~^ａへの依存性も,同様に,

ほとんど自明です。

すなわち,くりこまれたΓは,ＷＴ恒等式(13)

ｆ^ａ_I(δΓ/δＫ_I)＋i(δΓ/δc~^ａ)＝0を

満たします。

故に,Γ,または,Γ~のｃ~^ａへの依存は,

Ｋ~_I＝Ｋ_Ｉ＋iｃ~^ａｆ_ａI,つまり,Ｋ~^ａ_μ＝Ｋ^ａ_μ

＋ｃ~^ａ∂_μ,および,Ｋ~_i＝Ｋ_i＋ｃ~^ａｆ^ａ_i(28)

と置くと,この変数Ｋ~_Ｉを通じてのみ現われる

ことがわかります。

それ故,汎関数:Γ~[Φ_I,ｃ^ａ,ｃ~^ａ;Ｋ_Ｉ]に

おいて,引数をΓ~[Φ_I,ｃ^ａ,ｃ~^ａ;Ｋ~_Ｉ]の

ように,取り直せば,(13)のｆ^ａ_I(δΓ/δＫ_I)

＋i(δΓ/δc~^ａ)＝0は,

ｆ^ａ_I(∂Ｋ~_J/∂Ｋ_I)(δΓ~/δＫ~_J)_c~

＋i(δＫ~_J/δc~^ａ)δΓ~/δＫ~_J)_c~

＋i(∂Γ/∂ｃ~^ａ)_K~＝ｆ^ａ_I(δΓ~/δＫ~_I)_c~

－ｆ^ａ_Iδ(δΓ~/δＫ~_I)_c~＋i(∂Γ~/∂ｃ~^ａ)_K~

＝i(∂Γ~/∂ｃ~^ａ)_K~＝0　となります。

そこで.Γ~[Φ_I,ｃ^ａ,ｃ~^ａ;Ｋ~_Ｉ]は,ｃ~^ａ

には依存しない,ことがわかります。

この点も,Ｚやｖ_iの値の具体的選び方には

依らないので,以下,Ｋ_Iの代わりに変数:Ｋ~_I

を常に採用すれば,ｃ~^ａもＢ^ａ同様,忘れてよい,

ことになります。

以上から,結局,Γの代わりにΦ_I,ｃ^ａ,;Ｋ~_Ｉ,

Ｋ^ａ_c(および,ｇ,α)のみの汎関数,Γ~を,考えれば

いいです。

そして,残るＷＴ恒等式(11)は,ΓをΓ~に

置き換えると,(δΓ~/δΦ_I)(δΓ~/δＫ_I)

＋(δΓ~/δｃ^ａ)(δΓ~/δＫ^ａ_ｃ)

＋(δΓ~/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝0　ですが,これは.

(δΓ~/δΦ_I)(δΓ~/δＫ~_I)_c~

＋(δΓ~/δｃ^ａ)(δΓ~/δＫ^ａ_c)＝0.(30)

という式になります。

さて,ここでPoisson括弧に似た.次の演算を

定義します。

すなわち,Ｆ,Ｇを,任意のΦ_I,ｃ^ａ,;Ｋ~_Ｉ,Ｋ^ａ_c

の,Grassman偶,または,奇の汎関数とするとき,,

演算＊を,Ｆ＊Ｇ＝(δＦ/δΦ_I)(δＧ/δＫ~_I)

＋(δＦ/δｃ^ａ)(δＧ/δＫ^ａ_c)

＋(－)^|Ｆ|{(δＦ/δＫ~_I)(δＧ/δΦ_I)

＋(δＦ/δＫ^ａ_c)(δＧ/δｃ^ａ)}

＝(δＦ/δＱ_A)(δＧ/δＰ_A)

＋(－)^|Ｆ|(δＦ/δＰ_A)(δＧ/δＱ_A).(31)

で定義します。

ここで.Ｑ_Ａは座標類似変数,Ｐ_Aは運動量

類似変数と呼ばれるものです。

ここでは,Ｑ_Ａ＝(Φ_I,Ｋ^a_c)(32-1)としました

が,これはGrassman偶変数,また,Ｐ_Ａ＝(Ｋ~_I,ｃ_ａ)

(32-2)とし,こちらはGrassman奇変数です。

実際,(31)のＦ*Ｇは,Poisson括弧に似た性質

を持っています。

例えば,次の対称性や,Jacobi恒等式などが,成立

します。

すなわち,まず,Ｆ＊Ｇ＝－(－)^F1G1Ｇ＊Ｆ.(33-1)

です。ただし,∀Ｆに対し,Ｆ₁₌|Ｆ|＋1)です。

そして,Ｆ＊(Ｇ＊Ｈ)＋(－)^F1(G1+H1)Ｇ＊(Ｈ＊Ｆ)

＋(－)^H1(F1+G1)Ｈ＊(Ｆ＊Ｈ)＝0.(33-2)です。

(※以下,参照中の私の読書覚書きノートでは,

これらの性質の地道な証明が,延々と書いて

ありましたが,これらの性質が成立するという

証明は間違いなく完了した,という報告のみで,

内容は煩雑なので省略します。※)

さて、このPoisson括弧に似た演算記号＊を

用いると,(30)のＷＴ恒等式:

(δΓ~/δΦ_I)(δΓ~/δＫ~_I)_c~＋(δΓ~/δｃ^ａ)

(δΓ/δＫ^ａ_c)＝0.は,とても,簡明な表式になり,

Γ~＊Γ~＝0.(34)と書けます。

途中ですが長くなったので,今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲージ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(10の2)補遺

「くりこみ理論(次元正則化)(10)」で注釈

を,いくつか付加していたら,またもや長く

なり過ぎになったので３つ目の注釈40-3を

(10)の補遺として分けました。

以下本文です。

※(注10-3):記事を書いているうち,急に過去

の知見の記憶が気になり,自信がないままで

安易には先に進めない,と感じたので,ここで

有効作用の意味などについて,おさらいをする

ことします。

(※このブログ自体が自己満足のための思考体験

の私的回顧録のつもりですから,まあ,70歳で海馬

の衰えもあって,ときにはこういう脱線もします。)

そもそも,Γという記号は,作用ではなく頂点関数

に割り当てられるのが慣例なのに,何故,それを有効

作用という作用;Ｓに関連する記号として用いるのか？

などの疑問を,過去記事,特に最近も.これについて

書いたばかりという記憶はあるけれど,既に忘れて,

はっきりしなくなった「くりこみ理論要約(2)」から

抜粋して再掲載します。

(以下再掲載):「有効作用と有効ポテンシャル」

　簡単のため,スカラー場φのみの系で考えます。

　まず,Green関数の生成汎関数は,

Ｚ[Ｊ]＝＜0|Ｔexp(iＪ・φ)]|0＞

＝＜exp[i∫ｄ^４ｘ{Ｌ_int(φ)＋Ｊ・φ}]＞₀

/＜exp[i∫ｄ⁴ｘ{Ｌ_int(φ)}＞₀

＝Ｎ∫Ｄφexp[i{Ｓ[φ]＋Ｊφ}]と表現される。

ということから出発します。

(※Ｊ(ｘ)はφに対応する外場です。)

このとき,Ｚ[Ｊ]＝exp{iＷ[Ｊ]}によって別の

Jの汎関数:Ｗ[Ｊ]を定義します。

ここで,Ｐを,properな連結グラフ(固有連結

グラフ:つまり,１本の内線や外線ではこれ以上

分離不可能な個々のFeynmanグラフ)の全体,

とすると,明らかに,Ｚ[Ｊ]＝expＰと表わせる

ので,iＷ[Ｊ]は連結固有Green関数の生成

汎関数ということになります。

　一方,Ｗ[Ｊ]＝Ｓ[φ]＋Ｊ・φと表わされて

いますが.具体的には,Ｊ・φ

＝∫ｄ⁴ｘΣ_iＪ_iφ_i(ｘ)であり,Ｓ[φ]は,作用積分

の形になっています。

つまり,Ｓ[φ]＝∫ｄ⁴ｘＬ(φ(ｘ),∂φ(ｘ))です。

ここで,φの汎関数である有効作用;Γ[φ]という

量を,このＷ[Ｊ]から,汎関数のLegebdre

(ルジャンドル)変換:Γ[Φ]＝Ｗ[Ｊ]－Ｊφに

よって定義します。。

ところで,δＺ/δＪ_i＝(iδＷ/δＪ_i)Ｚ

＝i＜0|φ_i(ｘ)Ｔexp(iＪ＊φ)]|0＞ より,

φ~_i(ｘ)＝(δＷ/δＪ_i)

＝＜0|φ_i(ｘ)Ｔexp(iＪ・φ)]|0＞/Ｚと

おくと,φ~_i(ｘ)＝(δＷ/δＪ_i)なる量は,

Ｊ(ｘ)という外場が存在するときの,場

φ_i(ｘ)の期待値を意味する,ことがわかります。

そこで,Γ[φ]をＪ_i(ｘ)を通じたφの関数でなく,

上記のφの期待値:φ~_i(ｘ)の関数,つまり,

Γ[φ~]の形であると考えると,

Ｊ_i(ｘ)＝δΓ[φ~]/δφ~_i(ｘ)です。

(※何故なら.ＷはＪの関数と見ると,Ｗのφ~_iに

よる微分は,δＷ/δφ~_i＝Σ_k(δＪ_k/δφ~_i)

(δＷ/δＪ_k)＝Σ_k (δＪ_ｋ/δφ~_i)φ~_kで,一方,

δ(Ｊφ)/δφ~_i＝(δＪ_k/δφ~_i)φ~_k＋Ｊ_ｉなので,

δΓ/δφ_i＝δＷ/δφ~_i－δ(Ｊφ)/δφ~_i＝－Ｊ_i

となるからです。)

有効作用:Γ[φ~]が重要な理由の1つは,これ

が実は1PI(１粒子既約な)頂点関数:Γ^(ｎ)の生成

汎関数になっている点です。

つまり,Γ[φ~]＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n

φ~_i1(ｘ₁)..φ~_in(ｘ_n)Γ^(ｎ)i_1..in(ｘ₁,..ｘ_n)

となっている点です。

ここで,Ｗ[Ｊ]に効くグラフで伝播関数の線

を1本切ってグラフが２つの部分に分離できる

とき,その線を関節線と呼びます。

伝播関数の線が外線のそれであれば,常に関節線

ですが,外線以外に関節線を持たないグラフを1PI

(１粒子既約な)グラフ,内線にも関節線があるそれ

を１粒子可約なグラフと呼んだのでした。

結局,Γ[φ~]は,量子効果であるloopグラフを除く

単純なTreeレベルでは,ｈ_cをPlanck定数としたとき

Ｏ(ｈ_c)を除く近似で,古典的作用積分:Ｓ[φ~]

＝∫ｄ⁴ｘＬ(φ~,∂φ~)に一致します。

この有効作用の物理歴意味をさらによく理解すべく

より特殊な場合を考えます。

外場Ｊと期待値φ~が共に時間ｘ⁰＝ｔに依存しない

場合を考えると,この場合時間並進不変性があるので

Ｗ[Ｊ]やΓ[φ~]の∫ｄ⁴ｘという表現から,無限大

の時間因子:Ｔ＝∫ｄｘ⁰がをくくり出して除去

できます。すなわち,Ｗ[Ｊ(ｘ)＝Ｊ(ｘ)]

＝－ｗ[Ｊ(ｘ)]∫ｄｘ⁰Γ[φ~(ｘ)＝φ~(ｘ)]

＝－Ｅ[φ~(ｘ)]∫ｄｘ⁰です。　

さらに,Ｊとφ~が時空座標ｘに完全に依存しない

定数の場合.Ｗ[Ｊ(ｘ)＝Ｊ]＝－ｗ[Ｊ]∫ｄ⁴ｘ,

Γ[φ~(ｘ)＝φ~]＝－Ｖ[φ~]∫ｄ⁴ｘ　です。

最後の,Ｖ[φ~]は,φ~の関数であり,これを

「有効ポテンシャル」と呼びます。

また,３次元空間のｘの関数:φ~(ｘ)の汎関数:

Ｅ[φ~(ｘ)]には決まった呼称がなかったので,

Ｖ[φ~]にならって「有効エネルギー」と呼びます。

Ｊとφ~がｔ＝ｘ⁰に依存しないときを考えると,

このとき,Ｚ[Ｊ]＝exp{iＷ[Ｊ]}＝exp{－iｗ[Ｊ]Ｔ}

＝＜0| exp{－iＨ[Ｊ]Ｔ}｜0＞　です。

ただし,Ｈ[Ｊ]＝Ｈ－∫ｄ³ｘＪ(ｘ)φ~(ｘ)で,

このＨは,エネルギーを意味するHamiltonianです。

つまり,期待値φ~の関数としては,

Ｈ＝∫ｄ³ｘ{π~φ~－Ｌ(φ~,∂φ~)}

＝－∫ｄ³ｘＬ(φ~,∂φ~)＝－Ｌです。

(※ＬはLagrangianで,ＬはLagrangian密度)

何故なら,φ~がｔ＝ｘ⁰に依存しないため,共役:

π~＝∂Ｌ/∂(∂₀φ~)＝∂₀φ~がゼロだからです。

そして,真空:|0＞はエネルギーＨの最低固有値状態

(基底状態)でしたが,ここでも断熱処理:(－iε)処法

を採用しているとすれば,Ｔ＝∫ｄｘ⁰＝∞ の極限では,

事実上,Ｈ[Ｊ]＝Ｈ－∫ｄ³ｘＪ(ｘ)φ~(ｘ)の

基底状態:|0_Ｊ＞のみがexp{－iｗ[Ｊ]Ｔ}

＝＜0| exp{－iＨ[Ｊ]Ｔ}0＞の|0＞に効きます。

それ故,Ｔ → ∞ではｗ[Ｊ]はＨ[Ｊ]の基底状態

のエネルギー固有値です。

つまり,Ｈ[Ｊ] |0_Ｊ＞＝ｗ[Ｊ] |0_Ｊ＞です。

他方,この)固有値問題は,量子力学の変分原理

の問題と同じく,＜Ψ|Ψ＞＝1,＜Ψ|φ(ｘ)|Ψ＞

＝φ~(ｘ)の下で,＜Ψ|Ｈ|Ψ＞を停留値にする

停留解:|Ψ＞を求める停留問題と見なすことが

できます。

すなわち,この,Ｈ|Ψ＞＝Ｅ|Ψ＞の解

が,|Ψ＞＝|0_Ｊ＞,Ｅ＝ｗ[Ｊ]を与えます。

したがって,場の理論で真空を探す問題では,

予め並進不変性を考慮して,Ｅ[φ(ｘ)]のｘに

依存しないφ~の関数である有効ポテンシャル

Ｖ[φ_i~]の停留点を,∂Ｖ[φ~]/∂φ_i~＝0 から

求めればいいことになります。

結局,有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]は,場φ_i(ｘ)

の期待値がφ_i~(定数)である条件下での基底状態

のエネルギー密度と解釈され,その最低の固有値

に対応する状態が真空です。　

※※有効作用:Γ[φ~]が1粒子既約な頂点関数

Γ^(ｎ)の生成汎関数であったことから従う,有効

ポテンシャル:Ｖ[φ~]のもう1つの側面に注目

します。頂点関数:Γ^(ｎ)の運動量表示Γ~^(ｎ)を

運動量保存のδ関数を外して定義します。

つまり,∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n

exp{iｐ₁ｘ₁＋..＋iｐ_nｘ_n}Γ^(ｎ)_i1/..in(ｘ₁,...ｘ_n)

＝Γ~^(ｎ) _i1..in( (ｐ₁,..ｐ_n)(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋..＋ｐ_n)

と展開されるとします。

そして,Γ[φ]＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ_n

φ_i1(ｘ₁)..φ_in(ｘ_n)Γ^(ｎ)i_1..in(ｘ₁,..ｘ_n)において

φ_i(ｘ)＝φ~_i(定数)とし,Ｖ[Φ]の定義式,および,

(2π)⁴δ⁴(ｐ＝0)＝∫ｄ⁴ｘ exp(iｐｘ)|_p=0を考慮

して,Ｖ[φ~]＝－Σ_n=0^∞(1/ｎ!)φ~_i1..φ~_in

Γ~^(ｎ)i_1..in(0...,0)を得ます。すなわち,

有効ポテンシャル:Ｖ[φ~]は運動量ｐ_iが全て

ゼロのときのｎ点頂点関数の生成関数という意味

を持っています。

Ｗ[Ｊ]の経路積分表式:

Ｚ[Ｊ]＝exp(iＷ[Ｊ])­­

＝Ｎ∫Ｄφexp[i{Ｓ[φ]＋Ｊφ}]を,

Γ[φ~]＝Ｗ[Ｊ])­­－Ｊφ=に代入して,

自然単位から,Planck定数ｈ_cを復活させると

Γ[φ~]＝(－iｈ_c)ln[∫Ｄφexp{(i/ｈ_c){Ｓ[φ]

＋Ｊ(φ－φ~)}]ですが,

経路積分Ｄφの積分変数を,φからφ＋φ~へと

変数置換して,－Ｊ_i(ｘ)＝δΓ/δφ_iを

代入すれば,Γ[φ~]＝(－iｈ_c)ln[∫Ｄφexp{(i/ｈ_c)

{∫ｄ⁴ｘ(Ｌ[φ＋φ~]－(δΓ/δφ)φ)}]となります。

ここで,Ｌ[φ＋φ~]をｃ-数:φ~のまわりで

量子場:φ(ｘ)で展開すると,

Ｌ[φ＋φ~]＝Ｌ[φ~]＋(∂Ｌ/∂φ_i)φ_i

＋(1/2)φ_i|(iＤ_F)^-1φ~}^ijφ_j＋Ｌ_int[φ;φ~]です。

ここに,|(iＤ_F)^-1φ~}^ijは,|(iＤ_F)^-1φ~}^ij

＝(∂²Ｌ[φ＋φ~]/∂φ_i∂φ_j)|_φ=0

＝(∂²Ｌ[φ~]/∂φ~_i∂φ~_j)で与えられます。

これは,場φの期待値がφ~であるような真空

の上でのFeynman伝播関数の逆数であり,

Ｌ_int[φ;φ~]はφについて３次以上のφ~における

相互作用項です。

このＬ[φ＋φ~]の展開をΓ[φ~]の表式に代入

すると,Γ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ[φ~]＋Γ~[φ~]で,:

Γ~[φ~]＝(－iｈ_c)ln∫Ｄφexp[(i/ｈ_c)

{∫ｄ⁴ｘ[(1/2)φ_i|(iＤ_F)^-1φ~}^ijφ_j＋Ｌ_int[φ;φ~]

－(δΓ/δφ)φ}]です。　

これで,うまい具合に有効作用Γ[φ~]から,

古典的作用積分:Ｓ[φ~]＝∫ｄ⁴ｘＬ[φ~]が分離

されました。

(以上,有効作用,有効ポテンシャルの説明について

の再掲記事を終了します。)(注10-1終わり※)

※(注10-2):引き続き,以下,過去記事;

「ゲージ場の量子論(24)」の第５章§5-6の関連

する部分も再掲載します。

その前に,そもそも,元の素朴なWard-高橋恒等式

とは,２点Green関数と頂点関数の同等性を意味

する式と,理解しています。

単純な恒等式:Ｓ_Ｆ(ｐ₁)^-1－Ｓ_Ｆ(ｐ₂)^-1

＝(ｐ₁－ｍ)－(ｐ₂－ｍ)＝(ｐ₁－ｐ₂)

＝－(ｐ₂－ｐ₁)^μγ_μから,

自由伝播関数:Ｓ_Ｆと頂点γ_μに相互作用の着物

を着せて,輻射補正をすると,摂動論的には自己

エネルギーの発散がありますが,くりこんだ伝播

関数と頂点関数をそれぞれＳ~_Ｆ,Γ~_μと書いて

拡張すると,Ｓ_Ｆ~(ｐ₁)^-1－Ｓ_Ｆ~(ｐ₂)^-

¹＝－(ｐ₂－ｐ₁)^μΓ~_μ(ｐ₂,ｐ₁)となります。

　または,Wardの恒等式:Γ~^μ(ｐ~,ｐ)|_p~=ｐ

＝－(∂/∂ｐ^μ)Ｓ_Ｆ~(ｐ)^-1を得るわけです。

２点頂点関数は,伝播関数の逆数の差という意味

を持つことがわかります。

ここからは「ゲージ場の量子論(24)」の再掲載

です。

(再掲開始:※)Ward-高橋恒等式について,

一般にゲージ不変性に限らず,ある対称性が存在

すると,種々のGreen関数,頂点関数等の間に種々

の関係式が成立します。このような関係式を一般

にWard-高橋恒等式,略してＷＴ恒等式と呼びます。

ゲージ不変性に関わるGreen関数についてのＷＴ

恒等式は,全てＢＲＳ演算子:Ｑ_Ｂを用いて,次のように

簡単に与えることができます。

すなわち,Ｏ_k(ｘ)を任意の場(または,その多項式)

の演算子として,真空のＢＲＳ不変性: Ｑ_Ｂ{0＞＝0

を用いると,

0＝＜0|{Ｑ_Ｂ,Ｔ(Ｏ_k(ｘ₁),Ｏ_k(ｘ₂),..,Ｏ_m(ｘ_ｎ))}|0＞

＝Σ_k＝1ⁿ(－)^Ｓk＜0|Ｔ(Ｏ_k(ｘ₁),Ｏ_k(ｘ₂)

,..δ_ＢＯ_ｋ(ｘ_k),..Ｏ_m(ｘ_ｎ)|0＞ なる恒等式を得ます。

ただし,Ｓ_ｋ＝Σ_i=1^ｋ-1|ｉ|,(|ｉ|はＯ_ｉの統計指数)

1粒子既約な(1PI)頂点関数,または,その生成汎関数

に対するＷＴ恒等式を得るには,次のようにします。

まず,全ての場:Φ_IとそのＢＲＳ変換;δ_ＢΦ_Ｉに

対して外場を導入します。すなわち,作用積分:

Ｓ[Ｊ,Ｋ]＝∫ｄ⁴ｘ[Ｊ^ａμＡ^ａ_μ＋Ｊⁱφ_i＋Ｊ~^ａ_ｃｃ^ａ

＋Ｊ^ａ_ｃ~ｃ~^ａ＋Ｊ^ａ_ＢＢ^ａ＋Ｋ^ａμＤ_μｃ^ａ

－iＫⁱｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j＋(1/2)Ｋ^ａ_ｃｇ(ｃ×ｃ)^ａ]

を考えます。

ここで,場は全てHeisenberg場であり, Ｊ~^ａ_ｃ,

Ｊ^ａ_ｃ~,Ｋ^ａμはGrassmann奇数,Ｊ^ａμ,Ｊ^ａ_Ｂⁱ,Ｋ^ａ_ｃ

は普通の数(Grassman偶数)です。

物質場については,φがBosonなら,Ｋⁱは

Grassmann奇数,Ｊⁱは普通の数で,φ_iがFermion

なら,逆です。

ＢＲＳ変換された量:δ_ＢΦ_Iは既にＢＲＳ不変

なので,{iＱ_Ｂ,Ｄ_μｃ^ａ}＝{iＱ_Ｂ,ｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j}

＝{iＱ_Ｂ,(ｃ×ｃ)^ａ}＝0 です。

そこで,0＝＜0|{iＱ_Ｂ, ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞

＝i∫ｄ⁴ｘ＜0|Ｔ[Ｊ^ａμＤ_μｃ^ａ

－(－)^|ｉ|Ｊⁱｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j－(1/2)Ｊ~^ａ_ｃ(ｃ×ｃ)^ａ

－iＪ^ａ_ｃ~Ｂ^ａ]ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞ が成立します。

(※|ｉ|は(Ｊⁱの統計指数)＝(φ_iの統計指数)です。)

摂動論の項目では,外場:Jを与えてGteem関数の

生成汎関数をＺ[Ｊ]とし,Ｚ[Ｊ]＝exp(iＷ[Ｊ])に

よって得られる,連結Green関数の生成汎関数:

Ｗ[Ｊ,Ｋ],および,頂点関数に対する生成汎関数:

Γ[Φ,Ｋ]を考察しましたが,同様に,

exp(iＷ[Ｊ,Ｋ]＝＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞,

Γ[Φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ_I・Φ_I,

Φ_I(ｘ)=(δ/δＪ_I(ｘ))Ｗ[Ｊ,Ｋ]

＝＜0|Ｔ{Φ_I(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞

/＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞,によって.

これらを定義します。

ただし,ここではＪ_Iは,(Ｊ^ａμ,Ｊⁱ,Ｊ~^ａ_ｃ,

Ｊ^ａ_ｃ~,Ｊ^ａ_Ｂ)の全てを意味します。

一般的記号として,Φ_I(ｘ)

＝＜0|Ｔ{Φ_I(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞

/＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞で定義されるΓの

引数のΦ_Ｉは,ｃ-数(期待値)であり,対応する

Heusenberg場:Φ_Ｉ＝Ａ^ａ_μ,φ_i:ｃ^ａ,ｃ~^ａ,Ｂ^ａと

同じ記号で表わしますが.混同しないよう注意

を要します。

上のΓ[Φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ_I・Φ_Iの右辺,

および,,以下においてドット(dot)・は,積分記号

∫ｄ⁴ｘの省略を意味します。

そうすれば,恒等式:

0＝＜0|{iＱ_Ｂ,ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞

＝i∫ｄ⁴ｘ＜0|Ｔ[Ｊ^ａμＤ_μｃ^ａ

－(－)^|ｉ|Ｊⁱｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

－(1/2)Ｊ~^ａ_ｃ(ｃ×ｃ)^ａ

－iＪ^ａ_ｃ~Ｂ^ａ]ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞は,

[Ｊ^ａμ({δ/δＫ^ａμ)＋(－)^{ｉ{Ｊ^l(δ/δＫⁱ)

－Ｊ~^ａ_ｃ(δ/δＫ^ａ_ｃ)－Ｊ^ａ_ｃ~(δ/δＪ^ａ_Ｂ)}Ｗ[Ｊ,Ｋ]

＝0　と書き直せます。

Γ[Φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ_I・Φ_I,のLegendre変換

から.従う,Φ_I(ｘ)=(δ/δＪ_I(ｘ))Ｗ[Ｊ,Ｋ]

＝＜0|Ｔ{Φ_I(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞

/＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞,に双対な関係式

(δ/δΦ_I(ｘ))Γ[Φ,Ｋ]＝－(－)^|Ｉ|Ｊ_I(ｘ),

および,(δ/δＫ_I(ｘ))ΓＷ[Φ,Ｋ]

＝(δ/δＫ_I(ｘ))Γ[Φ,Ｋ]を用いると,先の

恒等式は次のように書き直されます。

すなわち,(δΓ/δＡ^ａ_μ)(δΓ/δＫ^ａμ)

＋(δΓ/δφ_i)(δΓ/δＫⁱ)

－(δΓ/δｃ^ａ)(δΓ/δＫ^ａ_ｃ)

＋i(δΓ/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝0.(11)と書けます。

これが,(1PI)頂点関数の生成汎関数:Γに

対するＷＴ恒等式です。ただし,Grassmann数

による微分は全て左微分です。

ΓのＮＬ場:Ｂ^ａや反ゴースト場:ｃ~^ａへの依存性

は特殊で運動方程式:∂^μＡ^ａ_μ＋αＢ^ａ＝0,

∂^μＤ_μｃ^ａ＝Ｄ^μ∂_μｃ~^ａ＝0より従う次の恒等式

を満たします。

　なわち.δΓ/δＢ^ａ＝∂^μＡ^ａ_μ＋αＢ^ａ,(12)

および,/δＫ^ａμ)＋iδΓ/δｃ~^ａ＝0.13)　です。

(再掲載終了) (注10-3終了※)

これでやっと,うっかり消えたWord文書の

原稿の書き直しとアップが終わりホッとして

います。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲﾞ―ジﾞ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(10)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

このシリーズ記事で,うっかり紛失した

(9)を書き直したものが前より長くなり過ぎて

急遽,記事を分割し,改めて(9)をアップした後

の残りを,この(10)で記述します。

なので,余談抜きで本題の続きに入ります。

§7-4(ゲージ理論の乗法的くりこみ)において,,

ゲージ系の場合,ＢＲＳ対称性が非線形であるため,

ゲージ対称性を保持したままの「くりこみ可能性」

は自明ではなく,これの肯定的回答(くりこみ可能

であることの証明)を与えるのが本節の目的です。

と書いたところで,前回記事は終わりました。

ここからは,今回のその続きです。

• 7－4の中の(Ward-高橋恒等式)の項からです。

こでは,まず,第５章で論じた一般的なゲージ

理論の系を改めて考えること,から始めます。

系のLagrangean:Ｌは,Ｌ＝Ｌ_ＧＩ＋Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}で

与えられ,物質場をφ_iと記すと,ゲージに依らない

部分:Ｌ_ＧＩはＬ_ＧＩ＝－(1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν

＋Ｌ_matter(φ_i,Ｄ_μφ_i).(2)で与えられる,とします。

ここで,Ｆ^ａ_μν=∂_μＡ^ａ_ν－∂_νＡ^ａ_μ

－ｇｆ_ａｂｃＡ^ｂ_μＡ^ｃ_ν.(2)であり,Ｄ_μφ_i

＝∂_μφ_i＋iｇＡ^ａ_μ(Ｔ^ａ)_ijφ_j.(3)　です。

そして,ゲージ固定項(gauge fix)

＋ファデエフ・ポポフ(Fadeev-Popov)項の部分

:Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}は,関数:Ｆ^ａ(Ａ,φ,Ｂ)

＝∂^μＡ^ａ_μ＋ｆ^ａ_iφ_i＋(α/2)Ｂ^ａ

＋ｗ^ａ (ｆ^ａ_i,ｗ^ａは定数)(4)を一般的な線形

ゲージ固定関数として採用すれば,ゲージ固定

関数の定義からＬ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ(ｃ~^ａＦ^ａ)

なので,Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝Ｂ^ａ(∂^μＡ^ａ_μ＋ｆ^ａ_iφ_i＋ｗ^ａ)

＋(α/2)Ｂ^aＢ^ａ

＋iｃ~^ａ{∂^μＤ_μｃ^ａ－iｇｆ^ａ_iｃ^ｂ(Ｔ^ｂ)_ijφ_j}(5)

と書けます。

ここで,ゲージ場と物質場をまとめて記述した

方が便利な場合は,Φ_I＝(Ａ^ａ_μ,φ_l)^Ｔという

記号を用いることにします。そして,このΦ_I

のＢＲＳ変換も,δ_ＢＡ^ａ_μ＝Ｄ_μｃ^ａと,

δ_Ｂφ_i＝－iｇｃ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_jをまとめて,

δ_ＢΦ_I＝Ｄ^ａ_Iｃ^ａ(6)と記すことにします。

さらに,∂_μＡ^ａ_μ＋ｆ^ａ_iφ_i＝ｆ^ａ_IΦ_I.(7)

と略述する,つまり,Φ_I(Ａ^ａ_μ,φ_l)^Ｔ(列ベクトル)

に対し,その係数をまとめて,ｆ^ａ_I＝(∂_μ,ｆ^ａ_i)

(行ベクトル)で表わします。

すると,(5)はＬ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝Ｂ^ａ(ｆ^ａ_IΦ_I＋ｗ^ａ)

＋(α/2)Ｂ^ａＢ^ａ＋iｃ~_ａｆ^ａ_IＤ^ｂ_Iｃ^ｂ.(8)

と簡単になります。

ここで,第５章の§5-6(※本ブログでは過去記事

「ゲージ場の量子論(24)」)で記述したように,場

(Ａ^ａ_μ,φ_i,ｃ^ａ)＝(Φ_Ｉ,ｃ^ａ)のＢＲＳ変換:

(Ｄ^ａ_Iｃ^ａ,(ｇ/2)(ｃ×ｃ)^ａ)の外場:(Ｋ)項を加えた

作用積分Ｓ,つまり,

Ｓ[Φ~,Ｋ]＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ＋Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}

＋Ｋ_IＤ^ａ_Iｃ^ａ＋(ｇ/2)Ｋ_ｃ^ａ(ｃ×ｃ)^ａ](9)

ただし,Φ~＝(Ａ^ａ_μ,φ_i,ｃ^ａ,ｃ~^ａ,Ｂ^ａ),

Ｋ_IＤ^ａ_IΦ_I＝Ｋ^ａ_μＤ_μｃ^ａ

－Ｋ_i(iｇ)(Ｔ)^ａ)_ijφ_j.(10)を持つ系を

考え,その系の有効作用:Γ[Φ~,Ｋ]

＝Γ[Φ_I,ｃ^ａ,ｃ~^ａ,Ｂ^ａ,Ｋ_I.Ｋ_ｃ^ａ]

に対するWard-高橋恒等式(ＷＴ恒等式)

を導けば,汎関数微分を用いて,§5-6の(11)

と同じく.(δΓ/δΦ_I)(δΓ/δＫ_I)

＋(δΓ/δｃ^ａ)(δΓ/δＫ_ｃ^ａ)

＋i(δΓ/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝0.(11)を得ます。

ここでも,以下でも§5－6同様,式から∫ｄ⁴ｘ

の積分記号を省略した記法を用いています。

さらに,ＮＬ場(中西-Lautrap)場:Ｂ^ａと

反ゴースト場:ｃ~^ａの運動方程式から従う,

• 5－6の(12),(13)は.今の一般線形ゲージに

対するものとしてha,次の,

δΓ/δＢ^ａ＝ｆ^ａ_IΦ_I＋ｗ^ａ＋αＢ^ａ.(12),

および,ｆ^ａ_I(δΓ/δＫ_I)＋i(δΓ/δｃ~^ａ)

＝0.(13)と読み変えた式になります。

次に(くりこみ可能性の主張)という項

に入ります。

作用:Ｓ[Φ~,Ｋ]＝∫ｄ⁴ｘ[Ｌ_ＧＩ

＋Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＋Ｋ_IＤ^ａ_Iｃ^ａ

＋(ｇ/2)Ｋ_ｃ^ａ(ｃ×ｃ)^ａ](9) や,(11)～(13)

における有効作用Γ[Φ~,Ｋ]の引数は,本当

は皆,裸の場:Φ~₀＝(Φ_0I,ｃ₀^ａ,ｃ~₀^ａ,Ｂ₀^ａ),

裸の外場:Ｋ₀＝(Ｋ_0I.Ｋ_0ｃ^ａ),裸の結合定数

(ｇ₀,ｆ₀^ａ_I,α₀)で元々,書かれている量であり,

故に(11)～(13)のＷＴ恒等式に現われるΓ,Φ.

Ｋ,ｆ,αは.本来は裸の量を示す添字0を付ける

べきものです。

ゲージ結合定数:ｇ以外にも物質場間の湯川

結合定数や,λφ⁴の結合定数λ,それに物質場の

質量についても,もし存在すれば同様に裸の量と

して考慮します。

しかしながら,裸の量は,本来,発散量ですから,

裸の量を用いた議論が意味を持つためには,

何らかの正則化を実行しておく必要があり,しかも

裸の量に対し(11)のＷＴ恒等式を導けるためには

この正則化は「ゲージ不変性を尊重するもの」で

ある必要があります、

ゲージ不変な正則化が存在するかどうか？は,

理論に依りますが,この節で考察する理論では

「ゲージ不変な正則化の方法が存在する。」

と仮定します。これは重要な仮定です。

話を明確にするため,ここでは次元正則化を

採用しておくことにします。

以前の節で述べたように.カイラルFermionの

ある場合,すなわち,γ₅行列の現われる場合は,

次元正則化でもゲージ不変性を壊します。

しかし,そのような場合は,実際,他にもゲージ

不変な正則化は存在せず,後章で述べるように,

一般に,アノマリー(量子異常)が現われ.くりこみ

可能性が壊れることになります。

本節で証明したい最終的主張は裸の量で書いた

有効作用Γ₀を次に定義するくりこまれた諸量で

書き直せば,有限な汎関数:Γ(くりこまれた有効

作用)になる。ということです。すなわち,

Γ[Φ~₀,Ｋ₀,ｇ₀,ｆ₀,α₀]＝Γ[Φ~,Ｋ,ｇ,ｆ,α].

(14)が証明すべき式です。

くりこまれた場:Φ~＝(Φ,ｃ,ｃ~,₀^ａ)は,

裸の場:Φ~₀＝(Φ_0I,ｃ₀^ａ,ｃ~₀^ａ,Ｂ₀^ａ)とは,

それぞれ,Ａ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ.(15-1),

φ₀i＝Ｚ_i^1/2(φ_i＋ｖ_i.(15-2)

(ｃ₀^ａ,ｃ~₀^ａ)＝Ｚ~₃^1/2(ｃ^ａ,ｃ~^ａ).(15-3)

の関係でつながっているとします。

物質場部分の定数ｖ_iは,一般的線形ゲージ

Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}＝－iδ_Ｂ(ｃ~^ａＦ^ａ)；Ｆ^ａ(Ａ,φ,Ｂ)

＝∂^μＡ^ａ_μ＋ｆ^ａ_iφ_i＋(α/2)Ｂ^ａ＋ｗ^ａ で,

Ｆ^ａの右辺がｆ^ａ_ｉφ_i項を含むことに起因し

(対称性の自発的破れがない場合でも必要な)

場φ_iの定数シフトです。

ＮＬ場:Ｂ^ａや,外場:Ｋのくりこみは,

(11)～(13)の恒等式がくりこまれた量で

書いても同じ形になるように行ないます。

これは,まず,(12)の裸の式:

δΓ₀/δＢ₀^ａ＝∂^μＡ₀^ａ_μ＋ｆ₀^ａ_iφ_0i＋ｗ^ａ

＋α₀Ｂ₀^ａ.(16)に,Γ₀＝Γ,Ａ₀^ａ_μ＝Ｚ₃^1/2Ａ^ａ_μ,

φ₀i＝Ｚ_i^1/2(φ_i＋ｖ_i)を代入し,くりこんだ量

で書いても同じ形になる(しかし,定数項:ｗ^ａ

はゼロとなって消える)ように

Ｂ₀^ａ＝Ｚ₃^-1/2Ｂ^ａ,ｆ₀^ａ_i＝Ｚ₃^1/2Ｚ_i^-1/2ｆ^ａ_i,

α₀＝Ｚ₃α,ｗ^ａ­＝－Z₃^1/2ｆ^ａ_iｖ_i.(17)とします。

(※Ｂ^ａやゲージパラメータαの上記の関係式

は§5-6の議論で得た(63),(58)に一致して

います。

また,(4)のゲージ固定関数に定数項ｗ^ａが

必要であった理由はφ_iの定数シフト:ｖ_i

(発散量)を相殺するためでした。

(※裸のLagrangianの場では大局的ゲージが

破れていて,くりこまれた場では破れていない

とすると,φ_0i＝Ｚ_i^1/2(φ_i＋ｖ_i)によって有効

作用では,0次で.Ｚ_i＝1,場の真空期待値はφ~_i

＝0,で,くりこむ前は破れによるシフトｖ_iが

現われていると考えられます。

くりこまれた場ではｆ^ａ_iが共変に変換する

量と見なせば大局的ゲージを破りません。)

次に,(13)の裸の式:

ｆ₀^ａ_I(δΓ₀/δＫ_0I)＋i(δΓ₀/δｃ~₀^ａ)＝0.

が,くりこまれた量で同じ形に留まるために,

Ｋ₀^ａ_μ＝Ｚ~₃^1/2Ｋ^ａ_μ,Ｋ_0i＝(Ｚ~₃^1/2Ｚ₃^1/2/Ｚ_i^1/2)Ｋ_i.

(18)とすべきこと,さらに,(11)の裸の式：

δΓ₀/δΦ_0I)(δΓ₀/δＫ_0I)

＋(δΓ₀/δｃ₀^ａ)(δΓ₀/δＫ_0ｃ^ａ)

＋i(δΓ₀/δｃ~₀^ａ)Ｂ₀^ａ＝0.が同じ形

に留まるために,Ｋ_0c^ａ＝Ｚ₃^1/2Ｋ_c^ａ.(19)

とすべきことが従います。

最後に,結合定数:ｇは,ｇ₀＝Ｚ₁Ｚ₃-^3/2ｇ.

(20)でくりこむとします。

以上,(15),(17)～(20)の置き換えでくりこみ

を実施すれば,くりこみ因子:Ｚ＝(Ｚ₁,Ｚ₃,Ｚ~₃,Ｚ_i),

および,φ_i場のシフトｖ_iの値の選び方に依らず,

常に,裸の量と同じく(11)～(13)のＷＴ恒等式

((12)ではｗ^ａ＝0としたもの)がくりこまれた量

でも成立するという点に特に着目しておきます。

そして,くりこみ可能性の主張である(14)式:

Γ[Φ~₀,Ｋ₀,ｇ₀,ｆ₀,α₀]＝Γ[Φ~,Ｋ,ｇ,ｆ,α].

は,Ｚやｖ_iを正しく選んだときに,くりこまれた

有効作用ΓがΦ~,Ｋ,ｇ,ｆ,αの有限な汎関数に

なる。ということです。

※上記記事の参考として注尺を列記します。

※(注10-1):一般線形ゲージの設定がｆ^ａ_i

を含むので,totalのLagrabgian:Ｌが大局的

ゲージ不変性(global gauge symmetry)を

破っています。

つまり,裸のゲージ固定関数は,Ｆ₀^ａ

＝∂^μＡ₀^ａ_μ＋ｆ₀^ａ_iφ_0i＋(α₀/2)Ｂ₀^ａ＋ｗ^ａ

＝Ｚ₃^1/2{∂^μＡ^ａ_μ＋ｆ^ａ_i(φ_i＋ｖ_i)＋αＢ^ａ

－ｆ^ａ_iｖ_i}

＝Ｚ₃^1/2{∂^μＡ^ａ_μ＋ｆ^ａ_iφ_i＋αＢ^ａ}

と,くり込まれた量の定数培に書けます。

ゲージ固定の意味についてはＬ_{ＧＦ＋ＦＰ}を

分けて,Ｌ_ＧＦ＝－i(δ_Ｂｃ~^ａ)Ｆ^ａ＝Ｂ^ａＦ^ａ

とＬ_ＦＰ＝iｃ~^ａ(δ_ＢＦ^ａ)と書くとゲージ

条件は.Euler-Lagrabge方程式:∂Ｌ/∂Ｂ^ａ

＝∂Ｌ_ＧＦ/∂Ｂ^ａ＝0 から,

Ｆ^ａ＋Ｂ^ａ(∂Ｆ^ａ/∂Ｂ^ａ)＝0です。

今の線形固定関数(4)の場合は,裸では

∂^μＡ₀^ａ_μ＋αＢ₀^ａ＋ｆ₀^ａ_iφ_0i＋ｗ^ａ＝0,

であり,くりこんだ量では,

∂^μＡ^ａ_μ＋αＢ^ａ＋ｆ^ａ_iφ_i,＝0です。

スカラー場:φ_iのゲージ変換(位相変換)

の無限小変換:φi → φi＋θ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_j

で,微小パラメータ:θ^ａが時空座標ｘに依存

するなら局所ゲージ変換ですが,これがｘに

無関係な定数なら,大局的ゲージ変換です。

そもそも,大局的変換は局所変換の特別な

場合ですからＬが(局所)ゲージ変換の下で

不変なら大局的ゲージ変換の下でも不変です。

大局的変換であれば,元々ゲージ場:Ａ^ａ_μは

必要ないです。

実際,Ａ^ａ_μのゲージ変換はＢＲＳ変換:δ_ＢＡ^ａ_μ

＝Ｄ_μｃ^ａのゴースト場:ｃ^ａが,ただのｃ-数の

パラメータ:θ^ａである場合ですから,だらに

大局的変換でθ^ａがGrassmann偶の普通の定数

なら,∂_μθ^ａ＝0より.Ｄ_μθ^ａ＝(ｇ/2)ｆ_ａｂｃ

θ^ｂθ^ｃ＝0で,やはりゲージ場:Ａ^ａ_μは不変で

あっても無くてもいい存在です。

今.考察中の系ではLagrangian密度Ｌが

Ｌ＝Ｌ_ＧＩ＋Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ},で与えられ,

Ｌ_ＧＩ＝－(1/4)Ｆ^ａ_μνＦ^ａμν

＋Ｌ_matter(φ_i,Ｄ_μφ_i)および,.Ｌ_{ＧＦ＋ＦＰ}

＝Ｂ^ａ(∂^μＡ^ａ_μ＋ｆ^ａ_iφ_i＋ｗ^ａ)＋(α/2)Ｂ^aＢ^ａ

＋iｃ~^ａ{∂^μＤ_μｃ^ａ－iｇｆ^ａ_iｃ^ｂ(Ｔ^ｂ)_ijφ_j

ですが.これはφ_iが,θ^ａが定数の次の位相変換

φ_i →φ_i＋θ^ａ(Ｔ^ａ)_ijφ_jを受けて,Ａ^ａ_μが不変

の大局的ゲージ変換の下でも,不変であるはず

なのですが,実際にはＢ^ａ(ｆ^ａ_iφ_i＋ｗ^ａ)の項

が怪しいです。ｗ^ａは定数だから不変でいいとして

ｆ^ａ_iφ_i項においては.ｆ^ａ_iが(φ_i)^＋のようにφ_i

と逆位相に変換される量である,としないと,大局的

不変性が成立しません。ｆ^ａ_iが定数なら破れています。

よって,ｆi_ａφ_iの項は余分で,これがあると既に

破れています。

この余分な項はくりこみのためにワザワザ付加した

もので,裸のＬ_0ＧＦ＝Ｂ₀^ａ(∂^μＡ₀^ａ_μ＋ｆ₀^ａ_iφ_0i＋ｗ^ａ)

＋(α₀/2)Ｂ₀^aＢ₀^ａの段階では,眞空期待値がφ~_0i≠0

であったのに,くりこむと,Ｌ_ＧＦ＝Ｂ^ａ(∂^μＡ^ａ_μ＋

ｆ^ａ_iφ_i)＋(α/2)Ｂ^aＢ^ａとなって眞空期待値が

φ~_i＝0という合理的な値になるように付加した項

と考えられます。

この破れによって有効ポテンシャル:Ｖ[φ~_i]

の最小値を与えていたφ~_i(φ_i場の期待値)が

真空で,φ~_0i＝ｖ_i≠0から,φ~_i＝0へとシフト

を起こします。

より詳細には,裸のＶ₀[φ~_0i]は破れていた

のでＶ₀の最小値を与える真空での場の期待値

はφ~_0i＝ｖ_i≠0であったのに,くりこんだ結果

のそれは,φ~_i＝0になったと解釈します。

つまり,Ｖ_{0 min}＝Ｖ₀[φ~_0i]＝Ｖ₀[Ｚ_i^1/2(φ~_i＋ｖ_i)]

であり,最右辺をＶ[φ~_i]と書けば,Ｖ₀が最小値

をとる真空では,期待値がφ~_i0＝ｖ_i≠0であり,

くりこまれた量φ~では,場の真空期待値がゼロ

である,ということを示しています。

(注10-1終わり※)

※(注10-2):以下,過去記事;

「ゲージ場の量子論(24)」の第５章の§5-6

Ward-高橋恒等式の関連する部分を再掲載

しようと思います。

ただ,その前に,そもそも,元の素朴な

Ward-高橋恒等式とは,２点Green関数と

頂点関数の同等性を意味する式と,私が理解

している内容を述べておきます。すなわち,

単純な恒等式:Ｓ_Ｆ(ｐ₁)^-1－Ｓ_Ｆ(ｐ₂)^-1

＝(ｐ₁－ｍ)－(ｐ₂－ｍ)

＝(ｐ₁－ｐ₂)＝－(ｐ₂－ｐ₁)^μγ_μの成立は

自明ですが,この自由伝播関数:Ｓ_Ｆと自由頂点

γ_μに,相互作用の着物を着せて輻射補正をする

と,摂動論的には,自己エネルギーの発散があります

が,それをくりこんだ伝播関数と頂点関数を,それぞれ,

Ｓ~_Ｆ,Γ~_μと書いて,先の単純な恒等式を拡張すると,

Ｓ_Ｆ~(ｐ₁)^-1－Ｓ_Ｆ~(ｐ₂)^-

¹＝－(ｐ₂－ｐ₁)^μΓ~_μ(ｐ₂,ｐ₁)　となります。

　または,Wardの恒等式:Γ~^μ(ｐ~,ｐ)|_p~=ｐ

＝－(∂/∂ｐ^μ)Ｓ_Ｆ~(ｐ)^-1を得ます。

こうして,２点頂点関数は,伝播関数の逆数の差

という意味を持つことを示している,と考えています。

さて,ここからは「ゲージ場の量子論(24)」

の再掲載記事です。

(再掲開始:※)Ward-高橋恒等式について,

一般にゲージ不変性に限らず,ある対称性が存在

すると,種々のGreen関数,頂点関数等の間に種々

の関係式が成立します。このような関係式を一般

にWard-高橋恒等式,略してＷＴ恒等式と呼びます。

ゲージ不変性に関わるGreen関数についてのＷＴ

恒等式は,全てＢＲＳ演算子:Ｑ_Ｂを用いて,次のように

簡単に与えることができます。

すなわち,Ｏ_k(ｘ)を任意の場(または,その多項式)

の演算子として,真空のＢＲＳ不変性: Ｑ_Ｂ{0＞＝0

を用いると,

0＝＜0|{Ｑ_Ｂ,Ｔ(Ｏ_k(ｘ₁),Ｏ_k(ｘ₂),..,Ｏ_m(ｘ_ｎ))}|0＞

＝Σ_k＝1ⁿ(－)^Ｓk＜0|Ｔ(Ｏ_k(ｘ₁),Ｏ_k(ｘ₂)

,..δ_ＢＯ_ｋ(ｘ_k),..Ｏ_m(ｘ_ｎ)|0＞ なる恒等式を得ます。

ただし,Ｓ_ｋ＝Σ_i=1^ｋ-1|ｉ|,(|ｉ|はＯ_ｉの統計指数)

1粒子既約な(1PI)頂点関数,または,その生成汎関数

に対するＷＴ恒等式を得るには,次のようにします。

まず,全ての場:Φ_IとそのＢＲＳ変換;δ_ＢΦ_Ｉに

対して外場を導入します。すなわち,作用積分:

Ｓ[Ｊ,Ｋ]＝∫ｄ⁴ｘ[Ｊ^ａμＡ^ａ_μ＋Ｊⁱφ_i＋Ｊ~^ａ_ｃｃ^ａ

＋Ｊ^ａ_ｃ~ｃ~^ａ＋Ｊ^ａ_ＢＢ^ａ＋Ｋ^ａμＤ_μｃ^ａ

－iＫⁱｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j＋(1/2)Ｋ^ａ_ｃｇ(ｃ×ｃ)^ａ]

を考えます。

ここで,場は全てHeisenberg場であり,Ｊ~^ａ_ｃ,

Ｊ^ａ_ｃ~,Ｋ^ａμはGrassmann奇数,Ｊ^ａμ,Ｊ^ａ_Ｂⁱ,Ｋ^ａ_ｃ

は普通の数(Grassman偶数)です。

物質場については,φがBosonなら,Ｋⁱは

Grassmann奇数,Ｊⁱは普通の数で,φ_iがFermion

なら,逆です。

ＢＲＳ変換された量:δ_ＢΦ_Iは既にＢＲＳ不変

なので,{iＱ_Ｂ,Ｄ_μｃ^ａ}＝{iＱ_Ｂ,ｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j}

＝{iＱ_Ｂ,(ｃ×ｃ)^ａ}＝0 です。

そこで,0＝＜0|{iＱ_Ｂ, ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞

＝i∫ｄ⁴ｘ＜0|Ｔ[Ｊ^ａμＤ_μｃ^ａ

－(－)^|ｉ|Ｊⁱｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j－(1/2)Ｊ~^ａ_ｃ(ｃ×ｃ)^ａ

－iＪ^ａ_ｃ~Ｂ^ａ]ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞ が成立します。

(※|ｉ|は(Ｊⁱの統計指数)＝(φ_iの統計指数)です。)

摂動論の項目では,外場:Jを与えてGteem関数の

生成汎関数をＺ[Ｊ]とし,Ｚ[Ｊ]＝exp(iＷ[Ｊ])に

よって得られる,連結Green関数の生成汎関数:

Ｗ[Ｊ,Ｋ],および,頂点関数に対する生成汎関数:

Γ[Φ,Ｋ]を考察しましたが,同様に,

exp(iＷ[Ｊ,Ｋ]＝＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞,

Γ[Φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ_I・Φ_I,

Φ_I(ｘ)=(δ/δＪ_I(ｘ))Ｗ[Ｊ,Ｋ]

＝＜0|Ｔ{Φ_I(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞

/＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞,によって.

これらを定義します。

ただし,ここではＪ_Iは,(Ｊ^ａμ,Ｊⁱ,Ｊ~^ａ_ｃ,

Ｊ^ａ_ｃ~,Ｊ^ａ_Ｂ)の全てを意味します。

一般的記号として,Φ_I(ｘ)

＝＜0|Ｔ{Φ_I(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞

/＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞で定義されるΓの

引数のΦ_Ｉは,ｃ-数(期待値)であり,対応する

Heusenberg場:Φ_Ｉ＝Ａ^ａ_μ,φ_i:ｃ^ａ,ｃ~^ａ,Ｂ^ａと

同じ記号で表わしますが.混同しないよう注意

を要します。

上のΓ[Φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ_I・Φ_Iの右辺,

および,,以下においてドット(dot)・は,積分記号

∫ｄ⁴ｘの省略とします。

そうすれば,恒等式:

0＝＜0|{iＱ_Ｂ,ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞

＝i∫ｄ⁴ｘ＜0|Ｔ[Ｊ^ａμＤ_μｃ^ａ

－(－)^|ｉ|Ｊⁱｃ^ａｇ(Ｔ^ａ)_ijφ_j－(1/2)Ｊ~^ａ_ｃ(ｃ×ｃ)^ａ

－iＪ^ａ_ｃ~Ｂ^ａ]ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞は,

[Ｊ^ａμ({δ/δＫ^ａμ)＋(－)^{ｉ{Ｊ^l(δ/δＫⁱ)

－Ｊ~^ａ_ｃ(δ/δＫ^ａ_ｃ)－Ｊ^ａ_ｃ~(δ/δＪ^ａ_Ｂ)}Ｗ[Ｊ,Ｋ]

＝0　と書き直せます。

Γ[Φ,Ｋ]＝Ｗ[Ｊ,Ｋ]－Ｊ_I・Φ_I,のLegendre変換

から.従う,Φ_I(ｘ)=(δ/δＪ_I(ｘ))Ｗ[Ｊ,Ｋ]

＝＜0|Ｔ{Φ_I(ｘ)expiＳ[Ｊ,Ｋ]}|0＞

/＜0|ＴexpiＳ[Ｊ,Ｋ]|0＞,に双対な関係式

(δ/δΦ_I(ｘ))Γ[Φ,Ｋ]＝－(－)^|Ｉ|Ｊ_I(ｘ),

および,(δ/δＫ_I(ｘ))ΓＷ[Φ,Ｋ]

＝(δ/δＫ_I(ｘ))Γ[Φ,Ｋ]を用いると,先の

恒等式は次のように書き直されます。

すなわち,(δΓ/δＡ^ａ_μ)(δΓ/δＫ^ａμ)

＋(δΓ/δφ_i)(δΓ/δＫⁱ)

－(δΓ/δｃ^ａ)(δΓ/δＫ^ａ_ｃ)

＋i(δΓ/δｃ~^ａ)Ｂ^ａ＝0.(11)と書けます。

これが,(1PI)頂点関数の生成汎関数:Γに

対するＷＴ恒等式です。ただし,Grassmann数に

よる微分は全て左微分です。

ΓのＮＬ場:Ｂ^ａや反ゴースト場:ｃ~^ａへの依存性

は特殊で運動方程式:∂^μＡ^ａ_μ＋αＢ^ａ＝0,

∂^μＤ_μｃ^ａ＝Ｄ^μ∂_μｃ~^ａ＝0より従う次の恒等式

を満たします。

　なわち.δΓ/δＢ^ａ＝∂^μＡ^ａ_μ＋αＢ^ａ,(12)

および,/δＫ^ａμ)＋iδΓ/δｃ~^ａ＝0.13)です。

(再掲載終了) (注10-2終了※)

今回はここで終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲﾞ―ジﾞ場の量子論Ⅱ」

(培風館)

くりこみ理論(次元正則化)(9)

「くりこみ理論(次元正則化)」の続きです。

(※これを書いている実際の日付は,４月に

入ったところです。):

(※余談)実は,2020年5/23に(8)までアップ

して,翌24日にこれをアップしようとして原稿

が消えてしまい,バックアッもプ取ってなかった

ので,Ａ4で約10ページそっくり消えて,何日も

苦労したのに,と落胆しました。

思い直して,何とか最初から書き直して今まで

かかりました。

自分で書いた種ノートがあるとはいえ,今の視力

でギリギリ読める字の大きさで(参考書の方はもはや

ルーペでもないと無理ですが),しかも20年以上も

前に書いたものなので,判読できても意味不明なこと

も多々あり,その都度熟考して注釈など追加している

うち,前は10ぺージほどだった原稿が長くなり過ぎて

途中で分割して次にまわしました。

思えば,その昔,勤務していた会社に.30代後半の頃

「オアシス」と「文豪」というワープロが1台ずつ

入り,薄い5.25インチのフロッピーに保存しながら

文書を書いた,というのが,私のワープロ初体験でした。

それでも,２台しかないし,しばらくは前と同様,手書き

か,製本時に印刷屋に出すことが多かったのですが,それ

から,シャープの「書院」というのが複数台入った,40歳

のとき,その会社をやめて,初めて自宅でNECのPC98という

パソコンを購入した頃は,OSはMS-DOSでワープロ・ソフト

は「一太郎」を使っていました。

今のＴＢ(テラバイト)仕様のものから見るとゴミのような

僅か80ＭＢ程度のハードでィスクもありましたが,まだ,3.5

インチのフロッピーが主流でした。

結局1995年(45歳)のころ.Windows95の時代になりPC98

の全盛時代も終わり,私も最初はCompaqのマシンを買い,世

に習ってMS-officeのWordを使うようになりました。

それから12年ぶり52歳で最初の会社にアルバイトで4

年間勤務した頃は,もう文書はWordで作るのが常識の時代

で,会社でも自宅でも長時間で作ったものを消して

悔しかった。という失敗は,山ほどありました。

まあ,機械相手に腹を立てても仕方ないです。

(余談終わり※)

以下,本題に入ります。

• 7-3のＢＰＨＺくりこみの中で,

「対称性とくりこみ」の項目に入ります。

,　ＢＰＨＺくりこみとその「収束定理」から

直ちに従う,いくつかの重要な命題を与えます。

さて,今,考察中の問題では,Lagrangian が,

Ｌ＝Ｌ^free＋Σ_iＬ_i^int.(1)の形を持つ,全く一般的

な,Boson:{φ}とFermion:{ψ}の系を考えている

ことを,思い出す必要があります。

そして,先の収束定理は,そうした系での紫外

発散が,任意のグラフΓにおいて,そのくりこみ

部分γの各々に対し,見かけの発散次数:ω(γ)

分だけのTayler項の引き算:(－ｔ_ω(γ)^γ)Ｒ_γを

行なえば除去される,ということを述べています。

γの見掛けの次数ω(γ)が,Γに対する公式:

ω(Γ)＝Σｎ_i{(ｄ_i＋ｂ_i＋(3/2)ｆ_i－4}

＝4－Ｅ_Ｂ－(3/2)Ｅ_Ｆ＋Σｎ_iδ_i.(7)によって,

内部グラフ:γのBoson,とFermionの外線数

を.それぞれ,Ｅ_Ｂ^γ,Ｅ_Ｆ^γとするとき,

ω(γ)＝4－Ｅ_Ｂ^γ－(3/2)Ｅ_Ｆ^γ＋Σｎ_iδ_i.(28)

(ｎ_iはグラフγ中のＬ_i-頂点の数)と書けること

から,(271のTayler展開のｐのω(γ)次まで

の各項の引き算は,次の形をした局所相殺項:

Ｌ_ount^γ＝(定数)×(∂)^ｄ(φ)^EBγ(ψ or ψ~)^EFγ(29)

(ｄ＝0,1,..ω(γ))を挿入すること,に相当して

いることがわかります。

この相殺項:Ｌ_count^γの次元,または(3)でＬ_i-頂点

に対して定義した指標:

δ_i＝ｂ_i＋(3/2)ｆ_i＋ｄ_i－4＝dim(Ｌ_i^int)－4

のグラフγの相殺項に対応する指標δは,

(28),(29)から,dim(Ｌ_count^γ)

＝ｄ－Ｅ_Ｂ^γ－(3/2)Ｅ_Ｆ^γ

＝4＋Σｎ_iδ_i－{ω(γ)－ｄ}(30),または.

δ(Ｌ_count^γ)＝4－dim(Ｌ_cohnt^γ)

＝Σｎ_iδ_i－{ω(γ)－ｄ}.(31)

で与えられます。

ところが,(29)により,ω(γ)－ｄ≧0

ですから,(31)より,次の命題１を得ます。

※[命題１]「あるくりこみ部分のグラフ:γ

の発散から要求される相殺項:Ｌ_count^γは,

その指標:δがγ内の相互作用頂点の指標

の総和以下のものに限られる。」

先に,指標がδ_i≦0である相互作用項:Ｌ_iのみ

から成る理論をくりこみ可能な理論と名付け

ましたが,くりこみが,前節の乗法的くりこみで

やったように,場の規格化や,質量,結合定数の

書き換えと解釈できるためには,もっと強い条件

が必要です。(※ 湯川相補作用系におけるλφ⁴項は

その例でした。)

この強い条件を満たす理論の方が通常,くりこみ可能

と言われるものなので,ここでもそれに従います。

そうすれば,命題１から,次の命題２を得ます。

※[命題２]「(1)で定義した意味のBosonとFermion

が与えられたとき,その全ての場とその微分から構成

される次元が1,2,3,4の(つまりδ＝4－dim(Ｌ_cohnt^γ)

より,指標δがδ≦0を満たす)可能な単項式の全て

を含む(裸の)Lagrangianを持つ系は,くりこみ可能

である。」

実際の系では,Lorentz不変性を別にしても,種々

の内部対称性を持っています。例えば,最も単純な

λφ⁴理論でも,φ→(－φ)で不変という対称性が

あり,φの奇数次の頂点関数:Γ^(2ｋ＋1)は摂動の任意

次数でゼロであり,したがって,裸のLagrangianも

φの偶数次の項だけを用意しておけば,くりこみ可能

ということになるはずです。

前節の湯川相互作用系は,さらにアイソスピンＳＵ(2)

対称性を持ち,ＳＵ(2)不変な項のみから成るLagrangian

で,くりこみ可能です。

これらの内部対称性は,どれもＢＰＨＺ手続きの,

どの段階でも明白に保持されている対称性なので,

その対称性を破るTaylor引き算項は現われず,相殺項

は,対称性を持つもののみで十分です。

(※例えば,Ｔr(τ_iτ_ｊτ_ｋ)＝0によりφの奇数次項は

湯川相互作用では許されません。そこで,その相殺項

もφの偶数次の項のみがあれば十分です。)

そこで,次の命題３が従います。

※[命題３]「ＢＰＨＺ手続きで明白に保たれる線形内部

対称性を持つ系の場合は,命題２のLagrangianを,その

対称性を満たす項のみに制限しても,くりこみ可能である。」

Lorentz不変性,ＳＵ(ｎ),カイラル対称性,荷電共役

不変性,パリティ不変性等々は,皆,このような明白な対称性

の例です。しかし,対称性が場に関して非線形な変換の場合

は,もはや,ここでいう明白な対称性ではありません。

また,線形な対称性でも,自発的に破れた真空の上で,摂動

計算を行なう場合は,場の変換が非線形になり,「明白な」

対称性ではなくなります。

とはいえ,非線形な「明白でない」対称性でも,多くの

場合は,Lagrangianを,その対称性を満たすものに限っても,

くりこみ可能であることがわかります。

ただ,これら非自明な対称性の系の場合には,個々別々に

くりこみ可能性の証明が必要です。

この,すぐ後に議論する予定のゲージ理論のくりこみの

問題も基本的なＢＲＳ対称性が非線形であり,この範疇の

問題の１つです。

さて,ある対称性を破る項が次元３以下,(ｄ次元時空なら

(ｄ－1)以下)の場合,これをソフト(soft)な破れ項と呼びます。

次の定理は,対称性を破るソフトな項を系に付け加えた場合

への命題３の拡張として,Symanzikが初めて与えたものです。

※[定理]:「命題３の仮定を満たす系に,その対称性を破る次元

がｄ(≦3)のソフトな項を加えたとき,ｄ以下の次元の対称性を

破る項の全てをLagrangianに加えれば,くりこみ可能である。」

[証明]:Lagrangianにおける対称な項は,皆,指標δ≦0を

持っているはずです。

一方,対称性を破る項は,仮定からｄ以下の次元ですから,

その指標δはδ＝dim(Ｌ^γ)－4≦(ｄ－4)を満たします。

対称性を破る相殺項は,対称性を破る項を少なくとも

１つの頂点に含むグラフ:γの発散から要求されます。

そのようなグラフγ内の相互作用頂点の指標の総和:

Σｎ_iδ_iは,(ｄ－4)以下です：

それ故,命題１より要求される相殺項の指標は(ｄ－4)

以下に限られます。故に,その次元は,dim(Ｌ^γ)＝δ＋4

なのでｄ以下のものに限られます。[証明終わり]

この定理は,例えば理論の赤外発散を正則化する技巧

としてBosonの質量項を手で付け加えるなどというとき,

たとえ,それが系の対称性を破る場合でも,次元３以上の

相互作用項は,対称なものから変更する必要がないこと

を保証しており,有用なものです。

もっとも,この定理で述べているのは無限大の相殺項に

関する話であって,有限部分に関していえば,もちろん,

次元がｄを越える項にも対称性を破る効果が現われる

ことに注意あうる必要があります。

• 7.4 ゲージ理論の乗法的くりこみ

前節の乗法的くりこみの一般論により,特に命題２

によって,Lagrangianとして次元が4以下のあらゆる

相互作用項を用意しておけば,系は一般にくりこみ

可能であることが,わかりました。

したがって,そのBoson場としてベクトル場が入って

きても,その伝播関数が運動量ｋの大きいとき,ｋ^-2で

挙動するタイプのものであれば,くりこみ可能性に

関して特に問題があるわけではありません。

しかしながら,べクトル場を含む場合,そのような

一般的な系では,物理的な意味がないです。というのは

第５章で述べたように,ベクトル場は負計量のモードを

含んでいて,これが物理的な確率解釈を壊すからです。.

そのような負計量モードが,物理的空間には有限な

確率で出てこないように制御するためには,系はゲージ

不変性,または,量子系でより正確に言えばＢＲＳ不変性

を持たねばなりません。このゲージ不変性のために,系

のLagrangianは,次元が4以下の全ての勝手な項を持つ

ことはできません。

例えば,ゲージ場の質量項:(1/2)ｍ²Ａ^ａ_μＡ^ａμは存在

しないし,(Ａ)³項の係数ｇ(結合定数)と,(Ａ)⁴項の係数

ｇ²は独立ではありません。すなわち,相殺項として用意

できる項は,かなり制限されています。

このような制限された相殺項だけで,現われる発散の

全てを実際に除去できるのか？という問題がゲージ理論

における(乗法的)くりこみ可能性のっ問題なのです。

この点は対称性を持つ系では常に存在する問題ですが,

先の命題３のところで見たようにゲージ系の場合,ＢＲＳ

対称性が非線形であるため,これは自明ではありません。

これに対する肯定的回答(くりこみ可能であること

の証明)を与えるのが本節(§7-4)の目的です。

途中で短かいですが,続き全部を書くと長くなり過ぎる

し,キリもいいので,今回はここで一旦終わります。

(参考文献):九後汰一郎著「ゲﾞ―ジﾞ場の量子論Ⅱ」

(培風館)